COLECCI ÓN DE PROBLEMAS DEMODELI ZAR Y RESOLVER CON ORDENADOR MATEMÁTI CAS I I CURSO ACADÉMI CO 2010-11 GRADO EN A.D.E. GRADO EN ECONOMÍ A GRADO EN F.Y.C. Colección problemas ordenador Matemáticas II Curso Académico 2010-11 1 PROGRAMACIÓN NO LINEAL Problema del consumidor Este problema es el origen de toda la teoría de demanda en microeconomía. Consiste en maximizar la utilidad del consumidor. Las variables representan las cantidades consumidas de cada bien. La función de utilidad que mejor representa las preferencias de un consumidor racional es aquélla con utilidades marginales estrictamente positivas (se prefiere más a menos) y cóncava (es preferible una mezcla de consumos de varios bienes que especializarse en el consumo de un sólo bien). La restricción de este problema es de tipo presupuestario, con un primer miembro que representa el gasto en el consumo (precios por cantidades) y un segundo miembro que es la renta disponible del consumidor. Adicionalmente, pueden existir restricciones de consumos mínimos o máximos de algún producto. 1. Un consumidor puede elegir entre dos bienes cuyos precios son respectivamente de 5 y 9 euros. Dispone de una renta de 450 euros que debe gastar enteramente entre ambos bienes. La función de utilidad es u(x, y) = 2ux 0,4 y 0,6 , siendo x las unidades consumidas del primer bien e y las del segundo. a) Obtén las unidades consumidas de cada bien, el valor de la función de utilidad y el valor del multiplicador de Lagrange asociado a la restricción que maximiza la utilidad. b) Interpreta el significado del multiplicador. ¿Cuál sería aproximadamente la nueva utilidad óptima si la renta disponible pasara a valer 452 €? c) Resuelve de nuevo el problema para el caso en que la renta disponible del consumidor sea de 452 €. Compara el resultado con el obtenido en el apartado b). 2. Un consumidor desea maximizar su función de utilidad que depende del consumo de tres bienes en cantidades (x,y,z). Dicha función es u(x, y, z) = 2Sx 0,5 y 0,25 z 0,25 . Los precios unitarios de los tres bienes son 12, 8 y 5 € respectivamente, y su renta presupuestaria es de 540 €. El tercer bien está sometido a un consumo mínimo de subsistencia de 20 unidades, mientras que el primero y el segundo lo están a unos niveles máximos de saturación en el consumo de 40 unidades cada uno. a) Obtén los consumos óptimos para maximizar la utilidad y la utilidad máxima. ¿Se gasta el consumidor toda su renta? b) Calcula el valor del multiplicador y su interpretación económica. Colección problemas ordenador Matemáticas II Curso Académico 2010-11 2 Problema de producción de la empresa Este problema puede tener varias formulaciones. En su versión más básica se trata de minimizar costes con una restricción de producción mínima. También puede ser el de maximizar la producción con una restricción de limitación de costes. En ambos casos, en lugar de trabajar con la función de costes se puede pasar a función de beneficios añadiendo el precio de venta del producto. Las variables son las cantidades utilizadas de cada input en la producción, normalmente capital y trabajo, que se transforman en producción de un único bien. La función de producción es habitualmente cóncava con productividades marginales positivas. La más utilizada es la de rendimientos constantes a escala y, dentro de ellas, la de tipo Cobb-Douglas. 3. Una empresa en competencia se plantea minimizar los costes de producción. Los costes unitarios de los dos factores que utiliza (capital -K- y trabajo -L-) son de 4 y 5 unidades monetarias, respectivamente. La producción mínima que ha de cubrir la empresa es de 1000 unidades físicas. La empresa tiene la siguiente función de producción F(K, I) = 1uK 0,5 I 0,5 . a) Obtén los valores del capital y del trabajo que minimizan el coste de producción de la empresa, así como el coste mínimo. b) Interpreta el multiplicador. Calcula aproximadamente los nuevos costes de producción si la producción mínima es de 1001 unidades. Resuelve de nuevo el problema para este caso y compara la aproximación anterior con el valor exacto. 4. Supongamos que una empresa vende su producto a un precio de 2 euros por unidad y adquiere sus inputs a unos precios de 4 céntimos por cada euro de capital que toma prestado y a 5 euros la hora de trabajo. La cantidad vendida de producto no debe sobrepasar la producción, que viene dada por la función: F(K, I) = K 0,5 I 0,4 . a) Calcula el capital y el trabajo que debe emplear en la producción para maximizar beneficios b) Calcula la producción, la cantidad vendida del producto y los beneficios máximos. Problema de combinación de recursos Este es el problema de producir varios productos con recursos productivos limitados para maximizar los beneficios o los ingresos. Este es uno de los más habituales en la empresa y, aunque suele ser lineal, también se puede plantear de forma que alguna función sea no lineal, por ejemplo, si el precio de venta del producto depende de la cantidad producida o si los costes unitarios son crecientes debido a deseconomías a escala. En este problema las variables son las cantidades producidas de cada producto y cada restricción representa la limitación de un recurso productivo. Colección problemas ordenador Matemáticas II Curso Académico 2010-11 3 5. La gerencia de una empresa quiere producir tres artículos a los que llama producto 1, producto 2 y producto 3. Dispone de tres máquinas de las cuales conoce la capacidad disponible de cada máquina y el número de horas-máquina que se requiere para cada producto: Tipo de máquina Tiempo en horas-máquina por semana Productividad en horas-máquina por unidad Prod. 1 Prod. 2 Prod. 3 Fresadora 500 9 3 5 Torno 350 5 4 0 Pulidora 150 3 0 2 Los costes unitarios al producir los artículos 1, 2 y 3 son 25, 10 y 15 unidades monetarias respectivamente y los precios de venta son SS +1uux 1 - 1 3 , 1S +4ux 2 - 1 4 y 2u +Sux 3 - 1 2 , respectivamente, siendo x i el número de unidades vendidas del producto i. Calcula las cantidades de los tres productos que maximizan los beneficios y el beneficio máximo. Calcula e interpreta las variables de holgura y los multiplicadores de Kuhn y Tucker. 6. Una empresa produce tres tipos de productos en cantidades x, y, z. El beneficio unitario de cada producto es: • Beneficio unitario del producto 1: 24 – x. • Beneficio unitario del producto 2: 20 – y. • Beneficio unitario del producto 3: 20 – z. Se sabe que para producir una unidad del producto 1 se utilizan cuatro horas de trabajo, para producir una unidad del segundo se utilizan dos horas y para producir una unidad del tercer producto se utilizan dos horas. Además, la empresa dispone de 16 trabajadores que trabajan 8 horas cada uno. a) Calcula las cantidades a producir de cada tipo de producto para maximizar el beneficio de la empresa y el beneficio máximo. b) Determina, según los resultados obtenidos en el apartado anterior, si a la empresa le interesa aumentar o reducir el número de horas de trabajo de su plantilla. Problema de selección de cartera Este problema se plantea con el objetivo de distribuir un capital a invertir entre varios activos, atendiendo a la rentabilidad y el riesgo de cada uno de ellos. Se puede plantear maximizando la rentabilidad de la cartera con una limitación del riesgo o, alternativamente, minimizando el riesgo con una restricción de rentabilidad mínima garantizada. Las variables representan las cantidades a invertir en cada activo. Adicionalmente, pueden plantearse restricciones de diversificación de la cartera. Colección problemas ordenador Matemáticas II Curso Académico 2010-11 4 7. Un inversor planea distribuir 100 € de inversión entre dos activos financieros (cuyos importes son x e y). Las rentabilidades anuales esperadas son 12% y 6% respectivamente. El riesgo máximo que está dispuesto a asumir este inversor es de 1360 unidades, siendo la función de riesgo R(x, y) = u,2Sx 2 + u,uSy 2 +u,1xy. a) Calcula las cantidades a invertir en cada activo para maximizar el rendimiento esperado y valor de éste. b) Razona el efecto de un aumento en el riesgo que está dispuesto a asumir el inversor (término independiente de la restricción). 