MAPA - MÉDIO - Raciocínio Lógico x

APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos PúblicosRaciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 1 RACIOCÍNIO LÓGICO Princípio da Regressão ou Reversão. Lógica Dedutiva, Argumentativa e Quantitativa. Lógica matemática quali- tativa, Sequências Lógicas envolvendo Números, Le- tras e Figuras. Geometria básica. Álgebra básica e sistemas lineares. Calendários. Numeração. Razões Especiais. Análise Combinatória e Probabilidade. Progressões Aritmética e Geométrica. Conjuntos; as relações de pertinência, inclusão e igual- dade; operações entre conjuntos, união, interseção e diferença. Comparações. Princípio da regressão Este princípio tem como objetivo resolver determinados pro- blemas de forma não algébrica, mas utilizando uma técnica baseada em raciocínio lógico, conhecida comoprincípio da regressão ou reversão. Esta técnica consiste em determinar um valor inicial pedido pelo problema a partir de um valor final dado. Utiliza-se para resolução dos problemas as operações matemáticas básicas com suas respectivas reversões. Fundamento da regressão Utilizando as quatro operações fundamentais, podemos obter uma construção quantitativa lógica fundamentada no princípio da regressão, cujo objetivo é obter o valor inicial do problema proposto através da operação inversa. Veja o exemplo abaixo: 1 – Uma pessoa gasta metade do seu capital mais R$ 10,00, ficando sem capital algum. Quanto ela possuía inicialmente? Solução: No problema acima, a pessoa gastou em dinheiro (– R$ 10,00), ou seja, houve uma perda. Pelo princípio da regres- são, iremos supor que ele recuperará o dinheiro, para que possamos chegar à situação inicial (+ R$ 10,00). Posterior- mente, ele gasta metade do seu capital (÷2). Para voltarmos a situação inicial devemos multiplicar por 2 o valor em dinhei- ro que ele possuía. Logo, 2 × R $10,00 = R$ 20,00.Aprimore Método dedutivo é a modalidade de raciocínio lógico que faz uso da dedução para obter uma conclusão a respeito de determinada(s)premissa(s). A indução normalmente se contrasta à dedução. Essencialmente, os raciocínios dedutivos se caracterizam por apresentar conclusões que devem, necessariamente, ser verdadeiras caso todas as premissas sejam verdadeiras se o raciocínio respeitar uma forma lógica válida. Partindo de princípios reconhecidos como verdadeiros (premissa maior), o pesquisador estabelece relações com uma segunda proposição(premissa menor) para, a partir de raciocínio lógico, chegar à verdade daquilo que propõe (con- clusão). ARGUMENTO Um argumento pode ser definido como uma afirmação acompanhada de justificativa (argumento retórico) ou como uma justaposição de duas afirmações opostas, argumento e contra-argumento (argumento dialógico)1 . Na lógica, um argumento é um conjunto de uma ou mais sentenças declarativas, também conhecidas como proposições, ou ainda, premissas, acompanhadas de uma outra frase declarativa conhecida como conclusão. Um argumento dedutivo afirma que a verdade de uma conclusão é uma consequência lógica das premissas que a antecedem. Um argumento indutivo afirma que a verdade da conclusão é apenas apoiada pelas premissas. Toda premissa, assim como toda conclusão, pode ser apenas verdadeira ou falsa; nunca pode ser ambígua. Em funçao disso, as frases que apresentam um argumento são referidas como sendo verdadeiras ou falsas, e em consequência, são válidas ou são inválidas. Alguns autores referem-se à conclusão das premissas usando os termos declaração, frase, afirmação ou proposição. A razão para a preocupação com a verdade é ontológica quanto ao significado dos termos (proposições) em particular. Seja qual termo for utilizado, toda premissa, bem como a conclusão, deve ser capaz de ser apenas verdadeira ou falsa e nada mais: elas devem ser truthbearers ("portadores de verdade", em português). Argumentos formais e argumentos informais Argumentos informais são estudados na lógica informal. São apresentados em linguagem comum e se destinam a ser o nosso discurso diário. Argumentos Formais são estudados na lógica formal (historicamente chamada lógica simbólica, mais comumente referida como lógica matemática) e são expressos em uma linguagem formal. Lógica informal pode chamar a atenção para o estudo daargumentação, que enfatiza implicação, lógica formal e de inferência. Argumentos dedutivos O argumento dedutivo é uma forma de raciocínio que geralmente parte de uma verdade universal e chega a uma verdade menos universal ou singular. Esta forma de raciocínio é válida quando suas premissas, sendo verdadeiras, fornecem provas evidentes para sua conclusão. Sua característica principal é a necessidade, uma vez que nós admitimos como verdadeira as premissas teremos que admitir a conclusão como APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 2 verdadeira, pois a conclusão decorre necessariamente das premissas. Dessa forma, o argumento deve ser considerado válido. “Um raciocínio dedutivo é válido quando suas premissas, se verdadeiras, fornecem provas convincentes para sua conclusão, isto é, quando as premissas e a conclusão estão de tal modo relacionados que é absolutamente impossível as premissas serem verdadeiras se a conclusão tampouco for verdadeira” (COPI, 1978, p.35). Geralmente os argumentos dedutivos são estéreis, uma vez que eles não apresentam nenhum conhecimento novo. Como dissemos, a conclusão já está contida nas premissas. A conclusão nunca vai além das premissas. Mesmo que a ciência não faça tanto uso da dedução em suas descobertas, exceto a matemática, ela continua sendo o modelo de rigor dentro da lógica. Note que em todos os argumentos dedutivos a conclusão já está contida nas premissas. 1) Só há movimento no carro se houver combustível. O carro está em movimento. Logo, há combustível no carro. 2) Tudo que respira é um ser vivo. A planta respira. Logo, a planta é um ser vivo. 3) O som não se propaga no vácuo. Na lua há vácuo. Logo, não há som na lua. 4) Só há fogo se houver oxigênio Na lua não há oxigênio. Logo, na lua não pode haver fogo. 5) P=Q Q=R Logo, P=R Validade Argumentos tanto podem ser válidos ou inválidos. Se um argumento é válido, e a sua premissa é verdadeira, a conclusão deve ser verdadeira: um argumento válido não pode ter premissa verdadeira e uma conclusão falsa. A validade de um argumento depende, porém, da real veracidade ou falsidade das suas premissas e e de sua conclusões. No entanto, apenas o argumento possui uma forma lógica. A validade de um argumento não é uma garantia da verdade da sua conclusão. Um argumento válido pode ter premissas falsas e uma conclusão falsa. A Lógica visa descobrir as formas válidas, ou seja, as formas que fazer argumentos válidos. Uma Forma de Argumento é válida se e somente se todos os seus argumentos são válidos. Uma vez que a validade de um argumento depende da sua forma, um argumento pode ser demonstrado como inválido, mostrando que a sua forma é inválida, e isso pode ser feito, dando um outro argumento da mesma forma que tenha premissas verdadeiras mas uma falsa conclusão. Na lógica informal este argumento é chamado de contador. A forma de argumento pode ser demonstrada através da utilização de símbolos. Para cada forma de argumento, existe um forma de declaração correspondente, chamado deCorrespondente Condicional. Uma forma de argumento é válida Se e somente se o seu correspondente condicional é uma verdade lógica. A declaração é uma forma lógica de verdade, se é verdade sob todas as interpretações. Uma forma de declaração pode ser mostrada como sendo uma lógica de verdade por um ou outro argumento, que mostra se tratar de uma tautologia por meio de uma prova. O correspondente condicional de um argumento válido é necessariamente uma verdade (verdadeiro em todos os mundos possíveis) e, por isso, se poderia dizer que a conclusão decorre necessariamente das premissas, ou resulta de uma necessidade lógica. A conclusão de um argumento válido não precisa ser verdadeira, pois depende de saber se suas premissas são verdadeiras.Tal conclusão não precisa ser uma verdade: se fosse assim, seria independente das premissas. Exemplo: Todos os gregos são humanos e todos os seres humanos são mortais, portanto, todos os gregos são mortais. Argumento válido, pois se as premissas são verdadeiras a conclusão deve ser verdadeira. Exemplos Alguns gregos são lógicos e alguns lógicos são chatos, por isso, alguns gregos são chatos. Este argumento é inválido porque todos os chatos lógicos poderiam ser romanos! Ou estamos todos condenados ou todos nós somos salvos, não somos todos salvos por isso estamos todos condenados. Argumento válido,pois as premissas implicam a conclusão. (Lembre-se que não significa que a conclusão tem de ser verdadeira, apenas se as premissas são verdadeiras e, talvez, eles não são, talvez algumas pessoas são salvas e algumas pessoas são condenadas, e talvez alguns nem salvos nem condenados!) Argumentos podem ser invalidados por uma variedade de razões. Existem padrões bem estabelecidos de raciocínio que tornam argumentos que os seguem inválidos; esses padrões são conhecidos como falácias lógicas. Solidez de um argumento Um argumento sólido é um argumento válido com as premissas verdadeiras. Um argumento sólido pode ser válido e, tendo ambas as premissas verdadeiras, deve seguir uma conclusão verdadeira. Argumentos indutivos Lógica indutiva é o processo de raciocínio em que as premissas de um argumento se baseiam na conclusão, mas não implicam nela. Indução é uma forma de raciocínio que faz generalizações baseadas em casos individuais. Indução matemática não deve ser incorretamente interpretada como uma forma de raciocínio indutivo, que é considerado não-rigoroso em matemática. Apesar do nome, a indução matemática é uma forma de raciocínio dedutivo e é totalmente rigorosa. Nos argumentos indutivos as premissas dão alguma evidência para a conclusão. Um bom argumento indutivo terá uma conclusão altamente provável. Neste caso, é bem provável que a conclusão realizar-se-á ou será válida. Diz-se então que as premissas poderão ser falsas ou verdadeiras e as conclusões poderão ser válidas ou não válidas. Segundo John Stuart Mill, existem algumas regras que se aplicam aos argumentos indutivos, que são: O método da concordância, o método da diferença, e o método das variações concomitantes. Argumentação convincente Um argumento é convincente se e somente se a veracidade das premissas tornar verdade a provável conclusão (isto é, o argumento é forte), e as premissas do argumento são, de fato, verdadeiras. Exemplo: Nada Saberei se nada tentar. Falácias e não argumentos Uma falácia é um argumento inválido que parece válido, ou um argumento válido com premissas "disfarçadas". Em primeiro Lugar, as conclusões devem ser declarações, capazes de serem verdadeiras ou falsas. Em segundo lugar não é necessário afirmar que a conclusão resulta das premissas. As palavras, “por isso”, “porque”, “normalmente” e “consequentemente” separam as premissas a partir da conclusão de um argumento, mas isto não é necessariamente assim. Exemplo: “Sócrates é um homem e todos os homens são mortais, logo, Sócrates é mortal”. Isso é claramente um argumento, já que é evidente que a afirmação de que Sócrates é mortal decorre das declarações anteriores. No entanto: “eu estava com sede e, por isso, eu bebi” não é um argumento, apesar de sua aparência. Ele não está reivindicando que eu bebi por causa da sede, eu poderia ter bebido por algum outro motivo. Argumentos elípticos Muitas vezes um argumento não é válido, porque existe uma premissa que necessita de algo mais para torná-lo válido. Alguns escritores, muitas vezes, deixam de fora uma premissa estritamente necessária no seu conjunto de premissas se ela é amplamente aceita e o escritor não pretende indicar o óbvio. Exemplo: Ferro é um metal, por isso, ele irá expandir quando aquecido. (premissa descartada: todos os metais se expandem quando aquecidos). Por outro lado, um argumento APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 3 aparentemente válido pode ser encontrado pela falta de uma premissa - um "pressuposto oculto" - o que se descartou pode mostrar uma falha no raciocínio. Exemplo: Uma testemunha fundamentada diz “Ninguém saiu pela porta da frente, exceto o pastor, por isso, o assassino deve ter saído pela porta dos fundos”. (hipótese que o pastor não era o assassino). Retórica, dialética e diálogos argumentativos Considerando que os argumentos são formais (como se encontram em um livro ou em um artigo de investigação), os diálogos argumentativos são dinâmicos. Servem como um registro publicado de justificação para uma afirmação. Argumentos podem também ser interativos tendo como interlocutor a relação simétrica. As premissas são discutidas, bem como a validade das inferências intermediárias. A retórica é a técnica de convencer o interlocutor através da oratória, ou outros meios de comunicação. Classicamente, o discurso no qual se aplica a retórica é verbal, mas há também — e com muita relevância — o discurso escrito e o discurso visual. Dialética significa controvérsia, ou seja, a troca de argumentos e contra-argumentos defendendo proposições. O resultado do exercício poderá não ser pura e simplesmente arefutação de um dos tópicos relevantes do ponto de vista, mas uma síntese ou combinação das afirmações opostas ou, pelo menos, uma transformação qualitativa na direção do diálogo. Argumentos em várias disciplinas As declarações são apresentadas como argumentos em todas as disciplinas e em todas as esferas da vida. A Lógica está preocupada com o que consititui um argumento e quais são as formas de argumentos válidos em todas as interpretações e, portanto, em todas as disciplinas. Não existem diferentes formas válidas de argumento, em disciplinas diferentes. Argumentos matemáticos A base de verdade matemática tem sido objeto de um longo debate. Frege procurou demonstrar, em particular, que as verdades aritméticas podem ser obtidas a partir de lógicas puramente axiomáticas e, por conseguinte, são, no final, lógicas de verdades. Se um argumento pode ser expresso sob a forma de frases em Lógica Simbólica, então ele pode ser testado através da aplicação de provas. Este tem sido realizado usando Axioma de Peano. Seja como for, um argumento em Matemática, como em qualquer outra disciplina, pode ser considerado válido apenas no caso de poder ser demonstrado que é de uma forma tal que não possa ter verdadeiras premissas e uma falsa conclusão. Argumentos políticos Um argumento político é um exemplo de uma argumentação lógica aplicada a política. Argumentos Políticos são utilizados por acadêmicos, meios de comunicação social, candidatos a cargos políticos e funcionários públicos. Argumentos políticos também são utilizados por cidadãos comuns em interações de comentar e compreender sobre os acontecimentos políticos. Raciocínio lógico-quantitativo é a conta matemática que é possível fazer de cabeça geralmente são problemas matemáticos básicos que a gente resolve só de olhar. Conceito de raciocínio lógico Raciocínio Lógico Ao procurarmos a solução de um problema quando dispomos de da- dos como um ponto de partida e temos um objetivo a estimularmos, mas não sabemos como chegar a esse objetivo temos um problema. Se sou- béssemos não haveria problema. É necessário, portanto, que comece por explorar as possibilidades, por experimentar hipóteses, voltar atrás num caminho e tentar outro. É preciso buscar idéias que se conformem à natureza do problema, rejeitar aqueles que não se ajustam a estrutura total da questão e organizar-se. Mesmo assim, é impossível ter certeza de que escolheu o melhor ca- minho. O pensamento tende a ir e vir quando se trata de resolver proble- mas difíceis. Mas se depois de examinarmos os dados chegamos a uma conclusão que aceitamos como certa concluímos que estivemos raciocinando. Se a conclusão decorre dos dados, o raciocínio é dito lógico. Nova teoria científica A ciência é bàsicamente a combinação do raciocínio lógico bom com o conhecimento prático bom de fenômenos naturais reais. Todos os seres humanos fazem algum raciocínio lógico e têm algum conhecimento prático de alguns fenômenos naturais reais, mas na maior parte têm que combinar ciência com sobrevivência. Alguns povos puderam devotar muito de seu tempo ao raciocínio e/ou a ganhar o conhecimento melhor da natureza e com isso nos legaram contribuições pequenas ou grandes ao desenvolvi- mento da ciência. http://wwwracimate.blogspot.com.br/ Em lógica, pode-se distinguir três tipos de raciocínio lógico: dedução, indução e abdução. Dada uma premissa, uma conclusão, e u- ma regra segundo a qual apremissa implica a conclusão, eles podem ser explicados da seguinte forma: Dedução corresponde a determinar a conclusão. Utiliza-se da regra e sua premissa para chegar a uma conclusão. Exemplo: "Quando chove, a grama fica molhada. Choveu hoje. Portanto, a grama está molhada." É comum associar os matemáticos com este tipo de raciocínio. Indução é determinar a regra. É aprender a regra a partir de diversos exemplos de como a conclusão segue da premissa. Exemplo: "A grama ficou molhada todas as vezes em que choveu. Então, se chover amanhã, a grama ficará molhada." É comum associar os cientistas com este estilo de raciocínio. Abdução significa determinar a premissa. Usa-se a conclusão e a regra para defender que a premissa poderia explicar a conclusão. Exem- plo: "Quando chove, a grama fica molhada. A grama está molhada, então pode ter chovido." Associa-se este tipo de raciocínio aos diagnosticistas e detetives. Lógica Matemática Imagine que você foi convocado a participar de um júri em um processo criminal e o advogado de defesa apresenta os seguintes argumentos: “Se meu cliente fosse culpado, a faca estaria na gaveta. Ou a faca não estava na gaveta ou José da Silva viu a faca. Se a faca não estava lá no dia 10 de outubro, segue que José da Silva não viu a faca. Além disso, se a faca estava lá no dia 10 de outubro, então a faca estava na gaveta e o martelo estava no celeiro. Mas todos sabemos que o martelo não estava no celeiro. Portanto, senhoras e senhores do júri, meu cliente é inocente. Pergunta: O argumento do advogado esta correto? Como você deveria votar o destino do réu? E mais fácil responder a essa pergunta reescrevendo o argumento com a notação de lógica formal, que retira todo o palavrório que causa confusão e permite que nos concentre- mos na argumentação subjacente. A lógica formal fornece as bases para o método de pensar organizado e cuidadoso que caracteriza qualquer atividade racional. "Lógica: Coerência de raciocínio, de ideias. Modo de ra- ciocinar peculiar a alguém, ou a um grupo. Sequencia coe- rente, regular e necessária de acontecimentos, de coisas." (dicionário Aurélio), portanto podemos dizer que a Lógica e a ciência do raciocínio. 1. PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS EM LÓGICA MATE- MÁTICA 1.1 CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES Partindo-se do contexto histórico, a lógica enquanto ciên- cia do raciocínio pode ser subdividida em duas grandes cor- rentes, quais sejam: Lógica Clássica e Lógica Formal. Enquanto Lógica Clássica esta fundamentada em proces- sos não matemáticos, processos não analíticos, sendo que suas verdades advêm de entidades filosóficas. Pode-se dizer que a Lógica Clássica tem um caráter intuitivo. APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 4 Enquanto Lógica Formal, a qual encerra dentre outras tendências a Lógica Matemática, esta baseada em métodos e técnicas matemáticas. A Lógica matemática, ou a Lógica Simbólica ou Lógica Algorítmica é caracterizada pela axiomatização, pelo simbo- lismo e pelo formalismo. Tem seu desenvolvimento na ins- tância dos símbolos e passam a analisar o raciocínio segun- do operações e ralações de cálculo específico. 1.2 CÁLCULO PROPOSICIONAL E CÁLCULO DOS PREDICADOS: A Lógica Matemática é fundamentada pelo cálculo propo- sicional (ou cálculo dos enunciados, ou cálculo sentencial) e pelo cálculo dos predicados. No cálculo sentencial têm-se as entidades mínimas de análise (proposições ou enunciados) como elementos geradores. No cálculo dos predicados os elementos de análise correspondem às chamadas funções proposicionais. No primeiro caso não se analisa a relação íntima entre o nome e o predicado da estrutura em análise. Sendo oposto no segundo caso. Os símbolos têm significado e usos específicos no cálculo proposicional. 1.2.1 PROPOSIÇÃO, DECLARAÇÃO É todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo para a qual se associa apenas um dos dois atributos verdadeiro ou falso. São exemplos de proposições: Quatro e maior que cinco. Ana e inteligente. São Paulo e uma cidade da região sudeste. Existe vida humana em Marte. A lua é um satélite da Terra Recife é capital de Pernambuco Exemplos de não proposições: Como vai você? Como isso pode acontecer! 1.3 PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS: A Lógica Matemática constitui um sistema científico regido por três leis principais, consideradas princípios fundamentais: Princípio da não-contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Princípio do terceiro excluído: toda preposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro. Neste sistema de raciocínio tem-se estabelecido tão so- mente dois “estados de verdade”, isto é, a “verdade” e a “não verdade”. Portanto a Lógica Matemática é um sistema biva- lente ou dicotômico, onde os dois estados de verdade servem para caracterizar todas as situações possíveis sendo mutua- mente excludentes (isto é, a ocorrência da primeira exclui a existência da segunda). Portanto de uma forma geral pode-se dizer que qualquer entidade (proposição ou enunciado) em Lógica Matemática apresenta apenas dois “estados de verdade” ou será corres- pondente a “verdade” ou correspondente a “falsidade” não admitindo quaisquer outras hipóteses e nem tão pouco a ocorrência dos dois estados de verdade simultaneamente. 2. PROPOSIÇÕES OU ENUNCIADOS - FUNDAMENTA- ÇÃO DO CÁLCULO PROPOSICIONAL 2.1 CONSIDERAÇÕES SOBRE O SISTEMA DICOTÔ- MICO OU BIVALENTE: A Lógica Matemática constitui em termos gerais um sis- tema científico de raciocínio, que se baseia em estados biva- lentes, ou seja, é um sistema dicotômico onde a quaisquer de suas entidades pode-se predicar a “verdade” ou a “falsidade”, sendo estados mutuamente excludentes. Desta forma a partir de seus axiomas fundamentais e do sistema bivalente esta- belecido desenvolver-se-á um método analítico de raciocínio que objetiva analisar a validade do processo informal a partir das denominadas primeiras verdades, “primícias”. 2.2 DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DE PROPOSIÇÕES NO CÁLCULO PROPOSICIONAL: Na linguagem falada ou escrita quatro são os tipos fun- damentais de sentenças; quais sejam as imperativas, as exclamativas, interrogativas e as declarativas (afirmativas ou negativas); tendo em vista que em lógica matemática tem-se apenas dois estados de verdade, esta tem por objeto de análise as denominadas sentenças declarativas, afirmativas, de sentido completo e não elípticas (não ambíguas). Desta forma toda sentença declarativa, afirmativa de sen- tido completo que expressão um determinado pensamento são denominado predicados ou enunciados, as quais de acordo com o universo relacional onde se encontram é sem- pre possível predicar-se “verdade” ou a “falsidade”. São exemplos de proposições em lógica: “A filosofia é a lógica dos contrários” “Bananas solitárias são aves volares se e somente se, um logaritmo vermelho é um abacate feliz”. “Se todo homem inteligente é uma flor, então flores racio- nais são homens solitários”. No cálculo proposicional o que dever ser considerado é a forma do enunciado e não o significado que esta alcança no mundo real. Portanto os exemplos acima permitem afirmar que o nú- mero de nomes e/ou predicados que constituem as senten- ças declarativas, afirmativas de sentido completo dão origem às denominadas proposições simples ou proposições com- postas. 2.3 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES SIMPLES: Uma proposição simples ou um átomo ou ainda uma pro- posição atômica, constituem a unidade mínima de análise do cálculo sentencial e corresponde a uma estrutura tal em que não existe nenhuma outra proposição como parte integrante de si próprio. Tais estruturas serão designadas pelas letras latinas minúsculas tais como: p, q, r, s, u, v, w, p1, p2. . . ¸pn... As quais são denominadas letras proposicionais ou variá- veis enunciativas. Desta forma, pra se indicar que a letra proposicional p designa a sentença: “A Matemática é atributo da lógica”, adota-se a seguinte notação: p: A matemática é atributo da lógica. Observe que a estrutura: “A matemática não é atributo da lógica” não corresponde a uma proposição simples, pois possui como parte integrante de si outra proposição. 2.4 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO E NOTAÇÃO DE PROPOSIÇÒES COMPOSTAS: Uma proposição composta, ou uma fórmula proposicional ou uma molécula ou ainda uma proposição molecular é uma sentença declarativa, afirmativa, de sentido completo consti- tuída de pelo menos um nome ou pelo menos um predicado ou ainda negativa, isto é, são todas as sentenças que possu- em como parte integrante de si própria pelo menos uma outra proposição. APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 5 As proposições compostas serão designadas pelas letras latinas maiúsculas tais como: P, Q, R, S, U, V, W, P1, P2. . . Pn... Considere as proposições simples: p: A filosofia é arte q: A dialética é ciência. Seja, portanto, a proposição composta “A filosofia é arte embora a dialética é a ciência”. Para se indicar que a dada sentença é designada pela le- tra proposicional P, sendo constituída de p e q componentes adota-se a notação P (p, q): A filosofia é arte embora a dialé- tica é a ciência. Observe que uma fórmula proposicional pode ser constitu- ída de outras fórmulas proposicionais. Além do mais uma letra proposicional pode designar uma única proposição, quer seja simples ou composta, contudo uma dada proposição pode ser qualificada por quaisquer das letras proposicionais num dado universo. Sejam as proposições: p: A lógica condiciona a Matemática q: A dialética fundamenta o pensamento ambíguo. P (p, q): A lógica condiciona a Matemática, mas a dialéti- ca fundamenta o pensamento ambíguo. Q (p, q): A lógica condiciona a Matemática e/ou a dialéti- ca fundamenta o pensamento ambíguo. Sejam ainda proposições compostas: S (P, Q): Se a lógica condiciona a Matemática mas a dia- lética fundamente o pensamento ambíguo, então a Lógica condiciona a matemática e/ou a dialética fundamente o pen- samento ambíguo. De forma simbólica tem-se que; P (p, q): p mas q Q (p, q): p e/ou q S (P, Q):Se p mas q, então p e/ou q Observe que: S (P, Q) é análoga a S (p, q). 2.5 VERDADE E VALIDADE: (Valor lógico ou valor verdade das proposições) Partindo-se do fato de que a lógica matemática é um sis- tema científico de raciocínios, bivalentes e dicotômicos, em que existem apenas dois “estados de verdade” capazes de gerar todos os resultados possíveis, a “verdade” corresponde a afirmações do fato enquanto tal, sendo a “falsidade” a con- tradição ou a negação do fato enquanto tal. Assim a verdade ou a falsidade, corresponde respectivamente ao “verdadeiro” ou “falso”, segundo o referencial teórico que institui as deter- minadas entidades “proposições” ou “enunciados”, de um dado universo relacional. Em resumo, a verdade é a afirmação do fato e a falsidade é a negação do fato estabelecido. Dada uma proposição simples qualquer, designar, por e- xemplo, pela letra proposicional p, tem-se pelos princípios fundamentais que tal proposição será a verdade (V) ou a falsidade (F) não se admitindo outra hipótese, e, nem tão pouco a ocorrência dos dois estados simultaneamente, por- tanto, para denotar tais situações, adotar-se-á a simboliza- ção: V ( p ) = V (valor lógico de p é igual à verdade) ou V ( p ) = F . Considere uma proposição composta P, constituída das proposições simples p, q, r,...., p1,...., pn componentes. Para indicar o valor lógico ou valor verdadeiro desta fórmula pro- posicional adotar-se-á as notações: V [ P ( p, q, r,..., p1,..., pn)] = V ou V [ P ( p, q, r,..., p1,..., pn)] = F É oportuno salientar-se que a lógica matemática não cabe a obrigação de decidir se uma dada proposição é verdade ou falsidade, isto é, compete aos respectivos especialistas das correspondentes áreas de conhecimento. Contudo a lógica tem por obrigação estruturar métodos ou procedimentos de decisão que permita, num tempo finito, a decisão sobre os valores lógicos de fórmulas proposicionais constituídas de n proposições e m raciocínios (sobre o ponto de vista da anali- ticidade de tais processos). A de se observar também, que validade em lógica matemática corresponde, tão somente a avaliação de argumentos dedutivos ou de inferência de ar- gumentos, não tendo sentido associar validade ou legitimida- de a proposições ou enunciados. De forma resumida, a validade esta associada à coerên- cia ou a consistência do raciocínio analítico. 2.6 CARACTERIZAÇÃO, DEFINIÇÃO, NOTAÇÃO DE CONECTIVOS LÓGICOS: (ou conectivos proposicionais) Vejam os exemplos: “A matemática é a juventude da lógica e a lógica é a ma- turidade da matemática” “A matemática é a juventude da lógica ou a lógica é a ma- turidade da matemática” “A matemática é a juventude da lógica ou a lógica é a ma- turidade da matemática e não ambos” “Se a matemática é a juventude da lógica, então a lógica é a maturidade da matemática”. “A matemática é a juventude da lógica se, e somente se, a lógica é a maturidade da matemática”. “Não é fato que a matemática é a juventude da lógica” Designamos as proposições simples: p: A matemática é a juventude da lógica q: A lógica é a maturidade da matemática Tem-se que: P (p, q): p e q. Q (p, q): p ou q. R (p, q): p ou q, e não ambos. S (p, q): Se p, então q. W (p, q): p se, e somente se q. P1 (p): não p Observe que as fórmulas proposicionais ou proposições compostas anteriormente apresentadas foram obtidas a partir de duas proposições simples quaisquer, unidas pelo conjunto de palavras, quando utilizadas para estabelecer a conexão entre duas ou mais proposições (simples ou compostas), são denominadas conectivos lógicos ou conectivos proposicio- nais, os quais definem classes de fórmulas proposicionais específicas. Prof.a Paula Francis Benevides Símbolos ∼ ∼∼ ∼ não ∧ e APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 6 ∨ ou → se ... então ↔ ↔↔ ↔ se e somente se | tal que ⇒ ⇒⇒ ⇒ implica ⇔ ⇔⇔ ⇔ equivalente ∃ ∃∃ ∃ existe ∃ | ∃ | ∃ | ∃ | existe um e somente um ∀ ∀∀ ∀ qualquer que seja Valor lógi- co Símbolo Expressão Negação , ¬ , ~ ou ' não, é falso, não é verdade que Conjunção e, mas , também, além disso Disjunção ou Condicional se...então, implica, logo, somente se Bi- condicional ...se, e somente se...; ...é condição necessária que ... ALGUMAS NOÇÕES DE LÓGICA António Aníbal Padrão Introdução Todas as disciplinas têm um objecto de estudo. O objeto de estudo de uma disciplina é aquilo que essa disciplina es- tuda. Então, qual é o objecto de estudo da lógica? O que é que a lógica estuda? A lógica estuda e sistematiza a validade ou invalidade da argumentação. Também se diz que estuda inferências ou raciocínios. Podes considerar que argumentos, inferências e raciocínios são termos equivalentes. Muito bem, a lógica estuda argumentos. Mas qual é o in- teresse disso para a filosofia? Bem, tenho de te lembrar que a argumentação é o coração da filosofia. Em filosofia temos a liberdade de defender as nossas ideias, mas temos de sus- tentar o que defendemos com bons argumentos e, é claro, também temos de aceitar discutir os nossos argumentos. Os argumentos constituem um dos três elementos cen- trais da filosofia. Os outros dois são os problemas e as teori- as. Com efeito, ao longo dos séculos, os filósofos têm procu- rado resolver problemas, criando teorias que se apoiam em argumentos. Estás a ver por que é que o estudo dos argumentos é im- portante, isto é, por que é que a lógica é importante. É impor- tante, porque nos ajuda a distinguir os argumentos válidos dos inválidos, permite-nos compreender por que razão uns são válidos e outros não e ensina-nos a argumentar correc- tamente. E isto é fundamental para a filosofia. O que é um argumento? Um argumento é um conjunto de proposições que utiliza- mos para justificar (provar, dar razão, suportar) algo. A pro- posição que queremos justificar tem o nome de conclusão; as proposições que pretendem apoiar a conclusão ou a justifi- cam têm o nome de premissas. Supõe que queres pedir aos teus pais um aumento da "mesada". Como justificas este aumento? Recorrendo a ra- zões, não é? Dirás qualquer coisa como: Os preços no bar da escola subiram; como eu lancho no bar da escola, o lanche fica me mais caro. Portanto, preciso de um aumento da "mesada". Temos aqui um argumento, cuja conclusão é: "preciso de um aumento da 'mesada'". E como justificas esta conclusão? Com a subida dos preços no bar da escola e com o facto de lanchares no bar. Então, estas são as premissas do teu ar- gumento, são as razões que utilizas para defender a conclu- são. Este exemplo permite-nos esclarecer outro aspecto dos argumentos, que é o seguinte: embora um argumento seja um conjunto de proposições, nem todos os conjuntos de proposições são argumentos. Por exemplo, o seguinte con- junto de proposições não é um argumento: Eu lancho no bar da escola, mas o João não. A Joana come pipocas no cinema. O Rui foi ao museu. Neste caso, não temos um argumento, porque não há ne- nhuma pretensão de justificar uma proposição com base nas outras. Nem há nenhuma pretensão de apresentar um con- junto de proposições com alguma relação entre si. Há apenas uma sequência de afirmações. E um argumento é, como já vimos, um conjunto de proposições em que se pretende que uma delas seja sustentada ou justificada pelas outras — o que não acontece no exemplo anterior. Um argumento pode ter uma ou mais premissas, mas só pode ter uma conclusão. Exemplos de argumentos com uma só premissa: Exemplo 1 Premissa: Todos os portugueses são europeus. Conclusão: Logo, alguns europeus são portugueses. Exemplo 2 Premissa: O João e o José são alunos do 11.º ano. Conclusão: Logo, o João é aluno do 11.º ano. Exemplos de argumentos com duas premissas: Exemplo 1 Premissa 1: Se o João é um aluno do 11.º ano, então es- tuda filosofia. Premissa 2: O João é um aluno do 11.º ano. Conclusão: Logo, o João estuda filosofia. APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 7 Exemplo 2 Premissa 1: Se não houvesse vida para além da morte, então a vida não faria sentido. Premissa 2: Mas a vida faz sentido. Conclusão: Logo, há vida para além da morte. Exemplo 3: Premissa 1: Todos os minhotos são portugueses. Premissa 2: Todos os portugueses são europeus. Conclusão: Todos os minhotos são europeus. É claro que a maior parte das vezes os argumentos não se apresentam nesta forma. Repara, por exemplo, no argumento de Kant a favor do valor objectivo da felicida- de, tal como é apresentado por Aires Almeida et al. (2003b) no site de apoio ao manual A Arte de Pensar: "De um ponto de vista imparcial, cada pessoa é um fim em si. Mas se cada pessoa é um fim em si, a felicidade de cada pessoa tem valor de um ponto de vista imparcial e não apenas do ponto de vista de cada pessoa. Dado que cada pessoa é realmente um fim em si, podemos concluir que a felicidade tem valor de um ponto de vista imparcial." Neste argumento, a conclusão está claramente identifica- da ("podemos concluir que..."), mas nem sempre isto aconte- ce. Contudo, há certas expressões que nos ajudam a perce- ber qual é a conclusão do argumento e quais são as premis- sas. Repara, no argumento anterior, na expressão "dado que". Esta expressão é um indicador de premissa: ficamos a saber que o que se segue a esta expressão é uma premissa do argumento. Também há indicadores de conclusão: dois dos mais utilizados são "logo" e "portanto". Um indicador é um articulador do discurso, é uma palavra ou expressão que utilizamos para introduzir uma razão (uma premissa) ou uma conclusão. O quadro seguinte apresenta alguns indicadores de premissa e de conclusão: Indicadores de premis- sa Indicadores de conclu- são pois porque dado que como foi dito visto que devido a a razão é que admitindo que sabendo-se que assumindo que por isso por conseguinte implica que logo portanto então daí que segue-se que pode-se inferir que consequentemente É claro que nem sempre as premissas e a conclusão são precedidas por indicadores. Por exemplo, no argumento: O Mourinho é treinador de futebol e ganha mais de 100000 euros por mês. Portanto, há treinadores de futebol que ga- nham mais de 100000 euros por mês. A conclusão é precedida do indicador "Portanto", mas as premissas não têm nenhum indicador. Por outro lado, aqueles indicadores (palavras e expres- sões) podem aparecer em frases sem que essas frases se- jam premissas ou conclusões de argumentos. Por exemplo, se eu disser: Depois de se separar do dono, o cão nunca mais foi o mesmo. Então, um dia ele partiu e nunca mais foi visto. Admitindo que não morreu, onde estará? O que se segue à palavra "Então" não é conclusão de ne- nhum argumento, e o que segue a "Admitindo que" não é premissa, pois nem sequer tenho aqui um argumento. Por isso, embora seja útil, deves usar a informação do quadro de indicadores de premissa e de conclusão criticamente e não de forma automática. Proposições e frases Um argumento é um conjunto de proposições. Quer as premissas quer a conclusão de um argumento são proposi- ções. Mas o que é uma proposição? Uma proposição é o pensamento que uma frase declarativa exprime literalmente. Não deves confundir proposições com frases. Uma frase é uma entidade linguística, é a unidade gramatical mínima de sentido. Por exemplo, o conjunto de palavras "Braga é uma" não é uma frase. Mas o conjunto de palavras "Braga é uma cidade" é uma frase, pois já se apresenta com sentido grama- tical. Há vários tipos de frases: declarativas, interrogativas, im- perativas e exclamativas. Mas só as frases declarativas ex- primem proposições. Uma frase só exprime uma proposição quando o que ela afirma tem valor de verdade. Por exemplo, as seguintes frases não exprimem proposi- ções, porque não têm valor de verdade, isto é, não são ver- dadeiras nem falsas: 1. Que horas são? 2. Traz o livro. 3. Prometo ir contigo ao cinema. 4. Quem me dera gostar de Matemática. Mas as frases seguintes exprimem proposições, porque têm valor de verdade, isto é, são verdadeiras ou falsas, ainda que, acerca de algumas, não saibamos, neste momento, se são verdadeiras ou falsas: 1. Braga é a capital de Portugal. 2. Braga é uma cidade minhota. 3. A neve é branca. 4. Há seres extraterrestres inteligentes. A frase 1 é falsa, a 2 e a 3 são verdadeiras. E a 4? Bem, não sabemos qual é o seu valor de verdade, não sabemos se é verdadeira ou falsa, mas sabemos que tem de ser verdadei- ra ou falsa. Por isso, também exprime uma proposição. Uma proposição é uma entidade abstracta, é o pensa- mento que uma frase declarativa exprime literalmente. Ora, um mesmo pensamento pode ser expresso por diferentes frases. Por isso, a mesma proposição pode ser expressa por diferentes frases. Por exemplo, as frases "O governo demitiu o presidente da TAP" e "O presidente da TAP foi demitido pelo governo" exprimem a mesma proposição. As frases seguintes também exprimem a mesma proposição: "A neve é branca" e "Snow is white". APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 8 Ambiguidade e vagueza Para além de podermos ter a mesma proposição expres- sa por diferentes frases, também pode acontecer que a mesma frase exprima mais do que uma proposição. Neste caso dizemos que a frase é ambígua. A frase "Em cada dez minutos, um homem português pega numa mulher ao colo" é ambígua, porque exprime mais do que uma proposição: tanto pode querer dizer que existe um homem português (sempre o mesmo) que, em cada dez minutos, pega numa mulher ao colo, como pode querer dizer que, em cada dez minutos, um homem português (diferente) pega numa mulher ao colo (a sua). Por vezes, deparamo-nos com frases que não sabemos com exactidão o que significam. São as frases vagas. Uma frase vaga é uma frase que dá origem a casos de fronteira indecidíveis. Por exemplo, "O professor de Filosofia é calvo" é uma frase vaga, porque não sabemos a partir de quantos cabelos é que podemos considerar que alguém é calvo. Qui- nhentos? Cem? Dez? Outro exemplo de frase vaga é o se- guinte: "Muitos alunos tiveram negativa no teste de Filosofia". Muitos, mas quantos? Dez? Vinte? Em filosofia devemos evitar as frases vagas, pois, se não comunicarmos com exac- tidão o nosso pensamento, como é que podemos esperar que os outros nos compreendam? Validade e verdade A verdade é uma propriedade das proposições. A valida- de é uma propriedade dos argumentos. É incorrecto falar em proposições válidas. As proposições não são válidas nem inválidas. As proposições só podem ser verdadeiras ou fal- sas. Também é incorrecto dizer que os argumentos são ver- dadeiros ou que são falsos. Os argumentos não são verda- deiros nem falsos. Os argumentos dizem-se válidos ou inváli- dos. Quando é que um argumento é válido? Por agora, referirei apenas a validade dedutiva. Diz-se que um argumento dedu- tivo é válido quando é impossível que as suas premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Repara que, para um argumento ser válido, não basta que as premissas e a con- clusão sejam verdadeiras. É preciso que seja impossível que sendo as premissas verdadeiras, a conclusão seja falsa. Considera o seguinte argumento: Premissa 1: Alguns treinadores de futebol ganham mais de 100000 euros por mês. Premissa 2: O Mourinho é um treinador de futebol. Conclusão: Logo, o Mourinho ganha mais de 100000 euros por mês. Neste momento (Julho de 2004), em que o Mourinho é treinador do Chelsea e os jornais nos informam que ganha muito acima de 100000 euros por mês, este argumento tem premissas verdadeiras e conclusão verdadeira e, contudo, não é válido. Não é válido, porque não é impossível que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. Podemos perfeitamente imaginar uma circunstância em que o Mourinho ganhasse menos de 100000 euros por mês (por exemplo, o Mourinho como treinador de um clube do campeonato regio- nal de futebol, a ganhar 1000 euros por mês), e, neste caso, a conclusão já seria falsa, apesar de as premissas serem verdadeiras. Portanto, o argumento é inválido. Considera, agora, o seguinte argumento, anteriormente apresentado: Premissa: O João e o José são alunos do 11.