Man 4 Optimizacion.pptx

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍACIVIL Y AMBIENTAL ICYA 2001 MODELACIÓN Y ANALISIS NUMERICO Fernando Ramírez R OPTIMIZACION UNIVERSIDAD DE LOS ANDES Optimización Optimización es la búsqueda de máximos y/o mínimos de una función. Analiticamente: xopt ⇒ f '(xopt ) = 0 f ''(xopt ) > 0 ⇒ xopt es un mínimo local € € € f ''(xopt ) < 0 ⇒ xopt es un máximo local En ingeniería el problema de optimización consiste en encontrar la mejor solución o mejor resultado para un problema. Los ingenieros deben desarrollar dispositivos, productos que realicen una tarea de forma eficiente dentro de las limitaciones fisícas al menor costo posible. Es decir, necesitan optimizar la solución Optimización Optimización Unidimensional No Restringida Queremos encontrar los máximos o mínimos de una función f(x). Optimización Optimización Unidimensional No Restringida Métodos cerrados: El método encontrará el mínimo o máximo absoluto en el intervalo de busqueda. Intervalo 1 Intervalo 2 . thumbnail.61803 2 .gif Partenón de Atenas DaVinci 5 −1 R= = 0.ar/wpcontent/uploads/2008/07/ gioconda.Optimización Método de la Sección Dorada Sección Dorada http://asusta2.com. Optimización Método de la Sección Dorada xopt xopt x2 x1 xl € 5 −1 d= € € € 2 xu xl € ( x u − xl ) € € € x1 = xl + d x2 x1 xu € x2 = x u − d €€ € xopt xl x2 x1 xu € . respectivamente .Optimización Método de la Sección Dorada xl x2 x € * l x1 x * 2 xu xu x1 ) > f ( x2 ) € Supongamos € f (€ * x − x x −x x − (xl + R(x u − xl )) * R€ = u 2*€= u € 1 = u xu − xl xu − x2 x u − (xu − R(x u − xl )) € R* = (1− R)(xu − xl ) (1− R) 2 5 −1 = = −1 = R(xu − xl ) R 2 5 −1 R* = € 2 5 −1 −1 = =R 2 5 −1 x1 = xl + R( xu − xl ) x2 = xu − R( xu − xl ) La ventaja de usar la sección dorada es que el anterior x1 o x2 está localizado en la razón dorada del siguiente intervalo. solo se necesita evaluar el nuevo x2 o x1. 23606( x u − xl ) xl x2 x1 xu xl x2 xu € € Emax = xu − x1 = ( xu − xl ) − R( xu − xl ) Emax = (1− R)( xu − xl ) = 0.Optimización Método de la Sección Dorada Similar a la bisección puede calcularse el error máximo absoluto para cada iteración: Emax = x1 − x2 = xl + R( xu − xl ) − xu + R( xu − xl ) Emax = 2( R −1)( x u − xl ) = 0.3819( xu − x€ l) € € ε max € € € € € € x u − xl ) ( = 0.3819 100% xopt . Calcular x1 y x2 5 −1 d= xl − x u ) ( 2 xl x2 x1 3. ε max = 0.xu]que incluya el optimo buscado. € x = x €. Evaluar f(x1) y f(x2) € x2 = x u − d xu € Si f (x1 ) > f (x2) ⇒ xopt = x1 . si εmax<εs se ha encontrado la solución. 2. en caso contrario ir a 2. Seleccionar el rango [xl. x € l 2 2 = x1 Si f (x2 ) > f (x1 ) ⇒ xopt = x2 . xu = x1 . Calcular el error máximo. x1 = x2 x1 = xl + d 4.3819 ( xu − xl ) 100% xopt Clase 13 – Regular Clase 14 – Examen .Optimización Método de la Sección Dorada 1. Optimización Interpolación Cuadrática xopt Aproximado xopt Real Cuadrática € € f (x) € x0 € Toma ventaja de que un polinomio de segundo orden es una buena aproximación a un función en las cercanías de un óptimo. x1 x3 x2 € 2 2 f ( x0 )( x1 − x2 ) + f ( x1 )( x22 − x02 ) + f ( x2 )( x02 − x12 ) x3 = € € € 2 f ( x0 )( x1 − x2 ) + 2 f ( x1 )( x2 − x0 ) + 2 f ( x2 )( x0 − x1 ) . x1 = x1 . x1 = x3 . x2 = x2 xopt Aproximado xopt Real x0 = x0 . x1 = x1 . x2 = x3 Cuadrática x3 < x1 : € € f€(x) € x0 x1 x3 x2 € € f ( x3 ) < f ( x1 ) => € € € f ( x3 ) > f ( x1 ) => x0 = x0 .Interpolación Cuadrática Optimización x3 > x1 : f ( x3 ) > f ( x1 ) => x0 = x1 . x1 = x3 . x2 = x1 f ( x3 ) < f ( x1 ) => x0 = x3 . x2 = x2 . Calcular error f (x) € x0 x1 x3 x2 i+1 i xopt − xopt εa = 100% i+1 xopt 4. Si εa>εs identifique € el nuevo intervalo y vaya al paso 2.Optimización Interpolación Cuadrática xopt Aproximado xopt Real 2. en caso contrario el último valor calculado es óptimo. Calcular la aproximación al óptimo x3 Cuadrática € € 1. Seleccionar x0 x1 x2 3. € € € € € f ( x0 )( x12 − x22 ) + f ( x1 )( x22 − x02 ) + f ( x2 )( x02 − x12 ) x3 = 2 f ( x0 )( x1 − x2 ) + 2 f ( x1 )( x2 − x0 ) + 2 f ( x2 )( x0 − x1 ) . el óptimo ocurre en la raíz de la derivada de la función. para lo cual teníamos: € f (xi ) xi+1 = xi − f '(xi ) El óptimo con el método de Newton-Raphson sería: € € f '(xi ) xi+1 = xi − f ''(xi ) .Optimización Método de Newton Sabemos que el óptimo ocurre en el punto donde la derivada de la función es cero. xopt ⇒ f '(xopt ) = 0 Es decir. 