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12 3 Concreto Armado Volume 3 Dimensionamento à Flexo-Compressão Edmilson L. Madureira 4 . extrato das lições de autores tradicionais versados na ciência e na arte de projetar estruturas de concreto armado. Representa o fechamento de uma proposta original de disponibilizar aos membros do corpo discente. acessíveis a estudantes do Curso de Engenharia Civil. Este volume compreende cinco capítulos abordando o dimensionamento de membros estruturais de concreto armado solicitados à flexo-compressão. 5 Apresentação O trabalho que segue nas páginas adiante é o terceiro da série de três volumes contemplando a cobertura do conteúdo programático da disciplina Estruturas de Concreto Armado I. entretanto. sem. contudo. da grade curricular do Curso de Engenharia Civil. dispensando esses estudantes do rebuscar imediato de conteúdo em fontes dispersas. Os volumes foram concebidos mediante estrutura gramatical e vocabulário. negligenciar o cultivo e usufruto de terminologia técnica e notação científica. demovê- los do compromisso de ampliar horizontes na pesquisa em bibliografia alternativa. sem. da Universidade Federal do Rio Grande do Norte. material didático voltado à aquisição de conhecimento. . adequadas. lançaram-se no desafio de desbravamento dos dois volumes precedentes. 6 Congratulações aos estudantes da disciplina Estruturas de Concreto Armado I. lhes permitindo o acesso ao conteúdo então apresentado em vôo de cruzeiro e calmaria de jornada. . com empenho. que. Exercício Proposto 87 .2 – Armadura Distribuída no Perímetro dos Estribos 63 II.3 – Modelo de Dimensionamento 26 Capítulo II .Flexão composta reta com grande excentricidade – Dimensionamento II.1 .2 – Recomendações Normativas 16 I. 7 Sumário Capítulo I – Seções Solicitadas à Flexo-Compressão - Introdução I.Dimensionamento 75 III.Flexão composta reta com pequena excentricidade III.2 .3 – Exercícios Propostos 73 Capítulo III .1 – Armadura Distribuída nos Bordos da Seção Transversal 29 II.1 – Aspectos Fundamentais 9 I. Efeito de Esbeltez V.1 – Preâmbulo 111 V.2 .Dimensionamento 117 V.Exercício Proposto 109 Capítulo V .2 . 8 Capítulo IV . Flexão composta oblíqua com grande excentricidade IV.Dimensionamento 89 IV.3 – Exercício Proposto 123 Referências Bibliográficas 125 .1 . as colunas de estruturas de pontes onde as ações de aceleração e frenagem de veículos são exercidas na superfície de rolamento da pista e transmitidas ao topo dos pilares. decorrente de impacto lateral.2. Outro exemplo.b. ainda. sobretudo.1.1 – Aspectos Fundamentais Uma seção transversal está submetida à flexão composta quando solicitada pela ação combinada e simultânea de esforço normal e momento fletor. Reportem-se. resultando as condições apresentadas na figura I.Introdução I. figura I. figura I. são os pilares que recebem a ação do vento. quando estão ligadas rigidamente aos elementos horizontais. guarda-corpo de pontes.c. e pilares de currais e garagens. particularmente. flexo- compressão se o esforço normal for de compressão. as colunas que fazem parte de pórticos. as vigas. como o que se verifica em defensas de rodovias. inclusive. 9 Capítulo I Seções Solicitadas à Flexo-Compressão . Um exemplo desse padrão de solicitação é constatado em colunas submetidas a carregamento transversal. . denominando-se. conforme figura I.1. como acontece naqueles de extremidade de estruturas de edifícios. Ressaltem-se.1.a. 3. Figura I.2 – Solicitações estáticas em pontes rodoviárias Até mesmo a ação do tráfego de veículos contra a ondulação da superfície de rolamento do pavimento das pontes é suficiente para produzir ações horizontais nos pilares. Para as pontes ou viadutos de traçado longitudinal em curva horizontal.1 – Elementos submetidos à flexo-compressão Figura I. o tráfego natural de veículos a velocidades . 10 Figura I. Figura I.3 – Ponte ou viaduto de traçado horizontal em curva Figura I. Tal ação é conduzida ao topo das colunas resultando na solicitação nos pilares ilustrada na figura I.4 – Ponte ou viaduto de traçado horizontal em curva . 11 razoáveis.4. é capaz de mobilizar ação centrífuga na laje da superestrutura. Figura I. A flexão composta reta.b. Em outras palavras.a. quando a linha de ação do esforço normal excêntrico intercepta um dos eixos principais de inércia.6. 12 Em qualquer situação de coluna solicitada à flexo- compressão. dá-se quando a seção transversal encontra-se solicitada por momento fletor. . da linha de ação do esforço normal. figura I. A medida do desvio “e”. pode ser transformado em um único esforço equivalente. o par de esforços. figura I.6. apresentando desvio em relação ao centro de gravidade da seção transversal. o esforço normal.5 – Pilar solicitado à flexão composta A flexão composta pode ser reta ou obliqua.5. constituído pelo esforço normal e o momento fletor. ou flexão composta normal. figura I. Isto é possível mediante a aplicação do teorema de Varignon. cujo vetor apresenta a mesma direção de um de seus eixos principais de inércia. em relação ao centro de gravidade da seção transversal é denominada de excentricidade. ou seja: quando a excentricidade se manifesta apenas segundo uma de suas direções principais. quando o vetor momento fletor apresenta-se inclinado em relação aos seus eixos principais de inércia.7.a. Figura I.b. figura I. figura I. 13 . Figura I.7. uma seção está solicitada mediante flexão composta oblíqua. Neste caso.7 – Seção transversal solicitada à flexão composta oblíqua .6 – Seção transversal solicitada à flexão composta reta Por outro lado. a excentricidade manifesta-se segundo duas direções ortogonais entre si. o que equivale a dizer que a linha de ação do esforço normal excêntrico intercepta o plano da seção através de um dos quadrantes estabelecidos por seus eixos principais de inércia. se o momento de inércia em relação a dado eixo apresenta seu valor máximo este eixo representa um eixo principal de inércia.b.8. A flexão normal dar-se-á.a. exclusivamente. a influência das armaduras e da fissuração. são os eixos em relação aos quais os momentos de inércia apresentam o valor máximo e o valor mínimo. e. Em outras palavras. Por outro lado. haja vista. em relação ao qual o momento de inércia apresenta o menor valor possível. quando a linha neutra intercepta a seção transversal analisada. de modo que ela se encontre parcialmente tracionada e parcialmente comprimida. Assim. exclusivamente. Assim sendo.8. A flexão composta é de pequena excentricidade quando os esforços solicitantes e a distribuição da armadura na seção transversal são tais que resulta. tensões de compressão em toda a extensão da referida seção. a linha neutra passa fora ou no máximo tangencia o perímetro de contorno da seção transversal em consideração. figura I. caracterizar-se-á a flexão composta com grande excentricidade. em seção que admita pelo menos um eixo de simetria e o plano que contém o carregamento também contém tal eixo. Em se tratando de seções de concreto armado os conceitos da Mecânica dos Sólidos não se aplicam diretamente. de modo que o vetor . 14 Os eixos principais de inércia caracterizam-se por representarem a referência para os momentos de inércia de valor extremo maior e menor. figura I. o outro eixo principal de inércia é aquele que lhe é ortogonal. Para a flexão composta oblíqua. Observe-se que a assimetria da armadura. . inclusive.8 – Seção transversal solicitada à flexo-compressão: a . a linha neutra apresenta-se inclinada em relação aos eixos principais de inércia com direção desconhecida. Figura I. b . figura I.9.) com pequena excentricidade.) com grande excentricidade A flexão composta reta é de abordagem mais simples. uma vez que é perpendicular ao plano do carregamento. por outro lado. tanto pela própria formulação quanto pelo fato de que a direção da linha neutra é conhecida. 15 momento fletor é perpendicular ao plano de carregamento e ao eixo de simetria. além de a formulação ser mais complexa. pode induzir flexão composta oblíqua. Caso contrário tem-se flexão oblíqua. apresentam imperfeições de natureza geométrica.1 .Imperfeições Geométricas Locais Membros componentes de estruturas reais.9 – Flexão composta reta I. por melhores que sejam as técnicas de sua execução. . Na verificação do estado-limite último das estruturas reticuladas as imperfeições geométricas de origem construtiva.2 – Recomendações Normativas I. 16 Figura I.2. 10 – Imperfeições geométricas: a – ) Equívoco no comprimento do elemento de travamento.015 + 0. e. Figura I. avaliada mediante a equação: e1. Seus efeitos podem ser avaliados em termos aproximados a partir da adoção de uma excentricidade mínima para o esforço normal de projeto.03h I.1 .10 estão apresentadas as imperfeições geométricas locais mais frequentes. Na figura I. c – ) desaprumo Nos casos usuais. devem ser consideradas. 17 caracterizadas pelo desvio da configuração retilínea dos eixos longitudinais dos membros estruturais. b – ) Desvio do eixo da condição retilínea.min = 0. segundo a norma. a consideração do desvio da retilineidade por lance de pilar é suficiente. As imperfeições geométricas são classificadas em imperfeições globais e imperfeições locais. na condição descarregada. 2 . I. Figura I. ser menores que 19 cm.95 .05b I.11. 2 figura I.0. além do que. não deve ser inferior a 360 cm . a maior dimensão da seção transversal não pode ser superior a cinco vezes a sua menor dimensão.Dimensões limite para os pilares A área da seção transversal de pilares de concreto armado. Suas dimensões não devem. permite-se a adoção de dimensão compreendida entre 14 cm e 19 cm para a seção transversal do pilar desde que as solicitações sejam multiplicadas por um coeficiente majorador dado por: γn = 1.2.2 . a princípio.11 – Seção transversal Excepcionalmente. 18 onde “h” é a dimensão da seção transversal na direção considerada. figura I.2.12. além de promover a efetivação da costura das emendas entre aquelas barras.3 . inclusive. quando for o caso. por grampos suplementares.Armaduras Transversais Devem ser constituídas por estribos horizontais. e. Em pilares solicitados por esforço cortante têm a função. . de absorver as tensões cisalhantes correspondentes.3 4 onde “ ΦL ” é o diâmetro nominal das barras adotadas para a armadura longitudinal. 