Apuntes de Máquinas EléctricasMAGNETISMO Y ELECTROMAGNETISMO Página 1 Apuntes de Máquinas Eléctricas MAGNETISMO Y ELECTROMAGNETISMO 1.- Introducción En los circuitos eléctricos, la conexión existente entre los elementos pasivos, se realiza por medio de materiales conductores que obligan a que la corriente eléctrica siga determinados recorridos, obedeciendo a las leyes de Kirchhoff Cuando se trata de estudiar máquinas eléctricas, electroimanes y otros dispositivos electromagnéticos, se plantea un problema similar: canalizar y concentrar – incluso reforzar- las densidades de flujo magnético, en las regiones donde se necesita, lo cual se logrará usando materiales ferromagnéticos –que estudiaremos más en detalle posteriormente-. Un circuito magnético, está formado generalmente por una estructura de hierro, sobre la que se arrolla una o más bobinas por las que circulan corrientes que dan lugar a los flujos que aparecen en el sistema. Con respecto al cálculo riguroso de los flujos magnéticos producidos en los circuitos magnéticos es complicado. Habría que emplear las ecuaciones de Maxwell o técnicas numéricas (métodos de elementos finitos – M.E.F.) y ayudarnos incluso de un ordenador. Pero sin embargo, como veremos en el apartado séptimo, vamos a definir las leyes de los circuitos magnéticos que permiten resolver el problema de una forma aproximada, la cual en la mayor parte de las ocasiones es suficiente para las aplicaciones que se dan en Electrotecnia. Posteriormente, en el octavo punto, se estudiará el comportamiento de un circuito magnético, particularizando ese comportamiento en los materiales ferromagnéticos. Y por último, se estudiarán las pérdidas de energía en el núcleo ferromagnético, calculándose las expresiones de las pérdidas en el hierro por histéresis y por corriente de Foucault, dando algunas ideas constructivas sobre las chapas magnéticas. Página 2 Apuntes de Máquinas Eléctricas En primer lugar haremos un amplio repaso de las principales magnitudes y principios de magnetismo y electromagnetismo. 2.- Magnetismo La palabra magnetismo deriva del nombre “Magnesia”, una región de Asia Menor con ricos yacimientos de magnetita (Fe 3 O 4 ). Fue descubierto hace más de 2000 años por los griegos, al observar que los trozos de este mineral, las piedras imán, atraían al hierro. La magnetita es un imán natural y su propiedad de atraer los objetos de hierro se denomina magnetismo. Aunque podemos encontrar en la naturaleza, otros materiales como el cobalto y el níquel, que tienen un comportamiento similar al hierro. A estos materiales se les denomina ferromagnéticos. Cuando estos trozos de mineral eran suspendidos de un hilo se orientaban según la línea norte-sur, dando lugar a la brújula magnética. Se conoce que en China, durante el siglo X, era empleada como ayuda a la navegación, aunque existen indicios de que los mismos chinos y los vikingos empezaron a usarla en el siglo VI. En el siglo XVII William Gilbert (1540-1603), llevó a cabo estudios sobre las características de los imanes y observó que la máxima atracción ejercida por los imanes sobre trozos de hierro se producía en los llamados "polos de imán" y que si se partían se volvían a obtener dos polos. Tras realizar estudios con esferas de magnetita, llegó a la conclusión de que la tierra se comportaba como un imán gigantesco con sus polos situados cerca de los polos norte y sur geográficos. Al polo de la aguja magnética que queda orientado hacia el norte geográfico se denomina polo norte magnético del imán, y al otro, polo sur magnético. Posteriormente, se descubrió que no sólo los imanes tienen efectos magnéticos. En el siglo XIX Oersted (1820), desmostó la existencia de un campo magnético alrededor de todo conductor por el que circulaba una corriente eléctrica, al observar la desviación de una aguja imantada al ser colocada en dirección perpendicular a un conductor eléctrico, por el que circula una corriente eléctrica. Posteriormente se desarrolló la teoría magnética, con las leyes de Faraday, Ampére y Lenz. Página 3 Maxwell. Más tarde se vio que el movimiento de un imán acercándose o alejándose del circuito produce corrientes instantáneas. 2. los trozos siguen teniendo dos polos. Los artificiales se clasifican en: a) imanes temporales que mantienen sus propiedades magnéticas sólo cuando está sometido a la acción de un campo magnético (hierro dulce) y b) imanes permanentes que mantienen sus propiedades durante largo tiempo (acero y aleaciones). 2.. los cuales son creados por el hombre. Es decir. Por otro lado Faraday observa que en un circuito se produce una corriente instantánea cuando en otro circuito próximo se establece o se interrumpe una corriente. y de repulsión cuando son iguales. y una zona neutra que los une. cobalto y níquel). • • • No es posible obtener polos aislados (monopolos). Los imanes pueden ser naturales (magnetita) o artificiales. Como consecuencia de ambas observaciones. estableció la teoría del electromagnetismo. relacionando la electricidad y el magnetismo.2. Los imanes ejercer fuerzas de atracción entre sí cuando los polos son opuestos. Atraen a los materiales ferromagnéticos (hierro.. definieron respectivamente que “el movimiento de cargas eléctricas puede producir efectos magnéticos” (Oersted) y “que pueden obtenerse corrientes eléctricas por el movimiento de imanes” (Faraday) Página 4 . si se rompe un imán.Características elementales de los imanes Las características elementales de los imanes son: • Cada imán posee dos polos magnéticos próximos a los extremos (Norte y Sur) independientemente de la forma que tenga.1.Relación entre los fenómenos eléctricos y magnéticos Oersted observa que un imán que puede girar alrededor de un eje (una aguja magnética) se desvía al encontrarse en la proximidad de un hilo conductor que transporta una corriente.Apuntes de Máquinas Eléctricas En el 1865. la dirección en que ha de moverse una carga -Se define como dirección de 𝐵 desvíe.. inducción magnética o densidad de flujo. Supongamos que esto ocurre cuando. que lanza electrones con una velocidad controlable. que se designa por la letra 𝐵 definida. Para la determinación del campo magnético. De dicho experimento se observa que: �⃗ motiva que el haz de electrones se -La existencia de un campo magnético 𝐵 �⃗.Campos magnéticos Como hemos comentados anteriormente. que un campo magnético ejerce una fuerza sobre una carga que se mueve a través de él. una pantalla fluorescente. es decir. 