103 0.438 1.776 1.776 1.775 1.374 1.438 1.708 1.854 1.271 1.413 1.146 1.776 1.745 1.428 1.Optimización Búsqueda Dorada xl 1.055 0.438 1.438 1.708 1.399 41.708 1.444 18.438 d 1.271 1.428 1.413 1.000 1.776 1.146 1.271 0.453 1.423 1.438 1.438 1.762 1.697 1.541 1.271 1.000 1.854 2.776 1.247 1.708 1.146 1.374 1.689 1.428 1.438 1.000 1.009 x1 2.187 4.689 1.477 1.477 1.442 2.428 f (x) = 2 sin(x) − x 2 /10 Error 53.854 2.438 0.218 2.776 1.423 xu 4.000 2.816 11.776 1.776 1.438 1.413 1.413 1.438 1.776 1.438 1.432 x2 f(x1) f(x2) Xopt 2.438 1.428 1.428 1.776 1.629 7.477 1.438 1.773 1.218 1.459 30.438 1.000 1.708 1.776 1.708 0.776 1.438 1.776 1.374 1.024 0.773 1.146 -0.541 1.652 0.039 0.749 1.776 1.403 .438 1.064 0.453 1.438 1.015 0.541 1.146 0.167 0. 07 1.490 1.000 1.427 1.769 1.428 1.490 1.771 1.771 1.07 .776 0.771 1.776 4.48 1.776 1.000 1.490 1.07 1.426 1.506 1.114 1.000 1.426 1.Optimización Interpolación Cuadrática xo 0.769 1.583 1.776 0.426 x1 1.490 1.506 1.427 x2 f(xo) f(x1) f(x2) 4.506 1.000 1.776 1.114 4.776 1.583 -3.583 1.000 1.769 -3.000 0.000 1.771 f (x) = 2 sin(x) − x 2 /10 € x3 f(x3) Error 1.000 1.583 1. 500 0.428 0.000 -2.091 -2.469 1.890 -1.397 0.102 -1.898 0.995 1.006 f '(x) = 2 cos(x) − x / 5 f "(x) = −2 cos(x) −1/ 5 € .190 1.995 151.428 f (x) = 2 sin(x) − x 2 /10 € f'(x) f"(x) xi+1 Error -2.878 1.236 0.428 2.262 -0.180 1.469 32.€ Optimización Método de Newton xi 2. Optimización Optimización Multidimensional No Restringida Queremos encontrar los máximos o mínimos de una función f(x.y). Máximos Locales Mínimos Locales . xl )r y = yl + (yu . si se repite para un número suficiente de muestras.Optimización Busqueda Aleatoria : Evalúa la función con valores aleatorios de x y y.yl )r Donde r es un número aleatorio (0.random() Este método además de no ser muy eficiente no considera el comportamiento de la función o los resultados de iteraciones previas para mejorar la búsqueda Clase 15 – Regular . el óptimo será eventualmente localizado Generación de números aleatorios x = xl + (x u .1) € Excel: RAND() Matlab: RAND Python: random. y1 ) (x2 . y2 ) (x1 . Estas trayectorias se conocen como direcciones patrón. yo ) € € € (xo . yo ) € f (x.Optimización Busqueda Univariada: Consiste en trabajar con una sola variable a la vez . Si se unen los puntos alternados la dirección resultante va hacia el € máximo. (x3 . y3 ) (x3 . yo ) € x1 x . y1 ) € € (x1 . y2 ) (x2 . como solo cambia una variable el problema se reduce a una secuencia de búsquedas en una sola dimensión La búsqueda puede llegar a ser muy lenta e ineficiente . y) = 1− 2x − 2y = 0 ∂y #−4 −2& H =% ( $−2 −2' "4 2%( x+ (−1+ $ ') . y) = y − x − 2x 2 − 2xy − y 2 x0 = 1 y0 = 1 Analítica: ∂f (x.Optimización Busqueda Univariada-Ejemplo: f (x. y) = −1− 4 x − 2y = 0 ∂x € ∂f (x. #2 2&* y.5 € H = (−4)(−2) − (−2)(−2) = 4 > 0 € € € € . = ) .* 1 € xopt = −1 yopt = 1. 5 = 0 yopt = 1.25 −1 y εa = 100% = 20.1) f (x.75 −1 x εa = 100% = 233.25 € ∂y 1.75.5y − 0.3% −0. y) = −y + 2.25 2 .0% 1.375 = −2y + 2.75 ∂x −0.1) = −2x − 3x = −4 x − 3 = 0 xopt = -0. y) f (−0.75 2 € € ∂f (−0.Optimización Busqueda Univariada-Ejemplo: f (x.75. y) = y − x − 2x 2 − 2xy − y 2 x0 = 1 y0 = 1 ∂f (x. 5x − 0. y) = y − x − 2x 2 − 2xy − y 2 2 f (x.375 −1.875 x a 2 f (−0.875. y) = −y + 2.25) = −2x − 3.312 € € x0 = 1 y0 = 1 ∂f (x.75 = 0 yopt = 1.3% −0.875.875 ∂x −0.66 € ∂f (−0.375 y a .5 = 0 xopt = -0.1% 1. y) = −2y + 2.75 ε = 100% = 14.75y − 0.25 ε = 100% = 9.25) = −4 x − 3.375 ∂y 1.Optimización Busqueda Univariada-Ejemplo: f (x.1.875 + 0.1. 