Los teoremas de Gödel y el mentalismoJosé Francisco Zaragoza Martínez Resumen Desde su presentación en 1931, los teoremas de incompletitud de Gödel han tenido múltiples aplicaciones. Los partidarios del mentalismo, que sostienen que el ser humano posee alguna cualidad mental especial que lo hace diferente de cualquier artilugio mecánico, han empleado los teoremas de Gödel para justificar su postura. Pero, ¿en qué consisten y cómo y por qué surgen los teoremas de Gödel?, y ¿por qué motivos pueden ser empleados para defender las tesis mentalistas? Estas son las cuestiones a las que el presente trabajo pretende dar respuesta de forma breve e informal. Introducción La época de finales del siglo XIX y principios del XX resulta ser especialmente fecunda para el mundo de las matemáticas. Gran parte del esfuerzo está concentrado en encontrar unos fundamentos firmes para las matemáticas. La lógica aparece como una base sólida sobre la que asentar los cimientos, y muchos matemáticos, llenos de entusiasmo y optimismo, emprenden la búsqueda de la reducción de la matemática a la lógica. En este ambiente, Gödel somete a prueba la aritmética axiomatizada por Peano, enfrentándola con el problema de la autorreferencia, (que al parecer siempre engendra paradojas como la del mentiroso) con el fin de probar su consistencia y completud. La aritmética no supera la prueba, y Gödel concluye con los teoremas de incompletitud. Más tarde, los teoremas son empleados por los partidarios de la postura mentalista (Lucas, Penrose y otros) que los usan arguyendo, por ejemplo, que Gödel había demostrado que “en los sistemas matemáticos existen proposiciones indemostrables dentro de los propios sistemas, y que sin embargo son evidentemente verdaderas” , hecho que se ha demostrado usando la propia aritmética, de manera que un ordenador, usando algoritmos, nunca podría llegar a la conclusión de que ciertas proposiciones son verdaderas, pues son desde su propio sistema algorítmico indemostrables y el ordenador no tiene más herramienta que ese sistema; mientras que el ser humano es capaz de saber que esas proposiciones son verdaderas a pesar de no ser demostrables en virtud de alguna suerte de intuición no algorítmica. El problema no parecía demasiado grave y los matemáticos se lanzaron a resolverlo con interés renovado. entre otras cosas. Hilbert presentó diez problemas . Había un buen número de grandes matemáticos y un interés creciente por fundamentar las matemáticas. fue descomunal. Las reglas eran cuidadosamente escogidas para impedir los tipos paradójicos de razonamiento que conducían a la paradoja de Russell. “Principia Mathematica”. A principios del siglo XX el mundo de las matemáticas bullía con vigor. muchos de los cuales implicaban el trabajo con conjuntos propiciado por Cantor. La época de finales del siglo XIX es una época de grandes progresos en matemáticas. de la que se extrae una contradicción al utilizar (de forma algo extrema) el razonamiento general de la teoría de conjuntos que los matemáticos estaban empezando a emplear en sus razonamientos. En 1889. antes de explicar cómo los teoremas de Gödel son empleados por los partidarios del mentalismo. Es notable en esta época el desarrollo de métodos de demostración cada vez más potentes.Antes de Gödel Los teoremas de incompletitud de Gödel han sido frecuentemente empleados para apoyar las tesis mentalistas (esto es la postura que defiende que el ser humano posee alguna facultad que le permite decidir sobre la veracidad o falsedad de proposiciones de un sistema que en principio no son demostrables desde dentro del sistema). Gregory Cantor o Henri Poincaré. Russell presenta en 1902 la paradoja que lleva su nombre. pero tales teoremas no nacen con la intención de justificar tal postura. Gödel presenta el texto en que aparecen sus famosos teoremas en 1931. Parecía que un exceso de confianza había llevado a los matemáticos a emplear métodos de demostración que tal vez no fueran tan fiables después de todo. Giuseppe Peano publica “Arithmetices Principia Nova Methodo Exposita ”. Así. Aunque la obra que Russell y Whitehead presentaron. en el Congreso Internacional de Matemáticos de París. Russell y Whitehead llegaron a desarrollar un sistema matemático de axiomas y reglas de inferencia altamente formalizado. desarrollo en que participan activamente figuras como David Hilbert. libro en que se recoge. el esquema resultó ser algo incómodo y los tipos de razonamiento matemático que incluía resultaron bastante limitados. También a principios de este siglo empiezan a surgir algunos inconvenientes que trastocan levemente esa confianza. incluyera “todos” los tipos de razonamientos matemáticos correctos para cualquier área de las matemáticas. me parece interesante situarlos en su contexto. Consecuentemente