Lógica Intuicionista Dual y Álgebras de Co-Heyting - Javier Gutiérrez

Lógica intuicionista dual yálgebras de co-Heyting Javier Gutiérrez Código: 830165 Director: Fernando Zalamea Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas Bogotá 17 de diciembre de 2009 Índice general Introducci´ on I 1. Preliminares 1.1. Lógica clásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Lenguaje Formal . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Semántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Presentación axiomática . . . . . . . . . . . . . 1.2. Lógica intuicionista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Presentación Axiomática . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Semánticas de Kripke . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4. El intuicionismo desde un punto de vista modal 1.3. Lógica paraconsistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. La jerarqu´ıa de los cálculos Cn de da Costa . . 1.3.3. Lógica intuicionista dual . . . . . . . . . . . . . 1.3.4. BiINT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 2. Algebras de Boole, Heyting ´ 2.1. Algebras de Boole . . . . ´ 2.2. Algebras de Heyting . . . ´ 2.3. Algebras de co-Heyting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 2 4 5 5 7 8 9 11 11 12 13 16 y co-Heyting 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ´ 3. Algebras de bi-Heyting ´ 3.1. Algebras de bi-Heyting . . . . . . 3.2. Operadores modales . . . . . . . 3.3. Topolog´ıas ordenadas . . . . . . . 3.4. Representaciones en bi-topolog´ıas i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 25 27 30 31 Introducción Las matemáticas desarrolladas alrededor de la mitad del siglo XX en adelante contienen una amplia gama de conexiones entre distintas ramas de la disciplina. Distingo –entre otros– los siguientes tipos de relaciones, los “tr´ ansitos” y los “mixtos” 1 . En los tránsitos encontramos aquellas traducciones o diccionarios que permiten interpretar un área en otra, y entreveo en este aspecto un v´ınculo muy cercano con la teor´ıa de categor´ıas. En los mixtos, clasifico aquellas parejas de áreas que se han podido mezclar para generar una nueva rama de investigación en matemáticas, como por ejemplo el matrimonio entre topolog´ıa y álgebra, la topolog´ıa algebraica. Pienso que el presente trabajo pertenece a esa clase de los tránsitos, y describe un estado del arte de algunas relaciones proposicionales entre lógica, álgebra y topolog´ıa. El cap´ıtulo uno –preliminares– revisa ejemplos y propiedades de algunos sistemas lógicos. Desde una perspectiva sintáctica presentamos los axiomas, reglas y definiciones del sistema lógico clásico P C [Osorio 2007], intuicionista [Bezhanishvili y de Jongh 2006], modal S4 [Epstein 1990], cálculos Cn [Carnielli y Marcos 1999] y anti-intuicionista IN T ∗ [Brunner y Carnielli 2005]. Por otro lado, describimos la semántica usual de P C y los modelos de Kripke para IN T , S4, IN T ∗ y BiIN T , as´ı como los teoremas de validez y completez de estas semánticas. Rescatamos principalmente de este cap´ıtulo los ejemplos –complementados desde la literatura–, que están dirigidos a identificar diferencias entre los razonamientos intuicionistas y clásicos, y la construcción del intuicionismo dual, evidenciando su carácter de lógica refutativa y paraconsistente. También en este cap´ıtulo mencionamos el hecho de que IN T ∗ y DualIN T son lógicamente equivalentes. En el cap´ıtulo dos empezamos a reconocer algunos tránsitos entre álgebra y lógica, mediante la exploración de ejemplos y teoremas propios de las álgebras de 1 Aunque he utilizado estos dos t´ erminos basado en la lectura y escucha de los trabajos del profesor Fernando Zalamea, –especialmente de su libro [Zalamea 2009]– no pretendo usarlos aqu´ı con la misma complejidad. Simplemente estoy dando una peque˜ na interpretaci´ on, la suficiente para explicar parte de los objetivos del trabajo. i bi-Heyting. También en [Bezhanishvili et al. DualIN T y BiIN T respectivamente. revisamos la categor´ıa HPstone de espacios bi-topológicos2 Heyting y morfismos Heyting bicontinuos. Heyting. Agradezco especialmente al profesor Zalamea por su paciencia y ense˜ nanzas. Seguimos especialmente en este cap´ıtulo a [Reyes y Zolfaghari 1996] y [Balbes and Dwinger 1974]. esperamos ampliar estas problemáticas al campo de la lógica de predicados. Al profesor y amigo Alexander Cruz y a todos los que me ayudaron en la elaboración del presente trabajo. lo que se logra usando la dualidad introducida en [Esakia 1974] entre espacios topológicos ordenados Esakia y álgebras de Heyting. para obtener más información semántica sobre la manera en que act´ uan las lógicas no clásicas revisadas3. quien desde su inocencia. De la misma manera. En el desarrollo del cap´ıtulo realizamos la adecuación de teoremas y definiciones al espa˜ nol y la ilustración de algunas definiciones mediante ejemplos. co-Heyting y bi-Heyting. Luego investigamos sobre nuevos resultados que generalizan el teorema de representación de Stone para álgebras de Boole. A mi hijo Diego. espacios co-Esakia. IN T . isomorfa a la categor´ıa Heyt de álgebras de Heyting y morfismos Heyting. que sirven de conocimiento base para el cap´ıtulo tres. observaciones fueron sugeridas por el profesor Andr´ es Villaveces. espacios topológicos ordenados Priestley. pues sin ellos no podr´ıa haber logrado la comprensión del tema y la construcción del escrito. siguiendo [Bezhanishvili et al. espacios bi-topologicos Stone por parejas y espacios bi-topológicos co-Heyting y bi-Heyting. 2 Espacios dotados de dos topolog´ıas. En el futuro. 2010] se encuentran dualidades e isomorfismos para categor´ıas compuestas de ret´ıculos distributivos con cero y uno. en el cap´ıtulo tres introducimos los operadores modales sobre a´lgebras de bi-Heyting σ-completas presentados en [Reyes y Zolfaghari 1996] y analizamos algunas relaciones con los sistemas modales. álgebras de co-Heyting. esperamos poder analizar con más detalle los funtores establecidos para transitar entre estas categor´ıas.´ INTRODUCCION ii Boole. Finalmente. profesor de la Universidad Nacional de Colombia y jurado del trabajo. Al establecer relaciones entre categor´ıas mediante dualidad e isomorfismo. Encontramos que los anteriores cuatro tipos de álgebras constituyen semánticas algebraicas de los sistemas lógicos P C. A lo largo del cap´ıtulo estudiamos teoremas sobre estas álgebras. 3 Ambas . y as´ı evidenciar qué información lógica se puede extraer de algunos ejemplos particulares. 2010]. bi-Esakia. relajó mis ideas y proporcionó fuerza a mi entendimiento. . . L´ ogica cl´ asica A mediados del siglo XIX en varias publicaciones la lógica clásica aparece expl´ıcitamente relacionada con la matemática. Los de operaci´ on + y − con los cuales se reunen y excluyen respectivamente los miembros de una clase con respecto a otra. la teor´ıa de conjuntos empieza a desarrollarse. @n } (dados los intereses del trabajo sólo consideraremos r = 0.1. La lógica clásica se convierte en el andamiaje deductivo por excelencia usado en las matemáticas hoy en d´ıa. intuicionista y paraconsistente. . y aparecen trabajos como los de Cantor y Zermelo. El alfabeto es la unión A = P V ∪ F . Posteriormente. unarios y binarios. . 1.CAPÍTULO 1 Lógicas clásica. . 1 Los literales representan los miembros de una clase. Lenguaje Formal Los elementos de un lenguaje L(@1 .1. @2 .1. donde cada uno es una función de dominio P V r en L. . @n ) dependen de dos conjuntos previamente definidos. . otorgándole un tratamiento eficaz a las operaciones entre proposiciones y relaciones algebraicas entre clases.} el conjunto de variables proposicionales y los r-operadores o conectores F = {@1 . Caso de la lógica intuicionista dual 1. El de relaci´ on = para representar la igualdad entre clases. @2 . por ejemplo xy representa los elementos que pertenecen tanto a la clase x como a y. 1 . . 1 y 2) 0-arios o constantes. . . p1 . . George Boole es uno de los autores más destacados e influyentes en estos desarrollos: en [Boole 1984] se observa cómo a partir de la definición de tres tipos de signos1 establece un lenguaje formal para el estudio de la lógica. P V = {p0 . b. Un P C-modelo para un conjunto de f. 2. Extensión de la función de valor al conjunto de f.b.2. entonces as´ı lo será A@k B. Si S(p) = F entonces p es falso y si S(p) = V entonces p es verdadero.1. salvo alguna restricción especial. 3. 