3. Relación entre la fuerza. consideramos la consideración opuesta.Definición El campo magnético. 𝐵 z ⃗ 𝐹 x 𝑣 ⃗ �⃗ 𝐵 y Figura 1. para que quede vectorial.Apuntes de Máquinas Eléctricas 3. �⃗ experimentalmente se realiza a partir de un tubo de rayos La determinación de 𝐵 catódicos que consta de: cañón electrónico. Página 5 . además de la fuerza electrostática. en la figura 1. Por lo tanto decimos que en un punto del espacio existe un campo magnético si. para que el campo magnético no ejerza fuerza sobre ella. coincidente con la dirección de �⃗. que señala la incidencia del haz de electrones.1. una carga móvil crea en el espacio que le rodea un campo magnético (Oersted).. es una magnitud �⃗ . y. Al ser una magnitud vectorial. la 𝑣 ⃗ tiene la dirección del eje Oy. además de su módulo. se ejerce una fuerza sobre una carga móvil que pasa por dicho punto. velocidad y campo magnético. hay que indicar su dirección y sentido. siendo su módulo proporcional a valor de la carga y a 𝑣 · es perpendicular a 𝑣 ⃗ y 𝐵 z ⃗ 𝐹 x 𝑣 ⃗ 𝛼 �⃗ 𝐵 -Consideremos que emitimos iones positivos a una velocidad 𝑣 ⃗ no perpendicular y Figura 2.Apuntes de Máquinas Eléctricas -Cuando la velocidad de la carga móvil es perpendicular al campo magnético. tal como en la figura 1. 3. 𝑣 · 𝑠𝑒𝑛𝛼 . �⃗. fuerza que actúa sobre la carga es perpendicular a 𝑣 ⃗ y 𝐵 �⃗ -figura 2-.Líneas de campo magnético Del mismo modo que el campo eléctrico E puede representarse mediante líneas de campo eléctrico. Relación entre la fuerza. también el campo magnético B puede ser representado mediante líneas de campo magnético. velocidad y campo magnético. +q móvil. como la constante de proporcionalidad entre F y Se define el módulo de 𝐵 𝐵 = 𝑞·𝑣·𝑠𝑒𝑛𝛼 → 𝐹 = 𝑞 · 𝑣 · 𝐵 · 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝐹 -La fuerza ejercida sobre una carga positiva es opuesta a la ejercida sobre una �⃗.2. no es medible. con velocidad y campo no perpendiculares. es igual al número de líneas del campo por unidad de superficie normal a su dirección. la �⃗. su módulo. a 𝐵 𝑠𝑒𝑛𝛼 . Se observa que la fuerza 𝐹 ⃗ que actúa sobre la carga positiva.. En ambos casos. como Dado que el sentido de𝐵 ⃗ = 𝑞 · 𝑣 �⃗ 𝐹 ⃗ ∧ 𝐵 Su dirección es tangente en cada punto de dichas líneas y. es decir �⃗. la dirección del campo viene indicada por Página 6 . negativa para valores fijos de 𝑣 ⃗ y 𝐵 aquél sentido que cumpla la relación �⃗. definiremos el sentido del 𝐵 �⃗. Página 7 . Como los polos magnéticos aislados aparentemente no existen. y el valor del campo magnético en los dientes de una máquina eléctrica es de 1.g.3. El valor del campo magnético terrestre. Existen. Línea de campo magnético en una barra imanada. dos importantes diferencias entre líneas del campo eléctrico y líneas de campo magnético: a) Las líneas de campo eléctrico poseen la dirección de la fuerza eléctrica sobre la carga positiva. b) Las líneas de campo eléctrico comienzan en las cargas positivas y terminan en las cargas negativas. y la magnitud del campo por su densidad. 1 𝐺 ≡ 10−4 𝑇. la unidad de inducción magnética es el gauss (G).5 a 2 T. las líneas de campo magnético forman circuitos cerrados. en nuestro caso se visualiza dichas líneas gracias al uso de limaduras de hierro. Figura 3. no hay puntos en el espacio donde las líneas de campo magnético comiencen o terminen. En la figura 3 se muestra las líneas de campo. tanto dentro como fuera de una barra imanada.. 3. sin embargo..Unidades Su unidad en el sistema internacional es el Tesla (T). en honor a Nikola Tesla.s. El campo más intenso que probablemente encontremos en nuestra vida cotidiana será aproximadamente de 1 T. mientras que las líneas de campo magnético son perpendiculares a la fuerza magnética sobre una carga móvil.Apuntes de Máquinas Eléctricas la dirección de las líneas de campo. es de unas décimas de gauss. 1T = 1 N· s N =1 C· m A· m En el sistema cegesimal o c. es el weber/m2. la equivalencia entre ambas es. designada es el maxwell. En este caso la expresión del flujo será: ⃗ · 𝑐𝑜𝑠𝛼 �⃗ · ����⃗ �⃗ · 𝑆 𝜙 = ∫ 𝐵 𝑑𝑠 = 𝐵 Página 8 �⃗ · ����⃗ 𝜙 = ∫ 𝐵 𝑑𝑠 . Partiendo de este concepto el flujo magnético está representado por líneas de fuerza magnética. siendo las líneas de campo curvas cerradas. En el sistema internacional se usa una unidad mayor. Igualmente podemos indicar que en los campos magnéticos no se pueden definir un punto origen o destino.I. La expresión elemental del flujo viene determinado por la siguiente expresión: �⃗ · ����⃗ 𝑑𝜙 = 𝐵 𝑑𝑠 La expresión a través de una superficie S: Esta integral. En este capítulo y normalmente en aquellos referentes a máquinas se limitan al caso más simple: la superficie de referencia será plana.Flujo magnético Por tanto. 1 Wb = 108 maxwell (Mx). el cual es equivalente a 104 gauss. El número de líneas de fuerza que pasan perpendicularmente por un área de 1 cm2 se denomina densidad de flujo (B) y se mide en gauss (1 gauss= 1 maxwells/cm2). es decir. el weber.Apuntes de Máquinas Eléctricas . La unidad de flujo magnético es una sola línea de fuerza.La unidad de densidad de flujo en el S. denominada de superficie. El número total de líneas de fuerza creadas por un campo magnético se llama flujo magnético (φ). 1Wb = 1T· m 2 = 1 m 2· kg N· m = 1V· s = 1 2 s ·A A también se define el weber diciendo que éste es equivalente al flujo magnético que al atravesar un circuito de una sola espira produce en la misma una fuerza electromotriz de 1 voltio si se anula dicho flujo en 1 segundo por decrecimiento uniforme. tiene una resolución compleja. y el campo magnético será uniforme en toda la superficie. las líneas de campo magnético son curvas que en cada punto son tangentes al campo magnético que tengamos en cada punto. �⃗ es originado por cargas en movimiento. que la interacción magnética se produce únicamente entre cargas en movimiento. también el Del mismo modo que 𝐵 𝜙 2300 = = 0.s.000 maxwells (líneas) Solución: Con unidades del c.. si el flujo total en la región es de 15. Supongamos una partícula de carga q que se mueve con velocidad 𝑣 ⃗ en una zona �⃗ . que nos dice que “la fuerza magnética sobre una carga puntual en movimiento es igual a su carga multiplicada por el producto vectorial Página 9 . por tanto.I. por lo tanto ����⃗ = 0 → ∇ · 𝐵 �⃗ · 𝑑𝑠 �⃗ = 0 𝜙 = ∮ 𝐵 𝑆 En definitiva el flujo entrante a través de cualquier superficie cerrada es igual al flujo saliente.45 5.g. Ley de Lorentz. 