livre physique 3éme math

REPUBLIQUE TUNISIENNE MINISTERE DE L’EDUCATIONPHYSIQUE 3ème année de l’enseignement secondaire Mathématiques RESPONSABLE DE LA COORDINATION ABDELHAFIDH GHARBI Professeur à la faculté des sciences de Tunis LES AUTEURS MOHAMED BITRI Inspecteur principal des collèges et des lycés ABDELLATIF MEDDAH Professeur principal hors classe au lycée Menzah VI MONCEF TORKHANI Professeur principal au lycée pilote de Bizerte HATEM DISSEM Professeur de l’enseignement secondaire au lycée Hamouda Pacha Manouba LES ÉVALUATEURS NOUREDDINE MESKINI Professeur à la faculté des sciences de Tunis ABDELHAMID BEN HENDA Inspecteur principal des collèges et des lycés ABDELHAMID BAATOUT Inspecteur principal des collèges et des lycés Centre National Pédagogique ©TOUS DROIT RÉSÉRVÉS AU CENTRE NATIONAL PÉDAGOGIQUE Avant-propos Cet ouvrage de physique, destiné aux élèves de 3ème année mathématiques, a été conçu dans le même esprit que celui de 2ème année sciences avec quelques différences sensibles. Il est conforme aux nouveaux programmes de septembre 2006. Le programme comporte trois grandes parties : - les interactions dans l’univers - les mouvements dans les champs - l’optique. Chaque partie a été développée en respectant rigoureusement les commentaires ; notre objectif étant de faciliter l’acquisition par les élèves des connaissances imposées par le nouveau programme. L’insertion des contenus du programme au début du manuel, permettra à l’utilisateur d’en suivre l’application. Dans ce but chaque chapitre est conçu selon le plan suivant : - le cours illustré de très nombreuses activités expérimentales suivi d’une fiche de travaux pratiques permet, dans la plupart des cas, une approche expérimentale des phénomènes étudiés ; le passage à la théorie et la mise en équation des résultats sont alors facilités - un ou deux exercices entièrement résolus, apprennent à l’élève à rédiger correctement une solution - une rubrique “ POUR EN SAVOIR PLUS ’’ comporte des documents ayant pour but d’enrichir les connaissances et d’exciter la curiosité du lecteur à propos de connaissances autres que celles traitées dans le cours - dans le cadre de l’évaluation du travail de l’élève, des QCM ( questions à choix multiples ) et des exercices nombreux et de difficultés variables précèdent quelques énoncés d’exercices de synthèse ; l’aspect expérimental y trouve sa place . Une première dans l’élaboration de ce manuel ! Ce produit est livré fini au Centre National Pédagogique ; en effet, les auteurs ont pris en charge eux mêmes de : - traiter le texte à l’aide du logiciel ‘‘ QuarkXPress Passport 5.0 ’’ spécialisé dans le montage des manuels - réaliser tous les schémas contenus dans le manuel à l’aide des logiciels ‘‘ QuarkXPress Passport 5.0 ’’ , ‘‘ Adobe Illustrator 10.0 ’’ et Micosoft Excel. Un support numérique au manuel sera remis à l’utilisateur dans des délais très proches, permettra de profiter des technologies nouvelles. Nous remercions les évaluateurs pour leur efficacité dans le travail d’évaluation dont ils ont été chargés. Nous remercions par avance tous les collègues qui voudront bien nous faire part de leurs remarques et suggestions. Les auteurs Programme 4 Objectifs visés X Qu’est ce que l’aurore boréale ? Pourquoi est-elle fréquente aux grandes latitudes ? II. Interaction magnétique II-1. Les différents types d’interaction magnétique - Interactions entre aimants - Interaction aimant-courant - Interaction courant-courant - Application : la lévitation magnétique. X A l’aide de petites aiguilles aimantées, mettre en évidence II-2. Champ magnétique - Notion de champ magnétique ‹ Mise en évidence ‹ Spectre et lignes de champ Exemples de questionnements et d’activités Contenu Volume horaire X Mettre en évidence expérimentalement une interaction magnétique. X Mettre en évidence expérimentalement l’existence d’un champ magnétique. X Reconnaître un champ magnétique uniforme à partir de la forme de son spectre. X Déterminer les caractéristiques d’un vecteur champ magnétique. X Utiliser un teslamètre. le champ magnétique terrestre B T et vérifier qu’il est uniforme dans une région très limitée de l’espace. X Réaliser les spectres magnétiques : - d’un aimant droit - d’un aimant en U - d’un courant continu ( fil et solénoïde ). X Etudier expérimentalement, dans le cas d’un solénoïde, l’influence de l’intensité du courant et celle du nombre de spires par unité de longueur sur la valeur du vecteur champ B.  Programme 10,5 - 12 h ‹ Vecteur champ magnétique B - Champ magnétique uniforme - Champ magnétique terrestre - Champ magnétique créé par un courant continu : cas d’un courant circulaire. II-3. Force de Laplace - Mise en évidence - Caractéristiques - Application : le moteur électrique à courant continu. X Mettre en évidence expérimentalement la force de Laplace. X Déterminer les caractéristiques de la force de Laplace. X Expliquer le fonctionnement d’un moteur à courant continu. X Quel est le principe de fonctionnement du moteur d’un jouet électrique, de celui d’un baladeur CD, d’un appareil de mesure électrique à aiguille ? X Etudier expérimentalement les facteurs dont dépend la force de Laplace. X Commenter un dossier préparé par les élèves sur la lévitation magnétique.  : Activité pouvant mettre en jeu les TIC ( Technologies de l’information et de la communication ) 5 Programme 6 Programme 7 2 v2 .Théorème du centre d’inertie . z Solide isolé ou pseudo isolé. fréquence. la relation X Caractériser un mouvement rectiligne sinusoïdal par son amplitude X m et sa période T. accélération. X Appliquer la loi fondamentale de la dynamique ( 2 ème loi de Newton ). retrouver les expressions des deux autres. X Déterminer par mesure directe ( pour les mouvements lents ) ou par enregistrement la période T et l’amplitude X m d’un mobile en mouvement rectiligne sinusoïdal . Y F ext = m a G  .Mouvement rectiligne uniforme . vecteur accélération ( accélération normale. vecteur vitesse.v1 = 2 a 2 ( x2 .9 h X Etablir la relation ( a + t 2 x = 0 ) entre l’accélération et l’élongation d’un mobile en mouvement rectiligne sinusoïdal.8 Mouvements dans les champs ( 25 .x1 ) . abscisse curviligne ). vitesse.Applications : z Glissement d’un solide sur un plan incliné .Mouvement rectiligne sinusoïdal : définition. Etude dynamique Programme 7.Mouvement rectiligne uniformément varié .Généralités : repérage d’un mobile ( vecteur position. X Etablir. X Représenter les vecteurs position.Loi fondamentale de la dynamique ( 2 ème loi de Newton ) . accélération tangentielle ). X Appliquer le théorème du centre d’inertie. I-2. lois horaires . amplitude. v ou a ) en fonction du temps ainsi que les conditions initiales. pour un mouvement rectiligne uniformément varié. pulsation. Etude cinématique Exemples de questionnements et d’activités X Réaliser des enregistrements de mouvements ou faire des mesures de grandeurs cinématiques pour étudier des mouvements rectilignes. X Reconnaître la nature du mouvement d’un mobile par recours à l’expérience.5 . la relation : X Vérifier expérimentalement . équation horaire. vitesse et accélération d’un mobile. Solide en translation I-1. coordonnées cartésiennes.  