aprender maisENSINO MÉDIO Matemática Edição 2011 9 A 5 W B 3 Eduardo Henrique Accioly Campos GOVERNADOR DO ESTADO DE PERNAMBUCO Anderson Stevens Leônidas Gomes SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO DO ESTADO Margareth Zaponi SECRETÁRIA EXECUTIVA DE GESTÃO DA REDE Paulo Dutra SECRETÁRIO EXECUTIVO DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL Aurélio Molina SECRETÁRIO EXECUTIVO DE DESENVOLVIMENTO DA EDUCAÇÃO Simone Santiago de Santana GERENTE DE POLÍTICAS EDUCACIONAIS DO ENSINO MÉDIO Andrea Iris Maciel Cardim CHEFE DE UNIDADE Elisângela Bastos de Melo Espíndola José de Arimatheia de Santana Regina Celi de melo André ELABORAÇÃO - EQUIPE TÉCNICA DE ENSINO APRESENTAÇÃO A Secretaria de Educação desenvolve ações para garantir o compromisso da oferta de uma educação pública de qualidade para todos os estudantes. A escola possui o importante papel de sistematizar o conhecimento socialmente construído para que os (as) alunos (as) construam suas aprendizagens nas diversas áreas de conhecimento. Nesse contexto, o professor é agente primordial no processo de construção do conhecimento junto aos estudantes. É o professor quem observa, mais de perto, as necessidades dos (as) alunos (as) em relação aos conteúdos ministrados em sala de aula. Em função disso, a Secretaria de Educação desenvolveu, em 2009, o PROJETO APRENDER MAIS com o objetivo de atender aos (as) estudantes da 4ª série/5º ano, 8ª série/9º ano do Ensino Fundamental e do 3º ano do Ensino Médio das escolas estaduais que apresentavam defasagem e/ou dificuldades de aprendizagens. Os resultados obtidos foram bastante positivos, de forma que em 2011, a Secretaria de Educação está reeditando este Projeto. Esta iniciativa está em consonância com a LDB – 9394/96 – Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, que estabelece como dever do Estado garantir padrões mínimos de qualidade do ensino e a obrigatoriedade de estudos de recuperação, de preferência paralelos ao período letivo, para casos de baixo rendimento escolar, como política educacional. É imprescindível que, ao identificar as dificuldades e possibilidades dos estudantes, o professor trabalhe atividades pedagógicas desenvolvendo dinâmicas de sala de aula que possibilitem ao (a) estudante construir o seu próprio conhecimento. A problematização de situações didáticas que estimulem a compreensão, interpretação, análise e síntese das novas aprendizagens, priorizando as diferentes linguagens devem ser desenvolvidas com dinâmicas diversificadas, utilizando materiais existentes na escola – jogos pedagógicos, revistas e livros, entre outros. Apresentamos o material do APRENDER MAIS para o desenvolvimento de ações para reensino, em horários complementares, de forma concomitante aos estudos realizados no cotidiano da escola. Desta forma, conseguiremos fortalecer a educação de Pernambuco, contribuindo, por conseguinte, para o desenvolvimento do nosso Estado. Pois, quanto mais qualidade oferecermos em sala de aula, mais preparados estarão os estudantes para se desenvolverem profissionalmente e atuarem na sociedade. Contamos com todos! ANDERSON GOMES Secretário de Educação do Estado Matemática – PROJETO APRENDER MAIS ORIENTAÇÕES Neste Guia de Atividades, o professor encontrará um conjunto de sugestões que possibilitem um fazer pedagógico dinâmico e interativo, através da utilização de vários instrumentos e estratégias de ensino. Este material deve auxiliar o trabalho docente, no sentido de levar o estudante do ensino médio a perceber relações intertextuais por meio de diferentes linguagens, a compreender como os conteúdos estudados se manifestam no seu cotidiano, na sociedade e no mundo contemporâneo, além de interpretar e vivenciar situações que envolvem decisões e resoluções de problemas. Nosso objetivo com a elaboração deste material é subsidiar o professor para trabalhar novas oportunidades de aprendizagens e consolidação dos conhecimentos, nas disciplinas de Língua Portuguesa e Matemática à luz da Matriz de Referências do Sistema de Avaliação Educacional de Pernambuco (SAEPE). Dentre as sugestões encontram-se filmes, sites, livros, jogos e atividades didáticas com foco na leitura verbal e imagética, em métodos específicos de investigação matemática, na pesquisa interativa que dialogue com as áreas de conhecimentos de forma contextualizada e interdisciplinar. Sugerimos também, a consulta aos documentos oficiais do currículo escolar, como as Orientações Teórico-Metodológicas e a Base Curricular Comum, disponibilizados no site desta Secretaria, www.educacao.pe.gov.br no Espaço Professor, observando o que estes documentos propõem em relação ao ensino de Matemática e Língua Portuguesa para o Ensino Médio. O Projeto APRENDER MAIS reflete a compreensão de que os conhecimentos são apreendidos em processos contínuos, sistemáticos e de forma orgânica. E a cada nova oportunidade que a escola oferece o docente e o/a estudante ampliam e fortalecem conhecimentos em uma relação dialética e dialógica dos/as atores/as nele envolvidos/as. Pretendemos, portanto, que o estudante do ensino médio tenha novas oportunidades de estudos para superar dificuldades de aprendizagem, consolide conhecimentos previstos nas unidades didáticas do 3º ano, assegurando a sua permanência na escola e conclusão da etapa final da Educação Básica, e vislumbre o prosseguimento nos estudos e possibilidades de inserção no mundo do trabalho. 03 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS SUMÁRIO EIXO TEMÁTICO: GRANDEZAS E MEDIDAS 07 Avião e velocidade média A matemática na Culinária Que peso? A produção de uma máquina Correndo no autódromo A piscina Densidade demográfica Torneira com vazamento A construção do cercado Área de figuras geométricas planas Piff geométrico 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 19 EIXO TEMÁTICO: ESTATÍSTICA, PROBABILIDADE E COMBINATÓRIA A conta de energia elétrica Planeta água Jogo com dados Contando pela ordem e natureza 29 30 31 35 37 EIXO TEMÁTICO: GEOMETRIA 39 Bingo trigonométrico Encontre o par Descubra o gráfico Ponto de intersecção Capturando pontos É circunferência? 39 56 60 61 62 64 EIXO TEMÁTICO: NÚMEROS E OPERAÇÕES/ ÁLGEBRA E FUNÇÕES As camisas penduradas Os triângulos com palitos Os pães O campeonato de futebol O peso da penca de bananas O preço do livro Seqüências e funções Para recordar funções Progressão geométrica e função exponencial Juros e Funções Logaritmonencial Sistemas lineares 05 65 66 67 69 69 70 72 74 78 85 86 87 93 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS EIXO TEMÁTICO: GRANDEZAS E MEDIDAS As atividades sugeridas a seguir buscam favorecer o aprofundamento dos estudos que possibilitem os alunos do Ensino Médio a articular o ensino da matemática com outras disciplinas como Física e Química. Desta forma, são propostas atividades, de forma que os alunos possam resolver problemas que envolvam variações proporcionais, diretas ou inversas, entre grandezas. Em relação às grandezas geométricas recomendamos atividades em que os alunos possam resolver problemas envolvendo a área total e/ou volume de um sólido (prisma, pirâmide, cilindro, cone, esfera), relacionem diferentes poliedros ou corpos redondos com suas planificações ou vistas, identifiquem a relação entre o número de vértices, faces e/ou arestas de poliedros expressa em um problema, resolvam problemas envolvendo perímetro e área de figuras planas. Entendemos ser necessário o aprofundamento da compreensão do uso de fórmulas, assim como sobre conceitos relacionados às grandezas geométricas. Propomos que o professor utilize diversos recursos didáticos como jogos ou uso de material concreto (palitos, canudinhos, massa de modelar, embalagens), na composição e decomposição de sólidos geométricos. É importante que seja oferecido aos alunos a oportunidade de identificar e fazer uso de diferentes formas para realizar medidas. 07 ENSINO MÉDIO AVIÃO E VELOCIDADE MÉDIA Objetivo Relacionar conceitos como velocidade média e discutir grandezas diretas e inversas. Sugestões para o professor Pode ser discutido com os alunos: a) Qual (is) a(s) grandeza(s) envolvidas nesta atividade? Quais as unidades de medida utilizadas na atividade? Quais poderiam ser as unidades de medida não convencionais para estas grandezas? b) Quais outros conceitos matemáticos ou de outras disciplinas estão envolvidos nesta atividade? c) As relações entre estas grandezas são diretas ou inversas? A velocidade média do avião é calculada dividindo-se a distância percorrida pelo tempo de viagem: 3h15min = 3,25h 1 de hora ou 0,25h 4 Vm = Tempo (h) 1 996 ~ = 614 km/h 3,25 Distância 1 614 2 1 228 3 O avião percorre 614 km em 1 hora. A tabela ilustra como a distância percorrida é função do tempo: 1 842 A lei de formação dessa função é s = 614 distância t tempo Se esse avião fosse para uma cidade distante 921 quilômetros do Rio de Janeiro, em quanto tempo faria a viagem? FONTE: VASCONCELOS, Maria José C. V. SCORDAMAGLIO, Maria Terezinha e CÂNDIDO, Suzana Laino. Projeto Escola e Cidadania para todos: Matemática. Volume 1.São Paulo: Editora do Brasil, 2004. Pág. 35 08 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS A MATEMÁTICA NA CULINÁRIA Objetivo Conhecer a equivalência de pesos e medidas e discutir grandezas diretas e inversas. Sugestões para o professor a) Qual (is) a(s) grandeza(s) envolvidas nesta atividade? Quais as unidades de medida utilizadas na atividade? Quais poderiam ser as unidades de medida não convencionais para estas grandezas? b) Quais outros conceitos matemáticos ou de outras disciplinas estão envolvidos nesta atividade? c) As relações entre estas grandezas são diretas ou inversas? Estúdio Sepia Algumas receitas têm as quantidades expressas em xícaras, colheres, copos etc. Outras têm as quantidades em gramas, mililitros etc. Como adaptar essas medidas de uma forma para a outra? As xícaras variam de tamanho; as colheres e os copos também. Para isso, estima-se um valor médio que padronize essas medidas, de modo