𝐵 = 𝜙 15000 = = 2330 𝑔𝑎𝑢𝑠𝑠 𝑆 6. La fuerza magnética que sufre dicha partícula en la que existe un campo magnético 𝐵 viene dada por la ley de Lorentz.Apuntes de Máquinas Eléctricas La ley de Gauss del magnetismo nos dice que como en el campo magnético las líneas de campo son cerradas. cuya área es 6.23 𝑤𝑒𝑏𝑒𝑟/𝑚2 𝑆 10000 campo magnético produce efectos sólo sobre aquellas cargas que estén movimiento.Fuerza sobre una carga en movimiento. el flujo del campo magnético a través de una superficie cerrada es nulo. 𝐵 = En unidades del S.45 cm2. Podemos decir. � 𝜕𝑥𝑥 + 𝜕𝐵 𝜕𝐵𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕𝐵𝑧 𝜕𝑧 �=0 Ejercicio de aplicación 1 Calcula la densidad de flujo en la bobina de un altavoz. puede obtenerse a partir de la siguiente ecuación. Normalmente usaremos sistemas de referencia en reposo. = 𝐶·𝑠 = 𝑇 (𝑇𝑒𝑠𝑙𝑎) 𝑘𝑔 la ley general de Lorentz. Página 10 . según la expresión �⃗ ). En alguna bibliografía aparece referenciada ⃗𝑚𝑎𝑔 . A partir de esta ecuación podemos definir la magnitud del campo magnético de la siguiente forma. nosotros utilizaremos 𝐹 ⃗. 𝐹 = |𝑞 | · 𝑣 · 𝐵 · 𝑠𝑒𝑛𝛼 �⃗ ⃗ = 𝑞 · 𝑣 𝐹 ⃗ ∧ 𝐵 z ⃗ 𝐹 x 𝑣 ⃗ �⃗ 𝐵 y Figura Fuerza que sufre una carga en movimiento dentro de un campo magnético.Apuntes de Máquinas Eléctricas de su velocidad por el campo magnético”. la fuerza magnética como 𝐹 el valor en módulo de la fuerza (F). La acción conjunta de ambos originará una fuerza que vendrá dada por magnéticos (𝐵 ⃗ = 𝐹 ⃗𝑒 + 𝐹 ⃗𝑚 = 𝑞 · 𝐸 �⃗ + 𝑞 · 𝑣 �⃗ = 𝑞 · �𝐸 �⃗ + 𝑣 �⃗ � 𝐹 ⃗ ∧ 𝐵 ⃗ ∧ 𝐵 �⃗ ) y En general sobre una partícula cargada actuarán campos eléctricos (𝐸 Hablamos entonces de fuerza electromagnética. La separación entre los términos eléctrico y magnético es algo relativo. ya que esta interacción depende del sistema de referencia usado para medir. N=C·m·s-1·[B]. y despejando el campo magnético tendremos que: [𝐵 ] = 𝐶 ·𝑚 𝑁·𝑠 como ya definimos antes. ⃗ = 𝑛 · 𝐹 ⃗𝑞 = 𝑛 · 𝑞 · 𝑣 �⃗ = 𝚥 �⃗ 𝑓 ⃗ ∧ 𝐵 ⃗ ∧ 𝐵 ⃗). se están ejerciendo fuerzas sobre las cargas móviles situadas dentro del conductor. donde 𝑢 �⃗⊺ es el vector tangente al hilo conductor (caso de considerar un conductor filiforme) Supongamos una partícula cargada q que entra en una zona en la que hay un 5.1.. La fuerza que corriente I. colocado en el interior de un campo magnético uniforme 𝐵 �����⃗ = 𝑓 ⃗ · 𝑣𝑜𝑙 = 𝚥 �⃗ · 𝑆 · 𝑑𝑙 = 𝑆 · 𝚥 �⃗ · 𝑑𝑙 𝑑𝐹 ⃗ ∧ 𝐵 ⃗ ∧ 𝐵 Página 11 .Fuerza sobre un elemento de corriente. Fuerza sobre un elemento de corriente positivo.Fuerza sobre un elemento de corriente ⃗𝑞 ) que actúa sobre un portador de carga sería La fuerza (𝐹 ⃗𝑞 = 𝑞 · 𝑣 �⃗ 𝐹 ⃗ ∧ 𝐵 +𝑞 ⃗ 𝑑𝑙 + �⃗ 𝐵 ⃗ 𝐹 𝑣 ⃗ 𝑢 �⃗⊺ Figura 7. Estas fuerzas se transmiten a la materia que constituye el conductor y éste experimenta una fuerza distribuida a lo largo de él.1.Apuntes de Máquinas Eléctricas 5. segunda ley de Laplace Cuando un conductor que transporta corriente se encuentra en un campo magnético. La fuerza que actúa sobre el elemento de corriente. donde n es el número de portadores de La fuerza por unidad de volumen (𝑓 sabiendo que 𝐼 = 𝑆 · 𝑗.2.. y 𝚥 ⃗. carga por unidad de volumen.1.1.Fuerza sobre un conductor filiforme Supongamos un hilo conductor rectilíneo por el que circula una intensidad de �⃗.. es la densidad de corriente. y haciendo 𝚥 ⃗ = 𝑗 · 𝑢 �⃗⊺ . 5. exactamente kmo = = 4𝜋 · 𝜇 �⃗∧𝑢 �⃗𝑟 𝑞 ·𝑣 𝑟 2 µ0 T· m Wb = 10− 7 = 10− 7 4· π A A· m Página 12 . que se corresponde por la longitud de El vector 𝐿 6. ⃗ 𝑑𝑙 ⃗ 𝑑𝐹 nuestro conductor. del movimiento de las cargas (de la corriente) por el conductor.Apuntes de Máquinas Eléctricas sufrirá el cable dependerá de la intensidad del campo.. �⃗ creado por una carga en movimiento: a) 𝐵 𝐵 = 𝑘𝑚 · �⃗∧𝑢 �⃗𝑟 𝑞 ·𝑣 𝑟 2 donde k m es una constante magnética que vale. 𝐹 = 𝐼 · 𝐿 · 𝐵 · 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝐼 �⃗ 𝐵 Figura 8. Fuerza sobre hilos conductores de corriente. la definida por el conductor y un sentido. se utilizan para calcular el campo magnético producido por cualquier corriente eléctrica. Ahora vamos a estudiar el problema inverso: determinar el campo magnético creado por una o varias cargas móviles. Las expresiones de la ley de Biot-Savart (Baptiste Biot y Felix Savart). Por tanto: ⃗ = 𝐼 · 𝐿 �⃗ ∧ 𝐵 �⃗ 𝐹 el valor en módulo de la fuerza (F). una dirección. que lo da el paso de la corriente.Campos magnéticos creados por cargas Hasta ahora hemos determinado las fuerzas que actúan sobre las cargas en movimiento conocido el campo magnético. y del tamaño del cable –figura 8-. puede obtenerse a partir de la siguiente ecuación. �⃗ se caracteriza por: un módulo. y desmostaron que la intensidad de campo magnético disminuye en proporción inversa a la distancia del conductor. es la permitividad magnética del material. en un medio distinto del vacío: b) 𝐵 �⃗ producido por una corriente rectilínea a una distancia r c) Campo magnético 𝐵 𝐵 = 𝜇·𝐼 ·∫ 4𝜋 ����⃗ ∧𝑢 �⃗𝑟 𝑑𝑙 𝑟 2 Las líneas de campo magnético producidas por un conductor recto y largo forman círculos concéntricos sobre el conductor. último. La intensidad de campo magnético a una distancia r de un hilo conductor rectilíneo por el que circula una corriente I. Nótese que las líneas de campo son circunferencias situadas en un plano �⃗ es el de avance de un perpendicular al hilo conductor y con centro en él. �⃗ producido en una espira d) Campo magnético 𝐵 Página 13 .Apuntes de Máquinas Eléctricas en la ecuación (36) la µ. �⃗ creado por una corriente I. Campo generado por una corriente rectilínea. será 10-7 T·m·A-1. de Respecto al sentido del campo (𝐵 El campo es nulo en todos los puntos de la dirección de la velocidad (𝑣 ⃗ ). En el vacío se utilizará µ o . El sentido de 𝐵 sacacorchos que va con la corriente I. con centro en la dirección de 𝑣 ⃗. viene dada por la siguiente expresión: 𝐵 = 2·𝜋·𝑟 𝜇 ·𝐼 Figura 10. indicar que es dependiente de la carga. que es de 4π·10-7 T·m·A-1 y el valor de la constante magnética en el vacío (K m0 ). �⃗). y por Las líneas de campo son circunferencias situadas en planos perpendiculares 𝑣 ⃗ forma que el sentido del campo con una carga positiva es inverso al que tendría con una carga negativa. Apuntes de Máquinas Eléctricas Una espira es un conductor arrollado en forma circular. Si tenemos una espira de radio R por la que circula una corriente I. cuya longitud sea mucho mayor que el radio de la espira. La intensidad de campo en cualquier punto interior de un solenoide. Campo generado al circular una corriente por una espira �⃗ creado en el interior de un solenoide e) Campo magnético 𝐵 Un solenoide es una bobina de N espiras. ya que el campo generado por cada espira repele al de la espira siguiente. dada por: 𝐵 = 𝜇 · 𝐿 · 𝐼 �⃗ 𝛣 𝐼 𝑁 Figura 12.. viene. se b) Para calcular el campo 𝐵 ��������⃗ ����⃗ ����⃗ 𝐵 𝑇𝑜𝑡 = 𝐵1 + 𝐵2 + ⋯ aplicará el principio de superposición. 