Objectifs visés Volume horaire X Reconnaître un solide en mouvement de translation.29 heures ) Contenu I. X Connaissant l’expression d’une grandeur cinématique ( x. période. Programme 9 . et _ = ( v .Mouvement des satellites : troisième loi de Kepler.  X Quel est le principe de fonctionnement de l’oscilloscope ? IV-2.Application : télévision.Accélération d’une particule chargée dans un champ électrique uniforme Application : canon à électrons . X Appliquer la relation fondamentale de la dynamique au mouvement d’une particule chargée dans un champ électrique uniforme. X Calculer le travail d’une force électrique.Déviation d’une particule chargée dans un champ électrique uniforme.p. X Expliquer la perturbation de l’image sur l’écran de l’oscilloscope par la présence d’un aimant. Mouvement dans un champ électrique Objectifs visés X Appliquer la relation fondamentale de la dynamique aux mouvements : z d’un projectile z d’un satellite. Mouvement dans un champ gravitationnel . préparé par les élèves à l’avance.  .10 Exemples de questionnements et d’activités Contenu IV.) électrique . Application : Déflexion d’un faisceau d’électrons. v. Volume horaire X Dans quelle direction par rapport à l’horizontale un lanceur de poids doit-il effectuer son lancement pour optimiser sa performance ? X Comment déterminer l’altitude d’un satellite pour qu’il soit géostationnaire ? X Commenter un dossier. . X Appliquer l’expression du travail d’une force électrique W A B = q ( V A . oscilloscope. sur les lois de Kepler et l’histoire y afférent. 9 .Mouvement d’un projectile . IV-3. cyclotron.10 h Programme X Calculer la force de Lorentz.Travail d’une force électrique dans un champ électrique uniforme : notion de différence de potentiel (d. Mouvement dans les champs IV-1. X Comment séparer les isotopes d’un élément chimique ? X Etudier expérimentalement l’influence de B.d. X Retrouver la troisième loi de Kepler. X Appliquer la relation fondamentale de la dynamique au mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme. B ) sur les caractéristiques de la force de Lorentz.Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme : force de Lorentz .V B ). Mouvement dans un champ magnétique uniforme . Le mouvement d’un projectile sera traité uniquement dans le cas d’un champ de pesanteur uniforme. On établira l’expression de l’énergie cinétique d’un solide en translation et celle d’un solide en rotation autour d’un axe fixe. Programme On énoncera. L’établissement de l’accélération d’un satellite à trajectoire circulaire permettra de retrouver la troisième loi de Kepler : = C te . on s’intéressera au point matériel. T2 Au niveau de l’étude cinématique des mouvements. on citera les satellites géostationnaires et on signalera leur utilisation en communication.V B ) se calcule comme étant le produit scalaire E . On saisira cette occasion pour définir le repère de Copernic.Commentaires le moment d’inertie de quelques solides homogènes de formes géométriques simples par rapport à leur axe de révolution. pour un champ électrique uniforme. lors d’un déplacement de la charge électrique q de A vers B. que toute force ( intérieure ou extérieure ) dont le travail est non nul fait varier l’énergie cinétique du système. il ne dépend que de la valeur de la charge q et de la différence entre les valeurs d’une grandeur appelée potentiel électrique. où C te est R3 une constante .V B ) = q U AB. le choc élastique et. on signalera que la translation d’un solide peut être curviligne. on ne manquera de signaler la relation entre grandeurs linéaires relatives à un point de ce solide et grandeurs angulaires. on introduira brièvement la dérivée d’une fonction scalaire et on généralisera aux fonctions vectorielles tout en se limitant à des vecteurs unitaitres constants. Le potentiel électrique est noté V. On montrera que. à partir d’exemples. On généralisera cette expression du travail de la dynamique appliquée aux solides en rotation. La différence de potentiel entre deux point A et B d’un champ électrique notée L’application du théorème du centre d’inertie à un solide isolé ou pseudo isolé permettra de vérifier le principe d’inertie. on la définira et on en donnera des exemples. pour un point matériel. On donnera sans démonstration. Il est à noter que les notions introduites ne doivent en aucune manière donner lieu à un développement excessif. et on donnera sans calcul L’expression de la force de Lorentz sous forme de produit vectoriel est hors programme. Le vecteur déplacement est hors programme. le travail de la force électrique qui s’exerce sur une charge q passant d’un point A à un point B ne dépend pas du chemin suivi. On donnera l’expression de l’énergie cinétique d’un point matériel et on exprimera celle d’un système matériel. Il est à remarquer que l’étude de “la combinaison de vitesse” est strictement hors programme. caractérisant les états électriques des points A et B du champ. Toute force intérieure à un système dont le travail permet un transfert d’énergie vers l’extérieur telle que la force de frottement. ce qui amènera à énoncer le théorème de l’énergie cinétique. Lors de l’étude de la rotation d’un solide autour d’un axe fixe. comme exemple de conservation de l’énergie cinétique. On montrera. Pour le choc inélastique. Il est indiqué de préciser d’emblée que la relation Y F = ma traduisant cette loi n’est valable que dans les référentiels galiléens. est appelée force dissipative. d’inertie d’un solide par rapport à un axe fixe. On traitera. le repère géocentrique et pour signaler. on se limitera au choc mou. Dans les généralités sur la cinématique. 