Manual Domini o Mate Matic o

Cursos deNivelación Subsecretaría de Acceso a la Educación Superior 2017 DESARROLLO DEL CURSO DESARROLLO DEL CURSO MODALIDAD: CARGA HORARIA: PRESENCIAL 55 HORAS PRESENTACIÓN: Este documento se realizó a partir del análisis de los resultados alcanzados por los sustentantes en el Examen Nacional de Evaluación Educativa Ser Bachiller, y cuyo puntaje les permite ingresar a las Instituciones de Educación Superior (IES) del Ecuador. Es el producto de la sistematización técnico- pedagógica de conocimientos expuestos del Dominio Matemático, de manera didáctica para apoyar el proceso de enseñanza – aprendizaje. La matemática actualmente se conjuga entre el desarrollo abstracto y su aplicación en contextos reales, ambos ejes fundamentales en su tratamiento, tanto para comprender la realidad y responder a situaciones concretas, así como para generar y demostrar teorías basadas en estructuras y conceptos fundamentales. El presente manual tiene 4 Unidades Formativas y se realizó con la finalidad de fortalecer competencias básicas de los aspirantes que deseen ingresar a una institución de educación superior. El contenido de este documento es producto del análisis estadístico sobre las falencias más frecuentes presentadas por los sustentantes en el Examen Nacional de Evaluación Educativa Ser Bachiller, por tanto tiene un enfoque específico. El presente documento expone conocimientos de una manera didáctica para apoyar el proceso de enseñanza – aprendizaje. En estas unidades formativas se trabajará: teoría del conteo; ecuaciones e inecuaciones; funciones; sucesiones; series y vectores; buscando la adquisición de conocimientos y destrezas necesarias para su análisis más complejo SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR ÍNDICE: UNIDAD FORMATIVA 1 1.1. Teoría Combinatoria 1.1.1. Introducción 1.1.2. Principios básicos: aplicaciones 1.2. Métodos de Conteo. 1.2.1. Permutaciones: definición, aplicaciones. 1.2.2. Variaciones: definición, aplicaciones. 1.2.3. Combinaciones: definición, aplicaciones. Glosario de términos UNIDAD FORMATIVA 2 2.1. Ecuaciones e Inecuaciones. 2.1.1. Términos algebraicos. 2.1.2. Dominio aritmético y algebraico. 2.1.3. Ecuaciones: Definición. 2.1.3.1. Despejes y solución. 2.1.3.2. Comprobación. 2.1.2. Desigualdad 2.1.2.1. Inecuación: Definición. 2.1.2.2. Intervalo solución. 2.1.2.3. Comprobación. 2.2 Sistemas de ecuaciones lineales 2x2. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR 3. Introducción.2.2.2.2.2.2.2. 2.3.4 Funciones Lineal y Cuadrática.1. Función: elementos de una función. Métodos de solución: 2.2.5.3.2. Sustitución. 2. 2. 2. Sistemas de inecuaciones lineales con 2 variables. Expresión algebraica.2.4. Representación gráfica.1.3. 2. Eliminación.3.2. 2. 2. 2. Propiedades.3.4.3.4. 2.3. Función Cuadrática.2.4.1.2. 2. 2.3. 2.3.4.4. 2.2.4. Propiedades.4. Igualación.1.3. Solución óptima. Región factible.2.1.3. Función Lineal y función afín: Concepto y representación 2. Función objetivo.3.1. La fórmula cuadrática y el discriminante. Ejercicios y problemas. 2. Aplicaciones.3. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR .3 Programación Lineal.4.3. 2. Clasificación gráfica de sistemas lineales 2x2. 2.3.4. 2.4. 2.2. Ecuaciones lineales con dos incógnitas.4. 2. 2.3. 4. Propiedades de los logaritmos 3.2.2.1.2. Gráfico y propiedades 3. 3. Notación exponencial y logarítmica.1.1.1. Progresiones Aritméticas 4.3.1. 3.2.2 Solución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas 3.2. Gráfico y propiedades. Término n-ésimo SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR .3.2. Ecuaciones logarítmicas: ejercicios 3. Expresión algebraica.3.1. 3.2. Comprobación de soluciones UNIDAD FORMATIVA 4 4.5.1.2.2.1. 3.2. Relación con la función exponencial 3.1.1.4.2. Función exponencial 3.1.1. Ejercicios y problemas UNIDAD FORMATIVA 3 3. Modelos exponenciales.5.1.3.1.6.1.2.2.1.2.1.1.1. Definición y construcción de progresiones aritméticas 4. 3. Propiedades de los exponentes 3.1. Función exponencial y logarítmica 3. Expresión algebraica 3. Ecuaciones exponenciales: ejercicios 3.3.2.1. Función logarítmica. Sucesiones y reglas de construcción 4. Expresión en forma de componentes.3.4. producto por un escalar 4.3.3.1.4 Aplicaciones de vectores 4.3.2.4. Operaciones con vectores: Suma. Suma de los n primeros términos 4. Definición y construcción 4. Término n-ésimo 4.1.1.2.4. resta.2. Aplicaciones 4.2. Suma de los n primeros términos 4.2.3. Vectores como desplazamientos en el plano 4.5.3 Vectores en R2 4.1.2. Aplicaciones 4. Problemas Glosario SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR .2 Progresiones Geométricas 4. módulo y vectores unitarios 4.4.1. ¿De cuántas formas puede combinarlos? 1. 1 2. 6 3. 3 2. 47 4. 5 4. ¿Cuántos número entre 1 y 100 son divisibles para 4 y 7? 1. 8 4. 24 4. 53 4. 20 2.UNIDAD FORMATIVA 1: ORGANIZACIÓN Y ANÁLISIS DE INFORMACIÓN RELACIONADA A LA TEORÍA COMBINATORIA Y METODOS DE CONTEO PRUEBA DIAGNÓSTICA 1. 4 2. 12 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 6 3. 20 2. 10 3. 11 3. 15 4. Si Ernesto compra 3 camisetas deportivas y 2 shorts. 2 2. 33 3. ¿Cuál es el valor de n que cumple la expresión n!/2!(n-2)!=45? 1. 14 4. ¿De cuántas maneras se pueden sentar en una fila de 4 sillas dos personas? 1. 3 3. 6 6. 5 2. 25 5. 120 3. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar 4 objetos? 1. ¿Cuántos números entre 1 y 100 son divisibles entre 3 o 5? 1. 8 4. 132 4. 5 y 25 centavos (una de cada una)? 1. 6 2. ¿Cuántas señales diferentes se pueden hacer con 1 bandera azul. 4 3. 1 roja y 1 verde. 6 4. ¿Cuántas sumas de dinero diferentes se pueden hacer con las monedas 10. 72 3. ¿Cuántas señales diferentes se pueden hacer con 2 banderas rojas y 1 blanca. 1 2. 24 12. 12 11. 7 4. 12 4. 144 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 8 9. 4 4. En la serie A del campeonato ecuatoriano de fútbol participan 12 equipos. 3 2. 3 3. si las señales se pueden hacer con 2 o 3 banderas? 1. ¿de cuántas maneras pueden estos equipos ocupar los dos primeros lugares? 1. 2 2.7. 5 8. 6 3. 3 3. 6 3. si cada señal se hace con las tres banderas? 1. ¿Cuántas comidas diferentes puedes servirte si tienes para escoger 3 platos fuertes y 4 postres? 1. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar en un estante 3 libros diferentes de matemáticas y 2 libros diferentes de lengua? 1. 12 10. 2 2. 4 2. 13. Para solicitar un crédito vas a dos bancos que te ofrecen la siguiente información: Banco A: Te ofrece una línea de crédito con dos períodos de tiempo a escoger. Banco B: Te brinda dos líneas de crédito con tres períodos de tiempo a escoger en cada caso. ¿De cuántas opciones dispones para realizar el crédito? 1. 3 2. 5 3. 8 4. 10 14. Si hay 12 candidatos en tu ciudad para escoger 3 representantes para el municipio. ¿De cuántas maneras puedes seleccionarlos? 1. 15 2. 36 3. 220 4. 1320 15. ¿Cuántos números de cinco cifras diferentes mayores que 60000 se pueden hacer con las cifras 1, 3, 5. 7. 9? 1. 24 2. 48 3. 60 4. 120 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR 1.1 Teoría Combinatoria 1.1.1. Introducción.- La teoría combinatoria que se relaciona con las técnicas de conteo, persigue básicamente darnos información sobre todas las formas posibles en las cuales puede ocurrir un evento específico bajo determinadas condiciones o reglas, esto es, determinar el número de ordenamientos o agrupamientos posibles entre los elementos de un conjunto. Contexto Imagina la siguiente situación: En tu casa tu papá ha pensado en colocar una alarma de seguridad, que tiene un código formado por cinco elementos de acuerdo a la siguiente condición: - Los 3 primeros elementos deben ser una letra vocal. - Los 2 últimos elementos pueden ser cualquier dígito. Se te pide que establezcas el código y que indiques ¿cuántas opciones de códigos dispones? Puedes pensar en formar todas las opciones posibles, pero te llevaría mucho tiempo ¡verdad! Damos respuesta a esta y otras preguntas que están relacionadas con las técnicas de conteo con el estudio de esta unidad. 1.2 Métodos de conteo. De acuerdo a las condiciones propuestas en los ejercicios y problemas podemos tener diferentes métodos para determinar el número total de arreglos posibles entre los elementos de un conjunto, los mismos que están basados en ordenamientos y agrupaciones. 1.2.1. Permutaciones (Pn): definición. Las permutaciones de un conjunto de n elementos las entendemos como todos los posibles ordenamientos que se pueden realizar entre los n elementos de este conjunto. Aplicación: Si en una final de una competencia de 100m planos compiten 3 deportistas numerados (12), (45) y (31) que lograron cronometrar el tiempo requerido para la final, ¿Dé cuántas maneras pueden llegar a la meta y ubicarse en las tres posiciones? SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR Como la pregunta tiene que ver con todos los posibles ordenes de llegada a la meta, podemos formarlos de la siguiente forma: Solución:  (12)(31)(45),  (12)(45)(31),  (31)(12)(45),  (31)(45)(12),  (45)(12)(31), y  (45)(31)(12). Un total de 6 ordenamientos posibles. En este caso la formación resultó simple, pero en el caso de tener 5 o más competidores en la final nos llevaría más tiempo, y no resultaría tan agradable; es por esta razón que el cálculo de permutaciones se basa en la siguiente definición. 1.2.1.1. El factorial de un número. Dado un número natural n, su factorial se simboliza como n! y se calcula de acuerdo a la siguiente expresión: 𝒏! = 𝟏 × 𝟐 × 𝟑 × … × 𝒏 Tomando en cuenta que: 𝟎! = 𝟏 n! representa el número total de ordenamientos que se pueden realizar entre los n elementos de un conjunto. En la aplicación anterior tenemos en la final 3 competidores, por tanto 3 elementos, y el cálculo de sus posibles ordenamientos, esto es, las posibles posiciones de llegada son 3! Solución: 3!=1×2×3=6 opciones totales, que concuerda con el número de formaciones realizadas. Por tanto para calcular el número de las posibles ordenaciones de un conjunto de n elementos emplearás la siguiente expresión: Expresión de las permutaciones: 𝑷𝒏 = 𝒏! SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR 2. Combinaciones (𝐂𝐧 ). Condición: n≥p n! Expresión: p Cn = p!(n−p)! SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR .2. 1. Definición. en los cuales el orden de los mismos carece de importancia. Por tanto. ¿De cuántas formas los pueden elegir? Lo primero que debes reconocer es que se formarán en la elección subconjuntos de 3 estudiantes. y también que la clave para la aplicación de las variaciones consiste en que el ORDEN es importante en estos subconjuntos pues las dignidades a elegir cumplirán labores diferentes. 𝐩 En muchas situaciones necesitamos seleccionar grupos de elementos de un conjunto. un vicepresidente y un tesorero. Condición: 𝑛≥𝑝 𝒏! Expresión: 𝒑 𝑽𝒏 = (𝒏−𝒑)! Existen muchas ocasiones en las que necesitamos escoger subconjuntos ordenados dentro de un conjunto total. en este contexto aplicamos las denominadas combinaciones de p elementos de un conjunto de n elementos totales. Aplicación: En tu aula de clases hay 25 estudiantes en total y necesitan elegir al inicio del año un presidente. Las variaciones las entenderemos como todas las posibles 𝒑 permutaciones o agrupamientos ordenados de p elementos que podemos realizar en un conjunto de n elementos.2. Definición. Solución: Tenemos como información 𝑛 = 25 y 𝑝 = 3.1. procedemos a calcular: 3 25! 25! 25×24×23×22! 𝑉25 = (25−3)! = = = 25 × 24 × 23 22! 22! Obteniendo un resultado de: 13800 maneras posibles. tú lo has vivido muchas veces cuando dentro de un grupo de compañeros eligen por ejemplo una directiva para que los represente.3. Variaciones (𝑽𝒏 ). que corresponden a las 3 dignidades a elegir. procedemos a calcular: 3! 3! 3×2×1 𝐶32 = = = 2!(3−2)! 2!×1! 2×1 Obteniendo un resultado de: 3 opciones de jugo en el bar. También te puedo mencionar que existen situaciones en las que puedes combinar estos conceptos en la solución de un problema. Puedes también ingresar a los siguientes enlaces para favorecer tu comprensión y practicar los conceptos aprendidos. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . mora y tomate. como en el siguiente caso: Ejemplo 1: En una empresa necesitan formar un comité de 3 hombres y 2 mujeres. ¿Cuántos tipos de jugos pueden preparar si realizan una combinación de dos frutas en cada preparación? Al tomar en cuenta que en la preparación de los jugos NO IMPORTA EL ORDEN de las frutas al momento de seleccionarlas. ¿De cuántas maneras se puede crear este comité? Es claro ver que al seleccionar los hombres y las mujeres para el comité no importa el orden. Por tanto. y tienen entre el personal como elegibles a 5 hombres y 4 mujeres. por lo tanto procedemos con el uso de combinaciones de la siguiente forma: Solución: 5! Para los hombres tenemos: 𝐶53 = = 10 3!(5−3)! 4! Para las mujeres tenemos: 𝐶42 = =6 2!(4−2)! Y aplicando el principio básico inicial tenemos (10)(6) = 60 opciones totales. Para pensar: Calcula el nuevo total de opciones bajo la condición de que los jugos se pueden preparar con una. dos o las tres frutas.Aplicación: En un bar disponen de 3 tipos de frutas para realizar jugos de: naranja. procedemos de la siguiente forma: Solución: Tenemos como información 𝑛 = 3 y 𝑝 = 2. ¿de cuántas formas puedo llenar las dos cartillas? SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 9. Enlaces a recursos y práctica: https://es. ¿De cuántas formas lo puede hacer? 4. si cada señal consta de 3 carteles? 2. con la particularidad que en un torneo la cartilla solo pide el campeón y en el otro pide el campeón y vice campeón del torneo. En la clase de matemáticas. 9 en el número formado? 7. Un joven tiene 8 CD de música que más le gustan.org/math/precalculus/prob-comb/combinatorics-precalc/v/permutation- formula https://es. Se juegan en la ciudad dos torneos de tenis simultáneamente con 10 jugadores cada uno. En un centro comercial existe una promoción del 50% por la compra de un combo que incluya 1 juego de comedor. 5 de sala y 3 juegos de dormitorio. pero te pide que no los ubiques juntos a Iván y Ana. ¿Cuántas siglas diferentes pueden formarse con las letras de las palabras CABRA? 5. 7. ¿Cuántas señales se pueden hacer con 6 carteles de diferentes colores. 7. sin repetir 6. Adrián y a Eduardo. 8. si hay 8 hombres y 7 mujeres elegibles? 6. Si en total se tienen disponibles 4 juegos de comedor. ¿De cuántas maneras se puede elegir una comisión 3 estudiantes mujeres y 2 estudiantes hombres.khanacademy.org/math/precalculus/prob-comb/combinations/v/introduction-to- combinations FORTALECIMIENTO DE CONOCIMIENTOS: Tarea 1. ¿Cuántos números de 2 dígitos se pueden formar con los dígitos 6. se nos propone llenar cartillas para acertar las posiciones. y quiere regalarle a su novia 3 de ellos.khanacademy. Juan. 8. ¿De cuántas maneras puedes armar tu combo? 3. 1 de sala y 1 dormitorio. pues siempre se pelean. Ana. ¿Cuántas opciones tienes de colocarlos en la fila? 8. tu profesor te solicita que coloques en una fila (uno tras otro) a: Iván. 15 c. a. ¿Cuánto dinero hay ahora en la alcancía? a. 35 c. 36 c. 𝑘 < 4 b. 25 4) Encuentra la edad de una persona si sabes que al cuadrado se le suma el doble de la edad obtenemos 17 veces esta. 𝑘 > 4 c. 48 d. a. 10 b. 52 2) El padre de Juan tiene 7 años más que su madre y los dos tercios de la edad de su madre son 28 años. 42 d. 𝑘 < 16 d. a. ¿Cuál es la edad del padre de Juan? a. 49 3) Para cercar una finca rectangular de 300 𝑚2 se han utilizado 70 𝑚 de valla. 17 d. 20 d. que corresponde a la tercera parte de lo que ya había.UNIDAD FORMATIVA 2: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y REPRESENTACIÓN DE VARIABLES 1 EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA 1) Darío guarda 12 dólares en su alcancía. Calcula el ancho en metros de la finca. para que la ecuación 𝑥 2 − 8𝑥 + 𝑘 = 0 tenga dos raíces reales distintas. 13 b. 𝑘 > 16 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 19 5) Determina los valores de 𝑘. 26 b. 15 c. 16 b. 16 9) Identifica la región solución del siguiente sistema: 2𝑥 − 𝑦 ≥ 4 { 𝑥 + 3𝑦 ≤ 6 a. sabe que el costo de gafas y aletas es de 14 dólares. 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑗ó𝑛 ≤ 111 b. ¿Cuántos años tenía la hija de Ana hace 3 años? a. 4 b. 15 d. 10 8) La edad de Ana y su hija suman 55 años. ¿Cuánto debe pesar en kg como máximo cada uno de ellos? a. 6 c. en 16 años la edad de la hija será la mitad de la edad de Ana.6) La diferencia entre el peso de una camioneta con carga y el peso de la camioneta vacía no debe ser mayor que 560 kg. Si hay que llevar 5 cajones iguales. 10 b. 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑗ó𝑛 ≤ 114 7) Pedro necesita comprar gafas y aletas de natación para entrenar a sus estudiantes. 8 d. ¿Cuánto cuesta en dólares cada gafa de natación? a. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑗ó𝑛 ≤ 112 c. 13 c. 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑗ó𝑛 ≤ 113 d. si por 15 gafas y 10 aletas pagó 180 dólares. b. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . c. d. 5𝑥 + 4𝑦 ≤ 20 d. 4𝑥 + 5𝑦 ≥ 20 c. ℎ(𝑡) = 2𝑡 + 3 c. ℎ(𝑡) = 2𝑡 − 6 d. 5𝑥 + 4𝑦 ≥ 20 11) Juan lanza un globo desde una altura de 3m. escribe una ecuación para ℎ(𝑡). ]−∞. ∞[ d. ℎ(𝑡) = 2𝑡 − 3 b. si el globo asciende a una razón constante y se sabe que al cabo de 3 segundos está a una altura de 9m. la altura ℎ(en metros) del globo luego de 𝑡 segundos. a. ℎ(𝑡) = 2𝑡 + 6 12) Determina el rango de la siguiente función cuadrática. ∞[ SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR .10) Determina la expresión que tiene como solución el siguiente semiplano. −2] c. ]−∞. a. −3] b. 4𝑥 + 5𝑦 ≤ 20 b. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 6𝑥 + 7 a. [−3. [−2. 3b. −8) 3 1 b. −4) a. 2 b.13) Relaciona cada función cuadrática con su vértice. 5 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . (− . 1c. ( .4b d. ( . 2) 3 15) El movimiento de un globo aerostático se modela por la función: 𝑡2 ℎ(𝑡) = − + 2𝑡 − 1 3 Donde la altura ℎ(𝑡) se mide en kilómetros y el tiempo 𝑡 en horas.2c. Función Vértice 1 𝑓(𝑥) = −𝑥 2 − 10𝑥 − 29 a (4.2c. 1) 3 4 d.3b.4a b. 4 d.4a 14) Una recta tiene pendiente 3 y ordenada en el origen -2.2b. ¿Cuál punto pertenece a la recta? 4 a.5) 3 ℎ(𝑥) = −𝑥 2 − 8𝑥 − 11 c (5.3d.4a c. 3 c. a. −4) 4 𝑗(𝑥) = 𝑥 2 − 8𝑥 + 11 d (−5. −5) 2 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 10𝑥 + 21 b (−4. Determine la máxima altura en kilómetros que alcanza el globo en su trayectoria.2d. 1c. 1d. (− . 1d.3a. −2) 3 1 c. Para poder determinar la solución de ecuaciones e inecuaciones que veremos a continuación deber poseer los siguientes dominios. así por ejemplo si sales a comer con tus amigos tendrás como mínimo que repartir el valor de la cuenta o determinar cuánto aportará cada uno en el gasto realizado (ecuación). Términos algebraicos.1. 