7. �⃗ producido por varias corrientes sobre un punto. Página 14 .Ley de Ampère El enunciado de la ley de Ampère nos dice que “la circulación de un campo magnético a lo largo de una línea de cerrada es igual al producto de µ o por la intensidad neta que atraviesa el área limitada por la trayectoria”. el campo en el centro de la espira viene dado por: 𝐵 = 2·𝑅 𝜇·𝐼 Figura 11. Campo magnético en el interior de un solenoide El campo magnético en el exterior de la bobina se considera nulo. Un conductor que porta corriente produce un campo magnético a su alrededor. si este campo atraviesa ésta (base del funcionamiento de un transformador).Un campo magnético variable con el tiempo induce un voltaje en una bobina. en el caso de la figura 15. 2º. y para su aplicación hay que considerar el sentido de la circulación. 1º. Esta fuerza viene definida por la siguiente expresión.Principios básicos de aplicación.. Existen cuatro principios básicos que describen como se utilizan los campos magnéticos en los motores.Apuntes de Máquinas Eléctricas Figura 1 Líneas de campo que atraviesan una línea cerrada. resultaría 1 ∮ 𝜇𝑜 𝐶 ���⃗ = 𝐼1 − 𝐼2 − 𝐼3 + 𝐼4 − 𝐼5 �⃗ · 𝑑𝑙 𝐵 8..Un conductor que porta corriente en presencia de un campo magnético experimenta una fuerza inducida sobre él (este es el principio de funcionamiento de un motor eléctrico). en el caso de la figura 14. Página 15 . La ley de Ampère es general. F = I· l ∧ B La dirección de la fuerza es perpendicular a la dirección del conductor o espira y al campo magnético. así.. e1 = − N1· dφ dt 3º. va hacia dentro. el sentido de la inducción magnética.. generadores y transformadores. y viene definido dicho valor por las leyes de Faraday y Lenz. es igual a µ o veces la intensidad de la corriente que corta al área de dicha curva ∫ C H ·d l = µ o ·I Página 16 . µ = µ o ·µ r b) El flujo magnético a través de una superficie viene dado por la siguiente expresión. dB = µ o I· dl ∧ r · 4π r3 Para determinar el sentido del campo magnético en un punto. se puede obtener el valor de permeabilidad a utilizar a partir de la permeabilidad relativa de dicho medio (µ r ) a partir de la siguiente expresión. Si el medio es distinto del vacío. dice que la circulación de un campo magnético a lo largo de una curva cerrada C.Un conductor que se mueve en presencia de un campo magnético tendrá un voltaje inducido en él (principio de funcionamiento de un generador).. se utiliza la regla de la mano derecha. ⃗ 𝑑𝑙 4º.Apuntes de Máquinas Eléctricas 𝐼 �⃗ 𝐵 ⃗ 𝑑𝐹 Figura 15. φ = ∫ B·d A A c) La ley de Ampère. Fuerza magnética sobre un conductor rectilíneo. Otras leyes que son interesantes recordar son: a) Ley de Biot y Savart. Dado un hilo conductor por el que circula una intensidad I. nos permite calcular el campo magnético creado por un elemento diferencial de ese conductor en un punto cualquiera del espacio. que es un coeficiente ��⃗ ) y adimensional que expresa la proporcionalidad entre la magnetización o imanación (𝑀 �⃗ ). paramagnéticos y ferromagnéticos –tabla 2- Página 17 . y depende del material). vale 4π·10-7 H/m.. está relacionada con los campos 𝐻 �⃗ y 𝑀 ��⃗ Como además la inducción magnética 𝐵 ��⃗ ) en un material determinado es directamente proporcional a la llamada imantación (𝑀 por. siendo esa constante de intensidad de campo magnético aplicado exteriormente (𝐻 proporcionalidad X m (susceptibilidad magnética. homogéneo e isótropo se definen en función del valor de la susceptibilidad magnética X m .Propiedades magnéticas de la materia Las propiedades magnéticas de un material lineal. magnetización o también �⃗ ). y µ r la permeabilidad relativa que es igual a (1+X m ). y del que se produce en igual a la suma de las inducciones debido al campo exterior (𝐻 B = µ o ·( H + M ) Tendremos que: B = µ o ·( H + χ m H ) = µ o ·H ·(1 + χ m ) = µ o ·µ r ·H = µ·H Donde µ representa la permeabilidad magnética del medio (µ=µ o ·µ r ).I. su interior (𝑀 �⃗ ). de acuerdo con la siguiente ecuación: la intensidad del campo magnético (𝐻 M = χ m ·H Esta expresión permite indicar que la imanación. µ o es la permeabilidad del vacío y que en unidades del S. �⃗. ya que la inducción magnética o campo magnético que adquiere un material es ��⃗ ).Apuntes de Máquinas Eléctricas 9. De acuerdo con el valor de µ r podemos hablar de tres tipos de materiales: diamagnéticos. que es adimensional. cuando se manifiestan sus características magnéticas cuando se le aplica un campo exterior. de ahí su uso en los circuitos magnéticos. En la figura 16 se visualiza el comportamiento de las líneas de fuerza al atravesar un material diamagnético. agua cobre. Comportamiento de las líneas de fuerza de un campo magnético al atravesar un material diamagnético y ferromagnético.por el que estos materiales ante la presencia incluso de campos magnéticos débiles. oro.Apuntes de Máquinas Eléctricas Tipos de materiales Diamagnéticos Paramagnéticos Ferromagnéticos µ r (X m ) µ r ≤1 (X m ≈-10-5) µ r ≥1 (X m ≈10-3 µ r≫1 (X m ≈↑↑5) Materiales representativos Bismuto. Página 18 . Diamagnético Ferromagnético Figura 16. se puede observar que el fenómeno es el contario. tienes grandes imanaciones. tiene un comportamiento intermedio. que ocurre al atravesar un material ferromagnético. Y es en definitiva. magnesio. por tanto es un material no apto para la conducción de campos magnéticos. Resumen de los diferentes tipos de materiales por sus Propiedades magnéticas.