M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. César Terán Guevara.DIPLOMADO VIRTUAL – 2017 PRECIPITACIÓN EFECTIVA 45.0 40.0 Abstracciones (mm) Lámina de agua(mm) 35.0 30.0 25.0 20.0 15.0 10.0 5.0 0.0 0.3 0.7 1.0 1.3 1.7 2.0 2.3 2.7 3.0 Tiempo (hr) MÓDULO 03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS. DOCENTE: CÉSAR TERÁN GUEVARA Ingeniero hidráulico.
[email protected] +51 976009180 1. DISPONIBILIDAD HÍDRICA M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. César Terán Guevara. 1.1. Disponibilidad hídrica por balance. El concepto se deriva del concepto de balance en contabilidad → es el equilibrio entre todos los “recursos” hídricos que ingresan y los que salen del sistema, en un intervalo de tiempo determinado. Permite: Analizar el equilibrio de los recursos hídricos en una región de la tierra. Cuantificar alguno de los parámetros que intervienen en el ciclo hidrológico. Se basa en la ecuación de conservación de masa. Situación final = situación inicial + entradas – salidas (1) Se debe definir: El sistema: Una cuenca hidrográfica, un embalse, un lago natural, una región administrativa (país, región, departamento, etc.) e incluso el cuerpo humano. El intervalo de tiempo: año, mes, campaña agrícola, multianual, etc. Las unidades: que pueden ser expresadas en mm, Hm3, m3/s, etc. Elementos de un balance hídrico P Qsi Qui E ETR Qso Quo s 0 (2) Donde: P: Precipitación Qsi : Caudal superficial de ingreso Qui : Caudal subterráneo de ingreso E: Evaporación ETR: Evapotranspiración real Qso : Caudal superficial de salida Quo : Caudal subterráneo de salida s : Variación del almacenamiento: 𝑆2 − 𝑆1 : Error de cierre o término de discrepancia 1.1.1.- Balance global terrestre El ciclo del agua implica un cambio continuo de grandes masas de agua de un estado físico a otro y su transporte de un lugar a otro. Al volumen de agua M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. César Terán Guevara. que se desplaza de un depósito a otro a lo largo de un año se llama balance hídrico global. La cantidad de agua que se evapora de mares y océanos es de 502.800 km cúbicos y sobre ellos precipita una cantidad menor, 458.000 km cúbicos. Esta cantidad de agua se desplaza por la atmósfera hasta los continentes. En los continentes ocurre lo contrario, la evaporación, 74.200 km cúbicos, es menor que la precipitación 119.000, km cúbicos (74.200 más 44.800). Por lo tanto la evaporación y la precipitación global media del planeta son iguales. El agua que precipita sobre los continentes y que no se evapora, 44.800 km cúbicos, se desplaza por la escorrentía subterránea (2.200 km cúbicos) y por la escorrentía superficial (42.600 km cúbicos), siendo devuelta de nuevo a los océanos. Por otro lado esta agua es responsable principal del modelado terrestre. Puesto que las cantidades globales de agua no varían se dice que el balance está en equilibrio y puede ser, en teoría, un proceso que continúa indefinidamente. 1.1.2-Tipos de balance hídrico Podemos hablar de un balance hídrico “en general” o completo y de algunos tipos específicos los cuales son: Superficial (desprecia el término subterráneo) Subterráneo (acuífero), de un lago o embalse Aerológico (atmósfera) Isotópico (movimiento de masas: aire-agua-suelo). Balance hídrico aerológico El contenido total de agua en la atmósfera representa sólo una pequeña fracción de la hidrósfera. Sin embargo, su gran movilidad hace que el vapor de agua juegue un rol predominante en el balance hídrico. El balance está constituido por transferencias, condensación, almacenamiento y transporte de agua en la atmósfera. Se trabaja para una columna de área unitaria. Se requieren mediciones de una red aerológica. M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. César Terán Guevara. Considera: ETR : Flujo vertical del vapor de agua (ET real) P : Flujo de agua condensada. W : Almacenamiento de vapor de agua en la atmósfera. Wc : Almacenamiento de agua líquida y sólida en la atmósfera. Q : Escorrentía aérea del vapor de agua. Qc : Escorrentía aérea del agua líquida y sólida (nubes). ETR P Q Qc W W c 0 (3) Balance hídrico isotópico “isotopos” Del idioma griego "en el mismo sitio", se usa para indicar que todos los isótopos de un mismo elemento se encuentran en el mismo sitio de la tabla periódica. Un elemento químico dado está constituido por varias especies de átomos de masa o peso atómico diferente. A cada especie atómica así definida se la denomina isótopo del elemento dado. Los isótopos de cada átomo tienen: El mismo número atómico o de protones, Z, pero distinto número de masa, A, lo cual indica que el número de neutrones es diferente y característico para cada isótopo. Así: hidrógeno-3 o tritio, carbono-12, carbono-14, uranio-238, etc. En forma simbólica, el número de nucleones se añade como superíndice a la izquierda del símbolo: 3H, 12C, 14C, 238U. Puede ser un método valioso, especialmente en cuencas con control fluviométrico difícil. En la naturaleza existen: 2 isótopos estables de Hidrógeno: protio (H ó 1H 99.985%) y deuterio (D ó 2H 0.015%). 3 isótopos estables del Oxígeno: 16O (99.759%), 17O (0.037%) y 18O (0.204%). La combinación da lugar a diferentes moléculas de agua. Los isótopos de los átomos y las diferentes moléculas creadas por su combinación tendrán diferentes pesos entre sí. César Terán Guevara. Conviene dividir la cuenca en tres zonas: alta. media y baja. Las muestras pluviométricas deben ser más frecuentes dependiendo del régimen hidrológico. Se debe tener en cuenta la capacidad de análisis de los laboratorios existentes en la región. lo que permite analizar la movilidad o flujo hídrico. Esquema de balance de un embalse. Balance hídrico de un lago o embalse Figura 01. En estiaje mínimo una mensual y en crecida una diaria o semanal. H218O y HD16O. E S1 S2 P Qin Qout Interacc (4) .M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. las más abundantes son: H216O. Las muestras pluviométricas se toman de la precipitación mensual totalizada. mediante la concentración isotópica de muestras recogidas comparadas con los estándares mundiales (SMOW – standard mean ocean water). En general. Las hidrógrafas unitarias sintéticas permiten construir un hidrograma de escorrentía superficial para una lluvia de duración y profundidad unitaria en cuencas sin registros de caudal. el tiempo base y el tiempo al pico. cota mínima. Variando la forma de cálculo entre diferentes metodologías. 1992) 1. distancia al cancroide. como construcción de obras de almacenamiento y derivación. los registros de precipitación son más abundantes que los de escurrimiento y. etc. no hay caudal de ingreso al sistema. Balance hídrico superficial P Qsi Qui E ETR Qso Quo s 0 (5) No considera la interacción con el subsuelo.2. desprecia E y ∆𝑠. cota máxima. (Aparicio Mijares. Si no hay embalses.1.) Los modelos lluvia escorrentía basados hidrógrafas sintéticas permiten hallar los caudales máximos para diferentes periodos de retorno utilizando los parámetros morfométricos de la cuenca. no se afectan por cambios en la cuenca. urbanización.2. el tiempo de concentración .M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. 1992) Es sumamente común que no se cuente con registros adecuados de escurrimiento en el sitio de interés para determinar los parámetros necesarios para el diseño y operación de obras hidráulicas. P ETR Q (6) 1. César Terán Guevara. talas. 𝑆1 y 𝑆2 =Volúmenes inicial y final en el lago o embalse. Las componentes principales que definen cada hidrógrafa son: el tiempo de rezago. etc. J. Si el sistema analizado es una cuenca. además. Por ello. Las características de la cuenca se conocen por medio de planos topográficos . Definición (Rojo Hernández. la pendiente promedia. dichas componentes son estimadas en función de parámetros morfométricos de la cuenca de la cuenca tales como el área. es conveniente contar con métodos que permitan determinar el escurrimiento en una cuenca mediante las características de la misma y la precipitación. Modelos lluvia escorrentía (Aparicio. Altura total de precipitación.2. la cantidad y la calidad de la información disponible varían grandemente de un problema a otro y a que. no siempre se requiere la misma precisión en los resultados. y de uso de suelo. y la precipitación a través de mediciones directas en el caso de la predicción de avenidas frecuentes. Los parámetros más importantes del modelo son los coeficientes para la determinación de la Precipitación Efectiva. se han desarrollado una gran cantidad de métodos para analizar la relación lluvia- escorrentía. es combinado por que cuenta con una estructura determinística para el cálculo de los caudales mensuales para el año promedio (Balance Hídrico – Modelo determinístico). por un lado.2. etc. por otro. Distribución en el espacio de la lluvia y de las características de la cuenca. y una estructura estocástica para la generación de series extendidas de caudal (Proceso markoviano – Modelo Estocástico). en el marco de Cooperación Técnica de la República de Alemania a través del Plan Meris II. Modelo Determinístico Estocástico de Lutz Scholz (Scholz. vegetación. 1.). que puedan ser obtenidos a través de mediciones cartográficas y de campo. entre los años 1979-1980. Características generales o promedio de la cuenca (forma. Fue desarrollado por el experto Lutz Scholz para cuencas de la sierra peruana. Los procedimientos que se han seguido en la implementación del modelo son: 1. César Terán Guevara. Los principales parámetros que intervienen en el proceso de conversión de lluvia a escurrimiento son los siguientes: Área de la cuenca. Cálculo de los parámetros necesarios para la descripción de los fenómenos de escorrentía promedio. retención y agotamiento de las cuencas. Debido a que.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. . Determinado el hecho de la ausencia de registros de caudal en la sierra peruana. Distribución de la lluvia en el tiempo. déficit de escurrimiento. pendiente. 1980) GENERALIDADES Este modelo hidrológico. el modelo se desarrolló tomando en consideración parámetros físicos y meteorológicos de las cuencas. M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. César Terán Guevara. 2. Establecimiento de un conjunto de modelos parciales de los parámetros para el cálculo de caudales en cuencas sin información hidrométrica. En base a lo anterior se realiza el cálculo de los caudales necesarios. 3. Calibración del modelo y generación de caudales extendidos por un proceso Markoviano combinado de precipitación efectiva del mes con el caudal del mes anterior. Este modelo fue implementado con fines de pronosticar caudales a escala mensual, teniendo una utilización inicial en estudios de proyectos de riego y posteriormente extendiéndose el uso del mismo a estudios hidrológicos con prácticamente cualquier finalidad (abastecimiento de agua, hidroelectricidad etc). Los resultados de la aplicación del modelo a las cuencas de la sierra peruana, han producido una correspondencia satisfactoria respecto a los valores medidos. ECUACIÓN DEL BALANCE HÍDRICO La ecuación fundamental que describe el balance hídrico mensual en mm/mes es la siguiente: 𝐶𝑀𝑖 = 𝑃𝑖 − 𝐷𝑖 + 𝐺𝑖 − 𝐴𝑖 (7) Dónde: 𝐶𝑀𝑖 = Caudal mensual (mm/mes) 𝑃𝑖 = Precipitación mensual sobre la cuenca (mm/mes) 𝐷𝑖 = Déficit de escurrimiento (mm/mes) 𝐺𝑖 = Gasto de la retención de la cuenca (mm/mes) 𝐴𝑖 = Abastecimiento de la retención (mm/mes) Asumiendo: 1. Que para períodos largos (en este caso 1 año) el Gasto y Abastecimiento de la retención tienen el mismo valor es decir Gi = Ai, y 2. Que para el año promedio una parte de la precipitación retorna a la atmósfera por evaporación. Reemplazando (P-D) por (CP), y tomando en cuenta la transformación de unidades (mm/mes a m3/seg) la ecuación (7) se convierte en: 𝑄 = 𝑐 ′ 𝐶𝑃(𝐴𝑅) (8) M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. César Terán Guevara. Que es la expresión básica del método racional. Dónde: Q = Caudal (m3/s) c’ = coeficiente de conversión del tiempo (mes/seg) C = coeficiente de escurrimiento P = Precipitación total mensual (mm/mes) AR = Área de la cuenca (m2) COEFICIENTE DE ESCURRIMIENTO Se ha considerado el uso de la fórmula propuesta por L. Turc: 𝑃−𝐷 𝐶= (9) 𝑃 Los coeficientes parciales de las curvas se encuentran con las expresiones. 