Investigación de Operaciones II Seleccionado y publicado por Ing. Miguel Jiménez C.Cadenas de Markov Hoja 1/6 Problema 1 Se tiene un sistema de inventario en el que la secuencia de eventos durante cada periodo es como sigue: (1) Se observa el nivel de inventario (llamémosle i) al principio del periodo. (2) Si i 1, se piden 4 – i unidades. Si i 2, no se hace ningún pedido. (3) No hay demanda de unidades durante el periodo, con probabilidad 1/3, y se demanda una unidad durante el periodo, con probabilidad 1/3, y se demandan 2 unidades durante el periodo, con probabilidad 1/3 (4) Se observa el nivel de inventario al principio del periodo. Defina un estado de periodo como el nivel de inventario al principio del periodo. Determine la matriz de transición que pudiera usarse para modelar este sistema de inventario como una cadena de Markov. Solución 0 Estados 0 unidades 1 unidad 2 unidades 3 unidades 4 unidades 0 1 2 3 4 0 0 1/3 0 0 1 0 0 1/3 1/3 0 2 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 3 1/3 1/3 0 1/3 1/3 4 1/3 1/3 0 0 1/3 Problema 2 Se usa una máquina para producir herramientas de precisión. Si la máquina esta hoy en buenas condiciones, entonces estará bien mañana con 90% de probabilidad. Si la máquina está en mal estado hoy, entonces estará en mal estado mañana con 80% de probabilidad. Si la máquina está en buen estado, produce 100 herramientas por día, y si está en mal estado, 60 herramientas por días. En promedio, ¿Cuántas herramientas por día se producen? Solución Eo Eo: Buen Estado E1: Mal estado Eo E1 0.9 0.2 E1 0.1 0.8 Eo: produce 100 herramientas por día E1: produce 60 herramientas por día Encontrando probabilidades de estado estable t1, t2 0.9 0.2 0.1 0.8 = t1, t2 0.9t1 + 0.2t2 = t1 0.1t1 + 0.8t2 = t2 t1 + t2 = 1 t2=1/3 t1=2/3 Producción Promedio = 2/3(200)+1/3(60)=86.67 herramientas/día E1 Eo www.uhorizon.mex.tl el 10% se venden a 20 dólares cada uno.50 m.514 0 a) La probabilidad de que muera un arbol de 0 a 1. Cadenas de Markov Hoja 2/6 Problema 3 Un bosque consta de dos tipos de árboles: los que tienen de 0 a 1.1 0 0 1 0 0 E4 0 0.5m >1 E0 E1 0.1.5 m : Eo al E2 p=0.N)-1 = Eo E1 1. Miguel Jiménez C.50 m antes de venderse? b) Si se planta un árbol de menos de 1.mex.N) *A= -1 E3 0.50 m.286 E5 0. y el 30% permanecen en el bosque.tl .0816326($30)+0. muere el 40% de los árboles que tienen menos de 1.50 m se venden a 50 dólares.429 E2 0.714 0-1.5 0 0 0 1 se venden a Muere $20 $30 $50 E2 (I .204081($50)=$15.50.3 0 0 0 0 E1 0.408 1.50 m. a) ¿Cuál es la probabilidad de que muera un árbol de 0 a 1.51 www.5m Eo Ingreso esperado = 0. 30% permanecen entre 0 y 1.204 0. Cada año. el 20% se venden a 30 dólares.5 m E1: > 1. Cada año.571428 b) Se planta de 0 .2 0 0 1 0 E5 0 0.4 0 1 0 0 0 E3 0.2 0. ¿Cuál es el ingreso esperado que se va a tener con ese árbol? Solución Eo= 0 a 1. y los que son más altos.uhorizon.50 m de alto.142857*($20)+0.143 0 E4 0. y el 20% crecen más de 1.3 0 0 0 0 0 Eo (I .51 Ingreso Esperado=$15. el 50% de los árboles de más de 1.082 0.Investigación de Operaciones II Seleccionado y publicado por Ing.5 m E2: Se muere E3: Se vende a $20 E4: Se vende a $30 