los matemáticos van desarrollando cada vez más confianza en el uso de estos métodos. Fue Hilbert quien se propuso establecer un esquema que además de ser más manejable y comprensible. una colección de axiomas sobre los números que resultó ser una versión más exacta de la colección de axiomas sobre números presentada por Richard Dedekind un año antes. En 1900. fruto de toda una serie de acontecimientos precedentes. ya que era obvia la necesidad de que los razonamientos permitidos estuvieran como mínimo libres de contradicciones. una axiomatización de la aritmética. Hilbert fue especialmente influyente en el ambiente matemático del momento. concretamente. podemos desafiarle a que nos muestre en qué punto de la cadena de definiciones y deducciones de los Principia Mathematica considera que concluye la lógica y comienza la matemática. En esta obra. Usa como punto de partida la aritmética de Peano (PA).sin resolver. Al proyecto en cuestión se le conoce como Programa de Hilbert. y desarrolla un ingenioso sistema por el que a proposiciones . En 1930. conocidos como los 23 problemas de Hilbert. el programa también se proponía completar los fundamentos del sistema formal probando que ninguna contradicción puede ser derivada dentro del sistema. A partir de 1920 Hilbert se preocupó especialmente del asunto de los fundamentos de la matemática. En estos problemas se basa gran parte de la investigación llevada a cabo en matemáticas durante el siglo XX. tras haber probado la completitud de los axiomas del cálculo funcional de primer orden. Gödel busca probar la consistencia y completud de la aritmética y sistemas relacionados." En 1931 Gödel desbarata el Programa de Hilbert con sus teoremas de incompletitud. de modo que cada sistema axiomático resultante (conjunto de axiomas y reglas de inferencia) debía ser completo. Además de estalecer un esquema manejable y comprensible que incluyera “todos” los tipos de razonamientos matemáticos correctos para cualquier área de las matemáticas. trabajando sobre los “Principia Mathematica”. El programa proponía una reducción de la matemática a la lógica de primer orden. las matemáticas quedarían así convertidas en un sistema formal. Los teoremas de Gödel En 1931 Kurt Gödel publica “Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme" ("Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados"). por lo que las proposiciones deben traducirse a números naturales. se pretendía demostrar que el esquema en cuestión estaba libre de contradicción. Grandes matemáticos de la época como Ackermann o Von Neumann entre otros. y debía ser consistente. es decir que no debía contener ningún tipo de contradicción o paradoja. una parte de lo que luego sería una serie de 23. variables y nociones lógicas. buscaron llevar a cabo el Programa de Hilbert. de modo que las matemáticas quedaran al fin situadas sobre unos fundamentos inatacables. cadena que para ser admitida debe ser además finita. es decir que el status de veracidad o falsedad de toda proposición del sistema debía ser demostrable desde dentro del propio sistema. donde un enunciado matemático es expresado por una cadena de símbolos especiales que reflejan proposiciones básicas. que el sistema es consistente. Por último. que este último había axiomatizado. esto es. el objetivo era demostrar que podía axiomatizarse la matemática. En resumidas cuentas. obra en que presenta sus famosos teoremas. Podemos encontrar una muestra de ese optimismo en el último capítulo de Introduction to Mathematical Philosophy de Russell donde escribe: "Si todavía hay quien no admita la identidad de la lógica y la matemática. El ambiente era optimista. parte del programa se había realizado. G debe ser no demostrable y por tanto verdadera. Si PA es consistente. La proposición sugerida por Gödel es llamada fórmula G y puede escribirse de la siguiente manera: G = [G no es demostrable] Finalmente.metamatemáticas sobre el sistema. Gödel intenta construir la proposición "Esta proposición no es demostrable en el sistema" . que pueden formularse como: 1. siempre habrá en matemáticas proposiciones verdaderas que no se pueden demostrar. Gödel estableció así en su trabajo un vocabulario que servía para asignar un valor (numérico) a cada proposición. con lo que el sistema sería inconsistente. La verdad es que esta exposición informal es una simplificación excesiva y algo incompleta del procedimiento por el que Gödel llegó a la formulación de sus teoremas de incompletitud. y demostró que el vocabulario establecido era suficiente para representar cualquier proposición en función de esos símbolos. Así. La . entonces existe un enunciado G tal que ni él ni su negación son demostrables en PA. la proposición G es evidentemente verdadera a pesar de. De forma más general puede