𝐶𝑃−𝑃𝐸𝐼𝐼 𝐶𝐼 = (10.1) 𝑃𝐸𝐼−𝑃𝐸𝐼𝐼 𝐶𝑃−𝑃𝐸𝐼𝐼𝐼 𝐶𝐼𝐼 = (10.2) 𝑃𝐸𝐼𝐼−𝑃𝐸𝐼𝐼𝐼 𝐶𝑃−𝑃𝐸𝐼𝐼 𝐶𝐼𝐼𝐼 = (10.3) 𝑃𝐸𝐼𝐼𝐼−𝑃𝐸𝐼𝐼 Dónde: C = Coeficiente de escurrimiento CI, CII y CIII= Coeficientes para cada grupo de curvas P = Precipitación Total anual (mm/año) PEI, PEII, PEIII= Precipitación efectiva para cada grupo de curvas (mm) D = Déficit de escurrimiento (mm/año) Para la determinación de D se utiliza la expresión: 1 𝐿 = 300 + 25(𝑡) + 0.05(𝑇)3 = 646.70, 𝐷=𝑃 1 (11) 𝑃2 2 (0.9+ 2 ) 𝐿 Siendo: L = Coeficiente de Temperatura T = Temperatura media anual (°C) Dado que no se ha podido obtener una ecuación general del coeficiente de escorrentía para la toda la sierra, se ha desarrollado la fórmula siguiente, que es válida para la región sur: M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. César Terán Guevara. C 3.16 E12( P 0.571 )( EP 3.686 ); r 0.96 (12) D 1380 0.872( P) 1.032( EP); r 0.96 (13) Dónde: C = Coeficiente de escurrimiento D = Déficit de escurrimiento (mm/año) P = Precipitación total anual (mm/año) EP = Evapotranspiración anual según Hargreaves (mm/año) r = Coeficiente de correlación La evapotranspiración potencial, se ha determinado por la fórmula de Hargreaves: 𝐸𝑃 = 0.0075(𝑅𝑆𝑀)(𝑇𝐹)(𝐹𝐴) (14) 𝑛 𝑅𝑆𝑀 = 0.075(𝑅𝐴)√ (15) 𝑁 𝐹𝐴 = 1 + 0.06(𝐴𝐿) (16) Dónde: RSM = Radiación solar media TF = Componente de temperatura FA = Coeficiente de corrección por elevación TF = Temperatura media anual (°F) RA = Radiación extraterrestre (mm de agua / año) (n/N) = Relación entre insolación actual y posible (%) 50 % (estimación en base a los registros) AL = Elevación media de la cuenca (Km) Para determinar la temperatura anual se toma en cuenta el valor de los registros de las estaciones y el gradiente de temperatura de -5.3 °C 1/ 1000 m, determinado para la sierra. PRECIPITACIÓN EFECTIVA Para el cálculo de la Precipitación Efectiva, se supone que los caudales promedio observados en la cuenca pertenecen a un estado de equilibrio entre gasto y abastecimiento de la retención. La precipitación efectiva se calculó para el coeficiente de escurrimiento promedio, de tal forma que la relación entre precipitación efectiva y precipitación total resulta igual al coeficiente de escorrentía. M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. César Terán Guevara. Para fines hidrológicos se toma como precipitación efectiva la parte de la precipitación total mensual, que corresponde al déficit según el método del USBR (precipitación efectiva hidrológica es el antítesis de la precipitación efectiva para los cultivos). A fin de facilitar el cálculo de la precipitación efectiva se ha determinado el polinomio de quinto grado: 𝑃𝐸 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑃 + 𝑎2 𝑃 2 + 𝑎3 𝑃 3 + 𝑎4 𝑃 4 + 𝑎5 𝑃 5 (17) Dónde: PE = Precipitación efectiva (mm/mes) P = Precipitación total mensual (mm/mes) 𝑎 i = Coeficiente del polinomio A continuación se muestra los valores límite de la precipitación efectiva y la tabla 01 muestra los tres juegos de coeficientes, ai, que permiten alcanzar por interpolación valores de C, comprendidos entre 0.15 y 0.45. Límite superior para Precipitación Efectiva Curva I: PE=P-120.6 para P> 177.8 mm/mes Curva II: PE=P-86.4 para P>152.4 mm/mes Curva III: PE=P-59.7 para P>127.0 mm/mes Tabla 01: Coeficientes para el cálculo de precipitación efectiva Coef. I II III a0 -0.018 -0.021 -0.028 a1 -0.019 0.1358 0.2756 a2 0.0011 -0.002 -0.004 a3 -1E-05 4E-05 6E-05 a4 1E-07 -9E-08 1E-07 a5 -3E-10 -9E-11 -1E-09 De esta forma es posible llegar a la relación entre la precipitación efectiva y precipitación total 𝑄 𝑃𝐸𝑖 𝐶= = ∑12 𝑖=1 (18) 𝑃 𝑃 Dónde: La reserva o retención de la cuenca se agota al final de la estación seca. C = Coeficiente de escurrimiento Q = Caudal anual P = Precipitación Total anual ∑12 𝑖=1 𝑃𝐸𝑖 = suma de la precipitación efectiva RETENCIÓN DE LA CUENCA Bajo la suposición de que exista un equilibrio entre el gasto y el abastecimiento de la reserva de la cuenca y además que el caudal total sea igual a la precipitación efectiva anual. el gasto de la retención alimenta los ríos. la contribución de la reserva hídrica al caudal se puede calcular según las fórmulas: 𝑅𝑖 = 𝐶𝑀𝑖 − 𝑃𝑖 (19. Relación entre descargas y retención Durante la estación seca.2) Dónde: 𝐶𝑀𝑖 = Caudal mensual (mm/mes) 𝑃𝐸𝑖 = Precipitación Efectiva Mensual (mm/mes) 𝑅𝑖 = Retención de la cuenca (mm/mes) 𝐺𝑖 = Gasto de la retención (mm/mes) 𝐴𝑖 = Abastecimiento de la retención (mm/mes) 𝑅𝑗 =𝐺𝑖 para valores mayores que cero (mm/mes) 𝑅𝑗 = 𝐴𝑖 para valores menores que cero (mm/mes) Sumando los valores de G o A respectivamente. César Terán Guevara.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. se halla la retención total de la cuenca para el año promedio.1) 𝐶𝑀𝑖 = 𝑃𝐸𝑖 + 𝐺𝑖 − 𝐴𝑖 (19. que para el caso de las cuencas de la sierra varía de 43 a 188 (mm/año). constituyendo el caudal o descarga básica. durante esta estación la descarga se puede calcular en base a la ecuación: 𝑄𝑡 = 𝑄0 𝑒 −𝑎(𝑡) (20) Dónde: 𝑄𝑡 = Descarga en el tiempo t 𝑄0 = Descarga inicial 𝑎 = Coeficiente de agotamiento t = Tiempo . 𝑎 = 𝑓(𝐿𝑛𝐴𝑅) (21. Retención mediana (80 mm/año) y vegetación mezclada (pastos. Retención entre 50 y 80 mm/año y vegetación poco desarrollada (puna): 𝑎 = −0. Debido a temperaturas elevadas (>10°C) y retención que va de reducida (50 mm/año) a mediana (80 mm/año): 𝑎 = −0.1) 𝑎 = 3.034 (21. además cierta influencia del clima. la geología y la cobertura vegetal.00252(𝐿𝑛𝐴𝑅) + 0.026 (21.429 (21. César Terán Guevara. Este coeficiente no es constante durante toda la estación seca.1144 (𝐸𝑃 )−19. se puede recurrir a las ecuaciones desarrolladas para la determinación del coeficiente “a” para cuatro clases de cuencas: . sin embargo cuando no sea posible ello.2) 𝑟 = 0.5) .1) se puede calcular el coeficiente de agotamiento “a”. El coeficiente de agotamiento de la cuenca tiene una dependencia logarítmica del área de la cuenca.00252(𝐿𝑛𝐴𝑅) + 0.3) . En base a los hidrogramas se ha determinado que el abastecimiento es más fuerte al principio de la estación lluviosa continuando de forma progresiva pero menos pronunciada. en base a datos hidrométricos. el proceso de agotamiento de la reserva termina.Cuencas con agotamiento muy rápido. bosques y terrenos cultivados): 𝑎 = −0.Cuencas con agotamiento rápido. es posible determinar el coeficiente de agotamiento real mediante aforos sucesivos en el río durante la estación seca. comenzando a su vez el abastecimiento de los almacenes hídricos.Cuencas con agotamiento mediano. hasta el final de dicha estación Coeficiente de agotamiento Mediante la ecuación (100. Este proceso está descrito por un déficit entre la precipitación efectiva y el caudal real.1249𝐸67(𝐴𝑅)−0.4) .00252(𝐿𝑛𝐴𝑅) + 0. Al principio de la estación lluviosa.86 El análisis de las observaciones disponibles muestra. Se ha desarrollado una ecuación empírica para la sierra peruana: En principio.369 (𝑅)−1.030 (21.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing.336 (𝑇)−3. ya que va disminuyendo gradualmente. Con fines prácticos se puede despreciar la variación del coeficiente “a” durante la estación seca empleando un valor promedio. Nevados 𝐿𝑁 = 500(𝑚𝑚/𝑎ñ𝑜) (22.2) .023 (21. César Terán Guevara. .1) Siendo: LA = lámina específica de acuíferos I = pendiente de desagüe: I <= 15 % 𝐿𝐿 = 500 (𝑚𝑚/𝑎ñ𝑜) (22.Cuencas con agotamiento reducido.00252(𝐿𝑛𝐴𝑅) + 0.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. Debido a la alta retención (> 100 mm/año) y vegetación mezclada: 𝑎 = −0.6) Dónde: 𝑎 = coeficiente de agotamiento por día AR = área de la cuenca (km2) EP = evapotranspiración potencial anual (mm/año) T = duración de la temporada seca (días) R = retención total de la cuenca (mm/año) ALMACENAMIENTO HÍDRICO Tres tipos de almacenes hídricos naturales que inciden en la retención de la cuenca son considerados: Acuíferos Lagunas y pantanos Nevados La determinación de la lámina “L” que almacena cada tipo de estos almacenes está dado por: .3) Siendo: LN = lámina específica de nevados Las respectivas extensiones o áreas son determinadas de los mapas o aerofotografías.Lagunas y Pantanos Siendo: LL = Lámina específica de lagunas y pantanos . Los almacenamientos de corto plazo no son considerados .Acuíferos: 𝐿𝐴 = −750(𝐼) + 315 (𝑚𝑚/𝑎ñ𝑜) (22. alcanzando hasta enero el valor del 80 % del volumen final. Tabla 02: Almacenamiento hídrico durante la época de lluvias (%) Región Oct Nov Dic Ene Feb Mar Total Cusco 0 5 35 40 20 0 100 Huancavelica 10 0 35 30 20 5 100 Junín 10 0 25 30 30 5 100 Cajamarca 25 -5 0 20 25 35 100 La lámina de agua Ai que entra en la reserva de la cuenca se muestra en forma de déficit mensual de la Precipitación Efectiva PEi. Las precipitaciones altas del mes de febrero completan el 20 % restante.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. y las precipitaciones efectivas del mes de marzo escurren directamente sin contribuir a la retención. para este caso. César Terán Guevara. estando los mismos incluidos en las ecuaciones de la precipitación efectiva. En la región del Cusco el abastecimiento comienza en el mes de noviembre con 5%. Los coeficientes mensuales expresados en porcentaje del almacenamiento total anual se muestran en la tabla 02. ABASTECIMIENTO DE LA RETENCIÓN El abastecimiento durante la estación lluviosa es uniforme para cuencas ubicadas en la misma región climática. Se calcula mediante la ecuación: 𝑅 𝐴 𝑖 = 𝑎𝑖 ( ) (23) 100 Siendo: 𝐴𝑖 = abastecimiento mensual déficit de la precipitación efectiva (mm/mes) 𝑎𝑖 = coeficiente de abastecimiento (%) R = retención de la cuenca (mm/año) DETERMINACIÓN DEL CAUDAL MENSUAL PARA EL AÑO PROMEDIO Está basado en la ecuación fundamental que describe el balance hídrico mensual a partir de los componentes descritos anteriormente: 𝐶𝑀𝑖 = 𝑃𝐸𝑖 + 𝐺𝑖 − 𝐴𝑖 (24) Dónde: . según la ecuación (25) con una variable de impulso.11.GENERACIÓN DE CAUDALES PARA PERIODOS EXTENDIDOS A fin de generar una serie sintética de caudales para períodos extendidos. r y S sobre la base de los resultados del modelo para el año promedio por un cálculo de regresión con Qt como valor dependiente y Qt-1 y PEt.2. 𝐶𝑀𝑖 = Caudal del mes i (mm/mes) 𝑃𝐸𝑖 = Precipitación efectiva del mes i (mm/mes) 𝐺𝑖 = Gasto de la retención del mes i (mm/mes) 𝐴𝑖 = abastecimiento del mes i (mm/mes) 1. que en este caso es la precipitación efectiva en la ecuación (26): 𝑄𝑡 = 𝑓(𝑄𝑡=1 ) (25) 𝑄 = 𝑔(𝑃𝐸𝑡 ) (26) Con la finalidad de aumentar el rango de valores generados y obtener una óptima aproximación a la realidad. Se calcula los parámetros B1. como valores independientes. 𝑍 = 𝑧(𝑆)√(1 − 𝑟 2 ) (27) 𝑄𝑡 = 𝐵1 + 𝐵2 (𝑄𝑡−1 ) + 𝐵3 (𝑃𝐸𝑡 ) + 𝑧(𝑆)√1 − 𝑟 2 (28) La ecuación integral para la generación de caudales mensuales es: Dónde: Qt = Caudal del mes t Q t-1 = Caudal del mes anterior PE t = Precipitación efectiva del mes B1 = Factor constante o caudal básico. . B2.2. se ha implementado un modelo estocástico que consiste en una combinación de un Proceso Markoviano de primer orden. César Terán Guevara.. se utiliza además una variable aleatoria. el cual puede ser obtenido en una de las siguientes formas: Empezar el cálculo en el mes para el cual se dispone de un aforo Tomar como valor inicial el caudal promedio de cualquier mes. El proceso de generación requiere de un valor inicial. B3. Para el cálculo se recomienda el uso de software comercial (hojas electrónicas) o de uso específico (programas elaborados tales como el SIH).M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. únicamente dentro del rango de calibración establecido. calcular un año y tomar el último valor como valor Qo sin considerar estos valores en el cálculo de los parámetros estadísticos del período generado.n que indica el límite superior que. Empezar con un caudal cero. (n1. 1977) Este es un modelo simplificado de lluvia-escorrentía de paso mensual. Junín. 1. TEST ESTADÍSTICOS Para determinar la calidad de la coincidencia de los caudales generados con los observados. Esta prueba debe ser desarrollada para cada mes.3.. Se compara el valor de t con el valor límite tp. permite decir que ambos promedios pertenecen a la misma población. César Terán Guevara. Cajamarca) Es importante tener en cuenta las mencionadas restricciones a fin de garantizar una buena performance del modelo. Huancavelica.n2) RESTRICCIONES DEL MODELO El modelo presenta ciertas restricciones de uso o aplicación tales como: El uso de los modelos parciales.Modelo Témez. se desarrolla la comparación de los promedios y desviaciones tipo de los valores históricos y los generados. La escorrentía total es la suma de la componente superficial y de la subterránea. (Témez. La aplicación del modelo se restringe a las cuencas en las que se ha calibrado sus parámetros (sierra peruana: Cusco. .M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. Los registros generados en el período de secas presentan una mayor confiabilidad que los valores generados para la época lluviosa. La comparación estadística de promedios se realiza mediante el test de Fischer (Prueba "F") que se compara con el valor límite Fp/2 (%) . Su uso es únicamente para el cálculo de caudales mensuales promedio.2. se utiliza el test de Student (Prueba "t"). con una probabilidad de error del P%. Para probar si los promedios salen de la misma población. M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. Po: déficit de humedad del suelo modificado (mm). S: humedad del suelo (mm). Figura 02: Descripción esquemática del flujo de agua. mientras que la componente subterránea resulta de un modelo simple tipo celda. Variables del modelo (un valor en cada mes): P: precipitación total observada (mm). son los siguientes: ∅: Capacidad máxima de almacenamiento de humedad del suelo (mm). EP: evapotranspiración potencial (mm). I: infiltración (recarga del acuífero). R: escorrentía total calculada (𝑚3 ⁄𝑠). 