E5: Se vende a $50 Eo E1 E2 E3 E4 E5 Eo 0.429 0 E1 0. Para un cliente que actualmente expresa alto interés.5 0.2 0.3 0. Miguel Jiménez C.1 0 0 E1 0. Cuando una persona ha comprado La República. a) Si actualmente una persona compra El Comercio ¿Cuál es la probabilidad de que compre La República pasadas dos compras a partir de hoy? b) Si Actualmente compra La República ¿Cuál es la probabilidad de que compre La República pasadas 3 compras a partir de hoy?. y 20% de que exprese interés alto. Cadenas de Markov Hoja 3/6 Problema 4 Las cadenas de Markov se usan en ventas para modelar la probabilidad de que un cliente que se localice por teléfono compre finalmente algún producto.Investigación de Operaciones II Seleccionado y publicado por Ing. el 10% de que tenga poco interés y 10% de que sea borrado de la lista.83 0.mex. con una ganancia neta www.3 0.98 1.4 1 0 E4 0.1 0 1 Problema 5 En el Perú entre los periódicos de mayor circulación esta La República y El Comercio. 40% de probabilidad de que siga teniendo alto interés.tl .4 0 0 E2 0.38 0.62 0. 20% de que sea borrado de la lista.5 1.25 E4 0.3 0. Si un cliente actualmente tiene poco interés en el producto después de una llamada hay 30% de probabilidad de que compre el producto. Si una persona compra El Comercio. de 30% que muestre gran interés en el producto y 10% de que sea borrado de la lista de posibles clientes.23 E2 0. después de una llamada hay 40% de probabilidad de que compre el producto.35 0. hay 80% de probabilidad que su próxima compra sea El Comercio.2 0. Considere un cliente posible a quien nunca le han llamado. 30% de que aún tenga poco interés. ¿Cuál es la probabilidad de que un posible cliente compre al final el producto? Solución Eo Eo: Nunca le han llamado E1: Tiene poco interès E2: Tiene Gran interès E3: Compra el producto E4: Es borrado de la lista Eo E1 E2 E3 E4 0 0 0 0 0 Eo (I -N)-1= Eo E1 E2 (I -N)-1*A= Eo E1 E2 Posible Cliente Eo R/ Probabilidad de que un posible cliente compre el producto Eo a E3 p=0.6 0. hay una probabilidad de 90% que su siguiente compra sea de La República. c) Después de largo tiempo como estará distribuido el mercado de los periódicos.78 E1 0. d) Suponga que las ventas anuales entre los dos periódicos en el Perú ascienden a 5 millones de nuevos soles anuales. Después de una llamada hay una probabilidad de 60% de que tenga poco interés en el producto.uhorizon.65 0.6225 1 0 0 E3 0.1 0.75 E3 0 0. 8 0.2 Por lo tanto no debe contratar a la agencia de Publicidad e) 0.95t1+0.2 C 0.80)(5.9 0.16 Ganancia Neta (0.tl .1 0.781 0.1 0.000.8 t2=0.17 0.000.34 b) PRR(3)=0.95 0.20t2 t2=0. 3.9 0.uhorizon.1 3 0.05 0.8 X 0.4 millones de nuevos soles realizará un decremento del 10% al 5% de la fracción de compradores de La República que se Cambian a El Comercio después de una compra.8 t1=0.00)-2.83 0.1 = 0.000.5t1+0.9 0.00 www. 1.8 Ganancia actuales de La República son S/.219 0. Cadenas de Markov Hoja 4/6 de S/.9 0.438 C: El Comercio 0.Investigación de Operaciones II Seleccionado y publicado por Ing.00 por cada periódico y existe una agencia de publicidad que garantiza que por 2.2 0.000(1)(2/3)= S/.8 0. Miguel Jiménez C.mex.20t2 t2=0.2 b) P3= 0.2 R = 0.400.33/año Buscando nuevo estado estable t1=0.2 0.8 t2 0.333.562 0.80t2 1=t1+t2Y t1=2/3 t2=1/3 d) P1= 0.34 0.9 0.333.781 0.10t1+0.2 0.1 0.600. 