LÓGICALA LÓGICA. Es la forma correcta de llegar a la respuesta equivocada pero sintiéndote contento contigo mismo. 1. SILENCIO. Si Ángela habla más bajo que Rosa y Celia habla más alto que Rosa, ¿habla Ángela más alto o más bajo que Celia? 2. LA NOTA MEDIA. La nota media conseguida en una clase de 20 alumnos ha sido de 6. Ocho alumnos han suspendido con un 3 y el resto superó el 5. ¿Cuál es la nota media de los alumnos aprobados? 3. LOS CUATRO ATLETAS. De cuatro corredores de atletismo se sabe que C ha llegado inmediatamente detrás de B, y D ha llegado en medio de A y C. ¿Podría Vd. calcular el orden de llegada? 4. SEIS AMIGOS DE VACACIONES. Seis amigos desean pasar sus vacaciones juntos y deciden, cada dos, utilizar diferentes medios de transporte; sabemos que Alejandro no utiliza el coche ya que éste acompaña a Benito que no va en avión. Andrés viaja en avión. Si Carlos no va acompañado de Darío ni hace uso del avión, podría Vd. decirnos en qué medio de transporte llega a su destino Tomás. 5. LOS CUATRO PERROS. Tenemos cuatro perros: un galgo, un dogo, un alano y un podenco. Éste último come más que el galgo; el alano come más que el galgo y menos que el dogo, pero éste come más que el podenco. ¿Cuál de los cuatro será más barato de mantener? 6. TENIS DE CATEGORÍA. En un partido del prestigioso torneo de tenis de Roland Garros se enfrentaron Agasy y Becker. El triunfo correspondió al primero por 6-3 y 7-5. Comenzó sacando Agasy y no perdió nunca su saque. Becker perdió su servicio dos veces. Agasy rompió el servicio de su rival en el segundo juego del primer set y, ¿en qué juego del segundo set? 7. SERPIENTES MARINAS. Un capitán en el Caribe fue rodeado por un grupo de serpientes marinas, muchas de las cuales eran ciegas. Tres no veían con los ojos a estribor, 3 no veían nada a babor, 3 podían ver a estribor, 3 a babor, 3 podían ver tanto a estribor como a babor, en tanto que otras 3 tenían ambos ojos arruinados. ¿Cuál es el mínimo número de serpientes necesarias para que con ellas se den todas esas circunstancias? 8. EL PARO AUMENTA. Con motivo de realizar un estudio estadístico de los componentes de una población, un agente analizó determinadas muestra de familias. El resultado fue el siguiente: 1) Había más padres que hijos. 2) Cada chico tenía una hermana. 3) Había más chicos que chicas. 4) No había padres sin hijos. ¿Qué cree Vd. que le ocurrió al agente? 1 9. PARTIDO DE TENIS. Santana ganó a Orantes un set de tenis por 6-3. Cinco juegos los ganó el jugador que no servía. ¿Quién sirvió primero? 10. CABALLOS. El caballo de Mac es más oscuro que el de Smith, pero más rápido y más viejo que el de Jack, que es aún más lento que el de Willy, que es más joven que el de Mac, que es más viejo que el de Smith, que es más claro que el de Willy, aunque el de Jack es más lento y más oscuro que el de Smith. ¿Cuál es el más viejo, cuál el más lento y cuál el más claro? En ocasiones, ciertas personas se encuentran en una situación crítica, y sólo por su agudeza e inteligencia pueden salir de ella. 11. EL EXPLORADOR CONDENADO. Un explorador cayó en manos de una tribu de indígenas, se le propuso la elección entre morir en la hoguera o envenenado. Para ello, el condenado debía pronunciar una frase tal que, si era cierta, moriría envenenado, y si era falsa, moriría en la hoguera. ¿Cómo escapó el condenado a su funesta suerte? 12. EL PRISIONERO Y LOS DOS GUARDIANES. Un sultán encierra a un prisionero en una celda con dos guardianes, uno que dice siempre la verdad y otro que siempre miente. La celda tiene dos puertas: la de la libertad y la de la esclavitud. La puerta que elija el prisionero para salir de la celda decidirá su suerte. El prisionero tiene derecho de hacer una pregunta y sólo una a uno de los guardianes. Por supuesto, el prisionero no sabe cuál es el que dice la verdad y cuál es el que miente. ¿Puede el prisionero obtener la libertad de forma segura? 13. EL PRISIONERO Y LOS TRES GUARDIANES. Imaginemos que hay tres puertas y tres guardias, dos en las condiciones anteriores y el tercero que dice verdad o mentira alternativamente. ¿Cuál es el menor número de preguntas que debe hacer para encontrar la libertad con toda seguridad? 14. LOS 3 PRESOS Y LAS BOINAS (1). El director de una prisión llama a tres de sus presos, les enseña tres boinas blancas y dos boinas negras, y les dice: «Voy a colocar a cada uno de ustedes una boina en la cabeza, el primero de ustedes que me indique el color de la suya será puesto en libertad». Si los presos están en fila, de manera que el primero no puede ver las boinas de los otros dos, el segundo ve la boina del primero y el tercero ve las boinas de los otros dos. ¿Por qué razonamiento uno de los presos obtiene la libertad? 15. LOS 3 PRESOS Y LAS BOINAS (2). El director de una prisión llama a tres de sus presos, les enseña tres boinas blancas y dos boinas negras, y les dice: «Voy a colocar a cada uno de ustedes una boina en la cabeza, el primero de ustedes que me indique el color de la suya será puesto en libertad». Si los presos pueden moverse, y por tanto ver las boinas de los otros dos. ¿Por qué razonamiento uno de los presos obtiene la libertad? 16. LOS MARIDOS ENGAÑADOS. Cuarenta cortesanos de la corte de un sultán eran engañados por sus mujeres, cosa que era claramente conocida por todos los 2 demás personajes de la corte sin excepción. Únicamente cada marido ignoraba su propia situación. El sultán: «Por lo menos uno de vosotros tiene una mujer infiel. Quiero que el que sea la expulse una mañana de la ciudad, cuando esté seguro de la infidelidad». Al cabo de 40 días, por la mañana, los cuarenta cortesanos engañados expulsaron a sus mujeres de la ciudad. ¿Por qué? 17. 18. EL CONDENADO A MUERTE. En los tiempos de la antigüedad la gracia o el castigo se dejaban frecuentemente al azar. Así, éste es el caso de un reo al que un sultán decidió que se salvase o muriese sacando al azar una papeleta de entre dos posibles: una con la sentencia "muerte", la otra con la palabra "vida", indicando gracia. Lo malo es que el Gran Visir, que deseaba que el acusado muriese, hizo que en las dos papeletas se escribiese la palabra "muerte". ¿Cómo se las arregló el reo, enterado de la trama del Gran Visir, para estar seguro de salvarse? Al reo no le estaba permitido hablar y descubrir así el enredo del Visir. 19. LAS DEPORTISTAS. Ana, Beatriz y Carmen. Una es tenista, otra gimnasta y otra nadadora. La gimnasta, la más baja de las tres, es soltera. Ana, que es suegra de Beatriz, es más alta que la tenista. ¿Qué deporte practica cada una? 20. SILOGISMOS. Ejemplo que está en todos los manuales de lógica elemental. El silogismo: «Los hombres son mortales, Sócrates es hombre. Luego, Sócrates es mortal». es indudablemente conocido e inevitablemente válido. Qué ocurre con el siguiente: «Los chinos son numerosos, Confucio es chino. Luego, Confucio es numeroso». 21. EL TORNEO DE AJEDREZ. En un torneo de ajedrez participaron 30 concursantes que fueron divididos, de acuerdo con su categoría, en dos grupos. En cada grupo los participantes jugaron una partida contra todos los demás. En total se jugaron 87 partidas más en el segundo grupo que en el primero. El ganador del primer grupo no perdió ninguna partida y totalizó 7'5 puntos. ¿En cuántas partidas hizo tablas el ganador? 22. LAS TRES CARTAS. Tres naipes, sacados de una baraja francesa, yacen boca arriba en una fila horizontal. A la derecha de un Rey hay una o dos Damas. A la izquierda de una Dama hay una o dos Damas. A la izquierda de un corazón hay una o dos picas. A la derecha de una pica hay una o dos picas. Dígase de qué tres cartas se trata. 23. TRES PAREJAS EN LA DISCOTECA. Tres parejas de jóvenes fueron a una discoteca. Una de las chicas vestía de rojo, otra de verde, y la tercera, de azul. Sus acompañantes vestían también de estos mismos colores. Ya estaban las parejas en la pista cuando el chico de rojo, pasando al bailar junto a la chica de verde, le 3 se les taparon los ojos y a cada uno le fue pegado un sello en la frente. Problema propuesto por Einstein y traducido a varios idiomas conservando su lógica. de forma que: . cada una de un color. Cada político era o bien deshonesto o bien honesto. En el restaurante. . BLANCO. Carlos y Dionisio fueron. COMIENDO EN EL RESTAURANTE.Enfrente de Basilio se sentaba Dionisio. al menos uno de los dos era deshonesto. ¿se podrá deducir de qué color viste el compañero de baile de la chica de rojo? 24. con sus mujeres. Inténtelo y verá como tengo razón. pero habrás observado que nadie tiene el color de pelo que corresponde a su apellido. 4 . ¿de qué color es el cabello de Rubio? 