𝛿: Déficit máximo de humedad del suelo (mm). 𝛼: Coeficiente de recesión del acuífero (1/día). Imáx: capacidad máxima de infiltración (mm). E: evapotranspiración real (mm). Qsub: escorrentía subterránea calculada (𝑚3 ⁄𝑠). T: excedente de agua (mm). La componente superficial es la fracción no infiltrada ni evaporada de la precipitación. Los parámetros del modelo. César Terán Guevara. Los valores iniciales a establecer son: . 𝑐: Parámetro de excedente (adim). Qsup: escorrentía superficial calculada (𝑚3 ⁄𝑠). que deben estimarse. por lo que no resultan demasiado significativa.) y ley de infiltración (derecha).M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. Se debe tener en cuenta que el efecto de los valores iniciales se reduce a medida que transcurre el tiempo. . 𝑄0 : Almacenamiento inicial en el acuífero (mm). César Terán Guevara. Las relaciones más importantes entre las variables del modelo se grafican en la figura 03: Figura 03: Ley de excedentes (izq. El procedimiento de cálculo del modelo de Témez se representa en la Figura 04. 𝑆0 : Humedad inicial en el suelo (mm). Figura 04: Diagrama de flujo del modelo de Témez. César Terán Guevara. .M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. P. Para cada estación con datos. pendiente (S). Identificar la falta de estaciones. También se usa para: Mejorar las estimaciones de las variables.…) → a =f (A. Definición Conjunto de herramientas que exploran al máximo la información existente. P. Por ejemplo: 𝜇𝑖 y 𝜎𝑖 .M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing.…) y u =f (A.1. Figura 05.3. Verificar la consistencia de las series hidrológicas. 𝑎𝑖 y 𝑢𝑖 . Por regresión: Parámetro = f (A. P. 1. César Terán Guevara. precipitación (P). Regionalización de parámetros de una distribución estadística Se considera que un tipo de distribución estadística ajusta bien a los datos de una región.3. estimando las variables hidrológicas en lugares sin información suficiente. S. Regionalización de caudales (Apuntes UDEP) 1. S. etc. Esquema de regionalización. se obtienen los parámetros necesarios. Estos parámetros se relacionan con área (A). S.…) . Se parte de la curva Qmáx vs Tr de cada estación: Figura 06. Se estiman los Q máx para el Tr de interés en cada estación con datos: Tabla 03. Caudales de las estaciones para periodos de retorno. P. Regionalización de curva de probabilidad adimensional Procedimiento útil para series cortas. u) para la cuenca sin datos y usarlos para la determinación de sus caudales. Conociendo A. . siendo 𝑄𝑚 el promedio de la estación. Caudal máximo vs periodo de retorno. Regionalización de Curva de probabilidad adimensional Esta curva de cada estación se hace adimensional graficando 𝑄𝑇 ⁄𝑄𝑚 𝑣𝑠 𝑇𝑟. En la estación sin datos se pueden estimar los parámetros (a.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. Regionalización de Qmáx (Tr) Como en el caso anterior se ajustan distribuciones a las estaciones con información en la región. S. César Terán Guevara. Pueden ser diferentes distribuciones. etc. M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. 𝑃. Por otro lado. S. etc. . Tabla 04. Curva adimensional regional. Por regresión: 𝑄𝑚𝑒𝑑 = 𝐹(𝐴. Se obtiene una curva a dimensional regional media de las estaciones que presentan similar tendencia. P o S en la estación sin datos se puede estimar su 𝑄𝑚𝑒𝑑 . Figura 07. Figura. Grupo de curvas de caudal vs periodo de retorno. 𝑆. Y luego se obtiene la curva 𝑄𝑚á𝑥 vs Tr de la estación sin datos multiplicando la curva adimensional regional por su 𝑄𝑚𝑒𝑑 . César Terán Guevara. P. … ). 08. se regionaliza el 𝑄𝑚𝑒𝑑 de la sestaciones en función de A. Parámetros para regionalizar Qmed Conociendo A. César Terán Guevara. Valores extremos que pueden producir inundaciones en las márgenes de un curso de agua. Fases del desarrollo Selección de los datos. A corto plazo. Análisis de datos básicos Siempre es importante: En regionalización. Análisis de los datos básicos. Curva Qmax-Tr para estación sin datos. cartográficos y descriptivos de la región. disponibilidad de caudales. Se utiliza para diseñar las obras de arte. Selección de datos Muestra representativa. Regionalización de caudal máximo Caudal máximo. 1. Recolección de datos hidrológicos. Método de regionalización elegido. Regiones homogéneas. Figura 09. A largo plazo. Asociado a Tr → curva de probabilidad. pueden ser controlados por las obras hidráulicas. debe orientarse a la selección de información según la variable de interés.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. previsión estadística del Qmáx (diario o instantáneo) en cualquier año. . producida por una precipitación determinada. No utilizar datos inconsistentes e insuficientes. pequeñas. Caudales independientes. 2. si tiene la misma tendencia. Tomar todos los valores Q/Qm de la región y ajustarles un solo modelo del tipo elegido. Ajustar a dicha serie un modelo probabilístico: Gumbel. Ríos principales. 4. Gamma. Regiones homogéneas. Geografía: similitud. Serie estacionaria: no hay cambios en el tiempo. OK. César Terán Guevara. Análisis de la calidad y confiabilidad de los datos históricos. Comparar las curvas obtenidas. Regresión del Qm Se regionaliza el Qm de las estaciones con datos en función de sus características físicas y climáticas que expliquen en la variación del Q y que . Clasificación de las estaciones según la calidad de los datos. Método de regionalización elegido Curva Qm (Tr) Curvas individuales (varias series de caudales) Dadas las series de caudales Q de cada estación. hay que identificar subregiones. se procede a trabajar con cada una: Se divide cada Q por el Qm promedio de la serie → serie de Q/Qm. Análisis de los datos básicos 3. obteniendo la curva regional Q/Qm vs Tr.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. es útil si se tienen muchas estaciones. etc. Estaciones con por lo menos 5 años de datos. Verificar la homogeneidad de las regiones y agrupar considerando criterios como: Tamaño de cuenca: grandes. ojo con las pendientes. Si no. Curva regional Se trabaja con las estaciones que entregaron curvas similares. Obteniendo curvas Q/Qm vs Tr o probabilidad empírica (P= m/(n+1)). medianas. … . 𝐸𝑖 = Variable aleatoria independiente. 𝑛. densidad de drenaje DD. Modelos Markovianos de Primer Orden Sabemos que: 𝑦𝑖 = ∑𝑚 𝑗=1 𝑎𝑗 𝑦𝑖−𝑗 + 𝐸𝑖 (29) Para: 𝑚 = 1 . Hidrología avanzada) MODELOS ESTOCÁSTICOS DE SERIES ANUALES I. 1. longitud del rio L.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. etc. S. Se tiene además que: 𝐸(𝑦𝑖 ) = 0 → 𝐸(𝐸𝑖 ) = 0 𝑉𝐴𝑅 (𝐸𝑖 ) = 𝑆𝐸2 → 𝑉𝐴𝑅(𝑦𝑖 ) = 𝑉𝐴𝑅(𝑦𝑖 − 1) Siendo: .2. 𝑎1 = Coeficiente de autorregresión. P. César Terán Guevara. 𝑖 = 1. 𝑦𝑖−1 + 𝐸𝑖 (30) Donde: 𝑦𝑖 = Variable aleatoria dependiente en términos de desviaciones. 𝑎1 = 𝜌𝑖 (Coeficiente de autocorrelación) 𝑛 = # Total de años de la serie muestral.2. Qm= F(A. pendiente S.3. Modelos Markovianos (Huamán. 2013. se tiene: 𝑦𝑖 = 𝑎1 . sean fáciles de obtener con mapas: áreas A. L. precipitación media P.3. DD…) Se obtiene Qm y luego la curva Qmáx vs Tr de la estación de interés. 1) 1 𝑦𝑖 → 𝑁(0. (34) Donde: . “ 𝑥𝑖 ” también es normal. 𝐸𝑡−1 + (1 − 𝜌12 )1/2 . 𝜉𝑡 ………. ) 1 − 𝜌𝑖2 Pero: 𝐸(𝑦𝑖 ) = 0 𝑉𝐴𝑅 (𝐸 ) = 𝑆𝐸2 Entonces el modelo de primer orden se reemplaza: 𝑦𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝐸(𝑥𝑖 ) Donde: 𝑥𝑖 − 𝐸 (𝑥𝑖 ) = 𝜌1 (𝑥𝑖−1 − 𝐸 (𝑥𝑖−1 )) + 𝐸𝑖 − 𝐸(𝐸𝑖 ) (32) Para: 𝑥𝑖 = Variable aleatoria dependiente. César Terán Guevara. (33) Donde: 𝑎1 ≈ 𝜌1 La componente estocástica “ 𝐸𝑡 ” debe ser dependiente. 𝐸 (𝑥𝑖 ) ≠ 0 𝑦𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝐸 (𝑥) Al reemplazar en la ecuación anterior y simplificar: 𝑥𝑡 = 𝑎1 . 𝑆𝐸 2 𝑉𝐴𝑅 (𝑦𝑖 ) = (31) 1−𝜌𝑖2 Para “ 𝐸𝑖 ” una variable normal. 𝜌1 = El primer coeficiente de autocorrelacion. 𝐸𝑡 = 𝜌1 . esto es: 𝐸𝑖 → 𝑁 (0. 𝑥𝑡−1 + 𝐸𝑡 ……….M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. 𝐸2 . … . 𝜉𝑡 = Componente estocástica independiente. … . 𝐸3 . 4. César Terán Guevara. … .𝐸𝑡−1 𝜉𝑡 = (35) (1−𝜌𝑖2 )1/2 Válidos para: 𝑡 = 2. 𝜌1 = Coeficiente de autocorrelación. 3) Se estima el primer coeficiente de autocorrelación 𝜌1 = 𝑟1 . 𝐸𝑡 : 𝐸1 . 𝐸𝑛−1 . 𝐸3 . está dado por: . vale decir si la variable estocástica “𝜉𝑡 ” es totalmente independiente.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. 𝐸4 . 4) En la ecuación (34) despejamos 𝜉𝑡 : 𝐸𝑡 −𝜌1 . log normal). … . 5. 𝜉3 . Se ajusta la componente estocástica independiente a una función de probabilidades (normal. 𝐸𝑡 = Componente estocástica dependiente. 𝐸2 . 𝑁 Obteniéndose: 𝜉2 . Correlación general Los correlogramas para modelos lineales autorregresivos o marcovianos. 𝜉𝑁 5) Antes de ajustar los valores de "𝜉𝑡 " a una función de distribución. primero se prueba si el modelo es adecuado. El modelo de MARKOV de primer orden queda definido cuando se estiman los parámetros: 𝜌1 : coeficiente de autocorrelación. 𝜉4 . 2) El modelo matemático para la serie estandarizada “x” está representada por la Ecu (33). 𝐸𝑛 Correlación: 𝜌1 = 𝑟1 Pasos para definir el modelo estocástico de primer orden 1) sea N el número de años de la serie anual. 3. 𝐸𝑛 𝐸𝑡−1 : 𝐸1 . 01 O 𝛼 = 0. 𝜌𝑘−1 ………. 𝜌1𝑛−1 = 𝜌1𝑛 Límites de confianza del correlograma −1±𝑍𝛼 (𝑁−𝐾−2)1/2 𝑟𝐾 (𝛼) = ………………. 𝑍𝛼 = Es el valor obtenido de las tablas con un nivel de significación: 𝛼 = 0. K= Es el número de valores de coeficiente de autocorrelación calculados para el correlograma. 𝛼𝑗 = Coeficiente de autorregresión. 𝜌12 = 𝜌13 𝑘=4 → 𝜌4 = 𝛼1 𝜌3 → 𝜌1 . 𝜌13 = 𝜌14 𝑘=𝑛 → 𝜌𝑛 = 𝛼1 𝜌𝑛 → 𝜌1 .05 . César Terán Guevara. 𝑗 = 1. 2. Correlograma para el modelo de MARKOV de primer orden: 𝑚=1 𝜌𝑘 = 𝛼1 .M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. 𝜌𝑘 = ∑𝑚 𝑗=1 𝛼𝑗 ∗ 𝜌|𝑘−𝑗| (36) Donde: 𝜌𝑘 = Es la función de autocorrelación de orden “k”. . (38) 𝑁−𝐾−1 Donde: N= Tamaño de la muestra. 𝑚. 𝜌1 = 𝜌12 𝑘=3 → 𝜌3 = 𝛼1 𝜌2 → 𝜌1 . … . (37) Para valores de “k” 𝑘=1 → 𝜌1 = 𝛼1 𝜌0 → 𝜌1 = 𝛼1 𝑘=2 → 𝜌2 = 𝛼1 𝜌1 → 𝜌1 . 𝑥𝑡−2 + 𝐸𝑡 …………. el modelo de MARKOV de primer orden NO es aplicable. o más caen dentro de los límites de confianza. se tiene 𝑥𝑡 = 𝑎1 . vale decir. (40) 𝑎1 𝑦 𝑎2 : 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 . MODELO DE MARKOV DE SEGUNDO ORDEN Para: m=2. 𝜉𝑡 ∗ 𝜉𝑡−𝑘 − 𝜉𝑡 ∗ 𝜉𝑡−𝑘 𝑟𝐾 = 𝑠𝜀𝑡 ∗ 𝑠𝜀𝑡−𝑘 𝑟1 = 𝜌1 𝜌2 = 𝜌𝑛2 𝜌3 = 𝜌13 𝜌3 = ⋯ 3) Calcular los límites de confianza según la ecuación (39) 4) Criterios de decisión Si el 95% de los valores calculados del correlograma. Si menos del 95% de los valores calculados del correlograma caen dentro de los límites de confianza. II. César Terán Guevara.96(𝑁−𝐾−2)1/2 𝑟𝐾 (𝛼 = 5%) = …….M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. el modelo de MARKOV de primer orden es bueno para la serie de análisis.96 [según Salas (1975)] −1±1. HA: “ 𝜀𝑡 ” es totalmente dependiente. 2) Calculo del correlograma para los residuos de aplicar el modelo. entonces se acepta la hipótesis plantada.. 𝑥𝑡−1 + 𝑎2 . En hidrología con un nivel de significación del 5%: 𝑍𝛼 = 1. (39) 𝑁−𝐾−1 Prueba estocástica Prueba de independencia de “ 𝜀𝑡 ” 1) HP: El modelo de MARKOV de primer orden define la dependencia de 𝐸𝑡 ó la independencia de “ 𝜀𝑡 ”.. los que se determinan en función del primer y segundo coeficiente de autocorrelación (𝜌1 𝑦 𝜌2 ) ó (𝑟1 𝑦 𝑟2 ). 3) Se estima el valor del primer y segundo coeficiente de autocorrelación con “(𝑟1 𝑦 𝑟2 )” haciendo K=1 y K=2 respectivamente. 𝜌𝑘−2 (43) . se obtiene igual que para los modelos de primer orden: 𝐸𝑡 = 𝛼1 ∗ 𝐸𝑡−1 + 𝛼2 ∗ 𝐸𝑡−2 + 𝑅𝜉𝑡 ………. César Terán Guevara. (41) Donde: 𝐸𝑡 = Variable estocástica dependiente. El modelo Markoviano para los residuos “ 𝐸𝑡 ”. 6) Los valores obtenidos de “ 𝜉𝑡 ” son ajustados a una función de distribución igual que en el caso del modelo de MARKOV de primer orden. Proceso para definir el modelo 1) Sea “N” el número de años de la serie. 5. 7) Antes de ajustar los “𝜉𝑡 ” probar si el modelo es bueno para definir la dependencia. igual que en el caso anterior. Correlograma para MARKOV de segundo orden Sabemos que.. 4. Para la función de distribución de “ 𝜉𝑡 ”. 2) El modelo matemático representado por la ecuación (40). en general: 𝜌𝑘 = ∑𝑚 𝑗=1 𝛼1 ∗ 𝜌|𝑘−𝑗| (42) Para: m=2. se tiene 𝜌𝑘 = 𝛼1 .M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. 