LIVRO - Bases Matematicas Para Engenharia - Estacio de Sa

BASES MATEMÁTICASPARA ENGENHARIA autores do original ANA LUCIA DE SOUSA ANTÔNIO CARLOS CASTAÑON VIEIRA GLÓRIA DIAS JÚLIO CÉSAR JOSÉ RODRIGUES JUNIOR LUIZ GIL SOLON GUIMARÃES MARCELO COUTO BRAGA MARCOS JOSÉ MACHADO DA COSTA MÁRIO LUIZ ALVES DE LIMA UBIRATAN OLIVEIRA 1ª edição SESES rio de janeiro  2015 Conselho editorial  regiane burger, roberto paes e gladis linhares Organizador  luiz gil solon guimarães Autores do original  ana lucia de sousa, antônio carlos castañon vieira, glória dias, júlio césar josé rodrigues junior, luiz gil solon guimarães, marcelo couto braga, marcos josé machado da costa, mário luiz alves de lima, ubiratan oliveira Projeto editorial  roberto paes Coordenação de produção  gladis linhares Projeto gráfico  paulo vitor bastos Diagramação  paulo vitor bastos Revisão linguística  aderbal torres bezerra Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por quaisquer meios (eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia e gravação) ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem permissão escrita da Editora. Copyright seses, 2015. Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (cip) b299 Bases matemáticas para Engenharia Regiane Burger [organizadora] — Rio de Janeiro: Editora Universidade Estácio de Sá, 2015. 366 p isbn: 978-85-5548-141-3 1. Cálculo. 2. Função. 3. Logaritmo. 4. Trigonometria. 5. Limite. I. Título. cdd 510 Diretoria de Ensino — Fábrica de Conhecimento Rua do Bispo, 83, bloco F, Campus João Uchôa Rio Comprido — Rio de Janeiro — rj — cep 20261-063 Sumário 1. A importância da Matemática para a Engenharia 7 2. Conceitos fundamentais de Álgebra e Aritmética 25 1  Radiciação e potenciação 26 2  Potência de expoente natural 27 3  Potência de expoente inteiro negativo 28 4  Raíz enésima e expoentes racionais 29 5  Potência de expoente racional 31 6  Exercícios resolvidos 32 7  Estudos de casos aplicados 33 8  Expressões algébricas 37 9  Produtos notáveis 41 10  Fatoração de expressões algébricas 42 11  Razão e proporção 44 12 Razão 45 13 Proporção 46 14  Grandezas direta e inversamente proporcionais 51 15  Regra de três simples 52 16  Regra de três composta 56 17 Porcentagem 59 18  Operações com porcentagem 62 3. Vetores 67 1 Definição 69 2  Módulo de um vetor 70 3  Tipos de vetores 70 4  Operações com vetores 73 5  Ângulo entre vetores 78 6  Vetor unitário 79 7  Decomposição de vetores 81 8  Representação de um vetor conhecidos seus pontos origem e extremidade 83 9  Igualdade de vetores 86 10  Paralelismo de dois vetores 86 11  Módulo de um vetor 87 12  Vetor unitário de uma direção 90 13 Obtenção de um vetor dados o módulo e a direção 93 4. Matrizes 97 1  Definição de matrizes 99 2  Matriz quadrada 100 3  Tipos de matrizes 106 4  Operações com matrizes 108 5. Tipologias textuais 121 1  Plano cartesiano 122 2  Relações 128 3  Função 131 6. Função afim ou polinomial do primeiro grau 149 1  Aplicações matemáticas 150 2  Origem da Matemática 151 3  Função afim ou função polinomial do primeiro grau 151 4  O gráfico de toda função afim é uma reta 155 7. Função quadrática ou polinomial do segundo grau 179 1  A função quadrática 180 2  Determinação algébrica das raízes da equação do segundo grau 184 3  Máximo e mínimo 187 4 Vértice 191 5 Imagem 194 6  Soma e produto das raízes 196 7  Fatoração do trinômio do segundo grau 198 8  Estudo dos sinais da função quadrática 201 9  Função modular 204 10  Equações modulares 210 11  Inequações modulares 212 8. Função exponencial 225 1  Importância das funções exponenciais e suas aplicações 226 2  Gráfico de uma função exponencial 227 3  Esboços gráficos de função exponencial 228 4 Propriedades 229 5  Equação exponencial 231 6  Inequação exponencial 235 9. Logaritmos e funções logarítmicas 247 1 Logaritmo 248 2  Propriedades imediatas dos logaritmos 249 3  Propriedades com operações de logaritmos 252 4  Sistemas de logaritmos na base a 256 5  Função logarítmica 258 6  Gráfico de uma função logarítmica 258 7  Equação logarítmica 263 8  Inequação logarítmica 265 10. Trigonometria 275 1  Ângulo e Trigonometria 276 2  Razões trigonométricas no triângulo retângulo 276 3  Relação fundamental e relação entre seno, cosseno, tangente e cotangente 277 4  Ângulos notáveis 280 5  Razões trigonométricas na circunferência 282 6  As razões trigonométricas 283 7 Corolário 286 8  Arcos Côngruos 288 9  Redução ao 1º quadrante 289 10  Outras relações entre arcos e quadrantes 292 13 Transformações 296 14  Resolução de equações e inequações trigonométricas 298 15  Funções trigonométricas 307 11. Limites 317 1  A evolução do estudo do conceito de limites 318 2  Noção intuitiva de limite 318 3  Formalizando a aproximação 320 4  Definição formal de limite 321 5  Teoremas da unicidade do limite e da conservação do sinal 324 7  Propriedades de limites 326 8  Limites laterais e continuidade 330 9  Limites infinitos 333 10  Propriedades dos limites infinitos 335 11 Teorema 339 12  Limites no infinito 340 13  Propriedades dos limites no infinito 344 14  Limites especiais 349 15  Complementos sobre o estudo de limites 352 1 A importância da Matemática para a Engenharia Como pode-se dizer que o engenheiro é um agente transformador da natureza. Vamos refletir um pouco sobre a Matemática antes de abordar sua importância para a Engenharia. cientistas investigam e idealizam as leis que regem a natureza. É por meio da união do conhecimento científico e da lógica de raciocínio que um indivíduo se torna um agente transformador da natureza com respon- sabilidade socioambiental. Sócrates: "O estudo da Matemática é o mais indicado para desenvolver as 2 faculdades. cada vez mais suas ações devem ser coerentes. construindo o conheci- mento científico da humanidade. Agora. segu- ras e responsáveis tanto no âmbito social como no ambiental. que cria novos materiais. fortalecer o raciocínio e iluminar o espírito". são apresentadas algumas citações referentes à Matemática de alguns pensadores que influenciaram fortemente a Ciência: 1 Pitágoras: “O número domina o Universo”. para nos ajudar a pensar em uma definição para a Engenharia apresenta-se o pensamento de uma série de pessoas influentes e até um conceito da Wikipedia. em sequência. se não puder ser demonstrada matematicamente”. à sua maneira.É fundamental que desde o início do curso o aluno de Engenharia vá se cons- cientizando das responsabilidades e atribuições da profissão. ou seja. Para nos ajudar. que hoje pode ser considerada como uma fonte “popular”: 8• capítulo 1 . Galileu Galilei: “O livro da natureza foi escrito exclusivamente com figuras e 3 símbolos matemáticos”. Não é possível o desen- volvimento tecnológico sem o conhecimento das leis do universo. a poesia das ideias lógicas”. um engenheiro. dispositivos e equipamentos ou implanta empreendimentos que im- pactam o meio ambiente. 5 Albert Einstein: “A Matemática pura é. Através dos séculos. aperfei- çoando e modelando matematicamente essas ideias. Leonardo da Vinci: “Nenhuma investigação humana pode ser chamada real- 4 mente Ciência. máquinas. a arte e a profissão de adquirir e de aplicar os 5 conhecimentos matemáticos. E. experiência e prática. sistemas ou processos. A análise dos pensamentos apresentados nos mostra que. técnicos e científicos na criação. economica- mente. leis científicas ou leis da ciência.org/wiki/Engenharia em 09/03/2015): a Enge- nharia é definida como a ciência. Jr.wikipedia. são mencionados termos como ciência. Fica claro que existe uma relação muito forte entre a Matemática e a Engenharia. é a aplicação da 2 ciência de maneira econômica para as necessidades da humanidade. Calhoun. estruturas. aperfeiçoamento e implementação de utilidades. quando a Mate- mática não aparece explicitamente na definição do que seria a Engenharia. em um sentido amplo. J. Wikipedia (http://pt. Hoover e J. C. T. apare- lhos. L. (1963): É responsabilidade do engenheiro estar atento 4 às necessidades sociais e decidir como as leis da ciência podem ser mais bem adaptadas através da Engenharia a fim de cumprir essas necessidades. através da organização. Comitê de Certificação de Engenharia e Tecnologia dos Estados Unidos (1982): Engenharia é a profissão na qual o conhecimento das ciências mate- 6 máticas e naturais. design e construção. além de nos remeterem aos pensamentos acerca da Matemática apresentados no início. S. Lindsay (1920): Engenharia é a prática da aplicação segura e econômica 1 das leis científicas que governam as forças e materiais da Natureza. capítulo 1 •9 . obtido através do estudo. é aplicado com julgamento no desenvolvimento de novos meios de utilizar. John C. para o benefício da humanidade. Fish (1941): Engenharia é a aplicação profissional e 3 sistemática da ciência para a utilização eficiente dos recursos naturais a fim de produzir riqueza. os materiais e as forças da natureza para o benefício da humanidade. que realizem uma determinada função ou objetivo. tais como materiais. Vanevar Bush (1939): Engenharia. que podem ser interpretados como as leis da Física modeladas matematicamente. hidrodinâmica e qualidade da água. todos envolvendo modelagem matemática e simulação de problemas de engenharia. fluxo de águas subterrâneas em aquíferos. são todas áreas do saber regidas por leis demonstradas matematicamente. São exemplos divididos por especialidades. pode-se concluir que a Matemática é essencial para que o engenheiro possa contribuir com a inovação tecnológica. Uma vez reconhecida a importância direta e indireta da Matemática. a simulação computacional de problemas de Engenharia tor- nou-se uma grande área de pesquisa. capaz de aliar conhecimentos matemáticos e científicos para pro- duzir avanços tecnológicos em prol da sociedade.. faz com que seja cada vez mais comum a utilização da modelagem matemática em sistemas de simulação de fenômenos físicos baseados em computação gráfica em todas as áreas da Engenharia. Portanto. transporte de sedimentos. Segundo Bassanezi. o modelo matemático “é um conjunto de símbolos e rela- ções matemáticas que representa de alguma forma o objeto estudado”. 10 • capítulo 1 . alta- mente motivadoras para quem gosta do tema. A seguir são apresentadas algumas situações práticas da Engenharia. tanto em situações de pesquisa quanto em projetos de Engenharia. Dessa forma. espera-se que o engenheiro seja um profissional dotado de racio- cínio lógico. e que somente são possíveis pelo uso pesado da Matemática. O desenvolvimento da Informática em geral e da Computação Gráfica em especial. a Termodinâmica. a Eletri- cidade. a Hidráulica. impulsionando o desenvolvimento de sis- temas muito sofisticados que já são largamente utilizados. vamos fazer uma viagem motivadora até a sua aplicação na pesquisa e no exercício da profissão de engenheiro. Na Engenharia Ambiental a modelagem matemática vem sendo cada vez mais empregada em simulações diversas como escoamento e dispersão de po- luentes. a Química etc. na for- mação do engenheiro. Como a Matemática é reco- nhecidamente a melhor forma de se desenvolver o raciocínio lógico e também é imprescindível para que os conceitos científicos sejam comprovados.. Se avançarmos para a Mecânica. Cabe ao engenheiro estudá-las. transformando a natureza e a sociedade. a Modelagem matemática consiste na arte de transformar proble- mas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real. entendê-las e aplicá-las de maneira correta e responsável. à Mecânica dos Sólidos. na costa dos municípios do Rio de Janeiro e Niterói.ufrj. à Mecânica dos Solos e à Mecânica das Rochas. Ipanema e Icaraí em uma determinada condição do dia e das correntes. órgão gestor de convênios e contratos de pesquisa do COPPE/UFRJ . é comum o emprego de métodos matemáticos apli- cados à Mecânica Computacional no desenvolvimento de sistemas computa- cionais aplicados à Teoria das Estruturas. em 16/03/2015). em capítulo 1 • 11 .br/. Na Engenharia Civil. O SisBaHia (Sistema Base de Hidrodinâmica Ambiental) é um sistema de modelagem computacional registrado pela Fundação Coppetec. Tais siste- mas são importantes ferramentas para a si- mulação do compor- tamento de estruturas ou de solo/maciço ro- choso submetidos a condições específicas de tensão.sisbahia. realizada com o sistema SisBaHia mostrando as plumas dos emissários submarinos da Barra.coppe. A figura 1 é parte de um estudo sobre os emissários submarinos.Instituto Aberto Luiz Coim- bra de Pós Graduação e Pesquisa de Engenharia (COPPE) da Universidade Fede- ral do Rio de Janeiro (UFRJ) (http://www. Recentemente temos visto o desenvolvimento da implantação do BIM (Buil- ding Information Modeling) ou Modelagem da Informação da Construção. de fluxo em meios porosos. em parce- ria com a COPPE e com o TecGraf-PUC-Rio. modelagem geológica e geofísica. A implantação do BIM impacta na forma de trabalhar de todos os elos da cadeia da indústria da construção civil. planejamento. de elevação e escoamento de petróleo. 12 • capítulo 1 . todos os seus sistemas. Também é apresentada uma análise de vento. por exemplo. de modelagem geofísica e geológica e. bem como um modelo BIM exi- bindo estrutura e instalações. de modelagem de reser- vatórios e de risers. orçamento e tudo o mais que se deseje. A ideia é que equipes multidisciplinares compartilhem um único modelo 3D que é capaz de armazenar e processar o edifício. A figura 2 mostra modelos capazes de realizar a simulação do comporta- mento estrutural em situações específicas para o Estádio Ninho de Pássaro. na figura 4. A modelagem matemática aplicada à Engenharia de Petróleo também é bastante desenvolvida e contempla temas como a modelagem de reservatórios. inclusive no Brasil. sistemas baseados em modela- gem matemática para a área de petróleo como os contemplados na figura 3. das Olimpíadas de Pequim e de uma laje de ponte.todo o mundo. na cobertura de um estádio. O CENPES — Centro de Pesquisa da Petrobras — desenvolve. capítulo 1 • 13 . a modelagem matemática permite a simulação e a otimização de processos como. equipamentos e layouts em uma indústria sem a ne- cessidade de interrupção do sistema real que prossegue em funcionamento. A figura 6 ilustra uma simulação de automação. com alterações de rotinas. A figura 5 mostra estudos de caso da 2014 Winter Simulation Conference (WSC). um painel em 3D e a distri- buição do campo magnético em uma subestação. a modelagem matemática também é utilizada para realização de simulações de sistemas elétricos de potência. testar diversos procedimentos. por exemplo. por exemplo. As técnicas de modelagem e simulação também são lar- gamente utilizadas para automação e controle. Na Engenharia Elétrica. Na Engenharia de Produção. de fontes alterna- tivas de energia e tecnologias emergentes de controle e operação de sistemas elétricos. Classicamente. conectada a problemas reais. na maioria das vezes. Para dar esse salto realmente motivador. em muito. Por que falar sobre isso? Por acreditar que uma abordagem mais concre- ta da Matemática. não é comum a contextualização da disciplina a ponto de tornar clara a sua importância no curso. Uma pergunta recorrente dos alunos do ciclo básico dos cursos de Engenharia é “Por que eu tenho que estudar isto?”. desconectado das práticas de Engenharia. que prepararão o ingressante do curso de Engenharia para a sua formação. ensaio virtual de uma cadeira plástica e o modelo de uma mola helicoidal para simu- lação dinâmica. nos cursos de Engenharia. ameniza. que formalizam o comportamento dos fenômenos natu- rais muitas vezes já observados pelos alunos. por mais simples que sejam. a angústia do aluno ingressante de Engenharia. São tantas as ferramentas básicas estudadas até entrar em contato com as discipli- nas profissionalizantes que muitas vezes é difícil acreditar que elas sejam real- mente necessárias. como a Física quase sempre depende de recursos matemáticos. o ensino da Física é mais concreto. baseado em símbolos e fórmulas. podendo 14 • capítulo 1 . a Engenharia Mecâni- ca. Na figura 7. estruturados de forma que os dois primeiros anos sejam compostos por disciplinas básicas. motivando minimamente os alunos. Enquanto isso. precisa-se começar lançando as bases matemáticas para Engenharia. é mais comum a ocorrência de altas taxas de insucesso. se dá de forma abstrata. No entanto. A falta de motivação é uma das grandes causas de insucesso e evasão nos cursos de Engenharia. com a realização de práticas complementa- res em laboratórios. o ensino da Matemática. Por fim. tanto nas disciplinas de Matemática quanto nas de Física. e. desmotivando muitos alunos. tornando o ciclo extremamente árido tanto pelas dificuldades enfrentadas quanto pela falta de contato com as especifi- cidades da profissão escolhida. es- tão apresentados modelos de com- ponentes de motores para análise estrutural e térmica. nor- malmente. Além disso. que também utiliza largamente a modelagem e a simulação para situações de projeto. para abordar os problemas da profissão. O uso do computador para a realização das simulações matemáticas viabiliza o estudo de uma infindável quantidade de modelos as- sociados aos mais diversos fenômenos. tornando o engenheiro um profissional diferenciado e capaz de tomar decisões adequadas. é um equívoco tratar a Matemática de forma desco- nectada de situações da vida real. Daí a sua obri- gatoriedade na formação plena do engenheiro. finalmente. A descrição de um fenômeno físico por um modelo matemático tem um signi- ficado muito grande. no curso. apenas manipulando fórmulas e observando regras.até chegar ao ponto de se tornar elemento motivador. no contexto da Engenharia. na formação do engenheiro. Apesar do computador não pensar. percebe-se que o uso adequado da Matemática pode contribuir de forma substancial. Para que isto ocorra é preciso que a Matemática esteja naturalmente presente em todos os momentos. Isso não potencializa plenamente o raciocínio lógico do futuro engenheiro em situações aplicadas. a pensar. pois permite a simulação da sua ocorrência. capítulo 1 • 15 . Nesse contexto. ele pode ajudar a pensar. a organizar e. pouco importando o seu significado. Um método capaz de fazê-lo conhecer. além de não elevar a Matemática ao pata- mar onde ela deve estar na Engenharia. permite ao engenheiro produzir modelos matemá- ticos computacionais que representem sistemas de engenharia. O estudo de programação de computadores. com o único interesse de achar a resposta correta. possibili- tando o seu pleno entendimento e a previsão de comportamentos futuros em situações hipotéticas. Arriscamos a dizer que. O uso sistemático de simulações aumenta bastante a per- cepção do comportamento do fenômeno estudado. justificando plenamente a necessidade de se aprender a manipular esse artefato matemático que pode ajudar a explicar. explicar e analisar os processos envolvidos nos sistemas de engenharia. Basta observar sua história para perceber que a Matemática possui um pro- cesso de construção conectado a certas demandas da sociedade e à necessida- de de recursos específicos para modelagem de fenômenos do mundo real. Portanto. ponto. As escalares são repre- sentadas apenas por um valor numérico que representa a intensidade da gran- deza em uma determinada unidade. com a apresentação de recursos da Álgebra e da Aritmética. para cada direção possível. Produ- tos notáveis. 16 • capítulo 1 . ainda temos possibilidade de dois sentidos distintos. por fim. ao estudo das funções. podemos citar a tempera- tura: “Hoje a temperatura está 25 graus”.O livro Bases Matemáticas para Engenharia Após a introdução e a contextualização desenvolvida no capítulo 1. Porcentagem. Vamos imaginar uma força aplicada em um ponto. No estudo da Física. O capítulo 3 apresenta os vetores. “empurrando” ou “puxando” o ponto. objetivando resgatar e equalizar os conhecimentos matemá- ticos que vão dar sustentação. Como exemplo. Fatoração. o conteúdo deste livro prossegue. Expressões algébricas. no capítulo 2. Regras de 3 simples e compostas e. como mostrado na figura 8. base para o estudo da Mecânica. principalmente. Já as grandezas ditas vetoriais precisam de mais informações além da intensidade. Serão abordados os tópicos Potenciação e Radiciação. como a força. em qualquer direção e. Razão e proporção. área da Física onde os vetores representam forças. é perfeitamente represen- tada por um vetor. A intensidade da força é proporcional ao tamanho do vetor. Essa informação está completa. Forças em várias direções “empurrando” Forças em várias direções “puxando” o o ponto. lidamos com grandezas escalares e grandezas vetoriais. uma grandeza vetorial. por exemplo. na medida em que todas as informações necessárias ao seu entendimento estão contidas tanto na representação gráfica quanto na repre- sentação numérica. do livro. ou seja. é preciso que seu estu- do seja contextualizado em problemas de Engenharia. Uma função pode ser apresentada como uma relação específica entre dois conjuntos A e B. para as várias engenharias. sem ter que necessariamente recorrer a modelos físicos em laboratórios. exponen- ciais. Por exemplo. tornando-se um recurso extremamente valioso para todas as engenharias. que pode- mos transformá-lo em elemento motivador. A consequência esperada é que os in- gressantes comecem a se sentir estudantes de Engenharia o mais cedo possível. podemos dizer que a definição formal de função pode ser muito abstrata para os alunos de Engenharia. Para isso. A importância do estudo das funções é tamanha. a manipulação de vetores também é funda- mental para o estudo do cálculo vetorial. recaem em problemas de resolução de grandes sistemas de equações. que será aprofundado nas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral na sequência do curso. decorre do fato de que podemos representar (modelar) fenômenos físicos através delas. muitas das simulações apresen- tadas. Além de dar suporte à Física.a direção é definida pelo seu segmento de reta e o sentido pela seta posicionada em uma de suas extremidades. per- mitem a simulação do comportamento de determinada situação específica de forma antecipada. de grande importância em diversas situações de Engenharia. tem início o estudo das funções. quando eles são utilizados para mode- lar matematicamente as retas e os planos. •  o conjunto B seja denominado contradomínio da função. capítulo 1 • 17 . Os capítulos seguintes apresentam vários tipos de funções: afins. modulares. quadráticas. logarítmicas e as funções trigonométricas. na Engenharia. na Engenharia. se nos mantivermos estritamente na Matemática. talvez o ponto mais impor- tante da Matemática para Engenharia. Somente isso já deve ser suficiente para que a percepção do ingressante qualifique aqueles temas estu- dados como relevantes para a profissão. resolvidos computacionalmente pela Álgebra Matricial. •  o conjunto A seja denominado domínio da função. por mais simples que sejam ou mesmo em situações comuns do cotidiano. por exemplo. de tal forma que: •  para cada elemento x do conjunto A corresponda um único elemento y pertencente ao conjunto B. Como exemplo. A importância do estudo das funções. No capítulo 5. aborda as operações matriciais básicas que darão su- porte ao ensino da Álgebra Linear. O Capítulo 4. 56637061 2. corresponde um va- lor diferente da área.5 38. Inicialmente.068583471 2 12. ao se per- mitir o raciocínio com o auxílio de uma situação concreta. como por exemplo. utilizado na relação entre os conjuntos. elegeu-se uma série de valores distintos para o raio conforme pode ser visto na figura 10. Olhando apenas pela ótica matemática. pode-se ter o trabalho facilitado. Podemos investir na construção de um gráfico para mostrar como varia essa relação entre o raio e área de um círculo. ou seja. No entanto.63495408 3 28. O que quer dizer isso? Que para cada valor diferente de raio.26548246 4. ao utilizar alguma situação específica. r² Essa notação tem o objetivo de explicitar que A (área) depende de r (raio) com a regra apresentada na expressão. pode-se dizer que: A(r) = π . r² Como π é uma constante.27433388 3.5 63.141592654 1. para um dado valor de entrada (r).61725124 5 78.5 0. Com um pouco mais de formalismo. a área é função do raio. pode-se até entender e aceitar. Qual é a fórmula da área do círculo? r A(r) = π . ou seja. •  o subconjunto de B.53981634 18 • capítulo 1 . cal- cular a área de um círculo (figura 9). r A(r) 0 0 0. seja chama- do de Imagem da função.5 19.48451001 4 50. mas é muito difícil visualizar alguma utilidade sob a visão de um estudante de Engenharia.785398163 1 3.5 7. pode-se dizer que a expressão apresentada mostra que a área do círculo depende apenas do seu raio. obtém-se um valor de saída (A). Ga- lileu Galilei (1564-1642).81 m/s² (gravidade). com foco apenas matemático. estamos diante de uma equação quadrática (de segundo grau). gerando um grá- fico parabólico. As situações listadas a se- guir são exemplos onde o estudo das funções quadráticas foi muito importante: •  Queda livre: Na Física. para cada valor do conjunto de entrada (raio r). no intervalo de 0 a 5 — de 0. já analisada. O gráfico foi construído a partir da tabela apresentada ao seu lado. onde s0 é a po- sição inicial. No gráfico. O eixo horizontal (r) representa os valores dos raios. t é o tempo transcorrido e a representa a aceleração. ou seja. cabe aqui uma referência histórica a uma das mais importantes personalidades da Ciência. onde. no nosso caso real. obteve-se um valor de área. a relação que analisamos para a área do círculo pode ser chamada de função. Substituindo pelo valor da aceleração da gravidade. v0 é a velocidade inicial. raios negativos não fazem sentido. Aproveitando o tema. Galileu estudou. na figura 11. Assim. corresponde a um único valor de saída (área A). a par- tir do repouso. Portanto pode-se afirmar que valores de raio su- periores a zero produzem um círculo. para cada valor de raio. cada ponto des- tacado representa um valor da tabela. nossa equação se reduz a s = ½ a t². pois sempre é possível se construir um círculo um pouco maior. Embora uma parábola aceite valores negativos. A relação estudada entre o raio e a área de um círculo pode ser classifica- da como uma função quadrática. a única diferença é o valor da constante. capítulo 1 • 19 .5 em 0. Se compararmos com a expressão que calcula a área do círculo. com s0=0. dentre muitos outros temas. pois. temos s(t)=4. aplicando-se a expressão da relação. ou pode se tornar mais concreto ao se buscar apoio em situações reais. v0=0 e a = 9.905 t². Como na relação estabelecida o valor do raio aparece elevado ao quadrado. O eixo vertical (A) representa os valores das áreas calculadas a partir dos diferentes raios. portanto representada por uma parábola. qualquer que seja ele. Não há limite superior. O estudo das funções pode ser desenvolvido de forma dissociada de qual- quer tipo de representação. a queda li- vre de um corpo e o movimento de um projétil. Ao aplicarmos esta equação a uma situação de queda livre. os dados de entrada da relação. aumentando o valor do raio. o espaço (s) percorrido por um corpo submetido a uma aceleração é dado pela expressão: s = s0 + v0 t + ½ a t². seja ele uma pedra ou uma bala de canhão.5 —. Galileu reposicionou os dispositivos sonoros de tal for- ma que emitissem som em intervalos de tempo constante. conforme a equação da queda livre mencionada. conforme o corpo passasse. •  Antenas Parabólicas: As antenas parabólicas são construídas com essa forma (parabólica) com o objetivo de aproveitar a característica geométrica da figura. ao dar um salto para cima. Feito isso. fazendo com ele caia exatamente na mesma posição do skate. conforme a figura 12. Na dificuldade de marcar o tempo. de forma que. nem do skate e nem do skatista. Contando o tempo mentalmente. Isso explica. os sinais emitidos por um satélite são refletidos pela superfície parabólica de maneira que o captador de sinal da antena. As parábolas possuem um foco. mas foi viabilizado pela utilização de um plano inclinado. melhorando a qualidade do sinal recebido. Dessa forma. figura 12. Além de formular as leis do movimento parabólico. regida por uma função quadrática. O salto vertical so- bre o skate não altera a componente horizontal do movimento. Com isso temos um exemplo de uso de função matemática representando o comportamento do movimento. posicio- nado estrategicamente no foco da figura geométrica receba todas as refle- xões. 20 • capítulo 1 . o sinal sonoro soava. O estudo da queda livre foi dificultado pela falta de tecnologia para medi- ção precisa do tempo. foi só medir a distância percorrida entre os dispositivos sonoros. conseguir cair exatamente no skate e prosseguir seu movimento. por exemplo. teve a percepção de que o movimento parabólico podia ser representado por uma parcela horizontal e outra vertical. Outro estudo de Galileu mostrou que o movimento descrito por um projétil é uma parábola (equação quadrática). variava no quadrado do tempo. a razão de um skatista em movimento. conforme mostrado no esquema da figura 13. que tem como característica geométrica concentrar a reflexão de raios inci- dentes paralelos sobre a sua superfície. um pouco à frente. Galileu instalou dispo- sitivos sonoros ao longo do percurso. Galileu percebeu que a velocidade aumentava conforme o tempo passava e que a dis- tância percorrida a tempo constante. É um exemplo simples da Matemática a serviço da Engenharia. Seguindo esse raciocínio. conforme mostra o esquema a seguir (figura 14). o posiciona- mento de antenas de telefonia celular. de um farol selado (sealed beam). A perda de carga em uma linha de transmissão de energia elétrica. o efeito de poluentes em um corpo hídrico. para tornar a área da fonte de luz maior em relação à lâmpada. o impacto de ondas do mar ou o efeito das correntes marinhas em uma plataforma de petróleo. que será responsável pela reflexão da luz em raios paralelos. onde o escudo defletor tem o papel de direcionar os raios de luz. sempre suportados por Normas Técnicas. capítulo 1 • 21 . pode-se enumerar uma grande quantidade de exemplos onde o estudo das funções é absolutamente fundamental para mo- delar e possibilitar a estimativa de valores associados às grandezas envolvidas nos diversos sistemas de Engenharia. os faróis de automóveis. em sua grande maioria baseados em fe- nômenos físicos. são exemplos de situações que envolvem fenômenos modelados matematicamente de modo a permitir a criação de pro- cedimentos de projeto. po- siciona a fonte de luz no foco de uma superfície parabólica espelhada. a otimização de processos de engenharia. •  Faróis de automóveis: de forma inversa às antenas parabólicas. a varia- ção de tensões internas em um elemento estrutural pela presença de cargas ex- ternas ou pela variação de temperatura. com dois filamentos para o fa- rol alto e o baixo. positivo. res- ponsável por gerar documentos que estabelecem as regras. como mostra a figura 15. Como a função se comporta quando o valor de x se aproxima de 0? Não conseguimos calcular 1/0. Por fim. quase sempre baseados em modelos matemáticos capazes de representar os referidos sistemas e fornecer os dados necessários ao projeto (http://www. Assim. muito peque- no. significa reconhecer o comportamento do fenômeno por ela representado. Se acompanharmos pelo lado negativo a função responde com um valor também negativo.abnt. analisando como a função se comporta ao se aproximar do ponto de interesse. reconhecer o comportamen- to de uma função.org. e se acompanharmos pelo lado direito. Os procedimentos de projeto são criados com base no com- portamento dos sistemas de Engenharia. para as mais diversas situações de Engenharia. No Brasil. a função f(x)=1/x. Do lado esquerdo. Obviamente existem funções bem comportadas com to- dos os seus valores muito bem definidos e funções com comportamentos mais complexos como. normalmente fo- cadas em segurança e conforto de utilização. mas pelo gráfico da direita consegue-se perceber que. nessas condições.br/). o livro apresenta o tema Limites de funções. conforme o valor de x vai tendendo a zero. a função responde com um valor muito grande. temos a Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). está exibida a função com valores de x entre -2 e 2 aproximada- mente e do lado direito. o valor da função tem um comportamento especial. O conceito de limite é utilizado para expor o comportamento de uma função em situação específica. Estudar o comporta- mento das funções torna-se muito importante na medida em que esteja repre- sentando um determinado fenômeno real. entre -15 e 15. 22 • capítulo 1 . por exemplo. Newton desenvolveu recursos matemáticos para modelar os fenômenos naturais. Mais tarde publicou. no período em que passou afastado. em latim. e 1727. ano da morte de Galileu Galilei. Newton foi forçado a retornar à sua cidade no interior. o que talvez seja o livro mais importante da história do co- nhecimento humano. dedicou-se ex- clusivamente aos estudos. em Cam- bridge. pois Londres foi abatida por uma epi- demia da peste negra (bubônica). O protagonista é Isaac Newton. cabe o registro de um fato que talvez seja o mais marcante da história da Ciência. que formam a base para o estudo do Cálculo dife- rencial e integral. Antes de encerrar a apresentação das funções. Logo após obter o grau de bacharel. fato que marcou o início da Ciência Moderna. que viveu na Ingla- terra entre 1642. com uma intensidade que nunca mais conseguiu imprimir. deve-se ter em mente que essa deve ser a inspiração do uso da Matemática pela Engenharia. Somente pôde retornar a Cambridge após 18 meses quando obteve o título de Doutor e se tornou catedrático com ape- nas 26 anos. para o engenheiro. Ocorre que. a Lei da Gravitação Universal e desvendou a natureza das cores. o Philosophiae naturalis principia mathematica (Prin- cípios matemáticos da filosofia natural). Desenvolveu o Teorema Binomial. Para finalizar. Resumindo. O conhecimento dos limites é importante para a sequência do estudo do comportamento das funções com os temas continuidade. derivadas e integrais que serão vistos nas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral. pois são ferramentas para a análi- se dos fenômenos físicos associados aos problemas de Engenharia. que são muito importantes para a formação do engenheiro. Recomendação Uma das formas mais efetivas de acelerar o aprendizado da Matemática é tor- ná-la um pouco mais concreta através da utilização de ferramentas gráficas computacionais que promovem um aumento no nível de percepção do com- capítulo 1 • 23 . Que ela é fundamental para o engenheiro. Pouco adianta. o Cálculo Diferencial e Integral. o domínio de recur- sos matemáticos desconectados do contexto da engenharia. pois fornece os recursos necessários para a análise dos problemas envolvidos nos sistemas de engenharia. que. portanto.C. Para facilitar a disseminação do uso. Considerando que os fenômenos físicos podem ser modelados por funções. http://www. Ele reú- ne recursos de Geometria. Dra. 2002. livre. Criado por Markus Hohenwarter. bastou digitar y=pi*x^2 como comando de entrada. São Paulo: Contexto. O nome vem da mistura de Geometria e ÁlGebra. Recomenda-se. pois permitem a visualização imediata dos efeitos causados pela alteração de qualquer parâmetro envolvido na sua definição. é reapresentada a plotagem da função y=πx² no GeoGe- bra. e pode dar suporte para todo o conteúdo da disciplina. pode ser ins- talado sem custo. Linux ou Mac OS. Probabilidade. tabelas.ritaccs. recomenda- mos a adoção do software GeoGebra (www.carroantigo.htm (em 9/7/2015) Website da Profa. não resta dúvida de que a utilização desse tipo de software é o primeiro passo para a modelagem de sistemas de engenharia. que os alunos comecem a utilizar o quanto antes um software gráfico específico. Para isso. o GeoGebra é um software de Matemática dinâmica desenvolvido para o ensino e aprendizagem nos vários níveis. portanto.br/ (em 9/7/2015) 24 • capítulo 1 .org).pro. R. Álgebra. Rita de Cássia Carvalho Silva http://www.portamento das funções. Disponível em português. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. gráficos. o sof- tware é multiplataforma e. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BASSANEZI. O GeoGebra também possui recur- sos para trabalhar com vetores e ma- trizes. Como exemplo.geogebra.com/portugues/conteudo/curio_lampada. pode ser instalado em computadores com Windows. Estatística e cálculos simbólicos em um único ambiente. 2 Conceitos fundamentais de Álgebra e Aritmética . •  Resolver expressões numéricas com potências. OBJETIVOS •  Associar a potência de números inteiros à operação de multiplicação de fatores iguais. envolvendo porcentagens em sua vida prática. •  Reconhecer os termos de uma razão. 26 • capítulo 2 . •  Representar porcentagens em frações e em decimais. •  Identificar proporções como igualdade de duas razões. •  Resolver problemas que envolvam duas grandezas direta e inversamente proporcionais. •  Simplificar radicais. e vice-versa. •  Efetuar o cálculo de potências em que a base é um número real diferente de zero e de um qualquer. aplicando a propriedade fundamen- tal das proporções. Inúmeras são as aplicações no cotidiano que requerem o cál- culo de potências. •  Compreender a ideia de taxa de porcentagem. •  Reconhecer razões inversas. •  Determinar o termo desconhecido de uma proporção. •  Identificar meios e extremos de uma proporção. e o expoente inteiro. •  Aplicar as propriedades de proporções nas diversas situações. •  Resolver problemas que envolvam três ou mais grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. •  Reconhecer as propriedades da potenciação e aplicá-las em cálculo simples. •  Resolver problemas. •  Aplicar as propriedades dos radicais na resolução de exercícios. •  Simplificar expressões com radicais. •  Compreender o significado dos produtos notáveis. 1  Radiciação e potenciação A operações de potenciação e radiciação são ferramentas importantíssimas em diversos campos. •  Identificar e representar porcentagens. •  Compreender o conceito de razão entre duas grandezas. •  Calcular a raiz de um número racional de índice ímpar. •  Compreender e aplicar as diferentes técnicas de fatoração. ou seja. a0 = 1. o número 32 é igual ao produto de 2 fatores iguais a 3.. para qualquer valor de a ≠ 0. 2  Potência de expoente natural 2. Lemos an como “a elevado à enésima potência”. para n = 0. diferente de zero. No caso de n = 1. definimos. com a = 4 : 40 = 1 capítulo 2 • 27 . chama-se potência de base a e expoente n o número que é igual ao produto de n fatores iguais a a.1  Conceito Dados um número real a e um número natural n. Então. O estudo e os cálculos que envolvem juros compostos são baseados na po- tenciação das taxas de juros. Portanto. O estudo de potências e raízes serve como base para entender outros concei- tos dentro da própria Matemática e em outras ciências. que representa números mui- to grandes ou pequenos. 32 = 3 · 3 = 9 b) 40 Pela definição. além da notação científica.. temos que. o valor a0 = 1. o número a é chamado de base. A função exponencial também é um exemplo onde utilizamos potências. temos que a = 3 e n = 2. Cálculos que muitas vezes apresentam certa complexidade podem se tornar mais elementares e compreensíveis através da aplicação de certas proprieda- des de potenciação e radiciação.×a O número natural n é chamado de expoente. São propriedades relativamente simples de serem usadas. Para qualquer número real não nulo a. temos que a1 = a EXEMPLO a) 3² Pela definição. ou seja: an = a×a×a×. não nulo.c) 51 Temos. valem as seguintes pro- priedades: 1 am · an = a m+n 2 am / an = a m-n. a = 5. ou seja. Neste caso.. Portanto: 51 = 5. devemos ter m ≥ n para obtermos no valor do expoente um número natural (0. 1. ou seja: a-n = 1 / an 28 • capítulo 2 . o número 04 é igual ao produto de 4 fatores iguais a 0.. 3  Potência de expoente inteiro negativo Dados um número real a. respectivamente. b ≠ 0 5 (a · b)n = an · bn As restrições impostas para a e b. chama-se potência de base a e expoente –n o número a–n . por definição. temos que a = 0 e n = 4. Portanto. d) 04 Aqui. e um número natural n. que é o inverso de an. 04 = 0 · 0 · 0 · 0 = 0 2. a ≠ 0 3 (am)n = a m · n 4 am / bm = (a/b)m. de- vem-se ao fato de não podermos efetuar a divisão quando o denominador é zero. Na propriedade 2. 2. nas propriedades 2 e 4. que a1 = 0.).2  Propriedades Sendo a e b números reais e m e n números naturais. 27 . Então (-4)-2 = 1 / (-4)2 = 1/16 pois. n A expressão a é chamada radical. As propriedades enunciadas para potências de expoente natural continuam válidas para quaisquer expoentes e inteiros (positivos ou negativos). estamos procurando um número cujo cubo seja igual a 27.1  Conceito Um processo relacionado ao de calcular potências é o de extrair raízes. estamos procurando um valor b de forma que bn = a. e n sendo um nú- n mero natural ímpar. então. n ≥ 1. temos que o número 3–2 é o inverso de 32. o valor de n será 2 e a expressão será chamada raiz quadrada. com b ∈ ℝ. Por 3 exemplo. 4. em que ◌ é o símbolo da raiz. Quando nenhum índice for indicado. 4  Raíz enésima e expoentes racionais 4. a = b ⇔ bn = a n 3 Exemplo: -8 = -2 Pois (-2)3 = (-2)(-2)(-2) = -8 capítulo 2 • 29 . ou seja. n ≥ 1 Quando estamos resolvendo uma expressão a . pois 3³ = 3 27 e. EXEMPLO Vamos calcular as potências a seguir: a) 3–2 Pela definição. 27 = 3. 