8. Un fons d’inversió global es planteja diversificar el seu capital d’un milió d’euros entre renda fixa europea (x, en milions d’euros), renda variable espanyola (y, en milions d’euros), renda variable europea (z, en milions d’euros) i actius immobiliaris (t, en milions d’euros). El seu objectiu es minimitzar el risc, que ve donat per la funció R(x, y, z, t) = u,2Sx 2 +S,2Sy 2 + 8,Sz 2 +4t 2 +12,Syz +2xy -1,Szt. La rendibilitat mínima que es vol assegurar és del 6%, tenint en compte que la renda fixa europea té prevista una rendibilitat de l’1%, la renda variable espanyola del 10%, la europea del 15% i la immobiliària del 4%. a) Calcula la distribució òptima del capital a invertir. b) Calcula la distribució òptima del capital a invertir si s’exigix que la inversió total en renda variable no supere el 25% del capital a invertir. c) Interpreta econòmicament el valor del multiplicador de la restricció de rendibilitat mínima. Problemas variados 9. En una urbanización se están construyendo dos tipos de viviendas: apartamentos y áticos, cuyos precios son p 1 y p 2 en miles de euros, respectivamente. La curva de demanda para los apartamentos es J 1 = 2uu - 2p 1 y para los áticos es J 2 = Suu -Sp 2 . El constructor ha calculado que, debido a los pedidos ya realizados a sus proveedores de materias primas, le conviene construir 8 veces más apartamentos que áticos. Por otra parte, ha calculado que la construcción de un apartamento le supone un coste total de 65 miles de € y la de un ático, 80 miles de €. Sabiendo que tiene un presupuesto de 3 millones de euros: a) Calcula los precios de ambos tipos de viviendas para que el constructor maximice su ingreso. Calcula el número de apartamentos y áticos que debe construir y los ingresos máximos. b) ¿Le interesaría aumentar el presupuesto disponible? Colección problemas ordenador Matemáticas II Curso Académico 2010-11 5 10. Una tienda de quesos tiene 20 kilos de una mezcla de frutas de estación y 60 kilos de un queso caro, con los cuales se prepararán dos tipos de queso para untar, fino y normal, que son populares durante la semana de Navidad. Cada kilo del queso fino para untar se compone de 0'2 kilos de la mezcla de frutas, 0'3 kilos del queso caro y 0'5 kilos de un queso de relleno, que es barato y del cual se tiene abundante reserva. Cada kilo del queso normal para untar se compone de 0'2 kilos de la mezcla de frutas, 0'2 kilos del queso caro y 0'6 kilos de un queso de relleno. Debido a las políticas de precios empleadas en el pasado por la tienda, se sabe que la demanda de queso para untar fino es J 1 = 19u -2Sp 1 y la demanda de queso para untar normal es J 2 = 2Su -Sup 2 (demanda en kilos y precios en euros por kilo). a) ¿Cuántos kilos de cada tipo de queso para untar deben prepararse, y qué precios deben establecerse, si se desea maximizar el ingreso y vender totalmente ambos tipos hacia el fin de la semana de Navidad? b) ¿Qué le ocurrirá al ingreso si la tienda puede disponer de un kilo más de queso caro? c) ¿Cuánto estaría dispuesta a ofrecer por un kilo más de mezcla de frutas? 11. Una empresa produce tres artículos en cantidades x, y, z. La función de ingresos de la empresa viene determinada por I(x, y, z) = x 2 +2uy 2 +1uz 2 + 2uyz. La capacidad máxima productiva de la empresa es de 5000 unidades entre los tres productos. Por razones de mercado no puede vender más de 1500 unidades del segundo producto ni puede ofertar menos de 1000 ni más de 3000 del primero. a) Calcula las cantidades de cada artículo que debe producir la empresa si desea maximizar sus ingresos y los ingresos máximos. Interpreta la variable de holgura. b) ¿Le convendría a la empresa aumentar su capacidad productiva? 12. Una empresa de transporte de viajeros tiene la concesión de tres rutas, siendo x, y, z el número de viajes a realizar anualmente por cada ruta. Los costes de la empresa son: Coste fijo: 4000 u.m. Coste variable por viaje 1ª ruta: 1ux +1uy Coste variable por viaje 2ª ruta: 1ux +2uy Coste variable por viaje 3ª ruta: z Después de un estudio de mercado, la empresa llega a la conclusión de que se deben realizar exactamente 2200 viajes anuales entre las tres rutas. a) Determina el número de viajes a realizar por cada ruta para que el coste sea mínimo y el valor de dicho coste. b) A la empresa le proponen aumentar en uno el número total de viajes. Razona, sin volver a resolver el problema, si le conviene aceptar la oferta. Colección problemas ordenador Matemáticas II Curso Académico 2010-11 6 13. Un fabricante produce tres artículos en cantidades x, y, z. El precio de venta de cada uno decrece con la producción: Precio de venta de una unidad del producto 1: 21u -x. Precio de venta de una unidad del producto 2: 1u6 -y. Precio de venta de una unidad del producto 3: 6S -z. Por otra parte, el coste de producción de cada uno de ellos se compone de un coste fijo de mantenimiento de 100, 60 y 30 unidades monetarias, respectivamente, y un coste variable por unidad producida de 10, 6 y 5 unidades monetarias. a) Determina las cantidades de cada producto que maximizan el beneficio de la empresa, teniendo en cuenta que se deben producir exactamente 360 unidades entre los tres productos. ¿Cuál es ese beneficio máximo? b) Si el empresario pudiera producir más de 360 unidades, ¿aumentaría su beneficio? 14. Una panadería produce cuatro tipos de pan en cantidades x, y, z, t, usando harina, levadura, agua y fibras vegetales de las que dispone en abundantes existencias. La función de ingresos depende de las cantidades fabricadas como I(x, y, z, t) = -x 2 +Sy +z +2t. Los costes de producción de cada tipo de pan son, respectivamente 1, 2, 3 y 4 unidades monetarias. La demanda máxima de cada uno de los tres primeros productos es de 100 unidades y de 10 para el cuarto. Además, se dispone de 400 horas para elaborar todos los panes y las necesidades de tiempo en horas son respectivamente 0’2, 0’5, 0’1 y 0’7 para cada unidad de los diferentes tipos de pan. Se pide: a) Resolver el problema de maximizar el beneficio. b) Si cada hora extraordinaria se paga a 3 unidades monetarias, ¿interesa contratar una hora adicional? c) Determina si el máximo es o no global. Colección problemas ordenador Matemáticas II Curso Académico 2010-11 7 PROGRAMACIÓN LINEAL Problema de combinación de recursos Este es uno de los problemas más comunes en Programación Lineal. Al igual que en el caso de problemas No Lineales, se trata de producir varios productos con recursos productivos limitados para maximizar los beneficios o los ingresos. En este problema las variables son las cantidades producidas de cada producto y cada restricción representa la limitación de un recurso productivo. 1. La empresa de elaboración de zumos ZUMOS CINIL S.A. dispone de concentrado de zumo de melocotón, piña y pera, para mezclarlos con agua y producir zumos comerciales aptos para el consumo humano. La tabla siguiente incluye la disponibilidad de cada zumo concentrado en kilogramos (última fila); la composición en Kgs. de zumo concentrado por litro de zumo comercial (matriz sombreada); y el precio de venta de cada zumo comercial en euros por litro (primera columna): Zumos comerciales Concentrado de zumo por litro de zumo comercial (Kgs/l) Nombre Precio (€/l.) Melocotón Piña Pera Melocotón 0,6 0,5 0 0 Melocotón-Piña 0,65 0,25 0,5 0 Melocotón-Pera 0,75 0,2 0 0,4 Piña 0,7 0 0,9 0 Pera 0,8 0 0 0,6 Disponibilidad (Kgs.) 150 100 80 También tiene en cuenta que la demanda de los 3 primeros zumos debe ser al menos el doble que la de los dos últimos. Y que de zumo de melocotón, piña y pera debe elaborar al menos 30 litros de cada uno. Con estas condiciones la empresa desea maximizar sus ingresos. Se pide: a) Define las variables y modeliza el problema. b) Resuelve el problema con LINGO/GAMS. c) Solución óptima en términos económicos para las variables principales y la función objetivo. d) Valor óptimo y significado económico del marginal de la 3ª restricción. e) Valor óptimo y significado económico de la variable de holgura de la 1ª restricción. f) Razona