2. tu compañero de clases fue el pasado fin de semana de compras a una librería y te propone el siguiente reto: Dime ¿cuánto dinero llevé a la librería?. Introducción. por ejemplo: -3𝒙 En todo término algebraico puedes determinar: el signo (en este caso negativo). el coeficiente (en este caso 3) y la variable (en este caso 𝑥). si conoces que compré un libro de Historia con la tercera parte de mi dinero. Algebraico. Significa que debes poder operar con toda clase de números sin cometer error. en las cuales la diferencia radica en el número de soluciones a determinar. compré un comic con las dos terceras partes de lo que me quedaba y al salir de la librería todavía tenía 12usd SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR ..2. 2. Dominio aritmético y algebraico.3. Significa que debes operar entre términos y expresiones algebraicas con el propósito de simplificar expresiones y determinar soluciones en base a procesos fundamentados algebraicamente como la factorización. el campo numérico con el que trabajaremos en todo la unidad es el campo de los números reales R. Ecuaciones e Inecuaciones lineales.1.1.2. 2. también si planeas realizar un viaje deberás determinar de acuerdo a tus planes la mínima cantidad de dinero que debes llevar para no tener inconvenientes (inecuación). Aritmético.En tu diario vivir encuentras situaciones que las tienes que resolver y que generan el planteamiento de ecuaciones e inecuaciones. Ecuaciones: Definición. Contexto Imagina la siguiente situación: Juan.1. La unión de varios términos algebraicos mediante operaciones forman las expresiones algebraicas que se encuentran formando parte de las ecuaciones e inecuaciones.1. Están formados por una o más variables y una constante literal o numérica. Es una igualdad entre dos miembros que contienen expresiones matemáticas y que se cumple para algún o algunos valores de la incógnita. 1. Comprobación.3.1.3.1. luego de su compra le queda 𝑥 − = . al final le sobra 12usd. costo del libro de Historia . Despejes y solución. por tanto las condiciones planteadas las podemos expresar como sigue: 𝑥 𝑥 2𝑥 . 2. El paso más importante a realizar si dudas de tus procesos aritméticos o algebraicos. ya conoces que tu amigo Juan llevó 54usd a la librería.Con base en el contexto nos corresponde plantear la ecuación a resolver.2. En primer lugar asignamos una variable a la incógnita de nuestro reto. Sea 𝒙 la cantidad de dinero total que llevaba Juan. es hacer un reemplazo de tu solución en la ecuación original planteada: 𝟓𝟒 𝟒(𝟓𝟒) 𝟓𝟒 = + + 𝟏𝟐 𝟑 𝟗 𝟓𝟒 = 𝟏𝟖 + 𝟐𝟒 + 𝟏𝟐 𝟓𝟒 = 𝟓𝟒 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 3 3 3 2 2𝑥 4𝑥 . costo del cómic ( ) = .y 3 3 9 . Planteamiento. La ecuación planteada la podemos trabajar con los coeficientes racionales originales o podemos multiplicar todos los términos de la ecuación por 9 que es el común denominador y obtener la ecuación equivalente siguiente: 𝒙 𝟒𝒙 𝟗(𝒙) = 𝟗 ( ) + 𝟗 ( ) + 𝟗(𝟏𝟐) 𝟑 𝟗 𝟗𝒙 = 𝟑𝒙 + 𝟒𝒙 + 𝟏𝟎𝟖 Para despejar trasponemos los términos con 𝑥 al término izquierdo y obtenemos: 𝟐𝒙 = 𝟏𝟎𝟖 Por tanto: 𝒙 = 𝟓𝟒 Luego. 𝒙 𝟒𝒙 La ecuación a resolver es: 𝒙= + + 𝟏𝟐 𝟑 𝟗 2. 1 1  5 < . Contexto Imagina la siguiente situación: En tu hogar se está destinando mucho presupuesto para el pago de la línea telefónica. tu papá va a la empresa de telefonía y le indican la siguiente información: La empresa cobra cada mes 4usd de tarifa fija por el acceso al servicio y cada minuto empleado en llamadas telefónicas cuesta 20 centavos. Desigualdad. Ejemplos de desigualdades son:  10 > 5. y además te asegura resolver siempre una ecuación lineal con una incógnita ¡sin dudar! 2.1. "≥" mayor o igual que. 2  −3 ≥ −7. dependen ahora de variables. esto es. por tanto tu interés es saber de cuántos minutos máximo dispone tu familia al mes. "≤" menor o igual que. 5 2  (− ) ≤ (− ). cuya solución consiste en determinar los valores de las variables. 3 3 Como puedes observar los símbolos usados son: . definamos las inecuaciones. Inecuación.1.2. ">" mayor que.Lo que nos indica que la solución es la correcta. y . "<" menor que.1. Con esta información tu papá indica que máximo destinará 25usd al pago del servicio telefónico. 2. . Es una relación entre dos valores en los cuales expresamos un criterio de orden. Es una relación entre dos desigualdades condicionadas. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . para los cuales la relación de orden expresada es verdadera.2. Definición. . Ahora que ya recuerdas las desigualdades y cómo se expresan. 𝟐 𝟎. 𝟐𝒙 𝟐𝟏 ≤ 𝟎. pago máximo a realizar: 25usd. .2. 𝟐𝒙 ≤ 𝟐𝟓 2. Para recordar la estructura de los intervalos y sus nombres te presento el siguiente cuadro: SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR .2𝑥. costo fijo mensual: 4usd.  Esta respuesta se puede expresar como el intervalo [0.Ejemplo 2: Con base en el contexto nos corresponde plantear la inecuación a resolver. por tanto las condiciones planteadas las podemos expresar como siguen: . 𝟐𝒙 ≤ 𝟐𝟏  Dividimos ambos miembros de la inecuación para 0. En primer lugar asignamos una variable a la incógnita a determinar. Intervalo solución. . 105] La respuesta está expresada en forma de intervalo con un valor mínimo de 0 y un valor máximo de 150. Para determinar la solución de la inecuación planteada procedemos de la siguiente forma:  Restamos 4 a cada miembro de la inecuación con el propósito de dejar solo el término que tiene la variable: 𝟒 + 𝟎. Planteamiento.2 𝟎. 𝟐𝒙 − 𝟒 ≤ 𝟐𝟓 − 𝟒 𝟎.2. Sea 𝑥 el número de minutos que tu familia habla al mes. 𝟐 𝒙 ≤ 𝟏𝟎𝟓  Ahora conoces que máximo en tu casa podrán hablar al mes 105 minutos para poder cumplir el objetivo de tu papá. La inecuación a resolver es: 𝟒 + 𝟎.1. pago por minutos de llamada: 0. La solución del ejemplo 2 es el intervalo [0.es/descartes/web/materiales_didacticos/Inecuaciones/desi_prop. 𝑏[ . cuando están de viaje por ejemplo. 𝒃] 𝑎≤𝑥≤𝑏 Incluye los valores de a y b Abierto: (𝒂.html SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . entre las cuales tenemos la siguiente: Si a los miembros de una desigualdad multiplicas o divides por un número negativo. la desigualdad se invierte. 𝒃) 𝑎≤𝑥<𝑏 Incluye el valor a y no incluye el valor b Infinito: [𝒂. 𝑏) es equivalente a ]𝑎. en este caso los valores negativos no tienen justificación lógica para incluirlos en la solución y constituyen una restricción del contexto del problema planteado. 𝒂) 𝑥<𝑎 Abierto en el valor de a También debes recordar que la notación del intervalo (𝑎. representan exactamente lo mismo. 𝒃) 𝑎<𝑥<𝑏 No incluye los valores de a y b Semiabierto o semicerrado: [𝒂. Intervalo Expresión Cerrado: [𝒂. ya que como máximo podrán hablar 150 minutos al mes y como mínimo 0 minutos. por ejemplo: −2 > −9 (−1) − 2 < −9(−1) 2<9 Para revisar las otras propiedades ingresa al siguiente link: http://recursostic. Debes tener también presente las propiedades de las desigualdades. esto es.educacion. ∞) 𝑥≥𝑎 Cerrado en el valor de a Infinito: (∞. 105] . [. Ejemplo 3: También podemos tener las inecuaciones planteadas como ejercicios en los cuales no necesitas realizar una restricción del contexto.2(50) ≤ 25 4 + 10 ≤ 25 14 ≤ 25 Que es una desigualdad verdadera y que verifica que hemos determinado el intervalo correcto. y que admite también la siguiente notación: 𝒙 ∈ ]−∞. un intervalo infinito según la clasificación de la tabla 𝟒 𝟑 1. 105].2. Para verificar la solución de una inecuación basta con comprobar que un elemento del intervalo encontrado satisface la inecuación originalmente planteada. que se escribe como 𝑥 ∈ [0. por ejemplo 𝑥 = 50 minutos.3. 𝟒 Para pensar: Calcula la solución de las siguientes inecuaciones: a) 3(4 + 𝑥) − 𝑥 > 3 + 2𝑥 3𝑥+1 b) 𝑥 + 7 < 3 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . y reemplazando obtenemos: 4 + 0. por ejemplo: Determinar la solución de: 𝟒(𝒙 + 𝟐) < 𝟏𝟏 Cuya solución es: 4𝑥 + 8 < 11 4𝑥 < 11 − 8 4𝑥 < 3 3 𝑥< 4 𝟑 Que lo podemos escribir como: 𝒙 ∈ (−∞. que en nuestro caso es: 𝟒 + 𝟎. Comprobación. 105].2.1. ) . 𝟐𝒙 ≤ 𝟐𝟓 Tomando un 𝑥 que pertenece al intervalo [0. 0) Corte en el eje 𝒚: igualamos 𝑥 = 0. 𝒅 ∈ 𝑹 (𝒄𝟏 . y despejamos 𝑥: 3𝑥 − 0 = 9 3𝑥 = 9 𝑥=3 Punto (3. 𝒄𝟐 . 𝒄𝟏 . Ecuaciones lineales con 2 variables.2 Sistemas de ecuaciones lineales 2x2. También puedes encontrar en situaciones reales o hipotéticas. si representamos estos puntos en el plano observaremos que representan una recta. te sugiero determinar los cortes con los ejes de coordenadas: Corte en el eje 𝒙: igualamos 𝑦 = 0. Propongamos un caso numérico: Sea la ecuación: 𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟗. ahora debemos determinar pares de valores (𝑥. en el que teníamos una sola incógnita. 𝑦) que cumplan o satisfagan la ecuación planteada. ecuaciones lineales que dependen de dos variables cuya solución varía respecto a la encontrada en el ejemplo 1. Para graficar esta ecuación ahora que conocemos que corresponde a una recta basta con determinar dos puntos de la misma. 2. 𝒃 son números reales) Por tanto.2.1.2. y despejamos 𝑦: 3(0) − 𝑦 = 9 −𝑦 = 9 𝑦 = −9 Punto (0. 𝒄𝟐 . Una ecuación lineal con 2 incógnitas tiene la forma: 𝒄𝟏 𝒙 + 𝒄𝟐 𝒚 = 𝒅. −9) SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 2..No todos los sistemas de ecuaciones lineales 2x2 tienen una única solución y como ya sabes que su gráfico corresponde a una recta te presento la siguiente clasificación: SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 𝑑 ∈ 𝑹 𝒃𝟏 𝒙 + 𝒃𝟐 𝒚 = 𝒅 En el cual el punto de coordenadas (𝑥. 𝑎2 . Del apartado anterior podemos concluir que para poder determinar una única solución debemos tener un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. 𝑏2 .2. por tanto tenemos infinitas soluciones para la ecuación planteada.Estos puntos generalmente se presentan y se leen en una tabla como la siguiente 𝒙 𝒚 0 -9 3 0 El gráfico es el siguiente: Matemáticamente decimos que todos los puntos de esta recta satisfacen la ecuación: 𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟗 y son solución de la misma.2. 𝑦) a determinar como solución debe satisfacer las dos ecuaciones simultáneamente. Sistemas lineales 2x2. propuestos de la siguiente forma: 𝒂𝟏 𝒙 + 𝒂𝟐 𝒚 = 𝒄 { 𝑎1 . Clasificación gráfica. 𝑏1 . Tipos de solución. 𝑐. No existen puntos (𝑥.Gráfico Tipo de solución Explicación El punto de coordenadas (𝑥. las rectas son paralelas entre sí. 𝑦) satisface ambas ecuaciones simultáneamente. las Solución única rectas se cortan entre sí. Las rectas coinciden en el plano y sus ecuaciones son Infinitas soluciones equivalentes. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 𝑦) que satisfacen las dos Sin solución ecuaciones. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . • Pagó por ellos un total de 27usd. b) Sin solución. lo que pretende es reducir el sistema lineal 2x2 a una ecuación con una incógnita. Llamado también método de eliminación.2. • El precio de cada CD es 1. 2. para lo cual la semana anterior entregó a su instructor los CD y los DVD que compró.1.2. que ya la podemos despejar fácilmente y luego utilizar este valor para determinar la segunda variable. Recuerda que los compró con la lista de cuadernos de sus hermanos y que los entregó en un paquete cerrado. 2. Ejemplo 4: Con base al contexto nos corresponde plantear el sistema de ecuaciones lineales a resolver.20usd y el de cada DVD 1. Sea 𝑥 el número de los CD. busca su factura de compra y encuentra la siguiente información: • Compró un total de 17 artículos entre los CD y los DVD.Para pensar: ¿Qué condiciones deben cumplir las ecuaciones lineales del sistema para tener?: a) Infinitas soluciones.3. Métodos de solución. Contexto Imagina la siguiente situación: Tu amigo Juan ha decidido capacitarse en el área de computación e informática. Planteamiento. pero no recuerda el número de cada uno de ellos. Método de reducción.3.80usd. En primer lugar asignamos las variables a las incógnitas a determinar. Se igualan los coeficientes de una de las incógnitas.Sumamos o restamos las ecuaciones. detallemos los pasos a seguir en el método de eliminación: Paso 1. En nuestro caso elegimos la variable 𝑥 por tener los coeficientes menores.2𝑥 + 10 × 1.2𝑥 + 1.. por tanto multiplicamos la ecuación (1) por 12. pues genera las mismas soluciones y que en otros casos el proceso es un poco más extenso y tendrás que determinar el mínimo común múltiplo de los coeficientes de la variable escogida. dado que los coeficientes de 𝑥 coinciden también en signo.. Paso 2. y obtenemos: −12𝑥 − 12𝑦 = −204 (1) { Ecuación (2) menos ecuación (1) 12𝑥 + 18𝑦 = 270 (2) SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . y obtenemos: 12 × 𝑥 + 12 × 𝑦 = 12 × 17 (1) { 12𝑥 + 18𝑦 = 270 (2) 12𝑥 + 12𝑦 = 204 (1) { 12𝑥 + 18𝑦 = 270 (2) Es importante que te indique que en primer lugar la ecuación obtenida es totalmente equivalente a la original.8𝑦 = 27 (2) Como la ecuación (2) tiene valores decimales. 𝑥 + 𝑦 = 17 (1) { 10 × 1. De acuerdo a las condiciones de compra y del precio podemos plantear el siguiente sistema: 𝑥 + 𝑦 = 17 (1) { 1.8𝑦 = 10 × 27 (2) Y obtenemos: 𝑥 + 𝑦 = 17 (1) { 12𝑥 + 18𝑦 = 270 (2) Dado ya el sistema de ecuaciones a resolver con coeficientes enteros. procedemos a restar la ecuación (2) menos la ecuación (1) miembro a miembro.Sea 𝑦 el número de los DVD. muchas veces resulta conveniente multiplicar todos los término de la ecuación por un factor para utilizar valores enteros. en nuestro caso el factor de multiplicación es 10. En nuestro caso. Paso 4. Juan compró también 6 CD..2𝑥 + 1. Sustituyamos y resolvamos en la ecuación inicial (1) 𝑥 + 11 = 17 𝑥=6 Luego. 1. La solución indica que Juan compro 11 DVD y 6 CD.El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.2 + 19. En nuestro caso es muy simple y obtenemos: 𝑦 = 11 Ya sabemos que Juan compró 11 DVD.8𝑦 = 27 1. Para la explicación de los siguientes métodos partiremos de la formulación ya establecida de un sistema lineal 2x2.2(6) + 1..Se resuelve la ecuación resultante. 6𝑦 = 66 Paso 3.Se comprueba la solución: La comprobación se hará sustituyendo los valores obtenidos en una de las ecuaciones iniciales o en ambas.8 = 27 27 = 27 ¡La solución ha sido verificada! Este ejemplo es una muestra de que los sistemas lineales 2x2 tienen su origen en contextos reales o hipotéticos..8(11) = 27 7. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . Como la sustitución en la ecuación inicial (1) es evidente. comprobaremos en la ecuación inicial (2). Paso 5. 2..Igualamos las expresiones anteriores obteniendo una ecuación con una incógnita. Método de Igualación. En nuestro caso escojamos la variable 𝑥.. 𝑥=𝑥 4 + 𝑦 −18 − 7𝑦 = 2 6 6(4 + 𝑦) = 2(−18 − 7𝑦) 24 + 6𝑦 = −36 − 14𝑦 20𝑦 = −60 Paso 3.3..2. 20𝑦 = −60 −60 𝑦= 20 𝑦 = −3. Paso 4.. Ejemplo 5: Hallar la solución del siguiente sistema de ecuaciones: 2𝑥 − 𝑦 = 4 (1) { 6𝑥 + 7𝑦 = −18 (2) Sigamos los pasos que se indican a continuación: Paso 1.Despejamos la misma incógnita de las ecuaciones (1) y (2).Resolvemos la ecuación obtenida.Sustituimos el valor de 𝒚 en uno de los despejes del paso 1. 4+𝑦 𝑥= { 2 −18 − 7𝑦 𝑥= 6 Paso 2.2. 4+𝑦 𝑥= 2 4−3 𝑥= 2 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 3. 𝑦 en una de las ecuaciones iniciales. 𝒚 = −𝟑. Método de Sustitución.2. 𝟐 Paso 5..3. 1 𝑥= 2 𝟏 La solución del sistema es: 𝒙 = .Despejamos una incógnita de una de las ecuaciones. 2..Se comprueba la solución. Ejemplo 6: Hallar la solución del siguiente sistema de ecuaciones: 7 6𝑥 + 𝑦 = 12 (1) { 2 3 9𝑥 − 𝑦 = −6 (2) 4 Sigamos los pasos que se indican a continuación: Paso 1. Despejemos la incógnita 𝑦 de la ecuación (2): 3 9𝑥 − 𝑦 = −6 4 3 𝑦 = 9𝑥 + 6 4 4 𝑦= (9𝑥 + 6) 3 𝑦 = 4(3𝑥 + 2) SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 6𝑥 + 7𝑦 = −18 1 6 ( ) + 7(−3) = −18 2 3 − 21 = −18 −18 = −18 Con lo que verificamos la solución. Reemplazamos 𝑥. Resolvemos la ecuación obtenida. 𝟑 Paso 5..Se comprueba la solución. 𝑦 en una de las ecuaciones iniciales.Sustituimos el despeje de 𝒚 en la ecuación (1) obteniendo una ecuación con una incógnita.. Reemplazamos 𝑥. 𝑦 = 12𝑥 + 8 1 𝑦 = 12 (− ) + 8 3 𝑦 = −4 + 8 𝑦=4 𝟏 La solución del sistema es: 𝒙 = − .Reemplazamos el valor de 𝒙 en el despeje del paso 1. 𝒚 = 𝟒. 7 6𝑥 + 𝑦 = 12 2 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 𝑦 = 12𝑥 + 8 Paso 2... 48𝑥 = −16 −16 𝑥= 48 1 𝑥=− 3 Paso 4. 7 6𝑥 + 𝑦 = 12 2 7 6𝑥 + (12𝑥 + 8) = 12 2 6𝑥 + 7(6𝑥 + 4) = 12 6𝑥 + 42𝑥 + 28 = 12 48𝑥 = −16 Paso 3. la planificación urbana. Sistemas de inecuaciones lineales con 2 variables. Para sistemas lineales 2x2 encontramos aplicaciones típicas en campos relacionados a:  edades. las redes telefónicas.  conteo de elementos. 2. 1 7 6 (− ) + (4) = 12 3 2 −2 + 14 = 12 12 = 12.2. Introducción.3.. Con lo que verificamos la solución.  números.3 Programación lineal. 𝑐 ∈ 𝑹 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR .khanacademy. https://es.2.org/math/algebra/systems-of-linear-equations#systems-of-linear- equations-word-problems 2. 𝑎. Revisa aplicaciones de sistemas de ecuaciones ingresando al siguiente link.  economía y finanzas.  pesos. 𝑏.3. Inecuaciones lineales. 2.4. Aplicaciones. las líneas aéreas. en el que se busca maximizar o minimizar una función lineal en presencia de restricciones expresadas como inecuaciones lineales.1. 2. etc. La programación lineal tuvo su surgimiento en la segunda guerra mundial y ahora es muy utilizada en áreas como: la industria.Una inecuación lineal con dos variables tiene la forma: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≤ 𝑐 .  etc. Un problema de programación lineal es un problema de optimización. ≥. 0). >. Construyamos la siguiente tabla: 𝒙 𝒚 0 -6 2 0 Determinamos los puntos (0. 𝟑𝒙 − 𝒚 = 𝟔 Como ya conoces que esta ecuación representa una recta. caso contrario para los símbolos < o > la línea se traza segmentada. Veámoslo con un ejemplo: Ejemplo 7: Determinemos gráficamente la solución de la inecuación: 𝟑𝒙 − 𝒚 ≤ 𝟔 Los pasos a seguir son:  Reemplazamos el símbolo de la desigualdad por el de igualdad y graficamos la ecuación correspondiente. la recta graficada es parte de la solución cuando la desigualdad es ≤ o ≥.En la que puede estar presente también los símbolos <. La igualdad correspondiente constituye la frontera de los semiplanos. −6) y (2. debemos encontrar dos puntos por los que pase. estos es. incluye una igualdad y se traza como una línea continua. uno donde se satisface la desigualdad y otro en que no se cumple. El gráfico de esta recta es el siguiente: SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . Una inecuación lineal divide el plano 𝑋𝑌 en dos semiplanos. te recomiendo usar los puntos de corte con los ejes. si las coordenadas de P verifican la inecuación se sombrea la región respectiva.  Para determinar el semiplano que satisface la inecuación. tomamos un punto de prueba P en uno de los semiplanos. cuando la recta no pasa por el origen de coordenadas. este punto (0. 