515 = −4x − 3.4375 ∂y .375 ε = 100% = 4.82 € 1. y) = y − x − 2x 2 − 2xy − y 2 x0 = 1 y0 = 1 ∂f (x.9375.0.875 ε = 100% = 6. y) = −2y + 2.375) f (x.75x .9375.9375 x a € 2 f (−0.1.375) = −2x − 3. y) = −y + 2.9375 ∂x 2 € −0.3% 1.875 = 0 yopt = 1.4375 y a € ∂f (−0.9375 + 0.875y − 0.4375 −1.75 = 0 xopt = -0.6% −0.1.Optimización Busqueda Univariada-Ejemplo: f (x. 998 = 0 yopt = 1. y) = −y + 2.1.999. y) = −2y + 2.Optimización Busqueda Univariada-Ejemplo: f (x.0.09% −0. y) = y − x − 2x 2 − 2xy − y 2 x0 = 1 y0 = 1 ∂f (x.499 y a € ∂f (−0.499 ∂y .999 + 0.999 x a € 2 f (−0.498) = −2x − 3.1.06% 1.498) f (x.746 = −4x − 3.99 € 1.999 ∂x 2 € −0.999.99 = 0 xopt = -0.998y − 0.499 −1.998 ε = 100% = 0.99x .498 ε = 100% = 0. Optimización Métodos con Gradiente: Solución Analítica: $∂f (x. y) %$ ∂y∂x ∂f 2 (x. y) = 0 &' ∂y $∂f 2 (xopt . Es decir. yopt ) % > 0 y H > 0 ⇒ Minimo 2 ∂x & & H < 0 ⇒ Punto de Silla & ' € € La solución de este sistema de ecuaciones es el punto (x.y) que hacen ambas derivadas parciales cero. yopt ) € < 0 y H > 0 ⇒ Maximo & 2 ∂x & € &∂f 2 (xopt . y) ( ∂y 2 (' . y) && ∂x = 0 f (x. corresponden a un punto óptimo #∂f 2 (x. y) & ( ∂x∂y ( ∂f 2 (x. y) % 2 ∂ x [H ] = % 2 %∂f (x. y) ⇒ % &∂f (x. xn ) ⇒ ∇f = & * ' . x2 . ∂f ˆ ∂f ˆ f (x.... ' ' ∂f ' '(∂x '+ n La pendiente en esa dirección será la magnitud del gradiente dada por: 2 $ ∂f '2 $ ∂f ' ∇f = & ) + & ) % ∂x ( % ∂y ( € . ' ' .Optimización Métodos con Gradiente: El gradiente de una función evaluado un punto dado indica la dirección con la máxima pendiente. y) => ∇f = i + j ∂x ∂y € € % ∂f ) ' ∂x ' ' 1' ' ∂f ' ' ∂x 2 ' f (x1 . −1) (x.Optimización Métodos con Gradiente: f (x. € ∇f = −2iˆ + 2.2 Como usar el gradiente para encontrar los optimos de la función? . y) = xy − x 2 − y 2 ∂f ∂f = y − 2x = x − 2y ∂x ∂y € ∇f = (y − 2x)iˆ + (x − 2y) ˆj € € y) = (0.5) = 3.5.5 ˆj 2 € € € 2 ∇f = (−2) + (2. este punto es el nuevo inicio. se evalúa el gradiente en este punto y nos movemos en esta dirección hasta encontrar el óptimo en esa dirección. El proceso se repite hasta encontrar el óptimo de la función. luego encontramos el óptimo a lo largo de la dirección del gradiente. . y(h)) € € Evaluar el gradiente en el punto inicial de busqueda.Optimización h h Método Optimal de Máxima Inclinación: € € hopt f (x(h). y el segundo es determinar el óptimo en esa dirección. y(h)) Se reemplazan todas la x’s de f(x.y) por (1). Para implementar este método debemos aprender como transformar una función de x y y en una función de h a lo largo de la dirección del gradiente y ∂f x(h) = x0 + h (1) ∂x h h* € ( x€ o . y todas las y’s por (2). yo ) € € x ∂f y(h) = y0 + h ∂y (2) g(h) = f (x(h). la solución en cada iteración se divide en dos pasos. así € obtenemos una funcion g(h). el primero es determinar la mejor dirección. € € .Optimización Método Optimal de Máxima Inclinación: Por lo tanto. y0) ∂f ˆ ∂f ˆ ∇f = i + j ∂x ∂y 3. Hallar óptimo de g(h). € 6. Evaluar el nuevo (x. Transformar f(x. . en caso contrario el último valor calculado es óptimo. y) a g(h) ∂f x(h) = x0 + h ∂x € ∂f y(h) = y0 + h ∂y 4. es decir h*. Evaluar el gradiente de la función en (x0. Seleccionar punto inicial de busqueda (x0. Si εa>εs haga x0= x y y0=y vaya al paso 2. usando cualquier método unidireccional 5.€ Optimización Método Optimal de Máxima Inclinación: 1. y) usando ecuaciones del Punto 3. y0) 2. y) i+1 100% < ε s Clase 16– Regular . Diferencia relativa porcentual entre valores óptimos de la función cercana a cero €f (x. y)i f (x. Magnitud del gradiente cercana a cero. € h* 3.Optimización Método Optimal de Máxima Inclinación: Criterios de Convergencia: 1. y)i+1 − f (x. 2 $ ' $ ∂f ' ∂f ∇f = & ) + & ) % ∂x ( % ∂y ( 2 2. Distancia h* cercana a cero. +0. y) = −2 < 0 2 ∂x . y) = 2x − 4 y = 0 ∂y € H = (−2)(−4) − (2)(2) = 4 > 0 ∂ 2 f (x. y) = 2y + 2 − 2x = 0 ∂x € #2 −2&) x . y) = 2xy + 2x − x 2 − 2y 2 => x0 = −1. )2.