UNADMLICENCIATURA EN MATEMÁTICAS Análisis matemático II Aproximación de funciones continúas. Evidencia de aprendizaje: Aproximación de funciones continuas Alumno: Claudio Ramón Rodríguez Mondragón. Matrícula: AL13503064 Evidencia de aprendizaje. Aproximación de funciones continuas Instrucciones: resuelve correctamente lo que se solicita en cada ejercicio. 1. Prueba que, si a1 ≥⋯ ≥ an ≥⋯ ,y ∑ an converge, entonces lim n an=0 n →∞ Tenemos que tratar y analizar a sucesiones y a series: Para: a1 ≥⋯ ≥ an ≥⋯ , Notamos que los elementos de la sucesión: a1 , a2 , a3 ,… , a n Y como están ordenados: an ≥ an+ 1 n ∈ N Con lo que deducimos que la citada es una sucesión monótona decreciente, una sucesión monótona decreciente es una sucesión no creciente, por eso, en su serie: ∞ ∑ a n converge n=1 Una sucesión monótona decreciente puede tener algunos o incluso todos sus términos iguales; por eso, de forma equivalente, se la llama sucesión no creciente. Y para la serie: Son los elementos que componen a la serie: ∞ ∑ a n=a 1+ a2+ a3 +…+ an n=1 Analizando para: lim n an=0 n∈ N por lotanto :n=constante . n →∞ Lo podemos reescribir como: ( n ) lim an=0 n →∞ Porque: lim n an= lim n lim an =n lim an n →∞ ( n→∞ )( n→ ∞ ) n →∞ El límite de una constante, es la misma constante. Entonces: Por hipótesis. para la sucesión: 1 1 1 1 an =n an=n m = −1 = m −1 m n n n n ( ) ( )( ) Entonces: 1 an = m−1 para m> 0 n Entonces. es monótona y es convergente. Entonces para: lim n an=n lim an n →∞ n→ ∞ Tenemos que: lim n an=n lim an=n ( 0 )=0 n →∞ n→ ∞ Puesto que an está acotada. Para sucesión monótonas convergentes. corresponden al modelo: 1 an = m para m> 1 n Ahora. tenemos que a1 ≥⋯ ≥ an ≥⋯ Concluimos que: an >0 Para Si es una sucesión monótona decreciente. se demuestra que: lim n an= lim n →∞ n→ ∞ 1 n m −1 =0 para m>0 an a1 . si La sucesión está acotada tanto inferiormente como superiormente por La sucesión al ser decreciente y acotada. an <0 Análogamente para an =an +1 Inclusive. esta está acotada superiormente por: Y esta sucesión está acotada inferiormente por 0. esta es convergente. Entonces para: y n=( x 1 ) ( x 2 )( x 3 ) ( x 4 ) … ( x n−1 ) ( x n ) Y sabemos que: x n> 0 todoslos terminos son positivos: Entonces: y y lim n+1 =lim n+1 yn n →∞ n → ∞ yn | | También: Entonces: lim √n |an|=lim √n |x n|=lim √n x n n →∞ n →∞ n →∞ Entonces: y ( x 1 )( x2 ) ( x 3 ) ( x 4 ) … ( x n−1 )( x n ) ( x n+1 ) lim n +1 = lim n →∞ y n n→ ∞ ( x1 ) ( x 2 ) ( x3 ) ( x 4 ) … ( x n−1 ) ( x n ) Entonces: y lim n +1 = lim x n +1 n →∞ y n n→ ∞ Para valores muy grandes de lim xn =lim xn +1=L n →∞ n →∞ Por hipótesis del problema: lim xn =a n →∞ n los límites convergen al mismo valor: . tal que lim x n=a . que es equivalente al criterio de la raíz. demuestra que el lim √n x 1 x 2 ⋯ x n=a . Tomando en cuenta el teorema: Aplicaremos el teorema de la media geométrica.2. Dada una sucesión de números positivos xn . reuniendo la información tenemos que: n→∞ Puesto que x n> 0 n→∞ 1 n (( ) ) n 1 ( ) n lim √ x 1 x 2 ⋯ x n=lim ( y n ) n =lim ∏ xk k=1 entonces también 1 =lim ( x 1 ∙ x 2 ∙ x 3 ∙ … ∙ x n ) n n→∞ a>0 son todos