3𝑥 − 𝑦 ≤ 6 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR .0) por su facilidad de reemplazo: 3𝑥 − 𝑦 ≤ 6 3(0) − (0) ≤ 6 0≤6 Obtenemos en este caso una expresión verdadera. por tanto el punto pertenece a la región solución y sombreamos el área respectiva. Es común utilizar. 0).5 0 Los puntos por donde pasa la recta son: (0. Ejemplo 8: Determinemos gráficamente la solución del siguiente sistema de inecuaciones lineales: 2𝑥 + 𝑦 > 5 { 𝑥 − 3𝑦 < −6 Siguiendo los pasos especificados en el ejemplo anterior.5. hallamos la solución de cada inecuación: 𝟐𝒙 + 𝒚 > 𝟓 2𝑥 + 𝑦 = 5 𝒙 𝒚 0 5 2. comprenderás que al resolver un sistema de dos o más inecuaciones lineales tenemos que buscar la región en la que coinciden las soluciones de las inecuaciones que forman el sistema. recuerda que ahora la recta se traza segmentada. El reemplazo del punto (0. Ahora que sabes determinar la solución gráfica de una inecuación lineal con 2 incógnitas. 5) y (2.0) np satisface la inecuación: SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR .Cualquier punto P de la región sombreada satisface la inecuación propuesta. Ahora determinamos la solución de la inecuación: 𝒙 − 𝟑𝒚 < −𝟔 𝑥 − 3𝑦 = −6 𝒙 𝒚 0 2 -6 0 Los puntos por donde pasa la recta son: (0.0) Graficamos la recta y sombreamos la región solución. 0). SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . por tanto el semiplano no contiene el punto (0. 2) y (-6. 2(0) + 0 > 5 0>5 Esta desigualdad es una falsedad. recuerda que también esta recta se traza segmentada. El punto (0.0) no pertenece al semiplano solución. Finalmente juntamos los gráficos y determinamos la solución del sistema de inecuaciones planteado: La región en la cual coinciden ambos sombreados es la solución. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . Graficamos la recta y sombreamos la región solución. pues la expresión 0 < −6 es falsa. Función objetivo. En un problema de programación lineal. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR .3. Ejemplo 9: Contexto El jefe de planta de una empresa de producción de mesas va a construir al menos 6 muestras de un tipo de mesas para oficinas.3. Se deben construir por lo menos dos mesas de cada tipo y el tiempo de entrega son 3 días. Región factible. Las mesas de madera necesitan 8 horas para construirse y las de plástico 4 horas.3. la función objetivo es la ecuación a ser optimizada. 2. En base a estas condiciones queremos minimizar el costo de producción de las mesas.4. las mesas son de madera y plástico y cuestan 20usd y 10usd respectivamente. esto es maximizada o minimizada de acuerdo al contexto y sujeta a las restricciones del sistema de inecuaciones lineales del problema. La región factible de un sistema de inecuaciones lineales es el espacio solución del sistema.2. …. llamemos: 𝒙 al número de mesas de madera a producir.El tiempo de entrega máximo son 3 días. que lo llamaremos 𝑪. 𝒚) = 𝟐𝟎𝒙 + 𝟏𝟎𝒚 Esta ecuación representa el costo de producción de las mesas..……. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 𝒚 al número de mesas de plástico a producir. las mesas de madera se construyen en 8 horas y las de plástico en 4 horas. 𝑦 ≥ 2………………………. El sistema de inecuaciones lineales se expresa: 𝑥+𝑦 ≥6 8𝑥 + 4𝑦 ≤ 72 { 𝑥≥2 𝑦≥2 Las rectas que corresponden a las ecuaciones relacionadas con las dos últimas desigualdades 𝑦 = 2 y 𝑥 = 2 son: una recta horizontal y una vertical respectivamente.…. Asignemos las variables a trabajar. Mediante un proceso similar al ejemplo anterior determinamos la región solución común a estas cuatro restricciones..Se desean construir al menos 6 mesas de muestra.Se deben construir al menos dos mesas de madera.En este problema está claro que debemos optimizar el costo de producción..Se deben construir al menos dos mesas de plástico. Esta ecuación está condicionada a las restricciones del sistema de inecuaciones lineales que podemos leer en el contexto: 𝑥 + 𝑦 ≥ 6…………………. 8𝑥 + 4𝑦 ≤ 72.. Conocida la asignación realizada podemos escribir la función objetivo de la siguiente forma: 𝑪(𝒙. 𝑥 ≥ 2………………………. Vértice Coordenadas Sistema 𝑥+𝑦 =6 { A (4.La región factible (RF) determinada gráficamente es: En este gráfico también podemos determinar los vértices de la región factible que corresponden a las soluciones de los sistemas de ecuaciones formados por las rectas que se intersecan. 2) 𝑦=2 8𝑥 + 4𝑦 = 72 { B (8. 14) 𝑥=2 𝑥+𝑦=6 { D (2. 4) 𝑥=2 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 2) 𝑦=2 8𝑥 + 4𝑦 = 72 { C (2. 5.3. Vértice Valor de la función objetivo A (4. Solución óptima. 𝟐) = 𝟐𝟎(𝟒) + 𝟏𝟎(𝟐) = 𝟏𝟎𝟎 B (8. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . se desea minimizar el costo de producción de las mesas. 𝒚) = 𝟐𝟎𝒙 + 𝟏𝟎𝒚 El proceso para determinar la solución óptima es evaluar los vértices de la región factible en la ecuación de costo ya establecida. el número de mesas de madera y de plástico a ser construidas de acuerdo a las restricciones establecidas en el problema. 14) 𝑪(𝟐. 2) 𝑪(𝟒. por tanto. 4) 𝑪(𝟐. el mismo que ya establecimos en la expresión: 𝑪(𝒙. 𝟒) = 𝟐𝟎(𝟐) + 𝟏𝟎(𝟒) = 𝟖𝟎 Por tanto se debe construir 2 mesas de madera y 4 de plástico. 2) 𝑪(𝟖. En el problema del ejemplo que estamos resolviendo. 𝟏𝟒) = 𝟐𝟎(𝟐) + 𝟏𝟎(𝟏𝟒) = 𝟏𝟖𝟎 D (2. 𝟐) = 𝟐𝟎(𝟖) + 𝟏𝟎(𝟐) = 𝟏𝟖𝟎 C (2. que generará un costo mínimo de 80usd.2. determinando el costo mínimo y. reconociendo que nuestra vida está llena de diferentes tipos de relaciones. como el siguiente: La relación anterior muestra la materia favorita de 4 estudiantes de bachillerato. también encontramos una relación entre los artículos y su precio. Las relaciones también son muy importantes. Lo primero que notamos es la presencia de dos conjuntos: 𝐴 = {𝐽𝑢𝑎𝑛. dependiendo de dónde compres.. Función: elementos de una función. 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎𝑠. 𝐿𝑒𝑛𝑔𝑢𝑎𝑗𝑒} El conjunto A.Al hablar de función debemos hacer referencia al término relación.4. etc. etc. mientras que el conjunto B es llamado el conjunto de llegada y muestra las materias preferidas por ellos. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 𝐴𝑛𝑎} 𝐵 = {𝐻𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎. que en este caso es única. es llamado el conjunto de partida y muestra los 4 estudiantes de bachillerato. tú tienes una relación con el número de tu cédula de identidad. 2. así cuando vas de compras hay una relación entre el comprador y el número de artículos que compra. llamados diagramas sagitales. así. Como puedes darte cuenta las relaciones se establecen entre los elementos de 2 conjuntos básicamente y cumplen una determinada regla de asignación.2. Estas relaciones se representan en gráficos de conjuntos. Introducción.4 Funciones Lineal y Cuadrática.1. 𝐶𝑎𝑚𝑖𝑙𝑎. también existe la relación entre el comprador y la distancia recorrida hasta el lugar de compra. 𝑃𝑒𝑑𝑟𝑜. y de este tipo de relaciones tenemos también la relación entre el auto de tu familia y el número de placa. sí constituye una función. Los elementos del conjunto A reciben ahora el nombre de dominio de la función. por tanto. Las funciones expresadas en notación matemática tienen la siguiente estructura: 𝑨 → 𝑩 𝒇: { 𝒙 → 𝒇(𝒙) SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . (𝑃𝑒𝑑𝑟𝑜. La representamos con la letra 𝑓. (𝐴𝑛𝑎. la relación indicada anteriormente cumple la condición y. 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎𝑠). (𝐶𝑎𝑚𝑖𝑙𝑎. 𝑀𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎𝑠)} Estas relaciones bajo una específica condición reciben el nombre de función: Función es una relación en la que a cada elemento del conjunto de partida sólo le corresponde un elemento en el conjunto de llegada. 𝐿𝑒𝑛𝑔𝑢𝑎𝑗𝑒). y se la puede mostrar formada por los pares ordenados siguientes: 𝑅 = {(𝐽𝑢𝑎𝑛.La relación la podemos expresar de la siguiente forma: 𝑹 = "𝒍𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒆𝒓𝒊𝒂 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒊𝒕𝒂" Esta relación asigna a cada estudiante su materia preferida. y los elementos del conjunto B pertenecientes a los pares ordenados mostrados en la relación reciben el nombre de rango de la función. 𝐻𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎). Bajo esta definición. La función lineal y la función afín se representan algebraicamente de la siguiente forma: SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR .org/math/algebra/algebra-functions/domain-and-range/v/range- of-a-function 2. El dominio de 𝑓(𝑥) es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente 𝑥. que se cumpla la regla de asignación dada por la función 𝑓. Función Lineal y función afín: Concepto. representación.Que se lee: función 𝑓 entre los conjuntos 𝐴 y 𝐵.4.khanacademy. También se suele definir el dominio y rango de una función de la siguiente forma:  𝑫𝒇(𝒙).khanacademy.2.  𝑹𝒇(𝒙). El rango de 𝑓(𝑥) es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente 𝑦. La regla de asignación de la función se escribe: 𝒚 = 𝒇(𝒙) Como puedes ver la función es una relación entre los elementos 𝑥 del dominio de la función 𝑫𝒇(𝒙) y elementos 𝑦 del rango de la función 𝑹𝒇(𝒙). y que por tanto son una consecuencia de aplicar la regla de asignación de la función 𝑓 sobre el dominio. que a cada elemento 𝑥 de 𝐴 le asigna un elemento 𝑓(𝑥) en 𝐵. Puedes acceder al siguiente link para ampliar tu conocimiento sobre dominio y rango de una función: https://es. La función lineal y la función afín son funciones polinómicas de primer grado.org/math/algebra/algebra-functions/domain-and-range/v/domain- of-a-function-intro https://es. Expresión. de tal forma. los términos 𝑥 y 𝑦 se conocen como las variables de la función y reciben la siguiente clasificación: 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒊𝒏𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆. 𝒙 ∈ 𝑫𝒇(𝒙) 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆. 𝒚 ∈ 𝑹𝒇(𝒙) El dominio y rango constituyen los elementos básicos para identificar y determinar una función. 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥. esto significa que la representación gráfica de funciones lineales y afines son líneas rectas. esto es. 𝑚. 𝑚∈𝑹 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑎𝑓í𝑛 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏. Si reconoces estas ecuaciones. en las cuales 𝑚 y 𝑏 son números reales. corresponden a ecuaciones lineales con dos incógnitas cuya representación gráfica son rectas. 𝑦 = 𝑓(𝑥) sus ecuaciones se expresan de la siguiente forma: 𝑦 = 𝑚𝑥 . Observa en la tabla los siguientes ejemplos de función lineal y función afín: Función Gráfica 𝑓(𝑥) = 4𝑥 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏. 𝑏 ∈ 𝑹 Como ya establecimos que 𝒚 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒙. cuya ecuación se expresa de la forma 𝑦 = 2𝑥 + 3. matemáticamente se expresa como: 𝐷𝑓(𝑥) = {𝑥|𝑥 ∈ 𝑹} 𝑅𝑓(𝑥) = {𝑦|𝑦 ∈ 𝑹} SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3 Para pensar:  ¿Cuál es la diferencia gráfica entre una función lineal y una función afín?  ¿Toda recta en el plano representa una función? 2.1Propiedades.4. podemos observar que la variable independiente 𝑥 puede tomar cualquier valor real. por tanto podemos concluir que el dominio y el rango de esta función son todos los números reales. utilizando las definiciones de dominio y rango dadas anteriormente. ¿Cuál es el dominio y el rango de una función de la forma 𝒇(𝒙) = 𝒎𝒙 + 𝒃? En la tabla anterior tenemos graficada la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3. situación idéntica con los valores que toma la variable dependiente 𝑦.2. el símbolo ∆ es la letra griega delta que representa “incremento”. su corte en el eje 𝑦 y su raíz. esto es. que corresponde al punto (0. Es claro ver que el valor de 𝑏 representa el corte en el eje Y. que coincide por tanto con el corte en el eje 𝑥. pues corresponde al valor que toma 𝑦 cuando 𝑥 = 0. entendida como el valor de 𝑥 que hace que la función 𝑓(𝑥) = 0.Al hablar de las propiedades de la función lineal y la función afín. y la pendiente 𝑚 es una medida de la inclinación de la recta que se lee como una razón del incremento en 𝑦 (∆𝑦). La ecuación de la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 se conoce como la ecuación cartesiana de la recta con pendiente 𝑚 y ordenada en el origen b. respecto a un incremento en 𝑥 (∆𝑥). Observa en el siguiente gráfico la interpretación de la pendiente 𝑚 y la ordenada en el origen 𝑏. también podemos determinar a más del dominio y rango. con su crecimiento o decrecimiento. La pendiente 𝑚 de una recta está relacionada con su monotonía. visto siempre en el sentido de avance positivo del eje X y mantiene la siguiente relación: Relación de Pendiente Monotonía Gráfico incrementos SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 𝑏). la pendiente 𝑚 tiene relación con la inclinación de la recta y el valor de 𝑏 nos da el corte en el eje Y. c) Monotonía.org/math/algebra-basics/core-algebra-graphing-lines-slope/core-algebra- slope/v/slope-and-rate-of-change 2. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR .2. para al concepto de pendiente: https://es. b) Cortes con los ejes.2. Solución. determinar: a) Dominio y rango. Ejercicios y Problemas.khanacademy.4. 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ 𝑹? También puedes revisar el siguiente link. 𝑚>0 Recta creciente 𝑥2 > 𝑥1 𝑦2 > 𝑦1 Recta 𝑚<0 decreciente 𝑥2 > 𝑥1 𝑦2 < 𝑦1 Para pensar:  ¿Cuál es el valor de la pendiente de las rectas constantes de la forma 𝑦= 𝑘. Ejemplo 10: Dada la función 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 5. 5 2 El corte en el eje 𝑥 es el punto de coordenadas (2. así como la variable dependiente 𝑦. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . los cortes con los ejes se presentan bajo las siguientes condiciones. La ordenada en el origen 𝒃 es igual a 5 y el corte es el punto (0. ya que no presenta ninguna restricción. por tanto de acuerdo al análisis de la tabla anterior esta es una recta decreciente. ∞[ 𝑅𝑓(𝑥) = {𝑦|𝑦 ∈ 𝑹} ó 𝑦 ∈ ] − ∞. c) También podemos identificar en la ecuación 𝑦 = −2𝑥 + 5 que la pendiente 𝒎 tiene un valor de −2.5 se llama raíz de la función. la representación gráfica de la función 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 5 abarca todo el eje X y todo el eje Y.5) = 0. Corte con el eje X: (𝑦 = 0) 𝑦 = −2𝑥 + 5 0 = −2𝑥 + 5 2𝑥 = 5 5 𝑥 = = 2. Corte con el eje Y: (𝑥 = 0) En nuestro caso lo podemos leer directamente de la ecuación. 5). 0) y el valor de 𝑥 = 2.5. Luego: 𝐷𝑓(𝑥) = {𝑥|𝑥 ∈ 𝑹} ó 𝑥 ∈ ] − ∞. 𝑦 = −2𝑥 + 5. pues la variable independiente 𝑥 puede tomar cualquier valor. pues identificando los términos entre las ecuaciones: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏. Todo lo determinado analíticamente lo podemos comprobar en el siguiente gráfico. esto es. ∞[ b) Tal como vimos en las secciones anteriores.a) En primer lugar al reconocer que 𝑦 es una función de 𝑥. 𝑦 = 𝑓(𝑥) podemos escribir la ecuación 𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟓 en la que tanto el dominio como el rango son todos los números reales. ya que cumple la condición 𝑓(2. Ejemplo 11: La siguiente tabla muestra la tarifa de taxis en Ecuador para el año 2010: Fuente: ANT a) Para el servicio diurno. modela una función lineal que relacione el valor a pagar con la distancia recorrida. suponiendo que es lineal. b) ¿Qué representan los valores 0.35 y 0.26? c) ¿Cuál es el costo de un viaje de 8km? SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 35 0. ya que su valor depende de la distancia del viaje realizado. Su gráfico es el siguiente: SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR .61 0. pues es el valor que va a cambiar con cada uno de los usuarios del servicio.Solución. 𝟎. por tanto comencemos asignando las variables: Variable independiente 𝒙 = distancia del viaje. Realicemos una tabla que represente el costo del servicio para los primeros 5km.39 1. Variable dependiente 𝒚 = costo del viaje. Distancia 0 1 2 3 4 5 (km) Costo (usd) 0. a) La función buscada tiene la forma 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏. por tanto 𝑥 = 0 y corresponde a la ordenada en el origen. Según la información la arrancada tiene un valor de 0. es decir.87 1.65 En esta tabla sólo hemos sumado la arrancada y el valor de cada km. todavía no has recorrido ningún kilómetro. 𝟑𝟓).35. el punto (𝟎. que se expresa mediante la ecuación 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏.13 1. 35 𝑦 = 2. c) Para determinar el costo de un viaje de 8km debemos reemplazar la variable 𝑥 que representa la distancia en km por el valor 𝑥 = 8 y determinar el valor del costo del viaje representado por la variable 𝑦.26usd.35 𝑦 = 0. esto es. es creciente y tiene una pendiente 𝑚 > 0.26(8) + 0. por cada kilómetro adicional el valor se incrementa en 0.26𝑢𝑠𝑑 Variación en 𝑥 es ∆𝑥 = 1𝑘𝑚 Por tanto la pendiente de esta recta es: ∆𝑦 0. 𝟐𝟔𝒙 + 𝟎. existe un ritmo de cambio continuo.35 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . como en la variable dependiente 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑖𝑎𝑗𝑒 𝑒𝑛 𝑡𝑎𝑥𝑖.35 representa la ordenada en el origen 𝒃.El gráfico corresponde a una recta que tiene un ritmo de cambio continuo positivo.26 𝑚= = = 0. Para determinar el valor de la pendiente realicemos el siguiente análisis en la tabla de datos anterior: Observamos que tanto en la variable independiente 𝑥 = 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎. esto es: Variación en 𝑦 es ∆𝑦 = 0.26𝑥 + 0.08 + 0.26 representa la pendiente de la recta 𝒎 y el valor de 0.26 ∆𝑥 1 Luego la ecuación de la recta que tiene la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 se puede expresar como: 𝒚 = 𝟎. 𝟑𝟓 b) El valor de 0. 𝑦 = 0. 3.1.4.2. 𝑐 ∈ 𝑹. 𝑎 ≠ 0 2. 𝑏.3. con 𝑎.4. cuyos elementos se muestran a continuación: 2.4. Practica más modelos lineales en el siguiente enlace: https://es. Caractericemos cada uno de los elementos descritos: Corte en el eje Y.3. Su representación gráfica es una curva típica llamada parábola. con 𝑎 ≠ 0 tiene un corte en el eje Y.4.org/math/algebra/linear-word-problems/linear-models-word- problems/e/constructing-and-interpreting-linear-functions 2. 2. que corresponde al reemplazo del valor 𝑥 = 0 en la función 𝑓.Toda función cuadrática con ecuación 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 .khanacademy.. Expresión algebraica. Representación gráfica.3. La expresión algebraica de una función cuadrática se escribe: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Función Cuadrática. 𝑦 = 2. esto es: SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR .43usd.43 El viaje de 8km tiene un costo de 2. Propiedades.3. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑓(0) = 𝑎(0)2 + 𝑏(0) + 𝑐 𝑓(0) = 𝑐 Por tanto el punto de corte en el eje Y es (𝟎..Una función cuadrática puede tener 0. 