si la solución es única o hay solución múltiple. g) Intervalo de sensibilidad e interpretación económica del precio del zumo de melocotón-piña. Colección problemas ordenador Matemáticas II Curso Académico 2010-11 8 2. La panadería PAN CREAS S.L. utiliza harina refinada, harina integral, centeno y aceite (además de levadura, agua y sal) para elaborar cinco tipos de barras de pan: normal, rústico, gallego, integral y de aceite. En la siguiente tabla aparece la cantidad (en gramos o mililitros) de cada ingrediente que son necesarios para elaborar cada barra pan: Pan Harina refinada (gr.) Harina integral (gr.) Centeno (gr.) Aceite (ml.) Normal 120 0 10 10 Rústico 80 10 30 10 Gallego 100 10 50 10 Integral 30 80 20 10 Aceite 70 0 20 30 Los precios de venta al público son: 65 céntimos de euro por cada barra de pan normal, 70 céntimos el rústico, 80 céntimos el gallego, 80 céntimos el integral y 90 céntimos el de aceite. Las existencias para el día de cada ingrediente son: 3 sacos de 25 Kg. de harina refinada, 5 sacos de 10 Kg. de harina integral, 2 sacos de 10 Kg. de centeno y 12 litros de aceite. La demanda máxima diaria es de 700 barras de pan conjuntamente entre pan normal, rústico y gallego; y de 150 barras entre pan integral y de aceite. Otra característica de la demanda de pan es que se venden más del triple de panes normales que de integrales. La demanda mínima diaria de cada tipo de pan es de 150 barras para el normal, 120 para el rústico, 150 para el gallego, 50 para el integral y 40 para el de aceite. Plantea el problema para determinar cuántas barras debe elaborar de cada tipo de pan para maximizar los ingresos suponiendo que vende todos los que produce. Problema de la dieta El problema de la dieta, conocido por este nombre, fue uno de los primeros problemas sobre optimización, motivado por el deseo del ejército americano de asegurar unos requerimientos nutricionales al menor coste. El problema fue analizado y resuelto por George Stigler usando la programación lineal en 1947. 3. Un veterinario desea elaborar la dieta de coste mínimo para un grupo de cebras del zoo, que cumpla unos requisitos vitamínicos que ha estimado como: debe contener entre 26 y 32 unidades de vitamina A, al menos 25 unidades de vitamina B, al menos 30 de C y, al menos, 10 de vitamina D. La tabla siguiente nos da el número de unidades de las distintas vitaminas por unidad de alimento elegido entre seis tipos disponibles así como el coste de cada unidad del alimento correspondiente. Colección problemas ordenador Matemáticas II Curso Académico 2010-11 9 Vitaminas Coste por unidad Alimentos A B C D 1 1 1 0 1 10 2 1 2 1 0 14 3 0 1 2 0 12 4 3 1 0 1 18 5 2 1 2 0 20 6 1 0 2 1 16 a) Define las variables y modeliza el problema. b) Resuelve el problema con LINGO/GAMS. 4. Un granjero quiere planificar la alimentación de su ganado al menor coste posible. El ganado puede alimentarse de tres maneras diferentes: con forraje que el grajero puede adquirir a 20 céntimos de euro el kilo, con un pienso A a 50 céntimos el kilo o con un pienso B a 40 céntimos el kilo. Cada cabeza de ganado debe obtener diariamente al menos 400 gramos de proteínas, al menos 800 gramos de hidratos de carbono y no más de 100 gramos de grasas. El forraje contiene un 10% de proteína, un 80% de hidratos y un 10% de grasas. El pienso A contiene un 40% de proteína, un 60% de hidratos de carbono y no contiene grasas. El pienso B contiene un 30% de proteína, un 50% de hidratos de carbono y un 20% de grasas. El granjero quiere obviamente minimizar los costes. a) Define las variables y modeliza el problema. b) Resuelve el problema con LINGO/GAMS. c) Escribe cuál es la dieta óptima, el coste óptimo y el valor de las variables de holgura. d) Indica cuáles son las variables básicas y no básicas en la solución obtenida. e) ¿Es única la solución? ¿Es degenerada? f) ¿Sigue siendo válida la solución si las necesidades de proteína del ganado pasaran a ser de 600 gramos diarios? Explica tu respuesta. g) La Unión Europea decide subvencionar el pienso B con 3 céntimos de euro por Kg. ¿Es válida la solución actual en esas condiciones? h) ¿En cuánto aumentaría el coste si las necesidades de hidratos de carbono pasaran a ser de 900 gramos? i) Escribe entre qué valores puede oscilar el precio del pienso A para que siga siendo válida la solución actual. Problemas de blending o de mezclas En algunos problemas, como por ejemplo los de blending o mezclas, aparecen algunas restricciones formuladas mediante ratios o cocientes entre variables, es decir, de la forma: Colección problemas ordenador Matemáticas II Curso Académico 2010-11 10 α β i j j i j j x x = r ∑ ∑ Ante este tipo de restricciones lo usual es linealizarlas, es decir, suponiendo que Σ β ij x j ≠ 0, transformarla es una restricción de la forma: Σ ( α j - r β ij )x j = 0 5. Una cooperativa vinícola produce dos tipos de vinos cuya graduación depende de las zonas de la comarca y del tipo de uva de sus asociados, de acuerdo con el siguiente cuadro: GRADUACIÓN CANTIDAD VINO 1 15 200.000 VINO 2 10 100.000 La cooperativa ha observado que estos dos tipos de vinos son difíciles de comercializar dado que el primero tiene una graduación excesiva y el segundo una graduación demasiado baja, motivo por el cual la demanda del primero nunca es superior a 100.000 litros y la del segundo a 60.000 litros, por lo que todos los años se producen excedentes de ambos tipos de vinos que la cooperativa debe destinar a la producción de alcohol que vende posteriormente a un precio de 1 euro por litro. Por este motivo se plantea realizar una mezcla de ambos tipos de vino con el fin de obtener una nueva marca de vino (v3) con una graduación intermedia que tiene una mayor aceptación en el mercado. Después de un exhaustivo estudio, la cooperativa ha determinado que el vino que tiene una mayor aceptación en el mercado es el que tiene una graduación comprendida en los 12 y 13 grados y que en este caso tendría garantizada una comercialización total de la producción sí el precio fuera de 5 euros el litro. Sabiendo que los precios de coste del vino 1 (v1) es de 2,5 euros por litro y el del vino 2 (v2) es de 1,5 euros por litro. Los precios de venta actuales de ambos vinos es de 4 y 2,5 euros respectivamente. Determinar la cantidad a producir y comercializar de cada uno de los tipos de vino y del vino de mezcla (v3). Problema de transporte La primera referencia escrita de este problema se remonta a 1781, cuando el matemático francés Gaspard Monge describe el problema de la construcción y abastecimiento de fortificaciones militares de los ejércitos de Napoleon. Monge era entonces general de los ejércitos napoleónicos. Para resolver este problema usó el método de “cortar y llenar”, es decir, ir abasteciendo las diferentes trincheras desde los depósitos de material existentes. Formalmente, este problema aparece en 1941 cuando F.L. Hitchcock publica una solución analítica para este problema, aunque su desarrollo se produce a Colección problemas ordenador Matemáticas II Curso Académico 2010-11 11 finales de los años 40, cuando Koopmans (un joven holandés) realiza su tesis doctoral sobre los problemas de embarque de la marina holandesa. A partir de ese momento el campo de aplicación del problema del transporte empieza a crecer de una forma muy rápida, no solo en aplicaciones militares, sino también en el campo de la producción, la distribución, las finanzas, etc. 6. Una compañía de transporte terrestre puede comprar gasolina a tres proveedores. Los proveedores disponen mensualmente de 2.000, 6.000 y 6.000 litros respectivamente. La compañía necesita gasolina en tres localidades que requieren 5.000, 3.000 y 2.000 litros mensuales respectivamente. El precio por litro de gasolina a la entrega de cada localidad es el siguiente: localidad 1 2 3 1 2 3 1 proveedor 2 4 2 5 3 1 8 9 La compañía desea minimizar el coste. a) Define las variables y modeliza el problema. b) Resuelve el problema con LINGO/GAMS. c) ¿Cuál es la solución óptima del problema? ¿Y el coste mínimo? d) ¿Entre qué valores puede variar el precio que paga la ciudad 1 al proveedor 2 sin que cambie la solución óptima? e) Los requerimientos de la localidad 3 han disminuido y ahora sólo se necesitan 1800 litros mensuales. ¿Qué información conoces de la nueva solución óptima sin resolver de nuevo el problema? 