º ano. Conclusão: Logo, o João é aluno do 11.º ano. Este argumento é válido, pois é impossível que a pre- missa seja verdadeira e a conclusão falsa. Ao contrário do argumento que envolve o Mourinho, neste não podemos imaginar nenhuma circunstância em que a premissa seja verdadeira e a conclusão falsa. Podes imaginar o caso em que o João não é aluno do 11.º ano. Bem, isto significa que a conclusão é falsa, mas a premissa também é falsa. Repara, agora, no seguinte argumento: Premissa 1: Todos os números primos são pares. Premissa 2: Nove é um número primo. Conclusão: Logo, nove é um número par. Este argumento é válido, apesar de quer as premissas quer a conclusão serem falsas. Continua a aplicar-se a noção de validade dedutiva anteriormente apresentada: é impossí- vel que as premissas sejam verdadeiras e a conclusão falsa. A validade de um argumento dedutivo depende da conexão lógica entre as premissas e a conclusão do argumento e não do valor de verdade das proposições que constituem o argu- mento. Como vês, a validade é uma propriedade diferente da verdade. A verdade é uma propriedade das proposições que constituem os argumentos (mas não dos argumentos) e a validade é uma propriedade dos argumentos (mas não das proposições). Então, repara que podemos ter: Argumentos válidos, com premissas verdadeiras e conclu- são verdadeira; Argumentos válidos, com premissas falsas e conclusão fal- sa; Argumentos válidos, com premissas falsas e conclusão verdadeira; Argumentos inválidos, com premissas verdadeiras e con- clusão verdadeira; Argumentos inválidos, com premissas verdadeiras e con- clusão falsa; Argumentos inválidos, com premissas falsas e conclusão falsa; e Argumentos inválidos, com premissas falsas e conclusão verdadeira. Mas não podemos ter: Argumentos válidos, com premissas verdadeiras e conclu- são falsa. Como podes determinar se um argumento dedutivo é vá- lido? Podes seguir esta regra: Mesmo que as premissas do argumento não sejam verda- deiras, imagina que são verdadeiras. Consegues imaginar alguma circunstância em que, considerando as premissas verdadeiras, a conclusão é falsa? Se sim, então o argumento não é válido. Se não, então o argumento é válido. Lembra-te: num argumento válido, se as premissas forem verdadeiras, a conclusão não pode ser falsa. APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 9 Argumentos sólidos e argumentos bons Em filosofia não é suficiente termos argumentos válidos, pois, como viste, podemos ter argumentos válidos com con- clusão falsa (se pelo menos uma das premissas for falsa). Em filosofia pretendemos chegar a conclusões verdadeiras. Por isso, precisamos de argumentos sólidos. Um argumento sólido é um argumento válido com premissas verdadeiras. Um argumento sólido não pode ter conclusão falsa, pois, por definição, é válido e tem premissas verdadeiras; ora, a validade exclui a possibilidade de se ter premissas verdadei- ras e conclusão falsa. O seguinte argumento é válido, mas não é sólido: Todos os minhotos são alentejanos. Todos os bracarenses são minhotos. Logo, todos os bracarenses são alenteja- nos. Este argumento não é sólido, porque a primeira premissa é falsa (os minhotos não são alentejanos). E é porque tem uma premissa falsa que a conclusão é falsa, apesar de o argumento ser válido. O seguinte argumento é sólido (é válido e tem premissas verdadeiras): Todos os minhotos são portugueses. Todos os bracarenses são minhotos. Logo, todos os bracarenses são portugue- ses. Também podemos ter argumentos sólidos deste tipo: Sócrates era grego. Logo, Sócrates era grego. (É claro que me estou a referir ao Sócrates, filósofo grego e mestre de Platão, e não ao Sócrates, candidato a secretário geral do Partido Socialista. Por isso, a premissa e a conclu- são são verdadeiras.) Este argumento é sólido, porque tem premissa verdadeira e é impossível que, sendo a premissa verdadeira, a conclu- são seja falsa. É sólido, mas não é um bom argumento, por- que a conclusão se limita a repetir a premissa. Um argumento bom (ou forte) é um argumento válido per- suasivo (persuasivo, do ponto de vista racional). Fica agora claro por que é que o argumento "Sócrates era grego; logo, Sócrates era grego", apesar de sólido, não é um bom argumento: a razão que apresentamos a favor da con- clusão não é mais plausível do que a conclusão e, por isso, o argumento não é persuasivo. Talvez recorras a argumentos deste tipo, isto é, argumen- tos que não são bons (apesar de sólidos), mais vezes do que imaginas. Com certeza, já viveste situações semelhantes a esta: — Pai, preciso de um aumento da "mesa- da". — Porquê? — Porque sim. O que temos aqui? O seguinte argumento: Preciso de um aumento da "mesada". Logo, preciso de um aumento da "mesada". Afinal, querias justificar o aumento da "mesada" (conclu- são) e não conseguiste dar nenhuma razão plausível para esse aumento. Limitaste-te a dizer "Porque sim", ou seja, "Preciso de um aumento da 'mesada', porque preciso de um aumento da 'mesada'". Como vês, trata-se de um argumento muito mau, pois com um argumento deste tipo não conse- gues persuadir ninguém. Mas não penses que só os argumentos em que a conclu- são repete a premissa é que são maus. Um argumento é mau (ou fraco) se as premissas não forem mais plausíveis do que a conclusão. É o que acontece com o seguinte argumento: Se a vida não faz sentido, então Deus não existe. Mas Deus existe. Logo, a vida faz sentido. Este argumento é válido, mas não é um bom argumento, porque as premissas não são menos discutíveis do que a conclusão. Para que um argumento seja bom (ou forte), as premissas têm de ser mais plausíveis do que a conclusão, como acon- tece no seguinte exemplo: Se não se aumentarem os níveis de exigência de estudo e de trabalho dos alunos no ensino básico, então os alunos conti- nuarão a enfrentar dificuldades quando chegarem ao ensino secundário. Ora, não se aumentaram os níveis de exigência de estudo e de trabalho dos alunos no ensino básico. Logo, os alunos continuarão a enfrentar dificuldades quando chegarem ao ensino secundário. Este argumento pode ser considerado bom (ou forte), porque, além de ser válido, tem premissas menos discutíveis do que a conclusão. As noções de lógica que acabei de apresentar são ele- mentares, é certo, mas, se as dominares, ajudar-te-ão a fazer um melhor trabalho na disciplina de Filosofia e, porventura, noutras. Proposições simples e compostas As proposições simples ou atômicas são assim caracteri- zadas por apresentarem apenas uma idéia. São indicadas pelas letras minúsculas: p, q, r, s, t... As proposições compostas ou moleculares são assim ca- racterizadas por apresentarem mais de uma proposição co- nectadas pelos conectivos lógicos. São indicadas pelas letras maiúsculas: P, Q, R, S, T... Obs: A notação Q(r, s, t), por exemplo, está indicando que a proposição composta Q é formada pelas proposições sim- ples r, s e t. Exemplo: Proposições simples: p: O número 24 é múltiplo de 3. q: Brasília é a capital do Brasil. APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 10 r: 8 + 1 = 3 . 3 s: O número 7 é ímpar t: O número 17 é primo Proposições compostas P: O número 24 é divisível por 3 e 12 é o dobro de 24. Q: A raiz quadrada de 16 é 4 e 24 é múltiplo de 3. R(s, t): O número 7 é ímpar e o número 17 é primo. Noções de Lógica Sérgio Biagi Gregório 1. CONCEITO DE LÓGICA Lógica é a ciência das leis ideais do pensamento e a arte de aplicá-los à pesquisa e à demonstração da verdade. Diz-se que a lógica é uma ciência porque constitui um sistema de conhecimentos certos, baseados em princípios universais. Formulando as leis ideais do bem pensar, a lógica se apresenta como ciência normativa, uma vez que seu obje- to não é definir o que é, mas o que deve ser, isto é, as normas do pensamento correto. A lógica é também uma arte porque, ao mesmo tempo que define os princípios universais do pensamento, estabele- ce as regras práticas para o conhecimento da verdade (1). 2. EXTENSÃO E COMPREENSÃO DOS CONCEITOS Ao examinarmos um conceito, em termos lógicos, deve- mos considerar a sua extensão e a sua compreensão. Vejamos, por exemplo, o conceito homem. A extensão desse conceito refere-se a todo o conjunto de indivíduos aos quais se possa aplicar a designação homem. A compreensão do conceito homem refere-se ao conjun- to de qualidades que um indivíduo deve possuir para ser designado pelo termo homem: animal, vertebrado, mamífero, bípede, racional. Esta última qualidade é aquela que efetivamente distingue o homem dentre os demais seres vivos (2). 3. JUÍZO E O RACIOCÍNIO Entende-se por juízo qualquer tipo de afirmação ou nega- ção entre duas idéias ou dois conceitos. Ao afirmarmos, por exemplo, que “este livro é de filosofia”, acabamos de for- mular um juízo. O enunciado verbal de um juízo é denomina- do proposição ou premissa. Raciocínio - é o processo mental que consiste em coor- denar dois ou mais juízos antecedentes, em busca de um juízo novo, denominado conclusão ou inferência. Vejamos um exemplo típico de raciocínio: 1ª) premissa - o ser humano é racional; 2ª) premissa - você é um ser humano; conclusão - logo, você é racional. O enunciado de um raciocínio através da linguagem fala- da ou escrita é chamado de argumento. Argumentar signifi- ca, portanto, expressar verbalmente um raciocínio (2). 4. SILOGISMO Silogismo é o raciocínio composto de três proposições, dispostas de tal maneira que a terceira, chamada conclusão, deriva logicamente das duas primeiras, chamadas premissas. Todo silogismo regular contém, portanto, três proposi- ções nas quais três termos são comparados, dois a dois. Exemplo: toda a virtude é louvável; ora, a caridade é uma virtude; logo, a caridade é louvável (1). 5. SOFISMA Sofisma é um raciocínio falso que se apresenta com apa- rência de verdadeiro. Todo erro provém de um raciocínio ilegítimo, portanto, de um sofisma. O erro pode derivar de duas espécies de causas: das palavras que o exprimem ou das idéias que o constitu- em. No primeiro, os sofismas de palavras ou verbais; no segundo, os sofismas de idéias ou intelectuais. Exemplo de sofisma verbal: usar mesma palavra com duplo sentido; tomar a figura pela realidade. Exemplo de sofisma intelectual: tomar por essencial o que é apenas acidental; tomar por causa um simples ante- cedente ou mera circunstância acidental (3). Lógica De Primeira Ordem A linguagem da lógica proposicional não é adequada para representar relações entre objetos. Por exemplo, se fôsse- mos usar uma linguagem proposicional para representar "João é pai de Maria e José é pai de João" usaríamos duas letras sentenciais diferentes para expressar idéias semelhan- tes (por exemplo, P para simbolizar "João é pai de Maria "e Q para simbolizar "José é pai de João" ) e não estaríamos cap- tando com esta representação o fato de que as duas frases falam sobre a mesma relação de parentesco entre João e Maria e entre José e João. Outro exemplo do limite do poder de expressão da linguagem proposicional, é sua incapacida- de de representar instâncias de um propriedade geral. Por exemplo, se quiséssemos representar em linguagem proposi- cional "Qualquer objeto é igual a si mesmo " e "3 é igual a 3", usaríamos letras sentenciais distintas para representar cada uma das frases, sem captar que a segunda frase é uma ins- tância particular da primeira. Da mesma forma, se por algum processo de dedução chegássemos à conclusão que um indivíduo arbitrário de um universo tem uma certa proprieda- de, seria razoável querermos concluir que esta propriedade vale para qualquer indivíduo do universo. Porém, usando uma linguagem proposicional para expressar "um indivíduo arbitrário de um universo tem uma certa propriedade " e "esta propriedade vale para qualquer indivíduo do universo" usarí- amos dois símbolos proposicionais distintos e não teríamos como concluir o segundo do primeiro. A linguagem de primeira ordem vai captar relações entre indivíduos de um mesmo universo de discurso e a lógica de primeira ordem vai permitir concluir particularizações de uma propriedade geral dos indivíduos de um universo de discurso, assim como derivar generalizações a partir de fatos que va- lem para um indivíduo arbitrário do universo de discurso. Para ter tal poder de expressão, a linguagem de primeira ordem vai usar um arsenal de símbolos mais sofisticado do que o da linguagem proposicional. Considere a sentença "Todo objeto é igual a si mesmo". Esta sentença fala de uma propriedade (a de ser igual a si mesmo) que vale para todos os indivíduos de um universo de discurso, sem identificar os objetos deste universo. APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 11 Considere agora a sentença "Existem números naturais que são pares". Esta sentença fala de um propriedade (a de ser par) que vale para alguns (pelo menos um dos) indivíduos do universo dos números naturais, sem, no entanto, falar no número" 0" ou "2" ou "4",etc em particular. Para expressar propriedades gerais (que valem para to- dos os indivíduos) ou existenciais (que valem para alguns indivíduos) de um universo são utilizados os quantificadores ∀ (universal) e ∃ (existencial), respectivamente. Estes quanti- ficadores virão sempre seguidos de um símbolo de variável, captando, desta forma, a idéia de estarem simbolizando as palavras "para qualquer" e "para algum". Considere as sentenças: "Sócrates é homem" "Todo aluno do departamento de Ciência da Computação estuda lógica" A primeira frase fala de uma propriedade (ser homem) de um indivíduo distinguido ("Sócrates") de um domínio de dis- curso. A segunda frase fala sobre objetos distiguidos "depar- tamento de Ciência da Computação" e "lógica". Tais objetos poderão ser representados usando os símbolos , soc para "Sócrates", cc para "departamento de Ciência da Computa- ção", lg para "lógica".Tais símbolos são chamados de símbo- los de constantes. As propriedades "ser aluno de ", "estuda" relacionam ob- jetos do universo de discurso considerado, isto é, "ser aluno de " relaciona os indivíduos de uma universidade com os seus departamentos, "estuda" relaciona os indivíduos de uma universidade com as matérias. Para representar tais relações serão usados símbolos de predicados (ou relações). Nos exemplos citados podemos usar Estuda e Aluno que são símbolos de relação binária. As relações unárias expres- sam propriedades dos indivíduos do universo (por exemplo "ser par","ser homem"). A relação "ser igual a" é tratata de forma especial, sendo representada pelo símbolo de igualda- de ≈. Desta forma podemos simbolizar as sentenças considera- das nos exemplos da seguinte forma: - "Todo mundo é igual a si mesmo " por ∀x x≈x; - "Existem números naturais que são pares" por ∃xPar(x); - "Sócrates é homem" por Homem(soc); - "Todo aluno do departamento de Ciência da Computa- ção estuda lógica" por∀x(Aluno(x,cc) →Estuda (x,lg)). Já vimos como representar objetos do domínio através de constantes.Uma outra maneira de representá-los é atravez do uso de símbolos de função. Por exemplo podemos representar os números naturais "1", "2", "3", etc através do uso de símbolo de função, diga- mos, suc, que vai gerar nomes para os números naturais "1", "2", "3", etc. a partir da constante 0, e. g., "1" vai ser denotado por suc(0), "3" vai ser denotado por suc(suc(suc(0))), etc. Seqüências de símbolos tais como suc(0) e suc(suc(suc(0))) são chamadas termos. Assim, a frase "Todo número natural diferente de zero é sucessor de um número natural" pode ser simbolizada por ∀x(¬x≈0 →∃ysuc(y)≈x). Fonte: UFRJ Lógica De Vários Valores Sistemas que vão além dessas duas distinções (verdadeiro e falso) são conhecidos como lógicas não- aristotélicas, ou lógica de vários valores (ou então lógicas polivaluadas, ou ainda polivalentes). No início do século 20, Jan Łukasiewicz investigou a extensão dos tradicionais valores verdadeiro/falso para incluir um terceiro valor, "possível". Lógicas como a lógica difusa foram então desenvolvidas com um número infinito de "graus de verdade", representados, por exemplo, por um número real entre 0 e 1. Probabilidade bayesiana pode ser interpretada como um sistema de lógica onde probabilidade é o valor verdade subjetivo. O principal objetivo será a investigação da validade de ARGUMENTOS: conjunto de enunciados dos quais um é a CONCLUSÃO e os demais PREMISSAS. Os argumentos estão tradicionalmente divididos em DEDUTIVOS e INDUTI- VOS. ARGUMENTO DEDUTIVO: é válido quando suas premis- sas, se verdadeiras, a conclusão é também verdadeira. Premissa : "Todo homem é mortal." Premissa : "João é homem." Conclusão : "João é mortal." ARGUMENTO INDUTIVO: a verdade das premissas não basta para assegurar a verdade da conclusão. Premissa : "É comum após a chuva ficar nublado." Premissa : "Está chovendo." Conclusão: "Ficará nublado." As premissas e a conclusão de um argumento, formula- das em uma linguagem estruturada, permitem que o argu- mento possa ter uma análise lógica apropriada para a verifi- cação de sua validade. Tais técnicas de análise serão trata- das no decorrer deste roteiro. OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PRO- POSICIONAL • VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minús- culas p,q,r,s,.... para indicar as proposições (fórmulas atômicas) . Exemplos: A lua é quadrada: p A neve é branca : q • CONECTIVOS LÓGICOS: As fórmulas atômicas po- dem ser combinadas entre si e, para representar tais combinações usaremos os conectivos lógicos: ∧ ∧∧ ∧: e , ∨ ∨∨ ∨: ou , → →→ → : se...então , ↔ ↔↔ ↔ : se e somente se , ∼ ∼∼ ∼: não Exemplos: • A lua é quadrada e a neve é branca. : p ∧ ∧∧ ∧ q (p e q são cha- mados conjuntos) • A lua é quadrada ou a neve é branca. : p ∨ ∨∨ ∨ q ( p e q são chamados disjuntos) • Se a lua é quadrada então a neve é branca. : p → →→ → q (p é o antecedente e q o conseqüente) • A lua é quadrada se e somente se a neve é branca. : p ↔ ↔↔ ↔ q • A lua não é quadrada. : ∼ ∼∼ ∼p • SÍMBOLOS AUXILIARES: ( ), parênteses que servem para denotar o "alcance" dos conectivos; Exemplos: • Se a lua é quadrada e a neve é branca então a lua não é quadrada.: ((p ∧ ∧∧ ∧ q) → →→ → ∼ ∼∼ ∼ p) • A lua não é quadrada se e somente se a neve é APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 12 branca.: ((∼ ∼∼ ∼ p) ↔ ↔↔ ↔q)) • DEFINIÇÃO DE FÓRMULA : 1. Toda fórmula atômica é uma fórmula. 2. Se A e B são fórmulas então (A ∨ ∨∨ ∨ B), (A ∧ ∧∧ ∧ B), (A → →→ → B), (A ↔ ↔↔ ↔ B) e (∼ ∼∼ ∼ A) também são fórmulas. 3. São fórmulas apenas as obtidas por 1. e 2. . Com o mesmo conectivo adotaremos a convenção pela direita. Exemplo: a fórmula p ∨ ∨∨ ∨ q ∧ ∧∧ ∧ ∼ ∼∼ ∼ r → →→ → p → →→ → ∼ ∼∼ ∼ q deve ser entendida como (((p ∨ ∨∨ ∨ q) ∧ ∧∧ ∧ (∼ ∼∼ ∼ r)) → →→ → ( p → →→ → (∼ ∼∼ ∼ q))) Paradoxo O frasco com auto-fluxo de Robert Boyle preenche a si próprio neste diagrama, mas máquinas de moto contínuo não existem. Um paradoxo é uma declaração aparentemente verdadeira que leva a uma contradição lógica, ou a uma situação que contradiz a intuição comum. Em termos simples, um paradoxo é "o oposto do que alguém pensa ser a verdade". A identificação de um paradoxo baseado em conceitos aparentemente simples e racionais tem, por vezes, auxiliado significativamente o progresso da ciência, filosofia e matemática. A etimologia da palavra paradoxo pode ser traçada a textos que remontam à aurora da Renascença, um período de acelerado pensamento científico na Europa e Ásia que começou por volta do ano de 1500. As primeiras formas da palavra tiveram por base a palavra latina paradoxum, mas também são encontradas em textos em grego como paradoxon (entretanto, o Latim é fortemente derivado do alfabeto grego e, além do mais, o Português é também derivado do Latim romano, com a adição das letras "J" e "U"). A palavra é composta do prefixo para-, que quer dizer "contrário a", "alterado" ou "oposto de", conjungada com o sufixo nominal doxa, que quer dizer "opinião". Compare com ortodoxia e heterodoxo. Na filosofia moral, o paradoxo tem um papel central nos debates sobre ética. Por exemplo, a admoestação ética para "amar o seu próximo" não apenas contrasta, mas está em contradição com um "próximo" armado tentando ativamente matar você: se ele é bem sucedido, você não será capaz de amá-lo. Mas atacá-lo preemptivamente ou restringi-lo não é usualmente entendido como algo amoroso. Isso pode ser considerado um dilema ético. Outro exemplo é o conflito entre a injunção contra roubar e o cuidado para com a família que depende do roubo para sobreviver. Deve ser notado que muitos paradoxos dependem de uma suposição essencial: que a linguagem (falada, visual ou matemática) modela de forma acurada a realidade que descreve. Em física quântica, muitos comportamentos paradoxais podem ser observados (o princípio da incerteza de Heisenberg, por exemplo) e alguns já foram atribuídos ocasionalmente às limitações inerentes da linguagem e dos modelos científicos. Alfred Korzybski, que fundou o estudo da Semântica Geral, resume o conceito simplesmente declarando que, "O mapa não é o território". Um exemplo comum das limitações da linguagem são algumas formas do verbo "ser". "Ser" não é definido claramente (a área de estudos filosóficos chamada ontologia ainda não produziu um significado concreto) e assim se uma declaração incluir "ser" com um elemento essencial, ela pode estar sujeita a paradoxos. Tipos de paradoxos Temas comuns em paradoxos incluem auto-referências diretas e indiretas, infinitudes, definições circulares e confusão nos níveis de raciocínio. W. V. Quine (1962) distingüe três classes de paradoxos: Os paradoxos verídicos produzem um resultado que parece absurdo embora seja demonstravelmente verdadeiro. Assim, o paradoxo do aniversário de Frederic na opereta The Pirates of Penzance estabelece o fato surpreendente de que uma pessoa pode ter mais do que N anos em seu N-ésimo aniversário. Da mesma forma, o teorema da impossibilidade de Arrow envolve o comportamento de sistemas de votação que é surpreendente mas, ainda assim, verdadeiro. Os paradoxos falsídicos estabelecem um resultado que não somente parece falso como também o é demonstravelmente – há uma falácia da demonstração pretendida. As várias provas inválidas (e.g., que 1 = 2) são exemplos clássicos, geralmente dependendo de uma divisão por zero despercebida. Outro exemplo é o paradoxo do cavalo. Um paradoxo que não pertence a nenhuma das classes acima pode ser uma antinomia, uma declaração que chega a um resultado auto-contraditório aplicando apropriadamente meios aceitáveis de raciocínio. Por exemplo, o paradoxo de Grelling-Nelson aponta problemas genuínos na nossa compreensão das idéias de verdade e descrição. Proposição Segundo Quine, toda proposição é uma frase mas nem toda frase é uma proposição; uma frase é uma proposição apenas quando admite um dos dois valores lógicos: Falso (F)ou Verdadeiro (V). Exemplos: Frases que não são proposições Pare! Quer uma xícara de café? Eu não estou bem certo se esta cor me agrada Frases que são proposições A lua é o único satélite do planeta terra (V) A cidade de Salvador é a capital do estado do Amazonas (F) O numero 712 é ímpar (F) Raiz quadrada de dois é um número irracional (V) Composição de Proposições É possível construir proposições a partir de proposições já existentes. Este processo é conhecido por Composição de Proposições. Suponha que tenhamos duas proposições, A = "Maria tem 23 anos" B = "Maria é menor" Pela legislação corrente de um país fictício, uma pessoa é considerada de menor idade caso tenha menos que 18 anos, o que faz com que a proposição B seja F, na interpretação da proposição A ser V. Vamos a alguns exemplos: "Maria não tem 23 anos" (nãoA) "Maria não é menor"(não(B)) "Maria tem 23 anos" e "Maria é menor" (A e B) "Maria tem 23 anos" ou "Maria é menor" (A ou B) "Maria não tem 23 anos" e "Maria é menor" (não(A) e B) "Maria não tem 23 anos" ou "Maria é menor" (não(A) ou B) "Maria tem 23 anos" ou "Maria não é menor" (A ou não(B)) "Maria tem 23 anos" e "Maria não é menor" (A e não(B)) Se "Maria tem 23 anos" então "Maria é menor" (A => B) Se "Maria não tem 23 anos" então "Maria é menor" (não(A) => B) "Maria não tem 23 anos" e "Maria é menor" (não(A) e B) APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 13 "Maria tem 18 anos" é equivalente a "Maria não é menor" (C <=> não(B)) Note que, para compor proposições usou-se os símbolos não (negação), e (conjunção), ou (disjunção), => (implica- ção) e, finalmente, <=> (equivalência). São os chamados conectivos lógicos. Note, também, que usou-se um símbolo para representar uma proposição: C representa a proposição Maria tem 18 anos. Assim, não(B) representa Maria não é menor, uma vez que B representa Maria é menor. Algumas Leis Fundamentais Lei do Meio Excluido Um proposição é falsa (F) ou verdadeira (V): não há meio termo. Lei da Contradição Uma proposição não pode ser, simultaneamente, V e F. Lei da Funcionalidade O valor lógico (V ou F) de uma proposição composta é unica- mente determinada pelos valo- res lógicos de suas proposições constituintes. PROPOSIÇÕES E CONECTIVOS Proposição - é todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento de sentido completo, isto é, afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados entes. Exemplo: a) a lua é um satélite da Terra; b) O sol é amarelo; c) Brasília é a capital do Brasil. Princípios Adotados como Regras Fundamentais do Pensamento, na Lógica Matemática • Princípio da não contradição - uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. • Princípio do terceiro excluído - toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro. Valores Lógicos das Proposições Chama-se valor lógico de uma proposição a verdade se a proposição é verdadeira e a falsidade se a proposição é falsa. Valor Lógico Símbolo de Designação Verdade V Falsidade F Toda proposição tem um e um só dos valores V, F (de acordo os dois princípios supracitados). Exemplo: a) o mercúrio é mais pesado que a água; valor lógico da proposição: verdade (V) b) o sol gira em torno da Terra; valor lógico da proposi- ção: falsidade (F) TIPOS DE PROPOSIÇÃO Simples ou Atômicas - é a proposição que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mes- ma. As proposições simples são geralmente designadas por letras minúsculas p, q, r, s ..., chamadas letras proposicio- nais. Observação: Pode ser usada qualquer letra do alfabeto minúsculo para representar uma proposição simples. Exemplo: p: Oscar é prudente; q: Mário é engenheiro; r: Maria é morena. Composta ou Molecular - é a proposição formada pela combinação de duas ou mais proposições. São habitualmen- te designadas por letras maiúsculas P, Q, R, S ..., também denominadas letras proposicionais. Exemplo: p : Walter é engenheiro E Pedro é estudante; q : Mauro é dedicado OU Pedro é trabalhador; r : SE Flávio é estudioso ENTÃO será aprovado. Observação: As proposições compostas são também denominadas fórmulas proposicionais ou apenas fórmulas. Quando interessa destacar que uma proposição composta P é formada pela combinação de proposições simples, escreve- se: P ( p, q, r ...); Conectivos - são palavras que se usam para formar no- vas proposições a partir de outras. Exemplo: P: 6 é par E 8 é cubo perfeito; Q: NÃO vai chover; R: SE Mauro é médico, ENTÃO sabe biologia; S: o triângulo ABC é isósceles OU equilátero; T: o triângulo ABC é equilátero SE E SOMENTE SE é e- quilátero. São conectivos usuais em lógica Matemática as palavras que estão grifadas, isto é "e", "ou", "não", "se ... então", "... se e somente se ..." VERDADES E MENTIRAS Este item trata de questões em que algumas personagens mentem e outras falam a verdade. Trata-se de descobrir qual é o fato correto a partir das afirmações que forem feitas por eles, evidentemente, sem conhecer quem fala verdade ou quem fala mentira. Também não há uma teoria a respeito. A aprendizagem das soluções de questões desse tipo depende apenas de treina- mento. Um dos métodos para resolver questões desse tipo consiste em considerar uma das afirmações verdadeira e, em segui- da, verificar se as demais são ou não consistentes com ela. Isto significa verificar se há ou não contradição nas demais afirmações. Exemplo 1 - (Fiscal Trabalho 98 ESAF) - Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Per- guntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu: Armando: "Sou inocente" Celso: "Edu é o culpado" Edu: "Tarso é o culpado" Juarez: "Armando disse a verdade" Tarso: "Celso mentiu" Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado é: a) Armando b) Celso c) Edu d) Juarez e) Tarso Vamos considerar que Armando foi quem mentiu. Neste caso ele é o culpado. Isto contradiz às palavras de Celso, pois se Armando mente, Celso teria dito uma verdade. Teríamos então dois culpados: Armando e Tarso. Portanto, Armando não mente. Passemos agora a considerar Celso o mentiroso. Isto é consistente. Pois, como já foi dito, Armando diz a ver- APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 14 dade . Edu é inocente (Celso mente). Edu diz a verdade. Juarez também disse uma verdade. Tarso também foi verda- deiro. Portanto, o culpado é Tarso. Resposta: letra (e) Exemplo 2 - (CVM 2000 ESAF) - Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Apanha- dos por um funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, ao serem interpelados: – “Não fui eu, nem o Manuel”, disse Marcos. – “Foi o Manuel ou a Maria”, disse Mário. – “Foi a Mara”, disse Manuel. – “O Mário está mentindo”, disse Mara. – “Foi a Mara ou o Marcos”, disse Maria. Sabendo-se que um e somente um dos cinco colegas mentiu, conclui-se logicamente que quem entrou sem pagar foi: a) Mário b) Marcos c) Mara d) Manuel e) Maria Façamos como no item anterior. Hipótese 1: Marcos é o mentiroso. Se Marcos é o mentiro- so, então um dos dois entrou sem pagar. Mas como Manuel deve dizer a verdade (só um mente), Mara entrou sem pagar. Assim, seriam dois a entrar sem pagar Mara e Marcos ou Mara e Manuel. Conclusão Marcos fala a verdade. Hipótese 2: Mário é o mentiroso. Nesse caso, nem Maria e nem Manuel teria entrado sem pagar. Pois quando se usa o ou, será verdade desde que um deles seja verdadeiro. Estão eliminados Marcos, Manuel e Maria, de acordo com a verda- de de Marcos. Seria então Mara pois Manuel não seria menti- roso. Mara teria dito a verdade pois, de acordo com a hipóte- se somente Mário é o mentiroso. Como Maria também não seria a mentirosa, nem Mara nem Marcos teria entrado sem pagar. Portanto: Marcos, Manuel, Mario e Maria são os que pagaram a entrada e Mara a que não pagou. Mas e se houver outra possibilidade? Devemos então tentar outras hipóteses. Hipótese 3: Manuel é o mentiroso. Como Marcos fala a verdade, não foi ele (Marcos) e nem o Manuel. Como Mário também fala a verdade, um dos dois Manuel ou Maria entrou sem pagar. Mas Marcos pagou. Então Maria entrou sem pagar. Maria também diz a verdade, Não teria pago a entra- da, Marcos ou Mara. Mas, outra vez, Marcos pagou. Então Mara não pagou a entrada. Temos duas pessoas que entraram sem pagar: Maria e Mara. Isto é falso, pois somente uma pessoa não pagou a entrada. Hipótese 4: Mara é a mentirosa. Não foi Marcos e nem Manuel, segundo a afirmação de Marcos que é verdadeiro. Como não pode ter sido o Manuel, pela fala de Mário, teria sido Maria. Mas segundo Manuel, teria sido Mara. Novamen- te dois mentirosos. Hipótese que não pode ser aceita pois teriam duas pessoas entrado sem pagar. Hipótese 5: Maria é a mentirosa. Se Maria é mentirosa, Mário não poderia estar mentido. Então Mara estaria falando mentira. Seriam então, pelo menos, duas mentirosas. Maria e Mara. A única hipótese que satisfaz as condições do problema é a de número dois, da qual se conclui que Mara é a pessoa que não pagou a entrada. Assim, a resposta é: letra (c). Exemplo 3 - (Fiscal Trabalho 98) Três amigos – Luís, Mar- cos e Nestor – são casados com Teresa, Regina e Sandra (não necessariamente nesta ordem). Perguntados sobre os nomes das respectivas esposas, os três fizeram as seguintes declarações: Nestor: "Marcos é casado com Teresa" Luís: "Nestor está mentindo, pois a esposa de Marcos é Regina" Marcos: "Nestor e Luís mentiram, pois a minha esposa é Sandra" Sabendo-se que o marido de Sandra mentiu e que o marido de Teresa disse a verdade, segue-se que as esposas de Luís, Marcos e Nestor são, respectivamente: a) Sandra, Teresa, Regina. b) Sandra, Regina, Teresa. c) Regina, Sandra, Teresa. d) Teresa, Regina, Sandra. e) Teresa, Sandra, Regina. Solução: Temos dois fatos a considerar: 1 – O marido de Teresa disse a verdade. 2 – O marido de Sandra mentiu. Todos os três fazem afirmações sobre a esposa de Marcos. Ora, somente um estará dizendo a verdade. Temos então: 1ª hipótese: Nestor fala a verdade. A esposa de Marcos é Teresa. Mas como o único a falar a verdade é Nestor, sua esposa deveria ser Tereza. Portanto, Nestor não fala a verdade. 2ª hipótese: Luís fala a verdade. A esposa dele seria a Teresa, pois o marido de Teresa fala a verdade. Marcos es- tando mentindo, a esposa de Marcos, não é Sandra e nem Teresa. É Regina. O que confirma a veracidade da afirmação de Luís. A esposa de Nestor será então Sandra. A esposa de Luís é Teresa. A esposa de Marcos é Regina. A esposa de Nestor é Sandra. Isto permite afirmar que a opção (d) está correta. Mas, vejamos se existe outra possibilidade, tentando a tercei- ra hipótese. 3ª hipótese: Marcos fala a verdade. Isto é impossível, pois, se ele estivesse falando a verdade, sua esposa seria Teresa e não Sandra. A única hipótese possível é a segunda. O que confirma a resposta. Letra (d). Exemplo 4 - (MPU 2004/ESAF) Uma empresa produz an- dróides de dois tipos: os de tipo V, que sempre dizem a ver- dade, e os de tipo M, que sempre mentem. Dr. Turing, um especialista em Inteligência Artificial, está examinando um grupo de cinco andróides – rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon –, fabricados por essa empresa, para deter- minar quantos entre os cinco são do tipo V. Ele pergunta a Alfa: “Você é do tipo M?” Alfa responde, mas Dr. Turing, distraído, não ouve a resposta. Os andróides restantes fazem, então, as seguintes declara- ções: Beta: “Alfa respondeu que sim”. Gama: “Beta está mentindo”. Delta: “Gama está mentindo”. Épsilon: “Alfa é do tipo M”. Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa, Dr. Turing pôde, então, concluir corretamente que o número de andróides do tipo V, naquele grupo, era igual a a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. Solução: Vejamos as informações: (1) Os andróides do tipo M sempre mentem. (2) Os andróides do tipo V sempre falam a verdade. Sendo feita a pergunta, “você mente”, a resposta só poderia ser uma: NÃO. Pois, o mentiroso iria negar dizendo NÃO e o verdadeiro também iria negar dizendo NÃO. Como a resposta tinha que ser NÃO e Beta disse que alfa respondeu SIM, Beta está mentindo. Como Gama disse Beta está mentindo, então Gama disse a verdade. Como Delta disse que Gama está mentindo, Delta é um mentiroso. Restam agora Alfa e Épsilon. Épsilon disse que Alfa é do tipo M. Isto é Alfa é mentiroso. Das duas uma: (1) se Épsilon fala a verdade, ele é do tipo V e APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 15 Alfa é do tipo M; (2) se Épsilon é do tipo M ele mente. Então Alfa é do tipo V. Assim, um dos dois é do tipo V. Portanto, além do andróide Gama tem mais um andróide do tipo V. São então, dois andróides do tipo V. Resposta: letra (b) Aula 8 - internet LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO 1. Introdução Desde suas origens na Grécia Antiga, especialmente de Aristóteles (384-322 a.C.) em diante, a lógica tornou-se um dos campos mais férteis do pensamento humano, particular- mente da filosofia. Em sua longa história e nas múltiplas modalidades em que se desenvolveu, sempre foi bem claro seu objetivo: fornecer subsídios para a produção de um bom raciocínio. Por raciocínio, entende-se tanto uma atividade mental quanto o produto dessa atividade. Esse, por sua vez, pode ser analisado sob muitos ângulos: o psicólogo poderá estudar o papel das emoções sobre um determinado raciocínio; o sociólogo considerará as influências do meio; o criminólogo levará em conta as circunstâncias que o favoreceram na prática de um ato criminoso etc. Apesar de todas estas pos- sibilidades, o raciocínio é estudado de modo muito especial no âmbito da lógica. Para ela, pouco importam os contextos psicológico, econômico, político, religioso, ideológico, jurídico ou de qualquer outra esfera que constituam o “ambiente do raciocínio”. Ao lógico, não interessa se o raciocínio teve esta ou aque- la motivação, se respeita ou não a moral social, se teve influ- ências das emoções ou não, se está de acordo com uma doutrina religiosa ou não, se foi produzido por uma pessoa embriagada ou sóbria. Ele considera a sua forma. Ao consi- derar a forma, ele investiga a coerência do raciocínio, as relações entre as premissas e a conclusão, em suma, sua obediência a algumas regras apropriadas ao modo como foi formulado etc. Apenas a título de ilustração, seguem-se algumas defini- ções e outras referências à lógica: “A arte que dirige o próprio ato da razão, ou seja, nos per- mite chegar com ordem, facilmente e sem erro, ao próprio ato da razão – o raciocínio” (Jacques Maritain). “A lógica é o estudo dos métodos e princípios usados para distinguir o raciocínio correto do incorreto” (Irving Copi). “A lógica investiga o pensamento não como ele é, mas como deve ser” (Edmundo D. Nascimento). “A princípio, a lógica não tem compromissos. No entanto, sua história demonstra o poder que a mesma possui quando bem dominada e dirigida a um propósito determinado, como o fizeram os sofistas, a escolástica, o pensamento científico ocidental e, mais recentemente, a informática” (Bastos; Kel- ler). 1.1. Lógica formal e Lógica material Desde Aristóteles, seu primeiro grande organizador, os es- tudos da lógica orientaram-se em duas direções principais: a da lógica formal, também chamada de “lógica menor” e a da lógica material, também conhecida como “lógica maior”. A lógica formal preocupa-se com a correção formal do pensamento. Para esse campo de estudos da lógica, o con- teúdo ou a matéria do raciocínio tem uma importância relati- va. A preocupação sempre será com a sua forma. A forma é respeitada quando se preenchem as exigências de coerência interna, mesmo que as conclusões possam ser absurdas do ponto de vista material (conteúdo). Nem sempre um raciocí- nio formalmente correto corresponde àquilo que chamamos de realidade dos fatos. No entanto, o erro não está no seu aspecto formal e, sim, na sua matéria. Por exemplo, partindo das premissas que (1) todos os brasileiros são europeus e que (2) Pedro é brasileiro, formalmente, chegar-se-á à conclusão lógica que (3) Pedro é europeu. Materialmente, este é um raciocínio falso porque a experi- ência nos diz que a premissa é falsa. No entanto, formalmente, é um raciocínio válido, porque a conclusão é adequada às premissas. É nesse sentido que se costuma dizer que o computador é falho, já que, na maioria dos casos, processaformalmente informações nele previa- mente inseridas, mas não tem a capacidade de verificar o valor empírico de tais informações. Já, a lógica material preocupa-se com a aplicação das o- perações do pensamento à realidade, de acordo com a natu- reza ou matéria do objeto em questão. Nesse caso, interessa que o raciocínio não só seja formalmente correto, mas que também respeite a matéria, ou seja, que o seu conteúdocor- responda à natureza do objeto a que se refere. Neste caso, trata-se da correspondência entrepensamento e realidade. Assim sendo, do ponto de vista lógico, costuma-se falar de dois tipos de verdade: a verdade formal e a verdade material. A verdade formal diz respeito, somente e tão-somente, à forma do discurso; já a verdade material tem a ver com a forma do discurso e as suas relações com a matéria ou o conteúdo do próprio discurso. Se houver coerência, no pri- meiro caso, e coerência e correspondência, no segundo, tem- se a verdade. Em seu conjunto, a lógica investiga as regras adequadas à produção de um raciocínio válido, por meio do qual visa-se à consecução da verdade, seja ela formal ou material. Relacio- nando a lógica com a prática, pode-se dizer que é importante que se obtenha não somente uma verdade formal, mas, tam- bém, uma verdade que corresponda à experiência. Que seja, portanto, materialmente válida. A conexão entre os princípios formais da lógica e o conteúdo de seus raciocínios pode ser denominada de “lógica informal”. Trata-se de uma lógica aplicada ao plano existencial, à vida quotidiana. 