Manual para usodo ábaco japonês Soroban Por Fernando Tejón Traduzido ao português por Raimundo Viana EditERIO krayono Ponferrada - Espanha 2006 1 Manual para uso do ábaco japonês Soroban 算盤の教科書 穴熊フェルナンド 2 Título: Manual para uso do ábaco japonês Soroban. Autor: Fernando Tejón.
[email protected] Tradução ao português: Raimundo Viana.
[email protected] Editorial: Editerio Krayono, Claveles 6, B; E-24400 Ponferrada – España. Ano: 2006 Licença: Este livro está protegido sob a licença da Creative Commons. É permitida a cópia e difusão não comercial, desde que sejam citados literalmente todos os dados inclusos nesta página. http://creativecommons.org/licenses/by-nc/2.0/deed.pt 3 .................. 39 Capítulo 9: Outras operações........ 37 Capítulo 8: Raízes quadradas..................... 23 Capítulo 6: A divisão................. 5 Capítulo 2: Algarismos e notação…................ 7 Capítulo 3: A soma................. 15 Capítulo 5: A multiplicação………... 46 Capítulo 10: Exercícios.......................112 4 ... 32 Capítulo 7: As potências........................Índice Capítulo 1: Introdução....... 53 Capítulo 11: Informações úteis.................. 10 Capítulo 4: A subtração..................... sobre os quais se escreviam símbolos numéricos com o dedo. o Soroban é o ábaco mais evoluído e com o qual se realizam os cálculos com maior rapidez.. a qual só depende do número de varetas que possua o ábaco. ou até mesmo impossíveis. Como se fossem ainda poucas as vantagens. Hoje se utilizam principalmente três tipos de ábaco. melhora a capacidade de concentração. Com este formato melhorase notavelmente a rapidez nos movimentos. em muitos casos os cálculos matemáticos com o ábaco são mais rápidos que com uma moderna calculadora eletrônica. Já na antiga Grécia foram utilizados ábacos rudimentares. embora ás vezes se empregassem panos com as linhas bordadas. Cada uma das varetas tem duas contas sobre a barra central e outras cinco abaixo dela (disposição 2/5). Posteriormente eliminou-se uma de suas contas superiores. Inicialmente tinha uma disposição de contas 2/5 como no Suan-pan chinês. ou com uma vareta de madeira. Posteriormente se utilizaram os tabuleiros de recontagem. O ábaco atual é em essência um marco de madeira ou plástico no qual se inserem um número variável de varetas pelas quais deslizam contas perfuradas. que eram tábuas de madeira ou de mármore. chamadas em latim calculus. O ábaco japonês. a memória. que seriam de grande complexidade. Na Idade Média se usava na Europa a mesa de ábaco. Estes tabuleiros eram Ábaco Romano chamados pelos gregos de abakion. Poderia considerar-se que o uso do ábaco é uma excelente forma de exercitar o cérebro.Capítulo 1: Introdução Um ábaco não é apenas um instrumento para facilitar os cálculos matemáticos. Sem dúvida. abacus. finas e têm as bordas afiladas. As contas do Soroban são pequenas. o processamento da informação de forma ordenada e a atenção visual. do qual deriva. Suan-pan Chinês O ábaco chinês. divisão. multiplicação. serem feitos mentalmente. que se diferenciam principalmente no número de contas ou bolas por vareta. apresenta inumeráveis vantagens: seu uso habitual fomenta a habilidade numérica. Sobre estas linhas moviam-se as contas. e como conseqüência a dos cálculos. subtração. o Suan-pan. Além do uso matemático para realizar as operações de soma. que eram simplesmente tabuleiros polvilhados com finas capas de areia. tem sua origem no século XVI. de raciocínio lógico. cálculo de raízes e potências. 5 . que são colocadas a deslizar ao longo de varetas tradicionalmente feitas de bambu. Isso não afeta sua capacidade de cálculo. mantendo-o ativo e ágil em qualquer idade. As contas que eram utilizadas eram simplesmente pequenas pedras arredondadas. Vem sendo usado desde há mais de mil anos. em pleno século XXI o ábaco. nas quais sobre linhas paralelas pintadas ou desbastadas se deslocavam contas para que os cálculos fossem efetuados. Em princípio do Soroban Japonês século XX perdeu uma das contas inferiores ficando com a atual disposição 1/4 que é a mais adequada ao sistema decimal usado atualmente. a agilidade mental. longe de ser um obsoleto instrumento de cálculo. e pelos romanos.. palavra que dá origem à moderna cálculo. o Soroban. ficando em disposição 1/5. uma mesa sobre a qual se punha um pano no qual se desenhavam linhas com um giz. está formado por contas toroidais. 6s 5 bem Vence 1m 48s 5 bem Perde 1m 21s 5 bem Vence Prova 2 1m 16s Vence 1m 53s Perde 1m 0. o Schoty. O vencedor foi Matsuzaki usando o Soroban. cada uma delas com valor de uma unidade.8s 4 bem Nulo 1m 36s 4 bem Nulo 1m 19s 5 bem Vence 1m 20s 5 bem Perde 1m 23. O manejo era similar ao do ábaco japonês Soroban.8s Vence 2m 0. Na parte superior de cada vareta tem três contas. que venceu em quatro das cinco provas. três subtrações de números de 6 algarismos. perdendo apenas na prova com operações de multiplicação com números grandes.4s 4 bem Perde 1m 19s 5 bem Vence Prova 3 1m 0s 5 bem Vence 1m 22s 4 bem Perde 2m 14. Em alguns modelos as duas contas centrais são de cor diferente para facilitar o manejo. Como exemplo da potência de cálculo do ábaco está a famosa competição ― patrocinada pelo periódico do exército americano.2s Perde 1m 0.6s 4 bem Perde - - 1 - Pontos 1 0 1 0 0 1 1 0 Wood 1m 26. com dez contas ou bolas em cada uma delas. cada uma delas com valor de cinco unidades.6s 4 bem Perde 2m 22s 4 bem Vence 1m 36. entre o japonês Kiyoshi Matsuzaki.A.6s 4 bem Perde - - 0 Matsuzaki Wood - - - 4 1 6 .6s 4 bem Vence 1m 21s 5 bem Vence 1m 26. com uma Nepohualtzintzin calculadora eletromecânica. Total de pontos Wood Wood Wood Matsuzaki Prova 1 1m 14. e se utilizavam de pedrinhas ou sementes para representar os números. ou desenhado diretamente no solo. Este ábaco recebia o nome de Nepohualtzintzin.U. Tschoty Russo Na América pré-colombiana os maias também utilizavam um ábaco para cálculos ― principalmente calendáricos ― constituído por uma quadrícula feita com varetas. mas usando o sistema vigesimal em vez do decimal.O ábaco russo. está formado por varetas horizontais. Stars and Stripes (estrelas e faixas) ― ocorrida em Tóquio no dia 12 de Novembro de 1946.4s 3 bem Perde 1m 53. do Ministério Japonês de Comunicações. utilizando um Soroban e o americano Thomas Nathan Wood da armada de ocupação dos E. três produtos e três divisões de números de 5 a 12 algarismos. Problema Somar 50 números de 3 a 6 algarismos Nome Matsuzaki Wood Subtrações: 5 problemas com números de 6 a 8 algarismos Matsuzaki Multiplicação: 5 problemas com números de 5 a 12 algarismos Matsuzaki Divisões: 5 problemas com números de 5 a 12 algarismos Matsuzaki Somar 30 números de 6 algarismos. e na parte inferior quatro contas.4s 5 bem Vence 1m 30s 5 bem Perde 1m 44. Cada vareta se divide em duas partes por uma barra horizontal.210. Na verdade. a B as dezenas. A notação deste movimento será J +5 +4. geralmente com treze é suficiente para operações comuns de soma e subtração.876. As contas inferiores são aproximadas da barra central com o dedo polegar. a D as unidades de milhar. mas pode ficar pequeno para multiplicações e divisões com números grandes. Marquemos então o número 9. Com o dedo indicador se afastam da barra central as contas inferiores e se fazem todos os movimentos da conta superior. etiquetadas com as letras do alfabeto latino da direita para a esquerda. para facilitar a anotação dos movimentos. Se é preciso de uma só vez aproximar da barra central ou afastar dela a conta superior e alguma das inferiores usam-se ambos os dedos simultaneamente. Os algarismos são escritos da esquerda para a direita no soroban. Para se anotar o algarismo 9 na vareta que marca as unidadees de bilhão. aproximam-se da barra central a conta superior com o dedo indicador e as quatro contas inferiores com o dedo polegar. na vareta J. 7 . e assim sucessivamente.543. Na parte superior há uma conta com um valor de cinco unidades. enquanto que na inferior há quatro contas com um valor de uma unidade cada uma delas. Neste manual empregar-se-á um Soroban com 17 varetas. simultaneamente. Quando todas as contas estão afastadas da barra central o Soroban mostra o algarismo zero em cada vareta. Para marcar os diferentes algarismos deve-se por o Soroban sobre uma superfície horizontal e enquanto se o prende com a mão esquerda.Capítulo 2: Algarismos e notação O Soroban tem um número variável de varetas pelas quais deslizam as contas. anotam-se os algarismos que compõem o número com o qual se deseja fazer um cálculo utilizando-se a mão direita. A partir desse momento assumiremos que a vareta A representa as unidades. como veremos mais adiante. pode-se considerar como a vareta das unidades qualquer uma delas. ao tratarmos com números decimais. a C as centenas. As contas só têm valor quando se encontram apoiadas na barra central. o polegar para as contas inferiores e o indicador para a superior. Notação: I +5 +3. Marquemos agora o número 189. Notação: F +5. simplesmente no aproximando da barra nenhuma conta na vareta A.162. neste caso: cento e oitenta e nove milhões setecentos mil cento e sesenta e dois.755 I +5 +2 H +5 +1 G +2 F +5 D +3 C +5 +2 B +5 A +5 E outro: 186.177. aproximando da barra central três contas inferiores com o dedo polegar na vareta D. Anota-se o algarismo 4 na vareta que marca as dezenas de milhar. Em nenhuma hipótese leia como fazem os principiantes: um – oito – nove . Acostume-se a fazer bem as coisas desde o princípio. Notação: nenhuma já que não movemos nenhuma conta. I +1 H +5 +3 G +5 +4 F +5 +2 C +1 B +5 +1 A +2 Outro exemplo: 762.Marcaremos o algarismo 8 na vareta que marca as centenas de milhão. Notação: B +1. aproximando da barra somente uma conta inferior com o dedo polegar na vareta B. Anotar-se-á o número 7 na vareta que marca as dezenas de milhão. aproximando da barra central as quatro contas inferiores com o dedo polegar na vareta E.503. Notação: E +4. aproxima-se da barra central duas contas inferiores com o dedo polegar na vareta C. Notação: C +2. Por último se anota o algarismo 0 na vareta que marca as unidadees. Anotamos o algarismo 1 na vareta que marca as dezenas.040.700. Enquanto se vai anotando o número no soroban. simplesmente aproximaremos da barra central a conta superior com o dedo indicador na vareta F.sete – zero – zero – um – seis – dois. É preciso fazer a leitura correta para a perfeita situação mental dos números.024 L +1 K +5 +3 J +5 +1 H +4 F +1 E +5 +2 D +5 +2 B +2 A +4 8 . Anota-se o algarismo 3 na vareta que marca as unidadees de milhar. aproximando-se da barra a conta superior com o dedo indicador e apenas duas contas inferiores com o dedo polegar simultaneamente na vareta H. é melhor progredir lentamente mas de modo adequado que tratar de eliminar posteriormente vícios de uso devidos a uma aprendizagem apressada e deficiente. Para marcar o algarismo 5 na vareta que marca as centenas de milhar. Notação: D +3. Para se anotar o algarismo 2 na vareta que marca as centenas. aproximando-se da barra a conta superior com o dedo indicador e apenas três contas inferiores com o dedo polegar simultaneamente na vareta I. deve-se ir lendo-o em voz alta corretamente. De modo similar anotar-se-á o algarismo 6 na vareta que marca as unidadees de milhão. Notação: H +5 +2. Notação: G +5 +1. aproximando da barra a conta superior com o dedo indicador e somente uma conta inferior com o dedo polegar simultaneamente na vareta G. 831.981 1. Quando o número estiver escrito no soroban leia-o e comprove se se equivocou em algum algarismo.683 91.455.148 86.539.548 5.195.581.002 10.093 49.327 694.326 61. Não passe ao tema seguinte antes de dominar a escrita e a leitura de números no soroban.871 28.424.025.545.000.524 51.393 1. dedique-se de 10 a 15 minutos diários a esta prática durante vários dias até poder escrever números no soroban e lê-los sem duvidar. A prática deve ser regular.930 35.183.766.314.000.154 18.291 50.770.484 32.Um último exemplo: 500.879.000.103.001 12.002 Pode também praticar escrevendo os números da fatura de compra do supermercado.588 32. Escreva todos os números seguintes tantas vezes quantas seja necessário.911 6.809 9.789.922.513.977 3.935 15.845.663 3.028 18.764.789 3.009 31.218 123.735 84.407 90.035.223.001 48.991.198 67. lendo-os em voz alta um por vez e corretamente enquanto os escreve.009 14.784 52.105.862 3.893 35. preços de artigos de folhetos publicitários.229.666 200.899.194.000 505.2001.654 14.000 53.219 43.578 61.799 59.658 65.012.158 21.587.907 18.610.695.999 98.968. 9 .000.079 89.721 5. até que possa fazê-lo com desenvoltura.222 7.652.097.665 1.355 458.823.117 3.100 I +5 E +3 D +5 C+1 Exercícios Escreva no soroban os seguintes números.994.130.187 40.701. 89.000.001 10.999.111 4.308 893.601 59.028 633.222.556. números de telefone de sua agenda ou do catálogo telefônico.456.493.046 89.002.513.654.280.999. etc.251.349 78. Faça-o sempre do modo correto.231 + 115 + 5. D +1 C +2 B +3 A +1 Sobre o número anterior se soma 115.100 e assim se obtém o resultado total da suma: 6.446 Em primeiro lugar ponha o Soroban a zero. Portanto o estudo deste tema deve ser ordenado e em profundidade. A grande vantagem do Soroban é que ao anotar um número sobre outro que já está anotado a soma realiza-se por si mesma. 10 . e se obtém 1.Tema 3: A soma Este tema é de capital importância. o leitor deve dizer “mil”. ao aproximar da barra central duas contas inferiores na vareta C deve dizer “duzentos”.100 = 6 . etc. Compreender perfeitamente os mecanismos a soma lhe permitirão não somente somar.346: C +1 B +1 A +5 Sobre o subtotal anterior se adiciona 5. não se deveria passar ao tema seguinte sem poder fazer qualquer soma com desenvoltura e segurança por mais complexa que possa chegar a ser. multiplicar (somas repetidas) e dividir (subtrações repetidas). • Somas simples Somas simples são aquelas nas quais ao somar cada algarismo em sua vareta correspondente o total é igual ou inferior a 9. Marque 1. Ao aproximar da barra central uma conta inferior na vareta D.231.446: D +5 C +1 Mova as contas segundo o método indicado no tema anterior. lendo o número enquanto o anota. separando todas as contas da barra central deslizando sobre ela de uma só vez os dedos polegar e indicador. Ao anotar os algarismos das parcelas leia-as corretamente. como também subtrair (operação inversa). Exemplo: 1. 111 150.826 986.561 888.438 cuja soma é 382.000 +201.812 172.510 +511.111 +500.006 200.800 111. mas a solução está na seguinte tabela. mas não se pode aproximar quatro contas à barra central diretamente.Exercícios de somas simples Faça as seguintes somas tantas vezes quantas necessite.456 216.000 17.887 • Somas complexas Às vezes.666 102.020 +120. não se pode aproximar da barra central o número de contas desejado. Após se observar a tabela das somas complexas se vê que para somar 4 pode-se somar 5 e subtrair 1. não menos de dez.001 100. 12. subtrair 5 e somar 4 somar 10 e subtrair 1 Como aplicação se somarão os números 137. Para isso se aproxima da barra central a conta superior.564: F +1 E +3 D +5 +2 C +5 B +5 +1 A +4 Somamos 2 (duzentos mil) na vareta F com o dedo polegar: F +2 Agora deveríamos somar 4 (quarenta mil) na vareta E.102 650. Em primeiro lugar anotamos o número 137.071 100.998 879.250 155. subtrair 5 e somar 3 somar 10 e subtrair 2 10.110 550.021 +510. e por sua vez se afasta da barra com o polegar uma conta inferior: 11 . até que as realize com rapidez e segurança.107 +605.111 24. subtrair 5 e somar 2 somar 10 e subtrair 3 10.002.626 111. somar 1 2 3 4 5 6 7 8 9 somar somar somar somar somar somar somar somar somar é o mesmo que 5 e subtrair 4 somar 10 e subtrair 9 5 e subtrair 3 somar 10 e subtrair 8 5 e subtrair 2 somar 10 e subtrair 7 5 e subtrair 1 somar 10 e subtrair 6 5 somar 10 e subtrair 5 10.110 36.988 837.994 789.011 100.020 +106. Não faça outro tipo de soma até fazer com fluência estas somas simples.560 100. ao intentar somar um algarismo em uma vareta do Soroban. com o dedo indicador.564 y 244. que nos permitirá somar em qualquer vareta o algarismo desejado como uma combinação de somas e subtrações.011 10. subtrair 5 e somar 1 somar 10 e subtrair 4 10.300 123.000 555.889 879.886 889. Busque a primeira vareta à esquerda da vareta A que não tenha um 9. e posteriormente subtraímos 6 na vareta E. A solução nestes casos é simples. ponha a zero todas as varetas com 9 entre D e A (as varetas B e C). Não é possível fazê-lo diretamente. como no caso anterior. isto é. somar 1 na vareta que está à esquerda da vareta D. assim sendo intentaríamos somar 10 (somar 1 em B) e subtrair 2 em A segundo a tabela de somas complexas. porém nenhuma dessas duas opções é possível. aproximar a conta superior (+5) e afastar uma das inferiores (-1). Some nela 1 (o “10” que deveríamos ter somado em B). Para isso. Por último subtraia 2 em A: D +1 C –5 –4 B –5 –4 12 A –2 . ou seja na vareta E. temos de somar 10 na vareta D. Tampouco isso é possível já que na vareta imediatamente à esquerda de A está escrito o algarismo 9. Essa vareta é neste caso D. A tabela das somas complexas nos oferece a solução: somar 4 é o mesmo que somar 10 e subtrair 6. já que dispomos de contas na vareta onde vamos somar: C +4 B +3 Finalmente deveríamos somar 8 na vareta A. separando da barra central uma conta superior com o dedo indicador e uma conta inferior com o dedo polegar: E +1 D –5 –1 Somar quatro (quatrocentos) na vareta C e três (trinta) na vareta B é simples.E +5 –1 Para somar 4 (quatro mil) na vareta D deveriam se aproximar quatro contas à barra ou então. 999 9.789 para obter 1.888 7.555 +5. pois ainda que não pareçam ser muito úteis.999.666 +5. genericamente rotulada X. No exemplo anterior podem-se ver todos os tipos de soma.777 7.999 +9. 4.444 +3.554 14. se intentará fazer o que indica o primeiro ponto.998 18.888 8.111 +8. • A –2 se efetua com o dedo indicador. Somamos 1 (“10”) na vareta situada à esquerda da vareta X.210.555 +4.888 8.665 15.332 8. 2.777 +6.888 8.444 +3.543.777 7.567. Pratique-o várias vezes até que o faça com fluência.222. 333.555 12.443 13. 