7. MONDESCOR es una empresa que fabrica dos modelos de coches en dos plantas de producción y los vende en Madrid, Barcelona y Valencia. Los costes de transportar un coche, independientemente del modelo, de cada fábrica a cada ciudad, vienen dados en unidades monetarias en la siguiente tabla: Madrid Barcelona Valencia Planta 1 30 20 40 Planta 2 100 90 40 Y la demanda de cada modelo en cada ciudad es: Madrid Barcelona Valencia Modelo 1 800 2000 4500 Modelo 2 1200 1000 1500 La capacidad máxima de producción de cada planta es de 10000 y 8000 coches, respectivamente, sumando los dos modelos. a) Determina cuántos coches de cada modelo se deben transportar desde cada planta a cada ciudad para satisfacer la demanda y minimizar los costes de transporte. Colección problemas ordenador Matemáticas II Curso Académico 2010-11 12 b) ¿Qué ocurrirá con la solución anterior si en Madrid se produce un aumento de demanda del 10% para el Modelo 1? Problemas variados 8. MULTIPOT es una empresa especializada en la fabricación y comercialización de barriles de tres capacidades diferentes: de 100, 50 y 20 litros de capacidad. Tras realizar un estudio de mercado, la empresa piensa que le resultaría rentable comercializar como máximo 1062 barriles en total, siempre que sean al menos 100 de 100 litros y 300 de 20 litros. Bajo estas condiciones, los beneficios que obtendría por cada barril serían de 52, 50 y 48 unidades monetarias respectivamente. Sabiendo que la empresa dispone de un total de 1500 horas de mano de obra y fabricar cada barril de cada capacidad cuesta 100, 80 y 90 minutos, MULTIPOT quiere saber cuántos barriles de cada tipo debe fabricar para maximizar sus beneficios. a) Define las variables y modeliza el problema. b) Resuelve el problema con LINGO/GAMS. c) ¿Cuántos barriles de cada tipo comercializará MULTIPOT? ¿Qué beneficio obtendrá? d) Indica cuáles son las variables básicas y no básicas en la solución óptima y justifica si la solución es única y/o degenerada. e) Si la empresa decide fabricar un barril menos de 20 litros, ¿qué ocurrirá con los beneficios? f) Si el beneficio por barril de 100 litros desciende hasta 50 unidades monetarias, ¿la solución sigue siendo óptima? Escribe la solución óptima y el valor de la función objetivo en el óptimo. g) Si la empresa decide fabricar como mínimo 1100 barriles en total, ¿la solución sigue siendo óptima? Escribe la solución óptima y el valor de la función objetivo en el óptimo. 9. La empresa de elaboración de derivados de la leche LECHE UGA S.A. dispone de yogur de leche, jarabe de plátano y jarabe de fresa, para mezclarlos con azúcar y producir 5 yogures comerciales aptos para el consumo humano. La tabla siguiente incluye la disponibilidad de cada ingrediente en Kgs. (última fila); la composición en Kgs. de ingrediente por litro de yogur comercial (matriz sombreada); y el beneficio por litro de cada yogur comercial en euros por litro (primera columna): Yogures comerciales Ingredientes (Kgs/l.) Nombre Benef. (€/l.) Yogur leche Jar. Plátano Jar. fresa Natural 0,91 0,9 0 0 Plátano 1,03 0,5 0,3 0 Fresa 1,22 0,4 0 0,4 Plátano-Fresa 1,24 0,3 0,25 0,25 Nat.azucarado 0,79 0,8 0 0 Disponibilidad (Kgs.) 250 50 50 Colección problemas ordenador Matemáticas II Curso Académico 2010-11 13 También tiene en cuenta que la demanda de los yogures de plátano y fresa no puede superar las 50 unidades de cada uno y que de natural y natural azucarado debe producir al menos tantos como de los otros tres. La empresa desea maximizar sus beneficios. Se pide: a) Define las variables y modeliza el problema. b) Resuelve el problema con LINGO/GAMS. c) Solución óptima en términos económicos para las variables principales y la función objetivo. d) Valor óptimo y significado económico del multiplicador de K-T de la 3ª restricción. e) Valor óptimo y significado económico de la variable de holgura de la 1ª restricción. f) Razona si la solución es única o hay solución múltiple. g) Intervalo de sensibilidad e interpretación económica del precio del yogur azucarado. 10. Una empresa editorial publica y comercializa tres tipos de libro: novela, ensayo y poesía. El proceso de publicación y comercialización de cada uno de estos libros pasa por 4 secciones: edición del texto, diseño de dibujos y fotos, impresión y encuadernado, y distribución y comercialización. La tabla adjunta proporciona el número de horas empleadas en cada sección por unidad y los beneficios estimados (en cientos de euros) para cada tipo de libro. Tipo de Libro Edición Texto Dibujos y Fotos Impresión y Encuadernado Distribución y Comercialización Beneficios Novela 10 6 24 8 28 Ensayo 9 15 28 20 15 Poesía 15 5 48 50 25 Sabiendo que dispone de 1620 horas en la sección de edición del texto, 748 horas en la sección de diseño de dibujos y fotos, 4392 horas en la sección de impresión y encuadernado, y 5200 horas en la sección de distribución y comercialización, la empresa desea conocer cuántos libros tiene que publicar y comercializar de cada tipo para maximizar sus beneficios. a) Define las variables y modeliza el problema. b) Resuelve el problema con LINGO/GAMS. c) ¿Cuál es la solución óptima del problema? ¿Y el beneficio máximo? ¿Se gastan todos los recursos disponibles? d) Indica cuáles son las variables básicas y no básicas en la solución óptima. ¿La solución es única y/o degenerada? e) ¿Qué efecto tendría sobre el beneficio la publicación y comercialización de 4 libros de ensayo? f) ¿Entre qué valores pueden variar las horas disponibles en la sección de impresión y encuadernado para que siga sin interesar a la empresa publicar y comercializar libros de ensayo? Colección problemas ordenador Matemáticas II Curso Académico 2010-11 14 g) ¿Cuál sería la solución óptima del problema si los beneficios de la publicación y comercialización de novelas aumentaran a 2875€? ¿Y el beneficio óptimo? 11. Una empresa fabrica tres artículos en cantidades x, y, z y obtiene por cada unidad producida unos ingresos de 7, 5 y 8 u.m. respectivamente. En el proceso de fabricación se deben cubrir unos gastos unitarios de 4, 3 y 4 u.m. respectivamente. Además, la empresa dispone de una materia prima M limitada a 800 unidades, así como de un máximo de 1000 horas de mano de obra. La empresa se ha comprometido a entregar al menos 30 unidades del primer artículo y desea maximizar los beneficios. Las necesidades de mano de obra y materia prima se resumen en la siguiente tabla: Artículo 1 Artículo 2 Artículo 3 Materia prima 2 15 3 Horas de trabajo 5 10 4 a) Define las variables y modeliza el problema teniendo en cuenta que las unidades producidas pueden ser números no enteros. b) Resuelve el problema con LINGO/GAMS. c) Indica cuál es la producción óptima y el beneficio máximo. Indica también el valor de las variables de holgura. d) ¿Cómo afectará a los beneficios el que la empresa se comprometa a entregar 32 unidades del primer artículo? e) Razona lo que ocurrirá con la solución actual si el ingreso unitario por el tercer artículo pasa a ser de 6 u.m. f) ¿Sigue siendo óptima la solución si la materia prima desciende a 650 unidades? g) ¿Cuál será el beneficio máximo si las horas de mano de obra pasan a ser 1100? 12. Una empresa fabrica tres tipos de yogures: natural, bífidus y muesli, que vende a 1.9, 2.45 y 2.2 euros por kilogramo respectivamente. Para la fabricación emplea leche, fermentos y una mezcla de cereales y dispone de 40, 9 y 2 kilogramos respectivamente. La composición del Kg de cada tipo de yogur se recoge en la tabla siguiente. Leche Fermentos Cereales Natural 0.85 0.15 0 Bífidus 0.8 0.2 0 Muesli 0.7 0.2 0.1 La empresa desea maximizar los ingresos. a) Define las variables y modeliza el problema. b) Resuelve el problema con LINGO/GAMS. c) Escribe la solución óptima y el ingreso máximo. Indica cuáles son las variables básicas y no básicas en la solución obtenida. Colección problemas ordenador Matemáticas II Curso Académico 2010-11 15 d) ¿Es única la solución? ¿Es degenerada? e) ¿Sigue siendo válida la solución actual si el ingreso por cada Kg. de yogur de muesli pasa a 2.4 euros por Kg.? f) Se nos ofrece un Kg. más de fermento a un precio de 10 euros. ¿Nos conviene aceptar la oferta? ¿Cuál es el incremento esperado para el ingreso? g) Indica el intervalo de sensibilidad de la disponibilidad de fermento y explica lo que significa que el término independiente salga de ese intervalo. h) ¿Entre qué valores puede oscilar el precio del yogur natural para que la solución actual siga siendo válida? 