… Hierro. … Aluminio. titanio. materiales ferromagnéticos. Por tanto. y. cobalto y niquel Tabla 2. Hay que partir del hecho de que todos los materiales en condiciones normales de presión y temperatura son magnéticamente neutros. a partir de los valores de la µ r podemos definir el ferromagnetismo como una propiedad que tiene ciertos materiales – llamados al final. más cercano al ferromagnético. que genera un fenómeno de repulsión. Un material paramagnético. y además los 𝐻 cada sección del circuito magnético –es decir. a una estructura de material ferromagnético en la que circulan flujos ferromagnéticos debido a la presencia de bobinas o imanes permanentes. ⃗). Ahora bien. materiales magnéticos son materiales no lineales. En base a estas simplificaciones podemos decir: Página 19 . Analogía con circuitos eléctricos Recordar que podemos llamar circuito magnético. también la inducción magnética (B) y el flujo magnético (φ). Circuito magnético. del flujo (� 1º. dirección y sentido de la inducción magnética son los mismos en todos los puntos de cada sección del circuito-.Leyes de los circuitos magnéticos.Las corrientes eléctricas y los flujos magnéticos serán considerados como constantes o lentamente variables. con la sección del núcleo S y una longitud media l. De esta forma transformamos un problema tridimensional a uno unidimensional. es uniforme en �⃗). 2º. todas estos condicionantes motivan que los problemas así planteados sean difíciles de resolver. Partiendo del circuito de la figura 17.. son funciones del tiempo y con carácter tridimensional.Apuntes de Máquinas Eléctricas 10.La distribución de la inducción (𝐵 φ �⃗ y 𝐵 �⃗. el módulo.. y por tanto. el tiempo no tiene una importancia primordial –se incluyen los flujos e intensidades de frecuencias hasta 50 Hz-. En este estado llamado cuasiestacionario. N I S l Figura 17. y por lo tanto. Esto implica que H se considerará constante.. en un gran número de casos la solución del problema puede obtenerse con una buena aproximación utilizando las dos siguientes hipótesis simplificadoras. donde tenemos una bobina de N espiras. A·v). c) Y la expresión de la inducción magnética será B = µ· H A partir de la ecuación (10) y (12) ℱ = 𝐻 · 𝑙 = B µ ·l Si sustituimos en la anterior expresión. es igual a la suma de corrientes que magnético 𝐻 atraviesan cualquier superficie S apoyada en el camino. o también 1/H) Página 20 .m. ∫ C b) Y recordando que el flujo magnético es H· d l = ∫ J· d S = ∑ i ⇒ H· l = ℱ = N·i S φ = B· S el φ es prácticamente constante en los materiales ferromagnéticos y con la misma dirección que la superficie S. La fuerza magnetomotriz es la causa de que establezca un campo magnético igual que la f. En la ecuación anterior ℛ . la suma de corrientes será N·i y este producto recibe el nombre de fuerza magnetomotriz (ℱ ) (amperivuelta. Si existe N espiras conduciendo una intensidad i. que nos indica que la circulación del campo �⃗ a lo largo de un camino cerrado C. es la “reluctancia magnética”.Apuntes de Máquinas Eléctricas a) Aplicando la ley de Ampere. y su unidad es el (Av/Wb. en el circuito eléctrico es a la corriente eléctrica. que se denomina ley de Hopkinson o ley de Ohm de los circuitos magnéticos.e. la ecuación (11) ℱ = φ· De donde definimos ℱ = 𝜙 · ℛ l µ· S Esta expresión es la expresión fundamental para el estudio de los circuitos magnéticos. Apuntes de Máquinas Eléctricas ℛ= eléctricos R = ρ· l S l µ· S (39) Por cierto. dicha expresión recuerda a la expresión de la resistencia en los circuitos La inversa de la reluctancia. dependiendo de la corriente. El campo magnético en ellos es producido por la corriente que lo atraviesa. Para representar una fuente de excitación. seguiremos los criterios que marcamos a continuación en la siguiente figura (18).1. La fuente de excitación que tenemos puede ser constante o variable. Fuentes de excitación magnética Página 21 . compuesto por un solenoide arrollado sobre un material ferromagnético blando. Dense cuenta que el “+” de la ℱ = 𝑁 · 𝐼 𝐼 + − φ ℱ ℱ + a) ℱ = 𝑁 · 𝐼 − ℱ ℱ + 𝐼 + φ b) Figura 18 . se clasifican en: a) Electroimanes. P=1/ ℛ . 10.Fuentes de excitación magnética La procedencia de la energía de la fuente de excitación. se le denomina “permeancia magnética” (P).. 10. es considerada la ley de Ohm magnética. A continuación se definen las correspondencias que tenemos en cuenta para llevar a cabo la analogía eléctrica de un circuito magnético. ya que una vez planteadas las ecuaciones del circuito eléctrico se extrapolan fácilmente las conclusiones al circuito magnético a estudiar.Analogía con el circuito eléctrico Partimos de dos circuitos –figura 19-. el a) se corresponde con el circuito magnético y b) representa el circuito eléctrico equivalente.2. en primer lugar recordaría como hemos mencionado con anterioridad que la ley de Hopkinson. φ 𝐼 + − 𝑒 + 𝑖 ℱ = 𝑁 · 𝐼 𝑅 a) Figura 19. Circuito magnético Ley de Hopkinson: ℱ = ℛ · 𝜙 𝜙 = ℛ ℱ ℱ Circuito eléctrico Ley de Ohm: 𝐸 = 𝑅 · 𝐼 𝑖 = 𝑅 E 𝑒 Página 22 . Circuito magnético y eléctrico equivalente 𝑏) La analogía eléctrica proporciona un método para estudiar los circuitos magnéticos (con ciertas restricciones.Apuntes de Máquinas Eléctricas fuente viene marcado por donde sale el flujo magnético de nuestro solenoide –regla de la mano derecha-. son materiales ferromagnéticos duros.. como vemos en el apartado siguiente). b) Imanes permanentes. La diferencia entre las dos figuras radica en la entrada de la intensidad al solenoide. lo cual constituye una aproximación bastante buena y generalmente se está más acostumbrados al estudio de circuitos eléctricos que magnéticos. que implica un cambio del sentido del flujo de salida. H.3. Página 23 . considerando las S y l constantes. Realmente depende de la permeabilidad magnética del material del núcleo µ. que no es lineal –véase figura 20. la reluctancia de un circuito magnético depende del flujo que lo recorre. 𝐴·𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 𝑚 Figura 20.Apuntes de Máquinas Eléctricas φ µ ℛ = 𝜇·𝑆 𝑙 i 1� 𝜌 1ª ley de Kirchhoff: ∑ 𝜙 = 0 ⃗ �⃗ · 𝑑𝑙 ℱ = ∮ 𝐻 𝑅 = 𝜌 · 𝑆 ∑ 𝑖 = 0 𝑙 ⃗ �⃗ · 𝑑𝑙 𝑒 = ∮ 𝐸 ∑ 𝑒 = ∑ 𝑅 · 𝑖 2ª ley de Kirchhoff: ∑ ℱ = ∑ ℛ · 𝜙 10. de forma que la ℛ varía especialmente en los ángulos. Intensidad de campo magnético.Diferencias entre los circuitos eléctricos y magnéticos Realmente podemos definir la existencia de tres diferencias entre los circuitos eléctricos y magnéticos: a) La resistencia R de un circuito eléctrico es independiente de la intensidad que lo atraviesa.y de la forma del núcleo. Curva de la permeabilidad de un material ferromagnético. Sin embargo.. Formalmente se define un problema de análisis. que son asumibles. El aire circundante y los aislantes tienen una resistencia muy elevada.Apuntes de Máquinas Eléctricas b) En un circuito eléctrico. Tenemos un problema de síntesis. para conseguir un flujo determinado en el núcleo. debido al efecto de borde también denominado efecto marginal (fringing effect). se suelen estudiar dos situaciones: a) Conocida la excitación (I y el circuito). no se conoce ningún aislante del flujo magnético.Análisis de circuitos magnéticos.. En aquellos casos que se tengan en cuenta el efecto borde. Por el contrario. en cualquier parte del circuito-. Con respecto al análisis de circuitos magnéticos. la intensidad se canaliza prácticamente toda a través de los conductores. 