1 o 2 cortes en el eje X de acuerdo a los siguientes casos posibles gráficamente: 0 cortes en el eje X 1 corte en el eje X SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 𝒄) y se lo puede leer directamente en la expresión algebraica de la función. Cortes en el eje X. .El vértice de una función cuadrática es su punto máximo o su punto mínimo. La siguiente tabla muestra la relación de la concavidad de la parábola con el coeficiente 𝑎 y la expresión para determinar sus coordenadas. por tanto podemos tener parábolas cóncavas hacia arriba y parábolas cóncavas hacia abajo de acuerdo al valor del coeficiente 𝑎 de su función. 2 cortes en el eje X Los cortes en el eje X se conocen comúnmente como los ceros o raíces de la función cuadrática. pues se determinan bajo la condición: 𝒇(𝒙) = 𝟎 Esta expresión genera la ecuación: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 Que se resuelve factorizando o aplicando la expresión: −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑥= 2𝑎 Vértice. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . el que queda determinado por la concavidad de la parábola. entendiendo por concavidad la curvatura de la gráfica. Eje de simetría.. las ramas de la parábola se abren simétricamente y por tanto si imaginariamente cerramos estas ramas respecto a este eje. ya que estos se distribuyen alrededor de este valor. y para determinar la coordenada 𝑦 del vértice se evalúa la función en el valor 2𝑎 −𝑏 de 𝑥 ya indicado. 𝑎 ≠ 0.El eje de simetría de una parábola es una recta imaginaria paralela al eje Y que pasa por su vértice. definida en los reales. Dominio.De acuerdo a la tabla anterior para determinar la coordenada 𝑥 del vértice de la parábola se aplica −𝑏 la expresión 𝑥 = .. 2𝑎 La coordenada 𝒙 del vértice de una parábola es un dato fundamental cuando se grafica la función cuadrática con una tabla de valores. esto es 𝑦 = 𝑓 ( ). pues su variable independiente 𝑥 puede tomar cualquier valor y no está sujeta a ninguna restricción. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . con el propósito de tener un gráfico con la forma completa de la parábola. éstas coinciden en todos sus puntos.Una función cuadrática 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. por tanto tendrá como ecuación: −𝒃 𝒙= 𝟐𝒂 Podemos observar en el gráfico inicial de elementos que alrededor del eje de simetría. tiene como dominio todos los números reales. que corresponde a los valores que toma su variable dependiente 𝑦 = 𝑓(𝑥). estará determinada por la ordenada del vértice de la parábola y su concavidad. 𝑎 ≠ 0.Rango. La siguiente tabla ilustra gráficamente las condiciones del dominio y rango expuestas: Parábola Dominio Rango −𝑏 ] − ∞.. ∞[ 2𝑎 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . ∞[ [𝑓 ( ) .El rango de la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. −𝑏 ] − ∞, ∞[ ]−∞, 𝑓 ( )] 2𝑎 2.4.3.4. La fórmula cuadrática y el discriminante. La fórmula cuadrática busca determinar los ceros de la función cuadrática, esto es los cortes con el eje X, llamados también las raíces de la función. Podemos aplicar la siguiente expresión ya dada para determinar los cortes en el eje X: −𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 𝒙= 𝟐𝒂 El número de raíces a determinar depende de la expresión 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 que se encuentra bajo el radical y que se conoce como el discriminante (∆), el mismo que permite determinar el número de raíces reales de la función bajo las siguientes condiciones: Para la función cuadrática 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄, 𝒂 ≠ 𝟎 • Si el discriminante ∆ = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 > 0, la función tiene dos raíces reales distintas y la su gráfica corta al eje X en dos puntos. • Si el discriminante ∆ = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 0, la función tiene una raíz real (raíz doble) y su gráfica es tangente al eje X (topa al eje X en un punto) • Si el discriminante ∆ = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 < 0, la función no tiene raíces reales y su gráfica no corta al eje X. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR Revisa otras formas de expresión de la función cuadrática y sus características en el siguiente enlace: https://es.khanacademy.org/math/algebra/quadratics/features-of-quadratic-functions/v/finding- features-of-quadratic-functions 2.4.3.5. Ejercicios y problemas. Ejemplo 12: Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 8𝑥 + 18 . Determinar: a) Corte en el eje Y b) Vértice c) Gráfico d) Raíces e) Eje de simetría f) Dominio y rango. Solución. a) El corte en el eje 𝑦 se determina cuando 𝑥 = 0, esto es, evaluando la función en cero 𝑓(0), que corresponde al valor del término constante de la función. 𝑓(0) = 18, punto de corte en el eje Y es (0, 18) b) Relacionando las ecuaciones: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 8𝑥 + 18 Podemos identificar los coeficientes: 𝑎 = 1, 𝑏 = −8, 𝑐 = 18 −𝑏 −𝑏 El vértice está determinado por el punto de coordenadas ( , 𝑓 ( )) 2𝑎 2𝑎 −𝑏 −(−8) 8 = = =4 2𝑎 2(1) 2 𝑓(4) = 42 − 8(4) + 18 = 16 − 32 + 18 = 2 Luego, el vértice tiene por coordenadas (𝟒, 𝟐) y es un mínimo, ya que 𝑎 = 1 > 0, por tanto la parábola es cóncava hacia arriba. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR c) Para realizar el gráfico de la parábola elaboremos una tabla de valores, en la cual la abscisa del vértice ocupará el valor central entre los valores de la variable independiente 𝑥. 𝒙 2 3 4 5 6 𝒚 6 3 2 3 6 Los valores se obtienen de un simple reemplazo del valor propuesto 𝑥 en la función, es decir, evaluar la función en los valores 𝑥 de la tabla: 𝑓(2), 𝑓(3), 𝑓(5), 𝑓(6). Graficando obtenemos la siguiente parábola: d) Si observamos el gráfico vemos que esta función no tiene raíces reales, su parábola no corta al eje X. Analizando el discriminante: ∆ = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = (−8)2 − 4(1)(18) = 64 − 72 = −4 < 0 Lo que concuerda con la clasificación dada de las raíces. −𝑏 e) Coincide con la coordenada 𝑥 = del vértice. 2𝑎 El eje de simetría es la recta 𝒙 = 𝟒. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR o también 𝑅𝑓(𝑥) = 𝑦 ∈ [2. En la práctica del deporte se dan muchos saltos. Solución. Determinar: a) La altura máxima del salto del deportista y el tiempo en alcanzarla. b) ¿Cuánto tiempo estuvo el deportista en el aire? c) La altura del deportista al tercer segundo de saltar. la altura de los saltos (en metros) de un deportista de élite se puede modelar por la función: ℎ(𝑡) = −𝑡 2 + 4𝑡 Donde:  ℎ(𝑡) representa la altura del deportista en metros. ∞[ Ejemplo 13: El snowboard es un deporte olímpico desde 1998 y consiste en surfear por la nieve. esto es: 𝐷𝑓(𝑥) = {𝑥|𝑥 ∈ 𝑹} Como la función es cóncava hacia arriba y el vértice es un mínimo. considerando que los valores de 𝒕 no pueden ser negativos. En primer lugar procedamos a graficar la función cuadrática dada construyendo una tabla de valores en la que la variable independiente es el tiempo.f) El dominio de la función cuadrática corresponde a todos los números reales como ya se ha determinado. esto es: 𝑅𝑓(𝑥) = {𝑦|𝑦 ≥ 2} . SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . y  𝑡 representa el tiempo en segundos. el rango corresponde al intervalo desde la ordenada del vértice hasta infinito. lo que se debe interpretar como la restricción natural del contexto. ℎ(3). 2𝑎 Las ordenadas de los puntos se obtienen evaluando la función. que corresponde a la abscisa del vértice de la parábola a graficar y se obtiene con la expresión −𝑏 𝑡= . ℎ(1). 𝑡≥0 𝒕 0 1 2 3 4 𝒉(𝒕) 0 3 4 3 0 Como notas en la tabla usamos como valor central de la variable independiente 𝑡 el valor de 2. ℎ(𝑡)). Como puedes observar para los tiempos 0s y 4s la altura es cero. ℎ(2). esto es. el gráfico obtenido es: a) Cada punto de la parábola graficada tiene por coordenadas (𝑡. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . reemplazando los valores del tiempo propuestos y hallando los valores correspondientes a: ℎ(0). ya que la variable dependiente altura no admite valores negativos. la abscisa (valor en el eje 𝑥) corresponde al tiempo y la ordenada (valor en el eje 𝑦) corresponde a la altura del deportista. ℎ(4). ℎ(𝑡) ≥ 0 Luego. −(2)2 + 4(2)) (2. el tiempo entre las alturas cero de ℎ(𝑡). 𝑏 = 4. primero un factor común: 𝑡(−𝑡 + 4) = 0 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . desde el inicio al final del salto.ℎ( )) 2(−1) 2(−1) (4.4) Lo cual significa que la altura máxima del salto es 4 metros y el tiempo en alcanzarla son 2s.Por tanto. En primer lugar identificamos los coeficientes 𝑎. Raíces de 𝒇. y calcularlo con las expresiones expuestas en la parte teórica. esto es. El vértice lo podemos ver en el gráfico. ℎ(𝑡) = −𝑡 2 + 4𝑡 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Podemos identificar: 𝑎 = −1. 𝑐 = 0. la altura máxima del deportista corresponde a la ordenada del vértice de la parábola. −𝑡 2 + 4𝑡 = 0 Resolvamos por factorización. Son los cortes con el eje 𝑥 y se determinan bajo la condición ℎ(𝑡) = 0. b) El tiempo que estuvo en el aire corresponde en la gráfica corresponde a la distancia horizontal (intervalo de tiempo) entre los cortes en el eje 𝑥 (ceros o raíces de 𝑓). 𝑏. La coordenada del vértice viene dada por: −𝑏 −𝑏 ( . 𝑐. ya que es el punto máximo. Vértice. ℎ(4)) (2. y el tiempo en alcanzarla es la abscisa del vértice. ℎ ( )) 2𝑎 2𝑎 Luego con un reemplazo de las constantes obtenemos: −4 −4 ( . ℎ(𝑡) = −𝑡 2 + 4𝑡 ℎ(3) = −(3)2 + 4(3) ℎ(𝑡) = −9 + 12 ℎ(𝑡) = 3𝑚 La altura del deportista en el tercer segundo son 3 metros. c) Para determinar la altura del deportista al tercer segundo debemos reemplazar el valor de 𝑡 = 3 en la expresión de la altura ℎ(𝑡). esto es. La fórmula expresa: −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑡= 2𝑎 −4 ± √42 − 4(1)(0) 𝑡= 2(−1) −4 ± 4 𝑡= −2 −4 + 4 𝑡1 = = 0𝑠 −2 −4 − 4 𝑡2 = = 4𝑠 −2 Por tanto el intervalo de tiempo que el deportista estuvo en el aire es 𝒕𝟐 − 𝒕𝟏 = 𝟒𝒔. 𝒕𝟐 = 𝟒𝒔 También podemos utilizar la fórmula cuadrática y obtener el mismo resultado: −𝑡 2 + 4𝑡 = 0 Los coeficientes son: 𝑎 = −1. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . evaluar la altura en el tercer segundo hallando ℎ(3). como tenemos dos factores igualados a cero. 𝑏 = 4. esto es: 𝒕𝟏 = 𝟎𝒔 (−𝑡 + 4) = 0. uno de los dos debe valer cero.Luego. 𝑐 = 0. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . que alcanza el delfín en su salto. ¿Cuál es la máxima edad que puede tener José? 2) Un fabricante de pantallas de computadora tiene costos fijos de 10000usd y costo por cada unidad de producción de 350usd. determina en metros el perímetro del terreno. 5) Se vende un terreno rectangular de 726 𝑚2 . de lo que le sobra gasta la tercera parte en alimentación y le queda 450usd. que la empresa debe producir semanalmente para maximizar sus ingresos. en ese orden. Si una empresa internacional de computadoras le solicita 𝑥 unidades. en el siguiente gráfico se encuentran presentes las rectas frontera de las restricciones de producción semanal:  Semanalmente deben producir mínimo 30 unidades en total. si se sabe que el ancho del terreno es dos tercios de largo.FORTALECIMIENTO DE CONOCIMIENTOS Tarea 1) José es 7 años mayor que Javier y el resultado de sumar sus dos edades es menor a 75. 6) Una empresa textil se especializa en la fabricación de camisetas (𝑥) y chompas deportivas (𝑦) a un precio de venta de 12usd y 20usd respectivamente. donde 𝑡 se mide en segundos y ℎ(𝑡) en metros. ¿Cuánto gana al mes Josué en dólares? 4) El salto de un delfín se puede modelar con la función ℎ(𝑡) = −3𝑡 2 + 12𝑡 − 8. determina la máxima altura ℎ𝑚𝑎𝑥 (𝑡) en metros. ¿cuál es la ecuación que modela el costo de producción 𝑦? 3) Josué gasta de su sueldo la cuarta parte en el arriendo de su departamento.  Deben producir por lo menos el doble de camisetas que de chompas Determina la cantidad de camisetas y chompas. Tiene dos tipos de jugos A y B con diferente tipo de concentración y planea producir este mes 𝑥 jugos tipo A y 𝑦 jugos tipo B. resulta menos que 32. Para la producción de este mes se compraron 7kg se zumo de mora y 10kg se zumo de naranja.  Los jugos tipo B llevan 60g de zumo de naranja y 90g de zumo de mora. resulta más que 17. Si se conoce que:  Los jugos tipo A llevan 50g de zumo de mora y 100g de zumo de naranja. 8) Si al triple de la edad de Julia le restas 16. Determina el conjunto de restricciones del problema. y si a la mitad de su edad le sumas 10. Determina la edad de Julia.7) Una empresa se especializa en la producción de jugos naturales combinados de naranja y mora sin preservantes. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 𝑓. 3 √√𝑏𝑐 3 𝑎2 √𝑎2 c. 𝑖 3. (2. 𝑖 b. (1. a. 𝑎 > 0. 3 √√𝑐 2. 𝑔 c. -1 c. 𝑓. 𝑐𝑜𝑛 𝑥 > 0. 2) 4. Dada la función 𝑓(𝑥) = log 𝑎 𝑥 . 3 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 𝑎) c. (𝑎.001 a.0) d. ℎ.0) b. ℎ d. La expresión equivalente de es: √𝑎𝑏𝑐 𝑎√𝑎 a.UNIDAD FORMATIVA 3: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y REPRESENTACION DE VARIABLES Evaluación Diagnostica 𝑎3 √𝑎𝑏𝑐 2 1. √𝑏𝑐 3 𝑎2 √𝑏 d. 𝑔. Identifica las funciones exponenciales: Función Ecuación 𝑓 𝑦 = 𝑥2 𝑔 𝑦 = 2𝑥 ℎ 𝑦 = 3𝑥 𝑖 𝑦 = 𝑥3 a. 𝑎 ≠ 1. 1 b. Identifica el punto que pertenece a la función. (1. Calcula el valor de log10 0. 3 √𝑏𝑐 6 𝑎2 √𝑎5 b. La expresión equivalente de 𝑎𝑏 = 𝑐. 1A. log 𝑏 𝑎 = 𝑐 c. 400 7. log 𝑎 𝑐 = 𝑏 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 3A. 2B. log 𝑎 𝑏 = 𝑐 b. log 𝑏 𝑐 = 𝑎 d. Si 4𝑥 + 2𝑥 = 2. 4D d. 3B. 1A. 3C. 2D. -3 5. el valor de 𝑥 es: a. 4C b. 0 c. 10 b. – 1 b. 2 6. 1C. 4D 8. 3D. 1 1 d. d. Relacione cada logaritmo con su valor: 1 3 log 1 ( ) − 1 4 32 A 2 1 3 log 4 ( ) 2 8 B 2 log 9 27 5 3 C 2 log 1 (243) 5 4 9 D − 2 a. 4B c. entonces el valor de 𝑥 es: a. 100 d. con 𝑎 > 0 es: a. 2A. 2B. Si log(25𝑥) = 4. 40 c. 1C. ∞[ 2) 𝑔(𝑥) = log 2 𝑥 B) ]−1.3B c. 0[ d. El valor de ln ( 3) es: 𝑒 a. 1C. 4√3 d. Relaciona cada una de las siguientes funciones con su rango: Función Rango 1) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 A) ]−∞. 3 13. ∞[ a.2A 1 12. [0. ∞[ 10.2C.2B. 1A. 2 b. 1C. 2 b. 8 d. ∞[ 3) ℎ(𝑥) = 2𝑥 − 1 C) ]0.9. 1A. 4 c.2B. El valor de 𝑥 en la expresión log 2 16 es: a. 1 c. ]−∞. 16 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR .3C b. El dominio de la función 𝑓(𝑥) = 3𝑥 es: a. 8√3 11.2A.3B d. –3 b. 𝑒 d. ]−∞. El valor de la expresión 8 log 3 √3 es: a. ]−∞. 4 c. 0] c. ∞[ b. 3 d. y 𝑡 representa el tiempo en años.4 c. 2. 𝑦 = 20000(0. 1. Si un auto comprado en 20000 dólares se deprecia 20% cada año. a.2)𝑡 b. 2.3 b. 1. 𝑦 = 20000(0. Dos de las siguientes expresiones son correctas.4 15.8)𝑡 d.8 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR .2 c.14. determina la expresión que te permita calcular el valor del auto 𝑦 para un año cualquiera. 𝑦 = 20000(𝑡)0. 1) log 𝑎 (𝑥 + 𝑦) = log 𝑎 𝑥 + log 𝑎 𝑦 2) log 𝑎 (𝑥𝑦) = log 𝑎 𝑥 + log 𝑎 𝑦 𝑥 log𝑎 𝑥 3) log 𝑎 ( ) = 𝑦 log𝑎 𝑦 𝑥 4) log 𝑎 ( ) = log 𝑎 𝑥 − log 𝑎 𝑦 𝑦 a. 𝑦 = 20000(𝑡)0. determina cuales son. 3.1.1. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . Una función exponencial de base a está definida por la expresión: 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 . Ejemplo 1: 1 𝑥 Graficar las siguientes funciones: 𝑓(𝑥) = 3𝑥 . que cumple la condición 𝒂 > 𝟏. con 𝒂 > 𝟎 y 𝒂 ≠ 𝟏. 3. Expresión algebraica. en tanto que la base de la función 𝑔 es 1 .1. que cumple la condición 𝟎 < 𝒂 < 𝟏. Gráfico y propiedades.3.1. Función exponencial.1. 3 Construyamos una tabla de valores para determinar la forma de las gráficas de las funciones 𝑓 y 𝑔.1. 𝑔(𝑥) = ( ) 3 Solución: La base de la función 𝑓 es 3. Función exponencial y logarítmica.1.2.1. 3. Como podemos observar la expresión de esta función tiene en su base una constante y en su potencia una variable. 𝒙 ∈ 𝑹. Para determinar el gráfico y propiedades proponemos el siguiente ejercicio. el punto (0. La tercera característica está basada en la siguiente propiedad: 𝒂𝟎 = 𝟏. 2) La razón de crecimiento es positiva para la función 𝑓 (función creciente). mientras que es negativa para la función 𝑔 (función decreciente). 3) Las funciones 𝑓 y 𝑔 tienen una misma ordenada en el origen. 𝒂 ∈ 𝑹. las funciones 𝑓 y 𝑔 son siempre positivas. 𝒙 −3 −2 −1 0 1 2 3 1 1 1 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 1 3 9 27 27 9 3 𝟏 𝒙 1 1 1 𝒈(𝒙) = ( ) 27 9 3 1 𝟑 3 9 27 En esta tabla podemos identificar tres características fundamentales: 1) Para las bases propuestas. 𝒂 ≠ 𝟎. El gráfico de las funciones es el siguiente: Gráficos: SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 1). independiente del valor que pueda tomar su exponente 𝑥. podemos analizar las siguientes propiedades: SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . Una vez que hemos determinado el gráfico de la función exponencial. 𝑎>1 0<𝑎<1 Podemos notar que la forma de la gráfica depende del valor de la base. como se especifica en cada gráfico. sus características básicas y su forma. Propiedades. Corte con el eje 𝒀. ∞[ Corte con los ejes.. por tanto podemos expresar que el rango de la función definida como 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 .En la tabla de valores del ejemplo 1 también podemos observar que el valor de las funciones siempre es un valor positivo. esto es. 𝒙 ∈ 𝑹 son todos los números reales.En los gráficos del ejemplo 1 observamos que la función exponencial es continua y no presenta ninguna restricción para los valores de su exponente 𝑥. por tanto el dominio de la función definida como 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 . por tanto tenemos que evaluar la función en cero 𝑓(0): 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 . con 𝒂 > 𝟎 y 𝒂 ≠ 𝟏. Participa en el foro accediendo en la plataforma: Unidad formativa 3 / Actividades / Foro SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . el exponente 𝑥 = 0. 𝑦 ∈ ]0.. 𝑥 ∈ ]−∞. ∞[ Rango. con 𝒂 > 𝟎 y 𝒂 ≠ 𝟏. 𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ 𝑹. 𝑅(𝑓) = 𝑦 ∈ 𝑹+ . 𝒙 ∈ 𝑹 son todos los números reales positivos (𝑦 > 0). independiente del valor que tome el exponente 𝑥. El corte en el eje 𝑌 se da bajo la condición de que la variable independiente.Dominio. 𝑓(0) = 𝑎0 = 1. En la tabla de valores del ejemplo 1 y en los gráficos de la funciones podemos observar que los valores de las funciones (los valores en 𝑦) son siempre positivos y no llegan a ser cero. lo que significa que la función definida como 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 . esto es.De acuerdo a la característica 2 de la tabla del ejemplo 1 podemos generalizar el siguiente criterio: SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . matemáticamente se dice que la curva es asintótica al eje 𝑥 y el eje 𝒙 es su asíntota horizontal. con 𝒂 > 𝟎 y 𝒂 ≠ 𝟏. Lo que observamos en los gráficos es que las funciones se aproximan al eje 𝑥. la evaluación de la función en 𝑥 = 0 siempre es 1. Corte en el eje 𝒚: (𝟎. Corte con el eje 𝑿. lo que ya se verificó en la tabla de valores del ejemplo 1. 𝒙 ∈ 𝑹 no corta al eje 𝒙. 𝟏). la curva tiende a tocar al eje 𝑥. Monotonía.. Para pensar: ¿Cómo puedes hacer una demostración de que 𝑎0 = 1? Esto significa que independiente del valor de la base 𝑎 (bajo la definición de la función exponencial). pero nunca llega a hacerlo (recuerda que el eje 𝑥 corresponde a la ecuación 𝑦 = 0). 