decirse: 1. se conoce como numeración de Gödel o Gödelización. si suponemos la consistencia de PA. entonces el enunciado que representa en PA la consistencia de PA no es demostrable en PA. 2. La consistencia de los axiomas no puede demostrarse al interior del sistema (o Ningún sistema consistente puede usarse para demostrarse a sí mismo). Se acepta. les corresponde una única fórmula aritmética dentro del propio sistema. Así pues. pues. problema que parece generar siempre paradojas como la del mentiroso: Todos los cretenses son unos mentirosos (Epiménides de Creta). se llega a una contradicción. que no se expondrá aquí. Si se consigue demostrar G dentro del sistema. En cualquier formalización consistente de las matemáticas que sea lo bastante fuerte para definir el concepto de números naturales. no ser demostrable. por la propia consistencia de PA. se puede construir una proposición que ni se puede demostrar ni se puede refutar dentro de ese sistema (o Si el sistema es consistente no puede ser completo). Podría considerarse incluir la proposición G dentro del conjunto de axiomas del sistema para solucionar la incompletitud del mismo. aunque en virtud del proceso anterior obtendríamos los mismos resultados. Gödel consigue construir la proposición. pero servirá para el propósito de este trabajo. enfrentando así la aritmética al problema de la autorreferencia. que lo anteriormente expuesto conduce a la formulación de los teoremas de incompletitud. 2. El método. con lo que el sistema sería incompleto al no poderse demostrar G. Si PA es consistente. Del primero se sigue que sin importar el número de axiomas que se utilice. lo que provoca una interesante situación. Una vez establecido el vocabulario básico. en su artículo “Minds. A lo largo del tiempo. Por tanto. Machines and Gödel” (1961. Existe una postura opuesta. esa fórmula será aceptable desde nuestro punto de vista. debería aclararse de qué se habla al referirse al mentalismo. el mecanicismo. La certeza de la no contradicción jamás será alcanzada. hasta hoy. Así. pero inaceptable para S –por ser indemostrable–. para tomar ventaja sobre sus adversarios. en virtud de alguna suerte de intuición. que es imposible establecer la consistencia lógica de una teoría formalizada que contenga la aritmética. del segundo. hacían prevalecer a una sobre otra. que postula la no existencia de tales actos objetivos de la mente humana. El ser humano por su parte podrá.completitud no se alcanzará jamás. por ser verdadera. El primero en usar los teoremas de Gödel en defensa de las hipótesis mentalistas fue John R. pp. han ido encontrando argumentos que. El argumento de Lucas puede expresarse del siguiente modo: "Cualquier formalismo S que contenga PA es tal que al razonar sobre él. Lucas defendía que Gödel había demostrado que en los sistemas matemáticos existen proposiciones que son indemostrables dentro de los propios sistemas pero que aun así son verdaderas. podemos establecer la existencia de una fórmula verdadera con respecto a la interpretación estándar de S pero indemostrable en S. 112-127). ahora conocido como Argumento de Lucas. entonces a un ordenador (o cualquier otro ingenio mecánico que emplee algún sistema matemático como base de cálculo) empleando algoritmos. el equilibrio siempre ha sido restaurado. no podrán ser demostradas por el propio sistema. Podemos decir que mentalismo es la postura filosófica desde la que se defiende que existen actos objetivos de la mente humana que no pueden ser reproducidos por ingenio mecánico alguno. . y el teorema de incompletitud de Gödel presenta una prueba de esta afirmación. ha sido el que proporcionan los teoremas de incompletitud de Gödel. Lucas. momentáneamente. decidir sobre la veracidad de la mencionada fórmula a pesar de no poder demostrarla. que presentó su argumento. con lo que ningún cálculo será capaz de encapsular las habilidades formales del ser humano. podrá presentársele siempre alguna fórmula (que se ha construido empleando esos algoritmos) que será para el ordenador indemostrable aun siendo evidentemente verdadera. a pesar de ser verdaderas." La idea básica que subyace es la de que ya que existirán determinadas fórmulas que. las dos posturas enfrentadas. El mentalismo Antes de explicar cómo son usados los teoremas de Gödel para defender las tesis mentalistas. Uno de los argumentos recientemente empleados por los defensores del mentalismo. mentalismo y mecanicismo. los propósitos del Programa de Hilbert quedaban destruidos. es que todo el asunto se basa en la consistencia de PA. por brevedad expositiva principalmente. la batalla entre mentalismo y mecanicismo se encuentra en un nuevo punto muerto. aunque pueda emplearse para restringir y cerrar ciertos caminos. relacionado con los teoremas de Gödel. que este formula