25. Cierta convención reunía a cien políticos. ¿Es posible. deducir el color del sello de A. la dama hace notar: "Es muy curioso que nuestros apellidos sean Blanco Rubio y Castaño.No había dos mujeres juntas. . Tres sujetos A. o del de B. a partir de esta información.habló así: Carlos: ¿Te has dado cuenta Ana? Ninguno de nosotros tiene pareja vestida de su mismo color. se conocen en una reunión.Ninguna mujer se sentaba al lado de su marido. a comer. Poco después de hacerse las presentaciones. Einstein aseguraba que el 98% de la población mundial sería incapaz de resolverlo. .Tenemos cinco casas. o del de C? 28. SELLOS DE COLORES. b) Dado cualquier par de políticos. Condiciones iniciales: . se sentaron en una mesa redonda. dos amarillos y tres verdes. además. Yo creo que Vd. A continuación. de apellidos Blanco. LOS CIEN POLÍTICOS. Tres personas. A la misma pregunta respondió B: -No. ¿Quién se sentaba entre Basilio y Armando? 27. respondió: -No.A la derecha de la mujer de Basilio se sentaba Carlos. LA LÓGICA DE EINSTEIN. Cuando se les destaparon los ojos se le preguntó a A: -¿Sabe un color que con seguridad usted no tenga? A. de que cada uno de los otros era un lógico perfecto. Basilio. ¿Puede determinarse partiendo de estos dos datos cuántos políticos eran honestos y cuántos deshonestos? 26. Cada uno era consciente. A los tres se les mostraron siete sellos: dos rojos. es del 2% restante. Cada uno podía deducir instantáneamente todas las conclusiones de cualquier conjunto de premisas." "¡Es verdad!" -exclamó quien se apellidaba Blanco. Si la dama no tiene el pelo castaño. Se dan los datos: a) Al menos uno de los políticos era honesto. Rubio y Castaño. B y C eran lógicos perfectos. y que nos hayamos reunido aquí tres personas con ese color de cabello" "Sí que lo es -dijo la persona que tenía el pelo rubio-. Con esta información. los cuatro sellos restantes se guardaron en un cajón. RUBIO Y CASTAÑO. Armando. 8. El inglés vive en la casa roja. fuma la misma marca o bebe el mismo tipo de bebida que otro.Los 5 dueños beben una bebida diferente. El de la casa amarilla fuma Dunhill. no están en la vertical derecha. El que vive en la casa del centro toma leche. En una mesa hay cuatro cartas en fila: 1. están en la horizontal inferior. b) 2. 7. 13. 4. fuman marca diferente y tienen mascota diferente. 9. 8. 6. 30. El caballo esta a la derecha de los bastos. 7. La mascota del Sueco es un perro. están en la horizontal inferior. 5.Ningún dueño tiene la misma mascota. 9. no están en la vertical izquierda. 3. no están en la vertical derecha. d) 1. El Danés bebe té. El que tiene caballos vive junto al que fuma Dunhill. El que fuma Blend tiene un vecino que bebe agua. .Cada casa tiene un dueño de nacionalidad diferente. El alemán fuma Prince. están en la horizontal superior. El que fuma BlueMaster bebe cerveza. 6. 7. 2. 2. Colocar un número en cada cuadro. 9. 31. El noruego vive en la primera casa. 8. 2. 2. Las copas están mas lejos de las espadas que las espadas de los bastos. . ¿Quién tiene peces por mascota? 29. COLOCANDO NÚMEROS (2). 5. COLOCANDO NÚMEROS (1). 8. 14. d) 1. El de la casa verde toma café. 4. 3. teniendo en cuenta que: a) 3. 3. 11. . 12. El que fuma PallMall cría pájaros. Datos: 1. 7. 3. 9. no están en la vertical izquierda. El rey esta mas cerca del as que el caballo del rey. 6. 3. b) 5. 6. 5 . LA BARAJA ESPAÑOLA. El que fuma Blend vive junto al que tiene gatos. 9. Colocar un número en cada cuadro. c) 1. están en la horizontal superior. c) 1. teniendo en cuenta que: a) 3. junto a la casa azul. 2. 5. 7. La casa verde es la inmediata de la izquierda de la casa blanca. 5. 10. 5. 9. 6. 4. Tengo tres dados con letras diferentes. no están en la vertical izquierda. d) 1. d) 1. Para que no suene una alarma. que detendría al elevador por exceso de carga. VID. tiene usted que calcular su peso total con gran rapidez. Pero. SOL. Los peces de Pablo y de Carlos son múltiplos de cinco. pero no puedo formar palabras tales como DIA. Colocar un número en cada cuadro. y solo seis menos que Jesús. CAE. están en la horizontal superior. c) 2. 4. El as esta mas lejos del rey que el rey de la sota. 2. VOY. COLOCANDO NÚMEROS (3). b) 7. Si lo que cree el cuerdo es siempre cierto y lo que cree el loco es siempre falso. teniendo en cuenta que: a) 2. están en la horizontal inferior. ¿Cuáles son las letras de cada dado? 37. REY. 8. están en la horizontal inferior. 8. 4. tu también. 5. ¿el lagarto está cuerdo? (Original de Lewis Carroll) 36. GOL. ¿Cuáles son los cuatro naipes y en qué orden se encuentran? 32. ATE. 4. 3. 6. b) 4. FIN. 7. Pablo: Cuando yo miento. Las espadas. están en la horizontal superior. EN EL ASCENSOR. ESA. teniendo en cuenta que: a) 4. LOS TRES DADOS. la alarma detendría el ascensor. 5. 35. ¿SON MENTIROSOS? Andrés: Cuando yo digo la verdad. PIO. 3. 5. 6. Cuatro jugadores de rugby entran en un ascensor que puede trasportar un máximo de 380 kilos. no están en la vertical derecha. 6. 9. Carlos es el mas ligero: ¡el ascensor podría subir a cinco como el¡ Renato pesa 14 kilos menos que Pablo. 8. 34. 5. Colocar un número en cada cuadro. 8. tú también. 9. 5. no están en la vertical izquierda. LA ORUGA Y EL LAGARTO. mas cerca de las copas que los oros de las espadas. 33. MIA. 6. Jesús pesa 17 kilos mas que Carlos. SUR. 7. Al tirar los dados puedo formar palabras como: OSA. 7. 9. c) 2. La oruga piensa que tanto ella como el lagarto están locos. ¿cuanto pesa cada jugador? He aquí los datos: Pablo es quien pesa más: si cada uno de los otros pesara tanto como el. 5. 9. COLOCANDO NÚMEROS (4). ¿Es posible que en esta ocasión uno mienta y el otro no? 6 . 4. no están en la vertical derecha. RIN. 8. EXAMEN DE HISTORIA.. Quien se sentaba a la derecha de Diego bebía anís. De las siguientes afirmaciones. Ángel estaba frente al que bebía vino. . El del café y el del anís estaban frente a frente.. EL NÚMERO. los Brown viven al lado de los Smith pero no al lado de los Bruce. Un niño y medio se comen un pastel y medio en un minuto y medio. c) Más de la mitad de los niños aprobaron el examen. este contestó: "No estaría mintiendo si te dijera que no puedo no decirte que es imposible negarte que si creo que es verdadero que no deja de ser falso que no vayamos a casarnos".. y algunos avaros son pobres: luego: algunos (. LA HILERA DE CASAS.38. LA BODA. e) No hay suficientes datos para justificar una conclusión. ¿cuáles son las dos que.... d) Menos de la mitad de todos los alumnos fueron suspendidos. 7 . ¿Cuántos niños hacen falta para comer 60 pasteles en media hora? 39. Boris. c) Los hombres y mujeres conducen igualmente bien.. prueban en forma concluyente que una o más niñas aprobaron el examen de historia? a) Algunas niñas son casi tan competentes en historia como los niños. Ángel. 44. EL ENCUENTRO. Si los Bruce no viven al lado de los Jones. b) Los hombres conducen mejor.. En una hilera de cuatro casas. 45.). .. El que se sentó a la izquierda de Boris. María se mareó. pero lo hacen con más frecuencia. tomadas conjuntamente. 42.) no son (.. ¿quiénes son los vecinos inmediatos de los Jones? 43. COMPLETANDO.. CONDUCTORES Y SU SEXO. ¿Cuál era la bebida de cada hombre? 41. ¿Puede ayudarla diciéndola si Mario quiere o no quiere casarse? 40. Completar la oración siguiente colocando palabras en los espacios: Ningún pobre es emperador.Ninguna cifra es impar.. se equivocan en lo que respecta a la pericia de la mujer conductora.La primera es un tercio de la quinta y la mitad de la tercera.. b) Las niñas que hicieron el examen de historia eran más que los niños.La última es la diferencia entre la cuarta y la quinta. César y Diego se sentaron a beber. La conclusión es que: a) Como siempre.La segunda es la menor de todas. . típicos machistas. los hombres.. Cuando María preguntó a Mario si quería casarse con ella. .. d) La mayoría de los camioneros son hombres. pero los hombres hacen más kilometraje. Las estadísticas indican que los conductores del sexo masculino sufren más accidentes de automóvil que las conductoras. PASTELES PARA NIÑOS. bebió agua.. Buscamos un número de seis cifras con las siguientes condiciones. LOS CUATRO ATLETAS. GASOLINA. e) Debería girar a la derecha. Jaime. d) Se ha perdido. si vuelve. Más bajo. e) Todos los neumáticos son flexibles y algunos negros. los Azules no viven al lado de los Grises. c) No debió seguir. ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? a) Todas las ostras son azules. b) Todos los neumáticos son negros. A lo largo de una carretera hay cuatro pueblos seguidos: los Rojos viven al lado de los Verdes pero no de los Grises. pero sabe que. Por tanto: a) Puede que se quede sin gasolina. d) Todos los neumáticos son flexibles. Tomás. c) a) y b) no son ciertas. EL TEST. ¿cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas? a) Todos los neumáticos son flexibles y negros. Ha dejado una atrás. Según esto. ¿Quién obtuvo la puntuación más alta? SOLUCIONES DE LÓGICA 1. Pedro. Según los datos suministrados. En la dirección que lleva no ve ningún surtidor. SusaSusana y Julia realizaron un test. En el juego número once. Ocho. LOS CUATRO PERROS. d) a) y b) son ciertas las dos. f) Debería girar a la izquierda. SILENCIO. NEUMÁTICOS. b) Se quedará sin gasolina.46. b) Todas las moradas de animalitos pequeños son ostras. y Pedro logró menos puntos que Tomás. Todos los neumáticos son de goma. TENIS DE CATEGORÍA. Todo lo de goma es flexible. 5. se le acabará la gasolina antes de llegar. Alguna goma es negra. ¿Quiénes son pues los vecinos de los Grises? 50. 2. 48. SEIS AMIGOS DE VACACIONES. B-C-D-A. Todas las ostras son conchas y todos los conchas son azules. 3. Jaime puntuó más bajo que Pedro pero más alto que Susana. PUEBLOS. 4. 47. Julia obtuvo mayor puntuación que Tomás. LA NOTA MEDIA. En coche. además algunas conchas son la morada de animalitos pequeños. El galgo. Si al llegar a la esquina Jim dobla a la derecha o a la izquierda puede quedarse sin gasolina antes de encontrar una estación de servicio. c) S¾lo algunos neumáticos son de goma. OSTRAS. 6. 8 . 49. e y del resto de los juegos. 15. el guardián señala la puerta de la esclavitud. Esto es igual a 5 (se nos dijo que la que no sirvió ganó cinco juegos). 7. 9 . Pero en ese caso ya es falsa. no dice nada. y esperaría que éste último expulsase a su mujer la primera mañana. Porque sólo Santana ganó un número par de juegos. él debió ser el primero en servir. cada uno deduce que el otro espera lo mismo. Luego cada preso tiene una boina blanca. y el otro jugador sirvió cuatro. que ve las dos boinas. Supóngase que quien sirvió primero ganó x de los juegos que sirvió. Como eso no tiene lugar. habría expulsado a su mujer la primera mañana. x=y. Quienquiera que sirviese primero sirvió cinco juegos. LOS 3 PRESOS Y LAS BOINAS (1). Si esta frase es cierta. PARTIDO DE TENIS. Si uno cualquiera de ellos tuviera una boina negra. por tanto. Entonces el primer preso tiene una boina blanca. Si hubiera sólo un marido engañado. El primer preso (el que no ve ninguna boina) averigua el color de su boina: Como el tercer preso. El condenado fue indultado. 14. El más viejo el de Mac. Si el segundo viera una boina negra en el primero. El número total de juegos perdidos por el jugador que los sirvió es. ¿QUÉ ME CONTESTARÍA?» En los dos casos. cada uno sabría que el otro era engañado. Y si es falsa. LOS 3 PRESOS Y LAS BOINAS (2). Había 3 serpientes totalmente ciegas y 3 con ambos ojos sanos. debe morir en la hoguera. EL PRISIONERO Y LOS DOS GUARDIANES. el tercero diría inmediatamente que tiene una boina blanca. pero en este caso es verdadera. si no. 9. el condenado debe morir envenenado. por incompetente. 11. al haber llegado a la conclusión primera de que había más padres que hijos. entonces. EL PRISIONERO Y LOS TRES GUARDIANES. EL PARO AUMENTA. SERPIENTES MARINAS. los otros dos sabrían que tiene una boina blanca. puesto que no conocería ninguna mujer infiel y sabría que hay por lo menos una. EL EXPLORADOR CONDENADO. el más lento el de Jack y el más claro el de Smith. 10. 5-x+y. El prisionero pregunta a uno de los dos servidores: «SI LE DIJERA A TU COMPAÑERO QUE ME SEÑALE LA PUERTA DE LA LIBERTAD. y por tanto que hay dos mujeres infieles una de las cuales es la suya. 12. y el primer jugador ganó un total de 2x juegos. El agente pasó a engrosar la lista de parados. El condenado dijo: «MORIRÉ EN LA HOGUERA». 16. Si hubiera dos maridos engañados. Por supuesto elegiría la otra puerta para salir de la celda. 8. Los dos maridos expulsan pues a sus mujeres la segunda mañana. sabría que él tiene una blanca ya que no oye al tercero decir que tiene una blanca. CABALLOS. 13. no puede ver dos boinas negras. LOS MARIDOS ENGAÑADOS. 59x + x² . Los dos primeros enunciados sólo pueden satisfacer mediante dos disposiciones de Reyes y Damas: RDD y DRD. El chico de rojo tiene que estar con la muchacha de azul. Por eliminación. Cada jugador del primer grupo jugó 11 partidas y como el ganador totalizó 7'5 puntos. para saber lo que decía la elegida por el reo.DP. Y así sucesivamente.RP. De la misma manera. 18. que no puede ser otra más que la suya. por lo tanto no es ni la tenista. EL TORNEO DE AJEDREZ.DP. DP El último conjunto queda excluido por contener dos Damas de picas. DC . la más baja es la nadadora. la Dama de picas y la Dama de corazones. La gimnasta no es Ana. llamando y al número de partidas en las que hizo tablas: y 0'5 + (11-y) 1 = 7'5 ===> 0'5y = 3'5 ===> y = 7 partidas. EL REY Y EL MINISTRO. (30-x)(29-x)/2 . Los tres maridos expulsan pues a sus mujeres la tercera mañana. es Carmen. y tampoco puede ir de verde. con gesto fatalista. La chica no puede ir de rojo. 23. hizo con él una bola y se lo tragó. Luego debe bailar con el chico vestido de azul.x(x-1)/2 = 87 870 . DP . porque el chico de rojo habló con la chica de verde cuando estaba bailando con otro amigo. Como los otros tres conjuntos están compuestos del Rey de picas. Los dos conjuntos pueden combinarse de cuatro maneras posibles: RP. RP. Así pues. LAS TRES CARTAS. tenemos. LAS DEPORTISTAS. cada uno sabría que los otros dos lo son. Como el papel que quedaba decía CESADO. DC . y tragado. Eligió una papeleta y. 19. los cuarenta maridos expulsan a sus cuarenta mujeres a los cuarenta días. sin perder ninguna partida. DC. la tenista es Beatriz. El sultán hubo de mirar la que quedaba.x² + x = 174 ===> 58x = 696 ===> x = 12. pero sí podemos decir que el primero ha de ser de picas y el tercero una Dama. 21. pues la pareja llevaría el mimo color. Sea x el número de jugadores del primer grupo. TRES PAREJAS EN LA DISCOTECA. Como eso no tiene lugar. contenía la opción SEGUIR. si hubiera tres maridos engañados. 17. por la mañana. y esperaría que expulsaran a sus mujeres la segunda mañana. tenemos la seguridad de que éstas son las tres cartas que están sobre la mesa. ni Beatriz (mujer casada). cada uno deduce que una tercera mujer infiel. Luego hubo 12 jugadores en el primer grupo y 18 jugadores en el segundo grupo. EL CONDENADO A MUERTE. como correspondía a un árabe. 22. se la tragó. No podemos saber la posición de cada naipe en concreto. Veamos primero el número de jugadores en cada grupo. el rey quedó obligado a reconocer que el papel elegido. El ministro cogió uno de los papeles sin mirarlo. Los dos últimos enunciados sólo se cumplen con dos combinaciones de corazones y picas: PPC y PCP. ni la gimnasta. DP. con lo que su salvación quedó asegurada merced al Gran Visir y a su propio ingenio. RC. El mismo razonamiento hace ver que la chica de verde no puede estar ni con el chico de rojo ni con el de verde. 10 . nos queda la chica de rojo con el muchacho de verde. Ana es más alta que la tenista. COMIENDO EN EL RESTAURANTE. Otra bastante frecuente es "51 honestos y 49 deshonestos". RUBIO Y CASTAÑO.24. así que el pelo de Castaño no podrá ser de ese color. nos vemos forzados a admitir que su apellido es Rubio. mujer de Armando. resulta que ésta no se apellida Blanco. éste habría de ser su propio interlocutor. se debe concluir que es blanco. Su observación inicial fue replicada por la persona de pelo rubio. Por consiguiente. LA LÓGICA DE EINSTEIN. al ver dos sellos rojos. El único cuyo color puede determinarse es C. Pero la réplica de la persona rubia arrancó una exclamación de Blanco y. BLANCO. y como tampoco puede llamarse Castaño. Carlos. así que el sello de C no puede ser rojo. Como su pelo no puede ser ni rubio ni castaño. El mismo razonamiento sustituyendo la palabra rojo por amarillo demuestra que el sello de C tampoco puede ser amarillo. 27. el sello de C debe ser verde. LOS CIEN POLÍTICOS. Dionisio y mujer de Carlos. Una respuesta bastante corriente es "50 honestos y 50 deshonestos". Si el sello de C fuera rojo. Pero A no sabe que su sello no es rojo. Por tanto. y tampoco rubio. Dado que la señora no tiene el pelo castaño. 28. la hipótesis de que la dama sea Castaño debe ser descartada. Pero B no sabía que su sello no era rojo. Si la señora Rubio no es una anciana. parece justificado que estamos hablando de una rubia platino. mujer de Basilio. mujer de Dionisio. Basilio. La mujer de Dionisio. Hay que concluir que el pelo de Blanco es castaño. pues Blanco replica a la persona que tiene ese cabello. sabría que su sello no es rojo. el ." Esto demuestra que si el sello de C fuera rojo. la colocación es la siguiente: Armando. ya que se correspondería con su apellido. SELLOS DE COLORES. Esto implica que Rubio ha de tener el pelo castaño. Siguiendo el sentido de las agujas del reloj. B habría sabido que su sello no era rojo al pensar: "Si mi sello fuera también rojo. 26. ¡las dos respuestas son equivocadas! La respuesta es que uno es honesto y 99 deshonestos. Por lo que antecede. B habría sabido que su sello no era rojo. por consiguiente. 