𝑅 = (1 + 𝛼12 + 𝛼22 − 2𝛼1 ∗ 𝛼2 ∗ 𝜌1 )1/2 Este modelo queda definido por: El primer y segundo coeficiente de autocorrelación.SEt−k 5) Despejando los valores “𝜉𝑡 ” de la ecuación (41) según: Válidos para: t=3. COV (Et .Et−k ) 4) rK = SEt . 𝜉𝑡 = Variable estocástica independiente.… N. 𝜌𝑘−1 + 𝛼2 . 𝜌2 + 2𝛼2 . 𝑅 = [1 − (𝛼12 + 𝛼22 + 𝛼32 + 2𝛼1 .𝜉𝑡−𝑘 ) 𝜌𝑘 = 𝑟𝐾 = (44) 𝑆𝜉𝑡 .M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. 𝜉𝑡 (47) Donde: 𝐸𝑡 = Componente estocástica dependiente. 𝛼3 . 𝑥𝑡−1 + 𝑎2 . Para: 𝜌0 = 1 𝐾 = 1 → 𝜌1 = 𝛼1 𝜌0 + 𝛼2 𝜌1 …. 𝛼3 . 𝛼2 . 𝜌|𝑖−𝑗| ] . 𝜌1 )]1/2 III. 𝜌1 + 2𝛼1 ..𝜌2 𝜌2 −𝜌12 𝛼1 = ^ 𝛼2 = 1−𝜌12 1−𝜌12 Prueba de independencia Se aplica los mismos criterios que para el modelo de MARKOV de primer orden. (2. (1.𝑆𝜉𝑡−𝑘 En caso de ser rechazado la hipótesis se prueba con el modelo de MARKOV de tercer orden. 𝑥𝑡−3 + 𝐸𝑡 (45) 𝐸𝑡 = 𝛼1 ∗ 𝐸𝑡−1 + 𝛼2 ∗ 𝐸𝑡−2 + 𝛼3 ∗ 𝐸𝑡−3 + 𝑅𝜉𝑡 (46) Expresión general de los modelos auto regresivos de MARKOV 1/2 𝐸𝑡 = ∑𝑚 𝑚 𝑚 𝑗=1 𝛼𝑗 . .a) 𝛼1 𝛼12 𝜌1 = ^ 𝜌2 = + 𝛼2 1−𝛼2 1−𝛼2 Resolviendo las ecuaciones: 𝜌1 −𝜌1 . MODELO MARKOV TERCER ORDEN Para m=3: 𝑥𝑡 = 𝑎1 . 𝑥𝑡−2 + 𝑎3 . César Terán Guevara. 𝐶𝑂𝑉 (𝜉𝑡. 𝐸𝑡−𝑗 + [1 − ∑𝑖=1 ∑𝑗=1 𝛼𝑖 ∗ 𝛼𝑗 .a) 𝐾 = 2 → 𝜌2 = 𝛼1 𝜌1 + 𝛼2 𝜌0 …. 𝑆𝑧 =Periodicidad en la desviación estándar p” el periodo z. Análisis mensual.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. MODELOS ESTOCÁSTICOS DE SERIES NO ANUALES Series no anuales: Mensuales Semanales Diarias Presentan periodicidades en sus parámetros. 52. … . 𝐸𝑝. … . 𝑖. 𝜌𝑖 = Coeficiente de autocorrelación de orden i. m con “m” igual al orden del modelo.…. 𝑝: 1. diario. 2. Modelo general 𝑥𝑝. 2.𝑧 = Componente estocástica para el año “p” y el periodo z. 3. 2. …. respectivamente.𝑧 = Serie hidrológica no anual. 3. semanal. 𝐸𝑝. 𝜉𝑡 = Componente estocástica independiente.𝑧 (48) Donde: 𝑥𝑝. 𝑧: 1. 𝑀𝑧 = Periodicidad en la media p” periodo z.𝑧 = 𝑀𝑧 + 𝑆𝑧 . 𝑗 = 1. 𝑚 𝑚 = # Total de años. 𝑤 𝑤: 12. 𝛼𝑗 = Coeficiente de autorregresión de orden j. 365. . César Terán Guevara. Diferencia entre datos de serie anual y no anual NO ANUAL ANUAL Figura 10. Media y desviación estándar A) Forma no paramétrica Proporciona valores de las periodicidades sin parámetros. Diferencias entre series anuales y no anuales. 𝑆𝑧 = Valor estimado la derivación estándar periódica. 1 𝑀𝑧 = ∑𝑛𝑃=1 𝑥𝑝.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing.𝑧 − 𝑀𝑧 ) ] (50) 𝑛−1 𝑀𝑧 = Valor estimado de la media periódica del periodo “z”. César Terán Guevara.𝑧 (49) 𝑛 1 2 1/2 𝑆𝑧 = [ ∑𝑛𝑃=1(𝑥𝑝. . 𝑚 = # Total de armónicas. 2.𝑧−𝑗 .𝑧 = ∑𝑚 𝑚 𝑚 𝑗=1 𝛼𝑖.𝑧−1 ) (55) Si llamamos: 𝛼1. 𝜉𝑝.𝑧−1 = 𝛼1 = 𝜌1 𝑅 = (1 − 𝜌12 )1/2 . Se emplea el método de series de Fourier. 3. 𝑛 𝑧: 1.𝑧 (54) Donde: 1/2 2 𝑅 = (1 − 𝛼1. MODELO DE MARKOV PRIMER ORDEN Dónde: m=1 𝐸𝑝.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. 𝑓𝑗𝑧 )] (51) Donde: 𝑈𝑧 = Periodicidad en la media ajustada con la serie de Fourier. sin(2𝜋. 𝜌|𝑖−𝑗| ] . … .𝑧 = 𝛼1. 3. 𝑤 B) Forma paramétrica Estimación de parámetros con ajuste de datos con una determinada curva.z −Mz Ep.𝑧 + 𝑅. César Terán Guevara. I. 2. 𝐸𝑝.𝑧−1 . 𝜉𝑝.𝑧−𝑗 .𝑧 (53) 𝑚 = # De orden del modelo de MARKOV. … .𝑧−𝑗 + [1 − ∑𝑖=1 ∑𝑗=1 𝛼𝑖.z = (52) Sz Expresión general: 1/2 𝐸𝑝. 𝑈𝑧 = 𝑀𝑥 + ∑𝑚 𝑗=1[𝐴𝑗 cos(2𝜋. 𝑖 𝑓𝑗𝑧 = 𝑤 Componente estocástica dependiente xp. 𝑓𝑗𝑧 ) + 𝐵𝑖 . 𝑝: 1. 𝐸𝑝. 𝑧−1 2 𝜌1.𝑧−3 + 1/2 2𝛼2. 𝐸𝑝. 𝐸𝑝.𝑧−3 + 𝜌1.𝑧−2 . 𝜌2.𝑧−3 .𝑧−2 2 − 𝜌1. ∴ 𝜉𝑝.z−2 α1. II.𝑧−3 ) + 𝜌1.z−1 = (60. 𝛼3.1) 1−ρ21.𝑧−3 .z−2 = (60.𝑧−3 + 2𝛼1. 𝜌2. 𝛼2. 𝛼2.z−2 α2.z−2 2) MARKOV DE TERCER ORDEN 2 𝐷 = 1 + 2𝛼1. 𝛼1.z−1 −ρ1.𝑧−1 .𝑧−3 − 𝜌1.𝑧 = 𝛼1. 𝐸𝑝.𝑧 = [1 − 𝛼1.𝑧 .𝑧−1 .𝑧−1 + 𝛼2. 𝜌2. 𝛼2.𝑧−2 − 2𝛼1. 𝜌1.𝑧−3 .𝑧−2 + 2𝛼1.𝑧−3 − 𝜌1.1) .𝑧 : Componente estocástico independiente. 𝜌1.2) 1−ρ21. 𝜌1. 𝜉𝑝.𝑧−3 (61) 𝛼1. 𝐸𝑝.𝑧−2 ] (57) III.𝑧−2 + 𝑅𝑝.z−1 ∗ρ1.𝑧−3 ] (59) Coeficientes de autorregresión 1) MARKOV DE SEGUNDO ORDEN ρ1.𝑧−2 .𝑧−2 − 𝜌2.𝑧−2 .𝑧−2 .𝑧−1 .𝑧 (58) Donde: 2 2 2 𝑅𝑝. 𝐸𝑝.𝑧−2 . 𝜌3.𝑧−3 . 𝜉𝑝. (1 − 𝜌1.𝑧−1 2 − 𝛼2.𝑧−3 − 𝜌1. 𝜌1. MODELO DE MARKOV DE SEGUNDO ORDEN Donde m=2: 𝐸𝑝.𝑧−1 + 𝛼2.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing.𝑧−1 .z−2 ρ2.𝑧 .𝑧 (56) Donde: 2 𝑅𝑝.𝑧−2 .𝑧 = [1 − 𝛼1.𝑧−1 .𝑧−2 .𝑧 = 𝛼1. MODELO DE MARKOV DE TERCER ORDEN Donde m=3: 𝐸𝑝.𝑧−2 .𝑧−1 + 𝛼2.𝑧−1 . 𝛼3.z−2 −ρ1.𝑧−3 = 𝐷 (62.z−2 ∗ρ2.𝑧−2 + 𝛼3.𝑧−3 + 𝑅𝑝. 𝜌3. César Terán Guevara.𝑧−3 . 𝜌2.𝑧−3 .𝑧−2 .𝑧−3 .𝑧−2 + 𝛼3. 𝑧−3 .𝑧−2 .2) 𝛼3. (1 − 𝜌1.𝑧−2 .𝑧−2 2 𝜌2. (O.𝑧−3 . 𝜌2. 2001). El producto de este análisis .𝑧−3 . 𝜌1. en el norte de Perú. 𝜌2. respectivamente. 𝜌2. dependiente de las características climáticas.𝑧−3 + 𝜌1. 𝜌3. 𝜌2. Sencillamente. con biodiversidad impresionante. Todas las unidades hidrológicas se desarrollan entre los 1500 y 4200 msnm.𝑧−3 ) + 𝜌1. La primera. el fenómeno simplificado queda representado por las variables mostradas en el tabla 05. Muchas de estas microcuencas. Las variables se agruparon en parámetros adimensionales.𝑧−3 2 𝜌3. Análisis dimensional de sistemas hidrológicos El fenómeno físico más importante en micro.𝑧−1 − 𝜌1. donde las temperaturas medias anuales oscilan entre 9 °C (zonas más altas) y 25 °C (zonas bajas). que sirvió de sustento a importantes poblaciones de culturas preincaicas.𝑧−1 − 𝜌1. y la segunda de la naturaleza de cada microcuenca (Chow. Sotelo-Ávila.3. reguladas mediante pequeñas presas. Similitud hidráulica de sistemas hidrológicos altoandinos y transferencia de información hidrometeorológica.𝑧−2 ) + 𝜌1.𝑧−3 . 𝜌1.𝑧−3 .𝑧−2 .𝑧−3 . si se desprecia la evapotranspiración real. 𝜌2.𝑧−1 + 𝜌1. y precipitaciones medias anuales que varían entre 400 y 1 200 mm/año. 𝜌1.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing.𝑧−3 . cuyos relieves escarpados y estrechos valles interandinos dan lugar a una gran variedad de pisos ecológicos. 𝜌3.cuencas altoandinas es el de precipitación-escorrentía.𝑧−2 .𝑧−3 − 𝜌1. variables causa y efecto. 𝛼2. 1993).𝑧−2 − 𝜌2. fueron la base fundamental del desarrollo agrícola en los valles interandinos. 2015) Metodología Comprende una muestra de 70 microcuencas altoandinas. 𝜌1.𝑧−2 . donde la presencia de la cordillera de los Andes determina una topografía muy abrupta e irregular.𝑧−3 . Ortiz. (1 − 𝜌1.𝑧−2 . 𝜌1.𝑧−1 = 𝐷 (62. propia de cada microclima.𝑧−3 = 𝐷 (62. César Terán Guevara.3. Rodríguez Díaz. 2000.3) 1. todas ubicadas en superficie territorial del departamento de Cajamarca. mediante la aplicación del teorema PI de Vaschy-Buckingham (Streeter & Wilie. 1977. condujo a la obtención de las leyes físicas que rigen los sistemas hidrológicos altoandinos. t=periodo de intensidad de precipitación. representa. 1997). P=precipitación pluviométrica. 𝑄=caudal de escurrimiento. los balances hidrológicos deben tomar en cuenta esta componente o bien incluirla como pérdida en los coeficientes de escorrentía(Chow. 𝑝=perímetro de la cuenca. Tabla 05.das por los parámetros adimensionales de las ecuaciones (63). El hecho de haber despreciado la evapotranspiración real en este análisis se justifica porque los tiempos de duración de las tormentas son relativamente cortos. H=altitud media sobre el nivel del mar. Variables y dimensiones del fenómeno precipitación-escorrentía. Aparicio. 𝐴=proyección del área receptora-colectora sobre un plano horizontal. (64). 1993. César Terán Guevara. . (65). I=intensidad de precipitación.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. para periodos de tiempo más largos. (66) y (67): Q π1 = (63) AP 𝐻 𝜋2 = (64) √𝐴 I∗t π3 = (65) H 𝑄 𝜋4 = − (66) 𝐼∗𝐴 p π5 = (67) √A Donde: Π=parámetro adimensional. & Rallo. 2009.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. donde multiplicando ambos miembros por 0. Antigüedad. características que favorecen la escorrentía directa y la erosión hídrica. Conviene resaltar que el término “igual” no tiene connotación matemática. 2004. Docampo.. Antigüedad.28*π5 ) dado por la ecuación (68). & Rallo. Docampo. Las microcuencas de forma oval concentran más rápidamente los flujos superficiales. con la hidráulica de modelos físicos se puede inferir entonces que: “dos o más sistemas hidrológicos son geométricamente semejantes si tienen igual índice de Gravelius”. 1988). 2005. Martínez. 1980. p K = 0. Gaspari. contrariamente al comportamiento de las cuencas alargadas (Ibáñez. 1980. sino simplemente el de una “igualdad hidrológica”. Moreno. Rico. que al igual que en estadística. De Vikeña. 1914). Rico. 2012). Askoa-Ibizate.28 (68) √A El índice de Gravelius tiene influencia en la configuración de la red de drenaje superficial y en la geometría del hidrograma de escorrentía directa y. parámetro adimensional que se obtiene relacionando el perímetro de una cuenca y el perímetro que tendría un círculo imaginario de la misma área que la cuenca (Askoa-Ibizate. Por analogía. donde sustituyendo el primer miembro por un coeficiente de escorrentía directa ( . Este parámetro. se acepta con cierto nivel de aproximación válida para fines prácticos. 2004. es un buen referente de similitud geométrica entre sistemas hidrológicos. Además. los rangos de este parámetro han sido de mucha utilidad en la clasificación de cuencas por su geometría. De Vikeña. tal como el que se plasma en el tabla 6 (Henaos. Docampo. Gaspari et al. 1986). César Terán Guevara.28 resulta el índice de Gravelius (Kc = 0. por tanto. Parámetro adimensional de semejanza geométrica Está dado por el parámetro adimensional de la ecuación (67). Rico. en la magnitud del caudal pico de avenidas (Senciales. & Gisberbert. 2005. 2009. generando picos súbitos violentos y recesiones rápidas ante tormentas extraordinarias. Gaspari et al. 2012. Gravelius. 2009.. en detrimento de la recarga de acuíferos. por ser descriptor más eficaz de la forma de la cuenca. De Vikeña. 2002. Parámetro adimensional de escurrimiento instantáneo Está dado por el parámetro adimensional de la ecuación (66). & Rallo. Aparicio. Aparicio. a partir de datos de precipitación (Chow. 1997): 𝑄 = 𝐾𝐴𝑃 (70) Donde: Q = caudal promedio en el periodo considerado. para estimar descargas máximas (picos de hidrogramas). Formas estándar de cuencas con base en el índice de Gravelius. Parámetro adimensional de escurrimiento sostenido Está dado por la ecuación (63). . 𝐶= coeficiente de escorrentía. 1993. por tratarse de periodos más largos. donde sustitu..f. aún vigente. metodología sencilla. s. El término “precipitación efectiva”. Tabla 06. incluye pérdidas por evapotranspiración real y almacenamiento en el suelo. 1993. 𝜋4 = C).M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. 1997): 𝑄𝑚𝑎𝑥 = 𝐶𝐼𝐴 (69) Donde: 𝑄𝑚𝑎𝑥 = caudal máximo de escorrentía directa. A = área de la cuenca receptora-colectora de precipitaciones. P = “Precipitación efectiva” en el periodo considerado. inherente al tiempo de concentración de la cuenca. expresión que puede usarse para la determinación de caudales promedio multianuales de escorrentía. Universidad Nacional de Colombia-Sede Medellín. se convierte en la ecuación del vetusto método Racional (69). 𝐼= intensidad máxima de precipitación. K = coeficiente de escorrentía.yendo el primer miembro por un coeficiente promedio (K = π1 ) se transforma en la ecuación (70). César Terán Guevara. obviamente. 𝐴= área receptora-colectora proyectada sobre un plano horizontal. que involucra a las componentes de escorrentía directa y subterránea (Chow. se considera que este parámetro constituye un buen referente de similitud dinámica. 2004. Se cuantifica mediante la aplicación de las ecuaciones (72) y (73). Horton. Parámetro de relación de confluencias promedio y semejanza cinemática Este parámetro adimensional. dinámicamente. Cruz-Santillán. 1983. 2002. César Terán Guevara. 1988). 1983. & Tamés. Cruz-Santillán. Parámetro adimensional orográfico y semejanza dinámica Está representado por la ecuación (64). ubicados a gran altitud. 1914. Docampo. Gaspari. por ende. Martínez. 1988): 𝐻2 𝐶0 = (71) 𝐴 Los sistemas altoandinos de relieve escarpa. 2012. siendo indicativos de una gran capacidad erosiva y de transporte de sedimentos (Henaos. & Tamés. Gaspari. con la hidráulica de modelos físicos se puede inferir que: “dos o más sistemas hidrológicos altoandinos son semejantes. & Rallo. parámetro asociado con las fuerzas gravitaciones de los flujos superficiales y. De Vikeña. Por analogía. 1945. con los potenciales de erosión hídrica y de generación de energía hidráulica (Henaos. Rico.. Gaspari et al. Por todo ello.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. 1980. se considera que la relación de confluencias promedio es un buen referente de la similitud cinemática de los sistemas hidrológicos. si tienen igual coeficiente orográfico”. Gravelius. influenciado también por el índice de Gravelius. Antigüedad. 