Livro_Matemática_-_teoria_-_Parte_I

2Matemática © 3ª Edição - 2002 R&A Editora Autor: Professor Joselias Santos da Silva Revisão: Silvio Luis Motta Editoração Eletrônica: Valquíria Farias dos Santos Capa: Studio Color Company - ( 3326.8366 Projeto Gráfico: R&A Editora R&A Editora Cursos e Materiais Didáticos Ltda Rua Sete de Abril, 230 - 11º andar - Bloco B - São Paulo - Cep.: 01044-000 Fone: (011) 3258.8153 - 3259.7703 - Fax: (011) 3214.0182 TODOS OS DIREITOS RESERVADOS. Proibida a reprodução total ou parcial, por qualquer meio ou processo, especialmente por sistemas gráficos, microfilmicos, fotográficos, repográficos, fonográficos, videográficos. Vedada a memorização e/ou a recuperação total ou parcial, bem como a inclusão de qualquer parte desta obra em qualquer sistema de processamento de dados. Essas proibições aplicam-se também às características gráficas da obra e à sua editoração. A violação dos direitos autorais é punível como crime (art. 184 e §§ do C.P.), com pena de prisão e multa, busca e apreensão e indenizações diversas (arts. 101 à 110 da Lei 9.610 de 19/02/1998, Lei dos Direitos Autorais). Impresso no Brasil Printed in Brazil R&A Editora Cursos e Materiais Didáticos Ltda.(setor gráfico) 3 Matemática Concursos Públicos MATEMÁTICA São Paulo TEORIA Com mais de 500 questões resolvidas e comentadas Joselias Santos da Silva 4 Matemática Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Silva, Joselias Santos da, 1957- Concursos Públicos: matemática : teoria, com mais de 500 questões resolvidas e comentadas / Joselias Santos da Silva. -- São Paulo : R&A Editora Cursos e Materiais Didáticos, 1999. Bibliografia. 1. Matemática - Concursos públicos I. Título 99-2008 CDD-510.76 Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Concursos públicos 510.76 5 Matemática Índice 1. As quatro operações com números inteiros, fracionários e decimais; Números Pares, Ímpares, Primos e Compostos; ........................................... 7 • Operações e propriedades com números inteiros ........................................... 8 • Números Pares ............................................................................................. 11 • Números Ímpares.......................................................................................... 11 • Divisibilidade ................................................................................................. 11 • Múltiplos e Divisores...................................................................................... 14 • Números Primos ........................................................................................... 14 • Números Compostos: .................................................................................... 15 • Máximo Divisor Comum (MDC) ..................................................................... 15 • Mínimo Múltiplo Comum (MMC) .................................................................... 15 • Números Fracionários e Decimais ................................................................ 18 • Operações nas Formas Fracionárias e Decimais.......................................... 20 2. Sistema Métrico Decimal (medidas de comprimento, área, volume, capacidade, massa e tempo) ......................................................................... 32 • Sistema Métrico Decimal ............................................................................... 32 • Medidas de Superfície (área) ........................................................................ 36 • Medida de Volume......................................................................................... 37 • Medidas de Capacidade ................................................................................ 38 • Medidas de Massa ........................................................................................ 39 • Medidas não decimais ................................................................................... 39 3. Juros e Porcentagem..................................................................................... 51 • Conceitos de Matemática Financeira ............................................................ 51 • Regime de Capitalização............................................................................... 53 • Capitalização Simples ................................................................................... 55 • Porcentagem................................................................................................. 63 4. Razão e Proporção; Regra de Três Simples e Composta; Divisões Proporcionais.................................................................................. 71 • Razões e Proporções .................................................................................... 71 • Série de Razões iguais ou porporções em série ........................................... 74 • Razões .......................................................................................................... 76 • Divisões Proporcionais .................................................................................. 76 6 Matemática • Regra de Sociedade ...................................................................................... 80 • Regra de Três Simples .................................................................................. 90 • Regra de Três Composta .............................................................................. 92 5. Sistema do 1º grau ......................................................................................... 98 6. Potenciação e Radiciação............................................................................ 104 • Potenciação................................................................................................. 104 • Radiciação .................................................................................................. 105 • Produtos Notáveis ....................................................................................... 105 7. Equação do 2º grau ...................................................................................... 107 • Trinômio do 2º grau ..................................................................................... 107 • Inequação do 2º grau .................................................................................. 110 8. Questões Resolvidas e Comentadas .......................................................... 117 9. Bibliografia.................................................................................................... 285 7 Matemática As quatro operações com Números Inteiros, Fracionários e Decimais; Números Pares, Ímpares, Primos e Compostos; MMC e MDC; Divisibilidade. A matemática desenvolvida nesta apostila não terá o compromisso de ensinar os verdadeiros princípios de numeração que motivaram a criação dos números. Lembramos ao leitor que este material está voltado aos candidatos aos concursos públicos que exigem o segundo grau completo, portanto partimos da premissa que o aluno já possui a iniciação matemática necessária ao entendimento dos assuntos abordados, não sendo precisos detalhes triviais do 1° grau. Representaremos inicialmente os números naturais: 0, 1, 2, 3, 4,... A coleção de todos os números naturais representaremos pela letra N e chamaremos de conjunto dos números naturais, então : N = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ... }. Assim, o leitor já observou que os números naturais servem para contar, e este foi o grande salto da humanidade no sentido matemático, quando as primeiras civiliza- ções começaram a contar seus rebanhos. A seguir, traremos a idéia de números inteiros; suponha que na reta marquemos os pontos como na figura: ... –3 –2 –1 0 1 2 3 4 ... Os pontos marcados representam os números inteiros e observe que teremos inteiros positivos, negativos, não positivos e não negativos. Então, Z é o conjunto dos números inteiros. Daí: Z = { ... –4 , –3 , –2 , –1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... } Representaremos por Z – o conjunto dos números não positivos. Daí : Z – = { ... –4 , –3 , –2 , –1 , 0 } Se no conjunto dos inteiros considerarmos apenas os números não negativos, teremos a notação Z + . Logo : Z + = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ... } Obs.: Você viu que o conjunto dos inteiros não negativos é o conjunto dos naturais? 8 Matemática Vamos introduzir a notação com (*), para dizer que o conjunto não possui zero, isto é, Z* = Z – { 0 } = {... –3 , –2 , –1 , 1 , 2 , 3... } Então, representaremos por conjunto dos números inteiros negativos a : Z* – = { ... , –3, –2, –1 } Analogamente representaremos por conjunto dos inteiros positivos a : Z* + = {1 , 2 , 3 , 4 , ... } OPERAÇÕES E PROPRIEDADES COM NÚMEROS INTEIROS A. ADIÇÃO Chamaremos de adição à operação de reunir em um só número as quantidades representadas por dois ou mais números. Representaremos a operação de adição pelo símbolo “+”. Ao resultado da adição chamaremos de soma. Exemplo : Seja uma caixa A com 10 canetas Seja uma caixa B com 20 canetas Então, o total de canetas será a adição das quantidades das caixas A e B representaremos por 10 + 20 = 30. Ao resultado da adição chamaremos de soma, isto é, 30 canetas é o resultado da adição de 10 canetas com 20 canetas. PROPRIEDADES Sejam os números inteiros: Então: I. a + 0 = a ( Existência do neutro). O número não se altera quando adicionamos o 0 (zero). II. a + b = b + a A adição é comutativa. III. a + b + c = a + ( b + c ) = ( a + b ) + c A adição é associativa. Exemplo: Uma pessoa tinha x livros. Comprou mais 5 livros, com quantos livros ficou ? Resposta : ( x + 5 ) livros. Exemplo: Uma microempresa possui 3 funcionários ( A, B e C ). Se A ganha R$ 300,00, B ganha R$ 400,00 e C ganha R$ 500,00, qual o valor da folha de pagamento da microempresa? 9 Matemática SOLUÇÃO A adição entre 300, 400 e 500 é 300 + 400 + 500 = R$ 1.200,00 B. SUBTRAÇÃO Chamaremos subtração à operação de achar a quantidade que um número excede o outro e esta operação representaremos pelo símbolo “ – “. Ao resultado da subtração chamaremos de diferença. Exemplo: Suponhamos que uma pessoa tinha 40 canetas e perdeu algumas ficando com 30 canetas ao final. Quantas canetas ela perdeu ? SOLUÇÃO A subtração entre 40 e 30 é 40 – 30 = 10 canetas perdidas. Exemplo: Suponha que um vendedor ambulante tinha 50 canetas para vender. Se durante a manhã ele vendeu 15 canetas e à tarde vendeu 18 canetas, com quantas canetas acabou o dia ? SOLUÇÃO 50 – 15 – 18 = 35 – 18 = 17 Canetas C. MULTIPLICAÇÃO Chamamos de multiplicação à operação de realizar a adição de um número quantas vezes for o outro. A operação de multiplicação representaremos pelo símbolo “×”. Ao resultado da multiplicação chamaremos de produto. Aos números envolvidos na opera- ção chamamos de fatores. Exemplo: a. 3 × 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 b. 7 × 4 = 7 + 7 + 7 + 7 = 28 c. 10 × 6 = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 60 PROPRIEDADES 1. A ordem dos fatores não altera o produto (Comutativa). Exemplo: a. 2 × 3 = 3 × 2 = 6 b. 5 × 4 × 3 = 4 × 3 × 5 = 3 × 4 × 5 = 60 2. Associativa 5 × 3 × 4 × 2 = 5 × 12 × 2 = 120 10 Matemática 3. Qualquer número multiplicado por “0” tem como resultado zero. 2 × 0 = 0 3 × 4 × 0 = 0 4. O produto de qualquer número por 1 é igual ao próprio número. a × 1 = a 120 × 1 = 120 D. DIVISÃO Chamamos de divisão de um número (dividendo) por outro número (divisor) à operação de achar um terceiro número (quociente) tal que multiplicado pelo divisor produza o dividendo. A operação de divisão será representada pelo símbolo “ : ” Exemplo Dividir 650 por 13 é encontrar um número (50) tal que 50 multiplicado por 13 produza 650. 650 50 13 dividendo quociente divisor x 1 2 4 3 4 12 4 3 4 12 4 3 4 · PROPRIEDADES 1. O quociente da divisão de um número por 1 é o próprio número: 30 ÷ 1 = 30 27 ÷ 1 = 27 2. Um número, diferente de zero, dividido por ele mesmo é sempre igual a 1. 20 ÷ 20 = 1 47 ÷ 47 = 1 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. Efetue os produtos : a. 9 × 9 = b. 9 × 98 = c. 9 × 987 = d. 9 × 9876 = e. 9 × 987.654.321 = RESPOSTA a. 81 b. 882 c. 8883 d. 88.884 e. 8.888.888.889. 11 Matemática 02. Efetue os produtos : a. 12.345.679 × 9 = b. 12.345.679 × 18 = c. 12.345.679 × 27 = d. 12.345.679 × 45 = RESPOSTA a. 111.111.111 b. 222.222.222 c. 333.333.333 d. 555.555.555 03. Efetue a divisão. 888.888.888 ÷ 98.765.432 RESPOSTA 9 (veja exercício 01) NÚMEROS PARES Chamamos de números pares aos números que terminam com 0, 2, 4, 6 ou 8. NÚMEROS ÍMPARES Chamamos de números ímpares aos números que terminam com 1, 3, 5, 7 ou 9. DIVISIBILIDADE Esta parte do material irá tratar das regras que permitem dizer se um número é divisível por outro sem precisar efetuar os cálculos. DIVISIBILIDADE POR 2 Um número é divisível por 2 quando é par ( termina em 0 , 2 , 4 , 6 , 8 ). Exemplos: 10 , 24 , 1.208 DIVISIBILIDADE POR 3 Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos produz como resultado um número múltiplo de 3. Exemplo: a. 36 (3 + 6 = 9) b. 147 (1 + 4 + 7 = 12) DIVISIBILIDADE POR 4 Um número é divisível por 4 quando os 2 últimos algarismos formam um número divisível por 4. Exemplo: a. 840 (40 é divisível por 4) b. 1.232 (32 é divisível por 4) c. 987.624 (24 é divisível por 4) 12 Matemática DIVISIBILIDADE POR 5 Um número é divisível por 5 quando termina em zero ou cinco. Exemplo: a. 1.230 b. 1.345 DIVISIBILIDADE POR 6 Um número é divisível por 6, quando é divisível por 2 e 3, simultaneamente. Portanto, tem que ser par e divisível por 3. Exemplo: a. 324 b. 126 DIVISIBILIDADE POR 7 Não há regra, porém vou apresentar um algoritmo que certa vez um professor me apresentou. Exemplo: 315 é divisível por 7. Veja como verificar: 1º Sempre separe a casa das unidades. n n 31 n 5 n n 2º Multiplique o algarismo à direita da separação por 2, e subtraia do algarismo à esquerda. Logo: 31 – 2 X 5 = 31 – 10 = 21 3º Se o resultado for divisível por 7, então o número original é divisível por 7. Exemplo: 8.638 é divisível por 7. n n 863 n 8 n n 863 – 8 X 2 = 863 – 16 = 847. 13 Matemática n n 84 n 7 n n 84 – 7 X 2 = 70 é divisível por 7. Logo 8.638 é divisível por 7. DIVISIBILIDADE POR 8 Um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismos formam um número divisível por 8. Exemplo: a. 12.160 é divisível por 8, pois 160 é divisível por 8. b. 23.800 é divisível por 8, pois 800 é divisível por 8. DIVISIBILIDADE POR 9 Um número é divisível por 9, quando a soma dos seus algarismos formam um número divisível por 9. Exemplo: a. 297 é divisível por 9, pois 2 + 9 + 7 = 18 é divisível por 9. b. 1.107 é divisível por 9, pois 1 + 1 + 0 + 7 = 9 é divisível por 9. c. 8.883 é divisível por 9, pois 8 + 8 + 8 + 3 = 27 é divisível por 9. DIVISIBILIDADE POR 10 Um número é divisível por 10 quando termina em 0 (zero). Exemplo: a. 12.340 é divisível por 10. b. 987.650 é divisível por 10. DIVISIBILIDADE POR 11 Um número é divisível por 11, quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem par e a soma dos algarismos de ordem ímpar é divisível por 11. Exemplo: a. 14.927 é divisível por 11 pois, • soma dos algarismos de ordem par: 4 + 2 = 6 • soma dos algarismos de ordem ímpar: 1 + 9 + 7 = 17 Diferença: 17 – 6 = 11 é divisível por 11. 14 Matemática Exemplo: a. 909.293 é divisível por 11. • soma dos algarismos de ordem par: 0 + 2 + 3 = 5 • soma dos algarismos de ordem ímpar: 9 + 9 + 9 = 27 Diferença: 27 – 5 = 22 é divisível por 11. MÚLTIPLOS E DIVISORES Sendo x e y números inteiros; x é múltiplo de y, se x é produto de y por um outro número inteiro z. Exemplo: a. 21 é múltiplo de 7, pois 21 = 7 . 3 b. 21 é múltiplo de 3, pois 21 = 3 . 7 c. –9 é múltiplo de 3, pois –9 = 3 . (–3) d. 0 é múltiplo de 10 pois 0 = 10 . 0 Observamos que zero é múltiplo de qualquer número inteiro, pois 0 = x . 0, para qualquer número x ∈Z. Se x , y são números inteiros, definimos que x é múltiplo de y ou z , tal que x = y . z, nestas condições y e z são divisores de x. Exemplo: a. 3 é divisor de 21, pois 21 = 3 . 7 b. 7 é divisor de 21, pois 21 = 7 . 3 c. 3 é divisor de –9, pois 9 = 3 . (-3) d. 10 é divisor de 0, pois 0 = 10 . 0 Observação: Indicaremos por D(x) o conjunto dos divisores de x. Indicaremos por M (x) o conjunto dos múltiplos de x. D (x) = { d∈ Z | d divide x } M (x) = { m∈ Z | m é múltiplo de x } Exemplo: a. D(6) = { –6 , –3 , –2 , –1 , 1 , 2 , 3 , 6 } b. D(3) = { –3 , –1 , 1 , 3 } c. M(5) = { ... –15 , –10 , –5 , 0 , 5 , 10 , 15,...} d. M(–2) = { ... –4 , –2 , 0 , 2 , 4 , 6 ,.... } NÚMEROS PRIMOS Um número inteiro x , x ≠ t1 é primo, se e somente se, seus únicos divisores são – 1, 1, –x, x. 15 Matemática Observação: Por esta definição observe que 0 , –1 , 1, não são primos. NÚMEROS COMPOSTOS: Chamamos de números pares aos números que possuem mais de dois divisores positivos. MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) Dados dois inteiros x e y, não nulos, seu máximo divisor comum, que se indica por MDC(x , y), é o maior elemento do conjunto ( ) ( ) D x D y I . Exemplo: Sejam os inteiros 15 e 24 Então, temos: D (15) = { –15 , –5 , –3 , –1 , 1 , 3 , 5 , 15 } D (24) = { –24 , –12 , –8 , –6 , –4 , –3 , –2 , –1 , 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24} O máximo divisor comum de 15 e 24 será o maior elemento de D (15) I D (24) = { –3 , –1 , –1 , 3 }, logo: MDC (15 , 24) = 3. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI Dizemos que dois inteiros são primos entre si, quando o MDC entre eles é um. Exemplo: 5 e 9 são primos entre si, pois o MDC (5 , 9) = 1 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) Dados dois inteiros x e y, não nulos, o mínimo múltiplo comum entre x e y, é o menor elemento positivo do conjunto M (x) I M (y) Exemplo: Considere os inteiros 6, 8. M (6) = { ... –36 , –30 , –24 , –18 , –12 , –6 , 0 , 6 , 12 , 18 , 24 , 30 , 36 , .... } M (8) = { .... –40 , –32 , –24 , –16 , –8 , 0 , 8 , 16 , 24 , 32 , 40 , 48 , .... } M (6) I M(8) = { .... –24 , 0 , 24 , 48 .... } O MMC (6, 8) é o menor inteiro positivo do conjunto M (6) I M (8), logo o MMC (6 , 8) = 24. 16 Matemática Nota importante: Para se calcular o MDC ou MMC, consideramos a decomposição nos fatores primos. Sendo assim teremos: a. O MDC será o produto dos fatores primos comuns tomados com os menores expoentes b. O MMC será o produto de todos os fatores primos tomados com os maiores expoentes. Exemplo: Considere os inteiros 40 e 72. 40 2 72 2 20 2 36 2 10 2 18 2 5 5 9 3 1 3 3 1 40 = 2³ x 5 1 72 = 2³ x 3² Logo: MDC (40, 72) = 2³ = 8 MMC (40, 72) = 2³ x 3² x 5 1 = 8 x 9 x 5 = 360 Exemplo: Calcule: MDC (72, 120) e MMC (72, 120) 72 2 120 2 36 2 60 2 18 2 30 2 9 3 15 3 3 3 5 5 1 1 72 = 2³ x 3² 120 = 2³ x 3 1 x 5 1 MDC (72, 120) = 2 3 x 3 1 = 8 x 3 = 24 MMC (72, 120) = 2 3 x 3 2 x 5 1 = 8 x 9 x 5 = 360 Exemplo: Três satélites artificiais giram em torno da Terra, em órbita constante. O tempo de rotação do primeiro é de 42 minutos, o do segundo 72 minutos e o do terceiro 126 minutos. Em dado momento eles se alinham no mesmo meridiano, embora em latitudes diferentes. Eles voltarão a passar, em seguida, simultaneamente, pelo meridiano depois de : 17 Matemática a. 16h e 24 min b. 7h e 48 min c. 140 min d. 126 min e. 8h e 24 min SOLUÇÃO O tempo de rotação do satélite A = 42 min. O tempo de rotação do satélite B = 72 min. O tempo de rotação do satélite C = 126 min. Houve uma coincidência, a próxima coincidência ocorrerá daqui a: MMC (42, 72, 126) = 2 3 x 3 2 x 7 1 = 8 x 9 x 7 = 504 min. 42 2 72 2 126 2 21 3 36 2 63 3 7 7 18 2 21 3 1 9 3 7 7 3 3 1 1 42 = 2 1 X 3 1 X 7 1 72 = 2 3 X 3 2 126 = 2 1 X 3 2 X 7 1 Logo, decorrerão 504 minutos para que os satélites passem simultaneamente pelo mesmo meridiano. Dai, 504 min 60 24 min 8h Resposta: 8h e 24 min. “E” Exemplo: Dois ciclistas saem juntos, no mesmo instante e no mesmo sentido, do mesmo ponto de partida de uma pista circular. O primeiro dá uma volta em 132 segundos e o outro em 120 segundos. Calcule os minutos que levarão para se encontrar novamente. a. 1.320 b. 132 c. 120 d. 60 e. 22 18 Matemática SOLUÇÃO O primeiro dá uma volta em 132 seg. O segundo dá uma volta em 120 seg. Houve uma coincidência, a próxima coincidência ocorrerá em : MMC (132, 120) = 2 3 x 3 1 x 5 1 x 11 1 = 1.320 seg. 132 2 120 2 66 2 60 2 33 3 30 2 11 11 15 3 1 5 5 1 132 = 2 2 x 3 1 x 11 1 120 = 2 3 x 3 1 x 5 1 MMC (132, 120) = 1.320 seg. 1.320 seg 60 120 seg 22 min 0 Resposta: 22 min. “E” NÚMEROS FRACIONÁRIOS E DECIMAIS Suponha que temos uma pizza e a dividimos em 8 pedaços iguais. Cada pedaço representa 1 8 (um oitavo) da pizza. ( 19 Matemática Logo, os três pedaços apresentados na figura acima representam 3 oitavos da pizza ( 3 8 da pizza). Então o leitor tem que começar a entender que uma fração representa uma parcela (ou várias parcelas) de um todo. Seja então a fração a b . Chamamos de a o numerador da fração e de b o denominador da fração. Quando o denominador da fração for igual a 10 ou múltiplo de 10 a fração será chamada de fração decimal, caso contrário de fração ordinária. Exemplo: a. 1 8 fração ordinária. b. 4 5 fração ordinária. c. 3 10 fração decimal. d. 7 100 fração decimal. Quando o numerador for menor que o denominador, a fração será chamada de fração própria, caso contrário será chamada de fração imprópria (ou mista). Exemplo: 3 4 (própria) 4 5 (própria) 9 5 (imprópria) 10 3 (imprópria) obs: As frações impróprias são também chamadas de mistas e escritas da forma q r b . 20 Matemática Exemplo: a. 10 3 3 1 3 · 10 3 1 3 b. 7 4 1 3 4 · 7 4 3 1 c. 19 5 3 4 5 · 19 5 4 3 Onde: 3 1 3 lê-se 3 inteiros e 1 terço. 1 3 4 lê-se 1 inteiro e três quartos. 3 4 5 lê-se 3 inteiros e quatro quintos. OPERAÇÕES NAS FORMAS FRACIONÁRIAS E DECIMAIS ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES Devemos primeiramente reduzir as frações a um denominador comum para depois realizar as operações necessárias. Exemplo: a. 2 3 4 6 3 5 + + • Vamos achar o denominador comum: 3 - 6 - 5 2 3 - 3 - 5 3 1 - 1 - 5 5 1 - 1 - 1 MMC (3, 6, 5) = 30 Logo: 2 3 4 6 3 5 2 x 10 + 4 x 5 + 6 x 3 30 20 + 20 +18 + + · · · 30 58 30 30:3 = 10 30:6 = 5 30:5 = 6 ( ( ( 21 Matemática Logo, o resultado é 58 30 , que pode ser simplificado por 2 (dividindo numerador e denominador por 2). 58 30 29 15 1 14 15 15 29 · · Exemplo: 4 5 3 7 2 21 3 15 + + − Vamos calcular o denominador comum: 5 - 7 - 21 - 15 3 5 - 7 - 7 - 5 5 1 - 7 - 7 - 1 7 1 - 1 - 1 - 1 105 MMC ( 5, 7, 21, 15 ) = 105 Logo: 105 : 5 = 21 105 : 7 = 15 105 :21 = 5 105 :15 = 7 Logo, a resposta será a fração: 118 105 1 13 105 · MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES Basta lembrar o esquema : a b c d a c b d ⋅ · ⋅ ⋅ Exemplo: 4 7 5 8 4 5 7 8 20 56 x x x · · que pode ser simplificada: basta dividir o numerador e o denominador por 4. 20 56 5 14 · ⇒ + + − · + + − · · + + − · 4 3 2 3 4 21 3 15 2 5 3 7 105 84 45 10 21 105 118 105 5 21 7 15 21 5 15 7 x x x x 22 Matemática DIVISÃO DE FRAÇÕES Basta lembrar o esquema: a b c d a b x d c : · Exemplo: 2 5 3 7 2 5 7 3 14 15 : · · x EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 04. Calcule 3 4 de 160. Resposta : 3 4 x 160 = 3 x 40 = 120 05. Calcule 3 5 de 200. Resposta : 3 5 x 200 = 3 x 40 = 120 06. Qual o valor de X para que 3 5 seja 60. Resposta : 3 5 X = 60 ∴ X x X x X · ∴ · ∴ · 60 5 3 20 5 100 07. Qual o valor do produto : 1 1 3 1 1 4 1 1 5 1 1 n − | . ` , − | . ` , − | . ` , − | . ` , L a. 1 n b. 2 n c. 2 1 ( ) n n − d. ( ) 2 1 n n + e. ( ) 3 1 n n + 23 Matemática Solução: 1 1 3 1 1 4 1 1 5 1 1 2 3 3 4 4 5 1 2 − | . ` , − | . ` , − | . ` , − | . ` , · ⋅ ⋅ − · L L n n n n Resposta: “B” 08. Calcular 2 5 de 3 4 Resposta: = 2 5 3 4 6 20 ⋅ · simplificando por 2 temos : 6 20 3 10 · 09. Um comerciante vende uma mercadoria por R$ 1.200,00, ganhando nessa transação 1 5 do preço de custo; por quanto deveria vender a mercadoria para ganhar ½ do preço de custo? Solução Seja x o preço de custo. Logo, x x + 1 5 representa R$ 1.200,00 portanto, 6 5 x representa R$ 1.200,00 Isto é, 6 5 x = 1.200,00 ∴ · ⋅ x 1200 5 6 . x = 200 . 5 x = R$ 1.000,00 O preço de custo é R$ 1.000.00; como quero ganhar 1 2 do preço de custo 1 2 1000 de . | . ` , , temos que o preço de venda será: R$ 1.000,00 + R$ 500,00 = R$ 1.500,00. 10. (FUVEST) – Dividir um número por 0,0125 equivale a multiplicá-lo por : a. 1 125 b. 1 8 c. 8 d. 12,5 e. 80 24 Matemática Solução: Dividir um número por 0,0125 equivale a multiplicá-lo pelo inverso 1 0 0125 , , Logo 1 0 0125 , = 80. Resposta : “E” 11. O produto de dois números inteiros positivos, que não são primos entre si, é igual a 825. Então, o máximo divisor comum desses dois números é: a. 1 b. 3 c. 5 d. 11 e. 15 Solução: Sejam x e y os números inteiros positivos dados. Como x e y não são primos entre si, existe um fator primo comum na decomposição deles. Como x . y = 825 = 3 . 5 2 . 11, então, o fator primo comum só pode ser 5. Daí o MDC ( x , y ) = 5 Resposta: “C” 12. Numa corrida de automóveis, o primeiro corredor dá uma volta completa na pista em 10 segundos, o segundo, em 11 segundos e o terceiro em 12 segundos. Quantas voltas terá dado cada um, respectivamente, até o momento em que passarão juntos na linha de saída ? a. 66, 60, 55 b. 62, 58, 54 c. 60, 55, 50 d. 50, 45, 40 e. 40, 36 e 32 Solução: Corredor A - dá uma volta em 10 segundos. Corredor B - dá uma volta em 11 segundos. Corredor C - dá uma volta em 12 segundos. Dado que partiram juntos, passarão juntos em: 25 Matemática MMC ( 10, 11, 12 ) = 660 segundos 10 - 11 - 12 2 5 - 11 - 6 2 5 - 11 - 3 3 5 - 11 - 1 5 1 - 11 - 1 11 1 - 1 - 1 660 Logo, em 660 seg. A - dará 660 10 66 · voltas B - dará 660 11 60 · voltas C - dará 660 12 55 · voltas Resposta: “A” 13. Quantos divisores positivos possui o número 216? Solução: Vamos decompor o número 216 216 2 108 2 54 2 27 3 9 3 3 3 1 216 = 2 3 . 3 3 Para achar o número de divisores positivos, basta somar 1 a cada expoente e multiplicá-los (3 + 1) . (3 + 1) = 4 . 4 = 16 divisores positivos. 14. Temos 3 caixas com igual número de balas e mais uma com 10 balas apenas, tirando-se 6 balas de cada uma das caixas, ficamos com 61 balas. Quantas balas tinha cada uma das 3 primeiras ? a. 23 b. 25 c. 28 d. 31 e. 34 26 Matemática Solução: Seja x a quantidade de balas em cada caixa. Logo, temos ( 3x + 10 ) balas nas 4 caixas. Se tirarmos 6 de cada caixa, ficaremos com: 3x + 10 – 24 = 3x – 14 Logo, 3x – 14 é igual a 61. 