Manual Conjunto-Leyes-Circuito 2do Informatica

DedicatoriaDedico este trabajo a todas aquellas personas que me apoyaron, y en especial a mi madre, guía de mi vida. Luis Morales P. 1 OBJETIVOS Objetivos Generales  Dar a comprender la importancia de la lógica matemática como instrumento básico para la formación, organización y sistematización de las diversas disciplinas científicas.  Comprender la relación entre los conjuntos y la lógica. Objetivos Específicos  Ayudar al estudiante a aprender a razonar y formalizar correctamente.  Dar una formación global acerca de los procedimientos formales y algorítmicos de razonamiento automático y resolución formal de problemas.  Manipular en forma algebraica expresiones lógicas que permitan su aplicación tecnológica.  Introducir la utilización de lenguaje corto y preciso partiendo de las proposiciones las mismas que se analizan en su forma lógica.  Utilizar las proposiciones en la construcción de circuitos lógicos. 2 SIMBOLOS {} ∅ U ∈ ∉ ⊂ ⊃ ⊄ ∪ ∩ ∀ ∃ ∧ ∨ / ,: = ≠ > < Conjunto Conjunto vació Conjunto universal Pertenece A o es un elemento DE No Pertenece A Incluido Incluye No incluye Unión Intersección Para todo Existe por lo menos uno y o Tales que Igual Desigual Mayor que Menor que Menor o igual que Mayor o igual que Implica ≤ ≥ ⇒ ∼ , ¬ , → , ′ Negación Condicional 3 ↔ Bicondicional INTRODUCCION A LA TEORIA DE CONJUNTOS Los conjuntos están relacionados con el proceso de contar y por tanto permiten resolver preguntas que implican la noción de cantidad. Los conceptos geométricos y aritméticos pueden ser formulados de una manera clara y concisa en términos de conjuntos: desde que se introdujo formalmente la teoría de conjuntos, se facilito el desarrollo de diversas ramas de la matemática como la geometría, la aritmética, el análisis y la topología. 1.0 Información Preliminar El estudiante debe conocer: • El conjunto de números naturales (N). N = {1,2,3,4,5,6,7,8, ……} • Interpretación, lectura y ubicación de intervalos sobre la semirrecta numérica. 0 ≤ X ≤ 8 se lee ”equis esta entre 0 y 8” (incluye extremos) 1.1 Noción de conjunto Sabemos que la palabra conjunto implica la idea de una colección de objetos que se caracterizan en algo común. En matemática tiene el mismo significado, sólo que a estos objetos se les llama elementos o miembros del conjunto. La noción simple de una colección o conjunto de objetos es fundamental en la estructura básica de las matemáticas y fue Georg Cantor, en los años 1870 quien primero llamó la atención de los matemáticos a este respecto. No puede darse una definición satisfactoria de un conjunto en términos de conceptos simples, por lo tanto la palabra "CONJUNTO" debe aceptarse lógicamente como un término no definido. Un conjunto es una reunión de objetos, llamados elementos del conjunto o miembros del conjunto. Ejemplos: 1. El conjunto de las principales ciudades del Ecuador esta formado por: Quito, Guayaquil, Cuenca, Ambato, Esmeraldas, Riobamba, Manta, Portoviejo ….etc 2. El conjunto de las vocales esta formador por: a, e, i, o , u 3. El conjunto de los números naturales esta formado por: 1, 2, 3, 4, …etc Ejercicio 1.1 Nombrar los elementos de los siguientes conjuntos: 4 1. El conjunto de las provincias del Ecuador 2. El conjunto de las provincias de la Sierra del Ecuador 3. El conjunto de las provincias de la Costa del Ecuador 4. El conjunto de los días de la semana 5. El conjunto de los meses del año Escriba los elementos de cada uno de los siguientes conjuntos: 1. Los números naturales menores a 10 2. Los números naturales impares menores a 25 3. Los números naturales divisibles para 3 menores a 27 4. Los dígitos del sistema numérico decimal 5. El numero que multiplicado por si mismo es igual a 3√64 1.2 Notación Normalmente se denotan a los conjuntos con las letras mayúsculas A, B, C, …M, N, O … X, Y, Z, y los elementos del conjunto con las letras minúsculas a, b, c … m, n, o … x, y, z, números o símbolos encerrados entre llaves { } y separados por comas. Ejemplos: 1. El conjunto de los números naturales impares menores a 13 A = {1, 3, 5, 7, 9, 11} 2. El conjunto de las capitales de Ecuador, Colombia y Venezuela se representa así: C = {Quito, Bogota, Caracas} 3. El conjunto de los números naturales se representa así: N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 …} Ejercicio 1.2 Describir los siguientes conjuntos: 1) Las vocales 2) Los planetas del sistema solar 3) Los números pares divisibles para 2 4) El conjunto de los números pares menores a 10 1.3 Representación grafica de conjuntos 5 1.3. 1. que son superficies planas poligonales limitadas por líneas curvas o líneas rectas cerradas. desprovista de validez lógica.3 5∈D z∉D q∈D w∈V o∈V 3 √8 ∉ D 6 . Ejemplo: Observe el siguiente diagrama y compruebe las relaciones de pertenencia. Ejemplos: A B C Los diagramas son empleados. para representar tanto a los conjuntos como a sus operaciones.1 Diagramas de Venn Para tener una idea más clara del conjunto se utilizan los llamados diagramas de Venn. Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se utiliza el símbolo ∈ de igual forma cuando un elemento no pertenece a un conjunto se utiliza el símbolo ∉. Relaciones: 1∈D y∉D Ejercicio 1. y constituyen una poderosa herramienta geométrica.4 Relación de pertenencia Cuando un conjunto se encuentra definido se establece la relacion de pertenencia con los elementos que lo constituyen. 6. 2.1 Por extensión ó Forma Tabular Se dice que un conjunto es determinado por extensión (o enumeración). A = { x/x es una vocal } B = { x/x es un número par < 10 } C = { x/x letra de la palabra conjuntos } Se lee “x tal que x es una vocal” Se lee “ x tal que x es num. A = { a. 2. u } B = { 0. o. e. 8 } A = { x/x es una vocal } B = { x/x es un número par menor que 10 } 7 . 6. j. u.5. i. 1.5 Determinación de conjuntos Un conjunto puede ser expresado por dos formas. 1. t. 4. cuando se da una propiedad que la cumpla en todos los elementos del conjunto y sólo a ellos. o.2 Por Comprensión ó Forma Constructiva Se dice que un conjunto es determinado por comprensión. es decir se expresa a través de una proposición abierta por lo cual el conjunto es la proposición verdadera. 8 } C = { c. esta proposición es simbólica por usa signos que facilitan su comprensión. o. n. s } En un conjunto determinado por extensión no se repite un mismo elemento. u } B = { 0.5. 4.Observa el diagrama anterior y contesta verdadero (V) o falso (F) según corresponda 1) 1 ∈ D 5) 4 ∈ v 9) 2-1 ∈ D 13) ex ∉ D 2) q ∉ D 6) 15 ∉ U 10) 3√8 ∉ U 14) π° ∈ D 3) π° ∉ D 7) π° ∉ U 11) π° ∈ U 15) 2√16 ∈ V 4) 2√16 ∈ U 8) 251/2 ∉U 12) ex ∉ U 16) ex ∈ U 1. e. i. Par menor a 10 “x tal que x es 1 letra de la palabra conjunto” Vamos a mostrarte un cuadro comparativo de determinación de conjuntos A = { a. cuando se da una lista que comprende a todos los elementos del conjunto y sólo a ellos. 1. 2. 6. 2 ≤ X < 10 } Expresar por comprensión los siguientes conjuntos: 1) A = {2. 3. 3. 8.n. 7. n ∈ N < 3 } D = {x/x = n + 3. 9 } D = { x/x es un número impar menor que 10 } E = { b. 7. d. 2. 13.. } G = {0. 12. . n ∈ impares < 3 } E = {x/x = n + 5.6.5 Enumere los elementos de los siguientes conjuntos: 1) 2) 3) 4) 5) A = {x/x = n + 1. 4. g. 1. u.C = { c.6. } E = { x/x es una consonante } Ejercicio 1.… } H = {2. 3. } 2) B = {1. h.n. j.. 8. III. 4. } I = {Dividendo. 7.2. V. n ∈ N < 20 } C = {x/x = 2. j. .1 CONJUNTOS FINITOS Es aquel tipo de conjunto en donde se puede enumerar todos sus elementos A = { x / x las letras del alfabeto } M = { x / x es un río de la tierra } B = { x / x Nombres de todos los compañeros de clases } P = { x / x es un país de la tierra } Conjunto finito Conjunto finito Conjunto finito Conjunto finito 1.. IV. 6. II. } Conjunto infinito 8 . 3. 6. .…… } 3) C = {11200.….residuo} 1. … } 4) D = {El sol } 5) E = {El m3 } 6) 7) 8) 9) F = {I. 5. 17400. propiedad que permite su clasificación. n. 5. n ∈ impares < 11 } 6) 7) 8) 9) 10 F = {x/x = 2.. 2 < X < 10 } I = {x/x. t. n = 2 } H = {x/x.…. 5. VI. . n ∈ N < 10 } B = {x/x = n .divisor. 10. 9. 5. n = 0 } G = {x/x = 3.n. 0 ≤ X < 11 } J = {x/x. o. f.1 CONJUNTOS INFINITOS Es aquel conjunto que posee un infinito número de elementos. 7. 5. 