I.E.P.“HERMANOS BLANCO” MATEMATICA TRA BAJO Y CARIDAD A-B-C-D 5TO. AÑO LOGARITMOS Y SUS de hoy jueves 26 de octubre de 2017, y En la biología se puede mostrarAPLICACIONES que se su epicentro se localizó a 133 aplica en el cálculo del pH que es el kilómetros al oeste de la ciudad de logaritmo de la inversa de la Trujillo, con una profundidad de 38 concentración de iones de hidrogeno y kilómetros. ¿Cuál es la magnitud de un mide la condición llamada acidez. Los sismo en la escala Richter si Logaritmos se aplican como el claro ejemplo de los estudios de Mendel, quien se dedicó a estudiar el la amplitud es 10 – 2 cm y su período es comportamiento de ciertas plantas. En 1 segundo? esta categoría es donde se realizan los Resolución: mayores avances de la humanidad porque cada año descubren miles de Como 1 micrómetro = 10– 4 cm, fórmulas científicas. entonces 10– 2 cm equivalen a 102 micrómetros. Entonces la cantidad de Los biólogos lo utilizan para estudiar los grados Richter R es: efectos nutricionales de los organismos. A : AMPLITUD Aplicaciones en la ingeniería, de hecho el comportamiento del universo desde P: PERIODO el punto de vista científico es una función logarítmica. También sirve paran para representar comportamientos de crecimiento de Los logaritmos son, en realidad, una poblaciones. operación inversa. Sabemos que la operación inversa de la suma, es la resta; Los logaritmos tienen variadas de la multiplicación, es la división. De la aplicaciones en modelos de fenómenos misma forma, la operación inversa de la naturales y sociales. potenciación es la logaritmación. Los logaritmos surgen por la necesidad Escala Richter: de despejar incógnitas que se encuentran como exponentes. Por Una escala habitualmente utilizada en ejemplo: 10x = 0,30103. La teoría de logaritmos es una la medición de la intensidad de los herramienta fundamental para resolver sismos es la escala Richter. ecuaciones d la forma: ax = b. Los grados se calculan mediante la expresión, donde A es la amplitud LOGARITMACION EN R Dada la siguiente expresión: bx N medida en micrómetros (1 micrómetro (potenciación) = 10–4 cm) y p es el período medido en La operación inversa, ósea: segundos. Logb N x SITUACION PROBLEMATICA Recibe el nombre de logaritmación. Un movimiento telúrico ocurrió al Ejemplos: 32 = 9 Log3 9 = 2 promediar las 22:48 (UTC 03:48) horas n Z . log 4 4 5 log 4 4 5 logaritmos. AÑO 33 = 27 Log3 27 = 3 . log2512 = log229 = 9log22 = 9 De la definición de logaritmos. 3 3 4 . log16 256 log4 16 256 log2 4 2 9 8 8 2) logb A B logb A logb B . se desprende que: 1 1 .x>0x1 3) B Ejemplos: Ejemplos: log 2 7 log 7 7 5 log 3 7 . lne = 1 . n Z+ 1) Logb 1 0 Logbb 1 COROLARIO: n Ejemplos: log m A n log b A . log 2 3 log 7 3 3 . log 7 2 3 log 7 Z PROPIEDADES GENERALES DE LOS LOGARITMOS logb A logbn A n logn b n A 6) .P. log335 = log35 + log37 7) Propiedad del Cambio de Base .n1 Por lo tanto.E. log 32 7 (log 2 7) 3 (log 2 7)(log 2 7)(log 