9.333 +2.332 12.999 9.333 19.234.999 9.999 9.110.777 7.890.666 13. Pomos a zero as varetas com 9 entre a vareta à qual sumamos 1 e a vareta X.876.110 5.777 +6.111 para obter 1.221 11.443 13.777 +6.321 para obter 9.222 +1.555 11.456.332 6. Quando se quer somar um algarismo em qualquer vareta. são a base imprescindível na boa aprendizagem da suma.222 +7.888 +7. Faça o mesmo para o número 987.888 8.554 14. Agora some dez vezes 123.110 6. por nenhum motivo deixe de fazê-los.654. Exercícios de somas complexas Apesar de que os seguintes exercícios possam lhe parecer monótonos. Mais exercícios: 13 .990. se isso não é possível.888 8.110 Some agora dez vezes 111. Poder-se-ia para resumo da soma fazer um esquema explicativo.333 12.111. que imediatamente se usarão para afastar as duas contas superiores. Somamos as contas diretamente na vareta X.221 6.999 +8.444 11.110 17.888 +7.776 16.665 15.999 9. etc. Somamos 5 e subtraímos o excedente na vareta X. Faça o mesmo para os números 222. Pratique-os freqüentemente. Finalmente subtraímos o excedente na vareta X.999 9. • C –5 –4.• D+1 se efetua com o dedo polegar. passaremos ao ponto seguinte e assim sucessivamente até encontrar um ponto aplicável: 1.555 +4. Somamos 1 na primeira vareta à esquerda da vareta X que não tenha um 9.443 13. 3. até 999. e subtraímos o excedente na vareta X.333.887 17.999 8.777 +3.221 11.555 +4.666 +4.666 +5.221 11. Estes dois últimos exercícios são ideais para se obter agilidade no cálculo.444 12. B –5 –4 se efetuam de uma só vez afastando da barra central as quatro contas inferiores de C e B com os dedos indicador e médio.666 +5.110 15.666 +5.332 9.777 7.999 9.999 para dar 9.776 16.554 14.666 +6.888 +2. Experimente fazer as somas anteriores no Soroban de ambas as formas.751.450.668 16.569 111 222 333 444 555 666 777 888 +999 4.493.999.000 – 1 = 11.323 +37.450.382 87.701 36.699 477 491 910 412 218 970 155 85 +344 4. Quando conhecer perfeitamente a subtração então poderá abordar as somas abreviadas.077. Por exemplo.368 + 198 = 2.377.816. assim: 2. 14 .626. Após adquirir a desenvoltura que lhe permita fazer qualquer soma que se lhe apresente.566 se pode fazer muito mais facilmente somando 200 e subtraindo 2 em vez de somar 198.566.523. de modo proveitoso.962 123 456 789 123 456 789 123 456 +789 4.371 94. ou escreva números aleatórios e some-os.237 + 10.368 + 200 – 2 = 2.464 +59. se queremos somar 1.585 265.129 Some os números da fatura da compra no supermercado.237 + 9.999 = 11.236.242.301 36.548 159.062 455 594 214 570 326 773 537 861 +799 5. assim: 1. por complexa que seja.104 741 852 963 741 852 963 741 852 +963 7. etc.043. os números telefônicos de sua agenda.768.753 228. • Somas abreviadas Seguramente você já se terá dado conta de que algumas somas são muito mais fáceis de se fazer de modo indireto.447.. Outro exemplo: 2.236 pode-se fazer mais facilmente no Soroban somando-se 10.374 26.527 49.178.548.467 +64.47. A prática diária é a chave do êxito na aprendizagem. poderá passar ao tema seguinte.135 97.995 251 514 64 863 253 350 134 6 +266 2.000 e subtraindo-se 1 em vez de se somar diretamente 9. Tema 4: A subtração Esta operação é justamente o contrário da suma.569 -13.057 21.132 • Subtrações complexas Uma subtração é complexa quando não se pode efetuar simplesmente separando contas da barra central em cada vareta e devemos usar combinações de somas e subtrações em várias varetas para levá-las a cabo. • Subtrações simples Uma subtração é simples se em cada uma das varetas do Soroban o algarismo do minuendo é maior que o do subtraendo e se pode fazer a subtração com um simples movimento dos dedos indicador e polegar afastando da barra central as contas necessárias.658 -11. Como no caso das somas complexas resumiremos em uma tabela todas as operações para efetuar subtrações em qualquer vareta.402 92. já que em ambos os casos só fizemos mover contas em uma vareta. por que ao invés de aproximar as contas da barra central. Exercícios de subtrações simples Repita as seguintes subtrações até fazê-las com fluência: 21.101 34.251 21.102 14.582 13.156 82.163 = 12. 15 .512 68.116 Após por o Soroban a zero anote o número 68.984 -55.502 10. para subtrair as separamos.891 -51.790 31.279: E +5 +1 D +5 +3 C +2 B +5 +2 A +5 +4 Agora subtraímos facilmente 56.861 3. a subtração é simples.163: E –5 D –5 –1 C –1 B –5 –1 A –3 Apesar de que nas varetas D e B tivemos que mover duas contas de cada vez. seja qual for o valor do subtraendo.353 -71. Exemplo: 68.993 -11.279 – 56. 357. na qual vemos que subtrair 4 é o mesmo que subtrair 5 e somar 1: F –5 +1 Para subtrair 7 na vareta E (setenta mil) também devemos pedir ajuda à tabela.294 A primeira coisa que se faz é anotar no Soroban o minuendo: G +5 +2 F +5 +3 E +2 D +5 +3 C +3 Subtraem-se 2 milhões: G -2 Agora subtraímos 4 na vareta F (quatrocentos mil). Como não se pode separar diretamente 4 contas da barra central. pedimos ajuda à tabela das subtrações complexas. com isso se terá somado 10 unidades em E (separando uma conta da barra central em F) e somado 3 unidades em E.471.subtrair 1 2 3 4 5 6 7 8 9 subtrair subtrair subtrair subtrair subtrair subtrair subtrair subtrair subtrair 5 5 5 5 5 6 7 8 9 é o mesmo que e somar 4 subtrair 10 e somar 9 e somar 3 subtrair 10 e somar 8 e somar 2 subtrair 10 e somar 7 e somar 1 subtrair 10 e somar 6 subtrair 10 e somar 5 subtrair 10 e somar 4 subtrair 10 e somar 3 subtrair 10 e somar 2 subtrair 10 e somar 1 Ilustremos o uso da tabela com o exemplo: 7. Neste caso deve-se subtrair 1 em F e somar 3 em E.006 = 5.300 – 2.828. o que equivale a subtrair 7 (-10 + 3 = -7): 16 . nem tampouco usando a tabela de subtração [subtraindo 1 em B e somando 4 em A (-10 + 4 = +6)] porque a vareta B está a zero.357. • Põem-se a nove todas as varetas que entre as duas anteriores estavam a zero. em nosso exemplo é a vareta C.983 E +3 D +5 17 .294 Outro exemplo: 35. Nestes casos a solução é simples: • À esquerda da vareta onde está se efetuando a subtração. busca-se a primeira vareta com alguma conta sobre a barra central. O que se fez para somar 6 foi simplesmente: -100 + 94 = +6 porque não pudemos fazer o mais simples: +6 ou –10 + 4 = +6: C –1 B +5 +4 A +4 No Soroban podemos ler a solução da subtração: 5. • Subtrai-se nessa vareta um (C – 1).000 – 17 = 34. Não se pode fazer diretamente na vareta A. em nosso exemplo só pomos a nove a vareta B: B +5 +4 • Finalmente soma-se 4 na vareta inicial A (A +4).F –1 E +5 –2 Para subtrair 1 na vareta D (mil) simplesmente separaremos uma conta da barra central: D –1 Por último devemos subtrair 6 da vareta das unidades A. Subtraímos as contas diretamente na vareta X. 4.368 . pelo que você deve realizar somas e subtrações diariamente para aumentar sua habilidade e diminuir o tempo empregado no cálculo. se isto não for possível passaremos ao ponto seguinte e assim sucessivamente até encontrar um ponto aplicável: 1. Pomos a nove as varetas com 0 entre a vareta na qual subtraímos 1 e a vareta X. Finalmente somamos o que falta na vareta X. poder-se-ia fazer um esquema explicativo para a subtração. Subtraímos 1 (“10”) na vareta situada à esquerda da vareta X. Acostume-se a pensar no número que vai subtrair.589.198 = 2. pode ser feito com maior rapidez subtraindo 200 e depois somando 2 em vez de subtrair diretamente 198. e somamos o que falta na vareta X. Quando se quer subtrair um algarismo em qualquer vareta. assim: 2.168 Faça as subtrações anteriores no Soroban direta e indiretamente. 18 . facilmente se comprova se foram cometidos erros. 3. se intentará fazer o que indica o primeiro ponto. genericamente rotulada X. Outro exemplo: 2. e decida em cada caso como fazer a subtração. Por exemplo. Só a prática contínua permite progredir.366 .578 – 1. Subtraímos 1 na primeira vareta à esquerda da vareta X que não tenha um 0. Subtraímos 5 e somamos o que falta na vareta X.200 + 2 = 2. direta ou indiretamente. verificando-se se o resultado final não é zero. para fazê-la o mais rapidamente possível.578 – 989 = 3. se se deseja subtrair 989 de 3. 2.168. com o qual.578 pode-se fazer indiretamente subtraindo mil e depois somar onze: 3. algumas subtrações se podem fazer de modo indireto com maior facilidade e portanto com maior rapidez. Exercícios de subtrações complexas Como exercícios de subtrações tomaremos os exercícios de somas do tema anterior e após anotar no Soroban o resultado da soma se lhe irão subtraindo sucessivamente as parcelas até chegar ao resultado final: zero. Um excelente exercício é efetuar a soma e imediatamente a subtração. • Subtrações abreviadas Como já ocorria com as somas.D –5 +4 C +5 +4 B –1 B +5 +4 A +3 Compreende perfeitamente cada um dos passos? Como no caso da soma.000 + 11 = 2. além de praticar ambas as operações. as que dão como resultado um número negativo. Então. ainda se poderia fazer com rapidez se o subtraendo for um número múltiplo de 10. 126. Agora a técnica é simples. pelo que se acrescenta uma centena (+ 100). sem sequer mover uma conta. neste caso o subtraendo tem unidades e dezenas. se soma um 1 seguido de tantos zeros quantos algarismos tiver o subtraendo. tampouco complicado. Some mentalmente um ao “complementar de 9” e já se tem a resposta: 126 + 1 = 127. a A. o troco deveria ser 1. por exemplo ao pagar a conta em um supermercado. o funcionário calcula o troco do cliente imediatamente: Vê-se no Soroban o número de contas que não foram aproximadas da barra central em cada uma das varetas. O funcionário do caixa tem anotado em seu Soroban 873 após somar os preços dos artigos.73 euros. Vejamos um exemplo: Um cliente compra vários objetos.00 euros. na vareta C há 1 conta sem valor. quais as contas que não têm valor. 19 . ou em outras palavras. Em nosso exemplo.• Subtrair do minuendo um subtraendo maior Certo de que já se perguntou se é possível com um Soroban fazer subtrações nas quais o subtraendo é maior que o minuendo.32 = -27. Este tipo de problema surge diariamente. pelo que o funcionário deve devolver ao cliente um euro e vinte e sete cêntimos. já que habitualmente se entrega uma quantidade de dinheiro maior que a solicitada. Na última vareta. Neste caso pudemos fazer o cálculo de modo tão simples porque o subtraendo está formado por um 1 seguido de tantos zeros quantos algarismos tem o minuendo. No Soroban se visualiza 105. Anotamos 5 no Soroban.27 euros (segundo o exemplo anterior) + 10 euros = 11. Na B há 2 contas sem valor. é o “complementar de 9” de 873 já que ambos somam 999. há 6 contas sem valor (a conta superior tem valor cinco). esperando a devolução do excedente ou troco. Nenhuma calculadora eletrônica pode dar a resposta mais rápido que isso. A +5 C +1 Agora subtraímos 32. Obviamente não é possível fazê-lo diretamente. quer dizer. Não fosse assim. vejamos a subtração: 5 . O número obtido. Agora teria que se subtrair 32. O mais importante é que se calculou a quantia a devolver ao cliente simplesmente olhando o Soroban e somando mentalmente 1. Como aplicação. por exemplo: se o cliente tivesse pago com uma cédula de 20 euros. pelos quais deve pagar no total 8. No Soroban se visualiza 73.27 euros. Se queremos subtrair ao minuendo um subtraendo qualquer. Se o cliente paga a compra com 10. Como esta solução a obtivemos baseando-nos no “complementar de 9” deve-se entender o resultado como um número negativo: 873 – 1000 = -127. o processo já não será tão rápido. A resposta é: sim. Na vareta B há 2 e na A 6.781.999. Vejamos um exemplo que ilustrará a metodologia a seguir: 4. as que não estão apoiadas na barra central. neste caso 4. O resultado se vê no Soroban. O método é o seguinte: • Some ao minuendo o complementar de 9 do subtraendo. 45 – 123 = [comp (45 + 1000 – 123)] + 1 = -78 752 – 1268 = [comp (752 + 10000 – 1268)] + 1 = -516 • Subtrair somando Com o uso dos complementares de 9.000: 20 .535 – 2. que neste exemplo tem quatro algarismos.781 = 1.535: D +4 C +5 B +3 A +5 Agora somamos ao número anterior o complementar de 9 de 2. • Subtraia ao resultado o número formado por um 1 seguido de tantos zeros quantos algarismos tiver o subtraendo.218 já que somando-se ambos dá 9.32 = -27. o “complementar de 9”. Logo 5 . • Some 1 ao resultado. E +1 D –3 C+2 B+1 B +5 -4 A –5 +3 Agora devemos subtrair o número formado por um 1 seguido de tantos zeros quantos algarismos tem o subtraendo. Abreviadamente: 5 – 32 = [comp ( 5 + 100 . quer dizer. Depois devemos subtrair 10.754 Anotamos no Soroban o minuendo. 654 – 1000 = -346 (lendo o complementar de 9 e somando 1). Soma-se mentalmente 1 a 26 e se obtém a resposta: 26 + 1 = 27.C –1 B +5 +2 A –5 +3 Como o que nos interessa são as contas sem valor. qualquer subtração pode-se transformar facilmente em uma soma. que é 7.32)] + 1 = -27 Exercícios de subtrações com complementos 45 – 100 = -55 (lendo o complementar de 9 e somando 1). Após se ter lido as contas sem valor. que são as contas sem valor: 083. 21 .781 = 4.535 – 2. lendo no Soroban as contas sem valor (o complementar de 9).218 – 10. o número 83 é entendido como negativo. que são as que não estão colocadas junto à barra central. No caso de que o subtraendo seja maior que o minuendo.000 + 1 = 1.535 + 7. simplesmente deve-se somar ao minuendo o complementar de 9 do subtraendo. porém neste caso interessa-nos a leitura de seu complementar de 9. Exercícios de subtrações somando Faça os seguintes exercícios segundo o explicado e também segundo os métodos descritos anteriormente.754. Realmente o que fizemos foi 4.754.E -1 Para finalizar. soma-se 1: A +1 No Soroban pode-se ler a solução: 1. Em primeiro lugar se anota no Soroban o número 234: C +2 B +3 A +4 Soma-se o complementar de 9 de 317. que é 682: C +5 +1 C +1 B –2 A +5 -3 No Soroban vê-se 916. Como exemplo se fará a subtração 234 – 317 = -83. -83. seguindo o método. De forma abreviada poder-se-ia escrever: 234 – 317 = comp (234 + 682) = comp ( 234 + comp 317) = -83. No intente começar o estudo de um tema em nenhum caso até dominar o tema anterior.365 -540 5.002 -4.243 -8.613 -2.371 797 8.168 -1.583 1.000 -7.517 7.846 1.627 1.108 -5.475 -2.678 6.013 4.647 -4.624 -4.070 2.924 7.525 1.711 7.200 -8.247 -3.757 É imprescindível dominar a soma e a subtração no Soroban antes de iniciar-se com operações mais complexas.334 6.765 -1.791 -2.269 1. 22 .354 -2.376 -6.145 4.624 2.096 5.627 -4.479 -1.142 -4.777 -7.850 6.071 -339 2.982 -1.666 710 5.113 6.813 3.313 -6.507 3.732 -6.890 -6.752 8.952 -2.542 -2.752 5.825 -9.401 -6.515 6.078 1. A aprendizagem sem ordem é uma deplorável forma de perder inutilmente o tempo.623 -1.2. Finalmente no Soroban se lê o multiplicando e o produto. deixando à sua direita 4 varetas a zero já que o multiplicando consta de três algarismos e há que se deixar a zero uma a mais. Agora se anota o multiplicador. mas não convém deixar só uma. Neste caso se deixaram três varetas a zero entre o multiplicando e o multiplicador. porque poderiam ser confundidos o multiplicando e o multiplicador: 23 . • Método-padrão Japonês Este método é o mais empregado atualmente e é o que se ensina às crianças nas escolas do Japão. É imprescindível o perfeito conhecimento da seguinte tabela de multiplicar: X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 01 02 03 04 05 06 07 08 09 2 02 04 06 08 10 12 14 16 18 multiplicador 3 4 5 6 7 03 04 05 06 07 06 08 10 12 14 09 12 15 18 21 12 16 20 24 28 15 20 25 30 35 18 24 30 36 42 21 28 35 42 49 24 32 40 48 56 27 36 45 54 63 8 08 16 24 32 40 48 56 64 72 9 09 18 27 36 45 54 63 72 81 Qualquer número de um algarismo por outro também de um algarismo dá como resultado um número de dois algarismos. Posteriormente vão-se multiplicando os algarismos do multiplicando pelo algarismo das unidades do multiplicador e somando os resultados. por exemplo nas varetas L. Apaga-se o algarismo das unidades do multiplicador e se repete o processo com o algarismo das dezenas e assim sucessivamente até se completar a operação. já que o multiplicador desaparece no cálculo. o que lhe permitirá situar sistematicamente no Soroban os resultados parciais da multiplicação. podem-se deixar quantas se queiram. Para multiplicar dois números anota-se o multiplicando na parte esquerda do Soroban. o 7 em F e o 4 em E. deixando algumas varetas de separação com o multiplicador. a segunda é uma variante que permite multiplicações de vários fatores e por isso é muito útil para calcular potências e a terceira é outra variante útil em fatura e contabilidade para fazer várias multiplicações e somar os resultados de todas. A primeira é a forma comum utilizada no Japão. o qual se anotará na parte direita do Soroban deixando a sua direita tantas varetas a zero quantos algarismos tem o multiplicando mais um. dos quais o primeiro pode ser zero. Exemplo: 316 x 74 = 23. Existem diversas formas de se multiplicar no Soroban. das quais se mostrarão três.384 Anotamos 316 à esquerda do Soroban. 74. Pense sempre assim enquanto durar a aprendizagem da multiplicação.Tema 5: A multiplicação multiplicando Multiplicar é simplesmente somar repetidas vezes o mesmo número de modo abreviado. Por isso 74 se anota. K e J. e poder ler o resultado final sem nenhuma dúvida. e este em C y B: B +4 6 x 4 = 24 que se anota em B e A: B +5 –3 A +4 Já foram efetuados todos os produtos sobre a unidade (4) do multiplicador. em D e C: D +1 C +2 A partir de agora a vareta em que anotamos o segundo algarismo do produto será a primeira em que anotaremos o seguinte. Inicia-se a multiplicação com os algarismos do multiplicando da esquerda para a direita atuando sobre o algarismo das unidades do multiplicador (4): 3 x 4 = 12 que se soma imediatamente à direita da vareta na qual está anotado o 4. quer dizer. Logicamente o 0 não se soma realmente. Observe-se que o produto anterior se somou em D e C. Seguimos multiplicando: 1 x 4 = 04 somando-se o 0 em C e o 4 em B. No segundo caso teríamos deixado cinco varetas a zero à direita do multiplicador e não quatro.160 x 74 ?” A resposta está nas varetas livres.L +3 K +1 J +5 +1 F +7 E +4 Alguém poderia se perguntar à vista do Soroban: “— Como se sabe que se deve multiplicar 316 x 74 e não 3. mostrou-se para que se veja a ordem de anotação da metodologia usada. e por isso se apaga o 4 do Soroban: 24 . Anotar o multiplicador desta maneira permite colocar o multiplicando onde se deseje. quer dizer.74 a metodologia é exatamente a mesma. para não ter de memorizar o número de algarismos decimais.384 Querendo-se efetuar o produto de dois números com algarismos decimais.E -4 Agora se repete o processo com o algarismo das dezenas do multiplicador (7): 3 x 7 = 21 que se soma imediatamente à direita da vareta na qual está anotado o 7 (F). pode-se anotar em uma vareta livre à esquerda do Soroban. Assim. por exemplo 3. se soma o 2 em E e o 1 em D: E +2 D +1 1 x 7 = 07 que se soma em D e C: C +5 +2 6 x 7 = 42 que se soma em C e B: D +1 C –5 –1 B +2 Para finalizar se apaga do Soroban o algarismo das dezenas do multiplicando. Se se desejar.16 x 0.384) será lido como 2. multiplique 316 x 74 e o resultado (23. por exemplo na vareta Q. da vareta F: F –5 -2 O resultado da multiplicação se pode ler facilmente: 23.16 e os outros dois de 0.3384 que tem quatro algarismos decimais (dois de 3. o 7. 