que as xícaras de açúcar possam ser transformadas em gramas, colheres de suco possam ser transformadas em mililitros e vice-versa. A tabela abaixo é uma exemplo disso. Observe as equivalências que ela apresenta e faça o exercício a seguir. Equivalência de pesos e medidas Ingredientes Líquidos ml Farinha g Açúcar g Manteiga g Fermento em pó g g Fermento seco g Sal Leite em pó g Colheres Sopa Chá Xícaras 1 ½ 1/4 3/4 1/3 2/3 250 125 63 188 83 166 120 60 30 90 40 80 170 85 43 128 57 113 220 110 55 165 73 146 100 50 25 75 33 66 1 16 7 10 14 10 10 12 6 1 5 2 3 5 3 3 4 2 a) Aproximadamente, quantas xícaras de farinha correspondem a 500g de farinha? b) 8 colheres de sopa de óleo são mais ou menos que 1 copo de óleo (200mL)? c) 1kg de açúcar tem aproximadamente quantas xícaras de chá? FONTE: VASCONCELOS, Maria José C. V. ZAMPIROLO, Maria Terezinha e CÂNDIDO, Suzana Laino. Projeto Escola e Cidadania: Matemática. São Paulo: Editora do Brasil, 2000. Volume: Mais ou menos quanto? Pág. 17 09 ENSINO MÉDIO QUE PESO? Objetivo Discutir grandezas diretas e inversas a partir do conceito de peso. Sugestões para o professor a) Qual (is) a(s) grandeza(s) envolvidas nesta atividade? Quais as unidades de medida utilizadas na atividade? Quais poderiam ser as unidades de medida não convencionais para estas grandezas? b) Quais outros conceitos matemáticos ou de outras disciplinas estão envolvidos nesta atividade? c) As relações entre estas grandezas são diretas ou inversas? No caso de uma mola feita de certo material, quando acoplamos a ela um peso P, ela sofre um alongamento x, que depende de P. Quando o peso P varia, o alongamento apresentado por essa mola também varia, como mostra a tabela abaixo. ALONGAMENTO x (cm) PESO P (kgf) 10 0,10 15 0,15 X 20 0,20 25 0,25 30 0,30 P Os resultados obtidos nessa experiência nos levam a representar essa variação do alongamento da mola de acordo com o peso por um gráfico como o que está abaixo. Nesse caso, observamos que, para um acréscimo de 0,05 kg no peso, há sempre um acréscimo de 5 cm no alongamento da mola. Construa um gráfico que represente as variações entre o peso e o alongamento desta mola. FONTE: VASCONCELOS, Maria José C. V. ZAMPIROLO, Maria Terezinha e CÂNDIDO, Suzana Laino. Projeto Escola e Cidadania: Matemática. São Paulo: Editora do Brasil, 2000. Volume: Quando a álgebra e geometria se encontram. Pág. 18 10 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS A PRODUÇÃO DE UMA MÁQUINA Objetivo Discutir o conceito de função crescente e de grandezas diretas e inversas. Sugestões para o professor a) Qual (is) a(s) grandeza(s) envolvidas nesta atividade? Quais as unidades de medida utilizadas na atividade? Quais poderiam ser as unidades de medida não convencionais para estas grandezas? b) Quais outros conceitos matemáticos ou de outras disciplinas estão envolvidos nesta atividade? c) As relações entre estas grandezas são diretas ou inversas? Uma máquina produz 4 metros de fio elétrico a cada minuto. Em seu caderno, faça uma tabela conforme o modelo, completando com valores de 30,40 e 50 minutos na coluna do tempo e calcule o comprimento respectivo a cada valor. Construa o gráfico e, a partir dele, responda: a) Como essas grandezas se relacionam? Escreva a sentença matemática que mostra essa situação. Tempo (t) (minutos) 10 40 20 b) Quantos metros de fio a máquina produz em 35 minutos de funcionamento? Comprimento (c) (metros) 80 c) Essa função é crescente? FONTE: VASCONCELOS, Maria José C. V. ZAMPIROLO, Maria Terezinha e CÂNDIDO, Suzana Laino. Projeto Escola e Cidadania: Matemática. São Paulo: Editora do Brasil, 2000. Volume: Gráficos: ler e interpretar. Pág. 3 11 ENSINO MÉDIO CORRENDO NO AUTÓDROMO Objetivo Aprofundar o conceito de velocidade média e a relação entre grandezas. Sugestões para o professor a) Qual (is) a(s) grandeza(s) envolvidas nesta atividade? Quais as unidades de medida utilizadas na atividade? Quais poderiam ser as unidades de medida não convencionais para estas grandezas? b) Quais outros conceitos matemáticos ou de outras disciplinas estão envolvidos nesta atividade? c) As relações entre estas grandezas são diretas ou inversas? O desenho ao lado é da pista do Autódromo de Interlagos, em São Paulo, onde é disputado o Grande Prêmio do Brasil de Fórmula 1. São 72 voltas de emoção, em que os pilotos percorrem 390 quilômetros num tempo máximo de 2 horas. a) Se a corrida tiver duração máxima, qual será a velocidade média do primeiro colocado? b) Que distância o primeiro colocado terá percorrido depois de 30 minutos de prova? FONTE: VASCONCELOS, Maria José C. V. SCORDAMAGLIO, Maria Terezinha e CÂNDIDO, Suzana Laino. Projeto Escola e Cidadania para todos: Matemática. Volume 1.São Paulo: Editora do Brasil, 2004. Pág. 37 12 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS A PISCINA Objetivo Observar o volume de um paralelepípedo e a relação entre grandezas. Sugestões para o professor a) Qual (is) a(s) grandeza(s) envolvidas nesta atividade? Quais as unidades de medida utilizadas na atividade? Quais poderiam ser as unidades de medida não convencionais para estas grandezas? b) Quais outros conceitos matemáticos ou de outras disciplinas estão envolvidos nesta atividade? c) As relações entre estas grandezas são diretas ou inversas? A figura abaixo é um paralelepípedo. O volume de um paralelepípedo é dado por V = comprimento X largura X altura altura largura comprimento Uma empresa fabrica piscinas no formato de paralelepípedo, variando o comprimento e a largura conforme a figura abaixo. 3 (Medidas em metros) x x+2 O volume y de água que cabe na piscina é função da medida x indicada na figura. a) Escreva y em função de x. b) Quantos metros cúbicos de água serão necessários para encher a piscina se x for igual a 4m? FONTE: VASCONCELOS, Maria José C. V. SCORDAMAGLIO, Maria Terezinha e CÂNDIDO, Suzana Laino. Projeto Escola e Cidadania para todos: Matemática. Volume 1.São Paulo: Editora do Brasil, 2004. Pág. 65 13 ENSINO MÉDIO DENSIDADE DEMOGRÁFICA Objetivo Aprofundar o conceito de densidade demográfica e discutir a relação entre grandezas. Sugestões para o professor a) Qual (is) a(s) grandeza(s) envolvidas nesta atividade? Quais as unidades de medida utilizadas na atividade? Quais poderiam ser as unidades de medida não convencionais para estas grandezas? b) Quais outros conceitos matemáticos ou de outras disciplinas estão envolvidos nesta atividade? c) As relações entre estas grandezas são diretas ou inversas? A densidade demográfica é um dos instrumentos utilizados em geografia para estudar como se distribui uma população. Ela relaciona o número de habitantes de um país, Estado ou região com sua área, por meio de uma razão. Densidade demográfica = número de habitantes área em km 2 A densidade demográfica do Estado de Minas Gerais, por exemplo, era de 26,76 habitantes por quilômetro quadrado, de acordo com o Censo do IBGE (1996). a) Considerando que, neste mesmo Censo, a população de Minas era de 16,5 milhões de habitantes, calcule a área aproximada desse Estado. b) Aproveite o conceito de densidade demográfica para calcular a densidade populacional de sua classe, em número de alunos por metro quadrado. (Basta dividir o número de alunos pela área da classe em m 2 .) FONTE: VASCONCELOS, Maria José C. V. SCORDAMAGLIO, Maria Terezinha e CÂNDIDO, Suzana Laino. Projeto Escola e Cidadania para todos: Matemática. Volume 1.São Paulo: Editora do Brasil, 2004. Pág. 184 e 185 14 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS TORNEIRA COM VAZAMENTO Objetivo Discutir grandezas direta e inversamente proporcionais a partir do desperdício de água. Sugestões para o professor a) Qual (is) a(s) grandeza(s) envolvidas nesta atividade? Quais as unidades de medida utilizadas na atividade? Quais poderiam ser as unidades de medida não convencionais para estas grandezas? b) Quais outros conceitos matemáticos ou de outras disciplinas estão envolvidos nesta atividade? c) As relações entre estas grandezas são diretas ou inversas? a) Usando o exemplo anterior, calcule quantos litros de água serão desperdiçados se o vazamento durar 30 dias (1L = 1 000 mL). Verifique se em sua casa não há vazamento de água! Evite sempre o desperdício! Um vazamento de água Uma torneira lá em casa está com vazamento - ela pinga sem parar. Coloquei um copo para recolher a água desperdiçada, e, em uma hora, o copo estava cheio. A capacidade desse copo é de 200 ml. Então, fiz a tabela a seguir. Tempo (horas) Quantidade de água desperdiçada (mL) 1 200 2 400 24 b) Um cientista observou durante 3 dias o crescimento de uma população de micróbios. Anotou seus dados como se segue. 4 800 Tempo (dias) 1 3 2 9 3 Como as grandezas são diretamente proporcionais, determinei que em 1 dia (24 horas) a torneira desperdiça 4 800 ml ou 4,8 litros de água. Número de micróbios 27 O tempo e o número de micróbios são grandezas proporcionais? Justifique sua resposta. Achei um absurdo! A torneira tem que ser consertada! FONTE: VASCONCELOS, Maria José C. V. ZAMPIROLO, Maria Terezinha e CÂNDIDO, Suzana Laino. Projeto Escola e Cidadania: Matemática. São Paulo: Editora do Brasil, 2000. Volume: O que é o que é? Pág. 12 15 ENSINO MÉDIO CONSTRUÇÃO DO CERCADO Objetivo Envolver os conceitos de área, perímetro e função do 2º grau. Sugestões para o professor a) Qual (is) a(s) grandeza(s) envolvidas nesta atividade? Quais as unidades de medida utilizadas na atividade? Quais poderiam ser as unidades de medida não convencionais para estas grandezas? b) Quais outros conceitos matemáticos ou de outras disciplinas estão envolvidos nesta atividade? c) As relações entre estas grandezas são diretas ou inversas? O dono de uma granja quer construir um cercado retangular aproveitando um muro já existente. as dimensões do cercado podem variar, desde que seu ‘‘perímetro’’ seja 36 m de tela. Dois cercados possíveis com 36 m de tela. a) Determine o comprimento da tela do cercado da planta ao lado. muro b) Determine a área A desse cercado. x c) A é uma função de x, do 2º grau. Esboce o gráfico dessa função. d) O granjeiro quer o cercado que tenha maior área. Qual é essa área? Quanto medem os lados do cercado nesse caso? x 36 - 2x FONTE: IMENES, Luiz Márcio Pereira e LELLIS, Marcelo. Matemática. São Paulo: Scipione, 1997. 