19 onde “b” é a menor dimensão da seção transversal. expressa em centímetros. distribuídos ao longo de toda a extensão longitudinal do pilar. Têm o objetivo de garantir o posicionamento da armadura longitudinal e impedir a flambagem individual de suas barras. I.min  5 mm e  t. incluindo as regiões de cruzamento com vigas e lajes. As barras ou fios utilizados para a manufatura das peças das armaduras transversais devem apresentar diâmetro mínimo fixado a partir dos critérios: 1  t . min  L I. . adotando-se o limite mais rigoroso. os limites ora especificados. de esforços de cisalhamento decorrentes de esforços cortantes e momento de torção. para aço CA-50 Pode ser adotado  t   L / 4 . devem ser confrontados com os valores mínimos apresentados na seção 18.4 Smax = 12 L . Seu valor máximo é fixado a partir dos critérios: Smax = 200 mm Smax = Menor dimensão da seção transversal I.12. figura I. desde que as armaduras sejam constituídas do mesmo tipo de aço e o espaçamento seja limitado ao valor obtido conforme a expressão:  2  1 Smax  90000 t  I. tomada segundo a direção do eixo longitudinal do pilar.5  L  f yk   Com o limite de escoamento característico do aço expresso em MPa. Nos casos em que houver a necessidade de armaduras transversais destinadas à absorção. inclusive.3. 20 O espaçamento longitudinal representa a distância entre duas peças de estribo consecutivas. da NBR 6118/2014. contada a partir do vértice do estribo. 21 Figura I. recomenda-se que os espaçamentos máximos dos estribos sejam reduzidos em 50% para concretos C 55 a C 90. com o inclinação dos ganchos de pelo menos 135 .4. . inclusive. a partir da quarta barra posicionada em tal trecho. A NBR 6118/2014 recomenda em sua seção 18. devem ser amarradas mediante grampos suplementares.12– Detalhe da armadura transversal de pilares Com o propósito voltado para a garantia da ductilidade dos pilares. Tal recurso deve ser adotado. posicionadas a distância superior a 20Φt do vértice de um estribo.2. que as barras da armadura longitudinal. 7 Tal recomendação concernente à adoção de área máxima de armadura deve ser atendida. a obrigatoriedade de adoção de uma área máxima para a seção transversal da armadura longitudinal. Têm a função precípua de absorver.6 Prevê. às barras do lance imediatamente inferior. se nas seções de . fixada em: As min = 0. dada a partir de: As max = 0. os esforços normais solicitantes. posicionadas paralelamente ao eixo longitudinal da coluna. inclusive. em conjunto com a massa de concreto. Admitindo-se a necessidade de ligação de cada barra da armadura longitudinal de um lance do pilar. 22 I. deve-se atentar para o fato de que.5 .15Nd / fyd ≥0. nas seções de emenda por traspasse.13.2.Armaduras Longitudinais São constituídas de barras de aço do tipo vergalhão. figura I. adotando-se emenda por traspasse. inclusive.08Ac I.004Ac I. A norma prevê a obrigatoriedade de adoção de uma área mínima para a seção transversal da armadura longitudinal. 13– Emenda por traspasse Se ”b” é a menor dimensão da seção transversal.8 . Figura I. o diâmetro das barras deve ser definido atendendo-se aos limites: ΦL. for adotada taxa máxima de armadura conforme a equação I.max = b / 8 I. Convém. limitar a armadura das seções fora da região da emenda à metade daquele valor. esse limite poderia ser ultrapassado nas seções de emenda.min = 10 mm e ΦL.13. 23 seu fuste. portanto. As seções transversais de contorno poligonal devem ser providas de pelo menos uma barra de armadura longitudinal por vértice. se a seção transversal do pilar for de formato retangular deverá ser armada mediante a adoção de. distância “e” da figura I. pelo menos. da armadura transversal. portanto. pelo menos. para a obtenção de produto final de boa qualidade técnica é necessário garantir o estabelecimento de espaçamento mínimo entre as faces das barras da armadura longitudinal. 24 I. distribuídas uniformemente ao longo do perímetro da peça de estribo.6 . Com vistas a permitir a execução racional e adequada do elemento estrutural. Segundo norma deve ser fixado para tal espaçamento valor mínimo conforme os critérios expressões: emin = 20 mm emin = ΦL I.14.2. Conseqüentemente. Distribuição da armadura longitudinal na seção transversal As seções transversais circulares devem ser armadas utilizando-se. e. seis barras de 10 mm de diâmetro nominal. de modo que seja posicionada uma em cada vértice.2ΦAG .9 emin = 1. quatro barras de diâmetro nominal igual a 10 mm. . O espaçamento máximo interfaces das barras da armadura longitudinal deve ser igual ao dobro da menor dimensão da seção transversal do pilar e não exceder 400 mm. Figura I. o espaçamento das barras da armadura deve ser suficiente a permitir a introdução e operacionalidade da agulha e da mangueira do dispositivo adensador.14 – Espaçamento das barras da armadura longitudinal Na hipótese de a operação de adensamento ser realizada através de abertura lateral localizada no fuste da forma do pilar. 25 onde “ ΦAG ” é a dimensão máxima característica do agregado graúdo utilizado para a usinagem do concreto. se o concreto apresentar fck ≤ 50 MPa. sendo limitadas ao seu fyd.As tensões na armadura de aço são obtidas a partir do diagrama tensão-deformação recomendado em norma.A deformação das barras de aço deve ser limitada a um valor máximo de 1.0%.3 – Modelo Dimensionamento O dimensionamento abordado nessa seção aplica-se. 6. Desta forma.2 para pequena excentricidade. sua formulação herda as hipóteses de número 1. em se tratando de flexão composta com pequena excentricidade. O modelo destinado ao dimensionamento de seções transversais solicitadas á flexão composta é concebido tomando-se por base as hipóteses do modelo de cálculo da flexão simples. 5.2%. 3. não cintados. tal encurtamento é de 0. formulado na seção I. a pilares comuns. Em elementos dimensionados para o regime de flexão composta com grande excentricidade. entretanto. II .35%. com o material apresentando comportamento . exclusivamente. a inclusão de alguns aspectos que o complementa. 8 do modelo de cálculo da flexão simples. para grande excentricidade e ao seu f’s0. promovendo-se. 26 I. enquanto as deformações de encurtamento da massa de concreto na região comprimida devem ser limitadas a um valor máximo de 0.4 do Volume 2. às quais devem ser acrescentadas as hipóteses: I . com seção transversal de formato retangular. 27 elástico perfeitamente plástico. onde o f’s0.2 do aço representa a tensão correspondente à deformação de 0.2%. . 28 . A formulação do dimensionamento fundamenta-se no equilíbrio entre os esforços solicitantes e os esforços resistentes: N d  Rd  M d  M Rd II.1 – Armadura Assimétrica Para a presente análise consideraremos inicialmente o caso em que a armadura apresenta distribuição de maneira assimétrica em camadas paralelas ao vetor momento fletor. 29 Capítulo II Flexão composta reta com grande excentricidade – Dimensionamento II.1. Para a verificação da ruína da seção transversal toma-se por referência o estado-limite último. representam o esforço normal solicitante e o esforço normal resistente de projeto. Figura II. posicionadas nos bordos da seção transversal do pilar.1.1 Os parâmetros “Nd” e “Rd”. e “MRd” são o Momento fletor solicitante e o Momento fletor resistente de . “Md”.1 – Armadura Distribuída nos Bordos da Seção Transversal II. ao passo que. ao bordo que lhe é contíguo será: d '  h II. Antes de tudo.6.4 sendo “h” a altura da seção transversal. O esforço normal de projeto.1. para combinação normal de ações é dado mediante: N d   g N gk   g N gk   q ( N q1k   0 j N qjk )   q 0 N qk II. serão observados os equilíbrios em termos de momentos em relação à linha das armaduras de tração e de compressão. resume-se à expressão: Nd   f N II. e.5 A distância da linha neutra ao bordo comprimido será definida pela variável “y”. A distância das linhas das armaduras. na hipótese de os esforços devidos às ações indiretas serem desprezíveis considerando-se g = q = f. A distância entre a linha de armadura de tração e a linha de armadura de compressão será: h'  h  2d '  h  2h  (1  2 )h II. serão apresentadas as definições matemáticas de alguns parâmetros pertinentes que aparecem na figura II. . tanto de tração quanto de compressão. dada mediante a equação II.2 que em estruturas de única ação variável. 30 projeto.3 Como estratégia de modelagem. 9 Onde M dt é o momento associado ao esforço normal de projeto. 31 y   . os momentos fletores devidos aos esforços normais absorvidos pelo concreto e pelo aço em compressão.h    y / h II.6 A distância da linha neutra fictícia.8 . é dada por: x  0.8 Tal somatório deve envolver a contribuição do esforço normal solicitante e das resistências do aço e do concreto em compressão.h   .10. ao bordo comprimido.7 O equilíbrio dos momentos em relação à linha da armadura tracionada será:  M st  0 II.8 y  0. de modo que:  M st  M ct  M st'  M dt  0 II. M ct e M st' representam. Figura II. referente ao diagrama retangular simplificado de tensões no concreto. respectivamente.1.h    x / h II. . pode ser dado mediante a equação II. O momento fletor absorvido pelo concreto em compressão. 32 M ct  Rc (h  d ' x / 2)  Rc (h  h   . sendo dado a partir de: Rc  f c .1. As taxas de armadura comprimida e tracionada podem ser definidas matematicamente a partir das expressões: . pode ser obtido através de: M st'  Rs' h'  Rs' (1  2 )h II.13 Onde Rs' representa o esforço normal absorvido nas barras da armadura comprimida podendo ser obtido a partir de: Rs'  As' .h / 2)  Rc h(1     / 2) II.b.b. s' II.1.h(1     / 2) II. .10 resulta: M ct  Rc h(1     / 2)  f c . Figura II.h II.h.12 O momento fletor associado ao esforço normal absorvido pelas barras da armadura comprimida.11 em II.11 Levando-se II.14 Para a qual As' é a área da seção transversal da armadura comprimida e  s' é a tensão normal que a solicita.b. Figura II.x  f c .10 Onde Rc é o esforço normal absorvido na região comprimida do concreto. 14 e II. será dado pela expressão: h h  2 .b. levando-se II.h 1  2 M dt   N d (e   d ' )   N d (e  )   N d (e  . que são dadas na forma: As' A' As A '   s e   s II.18 f yd O momento do esforço solicitante de projeto em relação à linha da armadura tracionada.b.h II. referentes às armaduras comprimidas.h II.16 Ac b.15 e II.h) II.h.13. Combinando-se as equações II.17 em II. 33 f yd f yd  ' ' e  II.17 f yd De modo que.19 2 2 2 . figura II.1. respectivamente.15 fc fc Sendo ρ’ e ρ as porcentagens geométricas de armadura comprimida e tracionada.h Desde que o parâmetro Ac represente a área da seção bruta de concreto.16.h Ac b. s' (1  2 )h   ' c  s' (1  2 ). e resolvendo a expressão resultante em As' obtém-se: fc As'   ' . obtém-se: f M st'  Rs' (1  2 )h  As' . h(1     / 2 )   '  s (1  2 ).b.h fyd II.21 Nd ( e  .h )  0 2 Dividindo-se todos os termos de II.20 por fc. .b.h(1     / 2 ) f .b.h.19 na equação II.b. 34 Substituindo-se II.h.12.20 1  2  Nd ( e  .9 vem: fc ' fc .h   ' c  s' (1  2 ) fc .b.23 f yd Por outro lado.b.h 1  2 II. s' (1     / 2)    0 II.h) II.h.h 2 2 E efetuando-se as simplificações pertinentes resulta afinal: (1  2 ) '.h) Nd 1  2  2  (e  .h. resulta: fc .b.b.22 f c .h fyd fc .18 e II.b.h.h.24. II.h.h.h )  2 0 fc .b. o equilíbrio de momentos dos esforços em relação à armadura comprimida poderá ser expresso mediante a equação II.h.h Fazendo-se: 1  2 N d (e  .h.h f c . 