2 7) Efectuar: 4log25 + 27log34 Solución: . n Z+ . log24 = log23 + log22 = log224 logx A A logb A logb logb A logb B log x b . deducimos 7 log 5 7 =5 que: logbAn lognb A e ln4 =4 Ejemplos: Ejercicio: . log2 = log25 – log23 . (log2 5 4 4 log2 5 (22)log25 + (33)log34 = (2log25)2 + (3log34)3 log b n A 1 log b A 5) n n 2 . log5 3 5 = log551/3 = log55 = b logb N N N>0. m. log381 = log334 = 4log33 = 4 LOGARITMOS . log25 = log210 – log22 4 3 = 81 Log3 81 = 4 3 = 243 Log3 243 = 5 5 logb A n n logb A 4) Ejemplos: IDENTIDAD FUNDAMENTAL DE LOS . Log44 = 1 . “HERMANOS BLANCO” MATEMATICA TRA BAJO Y CARIDAD A-B-C-D 5TO. Ln1 = 0 b m Ejemplos: . 3 1 . Log51 = 0 . log81 = 0 . Ln(e + 3)(e + log3 3 9 log 3 (9)3 log3 36 6 3) = 1 .b>0b1 3 3 Ejemplos: NOTA: 6log63 = 3 logn n b A (logb A ) . n Z+ 2 3 = (5) + (4) = 84 Ejemplos: A continuación veremos las propiedades de los logaritmos que 5 1 1 cumplen para cualquier sistema de . log29 2 9 log2 2 9 Ejemplos: . I. P. c 0c 1 Ejemplos: Si log(4p) = klog(p). 6log45 = 5log45 valor de k es igual a: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 COLOGARITMO. log52 . Sabiendo que Se define el cologaritmo de un número 2401 �343 � N positivo en una base dada “b” log5 a � log b . log3(antilog3400) = 400 .10 2 Propiedades III) Si 2log4x = p entonces p x . 4 4 1 3b 11a Co logb N logb logb N N 4 Ejemplos: 2b a 6b 11a D) E) 1 4 4 . log59 = log39 = Z 1 EJERCICIOS . Determine cuales de los anti logb X b x enunciados son verdaderos: Ejemplos: I) log2a2 = 2loga. 3log25 = 5log23 . como el logaritmo de la inversa de dicho 3b a ba A) B) C) número en esa misma base. entonces el . x R 1 logB A log A B A>0A1 b>0b1 B>0B1 Ejemplos: Ejemplos: . log38 . “HERMANOS BLANCO” MATEMATICA TRA BAJO Y CARIDAD A-B-C-D 5TO. 125 �3125 � positiva y diferente de la unidad. 4. log85 . I. 2. Co log3 81 log3 81 4 expresión: � �� �1 � � 1�� �1 � ANTILOGARITMOS A� exp27 � ���exp3 � ��log 1 � � � �6 � �� � 2 � � 2 4� � El antilogaritmo de un número real en A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 8 una base dada es igual al número que resulta de elevar la base al número. Calcule el valor de la . N > 0 8) logB A logD B logE D logE A b>0 b1 COROLARIO: 2) logb(antilogbx) = x . log27 = log7 2 neperiano y el resultado es igual al a 0a 1 triple del logaritmo neperiano del 9) alogb c c logb a número p. A un cierto número “p” se le 1 duplicó y se le toma su logaritmo . log53 = log3 5 1.E. log27 . Co log2 16 log2 16 4 1 3. antilog5(log5log216) = log216 = 4 . "a �0 . log73 = log77 =1 . log35 . antilog23 = 23 = 8 II) Si xlogx=104 entonces . calcule log � �. antilog25 = 25 = 32 { } x � 10 2 . AÑO 1) antilogb (logbN) = N . b6 = 230. Sean b1=2. �1 � A) � � B) { 3} �2 C) { 2} D) { 3 4} E) 3 a �� { 1} III) Si 1 entonces { 6 3} antiloga [ cologa N] N 12. Si x 2log3 a . con a2 D) E) > b. 13 21 101 � log x logb x logb x logb Si � A) 2 B) C) 8 D) E) � b1 2 3 4 2 2 4 55 logb x log b x � 5 � 6 � 6 9. Determine el valor de III �3 a� D) solo I y III E) I. Simplificar A) –25 B) – 5 C) 1 D) 5 E) 25 E log 5 5 log5 5 5 log 2 3 1 4 2 3 5 5 5 1 1 3 A) 0 B) C) D) E) 1 7. Si log1218 a y log24 54 b.2006 términos E ln2 14. 