11 . AB. on donnera la formule : F = q v B sin _ . On se limitera aux mouvements de translation dans le plan. sans développement excessif. U AB = ( V A . le travail s’écrit A l’occasion de l’énonciation de la relation fondamentale W = q ( V A . le caractère approximativement galiléen de ces repères ainsi que tout repère lié au laboratoire. L’étude des mouvements combinés est hors programme. On ne parlera pas de diagrammes de vitesse et de l’accélération. la loi fondamentale de la dynamique (2 ème loi de Newton). le choc inélastique de deux solides en translation. on définira le moment pour un champ électrique quelconque. Par suite. Pour l’étude cinématique des mouvements. comme exemple. comme exemple de non conservation du même type d’énergie. les expressions de l’accélération tangentielle et de l’accélération normale et uniquement dans le cas de mouvement circulaire. Lors d’une activité expérimentale. On mesurera la distance focale d’une lentille par recours à la relation de conjuguaison. Classification ( divergentes. 4. X Déterminer graphiquement la position de l’image d’un point objet. convergentes ). Définitions : centre optique. donnée par une lentille convergente. relation de conjugaison. Optique ( 10 . 10 . La distance focale sera considérée comme une grandeur non algébrique alors que la vergence sera considérée comme une grandeur algébrique. X Utiliser le modèle réduit de l’œil pour expliquer les défauts de vision. grandissement. 5. axes optiques. Avant l’étude des lentilles sphériques ( ou cylindriques ) minces.11 h Programme Commentaires On établira la relation de conjuguaison et on la vérifiera expérimentalement dans le cas d’une lentille convergente. lunette astronomique. 2. plans focaux. X Expliquer le principe de fonctionnement de la lunette astronomique. foyers. 3. distance focale et vergence. Images données par une lentille convergente et une lentille divergente : nature et position. Applications : œil. X Appliquer la relation de conjugaison des lentilles minces convergentes. on introduira les notions d’objet réel ou virtuel et image réelle ou virtuelle pour un système optique. On définira les caractéristiques des lentilles minces et on décrira les différents types de lentilles. toute autre méthode de mesure est hors programme. X Réaliser des montages permettant de mesurer la distance focale d’une lentille. on amènera les élèves à modéliser un instrument optique simple tel que la lunette astronomiqque et à y tracer la marche d’un faisceau lumineux.11 heures ) Objectifs visés X Classer les lentilles en lentilles convergentes et lentilles divergentes.12 Exemples de questionnements et d’activités Contenu Les lentilles minces Volume horaire X Comment allumer un papier à l’aide d’une loupe ? X Comment déterminer si les verres d’une paire de lunettes sont convergents ou divergents ? X En quoi diffèrent les télescopes et les lunettes astronomique ? X Pourquoi les lentilles divergentes servent-elle pour les myopes ? X Pourquoi les lentilles convergentes servent-elles pour les hypermétropes ? X Vérifier expérimentalement la relation de conjugaison et le grandissement. .  X Comment déterminer l’ordre de grandeur de l’épaisseur d’un cheveu ? X Comment expliquer que la loupe agrandit les objets ? 1. par la méthode de Bessel et par celle de Silbermann. L’étude théorique et expérimentale des lentilles minces suffira dans les conditions de Gauss que l’on précisera. Focométrie. On donnera le modèle réduit de l’œil et on signalera succinctement les défauts de la vision et leur correction. .............................................................................................. 15 Chapitre 2-INTERACTION MAGNETIQUE ................. 85 B-ET INTERACTION FORTE .A-INTERACTION GRAVITATIONNELLE ................................................. 106 ..................................................... 63 Chapitre 4........LES INTERACTIONS DANS L’UNIVERS Chapitre 1-INTERACTION ELECTRIQUE .. 38 Chapitre 3-FORCE DE LAPLACE ........................................................ . Appliquer la relation vectorielle F=q E Reconnaître. Représenter une force électrique..interaction électrique 1 INTERACTION ELECTRIQUE En 1660. les propriétés électriques de l’ambre jaune frotté connues depuis 600 ans avant J. le diamant. d'après la forme du spectre électrique.1 .1 : comment un éclair peut-il se produire entre les nuages et le sol ? 15 . Photo. OBJECTIFS Enoncer et appliquer la loi de Coulomb. le physicien anglais William Gilbert retrouve dans certains corps tels que le verre.C. le champ électrique créé par une charge ponctuelle.interaction électrique Ch.. le champ électrique créé par deux charges ponctuelles et le champ électrique uniforme. et propose alors le terme électricité (du grec élektra qui signifie ambre). Mettre en évidence expérimentalement l'existence d'un champ électrique créé par une charge ponctuelle. le copal. Déterminer les caractéristiques d'un vecteur champ électrique. Son mémoire “ Recherche sur la meilleure manière de fabriquer les aiguilles aimantées “ ( 1777 ) et l’élaboration d’une théorie des frottements ( 1781 ) lui valurent les premiers prix de l’académie des sciences. Charges et interactions électriques Depuis la haute antiquité. on observe une répulsion ( Doc. l’interaction est répulsive. Etude qualitative de l’interaction électrique ACTIVITÉ EXPÉRIMENTALE Electrisons deux sphères métalliques ( A ) et ( B ) à l’aide d’un bâton d’ébonite. On sait aujourd’hui que le frottement entre deux corps s’accompagne d’un transfert d’élecrons faisant apparaître un excès de charges négatives sur l’un ( corps électrisé négativement ) et un défaut de charges négatives sur l’autre ( corps électrisé positivement ). q (A ) = 0 q (B ) = 0 ( A) (B ) Les deux boules ne portent pas des charges électriques.1 ).1.1.1.Ch. l’interaction est attractive.1806 ) Ingénieur et physicien français. découvre les phénomènes électriques d’attraction et de répulsion en frottant de l’ambre avec une peau de chat. on observe une attraction ( Doc.1 . Photo. On répète la même opération en utilisant pour ( A ) un bâton d’ébonite et pour ( B ) un bâton en verre.1791 ). les fils restent verticaux.1 : Les deux boules portent des charges électriques de mêmes signes. Il entreprit également des recherches sur la torsion mais il reste surtout connu pour ses travaux sur l’électricité et sur le magnétisme.2 ). ( 600 ans avant Jésus .interaction électrique interaction électrique 1. Coulomb détermine les lois quantitatives d’attractions électrostatiques et magnétiques. En 1773. 