= * $2 −4'+ y. xopt = 1 #−2 2 & H =% ( $ 2 −4' € yopt = 2 € € € ∂f (x. % (* .Optimización Método Optimal de Máxima Inclinación-Ejemplo: f (x. y0 = 1 Analítica: ∂f € (x. Optimización Método Optimal de Máxima Inclinación-Ejemplo: f (x. y0€+ h ( = f (−1+ 6h. y) = 2y + 2 − 2x = 2x − 4 y € ∂x ∂y ∂f (x0 . y) = 2xy + 2x − x 2 − 2y 2 => x0 = −1. dirección de busqueda € € ∂f (x. y) ∂f (x.1− 6h) ∂x ∂y ' $ € 2 2 2 g(h) = 2(−1+ 6h)(1− 6h) + 2(−1+ 6h) − (−1+ 6h) − 2(1− 6h) = g(h) = −180h + 72h − 7 . y0 = 1 Evaluar gradiente de la función en punto inicial. y0 ) ∂f (x0 . y0 ) = 2(1) + 2 − 2(−1) = 6 = 2(−1) − 4(1) = −6 ∂x ∂y ∇f€ = 6iˆ − 6 ˆj Obtener g(h) # ∂f ∂f & f % x0 + h. −0.28 relativa: € . y0 = 1 Hallar óptimo de g(h).2) = 0.20 Evaluar el nuevo (x. es decir h* CUALQUIER METODO DE BUSQUEDA UNIDIMENSIONAL PUEDE SER USADO !!!!! g(h) =€−180h 2 + 72h − 7 g'(h) = −360h + 72 h* = 72 / 360 = 0.−0.2 ∂x € Criterio de convergencia ∂f €y = y0 + ∂y h = 1− (6)(0.20 > 0.Optimización Método Optimal de Máxima Inclinación-Ejemplo: f (x.2.20 ∇f (0.28 100% = 2600% 0. y) € ∂f x = x0 + h = −1+ (6)(0.2) = 1.2.2) = 1.20 ∂y € ∂x € Diferencia 0.2) = 0.2) = −0.1) = −7 f (0. y) = 2xy + 2x − x 2 − 2y 2 => x0 = −1.697 > 0.−0.2.−0.01 (0.01 ∂f ∂f = (0.2 h* = 0.28 − (−7) f (−1.2) = 1.2. 20 +1.2.44h 2 + 2.20 ∂x ∂y ∇f =€1.20 . y0 = −0. y0 ) ∂f (x0 .−020 +1. y0 ) = 1.2h) ∂x ∂y ' $ € g(h) = −1. y0 + h ( € = f (0.20 = 1. dirección de busqueda € ∂f (x.2h. y) ∂f (x.20 ˆj Obtener g(h) € # ∂f ∂f & f % x0 + h.88h + 0.2 Evaluar gradiente de la función en punto inicial. y) = 2xy + 2x − x 2 − 2y 2 => x0 = 0.Optimización Método Optimal de Máxima Inclinación-Ejemplo: f (x.20iˆ +1. y) = 2x − 4 y € ∂x = 2y + 2 − 2x ∂y ∂f (x0 . 20)(1) = 1.20 Hallar óptimo de g(h).20 ∂x ∂y € Diferencia 1. y) = 2xy + 2x − x 2 − 2y 2 => x0 = 0.4 € ∂x € Criterio de convergencia € h* = 1.0 > 0.4.20 + (1.64 − 0.44h 2 + 2.4.88 / 2.64 relativa: .01 ∂f y€ = y0 + h = −0.1.2.1) = 1.20 ∇f (1.2) = 1.9% 1.4.2)(1) = 1 ∂y ∂f ∂f = (1.88h + 0.0) = 1.4.Optimización Método Optimal de Máxima Inclinación-Ejemplo: f (x.64 100% = 82.1) = −1.20.2) = 0.−0.28 f (1. es decir h* CUALQUIER METODO DE BUSQUEDA UNIDIMENSIONAL PUEDE SER USADO !!!!! g(h)€ = −1.1.88 h* = 2.88h + 2.01 (1.28 f (0.697 > 0.88 = 1 Evaluar el nuevo (x.20 + (1. y0 = −0.20 g'(h) = −2. y) ∂f x = x0 + h = 0. .... + cn xn cj : Contribución de la actividad en j xj= Magnitud de la actividad Las restricciones se presentan de manera general como : ai1 x1 + ai2 x2 +. + aij x j +...a1n xn ≤ bi aij: Cantidad de recurso i consumido por actividad j y limitado por bi El segundo tipo de restricción esta dada por xi ≥ 0 Es decir todas las actividades deben tener un valor positivo PROGRAMACION LINEAL ....OPTIMIZACION RESTRINGIDA Función Objetivo: Representa aquello que queremos optimizar z = c1 x1 + c2 x2 + .. combustible regular (R) y combustible premium (P). Ejemplo: Planta de producción de dos tipos de combustibles.OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Gráfico: Limitado a dos o tres dimensiones pero son útiles para ilustrar. Encontrar la cantidad de R y de P para maximizar utilidad si se tiene la siguiente información: Consumo de materia prima: Recursos disponibles: R: 7 m3/ton P: 11 m3/ton 3 Materia prima: 77 m Consumo de tiempo: Tiempo: 80 hr R: 10 hr/ton P: 8 hr/ton Almacenamiento R: 9 ton Utilidad: Almacenamiento de P: 6 ton R: 150 $/ton P: 175 $/ton Función Objetivo: Restricciones: z = 150R +175P 7R +11P ≤ 77 10R + 8P ≤ 80 R≥0 P≥0 R≤9 P≤6 . OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Gráfico: (1) 7R +11P ≤ 77 P (2) 10R + 8P ≤ 80 (3) R ≤ 9 (4) P ≤ 6 (3) 10 (2) € € 7 € € 6 Popt z = 1350 € € € € € (4) € € € € z = 1050 R≥0 z = 150R +175P (1) 8 Ropt € € € € € € 9 € 11 P≥0 R . OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Gráfico: (1) Materia Prima P (2) Tiempo (3) Almacenamiento R (4) Almacenamiento P (3) 10 (2) € € € € € € € € 7 6 Popt (4) Como aumentar utilidades? € € € (1) 8 Ropt € € € € € 9 (1) y (2) Obligatorias (3) y (4) No son limitantes 11 Incrementar materia prima Incrementar/Mejorar tiempo de producción R . OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Gráfico: P (3) 10 (2) € € 7 € € (4) 6 Popt € € € (1) 8 Ropt € € € € € 9 11 R 1. Graficar restricciones, las lineas delimitan la zona de valores factibles de R y P 2. Graficar función objetivo para diferentes valores de Z 3. Continuar aumentando Z hasta que un pequeño incremento lleve a la función objetivo fuera de la región factible El óptimo se presenta en puntos de esquina o extremos , intersección de 2 restricciones. Identificar estos puntos y evaluar la función objetivo para encontrar el valor óptimo OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Gráfico: P P (3) (3) 10 10 (2) € € € € € 7 € (2) € € (4) 6 € € Popt € € 9 11 Solución Unica € € € Popt € € (1) 8 (4) 6 € € Ropt 7 R (1) 8 Ropt 9 11 R Soluciones Alternativas € € € € P P € € € € € € € R R Solución no € Factible Solución no € Acotada OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Simplex: Reformula las restricciones introduciendo las variables de holgura. (1) 7R +11P + S1 = 77 (2) 10R + 8P + S2 = 80 (3) R + S3 = 9 (4) P + S4 = 6 € Estas variables miden cuanto de un recurso esta disponible en un € punto cualquiera, es decir, cuanta holgura esta disponible del recurso. € de holgura es mayor a cero hay excedente, si es Si la variable menor a€cero se ha violado la restricción, y si es igual a se ha usado todo el recurso disponible. m de holgura € variables Total: n+m Cada punto € extremo tiene 2 de las 6 variables igualadas a cero.versión aumentada.OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Simplex: Introducir una variable de holgura para cada restricción . (3) 10 (2) € € € 7 € € (4) 6 Popt € € € (1) 8 Ropt 9 11 Solución Unica € € € € € € R . 1 7R +11P + S = 77 () 1 (2) 10R + 8P + S2 = 80 (3) R + S3 = 9 (4) P + S4 = 6 P € Existen€ n variables estructurales. Entonces el procedimiento será determinar todas las soluciones básicas. seleccionar cuáles son factibles. El problema de esta solución algebraica es que aún para problemas pequeños debe resolverse un número grande de sistemas de ecuaciones m=10 y n=16 C mn = n! m!(n − m)! 8008 sistemas de 10x10 . Las variables igualadas a cero se conocen como no básicas. y las restantes como básicas. Si todas los básicas son no negativos el resultado es una solución factible básica.OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Simplex: Por lo tanto una forma de resolver el problema es igualar a cero pares de variables y resolver el sistema de ecuaciones resultante. y de estas cual tiene el mayor valor de Z. 2. se supone como primera solución factible aquella cuyas variables estructurales son cero. La variable de salida corresponde a la intersección más cercana positiva. y las filas son la función objetivo y las variables básicas. 4. Eliminar variable de entrada de las demás filas.OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Simplex: La idea es comenzar con una solución factible y luego desplazarse hacia otras soluciones factibles para mejorar el valor de la función objetivo. 5. Normalizar la ecuación correspondiente a la v. 7. Preparar una tabla cuyas columnas son todas las variables y Z. Repetir 2 a 5 hasta que la fila de Z no tenga coeficientes negativos. 3. Calcular valores en los que las lineas de restricción intersecan la linea correspondiente a la variable de entrada dividiendo la solucion de cada ecuación por el coeficiente de la variable de entrada. Renombrar fila con la variable de entrada 6. . salida con respecto a la de entrada. 1. Seleccionar variable de entrada como aquella con el mayor valor negativo en la fila de Z. OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Simplex: R=0 Z Z S1 S2 S3 S4 P=O R P S1 1 -150 -175 0 7 11 0 10 8 0 1 0 0 0 1 S2 0 1 0 0 0 S3 S4 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 SOL. 0 0 0 0 1 INTER. 