25 .74). e em E se encontra o algarismo de unidades do número. portanto os valores anotados nas varetas D.038 3. não haverá varetas livres à direita para fazê-lo. Observe-se que nas varetas Q e P se anotou 24 (25 –1) e nas varetas C. porque a multiplicação goza da propiedade comutativa. porque os produtos de cada multiplicação obtém-se sobre o lugar onde está anotado o multiplicador.23 8. mantendo a colocação de unidades.236 73. que deve ser lido simplesmente como 2.547 1.76 1. Se o multiplicando ou o multiplicador têm algum algarismo 0 só se precisa lembrar que qualquer número de um algarismo por 0 é “00”.27 0. e também de mais de dois fatores.822 954 636 890 613 798 643 809 x 49 x 71 x 89 x 27 x 987 x 762 x 390 46. e qualquer multiplicação com vários fatores. 91 20 79 61 56 87 98 49 25 x 37 x 17 x 50 x 30 x 35 x 39 x 96 x 31 x 78 925 1.2 14.370 2.551 787. potências. Para se constatar essa metodologia se efetuará em seguida o produto dos números 25 x 473 cujo resultado é 11.746 45. primeiro na ordem mostrada e posteriormente na inversa.352 3. O resultado será o mesmo em ambos os casos.16 x 0. mas dessa maneira poderá se fazer um número dobrado de exercícios.966 315.184 8.4624 • Método multifatorial O método anterior tem o defeito de que o produto está colocado algumas varetas à direita do multiplicador..3384 o Soroban mostraria depois das operações (as mesmas que no exemplo anterior) o aspecto mostrado na seguinte imagem.3384.3 x 1.932 12. Anota-se à esquerda do Soroban o multiplicando ao qual se subtrai sempre uma unidade e à direita o multiplicador.626 489.825. o que nos permite seguir com a ordem correta da anotação.394 18. e se se deseja multiplicar o produto obtido por outro número.74 = 2. B e A o número 473: 26 .135 2. de dois fatores.no caso de se multiplicar 3.156 79. etc.510 633 307 164 732 x 18 x 59 x 99 x 101 11. dezenas.210 16.000 2. centenas.113 16.3348 6. C. Observe-se que em Q está anotado 4.24 x 0. Exercícios de multiplicações pelo método-padrão Realize as seguintes multiplicações. O método multifatorial permite fazer multiplicações sucessivas. e por isso é um método ideal para se calcular fatoriais. B e A são algarismos decimais.88 x 1. na vareta E. que neste exemplo é o 7 da vareta B: 2 x 7 = 14. que se soma nas varetas D e C: D +1 C +4 4 X 7 = 28 que se soma em C e B: C +5 –3 C +1 27 B -2 .Q +2 P +4 C +4 B +5 +2 A +3 Agora se multiplicam os algarismos do multiplicando por cada um dos do multiplicador da esquerda para a direita. que se soma nas varetas D e C: D +1 E +1 D –5 –4 C -4 Agora se fazem os produtos dos algarismos do multiplicando pelo segundo algarismo da esquerda do multiplicador. quer dizer. Em primeiro lugar multiplica-se o primeiro algarismo de 24 pelo primeiro de 473: 2 x 4 = 08. Como o multiplicando (25) tem dois algarismos anota-se somando o algarismo das dezenas de 08 (o “0”) duas varetas à esquerda do 4 que está anotado em C. somando o resultado sobre o mesmo multiplicador. A segunda das varetas onde se soma cada produto é a primeira vareta para somar o produto seguinte. e o 8 sobre D: D +8 Logicamente o “0” não se soma. só se mostra no exemplo para se compreender a metodologia na colocação dos produtos. O produto seguinte se forma multiplicando o segundo algarismo de 24 pelo primeiro de 473: 4 x 4 = 16. Em uma vareta à esquerda do Soroban. mas como o resultado se soma ao multiplicador que já estava anotado no Soroban. portanto a área procurada será: 0. Solução: A área de um triângulo é a metade do produto da medida da base pela da altura. 4 x 2 = 08 e se soma nas varetas C e B (C +1.7 cm e a altura 8. porém após se subtrair-lhe uma unidade. 4 x 7 = 28 e se soma nas varetas B e A (B +2. o resultado é o esperado se se houvesse multiplicado diretamente os fatores 25 y 473: 24 x 473 + 473 = (24 + 1) x 473 = 25 x 473 = 11. 28 .Por último se fazem os produtos dos algarismos do multiplicando pelo terceiro algarismo da esquerda do multiplicador. Realmente o que se multiplicou foi 24 (25 – 1) por 473. Em vez de dividir por 2 pode-se multiplicar por 0. B e A. se anota o 5. B +1. que se soma nas varetas C e B: C +1 B –5 +1 4 x 3 = 12 que se soma em B e A: B +1 A +5 -3 No Soroban se podem ver.5 x 8.825 Exemplo: Calcule a área de um triângulo cuja base mede 12.7. realmente se anota 4. B -2).5 cm. por exemplo na L. e à direita a solução do produto dos fatores 25 e 473.5 obtendo-se o mesmo resultado. Anotamos 3 na vareta Q para recordar que o resultado final terá 3 algarismos decimais. A –2).825. Finalmente se anota o multiplicador 127 nas varetas C. que é 11. Q +3 L +4 C +1 B +2 A +5 +2 Inicia-se a multiplicação: 4 x 1 = 04 e se soma nas varetas D e C (C +5 –1). que é o 3 da vareta A: 2 x 3 = 06.5 x 12. No Soroban o cálculo se realizará multiplicando 5 x 85 x 127 tendo-se em conta que no resultado final os três algarismos da direita são decimais. à esquerda o multiplicador. 62 .85 euros/litro .O interior de uma casa mede 5. C–5–1).560 38 x 69 x 527 = 1. Exercícios de multiplicações multifatoriais 32 x 51 x 68 = 110. o resultado (a área do triângulo) se lê como 53. que os três algarismos das varetas C. D+1.381.5 x 4. varetas C e B (C +4). D–5–3. porém anotamos 84.4 = 62.Compra-se um lote de 25 peças a 8.248).4 m de altura. varetas B e A (B +2). B e A são decimais.16 = 246. quanto deve se pagar pelo lote? (Solução: 25 x 8. Se se deve acrescentar 16% de impostos. Calcule o volume da casa.809. .792 cm2).4496 75 x 63 x 1.975 cm 2.794 0.976 5 x 59 x 453 = 133.635 55 x 56 x 57 =175. C +4). Calcule a área do círculo. varetas D e C (E+5–4. nas varetas M e L. uma unidade a menos. O método que deve ser usado nesse caso é o “método multifatorial”. porém modificado de maneira que os fatores não serão anotados no Soroban e por isso ao multiplicando não lhe será subtraído uma unidade. . varetas D e C (D +2. (Solução: a área do círculo é o produto do quadrado do raio por π ≈ 3.7 m de largura e 2.5 euros cada unidade. logo: 24 x 24 x 3.6275 1.04 m 3).1 x 59 = 1544.Calcule o cubo de 72.15 euros/caixa 29 .Um círculo tem 24 cm de raio.5 m de comprimento.142.Apaga-se o 4 da vareta L e se anota o fator ficou por multiplicar. 4. varetas C e B (C +5 –4. Tendo-se em conta. já visto anteriormente.8 x 1.055 = 3. como se vê na vareta Q.142 = 1.96 x 32 x 0. • Método de multiplicações acumuladas Às vezes é necessário somar os resultados de várias multiplicações de números escritos em um papel.5 x 1. (Solução: 5. D +5 +3). B +5 -3). Seguimos multiplicando: 8 4 8 4 8 4 x x x x x x 6 6 3 3 5 5 = = = = = = 48 24 24 12 40 20 e se soma e se soma e se soma e se soma e se soma e se soma nas nas nas nas nas nas varetas E e D (E +4.5 euros). . Como exemplo se determinará a quantia a ser paga em um supermercado após a compra de vários artigos com um desconto devido a uma oferta especial: -12 litros de leite a 0.2 caixas de bolachas a 2.7 x 2. (Solução: 72 x 72 x 72 = 373.55 x 3 = 1. o 85.8 = 8505 23.35 x 1. nas varetas C e B (D +1. 2 x 5 = 10 que se soma nas varetas B e A (B +5 -4): No Soroban se pode ver o resultado parcial 1. C +5 –4 B +2 Para se aplicar o desconto de 5% multiplica-se o valor mostrado no Soroban por 0. somando-se os produtos sobre o resultado anterior: 2 x 2 = 04 que se soma nas varetas D e C (C +4). 2 x 1 = 02 que se soma nas varetas C e B (B +2). dar-lhe um desconto de 5% implica pagar somente 95% do total. Para multiplicar 12 x 85 seguindo o método multifatorial modificado se fariam os produtos: 1 2 1 2 x x x x 8 8 5 5 = = = = 08 que se 16 que se 05 que se 10 que se soma soma soma soma nas varetas D e C (C +5 +3).570 (sem aplicar ainda o desconto). No Soroban se pode ver o resultado parcial 1.020: A multiplicação seguinte. Os preços serão colocados em cêntimos de euro e assim não se terá problema com os decimais.C –5 –1.95 (em verdade por 95 e no resultado se consideram 2 algarismos decimais) pelo método multifatorial obtendo-se o resultado final: 30 . B +5 +1). efetua-se de forma semelhante.1 pacote de açúcar a 1.95 obtendo-se o total a pagar..450: Agora se soma 120 sobre o subtotal anterior e se obtém o total a pagar: 1. As operações a se realizar serão: 12 x 85 + 2 x 215 + 120 e o resultado da soma se multiplicará por 0. 2 x 215.20 euros/paquete Sobre o total o supermercado nos dá um desconto de 5%. Por outro lado. nas varetas C e B (C +1. nas varetas B e A (B +1). B -5). a divisão. como já se fez com o exemplo de fatura de compra.497 Antes de passar ao tema seguinte. Aplique seus conhecimentos de cálculo no Soroban para realizar operações comuns da vida real. .470 0.250 123 x 28 + 142 x 27 = 7.278 120 x 8 + 455 x 16 + 1.2 na vareta Q .230 = 9.50 cêntimos (com dois algarismos decimais) ou como 14. . que indica que o resultado final tem dois algarismos decimais.915 euros. Outros exercícios: 12 x 15 + 25 x 14 = 530 35 x 12 + 72 x 25 + 10 x 3 = 2.23 x 20 + 1.491.6 635 x 15 + 48 x 18 + 9 x 12 = 10.149150 nas varetas de F a A. 31 . deve-se dominar a multiplicação e as operações anteriores.No Soroban se pode ver: .5 x 42 =67. Exercícios de multiplicações acumuladas Os melhores exercícios neste caso são as faturas das compras habituais porque se usa o Soroban em cálculos reais.94 (95 –1) nas varetas M e L. O resultado deve ser lido como 1. 196 como dividendo e de 24 como divisor: Observe-se 24 anotado nas varetas Q e P e 5. se houver. tantos algarismos quantos tenha o divisor mais uma serão ocupadas pela parte decimal do quociente. Lembre-se que a divisão é uma série de subtrações repetidas e o uso da multiplicação é um modo de abreviar o processo. da direita para a esquerda. que será repetir os seguintes passos até que desapareça totalmente o dividendo nas divisões exatas ou até lograr o número de algarismos decimais que se deseje no quociente: 1. e à sua esquerda a parte inteira. começando a contar da direita para a esquerda. Como o divisor. I. todavia usar-se-á também a multiplicação para reduzir o número de subtrações a se efetuar.Tema 6: A divisão Se multiplicar era simplesmente somar repetidas vezes. ficando o quociente entre os dois anteriores e o resto da divisão. • Método-padrão Japonês No Soroban se anotará o divisor na parte esquerda e o dividendo na central. enquanto que a parte do quociente anotada na vareta J e nas da sua esquerda serão sua parte inteira. de maneira que o grupo seja maior que o divisor. Se após subtrair o produto obtido segundo o passo 3. o grupo selecionado do dividendo continua sendo maior que o divisor é porque o algarismo escolhido do quociente é demasiado pequeno. decerto que se compreende que dividir é subtrair repetidas vezes um número (o divisor) de outro (o dividendo) anotando quantas vezes se o faz (o quociente). Se isso não é possível. tem dois algarismos. selecionar-se-á um grupo com um algarismo a mais que o divisor que a priori já é maior que ele. Selecionar um grupo a partir da esquerda do dividendo com tantos algarismos quantos tem o divisor. 3. Multiplica-se o algarismo do quociente anotado segundo o passo anterior pelo divisor e o produto é subtraído ao grupo selecionado do dividendo. H e G.196 nas varetas J. Pode-se ver como exemplo a colocação de 5. três (2+1) das varetas do dividendo. É comum anotar o dividendo no Soroban de tal modo que seja sempre a mesma vareta a que indica o início da parte decimal do quociente (neste exemplo a vareta I). à sua direita. Uma vez corretamente anotados no Soroban o divisor e o dividendo já se pode dar início ao processo da divisão. e assim se evita usar a memória para recordar em cada divisão a vareta de início da parte decimal do quociente. à esquerda do dividendo deixando uma vareta livre se o grupo tem tantos algarismos como o quociente o imediatamente à esquerda se o grupo tem um algarismo a mais que o divisor. delas. Observe as varetas em que está anotado o dividendo. A solução mais fácil é simplesmente subtrair ao grupo selecionado 1 (ou mais) vez o divisor e somar 1 (ou mais) ao algarismo do quociente. que será um dos algarismos do quociente. 24. o dividendo vai desaparecendo substituído pelo quociente. serão ocupadas pela parte decimal do quociente: I. Anota-se o número de vezes que se pode subtrair o divisor do grupo selecionado. H e G. O lugar de anotação do dividendo é importante. A medida que avança o processo da divisão. 32 . 2. 196 / 24) seleciona-se a partir da esquerda um grupo de dois algarismos do dividendo “51”. do grupo selecionado. pelo que anotaremos 6 em J. que é maior que o divisor. Do grupo selecionado pode-se subtrair 2 vezes o divisor (24). segundo indica o ponto 2 do método. 48. Multiplique 2 por 24 e subtraia o resultado. Passo a passo se poderia fazer: 1 x 2 = 02 que se subtrai de J e I 1 x 4 = 04 que se subtrai de I e H I -2 H -4 Observe-se como o quociente avança da esquerda para a direita a medida que o dividendo vai desaparecendo. O novo grupo a selecionar de dois algarismos “15” é menor que o divisor. 156.Continuando com a divisão (5. pelo que se deve selecionar um grupo com um algarismo a mais. pelo que se anota 1 na vareta K e se subtrai 24 x 1 = 24 de 39 ficando o grupo reduzido a 15. 144. Em seguida seleciona-se um novo grupo do dividendo. imediatamente à esquerda do dividendo. de 51 ficando 03 que já é menor que o divisor. o “39” que também é maior que o divisor. Também se pode fazer a multiplicação e a subtração passo a passo (supondo-se que já se conhecem perfeitamente as operações tratadas nos temas anteriores): 2 x 2 = 04 que se subtrai de K e J 2 x 4 = 08 que se subtrai de J e I J -5 +1 J -1 I +2 O resultado pode ser visto no gráfico anterior. Passo a passo se poderia fazer também: 6 x 2 = 12 que se subtrai de I e H 6 x 4 = 24 que se subtrai de H e G I -1 H -5 +3 H -2 33 G -5 +1 . De 39 se pode subtrair uma vez 24. ficando o grupo reduzido a 12. O 2 se anota na vareta L. “156”. Multiplica-se 6 por 24 (6 x 24 = 144) e se subtrai o produto. do qual se pode subtrair o divisor 6 vezes. mas por ser menor que o divisor. Resumindo: 5. o divisor. selecionamos o primeiro grupo de três algarismos do dividendo. neste caso “120”. Como o divisor tem três algarismos. Anota-se 8 em I. deixando a vareta I como primeiro algarismo da parte decimal do quociente.5 já que a vareta I é a primeira (e neste caso a única) da parte decimal do quociente. “362”. o resto é zero. que o divisor. “3620”. já que o grupo “120” é menor que o divisor. 451. De 1200 pode-se subtrair 2 vezes o divisor. Como o dividendo desapareceu por completo..5 com resto zero. Outro exemplo: 362 / 451 = 0. imediatamente à esquerda do dividendo. A este grupo se pode subtrair exatamente 5 vezes 24 (5 x 24 = 120) pelo que se dá por terminada a divisão ao se haver eliminado totalmente o dividendo. Deste grupo pode-se subtrair 451. pelo que de novo se deve selecionar um grupo com um algarismo a mais. P e O e 362 em H.Como no caso anterior o novo grupo a selecionar de dois algarismos “12” é menor que o divisor. Passo a passo se efetuaria: 5 x 2 = 10 que se subtrai de H e G 5 x 4 = 20 que se subtrai de G e F H -1 G -2 O resultado da divisão é lido como 216. Anotase 5 em I e se faz a subtração. 3. Anota-se 451 em Q.. e se procede a fazer as multiplicações e as subtrações: 8 x 4 = 32 que se subtrai de H e G 8 x 5 = 40 que se subtrai de G e F 8 x 1 = 08 que se subtrai de F e E Agora se seleciona como grupo “1200”.196 / 24 = 216. deve-se selecionar um grupo de 4 algarismos.8026607. 8 vezes. G e F. pelo que se anota 2 em G e se faz como no passo anterior as multiplicações e as subtrações: 2 x 4 = 08 que se subtrai de F e E 2 x 5 = 10 que se subtrai de E e D 34 . 2 x 1 = 02 que se subtrai de D e C Do grupo seguinte “2980” pode-se subtrair 6 vezes o divisor. que é multiplicá-lo por 5 e dividir o resultado por 10 (correr a vírgula decimal um lugar para a esquerda). Outras vezes pode-se fazer divisões por meio de multiplicações. O uso contínuo do Soroban fará com que o usuário descubra por si mesmo métodos abreviados para as divisões mais comuns. portanto anota-se 6 em F e são feitas as subtrações: 6 x 4 = 24 que se subtrai de E e D 6 x 5 = 30 que se subtrai de D e C 6 x 1 = 06 que se subtrai de C e B Por último se seleciona o grupo “2740” do qual se pode subtrair 6 vezes o divisor. por exemplo: 5.5.196 / 24 = 216.165.196 / 2. Anota-se 6 em E e como no passo anterior se fazem as subtrações: 6 x 4 = 24 que se subtrai de D e C 6 x 5 = 30 que se subtrai de C e B 6 x 1 = 06 que se subtrai de B e A O resultado da divisão se lê nas varetas de I a E.802660. dividir um número por 5 é multiplicá-lo por 2 e depois dividi-lo por 10. 451.196 / 2400 porém esta divisão é simplesmente fazer 5. 35 . apoiando-se fundamentalmente na multiplicação.80266. Inclusive poder-seia assegurar que o algarismo seguinte do quociente seria um 0. lembrando que I é a vareta onde está anotada o primeiro algarismo decimal do quociente: 362 / 451 = 0.4 = 5. Pode ver a razão disso sem fazer nenhuma operação? Às vezes algumas divisões podem ser simplificadas antes de efetuar-se utilizando-se potências de 10.5 e correr a vírgula decimal dois lugares para a esquerda: 2. etc. ficando o quociente como 0. dividir um número por 2 é o mesmo que multiplicá-lo por 0. por exemplo. 100 / 79 = 153.Cinco caixas iguais pequenas e uma grande pesam no total 3.3333 *O quociente 355 / 113 é uma excelente aproximação do número π. .150 / 7 = 450 g pesa cada uma das caixas pequenas.7162 22. (Solução: 3.973 / 0.54 cm.0701 15.688 / 148 = 106 498 / 599 = 0. Calcule suas dimensões em polegadas.8 / 3 = 41. .007 = 5. sabendo que uma polegada equivale a 2.473.372 / 107 = 87.83138 6.0079328 1.4 = 2.6 € na peixaria. 2 x 450 = 900 g pesa a caixa grande) 36 .8 = 8.356 / 207 = 108 17 / 2. Quanto deve receber cada um deles? (Solução: 50.54 = 11. Calcule o peso de cada caixa se a grande tem dobro do peso de uma pequena. .3333 1.664 / 72 = 37 9.2 = 23.5).6 x 8 /3 = 124.798 / 31 = 58 12.Um grupo de 34 pessoas dividem entre si um prêmio de 50.Se por três quilos de peixe devemos pagar 15.54 = 3.099 / 34 = 1.588 97.139 / 23 = 93 782 / 147 = 5.143 = 0. quanto se deveria pagar por 8 quilos do mesmo tipo de peixe? (Solução: 15.14159 248 / 24 = 10.04 / 0.920 / 94 = 180 355 / 113* = 3.150 g.4 16.09 23.A moldura de um Soroban é um retângulo de lados 28 e 8 cm.6 / 11.099 €.149’’).16 0.000 / 71 = 183.176 / 8 = 147 13.3197 800 / 24 = 33.6 €) .214 1.02’’ e 8 / 2.7142 2.297 / 5 = 259.Exercícios de divisões Exatas No exatas Simplificáveis 2. (Solução: 28 / 2.5 / 4. a quarta potência do número 35. 