2000 .. b5 = 220. I.E. Si a + b > 0..P.6989.. “HERMANOS BLANCO” MATEMATICA TRA BAJO Y CARIDAD A-B-C-D 5TO. determine 1 el logaritmo decimal de .. determine Son verdaderas A) solo I B) solo II C) solo III log2472 en función de “a” D) I y II E) I y III a2 a 1 a2 A) B) C) a2 a 1 a 1 Si log a2 b 2 a b 4 2 a 1 a2 4 2 2 6. Si log5 = 0. E ab 5(a B) 1: A) 16 B) 32 C)54 D) 128 E) A) – 4 B) –3 C) –2 D) –1 E) 0 512 16. De las siguientes 16 16 4 17 afirmaciones: A) B) 1 C) D) E) I) No existe el logaritmo de un 17 15 3 6 número negativo. Resolver: log27 21 II) El logaritmo de un �log 3 � 9 número positivo no puede dar 4 8 � � 27 x como resultado un número negativo. III E logab � � si se cumple que �b� logaba 4 5. Simplificar 4 2 4 2ln3 3ln4 4ln5 . 8... b3 = 64. Si log6 2 a. halle el valor de 3 4ln3 5ln4 . b4 1 log9log3 (a b) = 4096. calcule el valor de: a 2a 1 Log 25 T 3 a2 b 2 13. entonces A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 simplifique la fracción: 18 log3log9 (a b) 15. b2 = 4. AÑO A) solo I B) solo I y IIC) solo II y 10.2006 términos A) 0 B) 1 C) e D) e2 E) e3 Q 3loga x 7xloga 3 . II. 11. entonces halle el valor de Calcule el valor de x. 003)90. D) – log32 E) – log336 A) 226 B) 227 C) 228 D) 229 E) 230 25. AÑO A) – 4. Resolver: A) B) C) D) E) x 2 x2 4 7 7 5 5 4 2 x x2 4 5 2 6. Determine w 6log9 12. log3 E) log53 II. 20. x 2 1 2 ln(ex) ln(x e) A) VFF B) FVV C) FVF D) FFF E) VVF �e � �e � A) � � B) � �C) {e} D) {e2} �3 �2 22. 21. Al resolver: x x2 5x 6 1 . siguientes: A) los5 B) log25 C) log35 D) I.3011 A) 20 B) 30 C) 42 D) 56 E) 72 D) 4. Calcule el valor de: 23. halle x2 + x. Determine el de resolver: número de ceros entre el punto x decimal y la primera cifra x 3 .E. Si log3 = 0. Los números: log2. luego 18. valor de la expresión: A) VVV B) VVF C) FVV D) VFF E) FFF E loga C1 loga C2 loga C3 . xS/x . Indique la solución negativa. calcule el (F) de cada una de las afirmaciones valor de x. Resuelva la ecuación.3011 C) 4 x /12.8 2 x 6 significativa que tiene el número N A) – 1 B) – 3 C) – log36 = (0. x x 1 x . Resolver la ecuación logarítmica determine el valor de verdad de las proposiciones: logx 8 logx logx 3 2 3 I.x 9 x /12 . 3. I. 9(4 ) 4(6 ) 20(9 ) log(3x + 3) forman en ese orden una indique la veracidad (V) o falsedad progresión aritmética. “HERMANOS BLANCO” MATEMATICA TRA BAJO Y CARIDAD A-B-C-D 5TO.. calcule el III. Si 7 y Ck 1 1 . " x S. 42x 4 8 24x 1 8 27. Halle el conjunto solución de: 1 ln(ex) ln(x e) . A) – 6 B) – 5 C) 2 D) 3 E) 6 A) 1 B) 2 C) 3 D) 6 E) 12 24. Si S es el conjunto solución de la 5 7 9 A) B) C) D) 5 E) 6 1 1 4x 2 2 2 2 ecuación: . log(3x – 1). loga C999 5 12 7 8 13 26.P. Su única raíz es impar. Resolver la ecuación exponencial E) {e } 3 . La suma de sus raíces es a 4 10 k – 8/3.6989 E) 5.log24 18 2log9 12 log24 18 el producto de sus soluciones... Presenta una raíz irracional. x �.6989 17.1 2 III. n(S) = 2 3 3 A) 2 B) 4 C) 2 D) 4 E) 8 1 3 II.6989 B) – 3. 