0 77 80 9 6 P € € z −150R −175P = 0 (1) 7R +11P + S1 = 77 (2) 10R + 8P + S2 = 80 (3) R + S3 = 9 (4) P + S4 = 6 (3) 10 (2) € € € 7 € (4) 6 € € € (1) 8 9 11 Solución Unica € € € € € R . 0 0 0 0 1 INTER.OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Simplex: R=0 Z Z S1 S2 S3 S4 R=0 Z Z S1 S2 S3 S4 P=O R P S1 1 -150 -175 0 7 11 0 10 8 0 1 0 0 0 1 P=O R P S1 1 -150 -175 0 7 11 0 10 8 0 1 0 0 0 1 S2 0 1 0 0 0 S3 0 0 1 0 0 S2 0 1 0 0 0 S4 0 0 0 1 0 S3 0 0 1 0 0 SOL. . 0 0 0 0 1 S4 0 0 0 1 0 0 77 80 9 6 SOL. 0 77 80 9 6 INTER. 0 77 80 9 6 INTER.OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Simplex: R=0 Z Z S1 S2 S3 S4 R=0 Z Z S1 S2 S3 S4 P=O R P S1 1 -150 -175 0 7 11 0 10 8 0 1 0 0 0 1 P=O R P S1 1 -150 -175 0 7 11 0 10 8 0 1 0 0 0 1 S2 0 1 0 0 0 S3 0 0 1 0 0 S2 0 1 0 0 0 S4 0 0 0 1 0 S3 0 0 1 0 0 SOL. 0 0 0 0 1 S4 0 0 0 1 0 0 77 80 9 6 SOL. 0 0 0 0 1 INTER. 7 10 NA 6 Clase 17– Regular . 0 0 0 0 1 0 77 80 9 6 INTER.OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Simplex: P (3) 10 (2) € € € 7 € (4) 6 € € € (1) 8 9 11 Solución Unica € € R € € € R=0 Z Z S1 S2 S3 S4 P=O R P S1 1 -150 -175 0 7 11 0 10 8 0 1 0 0 0 1 S2 0 1 0 0 0 S3 0 0 1 0 0 S4 0 0 0 1 0 SOL. 7 10 NA 6 . 0 0 0 0 1 0 77 80 9 6 INTER. 7 10 NA 6 .OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Simplex: P (3) 10 (2) € € € 7 € (4) 6 € € € (1) 8 9 11 Solución Unica € € R € € € R=0 Z Z S1 S2 S3 S4 P=O R P S1 1 -150 -175 0 7 11 0 10 8 0 1 0 0 0 1 S2 0 1 0 0 0 S3 0 0 1 0 0 S4 0 0 0 1 0 SOL. 175 1050 1 6 . 0 77 80 9 6 7 10 NA 6 SOL.OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Simplex: R=0 Z Z S1 S2 S3 S4 R=0 Z Z S1 S2 S3 P P=O R P S1 1 -150 -175 0 7 11 0 10 8 0 1 0 0 0 1 S2 0 1 0 0 0 S3 0 0 1 0 0 S4 0 0 0 1 0 S4=O R P 1 -150 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 S1 S2 S3 SOL. 0 0 0 0 1 S4 INTER. INTER. INTER. 0 77 80 9 6 7 10 NA 6 SOL.OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Simplex: R=0 Z Z S1 S2 S3 S4 R=0 Z Z S1 S2 S3 P P=O R P S1 1 -150 -175 0 7 11 0 10 8 0 1 0 0 0 1 S2 0 1 0 0 0 S3 0 0 1 0 0 S4 0 0 0 1 0 S4=O R P 1 -150 0 7 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 S1 S2 S3 SOL. 175 1050 -11 11 1 6 . 0 0 0 0 1 S4 INTER. 0 77 80 9 6 7 10 NA 6 SOL. 0 0 0 0 1 S4 INTER. INTER.OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Simplex: R=0 Z Z S1 S2 S3 S4 R=0 Z Z S1 S2 S3 P P=O R P S1 1 -150 -175 0 7 11 0 10 8 0 1 0 0 0 1 S2 0 1 0 0 0 S3 0 0 1 0 0 S4 0 0 0 1 0 S4=O R P 1 -150 0 7 0 10 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 S1 S2 S3 SOL. 175 1050 -11 11 -8 32 1 6 . 0 77 80 9 6 INTER. INTER. 175 1050 -11 11 -8 32 0 9 1 6 . 7 10 NA 6 SOL.OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Simplex: R=0 Z Z S1 S2 S3 S4 R=0 Z Z S1 S2 S3 P P=O R P S1 1 -150 -175 0 7 11 0 10 8 0 1 0 0 0 1 S4=O R P 1 -150 0 7 0 10 0 1 0 0 S2 0 1 0 0 0 S1 0 0 0 0 1 S3 0 0 1 0 0 S2 0 1 0 0 0 S4 0 0 0 1 0 S3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 S4 0 0 0 1 0 SOL. 175 1050 -11 11 -8 32 0 9 1 6 . INTER.OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Simplex: R=0 Z Z S1 S2 S3 P S4=O R P 1 -150 0 7 0 10 0 1 0 0 S1 0 0 0 0 1 S2 S3 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 P (3) 10 (2) € € € 7 € (4) 6 € € € (1) 8 9 11 Solución Unica € € € € € S4 R SOL. INTER.OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Simplex: R=0 Z Z S1 S2 S3 P R=0 Z Z S1 S2 S3 P S4=O R P 1 -150 0 7 0 10 0 1 0 0 S4=O R P 1 -150 0 7 0 10 0 1 0 0 S1 0 0 0 0 1 S2 0 1 0 0 0 S1 0 0 0 0 1 S3 0 0 1 0 0 S2 0 1 0 0 0 SOL. 175 1050 -11 11 -8 32 0 9 1 6 S4 SOL. INTER. 175 1050 -11 11 -8 32 0 9 1 6 0 0 0 1 0 S3 0 0 1 0 0 S4 0 0 0 1 0 . 