1. il est admis à l’académie des sciences.2 : Les deux boules portent des charges électriques de signes contraires.2 Charles Augustin de Coulomb ( 1736 . F (B )/(A ) F (A )/(B ) F (B )/(A ) ( A) ( A) (B ) (B ) F (A )/(B ) Doc. . Dans sa célèbre série de sept mémoires ( 1785 . 16 Doc. et que les deux espèces de charges intéragissent.Christ ) le mathématicien Thalès. Loi de Coulomb 1. fibre q1 Doc.2 . 1.inversement proportionnelle au carré de la distance séparant les deux charges . cet outil de travail est le fruit de sa propre conception ( Doc.3 ). Les éléments de l’interaction sont : F (A )/(B ) F (B )/(A ) force exercée par la charge q (A ) sur la charge q (B ) force exercée par la charge q (B ) sur la charge q (A ) Ces deux forces sont portées par la droite ( AB ). En mesurant l’angle formé par les deux positions de la tige.proportionnelle au produit des valeurs absolues des deux charges électriques.1. Charles de Coulomb se consacre à l’étude de l’interaction entre deux charges électriques ponctuelles et mesure la valeur de l’intensité commune aux deux forces qui constituent l’interaction électrique avec une balance de torsion. portant respectivement les charges électriques q (A ) et q (B ) et placés respectivement en A et B .interaction électrique Balance de Coulomb Une sphère fixe de charge q 1 fait face à une sphère de charge q 2 fixée sur une tige mobile attachée en son milieu à une fibre.2 ). Etude quantitative de l’interaction électrique Vers 1780.3 q2 Ceci permet à Coulomb de déduire que la valeur de l’intensité commune aux deux forces qui constituent l’interaction électrique est : . s’établit une interaction électrique répulsive si les deux charges sont de même signes ( Doc. immobiles. La force exercée par la charge q 1 sur la charge q 2 fait pivoter la tige et fait subir une torsion à la fibre. 17 . point d’attache Ch. on peut déduire l’intensité de la force électrostatique.1 .1 ) et attractive si les deux charges sont de signes contraires ( Doc.2.interaction électrique 1. Enoncé de la loi de Coulomb Entre deux objets ponctuels ( A ) et ( B ). q (B ) AB 2 La force F (A )/(B ) a même sens que i L’interaction est bien répulsive. i B F (A )/(B ) Doc.3 .1 .4 : q (A ).1 . La force F (A )/(B ) a le sens contraire de i L’interaction est bien attractive. T (B ) P Doc. Notion de champ électrique 2.10 9 SI (A ) A (B ) Dans l’air. K a pratiquement la même valeur que dans le vide. autre que l’air ou le vide.q (B ) < 0 2. un pendule électrique dont la boule ( B ) porte une charge électrique q négative. de même direction que la droite ( AB ). Leur valeur commune est donnée par la formule de Coulomb : F (A )/(B ) F (B )/(A ) = Lorsque les charges sont placées dans le vide. ε r où ε est la permittivité ( ou constante diélectrique ) de l’isolant et ε r est la permittivité ( ou constante diélectrique ) relative de l’isolant. F (A )/(B ) = K i (A ) A (B ) où le vecteur unitaire i . Mise en évidence ACTIVITÉ EXPÉRIMENTALE Plaçons dans une région ( R ) de l’espace dépourvue de charges électriques.interaction électrique interaction électrique q (A ) . Expression vectorielle de la loi de Coulomb Les caractéristiques de la force exercée par l’objet ( A ) sur l’objet ( B ) sont décrites par l’expression vectorielle de la loi de Coulomb.5 : q (A ).6 18 .Ch. q (A ) . on remplace ε 0 par ε = ε 0 . Sa valeur est : K = 1 4πε 0 = 9. appelé milieu diélectrique. la constante K est égale à 1 4πε 0 où ε 0 est une constante universelle qui porte le nom de permittivité ( ou constante diélectrique du vide ). Le fil reste vertical et la boule est en équilibre sous l’action de son poids P et de la tension T du fil ( Doc-6 ). q (B ) = K AB 2 Milieu diélectrique Quand les charges se trouvent dans un milieu isolant.q (B ) > 0 1. est dirigé de A vers B ( Doc-4 et 5 ). i B F (A )/(B ) Doc. remplaçons la charge q portée par la boule ( B ) successivement par des charges.a - F G P Doc. . . .b on représente les trois forces reportées à partir du centre d’inertie G de la boule. q 3 . on observe une déviation du fil ( Doc-7-a ).7. Vecteur champ électrique ACTIVITÉ EXPÉRIMENTALE Dans l’expérience du document 7. Ceci met en évidence l’existence d’une troisième force F d’origine électrique qui agit sur la boule. toutes négatives : q 1. l’extrémité frottée d’une baguette en ébonite chargée négativement. 2. Pour traduire ce changement . On en déduit que : > > F1 F2 F3 19 . Dans le document 7.b - La présence de la charge portée par le bâton d’ébonite a modifié les propriétés électriques de l’espace environnant.1 .2 . un corps électrisé subit une force électrique. DÉFINITION Un champ électrique règne dans une région de l’espace si. telles que q 1 > q 2 > q 3 .interaction électrique Approchons de ( B ). . q 2.interaction électrique Ch. dans cette région.7. T T F P bâton d’ébonite Doc. on constate que la déviation du fil est de plus en plus importante. . on dit que dans la région ( R ) règne un champ électrique. 3 . 20 Photo. le rapport F DÉFINITION Le rapport q est constant F noté E( M ) est le vecteur champ électrique q au point M. Le sens et la direction ont été choisis de manière arbitraire. . Les grains s’orientent en se disposant suivant des lignes radiales ( Photo-3 ). Doc. il est indépendant de la charge placée au point M Un point M du champ électrique est caractérisé par le vecteur champ électrique E ( M ) tel que : une charge ponctuelle q placée en ce point . . Saupoudrons avec des grains légers ( graines de ricin par exemple ) la surface libre du liquide et faisons fonctionner la machine .si q est positive. mais on verra dans le paragraphe suivant qu’ils sont définis selon les conditions expérimentales où ce champ électrique a été créé. E ( M ) est un exemple de champ électrique créé dans la région où se trouve le point M.1 . F a le sens contraire de celui de E ( Doc-9 ).Ch. on plonge l’extrémité d’une tige conductrice reliée à l’un des pôles d’une machine électrostatique. E ( M ). F a le même sens que E ( Doc-8 ).9 M F 2.si q est négative. Ligne de champ et spectre électrique ACTIVITÉ EXPÉRIMENTALE Dans un liquide isolant ( huile de paraffine par exemple ) contenu dans un petit cristallisoir. subit l’action d’une force électrique F = q .interaction électrique interaction électrique ETUDE QUANTITATIVE Une étude quantitative appropriée montre que : en un point M de la région où règne le champ électrique.8 F E q> 0 M q< 0 E Doc. Dans ces deux documents.3 . s’appelle une ligne de champ.10-a DÉFINITION Une ligne qui.