8ª série, pág. 239. 16 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS ÁREA DE FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS Objetivo Promover o entendimento do uso de fórmulas para o cálculo de área de figuras planas e discutir o conceito de perímetro. Área do círculo O professor pode solicitar aos alunos que: • Utilizando o compasso desenhe um círculo com um diâmetro qualquer; • Recorte a figura; • Dobre o círculo ao meio, pinte cada metade de uma cor diferente , depois dobre ao meio novamente, novamente ao meio; outra vez ao meio, isto é, divida o círculo em 16 partes iguais, ou seja, 16 setores circulares. • Recorte cada uma das partes; • Cole numa fileira as partes da primeira metade do círculo; depois encaixe a outra metade formando um retângulo; • Escolha uma das dimensões da nova figura para base do retângulo. Qual a medida da altura correspondente a este lado tomado como base? Qual a medida da base do retângulo? Que expressão dará a medida da área do retângulo formado pelos setores circulares? Área de uma região retangular O professor pode solicitar aos alunos que: • Numa malha quadriculada desenhe uma figura retangular qualquer; • Conte quantos quadrados a figura possui no comprimento e quantos na largura; • Quantos quadradinhos no total? • Que resultado que você obtém ao multiplicar a quantidade de quadradinhos da largura pela quantidade de quadradinhos do comprimento da figura? • Observar a distinção entre área e perímetro. 17 ENSINO MÉDIO Área de uma região triangular O professor pode solicitar aos alunos que: • Desenhe um retângulo qualquer, escolha um lado para base e a altura corresponde a este lado; contorne com cores diferentes as dimensões. Recorte a figura; • Que expressão representa a medida da área desta figura? Trace uma diagonal; divida o retângulo em duas partes iguais utilizando a diagonal traçada; • Quantas e quais figuras você obteve? As figuras são congruentes? Que expressão representa a medida da área destas figuras? • Discuta como determinar a fórmula que expressa a área de uma região triangular qualquer. Área de um paralelogramo O professor pode solicitar aos alunos que: • Desenhe um paralelogramo não retângulo qualquer, escolha um lado para base e a altura corresponde a este lado; contorne com cores diferentes as dimensões. Pinte de cores diferentes as figuras que compõem o paralelogramo. Recorte a figura na altura traçada; Quais figuras você obteve? • Construa uma nova figura com as partes recortadas. Que expressão representa a medida da área desta figura? • Observe se os alunos relacionam o paralelogramo a uma região retangular. SUGESTÕES O Tangram é um quebra-cabeça de origem chinesa. O desafio do jogo consiste em compor as sete peças para formar uma região quadrada. Este jogo pode ser utilizado para o aprofundamento do conceito de área, através do uso de sobreposição das figuras. A série da TV Escola “Mão na Forma” também pode ser utilizada como recurso didático para o estudo de poliedros. 18 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS PIFF GEOMÉTRICO Esta atividade visa proporcionar uma visão mais ampla com relação à geometria espacial reconhecendo as formas geométricas espaciais, suas fórmulas e aplicações no dia-adia. Objetivo Identificar a forma geométrica dos sólidos em objetos do cotidiano, desenvolvendo a compreensão de propriedades relacionadas a estes. Material necessário ? • 108 cartas sendo distribuídas em 4 coringas. • 18 cartas com o desenho de sólidos geométricos (carta-figura). • 86 cartas contendo características ou exemplos destes sólidos (carta-característica). Sugestão de trabalho O professor deverá organizar os alunos em 3 ou 4 grupos. Distribuir 9 cartas para cada jogador. Este deverá ter como objetivo formar 3 trios, sendo que uma das cartas do trio, obrigatoriamente, é a carta-desenho e as outras duas contendo características ou exemplos do mesmo (carta característica). O coringa substitui qualquer carta com exceção dos desenhos. Em cada trio poderá ter somente um coringa. O jogador pega uma carta do “monte” e verifica se esta serve para seu jogo. Em caso afirmativo, troca por uma carta que está em sua mão; caso contrário, joga-a fora e o próximo jogador faz sua jornada. O ganhador do jogo é aquele que primeiro formar os 3 trios. Durante a aplicação do jogo o professor deverá estar atento para as dificuldades dos alunos. As dificuldades apresentadas deverão sofrer intervenções, no sentido de serem superadas. Após a aplicação do jogo propomos que sejam realizadas atividades de aprofundamento sobre os conceitos envolvidos, através do uso de material concreto para montagem de planificações dos sólidos ou desmontagem. Salientamos também a necessidade do cálculo do volume de sólidos que devem ser propostas na forma de situações-problema. LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA. Jogos matemáticos para o ensino médio. RS: UNIVATES, 2004. 19 ENSINO MÉDIO Jogo 1: Piff Geométrico Objetivo Proporcionar uma visão mais ampla com relação a geometria espacial reconhecendo as formas geométricas espaciais, suas fórmulas e aplicações. Material 108 cartas sendo distribuídas em 4 coringas, 18 cartas com o desenho de sólidos geométricos (carta-figura) e 86 cartas contendo características ou exemplos destes sólidos (carta-característica). Número de jogadores 2 ou mais. Regras Distribuir 9 cartas para cada jogador. Este deverá ter como objetivo formar 3 trios, sendo que uma das cartas do trio, obrigatoriamente, é a carta-desenho e as outras duas contendo características ou exemplos do mesmo (carta-característica). O coringa substitui qualquer carta com exceção dos desenhos. Em cada trio poderá ter somente um coringa. O jogador pega uma carta do “monte” e verifica se esta serve para o seu jogo. Em caso afirmativo, troca por uma carta que está em sua mão; caso contrário, joga-a fora e o próximo jogador faz sua jogada. O ganhador do jogo é aquele que primeiro formar os 3 trios. Exemplos de cartas com desenho (carta-figura): Exemplo da carta- coringa: 20 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS Exemplos de cartas contendo características dos sólidos (carta-característica): Cano de água. Faces laterais são trapézios. Copo plástico descartável. é usado para calcular colume. Sugestão de atividades que podem ser realizadas após o jogo: a) Qual a carta-figura que é mais fácil de combinar com as cartas-características? b) Se você tiver a seguinte carta-figura: Quais as cartas-características que podem ser combinadas com ela? 21 ENSINO MÉDIO c) João tem as seguintes cartas: Faces laterais são triangulares. Relação de Euler F+V=A+2 Tem apótema lateral. Pode ter base quadrada, hexagonal,... Ele pegou a seguinte carta do “monte”: A1 = 2ab + 2bc + 2ac Citar algumas opções de jogo. 22 D=a 3 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS Sólido de revolução. Faces opostas iguais. Pode ter base quadrada, hexagonal,... Faces laterais são retangulares. Tem apótema da base. V = Ab . h 8 vértices. 12 arestas. Lata de azeite dado Ab = r 2 23 Apresenta 8 faces. ENSINO MÉDIO V=a D=a 3 2 2 D= a +b +c 2 Número de faces é sempre igual ao número de vértices. 3 d=a 2 At = r (g + r) At = rg Casquinha de sorvete g =h +r Tem apótema lateral. Faces laterais são triangulares. Chocolate Toblerone 24 2 2 2 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS bola V= Ab . h 3 Cano de água 25 é usado para calcular volume. At = 2ab + 2bc + 2ac Cesta de lixo Al = 2 rh Copo plástico descartável. Faces laterais são trapézio. Relação de Euler F+V=A+2 2 Al = 4 r 6 faces ENSINO MÉDIO 26 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS Caixa de fósforo. 2 At = 6a Chapéu de bruxa. Podem ser equiláteros. At = 2 r (h + r) 4 r3 V= 3 27 Apresenta faces, arestas e vértices. ENSINO MÉDIO 28 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS EIXO TEMÁTICO: ESTATÍSTICA, PROBABILIDADE E COMBINATÓRIA As atividades sugeridas buscam favorecer o aprofundamento dos estudos que possibilitem os alunos do Ensino Médio resolver problemas envolvendo informações apresentadas em tabelas e/ou gráficos. Assim como associar informações apresentadas em listas e/ou tabelas simples aos gráficos que as representam, e vice-versa. Também esperamos que os alunos possam ser capazes de resolver problemas que envolva probabilidade de um evento. Para tanto propomos atividades experimentais para a construção deste conceito. A resolução de problemas de contagem utilizando o princípio multiplicativo ou noções de permutação simples, arranjo simples e/ou combinação simples devem favorecer o devido reconhecimento por parte dos alunos sobre a forma mais adequada de organizar números e informações com o objetivo de simplificar cálculos em situações reais envolvendo grande quantidade de dados e eventos. Ressaltamos a importância do trabalho sobre a busca por formas adequadas para descrever e representar dados numéricos e informações de natureza social, econômica, política, científico-pedagógica ou abstrata. 