175 1050 -11 11 1.2 0 9 9 1 6 NA 0 0 0 1 0 S3 0 0 1 0 0 S4 0 0 0 1 0 .571 -8 32 3. INTER. INTER.OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Simplex: R=0 Z Z S1 S2 S3 P R=0 Z Z S1 S2 S3 P S4=O R P 1 -150 0 7 0 10 0 1 0 0 S4=O R P 1 -150 0 7 0 10 0 1 0 0 S1 0 0 0 0 1 S2 0 1 0 0 0 S1 0 0 0 0 1 S3 0 0 1 0 0 S2 0 1 0 0 0 SOL. 175 1050 -11 11 -8 32 0 9 1 6 S4 SOL. 571 -8 32 3.OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Simplex: P (3) 10 (2) € € € 7 € (4) 6 € € € (1) 8 9 11 Solución Unica € R=0 Z Z S1 S2 S3 P S4=O R P 1 -150 0 7 0 10 0 1 0 0 € R € € € S1 0 0 0 0 1 S2 0 1 0 0 0 S3 0 0 1 0 0 S4 0 0 0 1 0 SOL.2 0 9 9 1 6 NA . INTER. 175 1050 -11 11 1. OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Simplex: P (3) 10 (2) € € € 7 € (4) 6 € € € (1) 8 9 11 Solución Unica € R=0 Z Z S1 S2 S3 P S4=O R P 1 -150 0 7 0 10 0 1 0 0 € R € € € S1 0 0 0 0 1 S2 0 1 0 0 0 S3 0 0 1 0 0 S4 0 0 0 1 0 SOL.2 0 9 9 1 6 NA . 175 1050 -11 11 1. INTER.571 -8 32 3. 571 1.2 0 9 9 1 6 NA SOL.143 S3 0 0 1 0 0 S2 0 0 0 1 0 S3 0 S4 S4 SOL. 0 -1. 175 1050 -11 11 1.OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Simplex: R=0 Z Z S1 S2 S3 P S4=O R P 1 -150 0 7 0 10 0 1 0 0 S1=0 S4=O Z R P Z R S2 S3 P 0 1 S1 0 0 0 0 1 S2 0 1 0 0 0 S1 0 0.571 INTER. .571 -8 32 3. INTER. INTER.7 0 -1.7 1285.57 .6 1. INTER. 175 1050 -11 11 1.571 -8 32 3.43 0 0.2 0 9 9 1 6 NA S4 SOL.14 S3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 S3 0 0 S4 SOL. 0 -60.OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Simplex: R=0 Z Z S1 S2 S3 P Z R S2 S3 P S4=O R P 1 -150 0 7 0 10 0 1 0 0 S1=0 S4=O Z R P 1 0 0 1 S1 0 0 0 0 1 S2 0 1 0 0 0 S1 S2 0 21. 14 0 -1. 0 -60.7 0 -1.571 -8 32 3.57 0 7. INTER.2 0 9 9 1 6 NA S4 SOL.29 .OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Simplex: R=0 Z Z S1 S2 S3 P Z R S2 S3 P S4=O R P 1 -150 0 7 0 10 0 1 0 0 S1=0 S4=O Z R P 1 0 0 1 0 0 S1 0 0 0 0 1 S2 0 1 0 0 0 S1 S2 0 21.71 16.71 1285. 175 1050 -11 11 1.57 1.43 0 0. INTER.43 S3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 S3 0 0 1 S4 SOL. 71 1285.571 -8 32 3.57 0 7.43 .57 1. INTER. 0 -60.7 0 -1.57 7.43 0 0.OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Simplex: R=0 Z Z S1 S2 S3 P Z R S2 S3 P S4=O R P 1 -150 0 7 0 10 0 1 0 0 S1=0 S4=O Z R P 1 0 0 1 0 0 0 0 S1 0 0 0 0 1 S2 0 1 0 0 0 S1 S2 0 21. INTER.2 0 9 9 1 6 NA S4 SOL.43 0 -0.14 S3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 S3 0 0 1 0 S4 SOL.71 16.14 0 -1. 175 1050 -11 11 1.29 1 1. 57 7.29 1 1.43 0 0.OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Simplex: R=0 Z Z S1 S2 S3 P S4=O R P 1 -150 0 7 0 10 0 1 0 0 Z R S2 S3 P S1=0 S4=O Z R P 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 S1 0 0 0 0 1 S2 0 1 0 0 0 S1 S2 0 21.57 0 7. 0 -60. INTER. 175 1050 -11 11 1.43 0 -0.7 0 -1.571 -8 32 3.57 1.14 0 -1.2 0 9 9 1 6 NA S4 SOL. INTER.71 16.14 1 0.00 S3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 S3 0 0 1 0 0 S4 SOL.71 1285.43 0 1 6 . 14 0 -1.43 0 0.71 1285.57 7.57 0 7.29 1 1.71 16. INTER. 0 -60.00 S3 0 0 1 0 0 P (3) 10 (2) € € € 7 € (4) 6 € € € (1) 8 9 11 Solución Unica € € € € € R S4 SOL.43 0 -0.43 0 1 6 .7 0 -1.14 1 0.57 1.OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Simplex: Z R S2 S3 P S1=0 S4=O Z R P 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 S1 S2 0 21. 71 1285.57 0 7.43 0 -0.71 16.43 0 0.71 1285.14 0 -1.43 0 0. 0 -60. INTER.29 1 1.57 0 7.57 1.71 16.57 1.57 7.7 0 -1. INTER.29 1 1. 0 -60.OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Simplex: Z R S2 S3 P S1=0 S4=O Z R P 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 S1 S2 0 21.43 0 1 6 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 .14 1 0.7 0 -1.57 7.14 0 -1.00 Z R S2 S3 P S1=0 S4=O Z R P 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 S1 S2 0 21.14 1 0 S3 S4 SOL.43 0 -0.43 0 1 6 S3 S4 SOL. 57 1.29 2.43 0 -0.29 1 1.71 16.14 1 0 Z R S2 S3 P S1=0 S4=O Z R P 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 S1 S2 0 21.OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Simplex: Z R S2 S3 P S1=0 S4=O Z R P 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 S1 S2 0 21.57 0 7. 