+ - E6 Doc. L’ensemble des grains forment des lignes radiales car elles concourent en un même point correspondant à l’extrémité de la tige conductrice ( Doc-10-c ).10-c Doc.1 . On les appelle des lignes de champ. chacune d’elles acquiert à ses extrémités deux charges q = + q et q’ = . l’axe du grain s’aligne dans la direction de E ( Doc-10-b ).10-b E q’ q + F E8 E7 + + + + . est tangente au vecteur champ électrique E en ce point. L’action de ce champ électrique sur ces charges se traduit par deux forces électriques F et F’ constituant un couple de forces.+ + + -- + + + - E1 + + - E2 E3 + + + + + + -. Champ électrique créé par une charge ponctuelle 3.interaction électrique INTERPRÉTATION Ch. placée en un point A d’un espace ( R ). F + q E F’ q’ F’ Doc. subit une force F Q /q = q. Sous l’effet de ce couple. Vecteur champ électrique Une charge électrique Q .E ( M ) 21 + + + - + - E4 E5 .1 . en chacun de ses points. placée en M.q ( Doc-10-a ). Elle est orientée dans le sens de E L’ensemble des lignes de champ forme le spectre électrique 3. une charge électrique témoin q. Le vecteur champ électrique est tangent à ces lignes en chacun de leurs points. crée un champ électrique caractérisé en chaque point M de cet espace par un vecteur champ électrique E ( M ) tel que.interaction électrique Les graines de ricin sont oblongues ( de forme ovale ). lorsqu’on les place dans un champ électrique E. Retenons que les lignes de champ associées au champ électrique créé par une charge ponctuelle Q sont des droites issues de point O.m . on peut écrire: F Q /q = K . emplacement de Q.1 E (M) E (M) M M u A Q>0 Doc. UNITÉS Q en coulomb ( C ) AM en mètre ( m ) E(M) en N.q AM 2 D’après la loi de Coulomb.l’extérieur ( champ centrifuge) si Q est positive ( Doc-12-a ) .12-a 22 Doc. Spectre électrique L’expérience permettant la visualisation du spectre électrique d’une charge ponctuelle dans un plan est décrite dans le paragraphe 2.Ch. on déduit l’expression vectorielle du vecteur champ électrique E ( M ) créé par la charge Q au point M de l’espace champ électrique. placée au point A. il est centrifuge.u En identifiant les deux expressions précédentes de la force.1 ou V. Elles sont orientées vers : . 3. Q>0 Q<0 Doc. et dirigées dans toutes les directions de l’espace. u A Q<0 Doc.u où le vecteur unitaire u est porté par la droite ( AM ) et dirigé de A vers M ( Doc-11-a et Doc-11-b ).C .11-a : vecteur champ électrique créé au point M par une charge électrique positive Q. placée au point A.l’intérieur (champ centripète) si Q est négative ( Doc-12-b ).interaction électrique interaction électrique Q . E(M) = K Q AM 2 .12-b .3 . il est centripète.1 .11-b : vecteur champ électrique créé au point M par une charge électrique négative Q.2 . b . on obtient le spectre électrique de la photo 5 qui est schématisé dans le document 13. Spectre électrique Le spectre électrique de deux charges ponctuelles est visualisé à l’aide de grains légers saupoudrés à la surface d’un liquide isolant où plongent deux pointes métalliques reliées à une machine électrostatique. Lorsque les deux pointes sont reliées aux deux bornes de la machine électrostatique. a Ch.4 E2 E1 E Doc.1 .b +q +q 23 .1 . Champ électrique créé par deux charges ponctuelles 4. on obtient le spectre électrique de la photo 4 qui est schématisé dans le document 13. E E2 E1 Photo.b .interaction électrique Photo.a +q -q Par contre si les deux pointes sont toutes deux reliées à une même borne.interaction électrique 4.5 Doc.13.13. existent simultanément le champ E 1 créé par Q A .1 . autre que A et B. soit à une force résultante F = F 1 + F2 = q ( E 1 + E 2 ) = q E La superposition en P de deux champs E 1 et E 2 conduit à un champ résultant E tel que E = E 1 + E 2 EXEMPLE : documents 13-a et 13. une charge témoin q est soumise simultanément à deux forces F 1 = q E 1 et F 2 = q E 2. Vecteur champ électrique Deux charges ponctuelles Q A et Q B sont placées respectivement en deux points A et B.Ch.b . 24 .interaction électrique interaction électrique 4. Placée en P.2 . En un point P. et le champ E 2 créé par Q B. 32. 7. leur somme nécessite l’utilisation de coordonnées dans le repère ( Bx.Représenter. rectangle en C.α = 6 0 ° α = 30 ° E2 Doc.α) = BC 5 = 0. On donne : AB = 10 cm. les vecteurs E 1 et E 2 associés aux champs électriques créés respectivement par les charges q 1 et q 2 au point B après avoir déterminé leurs valeurs. E2 = 3.interaction électrique On considère une région de l’espace où règne un champ électrique créé par deux charges ponctuelles q 1 = . y 2 -α cos ( π 2 .m -1 E1 = 1 4πε 0 1 .25. SOLUTION 1 . q1 AB 2 q2 2 E2 E1 = 2. 7.Déterminer les caractéristiques du vecteur champ électrique E résultant en B. BC = 5 cm et 1 = 9.3 µ C et q 2 = 1 µ C.6.10 6. By ). placées respectivement aux sommets A et C d’un triangle ABC.10 6 V.1 .2. à l’échelle.m -1 E1 sin α + E2 B β α Ey = E1y + E2y = - x E1 E y = .6 10 6 V. 2 .10 6 V.5 = AB 10 d’où 90 ° .14 4πε 0 BC La représentation des vecteurs champ électrique est effectuée dans le document 14.15 E d’où E x = E1 cos( 30 ° ) E x = 2.m -1 B 60° 30° E1 A q1<0 C q2>0 Ex = E1X + E2X = ( BC .m -1 C q2 A q1 25 . on peut écrire : E2 = . By ).10 6 V. BA ) = π E1 cos α Les vecteurs ne sont pas colinéaires.m -1 Doc.sin ( 30 ° ) + 3. 2 .10 6 E y = 2.Représentation des vecteurs champ électrique L’expression de la valeur de chacun des deux vecteurs champ électrique est donnée par la loi de Coulomb : Echelle : 1 cm pour 10 6 V.Caractéristiques du vecteur résultant Le vecteur champ électrique E au point B est égal à la somme vectorielle des deux vecteurs champs électriques ( Doc-15 ) E = E1 + E2 Dans le répère ( Bx.interaction électrique EXERCICE RÉSOLU ENONCÉ : N O1 Ch.10 9 SI 4πε 0 1 . 10 6 V.m -1 26 . 2 2 Application numérique : β = 44 ° E = 3.1 .Ch.23.interaction électrique interaction électrique Ey Ex Les caractéristiques du vecteur champ électrique E sont : direction : E fait un angle β avec Bx tel que tgβ = sens valeur : : pointé vers le haut E = Ex + Ey . 