13. La ciudad 1 produce diariamente 500 Tm. de basura y la ciudad 2 produce 400 Tm. Hay dos quemadores para destruir la basura, en cada uno de los cuales se puede incinerar hasta 500 Tm. de basura al día. El coste de quemar basura en el quemador 1 es de 40 $/Tm. y en el quemador 2 es de 30 $/Tm. La incineración reduce cada tonelada de basura a 0.2 Tm. de desechos que hay que tirar en uno de dos basureros disponibles. Cada basurero puede recibir como máximo 200 Tm. de desechos al día. El coste de transportar una tonelada de basura o de desechos es de 3 $/milla, y las tablas siguientes contienen las distancias en millas entre las ciudades y los quemadores y entre los quemadores y los basureros. Quemador 1 Quemador 2 Ciudad 1 30 5 Ciudad 2 36 42 Basurero 1 Basurero 2 Quemador 1 5 8 Quemador 2 9 6 a) ¿Cuánta basura debería quemarse en cada quemador y cuántos desechos deberían llevarse a cada basurero para minimizar los costes? ¿Es única la solución?, ¿es degenerada? b) Razona qué ocurriría con la solución óptima si la ciudad 2 aumenta su producción diaria de basura a 450 Tm. 14. Un exportador de cítricos adquiere naranjas a los agricultores de su zona para manipularla y exportarla a distintos países de la UE. Los precios en el campo y los costes de manipulación determinan unos márgenes de beneficio que dependen de la variedad de la naranja. La siguiente tabla proporciona estos datos y los meses del año en que se puede recolectar cada variedad. 1. Marisol 2. Clemenules 3. Clemenvilla Beneficio €/Kg. 0’03 0’07 0,08 Meses Octubre a Dic. Nov. a Enero Dic. a Febrero La oferta máxima de naranja en la zona para esta campaña es de 200000 Kgs para cada una de las variedades 1 y 3 y de 400000 para la variedad 2. Los clientes extranjeros demandan naranja según los meses del año, sin importarles mucho la variedad de la que se trate. Las demandas que deben ser satisfechas vienen dadas en la siguiente tabla: Octubre Noviembre Diciembre Enero Febrero Demanda (Kg) 60000 150000 230000 90000 70000 Colección problemas ordenador Matemáticas II Curso Académico 2010-11 16 Las limitaciones del almacén donde se manipula la naranja suponen que de cada variedad y en cada mes no se pueden tratar más de 130000 Kgs. a) Con estas limitaciones, plantee el problema que proporciona a este exportador la cantidad de Kgs que debe comercializar de cada variedad en cada mes para maximizar el beneficio. b) Obtenga el intervalo de sensibilidad de la demanda de Octubre e interprételo económicamente. 15. El gobierno quiere reformar las pensiones para ahorrarse al menos 800 millones de € el próximo año y al menos 6000 millones de € de aquí a 10 años. Ha realizado una estimación del ahorro de cuatro posibles medidas y del coste político que tendrían. En la siguiente tabla se muestra el ahorro de cada medida (en millones de €) y el porcentaje de población que está en contra de cada una: Medida Ahorro próximo año Ahorro de aquí a 10 años Coste político Bajar las pensiones en términos reales en el año próximo: ahorro por cada punto porcentual que bajen 1600 1200 80 Aumentar la edad de jubilación: ahorro por cada año que se aumente 800 1800 55 Exigir más años cotizados para obtener la pensión completa: ahorro por cada año cotizado adicional 250 2600 40 Calcular la pensión sobre la base de más años cotizados: ahorro por cada año cotizado adicional 75 1500 35 Todas las reformas se pueden implantar con distinta profundidad, aunque la edad legal de jubilación no se puede aumentar más de 3 años y 6 meses, y los años cotizados adicionales de la tercera y cuarta medida deben ser los mismos. Modeliza el problema mediante un problema de programación matemática para determinar la profundidad de cada reforma que se debería implantar para minimizar el coste político pero cumpliendo los objetivos de ahorro. Colección problemas ordenador Matemáticas II Curso Académico 2010-11 17 PROGRAMACIÓN LINEAL ENTERA Problema de mochila Este tipo de problemas se caracteriza por la existencia de una única restricción (problemas de mochila unidimensional), aunque a veces es posible que existan otras restricciones adicionales (mochila multidimensional). Se le conoce por el nombre de problema de mochila (aunque también recibe el nombre de problema de carga o flyaway kit), ya que puede representarse por el siguiente ejemplo: Un excursionista debe elegir entre varios objetos para transportar en su mochila, que no debe exceder de determinado peso y donde el objetivo consiste en maximizar el valor de la mochila, es decir, el valor de los objetos que contiene. 1. Inés se va de vacaciones con una aerolínea de bajo coste que le permite facturar como máximo 15 kilos y llevar 10 kilos más de equipaje de mano. Ha pesado sus maletas vacías; la que piensa facturar pesa 4.1 kilos y la que llevará como equipaje de mano 2.5 kilos. Tiene una serie de objetos que le gustaría llevarse. Para cada uno ha estimado el beneficio que le reportaría llevarlo y ha calculado su peso (en kilos). Los datos se muestran en la siguiente tabla: Objeto1 Objeto2 Objeto3 Objeto4 Objeto5 Objeto6 Objeto7 peso 5 4 5 7 4 6 5 beneficio 0.2 0.3 0.5 0.1 0.4 0.7 0.2 Además, los objetos 2 y 7 no los puede llevar en el equipaje de mano y el objeto 3 es preciso llevarlo. Plantea el problema de programación matemática que resuelve el problema de Inés. 2. La Consellería de Obras Públicas dispone de un presupuesto para infraestructuras de 5000 millones de euros en los próximos 4 años. Para determinar las obras a realizar se hace una lista de actuaciones preferentes. Elige los proyectos que se han de llevar a cabo si los costes e índices de impacto de beneficio social vienen dados por la siguiente tabla: Obra Coste (en millones de €) Índice de impacto 1 2000 4 2 3000 5 3 1000 3 4 1500 3 5 4000 7 6 500 2 7 1000 4 8 1000 3 Colección problemas ordenador Matemáticas II Curso Académico 2010-11 18 Problema de asignación Este tipo de problema apareció en la aplicación de la programación lineal a la sociología 1 . Vamos a describir cual era el problema al que debía aplicarse. El problema de la asignación, fue inicialmente conocido como el problema del matrimonio, y fue propuesto como una de las primeras aplicaciones de la programación lineal a la sociología, a principios de los años 50. La idea de esta aplicación consistía en un club de sociólogos, cinco hombres y cinco mujeres, los cuales se conocían muy bien, y basándose en sus opiniones personales consideraron la cantidad de “felicidad” que proporcionaba la unión del hombre i-esimo con la mujer j-esima. Esos valores, denominados c ij , fueron tabulados dando lugar a : i / j 1 2 3 4 5 1 78 -16 19 25 83 2 99 98 87 16 92 3 86 19 39 88 17 4 -20 99 88 79 65 5 67 98 90 48 60 Con ello se pretendía determinar la asociación entre los miembros del club para que la felicidad total fuera máxima. 3. El encargado de recursos humanos de una gran empresa debe asignar a los 3 trabajadores que se encargan de la parte contable a 3 tareas que hasta ahora realizaban indistintamente: tesorería, financiación y contabilidad. Tras realizarles un test de conocimientos en los tres campos obtienen una calificación en cada parte que le indica el rendimiento de cada trabajador en cada puesto de trabajo. Los datos del test son: Tesorería Financiación Contabilidad Trabajador 1 7’5 8’6 8’4 Trabajador 2 5’3 7’2 6’1 Trabajador 3 6’7 7’9 7’5 El encargado debe decidir qué trabajador asigna a cada tarea para maximizar el rendimiento total. 