24 A partir de raciocínio idêntico àquele praticado para os momentos relativos à armadura tracionada devemos ter:  M sc  M cc  M sc  M dc  0 II. O momento fletor absorvido pelo concreto em compressão. será dado pela equação II. pode ser dado mediante: M cc  Rc ( x / 2  d ' )  Rc ( .25 Onde M dc é o momento associado ao esforço normal de projeto.28 . M sc  Rs h'  Rs (1  2 )h II. ( / 2   ) II. os momentos fletores dos esforços normais absorvidos pelo concreto em compressão e pelo aço em tração.h. Figura II. M cc e M sc representam.1.28.h.h / 2  h)  Rc h( / 2   ) II.26 obtém-se: M cc  Rc h( / 2   )   f c .27 O momento fletor associado ao esforço normal absorvido pelas barras da armadura tracionada.1.26 Levando-se a expressão de Rc da equação II. 35  M sc  0 II.b. Figura II. respectivamente.11 na equação II. b. II.17.b.32 na equação II.29 Para a qual  s é a tensão normal que solicita a armadura tracionada e As é a área de sua seção transversal que pode ser dada mediante equação semelhante à II.25 obtém-se a equação: . levando-se II.31 e II.31 f yd O momento do esforço solicitante de projeto em relação à linha da armadura comprimida.28.1. s (1  2 )h    s (1  2 ). Assim.30 em II. obtém-se: fc M sc  Rs (1  2 )h  As . será:  h   h  2 .32  1  2   Nd  e  .30 f yd Desde que ω seja sua taxa mecânica. 36 Onde Rs representa o esforço normal absorvido nas barras da armadura comprimida podendo ser obtido a partir de: Rs  As .h. figura II.h  Mdc  Nd e    d'   Nd  e     2   2  II.29 e II.27.h II.h II. s II. resultando: fc As   .h   2  Substituindo-se II. Tais deformações podem ser deduzidas do desenho da figura II.b.h fyd  fc .b.h.1.h.b.b.h.h.b.h   0  2  Dividindo-se todos os termos de II.33 por -fc.h. resulta: fc .b.h  1  2  II. s ( / 2   )   '  0 II.h.b.34 Nd  e  .33  1  2   Nd  e  .h.h    II.36 f yd As intensidades das tensões normais nas barras da armadura de aço podem ser obtidas a partir do conhecimento das respectivas deformações que.h   c  s (1  2 )  fc .h Fazendo-se:  1  2  Nd  e  .h.b. por sua vez dependem da posição da linha neutra.h  '   2   N d  e  1  2 .h f c . Observe-se que o triângulo otu é semelhante aos triângulos ors e opq de modo que: . 37 fc  fc . (  / 2   ) f .h fyd II.b.h 2  2  E efetuando-se as simplificações pertinentes resulta afinal: (1  2 ) .h    2  0  fc .h.h.35 f c .b. (  / 2   )    s (1  2 ).h.h. 40 se transformam em: .37 resulta: pq op  h  d ' y h  d ' y   s   s   cu II. as equações II.1 – Seção transversal esforços e diagramas Haja vista que x = 0.37 obtém-se: rs os ' y  d' y  d'   s    s'   cu II. 38 rs os pq op    II.38 da primeira das igualdades II. pq   s .1 pode-se depreender que: rs   s' . os  y  d ' .39 tu ou  cu y y e.39 e II. da segunda das igualdades II. da figura II. ou  y. op  h  d '-y II.8y. e.40 tu ou  cu y y Figura II.37 tu ou tu ou Mas. tu   cu .  cu  1  0. Deve-se ter em conta de antemão que a norma permite considerar que o padrão de desempenho mecânico em compressão para o aço é idêntico ao seu padrão de desempenho em tração de forma que admite considerar para diagrama em compressão aquele mesmo elaborado a partir de resultados de ensaios em tração.2. cu II. portanto. portanto.43 e II.2. . “εyd” na figura II. figura II. Tal realidade é representada matematicamente a partir dos critérios formulados nas equações II. a qualquer ponto situado no trecho “AB” da curva tensão deformação.44 abaixo apresentadas.d '     s'  1  . a qualquer ponto situado no trecho “OA” da curva tensão deformação. cu    1.42  x     Para definição das tensões nas barras de aço considere-se o diagrama tensão deformação do aço. o material permanece no regime elástico de modo que é válida a lei de Hooke. Observe-se que se ocorrer de a deformação da barra ser inferior àquela correspondente ao limite de escoamento de projeto do aço. .8(1   )  s    1.41  x    e  0. referindo-se. Por outro lado. o “fyd”. “εyd” na figura II.8. se ocorrer de a deformação da barra ser superior àquela correspondente ao limite de escoamento de projeto do aço. cu II. o material está no regime plástico de modo que a tensão que o solicita é igual ao limite de escoamento de projeto do aço. 39  0.8.2. referindo-se.8(h  d ' )   0. por suas peculiaridades exigirem resultados mais precisos. conforme a lei de Hooke.23 e II.36 foram deduzidas em função da posição da linha neutra “x” que.Es   s   yd   s  f yd II. será:  yd  f yd / Es II. Para os fins do exercício corriqueiro do dimensionamento é razoável adotar-se. 40  s'   yd   s'   s' . constitui incógnita do problema.45 Pode-se observar que as equações II.44 Figura II.43 e:  s   yd   s   s . na realidade.2 – Diagrama Tensão Deformação para o aço Vale ressaltar que a deformação correspondente ao limite de escoamento do aço. simplesmente. β = 0. faz-se necessário .Es   s'   yd   s'  f yd II.4. Em se tratando de casos que. atenuaria o volume de cálculo.47 Levando-se estas expressões na equação II. ressalte-se a existência de dois valores limites para a posição da linha neutra que. oq  h  yR  d ' .3. por outro lado. e assim sendo sua deformação não pode ultrapassar seu valor limite ultimo.0. Por um lado.46 mn pq Pode-se ainda deduzir que: om  yR . 41 uma abordagem mais rigorosa o que leva à adoção de procedimento iterativo. consistindo assim em tarefa extremamente laboriosa. Com os sucessivos valores de tais taxas realiza-se análise de tendência para a obtenção da situação mais econômica. pq   su II. “εsu”. e. Entretanto.46 obtém-se: yR h  y R  d' y  cu    min  R  (1   ) II. figura II. deve-se atentar para a prevenção contra a ruptura do aço. em se tratando de flexão composta de grande excentricidade β < 1. uma vez conhecidos. mn   cu . Tal procedimento consiste em arbitrar sucessivas posições para a linha neutra. mediante varredura ao longo da direção paralela à altura da seção transversal e efetuar os cálculos das taxas mecânicas das armaduras com base em cada valor de “β”.48  cu  su h  cu   su . Em tal figura os triângulos “omn” e “opq” são semelhantes de forma a permitir escrever-se a igualdade: om oq  II. e que as ações indiretas são desprezíveis. sabendo-se que será moldado em concreto C 20 armado com barras de aço CA-50.30. que apresenta excentricidade e = 0.Área da seção transversal Ac  bxh  25x50  1250 cm 2  0.25 m. figura A. que obtidos os valores apropriados para as taxas mecânicas de armadura obtém-se as áreas das seções transversais das barras de aço da armadura longitudinal mediante as equações II. 42 Conclui-se.II. Admitir para direção preferencial de flambagem a direção “y”.17 e II. que faz parte da estrutura de um edifício residencial construído em área para a qual deve ser prescrita uma classe de agressividade ambiental “I” e que em sua vida útil será solicitado por uma combinação normal de ações cujas cargas características produzem um esforço normal de serviço de 700 kN.3 – Configuração Deformacional Limite da Barra de Aço Exercício II.1: Determinar a armadura para um pilar curto com seção transversal de formato retangular com dimensões b = 25 cm e h = 50 cm. .1250 m2 .1.Parâmetros Relevantes: . Figura II. . portanto. 07 Figura A.4 e  s  1. logo: f f c  0.00206 . 43   0.15  434 MPa .1250 m2 .07 .Parâmetros Relevantes: .   0.0035  yd  f yd / Es  434 / 210000  0.Tensões e Deformações Limite Conforme a tabela III.85 ck  0.1 – Seção transversal de pilar . s  cu  0.Área da seção transversal Ac  bxh  25x50  1250 cm 2  0.7 do volume 1 os coeficientes de segurança dos materiais devem ser fixados em  c  1.85 x20 / 1.II.15 .4  12 MPa c f yk f yd   500 / 1. 25  x0.h 2 12 x0.03h  0.25  0.25 x0.03 m  e  0.Momentos Reduzidos Nd 1  2 0.50) f c . . .4 . .00 cm 2 .50 2  1.046  0.0.3 do volume 1.4   .39 cm 2 As min  0. .215)  0.50) f c .Esforço Normal de Projeto Conforme tabela III. min  0. min  0.05 .Esforço Normal N  700 kN  0.h)  2 (0.50  0.b.Armadura Longitudinal mínima As min  0.Imperfeições geométricas e1.15 x0. cu  1  0.15 N d / f yd  0.03x0.8.98 1  2 x0.07  2 (e  .98 / 434  3.25 x0. . considerando ser desnecessária maior precisão.04 Ac  0.03 m .25  x0.004 Ac  0.015  0. 44 .04 x1250  50.Deformações e tensões nas armaduras:    0.Posição da linha neutra: Arbitrar β = 0.61 Nd  1  2  0.h  2 2  12 x0. .4.307 x(0.215)  0. logo: N d   f N  1.8.25 m adotar e1  0.50 2 2  1.0031     0.307 x(0.4 x0.004 x1250  5.Armadura Longitudinal máxima As max  0.25 m . Uma vez que e1.h   (0.39 x104 m 2  3.015  0.70  0.07   s'  1  0.00 cm 2 .0035  0.07 '  e  .70 MN . tem-se  f  1.25  0.b.98 1  2 x0.98 MN . 07  0.37 x12 / 434  0. 45  0.61  0   '  0. f c / f yd  0.0035  0.40   0.0103 .00332 .052  0.05  0 f yd 0.07) .07)  s    1.12 .h  0.86  0.    .0031     0.1250  4. f yd (0.37 (1  2 ) .Porcentagem geométrica de armaduras:  '   '.4   s   s'   yd   s   s'  f yd  434 MPa Taxas Mecânicas de Armadura (1  2 ) '.292  0.12 x12 / 434  0.8(1  0. e.07)0. s' (1     / 2)    0 f yd (1  2 x0.86 '0.Armadura longitudinal: f 12 As'   ' c .61  0 f yd 0. cu    1.4 / 2)0.0.07) '.4   0.15 cm 2 f yd 434 .12 .h  0.b.79 cm 2 f yd 434 fc 12 As   .1186  0. f yd (1  0.40 / 2  0.8(1   )   0.37 .1250  12.b.05  0    0. s ( / 2   )   '  0 f yd (1  2 x0. f c / f yd  0. 716  14. Mas.28 cm 2 . 1112.50 cm 2 .Armadura transversal: De acordo com a norma.01 cm 2 .Escolha: Armadura comprimida 1710  13.35 cm 2 . tal opção apresenta diferença razoável em relação à solução mais econômica. 46 . 2 20  6. Armadura de tração 610  4. para a armadura comprimida.04 cm 2 . poder-se-á adotar a solução mais econômica com barras de 10 mm. 316  6.91 cm 2 .5  4.71 cm 2 . 412.5  13. a solução mais econômica é com 17 barras de 10 mm. Para a armadura de tração. . min  L 4 . 5 20  15. min  5 mm e  t. e. Provisoriamente. por sua vez. a única alternativa que permite distribuição de bordo é com cinco barras de 20 mm. Entretanto. Observe que. e.71 cm 2 . o diâmetro dos estribos deve ser fixado a partir dos critérios: 1  t . adotar-se-á essa alternativa. uma vez que até agora não foi abordada outra configuração de distribuição senão a distribuição de bordo. A partir da utilização de módulo computacional iterativo sobre as equações II. . min   L  20 / 4  5 mm .II. Smax = 12 L  12 x10  120 mm De modo que o espaçamento de 10 cm atende às exigências normativas. a posição da linha neutra que resultou em condição mais econômica foi para β = 0.23 e II. fios de 5. Conseqüentemente. 