10. Todos estos factores pueden inducir un valor máximo de error de un 5%. la reluctancia equivalente a varias reluctancias en serie es igual a la suma de las reluctancias. debemos considerar que la sección que se consideraría en el entrehierro no será la misma que la del material en donde esté incrustado nuestro entrehierro. de manera que las corrientes de dispersión son casi despreciables. En los circuitos magnéticos. la superficie transversal efectiva en el aire es mayor que la del núcleo.4. Por que por lo visto estamos trabajando con aproximaciones. determinar el flujo que se establece en el núcleo –B y H. . ℛ𝑒𝑞 = ℛ1 +ℛ2 +ℛ3 + ⋯ + ℛ𝑛 Página 24 . c) Si existen entrehierros. derivándose una parte considerable del flujo al medio exterior (flujo de dispersión). sino que será un porcentaje mayor en el entrehierro que en el material. las reluctancias obedecen las mismas reglas que las resistencias en un circuito eléctrico.En un circuito serie. b) Calcular la excitación necesaria (I e incluso la geometría del circuito). a partir de la siguientes expresiones ℛ1 = ℛ3 = 𝑙1 𝜇1 · 𝑆1 ℛ2 = ℛ4 = 𝑙2 𝜇2 · 𝑆2 La reluctancia equivalente será 𝑙3 𝜇3 · 𝑆3 𝑙4 𝜇4 · 𝑆4 Conociendo la reluctancia equivalente y la fuente de excitación 𝜙 = 𝑁 · 𝐼 ℱ = ℛ𝑒𝑞 ℛ𝑒𝑞 ℛ𝑒𝑞 = ℛ1 +ℛ2 +ℛ3 + ⋯ + ℛ𝑛 A partir del conocimiento del flujo que recorre todos los lados de nuestro circuito magnético. 𝐵4 = 𝜙 𝑆4 .En un circuito en paralelo. podemos deducir la inducción magnética que aparece en cada uno de los laterales. … . Podemos definir el valor de la reluctancia de cada uno de los lado de nuestro circuito. la reluctancia equivalente a varias reluctancias en paralelo se calcula según la expresión: Página 25 .Apuntes de Máquinas Eléctricas Ejercicio de aplicación 2 Este ejercicio pretende servir de ejemplo para estudiar los circuitos con reluctancias en serie Sea el acoplamiento de la figura. 2 1 4 3 ℱ = 𝑁 · 𝐼 𝐼 + − A partir del conocimiento de la geometría de nuestro circuito magnético y el material de nuestro núcleo. 𝐵1 = 𝜙 𝜙 . . 𝐵2 = 𝑆1 𝑆2 . donde como se puede observar en la figura adjunta. donde la reluctancia 1. por estar en serie también. y por último la reluctancia 3. 1 2 y 1 3 . podemos definir tres reluctancias. será la suma de 3 1 . será la central. 𝐼 + − ℱ = 𝑁 · 𝐼 Lo primero que habría que hacer es calcular la reluctancia equivalente. aplicando las leyes de Kirchhoff ℛ𝑒𝑞 = ℛ1 + Página 26 . ya que están en serie. la reluctancia 2. será la suma de los laterales 1 1 . 𝐼 + − 12 11 13 ℛ2 · ℛ3 ℛ2 + ℛ3 31 32 33 φ1 φ2 2 φ3 ℱ = 𝑁 · 𝐼 La reluctancia equivalente El flujo que genera la fuente será. 3 2 y 3 3 .Apuntes de Máquinas Eléctricas ℛ𝑒𝑞 1 = ℛ + ℛ + ℛ + ⋯+ ℛ 1 2 3 1 1 1 1 𝑛 Ejercicio de aplicación 3 Este ejercicio pretende servir de ejemplo para estudiar los circuitos con una combinación de reluctancias en serie y paralelo Sea el acoplamiento de la figura. 5·𝐻 Página 27 . donde B (T) y H (Av/m) 160cm I1 + − 25cm2 N1 30cm 50cm2 I2 + N2 − El entrehierro de la columna central es 5 mm. considerando que el efecto borde.5·𝐻 𝐵 = 50+𝐻. N 1 =N 2 =360 espiras. 1.Apuntes de Máquinas Eléctricas 𝜙1 = ℱ ℛ · ℛ3 ℛ1 + 2 ℛ2 + ℛ3 Ejercicio de aplicación 4 Partiendo del circuito magnético de la figura. genera un aumento de la sección efectiva un 5% Solución: Partiendo del conocimiento del flujo del entrehierro (φe ) es de 5·10-3 Wb. con un material cuya curva de magnetización viene dado de forma analítica por la expresión 1. Calcula a) los valores de las intensidades I 1 e I 2 que den lugar un flujo en el entrehierro de la columna central de valor 5·10-3 Wb . y sabiendo que el flujo es constante en toda la columna central –no sólo en el entrehierroestamos en disposición de calcular la inducción magnética (B) de la columna central. se puede calcular la intensidad de campo (H). y conociendo la curva de imanación a través de la expresión 𝐵 = 50+𝐻 . b) inducción magnética en la columna de la derecha y c) calcular la inducción magnética en el entrehierro. que tiene una sección de 50 cm2 𝐵 = 𝜙 5 · 10−3 𝑊𝑏 = = 1 𝑇 ( ) 𝑆 50 · 10−4 𝑚2 Conociendo la B del material central. que implica que: 𝜙𝑎 − 𝜙𝑏 = 5 · 10−3 → 𝜙𝑏 = 𝜙𝑎 − 5 · 10−3 (ℛ1 + ℛ2 + ℛ𝑒 ) · 𝜙𝑎 − (ℛ2 + ℛ𝑒 ) · 𝜙𝑏 = 𝑁1 · 𝐼1 Página 28 ℛ𝑒 = 𝑙𝑒 5 · 10−3 = = 795774.5 · 𝐻 → 50 + 𝐻 = 1. estamos en disposición de poder modelizar nuestro circuito.5𝐻 → 𝐻 = 100 𝐴𝑉 /𝑚 50 + 𝐻 Una vez que se ha calculado la permeabilidad del material ferromagnético.71 𝐴𝑣/𝑊𝑏 𝜇𝑜 · 𝑆2 4 · 𝜋 · 10−7 · 50 · 10−4 La ecuación de la malla “a”. la reluctancia a la resistencia y la fuerza magnetomotriz a las fuentes de tensión.5 · 10−2 = = 5900 𝐴𝑣 /𝑊𝑏 −4 𝜇 · 𝑆2 1� · 50 · 10 100 Siguiendo la analogía definida anteriormente. obtendremos la permeabilidad del material 𝐵 = 𝜇 · 𝐻 → 𝜇 = 𝐵 1 = 𝐻/𝑚 𝐻 100 1= 1. donde el flujo es equivalente a la intensidad. de forma que nuestro circuito equivalente sería ℛ1 φa ℛ1 + φb N1·I1=N2·I2 + N1·I1 ℛ2 ℛ𝑒 Los valores de las reluctancias serían 𝑙1 160 · 10−2 ℛ1 = = = 64000 𝐴𝑣 /𝑊𝑏 −4 𝜇 · 𝑆1 1� · 25 · 10 100 ℛ2 = 𝑙2 29. en nuestro caso vamos a utilizar el método de las mallas –método directo-. podemos aplicar cualquier método de los vistos con circuitos magnéticos. Partiremos antes del conocimiento del flujo de la malla central. sería la siguiente: .Apuntes de Máquinas Eléctricas Partiendo de B y H. como se aprecia en la ecuación posterior. o el sistema que el lector prefiera.5788 − 4008. en el sistema de ecuaciones anterior. considerando que el efecto borde. calcular el 𝜙𝑎 .02495 𝑊𝑏 64000 Sabiendo el flujo y la superficie.37 = 0.37 = 360 · 𝐼1 64000 · 𝜙𝑎 − 4328. sería la siguiente: ℛ1 · 𝜙𝑎 − 5 · 10−3 · ℛ2 + 5 · 10−3 · ℛ𝑒 = 𝑁1 · 𝐼1 −(ℛ2 + ℛ𝑒 ) · 𝜙𝑎 − (ℛ1 + ℛ2 + ℛ𝑒 ) · 𝜙𝑏 = −𝑁1 · 𝐼1 Sustituyendo se obtiene: Tendremos que resolver el siguiente sistema de ecuaciones � 64000 · 𝜙𝑎 + 4008. aplicando Cramer.Apuntes de Máquinas Eléctricas Si sustituimos en esta expresión el valor de la ecuación (1) (ℛ1 + ℛ2 + ℛ𝑒 ) · 𝜙𝑎 − (ℛ2 + ℛ𝑒 ) · (𝜙𝑎 − 5 · 10−3 ) = 𝑁1 · 𝐼1 La ecuación de la malla “b”.019995 𝑊𝑏 = = 7. 