4. Los responsables de “Cinemas Martí” están preparando la programación para el día de fiestas y disponen de 3 películas, pero tan solo pueden programar 2 sesiones en la única sala existente. Estiman la cantidad de espectadores que 1 Halmos, P.R. y Vaughan, H.E. (1950): “ The Marriage Problem”. American Journal of Mathematics, Vol 72. Colección problemas ordenador Matemáticas II Curso Académico 2010-11 19 irá a cada película según el horario de la sesión y ordenan los datos en la siguiente tabla: Espectadores según película y horario 16:00 20:00 Animación 100 60 Musical 140 180 Drama 50 150 Plantea un problema de programación matemática para determinar qué películas y en qué horarios se han de programar si se quiere maximizar la cantidad total de espectadores, teniendo en cuenta no repetir ninguna película. Problemas variados 5. La ciudad de Villa Arriba tiene tres escuelas de enseñanza media superior. El consejo directivo de escuelas de la ciudad ha decidido redistribuir las zonas escolares asignadas a cada escuela. La ciudad está dividida en 10 secciones, cada una de ellas con una población estimada de estudiantes para los próximos años. Se ha determinado la distancia (en km) del centro de cada sección a cada una de las escuelas. La siguiente tabla recoge estos datos junto con la capacidad máxima de cada escuela: Distancia Sección Alumnos Escuela 1 Escuela 2 Escuela 3 1 450 1'2 1'5 3'3 2 400 2'6 4 5'5 3 500 0'7 1'1 2'8 4 500 1'8 1'3 2 5 400 1'5 0'4 2'3 6 450 2 0'6 1'7 7 450 1'2 1'4 3'1 8 500 3'5 2'3 1'2 9 400 3'2 1'2 0'7 10 450 3'8 1'8 1 Capacidad escuela 1500 2000 1300 El consejo directivo de escuelas desea determinar cuántos estudiantes de cada sección deben asistir a cada una de las escuelas para que la distancia total recorrida por el conjunto de estudiantes de la ciudad sea mínima. 6. Una compañía minera opera con tres minas. El mineral de cada una se separa antes de embarcarse, en dos grados. La capacidad diaria de producción de las Colección problemas ordenador Matemáticas II Curso Académico 2010-11 20 minas así como sus costes diarios (medidos en millones de euros) son los siguientes: Mineral grado alto (Tm/día) Mineral grado bajo (Tm/día) Costes diarios Mina 1 4 4 2 Mina 2 6 4 2'2 Mina 3 1 6 1'8 La compañía se comprometió a entregar 54 toneladas de mineral de grado alto y 65 toneladas de mineral de grado bajo para finales de la siguiente semana. Además, tiene contratos de trabajo que garantizan a los trabajadores de las tres minas el pago del día completo por cada día o fracción de día que la mina esté abierta. Determina el número de días que cada mina deberá operar durante la siguiente semana, si la compañía ha de cumplir su compromiso con un coste total mínimo, justificando que se trata de un problema entero. 7. Una empresa de turismo rural dispone de un presupuesto de 350.000 euros para rehabilitar un hotel rural y poder abrirlo en el verano de 2008. Las posibilidades que maneja son las siguientes: Para el exterior del hotel: Reforma básica: coste de 45.000 euros Nuevo aparcamiento: coste 20.000 euros Piscina: coste 75.000 euros Para la planta baja del edificio: Reforma básica: coste de 75.000 euros Nueva sala de TV: coste de 10.000 euros Cafetería: coste de 25.000 euros Para las plantas de habitaciones: Reforma básica: coste de 50.000 euros Mejora de cada habitación doble: coste de 3.000 euros Mejora de cada habitación familiar: coste de 5.000 euros La empresa prevé una mejora en la ocupación según las reformas que lleve a cabo. Así, el nuevo aparcamiento va a suponer 150 noches ocupadas adicionales, la piscina 450, la nueva sala de TV 100, la cafetería 300, la mejora en las habitaciones dobles 15 noches adicionales por habitación y la mejora en las habitaciones familiares 20 por habitación. El número total de habitaciones dobles del hotel es de 25 y el de familiares es de 15. Lógicamente, la reforma de cada habitación debe ser completa pero no es necesario reformarlas todas. Las reformas básicas deben llevarse a cabo obligatoriamente. En cuanto al resto de reformas, cada una debe hacerse de forma completa o no hacerse. Colección problemas ordenador Matemáticas II Curso Académico 2010-11 21 Plantea el problema para determinar qué reformas deben llevarse a cabo para maximizar el número de noches ocupadas adicionales. 8. Un inversor particular dispone de un capital de 1,5 millones de € y se plantea 4 posibilidades de inversión: un depósito bancario al 2% de interés anual, invertir en renta fija privada a un interés del 4,5% anual, invertir en renta variable con una rentabilidad esperada del 10% y comprar una casa de 300.000 € para alquilarla por 21.000 € al año. Para disminuir el riesgo, el depósito bancario debe suponer al menos el 20% del capital, mientras que la inversión conjunta en renta fija y en el depósito debe ser al menos el doble que la inversión conjunta en renta variable y en la compra de la casa. El inversor debe decidir cuánto dinero tiene que depositar en el banco, cuánto tiene que invertir en renta fija, en renta variable y si se compra o no la casa, para maximizar sus ingresos anuales. Colección problemas ordenador Matemáticas II Curso Académico 2010-11 22 PROBLEMAS PARA RESOLVER CON ORDENADOR 1. ACERESA és una empresa que desitja fabricar un nou aliatge (cast. aleación) amb 40% d'alumini, 15% de zinc i 25% de plom a partir de varis aliatges disponibles que tenen les propietats següents: Aliatge 1 2 3 4 5 Percentatge d'alumini 60 25 45 20 50 Percentatge de zinc 10 15 45 50 40 Percentatge de plom 30 60 10 30 10 Cost (u.m./tona) 15 10 25 40 30 Es desitja determinar les proporcions que han de mesclar-se per a produir l'aliatge al mínim cost. Este problema pot plantejar-se com el programa següent: Hin. 1Sx 1 +1ux 2 +2Sx 3 +4ux 4 +Sux 5 s. o. 6ux 1 +2Sx 2 +4Sx 3 +2ux 4 +Sux 5 ¸ 4u 1ux 1 +1Sx 2 +4Sx 3 +Sux 4 +4ux 5 ¸ 1S Sux 1 +6ux 2 +1ux 3 +Sux 4 +1ux 5 ¸ 2S x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 1 x ì ¸ u, i = 1,2, …,S Es demana: a) Quina és la definició de les variables principals en el model anterior? b) Resol el problema amb GAMS/LINGO. c) En quin percentatge es mesclen els 5 aliatges disponibles? Quin és el cost mínim per tona? d) Indica quines són les variables bàsiques i no bàsiques en la solució òptima i justifica si la solució és única i/o degenerada. e) Quin efecte aproximat tindria sobre el cost mínim per tona augmentar en un 1% la proporció de zinc en el nou aliatge? f) Si la proporció exigida d'alumini en el nou aliatge es reduïx al 30% s'introduirà en la mescla l'aliatge 4? El requisit d'alumini es complirà amb igualtat o amb desigualtat estricta? g) Per a quin rang de costos del segon aliatge la solució obtinguda continuarà sent òptima? 2. Es planteja un problema de mescles amb 5 ingredients per obtindre un producte final (detergent líquid per a roba). Les variables x i representen la quantitat de cada ingredient (x 1 en litres, la resta de variables en Kgs.) per obtindre 1 litre de detergent líquid. L’objectiu és minimitzar el cost d’obtenció Colección problemas ordenador Matemáticas II Curso Académico 2010-11 23 d’un litre de detergent (funció objectiu en euros) però complint un conjunt de restriccions per a que la mescla tinga una sèrie de característiques. L’enunciat matemàtic juntament amb el significat de cada restricció és: Hin. u,uSx 1 +u,4x 2 +u,1Sx 3 +u,u9x 4 +u,2x 5 s. o. x 1 +12x 2 +Sux 3 +18x 4 +22x 5 ¸ 2S (densitat mínima en %) 1ux 2 +2ux 3 +12x 4 +Sx 5 ¸ 16 (pH mínim) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 1,S (restricció de pèrdues en la mescla en l.) x 4 ¸ u,2S (quantitat màxima en la mescla de l’ingredient 4 en Kgs.) x 3 ¸ u,S (quantitat mínima en la mescla de l’ingredient 3 en Kgs.) x ì ¸ u, i = 1,2, …,S Es demana: a) Passar el problema a GAMS/LINGO i resoldre’l, incloent l’anàlisi de sensibilitat. b) Raona si la solució és única o d’aresta. c) Valor òptim de totes les variables principals i de la funció objectiu. Interpretació econòmica del valor de x 3 i del valor de la funció objectiu. d) Valor òptim de totes les variables de folgança. Interpretació econòmica de la de la segon restricció. e) Valor òptim de tots els multiplicadors de Kuhn i Tucker. Raonar sense tornar a resoldre el problema, com afectaria aproximadament al cost òptim un augment del percentatge de densitat mínima fins a 27? f) Interval de sensibilitat del pH mínim i interpretació econòmica. 