Aula 3 – Potenciação e Radiciação Potência A expressão a n , onde a é um número real e n é um número natural, com n > 1 , é denominada potência.Ela representa um produto de n fatores iguais ao número a , isto é: a n = a.a.a....a Por exemplo, 2.2.2 . Este produto pode ser escrito como 2 3 , onde o número 3 representa quantas vezes o fator 2 esta sendo multiplicado por ele mesmo. 3→exp oente 2 base→ 23 = lê-se, dois elevado a terceira potencia ou dois elevado ao cubo. O expoente informa quantas vezes o fator vai ser multiplicado por ele mesmo e a base, o fator a ser repetido. A potência é o resultado desta operação. Exemplos (1): Determine como se lê as potências abaixo: 32: três elevado a segunda potência ou três elevado ao quadrado. 64: seis elevado a quarta potência. 75: sete elevado a quinta potência. 28: dois elevado a oitava potência. Observações: 1ª) Todo número elevado ao expoente um é igual a ele mesmo. Por exemplo, 4 4 21 = 2, = , 9 9 1 131 = 13 e (1,2)1 = 1,2. 2ª) Todo número diferente de zero elevado à expoente zero é igual a um. Por exemplo, 6 = 1, 0 8 0 = 1 , 26 = 1 3 0 e (3,5)0 = 1. 3º) Potências de base 1: toda potência de 1 é igual a 1. Por exemplo, 10 = 1, 11 = 1, 12 = 1, 13 = 1 e 112 = 1. 4º) Potências de base 10: toda potência de 10 é igual ao número formado pelo algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as unidades do expoente. 3. observe: 2 3. (3 2 ) 2 = 3 2 x 2 = 3 4 = 81 [(3 2 ) 3 ]2 = 32 x 3 x 2 = 312 = 531441 Exemplo (2): Determine o valor das seguintes potências: a) 3 4 = 3.4) 5 = 0.000 de quilômetros.01024 1 1 1 1 1 d) = .4 2.108 km .4.100 = 1.2 2 = 2 3+ 2 = 2 5 = 32 33. a distância de Vênus ao Sol que é de 1.0. e depois efetuar seu o cálculo. Propriedades da Potência 1ª) Multiplicação de potência de mesma base: somamos os expoentes e conservamos a base.4. Por exemplo. Uma aplicação das potências de base 10 é a Notação Científica. = 2 2 2 8 2 e) (−3) 2 = (−3)(−3) = 9 Potência com Expoente Negativo 3 Para encontrar o valor deste tipo de potência deve-se inverter a base da potência para que o expoente fique positivo. . que em notação científica fica 1.4.0.3 = 81 b) 450 = 1 c) (0. que útil para simplificar e padronizar o registro de números.0. 103 = 1000 e 104 = 10000.08.08. 102 = 100.3 = 33+1 = 34 = 81 4.108 km 108.4.0. observe: 2 3 : 2 2 = 2 3− 2 = 21 = 2 3 4 : 32 = 34−2 = 3 2 = 9 7 5 : 7 3 = 7 5−3 = 7 2 = 49 3ª) Potência de potência: conservamos a base e multiplicamos os expoentes.000. como podemos ver nos exemplos abaixo: .4 = 0.4 3 = 41+ 2+3 = 4 6 = 4096 2ª) Divisão de potência de mesma base: subtraímos os expoentes e conservamos a base.3. 2ª) quando n é impar. isto é. Raiz n-ésima de um número real Definição: Sejam a um número real não negativo e n um numero natural. n > 1 . extrair a raiz quadrada é a operação inversa de elevar ao quadrado. n a = b ⇔ bn = a Veja. 3 3 8 = 2. então: 1ª) n a . c ∈ R+ e m. c) 4 5 : raiz quarta de cinco Observações: 1ª) quando n é par. a raiz nésima de a é o número real b. dai. basta calcular a raiz quadrada desta área e o problema esta resolvido. tal que b n = a . b. Propriedades: Sejam a. n ∈ N . o nome de cada elemento da raiz: Exemplo (3): Determine como se lê os radicais abaixo: a) b) 3 4 : raiz quadrada de quatro.n b = n a. Por exemplo. 3 − 8 = −2 e 2 = 8 . extrair a raiz cúbica é a operação inversa de elevar ao cubo. e assim sucessivamente. se conhecermos a somente a área de um terreno quadrado e queremos saber a medida de seu lado. a seguir. ou seja. 4 16 2 1 1 3−5 = = 3 243 5 e 2 3 −3 27 3 = = 8 2 3 Radiciação A radiciação é a operação inversa da potenciação. ( −2) 3 = 8 . Por exemplo. ( −2) 2 = 4 e 2 2 = 4 e nesse caso.b 4ª) b n a ± c n a = (b ± c) n a . a tem que ser positivo. Vamos aprender a trabalhar com estes radicais. A radiciação tem muitas aplicações no nosso cotidiano. 