3-2 = 1 / 32 = 1 / 9 b) (–4)–2 O número (–4)–2 é o inverso de (–4)2. Esse número é o 3. Simbolicamente. a é o radicando e n é o índice.2  Índice n é um número natural ímpar. (-4)2 = (-4)(-4) = 16. quando buscamos a raiz cúbica do número 27. ou seja. com a ∈ ℝ. 3  4. Nesse caso. Por exemplo. Se desejamos resolver a equação x² = 4. 2 ∙ 2 = 4 e (-2)(-2) = 4 4. temos que a não é um número real. Simbolicamente. Índice n é um número natural par. não existe nenhum número real igual a a .4. podemos pensar nos dois valores: ±2. ATENÇÃO Muito cuidado com a raiz de índice par. estamos procurando para que valores de x teremos o quadrado destes valores iguais a 4. com b∈R. estamos procurando um valor b de forma que b^n=a. temos como resposta ±2 . não conseguimos calcular a -9 porque não existe nenhum número real b tal n que b² = –9. Agora sim.3.4  Propriedades Sendo a e b números reais não negativos. e n sendo um número natural par. Por exemplo. m inteiro e n e p números naturais não nulos. n ≥ 2 Quando estamos resolvendo uma expressão √(n&a). quando estamos lidando com equações. 10² = 10 ∙ 10 = 100 n Se a for negativo. valem as seguintes propriedades: n n∙p m∙p 1 am = a n n 2 a∙ b a∙n b 30 • capítulo 2 . n2. a não negativo. a = b ⇔ bn = a n EXEMPLO 100 = 10 Pois. com a ∈ ℝ. temos que 4 = 2 e não 4 = ±2 Na verdade. pois 132 = 169. ou seja. b) . pois n = 2 e a = –64. pois 07= 0 c) . Então. 3 4 pn p∙n a = a 5 EXEMPLO Calcular as raízes: a) Usando a definição. 5  POTÊNCIA DE EXPOENTE RACIONAL Dados um número real positivo a. não existe nenhum número real b tal que b2 = – 64. As propriedades enunciadas para potências de expoente natural continuam válidas para quaisquer expoentes racionais. temos que é 13. chama-se potência de base a e expoente p / q a raiz q-ésima de ap. com q ≥ 1. um número inteiro p e um número natural q. capítulo 2 • 31 . pois 25 = 32 d) não é um número real. 4³ = 4²4 = 4² ∙ 4 =4∙2=8 2ª maneira: Usando as propriedades de potência. EXEMPLO Vamos calcular o valor de . mas também poderíamos utilizar propriedades de potência e radiciação para simplificar as raízes. Resolução Podemos efetuar este cálculo de duas maneiras: escrevendo as potências em forma de raiz ou usando as propriedades das potências. 1ª maneira: escrevendo as potências em forma de raiz (utilizando a definição de potência de expoente racional). 3 3 6 12 y= 2 (2 ) 2 4 − (2 ) 4 = 22 − 24 = 23 − 23 y = 8− 8 = 0 6  Exercícios resolvidos 1. 4 Os cálculos de 64 e de 4096 podem ser feitos fatorando-se os números 64 e 4096. Escreva os itens a seguir como potência de base 2: a)  16 b)  1/4 5 c)  32 d)  2 /2 e)  8 2/3 f)  64 –3/2 g)  ( 2 )5 32 • capítulo 2 . capítulo 2 • 33 . por 5 anos. e o rendimento ganho é J = M – C.00.Resolução a)  16=24 b)  1/4 = 1/22 = 2-2 5 5 c)  32 = 25 = 2 d)  2 /2 = 21/2/2 = 21/2-1 = 2-1/2 e)  8 2/3 = (23)2/3 = 22 f)  64-3/2 = (26)-3/2 = 2-9 g)  ( 2 )5 = (21/2)5 = 25/2 2. o valor futuro resultante.200. o montante resul- tante será dado por M=C(1+i)t . Simplifique as expressões: a)  b)  ∙ ∙ Resolução: 102∙(102 )3 ∙ 10 102 106 10 109 a)  = = 4 = 105 104 104 10 ( 24 ) 2 ∙ 25 ∙ 2−3 28 25 ∙ 2−3 210 b)  = = 25 = 2−15 ( 25 ) 5 225 2 7  Estudos de casos aplicados 1.  Se um capital inicial C for investido por t anos a uma taxa de juros compos- tos i (em decimal) ao ano. ou seja. com taxa de 12% ao ano. a juros compostos. Determine o valor futuro (montante) quando se aplica R$1. 200. resulta em um valor futuro de R$9. com taxa de 11. por um período de 5 anos.730.500. e em um rendimento ganho de R$ 914.81.5% ao ano. basta substituir na fórmula os valores dados no problema.00 = 6.00. 34 • capítulo 2 . basta substituir na fórmula os valores dados no problema. 2.78 O rendimento ganho é calculado através da fórmula J = M – C. Portanto.76 M = 1200 ∙ 1.00.12)5 M = 1200 ∙ 1. Então.115)12 M = 1200 ∙ 3.78 – 2.200. um capital inicial de R$1.762342 M = 2114. Portanto: M = C(1+i)t M = 1200(1+0.78 Então.78. e em um rendimento de R$6. um capital inicial de R$2.Resolução: Para efetuarmos o cálculo do M (valor futuro ou montante). Portanto: M = C(1+i)t M = 2500(1+0.114. aplicado a uma taxa de 11. Resolução: Para efetuarmos o cálculo do M (valor futuro ou montante).692312 M = 9230.  Determine o montante resultante quando se aplica R$2.500.00 = 914. quando aplicado a uma taxa de 12% ao ano.230.81.230. por 12 anos. por um período de 12 anos. J = 2.81 – 1. a juros compostos.00.500. resulta em um valor futuro de R$2.5% ao ano.730.78 J = 9.78.81.12)5 M = 1200(1.115)12 M = 2500(1.114. Quanto maior essa quantidade. o resultado final apresentar uma dízima infinita não periódica. “denomina-se função de pro- dução a relação entre a quantidade física dos fatores de produção. (2004. COMENTÁRIO É muito comum. e a quantidade física do produto na unidade de tem- po.2141 P = 38. Chamamos de produtividade média do fator variável o valor indicado por Pm dado por Pm = P/x”. em que P é o número de cadeiras produzidas por semana numa marcenaria (com certo nú- mero fixo de empregados) e x. 93). Vamos considerar a seguinte função de produção P = 12 ∙ x3/5. Substituindo na fórmula. tere- mos a função de produção P = f(x). obtemos: P = 12 ∙ x3/5 P = 12 ∙ 73/5 Podemos reescrever esta fórmula escrevendo a potência em forma de raiz (utilizando a definição de potência de expoente racional): 5 P = 12 ∙ 7³ 5 P = 12 ∙ 343 P = 12 ∙ 3.  De acordo com MORETTIN et al. 3. a quantidade produzida será função desse fator. o número de serras elétricas utilizadas. temos x = 7 cadeiras. p. devemos trabalhar fixando uma quantidade de casas deci- mais. no cálculo de potências e raízes. trabalho e outros. Nesse caso. a)  Quantas cadeiras serão produzidas por semana se forem utilizadas 7 serras? E se o número de serras for igual a zero? b)  O que acontecerá com a quantidade produzida se o número de serras ficar 32 vezes maior? Resolução: a)  Nesse caso. mais preciso será o resultado obtido. tais como capital. Se considerarmos fixos todos os fatores menos um. Chamando de a a quantidade produzida na unidade de tempo e x a quantidade do fator variável utilizada na unidade de tempo.5692 capítulo 2 • 35 . Portanto, quando forem utilizadas 7 serras elétricas, serão produzidas apro- ximadamente 38,57 cadeiras. No caso de x = 0, temos: P = 12 ∙ x3/5 P = 12 ∙ 03/5 P=0 Portanto, quando não forem utilizadas serras elétricas, a marcenaria logica- mente não produzirá nenhuma cadeira. b) Se o número de serras ficar 32 vezes maior, teremos uma nova fórmula para a produção, que é dada por: P = 12 ∙ (32x)3/5 Podemos reescrever esta fórmula decompondo o número 32 e utilizar pro- priedades de potencias. Com isso, obtemos: P = 12 ∙ (25x)3/5 P = 12 ∙ (25)3/5 ∙ (x)3/5 P = 12 ∙ (2)3 ∙ (x)3/5 P = 12 ∙ 8 ∙ (x)3/5 P = 96 ∙ (x)3/5 Valor original: P = 12 ∙ (25x)3/5. Valor com o número de serras ficar 32 vezes maior: P = 12 ∙ 8 ∙ (x)3/5 Então, se o número de serras ficar 32 vezes maior, a quantidade produzida ficará 8 vezes maior. 36 • capítulo 2 8  Expressões algébricas 8.1  Conceito Uma expressão algébrica é uma expressão matemática que contém números e le- tras ou somente letras. As letras da expressão algébrica são chamadas de variáveis. 8.2  Valor numérico de uma expressão algébrica O valor numérico de uma expressão algébrica é o número real que obtemos quando substituímos todas as variáveis da expressão pelos valores dados e efe- tuamos as operações indicadas na expressão. EXEMPLO 5 x + 8 4 para x = 5. Determine o valor numérico da expressão + z, x −5 x 5 x + 8 4 5 ( 5 ) + 8 4 33 4 + = + = + x −5 x 5−5 5 0 5 Denominador nulo. A expressão não representa um número real. 8.3  Monômio ou termo algébrico Monômio é produto entre incógnitas ou produto entre números e incógnitas. Nos monômios não se encontra o uso da adição ou da subtração, pelos menos explicitamente. EXEMPLO a) 2 b) x c) 2x d) -3xy4 capítulo 2 • 37 8.3.1  Partes de um monômio Consideramos um monômio dividido em duas partes: •  um número — coeficiente do monômio e •  uma variável ou o produto de variáveis (letras), inclusive suas potências, caso existam - parte literal EXEMPLO a) 5x : 5 é o coeficiente do monômio e x é sua parte literal; b) -3xy4 : -3 é o coeficiente do monômio e xy4 é sua parte literal; c) xz : 1 é o coeficiente desse monômio e xz é sua parte literal. 8.3.2  Grau de um monômio O grau de um monômio é definido quando todos os expoentes são números inteiros, é dado pela soma dos expoentes. EXEMPLO 2x2y5z grau: 2+5+1=8 8.3.3  Monômios semelhantes Monômios semelhantes são aqueles que possuem a mesma parte literal. EXEMPLO a) 2xy e 3/2 xy são semelhantes, pois possuem a mesma parte literal xy. b) 7a3b2 e 0,32a3b2 são semelhantes, pois possuem a mesma parte literal a3b2. 38 • capítulo 2 8.3.4  Operações com monômios Adição e Subtração (monômios semelhantes): repete-se a parte literal e so- mam-se ou subtraem-se os coeficientes. EXEMPLO 2x2y + 14x2y + 5x2y = 21x2y Multiplicação e Divisão: multiplicam-se ou dividem-se as partes literais e os coeficientes. EXEMPLO 16 : 2 = 8 a ) (16 x5 ) : ( 2 x ) = 8 x 4 x5 : x = x 4 1  5   10   5 10  5 2 5 3  3 3 3 b)  x 5  :  x 2  =  : ⋅( x : x ) =  ⋅ ⋅ x = ⋅x 7   3  7 3   7 10  14 2 c) 6x²y ∙ 2x4 ∙ 3y = (6 ∙ 2 ∙ 3)(x2 ∙ x4 ∙ y ∙ y) = 36x6y2 8.4  Polinômios Polinômio é toda expressão racional inteira composta de um ou mais termos, consistindo na adição ou subtração algébrica de monômios EXEMPLO a)  4x b)  3x + 5 c)  3/4 x4 – 1/5 x3 + 3x2 – x + 6 capítulo 2 • 39 8.4.1  Operações com polinômios Adição e subtração de polinômios Calcule a soma dos polinômios: (4x2 – 7x + 2) + (3x2 + 2x + 3) = = 4x2 – 7x + 2 + 3x2 + 2x + 3 = eliminando os parênteses = 4x2 + 3x2 – 7x + 2x + 2 + 3 = agrupando os termos semelhantes = (4 + 3)x2 + (–7 + 2)x + 5 = reduzindo os termos semelhantes =7x2 – 5x + 5 Multiplicação de polinômios Multiplicamos os coeficientes numéricos e multiplicamos as partes literais aplicando, sempre que possível, a propriedade do produto de potências de mesma base (am · an = am+n). EXEMPLO x 2 ⋅ x3 = x5 a) ( 5 x 2 ) ⋅ ( 6 x3 ) = 30 x5 5⋅6 =30  3  8  24 5 5 4 b)  − y 3 x 2  ⋅  y 2 x 3  = − − y 5 x5 y x =  2  9  18 3 c)2 x 2 ⋅ ( 3 x 2 − 4 x + 3) = 6 x 4 − 8 x3 + 6 x 2 d ) ( 4 x + 3) ⋅ ( 3 x − 4 = ) 12 x 2 − 16 x + 9 x − 12= 12 x 2 − 7 x − 12 40 • capítulo 2 Divisão de polinômios A primeira providência para dividirmos polinômios é reduzir os termos seme- lhantes e ordená-los. A divisão de polinômios é muito semelhante à divisão de números naturais. EXEMPLO 2x4 − 7x3 + 3x2 x-2 −2x + 4x 4 3 2x3 − 3x2 − 3x − 6 0 − 3x3 + 3x2 0 − 3x2 3x2 − 6x 0 − 6x 6x − 12 0 − 12 9  Produtos notáveis Algumas expressões envolvendo dois números reais distintos a e b são tão im- portantes, observadas, notadas com tal frequência que são denominadas pro- dutos notáveis. Quadrado da soma: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Quadrado da diferença: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Diferença entre dois quadrados: a2 - b2 = (a + b)(a – b) Cubo da soma: (a + b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3 Cubo da diferença: (a - b)3 = a3 - 3.a2.b + 3.a.b2 - b3 Soma entre dois cubos: a3 + b3 = (a + b)(a2 – a.b + b2) Diferença entre dois cubos: a3 - b3 = (a - b)(a2 + a.b + b2) capítulo 2 • 41 EXEMPLO ( 3x + 4 ) = ( 3 x + 4 ) ⋅ ( 3 x + 4 ) = 9 x 2 + 12 x + 12 x + 16 = 9 x 2 + 24 x + 16 2 ( 3x − 4 ) = ( 3 x − 4 ) ⋅ ( 3 x − 4 ) = 9 x 2 − 12 x − 12 x + 16 = 9 x 2 − 24 x + 16 2 (8 − x ) ⋅ (8 + x ) = (8) − ( x ) 2 2 = 64 − x 2 10  Fatoração de expressões algébricas 10.1  Conceito O termo fatorar significa decompor uma expressão ou número em fatores ou parcelas, de modo que o produto dessas parcelas resulte na expressão ou nú- mero original. A fatoração de um número inteiro consiste na sua decomposição em um produto de números inteiros primos, sendo os números que aparecem repeti- das vezes agrupados na forma de potência. 10.2  Fator comum em evidência Esse caso é aplicado a expressões algébricas que possuem um fator comum a todos os termos. EXEMPLO Fatorar a expressão 2x + 4y - 6z. •  O fator comum entre os termos é 2; •  Dividimos cada termo da expressão pelo fator comum 2. 2x + 4y - 6z = 2 . (x +2y -3z) 42 • capítulo 2 agrupando os dois primeiros e os dois últimos termos. x 2 + 12 x + 9 = ( 2 x + 3) 2 4 4 x2 = 2 x 9 =3 capítulo 2 • 43 .4  Trinômio quadrado perfeito (a + b)² é a forma fatorada de a² + 2ab + b². EXEMPLO Fatorar 4x² + 12x + 9. perce- bemos que existem fatores comuns a cada um dos grupos. ou seja: x 2 + ax + bx   + ab =x ⋅ ( x + a ) + b ⋅ ( x + a ) =( x + a ) ⋅ ( x + b ) fator comum x fator comum b   fator comum fator comum EXEMPLO 6 x 2 − 9ax + 4bx − 6ab = 3 x ( 2 x − 3a ) + 2b ( 2 x − 3a ) = ( 2 x − 3a )( 3 x + 2b ) 10.3  Agrupamento A expressão x2 + ax + bx + ab não possui um fator comum a todos os seus ter- mos. (a – b)² é a forma fatorada de a² – 2ab + b². No entanto.10. a divisão dos lucros deve ser proporcional ao tempo em que cada sócio pertence a ela e ao capital empregado por cada um. estamos comparando a primei- ra grandeza com a segunda. Não é justo? Em nosso dia a dia. Temos outras tantas utilizações de razões e proporções. temos também um exemplo do uso de proporção de quantidades. Na culinária. seja em casos envolvendo negócios. para encontrar a veloci- dade média de um automóvel. Se temos 3 ovos para cada 2 colheres de farinha de trigo. e precisamos aumentar ou dimi- nuir a receita. Quando dividimos uma grandeza por outra. utilizamos escalas. comumente nos deparamos com informações do tipo “1 a cada 5 consumidores dessa região prefere o produto A”. estamos usando a noção básica de proporção. quando construímos a planta de uma casa. seja em ocasiões científicas.10. A utilização do conceito de razão é a maneira mais comum de se proceder a comparação relativa entre duas grandezas. Numa sociedade. Quem aplica mais tem direito a uma fatia maior do lucro. há um exemplo de utilização de razão e proporção.5  Diferença de dois quadrados a² – b² = (a – b)(a + b) EXEMPLO x 2 − 9 =( x − 3)( x + 3)  Fatorar x2 = x 9 =3 11  Razão e proporção Utilizamos as noções de razão e proporção muitas vezes em situações cotidia- nas. que passa a ser a base da comparação. Essa frase tem o mesmo significado que “20% dos consumidores dessa região preferem o pro- duto A”? Lembre-se de que a razão 1 para 5 é igual à razão 20 para 100 e que essa igualdade determina uma proporção. 44 • capítulo 2 . Quando são ministrados medicamentos. no cálculo da densidade demográfica etc. tais como. Resolução: Para descobrirmos a razão de sinistros dessa empresa com relação ao número de seguros feitos no mesmo período. o qual percorreu 270 km em 3 horas. havia 80.12  Razão Razão significa o quociente ou a divisão entre dois números X e Y. com Y ≠ 0. 3. em média. 4. Também podemos expressar a razão na forma de divisão entre duas grande- zas de algum sistema de medidas. 2. Numa determinada cidade do interior de São Paulo. Deseja-se saber qual a razão de sinistros desta empresa com relação ao número de seguros feitos no mesmo período. A cidade tem 200. sendo 50. o que significa que para cada 3 argentinos há 5 brasileiros assistindo à partida.000 torcedores. Podemos dizer que a razão entre o número de argentinos e o número de brasileiros é 30.000 brasileiros e 30. Esse motor foi testado em um carro popular. 150 novos contratos são feitos por mês e 30 sinistros são registrados no mesmo período. Uma montadora de automóveis testou um novo motor para seus carros populares. Qual foi a velo- cidade média do veículo nesse percurso? Resolução: 270km/3h=90km/h Isso significa que a velocidade média do automóvel com o novo motor foi de 90 km/h. Numa partida de futebol entre Brasil e Argentina. O numerador X é denominado antecedente e o denominador Y é denomi- nado con-sequente. Indica-se: X/Y ou e lê-se: X para Y.000=3/5.000 argentinos. fazemos: 30/150=1/5. Em uma empresa de seguros de automóveis.000/50. foi realizada uma pesquisa sobre o número de leitores que leem regularmente determinados jornais. o que significa que a empresa registra 1 sinistro para cada 5 automóveis segurados no período estudado.000 capítulo 2 • 45 . Vejamos alguns exemplos: EXEMPLO 1. ou podemos dizer que o automóvel percorreu 90 km a cada hora. b) A razão de habitantes da cidade que têm o hábito de ler jornal é dada por 10. os valores X e W são chamados de extremos. temos que 2/3 = 6/9.2  Algumas propriedades das proporções a) Propriedade Fundamental das Proporções Em toda proporção.000 leem o jornal Y e 190. sendo que 2. o produto dos meios é igual ao produto dos extremos e vice-versa.000=1/20. basta fazer o quociente entre os dois valores. Pergunta-se: a) qual a razão entre o número de leitores do Jornal Y com relação ao do Jornal X? b) qual a razão de habitantes da cidade que têm o hábito de ler jornal? Resolução: a) Para se descobrir a razão entre o número de leitores do jornal Y com relação ao do jornal X. apenas 1 em cada 20 habitantes dessa cidade tem o há- bito de ler jornal.000 = 4. Se X/Y = Z/W então. 8. ou seja. ou seja: 8.1  Conceito A igualdade entre duas razões X/Y e Z/W (com X. X • W = Y • Z Por exemplo: De fato. Y.000 não leem nenhum jornal. Z e W ≠ 0) é chamada de proporção. enquanto os números Y e Z são cha- mados meios. Isso significa que o jornal Y tem 4 vezes mais leitores do que o jornal X. 13  Proporção 13.000 pessoas leem o jornal X.000/200. 13.habitantes.000/2. Na proporção X/Y=Z/W (lê-se: X está para Y assim como Z está para W). pois 2 • 9 = 3 • 6 ⇒ 18 = 18 46 • capítulo 2 . Se X/Y = Z/W então XZ/YW = X²/Y² ou XZ/YW = Z²/W² Exemplo: Se 2/3 = 6/9. assim como o quadrado de cada antecedente está para o quadrado do seu consequente. então (2+3)/2 = (6+9)/6 ou ainda. temos 10X = 30 ⇒ X=3 capítulo 2 • 47 . 8/12 = 2/3 d) Produto dos antecedentes e dos consequentes Numa proporção. c) Soma dos antecedentes e dos consequentes Numa proporção. Se X/Y = Z/W então (X+Z)/(Y+W) = X/Y ou (X+Z)/(Y+W) = Z/W Exemplo: Se 2/3 = 6/9. o produto dos antecedentes está para o produto dos conse- quentes. 12/27 = 4/9 EXERCÍCIO RESOLVIDO Determinar o valor de X para que a razão X/5 esteja em proporção com 6/10. Resolução: Temos que X/5 = 6/10 Como sabemos que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. então (2∙6)/(3∙9) = 2²/3² ou ainda. a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes. então (2+6)/(3+9) = 2/3 ou ainda.b) Soma dos termos de uma proporção Numa proporção. assim como cada antecedente está para o seu consequente. assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º). (X+Y)/X = (Z+W)/Z ou (X+Y)/Y = (Z+W)/W Exemplo: Se 2/3 = 6/9. Se X/Y = Z/W então. a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) ter- mo. 5/2 = 15/6. o valor de X deve ser igual a 3.400 pessoas. 13. precisamos determinar a quantidade de homens e de mulheres que foram aprovados. ou seja.440 mulheres. então o número de mulheres que participaram da seleção é 240 • 6 = 1. quatro partes do todo eram compostas por homens e 6 partes do todo eram compostas por mu- lheres. precisamos encontrar cada uma destas quantidades. precisamos determinar qual o número de aprovados. b) a razão entre o número de aprovados e o número total de inscritos. Se uma parte corresponde a 240 pessoas. ou seja: (960/12)*3=240 homens aprovados. Se o total de inscritos era 2. de um total de 2.400) por 10 (4 + 6) para sabermos quanto corresponde a uma parte 2. determine: a) o número de mulheres que participaram da seleção. Na primeira fase desse processo. sabemos que o número de mulheres que participaram da seleção é de 1. o setor de Recursos Humanos contou com um proces- so seletivo composto de 3 fases.400 – 1. O nú- mero total de inscritos já foi fornecido pelo problema e corresponde a 2. o número de homens é 2. b) Como queremos encontrar a razão entre o número de aprovados e o número total de inscritos. basta dividirmos o total de pessoas (2. Agora. para que a razão X/5 esteja em proporção com 6/10. Por meio do item (a). portanto. desta forma. Resolução: a) Como o número total de inscritos era de 2. sabendo que 3/12 dos homens foram aprovados e 12/20 das mulheres não foram aprovadas.440 = 960. 48 • capítulo 2 .400 inscritos.400/10=240. podemos obter a quantidade de homens aprovados dividindo o total de homens por 12 e pegando 3 partes deste valor.400 pessoas e a razão entre o nú- mero de homens e o número de mulheres era de 4/6.440. Na escolha de um profissional para ocupar o cargo de gerente de marketing de uma grande empresa. Se 3/12 dos homens foram aprovados (o que significa que 3 em cada 12 ho- mens foram aprovados). Agora.3  Estudos de casos aplicados 1.Portanto.400 pessoas. sabe-se que a razão entre o número de homens e o número de mulheres era 4/6. Quanto cada um deve receber? Resolução: Está muito claro que se trata de um problema que envolve proporção. a cada 150 que prestaram o concurso. passa- ram na primeira fase do processo seletivo. porém. Utilizando a linguagem matemática. 2. ou seja. com 3 gerentes. Isso significa que 8 em cada 20 mulheres foram aprovadas. devemos notar que o problema forneceu a proporção de mu- lheres que não foram aprovadas.000. Somando 240 com 576. dizemos que x está para 12. mais precisamente R$12. assim como y está para 5 e assim como z está para 3. devemos encontrar três valores. O critério utilizado para fazer a divisão será pro- porcional ao tempo de serviço de cada um na empresa. x. Uma empresa quer dividir uma parte de seus lucros. respectivamente. Para encontrarmos a proporção de mulheres que foram aprovadas. O mesmo raciocínio deve ser usado para encontrar o número de mulheres aprovadas. Então. ou seja: (1440/20)*8 = 576. Isto significa que 51 pessoas.00. que são diretamente proporcionais a 12. a razão entre o número de aprovados e o número total de inscritos é dada por: (816/2400) = (51/150). Vamos montar uma tabelinha para visualizar melhor o problema: GERENTES X Y Z Tempo de serviço (anos) 12 5 3 Valor a receber (R$) x y z Para resolver este problema. O valor 1 utiliza- do nesse cálculo representa o inteiro da proporção (corresponde a 100%). pois cada ge- rente deve receber uma quantidade proporcional ao seu tempo de serviço (justo!). Dividindo o total de mulheres por 20 e pegando 8 partes deste valor. deve- mos ver o que “falta” para termos um inteiro nesta proporção. e z. podemos escrever da se- guinte forma: capítulo 2 • 49 . O gerente X trabalha na empresa há 12 anos. 1-(12/20) = 8/20 das mulheres foram aprovadas. y. 5 e 3 anos. que é igual a 816. tere- mos o número de mulheres aprovadas. Então. teremos o número total de aprovados. o gerente Y trabalha há 5 anos e o gerente Z há 3 anos. 4  Estudos de casos aplicados propostos 1. Numa propaganda de supermercado. um anúncio dizia: “Leve 3 cremes den- tais e pague 2”. Se nessa empresa existem 60 mulheres.00.00 e o gerente Z. para dividir o lucro de R$12. (x+y+z)/(12+5+3)=y/5 600=y/5 y=3. qual é o nú- mero de homens? Quantos funcionários tem a empresa? Gabarito: 40 e 100 2. Em uma empresa de telemarketing.00. pagou? Gabarito: 10 50 • capítulo 2 . R$3.000/20=x/12 600=x/12 x=7200 Usa-se o mesmo raciocínio para determinar y e z.800 Concluímos.000 (x+y+z)/(12+5+3)=z/3 600=z/3 z=1.x/12 = y/5 = z/3 Utilizando a propriedade da soma dos termos de uma proporção. de forma propor- cional ao tempo de serviço de cada um. por quantos ele.200. 13. efetivamente. que.00.800. obtemos: (x+y+z)/(12+5+3)=x/12 12. a razão do número de homens para o número de mulheres é 2/3.000. Se um freguês resolve levar 15 cremes dentais.000. o gerente Y. então. R$1. o gerente X deverá receber R$7. O sócio A investiu R$60.00 e querem reparti-lo de forma proporcional ao investimento inicial de cada um. Cada um recebeu o dobro do que investiu inicialmente.000. Quando uma de- las aumenta. multiplicando o valor de uma delas por um núme- ro positivo.000. 14  Grandezas direta e inversamente proporcionais 14. Se quisermos comprar duas unidades. x e y. Dobrando a quantidade de unidades de produtos que compramos. sabendo que a razão entre eles é 5/4 e a diferença dos seus quadrados é 81.00 e o sócio C investiu R$30. Se quisermos comprar três unidades.00. Achar estas idades sabendo que sua soma é 35 anos. e assim por diante. Determine dois números positivos. registraram um lucro líquido de R$360.000. Gabarito: 14 e 21 anos 5.00.1  Grandezas Diretamente Proporcionais Grandezas diretamente proporcionais variam na mesma razão.3. A razão das idades de duas pessoas é 2/3. sócio C = R$60. o B investiu R$90. pagaremos o triplo. pagaremos 120.000. a outra aumenta na mesma razão. No final de 1 ano. dobrará o valor a ser pago. sócio B = R$180. pagaremos 80.000. se triplicarmos a quantidade.000. duas grandezas são direta- mente proporcionais quando. Três pessoas (A. o valor da outra fica multiplicado por esse mesmo número positivo. Ainda. capítulo 2 • 51 . B e C) formaram uma sociedade. Quanto deve receber cada sócio? O que esse valor representa em relação ao investimento inicial de cada sócio? Gabarito: Sócio A = R$120.00. Gabarito: x = 15 e y = 12 4.00. Considere que um produto custa 40 reais a unidade.000.00. Organizamos os dados em colunas e linhas.14. Ainda. INVERSA 15. Se percorrermos esse mesmo trecho. com velocidade média de 24 km/h.2  Procedimento Para montarmos a Regra de Três Simples. levaremos 10 horas para percorrê-lo.2  Grandezas Inversamente Proporcionais Grandezas inversamente proporcionais variam segundo razões inversas. a outra diminui na mesma razão. Quan- do aumentamos uma delas. Essas grandezas formam uma proporção em que são co- nhecidos 3 valores (por isso o nome Regra de Três) e o quarto valor é o procurado. espaço e tempo conhecidos. REGRA DE TRÊS SIMPLES Envolve duas grandezas diretamente proporcionais. o valor da outra é dividido por esse mesmo nú- mero positivo. com os conceitos de velocidade. Nas colunas. le- varemos 5 horas para percorrer. com velocidade média de 48 km/h. DIRETA REGRA DE TRÊS SIMPLES Envolve duas grandezas inversamente proporcionais. podemos seguir o roteiro: 1. 15  Regra de três simples 15. colocamos os valores de mesma grandeza. Se estamos percorrendo um trecho em uma rodovia que consiste em 240 km. 52 • capítulo 2 .1  Conceito Os problemas de regra de três simples envolvem duas grandezas direta ou inver- samente proporcionais. duas gran- dezas são inversamente proporcionais quando. multiplicando o valor de uma delas por um número positivo. obtemos: capítulo 2 • 53 . colocamos ao lado de cada co- luna flechas com o mesmo sentido (↓↓ ou ↑↑) e.2.000 m de tecido/dia. Colocando as informações de mesma grandeza nas colunas. ou seja: a c = b x 4. Se as grandezas forem inversamente proporcionais. Se as grandezas forem diretamente proporcionais. Aplicamos a propriedade fundamental da proporção e encontramos o valor da incógnita (valor procurado). Verificamos se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais. Estamos trabalhando com duas grandezas: número de operários e produção (metros/dia). 3.000 m de tecido/dia. escrevemos uma proporção tomando os elementos da mesma maneira que estão escritos nas colunas. escrevemos uma propor- ção invertendo os termos de uma só das razões: a x = b c 5. A indústria admitiu 500 no- vos funcionários e a produção passou para 15. indicare-mos com flechas no sentido contrário (↓↑ ou ↑↓). a c b x As letras indicam os valores conhecidos e x é o valor procurado. Se as grandezas forem diretamente proporcionais. se as grandezas forem inversa- mente proporcionais. Qual era o número de funcionários antes da contratação dos novos? Resolução Vamos seguir o roteiro proposto no texto: 1. EXEMPLO Exemplo 1 A produção de uma tecelagem era de 10. 3. Então. temos: 1. Exemplo 2: Um automóvel com velocidade de 90 km/h percorre certa distância em 4 horas. a indústria tinha 1. pois. Quanto tem- po este automóvel gastará para percorrer a mesma distância com velocidade de 110 km/h? Resolução Seguindo o mesmo procedimento do Exemplo 1.000 2. aumentando o número de funcionários. Aplicando a propriedade fundamental da proporção e isolando a incógnita.000 x + 500 15. as flechas são colocadas em sentido contrário: 54 • capítulo 2 . As grandezas são diretamente proporcionais.000 funcionários antes das novas contratações. 2. o tem- po para percorrer a mesma distância é menor. as flechas são colocadas no mesmo sentido. pois. Então. As grandezas são: velocidade (km/h) e tempo (horas). Número de operários Produção (metros/dia) x 10. aumentando a velocidade. A proporção obtida é: 4. Estas grandezas são inversamente proporcionais. temos: Portanto. aumenta também a produção (metros/dia). capítulo 2 • 55 . fazemos 0. Portanto. ou seja: 4. Como uma hora tem 60 minutos. Para escrevermos a proporção. temos: O automóvel levará aproximadamente 3 horas. separar a parte inteira que se refere às horas. ATENÇÃO Para convertermos um valor decimal referente em horas.27 horas correspondem a 3 horas. em primeiro lugar. Nesse caso. 16 minutos e 12 segundos para percorrer a mesma distância com velocidade de 110 km/h. devemos inverter os termos de uma das razões. devemos. então podemos escrever que 0.27 correspondem a 3 horas mais a porção referente a 0.27 × 60 minutos = 16.2 × 60 segundos = 12 segundos. Velocidade (km/h) Tempo (horas) 90 4 110 x 3.27 da hora. 3. 16 minutos e 12 segundos. Aplicando a propriedade fundamental da proporção e isolando a incógnita.27 da hora é igual a 0. se quisermos estabelecer a quantidade de segundos. minutos e segundos.2 minutos. Da mesma forma. 3. Após este procedimento. 4. o produto das razões dessas grandezas será proporcional à razão que contém a incógnita. Nessa aná- lise. separadamente. Se alguma das grandezas analisadas não for diretamente proporcional à grandeza da incógnita. 2.16  Regra de três composta 16. 56 • capítulo 2 . Se as grandezas analisadas forem proporcionais à grandeza da incógnita. Organizamos os dados em colunas e linhas. colocamos os valo- res de mesma grandeza. supomos constan-tes as demais grandezas. Verificamos. Desta forma. invertemos os valores dessa grandeza na coluna corres- pondente. Segundo TEIXEIRA E NETTO (1998. p.1  Conceito Os problemas de Regra de Três Composta envolvem mais de duas grandezas. fazemos o cálculo descrito no item 3. então o produto das razões destas grandezas também é diretamente proporcional à variação da grandeza que contém a incógnita”. ou seja: 1. se as grandezas que não contêm a incógnita são direta ou inversamente proporcionais à grandeza da incógnita. Indicamos o tipo de proporcio- nalidade por meio de flechas de mesmo sentido ou sentido contrário. 16. 3. “em problemas deste tipo devemos considerar que quando a variação de duas ou mais grandezas é diretamente proporcional à variação da grandeza que contém a incógnita.2  Procedimento O procedimento para análise de problemas de Regra de Três Composta é o mes- mo que o utilizado para resolução de Regra de Três Simples. 17). todas as grandezas passam a ser diretamente propor- cionais à grandeza da incógnita. Nas colunas. aplicando a propriedade fundamental da proporção e isolando a incógnita. Colocando os valores das grandezas nas colunas. todas as flechas têm o mesmo sentido. produzirão 1. Fazendo a multiplicação. também aumentaremos o número de pe- ças produzidas.120 peças. capítulo 2 • 57 . sete operários. Neste caso. obtemos: Portanto. Quantas peças desse mesmo tipo produzirão sete operários. trabalhando 8 dias. Vamos seguir o procedimento sugerido para a resolução de problemas deste tipo: 1. produzem 600 peças. 3. se aumentarmos o número de operários. Se aumentarmos o número de dias trabalhados. O produto das razões é proporcional à razão . pois envolve 3 grandezas. Portanto. EXEMPLO Exemplo 1 Cinco operários. Então. ou seja: 4. trabalhando durante 6 dias. concluímos que. trabalhando 8 dias? Resolução Este exemplo é um caso de regra de 3 composta. obtemos: Número de operários Número de dias Número de peças 5 6 600 7 8 x 2. aumentaremos também o número de peças produzidas. as duas grandezas também são diretamente proporcionais. essas duas grandezas são diretamente proporcionais. Analisando as grandezas que não contêm a incógnita com a grandeza “número de pe- ças” (que contém a incógnita). façam 180 metros de muro. Então.Exemplo 2 Quinze operários. são grandezas inversamente proporcionais. Então: x Serão necessários 75 dias para que 18 operários. Você pode colocá-la para cima ou para baixo. Quantos dias serão necessários para 18 operários fazerem 180 metros do mesmo muro. Analisando as grandezas que não contêm a incógnita com a grandeza “número de dias”. fazem 72 metros de muro em 32 dias. são grandezas diretamente proporcionais. essas duas grandezas são inversamente proporcionais. Se diminuirmos a quantidade de horas trabalhadas por dia. Portanto. trabalhando 8 horas por dia? Resolução 1. Número de operários Horas/dia Metros (muro) Número de dias 15 9 72 32 18 8 180 x Não importa o sentido que você escolhe para a seta da grandeza que contém a incógnita (x). 3. precisaremos de mais dias para a construção do muro. trabalhando 8 horas por dia. concluímos que. Deveremos inverter os valores das grandezas “número de operários” e “horas” nas suas respectivas colunas para que estas grandezas passem a ser diretamente proporcionais à grandeza “número de dias”. se aumentarmos o número de operários. O produto das razões é proporcional à razão 32 . 2. O importante é estabelecer o sentido correto das demais setas. 58 • capítulo 2 . diminuiremos o número de dias ne- cessários para a construção do muro. 4. trabalhando 9 horas por dia. Portanto. precisaremos de mais dias para a sua construção. tomando como base o sentido da seta dessa grandeza. Se aumentarmos o tamanho do muro. 5 Por exemplo. as operações envolvendo porcentagens também são bastante comuns.17  Porcentagem Em várias situações do dia a dia nos deparamos com cálculos percentuais: des- conto no preço de determinado produto. Nas ques- tões de matemática financeira. obtemos: capítulo 2 • 59 . Sua corretagem é de 4%. Nos exemplos que se seguem. Quanto ele ganhou? Resolução Podemos resolver este problema de duas maneiras: 1ª maneira: usando a regra de três simples: Valor (R$) Taxa de porcentagem (%) 350. intenção de voto na próxima eleição presidencial etc. Podemos substituir. a razão centesimal pode ser expressa como 5%. aumento salarial.000. Quando fazemos isso. Esta razão também pode ser expressa na forma decimal (dividindo-se o numerador pelo denominador). que tratam fundamentalmente do cálculo do dinheiro ao longo do tempo. obtemos a taxa de porcentagem. queda no nível de desemprego. o denominador 100 pelo sím- bolo % (“por cento”).00. EXEMPLO Exemplo 1 Um corretor de imóveis vendeu um apartamento por R$ 350. A porcentagem é uma razão cujo denominador é igual a 100. estudaremos métodos para a resolução de problemas envolvendo porcentagem. que é de- 100 nominada taxa de porcentagem. Esta razão tam- bém é chamada de razão centesimal. nas razões centesimais.000 100 x 4 Escrevendo a proporção. o novo preço seria 110. multiplicaríamos o preço original por 1. o cálculo seria: Ou seja. Se o seu preço fosse aumentado em 15%.50 = R$ 126.35. 35%. Portanto.50 .07.O vendedor ganhou R$ 14.85.000. quanto passaria a custar? Resolução O aumento seria 15% de 110 = 0. Portanto. num outro momento.2.15. Portanto.50. multiplicaríamos o preço original por 1.000 Exemplo 2 Uma calça é vendida por R$ 110. se tivéssemos um desconto de: 60 • capítulo 2 . o preço final fica multiplicado por 0. Ou poderíamos fazer simplesmente: Isso quer dizer que o preço final fica multiplicado por 1.000 = 14. Se.000: 4% de 350. 7%. multiplicaríamos o preço original por 1.00.00 + 16. se tivéssemos um au- mento de: 20%.00 com a venda do apartamento. e assim por diante.04 · 350.000 = = 0. 2ª maneira: podemos calcular diretamente 4% de 350.15 · 110 = R$ 16. a loja estivesse liquidando suas peças e a calça estivesse com um desconto de 15% sobre o preço original. 23143 = 23. temos: 3/100 = 0.143/100.93. 35%.00).03 = 3 % 8/100 = 0.143% capítulo 2 • 61 . Qual a taxa percentual de aumento? Resolução Este problema também pode ser resolvido de duas maneiras: 1ª maneira: devemos primeiramente encontrar o valor do aumento: 54 – 45 = 9 (valor do aumento) Agora. Logo.20%. 45/100.65. 12/100. e assim por diante. calculando.00 passou a custar R$ 54. 7%.19 = 19 % 259/100 = 2. 8/100. multiplicaríamos o preço original por 0.59 = 259 % 23.8. multiplicaríamos o preço original por 0. multiplicaríamos o preço original por 0. número decimal e porcentagem as seguintes razões: 3/100.143/100 = 0.08 = 8 % 19/100 = 0. Exemplo 3 Uma bolsa que custava R$ 45. devemos dividir 9 por 45: (taxa percentual do aumento) 2o maneira: podemos simplesmente dividir o preço novo da bolsa (R$ 54. obtendo: Exemplo 8 Coloque na forma de razão centesimal. 23.00. Solução: As razões sugeridas já se encontram em sua forma de razão centesimal.00) pelo preço antigo (R$ 45. no cálculo de lucros.143% 18  Operações com porcentagem O conceito de porcentagem é bastante utilizado nas mais diversas atividades produtivas. Solução 1: Cálculo de todos os votos válidos: votos válidos = 110. Calcule o porcentual de votos brancos ou nulos nesta eleição. prejuízos.03 3% 8/100 0.Assim. EXEMPLO Exemplo 1 Em uma eleição para prefeito de uma cidade com 300 mil eleitores.59 259% 23. empréstimos. dentre outras aplicações. Os demais votos foram brancos ou nulos.08 8% 19/100 0. no processo inflacionário. juros ou ao se fazer algum tipo de negócio. B e C receberam respectivamente 110 mil. os candidatos A. Sua aplicação tem por objetivo básico comparar grandezas e por isso seu uso ocorre com frequência no comércio.19 19% 259/100 2. ao se exprimir quanto de um trabalho já foi realizado ou já evoluiu.000 = 285. na estatística.000 Cálculo de porcentual dos votos válidos: 62 • capítulo 2 . prestações.000 + 95.23143 23.143/100 0. no mercado financeiro. 95 mil e 80 mil dos votos válidos.000 + 80. RAZÃO CENTESIMAL NÚMERO DECIMAL PORCENTAGEM 3/100 0. 000 = 15.000 Cálculo do percentual de votos brancos ou nulos: Votos Percentual (%) 300.00 – R$ 15.00 Cálculo do valor total com desconto (à vista): capítulo 2 • 63 .00 = R$ 25.000 y → y = 5% de votos brancos ou nulos Logo. respectivamente. Solução: Cálculo do valor total da compra sem desconto: valor total sem desconto=R$ 100.00 = R$ 225.000 100 15.000 + 80.00= R$ 350.000 Cálculo de votos brancos ou nulos: votos brancos ou nulos = 300.000 100 285.00 – R$ 25.00 Valor do produto B com desconto (à vista) = R$ 250. o percentual de votos brancos ou nulos na eleição é de 5%. a loja oferece descontos de 15% e de 10%.00 Valor do desconto do produto B (10%) = 10% de R$ 250.00 = R$ 15. No caso do pagamento à vista. sendo um no valor de R$100. para cada produto.00 = R$ 85.00+R$ 250.00 Valor do produto A com desconto (à vista) = R$ 100.000 – 285.000 + 95.00 (produto A) e outro no valor de R$ 250. Calcule o valor que o cliente economizará na compra à vista.00 Cálculo do valor de cada produto com desconto (à vista): Valor do desconto do produto A (15%) = 15% de R$ 100. Solução 2: Cálculo de todos os votos válidos: votos válidos = 110. o percentual de votos brancos ou nulos na eleição é de 5%. Votos Percentual (%) 300.000 x → x = 95% de votos válidos Cálculo de todos os votos brancos ou nulos: 100% . deseja adquirir dois produtos. Exemplo 2 Um cliente em uma determinada loja.00 (produto B).95% = 5% Logo.000 = 285. com velocidade média de 90 km/h.00 durante seis meses e obteve uma renda de R$ 2.Valor total com desconto = R$ 85. A empresa possui dois galpões para armazenamento deste produto. ATIVIDADE 01.00 Cálculo da economia no pagamento à vista: Valor sem desconto – valor com desconto = R$ 350. quanto obteria de renda no mesmo negócio se aplicasse R$ 5.500.00 Economia de R$ 40. todas de igual eficiência.00 – R$ 310.00.000 metros quadrados e outro de 1. se operarem 4 horas por dia. são capazes de produzir 400 peças em 4 dias.00 no pagamento à vista.00 + R$ 225.  Sabe-se que 4 máquinas de uma pequena confecção.00 por 2 metros de tecido.250 metros quadrados.  Maria aplicou R$ 1.000. Quanto ela pagaria se tivesse comprado 5 metros do mesmo tecido? 02. Se 8 máquinas iguais às primeiras operassem 8 horas por dia durante 8 dias.00 = R$ 40.00 durante 4 meses? 64 • capítulo 2 . Considerando que a renda é proporcional ao valor investido e ao tempo de investimento. qual seria o número de peças produzidas? 03.00 = R$ 310.  Um automóvel.  Uma costureira pagou R$ 70. Como cada metro quadrado armazena 100 / 5 = 20 caixas. ESTUDO DE CASO Aplicado em Logística O armazenamento de 100 caixas de um produto ocupa uma área de 5 metros quadrados de um galpão. percorre a distância entre duas cidades em 4 horas e 15 minutos. Qual velocidade média ele deverá desenvolver para fazer o mesmo trajeto em 3 horas e 30 minutos? 04. sendo um de 2.000. poderão ser armazenadas 3250 * 20 = 65000 caixas. Quantas caixas destes produtos poderão ser armazenadas nesse galpão? Solução: Neste caso a área total para armazenamento é de 3250 metros quadrados. 200 03.  Um determinado setor de serviços é taxado em impostos a 22.375.375.  R$ 125.  R$ 1.00 06.00 capítulo 2 • 65 .5% do seu faturamento.00 09.  R$ 4.00. no segundo mês.444.  R$ 2. em porcentagem.  Atualmente.05.200.  R$ 3. ela recuperou 15% do que havia perdido.44 05. Determine o valor a ser pago em impostos ao se prestar um serviço por R$ 15.00 02.00 07.00 em ações. sobre o valor do investimento inicial? 08.  O preço de venda de um bem de consumo é de R$ 150. 