3. Un país pot abastir-se de quatre fonts d'energia: dues són sostenibles (la solar i l'eòlica), la tercera és la nuclear i la quarta el petroli. El país vol minimitzar el cost energètic total (en milers €) però respectant unes restriccions, segons les quals s'ha d'abastir d'almenys 3.000 Mws., ha de complir amb una producció mínima de 600 Mws. provinent de fonts sostenibles, ha d'utilitzar l'energia nuclear i el petroli en una proporció mínima d'un a tres i, per últim, ha de respectar una quarta restricció de risc ambiental màxim de 4.200 unitats. També ha de complir amb uns mínims de 200 Mws. d'energia solar que ja té instal·lada i amb uns contractes de compra de petroli per la qual cosa produirà un mínim de 350 Mws. El plantejament matemàtic del problema és: Hin. S6x +22y +8z +16t s. o. x +y +z +t ¸ Suuu x +y ¸ 6uu Sz -t ¸ u u,1x +u,Sy +2,8z +1,St ¸ 42uu x ¸ 2uu, y ¸ u, z ¸ u, t ¸ SSu a) Resol el problema i l'anàlisi de sensibilitat amb GAMS/LINGO. Colección problemas ordenador Matemáticas II Curso Académico 2010-11 24 b) Valor òptim de totes les variables principals i de la funció objectiu. Interpreta econòmicament el valor de x i de la funció objectiu. No t'oblides d'incloure les unitats de mesura. c) Indica quines són les variables bàsiques i no bàsiques en la solució òptima i justifica si la solució és única o múltiple. d) Si el país decidix augmentar el risc ambiental màxim a 4.300 unitats, calcula aproximadament com afectarà al cost energètic òptim sense tornar a resoldre el problema. e) Si el cost per Mw. de l'energia solar baixa a 24.000 €., raona si la solució continua sent òptima fent ús de l'anàlisi de sensibilitat (sense tornar a resoldre). f) Calcula l'interval de sensibilitat de la producció mínima amb energies sostenibles i interpreta'l econòmicament. 4. Una empresa de calçat esportiu fabrica 4 models d’esportives (Competició, Màgic, Ràpid i Pluma en quantitats x 1 , ..., x 4 respectivament) utilitzant cuir, goma, ma d’obra per fer els remats i ma d’obra per empaquetar-les. També utilitza altres recursos dels quals no existeix problema de disponibilitat. L’empresa ha de decidir quantes esportives de cada model ha de fabricar i planteja el següent problema on la funció objectiu és l’ingrés mensual en €, les 4 primeres restriccions són les limitacions de cada factor productiu i l’última i les condicions de domini són les limitacions de demanda: Hox. S4x 1 +27x 2 +4Sx 3 +S2x 4 s. o. u,6x 1 +u,6x 2 +1,2x 3 +1,6x 4 ¸ 2Suu (cuir en Kgs.) u,2x 1 +u,1Sx 2 +u,4Sx 3 +u,8x 4 ¸ 48u (goma en Kgs.) 4x 1 + 7x 2 + 1Sx 3 + 12x 4 ¸ 72uu (ma d’obra fer remats en minuts) 6x 1 + Sx 2 + 1Sx 3 + 18x 4 ¸ 96uu (ma d’obra empaquetar en minuts) x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ¸ 1uuu (condició de demanda conjunta) x 1 ¸ 2uu (demanda màxima del primer producte) x 4 ¸ 1uu (demanda mínima del quart producte) x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ¸ u Es demana: a) Passa el problema a GAMS/LINGO i guarda el model, la solució i l’anàlisi de sensibilitat. b) Contesta a continuació les següents qüestions: 1. Raona si la solució òptima és única o en poden haver altres. 2. Quan valen les variables de folgança de les cinc primeres restriccions? Interpreta econòmicament el valor de la segona. 3. Si disposarem de 1 hora més de ma d’obra per empaquetar, calcula aproximadament l’efecte sobre els ingressos màxims mensuals. 4. Calcula els intervals de sensibilitat del preu de venta del model Ràpid i de la disponibilitat màxima de cuir. 5. Calcula la producció òptima i els ingressos màxims amb la condició addicional de que les variables siguen senceres (no cal guardar aquest problema). 5. L’empresa MAX BICI s’encarrega del muntatge de bicicletes de carretera. Munta 4 models combinant components de distinta qualitat. Les restriccions Colección problemas ordenador Matemáticas II Curso Académico 2010-11 25 del problema indiquen la limitació de cada component per a la setmana pròxima (dels altres components no hi ha problemes d’existències), l’última restricció indica la limitació de mà d’obra i la funció objectiu indica els beneficis setmanals totals (en €): Hox. 44ux 1 +S7ux 2 +2Sux 3 +S2ux 4 s. o. x 1 +x 2 ¸ 2S (quadres de fibra de carboni) x 3 +x 4 ¸ 2u (quadres d’alumini) 2x 1 + 2x 3 ¸ 7u (rodes lenticulars) 2x 2 + 2x 4 ¸ 8u (rodes tubulars) x 1 + x 2 +x 4 ¸ 1uu (grups de canvi E80) x 3 ¸ 2u (grups de canvi E70) 2x 1 +Sx 2 +x 3 +1,Sx 4 ¸ 9u (hores setmanals treball) x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ¸ u Es demana: a) Passa el problema a GAMS/LINGO i guarda el model, la solució i l’anàlisi de sensibilitat. b) Contesta a continuació les següents qüestions: 1. Raona si la solució òptima és única o en poden haver altres. 2. Quant valen les variables de folgança de les cinc primeres restriccions? Interpreta econòmicament el valor de la segona i la tercera. 3. Si disposarem de 5 hores de treball més, calcula aproximadament l’efecte sobre els beneficis màxims. 4. Interpreta econòmicament el tercer valor que apareix en la columna “Reduced Cost” 5. Calcula els intervals de sensibilitat del benefici unitari del primer tipus de bicicleta i de la disponibilitat màxima de quadres d’alumini. 6. Una empresa editorial publica y comercializa libros de texto. El proceso de publicación y comercialización de cada uno de estos libros pasa por tres secciones: edición del texto, diseño de dibujos y fotos e impresión y encuadernado. Para realizar todo este proceso la empresa dispone de tres procedimientos de trabajo, la tabla adjunta proporciona el número de horas empleadas por libro en cada sección y los costes estimados (en miles de euros) para cada procedimiento. Edición Texto Dibujos y Fotos Impresión y Encuadernado Costes Procedimiento A 100 80 90 5 Procedimiento B 90 65 60 5.2 Procedimiento C 120 50 45 4.5 Sabiendo que dispone de 5100 horas en la sección de edición del texto, 3000 horas en la sección de diseño de dibujos y fotos y 2700 horas en la sección de impresión y encuadernado, y que la empresa se ha comprometido a publicar Colección problemas ordenador Matemáticas II Curso Académico 2010-11 26 50 libros, la empresa desea conocer cuántos libros tiene que realizar con cada procedimiento para minimizar sus costes. El problema quedaría formulado de la siguiente manera: Hin. Sx 1 +S,2x 2 +4,Sx 3 s. o. 1uux 1 +9ux 2 +12ux 3 ¸ S1uu 8ux 1 + 6Sx 2 + Sux 3 ¸ Suuu 9ux 1 + 6ux 2 + 4Sx 3 ¸ 27uu x 1 + x 2 + x 3 ¸ Su x 1 , x 2 , x 3 ¸ u a) ¿Cuál es la definición de las variables x i en el modelo anterior? b) Resuelve el modelo anterior utilizando el programa GAMS/LINGO y responde a las siguientes preguntas interpretando la salida obtenida. c) ¿Cuál es la solución óptima del problema? ¿Y el coste mínimo? ¿Se gastan todos los recursos disponibles? d) Indica cuáles son las variables básicas y no básicas en la solución óptima. ¿La solución es única y/o degenerada? e) Si la empresa pudiera disponer de 4 horas adicionales al mismo coste la hora, ¿a qué sección del proceso de publicación y comercialización se dedicarían? Justifica tu respuesta f) ¿Entre qué valores puede variar la demanda para que siga sin emplearse el procedimiento A? g) ¿Cuál sería la solución óptima del problema si los costes por libro de texto del procedimiento B fueran de 5220€? ¿Y el coste óptimo? 