1 . le vecteur champ électrique est constant ( Doc-17 ).interaction électrique 5. aux pôles ( + ) et ( . l’une face à l’autre.17 P3 : le vecteur champ électrique uniforme E a une direction.16 On relie les deux plaques de cuivre. et distantes de 3 cm un générateur de tension continue réglable et permettant d’obtenir quelques kilovolts ( compte tenu du danger qu’il présente. Les droites dessinées par les grains de semoule matérialisent les lignes de champ électrique associées à E . 4 fils électrique de connexion 2 pinces crocodiles huile de paraffine de la semoule. un sens et une valeur inchangées d’un point à l’autre de la région dans laquelle il règne. DÉFINITION Dans un espace règne un champ électrique uniforme si.6 E E E P2 E P4 Doc. On saupoudre la surface de l’huile de paraffine avec les grains de semoule. CONCLUSION On constate qu’entre les deux plaques règne un champ électrique uniforme E.) du générateur entre lesquels on maintient une tension de quelques kilovolts ( Doc-16 ). ce matériel doit être manipulé unuiquement par le professeur). ces derniers s’orientent en se disposant suivant des droites perpendiculaires aux plaques ( Photo-6 ).interaction électrique MATÉRIEL une cuve à fond transparent deux plaques rectangulaires en cuivre disposées dans la cuve. 27 . préalablement placées dans la cuve contenant de l’huile de paraffine. elles correspondent à des droites parallèles. Champ électrique uniforme ACTIVITÉ EXPÉRIMENTALE Ch. P1 Photo. PROTOCOLE EXPÉRIMENTAL Doc. en tout point de cet espace. b .a .Déterminer le sens du vecteur champ électrique uniforme E. i ) et ( O.kg -1. j ).18 ). .19 2 .0.En déduire l’expression littérale de les calculer.1 .a . le fil occupe une position d’équilibre inclinée d’un angle α par rapport à la verticale et la sphère occupe la position O origine du repère d’espace ( O.8 N. i. α = 10 ° et SOLUTION 1 .Appliquer la condition d’équilibre au système { ( S ) } et écrire la relation entre les vecteurs force.Préciser toutes les forces qui s’exercent sur ( S ) et représenter les vecteurs force associés à partir de l’origine O.interaction électrique interaction électrique EXERCICE RÉSOLU ENONCÉ : N 02 Une sphère ( S ) assimilable à un corps ponctuel est attachée à un fil de longueur l inextensible et de masse négligeable. verticale Doc. E O i F α T Doc.a . Référentiel terrestre. Placé dans une région ou régne un champ électrique uniforme E horizontal.5 g.E : force électrique ( Doc. L’ensemble { fil . g = 9. j . 1 .Sens du champ électrique uniforme E F = q. ( S ) } constitue un pendule électrique.19 ).g : poids de ( S ) T : tension du fil F = q.b .a .Ch.18 α l j i (s) Données : m = 2. j ) ( Doc. La sphère de masse m porte une charge q négative. q = .Application de la condition d’équilibre Système : { ( S ) }. E est de sens contraire à F. .i ) : T sin α + F =0 (1) P Projection sur ( O. La condition d’équilibre permet d’écrire : P+F+T= 0 Projection sur ( O.E . comme q < 0 .b . 2 . Effectuer les projections de cette relation sur les axes ( O.5 µC. E puis celle de la norme de la tension T du fil. j ) : -m g + T cos α = 0 (2) 28 .Forces s’exerçant sur la sphère ( S ) P = m. 6 2.10 .5.8 . 9.8 cos( 10 ° ) T T 29 .3 .10 .interaction électrique .1 .025 N 2.interaction électrique = m m g q m g tg α ( 2’ ) A.3 .C . tg(10 °) 0.10 .5.Détermination des expressions littérales de ( 1 ) et ( 2 ) permettent d’ècrire : F m ( 1’ ) ( 2’ ) g = = T T sin α cos α tg α = m F q d’où E = m E = F g g tg α g tg α ( 1’ ) ( 2’ ) T et E Ch.b .N : E = = T = cos α E = 8640 N.5. 9.1 = 0. CHAMP ÉLECTRIQUE UNIFORME Un champ électrique est dit uniforme si le vecteur champ E est constant en tout point où règne ce champ. portant respectivement les charges électriques q (A ) et q (B ) et placés respectivement en A et B .1 . La valeur commune aux deux forces qui constituent l’interaction est donnée par la formule de Coulomb : F (A )/(B ) = F (B )/(A ) q (A ) . il est centripète. placée en un point M du champ électrique où le vecteur champ électrique est E ( M ). immobiles. s’établit une interaction électrique répulsive si les deux charges sont de même signes et attractive si les deux charges sont de signes contraires.L’ensemble des lignes de champ forme le spectre électrique . M u A Q<0 Vecteur champ électrique créé au point M par une charge électrique négative Q. placée au point A. q (B ) = K AB 2 Dans le vide : K = CHAMP ÉLECTRIQUE 1 4πε 0 = 9. placée au point A. 30 .interaction électrique interaction électrique L’ESSENTIEL DU COURS LOI DE COULOMB Entre deux objets ponctuels ( A ) et ( B ). . elle est orientée dans le même sens que le vecteur champ électrique. chaque point est caractérisé par un vecteur champ électrique. le vecteur champ électrique lui est tangent .u E (M) E (M) M u A Q>0 Vecteur champ électrique créé au point M par une charge électrique positive Q.10 9 SI Dans une zone de l’espace où règne un champ électrique.Ch. Une charge q. CHAMP ÉLECTRIQUE CRÉÉ PAR UNE CHARGE PONCTUELLE Q PLACÉE EN UN POINT A E(M) = K Q AM 2 .Une ligne de champ est une ligne en tout point de laquelle . SPECTRE ÉLECTRIQUE ET LIGNES DE CHAMP . il est centrifuge. subit une force électrique F = q E( M ). qui frappe en moyenne trente fois par seconde de par le monde. Le sol en regard se trouve alors chargé positivement ( Doc. atteint 30 kV. 31 . du champ électrique..1 .20 : Variation.interaction électrique LA FOUDRE Ch.. Les nuages orageux Les nuages orageux sont en général du type cumulo-nimbus.7 ). l'homme est fasciné et même terrorisé par la foudre. en fonction de l’altitude de la composante verticale..21-a.. Lorsque le champ électrique au voisinage de la base du nuage. Nous commençons à en comprendre aujourd'hui le mécanisme qui fait l'objet de nombreuses recherches dans les laboratoires industriels. souvent associée à la colère divine. l'air est ionisé et devient conducteur. La foudre.20 ).7 : coup de foudre descendant au-dessus du Lac de Lugano en Suisse .cm -1. enregistrée par un ballon sonde.m -1 ) 200 Doc. Photo.7 et Doc. 15 h ( km ) + + + ++ + + +++ 10 -. Ils sont constitués de gouttes d'eau dans la partie inférieure et de particules de glace dans la partie supérieure. . Ils ont la forme d'une enclume dont la hauteur peut atteindre 10 000 m et dont la base se situe à une altitude de quelques kilomètres. consiste en une série de décharges électriques entre un nuage et le sol ( Photo.5 +++ -200 -100 +++ 100 0 E ( kV. Coup de foudre descendant négatif ( Photo.. chargée négativement.. La partie haute du nuage est chargée positivement et la partie basse négativement ( avec parfois un petit îlot de charges positives ). b et c ) C'est le cas le plus fréquent..interaction électrique POUR EN SAVOIR PLUS Depuis des temps immémoriaux.. un autre traceur descend du nuage empruntant le même canal. avec des temps d'arrêt entre chaque bond de 40 µs à 100 µs.21-c ). appelée traceur ( ou pré-curseur ).1 . les charges se neutralisent.21-b ) Lorsque le traceur ascendant rencontre le traceur descendant. Nous observons alors un trait lumineux intense qui progresse du sol vers le nuage ( arc en retour ). quand l'arc en retour a disparu.21-b : initiation des traceurs ascendants. 