3.875.225.875 se obter-se-ia 1. Já é conhecido por ter sido estudado anteriormente no tema 5. O único limite do método é o número de varetas disponíveis no Soroban. Não é necessário memorizar fórmulas.225 = 42. como as do binômio de Newton. 42.625.875.875 Multiplicando-se agora 35 x 42. se se deseja calcular o quadrado do número 35 basta multiplicar 35 x 35 = 1. 1. Se se deseja calcular 353 calcula-se primeiro 35 x 35 = 1. 37 .225. nem fazer cálculos mentais como se devem fazer. Por exemplo. O resultado. A vantagem é que os fatores já estão anotados no Soroban. Usar o método multifatorial para o cálculo de potências tem várias vantagens importantes: 1.Tema 7: As potências O método que se utilizará para o cálculo de potências de números é simplesmente o método multifatorial de multiplicação já visto no tema 5. Primeiro se anotam os fatores no Soroban seguindo o método multifatorial: Q +3 P +4 B +3 A +5 E agora se efetua a multiplicação: 3 x 3 = 09 que se soma em D e C 4 x 3 = 12 que se soma em C e B 3 x 5 = 15 que se soma em C e B 4 x 5 = 20 que se soma em B e A Após se efetuar a multiplicação vê-se no Soroban o resultado. é o cubo de 35: 353 = 42.500. seguindo outros métodos. Ele é conseqüência direta de que qualquer potência inteira de um número nada mais é do que esse número multiplicado por si mesmo várias vezes. 2.225 e depois se multiplica 35 x 1. 728.193 253 = 25 x 25 x 25 = 625 x 25 = 15.401 = 5.5 m de largura. Exercícios de potências 1282 = 128 x 128 = 16.000 Também se pode fazer como: 1203 = 123 x 103 = 12 x 12 x 12 x 103 = 144 x 12 x 103 = 1.328 x 62 = 14. .096 m3 ).401 x 2.400 x 120 = 1.912.096 x 10-3 = 4.5 x 45 = 45 x 45 x 45 x 10-2 = 2.5 m de alto e 45 m de comprimento.6 x 1.844 x 3.125 x 10-2 = 911.336 Um último exercício: 78 = 74 x 74 = (72 x 72) x (72 x 72) = (49 x 49) x (49 x 49) = 2.6 m.776.728 x 103 = 1.844 = 14.625 E assim poder-se-ia seguir até esgotar as varetas disponíveis no Soroban.025 x 45 x 10-2 = 91. 4.249 x 57 = 185.Calcule o volume de um hangar de 4.329 573 = 57 x 57 x 57 = 3.5 x 4.63 = 1. (Solução: 1.336 Também se poderia fazer: 624 = 622 x 622 = (62 x 62) x (62 x 62) = 3.573 = 20.573 x 4. 38 .5732 = 4.764.776.354 = 1.384 4.728.25 m3 ).Calcule o volume de um cubo de lado 1.000 Outro exercício: 624 = 62 x 62 x 62 x 62 = 3.500.801 Problemas simples: . (Solução: 4.6 = 16 x 16 x 16 x 10-3 = 256 x 16 x 10-3 = 4.844 x 62 x 62 = 238.625 1203 = 120 x 120 x 120 = 14.6 x 1. 4. Anota-se o algarismo 1 em uma vareta da parte esquerda do Soroban. Ao número anotado chamamos “número raiz” e se subtrai do grupo situado mais à esquerda do radicando o grupo ativo. 3. Soma-se 2 ao número raiz e se subtrai o novo número raiz obtido ao grupo ativo do radicando. Finalizadas as subtrações soma-se 1 ao número raiz final e o resultado se multiplica por 4 somando o produto sobre o número raiz. anotamos 784 no Soroban nas varetas G. multiplica por 5 segundo o método multifatorial. 2. Depois disso segue-se com o método segundo os pontos 3 e 4. 39 . Às vezes. Em seguida o grupo ativo presente e o grupo seguinte de dois algarismos do radicando formam o novo grupo ativo. este continua sendo menor que o número raiz. Observe-se que a cada passo o número raiz aumenta e o grupo ativo diminui. C. F e E. Este processo. O radicando é anotado na parte direita do Soroban. O “método Chinês” não exige cálculo mental porém é lento. de acordo com o ponto 1: 7-84-00-00. depois de se somar o seguinte grupo de dois algarismos a um grupo ativo para formar o novo grupo ativo. Então ao número raiz se multiplica por 100 (não por 10) e se soma 101 (não 11) e ao grupo ativo se lhe adicionam mais dois algarismos.Tema 8: Raízes quadradas Existem vários métodos para se calcular a raiz quadrada de um número. Separamos mentalmente o número anotado em grupos de dois algarismos começando da vírgula decimal. deixando entre o radicando e o bordo direito do Soroban o dobro de varetas livres de quantos algarismos decimais desejamos obter no número raiz. dos quais são mostrados dois. Nesse caso se aplica de novo o ponto 4 até que o radicando desapareça o se tenham os algarismos decimais desejados. deixando livres as quatro varetas D. e se subtrai o valor obtido do novo grupo ativo. B e A para calcular dois algarismos decimais se for necessário. 5. Exemplo 1: 784 = 28 Como não sabemos se a raiz quadrada de 784 é exata ou não. Repete-se o processo do ponto 3 até que novamente o grupo ativo seja menor que o número raiz. quer dizer. 6. o “método algébrico” exige cálculo mental mas é muito mais rápido. Há 2 grupos à esquerda da vírgula decimal. • Método padrão Chinês Deve-se seguir a seguinte metodologia: 1. somar 2 ao número raiz e subtrair o novo número raiz obtido ao grupo ativo se repete tantas vezes quantas forem necessárias até que o grupo ativo seja menor que o número raiz. Separe mentalmente o radicando em grupos de 2 algarismos começando pelo ponto decimal da direita para a esquerda. O resultado é a raiz quadrada do radicando com tantos algarismos decimais como se indicou no ponto 1. pelo que o resultado da raiz quadrada será um número de dois algarismos (unidades e dezenas) e com dois algarismos decimais (pelos dois grupos 00) se houver. Ao número raiz se multiplica por 10 e se soma 11. aplicando o ponto 4. anota-se o algarismo 1 em uma vareta à esquerda do Soroban. este já seria maior que o grupo ativo. sem decimais: K +5 –3 F –5 40 E –5 . e o resultado. se multiplica o número raiz por 10 e se lhe soma 11.G +5 +2 F +5 +3 E +4 Como indica o ponto 2. Isto se faz várias vezes até que se chega à posição seguinte: Nesta posição depois de se somar 2 ao número raiz e subtrair o resultado do grupo ativo. pelo que a raiz quadrada de 784 é um número inteiro. pelo que. se subtrai do novo grupo ativo “384” ficando o novo grupo ativo como “343” L +1 K +1 F –5 +1 E –1 De novo se soma 2 ao número raiz e se subtrai a soma do grupo ativo. 41. por exemplo em L e se subtrai do grupo ativo “7”: L +1 G -1 Aplicando o ponto 3 soma-se 2 ao número raiz (1 + 2 = 3) e o resultado obtido se subtrai do grupo ativo: L+2 G –5 +2 Caso se somasse 2 ao número raiz. o radicando desaparece por completo. Conforme indica o ponto 6 soma-se 1 ao número raiz (55 + 1 = 56) e se multiplica o resultado por 4, somando o produto sobre o número raiz: K +1 4 x 5 = 20 que se soma a M e L 4 x 6 = 24 que se soma a L e K O resultado se vê nas varetas M e L: Exemplo 2: 784 = 28 37 = 6,08 Como no exemplo anterior deixamos livres as varetas D, C, B e A para fazer o cálculo com dois algarismos decimais. Conforme o procedimento anota-se 37 em F e E e 1 na vareta L. Seguimos as instruções do ponto 3 até que o grupo ativo seja menor que o número raiz. Agora o grupo ativo deveria ser “100”, ao número raiz deveria ser multiplicado por 10 e somar-se a ele 11 obtendo-se 121, mas este novo número raiz seria maior que o grupo ativo, pelo que, aplicando o ponto 5, o grupo ativo é “10000” e o novo número raiz será 11 x 100 + 101 = 1.201, menor que o grupo ativo. Se subtrai 1.201 de 10.000 e se continua o procedimento do ponto 3 até que o grupo ativo seja menor que o número raiz: Como indica o ponto 6, soma-se 1 ao número raiz e se multiplica por 4, somando o produto sobre o número raiz: O número 37 só tinha um grupo de dois algarismos, pelo que o resultado da raiz terá um algarismo inteiro “6” e dois algarismos decimais “08”, portanto: 37 = 6,08 . 41 • Método algébrico Este método é uma adaptação ao Soroban do método manual usado nas escolas. A metodologia é a seguinte: 1. O radicando é anotado na parte direita do Soroban, deixando à direita da vírgula decimal do radicando um número de varetas que será o dobro do número de decimais que terá o resultado. Separa-se mentalmente o radicando em grupos de dois algarismos, começando pelo ponto decimal, da direita a esquerda. 2. Anota-se da parte esquerda do Soroban o maior número de um algarismo cujo quadrado seja menor ou igual ao grupo de dois algarismos do radicando que está mais à sua esquerda, o "grupo ativo". O número anotado é chamado "número dobrado". Subtrai-se, do "grupo ativo" do radicando, o quadrado do "número dobrado". Em seguida duplique o "número dobrado". 3. O resíduo do "grupo ativo" anterior do radicando, seguido do grupo seguinte de dois algarismos formam o novo grupo ativo. Na vareta imediatamente à direita do "número dobrado" anota-se um número, de maneira que o novo "número dobrado" assim formado, multiplicado pelo número de um algarismo recém-anotado (o último algarismo do novo "número dobrado") seja o maior possível que se possa subtrair do "grupo ativo" do radicando. Faça-se a multiplicação e a subtração. 4. Duplique o último algarismo do "número dobrado". 5. Continue-se aplicando os pontos 3 e 4 até ter usado todos os grupos necessários de dois algarismos do radicando. 6. Finalmente, a raiz quadrada do radicando é obtida calculando-se a metade do "número dobrado". Pode-se fazer mentalmente com facilidade ou também se pode multiplicar por 0,5 de acordo com o método multifatorial, tal como se faz no ponto 6 do “método Chinês”. A parte inteira do resultado está formada por tantos algarismos como grupos de dois algarismos tinha o radicando à esquerda de sua vírgula decimal, o resto de algarismos formam a parte decimal do resultado. Exemplo 1: 784 = 28 Anota-se 784 no Soroban nas varetas G, F e E, deixando livres as quatro varetas D, C, B e A para calcular dois algarismos decimais se for necessário. Separamos mentalmente o número anotado em grupos de dois algarismos começando da vírgula decimal, segundo o ponto 1: 784-00-00. Há 2 grupos à esquerda da vírgula decimal, pelo que o resultado da raiz quadrada será um número com dois algarismos em sua parte inteira (unidades e dezenas) e os demais algarismos, se houver, serão decimais. G +5 +2 F +5 +3 E +4 O grupo ativo do radicando é 7. O número 2 é o maior cujo quadrado (4) é menor ou igual ao “grupo ativo”. Conforme indica o ponto 2 anota-se 2 na vareta L formando o primeiro “número dobrado” e se subtrai seu quadrado (4) do “grupo ativo”: 7; imediatamente se duplica o 2 anotado em L: 42 L +2 G -5 +1 L +2 De acordo com o ponto 3, o novo “grupo ativo” é 384. Agora se trata de buscar um número, que anotaremos em K, que formará com o 4 anotado em L o novo “número dobrado”, de tal maneira que, ao multiplicá-lo pelo anotado em K, obtenha-se o maior produto que se possa subtrair do “grupo ativo” 384. Caso se anotasse 9 em K, o novo “número dobrado” seria 49, que multiplicado por 9 dá como resultado 441, que não se pode subtrair do “grupo ativo”. Anotamos 8 em K, assim o novo “número dobrado” formado é 48, que multiplicado por 8 dá como produto 384 que se pode subtrair do “grupo ativo”. De fato, o “grupo ativo” desaparece totalmente, pelo que a raiz quadrada é exata. A multiplicação 48 x 8 também pode ser feita passo a passo: K +5 +3 8 x 4 = 32 que se subtrai de G e F (G -3 F -2) 8 x 8 = 64 que se subtrai de F e E (F -5 -1 E -4) Agora se aplica o ponto 4 e se obtém o número dobrado final: L +5 -4 K -2 Finalmente se calcula a metade do número dobrado, conforme indica o ponto 6. Neste caso é muito simples fazê-lo mentalmente: 56 / 2 = 28. Esse é o resultado da raiz quadrada de 784: 784 = 28 Exemplo 2: 352 = 18,761 A raiz quadrada de 352 será um número com dois algarismos em sua parte inteira. Anotase 352 nas varetas G, F e E: G +3 F +5 43 E +2 Este número se multiplica por 7 e se subtrai o resultado. pode ocorrer que vez por outra o número anotado seja excessivamente grande ou pequeno. segundo o ponto 3. que se anota em L.O grupo ativo é “3”. ao invés de ser feita mentalmente. Em seguida se duplica o último algarismo do “número dobrado”. o grupo 2800. Anotamos 7 em J formando-se assim o novo “número dobrado” 367. J +5 +2 7 x 3 = 21 que se subtrai de F e E ( F -2 E -1 ) 7 x 6 = 42 que se subtrai de E e D ( E -5 D +5 +3 ) 7 x 7 = 49 que se subtrai de D e C ( D -5 C +1 ) K +1 J -5 +2 44 . Em qualquer dos casos não é difícil desfazer as operações feitas e escolher o número adequado. do “grupo ativo”. O “número dobrado” assim formado “28” multiplica-se por 8 e se subtrai o resultado 224 do “grupo ativo”. Se esta multiplicação. 2569. Subtrai-se o quadrado do “número dobrado” do “grupo ativo” e em seguida se duplica o “número dobrado”: L +1 G -1 L +1 Forma-se o novo “número dobrado” anotando-se 8 em K. faz-se passo a passo. K +5 +3 8 x 2 = 16 que se subtrai de G e F ( G -2 F +4) 8 x 8 = 64 que se subtrai de F e E (F -5 -2 E +5 +1) Duplica-se o último algarismo do “número dobrado”: L +1 K -2 O novo “grupo ativo” é. pelo que o “número dobrado” é 1. Em seguida se duplica o último algarismo do “número dobrado”: I +5 +1 6 x 3 = que se subtrai de E e D ( E -2 D +5 -3 ) 6 x 7 = 42 que se subtrai de D e C ( D -5 C +5 +3 ) 6 x 4 = 24 que se subtrai de C e B ( C -3 B +5 +1 ) 6 x 6 = 36 que se subtrai de B e A ( B -5 +1 A +4 ) J +5 -4 I -5 +1 Finalmente calcula-se mentalmente a metade do “número dobrado” 3752 e se obtém “1876”.296 = 36 441 = 21 11. Multiplicamos 3746 por 6 e se subtrai o produto do “grupo ativo”. A raiz quadrada de 352 então será 18.25 = 4.96 m2.916 5. formando-se o número 3746 que é o novo “número dobrado”.4 m ) -Uma caixa com forma de ortoedro tem 10 cm de altura e 202.236 = 106 17 = 4. Ademais. sem necessidade de se fazer mais cálculos. Exercícios de raízes quadradas Faça as seguintes raízes quadradas segundo os métodos descritos anteriormente: 324 = 18 1. e assim se consegue dar um algarismo decimal a mais no resultado sem mais cálculos. Calcule as medidas dos lados da base sabendo-se que são iguais.761 Com um pouco de prática. pelo qual podemos dar um resultado mais exato ainda: 352 = 18.85 -Una cerca de forma quadrada tem uma área de 268.96 = 16.O novo “grupo ativo” é 23100.5 cm) 10 45 . (Solução: 202.308 = 72. Anotamos 6 na vareta I. (Solução: 268. sempre se pode calcular mentalmente o último algarismo do número dobrado.5 = 20.76. pode-se ver facilmente no Soroban que o seguinte algarismo decimal é um 1. Calcule o comprimento de seus lados.123 180 = 13.5 cm 2 de volume.41 35 = 5. 4 × log 5 = 1. calculando os logaritmos de 2.2460 = 1.3664 = 10 22 ×100.2304 + 1) = 5 5 5 1 5 = × 1.76 1 1 1 log 5 17 = × log 17 = × (log 1.5 + log 10) = = 16 × (0.76 5 46 .32 = 2.3664 2516 = 10 22.52 Como no caso anterior: ( ) log 51. assim como as propriedades das funções exponenciais: Funções exponenciais Funções logarítmicas a b × a c = a b +c log(a × b ) = log a + log b ab = a b-c c a a log = log a − log b b log(a b ) = b × log a a b = a b×c c b a =a c c log b a c = × log a b c b Exemplo 1: 2516 = 2.32 x 1022 Aplica-se a função logarítmica ao número e depois de simplificar mentalmente a expressão.5 e de 10 com a tabela.4 = 1.2304 = 0.4 × 0.3979 + 1) = 16 × 1.5 × 10) = 16 × (log 2.9786 = 9. faz-se a multiplicação final com o Soroban: ( ) log 2516 = 16 × log 25 = 16 × log (2.4 = 9.4 = 100.52 Exemplo 3: 5 17 = 1.Tema 9: Outras operações Este tema simplesmente tem a intenção de mostrar algumas das possibilidades do Soroban para quaisquer tipos de cálculos.3979 = 22.9786 Portanto : 51.3664 = 10 22 × 2.7 + log 10 ) = × (0. • Logaritmos Se se possui uma tabela de logaritmos. por complexos que sejam. suas propriedades.32 ×10 22 Portanto : Exemplo 2: 51. Para isso é preciso conhecer o que é um logaritmo.6990 = 0.2460 Portanto : 17 = 10 0. o Soroban permite fazer praticamente qualquer cálculo. 1 0. o Soroban permite a resolução de qualquer problema no qual se utilizem as razões trigonométricas. O método a ser utilizado será o algoritmo de Euclides. Finalmente o valor da área do triângulo que se vê no Soroban é 111.3 x sen (36º 23’). Para dois números quaisquer a e b sempre é válido que: MMC (a.1 m de altura se estende um cabo de contenção.9196 9196 = = 1.138 m 0.17 − 0.490 30' )= = 3.5 x 24.1 sen (48º Usando 30' ) = a tabela 3.5 pelas medidas de dois lados e pelo seno do ângulo entre eles.7490 : sen = (48º 31. b) = a x b. b) x MDC (a.932 com sete algarismos decimais.100 749 = 4. e o ângulo entre eles é 36º 23’. Subtraia o menor deles do maior tantas vezes como seja possível (pode apoiar-se na multiplicação para 47 .000 7.3 cm.31) = 1. com o que o cálculo posterior do MMC é simplesmente uma divisão exata e um produto.5932 e agora se procede às multiplicações no Soroban. inclusive enquanto se realizam as multiplicações no Soroban. Anote um dos números na parte direita do Soroban e o outro na parte esquerda.0003 = 0.0007 = 0.5 cm e 24.1937 10. Exemplo 1: Dois os lados de um triângulo medem 15. (Solución : sec (78º51' )= Usando 1 cos (78º51' a tabela : cos ) = 1 0. se se dispõe de tabelas adequadas. a 111.1934 (78º51' ) = = 0.Exemplo 4: log3(8.5 x 15.934 = 5.927 0. (Solución : 3. valor que pode ser arredondado. com ajuda das tabelas a razão trigonométrica: sen (36º 23’) = 0.1934) Exemplo 3: Do ponto mais alto de um poste vertical que mede 3.7 cm2) Exemplo 2: Calcule sec (78º 51’). Calcule o comprimento do cabo.4771 4771 • Trigonometria Como no caso dos logaritmos. o qual forma 48º 30’ com a horizontal. Primeiramente se calcula.927 log 3 (8.5925 + 0.7143900 cm2. Calcule a área do triângulo. (Solução: A área de qualquer triângulo é calculada multiplicando-se 0.31 ) = log (8. multiplicando 5 x 155 x 243 x 5. por que utilizando simplesmente a subtração se obterá o MDC de dos números anotados no Soroban. Neste caso a área seria: 0.000 1.31 log 3 )= 0.7490) • Máximo divisor comum MDC y mínimo múltiplo comum MMC. Para achar o MMC deverá dividir um dos números iniciais pelo MDC total e o quociente multiplicá-lo pelos números iniciais.250. O número que resta é o MDC dos números anotados inicialmente. Agora se tem anotados no Soroban um dos números iniciais e outro. Anotamos no soroban os números anteriores: 4250---1000.000m (17 quilômetros) coincidem um sinal quilométrico e um telefone de emergência. Portanto o MDC é 250. Agora se subtrai 25 de 125 as vezes que for possível (5): 0---25. O resultado é o MMC de a e b. é o MDC de 150 e 125. 