1.2. Raciocínio e Argumentação Três são as principais operações do intelecto humano: a simples apreensão, os juízos e o raciocínio. A simples apreensão consiste na captação direta (através dos sentidos, da intuição racional, da imaginação etc) de uma realidade sobre a qual forma-se uma idéia ou conceito (p. ex., de um objeto material, ideal, sobrenatural etc) que, por sua vez, recebe uma denominação (as palavras ou termos, p. ex.: “mesa”, “três” e “arcanjo”). APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 16 O juízo é ato pelo qual os conceitos ou idéias são ligadas ou separadas dando origem à emissão de um “julgamento” (falso ou verdadeiro) sobre a realidade, mediante proposições orais ou escritas. Por exemplo: “Há três arcanjos sobre a mesa da sala” O raciocínio, por fim, consiste no “arranjo” intelectual dos juízos ou proposições, ordenando adequadamente os conte- údos da consciência. No raciocínio, parte-se de premissas para se chegar a conclusões que devem ser adequadas. Procedendo dessa forma, adquirem-se conhecimentos novos e defende-se ou aprofunda-se o que já se conhece. Para tanto, a cada passo, é preciso preencher os requisitos da coerência e do rigor. Por exemplo: “Se os três arcanjos estão sobre a mesa da sala, não estão sobre a mesa da varanda” Quando os raciocínios são organizados com técnica e arte e expostos de forma tal a convencer a platéia, o leitor ou qualquer interlocutor tem-se a argumentação. Assim, a ativi- dade argumentativa envolve o interesse da persuasão. Ar- gumentar é o núcleo principal da retórica, considerada a arte de convencer mediante o discurso. Partindo do pressuposto de que as pessoas pensam aquilo que querem, de acordo com as circunstâncias da vida e as decisões pessoais (subjetividade), um argumento conseguirá atingir mais facilmente a meta da persuasão caso as idéias propostas se assentem em boas razões, capazes de mexer com as convicções daquele a quem se tenta convencer. Mui- tas vezes, julga-se que estão sendo usadas como bom argu- mento opiniões que, na verdade, não passam de preconcei- tos pessoais, de modismos, de egoísmo ou de outras formas de desconhecimento. Mesmo assim, a habilidade no argu- mentar, associada à desatenção ou à ignorância de quem ouve, acaba, muitas vezes, por lograr a persuasão. Pode-se, então, falar de dois tipos de argumentação: boa ou má, consistente/sólida ou inconsistente/frágil, lógica ou ilógica, coerente ou incoerente, válida ou não-válida, fraca ou forte etc. De qualquer modo, argumentar não implica, necessaria- mente, manter-se num plano distante da existência humana, desprezando sentimentos e motivações pessoais. Pode-se argumentar bem sem, necessariamente, descartar as emo- ções, como no caso de convencer o aluno a se esforçar nos estudos diante da perspectiva de férias mais tranqüilas. En- fim, argumentar corretamente (sem armar ciladas para o interlocutor) é apresentar boas razões para o debate, susten- tar adequadamente um diálogo, promovendo a dinamização do pensamento. Tudo isso pressupõe um clima democrático. 1.3. Inferência Lógica Cabe à lógica a tarefa de indicar os caminhos para um ra- ciocínio válido, visando à verdade. Contudo, só faz sentido falar de verdade ou falsidade quando entram em jogo asserções nas quais se declara algo, emitindo-se um juízo de realidade. Existem, então, dois tipos de frases: as assertivas e as não assertivas, que também podem ser chamadas de proposições ou juízos. Nas frases assertivas afirma-se algo, como nos exemplos: “a raiz quadrada de 9 é 3” ou “o sol brilha à noite”. Já, nas frases não assertivas, não entram em jogo o falso e o verda- deiro, e, por isso, elas não têm “valor de verdade”. É o caso das interrogações ou das frases que expressam estados emocionais difusos, valores vivenciados subjetivamente ou ordens. A frase “toque a bola”, por exemplo, não é falsa nem verdadeira, por não se tratar de uma asserção (juízo). As frases declaratórias ou assertivas podem ser combina- das de modo a levarem a conclusões conseqüentes, constitu- indo raciocínios válidos. Veja-se o exemplo: (1) Não há crime sem uma lei que o defina; (2) não há uma lei que defina matar ET’s como crime; (3) logo, não é crime matar ET’s. Ao serem ligadas estas assertivas, na mente do interlocu- tor, vão sendo criadas as condições lógicas adequadas à conclusão do raciocínio. Esse processo, que muitas vezes permite que a conclusão seja antecipada sem que ainda sejam emitidas todas as proposições do raciocínio, chamase inferência. O ponto de partida de um raciocínio (as premis- sas) deve levar a conclusões óbvias. 1.4. Termo e Conceito Para que a validade de um raciocínio seja preservada, é fundamental que se respeite uma exigência básica: as pala- vras empregadas na sua construção não podem sofrer modi- ficações de significado. Observe-se o exemplo: Os jaguares são quadrúpedes; Meu carro é um Jaguar logo, meu carro é um quadrúpede. O termo “jaguar” sofreu uma alteração de significado ao longo do raciocínio, por isso, não tem validade. Quando pensamos e comunicamos os nossos pensamen- tos aos outros, empregamos palavras tais como “animal”, “lei”, “mulher rica”, “crime”, “cadeira”, “furto” etc. Do ponto de vista da lógica, tais palavras são classificadas como termos, que são palavras acompanhadas de conceitos. Assim sendo, o termo é o signo lingüístico, falado ou escrito, referido a um conceito, que é o ato mental correspondente ao signo. Desse modo, quando se emprega, por exemplo, o termo “mulher rica”, tende-se a pensar no conjunto das mulheres às quais se aplica esse conceito, procurando apreender uma nota característica comum a todos os elementos do conjunto, de acordo com a ‘intencionalidade’ presente no ato mental. Como resultado, a expressão “mulher rica” pode ser tratada como dois termos: pode ser uma pessoa do sexo feminino cujos bens materiais ou financeiros estão acima da média ou aquela cuja trajetória existencial destaca-se pela bondade, virtude, afetividade e equilíbrio. Para que não se obstrua a coerência do raciocínio, é pre- ciso que fique bem claro, em função do contexto ou de uma manifestação de quem emite o juízo, o significado dos termos empregados no discurso. 1.5. Princípios lógicos Existem alguns princípios tidos como conditio sine qua non para que a coerência do raciocínio, em absoluto, possa ocor- rer. Podem ser entendidos como princípios que se referem tanto à realidade das coisas (plano ontológico), quanto ao pensamento (plano lógico), ou seja, se as coisas em geral devem respeitar tais princípios, assim também o pensamento deve respeitá-los. São eles: a) Princípio da identidade, pelo qual se delimita a reali- dade de um ser. Trata-se de conceituar logicamente qual é a identidade de algo a que se está fazendo referência. Uma vez conceituada uma certa coisa, seu conceito deve manter-se ao longo do raciocínio. Por exemplo, se estou falando de um APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 17 homem chamado Pedro, não posso estar me referindo a Antônio. b) Princípio da não-contradição. Se algo é aquilo que é, não pode ser outra coisa, sob o mesmo aspecto e ao mesmo tempo. Por exemplo, se o brasileiro João está doente agora, não está são, ainda que, daqui a pouco possa vir a curar-se, embora, enquanto João, ele seja brasileiro, doente ou são; c) Princípio da exclusão do terceiro termo. Entre o falso e o verdadeiro não há meio termo, ou é falso ou é verdadeiro. Ou está chovendo ou não está, não é possível um terceiro termo: está meio chovendo ou coisa parecida. A lógica clássica e a lógica matemática aceitam os três princípios como suas pedras angulares, no entanto, mais recentemente, Lukasiewicz e outros pensadores desenvolve- ram sistemas lógicos sem o princípio do terceiro excluído, admitindo valor lógico não somente ao falso e ao verdadeiro, como também ao indeterminado. 2. Argumentação e Tipos de Raciocínio Conforme vimos, a argumentação é o modo como é ex- posto um raciocínio, na tentativa de convencer alguém de alguma coisa. Quem argumenta, por sua vez, pode fazer uso de diversos tipos de raciocínio. Às vezes, são empregados raciocínios aceitáveis do ponto de vista lógico, já, em outras ocasiões, pode-se apelar para raciocínios fracos ou inválidos sob o mesmo ponto de vista. É bastante comum que raciocí- nios desse tipo sejam usados para convencer e logrem o efeito desejado, explorando a incapacidade momentânea ou persistente de quem está sendo persuadido de avaliar o valor lógico do raciocínio empregado na argumentação. Um bom raciocínio, capaz de resistir a críticas, precisa ser dotado de duas características fundamentais: ter premissas aceitáveis e ser desenvolvido conforme as normas apropria- das. Dos raciocínios mais empregados na argumentação, merecem ser citados a analogia, a indução e a dedução. Dos três, o primeiro é o menos preciso, ainda que um meio bas- tante poderoso de convencimento, sendo bastante usado pela filosofia, pelo senso comum e, particularmente, nos discursos jurídico e religioso; o segundo é amplamente em- pregado pela ciência e, também, pelo senso comum e, por fim, a dedução é tida por alguns como o único raciocínio autenticamente lógico, por isso, o verdadeiro objeto da lógica formal. A maior ou menor valorização de um ou de outro tipo de raciocínio dependerá do objeto a que se aplica, do modo como é desenvolvido ou, ainda, da perspectiva adotada na abordagem da natureza e do alcance do conhecimento. Às vezes, um determinado tipo de raciocínio não é ade- quadamente empregado. Vejam-se os seguintes exemplos: o médico alemão Ludwig Büchner (1824-1899) apresentou como argumento contra a existência da alma o fato de esta nunca ter sido encontrada nas diversas dissecações do corpo humano; o astronauta russo Gagarin (1934-1968) afirmou que Deus não existe pois “esteve lá em cima” e não o encon- trou. Nesses exemplos fica bem claro que o raciocínio induti- vo, baseado na observação empírica, não é o mais adequado para os objetos em questão, já que a alma e Deus são de ordem metafísica, não física. 2.1. Raciocínio analógico Se raciocinar é passar do desconhecido ao conhecido, é partir do que se sabe em direção àquilo que não se sabe, a analogia (aná = segundo, de acordo + lógon = razão) é um dos caminhos mais comuns para que isso aconteça. No ra- ciocínio analógico, compara-se uma situação já conhecida com uma situação desconhecida ou parcialmente conhecida, aplicando a elas as informações previamente obtidas quando da vivência direta ou indireta da situação-referência. Normalmente, aquilo que é familiar é usado como ponto de apoio na formação do conhecimento, por isso, a analogia é um dos meios mais comuns de inferência. Se, por um lado, é fonte de conhecimentos do dia-a-dia, por outro, também tem servido de inspiração para muitos gênios das ciências e das artes, como nos casos de Arquimedes na banheira (lei do empuxo), de Galileu na catedral de Pisa (lei do pêndulo) ou de Newton sob a macieira (lei da gravitação universal). No entanto, também é uma forma de raciocínio em que se come- tem muitos erros. Tal acontece porque é difícil estabelecer- lhe regras rígidas. A distância entre a genialidade e a falha grosseira é muito pequena. No caso dos raciocínios analógi- cos, não se trata propriamente de considerá-los válidos ou não-válidos, mas de verificar se são fracos ou fortes. Segun- do Copi, deles somente se exige “que tenham alguma proba- bilidade” (Introdução à lógica, p. 314). A força de uma analogia depende, basicamente, de três aspectos: a) os elementos comparados devem ser verdadeiros e im- portantes; b) o número de elementos semelhantes entre uma situa- ção e outra deve ser significativo; c) não devem existir divergências marcantes na compara- ção. No raciocínio analógico, comparam-se duas situações, ca- sos, objetos etc. semelhantes e tiram-se as conclusões ade- quadas. Na ilustração, tal como a carroça, o carro a motor é um meio de transporte que necessita de um condutor. Este, tanto num caso quanto no outro, precisa ser dotado de bom senso e de boa técnica para desempenhar adequadamente seu papel. Aplicação das regras acima a exemplos: a) Os elementos comparados devem ser verdadeiros e re- levantes, não imaginários ou insignificantes.tc "a) Os elementos comparados devem ser verdadeiros e re- levantes, não imaginários ou insignificantes." Analogia forte - Ana Maria sempre teve bom gosto ao comprar suas roupas, logo, terá bom gosto ao comprar as roupas de sua filha. Analogia fraca - João usa terno, sapato de cromo e per- fume francês e é um bom advogado; Antônio usa terno, sapato de cromo e perfume francês; lo- go, deve ser um bom advogado. b) O número de aspectos semelhantes entre uma situação e outra deve ser significativo.tc "b) O número de aspectos semelhantes entre uma situação e outra deve ser significati- vo." Analogia forte - A Terra é um planeta com atmosfera, com clima ameno e tem água; em Marte, tal como na Terra, houve atmosfera, clima ameno e água; na Terra existe vida, logo, tal como na Terra, em Marte deve ter havido algum tipo de vida. Analogia fraca - T. Edison dormia entre 3 e 4 horas por noite e foi um gênio inventor; eu dormirei durante 3 1/2 horas por noite e, por isso, também serei um gênio inventor. APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 18 c) Não devem existir divergências marcantes na compara- ção.tc "c) Não devem existir divergências marcantes na com- paração.." Analogia forte - A pescaria em rios não é proveitosa por ocasião de tormentas e tempestades; a pescaria marinha não está tendo sucesso porque troveja muito. Analogia fraca - Os operários suíços que recebem o salá- rio mínimo vivem bem; a maioria dos operários brasileiros, tal como os operários suíços, também recebe um salário míni- mo; logo, a maioria dos operários brasileiros também vive bem, como os suíços. Pode-se notar que, no caso da analogia, não basta consi- derar a forma de raciocínio, é muito importante que se avalie o seu conteúdo. Por isso, esse tipo de raciocínio não é admi- tido pela lógica formal. Se as premissas forem verdadeiras, a conclusão não o será necessariamente, mas possivelmente, isto caso cumpram-se as exigências acima. Tal ocorre porque, apesar de existir uma estrutura geral do raciocínio analógico, não existem regras claras e precisas que, uma vez observadas, levariam a uma conclusão neces- sariamente válida. O esquema básico do raciocínio analógico é: A é N, L, Y, X; B, tal como A, é N, L, Y, X; A é, também, Z logo, B, tal como A, é também Z. Se, do ponto de vista da lógica formal, o raciocínio analó- gico é precário, ele é muito importante na formulação de hipóteses científicas e de teses jurídicas ou filosóficas. Con- tudo, as hipóteses científicas oriundas de um raciocínio ana- lógico necessitam de uma avaliação posterior, mediante pro- cedimentos indutivos ou dedutivos. Observe-se o seguinte exemplo: John Holland, físico e pro- fessor de ciência da computação da Universidade de Michi- gan, lançou a hipótese (1995) de se verificar, no campo da computação, uma situação semelhante à que ocorre no da genética. Assim como na natureza espécies diferentes po- dem ser cruzadas para obter o chamado melhoramento gené- tico - um indivíduo mais adaptado ao ambiente -, na informá- tica, também o cruzamento de programas pode contribuir para montar um programa mais adequado para resolver um determinado problema. “Se quisermos obter uma rosa mais bonita e perfumada, teremos que cruzar duas espécies: uma com forte perfume e outra que seja bela” diz Holland. “Para resolver um problema, fazemos o mesmo. Pegamos um pro- grama que dê conta de uma parte do problema e cruzamos com outro programa que solucione outra parte. Entre as vá- rias soluções possíveis, selecionam-se aquelas que parecem mais adequadas. Esse processo se repete por várias gera- ções - sempre selecionando o melhor programa - até obter o descendente que mais se adapta à questão. É, portanto, semelhante ao processo de seleção natural, em que só so- brevivem os mais aptos”. (Entrevista ao JB, 19/10/95, 1º cad., p. 12). Nesse exemplo, fica bem clara a necessidade da averi- guação indutiva das conclusões extraídas desse tipo de ra- ciocínio para, só depois, serem confirmadas ou não. 2.2. Raciocínio Indutivo - do particular ao geral Ainda que alguns autores considerem a analogia como uma variação do raciocínio indutivo, esse último tem uma base mais ampla de sustentação. A indução consiste em partir de uma série de casos particulares e chegar a uma conclusão de cunho geral. Nele, está pressuposta a possibili- dade da coleta de dados ou da observação de muitos fatos e, na maioria dos casos, também da verificação experimental. Como dificilmente são investigados todos os casos possíveis, acaba-se aplicando o princípio das probabilidades. Assim sendo, as verdades do raciocínio indutivo depen- dem das probabilidades sugeridas pelo número de casos observados e pelas evidências fornecidas por estes. A enu- meração de casos deve ser realizada com rigor e a conexão entre estes deve ser feita com critérios rigorosos para que sejam indicadores da validade das generalizações contidas nas conclusões. O esquema principal do raciocínio indutivo é o seguinte: B é A e é X; C é A e também é X; D é A e também é X; E é A e também é X; logo, todos os A são X No raciocínio indutivo, da observação de muitos casos par- ticulares, chega-se a uma conclusão de cunho geral. Aplicando o modelo: A jararaca é uma cobra e não voa; A caninana é uma cobra e também não voa; A urutu é uma cobra e também não voa; A cascavel é uma cobra e também não voa; logo, as cobras não voam. Contudo, Ao sair de casa, João viu um gato preto e, logo a seguir, caiu e quebrou o braço. Maria viu o mesmo gato e, alguns minutos depois, foi assaltada. Antonio também viu o mesmo gato e, ao sair do estacionamento, bateu com o carro. Logo, ver um gato preto traz azar. Os exemplos acima sugerem, sob o ponto de vista do valor lógico, dois tipos de indução: a indução fraca e a indução forte. É forte quando não há boas probabilidades de que um caso particular discorde da generalização obtida das premis- sas: a conclusão “nenhuma cobra voa” tem grande probalida- de de ser válida. Já, no caso do “gato preto”, não parece haver sustentabilidade da conclusão, por se tratar de mera coincidência, tratando-se de uma indução fraca. Além disso, há casos em que uma simples análise das premissas é suficiente para de- tectar a sua fraqueza. Vejam-se os exemplos das conclusões que pretendem ser aplicadas ao comportamento da totalidade dos membros de um grupo ou de uma classe tendo como modelo o comporta- mento de alguns de seus componentes: 1. Adriana é mulher e dirige mal; Ana Maria é mulher e dirige mal; Mônica é mulher e dirige mal; Carla é mulher e dirige mal; logo, todas as mulheres dirigem mal. 2. Antônio Carlos é político e é corrupto; Fernando é político e é corrupto; Paulo é político e é corrupto; Estevão é político e é corrupto; logo, todos os políticos são corruptos. A avaliação da suficiência ou não dos elementos não é ta- refa simples, havendo muitos exemplos na história do conhe- APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 19 cimento indicadores dos riscos das conclusões por indução. Basta que um caso contrarie os exemplos até então colhidos para que caia por terra uma “verdade” por ela sustentada. Um exemplo famoso é o da cor dos cisnes. Antes da descoberta da Austrália, onde foram encontrados cisnes pretos, acredita- va-se que todos os cisnes fossem brancos porque todos os até então observados eram brancos. Ao ser visto o primeiro cisne preto, uma certeza de séculos caiu por terra. 2.2.1. Procedimentos indutivos Apesar das muitas críticas de que é passível o raciocínio indutivo, este é um dos recursos mais empregados pelas ciências para tirar as suas conclusões. Há dois procedimen- tos principais de desenvolvimento e aplicação desse tipo de raciocínio: o da indução por enumeração incompleta suficien- te e o da indução por enumeração completa. a. Indução por enumeração incompleta suficiente Nesse procedimento, os elementos enumerados são tidos como suficientes para serem tiradas determinadas conclu- sões. É o caso do exemplo das cobras, no qual, apesar de não poderem ser conferidos todos os elementos (cobras) em particular, os que foram enumerados são representativos do todo e suficientes para a generalização (“todas as cobras...”) b. Indução por enumeração completa Costuma-se também classificar como indutivo o raciocínio baseado na enumeração completa. Ainda que alguns a classifiquem como tautologia, ela ocor- re quando: b.a. todos os casos são verificados e contabilizados; b.b. todas as partes de um conjunto são enumeradas. Exemplos correspondentes às duas formas de indução por enumeração completa: b.a. todas as ocorrências de dengue foram investigadas e em cada uma delas foi constatada uma característica própria desse estado de morbidez: fortes dores de cabeça; obteve- se, por conseguinte, a conclusão segura de que a dor de cabeça é um dos sintomas da dengue. b.b. contam-se ou conferem-se todos as peças do jogo de xadrez: ao final da contagem, constata-se que são 32 peças. Nesses raciocínios, tem-se uma conclusão segura, poden- do-se classificá-los como formas de indução forte, mesmo que se revelem pouco criativos em termos de pesquisa cientí- fica. O raciocínio indutivo nem sempre aparece estruturado nos moldes acima citados. Às vezes, percebe-se o seu uso pela maneira como o conteúdo (a matéria) fica exposta ou orde- nada. Observem-se os exemplos: - Não parece haver grandes esperanças em se erradicar a corrupção do cenário político brasileiro. Depois da série de protestos realizados pela população, depois das provas apresentadas nas CPI’s, depois do vexa- me sofrido por alguns políticos denunciados pela imprensa, depois do escárnio popular em festividades como o carnaval e depois de tanta insistência de muitos sobre necessidade de moralizar o nosso país, a corrupção parece recrudescer, apresenta novos tentáculos, se disfarça de modos sempre novos, encontrando-se maneiras inusitadas de ludibriar a nação. - Sentia-me totalmente tranqüilo quanto ao meu amigo, pois, até então, os seus atos sempre foram pautados pelo respeito às leis e à dignidade de seus pares. Assim, enquanto alguns insinuavam a suaculpa, eu continuava seguro de sua inocência. Tanto no primeiro quanto no segundo exemplos está sen- do empregando o método indutivo porque o argumento prin- cipal está sustentado pela observação de muitos casos ou fatos particulares que, por sua vez, fundamentam a conclu- são. No primeiro caso, a constatação de que diversas tentati- vas de erradicar a corrupção mostraram-se infrutíferas con- duzem à conclusão da impossibilidade de sua superação, enquanto que, no segundo exemplo, da observação do com- portamento do amigo infere-se sua inocência. Analogia, indução e probabilidade Nos raciocínios analógico e indutivo, apesar de boas chances do contrário, há sempre a possibilidade do erro. Isso ocorre porque se está lidando com probabilidades e estas não são sinônimas de certezas. Há três tipos principais de probabilidades: a matemática, a moral e a natural. a) A probabilidade matemática é aquela na qual, partin- do-se dos casos numerados, é possível calcular, sob forma de fração, a possibilidade de algo ocorrer – na fração, o de- nominador representa os casos possíveis e o numerador o número de casos favoráveis. Por exemplo, no caso de um sorteio usando uma moeda, a probabilidade de dar cara é de 50% e a de dar coroa também é de 50%. b) A probabilidade moral é a relativa a fatos humanos destituídos de caráter matemático. É o caso da possibilidade de um comportamento criminoso ou virtuoso, de uma reação alegre ou triste etc. Exemplos: considerando seu comportamento pregresso, é provável que Pedro não tenha cometido o crime, contudo... Conhecendo-se a meiguice de Maria, é provável que ela o receba bem, mas... c) A probabilidade natural é a relativa a fenômenos natu- rais dos quais nem todas as possibilidades são conhecidas. A previsão meteorológica é um exemplo particular de probali- dade natural. A teoria do caos assenta-se na tese da imprevi- sibilidade relativa e da descrição apenas parcial de alguns eventos naturais. Por lidarem com probabilidades, a indução e a analogia são passíveis de conclusões inexatas. Assim sendo, deve-se ter um relativo cuidado com as suas conclusões. Elas expressam muito bem a necessidade hu- mana de explicar e prever os acontecimentos e as coisas, contudo, também revelam as limitações humanas no que diz respeito à construção do conhecimento. 2.3. Raciocínio dedutivo - do geral ao particular O raciocínio dedutivo, conforme a convicção de muitos es- tudiosos da lógica, é aquele no qual são superadas as defici- ências da analogia e da indução. APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 20 No raciocínio dedutivo, inversamente ao indutivo, parte-se do geral e vai-se ao particular. As inferências ocorrem a partir do progressivo avanço de uma premissa de cunho geral, para se chegar a uma conclusão tão ou menos ampla que a pre- missa. O silogismo é o melhor exemplo desse tipo de raciocí- nio: Premissa maior: Todos os homens são mamíferos. univer- sal Premissa menor: Pedro é homem. Conclusão: Logo, Pedro é mamífero. Particular No raciocínio dedutivo, de uma premissa de cunho geral podem-se tirar conclusões de cunho particular. Aristóteles refere-se à dedução como “a inferência na qual, colocadas certas coisas, outra diferente se lhe segue neces- sariamente, somente pelo fato de terem sido postas”. Uma vez posto que todos os homens são mamíferos e que Pedro é homem, há de se inferir, necessariamente, que Pedro é um mamífero. De certo modo, a conclusão já está presente nas premissas, basta observar algumas regras e inferir a conclu- são. 2.3.1. Construção do Silogismo A estrutura básica do silogismo (sýn/com + lógos/razão) consiste na determinação de uma premissa maior (ponto de partida), de uma premissa menor (termo médio) e de uma conclusão, inferida a partir da premissa menor. Em outras palavras, o silogismo sai de uma premissa maior, progride através da premissa menor e infere, necessariamente, uma conclusão adequada. Eis um exemplo de silogismo: Todos os atos que ferem a lei são puníveis Premissa Maior A concussão é um ato que fere a lei Premissa Menor Logo, a concussão é punível Conclusão O silogismo estrutura-se por premissas. No âmbito da lógi- ca, as premissas são chamadas de proposições que, por sua vez, são a expressão oral ou gráfica de frases assertivas ou juízos. O termo é uma palavra ou um conjunto de palavras que exprime um conceito. Os termos de um silogismo são necessariamente três: maior, médio e menor. O termo maior é aquele cuja extensão é maior (normalmente, é o predicado da conclusão); o termo médio é o que serve de intermediário ou de conexão entre os outros dois termos (não figura na conclusão) e o termo menor é o de menor extensão (normal- mente, é o sujeito da conclusão). No exemplo acima, punível é o termo maior, ato que fere a lei é o termo médio e concus- são é o menor. 2.3.1.1. As Regras do Silogismo Oito são as regras que fazem do silogismo um raciocínio perfeitamente lógico. As quatro primeiras dizem respeito às relações entre os termos e as demais dizem respeito às rela- ções entre as premissas. São elas: 2.3.1.1.1. Regras dos Termos 1) Qualquer silogismo possui somente três termos: maior, médio e menor. Exemplo de formulação correta: Termo Maior: Todos os gatos são mamíferos. Termo Médio: Mimi é um gato. Termo Menor: Mimi é um mamífero. Exemplo de formulação incorreta: Termo Maior: Toda gata(1) é quadrúpede. Termo Médio: Maria é uma gata(2). Termo Menor: Maria é quadrúpede. O termo “gata” tem dois significados, portanto, há quatro termos ao invés de três. 2) Os termos da conclusão nunca podem ser mais exten- sos que os termos das premissas. Exemplo de formulação correta: Termo Maior: Todas as onças são ferozes. Termo Médio: Nikita é uma onça. Termo Menor: Nikita é feroz. Exemplo de formulação incorreta: Termo Maior: Antônio e José são poetas. Termo Médio: Antônio e José são surfistas. Termo Menor: Todos os surfistas são poetas. “Antonio e José” é um termo menos extenso que “todos os surfistas”. 3) O predicado do termo médio não pode entrar na conclu- são. Exemplo de formulação correta: Termo Maior: Todos os homens podem infringir a lei. Termo Médio: Pedro é homem. Termo Menor: Pedro pode infringir a lei. Exemplo de formulação incorreta: Termo Maior: Todos os homens podem infringir a lei. Termo Médio: Pedro é homem. Termo Menor: Pedro ou é homem (?) ou pode infringir a lei. A ocorrência do termo médio “homem” na conclusão é ino- portuna. 4) O termo médio deve ser tomado ao menos uma vez em sua extensão universal. Exemplo de formulação correta: Termo Maior: Todos os homens são dotados de habilida- des. Termo Médio: Pedro é homem. Termo Menor: Pedro é dotado de habilidades. Exemplo de formulação incorreta: Termo Maior: Alguns homens são sábios. Termo Médio: Ora os ignorantes são homens Termo Menor: Logo, os ignorantes são sábios O predicado “homens” do termo médio não é universal, mas particular. 2.3.1.1.2. Regras das Premissas 5) De duas premissas negativas, nada se conclui. Exemplo de formulação incorreta: Premissa Maior: Nenhum gato é mamífero Premissa Menor: Lulu não é um gato. Conclusão: (?). 6) De duas premissas afirmativas, não se tira uma conclu- são negativa. Exemplo de formulação incorreta: Premissa Maior: Todos os bens morais devem ser deseja- dos. Premissa Menor: Ajudar ao próximo é um bem moral. Conclusão: Ajudar ao próximo não (?) deve ser desejado. 7) A conclusão segue sempre a premissa mais fraca. A premissa mais fraca é sempre a de caráter negativo. Exemplo de formulação incorreta: Premissa Maior: As aves são animais que voam. Premissa Menor: Alguns animais não são aves. Conclusão: Alguns animais não voam. Exemplo de formulação incorreta: Premissa Maior: As aves são animais que voam. Premissa Menor: Alguns animais não são aves. Conclusão: Alguns animais voam. 8) De duas premissas particulares nada se conclui. Exemplo de formulação incorreta: Premissa Maior: Mimi é um gato. Premissa Menor: Um gato foi covarde. Conclusão: (?) APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 21 http://www.guiadoconcursopublico.com.br/apostilas/24_12 0.pdf QUESTÕES RACIOCÍNIO LÓGICO 1) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) De seu salário de R$ 408,00 você gastou 2/6 com alimentação, 1/6 com a far- mácia e 1/6 com material escolar dos filhos. Nesse mês so- braram __________ para as demais despesas. a) R$ 166,00 b) R$ 146,00 c) R$ 156,00 d) R$ 136,00 2) Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo. Sabe-se que o crime foi efetivamente cometido por um ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se, ainda, que: A) se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada; B) ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada, mas não os dois; C) o mordomo não é inocente. Logo: a) o cozinheiro e o mordomo são os culpados b) somente o cozinheiro é inocente c) somente a governanta é culpada d) somente o mordomo é culpado 3) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Um professor de lógica encontra-se em viajem em um país distante, habitado pelos verdamanos e pelos mentimanos. O que os distingue é que os verdamanos sempre dizem a verdade, enquanto os mentimanos sempre mentem. Certo dia, o professor depara- se com um grupo de cinco habitantes locais. Chamemo-los de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon. O professor sabe que um e apenas um no grupo é verdamano, mas não sabe qual deles o é. Pergunta, então, a cada um do grupo quem entre eles é verdamano e obtém as seguintes respostas: Alfa: "Beta é mentimano" Beta: "Gama é mentimano" Gama: "Delta é verdamano" Delta: "Épsilon é verdamano" Épsilon, afônico, fala tão baixo que o professor não consegue ouvir sua resposta. Mesmo assim, o professor de lógica con- clui corretamente que o verdamano é: a) Delta b) Alfa c) Gama d) Beta 4) Três amigos têm o hábito de almoçar em um certo restau- rante no período de segunda à sexta-feira e, em cada um destes dias, pelo menos um deles almoça nesse local. Con- sultados sobre tal hábito, eles fizeram as seguintes afirma- ções: - Antônio: "Não é verdade que vou às terças, quartas ou quintas-feiras." - Bento: "Não é verdade que vou às quartas ou sextas-feiras." - Carlos: "Não é verdade que vou às segundas ou terças- feiras." Se somente um deles está mentindo, então o dia da semana em que os três costumam almoçar nesse restaurante é: a) sexta-feira. b) quinta-feira. c) quarta-feira. d) terça-feira. 5) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Há cinco objetos alinhados numa estante: um violino, um grampeador, um vaso, um relógio e um tinteiro. Conhecemos as seguintes informações quanto à ordem dos objetos: - O grampeador está entre o tinteiro e o relógio. - O violino não é o primeiro objeto e o relógio não é o último. - O vaso está separado do relógio por dois outros objetos. Qual é a posição do violino? a) Segunda posição. b) Terceira posição. c) Quarta posição. d) Quinta posição. 6) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. 7) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Considere ver- dadeira a declaração: “Se x é par, então y é ímpar”. Com base na declaração, é correto concluir que, se: a) x é ímpar, então y é par. b) x é ímpar, então y é ímpar. c) y é ímpar, então x é par. d) y é par, então x é ímpar. 8) Se de um ponto P qualquer forem traçados dois segmen- tos tangentes a uma circunferência, então as medidas dos segmentos determinados pelo ponto P e os respectivos pon- tos de tangência serão iguais. Sabe-se que o raio de um círculo inscrito em um triângulo retângulo mede 1 cm. Se a hipotenusa desse triângulo for igual a 20 cm, então seu perí- metro será igual a: a) 40 cm b) 35 cm c) 23 cm d) 42 cm 9) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Para cada pes- soa x, sejam f(x) o pai de x e g(x) a mãe de x. A esse respei- to, assinale a afirmativa FALSA. a) f[f(x)] = avô paterno de x b) g[g(x)] = avó materna de x c) f[g(x)] = avô materno de x d) f[g(x)] = g[f(x)] 10) Numa avenida reta há cinco pontos comerciais, todos do mesmo lado da rua. A farmácia fica entre a padaria e o res- taurante, a padaria fica entre o supermercado e a lotérica e o supermercado fica entre o restaurante e a farmácia. Nessas condições, qual das proposições abaixo é verdadeira? a) O supermercado fica entre a padaria e a lotérica. b) A lotérica fica entre a padaria e o supermercado. c) Para ir do supermercado à lotérica, passa-se em frente ao restaurante. d) A farmácia fica entre o supermercado e a padaria. 11) André é inocente ou Beto é inocente. Se Beto é inocente, então Caio é culpado. Caio é inocente se e somente se Dênis é culpado. Ora, Dênis é culpado. Logo: a) Caio e Beto são inocentes b) André e Caio são inocentes c) André e Beto são inocentes d) Caio e Dênis são culpados 12) Qual das alternativas a seguir melhor representa a afir- mação: “Para todo fato é necessário um ato gerador”? a) É possível que algum fato não tenha ato gerador. b) Não é possível que algum fato não tenha ato gerador. c) É necessário que algum fato não tenha ato gerador. d) Não é necessário que todo fato tenha um ato gerador. 13) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Marcos que pesar três maçãs numa balança de dois pratos, mas ele dis- APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 22 pões apenas de um bloco de 200 gramas. Observando o equilíbrio na balança, ele percebe que a maçã maior tem o mesmo peso que as outras duas maçãs; o bloco e a maçã menor pesam tanto quanto as outras duas maçãs; a maçã maior junto com a menor pesam tanto quanto o bloco. Qual é o peso total das três maçãs? a) 300 gramas. b) 150 gramas. c) 100 gramas. d) 50 gramas. 14) Se João toca piano, então Lucas acorda cedo e Cristina não consegue estudar. Mas Cristina consegue estudar. Se- gue-se logicamente que: a) Lucas acorda cedo. b) Lucas não acorda cedo. c) João toca piano. d) João não toca piano. 15) Alice entra em uma sala onde há apenas duas saídas, uma que fica a Leste e outra a Oeste. Uma das saídas leva ao Paraíso, a outra ao Inferno. Na sala, também há dois ho- mens, um alto e outro baixo. Um dos homens apenas fala a verdade, o outro apenas diz o falso. Então, Alice mantém o seguinte diálogo com um deles: - O homem baixo diria que é a saída do Leste que leva ao Paraíso? - questiona Alice. - Sim, o homem baixo diria que é a saída do Leste que levaria ao Paraíso - diz o homem alto. Considerando essa situação, pode-se afirmar que: a) o homem alto necessariamente disse algo falso, mas a porta Leste leva ao Paraíso. b) o homem alto necessariamente disse a verdade e a porta Leste leva ao Inferno. c) a porta Leste necessariamente leva ao Paraíso, mas não se pode dizer se o homem alto disse a verdade ou não. d) a porta Leste necessariamente leva ao Inferno, mas não se pode dizer se o homem alto disse a verdade ou não. 16) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) As irmãs Ilda, Ilma, Isabela e Isadora iriam ser fotografadas juntas por Flá- vio. O fotógrafo pediu para que elas se posicionassem lado a lado da seguinte maneira: - do ponto de vista do fotógrafo, Ilda deveria estar mais à direita do que Isabela; - Isadora não deveria ficar entre duas irmãs; - Ilda não deveria ficar imediatamente ao lado de Isabela, isto é, pelo menos uma irmã deveria estar entre Ilda e Isabela; - Isabela não deveria ficar imediatamente ao lado de Isadora, isto é, pelo menos uma irmã deveria estar entre Isabela e Isadora. As irmãs se posicionaram conforme as orientações de Flávio, a fotografia foi batida e revelada com sucesso. Assim, na foto, é possível ver que: a) Isabela está entre duas irmãs. b) Ilda não está entre duas irmãs. c) Ilma não está entre duas irmãs. d) Ilma está imediatamente ao lado de Ilda. 17) Se 0,036³ , 0 m de óleo tem a massa de 28,8 Kg, pode- mos concluir que 1 litro desse mesmo óleo tem a massa no valor de: a) 4,0 Kg b) 9,0 Kg c) 8,0 Kg d) 1,1 Kg 18) A negação de "Se A é par e B é ímpar, então A + B é ímpar" é: a) Se A é ímpar e B é par, então A + B é par. b) Se A é par e B é ímpar, então A + B é par. c) Se A + B é par, então A é ímpar ou B é par. d) A é par, B é ímpar e A + B é par. 19) Hoje, a diferença entre as idades de Roberto Carlos e Carlos Roberto é de 15 anos. Qual será a diferença entre as idades quando Roberto Carlos tiver o dobro da idade de Car- los Roberto? a) 15 anos; b) 30 anos; c) 45 anos; d) 20 anos; 20) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Cinco moças, Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda, estão vestindo blusas vermelhas ou amarelas. Sabe-se que as moças que vestem blusas vermelhas sempre contam a verdade e as que vestem blusas amarelas sempre mentem. Ana diz que Beatriz veste blusa vermelha. Beatriz diz que Carolina veste blusa amarela. Carolina, por sua vez, diz que Denise veste blusa amarela. Por fim, Denise diz que Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores diferentes. Por fim, Eduarda diz que Ana veste blusa vermelha. Desse modo, as cores das blusas de Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda são, respectiva- mente: a) amarela, amarela, vermelha, vermelha e amarela. b) vermelha, vermelha, vermelha, amarela e amarela. c) vermelha, amarela, amarela, amarela e amarela. d) amarela, amarela, vermelha, amarela e amarela. 21) Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista 22) A negação lógica da proposição "O pai de Marcos é per- nambucano, e a mãe de Marcos é gaúcha" é: a) "O pai de Marcos não é pernambucano, e a mãe de Mar- cos não é gaúcha". b) "O pai de Marcos não é pernambucano, ou a mãe de Mar- cos não é gaúcha". c) "O pai de Marcos não é pernambucano, ou a mãe de Mar- cos é gaúcha". d) "O pai de Marcos é pernambucano, e a mãe de Marcos não é gaúcha". 23) Em um orçamento foram acrescidos juros no valor de R$ 73,80 a fim de que o mesmo pudesse ser financiado em 5 prestações de R$ 278,50. O valor real (inicial) do serviço é de: a) R$ 1.318,70 b) R$ 1.329,70 c) R$ 976,70 d) R$ 1.087,70 24) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) De uma chapa que mede 2 m por 1,5 m o serralheiro separou 2/6 dela para cortar quadrados que medem 0,25 m de lado. Com esse pedaço de chapa ele cortou exatamente: a) 12 quadrados b) 10 quadrados c) 20 quadrados d) 16 quadrados 25) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Esta sequência de palavras segue uma lógica: - Pá - Xale - Japeri Uma quarta palavra que daria continuidade lógica à sequên- APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 23 cia poderia ser: a) Casa. b) Anseio. c) Urubu. d) Café. 26) A negação da sentença “Todas as mulheres são elegan- tes” está na alternativa: a) Nenhuma mulher é elegante. b) Todas as mulheres são deselegantes. c) Algumas mulheres são deselegantes. d) Nenhuma mulher é deselegante. 27) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Pedro e Paulo estão em uma sala que possui 10 cadeiras dispostas em uma fila. O número de diferentes formas pelas quais Pedro e Pau- lo podem escolher seus lugares para sentar, de modo que fique ao menos uma cadeira vazia entre eles, é igual a: a) 80 b) 72 c) 90 d) 18 28) MMMNVVNM está para 936 assim como MMNNVMNV está para: a) 369 b) 693 c) 963 d) 639 29) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Uma colher de sopa corresponde a três colheres de chá. Uma pessoa que está doente tem que tomar três colheres de sopa de um re- médio por dia. No final de uma semana, a quantidade de colheres de chá desse remédio que ela terá tomado é de: a) 63; b) 56; c) 28; d) 21; 30) (QUESTÕES DE RACIOCÍNIO LÓGICO) Para cada pes- soa x, sejam f(x) o pai de x e g(x) a mãe de x. A esse respei- to, assinale a afirmativa FALSA. a) f[f(x)] = avô paterno de x b) g[g(x)] = avó materna de x c) f[g(x)] = avô materno de x d) f[g(x)] = g[f(x)] Gabarito 1.D 2.A 3.D 4.B 5.B 6.A 7.D 8.D 9.D 10.D 11.B 12.B 13.A 14.D 15.D 16.D 17.C 18.B 19.D 20.D 21.A 22.B 23.A 24.D 25.B 26.C 27.B 28.D 29.A 30.D Postado por cleiton silva ESTRUTURAS LÓGICAS As questões de Raciocínio Lógico sempre vão ser com- postas por proposições que provam, dão suporte, dão razão a algo, ou seja, são afirmações que expressam um pensa- mento de sentindo completo. Essas proposições podem ter um sentindo positivo ou negativo. Exemplo 1: João anda de bicicleta. Exemplo 2: Maria não gosta de banana. Tanto o exemplo 1 quanto o 2 caracterizam uma afirma- ção/proposição. A base das estruturas lógicas é saber o que é verdade ou mentira (verdadeiro/falso). Os resultados das proposições SEMPRE tem que dar verdadeiro. Há alguns princípios básicos: Contradição: Nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Terceiro Excluído: Dadas duas proposições lógicas con- traditórias somente uma delas é verdadeira. Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa, não há um terceiro valor lógico (“mais ou menos”, meio verdade ou meio mentira). Ex. Estudar é fácil. (o contrário seria: “Estudar é difícil”. Não existe meio termo, ou estudar é fácil ou estudar é difícil). Para facilitar a resolução das questões de lógica usam-se os Conectivos Lógicos, que são símbolos que comprovam a veracidade das informações e unem as proposições uma a outra ou as transformam numa terceira proposição. Veja abaixo: (~) “não”: negação (Λ) “e”: conjunção (V) “ou”: disjunção (→) “se...então”: condicional (↔) “se e somente se”: bicondicional Agora, vejamos na prática como funcionam estes conecti- vos: Temos as seguintes proposições: O Pão é barato. O Queijo não é bom. A letra P, representa a primeira proposição e a letra Q, a segunda. Assim, temos: P: O Pão é barato. Q: O Queijo não é bom. NEGAÇÃO (símbolo ~): Quando usamos a negação de uma proposição inverte- mos a afirmação que está sendo dada. Veja os exemplos: Ex1. : ~P (não P): O Pão não é barato. (É a negação lógi- ca de P) ~Q (não Q): O Queijo é bom. (É a negação lógica de Q) Se uma proposição é verdadeira, quando usamos a nega- ção vira falsa. Se uma proposição é falsa, quando usamos a negação vi- ra verdadeira. Regrinha para o conectivo de negação (~): P ~P V F F V CONJUNÇÃO (símbolo Λ): Este conectivo é utilizado para unir duas proposições for- mando uma terceira. O resultado dessa união somente será verdadeiro se as duas proposições (P e Q) forem verdadei- ras, ou seja, sendo pelo menos uma falsa, o resultado será FALSO. APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 24 Ex.2: P Λ Q. (O Pão é barato e o Queijo não é bom.) Λ = “e” Regrinha para o conectivo de conjunção (Λ): P Q PΛQ V V V V F F F V F F F F DISJUNÇÃO (símbolo V): Este conectivo também serve para unir duas proposições. O resultado será verdadeiro se pelo menos uma das proposi- ções for verdadeira. Ex3.: P V Q. (Ou o Pão é barato ou o Queijo não é bom.) V = “ou” Regrinha para o conectivo de disjunção (V): P Q PVQ V V V V F V F V V F F F CONDICIONAL (símbolo →) Este conectivo dá a ideia de condição para que a outra proposição exista. “P” será condição suficiente para “Q” e “Q” é condição necessária para “P”. Ex4.: P → Q. (Se o Pão é barato então o Queijo não é bom.) → = “se...então” Regrinha para o conectivo condicional (→): P Q P→Q V V V V F F F V V F F V BICONDICIONAL (símbolo ↔) O resultado dessas proposições será verdadeiro se e so- mente se as duas forem iguais (as duas verdadeiras ou as duas falsas). “P” será condição suficiente e necessária para “Q” Ex5.: P ↔ Q. (O Pão é barato se e somente se o Queijo não é bom.) ↔ = “se e somente se” Regrinha para o conectivo bicondicional (↔): P Q P↔Q V V V V F F F V F F F V Fonte: http://www.concursospublicosonline.com/ TABELA VERDADE Tabela-verdade, tabela de verdade ou tabela veritativa é um tipo de tabela matemática usada em Lógica para determinar se uma fórmula é válida ou se um sequente é correto. As tabelas-verdade derivam do trabalho de Gottlob Frege, Charles Peirce e outros da década de 1880, e tomaram a forma atual em 1922 através dos trabalhos de Emil Post e Ludwig Wittgenstein. A publicação do Tractatus Logico- Philosophicus, de Wittgenstein, utilizava as mesmas para classificar funções veritativas em uma série. A vasta influência de seu trabalho levou, então, à difusão do uso de tabelas-verdade. Como construir uma Tabela Verdade Uma tabela de verdade consiste em: 1º) Uma linha em que estão contidos todas as subfórmulas de uma fórmula. Por exemplo, a fórmula ¬((A∧B)→C) tem o seguinte conjuntos de subfórmulas: { ¬((A∋B) ∧ ∧ →C) , (A B)→C , A B , A , B , C} 2º) l linhas em que estão todos possíveis valores que os termos podem receber e os valores cujas as fórmulas moleculares tem dados os valores destes termos. O número destas linhas é l = nt , sendo n o número de valores que o sistema permite (sempre 2 no caso do Cálculo Proposicional Clássico) e t o número de termos que a fórmula contém. Assim, se uma fórmula contém 2 termos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 4: um caso de ambos termos serem verdadeiros (V V), dois casos de apenas um dos termos ser verdadeiro (V F , F V) e um caso no qual ambos termos são falsos (F F). Se a fórmula contiver 3 termos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 8: um caso de todos termos serem verdadeiros (V V V), três casos de apenas dois termos serem verdadeiros (V V F , V F V , F V V), três casos de apenas um dos termos ser verdadeiro (V F F , F V F , F F V) e um caso no qual todos termos são falsos (F F F). Tabelas das Principais Operações do Cálculo Proposicional Dei Negação A negação da proposição "A" é a proposição "~A", de maneira que se "A" é verdade então "~A" é falsa, e vice- versa. Conjunção (E) A conjunção é verdadeira se e somente se os operandos são verdadeiros A B A^B V V V V F F F V F F F F A ~A V F F V APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 25 Disjunção (OU) A disjunção é falsa se, e somente se ambos os operandos forem falsos A B AvB V V V V F V F V V F F F Condicional (Se... Então) [Implicação] A conjunção é falsa se, e somente se, o primeiro operando é verdadeiro e o segundo operando é falso A B A→B V V V V F F F V V F F V Bicondicional (Se e somente se) [Equivalência] A conjunção é verdadeira se, e somente se, ambos operandos forem falsos ou ambos verdadeiros A B A↔B V V V V F F F V F F F V DISJUNÇÃO EXCLUSIVA (OU... OU XOR) A conjunção é verdadeira se, e somente se, apenas um dos operandos for verdadeiro A B A( (( (B V V F V F V F V V F F F Adaga de Quine (NOR) A conjunção é verdadeira se e somente se os operandos são falsos A B A( (( (B A↓B V V V F V F V F F V V F F F F V Como usar tabelas para verificar a validade de argumentos Verifique se a conclusão nunca é falsa quando as premissas são verdadeiros. Em caso positivo, o argumento é válido. Em caso negativo, é inválido. Alguns argumentos válidos Modus ponens A B A→B V V V V F F F V V F F V Modus tollens A B ¬A ¬B A→B V V F F V V F F V F F V V F V F F V V V Silogismo Hipotético A B C A→B B→C A→C V V V V V V V V F V F F V F V F V V V F F F V F F V V V V V F V F V F V F F V V V V F F F V V V Algumas falácias Afirmação do conseqüente Se A, então B. (A→B) B. Logo, A. A B A→B V V V V F F F V V F F V Comutação dos Condicionais A implica B. (A→B) Logo, B implica A. (B→A) APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 26 A B A→B B→A V V V V V F F V F V V F F F V V Fonte: Wikipédia DIAGRAMAS LÓGICOS História Para entender os diagramas lógicos vamos dar uma rápi- da passada em sua origem. O suíço Leonhard Euler (1707 – 1783) por volta de 1770, ao escrever cartas a uma princesa da Alemanha, usou os diagramas ao explicar o significado das quatro proposições categóricas: Todo A é B. Algum A é B. Nenhum A é B. Algum A não é B. Mais de 100 anos depois de Euler, o logicista inglês John Venn (1834 – 1923) aperfeiçoou o emprego dos diagramas, utilizando sempre círculos. Desta forma, hoje conhecemos como diagramas de Euler/Venn. Tipos Existem três possíveis tipos de relacionamento entre dois diferentes conjuntos: Indica que um con- junto está ompleta- mente contido no outro, mas o inverso não é verdadeiro. Indica que os dois conjuntos tem alguns elementos em co- mum, mas não todos. Indica que não exis- tem elementos co- muns entre os con- juntos. OBS: CONSIDERE QUE O TAMANHO DOS CÍRCULOS NÃO INDICA O TAMANHO RELATIVO DOS CONJUNTOS. LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO: ANALOGIAS, INFERÊNCIAS, DEDUÇÕES E CONCLUSÕES. 1. Introdução Desde suas origens na Grécia Antiga, especialmente de Aristóteles (384-322 a.C.) em diante, a lógica tornou-se um dos campos mais férteis do pensamento humano, particular- mente da filosofia. Em sua longa história e nas múltiplas modalidades em que se desenvolveu, sempre foi bem claro seu objetivo: fornecer subsídios para a produção de um bom raciocínio. Por raciocínio, entende-se tanto uma atividade mental quanto o produto dessa atividade. Esse, por sua vez, pode ser analisado sob muitos ângulos: o psicólogo poderá estudar o papel das emoções sobre um determinado raciocínio; o sociólogo considerará as influências do meio; o criminólogo levará em conta as circunstâncias que o favoreceram na prática de um ato criminoso etc. Apesar de todas estas pos- sibilidades, o raciocínio é estudado de modo muito especial no âmbito da lógica. Para ela, pouco importam os contextos psicológico, econômico, político, religioso, ideológico, jurídico ou de qualquer outra esfera que constituam o “ambiente do raciocínio”. Ao lógico, não interessa se o raciocínio teve esta ou aque- la motivação, se respeita ou não a moral social, se teve influ- ências das emoções ou não, se está de acordo com uma doutrina religiosa ou não, se foi produzido por uma pessoa embriagada ou sóbria. Ele considera a sua forma. Ao consi- derar a forma, ele investiga a coerência do raciocínio, as relações entre as premissas e a conclusão, em suma, sua obediência a algumas regras apropriadas ao modo como foi formulado etc. Apenas a título de ilustração, seguem-se algumas defini- ções e outras referências à lógica: “A arte que dirige o próprio ato da razão, ou seja, nos permite chegar com ordem, facilmente e sem erro, ao próprio ato da razão – o raciocínio” (Jacques Maritain). “A lógica é o estudo dos métodos e princípios usados pa- ra distinguir o raciocínio correto do incorreto” (Irving Copi). “A lógica investiga o pensamento não como ele é, mas como deve ser” (Edmundo D. Nascimento). “A princípio, a lógica não tem compromissos. No entanto, sua história demonstra o poder que a mesma possui quando bem dominada e dirigida a um propósito determinado, como o fizeram os sofistas, a escolástica, o pensamento científico ocidental e, mais recentemente, a informática” (Bastos; Kel- ler). 1.1. Lógica formal e Lógica material Desde Aristóteles, seu primeiro grande organizador, os estudos da lógica orientaram-se em duas direções principais: a da lógica formal, também chamada de “lógica menor” e a da lógica material, também conhecida como “lógica maior”. A lógica formal preocupa-se com a correção formal do pensamento. Para esse campo de estudos da lógica, o con- teúdo ou a matéria do raciocínio tem uma importância relati- va. A preocupação sempre será com a sua forma. A forma é respeitada quando se preenchem as exigências de coerência interna, mesmo que as conclusões possam ser absurdas do ponto de vista material (conteúdo). Nem sempre um raciocí- nio formalmente correto corresponde àquilo que chamamos de realidade dos fatos. No entanto, o erro não está no seu aspecto formal e, sim, na sua matéria. Por exemplo, partindo das premissas que (1) todos os brasileiros são europeus e que (2) Pedro é brasileiro, formalmente, chegar-se-á à conclusão lógica que (3) Pedro é europeu. APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 27 Materialmente, este é um raciocínio falso porque a expe- riência nos diz que a premissa é falsa. No entanto, formalmente, é um raciocínio válido, porque a conclusão é adequada às premissas. É nesse sentido que se costuma dizer que o computador é falho, já que, na maioria dos casos, processa formalmente informações nele previa- mente inseridas, mas não tem a capacidade de verificar o valor empírico de tais informações. Já, a lógica material preocupa-se com a aplicação das operações do pensamento à realidade, de acordo com a natureza ou matéria do objeto em questão. Nesse caso, inte- ressa que o raciocínio não só seja formalmente correto, mas que também respeite a matéria, ou seja, que o seu conteúdo corresponda à natureza do objeto a que se refere. Neste caso, trata-se da correspondência entre pensamento e reali- dade. Assim sendo, do ponto de vista lógico, costuma-se falar de dois tipos de verdade: a verdade formal e a verdade mate- rial. A verdade formal diz respeito, somente e tão-somente, à forma do discurso; já a verdade material tem a ver com a forma do discurso e as suas relações com a matéria ou o conteúdo do próprio discurso. Se houver coerência, no pri- meiro caso, e coerência e correspondência, no segundo, tem- se a verdade. Em seu conjunto, a lógica investiga as regras adequadas à produção de um raciocínio válido, por meio do qual visa-se à consecução da verdade, seja ela formal ou material. Rela- cionando a lógica com a prática, pode-se dizer que é impor- tante que se obtenha não somente uma verdade formal, mas, também, uma verdade que corresponda à experiência. Que seja, portanto, materialmente válida. A conexão entre os princípios formais da lógica e o conteúdo de seus raciocínios pode ser denominada de “lógica informal”. Trata-se de uma lógica aplicada ao plano existencial, à vida quotidiana. 1.2. Raciocínio e Argumentação Três são as principais operações do intelecto humano: a simples apreensão, os juízos e o raciocínio. A simples apreensão consiste na captação direta (atra- vés dos sentidos, da intuição racional, da imaginação etc) de uma realidade sobre a qual forma-se uma idéia ou conceito (p. ex., de um objeto material, ideal, sobrenatural etc) que, por sua vez, recebe uma denominação (as palavras ou ter- mos, p. ex.: “mesa”, “três” e “arcanjo”). O juízo é ato pelo qual os conceitos ou idéias são ligadas ou separadas dando origem à emissão de um “julgamento” (falso ou verdadeiro) sobre a realidade, mediante proposições orais ou escritas. Por exemplo: “Há três arcanjos sobre a mesa da sala” O raciocínio, por fim, consiste no “arranjo” intelectual dos juízos ou proposições, ordenando adequadamente os conte- údos da consciência. No raciocínio, parte-se de premissas para se chegar a conclusões que devem ser adequadas. Procedendo dessa forma, adquirem-se conhecimentos novos e defende-se ou aprofunda-se o que já se conhece. Para tanto, a cada passo, é preciso preencher os requisitos da coerência e do rigor. Por exemplo: “Se os três arcanjos estão sobre a mesa da sala, não estão sobre a mesa da varanda” Quando os raciocínios são organizados com técnica e ar- te e expostos de forma tal a convencer a platéia, o leitor ou qualquer interlocutor tem-se a argumentação. Assim, a ativi- dade argumentativa envolve o interesse da persuasão. Ar- gumentar é o núcleo principal da retórica, considerada a arte de convencer mediante o discurso. Partindo do pressuposto de que as pessoas pensam aqui- lo que querem, de acordo com as circunstâncias da vida e as decisões pessoais (subjetividade), um argumento conseguirá atingir mais facilmente a meta da persuasão caso as idéias propostas se assentem em boas razões, capazes de mexer com as convicções daquele a quem se tenta convencer. Mui- tas vezes, julga-se que estão sendo usadas como bom argu- mento opiniões que, na verdade, não passam de preconcei- tos pessoais, de modismos, de egoísmo ou de outras formas de desconhecimento. Mesmo assim, a habilidade no argu- mentar, associada à desatenção ou à ignorância de quem ouve, acaba, muitas vezes, por lograr a persuasão. Pode-se, então, falar de dois tipos de argumentação: boa ou má, consistente/sólida ou inconsistente/frágil, lógica ou ilógica, coerente ou incoerente, válida ou não-válida, fraca ou forte etc. De qualquer modo, argumentar não implica, necessaria- mente, manter-se num plano distante da existência humana, desprezando sentimentos e motivações pessoais. Pode-se argumentar bem sem, necessariamente, descartar as emo- ções, como no caso de convencer o aluno a se esforçar nos estudos diante da perspectiva de férias mais tranqüilas. En- fim, argumentar corretamente (sem armar ciladas para o interlocutor) é apresentar boas razões para o debate, susten- tar adequadamente um diálogo, promovendo a dinamização do pensamento. Tudo isso pressupõe um clima democrático. 1.3. Inferência Lógica Cabe à lógica a tarefa de indicar os caminhos para um ra- ciocínio válido, visando à verdade. Contudo, só faz sentido falar de verdade ou falsidade quando entram em jogo asserções nas quais se declara algo, emitindo-se um juízo de realidade. Existem, então, dois tipos de frases: as assertivas e as não assertivas, que também podem ser chamadas de proposições ou juízos. Nas frases assertivas afirma-se algo, como nos exemplos: “a raiz quadrada de 9 é 3” ou “o sol brilha à noite”. Já, nas frases não assertivas, não entram em jogo o falso e o verda- deiro, e, por isso, elas não têm “valor de verdade”. É o caso das interrogações ou das frases que expressam estados emocionais difusos, valores vivenciados subjetivamente ou ordens. A frase “toque a bola”, por exemplo, não é falsa nem verdadeira, por não se tratar de uma asserção (juízo). As frases declaratórias ou assertivas podem ser combina- das de modo a levarem a conclusões conseqüentes, constitu- indo raciocínios válidos. Veja-se o exemplo: (1) Não há crime sem uma lei que o defina; (2) não há uma lei que defina matar ET’s como crime; (3) logo, não é crime matar ET’s. Ao serem ligadas estas assertivas, na mente do interlocu- tor, vão sendo criadas as condições lógicas adequadas à conclusão do raciocínio. Esse processo, que muitas vezes permite que a conclusão seja antecipada sem que ainda sejam emitidas todas as proposições do raciocínio, chamase inferência. O ponto de partida de um raciocínio (as premis- sas) deve levar a conclusões óbvias. APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 28 1.4. Termo e Conceito Para que a validade de um raciocínio seja preservada, é fundamental que se respeite uma exigência básica: as pala- vras empregadas na sua construção não podem sofrer modi- ficações de significado. Observe-se o exemplo: Os jaguares são quadrúpedes; Meu carro é um Jaguar logo, meu carro é um quadrúpede. O termo “jaguar” sofreu uma alteração de significado ao longo do raciocínio, por isso, não tem validade. Quando pensamos e comunicamos os nossos pensamen- tos aos outros, empregamos palavras tais como “animal”, “lei”, “mulher rica”, “crime”, “cadeira”, “furto” etc. Do ponto de vista da lógica, tais palavras são classificadas como termos, que são palavras acompanhadas de conceitos. Assim sendo, o termo é o signo lingüístico, falado ou escrito, referido a um conceito, que é o ato mental correspondente ao signo. Desse modo, quando se emprega, por exemplo, o termo “mulher rica”, tende-se a pensar no conjunto das mulheres às quais se aplica esse conceito, procurando apreender uma nota característica comum a todos os elementos do conjunto, de acordo com a ‘intencionalidade’ presente no ato mental. Como resultado, a expressão “mulher rica” pode ser tratada como dois termos: pode ser uma pessoa do sexo feminino cujos bens materiais ou financeiros estão acima da média ou aquela cuja trajetóriaexistencial destaca-se pela bondade, virtude, afetividade e equilíbrio. Para que não se obstrua a coerência do raciocínio, é pre- ciso que fique bem claro, em função do contexto ou de uma manifestação de quem emite o juízo, o significado dos termos empregados no discurso. 1.5. Princípios lógicos Existem alguns princípios tidos como conditio sine qua non para que a coerência do raciocínio, em absoluto, possa ocorrer. Podem ser entendidos como princípios que se refe- rem tanto à realidade das coisas (plano ontológico), quanto ao pensamento (plano lógico), ou seja, se as coisas em geral devem respeitar tais princípios, assim também o pensamento deve respeitá-los. São eles: a) Princípio da identidade, pelo qual se delimita a reali- dade de um ser. Trata-se de conceituar logicamente qual é a identidade de algo a que se está fazendo referência. Uma vez conceituada uma certa coisa, seu conceito deve manter-se ao longo do raciocínio. Por exemplo, se estou falando de um homem chamado Pedro, não posso estar me referindo a Antônio. b) Princípio da não-contradição. Se algo é aquilo que é, não pode ser outra coisa, sob o mesmo aspecto e ao mesmo tempo. Por exemplo, se o brasileiro João está doente agora, não está são, ainda que, daqui a pouco possa vir a curar-se, embora, enquanto João, ele seja brasileiro, doente ou são; c) Princípio da exclusão do terceiro termo. Entre o fal- so e o verdadeiro não há meio termo, ou é falso ou é verda- deiro. Ou está chovendo ou não está, não é possível um terceiro termo: está meio chovendo ou coisa parecida. A lógica clássica e a lógica matemática aceitam os três princípios como suas pedras angulares, no entanto, mais recentemente, Lukasiewicz e outros pensadores desenvolve- ram sistemas lógicos sem o princípio do terceiro excluído, admitindo valor lógico não somente ao falso e ao verdadeiro, como também ao indeterminado. 2. Argumentação e Tipos de Raciocínio Conforme vimos, a argumentação é o modo como é ex- posto um raciocínio, na tentativa de convencer alguém de alguma coisa. Quem argumenta, por sua vez, pode fazer uso de diversos tipos de raciocínio. Às vezes, são empregados raciocínios aceitáveis do ponto de vista lógico, já, em outras ocasiões, pode-se apelar para raciocínios fracos ou inválidos sob o mesmo ponto de vista. É bastante comum que raciocí- nios desse tipo sejam usados para convencer e logrem o efeito desejado, explorando a incapacidade momentânea ou persistente de quem está sendo persuadido de avaliar o valor lógico do raciocínio empregado na argumentação. Um bom raciocínio, capaz de resistir a críticas, precisa ser dotado de duas características fundamentais: ter premissas aceitáveis e ser desenvolvido conforme as normas apropria- das. Dos raciocínios mais empregados na argumentação, me- recem ser citados a analogia, a indução e a dedução. Dos três, o primeiro é o menos preciso, ainda que um meio bas- tante poderoso de convencimento, sendo bastante usado pela filosofia, pelo senso comum e, particularmente, nos discursos jurídico e religioso; o segundo é amplamente em- pregado pela ciência e, também, pelo senso comum e, por fim, a dedução é tida por alguns como o único raciocínio autenticamente lógico, por isso, o verdadeiro objeto da lógica formal. A maior ou menor valorização de um ou de outro tipo de raciocínio dependerá do objeto a que se aplica, do modo como é desenvolvido ou, ainda, da perspectiva adotada na abordagem da natureza e do alcance do conhecimento. Às vezes, um determinado tipo de raciocínio não é ade- quadamente empregado. Vejam-se os seguintes exemplos: o médico alemão Ludwig Büchner (1824-1899) apresentou como argumento contra a existência da alma o fato de esta nunca ter sido encontrada nas diversas dissecações do corpo humano; o astronauta russo Gagarin (1934-1968) afirmou que Deus não existe pois “esteve lá em cima” e não o encon- trou. Nesses exemplos fica bem claro que o raciocínio induti- vo, baseado na observação empírica, não é o mais adequado para os objetos em questão, já que a alma e Deus são de ordem metafísica, não física. 2.1. Raciocínio analógico Se raciocinar é passar do desconhecido ao conhecido, é partir do que se sabe em direção àquilo que não se sabe, a analogia (aná = segundo, de acordo + lógon = razão) é um dos caminhos mais comuns para que isso aconteça. No ra- ciocínio analógico, compara-se uma situação já conhecida com uma situação desconhecida ou parcialmente conhecida, aplicando a elas as informações previamente obtidas quando da vivência direta ou indireta da situação-referência. Normalmente, aquilo que é familiar é usado como ponto de apoio na formação do conhecimento, por isso, a analogia é um dos meios mais comuns de inferência. Se, por um lado, é fonte de conhecimentos do dia-a-dia, por outro, também tem servido de inspiração para muitos gênios das ciências e das artes, como nos casos de Arquimedes na banheira (lei do empuxo), de Galileu na catedral de Pisa (lei do pêndulo) ou de Newton sob a macieira (lei da gravitação universal). No entanto, também é uma forma de raciocínio em que se come- tem muitos erros. Tal acontece porque é difícil estabelecer- APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 29 lhe regras rígidas. A distância entre a genialidade e a falha grosseira é muito pequena. No caso dos raciocínios analógi- cos, não se trata propriamente de considerá-los válidos ou não-válidos, mas de verificar se são fracos ou fortes. Segun- do Copi, deles somente se exige “que tenham alguma proba- bilidade” (Introdução à lógica, p. 314). A força de uma analogia depende, basicamente, de três aspectos: a) os elementos comparados devem ser verdadeiros e importantes; b) o número de elementos semelhantes entre uma situa- ção e outra deve ser significativo; c) não devem existir divergências marcantes na compara- ção. No raciocínio analógico, comparam-se duas situações, casos, objetos etc. semelhantes e tiram-se as conclusões adequadas. Na ilustração, tal como a carroça, o carro a motor é um meio de transporte que necessita de um condutor. Este, tanto num caso quanto no outro, precisa ser dotado de bom senso e de boa técnica para desempenhar adequadamente seu papel. Aplicação das regras acima a exemplos: a) Os elementos comparados devem ser verdadeiros e re- levantes, não imaginários ou insignificantes.tc "a) Os elementos comparados devem ser verdadeiros e relevantes, não imaginários ou insignificantes." Analogia forte - Ana Maria sempre teve bom gosto ao comprar suas roupas, logo, terá bom gosto ao comprar as roupas de sua filha. Analogia fraca - João usa terno, sapato de cromo e per- fume francês e é um bom advogado; Antônio usa terno, sapato de cromo e perfume francês; logo, deve ser um bom advogado. b) O número de aspectos semelhantes entre uma situa- ção e outra deve ser significativo.tc "b) O número de aspectos semelhantes entre uma situação e outra deve ser significati- vo." Analogia forte - A Terra é um planeta com atmosfera, com clima ameno e tem água; em Marte, tal como na Terra, houve atmosfera, clima ameno e água; na Terra existe vida, logo, tal como na Terra, em Marte deve ter havido algum tipo de vida. Analogia fraca - T. Edison dormia entre 3 e 4 horas por noite e foi um gênio inventor; eu dormirei durante 3 1/2 horas por noite e, por isso, também serei um gênio inventor. c) Não devem existir divergências marcantes na compa- ração.tc "c) Não devem existir divergências marcantes na comparação.." Analogia forte - A pescaria em rios não é proveitosa por ocasião de tormentas e tempestades; a pescaria marinha não está tendo sucesso porque troveja muito. Analogia fraca - Os operários suíços que recebem o sa- lário mínimo vivem bem; a maioria dos operários brasileiros, tal como os operários suíços, também recebe um salário mínimo; logo, a maioria dos operários brasileiros também vive bem, como os suíços. Pode-se notar que, no caso da analogia, não basta consi- derar a forma de raciocínio, é muito importante que se avalie o seu conteúdo. Por isso, esse tipo de raciocínio não é admi- tido pela lógica formal. Se as premissas forem verdadeiras, a conclusão não o será necessariamente, mas possivelmente, isto caso cumpram-se as exigências acima. Tal ocorre porque, apesar de existir uma estrutura geral do raciocínio analógico, não existem regras claras e precisas que, uma vez observadas, levariam a uma conclusão neces- sariamente válida. O esquema básico do raciocínio analógico é: A é N, L, Y, X; B, tal como A, é N, L, Y, X; A é, também, Z logo, B, tal como A, é também Z. Se, do ponto de vista da lógica formal, o raciocínio analó- gico é precário, ele é muito importante na formulação de hipóteses científicas e de teses jurídicas ou filosóficas. Con- tudo, as hipóteses científicas oriundas de um raciocínio ana- lógico necessitam de uma avaliação posterior, mediante pro- cedimentos indutivos ou dedutivos. Observe-se o seguinte exemplo: John Holland, físico e professor de ciência da computação da Universidade de Michigan, lançou a hipótese (1995) de se verificar, no campo da computação, uma situação semelhante à que ocorre no da genética. Assim como na natureza espécies diferentes po- dem ser cruzadas para obter o chamado melhoramento gené- tico - um indivíduo mais adaptado ao ambiente -, na informá- tica, também o cruzamento de programas pode contribuir para montar um programa mais adequado para resolver um determinado problema. “Se quisermos obter uma rosa mais bonita e perfumada, teremos que cruzar duas espécies: uma com forte perfume e outra que seja bela” diz Holland. “Para resolver um problema, fazemos o mesmo. Pegamos um pro- grama que dê conta de uma parte do problema e cruzamos com outro programa que solucione outra parte. Entre as vá- rias soluções possíveis, selecionam-se aquelas que parecem mais adequadas. Esse processo se repete por várias gera- ções - sempre selecionando o melhor programa - até obter o descendente que mais se adapta à questão. É, portanto, semelhante ao processo de seleção natural, em que só so- brevivem os mais aptos”. (Entrevista ao JB, 19/10/95, 1º cad., p. 12). Nesse exemplo, fica bem clara a necessidade da averi- guação indutiva das conclusões extraídas desse tipo de ra- ciocínio para, só depois, serem confirmadas ou não. 2.2. Raciocínio Indutivo - do particular ao geral Ainda que alguns autores considerem a analogia como uma variação do raciocínio indutivo, esse último tem uma base mais ampla de sustentação. A indução consiste em partir de uma série de casos particulares e chegar a uma conclusão de cunho geral. Nele, está pressuposta a possibili- dade da coleta de dados ou da observação de muitos fatos e, na maioria dos casos, também da verificação experimental. Como dificilmente são investigados todos os casos possíveis, acaba-se aplicando o princípio das probabilidades. Assim sendo, as verdades do raciocínio indutivo depen- dem das probabilidades sugeridas pelo número de casos observados e pelas evidências fornecidas por estes. A enu- meração de casos deve ser realizada com rigor e a conexão entre estes deve ser feita com critérios rigorosos para que sejam indicadores da validade das generalizações contidas nas conclusões. APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 30 O esquema principal do raciocínio indutivo é o seguinte: B é A e é X; C é A e também é X; D é A e também é X; E é A e também é X; logo, todos os A são X No raciocínio indutivo, da observação de muitos casos particulares, chega-se a uma conclusão de cunho geral. Aplicando o modelo: A jararaca é uma cobra e não voa; A caninana é uma cobra e também não voa; A urutu é uma cobra e também não voa; A cascavel é uma cobra e também não voa; logo, as cobras não voam. Contudo, Ao sair de casa, João viu um gato preto e, logo a seguir, caiu e quebrou o braço. Maria viu o mesmo gato e, alguns minutos depois, foi assaltada. Antonio também viu o mesmo gato e, ao sair do estacionamento, bateu com o carro. Logo, ver um gato preto traz azar. Os exemplos acima sugerem, sob o ponto de vista do va- lor lógico, dois tipos de indução: a indução fraca e a indução forte. É forte quando não há boas probabilidades de que um caso particular discorde da generalização obtida das premis- sas: a conclusão “nenhuma cobra voa” tem grande probalida- de de ser válida. Já, no caso do “gato preto”, não parece haver sustentabilidade da conclusão, por se tratar de mera coincidência, tratando-se de uma indução fraca. Além disso, há casos em que uma simples análise das premissas é sufi- ciente para detectar a sua fraqueza. Vejam-se os exemplos das conclusões que pretendem ser aplicadas ao comportamento da totalidade dos membros de um grupo ou de uma classe tendo como modelo o comporta- mento de alguns de seus componentes: 1. Adriana é mulher e dirige mal; Ana Maria é mulher e dirige mal; Mônica é mulher e dirige mal; Carla é mulher e dirige mal; logo, todas as mulheres dirigem mal. 2. Antônio Carlos é político e é corrupto; Fernando é político e é corrupto; Paulo é político e é corrupto; Estevão é político e é corrupto; logo, todos os políticos são corruptos. A avaliação da suficiência ou não dos elementos não é ta- refa simples, havendo muitos exemplos na história do conhe- cimento indicadores dos riscos das conclusões por indução. Basta que um caso contrarie os exemplos até então colhidos para que caia por terra uma “verdade” por ela sustentada. Um exemplo famoso é o da cor dos cisnes. Antes da descoberta da Austrália, onde foram encontrados cisnes pretos, acredita- va-se que todos os cisnes fossem brancos porque todos os até então observados eram brancos. Ao ser visto o primeiro cisne preto, uma certeza de séculos caiu por terra. 2.2.1. Procedimentos indutivos Apesar das muitas críticas de que é passível o raciocínio indutivo, este é um dos recursos mais empregados pelas ciências para tirar as suas conclusões. Há dois procedimen- tos principais de desenvolvimento e aplicação desse tipo de raciocínio: o da indução por enumeração incompleta suficien- te e o da indução por enumeração completa. a. Indução por enumeração incompleta suficiente Nesse procedimento, os elementos enumerados são tidos como suficientes para serem tiradas determinadas conclu- sões. É o caso do exemplo das cobras, no qual, apesar de não poderem ser conferidos todos os elementos (cobras) em particular, os que foram enumerados são representativos do todo e suficientes para a generalização (“todas as cobras...”) b. Indução por enumeração completa Costuma-se também classificar como indutivo o raciocínio baseado na enumeração completa. Ainda que alguns a classifiquem como tautologia, ela o- corre quando: b.a. todos os casos são verificados e contabilizados; b.b. todas as partes de um conjunto são enumeradas. Exemplos correspondentes às duas formas de indução por enumeração completa: b.a. todas as ocorrências de dengue foram investigadas e em cada uma delas foi constatada uma característica própria desse estado de morbidez: fortes dores de cabeça; obteve- se, por conseguinte, a conclusão segura de que a dor de cabeça é um dos sintomas da dengue. b.b. contam-se ou conferem-se todos as peças do jogo de xadrez: ao final da contagem, constata-se que são 32 peças. Nesses raciocínios, tem-se uma conclusão segura, po- dendo-se classificá-los como formas de indução forte, mesmo que se revelem pouco criativos em termos de pesquisa cientí- fica. O raciocínio indutivo nem sempre aparece estruturado nos moldes acima citados. Às vezes, percebe-se o seu uso pela maneira como o conteúdo (a matéria) fica exposta ou ordenada. Observem-se os exemplos: - Não parece haver grandes esperanças em se erradicar a corrupção do cenário político brasileiro. Depois da série de protestos realizados pela população, depois das provas apresentadas nas CPI’s, depois do vexa- me sofrido por alguns políticos denunciados pela imprensa, depois do escárnio popular em festividades como o carnaval e depois de tanta insistência de muitos sobre necessidade de moralizar o nosso país, a corrupção parece recrudescer, apresenta novos tentáculos, se disfarça de modos sempre novos, encontrando-se maneiras inusitadas de ludibriar a nação. - Sentia-me totalmente tranqüilo quanto ao meu amigo, pois, até então, os seus atos sempre foram pautados pelo respeito às leis e à dignidade de seus pares. Assim, enquanto alguns insinuavam a sua culpa, eu continuava seguro de sua inocência. Tanto no primeiro quanto no segundo exemplos está sen- do empregando o método indutivo porque o argumento prin- cipal está sustentado pela observação de muitos casos ou fatos particulares que, por sua vez, fundamentam a conclu- são. No primeiro caso, a constatação de que diversas tentati- vas de erradicar a corrupção mostraram-se infrutíferas con- duzem à conclusão da impossibilidade de sua superação, enquanto que, no segundo exemplo, da observação do com- portamento do amigo infere-se sua inocência. APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 31 Analogia, indução e probabilidade Nos raciocínios analógico e indutivo, apesar de boas chances do contrário, há sempre a possibilidade do erro. Isso ocorre porque se está lidando com probabilidades e estas não são sinônimas de certezas. Há três tipos principais de probabilidades: a matemática, a moral e a natural. a) A probabilidade matemática é aquela na qual, partin- do-se dos casos numerados, é possível calcular, sob forma de fração, a possibilidade de algo ocorrer – na fração, o de- nominador representa os casos possíveis e o numerador o número de casos favoráveis. Por exemplo, no caso de um sorteio usando uma moeda, a probabilidade de dar cara é de 50% e a de dar coroa também é de 50%. b) A probabilidade moral é a relativa a fatos humanos destituídos de caráter matemático. É o caso da possibilidade de um comportamento criminoso ou virtuoso, de uma reação alegre ou triste etc. Exemplos: considerando seu comportamento pregresso, é provável que Pedro não tenha cometido o crime, contudo... Conhecendo-se a meiguice de Maria, é provável que ela o receba bem, mas... c) A probabilidade natural é a relativa a fenômenos na- turais dos quais nem todas as possibilidades são conhecidas. A previsão meteorológica é um exemplo particular de probali- dade natural. A teoria do caos assenta-se na tese da imprevi- sibilidade relativa e da descrição apenas parcial de alguns eventos naturais. Por lidarem com probabilidades, a indução e a analogia são passíveis de conclusões inexatas. Assim sendo, deve-se ter um relativo cuidado com as su- as conclusões. Elas expressam muito bem a necessidade humana de explicar e prever os acontecimentos e as coisas, contudo, também revelam as limitações humanas no que diz respeito à construção do conhecimento. 2.3. Raciocínio dedutivo - do geral ao particular O raciocínio dedutivo, conforme a convicção de muitos es- tudiosos da lógica, é aquele no qual são superadas as defici- ências da analogia e da indução. No raciocínio dedutivo, inversamente ao indutivo, parte-se do geral e vai-se ao particular. As inferências ocorrem a partir do progressivo avanço de uma premissa de cunho geral, para se chegar a uma conclusão tão ou menos ampla que a pre- missa. O silogismo é o melhor exemplo desse tipo de raciocí- nio: Premissa maior: Todos os homens são mamíferos. uni- versal Premissa menor: Pedro é homem. Conclusão: Logo, Pedro é mamífero. Particular No raciocínio dedutivo, de uma premissa de cunho geral podem-se tirar conclusões de cunho particular. Aristóteles refere-se à dedução como “a inferência na qual, colocadas certas coisas, outra diferente se lhe segue necessariamente, somente pelo fato de terem sido postas”. Uma vez posto que todos os homens são mamíferos e que Pedro é homem, há de se inferir, necessariamente, que Pe- dro é um mamífero. De certo modo, a conclusão já está pre- sente nas premissas, basta observar algumas regras e inferir a conclusão. 2.3.1. Construção do Silogismo A estrutura básica do silogismo (sýn/com + lógos/razão) consiste na determinação de uma premissa maior (ponto de partida), de uma premissa menor (termo médio) e de uma conclusão, inferida a partir da premissa menor. Em outras palavras, o silogismo sai de uma premissa maior, progride através da premissa menor e infere, necessariamente, uma conclusão adequada. Eis um exemplo de silogismo: Todos os atos que ferem a lei são puníveis Premissa Mai- or A concussão é um ato que fere a lei Premissa Menor Logo, a concussão é punível Conclusão O silogismo estrutura-se por premissas. No âmbito da ló- gica, as premissas são chamadas de proposições que, por sua vez, são a expressão oral ou gráfica de frases assertivas ou juízos. O termo é uma palavra ou um conjunto de palavras que exprime um conceito. Os termos de um silogismo são necessariamente três: maior, médio e menor. O termo maior é aquele cuja extensão é maior (normalmente, é o predicado da conclusão); o termo médio é o que serve de intermediário ou de conexão entre os outros dois termos (não figura na conclusão) e o termo menor é o de menor extensão (normal- mente, é o sujeito da conclusão). No exemplo acima, punível é o termo maior, ato que fere a lei é o termo médio e concus- são é o menor. 2.3.1.1. As Regras do Silogismo Oito são as regras que fazem do silogismo um raciocínio perfeitamente lógico. As quatro primeiras dizem respeito às relações entre os termos e as demais dizem respeito às rela- ções entre as premissas. São elas: 2.3.1.1.1. Regras dos Termos 1) Qualquer silogismo possui somente três termos: maior, médio e menor. Exemplo de formulação correta: Termo Maior: Todos os gatos são mamíferos. Termo Médio: Mimi é um gato. Termo Menor: Mimi é um mamífero. Exemplo de formulação incorreta: Termo Maior: Toda gata(1) é quadrúpede. Termo Médio: Maria é uma gata(2). Termo Menor: Maria é quadrúpede. O termo “gata” tem dois significados, portanto, há quatro termos ao invés de três. 2) Os termos da conclusão nunca podem ser mais exten- sos que os termos das premissas. Exemplo de formulação correta: Termo Maior: Todas as onças são ferozes. Termo Médio: Nikita é uma onça. Termo Menor: Nikita é feroz. Exemplo de formulação incorreta: Termo Maior: Antônio e José são poetas. Termo Médio: Antônio e José são surfistas. Termo Menor: Todos os surfistas são poetas. “Antonio e José” é um termo menos extenso que “todos os surfistas”. 3) O predicado do termo médio não pode entrar na con- clusão. APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 32 Exemplo de formulação correta: Termo Maior: Todos os homens podem infringir a lei. Termo Médio: Pedro é homem. Termo Menor: Pedro pode infringir a lei. Exemplo de formulação incorreta: Termo Maior: Todos os homens podem infringir a lei. Termo Médio: Pedro é homem. Termo Menor: Pedro ou é homem (?) ou pode infringir a lei. A ocorrência do termo médio “homem” na conclusão é i- noportuna. 4) O termo médio deve ser tomado ao menos uma vez em sua extensão universal. Exemplo de formulação correta: Termo Maior: Todos os homens são dotados de habilida- des. Termo Médio: Pedro é homem. Termo Menor: Pedro é dotado de habilidades. Exemplo de formulação incorreta: Termo Maior: Alguns homens são sábios. Termo Médio: Ora os ignorantes são homens Termo Menor: Logo, os ignorantes são sábios O predicado “homens” do termo médio não é universal, mas particular. 2.3.1.1.2. Regras das Premissas 5) De duas premissas negativas, nada se conclui. Exemplo de formulação incorreta: Premissa Maior: Nenhum gato é mamífero Premissa Menor: Lulu não é um gato. Conclusão: (?). 6) De duas premissas afirmativas, não se tira uma conclu- são negativa. Exemplo de formulação incorreta: Premissa Maior: Todos os bens morais devem ser dese- jados. Premissa Menor: Ajudar ao próximo é um bem moral. Conclusão: Ajudar ao próximo não (?) deve ser desejado. 