30% do salário de Cláudio são destinados ao pagamento do aluguel da casa onde mora que é de R$ 360.00 b) 25. a)  Com quanto ela ficou após os dois meses? b)  Qual foi seu prejuízo após os dois meses. Quanto ele pagou pelo produto? 06.00 neste setor.000.  Uma pessoa investiu R$ 3.235.29 km/h. Qual o preço de custo deste bem? 09. O comerciante tem um ga- nho de 20% sobre o preço de custo deste bem. ela perdeu 30% do total investido e.  109. 3. No primeiro mês.500.5% 08. Qual é o valor do salário de Cláudio? 07. aproximadamente 04.  R$ 175.  a) R$ 2.  Um consumidor obteve 5% de desconto na compra de um televisor de R$ 2.00.000.00. GABARITO 01. C. C. S. E. Novo Bezerra – Matemática 2º grau: volume único. 2006. São Paulo: Ática. 1998. ed. DEGENSZANJ. J. Matemática para concursos – Aritmética. R. J. D. M. Matemática Financeira. 1996. PUTNOKI.. São Paulo: Scipione. Matemática – v. 66 • capítulo 2 .. São Paulo: Makron Books. R. ed. Matemática: contexto e aplicações. A. NETTO. GENTIL. 2002. Único. 2. A. Matemática Comercial & Financeira. 4. PÉRIGO. G. São Paulo: FTD. Matemática: volume único. BONJORNO. PARENTE. DANTE. DOLCE. GRECO. R. 1996.. Matemática completa.. São Paulo: Atual. J. São Paulo: FTD. E. R. IEZZI. N. P.. ed. 2002. SANTOS.... J... São Paulo: Ática. ed. J. J. GIOVANNI. M. 4. 2007. 2. O. Rio de Janeiro: Ciência Moderna. R. L. CARIBÉ. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BEZERRA. S.. 2005. M. R. GIOVANNI JR. SANTOS. A. TEIXEIRA.. 3 Vetores . podemos calcular esforços presentes no sistema. Lisa Wilding Figura 1. Embora saibamos que as ferramentas tecnólogicas disponibilizadas no mundo atual propiciam ao o engenheiro grande facilidade e rapidez em seus projetos.1 Imagem de estrutura metálica de telhado Para tal. há que se ressaltar que sempre será o homem que introduzirá os da- dos iniciais no programa. Por mais perfeito que seja o software. © “Dome”. Por meio dele. ele sempre de- penderá do ser humano para que possa funcionar da melhor forma possível. em toda situação de análise de engenharia. O estudo de vetores é de caráter multidisciplinar nas engenharias e sua apli- cação é voltada para os cálculos. a resistência dos materiais etc. a mecânica geral.O estudo de vetores é uma das mais importantes atividades no estudo da enge- nharia. eles serão utilizados nem que seja na validação dos dados obtidos pelas ferramentas computacio- nais e. Os cálculos na engenharia nunca serão abandonados. as físicas. faz-se necessário o estudo desde o primeiro período. os vetores sempre serão fer- 68 • capítulo 3 . de modo que o aluno possa evoluir em seus conhecimentos no estudo da engenharia sem maiores dificuldades. possi- bilitando com isso antever problemas ou mesmo simular situações que envol- vam otimizações de recursos. capítulo 3 • 69 . a direção ver- tical apresenta o sentido para cima e o sentido para baixo. que apresenta ori- gem e extremidade. Ucrânia Construção de ponte através do rio 1  Definição Um vetor é uma grandeza matemática que possui módulo ou intensidade. a direção horizon- tal apresenta o sentido para a direita e o sentido para a esquerda. Uma mesma direção possui dois sentidos. Por exemplo. e o sentido é para onde ele está apontado. EXEMPLO Exemplo de aplicação de vetores © Chernova123 Dnipro em Kiev. di- reção e sentido. sua direção é a mesma da reta suporte que o contém.ramentas fundamentais na obtenção dos objetivos do projeto. Um vetor é representado geometricamente por uma seta. O módulo é o tamanho do vetor. 2  Módulo de um vetor O módulo de um vetor. que indica seu tamanho. 70 • capítulo 3 . A B Figura 1. → u A B Figura 1.1  Vetores iguais Dois vetores u e v são iguais se apresentam mesmo módulo. o ponto A é a origem e o ponto B é a extremidade. normalmente indicativas da origem e extremidade. normalmente minúscula. porém sem a seta em sua parte superior ou com a seta na parte superior e entre duas barras verticais. mesma direção e sentido. também com uma seta na sua parte superior. → → Vetor u a módulo u ou |u | → → Vetor AB a módulo AB ou |AB| 3  Tipos de vetores 3. vemos o vetor u ou AB. é representado pela mesma designação do vetor. Um vetor pode ser designado por uma letra.2 Representação geométrica de um vetor Na figura acima.3 Representação e designação de um vetor Na figura acima. com uma seta na sua parte superior ou por duas letras. mesma direção e sentidos contrários. então λ = 1 ou |λ | = 1. u v Figura 1.5 Vetores opostos 3.4 Vetores iguais 3. u v Figura 1.2  Vetores opostos Dois vetores u e v são opostos se apresentam mesmo módulo.3  Vetor unitário Um vetor é definido como unitário quando apresenta módulo igual a um. capítulo 3 • 71 . Neste caso o vetor v também é representado por u . → → Se λ é unitário. 6 Vetores colineares 3. ou em retas paralelas.5  Vetores colineares Dois vetores u e v são colineares se apresentam a mesma direção. po- dem estar sobre a mesma reta suporte. dois vetores são coplanares. α u w v Figura 1. 3.6  Vetores coplanares No R2. v v u u Figura 1. Para tal.4  Versor Um versor de um determinado vetor u não nulo é um vetor unitário de mesma direção e sentido do vetor u . ou seja.7 Vetores coplanares 72 • capítulo 3 . estão no mesmo plano porque defi- nem esse plano (desde que esses vetores não sejam colineares). tendo em vista que são montados sobre duas retas suporte e duas retas não coli­neares sempre definem um plano no R2.3. π u α w v Figura 1.9 Método do paralelogramo capítulo 3 • 73 . O vetor soma ou resultante é aquele que sai da origem comum até o encontro das paralelas. devemos completar um paralelogramo com os vetores. Não serão coplanares se a reta su- porte de um dos vetores fizer um ângulo com o plano definido pelos outros dois.8 Vetores não coplanares 4  Operações com vetores 4. traçando pela extremidade de cada vetor uma paralela ao outro vetor. no vértice oposto ao da origem. S u v Figura 1. Três vetores podem ser coplanares ou não.1  Adição de dois vetores com mesma origem Quando somamos dois vetores com mesma origem. Tal méto- do é conhecido como método do paralelogramo. cos φ Onde φ é o ângulo entre os vetores. bem como calcule seu módulo.u. S =u+v O módulo do vetor soma pode ser calculado por: S2 = u2 + v2 + 2. u e v respectivamente. determine geometricamente o vetor soma. e S. de módulos u = 2 e v = 5. a) u 60º v b) u 150º v Solução a) u S 60º v 74 • capítulo 3 . EXERCÍCIO RESOLVIDO 1) Dados os vetores abaixo. u e v são os módulos dos vetores S . – 3 = 29 – 10 3 2 4. = 39 2 S = 39 b) S u 150º v S2 = 22 +52 + 2.cos 150º = 4 + 25 + 20.10 Método do triângulo S =u+v capítulo 3 • 75 .2. v φ u S Figura 1. 1 S2 = 22 + 52 + 2.5.2  Adição de dois vetores com a extremidade de um vetor coincidindo com a origem do outro Quando somamos dois vetores com a extremidade de um vetor coincidindo com a origem do outro vetor.5. Tal método é conhecido como método do triângulo. O vetor soma ou resultante é o que sai da origem do primeiro vetor até a extremidade do segundo vetor. basta que completemos o triângulo tendo os dois vetores como dois lados do triângulo.2.cos 60º = 4 + 25 + 20. u e v são os módulos dos vetores S . b c a d S Figura 1. isto é.3  Adição de vários vetores Quando desejamos somar vários vetores. Tal método é conhecido como método do polígono. para poder somá-lo ao vetor u .4  Diferença de vetores Quando desejamos achar a diferença de dois vetores u e v . O vetor soma ou resultante é aquele que sai da origem do primeiro vetor até a extremidade do último vetor.cos φ Onde φ é o ângulo entre os vetores. o vetor –v . O módulo do vetor soma pode ser calculado por: S2 = u2 + v2 – 2. e S.v. devemos colocá-los inicialmen- te com a extremidade de um vetor coincidindo com a origem do outro vetor. D = u – v      D = u + (–v ) 76 • capítulo 3 . u e v respectivamente. formando um só vetor.11 Método do polígono: S→ é o vetor resultante 4. 4.u. devemos primeiro achar o oposto do vetor v . haverá a inversão do sentido.5  Multiplicação de um vetor por um escalar Ao multiplicarmos um vetor u por um escalar k qualquer. se o sinal for negativo.13 Múltiplos de um vetor capítulo 3 • 77 . u 2u 3u –3 u Figura 1. D u –v v Figura 1. obteremos um novo vetor com mesma direção e módulo multiplicado por esse escalar. o sen- tido permanecerá o mesmo. se o sinal for positivo.12 Diferença de vetores 4. ou seja. O sentido do novo vetor dependerá do sinal do escalar k. u φ v Figura 1. devem ser colocados dessa forma.5  Ângulo entre vetores Sejam dois vetores não nulos u e v . O ângulo φ que eles fazem entre si é o ângulo que as semirretas suporte dos vetores. caso não estejam. as semirretas que contêm os vetores. S u S=u+v v Figura 1.15b Ângulo entre vetores 78 • capítulo 3 .15a Ângulo entre vetores → → 2. fazem entre si. os vetores u e v possuem a mesma direção e sentido. u v φ=0º Figura 1. os vetores devem estar dispostos com suas origens coincidentes. os vetores u e v são ditos ortogonais.14 Ângulo entre vetores COMENTÁRIO → → 1. são chamados de colineares e são múltiplos entre si. Se o ângulo entre eles for 0º. Para verificarmos o ângulo. Se o ângulo entre eles for 90º. isto é. Neste caso. Isto é. qualquer vetor daquela direção pode ser obtido – basta multiplicar este vetor pelo módulo do vetor que se deseja obter. o vetor u é ortogonal a qualquer vetor colinear ao → vetor v . quando for conhecido um vetor unitário de uma direção. 6  Vetor unitário É o vetor de módulo um.0 S2 = u2 + v2 → → 3.cos 90º S² = u² + v² + 2. onde: S² = u² + v² É importante observar que o módulo do vetor resultante obtido acima é um caso particular da fórmula de soma de vetores.v. onde o ângulo vale 90º.15c Ângulo entre vetores → → → 4. φ = 180º → → u v Figura 1.u.u. Se o ângulo entre eles for 180º. capítulo 3 • 79 .v. o módulo do vetor resultante pode ser obtido pelo teorema de Pitágoras.Neste caso. Ele define uma direção porque qualquer vetor de uma determinada direção pode ser obtido como um múltiplo do vetor unitário da- quela direção.v. S² = u² + v² + 2. Se os vetores u e v forem ortogonais.u.cos φ S² = u² + v² + 2. os vetores u e v possuem a mesma direção e sentidos contrários. z k j y i x Figura 1. j e k . Se λ→ é unitário e se os vetores u e v têm a mesma direção de λ. então u = u . se u tem a mesma direção de λ . com módu- los u e v.16 Vetores unitários dos eixos cartesianos 80 • capítulo 3 . EXEMPLO → → → → Se u é módulo do vetor u e u = 3. unitários dos eixos x. λ 3λ Os vetores unitários das direções dos eixos cartesianos têm sua representa- ção definida por i . y e z. λ e v = v . respectivamente. respectivamente. então → → u = 3λ . λ . com λ unitário. 7 Decomposição de vetores Decompor um vetor significa obter seus componentes em outras direções.7  1. Quando as direções são os eixos cartesianos. portanto: → →→ ux = ux i → →→ uy = uy j sendo → ux = u. teremos: No R2 u uy φ ux Figura 1.17 Decomposição de um vetor no R² → → → Os vetores ux e uy são as componentes do vetor u nas direções dos eixos x e y. de tal sorte que se somarmos essas componentes obteremos o vetor principal.sen φ capítulo 3 • 81 . → → → u = ux + uy Cada componente do vetor u→ pode ser expressa através dos unitários das direções dos eixos. respectivamente.cos φ → uy = u. sen φ j No R3 z uz θ u uy y ux φ x Figura 1.cos φ i + u. portanto: ux = ux i uy = uy j uz = uz k 82 • capítulo 3 . y e z. respectivamente.18 Decomposição de um vetor no R3 Os vetores ux . uy e uz são as componentes do vetor u nas direções dos eixos x. u = ux + uy + uz Cada componente do vetor u pode ser expressa através dos unitários das direções dos eixos.logo → → → u = u. B A Figura 1. yA. então o vetor AB é: AB = B – A → AB = (xB – xA. as coor- denadas deste serão definidas pela diferença entre as coordenadas dos pontos extremidade e origem. zA) e B (xB.cos θ k 8  Representação de um vetor conhecidos seus pontos origem e extremidade Se forem conhecidos os pontos origem e extremidade de um vetor.cos θ logo u = u. yB – yA.19 Representação de um vetor por pontos Sejam os pontos A (xA.sendo ux = u. Esta forma é chamada de analítica. zB – zA) capítulo 3 • 83 .sen φ uz = u. zB). nesta ordem.sen φ j + u.cos φ i + u. yB.cos φ uy = u. 2 – 5) = (3. 5). B (–1. 0 – 1. 0 – 1. 2 – 2) = (1. 2). 3 – 5) = (3. 1. –3 – 1. –1) 84 • capítulo 3 . –3) → AC = (1 – (–2). – 2 – 1. –3. –2. 0) → c) BC = (2 – (–1). yB – yA. 0. –3) = 3i – j – 3k → → → → AC = (3. –2) = 3i – 3j – 2k → → BC = (0. Logo. 3 – 2) = (0. 1) → b) AC = (2 – 1. 2 – 3) = (3. –2. 1. –1. 1) = –2j + → k EXERCÍCIO RESOLVIDO 1) Dados os pontos A (1. 1) Os vetores representados por suas coordenadas têm esses valores como os módulos das suas componentes nas direções x. 2). 2) e C (1. –3 – 0. B (1. – 4. 3) e C (2. zB – zA) = (xB – xA) i + (yB – yA) j→ + (zB – zA) k No exemplo anterior: → → → → AB = (3. – 1. –3. esta representação também pode ser feita pelos unitários dessas direções. 3) → AB = (1 – (–2). –3. determine os vetores: → a) AB → b) AC → c) BC Solução → a) AB = (–1 – 1. –2. 0. –1. –2) → BC = (1 – 1. y e z. AB = (xB – xA. –3. EXEMPLO Sejam os pontos A (–2. 3 – 2) = (–2. –2 – 0. → 2) Dados os vetores abaixo. vem: 2u + 2v = 3v – w + u –2w + 6w = 3v + u – 2u – 2v 4w = v – u 4w = (1. 2. –1) → –2 –2 –1 –1 –1 –1 w= . –1) Desenvolvendo a expressão. 2. –1) = (–2. –2) → +→ a) 2 (u → = 3(v v ) – 2w → – 2w →) + → u → – 4( → b) 3w →) = 4(2w v – 2u → –→ → v ) + 3u Solução a) Podemos inicialmente representar o vetor → u na forma analítica u = (3. buscando isolar o vetor → w . 4 4 4 2 2 4 → – 4v b) 3w → + 8u → = 8w → – 4v → + 3u → 3→ w – 8→w = –4→ v + 3→ u + 4→v – 8→ u –5→ w = –5→ u → w=→ u → w = (3. = . 0. –1) capítulo 3 • 85 . determine o vetor w . 0. –2) – (3. –2. . 2. . → → u = 3i + 2j – → k v = (1. uz) e v (vx. vy. vy. logo. n = 1/2 10  1. vy. Então: 2=m+2 –1 = –1 4 = 3 + 2n Das igualdades acima. vz) são paralelos ou colineares se existir um escalar k tal que u = k. (ux. determinar os valores de m e n para que os vetores sejam iguais. vz) 86 • capítulo 3 . –1. 4) e → v (2 + m. vz) são iguais se. 3 + 2n).9  Igualdade de vetores Dois vetores u (ux. –1. uy.10 Paralelismo de dois vetores Dois vetores u (ux.v . suas coordenadas deverão ser iguais. uy. vê-se: m = 0 e 2n = 1. Solução Para que os vetores sejam iguais. uz) = k. uy. uz) e v (vx. e somente se: ux = vx uy = vy uz = vz EXERCÍCIO RESOLVIDO Dados os vetores → u = (2.(vx. Solução Para que os vetores sejam paralelos. com mes- mo coeficiente de proporcionalidade. determinar os valores de m e n para que os vetores sejam paralelos. kvz) EXERCÍCIO RESOLVIDO Dados os vetores → u (2. uy. É a parte escalar do vetor. suas coordenadas devem ser proporcionais. –1. 3 + 2n). kvy. Logo 2 = –1 = 4 2+m 3 3+2n Da equação acima temos: 2 –1 = → 6 = –2 – m → m = –8 2+m 3 –1 4 –15 = → 12 = – 3 – 2n → 2n = –15 → n = 3 3+2n 2 11  Módulo de um vetor O módulo ou intensidade de um vetor é o seu tamanho. 3.ou (ux. uz) = (kvx.20 Módulo de um vetor no R2 capítulo 3 • 87 . Sua determinação pode ser feita por: No R2 uy ux ux Figura 1. 4) e (2 + m. z No R3 uz u uy ux y x Figura 1. –2) = i – 2 j →| = 2 v ou |v √1 + (–2)2 = √5 → → w = (0. ­respectivamente. Portanto. vemos que o módulo do vetor u→ é a hipotenusa de um triângulo retângulo que tem como catetos. v→ e w→.21 Decomposição de um vetor no R3 88 • capítulo 3 . os módulos das suas componentes u→x e u→y. nos vetores: → → → u = (3. Na figura acima. –2) = –2k →| = 2 w ou |w √0 + (–2)2 = √4 = 2 Estes valores finais representam os tamanhos dos vetores u→. podemos aplicar o teorema de Pitágoras. Logo: u2 = ux2 + uv2 u = √ux2 + uy2 Por exemplo. para sua determinação. –3) = 3i – 3j →| = 32 + (–3)2 = 18 = 3 2 u ou |u √ √ √ → → → v = (1. –3) = 3i – j – 3k → AB ou |AB | = √32 + (–1)2 + (–3)2 = √19 → → → → AC = (3. cujas arestas são os módulos das suas componentes ux . –1. Na figura acima. 1) = – 2j + k → BC ou |BC | = √02 + (–2)2 + 12 = √5 capítulo 3 • 89 . então: u2 = ux2 + uy2 + uz2 u = √u 2 + u 2 + u 2 x y z Por exemplo: → → → → AB = (3. vemos que o módulo do vetor u é a diagonal de um parale- lepípedo.22 Módulo de um vetor no R3 Como o módulo do vetor u é a diagonal do paralelepípedo. ux e uz . z → uz → u → uy → ux y x Figura 1. –3. –2. –2) = 3 i – 3 j – 2k → AC ou |AC| = √32 + (–3)2 + (–2)2 = √22 → → → BC = (0. 0. 1 – 2. yb. –2) → AC = (–2 – (–1).23 Direção definida por dois pontos 90 • capítulo 3 . os vetores são obtidos pela diferença das coordenadas entre os pontos extremidade e origem. –2 – 0) = (3. iremos determinar os módulos: AB = √32 + (–2)2 + (–2)2 = √9 + 4 + 4 = √17 AC = √(–1)2 + (–1)2 + (–1)2 = √1 + 1 + 1= √3 BC = √(–4)2 + 12 + 12 = √16 + 1 + 1 = √18 = 3√2 12  Vetor unitário de uma direção Dados pontos determinantes de uma direção. zb) A (xa. Estes valores finais representam os tamanhos dos vetores AB. 1. –1). A importância disso é que a partir deste unitário qualquer vetor desta dire- ção poderá ser determinado. –1 – (–2)) = (–4. desde que se conheça seu módulo. za) Figura 1. 1. –2) e C (–2. ya. determinada por pontos A e B: B (xb. 2. → AB = (2 – (–1). AC e BC. –2. 1) Agora que determinamos os vetores. B (2. 0). 1 – 0. EXERCÍCIO RESOLVIDO Dados os pontos A (–1. determinar os módulos dos vetores → → → AB. respectivamente. Seja a direção mostrada na figura abaixo. –1) → BC = (–2 – 2. Solução Dados os pontos. –1. 0 – 2. podemos estabelecer o unitário dela. AC e BC . –1 – 0) = (–1. podemos deter- → minar o vetor AB. yB – yA. –1. o vetor AB é exatamente o pro- duto do seu módulo pelo vetor unitário.λ → AB→ (xb – xa. 3). zb – za) λ = = AB √(xb – xa)2 + (yb – ya)2 + (zb – za)2 EXEMPLO Sejam os pontos A (–2. B (1. como o vetor unitário tem módulo um. AC e BC. – 3) = 3i –j –3k capítulo 3 • 91 .24 Direção e seu unitário → O vetor AB é um múltiplo do vetor unitário λ . 5). já que eles possuem a mesma → direção e. 1. yb – ya. determinar os vetores unitários das → → → direções dos vetores AB . → →→ → AB = (3. Assim: → → AB = AB. zB – zA) Seja λ o vetor unitário desta direção: B (xb. zb) A (xa. 2) e C (1. yb. 0. –2. → AB = (xB – xA. za) → λ Figura 1. ya. Desde que conhecemos as coordenadas dos pontos A e B. –1 . –1. 1) = –2j + k → AB ou |AB| = √32 + (–1)2 + (–3)2 = √19 → AC ou |AC| = √32 + (–3)2 + (–2)2 = √22 → BC ou |BC| = √02 + (–2)2 + 12 = √5 Portanto. → (3. AC e BC . 1) 0 –2 –1 –2 → –1 → λ bc = = . = j + k √5 √5 √5 √5 √5 √5 EXERCÍCIO RESOLVIDO Dados os pontos A (2. –3 . 3 –3 3 → –1 → –3 → . 2. –1. –3. 1). 0) → AC = (0 – 2. 0 – 1. 0 – (–2). 0 – 0) = (–3. –2. –2. 1 – 0) = (–2. 0). . –2 3 → –3 → –2 → λ ac = = = i + j + k √22 √22 √22 √22 √22 √22 √22 → (0. –3) λ ab = = = i + j + k √ 19 √19 √19 √19 √19 √19 √19 → (3. B (–1. 1 – 0) = (1. –2. 1) → BC = (0 – (–1). determinar os vetores unitários das → → → direções dos vetores AB.→ → → → AC = (3. 0. Solução → → → Primeiro precisamos determinar os vetores AB. 1 – (–2). 0) e C (0. 1) 92 • capítulo 3 . –2) 3 . → AB = (–1 –2. –2) = 3i –3j –2k → → → BC = (0. 3. AC e BC . –3. 1. temos sua direção e precisamos determinar o vetor força que apresenta aquele módulo. AC e BC .0 = i + j 3√2 3√2 3√2 √ √ 2 2 √2 √2 → (–2. capítulo 3 • 93 . definimos o módulo de uma força. 0) –3 3 –1 1 –1 → 1 → λ ab = = . 3. em um determinado sistema em equilíbrio. Por exemplo.0 = . Se temos o unitário e conhecemos o módulo do vetor u . Logo podemos definir o unitário daquela dire- ção. temos o módulo de um vetor e sua direção. . = i + j + k √3 √3 √3 √3 3 √3 √3 13  Obtenção de um vetor dados o módulo e a direção Em determinadas situações. seja para calcular o momento desta força em relação a um ponto ou eixo etc. através de um dinamômetro. 1) 1 –1 1 1 → –1→ 1 → λ bc = = . –1. na engenharia. determinaremos seus módulos. 2. 1) –2→ 2 → 1 → λ ac = = –2 . 2 . 1 = i + j + k 3 3 3 3 3 3 3 → (1. . podemos determi- nar um vetor daquela direção. Quando temos o módulo de um vetor u e a sua direção. basta multiplicar- mos o módulo do vetor pelo unitário daquela direção.Feito isto. . seja para levantar outras forças atuantes em outras partes do sistema. → (–3. → AB ou |AB| = √(–3)2 + 32 + 02 = √18 = 3√2 → AC ou |AC| = √(–2)2 + 22 + 12 = √9 = 3 → BC ou |BC| = √12 + (–1)2 + 12 = √3 → → → Agora podemos determinar os vetores unitários das direções dos vetores AB. 25 Direção de um vetor dado seu unitário Seja a figura anterior. Logo: → AB = (xB – xA. ya. za) → λ Figura 1. zb – za) → AB λ = = AB √(xb – xa)2 + (yb – ya)2 + (zb – za)2 → O vetor u será obtido pelo produto do seu módulo u pelo unitário λ . Primeiramente. yb – ya. devemos determinar o unitário desta direção. devemos definir um vetor → desta direção. na qual conhecemos os pontos A e B por onde passa uma determinada direção. yB – yA. zB – zA) → Em seguida. yb. B (xb. zb) → u A (xa. seja um vetor u qual conhecemos apenas seu mó- dulo e desejamos descobrir o vetor. λ 94 • capítulo 3 . isto é. → → u = u. o vetor AB . Portanto: → (xb – xa. o vetor λ . = . 1) → AB ou |AB| = √22 + (–2)2 + (–2)2 = √12 = 2√3 → AC ou |AC | = √22 + (–1)2 + (–1)2 = √6 → BC ou |BC | = √02 + (–1)2 + 12 = √2 → (2. 3). = i + j + k √3 √3 √3 √3 √3 √3 √3 √3 √3 → → 2 –1 –1 60 –30 –30 60 → –30 → –30 → v = v. . . 1. que se encontram nas direções dos vetores AB. Determinar os vetores → u. –2) → AC = (1 – (–1). = i + j + k √6 √6 √6 √6 √6 √6 √6 → (0. AC e BC . .→ v e→w . . –2. = j + k √2 √2 √2 √2 √2 → → 1 –1 –1 20 –20 –20 20 → –20 → –20 → u = u. 0. 1) e C (1. 1) 1 1 1→ 1 → λ bc = = 0. 1. = i + j + k √6 √6 √6 √6 √6 √6 √6 √6 √6 capítulo 3 • 95 . . . v = 30 e w = 50. .λ ab = 20. 1 – 3) = (2. –1 – 1. –1. = i + j + k 2√3 2√3 2√3 2√3 ( 3 ) √ √3 √3 √3 √3 √3 → (2. –1) → BC = (1 – 1. → AB = 1 – (–1). –1. B (1. 2 – 1) = (0. 0 – 1. 1. = . EXEMPLO Sejam os pontos A (–1. –2) 2 –2 –2 1 –1 –1 1 → –1 → –1 → λ ab = = . . = . respectiva- mente. .λ ac = 30. –2. Sejam u = 20. 2 – 3) = (2. 2).→v e→ w. . 0 – (–1). –1. módulos → → → dos vetores → u. –1) 2 –1 –1 2 → –1 → –1 → λ ac = = . 2. 2) e → v = (0. 3). 2. determinar o vetor → w . 2. 2) e P (–1. N (0. tal que → → + yv w = xu →. –2). 2. 3. 3). 1. determinar os unitários das direções ⟶ ⟶ ⟶ dos vetores MN. 1. 2) e → w = (–1. MP e NP. 3). –1. tal que: → → → → → a) 2(u + 3 v ) + 2w = u – 2( v + 3 w )→ → + 5(→ b) 2w v –→ → + 2v u ) = 2u → 2) Dados os pontos M (1. 4). ATIVIDADE 1) Dados os vetores → u = (1. 2. 1). → v = (–1. 2. 7) Dados os pontos M (–1. tal que → → PQ= 2MN . 6) Determinar os valores de x e y. x. 96 • capítulo 3 . –2. 5) Determinar x e y de modo que os vetores → u = (2. –5. 1). 4) Determinar o valor de x de modo que sejam colineares os pontos M (–1. 3. N (1. 0) e P (2. 2. –2) e P (–1. 3. 5). N (0. determinar o ponto Q. 3) Verificar se os pontos M (1. N (1. 2. 2) e P (x. sendo → u = (1. y) sejam paralelos. 1. 3). 1) são colineares. –2) e → v = (8. –1. 0). 4 Matrizes . 98 • capítulo 4 . c. foram respectivamente iguais a 110. fevereiro e março) as unidades vendidas de um certo produto Pa foram respectivamente iguais a 100. d são números reais. como veremos mais adiante. 120 e 130. • Ser capaz de associar matrizes aos diversos campos do conhecimento. estas transformações lineares podem ser concebidas como aplicações que levam o ponto (x. b. 80 e 40. • Reconhecer os diferentes tipos de matrizes. OBJETIVOS O leitor deverá ser capaz de: • Representar situações do cotidiano por meio de matrizes. y) no ponto (x’. enquanto as de um outro produto Pb. bem como extrair informações relevan- tes de uma determinada matriz que traduz uma situação-problema. y’). CURIOSIDADE Você sabia? A álgebra das matrizes foi descoberta pelo matemático inglês Arthur Cayley (1821-1895) em 1857. em conexão com  as transformações lineares do tipo x’ = ax + by y’ = cx + dy onde a. • Efetuar as diversas operações com matrizes e reconhecer as suas principais pro- priedades. Consideremos a seguinte situação: Nos três primeiros meses do ano (janeiro. vejamos: janeiro fevereiro março 100 120 130 110 80 40 A vantagem de escrevermos dessa forma é que as informações são assimila- das mais rapidamente e atingimos nossos objetivos de uma maneira mais fácil. Essa forma de formatar esse conjunto de números podemos chamar de matrizes. Utilizaremos as letras maiúsculas do nosso alfabeto para repre- sentar as matrizes. Podemos estabelecer um quadro com esses dados. 1  Definição de matrizes Denominamos de matriz real do tipo m x n (leia: m por n) um con- junto de mxn números reais dispostos em m linhas e n colunas. enquanto as vendas do produto Pb estão diminuindo. facilitando o entendimento dessas informações. capítulo 4 • 99 . Uma outra possível disposição seria: Pa Pb 100 110 120 80 130 40 Nas duas representações fica evidente que as vendas do produto Pa estão aumentando. Podemos transmitir essas informações de uma outra maneira. cada elemento é indicado por aij. tipo: 2 x 3 110 80 40 2 3 2) B = .1  Representação Em uma matriz qualquer A. tipo: 1 x 3 Podemos substituir os colchetes pelos parênteses. O (B) = 3 0 √3 √5 2. Assim. O (A) = 2 3 9 1 2 4 2) B = 3 2 1 . O índice i indica a linha e o índice j a coluna às quais o elemento pertence. tipo: 2 x 3 3 4 5 2  Matriz quadrada Quando a matriz apresentar número de linhas igual ao número de colunas dire- mos que a matriz é quadrada. Nesse caso. temos: 1 3 5 A= . EXEMPLO 1 3 1) A = . tipo: 2 x 2 4 5 3) C = [2  4  6]. EXEMPLO 100 120 130 1) A = . Podemos tomar como 100 • capítulo 4 . chamaremos de ordem o número de linhas (ou número de colunas) da matriz. a11 = 3. b11 = 2. temos: 1 0 Elementos que formam a diagonal principal: a11 = 3 e a22 = 0 (i = j). Assim teremos: a11 = 1. a12 = 2. Elementos que formam a diagonal secundária: a12 = 2 e a21 = 1 (i + j = n + 1). b21= 3. A = 3 2 . onde n é a ordem da matriz (i + j = n + 1). b22 = 4 e b23 = 2 3 5 2 Diagonal principal – É formada pelos elementos da matriz quadrada onde o índice da linha é igual ao índice da coluna (i = j). EXEMPLO 3 2 Considerando a matriz A = . Solução Cada elemento da matriz dada é o resto da divisão do produto do índice i que indica a linha pelo índice j que indica a coluna. por 3. b13 = 4. a21 = 4 e a22 = 0 4 0 B = 2 1 4 .base os exemplos abaixo. b12 = 1. a12 = 2 e a13 = 0 a21 = 2. cada elemento da matriz representa o número de passes capítulo 4 • 101 . a22 = 1 e a23 = 0 1 2 0 A= 2 1 0 2) Na matriz A = (aij)3 x 3. EXERCÍCIO RESOLVIDO 1) Construa uma matriz A = (aij) 2 x 3 definida por aij = resto da divisão do produto ij por 3. Diagonal secundária – É formada pelos elementos da matriz quadrada onde o índice da linha adicionado ao índice da coluna é igual a n adicionado a 1. Com base na matriz A = 2x 0 20 e sabendo que esses aeroportos foram designados pelos números 1. durante uma partida de futebol realizada pelo campeonato estadual. com um número de pas- ses igual a 7. os jogadores escolhidos para serem avaliados foram representados pelos números 1. ambos do mesmo time. 2 e y 7 x0 e y sabendo que o triplo do número de decolagens do aeroporto 1 é igual ao 3. b) O jogador que mais recebeu passes foi o de número 3. significa 0 3 2 que o jogador 2 realizou 5 passes para o jogador 3. teremos: Passes realizados pelo jogador 1: 5 Passes realizados pelo jogador 2: 9 Passes realizados pelo jogador 3: 5 Passes recebidos pelo jogador 1: 6 Passes recebidos pelo jogador 2: 6 Passes recebidos pelo jogador 3: 7 Mediante o que foi exposto acima é fácil concluir que: a) O jogador que mais realizou passes foi o de número 2.que o jogador i fez ao jogador j. Sabe-se que uma aero- 0 nunca nave x aterrissa 5 no mesmo aeroporto do qual tenha decolado. determine número de decolagens do aeroporto 2 e que o número de decolagens e aterrissagens no aeroporto 3 é o mesmo. assim sendo. 3) Na matriz A = (aij)3 x 3. Considerando a matriz A = 4 0 5 pergunta-se: 2 3 0 a) Qual o jogador que realizou o maior número de passes? b) Qual o jogador que recebeu o maior número de passes? Solução Devemos notar que os passes dados serão obtidos pela soma dos elementos que formam cada uma das linhas da matriz. o elemento da matriz a23 = 5. Logo. por exemplo. enquanto os passes recebidos serão conta- bilizados nas colunas. cada elemento aij da matriz significa o número de vezes que uma aero-nave decolou do aeroporto i tendo aterrissado no aeroporto j. com um número de passes igual a 9. 2 e 3. Solução Tendo a matriz A como referência e prestando atenção nas informações dadas no 102 • capítulo 4 . Nessa matriz. enquanto as colunas nos fornecem o número de pousos) y + 7 + 0 = 5 + 20 + 0 Resolvendo o sistema de equações. encontramos x = 5 e y = 18 4) (UFRJ) Uma confecção vai fabricar três tipos de roupas utilizando materiais dife- rentes. ou seja. o elemento a23?”. Logo teremos: 5 x (5) + 4 x (0) + 2 x (4) = 33 CURIOSIDADE Uma estranha relação entre números naturais e consecutivos: 33 + 43 + 53 = 63 27 + 64 + 125 = 216 216 = 216 (verdadeira) Outra relação muito interessante: capítulo 4 • 103 . Solução a) A pergunta feita no item a é equivalente a: “Qual é o elemento que se situa na segunda linha com a terceira coluna. Basta que observemos o fato de que a pergunta é referente ao material 1. pois o mesmo representa o tipo da roupa. a resposta é imediata: 3. b) A pergunta do item b é equivalente a: “Qual é o valor de: 5a11 + 4a21 + 2a31?”.problema. em que aij representa quantas unidades do material j serão empregadas para fabricar uma roupa do tipo i: 5 0 2 A = 0 1 3 4 2 1 a) Quantas unidades do material 3 serão empregadas na confecção de uma roupa do tipo 2? b) Calcule o total de unidades do material 1 que será empregado para fabricar cinco roupas do tipo 1. Portanto. quatro roupas do tipo 2 e duas roupas do tipo 3. O que varia. Considere a matriz A= (aij) a seguir. é o número da linha. podemos escrever as seguintes equações: 3(0 + x + 5) = 2x + 20 (as linhas nos indicam o número de decolagens. na verdade. o que nos remete para a primeira coluna. 102 + 112 + 122 = 132 + 142 Devemos observar que os dois membros da igualdade apresentam soma 365. Na matriz abaixo. 2 e 3. c) Quem mais recebeu e-mails foi 2. b) Duas pessoas enviaram o mesmo número de e-mails. 104 • capítulo 4 . aij representa o número de pessoas que saiu do ônibus i e subiu no ônibus j após a parada. Todos prosseguiram a viagem. 30 5 7 2 25 8 3 6 20 Então. e) O ônibus 3 ganhou 6 passageiros. se comunicam invariavelmente por e-mail. todos os alunos saíram dos ônibus. 2) Três pessoas. b) Um dos ônibus permaneceu com o mesmo número de passageiros. que chamaremos de 1. d) Quem mais recebeu e-mails foi 3. podemos concluir que: a) Participaram da excursão 75 alunos. d) O ônibus 2 ganhou 4 passageiros. c) O ônibus 1 perdeu 6 passageiros. Em uma parada. e) Duas pessoas receberam o mesmo número de e-mails. 0 14 18 16 0 22 12 24 0 Podemos concluir que: a) Quem mais enviou e-mails foi 1. que corresponde ao número de dias de um ano. ATIVIDADE 1) (FGV) Três ônibus levaram alunos de uma escola para uma excursão. Na matriz abaixo. mas não necessariamente no ônibus de onde tinham saído. cada elemento aij significa o número de e-mails que i en- viou para j no mês passado. 3) (FGV) A organização econômica Merco é formada pelos países 1, 2 e 3. O vo- lume anual de negócios realizados entre os três parceiros é representado em uma matriz A, com 3 linhas e 3 colunas, na qual o elemento da linha i e coluna j informa quanto o país i exportou para o país j, em bilhões de dólares. 0 1,2 3,1 Se A = , então o país que mais exportou e o que mais importou no 2,1 0 2,5 0,9 3,2 0 Merco foi, respectivamente: a) 1 e 2   b) 2 e 2   c) 2 e 3   d) 3 e 1   e) 3 e 2 4) (UNESP) Considere três lojas, L1, L2 e L3, e três tipos de produtos, P1, P2 e P3. A matriz a seguir descreve a quantidade de cada produto vendido por cada loja na primeira semana de dezembro. Cada elemento aij da matriz indica a quantidade do produto Pi vendido pela loja Lj, i, j = 1,2,3. L1 L2 L3 P1 30 19 20 P2 15 10 8 P3 12 16 11   Analisando a matriz, podemos afirmar que: a) A quantidade de produtos do tipo P2 vendidos pela loja L2 é 11. b) A quantidade de produtos do tipo P1 vendidos pela loja L3 é 30. c) A soma das quantidades de produtos do tipo P3 vendidos pelas três lojas é 40. d) A soma das quantidades de produtos do tipo Pi vendidos pelas lojas Li, i = 1, 2, 3, é 52. e) A soma das quantidades dos produtos dos tipos P1 e P2 vendidos pela loja L1 é 45. CURIOSIDADE Uma maneira rápida e eficiente de efetuar a multiplicação pelo número 11: 1) Números de 1 algarismo – Basta escrever esse número duas vezes, uma ao lado da outra. capítulo 4 • 105 Exemplos: a) 2 x 11 = 22 b) 5 x 11 = 55 c) 9 x 11 = 99 2) Números de 2 algarismos – É suficiente escrever cada um dos dois algarismos nas extremidades, deixando um espaço entre eles, que deverá ser ocupado pela soma dos mesmos. Exemplos: a) 23 x 11 = 2 (2+3) 3 = 253 b) 34 x 11 = 3 (3+4) 4 = 374 c) 45 x 11 = 4 (4+5) 5 = 495 d) 89 x 11 = 8 (8+9) 9 = 8 (17)9 = (8+1)7 9 = 979 3  Tipos de matrizes Matriz nula – é a matriz onde todos os seus elementos são iguais a zero. EXEMPLO 0 0 0 0 0 A = 0 0 ; B = 0 0 0 Matriz linha – é aquela que apresenta uma única linha. EXEMPLO A = (1 –2 4); tipo: 1 x 3 B = [3 4]; tipo: 1 x 2 COMENTÁRIO Podemos chamar essa matriz de vetor linha. 106 • capítulo 4 Matriz coluna – é aquela que apresenta uma única coluna. EXEMPLO 1 3 A = ; tipo: 2 x 1   B = 0 ; tipo: 3 x 1 1 0 COMENTÁRIO Podemos chamar essa matriz de vetor coluna. Matriz diagonal – é aquela matriz quadrada onde os elementos que não perten- cem à diagonal principal são iguais a zero. EXEMPLO 3 0 A= 0 5 1 0 0 B = 0 5 0 0 0 4 Matriz unidade (matriz identidade) – é toda matriz diagonal onde os elemen- tos que formam a diagonal principal são todos iguais a unidade. EXEMPLO 1 0 I2 = 0 1 1 0 0 I3 = 0 1 0 0 0 1 capítulo 4 • 107 4  Operações com matrizes Vamos iniciar o estudo das operações com matrizes. Da mesma forma que efe- tuamos operações com os números, é possível fazer o mesmo com as matrizes, desde que, para isso, obedeçamos algumas condições. 4.1  Adição de matrizes Chamamos de soma das matrizes A e B do mesmo tipo m x n, a matriz do tipo m x n, cujos elementos são obtidos a partir da soma dos elementos corresponden- tes de A e B. Devemos atentar para o fato de as matrizes A e B serem do mesmo tipo pois, se forem de tipos diferentes, a operação não será definida. EXEMPLO 1 2 4 3 1 2 4 3 6 A= eB= , temos: A + B = 3 4 2 4 3 0 7 7 2 ATENÇÃO Note que cada elemento da matriz soma é a soma dos elementos correspondentes nas matrizes A e B. 4.2  Propriedades da adição de matrizes Sejam A, B, C e O matrizes do mesmo tipo, temos: 1 A + B = B + A (comutatividade) 2 A + (B + C) = (A + B) + C (associatividade) 108 • capítulo 4 3 A + O = O + A = A (elemento neutro) 4 A + (–A) = (–A) + A = O (elemento oposto) COMENTÁRIO A matriz O é a matriz nula já definida anteriormente. 4.3  Subtração de matrizes Desde que as matrizes A e B sejam do mesmo tipo, podemos definir a diferença A – B = A + (–B), ou seja, a matriz A adicionada com a matriz oposta da matriz B (–B), lembrando que –B é obtida a partir da troca do sinal de cada um dos ele- mentos da matriz B. EXEMPLO 1 3 –2 3 A= ,B= 5 2 5 –1 1 3 2 –3 3 0 A – B = A + (–B ) = + = 5 2 –5 1 0 3 4.4  Multiplicação de um número real por uma matriz Quando multiplicamos um número real K por uma matriz A do tipo m x n, en- contramos para resultado uma matriz do tipo m x n, que representaremos por KA, obtida multiplicando K por cada elemento da matriz A. EXEMPLO 2 1 0 A= ;K=3 –1 3 4 capítulo 4 • 109 6 3 0 3A= –3 9 12 4.5  Propriedades da multiplicação de um número real por uma matriz Sendo A e B matrizes do mesmo tipo e a e b números reais quaisquer, temos: 1 a (bA) = (ab) A 2 a (A + B) = aA + aB 3 (a + b) A = aA + bA 4 1.A = A 4.6  Multiplicação de matrizes Só podemos multiplicar duas matrizes quando o número de colunas da primei- ra matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz. A matriz produto terá o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz. A matriz produto será obtida multiplicando cada linha da primeira ma- triz por todas as colunas da segunda matriz, conforme exemplos abaixo: EXEMPLO 2 4 1 2 2 1) A = e B = 1 3 3 1 4 C = AB 2 1 C11 = 1 x 2 + 2 x 1 + 2 x 2 = 8 C12 = 1 x 4 + 2 x 3 + 2 x 1 = 12 C21 = 3 x 2 + 1 x 1 + 4 x 2 = 15 C22 = 3 x 4 + 1 x 3 + 4 x 1 = 19 8 12 C= 15 19 110 • capítulo 4 1 2 3 1 2) A = eB= 2 3 1 3 C = AB C11 = 1 x 3 + 2 x 1 = 5 C12 = 1 x 1 + 2 x 3 = 7 C21 = 2 x 3 + 3 x 1 = 9 C22 = 2 x 1 + 3 x 3 = 11 5 7 C= 9 11 4.7  Propriedades da multiplicação de matrizes Sejam A, B e C matrizes e K um número real. Admitindo as operações indicadas abaixo possíveis, temos: 1 A.(B.C) = (A.B).C 2 A.(B + C) = A.B + A.C 3 (A + B).C = A.C + B.C 4 Amxn.In = Amxn 5 Im.Amxn = Amxn 6 (KA)B = A(KB) =K(AB) 4.8  Matriz transposta Denominamos de matriz transposta de A, representada por At, a matriz obtida quando trocamos as linhas de A por suas colunas ordenadamente. Portanto, se a matriz A é do tipo m x n, então a sua transposta At será do tipo n x m. 1 3 2 1 0 A= At = 3 2 0 2 5 2 5 capítulo 4 • 111 At = 3 4 3 4 At = A ↔ A é simétrica 2  1  4 2  1  4 2) B = 1  0  5 . B = 1  0  5 t 4  5  3 4  5  3 Bt = B ↔ B é simétrica 112 • capítulo 4 . a transposta da matriz transposta da A volta a ser a matriz A. 4.10  Matriz simétrica Denominamos de matriz simétrica de uma matriz quadrada A a matriz com a mesma ordem de A.9  Propriedades da matriz transposta 1 (A + B)t = At + Bt 2 (KA)t = K. Assim. Nós devemos observar que a primeira linha da matriz A se transformou na primeira coluna da matriz transposta e que a segunda linha da matriz A se transformou na segunda coluna da matriz transposta.At 3 (At)t = A 4 (AB)t = BtAt 4. tal que: At = A EXEMPLO 1 3 1 3 1) A = . as operações com matrizes aparecem com grande frequência.4.11  Matriz antissimétrica Uma matriz quadrada A é dita antissimétrica quando a sua transposta for igual a matriz oposta da própria matriz A.B= 2 1 2 . logo: C23 = 3 x 2 + 1 x 2 + 4 x 1 = 6 + 2+ 4 = 12 Resposta: d) capítulo 4 • 113 . At = –2 0 –2 0 At = –A ↔ A é antissimétrica EXERCÍCIO RESOLVIDO 5) (CESGRANRIO) Na área de informática. Devemos lembrar que o elemento pedido é formado pela multiplicação da segunda linha da matriz A pela terceira coluna da matriz B. fazendo levantamento dos dados de uma pesquisa. ou seja: At = –A EXEMPLO 0 2 0 2 A= . C = AB 3 1 4 1 1 1 O elemento C23 da matriz C é igual a: a) 18   b) 15   c) 14   d) 12   e) 9 Solução Devemos observar que para responder a questão não é necessário efetuar o pro- duto das matrizes A e B. Um programador. utilizou as matrizes: 1 3 2 5 2 1 A= . Esse número de elementos é o mesmo da matriz (BA)2. b) Se e somente se uma delas for a matriz da identidade.6) (VUNESP) Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem. do tipo 7 x 5. pois as matrizes são todas de tipos diferentes. d) A matriz BA tem 25 elementos.(A + B) = A. pois o produto de matrizes é associativo. e) A matriz (BA)2 tem 49 elementos. e) Se e somente se A = B.A + A. Solução Devemos lembrar que: (A + B)2 = (A + B). Assinale a alternativa correta. 114 • capítulo 4 . B = e C = [2  1  3].A + B. tendo 49 elementos. Observe que a matriz BA é do tipo 7 x 7. c) A matriz AB admite inversa.A + B2 Sabemos que o produto de matrizes não é comutativo e.B + B. Claro que se estivermos tratando de nú- meros reais a afirmação será sempre verdadeira. pois é uma expansão binomial. Em que condição pode-se afirmar que (A + B) 2 = A2 + 2 A B + B2? a) Sempre.B + B. pois não existe o produto de B por C. 3 0 –1 A adição da transposta de A com o produto de B por C é: a) Impossível de se efetuar.B = A2 + A. Resposta: e) 3 5 4 8) (UNIRIO) Considere as matrizes A = 2 1 . portanto. Resposta: d) 7) (FGV) A matriz A é do tipo 5 x 7 e a matriz B. para a igualdade ser verdadeira é necessário que AB = BA. d) Quando o produto AB for comutativo com BA. c) Sempre. b) A matriz (AB)2 tem 625 elementos. Solução A matriz AB será do tipo 5 x 5 e portanto terá 25 elementos e (AB)2 também terá 25 elementos. a) A matriz AB tem 49 elementos. b) Impossível de se efetuar. a) Quem bebeu mais chope no fim de semana? b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio? Solução a) Somando as duas matrizes encontraremos quantos chopes cada um dos três pagou para o outro no fim de semana. d) Possível de se efetuar e o seu resultado é do tipo 2 x 3. tanto no sábado quanto no domingo. logo a soma será do tipo 2 x 3. As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um consumiu e como a des- pesa foi dividida: 4 1 4 5 5 3 S = 0 2 0 e D = 0 3 0 3 1 5 2 1 3 S refere-se às despesas de sábado e D às de domingo. Bernardo e Cláudio saíram para tomar chope. Cada elemento aij nos dá o número de chopes que i pagou para j. 1 chope de Ber- nardo e 4 de Cláudio (primeira linha da matriz S). de bar em bar. 9 6 9 S + D = 0 5 0 5 2 3 capítulo 4 • 115 . no sábado Antônio pagou 4 chopes que ele próprio bebeu. Solução Podemos observar que a matriz transposta de A é do tipo 2 x 3 e que a matriz pro- duto de B por C também é do tipo 2 x 3. Resposta: d) 9) (UFRJ) Antônio. e) Possível de se efetuar e o seu resultado é do tipo 3 x 2. Bernardo o número 2 e Cláudio o número 3 (aij representa o elemento da linha i e coluna j de cada matriz). Assim.c) Impossível de se efetuar. sendo Antônio o número 1. pois não existe a soma da transposta de A com o pro- duto de B por C. c) Determinante nulo. Assim. logo: c d b d a b a c = o que implica que b = c. quem bebeu mais foi Antônio. C23 é igual a: a) –4  b) –6  c) –8  d) –10  e) –12 Solução Sabemos que o elemento pedido é formado utilizando a segunda linha da matriz A com a terceira coluna da matriz B. Sabemos que At = . que é igual à sua transposta. tal que: aij = i – 2j B3x4. Solução a b a c Seja A = a matriz procurada. b) Antônio paga para Cláudio 9 chopes (a13 = 9) e Cláudio paga para Antônio 4 chopes (a31 = 5). c d b d Resposta: a) 11) (IBMEC) Considere as matrizes: A3 x 3. e) Todos os elementos iguais a zero. 10) (UFF) Toda matriz de ordem 2 x 2.B. possui: a) Pelo menos dois elementos iguais b) Os elementos da diagonal principal iguais a zero. portanto formaremos esses elementos: a21 = 2 – 2 x 1 = 0 a22 = 2 – 2 x 2 = –2 116 • capítulo 4 . tal que: bij = 3i -2j Se C = A. Cláudio fica devendo para Antônio 4 chopes.A soma dos elementos de cada coluna nos informa quanto cada um dos três bebeu no final de semana. 