Cursos deNivelación Dominio Matemático Subsecretaría de Acceso a la Educación Superior 2017 El presente documento expone conocimientos de una manera didáctica para apoyar el proceso de enseñanza – aprendizaje. ambos ejes fundamentales en su tratamiento. así como para generar y demostrar teorías basadas en estructuras y conceptos fundamentales.pedagógica de conocimientos expuestos del Dominio Matemático. funciones. buscando la adquisición de conocimientos y destrezas necesarias para su análisis más complejo SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . tanto para comprender la realidad y responder a situaciones concretas. En estas unidades formativas se trabajará: teoría del conteo. de manera didáctica para apoyar el proceso de enseñanza – aprendizaje. sucesiones. ecuaciones e inecuaciones. El presente manual tiene 4 Unidades Formativas y se realizó con la finalidad de fortalecer competencias básicas de los aspirantes que deseen ingresar a una institución de educación superior. y cuyo puntaje les permite ingresar a las Instituciones de Educación Superior (IES) del Ecuador.FORTALECIMIENTO DE CONOCIMIENTOS DESARROLLO DEL CURSO DESARROLLO DEL CURSO MODALIDAD: CARGA HORARIA: PRESENCIAL 55 HORAS PRESENTACIÓN: Este documento se realizó a partir del análisis de los resultados alcanzados por los sustentantes en el Examen Nacional de Evaluación Educativa Ser Bachiller. La matemática actualmente se conjuga entre el desarrollo abstracto y su aplicación en contextos reales. por tanto tiene un enfoque específico. series y vectores. Es el producto de la sistematización técnico. El contenido de este documento es producto del análisis estadístico sobre las falencias más frecuentes presentadas por los sustentantes en el Examen Nacional de Evaluación Educativa Ser Bachiller. 1.1. 2. Teoría Combinatoria 1. Principios básicos: aplicaciones 1.2.2.2. 2.1. 1. 2. Comprobación.1. 2. Introducción 1.2.1.2.2. Ecuaciones e Inecuaciones.2.3.2 Sistemas de ecuaciones lineales 2x2.ÍNDICE: UNIDAD FORMATIVA 1 1. Combinaciones: definición.2. Comprobación. Glosario de términos UNIDAD FORMATIVA 2 2. 2. 1. Métodos de Conteo. Inecuación: Definición.3.3. aplicaciones.1.3.2.2. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . Intervalo solución. 2. Términos algebraicos. aplicaciones.1.1. Dominio aritmético y algebraico. Permutaciones: definición.1.1.2.1.2.1. Desigualdad 2.1. 2.1.1. 2.1. Variaciones: definición. Despejes y solución.3.2. aplicaciones. 2.1. Ecuaciones: Definición. 1.1. 1. 2. Función: elementos de una función. Propiedades.3. Aplicaciones.4.3. Sistemas de inecuaciones lineales con 2 variables. 2.3.2.4. 2.1.3. Introducción.1.4.3. Función Cuadrática.3. Expresión algebraica. La fórmula cuadrática y el discriminante.2.2.4. Métodos de solución: 2. Clasificación gráfica de sistemas lineales 2x2. Función objetivo.5. 2.1. 2.4.4.3. Función Lineal y función afín: Concepto y representación 2.2.3.4. 2. 2.1.4. Región factible. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR .3.3 Programación Lineal. 2. 2.4 Funciones Lineal y Cuadrática. 2. 2.2.4. 2.2. 2.3.2.3. 2. 2. Solución óptima.2.2.2. Representación gráfica. Propiedades.4.3.3. 2.4.3.1.2. Igualación.2.3. Ejercicios y problemas.3. Ecuaciones lineales con dos incógnitas.2. Eliminación. 2. 2. 2.2.4.3.2. 2. Sustitución.2. 1.6.1.1.1.2 Solución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas 3.1. Función exponencial y logarítmica 3.3.2.1.1.2. Gráfico y propiedades.3. 3. 3.2.1.2.3. Propiedades de los exponentes 3.1. Relación con la función exponencial 3. Notación exponencial y logarítmica. Ecuaciones logarítmicas: ejercicios 3.2. Progresiones Aritméticas 4.1. Ejercicios y problemas UNIDAD FORMATIVA 3 3. Definición y construcción de progresiones aritméticas 4.1.5. 3.2.2.1. Expresión algebraica. Comprobación de soluciones UNIDAD FORMATIVA 4 4.4.3.1.2.2.1.5.2.1. Sucesiones y reglas de construcción 4.3.1. Función logarítmica.1. Gráfico y propiedades 3.1. Ecuaciones exponenciales: ejercicios 3.2.2.1. Expresión algebraica 3.1. 3. Modelos exponenciales. Función exponencial 3.1.2.2. 