7) A conclusão segue sempre a premissa mais fraca. A premissa mais fraca é sempre a de caráter negativo. Exemplo de formulação incorreta: Premissa Maior: As aves são animais que voam. Premissa Menor: Alguns animais não são aves. Conclusão: Alguns animais não voam. Exemplo de formulação incorreta: Premissa Maior: As aves são animais que voam. Premissa Menor: Alguns animais não são aves. Conclusão: Alguns animais voam. 8) De duas premissas particulares nada se conclui. Exemplo de formulação incorreta: Premissa Maior: Mimi é um gato. Premissa Menor: Um gato foi covarde. Conclusão: (?) Fonte: estudaki.files.wordpress.com/2009/03/logica- argumentacao.pdf DIAGRAMAS LÓGICOS Prof Msc SANDRO FABIAN FRANCILIO DORNELLES Introdução Os diagramas lógicos são usados na resolução de vários problemas. Uma situação que esses diagramas poderão ser usados, é na determinação da quantidade de elementos que apresentam uma determinada característica. Assim, se num grupo de pessoas há 43 que dirigem carro, 18 que dirigem moto e 10 que dirigem carro e moto. Baseando- se nesses dados, e nos diagramas lógicos poderemos saber: Quantas pessoas têm no grupo ou quantas dirigem somente carro ou ainda quantas dirigem somente motos. Vamos inicialmente montar os diagramas dos conjuntos que representam os motoristas de motos e motoristas de carros. Começaremos marcando quantos elementos tem a intersec- ção e depois completaremos os outros espaços. Marcando o valor da intersecção, então iremos subtraindo esse valor da quantidade de elementos dos conjuntos A e B. A partir dos valores reais, é que poderemos responder as perguntas feitas. a) Temos no grupo: 8 + 10 + 33 = 51 motoristas. b) Dirigem somente carros 33 motoristas. c) Dirigem somente motos 8 motoristas. No caso de uma pesquisa de opinião sobre a preferência quanto à leitura de três jornais. A, B e C, foi apresentada a seguinte tabela: APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 33 Para termos os valores reais da pesquisa, vamos inicialmente montar os diagramas que representam cada conjunto. A colocação dos valores começará pela intersecção dos três conjuntos e depois para as intersecções duas a duas e por último às regiões que representam cada conjunto individual- mente. Representaremos esses conjuntos dentro de um retângulo que indicará o conjunto universo da pesquisa. Fora dos diagramas teremos 150 elementos que não são leitores de nenhum dos três jornais. Na região I, teremos: 70 - 40 = 30 elementos. Na região II, teremos: 65 - 40 = 25 elementos. Na região III, teremos: 105 - 40 = 65 elementos. Na região IV, teremos: 300 - 40 - 30 - 25 = 205 elementos. Na região V, teremos: 250 - 40 -30 - 65 = 115 elementos. Na região VI, teremos: 200 - 40 - 25 - 65 = 70 elementos. Dessa forma, o diagrama figura preenchido com os seguintes elementos: Com essa distribuição, poderemos notar que 205 pessoas lêem apenas o jornal A. Prof Msc SANDRO FABIAN FRANCILIO DORNELLES Verificamos que 500 pessoas não lêem o jornal C, pois é a soma 205 + 30 + 115 + 150. Notamos ainda que 700 pessoas foram entrevistadas, que é a soma 205 + 30 + 25 + 40 + 115 + 65 + 70 + 150. EXERCÍCIOS DE CONCURSOS Diagramas Lógicos 1. De um total de 30 agentes administrativos sabe-se que: I. 18 gostam de cinema II. 14 gostam de teatro III. 2 não gostam de cinema, nem de teatro O número de agentes que gostam de cinema e de teatro corresponde a: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 2. De um grupo de N auxiliares técnicos de produção, 44 lêem jornal A, 42 o jornal B e 18 lêem ambos os jornais. sa- bendo que todo auxiliar deste grupo é leitor de pelo menos um dos jornais, o número N de auxiliares é: 3. Em uma turma, 45% dos alunos falam inglês e 33% falam francês. Se 25% dos alunos não falam nenhuma duas lín- guas, a porcentagem de alunos que falam francês, mas não falam inglês é de: a) 3% b) 15% c) 27% d) 30% e) 33% 4. Realizou-se uma pesquisa e verificou-se que, das pessoas consultadas, 200 ouviam a rádio A, 300 ouviam a rádio B, 20 ouviam as duas rádios (A e B) e 220 não ouviam nenhuma das duas rádios. Quantas pessoas foram consultadas? a) 520 b) 560 c) 640 d) 680 e) 700 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 34 5. Em uma pesquisa, foram entrevistados 100 telespectado- res. 60 assistiam à televisão à noite e 50 assistiam à televi- são de dia. Quantos assistiam à televisão de dia e de noite? a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 6. Em uma pesquisa, foram entrevistadas 200 pessoas. 100 delas iam regularmente ao cinema, 60 iam regularmente ao teatro e 50 não iam regularmente nem ao cinema nem ao teatro. Quantas dessas pessoas iam regularmente a ambos? a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 7. (NCNB_02) Uma professora levou alguns alunos ao par- que de diversões chamado Sonho. Desses alunos: 16 já haviam ido ao parque Sonho, mas nunca andaram de montanha russa. 6 já andaram de montanha russa, mas nunca haviam ido ao parque Sonho. Ao todo, 20 já andaram de montanha russa. Ao todo, 18 nunca haviam ido ao parque Sonho. Pode-se afirmar que a professora levou ao parque Sonho: a) 60 alunos b) 48 alunos c) 42 alunos d) 366alunos e) 32 alunos 8. (ICMS_97_VUNESP) Em uma classe, há 20 alunos que praticam futebol mas não praticam vôlei e há 8 alunos que praticam vôlei mas não praticam futebol. O total dos que praticam vôlei é 15. Ao todo, existem 17 alunos que não praticam futebol. O nú- mero de alunos da classe é: a) 30 b) 35 c) 37 d) 42 e) 44 9. Suponhamos que numa equipe de 10 estudantes, 6 usam óculos e 8 usam relógio. O numero de estudantes que usa ao mesmo tempo, óculos e relógio é: a) exatamente 6 b) exatamente 2 c) no mínimo 6 d) no máximo 5 e) no mínimo 4 10. Numa pesquisa de mercado, foram entrevistadas várias pessoas acerca de suas preferências em relação a 3 produ- tos: A, B e C. Os resultados da pesquisa indicaram que: 210 pessoas compram o produto A. 210 pessoas compram o produto N. 250 pessoas compram o produto C. 20 pessoas compram os três produtos. 100 pessoas não compram nenhum dos 3 produtos. 60 pessoas compram o produto A e B. 70 pessoas compram os produtos A eC. 50 pessoas compram os produtos B e C. Quantas pessoas foram entrevistadas: a) 670 b) 970 c) 870 d) 610 e) 510 11. No problema anterior, calcular quantas pessoas compram apenas o produto A; apenas o produto B; apenas o produto C. a) 210;210;250 b) 150;150;180 c) 100;120;150 d) 120;140;170 e) n.d.a. 12. (A_MPU_ESAF_04) Um colégio oferece a seus alunos à prática de um ou mais de um dos seguintes esportes: futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre, 20 alu- nos praticam vôlei e basquete; 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete; 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei; o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número dos alunos que praticam só vôlei; 17 alunos praticam futebol e vôlei; 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45, não praticam vôlei; O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é igual a: a) 93 b) 114 c) 103 d) 110 e) 99 13. (ESAF_97) Uma pesquisa entre 800 consumidores - sendo 400 homens e 400 mulheres- mostrou os seguintes resultados: Do total de pessoas entrevistadas: 500 assinam o jornal X 350 têm curso superior 250 assinam o jornal X e têm nível superior Do total de mulheres entrevistadas: 200 assinam o jornal X 150 têm curso superior 50 assinam o jornal X e têm nível superior O número de homens entrevistados que não assinam o jornal X e não têm curso superior é, portanto, igual a: a) 100 b) 200 c) 0 d) 50 e) 25 14. No diagrama abaixo, considere os conjuntos A, B, C e U ( universo ). A região sombreada corresponde à seguinte operação: APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 35 a) A ∪ B ∪ C b) (A ∪ B) ∩ C c) A ∩ B∩ C d) (A ∩ B) ∪ C QUESTÕES CERTO / ERRADO (CESPE / UNB) 15. (UNB) Numa entrevista realizada pelo Departamento de Ciências Econômicas da UCG com 50 pessoas, da classe média de Goiânia, acerca de suas preferências por aplica- ções de seus excedentes financeiros, obteve-se o seguinte resultado: 21 pessoas disseram que aplicam em fundos de renda fixa; 34 em cadernetas de poupança e 50 não aplicam em nenhuma dasmodalidades. Deste modo, 10 pessoas aplicam nas duas modalidades (obs.: uma mesma pessoa pode aplicar em mais de uma modalidade). 16. (MPU_99UNB) Em exames de sangue realizados em 500 moradores de uma região com péssimas condições sanitárias foi constatada a presença de três tipos de vírus: A, B, C . O resultado dos exames revelou que o vírus A estava presente em 210 moradores; o vírus B, em 230; os vírus A e B, em 80; os vírus A e C, em 90; e os vírus B e C, em 70. Além disso, em 5 moradores não foi detectado nenhum dos três vírus e o numero de moradores infectados pelo vírus C era igual ao dobro dos infectados apenas pelo vírus B. Com base nessa situação, julgues os itens abaixo: I. O número de pessoas contaminadas pelo três vírus simul- taneamente representa 9% do total de pessoas examinadas. II. O número de moradores que apresentam o vírus C é igual a 230. III. 345 moradores apresentam somente um dos vírus. IV. Mais de 140 moradores apresentaram pelo menos, dois vírus. V. O número de moradores que não foram contaminados pelos vírus B e C representa menos de 16% do total de pes- soas examinadas. 17. Pedro, candidato ao cargo de Escrivão de Polícia Federal, necessitando adquirir livros para se preparar para o concurso, utilizou um site de busca da Internet e pesquisou em uma livraria virtual, especializada nas áreas de direito, administra- ção e economia, que vende livros nacionais e importados. Nessa livraria, alguns livros de direito e todos os de adminis- tração fazem parte dos produtos nacionais. Alem disso, não há livro nacional disponível de capa dura. Com base nas informações acima é possível que Pedro, em sua pesquisa, tenha: I. Encontrado um livro de administração de capa dura. II. Adquirido dessa livraria um livro de economia de capa flexível. III. Selecionado para compra um livro nacional de direito de capa dura. IV. Comprado um livro importado de direito de capa flexível. Respostas exercícios: 1-C 2-A 3-A 4-B 5-B RESPOSTAS 1.B 2.C 3.D 4.E 5.B 6.A 7.B 8.E 9.E 10.D 11.C 12.E 13.A 14.C 15.C (certo) 16.C,E,C,C,E 17.E,C,E,C PRINCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Por meio do princípio fundamental da contagem, podemos determinar quantas vezes, de modo diferente, um acontecimento pode ocorrer. Se um evento (ou fato) ocorre em n etapas consecutivas e independentes, de maneira que o número de possibilidades: Na 1a etapa é k1, Na 2a etapa é k2, Na 33 etapa é k3, .......................... Na enésima etapa é kn, então o número total de possibilidades de ocorrer o referido evento é o produto k1, k2, k3 ... kn. O princípio fundamental da contagem nos diz que sempre devemos multiplicar os números de opções entre as escolhas que podemos fazer. Por exemplo, para montar um computa- dor, temos 3 diferentes tipos de monitores, 4 tipos de tecla- dos, 2 tipos de impressora e 3 tipos de "CPU". Para saber o numero de diferentes possibilidades de computadores que podem ser montados com essas peças, somente multiplica- mos as opções: 3 x 4 x 2 x 3 = 72 Então, têm-se 72 possibilidades de configurações diferen- tes. Um problema que ocorre é quando aparece a palavra "ou", como na questão: Quantos pratos diferentes podem ser solicitados por um cliente de restaurante, tendo disponível 3 tipos de arroz, 2 de feijão, 3 de macarrão, 2 tipos de cervejas e 3 tipos de refrige- rante, sendo que o cliente não pode pedir cerveja e refrige- rante ao mesmo tempo, e que ele obrigatoriamente tenha de escolher uma opção de cada alimento? A resolução é simples: 3 x 2 x 3 = 18 , somente pela co- mida. Como o cliente não pode pedir cerveja e refrigerantes juntos, não podemos multiplicar as opções de refrigerante pelas opções de cerveja. O que devemos fazer aqui é apenas somar essas possibilidades: (3 x 2 x 3) x (2 + 3) = 90 Resposta para o problema: existem 90 possibilidades de pratos que podem ser montados com as comidas e bebidas disponíveis. Outro exemplo: No sistema brasileiro de placas de carro, cada placa é formada por três letras e quatro algarismos. Quantas placas onde o número formado pelos algarismos seja par, podem ser formadas? Primeiro, temos de saber que existem 26 letras. Segundo, para que o numero formado seja par, teremos de limitar o ultimo algarismo à um numero par. Depois, basta multiplicar. 26 x 26 x 26 = 17.567 -> parte das letras 10 x 10 x 10 x 5 = 5.000 -> parte dos algarismos, note que na última casa temos apenas 5 possibilidades, pois queremos um número par (0, 2 , 4 , 6 , 8). Agora é só multiplicar as partes: 17.567 x 5.000 = 87.835.000 Resposta para a questão: existem 87.835.000 placas on- de a parte dos algarismos formem um número par. PRINCÍPIO DA ADIÇÃO Suponhamos um procedimento executado em k fases. A fase 1 tem n1 maneiras de ser executada, a fase 2 possui n2 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 36 maneiras de ser executada e a fase k tem nk modos de ser executada. As fases são excludentes entre si, ou seja, não é possível que duas ou mais das fases sejam realizadas em conjunto. Logo, todo o procedimento tem n1 + n2 + ... + nk maneiras de ser realizado. Exemplo Deseja-se fazer uma viagem para a cidade A ou para a cidade B. Existem 5 caminhos possíveis para a cidade A e 3 possíveis caminhos para a cidade B. Logo, para esta viagem, existem no total 5 + 3 = 8 caminhos possíveis. PRINCÍPIO DA MULTIPLICAÇÃO Suponhamos um procedimento executado em k fases, concomitantes entre si. A fase 1 tem n1 maneiras de ser executada, a fase 2 possui n2 maneiras de ser executada e a fase k tem nk modos de ser executada. A fase 1 poderá ser seguida da fase 2 até a fase k, uma vez que são concomitantes. Logo, há n1 . n2 . ... . nk maneiras de executar o procedimento. Exemplo Supondo uma viagem para a cidade C, mas para chegar até lá você deve passar pelas cidades A e B. Da sua cidade até a cidade A existem 2 caminhos possíveis; da cidade A até a B existem 4 caminhos disponíveis e da cidade B até a C há 3 rotas possíveis. Portanto, há 2 x 4 x 3 = 24 diferentes caminhos possíveis de ida da sua cidade até a cidade C. Os princípios enunciados acima são bastante intuitivos. Contudo, apresentaremos ainda alguns exemplos um pouco mais complexos de aplicação. Quantos números naturais pares de três algarismos distintos podemos formar? Inicialmente, devemos observar que não podemos colocar o zero como primeiro algarismo do número. Como os números devem ser pares, existem apenas 5 formas de escrever o último algarismo (0, 2, 4, 6, 8). Contudo, se colocamos o zero como último algarismo do número, nossas escolhas para distribuição dos algarismos mudam. Portanto, podemos pensar na construção desse número como um processo composto de 2 fases excludentes entre si. Fixando o zero como último algarismo do número, temos as seguintes possibilidades de escrever os demais algarismos: 1º algarismo: 9 possibilidades (1,2,3,4,5,6,7,8,9) 2º algarismo: 8 possibilidades (1,2,3,4,5,6,7,8,9), porém excluímos a escolha feita para o 1º algarismo; 3º algarismo: 1 possibilidade (fixamos o zero). Logo, há 9 x 8 x 1 = 72 formas de escrever um número de três algarismos distintos tendo o zero como último algarismo. Sem fixar o zero, temos: 3º algarismo: 4 possibilidades (2,4,6,8) 1º algarismo: 8 possibilidades (1,2,3,4,5,6,7,8,9), excluindo a escolha feita para o último algarismo; 2º algarismo: 8 possibilidades (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) , porém excluindo as escolhas feitas para o primeiro e último algarismos. Portanto, temos 8 x 8 x 4 = 256 maneiras de escrever um número de três algarismos distintos sem zero no último algarismo. Ao todo, temos 72 + 256 = 328 formas de escrever o número. Exercícios Princípio Fundamental da Contagem Professores: Jorge e Lauro 1) (FGV/2005) Em uma gaveta de armário de um quarto es- curo há 6 camisetas vermelhas, 10 camisetas brancas e 7 camisetas pretas. Qual é o número mínimo de camisetas que se deve retirar da gaveta, sem que se vejam suas cores, para que: a) Se tenha certeza de ter retirado duas camisetas de cores diferentes. b) Se tenha certeza de ter retirado duas camisetas de mesma cor. c) Se tenha certeza de ter retirado pelo menos uma camiseta de cada cor. 2) (Enem/2004)No Nordeste brasileiro, é comum encontrar- mos peças de artesanato constituídas por garrafas preenchi- das com areia de diferentes cores, formando desenhos. Um artesão deseja fazer peças com areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a figura. O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; a casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma questão de contras- te, então o número de variações que podem ser obtidas para a paisagem é a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10. 3) (UFES/2002) Num aparelho telefônico, as dez teclas nu- meradas estão dispostas em fileiras horizontais, conforme indica a figura a seguir. Seja N a quantidade de números de telefone com 8 dígitos, que começam pelo dígito 3 e termi- nam pelo dígito zero, e, além disso, o 2o e o 3o dígitos são da primeira fileira do teclado, o 4o e o 5o dígitos são da se- gunda fileira, e o 6o e o 7o são da terceira fileira. APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 37 O valor de N é a) 27 b) 216 c) 512 d) 729 e) 1.331 4) (UFC/2002) A quantidade de números inteiros, positivos e ímpares, formados por três algarismos distintos, escolhidos dentre os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, é igual a: a) 320 b) 332 c) 348 d) 360 e) 384 5)(UFAL/200) Quantos números pares de quatro algarismos distintos podem ser formados com os elementos do conjunto A={0,1,2,3,4}? a) 60 b) 48 c) 36 d) 24 e) 18 6)(UFPI/2000) Escrevendo-se em ordem decrescente todos os números de cinco algarismos distintos formados pelos algarismos 3, 5, 7, 8 e 9, a ordem do número 75389 é: a) 54 b) 67 c) 66 d) 55 e) 56 7)(UFAL/99) Com os elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} formam-se números de 4 algarismos distintos. Quantos dos números formados NÃO são divisíveis por 5? a) 15 b) 120 c) 343 d) 720 e) 840 8)(ITA/2001) Considere os números de 2 a 6 algarismos distintos formados utilizando-se apenas 1, 2, 4, 5, 7 e 8. Quantos destes números são ímpares e começam com um dígito par? a) 375 b) 465 c) 545 d) 585 e) 625 9)(UNESP/2000) Um turista, em viagem de férias pela Euro- pa, observou pelo mapa que, para ir da cidade A à cidade B, havia três rodovias e duas ferrovias e que, para ir de B até uma outra cidade, C, havia duas rodovias e duas ferrovias. O número de percursos diferentes que o turista pode fazer para ir de A até C, passando pela cidade B e utilizando rodovia e trem obrigatoriamente, mas em qualquer ordem, é: a) 9. b) 10. c) 12. d) 15. e) 20. 10)(UECE/99) Quantos números ímpares, cada um com três algarismos, podem ser formados com os algarismos 2,3,4,6 e 7, se a repetição de algarismos é permitida? a) 60 b) 50 c) 40 d) 30 GABARITO: 1) a)11 b)4 c)18 2)B 3)D 4)A 5)A 6)C 7)D 8)D 9)B 10)B TESTE DE HABILIDADE NUMÉRICA 1. Escreva o número que falta. 18 20 24 32 ? 2. Escreva o número que falta. 3. Escreva o número que falta. 212 179 146 113 ? 4. Escreva o número que falta. 5. Escreva o número que falta. 6 8 10 11 14 14 ? 6. Escreva, dentro do parêntese, o número que falta. 17 (112) 39 28 ( . . . ) 49 7 Escreva o número que falta. 7 13 24 45 ? 8. Escreva o número que falta. 3 9 3 5 7 1 7 1 ? 9. Escreva, dentro do parêntese, o número que falta. 234 (333) 567 345 (. . .) 678 10 Escreva o número que falta. 11- Escreva o número que falta. 4 5 7 11 19 ? 12. Escreva o número que falta. 6 7 9 13 21 ? 13. Escreva o número que falta. 4 8 6 6 2 4 8 6 ? APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 38 14. Escreva o número que falta. 64 48 40 36 34 ? 15 Escreva, dentro do parêntese, o número que falta. 718 (26) 582 474 (. . .) 226 16. Escreva o número que falta. 17 Escreva o número que falta. 15 13 12 11 9 9 ? 18. Escreva o número que falta. 9 4 1 6 6 2 1 9 ? 19 Escreva o número que falta. 11 12 14 ? 26 42 20. Escreva o número que falta. 8 5 2 4 2 0 9 6 ? 21 Escreva o número que falta. 22 Escreva, dentro do parêntese, o número que falta. 341 (250) 466 282 (. . .) 398 23 Escreva o número que falta. 24 Escreva, dentro do parêntese, o número que falta. 12 (336) 14 15 (. . .) 16 25 Escreva o número que falta. 4 7 6 8 4 8 6 5 ? RESPOSTAS - TESTE DE HABILIDADE NUMËRICA 1 48. (Some 2, 4, 8 e, finalmente 16). 2 24. (No sentido contrário aos ponteiros do relógio, os números aumentam em 2, 3, 4, 5 e 6). 3 80. (Subtraia 33 de cada número). 4 5. (Os braços para cima se somam e os para baixo se subtraem, para obter o número da cabeça). 5 18. (Existem duas séries alternadas, uma que aumen- ta de 4 em 4 e a outra de 3 em 3). 6 154. (Some os números de fora do parêntese e multi- plique por 2). 7 86. (Multiplique o número por dois e subtraia 1, 2, 3 e 4). 8 3. (Subtraia os números das duas primeiras colunas e divida por 2). 9 333. (Subtraia o número da esquerda do número da direita para obter o número inserto no parêntese). 10 5. (O número da cabeça é igual a semi--soma dos números dos pés). 11 35. (A série aumenta em 1, 2, 4, 8 e 16 unidades su- cessivamente). 12 37. (Multiplique cada termo por 2 e subtraia 5 para obter o seguinte). 13 7. (Os números da terceira coluna são a semi-soma dos números das outras duas colunas). 14 33. (A série diminui em 16, 8, 4, 2 e 1 sucessivamen- te). 15 14. (Some os números de fora do parêntese e divida por 50 para obter o número inserto no mesmo). 16 3. (No sentido dos ponteiros do relógio, multiplique por 3). 17 6. (Existem duas séries alternadas: uma diminui de 3 em 3; a outra de 2 em 2). 18 4. (Cada fileira soma 14). 19 18. (Dobre cada termo e subtraia 10 para obter o se- guinte). 20 3. (Os números diminuem em saltos iguais, 3 na pri- meira fileira, 2 na segunda e 3 na terceira). 21 18. (Os números são o dobro de seus opostos diame- tralmente). 22 232. (Subtraia a parte esquerda da parte direita e mul- tiplique o resultado por dois). APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 39 23 21. (Os números aumentam em intervalos de 2, 4, 6 e 8). 24 480. (O número inserto no parêntese é o dobro do produto dos números de fora do mesmo). 25. 2. (A terceira coluna é o dobro da diferença entre a pri- meira e a segunda). TESTE DE HABILIDADE VÍSUO-ESPACIAL 1 Assinale a figura que não tem relação com as de- mais. 2 Assinale a figura que não tem relação com as de- mais. 3 Assinale a figura que não tem relação com as de- mais. 4 Escolha, dentre as numeradas, a figura que corres- ponde à incógnita. 5 Assinale a figura que não tem relação com as de- mais. 6 Assinale a figura que não tem relação com as de- mais. 7 Assinale a figura que não tem relação com as de- mais. 8 Assinale a figura que não tem relação com as de- mais. 9 Assinale a figura que não tem relação com as de- mais. * Não ter relação no sentido de não conservar as mesmas relações com as demais, por questão de detalhe, posição etc. 10 Assinale a figura que não tem relação com as de- mais. 11 Assinale a figura que não tem relação com as de- mais. APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 40 12 Assinale a figura que não tem relação com as de- mais. 13 Assinale a figura que não tem relação com as de- mais. 14 Assinale a figura que não tem relação com as de- mais. 15 Assinale a figura que não tem relação com as de- mais. 16 Assinale a figura que não tem relação com as de- mais. 17 Assinale a figura que não tem relação com as de- mais. 18 Assinale a figura que não tem relação com as de- mais. 19. Assinale a figura que não tem relação com as demais. 20 Assinale a figura que não tem relação com as de- mais. 21 Assinale a figura que não tem relação com as de- mais. 22 Assinale a figura que não tem relação com as de- mais. APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 41 23 Assinale a figura que não tem relação com as de- mais. 24 Assinale a figura que não tem relação com as de- mais. 25 Assinale afigura que não tem relação com es de- mais. 26 Assinale a figura que não tem relação com as de- mais. 27 Assinale a figura que não tem relação com as de- mais. 28 Assinale a figura que não tem relação com as de- mais. 29 Assinale a figura que não tem relação com as de- mais. 30 Escolha, dentre as figuras numeradas, a que corres- ponde à incógnita. RESPOSTAS - TESTE DE HABILIDADE VÍSUO - ES- PACIAL 1 4. (Todas as outras figuras podem inverterem-se sem qualquer diferença). 2 3. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo- rem). 3 4 . (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo- rem). 4 1. (A figura principal gira 180°e o círculo pequeno passa para o outro lado). 5 1. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo- rem). 6. 4. (A figura gira 90° cada vez, em sentido contrario aos ponteiros do relógio, exceto a 4 que gira no sentido dos mencionados ponteiros). 7 4. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo- rem). 8 4. (A figura gira 90° cada vez em sentido contrario aos ponteiros do relógio, exceto o 4 que gira no mesmo senti- do dos mencionados ponteiros). APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 42 9 4. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo- rem no plano do papel). 10 2. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo- rem). 11 3. (As outras três figuras são esquemas de urna mão esquerda; a de n.°3 é o esquema de urna mão direita). 12 3. (A figura gira 45° cada vez em sentido contrario aos ponteiros do relógio, porém o sombreado preto avança urna posição a mais, exceto em 3, que é, portanto, a figu- ra que não corresponde as demais). 13 5. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo- rem). 14 1. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo- rem). 15 4. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo- rem). 16 5. (O conjunto completo de 4 círculos gira num ângulo de 90°cada vez. Em 5 os círculos com + e o com x trocaram suas posições. Em todas as demais figuras o + está na mesma fileira que o círculo preto). 17 6. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo- rem). 18 3. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo- rem). 19 2. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo- rem). 20 2. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo- rem). 21 5. (1 e 3, e 2 e 4 são duplas que podem se sobreporem girando 45°. A figura 5 não pode sobrepor-se porque a cruz e o circulo interiores ficariam em posição dife- rente). 22 4. (Os setores preto, branco ou hachur giram em sentido contrario aos ponteiros do relógio; na figura 4 os setores branco e hachur estão em posição diferente). 23 1. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo- rem). 24 4. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo- rem). 25 4. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo- rem). 26 3. (1 e 4 formam urna dupla e o mesmo ocorre com 2 e 5. Em cada dupla os retângulos preto e hachur alternam sua posição; a figura 3 tem o sombreado em posição dife- rente). 27 5. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo- rem). 28 6. (As outras figuras podem girar até se sobreporem). 29 3. (Todas as outras figuras podem girar até se sobrepo- rem). 30. (A figura principal gira no sentido dos ponteiros do relógio; a seta, no sentido contrario). BIBLIOGRAFIA Os testes acima foram extraídos da coleção “FAÇA SEU TESTE”, da EDITORA MESTRE JOU – SÃO PAULO – SP. GEOMETRIA Áreas Procedimentos para o cálculo das medidas de uma super- fície plana. Método para calcular a área do quadrado, do losango, do paralelogramo, do triângulo, do retângulo, do polígono e do círculo geométrico. Geometria Plana (formulário) - Fórmula para o cálculo da área das figuras geométricas. Triângulo, trapézio, parale- logramo, retângulo, losango, quadrado, círculo e polígono regular. Ângulos Lê-se: ângulo AOB e são lados do ângulo. O ponto O é o seu vértice. Bissetriz de um ângulo È a semi-reta de origem no vértice de um ângulo e que o divide em dois ângulos congru- entes. Alguns ângulos notáveis APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 43 Ângulos de duas paralelas cortadas por uma trans- versal Nomenclatura Propriedades Correspondentes | a e e; b e f; c e g; d e h| Congruentes Colaterais internos | e e f; d e e| Suplementares Colaterais externos | a e h; d e g| Suplementares Alternos externos | a e g; b e h| Congruentes Alternos internos | c e e; d e f| Congruentes ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA Arco: qualquer uma das duas partes em que uma circun- ferência fica dividida por dois quaisquer de seus pontos . Corda: Segmento de reta que une dois pontos quaisquer de uma circunferência. Diâmetro: Qualquer corda que passa pelo centro de uma circunferência. Ângulo central Um ângulo é central em relação a uma circunferên- cia se o seu vértice coincide com o centro da mesma. - Quando um arco é interceptado por um ângulo central, ele é chamado de arco correspondente ao ângulo. Ângulo inscrito É inscrito numa circun- ferência somente se o seu vértice é um ponto da cir- cunferência e cada um de seus lados contém uma corda dessa circunferência. Obs: A medida de um ângulo inscrito é igual à metade da medida do arco correspondente ele. ÁREAS DE QUADRILÁTEROS E TRIÂNGULOS Retângulo S = a . b Quadrado S = a² Paralelogramo S = a . h Losango Trapézio Triângulo APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 44 Se conhecermos as medidas a e b de dois lados de um triângulo e a sua medida α, podemos calcular sua área: Podemos também calcular a área de um triângulo utili- zando o semi-perímetro: Classificação dos polígonos Vamos ressaltar a definição de polígono: Polígono é uma região plana de uma linha poligonal fechada com o conjunto de seus pontos interiores. Essas linhas são chamadas de lados e a união delas é chamada de vértice e a união dos vértices é chamada de diagonal. O único polígono que não possui diagonal é o triân- gulo. Dependendo do número de lados de um polígono ele receberá uma nomenclatura diferente, ( o menor número de lados para que seja formado um polígono são três lados) veja abaixo: 3 lados triangulo ou trilátero 4 lados quadrângulo ou quadrilátero 5 lados pentágono ou pentalátero 6 lados hexagonal ou hexalátero 7 lados heptágono ou heptalátero 8 lados octógono ou octolátero 9 lados eneágono ou enealátero 10 lados decágono ou decalátero 11 lados undecágono ou undecalátero 12 lados dodecágono ou dodecalátero 15 lados pentadecágono ou pentadecalátero 20 lados icoságono ou icosalátero Além de classificar um polígono pelo seu número de la- dos, podemos também classificá-lo conforme a congruência de seus lados e ângulos internos. Quando o polígono tem todos os lados e ângulos in- ternos congruentes eles recebem o nome de polígonos regu- lares. Quando o polígono não tem nem lados e nem ângulos congruentes recebe o nome de irregulares. Para que um polígono seja regular ele tem que assumir ser: eqüilátero, ter todos os lados congruentes e ser ao mes- mo tempo eqüiângulo, ter os ângulos congruentes. Na construção de um polígono é preciso utilizar um trans- feridor para medir os ângulos corretamente e uma régua para medir os lados corretamente. POLÍGONOS É convexo somente se, quaisquer que sejam os pontos x e y do seu interior, o segmento de reta xy está inteiramente contido em seu interior. Polígono convexo Polígono côncavo Soma dos ângulos internos de um polígono - A soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é: Um ponto I qualquer no inte- rior do polígono unindo esse ponto a cada vértice, o polígono fica decomposto em n triângu- los, Soma dos ângulos externos de um polígono Em qualquer polígono convexo, a soma das medidas dos ângulos externos é constante e igual a 360º. i1, i2, i3, i4, ... in são as medidas dos ângulos internos de um polígono de n lados. Polígono regular Um polígono regular somente se, todos os seus lados são congruentes e se todos os seus ângulos internos são congruentes. QUADRILÁTEROS Teorema A soma das medidas dos quatro ângulos internos de um quadrilátero qualquer é igual a 360º. APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 45 Trapézio É todo quadrilá- tero que possui somente um par, de lados opostos paralelos. CD e AB ¦ ¹ ¦ ´ ¦ is transversa lados os são BD e AC trapézio do bases as são CD e AB Classificação dos Trapézios Trapézio escaleno Os lados transversos têm medidas diferentes BC AD ≠ Trapézio isósceles Os lados transversos têm medidas iguais. BC AD = Trapézio retângulo Um dos lados transver- sos é perpendicular as bases. Paralelogramos É todo quadrilátero que possui os lados opostos respecti- vamente paralelos. Paralelogramos Notáveis RETÂNGULO É todo paralelogramo que possui seu ângulos retos. LOSANGO É todo paralelogramo que possui quatro lados congruentes. QUADRADO É todo paralelogramo que é retângulo e losango simultâ- neamente, ou seja, seu ângulos são retos e seu lados são con- gruentes. Congruência de triângulos Dois ou mais triângulos são congruentes somente se os seus lados e ângulos forem ordenados congruentes. O emprego da congruência de triângulos em demonstra- ção Com o auxilio da congruência de triângulos é que se de- monstra grande parte dos teoremas fundamentais da geome- tria. Semelhança de triângulos Dois triângulos são semelhantes somente se, existe uma correspondência biunívoca que associa os três vértices de um dos triângulos aos três vértices do outro, de forma que: I) lados opostos a vértices correspondentes são propor- cionais. II) Ângulos com vértices correspondentes são congruen- tes. Casos de semelhança de triângulos Critérios utilizados para que haja semelhança de triângu- los 1) Caso AA (ângulo, ângulo)Dois triângulos são semelhantes somente se, têm dois ângulos respectivamente congruen- tes. APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 46 2) Caso LAL (lado, ângulo, lado)Dois triângulos são seme- lhantes somente se, têm dois lados, respectivamente, proporcionais; e são congruentes os ângulos formados por esses lados. 3) Caso LLL (lado, lado, lado) Dois triângulos são semelhantes somente se, têm os três lados, respectivamente, proporcionais. Relações Métricas no triângulo Retângulo Caso ABC seja um triângulo retângulo em A, traçando-se a altura AH, relativa à hipotenusa, ficam definidos os seguin- tes elementos. Relações Métricas Triângulo Retângulo Num triângulo ABC, retângulo em A, indicamos por: A a medida da hipotenusa BC B a medida do cateto AC C a medida do cateto AB H a medida de AH, altura relativa a BC M a medida de HC, projeção ortogonal de AC sobre BC N a medida de BH, projeção ortogonal de AB sobre BC. A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa, ou seja, b² + c² = a² (teorema de Pitágoras). O quadrado da medida de um cateto é igual ao produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção ortogo- nal desse cateto sobre a hipotenusa, ou seja, b² = a . m c² = a . n O produto das medidas dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa à hipotenusa, ou seja, b . c = a . h . O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto dos segmentos que ela determina na hipotenusa, ou se- ja, h² = m . n Triângulo Equilátero Num triângulo eqüilátero ABC, cujo lado tem medida a: AH é altura, mediana e bissetriz relativa ao lado BC; sua medida h é dada por: O baricentro (ponto de intersecção das medianas), o orto- centro (ponto de intersecção das retas suportes das alturas), o incentro (ponto de intersecção das bissetrizes internas) e o circuncentro(ponto de intersecção das mediatrizes dos lados) coincidem. O baricentro divide cada mediana em duas partes tais que a que contém o vértice é o dobro da outra. Quadrado Num quadrado, cujo lado tem medida a, a medida d de uma diagonal é dada por: APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 47 d = a √2 Teorema de Tales Se um feixe de paralelas determina segmentos congru- entes sobre uma transversal, então esse feixe determina segmentos congruentes sobre qualquer outra transversal. - Um feixe de paralelas separa, sobre duas transversais quaisquer, segmentos de uma proporcionais aos segmentos correspondentes na outra. Fonte: http://www.brasilescola.com ÁLGEBRA - EQUAÇÕES EXPRESSÕES LITERAIS OU ALGÉBRICAS IGUALDADES E PROPRIEDADES São expressões constituídas por números e letras, unidos por sinais de operações. Exemplo: 3a 2 ; –2axy + 4x 2 ; xyz; 3 x + 2 , é o mesmo que 3.a 2 ; –2.a.x.y + 4.x 2 ; x.y.z; x : 3 + 2, as letras a, x, y e z representam um número qualquer. Chama-se valor numérico de uma expressão algé- brica quando substituímos as letras pelos respectivos valores dados: Exemplo: 3x 2 + 2y para x = –1 e y = 2, substituindo os respectivos valores temos, 3.(–1) 2 + 2.2 → 3 . 1+ 4 → 3 + 4 = 7 é o valor numérico da expressão. Exercícios Calcular os valores numéricos das expressões: 1) 3x – 3y para x = 1 e y =3 2) x + 2a para x =–2 e a = 0 3) 5x 2 – 2y + a para x =1, y =2 e a =3 Respostas: 1) –6 2) –2 3) 4 Termo algébrico ou monômio: é qualquer número real, ou produto de números, ou ainda uma expressão na qual figuram multiplicações de fatores numéricos e literais. Exemplo: 5x 4 , –2y, x 3 , –4a , 3 , – x Partes do termo algébrico ou monômio. Exemplo: sinal (–) –3x 5 ybz 3 coeficiente numérico ou parte numérica x 5 ybz parte literal Obs.: 1) As letras x, y, z (final do alfabeto) são usadas co- mo variáveis (valor variável) 2) quando o termo algébrico não vier expresso o co- eficiente ou parte numérica fica subentendido que este coeficiente é igual a 1. APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 48 Exemplo: 1) a 3 bx 4 = 1.a 3 bx 4 2) –abc = –1.a.b.c Termos semelhantes: Dois ou mais termos são se- melhantes se possuem as mesmas letras elevadas aos mesmos expoentes e sujeitas às mesmas operações. Exemplos: 1) a 3 bx, –4a 3 bx e 2a 3 bx são termos semelhantes. 2) –x 3 y, +3x 3 y e 8x 3 y são termos semelhantes. Grau de um monômio ou termo algébrico: E a so- ma dos expoentes da parte literal. Exemplos: 1) 2 x 4 y 3 z = 2.x 4 .y 3 .z 1 (somando os expoentes da parte literal temos, 4 + 3 + 1 = 8) grau 8. Expressão polinômio: É toda expressão literal constituída por uma soma algébrica de termos ou mo- nômios. Exemplos: 1)2a 2 b – 5x 2)3x 2 + 2b+ 1 Polinômios na variável x são expressões polinomiais com uma só variável x, sem termos semelhantes. Exemplo: 5x 2 + 2x – 3 denominada polinômio na variável x cuja forma geral é a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + ... + a n x n , onde a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n são os coeficientes. Grau de um polinômio não nulo, é o grau do monô- mio de maior grau. Exemplo: 5a 2 x – 3a 4 x 2 y + 2xy Grau 2+1 = 3, grau 4+2+1= 7, grau 1+1= 2, 7 é o maior grau, logo o grau do polinômio é 7. Exercícios 1) Dar os graus e os coeficientes dos monômios: a)–3x y 2 z grau coefciente__________ b)–a 7 x 2 z 2 grau coeficiente__________ c) xyz grau coeficiente__________ 2) Dar o grau dos polinômios: a) 2x 4 y – 3xy 2 + 2x grau __________ b) –2+xyz+2x 5 y 2 grau __________ Respostas: 1) a) grau 4, coeficiente –3 b) grau 11, coeficiente –1 c) grau 3, coeficiente 1 2) a) grau 5 b) grau 7 CÁLCULO COM EXPRESSÕES LITERAIS Adição e Subtração de monômios e expressões poli- nômios: eliminam-se os sinais de associações, e redu- zem os termos semelhantes. Exemplo: 3x 2 + (2x – 1) – (–3a) + (x 2 – 2x + 2) – (4a) 3x 2 + 2x – 1 + 3a + x 2 – 2x + 2 – 4a = 3x 2 + 1.x 2 + 2x – 2x + 3a – 4a – 1 + 2 = (3+1)x 2 + (2–2)x + (3–4)a – 1+2 = 4x 2 + 0x – 1.a + 1 = 4x 2 – a + 1 Obs.: As regras de eliminação de parênteses são as mesmas usadas para expressões numéricas no conjunto Z. Exercícios. Efetuar as operações: 1) 4x + (5a) + (a –3x) + ( x –3a) 2) 4x 2 – 7x + 6x 2 + 2 + 4x – x 2 + 1 Respostas: 1) 2x +3a 2) 9x 2 – 3x + 3 MULTIPLICAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS Multiplicação de dois monômios: Multiplicam-se os coeficientes e após o produto dos coeficientes escre- vem-se as letras em ordem alfabética, dando a cada letra o novo expoente igual à soma de todos os expoen- tes dessa letra e repetem-se em forma de produto as letras que não são comuns aos dois monômios. Exemplos: 1) 2x 4 y 3 z . 3xy 2 z 3 ab = 2.3 .x 4+1 . y 3+2 . z 1+3 .a.b = 6abx 5 y 5 z 4 2) –3a 2 bx . 5ab= –3.5. a 2+1 .b 1 +1 . x = –15a 3 b 2 x Exercícios: Efetuar as multiplicações. 1) 2x 2 yz . 4x 3 y 3 z = 2) –5abx 3 . 2a 2 b 2 x 2 = Respostas: 1) 8x 5 y 4 z 2 2) –10a 3 b 3 x 5 EQUAÇÕES DO 1.º GRAU Equação: É o nome dado a toda sentença algébrica que exprime uma relação de igualdade. Ou ainda: É uma igualdade algébrica que se verifica somente para determinado valor numérico atribuído à variável. Logo, equação é uma igualdade condicional. Exemplo: 5 + x = 11 ↓ ↓ 1 0 .membro 2 0 .membro onde x é a incógnita, variável ou oculta. Resolução de equações Para resolver uma equação (achar a raiz) seguire- mos os princípios gerais que podem ser aplicados numa igualdade. Ao transportar um termo de um membro de uma i- gualdade para outro, sua operação deverá ser invertida. Exemplo: 2x + 3 = 8 + x fica assim: 2x – x = 8 – 3 = 5 ⇒ x = 5 Note que o x foi para o 1.º membro e o 3 foi para o 2.º membro com as operações invertidas. Dizemos que 5 é a solução ou a raiz da equação, di- zemos ainda que é o conjunto verdade (V). APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 49 Exercícios Resolva as equações : 1) 3x + 7 = 19 2) 4x +20=0 3) 7x – 26 = 3x – 6 Respostas: 1) x = 4 ou V = {4} 2) x = –5 ou V = {–5} 3) x = 5 ou V = {5} EQUAÇÕES DO 1.º GRAU COM DUAS VARIÁVEIS OU SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES Resolução por adição. Exemplo 1: ¹ ´ ¦ = − = + II - 1 y x I - 7 y x Soma-se membro a membro. 2x +0 =8 2x = 8 2 8 x = x = 4 Sabendo que o valor de x é igual 4 substitua este va- lor em qualquer uma das equações ( I ou II ), Substitui em I fica: 4 + y = 7 ⇒ y = 7 – 4 ⇒ y = 3 Se quisermos verificar se está correto, devemos substituir os valores encontrados x e y nas equações x + y = 7 x – y = 1 4 +3 = 7 4 – 3 = 1 Dizemos que o conjunto verdade: V = {(4, 3)} Exemplo 2 : ¹ ´ ¦ = + = + II - 8 y x I - 11 y 2x Note que temos apenas a operação +, portanto de- vemos multiplicar qualquer uma ( I ou II) por –1, esco- lhendo a II, temos: ¹ ´ ¦ − = − = + → ¹ ´ ¦ = + = + 8 y x - 11 y 2x 1) - ( . 