3.6 CLASES o TIPOS DE CONJUNTOS Todo conjunto tiene un determinado número de elementos. s } C = { x/x es una letra de la palabra conjuntos } D = { 1. c. N = { 0.cociente. 11. 17. 14500. 1.. 4. 11. . 21. A = { Los perros que vuelan } C = { x / x3 = 8 y x es impar } D = { x / x es un día de 90 horas } A={} A=Ø C={} C=Ø D={} D=Ø 1. Sean los conjuntos: A = { aves } B = { peces } C = { conejos } D = { monos } U = { animales } Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A. .6. 9. B. B = {números pares entre 6 y 10} = { 8 } C = {la capital del Perú } = { Lima } D = {x / 2x = 6} = {3} 1. 27. 6. 18. 12. y se le denota por el símbolo ø o { }. Se suele llamarle conjunto nulo. Es Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a continuación..C = { x / x los planetas del universo} V = { 3. } D = { x / x es un numero natural } Conjunto infinito Conjunto infinito Conjunto infinito 1.2 CONJUNTO VACÍO Es un conjunto que carece de elementos.4 CONJUNTO UNIVERSAL Es el conjunto que contiene a todos los elementos del discurso. 9 . Se le denota por la letra U. C y D.6. 15. 24. Es un término relativo.6.3 CONJUNTO UNITARIO Es todo conjunto que está formado por un sólo y único elemento. el orden de los elementos de cada conjunto no importa.Sean los conjuntos: E = { mujeres } F = { hombres } U = { seres humanos } Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos E y F. p.5 CONJUNTOS DISJUNTOS Si dos conjuntos A y B no tienen ningún elemento común entonces A y B son disjuntos. 6 } B = { 1. P = { x/x es una letra de la palabra aritmética } Q = { x/x es una letra de la palabra algebra } P y Q no son disjuntos 1. C = { x/x es una letra del alfabeto } D = { x/x es un número } C y D son disjuntos Conjuntos no disjuntos M = { o. 5 } A y B son disjuntos. Conjuntos disjuntos A = { 2.7 OPERACIÓN ENTRE CONJUNTOS 1. es decir si cada elemento de A pertenece a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A. La igualdad se denota A = B o B = A. t.6. r. v. u } M y N no son disjuntos. En la igualdad. 1. 3. s } N = { s. 4. 10 . q.1 Igualdad de Conjuntos Se dice que 2 conjuntos A y B son iguales cuando ambos tienen los mismos elementos.7. Es Gráficamente se representa por un rectángulo tal como se observa a continuación. 8 } 11 . 3. 6. La unión de conjuntos se define como: A U B = {x/x. 1} D = {1. 3. 2. 3. 2. 5.} E = {vocal de la palabra mundo} F = {u. 4. 1. 5 }. efectuar y construir los diagramas respectivos: a) A U C b) B U C c) A U B a) A = { 0. 5 } y C = { 5. 2. 8 } B U C = { 0.2 Unión de Conjuntos La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos. 4. 8 }. 1. 6. Dados los conjuntos: A = { 0. 1. 4. 2. 2. 3. 8 } A U C = { 0. 4 } y C = { 5. 2. x A∨ x B} En forma gráfica vamos a mostrar tres casos diferentes: Cuando no tienen elementos comunes Cuando tienen algunos Cuando todos los elementos de un elementos comunes conjunto pertenecen a otro conjunto 1. 4} B = {3. 3. 6. 6. 2} C = {1. 4. 2. 3. Se denota: A U B. o} A=B C=D E=F 1.A = {1. 4. 2. B = { 0. 3. . 4. 6. 4 } y C = { 5. 4. 8 } Representación gráfica de la unión de conjuntos A y C b) B = { 0.7. 1. 4. 2. 2. efectuar y construir los diagramas respectivos: a) A C b) B C c) A B A C={ . 2. . 3. 2. La intersección de A y B también A B = { x/x. 4 } A U B = { . 4. 2. 5 }. 4 } 12 . 5 } y B = { 0. 1.3 Intersección de Conjunto Se define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos que son comunes a A y B. . x A∧x B } y mediante un diagrama de Venn-Euler: Vamos a mostrar tres casos diferentes Cuando tienen elementos comunes Cuando no tienen elementos comunes Cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen a otro conjunto 1. que se lee: A intersección B. 1. 3. } a) A = { 0. 7 } y C = { 2. 5 } y C = { 2.Representación gráfica de la unión de conjuntos B y C c) A = { 0. 3. 3. 4. Dados los conjuntos: A = { 0. 1.7. 5. 4. 1. 2. B = { 3. 5 } Representación gráfica de la unión de conjuntos A y B 1. 4 }. Se denota por A se puede definir: B. Se define la diferencia de dos conjuntos también como: A . 5.7. 7 } y C = { 2. La diferencia se denota por: A . x Mediante un diagrama de Venn .Euler: Vamos a mostrar tres casos diferentes Ayx B} Cuando no tienen elementos comunes Cuando tienen elementos comunes 13 Cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen a otro conjunto . 2. } Representación gráfica de la intersección de conjuntos A y B 1. 5 } y B = { 3.Representación gráfica de la intersección de conjuntos A y C b) B = { 3. 7 } A B={ . 3. 1. 5.B que se lee: A diferencia B o A menos B.B = {x/x. 4 } B C={} Representación gráfica de la intersección de conjuntos B y C c) A = { 0. 4.4 Diferencia de Conjuntos Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B. c. f. e } y C = { d. e } A – B = { b. d. f.1. g } B . c. y comprueba que A ∆ B = (A ∪ B) – (A ∩ B): 14 . 11 }.C = { a. f. g }. 3. 7. c. c. b. x ∈ ( A – B ) ∨ x ∈ ( B – A ) } 1. Dados los conjuntos: A = { a. e } y C = { d. 5. efectuar y construir los diagramas respectivos: a) A a) -C b) B -C c) A -B A = { a. Dados los conjuntos: A = { 1. esta formado por los elementos que resultan de la operación: ( A – B ) ∪ ( B – A ) la diferencia simétrica de dos conjuntos se denota: ( A ∆ B ). determina A ∆ B. d. b. 9. g } A . 5. d } Representación gráfica de la diferencia de conjuntos A y B 1. b. B = { a.7. e } b) Representación gráfica de la diferencia de conjuntos A y C B = { a. B = { 2. b.C = { a. Simbólicamente: A ∆ B = {x/x. 3.4 Diferencia Simétrica de Conjuntos El conjunto de la diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B. e } y C = { d. 7. c. e } Representación gráfica de la diferencia de conjuntos B y C c) A = { a. d. e } y B = { a. e }. 11}. 6. 11} B–A={2} ( A ∆ B ) = ( A – B ) ∪ ( B – A ) = { 1.... . finitos. 9...8 1) Cuáles son los elementos de: a) El conjunto de los días de la semana b) El conjunto de las estaciones del año c) Los números impares menores de 11 d) Los números pares mayor que 10 y menor que 20 e) Los números primos menores de 15 Colocar V ó F según lo afirmado sean verdadero o falso a) 6 { 2. 11} A ∆ B = { 1. unitarios. 5. 3. . 5. 9. 2. infinitos? a) A = { x / x es día de la semana} b) B = { vocales de la palabra vals} c) C = { 1. p.. 7.. . 2.. 7.. . 7.. .. 4. p.. 9 } B = { 2. 5. 7.} d) D = { x / x es un habitante de la luna} e) E = { x N / x < 15} . 9 } ( b) y { o. 3.. 7.... 5.{ 3. 9. 11 } . q.. 2 } Para la comprobacion: A ∆ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) A ∆ B = { 1. y } ( d) Perú { países de Europa } ( e) Amazonas { ríos de América } ( 2) ) ) ) ) ) 3) ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son: vacíos. 15 . . 3. 9. 5. x } ( c) x { o. 9 } Gráficamente: Ejercicios 1. q. ....A = { 1. 3. 11 } A – B = { 1. . . 5. (A ∩ B ∩ C). 9}. (A ∪ C). B. 9}. B y A ∪ B. . o. 5}. 6.. (B ∪ C).Euler respectivo. 6. B – A = {3. Hallar los conjuntos: A. B ∩ C = {3. 1. A ∩ B = {4.. 4}.. m. 6. 7} B.f) F = { x N y 5 < x < 5 } g) G = { x N y x > 15} h) H = { x N y x = x} i) I = { x / x es presidente del Océano Pacífico} j) J = { x / x es número de cabellos total de los habitantes del Perú } 4) Dados los conjuntos A y B.Euler respectivo. 2.6) (A ∆ B) – (A – B) Determina los conjuntos: 5. x ∈ 5 ≤ X ≤ 10 } 4.1) (A ∪ B) – (A ∆ B) 5. . 1}.3) (A ∆ B) . Determinar (A ∪ B) Dibujar el diagrama de Venn 6.5) (B – A) ∪ (A – B) B = { a. 7.... e. Determinar 16 .. A – B = {0. (A ∪ B) Dibujar el diagrama de Venn. 3.. 1. 4}..4) Dados los conjuntos: A ∩ B = {2 }. 3. . 2..2) (A – B) ∩ (B – A) 4.. 4. x ∈ números naturales < 12 } 4. 4}. B – C = {5.4) A ∆ B y B ∆ A 5) Si A = { a...1) Dados los conjuntos: A ∩ B = {2. 6..2) Dados los conjuntos. realiza las operaciones que se indican: A = {x/x. 1.3) Dados los conjuntos: A ∆ B = {0. 8.... A ∩ (B ∪ C) Dibujar el diagrama de Venn.. A – B = {0. 3}. u} B = {x/x. o. C. Determinar los conjuntos : B – A = {5. (A ∩ C). i. 7} C – B = {4. 6. r} .. A. . A = {0. 8.. 5}.2) (A ∪ B) ∆ (B ∩ A) 6) Resuelve los siguientes problemas: 6.1) A – B y B – A 4. 5.3) (A – B) – (A ∆ B) 4. las cuales permiten obtener conclusiones a partir de proposiciones admitidas como verdaderas. no el de la validez de las proposiciones. los dispositivos de automatismo.0 Introducción La lógica es la ciencia de las formas del pensamiento (conceptos. reconocida como una herramienta útil en la aplicación de los principios de algunas ciencias. En otras palabras la lógica es la ciencia que enseña a razonar con exactitud. construir y utilizar computadora.2 Lógica Matemática: Estudia los procesos del razonamiento (su validez o falsedad) usando métodos matemáticos. Se denomina lógica formal porque se ocupa de las formas o estructuras que adopta el raciocinio más no del contenido de verdad de las proposiciones particulares de que se trate. de la robótica y la inteligencia artificial.3 Enunciado (Oraciones) 17 . La inferencia lógica es el estudio de la validez de los razonamientos. LÓGICA MATEMÁTICA 2. 2. llamadas premisas. y para el estudiante de la especialidad 2. 2.1 Lógica Es la ciencia que estudia los procesos del razonamiento mediante el análisis del lenguaje. juicios y raciocinios). de su estructura y de las leyes del conocimiento inferido.2. La lógica como ciencia adquiere para el informático una connotación especial que le permite el diseñar. Marte es un planeta √4 + √9 = 2 + 3 Verdadero Falso Falso Verdadero Verdadero Verdadero (V) (F) (F) (V) (V) (V) Como sabemos las afirmaciones 1 y 4 son ciertas. Ejemplo: A la proposición “7 es número impar” podemos llamarla p. “x > 0”.. por ejemplo las oraciones “no es fácil ingresar a la universidad”.5 Notación A las proposiciones las notaremos mediante las letras p. 4. y escribiremos: p: “7 es número impar”. “Han tocado el timbre” no son proposiciones ya que no se pueden juzgar sobre su certeza o falsedad. 2. 2. etc. El gallo es un mamífero. Para indicar símbolos V o F. respectivamente. Como ejemplos de proposiciones pueden servir las siguientes afirmaciones: 1. 10 > 4. mientras que la 2 y 3 son falsas. Ejemplos: 1) 2) 3) 4) 5) ¿ Cómo se llama aquel joven? Así es la vida que le vamos a hacer. El número 5 es par y el número 8 es impar. Se dice que una proposición simple tiene valor de verdad cuando se puede afirmar con seguridad si es verdadera o falsa. 2+4=8 Todos los perros son carnívoros Buenos días 2. 3. En algunos casos pueden ser verdaderas o falsas.4 Proposición lógica Es toda expresión gramatical o matemática que tiene sentido completo y valor de verdad. 5. mayúsculas o si una proposición es verdadera o falsa emplearemos los minúsculas. lo cual leeremos p es la proposición “7 es número impar” p: q: r: Todo triangulo es un polígono Todo cuadrilátero es un rectángulo Las líneas perpendiculares no tienen puntos comunes (V) (F) (F) 18 . 6. q. Quito es la capital del Ecuador. Nótese que no toda oración que tiene sentido es una proposición. pero en otros casos pueden ser exclamaciones. r. interrogaciones o mandatos.Se llama así a toda frase u oración. se les llama también compuestas.2 Proposición Compuesta (o molecular ) Son aquellos enunciados formados por dos o más proposiciones atómicas.1 Proposición Simple ( o atómica ) Son aquellas formadas por un solo enunciado es decir presentan un solo sujeto (y también un solo predicado). entonces dará un buen examen 7 es un número impar.7 Clases de proposiciones: Las proposiciones pueden ser: Simples o Compuestas 2. por ello usa conectivos lógicos. 3 √8 = 2 2.6 Valor de Verdad Se llama valor de verdad de una proposición a la verdad o falsedad de su contenido. La unidad monetaria de Ecuador es el dólar 4. 1.7. Ejemplos: a) 4 = 5 b) Homero fue un historiador griego d) Todos los triángulos son rectángulos e) El sol es una estrella luminosa F V F V 2.1 1. no presentan por ello conectivo lógico alguno. Ejemplos: a) b) c) Si 3 es un número primo entonces 9 es también número primo Si Pedro llega temprano.7. Ejemplos: p: 2 + 2 = 4 q: París es la capital de España r: Lima está en Argentina s: Todos los triángulos son cuadriláteros V F F F 2.Ejercicio 2. luego no es múltiplo de 2 19 . Maria es bonita 2. Determina si las siguientes expresiones son oraciones o proposiciones y obtenga el ____________ ____________ ____________ ____________ ____ ____ ____ ____ valor de verdad. Simón Bolívar nació en Venezuela 3. 8. mediante el conectivo lógico “y”. “más aún” . todas las otras combinaciones son falsas. 2. “pero” . ∧ Simbólicamente la conjunción se expresa: p ∧ q. “sin embargo” . Se lee: “y” . siendo las más usadas 2.8. “ a la vez”.1 Valor de verdad de la conjunción La conjunción es verdadera cuando las proposiciones simples que la forman son verdaderas.8 Conectivos Lógicos Son símbolos que permiten unir proposiciones simples. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) Simón Bolívar nación en Ecuador La tierra es satélite de la luna 2+ 5 ___________ ____ ___________ ____ ___________ ____ ___________ ____ ___________ ____ ___________ ____ ___________ ____ ___________ ____ ___________ ____ 3 x 5 +4 = 19 6≥2+4 Hay un número natural que es negativo Existen diversas razas de perro Se fueron de viaje ¿Qué es la inflación? La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º ___________ ____ 2.2 La Disyunción q V F V F p ∨ q V F F F 20 .8. p V V F F 2.1 La Conjunción Es aquella proposición compuesta que se forma al unir dos proposiciones simples.d) Hace frío y está lloviendo Ejercicios 2. “aunque” .2 Entre las siguientes afirmaciones halle las que son proposiciones e indique cuáles son verdaderas o falsas.1. “además” . la condicional es falsa.3. ⇔ Simbólicamente la conjunción se expresa: p ⇔ q.1 Valor de verdad de la condicional La bicondicional es verdadera cuando las dos proposiciones que la forman son equivalentes. “Si solamente sí”. 2. todos los demás casos son verdaderos. ⇒ Logicamente significa que el antecedente IMPLICA logicamente al consecuente. y “entonces” antes del otro enunciado.8.8.1 Valor de verdad de la disyunción La disyunción es verdadera cuando al menos una de sus proposiciones simples es verdadera.3 La Condicional q V F V F p ∨ q V V V F La condicional se forma con dos proposiciones simples.4 Bicondicional q V F V F p → q V F V V La bicondicional se forma con dos proposiciones simples unidas mediante el conectivo lógico “si y.8.8. “porque” . “cuando”.Es aquella proposición compuesta que se forma al unir dos proposiciones simples.8. mediante el conectivo lógico “o”. ∨ Simbólicamente la conjunción se expresa: p ∨ q. “ya que” . “Si y solo sí”.4. p V V F F 2. “entonces” . “puesto que” . Simbólicamente la conjunción se expresa: p ⇒ q. Se lee: “implica” . 2. p V V F F 2. Se lee: “es equivalente a”.2. solo si”. Se lee: “0” 2. “es necesario” . unidas mediante las conjunciones “si” antes de uno de los enunciados. es decir tener igual valor de verdad.1 Valor de verdad de la condicional Cuando el antecedente o hipótesis e verdadero y el consecuente o tesis es falso. 21 . respectivamente. ′. &. ¬ . la afirmamos y si quiero negar una Conjunción ∼( p ∧ q ) “Es falso que” o Bicondicional: ∼( p ⇔ q ) “No es verdad que” Ejemplo: ''El agua esta fría y el calentador está descompuesto''. A continuación se dan algunas proposiciones (y su valor de verdad) y sus respectivas negaciones. hace calor (F) (V) (F) (V) Eduardo no es alto o Eduardo es bajo 22 . si queremos negar las proposiciones “2 es un número par” o “no llueve”. |. generalmente acoplamos al predicado la partícula “no” o la omitimos. decimos “2 no es un número par” y “llueve”. Conectiva Negación (No) Conjunción (Y) Disyunción (O) Condicional (Si . entonces) Bicondicional (Si y solo si) Símbolos asociados ~. −. ∧.= 2.5 Tabla Simbólica de los Conectivos Logicos. Por ejemplo. se representa por (V) (F) (V) (F) Guayaquil no es un puerto 4≤6 2+3≠5 El número 8 no es primo No hace frío.. ∗ ∨.8. Es decir este operador nos permite cambiar el sentido de la proposición y se representa con ∼.p V V F F q V F V F p ↔ q V F F V 2. + → ↔. Guayaquil es un puerto 4>6 2+3=5 El número 8 es primo Eduardo es alto No. no hace frío NOTA: Al negar dos veces una proposición..9 Negación de Proposiciones Cuando negamos algo. si ya estaba presente. ¬. 5. a.1. se representa por P → Q. b.3. entonces Luis es inteligente''. b. asimismo.4.3. ∧. a. Aún cuando existen algunas diferencias en la determinación de una jerarquía de conectivas.4.2.1. b. para determinar el valor de verdad de una proposición compuesta. ↔ donde ¬ (negación) es el operador con mayor jerarquía en la secuencia y ↔ (bicondicional) es el operador con el menor peso.5. 2. Q: El calentador esta descompuesto. se deben conocer las reglas de precedencia y asociatividad de las conectivas para asegurar que la evaluación es correcta. b.10 Jerarquía de conectivas Como se estableció anteriormente. a. → .6. 4.P ∧ Q. ¿Quién eres? El número 3 es par La suma de dos números impares es un número par Un triángulo equilátero es isósceles El producto de dos números negativos es positivo x+1=4 2. en este texto se utilizará el siguiente orden: ¬ .6. b. 3. Q: Luis es inteligente. El área de un rectángulo es base por altura 7 no es menor que tres El cociente de dos números negativos es negativos El opuesto de un número es siempre negativo Cero es un número par 5–3≤3+2 F ____ F ____ V ____ F ____ F ____ F-____ 23 . ∨. es necesario conocer cuales son las reglas que se aplican para determinar si la proposición completa es cierta o falsa. 5 son proposiciones Respuestas: b) Niegue las siguientes proposiciones y establezca su valor de verdad b. a.2. Ejemplo: ''Si Luis es ingeniero. donde: P: Luis es ingeniero. a. Ejercicios 2.3 a) Indicar cuál de las siguientes expresiones son proposiciones. al tener fórmulas con dos o más conectivas. a. donde: P: El agua esta fría. 2 p: El estudia y q: El inteligente. el es inteligente. el no estudia. el es inteligente b) El no estudia y no es inteligente c) El estudia o no es inteligente d) El no estudia si solo si el es inteligente e) El estudia si solo sí. o 24 .c) Expresar en forma verbal las siguientes proposiciones para las cuales: c. si solo sí no es inteligente h) El es inteligente i) No es verdad que. el es inteligente o no estudia. entonces. no es verdad que el estudia entonces el es inteligente f) El no es inteligente. es verdad que. entonces el no estudia g) No es verdad que.1 a) ∼p p: Hace frío y q: Está lloviendo b) p ∧ q c) p ∨ q h) p ⇔ ∼q d) q ⇔ p i) ∼∼q e) p ⇒ ∼q j) (p ∧ ∼q) ⇒p f) q ∨ ∼ p g) ∼p ∧ ∼q Respuesta: a) No hace frío p: Hace frío y q: Está lloviendo b) Hace frío y está lloviendo c) Hace frío o está lloviendo d) Está lloviendo si solo sí hace frío e) Hace frío entonces no está lloviendo f) Está lloviendo o no hace frío g) No hace frío y no está lloviendo h) Hace frío si solamente si no está lloviendo i) Está lloviendo j) Es verdad que hace frío y no está lloviendo entonces hace frío c. b) ∼ p ∧ ∼q c) p ∨ ∼q d) ∼ p ⇔ q h) ∼∼ q e) p ⇔ ∼(p ⇒q) a) p ⇒ q f) ∼q ⇒ (q ⇒ ∼p) Respuesta: a) g) ∼(q ∨ ∼p) ⇔ ∼q i) ∼(∼p ⇒ q)∨(q ⇒ ∼ q) p: El estudia y q: El es inteligente El estudia entonces. entonces el es inteligente. el es inteligente. entonces él es inteligente (∼q⇒∼p)⇒q b) Ser inteligente implica que el estudia q⇒p c) El es inteligente siempre y cuando estudie q⇒q d) El no estudia . el no es inteligente d) Escribir las siguientes proposiciones en forma simbólica para las cuales: d) Expresar en forma simbólica las siguientes proposiciones para las cuales: p: “Ella es alta” y a) b) c) d) e) q: “Ella es atractiva” p∧q p∧∼q ∼(∼p∨q) ∼p∧∼q ∼(∼p∨∼q) Ella es alta y atractiva Ella es alta pero no es atractiva Es falso que ella sea pequeña o atractiva Ella no es alta ni atractiva No es verdad que ella sea baja o que no es atractiva p: El estudia y q: El es inteligente a) Es verdad que para no ser inteligente no es necesario que estudie. no estudia sí sólo si es falso que el no es inteligente p⇔∼(∼q∨∼p) p: “El es rico y q: “El es feliz” a) b) c) d) e) Ser pobre es ser infeliz El no puede ser rico y feliz Si el no es pobre. entonces. pero es inteligente ∼p∨q e) No. entonces 4 + 4 = 8 p q p⇒q F⇒V ~F ∨ V V∨V 25 . entonces es feliz Ser rico es lo mismo que ser feliz Si el no es pobre y feliz. entonces es rico ∼p⇒∼q ∼(p∧q) p⇒q p⇒q p∧q⇒p e) Determinar el valor de verdad de cada una de las proposiciones compuestas a) Si 2 +3 = 0 p entonces es falso que 1+5 = 6 o q 2 +3 = 4 r p ⇒ ∼ (q ∨ r) F ⇒ ∼ (V ∨ F) F ⇒ ∼ (V) F⇒F ~F ∨ F V∨F V b) Si 3 + 2 = 7.es verdad que. V c) Si 4 = 5 o es verdad que 4 ≠ 5 entonces 1 + 1 ≠ 2 p p ∨ ( ∼p ⇒ q) F∨(V⇒F) F ∨ ( ~V ∨ F ) F∨(F∨F) F∨(F) F∨F F ∼p q d) Es falso que 3+2=5 si solo 1+3≠0 y es falso que 1+3=0 o que 3+2≠0 p q ∼q ∼p ∼ ( p ⇔ q ) ∧ ∼ ( ∼q ∨ ∼p ) ∼(V⇔V)∧∼(F∨V) ∼ [( V ⇒ V ) ∧ ( V ⇒ V )] ∧ ∼ ( F ∨ V ) ∼ [( ~V ∨ V ) ∧ ( ~V ∨ V )] ∧ ∼ ( F ∨ V ) ∼ [( F ∨ V ) ∧ ( F ∨ V )] ∧ ∼ ( F ∨ V ) ∼ [( V ) ∧ ( V )] ∧ ∼ ( F ∨ V ) ∼(V)∧~(V) F∧F F e) No es verdad que 2+2=5 si. y solo si. 4+4=10 p q ∼(p⇔q) ∼(F⇔F) ∼ [( F ⇒ F ) ∧ ( F ⇒ F )] ∼ [( ~F ∨ F ) ∧ ( ~F ∨ F )] ∼ [( V ∨ F ) ∧ ( V ∨ F )] ∼ [( V ) ∧ ( V )] ∼(V) F f) Si 3>0 o es verdad que 0>5 entonces 0<3 p q r p∨∼(q⇒r) V∨∼(F⇒V) V∨∼(V) V∨F V g) París está en Inglaterra o Londres está en Francia p q p∨q F∨F F 26 . si solo si es falso que p q − 4 = 2i o 3 r 8 ≠2 ∼p (p⇒q)⇔∼(r∨∼p) (V⇒V)⇔∼(V∨F) V⇔∼(V) V⇔F [( V ⇒ F ) ∧ ( F ⇒ V )] [( ~V ∨ F ) ∧ ( ~F ∨ V )] [( F ∨ F ) ∧ ( V ∨ V )] F j) Si 2+2=4 entonces no es verdad que 2+1=3 y 5+5=10 p q r p⇒∼(q∧r) r⇒∼(V∧V) V⇒∼(V) V⇒F ~V ∨ F F∨F F k) Si 2+2=4. entonces no es verdad que 3+3=7 si y solo si 1+1 =2 p q r p⇒∼(q⇔r) V⇒∼(F⇔V) V⇒∼(F) V⇒V V l) No es verdad que 1 +1 = 3 o que 2 + 1 = 3 p q ∼(p∨q) ∼(F∨V) ∼(V) F 27 .h) No. no 1+1=3 si solo si es falso que 2+1 =3 y 1+1 ≠3 p q ∼q ∼∼ p⇔∼(q∧∼p) P⇔∼(q∧∼p) F⇔∼(V∧V) F⇔∼(V) F⇔F V i) Es verdad que 3 8 = 2 entonces 23=8. p ⇒ [ ∼ q ⇔ ( r ∨ ∼ q ) ] = V p⇒[∼q⇔(r∨∼q)]=V p⇒[V⇔(V∨V)] p⇒[V⇔(V)] p⇒[V] V ⇒V V 2. P = F F∨ V =V V∨V=V V=V V=V * q = F. dadas las siguientes condiciones: a) Hallar el valor de verdad de (p). 1. Para ello se dan los siguientes pasos.m) Es falso que París está en Inglaterra. (p ⇒ r) = V p ⇔ ∼ [(r ∧ ∼ q) ∨ ∼ (p ⇒ r)] = F p ⇔ ∼ [(F ∧ V) ∨ ∼ (V)] = F p ⇔ ∼ [(F ∨ F)] = F p ⇔ ∼ [(F )] = F p⇔V Si p = V Si p = F V⇔V =V F⇔ V =F F=F∴p=F * q = V.11 Tablas de Verdad Las tablas de verdad se emplean para encontrar todos los posibles valores de verdad que puede tomar una proposición compuesta. si: *q = F. r = V. r = V. r = F. (r ∨ ∼q) = V. Se escriben todas las posibles combinaciones de valores de verdad que pueden 28 . ( p ∧ ∼r ) = F ∼ p ∨∼ [ ( p ∧ ∼ r ) ∧ ∼ ( q ⇒ ∼ r ) ] = V ∼ p ∨ ∼ [ ( F ) ∧ ∼ ( V ⇒ F )] = V ∼ p ∨ ∼ [ ( F ) ∧∼ ( V ⇒ F ) ] = V ∼p∨∼[ F∧∼(F)] =V ∼p∨∼[ F] =V ∼p∨ V =V P= V . entonces Londres está en Francia p q ∼(p⇒q) ∼(F⇒F) ∼(V) F f) Determinar el valor de verdad de las proposiciones indicadas. Realizar la tabla de verdad de la proposición: p V V F F q V F V F ∼p F F V V ∼q F V F V ∼p ∧ ∼q F F F V ∼ p ∧ ∼ q ⇔ ∼ (p ∨ q) p∨q V V V F ∼(p ∨ q) F F F V ∼p∧∼q⇔(p∨q) V V V V 2.12.12. Se efectúan las operaciones considerando los valores de verdad obtenidos en los pasos anteriores. tenemos: TAUTOLOGIA. Si en la proposición participan n proposiciones simples.tomar las proposiciones simples. 2. La columna que queda bajo la proposición compuesta que está siendo analizada contiene los valores de verdad buscado. Ejercicio 2. 3.3 Falacia o Contingencia Forma proposicinal que tiene en el operador principal valores de verdad (1) y falso (0).1 Tautología Una proposición se llama tautología cuando la resultante de su tabla de valor de verdad es verdadera 2. 4. Se enumera cada una de las operaciones a efectuarse en orden creciente de complejidad.14 Equivalencia Existe equivalencia lógica entre dos proposiciones cuando todos los valores de sus tablas de verdad son idénticos en número y orden.2 Contradiccion Forma proposicional siempre falsa para todo valor de verdad que se de a las proposiciones simples o atomicas que la componen.5 Elaborar las tablas de valores de verdad de las siguientes proposiciones y determinar entre cuales de ellas son tautología. falacia ó equivalencias lógicas.12 Clase de formas Proposicionales De acuerdo al resultado obtenido en el operador principal. 2. 2. 2. CONTRADICCIONy FALACIA. a) [ ( p ∧ q ) ∨ ( ∼ p∧ ∼ q ) ] 29 . entonces el numero de combinaciones se obtiene de 2n de valores posibles.12. 15 Leyes de la Lógica Proposicional Vamos a examinar las propiedades que tienen las operaciones lógicas antes definidas. para ello consideramos que p. LEY DISTRIBUTIVA P∧(Q∨R)≡(P∧Q)∨(P∧R) P∨(Q∧R)≡(P∨Q)∧(P∨R) P∨Q≡Q∨P (P∨Q)∨R≡P∨(Q∨R) P∨ P=P P → (Q ∧ R) = (P → Q) ∧ (P → R) 5. Entonces tenemos lo siguiente. LEY ASOCIATIVA (P∧Q)∧R≡P∧(Q∧R) 3. LEY DE COMPLEMENTO P → (Q ∨ R) = (P → Q) ∨ P → R) P∨V≡V P∨F≡P 30 . LEY DE IDEMPOTENCIA P∧P≡P 2. q y r son tres proposiciones cualesquiera.b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) (p ∧ ∼ r) ⇒ ∼ q [ ( p ⇒ q) ∧ ( q ⇒ r ) ] ⇒ ( p ⇒ r ) ( p ⇒ q) ∧ ( q ⇒ p) [ ( p∨ ∼ q ) ∧ ( q ⇔ r ) ] ∨ ( p ⇒∼ r ) ( p ∧ q) ∧ [ p ⇒ ( ∼ q) ] [ ( p ⇒ q) ∧ ( ∼ p ⇒ q) ] ⇒ q [ ( p ∨ q ) ∧ ∼ ( p ∧ q ) ⇔ r ] ⇒∼ q ∼ (p ∧ q) ∨ ∼ (q ⇔ p) (p ⇒ q) ∨ ∼ (p ⇔ ∼ q) [ p ⇒ ( ∼ q ∨ r ) ] ∧ ∼ [ q ∨ ( p ⇔∼ r ) ] ( p ⇒ q ) ⇒ ( ∼ q ⇒∼ p ) [ p ⇒ ( ∼ q ∨ r ) ∧ ∼ ( ∼ q ∧ r ) ] ⇔ [ r ⇔∼ ( p ∨ q ) ] 2. LEY DE IDENTIDAD P∧V≡P P∧F≡F 7. 1. LEY DE MORGAN ∼(P∨Q)≡∼P∧∼Q ∼(P∧Q)≡∼P∨∼Q ∼ ( P ⇒ Q ) ≡ ∼ (∼ P ∨ Q ) ≡ ( P ∧ ∼ Q) 6. LEY CONMUTATIVA P∧Q≡Q∧P 4. . a) (P ∨ Q) ∧ ∼ P ∼p∧(p∨q) (∼p∧p)∨(∼p∧q) F∨(∼p∧q) ≡∼p∧q b) ∼ (p ∨ q) ∨ ( ∼ p ∧ q) (∼p∧∼q)∨(∼p∧q) ∼p∧(∼q∨q) ∼p∧V ≡ ∼p c) ∼ (p ∧ ∼ q) ∧ ( ∼ p ∨ q) ( ∼p ∨ q ) ∧ ( ∼ p ∨ q ) (∼p∧q) …..Ley distributiva ….Ley de complemento ….Ley de Mórgan …... Idempotencia ….Ley de complemento ….Ley de Mórgan ….Ley conmutativa …. utilizando las propiedades de las operaciones lógicas.Ley distributiva ….Ley de Mórgan …. LEY DE LA BICONDICIONAL P⇔Q≡(P⇒Q)∧(Q⇒P) P ⇔ Q ≡ ( ∼ P ∨ Q ) ∧ ( ∼Q ∨ P ) P⇔Q≡(P∧Q)∨(∼P∧∼Q) Simplificar las siguientes proposiciones. LEY DE ABSORCIÓN P∧(P∨Q)≡P P∨(P∧Q)≡P P∨∼P≡V ~ (~ F) = F P ∨ (∼ P ∧ Q ) ≡ P ∨ Q P ∧ (∼ P ∨ Q ) ≡ P ∧ Q 9.Ley de Morgan ….P∧∼P≡F ~ (~ P) = P ~ (~ V) = V 8.Ley de identidad d) ( p ∧ ∼ q) ⇒ ∼ (q ∧ ∼ p) (p∧∼q)⇒(∼q∨p) ∼(p∧∼q)∨ (∼q∨p) (∼p∨ q)∨ (∼q∨p) (∼p∨ q)∨ (∼q∨∼q) V ∨ V V ….Ley de identidad ….Condicional …. LEY DE LA CONDICIONAL O IMPLICACION P⇒Q≡∼P∨Q P⇒Q≡∼(P∧∼Q) 10.Asociativa y Conmutativa ….Complemento 31 . y sea q: Las violetas son azules ∼ ( p ⇒ q) ≡ p ∧ ∼ q las rosas son rojas y las violetas son azules 2.e) ∼ (p ⇒ ∼ q) ∧ ∼ (q ⇒ ∼ p) (p ∧ q) ∧ (q ∧ p) Condicional / D Morgan (p ∧ q) ∧ (p ∧ q) Conmutativa / Idempotencia (p ∧ q) f) (p ∨ q) ∧ ∼ (q ∧ ∼ p) (p ∨ q) ∧ (∼ q ∨ p) (p ∨ q) ∧ (p∨ ∼q) p∨ (q ∧ ∼ q) p∨ F P D`Morgan Conmutativa Forma original Complemento Identidad g) p ⇒ [ q ∧ ∼ ( p ⇔ q ) ] Condicional ∼p∨ ∼ p ∨ [ q ∧ ∼ (p ⇒ q) ∧ ∼ (q ⇒ p)] ∼ p ∨ [ q ∧ (p ∧ ∼ q) ∧ (q ∧ ∼ p)] ∼ p ∨ [ q ∧ (p ∧ ∼ p) ∧ (q ∧ ∼ q)] ∼ p ∨ [ q ∧ ( F ) ∧ ( F )] ∼ p ∨ [ q ∧ ( F ∧ F )] ∼ p ∨ [ q ∧ F] ∼p∨F ∼p Bicondicional Condicional Condicional Asociativa Conmutativa Complemento Asociativa Idempotencia Identidad h) [ ∼ p ⇒∼ ( p ∧ ∼ q )] ⇒ [ ∼ ( p ∨ ∼ q ) ∧ ( p ∨ ∼ q )] Condicional [ p ∨ ∼ ( p ∧ ∼ q) ] ⇒ [ F ] D`Morgan [ p ∨ (∼ p ∨ q) ] ⇒ [ F ] Asociativa [ (p ∨ ∼ p) ∨ q ] ⇒ F Complemento [V ∨ q] ⇒ F Identidad V ⇒ F F Complemento Simplificar los siguientes enunciados. 1. No es verdad que hace frío y está lloviendo Sea p: Hace frio . No es verdad que él es bajo o galán 32 . No es verdad que las rosas son rojas implica que las violetas son azules Sea p: Las rosas son rojas. q: esta lloviendo ∼ ( p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q No hace frió o no está lloviendo 3. Miscelánea 1 a) Asignarles valor de verdad a las siguientes proposición: 1) P: Toda cantidad elevada al exponente 0 es igual a 1 2) Q: El m2 es la unidad de medida de longitud 3) R: El cubo es un prisma 4) S: Magnitud es todo aquello que podemos medir 5) T: Ningún átomo tiene masa 6) U: Un cuerpo se mueve por la interacción de otros sobre él. 12) Q: Toda cantidad elevada a un exponente par es negativa. No es verdad que hace frío o está lloviendo ∼ (∼p ∨ q) ≡ ∼∼p ∧ ∼q ≡ p ∧ ∼q. 10) Y: la licuefacción es el cambio de estado de sólido a vapor.Sea p: el bajo . 8) W: todo cuerpo metálico conduce electricidad. 6. 7) V: La densidad es una propiedad mecánica de los cuerpos. que se puede denotar por ∼ (∼p ∨ q) donde p es Hace frió y q es está lloviendo. Así que el enunciado. b) Niega las siguientes proporciones simples: 11) P: Los manómetros y barómetros miden la presión. se puede escribir Hace frío y no está lloviendo No es verdad que si está lloviendo entonces hace frío ∼ ( p ⇒ q) ≡ p ∧ ∼q Está lloviendo y No hace frío No es verdad que las rosas son rojas si solo si las violetas son azules ∼ ( p ⇔ q) ≡ p ⇔ ∼q Las rosas son rojas si las violetas no son azules 5. 33 . 9) X: La fusión es el cambio de estado de sólido a líquido. q: el es galan El no es bajo y no galán ∼ ( p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q 4. 13) R: Alfred Nobel fue un químico sueco y descubrió la dinamita. 58) T: La proposición r es una tautología. H) Enumera los elementos de los siguientes conjuntos: 59) A = {Los conectivos lógicos} 34 . 56) R: La disyunción de una proposición con su negación es verdadera. 55) Q: L conjunción de una proposición con su negación es falso. 14) S: Todo intervalo es semiabierto por la derecha. 36) p ⇒ ∼p ^ q 37) p v ∼ p 38) p ^ ∼ p f) Demuestre que : 45) p ^ p ≡ p v p 46) ∼ ( p ^ p) ≡ ∼ p Verdadero 47) ∼ ( p v p) ≡ ∼ p 48) ∼ (p v q) ≡ ∼ p ^ ∼ q 49) ∼ (p ^ q) ≡ ∼ p v ∼ q 50) ∼ (p ⇒ q) ≡ p ^ ∼ q 51) p ^ ∼ p ≡ Falso 52) p v ∼ p ≡ 53) ∼ (p ^ ∼ p) ≡ Verdadero 39) (p ^ q) ⇒ ∼ (p ^ q) 40) (p v q) v ∼ (p v q) 41) (p ^ q) v ∼ (p ^ q) 42) (p ^ q) ^ ∼ (p v q) 43) ∼ (p ^ q) v (p v q) 44) ∼ p v q ⇔ p ⇒ q g) Asignarles valor de verdad a las siguientes proposiciones: 54) P: Con 4 proposiciones simples se pueden formar 16 combinaciones de valor de verdad. 57) S: La negación de la negación de una proposición equivale así misma. c) Niega las siguientes proporciones: 15) p ^ ∼ p 16) (p v q) ^ r 17) p v p ^ r 18) ∼ p ^ ∼ q 19) ∼ p ^ ∼ q v r 20) ∼ (p v q) ^ ∼ r 21) ∼ (p v p) ^ q 22) ∼ p v ∼ q 23) ∼ p v q ^ r 24) ∼ p v q ^ ∼ q 25) p v ∼ q v r 26) ∼ p ^ q ^ ∼ q v r d) Construye una tabla y determina el valor de verdad para las siguientes proporciones compuestas: 27) (p ^ p) v ∼ q 28) (p v ∼ p) ^ q 29) (∼ p ^ p) ^ ∼ q 30) ∼ p v q ⇒ r 31) ∼ (p v q) ^ r 32) (p v q) ⇒ ∼ p 33) p ⇔ q ⇒ ∼ r 34) p ⇒ q v q ⇒ r 35) p ⇒ q ^ q ⇒ r e) Determine las proporciones compuestas que son tautologías. 8.11 } Entonces buscamos: A – B = { 2. B ⊄ A A = {x/x = 3e. 0 ≤ n ≤ 6} C = {x/2 ≤ x ≤ 15} B = {x/x = 2n +1. 9.C B = {x/x = n + 1. 10 Y. 2. 4. 0 ≤ n ≤1} B = {x/x = 2n. 4. 6} 75) B – C 76) C – B 77) A . determine: 35 . 4. demuestra las relaciones que se piden: 64) 65) A = {x/x es un número par < 10} Demuestre que: B ⊂ A A = {x/x es un número impar <15) Demuestre que: B ⊄ A A = {x/5 < x < 12} B = {x/3 < x < 8} Demuestre que: A ⊂ C. 6.0 ≤ n ≤ 5} 69) ( A U B ) ∩ C 70) ( A ∩ B ) ∪ C 71) ( A ∪ C ) ∩ B B = {x/0 ≤ x ≤ 10} 72) A ∩ B ∩ C 73) A – B 74) B – A C = {2. 0 ≤ n ≤ 10} i) Dado los conjuntos. 8.0 ≤ e ≤ 4} Demuestre que: B ⊂ A 68) A = {x/x = 2n . 4. 5. 8. 2 ≤ n 3} 66) 67) k) En base a los conjuntos A y B : A = { 2. 10 B – A = { 2. 6. 10 A ∩ B = { 2. B ⊂ C. 3. 8. 10 } Demuestra que: A∆B=(A∪B)–(A∩B) Sabemos que: A∆B=(A–B)∪(B-A) } } B = { 0. 4. 6. 6. A ∪ B = { 2. 4.60) 61) 62) 63) B = {x/x es un múltiplo de 3 < 23} C = {x/x número natural <16} D = {Las operaciones entre conjuntos} E = {x/x = 2n + 3. 8. 6. 10 } } Reemplazamos los valores y obtenemos: (A–B)∪(B-A)=(A∪B)–(A∩B) l) En base al siguiente diagrama.0 ≤ n ≤ 3} B = {x/1 ≤ x ≤ 8} Demuestre que: A ⊂ B j) Dado los siguientes conjuntos realiza las operaciones que se indican: A = {x/x = 2n . 6. 4. 5. 4. d. 3. 7. e. 3. 6 } Determinar los conjuntos: A={} B={} 79) Siendo A∩B={} B∩C={} A∩B∩C={} A = {0. 2. 4. g} B ∩ C = {d. 8} A∩B={} A∩C={} A–B={} Determinar los conjuntos: B={} C={} A∩B∩C={} 80) Siendo A ∩ (B ∪ C) = {c. 6} (A ∪ B) ∩ C = {4. 2. 6 } C ∪ B = {1. 3. 6.A={ B={ C={ C∪(A∩B)={ } } } } A∪B={ A∩B={ B∩C={ } } } m) Analiza el siguiente diagrama y determine los conjuntos que se indican A o s u C p m t B q Conjunto A = Conjunto A∩C ∩B = Conjunto A∩B = 78) Siendo Conjunto B = Conjunto B ∩ A = Conjunto C = Conjunto ( A ∩ B ) U ( A ∩ C ) = Conjunto C ∩B = Conjunto ( A U B ) ∩ ( A U C ) = n) Resuelva los siguientes problemas: A = {1. 3. e} B = {c. f} A∆ B={} Determinar los conjuntos: A={} B={} (A ∪ B) ∩ (A ∩ C) = { } A∪B={} A∩C={} 36 . d. 2. 5. 8} ( A ∪ C ) = {1. 8. 7. 9 } A ∪ ( B ∩ C ) = {1. 6. 4. 2. 3. 5. 2. Circuitos Lógicos Debido a que una proposición puede ser evaluada y resultar solo verdadera o falsa. una proposición es equivalente a una variable. En el álgebra booleana.81) Siendo (A ∪ C) ∩ B = {2. se puede deducir alguna equivalencia con el álgebra booleana. La figura 1 muestra las compuestas lógicas más representativas de esta álgebra. 4. 3. que maneja solamente dos valores (0 y 1). 37 . Las propiedades del cálculo proposicional son equivalentes a las del álgebra desarrollada por Boole.Y AND X′ NOT APLICACIONES: Una de las aplicaciones más interesantes del Cálculo Proposicional es la de la Teoría de los Circuitos. Los esquemas que resultan de aplicar las compuertas lógicas se conocen como circuitos lógicos. 4 } B-C={} A–C={} Determinar los conjuntos: B={} C={} A∩B∩C={} Tabla simbolica Conjuntos Unión Intersección Complemento A ∪ B Lógica Disyunción A ∩ B Conjunción A′ Negación P ∨ Q Algebra Booleana Suma P ∧ Q Producto ∼P Inversor X + Y Compuertas Logicas OR X. y las conectivas lógicas se utilizan como compuertas lógicas. 4 } A = {1. 6 } A∩B={} C ∩ B = {3. Figura: Compuertas Lógicas. entonces. para representar fórmulas con condicionales o bicondicionales se debe transformar la fórmula para eliminarlas. si el interruptor A está cerrado. esquematizamos un circuito como el de la figura 1 (b) en donde A es el interruptor y el hilo conductor ST y suponemos que la fuente siempre está funcionando. Cuando un interruptor está cerrado diremos que su estado es V y si está abierto que está en estado F Consideremos el siguiente circuito: S A B T L 38 . Como se observa. la fuente de electricidad y un interruptor como se ve en la figura 1 ( a ) HILO CONDUCTOR o S INTERRUPTOR (a) FUENTE (b) A T Figura: Conductores Por facilidad. Ejemplo: La representación en circuito lógico de ( ¬ P ∨ Q) ∧ ( ¬ Q ∨ R) es: Las partes esenciales de cualquier circuito son: el hilo conductor. Una fórmula del cálculo proposicional se puede representar gráficamente usando compuertas lógicas. circula la electricidad de S a T y si A está abierto diremos que no circula electricidad. A V S B F L F 3) Luego la lámpara L estará apagada . A . que B esté abierto.Donde L es una lámpara que puede estar prendida o apagada. B T L Que el interruptor A esté abierto. Dicho en otras palabras si A es V y si B es V entonces L es V S . Es claro entonces que la electricidad pasa por el hilo conductor ST y la lámpara L entonces se prende. y el interruptor B cerrado. que B esté abierto. si está prendida diremos que está en estado V y si está apagada en estado F. . A . Ahora consideremos los siguientes casos: 1) Que el interruptor A esté cerrado. B T L 4) Que el interruptor A esté abierto. Luego la lámpara L estará apagada S . . B T L A V B V L V 2) Que el interruptor A esté cerrado. B T L A F B F L F A Resumiendo los casos tenemos que: 39 . Luego la lámpara L estará apagada. S A A F B V L F . que B esté cerrado. pues al reemplazar (x) por un número. y.A V V F F S B V F V F L V F F F A B T L A este tipo de circuitos. en donde ≡ significa la igualdad pero de estados de circuito. (z)…. es una función proposicional. en este caso falsa. pues P1. por ejemplo x = 4 tenemos P(4): “4 + 1 = 3” ésta se convierte en una proposición. pues podemos reemplazar y por “Juan León Mera” y se convierte en proposición. se obtiene una proposición.. y): “x + y = 1” es una función proposicional de dos variables. suele escribirse de la 40 . se lo llama circuito en serie. Una función proposicional a varias variables es una expresión P(x).(w) de tal modo que al reemplazar x. P(x. es una función proposicional. 2. Cuantificadores Funciones Proposicionales Una función proposicional (a una variable) es una expresión P(x). (y). z. Pudiendo ser de dos tipos: Universal o Existencial. NOTA: para el diseño de circuitos eléctricos se usa la notación: El “1” en lugar de: “V” El “0” en lugar de: “F” indica “Pasa corriente” indica “No pasa corriente” . Py: “y fue un escritor”. Ejemplos 1. a) Cuantificador Universal: Utiliza el símbolo “∀ ” . de tal modo que al reemplazar (x) por un elemento determinado.0 es una proposición en este caso verdadera Cuantificadores Son símbolos que permiten evaluar una función proposicional. P(x) : “x + 1 = 3”.……w por elementos. podemos poner L ≡ A ∧ B. Así. se lee: “Para todo” La función proposicional junto con el cuantificador universal. por la analogía con la tabla de verificación de la conjunción. se obtiene una proposición. y)] [ p ( x) ∧ ∼ q ( y )] d) ∀y ∃x ∀z [p (x. y ) → q ( x. z)] 41 .. y ) ] c) ∃x:. y ) ∧ ∼q(x. x2 -2x + 5 ≠ 0 [ p( x. decimos que la negación de ( ∀x) (Px) es (∃x)( ∼ Px) y la negación de ( ∃x)(Px) es ( ∀x)( ∼ Px) NOTA: La negación del cuantificador Universal equivale al cuantificador Existencial y la negación afecta únicamente a la proposición. P(x)” EJEMPLOS. Está claro que la una proposición es negación de la otra.siguiente forma (∀x) P(x) que se lee “para todo x. x2 – 2x + 5 = 0 ∀x. ( ∃x ) (x es falso). P(x)” b) Cuantificador Existencial: Se simboliza por “∃ ” . x2 =16 (∃x∈R)( x2 = 16) (∀x∈R)(x2 ≠ 16) Negar los siguientes enunciados: a) ∃x ∀y ∀x ∃y b) ∃y ∃x • [ p ( x. y. y se lee “Existe” La función proposicional junto con el cuantificador existencial suele escribirse de la siguiente manera (∃x ) P(x) “existe un x tal que.Son proposiciones las siguientes: ( ∀x ) (x dice la verdad). La negación del cuantificador Existencial equivale al cuantificador universal y la negación afecta únicamente a la proposición Ejemplos: Negar las siguientes proposiciones: • “Todos los ecuatorianos son optimistas” (∀x)(x es optimista) (∃x)(x no es optimista) • “Algún gato es negro” (∃x)(x es negro) (∀x)(x no es negro) “El cuadrado de todo número real es negativo” (∀x∈R)(x2 < 0 ) (∃x∈R)( x2 ≥ 0) • “Para algún número real x. ∀y ∀x [∼p(x)∨q(y)] e) (∀z) (z2 ≥ 0) ∃z (z2 < 0 ) g) ( ∃s )( ∀t ) ( s – t = 0 ) (∀s )( ∃t ) ( s – t ≠ 0 ) h) f) ∃y ∀x ∃z ∼ p (x.y.z) ( ∀x )( ∀y )  x +  1 =1  y     1 (∃x )( ∃y )   x + y ≠ 1     ( ∀x) ( ∃y ) ( x + y es número par) (∃x) (∀y ) ( x + y es número impar) METODO DEL MAPA DE KARNUGH 42 . junto con las tablas de verdad correspondientes. Figura 4-11 Mapas de Karnaugh y tablas de verdad para (a) dos. es un medio para demostrar la relaci6n entre las entradas l6gicas y la salida que se busca. tres y cuatro variables. Aunque un mapa de Karnaugh (que de aquí en adelante se abreviará como mapa K) se puede utilizar para resolver problemas con cualquier número de variables de entrada. Formato del mapa de Kamaugh El mapa K. Estos ejemplos ilustran varios puntos importantes: 1. La figura +-11 da tres ejemplos de mapas K para dos. se coloca un 1 en el cuadrado AS. 43 . su utilidad practica se limita a seis variables. Cada caso en la tabla de verdad corresponde a un cuadrado en el mapa. en la figura 4-11 (a). Ya que la tabla de verdad muestra X = 1 para este caso. Esta misma idea se utiliza en los mapas de tres y cuatro variables que se muestran en la figura.El mapa de Karnaugh es un método gráfico que se utiliza para simplificar una ecuación lógica para convertir una tabla de verdad a su circuito lógico correspondiente en un proceso simple y ordenado. La tabla de verdad da el valor de la salida X para cada combinaci6n de valores de entrada. Por ejemplo. B = 0 en la tabla de verdad corresponde al cuadrado A’ B’ en el mapa K. Los demás cuadrados se llenan con ceros. El siguiente análisis se limitara a problemas de hasta cuatro entradas . al igual que una tabla de verdad. la condicion A = 1. (b) tres y (c) cuatro variables. El mapa K proporciona la misma informaci6n en un formato diferente. En forma similar. B = 1 en la tabla de verdad corresponde al cuadrado AB del mapa K. ya que X = 1 para este caso. la condicion A = 0. se coloca un 1 en el cuadrado A’B’ en el mapa K. ya que los problemas con cinco y seis entradas son demasiado complicados y se resuelven mejor con un programa de computadora. la expresi6n de suma de productos para la salida X se puede obtener operando con OR aquellos que contienen un 1. Otro ejemplo se da en la figura 4-12{c). AB’.2. el cuadrado superior izquierdo es A’B’C’D’ en tanto que el que se encuentra a la derecha es A’BC’D’ (solo la variable B es diferente). El proceso para combinar estos unos se denomina agrupamiento. 44 . A BC’ y ABC contienen un 1. los dos unos en este mapa se pueden repetir para dar una resultante de A’B’C’ + AB’C’ + B’C’. el segundo ABC’. A’BC'. Por ejemplo. Haga de cuenta que la parte superior del mapa se dobla hasta tocar la parte inferior. Note que cada cuadrado del renglon superior se considera adyacente al correspondiente cuadrado del renglon inferior . -A’B’. Note que en estos dos términos sólo la variable A aparece en forma normal y complementada (B y C’ permanecen sin cambio).Por ejemplo. AB. Por ejemplo. el primero representa A’BC’ y. Estos se pueden agrupar y luego eliminar la variable C. A’ B. 3. los cuadrados del extremo izquierdo de la columna son adyacentes a los del extremo derecho de la columna. Los cuadrados del mapa K se marcan de modo que los cuadrados horizontalmente adyacentes so1o difieran en una variable. Una vez que el mapa K se ha llenado con ceros y unos. A fin de que los cuadrados que son adyacentes tanto vertical como horizontalmente difieran en una sola variable. ya que ésta aparece en forma normal y complementada. el cuadrado A’B’CD del renglon superior es adyacente al cuadrado AB’CD del rengl6n inferior porque so1o difieren en la variable A. de modo que X = A’B’C’ + A’B’C + A’BC’ + ABC’. La figura 4-12(b) muestra un ejemplo de dos unos horizontalmente adyacentes. los cuadrados A’B’C’. Lo anterior también es válido para el marcado de izquierda a derecha: 4. ya que aparecen en forma no complementada y complementada para dar una resultante de X = A’ B. En un mapa K los cuadrados de los renglones superior e inferior se consideran adyacentes. De la misma manera. Asi. En el mapa con tres variables de la figura 4-11(b). Esto se demuestra fácilmente como sigue: Este mismo principio es válido para cualquier par de unos vertical u horizontalmente adyacentes. el marcado de arriba hacia abajo debe hacerse en el orden indicado. el cuadrado superior de la izquierda del mapa de cuatro variables es A’B’C’D’ en tanto que el cuadrado que se encuentra a la derecha es A’B’C’D (solo la variable D es diferente). Agrupamiento La expresión de salida X se puede simplificar adecuadamente combinando los cuadros en el mapa K que contengan 1. Agrupamiento de grupos de dos (pares) La figura 4-12(a) es el mapa K de una tabla de verdad con tres variables. los cuadrados verticalmente adyacentes difieren so1o en una variable. Este mapa contiene un par de unos que son verticalmente adyacentes entre si. Estos dos términos se pueden agrupar (combinar) para dar un resultante que elimine la variable A. Asimismo. como mencionamos anteriormente.13(c) contiene cuatro unos en un cuadrado y se consideran adyacentes entre sí. Los dos unos en el renglón superior son horizontalmente adyacentes. la variable D se elimina (ya que aparece como D y D’) para dar el término A’B’C.13(a) los cuatro cuadrados que contienen un uno son A’B’C.13(e) ya que. en la figura 4 . Para resumir lo anterior: El agrupamiento de un par de unos adyacentes en un mapa K elimina la variable que aparece en forma complementada y no complementada. Los dos unos en el renglón inferior son. el término resultante contiene sólo las variables que no cambian de forma para todos los cuadrados del cuádruple. ABC y AB’C. Cuando se repite un cuádruple. los renglones superior e inferior y las columnas de los extremos izquierdo y derecho se consideran adyacentes entre sí. La figura 4-13 muestra varios ejemplos de cuádruples. El agrupamiento del par inferior elimina la variable C para dar el término AB’C’. El análisis de 45 . Agrupamiento de grupos de cuatro (cuádruples) Un mapa K puede contener Un grupo de cuatro unos que sean adyacentes entre sí. asimismo. En la parte (a) los cuatro unos son verticalmente adyacentes y en la parte (b) son horizontalmente adyacentes. Estos dos términos se operan con OR a fin de obtener el resultado final para X. adyacentes puesto que en un mapa K los cuadrados de las columnas de los extremos izquierdo y derecho se consideran adyacentes.La figura 4-12(d) muestra un mapa K que tiene dos pares de unos que se pueden agrupar. Los cuatro unos en la figura 4-13(d) también son adyacentes igual que los de la figura 4 . A’BC. Cuando se agrupa el par superior de unos. Este grupo se denomina cuádruple. Por ejemplo. El mapa K de la figura 4 . la expresión resultante para X es simplemente X = C. A’B’C’D’. consideramos las figura 4 . El análisis de estos términos indica que sólo las variables A y D’ permanecen sin cambios. y AB’CD’. En la figura 4-14 se dan varios ejemplos de octetos. ABCD’. donde los cuatro cuadrados que contienen unos son ABC’D’. así que la expresión simplificada para X es X = AD Esto se puede probar de la misma manera anteriormente utilizada. De este modo. El lector debe verificar cada uno de los otros casos de la figura 4 –13 para comprobar que sean las expresiones indicadas para X.13(d).estos términos revela que solamente la variable C permanece sin alterarse (A y B aparecen en forma complementada y no complementada). Agrupamiento de grupos en ocho (octetos) Un grupo de ocho unos que son adyacentes entre sí se denomina octeto. Para resumir: El agrupamiento cuádruple de unos elimina las dos variables que aparecen en la forma complementada y no complementada. Cuando 46 . Esto se puede demostrar de la siguiente manera: Para poner otro ejemplo. Para resumir: El agrupamiento de un octeto de unos elimina las tres variables que aparecen en forma complementada y no complementada.porque solo una de ellas permanece inalterada. 47 . las otras variables aparecen en forma complementada y no complementada. El lector puede verificar los resultados de los otros ejemplos en la figura 4 – 14. X = B. para este mapa. Así. Por ejemplo. de otra manera. Se nos pide construir un circuito lógico combinatorio que sea parte del colector automático. la luz de alto (color rojo) permanecerá encendida. el análisis de los ocho cuadrados agrupados en la figura 14 -14(a) muestra que so1o la variable B está en la misma forma para los ocho cuadrados. EJEMPLO 2. COLECTOR AUTOMÁTICO DE PEAJE. Se han introducido colectores automáticos de peaje en diversas casetas de autopistas para acelerar el flujo de tráfico. Si se depositan 15 centavos (únicamente monedas de 5 y 10 Ctvs). Este circuito es para contar la cantidad de monedas que han sido colocadas en el colector. entonces se enciende una luz de pasa (color verde) y se envía una señal al colector para recolectar las monedas. 0] cero ctvos [0.C + A. [0.B.C + A.1] cinco ctvos [1.C = (3.B. las que se definen como: C = Número de monedas de cinco centavos depositadas D = Número de monedas de diez centavos positadas Z = Comando para la señal luminosa y el control de recolección Estas variables tomarán los siguientes valores enteros y lógicos: 0 # C # 3 Número de monedas de cinco centavos 0 # D # 1 Número de monedas de diez centavos Z = 0 No contiene los 15 centavos (luz roja) Z = 1 Si contiene los 15 centavos (luz verde) Ahora. se puede codificar la información como sigue: C = [A.1] quince ctvos D = [C] .B.7) c) Reduciendo por mapas K: d) Siguiendo el mismo procedimiento del ejemplo anterior para cada uno de los enlaces del mapa K.0] diez ctvos [1.C) = A.C + A.SOLUCIÓN Examinando el planteamiento del problema. se observa que hay dos señales de entrada y una señal de salida. se obtiene la siguiente función reducida: 48 . [0] cero ctvos [1] diez ctvos a) Tabla funcional: DEC A B C 0 1 2 3 4 5 6 7 b) Función canónica: 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Z 0 0 0 1 0 1 1 1 Z(A.B.B.5.6. B] . B. SOLUCIÓN Determinación de las variables: I = Conmutador maestro de la policía activado P = Puerta de bóveda perturbada B = Puerta del banco abierta V = Interruptor general especial operado por el velador A = Alarma sonará A = I v [P w (B v V)] 49 . La puerta de la bóveda está equipada con un sensor de vibración que hará que se cierre un interruptor cuando se perturbe dicha puerta.B. o si la puerta del banco se abre.B. obsérvese que ésta se complementó 2 veces y después se aplicó uno de los complementos.C + A.B.B. utilizando la llave del velador. De acuerdo a esta condición. de tal manera que se cerrará siempre que la puerta del banco se abra.Z(A. a menos que primero se opere un interruptor especial.C) = A. y se montará dicho interruptor sobre la puerta del banco.C + A. Por tanto.C + A. el logigrama queda como: En un banco. la alarma sonará si la puerta de la bóveda es perturbada en cualquier forma. de tal manera que cada uno de los términos puede generarse por medio de una compuerta NO-Y. un sistema de alarma contra robo funcionará sólo si se activa el conmutador maestro en la estación de policía.C e) De la función reducida. ) Simplifique. compuerta AB’C + A’BC + A’B’C + A’B’C’ + AB’C’ B’C (A + A’) + B’C’(A’ + A) + A’B’C B’C(1+ 0) + B’C’(0 + 1) + A’B’C B’C + B’C’ + A’B’C B’(C + C’) + A’BC B’(1+ A’BC B’ + A’BC 0) + 50 .1. V = P b) P . Utilice las letras P. b) La relación de consecuencia desde la perspectiva psicológica c) Las conclusiones sean verdaderas o falsas. Q ) . entonces perderemos las vacaciones y el dinero Pablo canta sin embargo no puede bailar Si no trabajo horas extras entonces no podré comprar un auto Si 9= 15 entonces no se da que 9 es múltiplo de 15. si no trabajamos hoy. b) El cuadrado de un número negativo es positivo. Q.1. 