𝐶0 (𝜋22 = 𝐶0 . Por la influencia que ejerce en la configura.do. conocido como coeficiente orográfico. prefiriéndose la metodología de Horton (Antigüedad.ción espacial de la red de drenaje. tienen coeficientes orográficos muy altos. 2002). con similar consideración del término “igual” que para el caso de semejanza geométrica. describe la configuración espacial o geometría de la red de drenaje y expresa el grado de ramificaciones de la red (Askoa-Ibizate. donde elevando al cuadrado ambos miembros resulta el parámetro adimensional de la ecuación (71). 2009. 𝑛𝑖 𝑟𝑐 = (72) 𝑛𝑖+1 1 𝑅𝐶 = ∑𝑛1 𝑟𝑐𝑖 (73) 𝑛 . 1980. 1986). para lo cual es necesaria la categorización previa de la red de drenaje superficial. 1997). dependiendo en qué parámetro se ubique la variable de interés (Streeter & Wilie. Condición de semejanza hidráulica de sistemas hidrológicos Por analogía. Es muy importante en la generación de escorrentías máximas (caudales pico) a partir de datos de precipitación.. cinemática y dinámica”. se infiere que: “dos sistemas hidrológicos son semejantes. 2001). Donde: 𝑟𝑐 = relación de confluencias parcial. pero. 𝑁=número de orden de la cuenca. Sotelo-Ávila. “dos o más sistemas hidrológicos altoandinos son semejantes si cumplen simultáneamente las condiciones de semejanza geométrica. 1977.N-1). Aparicio. con la hidráulica de modelos físicos a escala. explica que en cuencas altoandinas la precipitación es dependiente de la altitud sobre el nivel del mar. (65). 𝑟𝑐𝑖 = cada uno de los “n” valores parciales. (66) y (67)) se convierten en funciones de transferencia. Parámetro adimensional de lluvia Este parámetro. 2000. 2. 1993.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. 𝑛𝑖 = número de cursos naturales de orden i. 𝑅𝐶 = relación de confluencias promedio. Parámetros adimensionales de transferencia Establecida la similitud hidráulica entre sistemas. Ro.. 𝑛𝑖+1 = número de cauces de orden inmediatamente superior a i (i=1. cinemáticamente. . con la misma indicación del término “igual” que para los dos casos de semejanza anteriores. entre modelo y prototipo. (64). con cierto nivel de aproximación previamente adoptado. César Terán Guevara. dado por la ecuación (65). describe las características de la precipitación pluviométrica sobre la cuenca como una variable con distribución espacial y temporal. 2. además. Se observa que las mayores intensidades ocurren en periodos cortos de tiempo y a mayor altitud sobre el nivel del mar y viceversa (Chow. si tienen igual relación de confluencias promedio”. Por analogía. todos los parámetros adimensionales que controlan las leyes del fenómeno estudiado (ecuaciones (63).dríguez Díaz. 2000. el parámetro adimensional de la ecuación (74) queda conforme lo establece la ecuación (75). se pueden realizar combinaciones entre parámetros para obtener otro(s) parámetro adimensional(es) con mayor cantidad de variables. tal como el parámetro adimensional de la ecuación (74). 1977. 𝑃𝑒 = escala de precipitaciones. respectivamente: 𝐻 𝑃 𝐴 3⁄2 𝑄𝑑 = ( 0 ) ( 𝑑 ) ( 𝑑) 𝑄0 (76) 𝐻𝑑 𝑃0 𝐴0 ⁄ 𝑄𝑑 = 𝐻𝑒−1 𝑃𝑒 𝐴3𝑒 2 𝑄0 (77) Donde: 𝐻𝑒 = escala de altitudes. resultado de combinar las ecuaciones (63) y (64). Rodríguez Díaz. 𝑄𝑑 = caudal total transferido a la cuenca destino. Sotelo-Ávila. con el propósito de mejorar la calidad de transferencia. 1977. 2001): 𝑄𝐻 𝜋12 = (74) 𝐴 3⁄2 𝑃 Aplicando el principio de similitud para una dupla de cuencas origen y destino. en función de escalas (Streeter & Wilie. en función de escalas: 𝐼0 𝑡0 𝐼𝑑 𝑡𝑑 = (78) 𝐻0 𝐻𝑑 . En ocasiones. Sotelo-Ávila.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. 2001): 𝑄0 𝐻0 𝑄𝑑 𝐻𝑑 3⁄2 = 3⁄2 (75) 𝐴0 𝑃0 𝐴𝑑 𝑃𝑑 Los subíndices de las variables del primer y segundo miembro de esta ecuación corresponden a los sistemas hidrológicos de origen y destino. muy importante para transferir escorrentías(Streeter & Wilie. 2000. Otras de las variables de mayor escasez son las intensidades de tormentas máximas. 𝐴𝑒 = escala de áreas. la que mediante el principio de similitud se convierte en la ecuación (78) o su equivalente (79). cuya función de transferencia se obtiene a partir de la ecuación (65). César Terán Guevara. Rodríguez Díaz. 𝑄0 = caudal total en la cuenca de origen. o su equivalente (77). Estimación de variables involucradas en los parámetros adimensionales de semejanza. 𝐻 𝑡 𝐼𝑑 = ( 𝑑) ( 0 ) 𝐼0 = 𝐻𝑒 𝑡𝑒−1 𝐼0 (79) 𝐻0 𝑡𝑑 Donde: 𝐼𝑑 = intensidad de precipitación en la cuenca destino.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. siguiendo la misma metodología para cada caso.tientes del Pacífico y Atlántico. dado por la ecuación (80) (Chow. Δ𝐴𝑖 = área parcial entre curvas de nivel consecutivas. Procesamiento de información cartográfica empleando la misma metodología para cada caso (delimitación de cuenca. perímetro. 𝐼0 = intensidad de precipitación en la cuenca de origen. altitud. Muestra de microcuencas altoandinas. jerarquización de la red de drenaje. De preferencia. . área. ubicadas en cabeceras de las ver. 𝐴= área de la cuenca. como garantía de que se hayan usado los mismos criterios para su elaboración. y desarrolladas por encima de los 1 500 msnm. ℎ̅𝑖 = promedio de cotas de las dos curvas de nivel que limitan cada área parcial. 1993. 𝐻𝑒 = escala de altitudes. Perú). Para la determinación de la altitud media sobre el nivel del mar se ha utilizado el método momentos estáticos de Varignon. César Terán Guevara.). Aparicio. etc. 1997): ̅ = 1 ∑𝐴 Δ𝐴𝑖 ℎ̅𝑖 𝐻 (80) 𝐴 Donde: 𝐻̅= altitud media sobre el nivel del mar. Con el fin de controlar errores y costos en el presente estudio. 𝑡𝑒 = escala de periodos de duración. 1/100 000. deben usarse modelos digitales de altitudes 3D y procedimientos en SIG. Mapas cartográficos elaborados por una misma institución (IGN. se ha establecido un protocolo consistente en lo siguiente: Uso de mapas cartográficos a la misma escala.región Cajamarca Se seleccionaron aleatoriamente 70 microcuencas altoandinas de la región Cajamarca-Perú (tabla 07). Parámetros de semejanza entre unidades hidrológicas altoandinas de la región Cajamarca. La división de áreas parciales entre curvas de nivel de la cuenca de estudio se realizó en concordancia con la topografía y. . Tabla 07. Perú. César Terán Guevara. generalmente.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. 1993). entre curvas maestras (Chow. *Modelo de manejo de cuenca piloto. relación de confluencias. forestación Granja Porcón. utilizando el criterio de rangos del índice de Gravelius del tabla 6.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. César Terán Guevara. Identificación de microcuencas hidráulicamente similares El protocolo establecido para la identificación o reconocimiento de sistemas hidrológicos altoandinos con similitud hidráulica se resume en las siguientes actividades: a) Estimación de parámetros morfométricos de similitud hidráulica: índice de Gravelius. de tal modo que el coeficiente de . Resulta obvio considerar que todas las unidades hidrológicas comprendidas en un mismo rango son geométricamente semejantes. coeficiente orográfico. b) Agrupación de microcuencas por su geometría. c) Se excluyen de cada grupo geométrico aquellas unidades hidrológicas más discrepantes. N = número de orden de la cuenca. No se incluye aquí el procedimiento de este análisis. aceptado en la práctica. sin embargo. relación de confluencias y coeficiente orográfico no exceda de 0. se tomó como sistema origen la microcuenca río Mashcón (Tabla 13). muy importante para cualquier proyecto de drenaje superficial y obras de captación (drenaje de carreteras. estación que hasta hace muy poco tiempo era única en su género a nivel regional con registro de información pluviográfica. César Terán Guevara. luego del paso precedente. en cuya cuenca baja se ubica la estación pluviométrica Weberbauer (07° 10´ S.30. en las inmediaciones del campus universitario de la Universidad Nacional de Cajamarca.20 y 0. pero pudo haber sido cualquier otra del mismo grupo geométrico de similitud hidráulica que la cuenca origen (ver Tabla 13). 1993. El análisis de frecuencias de tormentas máximas anuales de 50 años de registro y el ajuste de datos al modelo de variable extrema Gumbel permitió modelar y simular las intensidades de máximas tormentas anuales. respectivamente. se . canales de riego.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. sino el de simplemente transferir información. 78° 30´ W. drenaje pluvial urbano. etc. 1997). son microcuencas hidráulicamente similares. se justifica por los niveles de error cometidos en la estimación de variables y efectos de escala. centrales hidroeléctricas.). Aparicio. d) Las unidades hidrológicas que quedan. 0. algunos de cuyos resultados se presentan en el Tabla 14 (Chow. no existiendo preferencia particular. variación del índice de Gravelius. defensas ribereñas. así como otras de la región de estudio. Sistema hidrológico sin información de máximas tormentas Se seleccionó a priori la microcuenca del río Jadibamba (altitud media: 3 218 msnm). altitud: 2 536 msnm) del Servicio Nacional de Meteorología e Hidrología (Senamih-Perú). presas de regulación. por no ser objeto del presente estudio.05. Transferencia de información hidrometeorológica Sistema hidrológico con información de tormentas máximas Para ilustrar la aplicación de transferencia de información mediante esta metodología. Este nivel de aproximación. captaciones de aguas de lluvia. Los datos pueden transferirse a cualquier punto de interés del sistema hidrológico des. prevención de inundaciones. Esta cuenca. carece de información de máximas tormentas.tino. 0. con altos riesgos de inundaciones ante tormentas extraordinarias. resultando los grupos siguientes: Microcuencas de la forma oval redonda Este grupo (Tabla 08). Clasificación morfométrica de microcuencas Las unidades hidrológicas de la muestra fueron clasificadas de acuerdo con el criterio de rangos del índice de Gravelius plasmado en el Tabla 06.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. seguido en forma ascendente por la relación confluencias y coeficiente orográfico. El caso extremo corresponde al coeficiente orográfico. los estadísticos de la muestra para la relación de confluencias dan cuenta de una mayor variabilidad (Cv = 39. conformado por 12 unidades hidrológicas (17. donde la menor discrepancia corresponde al índice de Gravelius.1%).40. respectivamente.40). generando hidrogramas de salida del tipo leptikúrtico. sobre las otras dos formas geométricas (figura 11). César Terán Guevara. Kc = 1.11%) en la configuración de la red de drenaje. En cambio. desviación estándar y coeficiente de variación. para la media aritmética. donde las crecidas efluentes son muy súbitas y violentas. cuya variabilidad se percibe a través de los coeficientes de variación de cada uno de los parámetros adimensionales de similitud hidráulica mostrados en el Tabla 07. optó.79 %). son indicadores de baja variabilidad de la forma geométrica y un alto predominio de la forma oval oblonga (media. está caracterizado por tener tiempos de concentración relativamente cortos. muy sensible con la ubicación de los sistemas respecto del nivel del mar. el punto correspondiente a la altitud media de la cuenca destino (3 218 msnm). Los estadísticos del índice de Gravelius de 1.1587 y 0.1133. . para efectos de la ilustración. pero siempre coincidentemente inclinándose las mayores bifurcaciones a la forma oval oblonga de la cuenca promedio. cuya variabilidad es muy alta (123. Resultados Parámetros morfométricos adimensionales de similitud hidráulica Los resultados de los estudios de morfometría adimensional dan cuenta que se trata de una muestra bastante heterogénea. lo cual clarifica el orden de influencia de la geometría de la cuenca. Tabla 08. César Terán Guevara.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. Figura 11. pero con respuestas ligeramente menos intensas ante tormentas extraordinarias. Similitud de sistemas hidrológicos en la forma oval oblonga. . Es la geometría de cuencas con mayor presencia en la región de estudio (figura 11).9%). tiene características hidrológicas muy parecidas a las del grupo oval redonda. Grupo de microcuencas de la forma oval redonda. conformado por 44 microcuencas (62. Microcuencas de la forma oval oblonga Este grupo geométrico (Tabla 09). A diferencia de los dos tipos de geometría anteriores. conformado por 14 unidades hidrológicas (20%). Tabla 09. César Terán Guevara. en este caso las condiciones para la recarga de acuíferos son más favorables y las pérdidas por escorrentía directa menores (figura 12 ). . con caudales más sostenidos y recesiones más duraderas. Grupo de microcuencas de la forma oval oblonga.