MA12_Unidade_4

4Aplicações do Princípio de Indução Matemática Sumário 4.1 4.2 4.3 Exercícios Recomendados . . . . . . . . . . . . . . . Exercícios Suplementares . . . . . . . . . . . . . . . Textos Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 11 1 Exemplo 1 [A Torre de Hanói] Você provavelmente já conhece esse jogo bastante popular e que pode ser facilmente fabricado ou ainda encontrado em lojas de brinquedos de madeira. Numa das hastes. de modo que nenhum disco esteja sobre um outro de diâmetro menor (veja figura abaixo). O jogo tem solução para cada n ∈ N? 2. O jogo é formado por n discos de diâmetros distintos com um furo no seu centro e uma base onde estão fincadas três hastes. £ ££ ¢¢ £ ¢ £ ¢¢   ¡    ¡ ¡  ¡¡   Figura 1 O jogo consiste em transferir a pilha de discos para uma outra haste. deslocando um disco de cada vez.Unidade 4 Apresentaremos nesta unidade algumas aplicações lúdicas do Princípio de Indução Matemática ao mundo material. vamos ver que a resposta à primeira pergunta é afirmativa. qualquer que seja o valor de n. deduziremos uma fórmula que nos fornecerá o número jn . a cada passo. qual é o número mínimo jn de movimentos para resolver o problema com n discos? Usando Indução Matemática. Em seguida. 2 . estão enfiados os discos. As perguntas naturais que surgem são as seguintes: 1. Considere a sentença P (n) : O jogo com n discos tem solução. a regra acima seja observada. de modo que. Em caso afirmativo. portanto. para algum n. que P (n) é verdadeira para todo n ∈ N. pois estamos admitindo que o problema com n discos possua solução): £ ¢   ¡ Figura 2 ££ ¢ ££ ¢¢ £ ¢¢   ¡  ¡   ¡  ¡  ¡ Em seguida. ou seja. que o jogo com n discos tem solução. Vamos provar que o jogo com n + 1 discos tem solução. Para ver isso. por Indução Matemática. P (1) é verdade. transfira o disco que restou na pilha original (o maior dos discos) para a haste vazia: £ ¢ Figura 3   ¡ £ ££ ¢¢ £¢ £ ¢¢   ¡  ¡   ¡  ¡  ¡ Feito isto. transferindo-os para uma das hastes livre (isso é possível. Suponha que P (n) seja verdadeiro. resolva novamente o problema para os n discos que estão juntos. resolva inicialmente o problema para os n discos superiores da pilha.Aplicações do Princípio de Indução Matemática Unidade 4 Obviamente. e. transferindo-os para a haste que contém o maior dos discos: £ ££ ¢¢ £¢ ££ ¢¢ ¢   ¡  ¡   ¡  ¡  ¡  ¡ Figura 4 Isso mostra que o problema com n + 1 discos também possui solução. 3 . uma sequência (jn ) definida recorrentemente. por indução. que jn+1 = 2jn + 1. assim. que passar duas vezes pela solução mínima do problema com n discos. Temos.Unidade 4 Para determinar uma fórmula para jn . veja que. sem dificuldade. Pode-se mostrar.) . que seu termo geral é dado por jn = 2n − 1. as recorrências. necessariamente. (Este tipo de sequências. será estudado de modo sistemático nas Unidades U7 e U8. Obtemos. temos. para resolver o problema para n + 1 discos com o menor número de passos. então. Leonardo passa a explicar o seu problema e a sua solução. Para Saber Mais . aí vai uma tradução: Quantos casais de coelhos descendem de um casal em um ano. 4 . supondo que. a cada mês. Como não se ensina mais latim nas escolas. Vamos organizar a nossa contagem na tabela a seguir. como segue (com adaptação nossa): Um casal de coelhos recém-nascidos foi posto num lugar cercado. Determinar quantos casais de coelhos ter-se-ão após um ano.Clique para ler Exemplo 2 [Os Coelhos de Fibonacci] Trata-se do seguinte problema proposto e resolvido pelo matemático italiano Leonardo de Pisa em seu livro Liber Abacci. de 1202: Quot paria coniculorum in uno anno ex uno pario germinentur. um casal de coelhos produz outro casal e que um casal começa a procriar dois meses após o seu nascimento.Origem da Torre de Hanói . chamada de sequência de Fibonacci. Se denotarmos o número de coelhos existentes no n-ésimo