14 chopes. então. d) Linhas proporcionais. ou seja: Antônio – 14 chopes Bernardo – 13 chopes Cláudio – 12 chopes Portanto. . então –1 3 0 x + y + z é igual a: a) 3  b) 1  c) 0  d) –1  e) –3 6) (ITA) Seja A uma matriz real 2 x 2.. + A39 + A40 é igual à matriz: capítulo 4 • 117 . No 0 1 caso de A ser a matriz .A . define-se An = A. se a matriz A = 2 0 –3 é uma matriz antissimétrica.. b ∈ R são tais que V + bW é igual à matriz nula 2 x 1. 1 x 2. r M = [2p. ao custo unitá- rio de r e s reais. 2 x 1. Suponha que α e β sejam dois núme- ros distintos e V e W duas matrizes reais 2 x 1 não nulas. é correto afirmar que a soma A + A2 + A3 + 1 0 + A4 + . respectivamente. então a + b vale: a) 0  b) 1  c) –1  d) ½  e) –½ 7) (UNIFESP) Uma indústria farmacêutica produz diariamente p unida- des do medicamento X e q unidades do medicamento Y.q] e N = .A. Se a. A matriz produto M x N representa o custo da produção de: 2s a) 1 dia   b) 2 dias   c) 3 dias   d) 4 dias   e) 5 dias 8) (FATEC-SP) Sendo A uma matriz quadrada. Considere as matrizes M. A.a23 = 2 – 2 x 3 = –4 b13 = 3 x 1 – 2 x 3 = –3 b23 = 3 x 2 – 2 x 3 = 0 b33 = 3 x 3 – 2 x 3 = 3 c23 = 0 x (–4) + (–2) x 0 + (–4) x 3 = –12 Resposta: e) ATIVIDADE 5) (UEL-PR) Uma matriz quadrada A se diz antissimétrica se At = –A. Nessa x y z condições.. e N. tais que AV = αV e AW = βW. B = B. 3 –1 = =I 3 4 0 1 2 2 2 –2 1 1 2 1 0 B. 118 • capítulo 4 . 20 20 40 40 0 20 a) c) e) 2 0 20 40 40 20 0 20 0 0 40 b) d) 0 20 40 0 4.A = I2.B = B.A = In é única.A-1 = A-1. 2) Toda matriz identidade de ordem n tem como inversa ela mesma. = =I 3 4 0 1 2 2 2 A. COMENTÁRIO 1) Se uma matriz quadrada de ordem n é inversível (ou seja.A = I2 . se A. então a matriz A-1 tal que A.A–1 = A–1.B = .12  Matriz inversa Uma matriz quadrada A de ordem n possui matriz inversa A-1. onde A-1 é a matriz inversa de A e In é uma matriz identidade de ordem n.A = 3 –1 . EXEMPLO –2 1 1 2 A= e B = 3 –1 são matrizes inversas. vejamos: 3 4 2 2 –2 1 1 2 1 0 A. pois A. logo A e B são inversas. possui inversa).A = In. 2) d) Quem mais recebeu e-mails foi 3. Devemos lembrar que o quadrado de um número é o resultado da multiplicação desse nú- mero por ele mesmo.4 Tipos de matrizes 5) d) –1 6) a) 0 7) b) 2 dias 20 20 8) a) 20 20 capítulo 4 • 119 . CURIOSIDADE Determinando quadrados de números terminados pelo algarismo 5.2 Matriz quadrada 1) e) O ônibus 3 ganhou 6 passageiros. Exemplos: a) 15 x 15 = (1 x 2) 25 = 225 b) 25 x 25 = (2 x 3) 25 = 625 c) 35 x 35 = (3 x 4) 25 = 1225 d) 45 x 45 = (4 x 5) 25 = 2025 GABARITO 1. 3) c) 2 e 3 4) A soma das quantidades dos produtos dos tipos P1 e P2 vendidos pela loja L1 é 45. Nunca é demais frisar que a regra só se aplica a números terminados pelo algarismo 5. 1. ANOTAÇÕES . 5 Funções e análise de gráficos . chamadas de quadrantes. Esses eixos possuem direção e sentido a partir da origem que se estabelece no ponto de cruzamento dos eixos. II Q IQ (2º quadrante) (1º quadrante) III Q IV Q (2º quadrante) (1º quadrante) O eixo vertical. •  Identificar funções crescentes. OBJETIVOS •  Representar pontos no plano cartesiano. sendo um horizontal e outro vertical. possui sentido crescente da esquerda para a direita. •  Reconhecer o domínio. •  Formalizar o conceito de função. y (ordenadas). x (abscissas).1  Conceito Um plano cartesiano é um sistema de coordenadas ou sistema gráfico de coor- denadas formado por dois eixos perpendiculares entre si. Essas quatro regiões. possui sentido crescente de baixo para cima e o eixo horizontal. Essa origem torna-se o refe- rencial que permite uma localização organizada e gráfica das coordenadas nos quatro planos ou regiões que surgem a partir do cruzamento dos eixos. •  Analisar e interpretar gráficos. •  Reconhecer uma função em relações do cotidiano. decrescentes e constantes. 122 • capítulo 5 . O primeiro quadrante possui abscissas e ordenadas com valores positivos. 1  Plano cartesiano 1. são numeradas no sentido anti-horá- rio. o conjunto imagem e o contradomínio de uma função. A origem do nome Plano Cartesiano é uma homenagem ao matemático francês nascido na Idade Média. 1. René Descartes.3  Par Ordenado As coordenadas desse sistema são chamadas de pares ordenados e têm uma re- presentação própria. traçada por P. 1. sendo organizadas de forma que o primeiro número seja sempre a abscissa e o segundo sempre a ordenada.2  Coordenadas de um ponto no plano cartesiano Considere um ponto P do plano cartesiano. Chamamos de projeção ortogonal de P sobre o eixo Ox à intersecção do eixo Ox com a perpendicular a ele. estando os dois entre parên- teses e separados por uma vírgula. capítulo 5 • 123 . y (Ordenadas) P P’’ O P’ X (Abscissas) Na figura. Chamamos de projeção ortogonal de P sobre o eixo Oy à intersecção do eixo Oy com a perpendicular a ele. P’ é a projeção ortogonal de P sobre o eixo Ox e P’’ é a projeção ortogonal de P sobre o eixo Oy. As coordenadas do ponto P serão a abscissa do ponto P’ e a ordenada do ponto P’’. traçada por P. D(-1. E(2. C(-3.-1). B(1.0).-4). Resolução: C 4 3 A 2 1 O E -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 B -2 -3 D -4 124 • capítulo 5 .2).4).-1) -1 (par ordenado x=-2 e y=-1) (Abscissas) EXEMPLO Assinale no gráfico os pares ordenados e coordenadas A(4.3) (par ordenado x=2 e y=3) -2 O 2 X (-2. y (Ordenadas) 3 (2. •  O ponto C(3. •  P(a.4). F(2.3).0). 4) pertence ao eixo das ordenadas.2).4). C(-2.-2). capítulo 5 • 125 . G(5. e somente se.2). 4) pertence ao I Q. Um ponto T pertence ao eixo das ordenadas se. E(1.4). b) ∈ 3º Quadrante ⇔ a < 0 e b < 0. b) ∈ 1º Quadrante ⇔ a > 0 e b > 0. B(-2. I(4.1). EXERCÍCIO RESOLVIDO Identifique o par ordenado cujos pontos estão representados no plano cartesiano abaixo. sua ordenada for zero. temos: •  P(a. b) ∈ 2º Quadrante ⇔ a < 0 e b > 0. 4 3 2 1 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 Resolução: A(-3. J(2. 0) pertence ao eixo das abscissas. EXEMPLO •  O ponto A(5. K(4. H(5. D(-1. •  P(a. •  O ponto B(0. e somente se. Identificando os sinais dos elementos do par ordenado e relacionando-os aos quadrantes. COMENTÁRIO Um ponto P pertence ao eixo das abscissas se.-3). •  P(a. b) ∈ 4º Quadrante ⇔ a > 0 e b < 0.0). sua abscissa for zero. •  O ponto F(5. as divisões sejam as mesmas. (a.   u2 u2 u1 u1 Eixo x e eixo Y com divisões iguais u1=u2 Eixo x e eixo Y com divisões iguais u1=u2 126 • capítulo 5 . -2) pertence ao IV Q. Assim. 5) pertence ao II Q. 4) = (7. •  O ponto E(-4. que pode ser diferente para cada eixo. b) e (c. para que dois pares ordenados (a.•  O ponto D(-2. entre os eixos. 1.b) = (c. os números consecutivos do eixo devem ser separados por esse padrão de unidade estabelecido.1  Propriedade fundamental dos pares ordenados Dois pares ordenados são iguais se e somente se suas coordenadas correspon- dentes são iguais.4  Divisão dos Eixos A divisão dos eixos deve ser igual entre os eixos não sendo rigorosamente neces- sário que. EXEMPLO x = 7 (x. devem estar associados ao mesmo ponto do plano cartesiano.3.d) ⇔ ( a=c e b=d ) Assim. O eixo x pode ter um padrão de unidade u1 e o eixo do Y pode ter um padrão u2 sendo u1≠u2 ou u1=u2 (mais utilizado). isto é. considerando um segmento de reta como padrão de unidade em um eixo. isto é. -6) pertence ao III Q. podemos ter um eixo x com divisões diferentes das divisões no eixo y. y) ⇔  y = 4 . 1. d) de números reais sejam iguais. cresceu em importância ao longo do tempo.1. através de um sistema de satélites. Levantamentos cartográficos e a própria construção organizada de cidades e prédios seria tarefa muito difícil sem as devidas coordenadas geográficas. em alto mar. permite saber. Sem informações confiáveis e seguras de posicionamentos aéreos. usava-se a bússola como principal instrumento que permitia a localização. marítimos e terrestres. rodovias e metroviárias tornando evidente a necessidade da utilização de um sistema de coordenadas confiável no mundo atual. dentre muitas outras informações. a circulação de trens e metrô no mundo seria arrisca- da e inviável se os controladores que organizam os trajetos e os horários não tivessem informações precisas da localização exata dos vagões. Sistema de Posicionamento Global (Global Positioning System). que.5  Aplicações do Plano Cartesiano A aplicação do Plano Cartesiano. de forma gráfica. fazemos uso de alguns sistemas de localização na qual o mais difundido no momento é o GPS. Não haveria a possibilidade da existência simultâ- nea de diversos voos e navegações pelo mundo sem um sistema de coordena- das utilizado internacionalmente que permitisse o controle de todas as rotas. permi- tindo analisar. capítulo 5 • 127 . a localização de qualquer coisa ou pessoa no planeta. qual- quer deslocamento acarretaria em um grande risco. comportamentos entre variáveis relacionadas por uma expressão matemática. ferro- viárias. por exemplo. Outra aplicação bem cotidia- na está na aviação que faz também um grande uso do GPS. Neste capítulo. marítimas. Para que isso possa acontecer. Seria impossível também chegar a algum lugar sem uma correta coordenada lon- gitudinal e latitudinal. No passado. será apresentado o conceito matemático de função. Os auto- móveis mais modernos já possuem GPS permitindo que qualquer pessoa possa se deslocar pelo mundo com extrema facilidade. Hoje. modernamente. Com o aumento dos deslocamentos da população mundial. há a necessidade de um processo que tem sua origem no sistema de coordenadas cartesianas (Plano Cartesiano). Os principais meios de transportes necessitam de um sistema de localiza- ção no tempo e no espaço. Todas estas atividades baseiam-se em um sistema de coordenadas cartesianas. tornou-se ainda mais necessária a segurança nas rotas aéreas. Em vias urbanas. na vida cotidiana. 3} e B = {5. em cada um dos dias. analisar a variação de temperatura em uma determinada região.1  Introdução Suponha que se deseje. 5). (2. 2.y) / x ∈ A e x∈B} é o produto car- tesiano de A por B e escrevemos AxB (lê-se A cartesiano B). o produto cartesiano AxB será: AxB = {(1. Após a medição. (1. o conjunto {(x. 8). 8)} 2  Relações 2. 5). durante 7 dias. (3. registrou-se a temperatura média diária.1. Geometricamente. 8}. 5). 8). o produto cartesiano pode ser encarado como a região: AxB EXEMPLO Considerando A = {1. obtendo a seguinte tabela: DIA DA SEMANA 1 2 3 4 5 6 7 TEMPERATURA 18 19 16 16 16 13 15 128 • capítulo 5 .6  Produto cartesiano Considerando A e B conjuntos. (2. (3. a temperatura média correspondente. (3. Associamos a cada dia da semana. (5. podemos dizer que estabelecemos uma relação do conjunto de dias da semana A = {1. Através do conjunto de pares ordenados. 16). 13. 16). 3. 16. 6. 15)} capítulo 5 • 129 . (4. Podemos representar essa relação de algumas maneiras: Através do diagrama de flechas. (6. Através do gráfico cartesiano. Em termos matemáticos. 19. 19). 16). (2. (7. Diagrama de flechas A B 1 2 10 3 15 4 20 5 Gráfico cartesiano Temperatura (ºC) 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 Tempo (Dias) Conjunto de pares ordenados R = {(1. 7} no conjunto das medidas das temperaturas B = {18. 2. 4. 15}. 5. 13). 18). Note que R é um subconjunto do produto cartesiano A X B. Observe que o primeiro elemento de cada par ordenado pertence ao conjun- to A (dos dias) e o segundo elemento pertence ao conjunto B (das medidas de temperatura). Se (x.2  Conceito Seja R um conjunto. então dizemos que x e y estão associados (ou relacionados) atra- vés de R. R é o subconjunto de A X B formado pelos pares ordenados em que o segundo elemento (y) de cada par é menor do que o primeiro elemento (x). Assim.3  Conjunto de Partida e Contradomínio ou Conjunto de Chegada Considere A e B conjuntos e suponha que a relação R seja um subconjunto do produto cartesiano de A por B: R⊂AxB. Domínio Considere uma relação R e considere o conjunto formado pelas primeiras co- ordenadas dos pares de R. Dizemos que R é uma relação de A em B e que A é o conjunto de partida de R e B é o conjunto de chegada ou contradomínio de R.4  2. 130 • capítulo 5 . 2. temos: 2. y) ∈ A X B | y < x}. y) ∈ R.4. Suponhamos que todos os elementos de R são pares orde- nados. dada por R = {(x. 2. Dizemos que tal conjunto é o domínio de R e escre- vemos D(R). Dizemos então que R é uma relação. Exemplo: Relação R de A em B. Exemplo: Considere a relação R de A em B.1  Introdução Uma função é um tipo particular de relação. A cada valor de entrada estará associado. denominado valor da função ― associado ao valor de entrada. Dizemos que tal conjunto é a imagem de R e escre- vemos I(R).5  Imagem Considere a relação R e consideremos o conjunto formado pelas segundas co- ordenadas dos pares de R. O conjunto imagem da relação R é o conjunto formado por todos os elemen- tos de B que estão relacionados com elementos de A. O domínio da relação R é o conjunto formado por todos os elementos de A que estão relacionados com elementos de B. 10. através de R: D(R) = {1. 3}. 12. descrita pelo diagrama a seguir. 15}. um único resultado. portanto.2. 2. que possui uma propriedade especial. capítulo 5 • 131 . Uma função é uma regra que associa a um valor de entrada um único resul- tado. 3  Função 3. através de R: Im(R) = {9. 5) =7. como a seguir: f(1) = 2(1) = 2. pode-se. Pode-se ainda representar a função usando outra incógnita ou variável. di- ferente daquela usada na expressão que define a regra pela qual se calcula o valor da função. alternativamente. f(2) = 2(2) = 4. EXEMPLO Todo elemento de M está associado. considere a regra que associe a um número real o dobro do seu valor. essa regra pode ser definida por uma expressão em que o va- lor de entrada é representado por uma variável ou incógnita. pode-se estabelecer. ou por outro tipo de designação especial. através de h. Desta maneira.5) = 2(3. um valor para a fun- ção f(x). Como exemplo. a um único elemento de N. t não é função. A função também pode ser simbolizada por outra variável. a cada valor de x. No exemplo anterior. f(3. como: f (x) = 2x O símbolo f (x) indica que estamos tratando com uma função na variável (ou incógnita) representada pela letra x. Na Matemática. pois o elemento 4 está associado através de t a mais de um elemento de O (1 e 6). matematicamente. Essa regra pode ser representada. usar y = 2x ao invés de f(x) = 2x. 132 • capítulo 5 . 2  Variável Independente A incógnita ou variável usada na expressão que define a representação mate- mática da função é conhecida como variável independente. Na expressão y = 2x. pois para qualquer valor real x estas funções são definidas. A notação f : A → B indica que f é função de A em B.3  Variável Dependente A variável dependente é aquela que simboliza o valor da função para cada dado de entrada.5  Domínio e Imagem Como uma função f de A em B é uma relação. pois no conjunto de números reais a raiz quadrada de um número negativo não é definida. pois seu valor depende do atri- buído à variável independente. A figura a seguir apresenta o gráfico de f(x)= x : capítulo 5 • 133 . 3. É chamada de variável dependente. 3. x é a variável independente. conjunto de partida (CP) e conjunto imagem (Im) continuam válidos. Na expressão y = 2x. sem que ele dependa de qualquer resultado calcu- lado anteriormente. Já para a função f(x)= x o domínio corresponde a todo o conjunto de nú- meros reais não negativos.4  Função Real de Variável Real Uma função real de variável real é justamente aquela que associa. os conceitos de domínio (D). a um valor real da variável independente. O Domínio de uma função corresponde ao conjunto de valores da variável de- pendente para os quais a função é definida. pois a ela pode-se atribuir um valor qualquer. y é a variável dependente. 3. Para as funções F(x) = 2x e F(x) = x² o domínio corresponde a todo o conjun- to de números reais. 3. um valor real para a variável dependente. contra- domínio (CD). obtida pela regra que define o seu valor como sendo igual ao quadrado do valor da variável independente. Consequentemente. em que a variável independente pode assumir qualquer valor no conjunto dos números reais (ou seja. o seu do- mínio é todo o conjunto dos números reais). 3. a função y = x². 134 • capítulo 5 . a imagem dessa função será o conjunto dos números reais não negativos. A variável dependente y. considerando-se todos os valores possíveis da vari- ável independente (denomina-se domínio da função). por exemplo. Considere. só terá valores reais não negativos. A imagem de uma função é definida como o conjunto de todos os valores que a função pode assumir.6  Valor de uma Função num Ponto O valor de uma função num ponto da reta real representa justamente o valor calculado para a função quando a variável independente assume o valor corres- pondente a tal ponto. Lê-se: “y é igual a f de x” ou “y é a imagem de x através de f”.8  Imagem de um elemento através do diagrama de flechas Consideremos a função descrita no diagrama de flechas a seguir. As figuras a seguir representam os gráficos das funções y = 2x e y = x² respectivamente. todos os pontos cujas coordenadas (x. capítulo 5 • 135 . no plano cartesiano. Simbolicamente: y = f (x). Dizemos então que y é a imagem de x. y y 8 8 6 6 4 4 2 2 x -5 -4 -3 -2 -1 x -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 -2 -2 -4 -4 -6 -6 -8 -8 3. através de f.3.y) correspondem a valores das coordenadas inde- pendente e dependente da função representada. através de f. Observe que cada elemento y do conjunto B está associado a um elemento x do conjunto A.7  Gráfico de uma Função O gráfico de uma função consiste em representar. Assim. (4. 6 = f (1) 7 = f (2) 8 = f (3) 8 = f (4) 11 = f (5) 3. 136 • capítulo 5 . a imagem do elemento 4. o símbolo f(x) pode ser substituído por y e vice-versa.9  Imagem de um elemento através da regra y = f(x) Sejam os conjuntos A = [-3. Interpretamos cada ponto (x. através de f. B = [-10. 9) ∈ f O símbolo f (x) representa a ordenada do ponto de abscissa x. 3.y) do gráfico de f como (x. 8] . Por exemplo. 20] e a função f:A→B f (x) = 2x + 1. f(x)): a ordenada é a imagem da abscissa através de f. em vez de escrevermos f(x) = 2x + 1 = 2x + 1. ou seja. é f (4) = 2 → 4 + 1 f (4) = 9 Assim. podemos escrever y = 2x + 1.10  Imagem de um elemento através do gráfico de uma função Consideremos o gráfico de uma função y = f(x) abaixo. se uma reta paralela ao eixo Oy interceptar o gráfico de uma relação R em dois pontos. se. por exemplo. atra- vés de seu gráfico. em um intervalo. logo f(0) = 0. logo f(-5/2) = 3. Se isto acontecer. com x2 > x1. precisamos verificar se uma relação é ou não uma função. EXEMPLO (-5/2. (4. capítulo 5 • 137 . (5. em um intervalo numérico. 3. Os gráficos a seguir não representam gráficos de funções. para dois valores quaisquer x1 e x2 desse intervalo.0) é ponto do gráfico. logo f(5) =0. f(x2) > f(x1) a função é dita estritamente crescente. então R não é função. Se uma reta paralela ao eixo Oy interceptar o gráfico de uma relação R em mais de um ponto. Quando se tem. já que isto significa que para um único valor de x teremos dois valores de y associados. (0. 3) é ponto do gráfico. logo f(4) =3.11  Reconhecimento de uma função através de seu gráfico Eventualmente.12  Função Crescente Dizemos que uma função f(x) é crescente. 2) é ponto do gráfico. (2.3) é ponto do gráfico. logo f(2) = 2. ou seja. 3. no qual é definida. R não será uma função. têm-se f(x2) ≥ f(x1). 0) é ponto do gráfico. Quando se tem. com x2 > x1. têm-se F(x2) = F(x1). se. para dois valores quaisquer x1 e x2 deste intervalo. para dois valores quaisquer x1 e x2 desse intervalo. ou seja. 138 • capítulo 5 . têm-se f(x2) ≤ f(x1). não se verifica. Isto só ocorre se F(x) = c.13  Função Decrescente Dizemos que uma função f(x) é decrescente. 3. onde c é um número real constante. EXEMPLO 3. na definição da função. f(x2) < f(x1) a função é dita estritamente decrescente. em um intervalo. no qual é definida. a variável independente x. com x2 ≠ x1.14  Função Constante Uma função F(x) é constante em um intervalo numérico no qual é definida se. em um intervalo numérico. f(3). Resolução: f(0)=5 f(1)=0 f(3)=-4 f(5)=0 f(-1)= 2 f(-3)=2 f(-5)=0 capítulo 5 • 139 . Observe o gráfico de f a seguir. f(5). f(-5). EXEMPLO Exemplo: f(x)=2 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. f(-1). f(-3). Determine f(0). f(1). Considere o gráfico a seguir que representa uma função f do intervalo [1. o conjunto Imagem será Im(f) = [1. Resolução: O menor valor para imagem é y = 1 e o maior é y = 4. b) Im(f) = [2.3].4]. (UFRJ) No gráfico mostrado a imagem do intervalo [-1.4].4].2. Assim. d) Im(f) = ]2. 2) é: 140 • capítulo 5 .3]. c) Im(f) = ]1. 3. e) Im(f) = [1. Quanto à imagem é somente correto afirmar: a) Im(f) = [1.3].3] em IR. 1]. no gráfico a seguir.1[. fora do domínio [– 1. 4. 2[. Assim. 1[ ∪ ]-2. 1/2] ∪ [1. o elemento f(2) também não estará. 1] e [2.2] capítulo 5 • 141 . decrescente e constante. Resolução: Observe que o domínio considerado é [-1. 1] ∪ [-2. na imagem. f(1) não será elemento da imagem nesse domínio. Resolução: Crescente: [-2.4] Constante: [1. 1/2] ∪ ]1. 1] ∪ ]1. b) ]1/2. 2[. 2]. d) [-1. c) [-1/2. 2[. 2[. quando a função é crescente. e) [-1.a) [1/2. O valor y = 1 é imagem para um valor x > 2.3] Decrescente: [3. Assim. Observe a função com a imagem e o domínio sinalizados. a abscissa x = 2 não faz parte do domínio. Identifique. Graficamente. ou seja. e) Falsa. Assinale a afir- mação correta. x3 e x5 são zeros da função. 6.x5] d) a função é decrescente no intervalo [x3 . Além disso. f(x1) = f(x2) = f(x3) = 0. A função é decrescente no intervalo [x4. O gráfico não corta o eixo x nas abscissas x2 e x4 . (FGV) Seja uma função y = f(x). x1. 142 • capítulo 5 . Para que f(0) = 0. (UFF) O gráfico da função f está representado na figura. A função é crescente no intervalo [x3.x5] e) f(x2) = f(x4) = 0 Resolução: Analisaremos cada uma das opções. cujo gráfico está representado na figura. a) Falsa.5. f(x2) ≠ f(x4). d) Falsa. x5] .0). b) Verdadeiro. c) Falsa. são os pontos onde o gráfico corta o eixo x. a) f(0) = 0 b) f(x1) = f(x3) = f(x5) = 0 c) a função é crescente no intervalo [x3 . o que não acontece. x4]. o gráfico precisaria passar na origem (0. b) Calcule os valores de g(0). f = 0 e f < 0. e) Analise os intervalos de crescimento e decaimento da função g(x). 4] c) Analise o crescimento e o decaimento da função. 8[. Resolução: a) Determine o domínio de f. 8] b) Determine a imagem de f. b) g(0) = 0 g(1/5) = g(0. 4]. O gráfico de g é representado na figura a seguir. d) Para calcularmos f(0). D(f) = [0. e) Calcule f(0) – 2f( 26 ) + f(8). Resolução: O cálculo de g(x) depende de f(x). d) Determine f(0) e f(4). f(0) – 2f( 26 ) + f(8) = 0 – 4 + 0 = –4 7. capítulo 5 • 143 . f = 0 nos pontos {0. f = 0 e f < 0. 1) significa que f(– 1) = 1. g(1/5). (UFF) Considere a função real de variável real f e a função g tal que D(g) = [–1. A função é positiva (f > 0) no intervalo ]0. g(π). A função se anula nos valores onde o gráfico intersecta o eixo X. a) Determine a Im(g). 8] d) Determine os intervalos onde f > 0. a) Im(g) = [0.a) Determine o domínio de f. c) Determine o elemento negativo do domínio de g(x) cuja imagem vale 1. 8}. d) Determine os intervalos onde f > 0. Decrescente: [6. b) Determine a imagem de f. x = – 1 é o elemento do domínio que atende a essa condição. 2].5) = 0 g(π) = 2 c) O ponto (– 1.4] e g(x) = f(2x) – 1. Im(f) = [0. Assim. c) Analise o crescimento e decaimento da função. e) Calcule f(0) – 2f( 26 ) + f(8). Crescente: [0.(0)]. precisamos calcular f[2. A raiz de 26 é maior que a raiz de 5 e menor que a raiz de 6. A função não assume valores negativos. passaram-se 10 minutos.  x = 0 ⇒ g (0) = f (2. 4. Considere que o organismo libera.(0 )) − 1   g ( 0) = 0 0 = f (0) − 1 f (0) = 1 Analogamente. na expressão que associa g(x) e f(x).Para x = 0. Com o consumo constante de 1.4L/min.  x = 2 ⇒ g (2) = f (2.8kcal por litro. numa bicicleta ergométrica.0 (B) 52. (UERJ) O gráfico abaixo representa o consumo de oxigênio de uma pessoa que se exer- cita. faremos o cálculo de f(4) = f[2. 144 • capítulo 5 . em kcal.4) = 14 litros de oxigênio. A energia liberada no período entre 5 e 15 minutos.(2 )) − 1   g (2) = 2 2 = f (4) − 1 f (4) = 2 + 1 = 3 8.(4. em média.8) = 67.6 Resolução: Entre 5 e 15 minutos. em condições aeróbicas.4 (C) 67.2kcal. Assim.(2)].2 (D) 93. temos que foram consumidos (10)(1. Se o organismo libera 4. liberará (14). buscamos a imagem de g(0) no gráfico.8kcal para cada litro de oxigênio absorvido. substituindo esse valor. para x = 2. é: (A) 48. temos o nível da água armazenada em uma barragem. Almanaque Abril 2010. O termo agronegócio não se refere apenas à agricultura e à pecuária. obtemos dois valores. ao longo de 3 anos. O gráfico seguinte mostra a participação percentual do agronegócio no PIB brasileiro: Fonte: Centro de Estudos Avançados em Economia Aplicada (CEPEA).9. O nível de 40m foi atingido quantas vezes neste período? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Resolução: Determinando a interseção da reta y = 40 com o gráfico. São Paulo: Abril. serviços para a zona rural. industrialização e comercialização dos produtos. (UFPE) No gráfico a seguir. ano 36 (adaptado) capítulo 5 • 145 . pois as atividades ligadas a essa produção incluem fornecedores de equipamentos. 10. (Enem 2011). no sangue. Após a ingestão de bebidas alcoólicas. em termos percentuais. Segundo o gráfico. 25. que beberam três latas de cerveja cada um. aproximadamente: 146 • capítulo 5 . o indivíduo que bebeu após o jantar. o metabolismo do álcool e sua presença no sangue dependem de fatores como peso corporal.6g/L. condições e tempo após a ingestão. permitida pela legislação brasileira para motoristas é 0. só poderão dirigir após. Resposta: c) 11. a participação volta a aumentar.92% em 2006 – depois deste período. Esta informação é obtida através de leitura direta do gráfico: em 2003 a participação era de 28.Esse gráfico foi usado em uma palestra na qual o orador ressaltou uma queda da partici- pação do agronegócio no PIB brasileiro e a posterior recuperação dessa participação.83% em 2005. e o que bebeu em jejum. caiu para 27. no sangue de indivíduos de mesmo peso. O gráfico mostra a variação da concentração de álcool. (ENEM). chegando a 23.28%. Tendo em vista que a concentração máxima de álcool. o período de queda ocorreu entre os anos de a) 1998 e 2001 d) 2003 e 2007 b) 2001 e 2003 e) 2003 e 2008 c) 2003 e 2006 Resolução: O período de queda da participação do agronegócio no PIB brasileiro se deu no período entre 2003 e 2006. em diferentes condições: em jejum e após o jantar.79% em 2004. temos as abscissas (horas) correspondentes. d) seis horas e três horas. Resolução: Observando o gráfico e identificando os pontos. respectivamente. e) seis horas. Resposta: c) capítulo 5 • 147 . c) três horas e quatro horas e meia. respectivamente. igualmente. b) três horas e meia hora. respectivamente.a) uma hora e uma hora e meia. respectivamente. ANOTAÇÕES 148 • capítulo 5 . 6 Função afim ou polinomial do primeiro grau .   Esboçar o gráfico de uma função afim. estimula a imaginação e recompensa o esforço de aprender.” (LIMA. conclusões e previsões em situações comuns do nosso dia a dia. OBJETIVOS 1.  Identificar os pontos notáveis do gráfico de uma função afim. APLICAÇÕES DAS NOÇÕES E TEORIAS DA MATEMÁTICA RESULTADOS CONCLUSÕES PREVISÕES REFLEXÃO “Como as entendemos. 1999) 150 • capítulo 6 . desenvolve a criatividade.  Definir uma função afim e estudar suas particularidades. nutre a autoestima.  Resolver equações e inequações envolvendo funções afins. 3. 4. tecnológicas e até sociais. as aplicações do conhecimento matemático incluem a re- solução de problemas. por meio de desafios. 5. essa arte intrigante que. e também em questões científicas. 1  Aplicações matemáticas Assim como outros conteúdos da Matemática. É por meio dessas aplicações que conseguimos empregar as noções e teorias da Matemática para obter resultados. 2.  Identificar o domínio e a imagem de uma função afim. inúmeras são as aplicações inte- ressantes e úteis das funções de maneira geral. devemos. indicam que a Matemática sempre esteve presente na atividade humana. por isso. como. por exemplo. a princípio. Porém. ainda. capítulo 6 • 151 . Vamos começar com a função afim ou função polinomial do primeiro grau.Para Elon Lages Lima. expressar f por: f:ℝ→ℝ x ↦ f(x)=ax+b Note que a. 2  Origem da Matemática Acredita-se que a Matemática é anterior à escrita e. Isso mostra que a Matemática vem nos auxiliando na reso- lução de problemas desde os primórdios da civilização. Esses registros apontam justamente a aplicabilidade.b são parâmetros e x é variável. se forem ligadas aos fatos e questões da vida. devido ao seu desenvolvimento contínuo. não há provas históricas precisas. enquanto que f(x) é o valor da função afim na variável x. 3  Função afim ou função polinomial do primeiro grau Para compreendermos bem as aplicações. é denominada função afim ou função polinomial do 1º grau. toda função do tipo f(x)=ax+b.b ∈ ℝ e a ≠ 0. e. CONCEITO No estudo das funções matemáticas. com a. as aplicações representam a parte mais atraente da Matemática. como o Plimpton 322. Podemos. mantendo sua importân- cia válida e útil até hoje. justificam seu estudo e descaracterizam o aspecto de complicação que muitas vezes a disciplina apresenta. tudo indica que será indispensável no futuro. a contagem do tempo. E. alguns registros arqueológicos. dominar a te- oria que embasa o estudo das funções e seus gráficos. em a=-0.7. ATIVIDADE Agora vamos fazer a primeira atividade deste capítulo.8 e b=-0. Como você pode representar esta situação através de uma função afim? Resolução Podemos representar a situação apresentada da seguinte forma: y=4x+900 Neste caso.8x-0. Veja se você consegue resolver este problema: Uma empresa da área de vendas paga um salário fixo de R$900. c)  y=2x-4 é uma função afim. podemos dizer que o salário recebido pelo empregado y depende da variação de x (quantidade de produto vendida). d)  y=-0.00 mais uma comissão de R$4.Não esqueça que podemos usar qualquer letra para representar parâmetros.00 por cada produto vendido. EXEMPLO a)  y=6x+9 é uma função afim.7 é uma função afim. variá- veis e valores da função. 152 • capítulo 6 . em que a=6 e b=9. em que a=2 e b=-4. em que a=5 e b=0. b)  y=5x é uma função afim. 3. defini. 2 da por f(x)=x. onde a=0. 0 x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 Observe o gráfico da função constante -1 f(x)=-3: -2 -3 -4 y 6 3.3  Função Identidade 6 y 4 Função Identidade é a função f:ℝ→ℝ. 0 x Observe o gráfico da função f(x)=x: -6 -4 -2 0 2 4 6 -2 -4 -6 capítulo 6 • 153 . definida por 2 f(x)=ax.1. onde a=1 e b=0.1  Casos particulares de uma função afim 3.1.2  Função linear 4 Função linear é a função f:ℝ→ℝ. 0 x Observe o gráfico da função f(x)=4x: -6 -4 -2 0 2 4 6 -2 -4 -6 3. definida 1 por f(x)=b.1  Função constante y 2 Função constante é a função f:ℝ→ℝ. onde b=0.1. 7) → { 2a+b=5 3a+b=7 Nele os parâmetros precisam ser determinados.5) e (3. substituindo esses valores diretamente na função f(x)=ax+b. a função afim é dada por f(x)=2x+1. com x1 ≠ x2 . y2 ) quaisquer. y1 ) e (x2 . Então. Substituindo agora a=2 na primeira equação. temos que: 3a+b=3a+(5-2a)=1a+5=7 ⇒ a=7-5=2 Lembre-se que o símbolo “⇒” significa “implica em”. 154 • capítulo 6 . EXERCÍCIO RESOLVIDO Determine a função afim sabendo que f(2)=5 e f(3)=7: Resolução Sabe-se que as coordenadas são (2. Da primeira equação do sistema.2  Determinação de uma função afim a partir de duas coordenadas Uma função afim f(x)=ax+b pode ser determinada através de duas coordena- das (x1 . temos que b=5-2a. 3.3. vamos construir um gráfico correspondente aos valores registrados. Lembre-se que uma função afim é determinada pelos valores de seus parâ- metros. verifica-se que: 2a+b=2(2)+b=5 ⇒ b=5-4=1 Assim. Observe que para cada valor na coluna de tempo em x existe um valor cor- respondente na coluna de temperatura em y.5) → (3.7). Inserindo este resultado na segunda equação. obtemos o seguinte sistema: (2.3  Gráfico de uma função afim De acordo com a tabela a seguir. que para esta tabela o gráfi- 60 co correspondente é de uma 45 semirreta. indicada por Δx. TEMPO (MIN) TEMPERATURA (ºC) x y 0 15 1 30 2 45 3 60 4 75 Agora. Portanto. isto é. pois somente os valores não negativos são 30 considerados para o tempo 15 e a temperatura. podemos construir o gráfico interligando os pontos no eixo das abs- cissas (0x) aos pontos correspondentes nas ordenadas (0y). y(ºC) 75 Percebemos. Δy = 75 – 15 = 60 e Δx = 4 – 0 = 4. capítulo 6 • 155 . sendo Δy/Δx = 60/4 = 15. as variações de x e y são diretamente proporcionais. Assim. a cada variação de 1 minuto em x corresponderá a uma variação de 15 graus Celsius em y. a variação correspondente para y é de 15 a 75. quando x varia de 0 a 4. deste modo. é diretamente proporcional à variação dos valores correspondentes de x. x(min) 0 1 2 3 4 4  O gráfico de toda função afim é uma reta Note que a variação dos valores de y. que indicaremos por Δy. então podemos concluir que o gráfico da função sempre será uma reta e postular o seguinte resultado: o gráfico de toda função afim é uma reta. em uma função y=f(x). Se. o ponto de interseção da reta associada à função afim com o eixo 0x é b (. a≠0 e sendo o gráfico de toda função afim uma reta. substituiremos y=0 na expres- b são da reta. EXERCÍCIO RESOLVIDO Determine a abscissa do ponto de interseção da reta y=2x-6 com o eixo 0x: y Resolução x Se a reta cruza o eixo 0x. a função será definida por y=ax. 4.a Logo. -6 156 • capítulo 6 .0) dos eixos das abscissas (0x) e ordenadas (0y). Substituindo esse resultado. obte- 6 mos: 0 = 2x − 6 ⇒ x = 2 = 3.1  Interseção do gráfico de uma função afim com o eixo 0x Seja a função afim y=ax+b com a. •  Devemos observar que. o gráfi- co será uma reta que passará sempre pelo ponto (0. Para determinar a abscissa desse ponto. para construir o gráfico de uma função afim. e traçar a reta que passa por eles. Observações •  Como consequência do resultado anterior. Este ponto também é conhecido por raiz ou zero da função afim. pois quando x=0. teremos sempre a reta cruzando o eixo 0x em um único ponto.b ∈ ℝ. e. na expressão da reta. Veja o gráfico da função afim y=2x-6: Portanto. no plano cartesiano. se b=0. obtendo: 0=ax+b ⇒ ax=-b ⇒ x=. a abscissa do ponto de interseção é 3. significa que o ponto de inter- 3 seção tem y=0. 0). portanto. precisamos representar dois pontos distintos da função.a . temos que y=0. 2  Intersecção do gráfico de uma função afim com o eixo 0y Seja a função afim y=ax+b com a.b ∈ ℝ. EXERCÍCIO RESOLVIDO Determine a ordenada do ponto de intersecção da reta y=-5x+15 com o eixo 0y: Resolução y Se a reta cruza o eixo 0y.4. obtemos: y=-5(0)+15 ⇒ y=15. Portanto. o gráfico da função y=-5x+15: x Logo. capítulo 6 • 157 . significa que o ponto de 15 interseção tem x=0.3  Coeficientes angular e linear de uma função afim y Sabendo que a função afim y=ax+b com a. substituiremos x=0. o ponto de interseção da reta associada à função afim com o eixo 0y é (0. obtendo: y=a0+b ⇒ y=b. a ordenada do ponto de interseção é 15. Logo. vamos voltar ao tópico já y3 mencionado sobre taxa de variação de uma função afim. nesta reta.b). Substituindo esse resultado. a reta corta o eixo 0y no ponto (0. y2 Começaremos observando o gráfico y1 a seguir: Considere 2 pontos (x1 . Para determinar a ordenada deste ponto. esta cruzará o eixo 0y em um único ponto. a≠0.b ∈ ℝ. 3 4. a seguir. na expressão da reta. Veja. x y2) quaisquer.a≠0 e sendo o gráfico da função uma reta. sabendo que x1 x2 x3 y1=ax1+b e y1 = ax1+b. y1) e (x2 . na expressão da reta.15). 4)? Resolução Temos que calcular a taxa de variação dada por estes dois pontos. temos: y2-y1 b = y1-ax1 = y2-ax2 ⇒ ax2-ax1 = y2-y1 ⇒ a = x2-x1 Isso significa que. enquanto que o parâme- tro b é chamado de coeficiente linear. Assim: ∆y 4-3 a= = = -1 ∆x -2-(-1) Note que alcançamos o mesmo resultado se fizermos: ∆y 3-4 a= = = -1 ∆x -1-(-2) 2)  Considere a função y=4x+12. ou seja: ∆y y3-y2 y -y y -y a= = = 2 1 = 3 1 ∆x x3-x2 x2-x1 x3-x1 Em uma função afim. a taxa de variação é constante e igual ao parâmetro a.3) e (-2. Observe que. Indique a raiz e a taxa de variação: 158 • capítulo 6 . a taxa de variação é constante e igual ao parâmetro a. ATENÇÃO Geometricamente. nas duas igualdades. ∆y Convém observar que o coeficiente angular é a tangente do ângulo de inclinação: a= ∆x EXERCÍCIO RESOLVIDO 1)  Qual é o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (-1. o parâmetro a é chamado de coeficiente angular. em uma função afim. isolando b. com a=1.4  Propriedade importante Se duas ou mais funções afins têm a mesma taxa de variação a. a seguir. Esse valor nos é infor- mado na própria expressão da função afim.24). y1)=(1. Portanto. pois já sabíamos que a taxa de variação era a=4. (x1 . y 3 x -3 1 4 -1 -4 capítulo 6 • 159 . teremos o respectivo valor de y1=4(1)+12=16. Na figura. 2) Se escolhemos x2=3. y2 )=(3. fazemos: ∆y y2-y1 24-16 8 = = = =4 ∆x x2-x1 3-1 2 Isso era esperado. fazemos: 0 = 4x+12 ⇒ 4x=-12 ⇒ x=-3 Para calcularmos a taxa de variação devemos ter. pelos menos. encontramos as retas paralelas y=x+3. teremos o respectivo valor de y2=4(3)+12=24. (x2 . y=x-1 e y=x-4. Portanto. então suas retas correspondentes são paralelas.Resolução Sabendo que a raiz da função afim é o valor x correspondendo a y=0.16). Então. dois pontos da reta. Vamos calculá-los: 1) Se escolhemos x1=1. 4. esta função é denominada decrescente. teremos que determi- nar os valores de x para os quais f(x) se anula. b) Como o valor de a é igual a -6. ou seja.4.5  Função afim crescente e decrescente Seja a função afim y=ax+b com a. é positiva ou é negativa.6  Estudo do sinal de uma função afim Para estudarmos o sinal de uma função afim f(x)=ax+b. Este estudo pode ser realizado através do gráfico ou da raiz da função. a≠0. EXERCÍCIO RESOLVIDO Determine se as funções abaixo são crescentes ou decrescentes: a)  y=7x-12 b)  y=-6x+9 Resolução a) Como o valor de a é igual a 7. 4. Dizemos que uma função afim é: Crescente se. e somente se. esta função é denominada crescente. EXERCÍCIO RESOLVIDO 1)  Estude o sinal da função f(x)=4x-8 Resolução Vamos calcular primeiramente a raiz da função. e somente se.b ∈ ℝ. o valor de a for positivo (a>0). o valor de a for negativo (a<0). queremos determinar x tal que o valor da função se anule: 160 • capítulo 6 . Decrescente se. queremos determinar x tal que o valor da função se anule: f(x)=-5x+15=0 ⇒ 5x=15 ⇒ x=3 Agora. Já na raiz. 8 f(x)=4x-8=0 ⇒ x= 4 =2 Agora. -8 2)  Estude o sinal da função f(x)=-5x+15: Resolução Vamos calcular primeiramente a raiz da função. temos a semirreta que se – + x origina em x=2 e vai a -∞ . indicando o 2 intervalo de x em que a função apresen- ta valores negativos e a semirreta que se origina em x=2 e vai a +∞. temos que a função se anula. ou seja: f(x)=-5x+15>0 ⇒ -5x>-15 ⇒ x<3 capítulo 6 • 161 . vamos determinar o intervalo de x para o qual a função apresenta valores posi- tivos. indicando o intervalo de x em que a função apre- senta valores positivos. ou seja: f(x)=-5x+15<0 ⇒ -5x<-15 ⇒ x>3 Finalmente. ou seja: f(x)=4x-8<0 ⇒ 4x<8 ⇒ x<2 Finalmente. vamos determinar o intervalo de x para o qual a função apresenta valores posi- tivos. vamos determinar o intervalo de x para o qual a função apresenta valores negativos. x=2. ou seja: f(x)=4x-8>0 ⇒ 4x>8 ⇒ x>2 Observe: y Graficamente. ou seja. vamos determinar o intervalo de x para o qual a função apresenta valores negativos. então. cujo gráfico é uma reta. para a construção do gráfico. marcando os pontos obtidos no plano cartesiano e traçando a reta que une esses dois pontos.-4) é um ponto da reta x=2 ⇒ f(2)=2(2)-4=0 ⇒ (2. indicando o inter- valo de x em que a função apresenta valores positivos. Para traçar uma reta precisamos escolher pelo menos dois pontos. 3 EXERCÍCIO RESOLVIDO 1)  Construa o gráfico da função f(x)=2x-4: Resolução Como podemos observar f(x)=2x-4 é uma função afim. x=3. Já na raiz. indicando o intervalo de x em que a função apresenta valores negativos e a semirreta que possui origem em x=3 e se prolonga a +∞.Observe: y Graficamente. vamos atri- buir dois valores arbitrários para x e calcular os respectivos valores de y. temos a semirreta que tem origem em x=3 e se prolonga a -15 -∞. Neste caso.0) é outro ponto da reta y x 2 Passamos. temos ++ –– x que a função se anula. da seguinte forma: Escolha x=0 ⇒ f(0)=2(0)-4=0 ⇒ (0. Veja a figura ao lado: -4 162 • capítulo 6 . 