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. generando hidrogramas de crecidas efluentes del tipo platikúrtico. se caracteriza porque los tiempos de concentración son relativamente mayores que en las dos formas anteriores. Microcuencas de la forma oblonga alargada Este grupo (Tabla 10). equivalente a 50% del total del grupo y sólo el 10% del total de la muestra. lo cual confirma la solidez del criterio de esta clasificación. por descarte. En los tres grupos de clasificación. los sistemas con similitud hidráulica. Similitud hidráulica de sistemas hidrológicos En cada tabla de clasificación geométrica anterior se han identificado.7% del total de la muestra. Tabla 10.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing.3% del total del grupo y sólo 5. Grupo de microcuencas de la forma oblonga alargada. el coeficiente de variación cayó estrepitosamente por debajo de 5% respecto de su valor muestral (11. que representan 33. César Terán Guevara.3%). teniendo en cuenta el límite de error establecido para cada uno de los parámetros de similitud hidráulica. . Similitud hidráulica de sistemas hidrológicos de la forma oblonga alargada Dentro de esta clase geométrica se identificaron siete microcuencas con similitud hidráulica (Tabla 12). Similitud hidráulica de sistemas hidrológicos de forma oval redonda En el grupo de esta forma se identificaron cuatro microcuencas con similitud hidráulica (Tabla 11). .M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. Se aprecia claramente la supremacía absoluta de similitud hidráulica de microcuencas de esta geometría. estadística que no sólo refleja la significativa presencia de unidades hidrológicas de esta geometría. César Terán Guevara. equivalentes a 52. Tabla 11. Similitud de sistemas hidrológicos en la forma oblonga alargada. Figura 12. Microcuencas altoandinas de la forma oval redonda con similitud hidráulica. Es importante destacar que en los tres grupos geométricos.3% del total del grupo y a 32. la cantidad porcentual de unidades hidrológicas con tendencia a la similitud hidráulica en el mismo grupo de clase está siempre por encima de 33%. sino también la alta tendencia de similitud hidráulica dentro de su misma clase o grupo. porcentaje muy significativo si se hace extensivo a la región de estudio. Similitud hidráulica de sistemas hidrológicos de la forma oval oblonga En este tipo de geometría se identificaron 23 unidades hidrológicas hidráulicamente similares (Tabla 13).9% de la totalidad de la muestra. César Terán Guevara.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. Sistema hidrológico destino sin información de tormentas máximas Teniendo como información de partida los datos del Tabla 14. . Tabla 12. denotado por los coeficientes de variación de 11. calibrado mediante técnicas estadísticas de mejor ajuste. considerando que los periodos de duración estándar de las intensidades se man. información que corresponde a la ubicación de la estación pluviométrica Weberbauer en la cuenca baja de la unidad hidrológica río Mashcón (2 536 msnm).27. la ubicación de la estación Weberbauer (2 536 msnm) en la cuenca baja del río Mashcón y la altitud media de la microcuenca destino río Jadibamba (3 218 msnm). y que la escala de altitudes es 𝐻𝑒 = 1.tienen (escala tiempos. algunos de estos resultados se presentan en el Tabla 14. Microcuencas altoandinas de la forma oblonga alargada con similitud hidráulica. 39. permitió la generación de información con la más diversa gama de probabilidades de ocurrencia.3. se obtuvieron los datos transferidos del Tabla 15. Discusión De las características morfométricas adimensionales de la muestra La muestra está caracterizada por el distinto grado de variabilidad de los parámetros de similitud hidráulica. 𝑡𝑒 = 1). correspondientes al índice de Gravelius.8%. mediante la aplicación de la función de transferencia de la ecuación(79).1 y 123. Transferencia de información hidrometeorológica Sistema hidrológico de origen con información de tormentas máximas La simulación del modelo probabilístico Gumbel. relación de confluencias y coeficiente orográfico. respectivamente. La mayor proximidad entre valores de los coeficientes de variación del índice de Gravelius (11. Las microcuencas con la más alta vulnerabilidad a la degradación hídrica (mayores valores del coeficiente orográfico) y con elevada capacidad de drenaje superficial (redes de drenaje con mayores bifurcaciones). De la influencia de la geometría de la cuenca El resultado de clasificar las cuencas por su geometría arrojó 12 de la forma oval redonda (17%).1) es indicador de la mayor influencia que tiene la forma de la cuenca sobre la configuración de la red de drenaje. César Terán Guevara.3%) y relación de confluencias (39. La presencia superlativa de la forma oval (80%) en . Microcuencas altoandinas de la forma oval oblonga con similitud hidráulica. 44 de la forma oval oblonga (63%) y 14 de la forma oblonga alargada (20%).M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. se concentran mayormente en la cabecera de la vertiente del Pacífico. Tabla 13. Comportamiento que indica el grado de influencia que tiene la forma de la cuenca sobre la configuración de la red de drenaje y los factores de relieve en el mismo orden. respecto de su valor muestral (11. La caída estrepitosa del coeficiente de variación del índice de Gravelius en cada grupo de clasificación (menos del 5%). el coeficiente de variación del índice de Gravelius está por debajo de 5%. microcuenca del río Mashcón. . lo cual evidencia la solidez del criterio de clasificación mediante rangos del índice de Gravelius.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. Tabla 14. Intensidades máximas de precipitación-estación pluviométrica Weberbauer (altitud: 2 536 msnm). En cada grupo de clasificación. pérdidas excesivas por escorrentía superficial y capacidades muy altas de erosión y de transporte de sedimentos. la muestra regional evidencia la primacía de sistemas altamente vulnerables a la erosión hídrica. César Terán Guevara.3%) corrobora una vez más la gran influencia de la geometría de la cuenca en la similitud hidráulica. César Terán Guevara. N es periodo de años consecutivos. Sin embargo. Tr. correspondiente a la forma oval oblonga. 50 y 33%. donde se vuelve a notar el amplio predominio de similitud hidráulica en las cuencas de la forma oval oblonga. De la similitud hidráulica de sistemas hidrológicos La frecuencia con que se da la similitud hidráulica en cada grupo geométrico bajo los límites establecidos es de 52. Tabla 15. J. Intensidades máximas de precipitación transferidas a la microcuenca río Jadibamba (altitud media: 3 218 msnm). 10 y 6% en el mismo orden citado. respectivamente.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. respecto a la muestra. tiempo de retorno. estos porcentajes se reducen a 33. . lo que demuestra una tendencia importante a la similitud hidráulica dentro de cada grupo. oblonga alarga y oval redonda. incertidumbre. 0. es mayor en cuencas de forma oval redonda. El grado de aproximación de la similitud.05. para el índice de Gravelius. incertidumbre (J). subnacionales o internacionales. Finalmente. respectivamente. relación confluencias y coeficiente orográfico. seguido por la forma oval alargada y oval oblonga respecto al límite fijado para cada parámetro de similitud hidráulica. como garantía de semejanza geométrica. permite convertir o transformar la intensidad de precipitación en escorrentía. por su naturaleza adimensional. respectivamente. dado el parámetro adimensional de la ecuación (65). según sus intereses. cuyo conjunto constituye la base científica de esta metodología. El trípode sobre el que descansa la similitud hidráulica de sistemas hidrológicos altoandinos está conformado por el índice de Gravelius.30. utilizando otra de las leyes de los sistemas hidrológicos altoandinos. (65). tiempos de retorno (Tr) y periodo de duración. el problema en cuencas con similitud hidráulica. de donde se deriva el método Racional. acorde con el tiempo de concentración de la superficie receptora/ colectora— permite adecuarla a la naturaleza e importancia de cualquier proyecto hidráulico. Sin embargo.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. de manera sencilla. La selección de la variable de diseño (Tablas 14 y 15) —donde existe una gama muy amplia de opciones en cuanto a periodos de vida útil (N). De la transferencia de información hidrometeorológica En general. (64). pero a su vez muy útil para generar escorrentías máximas partiendo de esta información en microcuencas sin datos hidrométricos de máximas avenidas. César Terán Guevara. cinemática y dinámica.20 y 0. esto queda a criterio del investigador. bajo niveles de aproximación previamente establecidos. Esta metodología resuelve. en cambio. Para los niveles de aproximación de similitud aceptables para fines prácticos medidos mediante el coeficiente de variación pueden tomarse como máximos referenciales los valores de 0. (66) y (67). La metodología aquí desarrollada. la información de intensidades correspondientes a máximas tormentas es muy escasa. relación de confluencias y coeficiente orográfico. Conclusiones Las leyes físicas que gobiernan los sistemas hidrológicos altoandinos con base en el fenómeno precipitación-escorrentía se rigen por la morfometría adimensional representada por las ecuaciones (63). . puede aplicarse a cualquier región o interregiones. La descarga máxima de diseño. que sean motivo de réplica en cuencas similares. siempre y cuando cumplan las leyes físicas que gobiernan los sistemas hidrológicos altoandinos (ecuaciones (63). mediante técnicas de morfometría adimensional. a solucionar problemas de escasez de información hidrometeorológica con fines de manejo integral de cuencas hidrográficas piloto. César Terán Guevara. Este estudio muestral de morfometría adimensional de la región Cajamarca reporta un amplio predominio de sistemas hidrológicos con altos potenciales de erosión hídrica (80%). las que requieren de mucha información distribuida en espacio y tiempo para conseguir resultados aceptables. por tanto. 2. escorrentía) estimado sobre la base de las características de la cuenca. A<10 Km 2. incluyendo fenómenos extremos de El Niño. es un proceso sencillo a diferencia de otras metodologías de análisis regional. El intercambio de información hidrometeorológica entre sistemas hidrológicos similares. Método Racional. traducido en una excesiva capacidad de drenaje superficial y de transporte de sedimentos y. (Manual de hidrología e hidráulica. altos riesgos de peligrosidad de inundaciones ante eventos pluviométricos extraordinarios. (65). Los estudios de regionalización morfométrica pueden ayudar.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. Considerar que la duración de P es igual a tc. . Muy usado para cuencas. abarcando todas las abstracciones en un solo coeficiente c (coef. MÁXIMAS AVENIDAS. en gran medida.278 𝐶𝐼𝐴 (81) Donde: 𝑄: Descarga máxima de diseño (𝑚3 ⁄𝑠) 𝐶: Coeficiente de escorrentía (ver tabla 16) 𝐼: Intensidad de precipitación máxima horaria (𝑚𝑚⁄ℎ) 𝐴: Área de la cuenca (𝐾𝑚2 ). 2. que coadyuven a enfrentar fenómenos de cambio climático global.1. (64).) Estima el caudal máximo a partir de la precipitación. según esta metodología. (66) y (67)). se obtiene a partir de la siguiente expresión: 𝑄 = 0. Min Trans. acrecentándose con la presencia de eventos extraordinarios de fenómenos de El Niño. 2.) 𝐼: Intensidad de precipitación máxima horaria (𝑚𝑚⁄ℎ) 𝐴: Área de la cuenca (𝐾𝑚2 ). Coeficientes de escorrentía método racional El valor del coeficiente de escorrentía se establecerá de acuerdo a las características hidrológicas y geomorfológicas de las quebradas cuyos cursos interceptan el alineamiento de la carretera en estudio. la fórmula es la siguiente: 𝑄 = 0. Método Racional Modificado. (Manual de hidrología e hidráulica.2. Y permite estimar de forma sencilla caudales punta en cuencas de drenaje naturales con áreas menores de 770 km2 y con tiempos de concentración (Tc) de entre 0. Tabla 16. En virtud a ello.278 𝐶𝐼𝐴𝐾 (82) Donde: 𝑄: Descarga máxima de diseño (𝑚3 ⁄𝑠) 𝐶: Coeficiente de escorrentía( ver tabla 16.25 y 24 horas. 1991) adaptada para las condiciones climáticas de España.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. los coeficientes de escorrentía variarán según dichas características. César Terán Guevara. Min Trans. .) Es el método racional según la formulación propuesta por Témez (1987. 𝐾: Coeficiente de Uniformidad Las fórmulas que definen los factores de la fórmula general. son los siguientes: A) Tiempo de Concentración (Tc) 𝑇𝑐 = 0. César Terán Guevara.25 𝐾 =1+ 1.