7. La Weigelt Corporation tienes tres plantas con exceso en su capacidad de producción. Por fortuna, la corporación tiene un nuevo producto listo para iniciar su producción y las tres plantas pueden fabricarlo, así que se podrá usar parte del exceso de este modo. El producto puede hacerse en tres tamaños: grande, mediano y pequeño; y darán una ganancia neta de $420, $360 Y $300, respectivamente. Las plantas 1, 2 y 3 tienen capacidad de mano de obra y equipo para producir 750, 900 y 450 unidades diarias de este producto, respectivamente, sin importar el tamaño o la combinación de tamaños de que se trate. La cantidad de espacio disponible para almacenar material en proceso impone también limitaciones en las tasas de producción del nuevo producto. Las plantas 1, 2 y 3 tienen 13000, 12000 y 5000 pies cuadrados de espacio respectivo, para material en proceso de la producción diaria. Cada unidad grande, mediana y pequeña que se produce requiere 20, 15 y 12 pies cuadrados, respectivamente. Los pronósticos de venta indican que, si están disponibles, se pueden vender 900, 1200 y 750 unidades diarias de los tamaños respectivos grande, mediano y pequeño. Será necesario despedir algunos empleados en cada planta a menos que la mayor parte de esta capacidad en exceso se pueda usar con el nuevo Colección problemas ordenador Matemáticas II Curso Académico 2010-11 27 producto. Para evitar despidos en lo posible, la gerencia ha decidido que las plantas deben usar el mismo porcentaje de su capacidad adicional con este nuevo producto. El gerente desea saber cuántas unidades de cada tamaño producir en cada planta para maximizar la ganancia. El planteamiento del problema es el siguiente: Hox. 42u(x 11 +x 12 +x 13 ) +S6u(x 21 +x 22 +x 23 ) +Suu(x 31 +x 32 +x 33 ) s. o. x 11 +x 21 +x 31 ¸ 7Su, x 12 +x 22 +x 32 ¸ 9uu, x 13 +x 23 +x 33 ¸ 4Su 2ux 11 +1Sx 21 +12x 31 ¸ 1Suuu, 2ux 12 +1Sx 22 +12x 32 ¸ 12uuu 2ux 13 +1Sx 23 +12x 33 ¸ Suuu x 11 +x 12 +x 13 ¸ 9uu, x 21 +x 22 +x 23 ¸ 12uu, x 31 +x 32 +x 33 ¸ 7Su x 11 +x 21 +x 31 7Su = x 12 +x 22 +x 32 9uu x 11 +x 21 +x 31 7Su = x 13 +x 23 +x 33 4Su x ì] ¸ u, vi, v] donde x ij =número de unidades de tamaño i fabricadas en planta j, i=grande, mediano, pequeño, j=1, 2, 3. Resuelve el problema utilizando el programa GAMS/LINGO y a partir de la salida obtenida responde razonadamente a las preguntas a, b, c, d y e. a) Escribe la solución óptima encontrada, el número de unidades fabricadas del producto en los tamaños grande, mediano y chico, y la ganancia máxima. ¿Se usa todo el exceso de capacidad de producción disponible en cada planta? ¿Y el espacio disponible? b) Identifica las variables básicas y no básicas de la solución óptima encontrada y justifica si la solución es única y/o degenerada. c) ¿Qué efecto tiene la fabricación de una unidad grande del producto en la planta 2 sobre la ganancia máxima? d) Se ha remodelado la planta 1 y ahora disponemos de 500 pies cuadrados adicionales ¿qué efecto tendrá este aumento sobre las ganancias? ¿Conviene fabricar alguna unidad pequeña del producto en esta planta? ¿Se seguirá gastando todo el espacio disponible en esta planta? e) Escribe e interpreta el intervalo de sensibilidad relativo al espacio disponible en la planta 3. f) ¿Cuál es la solución óptima del problema si la ganancia neta del producto de tamaño medio se reduce a $350 en la primera planta? Vuelve a emplear el programa GAMS/LINGO para resolver de nuevo el problema bajo el/los siguiente/s supuesto/s: g) ¿Cuál es la solución óptima del problema si exigimos en todas las plantas que se fabriquen un número entero de unidades de cada tamaño? h) Un estudio de la demanda más detallado indica que x31+x32+x33 ≥ (x11+x12+x13) 2 - 3(x21+x22+x23) ¿cuál es la solución óptima del problema en este caso? Si pudiéramos disponer de algo más de espacio adicional en una cualquiera de las tres plantas ¿qué planta elegiríamos? Colección problemas ordenador Matemáticas II Curso Académico 2010-11 28 8. El Sr. Richard Clever tiene 30.000€ que desea invertir ahora para usar lo que se acumule en la compra de un fondo de retiro dentro de 4 años. Su banco de toda la vida le ofrece tres tipos de inversiones: A, B y C. La inversión A está disponible al principio del año 1, tiene una duración de tres años y proporciona un rendimiento anual del 6% en compuesta. La inversión B está disponible al principio del año 3, tiene una duración de dos años y proporciona un rendimiento anual del 4% en compuesta. La inversión C está disponible al principio de años 1, 2 y 4, tiene una duración anual y proporciona un rendimiento anual del 3.5%. El Sr. Clever desea saber cuál es el plan de inversión que maximiza la cantidad de dinero acumulada al principio del año 5 teniendo en cuenta que los intereses devengados durante el periodo se reinvierten en el propio plan. El planteamiento del problema sería el siguiente: Hox. 1,u6 3 A +1,u4 2 B +1,uSS(C1 +C2 +C4) s. o. A +C1 ¸ Suuuu A +C2 -u,uSS C1 ¸ Suuuu A +B -u,uSS (C1 +C2) ¸ Suuuu B +C4 -u,uSS (C1 +C2) -(1,u6 3 -1)A ¸ Suuuu A, B, C1, C2, C4 ¸ u donde A, B, C1, C2 y C4 son los euros invertidos en las inversiones A, B y C en los años 1, 2 y 4 respectivamente. Resuelve el problema con GAMS/LINGO y contesta a las siguientes preguntas. a) Describe el plan de inversión óptimo y la cantidad máxima de dinero acumulada al inicio del año 5. ¿Invierte al principio de cada año todo el capital disponible? b) Indica cuáles son las variables básicas y no básicas de la solución óptima encontrada y justifica si la solución es única y/o degenerada c) ¿Cuál sería el efecto de invertir $100 en la inversión A sobre la cantidad máxima de dinero acumulada? d) Si el Sr. Clever dispusiera de $100 adicionales a invertir al inicio de cualquiera de los cuatro años ¿en qué año debería invertir ese capital? ¿Qué efecto tendría esta reducción sobre la cantidad máxima de dinero acumulada? ¿Se invertiría en A? e) ¿Cuál sería el plan de inversión óptimo si el rendimiento anual de B fuera del 3%? ¿Cuál sería la cantidad máxima acumulada al principio del año 5? Hoy el Sr. Clever ha ido al banco a materializar su plan de inversión y le han facilitado información adicional sobre todas las inversiones: Las inversiones A, B y C se presentan en forma de participaciones de 100€ y sólo se puede invertir en un número entero de participaciones. Independientemente del número de participaciones, si se invierte en A se tiene que pagar una cantidad fija de 300€, si se invierte en B de 400€ y si se invierte en C de 50€ en concepto de gastos de formalización. Si se decide invertir en A, B ó C al menos se tiene que adquirir una participación. Colección problemas ordenador Matemáticas II Curso Académico 2010-11 29 Las inversiones A y B son excluyentes. Esto es, sólo se puede invertir en A ó en B pero no en ambas a la vez. Sólo se puede invertir en C si se ha invertido en A. f) Plantea de forma razonada el problema que ha de resolver el Sr. Clever para determinar el plan de inversión que maximiza la cantidad de dinero acumulada al principio del año 5 teniendo en cuenta toda la información disponible. g) Resuelve el problema utilizando el programa GAMS/LINGO y describe el plan de inversión óptimo y la cantidad máxima de dinero acumulada al inicio del año 5. ¿Invierte al principio de cada año todo el capital disponible? 9. Una empresa fabrica tres artículos en cantidades x, y, z, y obtiene por cada unidad producida unos ingresos de 7, 5 y 8 u.m. respectivamente. En el proceso de fabricación se deben cubrir unos gastos unitarios de 4, 3 y 4 u.m. respectivamente. Además la empresa dispone de una materia prima ‘ M ‘ limitada a 800 unidades, así como de un máximo de 1000 horas de mano de obra. La empresa se ha comprometido a entregar al menos 30 unidades del primer artículo. El problema de maximizar beneficios puede formularse como: Hox. S x +2y +4 z (beneficios) s. o 2 x +1Sy +Sz ¸ 8uu (materia prima) Sx +1uy +4z ¸ 1uuu (horas de mano de obra) x ≥ Su (producción del artículo 1) x , y, z ¸ u a) Resuelve el problema con GAMS sin imponer que las variables sean enteras. b) Indica cuál es la producción óptima y el beneficio máximo. Indica también el valor de las variables de holgura s1, s2, s3. c) ¿Cómo afectará a los beneficios el que la empresa se comprometa a entregar 32 unidades del primer artículo? d) Razona lo que ocurrirá con la solución actual si el ingreso unitario por el tercer artículo pasara a ser de 6 u.m. e) ¿Sigue siendo óptima la solución si la materia prima descendiera a 650 unidades? f) ¿Cuál será el beneficio máximo si las horas de mano de obra pasaran a ser 1100?