25. CASA 1 CASA 2 CASA 3 CASA 4 CASA 5 Noruego Danés Inglés Alemán Sueco Amarillo Azul Rojo Verde Blanco Agua Té Leche Café Cerveza Dunhill Blend PalMall Prince BlueMaster Gatos Caballos Pájaros PECES Perro 11 . y que Blanco debe tenerlo rubio. Además. Tampoco puede ser castaño. Suponer que la dama se apellida Castaño conduce rápidamente a una contradicción. Por lo tanto debe ser blanco. mi sello no puede ser rojo.pelo de Blanco no puede ser de este color. A. ya que coincidirían color y apellido. 1º) O-M-E-F-U-V. además. el as de bastos y el caballo de espadas. De modo que tenemos. Renato. 12 . EN EL ASCENSOR. LA ORUGA Y EL LAGARTO. COLOCANDO NÚMEROS (4). y Carlos no mas de 76 y. En forma similar. Se nos dice que Pablo pesa mas de 95 kilos. 34. COLOCANDO NÚMEROS (1). 3º) A-D-L-P-N-R. que a su vez es inferior a la distancia entre espadas y oros. 9 5 3 8 1 4 7 2 6 31. el rey debe estar junto a la sota. de izquierda a derecha: el rey de oros. Pablo pesa 100 kilos. 37.29. Por tanto. y el rey y el caballo en ambos extremos. 86. la oruga loca. 36. y Jesús. COLOCANDO NÚMEROS (3). 8 3 6 4 1 2 5 9 7 30. la distancia entre rey y sota es inferior a la que separa al rey del as. Carlos. 32. 92. la sota de copas. Según lo declarado en los números 3 y 5. El lagarto está cuerdo. que a su vez es menor de la que media entre rey y caballo. 2º) S-G-C-I-T-Y. la distancia entre espadas y bastos es menor de la que hay entre espadas y copas. COLOCANDO NÚMEROS (2). no puede estar en el extremo izquierdo. que los pesos de Pablo y de Carlos son múltiplos de 5. Puesto que el caballo esta a la derecha de los bastos. 5 2 6 1 9 3 8 4 7 35. 6 5 4 1 9 3 7 8 2 33. las espadas están junto a los bastos. La falsedad de la afirmación de Andrés implica la falsedad de la afirmación de Pablo y viceversa. Como solo hay cuatro naipes. LOS TRES DADOS. y espadas y oros se encuentran en los extremos. ¿SON MENTIROSOS? No es posible. 75. LA BARAJA ESPAÑOLA. Julia. Llamemos al resultado P. 49. después el cociente entre 11 y. del 2 al 10 sólo hay un divisor mío. ¿Podría Vd. Ángel: agua. Los números primos detectados hasta ahora son muchísimos. Por ejemplo: 234234. COMPLETANDO. EL ENCUENTRO.862.. 46. Para comerse 60 en media hora se necesitan 3 niños. PUEBLOS. 42. el nuevo cociente entre 13. pero algunos me ven como si fuera un 9. por último. ¿verdad? ¿Por qué? 13 . Mario se quiere casar. 44. AVAROS. PASTELES PARA NIÑOS. Escoge un número de tres cifras y forma otro repitiendo el primero. NEUMÁTICOS. . 1. EMPERADORES. El número buscado es el 204. 16/64? 3. 26/65. 45. En tres minutos dos pasteles. d) y e). En 30 minutos 20 pasteles. Los Brown. CONDUCTORES Y SU SEXO. NINGÚN Nº PRIMO. ¿QUE NÚMERO SOY? Soy capicúa. encontrar una decena menor en la que tampoco haya ningún número primo? 2. 50.. e) No hay suficientes datos para justificar una conclusión. LA HILERA DE CASAS. 532.. a) Puede que se quede sin gasolina. a) ¿Con qué cifra del 0 al 9 termina P? b) La segunda cifra (la de las decenas). ¿Qué tienen de extraño las siguientes fracciones: 19/95. OSTRAS. César: anís. LA BODA. Boris: café. EL NÚMERO. 40. TODOS LOS PRIMOS. ¿es par o impar? 4. En la decena: 531. No. pero hay una cantidad finita de ellos. Diego: vino. Multipliquémoslos todos entre sí. En minuto y medio un niño se come un pastel. 41. 48. Los verdes. tengo cuatro cifras. no se ponga a multiplicar. no hay ningún número primo.38. 43. DIVISIONES EXACTAS. 540. imagine que alguien ya hizo esa multiplicación por Vd. a). b) y d). EXAMEN DE HISTORIA. 39. 47. ¿Qué número soy? 5. GASOLINA. EL TEST. Divide este número entre 7. FRACCIONES EXTRAÑAS. Obtienes divisiones parciales exactas y al final tu número inicial. 3=3/10. /. ¿Podría Vd. !. x. sin necesidad de repetir la operación? 12. de 5 en 5. y el tercero es triple del primero. 13.3333. potencias. de 6 en 6.. es decir.6. LA CIFRA BORROSA. etc. ¿Cuál es el menor número que. . EL MENOR CON X DIVISORES. averiguarla. -. de 2 en 2. 3. ¿Cuál es esta base? 7.5555. de 3 en 3..) expresar todos los números del 1 al 10. CON 4 TRESES. El segundo es el doble del primero... x. !. ¿Cuál es el menor número con 7 divisores y no más? ¿Y. -.) expresar todos los números del 1 al 10. 4 y 5? 8.5 período=0. 3. de 15 en 15 y los 30 enfilados. etc. LA BASE DESCONOCIDA. Las nueve cifras de los tres números abc def ghi son distintas. ACERCA DE LOS PRIMOS. También se admite: 0.3 período=0. x. -. EL GRAN DESFILE. 9. También se admite: 0. con 8 divisores? 11. PRODUCTO DE CUATRO ENTEROS CONSECUTIVOS. Empleando cuatro cincos (ni más ni menos) y las operaciones habituales: (+. 15. MENOR NÚMERO. ESCRITURA DEL CIEN (1). Escribe el número 100 con nueve cifras idénticas. Treinta soldados pueden desfilar de 1 en 1. Se puede usar la notación anglosajona 0'5=. Mi hijo ha aprendido a contar según una base no decimal. ¿Cuáles son estos números? 10.024. 16. de 8 formas diferentes sin que existan números desiguales de soldados en las líneas. Encontrar 10 números consecutivos que no sean primos. PACIENCIA Y PROGRESIÓN. Empleando cuatro treses (ni más ni menos) y las operaciones habituales: (+. de 10 en 10. Al hacer el siguiente producto: 15 x 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 y tomar nota del resultado: 1 3 0 7 X 7 4 3 6 8 0 0 0 una de las cifras (la 5ª) quedó borrosa y no sabemos exactamente cuál es.=3/9. ¿Cuál es el menor número de soldados que debe tener una compañía para poder desfilar de 64 formas diferentes? 14. dividido por 2. : y ( ).=5/9. de manera que en lugar de escribir 136 escribe 253. 4. . potencias. Se puede usar la notación anglosajona 0'3=. Encontrar los tres números.5=5/10. /. El producto de cuatro números enteros consecutivos es 3. 5 y 6 da respectivamente los restos 1. 2. 14 . Éstas sólo podrán estar separadas por los signos matemáticos +. CON 4 CINCOS. Tomamos un número de tres cifras. por ejemplo 637. 18.111. A continuación formamos otro número. Restamos 763 .111. Formamos otro. Resta: 733-337=396. EL NÚMERO MÁGICO 495.400.089. Resulta 367. 2. 20. 15 . ¿Qué observas? ¿Qué pasa con un número de dos o cuatro cifras al hacer un proceso semejante? ¿Cuál es la razón? 23. MAYOR Y MENOR MÚLTIPLOS DE 11. de modo que no sean las tres iguales. Numere los cuadrados de 1 a 16 como se muestra en la ilustración: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Doble el papel a lo largo de los pliegues hasta que quede del tamaño de uno de los cuadrados pequeños.111 (hay 17 unos). Resulta 763. ¿Cuál es el mayor múltiplo de 11 formado por las nueve cifras significativas sin que se repita ninguna? ¿Y el menor? 21. Repite la operación unas cuantas veces con este resultado y los sucesivos.089. 3. 19. ¿Qué misterio es éste? ¿Será verdad que partiendo de cualquier número resulta siempre 1. 297 + 792 = 1. Con las cifras 1. Buscar un divisor distinto de él mismo y de la unidad del número 11. Repetimos con 475 ----> 754 . ordenándolas de menor a mayor. EL NUMERO 1. ordenando las cifras de mayor a menor.111. Ahora marque bien cada pliegue hacia adelante y hacia atrás. BUSCANDO UN DIVISOR. Escoge un número cualquiera de tres cifras. de modo que al desdoblarlo los pliegues formen una cuadrícula de 16 cuadrados pequeños. Encontrar dos números tales que el producto de la suma por el producto sea igual a 29. Hay que usarlas todas. Construye otro ordenando sus cifras de mayor a menor: 733. puede incluso meter pliegues dentro de pliegues.457 = 297. para que el papel se doble fácilmente en cualquier dirección.367 = 396. 373. y sumamos los dos últimos: 693 + 396 = 1. A este último número le damos la vuelta. recorte de ella un cuadrado de aproximadamente 20 centímetros de lado.111. SUMA POR PRODUCTO. Consiga una hoja de papel.17. Doble el papel al medio cuatro veces. Su modo de doblarlo puede ser tan complicado como quiera. 5 y 6 escribe dos números de tres cifras cada uno cuyo producto sea lo mayor posible. Ahora las ordenas de menor a mayor: 337. 693. no todas iguales. EL MAYOR PRODUCTO. EL MÁGICO NUMERO 68.089. por ejemplo. 4.089? ¿Por qué? 22. Encuentre fracciones similares que den por resultado 3. Pero puedes hacer algo mejor.. aparece una y sólo una vez.2223 = 5555 . 28.32 = 55 782 . CURIOSA PROPIEDAD (1).. Profesor: ¡Bravo! ¡Te pongo un diez! ¡Puedes sentarte! Profesor: (Dirigiéndose a toda la clase) El método de simplificación empleado por vuestro compañero es poco ortodoxo y sin embargo los resultados son exactos. 21²=441. 