47 1 No presente caso t . e.2 – Detalhe da armadura na seção transversal . este critério será devidamente atendido.0 mm.2.466 com valores para as taxas mecânicas de armadura ω’ = 0.II.33163 e ω = 0. a distribuição das armaduras na seção transversal deve ser detalhada conforme esquema da figura A. Smax = 200 mm. . Smax = Menor dimensão da seção transversal = 250 mm. portanto.36 chegou-se à conclusão que para este caso. Para o espaçamento máximo a norma preconiza: . na realidade. Figura A.14646. Adotando- 4 se. Até a etapa de cálculo referente à obtenção dos momentos reduzidos.1.2 .29334.3: Resolver o exercício II.17 cm2 fyd 434 As  As'  2 As  2 As'  2 x10.294 .1250  10.294 .34 cm2 .29398 e ω = 0.1 adotando-se armadura simétrica.23 e II.36 de modo que a varredura da linha neutra tenha como objeto a determinação da posição para a qual se verifique a condição ω ≈ ω’. portanto valores idênticos.Armadura Simétrica Para obtenção da área necessária de armadura com distribuição simétrica podem ser realizadas iterações sobre as equações II. de modo que pode-se considerar ω’ = ω ≈ 0.Taxa mecânica de armadura: A partir do procedimento iterativo sobre as equações de equilíbrio II.b. e.36 obteve-se para a posição da linha neutra referente a armadura simétrica β = 0.17  20. 48 II. Exercício II. resultando para taxa mecânica de armadura ω’ = 0. adote-se procedimento idêntico.Armadura longitudinal: f 12 As  As'   ' c . .542.23 e II. inclusive.h  0 . é recomendável o uso de armadura assimétrica. em geral. Diante do exposto apenas em pilares de galpões e hangares isentos da ação do vento justifica-se a adoção da distribuição assimétrica. Figura A. em estruturas desse tipo.3.94 cm 2 Registrando-se diferença em torno de 20%. posicionar corretamente a armadura na fase de execução é tarefa passível de enganos que podem trazer transtornos futuros. e. obteve-se: As  As'  4. entretanto. O mesmo se dá para pilares. decorre da ação do vento que pode atuar nos dois sentidos.3 – Seção de pilares de edifícios sob a ação do vento Com vistas a esboçar formulação matemática para o cálculo de armadura simétrica com distribuição de bordo pode-se utilizar a mesma filosofia adotada para o desenvolvimento da formulação aplicada às armaduras assimétricas. passíveis da incidência de impacto lateral. nestas .II. a flexo-compressão. de modo que a armadura assimétrica é bem mais econômica. figura A. pois. em se tratando de pilares de canto e de extremidade de edifícios a excentricidade do esforço normal que induz momento fletor. consequentemente. Nos demais casos a armadura assimétrica poderia ser adotada.1. 49 Enquanto no exercício II. Entretanto.15 cm 2  12. raramente.79 cm 2  16. Entretanto. na hipótese de se ter enorme quantidade de colunas.II. Considerando-se esta estratégia álgebro-geométrica.34 são.52 fc bh fc bh fc bh fc bh O esforço normal reduzido pode ser definido. é necessário que: Rc + Rs' .x + σ 's As' .14 e II.49 e Mc  Ms'  Ms ≥Md II. Para que haja estabilidade interna. na configuração de equilíbrio ter-se-á: fc b. as equações de II.29 em II. também.Rs ≥Nd II.b.1. =0 II. figura II.20 a II.11. matematicamente. II.h resulta: fc b.σ s As . 50 circunstâncias. . torna-se conveniente tomar os momentos em relação ao centro de gravidade da seção transversal.49 e reordenando-a. na forma: . válidas.Nd = 0 II.50 Substituindo-se II.51 Que uma vez dividida por f c .x σ 's As' σ s As Nd + . e II.ω.53 f c bh Considerando-se as taxas mecânicas de armadura conforme as equações II.55 h f yd Uma vez que ω = ω’.54 f c bh f yd f c bh f yd Substituindo-se II. resulta: x ω'.52 e promovendo-se a devida simplificação do primeiro termo desta última.53 e II.56 fyd O momento do esforço normal solicitante em relação ao centro de gravidade da seção transversal.55 se transforma em: (  s'  .15 e as porcentagens geométricas na forma das equações II. e.σ 's . é dado por: Md  Nd .54 em II.1.57 . figura II. considerando-se a equaçãoII. 51 Nd  II. pode-se deduzir que: As  As ' '  e  II.7 a equação II.16.σ s + -ν = 0 II. s )    0 II. x ) / 2 II.59 e II.h2 fc .60 Levando-se II. figura II.b. II.58 Ms'  Rs' ( h .b.61 podemos reescrevê-la na forma: fc b.63 Nd .14 e II.2d' ) / 2 .2 d' ) / 2  s s  fc .Nd . 52 Os momentos dos esforços resistentes em relação ao mesmo ponto.57.2d' ) / 2 + As σ s ( h .x( h . II.2 d' ) / 2 As s ( h .e = 0 II.b.62 por fc . II.b.x ) / 2 + Rs' ( h .2d' ) / 2 .x ) / 2 A'  ' ( h .h2 .2d' ) / 2 II.h2 II.58.h2 .59 Ms = Rs ( h . 0 fc . são dados mediante: Mc = Rc ( h .50. na equação II.11.62 Uma vez dividindo-se a equação II.60 em II.2d' ) / 2 II.h2 fc .2d' ) / 2 + Rs ( h .1.x( h .Nd .x ) / 2 + As' σ 's ( h . na configuração de equilíbrio resultaria a equação: Rc ( h .61 Levando as equações II. resulta a forma: fc b.e .e = 0 II.b.29. no caso a posição da linha neutra “β” e a taxa mecânica de armadura “ω”.b.b. quando se depreende que as tensões “  s ” e “  s ” ' também são funções de “β”. claramente.63. necessitando-se. Para a realização de tal procedimento calculam-se os . a exemplo do que aconteceu para a formulação de cálculo envolvendo armadura assimétrica.h fc .66 2 2fyd Observe-se que as equações II.66 formam.56 e II.7. um sistema de duas equações e duas incógnitas.4 e II.64 fc . e efetuando as devidas simplificações nesta última. uma vez que ω = ω’.h 2 2 h. resulta: x( h  x )  '  ' ( h  2d' )  s ( h  2d' )  s   0 II.e μ = 2 = II. tratar-se de equações não lineares. recorrer-se a procedimento iterativo. sobretudo. percebe-se. e considerando-se as equações II. Entretanto. conjuntamente.fyd E. portanto.65 2.h 2 Considerando-se as equações II.fyd 2 h.54 e II.65 assume a forma:  (1   )  (  s   s' )(1  2 )   0 II.64 em II. 53 O momento fletor reduzido pode ser definido pela expressão: Md Nd . A resolução de tal sistema de equações é de abordagem analítica direta complexa. a equação II. Para efeito de cálculo das tensões nas armaduras deve-se recorrer às equações II. pode ser utilizado para obtenção de resultados voltados para a construção de tais ábacos. O procedimento de cálculo baseado no emprego desses ábacos constitui o método dos diagramas de iteração. Calcula-se o valor de “ω” a partir da equação II. são atribuídos valores para “ω” e para “ν”.48. . Fixa-se. Caso negativo fixa-se novo valor para “β”. Os sucessivos valores de “β” são fixados a partir de varredura da linha neutra ao longo da altura da seção transversal desde a condição β = βmin.2. Em seu processamento.44. Tais etapas são repetidas até que a equação II. uma vez tratar-se de flexo-compressão com grande excentricidade.41 e II.56. elaborado em FORTRAN. Segundo esta diretriz de cálculo foram elaborados os ábacos II.0. Daí então é realizada a variação do valor de “β”. como o apresentado abaixo. Verifica-se o atendimento à equação II. até a condição na qual β = 1. valor inicial para “β”. dado conforme a equação II. Um algoritmo estruturado. 54 valores de “ν” de “μ”.43 e II. Procedimento gráfico: A sistemática de cálculo pode ser substancialmente simplificada adotando-se ábacos construídos com base em procedimento iterativo realizado sobre as equações II.66 seja atendida.66.42 combinadas com os critérios definidos nas equações II. em seguida.56 e II.66.1 e II. 14 c v = 0. A taxa total de 0. promovendo-se varredura da linha neutra ao longo da altura da seção transversal.07 tol = 0. para obtenção do valor de “μ” correspondente. cc Ciclos sobre o Esforço Normal Relativo de Projeto . até que seja encontrado o valor de “β” que.1. cc implicit double precision(a-h.0 c do 500 i = 1. 55 progressivamente.01 . status = 'unknown') fc = 12.3 é na verdade equivale a 2w.001*i cc Stress. satisfaça a equação II.001 cc Taxa Mecânica de armadura .0 c Defcd = 0.0.0 .8*dd/x)*Defcd Deft = (0.o-z) open ( 3.dd)/x .66. file = 'abacout'. Na tabela II.0 Es = 210000.w = 0.0 . 930 c x = dd + 0.1 estão apresentados resultados obtidos mediante esta sistemática. obtém-se os gráficos da figura II.Tt)/fyd . c Defc = (1.lt. Utilizam-se então tais valores de “ω” e de “β” na equação II.8*(1.0035 Defyd = fyd/Es cc d'/h = 0. juntamente com os valores de “ω” e “ν” fixados.1.15 ! Para a formulação apresentada este valor representa a taxa por bordo da seção transversal.10 c dd = 0.lt.0)*Defcd c if(Defc.Defyd)then Tc = Defc*Es else Tc = fyd endif if(Deft.56.1*j cc ciclos sobre as posições da linha neutra x/h = 0.1 c do 200 j = 1.0 fyd = 434.v = 0.4.Defyd)then Tt = Deft*Es else Tt = fyd endif v1 = x + w*(Tc .1. Utilizando-se os valores dos parâmetros constantes da tabela II.3 c w = 0. 2954 0.f7.3740 0.4828 0.2x.1578 0.2490 0.xf) + w*(1.1850 0. resultará em boa concordância com as suas correspondentes.5x.xmi 200 continue c stop c 1000 format(/.0 .1 0.3.2 0.4 forem lançadas no ábaco II.0 .6 0.2 são o momento fletor e o esforço normal reduzidos.5.3632 0.3250 Observe-se que os argumentos de entrada dos ábacos II. 56 c write(3.f4.0881 0.3902 1.5) c end Pode-se facilmente constatar que. O momento fletor reduzido pode ser escrito na forma: .tol)then v2 = v1 xf = x Tc1 = Tc Tt1 = Tt endif c 500 continue c xmi = (xf*(1. constantes naquele ábaco.0 c write(3.1707 0.4740 0.f7.5x.3780 0.3224 0.'x = '.f7.'v1 = '.1200)xf.3020 0.1260 0. Tabela II.le.1000)x.3 0.v2.0 ν μ μ μ 0.0 0.5.0*dd)*(Tc1 + Tt1)/fyd)/2.'xf = '.3482 0.'xmi = '.2090 0. o que assegura a consistência de sua construção.8 0.9 0.1 0.4523 0.1731 0.5100 0.3380 0.v1 dif = v1 .2287 0.3581 1.2x.1 – Valores do parâmetro “μ” para a construção de ábaco ω 0.4215 1.v dif = abs(dif) if(dif.5 0.5134 0.7 0.5447 0. se as três curvas da figura II.4 0.2342 0.'v = '.5352 0.2x.2.2674 0.2 0.2478 0.3 0.2.1 e II.0435 0.f8.2382 0.2058 0.6 1.2085 0.5500 0.5) 1200 format(/. 57 Md Nd .3 w = 0.67 fc . o momento reduzido é plotado no eixo vertical. em direção ao interior do corpo do ábaco.b.h h Ábaco do tipo II.6 w = 1. respectivamente.2 Momento Reduzido w = 0.4 – Curvas da taxa mecânica de armadura Para a utilização dos ábacos II.b.e  .1 e II.h fc .0 Esforço Normal Reduzido Figura II.2 o valor do esforço normal reduzido deve ser marcado no eixo horizontal.h. A intercessão dessas linhas de chamada estabelece um ponto cuja posição com . onde as curvas das taxas mecânicas de armadura encontram-se traçadas.e  2   II. ao passo que. De tais pontos tiram- se linhas de chamada vertical e horizontal. para a quantidade e distribuição das barras de armadura de aço.fc / fyd II. 58 referência às curvas das taxas mecânicas.1 ou II.2.69 Observações: . para o parâmetro d’. deve ser devida e visualmente avaliada para assim permitir a estipulação do valor de “ω”.68 A área total da seção transversal de armadura pode ser obtida a mediante: Ast   . e. . obtém-se o valor da porcentagem geométrica correspondente a partir de:   . dos ábacos II. . que estão indicados nas respectivas legendas.Ac II. a princípio.Os ábacos apresentam legenda elucidativa.Seus resultados são válidos. Uma vez extraído o valor da taxa mecânica de armadura. 59 Ábaco II.1 . 60 Ábaco II.2 . 125 h 0 .65 .018x1250  22.00 cm 2 . .00 cm 2 .25     0 . Das opções para a armadura longitudinal apenas a solução com barras de 20 mm é passível de distribuição de bordo. 1812.4 . ver figura A. 8 20  25.Ac  0.66 e     0 . 