64000 · 𝜙𝑎 + 4008. estamos en disposición de calcular la inducción magnética 𝐵 = 𝜙𝑏 0. debemos aumentar en nuestro caso la superficie un 5%.37 → 𝜙𝑎 = Para calcular el flujo de la derecha 𝜙𝑏 . debemos además de calcular la intensidad. obtendría que I 1 =11.37357 = −360 · 𝐼1 ℛ1 · 𝜙𝑎 − 5 · 10−3 · (ℛ1 + ℛ2 + ℛ𝑒 ) = −𝑁1 · 𝐼1 −(ℛ2 + ℛ𝑒 ) · 𝜙𝑎 +· (𝜙𝑎 − 5 · 10−3 ) = −𝑁1 · 𝐼1 Como lo que se nos pide es la I. utilizamos la expresión: 𝜙𝑏 = 0.998 𝑇 ( ) 𝑆 25 · 10−4 𝑚2 c) Para calcular la inducción magnética en el entrehierro. Página 29 .02495 − 5 · 10−3 = 0.5788 A b) Para la calcular la inducción magnética en la columna derecha.019995 𝑊𝑏 𝜙𝑏 = 𝜙𝑎 − 5 · 10−3 (1) 360 · 11. los dominios tienden a alinearse. no hay magnetismo. Hablamos que el magnetismo de un material vería definido por el momento resultante de los momentos magnéticos. esta curva inducción 𝐵 recibe el nombre de curva de imanación e imantación. B = µ· H Pues bien en los materiales ferromagnéticos se cumple que: a) La permeabilidad relativa es muy alta (hasta 6000 veces µ o ) b) La permeabilidad no es constante –al igual que en el hierro. tiene por tanto. que viene dado por la Página 30 .9523 𝑇 ( 2 ) −4 𝑆𝑒 50 · 10 · 1. -Al aplicar una intensidad de campo magnético definida por un H empiezan a desplazarse las paredes de los dominios.Apuntes de Máquinas Eléctricas 𝐵𝑒 = 11. Este efecto puede observarse por medio de la curva siguiente que relaciona la �⃗ resultante en función de la intensidad de campo magnético 𝐻 �⃗ . proporcional y reversible. un comportamiento lineal. si desaparece el campo magnético exterior. de tal forma que sus campos magnéticos se suman al campo externo resultando un campo total más fuerte –figura 21. los materiales ferromagnéticos en presencia de un campo magnético externos. De tal forma que. debido a que los dominios tienen alineaciones al azar. Cuando nuestro valor está entre A y C. -Al principio la muestra está en un estado magnéticamente neutro. Cuando el H>H A .05 𝑚 magnético de los materiales ferromagnéticos Ya dijimos con anterioridad que la permeabilidad magnética se definía mediante la siguiente ecuación. el par (T) que actúa sobre los dominios orientados desfavorablemente.- Comportamiento 𝜙 5 · 10−3 𝑊𝑏 = = 0. Inicialmente este sumatorio es nulo. sólo es constante la permeabilidad en el aire. orbital y spin. también desaparece la densidad de flujo. Esto se explica con la teoría de los dominios de Weiss –dominios colocados al azar-. molecular. resultando un momento magnético nulo. tendiendo a 0. hasta llegar a un punto donde los dominios están totalmente alineados. Porque el α. para girar los dominios se hace necesario altos valores de H. y por tanto. los dominios en función de H -A partir de C. ya es irreversible el proceso. Realmente a partir de C.Apuntes de Máquinas Eléctricas fuerzas que se oponen a su movimiento. Curva de imanación. Región no saturada H Figura 22. curva que nos relaciona B-H podemos definir 3 zonas diferenciadas denominadas por su comportamiento como: B Bsat C Región saturada Codo de saturación vez más bajo. el par correspondiente será cada vez menor. que generen el suficiente par (T) para poder rotar los dominios. del par (𝑇 = 𝐻 · 𝑀 · 𝑠𝑒𝑛𝛼 ). sus regiones Página 31 . Curva de imanación. diciéndose que el material se ha saturado resultando una permeabilidad relativa unidad. B Bsat expresión 𝑇 = 𝐻 · 𝑀 · 𝑠𝑒𝑛𝛼 . empieza a tener un valor que nos permite vencer a las Saturación C H Campo exterior aplicado A Crecimiento reversible HA H Crecimiento irreversible Figura 21. tiene un valor cada Con respecto a la curva de imanación –figura 22-. Para resolver situaciones prácticas o estudiar con ayuda de un ordenador un circuito magnético es más conveniente utilizar una expresión analítica que relaciona el �⃗ y 𝐻 �⃗ .Apuntes de Máquinas Eléctricas a) Región no saturada. donde un pequeño incremento de H produce un gran incremento de B.Curva de histéresis Para la realización de la curva de imanación o imantación se parte de un material magnéticamente descargado. 11. Definiéndose la llamada curva de histéresis. b) Región saturada. es decir se trata de obtener el máximo flujo. no es una función uniforme.. podrán surgir problemas de no linealidad. Dicho solenoide se alimentará con una señal senoidal. para aprovechar al máximo la capacidad magnética 𝐻 1 𝐵 = 1+𝑘 𝑘 ·𝐻 2 ·𝐻 del material. En la medida que nos acercamos a este codo. un gran incremento de H. y la parte negativa del semiciclo de la alimentación generará una intensidad de campo H negativo –hacia la izquierda- Página 32 .1. Normalmente de la forma. de forma que el semiciclo positivo de la alimentación generará una intensidad de campo H en este caso positivo –hacia la derecha-. Se puede apreciar también cierta linealidad –hasta el punto C-. es la zona de transición entre la región saturada y la no saturada –a veces se habla de rodilla de la curva-. para poder obtener el máximo voltaje y par posible. c) Codo de saturación. sino que depende además de la historia del material. La curva que se obtiene. en el cual tendremos arrollado un solenoide –figura 23-. o nos encontramos en dicho c codo. produce un pequeño incremento de B –a partir de C-. Partiremos para ello de un material ferromagnético. 𝐵 En la práctica se trabaja en los generadores y motores eléctricos con valores de �⃗ cercanos al codo de saturación. Apuntes de Máquinas Eléctricas Bobina 𝐼 Material Ferromagnético Figura 23. Material ferromagnético determinado con un solenoide El proceso anteriormente definido. que recibe el nombre de magnetismo o inducción remanente. es un proceso repetitivo. Esta curva es de gran importancia en el caso de una alimentación en alterna –como ya hemos podido ver teniendo en cuenta el proceso de realización de dicha curva-. B Bm Br -Hm Hm Hc H -Bm Figura 2 Curva de histéresis resultante Página 33 . que da lugar a una curva con la definida en la figura 2 El área de dicha curva define lo que se denomina como las pérdidas por histéresis de un determinado material. cuando externamente no se genera ningún campo magnético. En la curva de histéresis se definen dos magnitudes importantes como: -B r . que es el magnetismo que tiene nuestro material ferromagnético. 