2)  Determine a raiz da função f(x)=-3x+9 e construa seu gráfico: Resolução Para calcular o zero ou a raiz da função afim, substituímos f(x)=0 na expressão da função, ou seja, fazemos: 0=-3x+9 ⇒ 3x=9 ⇒ x=3 Agora, precisamos de dois pontos para traçar o gráfico da função afim que é uma reta. Já sabemos que (3,0) é um ponto da reta, agora vamos escolher o outro ponto. Por exemplo, para x=0, temos: f(0)=-3(0)+9 ⇒ f(0)=9. Isso significa que (0,9) é o outro ponto da reta. Marcando esses dois pontos, no plano cartesiano, e traçando a reta que os une, obtemos o seguinte gráfico: y 9 x 3 3)  Determine a raiz da função f(x)=5x+7 e construa seu gráfico: Resolução Vamos primeiramente calcular a raiz da função, determinando x tal que f(x)=0, ou seja: 0=5x+7 ⇒ 5x=-7 ⇒ x=-1,4 Já sabemos que (-1,4 , 0) é um ponto da reta. Para determinar o segundo ponto, fazemos, por exemplo: f(0)=5(0)+7 ⇒ f(0)=7 capítulo 6 • 163 Isso significa que (0 , 7) é o outro ponto da reta. Marcando esses dois pontos, no plano cartesiano, e traçando a reta que os une, obtemos o seguinte gráfico: y 7 x 1,4 y 6 M=(0,6) 4) Sabendo que o gráfico a seguir é de uma função polinomial do 1° grau (afim) do tipo y=ax+b, representada pela reta que passa pe- x los pontos M e N, determine os valores de a e b: 4 -2 N=(4,-2) Resolução Tendo em vista que os pontos M e N estão sobre a reta que representa a função afim, que- remos determinar o coeficiente angular a e o coeficiente linear b. Para isso, montamos o seguinte sistema com as variáveis a e b: { (0,6) → 6=a(0)+b (4,-2) → -2=a(4)+b ⇒ b=6 4a+b=-2 ⇒ a=-2,b=6 Com isso, a expressão da função afim representada pela reta que passa nos pontos M e N é: y=-2x+6. 164 • capítulo 6 ATIVIDADE 1) (UERJ 2014) O reservatório A perde água a uma taxa constante de 10 litros por hora, en- quanto o reservatório B ganha água a uma taxa constante de 12 litros por hora. No gráfico, estão representados, no eixo y, os volumes, em litros, da água contida em cada um dos reservatórios, em função do tempo, em horas, representado no eixo x. y 720 B A 60 x x0 Determine o tempo x0 em horas, indicado no gráfico. 2) (Unicamp 2013) A numeração dos calçados obedece a padrões distintos, conforme o país. No Brasil, essa numeração varia de um em um, e vai de 33 a 45, para adultos. Nos Estados Unidos, a numeração varia de meio em meio, e vai de 3,5 a 14 para homens e de 5 a 15,5 para mulheres. a) Considere a tabela abaixo. Numeração brasileira (t) Comprimento do calçado (x) 35 23,8 cm 42 27,3 cm Suponha que as grandezas estão relacionadas por funções afins t(x) = ax + b para a nu- meração brasileira e x(t) = ct + d para o comprimento do calçado. Encontre os valores dos parâmetros a e b da expressão que permite obter a numeração dos calçados brasileiros, em termos do comprimento, ou os valores dos parâmetros c e d da expressão que fornece o comprimento em termos da numeração. b) A numeração dos calçados femininos, nos Estados Unidos, pode ser estabelecida de ma- 5(x–20) neira aproximada pela função real f definida por f(x) = , em que x é o comprimento 3 capítulo 6 • 165 do calçado em centímetros. Sabendo que a numeração dos calçados nk forma uma progres- são aritmética de razão 0,5 e primeiro termo n1 = 5, em que nk = f (ck ), com k natural, calcule o comprimento c5. 3) (UFRN 2013) Uma empresa de tecnologia desenvolveu um produto do qual, hoje, 60% das peças são fabricadas no Brasil, e o restante é importado de outros países. Para aumentar a participação brasileira, essa empresa investiu em pesquisa, e sua meta é, daqui a 10 anos (considere que o ano de partida seja o de 2012), produzir, no Brasil, 85% das peças empre- gadas na confecção do produto. Com base nesses dados e admitindo-se que essa porcentagem varie linearmente com o tempo contado em anos, o percentual de peças brasileiras, na fabricação desse produto, será superior a 95% a partir de: a)  2027 b)  2026 c)  2028 d)  2025 4) (UFMG 2013) A fábula da lebre e da tartaruga do, escritor grego Esopo, foi recontada com uso do gráfico abaixo para descrever os deslocamentos dos animais. Distância (m) 200 150 100 50 Tempo (min.) 5 240 245 166 • capítulo 6 Suponha que, na fábula, a lebre e a tartaruga apostam uma corrida, em uma pista de 200 metros de comprimento. As duas partem do mesmo local no mesmo instante. A tartaruga anda sempre com velocidade constante. A lebre corre por 5 minutos, para, deita e dorme por certo tempo. Quando desperta, volta a correr com a mesma velocidade constante de antes, mas, quando completa o percurso, percebe que chegou 5 minutos depois da tartaruga. Considerando essas informações, a)  Determine a velocidade média da tartaruga durante esse percurso, em metros por hora. b)  Determine após quanto tempo da largada a tartaruga alcançou a lebre. c)  Determine por quanto tempo a lebre ficou dormindo. 5) (UEL 2013) Na cidade A, o valor a ser pago pelo consumo de água é calculado pela com- panhia de saneamento, conforme mostra o quadro a seguir. Quantidade de água consumida (em m³) Valor a ser pago pelo consumo de água (em R$) Até 10 R$18,00 Mais do que 10 R$18,00 + R$2,00 por m³ que excede 10m³ Na cidade B, outra companhia de saneamento determina o valor a ser pago pelo consumo de água por meio da função cuja lei de formação é representada algebricamente por: B(x) = { 17 se x ≤ 10 2,1x-4 se x > 10 Aqui x representa a quantidade de água consumida (em m³) e B(x) representa o valor a ser pago (em reais). a)  Represente algebricamente a lei de formação da função que descreve o valor a ser pago pelo consumo de água na cidade A. b)  Para qual quantidade de água consumida, o valor a ser pago será maior na cidade B do que na cidade A? 6) (UFSM 2013 - Adaptado) Os aeroportos brasileiros serão os primeiros locais que muitos dos 600 mil turistas estrangeiros, estimados para a Copa do Mundo FIFA 2014, conhecerão no Brasil. Em grande parte dos aeroportos, estão sendo realizadas obras para melhor receber os visitantes e atender a uma forte demanda decorrente da expansão da classe média brasileira. capítulo 6 • 167 Passageiros (em milhões) O gráfico mostra a capacidade (C), a demanda (D) de passa- C geiros/ano, em 2010, e a ex- 8,0 7,2 pectativa/projeção para 2014 6,7 D do Aeroporto Salgado Filho (Porto Alegre, RS), segundo 4,0 dados da lnfraero — Empre- sa Brasileira de lnfraestrutura Aeronáutica. Ano De acordo com os dados for- 2010 2014 necidos no gráfico, o número de passageiros/ano, quando a demanda (D) for igual à capacidade (C) do terminal, será, aproximadamente, igual a: a)  sete milhões, sessenta mil e seiscentos b)  sete milhões, oitenta e cinco mil e setecentos c)  sete milhões, cento e vinte e cinco mil d)  sete milhões, cento e oitenta mil e setecentos e)  sete milhões, cento e oitenta e seis mil 7) (Unicamp 2013) Em 14 de outubro de 2012, Felix Baumgartner quebrou o recorde de velocidade em queda livre. O salto foi monitorado oficialmente e os valores obtidos estão expressos de modo aproximado na tabela e no gráfico abaixo. Tempo (segundos) 0 1 2 3 4 Velocidade (km/h) 0 35 70 105 140 Supondo que a velocidade continuasse variando de acordo com os dados da tabela, encontre o valor da velocidade, em km/h, no 30º segundo. 168 • capítulo 6 8) (ESPCEX AMAN 2013) Na figura abaixo, está representado o gráfico de uma função real do 1º grau f(x). y 1 x 2 A expressão algébrica que define a função inversa de f(x) é: x a)  y= +1 2 1 b)  y=x+ 2 c) y=2x-2 d)  y=-2x+2 e)  y=2x+2 9) (Unioeste 2013) Uma empresa de telefonia celular possui somente dois planos para seus clientes optarem entre um deles. No plano A, o cliente paga uma tarifa fixa de R$27,00 e mais R$0,50 por minuto de qualquer ligação. No plano B, o cliente paga uma tarifa fixa de R$35,00 e mais R$0,40 por minuto de qualquer ligação. É correto afirmar que, para o cliente: a)  com 50 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A. b)  a partir de 80 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A. c)  16 minutos de cobrança tornam o custo pelo plano A igual ao custo pelo plano B. d)  o plano B é sempre mais vantajoso que o plano A, independente de quantos minutos sejam cobrados. e)  o plano A é sempre mais vantajoso que o plano B, independente de quantos minutos sejam cobrados. 10) (G1 - CFTMG 2013) Os preços dos ingressos de um teatro, nos setores 1, 2 e 3, seguem uma função polinomial do primeiro grau crescente com a numeração dos setores. Se o preço do ingresso no setor 1 é de R$120,00 e no setor 3 é de R$400,00, então o ingresso no setor 2, em reais, custa: a) 140 b)  180 c)  220 d) 260 capítulo 6 • 169 a pé.14 12) (UPE 2013) Um dos reservatórios d’água de um condomínio empresarial apresentou um vazamento a uma taxa constante. Às 12h dos dias 11 e 19 do mesmo mês. e Beto chegou 10 minutos mais tarde que Aldo. a distância. x (g/m²) 10 20 30 40 50 60 70 t(x) (°C) 7.06 d)  y = 10x + 7. na superfície. Se ambos partiram no mesmo instante. enquanto Beto faz esse mesmo trajeto. às 12h do dia 1º de outubro. andando em velocidades constantes.18 b)  y = 0.06x + 7.8 km/h.60 Analisando os dados acima. conforme registrado na tabela seguinte. em g/m2. é determinada em função do resíduo x de planta e biomassa. em metros.48 7.42 7. Aldo desloca-se da livraria até a padaria. os volumes d´água no reservatório eram. respectivamente.CFTMG 2013) Um experimento da área de Agronomia mostra que a temperatura mínima da superfície do solo t(x).18 c)  y = 10x + 0. em °C.36 7.11) (G1 . a 3.54 7. Dentre as alternativas seguintes.IFSP 2013) Andando de bicicleta a 10.24 7.30 7. é correto concluir que eles satisfazem a função: a)  y = 0.006x + 7. do percurso é: a) 720 b) 780 c) 840 d) 900 e) 960 170 • capítulo 6 . qual delas indica o dia em que o reservatório esvaziou totalmente? a)  16 de dezembro b)  17 de dezembro c)  18 de dezembro d)  19 de dezembro e)  20 de dezembro 13) (G1 .6 km/h. 315 mil litros e 279 mil litros. c)  Serão 20 bolas. dentre os quais sorvetes. numa tabela. no restaurante. baseando-se no estudo que fez é: a)  Não é possível. mais bolas são vendidas. o dono do restaurante fez a seguinte pergunta: “É possível. pois esse aumento irá depender do mês em que a temperatura for mais alta. a resposta que o estagiário pode dar. para o horário do jantar e a média diária de bolas de sorvete servidas como sobremesa no período noturno. na cidade. O dono do restaurante registrou. pois esse é o valor de b na equação. d)  Serão 20 bolas. que fazia estágio de férias. e)  Serão 400 bolas. capítulo 6 • 171 . b)  Não é possível. são servi- dos diversos tipos de sobremesas. as temperaturas médias mensais. percebeu que poderia estabelecer uma relação do tipo sendo x a temperatura média mensal e y a média diária de bolas vendidas no mês correspondente. a equação só revela que quanto maior a temperatura. pois esse é o valor de a na equação. localizado numa cidade do nordeste brasileiro. pois esse é o valor de a na equação. um aluno de Administração. Ao ver o estudo. 14) (Insper 2013) Num restaurante. saber o quanto aumentam as vendas médias diárias de sorvete caso a temperatura média do mês seja um grau maior do que o esperado?” Das opções abaixo. com base nessa equação. Mês JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ Temperatura média mensal 29 30 28 27 25 24 23 24 24 28 30 29 (graus Cel- sius) Bolas de 980 1000 960 940 900 880 860 880 880 960 1000 980 sorvete Ao analisar as variáveis da tabela. 5(x–20) b)  f(x)= 3 n1 = 5. n3 = 6. é o valor de x quando yA = yB . no gráfico. temos: yA=720-10x yB=60+12x Lembre-se que a representa a taxa de variação.2 cm 172 • capítulo 6 . n4 = 6. x0 = 30 horas 2) a)  t(x) = ax + b { 27.3. Agora escrevendo x em função de t. temos: 3 5c5 – 100 = 21 5 c5 = 121 c5= 24.5t + 6.3a + b = 42 23. portanto c = 0. n2 = 5.3.6. O valor x0 indicado.8a + b = 35 Resolvendo o sistema.6. Logo t(x) = 2x – 12.5 e t = 6. ou seja: 720-10x=60+12x -22x=-660 x=30 Logo.5. temos: a = 2 e b = –12. GABARITO 1)  De acordo com as informações do problema. temos: x(t) = 0.5 e n5 = 7 5(c5-20) Fazendo 7= . 4) a)  Velocidade média da tartaruga é o coeficiente angular da reta que representa seu deslocamento. então fazemos: a = 200 – 04 – 0 = 2004 = 50 b)  A posição y da tartaruga (m) em função do tempo x (minutos) é: T(t)=50t A tartaruga se encontra com a lebre quando ambas estão na posição a 50m da origem: T(t)=50 Isso significa que: 50=50t ⇒ t=1h Portanto. a lebre e a tartaruga se encontrarão 1 hora após o início da corrida. capítulo 6 • 173 . superará 95% a partir do ano de 2012+15=2027 Logo. o percentual de peças produzidas. considere a função definida por p(t)=at+b em que p(t) afere o percentual de peças fabricadas. na fabricação do produto. é superior a 95% são tais que: 5 t + 60 > 95 ⇔ t > 14 2 Portanto. temos que 240min = 4h.3)  Partindo do ano de 2012 (t=0) e sabendo que a variação do percentual com o tempo é linear. a resposta é alternativa A. p(t) = 5/2 t+60 Os valores de t para os quais o percentual de peças brasileiras. A taxa de variação da função p é dada por: 85-60 5 a= = 10-0 2 Logo. daqui a t anos. Como essa velocidade deve ser dada em metros por hora. no Brasil. no Brasil. 2 0. 5) a)  De acordo com a descrição do enunciado: A(x)= { 18.c)  As velocidades. a lebre ficou dormindo 230 – 5 = 225 min = 3 horas e 45 min.1x .1x . portanto os coeficientes angulares das duas retas são iguais: 200-50 50-0 150 = ⇒ = 10 ⇒ t = 230min 245-t 5-0 245-t (Instante em que a lebre voltou a correr depois que acordou. x > 10 Já o gráfico é dado por: A(x) 22 18 x 10 12 b) 2. x ≤ 10 18+2(x-10).) Portanto. 174 • capítulo 6 .4 > 2x . são iguais.4 > 18 + (2x-10) 2. nos trechos em que a lebre corre.1x > 2 x > 20 O valor a ser pago será maior na cidade B para quantidades superiores a 20m³. 085 . nem bC=4 em C(x).085) = 2013. substituindo x em C(x) ou em D(x) . temos que calcular primeiramente x. Para isso.2006 ⇒ x = 2013.085 8 Agora.55 = x . Cuidado para não tomar bD=6.244.7 1 D(x)= x + bD = x + bD 2014 .2 .2= (2014) + bD ⇒ bD = -244.2006 = 7.2006 Queremos que C(x) = D(x). 8). Neste caso. obtemos: C(2013. Neste caso.7 em D(x). temos: 8 = x + bC ⇒ bC= -2006 Portanto: C(x) = x .085 milhões. temos: 1 7. (2014.085 Isso significa que o número de passageiros é igual a 7. por exem- plo. como: 1 x . capítulo 6 • 175 .244.2010 8 Temos que bD ficará determinado quando a reta D(x) passar por um ponto conhecido.2). por exem- plo. 7.6.55 8 Portanto: 1 D(x)= x . (2014.55 8 Função da capacidade é dada por: C(x) = 8 – 42014 – 2010 x + bC = x + bC Temos que bC ficará determinado quando a reta C(x) passar por um ponto conhecido.6)  A função da demanda é dada por: 7. 120). 400-120 9)  Taxa de variação do preço: =140 3-1 Temos que o preço do ingresso em cada setor x é dado pela função y = 140 x + b.5t=35+0.5t Preço da ligação do plano B: PB = 35 + 0. 176 • capítulo 6 . (0.Lembre-se que coeficientes lineares têm sempre abscissa igual a zero! A resposta é a alternativa B.2 2 A resposta é a alternativa C.1t=8 ⇒ t=80min Graficamente temos: y PA PB 67 35 27 x 80 Analisando o gráfico. 7)  A partir dos pontos que estão sobre a reta. concluímos que a partir de 80 minutos cobrados.1) e (-2. (1. temos: 27+0.4t em que t é o tempo da ligação em minutos. por exemplo. e sua inversa é tal que: y x= + 1 ⇔ y = 2(x-1) ⇔ f -1(x) = 2x . Logo. Para obter o valor de b.4t ⇒ 0. substituímos na expressão da função um ponto. 8)  Preço da ligação do plano A: PA = 27 + 0. o plano B é mais vantajoso que o plano A. a resposta é alternativa B. montamos a expressão da função afim y = x/2 + 1. Fazendo PA = PB .0). Portanto. a resposta é alternativa A. Nesse caso. Calculando taxa de variação. ∙ 11 + b = 315 ⇔ b = 2 2 Queremos calcular t de modo que V(t) = 0. temos: 7. 10) Considere t(x) = ax + b. a resposta é alternativa D.24 .006x+7. Logo. tem valor y = 260. 9 729 V(11)=315 ⇔ .18 20-10 Logo. t(x)=0. dado pela função definida por V(t)=at+b após t dias.006) = 7. 11)  Seja o volume de água (em milhares de litros).18 Logo.006  e  t(0) = 7. capítulo 6 • 177 . Logo.24 a= = 0. a resposta é alternativa E.20. o que implica que b=-20. no setor 2. no reservatório. Portanto: -9 729 t+ = 0 ⇔ t = 81 2 2 Como 81=31+30+20 o reservatório esvaziou totalmente no dia 20 de dezembro. 315) e (19 .10(0.30-7. Sabendo que o gráfico de V passa pelos pontos (11 . 279) segue que : 279-315 9 a= =- 19-11 2 Logo.e obtemos 120 =140(1) + b. o preço de um ingresso. a expressão será y = 140x . Disponível em: http://objetoseducacionais2.pdf. São Paulo: Atual. temos: Distância percorrida por Aldo: dA = 10. temos que: JAN FEV 29 30 980 1000 ∆y 1000-980 a= = = 20 bolas por °C. 178 • capítulo 6 . Fundamentos de Matemática Elementar 1: Conjuntos e Funções. Conceituação. ed. 9.9 km = 900 m 12 Logo.mec. 2014.br/bitstream/handle/mec/20082/ pdf/rpm41. ∆x 30-29 Logo. São Paulo: Moderna. 13) Da tabela.8t = 3. a resposta é alternativa D.8t 9 1 Distância percorrida por Beto: dB = 3.6(t + ). Carlos. Manipulação e Aplicações: Os três componentes do ensino da Matemática. Parte 1. Acesso em: 04 de abr. 2013. Manoel Rodrigues. 2013.6t + 0. MURAKAMI. LIMA.6 ⇒ t = . a resposta é alternativa B.8 = 0. pois 10min equivale a da hora. Moderna Plus Matemática 1. Elon Lages. PAIVA.12)  De acordo com os dados do problema. obtemos 10. 12 1 Portanto: dA = dB = 10. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS IEZZI.gov. 2 6 1 Fazendo dA= dB. Gelson. 7 Função quadrática ou polinomial do segundo grau . Dentre as suas aplicações encontramos o lançamento de projéteis.  Identificar uma função de segundo grau ou quadrática. É muito comum. 6. na Física e no Esporte. o seu estudo na Geometria. chegou o momento de compreender quais as características de uma relação entre duas grandezas de uma situação faz com que ela possa ser modelada por uma função quadrática. CONCEITO Dizemos que uma função f de ℝ em ℝ é uma função do segundo grau ou quadrática quando associa a cada número real x o número real ax²+bx+c. 5.1  Importância da função quadrática A função quadrática modela problemas em muitas áreas.  Resolver situações-problema envolvendo funções quadráticas. 180 • capítulo 7 . com a≠0. 2.  Definir uma parábola e determinar seus pontos notáveis.  Identificar o domínio e a imagem de uma função quadrática. em que a. o conteúdo é apresentado como simples aplicação de fórmu- las. por exemplo. 4. OBJETIVOS 1. neste segmento. mas. Ainda podemos expressar f por: f:ℝ→ℝ x ↦f(x)=ax²+bx+c. geralmente.  Esboçar e analisar o gráfico de uma função quadrática. 1. o formato de um farol de automóvel e até de um forno solar. 3. b e c são números reais dados. antenas pa- rabólicas e radares. Por isso. 1  A função quadrática Estudamos função quadrática desde o Ensino Fundamental.  Resolver inequações quadráticas. por isso ela ganha tanto destaque. b= e c= . 3. 4. no plano dado. em que a= –2.  f(x)=x²-4x+3. em que a=1 b=-4 e c=3. r 1. EXEMPLO Analise estes exemplos: 1 4 5 1 4 5 1.  f(x)=x²– 4. na figura. por exem- plo.  f(x)= –2x²+x. 1.  f(x)= – x² + x+ . 3 3 3 3 3 3 2. podemos observar que qualquer ponto P da parábola dista igualmente da reta r e do ponto F. b=1 e c=0.2  Parábola Uma parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que são equidis- tantes de uma reta r e de um ponto F. b=0 e c= –4. Podemos visualizar de forma concreta uma parábola. em que a= – .3  Gráfico de uma função quadrática O gráfico de uma função de se- gundo grau ou quadrática é uma parábola. não pertencente à reta. dirigindo um jato de água de forma oblíqua para cima. P LF Por exemplo. em que a=1. capítulo 7 • 181 . ou seja.1. Na prática. Se a<0.0 1.5 -6 2.0 1.0 2.5 3. Para isso.5 –1. EXEMPLO Veja estes exemplos: 2.5 0.5 1.0 –0.4  Concavidade A parábola pode ter concavidade para cima ou para baixo. a parábola possui concavi- dade para cima. o valor de a na expressão f(x)=ax2+bx+c.5 -2 0. para determinarmos a concavidade observamos a expressão da função de segundo grau.5 1. basta identificar o sinal do coeficiente do termo x2.5 –1.5 2. a parábola possui concavi. a>0 a<0 Se a>0. dade para cima.0 f(x)=x²-3x+2 f(x)=-3x²+6 182 • capítulo 7 .0 0.0 -4 1.5 -2 1. 1.6  Raízes ou zeros As raízes ou zeros da função de segundo grau são os valores de x que anulam a função f ou. 8 6 4 2 -1 1 2 3 4 5 capítulo 7 • 183 . obtemos: b c b b2 b2 c f(x) = ax² + bx + c = a(x² + x + ) = a(x² + x + 2 – 2 + ) a a a 4a 4a a [ a (x² + b a b2 b2 c ] [ x + 2 ) – ( 2 – ) = a (x + 4a 4a a b 2a )² – ( b² – 4ac 4a² ) ] Fazendo ∆ = b² – 4ac. chamada for- ma canônica. são os valores reais de x tais que: f(x)=ax²+bx+c=0 Graficamente. Partindo da expressão de f. dito discriminante do trinômio do segundo grau. que nos será muito útil para a determinação das raízes da função do segundo grau. EXEMPLO Seja a função quadrática f(x) = x² – 4x + 3. ainda. as raízes são os pontos onde a parábola corta o eixo dos x.5  Forma canônica Podemos escrever a função quadrática de uma forma diferente. ob- temos então a forma canônica: [ f(x) = a (x + b 2a ∆ )² – ( 2 ) 4a ] 1. Pelo gráfico podemos perceber que a função possui duas raízes: x=1 e x=3. ∆=0 ou ∆<0 2. para determinarmos as raízes da equação do segundo grau. 2. podemos identificar três casos: ∆>0. a saber: 184 • capítulo 7 .1  Caso1: ∆>0 Nesse caso.1. e assim a função quadrática tem duas raízes reais e distintas. Dessa forma.1  Os três casos de discriminante A existência de raízes reais da função quadrática depende da existência da raiz quadrada do discriminante.2  Determinação algébrica das raízes da equação do segundo grau Algebricamente. utilizamos a forma canônica e o fato de que a≠0: ax²+bx+c=0 [ a (x + b 2a )² – ( ∆ 4a²]) =0 b ∆ (x + )² – ( )=0 2a 4a² b ∆ (x + )² = ( ) 2a 4a² b ∆ x+ =± 2a 4a² b x+ =± ∆ 2a 2a b x= – ± ∆ 2a 2a b± ∆ x= 2a Esta fórmula é conhecida por Fórmula de Bhaskara. a raiz do discriminante existe. já que ∆ ∉ ℝ. a função quadrática tem duas raízes reais e iguais. 2.1. neste caso. dizemos que a função quadrática não tem raízes reais.1. a>0 e Δ<0 x a<0 e Δ<0 x capítulo 7 • 185 . neste caso. 2. a>0 e Δ>0 x x a<0 e Δ>0 b+ ∆ x 1= 2a –b – ∆ x 2= 2a Observamos que a parábola corta o eixo dos x em dois pontos distintos. a saber: a>0 e Δ=0 x a<0 e Δ=0 x –b ± ∆ –b x= x1 = x2 = 2a 2a Observamos que a parábola apenas tangencia o eixo dos x.3  Caso 3: ∆<0 Como a raiz quadrada de um número negativo não é um número real.2  Caso 2: ∆=0 Como a raiz quadrada de zero é zero. nos assegurar que a função realmente seja de segundo grau. Partindo desta condição. é necessário que ∆>0. obtemos as raízes: x= –b ± ∆ 2a = 3±1 2 { = 2 1 3. o coeficiente do termo x² precisa ser diferente de zero (a≠0). calculamos: ∆ = b² – 4ac = (–3)² – 4(1)(4) = 9 – 16 = –7 Como ∆<0. a parábola não corta o eixo dos x. 2. é preciso verificar que m–1 ≠ 0 ⇒ m ≠ 1. os valores de m procurados são: m > – e m≠1. Para isso. f não tem raízes reais. Logo. Usando a Fórmula de Bhaskara. além disso. EXERCÍCIO RESOLVIDO 1.Observamos que. 10 186 • capítulo 7 . 9 Assim.  Determine as raízes reais de f(x) = x² – 3x + 2: Resolução Temos ∆ = b² – 4ac = (–3)² – 4(1)(2) = 9 – 8 = 1.  Determine as raízes reais de f(x) = x² – 3x + 4: Resolução Primeiramente. temos: ∆ = b² – 4ac = (2m+3)² – 4(m – 1)(m) > 0 4m² + 6m + 9 – 4m² + 4m > 0 10m + 9 > 0 10m > –9 9 m>– 10 Precisamos. Não se esqueça de que o símbolo matemático “⇒” significa “implica em”.  Determine os valores de m para que a função de segundo grau f(x) = (m–1) x² + (2m + 3)x + m possua dois zeros reais e distintos: Resolução Para que a função quadrática possua dois zeros reais e distintos. 2a capítulo 7 • 187 . EXEMPLO Seja f(x) = x² – 4x + 3. a função quadrática y=ax²+bx+c admite valor máximo yM= – . a parábola interceptará o eixo y em c. 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 1 2 3 4 5 -1 3  Máximo e mínimo Teorema ∆ Se a<0.2  Interseção com o eixo dos y Uma vez que todo ponto localizado em cima do eixo dos y possui abscissa igual a zero. ou seja: f(0) = a0² + b0 + c = c Assim. conforme o gráfico a seguir. para determinarmos o ponto de interseção da parábola com o eixo dos y precisamos fazer x=0 na função quadrática f(x) = ax² + bx + c. Como c=3.2. para b 2a xM= – . verifica-se que esta parábola intercepta o eixo y em y=3. quando: 2a b b x+ = 0 ⇒ x=– 2a 2a Este valor é. ∆ Observamos que – ( ) é constante em relação aos valores de x. Isso acontecerá quando (x + )² = 0. b ∆ Como a<0. 188 • capítulo 7 . yM . maior será 2a 4a² o valor de y. precisamos determinar o menor valor que (x + )² – ( ) pode b 2a 4a² assumir. XM . o valor de x para o qual o valor da função y é o maior possível. Além b disso. Vamos denotar esse valor de x por xM. Para determinar qual o valor máximo da função. temos que quanto menor for o valor de (x + )² – ( ). basta substituirmos b xM=– na forma canônica da função quadrática: 2a [ y = a (x + b 2a )² – ( ∆ 4a² ) ] [ yM = f(xM ) = a (– b 2a + b 2a )² – ( ∆ 4a² ) ] [ ] yM = a 0 – ( ∆ 4a² ) [ ] yM = a – ∆ 4a² ∆ yM = – 4a ■ O gráfico a seguir ilustra o ponto de máximo da parábola. 2a b ∆ Assim. uma vez que 4a² depende somente dos valores dos coeficientes a. o máximo. e não da variável x. ou ainda. e o valor máximo correspondente Y M.Prova Considere a forma canônica da função quadrática: [ y = a (x + b 2a )² – ( ∆ 4a² ) ] Queremos determinar o valor de x para que y tenha valor máximo. b e c.∀x∈ℝ. portanto. (x + )² ≥0. a função quadrática y=ax²+bx+c admite valor mínimo yM=– . Isso acontecerá quando (x + )²=0. e não da variável x. (x + )² ≥ 0. o valor de x para o qual o valor da função y é o menor possível. portanto. precisamos determinar o menor valor que (x + )² – ( ) pode b 2a 4a² assumir. Para determinar qual o valor mínimo da função. quando: 2a b b x+ = 0 ⇒ x=– 2a 2a Este valor é. para xM=– . basta substituirmos xM=– b na forma canônica da função quadrática: 2a capítulo 7 • 189 . temos que quanto menor for o valor de (x + )² – ( ). b e c. y V Valor Máximo YM XM x Ponto de Máximo Teorema ∆ b Se a>0. ∆ Observamos que – ( ) é constante. b ∆ Assim. 2a ∀ x ∈ ℝ. Além disso. Vamos denotar esse valor por xM. 4a 2a Prova Considere a forma canônica da função quadrática: [ y = a (x + b 2a )² – ( ∆ 4a² ) ] b ∆ Como a>0. o mínimo. ou ainda. menor 2a 4a² será o valor de y. uma vez que depende somente dos 4a² b valores dos coeficientes a. Em geral. se o público-alvo é de 44000 pessoas. Considerando o modelo acima descrito. então a máxima rapidez de propagação ocorrerá quando o boato for conhecido por um número de pessoas igual a: (a) 11000 (b) 22000 (c) 33000 (d) 38000 (e) 44000 190 • capítulo 7 . sendo R a rapidez de propagação. tem-se: R(x) = kx(P–x). em que k é uma constante positiva característica do boato. essa rapidez é diretamente proporcional ao número de pessoas desse público que conhece o boato e diretamente proporcional também ao número de pessoas que não o co- nhece. y Ponto de Mínimo XM x YM Valor Mínimo V EXERCÍCIO RESOLVIDO (ENEM 2000) Um boato tem um público alvo e alastra-se com determinada rapidez. Em outras palavras. P o público-alvo e x o número de pessoas que conhece o boato. [ y = a (x + b 2a )² – ( ∆ 4a² ) ] [ yM = f(xM ) = a (– b 2a + b 2a )² – ( ∆ 4a² ) ] [ ] yM = a 0 – ( ∆ 4a² ) [ ] yM = a – ∆ 4a² ∆ yM = – 4a ■ O gráfico a seguir ilustra o ponto de mínimo da parábola X M e o valor mínimo correspondente Y M. O eixo de simetria funciona como um es- pelho. o valor máximo de propagação R será alcançado quando o número de pessoas x corresponder ao ponto de máximo de R. à fórmula do valor O gráfico da função quadrática possui um mínimo. a resposta é a letra b. assim a explicação para isso a seguir. Chamamos por vértice da parábola o ponto como a fórmula do b ∆ valor máximo é igual V=(– .Resolução Como o público-alvo é de 44000 pessoas. Portanto. Vamos ver de mínimo. Como k é uma constante positiva. Assim. 4  Vértice Você deve ter notado no exercício resolvido que o O ponto de máximo ponto de máximo tem a mesma fórmula do ponto tem a mesma de mínimo. temos P=44000. assim como a fórmula do valor máxi. fórmula do ponto mo é igual à fórmula do valor mínimo. Substituindo o valor de P em R(x) = kx (P–x). temos R(x) = kx(44000–x) = –kx² + 44000kx. dividindo a parábola em duas partes. capítulo 7 • 191 . eixo de simetria que passa pelo vértice da pará- bola e é perpendicular ao eixo dos x. o coeficiente de x² em R é negativo.– ) associado à função quadrática 2a 2a y=ax²+bx+c. sabemos que o ponto de máximo é: b 44000k xM = – =– = 22000 2a 2(–k) Logo. sabemos que a concavidade de f é para baixo. ) 2a 4a EXERCÍCIO RESOLVIDO 1. percebemos que a função é crescente para os valores de x menores que 0. 192 • capítulo 7 . Analise os gráficos: y y Eixo de Simetria ∆ V Eixo de 4a Simetria x 0 0 b x 2a b ∆ V( .5.5 2a 2(–1) Esboçando o gráfico da função.  Determine os intervalos onde a função f(x)=–x²+x+2 é crescente e decrescente: Resolução Como a = –1. sendo o vértice o ponto que delimitará a mudança da inclinação da parábola: b 1 xV = – =– = 0.5 e será decrescente para os valores de x maiores de 0. 8 (c) 20.25) V (0.5 . Assim.5 .0 (d) 38.0 Resolução Lembre-se que a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de 39°C. 4 Por motivos de segurança. y y 3 3 V (0. com t em minutos. após se desligar o forno será quando a temperatura atingir os 39°C. temos: capítulo 7 • 193 . a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de 39°C.  (ENEM 2013) A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão t2 T(t)= – + 400. o tempo mínimo de espera.0 (e) 39.25) 2 2 1 1 Intervalo de crescimento x Intervalo de crescimento x –3 –2 –1 1 2 –1 1 2 3 4 –1 –1 –2 –2 –3 –3 2. após se desligar o forno. em minutos.0 (b) 19. para que a porta possa ser aberta? (a) 19. Substituindo T = 39 na expressão da temperatura do forno. em minutos. 2. Qual o tempo mínimo de espera. 2. 5  Imagem Seja a função quadrática f(x) = ax²+bx+c. – ∆ 4a² ] EXEMPLO Seja f(x) = x² – 4x + 3. a resposta é a letra d. a>0. Como a=1>0. no caso em que a<0. o menor valor de y é dado por: ∆ b² . o maior valor de y corresponde à orde- nada do vértice da parábola. ou seja. t2 T(t) = – + 400 4 t2 39 = – + 400 4 t2 = – 39 + 400 = 361 4 t² = 361 . a imagem da função será: ] Im(f)= – ∞ . o menor valor de y corresponde à ordenada do vértice da parábola. portanto. será Im(f)= – [ ∆ 4a² . 4 = 1444 t = 38 Portanto.4ac (-4)² .4(1)(3) y V= – =– = = –1 4a² 4a 4(1) 194 • capítulo 7 . e. A imagem da função. quando a>0. Se a concavidade da parábola é para cima.+∞ [ Analogamente. 3]. Im(f)= ]– ∞ .Nesse caso. Temos que a=– 1 <0. como vemos no gráfico: 3 2 1 1 2 3 4 ∆ = –1 4a Seja f(x)=– 1 x²+ 4 x + 5 .+∞[. Im(f) = [–1. então o menor valor de y é dado por: 3 3 3 3 4 1 5 ∆ ( )² – 4(– )( ) 3 3 3 y V= – =– =3 4a² 4(– ) 1 3 Portanto. como pode ser visto no gráfico: ∆ =3 4a 2 1 –2 2 4 6 –1 –2 capítulo 7 • 195 . 6  Soma e produto das raízes Como vimos. em minutos. 196 • capítulo 7 .( )= = = 2a 2a b²–b²+4ac 4ac 4a² c 4a² = = 4a² 4a² a ou c P= a EXEMPLO (ENEM 2010) Nos processos industriais. as raízes da função de segundo grau f(x)=ax²+bx+c são: –b + ∆ –b – ∆ x 1=  e x2= 2a 2a A soma das raízes desta função de segundo grau é dada por: –b + ∆ –b – ∆ –b + ∆ –b – ∆ –2b b S = x1 + x 2 = + = = =– 2a 2a 2a 2a a ou b S=– a Já o produto das raízes desta função de segundo grau é dado por: –b + ∆ –b – ∆ (–b + ∆). decorrido desde o instante em que o forno é ligado. o tempo de elevação dessa temperatura deve ser controlado. e t é o tempo.(–b – ∆) (–b)² – ∆ P = x1. o forno é programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com a função em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno. para garantir a qualidade do produto final e a economia no processo.x2 =( ). Em uma indústria de cerâmica. como na indústria de cerâmica. em graus Celsius. em muitas situações. é necessário o uso de fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e. a função a ser considerada é T(t)= t²– t + 320. 2 16 (II)  Para t≥100. 7 { t + 20 para 0≤t<100 5 T(t)= 2 16 t²– t + 320 para t≥100 125 5 Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for 48°C e retirada quando a temperatura for 200°C. fazendo: 7 T(0) = 0 + 20 = 20 5 7 T(100) = 100 + 20 = 140 + 20 = 160 5 Dessa forma. Neste caso. em minutos. teremos 20≤T<160. O tempo de permanência dessa peça no forno é. a função a ser considerada é T(t)= + 20 5 Determinamos a temperatura T para t=0 e T=100. quando 0≤t<100 . de modo que consigamos precisar o tempo de permanência dessa peça dentro dele. Quando a temperatura for 48°C. a peça entra no forno. 125 5 Precisaremos determinar o valor de t quando a peça for colocada e retirada do forno. determinamos o valor de t correspondente. igual a: (a) 100 (b) 108 (c) 128 (d) 130 (e) 150 Resolução Temos duas situações: 7 (I) Para 0≤t<100. fazendo: 7 T(t) = t + 20 5 7 48 = t + 20 5 7 t = 48 – 20 = 28 5 7t=28∙5 capítulo 7 • 197 . As- sim. a peça é retirada do forno no tempo t=150 min. De fato. t=4∙5=20 min Quando a temperatura for 200°C. esta pode ser fatorada com o auxílio de suas raízes: f(x)=a(x–x1 )(x–x2 ). dada f(x)=ax²+bx+c. portanto. fazendo: 2 16 T(t)= t²– t + 320 125 5 2 16 200= t²– t + 320 125 5 2 16 0= t²– t + 320 – 200 125 5 2 16 t²– t + 120 = 0 125 5 2t²-(16∙25)t+(120∙125)=0 2t²-400t+15000=0 t²-200t+7500=0 Podemos resolver esta equação de segundo grau utilizando a Fórmula de Bhaskara. é a letra d. Então. as raízes são: –(–200) – 10000 200 – 100 = = 50min 2(1) 2 –(–200)+ 10000 200 + 100 = = 150min 2(1) 2 Uma vez que estamos trabalhando com uma temperatura de 200°. colocando o coeficiente a em evidência. obte- mos: b c f(x)=a(x²+ x+ ) (I) a a 198 • capítulo 7 . 7  Fatoração do trinômio do segundo grau Considerando a função quadrática f(x)=ax²+bx+c. A resposta. o tempo de permanência da peça no forno será: 150 – 20 = 130 minutos. determinamos o valor de t. Logo. sabemos que t≥100. Temos que ∆ = (200)² – 4(1)(7500) = 40000 – 30000 = 10000. sabemos que: b S=x1+x2=– a c P=x1∙x2= a Então. vamos ver outro modo de fatorar f : f(x)=a(x²–(x1+x2)x+(x1∙x2)) f(x)=a(x²–x1 x–x2 x+x1 x2) Colocando x e depois x2 em evidência. Agora. Agora. colocando (x-x1) em evidência. utilizando as raízes da equação: f(x)=a(x-x1 )(x-x2 ) ATENÇÃO b c Podemos ainda escrever a função f(x)=a(x²+ x+ ) (I) como: a a b c f(x)=a(x²+ x+ )  (I) a a f(x)=a(x²–(x1+x2 )x+(x1∙x2 )) f(x)=a(x²–Sx+P) Aqui S é a soma das raízes e P o produto. obtemos f(x)=a(x(x–x1 )+x2 (x–x1 )). capítulo 7 • 199 . decompomos o trinômio do segundo grau em fatores de primeiro grau. podemos fatorar f como f(x)=a(x²–Sx+P). Se x1 e x2 são as raízes desta função quadrática. coeficiente a: Como a=-1<0.  Pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x – raízes: 200 • capítulo 7 .  Onde a parábola corta o eixo dos y: coeficiente c. 2.  Concavidade da parábola: coeficiente a.  Pontos em que a parábola intercepta o eixo dos x: raízes. 2.  Concavidade da parábola . 4. a parábola corta o eixo dos y em (0. então.coeficiente c: Como c=-3.  Onde a parábola corta o eixo dos y . 3. f(x)=2(x-2)(x-1). 3. ou máximo (a < 0): vértice V. 5.  Ponto de mínimo (a > 0). EXEMPLO Esboce o gráfico da função f(x)=-x²-4x-3: Resolução 1. a concavidade da parábola é voltada para baixo.-3).  Eixo de simetria da parábola: reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y. RESUMO Construção do gráfico de uma função de segundo grau 1. EXEMPLO Determine a forma fatorada da função quadrática f(x)=2x²–6x+4: Resolução Precisamos encontrar primeiramente as raízes de f: ∆=b²-4ac=(-6)²-4(2)(4)=36-32=4 x= –b ± ∆ 2a = 6±2 4 { = 2 1 A forma fatorada será. imagem negativa (f(x)<0) e imagem nula (f(x)=0). −∆4a=−(−4)2(−1). −44(−1)=−2. sendo o vértice: V=−b2a. o gráfico de f é dado por: –5 –4 –3 –2 –1 1 –2 –2 –6 –8 8  Estudo dos sinais da função quadrática Estudar o sinal de uma função consiste em determinar os intervalos de x nos quais esta função possui imagem positiva (f(x)>0). teremos um ponto de máximo. O estudo do sinal de uma função quadrática depende da concavidade desta função e a mudança de sinal da função quadrática está intimamente ligada às raízes desta função. RESUMO Podemos resumir o estudo dos sinais de uma função quadrática com o auxílio dos seguintes gráficos: capítulo 7 • 201 . ∆=b²-4ac=(-4)²-4(-1)(-3)=16-12=4 x= –b ± ∆ 2a = 4±2 -2 { = -3 -1 4. Como a=-1<0. 1 Desse modo. verificamos de imediato que f(x)=0. 8 7 6 5 Repare que. f(x)<0. A imagem de f é positiva. entre as raízes x1=1 e x2=3. f(x)>0. o 4 valor da função é negativo (está abaixo do 3 2 eixo dos x). ou seja. apresentado abaixo. ou seja. Então. 202 • capítulo 7 . o valor da -1 1 2 3 4 5 -1 função é positivo. quando x=x1 e x=x2. enquanto para valores de x me- 1 nores e maiores do que as raízes. Já a imagem de f é negativa. determinamos suas raízes x1=1 e x2=3. no intervalo x<1 ou x>3. ∆>0 ∆<0 ∆=0 y y y a>0 y>0 y>0 y>0 y>0 y>0 0 x1 y<0 x2 x 0 x 0 x1=x2 x y y y x1=x2 0 0 y<0 x x y<0 y<0 x1 y>0 x2 x y<0 0 y<0 a<0 EXEMPLO Estude o sinal da função quadrática f(x)=x²-4x+3: Resolução Ao montar o gráfico de f. no intervalo 1<x<3. e estudamos o sinal do produto do numerador junto com o sinal do denominador. EXERCÍCIO RESOLVIDO (x²-11x-24) Resolva a inequação ≥0: (x²-11x-24) Resolução Para resolver esta inequação precisamos estudar o sinal de cada uma das funções envolvi- das.11x + 24 + + – – – + Como a função h está no denominador. Podemos agora identificar o sinal de imagem de f no esquema a seguir. que tem como orientação o eixo dos x.6x + 5 + – – – + + (II) g(x)=(x-4) Sabemos que g é uma função linear crescente com raiz x=4. São elas: (I) f(x)=x²-6x+5 Temos que a=1>0 e suas raízes são x=1 e x=5. as raízes desta equação não podem pertencer à solução. Assim. raízes 3 8 x2 . raízes 4 x-4 – – – + + + (III) h(x)=x²-11x-24 Temos que a=1>0 e suas raízes são x=3 e x=8. capítulo 7 • 203 . já que o denominador não pode ser nulo. ela não pode assumir valor zero. Para analisar a inequação. lembran- do-se de excluir as raízes de h. g e h. montamos um quadro com os sinais da imagem das funções f. raízes 1 5 x2 .   x≥0 EXEMPLO 1. raízes 1 3 4 5 8 x2 . | |= 2 2 9.1  Interpretação geométrica do módulo Na reta numérica.11x + 24 + + – – – + inequação – + – + – + Representamos a solução da inequação por: S={x∈ℝ| 1≤x<3}∪{x∈ℝ| 4≤x≤5}∪{x∈ℝ| x>8} 9  Função modular CONCEITO Módulo de um número real Definimos módulo ou valor absoluto de um número real x como: |x| = { -x. x<0 x. 204 • capítulo 7 . |-5|=5 5 5 2.6x + 5 + – – – + + x-4 – – – + + + x2 . |a| representa a distância do ponto a ou do número a até a origem 0. podemos ter x>0.y ∈ ℝ. •  (⇐) Provando que x=0 ⇒|x|=0.2  Propriedades de módulo Para todo x. temos que |x|=-x>0. ou seja. temos que o ponto x tem distância zero da origem. Se x=0. para todo x ∈ R. Note 4 4 que as distâncias coincidem. Assim. pela definição de módulo. temos que |x|=x>0. |x|≥0. ■ II. EXEMPLO -4 0 +4 |4| é a distância do número 4 até a origem e |-4| é a distância do número -4 até a origem. •  (⇒) Provando que |x|=0 ⇒ x=0. x=0 ou x<0. são válidas as seguintes propriedades de módulo: I. temos que |x|=x=0. x=0. precisaremos provar a “ida” (⇒) e a “volta” (⇐). pela definição de módulo. Vamos examinar cada um dos casos: •  Para x>0. •  Para x<0. •  Para x=0. pela definição de módulo. ■ capítulo 7 • 205 . 9. |x|=0⇔x=0 Prova Para provarmos um “se e somente se” (⇔). temos que |x|=x=0. |x| ≥ 0 Prova Como x ∈ ℝ. pela definição de módulo. Se |x|=0. 206 • capítulo 7 . III. Portanto. Assim. |x||y|=( -x)(-y)=xy=|xy|. temos que xy<0.|x|=-x>0 e |y|=y>0.  |x|² = x² Prova Da propriedade (III). -|x| ≤ x = |x| ≤ |x|.|x|=-x>0 e |y|=-y>0. da definição de módulo. Portanto. temos que |y|=0 e xy=0. |x||y|=|xy| Prova Vamos considerar todos os casos possíveis de sinais de x e y. Assim. Assim. -|x| ≤ x ≤ |x| Prova •  Se x≥0. Portanto. da definição de módulo. |y|=-y e |xy|=-xy. |xy|=xy>0. |y|=y e |xy|=xy. pois x² ≥ 0. Portanto. •  Se x<0 e y<0. temos que |x|=x. Assim. •  Se x≠0 e y=0.x|⇒|x|²=|x² |=x². Portanto. ■ V. |x||y|=0∙|x|=0=|xy|. •  Se x<0 e y>0. |x||y|=xy=|xy|. da definição de módulo. temos que xy≥0. Assim. •  Se x>0 e y<0. temos que |x| = -x ≥ 0 e -|x| ≤ 0. temos que |x||x|=|x. |x||y|=(-x) y=-(xy)=|xy|. |x||y|=-xy=|xy|. temos que |x| = x ≥ 0 e -|x| ≤ 0. |xy|=-(xy)>0. temos que |x|=x. •  Se x<0. temos que xy>0. •  Se x≥0 e y≥0. ■ IV. da definição de módulo. temos que xy<0. sabemos que |x|²=x²e |y|²=y². Ficamos. ■ VI. Logo: |x-y|²=(x-y)²=x²-2x∙y+y²=|x|²-2x∙y+|y|² No entanto. |x+y|≤|x|+|y| Prova Da propriedade (IV). y≤|y|. |x-y|²≥(|x|-|y|)² ⇒|x-y|≥|x|-|y|. obtemos: |x+y|²=(x+y)²=x²+2x∙y+y² Da mesma propriedade (IV). Ficamos então com: |x-y|²=(x-y)²=x²-2xy+y²=|x|²-2x∙y+|y|²≥|x|²-2|x|∙|y|+|y|²=(|x|-|y|)² Assim. sabemos que -|x|≤x e -|y|≤y. temos que |x|²=x². com: |x+y|²=(x+y)²=x²+2xy+y²=|x|²+2x∙y+|y|²≤|x|²+2|x|∙|y|+|y|²=(|x|+|y|)² Assim. |x-y| ≥ |x|-|y| Prova Da propriedade (IV). da propriedade (V). Desenvolvendo o produto notável quadrado da diferença. Logo: |x+y|²=(x+y)²=x²+2x∙y+y²=|x|²+2x∙y+|y|² No entanto. |x|²=x² e |y|²=y². ■ capítulo 7 • 207 . então. sabemos que x≤|x|. |x+y|²≤(|x|+|y|)² ⇒ |x+y|≤|x|+|y|. -|x| ≤ x ≤ -x = |x| ≤ |x|.Assim. |x-y|²=(x-y)². Assim. da propriedade (V). Desenvolvendo o produto notável quadrado da soma. |x+y|²=(x+y)². obtemos: |x-y|²=(x-y)²=x²-2x∙y+y² Da mesma propriedade (IV). ■ VII. Assim. temos que |x|²=x². o elemento |x|∈ℝ.  x+2 ≥ 0 |x+2| = { -x-2.5 x -2 -2 1 2 EXEMPLO 1.  x+2 < 0 x+2. CONCEITO Definição de função modular Dizemos que uma função f de ℝ em ℝ é uma função modular quando associa.  x < -2 x+2. x<0 x.5 1 0. a cada número real x.  x≥0 y 2 1.  x ≥ -2 208 • capítulo 7 .  Vamos construir o gráfico da função f(x)=|x+2|: Processo 1 Utilizando a definição de módulo de um número real: |x+2| = { -(x+2). é traçado com o auxílio da definição de módulo de um número real: y = |x| = { -x. mostrado a seguir. Ou ainda: f:R→R f(x)=|x| O gráfico da função modular f(x)=|x|. temos: |x+1| = { x+1  se  x+1 ≥ 0 -(x+1)  se  x+1 < 0 |x+1| = { x+1  se  x ≥ -1 -x-1  se  x < -1 A função ficará.  