32 . Après quelques centièmes de seconde. un coup de foudre complet dure de 0. elle progresse ensuite vers le sol par bonds successifs de quelques dizaines de mètres. Le courant dans le canal ionisé de quelques centimètres de diamètre. à l'origine du tonnerre ( Doc. Le traceur descendant transporte des charges négatives et son extrémité se trouve au même potentiel électrique que la base du nuage dont il est issu.21-a ). Doc. Elle a pour origine la base du nuage.interaction électrique interaction électrique La première phase du coup de foudre est toujours la formation d'une prédécharge peu lumineuse.2 s à 2 s et comporte en moyenne 4 arcs en retour par le même chemin. La chaleur produite par cet éclair provoque une dilatation brusque de l'air.Ch. Elle comporte de nombreuses ramifications ( Doc. En général. puis écoulement du courant d’arc en retour. Doc. Il naît alors un traceur ascendant partant du sol ( en général d'un point proéminent ) et transportant des charges positives ( Doc.21-a : descente du traceur par bonds.21-c : rencontre entre un traceur ascendant et un traceur descendant par bonds. peut atteindre des valeurs de 10 000 A et transporter une quantité d'électricité de 20 C. Doc. Cette valeur de crête étant atteinte en un temps de l'ordre de la microseconde. Les coups de foudre ascendants. transporte des charges positives et atteint le nuage. l'intensité décroît ensuite plus lentement avec une durée de l'ordre de la centaine de microsecondes.interaction électrique Photo. peuvent provoquer des dégâts plus importants.8 : coup de foudre ascendant issu de la Tour Eiffel au cours de l’orage du 3 Juin 1902 33 .interaction électrique . dont Ia puissance est plus grande que celle des coups de foudre descendants. Il en résulte une impulsion de courant d'amplitude excédant parfois 20 000 A.1 .8 ) Lorsque le sol comporte des points très élevés ( tours. Coup de foudre ascendant ( Photo. il se produit parfois une décharge ascendante : un traceur part du sol. Ch. sommets montagneux ). lorsque l'on est en groupe.se tenir à distance des structures métalliques ( poteaux. rails. se tenir au moins à 10 m les uns des autres . s'éloigner des failles et s'abriter sous un ressaut convenable .en rase campagne s'accroupir ou se rouler en boule pour offrir le moins de surface possible .1 . éviter pendant un orage de téléphoner.interaction électrique interaction électrique .Ch. de prendre un bain. d'utiliser des appareils électrodomestiques. Extrait de : Vigilance.se réfugier. n o104.. si on peut.dans une maison. toucher des conduites d'eau.. assurant une protection efficace .s'éloigner des espaces plats et dégagés et des arbres hauts ou isolés .) . 34 . dans une voiture qui.en montagne. Pour éviter d'être foudroyé Il faut : . magazine du Service de Prévention Sécurité de EDF-GDF. lignes électriques. si elle est en métal constitue une "cage de Faraday". quitter les sommets et les cols. 5.La force électrique qui s’exerce sur q et le vecteur champ électrique créé par q’ en A ont toujours le même sens c .Q est la charge électrique placée en A.Deux charges ponctuelles q 1 = 10 nC et q 2 = 40 nC sont placées respectivement en deux points A et B distants de a = 30 cm.Comparer ces deux forces électriques.7 µC sont placées dans le vide. B A Doc.Déterminer les caractéristiques : a . m-1 4. Je sais appliquer mes connaissances.Deux charges électriques opposées q et . un point M où les deux champs électriques se compensent.Il existe sur la ligne joignant les deux points A et B .interaction électrique Chaque question peut avoir une ou plusieurs réponses correctes c . sur la droite ( AB ) .le vecteur unitaire change de sens si Q change de signe. je sais raisonner Ex-1.23 Dans cette expression : a . a .Le champ électrique créé par la charge électrique Q en M est : E (M) E( M ) = K Q AM 2 u u A M Doc. Le champ résultant en O : a .le champ électrique peut être centripète. 2 .La force électrique qui s’exerce sur q et le vecteur champ électrique créé par q’ en A ont toujours la même direction b . 3. 1 . s’il est plus proche de A ou de B.a la direction de ( A B ) et se dirige de A vers B c . distants de 10 cm.22 ). 35 .N. b .de la force électrique exercée par la charge q B sur la charge q A.Deux charges électriques ponctuelles de valeurs respectives q A = + 5 µC et q B = .Dans la région limitée par deux plaques conductrices planes et parallèles reliées aux bornes d’un générateur a .La valeur du vecteur champ électrique s’exprime en : a .C c . respectivement en deux points A et B. 1 .N .Les deux forces qui constituent l’interaction électrique sont de même valeur si q et q’ ont même signe.V .la valeur du vecteur champ électrique est constante c . b .de la force électrique exercée par la charge q A sur la charge q B. d .1 . a .est nul b . Ex-2.interaction électrique Je vérifie mes connaissances a .ll faut placer un signe (-) devant K si Q est négative.Calculer la distance AM.Indiquer.Deux charges ponctuelles q et q’ placées 1en deux points A et B.a une valeur absolue double de celle du champ électrique créé par q en O. kg .1 b.les lignes de champ sont parallèles aux plaques b . 2 .22 q q ’ Ch. sont soumises uniquement à l’effet de l’interaction électrique qui règne entre elles ( Doc.Déterminer les caractéristiques du vecteur champ électrique au milieu O du segment AB. b .q sont placées respectivement en A et B symétriques par rapport à O .la valeur du vecteur champ électrique est plus grande au voisinage des plaques. 2. 24 ). sont placées respectivement en trois points A. on prendra g = 9. (. A ( -q ) (A) (+ q) A (+ q) M A (+ q) A (+ q ) M M (B) Doc.Ch.On considère un pendule électrique formé d’un fil isolant inextensible de longueur l = 0. 