6. Lo mismo ocurre con el 18. En el resultado del producto 41096 x 83 = 3410968 se ha colocado el 3 delante y el 8 detrás y el producto es correcto. Otra equivalente a 1/4. Sin dar la vuelta a ninguno de los cuadrados. volvemos a tener el 17. CURIOSA PERSISTENCIA DEL 5. Teme unas tijeras y corte los cuatro bordes del paquete final para que le queden 16 cuadrados separados. Otra equivalente a 1/5.913. Profesor de matemáticas: Simplifica la fracción 26666/66665. 82 .223 = 555 7778 . Si ahora sumamos las cifras del resultado 4+9+1+3. b y c en las fracciones que pueden simplificarse de la forma indicada? 25. 13²=169. DELANTE Y DETRÁS... 8-3=5 78 . Alumno: Es cierto. 8 y 9. 29. Algunos de los cuadrados tendrán un número arriba.. CURIOSA PROPIEDAD (2). Encontrar otros productos que produzcan el mismo efecto..232 = 55 555 7782 .832. Encontrar una fracción de la misma forma que pueda simplificarse de la misma manera y que sea equivalente a 1/2. 4=15768/3942. No muy lejos de ellos hay otros dos números. Ocurrió el 18 de noviembre de 1994 en una clase de Matemáticas de 1º de BUP de un instituto de Salamanca. 7. otros un número abajo. Por ejemplo: 2=13458/6729. excepto el 0.2232 = 555 555 16 . cada uno de los cuales goza de la misma propiedad. Profesor: Está bien.. 5+8+3+2=18..23 = 55 778 ... 12²=144. todavía puedo simplificar tres veces el 6 y quedará: 26666/66665 = 2666/6665 = 266/665 = 26/65 = 2/5. desparrámelos sobre la mesa. consecutivos. 27. 183=5. 31²=961. SIMPLIFICACIONES ESCANDALOSAS. 173=4. con el multiplicador de dos dígitos y el multiplicando con las cifras que se quiera. ¿será el 68? ¡Qué extraña coincidencia! ¿Verdad? 24... CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9. 5. Alumno: Quito un 6 del numerador y otro del denominador y queda 2666/6665.. ¿Qué relación cumplen a.. El número que Vd. ¿Cuáles son? 26. Los números del 2 al 9 pueden ser expresados como fracciones en las cuales cada dígito.... ha escrito. Sume todos los números que hayan quedado boca arriba y escriba el resultado.. Encontrar otro número de dos cifras que cumpla la misma propiedad. 001 entre 7 da como resultado el número 142.000. 30. 3. Ejemplo: 357419 x 25 = 8935475. 33..001 da como resultado el citado número de 9 cifras duplicado.937 x 142. El producto de cualquier número de 9 cifras por el 142. 987.. El producto de cualquier número entero por 100 da como resultado el citado número con dos ceros más a su derecha..857... NOTABLE SUCESIÓN DE CUADRADOS... El producto de cualquier número de 9 cifras por 1.143.... 1. -.. El producto de cualquier número por 25 se puede obtener dividiendo entre 4 el citado número con dos ceros más a su derecha. 3..000. Éstas sólo podrán estar separadas por los signos matemáticos +.22232 = 55 555 555 .... ESCRITURA DEL CIEN (2).143 17 ... 2. : y ( ).857. EL NÚMERO 142. 32... Ejemplo.000. 77782 ..857.857. 2.. Lo hemos obtenido así: 35741900 : 4 = 8935475. El cociente de 1... EL NÚMERO 25. El cociente de 100 entre 4 da como resultado el número 25.143. 12 = 1 112 = 121 1112 = 12321 11112 = 1234321 111112 = 123454321 1111112 = 12345654321 11111112 = 1234567654321 111111112 = 123456787654321 1111111112 = 12345678987654321 92 = 81 992 = 9801 9992 = 998001 99992 = 99980001 999992 = 9999800001 9999992 = 999998000001 99999992 = 99999980000001 999999992 = 9999999800000001 9999999992 = 999999998000000001 31. x. Escribe el número 100 empleando cinco cifras iguales.542. 1.143 se puede obtener dividiendo el citado número de 9 cifras duplicado entre 7...000. .. 35..569...... Todavía lo practican algunos árabes de ciertas regiones.. para que ambos modos de escribir signifiquen el mismo número? (En este caso el error mecanográfico no hubiese tenido importancia en el resultado)...542... Realiza por este método los siguientes productos: a) 789 x 1358..........937 : 7 = 141. b) 5432 x 9876... encontrar otras cuatro cifras....987.542...... ...... . Una mecanógrafa inexperta estaba copiando un libro de matemáticas...937... escribió 5423..... c) 1234 x 56789... .... ------------------------------ ... que es muy distinto...... ... Restad a vuestro año de nacimiento la suma de las cuatro cifras que lo componen...077..648...991 34.. .... donde debía escribir 5423.... AÑO DE NACIMIENTO. ERROR MECANOGRÁFICO....... Obtendréis así un resultado divisible por 9.. ------------------------------------------- 141077562569648991 Lo hemos obtenido así: 987................. ....... .562..... 36........ MÉTODO ÁRABE DE MULTIPLICACIÓN... En el ejemplo se muestra el producto de 346 x 2674 = 925204.... .... ¿Por qué? 18 ....... ¿Podría Vd.. 43. Un campesino tenía un rebaño de animales formado por cabras y ovejas. encontrar tres números más que tengan todas sus cifras iguales y sean múltiplos de 37? 47. pero semejantes. Ahora.UU. Por la venta de una partida de pelotas un señor obtiene 60. A BUEN FIN. El número de ovejas multiplicado por el número de cabras da un producto que reflejado en el espejo.37. EL CORRAL DE PALOMO. En España. el número 546 le multiplicamos por el dicho 481: 546x481 = . ¿Qué condición ha de cumplir un número para que al restarle la suma de sus cifras el resultado sea múltiplo de 9? 38. ¿Cuántos animales de cada clase hay en el rebaño? 48. EL NÚMERO MÁGICO 481. ¿Qué se obtiene? 42. MÚLTIPLO DE 9.. Si desconociésemos cuál de ambos sistemas se ha utilizado. fechas como 6 de diciembre de 1977 suelen abreviarse 6-12-77. Ahora: 987x481 = . QUINTA POTENCIA DE UN Nº. A²+2=B3. ¿Puede Vd. ¿Qué se obtiene? Otro ejemplo: 47 + 47x20 = 987. VENTA DE PELOTAS. por ejemplo. CABRAS Y OVEJAS. Hallar una base de numeración distinta de 10 en la que 121 sea cuadrado perfecto. FECHAS INDETERMINADAS. no exactamente iguales.. y al segundo le han sobrado 4. Dos albañiles se reparten en dos partes.377 ptas. El primero los va disponiendo en hileras de 5 ladrillos. El precio de cada pelota fue inferior a 200 ptas. 45.. ¿Cuántos ladrillos había tomado cada uno? 40. El carpintero que construyó el corral para las ovejas de Palomo descubrió que podía ahorrarse dos postes si el campo a cercar 19 . Hallar el menor triplete de números enteros tales que el mayor sea múltiplo del menor y que sus tres cuadrados estén en progresión aritmética. ¿En qué cifra termina 783578? 46. pero en otros países. Hallar un cuadrado que se convierta en un cubo al sumarle 2. Halla el número n sabiendo que n5 es un número de 7 cifras acabado en 7. OBREROS DE SIEMPRE. Cuando terminan su montón al primero le quedan dos ladrillos sin colocar. 44. ¿Cuántas pelotas vendió? 41. y el segundo los coloca en columnas de 7 ladrillos. un montón de 100 ladrillos. se da primero el mes y luego el día. CUADRADO PERFECTO. 26. TRES AGUJAS EN UN PAJAR. El número primo 37 es un divisor de 999. Escoge un número cualquiera de dos cifras.. a ojo de buen cubero. Construye el número siguiente: 26 + 26x20 = 546. MEJOR PRINCIPIO. escribiéndose 12-6-77. muestra el número de animales del rebaño. como EE. 49. EL MENOR TRIPLETE.. ¿cuántas fechas quedarían indeterminadas en la notación abreviada? 39. Imaginemos que un millonario se ofrece a regalarle a Vd.719.153. 13+ 33 + 53 = 153. a condición de contarlas 20 .702 . la cual cuando Simón Pedro. versículo 11). Si las cuenta de dos en dos.648 es 20312144*06831176.937 por 376...576 . EL NÚMERO MÁGICO 153.684 .408 . 1! + 2! + 3! + 4! + 5! = 153. 52. pero si es cuadrado habrá un poste donde atar a cada oveja. etc. ¿Cuál es el mayor cuadrado que se puede escribir con las diez cifras tomadas una vez cada una? 53. la levantó y la trajo a tierra estaba llena de grandes peces en número 153 y siendo tantos la red no se rompió». 50. 1998 . echaron de nuevo la red. Por eso se dice que el número 153 es un agujero negro (respecto de la suma de los cubos de sus cifras) en el sentido de que al llegar a él ya no se puede salir más.. Lo mismo ocurre cuando las cuenta de 3 en 3.99 . LA CIFRA PERDIDA. buscándose distintas propiedades del mismo. REGALO MILLONARIO. ¿SERÁ CUADRADO? ¿Puede ser cuadrado un número formado con las nueve cifras significativas en un orden cualquiera? 54.fuera cuadrado en lugar de rectangular. En el evangelio. y que por lo tanto tendrá 211 repollos más..928. Continuando de esta manera se llegará al número 153. MAYOR CUADRADO.. se aplica la misma operación. 21. Un granjero que tiene un rebaño de ovejas muy numeroso descubre una gran singularidad con respecto a su número. LOS REPOLLOS DE LA SEÑORA GARCÍA.1458 . según San Juan. (cap.66 . se lee que: «Los discípulos no habiendo pescado nada durante la noche se disponían a abandonar la tarea. El producto de 53. que las áreas del corral cuadrado y del rectangular eran iguales.141 . la cifra que falta sin efectuar la multiplicación? 