positivos. por propiedades de límites: lim ( ln ( x n ) ) =ln ( a ) n →∞ En la parte izquierda. es un operador matemático que representa una multiplicación. como sabemos que: a lim n+1 = lim √n |a n|=L n →∞ a n n→ ∞ | | Implica que: n lim n (∑ ) (∏ ) n →∞ k =1 xn =lim n n→∞ Entonces: k=1 1 n x k =L . introducimos el concepto de límite de media aritmética: n ln ( xn ) lim ∑ =ln ( a ) n n →∞ k=1 Ahora. también conocido como multiplicatoria o simplemente producto. Ahora introduciendo logaritmos: ln lim xn =ln ( a ) ( ) n →∞ Entonces. Entonces: n y n= ∏ x k k=1 Ahora.Entonces: lim xn +1=a n →∞ Asignamos a la serie de multiplicativa: El operador productorio o productoria. cualquiera se estas. Suponiendo que la serie: ∞ ∑ an n=1 Sea absolutamente convergente. si y sólo si. el conjunto de todas an las sumas finitas formadas con los términos está acotado. por la propiedad continuidad y biyectiva del logaritmo natural. con notación se series tenemos que: . tenemos entonces que cualquier suma finita: S 1=a 1 S 2=a 1+ a2 S 3=a1+ a2 +a3 S 4 =a1 +a 2+ a3+ a4 ⋮ S n=a1+ a2 +a3 + a4 +a 5+ …+a n Donde. Si una serie el absolutamente convergente nos dice que la serie de los valores absolutos es convergente. entonces: n lim n →∞ ( ) 1 ∏ x k n =a k=1 Lo que nos implica que: lim √n x 1 ∙ x 2 ∙ x 3 ∙ … ∙ x n=a n →∞ 3. Prueba que una serie es absolutamente convergente. es menor de p y mayor que −q : −q< Sn < p Ahora.n lim ∑ n →∞ k=1 ( ((∏ ) )) ln ( xn ) = lim ln n n→ ∞ n k=1 xk 1 n =ln ( a ) Ahora. p ] . si las sumas finitas de términos an an . en particular. y por lo tanto: ∞ ∑ an n=1 Converge absolutamente. y son convergentes. podemos tomar: Sea: an ≥ 0 Una serie es absolutamente convergente si: ∞ ∑|an|converge n=1 [ −q . respectivamente. forman un conjunto acotado. las sumas parciales de las series: ∞ ∞ n=1 n=1 p=∑ p n y q=∑ q n Están acotadas. parte positiva y negativa de Ahora. recíprocamente. Con esto tenemos que cualquier conjunto finito que tomemos tendrá unos elementos positivos y otros negativos. Otro punto de vista: Al sumar todos los términos positivos se tiene que la suma de toda la serie es un número finito. ese número finito tiene la parte de la suma de los términos positivos y la parte igual al valor absoluto de la suma de los negativos.∞ p=∑ p n n=1 Y también: ∞ q=∑ q n n=1 Los número pn y qn se llaman. entonces. Luego tanto la serie de los positivos como la de los negativos son convergentes y acotadas. La suma de los positivos está acotada por p y la de los negativos también por −q entonces la diferencia también estará acotada. estará en el intervalo: Ahora. como lo analizamos en el anterior renglón. En otro análisis: Sea {Sn } el conjunto de las sumas finitas o parciales de la serie: ∞ ∑ an n=1 Donde {Sn } está acotada. .Entonces: ∞ ∑ a n converge n=1 Supongamos que ∞ ∞ n=1 n=1 ∑|an|converge entonces ∑ a n converge Sean el conjunto de las sumas finitas: S 1=a 1 S 2=a 1+ a2 ⋮ S n=a1+ a2 +…+ an Como las series convergen para: {Sn } Entonces: lim S n=L n →∞ Por lo tanto: S n converge Además como toda sucesión convergente está acotada. entonces el conjunto de las sumas