25. Se agora deseja calcular o MMC deverá dividir um dos números. Seguindo com o método descrito anteriormente teremos: 250---1000. depois calcule o MDC entre o número seguinte e o MDC calculado no passo anterior.000 e 4.250m. por exemplo a entre o recém calculado MDC. que agora é o menor. Exemplo 1: Cálculo do MDC y MMC de 150 e 125: Anotamos os números no Soroban: 125---150. Depois de subtrair 125 de 150 uma vez o resultado é: 125---25.000m e telefones de emergência a cada 4. Se é 1. Um dos números já se converteu em 0. Agora calcula-se o MMC: 1000 × 4250 = 4 × 4250 = 17000 = MCM 250 A cada 17. primeiro calcule o MDC de dois deles.reduzir o número de subtrações). diz-se que os números anotados inicialmente são primos entre si. O quociente da divisão multiplica-se por b. o outro. Exemplo 2: Em uma estrada há sinais quilométricos a cada 1. 150) = 25 e MMC (125. 150) = 750 Se desejar calcular o MDC de mais de dois números. Agora divida um dos números iniciais entre o MDC e o resultado multiplique pelo outro: 125 × 150 = 5 × 150 = 750 = MCM 25 Portanto: MDC (125. A divisão é exata. Prossiga com esta metodologia até que um dos dois números se converta em 0. Repita o processo de subtrair o menor do maior tantas vezes quantas seja possível até obter outro novo par de números. já que não têm divisores comuns além do 1. 48 . 250---0. e assim sucessivamente. A cada quantos metros coincidem um sinal quilométrico e um telefone de emergência? Solução: Simplesmente calculamos o MMC entre 1. Tabela de logaritmos decimais I N 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 0 0000 0414 0792 1139 1461 1761 2041 2304 2553 2788 3010 3222 3424 3617 3802 3979 4150 4314 4472 4624 4771 4914 5051 5185 5315 5441 5563 5682 5798 5911 6021 6128 6232 6335 6435 6532 6628 6721 6812 6902 6990 7076 7160 7243 7324 1 0043 0453 0828 1173 1492 1790 2068 2330 2577 2810 3032 3243 3444 3636 3820 3997 4166 4330 4487 4639 4786 4928 5065 5198 5328 5453 5575 5694 5809 5922 6031 6138 6243 6345 6444 6542 6637 6730 6821 6911 6998 7084 7168 7251 7332 2 0086 0492 0864 1206 1523 1818 2095 2355 2601 2833 3054 3263 3464 3655 3838 4014 4183 4346 4502 4654 4800 4942 5079 5211 5340 5465 5587 5705 5821 5933 6042 6149 6253 6355 6454 6551 6646 6739 6830 6920 7007 7093 7177 7259 7340 3 0128 0531 0899 1239 1553 1847 2122 2380 2625 2856 3075 3284 3483 3674 3856 4031 4200 4362 4518 4669 4814 4955 5092 5224 5353 5478 5599 5717 5832 5944 6053 6160 6263 6365 6464 6561 6656 6749 6839 6928 7016 7101 7185 7267 7348 4 0170 0569 0934 1271 1584 1875 2148 2405 2648 2878 3096 3304 3502 3692 3874 4048 4216 4378 4533 4683 4829 4969 5105 5237 5366 5490 5611 5729 5843 5955 6064 6170 6274 6375 6474 6571 6665 6758 6848 6937 7024 7110 7193 7275 7356 5 0212 0607 0969 1303 1614 1903 2175 2430 2672 2900 3118 3324 3522 3711 3892 4065 4232 4393 4548 4698 4843 4983 5119 5250 5378 5502 5623 5740 5855 5966 6075 6180 6284 6385 6484 6580 6675 6767 6857 6946 7033 7118 7202 7284 7364 6 0253 0645 1004 1335 1644 1931 2201 2455 2695 2923 3139 3345 3541 3729 3909 4082 4249 4409 4564 4713 4857 4997 5132 5263 5391 5514 5635 5752 5866 5977 6085 6191 6294 6395 6493 6590 6684 6776 6866 6955 7042 7126 7210 7292 7372 49 7 0294 0682 1038 1367 1673 1959 2227 2480 2718 2945 3160 3365 3560 3747 3927 4099 4265 4425 4579 4728 4871 5011 5145 5276 5403 5527 5647 5763 5877 5988 6096 6201 6304 6405 6503 6599 6693 6785 6875 6964 7050 7135 7218 7300 7380 8 0334 0719 1072 1399 1703 1987 2253 2504 2742 2967 3181 3385 3579 3766 3945 4116 4281 4440 4594 4742 4886 5024 5159 5289 5416 5539 5658 5775 5888 5999 6107 6212 6314 6415 6513 6609 6702 6794 6884 6972 7059 7143 7226 7308 7388 9 0374 0755 1106 1430 1732 2014 2279 2529 2765 2989 3201 3404 3598 3784 3962 4133 4298 4456 4609 4757 4900 5038 5172 5302 5428 5551 5670 5786 5899 6010 6117 6222 6325 6425 6522 6618 6712 6803 6893 6981 7067 7152 7235 7316 7396 1 4 4 4 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 9 8 7 7 6 6 5 5 5 5 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 12 11 10 10 9 9 8 8 7 7 7 6 6 6 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 4 17 15 14 13 12 12 11 10 10 9 9 8 8 8 7 7 7 6 6 6 6 6 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 5 21 19 17 16 15 14 13 12 12 11 11 10 10 9 9 9 8 8 8 7 7 7 7 7 6 6 6 6 6 6 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 6 25 23 21 19 18 17 16 15 14 14 13 12 12 11 11 10 10 10 9 9 9 8 8 8 8 7 7 7 7 7 6 6 6 6 6 6 6 6 5 5 5 5 5 5 5 7 29 26 24 23 21 20 18 17 16 16 15 14 14 13 13 12 12 11 11 10 10 10 9 9 9 9 8 8 8 8 8 7 7 7 7 7 7 6 6 6 6 6 6 6 6 8 9 33 37 30 34 28 31 26 29 24 27 22 25 21 24 20 22 19 21 18 20 17 19 16 18 15 17 15 17 14 15 14 16 13 15 13 14 12 14 12 13 12 13 11 13 11 12 10 12 10 11 10 11 10 11 9 11 9 10 9 10 9 10 8 10 8 9 8 9 8 9 8 9 8 8 7 8 7 8 7 8 7 8 7 8 7 7 7 7 6 7 . Tabela de logaritmos decimais II N 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 0 7404 7482 7559 7634 7709 7782 7853 7924 7993 8062 8129 8195 8261 8325 8388 8451 8513 8573 8633 8692 8751 8808 8865 8921 8976 9031 9085 9138 9191 9243 9294 9345 9395 9445 9494 9542 9590 9638 9685 9731 9777 9823 9868 9912 9956 1 7412 7490 7566 7642 7716 7789 7860 7931 8000 8069 8136 8202 8267 8331 8395 8457 8519 8579 8639 8698 8756 8814 8871 8927 8982 9036 9090 9143 9196 9248 9299 9350 9400 9450 9499 9547 9595 9643 9689 9736 9782 9827 9872 9917 9961 2 7419 7497 7574 7649 7723 7796 7868 7938 8007 8075 8142 8209 8274 8338 8401 8463 8525 8585 8645 8704 8762 8820 8876 8932 8987 9042 9096 9149 9201 9253 9304 9355 9405 9455 9504 9552 9600 9647 9694 9741 9786 9832 9877 9921 9965 3 7427 7505 7582 7657 7731 7803 7875 7945 8014 8082 8149 8215 8280 8344 8407 8470 8531 8591 8651 8710 8768 8825 8882 8938 8993 9047 9101 9154 9206 9258 9309 9360 9410 9460 9509 9557 9605 9652 9699 9745 9791 9836 9881 9926 9969 4 7435 7513 7589 7664 7738 7810 7882 7952 8021 8089 8156 8222 8287 8351 8414 8476 8537 8597 8657 8716 8774 8831 8887 8943 8998 9053 9106 9159 9212 9263 9315 9365 9415 9465 9513 9562 9609 9657 9703 9750 9795 9841 9886 9930 9974 5 7443 7520 7597 7672 7745 7818 7889 7959 8028 8096 8162 8228 8293 8357 8420 8482 8543 8603 8663 8722 8779 8837 8893 8949 9004 9058 9112 9165 9217 9269 9320 9370 9420 9469 9518 9566 9614 9661 9708 9754 9800 9845 9890 9934 9978 6 7451 7528 7604 7679 7752 7825 7896 7966 8035 8102 8169 8235 8299 8363 8426 8488 8549 8609 8669 8727 8785 8842 8899 8954 9009 9063 9117 9170 9222 9274 9325 9375 9425 9474 9523 9571 9619 9666 9713 9759 9805 9850 9894 9939 9983 50 7 7459 7536 7612 7686 7760 7832 7903 7973 8041 8109 8176 8241 8306 8370 8432 8494 8555 8615 8675 8733 8791 8848 8904 8960 9015 9069 9122 9175 9227 9279 9330 9380 9430 9479 9528 9576 9624 9671 9717 9763 9809 9854 9899 9943 9987 8 7466 7543 7619 7694 7767 7839 7910 7980 8048 8116 8182 8248 8312 8376 8439 8500 8561 8621 8681 8739 8797 8854 8910 8965 9020 9074 9128 9180 9232 9284 9335 9385 9435 9484 9533 9581 9628 9675 9722 9768 9814 9859 9903 9948 9991 9 7474 7551 7627 7701 7774 7846 7917 7987 8055 8122 8189 8254 8319 8382 8445 8506 8567 8627 8686 8745 8802 8859 8915 8971 9025 9079 9133 9186 9238 9289 9340 9390 9440 9489 9538 9586 9633 9680 9727 9773 9818 9863 9908 9952 9996 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 7 6 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 8 6 6 6 6 6 6 6 6 6 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 9 7 7 7 7 7 7 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 . Tabelas trigonométricas I º 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 º 0’ 0000 0175 0349 0523 0698 0872 1045 1219 1392 1564 1736 1908 2079 2250 2419 2588 2756 2924 3090 3256 3420 3584 3746 3907 4067 4226 4384 4540 4695 4848 5000 5150 5299 5446 5592 5736 5878 6018 6157 6293 6428 6561 6691 6820 6947 60’ senos naturais 0º .45º 10’ 20’ 30’ 40’ 50’ 60' 0029 0058 0087 0116 0145 0175 0204 0233 0262 0291 0320 0349 0378 0407 0436 0465 0494 0523 0552 0581 0610 0640 0669 0698 0727 0756 0785 0814 0843 0872 0901 0929 0958 0987 1016 1045 1074 1103 1132 1161 1190 1219 1248 1276 1305 1334 1363 1392 1421 1449 1478 1507 1536 1564 1593 1622 1650 1679 1708 1736 1765 1794 1822 1851 1880 1908 1937 1965 1994 2022 2051 2079 2108 2136 2164 2193 2221 2250 2278 2306 2334 2363 2391 2419 2447 2476 2504 2532 2560 2588 2616 2644 2672 2700 2728 2756 2784 2812 2840 2868 2896 2924 2952 2979 3007 3035 3062 3090 3118 3145 3173 3201 3228 3256 3283 3311 3338 3365 3393 3420 3448 3475 3502 3529 3557 3584 3611 3638 3665 3692 3719 3746 3773 3800 3827 3854 3881 3907 3934 3961 3987 4014 4041 4067 4094 4120 4147 4173 4200 4226 4253 4279 4305 4331 4358 4384 4410 4436 4462 4488 4514 4540 4566 4592 4617 4643 4669 4695 4720 4746 4772 4797 4823 4848 4874 4899 4924 4950 4975 5000 5025 5050 5075 5100 5125 5150 5175 5200 5225 5250 5275 5299 5324 5348 5373 5398 5422 5446 5471 5495 5519 5544 5568 5592 5616 5640 5664 5688 5712 5736 5760 5783 5807 5831 5854 5878 5901 5925 5948 5972 5995 6018 6041 6065 6088 6111 6134 6157 6180 6202 6225 6248 6271 6293 6316 6338 6361 6383 6406 6428 6450 6472 6494 6517 6539 6561 6583 6604 6626 6648 6670 6691 6713 6734 6756 6777 6799 6820 6841 6862 6884 6905 6926 6947 6967 6988 7009 7030 7050 7071 50’ 40’ 30’ 20’ 10’ 0’ cossenos naturais 45º .90º 51 diferencias a somar º 1’ 2’ 3’ 4’ 5’ 6’ 7’ 8’ 9’ 89 3 6 9 12 15 17 20 23 26 88 3 6 9 12 15 17 20 23 26 87 3 6 9 12 15 17 20 23 26 86 3 6 9 12 15 17 20 23 26 85 3 6 9 12 14 17 20 23 26 84 3 6 9 12 14 17 20 23 26 83 3 6 9 12 14 17 20 23 26 82 3 6 9 12 14 17 20 23 26 81 3 6 9 12 14 17 20 23 26 80 3 6 9 11 14 17 20 23 26 79 3 6 9 11 14 17 20 23 26 78 3 6 9 11 14 17 20 23 26 77 3 6 9 11 14 17 20 23 26 76 3 6 8 11 14 17 20 23 25 75 3 6 8 11 14 17 20 23 25 74 3 6 8 11 14 17 20 22 25 73 3 6 8 11 14 17 20 22 25 72 3 6 8 11 14 17 19 22 25 71 3 6 8 11 14 17 19 22 25 70 3 5 8 11 14 16 19 22 25 69 3 5 8 11 14 16 19 22 25 68 3 5 8 11 14 16 19 22 24 67 3 5 8 11 13 16 19 21 24 66 3 5 8 11 13 16 19 21 24 65 3 5 8 11 13 16 19 21 24 64 3 5 8 10 13 16 18 21 24 63 3 5 8 10 13 16 18 21 23 62 3 5 8 10 13 15 18 21 23 61 3 5 8 10 13 15 18 20 23 60 3 5 8 10 13 15 18 20 23 59 3 5 8 10 13 15 18 20 23 58 2 5 7 10 12 15 17 20 22 57 2 5 7 10 12 15 17 20 22 56 2 5 7 10 12 15 17 19 22 55 2 5 7 10 12 14 17 19 22 54 2 5 7 9 12 14 17 19 21 53 2 5 7 9 12 14 16 19 21 52 2 5 7 9 12 14 16 18 21 51 2 5 7 9 11 14 16 18 20 50 2 4 7 9 11 13 16 18 20 49 2 4 7 9 11 13 15 18 20 48 2 4 7 9 11 13 15 17 20 47 2 4 6 9 11 13 15 17 19 46 2 4 6 8 11 13 15 17 19 45 2 4 6 8 10 12 15 17 19 º 1’ 2’ 3’ 4’ 5’ 6’ 7’ 8’ 9’ diferencias a subtrair . 0000 1.90º diferencias a subtrair 52 .90º diferencias a somar 10’ 20’ 30’ 40’ 50’ 60’ º 1’ 2’ 3’ 4’ 5’ 6’ 7’ 8’ 9’ 7092 7112 7133 7153 7173 7193 44 2 4 6 8 10 12 14 16 18 7214 7234 7254 7274 7294 7314 43 2 4 6 8 10 12 14 16 18 7333 7353 7373 7392 7412 7431 42 2 4 6 8 10 12 14 16 18 7451 7470 7490 7509 7528 7547 41 2 4 6 8 10 12 13 15 17 7566 7585 7604 7623 7642 7660 40 2 4 6 8 9 11 13 15 17 7679 7698 7716 7735 7753 7771 39 2 4 6 7 9 11 13 15 17 7790 7808 7826 7844 7862 7880 38 2 4 5 7 9 11 13 14 16 7898 7916 7934 7951 7969 7986 37 2 4 5 7 9 11 12 14 16 8004 8021 8039 8056 8073 8090 36 2 3 5 7 9 10 12 14 16 8107 8124 8141 8158 8175 8192 35 2 3 5 7 8 10 12 13 15 8208 8225 8241 8258 8274 8290 34 2 3 5 7 8 10 12 13 15 8307 8323 8339 8355 8371 8387 33 2 3 5 6 8 10 11 13 14 8403 8418 8434 8450 8465 8480 32 2 3 5 6 8 9 11 12 14 8496 8511 8526 8542 8557 8572 31 2 3 5 6 8 9 11 12 14 8587 8601 8616 8631 8646 8660 30 1 3 4 6 7 9 10 12 13 8675 8689 8704 8718 8732 8746 29 1 3 4 6 7 9 10 11 13 8760 8774 8788 8802 8816 8829 28 1 3 4 6 7 8 10 11 12 8843 8857 8870 8884 8897 8910 27 1 3 4 5 7 8 9 11 12 8923 8936 8949 8962 8975 8988 26 1 3 4 5 6 8 9 10 12 9001 9013 9026 9038 9051 9063 25 1 3 4 5 6 8 9 10 11 9075 9088 9100 9112 9124 9135 24 1 2 4 5 6 7 8 10 11 9147 9159 9171 9182 9194 9205 23 1 2 3 5 6 7 8 9 10 9216 9228 9239 9250 9261 9272 22 1 2 3 4 6 7 8 9 10 9283 9293 9304 9315 9325 9336 21 1 2 3 4 5 6 7 9 10 9346 9356 9367 9377 9387 9397 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9407 9417 9426 9436 9446 9455 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9465 9474 9483 9492 9502 9511 18 1 2 3 4 5 6 6 7 8 9520 9528 9537 9546 9555 9563 17 1 2 3 3 4 5 6 7 8 9572 9580 9588 9596 9605 9613 16 1 2 2 3 4 5 6 7 7 9621 9628 9636 9644 9652 9659 15 1 2 2 3 4 5 5 6 7 9667 9674 9681 9689 9696 9703 14 1 1 2 3 4 4 5 6 7 9710 9717 9724 9730 9737 9744 13 1 1 2 3 3 4 5 5 6 9750 9757 9763 9769 9775 9781 12 1 1 2 3 3 4 4 5 6 9787 9793 9799 9805 9811 9816 11 1 1 2 2 3 3 4 5 5 9822 9827 9833 9838 9843 9848 10 1 1 2 2 3 3 4 4 5 9853 9858 9863 9868 9872 9877 9 0 1 1 2 2 3 3 4 4 9881 9886 9890 9894 9899 9903 8 0 1 1 2 2 3 3 3 4 9907 9911 9914 9918 9922 9925 7 0 1 1 2 2 2 3 3 3 9929 9932 9936 9939 9942 9945 6 0 1 1 1 2 2 2 3 3 9948 9951 9954 9957 9959 9962 5 0 1 1 1 1 2 2 2 2 9964 9967 9969 9971 9974 9976 4 0 0 1 1 1 1 2 2 2 9978 9980 9981 9983 9985 9986 3 0 0 1 1 1 1 1 1 2 9988 9989 9990 9992 9993 9994 2 0 0 0 1 1 1 1 1 1 9995 9996 9997 9997 9998 9998 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 9999 9999 1.0000 1.Tabelas trigonométricas II º 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 º 0’ 7071 7193 7314 7431 7547 7660 7771 7880 7986 8090 8192 8290 8387 8480 8572 8660 8746 8829 8910 8988 9063 9135 9205 9272 9336 9397 9455 9511 9563 9613 9659 9703 9744 9781 9816 9848 9877 9903 9925 9945 9962 9976 9986 9994 9998 60’ senos naturais 45º .0000 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 50’ 40’ 30’ 20’ 10’ 0 º 1’ 2’ 3’ 4’ 5’ 6’ 7’ 8’ 9’ cossenos naturais 45º . 783 847 .143 16 2 218 836 717 634 .317 .188 663 2 093 423 69 98 464 .24 402 .914 778 515 .428 88 1 831 325 580 310 .63 .331 663 .591 791 308 1 936 301 .765 153 .92 .168 952 196 2 459 540 489 349 21 219 . 900 374 184 .Tema 10: Exercícios • Exercícios para praticar Somas e subtrações. nível principiante.619 41 2 664 130 825 809 .480 .477 540 .21 107 1 371 81 263 945 45 600 371 782 .188 .286 880 .311 262 336 1 745 741 483 108 248 .804 879 1 997 .742 .16 .792 .284 390 278 513 459 556 2 897 831 459 777 .801 .756 511 82 .479 .34 85 509 954 364 577 331 992 .607 624 938 581 208 949 3 816 612 702 472 .135 .975 .418 21 148 64 122 1 226 53 41 179 235 663 248 426 1 792 221 641 909 .689 931 1 296 447 918 466 125 907 .280 562 .993 266 397 1 737 801 872 70 249 840 711 228 974 .87 120 198 1 126 839 386 233 .103 695 5 337 419 77 369 922 298 . 146 501 3 285 776 666 600 137 329 893 170 992 702 856 6 121 181 404 996 .130 364 343 3 558 607 702 138 997 .93 479 .329 754 .779 856 2 097 441 454 737 827 950 .865 659 .408 153 3 835 367 956 997 .97 320 545 .290 551 298 .50 .755 .116 .63 708 .438 .849 116 433 677 54 864 205 348 769 .969 389 936 1 502 806 601 411 447 .651 614 680 456 331 248 219 3 478 12 156 548 .100 289 3 470 37 380 668 716 757 .490 761 297 .719 280 366 .457 415 1 268 349 381 644 .60 .447 .582 820 301 704 789 133 3 321 451 311 624 538 .905 792 292 269 757 2 228 .115 .873 399 .565 .616 537 708 120 337 982 .320 247 681 .213 665 2 937 584 164 323 698 387 .168 972 141 885 .422 821 3 163 786 756 601 .581 .75 .15 993 250 3 322 875 383 13 .146 651 67 787 515 3 569 794 329 79 816 169 495 299 .426 .55 456 187 .880 231 635 700 696 4 791 830 421 496 937 638 .901 .508 .610 276 998 352 .73 . 754 819 2 757 .315 .105 .870 532 1 493 55 656 72 885 608 .56 511 2 885 908 812 455 346 .899 940 274 .489 916 379 661 422 282 3 571 249 675 805 .239 804 .105 .570 976 575 4 655 38 370 91 521 158 484 113 254 .162 924 219 2 641 674 135 996 970 93 159 647 .320 212 886 3 314 723 759 216 14 629 127 411 926 732 29 4 566 804 348 62 .822 86 .136 .596 518 2 529 872 831 864 .983 924 .905 138 364 2 079 165 203 383 .153 .745 61 1 345 435 625 459 952 .283 .274 231 118 225 .69 .740 23 613 598 .410 554 1 776 325 819 117 .512 224 385 97 .307 .845 756 .261 .351 399 2 065 158 340 533 369 .820 983 141 901 .465 .254 .481 34 218 663 853 2 158 821 668 155 .163 .834 691 900 1 446 94 733 279 723 62 305 286 .669 885 720 435 .313 740 887 365 .626 78 372 462 443 2 877 312 561 85 .110 10 279 538 766 3 986 49 853 980 527 .583 .406 435 233 344 351 665 .978 .394 748 .342 . 992 64 .488 .179 674 705 .127 263 2 781 511 574 800 .85 971 630 303 940 881 749 5 882 655 362 759 .616 866 .626 295 413 2 067 .366 .225 502 111 472 975 285 670 .88 762 270 492 473 2 410 325 601 567 .495 153 938 .357 615 .217 483 3 714 868 342 447 665 .97 .519 894 243 .302 714 2 865 373 280 382 793 583 .561 .420 935 3 136 910 34 246 .456 356 124 185 .590 469 295 .494 343 853 409 648 3 715 936 894 571 .845 853 765 .782 780 .952 .677 987 2 337 954 316 257 748 .215 703 1 282 995 180 981 .734 .352 904 843 180 .707 .920 564 711 .282 532 892 169 391 .926 935 .677 .130 869 2 450 936 589 469 .24 235 2 529 623 634 146 646 291 948 783 449 965 977 6 462 408 243 441 .431 .472 74 1 870 901 842 274 361 .393 .833 .513 766 .778 201 151 692 459 458 310 3 649 726 458 54 .928 785 394 556 461 936 4 479 56 179 635 75 .443 133 1 980 940 291 660 218 362 .11 .831 489 938 450 . 175 597 211 103 670 761 96 3 627 294 853 777 .126 518 185 823 139 237 857 4 272 791 128 896 326 .125 789 .452 192 226 .995 .439 724 .53 531 1 870 347 115 801 306 .457 .647 .391 .693 871 566 15 87 911 982 4 663 853 229 886 86 187 .758 700 843 263 853 2 730 57 575 460 606 .79 505 769 619 .869 436 717 504 735 454 728 4 907 946 74 200 602 .784 .344 824 80 2 415 588 230 546 .39 598 886 4 091 642 347 270 148 .601 984 568 .863 346 734 313 873 22 100 1 970 923 956 323 .632 .252 458 459 .448 101 3 011 284 126 422 .993 .242 .549 26 1 503 955 73 708 524 .540 328 1 570 86 65 294 .939 938 .686 335 232 1 516 581 236 565 62 .167 904 428 .997 351 432 80 684 232 .85 790 2 029 448 363 718 689 .152 435 960 .500 .612 335 872 .454 39 662 508 873 258 .438 912 .501 84 2 294 940 843 660 445 223 120 369 .866 379 28 489 467 302 3 017 .91 .515 674 .532 .637 377 . 26 340 .210 297 2 080 58 680 453 788 62 522 135 526 464 381 566 4 577 314 86 566 .546 .370 970 35 2 590 558 170 341 373 264 726 793 .366 620 1 695 471 135 84 615 .392 .218 .216 294 2 843 528 161 136 755 78 583 167 .888 554 2 457 622 673 747 .105 113 70 1 705 624 354 276 547 .729 741 1 403 155 13 696 178 .434 .31 720 .242 204 .482 955 .440 612 251 2 381 65 202 613 315 534 .940 741 394 2 564 487 438 181 480 .426 956 .210 834 250 529 .680 27 618 669 68 1 927 290 274 451 .960 .599 .568 641 1 579 343 320 130 .151 263 723 875 586 .437 346 322 768 .519 10 19 769 883 829 2 754 432 472 223 .729 502 185 766 263 1 332 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8 185 4 969 .4 437 9 693 2 031 6 455 . nível médio.4 404 2 619 15 329 7 584 469 5 090 8 858 5 793 1 181 9 674 .8 257 562 591 1 687 9 945 21 064 359 9 101 7 758 .8 476 .2 560 .7 210 8 777 7 486 915 .1 224 7 054 3 806 9 410 9 600 52 473 8 054 4 868 4 467 .4 890 885 .914 9 702 .3 101 .6 525 5 672 .9 121 .5 808 7 033 40 664 9 933 3 519 5 450 .7 820 6 615 2 209 .7 504 .9 008 5 133 8 926 6 478 7 290 .5 681 .4 889 2 641 1 601 . 