𝒇(𝒙) → ∞ 𝒙 → −∞ 𝒇(𝒙) → 𝟎 𝒙→∞ “La expresión: SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . Función de decrecimiento o decaimiento exponencial. Función de crecimiento exponencial. 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 𝑐𝑜𝑛 0 < 𝑎 < 1. 𝒇(𝒙) → 𝟎 𝒙 → −∞ 𝒇(𝒙) → ∞ 𝒙→∞ Función decreciente. 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑎 > 1. Función exponencial Monotonía Función creciente. Por ejemplo veamos el gráfico de la siguiente función: 𝑔(𝑥) = 2𝑥+1 + 3 Construye una tabla de valores y verifica la siguiente forma gráfica. con lo que se han modificado algunas de sus propiedades. Esta función se ha trasladado horizontal y verticalmente.” También te debo mencionar que las funciones ya definidas pueden manipularse matemáticamente. la secuencia de estas transformaciones las podemos ver a continuación: SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 𝒇(𝒙) → ∞ 𝒙→∞ Se lee: 𝑓(𝑥) tiende a infinito. con lo que sus propiedades pueden cambiar. cuando 𝑥 tiende a infinito. .2).  Monotonía. además esta función no corta al eje 𝑋.  Rango. pues no está presente ninguna restricción para la asignación de los valores de 𝑥.  Cortes.5). con lo que el punto de corte en el eje 𝑦 cambia al punto (0.Podemos observar en el primer gráfico que tenemos las características ya definidas el corte en el eje 𝑦 es el punto (0. el rango es el conjunto de valores 𝑦 que pertenecen al intervalo ]3.La asíntota horizontal ahora es la recta 𝑦 = 3. ∞[..Como la función se desplazó hacia arriba 3 unidades.El dominio siguen siendo todos los reales 𝑥 ∈ ]−∞. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR ..Esta función es creciente en el sentido positivo del eje 𝑋..Esta función corta al eje 𝑌 en el punto de coordenadas (0.. y finalmente en la función 𝑔 propuesta en el tercer gráfico vemos adicionalmente una traslación de tres unidades hacia arriba lo cual se evidencia en el nuevo punto de corte en el eje 𝑦 (0. Las propiedades de la nueva función son:  Dominio. ∞[.  Asíntota.5) lo que se puede verificar con un reemplazo de 𝑥 = 0 en la función.1). en el segundo gráfico podemos ver una traslación hacia la izquierda de una unidad. se busca modelar su crecimiento y determinar el número de bacterias luego de 10 horas. se sabe que la colonia inicialmente tiene 500 bacterias y que su número se duplica cada hora. como el problema lo propone. y en el exponente el tiempo SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . Para el modelamiento partamos de una tabla de datos inicial que cumpla con la descripción de la situación planteada.3 Modelos exponenciales. que la llamaremos 𝑨𝟎 .1. Una muestra de ellas a continuación: Crecimiento exponencial.3. El número de bacterias lo podemos modelar de la siguiente forma: 𝒕(𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔) 0 1 2 3 𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒃𝒂𝒄𝒕𝒆𝒓𝒊𝒂𝒔 500 1000 2000 4000 𝑵ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒃𝒂𝒄𝒕𝒆𝒓𝒊𝒂𝒔 500 × 20 500 × 21 500 × 22 500 × 23 Aquí podemos observar la presencia de una cantidad constante. las 500 bacterias iniciales de la colonia. Solución. un factor igual a 𝟐 que lo llamaremos 𝒃. Ejemplo 2: En un laboratorio se está analizando el crecimiento de una bacteria en particular.1. Las funciones exponenciales tienen muchas aplicaciones concretas en contextos reales para el modelamiento de procesos de crecimiento y decrecimiento exponencial. 𝒕(𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔) 0 1 2 3 𝒛 500 1000 2000 4000 La tabla muestra. una duplicación de las bacterias cada hora. 82 días. la base 𝒃 determinará si el presente modelo es de crecimiento y decrecimiento exponencial bajo las siguientes condiciones. z SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 𝑨(𝒕) = 𝑨𝟎 𝒃𝒕 0<𝑏<1 Función de decrecimiento exponencial. vv Que corresponde al modelo exponencial del ejemplo y que se lo puede generalizar para problemas similares. De acuerdo a la explicación que leíste en la monotonía de la función. Determina la cantidad al cabo de 15 días. ya que depende del tiempo. Decrecimiento exponencial. si tenemos inicialmente 100 miligramos del elemento químico. podemos escribir el siguiente modelo exponencial: 𝑨(𝒕) = 𝑨𝟎 𝒃𝒕 .en años que lo llamaremos 𝒕. llamando al número de bacterias 𝑨(𝒕). 𝒄𝒐𝒏 𝑨𝟎 ≠ 𝟎 𝒚 𝒃 > 𝟎. 𝑨(𝒕) = 𝑨𝟎 𝒃𝒕 𝑏>1 Función de crecimiento exponencial. Ejemplo 3 El Radón-222 tiene una vida media de 3. Para determinar el número de bacterias luego de 10 horas bastará evaluar el modelo para el tiempo solicitado: 𝐴(10) = 500(2)10 = 512000 𝑏𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑠. org/math/algebra/introduction-to-exponential-functions https://es. Los datos a colocar en 𝑡 y ℎ deben estar en las mismas unidades de tiempo.khanacademy. nuestro cálculo es simplemente reemplazar 𝑡 = 15 𝑑í𝑎𝑠.6 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠. Luego.khanacademy. 2 Utilizamos la expresión 𝑨(𝒕) = 𝑨𝟎 𝒃𝒕 . dada esta última característica. La vida media de un elemento radioactivo es una típica aplicación de decrecimiento exponencial.82 días.82 𝐴(15) = 100 ( ) 2 𝐴(15) = 6. en la que 𝐴0 = 100 𝑚𝑖𝑙𝑖𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 y los tiempos debemos colocar en períodos de 3. por tanto tenemos que 1 𝑏= . 15 1 3.org/math/algebra/introduction-to-exponential-functions/exponential- decay-alg1/v/word-problem-solving-exponential-growth-and-decay SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . https://es. se suele escribir la fórmula de la forma: 𝒕 𝟏 𝒉 𝑨(𝒕) = 𝑨𝟎 ( ) 𝟐 Donde ℎ representa el tiempo de vida media. ya que este valor corresponde a la vida media. ya que indica el tiempo en que la materia del elemento se reduce a la mitad.Solución. Puedes fortalecer tu comprensión y encontrar más aplicaciones revisando los videos de los siguientes links. con 𝒂 > 𝟎 y 𝒂 ≠ 𝟏 Que se lee: 𝑓 de 𝑥 es igual al logaritmo en base 𝑎 de 𝑥. Donde:  2 es la base. Función logarítmica.1.1.3.2.  3 es el exponente (𝑦).2. Dado que 𝒂 > 𝟎 y 𝒙 = 𝒂𝒚 . La primera equivalencia que escribimos para comprender la expresión de la función logarítmica es la siguiente: 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙 si se cumple que 𝒙 = 𝒂𝒚 Generalmente mencionamos: el logaritmo de 𝑥 en base 𝑎 es igual al exponente 𝑦 al que se debe elevar la base 𝑎 para obtener 𝑥.1. Expresión algebraica. y  8 es el número (𝑥) SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . Una función logarítmica de base a está definida por la expresión: 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙. entonces: 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝟖 = 𝟑. 𝒙 solo toma valores positivos Si: 𝟐𝟑 = 𝟖. 3. 2.1.3. Ejemplo 4: Graficar las siguientes funciones: 𝑓(𝑥) = log 3 𝑥 . en tanto que la base de la función 𝑔 cumple la condición 0 < 𝑎 < 1. condiciones a generalizar. el exponente 𝑦. puedes ver que preferimos colocar valores en la tabla que nos permitan obtener valores inmediatos de la funciones. Gráfico y propiedades. 1 1 1 𝒙 1 3 9 27 27 9 3 𝒗𝒛 −3 −2 −1 0 1 2 3 𝒈(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠 𝟏 𝒙 3 2 1 0 −1 −2 −3 𝟑 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . la base 𝑎 de la función 𝑓 cumple la condición 𝑎 > 1. 𝑔(𝑥) = log 1 𝑥 3 Solución: Como en el caso de la función exponencial. y el valor de 𝑥.2. Si comprendiste la relación entre la base 𝑎. Para determinar el gráfico y propiedades proponemos el siguiente ejercicio. Construyamos una tabla de valores para determinar la forma de las gráficas de las funciones 𝑓 y 𝑔. 0).En esta tabla podemos identificar cuatro características fundamentales: 1) Los valores de 𝑥 y de las funciones 𝑓 y 𝑔 están invertidos si los comparamos con los del ejemplo 1. El gráfico de las funciones es el siguiente: SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 2) Para las bases propuestas. los valores de 𝑥 en la tabla son siempre positivos. La cuarta característica está basada en la siguiente propiedad: 𝒂𝟎 = 𝟏. 4) Las funciones 𝑓 y 𝑔 tienen una misma abscisa en el origen. 𝒍𝒖𝒆𝒈𝒐 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝟏 = 𝟎. 3) La razón de crecimiento es positiva para la función 𝑓 (función creciente). mientras que es negativa para la función 𝑔 (función decreciente). el punto (1. sus características y su forma. podemos analizar las siguientes propiedades: Dominio. con 𝒂 > 𝟎 y 𝒂 ≠ 𝟏. Propiedades.Las bases de las funciones logarítmicas graficadas tienen la siguiente característica: 𝑓(𝑥) 𝑎 > 1. 𝑥 ∈ ]0. Una vez que hemos determinado el gráfico de la función logarítmica. 𝐷(𝑓) = 𝑥 ∈ 𝑹+ .En los gráficos de este ejemplo observamos que la función logarítmica es continua y sólo existe para valores positivos de 𝑥.. ∞[ SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . son todos los números reales positivos. 𝑔(𝑥) 0 < 𝑎 < 1. por tanto el dominio de la función definida como 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙. el valor de 𝑥 = 1. negativo e incluso cero. con 𝒂 > 𝟎 y 𝒂 ≠ 𝟏. 𝑓(1) = log 𝑎 1 = 0. Corte en el eje 𝒙: (𝟏. independiente del valor que tome la base 𝑎. lo que significa que la función definida como 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙. por tanto podemos expresar que el rango de la función definida como 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙. Este valor se comprueba. Corte con el eje 𝒀.Rango. 𝑅(𝑓) = 𝑦 ∈ 𝑹. ∞[ Corte con los ejes.. En la tabla de valores y en los gráficos de la funciones podemos observar que los valores de 𝑥 son siempre positivos y no llegan a ser cero. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 𝒙 ∈ 𝑹+ no corta al eje 𝒚. con 𝒂 > 𝟎 y 𝒂 ≠ 𝟏.En la tabla de valores también podemos observar que el valor de las funciones puede ser positivo. 𝒙 ∈ 𝑹+ son todos los números reales. El corte en el eje 𝑋 se da bajo la condición de que la función tenga un valor de cero (𝑦 = 0). pues la simple pregunta que nos debemos hacer es: ¿A qué exponente se debe elevar la base 𝑎 para obtener como resultado 1?. Corte con el eje 𝑿. 𝟎). tenemos que evaluar la función en uno 𝑓(1): 𝑓(𝑥) = log 𝑎 𝑥. esto es. lo que se da cuando la variable independiente. y la respuesta siempre va a ser cero. 𝑦 ∈ ]−∞. . 𝒇(𝒙) → −∞ 𝒙→𝟎 𝒇(𝒙) → ∞ 𝒙→∞ Función decreciente 𝑓(𝑥) = log 𝑎 𝑥 𝑐𝑜𝑛 0 < 𝑎 < 1. la curva tiende a tocar al eje 𝑦. pero nunca llega a hacerlo. Monotonía. matemáticamente se dice que la curva es asintótica al eje 𝑦 y el eje 𝒚 es su asíntota vertical. esto es. Función creciente.De acuerdo a la característica 3 de la tabla podemos generalizar el siguiente criterio en función del valor de la base: Función exponencial Monotonía 𝑓(𝑥) = log 𝑎 𝑥 𝑐𝑜𝑛 𝑎 > 1.Lo que observamos en los gráficos es que las funciones se aproximan al eje 𝑦. 𝒇(𝒙) → ∞ 𝒙→𝟎 𝒇(𝒙) → −∞ 𝒙→∞ SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . con 𝑎 > 0 y 𝑎 ≠ 1 𝑥 ∈ ]0. con 𝒂 > 𝟎 y 𝒂 ≠ 𝟏 es el punto de coordenadas (𝟏.1. “La expresión: 𝒇(𝒙) → ∞ 𝒙→∞ Se lee: 𝑓(𝑥) tiende a infinito. si y solo si 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒚 = 𝒙. 𝟏). cuando 𝑥 tiende a infinito. con 𝒂 > 𝟎 y 𝒂 ≠ 𝟏 es el punto de coordenadas (𝟎. Gráficamente se visualizan estas funciones inversas. las funciones exponencial y logarítmica son inversas entre sí. Es decir.” 3. Como ya te habrás dado cuenta el análisis de las propiedades.3. ∞[ 𝑦 ∈ ]−∞. Relación con la función exponencial. el dominio y el rango de la función exponencial son iguales al rango y el dominio de la función logarítmica respectivamente: Función Dominio Rango 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 . ∞[ 𝑦 ∈ ]0. con 𝑎 > 0 y 𝑎 ≠ 1 𝑥 ∈ ]−∞. el punto de corte en el eje 𝒚 de la función logarítmica 𝒈(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙. También esta relación se presenta al poder intercambiar entre las notaciones exponencial y logarítmica como se indica: 𝒚 = 𝒂𝒙 . SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR .2. pues sus puntos tienen una distribución simétrica respecto a la recta 𝑦 = 𝑥 que se conoce como la función identidad. 𝟎). ∞[ 𝑔(𝑥) = log 𝑎 𝑥. ∞[ Las funciones que cumplen con esta característica se conocen como funciones inversas. Esta característica es evidente al observar los puntos de corte en los ejes: El punto de corte en el eje 𝒙 de la función exponencial 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 . determina y comenta sus propiedades:  𝒉(𝒙) = 𝟑𝒙 + 𝟐  𝒊(𝒙) = 𝟐𝒙−𝟐  𝒌(𝒙) = −𝟐𝒙  𝒋(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠 𝟑 (𝒙 + 𝟐) − 𝟏 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . eso es. Veamos esta propiedad en el siguiente gráfico: Participa en el foro accediendo en la plataforma: Unidad formativa 3 / Actividades / Foro Para pensar: Ya definidas las funciones exponenciales y logarítmicas. éstas pueden ser modificadas. un valor de 𝑥 devuelve en 𝑦 su mismo valor.Los pares ordenados que forman la función identidad poseen valores idénticos. analiza las siguientes funciones. matemáticamente se dice transformadas. Dada una base 𝑎 > 0 y 𝑎 ≠ 1.2.3.2. 3.𝑏 ≠ 0 𝑏 𝑏 Potencia de una potencia (𝑎𝑛 )𝑚 = 𝑎𝑛×𝑚 Potencia cero 𝑎0 = 1. 𝑎 ≠ 0 1 Potencia negativa 𝑎−𝑛 = .2. 𝑎 ≠ 0 Potencia de un producto (𝑎𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 × 𝑏 𝑛 𝑎 𝑛 𝑎𝑛 Potencia de un cociente ( ) = 𝑛 . Propiedades de los logaritmos. Recordemos las propiedades básicas de los exponentes mostradas en el siguiente cuadro: Propiedad Expresión Multiplicación 𝑎𝑛 × 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚 División 𝑎𝑛 ÷ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚 . Las propiedades de los logaritmos tienen relación y demostración directa mediante las leyes de los exponentes de la tabla anterior.2. Propiedades de los exponentes. se cumple que: Propiedad Justificación log 𝑎 1 = 0 𝑎0 = 1 log 𝑎 𝑎 = 1 𝑎1 = 𝑎 log 𝑎 𝑎 𝑥 = 𝑥 𝑎𝑥 = 𝑎𝑥 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR .𝑎 ≠ 0 𝑎𝑛 3.1. Solución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Ejemplo 5: Utiliza las propiedades de los logaritmos para desarrollar la siguiente expresión: 3 2 𝑎3 √𝑏 log ( ) 𝑐 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . demuestra las propiedades del desarrollo de los logaritmos. utilizando las propiedades de los exponentes y el hecho de que las funciones exponencial y logarítmica son inversas. para 𝑃 y 𝑄 positivos se cumple que: log 𝑎 (𝑃𝑄) = log 𝑎 𝑃 + log 𝑎 𝑄 𝑃 log 𝑎 ( ) = log 𝑎 𝑃 − log 𝑎 𝑄 𝑄 log 𝑎 (𝑃𝑟 ) = 𝑟 log 𝑎 𝑃 Participa en el foro accediendo en la plataforma: Unidad formativa 3 / Actividades / Foro Para pensar: Sean 𝑃 = 𝑎𝑛 y 𝑄 = 𝑎𝑚 . Dada una base 𝑎 > 0 y 𝑎 ≠ 1. Para pensar:  Justifica y comenta la siguiente propiedad: 𝒂𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 = 𝒙 También tenemos las propiedades del desarrollo de los logaritmos. Utilizando las propiedades del desarrollo de los logaritmos podemos escribir el siguiente proceso: 3 𝑎3 √𝑏 2 log ( ) 𝑐 3 2[log(𝑎3 √𝑏) − log 𝑐] 3 2(log 𝑎3 + log √𝑏 − log 𝑐) 1 2 (3 log 𝑎 + log 𝑏 − log 𝑐) 3 𝟐 𝟔 𝐥𝐨𝐠 𝒂 + 𝐥𝐨𝐠 𝒃 − 𝟐 𝐥𝐨𝐠 𝒄 𝟑 El proceso seguido también lo puedes hacer en sentido inverso. esto es. Notación exponencial y logarítmica.Solución. expresar en un solo logaritmo la expresión final. Ya hemos indicado que: 𝒚 = 𝒂𝒙 .3. si y solo si 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒚 = 𝒙. 3.2. Esta relación entre la función exponencial y la función logarítmica es fundamental para el trabajo inicial de sus ecuaciones. así las siguientes expresiones son equivalentes: SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 2 2 Como vemos los logaritmos pueden tener diferentes bases.org/math/algebra2/exponential-and-logarithmic-functions/e-and-the- natural-logarithm/v/e-through-compound-interest SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . esto es: log 1000 = 3. 1 1  𝑥 = log 3 ( ) . dado que: 𝑒 1 = 𝑒. Los logaritmos naturales se escriben en la forma 𝑙𝑛 y cumplen todas las propiedades escritas.khanacademy. por ejemplo:  𝑥 = log 4 16 . significa que 4𝑥 = 16 y por tanto 𝑥 = 2. En los logaritmos decimales la base se toma por defecto y no se la escribe. significa que 3𝑥 = y por tanto 𝑥 = −2. Estos dos tipos de escritura. si y solo si log 3 9 = 2. estas dos notaciones exponencial y logarítmica nos permiten calcular algunos logaritmos simples. 9 = 32 . las más comunes son la base 10 (logaritmos decimales) y la base 𝑒 (logaritmos naturales). que los encuentras como teclas directas de uso en tu calculadora. Puedes revisar el número 𝑒 en el siguiente link: https://es. significa que ( ) = 8 y por tanto 𝑥 = −3. 9 9 1 𝑥  𝑥 = log 1 8 . dado que: 1000 = 103 . por ejemplo: ln 𝑒 = 1. 3.2.4. Ecuaciones exponenciales: ejercicios. Para resolver ecuaciones exponenciales, a más de utilizar sus propiedades, utilizaremos su relación con la función logarítmica. Ejemplo 6: Resolver la siguiente ecuación: 𝟏 𝟐𝟕𝒙 = 𝟑 Solución. Podemos escribir los dos miembros de la ecuación en términos de la misma base: (33 ) 𝑥 = 3−1 Luego, 33𝑥 = 3−1 Entonces, 3𝑥 = −1 1 𝑥=− 3 Ejemplo 7: Resolver la siguiente ecuación: 6𝑥 = 45 Solución. En este caso no podemos igualar las bases y utilizamos la siguiente propiedad: 𝑺𝒊 𝑷 = 𝑸, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝐥𝐨𝐠 𝑷 = 𝐥𝐨𝐠 𝑸 (𝑷 > 𝟎, 𝑸 > 𝟎) SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR Vamos a utilizar el logaritmo en base 10, que lo podemos determinar en nuestra calculadora: Entonces: log 6𝑥 = log 45 Utilizado las propiedades tenemos: 𝑥 log 6 = log 45 Luego log 45 𝑥= ≈ 2.1245 log 6 Ejemplo 8: Resolver la ecuación: 3𝑥+1 = 22𝑥−3 Solución. Como los dos miembros de la ecuación son positivos, podemos utilizar la misma propiedad del ejercicio anterior: log(3) 𝑥+1 = log(2)2𝑥−3 Luego, (𝑥 + 1) log 3 = (2𝑥 − 3) log 2 𝑥 log 3 + log 3 = 2𝑥 log 2 − 3 log 2 log 3 + 3 log 2 = 2𝑥 log 2 − 𝑥 log 3 Entonces tenemos: 𝑥(2 log 2 − log 3) = log 3 + 3 log 2 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR 𝐥𝐨𝐠 𝟑+𝟑 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝒙= ≈ 𝟏𝟏. 𝟎𝟒𝟕𝟏 𝟐 𝐥𝐨𝐠 𝟐−𝐥𝐨𝐠 𝟑 Este despeje de 𝑥 lo podemos seguir trabajando utilizando las propiedades del desarrollo de los logaritmos en sentido inverso de la sección 3.2.1. Así tenemos: log 3 + log 23 𝑥= log 22 − log 3 log(3 × 23 ) 𝑥= 22 log ( ) 3 𝐥𝐨𝐠 𝟐𝟒 𝒙= ≈ 𝟏𝟏. 𝟎𝟒𝟕𝟏 𝟒 𝐥𝐨𝐠 ( ) 𝟑 Como vemos obtenemos el mismo resultado, pues la aplicación de las propiedades genera expresiones equivalentes. 3.2.5. Ecuaciones logarítmicas: ejercicios. Las igualdades que contienen términos log 𝑎 (𝑥) se denominan ecuaciones logarítmicas, en las cuales el cambio de notación es fundamental para su solución. Ejemplo 9: Resolver la ecuación: log 2 (𝑥 + 3) = 4 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR lo que significa que 16 = 24 . Así por ejemplo hallemos el valor de 𝑥 en la siguiente ecuación logarítmica: log 3 (5𝑥 − 1) = 2 + log 3 (𝑥 − 1) Solución. En esta ecuación sencilla.2.Solución. Esta solución la podemos verificar pues al reemplazar 𝑥 tenemos: log 2 16 = 4.1. tenemos que utilizar las propiedades de su desarrollo de la sección 3. log 3 (5𝑥 − 1) − log 3 (𝑥 − 1) = 2 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . recordemos que podemos cambiar a notación exponencial escribiendo: 𝑥 + 3 = 24 Una ecuación lineal fácil de resolver. 