29 ENSINO MÉDIO A CONTA DE ENERGIA ELÉTRICA Esta proposta de atividade foi elaborada para ser aplicada no Ensino Médio, permitindo uma oportunidade de rever temas de estatística, em especial para aqueles alunos que, por algum motivo, não foram apresentados a esses conteúdos. Deve ser explorada uma conta de energia elétrica, sendo sugeridas atividades que enfatizem gráficos, tabelas, médias e operações numéricas. Objetivo Ler e interpretar os dados de um gráfico ou tabela e realizar operações numéricas utilizando uma conta de energia elétrica Conteúdos Matemáticos Estatística: gráficos, tabelas de freqüência, porcentagem, média aritmética. Material Conta de energia elétrica de vários meses de um ano. Manchetes de jornais ou revistas contendo gráficos. Sugestões para a atividade ? a turma em grupos de quatro a cinco alunos. Organizar ? de uma tabela com as médias de consumo diário nas contas de energia elétrica ?Construção dos meses do ano observado. ?entre o número de moradores da residência e o consumo de energia em kWh ?Relação (Quilowatts hora). ? sobre qual foi a média diária do consumo de energia elétrica nos meses de um ?Discussão período. ? gráfico da média diária de consumo de energia elétrica dos meses de um período ?Fazer um ? sobre em que mês houve o maior consumo de energia? E o menor? ?Discussão ? ?Em que mês houve o maior consumo diário médio de energia? E o menor? ? médio diário é o mesmo do dia-a-dia? O que faz a média do consumo diário ?O consumo variar? ? ?Com os dados da conta, solicitar o cálculo da média de consumo anual desta conta nos meses de _________ de ______ a ________________ de ________. ? do ICMS, se a alíquota fosse de 20%? Qual o valor ? de luz tem uma data de vencimento. Houve atraso no pagamento? Em caso A conta afirmativo, de quantos dias? Quanto se pagou de multa? ? no pagamento fosse de dez dias, qual seria o valor a ser pago? Se o atraso ? em jornais ou revistas os vários tipos de gráficos utilizados e o poder de Verificar visualização desses gráficos e a adequação para representação das informações. Referência: REORIENTAÇÃO CURRICULAR Matemática Materiais Didáticos Ensino Médio - Volume III- RJ, 2006. 30 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS PLANETA ÁGUA Objetivo Discutir a importância da estatística na apresentação adequada das informações utilizando tabelas ou gráficos, bem como ferramenta que está a serviço de qualquer área do conhecimento, possibilitando um trabalho interdisciplinar. TABELAS DE TRABALHO Nº 1 | distribuição da água no mundo. Nº 2 | evolução do uso da água no mundo Nº 3 | consumo médio de água no mundo por faixa de renda Nº 4 | disponibilidade de água por habitante/região (100m3) Nº 5 | disponibilidade anual de água de água por pessoa. Nº 6 | distribuição dos recursos hídricos, da superfície e da população no Brasil. Nº 7 | desperdício evitável de água. 1. ATIVIDADES Quais os dados das tabelas citadas não seriam bem apresentados em gráficos? Justifique. Qual da tabela pode apresentar seus dados em um gráfico de linhas? Execute esta tarefa. Qual da tabela pode apresentar seus dados em um gráfico de barras superpostas ou empilhadas? Execute esta tarefa. Apresentar os dados da tabela 10 em um gráfico de barras. 2. TRABALHANDO COM A CONTA DE ÁGUA Observe a tabela com o consumo de água dos últimos 12 meses e o consumo médio em metros cúbitos do Senhor COMPESA. Média 23 23 18 31 32 30 24 24 25 21 20 31 26 • Calcular o consumo anual familiar • Calcular o consumo anual per capita • Calcular o consumo médio mensal familiar • Calcular o consumo médio familiar diário • Calcular o consumo médio diário por pessoa • Construir o gráfico de barras do consumo • Calcular as variações dos valores do consumo mensal em relação a média. Obs: atividade adaptada do livro Tratamento da Informação para o ensino Fundamental e Médio de CAZORLA, Irene Maurício. 31 ENSINO MÉDIO TABELA Nº 1 - distribuição da água no mundo em trilhões de toneladas e porcentagem DIVISÃO DA ÁGUA NO MUNDO QUANTIDADE PORCENTAGEM 1.235.000 97,300 41.000 2,7000 30.750 75,000 • sub-solo entre 3.750m e 750m (lençóis profundos) 5.652 13,000 • sub-solo acima de 750m (lençóis superficiais) 4.424 10,800 123 0,300 • rios 12 0,30 • umidade do solo 25 0,060 • atmosfera na forma de vapor de água 14 0,035 Água salgada e está nos mares e oceanos Água doce e está dividida em: • congeladas nas calotas polares e geleiras • lagos e lagoas (*) utilizam-se três casas decimais para poder representar os valores pequenos TABELA Nº 2 - evolução do uso da água no mundo ANO HABITANTES USO DE ÁGUA M3 / HAB / ANO 1940 2,3 X 109 400 1990 5,3 X 109 800 TABELA Nº 3 - consumo médio de água no mundo por faixa de renda GRUPO DE RENDA USO DE ÁGUA M3 / HAB / ANO baixa 386 média 453 alta 1.167 32 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS TABELA Nº 4 - disponibilidade de água por habitante / região (1000 m3) REGIÃO 1950 África 1960 1970 1980 2000 20,6 16,5 12,7 9,4 5,1 9,6 7,9 6,1 5,1 3,3 105,0 80,2 61,7 48,8 28,3 5,9 5,4 4,9 4,4 4,1 37,2 30,2 25,2 21,3 17,5 178,3 140,2 110,6 89,0 58,3 Ásia América Latina Europa América do Norte TOTAL TABELA Nº 5 - disponibilidade anual de água por pessoa (água renovável em m3 / ano) PIORES PAÍSES MELHORES PAÍSES POSIÇÃO PAÍS 3 3 M / ANO POSIÇÃO 10.767.857 171º Cingapura 149 1.563.168 172º Malla 129 PAÍS M / ANO 1º Groelândia 2º E.U.A 3º G. Francesa 812.121 173º Arábia Saudita 118 4º Islândia 609.319 174º Líbia 113 5º Goiana 316.689 175º Ilha Maldivas 103 6º Suriname 292.566 176º Qatar 94 7º Congo 275.679 177º Bahamas 66 8º Papua Nova Guiné 166.563 178º Emirado Árabe 58 9º Gabão 133.333 179º Faixa de Gaza 52 10º Ilhas Salomão 100.000 180º Kuwat 10 25º Brasil 48.314 fonte: http//www.universiabrasil.com.br 33 ENSINO MÉDIO TABELA Nº 6 - distribuição dos recursos hídricos, da superfície e da população no Brasil (em % do total do país) REGIÃO RECURSOS HÍDRICOS SUPERFÍCIE POPULAÇÃO Norte 68,50 45,30 6,98 Centro-Oeste 15,70 18,80 6,41 Sul 6,50 6,80 15,05 Sudeste 6,00 10,80 42,65 Nordeste 3,30 18,30 28,91 TOTAL 100 100 100 fonte: http//www.moderna.com.br TABELA Nº 7 - desperdício evitável de água ATIVIDADE LITROS Descarga 10 Escovar os dentes 12 Deixar a torneira gotejando durante um dia 46 Ficar 15 minutos no chuveiro 135 Regar o jardim durante 10 minutos 186 Lavar o carro com mangueira durante 30 minutos 216 Um buraco de 2 milímetros no encanamento durante um dia 34 3.200 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS JOGO COM DADOS Apresentamos uma proposta para o ensino de probabilidade, utilizando-se um jogo de dados e a metodologia da resolução de problemas. O jogo proposto foi formulado por Game of Kasje, citado por Schuh (1968, p.181), através da utilização desse jogo, são formulados vários problemas, cujas soluções e a adequada intervenção do professor, induzem os alunos a construção/ reconstrução de todos os conceitos básicos de probabilidade. Objetivo Introduzir o conteúdo de probabilidade a partir da utilização de um jogo, explorando a resolução de problemas. O Jogo Este jogo utiliza dois dados e é disputado por dois jogadores, João e Maria. Os resultados abaixo valem os pontos indicados e resultados diferentes não são pontuados. (4; 1) ou (1; 4) – 1 ponto (4; 4) – 4 pontos (4; 2) ou (2; 4) – 2 pontos (4; 5) ou (5; 4) – 5 pontos (4; 3) ou (3; 4) – 3 pontos (4; 6) ou (6; 4) – 6 pontos Cada jogador poderá efetuar até dois lançamentos. Se não conseguir nenhuma face 4 no primeiro lançamento, efetua o segundo lançamento com os dois dados. Se conseguiu pelo menos uma face 4 no primeiro lançamento, reserva este dado e decide se lança ou não o outro dado mais uma vez. Vence o jogo quem obtiver a maior pontuação. Caso os dois jogadores obtenham a mesma pontuação o procedimento dado é repetido. Comentários sobre o jogo Num primeiro momento todos os alunos deverão jogar. Depois de realizado o jogo, o professor pode fazer os questionamentos abaixo. O jogador deverá sempre aproveitar o segundo lançamento? O segundo jogador possui maior possibilidade de vencer o jogo? Estamos supondo a utilização de dados com faces equiprováveis. Se o jogador conseguir (4; 1) ou (1; 4) – 1 ponto no primeiro lançamento, é conveniente lançar o segundo dado mais uma vez, não existe neste caso possibilidade de piorar sua pontuação. Se o jogador obteve 3 pontos, (4; 3) ou (3; 4) no primeiro lançamento e decidir lançar o segundo dado mais uma vez, então ele terá uma chance em 6 de permanecer com a mesma pontuação, duas chances em 6 de piorar sua pontuação; ou seja; obter a face 1 ou face 2 no lançamento do segundo dado e possui três chances em 6 (faces 4, 5 ou 6) de melhorar sua pontuação. O jogador poderá não marcar pontos ou ter pontuação zero, isto ocorre se nos seus dois possíveis lançamentos ele não conseguir nenhuma face 4. João é o primeiro jogador e efetua um ou dois lançamentos. Maria joga posteriormente e está numa posição melhor de decidir se aproveita ou não o seu segundo lançamento, pois já conhece a pontuação obtida por João. Para tornar o jogo mais justo deve existir uma alternância entre João e Maria para ser o primeiro a jogar. Para a resolução dos problemas, o trabalho deve ser realizado em grupo. Após a solução de cada problema, um grupo é escolhido para apresentar o resultado. No final, uma pequena plenária pode ser realizada para discutir a solução apresentada, bem como outras soluções alternativas. 35 ENSINO MÉDIO 2. EXPERIMENTO ALEATÓRIO, ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTO Os conceitos de Experimento Aleatório, espaço Amostral e Evento serão sistematizados através das soluções dos problemas a seguir. Problema 1 Considerando-se apenas o primeiro lançamento dos dois dados, João terá maior chance em conseguir 1 ponto ou 6 pontos? Justifique sua resposta. Problema 2 Considerando-se apenas o primeiro lançamento dos dois dados, João terá maior chance em conseguir 5 ou 4 pontos? Justifique sua resposta. 3. DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE Até o presente momento o termo probabilidade não foi mencionado, este conceito será sistematizado nesta seção. Entretanto, os conceitos de Espaço Amostral e Evento, já sistematizados anteriormente, podem e devem ser utilizados pelo professor. Problema 3 Se João obteve 1 ponto no primeiro lançamento ele deverá utilizar o segundo lançamento para melhorar sua pontuação? Justificar sua resposta. Problema 4 Se João obteve 3 pontos no primeiro lançamento, quais são suas chances em melhorar, piorar ou manter inalterada sua pontuação se utilizar o segundo lançamento? Problema 5 Qual a probabilidade de João não obter a face no primeiro lançamento? Problema 6 Se não obteve 4 pontos no primeiro lançamento, qual a probabilidade de aumentar, diminuir ou permanecer com esta pontuação se utilizar o segundo lançamento? 