8 y x 11 y 2x soma-se membro a membro 3 x 3 0 x 8 - y - x - 11 y 2x = = + + ¹ ´ ¦ = = + Agora, substituindo x = 3 na equação II: x + y = 8, fica 3 + y = 8, portanto y = 5 Exemplo 3: ¹ ´ ¦ ΙΙ = Ι = + - 2 y - 3x - 18 2y 5x neste exemplo, devemos multiplicar a equação II por 2 (para “desaparecer” a variável y). ¹ ´ ¦ = − = + ⇒ ¹ ´ ¦ = = + 4 2 6 18 2 5 .(2) 2 y - 3x 18 2y 5x y x y x soma-se membro a membro: 5x + 2y = 18 6x – 2y = 4 11x+ 0=22 ⇒ 11x = 22 ⇒ x = 11 22 ⇒ x = 2 Substituindo x = 2 na equação I: 5x + 2y = 18 5 . 2 + 2y = 18 10 + 2y = 18 2y = 18 – 10 2y = 8 y = 2 8 y =4 então V = {(2,4)} Exercícios. Resolver os sistemas de Equação Linear: 1) ¹ ´ ¦ = + = − 16 y x 5 20 y x 7 2) ¹ ´ ¦ = − = + 2 y 3 x 8 7 y x 5 3) ¹ ´ ¦ = − = − 10 y 2 x 2 28 y 4 x 8 Respostas: 1) V = {(3,1)} 2) V = {(1,2)} 3) V {(–3,2 )} INEQUAÇÕES DO 1.º GRAU Distinguimos as equações das inequações pelo sinal, na equação temos sinal de igualdade (=) nas inequa- ções são sinais de desigualdade. > maior que, ≥ maior ou igual, < menor que , ≤ menor ou igual Exemplo 1: Determine os números naturais de modo que 4 + 2x > 12. 4 + 2x > 12 2x > 12 – 4 2x > 8 ⇒ x > 2 8 ⇒ x > 4 Exemplo 2: Determine os números inteiros de modo que 4 + 2x ≤ 5x + 13 4+2x ≤ 5x + 13 2x – 5x ≤ 13 – 4 –3x ≤ 9 . (–1) ⇒ 3x ≥ – 9, quando multiplicamos por (-1), invertemos o sinal dê desigualdade ≤ para ≥, fica: 3x ≥ – 9, onde x ≥ 3 9 − ou x ≥ – 3 Exercícios. Resolva: 1) x – 3 ≥ 1 – x, 2) 2x + 1 ≤ 6 x –2 3) 3 – x ≤ –1 + x Respostas: 1) x ≥ 2 2) x ≥ 3/4 3) x ≥ 2 PRODUTOS NOTÁVEIS 1.º Caso: Quadrado da Soma (a + b) 2 = (a+b). (a+b)= a 2 + ab + ab + b 2 ↓ ↓ 1.º 2.º ⇒ a 2 + 2ab +b 2 Resumindo: “O quadrado da soma é igual ao qua- drado do primeiro mais duas vezes o 1.º pelo 2.º mais o quadrado do 2.º. APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 50 Exercícios. Resolver os produtos notáveis 1)(a+2) 2 2) (3+2a) 2 3) (x 2 +3a) 2 Respostas: 1.º caso 1) a 2 + 4a + 4 2) 9 + 12a + 4a 2 3) x 4 + 6x 2 a + 9a 2 2.º Caso : Quadrado da diferença (a – b) 2 = (a – b). (a – b) = a 2 – ab – ab - b 2 ↓ ↓ 1.º 2.º ⇒ a 2 – 2ab + b 2 Resumindo: “O quadrado da diferença é igual ao quadrado do 1.º menos duas vezes o 1.º pelo 2.º mais o quadrado do 2.º. Exercícios. Resolver os produtos notáveis: 1) (a – 2) 2 2) (4 – 3a) 2 3) (y 2 – 2b) 2 Respostas: 2.º caso 1) a 2 – 4a +4 2) 16 – 24a + 9a 2 3) y 4 – 4y 2 b + 4b 2 3.º Caso: Produto da soma pela diferença (a – b) (a + b) = a 2 – ab + ab +b 2 = a 2 – b 2 ↓ ↓ ↓ ↓ 1.º 2.º 1.º 2.º Resumindo: “O produto da soma pela diferença é igual ao quadrado do 1.º menos o quadrado do 2.º. Exercícios. Efetuar os produtos da soma pela dife- rença: 1) (a – 2) (a + 2) 2) (2a – 3) (2a + 3) 3) (a 2 – 1) (a 2 + 1) Respostas: 3.º caso 1) a 2 – 4 2) 4a 2 – 9 3) a 4 – 1 FATORAÇÃO ALGÉBRICA 1.º Caso: Fator Comum Exemplo 1: 2a + 2b: fator comum é o coeficiente 2, fica: 2 .(a+b). Note que se fizermos a distributiva voltamos no início (Fator comum e distributiva são “operações inversas”) Exercícios. Fatorar: 1) 5 a + 5 b 2) ab + ax 3) 4ac + 4ab Respostas: 1.º caso 1) 5 .(a +b ) 2) a. (b + x) 3) 4a. (c + b) Exemplo 2: 3a 2 + 6a: Fator comum dos coeficientes (3, 6) é 3, porque MDC (3, 6) = 3. O m.d.c. entre: “a e a 2 é “a” (menor expoente), então o fator comum da expressão 3a 2 + 6a é 3a. Dividindo 3a 2 : 3a = a e 6 a : 3 a = 2, fica: 3a. (a + 2). Exercícios. Fatorar: 1) 4a 2 + 2a 2) 3ax + 6a 2 y 3) 4a 3 + 2a 2 Respostas: 1.º caso 1) 2a .(2a + 1) 2) 3a .(x + 2ay) 3) 2a 2 (2a + 1) 2.º Caso: Trinômio quadrado perfeito (É a “ope- ração inversa” dos produtos notáveis caso 1) Exemplo 1 a 2 + 2ab + b 2 ⇒ extrair as raízes quadradas do ex- tremo 2 a + 2ab + 2 b ⇒ 2 a = a e 2 b = b e o termo do meio é 2.a.b, então a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 (quadrado da soma). Exemplo 2: 4a 2 + 4a + 1 ⇒ extrair as raízes dos extremos 2 a 4 + 4a + 1 ⇒ 2 a 4 = 2a , 1 = 1 e o termo cen- tral é 2.2a.1 = 4a, então 4a 2 + 4a + 1 = (2a + 1) 2 Exercícios Fatorar os trinômios (soma) 1) x 2 + 2xy + y 2 2) 9a 2 + 6a + 1 3) 16 + 8a + a 2 Respostas: 2.º caso 1) (x + y) 2 2) (3a + 1) 2 3) (4 + a) 2 Fazendo com trinômio (quadrado da diferença) x 2 – 2xy + y 2 , extrair as raízes dos extremos 2 x = x e 2 y = y, o termo central é –2.x.y, então: x 2 – 2xy + y 2 = (x – y) 2 Exemplo 3: 16 – 8a + a 2 , extrair as raízes dos extremos 16 = 4 e 2 a = a, termo central –2.4.a = –8a, então: 16 – 8a + a 2 = (4 – a) 2 Exercícios Fatorar: 1) x 2 – 2xy + y 2 2) 4 – 4a + a 2 3) 4a 2 – 8a + 4 Respostas: 2.º caso 1) (x – y) 2 2) (2 – a) 2 3) (2a – 2) 2 3.º Caso: (Diferença de dois quadrados) (note que é um binômio) Exemplo 1 a 2 – b 2 , extrair as raízes dos extremos 2 a = a e 2 b = b, então fica: a 2 – b 2 = (a + b) . (a – b) Exemplo 2: 4 – a 2 , extrair as raízes dos extremos 4 = 2, 2 a = a, fica: (4 – a 2 ) = (2 – a). (2+ a) Exercícios. Fatorar: 1) x 2 – y 2 2) 9 – b 2 3) 16x 2 – 1 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 51 Respostas: 3.º caso 1) (x + y) (x – y) 2) (3 + b) (3 – b) 3) (4x + 1) (4x – 1) EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS São Equações cujas variáveis estão no denominador Ex: x 4 = 2, x 1 + x 2 3 = 8, note que nos dois exem- plos x ≠ 0, pois o denominador deverá ser sempre dife- rente de zero. Para resolver uma equação fracionária, devemos a- char o m.m.c. dos denominadores e multiplicamos os dois membros por este m.m.c. e simplificamos, temos então uma equação do 1.º grau. Ex: x 1 + 3 = 2 7 , x ≠ 0, m.m.c. = 2x 2x . x 1 +3 = 2 7 . 2x x x 2 + 6x = 2 x 14 , simplificando 2 + 6x = 7x ⇒ equação do 1.º grau. Resolvendo temos: 2 = 7x – 6x 2 = x ou x = 2 ou V = { 2 } Exercícios Resolver as equações fracionárias: 1) 0 x x 2 3 2 1 x 3 ≠ = + 2) 0 x x 2 5 1 x 1 ≠ = + Respostas: Equações: 1) V = {–3} 2) V = { 2 3 } RADICAIS 4 16 , 3 9 , 1 1 , 2 4 = = = = , etc., são raízes exa- tas são números inteiros, portanto são racionais: 2 = 1,41421356..., 3 = 1,73205807..., 5 = 2,2360679775..., etc. não são raízes exatas, não são números inteiros. São números irracionais. Do mesmo modo 3 1 = 1, 2 8 3 = , 3 27 3 = , 4 64 3 = ,etc., são racionais, já 3 9 = 2,080083823052.., 3 20 = 2,714417616595... são irracionais. Nomes: b a n = : n = índice; a = radicando = sinal da raiz e b = raiz. Dois radicais são semelhantes se o índice e o radicando forem iguais. Exemplos: 1) 2 - , 2 3 , 2 são semelhantes observe o n = 2 “raiz quadrada” pode omitir o índice, ou seja, 5 5 2 = 2) 3 3 3 7 2 , 7 , 7 5 são semelhantes Operações: Adição e Subtração Só podemos adicionar e subtrair radicais semelhan- tes. Exemplos: 1) ( ) 2 6 2 5 2 3 2 5 2 2 2 3 = + − = + − 2) ( ) 3 3 3 3 3 6 9 6 7 3 5 6 7 6 3 6 5 = + − = + − Multiplicação e Divisão de Radicais Só podemos multiplicar radicais com mesmo índice e usamos a propriedade: n n n ab b a = ⋅ Exemplos 1) 2 4 2 . 2 2 2 = = = ⋅ 2) 12 4 . 3 4 3 = = ⋅ 3) 3 27 9 . 3 9 3 3 3 3 3 = = = ⋅ 4) 3 3 3 3 20 4 . 5 4 5 = = ⋅ 5) 90 6 . 5 . 3 6 5 3 = = ⋅ ⋅ Exercícios Efetuar as multiplicações 1) 8 3 ⋅ 2) 5 5 ⋅ 3) 3 3 3 5 4 6 ⋅ ⋅ Respostas: 1) 24 2) 5 3) 3 120 Para a divisão de radicais usamos a propriedade também com índices iguais b : a b : a b a = = Exemplos: 1) 3 9 2 : 18 2 : 18 2 18 = = = = 2) 2 10 : 20 10 : 20 10 20 = = = 3) 3 3 3 3 3 3 3 5 : 15 5 : 15 5 15 = = = Exercícios. Efetuar as divisões 1) 3 6 2) 3 3 2 16 3) 6 24 Respostas: 1) 2 2) 2 3) 2 Simplificação de Radicais Podemos simplificar radicais, extraindo parte de raí- zes exatas usando a propriedade n n a simplificar índice com expoente do radicando. Exemplos: 1)Simplificar 12 decompor 12 em fatores primos: 12 2 6 2 3 2 3 2 3 2 12 2 2 2 = ⋅ = ⋅ = 3 3 1 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 52 2) Simplificar 32 , decompondo 32 fica: 32 2 16 2 8 2 4 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 32 2 2 2 2 2 2 = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = 3) Simplificar 3 128 , decompondo fica: 128 2 64 2 32 2 16 2 8 2 4 2 2 2 1 fica 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 128 = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = Exercícios Simplificar os radicais: 1) 20 2) 50 3) 3 40 Respostas: 1) 5 2 2) 2 5 3) 2. 3 5 Racionalização de Radiciação Em uma fração quando o denominador for um radical devemos racionalizá-lo. Exemplo: 3 2 devemos multipli- car o numerador e o denominador pelo mesmo radical do denominador. 3 3 2 9 3 2 3 3 3 2 3 3 3 2 = = ⋅ = ⋅ 3 2 e 3 3 2 são frações equivalentes. Dizemos que 3 é o fator racionalizante. Exercícios Racionalizar: 1) 5 1 2) 2 2 3) 2 3 Respostas: 1) 5 5 2) 2 3) 2 6 Outros exemplos: 3 2 2 devemos fazer: 3 3 3 3 3 3 2 1 3 2 3 2 3 2 3 1 4 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = = = ⋅ ⋅ = ⋅ Exercícios. Racionalizar: 1) 3 4 1 2) 3 2 2 3 3) 3 3 3 2 Respostas: 1) 4 16 3 2) 2 2 3 3 3) 3 18 3 EQUAÇÕES DO 2.º GRAU Definição: Denomina-se equação de 2.º grau com variável toda equação de forma: ax 2 + bx + c = 0 onde : x é variável e a,b, c ∈ R, com a ≠ 0. Exemplos: 3x 2 - 6x + 8 = 0 2x 2 + 8x + 1 = 0 x 2 + 0x – 16 = 0 y 2 - y + 9 = 0 - 3y 2 - 9y+0 = 0 5x 2 + 7x - 9 = 0 COEFICIENTE DA EQUAÇÃO DO 2.º GRAU Os números a, b, c são chamados de coeficientes da equação do 2.º grau, sendo que: • a representa sempre o coeficiente do termo x 2 . • b representa sempre o coeficiente do termo x. • c é chamado de termo independente ou termo constante. Exemplos: a)3x 2 + 4x + 1= 0 b) y 2 + 0y + 3 = 0 a =3,b = 4,c = 1 a = 1,b = 0, c = 3 c) – 2x 2 –3x +1 = 0 d) 7y 2 + 3y + 0 = 0 a = –2, b = –3, c = 1 a = 7, b = 3, c = 0 Exercícios Destaque os coeficientes: 1)3y 2 + 5y + 0 = 0 2)2x 2 – 2x + 1 = 0 3)5y 2 –2y + 3 = 0 4) 6x 2 + 0x +3 = 0 Respostas: 1) a =3, b = 5 e c = 0 2)a = 2, b = –2 e c = 1 3) a = 5, b = –2 e c =3 4) a = 6, b = 0 e c =3 EQUAÇÕES COMPLETAS E INCOMPLETAS Temos uma equação completa quando os coeficientes a , b e c são diferentes de zero. Exemplos: 3x 2 – 2x – 1= 0 y 2 – 2y – 3 = 0 São equações completas. y 2 + 2y + 5 = 0 Quando uma equação é incompleta, b = 0 ou c = 0, costuma-se escrever a equação sem termos de coefici- ente nulo. Exemplos: x 2 – 16 = 0, b = 0 (Não está escrito o termo x) x 2 + 4x = 0, c = 0 (Não está escrito o termo inde- pendente ou termo constante) x 2 = 0, b = 0, c = 0 (Não estão escritos o termo x e termo independente) FORMA NORMAL DA EQUAÇÃO DO 2.º GRAU ax 2 + bx + c = 0 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 53 EXERCÍCIOS Escreva as equações na forma normal: 1) 7x 2 + 9x = 3x 2 – 1 2) 5x 2 – 2x = 2x 2 + 2 Respostas: 1) 4x 2 + 9x + 1= 0 2) 3x 2 – 2x –2 = 0 Resolução de Equações Completas Para resolver a equação do 2.º Grau, vamos utilizar a fórmula resolutiva ou fórmula de Báscara. A expressão b 2 - 4ac, chamado discriminante de equação, é representada pela letra grega ∆ (lê-se deita). ∆ = b 2 - 4ac logo se ∆ > 0 podemos escrever: a 2 b x ∆ ± − = RESUMO NA RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DO 2.º GRAU COMPLETA PODEMOS USAR AS DUAS FORMAS: a 2 c a 4 2 b b x − ± − = ou ∆ = b 2 - 4ac a 2 b x ∆ ± − = Exemplos: a) 2x 2 + 7x + 3 = 0 a = 2, b =7, c = 3 a 2 c a 4 2 b b x − ± − = ⇒ ( ) ( ) 2 2 3 2 4 2 7 7 x ⋅ ⋅ ⋅ − ± + − = ( ) 4 24 49 7 x − ± + − = ⇒ ( ) 4 25 7 x ± + − = ( ) 4 5 7 x ± + − = ⇒ 2 -1 4 -2 4 5 7 ' x = = + − = 3 - 4 -12 4 5 7 " x = = − − = ) ` ¹ ¹ ´ ¦− = 3 - , 2 1 S ou b) 2x 2 +7x + 3 = 0 a = 2, b = 7, c = 3 ∆ = b 2 – 4.a. c ∆ =7 2 – 4 . 2 . 3 ∆ = 49 – 24 ∆ = 25 ( ) 4 25 7 x ± + − = ⇒ ( ) 4 5 7 x ± + − = ⇒ ‘ 2 -1 4 -2 4 5 7 ' x = = + − = e 3 - 4 -12 4 5 7 " x = = − − = ) ` ¹ ¹ ´ ¦− = 3 - , 2 1 S Observação: fica ao SEU CRITÉRIO A ESCOLHA DA FORMULA. EXERCÍCIOS Resolva as equações do 2.º grau completa: 1) x 2 – 9x +20 = 0 2) 2x 2 + x – 3 = 0 3) 2x 2 – 7x – 15 = 0 4) x 2 +3x + 2 = 0 5) x 2 – 4x +4 = 0 Respostas 1) V = { 4 , 5) 2) V = { 1, 2 3 − } 3) V = { 5 , 2 3 − } 4) V = { –1 , –2 } 5) V = {2} EQUAÇÃO DO 2.º GRAU INCOMPLETA Estudaremos a resolução das equações incompletas do 2.º grau no conjunto R. Equação da forma: ax 2 + bx = 0 onde c = 0 Exemplo: 2x 2 – 7x = 0 Colocando-se o fator x em evidência (menor expoente) x . (2x – 7) = 0 x = 0 ou 2x – 7 = 0 ⇒ x = 2 7 Os números reais 0 e 2 7 são as raízes da equação S = { 0 ; 2 7 ) Equação da forma: ax 2 + c = 0, onde b = 0 Exemplos a) x 2 – 81 = 0 x 2 = 81→transportando-se o termo independente para o 2.º termo. x = 81 ± →pela relação fundamental. x = ± 9 S = { 9; – 9 } b) x 2 +25 = 0 x 2 = –25 x = ± 25 − , 25 − não representa número real, isto é 25 − ∉ R a equação dada não tem raízes em IR. S = φ ou S = { } c) 9x 2 – 81= 0 9x 2 = 81 x 2 = 9 81 x 2 = 9 x = 9 ± x = ± 3 S = { ±3} Equação da forma: ax = 0 onde b = 0, c = 0 A equação incompleta ax = 0 admite uma única solução x = 0. Exemplo: 3x 2 = 0 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 54 x 2 = 3 0 x 2 = 0 x 2 = + 0 S = { 0 } Exercícios Respostas: 1) 4x 2 – 16 = 0 1) V = { –2, + 2} 2) 5x 2 – 125 = 0 2) V = { –5, +5} 3) 3x 2 + 75x = 0 3) V = { 0, –25} Relações entre coeficiente e raízes Seja a equação ax 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0), sejam x’ e x” as raízes dessa equação existem x’ e x” reais dos coeficientes a, b, c. a 2 b ' x ∆ + − = e a 2 b " x ∆ − − = RELAÇÃO: SOMA DAS RAÍZES a 2 b a 2 b " x ' x ∆ − − + ∆ + − = + ⇒ a 2 b b " x ' x ∆ − − ∆ + − = + a b " x ' x a 2 b 2 " x ' x − = + ⇒ − = + Daí a soma das raízes é igual a -b/a ou seja, x’+ x” = -b/a Relação da soma: a b " x ' x − = + RELAÇÃO: PRODUTO DAS RAÍZES a 2 b a 2 b " x ' x ∆ − − ⋅ ∆ + − = ⋅ ⇒ ( ) ( ) 2 a 4 b b " x ' x ∆ − − ⋅ ∆ + − = ⋅ ( ) c a 4 2 b 2 a 4 2 2 b " x ' x ⋅ ⋅ − = ∆ ⇒ ∆ − | ¹ | \ | − = ⋅ ⇒ ⇒ | ¹ | \ | − − = ⋅ 2 a 4 ac 4 2 b 2 b " x ' x ⇒ + − = ⋅ 2 a 4 ac 4 b 2 b " x ' x 2 a c " x ' x 2 a 4 ac 4 " x ' x = ⋅ ⇒ = ⋅ Daí o produto das raízes é igual a a c ou seja: a c " x ' x = ⋅ ( Relação de produto) Sua Representação: • Representamos a Soma por S a b " x ' x S − = + = • Representamos o Produto pôr P a c " x ' x P = ⋅ = Exemplos: 1) 9x 2 – 72x +45 = 0 a = 9, b = –72, c = 45. ( ) 8 9 72 9 -72 - a b " x ' x S = = = − = + = 5 9 45 a c " x ' x P = = = ⋅ = 2) 3x 2 +21x – 24= 0 a = 3, b = 21,c = –24 ( ) 7 3 21 - 3 21 - a b " x ' x S − = = = − = + = ( ) 8 3 24 3 24 - a c " x ' x P − = − = + = = ⋅ = a = 4, 3) 4x 2 – 16 = 0 b = 0, (equação incompleta) c = –16 0 4 0 a b " ' = = − = + = x x S ( ) 4 4 16 4 16 - a c " x ' x P − = − = + = = ⋅ = a = a+1 4) ( a+1) x 2 – ( a + 1) x + 2a+ 2 = 0 b = – (a+ 1) c = 2a+2 ( ) [ ] 1 1 a 1 a 1 a 1 a - - a b " x ' x S = + + = + + = − = + = ( ) 2 1 a 1 a 2 1 a 2 a 2 a c " x ' x P = + + = + + = = ⋅ = Se a = 1 essas relações podem ser escritas: 1 b " x ' x − = + b " x ' x − = + 1 c " x ' x = ⋅ c " x ' x = ⋅ Exemplo: x 2 –7x+2 = 0 a = 1, b =–7, c = 2 ( ) 7 1 7 - - a b " x ' x S = = − = + = 2 1 2 a c " x ' x P = = = ⋅ = EXERCÍCIOS Calcule a Soma e Produto 1) 2x 2 – 12x + 6 = 0 2) x 2 – (a + b)x + ab = 0 3) ax 2 + 3ax–- 1 = 0 4) x 2 + 3x – 2 = 0 Respostas: 1) S = 6 e P = 3 2) S = (a + b) e P = ab 3) S = –3 e P = a 1 − 4) S = –3 e P = –2 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 55 APLICAÇÕES DAS RELAÇÕES Se considerarmos a = 1, a expressão procurada é x 2 + bx + c: pelas relações entre coeficientes e raízes temos: x’ + x”= –b b = – ( x’ + x”) x’ . x” = c c = x’ . x” Daí temos: x 2 + bx + c = 0 REPRESENTAÇÃO Representando a soma x’ + x” = S Representando o produto x’ . x” = P E TEMOS A EQUAÇÃO: x 2 – Sx + P = 0 Exemplos: a) raízes 3 e – 4 S = x’+ x” = 3 + (-4) =3 – 4 = –1 P = x’ .x” = 3 . (–4) = –12 x – Sx + P = 0 x 2 + x – 12 = 0 b) 0,2 e 0,3 S = x’+ x” =0,2 + 0,3 = 0,5 P = x . x =0,2 . 0,3 = 0,06 x 2 – Sx + P = 0 x 2 – 0,5x + 0,06 = 0 c) 2 5 e 4 3 S = x’+ x” = 2 5 + 4 3 = 4 13 4 3 10 = + P = x . x = 2 5 . 4 3 = 8 15 x 2 – Sx + P = 0 x 2 – 4 13 x + 8 15 = 0 d) 4 e – 4 S = x’ +x” = 4 + (–4) = 4 – 4 = 0 P = x’ . x” = 4 . (–4) = –16 x 2 – Sx + P = 0 x 2 –16 = 0 Exercícios Componha a equação do 2.º grau cujas raízes são: 1) 3 e 2 2) 6 e –5 3) 2 e 5 4 − 4) 3 + 5 e 3 – 5 5) 6 e 0 Respostas: 1) x 2 – 5x+6= 0 2) x 2 – x – 30 = 0 3)x 2 – 5 6x − – 5 8 = 0 4) x 2 – 6x + 4 = 0 5) x 2 – 6x = 0 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Um problema de 2.º grau pode ser resolvido por meio de uma equação ou de um sistema de equações do 2.º grau. Para resolver um problema do segundo grau deve-se seguir três etapas: • Estabelecer a equação ou sistema de equações cor- respondente ao problema (traduzir matemati- camente), o enunciado do problema para linguagem simbólica. • Resolver a equação ou sistema • Interpretar as raízes ou solução encontradas Exemplo: Qual é o número cuja soma de seu quadrado com seu dobro é igual a 15? número procurado : x equação: x 2 + 2x = 15 Resolução: x 2 + 2x –15 = 0 ∆ =b 2 – 4ac ∆ = (2) 2 – 4 .1.(–15) ∆ = 4 + 60 ∆ = 64 1 2 64 2 x ⋅ ± − = 2 8 2 x ± − = 3 2 6 2 8 2 ' x = = + − = 5 2 10 2 8 2 " x − = − = − − = Os números são 3 e – 5. Verificação: x 2 + 2x –15 = 0 x 2 + 2x –15 = 0 (3) 2 + 2 (3) – 15 = 0 (–5) 2 + 2 (–5) – 15 = 0 9 + 6 – 15 = 0 25 – 10 – 15 = 0 0 = 0 0 = 0 ( V ) ( V ) S = { 3 , –5 } RESOLVA OS PROBLEMAS DO 2.º GRAU: 1) O quadrado de um número adicionado com o quá- druplo do mesmo número é igual a 32. 2) A soma entre o quadrado e o triplo de um mesmo número é igual a 10. Determine esse número. 3) O triplo do quadrado de um número mais o próprio número é igual a 30. Determine esse numero. 4) A soma do quadrado de um número com seu quín- tuplo é igual a 8 vezes esse número, determine-o. Respostas: 1) 4 e – 8 2) – 5 e 2 3) 3 10 − e 3 4) 0 e 3 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 56 SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 2°GRAU Como resolver Para resolver sistemas de equações do 2º grau, é im- portante dominar as técnicas de resolução de sistema de 1º grau: método da adição e método da substitui- ção. Imagine o seguinte problema: dois irmãos possuem idades cuja soma é 10 e a multiplicação 16. Qual a idade de cada irmão? Equacionando: Pela primeira equação, que vamos chamar de I: Substituindo na segunda: Logo: Usando a fórmula: Logo Substituindo em I: As idades dos dois irmãos são, respectivamente, de 2 e 8 anos. Testando: a multiplicação de 2 X 8 = 16 e a soma 2 + 8 = 10. Outro exemplo Encontre dois números cuja diferença seja 5 e a soma dos quadrados seja 13. Da primeira, que vamos chamar de II: Aplicando na segunda: De Produtos notáveis: Dividindo por 2: APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 57 Logo: Substituindo em II: Substituindo em II: Os números são 3 e - 2 ou 2 e - 3. Os sistemas a seguir envolverão equações do 1º e do 2º grau, lembrando de que suas representações gráfi- cas constituem uma reta e uma parábola, respectiva- mente. Resolver um sistema envolvendo equações desse modelo requer conhecimentos do método da substituição de termos. Observe as resoluções comen- tadas a seguir: Exemplo 1 Isolando x ou y na 2ª equação do sistema: x + y = 6 x = 6 – y Substituindo o valor de x na 1ª equação: x² + y² = 20 (6 – y)² + y² = 20 (6)² – 2 * 6 * y + (y)² + y² = 20 36 – 12y + y² + y² – 20 = 0 16 – 12y + 2y² = 0 2y² – 12y + 16 = 0 (dividir todos os membros da equaç- ão por 2) y² – 6y + 8 = 0 ∆ = b² – 4ac ∆ = (–6)² – 4 * 1 * 8 ∆ = 36 – 32 ∆ = 4 a = 1, b = –6 e c = 8 Determinando os valores de x em relação aos valores de y obtidos: Para y = 4, temos: x = 6 – y x = 6 – 4 x = 2 Par ordenado (2; 4) Para y = 2, temos: x = 6 – y x = 6 – 2 x = 4 Par ordenado (4; 2) S = {(2: 4) e (4; 2)} Exemplo 2 Isolando x ou y na 2ª equação: x – y = –3 x = y – 3 Substituindo o valor de x na 1ª equação: x² + 2y² = 18 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 58 (y – 3)² + 2y² = 18 y² – 6y + 9 + 2y² – 18 = 0 3y² – 6y – 9 = 0 (dividir todos os membros da equação por 3) y² – 2y – 3 = 0 ∆ = b² – 4ac ∆ = (–2)² – 4 * 1 * (–3) ∆ = 4 + 12 ∆ = 16 a = 1, b = –2 e c = –3 Determinando os valores de x em relação aos valores de y obtidos: Para y = 3, temos: x = y – 3 x = 3 – 3 x = 0 Par ordenado (0; 3) Para y = –1, temos: x = y – 3 x = –1 –3 x = –4 Par ordenado (–4; –1) S = {(0; 3) e (–4; –1)} CALENDÁRIO Calendário é um sistema para contagem e agrupamento de dias que visa atender, principalmente, às necessidades civis e religiosas de uma cultura. A palavra deriva do latim calendarium ou livro de registro, que por sua vez derivou de calendae, que indicava o primeiro dia de um mês romano. As unidades principais de agrupamento são o mês e o ano.1 A palavra calendário é usada também para descrever o aparato físico (geralmente de papel) para o uso do sistema (por exemplo,calendário de mesa), e também um conjunto particular de eventos planejados. Conceitos A unidade básica para a contagem do tempo é o dia, que corresponde ao período de tempo entre dois eventos equivalentes sucessivos: por exemplo, o intervalo de tempo entre duas ocorrências do nascer do Sol, que corresponde, em média (dia solar médio), a 24 horas. O mês lunar corresponde ao período de tempo entre duas lunações, cujo valor aproximado é de 29,5 dias. O ano solar é o período de tempo decorrido para completar um ciclo de estações (primavera, verão, outono e inverno). O ano solar médio tem a duração de aproximadamente 365 dias, 5 horas, 48 minutos e 47 segundos (365,2422 dias). Também é conhecido como ano trópico. A cada quatro anos, as horas extra acumuladas são reunidas no dia 29 de Fevereiro, formando o ano bissexto, ou seja, o ano com 366 dias. Os calendários antigos baseavam-se em meses lunares (calendários lunares) ou no ano solar (calendário solar) para contagem do tempo. Etimologia Antes de Júlio César criar, com a ajuda do astrônomo Sosígenes, o calendário dito juliano, os romanos tinham meses lunares, que começavam em cada lua nova. No primeiro dia da lua nova, chamado dia das calendas (“calendae”), um dos pontífices convocava o povo no Capitólio para informar as celebrações religiosas daquele mês. O pontífice mencionava um por um os dias que transcorreriam até as nonas, repetindo em voz alta a palavra “calo”, eu chamo.2 A partir do calendário juliano, que não era lunar, as nonas foram o quinto dia nos meses de trinta dias e o sétimo nos meses de trinta e um. De “calendae”, os romanos criaram o adjetivo “calendarius”, relativo às calendas, e o substantivo “calendarium”, com o qual designavam o livro de contas diárias e, mais tarde, o registro de todos os dias do ano. Em nossa língua portuguesa, até o século XIII, a palavra calendas era empregada, no entanto, para denominar o primeiro dia de cada mês e calendário a lista dos dias do ano com suas correspondentes festividades religiosas. O calendário dos gregos não tinha calendas, e assim os romanos conceberam a expressão “Ad calendas graecas”, para as calendas gregas, para referir-se a algo que não iria ocorrer nunca. Classificações Calendários em uso na Terra são frequentemente os lunares, solares, luni-solares ou arbitrários. Um calendário lunar é sincronizado com o movimento da Lua; um exemplo disso é o calendário islâmico. Um calendário solar é sincronizado com o movimento do Sol; um exemplo é o calendário persa. Um calendário luni-solar é sincronizado com ambos os movimentos do Sol e da Lua; um exemplo é ocalendário hebraico. Um calendário arbitrário não é sincronizado nem com o Sol nem com a Lua. Um exemplo disso é o calendário juliano usado por astrônomos. Há alguns calendários que parecem ser sincronizados com o movimento de Vênus, como o calendário egípcio; a sincronização com Vênus parece ocorrer principalmente em civilizações próximas ao equador. Praticamente todos os sistemas de calendário utilizam uma unidade coloquialmente chamada de ano, que se aproxima do ano tropicalda Terra, ou seja, o tempo que leva um completo ciclo de estações, visando facilitar o planejamento de atividades agrícolas. Muitos calendários também usam uma unidade de tempo chamada mês baseado nas fases da Lua no céu; um calendário lunar é aquele no qual os dias são numerados dentro de cada ciclo de fases da Lua. Como o comprimento do mês lunar não se encaixa em um divisor exato dentro do ano tropical, um calendário puramente lunar rapidamente se perde dentro das estações. Os calendários lunares compensam isso adicionando um mês extra quando necessário para realinhar os meses com as estações. APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 59 Atual No ocidente, o calendário juliano baseado em anos foi o adotado. Ele numera os dias dentro dos meses, que são mais longos que o ciclo lunar, por isso não é conveniente para seguir as fases da Lua, mas faz um trabalho melhor seguindo as estações. Infelizmente, o ano tropical da Terra não é um múltiplo exato dos dias (é de aproximadamente 365,2422 dias), então lentamente cai fora de sincronia com as estações. Por essa razão, o calendário gregoriano foi adotado mais tarde na maior parte do ocidente. Por usar um recurso matemático de ano bissexto (os anos centenários são bissextos somente se puderem ser divididos por 400 e seu resultado for sem fração, logo, quando for, por exemplo, 2.100, 2.200, 2.300, 2.500 e 2.600, estes anos não serão bissextos), pode ser ajustado para fechar com as estações como desejado. Completude Calendários podem definir outras unidades de tempo, como a semana, para o propósito de planejar atividades regulares que não se encaixam facilmente com meses ou anos. Calendários podem ser completos ou incompletos. Calendários completos oferecem um modo de nomear cada dia consecutivo, enquanto calendários incompletos não. Finalidade Calendários podem ser pragmáticos, teóricos ou mistos. Um calendário pragmático é o que é baseado na observação; um exemplo é o calendário religioso islâmico. Um calendário teórico é aquele que é baseado em um conjunto estrito de regras; um exemplo é o calendário hebraico. Um calendário misto combina ambos. Calendários mistos normalmente começam como calendários teóricos, mas são ajustados pragmaticamente quando algum tipo de assincronia se torna aparente; a mudança do calendário juliano para o calendário gregoriano é um exemplo, e o próprio calendário gregoriano pode ter que receber algum ajuste próximo ao ano 4000 (como foi proposto por G. Romme para o calendário revolucionário francês revisado). Houve algumas propostas para a reforma do calendário, como o calendário mundial ou calendário perpétuo. AsNações Unidas consideraram a adoção de um calendário reformado por um tempo nos anos 50, mas essas propostas perderam muito de sua popularidade. O calendário gregoriano, como um exemplo final, é completo, solar e misto. Calendários lunares Nem todos os calendários usam o ano solar como uma unidade. Um calendário lunar é aquele em que os dias são numerados dentro de cada ciclo das fases da lua. Como o comprimento do mês lunar não é nem mesmo uma fração do comprimento do ano trópico, um calendário puramente lunar rapidamente desalinha-se das estações do ano, que não variam muito perto da linha do Equador. Permanece constante, no entanto, em relação a outros fenômenos, especialmente as marés. Um exemplo é o calendário islâmico. Alexander Marshack, em uma obra controversa,3 acreditava que as marcas em um bastão de osso (cerca de 25.000 a.C.) representavam um calendário lunar. Outros ossos marcados também podem representar calendários lunares.4 Da mesma forma, Michael Rappenglueck acredita que as marcas de uma pintura rupestre de 15 mil anos de idade representam um calendário lunar.5 Calendários fiscais Um calendário fiscal (como um calendário 4-4-5) fixa para cada mês um determinado número de semanas, para facilitar as comparações de mês para mês e de ano para ano. Janeiro sempre tem exatamente 4 semanas (de domingo a sábado), fevereiro tem quatro semanas, março tem cinco semanas etc. Note-se que este calendário vai precisar adicionar uma 53ª semana a cada 5 ou 6 anos, que pode ser adicionada a dezembro ou pode não ser, dependendo de como a organização utiliza essas datas. Existe um modo padrão internacional para fazer isso (a semana ISO). A semana ISO começa na segunda-feira e termina no domingo. A semana 1 é sempre a semana que contém 4 de janeiro no calendário gregoriano. Calendários fiscais também são usados pelas empresas. Neste caso o ano fiscal é apenas um conjunto qualquer de 12 meses. Este conjunto de 12 meses pode começar e terminar em qualquer ponto do calendário gregoriano. É o uso mais comum dos calendários fiscais. Curiosidades Embora não houvesse comunicações e nem os povos antigos conhecessem outros modelos mais precisos para a contagem do tempo, foram os calendários mais simples como a lunação e os sete dias da semana que permitiram aos historiadores refazer em tempo real todos os eventos históricos. Referências Ir para cima↑ UFMG. Calendários. Página visitada em 2 de março de 2012. Ir para cima↑ UOL Educação. Calendário juliano, calendário gregoriano e ano bissexto. Página visitada em 2 de março de 2012. Ir para cima↑ James Elkins, Our beautiful, dry, and distant texts (1998) 63ff. Ir para cima↑ How Menstruation Created Mathematics by John Kellermeier Ir para cima↑ Oldest lunar calendar identified SISTEMA DE NUMERAÇÃO Um numeral é um símbolo ou grupo de símbolos que representa um número em um determinado instante da evolução do homem. Tem-se que, numa determinada escrita ou época, os numerais diferenciaram-se dos números do mesmo modo que as palavras se diferenciaram das coisas a que se referem. Os símbolos "11", "onze" e "XI" (onze em latim) são numerais diferentes, representativos do mesmo número, apenas escrito em idiomas e épocas diferentes. Este artigo debruça-se sobre os vários aspectos dos sistemas de numerais. Ver também nomes dos números. Um sistema de numeração, (ou sistema numeral) é um sistema em que um conjunto de números são representados por numerais de uma forma consistente. Pode ser visto como o contexto que permite ao numeral "11" ser interpretado como o numeral romano paradois, o numeral binário para três ou o numeral decimal para onze. Em condições ideais, um sistema de numeração deve: Representar uma grande quantidade de números úteis (ex.: todos os números inteiros, ou todos os números reais); Dar a cada número representado uma única descrição (ou pelo menos uma representação padrão); Refletir as estruturas algébricas e aritméticas dos números. Por exemplo, a representação comum decimal dos números inteiros fornece a cada número inteiro uma representação única como umasequência finita de algarismos, com as operações aritméticas (adição, APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 60 subtração, multiplicação e divisão) estando presentes como osalgoritmos padrões da aritmética. Contudo, quando a representação decimal é usada para os números racionais ou para os números reais, a representação deixa de ser padronizada: muitos números racionais têm dois tipos de numerais, um padrão que tem fim (por exemplo 2,31), e outro que repete-se periodicamente (como 2,30999999...). RAZÕES ESPECIAIS 1) Velocidade média velocidade média a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la. Velocidade média = distância percorrida / tempo gasto 2) Consumo médio consumo médio a razão entre a distância percorrida e o con- sumo de combustível gasto para percorrer essa distância. Consumo médio = distância percorrida / combustível gasto 3) Densidade Demográfica densidade demográfica a razão entre o número de habitantes e a área que é ocupada por esses habitantes. Densidade Demográfica = número de habitantes / área total Bruna Paris 4)Escala: É a razão entre um comprimento no desenho e o correspon- dente comprimento real. RAZÕES E PROPORÇÕES 1. INTRODUÇÃO Se a sua mensalidade escolar sofresse hoje um reajuste de R$ 80,00, como você reagiria? Acharia caro, normal, ou abaixo da expectativa? Esse mesmo valor, que pode parecer caro no reajuste da mensalidade, seria considerado insignifi- cante, se tratasse de um acréscimo no seu salário. Naturalmente, você já percebeu que os R$ 80,00 nada representam, se não forem comparados com um valor base e se não forem avaliados de acordo com a natureza da compa- ração. Por exemplo, se a mensalidade escolar fosse de R$ 90,00, o reajuste poderia ser considerado alto; afinal, o valor da mensalidade teria quase dobrado. Já no caso do salário, mesmo considerando o salário mínimo, R$ 80,00 seriam uma parte mínima. . A fim de esclarecer melhor este tipo de problema, vamos estabelecer regras para comparação entre grandezas. 2. RAZÃO Você já deve ter ouvido expressões como: "De cada 20 habitantes, 5 são analfabetos", "De cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática", "Um dia de sol, para cada dois de chuva". Em cada uma dessas. frases está sempre clara uma comparação entre dois números. Assim, no primeiro caso, destacamos 5 entre 20; no segundo, 2 entre 10, e no terceiro, 1 para cada 2. Todas as comparações serão matematicamente expressas por um quociente chamado razão. Teremos, pois: De cada 20 habitantes, 5 são analfabetos. Razão = 5 20 De cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática. Razão = 2 10 c. Um dia de sol, para cada dois de chuva. Razão = 1 2 Nessa expressão, a chama-se antecedente e b, consequente. Outros exemplos de razão: Em cada 10 terrenos vendidos, um é do corretor. Razão = 1 10 Os times A e B jogaram 6 vezes e o time A ganhou todas. Razão = 6 6 3. Uma liga de metal é feita de 2 partes de ferro e 3 partes de zinco. Razão = 2 5 (ferro) Razão = 3 5 (zinco). 3. PROPORÇÃO Há situações em que as grandezas que estão sendo comparadas podem ser expressas por razões de anteceden- tes e consequentes diferentes, porém com o mesmo quocien- te. Dessa maneira, quando uma pesquisa escolar nos revelar que, de 40 alunos entrevistados, 10 gostam de Matemática, poderemos supor que, se forem entrevistados 80 alunos da mesma escola, 20 deverão gostar de Matemática. Na verda- de, estamos afirmando que 10 estão representando em 40 o mesmo que 20 em 80. Escrevemos: 10 40 = 20 80 A esse tipo de igualdade entre duas razões dá-se o nome de proporção. Na expressão acima, a e c são chamados de antecedentes e b e d de consequentes. . A proporção também pode ser representada como a : b = c : d. Qualquer uma dessas expressões é lida assim: a está para b assim como c está para d. E importante notar que b e c são denominados meios e a e d, extremos. Exemplo: A proporção 3 7 = 9 21 , ou 3 : 7 : : 9 : 21, é lida da seguinte forma: 3 está para 7 assim como 9 está para 21. Temos ainda: A razão entre dois números a e b, com b ≠ 0, é o quociente a b , ou a : b. Dadas duas razões a b e c d , com b e d ≠ 0, teremos uma proporção se a b = c d . APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 61 3 e 9 como antecedentes, 7 e 21 como consequentes, 7 e 9 como meios e 3 e 21 como extremos. 3.1 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL O produto dos extremos é igual ao produto dos meios: Exemplo: Se 6 24 = 24 96 , então 6 . 96 = 24 . 24 = 576. 3.2 ADIÇÃO (OU SUBTRAÇÃO) DOS ANTECEDENTES E CONSEQUENTES Em toda proporção, a soma (ou diferença) dos anteceden- tes está para a soma (ou diferença) dos consequentes assim como cada antecedente está para seu consequente. Ou seja: Essa propriedade é válida desde que nenhum denominador seja nulo. Exemplo: 21 + 7 12 + 4 = 28 16 = 7 4 21 12 = 7 4 21 - 7 12 - 4 = 14 8 = 7 4 GRANDEZAS PROPORCIONAIS E DIVISÃO PROPORCIONAL 1. INTRODUÇÃO: No dia-a-dia, você lida com situações que envolvem nú- meros, tais como: preço, peso, salário, dias de trabalho, índi- ce de inflação, velocidade, tempo, idade e outros. Passare- mos a nos referir a cada uma dessas situações mensuráveis como uma grandeza. Você sabe que cada grandeza não é independente, mas vinculada a outra conveniente. O salário, por exemplo, está relacionado a dias de trabalho. Há pesos que dependem de idade, velocidade, tempo etc. Vamos ana- lisar dois tipos básicos de dependência entre grandezas pro- porcionais. 2. PROPORÇÃO DIRETA Grandezas como trabalho produzido e remuneração obti- da são, quase sempre, diretamente proporcionais. De fato, se você receber R$ 2,00 para cada folha que datilografar, sabe que deverá receber R$ 40,00 por 20 folhas datilografadas. Podemos destacar outros exemplos de grandezas diretamente proporcionais: Velocidade média e distância percorrida, pois, se você dobrar a velocidade com que anda, deverá, num mesmo tempo, dobrar a distância percorrida. Área e preço de terrenos. Altura de um objeto e comprimento da sombra projetada por ele. Assim: 3. PROPORÇÃO INVERSA Grandezas como tempo de trabalho e número de operá- rios para a mesma tarefa são, em geral, inversamente pro- porcionais. Veja: Para uma tarefa que 10 operários executam em 20 dias, devemos esperar que 5 operários a realizem em 40 dias. Podemos destacar outros exemplos de grandezas inversamente proporcionais: Velocidade média e tempo de viagem, pois, se você do- brar a velocidade com que anda, mantendo fixa a distância a ser percorrida, reduzirá o tempo do percurso pela metade. Número de torneiras de mesma vazão e tempo para en- cher um tanque, pois, quanto mais torneiras estiverem aber- tas, menor o tempo para completar o tanque. Podemos concluir que : Vamos analisar outro exemplo, com o objetivo de reconhecer a natureza da proporção, e destacar a razão. Considere a situação de um grupo de pessoas que, em férias, se instale num acampamento que cobra R$100,00 a diária individual. Observe na tabela a relação entre o número de pessoas e a despesa diária: Número de pessoas 1 2 4 5 10 Despesa diária (R$ ) 100 200 400 500 1.000 Você pode perceber na tabela que a razão de aumento do número de pessoas é a mesma para o aumento da despesa. Assim, se dobrarmos o número de pessoas, dobraremos ao mesmo tempo a despesa. Esta é portanto, uma proporção direta, ou melhor, as grandezas número de pessoas e despe- sa diária são diretamente proporcionais. Suponha também que, nesse mesmo exemplo, a quan- tia a ser gasta pelo grupo seja sempre de R$2.000,00. Per- ceba, então, que o tempo de permanência do grupo depende- rá do número de pessoas. Analise agora a tabela abaixo : 0 d b, ; bc = ad d c = ≠ ⇔ b a Se a b = , entao a + c b + d = a = c d ou a - c b - d = a b = c d c d b , Duas grandezas São diretamente proporcionais quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas numa determinada razão, a outra diminui (ou aumenta) nessa mesma razão. Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas numa determinada razão, a outra diminui (ou aumenta) na mesma razão. APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 62 Número de pessoas 1 2 4 5 10 Tempo de permanência (dias) 20 10 5 4 2 Note que, se dobrarmos o número de pessoas, o tempo de permanência se reduzirá à metade. Esta é, portanto, uma proporção inversa, ou melhor, as grandezas número de pes- soas e número de dias são inversamente proporcionais. 4. DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS 4. 1 Diretamente proporcional Duas pessoas, A e B, trabalharam na fabricação de um mesmo objeto, sendo que A o fez durante 6 horas e B duran- te 5 horas. Como, agora, elas deverão dividir com justiça os R$ 660,00 apurados com sua venda? Na verdade, o que cada um tem a receber deve ser diretamente proporcional ao tempo gasto na confecção do objeto. No nosso problema, temos de dividir 660 em partes dire- tamente proporcionais a 6 e 5, que são as horas que A e B trabalharam. Vamos formalizar a divisão, chamando de x o que A tem a receber, e de y o que B tem a receber. Teremos então: X + Y = 660 X 6 = Y 5 Esse sistema pode ser resolvido, usando as propriedades de proporção. Assim: X + Y 6 + 5 = Substituindo X + Y por 660, vem 660 = X 6 X = 6 660 11 = 360 11 ⇒ ⋅ Como X + Y = 660, então Y = 300 Concluindo, A deve receber R$ 360,00 enquanto B, R$ 300,00. 4.2 INVERSAMENTE PROPORCIONAL E se nosso problema não fosse efetuar divisão em partes diretamente proporcionais, mas sim inversamente? Por e- xemplo: suponha que as duas pessoas, A e B, trabalharam durante um mesmo período para fabricar e vender por R$ 160,00 um certo artigo. Se A chegou atrasado ao trabalho 3 dias e B, 5 dias, como efetuar com justiça a divisão? O pro- blema agora é dividir R$ 160,00 em partes inversamente proporcionais a 3 e a 5, pois deve ser levado em considera- ção que aquele que se atrasa mais deve receber menos. No nosso problema, temos de dividir 160 em partes inver- samente proporcionais a 3 e a 5, que são os números de atraso de A e B. Vamos formalizar a divisão, chamando de x o que A tem a receber e de y o que B tem a receber. x + y = 160 Teremos: x 1 3 = y 1 5 Resolvendo o sistema, temos: x + y 1 3 + 1 5 = x 1 3 x + y 8 15 = x 1 3 ⇒ Mas, como x + y = 160, então 160 8 15 15 = x 1 3 x = 160 8 1 3 ⇒ ⋅ ⇒ x = 160 15 8 1 3 x = 100 ⇒ ⋅ ⋅ ⇒ Como x + y = 160, então y = 60. Concluindo, A deve receber R$ 100,00 e B, R$ 60,00. 4.3 DIVISÃO PROPORCIONAL COMPOSTA Vamos analisar a seguinte situação: Uma empreiteira foi contratada para pavimentar uma rua. Ela dividiu o trabalho em duas turmas, prometendo pagá-las proporcionalmente. A tarefa foi realizada da seguinte maneira: na primeira turma, 10 homens trabalharam durante 5 dias; na segunda turma, 12 homens trabalharam durante 4 dias. Estamos considerando que os homens tinham a mesma capacidade de trabalho. A empreiteira tinha R$ 29.400,00 para dividir com justiça entre as duas turmas de trabalho. Como fazê-lo? Essa divisão não é de mesma natureza das anteriores. Trata-se aqui de uma divisão composta em partes proporcio- nais, já que os números obtidos deverão ser proporcionais a dois números e também a dois outros. Na primeira turma, 10 homens trabalharam 5 dias, produ- zindo o mesmo resultado de 50 homens, trabalhando por um dia. Do mesmo modo, na segunda turma, 12 homens traba- lharam 4 dias, o que seria equivalente a 48 homens traba- lhando um dia. Para a empreiteira, o problema passaria a ser, portanto, de divisão diretamente proporcional a 50 (que é 10 . 5), e 48 (que é 12 . 4). Convém lembrar que efetuar uma divisão em partes in- versamente proporcionais a certos números é o mesmo que fazer a divisão em partes diretamente proporcionais ao inver- so dos números dados. Resolvendo nosso problema, temos: Chamamos de x: a quantia que deve receber a primeira turma; y: a quantia que deve receber a segunda turma. Assim: Dividir um número em partes diretamente proporcionais a outros números dados é encontrar partes desse número que sejam diretamente proporcionais aos números dados e cuja soma reproduza o próprio número. Dividir um número em partes inversamente propor- cionais a outros números dados é encontrar partes desse número que sejam diretamente proporcio- nais aos inversos dos números dados e cuja soma reproduza o próprio número. Para dividir um número em partes de tal forma que uma delas seja proporcional a m e n e a outra a p e q, basta divida esse número em partes proporcionais a m . n e p . q. APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 63 x 10 5 = y 12 4 ou x 50 = y 48 x + y 50 + 48 = x 50 ⋅ ⋅ ⇒ 15.000 98 50 29400 = x 50 x = 98 29400 então 29400, = y + x Como ⇒ ⋅ ⇒ Portanto y = 14 400. Concluindo, a primeira turma deve receber R$ 15.000,00 da empreiteira, e a segunda, R$ 14.400,00. Observação: Firmas de projetos costumam cobrar cada trabalho usando como unidade o homem-hora. O nosso problema é um exemplo em que esse critério poderia ser usado, ou seja, a unidade nesse caso seria homem-dia. Seria obtido o valor de R$ 300,00 que é o resultado de 15 000 : 50, ou de 14 400 : 48. REGRA DE TRÊS SIMPLES REGRA DE TRÊS SIMPLES Retomando o problema do automóvel, vamos resolvê-lo com o uso da regra de três de maneira prática. Devemos dispor as grandezas, bem como os valores en- volvidos, de modo que possamos reconhecer a natureza da proporção e escrevê-la. Assim: Grandeza 1: tempo (horas) Grandeza 2: distância percorrida (km) 6 8 900 x Observe que colocamos na mesma linha valores que se correspondem: 6 horas e 900 km; 8 horas e o valor desconhecido. Vamos usar setas indicativas, como fizemos antes, para indicar a natureza da proporção. Se elas estiverem no mes- mo sentido, as grandezas são diretamente proporcionais; se em sentidos contrários, são inversamente proporcionais. Nesse problema, para estabelecer se as setas têm o mesmo sentido, foi necessário responder à pergunta: "Consi- derando a mesma velocidade, se aumentarmos o tempo, aumentará a distância percorrida?" Como a resposta a essa questão é afirmativa, as grandezas são diretamente propor- cionais. Já que a proporção é direta, podemos escrever: 6 8 900 = x Então: 6 . x = 8 . 900 ⇒ x = 7200 6 = 1 200 Concluindo, o automóvel percorrerá 1 200 km em 8 horas. Vamos analisar outra situação em que usamos a regra de três. Um automóvel, com velocidade média de 90 km/h, percorre um certo espaço durante 8 horas. Qual será o tempo necessário para percorrer o mesmo espaço com uma velocidade de 60 km/h? Grandeza 1: tempo (horas) Grandeza 2: velocidade (km/h) 8 x 90 60 A resposta à pergunta "Mantendo o mesmo espaço per- corrido, se aumentarmos a velocidade, o tempo aumentará?" é negativa. Vemos, então, que as grandezas envolvidas são inversamente proporcionais. Como a proporção é inversa, será necessário invertermos a ordem dos termos de uma das colunas, tornando a propor- ção direta. Assim: 8 60 x 90 Escrevendo a proporção, temos: 8 60 90 8 60 x x = ⇒ = ⋅ 90 = 12 Concluindo, o automóvel percorrerá a mesma distância em 12 horas. REGRA DE TRÊS COMPOSTA Vamos agora utilizar a regra de três para resolver proble- mas em que estão envolvidas mais de duas grandezas pro- porcionais. Como exemplo, vamos analisar o seguinte pro- blema. Numa fábrica, 10 máquinas trabalhando 20 dias produ- zem 2 000 peças. Quantas máquinas serão necessárias para se produzir 1 680 peças em 6 dias? Como nos problemas anteriores, você deve verificar a na- tureza da proporção entre as grandezas e escrever essa proporção. Vamos usar o mesmo modo de dispor as grande- zas e os valores envolvidos. Grandeza 1: número de máquinas Grandeza 2: dias Grandeza 3: número de peças 10 x 20 6 2000 1680 Natureza da proporção: para estabelecer o sentido das setas é necessário fixar uma das grandezas e relacioná-la com as outras. Regra de três simples é um processo prático utilizado para resolver problemas que envolvam pares de grandezas direta ou inversamente proporcionais. Essas grandezas formam uma proporção em que se conhece três termos e o quarto termo é procurado. APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 64 Supondo fixo o número de dias, responda à questão: "Aumentando o número de máquinas, aumentará o número de peças fabricadas?" A resposta a essa questão é afirmati- va. Logo, as grandezas 1 e 3 são diretamente proporcionais. Agora, supondo fixo o número de peças, responda à questão: "Aumentando o número de máquinas, aumentará o número de dias necessários para o trabalho?" Nesse caso, a resposta é negativa. Logo, as grandezas 1 e 2 são inversa- mente proporcionais. Para se escrever corretamente a proporção, devemos fa- zer com que as setas fiquem no mesmo sentido, invertendo os termos das colunas convenientes. Naturalmente, no nosso exemplo, fica mais fácil inverter a coluna da grandeza 2. 10 6 2000 x 20 1680 Agora, vamos escrever a proporção: 10 6 20 x = ⋅ 2000 1680 (Lembre-se de que uma grandeza proporcional a duas outras é proporcional ao produto delas.) 10 12000 33600 10 28 x x = ⇒ = ⋅ = 33600 12000 Concluindo, serão necessárias 28 máquinas. PORCENTAGEM 1. INTRODUÇÃO Quando você abre o jornal, liga a televisão ou olha vitrinas, frequentemente se vê às voltas com expressões do tipo: "O índice de reajuste salarial de março é de 16,19%." "O rendimento da caderneta de poupança em fevereiro foi de 18,55%." "A inflação acumulada nos últimos 12 meses foi de 381,1351%. "Os preços foram reduzidos em até 0,5%." Mesmo supondo que essas expressões não sejam com- pletamente desconhecidas para uma pessoa, é importante fazermos um estudo organizado do assunto porcentagem, uma vez que o seu conhecimento é ferramenta indispensável para a maioria dos problemas relativos à Matemática Comer- cial. 2. PORCENTAGEM O estudo da porcentagem é ainda um modo de comparar números usando a proporção direta. Só que uma das razões da proporção é um fração de denominador 100. Vamos dei- xar isso mais claro: numa situação em que você tiver de cal- cular 40% de R$ 300,00, o seu trabalho será determinar um valor que represente, em 300, o mesmo que 40 em 100. Isso pode ser resumido na proporção: 40 100 300 = x Então, o valor de x será de R$ 120,00. Sabendo que em cálculos de porcentagem será necessário utilizar sempre proporções diretas, fica claro, então, que qualquer problema dessa natureza poderá ser resolvido com regra de três simples. 3. TAXA PORCENTUAL O uso de regra de três simples no cálculo de porcenta- gens é um recurso que torna fácil o entendimento do assunto, mas não é o único caminho possível e nem sequer o mais prático. Para simplificar os cálculos numéricos, é necessário, inicialmente, dar nomes a alguns termos. Veremos isso a partir de um exemplo. Exemplo: Calcular 20% de 800. Calcular 20%, ou 20 100 de 800 é dividir 800 em 100 partes e tomar 20 dessas partes. Como a centésima parte de 800 é 8, então 20 dessas partes será 160. Chamamos: 20% de taxa porcentual; 800 de principal; 160 de porcentagem. Temos, portanto: Principal: número sobre o qual se vai calcular a porcentagem. Taxa: valor fixo, tomado a partir de cada 100 partes do principal. Porcentagem: número que se obtém somando cada uma das 100 partes do principal até conseguir a taxa. A partir dessas definições, deve ficar claro que, ao calcu- larmos uma porcentagem de um principal conhecido, não é necessário utilizar a montagem de uma regra de três. Basta dividir o principal por 100 e tomarmos tantas destas partes quanto for a taxa. Vejamos outro exemplo. Exemplo: Calcular 32% de 4.000. Primeiro dividimos 4 000 por 100 e obtemos 40, que é a centésima parte de 4 000. Agora, somando 32 partes iguais a 40, obtemos 32 . 40 ou 1 280 que é a resposta para o pro- blema. Observe que dividir o principal por 100 e multiplicar o re- sultado dessa divisão por 32 é o mesmo que multiplicar o principal por 32 100 ou 0,32. Vamos usar esse raciocínio de agora em diante: JUROS SIMPLES Consideremos os seguintes fatos: • Emprestei R$ 100 000,00 para um amigo pelo prazo de 6 meses e recebi, ao fim desse tempo, R$ 24 000,00 de juros. • O preço de uma televisão, a vista, é R$ 4.000,00. Se eu comprar essa mesma televisão em 10 prestações, vou pagar por ela R$ 4.750,00. Portanto, vou pagar R$750,00 de juros. No 1.°fato, R$ 24 000,00 é uma compensação em dinhei- ro que se recebe por emprestar uma quantia por determinado tempo. No 2.°fato, R$ 750,00 é uma compensação em dinheiro que se paga quando se compra uma mercadoria a prazo. Porcentagem = taxa X principal APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 65 Assim: Quando depositamos ou emprestamos certa quantia por determinado tempo, recebemos uma compensa- ção em dinheiro. Quando pedimos emprestada certa quantia por deter- minado tempo, pagamos uma compensação em di- nheiro. Quando compramos uma mercadoria a prazo, paga- mos uma compensação em dinheiro. Pelas considerações feitas na introdução, podemos dizer que : Nos problemas de juros simples, usaremos a seguinte nomenclatura: dinheiro depositado ou emprestado denomina- se capital. O porcentual denomina-se taxa e representa o juro rece- bido ou pago a cada R$100,00, em 1 ano. O período de depósito ou de empréstimo denomina-se tempo. A compensação em dinheiro denomina-se juro. RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE JUROS SIMPLES Vejamos alguns exemplos: 1.°exemplo: Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 720 000,00, empregado a 25% ao ano, durante 5 anos. De acordo com os dados do problema, temos: 25% em 1ano ⇒ 125% (25 . 5) em 5 anos 125% = 100 125 = 1,25 Nessas condições, devemos resolver o seguinte proble- ma: Calcular 125% de R$ 720 000,00. Dai: x = 125% de 720 000 = 1,25 . 720 000 = 900 000. 900.000 – 720.000 = 180.000 Resposta: Os juros produzidos são de R$ 180.000,00 2.°exemplo: Apliquei um capital de R$ 10.000,00 a uma taxa de 1,8% ao mês, durante 6 meses. Quanto esse ca- pital me renderá de juros? 1,8% em 1 mês ⇒ 6 . 1,8% = 10,8% em 6 meses 10,8% = 100 8 , 10 = 0,108 Dai: x = 0,108 . 10 000 = 1080 Resposta: Renderá juros de R$ 1 080,00. 3.° exemplo: Tomei emprestada certa quantia durante 6 meses, a uma taxa de 1,2% ao mês, e devo pagar R$ 3 600,00 de juros. Qual foi a quantia emprestada? De acordo com os dados do problema: 1,2% em 1 mês ⇒ 6 . 1,2% = 7,2% em 6 meses 7,2% = 100 2 , 7 = 0,072 Nessas condições, devemos resolver o seguinte proble- ma: 3 600 representam 7,2% de uma quantia x. Calcule x. Dai: 3600 = 0,072 . x ⇒0,072x = 3 600 ⇒ x = 072 , 0 3600 x = 50 000 Resposta: A quantia emprestada foi de R$ 50.000,00. 4.° exemplo: Um capital de R$ 80 000,00, aplicado du- rante 6 meses, rendeu juros de R$ 4 800,00. Qual foi a taxa (em %) ao mês? De acordo com os dados do problema: x% em 1 mês ⇒ (6x)% em 6 meses Devemos, então, resolver o seguinte problema: 4 800 representam quantos % de 80 000? Dai: 4 800 = 6x . 80 000 ⇒ 480 000 x = 4 800 x = 000 480 800 4 ⇒ x = 800 4 48 ⇒ x = 0,01 0,01 = 100 1 = 1 % Resposta: A taxa foi de 1% ao mês. Resolva os problemas: - Emprestando R$ 50 000,00 à taxa de 1,1% ao mês, durante 8 meses, quanto deverei receber de juros? - Uma pessoa aplica certa quantia durante 2 anos, à ta- xa de 15% ao ano, e recebe R$ 21 000,00 de juros. Qual foi a quantia aplicada? - Um capital de R$ 200 000,00 foi aplicado durante 1 ano e 4 meses à taxa de 18% ao ano. No final desse tempo, quanto receberei de juros e qual o capital acu- mulado (capital aplicado + juros)? - Um aparelho de televisão custa R$ 4 500,00. Como vou comprá-lo no prazo de 10 meses, a loja cobrará juros simples de 1,6% ao mês. Quanto vou pagar por esse aparelho. - A quantia de R$ 500 000,00, aplicada durante 6 me- ses, rendeu juros de R$ 33 000,00. Qual foi a taxa (%) mensal da aplicação - Uma geladeira custa R$ 1 000,00. Como vou compra- la no prazo de 5 meses, a loja vendedora cobrara ju- ros simples de 1,5% ao mês. Quanto pagarei por essa geladeira e qual o valor de cada prestação mensal, se todas elas são iguais. - Comprei um aparelho de som no prazo de 8 meses. O preço original do aparelho era de R$ 800,00 e os juros simples cobrados pela firma foram de R$ 160,00. Qual foi a taxa (%) mensal dos juros cobrados? Respostas R$ 4 400,00 R$ 70 000,00 R$ 48 000,00 e R$ 248 000,00 R$ 5 220,00 1,1% R$ 1 075,00 e R$ 215,00 2,5% PROGRESSÕES Observe a seguinte sequência: (5; 9; 13; 17; 21; 25; 29) Cada termo, a partir do segundo, é obtido somando- se 4 ao termo anterior, ou seja: a n = a n – 1 + 4 onde 7 n 2 ≤ ≤ Podemos notar que a diferença entre dois termos Juro é uma compensação em dinheiro que se recebe ou que se paga. APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 66 sucessivos não muda, sendo uma constante. a 2 – a 1 = 4 a 3 – a 2 = 4 . . . . . . . . . . a 7 – a 6 = 4 Este tipo de sequência tem propriedades interessantes e são muito utilizadas, são chamadas de PROGRESSÕES ARITMÉTICAS. Definição: Progressão Aritmética ( P.A.) é toda sequência onde, a partir do segundo, a diferença entre um termo e seu antecessor é uma constante que recebe o nome de razão. A N – A N -1 = R ou A N = A N – 1 + R Exemplos: a) ( 2, 5, 8, 11, 14, . . . . ) a 1 = 2 e r = 3 b) ( . . . . , 4 1 , 16 3 , 8 1 , 16 1 ) a 1 = 16 1 e r = 16 1 c) ( -3, -3, -3, -3, ......) a 1 = –3 e r = 0 d) ( 1, 3, 5, 7, 9, . . . . ) a 1 = 1 e r = 2 Classificação As Progressões Aritméticas podem ser classificadas em três categorias: 1.º) CRESCENTES são as PA em que cada termo é maior que o anterior. É imediato que isto ocorre somente se r > 0. (0, 5, 10, 15, 20, 25, 30 ) (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 ) 2.º) DECRESCENTES são as PA em que cada termo é menor que o anterior. Isto ocorre se r < 0. ( 0, - 2, - 4, - 6, - 8, - 10, - 12) ( 13, 11, 9, 7, 5, 3, 1 ) 3.º) CONSTATES são as PA em que cada termo é igual ao anterior. É fácil ver que isto só ocorre quando r = 0. ( 4, 4 , 4, 4, 4, 4 ) ( 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6 ) As PA também podem ser classificadas em: a) FINITAS: ( 1, 3, 5, 7, 9, 11) b) INFINITAS: ( 6, 10 , 14 , 18 , ...) lV - TERMO GERAL Podemos obter uma relação entre o primeiro termo e um termo qualquer, assim: a 2 = a 1 + r a 3 = a 2 + r = ( a 1 + r ) + r = a 1 + 2r a 4 = a 3 + r = ( a 1 + 2r ) + r = a 1 + 3r a 5 = a 4 + r = ( a 1 + 3r ) + r = a 1 + 4r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 10 = a 9 + r = ( a 1 + 8r ) + r = a 1 + 9r logo A N = A 1 + ( N – 1) . R que recebe o nome de fórmula do Termo Geral de uma Progressão Aritmética. V - TERMOS EQUIDISTANTES Em uma PA finita, dois termos são chamados equidistantes dos extremos, quando o número de termos que precede um deles é igual ao número de termos que sucede o outro. Por exemplo: Dada a PA ( a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , a 7 , a 8 ) a 2 e a 7 são equidistantes dos extremos a 3 e a 6 são equidistantes dos extremos E temos a seguinte propriedade para os termos equidistantes: A soma de dois termos equidistantes dos extremos é uma constante igual à soma dos extremos. Exemplo: ( –3, 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29 ) – 3 e 29 são extremos e sua soma é 26 1 e 25 são equidistantes e sua soma é 26 5 e 21 são equidistantes e sua soma é 26 Dessa propriedade podemos escrever também que: Se uma PA finita tem número ímpar de termos então o termo central é a média aritmética dos extremos. VI - INTERPOLACÃO ARITMÉTICA Dados dois termos A e B inserir ou interpolar k meios aritméticos entre A e B é obter uma PA cujo primeiro termo é A, o último termo é B e a razão é calculada através da relação: 1 K A B + − Exemplo: Interpolar (inserir) 3 meios aritméticos entre 2 e 10 de modo a formar uma Progressão Aritmética. Solução: Aplicando a fórmula: 1 K A B + − 3 meios k 10 B termo último 2 A termo 1º = = = Substituindo na forma acima vem: 2 4 8 1 3 2 10 1 K A B = = + − ⇒ + − portanto a razão da PA é 2 A Progressão Aritmética procurada será: 2, 4, 6, 8, 10. VII –SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DE UMA PA Podemos determinar a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA S n da seguinte forma: S n = a 1 + a 2 + a 3 +....+ a n -2 + a n -1 + a n ( + ) S n = a n -2 + a n -1 + a n +....+ a 1 + a 2 + a 3 2S n = (a 1 + a n ) + (a 1 + a n )+ (a 1 + a n )+....+ (a 1 + a n ) APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 67 Observe que aqui usamos a propriedade dos termos equidistantes, assim: 2S n = n (a 1 + a n ) logo: 2 N ) A A ( S N 1 N ⋅ + = EXERCICIOS Não esquecer as denominações: a n → termo de ordem n a1 →1º termo n → número de termos r → razão 1) Determinar o 20º termo (a 20 ) da PA (2, 5, 8, ...) Resolução: a 1 = 2 a n = a 1 + (n – 1) . r r = 5 – 2 = 8 – 5 = 3 a 20 = 2 + (20 – 1) . 3 n = 20 a 20 = 2 + 19 . 3 a 20 = ? a 20 = 2 + 57 a 20 = 59 2) Escrever a PA tal que a 1 = 2 e r = 5, com sete termos. Solução: a 2 = a 1 + r = 2 + 5 = 7 a 3 = a 2 + r = 7 + 5 = 12 a 4 = a 3 + r = 12 + 5 = 17 a 5 = a 4 + r = 17 + 5 = 22 a 6 = a 5 + r = 22 + 5 = 27 a 7 = a 6 + r = 27 + 5 = 32 Logo, a PA solicitada no problema é: (2, 7, 12, 17, 22, 27, 32). 3) Obter a razão da PA em que o primeiro termo é – 8 e o vigésimo é 30. Solução: a 20 = a 1 + 19 r = ⇒30 = – 8 + 19r ⇒ ⇒30 + 8 = 19r ⇒ 38 = 19r ⇒ r = 38 = 2 19 4) Calcular r e a 5 na PA (8, 13, 18, 23, ....) Solução: r = 23 – 18 = 13 – 8 = 5 a 5 = a 4 + r a 5 = 23 + 5 a 5 = 28 5) Achar o primeiro termo de uma PA tal que r = – 2 e a 10 = 83. Solução: Aplicando a fórmula do termo geral, teremos que o décimo termo é: a 10 = a 1 + ( 10 – 1 ) r ou seja: 83 = a 1 + 9 . (–2) ⇒ – a 1 = – 18 – 83 ⇒ ⇒ – a 1 = – 101 ⇒ a 1 = 101 6) Determinar a razão (r) da PA, cujo 1º termo (a 1 ) é – 5 e o 34º termo (a 34 ) é 45. Solução: a 1 = –5 a 34 = – 5 + (34 – 1) .r a 34 = 45 45 = – 5 + 33 . r n = 34 33 r = 50 R = ? 33 50 r = PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS 1 - DEFINIÇÃO Vejamos a sequência 2, 6, 18, 54, 162 Onde cada termo, a partir do 2.º, é obtido multiplicando-se o termo anterior por 3, ou seja: a n = a n – 1 . 3 n = 2, 3, . . . , 5 Observe que o quociente entre dois termos sucessivos não muda, sendo uma constante. 3 2 6 a a 1 2 = = 3 6 18 a a 2 3 = = 3 18 54 a a 3 4 = = 3 54 162 a a 4 5 = = Sequências onde o quociente entre dois termos consecutivos é uma constante também possuem propriedades interessantes. São também úteis para a Matemática recebem um nome próprio: PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS. PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS é toda sequência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do seu termo precedente por uma constante. Esta constante é chamada razão da progressão geométrica. Em símbolos: A N = A N - 1 . Q N = 1, 2, 3, . . . ou seja: q . . . a a a a a a 3 4 2 3 1 2 = = = = CLASSIFICAÇÃO E TERMO GERAL Quanto ao número de termos, podemos classificar a Progressão Geométrica em: - FINITA: quando o nº de termo for finito: 2, 4, 8, 16, 32, 64 ( 6 termos) - INFINITA: quando o número de termos for infinito: 2, 4, 8, 16, 32, 64, . . . Quanto à razão, podemos classificar a PG em: - CRESCENTE: quando cada termo é maior que o anterior: 2, 4, 8, 16, 32 - DECRESCENTE: quando cada termo é menor que o anterior: 16, 8, 4, 2, 1, 1/2, 1/4, .., - CONSTANTE: quando cada termo é igual ao anterior: 3, 3, 3, 3, 3, . . . (q = 1) - OSCILANTE OU ALTERNANTE: quando cada termo, a partir do segundo tem sinal contrário ao APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 68 do termo anterior. Em alguns problemas, seria útil existir uma relação entre o primeiro termo e um termo qualquer. Vejamos como obtê-la. a 2 = a 1 . q a 3 = a 2 . q = ( a 1 . q ) . q = a 1 . q 2 a 4 = a 3 . q = ( a 1 . q 2 ) . q = a 1 . q 3 a 5 = a 4 . q = ( a 1 . q 3 ) . q = a 1 . q 4 . . . . . . . . . . . . . a n = a n -1 . q = ( a 1 . q n -2 ) . q = a 1 . q n -1 A N = A 1 . Q N -1 Esta última expressão é chamada termo geral de uma Progressão Geométrica. EXERCÍCIOS 1) Determinar o 9.º termo (a 9 ) da P.G. (1, 2, 4, 8;....). Solução: a n → termo de ordem n a 1 → 1º termo n → número de termos q → razão FÓRMULA DO TERMO GERAL: a n = a 1 . q n –1 a 1 = 1 q = 4 = 2 = 2 n = 9 a 9 = ? 2 1 a 9 = 1 . 2 9 –1 ⇒ a 9 = 1 . 2 8 ⇒ a 9 = 1 . 256 ∴ a 9 = 256 2) Determinar a 1 (1º termo) da PG cuja a 8 (8º termo) é 729, sabendo-se que a razão é 3. Solução: a 1 = ? q = 3 n = 8 a 8 = 729 a 8 = a 1 . 3 8 –1 729 = a 1 . 3 7 3 6 = a 1 . 3 7 a 1 = 3 6 : 3 7 a 1 = 3 –1 ⇒ 3 1 a 1 = 3) Determinar a razão de uma PG com 4 termos cujos extremos são 1 e 64. Solução: a 4 = a 1 . q 4 –1 64 = 1 . q 4 –1 4 3 = 1 . q 3 4 3 = q 3 q = 4 TERMOS EQUIDISTANTES Em toda PG finita, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto dos extremos. Exemplo: ( 1, 3, 9, 27, 81, 243 ) 1 e 243 extremos → produto = 243 3 e 81 equidistantes → produto = 3 . 81 = 243 9 e 27 equidistantes → produto = 9 . 27 = 243 Desta propriedade temos que: Em toda Progressão Geométrica finita com número ímpar de termos, o termo médio é a média geométrica dos extremos. Exemplo: ( 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192) 24 2 = 3 . 192 IV - PRODUTO DOS N PRIMEIROS TERMOS DE UMA PG Sendo a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n uma PG de razão q, indicamos o produto dos seus n primeiros termos por: P n = a 1 . a 2 . a 3 . ... . a n 0bserve que: P n = a 1 . ( a 1 . q ) . (a 1 . q 2 ) . (a 1 . q 3 ) ... (a 1 . q n –1 ) P n = ( a 1 . a 1 . a 1 . . . . a 1 ) . ( q 1 . q 2 . q 3 . . . q n –1 ) 1) - (n . . . 3 2 1 n 1 n q . a P + + + + = Mas 1 + 2 + 3 + .... + (n –1) é uma PA de (n –1) termos e razão 1. Considerando a fórmula da soma dos termos de uma PA, temos: [ ] 2 ) 1 n ( n S 2 1 - n 1) - n ( 1 S 2 ) a a ( S n n 1 − = ⇒ ⋅ + = ⇒ + = Assim, podemos afirmar que: 2 1) - n ( n Q N 1 A N P • = V - INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA. Inserir ou interpolar k meios geométricos entre os números A e B, significa obter uma PG de k+2 termos, onde A é o primeiro termo e B é o último e a razão é dada por: A B Q 1 K = + VI - SOMA DOS N PRIMEIROS TERMOS DE UMA PG Seja uma PG de n termos a 1 , a 2 , a 3 , ...., a n A soma dos n primeiros termos será indicada por: S n = a 1 + a 2 + a 3 + .... + a n Observe que, se q = 1, temos S = n . a 1 . Suponhamos agora que, na progressão dada, tenhamos q ≠ 1. Multipliquemos ambos os membros por q. S n . q = a 1 . q + a 2 . q + a 3 . q +....+ a n –1 . q + a n . q Como a 1 . q = a 2 , a 2 . q = a 3 , ... a n –1 . q = a n temos: S n . q = a 2 + a 3 + a 4 +....+ a n + a n . q E sendo a 2 + a 3 + a 4 +....+ a n = S n – a 1 , vem: S n . q = S n – a 1 + a n . q S n - S n . q = a 1 - a n . q ) 1 q ( q - 1 q . a - a S n 1 n ≠ = APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 69 q - 1 q q . a - a S 1 - n 1 1 n ⋅ = q - 1 q . a - a S n 1 1 n = 1) q ( q - 1 n q - 1 1 a n S ≠ ⋅ = VII - SOMA DOS TERMOS DE UMA PG INFINITA COM - 1 < Q < 1 Vejamos como calcular . . . 16 1 8 1 4 1 2 1 1 S + + + + + = Neste caso, temos a soma dos termos de uma PG infinita com q = 2 1 . Multiplicando por 2 ambos os membros, temos: 2 S = 2 + S ⇒ S = 2 Calculemos agora . . . 27 1 9 1 3 1 1 S + + + + = Multiplicando por 3 ambos os membros, temos: 3S = 3 + S ⇒ 2S = 3 ⇒ 2 3 S = Vamos obter uma fórmula para calcular a soma dos termos de uma PG infinita com -1 < q < 1, Neste caso a soma converge para um valor que será indicado por S S = a 1 + a 2 + a 3 +....+ a n + . . . S = a 1 + a 1 . q + a 1 . q 2 +....+ a 1 . q n –1 + . . . multiplicando por q ambos os membros, temos: S q = a 1 q+ a 1 q 2 + a 1 q 3 +....+ a 1 q n + . . . ⇒ ⇒ Sq = S – a 1 ⇒ S – Sq = a 1 ⇒ S(1 – q) = a 1 ⇒ q 1 a S 1 − = Resumindo: se - 1 < q < 1, temos: q 1 a . . . a .... a a a S 1 n 3 2 1 − = + + + + + = EXERCÍCIOS 1) Determinar a soma dos termos da PG ) 64 1 , . . . . , 4 1 , 2 1 1, ( Solução: a 1 = 1 2 1 q = q - 1 q . a - a S n 1 n = 2 1 128 1 - 1 S 2 1 - 1 2 1 . 64 1 - 1 S n n = ⇒ = ou 64 127 S 2 128 127 2 1 128 127 S n n = ⇒ ⋅ = = 984375 , 1 S n = 2) Determinar a soma dos oito primeiros termos da PG (2, 2 2 , 2 3 , . . .). Solução: a 1 = 2 q = 2 n = 8 q - 1 ) q - 1 ( a S n 1 n ⋅ = 1 - 256) - 1 ( 2 2 - 1 ) 2 - 1 ( 2 S 8 8 = ⋅ = ⋅ = 510 S 510 1 255) - ( 2 8 = ∴ = − ⋅ = 3) Determinar a razão da PG ) . . . ; 8 1 ; 4 1 ; 2 1 ; 1 ; 2 ( Solução: De a 2 = a 1 . q tiramos que: 2 1 q 2 1 a a q 1 2 = ⇒ = = 4) Achar o sétimo termo da PG ( 2 1 ; 1 ; 2 ; . . .) Solução: A PG é tal que 2 1 a 1 = e q = 2 Aplicando então a fórmula do termo geral, teremos que o sétimo termo é: ( ) 64 2 1 2 2 1 q a a 6 1 - 7 1 7 ⋅ = ⋅ = ⋅ = portanto (∴) a 7 = 32 ANÁLISE COMBINATORIA O PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO A palavra Matemática, para um adulto ou uma criança, es- tá diretamente relacionada com atividades e técnicas para contagem do número de elementos de algum conjunto. As primeiras atividades matemáticas que vivenciamos envolvem sempre a ação de contar objetos de um conjunto, enumeran- do seus elementos. As operações de adição e multiplicação são exemplos de .técnicas. matemáticas utilizadas também para a determina- ção de uma quantidade. A primeira (adição) reúne ou junta duas ou mais quantidades conhecidas; e a segunda (multipli- cação) é normalmente aprendida como uma forma eficaz de substituir adições de parcelas iguais. S . . . 16 1 8 1 4 1 2 1 1 2 S 2 + + + + + + = . .. S 27 1 9 1 3 1 1 3 S 3 + + + + + = APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 70 A multiplicação também é a base de um raciocínio muito importante em Matemática, chamado princípio multiplicativo. O princípio multiplicativo constitui a ferramenta básica para resolver problemas de contagem sem que seja necessário enumerar seus elementos (como veremos nos exemplos). Os problemas de contagem fazem parte da chamada aná- lise combinatória. EXEMPLO 1 Maria vai sair com suas amigas e, para escolher a roupa que usará, separou 2 saias e 3 blusas. Vejamos de quantas maneiras ela pode se arrumar. Solução: O princípio multiplicativo, ilustrado nesse exemplo, também pode ser enunciado da seguinte forma: Se uma decisão d1 pode ser tomada de n maneiras e, em seguida, outra decisão d2 puder ser tomada de m maneiras, o número total de maneiras de tornarmos as decisões d1 e d2 será n · m. No exemplo anterior havia duas decisões a serem toma- das: d 1 : escolher uma dentre as 3 blusas d 2 : escolher uma dentre as 2 saias Assim, Maria dispõe de 3 · 2 = 6 maneiras de tomar as decisões d1 e d2, ou seja, 6 possibilidades diferentes de se vestir. EXEMPLO 2 Um restaurante prepara 4 pratos quentes (frango, peixe, carne assada, salsichão), 2 saladas (verde e russa) e 3 sobremesas (sorvete, romeu e julieta, frutas). De quantas maneiras diferentes um freguês pode se ser- vir consumindo um prato quente, uma salada e uma sobre- mesa? Solução: Esse e outros problemas da análise combinatória podem ser representados pela conhecida árvore de possibilidades ou grafo. Veja como representamos por uma “árvore” o problema do cardápio do restaurante. Observe que nesse problema temos três níveis de deci- são: d 1 : escolher um dentre os 4 tipo de pratos quentes. d 2 : escolher uma dentre as 2 variedades de salada. d 3 : escolher uma das 3 sobremesas oferecidas. Usando o princípio multiplicativo, concluímos que temos 4 · 2 · 3 = 24 maneiras de tomarmos as três decisões, ou seja, 24 opções de cardápio. A representação gráfica em árvore de possibilidades é muito ilustrativa. Nela podemos ver claramente os três níveis de decisão d 1 , d 2 e d 3 , consultando os vários tipos de cardá- pios possíveis. Observe que, percorrendo as opções dadas pelos segmentos à esquerda da árvore, o cardápio ficaria frango/salada verde/sorvete enquanto que, escolhendo os segmentos à direita, teríamos salsichão/salada russa/ frutas. No entanto, nosso objetivo é saber as combinações possíveis e calcular o número total de possibilidades sem precisar e- numerá-las, pois muitas vezes isso será impossível devido ao grande número de opções e/ou de decisões envolvidos num problema. As técnicas da análise combinatória, como o princípio multiplicativo, nos fornecem soluções gerais para atacar cer- tos tipos de problema. No entanto, esses problemas exigem engenhosidade, criatividade e uma plena compreensão da situação descrita. Portanto, é preciso estudar bem o proble- ma, as condições dadas e as possibilidades envolvidas, ou seja, ter perfeita consciência dos dados e da resolução que se busca. EXEMPLO 3 Se o restaurante do exemplo anterior oferecesse dois preços diferentes, sendo mais baratas as opções que in- cluíssem frango ou salsichão com salada verde, de quan- tas maneiras você poderia se alimentar pagando menos? Solução: Note que agora temos uma condição sobre as decisões d 1 e d 2 : d 1 : escolher um dentre 2 pratos quentes (frango ou salsi- chão). d 2 : escolher salada verde (apenas uma opção). d 3 : escolher uma das 3 sobremesas oferecidas. Então, há 2 · 1 · 3 = 6 maneiras de montar cardápios eco- nômicos. (Verifique os cardápios mais econômicos na árvore de possibilidades do exemplo anterior). APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 71 EXEMPLO 4 Quantos números naturais de 3 algarismos distintos exis- tem? Solução*: Um número de 3 algarismos c d u é formado por 3 ordens: Como o algarismo da ordem das centenas não pode ser zero, temos então três decisões: d 1 : escolher o algarismo da centena diferente de zero (9 opções). d 2 : escolher o algarismo da dezena diferente do que já foi escolhido para ocupar a centena (9 opções). d 3 : escolher o algarismo da unidade diferente dos que já foram utilizados (8 opções). Portanto, o total de números formados será 9 · 9 · 8 = 648 números. De acordo com o exemplo anterior, se desejássemos con- tar dentre os 648 números de 3 algarismos distintos apenas os que são pares (terminados em 0, 2, 4, 6 e 8), como deve- ríamos proceder? Solução: O algarismo da unidade poderá ser escolhido de 5 modos (0, 2, 4, 6 e 8). Se o zero foi usado como último algarismo, o primeiro pode ser escolhido de 9 modos (não podemos usar o algarismo já empregado na última casa). Se o zero não foi usado como último algarismo, o primeiro só pode ser escolhi- do de 8 modos (não podemos usar o zero, nem o algarismo já empregado na última casa). Para vencer este impasse, temos três alternativas: a) “Abrir” o problema em casos (que é alternativa mais natural). Contar separadamente os núme- ros que têm zero como último algarismo (unidade = 0) e aqueles cujo último algarismo é diferente de zero (uni- dade ≠ 0). Terminando em zero temos 1 modo de escolher o último algarismo, 9 modos de escolher o primeiro e 8 modos de escolher o do meio (algarismo da dezena), num total de 1 · 9 · 8 = 72 números. Terminando em um algarismo diferente de zero temos 4 modos de escolher o último algarismo (2, 4, 6, ou 8), 8 modos de escolher o primeiro algarismo (não podemos usar o zero, nem o algarismo já usado na última casa) e 8 modos de es- colher o algarismo do meio (não podemos usar os dois alga- rismos já empregados nas casas extremas). Logo, temos 4 · 8 · 8 = 256 números terminados em um algarismo diferente de zero. A resposta é, portanto, 72 + 256 = 328 números. b) Ignorar uma das restrições (que é uma alternativa mais sofisticada). Ignorando o fato de zero não poder ocupar a centena, te- ríamos 5 modos de escolher o último algarismo, 9 modos de escolher o primeiro e 8 modos de escolher o do meio, num total 5 · 8 · 9 = 360 números. Esses 360 números incluem números começados por zero, que devem ser descontados. Começando em zero temos 1 modo de escolher o primeiro algarismo (0), 4 modos de escolher o último (2, 4, 6 ou 8) e 8 modos de escolher o do meio (não podemos usar os dois algarismos já empregados nas casas extremas), num total de 1 · 4 · 8 = 32 números. A resposta é, portanto, 360 - 32 = 328 números. c) É claro que também poderíamos ter resolvido o pro- blema determinando todos os números de 3 algarismos dis- tintos (9 · 9 · 8 = 648 números), como é o caso do Exemplo 4, e abatendo os números ímpares de 3 algarismos distintos (5 na última casa, 8 na primeira e 8 na segunda), num total de 5 · 8 · 8 = 320 números. Assim, a resposta seria 648 - 320 = 328 números. Fonte: * Solução proposta pelo prof. Augusto César de Oliveira Morgado no livro "Análise Combina- tória e Probabilidade" - IMPA/VITAE/1991. EXEMPLO 6 As placas de automóveis eram todas formadas por 2 le- tras (inclusive K, Y e W) seguidas por 4 algarismos. Hoje em dia, as placas dos carros estão sendo todas trocadas e passaram a ter 3 letras seguidas e 4 algarismos. Quan- tas placas de cada tipo podemos formar? Solução: No primeiro caso Como cada letra (L) pode ser escolhida de 26 maneiras e cada algarismo (N) de 10 modos distintos, a resposta é: 26 · 26 · 10 · 10 · 10 · 10 = 6 760 000 No segundo caso 26 · 26 · 26 · 10 · 10 · 10 · 10 = 26 · 6 760 000 = = 175 760 000 A nova forma de identificação de automóveis possibilita uma variedade 26 vezes maior. A diferença é de 169.000.000, ou seja, 169 milhões de placas diferentes a mais do que anteriormente. AS PERMUTAÇÕES É um tipo muito comum de problemas de contagem, que está relacionado com as várias formas de organizar ou arru- mar os elementos de um conjunto. APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 72 Organizar tais elementos é uma atividade cotidiana que inclui várias possibilidades, sendo que cada pessoa adota uma estratégia. No entanto, muitas vezes precisamos saber de quantas maneiras podemos arrumar um conjunto de ele- mentos ou simplesmente saciar a curiosidade sobre o núme- ro total de possibilidades. Consultando um dicionário encontramos: PERMUTAR → dar mutuamente, trocar. PERMUTAÇÃO: → ato ou efeito de permutar, troca, substituição; transposição dos elementos de um todo para se obter uma nova combinação; seqüência ordenada dos elementos de um conjunto. EXEMPLO 1 No protocolo de uma repartição há um arquivo de mesa como o da figura abaixo. Cada funcionário do setor gosta de arrumar estas caixas em uma ordem diferente (por exemplo: entrada-pendências-saída, pendências-saída-entrada etc.). De quantas maneiras é possível ordenar estas caixas? Solução: Como temos 3 caixas - saída (S), pendências (P) e entra- da (E) – vamos escolher uma delas para ficar embaixo. Esco- lhida a caixa inferior, sobram 2 escolhas para a caixa que ficará no meio e a que sobrar ficará sobre as outras. Então, usando o princípio multiplicativo temos 3 · 2 · 1 = 6 opções Assim, as soluções são: EXEMPLO 2 De quantas maneiras podemos arrumar 5 pessoas em fila indiana? Solução: Para facilitar, vamos imaginar que as pessoas são P1, P 2 , P 3 , P 4 , P 5 , P 6 e que precisamos arrumá-las nesta fila: Deste modo, podemos ter soluções como: P 1 P 3 P 5 P 2 P 4 P 5 P 2 P 1 P 3 P 4 etc. Ao escolher uma pessoa para ocupar a primeira posição na fila temos cinco pessoas à disposição, ou seja, 5 opções; para o 2º lugar , como uma pessoa já foi escolhida, temos 4 opções; para o 3º lugar sobram três pessoas a serem esco- lhidas; para o 4º lugar duas pessoas, e para o último lugar na fila sobra apenas a pessoa ainda não escolhida. Pelo princípio multiplicativo temos: 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 opções Permutação Dado um conjunto formado por n elementos, chama-se permutação desses n elementos qualquer seqüência de n elementos na qual apareçam todos os elementos do conjun- to. Os Exemplos 1 e 2 são demonstrações de permutações feitas com 3 caixas e 5 pessoas. No Exemplo 2, como na maioria dos casos, não descrevemos ou enumeramos todas as permutações que podemos encontrar, pois apenas calcu- lamos o número de permutações que poderíamos fazer. Cálculo do número de permutações O número de modos de ordenar n objetos distintos é: n · (n - 1) · (n - 2) ... 1 EXEMPLO 3 Quantos números diferentes de 4 algarismos podemos formar usando apenas os algarismos 1, 3, 5 e 7? Solução: Como são 4 algarismos diferentes, que serão permutados em 4 posições, a solução é: 4 · 3 · 2 · 1 = 24 números diferentes Um novo símbolo Uma multiplicação do tipo n · (n - 1) · (n - 2) ... 1 é cha- mada fatorial do número n e representada por n! (lemos n fatorial). n! = n · (n - 1) · (n - 2) ... 1 Veja os exemplos: a) 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 b) 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 73 c) 5! · 4! = (5 · 4 · 3 · 2 · 1) (4 · 3 · 2 · 1) = 120 · 24 = 2880 d) 8! = 8 · 7! e) f) EXEMPLO 4 Quantos são os anagramas da palavra MARTELO? Você sabe o que é um anagrama? Anagrama é uma palavra formada pela transposição (tro- ca) de letras de outra palavra. Existem também anagramas de frases, nos quais se trocam as palavras, formando-se outra frase. Solução: Cada anagrama da palavra MARTELO é uma ordenação das letras M, A, R, T, E, L, O. Assim, o número de anagramas é o número de permutações possíveis com essas letras, ou seja: 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5040 EXEMPLO 5 Quantos anagramas que comecem e terminem por con- soantes podemos formar a partir da palavra MARTELO? Solução: A consoante inicial pode ser escolhida de 4 maneiras e a consoante final de 3 maneiras. As 5 letras restantes serão permutadas entre as duas consoantes já escolhidas. Portan- to, a resposta é 4 · 3 · 5! = 1440 anagramas EXEMPLO 6 Um grupo de 5 pessoas decide viajar de carro, mas ape- nas 2 sabem dirigir. De quantas maneiras é possível dis- por as 5 pessoas durante a viagem? Solução: O banco do motorista pode ser ocupado por uma das 2 pessoas que sabem guiar o carro e as outras 4 podem ser permutadas pelos 4 lugares restantes, logo: 2 · 4! = 2 · 24 = 48 maneiras Nos Exemplos 6 e 7 vemos que em alguns problemas (que envolvem permutações dos elementos de um conjunto) podem existir restrições que devem ser levadas em conta na resolução. Portanto, fique sempre muito atento ao enunciado da questão, procurando compreendê-lo completamente antes de buscar a solução. EXEMPLO 7 Num encontro entre presidentes de países da América do Sul, apenas 7 confirmaram presença. Os organizadores dos eventos que ocorrerão durante a visita gostariam de permutar os presidentes possibilitando vários contatos diferentes. De quantas maneiras podemos permutar os presidentes em 7 cadeiras lado a lado? Se 2 dos presidentes devem se sentar lado a lado, quan- tas são as possibilidades de organizá-los? Se tivéssemos 2 presidentes que não devem ficar juntos, quantas seriam as possibilidades de organizá-los? Solução: a) O total de permutações possíveis dos 7 presidentes por 7 cadeiras é 7! = 5040. b) Observe que, agora, queremos contar apenas o núme- ro de permutações nas quais os presidentes A e B aparecem juntos, como, por exemplo: A B C D E F G B A C G D F E G A B D C E F etc. Então, é preciso contar quantos são os casos em que A e B estariam juntos. Eles estariam juntos na 1ª e na 2ª cadeiras, na 2ª e na 3ª, 3ª e 4ª, 4ª e 5ª, 5ª e 6ª ou 6ª e 7ª. Podemos verificar que são 6 posições e que para cada uma delas poderíamos ter A e B ou B e A (2 possibilidades: 6 · 2 = 12). Além disso, devemos contar várias vezes no total de permutações cada uma des- sas 12 possibilidades, como, por exemplo, EFGCDAB, FEGCDAB, DEFGAB etc. Para sabermos quantas vezes A e B aparecem nas posi- ções 6 e 7, respectivamente, precisamos contar todas as permutações possíveis dos outros 5 presidentes nas 5 posi- ções restantes. Considerando todos estes casos, o número total de posi- ções em que A e B aparecem junto é 2 · 6 · 5! = 12 · 120 = 1440 posições c) Neste caso, do total de permutações possíveis com os 7 presidentes (5040) devemos retirar aquelas em que A e B aparecem juntos (1440). Portanto, a resposta seria: 5040 - 1440 = 3600 possibilidades Continuando com permutações Vimos vários exemplos de permutações denominadas “permutações simples” e “permutações simples com restri- ções”. Você deve ter notado que em todos aqueles exemplos permutamos objetos distintos: 3 caixas diferentes, pessoas diferentes, números formados por algarismos diferentes, anagramas da palavra MARTELO (que não têm letras repeti- APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 74 das) etc. Como deveríamos proceder se quiséssemos saber o número de anagramas possíveis com as letras da palavra MADEIRA ou da palavra PRÓPRIO? Você estudará permutações com objetos nem todos dis- tintos. Outro caso que será estudado é o que chamamos de permutação circular. Só para você já ir pensando, no Exem- plo dos 7 presidentes, eles sempre se sentavam lado a lado. O que aconteceria se fôssemos arrumá-los numa mesa re- donda? Será que teríamos o mesmo número de permutações diferentes? Além de acompanhar cuidadosamente os exemplos, você precisa resolver os exercícios, discutir sua solução com ou- tras pessoas e até inventar problemas. Matemática se aprende fazendo! Permutações com repetição EXEMPLO 1 A palavra MADEIRA possui sete letras, sendo duas letras A e cinco letras distintas: M, D, E, I, R. Quantos anagramas podemos formar com essa palavra? Solução: O número de permutações de uma palavra com sete le- tras distintas (MARTELO) é igual a 7! = 5040. Neste exemplo formaremos uma quantidade menor de anagramas, pois são iguais aqueles em que uma letra A aparece na 2ª casa e a outra letra A na 5ª casa (e vice-versa). Para saber de quantas maneiras podemos arrumar as du- as letras A, precisamos de 2 posições. Para a primeira letra A teremos 7 posições disponíveis e para a segunda letra A teremos 6 posições disponíveis (pois uma das 7 já foi ocupa- da). Temos então, 21 2 6 7 = ⋅ opções de escolha. A divisão por 2 é necessária para não contarmos duas vezes posições que formam o mesmo anagrama (como, por exemplo, escolher a 2ª e 5ª posições e a 5ª e 2ª posições). Agora vamos imaginar que as letras A já foram arrumadas e ocupam a 1ª e 2ª posições: A A _ _ _ _ _ Nas 5 posições restantes devemos permutar as outras 5 letras distintas, ou seja, temos 5! = 120 possibilidades. Como as 2 letras A podem variar de 21 maneiras suas posições, temos como resposta: = ⋅ ⋅ 5! 2 6 7 21 · 120 = 2520 anagramas da palavra MA- DEIRA EXEMPLO 2 Uma urna contém 10 bolas: 6 pretas e 4 brancas. Quan- tas são as maneiras de se retirar da urna, uma a uma, as 10 bolas? Solução: Vejamos primeiro algumas possibilidades de se retirar as bolas da urna, uma a uma, sendo 6 bolas pretas e 4 bolas brancas. Nesse exemplo temos uma permutação de 10 elementos. Caso fossem todos distintos, nossa resposta seria 10!. No entanto, o número de permutações com repetição de 6 bolas pretas e 4 bolas brancas será menor. Se as bolas brancas (que são iguais) fossem numeradas de 1 a 4, as posições seriam diferentes. Note que para cada arrumação das bolas brancas temos 4! = 24 permutações que são consideradas repetições, ou seja, que não fazem a menor diferença no caso de as bolas serem todas iguais. Da mesma forma, para cada posição em que as 6 bolas pretas aparecerem não devemos contar as repetições ou as trocas entre as próprias bolas pretas. O número de repetições é 6! = 720. Concluímos, então, que as maneiras de se retirar uma a uma 6 bolas pretas e 4 bolas brancas, sem contar as repeti- ções, é: 210 24.720 3.628.800 4!6! 