mês por un . possuem propriedades aritméticas notáveis. então. Essas relações definem. . por recorrência. o número de casais de coelhos em um determinado mês é igual ao número total de casais do mês anterior acrescido do número de casais nascidos no mês em curso. que ainda hoje são objeto de investigação.Aplicações do Princípio de Indução Matemática Unidade 4 mês 1o 2o 3o 4o 5o 6o 7o 8o 9o 10o 11o 12o número de casais do mês anterior 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 número de casais recém-nascidos 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 total 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 Portanto. uma sequência de números naturais. que un = un−1 + un−2 . cujos elementos. temos. chamados de números de Fibonacci. que é igual ao número total de casais do mês anterior ao anterior. u1 = u2 = 1. O que é uma Recorrência? . Para Saber Mais .Clique para ler . Fibonacci . Para Saber Mais .Clique para ler 5 .Leonardo de Pisa . Assim. então P (2) é verdadeira. 6 . se P (1) é verdadeira. segue-se que os cavalos de C têm a mesma cor dos cavalos de C . Agora. Cn+1 } com n + 1 cavalos. . . a nossa “demonstração” por indução está terminada. Cn+1 }. permitindo assim concluir que todos os cavalos em C têm a mesma cor. . considere a sentença: P (n) : Num conjunto com n cavalos. todo mundo sabe (você sabia?) que Marengo. o Grande. Pela hipótese indutiva. segue-se que os cavalos em C têm mesma cor. De fato. Esse problema foi inventado pelo matemático húngaro George Polya (18871985). é representado como um fogoso corcel cor de bronze. Logo. sugerimos que você tente provar que. o cavalo de Alexandre. C2 . Considere um conjunto C = {C1 . Cn . Bucéfalo. “provaremos” que todos os cavalos têm mesma cor.Unidade 4 Exemplo 3 [O Enigma do Cavalo de Alexandre] Num mosaico romano. era branco. . Nesse exemplo. Cn } ∪ {C2 . . . . suponha o resultado válido para conjuntos contendo n cavalos. Agora. . . Note que P (1) é obviamente verdadeira. Decompomos o conjunto C numa união de dois conjuntos: C = C ∪ C = {C1 . provando que P (n) é verdadeira para todo n ∈ N. Bucéfalo deveria ser branco. todos têm a mesma cor. . cada um dos quais contém n cavalos. Como C2 ∈ C ∩ C . vamos “provar” que isso é uma falácia (uma grande mentira). o famoso cavalo de Napoleão. . Inicialmente. Onde está o erro nessa prova? Sugestão: Para achá-lo. . ocorrendo o mesmo para os cavalos em C . a fórmula para pn esteja correta. Para n = 1. dadas as três moedas. descobrese a moeda falsa com n pesagens. agora. Agora. Assim.Aplicações do Princípio de Indução Matemática Unidade 4 [Descobrindo a Moeda Falsa] Têm-se 3n moedas de ouro. que é possível achar a moeda falsa com n pesagens. basta pôr uma moeda em cada prato da balança e descobre-se imediatamente qual é a moeda falsa. Exemplo 4 [A Pizza de Steiner] O grande geômetra alemão Jacob Steiner (1796-1863) propôs e resolveu. para algum valor de n. por indução sobre n. pois. em 1826. a fórmula está correta. temos uma explicação para o nome do problema. sendo uma delas falsa. é claro que só podemos obter dois pedaços. pela hipótese de indução. o seguinte problema: Qual é o maior número de partes em que se pode dividir o plano com n cortes retos? Pensando o plano como se fosse uma grande pizza. 7 . ou seja. pois p1 = 1(1 + 1) + 1 = 2. perfazem o total de n + 1 pesagens. 2 Exemplo 5 Admitamos agora que. Vamos mostrar que a fórmula para pn+1 também está correta. que o resultado seja válido para algum valor de n e que se tenha que achar a moeda falsa dentre 3n+1 moedas dadas. Suponha. Portanto. Separemos as 3n+1 moedas em 3 grupos de 3n moedas cada. Denotando o número máximo de pedaços com n cortes por pn . Vamos mostrar. que. 2 Para n = 1. isso é fácil de ver. Dispõe-se de uma balança de dois pratos. vamos provar por indução a fórmula: n(n + 1) pn = + 1. com apenas um corte. Coloca-se um grupo de 3n moedas em cada prato da balança. com peso menor do que as demais. poderemos descobrir em que grupo de 3n moedas encontra-se a moeda falsa. junto com a pesagem já efetuada. sem nenhum peso. ele produz n + 1 novos pedaços: o corte começa em um determinado pedaço e. entrando em outro pedaço. logo. O resultado segue então do Princípio de Indução Matemática. Ao encontar o segundo corte. 