1 2 3 1 2 3 4 5 6 36 4 5 6 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS CONTANDO PELA ORDEM E PELA NATUREZA Objetivo Favorecer que os alunos identifiquem os problemas que são de permutação, arranjo ou combinação. Sugestões para o professor Através dos problemas sugeridos abaixo, discuta a resolução destes sem/com o uso de fórmulas. 1) O professor de desenho pediu a seus alunos que pintassem os quatros abaixo, usando as cores rosas ou verde. Quantas são as possibilidades diferentes de pintá-los? 1º 2º 3º 4º 2) De quantas formas podemos compor uma comissão de 6 pessoas, sendo três escolhidas de um conjunto de 5 homens e as outras três escolhidas de um conjunto de 6 mulheres? 3) Tem-se 5 pontos sobre uma reta r e 10 pontos sobre uma reta s paralela a r. Calcule: a) Quantos triângulos com vértices em 3 desses 15 pontos existem? b) Quantos quadriláteros com vértices em 4 desses 15 pontos existem? 4) Suponha-se que tenham entrado em cartaz 3 filmes e 2 peças de teatro e que Carlos tenha dinheiro para assistir a apenas um evento. Quantos são os programas que Carlos pode fazer no sábado se os programas nunca são simultâneos? 5) Se o exemplo anterior Carlos tiver dinheiro para assistir a um filme e a uma peça de teatro, quantos são os programas que ele pode fazer no Sábado? 6) Cinco atletas participaram de uma corrida. Quantos resultados existem para o 1ª, 2ª e 3ª lugar se dois ou mais atletas não podem chegar simultaneamente? 7) Os sanduíches da padaria Regência são famosos, entre os três tipos de pão: pão forma, pão francês ou pão italiano. Para o recheio há quatro opções: salame, queijo, presunto ou mortadela. Quantos tipos de sanduíches a padaria oferece usando: a) Um tipo de pão e um tipo de recheio? b) Um tipo de pão e dois tipos de recheio? 37 ENSINO MÉDIO 8) O diagrama abaixo ilustra o mapa de uma cidade onde existem 5 avenidas na direção nortesul e 4 avenidas na direção leste-oeste (avenidas adjacentes são paralelas e equidistantes). De quantas formas pode uma pessoa ir do ponto A e dirigir-se ao ponto B, usando o menos caminho possível? B N NO NE O L SO SE S A 38 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS EIXO TEMÁTICO: GEOMETRIA As atividades sugeridas buscam favorecer o aprofundamento dos estudos que possibilitem os alunos do Ensino Médio a resolver problema que envolva razões trigonométricas no triângulo retângulo (seno, cosseno, tangente). Propomos que além dos jogos sugeridos, o professor aprofunde os conceitos envolvidos em que possa se utilizar e interpretar modelos para resolução de situações-problema que envolvam medições, em especial o cálculo de distâncias inacessíveis, e para construir modelos que correspondem a fenômenos periódicos. O trabalho com a interpretação geométrica dos coeficientes da equação de uma reta, A identificação da equação de uma reta apresentada a partir de dois pontos dados ou de um ponto e sua inclinação, a determinação do ponto de interseção de duas ou mais retas com a resolução de um sistema de equações com duas incógnitas e o reconhecimento dentre as equações do 2º grau com duas incógnitas, as que representam circunferências, são aspectos a serem aprofundados em geometria analítica. Destacamos a importância da articulação entre geometria e álgebra. Para que esta articulação seja significativa para o aluno, o professor deve trabalhar o entendimento de figuras geométricas, via equações, e o entendimento de equações, via figuras geométricas. BINGO TRIGONOMÉTRICO Objetivo Recordar cálculos relacionados a seno e cosseno e aprofundar com a resolução de problemas. Participantes O número máximo de participantes é 36, correspondente ao número de cartelas por assuntos. Caso sejam constituídos grupos de dois ou mais alunos, o número de participantes poderá ser definido pelo professor. Material • 25 peças com questões envolvendo seno; • 25 peças com questões envolvendo cosseno; • 36 cartelas com resultados de questões envolvendo senos; • 36 cartelas com resultados de questões envolvendo cosseno. Regras As regras do jogo são as mesmas de um bingo tradicional. Cada participante recebe uma ou mais cartelas e vai preenchendo os números que nelas aparecem, a partir da chamada feita por uma pessoa que os sorteia. Especificamente para o Bingo Trigonométrico: - as peças sorteadas contém as questões propostas sobre cada assunto. - na cartela do aluno aparecem os resultados das questões propostas. O aluno deve resolver a questões sorteada, descobrir a resposta correta e procurá-la em sua cartela. Encontrando-a, deve marcá- la com uma pequena peça (grão de milho,feijão ou botão); - a pessoa que sorteia deve respeitar um tempo de resolução para cada questão. Cabe ao professor decidir o tempo mínimo e o máximo. 39 ENSINO MÉDIO 5 QUESTÕES COSSENO 4 3 ð cos cos x = 0 cos 10 cos 480° 8 ð cos 11 cos x = - x cos x = - 14 12 18 16 15 cos x = - x cos x = cos x = cos 100 ð cos x = - 13 x cos x = 0 19 cos x = 1 cos x = 17 x x cos x = 9 ð x cos x = -1 1 cos 540° 7 ð ð 2 cos 780° 6 cos cos 20 cos x = 21 x 22 cos x = 23 cos x = x x 40 24 cos x = 25 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS 5 RESPOSTAS COSSENO 4 3 2 -1 6 7 1 - 8 0 - 9 1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 41 ENSINO MÉDIO 5 QUESTÕES SENO 4 3 2 sen 3330° 6 sen 10 7 sen x = 0 14 sen x = sen x = - 1 sen 330° sen 1485° 8 sen sen x = -1 sen 9 sen sen 40 ð 11 sen x = 12 15 sen x = 16 sen x = 1 sen x = - 13 17 x 18 sen x = 0 x x 19 sen x = 20 x x sen x = sen x = 22 sen x = - sen x = 21 x 23 x sen x = - x 42 24 sen x = x 25 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS 5 RESPOSTAS SENO 4 - - 3 2 - 1 6 1 7 8 -1 9 0 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 43 ENSINO MÉDIO 1 - 1 COSSENO - 0 2 COSSENO 3 COSSENO -1 - 4 COSSENO 1 -1 5 COSSENO - 0 6 COSSENO - 44 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS -1 1 7 COSSENO - 8 COSSENO - 9 COSSENO - 0 10 COSSENO - 1 - 11 COSSENO 0 12 COSSENO 45 ENSINO MÉDIO - 13 COSSENO - -1 0 -1 - 14 COSSENO 15 COSSENO - 16 COSSENO 1 - 0 46 17 COSSENO 18 COSSENO MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS 1 19 COSSENO - 20 COSSENO - - 1 21 COSSENO 0 22 COSSENO - -1 - 0 23 COSSENO 1 24 COSSENO - 47 ENSINO MÉDIO 25 COSSENO - -1 1 26 COSSENO 0 - 27 COSSENO 28 COSSENO 1 - 29 COSSENO - -1 30 COSSENO 0 48 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS - -1 - - 0 31 COSSENO 32 COSSENO 33 COSSENO 1 34 COSSENO 0 - -1 35 COSSENO 36 COSSENO - 49 ENSINO MÉDIO - - 1 -1 1 SENO 2 SENO - 0 3 SENO - 5 SENO - 1 4 SENO 0 -1 50 6 SENO MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS -1 7 SENO 1 - 8 SENO - 9 SENO 0 0 10 SENO 11 SENO - -1 51 1 12 SENO ENSINO MÉDIO - 13 SENO -1 0 14 SENO - 15 SENO 1 16 SENO - - -1 1 17 SENO 18 SENO 0 52 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS - 0 19 SENO 1 20 SENO - 21 SENO - -1 - 23 SENO - 22 SENO -1 0 1 24 SENO 53 ENSINO MÉDIO 0 25 SENO 1 - 26 SENO -1 - 27 SENO - - 28 SENO 0 29 SENO -1 - 1 30 SENO 54 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS 31 SENO - 0 32 SENO - - 33 SENO -1 1 -1 - 35 SENO - 0 - 1 55 34 SENO 36 SENO ENSINO MÉDIO ENCONTRE O PAR Objetivo Aprimorar no aluno a compreensão das relações trigonométricas e desenvolver o cálculo mental com expressões trigonométricas simples. Participantes Dois ou três Material Uma cópia de baralho de cartas (ver páginas seguintes) e do dado abaixo, montado, com os valores dos ângulos em graus (0°, 15° E 30°), papel e lápis para registrar os cálculos.atões envolvendo cosseno. Regras • As cartas são embaralhadas e colocadas no centro de uma mesa (ou carteira) com as faces voltadas para baixo. • Os participantes decidem a ordem em que cada um irá jogar. • Em cada jogada, cada um dos participantes retira duas cartas do mente e joga o dado duas vezes, anotando os valores obtidos. • Cada jogador deve substituir os valores de x em suas cartas pelos valores dos ângulos obtidos no dado, escolhendo qual valor, entre os dois sorteados por ele, que colocar em cada carta. • Se o jogador, ao calcular o que se pede nas cartas, conseguir dois valores numericamente iguais, ele permanece com o par de cartas; caso contrário, ele devolve as cartas para um segundo monte sobre a mesa. Essas cartas não poderão mais ser utilizadas nas jogadas seguintes. • Após cada jogador conferir os cálculos dos demais, nova jogada é feita. • Quando acabarem as cartas do monte inicial, o jogo termina e ganha aquele que tiver o maior número de cartas. DADO 0° 15° 30° 0° 56 15° 30° MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS O valor de AB no triângulo retângulo ABC O valor de AC no triângulo retângulo ABC B A área do triângulo retângulo ABC B B x + 30º 3 60º - x 3 C A C O valor de AB no triângulo retângulo ABC de altura AD = 1 A O valor de AC no triângulo retângulo ABC de altura AD = 1 A A O valor de BC no triângulo retângulo ABC, sendo que AB mede 2 e é um diâmetro do semicírculo C A 1 1 x + 30º B 60º - x 2 C x + 30º C D B O valor de AC no triângulo retângulo ABC, sendo que AB mede 2 e é um diâmetro do semicírculo 60º - x A B C D A altura BH do triângulo ABC 2 A área BH do triângulo ABC B B C 2 1 x + 30º x + 30º A 2 B x + 30º C A H 4 57 C A 4 ENSINO MÉDIO O valor de sen 3x + cos 3x O valor de sen (2x + 60) O valor de 2cos (45 - 3x) O valor de 2sen (30 + 2x) O valor de 3 - tg 2x O valor de 3tg (60º - x) A altura BH do triângulo ABC A base do triângulo isósceles ABC A altura BH do triângulo isósceles ABC B B B 60º + 2x 60º - x 3 2 2 2 6 60º - x A H C C A 58 A C MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS O valor da função f(x) = 2 - 3 sen2 3x O valor da função f(x) = 2 cos 2x 59 O valor da função f(x) = 2 cos2 3x ENSINO MÉDIO DESCUBRA O GRÁFICO Objetivo Discutir a relação algébrica e gráfica de funções polinomiais do 1º e 2º graus. y=x y = -x y=x+1 y=x-1 Sugestões para o professor a) Que semelhança(s) e que diferença(s) você observa entre os gráficos representados