10! = = EXEMPLO 3 Quantos anagramas podemos formar com a palavra PRÓPRIO? Solução: Este exemplo é parecido com o das bolas pretas e bran- cas. Mas observe que aqui temos 7 letras a serem permuta- das, sendo que as letras P, R e O aparecem 2 vezes cada uma e a letra I, apenas uma vez. Como no caso anterior, teremos 2! repetições para cada arrumação possível da letra P (o mesmo ocorrendo com as letras R e O). O número de permutações sem repetição será, então: etc... 2! 2! 2! 7! →número total de permutações de 7 letras. →produto das repetições possíveis com as letras P, R e O 630 2 · 2 · 2 5040 = Uma expressão geral para permutações com objetos nem todos distintos APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 75 Havendo n elementos para permutar e dentre eles um e- lemento se repete p vezes e outro elemento se repete q ve- zes, temos: q! p! n! No exemplo anterior, você viu que podemos ter mais de 2 elementos que se repetem. Neste caso, teremos no denomi- nador da expressão o produto dos fatoriais de todos os ele- mentos que se repetem. Simplificando fatoriais Uma fração com fatoriais no numerador e no denominador pode ser facilmente simplificada. Observe os exemplos: a) 7 · 8 · 9 · 10 6! 6! · 7 · 8 · 9 · 10 6! 10! = = b) 6 7 1 5! 6 7 5! 7! 5! ⋅ = ⋅ ⋅ = c) n 1)! - (n 1)! - n(n 1)! - (n n! = = d) 2 5 1 2 4 5 3!2! 3! 4 5 3!2! 5! ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = Permutações circulares Permutações circulares são os casos de permutações em que dispomos n elementos em n lugares em torno de um círculo. Veja um exemplo. De quantos modos podemos formar uma roda com 5 cri- anças? Para formar uma roda com 5 crianças, não basta escolher uma ordem para elas. Vamos nomear as 5 crianças por A, B, C, D, E. Observe que as rodas por exemplo, são iguais. Em cada uma dessas rodas, se seus elementos fossem arrumados em fila, teríamos permutações diferentes; no en- tanto, dispostos de forma circular, não dão origem a rodas diferentes; temos 5 rodas iguais, pois a posição de cada criança em relação às outras é a mesma e a roda foi apenas “virada”. Como não queremos contar rodas iguais, nosso resultado não é o número de permutações com 5 elementos em 5 posi- ções, ou seja, 5! = 120. Já que cada roda pode ser “virada” de cinco maneiras, o número total de permutações, 120 ro- das, contou cada roda diferente 5 vezes e a resposta do problema é: 24 5 120 = Uma expressão geral para permutações circulares Nas permutações simples importam os lugares que os objetos ocupam e nas permutações circulares importa a posição relativa entre os objetos, ou seja, consideramos equivalentes as arrumações que possam coincidir por rotação. Se temos n objetos, cada disposição equivalente por rota- ção pode ser obtida de n maneiras. Confirme isso com os exemplos a seguir: a) 3 elementos: A, B, C. Considere a roda ABC. As rodas BCA e CAB são rodas equivalentes. b) 8 elementos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Verifique que as 8 ro- das abaixo são equivalentes: 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 8 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 7 - 8 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 6 - 7 - 8 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 5 - 6 - 7 - 8 - 1 - 2 - 3 - 4 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 1 - 2 - 3 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 1 - 2 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 1 A expressão geral do número de permutações circu- lares será o número total de permutações, n!, di- vidido pelas n vezes que cada roda equivalente foi contada: 10)! (n n 1)! n(n n n! − = − = EXEMPLO 4 Quantas rodas de ciranda podemos formar com 8 crian- ças? Solução: Podemos formar 5040 7! 8 8! = = rodas diferentes. EXEMPLO 5 Se no encontro dos 7 presidentes as reuniões fossem o- correr ao redor de uma mesa, de quantas maneiras podería- mos organizá-los? Solução: 720 6! 7 7! = = posições circulares diferentes. EXEMPLO 6 Neste mesmo exemplo, o que ocorreria se dois dos 7 pre- sidentes não devessem sentar juntos? Solução: Neste caso, poderíamos contar as permutações circulares dos outros 5 presidentes e depois encaixar os 2 que devem ficar separados nos espaços entre os 5 já arrumados. APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 76 O número de permutações circulares com 5 elementos é 4! = 24, e entre eles ficam formados 5 espaços. Se os presidentes F e G forem colocados em 2 destes 5 espaços, eles não ficarão juntos. Temos então 5 opções para sentar o presidente F e 4 opções (uma foi ocupada por F) para sentar o presidente G. A resposta a este problema é 5 · 4 · 4! = 480 AS COMBINAÇÕES Até agora você estudou problemas de análise combinató- ria que envolviam o princípio multiplicativo e as permutações. Se observar os problemas de permutações verá que pos- suem duas características em comum: todos os objetos são usados na hora de formar o agrupamen- to; a ordem em que os objetos são arrumados no agrupamento faz diferença. Nos problemas que envolviam anagramas com as le- tras de uma palavra, por exemplo, todas as letras da palavra original tinham de ser usadas, e a or- dem em que arrumávamos as letras era impor- tante, pois cada ordem diferente fornecia um no- vo anagrama. Agora, você estudará um tipo diferente de problema em que: não utilizamos todos os objetos; a ordem em que os objetos são arrumados “não faz diferen- ça”. Vamos começar compreendendo e resolvendo um pro- blema. EXEMPLO 1 Em uma obra havia três vagas para pedreiro. Cinco can- didatos se apresentaram para preencher as vagas. De quan- tas formas o encarregado da obra pode escolher os três de que ele precisa? Solução: Note que ele não vai usar todos os candidatos, de 5 escolherá apenas 3. Além disso, a ordem em que ele vai escolhê-los não faz diferença (se escolher primeiro João, depois José e por últi- mo Pedro, ou primeiro José, depois Pedro e por último João, o grupo escolhido será o mesmo). Assim, você já deve ter notado que este não é um pro- blema de permutações. Se a ordem de escolha dos candidatos importasse, pode- ríamos usar o princípio multiplicativo. Nesse caso, teríamos 5 candidatos para a primeira vaga, 4 candidatos para a segun- da e 3 candidatos para a última. A solução seria: 5 · 4 · 3 = 60. Portanto, haveria 60 formas de escolher os três novos pedreiros. Usando o princípio multiplicativo, no entanto, contamos várias vezes o mesmo grupo de três candidatos: João José Pedro João Pedro José Pedro João José Pedro José João José Pedro João José João Pedro Estes seis grupos são iguais e foram contados como a- grupamentos diferentes nas 60 formas de escolher que en- contramos. Para “retirar” as repetições destes e de outros grupos, vamos dividir o resultado pelo número de vezes que eles se repetem na contagem. Que número é esse? Os grupos repetidos são as formas de .embaralhar. três candidatos escolhidos. Ora “embaralhar” três objetos é fazer permutações! O número de permutações de 3 objetos você já sabe que é 3! = 6. Logo, basta dividir 60 por 6 para não contarmos as repeti- ções dentro de cada grupo formado. Isso significa que há 10 maneiras de escolher os três novos pedreiros, entre os 5 candidatos. UMA FÓRMULA PARA O CÁLCULO DAS COMBINAÇÕES Esse tipo de agrupamento chama-se combinação. No caso do nosso exemplo, temos uma combinação de 5 objetos (os 5 candidatos) 3 a 3 (apenas 3 serão escolhidos). Vamos supor que temos n objetos disponíveis para esco- lha e que, destes, vamos escolher p objetos (p < n). O núme- ro de maneiras de se fazer essa escolha chama-se combi- nação e representa-se por p n C . Portanto, o número de com- binações de n elementos p a p é calculado por: )p! p! (n n! p n C − = Em nosso exemplo, temos n = 5 e p = 3. Aplicando a fór- mula, obtemos: 2!3! 5! )3! 3! (5 5! C 3 5 = − = Vamos resolver mais alguns problemas nos próximos e- xemplos. Leia com atenção o enunciado, interprete-o e tente resolver cada exemplo sozinho. Só depois disso leia a solu- ção. Assim você poderá verificar se realmente compreende o problema e sua solução. EXEMPLO 2 Em um hospital há apenas 5 leitos disponíveis na emer- gência. Dez acidentados de um ônibus chegam e é preciso escolher 5 para ocupar os leitos. Os outros ficariam em ma- cas, no corredor do hospital. De quantas formas poderíamos escolher 5 pessoas que ficariam nos leitos? Solução: APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 77 Na realidade, os responsáveis pela emergência estudari- am cada caso e escolheriam os mais graves, mas imagine que todos tenham a mesma gravidade. Nesse caso, há duas coisas a observar: de 10 pessoas, 5 serão escolhidas e a ordem em que a escolha é feita não importa. Trata-se, então, de uma combinação onde: n = 10 (número de “objetos” disponíveis) p = 5 (número de .objetos. a serem escolhidos) Usando a fórmula, temos: 5!5! 10! )5! 5! (10 10! C 5 10 = − = Logo, há 252 formas de escolher as 5 pessoas que irão ocupar os 5 leitos. EXEMPLO 3 Uma pequena empresa quer formar um time de futebol e 15 funcionários se inscreveram, dizendo que aceitam jogar em qualquer posição. De quantas formas é possível escolher os 11 jogadores do time? Solução: De 15 operários, 11 serão escolhidos e a ordem de esco- lha não importa, pois queremos escolher apenas os jogado- res sem determinar as posições em campo. Temos, então, as características de uma combinação de 15 pessoas (n = 15) para formar grupos de 11 (p = 11). Usando a fórmula: 1365 )11! 11! (15 15! C 11 15 = − = Assim, os jogadores podem ser escolhidos de 1 365 for- mas diferentes. EXEMPLO 4 Os 15 funcionários da empresa decidem escolher uma comissão de 3 membros para reivindicar apoio financeiro da diretoria ao novo time de futebol. Beto começou a pensar em todas as comissões possíveis em que ele pudesse ser um dos membros, e nas quais Edu não estivesse. Em quantas comissões Beto poderia pensar? Solução: Como Edu não pode participar de nenhuma das comis- sões pensadas por Beto, podemos retirá-lo do problema. Temos, então, 14 funcionários para formar comissões de 3. Como um dos membros sempre é o Beto, precisamos descobrir os outros dois membros que devem ser escolhidos dentre 13 pessoas (Beto já foi “escolhido”). Assim, concluímos que o número máximo de comissões diferentes que Beto poderia pensar é: 11!2! 13! )2! 2! (13 13! C 2 13 = − = EXEMPLO 5 De quantos modos podemos formar 2 times de vôlei com 12 moças? Solução: Como cada um dos times deve ter 6 jogadoras, o primeiro pode ser escolhido de 6 12 C modos. Escolhido esse time, sobram exatamente 6 moças para formar o segundo. A res- posta, então, parece ser 1 C 6 12 ⋅ . No entanto, contamos cada time duas vezes. Observe, por exemplo, que as formações abaixo são idênticas: a, b, c, d, e, f e g, h, i, j, l, m ou g, h, i, j, l, m e a, b, c, d, e, f A resposta correta é: 462 6!6! 12! 2 1 2 1 C 6 12 = ⋅ = ⋅ Assim, temos então 462 modos de formar os 2 ti- mes.(Fonte: http://www.bibvirt.futuro.usp.br). PROBABILIDADES Introdução Quando usamos probabilidades? Ouvimos falar desse assunto em situações como: a pro- babilidade de ser sorteado, de acertar numa aposta, de um candidato vencer uma eleição, de acertar o resultado de um jogo etc. Portanto, usamos probabilidades em situações em que dois ou mais resultados diferentes podem ocorrer e não é possível saber, prever, qual deles realmente vai ocorrer em cada situação. Ao lançarmos para o alto uma moeda e quisermos saber se o resultado é cara ou coroa, não podemos prever o resul- tado mas podemos calcular as chances de ocorrência de cada um. Este cálculo é a probabilidade de ocorrência de um resultado. Por meio dos exemplos desta aula, você aprenderá o cál- culo de probabilidades. EXEMPLO 1 Qual a chance de dar cara no lançamento de uma moe- da? APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 78 coroa cara Solução: Raciocinando matematicamente, os resultados cara e co- roa têm as mesmas chances de ocorrer. Como são duas possibilidades (cara ou coroa) podemos dizer que as chances de dar cara é de 1 para 2. Isto é o mesmo que dizer que a probabilidade de o resultado ser cara é ou 0,5 ou 50%. Neste exemplo calculamos intuitivamente a probabilidade de o resultado ser cara e você deve ter percebido que a pro- babilidade de dar coroa é a mesma, 50%. No entanto, quando dizemos que a probabilidade é ½ ou 50% isso não significa que a cada 2 lançamentos um vai ser cara e o outro vai ser coroa. O fato de a probabilidade ser ½ ou 50% quer dizer apenas que as chances são iguais e que, se fizermos muitos lançamentos, é provável que aproxima- damente metade deles dê cara como resultado. O conceito de probabilidade EXEMPLO 2 O chefe de uma seção com 5 funcionários deu a eles 1 ingresso da final de um campeonato para que fosse sorteado. Após escreverem seus nomes em papéis idênticos, coloca- ram tudo num saco para fazer o sorteio. Qual a chance que cada um tem de ser sorteado? Solução: Os 5 funcionários têm todos a mesma chance de serem sorteados. No caso de Paulo, por exemplo, as chances de ser sorteado são de 1 para 5, ou 1/5. Então, podemos dizer que a chance, ou a probabilidade, de cada um deles ser sor- teado é de 1/5 , ou 0,2, ou ainda 20%. EXEMPLO 3 No lançamento de um dado, qual a probabilidade de o re- sultado ser um número par? Solução: Para que o resultado seja par devemos conseguir: Assim, temos 3 resultados favoráveis (2, 4 ou 6) em um total de 6 resultados possíveis (1, 2, 3, 4, 5, 6). As chances de dar um resultado par são 3 num total de 6. Então, podemos dizer que a probabilidade de isso acontecer é 3/6 ou 1/2 . Generalizando essa solução: P (par) = nº de resultados favoráveis a E = 6 3 = 2 1 = 50% nº total de resultados possí- veis Onde P (par) significa probabilidade de o resultado ser par. Nos três exemplos que acabamos de ver há dois ou mais resultados possíveis, todos com a mesma chance de ocorrer. A probabilidade de ocorrer um desses resultados ou um con- junto de resultados que satisfaçam uma condição ou exigên- cia E, é representado por p (E) e calculado por: p (E) = nº de resultados favoráveis a E nº total de resultados possí- veis EXEMPLO 4 No Exemplo 2 da Aula 48 vimos que, num restaurante que prepara 4 pratos quentes, 2 saladas e 3 sobremesas diferen- tes, existem 24 maneiras diferentes de um freguês se servir de um prato quente, uma salada e uma sobremesa. No Exemplo 3 daquela aula descobrimos que havia, den- tre os 24 cardápios possíveis, 6 cardápios econômicos. Qual a probabilidade de um freguês desavisado escolher uma das opções mais caras? Solução: Já sabemos que a probabilidade de escolher os mais ca- ros será: p(mais caro) = nº de cardápios mais caros nº de cardápios possí- veis Se temos 6 opções econômicas num total de 24, temos 24 - 6 = 18 opções mais caras. Como o número de cardápios possíveis é 24, então: p(mais caro) = 54 18 = 4 3 = 0,75 = 75% As chances de esse freguês escolher um dos cardápios mais caros é de 75%. EXEMPLO 5 Numa urna estão 10 bolas de mesmo tamanho e de mesmo material, sendo 8 pretas e 2 brancas. Pegando-se uma bola qualquer dessa urna, qual a probabilidade de ela ser branca? Solução: p(branca) = nº de bolas bran- cas = 10 2 = 5 1 = 20% nº total de bolas EXEMPLO 6 De um baralho normal de 52 cartas e mais 2 coringas reti- ramos uma das cartas ao acaso. Qual a probabilidade de: a) ser um ás? APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 79 b) ser um coringa, em jogos que também consideram o 2 como coringa? Solução: O número total de cartas é 54 sendo que há 13 cartas (ás, 2 a 10, valete, dama, rei) de cada um dos 4 naipes (copas, ouro, paus e espadas) e 2 coringas. a) p (ás) = nº de ases existen- tes = 54 4 = 0,07 = 7% nº total de cartas b) Como as 4 cartas com nº 2 também são consideradas coringas, a probabilidade de tirar um coringa será: p(coringa) = nº de coringas = 54 6 = 0,11 = 11% nº total de cartas EXEMPLO 7 Em análise combinatoria, vimos que, com 6 homens e 3 mulheres, podemos formar 5 9 C = 126 grupos de 5 pessoas e 5 6 C = 6 grupos de 5 pessoas nos quais só escolhemos ho- mens. Supondo que as chances de cada um dos grupos é a mesma, qual a probabilidade de escolher: a) um grupo onde não há mulheres; b) um grupo onde haja pelo menos uma mulher. Solução: a) p (não mulher) = 126 6 = 0,05 = 5% b) p (pelo menos 1 mulher) = 126 120 = 0,95 = 95% Os valores possíveis para as probabilidades No Exemplo 7 os grupos contados em a) e em b) comple- tam todos os grupos possíveis (6 + 120 = 126). Portanto as possibilidades somadas darão 126 6 + 126 120 = 126 126 ou 100% (5% + 95%). Já sabemos que: p (E) = nº de resultados favoráveis a E nº total de resultados possíveis A quantidade m será escolhida dentre as n existentes, por isso m deverá ser menor ou igual a n (m ≤ n) e a fração n m será menor ou igual a 1: p (E) ≤1. Caso a condição E exigida não possa ser cumprida, ou seja, se não houver nenhum resultado favorável a E, o núme- ro m será zero e p (E) = n m = 0 Percebemos ainda que a fração n m será sempre positiva pois m e n são números naturais. Assim, podemos concluir que: 0 ≤ n m ≤ 1 ou 0 ≤ p (E) ≤ 1 EXEMPLO 8 Com os algarismos 1, 3 e 5 formamos todos os números de 3 algarismos possíveis. Dentre eles escolhemos um nú- mero, ao acaso. a) Qual a probabilidade de escolher um número que seja múltiplo de 3? b) Qual a probabilidade de o número escolhido ser par? Solução: O total de números formados por 3 algarismos é igual ao número de permutações possíveis com os algarismos 1, 3 e 5 em três posições, ou seja, 3! = 6. a) Como a soma dos algarismos 1 + 3 + 5 é igual a 9, que é um múltiplo de 3, qualquer um dos números formados será múltiplo de 3. Assim, a probabilidade de isso ocorrer será: P (múltiplo de 3) = 6 6 = 1 b) Como qualquer dos algarismos 1, 3 e 5 colocados no final do número formado gera um número ímpar, não forma- remos nenhum número par. Assim, como a quantidade de casos favoráveis é zero, temos: p (par) = 6 0 = 0 Um pouco de história Os primeiros estudos envolvendo probabilidades foram motivados pela análise de jogos de azar. Sabe-se que um dos primeiros matemáticos que se ocupou com o cálculo das probabilidades foi Cardano (1501-1576). Data dessa época a expressão que utilizamos até hoje para o cálculo da probabi- lidade de um evento (número de casos favoráveis dividido pelo número de casos possíveis). Com Fermat (1601-1665) e Pascal (1623-1662), a teoria das probabilidades começou a evoluir e ganhar mais consis- tência, passando a ser utilizada em outros aspectos da vida social, como, por exemplo, auxiliando na descoberta da vaci- na contra a varíola no século XVIII. Atualmente, a teoria das probabilidades é muito utilizada em outros ramos da Matemática (como o Cálculo e a Estatís- tica), da Biologia (especialmente nos estudos da Genética), da Física (como na Física Nuclear), da Economia, da Socio- logia etc. APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 80 Exercícios Exercício 1 De um baralho de 52 cartas é retirada uma carta ao aca- so. a) Qual a probabilidade de a carta retirada ser um rei? b) Qual a probabilidade de a carta retirada ser uma figura (valete, dama ou rei)? Exercício 2 No lançamento de um dado, qual a probabilidade de o número obtido ser menor ou igual a 4? Exercício 3 No lançamento de dois dados, um verde e outro verme- lho, qual é a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos seja: a) 7 b) 1 c) maior que 12 d) um número par Exercício 4 Na Aula 48 vimos que na SENA existem 11.441.304.000 maneiras de escolher 6 números de 01 a 50. Se você apostar em 6 números, qual a probabilidade de sua aposta ser a sorteada? Exercício 5 O que acontece se você apostar em 5 números de 01 a 100? Qual a probabilidade de você acertar a quina de núme- ros sorteada? Exercício 6 Suponha que sejam iguais as chances de qualquer uma das placas novas para automóveis (3 letras e 4 números) ser escolhida para o seu automóvel. Qual a probabilidade de você receber uma placa com as iniciais de seu nome em qualquer ordem? Respostas: 1. a) 52 4 = 13 1 = 7,69% b) 52 12 = 3 2 = 23% 2. 6 4 = 13 1 = 67% 3. a) 36 6 = 6 1 = 17% b) 0 c) 0 d) 36 24 = 67% 4. 0 1144130400 1 = 0,000 000 000 087 = 0,000 000 0087% 5. 9034502400 1 = 0,000 000 000 11 = 0,000 000 011% 6. 4 3 10 26 3! = 175760000 6 = 0,000 000 034 = 0,000 003 4% Calculando probabilidades Você já aprendeu que a probabilidade de um evento E é: p (E) = nº de resultados favoráveis a E nº total de resultados possí- veis Iremos calcular a probabilidade de ocorrência de um e- vento e outro, bem como a ocorrência de um ou outro evento. Em muitas situações a ocorrência de um fato qualquer de- pende da ocorrência de um outro fato; nesse caso dizemos que são ocorrências dependentes. Em situações onde não há essa dependência, precisamos calcular probabilidades de duas situações ocorrerem ao mesmo tempo. Para abordarmos situações como as que acabamos de descrever, utilizaremos vários exemplos durante esta aula. Leia-os com bastante atenção e procure refazer as soluções apresentadas. Cálculo da probabilidade de ocorrência de um evento e de outro EXEMPLO 1 Num grupo de jovens estudantes a probabilidade de que um jovem, escolhido ao acaso, tenha média acima de 7,0 é 5 1 . Nesse mesmo grupo, a probabilidade de que um jovem saiba jogar futebol é 6 5 . Qual a probabilidade de escolher- mos um jovem (ao acaso) que tenha média maior que 7,0 e saiba jogar futebol? Solução: APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 81 O fato de ter média maior que 7,0 não depende do fato de saber jogar futebol, e vice-versa. Quando isso ocorre, dizemos que os eventos são inde- pendentes. Considere então os eventos: A: ter média acima de 7,0. B: saber jogar futebol. A e B: ter média acima de 7,0 e saber jogar futebol. Como queremos calcular P (A e B), pense o seguinte: de todos os jovens, 5 1 têm média acima de 7,0 e 6 5 sabem jogar futebol. Ora, 6 5 de 5 1 , ou seja, 6 5 x 5 1 = 6 1 , sabem jogar futebol e têm média acima de 7,0. Portanto, P (A e B) = 6 1 . Repare que para encontrarmos P (A e B) efetuamos P (A) · P (B). Então, concluímos que, quando A e B são eventos independentes (não têm “nada a ver” um com o outro): P (A e B) = P (A) · P (B) EXEMPLO 2 Dos 30 funcionários de uma empresa, 10 são canhotos e 25 vão de ônibus para o trabalho. Escolhendo ao acaso um desses empregados, qual a probabilidade de que ele seja canhoto e vá de ônibus para o trabalho? Solução: Considere os eventos: A : ser canhoto B : ir de ônibus para o trabalho É claro que A e B são eventos independentes, portanto um não depende em nada do outro. A probabilidade de os dois eventos (A e B) ocorrerem simultaneamente é calculada por P (A e B) = P (A) · P (B). Calculando: P (A) = 30 10 = 3 1 P (B) = 30 25 = 6 5 P (A e B) = P (A) · P (B) = 3 1 x 6 5 = 18 5 A probabilidade de que ele seja canhoto e vá de ônibus para o trabalho é de 18 5 . EXEMPLO 3 Alguns atletas participam de um triathlon (prova formada por 3 etapas consecutivas: natação, corrida e ciclismo). A probabilidade de que um atleta escolhido ao acaso termine a primeira etapa (natação) é 7 4 . Para continuar na competição com a segunda etapa (corrida) o atleta precisa ter terminado a natação. Dos atletas que terminam a primeira etapa, a probabilidade de que um deles, escolhido ao acaso, termine a segunda é 4 3 . Qual a probabilidade de que um atleta que iniciou a prova, e seja escolhido ao acaso, termine a primeira e a segunda etapas? Solução: A : terminar a 1ª etapa da prova (natação). B : terminar a 2ª etapa da prova (corrida), tendo terminado a 1ª. Note que A e B não são eventos independentes pois, para começar a 2ª etapa é necessário, antes, terminar a 1ª. Nesse caso dizemos que a ocorrência do evento B de- pende (está condicionada) à ocorrência do evento A. Utilizamos então a notação B/A, que significa a depen- dência dos eventos, ou melhor, que o evento B/A denota a ocorrência do evento B, sabendo que A já ocorreu. No caso deste exemplo, temos: B/A terminar a 2ª etapa (corrida), sabendo que o atleta terminou a 1ª etapa (natação). E agora? Como calcular P (A e B)? É simples: no lugar de usarmos P(B) na fórmula P(A e B) = P(A) · P(B), usaremos P(B/A) já que a ocorrência de B depende da ocorrência de A. O enunciado deste problema nos diz que P(A) = 7 4 P(B/A)= 4 3 ; assim, P(A e B) = P(A) · P(B/A)= 7 4 x 4 3 = 7 3 A probabilidade de que um atleta, escolhido ao acaso, termine a 1ª e a 2ª etapas é 7 3 . Quando A e B não são eventos independentes a probabi- lidade de ocorrência de A e B é calculada por: P (A e B) = P (A) · P (B/A) onde P (B/A) é a probabilidade de B, dado que A já ocor- reu. EXEMPLO 4 No exame para tirar a carteira de motorista, a probabilida- de de aprovação na prova escrita é 10 9 . Depois de ser apro- vado na parte teórica, há uma prova prática de direção. Para APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 82 os que já passaram no exame escrito, a probabilidade de passar nessa prova prática é 3 2 . Qual a probabilidade de que, escolhido um candidato ao acaso, ele seja aprovado em ambas as provas escrita e práti- ca e tire a carteira de motorista? Solução: Considere os eventos: A: aprovação na prova escrita. B: aprovação na prova prática de direção. Os eventos A e B não são independentes, pois é preciso ter aprovação na prova escrita e para fazer a prova prática de direção. Como a ocorrência de B está condicionada à ocor- rência de A, criamos o evento: B/A: ter aprovação na prova prática de direção, sabendo que o candidato foi aprovado na prova escrita. Para calcular P(A e B), usamos: P(A e B) = P(A) · P(B/A) Calculando: P(A) = 10 9 P(B/A) = 3 2 P(A e B) = 10 9 x 3 2 = 5 3 A probabilidade de passar na prova escrita e na prova de direção é 5 3 . Cálculo da probabilidade de ocorrência de um evento ou outro EXEMPLO 5 Na Copa América de 1995, o Brasil jogou com a Colôm- bia. No primeiro tempo, a seleção brasileira cometeu 10 fal- tas, sendo que 3 foram cometidas por Leonardo e outras 3 por André Cruz. No intervalo, os melhores lances foram repri- sados, dentre os quais uma falta cometida pelo Brasil, esco- lhida ao acaso. Qual a probabilidade de que a falta escolhida seja de Leonardo ou de André Cruz? Solução: Das 10 faltas, 3 foram de Leonardo e 3 de André Cruz. Portanto, os dois juntos cometeram 6 das 10 faltas do Brasil. Assim, a probabilidade de que uma das faltas seja a escolhi- da dentre as 10 é 10 6 = 5 3 . Também podemos resolver este problema da se- guinte maneira: probabilidade de ser escolhida uma falta do Leonardo = 10 3 . probabilidade de ser escolhida uma falta do André Cruz = 10 3 . probabilidade de ser escolhida uma falta de um destes dois jogadores= 10 3 + 10 3 = 10 6 = 5 3 . Lembre-se de que qualquer uma das duas escolhas terá um resultado favorável. Se A e B são os eventos (escolher uma falta de Leonardo ou escolher uma falta de André Cruz), estamos interessados na probabilidade do evento A ou B. Temos então: P(A ou B) = P(A) + P(B) Note que isso vale porque uma falta não pode ser cometi- da pelos dois jogadores ao mesmo tempo, ou seja, o evento A e B é impossível. EXEMPLO 6 Uma empresa que fabrica suco de laranja fez uma pes- quisa para saber como está a preferência do consumidor em relação ao seu suco e ao fabricado por seu principal concor- rente. Essa empresa é chamada SOSUMO, e seu concorren- te SUMOBOM. A pesquisa concluiu que dos 500 entrevista- dos, 300 preferiam o SUMOBOM, 100 consumiam os dois, 250 preferiam SOSUMO e 50 nenhum dos dois. Um dos entrevistados foi escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de que ele seja: a) consumidor de SOSUMO e SUMOBOM; b) consumidor de SOSUMO ou SUMOBOM. Solução: a) De acordo com a pesquisa dos 500 entrevistados, 100 consomem os dois sucos. Logo, a probabilidade de que um entrevistado, escolhido ao acaso, consuma os dois sucos é: 500 100 = 5 1 . b) Usando o raciocínio do Exemplo 5, para saber a proba- bilidade da ocorrência de um evento ou outro, somamos as probabilidades de os dois eventos ocorrerem separadamente. Mas, neste exemplo, devemos tomar cuidado com o seguinte: existem pessoas que consomem os dois sucos indiferente- mente, compram o que estiver mais barato, por exemplo. Assim, não podemos contar essas pessoas (que consomem um e outro) duas vezes. Observe que a soma dos resultados é maior que o número de entrevistados (300 + 100 + 200 + 50 = 650), ou seja, há pessoas que, apesar de preferi- rem um dos sucos, consomem os dois. Para faci- litar daremos nomes aos eventos: APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 83 A : preferir o SOSUMO B: preferir o SUMOBOM A e B: consumir SOSUMO e SUMOBOM A ou B: consumir SOSUMO ou SUMOBOM Repare que este ou quer dizer: apenas o SOSUMO ou apenas o SUMOBOM. Fazendo P(A ou B) = P(A) + P(B) estamos contando duas vezes as pessoas que apesar de preferirem um dos sucos, consomem os dois. Logo, devemos subtrair de P(A) + P(B) o resultado de P(A e B) para retirar a “contagem dobrada”. Temos então: P (A ou B) = P (A) + P (B) P (A e B) Calculando: P(A) = 500 250 = 2 1 P(B) = 500 300 = 5 3 P(A e B) = 500 100 = 5 1 P(A ou B) = 2 1 + 5 3 - 5 1 = 2 1 + 5 2 = 10 4 5 + = 10 9 A probabilidade de que o escolhido consuma um suco ou outro é 10 9 . Observação Em exemplos como o que acabamos de ver há outras so- luções possíveis. Observe que o evento A ou B (consumir um suco ou ou- tro) deve incluir como casos favoráveis todas as pessoas que não fazem parte do grupo dos que não consomem esses dois sucos. Sabíamos que dos 500 entrevistados, 50 pessoas consu- miam nenhum dos dois e a probabilidade de escolhermos uma dessas pessoas ao acaso era 500 50 , ou seja, 10 1 . As- sim, podíamos concluir que a probabilidade de não fazer parte desse grupo era 1 - 10 1 = 10 9 , raciocinando por exclu- são. Exercícios propostos. Exercício 1 Em uma cidade do interior do Brasil, a probabilidade de que um habitante escolhido ao acaso tenha televisão em casa é 12 11 . Já a probabilidade de esse habitante ser um comerciante é 11 1 . Escolhendo um habitante dessa cidade ao acaso, qual a probabilidade de que ele tenha televisão em casa e seja comerciante? Exercício 2 Alguns professores estão prestando concurso para dar aulas em uma escola. Inicialmente, eles farão uma prova escrita e, depois de se- rem aprovados nessa prova, farão uma prova prática. Aquele que for aprovado na prova prática será contratado. Sabendo que a probabilidade de aprovação na prova escrita é 4 1 e de aprovação na prova prática (depois de ser aprovado na escri- ta) é 3 2 , calcule a probabilidade de que um professor, esco- lhido ao acaso, seja contratado. Exercício 3 Em uma noite de sexta-feira, pesquisadores percorreram 500 casas perguntando em que canal estava ligada a televi- são. Desse modo, descobriram que em 300 casas assistiam ao canal VER-DE-PERTO, 100 viam o canal VERMELHOR e outras 100 casas não estavam com a TV ligada. Escolhida uma das 500 casas, ao acaso, qual a probabilidade de que a TV esteja sintonizada no canal VER-DE-PERTO ou no canal VER-MELHOR? Exercício 4 Dos 140 funcionários de uma fábrica, 70 preferem a mar- ca de cigarros FUMAÇA, 80 preferem TOBACO e 30 fumam ambas sem preferência. Sabendo que 20 funcionários não fumam, calcule a pro- babilidade de que um funcionário, escolhido ao acaso: a) fume FUMAÇA e TOBACO b) fume FUMAÇA ou TOBACO Exercício 5 Com as mesmas informações do exercício anterior, calcu- le a probabilidade de que um funcionário, escolhido ao acaso: a) fume só FUMAÇA b) fume só TOBACO c) fume só FUMAÇA ou só TOBACO d) não fume nenhuma das duas marcas de cigarro e) não fume FUMAÇA f) não fume TOBACO APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 84 Respostas 1. Eventos independentes: 12 1 2. Eventos dependentes: 6 1 3. 500 300 + 500 100 = 500 400 = 5 4 4. a) P (A e B) = 140 30 = 14 3 b) P (A ou B) = 140 50 30 40 + + = 140 120 = 7 6 5. a) 140 40 = 7 2 b) 140 50 = 14 5 c) 140 50 40 + = 14 9 d) 140 20 = 7 1 e) 140 20 50 + = 140 70 = 2 1 f) 140 20 40 + = 140 60 = 7 3 Fonte: http://www.bibvirt.futuro.usp.br TEORIA DOS CONJUNTOS CONCEITOS: Conjunto: representa uma coleção de objetos. O conjunto de todos os brasileiros. O conjunto de todos os números naturais. O conjunto de todos os números reais tal que x²- 4=0. Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z. Elemento: é um dos componentes de um conjunto. José da Silva é um elemento do conjunto dos brasi- leiros. 1 é um elemento do conjunto dos números naturais. -2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x²-4 = 0. Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z. Pertinência: é a característica associada a um ele- mento que faz parte de um conjunto. José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros. 1 pertence ao conjunto dos números naturais. -2 pertence ao conjunto de números reais que satis- faz à equação x²-4 = 0. Símbolo de pertinência: Se um elemento per- tence a um conjunto utilizamos o símbolo que se lê: "pertence". Para afirmar que 1 é um número natural ou que 1 pertence ao conjunto dos números naturais, escreve- mos: 1 N Para afirmar que 0 não é um número natural ou que 0 não pertence ao conjunto dos números naturais, es- crevemos: 0 N Um símbolo matemático muito usado para a nega- ção é a barra / traçada sobre o símbolo normal. Algumas notações para conjuntos Muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos dentro de duas chaves { e } através de duas formas básicas e de uma terceira forma geométri- ca: Apresentação: Os elementos do conjunto estão den- tro de duas chaves { e }. A={a,e,i,o,u} N={1,2,3,4,...} M={João,Maria,José} Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades. A={x: x é uma vogal} N={x: x é um número natural} M={x: x é uma pessoa da família de Maria} Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: "Ven-óiler") Os conjuntos são mostrados graficamente. Subconjuntos Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por A B, se todos os elementos de A também estão em B. Algumas vezes diremos que um conjunto A está propriamente contido em B, quando o conjunto B, além de conter os elementos de A, contém também outros elementos. O conjunto A é denominado subconjunto de B e o conjunto B é o superconjunto que contém A. ALGUNS CONJUNTOS ESPECIAIS Conjunto vazio: É um conjunto que não possui ele- mentos. É representado por { } ou por Ø. O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos. Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 85 O conjunto universo é representado por uma letra U. Na seqüência não mais usaremos o conjunto universo. Reunião de conjuntos A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao con- junto B. A B = { x: x A ou x B } Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} então A B={a,e,i,o,3,4}. Interseção de conjuntos A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B. A B = { x: x A e x B } Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} então A B=Ø. Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são dis- juntos. Propriedades dos conjuntos Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunião de A e B, denotada por A B e a interse- ção de A e B, denotada por A B, ainda são conjuntos no universo. Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que: A A = A e A A = A Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que: A A B, B A B, A B A, A B B Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os con- juntos A e B, tem-se que: A B equivale a A B = B A B equivale a A B = A Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que: A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que: A B = B A A B = B A Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem: A Ø = A Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, forne- ce o próprio conjunto vazio. A Ø = Ø Elemento neutro para a interseção: O conjunto uni- verso U é o elemento neutro para a interseção de con- juntos, tal que para todo conjunto A, se tem: A U = A Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que: A (B C ) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Os gráficos abaixo mostram a distributividade. Diferença de conjuntos A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. A-B = {x: x A e x B} Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como: Complemento de um conjunto O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por C A B, é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. C A B = A - B = {x: x A e x B} Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por: Quando não há dúvida sobre o universo U em que estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a letra c posta como expoente no conjunto, para indicar o com- plemento deste conjunto. Muitas vezes usamos a pala- vra complementar no lugar de complemento. Exemplos: Ø c =U e U c =Ø. Leis de Augustus De Morgan O complementar da reunião de dois conjuntos A e B é a interseção dos complementares desses conjuntos. (A B) c = A c B c O complementar da reunião de uma coleção finita de conjuntos é a interseção dos complementares des- ses conjuntos. (A 1 A 2 ... A n ) c = A 1 c A 2 c ... A n c O complementar da interseção de dois conjuntos A e B é a reunião dos complementares desses conjuntos. (A B) c = A c B c APOSTILAS OPÇÃO A Sua Melhor Opção em Concursos Públicos Raciocínio Lógico A Opção Certa Para a Sua Realização 86 O complementar da interseção de uma coleção fini- ta de conjuntos é a reunião dos complementares des- ses conjuntos. (A 1 A 2 ... A n ) c = A 1 c A 2 c ... A n c Diferença simétrica A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem à reu- nião dos conjuntos A e B e não pertencem à interseção dos conjuntos A e B. A B = { x : x A B e x A B } O diagrama de Venn-Euler para a diferença simétri- ca é: Exercício: Dados os conjuntos A, B e C, pode-se mostrar que: A=Ø se, e somente se, B=A B. O conjunto vazio é o elemento neutro para a opera- ção de diferença simétrica. Usar o item anterior. A diferença simétrica é comutativa. A diferença simétrica é associativa. A A=Ø (conjunto vazio). A interseção entre A e B C é distributiva, isto é: A (B C) = (A B) (A C) A B está contida na reunião de A C e de B C, mas esta inclusão é própria, isto é: A B (A C) (B C) Fonte: http://pessoal.sercomtel.com.br Significado de comparação a comparação não é entre dois ou mais objetos, ou um processo que faz com que o ser humano a fim de identificar os diferentes aspectos que relacionam-se através de uma análise sensorial.Sua base principal é detalhando as semelhanças ou diferenças que apresentam elementos com um símile, uma vez que é ilógico fazer uma comparação entre duas coisas que não têm nada em comum.a comparação pode ser definida do ponto de vista técnico, no entanto, temos ideias claras do que é uma parte do termo diário do dia-a-dia. Uma comparação experimental é feita através do processo de observação das reações de cada um dos elementos envolvidos.Por exemplo na química deste meio de estudo como uma ferramenta é usado para observar a resposta dos elementos químicos para suas interações.Geralmente em laboratórios já testei a maioria das reações entre elementos, no entanto, a nível de estudo permanecem incógnitas de parâmetros e comparativo para poder prosseguir com uma prática mais do que o ensino teórico.a comparação em vários campos em que é aplicada visa a própria interação do homem com o meio ambiente.o conceito de símile que falamos que a resposta do ser humano na presença de dois ou mais elementos cujas características correspondem mesmo quando têm semelhança é automática, que nos dá a idéia de também aplicar a mesma referência quando falamos de uma comparação. a razão por que uma pessoa compara uma coisa a outra é diversificada e vai de acordo com a necessidade naquele momento.Se uma mulher é encontrado nos corredores de um supermercado, é comparar os preços do produto que você está procurando, automaticamente está fazendo uma relação entre o preço e a qualidade do produto, em seguida, a análise comparativa ultrapassa o que você tem inicialmente num ápice.Comparação em um certo ponto pode tornar-se retórica, esta figura que se relaciona com quem fala, mas tente não ser interpretado exatamente como suas palavras indicam, pretende fazer uma comparação subliminar, um pouco, tornando-se inexpressivo de verdade. Definição de comparação Comparação (do latim comparatĭo) é a ação ou efeito de comparar.Esta palavra refere-se a chamar a atenção para duas ou mais coisas para reconhecer suas diferenças e semelhanças e descobrir as suas relações.Comparar, portanto, é verificada. Por exemplo: "a comparação entre o espaço de dois foguetes mostra que os EUA é muito mais avançada", "nenhum jogador de futebol consegue resistir a comparação com Diego Maradona", "a comparação dos dois casos que o analista encontrou-Me muito interessante". a comparação pode se concentrar em aspectos físicos ou questões simbólicas.Desta forma, duas pessoas podem ser comparadas diferente.Uma comparação física irá revelar que um é mais elevado, menos gordura e canosa mais do que a outra.Comparando as personalidades, sem dúvida uma das duas pessoas está mais sociável, muitas vezes expressas em voz alta nas reuniões e dedica-se mais facilmente links. Na gramática, a comparação indica três diferentes graus de adjetivos: positivo, comparativo e superlativo.o adjetivo limpo pode aparecer no grau positivo ("a água está limpa"), no grau comparativo ("água desta lagoa é mais limpa que a água da fonte") ou no grau superlativo ("água desta lagoa é terrível"). O recurso de comparação pode também criar uma figura retórica, conhecida como símile, que é definida com elementos de relacionamento como "é" ou "como": "as mãos como martelos destruíram as golpes de porta", "ladrão andou em torno dos telhados que gato à noite". Bibliografia - Wikipédia