1.90t1+0.80t2 t1+t2=1 t1=0. ¿Deben contratar a la empresa de publicidad los ejecutivos de La República? e) Si actualmente una persona compra El Comercio ¿Cuál es la probabilidad de que compre La República por primera vez en 2 compras a partir de hoy?.000.8 C C 0.66 a) PCR(2)=0.2 c) t1 t2 = t1 0.000=S/. Solución R: La República R P= R C a) P2= 0. 5. 000. Para fines de impuestos. Modele el sistema como una cadena de Markov y determine la matriz de transición. Solución T: Trabajando D: Descompuesta T D T 0.2 0.15 0. reserva o retirado al principio de la siguiente temporada son como sigue: Próxima Temporada Esta Estrella Novato Reserva Retirado Temporada Estrella 0.35. novato o reserva al principio de esta temporada. 6 Una computadora se inspecciona cada hora.1 0.10 Reserva 0. novato.00 0. Novato (un novato gana 400 000 dólares al año) Reserva (un reserva gana 100 000 dólares al año) Retirado (no gana salario) Si un jugador es estrella.000.tl .5 0.20 0.15 0.50 0.65 0.05 0.3 0.15 0 0.Investigación de Operaciones II Seleccionado y publicado por Ing.15 0.05 0 0.50 Novato 0.5 0 0. Se define el valor de cada jugador como el valor total del sueldo que gana hasta su retiro. Al inicio de cada temporada.mex.uhorizon.000. se toman las medidas para repararla lo que puede llevar más de una hora.5 0. se clasifican los jugador en cuatro categorías: Categoría Categoría Categoría Categoría 1 2 3 4 Estrella (una estrella gana 1 millón de dólares al año.30 0.00 $100.00 $400. Se encuentra que está trabajando o descompuesta.2 0.50 0. independientemente de cuanto tiempo haya pasado. el propietario debe evaluar a los jugadores.35 Problema 7 Un equipo de béisbol consta de 2 estrellas.50 0.30 Retirado 0 0 0 1 Determine el valor de los jugadores del equipo. 13 novatos y 10 sustitutos. la probabilidad de que siga descompuesta la siguiente hora es 0.05 0.00 $0.20 0. Siempre que la computadora este descompuesta. las probabilidades de que pase a ser estrella. Cadenas de Markov Hoja 5/6 Problema No. Solución Próxima Temporada Esta Temporada Estrella Estrella Novato Reserva Retirado Novato Reserva Retirado Estrella $1.1 0. Si está descompuesta.3 1 P= I A O N Novato Reserva Retirado www. Si está trabajando la probabilidad de que siga trabajando la siguiente hora es 0.9 D 0.9. Miguel Jiménez C.000. 000 + 1. Miguel Jiménez C.31x$400.5 0.000)+$1.15 0.76 Estrella = 3.000)=$4.00 1.201.396.6 0.5 3.8x$1.000=$3.31 $4.2 1.6x$1.96($100.000+1.uhorizon.05 Estrella Estrella Novato Reserva 3.mex.000 + 2.5 - 0.15 0.2 0.5($400.000.000.396.15 -0.15 -0.00 $1.000 (I-N) = -1 Novato Reserva R/ Estrella Novato Reserva www.000.201.00 $3.000 + 3.89 2.76x$100.2x$1.600.600.000. Cadenas de Markov Hoja 6/6 0.2 0.53 1.5 0.5 I-N= 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0.00 Novato=1.2 0.000 + 2.000.000 Reserva=0.53x$400.3 0.5 -0.000=$1.000.3 0.05 = -0.8 2.Investigación de Operaciones II Seleccionado y publicado por Ing.2 -0.5 -0.89x$100.tl .96 1.