finitas con los términos: an La sucesión Sn está acotado. si ∑ an es convergente y an ≥ 0 para todo serie: ∑ a n xn Es absolutamente convergente para todo x ∈[−1. S n+1 ≥ S n ∀ n ∈ N Y como toda serie monótona creciente y acotada es convergente. entonces la . estos son de valor absoluto. son mayores a los antecesores. { Sn } es convergente Por lo tanto: ∞ ∑ a n es convergente n=1 Como los términos an Son todos positivos o cero. así pues: ∞ ∞ n=1 n=1 ∑ a n=∑|an| Por lo tanto: ∞ ∑|an|converge n=1 Entonces: ∞ ∑ a n es absolutamente convergente n=1 4.Como: an ≥ 0 Las series {Sn } Será monótona creciente pues tendríamos que todos los términos sucesores. Demuestra que. y las series: n ∈ N . 1] . por hipótesis del problema.1 ] Puesto que cualquier x en ese acotamiento elevado a un exponente entero positivo será menor igual de 1.∑ a n sen( nx) ∑ a n cos (nx ) Son absolutamente convergentes para todo x∈R . Entonces: |x n| para x ∈ [ −1. Primero.1 ]|x n|≤1 Al hacer la multiplicación de los dos factores: an|x n|≤1 Si hacemos una comparación de series: n . Analizando: |x n| para x ∈ [ −1. analizando: ∞ ∑ an xn n=1 Donde: ∞ ∞ ∑|an x |=∑|a n||x n| n n=1 n=1 Por propiedades de valor absoluto: Por hipótesis del problema tenemos que: an ≥ 0 Entonces: ∞ ∞ n=1 n=1 ∑|an||x n|=∑ an|x n| Puesto que todos los an son positivos. an|x n|≤ an Entonces. al aplicar el valor absoluto que: ∞ ∑ a n x n converge absolutamente n=1 Analizando para: ∞ ∑ a n sen ( nx ) n=1 Sabeos que por hipótesis del problema. todos los an |a n|=a n ≥ 0 Entonces sabemos por la hipótesis del problema que: ∞ ∞ n=1 n=1 ∑ a n=∑|an|converge Los valores para: sen ( nx ) En el intervalo [ −1.1 ] Tenemos que: −1 ≤ sen ( nx ) ≤1 Esto para: ∀ n∈ N Y para: ∀ x ∈R son positivos: .an|x n|≤|an| Que es lo mismo. como sabemos por la hipótesis del problema que: ∞ ∞ n=1 n=1 ∑ a n=∑|an|converge Por lo tanto: ∞ ∞ n=1 n=1 ∑ a n|x n|=∑|a n x n|converge Por lo que podemos indicar. al aplicar valor absoluto para: |sen ( nx )| Ahora: 0 ≤|sen ( nx )|≤ 1 Esto para: ∀ n∈ N Y para: ∀ x ∈R Aseguramos que: |sen ( nx )|≤ 1 Ahora adicionando el factor an por lo tanto: |a n sen ( nx )|=|an||sen ( nx )| Aplicando el valor absoluto y al saber que an ≥ 0 esto es: an|sen ( nx )| Ahora. aplicamos un criterio de comparación: an|sen ( nx )|≤|an| Que es lo mismo que: an|sen ( nx )|≤ a n Sabemos que: an|sen ( nx )|≤|an| Y con lo que hacemos la operación correspondiente: a |sen ( nx )|≤ n an Resolviendo: Por lo tanto: |sen ( nx )|≤ 1 Y sabiendo que: ∞ ∞ n=1 n=1 ∑ a n=∑|an|converge Entonces: .Entonces. ∞ ∑|an||sen ( nx )|converge n=1 Y si aplicamos los valores absolutos: ∞ ∑ a n sen ( nx ) converge absolutamente n=1 De manera análoga: Analizando para: ∞ ∑ a n cos ( nx ) n=1 Sabeos que por hipótesis del problema. al aplicar valor absoluto para: |cos ( nx )| Ahora: 0 ≤|cos ( nx )|≤1 son positivos: . todos los an |a n|=a n ≥ 0 Entonces sabemos por la hipótesis del problema que: ∞ ∞ n=1 n=1 ∑ a n=∑|an|converge Los valores para: cos ( nx ) En el intervalo [ −1.1 ] Tenemos que: −1 ≤ cos ( nx ) ≤ 1 Esto para: ∀ n∈ N Y para: ∀ x ∈R Entonces. Esto para: ∀ n∈ N Y