61 Exercício IV. .Esforços reduzidos: Nd 0 .5  22.b.33 fc .II.98  .e 0 .Porcentagem geométrica de armadura:   .65 x12 / 434  0.50 cm2 . a partir do método dos diagramas de interação. 1216  24.654x0 .50 .20 cm 2 .018 .Taxa mecânica de Armadura: Utilizando-se o ábaco II.Escolha: 3010  24.h 12 x0 .50 cm 2 . tem-se   0.Armadura longitudinal Ast   .1 adotando-se armadura simétrica.fc / fyd  0.2: Resolver o exercício II.2. 62 Figura A.65 ” .II.4 – Procedimento para obtenção de “   0 . nas mais das vezes os projetistas de estruturas. segundo o perímetro dos estribos.0 mm espaçados entre si de 20 cm. por razões diversas. Uma vez realizada a distribuição resulta no detalhe apresentado na figura A. Figura A. a solução com armadura em distribuição de bordo nem sempre permite a adoção da alternativa mais econômica.5. sem contar que.II.5 – Distribuição da armadura na seção transversal II. a armadura transversal pode ser determinada facilmente resultando em estribos de 5. figura II.II. de modo que esta seção será .2 – Armadura Distribuída no Perímetro dos Estribos Como foi visto nos exemplos anteriores. 63 Como exercício.5. preferem partir da adoção de distribuição da armadura na seção transversal. 64 dedicada ao objetivo de dimensionar a seção transversal conforme este padrão de distribuição. Observe-se que a seção objeto de análise é armada considerando-se a distribuição da armadura em n camadas espaçadas, igualmente, de certo valor: h  2d' 1  2d' / h S  h II.70 n 1 n 1 Por outro lado, a distância do centro de gravidade da armadura da iésima camada em relação ao bordo comprimido é dada mediante: d i  d' ( n  i )S II.71 Figura II.5 – Seção Transversal Esforços e Diagramas 65 Considerando-se as equações II.54, a taxa mecânica de armadura da iésima camada pode ser dada a partir de: Asi fyd i  II.72 bh fc onde “Asi” representa a área total de armadura de aço da camada “i”, a qual, se a armadura for constituída de barras de uma mesma bitola será: Asi  ni Asu II.73 desde que ni seja o total de barras de aço da camada “i”, e, “Asu” a área de uma barra de aço da bitola utilizada. A área total de armadura poderá ser obtida a partir da equação: As  n' Asu II.74 onde n’ é o total de barras da armadura da seção transversal. Combinando-se as equações II.73 e II.74 resulta: ni Asi  As II.75 n' de modo que a taxa mecânica da armadura expressa mediante a equação II.72 pode assumir a forma: ni i   II.76 n' 66 sendo “ω” a taxa mecânica de armadura total da seção. O esforço absorvido pela massa de concreto será dado mediante a equação II.11. O esforço normal absorvido em cada camada de armadura de aço pode ser obtido mediante raciocínio idêntico àquele do qual resultaram as equações II.14 e II.29, de modo que, assim procedendo ter-se-á: Rsi  Asi  si II.77 que, uma vez considerando-se as equações II.72 e II.76, e algumas transformações algébricas pertinentes transforma-se em: n  Rsi  Asi  si   i si bhfc II.78 n' fyd A equação de equilíbrio em esforços normais pode ser representada por: n Rc  i 1 Rsi  Nd II.79 Levando-se a equação II.78 na equação II.79 e considerando-se as equações II.11 e II.53, resulta: n fc bh   i 1 ni  si n' fyd bhfc   .fc .b.h II.80 e  Nd .84 por fcbh .85.11 e II. mediante manipulações de natureza algébrica assume a forma: n Nd . .x 2 / 2   n' fyd bhfc  i 1 ni  si d i  0 II.5.b. conforme a figura II.b. promovendo-se algumas transformações algébricas.h / 2  fc .x / 2   i 1 ni  si n' fyd bhfc d i  0 II. pode apresentar-se na forma: n   n' fyd  i 1 ni  si    0 II. pode ser escrita na forma: n N d ( e  h / 2 )  Rc x / 2   i 1 Rsi d i  0 II.78 em II. resulta na expressão II.81 Tomando-se como referência o ponto no bordo comprimido da seção transversal. 67 que.82 Levando-se II.x.83 Que.e  Nd .82 e desenvolvendo-se o primeiro termo desta última equação.h / 2  fc . a equação de equilíbrio em momentos. obtém-se: n Nd . e.84 2 Dividindo-se II. uma vez simplificando-se. consequentemente.71 resulta em: d i d' n  i  d'  ni   1  2     1  2  II.66 de modo que podem ser usadas.h 2fc .56 e II.86 Considerando-se as equações II.h2 n II. validar .h2 fc .53 e II.4. e.70 e II.e  Nd  x2   fc .86 transformar-se-á em: n   2  2 2   n' fyd  i 1 ni  si di h 0 II.x 2 / 2   c fc .85   n' fyd fc .h2 fc .87 Combinando-se II.1. 68 Nd .h. para a geração de tabela semelhante à tabela II.b.b.h 2 h 2 n' fyd i 1 ni  si di h 0 II.b. mediante filosofia idêntica àquela empregada na seção II.87 assemelha-se em concepção e funcionalidade ao par de equações II.h / 2 f .b.2.b.81 e II. a equação II.88 h h n 1  h n 1 O par de equações II.h2 bhfc i 1 ni  si d i  0 Ou: n Nd .e Nd .b.b.67.1 e curvas similares àquelas da figura II. a exemplo do ábaco II.2. cuja sistemática de emprego é idêntica.3 mostrado a seguir.3 . 69 ábacos semelhantes aos ábacos II.1 e II. Ábaco II. uma vez realizada a etapa V.81 obtendo-se o valor de “ω”. • As etapas III a V devem ser repetidas para sucessivos valores de “β” até que.87.5.81.44. • Variação de “β” ao longo da altura da seção até que seja atendida a equação II. devendo-se. de “ω” e das tensões na equação II. . resulte a identidade da equação II. • II – Fixação de valor inicial para “β”. conforme seja a posição da camada relativamente à posição da linha neutra. complementado pelos critérios expressos pelas equações II. • III . figura II. de “”.87. O procedimento iterativo voltado para o cálculo da armadura será então: • I – Calculo dos valores de “” e “μ”. O procedimento iterativo voltado para suporte ao ábaco.41 e II.42. de “μ” . 70 A tensão normal em cada camada das barras da armadura de aço devem ser definidas mediante procedimento análogo àquele que conduziu às equações II.Calculo das deformações e tensões nas barras da armadura. entretanto. • V – Substituição dos valores de “β” . atentar para o seu sinal. • IV . será: • Atribuição de valores a “ω” e “”. por sua vez.43 e II. de “” e das tensões na equação II.Substituição dos valores de “β”. .87.Taxa mecânica de Armadura: Se   0 .1 adotando-se armadura simétrica de distribuição ao longo do perímetro dos estribos. superior a todas as alternativas de armadura da seção obtida no exercício II.33 .85 x12 / 434  0.Porcentagem geométrica de armadura:   . Exercício II.II.6. então   0. ver figura A. . .0235x1250  29.II.38 cm2 A área obtida é.66 e   0 . 71 • Obtenção de “μ” da equação II. Assim sendo. a partir do método dos diagramas de interação.Armadura longitudinal Ast   .5.fc / fyd  0.Ac  0. correspondentes aos valores de “” e “ω” e o valor encontrado para “β”.2.3: Resolver o exercício II. figura A. então.0235 .85 . a solução mais econômica acaba sendo mesmo com oito barras de 20 mm com distribuição de bordo. 85 ” .6 – Procedimento para obtenção de “   0.II. 72 Figura A. pede-se determinar a área da armadura longitudinal assimétrica.II. O pilar será parte integrante de estrutura destinada a edifício residencial para a qual os efeitos decorrentes das ações indiretas são pouco significativos. 73 II.II.3: Idem. P. aplicada com uma excentricidade de 30 cm. Exercício P.1.2. adotando armadura simétrica e método dos diagramas de interação. e armadura longitudinal de aço CA 50.1: Um pilar curto bi-rotulado.2: Idem.II. P. Sabendo-se que a direção preferencial de flambagem é segundo a maior dimensão de sua seção transversal. manifestada segundo a direção da maior dimensão da seção transversal. . Será solicitado por uma carga axial de intensidade P = 1000 kN.II.3 – Exercícios Propostos Exercício P. Exercício P. será executado em concreto C 20. a partir equilíbrio dos esforços em momentos reduzidos e a armadura transversal. em ambiente para o qual deve ser previsto um cobrimento nominal de 25 mm. adotando armadura simétrica. de seção transversal retangular com dimensões b = 35 cm e h = 60 cm.II. 74 . a. Uma vez a seção solicitada mediante o Esforço Normal “Nd”.1.1. Por outro lado. figura III. o plano da seção. Observe-se que na figura III. figura III. de sorte que é por onde passaria a linha neutra na condição limítrofe entre a flexão composta com grande excentricidade e a flexão composta com pequena excentricidade.a está representado detalhe de parte de uma coluna em perfil. ter- se-ia flexão composta com grande excentricidade e o diagrama de deformações seria o triângulo “fmq”. ter-se-ia . se a linha neutra passasse em ponto da seção pouco abaixo de “f”. antes posicionado segundo o segmento “qf”.Dimensionamento Para a abordagem de cálculo de seções transversais solicitadas à flexão composta com pequena excentricidade utilize-se como suporte o desenho da figura III.1 . Observe-se que “f” é o ponto do bordo menos comprimido. assume a posição “nv”. 75 Capítulo III Flexão composta reta com pequena excentricidade III. Se a linha neutra passasse em ponto da seção pouco acima de “f”.b.1.1. Na transição da condição de flexão composta com grande excentricidade para uma condição de flexão composta com pequena excentricidade. as deformações da seção transversal evoluem de forma que a linha “mf”. para concreto de classe até C 50: 3 op  h III. mediante rotação em torno do ponto “o”. com a linha neutra passando no ponto o’. Sua parte parabólica complementar r’t’u’v’ pode ser aproximada por um trapézio.1. encontra-se ilustrado o diagrama de tensões na massa de concreto. passa a assumir a posição “nv”. que tenderia para o retângulo “fgpq”. Na figura III. 76 flexão composta com pequena excentricidade e o diagrama de deformações seria o trapézio “fvnq”. A partir da consideração da semelhança entre os triângulos “omp” e “fmq” chega-se à conclusão de que.2 onde Rs1 e Rs2 representam os esforços normais absorvidos nas camadas de armadura. distante “op” do bordo mais comprimido da seção transversal. sem maiores prejuízos para a . Observe-se que o comprimento do trecho p’r’ de sua parte retangular p’q’t’r’ é igual à distância op. caso a linha neutra se posicionasse a distância muito grande abaixo de “f”.c.1 7 Considerando-se o equilíbrio em termos de esforços normais ter-se-ia: Nd  Rc  Rs1  Rs2  0 III. As linhas “mf” e “pg” interceptam-se no ponto “o”. 77 qualidade dos resultados. A área total do diagrama de tensões assim aproximado será: h Adc  ( 5.fc  2. c1 ). III.3 7 A linha de ação do esforço normal resultante absorvido na massa de concreto, Rc, deve passar no centro de gravidade do diagrama de tensões de compressão no concreto, cuja distância em relação ao bordo mais comprimido será: 79.fc  68. c1 yc  .h III.4 42.