a partir de la versión de los teoremas de Gödel (por tratar el asunto de la indecibilidad) que hace Turing. demostración que un ser humano puede reconocer y añadir a aquellas que le permiten saber algo con certeza. consistencia que ningún ser humano ni empleando PA ni ningún otro método ha demostrado de forma aceptable y elemental. para Penrose. Pero. . y autores como Rudy Rucker emplean los teoremas de Gödel para crear argumentos similares al de Lucas en defensa del mecanicismo. por la naturaleza de la demostración. No se desarrollará aquí. de hecho.El problema de este argumento. De hecho el razonamiento de Penrose parte de lo que él mismo de nomina el argumento Gödel-Turing. su argumento supone la demostración de que ningún computador podrá alcanzar al ser humano en el ámbito del razonamiento matemático. por ningún programa. ya que el ser humano posee capacidades intuitivas "no algorítmicas". y que se conoce como “Problema de la detención” o “Problema de parada”. Si se mencionará que tras el proceso de diagonalización se demuestra que puede establecerse un cierto algoritmo que no finaliza cuando computa un cierto input. ni como Turing llega a enunciar y dar una respuesta negativa al “Problema de parada”. como las razones que se esgrimen para hacerlo. Así. desde esta perspectiva. que no es sino un tipo de demostración llamada “diagonalización” o “Diagonal de Cantor”. Lucas lo resuelve haciendo un añadido a su argumento: “La consistencia de un sistema formal tan elemental como PA puede tomarse como una verdad incuestionable” Penrose y otros autores hacen uso del argumento de Lucas con este último añadido. quedan expuestos algunos de los argumentos que emplean los teoremas de Gödel para defender las tesis mentalistas. No hay razones objetivas decisivas que permitan posicionarse y resuelvan el debate de una vez por todas. ni como Penrose emplea la diagonalización para fundamentar su argumento a favor del mentalismo. argumentos que demuestran que el sólo uso de los teoremas de Gödel no sirve para negar la posibilidad de creación de inteligencia artificial. y con el que se concluye en la enunciación del “Problema de parada”. Así. ni. Se trata de un argumento de Penrose. el propio Gödel dijo que sus teoremas no suponían necesariamente un impedimento a la creación de una mente artificial. en algunas de sus defensas del mentalismo. no puede incorporarse al programa que representaría al algoritmo en cuestión. hay aun un argumento. Así. Por otra parte. pero que. según los mecanicistas. que representa el último bastión del mentalismo en la actualidad. Para un ordenador. et al (2006): Teorema de incompletitud de Gödel. A.wikipedia. A ese respecto Adolfo Vásquez Rocca menciona en (*): Si presentamos un enunciado como éste [una paradoja autorreferencial] a un ordenador. Se dice que para los seres humanos tienen el efecto contrario. Disponible en versión digital en: http://www.com/2007/11/27/paradojasautorreferenciales-logica-contemporanea/ • • • • • • . (1989): La Nueva Mente del Emperador. Disponible en versión digital en: http://revistas. 2011.unex.wordpress. P. J.Me gustaría mencionar. un asunto que me parece llamativo.mx/pablo/seminario/Incompletud_de_Godel. pues conducen a la intuición creativa e incluso a la iluminación.unam. Disponible en versión digital en: http://avrocca. Revista de Filosofía 26. y es que todo. Bibliografía • ALONSO. la desconcertada máquina vacila entre “verdadero” y no “verdadero”. 1991.pdf PADILLA L. Wikipedia.fenomec. Mondadori. (*) VÁSQUEZ Rocca. Disponible en versión digital en: http://campusvirtual.A. Epistemowikia: Revista “Hiperenciclopédica” de Divulgación del Saber. (2001): Mentalismo.PDF Colaboradores de Wikipedia (2011): Kurt Gödel... La enciclopedia libre. R.php? title=Teorema_de_Incompletitud_de_G%C3%B6del#Inteligencia_Artificial MONSALVE G. para quemar los semiconductores de ordenadores rebeldes.org/wiki/Kurt_G %C3%B6del MANGAS Ballester. 139-164.es/cala/epistemowikia/index. A. ( ): Paradojas Autorreferenciales o Argumentos Recursivos. M.ucm. (2009): KURT GÖDEL Constructor de Universos (1906-1978). En un filme de ciencia ficción el capitán de la nave utilizaba paradojas como: “Demuestre que su directiva principal no es su directiva principal”. Madrid.es/fsl/00348244/articulos/RESF0101220139A.co/~dirmate/documentos/SEMINARIO/MMonsalve. E. Disponible en versión digital en: http://es.edu. y Vargas M. para terminar. ( ): Seminario sobre la incompletitud de Gödel. parece estar relacionado con la cuestión de las paradojas autorreferenciales.. Disponible en versión digital en: http://www. mecanicismo: el nuevo argumento de Penrose. pp.unalmed.pdf PENROSE. desde la paradoja de Russell a los teoremas de Gödel o el argumento de Penrose. las paradojas autorreferenciales conducen al caos.