3x – 14 = 61 3x = 61 + 14 ∴ 3x = 75 x = 75 3 ∴ x = 25 Resposta : ”B” 15. Dois concursos têm o mesmo número de candidatos. Os 3 4 dos candidatos do primeiro concurso excedem de 560 os 2 5 dos candidatos do segundo. O número de candidatos de cada concurso é: a. 2.000 b. 1.800 c. 1.600 d. 800 e. 400 Solução: Seja x o número de candidatos em cada concurso. Logo 3 4 5 2 5 4 560 560 20 7 15 8 20 560 80 20 7 20 560 x x x x x x x − · · ⋅ − · · ⋅ · · x 1.600 candidatos Resposta: “C” 16. O salário do Sr. Agenor é1 1 2 vezes o salário do Sr. Antenor. Então, o Sr. Antenor ganha que fração do salário do Sr. Agenor ? a. 1 2 b 1 3 c. 2 3 d. 5 6 27 Matemática Solução: Se o salário do Sr. Agenor é 1 1 2 vezes o salário do Sr. Antenor, então, o salário do Sr. Agenor é 3 2 do Sr. Antenor, isto é, o salário do Sr. Agenor = 3 2 salário do Sr. Antenor. Logo, o salário do Sr. Antenor = 2 3 salário do Sr. Agenor. Resposta : “C” 17. Resolva a expressão: ( –25.308 ) + ( –9.080 ) – ( +767 ) + ( +49 ) – ( –6 ) a. 35.210 b. 15.406 c. –16.952 d. –33.578 e. –35.100 Resposta : “E” 18. Efetuar os cálculos: ( + 57 ) . ( –722 ) : ( –19 ) a. 13.718 b. 2.166 c. 114 d. 35 e. –684 Resposta : “B” 19. O maior divisor e o menor múltiplo dos números 12, 18 e 30 são, respectivamente: a. 6 e 180 b. 1 e 30 c. 2 e 90 d. 60 e 60 e. 3 e 360 Resposta : “A” 20. Resolver a seguinte expressão : 2 3 1 6 1 2 : 3 4 1 2 1 2 − | . ` , + ] ] ] ] + − | . ` , a. 3 b. 4 c. 4 11 28 Matemática d. 5 3 e. 3 16 Resposta: “A” 21. A expressão 5 6 3a 10 2 15 + | . ` , é idêntica a : a. a 4 1 9 + b. 15 60 2 15 a + c. 3 10 10 90 a + d. a 2 1 3 + e. 13 36 Resposta: “A” 22. Efetuar as operações : 65,90 – ( 57,40 : 2 ) 1,4 + 7,88 a. 13,83 b. 33,60 c. 37,52 d. 39,44 e. 53,28 Resposta: “B” 23. Calcular : 0,0525 10 10 8 3 ⋅ a. 52,5 b. 5,25 c. 525 d. 5.250 e. 52.500 Resposta: “D” 29 Matemática 24. Sabendo-se que A = 2 x . 3 2 . 5 , B = 2 2x . 3 . 5 2 e que MMC ( A , B ) tem 45 divisores, o valor de x será: a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 Resposta : “B” 25. O terço e a metade de um número fazem juntos 860. Qual é esse número? a. 1.002 b. 1.022 c. 1.032 d. 1.042 e. 1.052 Resposta : “C” 26. Qual é o número cujo 1 25 aumentado de 600 dá 1.000 como soma ? a. 100 b. 1.000 c. 10.000 d. 100.000 e. 1.000.000 Resposta : “C” 27. Viviane quer comprar 4 pacotes de biscoitos que custam R$ 0,57 cada um. Pagando com uma nota de R$ 10,00, quanto receberá de troco? a. R$ 2,28 b. R$ 7,30 c. R$ 7,72 d. R$ 9,43 e. R$ 9,72 Resposta : “C” 28. João é 4 anos mais velho que seu irmão José. Se em 1995 José completou 22 anos, então João nasceu em: a. 1.969 b. 1.970 c. 1.973 d. 1.975 e. 1.977 Resposta : “A” 30 Matemática 29. Um produto que custa R$ 2,60 estava sendo vendido a R$ 1,70. Viviane aproveitou a oferta e comprou 6 unidades do produto. Quanto Viviane economizou? a. R$ 0,90 b. R$ 4,30 c. R$ 5,40 d. R$ 5,60 e. R$ 25,80 Resposta : “C” 30. João e Maria são irmãos. Maria nasceu em 1972 e João completou 18 anos em 1995. Qual era a idade de Maria quando João nasceu ? a. 2 anos b. 3 anos c. 5 anos d. 7 anos e. 8 anos Resposta : “C” 31. Quero comprar 3 lápis ao preço de R$ 0,42 cada um. Pagando com uma nota de R$ 10,00, quanto receberei de troco ? a. R$ 8,58 b. R$ 8,74 c. R$ 9,04 d. R$ 9,58 e. R$ 9, 74 Resposta : “B” 32. Augusto é 7 anos mais novo que seu irmão Antônio. Se Antonio nasceu em 1971, quantos anos Augusto completou em 1995? a. 17 b. 19 c. 24 d. 31 e. 33 Resposta: “A” 33. (CESGRANRIO) – Numa cidade de 248.000 habitantes, a razão entre o número de mulheres e de homens é igual a 3 5 . A diferença entre o número de homens e o número de mulheres é de: a. 62.000 b. 124.000 c. 93.000 31 Matemática d. 155.000 e. 208.000 Resposta : “A” 34. (CESGRANRIO) – Um pequeno agricultor separou para consumo de sua família 1 8 de sua produção de feijão. Se ainda sobraram 112 Kg para serem vendidos, a produção, em Kg, foi de: a. 128 b. 160 c. 360 d. 784 e. 846 Resposta : “A” 35. (CESGRANRIO) Quatro amigos compraram 850 arrobas de carne. Três ficaram com 18 25 do total e o quarto com o restante. O 1 o ficou com o dobro do 3 o mais 100 arrobas; o 2 o , com a metade do que coube ao l o mais 40 arrobas. Quantas arrobas couberam, ao que comprou mais e ao que comprou menos, respectivamente? a. 612 e 238 b. 612 e 105,5 c. 311 e 195,5 d. 311 e 105,5 e. 238 e 105,5 Resposta : “D” 32 Matemática Sistema Métrico Decimal (medidas de comprimento, área, volume, capacidade, massa e tempo) SISTEMA MÉTRICO DECIMAL O sistema métrico decimal é o conjunto de medidas que têm como base a unidade padrão de comprimento chamada de metro, e seus múltiplos e submúltiplos, que são: 10,100,1000, etc, vezes maiores ou menores. MEDIDAS DE COMPRIMENTO A unidade padrão de medida de comprimento é o metro e representamos por m. Então teremos seus múltiplos e submúltiplos. Múltiplos do metro Km - quilômetro (1000 metros) hm - hectômetro (100 metros) dam - decâmetro (10 metros) Submúltiplos do Metro dm - decímetro (0,1 metro) cm - centímetro (0,01 metro) mm - milímetro (0,001 metro) Na prática é interessante construir a escada abaixo: 33 Matemática EXEMPLOS: Completar : a. 0,1234 km = ..................... m b. 2,3456 hm = ..................... m c. 0,3678 km = ................... cm d. 789,2 m = ...................... mm e. 1.234,5 mm = ................... m f. 89.765,43 cm = .............. hm g. 765,3 dm = ..................... km h. 23 m = ............................ cm i. 23 m = ............................ hm a. Observe que vamos transformar km em m, logo, vamos descer três graus em nossa escada, e no sentido da direita. Portanto, vamos deslocar a vírgula três posições para a direita. Logo: 0,1234 km = 123,4 m. b. Observe que vamos transformar hm em m, logo, vamos descer dois degraus em nossa escada, e no sentido da direita. Portanto, vamos deslocar a vírgula duas posições para a direita. Logo: 2,3456 hm = 234,56 m 34 Matemática c. Observe que vamos transforrnar km em cm, logo, vamos descer cinco degraus em nossa escada e no sentido da direita. Portanto, vamos deslocar a vírgula cinco posições para a direita e neste caso preenchemos as posições com zero quando necessário, logo: 0,3678 km = 36.780 cm d. Observe que vamos transformar m em mm, analogamente aos itens anteriores e concluímos que 789,2 m = 789.200 mm e. Observe que vamos transforrnar mm em m, logo, vamos subir três degraus em nossa escada, e, portanto, agora no sentido da esquerda. Portanto, vamos deslocar a vírgula três posições para a esquerda, logo: 1.234,5 mm = 1,2345 m 35 Matemática f. Observe que vamos transformar cm em hm, logo, vamos subir quatro degraus em nossa escada, e no sentido da esquerda, é claro. Portanto, vamos deslocar a vírgula quatro posições para a esquerda. Logo : 89.765,43 cm = 8,976543 hm g. é fácil verificar que: 765,3 dm = 0,07653km h. é fácil verificar que: 23 m = 2.300 cm i. é fácil verificar que: 23 m = 0,23 hm EXERCÍCIO Calcule em metros. a. 0,02 km + 0,1 hm + 2 m = b. 0,234 hm + 0,l dam + 30 cm = c. 0,045 km + 1000 m + 12.345dm = d. 0,25 hm + 200 dm + 1.000cm = e. 12,34 km + 300 m + 13.456 mm = Resposta: a. 32 m b. 24,7 m c. 2.279,5 m d. 55 m e. 12.653,456 m 36 Matemática MEDIDAS DE SUPERFÍCIE (ÁREA) A unidade padrão de medida de superfície é o metro quadrado e representamos por m 2 . Então teremos seus múltiplos e submúltiplos. MÚLTIPLOS DO METRO QUADRADO km 2 - quilômetro quadrado (1000.000 m 2 ) hm 2 - hectômetro quadrado (10.000 m 2 ) dam 2 - decâmetro quadrado (100 m 2 ) SUBMÚLTIPLOS DO METRO QUADRADO dm 2 - decímetro quadrado (0,01 m 2 ) cm 2 - centímetro quadrado (0,0001 m 2 ) mm 2 - milímetro quadrado (0,000001 m 2 ) Na prática é interessante construir a escada abaixo, e lembrar que cada degrau equivale a duas casas decimais. Exemplo: Completar: a. 0,001234 km 2 = ................... m 2 b. 0,002356 km 2 = ................... m 2 c. 0,000036 hm 2 =.................. cm 2 d. 0,789 m 2 =........................ mm 2 e. 87.965,4 cm 2 = .................. hm 2 Respostas: a. 1.234 m 2 b. 2.356 m 2 c. 3.600 cm 2 d. 789.000 mm 2 e. 0,000879654 hm 2 37 Matemática MEDIDA DE VOLUME A unidade padrão de medida de volume é o metro cúbico e representamos por m 3 . Teremos, então, múltiplos e submúltiplos. MÚLTIPLOS DO METRO CÚBICO km 3 - quilômetro cúbico ( 1.000.000.000 m 3 ) hm 3 - hectômetro cúbico ( 1.000.000 m 3 ) dam 3 - decâmetro cúbico ( 1.000 m 3 ) SUBMÚLTIPLOS DO METRO CÚBICO dm 3 - decímetro cúbico (0,001 m 3 ) cm 3 - centrímetro cúbico (0,000001m 3 ) mm 3 - milímetro cúbico (0,000000001 m 3 ) Na prática é interessante construir a escada abaixo, e lembrar que cada degrau equivale a três casas decimais. EXEMPLO: Completar a. 0,000.123.4 km 3 = ............................... m 3 b. 0,000.234 km 3 = .................................. m 3 c. 0,000.000.036 hm 3 = ......................... cm 3 d. 0,000.789 m 3 =................................. mm 3 e. 879.656,4 cm 3 = .................................. m 3 Resposta: a. 123.400 m 3 b. 234.000 m 3 c. 36.000 cm 3 d. 789 000 mm 3 e. 0,8.796.564 m 3 38 Matemática MEDIDAS DE CAPACIDADE A unidade padrão de capacidade é o litro e representamos por l . Então teremos seus múltiplos e submúltiplos. MÚLTIPLOS DO LITRO kl - Quilolitro (1.000 litros) hl - Hectolitro (100 litros) dal - Decalitro (10 litros) SUBMÚLTIPLOS DO LITRO dl - decilitro (0,1 do litro) cl - centilitro (0,01 do litro) ml - mililitro (0,001 do litro) Analogamente, teríamos: Obs.: A relação entre a medida de capacidade e de volume é : 1l = 1 dm 3 Exemplo: Completar a. 2l = ................................................... dm 3 b. 3 dm 3 = ................................................. l c. 3.243 l = ............................................. m 3 d. 8.426,7 m 3 =...................................... dm 3 e. 5.000 l = ............................................. m 3 Resposta: a. 2 dm 3 b. 3 l c. 3,243 m 3 d. 8,4267 dm 3 e. 5 m 3 39 Matemática MEDIDAS DE MASSA A medida de massa tem como unidade padrão o grama e representamos por g. Análogamente, temos os múltiplos e submúltiplos MÚLTIPLOS Quilograma (kg) - 1.000 g Hectograma (hg) - 100 g Decagrama (dag) - 10 g SUBMÚLTIPLOS Decigrama (dg) - 0,1 g Centigrama (cg) - 0,01 g Miligrama (mg) - 0,001 g MEDIDAS NÃO DECIMAIS TEMPO 1 Dia = 24 Horas 1 Hora = 60 min. 1 Minuto = 60 Seg. Ano Comercial = 360 Dias Ano Civil = n° exato de Dias = 365 dias (ou 366 dias) Mês Comercial = 30 Dias Mês Civil = n° exato de Dias = 28/29, ou 30, ou 31 dias EXEMPLO: Uma pessoa caminha com passadas iguais de 80 cm e com velocidade constante de 2m/s. Quantos passos ela dará em 60 segundos ? Solução: v = 2m/s t = 60 seg. s = v ⋅ t s = 2 ⋅ 60 s = 120 m s = 12.000 cm O número de passos é 12 000 80 150 . · passos 40 Matemática EXEMPLO: Uma indústria possui, em seu reservatório, 0,25dam 3 + 150m 3 + 22.000dm 3 + 3.000.000cm 3 de óleo de soja. A empresa pretende embalar o produto em latas de 900 ml . Sabendo-se que no processo de embalagem há uma perda de 1% do líquido, qual o número de latas de soja que a indústria produzirá ? Solução: 0,25 dam 3 = 250.000 dm 3 = 250.000 l 150 m 3 = 150.000 dm 3 = 150.000 l 22.000 dm 3 = 22.000 dm 3 = 22.000 l 3.000.000 cm 3 = 3.000 dm 3 = 3.000 l Total = 425.000 dm 3 = 425.000 l 1% de perda Resta 4.250 420.750 · l l Distribuímos em latas de 900 ml . Teremos: 420.750l : 900 ml = 420.750l : 0,9l = 467.500 latas. EXEMPLO: 100 dm x 0,1 dam x 100 mm = Solução: 100 dm x 0,1 dam x 100 mm = 10 m x 1 m x 0,1 m = 1m 3 EXEMPLO: Uma sala de 0,007 km de comprimento, 80 dm de largura e 400 cm de altura, tem uma porta de 2,40 m 2 de área e uma janela de 2m 2 de área. Sabendo-se que com 1 litro de tinta pinta-se 0,04 dam 2 , indique a quantidade de tinta necessária para pintar a sala toda, inclusive o teto. Solução: Dados do problema: comprimento: 0,007 km = 7 m largura: 80 dm = 8 m altura: 400 cm = 4 m Então a área total da sala, sem considerar o chão, é: 2 x 7 x 4 + 2 x 8 x 4 + 8 x 7 = = 56 + 64 + 56 = 176 m 2 Deduzindo a área da porta e janela, temos: 176 m 2 – 2,40 m 2 – 2 m 2 = = 171,6 m 2 a ser pintado. 41 Matemática O problema diz que "com 1 litro de tinta pinta-se 0,04 dam 2 (4 m 2 ), fazendo a regra de três, temos: 1l _____ 4 m 2 xl _____ 171,6 m 2 x · 1716 4 , x = 42,9 litros EXEMPLO: Uma região retangular de 20 km por 15 km está sendo mapeada em uma escala em que 1 km : 300 km. Qual o menor número de folhas de papel de 5m x 2m que são necessárias para fazer tal mapa? Solução: 20 km x 15 km Mapeada a região 20 km 300 15 km 300 ⋅ que usa 0,06666 km x 0,05 km isto é: 66,666 m x 50 m Folhas de papel 5 m x 2 m Se considerarmos 5 m x 2 m, teremos: 14 x 25 = 350 folhas Se considerarmos 2 m x 5 m, teremos: 34 x 10 = 340 folhas Resposta: 340 folhas EXEMPLO: Para percorrer totalmente uma ponte de 100 m de comprimento, um trem de 200 m, a 60Km/h, leva: Solução: Ponte: 100m Trem: 200m v 60.000 m 3.600 s 50 3 m/ s · · s v t t s v t t · ⋅ ⇒ · · ⋅ ⇒ · 300 3 50 900 50 t = 18 s 42 Matemática EXEMPLO: Se 300 cm 3 de uma substância têm uma massa de 500g, quanto custarão 75 dl dessa substância, sabendo-se que é vendida R$ 25,50 o quilograma? Solução: Obs.: 1l = l dm 3 , logo: 300 cm 3 = 0,3 dm 3 = 0,3 l = 3dl Capacidade Massa 3 dl 0,5 kg 75 dl x kg 3 75 0 5 · , x x = 12,5 kg Logo, o custo total será: 12,5 kg x 25,50 = R$ 318,75 EXEMPLO: Uma tartaruga percorreu, num dia, 6,05 hm. No dia seguinte, percorreu mais 0,72 km e, no terceiro dia, mais 12.500 cm. Podemos dizer que essa tartaruga percorreu nos três dias uma distância de : Solução: Distância percorrida no primeiro dia: 6,05 hm = 605 m Distância percorrida no dia seguinte: 0,72 km = 720 m Distância percorrida no terceiro dia: 12.500 cm = 125 m logo: 605 m + 720 m + 125 m = 1.450 m EXEMPLO: Num mapa, cuja escala é 1 3.000.000 a estrada Belém-Brasília tem 67 cm. Calcular, em km, a distância real. Solução: 1 cm no mapa equivale a 3.000.000 cm na estrada logo: 67cm no mapa equivalem a 67 x 3.000.000 cm na estrada. Portanto, a distância é 201.000.000 cm; transformando para km: temos 2.010 km. 43 Matemática EXEMPLO: Um automóvel percorre a distância de Brasília a Belo-Horizonte, de 729 km, em 7 horas e 30 minutos. Qual a sua velocidade média? Solução: Velocidade média = distancia tempo Velocidade média = 729 km 7,5h Velocidade média = 97,2 km/h EXEMPLO: Na planta de um apartamento, as dimensões da sala são: 9 cm de largura e 12cm de comprimento. Ao construir o apartamento, a sala ficou com uma largura de 7,5 m. A medida do comprimento dessa sala é : Solução: Na planta, temos: largura: 9cm comprimento: 12cm Na construção, temos: largura: 7,5m comprimento: x Trata-se de um problema de regra de Três. largura comprimento 9 cm 12 cm 7,5 m x m x · ⋅ 12 7 5 9 , x = 10m ^ 44 Matemática EXEMPLO: Um automóvel, com velocidade de 80 km/h, percorre uma estrada em 1h 30min. Em quanto tempo o mesmo automóvel percorrerá 3/5 da mesma estrada com 25% da velocidade inicial ? Solução: V 1 = 80 Km/h t 1 = 1,5 h S 1 = v 1 ⋅ t 1 S 1 = 80 x 1,5 S 1 = 120 km S 2 = 3 5 120 ⋅ S 2 = 72 km V 2 = 25% ⋅ 80 V 2 = 20 km/h T S V T 2 2 2 2 72 20 · ⇒ · T 2 = 3,6 h Logo: T 2 = 3 h + 0,6 h T 2 = 3 h + 0,6 x 60 min. T 2 = 3h e 36 min. EXEMPLO: Um arquiteto planejou uma caixa de água de base quadrada, para 2.000 litros de capacidade, com altura igual ao dobro do lado. Na execução da obra, o construtor fez o lado igual à altura planejada. Sabendo-se que a caixa de água continuou com a mesma capacidade, a nova altura mede : Solução: A caixa de água planejada: Como a capacidade era 2.000 litros Temos: capacidade = 2.000l = 2.000 dm 3 = 2 m 3 capacidade = 2 m 3 45 Matemática logo: capacidade = 2x ⋅ x 2 = 2 m 3 2x 3 = 2 m 3 x 3 = 1 m 3 x = 1 m Conclusão: a altura planejada era 2x, portanto: altura planejada = 2m A caixa de água construída com o lado igual à altura planejada, logo: a capacidade é 2 2 ⋅ y = 2 4y = 2 y · 2 4 y = 0,5 m Obs.: Entendemos como lado, a aresta da base. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. Se a velocidade média de um veículo é 12m/seg., quantos quilômetros ele percorrerá em 3 horas? (Dado: 1 hora equivale a 3.600 segundos). a. 129,60 b. 130 c. 132,50 d. 135 e. 148,40 Resposta: A 02. As dimensões de um terreno retangular são: 80m de comprimento por 12m de largura. Em um outro terreno, a medida do comprimento é 80% da medida do comprimento do primeiro. Se ambos têm a mesma área, a largura do segundo terreno é? (em metros) a. 9 b. 10 46 Matemática c. 12 d. 15 e. 18 Resposta: D 03. (BANESPA) - Dois ciclistas saem juntos, no mesmo instante e no mesmo sentido, do ponto de partida em pista circular. O primeiro dá uma volta em 132 segundos e o outro em 120 segundos. Calcule os minutos que levarão para se encontrar novamente. a. 1.320 b. 132 c. 120 d. 60 e. 22 Resposta: E 04. O pátio de um colégio é retangular e mede 104m de comprimento e 56m de largura. Quer-se plantar eucaliptos em volta, mantendo entre as árvo- res a mesma distância, que deve ser a maior possível. Determinar o nú- mero de pés de eucaliptos, sabendo que se planta um pé em cada canto. a. 40 b. 38 c. 35 d. 29 e. 18 Resposta: A 05. Um indivíduo compra um terreno retangular que tem um perímetro de 64 metros e cuja largura é 5 metros maior do que a metade do comprimento. Pode-se concluir que a relação entre a largura e o comprimento do terreno é: a. 3/5 b. 7/9 c. 5/7 d. 6/8 e. 4/6 Resposta: B 47 Matemática 06. Duas vasilhas contêm, em conjunto, 36 litros de água. Se transferísse- mos, para a que tem menos água, 2/5 da água contida na outra, ambas ficariam com a mesma quantidade de água. Quantos litros de água con- tém cada vasilha? a. 30 e 6 b. 29 e 7 c. 28 e 8 d. 27 e 9 e. 31 e 5 Resposta: A 07. Dois viajantes estão distantes, um do outro, 400 km. Se um deles viaja de primeira classe e o outro de segunda classe, quanto deverá viajar cada um para que as suas despesas sejam as mesmas, sabendo-se que o pre- ço, por km, é R$ 75.000,00 para a primeira classe e R$ 50.000,00 para a segunda classe. a. 160 km e 240 km b. 150 km e 250 km c. 140 km e 260 km d. 130 km e 270 km e. 120 km e 280 km Resposta: A 08. Um automóvel consome 8 litros de gasolina quando funciona durante 40 minutos seguidos. Se funcionasse durante 3 horas e 20 minutos, quantos litros de gasolina consumiria? a. 40 l b. 60 l c. 38 l d. 55 l e. 72 l Resposta: A 09. Uma caixa leva 900 litros de água, uma torneira a enche em 9 horas e outra a esvazia em 18 horas. Abrindo-se as duas torneiras a caixa ficará cheia em : a. 18 horas b. 12 horas c. 06 horas d. 03 horas e. 08 horas Resposta: A 48 Matemática 10. (TTN) - Uma caixa de água com capacidade de 960 litros, possue uma tubulação que a enche em 7 horas. Possue um "ladrão" que a esvazia em 12 horas. Com a água jorrando, enchendo a caixa e o "ladrão" funcionando simultaneamente, em quanto tempo a caixa ficará cheia? a. 16h e 8min. b. 14h e 8min. c. 16h e 28min. d. 16h e 48min. e. 14h e 48min. Resposta: D 11. Um gramado de 720 m 2 foi podado por dois homens, que trabalharam 6 horas por dia, durante 2 dias. Quantos metros quadrados três homens conseguiriam podar se trabalhassem 8 horas por dia durante 3 dias? a. 2.160 b. 2.560 c. 2.060 d. 2.000 e. 2.560 Resposta: A 12. (TTN) - No interior de um colégio há um grande pátio quadrado composto de uma área calçada e outra não calçada, destinado aos alunos. A área calçada está em redor à área não calçada e tem uma largura de 3m nos seus lados paralelos. A área da parte não calçada está para a área total do pátio, assim como 16 está para 25. O lado do pátio mede: a. 36m b. 24m c. 18m d. 32m e. 30m Resposta: E 13. (TTN) - Uma pessoa caminha com passadas iguais de 80cm, com velocidade constante de 2m/s. Quantos passos ela dará em 60s? a. 240 b. 180 c. 150 d. 120 e. 90 Resposta: C 49 Matemática 14. Uma roda faz 4.590 rotações em 27 minutos. Quantas rotações fará em 2horas e 24 minutos? a. 24.480 voltas b. 28.440 voltas c. 24.840 voltas d. 24.880 voltas Resposta: A 15. Duas torneiras são abertas juntas, a primeira enchendo um tanque em 5 horas, a segunda outro tanque de igual volume em 4 horas. No fim de quanto tempo, a partir do momento em que as torneiras são abertas, o volume que falta para encher o segundo tanque é 1/4 do volume que falta para encher o primeiro tanque? a. 3h e 54 min b. 3h e 45 min c. 4h e 53 min d. 4h e 35 min e. 5h e 34 min Resposta: B 16. (MPU) - Uma peça de certo tecido foi dividida em 4 partes proporcionais aos números 10, 12, 16 e 20. Sabendo-se que a peça tinha 232 metros, o comprimento do menor corte foi de: a. 20 metros b. 40 metros c. 30 metros d. 48 metros e. 64 metros Resposta: B 17. (MPU) Sabe-se que o comprimento, a largura e a altura de um depósito de água, cuja capacidade é de 7.680.000 litros são proporcionais, respectivamente, aos números 10, 6 e 2, nessas condições a medida da largura desse depósito é de: a. 8 metros b. 12 metros c. 40 metros d. 16 metros e. 24 metros Resposta: E 50 Matemática 19. (TRT) - Um trem de 400 metros de comprimento, tem velocidade de 10 km/h. Quanto tempo ele demora para atravessar completamente uma ponte de 300 metros de comprimento? a. 1min e 48seg b. 2min e 24seg c. 3min e 36seg d. 4min e 12seg e. 5min Resposta: D 51 Matemática Juros e Porcentagem CONCEITOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA 1.1 INTRODUÇÃO O pouco tempo disponível para o perfeito e ideal desenvolvimento dos alunos de Matemática Financeira em classe, além da necessidade de oferecer aos candidatos aos cargos públicos e privados um material prático provocou o nascimento desse material. Nas próximas páginas, o leitor terá a oportunidade de conhecer e manipular diversas formas de aplicações financeiras e, conse- qüentemente, analisar as relações entre elas e as respectivas evoluções com o decorrer do tempo. 1.2 DEFINIÇÕES JURO(J) Podemos definir juro como sendo a remuneração do empréstimo de um recurso financeiro, isto é, podemos encarar o juro como sendo o aluguel pago(ou recebido) pelo uso de um recurso financeiro. Por exemplo, suponhamos que pedimos um empréstimo de R$ 1000,00 ao Banco da Praça, para pagamento de 10% de juro daqui a um mês . É evidente que o dinheiro não é nosso, porém ele está a nossa disposição e podemos fazer o que bem entendermos com ele durante um mês. No fim do mês devemos devolver a quantia de R$ 1000,00 e pagar pela disponibilidade dessa quantia nesse período; este pagamento , da disponibilidade, é chamado de juro. (neste caso é R$ 100,00) CAPITAL(C) Chamamos de Capital ou Principal ao recurso financeiro transacionado. No exemplo anterior o capital foi a quantia de R$ 1000,00. TAXA DE JURO(i) É o valor do juro, em uma unidade de tempo, e será expresso como porcentagem do capital, logo chamaremos de taxa de juro durante essa unidade de tempo. Sendo assim, teremos: a. A taxa de juro de 10% a.d.(dez por cento ao dia) significa que o valor do juro é igual a 10% do capital, por dia. b. A taxa de juro de 20% a.a.(vinte por cento ao ano) significa que o valor do juro é igual a 20% do capital, por ano. 52 Matemática Sendo assim, teremos: J = Juro C = Capital i = Taxa de Juro expressa como porcentagem do capital. Daí, pela definição, temos: i J C · Observe que podemos concluir que juro em uma unidade de tempo é o produto do capital pela taxa de juro, isto é: J = C . i MONTANTE(M) Chamaremos de montante o capital acrescido do juro, e denotaremos por M, isto é: M= C+J Resumo a. A definição de juro é equivalente ao pagamento de um aluguel de dinheiro. b. Observamos a definição taxa de juro(no singular), em uma unidade de tempo, isto é, taxa de juro é definida para uma unidade de tempo. EXEMPLO Qual o juro e o montante obtido em uma aplicação de R$ 1.000,00, durante um ano, a uma taxa de juro de 25% a.a.? Solução: Como a taxa de juro está expressa no período anual temos: C= R$ 1.000,00 i= 25% a.a. Logo o juro em um ano será J = C.i J = 1000 . 25% J = 1000 . 25 100 J = 10 . 25 J = R$ 250,00 • montante será M = C + J M = 1.000 + 250 M = R$ 1.250,00 53 Matemática REGIME DE CAPITALIZAÇÃO Chamamos de regime de capitalização à maneira como o montante evolui através de vários períodos, aos quais a taxa se refere. Sendo assim, teremos dois conceitos: a. Regime de Capitalização Simples É o regime em que a taxa de juro incide somente sobre o capital inicial. Portanto, em todos os períodos de aplicações, os juros serão sempre iguais ao produto do capital pela taxa do período. EXEMPLO Seja a aplicação de um capital de R$ 1.000,00, à taxa de juro igual a 10% a.m., durante 3 meses. Qual os juros totais e qual o montante dessa aplicação, se o regime é o de capitalização simples? Solução: Seja J 1 o juro no fim do primeiro mês: J 1 = 1.000 x 10% J 1 = R$ 100,00 Seja J 2 o juro no fim do segundo mês: J 2 = 1.000 x 10% J 2 = R$ 100,00 Seja J 3 o juro no fim do terceiro mês: J 3 = 1.000 x 10% J 3 = R$ 100,00 Assim teremos o Juro Total (J): J = J 1 +J 2 +J 3 J = 100,00 + 100,00 + 100,00 J = R$ 300,00 O montante (M) será: M = C+J M = 1.000,00 + 300,00 M = R$ 1.300,00 b. Regime de Capitalização Composta É o regime em que a taxa de juro incide sobre o montante obtido no período anterior, para gerar juros no período atual. EXEMPLO Seja a aplicação de um capital de R$ 1.000,00 à taxa de juro igual a 10% a.m., durante 3 meses, no regime de capitalização composta. 54 Matemática No fim do 1º mês teremos o Juro e o Montante: J 1 = 1.000 x 10% J 1 = R$ 100,00 M 1 = R$ 1.100,00 No fim do 2º mês teremos o Juro e o Montante: J 2 = 1.100 x 10% J 2 = R$ 110,00 M 2 = R$ 1.210,00 No fim do 3º mês teremos o Juro e o Montante: J 3 = 1.210 x 10% J 3 = R$ 121,00 M 3 = R$ 1.331,00 FLUXO DE CAIXA É a representação gráfica de um conjunto de entradas e saídas de dinheiro relativas a um determinado intervalo de tempo, na seguinte forma: a. Coloca-se na linha horizontal o período considerado b. Representam-se as entradas por setas de sentido para cima, e as saídas com setas de sentido para baixo. c. Evidentemente haverá sempre dois pontos de vista. EXEMPLO Um carro, que custa RS 500.000,00 é vendido a prazo por 5 prestações mensais e iguais a R$ 120.000,00, com a primeira prestação vencendo 1 mês após a venda. No ponto de vista do vendedor a diferença entre a soma das entradas e o valor do carro, corresponde aos juros relativos à aplicação de R$ 500.000,00, também representada no gráfico. C = R$ 500.000,00 No ponto de vista do comprador a diferença entre a soma das saídas e o valor do carro, corresponde ao juro relativo ao empréstimo de R$ 500.000,00, também representada no gráfico 55 Matemática C = R$ 500.000,00 R$ 120.000,00 CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 1. CÁLCULO DE JUROS SIMPLES E MONTANTE Seja C um Capital (ou Principal) aplicado à taxa i por período, durante um prazo de n períodos consecutivos, sob o regime de capitalização simples. Conforme vimos no capítulo anterior, os juros serão iguais em todos os perío- dos, e, portanto, teremos: Onde: J 1 = J 2 = J 3 = ... = J n = C.i daí, o Juro total nos n períodos será J = J 1 + J 2 + J 3 + ... = J n J = C.i + C.i + C.i + ... + C.i J = C.i.n Para o Montante teremos M = C+J M = C + C.i.n M = C.[ 1 + i . n] EXEMPLOS Qual o valor dos juros obtidos por um empréstimo de R$ 2.000,00, pelo prazo de 3 meses, sabendo-se que a taxa de juros simples cobrada é de 5% ao mês? Solução: C = R$ 2.000,00 i = 5% a.m. n = 3 meses 56 Matemática J = C . i . n J = 2.000 . 5% . 3 J = 2.000 . 5 100 . 3 J = 20 . 5 . 3 J = R$ 300,00 Um capital de R$ 500.000,00 aplicado durante 5 meses, a juros simples, rende R$ 10.000,00. Determinar a taxa de juros cobrada. Solução: C = R$ 500. 000,00 n = 5 meses J = R$ 10.000,00 J = C . i . n 10.000 = 500.000 . i . 5 2.500.000 . i = 10.000 i = 10000 2500000 . . . i = 1 250 = 0,004 i = 0,4% a.m. Calcular o montante da aplicação de R$ 100.000,00, pelo prazo de 6 meses, à taxa de juros simples de 5% a.m. Solução: C = R$ 100.000,00 n = 6 meses i = 5% a.m. M=C.[1+i.n] M = 100.000 . [1 + 5% . 