se  x < -1 y = x + |x+1| = { 2x+1  se  x ≥ -1 -1. Podemos esboçar o gráfico sem o módulo e depois rebater a parte negativa. y 5 4 Trata-se de uma função de- finida por duas sentenças 3 de acordo com o domínio: 2 I. utilizando o eixo x como um “espelho”.  y=x+2 para x≥-2 1 x -6 -4 -2 2 Processo 2 Utilizando rebatimento.  Esboce o gráfico da função real definida por f(x)=x+|x+1|: Da definição de módulo.  y=-x-2 para x<-2 II.  se  x < -1 capítulo 7 • 209 . então: y = x + |x+1| = { x+x+1  se  x ≥ -1 x-x-1. y y y 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 x x x -6 -4 -2 2 -6 -4 -2 2 -6 -4 -2 2 -1 -1 -1 -2 -2 -2 -3 -3 -3 -4 -4 -4 2. Se x<0. suponha que x=b ou x=-b. Ou seja. temos b=|x|=-x ⇒x= -b. temos que |x|=b se. |x|=b ⇒ x=b ou x=-b. x=b ou x=-b. Prova •  (⇒) Provando que. para b≥0 . suponha que |x|=b. Se x≥0. Assim. podemos montar o gráfico da função observando as expressões em cada intervalo. 10. temos b=|x|=x⇒x= b. ■ 210 • capítulo 7 . x=b ou x=-b. e somente se.1  Resultado 1 Para b≥0.Agora. y 3 2 1 x -3 -2 -1 1 -1 10  Equações modulares Vamos apresentar dois resultados importantes com relação a equações com funções modulares. então |x|=|-b|=b. Para b≥0. então |x|=|b|=b. Se x=b≥0. Para b≥0. x=b ou x=-b ⇒|x|=b. Se x=-b≤0. |x|=b. •  (⇐) Provando que: para b≥0.   a<0 e b>0 ⇒ |a|=|b| ⇒ . Prova •  (⇒) Provando que.b∈ℝ. em ℝ.b∈ℝ.|b|=|b|.|b|=1. suponha que a=b ou a=-b.b∈ℝ.a=-b ⇒ a=b Pudemos verificar que: |a|=|b| ⇒ a=b ou a=-b •  (⇐) Provando que. I. ■ capítulo 7 • 211 . então temos que |a|=|-b|=|(-1)b|=|-1|.  b=0 ⇒ |a|=|b|=0 ⇒ a=0 e b=0 ⇒ a=b III. Para a.|a|=|b| ⇒ a=b ou a=-b.b>0 e |a|=|b| ⇒ a=b IV.b∈ℝ.  a>0 e b<0 ⇒ |a|=|b| ⇒ a=-b V. Se a=b. Para a. Note que usamos acima a propriedade (III) do módulo. para a.  a=0⇒ |a|=|b|=0 ⇒ b=0 e a=0 ⇒ a=b II. suponha que |a|=|b|. a equação modular |2x-1|=7: Do resultado 1 acima. Consideremos os casos possíveis para a e b.2  Resultado 2 Para a. para a. a=b ou a=-b ⇒ |a|=|b|. então temos que |a|=|b|. Se a=-b .b∈ℝ. |a|=|b| ⇔ a=b ou a=-b. temos que: 2x-1=7 ou 2x-1=-7 2x=7+1 ou 2x=-7+1 2x=8 ou 2x=-6 x=4 ou x=-3 S={-3.4} 10.a=b ⇒ a=-b VI. EXEMPLO Resolva.  a>0.  a<0 e b<0 e |a|=|b| ⇒ . . |x|<a.1  Resultado 1 |x|<a e a>0 ⇔ -a<x<a Prova Considere a>0. -a 0 -a 212 • capítulo 7 . a equação modular |3x-1|=|2x+3|: Do resultado 2 acima. temos que |x|=x e |x|=-x. que estão localizados no intervalo indicado em preto. Então. em R. pois depende do sinal de x. significa que estamos procurando os valores reais x cuja distância até a origem é menor que a. Da definição de módulo. segue que: |x|<a ⇔ x<a e -x<a ⇔ x<a e x>-a ⇔ -a<x<a ■ Geometricamente. temos que: 3x-1=2x+3 ou 3x-1=-(2x+3) 3x-1=2x+3 ou 3x-1=-2x-3 3x-2x=3+1 ou 3x+2x=-3+1 x=4 ou 5x=-2 x=4 ou x=-2/5 2 S={.4} 5 11  Inequações modulares Vamos agora ver dois resultados importantes sobre inequações que envolvem funções modulares. EXEMPLO Resolva. 11. que estão localizados nos intervalos indicados em preto. <x<2} 3 11. temos que: capítulo 7 • 213 . EXEMPLO Resolva em ℝ a inequação modular |3x-2|<: Do resultado 1 de inequações modulares. <x< 3 3 2 .2  Resultado 2 |x|>a e a>0 ⇔ x<-a ou x>a Prova Considere a>0 Segue que: |x|>a>0 ⇔ x>a ou -x>a ⇔ x>a ou x<-a ⇔ x<-a ou x>a ■ Geometricamente. note que |x|>a significa que estamos procurando os valo- res reais x cuja distância até a origem é maior que a. <x<2 3 2 S={x∈R | . -a 0 -a EXEMPLO Resolva em ℝ a inequação modular |2x-1|>3: Do resultado 2 de inequações modulares. temos que: -4<3x-2<4 -4+2<3x-2+2<4+2 -2<3x<6 2 6 . a bola descreve duas parábolas com vértices C e D. é igual a: (a) 38 (b)  40 (c)  45 (d)  50 214 • capítulo 7 . toca o solo nos pontos A e B. conforme representado no sistema de eixos ortogonais: y(m) C D 0 A 35 B x(m) Durante sua trajetória.  (UERJ 2009) Uma bola de beisebol é lançada de um ponto 0 e. a distância do ponto 0 ao ponto B. -x² 2x A equação de uma dessas parábolas é y= + . 2x-1<-3 ou 2x-1>3 2x<-3+1 ou 2x>3+1 2x<-2 ou 2x>4 x<-1 ou x>2 S={x∈ℝ | x<-1. em seguida. 75 5 Se a abscissa de D é 35 m.x>2 } ATIVIDADE 1. em metros. os vértices das curvas traçadas nos gráficos I e II. 3 Uma bolinha de aço é lançada da origem e segue uma trajetória retilínea.  (UERJ 2008) Os gráficos I e II representam as posições S de dois corpos em função do tempo t.2. x² + 2 3x. Admita que V1 e V2 são. Ao incidir no vértice de anteparo é refletida e a nova trajetória é simétrica à inicial. a Assim. a função horária é definida pela equação S=a1t² + b1t e. a razão 1 é igual a: a2 (a) 1 (b)  2 (c)  4 (d)  8 3. no gráfico II. f(x) α 0 x capítulo 7 • 215 . respectivamente. em relação ao eixo da parábola. S (metros) S (metros) V1 V2 h h 0 t1 t (segundos) 0 2t1 t (segundos) No gráfico I.  (UERJ 2001) A figura mostra um anteparo parabólico que é representado pela função 3 f(x)=. por S=a2t² + b2t. 30m de altura interna. é dada pela expressão h=-25t²+625. sua sombra se encontrava a 16 metros da linha do gol. de 2. um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais.45 com altura AP igual a 2.45m. na foto.  (PUC–Campinas) A trajetória de um projétil foi representada no plano cartesiano por y= -x² x + . com uma unidade representando um quilômetro. Observe. um caminhão C d 2. y P Ao entrar no túnel.O valor do ângulo de incidência corresponde a: (a)  30º (b)  45º (c)  60º (d) 75º 4. 6. o jogador “Chorão” chutou a bola em direção ao gol. A bola descreveu uma pa- rábola e quando começou a cair da altura máxima de 9 metros. A Calcule a distância do ponto P ao eixo vertical 0y: 7. no instante em que os raios solares incidiam perpendi- cularmente sobre o gramado.45m como ilustrado a seguir. 216 • capítulo 7 . Determine a altura máxima que 64 16 o projétil atingiu.6m. t segundos após o lançamento. Sua altura h em relação ao solo. cujo eixo horizontal Ox é tangente ao solo e o vertical Oy representa o eixo de simetria da parábola.  (UERJ) Numa partida de futebol. A sombra da bola descreveu uma reta que cruzou a linha do gol.  (PUC–SP) Uma bola é largada do alto de um edifício e cai em direção ao solo.  (UERJ 2007) A foto abaixo mostra um túnel cuja entrada forma um arco parabólico com base AB = 8m e altura central OC = 5. toca sua extremidade P em um determi- A 0 x1 B x nado ponto do arco parabólico. Após quantos segundos do lançamento a bola atingirá o solo? 5. 2. a 3 metros do chão.3m 9m x 16m Após o chute de “Chorão”. nenhum jogador conseguiu tocar na bola em movimento. Suponha que a trajetória da bola seja uma parábola. a que altura está a bola ao atingir o gol? capítulo 7 • 217 . y 2.  (ENADE 2011) Em um jogo de futebol. exatamente acima da barreira. y Gol Q Parábola Posição da Falta 3 Barreira P 0 x 8 12 Sabendo-se que o gol está a 8 metros da barreira. A equação da parábola era do tipo x² S=. +c. localizado a 12 metros da barreira. como ilustra a figura abaixo. um jogador irá bater uma falta diretamente para o gol. 36 O ponto onde a bola tocou pela primeira vez foi: (a)  na baliza (b)  atrás do gol (c)  dentro do gol (d)  antes da linha do gol 8. com ponto de máximo em Q. A falta é batida do ponto P. A re- presentação gráfica do lance em um plano cartesiano está sugerida na figura. Sabemos que os pontos A e B são simétricos em relação ao eixo que passa no vértice D. sendo a abs- cissa do ponto A igual a 30. temos que: -x x x = 0 ⇒ x = 0 ou -2 = 0 ⇒ = 2 ⇒ x = 30 5 15 15 Isso implica que a equação dada se refere à parábola de raízes em 0 e em A.  (UFRJ 2005) Durante o ano de 1997 uma empresa teve seu lucro diário L dado pela função L(x)=50(|x-100|+|x-200|). 1 e t1.00. então a abscissa do ponto B será igual a 40m.…. enquanto que as raízes de S2 são 0 e 2t1: S1(t) = a1t² + b1t = a1t(t-t1) S2(t) = a2t² + b2t = a2t(t-2t1) Lembrando que a abscissa do vértice de uma quadrática está sobre o eixo de simetria da pa- t rábola. Determine em que dias (x) do ano o lucro foi R$10.9. Dessa forma. Como a distância do ponto A à abscissa do vértice D mede 5m. 2. podemos dizer que: t1 S1 ( ) = S2 (t1) = h 2 218 • capítulo 7 . Logo. respectivamente. 75 5 Podemos resolver utilizando a Fórmula de Bhaskara ou fatorando a expressão: -x² 2x -x x y=0 ⇒ + =0⇒ ( -2) = 0 75 5 5 15 Assim. segue que as abscissas de V1 e V2 são.000. em que x=1. a resposta é a letra b. e ambos os vértices 2 possuem a mesma ordenada h.2.  Podemos escrever as funções S1(t) = a1t² + b1t e S2(t) = a2t² + b2t em suas formas fa- toradas. Sabemos que as raízes de S1 são 0 e t1.365 corresponde a cada dia do ano e L é dado em reais.  As raízes de y= + são x=0 e x=30. GABARITO -x² 2x 1. Substituindo na expressão de h. = (. temos: h=-25t²+625 0=-25t²+625 25t² = 625 t²= 25 ⇒ t=±5 Considerando que a bola foi largada no instante t=0.  Repare que o coeficiente c na função f é nulo.3)(.3 ) (0) (2 3)² 12 3 9 3 yV= =. restando t=5. sua altura será zero.  Quando a bola atingir o solo. Veja o gráfico da função para visualizar a trajetória da bola: capítulo 7 • 219 . ) 3 3 3 Da figura: cateto oposto x 3 1 3 tgα = = V = = = ⇒ α = 30º cateto adjacente yV 3 3 3 3 Assim.1 ) = a2(t1)(-t1) 2 2 t1 a1 ( )² = a2 (t1)² 2 a1 a = a2 ⇒ 1 = 4 4 a2 Logo. Precisamos determinar as coordenadas do vértice da parábola (xV. )=3 75 3 3 2(. 4. =– =– = 3(– )= =3 4 3 3 3 3) 3 3 3 4(. ) 3 3 -∆ (2 3)² – 4(. 4(. t1 t1 a1 ( -t ) = a2t1 (t1-2t1) 2 2 1 t1 t a1 ( )(. 3. a resposta é a letra a. a resposta é a letra c. yV): -b 2 3 3 xV = =. ) 4(. temos que a solução t=-5 deve ser descartada. o projétil atingiu a altura máxima de 0.5 m. o eixo de simetria passa por x = 0. e o produto é P = -16. pois S=0.  Como se observa na figura. 600 400 200 1 2 3 4 5 6 -200 Portanto.0).0) e B = (4.6 5.6. Para montar a expressão da parábola precisamos determinar o coeficiente a. 220 • capítulo 7 . =– = = = = 0. 5. a bola levará 5 segundos para atingir o solo. Isto implica que as raízes da parábola são x1 = -4 e x2 = 4. como AB = 8.6 -16 = ⇒ a -16 Lembre que b=0. Temos na figura que o ponto C é a interseção da parábola com o eixo dos y e coincide com o máximo. ) (0) ( )² -∆ 16 64 16 256 1 16 1 yV= =.0625 4 1 1 1 256 1 16 4(– ) 4(– km) 64 64 16 Portanto.0625 km=62. 6.  Para saber a altura máxima do projétil temos que calcular a ordenada do vértice da pa- rábola: 1 1 1 1 ( )² – 4(. Para isso. substi- tuímos P e c em: c P= a 5. Assim. Neste caso. o valor do coeficiente é c = 5. então A = (-4. cuja soma é S=0. +c. x²+5.6 . temos que a abscissa do vértice é 0.6x² = 3. significando que a bola consegue entrar no gol. A distância do ponto P ao eixo vertical Oy será 3m. +9 = = ≅ 1.6 16 5. +c ⇒ c = 9 36 x² Ficamos. Portanto. +9 = .45 = 3. Então. 36 Embaixo da linha do gol.2.6 2. 7. então. a solução x=-3 é descartada. Para determinar a altura da bola na linha do gol. +9 36 16² 256 -256 + 324 68 S=.15 ∙ 16 = 50. a resposta é a letra c. x²+5. a abscissa é x=16.15 16 5. sendo menor que a altura da baliza do gol que é 2.45=. +9. capítulo 7 • 221 . a expressão é f(x)= x²+5.6. 5. temos que a altura da bola na linha do gol é de 1.9).9 36 36 36 36 Assim. -16 Precisamos agora determinar o valor de x para que y (a altura do caminhão) seja igual a 2. x² Substituímos este ponto na equação S=.9m.45m: 5. devemos calcular a ordenada para x=16: x² S=.6 f(x)=.3m.  A altura máxima da bola é 9m.4 x² = 9 ⇒ x = ±3 Como estamos considerando distância.6 Assim. Da figura. Isto significa que a ordenada do vértice da parábola é 9. com a equação S=.6 16 5. o vértice da parábola é V=(0. temos: 36 0² 9 =.6 x² = 5. Portanto.000 reais. com a≠0. precisamos do valor de f(x) em x=-8. na raiz. 3 9. temos: -3 -1 0 = a(12)² + 3 = 144a + 3 ⇒ a = = 144 48 Lembre-se que. -1 Finalmente.  Sabemos que uma parábola tem como expressão f(x)=ax²+bx+c. subs- tituímos L(x)=10000 na função do lucro diário: 222 • capítulo 7 . ficamos com: .4ac – = 3 ⇒ c=3 4a Substituindo b=0 e c=3 na expressão f(x)=ax²+bx+c.4ac =– =3 4a 4a Como b=0. Sabemos que uma das raízes da função é x=12. Para isso. o vértice da parábola é -b -∆ -b -∆ V = (0. o valor da função é sempre nulo. 48 Para que possamos determinar a altura do gol. Substituindo na função. dessas equações. ou seja: -1 -64 -4 5 f(-8) = (64) + 3 = +3= +3 = 48 48 3 3 5 Logo. onde =0e = 3. chegamos à expressão da função f(x)= x²+3.3) = ( . Sabemos que a altura máxima da bola é 3m em x=0.  Queremos determinar quais dias correspondem ao lucro de 10. Para saber a altura da bola ao atingir o gol. obtemos f(x)=ax²+3. a altura da bola ao atingir o gol é metros. temos: -b = 0 ⇒ b=0 2a e -∆ b² .8. b e c através do gráfico dado. 2a 4a 2a 4a Como a≠0. precisamos determinar primeiramente os valores dos coeficientes a. ). Note que. 10000=50(|x-100|+|x-200|) 200=|x-100|+|x-200| Isso resulta em uma equação modular. temos: |x-100| = { x-100  -(x-100)  se  x-100 ≥ 0 se  x-100 < 0 ou |x-100| = { x-100  -x+100  se  x ≥ 100 se  x < 100 e |x-200| = { x-200  -(x-200)  se  x-200 ≥ 0 se  x-200 < 0 ou |x-200| = { x-200  -x+200  se  x ≥ 200 se  x < 200 Vamos. 100 200 |x-100| -x+100 x-100 x-100 |x-200| -x+200 -x+200 x-200 |x-100|+|x-200| -2x+300 100 2x-300 100 200 Da tabela. Utilizando a definição de módulo na equação. capítulo 7 • 223 . podemos agora resolver a equação 200=|x-100|+|x-200|. os valores de x crescem para a direita. montar a seguinte tabela com as expressões dos módulos em cada intervalo de x. temos que analisar a soma dos módulos da primeira e da segunda linha. agora. conside- rando três intervalos de x: { -2x+300  se  x < 100 |x-100|+|x-200| = 100  se 100 ≤ x <200 2x-300  se  x ≥ 200 Sabendo a expressão da soma dos módulos em cada intervalo. 224 • capítulo 7 . Assim.I. resulta que: |x-100|+|x-200|=200 -2x+300=200 -2x=200-300 -2x=-100 x=50 II. Moderna Plus Matemática 1. 2013.250}. temos que |x-100|+|x-200|=2x-300. 2013. Assim. MURAKAMI. Parte 1. ed. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS IEZZI. temos que |x-100|+|x-200|=100.  Para x<100. III. Parte 2. resulta que: |x-100|+|x-200|=200 2x-300=200 2x=200+300 2x=500 x=250 Portanto. PAIVA.000 reais. São Paulo: Atual. Carlos.  Para 100≤x<200. Moderna Plus Matemática 1. Assim. 9. a solução é S={50. O 50º dia e o 250º dia apresentam lucro diário igual a 10. Manoel Rodrigues. São Paulo: Moderna.  Para x≥200. resulta que: |x-100|+|x-200|=200 100=200 O que é um absurdo. temos que |x-100|+|x-200|=-2x+300. 2013. São Paulo: Moderna. Fundamentos de Matemática Elementar 1: Conjuntos e Funções. ______. Gelson. 8 Função exponencial .   Resolver problemas que envolvam função exponencial.  y = (0. 2. EXEMPLO 1. para estudarmos essas aplicações.4)x 3.  Resolver equações e inequações exponenciais.  Analisar o gráfico de uma função exponencial. CONCEITO A função f:ℝ→ℝ+* definida por f(x)=ax. O número real a é chamado de base da função exponencial. importan- tes na Matemática Financeira.  f(x) = 3x 2. Elas expressam um crescimento ou um decrescimento característico de alguns fenômenos. e o crescimento de determinados seres vivos microscópicos. OBJETIVOS 1. vamos ver que. Neste capítulo. a decomposição ou desintegração de determina- das substâncias também acontece segundo um padrão exponencial. 4. precisamos primeiro compreender as noções da função de exponencial e seus resultados. com a>0. como o funcionamento dos juros compostos. a≠1 é chamada de função exponencial. 3. Além disso.  f(x) = (√5)x 226 • capítulo 8 . 1  Importância das funções exponenciais e suas aplicações As funções exponenciais têm grande importância para diversas áreas das Enge- nharias e Ciências de modo geral.  Identificar uma função exponencial. com inúmeras aplicações. e em seguida marcar seus pontos no plano cartesiano: x 2x 9 9 8 8 -3 1/8 7 7 -2 1/4 6 6 -1 1/2 5 5 0 1 4 4 3 3 1 2 2 2 2 4 1 1 3 8 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Neste exemplo. teríamos uma indeterminação quando x=0. II. pois f(x)=1x=1 para todo x. por exemplo. para a=-3 e x= . note que Domf=ℝ. Por exemplo. vamos construir uma tabela com os valores da função para alguns valores de x. capítulo 8 • 227 . pois. 0-5= 5 = . e 1 1 também quando x<0. vamos mostrar como construir o gráfico de uma função exponencial. pois 00∉ℝ. Imf=ℝ+∗ e a função é crescente em todo seu domínio.  Se a base fosse igual a zero.  Se a base fosse igual a 1. teríamos uma função constante. 0 0 III. EXEMPLO 1) f(x)=2x Inicialmente. ATENÇÃO Por que a base a tem que ser maior do que zero e diferente de 1? I. 2 f(x)=(-3)½= -3 não pertence ao conjunto dos números reais.  Se a base fosse um número negativo teríamos valores da imagem de ax não 1 pertencentes ao conjunto dos números reais. 2  Gráfico de uma função exponencial Através de alguns exemplos. 228 • capítulo 8 . 3  Esboços gráficos de função exponencial 1º caso: a > 1 2º caso: 0 < a < 1 y y 1 1 0 x 0 x Em ambos os casos. a função exponencial sempre toca o eixo-y (eixo das ordena- das) no ponto em que y=1. o gráfico da função f(x)=ax não toca o eixo-x (eixo das abs- cissas) e. note que Domf=ℝ. em seguida. para todo a>0. Isso ocorre porque a0=1. 2) y= (1/2)x Vamos primeiramente construir uma tabela para alguns valores de x e. marcar os pontos no plano cartesiano: x (1/2)x 9 9 8 8 -3 8 7 7 -2 4 6 6 -1 2 5 5 0 1 4 4 3 3 1 1/2 2 2 2 1/4 1 1 3 1/8 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Já neste exemplo. Imf=ℝ+∗ e a função é decrescente em todo seu domínio.a≠1. além disso. acontece x1< x2 ⇒ f(x1 )<f(x2 ). e somente se. a≠1.0). Logo. Assim: ax> ay ⇔ x<y. Assim: ax> ay ⇔ x>y. P2) A função exponencial é crescente em todo seu domínio quando a>1. 2) Uma função real f é decrescente em um intervalo contido no domínio da função se. acontece x1< x2 ⇒ f(x1 )>f(x2 ). temos que ( )x = 4 ⇔ (2-1)x = 22 ⇔ 2-x = 22 ⇔ x =-2. 4  Propriedades P1) Sendo a>0. para quaisquer números x1 e x2 do intervalo. a função é decrescente. tem-se que: ax = ay ⇔ x = y. 2 Note que desenvolvemos a equação de modo a usar a propriedade P1 descrita acima. capítulo 8 • 229 .-3). 1 3º) Quando y=0. Ou seja. Logo. P3) A função exponencial é decrescente em todo seu domínio quando 0<a<1. EXERCÍCIO RESOLVIDO 1) Faça um esboço gráfico da função y= (1/2)x . para quaisquer números x1 e x2 do intervalo. quando o valor de x aumenta. 2º) Quando x=0. f(x) também aumenta. y=-3.4: Resolução 1º) Como a base está entre 0 e 1. o gráfico corta o eixo y no ponto (0. Ou seja. quando o valor de x aumenta. ATENÇÃO 1) Uma função real f é crescente em um intervalo contido no domínio da função se. o gráfico corta o eixo x no ponto (-2. f(x) diminui. e somen- te se. 3).5 0.0 -2.0 -1. 3º) Repare que a imagem de f(x) é positiva em todo o domínio.4º) Esboço gráfico: y x -2 -1 1 2 -0.5 1. 2º) Quando x=0.0 230 • capítulo 8 .5 2.0 -0.5 -1.0 -3. a função é crescente.5 -3. o gráfico corta o eixo y no ponto (0.0 1.5 0.5 -1. 4º) Esboço gráfico: y 6 5 4 3 2 x -2.5 2) Faça um esboço gráfico da função f(x)= 2x+ 2: Resolução 1º) Como a base é maior do que 1. Logo.0 -1. f(0)=3.5 -2. em primeiro lugar. EXERCÍCIO RESOLVIDO 1) Resolva a equação exponencial 2x+1=16: Resolução Para fazer uso da propriedade P1 descrita anteriormente. obtemos: 1 4x+2 = 25 ⇔ (22 )x+2 = 25 ⇔ 22x+4 = 25 ⇔ 2x+4 = 5 ⇒ x= 2 3) Resolva a equação exponencial (1/3)x = 243 capítulo 8 • 231 . as potências com a mesma base: 2x+1 = 24 ⇔ x+1=4 ⇒ x=3 2) Resolva a equação exponencial 4x+2=32 Resolução Usando a propriedade P1. temos que colocar. Toda equação que apresenta incógnita no expoente de uma ou mais potências de bases positivas e diferentes de 1 é denominada equação exponencial.5  Equação exponencial Toda equação que apresenta incógnita no expoente de uma ou mais potências de bases positivas e diferentes de 1 é denominada equação exponencial. É muito comum usar propriedades de potências de mesma base quando resolvemos uma equação exponencial. no próximo capítulo. sobre logaritmos. resolvemos facilmente a equação: 3 (3-1)x = 35 ⇔ 3-x = 35 ⇒ x = -5 3 4) Resolva a equação exponencial 625=125x Resolução 3 3 Como 625= 54 =54/3. resolvemos a equação usando a propriedade 1: 3 4 4 54=(53)x ⇔ 54/3 = 53x ⇔ = 3x ⇒ x = 3 9 REFLEXÃO E se a equação fosse 3x=5. Para isso.10.10.Resolução 1 x Sabendo que ( ) = (3-1)x. segue que: 232 • capítulo 8 . Neste caso. se as bases fossem diferentes? Reflita sobre isso e confira a resposta. ou seja.10. será necessário fazer uso de mudança de variável (parecido com o que é feito na resolução das equações biquadradas).3x+ 9=0: Resolução Observe que este tipo de equação não pode ser resolvido como os anteriores. pois não con- seguimos chegar à igualdade de duas potências.3x + 9 = 0 (3x )2 . 5) Resolva a equação exponencial 9x.3x + 9 = 0 Fazendo a mudança de variável t=3x. verifique que a equação pode ser escrita como: (32 )x . com a. o valor de a² .10 = 300 ⇔ 310.0) = 900 ⇔ a. t2 . a≠1. encontramos t = 9 ou t = 1.10t+9 = 0 Resolvendo a equação do 2º grau.3(b. temos que 1 1 f(10) = 300 ⇔ 900.3(b. Substituindo o valor de a em f(x). calcule k tal que f(k)= 100: Resolução Temos que f(0) = 900 ⇔ a.x). Temos que voltar para a variável original x.b ∈ ℝ. Então.b = ⇔ 3(10. 3 10 Queremos determinar k tal que f(k) = 100.1 = 900 ⇒ a = 900. onde a e b são constantes reais.b) = 3(-1) ⇒ b= . obtemos f(x)= 900.3b. então fazemos: 1 f(k) = 900. . Dados f(0)= 900 e f(10)= 300. Ainda.3(b.3-k/10 = 100 ⇔ 3-k/10 = ⇔ 3-k/10 = 3-2 ⇒ k = 20 9 7) (UFSM) A figura mostra um esboço do gráfico da função f(x)=ax + b. a>0.x).b² é: y 5 a) -3 b) -1 c) 0 d) 1 2 e) 3 0 2 x capítulo 8 • 233 . b≠0. Assim: 3x = 9  ou  3x = 1 3x = 32 ou 3x = 30 x = 2  ou  x = 0 6) Seja f(x)=a. Nessas circunstâncias. pois. verifi- cou-se que a concentração (y) de certa substância em seus organismos alterava-se em função do tempo decorrido (t). de acordo com a expressão: y= y0 . Depois de se administrar determinado medicamento a um grupo de indivíduos. Assim: a0 + b=2 ⇒ 1+b=2 ⇒ b=1 Substituindo o valor de b em f. exercendo efeito benéfico ou maléfico. em que y0 é a concentração inicial e t é o tempo em horas. 2-0. O que dá como resposta a alternativa e. a utilização desnecessária ou equi- vocada de um medicamento pode comprometer a saúde do usuário: substâncias ingeridas difundem-se pelos líquidos e tecidos do corpo. obtemos: f(x)= ax+ 1 Note que o gráfico da função passa pelo ponto (2.t.t.5. sabemos que a>0. Portanto.5.2-0. pode-se afirmar que a concentração da substância tornou-se a quarta parte da concentração inicial após: a) 1/4 de hora b) meia hora c) 1 hora d) 2 horas e) 4 horas Resolução Temos que a expressão da concentração é dada por y = y0 . 8) (UFF) A automedicação é considerada um risco. Logo. Assim: a2 + 1=5 ⇒ a2 =4 ⇒ a= ±2 Porém. Logo.Resolução O gráfico passa pelo ponto (0.5). f(2)=5.2). y Queremos saber quando essa concentração chega ao valor 0 . ou seja: 4 234 • capítulo 8 .12 = 3. f(0)=2. logo a=2.b2 = 22 . a2 . 2-0.t = 2 ⇒ t=4 4 Logo. 6  Inequação exponencial Toda inequação que apresenta incógnita no expoente de uma ou mais potên- cias de bases positivas e diferentes de 1 é denominada inequação exponencial.5. a ideia é encontrar potências de mesma base para que os expoentes possam ser operados como inequações. a alternativa correta é a letra e.5. atra- vés da propriedade P2 ou da propriedade P3 — ambas descritas anteriormente. as funções exponenciais são crescentes.5. Então. temos que: 27 210x-15 < 23x+12 ⇒ 10x . pela proprie- dade P2. fazemos: 2 1 3x-4 1 ( ) ≥ ( )2x+6 8 4 capítulo 8 • 235 . obtemos: 322x-3 < 8x+4 ⇔ (25)2x-3 < (23)x+4 ⇔ 210x-15 < 23x+12 Como a base é maior do que 1. Ao resolver uma inequação exponencial.t ⇔ 2-2 = 2-0.t ⇔ 0. y0 = y0 . EXERCÍCIO RESOLVIDO 1) Resolva a inequação 322x-3 < 8x+4: Resolução Como são reduzíveis a potências de base igual a dois.15 < 3x+12 ⇒ 7x <27 ⇒ x < 7 2) Resolva a inequação (1/8)3x-4 ≥ (1/4)2x+6: Resolução 1 Tendo as potências a base comum a= . obtemos: x² . pela propriedade P3. 1 3x-4 1 (( )³) ≥ (( )²)2x+6 2 2 1 9x-12 1 ( ) ≥ ( )4x+12 2 2 Como a base é um número real entre 0 e 1.1<0 Resolvendo a equação do 2º grau e estudando o sinal da sua imagem.4 < ⇔ 5x² .4 < ⇔ 5x² . notamos que a base comum das potências será a=5.43t bactérias no instante t. Sabendo-se que inicialmente existem 109 bactérias. ATIVIDADE 1) Em uma população de bactérias. há P(t) = 109 .4 < 5-3 125 5³ Como a base é maior do que 1.4 < -3 ⇒ x² . encontramos: -1<x<1. as funções exponenciais são crescentes. quantos minutos são necessários para que se tenha o dobro da população inicial? 2) (PUC–RIO) Determine uma das soluções da equação abaixo: 1 10x²-4 = 1000 236 • capítulo 8 . então: 1 1 5x² . temos que: 24 9x -12 ≤ 4x+12 ⇒ 5x ≤24 ⇒ x ≤ 5 3) Resolva a inequação 5x² . as funções exponenciais são decrescentes.4 < 1/125: Resolução Nesta inequação. medido em horas (ou fração da hora). Então. Então. pela proprie- dade P2. represen- tados por x. 4) (UERJ) Na tabela de Classificação Periódica.3) (UERJ) A inflação anual de um país decresceu no período de sete anos. Esse fenômeno pode ser representado por uma função exponencial do tipo f(x)=abx. conforme o gráfico abaixo: y=f(x) 960% 7. Nos períodos.164. os elementos são dis- postos em ordem crescente de seus números atômicos.y e z.5% 0 4 7 x(anos) Determine a taxa de inflação desse país no quarto ano de declínio. as fileiras horizontais correspondem aos períodos e as colunas verticais aos grupos ou famílias. y é o número atômico de um elemento químico da família denominada: a) alcalinos b) halogênios c) calcogênios d) gases nobres 5) (UFMG) Observe a figura: y 12 3 2 -3 x capítulo 8 • 237 . Na equação 2x + 2y + 2z = 7. Considere três elementos químicos cujos números atômicos são consecutivos. 2x + 8 = 0 5 e) 81 = 27x/5 8) Faça um esboço gráfico das funções abaixo: 1 x a) f(x) = ( ) +3 3 b) y = 5 . 238 • capítulo 8 . Nessa sentença. b) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a 1/8 da população inicial? 7) Resolva as equações abaixo: a) 8. Essa variação pode ser descrita pela função exponencial dada por m = m0 . devido à desintegração radioativa.6 . 27-1 d) 4x .t .t . a) Encontre as constantes a e b de modo que a população inicial (t=0) seja igual a 1024 indivíduos e a população após 10 anos seja a metade da população inicial. O valor de f(2) é: a) 3/8 b) 1/2 c) 3/4 d) 1 6) (UNICAMP) Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função: f(t)=a. m0 é a massa inicial e k é uma constante real.5 x 9) Qualquer quantidade de massa do chumbo 210 diminui. onde a variável t é dada em anos e a e b são constantes. em função do tempo. está representado o gráfico de f(x)=k.2-b.2x=128 b) 2x+1. 22x+3 = 64 c) 92x + 81x-1 = 82 . m é a massa (em gramas) no tempo t (em anos). sendo k e α constantes positivas.Nessa figura.αx. 2-k. 12. .300 = 216n 50! O valor de n.22 1 d) 22 1 e) 8 10) (UERJ) Considere a equação abaixo: 6... que verifica essa igualdade é: 1 a) 3 3 b) 2 15 c) 2 25 d) 3 50 e) 3 11) Resolva a inequação 93x-4 ≥ 274x+5. 1 Sabendo-se que. após 66 anos.3 1 b) 3 c) .3)x².2x – 1 ≥ 0 é: a) { x∈ℝ | 0 ≤ x ≤ 2 } b) { x∈ℝ | x ≤ 0 ou x ≥ 2 } c) { x∈ℝ | x ≤ 2 } d) { x∈ℝ | 0 ≤ x } e) { x∈ℝ | 0 ≤ x ≤ 1/2 } capítulo 8 • 239 . 12) (FGV-SP) O conjunto solução da inequação (0. tem-se apenas da massa inicial. o valor k é: 8 a) . real.18.24 . 43t ⇔ 2 = 26t ⇔ 6t = 1 ⇒ t = 6 1 Resposta: h ou 10 min 6 2) Podemos verificar que a base comum das potências será a = 10.13) Resolva a inequação abaixo: 32x-1 . temos que determinar os valores de a e b da expressão f(x)= abx. 109 = 109 . então: a) -2 < x < 2 b) x = 1 c) x = 0 d) x < 3/2 e) x > -3/2 15) (UFRS) A soma de todos os números inteiros n que satisfazem a desigualdade 81-1 < 32n+1 < 27 é: a) 0 b) -1 c) -2 d) -3 e) -4 GABARITO 1) Temos P(t)= 109 .3x <0 9x 14) (FATEC-SP) Se x é um número real tal que 2-x . 43t e queremos P(t)= 2 . sabemos que f(0)=960. 4x < 8x+1 . ou seja: 240 • capítulo 8 . Do gráfico de f. 109 .4 = -3 ⇔ x² = 1 ⇒ x = ±1 1000 Resposta: x=1 ou x=-1 3) Antes de determinar f(4). então: 1 10(x²-4) = ⇔ 10(x²-4) = 10-3 ⇔ x² . então fazemos: 1 2 . 3 5) Sabemos que f(x)= k. fazemos: 2 3 3 =k. calculamos: 1 4 f(4) = 960. então.( ) = 60 2 Resposta: 60% 4) Sabemos que x. y = 17 e z = 18 Resposta: alternativa b. para calcular b fazemos: f(7) = 960.216 ⇒ x = 16.αx e f(0)= .b7 = 7.216 7.bx.α0 ⇒ k= 2 2 3 x Sabendo que f(x) = α e ainda f(-3) = 12.(24)4 2x + 2x.22 = 7. y e z são consecutivos.164. obtemos: 2x + 2x+1+ 2x+2 = 7. obtemos f(x) = 960.b0 = 960 ⇒ a. para determinar o valor de k.1 = 960 ⇒ a = 960 Substituindo o valor de a na expressão de f. então: y = x+1 e z = y+1 = x+2 Substituindo y e z na equação 2x+ 2y+ 2z = 7 .( ) 2 Assim.5 1 1 1 ⇒ = b7 ⇔ = b7 ⇔ ( )7 = b7 ⇒ b = 960 128 2 2 Substituindo. o valor de b.2x = 7. na expressão da função.5 7. temos: 1 x f(x) = 960. podemos calcular o valor de α: 2 capítulo 8 • 241 . f(0) = a.21 + 2x. Então. Agora. O seu professor de Química diria que se trata dos halogênios. o valor de a. assim: 1024 = a.2x = 128 ⇔ 23.t e f(0) = 1024. determinamos.2-b. podemos avaliar f(2): 3 1 x 3 1 2 3 f(x) = .20 ⇒ a=1024 Para determinar o valor de b.b 2 1 -1 = -10.2-b.2x = 27 ⇔ 23+x = 27 ⇔ 3+x = 7 ⇒ x = 4 242 • capítulo 8 .2-b.t. 3 -3 1 1 12 = α ⇔ 8 = α-3 ⇔ ( )-3 = α-3 ⇒ α = 2 2 2 Com a expressão da função conhecida.( ) ⇒ f(2) = .10 1 = 2-10.2–t/10 1 t . ou seja: 512 = 1024. fazemos: 8 f(t) = 1024.1024.( ) = 2 2 2 2 8 Resposta: alternativa a 6) a) Sabendo que f(t)= a.b ⇒ b= 10 1 b) Queremos t tal que f(t) = . Para isso.2–t/10 ⇔ 2-3 = 2–t/10 ⇔ = 3 ⇒ t = 30 8 10 Resposta: t a) a = 1024 e b = 10 b) t = 30 anos 7) a) 8.b ⇔ 2-1 = 2-10. então. fazemos f(10) = 512 em f(t) = 1024.1024 = 1024. 2 b) 2x+1 .4). Logo. 3º) O gráfico não corta o eixo x.92x = 82.92x + 92x = 82. a equação fica: t2 .0 -1.22x+3 = 64 ⇔ 23x+4 = 26 ⇔ 3x+4 = 6 ⇒ x = 3 1 82 c) 92x+ 81x-1 = 82.6.0 1.0 capítulo 8 • 243 .6. 2º) Quando x = 0.6. a função é decrescente. Voltando agora à variável origi- nal x. o gráfico corta o eixo y no ponto (0.3 ⇔ 82.27-1 ⇔ 92x+ (9²)x-1 = 82.0 0.5 2.5 1.6.t + 8 = 0 Resolvendo a equação do 2º grau. 4º) Esboço gráfico: y 12 10 8 6 4 2 x -2.5 0.5 -1. ⇔ 92x + 92x-2 = 27 27 ⇔ 81.3 ⇔ 92x = 3 ⇔ 34x = 3 1 ⇒ x= 4 d) 4x .2x + 8 = 0 ⇔ 22x . encontramos t=2 ou t=4.0 -0. f(0) = 4. temos: 2x = 2  ou  2x = 4 2x = 21 ou 2x = 22 x = 1  ou  x = 2 5 5 4 3x 4 e) 81 = 27x/5 ⇔ 34 = (33)x/5 ⇔ 34/5 = 33x/5 ⇔ = ⇔ 3x = 4 ⇒ x= 5 5 3 8) a) 1º) Como a base está entre 0 e 1.2x + 8 = 0 Fazendo t=2x.2x + 8 = 0 ⇔ (2x)2 . 6. f(0)=-4.-4).12.. 4º) Esboço gráfico: y 10 5 -2 -1 1 2x -5 m0 9) Sabendo que m = m0 .6 .6..18. x=1.66 ⇔ 2-3 = 2-66k ⇔ 66k = 3 ⇒ k = 8 22 Resposta: alternativa d 10) Repare que os fatores no numerador são múltiplos de 6: 6. .. 2-k.300 = 216n 50! 6.t . queremos determinar k tal que m= e t=66.3..6. 2-k.2.b) 1º) Como a base é maior do que 1. a função é crescente.. 6)(1.4 . Logo. 3º) Quando y=0.24 .3.. ou seja: 8 m0 1 = m0 . o gráfico corta o eixo x no ponto (1.6.6. o gráfico corta o eixo y no ponto (0.1.50 = (63)n 50! (6. 50! = (63)n 50! 50 50=3n ⇒ n= 3 Resposta: alternativa e 244 • capítulo 8 .2.0). 2º) Quando x=0. Logo.4 .. 50) = (63)n 50! 650 .. . 4x < 8x+1 ⇔ 2-x . 22x < 23x+3 ⇔ 2-x < 23x+3 capítulo 8 • 245 . Resolvendo a inequação do 2º grau. segue que 0 ≤ x ≤ 2. isto é. 32x-1 – 3x < 0 ⇔ 32x-1 < 3x Como a base é maior do que 1. 14) Vamos reduzir as potências à base comum igual a 2: 2-x .2x ≥ 1 (0.3)x² .1 ≥ 0 (0. Resposta: alternativa a 13) Queremos resolver: 32x-1 – 3x <0 9x Como o valor de 9x é sempre positivo.3)x² . Então. a função exponencial é crescente.2x .2x ≥ (0. Então: 6x-8 ≥ 12x+15 -23 -6x ≥ 23 ⇔ 6x ≤ -23 ⇔ x ≤ 6 12) Temos que: (0.3)0 Como a base está entre 0 e 1.2x ≤ 0. Resposta: 2x-1<x ⇒ x<1. para que a razão seja negativa. a função exponencial é crescente. temos que ter o nume- rador negativo.3)x² . x² .11) Vamos reduzir as potências à base igual a 3 na inequação: 93x-4 ≥ 274x+5 (3²)3x-4 ≥ (3³)4x+5 36x-8 ≥ 312x+15 Como a base é maior do que 1. a função exponencial é decrescente. DOLCE. 2010. Moderna Plus Matemática 1. as funções exponenciais são crescentes. MURAKAMI. Osvaldo. -1 e 0. Manoel Rodrigues. São Paulo: Atual. a soma é -3.5 < n <1 Note que os possíveis valores inteiros de n são: -2. Volume 1. 10. a função exponencial é crescente. SOUZA. Parte 2. Então: -4 < 2n+1 <3 -5 < 2n <2 -2. temos que: 81-1 < 32n+1 < 27 ⇔ 3-4 < 32n+1 < 33 Como a base é maior do que 1. Então: -3 x < 3x+3 ⇔ -2x < 3 ⇔ 2x > -3 ⇒ x > . 2 Resposta: alternativa e 15) Reduzindo as potencias à base 3. ed. PAIVA. Carlos. 246 • capítulo 8 . 2013. Resposta: alternativa d REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS IEZZI. São Paulo: Moderna. Fundamentos de Matemática Elementar 2: Logaritmos. Joamir. Gelson. Novo olhar.Como a base é maior do que 1. 2013.São Paulo: FTD. Logo. 9 Logaritmos e funções logarítmicas . como no caso do resfriamento dos corpos. OBJETIVOS 1. por exemplo. 4 propriedades de potências.  Identificar uma função logarítmica. para o estudo Considerando o exemplo analisado. 34 = 81.  Resolver equações e inequações logarítmicas.  Definir logaritmo. Ao expoente dessa potência damos o nome de Observe que logaritmo. 6. 5. 4.  Utilizar as propriedades de logaritmo. 248 • capítulo 9 . considere uma potência de base positiva e di- ferente de 1. dizemos que 4 é o logaritmo de 81 na base 3. Observe que para o estudo de logaritmo é co- mum o uso de propriedades de potências. As funções exponencial e logarít- mica caminham juntas e muitas situações reais podem ser modeladas com uma destas funções.  Resolver problemas que envolvam função logarítmica. CURIOSIDADE Ajudando a resolver os problemas As propriedades envolvendo logaritmos são ferramentas poderosas na resolução de pro- blemas de crescimento e decrescimento exponencial. A utilidade dos logaritmos para realizar cálculos complexos é bem extensa. Os peritos que inves- tigam um crime devem ser hábeis com os números. ajudando a prever resultados. 1  Logaritmo Para entender o que é logaritmo. 2. Por exemplo. necessitando da outra função para suas resoluções. de logaritmo é comum o uso de Em notação: 3 = 81 ↔ log3 81 = 4. 3. gráficos e propriedades das funções exponenciais e logarítmicas.  Analisar o gráfico de uma função logarítmica. temos a seguir as proprieda- des que surgem da aplicação imediata da definição de logaritmo. x=1 e logaa=1. 25 1 Logo. pro- cessos de desintegração radiativa e curvas de aprendizagem. Em notação: bx=a ↔ logba = x. x= -2. log216 = 4. fazendo logaa = x. Logo.Além disso. P1) logaa = 1 Prova De fato. Assim log5 = -2. x = 4. sendo também utilizadas para modelar o crescimento populacional. na Economia. nas quais educadores e psicólogos avaliam o grau de aprendizado dos alunos. CONCEITO Sejam a e b números reais positivos e b≠1. Logo. elas auxiliam na representação de várias funções de custos (lucros e prejuízos) e produção. por definição de logaritmo. 25 2  Propriedades imediatas dos logaritmos Considerando a e b números reais positivos com a≠1. Assim. temos que ax = a = a1. capítulo 9 • 249 . Chama-se logaritmo de a na base b ao expoente x tal que bx=a. EXEMPLO 1) O valor log216 é o expoente x tal que 2x = 16. 1 2) O valor log5 é o expoente x tal que 5x = 1/25. em que a é chamado de logaritmando. EXERCÍCIO RESOLVIDO 1) Calcule log1664: Resolução Faça log1664 = x. por definição de logaritmo. Assim. 2 3 Portanto. Logo. temos que ax = b. fazendo logab = x. temos que ax = ax. por definição de logaritmo. 2 250 • capítulo 9 . P3) logaam = m Prova De fato. por definição de logaritmo. temos que 16x = 64. P4) alogab = b Prova De fato. x = logab. alogab = b. temos que ax = 1 = a0. fazendo logaam = x. fazendo loga1 = x. 3 Assim. por definição de logaritmo. x = m e logaam = m. x=0 e loga1 = 0. log1664 = . Logo. (4²)x = 4³→ 2x = 3 → x = . Logo. P2) loga1 = 0 Prova De fato. Portanto. log2433 = . Pela propriedade P4. Assim. para que exista log22x-8. temos 4log45 =5. A base é 2. Pela propriedade P2. Portanto. Pela propriedade P3. temos log77 =1. 4º) log334 . Pela propriedade P1. 4) Para que valores de x existe log22x-8? Resolução Por definição. 5 3) Calcule o valor da expressão E = 4log45 + log77 + log0.log334 Resolução Vamos encontrar o valor de cada termo da expressão: 1º) 4log45 . temos que 243x = 3. temos log334 = 4. 2º) log77 .81 . E = 5+1+0-4 =2. (35)x = 3 → 5x = 1 → x = . por definição de logaritmo. capítulo 9 • 251 . 3º) log0.81 = 0. 1 Assim. que é maior do que zero e diferente de um. 5 1 Portanto. devemos ter x>4. 2x-8 > 0 ⇒ x>4.81 . temos log0. o logaritmando tem que ser maior do que zero e a base tem que ser maior do que zero e diferente de um.2) Calcule log2433: Resolução Faça log2433 = x. c = ax . temos mais algumas proprie- dades que envolvem as relações entre os valores dos logaritmos de dois ou mais números. b e c números reais positivos e a≠1. o logaritmo do quociente de dois números positivos é igual à diferença dos logaritmos de cada um desses números. temos: logabc = logab + logac P6) Logaritmo do quociente Em uma mesma base. y = logac e z = logabc Fazendo uso da definição de logaritmo. substituindo os valores de b e c na terceira expressão. ay = ax+y ⇒ z = x+y Assim. ay = c e az = bc.logac c 252 • capítulo 9 . y e z na última equação. substituindo as expressões de x.3  Propriedades com operações de logaritmos Considere a. Em notação: logabc = logab + logac Prova Vamos denotar cada um dos logaritmos envolvidos por: x = logab. b Em notação: loga = logab . Então. P5) Logaritmo do produto Em uma mesma base. temos que ax = b. temos: az = b. o logaritmo do produto de dois ou mais números positi- vos é igual a soma dos logaritmos de cada um desses números. logac c P7) Logaritmo da potência O logaritmo de uma potência de base positiva é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência. Fazendo uso da definição de logaritmo. c Então. Então. Em notação: logabm = m . temos que ax = b. y e z na última equação. substituindo as expressões de x. substituindo o valor de b. substituindo os valores de b e c na terceira expressão. temos: logabm = m . temos: ay = bm = (ax)m = am. logab capítulo 9 • 253 . temos: b ax az = = y = ax-y ⇒ z = x-y c a Assim. temos que ax = b e ay = bm. ay = c e az = .Prova Vamos denotar cada um dos logaritmos envolvidos por: b x = logab. temos: b loga = logab . y = logac e z = loga c b Fazendo uso da definição de logaritmo.x ⇒ y = mx Assim. logab Prova Vamos denotar cada um dos logaritmos envolvidos por x = logab e y = logabm. substituindo as expressões de x e y na última equação. temos: logcb logab = logca EXERCÍCIO RESOLVIDO 1) Considere que log102 = 0.30 e log103 = 0. precisamos realizar cálculos com logaritmos de bases diferentes. ax = b = cy. substituindo as expressões de x. logcb Em notação: logab = logca Prova Vamos denotar cada um dos logaritmos envolvidos por: x = logab . temos que ax = b. podemos transformar um logaritmo em uma base a (a>0. temos: y ax = cy ⇒ (cz)x = cy ⇔ zx = y ⇒ x = z Assim. substituindo o valor de a.a≠1) em um logaritmo em uma base c (c>0.c≠1). e. y e z na última equação. Então. y = logcb e z = logca Fazendo uso da definição de logaritmo. cy = b e cz = a. P8) Mudança de base Em alguns casos. Então.5 c) log10108 254 • capítulo 9 .48 e calcule: a) log106 b) log101. Muitas vezes é conveniente fazer uma mudança de base. log101.48 = 0. podemos escrever 6 como sendo o produto de 2 por 3. no caso de logaritmos de 2 e de 3 na base 10. b) Como sabemos. Assim.5 = log10 . c) Como sabemos.30+0. log106 = log102 + log103 = 0.30 = 0. 3³. log106 = log102 ∙ 3.Resolução a) Como sabemos.48-0. podemos escrever 108 = 2² . log10108 = 2 .78. 3³. Utilizando a propriedade P8.5 = log103 . vamos colocar todos os logaritmos envolvidos na base 5. temos que: log5625 log554 log8625 ∙ log564 = .30 + 3 . Pelas propriedades P5 e P7. 2) Determine o valor da expressão log8625 ∙ log564: Resolução Inicialmente. log102 + 3. segue que: capítulo 9 • 255 .04.log102 = 0. 2 Pela propriedade P6.5 como sendo a razão de 3 por 2. no caso de logaritmos de 2 e de 3 na base 10. 0. log101.18. log10108 = 2 . 3 Assim. no caso de logaritmos de 2 e de 3 na base 10.48 = 2. log58² log58 log58 Pela propriedade P7. log564 = . Pela propriedade P5. temos: log10108 = log102² + log103³. log103 Logo. podemos escrever 1. Assim. log10108 = log10 2² . 0. EXERCÍCIO RESOLVIDO lne + ln1 1) Resolva a expressão E = lne² Resolução Colocando as bases de forma explícita. Vamos analisá-los: 4.2  II . que é um número irracional..Sistema de logaritmo natural ou logaritmo neperiano É um sistema de logaritmo na base e = 2. log55 log58 log58 E da propriedade P1. Em notação: log10b = log b. log55 . Os dois principais sistemas são o logaritmo decimal e o logaritmo natural. temos que log55 = 1. 2 . Em notação: logeb = ln b... a≠1). A preferência pelos logaritmos decimais se deve ao fato de usarmos um sis- tema de numeração de base 10. chamado número de Euler. log8625 ∙ log564 = 8. log554 4log55 .718283. 4  Sistemas de logaritmos na base a Chamamos o conjunto de todos os logaritmos na base a de sistema de logarit- mos na base a (em que a>0. 2 = 8 . 4. log58² = .1 = 8. temos: 256 • capítulo 9 . log28 = 4 . Assim.1  I .Sistema de logaritmo decimal É um sistema de logaritmo na base 10. 