3 666 7 876 9 657 2 674 .420 3 622 6 603 5 761 .7 203 .3 959 1 849 10 304 9 558 8 693 961 3 685 .9 225 6 467 34 963 1 951 4 149 9 395 1 778 6 554 .Somas e subtrações.2 201 2 724 .2 934 9 372 1 357 39 243 5 308 1 595 9 151 2 279 4 142 .504 5 283 20 820 5 648 3 368 9 680 .2 623 4 314 . 9 472 574 .1 512 .5 084 1 855 3 703 153 6 529 3 276 .3 156 501 .5 208 .4 683 .3 860 .8 545 5 710 917 787 3 364 7 967 25 664 7 021 2 317 7 260 .1 968 5 776 3 671 .379 4 558 .7 682 .6 816 .2 640 8 356 1 801 13 574 8 137 3 012 5 117 .1 602 5 033 8 432 3 870 4 732 922 3 930 35 275 3 821 5 963 6 419 .6 588 .9 982 .6 765 2 726 .7 969 8 013 39 478 3 742 7 421 837 9 424 .4 882 8 845 1 718 8 106 5 205 9 317 38 091 5 612 5 641 6 193 .9 323 8 963 8 166 941 7 894 36 797 8 633 2 566 1 527 .7 182 8 106 .3 052 672 4 703 .9 691 2 827 5 473 .6 620 4 836 .8 688 5 290 1 428 7 527 7 392 44 474 2 164 7 903 9 257 .2 287 .3 584 8 964 1 968 4 379 8 095 27 213 2 505 9 293 5 766 9 768 4 973 4 784 3 945 .6 175 4 225 47 999 64 8 045 3 071 6 363 5 771 8 275 .6 433 9 053 4 837 .9 099 8 300 5 210 3 054 7 847 1 004 24 039 8 168 9 882 5 483 9 882 1 384 6 509 5 292 3 349 .7 826 3 257 2 318 9 487 9 401 5 874 7 536 .3 072 .9 287 .8 409 6 740 .1 600 .550 6 126 9 833 829 8 420 5 311 3 350 .9 613 9 948 5 641 26 009 7 458 2 470 904 .8 480 . 9 639 3 312 662 .8 901 .4 504 .4 120 2 002 7 999 26 285 9 121 1 060 5 577 .2 325 1 235 5 769 24 268 585 8 145 3 871 .4 047 9 708 15 616 3 672 1 752 3 923 9 973 .5 010 .8 933 .8 433 5 496 .8 642 9 059 1 746 .1 393 2 871 .8 514 4 690 6 801 11 695 2 755 1 938 1 193 .2 971 9 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.6 041 .5 120 .5 538 4 312 3 648 6 576 .8 684 5 286 903 15 949 1 268 3 552 6 626 .5 921 7 676 12 478 3 140 2 780 9 174 7 235 .5 642 1 731 19 366 8 041 2 591 9 342 .810 1 015 .1 074 6 632 38 498 803 8 337 7 842 3 218 9 229 .2 629 460 200 .767 6 659 1 525 19 798 4 776 4 894 8 884 .9 006 .6 050 7 124 3 079 4 900 1 675 .6 357 .2 985 2 940 1 472 10 651 7 423 1 879 3 763 1 007 .9 740 .7 166 2 666 11 146 67 7 811 4 963 7 647 .965 542 4 347 .6 282 4 645 25 092 .5 627 .7 029 9 338 626 4 041 .2 112 2 458 .4 790 .6 159 737 30 792 7 528 8 015 1 569 .4 494 3 814 1 964 .1 712 .4 591 7 931 8 485 .9 449 7 240 .1 553 6 842 8 846 5 240 .2 302 927 19 673 1 459 563 6 331 .5 742 216 1 430 7 318 7 124 3 648 7 264 32 704 9 292 2 436 1 499 2 911 .2 214 .4 562 134 9 078 8 660 .3 582 .7 548 . 159 2 888 2 560 .5 415 9 063 6 208 .6 028 3 271 1 689 22 520 6 649 1 313 8 623 5 378 1 333 .2 790 9 914 7 825 .603 .3 264 7 092 4 099 37 713 6 878 7 301 5 715 7 988 5 735 .917 8 420 .5 407 6 556 3 136 .2 185 2 268 40 054 3 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199 9 845 36 406 3 651 3 175 7 042 .8 319 .2 745 513 4 103 .2 967 8 896 887 .8 289 1 393 12 780 .5 754 2 889 24 418 71 3 082 4 948 1 352 685 4 443 8 657 2 163 8 367 5 637 1 166 40 500 7 470 6 751 5 097 .7 110 .2 529 5 812 .5 648 8 769 .1 493 .1 259 639 22 627 5 317 6 023 1 596 6 506 .8 439 6 933 5 076 5 528 7 142 19 932 245 8 543 9 637 1 057 3 663 .3 620 7 762 5 420 28 315 7 121 9 108 2 892 .961 .3 929 .9 355 5 453 9 371 1 880 .3 026 2 795 .9 561 3 281 .996 9 749 7 183 7 250 9 211 6 227 846 .9 823 5 538 6 393 5 398 .3 586 7 995 37 582 138 8 631 6 330 .3 394 7 181 7 903 .6 181 .3 266 .7 226 5 359 7 306 9 896 6 896 126 9 892 46 117 4 023 6 548 4 801 .8 274 .3 077 6 036 8 731 33 591 9 890 724 533 4 433 9 669 .707 3 329 .3 333 2 436 21 454 7 939 2 021 6 752 9 933 590 .5 956 3 743 8 151 .6 784 1 947 1 289 4 283 6 228 .600 4 212 .2 772 . 191 4 211 9 209 3 618 2 457 .2 424 6 206 .1 391 2 145 374 2 813 .3 668 .1 299 1 185 .8 807 .8 660 9 424 .5 842 .2 197 3 668 22 891 72 458 2 469 4 270 .6 942 7 285 7 024 369 8 673 36 095 4 820 957 6 319 .1 687 1 160 1 811 4 160 .1 125 8 616 1 462 21 594 567 3 828 6 575 .920 7 470 9 331 26 042 1 523 2 376 3 696 2 034 .1 469 4 862 3 650 6 857 8 977 2 632 6 004 2 060 9 156 .9 209 701 4 591 6 011 280 3 308 .5 622 4 072 8 350 7 726 5 538 6 683 41 428 7 685 8 576 1 268 2 041 7 107 6 108 7 608 625 7 402 8 333 56 753 2 572 4 252 6 615 8 248 6 780 .8 880 8 405 43 723 6 110 8 671 6 292 .697 .4 861 .4 004 5 142 6 062 411 .1 863 6 270 8 581 .7 525 8 201 .5 718 4 480 26 944 4 394 2 538 6 549 589 .3 526 .6 683 8 890 22 550 2 135 8 686 2 005 .9 560 7 425 8 970 2 659 .9 257 7 310 4 225 6 006 6 286 18 357 3 735 8 397 1 891 658 .2 996 8 642 5 767 8 489 8 677 46 234 994 4 234 8 375 6 968 .2 721 .7 967 1 320 5 026 4 604 .1 919 448 8 235 5 395 1 025 41 651 7 519 6 635 9 144 .4 871 .6 883 .6 578 1 675 2 109 .1 247 . 733 581 599 456 36 759 .117 135 .460 588 .483 700 .402 043 613 439 4 069 759 230 095 615 464 557 658 .871 599 .193 861 935 040 814 835 4 478 244 221 092 308 907 449 214 .966 219 . 44 519 665 498 903 110 66 278 493 314 457 621 480 708 747 315 .59 193 512 642 .28 040 981 093 71 326 850 744 579 289 920 937 785 137 743 552 5 893 169 552 009 77 752 .303 628 599 276 687 785 986 845 1 997 520 73 573 011 416 120 .254 338 611 858 783 793 2 738 060 584 878 145 077 220 737 757 131 .208 168 .116 633 50 466 840 228 261 044 641 054 410 732 3 459 617 715 206 21 714 437 780 756 934 173 437 498 352 597 752 846 218 676 570 736 933 5 460 896 574 179 10 189 .186 015 857 136 752 945 396 139 4 788 024 437 585 959 082 322 949 .61 315 144 474 238 322 2 151 793 731 914 762 247 .606 365 678 486 743 620 .644 350 364 870 218 124 862 322 1 951 800 669 891 485 553 805 718 .836 497 847 000 437 395 1 224 536 417 808 765 496 899 395 215 064 273 236 396 820 .675 197 912 565 737 252 .731 543 512 542 468 114 .753 862 .328 035 33 515 845 807 .Somas e subtrações.106 959 505 583 365 703 479 580 76 662 530 975 410 955 787 338 3 634 205 .82 276 160 765 425 311 200 400 204 308 802 136 384 964 948 746 .748 086 . nível avançado.348 400 499 645 .440 962 .964 531 615 357 1 040 910 359 799 307 766 136 474 .648 980 305 103 481 590 76 521 140 693 .588 436 .225 837 185 234 585 567 .668 984 265 004 598 644 698 363 .913 092 356 103 . 145 785 845 640 216 071 3 221 133 283 909 460 748 744 674 352 079 .127 936 215 128 .307 675 .608 789 193 996 505 231 2 281 733 714 602 31 434 856 802 .565 438 447 867 .337 203 .17 669 .822 269 640 866 493 617 806 704 148 782 792 754 3 901 864 713 755 626 383 871 327 769 729 854 892 97 245 39 574 .614 712 .183 565 415 263 913 250 .127 322 839 926 263 312 3 885 167 681 210 762 622 391 848 .678 943 981 888 876 863 126 605 .75 005 723 048 77 109 902 752 355 368 354 439 3 931 143 74 864 179 854 603 857 520 641 499 .928 258 538 377 839 316 219 739 .447 671 814 953 529 087 4 597 931 825 419 356 774 296 658 348 770 526 882 560 461 129 645 135 033 578 638 236 975 3 995 255 975 433 517 837 77 497 539 869 932 105 19 418 701 487 914 323 296 010 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218 356 3 747 204 949 855 777 373 .858 598 147 426 350 045 29 672 .444 675 190 041 272 045 800 436 747 012 538 959 .990 912 .844 768 186 066 842 243 1 240 452 801 183 919 539 41 732 25 150 858 316 219 446 .884 268 147 745 688 872 .378 046 410 873 564 845 1 643 887 268 715 729 374 567 212 883 924 352 889 .706 377 903 090 726 124 323 830 4 933 364 80 880 372 497 099 350 273 362 162 175 261 479 485 618 285 .715 039 539 905 .773 516 .499 923 813 185 980 963 377 153 465 803 3 864 615 578 650 351 173 730 996 .560 598 757 108 693 051 240 632 148 131 3 294 140 .589 043 233 941 728 878 419 612 .276 542 904 674 2 264 200 255 001 688 551 .795 653 772 642 790 458 .71 682 894 001 699 053 .140 539 .593 739 .81 373 877 883 428 819 999 612 2 671 795 490 954 391 998 .567 140 764 852 805 458 338 386 3 078 496 782 682 398 761 .614 713 581 731 474 445 .407 380 .731 139 622 045 991 879 . 827 530 109 925 663 470 926 375 .960 199 .132 766 358 361 42 875 358 838 768 898 1 109 356 169 377 288 533 340 597 910 537 285 534 .693 541 163 166 255 298 632 584 2 397 358 904 275 617 143 214 406 187 263 .423 391 163 073 .701 402 .965 336 159 359 642 260 390 237 257 661 82 312 575 982 23 567 77 068 435 907 320 643 456 740 178 974 2 799 091 789 277 814 601 39 571 583 836 .133 020 617 571 462 282 .699 620 348 844 .990 221 347 683 119 491 521 555 740 125 224 300 129 409 574 066 547 133 389 677 513 094 28 456 316 586 623 007 4 085 853 303 142 260 233 .235 681 402 628 185 146 277 583 109 660 869 923 1 781 231 648 922 471 716 545 644 234 942 .231 978 .635 011 558 554 843 252 265 770 2 583 013 419 441 964 954 .491 556 658 144 150 486 878 489 .568 235 54 182 .523 222 861 072 43 727 2 829 268 406 772 288 265 672 674 99 748 289 681 .298 216 234 837 .557 961 .916 519 .27 024 .40 228 987 244 271 736 .710 086 858 229 .640 458 41 085 477 309 38 719 292 870 805 281 573 779 .591 223 .607 972 261 565 .811 926 519 283 420 050 1 992 130 519 160 209 151 847 140 .955 364 .340 331 529 379 345 022 .982 852 118 713 814 132 388 992 1 179 606 81 386 384 45 906 .751 421 407 633 826 068 1 103 596 837 291 125 973 700 907 175 052 88 879 .527 040 122 634 578 666 .750 508 502 818 86 621 324 191 72 114 2 229 814 .710 313 548 062 165 750 2 764 854 19 497 440 761 469 216 . 618 851 .205 276 792 478 .534 707 .280 034 125 192 955 380 60 988 43 708 .852 813 .754 850 .905 528 390 105 .507 175 940 501 981 799 168 291 111 753 641 734 159 662 .567 267 .169 984 672 230 .279 938 960 241 514 362 27 519 .124 321 113 143 2 505 654 673 084 157 543 .221 311 43 020 268 921 574 491 101 356 409 202 708 540 882 963 207 468 153 991 976 570 .24 815 192 313 .25 404 .826 903 36 778 871 321 2 610 378 604 331 121 786 .799 105 .711 707 .879 764 594 605 998 219 19 108 .975 284 570 228 803 492 828 894 821 790 2 710 216 431 360 209 278 116 908 679 916 210 954 597 359 641 396 803 792 801 535 415 843 4 908 341 55 183 456 946 .21 875 668 117 814 910 107 588 2 723 647 132 458 40 404 841 483 .941 453 .438 535 360 131 .333 676 377 115 93 823 2 809 199 82 355 537 32 601 .370 297 .259 915 .79 636 .872 259 987 539 448 217 432 667 176 340 354 824 2 908 945 .369 559 .910 765 .892 649 635 054 .372 612 883 178 330 356 1 366 814 767 848 237 470 781 196 .32 260 901 748 .377 849 936 566 953 216 1 656 429 278 261 439 920 128 188 712 473 .222 685 955 564 416 448 2 342 563 504 824 985 166 .248 796 994 323 .276 705 996 470 218 842 984 021 583 639 482 506 38 870 628 666 956 083 472 751 5 638 553 231 364 211 216 339 280 752 994 627 998 769 132 405 756 216 701 813 977 596 213 4 964 631 321 446 839 814 158 792 .307 464 266 106 854 426 915 034 952 465 671 483 .900 127 . 89 46 29 29 45 9 74 94 86 86 x x x x x x x x x x 14 72 53 61 52 61 24 12 13 19 = = = = = = = = = = 1 246 3 312 1 537 1 769 2 340 549 1 776 1 128 1 118 1 634 40 88 96 57 14 35 65 98 81 17 x x x x x x x x x x 41 66 42 53 74 74 79 12 54 38 = = = = = = = = = = 1 640 5 808 4 032 3 021 1 036 2 590 5 135 1 176 4 374 646 18 86 31 82 95 53 69 20 20 50 x x x x x x x x x x 87 20 27 25 29 15 27 90 96 93 = = = = = = = = = = 1 566 1 720 837 2 050 2 755 795 1 863 1 800 1 920 4 650 88 86 28 61 52 92 61 85 32 17 x x x x x x x x x x 93 83 94 11 93 93 36 45 78 13 = = = = = = = = = = 8 184 7 138 2 632 671 4 836 8 556 2 196 3 825 2 496 221 49 45 36 20 74 39 13 48 36 39 x x x x x x x x x x 96 56 59 75 73 81 18 74 64 49 = = = = = = = = = = 4 704 2 520 2 124 1 500 5 402 3 159 234 3 552 2 304 1 911 68 48 42 92 15 75 75 73 94 80 x x x x x x x x x x 76 66 43 38 55 77 78 96 85 79 = = = = = = = = = = 5 168 3 168 1 806 3 496 825 5 775 5 850 7 008 7 990 6 320 83 .Multiplicações. nível principiante. 71 74 33 89 64 21 74 77 82 39 x x x x x x x x x x 21 26 17 29 66 74 13 79 73 14 = = = = = = = = = = 1 491 1 924 561 2 581 4 224 1 554 962 6 083 5 986 546 61 73 45 11 13 92 34 40 86 98 x x x x x x x x x x 37 94 63 41 83 75 59 86 34 77 = = = = = = = = = = 2 257 6 862 2 835 451 1 079 6 900 2 006 3 440 2 924 7 546 23 75 30 72 36 60 47 52 63 9 x x x x x x x x x x 98 23 50 78 95 51 71 24 22 42 = = = = = = = = = = 2 254 1 725 1 500 5 616 3 420 3 060 3 337 1 248 1 386 378 38 90 79 70 17 54 66 15 90 26 x x x x x x x x x x 86 58 88 81 83 15 46 46 72 64 = = = = = = = = = = 3 268 5 220 6 952 5 670 1 411 810 3 036 690 6 480 1 664 49 96 43 64 94 10 59 80 47 80 x x x x x x x x x x 55 36 39 85 60 58 27 52 71 21 = = = = = = = = = = 2 695 3 456 1 677 5 440 5 640 580 1 593 4 160 3 337 1 680 63 71 74 71 97 59 97 76 66 72 x x x x x x x x x x 56 78 23 46 80 58 83 57 32 57 = = = = = = = = = = 3 528 5 538 1 702 3 266 7 760 3 422 8 051 4 332 2 112 4 104 84 . Multiplicações. nível médio. 467 730 245 234 645 829 811 483 282 290 x x x x x x x x x x 24 43 58 95 64 89 79 41 97 87 = = = = = = = = = = 11 208 31 390 14 210 22 230 41 280 73 781 64 069 19 803 27 354 25 230 599 71 333 847 940 512 523 682 657 804 x x x x x x x x x x 94 24 69 93 55 21 23 55 74 55 = = = = = = = = = = 56 306 1 704 22 977 78 771 51 700 10 752 12 029 37 510 48 618 44 220 836 202 926 155 330 180 21 304 514 397 x x x x x x x x x x 48 45 53 51 96 63 83 46 48 74 = = = = = = = = = = 40 128 9 090 49 078 7 905 31 680 11 340 1 743 13 984 24 672 29 378 72 266 462 292 809 186 787 528 127 914 x x x x x x x x x x 87 75 77 21 51 39 67 44 21 88 = = = = = = = = = = 6 264 19 950 35 574 6 132 41 259 7 254 52 729 23 232 2 667 80 432 621 867 482 162 663 988 205 613 445 260 x x x x x x x x x x 49 37 10 38 41 37 67 68 10 42 = = = = = = = = = = 30 429 32 079 4 820 6 156 27 183 36 556 13 735 41 684 4 450 10 920 531 321 671 505 853 894 91 55 618 647 x x x x x x x x x x 25 24 89 40 42 25 61 38 49 43 = = = = = = = = = = 13 275 7 704 59 719 20 200 35 826 22 350 5 551 2 090 30 282 27 821 85 . 536 976 475 558 440 119 51 128 658 437 x x x x x x x x x x 33 45 54 66 77 70 91 51 95 16 = = = = = = = = = = 17 688 43 920 25 650 36 828 33 880 8 330 4 641 6 528 62 510 6 992 341 55 65 972 71 979 880 375 678 278 x x x x x x x x x x 41 70 75 97 36 43 11 22 96 73 = = = = = = = = = = 13 981 3 850 4 875 94 284 2 556 42 097 9 680 8 250 65 088 20 294 327 444 936 570 829 381 649 192 547 590 x x x x x x x x x x 44 43 64 44 37 31 51 17 36 11 = = = = = = = = = = 14 388 19 092 59 904 25 080 30 673 11 811 33 099 3 264 19 692 6 490 21 799 899 680 560 690 256 199 491 170 x x x x x x x x x x 74 72 58 51 70 45 90 77 12 46 = = = = = = = = = = 1 554 57 528 52 142 34 680 39 200 31 050 23 040 15 323 5 892 7 820 507 47 231 670 470 439 593 966 279 144 x x x x x x x x x x 60 55 76 55 18 19 91 30 39 94 = = = = = = = = = = 30 420 2 585 17 556 36 850 8 460 8 341 53 963 28 980 10 881 13 536 453 810 612 292 280 383 548 255 253 733 x x x x x x x x x x 11 79 62 21 95 64 19 47 68 96 = = = = = = = = = = 4 983 63 990 37 944 6 132 26 600 24 512 10 412 11 985 17 204 70 368 86 . 462 842 597 551 187 262 186 147 713 203 x x x x x x x x x x 480 475 435 868 250 144 460 283 489 450 = = = = = = = = = = 221 760 399 950 259 695 478 268 46 750 37 728 85 560 41 601 348 657 91 350 311 225 408 804 124 927 815 756 851 772 x x x x x x x x x x 565 316 148 692 748 798 422 270 834 677 = = = = = = = = = = 175 715 71 100 60 384 556 368 92 752 739 746 343 930 204 120 709 734 522 644 293 65 280 104 904 442 841 389 90 109 x x x x x x x x x x 186 949 380 363 180 691 771 603 631 142 = = = = = = = = = = 54 498 61 685 106 400 37 752 162 720 305 422 648 411 234 567 56 790 15 478 292 775 246 220 118 689 852 719 883 407 x x x x x x x x x x 899 720 479 216 622 756 411 566 395 619 = = = = = = = = = = 262 508 558 000 117 834 47 520 73 396 520 884 350 172 406 954 348 785 251 933 130 642 153 204 410 83 968 20 726 492 x x x x x x x x x x 268 780 801 507 580 852 533 419 119 405 = = = = = = = = = = 34 840 500 760 122 553 103 428 237 800 70 716 515 944 8 380 86 394 199 260 963 314 379 891 453 312 317 788 673 670 x x x x x x x x x x 290 980 174 891 395 539 453 443 811 374 = = = = = = = = = = 279 270 307 720 65 946 793 881 178 935 168 168 143 601 349 084 545 803 250 580 87 . 756 812 943 87 470 772 600 396 577 990 x x x x x x x x x x 161 261 760 345 169 662 673 827 323 334 = = = = = = = = = = 121 716 211 932 716 680 30 015 79 430 511 064 403 800 327 492 186 371 330 660 370 255 219 484 883 608 320 881 53 537 x x x x x x x x x x 162 248 398 971 612 514 547 134 621 828 = = = = = = = = = = 59 940 63 240 87 162 469 964 540 396 312 512 175 040 118 054 32 913 444 636 832 132 219 451 671 960 706 188 472 888 x x x x x x x x x x 726 893 709 906 817 866 965 589 422 338 = = = = = = = = = = 604 032 117 876 155 271 408 606 548 207 831 360 681 290 110 732 199 184 300 144 355 471 286 721 122 232 992 929 499 722 x x x x x x x x x x 136 170 447 311 99 633 560 902 429 292 = = = = = = = = = = 48 280 80 070 127 842 224 231 12 078 146 856 555 520 837 958 214 071 210 824 748 325 163 127 24 221 363 392 907 273 x x x x x x x x x x 170 814 290 494 684 714 405 584 934 950 = = = = = = = = = = 127 160 264 550 47 270 62 738 16 416 157 794 147 015 228 928 847 138 259 350 818 546 363 50 598 525 750 974 753 537 x x x x x x x x x x 462 896 911 430 278 166 295 968 476 841 = = = = = = = = = = 377 916 489 216 330 693 21 500 166 244 87 150 221 250 942 832 358 428 451 617 88 . Multiplicações. nível avançado. 19 570 7 278 8 130 20 728 74 004 97 143 47 476 61 383 84 955 66 946 x x x x x x x x x x 47 913 16 747 64 564 39 726 52 590 89 933 88 031 44 549 85 779 36 609 = = = = = = = = = = 937 657 410 121 884 666 524 905 320 823 440 528 3 891 870 360 8 736 361 419 4 179 359 756 2 734 551 267 7 287 354 945 2 450 826 114 38 982 73 506 1 625 56 020 19 349 92 626 9 879 68 067 41 241 62 826 x x x x x x x x x x 3 208 9 041 39 239 44 352 63 602 83 577 16 217 54 494 38 301 67 461 = = = = = = = = = = 125 054 256 664 567 746 63 763 375 2 484 599 040 1 230 635 098 7 741 403 202 160 207 743 3 709 243 098 1 579 571 541 4 238 304 786 66 623 78 600 25 205 48 768 95 358 82 338 74 655 28 376 32 882 94 688 x x x x x x x x x x 16 718 42 539 55 025 9 144 83 278 26 893 4 896 11 034 10 051 43 932 = = = = = = = = = = 1 113 803 314 3 343 565 400 1 386 905 125 445 934 592 7 941 223 524 2 214 315 834 365 510 880 313 100 784 330 496 982 4 159 833 216 89 . 41 770 75 023 20 706 65 280 91 322 45 111 71 786 60 026 11 145 70 591 x x x x x x x x x x 70 888 60 458 20 751 7 369 49 288 30 914 46 111 89 560 81 454 95 834 = = = = = = = = = = 2 960 991 760 4 535 740 534 429 670 206 481 048 320 4 501 078 736 1 394 561 454 3 310 124 246 5 375 928 560 907 804 830 6 765 017 894 26 941 12 451 37 583 34 980 77 356 53 252 86 668 17 397 78 448 16 552 x x x x x x x x x x 40 978 37 270 49 031 29 256 99 445 90 105 78 702 96 769 35 009 15 550 = = = = = = = = = = 1 103 988 298 464 048 770 1 842 732 073 1 023 374 880 7 692 667 420 4 798 271 460 6 820 944 936 1 683 490 293 2 746 386 032 257 383 600 81 901 59 178 55 578 36 730 49 805 3 053 79 802 19 224 34 297 2 138 x x x x x x x x x x 67 757 75 084 62 453 81 585 87 944 1 344 67 407 26 820 46 431 24 507 = = = = = = = = = = 5 549 366 057 4 443 320 952 3 471 012 834 2 996 617 050 4 380 050 920 4 103 232 5 379 213 414 515 587 680 1 592 444 007 52 395 966 90 . 