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing.1 −𝑇0.1 −1 (87) 24 Donde: P: Precipitación máxima corregida (mm) .76 (83) Donde: L: Longitud del cauce mayor (Km) S: Pendiente promedio del cauce mayor (m/m) B) Coeficiente de Uniformidad 𝑇𝑐1.25 )0.3(𝐿⁄𝑆 0.1 𝑐 𝑃 𝐼 = ( ) ∗ (11) 280.25 (84) 𝑇𝑐 +14 Donde: 𝑇𝑐 = Tiempo de concentración (horas) C) Coeficiente de simultaneidad o Factor reductor (𝐾𝐴 ) 𝐾𝐴 = 1 − (𝑙𝑜𝑔10 𝐴⁄15) (85) Donde: A: Área de la cuenca (𝐾𝑚2 ) D) Precipitación máxima corregida sobre la cuenca (P) 𝑃 = 𝐾𝐴 𝑃𝑑 (86) Donde: 𝐾𝐴 : Factor reductor 𝑃𝑑 : Precipitación máxima diaria (mm) E) Intensidad de Precipitación ( I ) 280. Fuente: Hidrología Aplicada (Ven te Chow) La hipótesis del método del SCS consiste en que las relaciones de las dos cantidades reales y las dos cantidades potenciales son iguales. después de que la escorrentía se inicia. César Terán Guevara. la profundidad de exceso de precipitación o escorrentía directa Pe es siempre menor o igual a la profundidad de precipitación P.3. luego la escorrentía potencial es P-Ia.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. Método de la Curva Número SCS (Manual de hidrología e hidráulica. Para la tormenta como un todo. Min Trans. de manera similar.) El Soil Conservation Service (1972) desarrolló un método para calcular las abstracciones de la precipitación de una tormenta. la profundidad adicional del agua retenida en la cuenca Fa es menor o igual a alguna retención potencial máxima S. 2. 𝑇𝑐 : Tiempo de concentración (horas) F) Coeficiente de Escorrentía (C ) (𝑃𝑑 −𝑃𝑜 )∗(𝑃𝑑 +23∗𝑃𝑜 ) 𝐶= (𝑃𝑑 +11𝑃𝑜 )2 (88) Donde: 𝑃𝑑 : Precipitación máxima diaria (mm) 5000 𝑃𝑜 : Umbral de escorrentía = − 50 𝐶𝑁 CN: Número de curva. Existe una cierta cantidad de precipitación Ia (abstracción inicial antes del encharcamiento) para lo cual no ocurrirá escorrentía. es decir: . Figura 13: Variables en el método. 𝐹𝑎 𝑃𝑒 = 𝑆 𝑃 − 𝐼𝑎 Del principio de continuidad: 𝑃 = 𝑃𝑒 + 𝐼𝑎 + 𝐹𝑎 Combinando las ecuaciones anteriores y resolviendo para Pe se encuentra: (𝑃−𝐼𝑎)2 𝑃𝑒 = (89) 𝑃−𝐼𝑎+𝑆 La cual es la ecuación básica para el cálculo de la profundidad de exceso de precipitación o escorrentía directa de una tormenta utilizando el método SCS (Ver Figura 14). de algunos eventos en el que se disponga de datos de precipitación y caudales resultantes. César Terán Guevara. se desarrolló una relación empírica.8𝑆 El uso de esta metodología exige la determinación del valor respectivo del CN (número adimensional de curva o curva número).M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. . valor que debe ser obtenido mediante procesos de calibración. luego se corre el modelo hasta ajustar el hidrograma calculado con el observado en el campo. Al estudiar los resultados obtenidos para muchas cuencas experimentales pequeñas.2𝑆)2 𝑃𝑒 = (90) 𝑃+0.2𝑆 Con base en esto: (𝑃−0. correspondiente al área específica en estudio. La calibración del parámetro CN se realiza con información de campo. 𝐼𝑎 = 0. Es un proceso de prueba error en donde se ajusta el parámetro (CN) hasta obtener coincidencias entre ambos hidrogramas. Para superficies impermeables y superficies de agua CN = 100. El número de curva y S se relacionan por: 1000 𝑆= − 10 (91) 𝐶𝑁 Donde S está en pulgadas. Figura 14. para superficies naturales CN < 100. el parámetro CN puede estimarse mediante el siguiente procedimiento: Se define un número adimensional de curva CN. Para condiciones secas (AMC I) o condiciones húmedas (AMC III). los números de curva equivalentes pueden calcularse por: 4. Ejemplo Hietograma de precipitación efectiva Como alternativa. César Terán Guevara. Los números de curvas se aplican para condiciones para condiciones antecedentes de humedad normales (AMC II).058𝐶𝑁(𝐼𝐼) 23 𝐶𝑁(𝐼𝐼) 𝐶𝑁(𝐼𝐼 ) = (93) 10+0. tal que 0 ≤ CN ≤ 100. y como valor referencial.2 𝐶𝑁(𝐼𝐼) 𝐶𝑁(𝐼) = (92) 10−0.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing.13𝐶𝑁(𝐼𝐼) . . Los valores de CN para varios tipos de uso de la tierra en estos tipos de suelos se muestran en la Tabla 18. Para una cuenca hecha de varios tipos de suelos y con diferentes usos de la tierra. suelos profundos depositados por el viento. suelos con bajo contenido orgánico y suelos con altos contenidos de arcilla. Se definen cuatro grupos de suelos: Grupo A: Arena profunda. César Terán Guevara. Los números de curva han sido tabulados por el Soil Conservation Service con base en el tipo de suelo y el uso de la tierra. margas arenosas poco profundas. Grupo B: Suelos pocos profundos depositados por el viento.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. limos agregados. Grupo C: Margas arcillosas. se puede calcular un CN compuesto. arcillas altamente plásticas y ciertos suelos salinos. Grupo D: Suelos que se expanden significativamente cuando se mojan. marga arenosa. Tabla 17: Clasificación de clases antecedentes de humedad (amc) para el método de abstracciones de lluvia del SCS Fuente: Soil Conservation Service. Una buena cubierta está protegida del pastizaje. Las áreas permeables restantes (césped) se consideran como pastizales en buena condición para estos números de curva. César Terán Guevara. remitirse a Soil Conservation Service. 4. Para una descripción más detallada de los números de curva para usos agrícolas de la tierra. 3. con un mínimo del agua del techo dirigida hacia el césped donde puede ocurrir infiltración adicional. y los desechos del retiro de la cubierta del suelo. Tabla 18. 2. Números de curva de escorrentía para usos selectos de tierra agrícola. Los números de curva se calculan suponiendo que la escorrentía desde las casas y de los sucesos se dirige hacia la calle. Cap.9. Ia =0.2s) 1. . suburbana y urbana (condiciones antecedentes de humedad II. 1972.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. 1. existen hidrogramas sintéticos que son simulados. el SCS sugiere este hidrograma donde el tiempo está dado en horas y el caudal en m3/s.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing.6 𝑡𝑐 Donde: 𝑡𝑝: Tiempo de retardo (entre el centroide del hietograma y el pico de caudal) (h) . Min Trans.) Además de los hidrogramas naturales. puede demostrarse que: 2. 2. puede aproximarse a: 𝑡𝑟 = 1.4. El tiempo de recesión. (Fuente: Hidrología Aplicada (Ven te Chow)) 2. Su finalidad es representar o simular un hidrograma representativo del fenómeno hidrológico de la cuenca.4.67𝑇 Como el área bajo el HU debe ser igual a una escorrentía de 1 cm. En algunos países con climas más cálidos se puede utilizar 95 como número de curva. 5. César Terán Guevara. para determinar el caudal pico para diseñar.08𝐴 𝑞𝑝 = (94) 𝑇𝑝 Donde: A: Es el área de drenaje en 𝐾𝑚2 𝑇𝑝 : Es el tiempo de ocurrencia del pico en horas Adicionalmente. tr. un estudio de muchas cuencas ha demostrado que: 𝑡𝑝 = 0.cm. El volumen generado por la separación de la lluvia en neta y abstracciones es propagado a través del río mediante el uso del hidrograma unitario. Hidrograma sintético triangular del SCS Con base en la revisión de un gran número de HU. artificiales y se obtienen usando las características fisiográficas y parámetros de la cuenca de interés. Hidrogramas sintéticos (Manual de hidrología e hidráulica. Para cuencas urbanas. puede expresarse como: 𝐷 𝑇𝑝 = + 𝑡𝑝 (95) 2 Donde: D: Duración de la lluvia (h) Figura 15. 𝑡𝑐: Tiempo de concentración de la cuenca. 𝑓2 (96) 𝑓1 = 1 − 𝑀𝑎 𝐾 𝑓2 = 1 − 𝑀𝑐 𝐾 Donde: 𝑀𝑎: Porcentaje de aumento de áreas impermeables 𝑀𝑐: Porcentaje de áreas canalizadas . Fuente: Hidrología Aplicada (Ven te Chow) Este método es recomendable tan solo para cuencas de hasta a 30 Km 2. Es muy usado en cuencas sin muchos datos hidrológicos. Hidrograma Unitario Triangular del SCS. donde tp y tc disminuyen por la impermeabilización y canalización se aplica: 𝑡𝑝 = 𝑡𝑝 (𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙). César Terán Guevara. 𝑓1. El tiempo de ocurrencia del pico .M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing.𝑇𝑝 . su tiempo de retardo en la cuenca 𝑡𝑝 R en horas y su caudal pico por unidad de área de drenaje 𝑞𝑝 R en m3/s*km2*cm.5 𝑡𝑟 El retardo de cuenca está dado por: 𝑡𝑝(ℎ𝑟) = 0. Método Hidrograma Unitario Sintético de Snyder Snyder definió el hidrograma unitario estándar como aquel cuya duración de lluvia tr está relacionada con el retardo de cuenca tp por 𝑡𝑝 = 5. El retardo de cuenca estándar es: 𝑡𝑝 = 𝑡𝑝𝑅 + (𝑡𝑟 − 𝑡𝑅)/4 (98) La relación entre 𝑞𝑝 y el caudal pico por unidad de área de drenaje 𝑞𝑝 R del hidrograma unitario requerido es: 𝑞𝑝 𝑅 = 𝑞𝑝 𝑡𝑝/𝑡𝑃𝑟 El rango de aplicación de este método es de 30 a 30 000 𝐾𝑚2 .M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing.75𝐶𝑝 𝑞𝑝 = 𝑡𝑝 A partir de un hidrograma unitario deducido en la cuenca se obtienen los valores de su duración efectiva 𝑡 R en horas. César Terán Guevara. 𝐾 = (−0.75𝐶𝑡(𝐿 ∗ 𝐿𝑐)0.4298𝐶𝑁 2 + 335𝐶𝑁 − 6789) ∗ 10−6 2.2. Lc: Longitud del curso principal al centro de gravedad en Km.02185 𝐶𝑁 3 − 0. .4.3 (97) Donde: L: Longitud del curso principal en Km. El caudal pico por unidad de área de drenaje en m3/s * km2 del hidrograma unitario estándar es: 2. 2. Fundamento: tránsito de un caudal en un deposito lineal Este método supone que la cuenca considerada funciona como un depósito. Ragunath. Método Hidrograma Unitario de Clark (H.4. Un aumento del caudal de entrada de un depósito o embalse se refleja en el caudal de salida amortiguado y retardado.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing.3. César Terán Guevara. 2003. Wanielista. Figura 16. 1997. Retardo de salida del caudal El modo más simple de considerar este fenómeno es considerar un depósito lineal (lineal reservoir): eso significa que existe una relación lineal entre el volumen almacenado en el depósito y el caudal de salida: 𝑆 = 𝑄. es evidente que para un ∆𝑡 dado: 𝑉𝑖𝑛 − 𝑉𝑜𝑢𝑡 = ∆𝑆 (100) Donde: 𝑉𝑖𝑛 = Volumen que ha entrado en un ∆𝑡 𝑉𝑜𝑢𝑡 = Volumen que ha salido en el mismo ∆𝑡 ∆𝑆= Variación del volumen almacenado en ese ∆𝑡 Dividiendo la expresión (100) por ∆𝑡 resulta (volumen /tiempo=caudal): . 𝑅 (99) Donde: 𝑄=Caudal de salida de un embalse o depósito 𝑆= Volumen almacenado 𝑅= Constante de proporcionalidad Por otra parte. se implementa en modelos como HMS isócronas para computar el volumen de agua caído sobre cada una de esas superficies y considerar el retardo producido por el transito del agua a lo largo de la cuenca.2006).U Clark ) Este método fue expuesto por Clark (1945) y recogido por casi todos los textos de hidrologia (por ejemplo: Viessman. M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. Tiempo de concentración: 7 horas). en la segunda hora llegaría el volumen precipitado entre las isócronas de 1 hora y 2 horas. (146 𝑘𝑚2 . (99)] Aplicación práctica Supongamos que estudiamos la cuenca representada en la figura adjunta. 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑐 = (104) 2 2𝑅+ ∆𝑡 Donde: 𝐼𝑖−1 . el hidrograma que se registraría en la salida sería por definición el Hidrograma Unitario Instantáneo (HUI). 𝑄𝑖 = Caudal de salida en los tiempos. Si en un instante cayera una precipitación unidad (p. 𝐼𝑖 = Caudal de entrada en los tiempos. 𝑐 + 𝑄𝑖−1 . 1mm). resulta: 𝐼𝑖−1 +𝐼𝑖 2. Si no existiera ningún tipo de retardo en el tránsito. César Terán Guevara. ver el último apartado de este documento. se puede calcular aproximadamente.∆𝑡 𝑄𝑖 = . 𝐼𝑖−1 +𝐼𝑖 𝑄𝑖−1 +𝑄𝑖 𝑆𝑖 −𝑆𝑖−1 − = (102) 2 2 ∆𝑡 E introduciendo aquí el valor de S expresado en (99). 𝑡𝑖−1 . Hemos trazado las isócronas y planimetrado las superficies entre ellas. 𝑡𝑖 𝑄𝑖−1 . 𝑡𝑖 ∆𝑡= incremento de tiempo entre los tiempos 𝑡𝑖−1 . Y el ∆𝑆 a lo largo del ∆𝑡 es: 𝑆𝑖 − 𝑆𝑖−1 Sustituyendo estos valores en (101) resulta. (103) 2 2 ∆𝑡 Finalmente despejando 𝑄𝑖 . . 𝑡𝑖 R= Coeficiente de almacenamiento del depósito o embalse [ec. 𝑡𝑖−1 . (1 − 𝑐 ) . ej. Si no disponemos de esas superficies. el cálculo de los valores de este HUI sería sencillo: El caudal de la primera hora correspondería al volumen precipitado en la primera franja. 𝐼 − 𝑄 = ∆𝑆/∆𝑡 (101) Donde: 𝐼=Caudal de entrada medio en ese ∆𝑡 𝑄= Caudal de salida medio en ese ∆𝑡 Los caudales medios de entrada (I) y de salida (Q) a lo largo del intervalo ∆𝑡 podemos considerarlos como la media de los caudales en los extremos del ∆𝑡. y así sucesivamente. resulta: 𝐼𝑖−1 +𝐼𝑖 𝑄𝑖−1 +𝑄𝑖 𝑄𝑖 −𝑄𝑖−1 − = 𝑅. Volumen y caudal para una precipitación unidad. La 4𝑎 columna (Caudal. solamente tenemos en cuenta el tiempo que interviene el flujo entre isócronas. César Terán Guevara. Áreas entre isócronas. 18. Las fases de cálculo son las siguientes: 1) Curva tiempo-área. Suponemos que un instante cae sobre la cuenca una P neta de 1 mm. En una superficie de 5 𝑘𝑚2 es un volumen de: 5 ∙ 106 𝑚2 ∙ 10−3 𝑚 = 5000𝑚3 Figura. Figura 17. 