001 + log 100. temos: logee + loge1 1+0 1 E= = = logee² 2 2 5 2) Encontre o valor de log 10³: Resolução 5 Sabemos que log 10³ = log103/5 = log10103/5.001 = log10-3 = log1010-3. P2 e P3. o valor de S é: a) -3 b) -2 c) -1 d) 0 e) 1 Resolução Usando a propriedade P3. S=-3+2=-1. pela propriedade P3: 5 3 log 10³ = 5 3) Dada a expressão S = log 0. sabemos respectivamente que logee = 1. Então. lne + ln1 logee + loge1 E= = lne² logee² Pelas propriedades P1. capítulo 9 • 257 . loge1 = 0 e logee² = 2 logee = 2. Substituindo esses valores em E. Resposta: alternativa c. temos que: log0.3 e log100 = log10² = log1010² = 2 Logo. a função exponencial f:ℝ→ ℝ+* definida por f(x)=ax. A função inversa da exponencial é denominada função logarítmica f: ℝ+*→ℝ. no capítulo anterior. portanto. A função inversa da exponencial é denominada função logarítmica f:ℝ+*→ ℝ. definida por f(x)= loga x. ou seja. Além disso. pois.0). se x=1. ela passa pelo ponto (1. o gráfico da função f(x)= loga x não toca o eixo-y (eixo das ordenadas). EXEMPLO 1) f(x)= log8 x é a função inversa de f(x) = 8x 1 2) y = log1/5 x é a função inversa de f(x) = x 5 6  Gráfico de uma função logarítmica O gráfico da função f(x)= loga x é uma curva posicionada no primeiro e no quar- to quadrante (pois x>0). definida por f(x)= logax. Esta função é bijetora e. temos que: f(1) = loga 1 = 0 EXERCÍCIO RESOLVIDO 1) Faça o gráfico da função f(x) = log2 x: Resolução Para auxiliar no desenho da curva que representa f(x). admite função inversa.5  Função logarítmica Considere a>0 e a ≠1. Estudamos. vamos construir uma tabela com alguns de seus pontos: 258 • capítulo 9 . . temos a>1. É fácil verificar que. ao utilizarmos valores de x cada vez maiores (x=100. x f(x) = log2 x 4 4 1/8 -3 3 3 1/4 -2 2 2 1 1 1/2 -1 0 0 2 4 6 8 2 4 6 8 1 0 -1 -1 2 1 -2 -2 -3 -3 4 2 -4 -4 8 3 2) Faça o gráfico da função y = log1/2 x Para auxiliar no desenho da curva que representa f(x). Note que Dom(f)=ℝ+*. 1000.. Im(f) = ℝ e a função é crescente em todo seu domínio. vamos construir uma tabela com alguns de seus pontos: x f(x) = log1/2 x 4 4 1/8 3 3 3 1/4 2 2 2 1 1 1/2 1 0 0 2 4 6 8 2 4 6 8 1 0 -1 -1 2 -1 -2 -2 -3 -3 4 -2 -4 -4 8 -3 COMENTÁRIO 1) No primeiro exemplo. quando x “tende” a infinito.). 100000. f(x) também “tende” a infinito: x→+∞ ⇒ f(x)→+∞ capítulo 9 • 259 . Ou seja. os valores de f(x) também serão cada vez maiores.. os valores de f(x) serão cada vez menores e mais negativos. 1000.. e mais negativos. ao utilizamos valores de x cada vez maiores (x=100. 0. 0. É fácil verificar que..0) x 2) No segundo exemplo.. 001. f(x) também tende a menos infinito: x→+∞ ⇒ f(x)→-∞ Por outro lado. os valores de f(x) serão cada vez menores.. 0. quando x tende a 0.0) x 260 • capítulo 9 .). quando utilizamos valores de x cada vez mais próximos de 0 (x=0. Ou seja.. quando x tende a infinito.).. f(x) também tende a menos infinito: x→0 ⇒ f(x)→-∞ Veja o esboço do gráfico: y f(x) = logax 0 (1.00001. quando x tende a 0. os valores de f(x) serão cada vez maiores. 0. 100000.).. f(x) tam- bém tende a infinito: x→0 ⇒ f(x)→+∞ Veja o esboço do gráfico: y f(x) = logax 0 (1..001..1.00001. quando utilizamos valores de x cada vez mais próximos de 0 (x=0. Note que Dom(f)=ℝ+*. Im(f) = ℝ e a função é decrescente em todo seu domínio.1. Ou seja. Ou seja.Por outro lado. temos 0<a<1. x1 ≠ x2 ⇒ f(x1 ) ≠ f(x2 ) para quaisquer x1 e capítulo 9 • 261 .3) Como a função logarítmica e a função exponencial são inversas entre si. conforme esboços abaixo. seus gráficos são simétricos em relação a função identidade (bissetriz dos quadrantes ímpares). e somente se. podemos dizer que uma função é sobrejetora quando seu contradomínio é igual ao seu conjunto imagem. Em outras palavras. 2) Uma função f:A→B é injetora se. Se a > 1: y y=x 8 7 6 5 4 3 y = logax 2 1 y = ax -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x Se 0 < a < 1: y y=x y = ax 8 7 6 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x y = logax ATENÇÃO 1) Uma função f:A→B é sobrejetora se. para todo y ∈ B. e somente se. existe x ∈ A tal que f(x) = y. está representado o gráfico de f(x) = log4 x: y 2 0 16 x O valor de f(128) é: 262 • capítulo 9 . devemos ter: 4x-12 > 0 ⇒ x>3. calcule f(81): Resolução Temos f(81) = log3 81 = log3 34 ⇒ f(81) = 4. a≠1. Basta. então. 3) Uma função f:A→B é bijetora se. f é sobrejetora e injetora. através de f. Portanto. Assim. que deve ser maior do que zero. a base 7 é maior do que zero e diferente de um. o domínio da função é {x ∈ ℝ | x>3}. distintos entre si. Lembre-se que apenas as funções bijetoras admitem função inversa. tiverem imagens tam- bém distintas entre si.x2 pertencentes ao domínio A. EXERCÍCIO RESOLVIDO 1) Dada a função f(x)=log3 x. b>0 e a>0. Em outras palavras. 2) Determine o domínio da função f(x)=log7 (4x-12): Resolução Existe logab se. analisarmos o logarit- mando. 3) Nesta figura. conforme vimos na definição de logaritmo. Logo. podemos dizer que uma função é injetora quando elementos quaisquer do domínio de f. e somente se. e somente se. pela propriedade P4. temos que f(16)= 2. temos: 7 4y = 128 ⇒ (2²)y = 27 ⇒ 2y = 7 ⇒ y = 2 7 Logo. lembra-se? Agora chegou a hora de ver a resolução. f(128) = .a) 5/2 b) 3 c) 7/2 d) 7 Resolução Do gráfico. por definição de logaritmo. 7  Equação logarítmica Toda equação que apresenta a incógnita no logaritmando ou na base de um logaritmo é chamada equação logarítmica. ou seja. Por- tanto. então. capítulo 9 • 263 . Queremos calcular f(128) = log4128 = y. A solução é obtida diretamente da definição de logaritmo. x = log35. pois a base do logaritmo não pode ser negativa. 2 Resposta: alternativa c. f(x)=log4x. logn16 =2 ⇒ n² =16 ⇒ n = 4. Assim. REFLEXÃO No capítulo anterior. deixamos a equação 3x = 5 como exercício de reflexão. temos que: 25 = 4x+24 ⇒ 4x+24 = 32 ⇒ x = 2 3º) Temos que comparar a solução com a condição de existência para dar o conjunto solução da equação: x>-6 e x=2.7 = 9 ⇒ x² . a condição de existência é x > 7. S={2}. Da definição de logaritmo. 4x+24>0 ⇒ x>-6.16 = 0 264 • capítulo 9 . Portanto.6x . 2º) Solução da equação. EXERCÍCIO RESOLVIDO 1) Resolva log2(4x+24) = 5: Resolução 1º) Condição de existência: o logaritmando tem que ser maior do que zero. Cabe observar que.(x-7) ⇒ x² . 2) Resolva a equação log3(x+1) + log3(x-7) = 2: Resolução 1º) Condição de existência: os logaritmandos têm que ser maiores do que zero. temos: log3(x+1) + log3(x-7) = 2 ⇔ log3(x+1)(x-7) = 2 Por definição de logaritmo: 3² = (x+1). não precisamos impor nenhuma condição de existência para a base.6x . Logo: { x+1 > 0 → x > -1 x-7 > 0 → x > 7 Portanto. sendo a base maior do que zero e diferente de um. Logo. Pela propriedade P5. 2º) Solução da equação. Portanto. 3 2) Resolva a inequação log½(x-4) ≥ 2: capítulo 9 • 265 . 3º) Temos que comparar a solução com a condição de existência para dar o conjunto solução 1 da equação: x > e x > 3. 3º) Temos que comparar a solução com a condição de existência para dar o conjunto solução da equação: x > 7 e (x1 = 8 ou x2 = -2). 3x-1 > 0 ⇒ x > . a função logarítmica é crescente. Portanto. 1 Logo. Portanto. temos x1 = 8 ou x2 = -2. vamos escrever o número 3 como um logaritmo na base 2: log2(3x-1) > 3 ⇔ log2(3x-1) > log2 2³ Como a base é maior do que 1. S={8}. S={x ∈ ℝ | x>3}. EXERCÍCIO RESOLVIDO 1) Resolva a inequação log2(3x-1) > 3: Resolução 1º) Condição de existência: o logaritmando tem que ser maior do que zero. 8  Inequação logarítmica Toda inequação que apresentar a incógnita no logaritmando ou na base de um logaritmo é chamada de inequação logarítmica. Para comparar dois logaritmos. 3x-1 > 2³ ⇒ x>3.Resolvendo a equação do segundo grau. 3 2º) Solução da inequação. x-4 > 0 ⇒ x > 4. o valor de log1. Para comparar dois logaritmos.09 c) 0. a função logarítmica é decrescente.209 d) 1.0209 b) 0. S={x ∈ ℝ | 4 < x ≤ }. 1 1 17 Portanto: x-4 ≤ ( )² ⇒ x ≤ 4 + ⇒x≤ 2 4 4 3º) Temos que comparar a solução com a condição de existência para dar o conjunto solução 17 da inequação: x > 4 e x ≤ .Resolução 1º) Condição de existência: o logaritmando tem que ser maior do que zero. através da propriedade P3: 1 log½(x-4) ≥ 2 ⇔ log½(x-4) ≥ log½( )² 2 Como a base está entre 0 e 1. Logo. vamos escrever o número 2 como um logaritmo na base ½.09.23 é: a) 0.09 e) 1. 4 17 Portanto. 4 ATIVIDADE 1) Se log123 = 2. escrevendo log( ) em função de a e b obtemos: 27 a) 2a+b b) 2a-b c) 2ab d) 2a/b e) 5a-3b 266 • capítulo 9 .209 32 2) Se log2=a e log3=b. 2º) Solução da inequação. i Onde h é a altura (em metros) e i é a idade (em anos).3) (UFSCAR) A altura média do tronco de certa espécie de árvore. com idades que variavam de 1 a 12 anos.5 m de altura. uma criança de 10 anos desta cidade terá altura de: a) 120 cm b) 123 cm c) 125 cm d) 128 cm e) 130 cm capítulo 9 • 267 . obteve a fórmula: h = log100. após estudar o crescimento médio das crianças de uma determina- da cidade. segundo o modelo matemático: h(t)= 1. desde que é plantada.7. evolui. que se destina à produção de madeira. Pela fórmula. o tempo (em anos) transcorrido do momento da plantação até o do corte foi de: a) 9 b) 8 c) 5 d) 4 e) 2 4) (UNIRIO) Um médico. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3.5+ log3(t+1) Com h(t) em metros e t em anos. é: y 0 1 2 3 4 x 268 • capítulo 9 . formada pelos dois retângulos.5) (FUVEST) A figura a seguir mostra o gráfico da função logaritmo na base b. a soma das raízes de log2x . Então. Assim sendo.25 1 x -1 O valor de b é: a) 1/4 b) 2 c) 3 d) 4 e) 10 6) (UERJ) O logaritmo decimal do número positivo x é representado por log x. a área da região hachurada.log x3 = 0 é igual a: a) 1 b) 101 c) 1000 d) 1001 7) (FUVEST) A curva da figura que se segue representa o gráfico da função y= log x. para x > 0. y 0. equivale a: a) 0. é de 32% daquela observada na superfície. em centímetros. em um ponto P.3. a intensida- de de luz é reduzida em 20%. e I0 é a intensidade na superfície. que a intensidade da luz. (0.8)h/40 Na qual I é a intensidade da luz em uma profundidade h.8 c) 2. a cada 40 cm de profundidade. considerando log 2 = 0.a) log 2 b) log 3 c) log 4 d) log 5 e) log 6 8) (UERJ) Admita que. em metros. em um determinado lago. ao mergulhar nesse lago.64 b) 1.0 d) 3. capítulo 9 • 269 . 10) Resolva a inequação: log3 (3x+6) < log3 x.2 9) Resolva a equação: log5(3x+7) . de acordo com a equação: I= I0 . A profundidade do ponto P.log5(x-1) = 1. Um nadador verificou. 7 Resposta: alternativa a 5) Sendo a função uma função logarítmica f(x) = logbx. Assim: 270 • capítulo 9 .2m ou 120cm 0.5) = log101.log2 .5 = 1.23 = log = log123 .09 100 Resposta: alternativa b 2) Da propriedade P6.2 = 1.3b 27 Resposta: alternativa e 3) Queremos determinar t tal que h(t)=3. Pelo gráfico.100.log3 27 Substituindo log2 e log3. obtemos: 32 log = 5a .2 = 0.log100 = 2. queremos determinar o valor de b.25) = -1. temos que f(0. ou seja.09 .7 . GABARITO 1) Pela propriedade P6: 123 log1.log33 = 5.5 + log3(t+1) ⇒ log3(t+1) = 2 ⇒ t+1 = 9 ⇒ t=8 Resposta: alternativa b 4) Queremos determinar h(10). se: h(t)= 1.5+ log3(t+1) 3. isto é.7.5. temos que: 32 log = log32 . se: h(i) = log(100.3. i ) h(10) = log(10 . 10 )= log (100.log27 = log25 . log3 e log4: y log4 log3 log2 0 1 2 3 4 x Considere os dois retângulos hachurados na figura.25 ⇒ b-1 = 0. Resposta: alternativa d 7) Vamos marcar no gráfico as ordenadas dos pontos x=2. e x=4. x=3.25 ⇒ = ⇒ b=4 b 4 Resposta: alternativa d 6) Da propriedade P5: log²x . enquanto que a altura do outro retângulo é log4 .log2 = log = log2 2 Resposta: alternativa a capítulo 9 • 271 . isto é.logx³ = 0 ⇒ log²x . Temos que a base dos dois retângulos é igual a 1 e a altura de um retângulo é log3 . Então. Logo. S=1+1000=1001.log3) = log4 .3) = 0 ⇒ logx = 0 ou logx =3 Por definição de logaritmo.logx = 0 ⇒ logx. x=1 ou x=1000.3.log2) + 1(log4 .log3. x= 100 ou x= 10³. 1 1 -1 = logb0. a soma das áreas dos retângulos hachurados é dada por: 4 A = 1(log3 . que são respectiva- mente log2.(logx.log2. isto é: 100 0 32 . temos que: 3x+7 1 = log5(3x+7) . 2º) Solução da equação.log102 = . ⇒ h = 200 ou 2.1) 40 40 1 h 1 = .8)h/40 ⇒ log32 .2 = .5 = . Pela propriedade P6.(log2³ .0m 2 40 10 Resposta: alternativa c 9) Temos a seguinte equação: log5(3x+7) . (0.3)-2 = . temos: 32 h 8 log = log(0.1) 40 h h ⇒ 5(0. 32 8) Queremos determinar h tal que I(h) = .log5(x-1) = log5 x-1 Por definição de logaritmo: 3x+7 = 5 ⇒ 3x+7 = 5x-5 ⇒ x=6 x-1 272 • capítulo 9 . a condição de existência é x>1.log5(x-1) = 1 1º) Condição de existência: os logaritmandos têm que ser maiores do que zero.(-0.8)h/40 100 0 0 Dividindo por I0 e aplicando o logaritmo em ambos os lados da equação.log 100 40 10 h ⇒ log25 . I = I .(3 log2. Logo: 7 3x+7 > 0 ⇒ x > - 3 x-1>0 ⇒ x>1 Portanto.1) ⇒ -0.log100 = .log10) 40 h ⇒ 5.(log8 .log2 . I . 3º) Temos que comparar a solução com a condição de existência para dar o conjunto solução da equação: x>1 e x=6. São Paulo: Atual. Portanto. 2013. S={6}. ed. São Paulo: Moderna.esalq. S = ⌀.br/ arquivos/aulas/2013/LCE0176/mat_aplicada_a.pdf. Ou seja. a função é crescente. 2013. Como a base é maior do que 1. IEZZI. Novo olhar.lce. Logo. UTFPR. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS GALVÃO. 10) Temos a seguinte inequação: log3(3x+6) < log3x 1º) Condição de existência: os logaritmandos têm que ser maiores do que zero. log3(3x+6) < log3x ⇒ 3x+6 < x ⇒ x< -3. Assim. SOUZA. 2014. Portanto. Fundamentos de Matemática Elementar 2: Logaritmos. Osvaldo. a condição de existência é x>0. Acesso em: 04 mar. 3º) Temos que comparar a solução com a condição de existência para dar o conjunto solução da inequação: x>0 e x< -3. Lauro César Matemática Aplicada. Carlos.usp. São Paulo: FTD. MURAKAMI. Gelson. Disponível em: http://www. 2º) Solução da inequação. PAIVA. Manoel Rodrigues. 2010. 10. 3x+6>0 e x>0 ⇒ x>-2 e x>0. capítulo 9 • 273 . Joamir. Parte 2. Volume 1. DOLCE. Moderna Plus Matemática 1. ANOTAÇÕES . 10 Trigonometria . as fórmulas de arcos duplos. enquanto o conceito de tangente de um ângulo é originário da necessidade de se calcular alturas e distâncias. Para se ter ideia. OBJETIVOS 1.C. originando o que se chamou de "a primeira tábua de cordas" e "a primeira tabela trigonomé- trica".  Estudar as funções trigonométricas básicas. 2. elaborou constantes melhoramentos e aperfeiçoamentos de instrumentos astronômicos e consolidou considerações importantes so- bre a duração de meses e ano.  Identificar as razões trigonométricas no triângulo retângulo. adotaram as medidas sexagesimais.. a noção de cosseno surgiu apenas no século XVII. 1  Ângulo e Trigonometria O conceito de ângulo surgiu. as de arco-metade e as de transformação em produto. possivelmente. 5. O astrônomo Hiparco de Nicéia é considerado o pai da Trigonometria por ter feito. um tratado de doze livros. o ângulo α). 4. 2  Razões trigonométricas no triângulo retângulo Considerando um triângulo retângulo e fixando um de seus ângulos agudos (por exemplo. obtemos importantes relações trigonométricas: 276 • capítulo 10 . com os egípcios e os babilônios. além da precessão dos equinócios.  Reconhecer e utilizar as fórmulas de adição e subtração de arcos. no século II a. com os gregos que.  Estudar as relações e fórmulas trigonométricas. Acredita-se que os conceitos de cosseno e seno de um ângulo surgiram em de- corrência de problemas relativos à Astronomia. Além disso.  Relacionar as razões trigonométricas com o círculo trigonométrico. em contato com a civilização babilônica.C. 3. A sua origem veio com a necessidade de se aprimorar as técnicas de Astro- nomia e aperfeiçoar instrumentos para a navegação por volta dos séculos IV e V a. as de arcos triplos. como sendo o seno do complemento de um dado ângulo. Então. TANGENTE DE UM ÂNGULO AGUDO É a razão entre o cateto oposto a este ângulo e o cateto adjacente. COSSENO DE UM ÂNGULO AGUDO É a razão entre o cateto adjacente a este ângulo e a hipotenusa do triângulo retân- gulo.1  Relação Fundamental Do triângulo que analisamos anteriormente. ou seja. temos que: sen α = ac e cos α = bc .sen α e b=c. ou seja. COSSECANTE DE ÂNGULO AGUDO É a razão entre a hipotenusa do triângulo retângulo e o cateto oposto a este ângu- lo. cossec α= ac . ou seja. vale que: a=c. SENO DE UM ÂNGULO AGUDO É a razão entre o cateto oposto a este ângulo e a hipotenusa do triângulo retângu- lo. ou seja. ou seja. cotg α= b a. sen α = ac .cosα capítulo 10 • 277 . COTANGENTE DE UM ÂNGULO AGUDO É a razão entre o cateto adjacente a este ângulo e o cateto oposto. tangente e cotangente 3. tg α== a b. ou seja. sec α= bc . cos α = bc . SECANTE DE UM ÂNGULO AGUDO É a razão entre a hipotenusa do triângulo retângulo e o cateto adjacente a este ângulo. cosseno. 3  Relação fundamental e relação entre seno. temos que: c² = c²sen²α + c²cos²α c² = c²(sen²α+cos²α ) ⇒ sen²α + cos²α = 1 CONCEITO Teorema de Pitágoras c² O Teorema de Pitágoras é uma relação matemática entre os c a a² b comprimentos dos lados de qualquer triângulo retângulo. Na imagem. podemos verificar que se trata da soma das áreas dos b² quadrados construídos sobre os catetos (a e b) que equivale à área do quadrado construído sobre a hipotenusa (c). cosseno.Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo. tangente e cotangente Essas relações podem ser facilmente demonstradas através das relações métri- cas no triângulo retângulo: B β c a α A b C 278 • capítulo 10 .2  Relações entre seno. 3. sabemos que: c² = a² + b² Fazendo as substituições pertinentes. 0m Resolução Vamos esboçar um desenho referente ao problema: Para resolver esse problema. avista o seu topo sob um ângulo de 60º com a horizontal.86. situada a 100m de uma torre. Determine a altura desta torre: (Dados: sen 60º = 0. devemos escolher a melhor relação trigonométrica que nos fornecerá aquilo que a questão pede. Assim: cateto oposto tg60º = = b = 1.73) a) 174. cos60º = 0.50m de altura.50 e tg60º = 1.0m e) 173.6m d) 50.2m c) 86. Sabemos que a tangente de um ângulo é a relação entre o cateto oposto e o cateto adja- cente. tg α= sen α cos α cos α cotg α= sen α tg α= sen α cos α tg α= sen α cos α tg α= sen α cos α tg α= sen α cos α tg α= sen α cos α EXERCÍCIO RESOLVIDO Uma pessoa de 1.5m b) 173.73 cateto adjacente 100 capítulo 10 • 279 . 5m Não podemos nos esquecer de somar a altura do indivíduo que observa a torre. o seg. 4  Ângulos notáveis 4.50 = 173 + 1. so- mamos 1. 1. temos que a altura H será: H = b+1. temos: L 1 2 sen45° = = = L 2 2 2 L 1 2 cos45° = = = L 2 2 2 L tg 45° = =1 L 4. a alternativa correta é a letra a. Por isso.50 = 174. Então.Portanto. a altura coincide l l com a mediana e com a bissetriz. h mento AD divide o ângulo do vértice A em dois ângulos iguais a 30°e também o segmen- to CB ao meio.5 = 100 . Logo.2  Ângulo de 30º e 60º A No triângulo equilátero. C l D l B 2 2 280 • capítulo 10 . Logo.73 + 1. sabemos que: d L²+L² = d² ⇒ d² = 2L² ∴ d=L 2 L Lembre-se que o símbolo “∴” significa “portanto”.1  Ângulo de 45º L Pelo Teorema de Pitágoras.50m a b. Lembre-se que. então usaremos as relações de seno e cosseno de ângulos complementares. em um triângulo equilátero. as quais serão estudadas mais adiante: sen θ=cos(90-θ) cos θ=sen(90-θ) Portanto: 3 sen 60° = cos30° = 2 1 cos60° = sen 30° = 2 sen60º 3/2 tg 60° = = = 3 cos60º 1/2 capítulo 10 • 281 . = ∴h= 2 4 4 2 Então: l/2 1 sen30° = = l 2 h l 3/2 3 cos30° = = = l l 2 l/2 l/2 1 3 tg 30° = = = = l l 3/2 3 3 Sabemos que 60° é o complemento de 30°. os ângulos são iguais a 60°. Aplicando o Teorema de Pitágoras ao ∆ACD (ou ∆ADB). temos: l l² 3l² l 3 l² = ( )² + h² ⇒ h² = l² . além dos lados serem iguais. para x=15°? cos²2x Resolução Substituindo x=15°. temos: sen2x + cos4x sen30º+cos60º 1/2 + 1/2 1 4 E= = = = = cos²2x cos²30º ( 3/2)² 3/4 3 Note que cos²2x = (cos2x )(cos2x). vamos fazer as seguintes considerações: 282 • capítulo 10 . 3 5  Razões trigonométricas na circunferência Para o estudo da circunferência trigonométrica. representada na figura abaixo. RESUMO 30° 45° 60° 1 2 3 senα 2 2 2 3 2 1 cosα 2 2 2 3 tgα 1 3 3 EXERCÍCIO RESOLVIDO sen2x + cos4x Qual é o valor da expressão E = . 4 Portanto. E = . -1) A circunferência trigonométrica tem raio igual a 1.1  Seno e Cosseno Dado um arco trigonométrico qualquer de medida AP e ângulo α. entre outras.1) P α A(1. y B(0.0) 0 x D(0. Os eixos coordenados dividem o círculo em 4 quadrantes. tendo como base a circunferência trigonométrica. sendo o raio da circunferência trigonométrica unitário. O ângulo α é formado a partir do eixo Ox. no sentido anti-horário. tangente.0) nos eixos coordenados. capítulo 10 • 283 . sendo o superior direito o 1º quadrante. é possível obter as relações trigonométricas seno.0) D(-1. podemos observar que o seno e o cosseno do ângulo α são a ordenada e a abscissa do ponto P. 6  As razões trigonométricas A partir da circunferência trigonométrica. o inferior esquerdo o 3º e o inferior direito o 4º e último quadrante. o superior esquerdo o 2º. cosseno. vamos definir as razões trigonométricas já estudadas: 6. e centro em O=(0. respectivamente. Assim. os pontos que têm abscissa positiva são os do 1º e 4º qua- drantes. o seno α A de um ângulo será positivo para os ângulos no 1º e 0 cosα R x 2º quadrantes.2π] com α ≠ π/2 e α ≠ 3π/2. os triângulos ∆ROP e ∆AOT são semelhantes. Na figura a seguir. O cosseno de um ângulo é a abscissa da extremidade P do seu arco. e será negativo para os ângulos no 3º e 4º quadrantes. 6. e será negativo para os ângulos no 2º e 3º quadrantes.2  Tangente e Cotangente Considere um ângulo α ∈ [0. os pontos que têm ordenada po- senα sitiva são os do 1º e 2º quadrantes. logo: RP senα AT = AT ⇒ = ⇒ tgα= AT OR OA cosα 1 Portanto. senα = OS = OS = OS e cosα = OR = OR = OS OP 1 OP 1 Variação do Sinal y O seno de um ângulo é a ordenada da extremidade P S P do seu arco. y eixo das M U cotangentes S P T senα tgα eixo dos α cossenos O cosα R A x eixo dos eixo das senos tangentes 284 • capítulo 10 . Assim. o cosseno de um ângulo será positivo para os ângulos no 1º e 4º quadrantes. Portanto. Assim. Seja T o ponto de in- tersecção da reta OS com o eixo das tangentes. a tangente de α é a medida algébrica do segmento AT. Portanto. Considere um ângulo α ∈ [0. logo: SP MU cosα MU = ⇒ = ⇒ cotgα= MU OS OM senα 1 A cotangente de α é a medida algébrica do segmento MU. capítulo 10 • 285 . é de fácil dedução que a tangente será positiva nos 1º e 3º quadrantes (seno e cosseno com mesmo coeixo y sinal). y eixo das M cotgα U cotangentes S P T senα tgα eixo dos α cossenos O cosα R A x eixo dos eixo das senos tangentes Variação do Sinal y A variação do sinal da tangente e cotangente de um coeixo x cotgα α co sec ângulo está relacionada com a variação do seno e do α senα sec tgα cosseno do mesmo ângulo. Seja U o ponto de intersecção da reta OP com o eixo das cotangentes. α cosα x Assim. assim como a cotangente. e negativa nos 2º e 4º quadrantes (seno e cosse- no com sinais opostos). Na figura a seguir. α≠π e α≠2π. os triângulos ∆SOP e ∆MOU são semelhantes.2π] com α≠0. já que são razões entre elas. EXERCÍCIO RESOLVIDO 9π 7π π Qual é o sinal da expressão E = sec . (tg + cotg )? 8 6 7 Resolução Para solucionarmos este tipo de problema, devemos estudar o sinal dos dois fatores que compõem a expressão. Vamos a eles: 9π π 9π = (π+ ) está 3º quadrante ⇒ sec <0 8 8 8 7π π 7π = (π+ ) está 3º quadrante ⇒ tg >0 6 6 6 π π está 3º quadrante ⇒ cotg >0 7 7 Logo, temos a multiplicação de um fator menor do que zero por um fator maior do que zero. Portanto, a expressão E tem o sinal negativo. 7  Corolário Vamos, nesta parte do capítulo, aproveitar para demonstrar um corolário im- portante para o estudo da Trigonometria, utilizando as relações fundamentais já estudadas. EXEMPLO π 3π Para todo x ∈ [0,2π] e x {0, , π, , 2π} valem as seguintes relações trigonométricas: 1 2 2 I.  cotg x = tgx II.  tg²x+1 = sec² x III.  1+cotg²x = cossec²x 1 IV.  cos²x = 1+tg²x tg²x V.  sen²x = 1+tg²x 286 • capítulo 10 Demonstração Usando a definição das relações trigonométricas, provaremos cada item a seguir: cosx 1 1 I.  cotg x = = = senx senx / cosx tgx sen²x sen²x + cos²x 1 II.  tg²x+1 = +1 = = = sec²x cos²x cos²x cos²x cos²x sen²x + cos²x 1 III.  1+cotg²x = 1+ = = = cossec²x sen²x sen²x sen²x 1 1 IV.  cos²x = = sec²x 1+tg²x sen²x 1 tg²x V.  sen²x = cos²x. = cos²x . tg²x = . tg²x = cos²x 1+tg²x 1+tg²x EXERCÍCIO RESOLVIDO sen x 2π Qual é o valor numérico de K=(sen x+cos x)² + para x = ? cos x 3 a) 1 2+3 3 b) 2 6+5 3 c) 2 2-3 3 d) 2 6-5 3 e) 2 capítulo 10 • 287 Resolução 2π O ângulo de em radianos equivale ao ângulo de 120º. Assim, vamos à expressão do 3 problema: sen x K=(sen x+cos x)² + = sen²x + 2 . sen x . cos x + cos²x + tg x cos x 2π 2π 2π K = 1 + 2 . sen x . cos x + tg x = 1 + 2 . sen . cos + tg 3 3 3 1 K = 1 + 2 . ( 3 )( - )- 3=1- 3 - 3= 2- 3-2 3= 2-3 3 2 2 2 2 2 Logo, a alternativa correta é a letra d. 8  Arcos Côngruos Dois arcos AB e AC são côngruos se, e somente se, as extremidades B e C são coincidentes. A congruência é representada por AB ≡ AC . EXERCÍCIO RESOLVIDO Qual das alternativas abaixo representa a medida de um arco côngruo ao arco tri- π gonométrico de rad? 7 22π a) rad 7 6π b) rad 7 8π c) rad 7 29π d) rad 7 13π e) rad 7 Resolução π Devemos ter em mente que o arco trigonométrico de rad é do 1º quadrante. 7 288 • capítulo 10 Vamos estudar os arcos individualmente, até encontrarmos a alternativa correta: 22π π a) = 3π + → arco do 3º quadrante. 7 7 6π π b) =π- → arco do 2º quadrante. 7 7 8π π c) =π+ → arco do 3º quadrante. 7 7 29π π d) = 4π + → arco do 1º quadrante, côngruo ao arco procurado. 7 7 13π π e) = 2π - → arco do 4º quadrante. 7 7 Logo, a alternativa correta é a letra d. ATENÇÃO Com relação a arcos côngruos, temos o seguinte resultado muito usado nos exercícios: sen(2kπ+x) = sen(x), para todo k ∈ Z. Pois, não importa o número de voltas que contamos para frente ou para trás a partir do ângulo x. Isso vale para cosseno, tangente etc. 9  Redução ao 1º quadrante Vamos considerar um arco de medida α com extremidade no 1º quadrante. En- tão, podemos reduzir arcos de medidas π-α, π+α e 2π-α, os quais estão nos 2º, 3º e 4º quadrantes, respectivamente, ao 1º quadrante de uma forma bastante simples e intuitiva. Então, vamos a elas. capítulo 10 • 289 9.1  Redução do 2º ao 1º quadrante y Observamos, através da imagem, que os ar- (π - α) (α) cos são simétricos em relação ao eixo dos senos e possuem ordenadas iguais. Com isso, temos que: O x sen (π-α) = sen α cos (π-α) = -cos α 9.2  Redução do 3º ao 1º quadrante y Observamos, através da imagem, que os ar- (α) cos são simétricos em relação aos eixos dos senos e dos cossenos. Com isso, temos que: O x sen (π+α)=-sen α (π + α) cos (π+α) = -cos α 290 • capítulo 10 9.3  Redução do 4º ao 1º quadrante y Observamos, através da imagem, que os ar- cos são simétricos em relação ao eixo dos (α) cossenos e possuem abscissas iguais. Com isso, temos que: O x sen (2π-α) = -sen α (2π - α) cos (2π-α) = cos α 〗 Reescrevendo as mesmas relações, utilizando arcos com medida em graus, temos: sen (180° - α) = sen α cos(180° - α) = -cos α sen(180° + α) = -sen α cos(180° + α) = -cos α sen(360° - α) = -senα cos(360° - α) = cos α capítulo 10 • 291 10  Outras relações entre arcos e quadrantes 10.1  Arcos de medidas opostas Passemos, então, ao estudo de arcos de medidas opostas. É bastante simples. Observe a figura a seguir: y y +α (α) O x (0, 0) A(1,0) x (-α) -α Conforme estudado, o eixo cartesiano Ox equivale ao eixo dos cossenos. Portanto, percebe-se que arcos de medidas opostas são simétricos em relação ao eixo dos cossenos e possuem abscissas iguais. Então, são válidas as seguintes igualdades: sen (α) = -sen(-α) cos(-α) = cos α Caminhando um pouco mais neste estudo, vamos avançar para as relações π π 3π 3π existentes entre os arcos de medidas α, +α, -α, +α e -α. 2 2 2 2 292 • capítulo 10 iguais. Logo. e •  A abscissa do ponto N é o oposto da medida da ordenada do ponto M. são válidas as seguintes igualdades: capítulo 10 • 293 . Logo.α) Os triângulos formados ∆OPM e ∆OQN 2 Q são congruentes. e •  A abscissa do ponto N tem a mesma medida da ordenada do ponto M. π 10. ou seja. iguais. Isso im- M(α) plica: O P x •  A ordenada do ponto N tem a mesma medida da abscissa do ponto M.2  Relação entre +αeα 2 y N( π + α) Os triângulos formados ∆OPM e ∆OQN 2 Q são congruentes. ou seja. Isso im- M(α) plica: O P x •  A ordenada do ponto N tem a mesma medida da abscissa do ponto M.3  Relação entre –αeα 2 y N( π . são válidas as seguintes igualdades: π sen ( +α) = cos α 2 π cos ( +α) = -sen α 2 π 10. e •  A abscissa do ponto N tem a mesma Q N( 3π + α) medida da ordenada do ponto M. 2 294 • capítulo 10 .α) medida da ordenada do ponto M. iguais. ou seja. 2 Logo. π sen ( -α) = cos α 2 π cos ( -α) = sen α 2 3π 11  4) Relação entre +αeα 2 y Os triângulos formados ∆OPM e ∆OQN são congruentes. Isso im- M(α) plica: O P x •  A ordenada do ponto N é o oposto da medida da abscissa do ponto M. iguais. e •  A abscissa do ponto N é o oposto da Q N( 3π . Isso im- M(α) plica: O P x •  A ordenada do ponto N é o oposto da medida da abscissa do ponto M. são válidas as seguintes igualdades: 3π sen ( +α) = -cos α 2 3π cos ( +α) = sen α 2 3π 12  5) Relação entre –αeα 2 y Os triângulos formados ∆OPM e ∆OQN são congruentes. ou seja. π. temos que: sen (25π+β) .44. em que sen β= ? 3 a) 0 1 b) - 3 1 c) 3 d) . são válidas as seguintes igualdades: 3π sen ( -α) = -cos α 2 3π cos ( -α) = -sen α 2 EXERCÍCIO RESOLVIDO 1 1.12.β) = sen (-β) = -sen β (k=44) Logo.π+π+β) = sen (π+β) = -sen β (k=12) sen (88π-β) = sen(2.sen(88π-β) = -sen β . capítulo 10 • 295 .sen(88π-β).3 2 2 e) 3 Resolução Através das reduções a quadrantes aprendidas e da propriedade de arcos côngruos pode- mos inferir que: sen (25π+β) = sen (2. Logo. Qual é o valor do sen (25π+β) .(-sen β) = -sen β + sen β = 0 Portanto. a alternativa correta é a letra a. sena ∙ senb cos(a-b) = cosa ∙ cosb + sena ∙ senb 296 • capítulo 10 .sen x K= = a²cos(3π/2 + x) . 13  Transformações Eventualmente. Simplifique a expressão abaixo.b²sen(-x) a²sen x .  cos(3π/2+x) = sen x  e  sen-x = -sen x Portanto.2ab. precisamos expressá -lo como soma ou diferença de dois ângulos notáveis.2.b²sen(-x) Resolução Conforme as reduções a quadrantes estudadas.b²(-sen x) (a² + 2ab + b² . 13. temos: (a+b)²sen(π-x) . respeitando as condições de existência: (a+b)²sen(π-x) .cos(π/2 . substituindo essas relações simplificadas.2ab. verificamos em K o seguinte: sen (π-x) = sen x.2ab. precisamos determinar o seno ou o cosseno de ângulo que a princípio não sabemos.x) K= a²cos(3π/2 + x) .1  Cosseno da soma e diferença de dois arcos cos(a+b) = cosa ∙ cosb .x) (a+b)²sen x .cos(π/2 .2ab)senx (a²+b²)sen x K= = =1 (a²+b²)sen x (a²+b²)sen x Assim. a simplificação da expressão resulta em 1.  cos(π/2-x) = sen x. Para tornar seu cálculo possível. então. Utilizamos.2  Seno da soma e diferença de dois arcos sen(a+b) = sena ∙ cosb + senb ∙ cosa sen(a-b) = sena ∙ cosb . a fórmula da diferença: cos(a-b) = cosa ∙ cosb + sena ∙ senb cos(15º) = cos(60º-45º) = cos60º ∙ cos45º + sen60º ∙ sen45º 1 2 + 3 ∙ 2 cos(15º) = ∙ 2 2 2 2 cos(15º) = 2+ 6 4 13. EXEMPLO Determinar o cosseno de 15º: Basta que tenhamos em mente que 15º = 60º . a fórmula da soma: sen(a+b) = sena ∙ cosb + senb ∙ cosa sen(75º) = sen(30º+45º)=sen30º ∙ cos45º + sen45º ∙ cos30º 1 2 + 2 ∙ 3 sen(75º) = ∙ 2 2 2 2 sen(75º) = 2+ 6 4 capítulo 10 • 297 . então.45º. Utilizamos.senb ∙ cosa EXEMPLO Determinar o seno de 75º: Observe que 75º = 30º + 45º. 298 • capítulo 10 .5  Transformação em produto p+q p-q sen p + sen q = 2∙sen ∙ cos 2 2 p-q p+q sen p .  b≠ +kπ  e  a+b≠ +kπ 1-tga∙tgb 2 2 2 tga-tgb π tg(a-b) = .13.  e  a-b≠ +kπ 1+tga∙tgb 2 13. abordaremos algumas técnicas para que possamos solucionar equações e inequações que envolvam funções ou expressões tri- gonométricas.3  Tangente da soma e diferença de dois arcos tga+tgb π π π tg(a+b) = .sen q = 2∙sen ∙ cos 2 2 p+q p-q cos p + cos q = 2∙cos ∙ cos 2 2 p+q p-q cos p .4  Funções circulares de 2a sen2a = 2sena ∙ cosa cos2a = cos²a .  a≠ +kπ.sen²a 2tga π π π tg2a= .  a≠ +k   e  a≠ +kπ 1-tg²a 4 2 2 13.cos q = -2∙cos ∙ cos 2 2 14  Resolução de equações e inequações trigonométricas Nesta parte do capítulo. a alternativa correta é a letra c. os expoentes devem ser iguais. capítulo 10 • 299 . temos que o valor de α deverá ser . para o qual 9-cosα = ? 3 π a) 6 π b) 4 π c) 3 π d) 2 2π e) 3 Resolução Para resolver essa equação exponencial trigonométrica. cosseno e tangente 1 1) Qual é o menor valor positivo de α. al- guns métodos e técnicas para a resolução das inúmeras equações e inequações trigonométricas. Logo: 1 -2cosα = -1 ∴ cosα = . através dos exercícios resolvidos passo a passo. EXERCÍCIO RESOLVIDO I) Equações envolvendo seno. em igualdade de potências de mesma base. passaremos. Assim. 3 Assim. perceba que: 1 9-cosα = ⇒ (3²)-cosα = 3-1 ⇒ 3-2cosα = 3-1 3 Lembre que. A seguir. 2 π Como o problema pede o menor valor positivo. devemos colocar ambos os lados da igualdade na mesma base. Portanto.π] ? Resolução Temos uma equação trigonométrica do 2º grau. 300 • capítulo 10 . a soma das raízes será:+ = π. a equação tem duas soluções: a do 1º e a do 4º quadrante.t² = 0 ⇒ 4t² = 1 ⇒ t² = ∴t=± 4 2 1 Retornando à variável original. A técnica de resolução é solucionar essa equação. pois os senos e os cossenos dos arcos nesses quadrantes pos- suem mesmo sinal.cos²x = 0.2π]. pertencentes ao intervalo [0.2) Qual é a soma das raízes da equação 1-4. 3 3 3) Qual é o número de raízes da equação tg x=4. no intervalo [0.2π]? a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 0 Resolução Trata-se de um problema bem interessante. temos que: 1 1 1-4. a alternativa correta é a letra a. Vamos explicar: para que a tangente de um arco seja positiva. temos que x poderá ser e . fazendo uma mudança na variável trigonomé- trica por: cosx = t. Assim. chegamos à conclusão de que. no intervalo [0. Podemos facilmente chegar à resposta se pen- sarmos no sinal da tangente nos diversos quadrantes.π]. 2 π 2π Como as raízes devem estar no intervalo [0. é necessário que tal arco seja do 1º ou do 4º quadrante. Logo. 3 3 π 2π Assim. temos que cosx = ± . cosx (sen²x + cos²x) = 0 1 ∴ senx . cosx . Perceba que: sen³x . Então. cosx + senx. senx . temos as seguintes raízes: x1 = 0 e x2 = π são raízes de senx = 0 π 1 x3 = é raiz de cosx = 3 2 Portanto. é importante ter uma especial atenção ao intervalo que está sendo estudado. dentro do intervalo dado. A presen- ça de sen x. cosx + senx.II) Equações de forma fatorada π 5π 1) A equação 2 . tem: 4 4 a) nenhuma raiz b) duas raízes c) três raízes d) quatro raízes e) cinco raízes Resolução Aqui. para x ∈ [0.cos³x = 0. cosx = sen x. cosx = sen x ⇒ 2 .cos³x = senx . estamos ignorando os valores de sen x=0. Logo. senx . em ambos os lados da equação. ao realizar a operação de divisão. cosx = 0 capítulo 10 • 301 . percebemos que a equação possui no total 3 raízes.cosx-1)senx = 0 1 ∴ ou  senx = 0  ou  2. 2) Resolva a equação sen³x .cosx-1 = 0 ⇒ cosx= 2 Então. Porém. senx . a alternativa correta é a letra c. devemos proceder da seguinte forma: 2 . nos tenta a simplificar a expressão encontrada.2π]: Resolução Devemos fatorar a expressão.senx = 0(2. ≤x≤ . no intervalo . vamos colocar toda a equação na mesma base: 625cos²x (54)cos²x 54cos²x = = =1 25 cosx (5 ) 2 cosx 52cosx Multiplicando toda a equação por 52cosx. temos que ou cosx = 0 ou 2cosx-1 = 0. para 0 ≤ x ≤ ? 25cosx 2 Resolução Como já realizamos anteriormente. ou seja: π π 1 x1 = é raíz de cosx=0 e x2 = é raiz de cosx = 2 3 2 π π Então. para 0≤x<2π ? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 302 • capítulo 10 .Logo.cosx-1) =0 Assim. temos: 54cos²x = 52cosx ⇒ 4cos²x = 2cosx ⇒ 2cos²x = cosx ⇒ 2cos²x-cosx = 0 ⇒ cosx(2. . o conjunto solução é S={0. temos que: x1 = 0 e x2 = π são raízes de sen x = 0 π 3π x3 = e x4 = são raízes de cosx = 0 2 2 π 3π Assim. . π}. }. temos como conjunto solução S={ . 2 3 2) Qual é o número de raízes da equação sen4 x + cos4x = 1. 2 2 III) Equações trigonométricas através de equações polinomiais 625cos²x π 1) Qual é a solução da equação = 1. temos: π 3π x1 = .Resolução Para resolver este exercício.2t = 0 → 2t(t-1) = 0. no total. x2 = . Assim: (1-t)²+(t)²=1 ⇒ 1 . cujas raízes são t=0 e t=1. para x ∈ {0. encontramos: { cos²x = 0 ⇒ cos²x = 1 { cosx = 0 cosx = ±1 Como o intervalo a ser analisado é 0≤x<2π. O primeiro deles é re- parar que: sen4 x + cos4x = 1 ⇔ (sen2x)2 + (cos2x)2 = 1.  e  x4 = π 2 2 Logo. temos que: sen²x = 1 .2t + t² + t² = 1 ⇒ 2t² . da relação fundamental estudada sen²x + cos²x = 1. temos. obtem-se: cosx < 2 capítulo 10 • 303 . a alternativa correta é a letra d.2π). IV) Inequações trigonométricas em seno. ou seja: (1-cos²x )² + (cos²x)² = 1. x3 = 0. Portanto.cos²x Vamos deixar toda a equação em função de uma só variável trigonométrica. Vamos ao segundo recurso: fazer uma mudança de variáveis na equação t = cos²x. Assim. 4 soluções possíveis. vamos usar alguns recursos algébricos. Desfazendo a troca de variáveis. cosseno e tangente { senx ≥ 0 1) Resolvendo o sistema 1 . o ângulo x deverá pertencer ao 1º ou 2º quadrante. = . π 3π atendendo à inequação estudada. possui 3 1 π π cosseno menor do que . Isso implica que qualquer ângulo. temos que ter ≤x≤ . x ∈ [0. 1 (ii) cosx < : 2 π 1 Sabemos que cos = . temos a seguinte relação cosx = cos(-x). no 4º quadrante. Ou seja. isto é. = 2π . π 5π a) <x< 3 3 π b) <x≤π 6 π 7π c) <x< 6 4 π d) <x≤π 4 π e) <x≤π 3 Resolução Para resolver um sistema de inequações. no 1º quadrante maior do que π 3 2 . vale cosx < .π]. Assim. 2 2 No 4º quadrante. temos que ter π π 5π 3π 5π 1 x<. temos que ter <x≤ . Como o valor do cosseno de um ângulo aumenta à medida que o valor do ângulo aumenta. vamos estudar uma a uma: (i) sen x≥0: Para que isto aconteça. 2 3 2 Sabemos ainda que o cosseno de ângulos pertencentes ao 2º e 3º quadrantes são negativos. 3 3 3 2 3 2 304 • capítulo 10 . é necessário que estudemos a interseção entre as inequações. Ou seja. pois. para ≤x< . 1. para todo x ∈ ℝ. : 4 4 -1±  1²-4. π).(tgθ-3/4) -1±  1-4tgθ+3 -1±  4-4tgθ x= = = = 2. será ( . percebemos que a interseção dos interva- π los. a alternativa correta é a letra e. chegamos ao seguinte intervalo ( . ) = 0. que é a solução do sistema. Para isso. ) dos valores possíveis 1 3 3 para x que satisfazem cosx < . devemos estudá-la: 3 3 x² + x + tgθ > ⇒ x² + x + (tgθ . a inequação de 2º grau dada possui solução no conjunto dos números reais.1 2 2 -1±  1-4(1-tgθ) -1±2  1-tgθ ∴x= = 2 2 capítulo 10 • 305 . 3 Portanto. então: 4 π a) 0 < θ < 4 π π b) ≤θ< 4 2 π 3π c) <θ< 2 4 3π d) θ = 4 e) não há θ nessas condições Resolução O enunciado nos diz que x é um número real. tem-se que x² + x + tg θ > . 2 (iii) Interseção: De posse dos intervalos definidos em (i) e em (ii). onde a = b = 1 e c = tgθ . )>0 4 4 3 3 Vamos estudar as raízes da equação x² + x + (tgθ. π 5π Com essas informações. Logo. 3 2) Se 0 ≤ θ ≤ π e. fica fácil inferir que ≤θ< . será: 6 2 π 5π <θ< 6 6 Por consequência. 2 Assim. não podemos esquecer que 4x = θ. para o intervalo [0. π π π Sabemos que tg = 1. devemos nos concentrar apenas no 1º qua- drante. não te- mos um intervalo de estudo definido como nos exercícios anteriores. temos que: senθ > . π]. encontrar soluções. em θ. 4 4 2 π Lembre-se que tg não está definida. usando a noção de arcos côngruos. a alternativa correta é a letra b. Podemos “dar” infinitas voltas na circunferência trigonométrica e. Então. 1 Pois bem. E sabemos que o sen π 1 = . vamos realizar a transformação 4x = θ. a solução em x no mesmo intervalo será: 306 • capítulo 10 . 1 3) Resolva em ℝ a inequação sen 4x > . Portanto. teríamos uma solução da inequação. a solução será: π 5π +2kπ < θ < + 2kπ. 2 Resolução Para este exercício. Como o intervalo a ser estudado é 0 ≤ θ ≤ π. ainda assim.Para que haja solução real. Assim. k∈ℤ 6 6 É como se estivéssemos realizando quantas voltas quiséssemos (k voltas) na circunferência trigonométrica e. no conjunto dos Reais. a solução. Para que a tangente de um ângulo seja não negativa. 2 Ora. Assim: 1-tgθ ≥ 0 → tgθ ≥ 1. devemos estar atentos ao conjunto a ser estudado: Reais. Assim. Porém. Então. é necessário que o valor de 1-tgθ seja maior do que ou igual a zero. ainda assim. sabemos que o seno de um ângulo é positivo nos 1º e 2º quadrantes. ele deverá ser do 1º ou 3º quadrantes. 15. Temos. π kπ 5π kπ + <x< + . dizemos que a função seno é periódica e seu período é 2π. onde há a relação de cada número real x ao senx. capítulo 10 • 307 . o gráfico da função seno: y 1 π/2 π 3π/2 2π -1 ATENÇÃO Uma consideração importante que devemos observar é o período da função.1  Função seno Considere a função f:ℝ→ℝ. as funções trigonométricas e perceberemos que elas possuem inúmeras aplicações no cotidiano de áreas afins. neste tópico. Repare que o ciclo da função reinicia quando a curva passa pelos pontos múltiplos de 2π. como domínio e imagem os seguintes conjuntos: Dom(f) = ℝ  e  Im(f) = {y∈ℝ |-1 ≤ y ≤ 1} Veja. então. então. k∈ℤ 24 2 24 2 15  Funções trigonométricas Estudaremos. Assim. 15. o que devemos resolver é: x-1 -1 ≤ ≤1 5 Portanto. temos que: -4 ≤ x ≤ 6 Logo. o intervalo procurado é -4≤x≤6. os valores de x devem pertencer a 5 qual intervalo? Resolução Aprendemos que o seno de um ângulo deverá estar entre -1 e 1.2  Função cosseno Considere agora a função f:ℝ→ℝ que relaciona cada número real x ao cosseno de x. EXERCÍCIO RESOLVIDO x-1 Para que a sentença senθ = tenha sentido. O domínio e a imagem da função são: Dom(f) = ℝ  e  Im(f) = {y∈ℝ |-1 ≤ y ≤ 1} Observe o gráfico da função cosseno: y 1 π/2 π 3π/2 2π -1 308 • capítulo 10 . resolvendo a inequação de ambos os lados. Assim. ≤k≤ 3 3 1 1 Portanto. a solução será: S = {x∈ℝ |. O domínio e a imagem da função tangente são: capítulo 10 • 309 . 2 Então. Considere a função f:D→ℝ.3  Função tangente Devemos ter uma especial atenção ao domínio desta função. Portanto. Você deve observar que a imagem em 0 e 2π será 1. sua imagem será -1. ATENÇÃO A consideração a ser feita acerca do período da função cosseno é de que é o mesmo que o da função seno. o valor do cosseno de x será 0. de modo que cosx = 3k-1 2 ? 