2 2 mostrando que a fórmula está correta para n + 1 cortes. e assim sucessivamente.Unidade 4 Suponhamos que. Vamos conseguir isso se o (n + 1)-ésimo corte encontrar cada um dos n cortes anteriores em pontos que não são de interseção de dois cortes (faça um desenho para se convencer disso). entrando em outro pedaço. 8 . pn+1 = pn + n + 1 = (n + 1)(n + 2) n(n + 1) +1+n+1= + 1. ele separa em dois o pedaço em que está. são obtidos n + 1 pedaços a mais dos que já existiam. com n cortes. ele separa em dois o pedaço em que está. ao encontrar o primeiro corte. obtivemos o número máximo n(n +1)/2+1 de pedaços e queremos fazer mais um corte. se o (n+1)-ésimo corte encontra todos os n cortes anteriores. de modo a obter o maior número possível de pedaços. até encontrar o n-ésimo corte separando o último pedaço em que entrar em dois. Por outro lado. Assim. . todos os número naturais menores ou iguais do que n são iguais. Prove que an = 2n + 1 para todos os números naturais n. obtemos n = n + 1. o queijo. 4. de números é tal que a1 = 3. . Ache o erro na “prova” do seguinte “ Teorema” Todos os números naturais são iguais.Aplicações do Princípio de Indução Matemática Unidade 4 4.2 Exercícios Suplementares 1. 2. é verdadeira a sentença P (n) : : dado n ∈ N. Prove que. A sequência (an ) é definida pelos dados: a1 = 1. . (i) P (1) é claramente verdadeira. 2. an+1 = an −an−1 se n > 2. . logo n − 1 = n. você 9 . an . existe um polígono convexo com n lados e exatamente 3 ângulos agudos.1 Exercícios Recomendados 1. Descreva todos os termos dessa sequência. Um plano está dividido em regiões por várias retas. Prove que é possível colorir essas regiões com duas cores de modo que quaiquer duas regiões adjacentes tenham cores diferentes (dizemos que duas regiões são adjacentes se elas tiverem pelo menos um segmento de reta em comum). Imaginando que o espaço é um enorme queijo. Como n era igual a todos os naturais anteriores. para todo n ∈ N. . . P (n) ’e vedadeira para todo n ∈ N . a2 = 5 e an+1 = 3an − 2an−1 para n > 2. 4. primeiro. . Steiner teve que cortar. a2 . (O queijo de Steiner) Para fazer a sua pizza. Prove que an+6 = an para todos os números naturais n. Portanto. a2 = 2. Vamos provar o resultado mostrando que. qualquer que seja o número natural n maior do que 3. 3. segue que P (n + 1) é verdadeira. Somando 1 a ambos os lados dessa igualdade. (ii) Suponha que P (n) seja verdadeira. A sequência a1 . 5. mostre que 2 q n = un q + un−1 . 2 2 (d) u2 1 + u2 + · · · + un = un un+1 . Mostre que a sequência de Fibonacci satisfaz às seguintes identidades: (a) u1 + u2 + · · · + un = un+2 − 1. (c) u2 + u4 + · · · + u2n = u2n+1 − 1. 10 . (b) u1 + u3 + · · · + u2n−1 = u2n .Unidade 4 Exercícios Suplementares seria capaz de achar uma fórmula para o número máximo de pedaços que poderíamos obter ao cortá-lo por n planos? 3. ache uma fórmula para an . √ 1+ 5 4. Dada a recorrência an+2 = 2an+1 + an . Sabendo que q = é raiz da equação x2 = x + 1. 2 6. Prove que u3 + u6 + u9 + · · · + u3n = u3n+2 − 1 . com a1 = 1 e a2 = 3. num templo oriental. o mundo acabaria. quando todos os 64 discos fossem transferidos para uma outra coluna. que. inventou a seguinte “lenda”: Na origem do tempo. para dar mais sabor à sua criação. respeitando as regras acima explicadas. Você não deve se preocupar com a iminência do fim do mundo. em 1882. um bilhão de séculos! 