55.1074 . las monedas de una peseta que sea capaz de llevarse. Al resultado. EL REBAÑO MÁS PEQUEÑO. + 17 = 153. hasta de 10 en 10. Si se parte de un número natural cualquiera que sea múltiplo de 3 y se suman los cubos de sus cifras. ¿Cuál es el rebaño más pequeño que se ajusta a estas condiciones? 51.432 . de 4 en 4. ¿Cuántas ovejas había en el famoso rebaño? Se supone que en ambas forman los postes estaban separados por iguales distancias.792 . ¿Cuántos matemáticos y agricultores lograrán determinar el número de repollos que tendrá este año la señora García? 56. que será también un múltiplo de 3. La señora García tiene ahora una plantación cuadrada de repollos más grande que la que tenía el año pasado.1971 . y que el rebaño estaba formado por menos de tres docenas de ovejas.108 . cuando siguiendo el consejo de Jesús. Por ejemplo: Es un número triangular: 1 + 2 + 3 + . le sobra 1.513 .351 .153. Por esto el número 153 se consideró en la antigüedad como número mágico. ¿Puede hallar Vd. De cualquiera de las dos maneras servirá para el mismo número de ovejas. Ejemplos: 252 . Le pedí a mi colega Sátur su número de teléfono.34 . Toma un número natural cualquiera.5 . que podrá llevarse en realidad? 57.29 . las dos siguientes la edad de la mediana. dan un total igual a quince veces el segundo de ellos? 63.13 . Supongamos que cuenta una moneda por segundo. el primero terminado en 1 y el mayor terminado en 9. 32/2 sí. MONETARIO. toma la mitad. 100 .11 . ¿Cuántas cree Vd. La primera cifra de la izquierda era la edad de mi hermana pequeña. 38/8 no.10 .4 . Ejemplo: 31/1 sí.6 . Si es impar multiplícalo por 3 y añádele 1. al igual que el de las posiciones 5 y 6 y el de las posiciones 6 y 7. El otro día compré un boleto de lotería capicúa. 35/5 sí.8 .1. Así: 12 . La pregunta que hacemos también es extraña pero admite una solución simple. 59. Si es par. Como es profesor de matemáticas me contestó diciendo: «El número que forman las cifras de las posiciones 4 y 5 es un cuadrado perfecto. ¿Cuál era la numeración del boleto? 64.20 . En la República de Bizarria existe un curioso sistema monetario.16 . de manera que al dividirse por su última cifra el resultado de siempre exacto.38 . SIEMPRE EXACTO: Encontrar los menores 9 números consecutivos (mayores que 10). ¿Qué tres números enteros consecutivos y positivos. TRES ENTEROS CONSECUTIVOS. Repitiendo la operación sucesivamente se llega siempre al número 1.una por una y sin detenerse.8 . El día 18 de septiembre de 1981. x e y. que le lleva más de un año a la mediana.16 .40 . multiplicados entre sí. Podrá Vd. llevarse todas las que haya contado hasta que se pare.25 .76 .3 . 61.2 .26 . tales que el producto de su MCD y su mcm sea el producto xy.17 .2 . ¿Cuál es la mayor suma de centavos que no se puede abonar exactamente con tales monedas? 58.10 . Hallar dos números enteros positivos.58 . adivinarlas? 62. ¿Qué número de dos cifras es el cuadrado de la cifra de sus unidades? 60. de 7 centavos y de 10 centavos. Esto ha sido comprobado con calculadoras hasta números muy grandes. MCD y mcm. pero no se tiene una demostración de que el hecho sea general.50 . SE LLEGA SIEMPRE AL 1. Tienen allí solamente dos valores de monedas. 33/3 sí. en una emisora de radio. VAYA BOLETO.1. Esto le dio lugar a lanzar en antena la siguiente pregunta: ¿Cuáles son las dos fechas capicúas más cercanas entre sí del siglo XX? ¿Podrá Vd.44 . 34/4 no. SOBRE NÚMEROS DE DOS CIFRAS. 65. La tres primeras cifras forman un 21 .5 . Si sumaba sus cinco cifras daba el mismo resultado que si las multiplicaba.19 .22 . 37/7 no. el presentador cayó en la cuenta de que tal fecha (18-9-81) era capicúa. EL TELÉFONO DE MI COLEGA. y las dos últimas la edad de la mayor. y 39/9 no. FECHAS CAPICÚAS.88 .52 . 36/6 sí.4 . 789. cuál es el número que multiplicado por 7. Demostrar que hay infinitos números primos.679 x 45 = 555.345.222 12. PRODUCTOS QUE SE ESCRIBEN CON UNA SOLA CIFRA (2). FACILEMA.999 72.345. De no conocer el multiplicando. Por consiguiente.873 x 35 = 555.679 x 27 = 333. llamar por teléfono a mi colega Sátur? 66.222 15. esto es el número 111.444 15. podríamos haber intentado hallarlo sin más que dividir por 9 el número 11111.555 15.345. CURIOSA RAÍZ CUADRADA. se obtienen también productos notables. de este modo.cubo perfecto.. Observa el resultado y el resto.345.888.679 x 63 = 777.222. 69.345.679 x 9 = 111. NUMEROS PRIMOS.679 x 36 = 444.111.345.777 12. por 36.873 x 7 = 111.679 x 18 = 222. bajando después de cada resto un uno. Una propiedad muy conocida del número 12.666 15.777. da un producto escrito sólo con las cifras 1: 111.555. en vez de un cero. resultará: 15. a saber: 12.111 : 7 = 15873.888 15.345. PRODUCTOS QUE SE ESCRIBEN CON UNA SOLA CIFRA (3).111 15. por 27 (que es 9x3). hasta que la división fuese exacta. 70.111.444.444 12.999.873 x 42 = 666.333 12.777 15.679 x 54 = 666. Por lo tanto al multiplicarlo por 18 (que es 9x2).873 x 14 = 222. ¿Podría Vd.679 x 72 = 888.666 12.333.333 15. Investiguemos.456. ¿Cuál es el número de dos cifras que es igual al doble del producto de sus cifras? 67.. PAR = DIEZ.666.873 x 21 = 333.999 71.679 es que al multiplicarlo por 9 da un producto que se escribe con sólo la cifra 1.873 x 49 = 777. ¿Cuál es el número que. igual al producto de los otros cuatro dígitos». etc.873 x 28 = 444..111 12.679 x 81 = 999.345.345.345. Calcula la raíz cuadrada del número 123.888 12.873 x 63 = 999.555 12.873 x 56 = 888.. PRODUCTOS QUE SE ESCRIBEN CON UNA SOLA CIFRA (1).111. multiplicado por 49 da un producto que se escribe con sólo las cifras 1? 22 . ¿cuál es la decena? 68. Si el par es diez. LOS 4 SON PRIMOS..813. En el camino se les unió un extraño..200.....642 987. sometiéndolo a miles y miles de pasos....5 23 ....654. aplicando el proceso anterior a un número natural cualquiera. 75.. 79.321 x 3 = 2.. Cierto número de soldados se dirigían a combatir formando un cuadrado. ¿Cuántos soldados fueron a la batalla? 81. Partiendo del número 89 es necesario dar 24 pasos para conseguir el número 8.188. TRES CIFRAS Y EL 24.023.321. y no ha conseguido todavía ningún número capicúa.. ¿Cuáles son? 74....654... ADDD.654. 726 + 627 = 1353...73. se obtiene un número capicúa en un número finito de pasos.. TIRO CON ARCO (1). 76.. ¿Se podrá hacer lo mismo con otras tres cifras iguales? Busca todas las soluciones. y entonces formaron exactamente 113 cuadrados menores iguales. SOLDADOS COMBATIVOS (1). En el camino se les unió un extraño...4 987.. BCDB y BDAC son cuatro números primos. ¿Cuántas flechas hacen falta para hacer justo cien puntos en el siguiente blanco? [11-13-31-33-42-44-46] 78. Kordemsky ensayó en computadoras con el número 196.. 78 + 87 = 165.. EL NÚMERO 987. Para obtener un número capicúa a partir de otro número se invierte el orden de sus cifras y se suman el número dado y el invertido. Con el número 987.321 x 5 = 4. 165 + 561 = 726.. TIRO CON ARCO (2). más el 0. ¿Cuántos soldados fueron a la batalla? 80.. ¿Existirá algún número que sea excepción de la conjetura? El matemático ruso Boris A.321 x 4 = 3.... Es fácil escribir el 30 con tres seises: (30=6x6-6) ¿Se podrá hacer lo mismo con otras tres cifras iguales? Busca todas las soluciones...654.3 987. Es fácil escribir el 24 con tres ochos: (24=8+8+8).308... 75 y 86. Cierto número de soldados se dirigían a combatir formando un cuadrado... La conjetura capicúa dice que. AACA.... Este proceso se continúa las veces que sean necesarias hasta obtener un capicúa... ¿Cuántas flechas hacen falta para hacer justo cien puntos en el siguiente blanco? [40-39-24-23-17-16] 77... SOLDADOS COMBATIVOS (2)..321 x 2 = 1. permutadas: 987. LA CONJETURA CAPICÚA. TRES CIFRAS Y EL 30.321 se obtienen productos con todas sus cifras......975. y entonces formaron exactamente 13 cuadrados menores iguales. 1353 + 3531 = 4884 CAPICÚA.654. Por ejemplo: Partiendo del 78. Siguiendo los pasos anteriores halla los capicúas correspondientes a 84..654. . A²+B²+C²=D². alguno más? 24 ... 84. 91. 11... En una diana están los números 3.. [Pueden ser útiles para comprobar si lucen bien todas las cifras de una calculadora] 483 x 12 = 5796 138 x 42 = 5796 297 x 18 = 5346 198 x 27 = 5346 ¿Podría encontrar Vd....6 987. x. siendo n un cierto entero positivo mayor que 2. En una diana están los números 1... 89.321 x 6 = 5... : y () formar expresiones matemáticas que sean igual a 53... decía Time. 3 treses y los signos matemáticos +. DIANA (4).. DIANA (2). 93. ¿Cómo se pueden conseguir 100 puntos con el menor número de impactos? 87. AABB=(CD)²... Hallar dos números consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea una potencia de 4. A3+B3+C3=D3. PRODUCTOS SIN REPETIR CIFRA. 20. 11.321 x 7 = 6. Un periodista del New York Times. que sigue en nuestros días pendiente de confirmación.. 9...7 987... Hallar un cuadrado de la forma N = aabb.. ¿De qué manera?..654.8 82. 