6] M = 100.000 . [1 + 30%] M = R$ 130.000,00 2. TAXAS PROPORCIONAIS Duas taxas são ditas proporcionais se mantiverem entre si a mesma razão que os períodos de tempo a que se referem. Assim, a taxa i 1 a . n 1 é proporcional à taxa i 2 a . n 2 se, e somente se: i i n n 1 2 1 2 · 57 Matemática EXEMPLO Qual a taxa mensal proporcional à taxa de 36% a.a.? Solução: i i n n 1 2 1 2 · i 1 36% 1 12 · i 1 = 3% a.m. 3. TAXAS EQUIVALENTES Duas taxas são ditas equivalentes, a juros simples, se aplicadas a um mesmo capital e durante um mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo juro. Sejam: i: a taxa de juros simples aplicada no período de 0 a 1 i k : a taxa de juros simples aplicada a cada intervalo fracionário 1 k | . ` , do período . Se i e i k são equivalentes, temos: J = C.i e J = C.i k .k então: i i k k · EXEMPLO Qual a taxa mensal simples equivalente a 36% a.a.? i i k k · i k · 36% 12 ∴ i k = 3% a.m. Qual a taxa semestral simples equivalente à taxa de 10% a.m.? i = ? a.s. i k =10% a.m. K = 1 semestre = 6 meses i = i k . k 58 Matemática i = 10% . 6 i = 60% a.s. Obs.: Observe que no regime de capitalização simples, as taxas equivalentes produzem o mesmo conceito que as taxas proporcionais. EXEMPLO Calcular o juro simples de uma aplicação de R$ 1.000,00, à taxa de juro de 36% a.a., durante o prazo de 6 meses C = R$ 1.000,00 i = 36% a.a. n = 6 meses Observe que o período a que se refere a taxa (ano) não é o mesmo período de aplicação (mês). Portanto, a taxa mensal equivalente a 36% a.a. será 3% a.m. Logo: J=1.000 . 3% . 6 J = 1.000 . 3 100 . 6 J = R$ 180,00 4. JURO EXATO E JURO COMERCIAL (ORDINÁRIO) Quando as aplicações ocorrem por alguns dias será conveniente utilizarmos a taxa equivalente diária. Nesse caso teremos dois enfoques: a. Ano Civil: 365 dias ou 366 dias para ano bissexto e os meses com o núme- ro real de dias. b. Ano Comercial: 360 dias e os meses com 30 dias. Os juros que seguem o enfoque a são chamados de juros exatos. Os juros que seguem o enfoque b são chamados de juros comerciais (ou ordinários). EXEMPLO Qual o juro exato de uma aplicação de R$ 365.000,00, à taxa simples de 10% a.a. durante 10 dias? Solução: C = R$ 365.000,00 i = 10% a.a. n = 10 dias 59 Matemática Taxa diária equivalente a 10% a.a. = 10% 365 a.d. J = 365.000. 10% 365 . 10 J = 1.000 . 10% . 10 J = R$ 1.000,00 5. VALOR ATUAL E VALOR NOMINAL Chamamos de Valor Nominal de um título, ao valor dele na data de vencimen- to. Também é conhecido como valor face. Chamamos de Valor Atual de um título, ao valor dele em qualquer data anterior ao seu vencimento. No caso de capitalização simples, o valor atual de um título será o valor que aplicado, a juros simples, durante os n períodos de antecipação ao seu vencimento, produzirá como montante o valor nominal do título. Chamando de N o valor nominal e V o valor atual com n períodos de antecipa- ção teremos: Dessa forma: N = V . [1 + i.n] V= N i n 1+ . EXEMPLO O valor nominal de um título é de R$ 1.600,00 sendo que seu vencimento ocorrerá daqui a 3 meses. Se a taxa de juros simples de mercado é de 20% a.m., determine o valor atual do título hoje. 60 Matemática Solução: N = R$ 1.600,00 i = 20% a.m. n = 3 meses de antecipação V = N i n 1+ . V = 1600 1 20%.3 . + V = R$ 1.000,00 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Calcule a taxa de juro mensal, proporcional às seguintes taxas: a. 300% a.a. b. 90% a.s. Solução: a. i = 300% 12 = 25% a.m. b. i = 90 6 = 15% a.m. Respostas: a. 25% a.m. b. 15% a.m. 2. Seja um capital de R$ 800.000,00, investido durante 4 meses e a taxa de juros simples de 120% a.a.. Calcule: a. O juro obtido b. O montante Solução: C = R$ 800.000,00 i = 120% a.a. (equivalente a i = 10% a.m.) n = 4 meses a. J = C.i.n J = 800.000 . 10% . 4 J = R$ 320.000,00 b. M = C + J M = 800.000 + 320.000 M = R$ 1.120.000,00 Respostas: a. J = R$ 320.000,00 b. M = R$ 1.120.000,00 61 Matemática 3. Em que prazo R$ 12.000,00 rende R$ 1.800,00, se a taxa de juros simples utilizada é 5% a.m.? Solução: C = R$ 12.000,00 J = R$ 1.800,00 i = 5% a.m. J = C . i . n 1.800 = 12.000 . 5% . n n = 1800 12 000 5% . . ⋅ = 3 meses Resposta: 3 meses 4. Calcule a taxa de juros simples de uma aplicação, sabendo que apliquei R$ 5.200,00 e resgatei R$ 6.448,00, depois de 4 meses. Solução: C = R$ 5.200, 00 M = R$ 6.448, 00 n = 4 meses J = R$ 1.248, 00 (por que ?) J = C . i . n 1.248 = 5200 . i . 4 i = 1248 5200 4 . ⋅ i = 0,06 i = 6% a.m. Resposta: 6% a.m. 5. Em quantos meses um capital de R$ 740.000,00, aplicado a 3,6% a.m., a juros simples, renderá juro necessário para a formação de um montante de R$ 953.120,00? Solução: C = R$ 740.000,00 M = R$ 953.120,00 i = 3,6% a.m. J = R$ 213.120,00 (por que?) J = C . i . n 213.120 = 740.000. 3,6% . n n = 213 120 740000 3 6% ⋅ ⋅ . , = 8 meses Resposta: 8 meses 62 Matemática 6. Um capital aplicado à taxa de juros simples de 8%a.m., triplica em que prazo? Solução: C = Capital aplicado M = 3 C (por que ?) i = 8% a.m. J = 2 C (por que ?) Como: J = C . i . n 2C = C . 8% . n 8% . n = 2 n = 200 8 = 25 meses Resposta: 25 meses 7. Um investidor recebeu R$ 480.000,00 por uma aplicação de R$ 300.000,00 à taxa de juros simples de 10% a.m.. De quantos meses foi essa aplica- ção? Solução: M = R$ 480.000,00 C = R$ 300. 000,00 i = 10% a.m. J = R$ 180.000,00 (por que ?) J = C . i . n 180.000 = 300.000 . 10% . n n = 180 000 300000 10% . . ⋅ n = 6 meses Resposta: 6 meses 8. Possuo uma letra de câmbio no valor nominal de R$ 1.300.000,00, que é resgatável daqui a 3 meses. Sabendo-se que a taxa de juros simples corrente de mercado é de 10% a.m., quanto devo pagar por esta letra hoje? Solução: N = R$ 1.300.000,00 n = 3 meses (período de antecipação) i = 10% a.m. V = N i n 1+ ⋅ V = 1300000 1 10% 3 . . + ⋅ V = R$ 1.000.000,00 Resposta: R$ 1.000. 000,00 63 Matemática PORCENTAGEM A porcentagem nada mais é do que uma notação ( % ) usada para representar uma parte de cem partes. Isto é, 20% – lê-se “20 por cento”, que representa a fração 20 100 30% – lê-se “30 por cento”, que representa a fração 30 100 EXEMPLO: Calcule: a. 10% de 200 b. 15% de 300 c. 25% de 400 Solução: a. A palavra, "de" deve ser entendida como produto. 10% 200 20 de 200 = 10 100 ⋅ · b. 15% 300 4 500 100 45 de 300 = 15 100 ⋅ · · . c. 25% 400 10000 100 100 de 400 = 25 100 ⋅ · · . Agora vamos ver como são simples os problemas que envolvem porcentagem. Estes problemas geralmente são encontrados no nosso cotidiano. EXEMPLO: A média de reprovação em concurso é de 82%. Quantas pessoas serão aprovadas em um concurso público com 6.500 inscritos ? Solução: Se a média de reprovação é de 82%, vamos concluir que a média de aprova- ção é de 18%. Logo, basta calcular : 18% 6 500 1170 de 6.500 = 18 100 aprovados ⋅ · . . 64 Matemática EXEMPLO: Se eu comprar um objeto por R$ 20.000,00 e vendê-lo por R$ 25.000,00, qual será a minha porcentagem de lucro? Solução: Lucro: R$ 25.000,00 – R$ 20.000,00 Lucro: R$ 5.000,00 Logo, para achar a porcentagem basta dividir o lucro pela base, isto é, dividir R$ 5.000,00 por R$ 20.000,00: 5 000 20000 025 25 100 25% . . , · · · EXEMPLO: Sabendo que um artigo de R$ 50.000,00 foi vendido com um abatimento de R$ 1.600,00, encontrar a taxa usada na operação. Solução: Basta dividir o abatimento pelo preço do produto, isto é : 1600 50000 0 032 3 2 100 3 2% . . , , , · · · EXEMPLO: Um produto foi vendido, com um lucro bruto de 20%. Sobre o preço total da nota, 10% correspondem a despesas. O lucro líquido do comerciante é de: Solução: Vamos supor, sem perda de generalidade, que o preço inicial do produto é 100. Preço inicial - 100 Preço de venda com lucro de 20% – 120 Despesa (10% de 120) – 12 Preço com lucro líquido = 120 – 12 = 108 Logo, lucro líquido = 108 – 100 = 8 Logo, % do lucro líquido = 8 100 = 8% EXEMPLO: João comprou diretamente de uma fábrica um conjunto de sofás pagando R$ 322.000,00 incluindo o Imposto sobre Produtos Industrializa- dos (IPI). Sabendo-se que a alíquota do imposto é de 15%, ad valorem, o valor do imposto foi de: 65 Matemática Solução: Seja : x o valor do produto x +15%x = 322.000 x + 0,15x = 322.000 1,15x = 322.000 x · 322000 115 . , x = R$ 280.000,00 Logo, o valor do imposto é: R$ 322.000,00 – R$ 280.000,00 = R$ 42.000,00 EXEMPLO: Um cliente obteve do comerciante desconto de 20% no preço da mercadoria. Sabendo-se que o preço de venda, sem desconto, é superior em 20% ao custo, pode-se afirmar que houve por parte do comerciante um .... : Solução: Preço de custo = 100 (un.) Preço de venda s/desc = 120 (un.) Preço de venda c/desc. = 120 x 80% = 96 (un.) Comparando o preço de custo com o preço de venda c/ desconto, temos: 96 100 100 4% − · − Houve um prejuízo de 4% EXEMPLO: Maria vendeu um relógio por R$18.167,50 com prejuízo de 15,5% sobre o preço de compra. Para que tivessem um lucro de 25% sobre o custo, ela deveria ter vendido por: Solução: Preço vendido: R$ 18.167,50 Preço de compra: x 84,5%x = 18.167,50 x · 18167 50 0845 . , , x = 21.500 Para ter um lucro de 25%, Teremos: 21.500 x 1,25 = R$ 26.875,00 66 Matemática EXEMPLO: A empresa “Vestebem” comprou o produto “A” pagando 10% de imposto sobre o preço de aquisição e 30% de despesas com transporte sobre o custo da mercadoria, com o imposto. Sabendo-se que na venda de “A” a empresa obteve um lucro de R$ 143,00, correspondente a 20% sobre o preço de aquisição mais despesas (imposto e transporte), o preço de aquisição da mercadoria com o imposto foi de R$: Solução: x . (1,10 . 1,30 . 0,20) = 143 x · ⋅ ⋅ 143 110 130 0 2 , , , x = R$ 500,00 (preço da mercadoria) Impostos (10%) = R$50,00 Preco de aquisição da mercadoria + imposto: R$ 550,00 EXEMPLO: Um lojista sabe que, para não ter prejuízo, o preço de venda de seus produtos deve ser no mínimo 44% superior ao preço de custo. Porém, ele prepara a tabela de preços de venda acrescentando 80% ao preço de custo, porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra. Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente, sobre o preço da tabela, de modo a não ter prejuízo? a. 10% b. 15% c. 20% d. 25% e. 36% Solução: Seja x - preço de custo preço de venda sem prejuízo = x . 1,44 preço de venda com 80% = 1,80 . x Logo, x x ⋅ ⋅ 144 180 , , = 0,8% = 80% Portanto, preço de venda sem prejuízo = 80% do preço de venda com 80% de acréscimo. Daí, o desconto máximo será de 20%. 67 Matemática EXEMPLO: João vendeu um fogão com prejuízo de 10% sobre o preço de venda. Admitindo-se que ele tenha comprado o produto por R$ 264.000,00 o pre- ço de venda foi de: Solução: Seja: x - preço de venda Como teve prejuízo de 10% sobre o preço de venda, temos: Preço de compra = preço de venda + 10% preço de venda 264.000 = x + 10% . x 264.000 = x + 0,1 . x 264.000 = 1,10 . x 1,10 . x = 264.000 x · 264 000 110 . , = 240.000 O preço de venda foi de R$ 240.000,00 EXEMPLO: Um terreno foi vendido por R$ 16.500,00, com um lucro de 10%; em seguida, foi revendido por R$ 20.700,00. O lucro total das duas transações representa, sobre o custo inicial do terreno, um percentual de: SOLUÇÃO Se um terreno foi vendido por R$ 16.500,00, com 10% de lucro, então o preço inicial foi de: 16 500 110 15000 . , . · Logo, o lucro total foi: 20700 15 000 15 000 . . . − 5 700 15 000 0 38 38% . . , · · 68 Matemática EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. A fração 0,0104 0,65 é equivalente a : a. 1 250 b. 2 125 c. 1 50 d. 3 125 e. 7 250 Resposta: B 02. Efetuando-se 12 1,70 8 1,80 10 1,86 30 ⋅ + ⋅ + ⋅ , obtém-se: a. 1,72 b. 1,74 c. 1,75 d. 1,78 e. 1,79 Resposta: D 03. Pelo pagamento atrasado da prestação de um carnê, no valor de R$ 1.200,00, recebeu-se uma multa de 7,5 % do seu valor. O total pago foi : a. R$ 1.250,00 b. R$ 1.275,00 c. R$ 1.290,00 d. R$ 1.680,00 e. R$ 2.100,00 Resposta: C 04. Se uma pesssoa já liquidou os 7 16 do valor de uma dívida, a porcentagem dessa dívida que ainda deve pagar é : a. 56,25% b. 56,5% c. 58,25% d. 58,5% e. 62,25% Resposta: A 69 Matemática 05. Um lojista comprou 180 canetas de um mesmo tipo e vendeu 120 delas pelo mesmo preço total pago pelas 180. Se vender cada uma das 60 canetas restantes ao preço unitário das outras 120, a porcentagem de lucro desse lojista, pela venda de todas as canetas, será de: a. 40% b. 50% c. 52% d. 55% e. 60% Resposta: B 06. Um título, no valor de R$ 80.000,00, foi pago com 3 meses de antecedência, sofrendo um desconto comercial simples de R$ 1.500,00. A taxa anual do desconto foi : a. 7,75% b. 7,5% c. 7,25% d. 6,5% e. 6,25% Resposta: B 07. (BANESPA) - Um pequeno silo de milho perdeu 15% da carga pela ação de roedores. Vendeu-se 1/3 da carga restante e ainda ficou com 42,5 toneladas. Portanto, a carga inicial em toneladas, antes da ação dos roedores, era: a. 61 b. 75 c. 87,5 d. 90 e. 105 Resposta: B 08. (TTN) - Num clube 2/3 dos associados são mulheres. Se 3/5 das mulheres são casadas e 80% das casadas têm filhos, o número de associados do clube, sabendo-se que as mães casadas são em número de 360, é de: a. 4.500 b. 1.752 c. 750 d. 2.250 e. 1.125 Resposta: E 70 Matemática 09. Sabendo que um artigo de R$ 50.000,00 foi vendido com abatimento de R$ 1.600,00, encontrar a taxa utilizada na operação. a. 3,2% b. 3,5% c. 3,8% d. 4,2% e. 2,3% Resposta: A 10. Calcular a taxa que foi aplicada a um capital de R$ 4.000,00, durante 3 anos, sabendo-se que se um capital de R$ 10.000,00 fosse aplicado durante o mesmo tempo, a juros simples de 5% a.a., renderia mais R$ 600,00 que o primeiro. A taxa é de: a. 8,0% a.a b. 7,5% a.a c. 7,1% a.a d. 6,9% a.a e. 6,2% a.a Resposta: B 11. Dois capitais estão entre si como 2 está para 3. Para que, em período de tempo igual, seja obtido o mesmo rendimento, a taxa de aplicação do menor capital deve superar a do maior em: a. 20% b. 60% c. 40% d. 50% e. 70% Resposta: D 12. (TTN) - Um negociante comprou alguns bombons por R$ 720,00 e vendeuos a R$ 65,00 cada um, ganhando, na venda de todos os bombons, o preço de custo de um deles. O preço de custo de cada bombom foi de: a. R$ 12,00 b. R$ 75,00 c. R$ 60,00 d. R$ 40,00 e. R$ 15,00 Resposta: C 71 Matemática Razão e Proporção; Regra de Três Simples e Composta; Divisões Proporcionais. RAZÕES E PROPORÇÕES Sejam quatro números a, b, c, e d (todos diferentes de zero). Dizemos que a, b, c, e d formam uma proporção se a razão a b é igual a razão c d . Então indicaremos a proporção por: a b c d · lê-se: a está para b; assim como c está para d. Obs.: Chamamos também a e d de extremos da proporção e b e c de meios da proporção. Além disso dizemos que a e c são antecedentes da proporção; b e d são conseqüentes da proporção. EXEMPLO: Na proporção 1, 2, 3, e 6 temos: 1 2 3 6 · lê-se: 1 está para 2 assim como 3 está para 6. antecedentes: 1 e 3 conseqüentes: 2 e 6 meios: 2 e 3 extremos: 1 e 6 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DA PROPORÇÃO Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. EXEMPLO: a. a b c d · então ad = bc b. 1 2 3 6 · então 1 x 6 = 3 x 2 72 Matemática EXEMPLO: Verifique se os itens abaixo são ou não proporções: a. 3 4 12 16 · b. 2 3 6 7 · Solução: a. 3 4 12 16 · , como o produto dos extremos tem que ser igual ao produto dos meios temos: 3 . 16 = 48 = 4 . 12. Logo, 3 4 12 16 · é uma proporção. b. 2 3 6 7 · , observe que o produto dos extremos não é igual ao produto dos meios, isto é, 2 . 7 = 14 ≠ 3 . 6 = 18. Logo, 2 3 6 7 · não é uma proporção. EXEMPLO: Calcule x nas proporções: a. 3 4 20 · x b. 2 3 8 · x Solução: a. 3 4 20 · x , como o produto dos meios tem que ser igual ao produto dos extremos, temos, 4x=3.20 4x = 60 ∴ x= 60 4 ∴ x = 15 b. 2 3 8 · x , como o produto dos extremos tem que ser igual ao produto dos meios, temos 2x = 3 . 8 2x = 24 x x · ∴ · 24 2 12 73 Matemática PROPRIEDADE Quando somamos (ou subtraímos) os antecedentes e os conseqüentes a proporção não se altera. Isto é: Se a b c d · é uma proporção, então: a b c d a c b d a c b d · · + + · − − EXEMPLO: Calcular x e y na proporção x 2 y 6 · , sabendo que x + y = 4 . Solução: Se x y 2 6 · é uma proporção, então, x y x y 2 6 2 6 · · + + Logo: x y x y 2 6 8 · · + x y 2 6 4 8 · · Logo: x 2 4 8 8 8 · ∴ ∴ ∴ ∴ 8x = 4.2 8x = 8 x = x = 1 y 6 4 8 24 8 · ∴ ∴ ∴ ∴ 8y = 6.4 8y = 24 y = y = 3 EXEMPLO: Calcular x e y na proporção x 36 y 12 · , sabendo que x – y = 6 . Solução: Como x y 36 12 · é uma proporção, temos: x y 36 12 · = x - y 36 - 12 x y 36 12 · = x - y 24 x y 36 12 · = 6 24 Daí x 36 216 24 · ∴ ∴ ∴ ∴ 6 24 24x = 36.6 24x = 216 x = x = 9 y 12 72 24 · ∴ ∴ ∴ ∴ 6 24 24y =12.6 24y = 72 y = y = 3 74 Matemática SÉRIE DE RAZÕES IGUAIS OU PROPORÇÕES EM SÉRIE Chamamos de série de razões a igualdade de várias razões. a b · c d = ... m n EXEMPLO: 1. 2 1 · 4 2 = 6 3 = 8 4 2. 3 9 · 4 12 = 5 15 = 6 18 = 7 21 PROPRIEDADE Seja a série de razões a b · c d = ... = m n então: a b a c m b d n · · + + + + + + c d = ... = m n ... ... EXEMPLO: Calcule x , y , z , na série de razão x 3 y 5 = z 1 · , sabendo que x + y + z = 180 Solução: x 3 · y 5 = z 1 = x + y + z 3 + 5 +1 Logo x 3 · y 5 = z 1 = 180 9 x 3 540 9 · ∴ ∴ ∴ ∴ 180 9 9x = 3.180 9x = 540 x = x = 60 y 5 900 9 · ∴ ∴ ∴ ∴ 180 9 9y = 5.180 9y = 900 y = y =100 z 1 180 9 · ∴ ∴ ∴ ∴ 180 9 9z = 1.180 9z = 180 z = z = 20 75 Matemática EXERCÍCIOS 01. Calcular x, tal que x 510 5 17 · Resposta: x = 150 02. Calcular o valor de x, tal que 144 12 x 10 · Resposta: x = 120 03. Calcular x e y, na proporção x 4 y 5 · , sabendo que x + y = 45. Resposta: x = 20; y= 25 04. Calcular x e y, na proporção x 5 y 3 · , sabendo que x – y = 14 Resposta: x = 35; y= 21 05. Calcular x , y , z e w na série de proporção x 5 y 4 z 3 w 7 · = = , sabendo que x + y + z + w = 114 Resposta: x = 30; y= 24; z=18 e w=42 06. Calcular a e b na proporção a 19 b 17 · , sabendo que a + b = 72 Resposta: a = 38; b= 34 07. Calcular a e b na proporção a 4 b 3 · , sabendo que a – b = 5 Resposta: a = 20; b= 15 08. Calcular x e y na proporção x 12 y 3 · , sabendo que x 2 + y 2 = 68 Resposta: x = 8; y= 2 ou x=-8 e y=-2 09. Calcular x e y na proporção x 10 y 5 · , sabendo que x 2 – y 2 = 12 Resposta: x = 4; y= 2 ou x=-4 e y=-2 10. Calcular a, b e c sabendo que 8ab = 5ac = 2bc e a + b + c = 150 Resposta: a = 20; b= 50; c=80 11. Calcule x, y e z na série de proporção 1 x 2 y = 4 z · , sabendo que x . y . z = 64 Resposta: x = 2; y= 4; z=8 12. Calcular x ,y e z na proporção x 2 y 3 = z 4 · , sabendo que 2x + 3y + 4z = 58 Resposta: x = 4; y= 6; z=8 76 Matemática 13. Calcular x, y e z na proporção x 1 y 2 = z 3 · , sabendo que 4x + 3y + 2z = 48 Resposta: x = 3; y= 6; z= 9 14. Calcular x, y e z sabendo que 2xy = 3xz = 4yz e que x + y + z = 18 Resposta: x = 8; y= 6; z=4 RAZÕES Chamamos de razão entre dois números a e b (b # 0) ao quociente de a por b. Denotamos: a b ou a : b ( lê-se a está para b ) EXEMPLO: a. A razão de 1 está para 2 é 1 2 ou 0,5. b. A razão de 9 está para 3 é 9 3 ou 3. c. A razão de 24 está para 4 é 24 4 ou 6. Obs.: Sendo assim chamaremos de razão entre duas grandezas à razão entre suas medidas. EXEMPLO: a. A razão entre 2m de um fio e 5m de uma linha é: Solução: 2 5 m m · 2 5 = 0,4 b. Um carro percorre 20Km em 30 minutos. Então a razão entre o espaço percorrido e o tempo gasto é: Solução: 20 30 km min · 2 3 km/ min DIVISÕES PROPORCIONAIS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais, quando a razão entre seus valores é sempre constante. 77 Matemática EXEMPLO: Sejam x e y duas grandezas, tal que: x : 2 , 3 , 5 y : 6 , 9 , 15 logo, x e y são diretamente proporcionais, pois : 2 6 · 3 9 = 5 15 INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Dizemos que duas grandezas são inversamente proporcionais, quando o produto entre seus valores é sempre constante. EXEMPLO: Sejam x e y duas grandezas, tal que: x : 1 , 2 , 3 y : 12 , 6 , 4 logo, x e y são inversamente proporcionais, pois: 1 x 12 = 2 x 6 = 3 x 4 EXEMPLOS DE DIVISÕES PROPORCIONAIS Vamos iniciar esta seção com um exemplo. EXEMPLO: Dividir o número 80 em três partes diretamente proporcionais a 2 , 3 e 5. Solução: Como vamos dividir o número 80 em três partes. Sejam, x , y e z essas partes, daí temos: x + y + z = 80 Como as grandezas x , y e z têm que ser diretamente proporcionais a 2 , 3 e 5 temos, que a razão entre os valores das grandezas é constante. Isto é, x k k 2 · · , y 3 = k e z 5 Portanto, temos: x k 2 · ⇒ x = 2k (1) y k 3 · ⇒ y = 3k (2) z k 5 · ⇒ z = 5k (3) 78 Matemática Somando as equações (1), (2) e (3) temos: x = 2k y = 3k + z = 5k x + y + z = 10k ⇒ 10k = x + y + z ⇒ 10k = 80 ∴ · ∴ · k k 80 10 8 O k é chamado de constante de proporcionalidade. Como queremos os valores de x, y e z, basta substituir k = 8, nas equações (1), (2) e (3). Logo: x = 2k ⇒ x = 2 x 8 ⇒ x = 16 y = 3k ⇒ y = 3 x 8 ⇒ y = 24 z = 5k ⇒ z = 5 x 8 ⇒ z = 40 EXEMPLO: Dividir 120 em três partes diretamente proporcionais a: 3 , 4 e 5. Solução: Já observamos que se x , y e z são as partes procuradas, temos: x + y + z = 120 Analogamente, como as grandezas x , y e z têm que ser diretamente proporcionais às grandezas 3, 4 e 5 temos, que a razão entre seus valores é sempre constante, daí: x 3 = k x = 3k ⇒ (1) y 4 = k y = 4k ⇒ (2) z 5 = k z = 5k ⇒ (3) Somando (1), (2) e (3), temos: x = 3k y = 4k + z = 5k 120 = 12k 12k = 120 ∴ k = 10 Substituindo k =10 em (1), (2) e (3) temos: x = 3 . 10 ∴ x = 30 y = 4 . 10 ∴ y = 40 z = 5 . 10 ∴ z = 50 Então o aluno já percebeu que, os problemas de divisões proporcionais são simplesmente as aplicações de grandezas proporcionais. Vamos agora ver os casos de inversamente proporcionais. 79 Matemática EXEMPLO: Dividir o número 52 em três partes inversamente proporcionais a 2 , 3 e 4. Solução: Sejam x, y e z as três partes procuradas. Daí temos: x + y + z = 52 Como as grandezas x, y e z são inversamente proporcionais as grandezas 2 , 3 , e 4, temos, que o produto dos seus valores são constantes, daí: 2x = k 3y = k 4z = k Daí teremos: x k · 2 (1) y k · 3 (2) z k · 4 (3) Logo, somando (1) , (2) e (3) temos: x y z k + + · 2 + k 3 + k 4 52 2 · k + k 3 + k 4 k 2 52 + k 3 + k 4 · 6 4 3 12 k k k + + = 52 13 12 k = 52 ∴ k = 52.12 13 ∴ k=48 k é chamado de constante de proporcionalidade. Substituindo k = 48 em (1), (2) e (3) temos: x = 48 2 ∴ x = 24; y = 48 3 ∴ y = 16; z = 48 4 ∴ z = 12 80 Matemática EXEMPLO: Dividir o número 94 em três partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 5. Solução: Analogamente, sejam x, y e z as partes procuradas, daí, x + y + z = 94 Como x, y e z são inversamente proporcionais a 3, 4 e 5 temos que o produto entre os valores é constante, daí: 3x = k ⇒ x = k 3 (1) 4y = k ⇒ y = k 4 (2) 5z = k ⇒ z = k 5 (3) Somando (1), (2) e (3) temos: x y z k + + + = k 3 + k 4 5 94 5 = k 3 + k 4 + k k 3 + k 4 + · k 5 94 20k +15k +12k 60 = 94 ∴ 47k 60 = 94 k · 94.60 47 ∴ k=120 logo, a constante de proporcionalidade é k = 120. Substituindo k = 120 em (1), (2) e (3) temos: x · ∴ 120 3 x = 40 y · ∴ 120 4 y = 30 z · ∴ 120 5 z = 24 REGRA DE SOCIEDADE Geralmente, os problemas de divisões proporcionais que envolvem divisões de lucros, prejuízos, capitais e etc., recebem o nome de regra de sociedade. 81 Matemática EXEMPLO: (TTN) – Dois sócios lucraram com a dissolução da sociedade e devem dividir entre si o lucro de R$ 28.000,00. O sócio A empregou R$ 9.000,00 durante 1 ano e 3 meses e o sócio B empregou R$ 15.000,00 durante 1 ano. O lucro do sócio A foi de: a. R$ 8.000,00 b. R$ 10.000,00 c. R$ 12.000,00 d. R$ 14.000,00 e. R$ 16.000,00 Solução: Este é um problema típico de regra de sociedade. x = a parcela de lucro do sócio A. y = a parcela de lucro do sócio B. Então: x + y = 28.000 Como o sócio A ficou na empresa 1 ano e 3 meses (15 meses) e empregou R$ 9.000,00, temos que x é diretamente proporcional a 15 e 9.000, logo : x = 9.000 x 15 k x = 135.000 k (1) Analogamente, o sócio B ficou na empresa 1 ano (12meses) e empregou R$ 15.000,00, temos então, que y é diretamente proporcional a 12 e 15.000 , logo : y = 15.000 x 12 k y = 180.000 k (2) Se: x + y = 28.000 x = 135.000 k y = 180.000 k x + y = 315.000 k 315.000 k = 28.000 k · 28.000 315.000 ∴ k · 28 315 ∴ k · 4 45 Substituindo k · 4 45 em (1) e (2), temos x · ∴ 135 000 . . 4 45 x = 12.000 y · ∴ 180 000 . . 4 45 y = 16.000 Resposta: C 82 Matemática EXEMPLO: Três sócios querem dividir um lucro de R$ 13.500,00. Sabendo-se que participaram da sociedade durante 3, 5 e 7 meses. Qual a parcela de lucro de cada um? Solução: Sejam : x – a parcela do 1° sócio. y – a parcela do 2° sócio. z – a parcela do 3° sócio. Como o lucro é diretamente proporcional ao tempo na sociedade, temos que: x + y + z = 13.500 x = 3k (1) y = 5k + (2) z = 7k (3) 13.500 = 15 k k = 900 Logo, substituindo em (1), (2) e (3) temos: x = 3 x 900 ⇒ x = R$ 2.700,00 (lucro do 1° sócio). y = 5 x 900 ⇒ y = R$ 4.500,00 (lucro do 2° sócio). z = 7 x 900 ⇒ z = R$ 6.300,00 (lucro do 3° sócio). EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Um prêmio de R$ 152.000,00 será distribuído aos cinco participantes de um jogo de futebol de salão, de forma inversamente proporcional às faltas cometidas por cada jogador. Quanto caberá a cada um, se as faltas foram 1, 2, 2, 3 e 5? (R$) Solução: x = k, y = k 2 , z = k 2 , v = k 3 , w = k 5 k + k 2 + k 2 + k 3 + k 5 = 152.000 30 15 15 10 6 30 152000 k k k k k + + + + · . 76 30 152000 76 k · ∴ ⋅ ∴ . k = 152.000 30 k = 60.000 83 Matemática x = R$ 60.000,00 (1° jogador). y = R$ 30.000,00 (2° jogador). z = R$ 30.000,00 (3° jogador). v = R$ 20.000,00 (4° jogador). w = R$ 12.000,00 (5° jogador). 2. Distribuir o lucro de R$ 28.200,00 entre dois sócios de uma firma, sabendo que o primeiro aplicou R$ 80.000,00 na sociedade durante 9 meses e que o segundo aplicou R$ 20.000,00 durante 11 meses. Solução: x = 9 x 80.000 k y = 11 x 20.000 k x + y = 28.200 Logo: x = 720.000 k y = 220.000 k 28.200 = 940.000 k k · ⇒ 28 200 940 000 3 100 . . k = Logo: x · ∴ 720000 3 100 . . x = R$ 21.600,00 y · ∴ 220000 3 100 . . y = R$ 6.600,00 3. Três pessoas formaram uma sociedade entrando com a mesma quantia, sendo que o capital da lª pessoa esteve empregado durante 2 anos, o da 2ª pessoa durante 3 anos e o da 3ª pessoa durante 20 meses. Se o lucro auferido for de R$ 400.000, quanto receberá a 1ª pessoa, sabendo-se que ela ainda tem mais 10% de lucro, conforme contrato? Solução: Sejam : x = 24 k y = 36 k z = 20 k x + y + z = 360.000 80 k = 360.000 k = 4.500 A 1ª pessoa receberá: x = 24 x 4.500 = 108.000 mais 40.000, portanto, receberá: R$ 148.000,00 84 Matemática 4. Um comerciante deseja premiar, no primeiro dia útil de cada mês, os três primeiros fregueses que chegarem ao seu estabelecimento com a quantia de R$ 507.000,00 dividida em partes inversamente proporcionais a 2 1 4 , 1 2 3 e 1,2. Nessas condições, o prêmio de menor valor a ser pago será de: Solução: Observe que : 2 1 4 = 2 4 +1 4 = 9 4 ⋅ 1 2 3 = 1 3 + 2 3 = 5 3 ⋅ Logo: x k k · 9 4 , y = , z = k 1,2 5 3 x k · ⋅ 4 9 y k · ⋅ 3 5 z k · 12 , Portanto: x y z k k + + · 4 9 3 + 5 + k 1,2 507 000 24 32 4 45 54 . , · + + ∴ k k k k = 270.000 x · ⋅ ∴ 4 9 270.000 x = R$ 120.000,00 y · ⋅ ∴ 3 5 270.000 y = R$ 162.000,00 z · ∴ 270000 12 . , z = R$ 225.000,00 Resposta: R$ 120.000,00 85 Matemática 5. Duas pessoas devem dividir entre si a importância de R$ 180.000,00. A primeira pretende receber 2 3 da importância total e a segunda acha que tem direito a receber R$ 72.000,00. Por fim concordaram em dividir a im- portância total proporcionalmente às respectivas pretensões. Quanto recebeu cada uma? Solução: Primeira pessoa (x): de 2 3 180.000.00 = 120.000 Segunda pessoa (y): 72.000 Assim temos: x = 120.000 k y = 72.000 k x + y = 180.000 = 192.000 k k · ∴ 180000 . 192.000 k = 15 16 x · ⋅ ∴ 120 000 15 . 16 x =112.500 y · ⋅ ∴ 72000 15 . 