𝑥 + 3 = 16 𝒙 = 𝟏𝟑. Ejemplo 10: En el caso de tener varias expresiones con logaritmos en la ecuación a resolver. En primer lugar juntamos las expresiones que contienen la incógnita. Utilizamos las propiedades del desarrollo de los logaritmos. 5𝑥 − 1 log 3 ( )=2 𝑥−1 Cambiando a notación exponencial podemos escribir: 5𝑥 − 1 = 32 𝑥−1 Resolvemos: 5𝑥 − 1 = 9𝑥 − 9 4𝑥 = 8 𝒙=𝟐 Un reemplazo en la ecuación inicial verifica la solución obtenida. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . esto es. si hay una resta de logaritmos. los términos están formando un cociente. cuya expresión es: Como vemos el logaritmo utilizado es base 10.Ejemplo 11: Una de las aplicaciones más conocidas de los logaritmos es su empleo en la escala Richter de los terremotos. Sismo grado 5: 5 = log 𝐼 𝐼 = 105 𝐼 = 100000 Sismo grado 2: 2 = log 𝐼 𝐼 = 102 𝐼 = 100 Si dividimos las intensidades de los dos sismos obtenemos: 100000 = 1000 100 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR .  𝐼 representa el número de veces que el terremoto es más intenso respecto al sismo de menor intensidad que se puede detectar en un sismógrafo. ¿Calcular cuántas veces es más intenso un sismo grado 5 que un sismo grado 2? Solución. Donde:  𝑅 es el grado del terremoto. por tanto tienes que verificar que los argumentos de los logaritmos de tu ecuación. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . así como sus ecuaciones tienen muchas variantes. asegurándote así de tener la solución correcta. los términos afectados por los logaritmos sean siempre positivos. es decir. Las funciones exponencial y logarítmica. En las ecuaciones logarítmicas debes tomar en cuenta que el dominio son sólo los valores reales positivos. Comprobación de soluciones.2. 3. determinando así soluciones válidas para tu ecuación. a continuación encuentra una muestra de ellas. y toma como referencia el dominio ya especificado en cada una de las funciones estudiadas.Por tanto un sismo grado 5 es 1000 veces más intenso que un sismo grado 2. utilicemos un cambio de notación para resolverlo. Una parte indispensable en la solución de todo tipo de ecuaciones es la comprobación de sus soluciones. Aplica los siguientes criterios en este tipo de ecuaciones. Ejemplo 12: Hallar el valor de 𝑥 que satisface la siguiente ecuación: 𝟏 𝐥𝐨𝐠 𝟒 (𝒙 + 𝟏) = + 𝐥𝐨𝐠 𝟐 (𝒙) 𝟐 Solución.6. En las ecuaciones exponenciales como el dominio de la función admite cualquier valor real no tienes inconveniente y bastará un simple reemplazo para verificar tu respuesta. La primera dificultad que encontramos en la ecuación es que los logaritmos se encuentran expresados en bases diferentes que las tenemos que unificar. entonces sabemos que 𝑎 𝑦 = 𝑥 Luego podemos aplicar logaritmos a los dos miembros de la ecuación.Observa este modelo y replícalo: Si 𝒚 = 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙 . Por lo tanto la fórmula de cambio de base para cualquier valor permitido es: 𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒙 𝐥𝐨𝐠 𝒂 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒂 Continuemos con el ejemplo y cambiemos el logaritmo base 4 a base 2. obteniendo: log 𝑎 𝑦 = log 𝑥 𝑦 log 𝑎 = log 𝑥 𝐥𝐨𝐠 𝒙 𝒚= 𝐥𝐨𝐠 𝒂 En este caso hemos cambiado a base 10. log 2 (𝑥 + 1) 1 = + log 2 (𝑥) log 2 4 2 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . Usando la definición de logaritmo tenemos: log 2 (𝑥 + 1) 1 = + log 2 (𝑥) 2 2 Luego. log 2 (𝑥 + 1) = 1 + 2 log 2 (𝑥) log 2 (𝑥 + 1) −2 log 2 (𝑥) = 1 log 2 (𝑥 + 1) − log 2 (𝑥)2 = 1 𝑥+1 log 2 ( 2 ) = 1 𝑥 Cambiamos de notación. 𝑥+1 =2 𝑥2 Obtenemos la ecuación cuadrática: 2𝑥 2 − 𝑥 − 1 = 0 Que la podemos resolver por la fórmula o factorizarla de la siguiente forma: (2𝑥 + 1)(𝑥 − 1) = 0 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . Obteniendo las siguientes soluciones: 2𝑥 + 1 = 0 𝟏 𝒙𝟏 = − 𝟐 𝑥−1=0 𝒙𝟐 = 𝟏 Recuerda que en esta ecuación logarítmica tienes que verificar que los argumentos de los logaritmos sean positivos debido a la propiedad de la función, esto es: 𝑥 + 1 > 0, 𝑥 > −1, y 𝑥>0 La restricción que asegura el cumplimiento de ambas condiciones es 𝑥 > 0, por tanto: 𝒙 = 𝟏 es la solución válida de la ecuación propuesta. Ejemplo 13: Hallar el valor de 𝑥 en la siguiente ecuación: 𝐥𝐨𝐠 𝟑 𝒙 = 𝟐. 𝟏𝟓 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR Un cambio de notación nos proporciona la respuesta directamente: 𝑥 = 32.15 𝑥 ≈ 10.61 Este proceso se conoce como determinar el antilogaritmo. Ejemplo 14: Los logaritmos naturales también son muy utilizados en procesos que involucran cambios contínuos, recuerda que la base del logaritmo natural es el número trascendente 𝑒 que tiene un valor aproximado de 2.718281. Algunas instituciones bancarias ofrecen un interés continuo a sus clientes, estas transacciones se modelan mediante la ecuación: 𝐶 = 𝐶0 𝑒 𝑘𝑡 Donde:  𝐶0 representa la cantidad inicial de dinero del cliente,  𝐶 representa la cantidad de dinero al final de la transacción,  𝑘 representa la tasa de interés ofrecida por la institución (un valor decimal), y  𝑡 representa el tiempo de la transacción, cuyas unidades están de acuerdo a las condiciones de la tasa de interés. Si se sabe que el banco ofrece una tasa de interés anual del 8%. ¿En cuánto tiempo un cliente puede duplicar la cantidad de dinero inicial que coloca? SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR Solución. Tenemos que:  𝐶 = 2𝐶0 8  𝑘 = 0.08 (recuerda un valor decimal, en este caso ) 100 Luego, 2𝐶0 = 𝐶0 𝑒 0.08𝑡 2 = 𝑒 0.08𝑡 Aplicando logaritmo natural tenemos: ln 2 = ln 𝑒 0.08𝑡 ln 2 = 0.08𝑡 Pues la base de 𝑙𝑛 es 𝑒. ln 2 𝑡= ≈ 8.7 𝑎ñ𝑜𝑠 8 Un cliente de esta institución financiera necesita 8.7 años para poder duplicar su inversión. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR y  𝑡 es el tiempo en días. Halla la solución de la ecuación log 4 𝑥 + log 4 (𝑥 − 3) 7.  𝐴0 es la cantidad inicial del elemento radioactivo. Despeja 𝑡 de la expresión: 𝑃 = 𝑃0 𝑒 𝑘𝑡 6. Si √5𝑥 = .FORTALECIMIENTO DE CONOCIMIENTOS: TAREA 1 1. 5. 4. 8. Calcula el valor de 𝑥 es: 3 3 √25 2. Determina el dominio de la función: 𝑓(𝑥) = log 2 (𝑥 + 2) − 1 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . Determinar el porcentaje del elemento radioactivo que queda después de 30 días. Determina el valor de 𝑥 en la ecuación: (2𝑥−6 )(8𝑥 ) = 4𝑥 3. El número de bacterias 𝑁 en un cultivo. Determina el número de bacterias iniciales presente en el cultivo. Un elemento radioactivo tiene una vida media de 7 días y la cantidad del elemento se modela con la ecuación: 𝑡 1 7 𝐴(𝑡) = 𝐴0 ( ) 2 Donde:  𝐴(𝑡) es la cantidad del elemento radioactivo luego de 𝑡 días. Halla la solución de la ecuación log 3 (𝑥 − 2)4 = 4. para un tiempo de 𝑡 horas se modela con la ecuación: 𝑁 = 100(2)𝑡 . 75 3. B b. 12. A. 10. 287 j. 2. −7. 30 f. . D c. 6. B.UNIDAD FORMATIVA 4: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS ESTRUCTURADOS EVALUACION DIAGNOSTICA 1. 40. 20. Determina el término 90 de la siguiente progresión: −11. … 1 2 4 C) . −3. Los siguientes ángulos forman una progresión aritmética. A. … B) 1. … 3 3 3 3 7 9 D) . … 5 5 5 a. . 1. … i. 1. B. . Determina el valor del ángulo 𝑏°. e. C d. 60 h. 345 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 45 g. D 2. 307 k. . 9. Indica que progresiones son aritméticas: A) 3. (𝑥 − 2). Halla el valor del décimo premio. 26 n. 108 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . Si cada premio consecutivo desde el décimo hasta el primero tiene una diferencia de 25 dólares. 29 5. l. e ir aumentando 500m cada día de entrenamiento. Halla el valor del quinto término de una progresión geométrica que tiene como primer 1 término 6 y como razón − 2 3 q. 150 w. siendo el primero el mayor premio. 366 4. 2 6. 175 x. 200 7. Halla el valor de 𝑥 de tal forma que la siguiente progresión sea geométrica. 1 z. 54 dd. 10 8. (𝑥 − 3) y. 28 p. 4 3 s. 27 o. ¿Cuántos km habrá entrenado en total? m. En un sorteo se ofrecen 10 premios que en total suman 2625 dólares. Un almacén deportivo vende en cuatro días de promoción 160 ternos deportivos. 𝑥. 81 ee. 18 1 r. 8 bb. ¿Cuántos ternos deportivos vendió el primer día? cc. 4 aa. Hasta el día que corra los 5km como parte de su entrenamiento por primera vez. u. si cada día vendió la tercera parte del día anterior. Si para una carrera de 5km una persona se propone comenzar entrenando 1km el primero día. 8 1 t. 125 v. 17 11. ¿Cuántos términos de la progresión −9. Dados los vectores: Halle 𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗ −1 oo. 135 9. ( ) −1 1 qq. 1. ( ) −4 2 pp. ff. 21 ii. ¿Cuál es la vida útil en años de una máquina cuyo costo inicial es de 3600 dólares. −4. 22 jj. 15 mm. ( ) 4 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 20 hh. 14 ll. 16 nn. si se deprecia anualmente en 150 dólares y su valor de desecho es 300 dólares? gg. … deben sumarse para tener un resultado de 390? kk. 6. 23 10. 7) ddd. 𝑎⃗ = −2𝑖⃗ + 4𝑗⃗ xx. ( ) 3 12. (2.2) 15. 𝑐⃗ = −2𝑖⃗ − 𝑗⃗ zz. Identifica el punto inicial del vector 𝑎⃗ = 3𝑖⃗ + 𝑗⃗. 5 13. 3 rr. −2) bbb. 𝑑⃗ = 3𝑖⃗ + 𝑗⃗ 14. Determina la magnitud del vector 𝑎⃗ = −3𝑖⃗ + 2𝑗⃗ ss. √13 uu. (7. si el punto final es (10. 𝑏⃗⃗ = −4𝑖⃗ + 3𝑗⃗ 8 6 ggg. 3 tt. −7) ccc. √15 vv.𝑎⃗ = −8𝑖⃗ + 6𝑗⃗ fff. Identifica el vector de magnitud 5 opuesto a 𝑣⃗ = 8𝑖⃗ − 6𝑗⃗ eee. 𝑐⃗ = 𝑖⃗ − 𝑗⃗ 5 5 hhh.3) aaa. (−2. (−7. 𝑑⃗ = 4𝑖⃗ − 3𝑗⃗ SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 𝑏⃗⃗ = −𝑖⃗ − 2𝑗⃗ yy. Identifica el vector perpendicular al vector 𝑣⃗ = 2𝑖⃗ + 𝑗⃗ ww. 4. Progresiones Aritméticas. y como función se puede expresar de la siguiente forma: 𝑵→𝑹 𝒇: { 𝒏 → 𝒇(𝒏) = 𝒏𝟐 En esta función el dominio son los números naturales. … Está formada por los cuadrados de los números naturales. Al estar definidas las sucesiones como funciones. Para comprender el concepto de progresión. lo que debes tener siempre en cuenta es que en toda sucesión tenemos un primer término y a cada término se le asigna su valor de acuerdo a su posición y su regla de construcción. Entendemos como sucesión a un conjunto de términos ordenados de acuerdo a una regla específica. el rango son los números reales y la regla de construcción indica que a cada número natural se le asigna su cuadrado. 9.1. se les asigna reglas de construcción como fórmulas. empecemos por entender lo que son las sucesiones.1. Podemos tener infinito número de sucesiones según su regla de construcción. 4.1. Por ejemplo la sucesión: 1. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 25. 4. También podemos comprender una sucesión como una función cuyo dominio son los números naturales N o un subconjunto de ellos y cuyo rango son los términos que la forman. 16. Sucesiones y reglas de construcción. . 𝑢3 . … Esto es: 1 1 1 1 . 𝑢4 . 3. 6. . . … SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 1.… 2 3 4 5 𝑛(𝑛−1) b) Con un proceso similar para 𝑢𝑛 = obtenemos los términos: 2 0. 𝑢2 .Ejemplo 1: Hallar los 4 primeros términos de las sucesiones cuya regla de construcción se define por la fórmula: 1 a) 𝑢𝑛 = 𝑛+1 𝑛(𝑛−1) b) 𝑢𝑛 = 2 Solución: a) Para determinar los términos de la sucesión necesitamos hacer los siguientes reemplazos en los valores de 𝑛. Posición 𝒏 Término 𝒖𝒏 1 1 1 𝑢1 = = 1+1 2 1 1 2 𝑢2 = = 2+1 3 1 1 3 𝑢3 = = 3+1 4 1 1 4 𝑢4 = = 4+1 5 Los términos de la sucesión son: 𝑢1 . lo que significa que cada término está definido por su término anterior o sus anteriores. … SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 𝑛>1 Como puedes ver en este caso es necesario especificar el valor del primer término 𝑢1 . 27. en este caso mientras más cantidad de términos se tenga es mejor. entre las básicas tenemos: Tipo de sucesión Definición Finita Tiene primer y último término. Infinita Tiene primer término y no último. La siguiente tabla muestra el cálculo de los términos a encontrar. 123. Decreciente Cada término siguiente es menor que el anterior. Las sucesiones también admiten clasificaciones. La regla de construcción de una sucesión también puede estar definida en forma recursiva. Creciente Cada término siguiente es mayor que el anterior. 59.Muchas veces tenemos como datos los términos de una sucesión y lo que pretendemos hallar es su regla de construcción. 𝒏 𝒖𝒏 1 𝑢1 = 3 (dato) 2 𝑢2 = 2𝑢1 + 5 = 2(3) + 5 = 11 3 𝑢3 = 2𝑢2 + 5 = 2(11) + 5 = 27 4 𝑢4 = 2𝑢3 + 5 = 2(27) + 5 = 59 5 𝑢5 = 2𝑢4 + 5 = 2(59) + 5 = 123 Los términos que forman la sucesión son: 3. Por ejemplo hallemos los 5 primeros términos de la siguiente sucesión definida en forma recursiva: 𝑢𝑛 = 2𝑢𝑛−1 + 5 . 𝑢1 = 3. 11. 29.khanacademy. Una progresión aritmética se define como una sucesión de números que tienen la siguiente regla de construcción: Cada término de la progresión aritmética se obtiene sumando a su inmediato anterior una cantidad fija llamada diferencia 𝒅. Analicemos los siguientes ejemplos de sucesiones: a) 5. Puedes reforzar las bases de sucesiones en el siguiente link: https://es. 11.org/math/precalculus/seq-induction#sequences-review Para pensar:  Una sucesión famosa a lo largo de la historia en la sucesión de Fibonacci. 7. 23.Cuando las sucesiones cumplen una regla de construcción específica. 11. … b) 15.1. comenta sobre su regla de construcción y sus aplicaciones.youtube. Usa los siguientes links para iniciar tu indagación. 35. https://www. 3. reciben el nombre de progresiones. Definición y construcción de progresiones aritméticas.com/watch?v=DKGsBUxRcV0 https://es. −1.khanacademy.2.org/math/math-for-fun-and-glory/vi-hart/spirals- fibonacci/v/doodling-in-math-spirals-fibonacci-and-being-a-plant-1-of-3 4. … SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 17. −5. b) 𝑢𝑛 = 𝑢𝑛−1 − 4 . mientras que en el caso del literal 𝑏 el valor de la diferencia 𝑑 es negativo (−4) y es una progresión aritmética decreciente. a partir del primero. conocido también como término general.Estas sucesiones cumplen la regla de construcción establecida y se pueden escribir por recurrencia de la siguiente forma: a) 𝑢𝑛 = 𝑢𝑛−1 + 6 . representa cualquier término de la progresión y expresa su regla de construcción. 4. se obtiene restando 4 a su inmediato término anterior.3. 𝑢1 = 15. El 𝑛 −ésimo término 𝒖𝒏 de una progresión aritmética. Término 𝒏 − ésimo. con la característica de que en la progresión del literal 𝑎 la diferencia 𝑑 es un valor positivo (+6) y es una progresión aritmética creciente. 𝑛>1 Cada término. 𝑛>1 Cada término.1. Para su deducción literal construyamos una progresión aritmética de término inicial 𝑢1 y diferencia 𝑑. 𝑢1 = 5. La siguiente tabla muestra los primeros 5 términos de la progresión aritmética: 𝒏 Término 1 𝑢1 2 𝑢2 = 𝑢1 + 1𝑑 3 𝑢3 = 𝑢2 + 𝑑 = 𝑢1 + 2𝑑 4 𝑢4 = 𝑢3 + 𝑑 = 𝑢1 + 3𝑑 5 𝑢5 = 𝑢4 + 𝑑 = 𝑢1 + 4𝑑 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . a partir del primero. Ambas reciben el nombre de progresiones aritméticas. se obtiene sumando 6 a su inmediato término anterior. Suma de los 𝒏 primeros términos. 4. determina los 6 primeros términos y luego grafícalos en un sistema de coordenadas donde el eje 𝑋 represente el número del término y el eje 𝑌 el término 𝑢𝑛 de la progresión aritmética. Por tanto la expresión del 𝒏 −ésimo término de una progresión aritmética es: 𝒖𝒏 = 𝒖𝟏 + (𝒏 − 𝟏)𝒅 Para pensar:  Una progresión aritmética tiene por primer término 𝑢1 = 3. las veces que está sumada la diferencia es (𝑛 − 1).¿Si unes los puntos (𝑛. 10. y por diferencia 𝑑 = 4. 22. La suma 𝑺𝒏 de los 𝒏 términos de una progresión aritmética es: 𝑆𝑛 = 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + 𝑢4 + ⋯ + 𝑢𝑛 Para deducir su expresión partamos del siguiente ejemplo: Deseamos conocer la suma de los 30 primeros términos de la siguiente progresión aritmética.1.4. así el término 5 (𝑛 = 5) se obtiene sumando al primer término (𝑢1 ) cuatro veces la diferencia (+4𝑑). podemos observar que según el número del término 𝑛. Responde y comenta. … SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR .En los cinco primeros términos de la progresión aritmética podemos identificar un patrón que nos permite determinar cualquier término a partir del primero. . 16. 𝑢𝑛 ) qué función observas y qué similitudes puedes determinar entre la función y la progresión? 4. En primer lugar identificamos que:  𝑢1 = 4.  𝑛 = 30. la diferencia común que se obtiene al restar a cualquier término su inmediato anterior. En primer lugar hallemos el término 30 (𝑢30 ) pues ya conocemos la expresión del término general. 𝑢𝑛 = 𝑢1 + (𝑛 − 1)𝑑 𝑢30 = 4 + (30 − 1)6 𝑢30 = 178 Luego la suma que buscamos es: 𝑆30 = 4 + 10 + 16 + 22 + ⋯ + 172 + 178 Esta suma también la podemos escribir de la forma: 𝑆30 = 178 + 172 + 166 + 160 + ⋯ 10 + 4 Sumando las dos expresiones anteriores término a término obtenemos: 2𝑆30 = 182 + 182 + 182 + 182 + ⋯ + 182 + 182 Podemos observar que estamos sumando 30 veces 182. ya que se pide la suma de los 30 primeros términos. por tanto: SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . el primer término.  𝑑 = 6. Esta expresión admite una equivalente si reemplazamos el término 𝑛 −ésimo. obteniendo: 𝒏 𝒏 𝑺𝒏 = [𝒖 + 𝒖𝟏 + (𝒏 − 𝟏)𝒅] = [𝟐𝒖𝟏 + (𝒏 − 𝟏)𝒅] 𝟐 𝟏 𝟐 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . esto es. También identificamos que el valor de 30 corresponde al número de término a sumar 𝑛. 𝑢1 + 𝑢𝑛 2𝑆30 = 30(4 + 178) 30 𝑆30 = (4 + 178) 2 Obtenemos una suma de 𝑆30 = 2730.2𝑆30 = 30(182) El valor de 182 lo podemos escribir como 4 + 178. reemplazando los números por lo que representan tenemos: 𝒏 𝑺𝒏 = (𝒖 + 𝒖𝒏 ) 𝟐 𝟏 Expresión para determinar la suma de los 𝒏 primeros términos de una progresión aritmética. por tanto. Tenemos como datos:  𝑢1 = 25  𝑢9 = 81 Colocando la expresión del término general para 𝑛 = 9 escribimos: 𝑢9 = 𝑢1 + (9 − 1)𝑑 81 = 25 + (8)𝑑 81 − 25 = (8)𝑑 Luego: 8𝑑 = 56 𝒅=𝟕 Una vez hallada la diferencia podemos determinar el término pedido 𝑢20 𝑢20 = 25 + (20 − 1)7 𝑢20 = 25 + (19)7 𝒖𝟐𝟎 = 𝟏𝟓𝟖 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . Aplicaciones.5. Solución. Las aplicaciones de las progresiones aritméticas las podemos encontrar en ejercicios y problemas. y su noveno término es 81.1. Encuentra el término vigésimo.4. revisa los siguientes ejemplos: Ejemplo 2: Una progresión aritmética tiene por primer término 25. 𝑢𝑛 . podemos determinar el valor de la diferencia 𝑑 utilizando una de las siguientes expresiones equivalentes:  𝑑 = 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 . 𝑦 𝑢𝑛+1. Ahora analicemos la característica de la diferencia común de una progresión aritmética de la siguiente forma: Para un término cualquiera 𝑢𝑛 (menos el primero). 𝑢𝑛+1 Dada la estructura de una progresión aritmética. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . o  𝑑 = 𝑢𝑛 − 𝑢𝑛−1 Por tanto: 𝑑=𝑑 𝑢𝑛 − 𝑢𝑛−1 = 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 2𝑢𝑛 = 𝑢𝑛−1 + 𝑢𝑛+1 𝒖𝒏−𝟏 + 𝒖𝒏+𝟏 𝒖𝒏 = 𝟐 El término 𝒖𝒏 se define como la media aritmética de sus dos términos contiguos 𝑢𝑛−1 . este tendrá un término anterior y uno posterior de la siguiente forma: 𝑢𝑛−1 . Ejemplo 3: Intercalar 5 medios aritméticos entre 3 y 12.El vigésimo término de la progresión aritmética es 158. 4.5 podemos intercalar los medios aritméticos pedidos: 3. utilicemos la expresión del 𝑛 −ésimo término. 7. Para construir la progresión necesitamos determinar la diferencia.5. 12 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 𝑢𝑛 = 𝑢1 + (𝑛 − 1)𝑑 Reemplazando los datos tenemos: 𝑢7 = 𝑢1 + (7 − 1)𝑑 12 = 3 + (6)𝑑 12 − 3 9 𝑑= = = 1. el número de elementos de la progresión aritmética es 𝑛 = 7.5.5 6 6 Conocido ya el valor de la diferencia 𝑑 = 1. 9.  El séptimo término 𝑢7 = 12.5. 10. 6.Solución Tenemos como datos:  El primer término 𝑢1 = 3.  Como intercalamos 5 medios aritméticos entre 3 y 12. e ir aumentando cada día a su recorrido de entrenamiento 400m.4 11 − 1 𝑛−1 = 0.Ejemplo 4: Un atleta planea entrenarse para una carrera de 11 km. ¿Cuánta distancia habrá recorrido en todo su entrenamiento hasta ese día? Solución.4 + 1. necesitamos determinar el valor de 𝑛 en el cual 𝑢𝑛 = 11. Utilizamos la fórmula de 𝑢𝑛 .8 + 2. Piensa iniciar en su primer día corriendo 1km.4 (cada día corre 400m más que equivale a 0. b) En este literal se nos pide determinar el valor de la siguiente suma: 1 + 1. a) ¿En qué día de su entrenamiento correrá por primera vez los 11 km? b) Contando el día en que corrió por primera vez 11 km en su entrenamiento.2 + 2.6 + ⋯ + 11 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR .4 𝑛 − 1 = 25 𝒏 = 𝟐𝟔 En el día 26 de su entrenamiento correrá los 11 km por primera vez.4 km) a) Para contestar este literal. Al leer el problema podemos identificar los siguientes datos:  𝑢1 = 1 (el primer día corre 1 km)  𝑑 = 0. 𝑢𝑛 = 𝑢1 + (𝑛 − 1)𝑑 11 = 1 + (𝑛 − 1)0. Ejemplos de progresiones geométricas son: SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 4. Progresiones Geométricas.2. Una progresión geométrica se define como una sucesión de números que tienen la siguiente regla de construcción: Cada término de la progresión geométrica se obtiene multiplicando a su inmediato anterior una cantidad fija llamada razón 𝒓. 4. Definición y regla de construcción.2.1. Podemos utilizar la expresión: 𝑛 𝑆𝑛 = (𝑢 + 𝑢𝑛 ) 2 1 Reemplazando los datos tenemos: 26 𝑆26 = (1 + 11) 2 𝑺𝒏 = 𝟏𝟓𝟔 El atleta ha recorrido una distancia total de 156 km en sus primeros 26 días de entrenamiento. La progresión del literal a es creciente pues su primer término es positivo (𝑢1 = 3) y tiene una razón 𝑟 > 1 (𝑟 = 2). Para pensar:  Escribe las progresiones de los literales a. por tanto el valor de la razón es 𝑟 = 2. el valor de la razón es 𝑟 = −3. … b) 2.1. c en forma recursiva tal como lo realizamos en el estudio de la sección 4. .2. −6. 2. Para una progresión geométrica con primer término 𝑢1 y razón 𝑟. … 2 2 c) 10. de acuerdo a su regla de construcción podemos escribir los siguientes términos: SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . −54. 6.… 5 25 Estas sucesiones cumplen la regla de construcción de las progresiones geométricas pues podemos observar lo siguiente:  En el literal a.1. b. 5 Las tres son progresiones geométricas. Término 𝒏 − ésimo. comenta toda la información que se debe proporcionar para su construcción. 12. el valor de la razón es 𝑟 = . la progresión del literal c es 1 decreciente. La 5 sucesión del literal b debido a su comportamiento alternante de signo no se puede clasificar ni como creciente ni como decreciente. 14. 1  En el literal c. cada término de la sucesión se obtiene multiplicando a su inmediato anterior por 2.  En el literal b. a) 3. . su primer término es positivo (𝑢1 = 10) y tiene una razón 0 < 𝑟 < 1 (𝑟 = ).2. 18. 4. determina los 6 primeros términos y luego grafícalos en un sistema de coordenadas donde el eje 𝑋 represente el número del término y el eje 𝑌 el término 𝑢𝑛 de la progresión geométrica. y por razón 𝑟 = 4.¿Si unes los puntos (𝑛. Suma de los 𝒏 primeros términos. por tanto podemos escribir la siguiente expresión: 𝒖𝒏 = 𝒖𝟏 𝒓𝒏−𝟏 Fórmula del término general de una progresión geométrica. . 𝑢𝑛 ) qué función observas y qué similitudes puedes determinar entre la función y la progresión? 4. Responde y comenta. Para pensar:  Una progresión geométrica tiene por primer término 𝑢1 = 2.2.3. Para determinar la expresión que permite determinar la suma de los 𝑛 primeros términos de una progresión geométrica 𝑺𝒏 realicemos la siguiente deducción: Lo que buscamos es determinar el siguiente valor: SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . el número de veces que la razón 𝑟 está multiplicada es (𝑛 − 1). 𝒏 Término 1 𝑢1 2 𝑢2 = 𝑢1 × 𝑟 3 𝑢3 = 𝑢2 × 𝑟 = 𝑢1 × 𝑟 2 4 𝑢4 = 𝑢3 × 𝑟 = 𝑢1 × 𝑟 3 5 𝑢5 = 𝑢4 × 𝑟 = 𝑢1 × 𝑟 4 Podemos observar que en cada término 𝑢𝑛 . 𝑟𝑆𝑛 = 𝑢1 𝑟 + 𝑢1 𝑟 2 + 𝑢1 𝑟 3 + 𝑢1 𝑟 4 + ⋯ + 𝑢1 𝑟 𝑛−1 + 𝑢1 𝑟 𝑛 −𝑆𝑛 = −𝑢1 − 𝑢1 𝑟 − 𝑢1 𝑟 2 − 𝑢1 𝑟 3 − ⋯ − 𝑢1 𝑟 𝑛−1 En las expresiones anteriores hemos procedido a multiplicar la razón 𝑟 por la expresión 𝑆𝑛 y a cambiar el signo a los términos de 𝑆𝑛 para que la resta sea evidente. de acuerdo a su regla de construcción: 𝑆𝑛 = 𝑢1 + 𝑢1 𝑟 + 𝑢1 𝑟 2 + 𝑢1 𝑟 3 + ⋯ + 𝑢1 𝑟 𝑛−1 Realicemos la operación 𝑟𝑆𝑛 − 𝑆𝑛 y observemos su resultado. Observamos que al restar 𝑟𝑆𝑛 − 𝑆𝑛 los términos desde 𝑢1 𝑟 hasta 𝑢1 𝑟 𝑛−1 se eliminan entre sí y obtenemos la siguiente expresión: 𝑟𝑆𝑛 − 𝑆𝑛 = 𝑢1 𝑟 𝑛 − 𝑢1 Esto es: 𝑆𝑛 (𝑟 − 1) = 𝑢1 (𝑟 𝑛 − 1) Luego: 𝒖𝟏 (𝒓𝒏 − 𝟏) 𝑺𝒏 = . 𝑆𝑛 = 𝑢1 + 𝑢2 + 𝑢3 + 𝑢4 + ⋯ + 𝑢𝑛 Esto es. 𝒓≠𝟏 𝒓−𝟏 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . Ejemplo 5: Hallar el valor del octavo término y la suma de los quince primeros términos de la progresión: 9 27 2. Las aplicaciones de las progresiones geométricas las encontramos en ejercicios y problemas.4. Aplicaciones. . 3. … 2 4 Solución. 4. En la progresión podemos leer los siguientes datos:  𝑢1 = 2 (primer término)  Para determinar la razón de la progresión dada su regla de construcción.2. dividimos cualquier término (a partir del segundo) para su inmediato anterior. entonces podemos escribir la siguiente expresión para la razón 𝑟.Expresión para determinar la suma de los 𝒏 primeros términos de una progresión geométrica. 𝑢𝑛 𝑟= 𝑢𝑛−1 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . . esto es por ejemplo: 𝑢2 3 𝑟= = 𝑢1 2 El mismo resultado se obtiene al dividir otro término para su inmediato anterior. Estas sucesiones son convergentes. Para deducir la expresión de esta suma. es decir.Para determinar el valor del octavo término 𝑢8 utilizamos la fórmula del término general: 𝑢8 = 𝑢1 𝑟 8−1 3 7 𝑢8 = 2 ( ) 2 2187 𝑢8 = 2 ( ) 128 𝟐𝟏𝟖𝟕 𝒖𝟖 = 𝟔𝟒 Para determinar la suma de los 15 primeros términos (𝑛 = 15). su suma tiende a un valor específico. partimos de la expresión de la suma de los 𝑛 primeros términos: SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 𝟔 La suma de los 15 primeros términos tiene un valor de 1747. utilizamos la expresión: 𝑢1 (𝑟15 − 1) 𝑆15 = 𝑟−1 3 15 2 [( ) − 1] 2 𝑆15 = 3 −1 2 𝑺𝟏𝟓 = 𝟏𝟕𝟒𝟕.6 En las progresiones geométricas encontramos una aplicación importante cuando la sucesión muestra un patrón de decrecimiento aunque alternen los signos. si 𝒏 → ∞ .2 2 0.22 = 0. Mira la siguiente tabla para un valor de 𝑟 que cumpla esta condición. Por tanto podemos mencionar que si deseamos sumar infinitos términos.008 4 0.0016 5 0. el término 𝑟 𝑛 cuando 𝑛 tiende a infinito valdrá prácticamente cero.24 = 0.00032 6 0. entonces 𝒓𝒏 → 𝟎.23 = 0.25 = 0. Sea 𝑟 = 0. 𝑢1 (𝑟 𝑛−1) 𝑆𝑛 = 𝑟−1 Para que una progresión geométrica muestre el patrón decreciente su razón 𝑟 debe cumplir la siguiente condición: −1 < 𝑟 < 1 Esto significa que 𝑟 es un valor decimal entre -1 y 1. Observando la expresión 𝑆𝑛 estamos interesados en ver qué pasa con el término 𝑟 𝑛 . Esta deducción la expresamos matemáticamente de la siguiente forma: Para −𝟏 < 𝒓 < 𝟏.26 = 0.2 𝒏 𝒓𝒏 1 0.000064 Claramente vemos que mientras el exponente aumenta el término 𝑟 𝑛 se acerca cada vez más al valor de cero. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR .04 3 0. esto es.7777 … = 0.007 + 0.7777 … se puede expresar como un número racional.07 + 0.7777 … lo podemos expresar como: 0. Veamos su aplicación en el siguiente ejemplo: Ejemplo 6: Muestra que el número 0. como un cociente de dos números enteros.0007 + ⋯ Esto es: SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR .Reemplazando esta condición en la fórmula de la suma tenemos: 𝑢1 (𝑟 ∞ − 1) 𝑆∞ = 𝑟−1 𝑢1 (0 − 1) 𝑆∞ = 𝑟−1 −𝑢1 𝑆∞ = 𝑟−1 𝒖𝟏 𝑺∞ = 𝟏−𝒓 Expresión para determinar la suma de infinitos términos de una progresión geométrica que cumple la condición −𝟏 < 𝒓 < 𝟏.7 + 0. El número 0. 7̅ = 0. Solución. 7777 … = + ( )+ ( ) + ( ) +⋯ 10 10 10 10 10 10 10 1 Claramente observamos que se trata de una progresión geométrica con una razón 𝑟 = . Tenemos la siguiente información: SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 𝟗 Ejemplo 7: Una progresión geométrica tiene como primer término el número 3. 𝟕 ̅ = 𝟎. y como razón el número 4. por tanto 10 podemos hallar la suma de sus infinitos términos: 𝑢1 𝑆∞ = 1−𝑟 Datos: 7  𝑢1 = 10 1  𝑟= 10 Luego: 7 7 10 10 7 𝑆∞ = = = 1 9 9 1− 10 10 𝟕 El número 𝟎. 7 7 7 7 0.7777 … = + + + +⋯ 10 100 1000 10000 7 7 1 7 1 2 7 1 3 0. 𝟕𝟕𝟕 … se puede expresar como . ¿Qué término tiene el valor de 12288? Solución.  𝑢1 = 3 (primer término)  𝑟 = 4 (razón común)  𝑢𝑛 = 12288 (valor del término cuya posición vamos a determinar) Utilicemos la fórmula del 𝑛 −ésimo término. 4096 = (4)𝑛−1 log 4096 = (𝑛 − 1) log 4 log 4096 𝑛−1= log 4 𝐥𝐨𝐠 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝒏= +𝟏=𝟕 𝐥𝐨𝐠 𝟒 El séptimo término de la progresión geométrica tiene un valor de 𝟏𝟐𝟐𝟖𝟖. como las ecuaciones de la unidad formativa 3. Ejemplo 8: SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 𝑢𝑛 = 𝑢1 𝑟 𝑛−1 12288 = (3)(4)𝑛−1 4096 = (4)𝑛−1 Esta es una ecuación exponencial que la podemos resolver aplicando logaritmos. 𝑢𝑛 = 𝑢1 𝑟 𝑛−1 𝑢21 = (200000)(1.5%)  𝑛 = 21 (el número de años incluyendo 2010 hasta 2030) Debemos determinar el valor del término 𝑢21 .015)20 𝒖𝟐𝟏 = 𝟐𝟔𝟗𝟑𝟕𝟏 En el año 2030 se espera tener una población de 269371 habitantes.La población de una ciudad en el año 2010 era de 200000 habitantes. significa que conserva el 88% de su valor cada año. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR .015)21−1 𝑢21 = (200000)(1. Los datos que podemos identificar en el problema son:  𝑢1 = 200000 (la población del año 2010)  𝑟 = 1.015 (el aumento previsto en la población: 100% + 1. si un estudio demográfico indica que la población incrementa un 1. las condiciones de mercado indican que su valor se deprecia 12% cada año. Si el automóvil pierde el 12% de su valor cada año. por tanto el factor a multiplicar es 0. ¿En cuánto se puede vender el auto luego de 5 años de acuerdo a las condiciones del mercado actuales? Solución. Ejemplo 9: Un automóvil se compra por un valor de 35000 dólares.88 (valor de la razón).5% cada año. ¿Qué población se espera para el año 2030? Solución. por lo tanto. primer término)  𝑟 = 0.khanacademy. presión.org/math/algebra/sequences/introduction-to-geometric- sequences/e/geometric_sequences_1 https://es.88)6−1 𝑢21 = (35000)(0. rapidez.org/math/algebra/sequences/introduction-to-geometric- sequences/e/geometric_sequences_2 https://es. medimos distancias.62 dólares. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . pesos. áreas. etc. Para practicar más y fortalecer tus destrezas usa los siguientes links: https://es.88)5 𝒖𝟐𝟏 = 𝟏𝟖𝟒𝟕𝟎.khanacademy. densidad.3. 𝑢𝑛 = 𝑢1 𝑟 𝑛−1 𝑢6 = (35000)(0. así tenemos:  Magnitudes escalares. La clasificación de estas magnitudes que medimos radica en cómo las debemos expresar.88 (de acuerdo al razonamiento realizado)  𝑛 = 6 (se necesita el valor del auto luego de 5 años) Necesitamos determinar el término 𝑢6 . Vectores en R2. velocidades. etc.org/math/algebra/sequences/modeling-with-sequences/e/recursive_explicit 4. 𝟔𝟐 El valor del auto en cinco años será de 18470.Datos:  𝑢1 = 35000 (valor inicial del auto. En nuestro diario vivir estamos acostumbrados a medir magnitudes. que se representan sólo por una cantidad numérica como por ejemplo: temperatura.khanacademy. fuerza. Para entender mejor lo que es un vector piensa en tu ubicación respecto a la entrada del lugar donde te encuentras. una inclinación para llegar a ti (la dirección) y cómo se debe ir de la entrada a tu ubicación (el sentido). Vectores como desplazamientos en el plano.  Magnitudes vectoriales.3. y además necesitamos especificar su dirección y sentido como por ejemplo: velocidad. posición. para especificar tu posición no basta decir a que distancia te encuentras de dicha entrada (el módulo). La representación de las magnitudes vectoriales son los vectores que matemáticamente y geométricamente se definen como segmentos de recta orientados. de la siguiente forma: En la representación gráfica de un vector podemos distinguir los siguientes elementos: SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . etc.1. La representación gráfica de vectores se lo realiza en un plano cartesiano y se entiende como el desplazamiento entre dos puntos. que se representan por una cantidad numérica que la llamamos su módulo. 4. además tendrás que especificar un ángulo. representado por la flecha e indica la orientación del vector (𝑒𝑛 𝑛𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝐴 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝐵)  Módulo de vector. es el origen del vector. conocido como la norma del vector. que se entiende como el tamaño del vector.  Punto inicial. El siguiente gráfico muestra una representación de vectores equivalentes y opuestos: SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . es el extremo del vector. (𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐵)  Dirección. por ejemplo 𝒗 ⃗⃗ . en estas representaciones el módulo de un vector se escribe |𝑨𝑩| o bien |𝒗 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗|. Analíticamente los vectores se representan por sus puntos inicial y final ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑨𝑩 o por una letra minúscula que nombra el vector. aquellos que tienen igual módulo y dirección pero sentido opuesto.  Vectores opuestos. (también llamados equipolentes) son aquellos que tienen el mismo módulo. De acuerdo a sus elementos podemos realizar la siguiente clasificación de los vectores:  Vectores equivalentes. llamado punto terminal. dirección y sentido. (𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐴)  Punto final. llamado también punto de aplicación. También decimos que un vector está en posición estándar cuando su origen coincide con el origen de coordenadas. también se acostumbra quitar la flecha de la parte superior. dada por la inclinación de la recta o línea de acción que contiene al vector.  Sentido. . de una de las siguientes formas.Para expresar un vector en forma de componentes podemos distinguir dos casos: a) Cuando el punto de aplicación del vector (punto inicial) coincide con el origen de coordenadas. es decir. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . módulo y vectores unitarios. Forma de componentes.3.2. y el vector 𝑐⃗ es opuesto a cualquiera de los dos anteriores.Podemos decir que los vectores 𝑎⃗ y 𝑏⃗⃗ son equivalentes. Expresión en forma de componentes. el vector está en posición estándar. Para poder operar con los vectores necesitamos expresarlos. 4. En este caso el vector se expresa en forma de componentes mediante las coordenadas de su extremo: 𝟓 ⃗⃗ = ( ) 𝒖 𝟒 En forma general el vector se escribe: 𝒖𝒙 ⃗⃗ = (𝒖 ) 𝒖 𝒚 b) Cuando el punto inicial del vector no coincide con el origen de coordenadas: En este caso las componentes del vector se hallan restando las coordenadas del punto inicial de las coordenadas del punto final. ⃗𝒃⃗ = (𝟔) − (𝟏) = ( 𝟓 ) 𝟐 𝟒 −𝟐 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 𝑦1 ) y como punto final 𝑄(𝑥2 .. para determinar el módulo del vector hemos realizado la construcción de un triángulo rectángulo con catetos (𝑥2 − 𝑥1 ) y (𝑦2 − 𝑦1 ) en el que el tamaño del vector que se expresa |𝑎⃗| corresponde a la hipotenusa de dicho triángulo. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR .Como ya lo expresamos. 𝑦2 ) se expresa en forma de componentes: 𝒙 𝒙 𝒙 − 𝒙𝟏 ⃗⃗ = ( 𝟐 ) − ( 𝟏 ) = ( 𝟐 𝒃 𝒚𝟐 𝒚𝟏 𝒚 −𝒚 ) 𝟐 𝟏 Este vector 𝑏⃗⃗ también puede nombrarse como el vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑄 . 𝑦2 ). Por el teorema de Pitágoras podemos escribir: ⃗⃗| = √(𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 )𝟐 + (𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 )𝟐 |𝒂 Expresión para determinar el módulo de un vector conocidas las coordenadas de sus puntos inicial y final. 𝑦1 ) hasta el punto 𝑃2 (𝑥2 . y su expresión tiene la siguiente explicación gráfica: En el gráfico tenemos el vector 𝑎⃗ que está trazado desde el punto 𝑃1 (𝑥1 . el módulo de un vector se entiende como el tamaño del vector. Módulo de un vector.En forma general si un vector 𝑏⃗⃗ tiene como punto inicial 𝑃(𝑥1 . para expresar un vector en función de sus vectores unitarios (llamados también vectores base) bastará acompañar el valor de sus componentes (𝑥. Vectores unitarios.. −1) y su punto final es 𝐵(3. su unitario se escribe ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑎 y para determinar su valor dividimos el vector para su módulo. Si tenemos un vector 𝑎⃗. Ejemplo 10: Graficar el vector cuyo punto inicial es 𝐴(−2. y el vector 𝑗⃗ en la dirección y sentido del eje 𝑌.Un vector unitario lo entendemos como un vector cuyo módulo (tamaño) sea igual a la unidad. 𝑗⃗ respectivamente. Diremos que dos vectores son iguales si tienen sus mismas componentes y por tanto su expresión en vectores unitarios es la misma. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . Expresar el vector en función de sus vectores unitarios. esto es: ⃗⃗ 𝒂 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒖𝒂 = |𝒂 ⃗⃗| En el plano cartesiano se han definido ya dos vectores unitarios: el vector 𝑖⃗ en la dirección y sentido del eje 𝑋. Dada esta definición. 𝑦) por los vectores 𝑖⃗ .2). Nombremos 𝑣⃗ al vector a determinar.3. resta. producto por un escalar.3. en primer lugar determinamos las componentes del vector: 3 − (−2) 5 𝑣⃗ = ( )=( ) 2 − (−1) 3 Una vez determinadas las componentes del vector podemos escribir en función de los vectores unitarios 𝑖⃗ y 𝑗⃗ de la siguiente forma: ⃗⃗ = 𝟓𝒊⃗ + 𝟑𝒋⃗ 𝒗 4.Solución. su gráfico se muestra a continuación: Para expresar el vector en función de sus vectores unitarios. Operaciones con vectores: Suma. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . esto es. Este método permite sumar fácilmente más de dos vectores manteniendo el mismo proceso. 𝑏⃗⃗ = ( 1 ) su suma o resta es otro vector que se expresa como la suma 2 𝑏2 o resta de sus componentes: 𝒂 ⃗⃗ = ( 𝟏 ) ± (𝒃𝟏 ) = (𝒂𝟏 ± 𝒃𝟏 ) ⃗⃗ ± 𝒃 𝒂 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒂𝟐 ± 𝒃𝟐 La interpretación es la misma en función de sus vectores unitarios. el vector suma. llamado vector resultante es aquel que une el origen del vector 𝑎⃗ con el extremo del vector 𝑏⃗⃗. 