( 5.fc  2. c1 ) Levando-se em conta a validade da hipótese de Bernoulle e considerando-se a semelhança entre os triângulos rso’, oio’, tuo’, e vfo’, figura III.1.b, pode-se deduzir que: rs oi tu vf    III.5 so' io' uo' fo' Observe-se, figura III.1.b, que: rs   s2 ; oi   c2 ; tu  s1 ; e, vf   c1 III.6 3 so'  y - d' ; io'  y - h; e, uo'  y - d; e, fo´ y - h III.7 7 Levando-se III.6 e III.7 em III.5 resulta: 78  s2  c2  s1  c1    III.8 y  d' 3 y h y d y h 7 Desmembrando-se as igualdades III.8 e reordenando as igualdades resultantes tem-se: y d y  d' y h  s1   c2 ;  s2   c 2 ; e,  c1  c2 III.9 3 3 3 y h y h y h 7 7 7 A deformação εc2 é dada conforme seção I.5.8, ver Figura I.4, do volume 1. Uma vez calculadas as deformações nas armaduras de aço as tensões correspondentes podem ser obtidas mediante critérios semelhantes aos descritos nas equações II.43 e II.44. Conforme a deformação no bordo menos comprimido do concreto, εc1, a tensão normal correspondente pode ser obtida do diagrama tensão deformação, Figura I.4, volume 1. O Esforço Normal Absorvido na Massa de Concreto é dado mediante o produto da área do diagrama de tensões, equação III.3, pela largura da seção transversal resultando em: h b.h Rc  Adc .b  ( 5.fc  2. c1 ). .b  ( 5.fc  2. c1 ). III.10 7 7 Os esforços normais absorvidos em cada camada de armadura serão: Rs1  As1. s1  Rs2  As2 . s2 III.11 79 Substituindo-se III.10 e III.11 em III.2 resulta na expressão III.12. 1  Nd  ( 5  2 c1 ).fc .b.h  As1. s1  As2 . s2  0 III.12 7 fc Equações semelhantes a II.54 podem ser escritas para as armaduras As1 e As2. Assim procedendo-se vem: As1  A   1  s2  2  fc bh fyd fc bh fyd III.13 1 2 As1  fc bh  As 2  fc bh fyd fyd Levando-se III.13 em III.12 tem-se: 1   Nd  ( 5  2 c1 ).fc .b.h  1 fc bh. s1 7 fc fyd III.14   2 fc bh. s 2  0 fyd Dividindo-se a equação III.14 por fc.b.h vem: Nd 1     ( 5  2 c1 )  1  s1  2  s 2  0 III.15 fc bh 7 fc fyd fyd Ou ainda: 1  c1 1 s1  2 s2   (5  2 ) 0 III.16 7 fc fyd 17.h.h fc .11 em III.20 se transforma na equação III.h A equação III. 80 Que representa a versão adimensional da equação de equilíbrio em esforços normais.h .18 2 Levando-se III.h fyd h Fazendo-se: h Nd (  e  d' ) 2 R ( y  d' ) 1   2  c c III. Para o equilíbrio em momentos pode ser tomado como referência ponto situado na camada da armadura mais comprimida.b.17 2 Levando-se III. s1( d  d' )  0 III.21 fc . . resulta: h  Nd (  e  d' )  Rc ( y c  d' )  1 s1 fc bh( d  d' )  0 III.h.b.22. resultando: h Nd (  e  d' )  Rc ( y c  d' )  Rs1( d  d' )  0 III.20 fc .h.b.19 por fc.19 2 fyd 2 Dividindo-se a equação III.b.18.h.h fc .b. obtém-se: h Nd (  e  d' )  Rc ( y c  d' )  As1. tem-se: h Nd (  e  d' ) 2 R ( y  d' ) 1 s1 ( d  d' )  c c  0 III.13 em III. a exemplo dos demais casos deste capítulo.2%. ω2 e y. Face à dificuldade de solução analítica. observa-se que a solução mais econômica é auferida para a posição o’ da linha neutra infinitamente distante do ponto q. Consequentemente. pois. e ω2 são interdependentes.22 para a obtenção de ω1 e utilizá-lo juntamente com o valor de y na equação III. 81 1 s1 ( d  d' )  1  2   1  2  1 s1 (1  2 )  0 III. Entretanto.23 onde o parâmetro fs0.16 para a determinação de ω2. arbitrando-se valor para a incógnita y na equação III. a saber.22 formam conjuntamente um sistema de duas equações com três incógnitas.22 fyd h fyd Que representa a versão adimensional da equação de equilíbrio em momentos. Para tal configuração ocorre:  c1  fc   s1   s2  fs0 . examinando-se atentamente os diagramas apresentados na figura III. As equações III.2 representa a tensão nas barras da armadura de aço correspondente a um encurtamento de 0. as incógnitas ω1. O problema.4 e III. as equações III. O procedimento poderia ser tomado como base para a elaboração de ábacos tais como aqueles já apresentados neste capítulo. o sistema de equações deve se resolvido iterativamente.16 e III.1. Esta última está oculta e sua existência está consubstanciada na dedução deste sistema de equações. ω1. aparentemente indeterminado é solúvel.2 III.10 se transformam em: . para adotar-se armadura simétrica de forma. inclusive que.fc Ac As1  III.93h.2 .d' ) .25 2 2 Resultando para a área da armadura menos comprimida: (1 .2 ( d . segura. Adotando-se considerações semelhantes àquelas que levaram à equação III.fs0 .18 assume a forma: h h Nd ( .3e / h )Nd . deve-se considerar como área total .26 e III.e .d' )  0 III.26.12 pode resultar para a área da armadura mais comprimida: (1  2 . Assim.26 2fs0 .fc Ac As2  III.fc Ac ( . só é consistente se o valor da excentricidade do esforço normal for muito próxima de zero.26 na equação III. É evidente.2 Desde que se faça d’ = 0.24 2 E a equação III.07h e d = 0. 82 h yc  ∧ Rc  fc bh  fc Ac III. a área obtida para a armadura mais comprimida é sempre maior que aquela correspondente à armadura menos comprimida.27.2 Constata-se a partir do exame das equações III. convictamente.3e / h )Nd .d' ) . que a condição de armadura simétrica. e levando-se a própria equação III.27 2fs0 .As1. de modo que: (1  2 . que faz parte de estrutura a ser construída em área de classe de agressividade ambiental “I” e que em sua vida útil será solicitado por uma combinação normal de ações à qual corresponde um esforço normal .3e / h )Nd  fc Ac Ast  2 As2  III. 83 valor igual ao dobro da área de armadura mais comprimida. em concreto C 20 e barras de aço CA-50.28 fs0 .1: Determinar a armadura para um pilar bi-rotulado curto de seção transversal retangular com largura b = 25 cm e altura h = 30 cm.2 Figura III.1 – Diagramas de Tensão e de Deformações Exercício III. deve- se adotar para coeficiente de segurança dos materiais  c  1.Tensões Limite Por razões já apresentadas em exercícios anteriores.39 cm2 As min  0 .15 . figura A.III. .85 ck  0 .004x750  3 .4  12 MPa c fyk fyd   500 / 1.Esforço Normal de Projeto Nd  0.05 m.Área da seção transversal Ac  bxh  25 x30  750 cm2  0.Armadura Longitudinal mínima As min  0 .1.39 x10 4 m2  3 .004Ac  0 . logo: f fc  0 .Parâmetros Relevantes: .15Nd / fyd  0 . s .15 x0 .4 e  s  1. 84 de projeto de 980 kN. com excentricidade e = 0.98 / 434  3 .85 x 20 / 1.15  434 MPa .075 m2 .00 cm2 . .98 MN . Admitir para direção preferencial de flambagem a direção “y”. . 05 / 0 .30  0.Ac Ast  fs' 0 .min  0.04 x750  30.05 m . 616  12.87 cm2 .2 (1  2 .015  0.00 cm2 .5  12. .Escolha: 1410  11. 85 .00 cm2 .015  0.03h  0.87 x104 m2 420 Ast  10.3e / h )Nd  fc .98  12 x0 . 1012.04 Ac  0.075 Ast   10.Armadura longitudinal: (1  2 . e.50 cm2 .30 )0 .024 m .05 m adotar e1  0.024 m  e  0.Armadura Longitudinal máxima As max  0. Considerando que e1.3 x0 .60 cm2 .min  0. -Imperfeições geométricas e1.03 x0. 4 20  12.20 cm2 . 1. Smax = 200 mm . 86 14 barras de 10 mm seria a solução mais econômica. o que representa aspecto fundamental.0 mm este critério está devidamente atendido. .min  L 4 No presente caso t . . fios de 5. A segunda solução mais econômica é com 6 barras de 16 mm e é viável para a distribuição de bordo. de distribuição inviável. Smax = 12L  12 x16  192 mm Assim o espaçamento de 175 mm atende às exigências e a distribuição das armaduras na seção transversal deve ser detalhada conforme esquema da figura A. Adotando-se.min  5 mm e t. Smax = Menor dimensão da seção transversal = 250 mm . o diâmetro dos estribos deve ser fixado conforme: 1 t . pois.Armadura transversal: De acordo com a norma. Para o espaçamento máximo a norma preconiza: .III. porém.min  L / 4  16 / 4  4 mm . a equação utilizada para determinar a armadura se refere a este tipo de distribuição. portanto. Exercícios Proposto Exercício P. que faz parte de estrutura a ser construída em área de classe de agressividade ambiental “I” e que em sua vida útil será solicitado por uma combinação normal de ações à qual corresponde um esforço normal de projeto de 850 kN.08 m.III.1: Determinar a armadura para um pilar curto bi- rotulado de seção transversal retangular com dimensões b = 20 cm e h = 30 cm.2 .1 – Detalhe da armadura na seção transversal III. com excentricidade e = 0. .III. Admitir para direção preferencial de flambagem a direção paralela à sua maior dimensão. 87 Figura A. em concreto C 20 e barras de aço CA-50. 88 . 1 . a região comprimida da seção transversal.Dimensionamento Para o dimensionamento de seções transversais solicitadas à flexão composta oblíqua. o plano de flexão não coincide com um plano principal de inércia. ru. Observe-se que a linha de ação do esforço normal solicitante de projeto intercepta o plano da seção transversal no ponto “v” de coordenadas (e z. e. Consequentemente. pode-se lançar mão de filosofia análoga àquela adotada nas seções anteriores que trataram da flexão composta normal. formando um ângulo “θ” com este eixo. e. Note-se que o lado menor do trapézio. Para isso tomar-se-á como esquema orientador os elementos da figura IV. é dado por: . uma vez adotada a linha neutra fictícia. intercepta o plano da seção transversal segundo o segmento fg.1. fundamentando-se no equilíbrio entre os esforços solicitantes e os esforços resistentes. 89 Capítulo IV Flexão composta oblíqua com grande excentricidade – IV. ey) de modo que a linha neutra não é paralela ao eixo dos “z”. pode ser representada pelo trapézio rstu. 90 ru  x  b.3 Sua linha de ação intercepta o plano da seção no centro de gravidade do trapézio. de coordenadas (yc. Assim procedendo conclui-se que: pq mn  IV.zc) O esforço normal absorvido em cada barra da armadura longitudinal será: Rsi  Asi si IV.5 oq mo .  ( x  x  b. considerando-se a semelhança entre os triângulos mno e opq.1 A área da região comprimida é dada por: b b b Acc  ( x  ru ).tg ) IV. figura IV.4 Onde Asi é a área de uma barra da armadura e σsi é a tensão normal que a solicita.1. A tensão normal σsi deve ser obtida a partir da deformação εsi determinada do diagrama de deformações da seção transversal.2 2 2 2 O esforço normal absorvido na região comprimida do concreto será: Rc  Accfc IV.tg IV.tg )  ( 2 x  b. ponto “c”. 6 2 Levando IV. e oq   yi  y IV. mo  y.7 oq mo h y y  yi  y 2 Assim. 91 h e: pq   si .44.10 n n fyd . Para a área de cada uma das barras da armadura de aço pode-se escrever expressão semelhante à equação II. Considerando-se que n é o total de barras da armadura longitudinal.9   1 e: i   Asi  fc bh IV.43 e II.30.5 resulta: h  yi  y pq mn  si  cu      si  2  cu IV.8 fyd Para a qual “ωi” é a taxa mecânica referente a uma barra da armadura.6 em IV. de modo que: i Asi  fc bh IV. mn   cu . a tensão normal em cada barra de armadura de aço pode ser determinada com base em critérios semelhantes aos apresentados nas equações II. a taxa mecânica total de armadura será:   ni IV. 11 obtém-se: n Nd  Rc   i 1 Rsi  0 IV.15 Ou ainda: .12 Levando-se IV.4 em IV.12 em IV. 92 Do equilíbrio em termos de esforços normais resulta:  F 0 IV.3 e IV.14 tem-se a forma: n Nd  Acc fc   i 1 n fyd 1 fc bh si  0 IV.10 em IV.1 pode-se deduzir que o somatório dos esforços normais será: n  F  Nd  Rc  i 1 Rsi IV.11 Da figura IV.14 Substituindo-se IV.13 Levando-se IV.13 vem: n Nd  Acc fc   i 1 Asi  si  0 IV. 1. Rc e Rsi em relação ao eixo “x”. Mszi  Rsi y i IV. e.19 Com base na figura IV. Mcz  Rc y c .h ela assume a expressão: n n Nd fc bh  Acc fc  fc bh  fc bh n fc bh  i 1  si fyd A    cc  bh  n  i 1 si fyd 0 V.17 Observe-se que o sinal de σsi depende da posição da barra de aço considerada em relação à linha neutra. Tomando-se o equilíbrio em momentos referentes ao eixo “z” tem-se:  Mz  0 IV. então tal somatório será: n  M z  Mdz  Mcz   i 1 Mszi IV.1 pode-se concluir que: Mdz  Nd ey .20 . figura IV. 93 n Nd  Acc fc   n  fc bh i 1 fyd si 0 IV.18 Se Mdz Mcz de Mszi são os momentos de Nd.16 Dividindo-se a equação IV.16 por fc.b. 20 em IV.22 Substituindo-se a equação IV.18 obtém-se a equação IV.h.21. e promovendo-se transformações algébricas pertinentes obtém-se: n  Nd ey  Acc fc y c   n fc bh  i 1 si fyd yi  0 IV.h ela assume a forma: n  fc bh  Nd ey A f y   cc c c  si yi  0 IV.19 e o resultado em IV.10 em IV.24 fc bhh fc bhh n fc bhh fyd i 1 Ou ainda: . 