0 -60.57 1. INTER.57 -1 0 7.111 1 1. INTER.71 16.71 1285.43 0 1 6 S3 S4 SOL. 0 -60.14 1 0 S3 S4 SOL.14 0 -1.7 0 -1.57 7.43 4.57 7.14 0 -1.43 0 0.727 0 1 6 6 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 .71 1285.43 0 -0.7 0 -1.43 0 0. 71 16.7 0 -1.111 1 1.14 0 -1.727 0 1 6 6 . INTER. 0 -60.OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Simplex: P (3) 10 (2) € € € 7 € (4) 6 € € € (1) 8 9 11 Solución Unica € € R € € € Z R S2 S3 P S1=0 S4=O Z R P 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 S1 S2 0 21.29 2.57 7.43 0 0.57 1.71 1285.43 4.14 1 0 S3 0 0 1 0 0 S4 SOL.57 -1 0 7.43 0 -0. 73 0 1 6 6 .OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Simplex: Z R S2 S3 P S1=0 S4=O Z R P 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 S1 S2 0 21.14 0 -1.57 7.71 16.71 1285.7 0 -1. 0 -60. INTER.57 1.43 0 -0.29 2.14 1 0 S3 0 0 1 0 0 P (3) 10 (2) € € € 7 € (4) 6 € € € (1) 8 9 11 Solución Unica € € € € € R S4 SOL.43 4.11 1 1.57 -1 0 7.43 0 0. 14 0 -1. INTER.73 0 1 6 6 S3 S4 0 SOL.57 1.11 INTER.14 1 0 S1 S3 0 0 1 0 0 S2 0 -0.71 16. 0 -60.57 -1 0 7.7 0 -1.OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Simplex: Z R S2 S3 P S1=0 S4=O Z R P 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 S1=0 S2=O Z R P Z R S4 S3 P 0 0 S1 S2 0 21.43 0 0.130 S4 SOL.185 0. .57 7.29 2.71 1285.43 4. 1 2.43 0 -0.11 1 1. 0 -60.185 0.71 1285.11 INTER.14 0 -1.OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Simplex: Z R S2 S3 P S1=0 S4=O Z R P 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 S1=0 S2=O Z R P Z R S4 S3 P 0 0 S1 S2 0 21.130 S4 SOL.14 1 0 S1 S3 0 0 1 0 0 S2 0 -0.71 16.43 0 -0.57 7.57 1.43 0 0. .11 1 1. INTER.43 4.73 0 1 6 6 S3 S4 0 SOL.29 2. 1 2.57 -1 0 7.7 0 -1. 43 0 -0.71 1285. INTER.14 1 0 S1=0 S2=O Z R P 1 0 S1 S2 S3 0 10.57 1.71 16.57 -1 0 7.11 .73 0 1 6 6 S4 2.43 0 0.57 7. INTER.14 0 -1. 0 1413.43 4.19 7.87 0 SOL. 0 -60.130 0 1 0 0 S3 0 0 1 0 0 S4 SOL.OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Simplex: Z R S2 S3 P Z R S4 S3 P S1=0 S4=O Z R P 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 S1 S2 0 21.29 2.185 0.9 0 -0.11 1 1.7 0 -1. 14 1 0 S1=0 S2=O Z R P 1 0 0 1 0 0 S1 S2 S3 0 10.73 0 1 6 6 S4 0 0 0 SOL.13 S3 0 0 1 0 0 S4 SOL.9 0 4.9 1 2.87 0 -0.11 1 1.71 1285.OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Simplex: Z R S2 S3 P Z R S4 S3 P S1=0 S4=O Z R P 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 S1 S2 0 21.20 0 -0.43 0 -0. INTER.7 0 -1. 0 -60.19 7.57 1.15 0.1 .14 0 -1. 0 1413.19 0.43 4.29 2. INTER.71 16.57 -1 0 7.57 7.43 0 0. INTER.15 -0.9 0 4.19 7.OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Simplex: Z R S2 S3 P Z R S4 S3 P S1=0 S4=O Z R P 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 S1 S2 0 21.57 1.14 1 0 S1=0 S2=O Z R P 1 0 0 1 0 0 0 0 S1 S2 S3 0 10.11 1 1.13 0 0.43 0 -0.29 2.89 1 2.73 0 1 6 6 S4 0 0 0 1 SOL.71 1285.57 7.71 16.11 .43 0 0.14 0 -1.11 0 4. INTER.87 0 -0.20 S3 0 0 1 0 0 S4 SOL.15 0.43 4.7 0 -1. 0 1413.57 -1 0 7. 0 -60.19 0.20 0 -0. 11 0 0 3.71 16.87 0 -0.14 1 0 S3 Z R S2 S3 P S1=0 S4=O Z R P 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 S4 SOL. 0 0 1413.19 -0. 0 -60.11 1 0 4.43 0 -0.15 0.11 1 1.89 0 0 1 0 0 .14 0 -1. INTER.43 4.7 0 -1.OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Simplex: S1 S2 0 21.57 1.13 S4 SOL.57 7.20 1 0.20 0 -0.15 -0.43 0 0.57 -1 0 7.89 0 1 2.73 0 1 6 6 Z R S4 S3 P S1=0 S2=O Z R P 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 S1 S2 S3 0 10.9 0 0 4.19 0.29 2.19 7. INTER.13 0 0.71 1285. OPTIMIZACION RESTRINGIDA Método Simplex: Z R S4 S3 P S1=0 S2=O Z R P 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 S1 S2 S3 0 10.89 0 1 2.9 0 0 4.19 7.89 P (3) 10 (2) € € € 7 € (4) 6 € € € (1) 8 9 11 Solución Unica € € R € € € CLASE 7 .20 0 -0.87 0 -0.11 0 0 3.15 0.19 0.13 0 0.13 S4 SOL. INTER.20 1 0.19 -0. 0 0 1413.11 1 0 4.15 -0.VAC .