4 4 28. x � e 19.47712. 1 x 2 2x 3 III. 5 D) 0. log3 x E) F – 10. 33.04)5x x 8 < 625 . Resolver: (0. Al resolver la ecuación logarítmica la siguiente ecuación: �log 9 3 � � log2 (2x 1) � � 2 2 � log2 (2x 1) 3 log2 x logx � x �log x � � 1 el conjunto � 3 � 1 7 1 1 solución es {a. Sea { A x �� log1/ 3 11 x �2 . b}. II y III 40. Resolver log2x �1� log 2 log8x (2) 0 { F a eax < eax / 2 y x 0 se afirma: } � � 4 � � �x� � � �8� A) F = 1 1 3 4 B) F = � A) B) C) D) E) 5 C) F – . } calcule el card(A). Resolver: logx � 1 0 � 2 log3 log x � � 37. Al resolver la inecuación x x 3 8 3 8 �34 . es a. AÑO 29. 10 = – 10. b] como conjunto A �x �� � � x 1 �tiene dos � �5 � � solución. 2 1 5 x 1 �3 5 x 1 es [–3. Halle el conjunto solución de la A) 14 B) 16 C) 18 D) 20 E) 22 ecuación 41. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?: 38. E) 2. El conjunto solución de x < 1. Del conjunto 31. El conjunto x 1 � � �1 � � � obtiene [a. 10 � � � log3 2 � 32. halle a+ x2 b. � A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 elementos. A) 1 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8 A) solo II B) solo I y IIC) solo II y III D) solo I y III E) I.E. 3 C) 4.P.b 3 A) – 1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 16 36. El conjunto solución de 39. II. Determine E = a +b. Determine la suma de las raíces de 35. � 2 � A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 16 A) 0 . Determine E = A) – B) – C) D) E) 2 16 16 2 a. 34.b. “HERMANOS BLANCO” MATEMATICA TRA BAJO Y CARIDAD A-B-C-D 5TO. 10 512 10 28 3 D) F – 1. –1]. se I. 1 B) 2. El conjunto solución de: log1/ 2 x log2 (x 1) es 0. I. Al resolver la inecuación logarítmica . � 1 � � 1 � � � � � A) e2e B) ee C) e1/eD) e2/e E) D) � 2 1 � E) � 2 1 � e3/e � �2 � � �2 � 30. Resuelva la ecuación: 2 �log x 2 2 x 1� � � � � x2 e 2 2 x eln x 0 e indique su raíz de � 2� � � � 2 1 � � 2 1 � e 2e A) � � 2 B) �2 � C) �2 � � � � � menor valor. C) –2 . 3 �3 � 3 A) 0. b entonces T = a. c . B) . 3 6 3 conjunto solución � log b. donde A = a. E) 1. � E) � . Si A es el conjunto solución de: (3 – lnx) (x – 5) > 0. 6 A) 1 B) 2 C) 3 D) 6 E) 10 42. B) � . 3 C) – . I. 2E) 0. 3B) 2. a + b + c. 1 C) 2 1 . AÑO log2 (3 x 1) < 1 si obtiene como 7 13 7 A) 2. B) 0. 2 2 2 46.b es: A) 1 B) 5 C) 2e2 D) e3 E) 5e 3 45.E.2 2 �2 � 2 3 �3 D) .P. 1 44. entonces determine el conjunto solución de la inecuación: log 3 (x 1)2 < log 2 [(x 1) 3 3 x � a a � A) 1. halle � a 13 D) 2.1 2 1 1 1 D) . � 2 �2 43. Si 0 < a9 < a6. Determine el conjunto solución de la inecuación: loga x 2x 3 �0 donde a satisface la condición: 2a + 4a – 2 3 < 3. Resolver: �7 3x � log 2� � log1/ x 2 log1/ 2 4 �x 2 � 2 . 2� C) . “HERMANOS BLANCO” MATEMATICA TRA BAJO Y CARIDAD A-B-C-D 5TO. Resolver: log2(4x – 2x) < 1 1 A) 0. E) 0. 3D) – .