nos quadros M, N, e O? b) Que semelhança(s) e que diferença(s) você observa entre os gráficos representados nos quadros P, Q e R? c) A análise dos gráficos e a relação com uma das funções abaixo indicadas d) Ampliar a identificação algébrica dos gráficos. y A) y B) C) -2 x +2 y x 2 x -4 D) y E) y F) y 9 x -8 x ( ) y = x²- 4 ( ) y = 2x² ( ) y = x² + 4x + 4 ( ) y = - 2x² + 8x 60 ( ) y = (1/2) x2 + 9 ( ) y = -x + 4 4 x MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS PONTO DE INTERSECÇÃO Objetivo Relacionar a determinação do ponto de intersecção de duas ou mais retas coma resolução de um sistema de equações com duas incógnitas. Sugestão Discutir com os alunos qual sistema de equações corresponde cada gráfico abaixo. Depois solicitar que determine a solução dos sistemas algebricamente. a) { x+y=4 y-x=1 I. y b) { x + y = -2 y = 2x + 1 c) y II. x IV. y { x y = 2 +2 x + y = -1 III. x V. y x x 61 d) { x+y=0 y-x=2 y x ENSINO MÉDIO CAPTURANDO PONTOS Objetivo Aprimorar a compreensão dos intervalos numéricos, identificar as propriedades da circunferência, apropriar-se de sua equação e representar pontos no plano cartesiano, Tendo como base um intervalo determinado, são os objetivos deste jogo. Organização Dividir os alunos em duplas. Material • moeda • lápis • compasso • um tabuleiro para cada jogador, feito com papel quadriculado conforme indicado. Regras 1. Cada jogador marca em seu tabuleiro 10 pontos sem que o seu adversário veja. Esses pontos podem ficar em qualquer posição desde que dentro dos limites do tabuleiro, ou seja, pontos (x,y) com -10 ≤ ≤ e -10 ≤ ≤ e X º Y º Z. x 10 Z 10 2. Decide-se quem começa e os participantes jogam alternadamente 3. Na sua vez, o jogador lança a moeda e diz a equação de uma circunferência da seguinte forma: “(x-a)2 + (y – b )2 = r2 , onde r é 1 se a moeda tiver caído em cara e r é 2 se a moeda tiver caído coroa “.As coordenadas do centro (a,b) são escolhidos pelo jogador 4. O Adversário traça, então, a circunferência correspondente em seu tabuleiro e anuncia quantos de seus pontos o outro jogador capturou. 5. Os pontos serão capturados quando estiverem no interior da circunferência ou pertencerem ela. 6. Ganha o jogo aquele que conseguir capturar primeiro os 10 pontos de seu oponente. EXPLORANDO O JOGO Está na vez de Júlio jogar. Ele diz a César a equação ( x – 1 )2 + ( y – 5 )2 = 4 . Este traça a circunferência e anuncia que Júlio fez 5 pontos dos quais 3 pertencem á circunferência. Quais os possíveis pontos, atingidos por Júlio, que pertencem á circunferência? • Até quantos pontos podem ser capturados se a circunferência possuir raio 1 ?E se o raio for 2? • Liste todos os pontos que a circunferência de raio 2 e centro (-5;-5) pode atingir. 62 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS • Quero atingir o ponto (10;10). Tirei cara na moeda. Escreva alguns possíveis centros que posso escolher? • Lúcio obteve coroa ao lançar a moeda. Quer atingir o ponto (-10; 4). Escreva três centros que Lúcio pode escolher? IMPORTANTE Os alunos podem produzir uma lista de dicas para vencer o jogo, ou resolver problemas a partir do jogo, como, por exemplo: Das equações a seguir, qual(ais) delas atinge o ponto(9;-6)? a) (x-9)2+(y+4)2=4 b) (x-9)2+(y-4)2=1 c) (x+11)2+(y+6)2=4 d) (x-9)2+(y+5)2=1 e) (x-7)2+(y-6)2=4 Criar uma lista de exercício para serem resolvidos a partir do jogo e depois trocar com um colega para que resolva a lista do outro. y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 63 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x ENSINO MÉDIO É CIRCUNFERÊNCIA? Objetivo Reconhecer dentre as equações do 2º grau com duas incógnitas, as que representam circunferências. a) x²+y²-8x+6y+1=0 b) x²+y²+xy+4x+6y-3=0 c) 2x²+y²+4x-2y+1=0 d) 3x²+3y²-12x-15y-6=0 e) 4x²-4y²=0 f) (x-5)²+(y-3)²=-5 g) x²-10x+25+y²=0 Escreva uma equação para cada circunferência de centro O: A) y B) 0 0 y 0 x x 0 C) y 0 x 0 64 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS EIXO TEMÁTICO: NÚMEROS E OPERAÇÕES / ÁLGEBRA E FUNÇÕES As atividades sugeridas buscam favorecer o aprofundamento dos estudos que possibilitem os alunos do Ensino Médio a resolver problemas envolvendo equação do 1º e 2º grau, reconhecer a expressão algébrica que representa uma função a partir de uma tabela, possam analisar crescimento/decrescimento, zeros de funções reais apresentadas em gráficos. Esperamos que os alunos possam reconhecer a representação algébrica de uma função do 1º e 2º graus dado o seu gráfico, reconheçam o gráfico de uma função polinomial por meio de seus coeficientes ou vice-versa e resolvam problemas que envolvam os pontos de máximo ou de mínimo de uma função polinomial do 2º grau. O ensino de funções, não deve descuidar de mostrar que o que está sendo aprendido permite um olhar mais crítico e analítico sobre as situações descritas. As funções exponencial e logarítmica, por exemplo, são usadas para descrever a variação de duas grandezas em que o crescimento da variável independente é muito rápido, sendo aplicada em áreas do conhecimento como matemática financeira, crescimento de populações, intensidade sonora, pH de substâncias e outras. Relembramos que a origem do conceito de função está intimamente ligado à necessidade do homem de registrar regularidades observadas em fenômenos e generalizar leis e padrões. As idéias essenciais envolvidas no conceito de função devem ser trabalhadas ao mesmo tempo que as formas de representar funções. Nas atividades que se seguem, são trabalhadas as representações gráfica e analítica de uma função, a partir da discussão de uma função real, descrita verbalmente. O uso da linguagem oral e escrita deverá auxiliar a passagem de uma dessas formas de representação para a outra e a explicitação de noções como: dependência, domínio, variável e generalização. Todas as atividades propostas podem ser usadas como introdução à linguagem algébrica, de uma maneira mais significativa. A resolução de problemas envolvendo P.A./P.G. pode ser articulado com outros conceitos matemáticos, a exemplo, com o ensino de funções A identificação da representação algébrica e/ou gráfica de uma função logarítmica, reconhecendo-a como inversa da função exponencial deve ser aprofundado. Assim como, identificar gráficos de funções trigonométricas (seno, cosseno, tangente) deve ser trabalhado no reconhecimento de propriedades. Entendemos que o estudo sobre os sistemas lineares necessitam de uma revisão sobre a resolução de sistemas de duas equações e duas incógnitas para sistemas lineares 3 por 3. 65 ENSINO MÉDIO AS CAMISAS PENDURADAS Objetivo Representar a lei geral de uma expressão a partir da análise de situações, ao menos em palavras, sem a necessidade do uso de tabelas. Organização Trabalhar em duplas. D. Lourdes lavou as camisas do time de futebol de seu neto Cacá e vai colocá-las para secar da seguinte maneira: - cada camisa é presa por dois pregadores; - cada camisa é ligada à seguinte por um pregador. a) Tente fazer um desenho que represente essa situação. b) Quantos pregadores D. Lourdes usará para pendurar 8 camisas? c) E 10 camisas? d) E 11 camisas? e) D. Lourdes comprou duas cartelas de 12 pregadores cada. Esse número de pregadores é suficiente para prender as camisas de 22 pregadores? f) Escreva uma expressão que represente o número de pregadores necessários para pendurar um número qualquer de camisas. Se precisar, construa uma tabela. Observação Os alunos que já possuem uma experiência com álgebra concluem facilmente toda a atividade, chegando à abstração. Porém, os que não possuem esta vivência demonstram uma certa dificuldade em generalizar. Neste caso, sugere-se ao professor o uso da tabela par facilitar a abstração 66 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS OS TRIÂNGULOS COM PALITOS Com os palitos de fósforo, construa um triângulo. a) Quantos palitos você usou? Continue a formar outros triângulos como na figura: b) Ao formar três triângulos, quantos palitos você usou? E se você formar cinco? E se formar dez? E se formar 65? c) Se alguém quiser saber quantos palitos serão usados para formar um número n qualquer de triângulos, você saberia escrever uma expressão para ajudá-lo? d) Verifique se essa expressão dá o número de palitos que você usou para fazer 5 triângulos. O mesmo para 3 triângulos. e) Descubra agora quantos palitos são necessários par formar 58 palitos. f) Tendo 85 palitos, quantos triângulos pode-se formar? E tendo 168? Explique as suas respostas. g) Para qualquer número ímpar p de palitos, é possível encontrar n? Experimente alguns números. h) Você saberia escrever uma expressão que desde o número n de triângulos formados com qualquer número ímpar p de palitos? 67 ENSINO MÉDIO Observações Professor, acompanhe o seguinte: 1) Nos itens b a d, deve-se destacar a dependência do número p de palitos em relação ao número n de triângulos, e o caráter de variável de cada uma dessas grandezas. A expressão analítica de p como função de n, pedida em c, é uma das formas de representar a lei que rege essa dependência. 2) No item f, passa-se a considerar n como função de p. Os alunos devem descobrir que a expressão 2n + 1 = p só permite encontrar exatamente n, conhecendo p, se p for ímpar. A conclusão dessa reflexão deve ser feita no item g. Quando p é par, eles poderão estabelecer estratégias para determinar n, com base em uma análise da situação real. 3) Neste item f, há uma mudança de papéis para as letras. Fixado um valor para a variável p (dado o valor da função), deve-se então determinar que valor da variável n faz com que a função assuma aquele valor. No lugar de duas variáveis p e n relacionadas por uma expressão, têm-se então uma equação na incógnita n. Assim, essa atividade possibilita refletir sobre a diferença entre equação e função e entre incógnita e variável. 