𝑎1 𝑏 Dados dos vectores 𝑎⃗ = (𝑎 ) .Las operaciones básicas entre vectores corresponden a su suma o resta y al producto por un escalar (por un número). SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . ⃗⃗ ± 𝒃 𝒂 La suma y resta de vectores también se la puede realizar gráficamente de acuerdo a las siguientes reglas: Para sumar dos vectores 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ gráficamente se forma un polígono en el que se hace coincidir el origen del vector 𝑏⃗⃗ con el extremo del vector 𝑎⃗. Suma y resta de vectores. si los vectores están expresados de la forma 𝑎⃗ = 𝑎1 𝑖⃗ + 𝑎2 𝑗⃗ y 𝑏⃗⃗ = 𝑏1 𝑖⃗ + 𝑏2 𝑗⃗ su suma o diferencia se expresa de la forma: ⃗⃗ = (𝒂𝟏 ± 𝒃𝟏 )𝒊⃗ + (𝒂𝟐 ± 𝒃𝟐 )𝒋⃗. necesitamos únicamente cambiar el signo de sus componentes. La resta de vectores 𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗ la entenderemos como la suma del primero vector con el opuesto del segundo. Así gráficamente tenemos: SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . la diagonal del paralelogramo es el vector suma resultante. esto es: ⃗⃗ − ⃗𝒃⃗ = 𝒂 𝒂 ⃗⃗) ⃗⃗ + (−𝒃 Ya hemos definido el vector opuesto.Para sumar dos vectores 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ gráficamente se trazan de tal forma que coincidan sus puntos de inicio y se forma un paralelogramo. y como sabemos que solo cambia el sentido respecto al vector original. esto es: 𝒂𝟏 𝒌𝒂 ⃗⃗ = 𝒌 (𝒂 ) = ( 𝟏 ) 𝒌𝒂 𝟐 𝒌𝒂𝟐 El efecto gráfico de multiplicar un vector por un escalar lo clasificamos en la siguiente tabla: Valor de 𝒌 Gráfico Efecto SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . El resultado de multiplicar un vector 𝑎⃗ = 𝑎1 𝑖⃗ + 𝑎2 𝑗⃗ por un escalar 𝑘 (un número).En este gráfico vemos claramente la distinción entre el vector suma y el vector diferencia. Producto de un vector por un escalar. es otro vector que se expresa como: ⃗⃗ = 𝒌(𝒂𝟏 𝒊⃗ + 𝒂𝟐 𝒋⃗) = 𝒌𝒂𝟏 𝒊⃗ + 𝒌𝒂𝟐 𝒋⃗ 𝒌𝒂 La interpretación es la misma cuando el vector está expresado en función de sus componentes. 𝑘>1 Expansión del vector 𝑎⃗ Expansión y cambio de 𝑘 < −1 sentido (signo) del vector 𝑎⃗ 0<𝑘<1 Contracción del vector 𝑎⃗ Contracción y cambio de −1 < 𝑘 < 0 sentido (signo) del vector 𝑎⃗ En los valores:  𝑘 = 1. En todos los casos de la tabla podemos observar que el efecto de multiplicar un vector por un escalar afecta el módulo y el sentido. el resultado es eliminar las componentes y definimos el vector cero ⃗0⃗. el resultado obviamente es obtener el vector original. mientras que la dirección se mantiene. esto es los vectores 𝑎⃗ y 𝑘𝑎⃗ tienen la misma dirección (inclinación) y siempre son paralelos. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . y  𝑘 = 0. 4 Aplicaciones de vectores. 𝑞⃗ = ( ) 4 −2 Hallar: a) 𝑝⃗ + 𝑞⃗ b) −2𝑝⃗ c) 𝑒𝑙 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑝⃗ d) 𝑒𝑙 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑞⃗ e) 𝑒𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑝⃗ Expresemos los vectores dados en funciones de 𝑖⃗ y 𝑗⃗. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . Revisemos las aplicaciones de los conceptos teóricos anteriores en el siguiente ejemplo: Ejemplo 11: Dados los vectores: 3 3 𝑝⃗ = ( ) .  𝑝⃗ = 3𝑖⃗ + 4𝑗⃗  𝑞⃗ = 3𝑖⃗ − 2𝑗⃗ a) 𝑝⃗ + 𝑞⃗ = (3𝑖⃗ + 4𝑗⃗) + (3𝑖⃗ − 2𝑗⃗) = (3 + 3)𝑖⃗ + (4 − 2)𝑗⃗ = 6𝑖⃗ + 2𝑗⃗. si existe un escalar 𝒌 tal que 𝒃 ⃗⃗ = 𝒌𝒂 ⃗⃗ 4.Esta característica permite definir los vectores paralelos de la siguiente forma: El vector 𝒃 ⃗⃗ es paralelo al vector 𝒂 ⃗⃗. 6𝑖⃗ + 0. veamos el siguiente gráfico: SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 𝑝⃗ 3𝑖⃗+4𝑖⃗ 3𝑖⃗+4𝑖⃗ 3 4 c) 𝑢𝑝 = |𝑝⃗| = ⃗⃗⃗⃗⃗ = = 𝑖⃗ + 𝑗⃗ = 0.b) −2𝑝⃗ = −2(3𝑖⃗ + 4𝑗⃗) = −6𝑖⃗ − 8𝑗⃗. √(3)2 +(4)2 5 5 5 d) |𝑞⃗| = √(3)2 + (−2)2 = √9 + 4 = √13. El siguiente gráfico muestra los vectores dados y determinados: e) Para determinar el ángulo de inclinación del vector 𝑝⃗ respecto a la horizontal.8𝑗⃗. Para determinar el valor del ángulo respecto a la horizontal (llamado también ángulo director) necesitamos usar la función trigonométrica tangente. ya que observamos en el triángulo rectángulo formado un cateto opuesto de medida 4 (componente en 𝑦 del vector) y un cateto adyacente de medida 3 (componente en 𝑥 del vector). Problemas. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 4 𝑡𝑎𝑛(𝜃) = 3 4 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 ( ) = 53. y por tanto sus componentes 𝑝𝑥 (𝑝 ) en los ejes los podemos comprobar con las siguientes expresiones: 𝑦  𝑝𝑥 = |𝑝⃗|𝑐𝑜𝑠𝜃 = 5 cos(53.1.13° 3 También puedes calcular que el módulo del vector 𝑝⃗ es |𝑝⃗| = 5.4.13°) = 4 4. Veamos dos aplicaciones típicas en el tratamiento de vectores en el plano.13°) = 3  𝑝𝑦 = |𝑝⃗|𝑠𝑒𝑛𝜃 = 5 sen(53. tenemos el interés de determinar si sus trayectorias tienen una característica particular. que se determina como el producto de los módulos de los vectores multiplicado por el coseno del ángulo que forman: ⃗⃗ ∙ ⃗𝒃⃗ = |𝒂 𝒂 ⃗⃗| 𝐜𝐨𝐬 𝜽 ⃗⃗||𝒃 El resultado obtenido de un producto punto entre dos vectores es un escalar (un número) no un vector. En este contexto podemos aplicar lo que en vectores se conoce como producto escalar o producto punto.En muchos casos prácticos de movimientos de objetos. generalmente relacionada con su separación angular. esto es: 𝑎⃗ = 𝑎1 𝑖⃗ + 𝑎2 𝑗⃗ 𝑏⃗⃗ = 𝑏1 𝑖⃗ + 𝑏2 𝑗⃗ El producto punto se expresa como: ⃗⃗ ∙ ⃗𝒃⃗ = 𝒂𝟏 𝒃𝟏 + 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝒂 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . Si los vectores están expresados en vectores base. Solución: a) Para demostrar que las trayectorias son ortogonales (perpendiculares). b) Hallar el ángulo que forma las trayectorias de los barcos A y B. basta señalar que su producto punto es igual a cero. 𝒂 ⃗⃗ = |𝒂 ⃗⃗ ∙ 𝒄 ⃗⃗||𝒄 ⃗⃗| 𝐜𝐨𝐬 𝜽 = 𝟎 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR .com a) Demostrar que las trayectorias de los barcos A y C son ortogonales. 𝑐⃗ = ( ) 8 Fuente: www. 𝑏 = ( ) ⃗⃗ 3 −2  Barco C. Ejemplo 12: Tres barcos salen de un mismo puerto y sus trayectorias están dadas por la dirección de los vectores: 4  Barco A. 𝑎⃗ = ( ) 1 3  Barco B.freeimages.Combinando las dos expresiones anteriores podemos tener la siguiente: 𝒂𝟏 𝒃𝟏 + 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜽 = |𝒂 ⃗⃗| ⃗⃗||𝒃 Expresión que permite determinar el ángulo formado por dos vectores. Ya que el cos(90°) = 0. En primer lugar expresemos los vectores en función de sus vectores unitarios:  𝑎⃗ = 4𝑖⃗ + 𝑗⃗  𝑏⃗⃗ = 3𝑖⃗ + 3𝑗⃗  𝑐⃗ = −2𝑖⃗ + 8𝑗⃗ Luego: 𝑎⃗ ∙ 𝑐⃗ = (4)(−2) + (1)(8) = −8 + 8 = 0 Por tanto las trayectorias seguidas por los vectores 𝒂 ⃗⃗ y 𝒄 ⃗⃗ son perpendiculares. El siguiente gráfico muestra las trayectorias de los barcos: SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 8575 (√17)(3√2) SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR .b) Para determinar el ángulo entre los vectores 𝑎⃗ y 𝑏⃗⃗ utilizamos la expresión: 𝒂𝟏 𝒃𝟏 + 𝒂𝟐 𝒃𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝜽 = |𝒂 ⃗⃗| ⃗⃗||𝒃 Determinamos los módulos de los vectores:  |𝑎⃗| = √(4)2 + (1)2 = √17  |𝑏⃗⃗| = √(3)2 + (3)2 = 3√2 Luego: (4)(3) + (1)(3) cos 𝜃 = = 0. el vector 𝑟⃗ = (𝑦) (vector en posición estándar) muestra la ubicación del móvil en cualquier punto de la trayectoria. dentro de la trayectoria. El siguiente gráfico muestra la deducción de la aplicación: 𝑥 Dada la trayectoria indicada gráficamente. esto es: ⃗⃗ = 𝒂 𝒓 ⃗⃗ ⃗⃗ + 𝒕𝒃 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . este vector como observamos corresponde a la suma de los vectores 𝑎⃗ y 𝑡𝑏⃗⃗.𝜽 ≈ 𝟑𝟏° La segunda aplicación consiste en establecer la ecuación vectorial de la trayectoria rectilínea seguida por móviles en el plano. En esta aplicación estamos interesados en conocer la posición del móvil en cualquier momento. en una larga autopista recta para un observador en una bomba de gasolina. viene expresada por: 0 2 𝑟⃗ = ( ) + 𝑡 ( ) 8 −1 Determinar: SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . 𝑦) de la trayectoria. La ecuación vectorial de la recta en función de las componentes de los vectores tiene por tanto la siguiente forma: 𝒙 𝒂𝟏 𝒃 (𝒚) = (𝒂 ) + 𝒕 ( 𝟏 ) 𝟐 𝒃𝟐 Que se puede leer como las ecuaciones (llamadas paramétricas):  𝑥 = 𝑎1 + 𝑡𝑏1  𝑦 = 𝑎2 + 𝑡𝑏2 Ejemplo 13: La ecuación vectorial para la posición (en cada hora) de un auto en km. el vector 𝑏⃗⃗ = ( 1 ) es un vector que sigue la dirección de la recta. 𝑎1 En esta expresión el vector 𝑎⃗ = (𝑎 ) corresponde a la posición de un punto que pertenece a la 2 𝑏 recta. y 𝑡 es un escalar 𝑏2 (generalmente el tiempo) que permite determinar la posición 𝑟⃗ de cualquier punto (𝑥. a) La posición inicial del automóvil se da para el tiempo 𝑡 = 0 horas. c) Si otro auto tiene la siguiente ecuación para su posición. 1 1 𝑟⃗ = ( ) + 𝑡 ( ) 9 −0. b) La posición luego de 2 horas.5) SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR .5 Demuestra que siguen trayectorias paralelas. a) La posición inicial del automóvil.5 Tenemos las ecuaciones: 2 = 𝑘(1) { −1 = 𝑘(−0. 0 2 0 𝑟0 = ( ) + (0) ( ) = ( ) 𝑘𝑚 ⃗⃗⃗⃗ 8 −1 8 b) La posición en dos horas es: 1 1 1 2 3 𝑟⃗ = ( ) + (2) ( ) = ( ) + ( ) = ( ) 𝑘𝑚 9 −0. Solución.5 9 −1 8 c) Para demostrar que las trayectorias son paralelas tenemos que probar que los vectores que indican sus direcciones mantienen la siguiente relación: 2 1 ( ) = 𝑘( ) −1 −0. khanacademy. entonces podemos escribir: 2 1 ( ) = (2) ( ) −1 −0. Para pensar:  Dos móviles parten al mismo tiempo y siguen trayectorias rectilíneas de posiciones: −2 3 ⃗⃗⃗⃗ 𝑟1 = ( ) + 𝑡 ( ) −1 1 7 0 𝑟2 = ( ) + 𝑡 (5 ) ⃗⃗⃗⃗ −3 ⁄3 Donde 𝑡 es el tiempo.khanacademy. concluimos que las trayectorias son paralelas.  Determina Las posiciones iniciales de los móviles.org/math/precalculus/vectors-precalc/vector-basic/v/introduction- to-vectors-and-scalars https://es.5 Como uno de los vectores dirección se puede escribir como el producto escalar del otro vector de dirección. En caso afirmativo establece el tiempo y la posición del encuentro. Para las cuales obtenemos el valor de 𝑘 = 2.khanacademy.  Demuestra si sus trayectorias se cruzan o no. Puedes revisar los conceptos tratados en vectores y practicarlos en los siguientes links: https://es.org/math/precalculus/vectors-precalc/unit-vectors/v/intro-unit- vector-notation https://es.org/math/precalculus/vectors-precalc/vector-addition- subtraction/e/graphically-adding-and-subtracting-vectors SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . (2𝑏 + 5). Determina el décimo término de la siguiente progresión: 5⁄ 7 2. 8. Si un barco se encuentra en la ubicación (8. ¿a qué distancia en km se encuentra del puerto? 8. El siguiente gráfico muestra el desplazamiento de dos móviles B y C en el plano. Halle el valor de: √3√3√3√3√3 … 7. Halla el valor del quinto término. Determina el valor de la expresión 𝑏⃗⃗ − 2𝑐⃗. … 4. (3𝑏 − 1). Determina el valor de 𝑏 en la siguiente progresión aritmética: (2𝑏 + 2). 2 3 . 2 ⁄3 . 6. El primer término de una progresión aritmética es −9 y la suma de los once primeros términos es 11. … 3.FORTALECIMIENTO DE CONOCIMIENTOS: TAREA 1. Una progresión aritmética de 30 términos tiene por primer término 13 y por último término 127. El vector opuesto a 𝑢 ⃗⃗ = 𝑖⃗ + 2𝑗⃗ es: 9. representados por los vectores 𝑏⃗⃗ y 𝑐⃗ respectivamente. −3)𝑘𝑚 respecto a un puerto. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . Halla el valor de la siguiente suma: 3 3 3 + + +⋯ 10 100 1000 5. ¿Cuál es el valor de su diferencia? 2. subconjuntos de p elementos de un conjunto de n elementos totales. un procedimiento para determinar el valor de una incógnita dada una expresión matemática. Aritmética: Rama de las matemáticas que estudia todos los campos numéricos y sus posibles operaciones. Cortes: En matemática. pueden tener o no repetición. los valores en 𝑦 también lo hacen. puesta en práctica de procedimientos matemáticos en diferentes contextos. Definición: Proposición que delimita la comprensión de un concepto. Aplicación: En matemáticas. Crecimiento: En matemática. Desigualdad: En matemáticas es una relación de orden entre expresiones aritméticas o algebraicas. se entiende generalmente como la vinculación teoría – contextos reales. si los valores en 𝑥 aumentan. Contexto: Circunstancias de diferente grado de dificultad que rodean a una situación y permiten comprenderla. Despeje: En matemáticas. Conteo: Técnica utilizada para cuantificar opciones de eventos. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . relativo a los puntos de intersección de una gráfica con los ejes coordenados. Comprobación: Acción de comprobar. Componentes de un vector: Proyecciones del vector sobre los ejes coordenados. Dominio: En matemáticas es el conjunto de valores del conjunto de partida de una función.GLOSARIO: Aplicación: En matemática. Combinación: De n elementos tomados de p en p. relativo a la monotonía. Concepto: Una idea que concibe o forma el entendimiento. en los cuales el orden posicional no interesa. Condición: Propiedad que se debe cumplir para que una situación se cumpla. satisfacer la solución de un problema. Ecuación: Igualdad entre expresiones algebraicas que se verifica para valores específicos de la o las incógnitas. relacionada con el ángulo que forma con el eje horizontal. regla de construcción que relaciona un término con sus precedentes. Intervalo: Conjunto de números comprendidos entre dos valores extremos los cuales pueden estar incluidos o excluidos. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . Infinito: Concepto matemático en referencia a la representación de una cantidad sin final. Expresión recursiva: En sucesiones. Ecuación: Igualdad entre expresiones algebraicas que se verifica para valores específicos de la o las incógnitas. Dirección de un vector: Inclinación de la línea de acción del vector. Función: En matemáticas es una relación entre los elementos de un conjunto (dominio) y los de otro (rango) de tal manera que a un elemento del dominio sólo le corresponda un elemento del rango. Exponente: Relativo a potencia. Expresión: Conjunto de letras y números que caracterizan un término matemático. Evento: Acontecimiento o suceso de interés. relativo a la monotonía. Infinito: Concepto matemático en referencia a la representación de una cantidad sin final. igualdad que relaciona expresiones que contienen variables Inecuación: Desigualdad entre expresiones algebraicas que se verifica para conjuntos de valores de la o las incógnitas. Factorial: Producto de un número entero positivo por todos sus inmediatos inferiores hasta llegar a la unidad. Fórmula: En matemáticas. planteamiento que permite reforzar una destreza matemática mediante la aplicación de un procedimiento específico. Ejercicio: En matemáticas. si los valores en 𝑥 aumentan.Decrecimiento: En matemática. los valores en 𝑦 disminuyen. Dominio: En matemáticas es el conjunto de valores del conjunto de partida de una función. Método: conjuntos de pasos ordenados y sistémicos que persiguen un determinado fin. Logaritmo: Exponente al cual se debe elevar una base dada para obtener un determinado número. pueden tener o no repetición. Propiedades: Expresiones comunes a un conjunto de elementos que determinan el cumplimiento de leyes. pueden tener o no repetición. Progresión geométrica: Sucesión numérica que se construye multiplicando una cantidad constante de un término al siguiente. Problema: Cuestionamiento teórico o contextual a partir de información específica para determinar una incógnita. Problema: En el contexto matemático es una situación planteada cuyo algoritmo de solución no es inmediato. Notación: En matemática. tamaño o norma del vector. Suceso: Acontecimiento o evento de interés. contexto de aplicación típico de aplicación de un concepto matemático. Progresión aritmética: Sucesión numérica que se construye sumando una cantidad constante de un término al siguiente. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . Raíces: En matemáticas son los valores de la variable que hacen cero la función. Técnica: Procedimientos para una determinada tarea que se adquiere al practicarla. relativo a la representación simbólica de conceptos. se refiere a subconjuntos ordenados de p elementos de un conjunto de n elementos totales. Módulo de un vector: Longitud. Modelo: En matemática. Potencia: Expresión escrita en la parte superior de un término para indicar el exponente. Monotonía: Relativo al crecimiento y decrecimiento de funciones. Permutación: Son listas en donde el orden es importante. Principio: Idea fundamental en la que se basa una técnica. Planteamiento: Viene de exponer una idea mediante un enunciado o una representación gráfica referida a un problema o a una situación específica a ser resuelta. Variaciones: En matemáticas de n elementos tomados de p en p. Rango: En matemáticas es el conjunto de valores del conjunto de llegada que están conectados con uno o más elementos del dominio. Solución: En matemáticas consiste en dar respuesta a una problemática hipotética o real. Rango: En matemáticas es el conjunto de valores del conjunto de llegada que están conectados con uno o más elementos del dominio. Sucesión: Conjunto de términos ordenados de acuerdo a una regla de construcción. Semiplano: En matemáticas. Vector: Segmento de recta orientado en el plano o el espacio. fórmula para determinar cualquier término de la sucesión. es un símbolo. fórmula que permite obtener sus términos. una letra que puede tomar un valor numérico en una expresión. Vector unitario: Vector cuyo módulo es igual a la unidad. Regla de construcción: En sucesiones. espacio del plano que satisface una inecuación lineal. Término n-ésimo: En sucesiones. según su ubicación relativa. Variable: En matemática. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . Sentido de un vector: Indica hacia dónde se dirige el vector en su línea de acción. Santillana .Benalcázar (2014). (2016) Matemática Bachillerato. Matemáticas Nivel Medio. Fundamentos de Matemáticas ESPOL. (20139. Estudios Matemáticos.edu.continental.Galindo. Slovakia. Matemáticas Superiores.Calderón. Guayaquil. (2006).pe/handle/continental/1782 SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . Quito. Quito.Blythe. (2015). Repositorio. (2015).Brown. . Oxford. Carrell.Galindo. Pearson. (2016).Álvarez. . Oquendo. Reino Unido.Villafuerte. . Fundamentos de Matemática. Guerrero.BIVLIOGRAFÍA: . . Impresión digital. Quito. (2012). . Recuperado de http://repositorio. Quito. . Poligráfica. Impresión digital. Prociencia. Matemática: Conceptos y aplicaciones. Quito.Benalcázar (2014). .continental. Perú. Fensom. Prociencia. Análisis Numérico. gob. Sector La Mariscal Quito – Ecuador Teléfono: +(593 2) 23829150 www.educacionsuperior.Subsecretaría de Acceso a la Educación Superior Ulpiano Páez 23-37 e Ignacio de Veintimilla.ec SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR .