REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD JOSÉ ANTONIO PAEZ DIRECCIÓN DE ESTUDIOS BÁSICOS Lógica de Predicados Romina Betancourt Catedra: Lógica .07 2. 2.INDICE Pág..…. UJAP .10 5.…….…05 Predicados simples de un solo universo P(x)……………………………….3...09 4...……08 3. Mostrar Cinco (05) ejemplos distintos con la descripción del Universo U………………………………………………………….. 1..…….12 6. Definiciones y notaciones de ambos casos.03 1. Mostrar Cinco (05) ejemplos distintos con la descripción de cada Universo……………………………………………………………. Ejemplos. Negado de cuantificadores………………………………………………….….11 5. Predicados relacionales de varios universos P(x.1. ………………………………………….. Notación de Conjuntos y Pertenencia de elementos a un universo.13 7..09 3. Definición……………………………………………………………03 1.1.2. Realizar Cinco (05) ejemplos de casos de Cuantificadores Existenciales definiendo los universos y los predicados………………………………………. Lógica de predicados: 1.1.1) Mostrar Tres (03) ejemplos de cuantificadores existenciales negados…11 5. Negado de un Predicado (ejemplos) ┐P(x)……………………….y)……………………... Realizar Cinco (05) ejemplos de casos de Cuantificadores Universales definiendo los universos y los predicados. universales ∀x.…………………………………………………………………….. Cuantificadores: existenciales Ǝx.14 BIBLIOGRAFIA……………………………………………………………………15 2 Informe de Lógica.. ………………………………….2) Mostrar Tres (03) ejemplos de cuantificadores universales negados…... además de un símbolo de relación entre sujeto y predicado. y a ella se extienden también los conectivos lógicos y operadores de la lógica proposicional. Si a es un elemento del conjunto A se denota con la relación de pertenencia a ∈A. Q : el conjunto de los números racionales. Con la lógica de predicados intentamos conseguir sistemas de demostración automática de teoremas. 3 Informe de Lógica. que carece de elementos. C: el conjunto de los números complejos. Se tomarán como elemento básico los objetos y las relaciones entre dichos objetos.1) Definición: La lógica de predicados es una extensión de la lógica de proposiciones. Ejemplos de conjuntos: o o o o o o ∅ : el conjunto vacío. UJAP . R: el conjunto de los números reales. La lógica de predicados estudia las frases declarativas con mayor grado de detalle. N: el conjunto de los números naturales.1) LÓGICA DE PREDICADOS 1. Partimos de elementos básicos como las frases declarativas simples o proposiciones que son aquellos elementos de una frase que constituyen por sí solos una unidad de comunicación de conocimientos y pueden ser considerados Verdaderos y Falsos. para el predicado y para los cuantificadores "todos" y "alguno". considerando la estructura interna de las proposiciones. Ejemplos Un conjunto es la reunión en un todo de objetos bien definidos y diferenciables entre si. La lógica de predicados descompone la proposición en sus dos componentes básicas (sujeto y predicado) y cuantifica al sujeto. introduciendo símbolos para el sujeto. que se llaman elementos del mismo. Se distingue: • "Qué se afirma (predicado o relación) • De quién se afirma (objeto)" 1. Z: el conjunto de los números enteros.2) Notación de Conjuntos y Pertenencia de Elementos a un Universo. si a no es un elemento de A se denota a∉ A. En caso contrario. lápiz. 4 Informe de Lógica. Determinación por compresión:Un conjunto está determinado por compresión cuando solamente se menciona una característica común de todos los elementos. U / ∅: El primer símbolo indica el conjunto universal. Un elemento a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto. Ejemplo: El conjunto de vocales del abecedario: X={x: x es una vocal}. x < 20 }3 Conjunto C contiene todos los números naturales menos de 20. tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos. • Regla: Un conjunto se puede definir por una regla. estos elementos tienen carácter individual. Los representaremos con una letra minúscula: a.4}. no habiendo elementos duplicados o repetidos.2. los símbolos de la matemáticas se utilizan típicamente: C = { x | x ∈ℕ. Mientras que esta regla puede simplemente ser una oración por ejemplo {El conjunto de toda la roca en mi jardín. el conjunto puede ser definido enumerando todos los elementos: B = {libro. ⊂: Se usa para expresar que un conjunto. forman parte de otro conjunto mayor. y cada uno de ellos es único. Notación conjunto es una manera de decir cuál está en un conjunto.b. lápiz. todos sus elementos. Hay dos estilos de la definición del conjunto que pueden estar en llaves. y por lo tanto.3. borrador}2 En esta definición. el conjunto B tiene tres elementos: libro. • Lista: Si un conjunto tiene apenas algunos elementos. y borrador. es el conjunto de todas las cosas sobre las que estemos tratando. UJAP .… • • • ∈ / ∉: Se usa para expresar si un elemento pertenece o no a un conjunto.Se puede definir un conjunto: • • Determinación de un conjunto por extensión: Un conjunto está determinado por extensión cuando se escriben uno a uno todos sus elementos.Ejemplo: Los números menores que 5: A={1.c. El conjunto se nombra generalmente con una mayúscula como esto: A = {definición del conjunto}1 La definición del conjunto está dentro de las llaves: {}.}. El otro conjunto. se define la negación de p como la proposición p' que es verdadera cuando p es falsa y que es falsa cuando p es verdadera. suelen estar relacionadas con incorrecciones en el lenguaje lógico. la tabla de verdad de la negación es la siguiente: P(x) ┐P(x) 1 0 0 1 Una proposición se dice que es una tautología si su valor de verdad es siempre 1 independientemente de los valores de las proposiciones que lo componen. Una proposición se dice que es una contradicción si su valor de verdad es siempre 0 independientemente de los valores de las proposiciones que lo componen. pero siempre es necesario demostrar la existencia de dicho conjunto previamente. las proposiciones pqy q' p' 5 Informe de Lógica. Por ejemplo: p="la proposición p es falsa". UJAP . o en la mayoría de los casos se da por supuesto dado el contexto que estemos tratando. en este caso. A partir de una o varias proposiciones elementales se pueden efectuar diversas operaciones lógicas para construir nuevas proposiciones. si hablamos de números enteros entonces U es el conjunto de los números enteros. esta definición equivale a decir que la proposición p q es una tautología.• • 1. es decir ∀x. Por ejemplo. lo cual se realiza a través de las tablas de verdad de dichas operaciones.3) Así. Por ejemplo. este conjunto universal puede mencionarse explícitamente. por ejemplo: p p'. Dos proposiciones p y q se dicen equivalentes si tienen la misma tabla de verdad en función de las proposiciones elementales que lo componen. Una paradoja es una proposición a la que no se le puede asignar ningún valor de verdad. Negado de un predicado Dada una proposición p. si hablamos de ciudades. se necesita conocer su valor de verdad o falsedad en función de los valores de las proposiciones de que se componen. se le llama conjunto vacío y cumple que todos los elementos posibles no están contenidos en él. Se lee "no p". x∉∅. por ejemplo: p p'. U es el conjunto de todas las ciudades. Esta ley se llama "ley del contrarrecíproco". denotemos por letras mayúsculas A.. UJAP .Son equivalentes. Relación entre la teoría de conjuntos y la lógica proposicional: Existe una relación muy estrecha entre la Teoría de Conjuntos y la Lógica Proposicional. la proposición lógica que caracteriza a los elementos de cada conjunto).. todos los resultados sobre conjuntos se pueden reescribir en términos de lógica proposicional y viceversa.. los conjuntos y por las correspondientes minúsculas a. Para mostrar dicha relación.. y se usa en los razonamientos por reducción al absurdo.B .b . a modo de ejemplo: A∪(A∩B)=A a∨(b∧c)⇔a A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪ a∨(b∧c)⇔(a∨b)∧(a∨ C) c) ( A ∪ B )' = A' ∩ B' ( a ∨ b )' ⇔ a' ∧ b' 6 Informe de Lógica. el conjunto vacío se corresponde con una contradicción y el conjunto universal con una tautología. sus propiedades características (es decir. entonces se tiene la siguiente correspondencia: conjuntos A ⊆ B A = B A ∪ B A ∩ B A' A − B A ∆ B proposiciones a ⇒ b a ⇔ b a ∨ b a ∧ b a' a ∧ b' a ∨ b Además. Se pueden obtener fácilmente más "resultados lógicos" a través de su relación con la teoría de conjuntos. Mediante esta correspondencia. si la oración se encuentra definida en forma negativa se trata de la misma forma. Ahora bien.y) P(x. por su naturaleza claro está.y). El predicado simple siempre es un verbo o frase verbal.y) “x crece junto a x” crece junto a x” Ahora bien. se De igual forma. Ejemplo: Las plantascrececada día más junto a otras plantas En donde “crece” es el núcleo y el resto el predicado. define el universo U con una variable “x”: x ∈ U ”plantas” y ∈ U ”plantas” se procede a unir con el núcleo de la oración para definir el único universoeliminando la negación de variables para defnirP(x. De igual forma.y) “x crece junto a x” junto a x” Entonces se define del siguiente modo: 7 Informe de Lógica.y) “x P(x. El predicado simple es la palabra principal o palabras principales en el predicado completo. eliminándole la negaciónde modo que la lógica proposicional se conserve: conserve: Ejemplo: No hay ninguna planta que no crezca cada día más junto a otras plantas. se define el universo U con una variable “x”: x ∈ U ”plantas” y se ∈ U ”plantas” procede a unir con el núcleo de la oración para definir el único universo. se entiende a “planta” o “plantas” como el único sujeto aunque se trate de diferentes individuos en la oración.y) “x P(x. UJAP . entonces se dice que P(x.2) PREDICADOS SIMPLES DE UN SOLO UNIVERSO P(x. y) = “x adora a x” b) Se fabrica torta de pan con dos bolsas de pan “x”: x ∈ U=”pan” P(x.y) = “torta de x fabricada de x” c) No hay panquecas que sepan a otra cosa que no sean a panquecas “x”: x ∈ U=”panquecas” P(x. UJAP . pero no entre oraciones.y) = “x predica x” 8 Informe de Lógica. . entonces”). disyunciones (“o”) o implicaciones (“si .y) = “x sabe a x” d) Existen hermanos entre sí mismos “x”: x ∈ U=”hermanos” P(x. Pueden aparecer términos de enlace en el sujeto o en el predicado.y) = “x entre x” e) No existen religiones que no prediquen para sí mismas “x”: x ∈ U=”Religiones” P(x.1) Mostrar Cinco (05) ejemplos distintos con la descripción del Universo U a) No existe ningún padre que no adore a su padre “x”: x ∈ U=”padre” P(x. .Son aquellas que no tienen oraciones componentes afectadas por negaciones (“no”) o términos de enlace como conjunciones (“y”). 2. y) = “x es hermano de y” e) Mi profesor de lógica de la UJAP se parece a mi compañero de trabajo en la UAM “x”: x ∈U=”profesor de lógica UJAP”˄“y”: y∈ U=”Compañero de trabajo UAM” Entonces. como se procede en la lógica de un solo universo. Ejemplo: Algunas niñas les hablan a los varones “x”: x ∈U=”niñas” ˄ “y”: ˄y ∈ U=”varones” Entonces.y). UJAP .3) PREDICADOS RELACIONALES DE VARIOS UNIVERSOS P(x.1) Mostrar Cinco (05) ejemplos distintos con la descripción del Universo U a) Se encuentran cerezas entre la caja de cerezos “x”: x ∈U=”cerezas”˄ “y”: y ∈ U=”cerezos” Entonces. P(x. P(x.y) = “x es amigo de y” d) Mi hermano es hermano de mi otra hermana también “x”: x ∈U=”hermano”˄ “y”: y∈ U=”hermana” Entonces.y) = “x se parece a y” 9 Informe de Lógica.y) = “x dentro la caja y” b) La lógica matemática y la lógica filosófica son dos cosas diferentes “x”: x ∈U=”lógica matemática”˄ “y”: y∈ U=”lógica filosófica” Entonces. Igualmente se toma el núcleo de la oración como conectiva axiomática entre variables. P(x. P(x. se define otra variable “y” para formar una sola sentencia entre dos universos. P(x.y) = “x le habla a y” 3. P(x.y) = “x es diferente a y” c) Mi perro y mi gato son amigos “x”: x ∈U=”perro”˄“y”: y∈ U=”gato” Entonces. Ahora bien. Definiciones y Notaciones de ambos casos.4) CUANTIFICADORES: EXISTENCIALES Ǝx... escribiremos (∀x) A. 10 Informe de Lógica. UJAP .". Si deseamos indicar que A es verdadero para todos los posibles valores de x. Sea A una expresión y sea x una variable. UNIVERSALES ∀x. E estudioso y x es un elemento de un dominio general que podría ser el de las personas o cualquier subconjunto deseado. Ejemplo:Sea A= {1. R respiran y x es un elemento de un dominio general que podría ser el de las personas o cualquier subconjunto deseado. Cuantificadores: En lógica.5} Determine el valor de verdad de cada uno de los enunciados siguientes: a) (∃ x ∈ A)(x+3=10) Solución: es falso porque ningún número de A es una solución de x+3=10. Se denota con el símbolo ∃ x y se lee de las siguientes maneras: “hay un x tal que…)”. teoría de conjuntos y matemáticas en general.4.. Ejemplos: • Todos los humanos respiran (∀ ∀x) (H(x) → R(x)) donde el predicado H significa humanos. b) (∀ x ∈ A)(x+3<10) Solución: es Verdadero.3.." o "para algún x.los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar cuántos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. • Todos los alumnos son estudiosos (∀ ∀x) (A(x) → E(x)) donde el predicado A significa alumno.2. “hay al menos un x tal que. Cuantificadores Existenciales: La cuantificación existencial de P(x) “Es la proposición en que existe un elemento x en el universo de discurso tal que P(x) es verdad”. Cualquier número de A cumple que x+3<10 Cuantificadores Universales: Indican que algo es cierto para todos los individuos. P(x) es falsa. Para todos dos números enteros positivos.y) = “x tiene vida” ¬ P(x) ∃x[¬ P(x)]→¬∃x[P(x)] b) Ningún político es honesto “x”: x ∈U1=”político” Entonces. (falso) 2. UJAP . su suma es 12. a) La negación de que P(x) es cierta para todo número real es que existe un número x para el cual P(x) es falsa.5) NEGADO DE CUANTIFICADORES Leyes de Morgan para Cuantificadores. (cierta) 5. todos son números impares. (falso) Negación: Para todo número entero. existe por lo menos una pareja cuya suma es no es igual a 12.1) Mostrar tres (03) ejemplos de cuantificadores existenciales negados. (cierta) Negación: Para el conjunto de los números primos. P(x. Para el conjunto de todos los números primos por lo menos un número primo es par. ¬ (∀ ∀x) Ejemplo: Negación de las siguientes proposiciones: 1.y) = “x es honesto” ¬ P(x) ∃x[¬ P(x)]→¬∃x[P(x)] c) No existe paciencia sin crisis “x”: x ∈U1=”paciencia” Entonces. ¬ (∃ ∃x) b) La negación de que P(x) es cierta para por lo menos una x es para toda x. P(x.y) = “x con crisis” ¬ P(x) ¬{ ∃x[ P(x)] }→¬∃x[¬P(x)] 11 Informe de Lógica. P(x. a) No se ha comprado vida en otros planetas “x”: x ∈U1=”planetas” Entonces. y) = “x se gana siempre” ¬ P(x) ∃x[¬ P(x)] →¬∀x[P(x)] 12 Informe de Lógica.5. a) Algunos niños pueden hablar “x”: x ∈U1=”niños” Entonces. P(x.2) Mostrar tres (03) ejemplos de cuantificadores universales negados. UJAP .y) = “x mujeriegos” ¬ P(x) ∃x[¬ P(x)] →¬∀x[P(x)] c) No siempre se gana la lotería “x”: x ∈U1=”lotería” Entonces.y) = “x pueden hablar” ¬ P(x) ∃x[¬ P(x)]→¬∀x[P(x)] b) No todos los hombres son mujeriegos “x”: x ∈U1=”hombres” Entonces. P(x. P(x. Ccuidadosas y x es un elemento de un dominio general que podría ser el de las madres o cualquier subconjunto deseado. • Todos los carros tienen motor (∀ ∀x) (K(x) → W(x)) donde el predicado K significa carros. Wtener motor y x es un elemento de un dominio general que podría ser el de los carros o cualquier subconjunto deseado. • Todos los perros ladran (∀ ∀x) (P(x) → L(x)) donde el predicado P significa perros. Lladran y x es un elemento de un dominio general que podría ser el de las perros o cualquier subconjunto deseado. • Todas las madres son cuidadosas (∀ ∀x) (M(x) → C(x)) donde el predicado M significa madres. Ffastidioso y x es un elemento de un dominio general que podría ser el de los niños o cualquier subconjunto deseado. • Todos las universidades están de paro (∀ ∀x) (U(x) → P(x)) donde el predicado U significa universidades. UJAP . Pparo y x es un elemento de un dominio general que podría ser el de las universidades o cualquier subconjunto deseado.6) REALIZAR CINCO (05) EJEMPLOS DE CASOS DE CUANTIFICADORES UNIVERSALES DEFINIENDO LOS UNIVERSOS Y LOS PREDICADOS. • Todos los niños son fastidiosos (∀ ∀x) (N(x) → F(x)) donde el predicado N significa niños. 13 Informe de Lógica. • Algunas universidad reiniciaron actividades (∃ ∃x) (U(x) → R(x)) donde el predicado U significa universidades. Ssincrónicos y x es un elemento de un dominio general que podría ser el de los carros o cualquier subconjunto deseado. Rreiniciar actividades y x es un elemento de un dominio general que podría ser el de las universidades o cualquier subconjunto deseado. Ffastidioso y x es un elemento de un dominio general que podría ser el de los niños o cualquier subconjunto deseado. • Algunoscarros no son sincrónicos (∃ ∃x) (K(x) → ¬S(x)) donde el predicado K significa carros. • Algunosniños son fastidiosos (∃ ∃x) (N(x) → F(x)) donde el predicado N significa niños. UJAP . Lladran y x es un elemento de un dominio general que podría ser el de las perros o cualquier subconjunto deseado. Oobesas y x es un elemento de un dominio general que podría ser el de las madres o cualquier subconjunto deseado. 14 Informe de Lógica.7) REALIZAR CINCO (05) CASOS DE CUANTIFICADORES EXISTENCIALES DEFINIENDO LOS UNIVERSOS Y LOS PREDICADOS. • Algunas niñas son obesas (∃ ∃x) (N(x) → O(x)) donde el predicado N significa niñas. • Existen perros que no ladran (∃ ∃x) (P(x) → ¬L(x)) donde el predicado P significa perros. edv. Definición y notación de conjuntos.html 15 Informe de Lógica.com/glosario/definicion/logicapredicados Sangakoo (s/f).Consultado el 30 de febrero del 2014. Disponible en: http://estructuradiscretaunerg. [Artículo en línea]. UJAP . L y otros (s/f).sangakoo. Disponible en:http://di002.Lógica de Predicados.Cuaderno Didáctico: Lógica de Predicados'.blogspot. Disponible en: http://www.com/es/temas/definicion-y-notacion-de-conjuntos Labra. Universidad de Oviedo[Documento en línea]. 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