11 . se. uma Divindade colocou 64 discos perfurados de ouro puro ao redor de uma de três colunas de diamante e ordenou a um grupo de sacerdotes que movessem os discos de uma coluna para outra.Aplicações do Princípio de Indução Matemática Unidade 4 4. o tempo mínimo para que ocorresse a fatalidade seria de 264 − 1 segundos e isto daria. aproximadamente. pois.3 Textos Complementares Para Saber Mais Origem da Torre de Hanói Esse jogo foi idealizado e publicado pelo matemático francês Edouard Lucas. um sacerdote movesse um disco. A Divindade sentenciou que. a cada segundo. e assim por diante. A sequência de Fibonacci corresponde à recorrência (4. Uma recorrência do tipo: xn = xn−1 + xn−2 . univocamente definida a sequência quando são dados x1 e x2 . para serem calculados. No caso da sequência de Fibonacci. onde x1 = x2 = 1. Fica. que apresentamos a seguir e que será demonstrada em um contexto mais geral na Unidade 8. não? 12 . √ que são 1+ 5 números naturais. chamada fórmula de Binet. é que o número ϕ = seja a 2 √ 1− 5 proporção áurea que aparece nas artes.1) só permite determinar o elemento xn se conhecermos os elementos anteriores xn−1 e xn−2 . tem-se que un = √ 1+ 5 2 n − √ 5 √ 1− 5 2 n É notável que seja necessário recorrer a fórmulas envolvendo números irracionais para representar os elementos da sequência de Fibonacci. ainda. (4. isto é. uma fórmula que não recorre aos termos anteriores. Para todo n ∈ N. necessitam do conhecimento dos dois elementos anteriores. Quando é dada uma recorrência. portanto.1). Intrigante essa inesperada relação entre criar coelhos e a divina proporção.Unidade 4 Textos Complementares Para Saber Mais O que é uma Recorrência? Uma recorrência é uma fórmula que define um elemento de uma sequência a partir de termos anteriores. que. um problema importante é determinar uma fórmula fechada para o termo geral da sequência. Mais notável. e que = −ϕ−1 seja o simétrico 2 de seu inverso. existe uma tal fórmula. publicou o livro Liber Abacci. filho de Bonacci. teve um papel fundamental no desenvolvimento da Matemática no Ocidente. e por isso apelidado Fibonacci.Fibonacci Leonardo de Pisa (1170-1250). Em 1202. que continha grande parte do conhecimento sobre números e álgebra da época.Aplicações do Princípio de Indução Matemática Unidade 4 Leonardo de Pisa . Para Saber Mais 13 . Esta obra foi responsável pela introdução na Europa do sistema de numeração indo-arábico e pelo posterior desenvolvimento da álgebra e da aritmética no mundo ocidental. Documents Similar To MA12_Unidade_4Skip carouselcarousel previouscarousel nextAMIC200910 en Resolucao[Algebra a] Fundamentos de AlgebraMétodos e TécnicasDesigualdades matemáticasCaderno RQ8 Sequências e Progressões48233366-Principio-de-Inducao-Finita-Elon-Lages-Lima.pdfFundamentos de _lgebra - UFMG - Dan Avritzer e Outrosapêndice 01 - teoria elementar dos números inteiros 01algebra(amilcar pacheco).pdfTeoria dos NúmerosLin - Semantica LP - Formal Syntax and Semantics of Programming Languages (4up, Cor)Dinamica Topologica e Aplicacoes a Teoria dos Numeros (2).pdfMétodos Para Resolução de RecorrênciaCapítulo 2 - Ziviani - Projeto de AlgoritmosMore From Pablo Felipe SilvaSkip carouselcarousel previouscarousel next5 lista de exercíciosRela Cao Escola sTorre de HanoiA Crise MundialVIOLÊNCIA DOMÉSTICAFooter MenuBack To TopAboutAbout ScribdPressOur blogJoin our team!Contact UsJoin todayInvite FriendsGiftsLegalTermsPrivacyCopyrightSupportHelp / FAQAccessibilityPurchase helpAdChoicesPublishersSocial MediaCopyright © 2018 Scribd Inc. .Browse Books.Site Directory.Site Language: English中文EspañolالعربيةPortuguês日本語DeutschFrançaisTurkceРусский языкTiếng việtJęzyk polskiBahasa indonesiaSign up to vote on this titleUsefulNot usefulYou're Reading a Free PreviewDownloadClose DialogAre you sure?This action might not be possible to undo. Are you sure you want to continue?CANCELOK