4) Após a conclusão do item g é possível discutir a existência de uma função que a cada número ímpar p de palitos, associa o número n de triângulos formados. A expressão analítica dessa função é pedida no item b. É importante observar que, enquanto em c, para qualquer natural n é possível determinar p, em h, só é possível obter, n exatamente, para valores ímpares de p (conceito de domínio). 5) Para alunos no nível de formalização é possível estender o domínio de p a valores naturais quaisquer, desde que se usem expressões distintas para os casos em que p é par ou ímpar. Assim: n = (p – 1)/2, se p é ímpar; n = (p – 1)/ 2, se p é par. 68 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS OS PÃES Ana vai à padaria com R$ 2,00 para comprar pães que custam R$ 0,18 cada. Se comprar 6 pães, quanto receberá de troco? E se comprar 10 pães? Escreva a expressão que dá o troco que Ana receberá se comprar um número n qualquer de pães. Que valores este número n pode ter? O CAMPEONATO DE FUTEBOL Em um campeonato de futebol, cada time joga contra todos os outros duas vezes. a) Se nesse campeonato houver quatro times, quantas vezes cada time vai jogar? E cada par de tênis? Quantos jogos haverá no campeonato? b) Responda todas estas perguntas, para o caso de haver, cinco times no campeonato. c) Você seria capaz de calcular o número de jogos de um campeonato assim com 23 times? Como você explicaria a um colega seu o que você fez? d) Você poderia resumir isto tudo em uma expressão que dê o número de jogos do campeonato em função do número de times? 69 ENSINO MÉDIO O PESO DA PENCA DE BANANAS Conceitos trabalhados Conceito de variável, gráfico de uma função, expressão analítica de uma função. Objetivo Explorar situações que possibilitem a análise da relação entre duas grandezas Desenvolver a noção de variável com domínio; Analisar gráficos de função e relacioná-los com sua expressão analítica; Construir gráfico de função com número finito de pontos. PARTE I Nos supermercados, bananas são vendidas a peso. Em um deles, D.Ana pegou uma penca com 12 bananas que pesou 1 kg. Se nessa penca todas as bananas têm mesmo peso, 80 kg, pense nas seguintes questões: 1) Se D. Ana perceber que uma banana da penca está estragada e retirá-la, quanto pesará o que restar? 2) E se três bananas estiverem estragadas? O que acontece com o peso da penca, cada vez que você retira mais uma banana? 3) Qual é a expressão que dá o peso dessa penca, após serem retiradas dela um número n qualquer de bananas estragadas? 4) Considerando esse problema, que valores o número n pode assumir? Teria sentido considerar; n = 2,5 ? n = 0? n = 12? 5) Que valor de n corresponderia ao caso de serem retiradas todas as bananas da penca? 6) Qual é o peso do “nó” dessa penca de banana? 7) Uma pessoa tentou representar o peso de penca de bananas em função o número de bananas estragadas por meio de um gráfico. Tente construir esse gráfico. 70 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS PARTE II 1) Qual é o peso de uma penca dessas, com apenas 7 bananas? E com 10 bananas? 2) Que expressão representa o peso de uma dessas com um número qualquer b de bananas? 3) Considerando a situação problema, que valores o número b pode assumir? Teria sentido considerar: b = 5,3? B = 0? B =12? 4) Construa um gráfico que represente o peso da penca de bananas, em gramas, em função do número de bananas que estão na penca. 5) O peso aumenta ou diminui quando b aumenta? 6) A sua resposta está de acordo com a expressão escrita no item 2? 7) Por que o gráfico tem apenas um número finito de pontos? Quantos? 8) No gráfico que você construiu? - que grandeza é representada no eixo horizontal? - que grandeza é representada no eixo vertical? - Observe dois pontos vizinhos do gráfico e responda: quando b aumenta de 1, o que acontece com o peso da penca? E quanto diminui de 1? 71 ENSINO MÉDIO O PREÇO DO LIVRO Uma livraria recebe certo livro por um custo de R$ 40,00 por exemplar. O gerente vendeu inicialmente 36 desses livros por semana a R$ 100,00 cada. Sabendo que, se reduzisse o preço de cada livro de R$ 5,00 por semana, venderia mais 6 livros por semana, resolveu experimentar e foi reduzindo o preço do livro R$ 5,00 a cada semana. Complete a tabela e responda as perguntas. SEMANA INICIAL 1 2 3 4 5 n Custo de 1 livro Preço de venda de 1 livro Lucro com 1 livro Nº de livros vendidos na semana Lucro total 1) O preço de custo do livro varia com o tempo? 2) A cada semana o que acontece com o preço de venda do livro? a) E com número de livros vendidos por semana? b) E com o lucro obtido na venda de cada livro? c) E com o lucro total por semana? II) Na última coluna da tabela você escreveu uma expressão para o preço de venda de 1 livro. Ela está coerente com o que você respondeu no item a acima? III) Pelo que você observou na tabela, valeria a pena o gerente continuar a diminuir o preço de venda do livro? A partir de que semana ele deveria fixar o preço de venda do livro? Explique sua resposta. 72 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS IV) Considere as expressões obtidas para: - o preço de venda de um livro - o lucro com 1 livro - o número de livros vendidos por semana. Para que valores de n cada uma dessas expressões tem sentido? E para que todas essas expressões tenham sentido, juntas, que valores n pode ter? V) Faça gráficos de barras e cartesianos representando cada uma das grandezas indicadas abaixo em função do número n de semanas. a) lucro com 1 livro b) número de livros vendidos. c) lucro total. OBSERVAÇÕES 1) No item I.2, as respostas de a, b e c podem ser dadas apenas lendo o enunciado. Se o professor quiser, pode apresentar essas perguntas antes de completarem a tabela. Haverá, provavelmente, dúvida em relação ao item d, o que é natural. A tabela ajudará a resolver o impasse. 2) No item IV, vale a pena discutir a diferença entre cada expressão ter sido isoladamente ou no contexto do problema. Na última pergunta, os alunos têm que refletir sobre a interseção dos domínios reconhecidos em cada expressão. Também discutir porque não são válidos valores de n que não sejam naturais 73 ENSINO MÉDIO SEQÜÊNCIAS E FUNÇÕES 1. Descubra a regra da sequência abaixo e continue desenhando-a ... a) Escreva a regra desta sequência. b) Descubra o 8° elemento desta sequência . c) Descubra o 34° elemento desta sequência. d) Qual é o elemento que ocupa a 100ª posição? 2. Verifique a sequência de bolinhas abaixo: ... a) Desenhe o próximo elemento da sequência. E o seguinte. b) Quantas bolinha tem a 8ª figura desta sequência? E a 9ª figura? c) Quantas bolinhas têm a n-ésima figura desta sequência? d) Dê a Lei da Associação que relaciona “n” à quantidade de bolinhas da n-ésima figura desta sequência. 74 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS 3. Construa uma sequência de bolinhas, para cada função abaixo: a) f(x) = 3x + 2 b) f(x) = x c) g(x) = 4x + 8 4. Crie uma sequência de bolinhas e sua Lei de Associação correspondente, onde sua fórmula seja do tipo: Ax2 + Bx + C, com A ≠ 0, B ≠ 0 e C ≠ 0. 5. Escreva a Lei da Associação que relaciona “n” à quantidade de bolinhas da n-ésima figura desta sequência e trace o gráfico correspondente. ... 75 ENSINO MÉDIO 6. Escreva a Lei da Associação que relaciona “n” à quantidade de bolinhas da n-ésima figura desta sequência e trace o gráfico correspondente. ... 7. Cada uma das quatro superfícies abaixo tem 36 unidades quadradas de área. Nomeie quatro pontos do gráfico seguinte de forma a representar as quatro superfícies acima: C A D B 76 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS a) Você poderia construir uma quinta superfície acima de maneira a corresponder ao quinto ponto? Explique. b) Esboce um gráfico que represento todos os retângulos eu possuam 36 as unidades de área. c) O que acontece se você inclui todas as superfícies de mesma área no seu gráfico? 8.Considere a seguinte situação: QUANTO MAIS PESSOAS AJUDAM NA COLHEITA DE TOMATE, MAIS CEDO PODEREMOS TERMINAR. Usando o par de eixos, ao lado esboce um gráfico que possa ilustrar essa situação: Total de tempo para terminar o trabalho Nº de pessoas trabalhando na colheita a) Compare o seu gráfico com o de seu colega. b) O gráfico poderia ser uma linha reta. Por quê? c) O gráfico poderia cortar os eixos? Caso sim, onde? Caso não, por quê? 77 ENSINO MÉDIO PARA RECORDAR FUNÇÕES Nesta sessão propomos o estudo com os conteúdos: função polinomial do 1º e do 2º graus, função logarítmica, exponencial e função trigonométrica. Objetivo Levar os alunos a revisarem as principais propriedades de funções polinomiais relativas a domínio, imagem, gráfico, raízes, crescimento, pontos de máximo e de mínimo. Material Uma cópia das cartas de funções e das tiras de propriedades. Sugestão de atividade • Deixar que os alunos leiam, interpretem e discutam as regras do jogo; • Propor que os alunos produzam algum registro escrito após o jogo ou que resolvam problemas a partir do jogo. Regras do Jogo O professor poderá organizar os alunos em grupos de 3 ou 4 participantes e conduzir o jogo segundo as regras: • As cartas são embaralhadas e colocadas no centro de uma mesa (ou carteira) com as faces voltadas para baixo. As tiras de propriedades, também com as faces voltadas para baixo, formam outro monte no centro da mesa. • Os participantes decidem a ordem em que cada um irá jogar. • Em cada jogada, cada um dos participantes retira uma carta de funções do monte e cinco tiras de propriedades. • A seguir, seleciona entre as tiras em sua mão aquelas com propriedades que sua função possui ou satisfaz e forma seu “banco”, colocando, enfileiradas à sua frente, a função e as propriedades selecionadas, de modo a ficarem visíveis aos demais jogadores, que devem conferir se o “banco” está correto para a função. As tiras com propriedades que não se relacionam com a função tirada permanecem em sua mão, podendo ser usadas nas próximas jogadas para as novas cartas de funções. • Se o jogador não tiver nenhuma propriedade de sua função ele poderá capturar dos “bancos” de seus oponentes uma propriedade de cada um, a cada jogada, desde que a propriedade capturada seja de sua função. A captura pode ser bloqueada quando o jogador tiver em seu “banco” três ou mais propriedades de sua função, que, nesse caso, fica definitivamente com o jogador que a posssui, juntamente com suas tiras de propriedades. • A cada jogada, cada um retira dos montes uma nova função e cinco tiras de propriedades, que podem ser colocadas em seu “banco”, em qualquer das funções que lá estão, ou ser usadas para a nova função escolhida. A partir da segunda jogada, cada participante tem direito de capturar uma tira de propriedade de cada um de seus oponentes, desde que ela seja propriedade de uma das funções de seu “banco”. • As funções não podem ser capturadas, apenas as tiras de propriedades. • Quando terminar o monte das funções, encerra-se o jogo. Ganha quem tiver mais tiras de propriedades em seu “banco”. 