83. A²+(A+1)²=B4. Hallar tres cubos cuya suma sea un cubo.. ¿Cómo se pueden conseguir 50 puntos con el menor número de impactos? 86. 13 y 19... 92. ¿Cómo se pueden conseguir 100 puntos con seis impactos? 88.. Krieger hizo saber que su ejemplo era de la forma 1324n + 791n = 1961n. ABCD = (CD)²... DEL TEOREMA DE FERMAT. 90. 3. ¿Cómo se pueden conseguir 96 puntos con tres dobles? 85... 2. -. En una diana están los números 7... Los siguientes productos tienen la particularidad de que en cada uno de ellos entran cada una de las nueve primeras cifras significativas sólo una vez. Hallar un número de cuatro cifras que sea el cuadrado del número formado por sus dos últimas cifras. 17 y 19. que Krieger se negaba a revelar. 16... 987..... 9.. Con 5 cincos. DIANA (3).. Hallar tres cuadrados cuya suma sea otro cuadrado...321 x 8 = 7..... 17 y 19. 5.. 25 y 50.. La revista Time del 7 de marzo de 1938 daba cuenta de que un tal Samuel Isaac Krieger afirmaba haber descubierto un contraejemplo para el teorema magno de Fermat.654. 10. En una diana están los números 8.654.. A LA CAZA DEL 53. DIANA (1).. 5. pudo demostrar fácilmente que Krieger estaba equivocado.. 0x9+ 8=8 9 x 9 + 7 = 88 98 x 9 + 6 = 888 987 x 9 + 5 = 8888 9876 x 9 + 4 = 88888 98765 x 9 + 3 = 888888 987654 x 9 + 2 = 8888888 9876543 x 9 + 1 = 88888888 98765432 x 9 + 0 = 888888888 987654321 x 9 . 1x8+1=9 12 x 8 + 2 = 98 123 x 8 + 3 = 987 1234 x 8 + 4 = 9876 12345 x 8 + 5 = 98765 123456 x 8 + 6 = 987654 1234567 x 8 + 7 = 9876543 12345678 x 8 + 8 = 98765432 123456789 x 8 + 9 = 987654321 96. PRODUCTOS POR EL NÚMERO 9.94. CON LAS CIFRAS DEL 0 AL 9 (1). multiplicado por 2. PRODUCTOS POR EL NÚMERO 8. 25 . alguno más? 95. Los siguientes cuadrados tienen todas sus cifras diferentes: 132 = 169 362 = 1296 2862 = 81796 3222 = 103684 10272 = 1054729 69012 = 47623801 101242 = 102495376 320432 = 1026753849 ¿Podría encontrar Vd. 1x9+ 2=1 12 x 9 + 3 = 11 123 x 9 + 4 = 111 1234 x 9 + 5 = 1111 12345 x 9 + 6 = 11111 123456 x 9 + 7 = 111111 1234567 x 9 + 8 = 1111111 12345678 x 9 + 9 = 11111111 123456789 x 9 + 10 = 111111111 97. dé otro número de diez cifras diferentes. OTROS PRODUCTOS POR EL NÚMERO 9. CUADRADOS SIN REPETIR CIFRA.1 = 8888888888 98. Encontrar un número de diez cifras diferentes que. 6. En la figura adjunta aparecen los números del 1 al 9. Los segundos factores pueden tener dos cifras. CURIOSOS CUADRADOS INVERTIDOS. CON LAS CIFRAS DEL 0 AL 9 (3). CON LAS CIFRAS DEL 0 AL 9 (2). y disponerlos para formar dos multiplicaciones que den el mismo producto y el más alto posible. y sólo uno. Es decir. gira la hoja noventa grados en sentido horario. cinco números naturales consecutivos tales que la suma de los cuadrados de los dos mayores sea igual a la suma de los cuadrados de los otros tres. . ORDENANDO NÚMEROS. BILLETES CAPICÚAS.El número a ha de ser de una cifra. 26 . En el ejemplo se muestra una solución a la proporción a/b=c/d con las siguientes restricciones: . LA PROPORCIÓN MALIGNA. 103. Hay muchos conjuntos de números de dos. ¿Cuáles son los tres números que buscamos? 101. CINCO CONSECUTIVOS. Ordenar los números del 1 al 9 de modo que el nombre de cada número tenga una y solamente una letra en común con el nombre del anterior. aparecerán las cifras 0. 105.Entre los cuatro números no se puede repetir ninguna cifra. es el resultado menor que se puede obtener separando los diez dígitos en dos grupos para hacer dos productos que den el mismo resultado. 7. 2. 2212 = 48841 ¿Podría encontrar Vd. Encuentre otra disposición de los números que cumpla la misma condición. algunos más? 102. 78 x 345 = 26.000 billetes numerados del 00000 al 99999. en la que los números cuentan con la particularidad adicional de que el segundo es múltiplo del primero. Nota. 312 = 961 1222 = 14884. En la taquilla del tren hay un rollo de 100. 5. y 9 una vez y sólo una vez. 3. ¿Habrá muchas más? 106. 4. Encuentre Vd. Dividir los diez dígitos en dos grupos de cinco. Ejemplo: 1/26=345/8. Pero hay un conjunto. distribuidos de un modo curioso: así como están forman una suma perfecta (583+146=729) y si Vd. el b de dos cifras. forman otra suma perfecta (715+248=963). 212 = 441 132 = 169. tres y cinco cifras respectivamente que tienen la particularidad mostrada en el ejemplo utilizando las diez cifras. Los siguientes pares de cuadrados perfectos y sus raíces están formados por las mismas cifras escritas en orden inverso: 122 = 144. DOBLE SUMA. el c de tres y el d de cuatro. 1. 8. 3485x2 = 6970x1 = 6970. 104. 100.910.99.970. y así sucesivamente hasta el total que es múltiplo de 7. 110. El número resultante de la suma ha de ser capicúa. ¿Cuál es el número de teléfono de mi amigo americano? 111. las dos primeras cifras forman un múltiplo de 2. EL TELÉFONO DE MI AMIGO EL VALENCIANO. Poner en lugar de los * cinco cifras consecutivas (aunque no hace falta ponerlas en orden) para que se verifique la igualdad: * *x*=** 108. etc. Una posible solución sería: 8 964 17532 ----------------- 27972 ¿Podrá Vd. no contiene el cero. Disponer los números naturales del 1 al 9 formando un triángulo y sumarlos. es par y además las dos primeras cifras constituyen un múltiplo de 2. las cuatro primeras un múltiplo de 4. encontrar más? 27 . las tres primeras un múltiplo de 3. ¿Cuál es el número de teléfono de mi amigo? Observación: En Valencia los teléfonos tienen 7 cifras y comienzan por 3. CINCO CIFRAS SEGUIDAS.El número de tres cifras de la segunda fila (384) es el doble que el de la primera (192). . 109. SENCILLO. Según mi amigo. DOBLE Y TRIPLE. EL TELÉFONO DE MI AMIGO AMERICANO. Es de 10 cifras. es el único que no repite ninguna cifra.El de la tercera fila (576) es el triple que el de la primera (192). las tres primeras un múltiplo de 3. la primera es múltiplo de 1. ¿Será Vd. capaz de encontrar otras disposiciones con esas mismas condiciones? Para animarle le doy otra: 219-438-657. Se han acomodado los números del 1 al 9 en un cuadrado 3x3 con las siguientes condiciones: 1 9 2 3 8 4 5 7 6 . SUMAS EN TRIÁNGULO. a) ¿Cuántos capicúas tendrá el rollo? b) ¿Cuáles serán los que están más cerca entre sí? c) ¿Cuáles serán los que están más separados entre sí? d) ¿Cuál será la cantidad mínima de billetes ordenados que pueden albergar tres capicúas? e) ¿Cuál es la cantidad mínima de billetes que tenemos que comprar para estar seguros de que compramos tres capicúas? 107. 5. 6. TODOS LOS PRIMOS. FRACCIONES EXTRAÑAS. que esta afirmación es cierta? 116. 113. porque si fuera par. porque P tiene los factores 2 y 5. 512. 4. 3. 159 x 48 = 7632. 202. PRODUCTOS CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9 (1). y 8? 117. 2. PRODUCTOS CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9 (3). 322. 114. Está permitido utilizar paréntesis. 26/65=2/5. ¿Cree Vd. 115. las dos únicas operaciones que hacemos son: 1ª) Multiplicar por 1001 el número de partida. . 7 x 11 x 13 = 1001 > 234 x 1001 = 234234 > 234234 : 1001 = 234.. Es decir.. 8 y 9 da respectivamente los restos 1. sin repetirlos. 330 y 511. . ¿Cuál es el menor número que. 16 583 742 x 9 = 149 253 678. 5. b) La cifra de las decenas es impar. 7. LOS UNOS Y LOS DOSES. dividido por 2. P sería múltiplo de 4. 3. formar tres números de tres dígitos. 7. Hay varias soluciones posibles. COLOCANDO SIGNOS. 6. 2. Coloque entre cada dos cifras el signo de la operación aritmética que sea necesario. Quitando en cada caso. PRODUCTOS CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9 (2). a) Termina en 0. lo que es imposible... . Otras: 321. (1 + 2) : 3 = 1 1 2 3 4 = 1 1 2 3 4 5 = 1 1 2 3 4 5 6 = 1 1 2 3 4 5 6 7 = 1 1 2 3 4 5 6 7 8 = 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 1 SOLUCIONES DE NÚMEROS 1.. pero pedimos que encuentre dos: la que da el resultado máximo y la que da el resultado mínimo. Lo curioso es que siempre que formemos un número con una cantidad par de unos y otro con la mitad de doses. el resultado es el mismo: 19/95=1/5. 210. Restando de 1111 el 22 se obtiene 1089 que también es un cuadrado perfecto. 3. DIVISIONES EXACTAS. 520. 4. al restar del primero el segundo obtenemos un cuadrado perfecto.. Restando de 11 el 2 se obtiene 9 que es un cuadrado. al multiplicarlos.. Con los nueve dígitos.. aparecen en el resultado todos los dígitos una y sólo una vez. 201. ¿QUE NÚMERO SOY? El 1001 que en numeración binaria corresponde al 9. el número repetido. NINGÚN Nº PRIMO.. 5. Encontrar otros productos en los que todos los dígitos aparezcan una y sólo una vez a cada lado del signo igual. EL MENOR NÚMERO (2).112. 16/64=1/4. de manera que el producto de los tres dé un resultado formado también por los nueve dígitos. 2ª) Dividir por 1001 de forma 28 . Encontrar otras parejas de números que. sin repetirse. 4. tenemos que: 11!