667 226 463 745 453 73 281 422 137 687 702 / / / / / / / / / / 7 4 2 9 4 5 3 9 7 2 = = = = = = = = = = 32.250 = 48.500 103.833 73.500 233.500 = 136.833 83.714 156.429 570 838 469 670 474 997 623 443 668 242 / / / / / / / / / / 5 7 3 8 3 2 6 6 8 3 = = = = = = = = = = 114.667 = 71.000 = 31.500 50.600 128. nível principiante.667 15.429 = 82.000 144.714 2.600 154.000 = 40.000 926 948 753 444 240 322 146 426 301 257 / / / / / / / / / / 3 8 9 6 4 8 3 6 2 5 = 308.222 61.333 = 20.222 98.125 = 3.571 141.143 13.200 140.000 63 464 665 687 596 430 778 79 94 932 / / / / / / / / / / 5 3 2 7 9 7 7 6 4 4 = = = = = = = = = = 12.750 57.667 = 118.500 = 83.667 = 74.600 83.000 = 150.250 56.400 112 96 927 86 82 955 413 320 249 32 / / / / / / / / / / 9 5 8 6 4 7 5 8 8 9 = 12.500 = 51.286 115. 761 193 992 11 403 859 352 723 418 899 / / / / / / / / / / 8 7 7 4 7 7 8 5 5 7 = = = = = = = = = = 95.125 27.333 83.143 351.000 498.600 = 40.667 332.500 80.167 23.571 122.Divisões.429 111.444 = 19.000 = 60.500 98.556 91 .750 158.143 66.000 119.333 18.200 = 115.714 44.750 372.875 = 14. 370 = 3.667 = 6.128 1.213 16.014 = 5.190 378 442 490 339 470 298 320 498 496 357 / / / / / / / / / / 72 80 59 32 77 71 48 73 27 98 = 5.173 = 30.925 5.111 381 550 13 383 396 295 352 686 398 531 / / / / / / / / / / 13 21 31 70 80 47 53 33 14 54 = = = = = = = = = = 646 416 825 59 979 916 806 677 998 478 / / / / / / / / / / 69 61 63 65 20 75 50 33 18 86 = = = = = = = = = = 9.833 0.277 6.888 = 20.245 = 48.190 0.820 13.642 20.643 75 588 596 358 887 94 103 482 48 321 / / / / / / / / / / 76 28 75 19 20 70 88 94 26 20 = = = = = = = = = = 92 29.594 = 6.362 6.250 = 5.050 .170 5.044 84.104 = 4.444 5.158 2.120 20.218 = 0.849 7.950 12.558 163 698 541 71 544 569 451 612 925 25 / / / / / / / / / / 75 23 87 80 27 71 90 98 19 21 = 2.348 = 6.343 1.Divisões.308 26.429 9.822 = 18.554 3.000 7.346 9.097 18.525 = 8.889 6.987 21.846 16.842 44.947 18.197 = 6.950 6.011 = 6.305 = 10.908 48. 782 155 454 764 363 611 927 96 477 492 / / / / / / / / / / 19 53 90 9 53 86 56 31 26 54 = = = = = = = = = = 41.095 0.105 16.148 = 8.350 1.471 4.684 = 1.515 55.419 5. nível médio.788 28. 233 265.366 102.453 = 876.247 = 49.020 35.180 17. 92 986 21 788 99 134 59 026 29 925 78 226 8 882 22 282 18 249 91 356 / / / / / / / / / / 213 580 505 731 786 404 355 621 516 893 = = = = = = = = = = / / / / / / / / / / 639 596 616 917 996 194 857 627 369 326 = 84.414 41 352 72 204 59 545 61 927 24 504 32 223 21 108 53 010 38 257 73 928 / / / / / / / / / / 302 918 213 487 979 733 244 882 438 939 = 136.Divisões.960 75 719 / = 86.230 = 191.305 80.747 38.034 360.878 42.232 = 62.345 3 420 / = 78. nível avançado.653 46.508 74 110 / = 60.927 96 791 / = 78.362 = 52.102 28 280 / = 87.554 37.309 = 86.648 321.627 = 16.587 = 41.731 23 113 / 128 626 296 788 532 638 144 602 475 105 = = = = = = = = = = 63 991 86 037 60 895 60 339 83 550 58 759 40 158 99 697 93 591 54 831 / / / / / / / / / / 765 268 169 905 515 221 953 333 618 551 = = = = = = = = = = 900 547 305 973 971 738 99 136 409 876 = 68.302 78.629 25.139 299.696 = 102.442 99.979 118.030 34 569 / = 43.836 = 49.512 93 53 834 29 388 53 199 48 222 41 278 21 773 53 907 47 796 70 736 33 387 61 952 27 090 18 216 28 939 37 507 12 142 86 791 95 924 20 092 12 920 / / / / / / / / / / 756.977 7.073 193.682 514.554 23 226 / = 127.160 4 300 / = 25.881 35.325 66.125 = 14.302 83.525 = 59.200 220.444 = 112.673 162.390 151.457 64.124 .324 = 49.677 = 705.725 = 29.742 = 38.566 196.749 436.902 = 76.654 10 831 / = 279.466 5. 8557 4.959 32.169 45.6904 4.287 27.177 √¯¯ √¯¯ √¯¯ √¯¯ √¯¯ √¯¯ √¯¯ √¯¯ √¯¯ √¯¯ √¯¯ √¯¯ √¯¯ √¯¯ 94 92 28 50 42 28 377 171 403 902 152 2 482 7 389 1 031 2 611 = = = = = = = = = = = = = = 9.Potências e raízes quadradas.033 12.098 .820 85.2426 12.2915 7.077 20.109 51.8310 6. 7 44 81 30 61 78 60 37 29 85 295 219 303 490 √¯¯ √¯¯ √¯¯ √¯¯ √¯¯ √¯¯ √¯¯ √¯¯ √¯¯ √¯¯ √¯¯ √¯¯ √¯¯ √¯¯ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 54 34 47 22 18 158 427 691 762 817 7 585 8 495 4 247 2 041 = = = = = = = = = = = = = = 9 7 7 2 4 4 5 5 3 6 3 3 2 3 = 40 353 607 = 319 277 809 664 = 22 876 792 454 961 = 900 = 13 845 841 = 37 015 056 = 777 600 000 = 69 343 957 = 24 389 = 377 149 515 625 = 25 672 375 = 10 503 459 = 91 809 = 117 649 000 7.329 49.092 92.2915 19.168 65.583 87.5917 5.0711 6.3485 5.4807 5.075 30.664 26.604 28.416 13.570 20. ) (1) 45 x 8 = 360 (2) 73 x 4 = 292 (3) 52 x 2 = 104 (4) 38 x 7 = 266 (5) 94 x 3 = 282 (6) 15 x 6 = 90 (7) 86 x 9 = 774 (8) 67 x 5 = 335 (9) 21 x 8 = 168 (10) 79 x 6 = 474 (11) 134 x 3 = 402 (12) 509 x 2 = 1 018 (13) 876 x 8 = 7 008 (14) 623 x 4 = 2 492 (15) 258 x 9 = 2 322 (16) 480 x 6 = 2 880 (17) 942 x 5 = 4 710 (18) 715 x 7 = 5 005 (19) 301 x 4 = 1 204 (20) 697 x 3 = 2 091 95 . 10 min.) (1) 72 / 2 = 36 (2) 135 / 5 = 27 (3) 246 / 3 = 82 (4) 126 / 9 = 14 (5) 413 / 7 = 59 (6) 300 / 4 = 75 (7) 744 / 8 = 93 (8) 288 / 6 = 48 (9) 183 / 3 = 61 (10) 435 / 5 = 87 (11) 8 829 / 9 = 981 (12) 420 / 4 = 105 (13) 2 634 / 6 = 439 (14) 752 / 2 = 376 (15) 4 336 / 8 = 542 (16) 4 050 / 5 = 810 (17) 1 906 / 2 = 953 (18) 2 124 / 3 = 708 (19) 1 068 / 4 = 267 (20) 4 368 / 7 = 624 Grupo B (70 % ac. com 70% de acertos) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 62 35 71 20 86 14 90 57 82 49 15 70 45 38 92 20 26 69 54 80 40 29 36 92 50 97 -83 32 -73 21 71 86 50 13 29 65 59 70 -38 68 84 43 -92 56 -74 28 42 31 10 32 26 58 -27 90 51 73 -15 46 29 14 97 10 83 84 63 41 -60 18 76 95 80 64 19 47 -30 56 47 94 -61 70 39 17 -60 75 -48 30 31 25 40 53 53 92 84 61 17 89 78 80 95 76 567 504 209 576 236 513 215 522 214 558 Grupo C (70% ac.• Exercícios oficiais para a obtenção da Licença de Calculista no Japão 1. ou grupo completo em 10 min. 10 min. Oitavo Grau Grupo A (1 coluna / minuto. 2. Sétimo Grau Bloco 1, Grupo A (1 coluna / minuto, ou grupo completo em 10 min. com 70% de acertos) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 45 63 87 31 56 94 26 79 70 12 78 95 60 19 27 70 98 16 45 60 30 59 31 40 68 19 -20 84 61 85 59 -80 48 95 90 51 -57 40 13 -32 61 -43 24 -87 31 35 41 62 90 -78 96 78 12 -28 47 60 93 97 24 45 20 51 39 30 82 89 -65 23 57 90 83 -27 50 72 43 46 10 95 38 76 52 82 67 16 10 18 74 60 47 -53 17 90 29 -57 24 42 58 35 96 10 93 -64 15 20 93 37 -89 21 80 34 40 -37 98 65 51 68 -13 74 12 -89 62 10 54 -43 80 27 30 83 35 -71 81 46 70 -64 69 50 76 18 26 94 74 12 36 98 75 23 42 50 89 67 891 335 720 207 846 729 304 837 783 250 Grupo B (70 % ac. 10 min.) (1) 7 832 x 6 = 46 992 (2) 4 096 x 7 = 28 672 (3) 6 348 x 8 = 50 784 (4) 1 573 x 4 = 6 292 (5) 8 105 x 9 = 72 945 (6) 2 619 x 3 = 7 857 (7) 5 980 x 6 = 35 880 (8) 3 467 x 5 = 17 335 (9) 9 024 x 9 = 81 216 (10) 2 751 x 2 = 5 502 (11) 3 647 x 6 = 21 882 (12) 9 502 x 4 = 38 008 (13) 6 138 x 3 = 18 414 (14) 8 420 x 9 = 75 780 (15) 4 975 x 2 = 9 950 (16) 1 769 x 8 = 14 152 (17) 7 081 x 4 = 28 324 (18) 2 153 x 2 = 4 306 (19) 5 304 x 5 = 26 520 (20) 8 296 x 7 = 58 072 96 Grupo C (70% ac. 10 min.) (1) 402 / 2 = 201 (2) 6 776 / 7 = 968 (3) 3 282 / 6 = 547 (4) 2 430 / 3 = 810 (5) 5 536 / 8 = 692 (6) 1 380 / 4 = 345 (7) 3 180 / 6 = 530 (8) 7 101 / 9 = 789 (9) 3 408 / 8 = 426 (10) 865 / 5 = 173 (11) 3 896 / 4 = 974 (12) 966 / 7 = 138 (13) 1 184 / 2 = 592 (14) 4 830 / 6 = 805 (15) 807 / 3 = 269 (16) 2 250 / 5 = 450 (17) 2 468 / 4 = 617 (18) 682 / 2 = 341 (19) 5 648 / 8 = 706 (20) 7 407 / 9 = 823 Bloco 2, Grupo A (70% ac. 10 min.) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 61 47 21 86 34 53 95 78 16 41 72 16 90 47 68 61 59 40 83 68 30 28 64 91 -50 42 10 61 -24 90 84 60 -39 20 -37 90 -46 35 -70 42 12 59 -70 35 64 57 -89 84 25 37 89 32 94 58 15 32 71 27 93 56 93 75 18 24 40 18 20 95 41 27 10 39 56 10 -83 25 64 50 -67 10 56 40 -82 73 29 70 -23 32 80 96 34 18 25 69 71 64 87 19 35 53 59 83 43 26 97 86 30 94 78 39 67 71 80 49 -21 39 15 87 -46 28 75 50 -67 18 -60 80 -78 23 -59 70 20 94 -71 30 58 74 -62 16 90 14 48 26 53 75 92 91 34 60 12 85 810 738 215 711 317 882 187 801 287 756 Grupo B (70 % ac. 10 min.) (1) 2 604 x 3 = 7 812 (2) 5 219 x 7 = 36 533 (3) 8 045 x 5 = 4 0 225 (4) 1 573 x 6 = 9438 (5) 3 987 x 2 = 7 974 (6) 6 820 x 4 = 27 280 (7) 9 751 x 9 = 87 759 (8) 7 406 x 8 = 59 248 (9) 4 132 x 3 = 12 396 (10) 9 368 x 7 = 65 576 (11) 6 972 x 6 = 41 832 (12) 3 285 x 3 = 9 855 (13) 5 049 x 2 = 10 098 (14) 1 856 x 4 = 7 424 (15) 8 391 x 8 = 67 128 (16) 4 703 x 9 = 42 327 (17) 2 168 x 4 = 8 672 (18) 9 027 x 3 = 27 081 (19) 7 430 x 7 = 52 010 (20) 6 514 x 5 = 32 570 97 Grupo C (70% ac. 10 min.) (1) 4 077 / 9 = 453 (2) 2 667 / 7 = 381 (3) 1 612 / 2 = 806 (4) 2 810 / 5 = 562 (5) 882 / 3 = 294 (6) 5 096 / 7 = 728 (7) 680 / 4 = 170 (8) 957 / 3 = 319 (9) 7 240 / 8 = 905 (10) 3 882 / 6 = 647 (11) 5 481 / 7 = 783 (12) 2 100 / 6 = 350 (13) 6 246 / 9 = 694 (14) 1 195 / 5 = 239 (15) 3 488 / 4 = 872 (16) 435 / 3 = 145 (17) 1 054 / 2 = 527 (18) 900 / 5 = 180 (19) 7 744 / 8 = 968 (20) 832 / 2 = 416 3. Sexto Grau Bloco 1, Grupo A (1 coluna / minuto, ou grupo completo em 10 min. com 70% de acertos) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 35 64 9 017 781 29 83 459 6 082 54 207 409 5 013 928 350 67 962 104 94 592 18 852 937 241 19 8 024 38 -76 350 9 364 173 14 790 -58 28 71 5 093 -395 71 -108 14 3 267 28 -703 974 -438 126 7 201 259 -46 3 059 198 576 342 6 831 -92 40 68 37 15 86 41 102 96 402 684 57 890 25 687 542 620 58 430 56 305 814 24 68 30 69 93 4 681 73 98 586 71 16 1 704 879 250 8 065 25 16 34 90 2 708 -73 219 13 67 47 872 65 2 097 -1 632 345 -248 73 205 938 971 34 -809 516 -741 96 -3 091 854 -36 8 401 53 609 -7 521 45 -53 607 67 380 -4 071 97 702 91 -86 27 910 54 582 69 -728 45 86 43 54 603 57 219 35 146 92 623 15453 13 923 2 085 12861 7 867 11 313 5 563 10 431 6 942 14 589 Grupo B (70 % ac. 10 min.) (1) 46 x 754 = 34 684 (2) 703 x 13 = 9 139 (3) 28 x 972 = 27 216 (4) 159 x 69 = 10 971 (5) 82 x 407 = 33 374 (6) 514 x 18 = 9 252 (7) 37 x 230 = 8 510 (8) 950 x 51 = 48 450 (9) 64 x 805 = 51 520 (10) 821 x 36 = 29 556 (11) 798 x 84 = 67 032 (12) 45 x 289 = 13 005 (13) 172 x 52 = 8 944 (14) 630 x 65 = 40 950 (15) 84 x 906 = 76 104 (16) 209 x 47 = 9 823 (17) 51 x 743 = 37 893 (18) 306 x 19 = 5 814 (19) 97 x 308 = 29 876 (20) 63 x 261 = 16 443 98 Grupo C (70% ac. 10 min.) (1) 1 288 / 56 = 23 (2) 1 568 / 98 = 16 (3) 1 554 / 21 = 74 (4) 1 505 / 35 = 43 (5) 4 030 / 62 = 65 (6) 4 324 / 47 = 92 (7) 2 573 / 83 = 31 (8) 1 102 / 19 = 58 (9) 1 406 / 74 = 19 (10) 8 004 / 92 = 87 (11) 516 / 43 = 12 (12) 918 / 27 = 34 (13) 5 472 / 72 = 76 (14) 1 302 / 14 = 93 (15) 3 936 / 89 = 41 (16) 4 930 / 58 = 85 (17) 5 963 / 89 = 67 (18) 899 / 31 = 29 (19) 3 640 / 65 = 56 (20) 2 592 / 54 = 48 ) (1) (2) 586 41 93 705 610 539 139 285 304 129 78 -450 42 -683 175 -42 762 801 407 93 863 217 51 -964 920 -78 98 360 245 76 5 373 1 029 (3) (4) 873 268 345 981 62 705 204 -53 583 -178 691 94 78 360 306 412 452 -29 18 -506 790 -635 29 840 145 27 67 491 910 73 5 553 2 850 (5) 184 510 61 647 79 803 52 923 490 735 96 318 574 26 208 5 706 (6) 725 86 97 830 15 957 401 648 312 60 502 243 89 173 694 5 832 Grupo B (70 % ac.) (1) 403 x 73 = 29 419 (2) 26 x 208 = 5 408 (3) 589 x 74 = 43 586 (4) 81 x 861 = 69 741 (5) 170 x 49 = 8 330 (6) 68 x 617 = 41 956 (7) 945 x 14 = 13 230 (8) 307 x 32 = 9 824 (9) 69 x 506 = 34 914 (10) 72 x 985 = 70 920 (11) 34 x 194 = 6 596 (12) 512 x 83 = 42 496 (13) 49 x 508 = 24 892 (14) 301 x 27 = 8 127 (15) 758 x 91 = 68 978 (16) 93 x 609 = 56 637 (17) 206 x 35 = 7 210 (18) 87 x 402 = 34 974 (19) 65 x 253 = 16 445 (20) 124 x 76 = 9 424 99 (7) (8) 92 308 743 96 10 473 451 89 -809 21 -65 140 586 897 31 205 708 34 -342 516 -74 925 -623 650 290 874 968 731 157 62 2 123 6 021 (9) 657 14 280 906 45 -12 -138 -879 923 498 60 327 -705 -46 531 2 461 Grupo C (70% ac. 10 min.Bloco 2. 10 min. 10 min.) (1) 888 / 74 = 12 (2) 782 / 23 = 34 (3) 3 953 / 59 = 67 (4) 476 / 17 = 28 (5) 7 990 / 85 = 94 (6) 2 576 / 46 = 56 (7) 6 643 / 91 = 73 (8) 1 558 / 38 = 41 (9) 5 518 / 62 = 89 (10) 945 / 27 = 35 (11) 4 335 / 85 = 51 (12) 3 570 / 42 = 85 (13) 882 / 14 = 63 (14) 2 652 / 68 = 39 (15) 7 068 / 93 = 76 (16) 5 586 / 57 = 98 (17) 783 / 29 = 27 (18) 994 / 71 = 14 (19) 1 512 / 36 = 42 (20) 684 / 19 = 36 (10) 468 274 59 412 160 358 907 13 76 802 35 791 623 580 49 5 607 . Grupo A (70% ac. ) (1) 9 180 / 108 = 85 (2) 8 232 / 42 = 196 (3) 50 934 / 653 = 78 (4) 49 282 / 82 = 601 (5) 15 141 / 309 = 49 (6) 28 917 / 51 = 567 (7) 66 822 / 74 = 903 (8) 26 236 / 937 = 28 (9) 7 550 / 25 = 302 (10) 30 784 / 416 = 74 (11) 14 196 / 39 = 364 (12) 8 333 / 641 = 13 (13) 5 508 / 204 = 27 (14) 70 590 / 78 = 905 (15) 45 568 / 512 = 89 (16) 51 085 / 85 = 601 (17) 9 280 / 16 = 580 (18) 65 016 / 903 = 72 (19) 22 372 / 47 = 476 (20) 31 850 / 325 = 98 . 10 min.4. Grupo A (1 coluna / minuto. Quinto Grau Bloco 1. com 70% acertos) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 576 8 294 603 3 918 702 423 186 307 9 684 237 2 089 435 481 706 9 318 357 534 1 273 509 7 815 961 3 108 894 327 529 4 108 129 918 763 592 846 912 5 021 986 437 689 9 705 134 -2 157 346 417 593 372 8 031 -654 1 594 671 8 059 -406 954 6 752 237 9 140 795 -231 380 830 462 -813 5 081 408 1 689 975 641 -3 048 516 -3 284 391 6 045 478 7 813 860 256 4 823 197 7 634 -157 4 907 526 643 359 7 046 -417 590 6 851 290 5 021 746 270 9 075 9 210 572 -8 306 254 960 825 789 598 3 481 380 783 904 421 1 085 -893 2 067 -493 7 610 934 162 5 034 745 6 359 143 -2 786 942 -7 260 852 -317 6 239 192 8 061 -738 562 402 8 759 -948 625 -8 059 170 624 753 -2 069 476 1 975 301 6 402 583 298 601 305 621 -847 7 209 064 176 365 2 064 172 4 928 36369 34830 12045 30546 18823 29061 12490 29529 10930 37701 Grupo B (70 % ac. ou grupo completo em 10 min.) (1) 601 x 138 = 82 938 (2) 247 x 375 = 92 625 (3) 5 630 x 87 = 489 810 (4) 415 x 746 = 309 590 (5) 879 x 213 = 187 227 (6) 358 x 601 = 215 158 (7) 926 x 950 = 879 700 (8) 104 x 594 = 61 776 (9) 72 x 8 062 = 580 464 (10) 983 x 429 = 421 707 (11) 459 x 946 = 434 214 (12) 703 x 217 = 152 551 (13) 198 x 683 = 135 234 (14) 942 x 825 = 777 150 (15) 61 x 3 901 = 237 961 (16) 205 x 472 = 96 760 (17) 862 x 730 = 629 260 (18) 3 807 x 69 = 262 683 (19) 174 x 504 = 87 696 (20) 536 x 158 = 84 688 100 Grupo C (70% ac. 10 min. ) (1) 723 x 815 = 589 245 (2) 38 x 4 079 = 155 002 (3) 901 x 687 = 618 987 (4) 467 x 942 = 439 914 (5) 235 x 351 = 82 485 (6) 6 702 x 14 = 93 828 (7) 149 x 530 = 78 970 (8) 584 x 603 = 352 152 (9) 816 x 296 = 241 536 (10) 950 x 728 = 691 600 (11) 257 x 498 = 127 986 (12) 183 x 532 = 97 356 (13) 49 x 6 705 = 328 545 (14) 802 x 103 = 82 606 (15) 716 x 789 = 564 924 (16) 364 x 217 = 78 988 (17) 9 408 x 31 = 261 648 (18) 521 x 856 = 445 976 (19) 390 x 264 = 102 960 (20) 675 x 940 = 634 500 101 Grupo C (70% ac. Grupo A (70% ac.) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 1 063 274 319 4 657 530 6 841 805 956 728 4 059 542 8 029 753 208 3 714 265 154 7 209 156 236 951 367 8 406 431 862 1 079 7 061 567 4 809 941 674 3 510 837 -1 629 495 682 142 498 237 1 308 8 502 781 264 -370 7 023 236 869 3 015 416 179 349 -608 1 472 593 971 8 903 237 947 6 038 897 175 -2 153 950 8 042 839 579 9 740 572 345 2 610 928 -467 3 029 416 9 506 713 -392 1 086 -293 798 6 730 892 145 359 648 2 054 -128 621 -9 507 562 481 9 046 581 6 283 187 928 -5 093 835 184 8 205 7 209 431 936 107 2 368 435 817 2 690 451 386 856 584 7 620 -925 240 197 6 284 723 7 069 463 293 -5 670 814 -768 571 4 780 356 134 -273 5 017 4 018 -239 6 095 -5 890 124 305 -3 479 408 -690 423 367 915 728 174 6 059 146 -605 8 341 -5 182 574 33138 15692 32949 11688 34137 28143 16768 28602 4488 26658 Grupo B (70 % ac.Bloco 2. 10 min. 10 min. 10 min.) (1) 51 874 / 74 = 701 (2) 45 301 / 509 = 89 (3) 14 118 / 26 = 543 (4) 42 151 / 691 = 61 (5) 7 585 / 37 = 205 (6) 8 676 / 482 = 18 (7) 29 056 / 908 = 32 (8) 3 302 / 13 = 254 (9) 37 060 / 85 = 436 (10) 68 482 / 706 = 97 (11) 11 856 / 624 = 19 (12) 40 356 / 57 = 708 (13) 52 136 / 931 = 56 (14) 33 615 / 405 = 83 (15) 59 512 / 86 = 692 (16) 2 856 / 14 = 204 (17) 26 274 / 302 = 87 (18) 8 428 / 28 = 301 (19) 77 104 / 79 = 976 (20) 6 885 / 153 = 45 . ) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 741 2 908 456 1 063 601 397 8 509 516 907 371 6 102 847 321 759 2 738 206 971 4 089 132 653 819 758 9 604 3 941 573 421 128 934 8 021 492 4 057 3 416 259 528 697 1 035 613 5 129 346 6 104 938 673 512 709 528 647 2 760 761 238 589 692 -105 7 364 247 7 089 531 597 830 -176 4 068 8 720 -369 947 5 482 316 785 381 6 208 -2 759 815 143 -5 280 396 620 -8 172 4 190 435 792 -681 7 920 9 567 721 4 018 135 -450 928 -7 043 831 3 460 9 173 285 954 130 8 062 849 6 273 -816 627 594 258 306 -1 470 685 594 9 403 806 564 7 283 -815 304 928 -536 8 207 317 -961 5 469 9 308 345 -5 092 167 5 034 182 793 486 -245 714 -726 590 4 978 5 049 476 6 093 278 901 -3 016 852 -4 952 1 054 703 726 315 942 1 850 6 873 254 3 098 . 10 min. 10 min.) (1) 55 647 / 81 = 687 (2) 56 870 / 605 = 94 (3) 7 599 / 149 = 51 (4) 36 868 / 52 = 709 (5) 2 808 / 216 = 13 (6) 67 200 / 75 = 896 (7) 8 289 / 307 = 27 (8) 41 495 / 43 = 965 (9) 28 952 / 94 = 308 (10) 5 376 / 128 = 42 (11) 18 666 / 306 = 61 (12) 7 605 / 15 = 507 (13) 30 848 / 64 = 482 (14) 7 884 / 219 = 36 (15) 72 071 / 743 = 97 (16) 82 156 / 92 = 893 (17) 34 983 / 507 = 69 (18) 57 024 / 81 = 704 (19) 8 136 / 452 = 18 (20) 7 790 / 38 = 205 . Grupo A (70% ac. 10 min.) (1) 415 x 948 = 393 420 (2) 952 x 852 = 811 104 (3) 381 x 176 = 67 056 (4) 64 x 6 307 = 403 648 (5) 890 x 219 = 194 910 (6) 167 x 563 = 94 021 (7) 523 x 490 = 256 270 (8) 7 048 x 75 = 528 600 (9) 279 x 184 = 79 236 (10) 306 x 301 = 92 106 (11) 675 x 369 = 249 075 (12) 1 948 x 54 = 105 192 (13) 403 x 890 = 358 670 (14) 21 x 4 701 = 98 721 (15) 906 x 548 = 496 488 (16) 587 x 132 = 77 484 (17) 862 x 607 = 523 234 (18) 359 x 286 = 102 674 (19) 730 x 913 = 666 490 (20) 124 x 725 = 89 900 102 Grupo C (70% ac.