2. Estos elementos serán llamados fórmulas bien formadas (f.1.b. . . . . S(¬A) = V si y sólo si S(A) = F . @2 .f. Sem´ antica Dotaremos a nuestro lenguaje de un mecanismo que nos permita asignarle un valor de verdad a cada f.1. entonces as´ı lo será @k A. PRELIMINARES 2 Definici´ on 1. 3. Si @k ∈ F es binario y A y B fórmulas bien formadas.f que son válidas independientemente del P C-modelo que se escoja.f).1. Si @k ∈ F es 0-ario actuará como un elemento de P V . 1.f mediante la definición 1. Una asignación funcional entre P V y {F. Cuando v(A) = V diremos que v válida A y notaremos esta relación como v P C A.f es una función v : P V −→ {F. . V }. Notemos que existen f.b.3. .1. la cual se extiende al conjunto de f. Un lenguaje L(@1 . Si @k ∈ F es unario y A es una fórmula bien formada. S(A ∧ B) = V si y sólo si S(A) = V y S(B) = V .CAPÍTULO 1.b. @n ) es el conjunto de expresiones derivadas del alfabeto por las siguientes condiciones: cada pi ∈ P V es una fórmula bien formada para cada i = 0. S(p) = S(p) si p ∈ P V . 2. V } es una funci´ on de valor. 4. Definici´ on 1.b. V } es un asignamiento de valor. Ninguna otra concatenación de s´ımbolos es fórmula bien formada (en caso de ambig¨ uedad se introducirán paréntesis.3. Una función entre el lenguaje L y {F. S(A ∨ B) = F si y sólo si S(A) = F y S(B) = F . 5. que obviaremos aqu´ı de manera natural). .2. 1. Definici´ on 1. 1.f mediante una definición inductiva.1. . 1. ellas son las P C-tautolog´ıas. S(A → B) = F si y sólo si S(A) = V y S(B) = F . P C ¬¬A → A 2. LOGICA CLASICA 3 Definici´ on 1.b. Principio del tercio excluido.f. siempre que v(A) = V entonces v(B) = V. P C A → (B → B) 2.´ ´ 1. 1.b. La relación de consecuencia semántica P C está definida como: 1. es decir A es una P C-tautolog´ıa. P C A si A es válida en todos los P C-modelos. P C (A ∧ ¬A) → B Reducci´ on al absurdo 1. 1. Sea Γ una colección de f.4. A P C B si para cada P C-modelo. entonces Γ P C B si para cada P C-modelo. 2. P C ¬(A ∨ B) ↔ (¬A ∧ ¬B) Paradojas de la implicaci´ on estricta 1.f en Γ es también válida. P C ¬(A ∧ ¬A) Principios de la doble negaci´ on. que nos permitirán observar diferencias o similitudes con los sistemas lógicos construidos en los próximos cap´ıtulos o secciones.1.1. 1. Note que ∅ P C A quiere decir lo mismo que P C A. P C A → ¬¬A Leyes de De Morgan 1. P C ¬(A ∧ B) ↔ (¬A ∨ ¬B) 2. 3. v(B) = V siempre que cada f. P C A ∨ ¬A Principio de no contradicci´ on. A continuación indicaremos algunas P C-tautolog´ıas importantes. P C (A → B) → [(A → ¬B) → ¬A] . Adoptaremos la presentación [Osorio 2007] del sistema clásico por su parecido con la presentaci´ on que usaremos en el intuicionismo. B → (A ∨ B) 8.b. . A → (B → (A ∧ B)) 4. completo y decidible? o ¿cuál es la lista de axiomas que me permiten “modelar ” alg´ un tipo de razonamiento? A este tratamiento lo llamamos sintáctico. (A → C) → ((B → C) → ((A ∨ B) → C)) 9. El interés de la presente sección será presentar un sistema axiomático para el cual la semántica definida en la sección anterior sea completa. etc. son cualquier f. la cual usa un estiloHilbert2 en su axiomatización.CAPÍTULO 1. es decir que la lista de todas las P C-tautolog´ıas coincida con la lista de todos los P C-teoremas. En estas nos preguntamos por aspectos diferentes a la validez de las f. las letras A. A. →. A → (A ∨ B) 7. ∧) como: Axiomas esquemas cl´ asicos 3 1. Un teorema es una f. ∨. (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C)) 3. A → (B → A) 2. (A ∧ B) → B 6.f y realizamos cuestionamientos tales como: ¿cuál es la lista de axiomas más corta posible que permite obtener un sistema consistente. PRELIMINARES 4 1. .b. reglas y definiciones. B. .f que puede deducirse de los axiomas y las reglas de inferencias de un determinado sistema lógico. entonces definimos: PC sobre L(¬. (A ∧ B) → A 5. C.b. Sea ¬ un conector unario y →. (¬A → A) → A Reglas cl´ asicas 1. A → B Modus Ponens (MP) B 2 Esta 3 Aqu´ ı presentaci´ on consiste de tres de grupos: axiomas.1.3. ∧ binarios del lenguaje.f. ∨. (A → B) → ((A → ¬B) → ¬A) 10. Presentaci´ on axiom´ atica Podemos construir nuestros sistemas lógicos desde presentaciones axiomáticas. . ¬A → (A → B) 11. 1. Para una prueba detallada consulte [Epstein 1990] página 50. Mostremos mediante ejemplos algo de la naturaleza del pensamiento intuicionista: Ejemplo 1.b.b.2. LOGICA INTUICIONISTA 5 Una f. tal como la de si existen independientemente de nuestro conocimiento de ellos. Teorema 1. Es evidente que en este momento no tenemos una respuesta sobre la veracidad o falsedad de este enunciado. sin hacer referencia a cuesti´ on alguna acerca de la naturaleza de los objetos construidos. .1 (Completitud débil para P C). . es decir aquellos que se pueden definir4 en un n´ umero finito de pasos. Prueba.´ 1. Cuando A es una derivación de un conjunto de axiomas o f. El teorema 1. L´ ogica intuicionista Introducci´ on El impulsor del pensamiento intuicionista fue Brouwer quien abogaba por “investigar las construcciones mentales matem´ aticas como tales. An } escribimos Σ ⊢P C A cuando A se puede derivar de las f.1. 1.1 muestra cómo nuestras ideas semánticas y sintácticas se pueden usar complementariamente para validar e inferir nuevos argumentos. si al aplicar modus ponens sobre el grupo de axiomas la obtenemos como conclusión.2. Dada una colección de f. ya que dif´ıcilmente sabremos si el primogénito nació o no en ese d´ıa.b. El intuicionismo se fija principalmente en aquellos objetos matemáticos que se pueden construir a partir de otros. Corolario 1.f pertenecientes a Σ usando modus ponens y lo leemos “A es consecuencia sint´ actica de Σ”. A es un teorema si y s´ olo si A es una tautolog´ıa. ⊢P C A si y s´ olo si |=P C A. en Siracusa naci´ o un primogénito llamado Plat´ on. ¿Cuál será el valor de verdad de la siguiente afirmación? 45 d´ıas antes de que Arqu´ımedes gritar´ a desnudo “eureka”. decimos que A es un P C-teorema. 1.b.1.5.f es una P C-derivaci´ on del sistema lógico. la cual se refleja en el principio del tercio excluido.2. Note que en el caso Σ = ∅ A es un P C-teorema. permaneci´ o toda su vida en Siracusa o no 4 Entendiendo su existencia como el resultado de un proceso de construcci´ on a partir de singularidades previamente construidas o aceptadas desde par´ ametros intuicionistas como por ejemplo el principio de inducci´ on matem´ atica. Para cada colecci´ on Σ de f. .f derivadas del sistema. Esto plantea una diferencia sustancial con la lógica clásica en cuanto a la consideración del infinito actual. .f Σ = {A1 . la eliminación de la doble negación y la ontolog´ıa de los objetos matemáticos. .b.1. Definici´ on 1.1.1 (Teorema de completitud fuerte para P C).2.” [Heyting 1976]. lo cual notamos ⊢P C A. A2 . Con lo que una proposición como el primogénito llamado Plat´ on que naci´ o 45 d´ıas antes de que Arqu´ımedes gritar´ a desnudo “eureka”.f Σ ⊢P C A si y s´ olo si Σ |=P C A.1. P Consideremos el n´ umero real positivo b < 1 con expansión decimal ∞ n=1 donde:   3 si no aparecen siete sietes consecutivos antes del n-ésimo bn = decimal en la expansión decimal de π   0 en otro caso bn 10n Si suponemos que b es irracional entonces pasar´ıa que b 6= 0. asignar´ıamos propiedades a el “primogénito”. . de hecho no tenemos siquiera elementos que nos permitan conjeturar fuertemente sobre alguno de los dos hechos. . con lo que cualquier deducci´ on sobre esta proposición tendr´ıa el riesgo de basarse en absurdos. Ejemplo 1. El intuicionismo rechaza esta inseguridad y sugiere que sólo podemos inferir afirmaciones usando al primogénito. Sin embargo. 197-198). El siguiente ejemplo está dirigido a mostrar cómo act´ ua el rechazo del intuicionismo al tercio excluido. k = 3 ya que para cualquier entero n > 3. Sea l el mayor primo tal que l − 2 es primo y si tal n´ umero no existe entonces l = 1. tal y como lo hace n=1 n1 la suma de los inversos de los n´ entonces podr´ıamos afirmar la infinitud de las parejas de los primos gemelos. Es decir. Los intuicionistas afirman que l no puede definir un entero dado que no consideran válido el tercio excluido. que la serie de Brun converja no muestra si hay infinitas o finitas parejas de primos gemelos.. 3 = 13 . pero s´ı establece razones para pensar que no sea infinita.2 (Tomado de [Heyting 1976] pág. Si esta serie fuera divergente Ppares ∞ umeros naturales. 30 . Por un lado. si n es par es divisible por 2 y si es impar n − 1 será divisible por 2.6 CAPÍTULO 1. 3 5 5 7 11 13 de los inversos de los de n´ umeros gemelos. es establecer si la colección de parejas de n´ umeros primos gemelos es finita o infinita. Por otro lado.2. .2. con lo que necesariamente b = 0. PRELIMINARES permaneci´ o toda su vida en Siracusa no puede ser aceptada seg´ un los parámetros intuicionistas. dada la infinitud de los n´ umeros primos.3 . saber cual es el valor de l. (en el momento que aparezca un cero el resto de la expansión decimal también ser´ an ceros). Aunque hay razones para pensar que la colección es infinita. . es decir absurdo. Sea k el mayor primo tal que k − 1 es primo y si tal n´ umero no existe entonces k = 1. Por otra parte . cuando hallamos podido comprobar su nacimiento o no.3 (Basado en [Epstein 1990] pág.. 13-14). en 1919 Viggo Brun demostró la convergencia de la serie: 1 1 1 1 1 1 + + + + + + . Ejemplo 1. hasta la fecha no sabemos si la sucesión de primos gemelos es finita o infinita. De hacerlo (como por ejemplo en el estilo clásico). El ejemplo 1.2. →. dado que ella será el punto de partida en la construcción de un sistema l´ ogico “dual ” al intuicionismo. ⊥). ∧. A → (B → A) 2. →. A → (B → (A ∧ B)) 4.3 coloca en evidencia de una manera ingeniosa y elegante cómo a partir de ¬(¬A) no necesariamente obtenemos A. Nuestro sistema axiomático a diferencia del planteado por Heyting incluye una constante ⊥ que significa contradicción. Sea A = “b es racional”. acabamos de mostrar que ¬A conlleva una contradicción. ∧.1 exhibe cómo algunas proposiciones usualmente obvias desde la perspectiva clásica. no hay forma de escribir b de la forma p q. (A → B) → ((A → (B → C)) → (A → C)) 3. El sistema lógico intuicionista estilo Hilbert que adoptaremos es: INT sobre L(∨. El ejemplo 1. LOGICA INTUICIONISTA 7 no podremos afirmar que b es racional. pueden no serlo en los razonamientos intuicionistas. Existen varias axiomatizaciones que intentan modelar el intuicionismo. ⊥) [Bezhanishvili y de Jongh 2006] Axiomas esquemas intuicionistas 1. El lenguaje que usaremos para nuestro sistema intuicionista será L(∨. (A ∧ B) → B 6.2.2. A → (A ∨ B) 7. Presentaci´ on Axiom´ atica Fue Heyting en el a˜ no 1930 quien por primera vez presentó una lista de axiomas con la intención de modelar los razonamientos intuicionistas. B → (A ∨ B) . es decir que ¬(¬A) tiene sentido intuicionista al haberse construido un prueba de la negación de ¬A. ni la doble negación como axiomas. Usaremos la presente por comodidad. El ejemplo 1. En esta no aparecen ni el tercio excluido. ∧ y → son binarios y ⊥ constante. Se han escogido los ejemplos pensando en que exhiban diferencias entre el pensamiento clásico y el intuicionista. en donde ∨.2 muestra usando un contexto matemático la invalidez del principio del tercio excluido.2. (A ∧ B) → A 5. sin embargo hemos notado que no podemos establecer A por medios constructibles. 1. El uso de ⊥ permite capturar nuestra definición de la negación intuicionista y as´ı evitar el uso de la negación en el grupo de esquemas axiomáticos que presentaremos.´ 1.2.2. semánticas de Gentzen. as´ı cada instante de tiempo determina estados espec´ıficos de validez para las proposiciones. las cuales se ajustan perfectamente a lógicas modales y al intuicionismo. Sem´ anticas de Kripke Hay varias semánticas completas para el intuicionismo: los árboles de Beth. Sea < W.b.f se define como: 1. Asumimos que el modelo preserva verdad “hacia el futuro”: w |=IN T A implica que para todo z tal que wRz. entonces la relación |=IN T entre elementos de W y f. entre otras. Definici´ on 1. A → B Modus Ponens (MP) B Definiciones intuicionistas 1. Es com´ un relacionar los elementos de W con estados de tiempo. w |=IN T A ∧ B si y sólo si w |=IN T A y w |=IN T B 3. A. álgebras de Heyting. Sin embargo. z |=IN T A.CAPÍTULO 1. 1. R una relación reflexiva. z 2IN T A 5. Un modelo de Kripke intuicionista es una terna < W. w |=IN T A → B si y sólo si para todo z tal que wRz. R. e > en donde W es un conjunto no vac´ıo de elementos denominados “mundos posibles”. e >|=IN T A si y sólo si para todo w ∈ W .f leemos w |=IN T A como “w valida a A” y < W.2. ⊥→ A Reglas intuicionistas 1. e > un modelo de Kripke intuicionista. w |=IN T A.b. PRELIMINARES 8 8. R. w |=IN T p si y s´ olo si p ∈ e(w) 2. z 2IN T A o z |=IN T B Para A f.3. w |=IN T ¬A si y sólo si para todo z tal que wRz. un “mundo posible” establece ciertos valores de .1. R. entre las más conocidas se encuentran las semánticas de Kripke y sus mundos posibles.2. transitiva y anti-simétrica sobre W y e : W −→ ℘(P V ) una función evaluaci´ on (la cual asigna a cada mundo posible un conjunto de proposiciones válidas en él).1 (Semánticas de Kripke intuicionistas). w |=IN T A ∨ B si y sólo si w |=IN T A o w |=IN T B 4. ¬A := A →⊥ Definiremos ⊢IN T análogamente a como lo hicimos con ⊢P C en la secci´ on 1. Dicho de otro modo.3. (A → C) → ((B → C) → ((A ∨ B) → C)) 9. 1. En estos establecemos que una variable proposicional A es posible si ella es válida en alg´ un mundo posible. ∧.4 (Completitud de las semánticas de Kripke para IN T . El intuicionismo desde un punto de vista modal Las lógicas modales se introducen para calibrar los conceptos de necesidad () y posibilidad (♦).2. para los mundos posibles venideros también se tendrá válida dicha construcción.2. z |=IN T A. y necesaria si dado un mundo posible ella es válida en todos los mundos posibles accesibles. Corolario 1. Formalizaci´ on de S4 El sistema modal S4 [Epstein 1990] se define siguiendo la definición 1.2. Definici´ on 1. w > donde < W.2. 0Int A ∨ ¬A 0Int ¬¬A → A Prueba.2. Mediante las semánticas de Kripke formalizamos lo válido en las lógicas modales. LOGICA INTUICIONISTA 9 verdad para las proposiciones. Un árbol de Kripke es una cuaterna < W. e > es un modelo de Kripke con la condición adicional de que R es transitiva y w ∈ W es tal que si zRw entonces z = w (punto inicial). Γ ⊢IN T A si y s´ olo si cada a ´rbol de Kripke que valida Γ valida A. Axiomas esquemas Todos los axiomas de P C adicionando los tres siguientes: .´ 1. R. Con el fin de facilitar y generar pruebas intuicion´ısticamente aceptadas es com´ un desarrollar la noción de árboles de Kripke. Notemos que si tenemos una construcción de un objeto matemático en un determinado mundo posible asociado a un instante de tiempo. En esta sección presentaremos el sistema S4 seg´ un Maddux y Epstein en [Epstein 1990]. R.2.1 sobre L(¬. e.1. los cuales se relacionan al igual que en el intuicionismo con los mundos posibles. R.1. Las semánticas de Kripke nos modelan lo anterior de manera adecuada: Lema 1. 1.2. ) considerando ∧ binario y ¬. 1. Consultar [Epstein 1990] página 202-203.4. Prueba. Para cualquier < W. Consultar [Epstein 1990] página 200. e > y w ∈ W . 2. Γ ⊢IN T A si y s´ olo si cada modelo de Kripke que valida a Γ valida A. w |=IN T A si y s´ olo si para todo z tal que wRz. Teorema 1. unarios. [Epstein 1990]). 1. w |= p si y sólo si p ∈ e(w) 2. ⊢S4 A ⊢S4 A Definiciones 1. w |= A ∧ B si y sólo si w |= A y w |= B 3. w |= A si y sólo si para todo z. w |= ¬A si y sólo si para todo z tal que wRz entonces z 2 A 4. Los valores de verdad de las variables proposicionales estarán determinados bajo las reglas de P C al interior de cada mundo posible. A → A Reglas 1. Definici´ on 1. 6.5 ([Epstein 1990]). Definici´ on 1. si wRz entonces z |= A. no se tiene a la vez z |= A y z 2 B Usando A := ¬♦¬A y ♦A := ¬¬A otorgamos semánticas para los conectores de necesidad y posibilidad: 5. A → A 3.CAPÍTULO 1.3. R. .b.2. wRz y z |= A. R una relación binaria sobre W llamada relación de accesibilidad y e una funci´ on de dominio W y codominio P(P V ) la cual asigna a cada mundo posible el conjunto de variables proposicionales válidas clásicamente en él. A → B Modus Ponens (MP) B 2. Teorema 1. w |= A → B si y sólo si para todo z tal que wRz. PRELIMINARES 10 1.f A es un S4 − teorema si y s´ olo si podemos validar A en todos los modelos de Kripke reflexivos y transitivos. Frente al intuicionismo difieren en que se debilita R al expresarla como una relación binaria arbitraria sobre W . A.2. ♦A := ¬¬A Sem´ anticas de Kripke para l´ ogicas modales Los sistemas modales comparten la misma estructura de semánticas de Kripke. Una f. w |= ♦A si y sólo si para alg´ un z. e > donde W es un conjunto no vac´ıo cuyos elementos son denominados “mundos posibles”. Un modelo de Kripke modal es una terna < W. (A → B) → (A → B) 2.4 (Semánticas de Kripke Modales. [Epstein 1990]).2. 1. 7 El cual consiste en asegurar que a partir de una contradicci´ on podemos deducir como verdadera cualquier proposici´ on. Γ ⊢IN T A si y s´ olo si Γ∗ ⊢S4 A∗ Prueba.3. y Australia y Nueva Zelanda con Priest y Routley. establecer un sistema lógico que acepte proposiciones contradictorias y donde falle el principio de Pseudo-Escoto7. Da Costa establece una jerarqu´ıa de sistemas lógicos paraconsistentes8 denominados los cálculos Cn de da Costa. es decir. Construir una lógica que acepte contradicciones no es un problema. 