4. c) *Sale el arco iris siempre que llueve. c) *Se le puede asignar un valor de verdad (verdadero o falso) 2. Encierre en un círculo el literal correspondiente a cada pregunta. 51 . Q b) P c) ¬P 7. Una proposición es un enunciado que: a) Es interrogativo o exclamativo. 1. La equivalencia en teoría de conjuntos para la conectiva de implicación es: a) Unión b) Inclusión c) Intersección 8. Cuál de los siguientes enunciados es atómico o simple? a) No es cierto que existe guerra en Ecuador. R. Un circuito cerrado en paralelo se simboliza: a) ¬P v ¬Q b) P v Q c) *P . b) No se puede demostrar si es verdadero o falso. Simbolizar las siguientes proposiciones. Q 5. La equivalencia de la proposición es (¬P .¬P = F c) *P v ¬P = V 6. Cuál de los siguientes literales hace referencia a la ley de complemento a) P . d) *Los procesos del razonamiento mediante el análisis del lenguaje 3. La lógica investiga: a) La relación de consecuencias que se da entre una serie de premisas y la conclusión de un argumento correcto. P : a) P . En México no hablan español y si cantan entonces son mariachis (p ∧ q) → r No es cierto que. y`.y` b) (x + y). Construya el circuito lógico de las siguientes expresiones: a) (p ^ q) v ((r ^ s) v ¬p ) b) (¬p v q) ^ ((p ^ ¬r) v (r ^ ¬p) ) 11. El ganará las elecciones en el departamento únicamente si defiende los derechos civiles. Utilizando las reglas del algebra de boole.+ (x`. Construir las tablas de verdad. resta y producto b) Suma. El no defenderá los derechos civiles.y`. CONECTIVA NEGACION CONJUNCIÓN DISYUNCIÓN IMPLICACIÓN BICONDICIONAL EJEMPLO .r) ) ^ (¬ p ^ ¬ r) 12) Para que el candidato llegue a la presidencia es necesario que gane las elecciones en el departamento.María estudia pero Carlos escucha música ---- 14. (¬p ^ ¬q) b) ( (p . a) ¬ (p v q) . (x`. (q v r) b) (p .y). la salida del operador AND es: a) 01101110 b) 10001110 c) 00010001 16. q) v (p . resta y división 15.y + x`.z).y`)` b) (x.z`) + (x’. indique las leyes del álgebra que utiliza.y + x`.z)` 52 . a) x`.q) 10. El álgebra de Boole trabaja con los operadores: a) Suma.No es cierto que llueve . producto y complementación c) Suma.z`)` (x.y`.z). Cuál de las siguientes expresiones esta en forma normal conjuntiva.y + x.9. simplifique las expresiones.(x`+ y`) c) (x`.z) 18.y`. en el que se utilice las conectivas indicadas en el cuadro. Por tanto.+ (x. 13) Indicar dos ejemplos en lenguaje natural. Represente la siguiente expresión en el mapa de Karnaugh y encuentre su simplificación utilizando adyacencias.y. el candidato no llegará a la presidencia.y`) 17. Simplificar las siguientes expresiones.y`.(x`. q) v ¬( p . a) (x. Con las entradas A = 10001110 y B = 11101110. indicar si es tautológica contingente o contradictoria a) ¬ (p ^ q) . . utilizando las propiedades de las operaciones lógicas..Especialidad Técnico en Informática Alumno: Curso: Segundo Paralelo: Informática Fecha: 1..Ley de Mórgan ….Simplificar las siguientes proposiciones.Ley de Mórgan ….Asociativa y Conmutativa …....Condicional …..Realizar la tabla de verdad de la proposición: ….Escribir las siguientes proposiciones en forma simbólica para las cuales: p: “Ella es alta” y q: “Ella es atractiva” a) b) c) d) e) Ella es alta y atractiva Ella es alta pero no es atractiva Es falso que ella sea pequeña o atractiva Ella no es alta ni atractiva No es verdad que ella sea baja o que no es atractiva p∧q p∧∼q ∼(∼p∨q) ∼p∧∼q ∼(∼p∨∼q) 2.Complemento ∼ p∧ ∼ q ⇔ ∼ (p ∨ q) 53 . [ ( p ∧ ∼ q)] ⇒ ∼ (q ∧ ∼ p) [(p∧∼q)]⇒(∼q∨p) ∼(p∧∼q)∨ (∼q∨p) (∼p∨ q)∨ (∼q∨p) (∼p∨ q)∨ (∼q∨∼q) V ∨ V V 3. Realizar la tabla de verdad de la proposición: ∼ p∧ ∼ q ⇔ ∼ (p ∨ q) 54 .. pero es inteligente ∼p∨q e) No. no estudia sí sólo si es falso que el no es inteligente p⇔∼(∼q∨∼p) 2. entonces él es inteligente (∼q⇒∼p)⇒q b) Ser inteligente implica que el estudia q⇒p c) El es inteligente siempre y cuando estudie q⇒q d) El no estudia . utilizando las propiedades de las operaciones lógicas.Simplificar las siguientes proposiciones.. p ⇒ [ q∧ ∼ ( p ⇔ q)] Condicional ∼ p ∨ [ q∧ ∼ ( p ⇔ q)] Bicondicional ∼ p ∨ [ q ∧ ∼ (p ⇒ q) ∧ ∼ (q ⇒ p)] Condicional Asociativa Condicional Conmutativa ∼ p ∨ [ q ∧ (p ∧ ∼ q) ∧ (q ∧ ∼ p)] ∼ p ∨ [ q ∧ (p ∧ ∼ p) ∧ (q ∧ ∼ q)] Complemento ∼ p ∨ [ q ∧ ( F ) ∧ ( F )] Asociativa ∼ p ∨ [ q ∧ ( F ∧ F )] Idempotencia ∼ p ∨ [ q ∧ F] Identidad ∼p∨F ∼p 3..Especialidad Técnico en Informática Alumno: Curso: Segundo Paralelo: Informática Fecha: 1.Escribir las siguientes proposiciones en forma simbólica para las cuales: p: El estudia y q: El es inteligente a) Es verdad que para no ser inteligente no es necesario que estudie. . [ ∼ p ⇒∼ ( p ∧ ∼ q)] ⇒[ ∼ ( p∨ ∼ q) ∧ ( p∨ ∼ q)] 3. entonces es rico ∼p⇒∼q ∼(p∧q) p⇒q p⇒q p∧q⇒p 2. utilizando las propiedades de las operaciones lógicas..Realizar la tabla de verdad de la proposición: ∼ p∧ ∼ q ⇔ ∼ (p ∨ q) 55 .. entonces es feliz Ser rico es lo mismo que ser feliz Si el no es pobre y feliz.Especialidad Técnico en Informática Alumno: Curso: Segundo Paralelo: Informática Fecha: 1.Simplificar las siguientes proposiciones.Escribir las siguientes proposiciones en forma simbólica para las cuales: p: “El es rico y q: “El es feliz” a) b) c) d) e) Ser pobre es ser infeliz El no puede ser rico y feliz Si el no es pobre. Escribir las siguientes proposiciones en forma simbólica para las cuales: p: “Ella es alta” y q: “Ella es atractiva” a) b) c) d) e) Ella es alta y atractiva Ella es alta pero no es atractiva Es falso que ella sea pequeña o atractiva Ella no es alta ni atractiva No es verdad que ella sea baja o que no es atractiva p∧q p∧∼q ∼(∼p∨q) ∼p∧∼q ∼(∼p∨∼q) 2...Realizar la tabla de verdad de la proposición: ∼ p∧ ∼ q ⇔ ∼ (p ∨ q) 56 ..Simplificar las siguientes proposiciones.Especialidad Técnico en Informática Alumno: Curso: Segundo Paralelo: Informática Fecha: 1. utilizando las propiedades de las operaciones lógicas. [ ( p ∧ ∼ q)] ⇒ ∼ (q ∧ ∼ p) 3. Realizar la tabla de verdad de la proposición: ∼ p∧ ∼ q ⇔ ∼ (p ∨ q) 57 .Especialidad Técnico en Informática Alumno: Curso: Segundo Paralelo: Informática Fecha: 1.Escribir las siguientes proposiciones en forma simbólica para las cuales: p: El estudia y q: El es inteligente a) Es verdad que para no ser inteligente no es necesario que estudie.. utilizando las propiedades de las operaciones lógicas.Simplificar las siguientes proposiciones.. no estudia sí sólo si es falso que el no es inteligente p⇔∼(∼q∨∼p) 2. pero es inteligente ∼p∨q e) No. p ⇒ [ q∧ ∼ ( p ⇔ q)] ∼p 3. entonces él es inteligente (∼q⇒∼p)⇒q b) Ser inteligente implica que el estudia q⇒p c) El es inteligente siempre y cuando estudie q⇒q d) El no estudia .. utilizando las propiedades de las operaciones lógicas.. entonces es rico ∼p⇒∼q ∼(p∧q) p⇒q p⇒q p∧q⇒p 2.Escribir las siguientes proposiciones en forma simbólica para las cuales: p: “El es rico y q: “El es feliz” a) b) c) d) e) Ser pobre es ser infeliz El no puede ser rico y feliz Si el no es pobre.Especialidad Técnico en Informática Alumno: Curso: Segundo Paralelo: Informática Fecha: 1.Simplificar las siguientes proposiciones.Realizar la tabla de verdad de la proposición: ∼ p∧ ∼ q ⇔ ∼ (p ∨ q) 58 .. [ ∼ p ⇒∼ ( p ∧ ∼ q)] ⇒[ ∼ ( p∨ ∼ q) ∧ ( p∨ ∼ q)] 3. entonces es feliz Ser rico es lo mismo que ser feliz Si el no es pobre y feliz.. 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