-240 476 564 832 39123 9734 35820 30717 10204 26352 10489 30465 10420 37521 Grupo B (70 % ac.Bloco 3. com 70% de acertos) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 629 7 084 13 472 8 563 698 40 615 293 5 471 90 386 3 257 3 167 653 4 081 795 5 907 123 6 748 186 419 60 382 82 036 3 471 958 6 041 654 7 850 913 42 305 3 504 935 578 49 680 65 412 359 3 761 584 1 095 -627 927 78 106 9 247 -8 163 7 504 7 261 80 342 1 609 78 932 -6 741 4 036 -679 15 402 -794 963 50 178 531 90 476 689 20 567 71 285 -1 538 139 162 80 721 98 432 4 270 6 398 17 504 492 598 -82 041 8 576 27 905 3 852 -7 510 65 492 213 9 827 91 058 32 960 467 30 951 8 741 139 -42 087 789 27 064 451 -9 683 4 187 50 219 745 91 036 26 598 -623 10 928 947 82 076 -539 651 -4 983 2 810 56 327 9 605 39 401 5 163 54 801 1 463 -31 870 14 706 -759 71 684 209 437 896 73 095 1 326 60 852 5 324 3 542 27 130 493 -852 70 216 -8 304 817 37 892 3 174 908 80 269 6 814 4 508 -30 915 8 647 -712 1204 935 52 630 3 216 723 4 096 60 392 -2 548 390 26 945 42 386 8 752 405 80 947 5 871 425 291357 201996 292995 179653 296037 279585 317052 201014 314064 141831 Grupo B (70 % ac.5. 10 min.) (1) 4 321 x 607 = 2 622 847 (2) 9 108 x 938 = 8 543 304 (3) 7 685 x 452 = 3 473 620 (4) 2 934 x 120 = 352 080 (5) 5 017 x 543 = 2 724 231 (6) 8 652 x 789 = 6 826 428 (7) 3 476 x 204 = 709 104 (8) 1 809 x 671 = 1 213 839 (9) 6 523 x 316 = 2 061 268 (10) 7 940 x 895 = 7 106 300 (11) 2 463 x 271 = 667 473 (12) 6 289 x 613 = 3 855 157 (13) 3 045 x 492 = 1 498 140 (14) 8 251 x 507 = 4 183 257 (15) 7 836 x 324 = 2 538 864 (16) 5 970 x 749 = 4 471 530 (17) 9 012 x 830 = 7 479 960 (18) 4 758 x 186 = 884 988 (19) 8 617 x 905 = 7 798 385 (20) 1 394 x 658 = 917 252 103 Grupo C (70% ac. Quarto Grau Bloco 1. Grupo A (1 coluna / minuto. ou grupo completo em 10 min.) (1) 130 977 / 567 = 231 (2) 440 700 / 975 = 452 (3) 336 226 / 341 = 986 (4) 81 624 / 456 = 179 (5) 622 800 / 720 = 865 (6) 67 402 / 134 = 503 (7) 502 854 / 802 = 627 (8) 90 746 / 289 = 314 (9) 294 240 / 613 = 480 (10) 724 584 / 908 = 798 (11) 821 215 / 851 = 965 (12) 99 144 / 408 = 243 (13) 493 425 / 675 = 731 (14) 77 089 / 127 = 607 (15) 31 968 / 296 = 108 (16) 248 992 / 502 = 496 (17) 84 940 / 310 = 274 (18) 567 207 / 963 = 589 (19) 136 090 / 439 = 310 (20) 667 968 / 784 = 852 . 10 min. 10 min. 10 min. Grupo A (70% ac.Bloco 2.) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 4 068 371 93 416 8 506 74 289 1 903 6 081 25 937 813 56 209 975 30 142 6 904 75 243 315 246 943 3 216 51 402 392 43 106 5 489 21 586 759 1 082 36 152 3 257 64 108 2 769 60 528 1 279 901 7 843 60 138 471 580 87 109 967 80 624 137 50 813 6 492 397 -7 865 16 208 29 365 548 -7 091 6 157 7 630 497 72 054 6 052 -971 4 539 5 078 20 816 -459 47 098 -293 7160 -523 87 931 1 084 293 8 914 9 457 620 834 -8 145 9 582 -64 370 728 32 416 90 614 57 681 872 30 415 3 571 -94 028 251 -7 865 240 -9 302 5 367 409 5 139 732 18 290 3 684 86 304 218 5 072 -615 86 970 1 853 726 -54 803 419 10 957 629 45 806 53 419 -48 127 9 156 60 729 43 065 -1 278 2 365 479 20 374 -9 762 805 793 304 498 2 493 -564 942 -4 851 8 735 -689 70 693 6 540 762 7 031 76 340 8 925 6 087 -713 281 10 935 2 581 924 8 045 247 629 90 183 356 5 046 95 346 8 317 164 20 398 57 823 46 372 15 084 7 846 79 503 81 762 329400 97516 357831 139921 356238 257058 272259 168754 301230 118794 Grupo B (70 % ac.) (1) 346 800 / 850 = 408 (2) 64 390 / 274 = 235 (3) 419 152 / 536 = 782 (4) 89 027 / 701 = 127 (5) 80 850 / 165 = 490 (6) 250 158 / 482 = 519 (7) 130 472 / 347 = 376 (8) 586 112 / 608 = 964 (9) 787 319 / 923 = 853 (10) 95 559 / 159 = 601 (11) 368 193 / 623 = 591 (12) 26 520 / 195 = 136 (13) 216 832 / 308 = 704 (14) 603 880 / 974 = 620 (15) 140 322 / 546 = 257 (16) 666 462 / 831 = 802 (17) 88 665 / 257 = 345 (18) 402 047 / 409 = 983 (19) 326 876 / 782 = 418 (20) 469 090 / 610 = 769 .) (1) 9 634 x 426 = 4 104 084 (2) 2 761 x 593 = 1 637 273 (3) 4 508 x 180 = 811 440 (4) 7 985 x 867 = 6 922 995 (5) 3 120 x 305 = 951 600 (6) 6 842 x 751 = 5 138 342 (7) 1 076 x 918 = 987 768 (8) 8 453 x 472 = 3 989 816 (9) 5 917 x 609 = 3 603 453 (10) 3 209 x 234 = 750 906 (11) 6 013 x 801 = 4 816 413 (12) 3 497 x 487 = 1 703 039 (13) 9 084 x 712 = 6 467 808 (14) 4 526 x 206 = 932 356 (15) 8 761 x 658 = 5 764 738 (16) 2 905 x 923 = 2 681 315 (17) 5 430 x 165 = 895 950 (18) 1 258 x 594 = 747 252 (19) 3 872 x 370 = 1 432 640 (20) 7 619 x 439 = 3 344 741 104 Grupo C (70% ac. 10 min. ) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 2 819 314 80 593 4 295 63 017 7 694 579 18 024 9 072 798 15 038 2 639 921 50 973 4 361 853 4 106 9 132 265 34 019 946 708 1 650 391 25 703 4 081 95 248 389 21 403 5 628 71 405 4 512 789 -8 406 892 725 134 65 708 561 60 937 571 98 056 6 432 -829 7 210 28 139 3 079 -8 421 70 134 146 2 795 67 321 958 37 146 982 4 506 18 620 -968 8 372 -4 503 346 -485 29 076 1 065 80 124 13 472 493 90 614 45 031 -654 49 630 -7 249 513 94 752 6 873 956 7 851 2 837 483 -52 890 7 512 -30 967 71 408 218 58 907 2 780 89 315 -756 2 917 7 652 86 057 8 293 4 817 -15 630 764 91 352 407 -36 571 596 21 345 983 51 420 43 160 -728 9 658 6 041 1 986 -4 720 13 609 761 6 108 -137 5 249 -6 203 435 467 50 732 945 4 928 -1 803 729 -6 905 763 871 42 059 36 908 276 51 092 86 745 -472 20 463 584 67 024 60 534 913 219 6 023 7 653 680 97 081 8 234 10 876 2 385 9 487 1 546 70 583 42 568 304 7 859 8 293 273636 198980 315738 227936 303444 268776 321417 195262 272655 176338 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) Grupo B (70 % ac. 10 min.) (1) 93 063 / 463 = 201 (2) 653 650 / 850 = 769 (3) 45 310 / 197 = 230 (4) 141 360 / 304 = 465 (5) 546 336 / 672 = 813 (6) 894 132 / 918 = 974 (7) 102 910 / 205 = 502 (8) 72 954 / 386 = 189 (9) 337 608 / 521 = 648 (10) 267 393 / 749 = 357 (11) 213 852 / 502 = 426 (12) 74 889 / 471 = 159 (13) 756 286 / 943 = 802 (14) 199 080 / 316 = 630 (15) 694 848 / 704 = 987 (16) 97 552 / 268 = 364 (17) 498 261 / 921 = 541 (18) 84 525 / 805 = 105 (19) 524 286 / 657 = 798 (20) 37 674 / 138 = 273 . 10 min. Grupo A (70% ac.) 1 975 x 419 = 827 525 4 702 x 165 = 775 830 6 819 x 382 = 2 604 858 8 431 x 674 = 5 682 494 3 587 x 503 = 1 804 261 1 064 x 926 = 985 264 5 293 x 708 = 3 747 444 7 648 x 853 = 6 523 744 9 320 x 497 = 4 632 040 2 056 x 201 = 413 256 3 674 x 159 = 584 166 7 831 x 840 = 6 578 040 9 502 x 765 = 7 269 030 1 425 x 238 = 339 150 2 368 x 406 = 961 408 5 093 x 687 = 3 498 891 8 956 x 924 = 8 275 344 2 709 x 173 = 468 657 6 147 x 302 = 1 856 394 4 081 x 591 = 2 411 871 105 Grupo C (70% ac. 10 min.Bloco 3. 6. Terceiro Grau Grupo A (Grupo completo em 10 minutos com 70% de acertos) (1) 20 139 826 432 501 96 317 4 620 81 453 708 319 5 492 975 67 154 849 560 2 738 683 58 027 907 614 3 236 418 2 (6) 406 725 157 54 860 3 746 760 912 538 28 301 804 139 6 852 19 026 497 96 813 570 289 31 794 2 435 2 787 084 1 (2) (3) 954 638 360 728 780 241 46 170 2 516 8 397 37 690 27 816 -8 215 819 605 -496 507 3 547 -21 365 64 052 619 573 84 035 945 610 7 283 8 324 209 714 21 496 -95 480 952 -347 102 873 57 981 38 109 430 692 449 206 989 495 2 (7) 6 208 37 461 801 537 972 -42 796 -194 083 -8 615 23 590 314 260 475 7 132 -56 084 -392 904 875 69 581 810 175 2 (4) 7 524 301 492 59 710 834 6 185 720 943 62 397 958 36 270 917 846 513 6 905 80 673 654 812 28 041 885 103 1 (8) 872 46 237 695 018 79 561 6 409 84 357 360 172 483 51 290 3 625 976 108 741 29 083 4 539 508 412 846 907 1 106 (5) 37 258 1 630 849 075 26 914 -604 132 -98 206 715 3 854 179 038 43 927 -879 -50 186 -2 937 564 624 105 010 740 (9) 5 930 20 718 463 802 549 -87 056 -109 867 97 385 8 476 714 689 502 -54 923 -361 -1 274 246 013 93 251 372 859 3 (10) 18 357 9 041 378 260 56 834 672 29 138 710 953 5 280 429 69 704 804 519 235 1 627 48 706 963 415 097 170 . 24 = 18 432.4 (11) ¥324 563 / 463 = ¥701 (12) ¥185 / 0.Grupo B (70 % ac.03 (8) 0.08 = ¥875 (20) ¥602 196 / 938 = ¥642 107 .429 = ¥864 (13) ¥1 493 x 963 = ¥1 437 759 (14) ¥9 584 x 0.735 / 0.) (1) 172 894 / 631 = 274 (2) 0.47693 / 0. 10 min. e 11-20 até as unidades.520 (9) 639 184 / 7 024 = 91 (10) 11 526 / 15 = 768.36 (10) 0.547 = ¥832 (15) ¥341 105 / 85 = ¥4 013 (16) ¥66 / 0.073 = 0.4 = ¥865 (18) ¥282 048 / 312 = ¥904 (19) ¥1 820 / 2.569 (4) 9 234 x 572 = 5 281 848 (5) 70 496 x 86 = 6 062 656 (6) 1 507 x 0.5 = ¥120 868 (19) ¥8 125 x 0. 10 min.296 / 408 = 0.8 = ¥386 172 (16) ¥2 301 x 637 = ¥1 465 737 (17) ¥40 678 x 91 = ¥3 701 698 (18) ¥5 896 x 20.052 (3) 361 444 / 829 = 436 (4) 76.073 = 695 (6) 186 296 / 584 = 319 (7) 212.20592 / 3.) (1) 2 931 x 819 = 2 400 489 (2) 6 052 x 235 = 1 422 220 (3) 84.795 / 26.176 = ¥375 (17) ¥78 196 / 90.030 (11) ¥6 379 x 108 = ¥688 932 (12) ¥2 014 x 0.511 (9) 5 689 x 3.736 = ¥5 980 (20) ¥3 207 x 214 = ¥686 298 Grupo C (70 % ac. Calcule os problemas 1-10 até os milésimos.7 = 7 679.625 = ¥296 (13) ¥646 919 / 7 109 = ¥91 (14) ¥455 / 0.917 = 0. Calcule os problemas 1-10 até os milésimos.3875 x 6.875 = ¥8 386 (15) ¥765 x 504.187 (5) 50.67 x 90.48 = 2.96 = 0.461 = 694.727 (7) 218 x 1 059 = 230 862 (8) 0.4103 x 0. e 11-20 até as unidades.5 = 8. 7. Segundo Grau Grupo A (Grupo completo em 10 minutos com 80% de acertos) (1) (2) (3) (4) (5) 1 289 307 483 971 3 029 176 62 501 478 974 362 675 243 81 602 459 15 849 729 360 4 265 103 90 428 165 5 871 304 436 250 3 968 251 58 130 279 17 436 -90 562 20 754 318 91 087 86 341 7 360 294 -264 918 8 109 567 -46 083 529 679 854 6 548 -6 738 095 3 291 -857 901 1 502 463 874 310 10 947 283 97 846 5 340 782 7 318 48 039 152 306 947 521 738 19 648 80 264 597 2 157 896 54 732 70 983 462 654 270 392 086 93 405 7 086 529 1 240 573 -2 593 18 759 526 781 -32 169 840 612 984 -9 145 806 2 840 915 3 185 069 -7 615 54 601 -36 714 76 051 432 43 972 9 520 736 9 072 345 20 794 136 419 687 54 702 631 64 187 865 913 1 283 097 23 590 951 820 815 023 65 378 024 476 835 3 705 241 210 352 029 77 482 141 181 175 937 39 732 401 229 362 027 (6) (7) (8) (9) (10) 537 641 312 650 8 029 137 86 374 80 625 749 7 241 930 1 287 094 79 630 821 10 342 569 79 853 35 082 469 64 238 948 675 493 720 5 986 072 697 508 40 175 982 52 149 6 205 917 395 846 -4 803 621 3 674 -2 407 536 8 253 10 793 -28 159 5 214 803 -163 904 274 068 9 753 261 -90 154 682 793 165 60 245 817 31 679 148 507 763 240 83 620 941 74 396 7 052 841 73 062 918 17 563 19 576 5 720 681 54 189 302 2 814 730 2 058 374 6 048 239 819 570 924 516 2 684 -386 019 852 497 -6 438 8 760 193 490 172 -9 785 41 056 -31 057 294 17 245 36 405 10 964 827 9 536 718 -98 763 536 980 41 205 396 8 435 719 27 418 305 4 502 698 3 875 421 6 897 013 70 296 907 523 381 052 90 641 835 541 628 -29 512 699 176 296 461 126 671 061 183 440 913 222 051 027 108 . 0623 = 0.048 = 563.) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 987 83 704 32 501 23 436 19 206 16 284 48 741 28 870 45 860 91 17 308 510 21 731 29 105 930 49 67 36 52 487 53 376 85 940 603 417 72 314 29 132 79 546 180 918 790 862 64 12 89 94 63 85 75 250 386 405 39 590 67 409 96 807 72 625 35 426 68 71 95 3 648 2 472 3 774 2 247 3 315 2 319 3 360 109 . 10 min.48 12 426 698 / 1 987 = 6 254 610.0942 = ¥6 132 ¥17 249 x 3 517 = ¥60 664 733 ¥504 831 x 658 = ¥332 178 798 ¥49 625 x 1.74902 / 0.0330 ¥47 512 x 8 063 = ¥383 089 256 ¥90 386 x 0.4375 = ¥33 306 ¥38 604 x 2 869 = ¥110 754 876 ¥65 093 x 0.496 = ¥9 625 ¥6 593 836 / 1 637 = ¥4 028 ¥1 131 / 0.96 = ¥1514156 ¥76 128 x 0.0725 2 984 785 / 482 = 6 192.25 = ¥5 136 ¥51 693 213 / 6 591 = ¥7 843 Grupo D Cálculo Mental (80 % ac.475 = 46 605 575 0.22 76 084 x 8 539 = 649 681 276 0.7421 = ¥67 075 ¥2 975 x 508.5 1 709.0615 = 93. e 11-20 até as unidades.5817 = 10 766.Grupo B (70 % ac. Calcule os problemas 1-10 até os milésimos.6793975 / 9.20436 x 470.2913 52 622 371 / 61 403 = 857 0. Calcule os problemas 1-10 até os milésimos. 10 min. 2 min.371 = 0.4760 5.09 = 7.6853 93.024 = ¥50.42124 / 82.8125 = ¥1 392 ¥59 415 129 / 92 403 = ¥643 ¥360 804 / 70.0784 = ¥8 176 ¥12 945 709 / 287 = ¥45 107 ¥2 187 / 0.7068 = 0.2059086 / 0.1718 8 741 x 39 281 = 343 355 221 31 597 x 1.6483 / 3 592 = 0. e 11-20 até as unidades.816 ¥81 307 x 7 391 = ¥600 940 037 (1) (2) (3) 58 130 61 716 97 389 65 681 24 901 458 85 45 76 150 234 802 93 82 37 704 320 26 417 79 940 52 143 59 236 2 643 3 306 2 211 Grupo C (70 % ac.52963 x 0.125 x 6.436 ¥11 393 544 / 3 918 = ¥2 908 ¥641 / 0.6 = 96.4306 = ¥5 079 ¥52 899 / 5.) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) 8 485 074 / 2 754 = 3 081 44 080 524 / 5 436 = 8 109 0.) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) 60 937 x 2 154 = 131 258 298 42 618 x 7 309 = 311 494 962 804 752 x 962 = 774 171 424 18 509 x 0. 8. Primeiro Grau Grupo A (Grupo completo em 10 minutos com 80% de acertos) (1) (2) (3) (4) (5) 52 089 461 432 186 075 9 135 842 4 170 326 958 247 013 589 7 153 820 8 145 903 267 304 827 196 9 852 036 5 928 376 3 045 861 297 9 247 183 96 705 12 493 870 36 740 218 179 625 408 -62 098 541 2 036 754 981 -736 981 425 27 190 43 162 -762 309 1 408 273 -572 908 1 029 846 753 81 904 753 -5 280 931 764 83 927 654 1 630 857 3 507 461 9 286 041 3 679 452 702 149 836 6 058 249 731 574 268 109 7 306 154 289 24 805 691 5 368 071 93 175 648 61 930 548 8 479 503 901 326 785 6 520 743 189 567 903 412 459 862 297 580 364 4 270 516 49 386 527 -2 647 103 8 702 164 539 165 937 71 058 934 610 945 -3 901 728 564 6 382 047 64 327 810 -358 712 640 9 017 254 368 -28 157 496 418 079 635 4 710 698 325 -6 450 839 168 032 579 845 069 273 92 543 718 5 732 649 1 097 534 628 2 571 460 24 019 1 605 923 923 517 086 83 917 50 492 813 4 615 380 7 350 291 864 16 692 619 905 4 981 140 355 18 952 760 439 7 093 253 688 18 530 789 832 (6) (7) (8) (9) (10) 2 709 658 341 7 421 630 921 376 048 6 194 873 314 726 905 5 182 069 65 049 6 347 208 195 804 725 361 2 645 718 890 246 753 4 086 739 215 -70 153 264 16 249 59 832 067 -731 482 615 908 743 -694 503 30 954 187 8 031 276 549 -46 029 378 27 851 409 162 980 375 1 054 678 932 694 783 -9 017 486 523 9 372 586 3 015 467 928 7 240 156 3 501 624 3 592 710 7 251 094 863 7 935 681 201 536 498 968 135 470 109 264 538 36 281 597 84 029 135 871 250 25 840 391 72 503 694 548 617 320 3 748 256 76 109 382 6 401 279 835 65 871 3 946 075 -456 102 987 5 192 783 604 7 453 102 -1 874 305 8 905 173 246 -8 561 740 8 459 736 46 087 921 -380 516 924 639 182 -2 609 845 317 420 368 915 172 943 058 5 024 387 196 4 280 951 27 439 69 547 023 5 318 960 61 740 935 92 314 708 7 890 251 9 043 182 567 69 287 8 961 247 170 523 864 93 014 862 5 073 829 7 890 421 356 -561 035 258 21 760 230 438 7 498 320 359 16 921 742 562 23 930 227 026 110 . 875 = ¥24 608 788 (20) ¥390 246 x 13 904 = ¥5 425 980 384 (1) 9 373 655 025 / 48 237 = 194 325 (2) 59 530 739 332 / 70 652 = 842 591 (3) 0.78053 (8) 8 079 231 x 3 925 = 31 710 981 675 (9) 127 496 x 5.06759 = ¥58 266 (13) ¥3 915 478 x 5 603 = ¥21 938 423 234 (14) ¥740 625 x 0.28196 = ¥254 574 (17) ¥451 063 x 92 031 = ¥41 511 778 953 (18) ¥273 509 x 54 768 = ¥14 979 540 912 (19) ¥68 192 x 360. e 11-20 até as unidades.125 = ¥708 624 (14) ¥7 643 415 038 / 37 142 = ¥205 789 (15) ¥254 071 068 / 296.Grupo B Grupo C (80 % ac.603945 x 0.35806 (11) ¥3 931 366 928 / 15 896 = ¥247 318 (12) ¥635 615 / 0.17409 = 62 811.) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 495 8 720 147 3 098 254 9 413 8 150 479 6 250 917 8 190 126 -243 6 093 863 1 340 -436 2 780 -3 961 158 -235 654 -5 021 837 518 7 826 4 012 2 801 617 586 2 074 613 9 581 579 4 203 7 105 1 632 2 760 729 465 3 568 954 -925 594 -1 936 7 602 -937 4 270 784 3 408 -348 8 937 784 6 098 6 307 951 5 704 286 1 592 369 14831 31602 24767 26679 12 814 32 538 111 .1271344371 / 2.86364 (5) 360 798 x 0. Calcule os problemas 1-10 até os milésimos.05917 (4) 52 274 789 792 / 56 104 = 931 748 (5) 40.4164695782 / 0.71 = ¥856 294 (16) ¥46 113 / 0.) (1) 432 159 x 68 194 = 29 470 650 846 (2) 751 083 x 95 036 = 71 379 923 988 (3) 628 407 x 23 871 = 15 000 703 497 (4) 0.13807 = 296.78260 (7) 7 534 346 391 / 35 769 = 210 639 (8) 0.4178 = 690 747. e 11-20 até as unidades. 10 min.88295605 / 84.925 = 7.06459 = ¥713 934 (17) ¥52 348 910 242 / 58 067 = ¥901526 (18) ¥37 108 174 071 / 4 057 = ¥9146703 (19) ¥174 669 / 0. Calcule os problemas 1-10 até os milésimos.87907525 / 0.21078 / 69 018 = 4.6054 x 40.617 = 958.01600 (11) ¥576 183 x 42 817 = ¥24 670 427 511 (12) ¥862 054 x 0.98013 = ¥648 501 (13) ¥44 731 890 / 63.075 (6) 330 085.83424 = ¥209 375 (20) ¥39 176 554 843 / 729 803 = ¥53681 (1) (2) (3) (4) 321 5 680 759 6 014 2 038 173 9 370 397 716 3 527 164 4 680 1 542 8 601 -527 251 653 912 2 843 7 406 9 704 485 682 5 937 285 7 034 4 105 873 5 410 298 -3 524 695 869 6 940 -913 1 208 4 937 796 8 061 982 26475 34446 21020 28443 Grupo D Cálculo Mental (80 % ac.02649 = 0.8288 (10) 0.32382 (6) 584 162 x 75 382 = 44 035 299 884 (7) 23. 10 min.) (80 % ac.97815 x 80.24 = ¥136 313 638 (16) ¥902 871 x 0.14863 = 0.07391 = 5.84512 = ¥625 917 (15) ¥184 397 x 739. 2 min.6253 = 78.63482 (9) 80 233 503 322 / 9 254 = 8 670 143 (10) 624. net/~lizyoung/abacus.sorobanbrasil.com.ryerson. ISBN-0804800030.co.com/sorobanjábacos/soroban/index.gis.com Maruho Soroban.joernluetjens.html Jörn Lütjens: http://www.geocities.soroban.ee.co.net/stephen/soroban/soroban_sheets.com/sorobanjábacos/zumor/index.com.com/group/SorobanAbacus/ http://groups. http://www.jáhoo.idirect.jáhoo.: http://www.br/ Jorge Meletti: http://geocities.uitti.syuzan. http://www.Tema 11: Informações de interesse Para aprender a usar o Soroban Takashi Kojima: "The japanese Abacus.html The Abacus: A History: http://fenris. ISBN-0804802785.html Jaime García Serrano: http://es.com/group/abacosoroban/ Páginas de informação geral The Art of Calculating with the Beads: http://www.org/~bagleyd/java/AbacusAppJS.htm The League of Japan Abacus Assoc.htm Totton Heffelfinger: http://webhome. 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O autor e a editora permitem que este curso seja copiado.pt Se você crê ter encontrado erros ou deseja corrigir ou ampliar o curso. modificado em seu conteúdo. visite suas outras páginas na Internet: http://es.O autor Fernando Tejón. com o programa SOROCALC: http://www.es .es . segundo o caso. simplesmente com finalidade de divulgação.
[email protected]. krayono@yahoo. e as sucessivas versões corrigidas ou ampliadas estará disponível na página de Internet: http://es.geocities. Para saber algo sobre seus “hobbies”. Theory and Practice” de Takashi Kojima. e distribuído em qualquer forma e em qualquer formato desde que se respeite a licença Creative Commons: http://creativecommons. Elas serão sempre bem-vindas e.com/abacosoroban Os gráficos do Soroban empregados foram realizados com permissão do autor (André Luis Azerêdo).geocities.publikaji. além do ábaco japonês Soroban. adotadas.tk Editerio Krayono / Fernando Tejón. peço-lhe que envie por correio eletrônico ao autor as sugestões que acha serem convenientes.0/deed. ISBN 0-8048-0003-0. Ponferrada – España).org/licenses/by-nc/2. 113 . edita e distribui as diferentes versões do presente “Manual de Uso do Soroban” sem intenção de lucro.br/ Os Exercícios para a obtenção de Licença de Calculista foram tomados do livro “Advanced Abacus Japanese.