16 y = 67.500 6. João resolveu fazer um bolão para jogar na sena. Convidou inicialmente Pedro e depois Antônio, tendo João contribuído com R$ 12,00 e seus amigos com R$ 6,00 e R$ 18,00, respectivamente. Sabendo-se que a re- partição do prêmio, a João, Pedro e Antônio, foi feita diretamente proporcional às importâncias desembolsadas e inversamente proporcional aos números 2, 3 e 6, respectivamente, e que Antônio ganhou R$ 12.000,00, mais que Pedro. O valor do prêmio foi de R$: Solução: João – J · ⋅ ∴ 12 1 2 k J = 6k Pedro – P · ⋅ ∴ 6 1 3 k P = 2k Antônio – A · ⋅ 18 1 6 k = 6 1 3 k +12.000 18 1 ⋅ 6 k = 6 1 3 k +12.000 3k = 2k + 12.000 3k - 2k = 12.000 ∴ k = 12.000 86 Matemática teremos: João = 6k = 6 x 12.000 = 72.000 Pedro = 2k = 2 x 12.000 = 24.000 Antônio = 2k + 12.000 = 2 x 12.000 + 12.000 = 36.000 Total do prêmio = 132.000 7. Dois amigos constituem uma sociedade participando o 1° com R$ 10.000,00 e o 2° com R$ 8.000,00. Após 10 meses de existência da empresa, o 1° sócio aumentou seu capital em mais R$ 5.000,00. Decorridos 2 meses dessa data o 2° sócio retirou R$ 2.000,00 de sua cota inicial. Sa- bendo-se que ao final de 2 anos apurou-se um lucro de R$ 23.900,00. Ao 2° sócio coube a participação no lucro de: (R$). Solução: x = R$ 10.000 . 10 + R$ 15.000 . 14 ∴ x = 310.000 k y = R$ 8.000 . 12 + R$ 6.000 . 12 ∴ y = 168.000 k x + y = 478.000 k 23.900 = 478.000 k k · ∴ 23 900 . 478.000 k = 0,05 logo: y = 168.000 x 0,05 y = R$ 8.400,00 8. Uma pessoa deseja repartir 135 balas para duas crianças, em partes que sejam ao mesmo tempo proporcionais diretamente 2/3 e 4/7 e inversamente a 4/3 e 2/21. Quantas balas cada criança receberá ? Solução: x · ⋅ 2 3 9k 4 y · ⋅ 4 7 21k 2 x + y = 135 logo: x k · 3 2 y = 6k 135 3 6 · + k k 2 15 135 k 2 k = 135 2 15 · ⇒ ⋅ k = 18 87 Matemática Logo: x k · ⇒ ⋅ 3 3 2 x = 2 18 x = 27 y = 6k ⇒ y = 6 . 18 y = 108 9. Dividir o número 570 em três partes, de tal forma que a primeira esteja para a segunda como 4 está para 5, e a segunda esteja para a terceira como 6 está para 12. Nestas condições, a terceira parte vale: Solução: Sejam as partes x , y e z Logo : x y y = 4 5 x = 5 ⇒ 4 y z = 6 12 y = 12 z = z 2 ⇒ 6 x + y + z = 570 Logo: x z · ⋅ ∴ 4 2 2 5 y = 4 5 x = 5 z Se: x + y + z = 570 2 570 5 z + z 2 + · z 4 5 10 z z z + + 10 = 570 19 570 10 10 z = 570 z = 19 ⇒ ⋅ z = 300 10. Uma herança de R$ 200.000,00 foi dividida entre três irmãos, de acordo com suas idades e de tal forma que ao mais velho caberia a maior parcela e ao mais novo a menor parcela. Juntos, os irmãos mais velhos receberam R$ 150.000,00. Sabendo-se que a soma das idades dos três irmãos é de 40 anos, a idade do irmão mais novo, contada em anos é: 88 Matemática Solução: t 1 , t 2 , e t 3 as idades dos irmãos, e x, y e z as respectivas parcelas, onde: t 1 < t 2 < t 3 Então temos: x + y + z = 200.000 y + z = 150.000 logo: x = 50.000 Temos ainda que: t 1 + t 2 + t 3 = 40 Como “ao mais velho caberia a maior parcela“ temos que a divisão é diretamente proporcional as idades. Logo x = k t 1 (1) y= k t 2 (2) z= k t 3 (3) Somando (1), (2) e (3) x + y + z = k . ( t 1 + t 2 + t 3 ) ∴ 200.000 = k . 40 ∴ 40 . k = 200.000 k = 5.000 Voltando em (1) x = k . t 1 50.000 = 5.000 . t 1 5.000 . t 1 = 50.000 t 1 50 000 · ∴ . 5.000 t =10 1 Portanto, a idade do mais novo é 10 anos. 11. Três amigos “A”, “B” e “C” constituem uma sociedade que, após um ano, apura um lucro de R$ 48.000,00, cabendo ao sócio “B” R$ 16.000,00 e a “C” o valor correspondente a 1 3 de “A”. Sabendo-se que o capital de “C” é R$ 24.000,00 menor do que do “B”, o capital da empresa é de R$: Solução: Solução - Regra de sociedade lucro do 1° — x lucro do 2° — y = 16.000 lucro do 3° — x 3 89 Matemática lucro total: x + 16.000 + x 3 = 48.000 4x 3 = 32.000 x = 32.000 3 4 ⇒ ⋅ x = 24.000 Portanto, teríamos : lucro do 1° sócio = 24.000 = k . c 1 (1) lucro do 2° sócio = 16.000 = k . c 2 (2) lucro de 3° sócio = 8.000 = k . (c 2 – 24.000) (3) Dividindo (2) por (3), temos : kc 2 k (c - 24.000) = 16.000 8.000 2 ⋅ c 2 c - 24.000 = 2 c = 2c - 48.000 2 2 2 ∴ c 2 = 48.000 Daí substituindo c 2 em (2), temos : k . c2 = 16.000 48.000 . k = 16.000 k · ∴ 16 000 . 48.000 k = 1 3 Substituindo k em (1), temos: k . c 1 = 24.000 1 3 c = 24.000 c = 24.000 3 c = 72.000 1 1 1 ⇒ ⋅ ∴ Portanto, temos: Capital do l°sócio R$ 72.000,00. Capital do 2°sócio R$ 48.000,00. Capital do 3°sócio RS 24.000,00. Total R$ 144.000,00 90 Matemática REGRA DE TRÊS SIMPLES Chamamos de problemas de regra de três ao tipo de problemas que envolvem grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. Vamos iniciar esta seção com um exemplo simples: EXEMPLO: 24 operários fizeram 60 metros de um muro. Quantos operários, nas mesmas condições, farão 90 metros do mesmo muro? Solução: O caminho para resolver será mais fácil se você se concentrar nas variáveis, veja então que as variáveis são operários e metros do muro. Analise então que, quanto mais (menos) metros de muro tiverem que ser construídos, mais (menos) operários serão necessários. Observamos que quanto mais cresce (ou diminue) a variável metros do muro mais cresce (ou diminue) a variável operários. Isto é, quanto maior for o muro mais operários serão necessários. Logo, as duas variáveis tem o mesmo sentido. Neste caso, com o mesmo sentido, fixamos um sentido para a variável que possui a incógnita (veja a figura), e como possuem o mesmo sentido repetimos o sinal da figura. Operários Metros de Muro Agora colocamos os dados Operário Metros de Muro 24 x 60 90 Como o sentido é o mesmo, mantemos a razão: 24 60 90 x · Agora é só resolver 60x = 24 x 90 x = 36 operários Agora vamos criar um algoritmo para resolver. 1°. Leia o problema e escreva todas as variáveis envolvidas. Operários Metros de Muro 2°. Veja em que sentido elas variam, fazendo uma pergunta, por exemplo “ quanto mais metros de muro temos que fazer, mais ou menos operários precisamos?”. Resposta: “mais operários” . Logo, verifica-se que têm o mesmo sentido, as variáveis. 91 Matemática 3°. Desenhe o sentido das variáveis, Operários Metros de Muro 4°. Coloque agora os dados. Operários Metros de Muro 24 x 60 90 5°. Escreva a razão da variável que possui a incógnita e o sinal de “ = ”. 24 x · 6°. Se possui o mesmo sentido mantenha a razão da outra. 24 60 90 x · 7°. Agora resolva a operação 60x = 24 x 90 x = 36 operários EXEMPLO: Um funcionário recebeu R$ 960,00 por 24 dias de trabalho. Quanto deveria receber se trabalha-se 30 dias ? Solução: 1°. Leia o problema e escreva todas as variáveis envolvidas. Salário Dias 2°. Quanto mais dias se trabalha, mais ou menos salários devemos receber ? Resposta: mais salários; logo, temos o mesmo sentido para as variáveis. Salário Dias 3°. Vamos colocar os dados. Salário Dias 960 x 24 30 4°. A razão da variável que possui a incógnita (Salário) e o sinal de “ = ” 960 x = 5°. Como as variáveis possuem o mesmo sentido, mantemos a razão da outra variável. 960 24 30 x · 92 Matemática 6º. 24x = 960 x 30 x · ⋅ 960 30 24 x = R$ 1.200,00 EXEMPLO: 24 operários fazem um serviço em 40 dias. Em quantos dias 30 operários farão o mesmo serviço? Solução: 1°. Escreva as variáveis Operários Dias 2°. Quanto mais operários trabalham, menos dias vão levar para terminar. Logo, observe que o sentido é oposto, logo escolha um sentido para cada variável. Operários Dias 3°. Coloque os dados: Operários Dias 24 30 40 x 4°. Escreva a razão da variável que possui a incógnita e "=" 40 x · 5°. Como o sentido é "contrário", inverta a razão da outra variável e iguale 40 30 24 x · logo: 30x = 40 x 24 ∴ 30x = 960 ∴ x = 32 dias REGRA DE TRÊS COMPOSTA Os problemas de regra de três que possuem mais de duas variáveis, são conhecidos como problemas de regra de três composta. EXEMPLO: Em 30 dias, 24 operários asfaltaram uma avenida de 960 metros de comprimen- to por 9 metros de largura. Quantos operários seriam necessários para fazer um asfaltamento, em 20 dias, de 600 metros de comprimento por 10 metros de largura. 93 Matemática Solução: 1º. Primeiramente vamos escrever as variáveis envolvidas no enunciado. DIAS OPERÁRIOS COMPRIMENTO LARGURA 2º. Vamos colocar os dados e a incógnita do problema. DIAS OPERÁRIOS COMPRIMENTO LARGURA 30 24 960 9 20 x 600 10 3°. Vejamos qual a variável que possui a incógnita e a relação (direta ou inversa) entre ela e as outras variáveis. • Quanto mais dias tenho de prazo, menos operários preciso. (Relação inversa). • Quanto mais comprido for o asfaltamento mais operários preciso para realiza-lo. • Quanto mais largo for o asfaltamento mais operários eu preciso. 4º. Vamos escrever a razão da variável "operários" e considerar as outras razões, no produto delas, conforme a relação direta ou inversa. DIAS OPERÁRIOS COMPRIMENTO LARGURA 30 20 24 x 960 600 9 10 24 20 30 960 600 9 10 x · ⋅ ⋅ Simplificando: 24 2 3 96 60 9 10 x · ⋅ ⋅ Simplificando, ainda temos: 24 2 3 96 60 9 10 1 24 8 15 5 3 x · / ⋅ ⋅ / 24 2 8 3 5 10 48 50 x · ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ · 24 x 48x = 24 x 50 48x = 1.200 x = 25 operários 94 Matemática EXEMPLO: Um gramado de 720m 2 foi podado por dois homens, que trabalharam 6 horas por dia durante 2 dias. Quantos metros quadrados três homens conseguiriam podar se trabalhassem 8 horas por dia durante 3 dias. Solução: Vejamos as variáveis e os dados do problema. GRAMADO HOMENS HORAS POR DIA DIAS 720 2 6 2 x 3 8 3 Vejamos as relações entre a variável Gramado e as outras. • Quanto mais Gramado podado mais homens serão necessários. • Quanto mais horas por dia os homens trabalharem mais Gramado seria podado. • Quanto maior for o Gramado, mais dias de trabalho serão necessários. GRAMADO HOMENS HORAS POR DIA DIAS 720 x 2 3 6 8 2 3 720 2 3 6 8 2 3 x · ⋅ ⋅ 720 24 72 x · 24x = 720 x 72 x = 2.160 m 2 EXEMPLO: 24 operários fazem 2 5 de determinado serviço em 10 dias, trabalhando 7 horas por dia. Em quantos dias a obra estará terminada, sabendo-se que foram dispensados 4 operários e o regime de trabalho diminuído de 1 hora por dia. Solução: Vejamos as variáveis. OPERÁRIOS DIAS HORAS POR DIA SERVIÇO Antes de colocar os dados, veja que se 2 5 do serviço foi feito, então falta 3 5 para terminar a obra, logo: OPERÁRIOS DIAS HORAS POR DIA SERVIÇO 24 20 10 x 7 6 2 5 3 5 95 Matemática 10 20 24 6 7 2 5 3 5 x · ⋅ ⋅ Calculando: 2 5 3 5 2 5 5 3 2 3 · / ⋅ / · 10 20 24 6 7 2 3 10 21 x · ⋅ ⋅ ⇒ · 10 x x = 21 dias EXEMPLO: Se 2 3 de uma obra foi realizada em 5 dias por 8 operários trabalhando 6 horas por dia, o restante da obra será feito, agora com 6 operários, trabalhando 10 horas por dia, em quantos dias? Solução: Evidente que teremos OBRA DIAS OPERÁRIOS HORAS POR DIA 2 3 1 3 5 x 8 6 6 10 Observe que: • Quanto maior for a obra mais dias serão necessários. • Quanto mais operários estão trabalhando menos dias serão necessários. • Quanto mais horas por dia trabalharem menos dias serão necessários. 5 6 8 10 6 2 3 1 3 x · ⋅ ⋅ 5 2 1 6 8 10 6 x · ⋅ ⋅ 5 120 48 x · 120x = 5 . 48 x = 2 dias EXEMPLO: Uma empresa se compromete a realizar uma obra em 30 dias, iniciando-se a obra com 12 operários, trabalhando 6 horas dia. Decorridos 10 dias, quando já havia realizado 1/3 da obra, a empresa teve que colocar 4 operários para outro projeto. Nessas condições para terminar a obra no prazo pactuado, a empresa deve prorrogar o turno por mais: 96 Matemática Solução: Regra de três composta. OBRA DIAS OPERÁRIOS HORAS/DIA 1 2 3 30 20 12 8 6 x 6 1 20 30 8 12 2 3 x · ⋅ ⋅ 6 8 12 x · ⇒ 8x = 72 x = 9 horas/dia Portanto, a empresa deve prorrogar o turno por mais 3 horas. EXEMPLO: Um grupo de 10 trabalhadores pode fazer uma estrada em 96 dias, trabalhando 6 horas por dia. Se o mesmo grupo trabalhar 8 horas por dia, a estrada será conclu- ída em: Solução: TRABALHADORES DIAS HORAS/DIA 10 96 6 10 x 8 Trata-se de regra de três, quanto mais horas/dias, será preciso menos dias. Daí teremos: TRABALHADORES DIAS HORAS/DIA 10 10 96 x 6 8 Logo: 96 10 10 8 6 x · ⋅ ⇒ ⋅ ∴ x = 96 6 8 x = 72dias EXEMPLO: 12 pedreiros constroem 27m 2 de um muro em 30 dias, de 8 horas. Quantas horas devem trabalhar por dia 16 operários, durante 24 dias, para construírem 36m 2 do mesmo muro? Solução: PEDREIROS MURO DIAS HORAS/DIA 12 16 27 36 30 24 8 x 8 16 12 27 36 24 30 x · ⋅ ⋅ 97 Matemática 8 4 5 x · x = 10 horas/dia EXEMPLO: Um criador sabe que 900 frangos consomem, em 30 dias, 8,1 toneladas de ra- ção. Ele adquiriu 1.000 frangos e 10,5 toneladas de ração. Considerando-se que o agricultor pretende abater essas aves daqui a 40 dias, quando elas estiverem no peso ideal, o criador para que não falte alimento as aves, deve comprar, adicionalmente, a quantidade de ração em Kg. de: Solução: FRANGOS DIAS RAÇÃO 900 1000 . 30 40 81 , x 81 900 1000 30 40 9 10 3 4 , . x · ⋅ ⇒ · ⋅ 8,1 x 81 27 40 40 , x · ∴ ⋅ 27x = 8,1 x = 12 toneladas ou x = 12.000 kg. Deve o agricultor adicionar : 12.000 – 10.500 = 1.500 kg. 98 Matemática Sistema do 1º grau Um sistema de equações do 1º grau com n variáveis, é um conjunto de equações do tipo a i1 . x 1 + a i2 . x 2 + ... a in . x n = b i onde i ∈ * Ν e a i1 , a i2 ... a in são números reais. Vamos concentrar nossa atenção somente nos sistemas com duas variáveis. EXEMPLOS: a. x y x y − · + · ¹ ' ¹ 1 2 7 b. 2 4 10 12 4 4 x y x y + · − · ¹ ' ¹ Queremos, no caso de duas variáveis, achar os valores de x e y que satisfazem a todas as equações, simultaneamente. MÉTODOS DE RESOLUÇÃO 1º. Método da substituição Expressamos uma das variáveis em função da outra, então substituímos esta função na outra equação. Teremos então uma equação com apenas uma incógnita. Resolvendo esta equação chegamos a solução parcial do sistema, bastando apenas substituir o valor encontrado na expressão inicial para encontrar a solução final. Exemplo Vamos encontrar a solução do seguinte sistema de equações do 1º grau. x y x y − · + · ¹ ' ¹ 1 2 7 Vamos expressar a variável x em função da variável y, na primeira equação x y x y − · + · ¹ ' ¹ ⇒ 1 2 7 x = 1+ y (*) Substituindo a expressão da variável x na segunda equação teremos x + 2y = 7 1 + y + 2y = 7 1 + 3y = 7 ∴ 3y = 7-1 ∴ 3y = 6 y = 3 6 ∴ y = 2 99 Matemática Encontramos o valor da incógnita y (y=2). Substituindo y = 2 na equação (*) temos x = 1+y x = 1+2 x = 3 Logo, a solução do sistema é: x = 3 e y = 2 EXEMPLO: Encontrar a solução do sistema de equação do 1º grau. 2 4 10 12 4 4 10 4 2 x y x y y + · − · ¹ ' ¹ ⇒ ⇒ · − ⇒ 2x = 10 - 4y x x = 5 - 2y (*) Substituindo (*) na segunda equação temos: 12x - 4y = 4 12 (5-2y) - 4y = 4 60 - 24y - 4y = 4 60 - 28y = 4 ∴ -28y = 4-60 ∴ -28y = -56 y · − − 56 28 ∴ y = 2 Substituindo o valor de y (y=2) na equação (*) temos: x = 5-2y ∴ x = 5 - 2 × 2 ∴ x = 5 - 4 x = 1 Logo, a solução do sistema é: x = 1 e y = 2 2º. Método da comparação Expressamos a mesma incógnita em todas as equações e igualamos as expressões. Encontramos assim uma das incógnitas. Para encontrar a solução da outra incógnita basta substituir o valor encontrado em uma das expressões anteriores. EXEMPLO: Vamos encontrar a solução do seguinte sistema de equações do 1º grau. x y x y y y − · ⇒ + · ⇒ ¹ ' ¹ ⇒ + · − 1 2 7 1 7 2 x =1+ y (*) x = 7 - 2y 1+y+2y=7 ∴ 1+3y=7 ∴ 3y=7-1 ∴ 3y = 6 ∴ y · 6 3 ∴ y = 2 100 Matemática Substituindo y = 2 em (*) temos x = 1+y ∴ x=1+2 ∴ x=3 Logo a solução é: x = 3 e y = 2 EXEMPLO Vamos encontrar a solução do seguinte sistema de equações do 1º grau. 2 4 10 12 4 4 4 4 12 x y x y y + · ⇒ − · ⇒ ¹ ' ¹ · + ⇒ ¹ ' ¹ ¹ ¹ x = 10 - 4y 2 x x = 5 - 2y (*) x = 1+ y 3 (**) Igualando (*) e (**) temos 5 2 1 3 − · + y y 3(5-2y) = 1 + y 15 - 6y = 1 + y -7y = -14 ∴ y · − − 14 7 ∴ y = 2 Substituindo y=2 em (*) teremos x = 5 - 2y x = 5 - 2 × 2 x = 5 - 4 x = 1 Solução: x = 1 e y = 2 3º. Método de redução ao mesmo coeficiente Comparamos as duas equações de modo que possuam o mesmo coeficiente para a mesma incógnita. Eliminamos então esta incógnita obtendo assim a solução da outra. Após obter esta solução procedemos como no caso anterior. Alguns exemplos para facilitar a compreensão. Exemplo: x y x y − · + · ¹ ' ¹ 1 2 7 Multiplicando a primeira equação por 2 teremos: 2 2 2 2 7 x y x y − · + · ¹ ' ¹ 101 Matemática Somando as equações: 2 2 2 2 7 x y y − · + · ¹ ' ¹ ∴ x + 3x = 9 x = 3 Substituindo x = 3 na primeira equação: x - y = 1 3 - y = 1 - y = 1-3 - y = -2 y = 2 Solução x = 3 e y = 2 EXEMPLO 2 4 10 4 4 x y x y + · − · ¹ ' ¹ 12 Somando as duas equações: 2 4 10 4 4 x y x y + · − · ¹ ' ¹ ∴ 12 + 14x = 14 x =1 Substituindo x = 1 na primeira equação: 2x + 4y = 10 2×1 + 4y = 10 2 + 4y = 10 4y = 10 - 2 4y = 10 - 2 4y = 8 ∴ y = 2 Solução x = 1 e y = 2 EXEMPLO 2 6 18 4 11 x y x y + · + · ¹ ' ¹ Calculando o MMC (6,4) = 12, vemos que basta multiplicar a primeira equação por 2 e a segunda equação por 3. Obtemos então 4 12 36 3 12 33 x y x y + · + · ¹ ' ¹ 102 Matemática Subtraindo as equações temos 4 12 36 3 12 33 x y x y + · + · ¹ ' ¹ - x = 3 Substituindo na 1ª equação Obtemos 2x + 6y = 18 2×3 + 6y = 18 ∴ 6 + 6y = 18 ∴ 6y = 18 - 6 6y = 12 ∴ y = 2 TIPOS DE SISTEMA a. Sistema possível e determinado É o sistema que possui apenas uma solução possível. Podemos representá-lo por duas retas concorrentes. b. Sistema possível e indeterminado O sistema é possível e indeterminado quando uma equação for resultado da multiplicação da outra por uma constante. Neste caso cada equação representa a mesma reta. Há infinitas soluções. c. Sistema impossível Neste caso o sistema não possui solução. As equações representam retas paralelas. 103 Matemática EXERCÍCIOS 01. Resolva os sistemas: a. x y x y + · − · ¹ ' ¹ 7 1 Resposta: x=4 e y=3 b. x y x y + · − · ¹ ' ¹ 2 11 2 Resposta: x=5 e y=3 c. x y x y + · + · ¹ ' ¹ 4 18 2 3 21 Resposta: x=6 e y=3 d. 3 7 23 2 3 23 x y x y − · + · ¹ ' ¹ Resposta: x=10 e y=1 e. 2 5 13 3 13 x y x y + · + · ¹ ' ¹ Resposta: x=4 e y=1 f. x y z z u x y z u u x y + + · + + · + + · + + · ¹ ' ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ 6 3 4 5 Resposta: x=2; y=3; z=1 e u=0 g. x y xy + · · ¹ ' ¹ 3 2 Resposta: x=1 e y=2 ou x=2 e y=1 h. x y xy + · · ¹ ' ¹ 5 6 Resposta: x=2 e y=3 ou x=3 e y=2 i. α β αβ + · · ¹ ' ¹ 10 25 Resposta: α = 5 e β = 5 j. x y x u y z z u + · + · + · + · ¹ ' ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ 4 3 3 8 Resposta: Impossível 104 Matemática Potenciação e Radiciação POTENCIAÇÃO Seja “a” um número real diferente de zero e n um número natural positivo. Então, a n = a . a . a . a ....... a n vezes POR DEFINIÇÃO a 1 = a e a 0 = 1 EXEMPLO a. 3 4 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81 b. 2 10 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1.024 a -n = 1 a n EXEMPLO a. 2 1 2 1 8 3 3 − · · b. 4 1 4 1 64 3 3 − · · PROPRIEDADES: a ∈ R, a≠ 0 m, n ∈ N 1. a m . a n = a m+n 2. a a a m n m n · − 3. (a ) . m n mn a · 4. (ab) . n n n a b · 5. a b a b n n n | . ` , · 6. a b b a n n | . ` , · | . ` , − 1 2 44 3 4 4 105 Matemática EXEMPLO a. 2 2 . 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 = 32 b. 3 3 3 3 9 6 4 6 4 2 · · · − c. ( ) 3 3 81 2 2 4 · · d. (2.3) 3 = 2 3 . 3 3 = 8 x 27 = 216 e. 6 2 6 2 36 4 9 2 2 2 | . ` , · · · f. 3 5 5 3 5 3 25 9 2 2 2 2 | . ` , · | . ` , · · − RADICIAÇÃO Seja a ∈ R e n ∈ N, n > 1 chamamos a n de raiz n-ézima de a, tal que a b a b n n · ⇔ · onde b ∈ R. Exemplo a. 8 2 3 · pois 8 = 2³ b. − · − 64 4 3 pois -64 = (-4)³ PROPRIEDADES 1. a a m n m n · 2. a b ab n n n · 3. a b a b n n n · 4. a a m n nm · EXEMPLO a. 2 2 2 8 12 4 12 4 3 · · · b. 16 81 16 81 4 4 4 ⋅ · ⋅ = 2.3 = 6 c. 2 3 2 3 3 3 3 · d. 10 10 4 3 12 · PRODUTOS NOTÁVEIS Sejam a e b números reais então: 1. (a + b)² = a² + 2ab + b² 2. (a - b)² = a² - 2ab + b² 3. (a + b) (a - b) = a² - b² 4. (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ 5. (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ 106 Matemática 6. a³ - b³ = (a - b) (a² + ab + b²) 7. a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²) EXERCÍCIOS 1. Fatore: a. x² - 9 b. x² - 2xy + y² c. a² + 6a + 9 d. ab + ac + bc + b² e. m²x² - n²y² f. x 2m - y 2n g. x 5 - 1 h. x 5 + 1 i. x² + 2x + 1 - y² j. x 4 - y 4 Solução a. x² - 9 = (x-3) (x+3) b. x² - 2xy + y² = (x - y) 2 c. a² + 6a + 9 = (a + 3) 2 d. ab + ac + bc + b² = a (b+c) + b(c+b) = = a (b+c) + b(b+c) = = (a+b) (b+c) e. m²x² - n²y² = (mx - ny) (mx + ny) f. x 2m - y 2n = (x m - y n ) (x m + y n ) g. x 5 - 1 = x 5 + x 4 - x 4 + x 3 - x 3 + x 2 - x 2 + x - x - 1 = = x 5 - x 4 + x 4 - x 3 + x 3 - x 2 + x 2 - x + x - 1 = = x 4 (x - 1) + x 3 (x - 1) + x 2 (x - 1) + x (x - 1) + (x - 1) = = (x - 1) [x 4 + x 3 + x 2 + x + 1] h. x 5 + 1 = x 5 + x 4 - x 4 + x 3 - x 3 + x 2 - x 2 + x - x + 1 = = x 5 + x 4 - x 4 - x 3 + x 3 + x 2 - x 2 - x + x + 1 = = (x 5 + x 4 ) - (x 4 + x 3 ) + (x 3 + x 2 ) - (x 2 + x) + (x + 1) = = (x+1) [x 4 - x 3 + x 2 - x + 1] i. x² + 2x + 1 - y² = (x+1) 2 - y 2 = = (x + 1 - y) (x + 1 + y) j. x 4 - y 4 = (x 2 - y 2 ) (x 2 + y 2 ) = = (x - y) (x + y) (x 2 + y 2 ) 107 Matemática Equação do 2º grau TRINÔMIO DO 2º GRAU Chamamos de trinômio do 2º grau a função y = a x 2 + bx + c, a ≠ 0. Chamamos os valores de x para o qual ax 2 + bx + c = 0 de raízes da equação do segundo grau. Chamamos de discriminante ao termo b 2 - 4ac, e representamos por ∆ , isto é, ∆ = b 2 - 4ac. • Se ∆ > 0, então existem duas raízes reais e distintas. Neste caso as raízes são x b a I · − − ∆ 2 e x b a II · − + ∆ 2 • Se ∆ = 0, então existem duas raízes reais e iguais Neste caso as raízes são x x b a I II · · − 2 • Se ∆ < 0, não existem raízes reais. EXEMPLO Calcule as raizes de: a. x 2 - 3x + 2 = 0 a = 1 b = -3 c = 2 ∆ = b 2 - 4ac = (-3) 2 - 4.1.2 = 9-8 = 1 ∆ = 1 > 0 existem duas raízes reais e distintas Logo x b a x b a I II · − − · − − − · − · · · − + · − − + · + · · ∆ ∆ 2 3 1 21 3 1 2 2 2 1 2 3 1 21 3 1 2 4 2 2 ( ) . ( ) . Resposta {1, 2} b. 4x 2 - 4x + 1 = 0 a = 4 b = -4 c = 1 ∆ = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4.4.1 = 16 - 16 = 0 ∆ = 0, existem duas raízes reais e iguais Logo x x b a I II · · − · − − · · 2 4 2 4 4 8 1 2 ( ) . Resposta 1 2 1 2 ; ¹ ' ¹ ¹ ' ¹ 108 Matemática c. 9x 2 + 6x + 6 = 0 a = 9 b = 6 c = 6 ∆ = b 2 - 4ac = 6 2 - 4.9.6 = 36 - 216 = -180 ∆ = -180 < 0 então não existem raízes reais SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES Seja ax 2 + bx + c = 0, com x I e x II raízes. Então a soma das raízes é: S = x I + x II = − b a O produto das raízes é: P = x I . x I = c a EXEMPLO Qual a soma e o produto das raízes: a. x 2 - 5x + 6 = 0 S = − b a = − − ( ) 5 1 = 5 P = c a = 6 1 = 6 b. 4x 2 + 4x + 1 = 0 S = − b a = − 4 4 = -1 P = c a = 1 4 GRÁFICOS DO TRINÔMIO DO 2º GRAU CASO I - (a>0 e ∆ > 0) Neste caso teremos uma parábola de mínimo, onde o vértice será V ( − b a 2 , − ∆ 4a ) 0 C y x V x I x II 4a D 2a b 109 Matemática CASO II - (a>0 e ∆ =0) Neste caso teremos também uma parábola de mínimo, onde o vértice será V ( − b a 2 , 0 ) CASO III - (a>0 e ∆ < 0) Neste caso teremos também uma parabólica de mínimo, onde o vértice será V ( − b a 2 , − ∆ 4a ) CASO IV - (a<0 e ∆ > 0) Neste caso teremos uma parábola de máximo, onde o vértice será V ( − b a 2 , − ∆ 4a ) 0 = = C y x x I x II 2a b 0 C y x 2a b 4a ∆ 0 C xI xII y x V 2a b 4a ∆ 110 Matemática CASO V - (a<0 e ∆= 0) Neste caso teremos também uma parábola de máximo, onde o vértice será V ( − b a 2 , 0 ) CASO V I - (a < 0 e ∆ < 0) Neste caso teremos também uma parábola de máximo, onde o vértice será V ( − b a 2 , − ∆ 4a ) INEQUAÇÃO DO 2º GRAU Seja y = ax 2 + bx + c 1º caso ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ > 0 Se ∆ > 0 então existem duas raízes reais e distintas (x I e x II ) então sinal de a sinal contrário de a sinal de a x I x II Isto é, Entre as raízes sinal contrário ao de a, fora do intervalo das raízes sinal de a. 0 C y x 2a b 4a ∆ 0 C xI xII = = y x 2a b 111 Matemática EXEMPLO Calcule x 2 - 3x + 2 > 0 Observe que a = 1, b = -3, c = 2 Calculando as raízes teremos x I = 1 e x II = 2 como o sinal de a é positivo teremos logo + — + 1 2 x<1 ou x>2 2º Caso ∆ ∆∆ ∆∆ < 0 Como ∆ < 0, então não existem raízes reais, daí o trinômio sempre terá o sinal de a. EXEMPLO Seja y = x 2 + 2x + 2 a = 1 b = 2 c = 2 ∆ = b 2 - 4ac = 2 2 - 4.1.2 = 4 - 8 = -4 ∆ = -4 < 0 Como a = 1 > 0 e ∆ < 0 então y = x² + 2x + 2 sempre é positivo. Exemplo Resolva x 2 - 5x + 6 < 0 Vamos achar as raízes a = 1>0 b = -5 c = 6 as raízes são x I = 2 e x II = 3 logo + — + 2 3 logo: 2 < x < 3 112 Matemática EXEMPLO x x x 2 7 12 1 − + − >0 x 2 - 7x + 12 > 0 Raízes de x 2 - 7x + 12 = 0 são x I = 3 e x II = 4 Raiz de x-1=0 é x=1 1 3 4 x-1 - + + + x 2 - 7x + 12 + + - + x x x 2 7 12 1 − + − - + - + Resposta 1< x < 3 ou x > 4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. Se o gráfico da função y = ax 2 + bx + c (sendo a, b, c, números reais) for tangente ao eixo dos x, então pode-se afirmar que: a. b 2 > 4 ac b. b 2 < 4 ac c. b = 4a + ac d. 4 ac = b 2 e. c = 0 Resposta “D” 02. O gráfico do trinômio do 2º grau ax 2 - 10x + c é o da figura: 0 y x -9 5 113 Matemática Podemos concluir que: a. a = 1 e c = 16 b. a = 1 e c = 10 c. a = 5 e c = 10 d. a = -1 e c = 10 e. a = -1 e c = 16 Resposta “A” 03. (FMU/FIAM) Dada a função f(x) = ax 2 + bx + c com a < 0 e c> 0, podemos concluir que o gráfico desta função: a. intercepta o eixo dos x em um único ponto b. é tangente do eixo horizontal c. não intercepta o eixo dos x d. é secante ao eixo horizontal e o intercepta em dois pontos de abscissas positivas ambas e. corta o eixo horizontal em dois pontos de abscissas positiva e negativa. Resposta “E” 04. (MACK) Considere a função, de R em R, definida por y = ax 2 + bx + c, onde b 2 - 4ac < 0 e a < 0. Então: a. y > 0 se x for interior ao intervalo das raízes b. y > 0 se x for exterior ao intervalo das raízes c. y < 0 para todo 0 x ∈ R d. y > 0 para todo 0 x ∈ R e. existe um único x ∈ R tal que y = 0 Resposta “C” 05. (CESESP) Assinale a alternativa correspondente aos valores de x, para os quais a função f: R⇒ R e f(X) = − 2x 3 + 1 4 é sempre negativa: a. ∀ ∈ℜ x b. x ≥ 3 8 c. x > 3 8 d. x ≠ 0 e. / ∃ ∈ℜ − + < x x 2 3 1 4 0 Resposta “C” 114 Matemática 06. A função y = x 2 - 1 a. toma valores positivos, se -1 < x < 1 b. toma valores negativos, se -1 < x < 1 c. toma valores negativos, se x < -1 ou x >1 d. toma valores não negativos, qualquer que seja o valor atribuído a x e. toma valores não positivos, qualquer que seja o valor atribuído a x Resposta “B” 07. (PUC) O trinômio -x² + 3x - 4: a. é positivo para todo número real x b. é negativo para todo número real x c. muda de sinal quando x percorre o conjunto de todos os números reais d. é positivo para 1 < x < 4 e. é positivo para x<1 ou x>4 Resposta “B” 08. (CESESP) Seja f a função quadrática definida por f(x) = -3x² + 6x - 3. Qual dentre as seguintes alternativas é verdadeira? a. Qualquer que seja o valor atribuído a x, a função toma sempre um valor menor ou igual a zero b. a função toma valores positivos para os valores de x tais que -2 < x < 1 c. a função toma valores positivos para os valores de x tais que x < -2 ou x > 1 d. para qualquer valor atribuído a x, a função toma sempre um valor maior ou igual a zero e. a função toma valores negativos apenas para os valores de x tais que -1 < x < 1 Resposta “A” 09. (CESGRANRIO) O conjunto da solução da inequação x² - 3x < 10 é: a. ] - ∞ , -2 [ b. ] - ∞ , -2 [ ∪ ] 5, + ∞ [ c. ] -2, 5 [ d. ] 0, 3 [ e. ] 3, 10 [ Resposta “C” 115 Matemática 10. (PUC) Para qual dos seguintes conjuntos de valores de m o polinômio P(x) = mx² + 2 (-m -2) x + m² + 4 é negativo quando x = 1? a. 1 < m < 2 b. -1 < m < 2 c. -5 < m < -4 d. -3 < m < 2 e. 0 < m < 1 Resposta “E” 11. (FGV-SP) Sendo A o conjunto solução da inequação (x² - 5x) (x² - 8x + 12) < 0, assinale a alternativa correta: a. {x ∈ R/ o < x < 3} ⊂ A b. 0 ∈ A c. 5,5 ∈ A d. -1 ∈ A e. 9 2 ∈ A Resposta “C” 12. (PUC) Os valores de x que verificam x 5x 6 x 2 2 − + − < 0 são expressos por: a. x < 3 b. 2 < x < 3 c. x < 2 ou x > 3 d. x ≠ 2 e. x < 3 e x ≠ 2 Resposta “E” 13. (USP) A solução da inequação (x-3) (-x² + 3x + 10) < 0 é: a. -2 < x < 3 ou x > 5 b. 3 < x < 5 ou x < -2 c. -2 < x < 5 d. x > 6 e. x < 3 Resposta “A” 14. (USP) Os valores de x que satisfazem a inequação (x² - 2x + 8) (x² - 5x + 6) (x² - 16) < 0 são: a. x < -2 ou x > 4 b. x < -2 ou 4< x <5 c. -4 < x < 2 ou x > 4 d. -4 < x < 2 ou 3 < x < 4 e. x < -4 ou 2 < x < 3 ou x > 4 Resposta “D” 116 Matemática 15. (LONDRINA) Seja a função definida por f(x) = ax² + bx + c, representada na figura. Então: a. a.b < 0 b. b.c > 0 c. a.c > 0 d. a - b > 0 e. b c < 0 Resposta “A” 0 y x Matemática © 3ª Edição - 2002 R&A Editora Autor: Professor Joselias Santos da Silva Revisão: Silvio Luis Motta Editoração Eletrônica: Valquíria Farias dos Santos Capa: Studio Color Company - ( 3326.8366 Projeto Gráfico: R&A Editora R&A Editora Cursos e Materiais Didáticos Ltda Rua Sete de Abril, 230 - 11º andar - Bloco B - São Paulo - Cep.: 01044-000 Fone: (011) 3258.8153 - 3259.7703 - Fax: (011) 3214.0182 TODOS OS DIREITOS RESERVADOS. Proibida a reprodução total ou parcial, por qualquer meio ou processo, especialmente por sistemas gráficos, microfilmicos, fotográficos, repográficos, fonográficos, videográficos. Vedada a memorização e/ou a recuperação total ou parcial, bem como a inclusão de qualquer parte desta obra em qualquer sistema de processamento de dados. Essas proibições aplicam-se também às características gráficas da obra e à sua editoração. A violação dos direitos autorais é punível como crime (art. 184 e §§ do C.P.), com pena de prisão e multa, busca e apreensão e indenizações diversas (arts. 101 à 110 da Lei 9.610 de 19/02/1998, Lei dos Direitos Autorais). Impresso no Brasil Printed in Brazil R&A Editora Cursos e Materiais Didáticos Ltda.(setor gráfico) 2 Matemática Concursos Públicos MATEMÁTICA TEORIA Com mais de 500 questões resolvidas e comentadas Joselias Santos da Silva São Paulo 3 Brasil) Silva.76 4 . 1. Matemática .São Paulo : R&A Editora Cursos e Materiais Didáticos. Matemática : Concursos públicos CDD-510. Bibliografia. 1999. 1957Concursos Públicos: matemática : teoria. Título 99-2008 Índices para catálogo sistemático: 1. -.76 510. com mais de 500 questões resolvidas e comentadas / Joselias Santos da Silva.Matemática Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro. SP.Concursos públicos I. Joselias Santos da. ........... Regra de Três Simples e Composta.................................................................................................................. 63 4.....................................................Matemática Índice 1... 71 Série de Razões iguais ou porporções em série ............ 11 Números Ímpares ........................................................... 38 Medidas de Massa .......................................... área........ 32 • • • • • • Sistema Métrico Decimal ....................................................................... 32 Medidas de Superfície (área) ............................................................................................................................... capacidade.................................................................................... 53 Capitalização Simples ......................... volume....... 11 Divisibilidade ............... massa e tempo) ........... 76 5 ............................................................ 39 Medidas não decimais .................................................................................................................................................................................................................................. 7 • • • • • • • • • • • Operações e propriedades com números inteiros .................................................................................... 18 Operações nas Formas Fracionárias e Decimais ...................................................................................................................................................... 8 Números Pares ................................................... Razão e Proporção.................... Juros e Porcentagem .......... 71 • • • • Razões e Proporções ....... 51 Regime de Capitalização .................................................. As quatro operações com números inteiros..................................................... 74 Razões ....................................................................... 14 Números Compostos: ..................................................... 11 Múltiplos e Divisores .............. 51 • • • • Conceitos de Matemática Financeira ............................................ 20 2....................................... 14 Números Primos ................. 15 Máximo Divisor Comum (MDC) ............. 39 3............... Ímpares....................................................................................... 36 Medida de Volume .............. fracionários e decimais................................................. Números Pares........... 76 Divisões Proporcionais ...... 55 Porcentagem .................................................................................. Primos e Compostos...................................................................................................................... 37 Medidas de Capacidade .................. 15 Números Fracionários e Decimais .................................................... Sistema Métrico Decimal (medidas de comprimento......................................................... 15 Mínimo Múltiplo Comum (MMC) .................................. Divisões Proporcionais ......................................................................................... ............... ................................................................................. 90 • Regra de Três Composta ............................................................................... 98 6............Matemática • Regra de Sociedade ........................................................................... Questões Resolvidas e Comentadas ......................................... 92 5....... 105 • Produtos Notáveis ........................................................................................................... Potenciação e Radiciação ..................................................................................... 105 7........................................................................ 117 9...................................................................... 104 • Potenciação ................... 104 • Radiciação .................................. 107 • Inequação do 2º grau ... Equação do 2º grau ..................... 80 • Regra de Três Simples ......................................................... Sistema do 1º grau ............................................................................................................................................... 107 • Trinômio do 2º grau ..................... 285 6 ................................................................................... Bibliografia .............................................................. 110 8...................................... }. –2 . não positivos e não negativos. 2 . 4 . 4 . 0 . teremos a notação Z+. MMC e MDC. traremos a idéia de números inteiros. negativos. Os pontos marcados representam os números inteiros e observe que teremos inteiros positivos. Daí: Z = { . 2.. portanto partimos da premissa que o aluno já possui a iniciação matemática necessária ao entendimento dos assuntos abordados... Fracionários e Decimais. Ímpares.. Números Pares.. o leitor já observou que os números naturais servem para contar. } Obs. quando as primeiras civilizações começaram a contar seus rebanhos. então : N = { 0 . } Representaremos por Z– o conjunto dos números não positivos. Logo : Z+ = { 0 .. –3 . 0 } Se no conjunto dos inteiros considerarmos apenas os números não negativos. 3 . Então.. –3 –2 –1 0 1 2 3 4 . Representaremos inicialmente os números naturais: 0. .. –3 ..: Você viu que o conjunto dos inteiros não negativos é o conjunto dos naturais? 7 . Assim. 3.. 3 .Matemática As quatro operações com Números Inteiros. –1 . A seguir.. 1 . –4 .. A coleção de todos os números naturais representaremos pela letra N e chamaremos de conjunto dos números naturais.. 1. não sendo precisos detalhes triviais do 1° grau. Daí : Z– = { . Divisibilidade. e este foi o grande salto da humanidade no sentido matemático. suponha que na reta marquemos os pontos como na figura: .... –2 . Primos e Compostos. 2 .. 1 . 4 . Lembramos ao leitor que este material está voltado aos candidatos aos concursos públicos que exigem o segundo grau completo. –4 . . A matemática desenvolvida nesta apostila não terá o compromisso de ensinar os verdadeiros princípios de numeração que motivaram a criação dos números. Z é o conjunto dos números inteiros. 2 . 4. –1 . 3 . 1 . 00. } Então. 30 canetas é o resultado da adição de 10 canetas com 20 canetas. a + b = b + a A adição é comutativa. Exemplo: Uma pessoa tinha x livros. Exemplo: Uma microempresa possui 3 funcionários ( A. 3 .. B e C ). para dizer que o conjunto não possui zero.. isto é. PROPRIEDADES Sejam os números inteiros: Então: I. –2. 2 . O número não se altera quando adicionamos o 0 (zero). .. III. –3 . Ao resultado da adição chamaremos de soma. –1 } Analogamente representaremos por conjunto dos inteiros positivos a : Z*+ = {1 . 2 . –3. qual o valor da folha de pagamento da microempresa? 8 . Z* = Z – { 0 } = {. } OPERAÇÕES E PROPRIEDADES COM NÚMEROS INTEIROS A. isto é. representaremos por conjunto dos números inteiros negativos a : Z*– = { . 1 . com quantos livros ficou ? Resposta : ( x + 5 ) livros.. Ao resultado da adição chamaremos de soma. B ganha R$ 400.. Se A ganha R$ 300. Exemplo : Seja uma caixa A com 10 canetas Seja uma caixa B com 20 canetas Então.Matemática Vamos introduzir a notação com (*). a + 0 = a ( Existência do neutro).. 4 . –1 . Comprou mais 5 livros. ADIÇÃO Chamaremos de adição à operação de reunir em um só número as quantidades representadas por dois ou mais números. II.00.00 e C ganha R$ 500. o total de canetas será a adição das quantidades das caixas A e B representaremos por 10 + 20 = 30. . Representaremos a operação de adição pelo símbolo “+”.. 3.. –2 . a + b + c = a + ( b + c ) = ( a + b ) + c A adição é associativa. Ao resultado da multiplicação chamaremos de produto. MULTIPLICAÇÃO Chamamos de multiplicação à operação de realizar a adição de um número quantas vezes for o outro. 7 × 4 = 7 + 7 + 7 + 7 = 28 c. Exemplo: Suponhamos que uma pessoa tinha 40 canetas e perdeu algumas ficando com 30 canetas ao final. Aos números envolvidos na operação chamamos de fatores. Exemplo: a. Exemplo: Suponha que um vendedor ambulante tinha 50 canetas para vender.00 B.200.Matemática SOLUÇÃO A adição entre 300. Ao resultado da subtração chamaremos de diferença. 10 × 6 = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 60 PROPRIEDADES 1. 3 × 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 b. A ordem dos fatores não altera o produto (Comutativa). 400 e 500 é 300 + 400 + 500 = R$ 1. 5 × 4 × 3 = 4 × 3 × 5 = 3 × 4 × 5 = 60 2. Se durante a manhã ele vendeu 15 canetas e à tarde vendeu 18 canetas. Exemplo: a. com quantas canetas acabou o dia ? SOLUÇÃO 50 – 15 – 18 = 35 – 18 = 17 Canetas C. A operação de multiplicação representaremos pelo símbolo “×”. SUBTRAÇÃO Chamaremos subtração à operação de achar a quantidade que um número excede o outro e esta operação representaremos pelo símbolo “ – “. 2 × 3 = 3 × 2 = 6 b. Quantas canetas ela perdeu ? SOLUÇÃO A subtração entre 40 e 30 é 40 – 30 = 10 canetas perdidas. Associativa 5 × 3 × 4 × 2 = 5 × 12 × 2 = 120 9 . 9 × 98 = c. diferente de zero. 650 = 50 x 13 1 24 4 3 1 24 123 4 3 4 4 dividendo quociente divisor PROPRIEDADES 1. a×1=a 120 × 1 = 120 D. 8. 9 × 9876 = e. 882 c. Um número. 2×0=0 3×4×0=0 4.884 e. Qualquer número multiplicado por “0” tem como resultado zero. 10 .654. 9 × 9 = b. DIVISÃO Chamamos de divisão de um número (dividendo) por outro número (divisor) à operação de achar um terceiro número (quociente) tal que multiplicado pelo divisor produza o dividendo.321 = RESPOSTA a. dividido por ele mesmo é sempre igual a 1. O quociente da divisão de um número por 1 é o próprio número: 30 ÷ 1 = 30 27 ÷ 1 = 27 2. 88. O produto de qualquer número por 1 é igual ao próprio número.889. 8883 d. 20 ÷ 20 = 1 47 ÷ 47 = 1 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. 81 b. 9 × 987 = d. 9 × 987.Matemática 3.888. Efetue os produtos : a. A operação de divisão será representada pelo símbolo “ : ” Exemplo Dividir 650 por 13 é encontrar um número (50) tal que 50 multiplicado por 13 produza 650.888. 555.333 d.111. NÚMEROS ÍMPARES Chamamos de números ímpares aos números que terminam com 1.345. 1. Exemplo: a. 4 . 6 . 2. 333. 36 (3 + 6 = 9) b.232 (32 é divisível por 4) c. 12. 840 (40 é divisível por 4) b.888 ÷ 98.679 × 9 = b. 7 ou 9. 222.345.208 DIVISIBILIDADE POR 3 Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos produz como resultado um número múltiplo de 3.345.222. 888.222 c. 8 ). 4.679 × 27 = d. 111. 6 ou 8. 987.345.624 (24 é divisível por 4) 11 .888.333. DIVISIBILIDADE POR 2 Um número é divisível por 2 quando é par ( termina em 0 . b. Exemplo: a. DIVISIBILIDADE Esta parte do material irá tratar das regras que permitem dizer se um número é divisível por outro sem precisar efetuar os cálculos. 24 . 147 (1 + 4 + 7 = 12) DIVISIBILIDADE POR 4 Um número é divisível por 4 quando os 2 últimos algarismos formam um número divisível por 4.555 Efetue a divisão.765.555. 12.679 × 18 = c.679 × 45 = RESPOSTA a. 5. Efetue os produtos : a.Matemática 02. 2 .432 RESPOSTA 9 (veja exercício 01) NÚMEROS PARES Chamamos de números pares aos números que terminam com 0. 12. Exemplos: 10 . 1.111 03. 12. 3. Matemática DIVISIBILIDADE POR 5 Um número é divisível por 5 quando termina em zero ou cinco. simultaneamente. 12 .230 b. e subtraia do algarismo à esquerda. Exemplo: a. Exemplo: 8. n n 863 n 8 n n 863 – 8 X 2 = 863 – 16 = 847. 1. 324 b.345 DIVISIBILIDADE POR 6 Um número é divisível por 6. Veja como verificar: 1º Sempre separe a casa das unidades. 1. então o número original é divisível por 7. Logo: 31 – 2 X 5 = 31 – 10 = 21 3º Se o resultado for divisível por 7.638 é divisível por 7. 126 DIVISIBILIDADE POR 7 Não há regra. quando é divisível por 2 e 3. Portanto. porém vou apresentar um algoritmo que certa vez um professor me apresentou. tem que ser par e divisível por 3. Exemplo: 315 é divisível por 7. n n 31 n 5 n n 2º Multiplique o algarismo à direita da separação por 2. Exemplo: a. 14. c. 8. 1. 13 . pois 2 + 9 + 7 = 18 é divisível por 9. quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem par e a soma dos algarismos de ordem ímpar é divisível por 11. Exemplo: a. 12. pois 1 + 1 + 0 + 7 = 9 é divisível por 9. DIVISIBILIDADE POR 11 Um número é divisível por 11. 12.107 é divisível por 9. 987. Exemplo: a. DIVISIBILIDADE POR 8 Um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismos formam um número divisível por 8. Exemplo: a.927 é divisível por 11 pois. 23. b.883 é divisível por 9. b. quando a soma dos seus algarismos formam um número divisível por 9.340 é divisível por 10. DIVISIBILIDADE POR 9 Um número é divisível por 9.800 é divisível por 8. pois 8 + 8 + 8 + 3 = 27 é divisível por 9. DIVISIBILIDADE POR 10 Um número é divisível por 10 quando termina em 0 (zero). b. Exemplo: a.650 é divisível por 10. 297 é divisível por 9. Logo 8. pois 800 é divisível por 8. pois 160 é divisível por 8.638 é divisível por 7.Matemática n n 84 n 7 n n 84 – 7 X 2 = 70 é divisível por 7.160 é divisível por 8. • soma dos algarismos de ordem par: 4 + 2 = 6 • soma dos algarismos de ordem ímpar: 1 + 9 + 7 = 17 Diferença: 17 – 6 = 11 é divisível por 11. Exemplo: a. nestas condições y e z são divisores de x. 3 é divisor de 21. 10 é divisor de 0. –15 . –2 . tal que x = y . ±1 é primo. 0. Exemplo: a.. –x.... seus únicos divisores são – 14 . –4 . D (x) = { d ∈ Z | d divide x } M (x) = { m ∈ Z | m é múltiplo de x } Exemplo: a. D(3) = { –3 . 3 c. x é múltiplo de y. } NÚMEROS PRIMOS Um número inteiro x . 1. –1 . para qualquer número x ∈ Z. 3 b.} d.. 1 .293 é divisível por 11. –9 é múltiplo de 3.. (–3) d. 6 . –5 . MÚLTIPLOS E DIVISORES Sendo x e y números inteiros. 0 Observação: Indicaremos por D(x) o conjunto dos divisores de x. pois 0 = 10 .. Indicaremos por M (x) o conjunto dos múltiplos de x. 0 é múltiplo de 10 pois 0 = 10 . y são números inteiros. 2 . pois 9 = 3 .. 5 . –10 . pois 21 = 3 . (-3) d.. Se x . 3 . 2 . 10 . 7 é divisor de 21. 21 é múltiplo de 3. 1 .. 3 } c. definimos que x é múltiplo de y ou z . • soma dos algarismos de ordem par: 0 + 2 + 3 = 5 • soma dos algarismos de ordem ímpar: 9 + 9 + 9 = 27 Diferença: 27 – 5 = 22 é divisível por 11. M(–2) = { .. –2 . z. –3 . 6 } b. x ≠ 1. 0 . M(5) = { . 7 b. 21 é múltiplo de 7. 0 . pois 21 = 7 . 0 Observamos que zero é múltiplo de qualquer número inteiro. se e somente se. 3 é divisor de –9. 4 . 909. –1 . x. pois –9 = 3 . 15. pois 0 = x .Matemática Exemplo: a. se x é produto de y por um outro número inteiro z. pois 21 = 7 . 7 c. D(6) = { –6 . pois 21 = 3 . –30 . –36 . quando o MDC entre eles é um. 0 . . 3 . –24 . 24} O máximo divisor comum de 15 e 24 será o maior elemento de D (15) I D (24) = { –3 . 40 .. 4 . –8 . logo: MDC (15 . não são primos. 36 . 12 . y). Exemplo: Sejam os inteiros 15 e 24 Então... } M (8) = { . 24 . que se indica por MDC(x . 6 . o mínimo múltiplo comum entre x e y. 0 .. 8) é o menor inteiro positivo do conjunto M (6) I M (8). 5 .. 9) = 1 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) Dados dois inteiros x e y. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI Dizemos que dois inteiros são primos entre si. –1 . 15 . temos: D (15) = { –15 . 12 . 3 }.. 1 . 1.. –6 . –1 . não nulos. –8 . 24) = 3. não nulos. 3 . pois o MDC (5 .. –3 . Exemplo: 5 e 9 são primos entre si. logo o MMC (6 . 24 . –24 . 15 } D (24) = { –24 . 16 . . MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) Dados dois inteiros x e y. –12 . } M (6) I M(8) = { . –2 .. –1 . NÚMEROS COMPOSTOS: Chamamos de números pares aos números que possuem mais de dois divisores positivos. –6 . 8 . 48 . 8. –12 .. 48 . 8) = 24. –40 . 24 . 0 . –1 . 6 . 8 . 2 .Matemática Observação: Por esta definição observe que 0 . seu máximo divisor comum. –32 .. 1 . é o maior elemento do conjunto D (x) I D (y). é o menor elemento positivo do conjunto M (x) I M (y) Exemplo: Considere os inteiros 6. –24 . M (6) = { . } O MMC (6.. 18 .... –1 . –5 . –18 . –16 . –4 . 30 . –3 . 32 ... O MDC será o produto dos fatores primos comuns tomados com os menores expoentes b. Sendo assim teremos: a. em seguida. 40 20 10 5 1 2 2 2 5 72 2 36 2 18 2 9 3 3 3 1 72 = 2³ x 3² 40 = 2³ x 51 Logo: MDC (40. consideramos a decomposição nos fatores primos. Em dado momento eles se alinham no mesmo meridiano.Matemática Nota importante: Para se calcular o MDC ou MMC. 120) e MMC (72. simultaneamente. 120) = 2 x 3 = 8 x 3 = 24 MMC (72. embora em latitudes diferentes. Eles voltarão a passar. O MMC será o produto de todos os fatores primos tomados com os maiores expoentes. 120) = 23 x 32 x 51 = 8 x 9 x 5 = 360 Exemplo: Três satélites artificiais giram em torno da Terra. pelo meridiano depois de : 16 . em órbita constante. O tempo de rotação do primeiro é de 42 minutos. 72) = 2³ x 3² x 51 = 8 x 9 x 5 = 360 Exemplo: Calcule: MDC (72. Exemplo: Considere os inteiros 40 e 72. 120) 72 36 18 9 3 1 2 2 2 3 3 120 60 30 15 5 1 2 2 2 3 5 72 = 2³ x 3² 120 = 2³ x 31 x 51 3 1 MDC (72. o do segundo 72 minutos e o do terceiro 126 minutos. 72) = 2³ = 8 MMC (40. 126) = 23 x 32 x 71 = 8 x 9 x 7 = 504 min. do mesmo ponto de partida de uma pista circular. 120 d. Dai. a próxima coincidência ocorrerá daqui a: MMC (42. Calcule os minutos que levarão para se encontrar novamente. 60 e. O primeiro dá uma volta em 132 segundos e o outro em 120 segundos. Houve uma coincidência. 72. d. 22 17 . O tempo de rotação do satélite B = 72 min. a. 1. 504 min 24 min 60 8h 42 21 7 1 2 3 7 Resposta: 8h e 24 min. e. O tempo de rotação do satélite C = 126 min. 16h e 24 min 7h e 48 min 140 min 126 min 8h e 24 min SOLUÇÃO O tempo de rotação do satélite A = 42 min. decorrerão 504 minutos para que os satélites passem simultaneamente pelo mesmo meridiano. 132 c. “E” Exemplo: Dois ciclistas saem juntos.Matemática a. c.320 b. no mesmo instante e no mesmo sentido. 72 2 126 2 36 2 63 3 18 2 21 3 9 3 7 7 3 3 1 1 42 = 21 X 31 X 71 72 = 23 X 32 126 = 21 X 32 X 71 Logo. b. Matemática SOLUÇÃO O primeiro dá uma volta em 132 seg. Houve uma coincidência. a próxima coincidência ocorrerá em : MMC (132.320 seg 120 seg 0 60 22 min Resposta: 22 min. 18 . “E” 132 66 33 11 1 2 2 3 11 NÚMEROS FRACIONÁRIOS E DECIMAIS Suponha que temos uma pizza e a dividimos em 8 pedaços iguais. 1. 120) = 1.320 seg.320 seg. 120) = 23 x 31 x 51 x 111 = 1. O segundo dá uma volta em 120 seg. 120 2 60 2 30 2 15 3 5 5 1 132 = 22 x 31 x 111 120 = 23 x 31 x 51 MMC (132. Cada pedaço representa ( 1 8 (um oitavo) da pizza. a fração será chamada de fração própria. caso contrário será chamada de fração imprópria (ou mista). 100 fração decimal. c. Então o leitor tem que começar a entender que uma fração representa uma parcela (ou várias parcelas) de um todo. Quando o denominador da fração for igual a 10 ou múltiplo de 10 a fração será chamada de fração decimal.Matemática Logo. Exemplo: a. b Chamamos de a o numerador da fração e de b o denominador da fração. 5 fração ordinária. 19 . b. 10 fração decimal. 7 3 Exemplo: 3 4 4 5 9 5 10 3 (própria) (própria) (imprópria) (imprópria) r b obs: As frações impróprias são também chamadas de mistas e escritas da forma q . Seja então a fração a . d. caso contrário de fração ordinária. os três pedaços apresentados na figura acima representam 3 oitavos da pizza ( 3 8 da pizza). Quando o numerador for menor que o denominador. 1 8 4 fração ordinária. Matemática Exemplo: a. lê-se 3 inteiros e quatro quintos. 1 3 OPERAÇÕES NAS FORMAS FRACIONÁRIAS E DECIMAIS ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES Devemos primeiramente reduzir as frações a um denominador comum para depois realizar as operações necessárias. 6. 2 + 4 + 3 3 6 5 • Vamos achar o denominador comum: 3-6-5 2 3-3-5 3 1-1-5 5 1-1-1 MMC (3. 4 = 1 4 19 4 =3 5 5 7 3 c. Exemplo: a. 5) = 30 Logo: 2 4 3 2 x 10 + 4 x 5 + 6 x 3 20 + 20 + 18 58 + + = = = 3 6 5 30 30 30 30:3 = 10 30:6 = 5 30:5 = 6 20 ( ( ( 7 3 1 . 10 = 3 1 3 3 10 3 3 4 1 5 3 b. 19 4 Onde: 3 1 3 3 4 4 5 lê-se 3 inteiros e 1 terço. lê-se 1 inteiro e três quartos. 20 5 = 56 14 21 .1 . 14 58 29 29 = =1 15 30 15 15 Exemplo: 4 3 2 3 + + − 5 7 21 15 Vamos calcular o denominador comum: 5 .1 105 MMC ( 5. 7. 15 ) = 105 Logo: 105 : 5 = 21 105 : 7 = 15 105 :21 = 5 105 :15 = 7 ⇒ 4 5 21 + 3 7 15 + 2 21 5 − 3 15 7 = = 4 x 21 + 3 x 15 + 2 x 5 − 3 x 7 = 105 84 + 45 + 10 − 21 118 = 105 105 Logo. a resposta será a fração: 118 = 1 13 105 105 MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES Basta lembrar o esquema : a c a⋅c ⋅ = b d b⋅d Exemplo: 4 5 4 x 5 20 = x = 7 8 7 x 8 56 que pode ser simplificada: basta dividir o numerador e o denominador por 4.Matemática Logo.5 5 1-7-7 .21 .7 .15 3 5-7-7 . o resultado é 58 .1 7 1 . que pode ser simplificado por 2 (dividindo numerador 30 e denominador por 2). 21.1 . Calcule 3 4 de 160. 3 4 Resposta : 05. Qual o valor de X para que 5 seja 60. 3 x 160 = 3 x 40 = 120 Calcule 5 de 200. c. e. Resposta : ∴ X= 3 5 3 X = 60 ∴ X = 20 x 5 ∴ X = 100 60 x 5 3 07.Matemática DIVISÃO DE FRAÇÕES Basta lembrar o esquema: a c a d : = x b d b c Exemplo: 2 3 2 7 14 : = x = 5 7 5 3 15 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 04. Resposta : 3 x 200 = 3 x 40 = 120 5 06. b. 1  1  1  1  Qual o valor do produto :  1 −   1 −   1 −  L 1 −        3 4 5 n a. d. 1 n 2 n 2 (n − 1) n 2 n (n + 1) 3 n (n + 1) 22 . 1 8 1 c.200. 12.200. 125 b.00 6x ∴ x= 1200 ⋅ 5 .200. 6x representa R$ 1. (FUVEST) – Dividir um número por 0.000.000.00 + R$ 500.200. por quanto deveria vender a mercadoria para ganhar ½ do preço de custo? Solução Seja x o preço de custo.Matemática Solução: 08. como quero ganhar 2 do preço de custo  2  1  de 1000 .0125 equivale a multiplicá-lo por : a. 8 d.00 x = 200 .000.  1 .5 e.00.00 portanto.500.00. 6 O preço de custo é R$ 1. Um comerciante vende uma mercadoria por R$ 1. 10. Logo. 5 x = R$ 1.00. 80 23 .00 5 1 5 2 3 Isto é. temos que o preço de venda será: R$ 1.00 = R$ 1. Calcular 1  1  1   1 −  1 −  1 −  L 1 −  5  4  3  1 2 3 4 n −1 2 = = ⋅ ⋅ L n 3 4 5 n n Resposta: “B” 2 5 de 3 4 6 6 3 Resposta: = 5 ⋅ 4 = 20 simplificando por 2 temos : 20 = 10 09. x + x representa R$ 1. ganhando nessa transação 15 do preço de custo. 5 = 1. o segundo. 52 . então. Como x e y não são primos entre si. em 11 segundos e o terceiro em 12 segundos. O produto de dois números inteiros positivos. 58.dá uma volta em 10 segundos. Daí o MDC ( x . y ) = 5 Resposta: “C” 12. 5 d.0125 Logo 11. 50 d. 3 c. Como x . passarão juntos em: 24 . Resposta : “E” 0. 55 b. 40 e. 60. 60. o fator primo comum só pode ser 5. Quantas voltas terá dado cada um.dá uma volta em 12 segundos. respectivamente. Corredor B .0125 1 . 11 e. existe um fator primo comum na decomposição deles. 40.dá uma volta em 11 segundos. o máximo divisor comum desses dois números é: a. Dado que partiram juntos. 11. Numa corrida de automóveis. 36 e 32 Solução: Corredor A . 66.Matemática Solução: Dividir um número por 0. Então. 54 c. o primeiro corredor dá uma volta completa na pista em 10 segundos. até o momento em que passarão juntos na linha de saída ? a. Corredor C . 15 Solução: Sejam x e y os números inteiros positivos dados.0125 equivale a multiplicá-lo pelo inverso 1 = 80. 50. 55. que não são primos entre si. 62. é igual a 825. 45. 1 b. y = 825 = 3 . 0. A . 28 d.dará B . em 660 seg.3 3 .12 2 .1 11 . 33 Para achar o número de divisores positivos. 12 ) = 660 segundos 10 5 5 5 1 1 11 11 11 11 11 1 . 34 25 . (3 + 1) = 4 .6 2 .dará 660 = 66 voltas 10 660 = 60 voltas 11 C . 31 e. ficamos com 61 balas. 25 c.1 5 . Quantas balas tinha cada uma das 3 primeiras ? a.Matemática MMC ( 10.1 660 Logo. Temos 3 caixas com igual número de balas e mais uma com 10 balas apenas. basta somar 1 a cada expoente e multiplicá-los (3 + 1) . 23 b. tirando-se 6 balas de cada uma das caixas. 11. Quantos divisores positivos possui o número 216? Solução: Vamos decompor o número 216 216 2 108 2 54 2 27 3 9 3 3 3 1 216 = 23 . 14. 4 = 16 divisores positivos.dará 660 = 55 voltas 12 Resposta: “A” 13. O número de candidatos de cada concurso é: a. Agenor ? a. temos ( 3x + 10 ) balas nas 4 caixas. Se tirarmos 6 de cada caixa. 2. Logo. Os 3 4 dos candidatos do primeiro concurso excedem de 560 os 2 5 dos candidatos do segundo. 1. 400 Solução: Seja x o número de candidatos em cada concurso. 