94 Levando-se IV.4 a equação IV.b.21 transforma-se em: n  Nd ey  Acc fc y c  i 1 Asi  si y i  0 IV.22.21 Considerando-se as equações IV.23 Dividindo-se IV.23 por fc. n  M z  Nd ey  Rc y c   i 1 Rsi y i  0 IV.3 e IV. 29 . e.28 em IV.25 h bh h n fyd h i 1 Tomando-se o equilíbrio em momentos referentes ao eixo “y” tem-se:  My  0 IV.1 pode-se concluir que: Mdy  Nd ez .26 obtém- se: n  M y  Nd ez  Rc zc  i 1 Rsi zi  0 IV. Rc e Rsi em relação ao eixo “y”. Msyi  Rsi zi IV. Mcy  Rc zc .28 Levando-se IV.26 Se Mdy Mcy de Msyi são os momentos de Nd.27 e o resultado em IV. então da figura IV.27 Com base na figura IV.1 pode-se deduzir que tal somatório será: n  M y  Mdy  Mcy  i 1 Msyi IV. 95 n   eyA y si y i  0   cc c  IV. 29 transforma-se em: n Nd ez  Acc fc zc  i 1 Asi  si zi  0 IV.30.4.30 Substituindo-se a equação IV. 96 Considerando-se as equações IV. a equação IV.1– Diagramas de Tensão e de Deformações .31 Figura IV.3 e IV.10 em IV. e promovendo-se transformações algébricas pertinentes obtém-se: n Nd ez  Acc fc zc   n  fc bh i 1 si fyd zi  0 IV. 3 e IV.h ela assume a forma: n Nd ez Acc fc zc  fc bh fc bbh  fc bbh  n fc bbh  i 1 si fyd zi  0 IV. IV. . Os parâmetros Implícitos x e θ.32 Ou ainda: n e b A z  z  cc c  bh b n   i 1 si zi fyd b 0 IV. Um exame do sistema de equações ora considerado levará o leitor a constatar que ele não é linear. Procedimento iterativo pode.b.4. portanto do recurso iterativo.31 por fc. IV.33 As equações IV. 97 Dividindo-se IV. necessitando-se. embora não apareçam diretamente nas equações do sistema são também incógnitas do problema. além do Esforço Normal Reduzido “ν”.1. Examinando-se os referidos ábacos pode-se constatar que os parâmetros de entrada. x e θ. a exemplo dos ábacos IV.b. ser utilizado para o traçado de ábacos voltados para o suporte do dimensionamento prático de seções transversais de concreto armado solicitadas à flexão composta oblíqua. uma vez que algumas variáveis envolvidas em tal sistema dependem deles.17.25 e IV. O parâmetro ω é incógnita explícita. abaixo apresentados.2. inclusive. IV. de sorte que sua resolução analítica é complexa. formam em seu conjunto um sistema de três equações nas três incógnitas ω.33. sobre os eixos correspondentes. destinam-se a seções com 24 barras de distribuição perimetral. Os ábacos IV. localizadas uma em cada vértice. e por isso denominada de distribuição de vértice. as quais são dadas a partir de: ey ez y  e z  IV. no caso as excentricidades reduzidas. mutuamente ortogonais.1 e IV. Para sua utilização devem-se marcar os valores dos argumentos.34 h b Note-se que os ábacos IV. Observe-se que cada ábaco é subdividido em setores onde cada um deles se refere a um valor específico do esforço normal reduzido “ν”. Em todos os ábacos adota-se d’ = 0. no setor referente ao valor específico do esforço normal reduzido “ν” do problema em resolução.2 referem-se a seções com distribuição de armadura constituída por quatro barras. O cruzamento dessas linhas estabelece um ponto cuja posição com referência às curvas das taxas mecânicas. 98 incluem as Excentricidades Relativas ou Reduzidas. Dos pontos assim determinados tiram-se linhas de chamada horizontal e vertical em direção ao corpo do ábaco. Os valores do parâmetro “ν” devem ser utilizados com aproximação de 0.07h. de outra forma.4.1. . Caso necessite-se de precisão mais refinada o emprego da interpolação linear conduz a resultados satisfatórios. deve ser avaliada para a definição do valor da taxa mecânica de armadura “ω” resultante.3 e IV. 99 Ábaco IV.1 . 2 . 100 Ábaco IV. 3 . 101 Ábaco IV. 102 Ábaco IV.4 Exercício IV.1: Determinar a armadura para um pilar curto bi- rotulado de seção transversal retangular com dimensões b = 35 cm e h = 95 cm, sabendo-se que será moldado em concreto C 20 armado com barras de aço CA-50, que faz parte da estrutura de um edifício residencial construído em área para a qual deve ser prescrita uma classe de agressividade ambiental “II” e que em sua vida útil será solicitado por uma combinação normal de ações cujas cargas características produzem um esforço normal de serviço de 800 kN, apresentando excentricidades, ez = 0,175 m e ey = 0,665 m. Admitir que os efeitos das ações indiretas são desprezíveis. 103 - Parâmetros Relevantes: - Área da seção transversal Ac  bxh  35 x95  3325 cm2  0,3325 m2 ; - Tensões Limite Conforme a tabela III.7 do volume 1, os coeficientes de segurança dos materiais devem ser fixados em  c  1,4 e  s  1,15 , logo: f fc  0 ,80 ck  0 ,80 x 20 / 1,4  11,4 MPa c fyk fyd   500 / 1,15  434 MPa ; s - Esforço Normal N  800 kN  0,80 MN ; - Esforço Normal de Projeto Conforme tabela III.3 do volume 1 tem-se  f  1,4 , assim: Nd   f N  1,4 x0,80  1,12 MN ; 104 - Esforço Normal Reduzido Nd 1,12   ≈0 ,3 fc Ac 11,4 x0 ,3325 - Armadura Longitudinal mínima As min  0 ,15Nd / fyd  0 ,15 x1,12 / 434  3 ,88 x10 4 m2  3 ,88 cm2 ; As min  0 ,004Ac  0 ,004x 3325  13,30 cm2 - Armadura Longitudinal máxima As max  0,04 Ac  0,04 x3325  133,00 cm2 ; -Imperfeições geométricas e1y ,min  0,015  0,03h  0,015  0,03 x0,95  0,0435 m ; e1z,min = 0,015 + 0,03b = 0,015 + 0,03x0,35 = 0,0255 m . - Excentricidades Relativas: ey 0 ,665 ez 0 ,175 y    0 ,70 e ε z = = = 0 ,5 h 0 ,95 b 0 ,35 - Taxa mecânica de Armadura: O contorno do setor do ábaco IV.1, correspondente ao valor do esforço normal reduzido calculado que é   0,3 , está demarcado em traço vermelho, figura A.IV.1. Para a obtenção da taxa mecânica podemos associar o valor   0. com a aproximação pertimitida.70 e ε z = 0.1. no caso  y  0 .5 .Procedimento para obtenção de “   0 .55 ” .IV. Figura A.IV. A intersecção dessas linhas recai em um ponto ao qual.1 . 105 de armadura lançam-se os valores das excentricidades reduzidas calculadas. A partir desses pontos sobre os referidos eixos tiram-se as linhas de chamada em tom azul da figura A.55 . nos eixos pertinentes. 4 / 434  0.18 cm2 .3. a partir de procedimento idêntico sobre o ábaco transcrito na figura A.0145 .0145x3325  48.7 . exclusivamente.Ac  0. obtém-se: .2.22 cm2 Conclui-se que.0184 .4 / 434  0. para cobrir a área de armadura calculada.Porcentagem geométrica de armadura:   . com uma barra em cada vértice.fc / fyd  0. logo.IV. 106 .Taxa mecânica de Armadura:   0.Armadura longitudinal Ast   .Porcentagem geométrica de armadura:   .55 x11.7 x11. deve-se utilizar o ábaco IV.0184x3325  61.fc / fyd  0. Assim.Ac  0. seriam necessárias pelo menos 16 barras de 20 mm o que inviabiliza sua distribuição.Armadura longitudinal Ast   . nas demais opções resultaram mais de 24 barras que é a .5 → 61.35 cm2 . 5012.35 cm2 .2 . 107 .Escolha: 78f10 → 61.Procedimento para obtenção de “   0 . 20 20 → 62.84 cm2 Figura A.IV.23 cm2 . pois. 3216 → 64.7 ” Observe-se que apenas a alternativa com barras de 20 mm é viável. .min  5 mm e t. Smax = 200 mm . fios de 5.Armadura transversal: De acordo com a norma o diâmetro dos estribos deve ser fixado conforme: 1 t . Smax = 12L  12x20  240 mm De modo que o espaçamento de 20 cm atende às exigências normativas.min   L  20 / 4  5 mm .IV. Adotando- 4 se.min  L 4 1 No presente caso  t . com diferença em relação à opção mais econômica de 2. 108 quantidade máxima que a distribuição periférica a que se refere o ábaco utilizado comporta.3. Smax = Menor dimensão da seção transversal = 350 mm . A adoção das 20 barras de 20 mm é satisfatória. . portanto. Conseqüentemente.6%. a distribuição das armaduras na seção transversal deve ser detalhada conforme esquema da figura A. Para o espaçamento máximo a norma preconiza: .0 mm este critério é devidamente atendido. 04 m.IV. Será solicitado por uma carga axial de intensidade P = 300 kN.2 . O pilar será parte integrante de estrutura destinada a edifício residencial para a qual os efeitos decorrentes das ações indiretas são pouco significativos. com excentricidades ey = 0.IV.Exercícios Propostos Exercício P. em ambiente para o qual deve ser previsto um cobrimento nominal de 30 mm. de seção transversal retangular com dimensões b = 20 cm e h = 40 cm.1: Um pilar curto bi-rotulado. será executado em concreto C 30.3 – Detalhe da armadura na seção transversal IV. 109 Figura A. Sabendo-se que a direção preferencial de flambagem é segundo a maior dimensão de sua seção .16 m e ez = 0. e armadura longitudinal de aço CA 50. ******* . pede-se determinar a área da seção transversal da armadura longitudinal e a armadura transversal. 110 transversal. e. modificada para o modo deformado.1.c e V. figura V. por sua vez.b. Mas também pode acontecer de a estabilidade não ser atingida. figura V.b. O fenômeno pode evoluir de modo a que o sistema estabilize em dada configuração final.Preâmbulo Conforme os postulados da Mecânica dos Sólidos. Se ela for composta de membros estruturais esbeltos a interação esforços- .1 . interage com o deslocamento produzindo momentos fletores adicionais que. levando o membro estrutural a modos deformacionais diferentes. assumirá o modo deformado. ação “V” da figura V.a.1.1. colunas descarregadas constituídas de material elástico e dúctil. Em se tratando de colunas esbeltas o esforço normal. figuras V. acentuam os deslocamentos transversais.1. e. Fenômeno semelhante pode afetar estrutura aporticada cuja configuração inicial indeformada. em virtude de carregamento. figura V.a. uma vez carregadas. tem sua configuração indeformada. figura V.d. 111 Capítulo V Efeito de Esbeltez V.1. figura V.2.1.2. em virtude de deformações excessivas a coluna perder sua capacidade para absorver e transmitir esforços. 1 – Flambagem de Coluna O efeito de esbeltez em pilares de concreto armado é diferente do que ocorre em colunas manufaturadas com material dúctil. as formas das figuras V. . induz o processo de ruína do material.e. sucessivamente.2. haja vista promoverem interação significativa entre esforços e deslocamentos.2. O comportamento mecânico do concreto é tal que a redistribuição de tensões que ocorre antes do advento das deformações que caracterizariam a flambagem. 