+2 es divisible por 2. Formando el factorial de 11. 3. Luego solamente tenemos como posibles soluciones 1-2-3-4 y 6-7-8-9. 6 = 3+3+3-3=(3+3)x3/3. PRODUCTO DE CUATRO ENTEROS CONSECUTIVOS. 8.3. 5 = 3+(3+3)/3.. pero con ellos no siempre la solución es única. Con 7 divisores 64. Evidentemente los buscados son 6-7-8-9. 2 = 3/3+3/3. abcabc = abc x 1001. . Sea n el número desconocido. EL GRAN DESFILE. 657. 11!+11 es divisible por 11. n+1 es divisible por 4. 7. Obviamente debe dar el número de partida. 3. 2b²+5b+3=136. 10. es: 39916802. Hay que hallar el menor número que tiene exactamente 64 divisores. ACERCA DE LOS PRIMOS. 11 o múltiplo de 11. 6. LA CIFRA BORROSA. Podríamos haber utilizado los criterios de divisibilidad por 3 o por 9. Ya que n dividido por 2 da resto 1. 4 = (3x3+3)/3. 3 = (3+3+3)/3. 7560 = 23 33 5 7. ya que al dividir n por 3 da resto 2. 219. El número de divisores es: (3+1) (3+1)(1+1)(1+1) = 4 4 2 2 = 64.disfrazada. 39916803. luego ninguno de los cuatro números es divisible por 5 ni por 10. CON 4 TRESES. PACIENCIA Y PROGRESIÓN.. abcabc/7x11x13 = abcabc/1001 = abc. 13. ya que el factorial de 11 es divisible por 2.. Luego n=59. 11.. 14.024 no acaba ni en 0 ni en 5. Si los números fueran mayores que 10. 11!+10 es divisible por 10. Ahora bien. Sea b la base desconocida.. Con 8 divisores 24. Por lo tanto una solución (hay infinitas). MENOR NÚMERO. 12.. n+1 es divisible por 3.000. En particular de 11. . 5 y 6. 29 .. 438. 1 = 33/33 = 3-3+3/3. Si aplicamos el criterio de divisibilidad por 11: Suma de las cifras pares: 3+7+7+3+8+0 = 28 Suma de las cifras impares: 1+0+X+4+6+0+0+ = 11+X La diferencia de estas cantidades ha de ser 0. El menor número es 7560 soldados. Así: n+1=60.11. etc.. n+1 es divisible por 2. la única posibilidad es que X=6.. EL MENOR CON X DIVISORES. 5 y 6 es 60. El resultado es múltiplo de cada uno de los factores. 4. 39916811. 9. De la misma manera.. Resolviendo b=7. 11!+3 es divisible por 3. el mínimo común múltiplo de 2. al ser factores suyos. LA BASE DESCONOCIDA. el producto sería mayor que 10. 723 y 5. pero la tarea es terriblemente complicada. 21. 4 = (5x5-5)/5. 5 = 5+(5-5)/5. 10 = (55-5)/5. 16. 9 = 3x3x3/3. b y c. 1 = 55/55 = 5-5+5/5. 2 = 5/5+5/5. (que no se puede) u 11. EL MAYOR PRODUCTO.400 = 24 25 49.357. con a mayor que c. Solamente tiene dos divisores: 2. Para encontrar el número mayor hay que tratar que la diferencia entre las cifras del lugar impar sea 0. Por ensayo y error se llega a 631 x 542.089.839. 20. 9 = 5+5-5/5. 29. 6 = (5x5+5)/5. Si las cifras del número inicial son a. ESCRITURA DEL CIEN (1). 10 = 3x3+3/3.071. EL NUMERO 1. Dicho número es: 110a+10b+c. 7 = 3+3+3/3.652. 100 = 111-11+1-1+1-1 100 = 22x2x2+2+(2x2x2)+2 100 = 333:3-(3x3)-3+(3:3) 100 = 444:4-4-4-4+(4:4) 100 = 5x5x5-(5x5)+5-5+5-5 100 = 66+(6x6)-[(6+6):6x(6:6)] 100 = 7x7x (7+7):7+(7:7)+(7:7) 100 = 88+8+[8x8x8:8:(8+8)] 100 = (99+99):(9+9)x9+(9:9) 17. Los números buscados son 24 y 25.475. 15. Al invertir las cifras se obtiene: 100c+10b+a. 7 = 5+(5+5)/5. 3 = (5+5+5)/5.363. Así sale: 987.222. 18. MAYOR Y MENOR MÚLTIPLOS DE 11. BUSCANDO UN DIVISOR. por ejemplo: 415. CON 4 CINCOS. y su descubrimiento es una tarea sumamente ardua. 19. Un número que cumpla el enunciado es.276. 8 = 33/3-3.869. SUMA POR PRODUCTO.413. De forma similar el más pequeño es: 123. Restándolos se obtiene: 30 . Hay que recordar el criterio de divisibilidad por 11. 8 = 5!/(5+5+5). Las condiciones son sencillas. + 10) + c = b 10 (10n-1)/9 + c Transportemos a la fracción e igualemos los productos de los extremos y de los medios: a 10n c + b (10n-1)/9 c = b 10 (10n-1)/9 a + c a 9ac = 10ab . .. Así. + 1) = a 10n + b (10n-1)/9 El denominador de la primera fracción es: b (10n + 10n-1 + . 1639344262295081967213114754098360655737704918032787 x 71 = 116393442622950819672131147540983606557377049180327877. 263=17...576. El 26 y el 27. menos entre menos es + y b2 entre b es b» se obtiene el resultado correcto (a+b)..bc ===> b = 9ac/(10a-c) es la relación buscada. 273=19. Curiosidad que viene a cuento: Simplificando la fracción (a -b2)/(a-b) de la forma que suelen hacer algunos alumnos: 2 «a2 entre a es a. 9999/99995 = 1999/9995 = 199/995 = 19/95 = 1/5... DELANTE Y DETRÁS. 8=25496/3187. MÉTODO ÁRABE DE MULTIPLICACIÓN. Con dos cifras se obtiene el 9. 49999/99998 = 4999/9998 = 499/998 = 49/98 = 4/8 = 1/2. El 11 y el 22. EL MÁGICO NUMERO 68.174. el resultado puede siempre multiplicarse por 83 de la forma dicha.. La razón . Con cuatro cifras se obtiene el 6. 111 .. SIMPLIFICACIONES ESCANDALOSAS. Los números 83.683. si prefijamos a 41096 el número 41095890. 24. 3=17469/5823.. . 23.. 7=16758/2394. 8 x 86 = 688.. 22.. 86 y 71 son los únicos multiplicadores de dos dígitos que cumplen la condición.089.. CURIOSA PROPIEDAD (2). repetido cualquier número de veces.11 = 100 33 x 3 + (3:3) = 100 5x5x5 . 31. aunque el multiplicando puede aumentarse.. CURIOSA PROPIEDAD (1). 27. CON LAS CIFRAS DEL 1 AL 9. Sea n el número de las cifras b de la fracción.. El numerador de la primera fracción es: a 10n + b (10n-1 + 10n-2 + .. 6=17658/2943. 26. 31 .. ESCRITURA DEL CIEN (2). 28. Se obtiene el número 495. 5=13485/2697..5x5 = (5+5+5+5) x 5 = 100 34. 100a-100c+c-a = 100a-100c-100+90+10+c-a = 100(a-c-1)+90+(10+c-a) Invirtiendo sus cifras se obtiene: 100(10+c-a)+90+(a-c-1) Sumando los dos últimos sale: 900+180+9 = 1. 25.. 9=57429/6381. 16666/66664 = 1666/6664 = 166/664 = 16/64 = 1/4.. EL NÚMERO MÁGICO 495. por lo que en total hay 11x12=132. 40. En este caso la solución sería 12x12=144] 39. 47-53. 1000m + 100c + 10d + u . El único es 173. 2592 = 2592. EL NÚMERO MÁGICO 481. el número 121 es cuadrado perfecto. CUADRADO PERFECTO. 43. Por lo que hace a los restos. Para a=3 se comprueba rápidamente que no tiene solución. FECHAS INDETERMINADAS. si los factores primos del número dado hubiesen sido más numerosos y tales que dos al menos fuesen inferiores a 200. En todo sistema de numeración de base mayor que 2. La desigual distribución impide las soluciones extremas. Siendo ab el número de dos cifras de partida. la última cifra del importe total siendo un 7 ha de provenir del producto de 1x7 ó de 3x9. [Hay que hacer notar que todo número elevado a la 5ª potencia da un resultado cuya última cifra es la misma que la de su base] 32 . hay que buscar un divisor de 60. El número 60.377 menor que 200. 5. Sea N=acba. el número de pelotas vendidas 349. Hágase la tabla de las primeras nueve potencias de 2 y los cuadrados de los primeros nueve números. 41. 1. Ninguna. Se obtiene el número ababab. Por consiguiente. QUINTA POTENCIA DE UN Nº. Así: 47-53 es la buscada.377 y sea menor que 200. En cualquiera de estas bases 11x11=121. que será inferior a 200. El producto de los distintos elementos de las dos tablas ha de dar cuatro cifras y debe terminar en 2.(m+c+d+u) = 999m + 99c + 9d que es múltiplo de 9. VENTA DE PELOTAS.35. Veamos para uno de tres cifras abc: 100a+10b+c-a-b-c=99a+9b=9(11a+b). 12-88. Sólo se halla la solución: 2592 = 2592. y. 7. El único número acabado en 7 que elevado a 5 da un resultado de 7 cifras es 17. 37. a=2 daría: 2bc2=2bc2. también podría considerarse «ambigua». Sea mcdu es el año de nacimiento. 44. MÚLTIPLO DE 9. EL MENOR TRIPLETE. por el precio de cada una. ERROR MECANOGRÁFICO. 38. divida a 60. AÑO DE NACIMIENTO. a=1 se puede rechazar. 42. Para que la cifra final sea un 7 ha de serlo la del número buscado. No tenemos más que buscar algún número primo que termine en cualquiera de estas cifras. porque no se sabe si el primer 8 significa mes o día. Es una propiedad general de los números naturales. El problema hubiera sido indeterminado. serían posibles estas soluciones: 82-18. por tanto. 36. [La fecha 8-8-77.377 ha de ser el producto del número de pelotas vendidas. Cada mes tiene 11 fechas ambiguas (pues la fecha 8-8-77 no es ambigua. Ahora bien. OBREROS DE SIEMPRE. 33 .3.5. ya que las potencias de 7 acaban en 7. 47. etc. MEJOR PRINCIPIO. 46. se transforma en el espejo en 18. Ocho postes dispuestos en un cuadrado tendrán la misma superficie que diez postes dispuestos en un rectángulo con cinco postes en el lado más largo y dos en el lado más corto.9. 9.6. El señor Palomo debe haber tenido 8 ovejas en su rebaño.521. 999. TRES AGUJAS EN UN PAJAR. 999. A²+2=B3.999. como el resto es 2. 49.7. quiere decirse que la potencia buscada acaba en 9.999. CABRAS Y OVEJAS. No tres. EL CORRAL DE PALOMO. A BUEN FIN.999. Su producto 81.999.10) + 1 = 2. Dividiendo 87578 entre 4. repitiéndose las terminaciones cada 4 factores. sino un número infinito que cumplan tal condición: 999. que es el número de animales del rebaño. 50. 48. Fermat demostró que es la única solución.999. 5² + 2 = 33. 3 ó 1.8. EL REBAÑO MÁS PEQUEÑO. 9 cabras y 9 ovejas.45.999.4. mcm (2. En 9.