1.600 d. 800 e. Dois concursos têm o mesmo número de candidatos. o Sr.000 b. 5 6 26 . Agenor é 1 12 vezes o salário do Sr. 3x – 14 = 61 3x = 61 + 14 ∴ 3x = 75 x = 3 ∴ x = 25 Resposta : ”B” 15. Antenor.800 c. O salário do Sr. Antenor ganha que fração do salário do Sr. 2 3 d. ficaremos com: 3x + 10 – 24 = 3x – 14 Logo. 3x – 14 é igual a 61. Então. Logo 3 2 x− x = 560 45 54 15x − 8 x = 560 20 7x = 560 20 x= 560 ⋅ 20 7 75 x = 80 ⋅ 20 x = 1. 1 2 b 1 3 c.Matemática Solução: Seja x a quantidade de balas em cada caixa.600 candidatos Resposta: “C” 16. 15. isto é. a. –35. Antenor. 6 e 180 b.308 ) + ( –9. o salário do Sr. 20. 114 d. Antenor = 2 3 salário do Sr.100 Resposta : “E” Efetuar os cálculos: ( + 57 ) . 35 e. ( –722 ) : ( –19 ) a. 60 e 60 e.406 c. 4 11 27 . 2 e 90 d.718 b. 18 e 30 são. 19. então. Logo. Antenor. 3 b. 4 c. o salário do Sr. –16. Agenor = 3 2 salário do Sr. –684 Resposta : “B” O maior divisor e o menor múltiplo dos números 12. Agenor é 112 vezes o salário do Sr.952 d. respectivamente: a. Resposta : “C” 17. 13. o salário do Sr.166 c. Agenor é 3 2 do Sr. 35.210 b. Agenor. –33.Matemática Solução: Se o salário do Sr. Resolva a expressão: ( –25.578 e. 3 e 360 Resposta : “A” Resolver a seguinte expressão :  2 1  2 1   3 1   −  +  :  + − 1   2  4 2    3 6 18.080 ) – ( +767 ) + ( +49 ) – ( –6 ) a. 1 e 30 c. 2. Antenor. 53.44 e.5 b.83 b. a + 1 2 3 e. 52. 52. a + 1 4 9 b. 525 d. e.500 Resposta: “D” 28 . 3a + 10 10 90 d. A expressão 5  3a +  6  10 2  15  é idêntica a : a. 13 36 Resposta: “A” 22.4 + 7.25 c.250 e.05253⋅ 10 23. 10 a.28 Resposta: “B” 8 Calcular : 0. Efetuar as operações : 65. 5 3 3 16 Resposta: “A” 21.90 – ( 57.Matemática d. 37. 39. 5.52 d.60 c. 5. 15a + 2 60 15 c. 33.88 a.40 : 2 ) 1. 13. quanto receberá de troco? a. 1. 26.000.973 d. B = 22x . aumentado de 600 dá 1. R$ 9.30 c. 10. 3 . 29 . então João nasceu em: a.977 Resposta : “A” 1 25 25. R$ 9. 52 e que MMC ( A .000 d. o valor de x será: a.57 cada um. 1. 4 e. 1 b. 5 .002 b. 32 .022 c. 3 d. 1. Pagando com uma nota de R$ 10. 100 b.72 d.000 c. 1. 1.000 Resposta : “C” 27. R$ 7.000 como soma ? 28. R$ 2. 5 Resposta : “B” O terço e a metade de um número fazem juntos 860. 1.28 b.72 Resposta : “C” João é 4 anos mais velho que seu irmão José.970 c.Matemática 24. 1.042 e.975 e. 1. Qual é esse número? a. Sabendo-se que A = 2x .43 e. 1. Viviane quer comprar 4 pacotes de biscoitos que custam R$ 0. 1. 2 c.000 e. 100.032 d. 1. 1.00. B ) tem 45 divisores. R$ 7.052 Resposta : “C” Qual é o número cujo a.969 b. Se em 1995 José completou 22 anos. R$ 9.80 Resposta : “C” João e Maria são irmãos. R$ 8. A diferença entre o número de homens e o número de mulheres é de: a. quanto receberei de troco ? a. 31 e. R$ 9.40 d. R$ 9. R$ 25.58 b. R$ 5.00.70. 31.000 b. 5 anos d. 62. Quanto Viviane economizou? a. 33 Resposta: “A” (CESGRANRIO) – Numa cidade de 248. quantos anos Augusto completou em 1995? a.58 e.42 cada um. R$ 5. 19 c. 7 anos e. 74 Resposta : “B” Augusto é 7 anos mais novo que seu irmão Antônio. 24 d. Qual era a idade de Maria quando João nasceu ? a. 8 anos Resposta : “C” Quero comprar 3 lápis ao preço de R$ 0.60 e. Pagando com uma nota de R$ 10. R$ 4. 17 b.000 c.74 c. 32.Matemática 29. 33.04 d. Maria nasceu em 1972 e João completou 18 anos em 1995.60 estava sendo vendido a R$ 1. 93. Se Antonio nasceu em 1971. a razão entre o número de mulheres e de homens é igual a 3 5 . 2 anos b. 124.000 habitantes. 3 anos c. Viviane aproveitou a oferta e comprou 6 unidades do produto. R$ 0.30 c.90 b. R$ 8. Um produto que custa R$ 2. 30 .000 30. ao que comprou mais e ao que comprou menos. 784 e. a produção. foi de: a. com a metade do que coube ao lo mais 40 arrobas. 238 e 105. 311 e 195.5 Resposta : “D” 35. 160 c. em Kg. 311 e 105. Três ficaram com 18 25 do total e o quarto com o restante. 360 d. 612 e 238 b.Matemática d. Quantas arrobas couberam. Se ainda sobraram 112 Kg para serem vendidos. 128 b. o 2o.000 Resposta : “A” 34. respectivamente? a.5 d. 208. 155. O 1o ficou com o dobro do 3o mais 100 arrobas. (CESGRANRIO) – Um pequeno agricultor separou para consumo de sua família 18 de sua produção de feijão. 612 e 105.000 e.5 e.5 c. 846 Resposta : “A” (CESGRANRIO) Quatro amigos compraram 850 arrobas de carne. 31 . e seus múltiplos e submúltiplos.Matemática Sistema Métrico Decimal (medidas de comprimento.decâmetro (10 metros) Submúltiplos do Metro dm . área.100.001 metro) Na prática é interessante construir a escada abaixo: 32 . massa e tempo) SISTEMA MÉTRICO DECIMAL O sistema métrico decimal é o conjunto de medidas que têm como base a unidade padrão de comprimento chamada de metro.centímetro (0. Então teremos seus múltiplos e submúltiplos. volume. que são: 10.1 metro) cm . capacidade. MEDIDAS DE COMPRIMENTO A unidade padrão de medida de comprimento é o metro e representamos por m.01 metro) mm . etc.decímetro (0.1000. Múltiplos do metro Km .quilômetro (1000 metros) hm .milímetro (0.hectômetro (100 metros) dam . vezes maiores ou menores. Logo: 0...1234 km = 123... Portanto. hm a.... m f.............. 0...... vamos deslocar a vírgula três posições para a direita. m b...... vamos deslocar a vírgula duas posições para a direita... vamos descer três graus em nossa escada. cm i.... 765... Observe que vamos transformar hm em m................2 m = ........... 89.765........... 789...... 23 m = ....... 2..5 mm = .. hm g...........4 m...3678 km = .. m c.. Portanto. 0.....1234 km = . e no sentido da direita.... Observe que vamos transformar km em m.... e no sentido da direita..... logo.43 cm = ................. Logo: 2.... 23 m = . km h.. logo... cm d.. 1. b....3 dm = ..3456 hm = 234......56 m 33 .. vamos descer dois degraus em nossa escada......................3456 hm = ...Matemática EXEMPLOS: Completar : a...234.. mm e............. logo. agora no sentido da esquerda. portanto. analogamente aos itens anteriores e concluímos que 789.780 cm d. Portanto. vamos deslocar a vírgula três posições para a esquerda.3678 km = 36. vamos descer cinco degraus em nossa escada e no sentido da direita. vamos subir três degraus em nossa escada.Matemática c. e. Observe que vamos transforrnar km em cm. Observe que vamos transformar m em mm.200 mm Observe que vamos transforrnar mm em m. logo: 1. vamos deslocar a vírgula cinco posições para a direita e neste caso preenchemos as posições com zero quando necessário. Portanto.5 mm = 1. e.2 m = 789. logo.2345 m 34 . logo: 0.234. 045 km + 1000 m + 12.07653km é fácil verificar que: 23 m = 2. h.43 cm = 8. Observe que vamos transformar cm em hm.23 hm EXERCÍCIO Calcule em metros.653. 32 m 24.5 m 55 m 12. 12.234 hm + 0. e.3 dm = 0.34 km + 300 m + 13. é fácil verificar que: 765.7 m 2.345dm = d. vamos subir quatro degraus em nossa escada. e no sentido da esquerda.000cm = e. a.Matemática f. Portanto. 0.300 cm é fácil verificar que: 23 m = 0.765.l dam + 30 cm = c. 0. 0. b.976543 hm g. Logo : 89.279. é claro. i.25 hm + 200 dm + 1. 0.456 mm = Resposta: a. logo. vamos deslocar a vírgula quatro posições para a esquerda.02 km + 0.456 m 35 .1 hm + 2 m = b. c. d. .000036 hm2 = ...002356 km2 = ......356 m2 3.... e...01 m2) cm2 ...Matemática MEDIDAS DE SUPERFÍCIE (ÁREA) A unidade padrão de medida de superfície é o metro quadrado e representamos por m2.. 0.................001234 km2 = .milímetro quadrado (0.789 m2 = ......000 m2) hm2 .000 m2) dam2 . 1..000 mm2 0... b.... mm2 e...000879654 hm2 36 .234 m2 2....quilômetro quadrado (1000.4 cm2 = .965.... 0...... 87.... c.000001 m2) Na prática é interessante construir a escada abaixo. MÚLTIPLOS DO METRO QUADRADO km2 .... m2 b.. cm2 d. m2 c...centímetro quadrado (0.. hm2 Respostas: a.... 0.0001 m2) mm2 ......... Então teremos seus múltiplos e submúltiplos.. d..decâmetro quadrado (100 m2) SUBMÚLTIPLOS DO METRO QUADRADO dm2 ....... 0.decímetro quadrado (0.......600 cm2 789.. Exemplo: Completar: a. e lembrar que cada degrau equivale a duas casas decimais..hectômetro quadrado (10. ....... 234.......4 cm3 = ......Matemática MEDIDA DE VOLUME A unidade padrão de medida de volume é o metro cúbico e representamos por m3.... m3 Resposta: a.789 m3 = .234 km3 = ..4 km3 = ........000....8......000 m3 ) 3 dam ... 0... 0...000 cm3 d.000.mm3 e..... m3 b...000... MÚLTIPLOS DO METRO CÚBICO ( 1..........036 hm3 = ....000001m3) mm3 . múltiplos e submúltiplos.centrímetro cúbico (0....decímetro cúbico (0..000 m3 ) SUBMÚLTIPLOS DO METRO CÚBICO dm3 .....000................. m3 c.... cm3 d..... e lembrar que cada degrau equivale a três casas decimais.000...000 m3 ) km3 .. 0..milímetro cúbico (0......123....656..... 0.. 123......000.001 m3) cm3 ... 789 000 mm3 e......796..000.decâmetro cúbico ( 1. EXEMPLO: Completar a... Teremos.....564 m3 37 . 36.... 0..quilômetro cúbico 3 hm .. 879...000 m3 c... então..000..400 m3 b..hectômetro cúbico ( 1....000000001 m3) Na prática é interessante construir a escada abaixo........ l c.. 8...01 do litro) cl m l ..Decalitro (10 litros) SUBMÚLTIPLOS DO LITRO dl .....426................7 m3 = . 3... m3 Resposta: a...................... MÚLTIPLOS DO LITRO kl ..decilitro (0.. 5......................... Então teremos seus múltiplos e submúltiplos...243 m3 8..Hectolitro (100 litros) da l .......243 l = ... e.4267 dm3 5 m3 ..................000 litros) hl ......... b......: A relação entre a medida de capacidade e de volume é : 1 l = 1 dm3 Exemplo: Completar a........ 38 2 dm3 3l 3.. 3 dm3 = ...Matemática MEDIDAS DE CAPACIDADE A unidade padrão de capacidade é o litro e representamos por l ..... teríamos: Obs...1 do litro) ........mililitro (0...... dm3 b......000 l = ..... 2 l = ................... dm3 e..... m3 d.......centilitro (0..........Quilolitro (1............... c.................. d...001 do litro) Analogamente.... 1 Minuto = 60 Seg. ou 30.0. s = v⋅ t s = 2 ⋅ 60 s = 120 m s = 12.1 g Centigrama (cg) .001 g MEDIDAS NÃO DECIMAIS TEMPO 1 Dia = 24 Horas 1 Hora = 60 min.000 g Hectograma (hg) .0.000 = 150 passos 80 39 . Análogamente.01 g Miligrama (mg) . temos os múltiplos e submúltiplos MÚLTIPLOS Quilograma (kg) .10 g SUBMÚLTIPLOS Decigrama (dg) . ou 31 dias EXEMPLO: Uma pessoa caminha com passadas iguais de 80 cm e com velocidade constante de 2m/s.000 cm O número de passos é 12.0. Quantos passos ela dará em 60 segundos ? Solução: v = 2m/s t = 60 seg. Ano Comercial = 360 Dias Ano Civil = n° exato de Dias = 365 dias (ou 366 dias) Mês Comercial = 30 Dias Mês Civil = n° exato de Dias = 28/29.100 g Decagrama (dag) .Matemática MEDIDAS DE MASSA A medida de massa tem como unidade padrão o grama e representamos por g.1. 250 l 420.1 dam x 100 mm = Solução: 100 dm x 0.750 l Distribuímos em latas de 900 m l . Sabendo-se que com 1 litro de tinta pinta-se 0. é: 2x7x4+2x8x4+8x7= = 56 + 64 + 56 = 176 m2 Deduzindo a área da porta e janela.000 dm3 = 250.007 km de comprimento.25dam3 + 150m3 + 22.1 dam x 100 mm = 10 m x 1 m x 0.000 l Total = 425.000 dm3 = 150. temos: 176 m2 – 2.1 m = 1m3 EXEMPLO: Uma sala de 0. inclusive o teto.000 l 150 m3 = 150.000 dm3 = 22.007 km = 7 m largura: 80 dm = 8 m altura: 400 cm = 4 m Então a área total da sala. qual o número de latas de soja que a indústria produzirá ? Solução: 0. tem uma porta de 2.000cm3 de óleo de soja.40 m2 – 2 m2 = = 171. A empresa pretende embalar o produto em latas de 900 ml . Solução: Dados do problema: comprimento: 0.000 dm3 = 425.500 latas.000 l 3.Matemática EXEMPLO: Uma indústria possui. Teremos: 420.40 m2 de área e uma janela de 2m2 de área. 80 dm de largura e 400 cm de altura. sem considerar o chão.6 m2 a ser pintado.000 dm3 = 22.000.000 l 22.25 dam3 = 250.000 dm3 = 3.9 l = 467.000dm3 + 3. indique a quantidade de tinta necessária para pintar a sala toda. EXEMPLO: 100 dm x 0.000 cm3 = 3.750 l : 0. Sabendo-se que no processo de embalagem há uma perda de 1% do líquido.000.750 l : 900 m l = 420. 0.04 dam2. 40 .000 l 1% de perda Resta = 4. em seu reservatório. 600 s 3 ⇒ t= ⇒ s v t= 900 50 s = v⋅t t= 300 ⋅ 3 50 t = 18 s 41 . um trem de 200 m. 4 x = 42.05 km isto é: 66.000 m 50 = m/s 3. teremos: 34 x 10 = 340 folhas Resposta: 340 folhas EXEMPLO: Para percorrer totalmente uma ponte de 100 m de comprimento. fazendo a regra de três. temos: 1 l _____ 4 m2 x l _____ 171.Matemática O problema diz que "com 1 litro de tinta pinta-se 0.9 litros EXEMPLO: Uma região retangular de 20 km por 15 km está sendo mapeada em uma escala em que 1 km : 300 km.666 m x 50 m Folhas de papel 5 m x 2 m Se considerarmos 5 m x 2 m.6 m2 x= 1716 .04 dam2 (4 m2 ). teremos: 14 x 25 = 350 folhas Se considerarmos 2 m x 5 m. leva: Solução: Ponte: 100m Trem: 200m v= 60.06666 km x 0. Qual o menor número de folhas de papel de 5m x 2m que são necessárias para fazer tal mapa? Solução: 20 km x 15 km Mapeada a região 20 km ⋅ 15 km 300 300 que usa 0. a 60Km/h. 3 dm3 = 0. Podemos dizer que essa tartaruga percorreu nos três dias uma distância de : Solução: Distância percorrida no primeiro dia: 6.000. 3. No dia seguinte. percorreu mais 0. logo: 300 cm3 = 0.500 cm.450 m EXEMPLO: 1 Num mapa. Portanto. mais 12.5 kg 75 d l x kg 3 0.5 kg Logo. Solução: 1 cm no mapa equivale a 3.5 kg x 25. cuja escala é a estrada Belém-Brasília tem 67 cm.3 l = 3d l Capacidade Massa 3 dl 0. Calcular.72 km = 720 m Distância percorrida no terceiro dia: 12.000.000. sabendo-se que é vendida R$ 25. no terceiro dia. num dia.000 em km.50 o quilograma? Solução: Obs.000 cm na estrada logo: 67cm no mapa equivalem a 67 x 3.000.: 1 l = l dm3 . 42 . transformando para km: temos 2.05 hm.05 hm = 605 m Distância percorrida no dia seguinte: 0. a distância é 201. quanto custarão 75 dl dessa substância.010 km. a distância real.Matemática EXEMPLO: Se 300 cm3 de uma substância têm uma massa de 500g.5 = 75 x x = 12. o custo total será: 12.000 cm na estrada.75 EXEMPLO: Uma tartaruga percorreu.000 cm. 6.72 km e.500 cm = 125 m logo: 605 m + 720 m + 125 m = 1.50 = R$ 318. 5 m xm x= 12 ⋅ 7. Qual a sua velocidade média? Solução: Velocidade média = Velocidade média = ^ distancia tempo 729 km 7. em 7 horas e 30 minutos.2 km/h EXEMPLO: Na planta de um apartamento.5 9 x = 10m 43 .5m comprimento: x Trata-se de um problema de regra de Três. largura comprimento 9 cm 12 cm 7.Matemática EXEMPLO: Um automóvel percorre a distância de Brasília a Belo-Horizonte. temos: largura: 9cm comprimento: 12cm Na construção.5 m. temos: largura: 7. Ao construir o apartamento. de 729 km. a sala ficou com uma largura de 7.5h Velocidade média = 97. as dimensões da sala são: 9 cm de largura e 12cm de comprimento. A medida do comprimento dessa sala é : Solução: Na planta. Na execução da obra. percorre uma estrada em 1h 30min. com altura igual ao dobro do lado.5 h S1 = v1 ⋅ t1 S1 = 80 x 1. T2 = 3h e 36 min. EXEMPLO: Um arquiteto planejou uma caixa de água de base quadrada.000 litros Temos: capacidade = 2.6 x 60 min.5 S1 = 120 km S2 = 3 ⋅ 120 5 S2 = 72 km V2 = 25% ⋅ 80 V2 = 20 km/h T2 = S2 V2 ⇒ T2 = 72 20 T2 = 3. a nova altura mede : Solução: A caixa de água planejada: Como a capacidade era 2.Matemática EXEMPLO: Um automóvel. Em quanto tempo o mesmo automóvel percorrerá 3/5 da mesma estrada com 25% da velocidade inicial ? Solução: V1 = 80 Km/h t1 = 1.000 l = 2. com velocidade de 80 km/h.6 h Logo: T2 = 3 h + 0.000 dm3 = 2 m3 capacidade = 2 m3 44 . Sabendo-se que a caixa de água continuou com a mesma capacidade. o construtor fez o lado igual à altura planejada.000 litros de capacidade.6 h T2 = 3 h + 0. para 2. portanto: altura planejada = 2m A caixa de água construída com o lado igual à altura planejada.. quantos quilômetros ele percorrerá em 3 horas? (Dado: 1 hora equivale a 3. 9 b. Se ambos têm a mesma área. 129. . Se a velocidade média de um veículo é 12m/seg.40 Resposta: A As dimensões de um terreno retangular são: 80m de comprimento por 12m de largura. 132. 10 45 02. a medida do comprimento é 80% da medida do comprimento do primeiro. logo: a capacidade é 22 ⋅ y = 2 4y = 2 y= 2 4 y = 0.: Entendemos como lado. a.60 b. 135 e. 130 c. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. Em um outro terreno.50 d. 148.600 segundos). a aresta da base.5 m Obs. a largura do segundo terreno é? (em metros) a.Matemática logo: capacidade = 2x ⋅ x2 = 2 m3 2x3 = 2 m3 x3 = 1 m3 x=1m Conclusão: a altura planejada era 2x. 5/7 d. Pode-se concluir que a relação entre a largura e o comprimento do terreno é: a.Matemática c. 60 e. 29 e. 40 b. 38 c. sabendo que se planta um pé em cada canto. no mesmo instante e no mesmo sentido. 05. 46 . 35 d. 15 e. que deve ser a maior possível. 3/5 b. Calcule os minutos que levarão para se encontrar novamente. 132 c. O primeiro dá uma volta em 132 segundos e o outro em 120 segundos. (BANESPA) . Determinar o número de pés de eucaliptos. 120 d. 18 Resposta: D 03.Dois ciclistas saem juntos. 1. do ponto de partida em pista circular. a. mantendo entre as árvores a mesma distância. 7/9 c. 4/6 Resposta: B 04. Quer-se plantar eucaliptos em volta.320 b. 6/8 e. 22 Resposta: E O pátio de um colégio é retangular e mede 104m de comprimento e 56m de largura. 12 d. 18 Resposta: A Um indivíduo compra um terreno retangular que tem um perímetro de 64 metros e cuja largura é 5 metros maior do que a metade do comprimento. a. 06 horas d.000. 08 horas Resposta: A 47 07. a. Se transferíssemos.000. 400 km. 60 l c. em conjunto. 150 km e 250 km c. para a que tem menos água. 2/5 da água contida na outra. por km.Matemática 06. 160 km e 240 km b. um do outro. 140 km e 260 km d. 29 e 7 c. Se funcionasse durante 3 horas e 20 minutos. .00 para a segunda classe. 12 horas c. quantos litros de gasolina consumiria? a. 31 e 5 Resposta: A Dois viajantes estão distantes. 38 l d. 36 litros de água. 130 km e 270 km e. ambas ficariam com a mesma quantidade de água. Quantos litros de água contém cada vasilha? a. 18 horas b. quanto deverá viajar cada um para que as suas despesas sejam as mesmas. Duas vasilhas contêm. 72 l Resposta: A 09.00 para a primeira classe e R$ 50. 28 e 8 d. Se um deles viaja de primeira classe e o outro de segunda classe. 40 l b. é R$ 75. 55 l e. 08. Abrindo-se as duas torneiras a caixa ficará cheia em : a. 30 e 6 b. sabendo-se que o preço. 120 km e 280 km Resposta: A Um automóvel consome 8 litros de gasolina quando funciona durante 40 minutos seguidos. uma torneira a enche em 9 horas e outra a esvazia em 18 horas. Uma caixa leva 900 litros de água. 03 horas e. 27 e 9 e. destinado aos alunos. 150 d. Com a água jorrando. Quantos passos ela dará em 60s? a. 180 c. 16h e 8min. 90 Resposta: C 11. 2. 30m Resposta: E (TTN) . durante 2 dias.060 d. (TTN) . 2. e. 36m b. 16h e 28min. 2. Quantos metros quadrados três homens conseguiriam podar se trabalhassem 8 horas por dia durante 3 dias? a.Uma pessoa caminha com passadas iguais de 80cm.160 b. A área calçada está em redor à área não calçada e tem uma largura de 3m nos seus lados paralelos. b. 18m d.560 c. em quanto tempo a caixa ficará cheia? a. Resposta: D Um gramado de 720 m2 foi podado por dois homens. assim como 16 está para 25. O lado do pátio mede: a. 24m c. 16h e 48min. enchendo a caixa e o "ladrão" funcionando simultaneamente. 14h e 48min. 13. 12.560 Resposta: A (TTN) . 14h e 8min. possue uma tubulação que a enche em 7 horas.Uma caixa de água com capacidade de 960 litros. 120 e. d. c. 240 b.000 e.No interior de um colégio há um grande pátio quadrado composto de uma área calçada e outra não calçada. 48 . que trabalharam 6 horas por dia. 32m e. com velocidade constante de 2m/s. A área da parte não calçada está para a área total do pátio. 2. Possue um "ladrão" que a esvazia em 12 horas. 2.Matemática 10. 4h e 35 min e. 6 e 2. 20 metros b. aos números 10. 24. 40 metros c. a segunda outro tanque de igual volume em 4 horas. 12.480 voltas b. 48 metros e. 30 metros d. a primeira enchendo um tanque em 5 horas. 28.840 voltas d. respectivamente. 49 . 16 metros e. 4h e 53 min d.590 rotações em 27 minutos. a partir do momento em que as torneiras são abertas. No fim de quanto tempo. 17. cuja capacidade é de 7. o comprimento do menor corte foi de: a. 16. a largura e a altura de um depósito de água. 3h e 54 min b.000 litros são proporcionais. 24. 16 e 20.440 voltas c. Uma roda faz 4. 24 metros Resposta: E 15. 5h e 34 min Resposta: B (MPU) .880 voltas Resposta: A Duas torneiras são abertas juntas. 12 metros c.Matemática 14. Quantas rotações fará em 2horas e 24 minutos? a.Uma peça de certo tecido foi dividida em 4 partes proporcionais aos números 10. 8 metros b. 3h e 45 min c. Sabendo-se que a peça tinha 232 metros. 24. o volume que falta para encher o segundo tanque é 1/4 do volume que falta para encher o primeiro tanque? a. 40 metros d.680. nessas condições a medida da largura desse depósito é de: a. 64 metros Resposta: B (MPU) Sabe-se que o comprimento. (TRT) .Matemática 19.Um trem de 400 metros de comprimento. Quanto tempo ele demora para atravessar completamente uma ponte de 300 metros de comprimento? a. tem velocidade de 10 km/h. 5min Resposta: D 50 . 1min e 48seg b. 3min e 36seg d. 4min e 12seg e. 2min e 24seg c. 1 INTRODUÇÃO O pouco tempo disponível para o perfeito e ideal desenvolvimento dos alunos de Matemática Financeira em classe. A taxa de juro de 10% a. em uma unidade de tempo.00. É evidente que o dinheiro não é nosso. o leitor terá a oportunidade de conhecer e manipular diversas formas de aplicações financeiras e. este pagamento .(dez por cento ao dia) significa que o valor do juro é igual a 10% do capital. conseqüentemente. por ano. (neste caso é R$ 100. teremos: a. além da necessidade de oferecer aos candidatos aos cargos públicos e privados um material prático provocou o nascimento desse material. 1. para pagamento de 10% de juro daqui a um mês . podemos encarar o juro como sendo o aluguel pago(ou recebido) pelo uso de um recurso financeiro.(vinte por cento ao ano) significa que o valor do juro é igual a 20% do capital.00) CAPITAL(C) Chamamos de Capital ou Principal ao recurso financeiro transacionado. da disponibilidade.00 e pagar pela disponibilidade dessa quantia nesse período.00 ao Banco da Praça. logo chamaremos de taxa de juro durante essa unidade de tempo. por dia. isto é. suponhamos que pedimos um empréstimo de R$ 1000.Matemática Juros e Porcentagem CONCEITOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA 1. 51 .a. b. A taxa de juro de 20% a. porém ele está a nossa disposição e podemos fazer o que bem entendermos com ele durante um mês. No exemplo anterior o capital foi a quantia de R$ 1000. Por exemplo. TAXA DE JURO(i) É o valor do juro. e será expresso como porcentagem do capital. Nas próximas páginas. analisar as relações entre elas e as respectivas evoluções com o decorrer do tempo.d. é chamado de juro.2 DEFINIÇÕES JURO(J) Podemos definir juro como sendo a remuneração do empréstimo de um recurso financeiro. No fim do mês devemos devolver a quantia de R$ 1000. Sendo assim. 00 i= 25% a. b.a.? Solução: Como a taxa de juro está expressa no período anual temos: C= R$ 1. e denotaremos por M. isto é. isto é: M= C+J Resumo a. 25% J = 1000 .00 52 . i MONTANTE(M) Chamaremos de montante o capital acrescido do juro.000 + 250 M = R$ 1.00 • montante será M=C+J M = 1. pela definição. EXEMPLO Qual o juro e o montante obtido em uma aplicação de R$ 1.250.00. 25 J = R$ 250. taxa de juro é definida para uma unidade de tempo.Matemática Sendo assim. A definição de juro é equivalente ao pagamento de um aluguel de dinheiro. Daí. a uma taxa de juro de 25% a. Observamos a definição taxa de juro(no singular). 25 100 J = 10 .a.000. isto é: J = C . teremos: J = Juro C = Capital i = Taxa de Juro expressa como porcentagem do capital. durante um ano. Logo o juro em um ano será J = C.i J = 1000 . temos: i = J C Observe que podemos concluir que juro em uma unidade de tempo é o produto do capital pela taxa de juro. em uma unidade de tempo.000. EXEMPLO Seja a aplicação de um capital de R$ 1.00 O montante (M) será: M = C+J M = 1. Regime de Capitalização Composta É o regime em que a taxa de juro incide sobre o montante obtido no período anterior.00 + 100.. durante 3 meses.300. Qual os juros totais e qual o montante dessa aplicação.00 J = R$ 300.. teremos dois conceitos: a. no regime de capitalização composta.00 + 100. Regime de Capitalização Simples É o regime em que a taxa de juro incide somente sobre o capital inicial.000.00 b. durante 3 meses. Portanto. para gerar juros no período atual.000.00 M = R$ 1.000.m. em todos os períodos de aplicações. os juros serão sempre iguais ao produto do capital pela taxa do período.00 à taxa de juro igual a 10% a.00 Seja J2 o juro no fim do segundo mês: J2 = 1. se o regime é o de capitalização simples? Solução: Seja J1 o juro no fim do primeiro mês: J1 = 1.00 Seja J3 o juro no fim do terceiro mês: J3 = 1.000 x 10% J3 = R$ 100. à taxa de juro igual a 10% a.m.000 x 10% J2 = R$ 100. Sendo assim. EXEMPLO Seja a aplicação de um capital de R$ 1.00.00 Assim teremos o Juro Total (J): J = J1+J2+J3 J = 100. aos quais a taxa se refere.00 + 300.Matemática REGIME DE CAPITALIZAÇÃO Chamamos de regime de capitalização à maneira como o montante evolui através de vários períodos. 53 .000 x 10% J1 = R$ 100. 00. corresponde aos juros relativos à aplicação de R$ 500. Evidentemente haverá sempre dois pontos de vista. EXEMPLO Um carro.210.00 No fim do 2º mês teremos o Juro e o Montante: J2 = 1.00.Matemática No fim do 1º mês teremos o Juro e o Montante: J1 = 1.00 M1 = R$ 1. corresponde ao juro relativo ao empréstimo de R$ 500.00 No fim do 3º mês teremos o Juro e o Montante: J3 = 1.100.100 x 10% J2 = R$ 110.00 M2 = R$ 1.000 x 10% J1 = R$ 100. também representada no gráfico 54 . e as saídas com setas de sentido para baixo.00 M3 = R$ 1. No ponto de vista do vendedor a diferença entre a soma das entradas e o valor do carro. também representada no gráfico.00.00 No ponto de vista do comprador a diferença entre a soma das saídas e o valor do carro. na seguinte forma: a.331. que custa RS 500. Coloca-se na linha horizontal o período considerado b. Representam-se as entradas por setas de sentido para cima.000.000. c. com a primeira prestação vencendo 1 mês após a venda.00 FLUXO DE CAIXA É a representação gráfica de um conjunto de entradas e saídas de dinheiro relativas a um determinado intervalo de tempo.000. C = R$ 500.00 é vendido a prazo por 5 prestações mensais e iguais a R$ 120.000.000.210 x 10% J3 = R$ 121. i + C...i. durante um prazo de n períodos consecutivos. sob o regime de capitalização simples. sabendo-se que a taxa de juros simples cobrada é de 5% ao mês? Solução: C = R$ 2. pelo prazo de 3 meses.Matemática C = R$ 500.000.[ 1 + i .000. portanto.n M = C. e. n = 3 meses 55 . = Jn = C.00 CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 1..n Para o Montante teremos M = C+J M = C + C.00. Conforme vimos no capítulo anterior. os juros serão iguais em todos os períodos. = Jn J = C.000.i daí.i + ..i.m. o Juro total nos n períodos será J = J1 + J2 + J3 + ..i + C..00 R$ 120. CÁLCULO DE JUROS SIMPLES E MONTANTE Seja C um Capital (ou Principal) aplicado à taxa i por período.00 i = 5% a.000.i J = C. + C. n] EXEMPLOS Qual o valor dos juros obtidos por um empréstimo de R$ 2. teremos: Onde: J1 = J2 = J3 = . Solução: C = R$ 100.00 J=C.000 i= 10.500. [1 + 5% .000 . e somente se: i1 n1 = i2 n2 56 . 6] M = 100.000 2. 5 2.000 . 5 100 . 3 J = R$ 300.000 .m.n] M = 100. M=C. rende R$ 10.00 n = 5 meses J = R$ 10. à taxa de juros simples de 5% a. i .i. Assim. pelo prazo de 6 meses. n2 se. a juros simples.[1+i.4% a.000.000 = 500.00 2.m. TAXAS PROPORCIONAIS Duas taxas são ditas proporcionais se mantiverem entre si a mesma razão que os períodos de tempo a que se referem. a taxa i1 a .000.500. 000.000 .00. 5% .000.Matemática J=C. Calcular o montante da aplicação de R$ 100.m.000 . i = 10.000.004 i = 0. 3 J = 2.000 .3 J = 20 .000. Solução: C = R$ 500. [1 + 30%] M = R$ 130. Determinar a taxa de juros cobrada.n 10.00 Um capital de R$ 500.00 aplicado durante 5 meses.i.00.00 n = 6 meses i = 5% a.000. 5 .000 1 i = 250 = 0.n J = 2. n1 é proporcional à taxa i2 a . Matemática EXEMPLO Qual a taxa mensal proporcional à taxa de 36% a.a.? Solução: i1 n1 = i2 n2 1 i1 = 36% 12 i1 = 3% a.m. 3. TAXAS EQUIVALENTES Duas taxas são ditas equivalentes, a juros simples, se aplicadas a um mesmo capital e durante um mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo juro. Sejam: i: a taxa de juros simples aplicada no período de 0 a 1 ik: a taxa de juros simples aplicada a cada intervalo fracionário .  1    k do período Se i e ik são equivalentes, temos: J = C.i e J = C.ik.k então: ik = i k EXEMPLO Qual a taxa mensal simples equivalente a 36% a.a.? ik = ik = i k 36% 12 ∴ ik = 3% a.m. Qual a taxa semestral simples equivalente à taxa de 10% a.m.? i = ? a.s. ik =10% a.m. K = 1 semestre = 6 meses i = ik . k 57 Matemática i = 10% . 6 i = 60% a.s. Obs.: Observe que no regime de capitalização simples, as taxas equivalentes produzem o mesmo conceito que as taxas proporcionais. EXEMPLO Calcular o juro simples de uma aplicação de R$ 1.000,00, à taxa de juro de 36% a.a., durante o prazo de 6 meses C = R$ 1.000,00 i = 36% a.a. n = 6 meses Observe que o período a que se refere a taxa (ano) não é o mesmo período de aplicação (mês). Portanto, a taxa mensal equivalente a 36% a.a. será 3% a.m. Logo: J=1.000 . 3% . 6 J = 1.000 . 3 100 .6 J = R$ 180,00 4. JURO EXATO E JURO COMERCIAL (ORDINÁRIO) Quando as aplicações ocorrem por alguns dias será conveniente utilizarmos a taxa equivalente diária. Nesse caso teremos dois enfoques: a. Ano Civil: 365 dias ou 366 dias para ano bissexto e os meses com o número real de dias. b. Ano Comercial: 360 dias e os meses com 30 dias. Os juros que seguem o enfoque a são chamados de juros exatos. Os juros que seguem o enfoque b são chamados de juros comerciais (ou ordinários). EXEMPLO Qual o juro exato de uma aplicação de R$ 365.000,00, à taxa simples de 10% a.a. durante 10 dias? Solução: C = R$ 365.000,00 i = 10% a.a. n = 10 dias 58 Matemática Taxa diária equivalente a 10% a.a. = J = 365.000. 365 . 10 J = 1.000 . 10% . 10 J = R$ 1.000,00 10% 10% 365 a.d. 5. VALOR ATUAL E VALOR NOMINAL Chamamos de Valor Nominal de um título, ao valor dele na data de vencimento. Também é conhecido como valor face. Chamamos de Valor Atual de um título, ao valor dele em qualquer data anterior ao seu vencimento. No caso de capitalização simples, o valor atual de um título será o valor que aplicado, a juros simples, durante os n períodos de antecipação ao seu vencimento, produzirá como montante o valor nominal do título. Chamando de N o valor nominal e V o valor atual com n períodos de antecipação teremos: Dessa forma: N = V . [1 + i.n] V= N 1+ i. n EXEMPLO O valor nominal de um título é de R$ 1.600,00 sendo que seu vencimento ocorrerá daqui a 3 meses. Se a taxa de juros simples de mercado é de 20% a.m., determine o valor atual do título hoje. 59 3 V = R$ 1.000 .Matemática Solução: N = R$ 1. b.00 60 . 2.000 M = R$ 1.120. b.m. M=C+J M = 800.a. Seja um capital de R$ 800.00 i = 120% a.m.a. 1 + 20%.000. Calcule a taxa de juro mensal. i = 6 = 15% a..s. J = R$ 320. Calcule: a.000.a. n = 3 meses de antecipação V= V= N 1+ i.000.000. Solução: a.m.000.00 b.m.m.) n = 4 meses a.000.600.00 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. b.00 i = 20% a. (equivalente a i = 10% a.120. 15% a. n 1600 . 90% a. J = C. M = R$ 1.i. 25% a. i= 300% 12 90 = 25% a.00 Respostas: a.n J = 800. Respostas: a. 10% .00. proporcional às seguintes taxas: a.00 b. 4 J = R$ 320. O juro obtido b.000.m.000 + 320. investido durante 4 meses e a taxa de juros simples de 120% a. 300% a. O montante Solução: C = R$ 800. 00 rende R$ 1. a juros simples. J=C.248.00.m.m.00.448.200.000 ⋅ 3.120. aplicado a 3. 61 .800 = 12.6% a.i. n n= 1800 . Calcule a taxa de juros simples de uma aplicação. 3.m.000. 00 n = 4 meses J = R$ 1.6% a.6% = 8 meses Resposta: 8 meses 213 ⋅ 120 1248 .n 1.00 i = 3. Em quantos meses um capital de R$ 740.00 e resgatei R$ 6. Resposta: 6% a. 4 i = 5200 ⋅ 4 i = 0.120. depois de 4 meses.000.248 = 5200 .800.000 .m.00 i = 5% a.448. 5% .800. Solução: C = R$ 5. renderá juro necessário para a formação de um montante de R$ 953.120.? Solução: C = R$ 12. 12.6% .120 = 740.i.n 1.000. sabendo que apliquei R$ 5. i . 00 M = R$ 6.00 M = R$ 953. n n = 740. J = R$ 213.Matemática 3.m. 5..200.00 J = R$ 1.00.m. Em que prazo R$ 12. 00 (por que ?) J=C.00 (por que?) J=C.n 213.000 ⋅ 5% = 3 meses Resposta: 3 meses 4.000.06 i = 6% a.00? Solução: C = R$ 740. se a taxa de juros simples utilizada é 5% a.i.000. 000 .000 = 300.000.000.00 à taxa de juros simples de 10% a. V = 1+ i n V = 1 10% 3 ⋅ + ⋅ V = R$ 1.m.00 n = 3 meses (período de antecipação) i = 10% a.i.m.m. 180.300.000. 8% . De quantos meses foi essa aplicação? Solução: M = R$ 480. Possuo uma letra de câmbio no valor nominal de R$ 1.000. n n = 300. 10% . J = R$ 180.n 180. quanto devo pagar por esta letra hoje? Solução: N = R$ 1.00 62 N 1300.300.m. Sabendo-se que a taxa de juros simples corrente de mercado é de 10% a.00 Resposta: R$ 1. Um capital aplicado à taxa de juros simples de 8%a. que é resgatável daqui a 3 meses.00 C = R$ 300.000.m.n 2C = C .. triplica em que prazo? Solução: C = Capital aplicado M = 3 C (por que ?) i = 8% a.m.000 .Matemática 6.000. n = 2 n= 200 8 = 25 meses Resposta: 25 meses 7. J = 2 C (por que ?) Como: J=C. 000.00 (por que ?) J=C. Um investidor recebeu R$ 480.00 por uma aplicação de R$ 300. 000.000 .000.00. n 8% .000..00 i = 10% a.i.000 ⋅ 10% n = 6 meses Resposta: 6 meses 8.000.. Matemática PORCENTAGEM A porcentagem nada mais é do que uma notação ( % ) usada para representar uma parte de cem partes. Isto é, 20% – lê-se “20 por cento”, que representa a fração 30% – lê-se “30 por cento”, que representa a fração 100 30 20 100 EXEMPLO: Calcule: a. 10% de 200 b. 15% de 300 c. 25% de 400 Solução: a. A palavra, "de" deve ser entendida como produto. 10% de 200 = 10 ⋅ 200 = 20 100 15 4.500 ⋅ 300 = = 45 100 100 25 10.000 b. 15% de 300 = c. 25% de 400 = 100 ⋅ 400 = 100 = 100 Agora vamos ver como são simples os problemas que envolvem porcentagem. Estes problemas geralmente são encontrados no nosso cotidiano. EXEMPLO: A média de reprovação em concurso é de 82%. Quantas pessoas serão aprovadas em um concurso público com 6.500 inscritos ? Solução: Se a média de reprovação é de 82%, vamos concluir que a média de aprovação é de 18%. Logo, basta calcular : 18% de 6.500 = 18 ⋅ 6.500 = 1170 aprovados . 100 63 Matemática EXEMPLO: Se eu comprar um objeto por R$ 20.000,00 e vendê-lo por R$ 25.000,00, qual será a minha porcentagem de lucro? Solução: Lucro:R$ 25.000,00 – R$ 20.000,00 Lucro:R$ 5.000,00 Logo, para achar a porcentagem basta dividir o lucro pela base, isto é, dividir R$ 5.000,00 por R$ 20.000,00: 5.000 25 = 0,25 = = 25% 20.000 100 EXEMPLO: Sabendo que um artigo de R$ 50.000,00 foi vendido com um abatimento de R$ 1.600,00, encontrar a taxa usada na operação. Solução: Basta dividir o abatimento pelo preço do produto, isto é : 1600 . 3,2 = 0,032 = = 3,2% 50.000 100 EXEMPLO: Um produto foi vendido, com um lucro bruto de 20%. Sobre o preço total da nota, 10% correspondem a despesas. O lucro líquido do comerciante é de: Solução: Vamos supor, sem perda de generalidade, que o preço inicial do produto é 100. Preço inicial - 100 Preço de venda com lucro de 20% – 120 Despesa (10% de 120) – 12 Preço com lucro líquido = 120 – 12 = 108 Logo, lucro líquido = 108 – 100 = 8 Logo, % do lucro líquido = 8 100 = 8% EXEMPLO: João comprou diretamente de uma fábrica um conjunto de sofás pagando R$ 322.000,00 incluindo o Imposto sobre Produtos Industrializados (IPI). Sabendo-se que a alíquota do imposto é de 15%, ad valorem, o valor do imposto foi de: 64 Matemática Solução: Seja : x o valor do produto x +15%x = 322.000 x + 0,15x = 322.000 1,15x = 322.000 x= 322.000 115 , x = R$ 280.000,00 Logo, o valor do imposto é: R$ 322.000,00 – R$ 280.000,00 = R$ 42.000,00 EXEMPLO: Um cliente obteve do comerciante desconto de 20% no preço da mercadoria. Sabendo-se que o preço de venda, sem desconto, é superior em 20% ao custo, pode-se afirmar que houve por parte do comerciante um .... : Solução: Preço de custo = 100 (un.) Preço de venda s/desc = 120 (un.) Preço de venda c/desc. = 120 x 80% = 96 (un.) Comparando o preço de custo com o preço de venda c/ desconto, temos: 96 − 100 = −4% 100 Houve um prejuízo de 4% EXEMPLO: Maria vendeu um relógio por R$18.167,50 com prejuízo de 15,5% sobre o preço de compra. Para que tivessem um lucro de 25% sobre o custo, ela deveria ter vendido por: Solução: Preço vendido: R$ 18.167,50 Preço de compra: x 84,5%x = 18.167,50 x= 18.167,50 0,845 x = 21.500 Para ter um lucro de 25%, Teremos: 21.500 x 1,25 = R$ 26.875,00 65 Portanto. x = R$ 500. 15% c.8% = 80% .00 (preço da mercadoria) Impostos (10%) = R$50.10 . o preço de aquisição da mercadoria com o imposto foi de R$: Solução: x .20) = 143 x= 143 110 ⋅ 130 ⋅ 0.80 . . x Logo. 36% Solução: Seja x . o preço de venda de seus produtos deve ser no mínimo 44% superior ao preço de custo.preço de custo preço de venda sem prejuízo = x . 1.Matemática EXEMPLO: A empresa “Vestebem” comprou o produto “A” pagando 10% de imposto sobre o preço de aquisição e 30% de despesas com transporte sobre o custo da mercadoria. de modo a não ter prejuízo? a. . correspondente a 20% sobre o preço de aquisição mais despesas (imposto e transporte). o desconto máximo será de 20%.00 EXEMPLO: Um lojista sabe que. Porém.00. 66 x ⋅ 144 . Qual é o maior desconto que ele pode conceder ao cliente. 0. x ⋅ 180 = 0. Sabendo-se que na venda de “A” a empresa obteve um lucro de R$ 143.00 Preco de aquisição da mercadoria + imposto: R$ 550. Daí.44 preço de venda com 80% = 1. 25% e.30 . preço de venda sem prejuízo = 80% do preço de venda com 80% de acréscimo. para não ter prejuízo. com o imposto. 20% d. (1. sobre o preço da tabela. 10% b. 1. porque sabe que o cliente gosta de obter desconto no momento da compra. ele prepara a tabela de preços de venda acrescentando 80% ao preço de custo.2 . temos: Preço de compra = preço de venda + 10% preço de venda 264. x = 264.700.500.00.500 = 15.000 110 .700 − 15.1 .700 = 0.00.10 . x 264.10 .500.00 o preço de venda foi de: Solução: Seja: x . sobre o custo inicial do terreno. em seguida.00 EXEMPLO: Um terreno foi vendido por R$ 16.000 15.000 x= 264. com um lucro de 10%. foi revendido por R$ 20. x 1. então o preço inicial foi de: 16. O lucro total das duas transações representa.000 67 . com 10% de lucro.000. um percentual de: SOLUÇÃO Se um terreno foi vendido por R$ 16.000 110 .38 = 38% 15.000 O preço de venda foi de R$ 240.preço de venda Como teve prejuízo de 10% sobre o preço de venda.Matemática EXEMPLO: João vendeu um fogão com prejuízo de 10% sobre o preço de venda.000 = 1.000 5.000 = x + 0. Admitindo-se que ele tenha comprado o produto por R$ 264. o lucro total foi: 20.000 = x + 10% .00. = 240. Logo.000. x 264. 1.250. 2 125 3 125 e. Pelo pagamento atrasado da prestação de um carnê.200.74 c.680.00 b.00 c. 56. 1. R$ 1.78 e. 1 250 1 50 7 0. 58.00 d.70 + 8 ⋅ 1. 58.25% d.290.100.80 + 10 ⋅ 1.25% Resposta: A 68 .00. 1. obtém-se: 30 a. c.275.Matemática EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01.00 Resposta: C 7 04. A fração a.65 é equivalente a : b. R$ 1.25% b.5% c.5% e. 56. Se uma pesssoa já liquidou os 16 do valor de uma dívida. 250 Resposta: B 02. d. 1. no valor de R$ 1. 1. R$ 1. R$ 1. recebeu-se uma multa de 7. O total pago foi : a.86 . 62.0104 0.75 d. a porcentagem dessa dívida que ainda deve pagar é : a. Efetuando-se 12 ⋅ 1.79 Resposta: D 03. R$ 2.5 % do seu valor.72 b.00 e. 5% c. foi pago com 3 meses de antecedência. 60% Resposta: B Um título.752 c. 7. Portanto. 6. 87.250 e.Num clube 2/3 dos associados são mulheres. o número de associados do clube. 61 b.25% d.Matemática 05. a porcentagem de lucro desse lojista. 750 d. 4.5% e. 52% d. 1. 55% e. 07.5 d. Vendeu-se 1/3 da carga restante e ainda ficou com 42.25% Resposta: B (BANESPA) . será de: a. sabendo-se que as mães casadas são em número de 360. 50% c. no valor de R$ 80. Um lojista comprou 180 canetas de um mesmo tipo e vendeu 120 delas pelo mesmo preço total pago pelas 180. é de: a.5 toneladas. 7. sofrendo um desconto comercial simples de R$ 1. 90 e. Se 3/5 das mulheres são casadas e 80% das casadas têm filhos.500. 75 c. 1.00.125 Resposta: E 06.Um pequeno silo de milho perdeu 15% da carga pela ação de roedores.500 b. era: a. 6.000. 08. pela venda de todas as canetas. 2. A taxa anual do desconto foi : a. a carga inicial em toneladas. 7. 40% b. 69 . Se vender cada uma das 60 canetas restantes ao preço unitário das outras 120.00. antes da ação dos roedores. 105 Resposta: B (TTN) .75% b. 6. encontrar a taxa utilizada na operação. R$ 15.00.00 e vendeuos a R$ 65. durante 3 anos.00 e.8% d.Matemática 09. 50% e.2% b.9% a. R$ 12. a taxa de aplicação do menor capital deve superar a do maior em: a.00 Resposta: C 10.000. 7. 7.a Resposta: B Dois capitais estão entre si como 2 está para 3. 3.5% c. 8.600. 4.a e. 20% b.00 cada um. A taxa é de: a. renderia mais R$ 600.1% a.Um negociante comprou alguns bombons por R$ 720. em período de tempo igual.00 b.00 d. a. 11. Sabendo que um artigo de R$ 50. 6. sabendo-se que se um capital de R$ 10. R$ 40. 3. 40% d. 70% Resposta: D (TTN) . 70 .00 foi vendido com abatimento de R$ 1.00 c. 12.00 fosse aplicado durante o mesmo tempo. o preço de custo de um deles. seja obtido o mesmo rendimento. 2. ganhando.00 que o primeiro.5% a. O preço de custo de cada bombom foi de: a.3% Resposta: A Calcular a taxa que foi aplicada a um capital de R$ 4.2% e.a b.000. a juros simples de 5% a. na venda de todos os bombons.a.00.a d. R$ 75. 3.2% a.000.. R$ 60.a c. Para que. 60% c.0% a. Obs.Matemática Razão e Proporção. EXEMPLO: Na proporção 1. EXEMPLO: a. Regra de Três Simples e Composta. 2. RAZÕES E PROPORÇÕES Sejam quatro números a. b e d são conseqüentes da proporção. b. antecedentes: conseqüentes: meios: extremos: 1 2 2 1 e e e e 3 6 3 6 1 3 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DA PROPORÇÃO Em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. c. e d formam uma proporção se a razão proporção por: a c = b d a b c d é igual a razão . assim como c está para d. c. b. 3. Então indicaremos a lê-se: a está para b. Divisões Proporcionais. Além disso dizemos que a e c são antecedentes da proporção. b. Dizemos que a.: Chamamos também a e d de extremos da proporção e b e c de meios da proporção. a c = b d 1 3 = 2 6 então ad = bc então 1 x 6 = 3 x 2 71 . e d (todos diferentes de zero). e 6 temos: 2 = 6 lê-se: 1 está para 2 assim como 3 está para 6. 2 6 = 3 7 é uma proporção. 3 12 = 4 16 2 6 = 3 7 Solução: a. b. 2 8 = 3 x 60 ∴ 4 x = 15 . 16 = 48 = 4 . como o produto dos extremos tem que ser igual ao produto dos meios 3 12 = 4 16 temos: 3 . 8 2x = 24 x= 24 ∴ x = 12 2 72 . b. 3 = 7 não é uma proporção. 3 x = 4 20 .Matemática EXEMPLO: Verifique se os itens abaixo são ou não proporções: a. temos. 7 = 14 ≠ 3 . . 2 . como o produto dos meios tem que ser igual ao produto dos extremos. Logo. 3 12 = 4 16 . EXEMPLO: Calcule x nas proporções: a. 6 = 18. 3 x = 4 20 2 8 = 3 x Solução: a. como o produto dos extremos tem que ser igual ao produto dos meios.20 4x = 60 ∴ x= b. 4x=3. 12. temos 2x = 3 . b. Logo. 2 6 isto é. observe que o produto dos extremos não é igual ao produto dos meios. 2 ∴ 8x = 8 ∴ x = ∴ x =1 2 8 8 y 4 24 = ∴ 8y = 6. temos: 36 = 12 = 36 . Logo: x 4 8 = ∴ 8x = 4. Isto é: Se a c = b d é uma proporção.6 12 24 ∴ 24x = 216 ∴ x = ∴ 24y = 72 ∴ y = 216 ∴ x=9 24 72 ∴ y=3 24 73 . então: a c a+c a−c = = = b d b+d b−d EXEMPLO: Calcular x e y na proporção Solução: Se 2 = 6 é uma proporção. então.4 ∴ 8y = 24 ∴ y = ∴ y=3 6 8 8 EXEMPLO: Calcular x e y na proporção Solução: Como 36 = 12 é uma proporção. Daí x 6 = ∴ 24x = 36.12 x y x-y = = 36 12 24 x y 6 = = 36 12 24 x y x y x-y x y = 36 12 . sabendo que x – y = 6 .Matemática PROPRIEDADE Quando somamos (ou subtraímos) os antecedentes e os conseqüentes a proporção não se altera. sabendo que x + y = 4 .6 36 24 y 6 = ∴ 24y = 12. 2 = 6 = 2 6 + Logo: x y x+y = = 2 6 8 x y 4 = = 2 6 8 x y x y x+y x y = 2 6 . . b d n EXEMPLO: 1....Matemática SÉRIE DE RAZÕES IGUAIS OU PROPORÇÕES EM SÉRIE Chamamos de série de razões a igualdade de várias razões. 2 4 6 8 = = = 1 2 3 4 3 4 5 6 7 = = = = 9 12 15 18 21 PROPRIEDADE Seja a série de razões então: a c m = = . = = b d n b + d+. a c m = = ...180 3 9 y 180 = ∴ 9y = 5.+n EXEMPLO: Calcule x . = b d n a c m a + c +.. na série de razão Solução: x y z x+y+z = = = 3 5 1 3 + 5 +1 x y z = = 3 5 1 .180 1 9 ∴ 9x = 540 ∴ x = ∴ 9y = 900 ∴ y = ∴ 9z = 180 ∴ z = 540 ∴ x = 60 9 900 ∴ y = 100 9 180 ∴ z = 20 9 74 ...180 5 9 z 180 = ∴ 9z = 1.. z . 2. y .+m = = . sabendo que x + y + z = 180 Logo x y z 180 = = = 3 5 1 9 x 180 = ∴ 9x = 3. x = 150 144 x = 12 10 x 5 = 510 17 Calcular o valor de x. y . c=80 Calcule x. sabendo que x . . sabendo que x2 – y2= 12 Resposta: x = 4. Calcular x e y. na proporção Resposta: x = 20. y= 4.Matemática EXERCÍCIOS 01. b= 15 . tal que Resposta: 02. na proporção Resposta: x = 35. Calcular x e y na proporção 12 = 3 . y . . . Calcular x . 04. .y e z na proporção Resposta: x = 4. sabendo que x – y = 14 05. tal que Resposta: x = 120 03. z=18 e w=42 Calcular a e b na proporção Resposta: a = 38. sabendo que 2x + 3y + 4z = 58 z=8 75 . b e c sabendo que 8ab = 5ac = 2bc e a + b + c = 150 Resposta: a = 20. sabendo que a – b = 5 08. z = 64 z=8 x y z = = 2 3 4 12. b= 50. Calcular x . y e z na série de proporção Resposta: x = 2. 1 2 4 = = x y z 11. Calcular a e b na proporção Resposta: a = 20. y= 25 x y = 4 5 . z e w na série de proporção y= 24. Calcular x. a b = 19 17 x y z w = = = 5 4 3 7 . 06. y= 6. sabendo que a + b = 72 b= 34 a b = 4 3 07. y= 21 x y = 5 3 . sabendo que x + y + z + w = 114 Resposta: x = 30. 10. y= 2 ou x=-4 e y=-2 Calcular a. Calcular x e y. y= 2 ou x=-8 e y=-2 Calcular x e y na proporção x y = 10 5 x y 09. sabendo que x2 + y2 = 68 Resposta: x = 8. sabendo que x + y = 45. : Sendo assim chamaremos de razão entre duas grandezas à razão entre suas medidas. z= 9 Calcular x. 76 . y e z na proporção x y z = = 1 2 3 . y= 6. sabendo que 4x + 3y + 2z = 48 Resposta: x = 3.4 5m 5 b. c. A razão de 9 está para 3 é 9 3 1 ou 3. b. y= 6. Um carro percorre 20Km em 30 minutos. Obs. 24 4 A razão de 24 está para 4 é ou 6. Denotamos: b ou a : b ( lê-se a está para b ) a EXEMPLO: a. Calcular x. Então a razão entre o espaço percorrido e o tempo gasto é: Solução: 20km 2 = km / min 30min 3 DIVISÕES PROPORCIONAIS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS Dizemos que duas grandezas são diretamente proporcionais. z=4 RAZÕES Chamamos de razão entre dois números a e b (b # 0) ao quociente de a por b. EXEMPLO: a. 14.Matemática 13. y e z sabendo que 2xy = 3xz = 4yz e que x + y + z = 18 Resposta: x = 8.5. A razão de 1 está para 2 é 2 ou 0. quando a razão entre seus valores é sempre constante. A razão entre 2m de um fio e 5m de uma linha é: Solução: 2m 2 = = 0. x e y são inversamente proporcionais. x e y são diretamente proporcionais.5 y : 6 . pois : 2 3 5 = = 6 9 15 INVERSAMENTE PROPORCIONAIS Dizemos que duas grandezas são inversamente proporcionais. x y = k. que a razão entre os valores das grandezas é constante. Sejam. =k e 2 3 z =k 5 Portanto. quando o produto entre seus valores é sempre constante. tal que: x:2. 9 .Matemática EXEMPLO: Sejam x e y duas grandezas. 3 e 5. y e z têm que ser diretamente proporcionais a 2 . temos: x =k 2 y =k 3 z =k 5 ⇒ x = 2k ⇒ y = 3k ⇒ z = 5k (1) (2) (3) 77 . Solução: Como vamos dividir o número 80 em três partes. x . 6 . Isto é. EXEMPLO: Dividir o número 80 em três partes diretamente proporcionais a 2 . y e z essas partes. 3 e 5 temos. tal que: x: 1.3 y : 12 . daí temos: x + y + z = 80 Como as grandezas x .3. EXEMPLO: Sejam x e y duas grandezas. 15 logo. pois: 1 x 12 = 2 x 6 = 3 x 4 EXEMPLOS DE DIVISÕES PROPORCIONAIS Vamos iniciar esta seção com um exemplo.2. 4 logo. Matemática Somando as equações (1). 10 ∴ y = 40 z = 5 . basta substituir k = 8. y e z têm que ser diretamente proporcionais às grandezas 3. Solução: Já observamos que se x . (2) e (3) temos: x = 3 . temos: x = 3k y = 4k + z = 5k 120 = 12k 12k = 120 ∴ k = 10 Substituindo k =10 em (1). Vamos agora ver os casos de inversamente proporcionais. 4 e 5 temos. y e z são as partes procuradas. (2) e (3). (2) e (3) temos: x = 2k y = 3k + z = 5k x + y + z = 10k ⇒ 10k = x + y + z ⇒ 10k = 80 ∴ k= 80 ∴ k=8 10 O k é chamado de constante de proporcionalidade. que a razão entre seus valores é sempre constante. nas equações (1). Como queremos os valores de x. 10 ∴ z = 50 Então o aluno já percebeu que. Logo: x = 2k x=2x8 x = 16 ⇒ ⇒ y = 3k y=3x8 y = 24 ⇒ ⇒ z = 5k z=5x8 z = 40 ⇒ ⇒ EXEMPLO: Dividir 120 em três partes diretamente proporcionais a: 3 . temos: x + y + z = 120 Analogamente. como as grandezas x . daí: x = k ⇒ x = 3k 3 y = k ⇒ y = 4k 4 z = k ⇒ z = 5k 5 (1) (2) (3) Somando (1). 4 e 5. y e z. (2) e (3). os problemas de divisões proporcionais são simplesmente as aplicações de grandezas proporcionais. 10 ∴ x = 30 y = 4 . 78 . 12 13k = 52 ∴ k = ∴ 13 12 k=48 k é chamado de constante de proporcionalidade. daí: 2x = k 3y = k 4z = k Daí teremos: x= y= z= k 2 k 3 k 4 (1) (2) (3) Logo. Solução: Sejam x. 3 .Matemática EXEMPLO: Dividir o número 52 em três partes inversamente proporcionais a 2 . Daí temos: x + y + z = 52 Como as grandezas x. que o produto dos seus valores são constantes. temos. (2) e (3) temos: x+y+z= 52 = k k k + + 2 3 4 k k k + + 2 3 4 k k k + + = 52 2 3 4 6k + 4k + 3k = 52 12 52. y = 48 ∴ 3 y = 16. Substituindo k = 48 em (1). 3 e 4. y e z são inversamente proporcionais as grandezas 2 . somando (1) . (2) e (3) temos: x= 48 ∴ 2 x = 24. e 4. z = 48 ∴ 4 z = 12 79 . y e z as três partes procuradas. 80 . daí.60 47 ∴ 47k = 94 60 ∴ k=120 logo. Substituindo k = 120 em (1). (2) e (3) temos: x= y= z= 120 ∴ x = 40 3 120 ∴ y = 30 4 120 ∴ z = 24 5 REGRA DE SOCIEDADE Geralmente. 4 e 5. a constante de proporcionalidade é k = 120. capitais e etc.. recebem o nome de regra de sociedade. Solução: Analogamente. x + y + z = 94 Como x. y e z são inversamente proporcionais a 3. prejuízos. daí: 3x = k 4y = k 5z = k ⇒ ⇒ x= k 3 k 4 k 5 (1) (2) (3) y= ⇒ z= Somando (1). (2) e (3) temos: x+y+z= 94 = k k k + + 3 4 5 k k k + + 3 4 5 k k k + + = 94 3 4 5 20k + 15k + 12k = 94 60 k= 94. 4 e 5 temos que o produto entre os valores é constante. sejam x.Matemática EXEMPLO: Dividir o número 94 em três partes inversamente proporcionais a 3. os problemas de divisões proporcionais que envolvem divisões de lucros. y e z as partes procuradas. temos que x é diretamente proporcional a 15 e 9.000.000. O lucro do sócio A foi de: a. temos 4 ∴ x = 12.000.000. o sócio B ficou na empresa 1 ano (12meses) e empregou R$ 15. y = 180.00 b.000 k (2) Se: x + y = 28.00 d. logo : y = 15. que y é diretamente proporcional a 12 e 15.000.000 k y = 180.000.000. Então: x + y = 28. y = a parcela de lucro do sócio B. temos então. R$ 8.00 c.000. em (1) e (2).Matemática EXEMPLO: (TTN) – Dois sócios lucraram com a dissolução da sociedade e devem dividir entre si o lucro de R$ 28. x = a parcela de lucro do sócio A.000.00.000 45 Resposta: C 81 . O sócio A empregou R$ 9.000 4 45 ∴ k= 28 315 ∴ k= 4 45 Substituindo k = x = 135.000 315.000.00 durante 1 ano e 3 meses e o sócio B empregou R$ 15.000 k (1) Analogamente. R$ 16.000.00 Solução: Este é um problema típico de regra de sociedade.00 durante 1 ano. R$ 10.000 k = 28.000 x = 135. R$ 14.00.000 x 12 k y = 180.000 k x + y = 315.000 k 315.000 x 15 k x = 135.000 k= 28.000. logo : x = 9.00.000.000 Como o sócio A ficou na empresa 1 ano e 3 meses (15 meses) e empregou R$ 9.000 45 4 ∴ y = 16.00 e.000 . R$ 12. substituindo em (1). se as faltas foram 1. z – a parcela do 3° sócio. k 5 z= k 2 . EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. w= k 5 + + k 3 + = 152. temos que: x + y + z = 13. 2.00 (lucro do 2° sócio). Quanto caberá a cada um. Sabendo-se que participaram da sociedade durante 3.000 82 . k+ k 2 y= k 2 k 2 .00 (lucro do 1° sócio).500 x = 3k (1) y= 5k + (2) z= 7k (3) 13. de forma inversamente proporcional às faltas cometidas por cada jogador.300.00 será distribuído aos cinco participantes de um jogo de futebol de salão.000 30 76k = 152.000 30k + 15k + 15k + 10k + 6k = 152. v= k 3 .00 (lucro do 3° sócio).000 ⋅ 30 76 ∴ k = 60. y – a parcela do 2° sócio.500. z = 7 x 900 ⇒ z = R$ 6.000 30 ∴ k= 152.500. 5 e 7 meses. 3 e 5? (R$) Solução: x = k.700. Um prêmio de R$ 152.000. Como o lucro é diretamente proporcional ao tempo na sociedade. (2) e (3) temos: x = 3 x 900 ⇒ x = R$ 2.00.500 = 15 k k = 900 Logo. 2. Qual a parcela de lucro de cada um? Solução: Sejam : x – a parcela do 1° sócio.Matemática EXEMPLO: Três sócios querem dividir um lucro de R$ 13. y = 5 x 900 ⇒ y = R$ 4. Solução: x = 9 x 80.000 k = 4. 3 100 3 100 ∴ x = R$ 21.000.00 w = R$ 12. y = 220.000.000 mais 40.000.000 k x + y = 28.00 entre dois sócios de uma firma.000.00 v = R$ 20.200 940. conforme contrato? Solução: Sejam : x = 24 k y = 36 k z = 20 k x + y + z = 360. portanto.00 83 .000.000 k y = 220. sabendo-se que ela ainda tem mais 10% de lucro.000.500 A 1ª pessoa receberá: x = 24 x 4. quanto receberá a 1ª pessoa.00 y = R$ 30.000.000.600.000.Matemática x = R$ 60. o da 2ª pessoa durante 3 anos e o da 3ª pessoa durante 20 meses.200 Logo: x = 720.000 80 k = 360.000 k y = 11 x 20.000.000. Distribuir o lucro de R$ 28.600.00 z = R$ 30. Três pessoas formaram uma sociedade entrando com a mesma quantia.200.00 2.00 durante 11 meses. (4° jogador). sabendo que o primeiro aplicou R$ 80.000. (5° jogador). sendo que o capital da lª pessoa esteve empregado durante 2 anos.500 = 108.200 = 940. (1° jogador). Se o lucro auferido for de R$ 400.00 3. (3° jogador).000 k 28.00 na sociedade durante 9 meses e que o segundo aplicou R$ 20.000 ⇒ k= 3 100 Logo: x = 720. receberá: R$ 148.00 ∴ y = R$ 6. (2° jogador).000 k k= 28. 000 ∴ y = R$ 162.2 x= y= z= 4⋅k 9 3⋅k 5 k 12 .000 ∴ x = R$ 120. z= k 1.00 12 .000.000 4 ⋅ 270.000 = x= y= z= 4k 3k k + + 9 5 1.000. os três primeiros fregueses que chegarem ao seu estabelecimento com a quantia de R$ 507.00 84 . o prêmio de menor valor a ser pago será de: Solução: Observe que : 2 1 2 ⋅ 4 +1 9 = = 4 4 4 2 1⋅ 3 + 2 5 1 = = 3 3 3 Logo: x= k 9 4 . Nessas condições.000.000. Portanto: x+y+z= 507.000 ∴ z = R$ 225. y= k 5 3 .2.Matemática 4.2 24k + 32.00 5 270. no primeiro dia útil de cada mês. Resposta: R$ 120.4k + 45k 54 ∴ k = 270. Um comerciante deseja premiar.1 4 3 e 1.00 dividida em partes inversamente proporcionais a 2 1 2 .000.00 9 3 ⋅ 270. 00 e seus amigos com R$ 6. João resolveu fazer um bolão para jogar na sena.000 ⋅ y = 72.000 k k= 180. respectivamente.000 85 . Por fim concordaram em dividir a importância total proporcionalmente às respectivas pretensões.00 e R$ 18.000 k x + y = 180.000. mais que Pedro. foi feita diretamente proporcional às importâncias desembolsadas e inversamente proporcional aos números 2.000.00 = 120. Pedro e Antônio. A primeira pretende receber 2 da importância total e a segunda acha que 3 tem direito a receber R$ 72.000 = 192. Duas pessoas devem dividir entre si a importância de R$ 180.000 ∴ k = 12.00.00.000 6 3 3k = 2k + 12.000. Convidou inicialmente Pedro e depois Antônio.500 16 2 x = 120. Quanto recebeu cada uma? Solução: Primeira pessoa (x): de 3 180.2k = 12.000 Segunda pessoa (y): 72.Matemática 5. O valor do prêmio foi de R$: Solução: João Pedro Antônio 18 ⋅ – – – J = 12 ⋅ P = 6⋅ 1 k ∴ J = 6k 2 1 k ∴ P = 2k 3 1 1 k = 6 k + 12.00.000 3k .00.000 15 ∴ k= 192.000 Assim temos: x = 120. 