3.2. Propiedades de los logaritmos 3.4. Término n-ésimo SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . Expresión en forma de componentes.2.3.1. módulo y vectores unitarios 4.3. Definición y construcción 4.4. Término n-ésimo 4.2. Operaciones con vectores: Suma.3 Vectores en R2 4.4.1. Suma de los n primeros términos 4. Suma de los n primeros términos 4.2.2.2. Aplicaciones 4.3. Aplicaciones 4.1.5.3.4.1. resta.2 Progresiones Geométricas 4.4 Aplicaciones de vectores 4. Problemas Glosario SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR .1.3. Vectores como desplazamientos en el plano 4.2.4. producto por un escalar 4. determinar el número de ordenamientos o agrupamientos posibles entre los elementos de un conjunto. Aplicación: Si en una final de una competencia de 100m planos compiten 3 deportistas numerados (12). Permutaciones (Pn): definición.1. Los 3 primeros elementos deben ser una letra vocal. 1.1.La teoría combinatoria que se relaciona con las técnicas de conteo. los mismos que están basados en ordenamientos y agrupaciones. que tiene un código formado por cinco elementos de acuerdo a la siguiente condición: . .1. Contexto Imagina la siguiente situación: En tu casa tu papá ha pensado en colocar una alarma de seguridad.2 Métodos de conteo. (45) y (31) que lograron cronometrar el tiempo requerido para la final. 1. Introducción.1. Los 2 últimos elementos pueden ser cualquier dígito. Las permutaciones de un conjunto de n elementos las entendemos como todos los posibles ordenamientos que se pueden realizar entre los n elementos de este conjunto.2.. esto es. Se te pide que establezcas el código y que indiques ¿cuántas opciones de códigos dispones? Puedes pensar en formar todas las opciones posibles. pero te llevaría mucho tiempo ¡verdad! Damos respuesta a esta y otras preguntas que están relacionadas con las técnicas de conteo con el estudio de esta unidad. ¿Dé cuántas maneras pueden llegar a la meta y ubicarse en las tres posiciones? SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR .1 Teoría Combinatoria 1. persigue básicamente darnos información sobre todas las formas posibles en las cuales puede ocurrir un evento específico bajo determinadas condiciones o reglas. De acuerdo a las condiciones propuestas en los ejercicios y problemas podemos tener diferentes métodos para determinar el número total de arreglos posibles entre los elementos de un conjunto. En este caso la formación resultó simple. Un total de 6 ordenamientos posibles. En la aplicación anterior tenemos en la final 3 competidores. que concuerda con el número de formaciones realizadas. El factorial de un número. (12)(45)(31). (31)(12)(45). (31)(45)(12). (45)(12)(31). y no resultaría tan agradable. Por tanto para calcular el número de las posibles ordenaciones de un conjunto de n elementos emplearás la siguiente expresión: Expresión de las permutaciones: SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . por tanto 3 elementos. podemos formarlos de la siguiente forma: Solución: (12)(31)(45). pero en el caso de tener 5 o más competidores en la final nos llevaría más tiempo. 1. y (45)(31)(12).1.Como la pregunta tiene que ver con todos los posibles ordenes de llegada a la meta.2. su factorial se simboliza como n! y se calcula de acuerdo a la siguiente expresión: Tomando en cuenta que: n! representa el número total de ordenamientos que se pueden realizar entre los n elementos de un conjunto. y el cálculo de sus posibles ordenamientos. Dado un número natural n. las posibles posiciones de llegada son 3! Solución: 3!=1×2×3=6 opciones totales.1. es por esta razón que el cálculo de permutaciones se basa en la siguiente definición. esto es. que corresponden a las 3 dignidades a elegir. Condición: Expresión: Existen muchas ocasiones en las que necesitamos escoger subconjuntos ordenados dentro de un conjunto total. Las variaciones las entenderemos como todas las posibles permutaciones o agrupamientos ordenados de p elementos que podemos realizar en un conjunto de n elementos. un vicepresidente y un tesorero. Definición. y también que la clave para la aplicación de las variaciones consiste en que el ORDEN es importante en estos subconjuntos pues las dignidades a elegir cumplirán labores diferentes. Combinaciones . En muchas situaciones necesitamos seleccionar grupos de elementos de un conjunto. 1. Aplicación: En tu aula de clases hay 25 estudiantes en total y necesitan elegir al inicio del año un presidente. ¿De cuántas formas los pueden elegir? Lo primero que debes reconocer es que se formarán en la elección subconjuntos de 3 estudiantes. Condición: Expresión: SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . Definición.2. Solución: Tenemos como información y . tú lo has vivido muchas veces cuando dentro de un grupo de compañeros eligen por ejemplo una directiva para que los represente. Por tanto.2.2.3.1. Variaciones . procedemos a calcular: Obteniendo un resultado de: 13800 maneras posibles. en este contexto aplicamos las denominadas combinaciones de p elementos de un conjunto de n elementos totales. en los cuales el orden de los mismos carece de importancia. Puedes también ingresar a los siguientes enlaces para favorecer tu comprensión y practicar los conceptos aprendidos. procedemos de la siguiente forma: Solución: Tenemos como información y . procedemos a calcular: Obteniendo un resultado de: 3 opciones de jugo en el bar. y tienen entre el personal como elegibles a 5 hombres y 4 mujeres. ¿De cuántas maneras se puede crear este comité? Es claro ver que al seleccionar los hombres y las mujeres para el comité no importa el orden. como en el siguiente caso: Ejemplo 1: En una empresa necesitan formar un comité de 3 hombres y 2 mujeres. ¿Cuántos tipos de jugos pueden preparar si realizan una combinación de dos frutas en cada preparación? Al tomar en cuenta que en la preparación de los jugos NO IMPORTA EL ORDEN de las frutas al momento de seleccionarlas.Aplicación: En un bar disponen de 3 tipos de frutas para realizar jugos de: naranja. También te puedo mencionar que existen situaciones en las que puedes combinar estos conceptos en la solución de un problema. Para pensar: Calcula el nuevo total de opciones bajo la condición de que los jugos se pueden preparar con una. mora y tomate. por lo tanto procedemos con el uso de combinaciones de la siguiente forma: Solución: Para los hombres tenemos: Para las mujeres tenemos: Y aplicando el principio básico inicial tenemos opciones totales. Por tanto. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . dos o las tres frutas. pero te pide que no los ubiques juntos a Iván y Ana. pues siempre se pelean. 8. Juan. Un joven tiene 8 CD de música que más le gustan. 7. si hay 8 hombres y 7 mujeres elegibles? 6. si cada señal consta de 3 carteles? 2. Se juegan en la ciudad dos torneos de tenis simultáneamente con 10 jugadores cada uno. sin repetir 6. tu profesor te solicita que coloques en una fila (uno tras otro) a: Iván. 7. ¿Cuántas siglas diferentes pueden formarse con las letras de las palabras CABRA? 5. Ana. 9 en el número formado? 7. ¿Cuántas señales se pueden hacer con 6 carteles de diferentes colores. En un centro comercial existe una promoción del 50% por la compra de un combo que incluya 1 juego de comedor. ¿De cuántas maneras puedes armar tu combo? 3. 9. 1 de sala y 1 dormitorio.org/math/precalculus/prob-comb/combinations/v/introduction-to- combinations FORTALECIMIENTO DE CONOCIMIENTOS: Tarea 1. 5 de sala y 3 juegos de dormitorio. ¿De cuántas maneras se puede elegir una comisión 3 estudiantes mujeres y 2 estudiantes hombres.khanacademy. 8. ¿Cuántas opciones tienes de colocarlos en la fila? 8. se nos propone llenar cartillas para acertar las posiciones. y quiere regalarle a su novia 3 de ellos. con la particularidad que en un torneo la cartilla solo pide el campeón y en el otro pide el campeón y vice campeón del torneo. ¿de cuántas formas puedo llenar las dos cartillas? SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR . Enlaces a recursos y práctica: https://es. En la clase de matemáticas. ¿De cuántas formas lo puede hacer? 4.khanacademy. ¿Cuántos números de 2 dígitos se pueden formar con los dígitos 6.org/math/precalculus/prob-comb/combinatorics-precalc/v/permutation- formula https://es. Si en total se tienen disponibles 4 juegos de comedor. Adrián y a Eduardo. SUBSECRETARÍA DE ACCESO A LA EDUCACIÓN SUPERIOR .