012 Wb.60 = 99 𝐴𝑣 Página 34 . b) La permeabilidad relativa del material y. La histéresis es la que permite la existencia de imanes permanentes muy potentes. el campo a aplicar para eliminar el magnetismo remanente. Sabiendo que la curva de imanación del material del núcleo es el mostrado en la figura Calcula a) La corriente que se requiere para que tengamos un flujo de 0. es decir. Una bobina de 200 vueltas está enrollada en una de las columnas del núcleo. c) la reluctancia del núcleo te Solución: a) A partir de los valores del flujo y de la superificie.015 𝑚2 A partir de la curva de imanación. que es el campo opuesto que es necesario aplicar para desmagnetizar la muestra. es el campo o fuerza coercitiva.012 𝑊𝑏 = = 1 𝑇 𝑆 0. podemos obtener la inducción magnética (densidad de flujo) 𝐵 = 𝜙 0.Apuntes de Máquinas Eléctricas -H c . obtenemos que la 𝐻 ≅ 165 𝐴𝑉 /𝑚 Intensidad de campo magnético. Ejercicio de aplicación 5 Partiendo de un núcleo magnético cuadrado que tiene una longitud media de 60 cm. H. Y una sección de 120 cm2. A partir de la ley de Ampere 𝐴·𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎 𝑚 ℱ = 𝑁 · 𝑖 = 𝐻 · 𝑙 = 165 · 0. ferritas.012 𝜇 6. ℛ= ℱ 99 = = 8250 𝐴𝑣/𝑊𝑏 𝜙 0. forma y dimensiones del ciclo. tendríamos Página 35 . la movilidad está muy restringida y el valor de H c es muy elevado.4 𝜇0 4 · 𝜋 · 10−7 también podemos utilizar otras expresiones como ℛ= 11. es decir. esto da lugar a una curva muy ancha. Poca movilidad de los dominios. si aplicamos la segunda ley de Kirchhoff.6 𝑙 = = 8250 𝐴𝑣 /𝑊𝑏 𝜇 · 𝑆 6.1. que está íntimamente relacionado con la movilidad de los dominios podemos hablar de materiales ferromagnéticos blandos o duros a) Material ferromagnético blando.495 𝐴 𝑁 200 c) Para calcular la reluctancia..012 En función del ciclo de histéresis. Un ejemplo es el hierro dulce. valdría u = R· i + N· dφ dt si multiplicamos todo por i·dt. es decir la curva de histéresis se caracteriza por ser muy estrecha. Se caracterizan por una gran movilidad de los dominios y una fuerza coercitiva (H c ) pequeña. podemos utilizar la ley de Hopkinson. tendríamos que la tensión u. es decir.… 12.06 · 10−3 𝐻 /𝑚 𝐻 165 𝑖 = ℱ 99 = = 0. Característica de materiales como aceros. b) Material ferromagnético duro. tendré que llegar tras calcular la permeabilidad del material 𝜇 = 𝐵 1 = = 6.06 · 10−3 · 0.06 · 10−3 𝜇𝑟 = = = 4822.Pérdidas de energía en un núcleo ferromagnético.Apuntes de Máquinas Eléctricas b) Para calcular la permeabilidad relativa del material.1.Clasificación de los materiales 0.. Partiendo de un circuito magnético. dWe = dWR + dWmg donde dW e es el diferencial de energía eléctrica que entra al circuito. La ecuación anterior representa el balance energético del circuito o simplemente la ley de conservación de la energía.Apuntes de Máquinas Eléctricas u· i· dt = R· i 2· dt + N· dφ · i· dt dt u· i· dt = R· i 2· dt + N· i· dφ se expresar de otra forma. El término dW mg se puede escribir 𝑊 𝑚𝑔 = N·i·d𝜙 = ℱ · 𝑑𝜙 Si para t=0 se considera que el flujo en el núcleo y la corriente es cero. se tendrá una energía magnética total suministrada al núcleo magnético por la fuente. 𝑊 ℱ · 𝑑𝜙 𝑚𝑔 = ∫ 0 𝜙 φ Wmg ℱ Figura 25. es el diferencial de energía disipada en la resistencia R de la bobina por efecto Joule y dW mg . dWR . Donde la fuerza magnetomotriz (ℱ ) es proporcional a la intensidad de campo Página 36 . magnético (H) y el flujo magnético (φ) es proporcional a la inducción magnética (B). Curva de imanación. hasta unas magnitudes finales de φ e i. es el diferencial de energía suministrada al campo magnético. figura 25. Partiendo de la curva de histéresis. Según la expresión 𝑊𝐻 = ∮ 𝐻 · 𝑑𝐵 y como es conveniente hablar de pérdida de energía por segundo en núcleo. la frecuencia de la fuente y el tipo de material magnético (el cual determina el área de nuestra curva de histéresis). y por supuesto limitan la potencia útil que se pueden obtener en los aparatos o máquinas eléctricas. las pérdidas por histéresis (W H ) son proporcionales al área del ciclo de histéresis –figura 26- B Bm Br -Hm Hm -Br -Bm Ciclo de histéresis H Figura 26. Pérdidas por histéresis. depende únicamente de la amplitud de la inducción. Las pérdidas de energía son de tres tipos: a) Pérdidas por histéresis. Steinmetz propuso la siguiente expresión para calcular las pérdidas de histéresis. Página 37 .Apuntes de Máquinas Eléctricas Cuando un núcleo ferromagnético se excita mediante corrientes alternas se producen pérdidas de energía en forma de calor. nuestra expresión de las pérdidas de histéresis será 𝑃𝐻 = 𝑓 · 𝑊𝐻 = 𝑓 · ∮ 𝐻 · 𝑑𝐵 Esta ecuación es independiente de la forma de onda de la fuente de alimentación. Donde α varía entre 1. Las pérdidas por corrientes de Foucault y por histéresis se dan en W/kg para un valor determinado de frecuencia e inducción magnética (figura 27) Página 38 . que dan lugar a corrientes inducidas circulares en el núcleo que.… b) Pérdidas por corrientes parásitas (corrientes de Foucault o en torbellino). también menores las pérdidas por efecto Joule asociadas.. transformadores. Para reducir estas pérdidas se lamina el material en la dirección del flujo. Para minimizar las pérdidas de histéresis (P H ).5 y 2.5 y k H varía entre 100 y 200 para acero al silicio.m. es el exponente de Steinmetz dependiente del tipo de material. sería: 𝛼 𝑃𝐹 = 𝑘𝐹 · 𝑓 2 · 𝐵𝑚 · 𝑎2 · 𝜎 𝑖 = 𝑆 = donde a es la anchura de la chapa de material y 𝜎. por efecto Joule calienta el material 𝑒 = 𝑒 𝑑𝜙 𝑑𝑡 𝜌· 𝑒 𝑙 𝑆 𝛼 𝑃𝐻 = 𝑘𝐻 · 𝑓 · 𝐵𝑚 Si aumentamos la longitud del material y reducimos su sección.Apuntes de Máquinas Eléctricas donde k H es el coeficiente de Steinmetz y α. por ejemplo.e. Estos materiales conforman nuestros motores. conseguimos que la intensidad inducida sea menor. y por tanto. que le caracteriza un ciclo estrecho. el núcleo de un transformador está formado por chapas laminadas apiladas. se utilizan materiales ferromagnéticos blandos. La expresión analítica de las pérdidas por corrientes de Foucault (P F ). Debido a la variación el flujo se producen f. es la conductividad del material. Página 39 . Pérdidas en dos materiales ferromagnéticos.Apuntes de Máquinas Eléctricas W/kg Chapa magnética laminada en caliente Chapa magnética laminada en frío B Figura 27.