para: ∀ x ∈R Aseguramos que: |cos ( nx )|≤ 1 Ahora adicionando el factor an por lo tanto: |a n cos ( nx )|=|a n||cos ( nx )| Aplicando el valor absoluto y al saber que an ≥ 0 esto es: an|cos ( nx )| Ahora. aplicamos un criterio de comparación: an|cos ( nx )|≤|a n| Que es lo mismo que: an|cos ( nx )|≤ an Sabemos que: an|cos ( nx )|≤|a n| Y con lo que hacemos la operación correspondiente: a |cos ( nx )|≤ n an Resolviendo: Por lo tanto: |cos ( nx )|≤ 1 Y sabiendo que: ∞ ∞ n=1 n=1 ∑ a n=∑|an|converge Entonces: ∞ ∑|an||cos ( nx )|converge n=1 Y si aplicamos los valores absolutos: . 005 (i.e.1 ] 2 | | El valor máximo de la función es de valor absoluto.. para: 1 f ( x )= x− para [ 0. Considera la función | 12| f ( x)= x − definida en el intervalo [0. x) .005 Ahora: 2 ε=0. estima el grado del polinomio de Bernstein necesario para tener una diferencia no mayor a 0.0025 1 2 por las propiedades de desplazamiento de las funciones . Entonces. se encontró la siguiente desigualdad: n≥ M 2 δ2 ε Entonces: |Bn ( f .005 Entonces: ε =0.1] . Revisando la demostración hecha en el documento de la Actividad 3.∞ ∑ a n cos ( nx ) converge absolutamente n=1 5. de un 1%) entre la función f y el polinomio B n (f . Revisando el documento. a. 1 M= 2 Entonces para la diferencia: 2 ε <0. x ) −f ( x )|≤2 ε Donde M es la cota de la función. Maple es de paga. con el grado encontrado en el inciso anterior (a). Para C++. y no hay trial. x) . para poder observar el comportamiento del polinomio de Bernstein.0025 entonces para una función uniformemente continua: Entonces: δ=ε De donde: 0<|x− x0|< δ Entonces: 1 1 x− − x 0− =|x−x 0|< δ=ε 2 2 | )| ( Por lo tanto: δ=0. b. si ε =0. al menos no le encontré. no corrió el script que encontré y modifiqué. calcula el polinomio n B n (f . en una Texas Instruments TINspireCAS en Ipad: .Así pues.0025 ) Entonces: n ≥16 000000 El grado de este polinomio es totalmente incalculable. en Matlab (Octave en versión libre) las paqueterías no son compatibles.0025 Sustituyendo en la desigualdad: n≥ M 2 δ2 ε Por lo que: n≥ ( 12 ) 2 ( 0. pero se suele aproximar. Usando Maple (o Mathematica).0025 )2 ( 0. todas son compradas. Buscando una aplicación indicada. y dibuja la función y el polinomio en una misma gráfica. a un grado lo suficientemente grande. entonces. realicé el desarrollo en base al modelo de aproximación del polinomio de Bernstein. . ya no entra en la pantalla de la Ipad.1 ] . ya no entra en la pantalla de la Ipad.El desarrollo del polinomio de grado 20. pero es: 20 19 18 17 16 15 14 13 12 −4682 x +48620 x −217360 x +570570 x −969969 x +1108536 x −852720 x + 426360 x −125970 x +167 El desarrollo del polinomio de grado 25. pero es: −58786 x 20 +705432 x 23−3863080 x22 +1274816 x 21−28180152 x 20+ 43835792 x 19−48992944 x18 +39369330 x 17 −22 La grafica de los polinomios que se aproximan a la función dada en el intervalo [ 0. se va acercando al vértice de la función valor absoluto. este se aproxima a la función.Según aumenta el grado del polinomio. Se enlista los polinomios según el grado y según el color que lo identifica: . se nota como el mínimo local. .Gracias.