3 e 6. e que Antônio ganhou R$ 12.000 16 15 ∴ x = 112.000 ⋅ 15 ∴ y = 67. a João.000 6 3 A = 18 ⋅ 1 1 k = 6 k + 12.000 k y = 72.500 16 6. respectivamente.000. tendo João contribuído com R$ 12. Sabendo-se que a repartição do prêmio. 00 Uma pessoa deseja repartir 135 balas para duas crianças. Quantas balas cada criança receberá ? Solução: x= y= 2 9k ⋅ 3 4 4 21k ⋅ 7 2 x + y = 135 logo: x= 3k 2 y = 6k 135 = 3k + 6k 2 15k 135 ⋅ 2 = 135 ⇒ k = 2 15 k = 18 86 .000 .000 .900 = 478.05 8.Matemática teremos: João = 6k = 6 x 12. y = R$ 8.000 = 2 x 12. Dois amigos constituem uma sociedade participando o 1° com R$ 10.00 de sua cota inicial.000 = 36.00. 14 ∴ x = 310.000 logo: y = 168.900 ∴ k = 0.000 Pedro = 2k = 2 x 12.00.000.000.000 Total do prêmio = 132. 12 + R$ 6. Ao 2° sócio coube a participação no lucro de: (R$). Após 10 meses de existência da empresa. Solução: x = R$ 10.000 = 24. 10 + R$ 15. Decorridos 2 meses dessa data o 2° sócio retirou R$ 2. 12 ∴ y = 168.000.00 e o 2° com R$ 8.05 478.00.000 Antônio = 2k + 12.000 7.000.000 . em partes que sejam ao mesmo tempo proporcionais diretamente 2/3 e 4/7 e inversamente a 4/3 e 2/21.000 k x + y = 478.000 x 0.000 k y = R$ 8.000 k k= 23.400.000 = 72. Sabendo-se que ao final de 2 anos apurou-se um lucro de R$ 23.000 + 12.900. o 1° sócio aumentou seu capital em mais R$ 5.000 .000 k 23. 18 Dividir o número 570 em três partes. os irmãos mais velhos receberam R$ 150. contada em anos é: 87 .Matemática Logo: x= 3k 2 ⇒ x= 3 ⋅ 18 2 x = 27 y = 6k y = 108 9. Sabendo-se que a soma das idades dos três irmãos é de 40 anos. a terceira parte vale: Solução: Sejam as partes x .000. a idade do irmão mais novo. de tal forma que a primeira esteja para a segunda como 4 está para 5. ⇒ y = 6 .00.00 foi dividida entre três irmãos. e a segunda esteja para a terceira como 6 está para 12. Uma herança de R$ 200.000. de acordo com suas idades e de tal forma que ao mais velho caberia a maior parcela e ao mais novo a menor parcela. y e z Logo : x 4 = y 5 ⇒ x= 4 y 5 y 6 = z 12 ⇒ y= 6 z z= 12 2 x + y + z = 570 Logo: x= 4 4 z 2 y= ⋅ ∴ x= z 5 5 2 5 Se: x + y + z = 570 2 z z + + z = 570 5 2 4z + 5z + 10z = 570 10 19 570 ⋅ 10 z = 570 ⇒ z = 10 19 z = 300 10. Nestas condições. Juntos. 40 ∴ 40 . ( t1+ t2 + t3 ) ∴ 200.000 . a idade do mais novo é 10 anos.000 Temos ainda que: t1 + t2 + t3 = 40 Como “ao mais velho caberia a maior parcela“ temos que a divisão é diretamente proporcional as idades. cabendo ao sócio “B” R$ 16. e x.00 e a “C” o valor correspondente a 13 de “A”.000 logo: x = 50.000 Portanto. (2) e (3) x + y + z = k .000 = 5. onde: t1 < t2 < t3 Então temos: x + y + z = 200.00 menor do que do “B”. 11. Logo x = k t1 (1) y= k t2 (2) z= k t3 (3) Somando (1). t1 = 50. “B” e “C” constituem uma sociedade que. k = 200. t2 .000. Sabendo-se que o capital de “C” é R$ 24. t1 5. e t3 as idades dos irmãos. o capital da empresa é de R$: Solução: Solução .000.000 lucro do 3° — x 3 88 . y e z as respectivas parcelas.000 . apura um lucro de R$ 48.Regra de sociedade lucro do 1° — x lucro do 2° — y = 16. Três amigos “A”.00.000 y + z = 150.000 k = 5. após um ano.000.000 Voltando em (1) x = k . t1 50.000 = k .Matemática Solução: t1 .000 ∴ t1 = 10 5.000 t1 = 50. c2 (2) lucro de 3° sócio = 8.000.24. Total R$ 144.48.000 + 4x = 32.000 Portanto. (c2 – 24. Capital do 3° sócio RS 24.Matemática lucro total: x + 16.000 = k .000 Portanto.000 c2 = 48.000 ⋅ 3 4 x = 24.000 = k .000.000 k= 16.000 ∴ c 2 = 2c 2 .000) (3) Dividindo (2) por (3).000 .000 1 c1 = 24.000 3 ⇒ x= x 3 = 48. temos: Capital do l° sócio R$ 72. temos : k .00.000 1 ∴ k= 48. c1 (1) lucro do 2° sócio = 16.000 32.000.000. c2 = 16.000 k ⋅ (c 2 .000 = k . teríamos : lucro do 1° sócio = 24.000 ⇒ c1 = 24.000) c2 =2 c 2 .24.000 ⋅ 3 3 ∴ c1 = 72. temos : 16.00.000 Daí substituindo c2 em (2).000 kc 2 = 8. c1 = 24.000 48. temos: k .000 3 Substituindo k em (1). k = 16.00.00 89 . Capital do 2° sócio R$ 48. por exemplo “ quanto mais metros de muro temos que fazer. Observamos que quanto mais cresce (ou diminue) a variável metros do muro mais cresce (ou diminue) a variável operários. Operários Metros de Muro Agora colocamos os dados Operário Metros de Muro 24 x 60 90 Como o sentido é o mesmo. quanto maior for o muro mais operários serão necessários. e como possuem o mesmo sentido repetimos o sinal da figura. as duas variáveis tem o mesmo sentido. Leia o problema e escreva todas as variáveis envolvidas. Logo. Resposta: “mais operários” . com o mesmo sentido.Matemática REGRA DE TRÊS SIMPLES Chamamos de problemas de regra de três ao tipo de problemas que envolvem grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. nas mesmas condições. Analise então que. quanto mais (menos) metros de muro tiverem que ser construídos. veja então que as variáveis são operários e metros do muro. Quantos operários. fixamos um sentido para a variável que possui a incógnita (veja a figura). 1°. fazendo uma pergunta. Logo. 90 . Neste caso. verifica-se que têm o mesmo sentido. mais ou menos operários precisamos?”. farão 90 metros do mesmo muro? Solução: O caminho para resolver será mais fácil se você se concentrar nas variáveis. Operários Metros de Muro Veja em que sentido elas variam. mais (menos) operários serão necessários. as variáveis. mantemos a razão: 24 60 = x 90 Agora é só resolver 60x = 24 x 90 x = 36 operários Agora vamos criar um algoritmo para resolver. Vamos iniciar esta seção com um exemplo simples: EXEMPLO: 24 operários fizeram 60 metros de um muro. 2°. Isto é. mantemos a razão da outra variável.00 por 24 dias de trabalho. Leia o problema e escreva todas as variáveis envolvidas. Quanto mais dias se trabalha. logo. 960 24 = x 30 91 . Salário Dias 960 x 24 30 4°. Quanto deveria receber se trabalha-se 30 dias ? Solução: 1°. 24 = x 6°. Dias Vamos colocar os dados. Escreva a razão da variável que possui a incógnita e o sinal de “ = ”. Salário 3°. Metros de Muro Coloque agora os dados. Agora resolva a operação 60x = 24 x 90 x = 36 operários EXEMPLO: Um funcionário recebeu R$ 960. temos o mesmo sentido para as variáveis. 24 60 = x 90 7°.Matemática 3°. mais ou menos salários devemos receber ? Resposta: mais salários. Como as variáveis possuem o mesmo sentido. Salário Dias 2°. Se possui o mesmo sentido mantenha a razão da outra. Operários Metros de Muro 24 x 60 90 5°. A razão da variável que possui a incógnita (Salário) e o sinal de “=” 960 x = 5°. Desenhe o sentido das variáveis. Operários 4°. menos dias vão levar para terminar. em 20 dias. logo escolha um sentido para cada variável. observe que o sentido é oposto. Operários 3°. Quanto mais operários trabalham. são conhecidos como problemas de regra de três composta. Escreva as variáveis Operários Dias 2°. 24 operários asfaltaram uma avenida de 960 metros de comprimento por 9 metros de largura.Matemática 6º. Logo. de 600 metros de comprimento por 10 metros de largura.00 EXEMPLO: 24 operários fazem um serviço em 40 dias. Como o sentido é "contrário".200. Quantos operários seriam necessários para fazer um asfaltamento. 92 . inverta a razão da outra variável e iguale 40 30 = x 24 logo: 30x = 40 x 24 ∴ 30x = 960 ∴ x = 32 dias REGRA DE TRÊS COMPOSTA Os problemas de regra de três que possuem mais de duas variáveis. Dias Coloque os dados: Operários Dias 24 30 40 x 4°. Em quantos dias 30 operários farão o mesmo serviço? Solução: 1°. EXEMPLO: Em 30 dias. 24x = 960 x 30 x= 960 ⋅ 30 24 x = R$ 1. Escreva a razão da variável que possui a incógnita e "=" 40 = x 5°. ainda temos: / 24 2 9624 93 = ⋅ ⋅ / 1 6015 5 10 x 3 24 2 ⋅ 8 ⋅ 3 = x 5 ⋅ 10 ⇒ 24 48 = x 50 8 48x = 24 x 50 48x = 1.200 x = 25 operários 93 . DIAS 30 20 3°. Vamos colocar os dados e a incógnita do problema.Matemática Solução: 1º. OPERÁRIOS 24 x COMPRIMENTO 960 600 LARGURA 9 10 24 20 960 9 = ⋅ ⋅ x 30 600 10 Simplificando: 24 2 96 9 = ⋅ ⋅ x 3 60 10 Simplificando. 4º. DIAS OPERÁRIOS COMPRIMENTO LARGURA 30 24 960 9 20 x 600 10 Vejamos qual a variável que possui a incógnita e a relação (direta ou inversa) entre ela e as outras variáveis. • Quanto mais largo for o asfaltamento mais operários eu preciso. • Quanto mais comprido for o asfaltamento mais operários preciso para realiza-lo. (Relação inversa). DIAS OPERÁRIOS COMPRIMENTO LARGURA 2º. Vamos escrever a razão da variável "operários" e considerar as outras razões. Primeiramente vamos escrever as variáveis envolvidas no enunciado. • Quanto mais dias tenho de prazo. no produto delas. conforme a relação direta ou inversa. menos operários preciso. Em quantos dias a obra estará terminada. sabendo-se que foram dispensados 4 operários e o regime de trabalho diminuído de 1 hora por dia. • Quanto mais horas por dia os homens trabalharem mais Gramado seria podado. Quantos metros quadrados três homens conseguiriam podar se trabalhassem 8 horas por dia durante 3 dias. que trabalharam 6 horas por dia durante 2 dias. Solução: Vejamos as variáveis. trabalhando 7 horas por dia. • Quanto maior for o Gramado. Solução: Vejamos as variáveis e os dados do problema. • Quanto mais Gramado podado mais homens serão necessários. logo: OPERÁRIOS 24 20 2 5 do serviço foi feito.160 m2 EXEMPLO: 24 operários fazem 2 5 de determinado serviço em 10 dias. veja que se terminar a obra. GRAMADO HOMENS HORAS POR DIA DIAS 720 2 6 2 x 3 8 3 Vejamos as relações entre a variável Gramado e as outras. HOMENS 2 3 GRAMADO 720 x HORAS POR DIA 6 8 DIAS 2 3 720 2 6 2 = ⋅ ⋅ x 3 8 3 720 24 = x 72 24x = 720 x 72 x = 2. OPERÁRIOS DIAS HORAS POR DIA SERVIÇO Antes de colocar os dados.Matemática EXEMPLO: Um gramado de 720m2 foi podado por dois homens. mais dias de trabalho serão necessários. então falta SERVIÇO 2 3 5 5 3 5 para DIAS 10 x HORAS POR DIA 7 6 94 . quando já havia realizado 1/3 da obra. Decorridos 10 dias. trabalhando 6 horas dia. Nessas condições para terminar a obra no prazo pactuado. 5 = x 2 3 1 3 ⋅ 6 10 ⋅ 8 6 5 2 6 10 = ⋅ ⋅ x 1 8 6 5 120 = x 48 120x = 5 . 48 x = 2 dias EXEMPLO: Uma empresa se compromete a realizar uma obra em 30 dias. agora com 6 operários. em quantos dias? Solução: Evidente que teremos OBRA DIAS OPERÁRIOS HORAS POR DIA 2 3 1 3 5 x 8 6 6 10 Observe que: • Quanto maior for a obra mais dias serão necessários. • Quanto mais horas por dia trabalharem menos dias serão necessários. trabalhando 10 horas por dia.Matemática 10 20 6 = ⋅ ⋅ 24 7 x 2 3 5 5 Calculando: 2 3 5 5 = / 2 5 2 ⋅ = / 5 3 3 10 20 6 2 = ⋅ ⋅ x 24 7 3 ⇒ 10 10 = x 21 x = 21 dias EXEMPLO: Se 2 3 de uma obra foi realizada em 5 dias por 8 operários trabalhando 6 horas por dia. o restante da obra será feito. a empresa deve prorrogar o turno por mais: 95 . a empresa teve que colocar 4 operários para outro projeto. iniciando-se a obra com 12 operários. • Quanto mais operários estão trabalhando menos dias serão necessários. Se o mesmo grupo trabalhar 8 horas por dia.Matemática Solução: Regra de três composta. de 8 horas. a empresa deve prorrogar o turno por mais 3 horas. para construírem 36m2 do mesmo muro? Solução: PEDREIROS MURO DIAS HORAS/DIA 12 16 27 36 30 24 8 x 8 16 27 24 = ⋅ ⋅ x 12 36 30 96 . Daí teremos: TRABALHADORES 10 10 DIAS 96 x HORAS/DIA 6 8 Logo: 96 10 8 = ⋅ x 10 6 ⇒ x= 96 ⋅ 6 ∴ x = 72dias 8 EXEMPLO: 12 pedreiros constroem 27m2 de um muro em 30 dias. EXEMPLO: Um grupo de 10 trabalhadores pode fazer uma estrada em 96 dias. durante 24 dias. quanto mais horas/dias. a estrada será concluída em: Solução: TRABALHADORES DIAS HORAS/DIA 10 96 6 10 x 8 Trata-se de regra de três. trabalhando 6 horas por dia. OBRA DIAS 1 2 3 OPERÁRIOS 12 8 HORAS/DIA 6 x 30 20 6 1 20 8 = ⋅ ⋅ x 2 3 30 12 6 8 = x 12 ⇒ 8x = 72 x = 9 horas/dia Portanto. será preciso menos dias. Quantas horas devem trabalhar por dia 16 operários. 30 40 8.Matemática 8 4 = x 5 x = 10 horas/dia EXEMPLO: Um criador sabe que 900 frangos consomem.1 9 3 = ⋅ x 10 4 ∴ 27x = 8.000 – 10. Ele adquiriu 1. 8. de: Solução: FRANGOS DIAS RAÇÃO 900 1000 . Considerando-se que o agricultor pretende abater essas aves daqui a 40 dias.1 toneladas de ração.500 kg. a quantidade de ração em Kg. adicionalmente.000 kg.1⋅ 40 x = 12 toneladas ou x = 12.1 27 = x 40 ⇒ 8. 97 . quando elas estiverem no peso ideal. 8. Deve o agricultor adicionar : 12.000 frangos e 10. o criador para que não falte alimento as aves.5 toneladas de ração.500 = 1. em 30 dias.1 900 30 = ⋅ x 1000 40 . deve comprar.1 x 8. . bastando apenas substituir o valor encontrado na expressão inicial para encontrar a solução final. MÉTODOS DE RESOLUÇÃO 1º. x − y = 1  x + 2y = 7 Vamos expressar a variável x em função da variável y. b. no caso de duas variáveis. ai2 . achar os valores de x e y que satisfazem a todas as equações. ain são números reais. Teremos então uma equação com apenas uma incógnita.. Método da substituição Expressamos uma das variáveis em função da outra. Resolvendo esta equação chegamos a solução parcial do sistema. EXEMPLOS: a.Matemática Sistema do 1º grau Um sistema de equações do 1º grau com n variáveis. ain . x − y = 1  x + 2y = 7 2x + 4y = 10  12x − 4y = 4 Queremos. xn = bi onde i ∈ Ν * e ai1 . Exemplo Vamos encontrar a solução do seguinte sistema de equações do 1º grau. então substituímos esta função na outra equação. simultaneamente. Vamos concentrar nossa atenção somente nos sistemas com duas variáveis. x2 + .. na primeira equação x − y = 1  x + 2y = 7 ⇒ x = 1+ y (*) Substituindo a expressão da variável x na segunda equação teremos x + 2y = 7 1 + y + 2y = 7 1 + 3y = 7 ∴ 3y = 7-1 ∴ 3y = 6 y= 6 3 ∴ y=2 98 . é um conjunto de equações do tipo ai1 . x1 + ai2 .. 4y = 4 12 (5-2y) .24y . 2x + 4y = 10  12x − 4y = 4 ⇒ 2x = 10 .4y ⇒ x= 10 − 4y 2 ⇒ x = 5 . x − y = 1  x + 2y = 7 ⇒ x = 1+ y (*) ⇒ x = 7 .Matemática Encontramos o valor da incógnita y (y=2). EXEMPLO: Vamos encontrar a solução do seguinte sistema de equações do 1º grau. Método da comparação Expressamos a mesma incógnita em todas as equações e igualamos as expressões.4y = 4 60 . a solução do sistema é: x = 1 e y = 2 2º. Para encontrar a solução da outra incógnita basta substituir o valor encontrado em uma das expressões anteriores.2y (*) Substituindo (*) na segunda equação temos: 12x .2y ⇒ 1 + y = 7 − 2y y= 6 3 1+y+2y=7 ∴ 1+3y=7 ∴ 3y=7-1 ∴ 3y = 6 ∴ ∴ y=2 99 .28y = 4 ∴ -28y = 4-60 ∴ -28y = -56 y= −56 −28 ∴ y=2 Substituindo o valor de y (y=2) na equação (*) temos: x = 5-2y x=5-2×2 ∴ x=5-4 x=1 ∴ Logo. Encontramos assim uma das incógnitas. a solução do sistema é: x = 3 e y = 2 EXEMPLO: Encontrar a solução do sistema de equação do 1º grau.4y = 4 60 . Substituindo y = 2 na equação (*) temos x = 1+y x = 1+2 x=3 Logo. 4y 2 4 + 4y x= 12 x= x = 5 . Método de redução ao mesmo coeficiente Comparamos as duas equações de modo que possuam o mesmo coeficiente para a mesma incógnita. Eliminamos então esta incógnita obtendo assim a solução da outra.Matemática Substituindo y = 2 em (*) temos x = 1+y ∴ x=1+2 ∴ x=3 Logo a solução é: x = 3 e y = 2 EXEMPLO Vamos encontrar a solução do seguinte sistema de equações do 1º grau. Alguns exemplos para facilitar a compreensão.2y (*)  ⇒  1+ y x = 3 (**)  Igualando (*) e (**) temos 5 − 2y = 1+ y 3 3(5-2y) = 1 + y 15 .6y = 1 + y -7y = -14 ∴ y= −14 −7 ∴ y=2 Substituindo y=2 em (*) teremos x = 5 .2y x=5-2×2 x=5-4 x=1 Solução: x = 1 e y = 2 3º. Exemplo: x − y = 1  x + 2y = 7 Multiplicando a primeira equação por 2 teremos: 2x − 2y = 2  x + 2y = 7 100 . Após obter esta solução procedemos como no caso anterior. 2x + 4 y = 10  12 x − 4y = 4 ⇒ ⇒ 10 . vemos que basta multiplicar a primeira equação por 2 e a segunda equação por 3.4) = 12.2 4y = 10 .y = -2 y=2 Solução x = 3 e y = 2 EXEMPLO 2x + 4y = 10  12x − 4y = 4 Somando as duas equações: 2x + 4y = 10 +  12x − 4y = 4 14x = 14 ∴ x = 1 Substituindo x = 1 na primeira equação: 2x + 4y = 10 2×1 + 4y = 10 2 + 4y = 10 4y = 10 . Obtemos então 4x + 12y = 36  3x + 12y = 33 101 .y = 1-3 .2 4y = 8 ∴ y = 2 Solução x = 1 e y = 2 EXEMPLO 2x + 6y = 18  x + 4y = 11 Calculando o MMC (6.Matemática Somando as equações: 2x − 2y = 2 +   x + 2y = 7 3x = 9 ∴ x = 3 Substituindo x = 3 na primeira equação: x-y=1 3-y=1 . c. 102 . Sistema possível e indeterminado O sistema é possível e indeterminado quando uma equação for resultado da multiplicação da outra por uma constante. Há infinitas soluções. Neste caso cada equação representa a mesma reta. Sistema impossível Neste caso o sistema não possui solução. Sistema possível e determinado É o sistema que possui apenas uma solução possível.Matemática Subtraindo as equações temos 4 x + 12y = 36  3x + 12y = 33 x=3 Substituindo na 1ª equação Obtemos 2x + 6y = 18 2×3 + 6y = 18 ∴ 6y = 12 ∴ 6 + 6y = 18 ∴ 6y = 18 . b.6 y=2 TIPOS DE SISTEMA a. Podemos representá-lo por duas retas concorrentes. As equações representam retas paralelas. Resolva os sistemas: a. 2x + 3y = 23  e. x + y + z = 6 z + u + x = 3   y + z + u = 4 u + x + y = 5  x + y = 3  Resposta: x=2. xy = 2 h. α + β = 10  αβ = 25 x + y = 4 x + u = 3   y + z = 3  z + u = 8 j. x − y = 1  x + y = 7 Resposta: x=4 e y=3 Resposta: x=5 e y=3 Resposta: x=6 e y=3 Resposta: x=10 e y=1 Resposta: x=4 e y=1 b. 3x + y = 13  2x + 5y = 13 3x − 7y = 23 x + 4y = 18 f. y=3.Matemática EXERCÍCIOS 01. 2x + 3y = 21  d. z=1 e u=0 g. Resposta: Impossível 103 . xy = 6  Resposta: x=1 e y=2 ou x=2 e y=1 Resposta: x=2 e y=3 ou x=3 e y=2 Resposta: α = 5 e β = 5 x + y = 5 i. x − y = 2  x + 2y = 11 c. . bn an  a   = n  b b  a    b −n n  b =   a n 104 . an = 1. 2−3 = 4 −3 = 1 23 1 43 = = 1 8 1 64 PROPRIEDADES: 1. b.... 3 a 4a . a ≠ 0 m. 4..Matemática Potenciação e Radiciação POTENCIAÇÃO Seja “a” um número real diferente de zero e n um número natural positivo. a 4 2 .n (ab)n = an. 5. n ∈ N (am )n = am. Então. b. 34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81 210 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1. a . 6.024 a-n = an 1 EXEMPLO a. 3. 2..a =a am an = am − n m n m+n a ∈ R. a n vezes POR DEFINIÇÃO a1 = a e a0 = 1 EXEMPLO a. a 4 4 . (a + b) (a . 22 . 23 = 22 + 3 = 25 = 32 b. b. c. tal que n a = b ⇔ a = bn onde b ∈ R. (a . 33 = 8 x 27 = 216  3    5 −2 62 36  6 =9   = 2 =  2 4 2 2 52 25  5 =  = 2 =  3 9 3 2 RADICIAÇÃO Seja a ∈ R e n ∈ N. (a + b)² = a² + 2ab + b² 2. f. d.b)³ = a³ .b³ 105 . n > 1 chamamos n a de raiz n-ézima de a. (a . 4 3 3 212 = 2 4 = 23 = 8 2 3 = 3 12 b.b)² = a² . 4. (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ 5. 36 34 = 36 − 4 = 32 = 9 (3 ) 2 2 = 34 = 81 (2. n am = a n m n n n a a b n b = n ab a b =n nm a = nm a EXEMPLO a. 2. Exemplo a.Matemática EXEMPLO a.3a²b + 3ab² . 3. d.b² 4. 4 16 ⋅ 4 81 = 4 16 ⋅ 81 10 = 12 10 = 2. e. 3 3 8 =2 pois 8 = 2³ pois -64 = (-4)³ −64 = −4 PROPRIEDADES 1.b) = a² . c.3 = 6 2 3 34 PRODUTOS NOTÁVEIS Sejam a e b números reais então: 1.3)3 = 23 .2ab + b² 3. Fatore: a. x² .1) + x2 (x .x2 + x .y² j. d. x² + 2x + 1 . a² + 6a + 9 d. x² .x + x + 1 = (x5 + x4) .x3 + x3 . m²x² . x5 .1 = x5 .x3 + x2 .x4 + x3 .(x4 + x3) + (x3 + x2) .1) + (x . x2m .ab + b²) EXERCÍCIOS 1. x5 .9 x² .x4 + x3 . c.1) = (x .x3 + x2 .y4 106 . b. a³ .Matemática 6.1) + x3 (x .x + x .y2n g. x² + 2x + 1 .n²y² f. 7. x5 + 1 i.(x2 + x) + (x + 1) = (x+1) [x4 . ab + ac + bc + b² e.x4 + x4 .x2 + x .x3 + x3 + x2 .1 h.y2 = (x + 1 .b³ = (a .y) (x + 1 + y) (x2 .x4 .1 h.yn) (xm + yn) x5 + x4 .ny) (mx + ny) (xm . x4 .2xy + y² c.1) + x (x .2xy + y² a² + 6a + 9 ab + ac + bc + b² = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = (x-3) (x+3) (x .y2) (x2 + y2) = (x .1 = x4 (x .x3 + x2 .x2 + x2 . x2m .n²y² f.b) (a² + ab + b²) a³ + b³ = (a + b) (a² .9 b.1) [x4 + x3 + x2 + x + 1] x5 + x4 .x + 1] (x+1)2 .x2 . x5 + 1 i.y2n g.y)2 (a + 3)2 a (b+c) + b(c+b) = a (b+c) + b(b+c) = (a+b) (b+c) (mx .y) (x + y) (x2 + y2) Solução a. e.y4 x² .y² j. m²x² .x . x4 .x + 1 = x5 + x4 . 4x + 1 = 0 a = 4 b = -4 c = 1 2 2 ∆ = b .4ac.1 2 2 −b + ∆ −(−3) + 1 3 + 1 4 = = = =2 2a 2.4.4ac = (-3)2 . Neste caso as raízes são xI = −b − ∆ 2a e xII = −b + ∆ 2a • Se ∆ = 0. e representamos por ∆ .Matemática Equação do 2º grau TRINÔMIO DO 2º GRAU Chamamos de trinômio do 2º grau a função y = a x2 + bx + c.2 = 9-8 = 1 ∆ = 1 > 0 existem duas raízes reais e distintas Logo xI = xII = −b − ∆ −(−3) − 1 3 − 1 2 = = = =1 2a 2.4ac = (-4) . não existem raízes reais. a ≠ 0.1.1 = 16 .4. • Se ∆ > 0.  2 2 Resposta 107 .16 = 0 ∆ = 0.1 2 2 b. então existem duas raízes reais e distintas. ∆ = b2 . x2 . isto é. Chamamos de discriminante ao termo b2 . Resposta {1.4 8 2  1 1  . Chamamos os valores de x para o qual ax2 + bx + c = 0 de raízes da equação do segundo grau.4ac. 2} 4x2 .4. então existem duas raízes reais e iguais Neste caso as raízes são xI = xII = −b 2a • Se ∆ < 0.3x + 2 = 0 a = 1 b = -3 c = 2 ∆ = b2 . existem duas raízes reais e iguais Logo xI = xII = −b −(−4) 4 1 = = = 2a 2. EXEMPLO Calcule as raizes de: a. xI = a c EXEMPLO Qual a soma e o produto das raízes: a.216 = -180 ∆ = -180 < 0 então não existem raízes reais SOMA E PRODUTO DAS RAÍZES Seja ax2 + bx + c = 0.Matemática c. Então a soma das raízes é: S = xI + xII = − b a O produto das raízes é: P = xI .9. onde o vértice será V ( − 2a . = -1 = 1 4 GRÁFICOS DO TRINÔMIO DO 2º GRAU CASO I .5x + 6 = 0 S = −a = − 1 = 5 P= a = 1 =6 4x2 + 4x + 1 = 0 S= − = − P= c a b a 4 4 c 6 b (−5) b. − 4a ) b ∆ C b 2a 0 D 4a x I x V II x 108 .4ac = 62 . com xI e xII raízes. x2 .(a>0 e ∆ > 0) y Neste caso teremos uma parábola de mínimo. 9x2 + 6x + 6 = 0 a=9 b=6 c=6 ∆ = b2 .4.6 = 36 . 0 ) b C 0 b = x I = xII 2a x CASO III . onde o vértice será V ( − 2a .(a>0 e ∆ < 0) y Neste caso teremos também uma parabólica de mínimo. − 4a ) b ∆ ∆ 4a 0 V xI xII C b 2a x 109 . onde o vértice será V ( − 2a . onde o vértice será V ( − 2a .(a>0 e ∆ =0) y Neste caso teremos também uma parábola de mínimo.Matemática CASO II .(a<0 e ∆ > 0) y x Neste caso teremos uma parábola de máximo. − 4a ) b ∆ C ∆ 4a 0 b 2a CASO IV . Matemática CASO V . Entre as raízes sinal contrário ao de a. fora do intervalo das raízes sinal de a. onde o vértice será V (− b =x 2a I b 2a . − ∆ 4a ) C INEQUAÇÃO DO 2º GRAU Seja y = ax2 + bx + c 1º caso ∆ > 0 Se ∆ > 0 então existem duas raízes reais e distintas (xI e xII) então sinal de a xI sinal contrário de a xII sinal de a Isto é.(a < 0 e ∆ < 0) y b 2a ∆ 4a 0 Neste caso teremos também uma parábola de máximo.0) = xII 0 x C CASO V I . onde o vértice será x V (− b 2a .(a<0 e ∆= 0) y Neste caso teremos também uma parábola de máximo. 110 . 5x + 6 < 0 Vamos achar as raízes a = 1>0 b = -5 c = 6 as raízes são xI = 2 e xII = 3 logo + 2 logo: 2 < x < 3 — 3 + 111 .1. Exemplo Resolva x2 . ou — 2 x>2 + EXEMPLO Seja y = x2 + 2x + 2 a=1 b=2 c=2 2 2 ∆ = b .4ac = 2 . b = -3.4.Matemática EXEMPLO Calcule x2 . então não existem raízes reais.2 = 4 .3x + 2 > 0 Observe que a = 1. daí o trinômio sempre terá o sinal de a. c = 2 Calculando as raízes teremos xI = 1 e xII = 2 como o sinal de a é positivo teremos logo + 1 x<1 2º Caso ∆ < 0 Como ∆ < 0.8 = -4 ∆ = -4 < 0 Como a = 1 > 0 e ∆ < 0 então y = x² + 2x + 2 sempre é positivo. Matemática EXEMPLO x 2 − 7 x + 12 x −1 >0 x2 . b2 < 4 ac c. então pode-se afirmar que: a. c. y 5 0 x -9 112 .10x + c é o da figura: 02.7x + 12 > 0 Raízes de x2 . b. 4 ac = b2 e. números reais) for tangente ao eixo dos x. b = 4a + ac d.7x + 12 x 2 − 7 x + 12 x −1 3 + + + - 4 + + + - + - + Resposta 1< x < 3 ou x > 4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. Se o gráfico da função y = ax2 + bx + c (sendo a.7x + 12 = 0 são xI = 3 e xII = 4 Raiz de x-1=0 é x=1 1 x-1 x2 . b2 > 4 ac b. c = 0 Resposta “D” O gráfico do trinômio do 2º grau ax2 . a = -1 e c = 16 Resposta “A” 03. de R em R. para os quais a função f: R ⇒ R e f(X) = − 3 + é sempre negativa: 4 a.4ac < 0 e a < 0.Matemática Podemos concluir que: a. (FMU/FIAM) Dada a função f(x) = ax2 + bx + c com a < 0 e c> 0. onde b2 . x > 8 d. podemos concluir que o gráfico desta função: a. não intercepta o eixo dos x d. 05. intercepta o eixo dos x em um único ponto b. a = 1 e c = 10 c. c. / ∃x ∈ℜ − 2x 1 + <0 3 4 Resposta “C” 113 . a = 5 e c = 10 d. y > 0 se x for interior ao intervalo das raízes b. definida por y = ax2 + bx + c. y > 0 se x for exterior ao intervalo das raízes c. é tangente do eixo horizontal c. corta o eixo horizontal em dois pontos de abscissas positiva e negativa. ∀x ∈ℜ b. x ≠ 0 e. Então: a. Resposta “E” (MACK) Considere a função. a = 1 e c = 16 b. y < 0 para todo 0 x ∈ R d. existe um único x ∈ R tal que y = 0 Resposta “C” (CESESP) Assinale a alternativa correspondente aos valores de x. é secante ao eixo horizontal e o intercepta em dois pontos de abscissas positivas ambas e. x ≥ 3 8 3 2x 1 04. y > 0 para todo 0 x ∈ R e. a = -1 e c = 10 e. Qualquer que seja o valor atribuído a x. muda de sinal quando x percorre o conjunto de todos os números reais d. 114 .3x < 10 é: a. qualquer que seja o valor atribuído a x Resposta “B” (PUC) O trinômio -x² + 3x .∞ . 10 [ Resposta “C” 07. a função toma sempre um valor maior ou igual a zero e. se x < -1 ou x >1 d. ] .4: a. ] -2. é positivo para 1 < x < 4 e. ] 3. + ∞ [ c. a função toma sempre um valor menor ou igual a zero b. é positivo para todo número real x b. se -1 < x < 1 b. toma valores não negativos. a função toma valores negativos apenas para os valores de x tais que -1 < x<1 Resposta “A” (CESGRANRIO) O conjunto da solução da inequação x² . ] 0.1 a.3. para qualquer valor atribuído a x. -2 [ ∪ ] 5. 09. Qual dentre as seguintes alternativas é verdadeira? a. toma valores negativos. -2 [ b. toma valores negativos. A função y = x2 . é negativo para todo número real x c. se -1 < x < 1 c.∞ .Matemática 06. a função toma valores positivos para os valores de x tais que -2 < x < 1 c. a função toma valores positivos para os valores de x tais que x < -2 ou x > 1 d. 08. 5 [ d. é positivo para x<1 ou x>4 Resposta “B” (CESESP) Seja f a função quadrática definida por f(x) = -3x² + 6x . toma valores não positivos. qualquer que seja o valor atribuído a x e. toma valores positivos. 3 [ e. ] . (PUC) Os valores de x que verificam a.Matemática 10. x < -2 ou 4< x <5 c. x < 3 e x ≠ 2 Resposta “E” 13. -2 < x < 3 ou x > 5 b. 3 < x < 5 ou x < -2 c. assinale a alternativa correta: a.5x + 6) (x² . -5 < m < -4 d. 0 ∈ A c. 1 < m < 2 b. x < 3 Resposta “A” (USP) Os valores de x que satisfazem a inequação (x² . x > 6 e. x < 3 b. A Resposta “C” 12.2x + 8) (x² .5x) (x² . x < -4 ou 2 < x < 3 ou x > 4 Resposta “D” 115 x 2 − 5x + 6 x−2 < 0 são expressos por: 14. {x ∈ R/ o < x < 3} ⊂ A b. 0 < m < 1 Resposta “E” (FGV-SP) Sendo A o conjunto solução da inequação (x² . . -1 < m < 2 c.16) < 0 são: a.8x + 12) < 0. (PUC) Para qual dos seguintes conjuntos de valores de m o polinômio P(x) = mx² + 2 (-m -2) x + m² + 4 é negativo quando x = 1? a. 9 ∈ 2 11. 5. -2 < x < 5 d. x < -2 ou x > 4 b.5 ∈ A d. (USP) A solução da inequação (x-3) (-x² + 3x + 10) < 0 é: a. 2 < x < 3 c. -3 < m < 2 e. -4 < x < 2 ou x > 4 d. -4 < x < 2 ou 3 < x < 4 e. x ≠ 2 e. -1 ∈ A e. x < 2 ou x > 3 d. c > 0 c.c > 0 d. b. b c y 0 x <0 Resposta “A” 116 . a. a .b > 0 e.Matemática 15. a. representada na figura. (LONDRINA) Seja a função definida por f(x) = ax² + bx + c. Então: a.b < 0 b.

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