6 Una . Esto se logra formalmente usando la traducción ∗ de L(∨. ∧. En los a˜ nos 80 da Costa y sus colaboradores posicionan a la lógica paraconsistente como una rama importante en el estudio de la lógica. →. LOGICA PARACONSISTENTE 11 Notemos que similarmente al intuicionismo el teorema anterior exige que R sea transitiva y reflexiva. L´ ogica paraconsistente Introducci´ on El desarrollo de la lógica paraconsistente6 se originó principalmente en Brasil con los trabajos de Newton da Costa.6. 2. ∧.3. ⊥) en L(¬. Para dos premisas contradictorias existe una fórmula que no podamos deducir de ellas. que es posible relacionar algunos sistemas modales con IN T .3. De manera.´ 1. ) definida por: p∗ = p (A ∧ B)∗ = A∗ ∧ B ∗ (A ∨ B)∗ = A∗ ∨ B ∗ (A → B)∗ = (A∗ → B ∗ ) (¬A)∗ = ¬(A∗ )5 Γ∗ = {A∗ : A ∈ Γ} Gracias a que todo modelo de Kripke en IN T da lugar a un modelo de Kripke para lógica modal podemos establecer el siguiente teorema. El principio de no contradicción no es válido en general.2. al subrayar las siguientes tres condiciones: 1. Consultar [Epstein 1990] página 210.1. Polonia con Ja´skowski. 5 Recordemos que ¬A := A →⊥ teor´ıa es consistente si no es posible deducir de la teor´ıa una proposici´ on y su negaci´ on. el verdadero problema está en construir una lógica que acepte contradicciones y que no sea trivial. en caso contrario es inconsistente. 8 Un sistema l´ ogico paraconsistente es un sistema l´ ogico inconsistente pero no trivial. 1. Teorema 1. La razón de su elecci´ on es la similitud que posee en su grupo de axiomas con IN T . (A ∧ B) → B 6. (A(n) ∧ B (n) ) → ((A ∧ B)(n) ∧ (A ∨ B)(n) ∧ (A → B)(n) ) Reglas 1. ∨.1. A ∨ ¬A (tercio excluido) 10. . (A → C) → ((B → C) → ((A ∨ B) → C)) 9. A → B Modus Ponens (MP) B Definiciones 1. A → (B → (A ∧ B)) 4.1. →)9 para 1 ≤ n < ω. con ¬ unario y ∨.3. A → (A ∨ B) 7. La jerarqu´ıa de los c´ alculos Cn de da Costa La presentación que daremos de la jerarqu´ıa de los cálculos Cn de da Costa se basará en la publicada por Carnielli y Marcos en [Carnielli y Marcos 1999]. A. B (n+1) := B (n) ∧ B n+1 donde B (1) := B 1 y 1 ≤ n < ω 9 Siguiendo la definici´ on 1. ¬¬A → A (eliminación de doble negación) 11. 1. B ◦ := ¬(B ∧ ¬B) ◦ 2. A → (B → A) 2. B n+1 := (B n ) donde B 0 := B y 0 ≤ n < ω 3. B (n) → ((A → B) → ((A → ¬B) → ¬A)) 12. → binarios. ∧. Axiomas esquemas 1.2. B → (A ∨ B) 8. Cn sobre L(¬. (A → B) → ((A → (B → C)) → (A → C)) 3.CAPÍTULO 1. (A ∧ B) → A 5. Es posible incluir los esquemas más importantes y reglas de la lógica clásica de forma compatible con las dos primeras condiciones. PRELIMINARES 12 3. ∧. 1. L´ ogica intuicionista dual Nicolas Goodman. introduce en [Goodman 1981] por primera vez un sistema de lógica intuicionista dual.3. el cual es equivalente a P C). Walter Carnielli y Andreas Brunner en [Brunner y Carnielli 2005] construyen. LOGICA PARACONSISTENTE 13 Cada Cn es más fuerte que Cn−1 (incluyendo el caso n = 0. encontramos desarrollos teóricos detallados en relación con los cálculos Cn .5 un ref-teorema 10 será un argumento del tipo A ⊢ ∅. En [Brunner y Carnielli 2005]. los sistemas refutativos se centran en las contradicciones. pues en [Urbas 1989] se comenta que el axioma de reducción (A → B) → ((A → ¬B) → ¬A) posibilita que la jerarqu´ıa colapse en la lógica clásica. la cual resumimos en el siguiente gráfico: 10 En [Brunner y Carnielli 2005] se refieren a “counter-theorems”. [da Costa 1974] y [Urbas 1989] entre otros. Prefijaremos con ref los axiomas. . A B ◦ lo leeremos como “B se comporta clásicamente” o “B se comporta bien con respecto a la negación ¬”. reglas y teoremas de un sistema refutativo. [Marconi y da Costa 1989]. En los trabajos [Arruda 1980]. el cual se conforma con los axiomas 1 al 8 (es decir lógica intuicionista positiva IN T + ) el principio del tercio excluido y la eliminación de la doble negación.1. [Priest 2002] y [Urbas 1989] se expresa la relación entre la lógica clásica. En un sistema deductivo razonamos a partir de verdades para obtener teoremas. Las propiedades de dicho sistema se describen enmarcadas en lo que ellos denominan sistemas refutativos. intuicionismo dual e intuicionismo. a partir de consideraciones generales de lógicas duales. también podemos notarlo ⊣ A. Luego.´ 1. Afirman que su sistema dual a IN T es un sistema de lógica paraconsistente y además equivalente al sistema introducido por Goodman. se constituye como sistema l´ımite a Cω . Analogamente a la definición 1. La inclusión de 11 no es arbitraria. un sistema de lógica intuicionista dual.3.3. en un sistema refutativo razonamos a partir de estamentos falsos para obtener de nuevo un estamento falso. Con el fin de evitar que estos sistemas se trivialicen cuando n crece. Mientras nuestros sistemas deductivos se basan en la noción de tautolog´ıa. En cambio. valiéndose de los secuentes de Gentzen. ((C—A)—((C—B)—A))—(B—A) . una tautolog´ıa. 2. Nuestro sistema estilo Hilbert anti-intuicionista IN T ∗ es: INT* sobre L∗ (∨. . ∧. (A—B)—A 2. El lenguaje para nuestro sistema IN T ∗ se define.1. ∧. ⊤) se establecerá por inducción como: 1. (A → B)∗ := B ∗ —A∗ Aplicando (6) y (2) a A →⊥ obtenemos que ¬∗ A = ⊤—A. como ∗ L (∨.1. PRELIMINARES 14 A ∨ ¬A A ∧ ¬A Int DualInt Teoremas Cl´ asicos Ref-teoremas Cl´ asicos Formalizaci´ on La “l´ ogica intuicionista dual” (DualInt) corresponderá al sistema introducido en [Goodman 1981] y el “anti-intuicionismo” presentado en [Brunner y Carnielli 2005] lo notaremos como IN T ∗ .CAPÍTULO 1. ⊥∗ := ⊤ 3. ⊥) en ∗ L (∨. es decir. ⊤) en donde ∨. lo cual nos define la negación anti-intuicionista.⊤)[Brunner y Carnielli 2005] Ref-axiomas esquemas 1. interpretada como A es excluida por todo argumento tautológico. — son binarios y ⊤ constante. (A ∨ B)∗ := A∗ ∧ B ∗ 6. (A ∧ B)∗ := A∗ ∨ B ∗ 5. ∧. (¬A)∗ := ¬∗ A∗ 4. usando 1. — es la pseudodiferencia.1. —. —. La función de traducción ∗ definida de L(∨. Definici´ on 1.3. ∧. ∧. p∗ := p para cualquier p atómica. →. le´ıda como “excluye a” y ⊤ será el dual de ⊥. (A ∧ B)—B 8. (4) es un argumento rechazado por ser ref-axioma.b. entonces la relación |=IN T ∗ entre elementos de W y f. A—(A ∨ B) 5. e > donde R es una relación de orden parcial entre mundos posibles de W . En cuanto a (DMP). Sea W un modelo de Kripke intuicionista < W.f de Γ son rechazadas.3. Dualizando las semánticas de Kripke para IN T establecemos las sem´ anticas Kripke anti-intuicionistas a partir de la siguiente definición Definici´ on 1. La relación de consecuencia sintáctica Γ ⊣IN T ∗ A significará que si todas las f. w |=IN T ∗ A ∨ B si y sólo si w |=IN T ∗ A o w |=IN T ∗ B 4. w |=IN T ∗ ¬∗ A si y sólo si existe z tal que wRz y z 2IN T ∗ A . w |=IN T ∗ p si y sólo si p ∈ e(w) 2. w |=IN T ∗ A—B si y sólo si existe z tal que wRz y z |=IN T ∗ A y z 2IN T ∗ B 5. A. B—A Dual Modus Ponens (DMP) B Definiciones 1. ((C—(A ∧ B))—(C—B))—(C—A) 9. ∧. tenemos que rechazamos tanto a A como a B—A. (A ∧ B)—A 7. B—(A ∨ B) 6. ⊤) se define como: 1. —. y como A es rechazado as´ı lo es también B. as´ı también lo será A. lo cual significa que rechazamos que A excluya a B ∨ A. ¬∗ A := ⊤—A Para dar una idea de cómo debe entenderse el anterior sistema refutativo ilustremos el ref-axioma (4) y la regla (DMP).b.´ 1. R. [Brunner y Carnielli 2005]). por tanto A y B poseen un contenido lógico com´ un. A—⊤ Ref-reglas 1.f de L∗ (∨. w |=IN T ∗ A ∧ B si y sólo si w |=IN T ∗ A y w |=IN T ∗ B 3.2 (Módelo de Kripke Anti-intuicionista. ⊣IN T ∗ A denotará que A es un ref-teorema. es decir que B no excluye a A. LOGICA PARACONSISTENTE 15 3.3. ((A ∨ B)—B)—A 4. f. en donde al establecer la validez de una f. —. 1. z 2IN T ∗ A.3 (Modelo de Kripke bi-intuicionista [Goré and Postniece 2007]). entonces la relación |=BiIN T entre elementos de W y f. entonces existe un modelo de Kripke < W.f leemos w |=IN T ∗ A como “w válida anti-intuicionisticamente a A” y < W. dicho de otro modo.b.2 y 1. si w 2IN T ∗ A entonces. Es decir que las f. Consideremos el siguiente árbol de Kripke anti-intuicionista en donde p y q son elementos de P V p ∈ e(z) z ¬∗ p ∈ e(y) y w Ya que z |=IN T ∗ p y y |=IN T ∗ ¬∗ p entonces w |=IN T ∗ p y w |=IN T ∗ ¬∗ p con lo que w |=IN T ∗ p ∧ ¬∗ p.3.b.3.CAPÍTULO 1. Las semánticas de Kripke se pueden definir de manera natural sobre marcos de Kripke y mundos posibles al relacionar |=IN T y |=IN T ∗ mediante la función de traducción definida en 1. Para w ∈ W .f se define como: 1. w |=IN T ∗ A. Nota 1. para todo z tal que wRz. ésta es válida en todos los mundos posibles “posteriores”.3 (Completez [Brunner y Carnielli 2005]). R. p ∈ e(z) 2. Adicionalmente obtenemos que w 2IN T ∗ q. A diferencia del intuicionismo. En el próximo cap´ıtulo estableceremos una equivalencia entre DualIN T e IN T ∗ mediante semánticas algebraicas. Si A no es un refteorema. Sea < W.b. IN T ∗ es paraconsistente. e > un modelo de Kripke intuicionista.3.1 y los teoremas 1.f y su rechazo en los mundos posibles “anteriores”.3. ∧. e > se tiene que w 2IN T ∗ A para todo w ∈ W .3.4. e >|=IN T ∗ A si y sólo si para todo w ∈ W . de BiIN T pertenecen al lenguaje L(∨.3. Si A es un ref-teorema.1.3. ⊥. R.3. BiINT El sistema BiIN T es la unión entre DualInt e Int.3. PRELIMINARES 16 Para A f. R. ⊤). w |=BiIN T A ∧ B si y sólo si w |=BiIN T A y w |=BiIN T B . Definici´ on 1. w |=BiIN T p si y sólo si para todo z tal que wRz.2 (Validez [Brunner y Carnielli 2005]). e > tal que w |=IN T ∗ A para un w ∈ W . Teorema 1.b.b. Teorema 1. en el anti-intuicionismo nos concentramos en el rechazo de una f.f en un mundo posible. →. entonces para cada modelo Kripke < W. R. z |=BiIN T A y z 2BiIN T B 6. 2008] se pueden observar con detalle las discusiones que sobre este hecho se han adelantado. ya que no acepta en general el principio de contradicción. LOGICA PARACONSISTENTE 17 3. z 2BiIN T A o z |=BiIN T B 5. y 7. .3. Podemos encontrar por primera vez una formalización estilo Hilbert de BiIN T en [Rauszer 1974] y semánticas de Kripke para BiIN T en [Rauszer 1977]11 .´ 1. BiIN T es paraconsistente. w |=BiIN T ¬∗ A si y sólo si existe z tal que zRw. y 6. recientemente se han encontrado algunas dificultades en BiIN T . w |=BiIN T A → B si y sólo si para todo z tal que wRz.3. 11 En estos trabajos se le denomina a BiIN T H-B a ´lgebras o Heyting-Brouwer a ´lgebras. En [Goré et al. obtenemos semánticas de Kripke para el intuicionismo dual (las cuales coinciden con las semánticas de Kripke anti-intuicionistas). w |=BiIN T A ∨ B si y sólo si w |=BiIN T A o w |=BiIN T B 4.3) en la cual podemos capturar aquellas contradicciones de la lógica clásica y sus tautolog´ıas. especialmente en la regla de cortadura libre que ata˜ ne a los conectivos → y —. A la vez. de la anterior definición obtenemos las semánticas de Kripke intuicionistas. z 2BiIN T A 7. w |=BiIN T ¬A si y sólo si para todo z tal que wRz. En cambio si eliminamos 4. Sin embargo. w |=BiIN T A—B si y sólo si existe z tal que zRw. es una lógica deductiva y refutativa (ver figura de la sección 1. z 2BiIN T B Note que si eliminamos 5. ≤) es distributivo si y sólo si se tiene x(y + z) = xy + xz o x + (yz) = (x + y)(x + z) para todo x.CAPÍTULO 2 Semánticas reticulares: álgebras de Boole.1.3. transitiva y anti-simétrica lo llamaremos “conjunto parcialmente ordenado” (Poset). entonces a este elemento m´ınimo lo notamos 0. ≤) es un “ret´ıculo”. ´ Algebras de Boole Definici´ on 2. y ∈ P tenemos que x 6= y y x ≤ y escribimos x < y. Sea (L. Definici´ on 2.1.1.1. ≤Q ) es una aplicación ϕ de P en Q tal que para todo p y s ∈ P tenemos que si p ≤P s entonces ϕ(p) ≤Q ϕ(q).1. y ∈ L existen x + y y xy. ≤) un ret´ıculo. Si min{z : x ≤ z y y ≤ z} ∈ P notamos a éste elemento como x + y.2. si para cada par de elementos x. Definici´ on 2. Un homomorfismo entre dos conjuntos parcialmente ordenados (P. Un ret´ıculo (L. Definici´ on 2. 2. si c ≤ z implica que c = z. 2. donde P es un conjunto diferente de vac´ıo y ≤ es un operación binaria sobre P reflexiva. si z ≤ c implica que c = z. y. z ∈ L.5.1. si para cada c ∈ L sucede que: 1. Si max{z : z ≤ x y z ≤ y} ∈ P notamos a éste elemento como xy. Definici´ on 2. Si para x. Un conjunto parcialmente ordenado (L. ≤P ) y (Q.4.1.1. Definici´ on 2. 19 . ≤) un conjunto parcialmente ordenado: 1. Un par (P. Sea (L. álgebras de Heyting y álgebras de co-Heyting 2. ≤).6. entonces a este elemento máximo lo notamos 1. 1. Definici´ on 2.1.1. Es sencillo observar que las álgebras de Boole son una semántica completa para el sistema P C.1.8 ([Balbes and Dwinger 1974]). Definimos una relación de equivalencia sobre L como. por esto.3 con su lenguaje L.1.1. y ∈ B Prueba. Ejemplo 2. Nota 2. Adicionalmente tenemos x y = (x y)1 = x y(x + y + (x + y)) = (x y)x + y + x y(x + y) = x y(x + y) y usando la segunda parte de la prueba de la nota 2.1.1.3 significar´ıa tener las siguientes igualdades [¬A][¬B] = [¬A ∧ ¬B] = [¬(A ∨ B)] y [¬A] + [¬B] = [¬A ∨ ¬B] = [¬(A∧B)]. Consideremos el sistema P C que definimos en 1. HEYTING Y CO-HEYTING Definici´ on 2. (L/ ∼. ALGEBRAS DE BOOLE. Hemos establecido un resultado al interior de P C teniendo en cuenta u ńicamente propiedades de las álgebras de Boole. 0 = ∅ y si x = X − x tenemos que x ∪ x = X y x ∩ x = ∅. 1 = X.1.1. ≤) distributivo y complementado es un álgebra de Boole. (2) Usamos un procedimiento dual al anterior. de ahora en adelante siempre que hablemos de álgebras de Boole impl´ıcitamente estaremos hablando de lógica clásica. (1) Sabemos que (x + y)x y = xx y + yx y = 0. A un elemento de este estilo lo notamos x y lo llamamos un complemento de x. en donde para x.7. ≤) es un álgebra de Boole. ≤) con 0 y 1 es complementado si y sólo si para todo x ∈ L existe un y ∈ L tal que xy = 0 y x + y = 1. Prueba.20 ´ CAPÍTULO 2.1. xy = x ∩ y.4 (Leyes de De Morgan).1. x + y = x y. x1 = x1 + 0 = x1 + xx2 = (x1 + x)(x1 + x2 ) = 1(x1 + x2 ) = x1 + x2 . En un ret´ıculo distributivo (L. Un ret´ıculo (B. ⊆) es un álgebra de Boole. entonces para todo [A] ∈ L/ ∼. y ∈ P(X). . xy = x + y. El ret´ıculo (P(X). [A] + [¬A] = [A ∨ ¬A] = 1 y [A][¬A] = [A ∧ ¬A] = 0. es decir x1 = x2 . [A] = [B] se tiene si y sólo si A ↔ B es válida. Un ret´ıculo (L. Usando un argumento parecido al de la prueba de la primera parte de la nota 2.1.2. Ejemplo 2. ≤) el complemento de un elemento es u ńico. En un ´ algebra de Boole B se cumple: 1. x + y = x ∪ y.3. tal que. Notemos que si definimos [A] = [¬A]. A ∼ B si y sólo si tenemos que ⊢P C A → B y ⊢P C B → A. [A] + [B] = [A ∨ B] y [A][B] = [A ∧ B]. lo cual nos muestra como el sistema lógico P C puede interpretarse desde una visión algebraica. obtenemos que x y ≤ x + y. para todo x. as´ı x1 ≤ x2 . tenemos x + y ≤ x y. entonces x1 = x1 1 = x1 (x + x2 ) = x1 x + x1 x2 = 0 + x1 x2 = x1 x2 . por otro lado.1. As´ı 2. 2.4 interpretado en el ejemplo 2. Supongamos que x tiene dos complementos x1 y x2 en L. Teorema 2. con lo que x2 ≤ x1 . [A] ≤ [B] si y sólo si A → B es válida. R. Definamos U = sup(U ) y U = inf (U ) Teorema 2. τ ) un espacio topológico.2. IN T también tiene un significado algebraico. as´ı que a ∧ (a → b) ≤ b.2. Definiendo a → b = a ∨ b. definamos w e := {z : wRz} .2.4. Entonces el ret´ıculo (τ. Para cualquier ´ algebra de Heyting H tenemos que: W a → b = {z : a ∧ z ≤ b}. U ∧ V = U ∩ V y U → V = (U c ∪V )◦ es un álgebra de Heyting. S = S = U → V ya que si A ∈ S entonces A ⊆ U c ∪ V ⊆ (U c ∪ V )◦ . ALGEBRAS DE HEYTING 2. W Prueba. M es llamado super-cerrado si w∈M w w∈M w siempre que w ∈ M y wRz entonces z ∈ M .2. Es posible relacionar las semánticas de Kripke con las álgebras de Heyting. entonces (SW . as´ı que U → V ∈ S. Ejemplo 2. Sea S = {A : U ∩A ⊆ V }. existe un elemento c que satisface: a ∧ c ≤ b si y sólo si c ≤ a → b. Por otro lado. ⊆) es un álgebra de Heyting. Consideremos el conjunto SW de todos los M super-cerrados contenidos en W. con lo que a → b ≤ {z : a∧z ≤ b}.2. observaremos algunos ejemplos y mostraremos como estas álgebras se relacionan con el intuicionismo. {a ∧ h : h ∈ H} = a ∧ H. Para un M ⊆ W extendemos la definición f := S f−1 := S como M e y M e−1 . U ∨ V = U ∪ V . observamos que toda álgebra de Boole es de Heyting. Sabemos que siempre en un álgebra de Boole se cumple. La definición dual la denominamos sub-cerrado. si c ∈ {z : a∧z ≤ b}.3.2. Definici´ on 2. Un ret´ıculo distributivo con cero es un álgebra de Heyting si y sólo si para cada par a y b en el ret´ıculo. 21 ´ Algebras de Heyting Al igual que P C guarda una relación con las álgebras de Boole.´ 2. e > un modelo de Kripke intuicionista.2. En un álgebra deWHeyting H.5 ([Bezhanishvili y de Jongh 2006]). . a → b es el pseudo-complemento de a con respecto a b. w e−1 := {z : zRw}. ⊆) con 0 = ∅ en donde para U. Ejemplo 2. para cada W a ∈ H.2. Sea W =< W. a∧c ≤ b con lo que c ≤ a → b. Ejemplo 2.1. W Nota 2. en donde M ∨ N := M ∪ N . x∧y ≤ u ∨ v si y sólo si x ∧ v ≤ y ∨ u. si H existe entonces.2. sabemos c que U ∩(U c ∪V )◦ ⊆ U ∩(U c ∪V ) = (U ∩U W )∪(U S∩V ) = ∅∪(U ∩V ) = U ∩V ⊆ V . El pseudo-complemento de a se define por ¬a =: a → 0 El siguiente resultado W V nos muestra una opción para calcular a → b. En la presente sección presentaremos las álgebras de Heyting. a → b ≤ a → b. Sea (X. V ∈ τ . Por otro lado.1 ([Reyes y Zolfaghari 1996]). ⊆) es un álgebra de Heyting. En los siguientes dos teoremas se encuentran similitudes entre lo que sucede en las álgebras de Heyting con respecto a lo que sucede en lógica.b.2 correspondientes al sistema IN T de la lógica intuicionista.9. (SW .7. tenemos que M → N es super-cerrado. si a ≤ b entonces b → c ≤ a → c para todo c ∈ H. cuales estan bien definidas.2. a ≤ ¬¬a para todo a ∈ H (rec´ıproco de la eliminaci´ on de la doble negaci´ on). Análogamente al anterior teorema.2. 1 Dada 2 Las la transitividad de R. Sean a. En particular si c = 0. Definamos una relación de equivalencia ∼ sobre estos elementos como A ∼ B si y sólo si ⊢IN T A → B ∧ B → A.2. 0 = ∅. En un ´ algebra de Heyting H.2. si v ∈ M entonces w ∈ N }1 . Observemos que si x ∈ M ∩ (M → N ) entonces para todo v tal que xRv. Consideremos todas las f. es decir M ∩ (M → N ) ⊆ N . 3. tenemos en lógica que la clausura modus pones de IN T unido a a ∨ ¬a es igual a P C. que a su vez es igual a la clausura modus pones de IN T unido a ¬¬a → a. a ∨ ¬a = 1 para todo a ∈ H. ∨. v ∈ N . b ∈ H en un ´ algebra de Heyting. a = ¬¬a para todo a ∈ H. Como x ∈ M entonces v ∈ M y x ∈ N . Sea w ∈ A y v ∈ W tal que wRv.8. Si consideramos las siguientes definiciones entre clases de equivalencia: [A ∧ B] = [A] ∧ [B] [A ∨ B] = [A] ∨ [B] [A → B] = [A] → [B]2 [A] ≤ [B] si y s´ olo si ⊢IN T A → B Entonces (L/ ∼. 1 = W y M → N := {w ∈ W : para cada v ∈ W tal que wRv. ≤) con ∧. entonces si v ∈ M . mostrando que A ⊆ M → N . ALGEBRAS DE BOOLE. H es un ´ algebra de Boole.22 ´ CAPÍTULO 2. Teorema 2. consideremos un conjunto super-cerrado A tal que M ∩ A ⊆ N . ¬b ≤ ¬a. → operaciones binarias y [⊥] constante. Para finalizar. los siguientes estamentos son equivalentes: 1.f definidas en la sección 1. Usaremos este resultado en la sección 3. Ejemplo 2. Teorema 2.2. presentamos el siguiente teorema que nos establece que la negación Heyting considerada como un operador reversa el orden.6. Por otro lado. En particular tenemos que wRw y entonces w ∈ N . si v ∈ M . . x ∈ N . 2. es un álgebra de Heyting.2. Teorema 2. HEYTING Y CO-HEYTING M ∧ N := M ∩ N . En un ´ algebra de Heyting H. 23 ´ Algebras de co-Heyting Definici´ on 2. ⊆) es un álgebra de co-Heyting en donde.3. elemento máximo por m´ınimo.2.3. por lo cual presentamos la siguiente definición. En un álgebra co-Heyting C. V Nota 2.3.3. Toda álgebra de Boole es un álgebra de co-Heyting. Teorema 2. interior por clausura.1. si C existe entonces. Sea (X. .3. Podemos extender. mediante dualidad. tomando a \ b := a ∨ b.4. τ ) un espacio topológico y sea τc la colección de todos los conjuntos cerrados bajo τ . los resultados de la sección 2. Escribimos ∼ a := 1 \ a. ∼∼ a = a para todo a ∈ C 3. C es un ´ algebra de Boole. . tenemos que a ∨ C = {a ∨ c : c ∈ C}. b en el ret´ıculo existe un elemento c que satisface: a \ b ≤ c si y sólo si a ≤ b ∨ c.1 ([Reyes y Zolfaghari 1996]). La frontera de un elemento de τc como la acabamos de definir coincide con el concepto de frontera en topolog´ıa. En un ´ algebra de co-Heyting C. La frontera ∂(a) de un elemento a ∈ C es a∧ ∼ a. ∼∼ a ≤ a para todo a ∈ C.5. uniones por intersecciones.. Entonces (τc .3. para cada V deV a ∈ C.3.2 a las a´lgebras de co-Heyting. menor igual por mayor igual. En un ´ algebra de co-Heyting C. no la diferencia de conjuntos como usualmente sucede. . a∧ ∼ a = 0 3\ Representar´ a la operaci´ on sobre el a ´lgebra. De manera dual definimos ∂d (a) = a ∨ ¬a como la frontera dual de a si a está en un álgebra de Heyting. 2.´ 2.3.3.3. Teorema 2. Notemos que en un álgebra de co-Heyting no necesariamente a∧ ∼ a = 0.6. Ejemplo 2. Leemos a \ b como “a menos b” o “a excluye a b”. → por \.2. etc. Definici´ on 2. . Ejemplo 2.3. para dos conjuntos cerrados de τc tenemos que A \ B := (A ∩ B c )3 . Un ret´ıculo distributivo con 1 es un álgebra de co-Heyting si y sólo si para cada par a. intercambiando de manera adecuada. En un ´ algebra de co-Heyitng tenemos que: V a \ b = {c : a ≤ b ∨ c}. los siguientes estamentos son equivalentes: 1. Teorema 2. ALGEBRAS DE CO-HEYTING 2. . ∼ b ≤∼ a. ≤) sobre L∗ (∨. Teorema 2.8.2.4 Ejemplo 2. si a ≤ b entonces c \ b ≤ c \ a para todo c ∈ C. Sean a. ALGEBRAS DE BOOLE. que a su vez es igual a la clausura bajo modus pones de DualIN T unido con a∧ ∼ a. —. HEYTING Y CO-HEYTING Las álgebras de co-Heyting conforman una semántica algebraica completa para DualIN T (ver [Goodman 1981]) y también para IN T ∗ (ver [Brunner y Carnielli 2005]) de manera que ellas coinciden como sistemas lógicos.7. ∧. 4 De manera que.24 ´ CAPÍTULO 2. al considerar (L∗ / ∼.6 en DualIN T .3. establezcamos que la negación co-Heyting reversa el orden. y que la clausura bajo modus pones de DualIN T unido con ∼∼ a = a es igual a P C. de ahora en adelante para hablar de un sistema l´ ogico dual al intuicionista usaremos u ńicamente DualIN T . Dualmente podemos reconstruir el ejemplo 2. ⊤) y: [A ∧ B] = [A] ∧ [B] [A ∨ B] = [A] ∨ [B] [A—B] = [A] \ [B] [A] ≤ [B] si y s´ olo si ⊢DualIN T A—B Al trasladar algunos resultados de álgebras de co-Heyting a la lógica podemos conjeturar que en DualIN T la eliminación de la doble negación es válida. Para terminar.3. b ∈ C en un ´ algebra de co-Heyting. En particular si c = 0. teorema que usaremos en la próxima sección. U → V = (U \ V )c .1. Además tenemos que en (τcl . Sea τcl la colección de todos los clopens de (X.1. entonces (τcl . es un espacio topológico homeomorfo a el conjunto de cantor 2ω . Es decir que en τcl la frontera de un clopen coincide con el complemento de su frontera dual y viceversa. τ ).1.1. Tales espacios también son denominados cerodimensionales. ⊆). Llamaremos “clopen” un subconjunto de un espacio topológico (X. ⊆) es un álgebra de bi-Heyting. Un espacio de Cantor. un espacio cero-dimensional Hausdorff es totalmente disconexo. totalmente disconexos y metrizables.1. Ejemplo 3. Cada elemento clopen de un espacio topológico genera inmediatamente una disconexión del espacio.CAPÍTULO 3 ´ Algebras de bi-Heyting y operadores modales 3. 25 .3. τ ) que sea abierto y cerrado.1. Es decir que la colección de clopens de cualquier espacio disconexo es un álgebra de bi-Heyting distinta de la cadena de dos elementos. Todo espacio de Cantor posee una base de clopens. Ejemplo 3. 1 Sin puntos aislados. es decir es cero-dimensional. Ellos son caracterizados como aquellos espacios topológicos perfectos1 . ´ Algebras de bi-Heyting Definici´ on 3. Un espacio topológico con base de clopens nos mostrar´ıa un ejemplo de álgebra de bi-Heyting no trivial.2. compactos. Ejemplo 3.1. el cual es el producto enumerable del conjunto de dos elementos. si tanto U y V son clopens entonces c ◦ (U c ∪ V ) = (U c ∪ V ) = (U ∩ V c )c = (U ∩ V c ) = (U \ V )c . a saber. Toda álgebra de Boole es de bi-Heyting. [Reyes y Zolfaghari 1996] Un álgebra B que es a su vez Heyting y co-Heyting es un álgebra de bi-Heyting. ⊤.6 en uno sólo. Un ´ algebra de bi-Heyting B es un ´lgebra de Boole si y s´ a olo si ¬a =∼ a para todo a en B. En efecto. es decir. Ejemplo 3. →.2 Teorema 3. L(∨. Cadenas con cero y uno en donde: ( ( 0 si a ≤ b 1 si a ≤ b a\b= a→b= a si b < a b si b < a Las negaciones quedan establecidas como: ( ( 0 si 1 = a 1 si a = 0 ∼a= ¬a = 1 si a 6= 1 0 si a 6= 0 Observemos que ¬a =∼ a si y sólo si consideramos las cadenas de a lo sumo un elemento. Uniendo a ambos miembros de la desigualdad ∼ a. de donde por definición b ∧ a ≤ 0.3.6. obtenemos (b ∧ a)∨ ∼ a ≤ 0∨ ∼ a. n an ≤ b si y s´ olo si an ≤ b para todo n. De donde. ⊥) da a lugar un álgebra de bi-Heyting (L/ ∼.5 ([Reyes y Zolfaghari 1996]).2.2. Usaremos esta definición en 3. Ejemplo 3. Conectando los resultados de secciones precedentes con el teorema anterior establecemos lo siguiente: Teorema 3. Definici´ on 3. .1. Consideremos b.1. ≤).7. b ≤ n an si y sólo si b ≤ an para todo n. W 2.7 y 2. b ≤∼ a y tomando ¬a = b obtenemos el resultado. Demostraci´ on.1. b ≤ a → 0. —.1. ALGEBRAS DE BI-HEYTING Algunos resultados de operadores modales que describiremos en el transcurso de esta sección. Para todo a ∈ B en un ´ algebra de bi-Heyting se tiene que ¬ ∼ a ≤∼ ¬a. a ∈ B tales que b ≤ ¬a. Sea (an ) una sucesión de elementos de un álgebra de bi-Heyitng B. El siguiente ejemplo muestra un álgebra de bi-Heyting que es álgebra de Boole s´ olo en dos casos particulares.1. de manera que por 3. entonces B es un álgebra σ-completa si y sólo si para todo b ∈ B tenemos que: V 1.1. ¬ ∼ a ≤∼∼ a ≤ a ≤ ¬¬a ≤∼ ¬a. Teorema 3.26 ´ CAPÍTULO 3. al relacionar los ejemplos 2.8 ([Reyes y Zolfaghari 1996]). Para todo a ∈ B en un ´ algebra de bi-Heyting se tiene que ¬a ≤∼ a.4.1.2 ([Reyes y Zolfaghari 1996]). necesitan que el álgebra de bi-Heyting satisfaga la propiedad enunciada en la siguiente definición. ∧.5 sólo existen dos cadenas bi-Heyting y Boole a la vez. 1. Si ∼ ¬a ≤ b. Se sigue inmediato de los teoremas 2. Sobre un álgebra σ-completa definamos: V 1. Sea B un álgebra de bi-Heyting σ-completa. por lo que a ≤ ¬ ∼ b.2. Hay una conexi´ on de Galois entre ♦n y n .2.2. usando la negación y la co-negación de un álgebra de bi-Heyting.9. OPERADORES MODALES 3.2. 2. Teorema 3.2. ♦n+1 =∼ ¬♦n Teorema 3. Hay una conexi´ on de Galois entre los operadores ∼ ¬ y ¬ ∼. 0 = ♦0 = Id 2. 1. ≤Q ) dos conjuntos parcialmente ordenados.3. . Se sigue de 3. Definici´ on 3.2.1. Definici´ on 3. ≤P ) y (Q. Definici´ on 3.2.1. a = n n a W 2. Todos los resultados de la presente sección estarán basados en el art´ıculo [Reyes y Zolfaghari 1996] parte dos.3. Para todo n se cumple que: 1. entonces: 1. ♦a = n ♦n a Caractericemos los operadores de posibilidad y necesidad mediante el siguiente resultado.2.2.8 y 2. Pasemos a definir por recursión los operadores modales previstos.3. tenemos que ∼ ¬(∼ ¬a) ≤∼ ¬b y entonces b ≤∼ ¬b ≤ ¬ ∼ (∼ ¬a) ≤∼ ¬(∼ ¬a).2. entonces ∼ b ≤∼∼ ¬a ≤ ¬a. Sean (P. 3. Si ∼ ¬a ≤ b. 3. n+1 ≤ n ≤ Id ≤ ♦n ≤ ♦n+1 . Decimos que hay una conexión de Galois entre ϕ y ψ si para todo p ∈ P y q ∈ Q tenemos ϕ(p) ≤Q q si y sólo si p ≤P ψ(q).4). Prueba. n y ♦n preservan el orden. Prueba. Se realizarán algunas variaciones en la notación y en las pruebas al simplificarlas. 2. 27 Operadores modales En la presente sección se construirán operadores modales de posibilidad (♦) y necesidad () sobre álgebras de bi-Heyting. Veremos al finalizar que se puede mostrar un resultado que conecta y ♦ de la misma manera como sucede tradicionalmente en las lógicas modales (ver sección 1. ϕ y ψ dos homomorfismos entre conjuntos parcialmente ordenados de P en Q y de Q en P respectivamente.2.8. n+1 = ¬ ∼ n 3. ♦a es el elemento complementado m´ as peque˜ no tal que a ≤ x. ALGEBRAS DE BI-HEYTING 28 Teorema 3. de manera que c = a. Se prueba de manera dual a 1. utilizando propiedades de ¬ y ♦. Por otro lado.4. obteniendo la igualdad a = ¬ ∼ a. usando el hecho de que a ≤ a podemos inferir que a ≤ ¬ ∼ a. Sea B un ´ algebra de bi-Heyting σ-completa junto con los operadores y ♦ definidos en 3. a es complementado.3. Procediendo por inducción obtenemos que b = b = ♦b. Supongamos b ≤ 1 a. Adicionalmente tenemos que si un elemento b del álgebra de bi-Heyting es complementado.´ CAPÍTULO 3. Finalmente.2 dos veces obtenemos ♦1 b ≤ a. De manera análoga se prueba que ♦a es complementado. Partiendo de ¬a ≤ ¬a. de donde b = ¬ ∼ b =∼ ¬b.2.2. sea c un elemento complementado tal que a ≤ c y c ≤ a. Por otro lado. usando el teorema 3. Probemos primero que a es complementado. ¬♦a ≤ ¬a. Por definición y la propiedad de ser un álgebra σ-completa tenemos que b ≤ n+1 a y b ≤ a. La tabla muestra qué condiciones debe tener a para . se relacionan de manera análoga a cómo lo hacen los operadores similares de la lógica modal. Esto implica que 0 = ¬ ∼ a∧ ∼ a = a∧ ∼ a y como a∨ ∼ a = 1. entonces: 1. Para terminar la prueba. Dualmente se prueba para ♦a. a =∼ ♦ ∼ a 2.2. ¬♦a ≤ ¬a y ¬¬a ≤ ♦a. Finalizaremos la sección mostrando cómo los operadores de posibilidad y necesidad sobre un álgebra de bi-Heyting σ-completa. obtenemos que a ≤ ¬¬a ≤ ¬¬a. 2. ♦1 b ≤ n a y b ≤ 1 n a para todo n. Al inicio de la sección hemos llamado a operador necesidad y a ♦ operador posibilidad. más el hecho de que ¬a es complementado. Usando resultados de la presente sección sabemos que c = c ≤ a. Prueba. usando el hecho de que ¬♦a es complementado y considerando propiedades de ¬ y tenemos que a ≤ ♦a implica ¬♦a ≤ ¬a. caracterizados por el teorema anterior. ♦a ≤ ♦¬¬a. En un ´ algebra de bi-Heyting σ-completa tenemos que: 1. como ¬ ∼ a ≤ ¬ ∼ a = 1 a el resultado anterior asegura ¬ ∼ a ≤ a. Prueba. 2.2.2. entonces ∼ b = ¬b. ♦a = ¬¬a Note adicionalmente que si a es complementado entonces a = ¬♦¬a y ♦a = ¬¬a. a es el elemento complementado m´ as grande tal que x ≤ a. 1. La siguiente tabla nos muestra que estos nombres se ajustan a su significado en lógica modal. ♦¬¬a = ¬¬a y ♦a ≤ ¬¬a. Teorema 3. ∧.3 podemos prever que las siguientes dos traducciones establecen lo enunciado en el anterior párrafo. En el primer cap´ıtulo se˜ nalamos la traducción de IN T a S4. ♦. = a ¬a ∼a ♦a ♦¬a ♦∼a 1 a=1 a=0 a=0 a = 1 o si a 6= 1. de la misma manera podr´ıa realizarse una traducción entre DualIN T y alg´ un sistema modal. • p♯ = p • (A ∧ B)♯ = A♯ ∧ B ♯ • (A ∨ B)♯ = A♯ ∨ B ♯ • (A—B)♯ = ♦(A♯ —B ♯ ) • (∼ A)♯ = ♦¬(A♯ ) • Γ♯ = {A♯ : A ∈ Γ} • (A → B)♯ = (A♯ → B ♯ ) • (¬A)♯ = ¬(A♯ ) 2 Recordemos que ∼ A := ⊤—A . Por ejemplo.3. ⊤) y L(¬. ⊤) y L(¬. —. ) induce una función de traducción entre BiIN T y S4. ♦) (Recordemos que A = ¬♦¬A) induce una función de traducción de DualIN T a S4. De manera que deber´ıa ser posible construir una traducción de BiIN T en alg´ un sistema modal.2. ∧. ∧.4 y 1. a 6= 0 a 6= 1 a 6= 1 0 a = 0 o si a 6= 0. OPERADORES MODALES que cada una de las igualdades se obtenga. —. ⊥. ◦ • p = ♦p • (A ∧ B) = A ∧ B ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ ◦ • (A ∨ B) = A ∨ B ◦ ◦ ◦ • (A—B) = ♦(A —B ) ◦ ◦ • (∼ A) = ♦¬(A )2 ◦ ◦ • Γ = {A : A ∈ Γ} La aplicación ♯ entre el lenguaje L(∨. →. que la necesidad de a sea una contradicción depende de que a sea una contradicción o de que a no sea un teorema. ∧. a 6= 1 a 6= 0 a 6= 0 a=0 a=1 a=1 Los anteriores resultados dan lugar a herramientas para la identificación de traducciones entre BiIN T y alguna lógica modal.2. Usando las traducciones definidas en las secciones 1. ◦ La aplicación entre el lenguaje L(∨.29 3. Definici´ on 3. 0. 1a.2. 1abc. Sea un conjunto parcialmente ordenado P . (P.. ≤) bajo esta topolog´ıa se llama espacio topológico ordenado. 0ab. Un subconjunto (A. mediante los espacios de Esakia es posible establecer dualidades con categor´ıas cuyos objetos son álgebras de Heyting. 0ac.1. 1. ALGEBRAS DE BI-HEYTING 30 3. ∞) = {x ∈ P : a < x} y (−∞. Adicionalmente. 0. a) = {x ∈ P : x < a}. a los subconjuntos {x. 0abc. La figura muestra la notación adoptada para cada vértice. 2010]. De nuevo obtenemos dos topolog´ıas que dependen de τM3 . 1. las anteriores dos definiciones sobre el ret´ıculo M3 .} de M3 .. 1 a b c M3 0 Observemos que la topolog´ıa τM3 para (M3 . M3} = U p(M3 ) y los sub-conjuntos son {∅.. τ. 2010] sobre álgebras de Heyting. De manera que es posible preguntarse si existen teoremas de representación para otras álgebras. 0a. Por comodidad abreviaremos con xyz. 1b.3. Describiremos en la presente sección los desarrollos hechos por Bezhanishvili y sus colaboradores en [Bezhanishvili et al. τM3 . Ejemplo 3. z. con un ejemplo nuestro. ClU p(M3 ). abc. Topolog´ıas ordenadas El teorema de representación de Stone permite representar clases de álgebras de Boole mediante clases de espacios topológicos. Usando bi-topolog´ıas es posible generalizar las definiciones de espacios de Stone y de Priestley y obtener resultados similares en relación con los ret´ıculos distributivos.1.3. Los espacios espectrales y de Priestley responden el interrogante para el caso de los ret´ıculos distributivos con cero y uno. ≤) como espacio topol´ ogico ordenado corresponde a: {∅. 1ac. co-Heyting y bi-Heyting. 1ab. abc0. Denominamos topolog´ıa del orden la topolog´ıa generada por la sub-base cuyos elementos son (a.. An´ alogamente podemos construir las colecciones de abiertos sub-cerrados OpDow(M3 ). abc1.3. Inicialmente mostraremos un ejemplo de espacio topológico ordenado que es a su vez Priestley y luego resumiremos los principales resultados publicados en [Bezhanishvili et al. ≤) parcialmente ordenado es super-cerrado (sub-cerrado) si dado x ∈ A entonces x ≤ y (y ≤ x) implica y ∈ A. Los super-conjuntos serán {∅. 1. 01. M3}. cerrados sub-cerrados ClDow(M3 ). 0c. M3} = Dow(M3 ). Definici´ on 3. También podemos observar que los abiertos pertenecientes a U p(M3 ) seg´ un τM3 son {∅. . 0bc. 1c.3. 1abc. la cual coincide con la colecci´ on de cerrados en U p(M3 ). Ilustremos.´ CAPÍTULO 3. 0b. 1bc. . M3} = OpU p(M3 ). ≤) ⊆ (P. y. Notemos que tanto U p(M3 ) como Dow(M3 ) son también topolog´ıas sobre M3 determinadas por su relaci´ on de orden ≤. REPRESENTACIONES EN BI-TOPOLOGÍAS 31 Todos los elementos de τM3 son clopens. τ2 ) y cerrados en (X. ≤) es disconexo. Definici´ on 3. Lo denotaremos (X. Definici´ on 3.3.4. y de X: 1. τ1 . existen disyuntos U ∈ τ2 y V ∈ τ1 tales que x ∈ U y y ∈ V . τ ) compacto. Sin embargo. Definici´ on 3. Definici´ on 3.4. τ2 ).4. τ1 ) forman una base para (X. En la siguiente gráfica exhibimos el ret´ıculo por inclusión de los elementos de τM3 . ≤) es un espacio de Priestley. τ2 ) es Hausdorff por parejas si se tiene alguna de las siguientes condiciones. τ1 ) y cerrados en (X. nos limitaremos a mostrar aquellas que se apellidan “por parejas” (en inglés se prefijan “pairwise”). τ2 ). Hausdorff y cero dimensional es un espacio de Stone. el cual es un álgebra de bi-Heyting. (M3 . τ1 ) y si abiertos en (X.4. Un espacio topológico (X. (X.4. compacto y cero dimensional. τ2 ) es cero dimensional por parejas si abiertos en (X.4. 2.2. Ejemplo 3. τM3 .4. (X.1. Las siguientes tres definiciones nos permitirán generalizar la noción de espacio de Stone para espacios bi-topológicos. Existen varias maneras de describir la propiedades de los espacios bi-topológicos. τ2 ) forman una base para (X. Un espacio topológico ordenado (X. τ1 . Dados dos puntos x.3. existen disyuntos U ∈ τ1 y V ∈ τ2 tales que x ∈ U y y ∈ V . 2010]. Un espacio bi-topológico es un conjunto no vac´ıo dotado de dos topolog´ıas. τ1 .4. 3. con variaciones en la adaptación al espa˜ nol de las definiciones y teoremas referenciados. ≤) es un espacio de Priestley si es compacto y siempre que y < x entonces existe un super-conjunto clopen A tal que x ∈ A y y ∈ / A.5. .4. τM3 . τ. Representaciones en bi-topolog´ıas La escritura de la presente sección esta basada exclusivamente en el art´ıculo [Bezhanishvili et al. Definici´ on 3. Es decir que (M3 .1. M3 0abc 1abc 01 abc 0 1 ∅ Observemos que los conjuntos super-cerrados quedaron en la frontera derecha y los sub-cerrados en la izquierda. En [Bezhanishvili et al.4.4. es posible construir sobre cualquier ret´ıculo distributivo con cero y uno dos topolog´ıas τ+ y τ− sobre el conjunto de los filtros primos de L. 3.1 se pueden observar construcciones sobre M3 para estas topolog´ıas). τ1 . (X. De manera que (X. ∅. También.6. τ− ) es un espacio de Stone por parejas. τ1 . τ1 .3. ∩. 2010] sobre dualidades entre las siguientes nueve categor´ıas.4. τ+ . τ1 . ≤) dotado de la topolog´ıa τ1 ∪τ2 .7.4. τ. para establecer el funtor entre PStone y Pries asociamos a cada espacio de Stone (X. En efecto. ≤) de Priestley un espacio de Stone. τ2 ) compacto por parejas. En la otra dirección.4. 2010] se construyen dos funtores mediante los cuales es posible establecer dualidades entre la categor´ıa Pries de los espacios de Priestley y funciones continuas que preservan el orden. al considerar sobre X las topolog´ıas OpU p = τ1 y OpDow = τ2 .4.4. τ2 ) el espacio de Priestley (X.2 y 3. (pf (L)). PStone y Pries son isomorfas.32 ´ CAPÍTULO 3. τ. podemos establecer para un espacio (X. τ+ depende de los conjuntos de filtros primos que contienen cierto elemento y τ− depende de los conjuntos de filtros primos que excluyen cierto elemento. Hausdorff por parejas y cero dimensional por parejas es un espacio de Stone por parejas.3. . Por otro lado.8. τ2 ) es compacto por parejas si para cada cubrimiento {Ui : i ∈ I} de X con Ui ∈ τ1 ∪ τ2 existe en τ1 ∪ τ2 subcubrimiento finito de X. τ1 . τ2 ) es un espacio de Stone (en el ejemplo 3. Definici´ on 3. 2010] llaman orden especializado de (X.10 nos mostrarán detalles en la formalización de las categor´ıas. ALGEBRAS DE BI-HEYTING Definici´ on 3.9 y 3. En [Bezhanishvili et al. Las definiciones 3. 2010] se muestra que (pf (L). τ2 ) podemos asociar el ret´ıculo (β1 . X) distributivo con cero y uno. Dado que los espacios de Stone son cero dimensionales por parejas es posible definir ≤ sobre X mediante un orden que en [Bezhanishvili et al. y la categor´ıa PStone de los espacios de Stone por parejas y funciones bi-continuas (funciones continuas con respecto a las dos topolog´ıas). Culminamos la sección presentando las ideas expuestas en [Bezhanishvili et al. τ ) y que hace de X un espacio de Priestley. Usando homomorfismos entre Posets y funciones bi-continuas es posible establecer un funtor entre PStone y DLat y otro entre DLat y PStone que hacen estas dos categor´ıas dualmente equivalentes. mediante los teoremas 3. Un espacio bi-topológico (X. Igualmente se exhiben dualidades entre la categor´ıa DLat (de los ret´ıculos distributivos con cero y uno y homomorfismos entre Posets) y PStone. ∪. Bajo estas relaciones funtoriales. Para los morfismos usamos la funciones bi-continuas y las funciones continuas que preservan el orden. dado un espacio de Stone por parejas (X. τ. τ2 ) es un espacio bi-topológico Heyting si A ∈ DP C(X) implica Cl1 (A) ∈ DP C(X).4. y álgebras de co-Heyting y bi-Heyitng respectivamente.2. En [Esakia 1974] se otorga una prueba de la dualidad entre Esa y Heyt usando los “morfismos Esakia”. ↓ A = {x : x ≤ y para alg´ un y ∈ A} y ↑ A = {x : y ≤ x para alg´ un y ∈ A}. ≤) es un espacio de co-Esakia si A ∈ Cp(X) implica ↑ A ∈ Cp(X). 3. con los que en [Esakia 1975] se exhiben dualidades entre espacios de co-Esakia y bi-Esakia. 2. 1. (X.3. Priestley entonces. ≤) es un espacio de Esakia si A ∈ Cp(X) implica ↓ A ∈ Cp(X). Cp(X) es la colección de subconjuntos clopens de X. τ. 1.4.8 ([Bezhanishvili et al. Heyt es dualmente equivalente a Esa. Definici´ on 3. biHeyt es dualmente equivalente a biEsa. . Teorema 3. los cuales se establecen desde la noción de p-homomorfismo.4. (X. ≤) es un espacio de bi-Esakia si es a la vez espacio Esakia y coEsakia. 2. τ1 . entendido como un homomorfismo de X en X ′ tal que para cada x ∈ X y x′ ∈ X ′ . ≤) un espacio de 1. τ.9 ([Bezhanishvili et al. Dualmente establecemos los “co-morfismos Esakia” y “bi-morfismos Esakia”. τ. 2010]). REPRESENTACIONES EN BI-TOPOLOGÍAS Categor´ıa Heyt coHeyt biHeyt Esa coEsa biEsa HPStone coHPStone biHPStone Objetos álgebras de Heyting álgebras de co-Heyting a´lgebras de bi-Heyting espacios de Esakia espacios de co-Esakia espacios de bi-Esakia espacios bi-topológicos Heyting espacios bi-topológicos coHeyting espacios bi-topológicos biHeyting 33 Morfismos morfismos Heyting morfismos co-Heyting morfismos bi-Heyting morfismos Esakia co-morfismos Esakia bi-morfismos Esakia morfismos Heyting bicontinuos morfismos co-Heyting bicontinuos morfismos bi-Heyting bicontinuos Definici´ on 3. si f (x) ≤ x′ se sigue que existe y ∈ X tal que x ≤ y y f (y) = x′ . Sea (X. (X. coHeyt es dualmente equivalente a coEsa. (X.4. 3. 2010]). Cl1 (A) y Cl2 (A) son la clausura de A con respecto a τ1 y τ2 respectivamente.3 ([Bezhanishvili et al. 2. τ2 ) es un espacio bi-topológico bi-Heyting si es a la vez espacio bi-topológico de Heyting y co-Heyting. 3. Una función f de X en X ′ dos espacios bi-topológicos Heyting es un “morfismo Heyting” si f es bi-continua y f (Cl2 (x)) = Cl2′ (f (x)) para cada x ∈ X.34 ´ CAPÍTULO 3. 1. (X. τ2 ) es un espacio bi-topológico co-Heyting si A ∈ DP C(X) implica Cl2 (A) ∈ DP C(X). Las categor´ıas biHeyt y biHPStone son isomorfas. Un subconjunto Y de X es “doble compacto por parejas” si tanto Y como Y c son compactos por parejas vistos como subespacios bi-topológicos de X. τ1 . . (X. Definici´ on 3. Teorema 3.10 ([Bezhanishvili et al. DP C(X) es la colección de subconjuntos doble compactos por parejas de X . 2. 3. 3.4.4. Una función f de X en X ′ dos espacios bi-topológicos co-Heyting es un “morfismo co-Heyting” si f es bi-continua y f (Cl1 (x)) = Cl1′ (f (x)) para cada x ∈ X. Las categor´ıas Heyt y HPStone son isomorfas. Las categor´ıas coHeyt y coHPStone son isomorfas. ALGEBRAS DE BI-HEYTING 2. 2010]). Una función f de X en X ′ dos espacios bi-topológicos bi-Heyting es un “morfismo bi-Heyting” si f es morfismo Heyting y co-Heyting. 1. 2010]). τ1 . uk/people/nb118/Publications/PairwiseStone. L.. 2006.le. y de Jongh.. “A survey of paraconsistent logic”. [Boole 1984] Boole. 2010] Bezhanishvili.ac. [Epstein 1990] Epstein. C. J. [Balbes and Dwinger 1974] Balbes. http://www. W.pdf. Mathematical logic in latin america.. [Bezhanishvili et al.. Journal Applies Logic. D. 35 . N. “On the theory of inconsistent formal systems”. The semantic foundations of logic. Amsterdam: Institute for Logic.uk/people/nb118/Publications/ESSLLI %2705. 1984. G. y Carnielli. P.. Madrid: Ediciones Cátedra. Notre Dame Journal of Formal Logic. D... 3(40)(1999):375-390.le. “Anti-intuitionism and paraconsistency”. Missouri: University of Missouri Press. Mathematical Structures in Computer Science. G. http://www..ac. W. [Carnielli y Marcos 1999] Carnielli. El an´ alisis matem´ atico de la l´ ogica. R. 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Lógica Intuicionista Dual y Álgebras de Co-Heyting - Javier Gutiérrez

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