2 Resolução Para resolver este problema devemos ver o intervalo dado para x: quando x assume o valor de π . e não 0 como função seno. ≤k≤ } 3 3 15. onde associa cada x do domínio à tangente de x. EXERCÍCIO RESOLVIDO π Sabendo que ≤ x ≤ π. temos: 1 1 . ficamos com a seguinte inequação: 3k-1 -1 ≤ cosx ≤ 0 → -1 ≤ ≤0 2 Portanto. Quando x assume o valor π. o período da função cosseno também é 2π. quais são os valores reais de k. com k∈ℤ. k∈ℤ 2 Então: π kπ x≠ + . Então. o conjunto que representa o domínio da função é: π kπ S={x∈ℝ | x ≠ + . 2 EXERCÍCIO RESOLVIDO Qual conjunto é o domínio da função dada por f(x)=tg2x ? Resolução O arco que deve ser estudado é 2x. k∈ℤ}  e  Im(f) = ℝ 2 Observe o gráfico da função tangente: y 1 π/2 π 3π/2 2π -1 Repare que o gráfico possui várias assíntotas verticais pelos pontos de abs- cissa da forma π(2k+1) . π Dom(f) = {x∈ℝ | x ≠ + k. pelo estudo do domínio da função de f.π. temos que: π 2x ≠ + kπ. k∈ℤ 4 2 Portanto. k∈ℤ} 4 2 310 • capítulo 10 . ATIVIDADE 1) (UFPI) Um avião decola. ambas retilíneas.3 2 4 d) . formando com o solo. em quilômetros.2 2 3 e) 3 capítulo 10 • 311 . determine. a expressão cos4x . um ângulo de 30º (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana).000 3 c) cos x = 4 d) sen x = 1 e) cos x = 50 4) (UCSAL) Qualquer que seja o número real x. Depois de percorrer 1000 metros. a distância entre o posto de gasolina Estrela do Sul e a Rua Tenório Quadros. 3) (CEFET) Assinale a alternativa falsa: a) sec x= 3 b) tg x = 50. o valor de é: 3 2 cotg x-1 a) 3 2 4 b) 2 2 3 c) . O posto de gasolina Estrela do Sul encontra-se na Avenida Teófilo Silva a 4000m do citado cruzamento. qual a altura atingida pelo avião? 2) (CEFET–PR) A Rua Tenório Quadros e a Avenida Teófilo Silva. cruzam- se conforme um ângulo de 30º.sen4x é equivalente a: a) sen2 x-1 b) 2senx cosx c) 2cos2x -1 d) 2-cos2x e) (senx + cosx) cosx x π cossecx . percorrendo uma trajetória retilínea. Portanto.secx 5) (UF VIÇOSA) Sabendo que sen x = e < x < π. GABARITO 1) x sen30º = 1000 π x = 2 1000 2x = 1000 x = 500m Assim. Sendo. verdadeira. então.7 m A distância entre o posto de gasolina Estrela do Sul e a Rua Tenório Quadros é de aproximada- mente 2.000 3 nó Te x = 4000 3 30º 4000m 3 Teófilo Silva Posto x = 4000. para isso. Basta. 2) x tg30º = 4000 x ros √3/3 = 4000 ad Qu rio x 3x = 4.7 3 x ≅ 2266. 312 • capítulo 10 .1. então temos que cos x = < 1.2667 km. a altura do avião será de 500m. Sendo assim. verdadeira. 3) Vamos analisar cada uma das alternativas: 1 a) Se secx = 3.0). 3 b) A tangente de x pode assumir valores elevados. que o arco se aproxime do ponto (1. a resposta correta é a alternativa e. tangente e cotangente são negativos. temos: π cossec x = senx cossec x = 3 capítulo 10 • 313 .sen4x utilizando a diferença de dois quadrados (a² .sen2x)(cos2x . Logo.1 + cos²x) 4 cos4x . o seno e a cossecante são positi- 2 vos. Calculando a cossecante de x. obtemos: cos4x . 2 e) O valor do cosseno informado é maior do que 1. Logo. a resposta correta é a alternativa c. secante. é verdadeira. e o cosseno. trata-se na alternativa falsa. x pertence ao 2º quadrante.sen4x = (cos2x . Assim. é verdadeira.sen2x) Substituindo. π 5) Como < x < π.sen4x = (cos2x .sen4x = 2cos²x . temos: sen²x = 1-cos²x cos4x . 3 c) O valor do cosseno é .(a – b).(1-cos²x))(cos²x+sen²x) = (cos²x-1 + cos²x)(cos²x +sen²x) Porém: cos²x + sen²x = 1 cos x . que pertence ao intervalo [-1.sen4x = (cos²x . Portanto.1 Logo. 1]. 4) Fatorando a expressão cos4x .b²) = (a + b).sen2x)(cos2x . 4 π d) O valor do seno é 1 que corresponde ao arco de rad.sen2x) = (cos²x . Portanto. 2 -1) 4(-1-2 2) -12+24 2 .2 2 3 1 secx = cosx 3 secx = - 2 2 secx = .secx 3+(3 2 )/4 (12+3 2)/4 12+3 2 12+3 2 = = = = = cotg x-1 -2 2 -1 -2 2 -1 4(-2. 314 • capítulo 10 . precisamos do cosseno de x: sen²x + cos²x = 1 cos²x = 1 .3 2 4 Para determinar a cotangente. a resposta correta é a alternativa c.Para determinarmos a secante de x. precisamos achar a tangente: senx tgx = cosx 1/3 1 tgx = = (-2 2 )/2 2 2 1 cotgx = tgx cotg x = -2 2 Resolvendo a expressão: cossecx .sen²x 1 cos²x = 1-( )² 3 8 cos²x = 9 cosx = .3 2 +12 +21 2 -3 2 = = = 4(1-8) 28 4 Logo. Moderna Plus Matemática 1. 2013. PAIVA. Gelson. capítulo 10 • 315 . 2013. São Paulo: Moderna. 9. São Paulo: Atual. Fundamentos de Matemática Elementar 3: Trigonometria. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS IEZZI. Manoel Rodrigues. ed. Parte 3. ANOTAÇÕES . 11 Limites . Baseavam-se muito mais em convicções filosóficas e subjetivas do que em rigor formal e demonstrações matemáticas. A primeira ideia acerca de limites foi a famosa resolução dos quatro para- doxos de Zenão (450 a. ou seja. Por inúmeros séculos. OBJETIVOS 1. em incontáveis intervalos de tempo. aquela que possui um deno- minador na sua composição.  Resolver limites envolvendo funções polinomiais. 2  Noção intuitiva de limite Vamos pensar em uma função quociente. Foram necessárias algumas centenas de anos para que houvesse o amadu- recimento das ideias que estudaremos a partir de agora. em uma distância finita. nem sempre eles foram claros e objetivos como nos dias atuais. o objeto deveria percorrer uma distância cor- respondente à metade da distância percorrida no intervalo de tempo anterior. A definição de limites que temos hoje foi motivada por estudos de cálculos das retas tangentes a curvas e das áreas de superfícies. pois nunca que o corpo atingiria o ponto final dado. 3. 5.  Definir o conceito de limite de uma função. os conceitos que envolvem este assunto eram con- fusos e desprovidos de formalidade.  Aplicar as propriedades básicas de limite. Zenão pensou em um corpo se movimentando entre dois pontos conhecidos. Porém.C). tal como: (2x-1)(x-2) f(x) = x-2 318 • capítulo 11 . 1  A evolução do estudo do conceito de limites O conceito de limites é o alicerce para o estudo de diversas partes da Matemá- tica. exponenciais. 4. A cada intervalo de tempo.  Estudar limites especiais. 2. logarítmicas e trigonométricas. Zenão concluiu que o movimento era impossível.  Resolver limites de funções envolvendo indeterminações. 2 3. podemos simplificar a função. x-2 = -0.01 2.5 2.99 1.999 ⇒ f(x) = 2.2 x = 2.25 2.002 e x = 2. à medida que x se aproxima de 2.1 2. Veja: x = 1.8 2.75 1.9 ⇒ f(x) = 2.5 3.1 ⇒ f(x)-3 = -0.02 |x-2| = 0.02 3.998 ou seja.999 f(x) 1 2 2.98 ou seja.2 |x-2| = 0.2 ou seja. obtendo f(x)=2x-1. x-2 = -0. na tabela a seguir: x 1 1.5 2. porém não atinge tal resultado? Isso significa que para tornar f(x) tão próximo de 3 quanto desejamos. como a função não está definida no ponto em que o denominador é igual a 0 (x=2).1 ⇒ f(x) = 3.02 x = 2.98 2.01 ⇒ f(x)-3 = -0. Observe os valores da função quando x assume valores próximos a 2.002 Podemos reescrever o que está acima da seguinte forma: |x-2| = 0. porém diferentes de 2.1 ⇒ f(x)-3 = 0. basta que façamos x suficientemente próximo de 2.001 f(x) 5 4 3.01 ⇒ f(x)-3 = 0. o valor de f(x) se aproxima de 3.8 ou seja.001 ⇒ f(x)-3 = 0.002 ou seja. Assim.01 ⇒ |f(x)-3| = 0.02 x = 1.001 ⇒ f(x) = 3. x-2 = -0.001 ⇒ |f(x)-3| = 0.1 ⇒ |f(x)-3| = 0.2 x = 1. x-2 = 0.002 Percebeu que. Definida para todo x pertencente ao conjunto dos reais e x≠2. x-2 = 0.002 capítulo 11 • 319 .5 1.99 ⇒ f(x) = 2.998 x 3 2.02 ou seja.9 1.01 ⇒ f(x) = 3. x-2 = 0.001 ⇒ f(x)-3 = -0. quando x tende a 2. tanto pelo lado esquerdo quanto pelo lado direito. se queremos |f(x)-3| menor do que ϵ. desde que tomemos o módulo da diferença entre x e 2 suficientemente pequeno. usaremos letras gregas que representam as diferenças que encon- tramos. ou seja: lim f(x) = 3 x→2 (2x-1)(x-2) Observe agora o gráfico a seguir da função f(x)= e perceba que o limite da x-2 função. é 3. ATENÇÃO Estamos interessados em valores de x próximos de 2. que o valor de f(x) tende a 3 quando x tende a 2. Portanto. Para isso. devemos encontrar um número positivo δ tal que: 0 < |x-2| < δ ⇒ |f(x)-3| < ϵ Não esqueça que o símbolo “⇒” é lido como “implica em”. porém com x≠2. Notadamente temos ϵ (épsilon) e δ (delta). Podemos falar. y 4 2 x -1 1 2 3 -2 320 • capítulo 11 . dado um número positivo ϵ. então. vamos formalizar o que acabamos de concluir. 3  Formalizando a aproximação Agora. como já entendemos essa “aproximação”. Note que o módulo da diferença entre f(x) e 3 é tão pequeno quanto quisermos. 4  Definição formal de limite Diante do que foi visto anteriormente. então |f(x)-L|<ϵ. da seguinte forma: lim f(x) = L ou f(x)→L quando x→a x→a ATENÇÃO Atente para o fato de que não é necessário que a função esteja definida no ponto x=a. Diz-se que a função f tende ao limite L quando x tende a a se. podemos elaborar a nossa definição de limite. ainda. Podemos realizar a notação. é possível achar um número positivo δ tal que se 0 < |x-a| < δ. para qualquer número positivo ϵ. CONCEITO Considere um intervalo aberto I contendo o real a e f uma função definida para x ∈ I-{a}. Não esqueça que o símbolo “→” é lido como “tende a”. Observe o gráfico que ilustra a noção do limite: y f L+ϵ f(a+δ) L f(a-δ) L-ϵ a-δ a a-δ x capítulo 11 • 321 . então |f(x)-3| < ϵ. então |f(x)-3| < ϵ. substituímos f(x) e obtemos: ϵ |(2x-5)-3| < ϵ ⇒ |2x-8| < ϵ ⇒ 2|x-4| < ϵ ⇒ |x-4| < 2 ϵ Percebemos. temos que: lim (2x-5) = 3 x→4 2) Demonstre utilizando a definição formal de limite que lim x2 = 1: x→1 Resolução Queremos provar que para qualquer ϵ > 0 dado. Partindo da condição a ser alcançada: |f(x)-3| < ϵ. EXERCÍCIO RESOLVIDO 1) Seja f:ℝ→ℝ. a) Uma análise do problema: conjecturando um valor para δ Para cada ϵ > 0 dado. devemos encontrar um δ > 0 tal que se 0 < |x-1| < δ temos |f(x)-1| < ϵ. 2 b) Prova: mostrando que a escolha de δ funciona ϵ Dado ϵ > 0. Mostre por definição que lim (2x-5) = 3: x→4 Resolução Queremos provar que. pela definição de limite. Ou. Se 0 < |x-4| < δ. podemos encontrar δ positivo tal que se 0 < |x-1| < δ. então |f(x)-1| < ϵ. então. temos que para qualquer ϵ>0 dado. a) Uma análise do problema: conjecturando um valor para δ Para cada ϵ > 0 dado. para qualquer ϵ > 0 dado. que podemos escolher δ = . escolhemos δ = . temos que: 2 |f(x)-3| = |(2x-5)-3| = |2x-8| = 2|x-4| < 2δ = ϵ Assim. podemos encontrar δ positivo tal que se 0 < |x-4| < δ. 322 • capítulo 11 . ainda. definida por f(x)=2x-5. devemos encontrar um δ > 0 tal que se 0 < |x-(-4)| < δ temos |f(x)-3| < ϵ. podemos encontrar um δ positivo tal que se 0 < |x-4| < δ. ou seja. temos que 1-ϵ ≥ 0. de onde |x+1| < 3. escolhemos δ = min{1. temos que |x-1| < e |x-1| < 1. }. temos que: 3 ϵ (i) δ = 1 ≤ 3 Então. 3 Por outro lado. 0 < |x-1| < 1 ⇒ -1 < x-1 < 1 ⇒ 0 < x < 2 ⇒ 1 < x+1 < 3. temos que: |x-1| < | 2-1| < 1 ϵ Assim. 3 ϵ Então.Partindo da condição a ser alcançada: |f(x)-1| = |x2-1| < ϵ. 3 b) Prova: mostrando que a escolha de δ funciona ϵ Dado ϵ > 0. capítulo 11 • 323 . temos que: |x²-1| = |x-1||x+1| < 3|x-1| < ϵ ϵ Portanto. então segue que: 0 ≤ 1-ϵ < x² < 1+ϵ ⇒ 0 ≤ x² ≤ 1+1 = 2 ⇒ 0 ≤ x ≤ 2 Somando 1 em cada termo nas desigualdades. como |x+1|<3. percebemos que: |x2-1| < ϵ ⇒ -ϵ <x²-1 <ϵ ⇒ 1-ϵ < x² < 1+ϵ Note que acabamos de usar uma propriedade da função de módulo: |x| < a ⇒ -a < x < a Como x² ≥ 0. temos: 1 = 0+1 ≤ x+1 ≤ 2+1 < 3 ⇒ 1 ≤ x+1 < 3 ⇒ 1 ≤ |x+1| < 3 Voltando à condição inicial. Se 0 < |x-1| < δ. como 0 ≤ x ≤ 2. }. |x-1| < . podemos escolher δ = min{1. ϵ ≤ 1. 0 < |x-1| < . para isso vamos considerar que L2 ≠ L1. devemos ter em mente a desigualdade triangular: o módulo da diferen- ça é menor ou igual à soma dos módulos. 3 Assim. provamos pela definição de limite que: lim x² = 1 x→1 5  Teoremas da unicidade do limite e da conservação do sinal 5. então L1 = L2. segue que |x²-25| = |x-1||x+1| < 3 = ϵ. x→a x→a Prova Vamos provar por absurdo. 324 • capítulo 11 . se 0<|x-a|<δ.δ₂}. Da definição de limite. ou seja.1  Teorema 1: unicidade do limite Se lim f(x) = L1 e lim f(x) = L2 . então: { |f(x)-L₁ | < ϵ |f(x)-L₂ | < ϵ Aqui. 3 ϵ Daí. ϵ (ii) δ = ≤1 3 ϵ Então. temos que dado ϵ>0: (i) existe δ₁ > 0 tal que 0 < |x-a| < δ₁ ⇒ |f(x)-L₁ | < ϵ (ii) existe δ₂ > 0 tal que 0 < |x-a| < δ₂ ⇒ |f(x)-L₂ | < ϵ Assim. ambas as condições ficarão atendidas para δ = min{δ₁. ■ 5. em particular. supo- nhamos que: lim f(x) = L≠0 x→a Então. para qualquer ϵ > 0. Logo. 6  Prova Da definição de limite. ϵ = > 0. temos: |L₂-L₁| |L₂-L₁| < 2ϵ = 2. Assim. 2 Lembre que o valor de ϵ poderá ser qualquer valor. ⇒ |L₂-L₁| < |L₂-L₁| 2 O que é um absurdo.2  Teorema 2: conservação do sinal Seja f:A→ℝ uma função para a qual há o limite quando x tende a a. existe um real positivo δ tal que: 0 < |x-a| < δ ⇒ |f(x)-L| < ϵ Ou seja: 0 < |x-a| < δ ⇒ -ϵ < f(x)-L < ϵ capítulo 11 • 325 . podemos inferir que: |L₂-L₁| = |(f(x)-L₁)-(f(x)-L₂)| ≤ |f(x)-L₁| + |f(x)-L₂| < 2ϵ ⇒ |L₂-L₁| < 2ϵ |L₂-L₁| Vamos escolher. Assim. a imagem f(x) tem o mesmo sinal de L. Logo. para todo x pertencente a uma vizinhança reduzida de a. desde que seja positivo. mostrou-se que L₂=L₁. Então. f(x) tem o mesmo sinal que L. Então. temos: 2 L L 3L L L-(. temos: 2 L L L 3L L. ■ 7  Propriedades de limites Sejam k uma constante real e f e g funções de ℝ em ℝ. > 0. Como não sabemos o sinal de L. tais que lim f(x) = L e lim x→a x→a g(x) = M. 2 então existe δ tal que 0 < |x-a| < δ.1  Função Identidade lim x = a x→a 326 • capítulo 11 . Caso 2: L<0 L Vamos escolher ϵ = . vamos ao primeiro caso: Caso 1: L>0 L Vamos escolher ϵ = > 0. temos que se ϵ = . < f(x) < L+ ⇒ < f(x) < 2 2 2 2 Assim. onde f(x) tem o mesmo sinal que L. f(x) tem o mesmo sinal que L.) ⇒ < f(x) < 2 2 2 2 Assim. devemos considerar duas situações: L > 0 e L < 0. para os dois casos estudados. ) < f(x) < L+(. |L| Portanto. seguem as propriedades de limites: 7. Então. provamos que. 3  Multiplicação por Escalar lim (k.4  Soma ou Subtração lim (f(x)±g(x)) = lim f(x) ± lim g(x) = L±M x→a x→a x→a capítulo 11 • 327 .2  Função Constante lim k = k x→a EXEMPLO lim 3 = 3 x→1 7. EXEMPLO lim x = -3 x→-3 lim x = -3 x→-3 7.f(x)) = k.( lim f(x)) = kL x→a x→a EXEMPLO lim 3x = 3( lim ) = 3(1) = 3 x→1 x→1 7. g(x)) = ( lim f(x)) .7  Potência lim (f(x))n = ( lim f(x))n = Ln x→a x→a 328 • capítulo 11 .5  Produto lim (f(x). EXEMPLO lim (x+3x) = lim x + lim 3x = lim x + 3( lim x) = 1+3(1) = 1+3 = 4 x→1 x→1 x→1 x→1 x→1 7. ( lim g(x)) = LM x→a x→a x→a EXEMPLO lim x² = lim (x∙x) = ( lim x )( lim x ) = 3(3) = 9 x→3 x→3 x→3 x→3 7. então: (x→a) lim f(x) f(x) x→a L lim = = x→a g(x) lim g(x) M x→a EXEMPLO lim (x+4) ( lim x)+4 x+4 x→2 x→2 2+4 6 lim = = = = x→2 x²+1 5 lim (x²+1) ( lim x²)+1 ( lim x)( lim x)+1 x→2 x→2 x→2 x→2 7.6  Quociente Se lim g(x) = M ≠ 0. x→a x→a então.8  Radiciação Se n ∈ N* e lim f(x) = L ≥ 0 ou n ∈ N. como vere- mos mais adiante. capítulo 11 • 329 . Isso se deve ao fato de que a função polinomial é contínua. EXEMPLO lim x² = ( lim x )² = 3² = 9 x→3 x→3 7. Então: lim P(x)=bnan + bn-1an-1 +⋯+ b₂a2 + b₁a + b0 = P(a) x→a ATENÇÃO O limite de uma função polinomial pode ser determinado através da substituição da variável pelo valor do limite. n ímpar e lim f(x) = L<0. temos que: n n lim f(x) = lim f(x) x→a x→a EXEMPLO lim x²+6x+9 = lim (x²+6x+9) = lim x²+ lim 6x + lim 9) = 16 = 4 x→1 x→1 x→1 x→1 x→1 7.9  Função Polinomial Sejam P(x) = bnxn + bn-1xn-1 +⋯+ b₂x2 + b₁x + b0 uma função polinomial de ℝ em ℝ e a um número real. valores de x pertencentes a um intervalo aberto que contém a. estudamos o comportamento de uma função para valores próximos de a. ou seja. Isso significa que vamos estudar o comportamento de f(x) para valores de x menores do que a e que se aproximam de a. suponha que lim g(x) = w₀ e lim f(w) = f(w₀). queremos estudar os valores de f(x) para valores de x maiores do que a e que se aproximam de a. porém diferentes de a. Para entender isso.10  Função Composta Sejam f e g funções reais de variáveis reais. ou seja. x→a x→w₀ Assim: lim (f∘g)(x) = lim f(g(x)) = f( lim g(x)) = f(w₀) x→a x→a x→a EXEMPLO lim (x²)³ = ( lim x²)³ = (a²)³ = a⁶. f é contínua em w₀. para algumas funções. com a função composta f∘g definida.7. Já a segunda notação significa que estudaremos o limite de f(x) para x ten- dendo a a pela direita. 330 • capítulo 11 . Todavia. mas próximos de a. ou seja.  (g(x) = x². vamos primeiramente apresentar as seguintes notações de limites laterais: lim f(x) e  lim f(x) x→a⁺ x→a⁻ A primeira notação significa que estudaremos o limite de f(x) para x tenden- do a a pela esquerda. o comportamento de f(x) poderá variar para valores de x maiores e menores que a.  f(x) = x³ x→a x→a 8  Limites laterais e continuidade No início do capítulo. ou seja: lim f(x) = lim x-1 = -1 x→0⁻ x→0⁻ -2 -1 1 2 x Observamos que os limites laterais são -1 diferentes. Utilizando a definição de módulo. se x > 0 x |x| f(x) = x+ = |x| x x– = x-1. este exemplo mostra que f(x) não é contínua em x=0. então. a função f(x)=x+x/|x| fica. ou seja: 2 lim f(x) = lim x+1 = 1 x→0⁺ x→0⁺ 1 Se x tende a 0 pela esquerda. se x < 0 |x| Graficamente. Como veremos a seguir. os limites laterais são iguais: x→a lim f(x) = lim f(x) x→a⁻ x→a⁺ EXEMPLO x Dada a função f:ℝ*→ℝ definida por f(x) = x+ . |x| x→0 Sabemos que dom(f(x)) = ℝ-{0}. Decorre que lim f(x) existe se. definida por: { x x+ = x+1. f(x) tende a y 1. dizemos que não existe o limite da função para x=0. a função tende a -1. temos: Se x tende a 0 pela direita. vamos estudar lim f(x). e somente se. isto é: lim f(x) ≠ lim f(x) x→0⁻ x→0⁺ -2 Neste caso. capítulo 11 • 331 . então sabemos que f(2) = 5. se x < 2 -x+3. Resolução Vamos analisar cada alternativa: a) O limite à esquerda para x=2 é lim f(x) = 8 ≠ f(2). se x ≥ 2 Temos que f(2) = 1 e os limites laterais são diferentes: lim f(x) = lim -x-6 = -8 x→2⁻ x→2⁻ lim f(x) = lim -x+3 = 1 x→2⁺ x→2⁺ Neste caso. x Voltando ao exemplo da função f:ℝ*→ℝ definida por f(x) = x + . se x < 2 . d) f é contínua em seu domínio. lim f(x) não existe. A função não é contínua. Então. f não é contínua à esquerda x→2⁻ de 2. identifique a alternativa correta: a) f é contínua à esquerda em 2. x→2 A noção de continuidade de uma função em um ponto a está associada aos limites laterais. EXERCÍCIO RESOLVIDO Seja f(x) = { x+3. vimos que não existe |x| limite para x=0. se x ≥ 2. notamos um “salto”. Neste caso. x→2⁺ 332 • capítulo 11 . Assim.Dada a função f:ℝ→ℝ definida por: f(x) = { -x-6. b) Como f(x) = x+3. se x ≥ 2 2x+4. temos que f é continua à direita de 2. e) f é descontínua em 3. o limite à direita para x = 2 é lim f(x) = 5 = f(2). b) f é contínua à direita em 2. c) f é contínua em 2. Pelo gráfico. 99 0.1 1.5 0.5 1.9 0.01 1. Analise o caso a seguir: 1 Seja a função fdefinida por f(x) = .999 f(x) 1 4 16 100 10000 1000000 Para valores próximos de 1. Isso significa que podemos tornar f(x) tão grande quanto quisermos. o que leva a x→2⁺ x→2⁻ constatar que f não é contínua em seu domínio. f deve ser contínua em todos os pontos do domínio. x→3⁻ x→3⁺ x→3 Logo. 9  Limites infinitos Nesta parte.c) Como temos lim f(x) = 5 ≠ lim f(x) = 8. Isso nos dá a ideia intuitiva e correta de que: capítulo 11 • 333 .001 f(x) 1 4 16 100 10000 1000000 Portanto. para todo x real e x≠1. porque lim f(x) = lim f(x) = lim f(x) = f(3) = 6. bas- tando para isso tomar valores cada vez mais próximos de 1. à sua direita. (x-1)² Montando a tabela para valores de x próximos de 1. o valor de f(x) se torna cada vez maior. à sua esquerda. ao observamos as duas tabelas. temos: x 2 1. vamos estender a noção aprendida de limites aos casos em que a variável x ou a função f(x) assumem valores absolutos arbitrariamente grandes. temos que f não é contínua em 2. a única alternativa correta é a letra b.25 1. constatamos que à medida que o valor de x se aproxima de 1. d) Lembre que para f ser contínua em seu domínio. obtemos: x 0 0. e) Podemos afirmar que f é contínua em 3.75 0. tal que existe uma vizinhança reduzida de a contida no domínio de f. existe algum real positivo δ tal que 0 < |x-a| < δ ⇒ f(x) > M.5 1. existe algum real positivo δ tal que 0 < |x-a| < δ ⇒ f(x) < -M. e somente se. e somente se. temos que: lim f(x) = +∞ ⇔ lim [-f(x)] = -∞ x→a x→a 334 • capítulo 11 . afirmamos que lim f(x) = +∞ se.0 1. vamos à definição formal. para qualquer x→a real positivo M. CONCEITO Seja uma função f real de variável real e seja a ∈ ℝ.5 2.0 0.5 x -4 -2 2 4 6 Assim. afirmamos que lim f(x) = -∞ se. para qualquer real positivo x→a M. Como consequência direta. Da mesma feita.0 2. 1 lim = +∞ x→1 (x-1)² 1 Observe o gráfico da função f(x) = ∶ (x-1)² y 3. 1  Limite da Soma Propriedades lim f(x) = lim g(x) = lim [f(x) + g(x)] = x→a x→a x→a S1 L +∞ +∞ S2 L -∞ -∞ S3 +∞ +∞ +∞ S4 -∞ -∞ -∞ S5 +∞ -∞ Não há regra geral S6 -∞ +∞ Não há regra geral 10.10  Propriedades dos limites infinitos Vamos ver algumas propriedades que nos auxiliarão na manipulação dos limi- tes infinitos: 10. g(x)] = x→a x→a x→a P1 L>0 +∞ +∞ P2 L<0 +∞ -∞ P3 L>0 -∞ -∞ P4 L<0 -∞ +∞ P5 +∞ +∞ +∞ P6 +∞ -∞ -∞ P7 -∞ +∞ -∞ P8 -∞ -∞ +∞ P9 0 +∞ Não há regra geral capítulo 11 • 335 .2  Limite do Produto Propriedades lim f(x) = lim g(x) = lim [f(x) . porque todo x ∈ V(5) satisfaz: -2 < x-5 < 2 ⇒ 3 < x <7 Note também que em V(5) existem várias outras vizinhanças.3  Limite do Quociente Antes de apresentar as propriedades do limite do quociente. se existe V⊂V(a) tal que g(x)<0. Por exemplo.∀x∈V 336 • capítulo 11 . se existe V⊂V(a) tal que g(x)>0. vamos definir e denotar uma vizinhança do ponto a com tamanho de δ: V(a) = {x ∈ ℝ | |x-a| < δ} EXEMPLO Considere a seguinte vizinhança do ponto 5 de tamanho 2: V(5) = {x ∈ ℝ | |x-5| < 2} Sabemos que o ponto x=4 está em V(5). P10 0 -∞ Não há regra geral P11 +∞ 0 Não há regra geral P12 -∞ 0 Não há regra geral 10.∀x∈V Q1 L>0 0 -∞. existe uma vizi- nhança V em que 5 < x < 7. que é: V = {x ∈ ℝ | |x-6| < 1} ⊂ V(5) f(x) Propriedades lim f(x) = lim g(x) = lim = x→a x→a x→a g(x) +∞. se existe V⊂V(a) tal que g(x)<0.∀x∈V Q7 +∞ 0 -∞. se existe V⊂V(a) tal que g(x)>0.∀x∈V Q3 L +∞ 0 Q4 L -∞ 0 Q5 +∞ L>0 +∞ Q6 +∞ L<0 -∞ +∞. se existe V⊂V(a) tal que g(x)<0.∀x∈V Q10 -∞ 0 -∞.∀x∈V Q11 +∞ +∞ Não há regra geral Q12 +∞ -∞ Não há regra geral Q13 -∞ -∞ Não há regra geral Q14 -∞ +∞ Não há regra geral Q15 0 0 Não há regra geral capítulo 11 • 337 . se existe V⊂V(a) tal que g(x)>0.∀x∈V Q8 -∞ L>0 -∞ Q9 -∞ L<0 +∞ +∞.∀x∈V Q2 L<0 0 -∞. se existe V⊂V(a) tal que g(x)>0. se existe V⊂V(a) tal que g(x)<0. +∞. novamente. 338 • capítulo 11 . o que implica que lim = +∞. temos que lim = +∞. ∀ x ∈ V x→2 1 x-2 Assim. Por isso. observar que: (i) lim = 1 x→2 (ii) lim (x-2) = 0 e existe V⊂V(2) tal que x-2 > 0. por Q1. e não que x=2. pois: (i) lim (x-2) = 0 x→2 (ii) lim (x-2)² = 0 x→2 Para eliminar tal indeterminação. temos que: x-2 x-2 1 = = (x-2)² (x-2)(x-2) x-2 Lembre-se que “x→2” significa que x tende a 2. x→2 (x-2) x→2 (x-2)² Logo. vamos observar que. podemos considerar que o denominador não se anulará e fazer as simplificações. EXERCÍCIO RESOLVIDO x-2 Qual é o lim ? x→2 (x-2)² a) +∞ b) -∞ c) 0 d) 1 e) Não há limite Resolução Devemos observar que os limites do quociente levam a uma indeterminação do tipo 0/0. para qualquer vizinhança reduzida de 2 em que x≠2. Portanto: x-2 1 lim = lim x→2 (x-2)² x→2 (x-2) Devemos. a alternativa correta é a letra a. x→3⁻ q(x) → – p(x) → + • lim f(x) = = +∞. x→1 (x-1)² 3x+2 – + + Vamos calcular o limite fazendo o estudo do sinal do numerador e do denominador. x→a x→a x→a q(x) Ou ainda: Se lim p(x) = L≠0 e lim q(x) = 0 x→a x→a f(x) f(x) I) se > 0. lim = +∞. quando x→a. então lim | | = +∞. quando x→a. pois os limites laterais são diferentes. 3x+2 -2/3 1 2) Calcule lim . a fração tenderá a ter um enor- me valor absoluto. f(x) não tem limite em x=3.11  Teorema p(x) Seja f(x) = . g(x) x→a g(x) EXEMPLO 2x²+5x+1 1) Seja. g(x) x→a g(x) f(x) f(x) II) se < 0. isto é: p(x) Se lim p(x) = L≠0 e lim q(x) = 0 . Se o denominador da fração tende a zero enquanto o numerador q(x) tende a um número qualquer diferente de zero. (x-1)² + + + Para isso precisamos conhecer suas raízes. f(x) = . Vamos calcular os limites laterais de f(x) quando x=3: x²-x-6 p(x) → + • lim f(x) = = –∞. f(x) f(x) f(x) – + + > 0 ⇒ lim = +∞ g(x) g(x) x→a g(x) capítulo 11 • 339 . lim = –∞. x→3⁺ q(x) → + Portanto. x Para isso.4 1.9996 Veja o gráfico da função: y 4 2 -10 -5 5 10 x -2 340 • capítulo 11 . mais o valor de f(x) se aproxima do valor 1.12  Limites no infinito x+4 Vamos analisar a função f(x) = para todo x ∈ ℝ. onde podemos observar que os valores de f(x) também se aproximam do valor 1. monta- mos a tabela a seguir.8 1.996 0. para valores de x que decrescem ilimitadamente. à medida que os valores de x cres- cem.96 0.6 0.2 0. x≠0.04 1. vamos montar uma tabela. assim como foi realizado com os limi- tes infinitos.004 1. Da mesma forma.0004 O que podemos inferir da tabela é que. porém atribuindo a x valores crescentes ilimitadamente. x 1 5 10 100 1000 10000 f(x) 5 1. x -1 -5 -10 -100 -1000 -10000 f(x) -3 0. que lim f(x) = L se. podemos escrever que: x+4 x+4 lim = 1 e lim =1 x→+∞ x x→-∞ x Vamos. existe algum real x→-∞ positivo M tal que: x < -M ⇒ |f(x)-L| < ϵ Vamos agora analisar o gráfico a seguir da famosa parábola f(x) = x²: y 6 4 2 -4 -2 0 2 4 x Percebemos que. quando x tende a+∞. contido no domínio de f.Assim. existe algum real x→+∞ positivo M tal que: x > M ⇒ |f(x)-L| < ϵ Seja uma função real de variável real tal que existe um intervalo ]-∞. CONCEITO Seja uma função real de variável real tal que existe um intervalo ]a. Diz-se. e somente se. para qualquer ϵ > 0. Logo. e somente se para qualquer ϵ > 0. que lim f(x) = L se. lim x² =+∞. Diz-se. x→+∞ capítulo 11 • 341 . então. então.+∞[. contido no domínio de f. então. passar à definição.a[. f(x) tende a+∞. Diz-se. lim x² =+∞. tal que: x < -M ⇒ f(x) > N Diz-se que lim f(x) = -∞ se. existe algum x→-∞ real positivo M. e somente se. que lim f(x)=+∞ se. quando x tende a-∞.+∞[.Bem como. para qualquer real positivo N. tal que: x < -M ⇒ f(x) < -N 342 • capítulo 11 . f(x) tende a+∞. existe algum real x→-∞ positivo M. que lim f(x) = +∞ se. para qualquer real positivo N. e somente se. tal que: x > M ⇒ f(x) > N Diz-se que lim f(x) = -∞ se. e somente se. vamos às definições. e somente se. CONCEITO Seja uma função real de variável real tal que existe um intervalo ]a. Logo. para qualquer real positivo N. tal que: x > M ⇒ f(x)< -N Seja uma função real de variável real tal que existe um intervalo ]-∞. existe algum x→+∞ real positivo M. para qualquer real positivo N.a[. existe algum real x→+∞ positivo M. então. então. contido no domínio de f. Diz-se. contido no domínio de f. x→-∞ Assim. an ≠ 0 é uma função polinomial. + anxⁿ.. então: f(x) anxn •  lim = lim x→±∞ g(x) x→±∞ bmxm EXEMPLO 3x+2 3x 3 lim = lim = x→-∞ 5x-1 x→-∞ 5x 5 capítulo 11 • 343 . então: •  lim f(x) = lim anxⁿ x→±∞ x→±∞ Se f(x) = a₀ + a₁x + . bm ≠ 0 são funções polinomiais... an ≠ 0  e  g(x) = b₀ + b₁x + . então: •  lim xⁿ =+∞ x→+∞ •  lim xⁿ = x→+∞ { +∞ se n for par -∞ se n for ímpar Se n é um número inteiro positivo. + bmxm. + anxⁿ. então: 1 1 •  lim ( )ⁿ = lim = 0 x→±∞ x x→±∞ xⁿ Se f(x) = a₀ + a₁x + .... TEOREMAS Se n é um número inteiro e positivo. g(x)] = x→+∞ x→+∞ x→+∞ P1 L1 L2 L1 L2 P2 L>0 +∞ +∞ P3 L<0 +∞ -∞ P4 L>0 -∞ -∞ P5 L<0 -∞ +∞ P6 +∞ +∞ +∞ P7 +∞ -∞ -∞ P8 -∞ +∞ -∞ 344 • capítulo 11 .1  Limite da soma Propriedades lim f(x) = lim g(x) = lim [f(x) + g(x)] = x→+∞ x→+∞ x→+∞ S1 L1 L2 L1 + L2 S2 L +∞ +∞ S3 L -∞ -∞ S4 +∞ +∞ +∞ S5 -∞ -∞ -∞ S6 +∞ -∞ Não há regra geral S7 -∞ +∞ Não há regra geral 13.2  Limite do produto Propriedades lim f(x) = lim g(x) = lim [f(x) . 13.13  Propriedades dos limites no infinito Vamos a algumas propriedades dos limites no infinito que nos ajudarão nos cálculos. ∀x∈]a.+∞[ tal que g(x)<0. P9 -∞ -∞ +∞ P10 0 +∞ Não há regra geral P11 0 -∞ Não há regra geral P12 +∞ 0 Não há regra geral P13 -∞ 0 Não há regra geral 13.+∞[ tal que g(x)<0.+∞[ tal que g(x)>0.+∞[ Q4 L +∞ 0 Q5 L 0 Q6 +∞ L>0 +∞ Q7 +∞ L<0 -∞ capítulo 11 • 345 . se existe ]a. ∀x∈]a.+∞[ Q2 L>0 0 -∞.+∞[ +∞.3  Limite do quociente lim f(x) = lim g(x) = f(x) Propriedades x→+∞ x→+∞ lim = x→+∞ g(x) Q1 L1 L2 ≠ 0 L1 / L2 +∞.+∞[ Q3 L<0 0 -∞. se existe ]a. ∀x∈]a. se existe ]a. ∀x∈]a. se existe ]a.+∞[ tal que g(x)>0. +∞. se existe ]a. se existe ]a.+∞[ tal que g(x)>0.+∞[ Q12 +∞ +∞ Não há regra geral Q13 +∞ -∞ Não há regra geral Q14 -∞ -∞ Não há regra geral Q15 -∞ +∞ Não há regra geral Q16 0 0 Não há regra geral ATENÇÃO Para as tabelas estudadas.+∞[ Q11 -∞ 0 -∞. Q3. também é válido quando x tende a -∞. ∀x∈]a. 346 • capítulo 11 . ∀x∈]a. o intervalo ]a.+∞[ Q9 -∞ L>0 -∞ Q10 -∞ L<0 +∞ +∞.+∞[ Q8 +∞ 0 -∞. ∀x∈]a. Q8 e Q11.+∞[ tal que g(x)<0. se existe ]a.+∞[ deverá ser substituído por ]-∞.+∞[ tal que g(x)>0.+∞[ tal que g(x)<0. ∀x∈]a. sendo que nas proprieda- des Q2. se existe ]a.a[. temos que: 3 2 1 lim (2 + + + ) = lim x⁴ (2+0+0-0) = lim 2x⁴ = +∞ x→+∞ x² x⁵ x⁶ x→+∞ x→+∞ Da mesma forma. pela propriedade Q6. pois: lim 2x⁶+3x⁴+2x-1 = +∞ x→+∞ e lim x²+8x+5 = +∞ x→+∞ Assim. sabemos que: 8 5 lim (1+ + )=1 x→+∞ x x² 2x⁶+3x⁴+2x-1 Assim. EXERCÍCIO RESOLVIDO 2x⁶+3x⁴+2x-1 1) Determine o lim : x→+∞ x²+8x+5 Resolução Percebemos claramente que estamos diante de uma indeterminação do tipo +∞/+∞. x→+∞ x² x⁵ x⁶ Por outro lado. temos que: 3 2 1 lim = 0. x→+∞ x²+8x+5 capítulo 11 • 347 . sabemos que lim x⁴ = +∞.  e  lim =0 x→+∞ x² x→+∞ x⁵ x→+∞ x⁶ 3 2 1 Então. devemos efetuar uma transformação para evitar tal indeterminação. temos que o limite procurado é lim = +∞. lim (2 + + + ) = 2.  lim = 0. escrevendo o limite da seguinte forma: 2x⁶+3x⁴+2x-1 x⁶(2 + 3/x² + 2/x⁵ – 1/x⁶) x⁴(2 + 3/x² + 2/x⁵ – 1/x⁶) lim = lim = lim x→+∞ x²+8x+5 x→+∞ x²(1+8/x+5/x²) x→+∞ (1+8/x+5/x²) Por Q4. x→+∞ De P2. lim 5/x² x→+∞ x→+∞ Sabemos pela propriedade Q4 que lim 5/x = 0 e também que lim 5/x²=0. já que lim 3x⁵+2x⁴+1 = -∞ e que lim 2x⁵+3 = -∞.lim 3/x⁵ x→-∞ x→-∞ 348 • capítulo 11 . podemos constatar que estamos diante de uma indeterminação do tipo +∞/+∞. x→+∞ 2x²-5 2 Logo. já que lim 6x²-5x = +∞ e que lim 2x²-5 = +∞.lim 5/x 6x²-5x x²(6-5/x) (6-5/x) x→+∞ x→+∞ lim = lim = lim = x→+∞ 2x²-5 x→+∞ x²(2-5/x²) x→+∞ (2-5/x²) lim 2 . Perceba que: lim 3 + lim 2/x + lim 1/x⁵ 3x⁵+2x⁴+1 x⁵(3+2/x+1/x⁵) (3+2/x+1/x⁵) x→-∞ x→-∞ x→-∞ lim = lim = lim = x→-∞ 2x⁵+3 x→-∞ x⁵(2+3/x⁵) x→-∞ (2+3/x⁵) lim 2 . vamos realizar uma transformação. a alternativa correta é a letra c. Perceba que: lim 6 . x→-∞ x→-∞ Assim. vamos realizar uma transformação. temos que lim = = 3. 3x⁵+2x⁴+1 3) Determine o limite lim : x→-∞ 2x⁵+3 Resolução Ao observar o limite. x→+∞ x→+∞ Assim. x→+∞ x→+∞ 6x²-5x 6 Assim. podemos constatar que estamos diante de uma indeterminação do tipo -∞/-∞. 6x²-5x 2) O limite lim é igual a: x→+∞ 2x²-5 a) -1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6 Resolução Ao observar o limite. ∀n∈N* com n ímpar ATENÇÃO Tais propriedades também são válidas para x→-∞. n Propriedades lim f(x) = lim f(x) x→+∞ x→+∞ n R1 L≥0 L . temos que lim = . existe um número real M positivo tal que: x > M ⇒ f(x) > Nⁿ. ∀ n ∈ N* É fácil verificar que a hipótese acima corresponde à definição de lim f(x) = +∞.Sabemos que lim 2/x = 0. n ∈ N* Segue uma tabela para os limites especificados anteriormente. x→+∞ capítulo 11 • 349 . x→-∞ x→-∞ x→-∞ 3x⁵+2x⁴+1 3 Assim.1  Demonstração de R3 Vamos partir da hipótese de que. x→-∞ 2x⁵+3 2 lim ⁿ f(x) e x→-∞ 14  Limites especiais: x→+∞ lim ⁿ f(x) . lim 1/x⁵ = 0 e também que lim 3/x⁵=0 pela propriedade Q4. para qualquer positivo N. 14. você verá uma demonstração da 3ª propriedade.∀n∈N* com n ímpar R3 +∞ +∞.∀n∈N* n R2 L<0 L . ∀n∈N* R4 -∞ -∞. Depois. vamos calcular o limite do radicando. x→-∞ x→-∞ Portanto. pela propriedade R1 apresentada anteriormente. Portanto. lim ?. f(x) > Nⁿ ⇒ f(x) > N. pois temos que lim 4x²+6x+3 = +∞  e  lim x²-5 = +∞. para qualquer real positivo N e para todo n não nulo. Então.5/x²) x→-∞ (1 . x→-∞ x²-5 Percebemos que estamos diante de uma indeterminação do tipo +∞/+∞. a alternativa correta é a letra e.5/x²) 1 Deste modo. ou seja. temos que: 4x²+6x+3 4x²+6x+3 lim = lim = 4=2 x→-∞ x²-5 x→-∞ x²-5 Logo. há um real po- sitivo M tal que: n x > M ⇒ f(x) > N ou n lim f(x) = +∞ x→+∞ EXERCÍCIO RESOLVIDO 4x²+6x+3 Qual é o valor do limite lim ? x→-∞ x²-5 a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 Resolução 4x²+6x+3 Primeiramente. Observe que: 4x²+6x+3 x²(4 + 6/x + 3/x²) (4 + 6/x + 3/x²) 4 lim = lim = lim = =4 x→-∞ x²-5 x→-∞ x²(1 . n Todavia. N é positivo. devemos realizar uma transformação para que seja possível realizar este cálculo. 350 • capítulo 11 . vamos construir o seu gráfico calculando os limites: lim f(x) = +∞  e  lim f(x) = +∞ x→5⁺ x→5⁻ e lim f(x) = 2  e  lim f(x) = 2 x→+∞ x→+∞ Dessa forma. chamada de -2 assíntota horizontal do gráfico. pois auxiliam na localização de assíntotas. EXEMPLO 2x . chamada de 2 assíntota vertical do gráfico. ATENÇÃO Limites infinitos são úteis no traçado de gráficos de funções. CONCEITO A linha reta vertical x=a é chamada assíntota vertical do gráfico da função f se pelo menos uma das seguintes condições for válida: (i) lim f(x) = +∞ x→a⁺ (ii) lim f(x) = +∞ x→a⁻ capítulo 11 • 351 . teremos uma ideia do gráfico da função: y 4 Observe que o gráfico se aproxima y=2 da reta vertical x=5. x-5 Como f não está definida em x=5. Note também que o gráfico se aproxima -10 -5 5 10 x x=5 da reta horizontal y=2. caso existam.6 Considere a função f(x) = . para todo x∈B. tais que a < f(x) < b. percebemos que -1 < sen x < 1.(iii) lim f(x) = -∞ x→a⁺ (iv) lim f(x) = -∞ x→a⁻ A linha horizontal y=b é chamada de assíntota horizontal do gráfico de uma função f se pelo menos uma das seguintes condições for válida: (i)  lim f(x) = b ou (ii)  lim f(x) = b x→+∞ x→-∞ 15  Complementos sobre o estudo de limites 15. podemos inferir da definição que se a função f é limitada em B. se houver um número M > 0 tal que. para todo x∈B. em B⊂A. temos |f(x)| < M. ou seja.1  Função Limitada Um exemplo clássico de função limitada é a função f(x) = sen x. Veja seu gráfico: y 2 1 x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1 -2 Diz-se que uma função f definida em A é limitada. Este estudo motiva o seguinte teorema: 352 • capítulo 11 . Assim. então podemos afirmar que existem a e b reais. através das retas horizontais y = 1 e y = -1. -M < f(x) < M. Pelo gráfico da função seno. por hipótese. onde x→a x→a I é um intervalo aberto que contém a.1. ou seja.3  Teorema Se lim g(x) = lim h(x) = b e se f é tal que g(x) < f(x) < h(x) para todo x∈I-{a}. então lim f(x) = b. tal que 0 < |x-a| < δ ⇒ |f(x)-b| <1. x→a capítulo 11 • 353 . Trata-se do Teorema do Confronto. tais que 0 < |x-a| < δ ⇒ |f(x)| <M.|b| ⇒ |f(x)| ≤ |b| + 1 Portanto.1  Teorema Se lim f(x) = b. chegamos ao que queríamos: ∃M > 0. temos que ∃δ > 0. então há um intervalo aberto I contendo a. que lim f(x) = b. 15. então f é limitada em I-{a}.1.1. ∃δ > 0 tal que 0 < |x-a| < δ ⇒ |f(x)| ≤ M ■ Teorema do Confronto O resultado do teorema anterior — juntamente com o do Teorema da Conser- vação do Sinal. mostrado no início do nosso capítulo. escolhendo M=|b|+1>0.15. se lim f(x) = b. e com a noção de fun- ção limitada — motiva o estudo de um importantíssimo resultado. tomando ϵ = 1 > 0.2  Prova Queremos provar que. necessário a várias situações do estudo de Cálculo. sabemos da propriedade da desigualdade triangular que: 1 > |f(x)-b| ≥ |f(x)| . tal que f é limitada x→a em I-{a}. x→a Da definição de limite. devemos x→a ter M > 0 e δ > 0. Considere. 15. Porém. Vamos considerar ângulos medidos em radianos. para todo ϵ > 0. lim tg x = tg a. ∀ a ∈ ℝ x→a 3. ∀ a ∈ ℝ x→a 2. considerando I = ]a. ∀ a ≠ π/2 + kπ. lim cos x = cos a. Então: 1.15.1. porém tem como objetivo ajudá-lo no cálculo de limites.δ₂}.a[. existem δ₁ > 0 e δ₂ > 0 x→a x→a tais que: 0 < |x-a| < δ₁ ⇒ |g(x)-b| < ϵ ⇒ b-ϵ < g(x) < b+ϵ 0 < |x-a| < δ₂ ⇒ |h(x)-b| < ϵ ⇒ b-ϵ < h(x) <b+ϵ Adotando δ = min{δ₁. há um δ > 0 tal que: 0 < |x-a| < δ ⇒ b-ϵ < g(x) < f(x) < h(x) < b+ϵ ⇒ b-ϵ < f(x) < b+ϵ ⇒ |f(x)-b| <ϵ Isso nos leva a: lim h(x) = b x→a ■ ATENÇÃO O teorema também é aplicado para x→+∞ e x→-∞.2  Limites Trigonométricos Passaremos à apresentação de alguns resultados sobre limites trigonométri- cos.4  Prova Como lim g(x) = lim h(x) = b. conhecido como Limite Trigonométrico Fundamental x→a x 354 • capítulo 11 . lim = 1. 15. temos que.+∞[ e I=]-∞. então. k ∈ ℤ x→a sen x 4. que não esgotam o assunto tratado. para todo ϵ > 0. lim sen x = sen a. temos que: π 1 1 1 (i) 0 < x < ⇒ 0 < sen x < x < tg x ⇒ > > > 0. temos que: sen x h(x) = 1 < f(x) = < g(x) = cos x x Passando o limite. Da trigonometria. pois sen x < 0 sen x x tg x x Fazendo g(x) = cos x e h(x) = 1.15. obtemos: sen x lim h(x) < lim f(x) = < g(x) = cos x x→0 x→0 x Logo. definindo f(x)=(sen x)/x. ainda: π 1 1 1 (ii) . vamos multiplicar ambas as desigualdades pelo fator sen x: sen x sen x sen x sen x (i) > > ⇒ 1> > cos x. temos que: lim g(x) = lim cos x = cos 0 = 1 x→0 x→0 lim h(x) = 1 x→0 Agora. 2 sen x x tg x E.2. pelo Teorema do Confronto. < x < 0 ⇒ 0 > sen x > x > tg x ⇒ < < <0. 2 sen x x tg x Agora.1  Prova – Item 4 Vamos considerar a vizinhança à direta e à esquerda de 0. pois sen x > 0 sen x x tg x x sen x sen x sen x sen x (ii) > > ⇒ 1> > cos x. concluímos que: sen x lim f(x) = lim =1 x→0 x→0 x ■ capítulo 11 • 355 . lim cos( ) = 1. lim cos( ) = cos k x→k x-k x→k x-k x→k 2 x→k 2 2 Logo.sen k 2 x+k x+k lim = lim . lim ax = 1. EXERCÍCIO RESOLVIDO sen x .sen ( ). lim = 1.cos( ) 2 2 Portanto.sen k 2 2 2 2 lim = lim = lim x→k x-k x→k x-k x→k x-k 2 x-k sen ( ) 2 Sabemos que.cos( ) sen ( ). pelo limite trigonométrico(4).sen k = 2. temos que: x-k x+k x-k x+k 2. 15.cos( ) sen x .3  Limites de Funções Exponenciais Passaremos à apresentação de alguns resultados importantes de limites de funções exponenciais: 1. Então: x→k x-k 2 x-k sen ( ) sen x . a ∈ ℝ e 0 < a ≠ 1 x→0 356 • capítulo 11 . o valor do limite procurado é cos k.sen k Qual é o valor para lim ? x→k x-k Resolução Para resolver este tipo de limite. precisamos fazer uso da transformação trigonométrica a seguir: x-k x+k sen x .sen ( ). 2. lim ax = +∞. então lim af(x) = 1 x→b x→b 6. temos que: 5x⁴+2x 5x⁴+2x lim 1 +∞ lim 4 3x³ +1 = 4 x→-∞ 3x³ +1 = 4-∞ = ( ) =0 x→-∞ 4 Portanto. a ∈ ℝ e 0 < a ≠ 1. 15. a ∈ ℝ e 0 < a < 1 x→+∞ 4. o limite procurado tem valor igual a 0. então lim af(x) = a lim x→b f(x) = ac x→b x→b EXERCÍCIO RESOLVIDO Determine o valor do seguinte limite: 5x⁴+2x lim 4 3x³ +1 x→-∞ Resolução Para resolvermos este limite. Se lim f(x) = c. a ∈ ℝ e 0 < a ≠ 1. lim ax = 0. vamos estudar primeiramente o seguinte limite do expoente da expressão: 5x⁴+2x x³(5x+2/x²) 5x lim = lim = lim = -∞ x→-∞ 3x³+1 x→-∞ x³(3+1/x³) x→-∞ 3 Pelas propriedades estudadas.4  Limites de Funções Logarítmicas Agora veja alguns resultados importantes sobre limites de funções logarítmicas que irão ajudá-lo no cálculo de limites: capítulo 11 • 357 . a ∈ ℝ e 0 < a ≠ 1 x→b 3. Se lim f(x) = 0. a ∈ ℝ e 0 < a < 1 x→-∞ 5. lim ax = ab. lim (loga x) = +∞. Se lim f(x) = 1. temos que: lim log5 sen x = log5 ( lim sen x) = log51 = 0 x→π/2 x→π/2 Portanto. EXERCÍCIO RESOLVIDO Determine lim log5 sen x: x→π/2 Resolução Vamos calcular primeiramente: π lim sen x = sen =1 x→π/2 2 Observando a 8ª propriedade. a ∈ ℝ e 0 < a ≠ 1 x→1 2. a ∈ ℝ e a > 1 x→0⁺ 5. a ∈ ℝ e a > 1 x→+∞ 4. lim log5 sen x = 0. lim (loga x) = -∞. lim (loga x) = -∞. a ∈ ℝ e 0 < a ≠ 1. conhecido como número de Euler x→+∞ x ou neperiano (visto no capítulo 4). a ∈ ℝ e 0 < a ≠ 1 e b > 1 x→b 3. então lim (loga f(x)) = 0 x→b x→b 8. Esse limite é conhecido como Limite Exponen- cial Fundamental. então lim (loga f(x)) = loga ( lim f(x)) = loga c x→b x→b x→b 1 x 9. lim (1+ ) =e. lim (loga x) = loga b. onde e é o número irracional. a ∈ ℝ e 0 < a. Se lim f(x) = c. a ∈ ℝ e 0 < a < 1 x→+∞ 6. 1. lim (loga x) = +∞. lim loga x = 0. a ∈ ℝ e 0 < a < 1 x→0⁺ 7.〗 x→π/2 358 • capítulo 11 . ATIVIDADE x⁴-4 1) Calcule o limite lim : x→2 x-2 x+2 x+2 2) Calcule lim  e  lim : x→-2⁺ |x+2| x→-2⁻ |x+2| 3) Considere o gráfico de f(x) abaixo e responda o que se pede: a) lim f(x) x→1⁻ y b) lim f(x) x→1⁺ c) lim f(x) x→2⁻ 1 2 0 x d) lim f(x) x→2⁺ -1/2 -1 e) lim f(x) x→0⁻ f) lim f(x) x→0⁺ g) lim f(x) x→+∞ h) lim f(x) x→-∞ 1 4) Considere o gráfico da função f(x)= e determine o valor do limite desta função quando x x tende a 0 e verifique se esta função é contínua: y 3 2 y=1/x 1 -3 -2 -1 1 2 3 x -1 -2 -3 capítulo 11 • 359 . se x > -2 -(x+2) = -x-2. utilizamos a primeira definição do módulo. ou seja. |x+2| = -x-2: x+2 x+2 lim = lim = -1 x→-2⁻ |x+2| x→-2 -(x+2) 3) a) lim f(x) = -∞ x→1⁻ 1 b) lim f(x) = - x→1⁺ 2 c) lim f(x) = +∞ x→2⁻ d) lim f(x) = 0 x→2⁺ e) lim f(x) = -1 x→0⁻ f) lim f(x) = -1 x→0⁺ 1 g) lim f(x) = - x→+∞ 2 360 • capítulo 11 . GABARITO 1) Uma vez que a substituição direta nos fornecerá uma indeterminação. ou seja. temos que: |x+2| = { x+2. x⁴-4 (x+2)(x-2) lim = lim = lim x+2 = 4 x→2 x-2 x→2 x-2 x→2 2) Utilizando a definição de módulo. utilizamos a segunda definição do módulo. se x < -2 Quando x tende a -2 pela direita. |x+2| = x+2: x+2 x+2 lim = lim =1 x→-2⁺ |x-2| x→-2 x+2 Quando x tende a -2 pela esquerda. precisamos fatorar a diferença de dois quadrados do numerador e. efetuar a simplificação. assim. ed. São Paulo: Pearson. capítulo 11 • 361 . Rio de Janeiro: LTC. MURAKAMI. São Paulo: Harbra. Stephen. STEWART. 2007. São Paulo: Cengage Learning. Volume 1. Gelson. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ANTON. Derivadas. Fundamentos de Matemática Elementar 8: Limites. não há limite quando x tende a 0. 2014.1982.h) lim f(x) = -∞ x→-∞ 4) lim f(x) = -∞ x→0⁻ lim f(x) = +∞ x→0⁺ Assim. James. O Cálculo com geometria analítica. MACHADO. ed. 7. DAVIS. Cálculo. ed. MUNEM. Cálculo. Volume 1. Mustafa A. 8. ed. Louis. BIVENS. Volume 1. IEZZI. David J. São Paulo: Atual. ed. Irl. Noções de Integral. Nilson José. 2013. 2013. Carlos. Volume 1. A função não é contínua. 2002. THOMAS. 7. 11. São Paulo: Bookman. Cálculo. Volume 1. LEITHOLD. 3. Cálculo. Howard. FOULIS. ANOTAÇÕES 362 • capítulo 11 .