𝑚3 ⁄𝑠) representa los caudales que se registrarían en la salida si la escorrentía no tuviera ningún retardo o amortiguación en la cuenca. Isócronas en la cuenca. En la 1𝑎 hora pasarían los 5000 𝑚3 que hemos calculado . Las superficies comprendidas entre isócronas quedan reflejadas en la segunda columna de la tabla de la figura 18. multiplicando área por altura: una lámina de 1 mm. Los volúmenes recibidos en cada franja (entre dos isócronas contiguas) se refleja en la 3 columna.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. en la columna anterior. que dividiendo por 3600(segundos/hora) obtenemos el caudal medio para la primera hora de 1. César Terán Guevara. multiplicando éste por un factor del orden de 0. 3) Calculo del Hidrograma Unitario Instantáneo (HUI) Ya hemos indicado que el método de Clark supone que la cuenca se comporta como un depósito lineal: Los caudales de entrada en el depósito (la cuenca) son los obtenidos en la última columna de la tabla anterior y los caudales de salida de ese supuesto depósito se obtienen mediante la fórmula (104): Si el coeficiente R=8 horas ⇛ c= 0. Para este ejemplo vamos a suponer un coeficiente R=8 horas.08 ∙ (1 − 0.1176 Ahora aplicamos la fórmula (104) para cada hora. el cálculo sería: 1.39 𝑚3 ⁄𝑠. Algunos autores suponen que es similar al tiempo de retardo. Caudal de entrada y de salida .33 𝑄2 = ∙ 0.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. para t=2. dividiríamos los volúmenes por 15 x 60 segundos).1176) = 0. o que es una fracción del tiempo de concentración. Por ejemplo. Puede calcularse disponiendo de un hidrograma real de esa cuenca o evaluarse de algún modo.39 + 3. 2) Coeficientes de almacenamiento o retardo de la cuenca La mayor dificultad de este procedimiento es que necesita un coeficiente de almacenamiento R (en horas) que ha aparecido al describir el fundamento del método: representa el retardo que la cuenca impone a la escorrentía superficial para desplazarse.1176 + 0.75. En la segunda hora llegaría el volumen caído entre la 1𝑎 y 2𝑎 isócronas (superficie de 12 𝑘𝑚2 en la figura de la página anterior). (Si hubiéramos trazado las isócronas en intervalos de 15 minutos.35 2 Tabla 19. la 6𝑎 columna es igual a la 5𝑎 desplazada un ∆𝑡. Hidrograma generado. para t=2 horas. Los resultados finales (7𝑎 columana) son la media de las dos anteriores. hemos calculado volúmenes y caudales para una P neta de 1 mm recibida en un instante.88)/2 =0. César Terán Guevara. en este caso. Clark lo denominó Hidrograma Unitario Instantáneo.61 En esta tabla reunimos todos los cálculos realizados: Tabla 20. 4) Cálculo del Hidrograma Unitario para un ∆𝑡 igual al tiempo entre isócronas Finalmente hacemos la media del HUI con él mismo desplazado un ∆𝑡.35 + 0. 1 hora). . Desde el principio. el cálculo es: (0. Por ello. (En la tabla 20.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. Por ejemplo. 1959). Chow. . los procedimientos gráficos se han reemplazado por métodos tabulares o funcionales de tal manera que los procedimientos de cálculo pueden automatizarse.5. ese primer hidrograma sería la entrada del depósito y el HU obtenido sería la salida del depósito.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. y con los avances en la computarización. bien como HU instantáneo. dado su hidrograma de entrada y sus características de almacenamiento. o como HU para 1 hora. 2. Si pensamos que la cuenca se comporta como un depósito “lineal”. (Caudales obtenidos en la tabla de la figura 18).caudal de salida. La representación gráfica del hidrograma resultante así: Figura 19. El hidrograma rotulado como “Sin tránsito” es que se produciría si no existiera ningún retardo en el tránsito del caudal. Con este propósito se han propuesto cierto número de procedimientos (por ejemplo. Hidrograma de entrada y salida. Tránsito de avenida a través de reservorios –método piscina nivelada (Ven Te Chow. César Terán Guevara.1994) El tránsito de piscina nivelada es un procedimiento para calcular el hidrograma de flujo de salida desde un embalse con una superficie de agua horizontal. 1951. Para el j-ésimo intervalo de tiempo: 𝑆 +1 (𝑗+1)∆𝑡 (𝑗+1)∆𝑡 ∫𝑆 𝑗 𝑑𝑆 = ∫𝑗∆𝑡 𝐼 (𝑡)𝑑𝑡 − ∫𝑗∆𝑡 𝑄(𝑡)𝑑𝑡 (105) 𝑗 Los valores del flujo de entrada al inicio y al final del j-esimo intervalo son 𝐼𝑗 e 𝐼𝑗+1 . indexados por j. 𝑆𝑗+1 − 𝑆𝑗 . El horizonte de tiempo se divide en intervalos de duración Δ𝑡. Por consiguiente. 2Δ𝑡. 𝑗Δ𝑡 . … . tanto el caudal de entrada como el caudal de salida son tasas de flujo medidas como información por muestra. y reordenando el resultado para producir: 2𝑆𝑗+1 2𝑆𝑗 ( + 𝑄𝑗+1 ) = (𝐼𝑗 + 𝐼𝑗+1 ) + ( − 𝑄𝑗 ) (107) ∆𝑡 ∆𝑡 . (𝑗 + 1)Δ𝑡. Si la variación de los caudales de entrada y de salida a lo largo del intervalo es aproximadamente lineal. Δ𝑡. Los valores de 𝑄𝑗 y 𝑆𝑗 se conocen en el intervalo de tiempo j-esimo a partir de los cálculos hechos durante el intervalo de tiempo previo. ….M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. César Terán Guevara. y la ecuación de continuidad. 𝑄𝑗+1 y 𝑆𝑗+1 . puede encontrarse reescribiendo (105) como: 𝐼𝑗 +𝐼𝑗+1 𝑄𝑗 +𝑄𝑗+1 𝑆𝑗+1 − 𝑆𝑗 = ∆𝑡 − ∆𝑡 (106) 2 2 Los valores de 𝐼𝑗 e 𝐼𝑗+1 se conocen debido a que han sido preespecificados. en lugar de que el caudal de entrada sea información por pulso y el caudal de salida sea información por muestra como ocurría con el hidrograma unitario. el cambio en el almacenamiento en el intervalo. es decir 𝑡 = 0. la ecuación (106) contiene dos incógnitas. y los correspondientes valores del caudal de salida son 𝑄𝑗 y 𝑄𝑗+1 . como se muestra en la figura 20. se integra sobre cada intervalo de tiempo. respectivamente. las cuales pueden aislarse multiplicando (106) por 2/∆𝑡. Aquí. luego se calcula el valor de . a partir de la ecuación (107). El valor de ∆𝑡 se toma como el intervalo de tiempo del hidrograma de caudal de entrada. Cambio de almacenamiento durante un periodo de tránsito∆𝑡 Con el fin de calcular el caudal de salida 𝑄𝑗+1 . se determinan los valores de almacenamiento S y del caudal de salida Q [(partes a y b) de la figura 21].M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. como las que se muestran en la tabla 21 para varios tipos de vertederos y de estructuras de salida. Figura 20. La relación elevación-caudal se deduce de las ecuaciones hidráulicas que relacionan cabeza y caudal. Para un valor dado de la elevación de la superficie de agua. César Terán Guevara.caudal de salida que relacione + ∆𝑡 𝑄 y 𝑄. 2𝑆 se necesita una función almacenamiento. El método para desarrollar esta función utilizando las relaciones elevación-almacenamiento y elevación de la superficie de agua y almacenamiento en el embalse puede determinarse planimetrando mapas topográficos o mediante estudios topográficos de campo. M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. Figura 21. Desarrollo de una función almacenamiento – caudal de salida para tránsito de piscina nivelada con base en las curvas almacenamiento. Tabla 21: Ecuaciones de caudal de salida de vertederos .elevación y elevación-caudal de salida. César Terán Guevara. Por ejemplo.caudal de salida 2𝑆⁄∆𝑡 + 𝑄 versus Q. S =0. Con el fin de organizar la informacion requerida para el siguiente intervalo de tiempo.5 x 43. tal como se muestra en la columna 3 de la tabla 22. luego ∆𝑡 = 10𝑚𝑖𝑛 = 600𝑠. César Terán Guevara.560 x (profundidad de agua).5 pies. suponga que el embalse esta inicialmente vacío. El hidrograma de entrada se especifica en intervalos de tiempo de 10 min.luego la función almacenamiento. y el almacenamiento se calcula como 43. el valor correspondiente de 2𝑆⁄∆𝑡 + 𝑄 puede determinarse. ya sea graficamente o por interpolacion lineal de unos valores dados en forma tabular. luego el valor de 2𝑆𝑗+1 ⁄∆𝑡 + 𝑄𝑗+1 puede calcularse. lados verticales y un tubo de concreto reforzado de 5 pies de diametro como su estructura de salida.caudal de salida tiene un valor de: 2𝑆 2 × 21.780𝑝𝑖𝑒𝑠 3 . Ejemplo: Un embalse. el valor de 2𝑆𝑗+1 ⁄∆𝑡 − 𝑄𝑗+1 se calcula utilizando 2𝑆𝑗+1 2𝑆𝑗+1 ( − 𝑄𝑗+1 ) = ( + 𝑄𝑗+1 ) − 2𝑄𝑗+1 (108) ∆𝑡 ∆𝑡 Este calculo se repite para los subsiguientes periodos de tránsito.5 pies.780 +𝑄 = + 3 = 76𝑐𝑓𝑠 ∆𝑡 600 .560 𝑝𝑖𝑒𝑠 2 . Para todas las elevaciones. 2𝑆 + 𝑄 y se dibuja en el eje horizontal de una gárfica con el valor del caudal ∆𝑡 de salida Q en el eje vertical [(parte c) de la figura 21]. La relacion entre nivel de agua aguas arriba y caudal de salida para el tubo está dada en las columnas 1 y 2 de la tabla 22 utilice el método del tránsito de embalse horizontal para calcular los caudales de salida del embalse utilizando el hidrograma de entrada dado en las columnas 2 y 3 de la tabla 23. Para una profundidad de 0. el caudal está dado en la columna 2 de la tabla 22 como 3cfs. Durante el transito de flujo a través del intervalo de tiempo j. tiene un área horizontal de un acre. el área horizontal de la superficie de agua en el embalse es 1 acre=43.560=21. todos los términos de la parte derecha de la ecuación (107) se conocen. Solución. para una profundidad de 0. para la detención de flujo de crecientes.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. El valor correspondiente de 𝑄𝑗+1 puede determinarse a partir de la funcion almacenamiento. Para el primer intervalo de tiempo. El valor de la función almacenamiento-caudal de salida al final del intervalo de tiempo se calcula utilizando la ecuación(107) con j=1: 2𝑆2 2𝑆1 ( + 𝑄2 ) = (𝐼1 + 𝐼2 ) + ( + 𝑄1 ) ∆𝑡 ∆𝑡 = 60 + 0 = 60 𝑐𝑓𝑠 El valor de 𝑄𝑗+1 se encuentra por interpolación lineal dando 2𝑆𝑗+1 ⁄∆𝑡 + 𝑄𝑗+1 . 𝑆1 = 𝑄1 = 0 debido a que el embalse está inicialmente vacío.y). César Terán Guevara. Los calculos del tránsito d ecaudal se llevan a cabo aplicando la ecuación (107). Si existe un par de variables(x. por tanto 2𝑆1 ⁄∆𝑡 − 𝑄1 = 0 también.cauda de salida para un embalse de detención (ejemplo) Tal como se muestra en la columna 4 de la tabla 22. con pares de valores . La función almacenaiento-caudal de salida se grafica en la figura 22. Desarrollo de la funcion almacenamiento. Tabla 22.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. luego (𝐼1 + 𝐼2 ) = 0 + 60 = 60 𝑐𝑓𝑠. Los valores del caudal de entrada son 𝐼1 = 0 e 𝐼2 = 60 𝑐𝑓𝑠. César Terán Guevara.caudal de salida para un embalse de detención (ejemplo). . 𝑦2 ). La secuencia computacional se indica mediante flechas en la tabla. 𝑦1 ) y (𝑥2 . Tránsito de caudal a través de un embalse de detención utilizando el método de piscina nivelada.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing. Figura 22: Función almacenamiento. conocidos (𝑥1 . entonces el valor interpolado de 𝑦 correspondientea un valor dado de 𝑥 en el rango𝑥1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥2 es (𝑦2 − 𝑦1 ) 𝑦 = 𝑦1 + (𝑥 − 𝑥1 ) (𝑥2 − 𝑥1 ) Tabla 23. Dos pares de valores alrededor de 2𝑆⁄∆𝑡 + 𝑄 = 60 se seleccionan de la tabla 22. .4𝑐𝑓𝑠. 2𝑆3 2𝑆2 ( + 𝑄3 ) = (𝐼2 + 𝐼3 ) + ( − 𝑄2 ) ∆𝑡 ∆𝑡 = 180 + 55. por interpolación lineal. Tránsito de caudal a traves de un embalse. y el valor de 2𝑆2 ⁄∆𝑡 − 𝑄2 necesario para la siguiente iteración se encuentra usando la ecuación(8. 0) y (𝑥2 . En este caso.2 𝑐𝑓𝑠 Figura 23. 𝑦1 ) = (0.2.4) con j=2: 2𝑆2 2𝑆2 ( − 𝑄2 ) = ( − 𝑄2 ) − 2𝑄2 ∆𝑡 ∆𝑡 = 60 − 2 × 2. 𝑦2 ) = (76. César Terán Guevara. 𝑄2 = 2. (𝐼2 + 𝐼3 ) = 60 + 120 = 180𝑐𝑓𝑠 y el tránsito se lleva a cabo con j=2 en (tabla 23). Procediendo al siguiente intervalo de tiempo. estos son (𝑥1 . El valor de 𝑦 para 𝑥 = 60 es.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing.4 = 55.2 𝑐𝑓𝑠 La secuencia de los calculos previamente descritos se indica con flechas en las primeras dos filas de la tabla 23. 3).2 = 235. (3 − 0) 𝑦 =0+ (60 − 0) (76 − 0) 𝑦 = 2. 𝑥 = 2𝑆⁄∆𝑡 + 𝑄 y 𝑦 = 𝑄.4 𝑐𝑓𝑠 Luego. tal como se muestra en la tercera fila de la tabla 23. el valor de 𝑄3 = 17. Un tamaño equivalente de tubi elíptico o en arco también tendería a bajar la elevacion del nivel hídrico aguas arriba.77 pies correspondiente al caudal pico de 270 cfs. debido a que el almacenamiento se maximiza tambien en este momento y existe una función de valor unico que relacion el almacenamiento y el caudal de salida para un embalse con piscina nivelada. El caudal de salida se maximiza en el punto donde los caudales de entrada y salida son iguales. o si el caudal de 270 cfs en el tubo de salida de 5 pies también lo es. los cálculos para intervalo de tiempo subsecuentes se llevan a cabo en la misma forma. . Por interpolación lineal en la tabla 22. la estructura de sallida o el área superficial del embalse deben agrandarse. César Terán Guevara. el pico de caudal de entrada es 360 cfs y ocurre en el minuto 60.M-03: DISPONIBILIDAD HÍDRICA Y MÁXIMAS AVENIDAS Ing.1 𝑐𝑓𝑠. Si esta profundidad es muy grande. La maxima profundidad en el embalse de almacenamiento se calcula por interpolación lineal de la tabla 22 como 9. los resultados se tabulan en la tabla 23 y se grafican en la figura 23.1 𝑐𝑓𝑠 y utilizando la ecuación 2𝑆3 ⁄∆𝑡 − 𝑄3 = 201. el embalse de detención reduce el pico de caudal de salida a 270cfs y lo demora hasta el minuto 80.