78 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS Y = 2X + 3 Y = 2X - 3 Y=-X+4 Y=-X-4 Y = x2 + x Y = x2 - x Y = - x2 + x Y = - x2 - x 1 Y=(—) 2 x Y=2 79 ENSINO MÉDIO Y = log x Y = log — x 1 2 Y = x3 Y = - x3 Y= x 1 Y= — x Y = x3 - x Y = - x3 + x Y = x3 + 1 Y = x3 - 1 80 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS Tem domínio IR. Tem domínio IR. Tem domínio IR. Tem domínio IR. Tem domínio IR - {0}. Tem domínio [0, + 8 [. [. 8 Tem domínio [0, + É crescente em seu domínio. É crescente em seu domínio. É crescente em seu domínio. É decrescente em seu domínio. É decrescente em seu domínio. 81 ENSINO MÉDIO É decrescente em seu domínio. É decrescente em seu domínio. É crescente e decrescente em intervalos de seu domínio. É crescente e decrescente em intervalos de seu domínio. É crescente e decrescente em intervalos de seu domínio. Possui apenas pontos de máximo. Possui apenas pontos de máximo. Possui apenas pontos de mínimo. Possui apenas pontos de mínimo. Possui pontos de máximo e de mínimo. Possui pontos de máximo e de mínimo. Não possui pontos de máximo nem de mínimo em seu domínio. 82 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS Não possui pontos de máximo nem de mínimo em seu domínio. y Gráfico: 1 x y Gráfico: 1 x y Gráfico: x y Gráfico: x y Gráfico: x y Gráfico: x y Gráfico: x y Gráfico: -1 0 1 x y Gráfico: -1 0 1 x y 1 Gráfico: -1 x y 1 Gráfico: -1 83 x ENSINO MÉDIO y Gráfico: 1 x y Gráfico: 1 x y 1 Gráfico: x y Gráfico: 3 x y 4 Gráfico: x y Gráfico: x -3 y Gráfico: x -4 y Gráfico: 0 1 x y Gráfico: 0 -1 x y Gráfico: 0 1 x y Gráfico: -1 84 0 x MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS PROGRESSÃO GEOMÉTRICA E FUNÇÃO EXPONENCIAL Objetivo Inter-relacionar conteúdos matemáticos. Quadrado Q 1º depois de Q 2 2º depois de Q 4 3º depois de Q 8 4º depois de Q 16 5º depois de Q 1. Dado um quadrado Q de lado 1 cm, são construídos outros quadrados de modo que, a partir do 2º, os pontos médios dos lados de cada um deles sejam os vértices do quadrado anterior. Qual é a área do 5º quadrado construído? Área do Quadrado (cm2) 32 A área do 5º quadrado construído, desconsiderando-se Q, é de 32 cm2. Mês 1º 2 2º 4 3º 8 4º 16 5º 2. Se a altura de uma planta dobra a cada mês, durante um certo período de sua vida, e sua altura inicial é de 1 cm, qual é a altura esperada ao final do 5º mês? Altura da planta (cm) 32 Resposta Aparentemente trata-se de dois problemas de mesmo tipo e com respostas numericamente similares. No entanto, é possível perguntar no problema 2 qual é a altura prevista para a planta em 3 meses e meio. Essa pergunta nos leva a perceber que a diferença entre os dois problemas é que eles podem ser reapresentados por funções com domínios diferentes 1. Vamos chamar A(n) a área da n-esimo quadrado construído, excluindo-se Q. A função A é representada por: A(n)= 2n, n € N 2. Vamos chamar H(x) a altura da planta no tempo x. x A função H é representada por: H(x)= 2 , x € [0, + ∞] 85 ENSINO MÉDIO JUROS E FUNÇÕES Objetivo Relacionar o conceito de juro simples a função afim e de juros compostos a função exponencial. Suponhamos o capital de R$ 800,00 aplicada à taxa de 40% ao ano. 3. Já no sistema de juros compostos, o montante é obtido em função do tempo por meio da equação m= 800+1,4t, que envolve uma variação do tipo exponencial. 86 0 1 320 640 t M = g (t) 0 800 1 1120 1440 t M = g (t) 0 800 1 1120 1568 3 G: R+-R M= g(t)= 800+320t 0 2 2. Ainda no sistema de juros simples, o montante será obtido em função do tempo e a equação dessa função M= 800 + 320t ou M= 320T+800 que é o tipo da função afim. I = F (t) 2 F: R-R t 2 1. No sistema de juros simples, os juros serão obtidos em função do tempo de aplicação, através da equação J= 800.0,4t ou J = 320t. Essa função tem uma equação do tipo da função linear. 219,20 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS LOGARITMONENCIAL Objetivo Revisar conteúdos referentes a logaritmos e exponenciais, resolvendo os cálculos mentalmente. Material 24 quadrados divididos em 4 partes iguais, cada parte contendo operações ou resultados de logaritmos e exponenciais. Participantes Mínimo 2, máximo 4. Regras Distribuir as peças igualmente entre os participantes. Sortear o primeiro a jogar, que deve colocar a peça na mesa e anotar numa tabela de pontos o maior resultado contido numa peça. O próximo deve colocar uma peça encostada naquela que está sobre a mesa, fazendo corresponder cálculo e resultado e marcando na tabela o resultado do cálculo que completou. Caso o jogador não tenha uma peça para colocar, passa a vez e perde o número de pontos que o próximo jogador fará, desde que ainda tenha cartas. No final do jogo, não tendo mais como colocar peças, o jogador perde o número de pontos do maior resultado possível de cada uma destas peças. Ganha o jogo quem tem o maior número de pontos. 87 ENSINO MÉDIO 42 4 log2 1024 73 13 25 log2 256 log 100 1 (—)-2 6 62 4 3 -6 27 log7 49 log7 343 log6 216 log3 81 1 30 2 22 36 log3 1 88 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS 1 (—)-2 5 26 1 log½ (—) 4 36 -2 22 1 log9 — 9 30 log5 625 1 (—)-4 2 4 3 -1 31 log2 2 log 0,001 1 (—)-3 9 log3 3 16 1 50 8 1 (—)-3 4 2 4 89 ENSINO MÉDIO 1 -— 3 -2 (2) (5) 8 16 11 27 log2 256 + log8 1 1 (—)2 4 log9 729 log5 625 16 6 10 9 1 (—)-2 3 log5 1 log2 8 + log5 125 45 36 2 ½ log 10 + log2 512 2 log3 3 90 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS log 1000 25 1 (—)-3 3 1 (—)4 2 10 27 3 log3 243 log 100 1 (—)2 3 16 0 48 1 (—)-2 5 3 4 64 1 (—)4 2 3 9 92 log5 5 8 1 — 25 log 0,01 91 ENSINO MÉDIO Através do jogo LOGARITMONENCIAL, o professor pode discutir a relação entre as funções exponencial e logarítmica. Como construir, num mesmo sistema coordenado, os gráficos de y = 2x e Y = log2 x: y = 2x y=x 4 3 y = log2 x 2 1 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 -2 -3 Como construir, num mesmo sistema, os gráficos de y = (1/2)X e y = log ½ x: 1 y = (—)x 2 y=x 4 3 2 1 -3 -2 -1 -1 1 2 -2 3 4 y = log x 1 — 2 -3 Observe que tanto na representação de y = 2x e y = log 2 x quanto na representação de y = (1/2)x e y log ½ x os gráficos das funções são simétricos em relação á bissetriz do 1º e 3º quadrantes, indicada pela linha tracejada nos desenhos .Podemos dizer que se trocássemos os eixos entre si, a função exponencial se”transformaria” numa função logarítmica.Veja: • Para x = 2 e y = 2x, temos 2x = 22= 4 , ou seja, (2,4) é ponto do gráfico de y =2x; • Para x = 4 e y = log 2 x,temos log2 4 = 2 ou seja, (4, 2 ) é ponto do gráfico de log2x. Isso ocorre porque as funções exponencial e logarítmica são inversas, ou seja, o par ordenado (x, y ) que satisfaz y = 2x ou y = (1/2)x torna-se ( y, x ) para satisfazer y= log2 x ou y = log1/2 x , respectivamente. Também é possível observar que o gráfico de y = ax intercepta o eixo y no ponto (0, 1) e o gráfico de y = logax intercepta o eixo x no ponto ( 1, 0). 92 MATEMÁTICA – PROJETO APRENDER MAIS SISTEMAS LINEARES Objetivo Apresentar problemas contextualizados para o ensino de sistemas lineares. 1. Um ouvires cobrou R$ 150,00 para cunhar medalhas de ouro com 3 g cada:de prata, com 5 g cada, e de bronze , com 7 g cada, ao preço unitário de R$ 30,00 R$ 10,00 e R$ 5,00, respectivamente. Sabendo que foram confeccionadas 15 medalhas, com massa total de 87g, determine o número de medalhas de ouro confeccionadas. 2. Examinando os anúncios abaixo, conclua o preço de cada faca, garfo e colher. 3. Três amigos sobem em uma balança de dois em dois. Antonio e Beatriz somam 30 kg e Caio, 28kg.Sabe-se que Antonio e Caio pesam juntos 34 kg. Quanto pesa Beatriz? 4. A idade de um pai é igual á soma das idades de seus dois filhos. Passado um número de anos correspondente á idade do filho mais novo, o pai terá 60 anos, e a soma das idades dos três será 138 anos. Qual é a idade atual do filho mais velho? 93 REFERÊNCIAS BRAZ, Edvaldo. Oficina de matemática: Ensino Médio. Recife: GRE Metropolitana Sul, 2009. DANTE, L.R. Matemática. 1.ed. São Paulo:Ática, 2004( Ensino Médio). GONÇALVES, E. SILVA, M. TELES, R. Oficina de matemática: grandezas e medidas. Recife: SE, 2008. LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA. Jogos matemáticos para o ensino médio. RS: UNIVATES, 2004. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. PNC +.Brasília: MEC, 2002. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO. Orientações Curriculares Nacionais. Matemática. Brasília: MEC, 2006. PAIVA, M. Matemática. 2.ed. volume único. São Paulo: Moderna, 2006. PERNAMBUCO. Base Curricular Comum para as redes públicas de ensino: matemática. Recife: SE, 2008. PERNAMBUCO. Orientações teórico-metodológicas. Matemática. Ensino Médio. Recife: SE, 2008. PERNAMBUCO. Matriz de referência do SAEPE. Matemática. Ensino Médio. Recife: SE, 2008. REORIENTAÇÃO CURRICULAR Matemática Materiais Didáticos Ensino Médio - Volume IIIRJ, 2006. SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I. Matemática: ensino médio. 5 ed. V.3. São Paulo: Saraiva, 2005. TINOCO. L.A. (Coord.) Construindo o conceito de função. Rio de Janeiro: Instituto de matemática/ UFRJ. Projeto Fundão, 2001. VASCONCELOS, M. J.; ZAMPIROLO, M. T.; CÂNDIDO, S. L. Projeto Escola e Cidadania: Matemática. São Paulo: Editora do Brasil, 2000. 9 A 5 W B 3