112 deslocamentos levará a estrutura a assumir.2. Figura V. Na análise da estabilidade de pilares de grande esbeltez. O efeito de esbeltez é considerável quando o índice de esbeltez é superior a certo limite previsto em norma. este efeito deve ser considerado.c e V.d podendo ou não estabilizar-se mediante o modo deformacional da figura V. 2 – Flambagem de Pórtico plano De um modo geral. 35 ≤1 ≤90 V. Os esforços adicionais da estrutura deformada em relação ao campo de esforços da estrutura em sua configuração inicial indeformada são conhecidos como esforços locais de segunda ordem.0  12. para.1 b .5 e1 / h 1  . a configuração de equilíbrio do pilar esbelto é diferente daquela referente ao seu modo inicial na estrutura indeformada. Eles podem ser desprezados quando o índice de esbeltez do pilar for inferior a certo valor limite dado pela equação: 25. 113 Figura V. 2 “MA” e “MB” são os momentos nas extremidades do pilar. em estruturas de nós deslocáveis.3 De modo que “M A” e “MC” são os momentos de primeira ordem na extremidade engastada e a meia altura do pilar. “h” é a dimensão da seção transversal do pilar na direção segundo a qual o efeito de esbeltez está sendo analisado. b = 1. 114 O parâmetro “e1” da equação V. apresentarão o mesmo sinal se alongarem a mesma face do pilar. Para pilares em balanço: b = 0. Em pilares solicitados por momentos de intensidade inferior àquela correspondente à excentricidade mínima do carregamento. Em pilares biapoiados solicitados mediante cargas transversais significativas ao longo de sua altura. e.2MC/MA onde 0.1.4  b  1. . Em pilares biapoiados isentos de cargas transversais: b = 0.8 + 0. e.85  b  1.1 representa a excentricidade de primeira ordem do esforço normal.0 V.6 + 0.0.4MB/MA com 0. ou seja.0. São tais que IMAI  IMBI. dada conforme equação I. aquela excentricidade verificada para o elemento estrutural em sua configuração indeformada no instante do carregamento. b = 1. respectivamente.0 V. Em estruturas de nós fixos são os momentos de primeira ordem. incluem os efeitos de segunda ordem. O parâmetro “ αb ” está associado às condições de vinculação do pilar e ao tipo de carregamento. “L e” representa o comprimento efetivo de flambagem do pilar que para membros engastados na base e livres em seu topo deve ser adotado igual ao dobro do comprimento real da coluna. “Lo” é a distância vertical do bordo superior da viga horizontal inferior ao bordo inferior da viga horizontal superior às quais o pilar está vinculado.46Le λ= V.7 .5 onde “L” é a distância vertical entre os eixos longitudinais dos membros estruturais horizontais aos quais o pilar está vinculado.4 i onde “i” representa o raio de giração da seção transversal na direção em que o efeito de esbeltez está sendo analisado. “h” é a altura da seção transversal do pilar. nas imediações da região de ligação entre esses membros. e. Em se tratando de pilar de seção transversal retangular: 3 .6 h Na hipótese de acontecer: λ > λ1 V. Nos demais casos deve-se adotar o menor dentre os valores: Le = Lo + h ∧Le = L V. 115 O Índice de esbeltez de um pilar é dado a partir de: Le λ= V. 005 = ∧ ≤ V. Se acontecer de “” ser superior a 90 deve-se considerar a fluência.3.4 da NBR 6118/14.5 ) r h O método ora apresentado pode ser empregado.8. V. .3. dada por: L2e 1 e2 = αb . o que deve ser realizado conforme o procedimento apresentado na seção 15. exclusivamente.8. avaliada como sendo: 1 0 .9 r h( ν + 0 . provido de armadura simétrica e índice de esbeltez inferior ou no máximo igual a 90.005 1 0 .8 10 r sendo “1/r” a curvatura estimada para a seção crítica do pilar. Na hipótese de resultar em valor de “” superior a 140 deve-se partir para o emprego do método geral que consiste na análise não linear de segunda ordem realizada com discretização adequada da barra que conduza a boa precisão numérica bem como a consideração da relação momento-curvatura real em cada seção e da não linearidade geométrica. 116 o efeito de esbeltez é significativo devendo ser considerado mediante ampliação da excentricidade do esforço normal adotando- se uma excentricidade complementar. prevista no método do pilar padrão com curvatura aproximada.2 da norma. seção 15. para pilares de seção transversal constante. 11 se a esbeltez se pronunciar apenas na direção “y”.11 e V.8 e V. e: ezt = e1z + e2 z V. à excentricidade de primeira ordem. 117 V.Dimensionamento Para a realização das tarefas inerentes ao dimensionamento adota-se procedimento idêntico ao utilizado para o caso de flexão composta isenta de efeito de esbeltez. deve-se acrescentar a excentricidade de segunda ordem obtida a partir das equações V.2 .10 Em se tratando de flexão composta oblíqua deveríamos ter: eyt  e1y  e2 y V. as excentricidades em cada uma dessas direções devem ser calculadas conforme as equações V. referente à condição indeformada do pilar tomado individualmente. Caso o efeito de esbeltez seja manifestado nas duas direções coordenadas. em casos de flexão composta reta a excentricidade total será: e  e1  e2 V.12.12 se a esbeltez se pronunciar apenas na direção “z”. . Assim. Assim.9. 20 m Le  L  7 .25 m. sabendo-se que a distância vertical entre os eixos longitudinais dos membros estruturais horizontais aos quais está vinculado é L = 7.V.1: Determinar a armadura para um pilar. Admitir para direção preferencial de flambagem a direção “y”. e que as ações indiretas tem efeito pouco significativo sobre a estrutura. a seção transversal é de formato retangular com dimensões b = 25 cm e h = 50 cm.25 m Índices de esbeltez: . figura A.70  0. a distância vertical do bordo superior da viga vinculada à sua base ao bordo inferior da viga vinculada aoseu topo é Lo = 6. há que se ressaltar que. Comprimento efetivo de flambagem: Têm que ser atendidos os critérios: Le = Lo + h ∧Le = L Le  Lo  h  6.50  7 .2.25 m. a consideração do seu efeito combinado deve obedecer orientações normativas específicas bem como a análise do efeito do desempenho estrutural conjunto. apresentando excentricidade e = 0. Exercício V. sabendo-se que será moldado em concreto C 20 armado com barras de aço CA-50. 118 Entretanto. fazendo parte da estrutura de um edifício residencial construído em área para a qual deve ser prescrita uma classe de agressividade ambiental “I” e que em sua vida útil será solicitado por uma combinação normal de ações cujas cargas características produzem um esforço normal de serviço de 700 kN.70 m. 119 3 .005  . .25 b 1.5   ) 10 0 .0526 m 10 h 10 0 .05 m.25 2 0 .005 7 .005 e2  ec  .30 m .25 2 0 .005 7 .  .50 Adotar então e2 = 0.5  0 .654 ) L2e 0 .5 x0 .25  0.46Le 3 .25    51 h 0 .05  0.25 / 0 .05 m 10 h( 0 .0  12.  e 10 h( 0 .0 Fazer então 1  35 Uma vez que   1 o pilar é esbelto.005 L2 0 .Momento reduzido: .50 1    31.  0 .50 25. o efeito de segunda ordem deverá ser considerado o que será efetivado mediante a adoção da excentricidade complementar: L2e 0 .5   ) 10 h L2 0 .46 x7 .5 e1 / h 25.0  12.  0 .005 e2  ec  e .Excentricidade: e  e1  e2  0.50( 0 . Porcentagem geométrica de armadura:    .0235 .1. Na hipótese de tratar-se da condição extrema de validade do ábaco com   1.0 ter-se-ia:   .30    0 .0277 .0 .66 x0 .00 cm2 . 120  . 10 20  31.50 cm2 .38 cm2 . 1616  32.V. .Escolha: 3810  30.00 cm2 .4 obtém-se um ponto que posiciona-se fora do seu campo de validade.5  30.0235x1250  29. Apenas a solução com barras de 20 mm permitem a distribuição de bordo. 2412.40 h 0 .50 .Taxa mecânica de Armadura: A partir do ábaco II.85 .e 0 . de modo que   1. obtém-se   0.fc / fyd  1.40 cm2 .3.Armadura longitudinal Ast   .Ac  0. f c / f yd  0 . transcrito na figura A. Utilizando-se o ábaco II.85 x12 / 434  0 .0 x12 / 434  0. Deve-se. 121 E Ast   .V. Figura A. Para o problema em resolução resultaria em armadura maior ainda. portanto optar por esta alternativa.0277x1250  34.1.Ac  0.0 .Procedimento para obtenção de “   0.85 ” .   1. pois.63 cm2 Que já representa área superior àquela correspondente a dez barras de 20 mm. e. este critério será devidamente atendido.2 – Detalhe da armadura na seção transversal . o diâmetro dos estribos deve ser fixado a partir dos critérios: 1  t .min  L  20 / 4  5 mm . 122 .0 mm.V. Para o espaçamento máximo a norma preconiza: Smax = 200 mm.V. Figura A. S max = 12L  12 x200  240 mm A distribuição final da armadura na seção transversal será.min  5 mm e  t. Adotando- 4 se. então.Armadura transversal: De acordo com a norma.2. fios de 5. Smax = Menor dimensão da seção transversal = 250 mm. portanto. conforme a figura A.min  L 4 1 No presente caso t . 20 m. sabendo-se que a distância vertical entre os eixos longitudinais dos membros estruturais horizontais aos quais está vinculado é L = 7.3 – Exercícios Propostos Determinar a armadura para um pilar.50 m. Admitir para direção preferencial de flambagem a direção “y”. figura A. sabendo-se que será constituído de concreto classe C 20 armado com barras de aço CA-50. e que as ações indiretas tem efeito pouco significativo sobre a estrutura. 123 V. fazendo parte da estrutura de um edifício residencial construído em área para a qual deve ser prescrita uma classe de agressividade ambiental “I” e que em sua vida útil será solicitado por uma combinação normal de ações cujas cargas características produzem um esforço normal de serviço de 650 kN. a distância vertical do bordo superior da viga vinculada à sua base ao bordo inferior da viga vinculada aoseu topo é Lo = 6. a seção transversal é de formato retangular com largura b = 30 cm e altura medindo h = 50 cm.2.00 m.V. apresentando excentricidade e = 0. ******* . 124 . NBR 8548: Barras de aço destinadas a armaduras para concreto armado com emenda mecânica ou por solda . 1984. NBR 6120: . 6 – ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Rio de Janeiro. . Rio de Janeiro. 3 – ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Editora Dunas. Rio de Janeiro – Versão corrigida. NBR 6118: Projeto de Estruturas de Concreto. Rio de Janeiro.Método de ensaio. 2014. 5 – ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. 2007. 125 Referências Bibliográficas a 1 – ARAÚJO.Cargas para o cálculo de estruturas de edificações . NBR 5738: Procedimento para moldagem e cura de corpos-de-prova - ementa. 2000. NBR 5739: Ensaios de compressão de corpos-de-prova cilíndricos. 4 – ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. 2014. Curso de Concreto Armado. 4 Edição.Determinação da resistência à tração . Rio de Janeiro. 2 – ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. 2008. J. M. Porto Alegre.versão corrigida. Moscow: Mir.Classificação pela massa específica.FUSCO. Rio de Janeiro: Guanabara Dois. Estruturas de Concreto: solicitações normais. 1. P. Vol 5. e ÁVILA. R. 2v. São Paulo: Pini. 9 . 1981. Rio de Janeiro: Interciência. Hormigón armado. 11 . 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