4 = ±2 .1 1 4 −2 = = . pois nesse caso nenhum número elevado a potências pares resulta em números negativos. 8 : raiz cúbica de oito. assim. a pode ser tanto positivo quanto negativo. Por exemplo. 3 2 = 3.6 = 3 12 81 = 3 27 .3 6 = 3 2. Para isso.3 = 9 E para finalizar nosso estudo sobre raízes é necessário conhecer também: Racionalização dos denominadores irracionais A racionalização de uma fração irracional é a operação que tem por finalidade transformá-la em um número inteiro ou em uma fração equivalente com denominador racional. como podemos ver nos exemplos a seguir: Exemplo (5): Racionalize as frações. deve-se multiplica o denominador por um radical que o torne racional. EXERCÍCIOS (1) Determine o valor das potências.n a Exemplo (4): Com o auxílio das propriedades.3 3 8 2 25 = 9 = 8 = 4=2 2 25 9 = 5 3 4 3 125 = 4. a) 7 2 −1 −2 b) ( −5) 3 c) 8 −2 d) ( −12) 1 e) 3 0 3 f) − 4 1 g) − 6 h) − ( −2) 4 .3 3 = 3.3 125 = 12 125 4 f) 73 5 + 83 5 = (7 + 8)3 5 = 153 5 g) ( 3) = 3 4 = 3 2. determine o valor das raízes abaixo: a) b) c) d) e) 3 3 2 .n 2ª) 3ª) n a n a = b b 5ª) ( a) n m = n am m n a = m . 3)³ x) 2 − 2 3 2 (2) Encontre s potências. 16 x3 21 8 4 c) 9 4 . Qual o comprimento deste portão? (8) Uma caixa de água tem o formato de um cubo.10 3 c) 7 .3² t) 15² u) (-4.(2)³ s) 2³.25 b) 3 8 + 49 c) 3 − 125 .7 5 d) 3 120 405 (5) Operações com Radicais: a) 2 3 + 5 3 .4 2 f) h) 20 5 3 4 g) 2 3 5 5 3 (6) Racionalizar os seguintes radicais: 1 1 a) b) 5 1+ 5 8 5 d) e) 3 7 3 −1 c) f) 2 3 3 5+ 2 (7) José tem um terreno quadrado que tem área de 64m 2 .45 6 3. 8 e) 3 b) 3 108 + 3 32 .02)³ q) (0.i) ( −2) 3 j) ( −2) 4 − 5 2 k) 3 −2 + 3 −1 l) 4. a) ( −5 3 ) 2 b) ( −2 3 ) 3 10 c) 2 −2 1 d) 7 −3 1 2 1 1 1 e) 81 4 f) 100 3 g) 4 2 h) 8 3 i) 9 2 (3) Calcule as raízes e efetue as operações: a) 16 . Ele deseja comprar um portão que tome toda a parte da frente deste terreno.6 3 4 d) 3 5 6 . Sabendo-se que seu volume é de 1000dm 3 .5)² 3 2 16 p) (-2.64 d) 2 .2²)³ n) -(0.1)². qual é o comprimento de sua aresta? .4 −2 4 5 m) (-0.5² r) (1.5³)² o)(1.5)² v)(1.− 25 e) 16 25 4 f) 3 x y 9 6 (4) Simplifique os radicais: a) 7 b) 2.2)². {14 : (−7) − 3. A ordem de resolução das operações é: potências e radicais.{−2 − 6} = −3. deve-se resolver primeiro expressão que se encontra dentro dos parênteses ( ).6 = 5 + 12 = 17 Mas isso não deve acontecer. Para resolvê-la.{14 : (−7) − 3.2} Solução: − 3. para por fim obter os resultados. depois multiplicação ou divisão e por fim adição ou subtração.4 : 2} = = −3. pode-se pensar de duas formas: 1ª forma: fazendo primeiro a adição e depois a multiplicação.6 .6 = 7.[4 − 6] 2 : 2} = −3.{−2 − 3. colchetes ou chaves. parênteses. Para evitar esta confusão.[4 − 6]2 . deve-se seguir o seguinte critério: Quando existirem. adota-se o sentido da esquerda para a direita na ordem de resolução das operações. se considerarmos a expressão numérica 5 + 2.{−2 − 3. e por ultimo o conteúdo das chaves{ }. temos: 5 + 2. e quando as efetuamos chegamos sempre a um número. o valor correto da expressão anterior é 17. E caso tenha apenas operações do “mesmo nível” para resolver.Expressões Numéricas São expressões que envolvem números e operações.{−8} = 24 . Por exemplo.6 = 42 2ª forma: fazendo primeiro a multiplicação e depois a adição.(−2) 2 : 2} = −3. Uma expressão numérica não pode ter dois resultados diferentes. Exemplo (1): Determine o valor da expressão numérica: − 3. Logo. depois dos colchetes [ ].{−2 − 12 : 2} = −3. Esta expressão envolve adição e multiplicação. temos: 5 + 2.
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