4 .kg . le pendule électrique se maintient dans une nouvelle position d’équilibre faisant un angle α = 60° avec la verticale lorsque ( B ) prend la position initialement occupée par ( A ) ( Doc.q) (.26 ). B et C tels que B est le milieu de AC de longueur 20 cm ( Doc. on approche un objet ponctuel ( B ) portant une charge q B.Sachant que q B = + 2µC .Dans les schémas du document 25.interaction électrique interaction électrique 1 .Dans le vide. O α l j A i Doc. Les charges ont pour valeur : q A = 10 µC. représenter le vecteur champ électrique total en M sachant que toutes les charges ont même valeur absolue. 2 . trois charges ponctuelles q A. donner les caractéristiques du vecteur champ électrique E A créé par la charge q B au point où se trouve ( A ) dans sa position finale. et d’un corps ponctuel ( A ) de masse m = 1 g et portant une charge q A.Déterminer les caractéristiques : a .q) B M milieu de AB I M I M B (+ q) I milieu de AB B (.1 3 .25 EX-5.de la force électrique exercée par la charge q B sur la charge q A.de la force électrique exercée par la charge q C sur la charge q A.Les charges q A et q B sont-elles de mêmes signes ou de signes contraires ? 2 .Déterminer les caractéristiques de la force électrique totale s’exercant sur q A.24 Ex-3.26 B 36 .8 N. q B et q C.En déduire la valeur absolue de la charge q A. C qC Doc.q) Imilieu de AB 1 .1 . b .2 m et de masse négligeable. A qA B qB Ex-4.6 µC et q C = 24 µC . Le pendule électrique étant à l’équilibre dans la position verticale. q B = .Déterminer les caractéristiques de la force électrique F qui s’exerce sur ( A ) dans sa position finale. portent respectivement une charge q = + 100 nC et une charge q' de valeur absolue égale à 20 nC. c .interaction électrique Ex-6.a .La boule ( B' ) présente-t-elle un excès ou un défaut d'électrons? en déterminer le nombre.27 ).Comparer.interaction électrique les angle α et α' avec la verticale tels que les deux boules soient distantes de d = 10 cm ( Doc.3 g et supposées être deux corps ponctuels.Quel est le signe de la charge q' ? b .1 .27 37 . α et α’. Les deux boules ( B ) et ( B' ) de même masse m = 0. 1.Le schéma du document 27 correspond à deux pendules électriques. en le justifiant. A l’équilibre. les deux pendules font O Ch. O’ l α j B i d l α’ B’ Doc. Photo.1-a : Champ magnétique créé par un aimant en U.Ch.1-b : l’aurore boréale. il y a plus de 1000 ans.2 .intensité : à l’aide d’un teslamètre. Elles étaient constituées d’une aiguille de magnétite posée sur de la paille flottant sur de l’eau contenue dans un récipient gradué . Identifier la face nord et la face sud d’un solénoïde parcouru par un courant continu. Reconnaître un champ magnétique uniforme à partir de la forme de son spectre. Les chinois furent les premiers à utiliser les propriétés des aimants. les lignes de champ sont matérialisées par les clous. 38 . Photo.interaction magnétique interaction magnétique 2 INTERACTION MAGNÉTIQUE Les aimants sont connus depuis l’’Antiquité sous le nom de " magnétite ".direction et sens : à l’aide d’une aiguille aimantée . OBJECTIFS Identifier le pôle nord et le pôle sud d’un aimant. Mettre en évidence expérimentalement l'existence d'un champ magnétique en un point de l’espace. pour faire des boussoles . pierre trouvée à proximité de la ville de Magnesia (Turquie) . C’est du nom de cette pierre que provient le nom actuel de champ magnétique . Déterminer les caractéristiques du vecteur champ magnétique : . l’autre pôle de l’aimant droit ( A ). on observe une répulsion ( Doc.aimant PROPRIÉTÉ DES AIMANTS Ch. Deux pôles de même nom se repoussent. Un aimant attire la limaille de fer au voisinage des pôles Photo.1-a : les deux pôles de mêmes couleurs se repoussent (A) (B) Doc.2 : magnétite PÔLES D’UN AIMANT ACTIVITÉ EXPÉRIMENTALE Photo. Cette propriété se manifeste également avec les aimants artificiels : aimant droit et aimant en U ( Photo. Un aimant posséde un pôle nord et un pôle sud peints de couleurs différentes.1-b ). on observe une attraction ( Doc.2 . (A) (B) Doc. Ils proviennent d’un minerai de fer appelé magnétite ( Fe 3O4 ). Interaction aimant . Interaction magnétique 1.1-a ).3 ).2 ).interaction magnétique Les aimants naturels sont connus depuis l’antiquité. 39 . b. Ils ont la propriété d’attirer la limaille de fer en certaines zones appelées pôles ( Photo.interaction magnétique 1.3 : limaille de fer attirée par les deux pôles d’un aimant en U et d’un barreau aimanté.1. et deux pôles de noms différents s’attirent.1-b : les deux pôles de couleurs différentes s’attirent CONCLUSIONS Les deux pôles d’un aimant sont différents.l’un des pôles d’un aimant droit ( A ). Approchons successivement du même pôle d’un aimant droit ( B ) suspendu à un fil sans torsion : a . elles s’attirent. Photo.courant Deux bobines sont suspendues par des fils afin de leur permettre de se mouvoir librement.2-a 1. l’une nord et l’autre sud.2-b ).3. par contre si les deux faces sont différentes. l’interaction devient répulsive.2. Lorsqu’elle peut s’orienter librement. CONCLUSION Lorsque les deux bobines.interaction magnétique interaction magnétique AIGUILLE AIMANTÉE DÉFINITION Une aiguille aimantée est un aimant trés léger.courant ACTIVITÉ EXPÉRIMENTALE Approchons le pôle sud d’un aimant droit de la face ( A ) d’une bobine parcourue par un courant électrique continu .on change le sens du courant dans la bobine .on approche le pôle nord de l’aimant de la face ( A ) de la bobine.2-a ) ou d’une flèche ( Doc.4-a ).Ch.4-b : interaction attractive . elles se repoussent .4-a : interaction attractive face (A) s n 1. L’effet devient une répulsion si on effectue l’une des deux opérations suivantes : . CONCLUSION La bobine se comporte comme un aimant droit et possède une face nord et une face sud. Interaction courant . fil sans torsion étrier axe de rotation Doc. elle permet de déterminer l’existence d’une interaction magnétique au point où elle se trouve . présentent deux faces de même nature. La photo 4-b montre une interaction attractive établie entre ces deux bobines parcourues par des courants électriques continus.2-b Doc. Interaction aimant . 40 Photo. on observe une attraction ( Photo. ayant la forme d’un losange mince ( Doc. On change le sens du courant dans l’une des deux bobines.2 . 4-a N S A N Doc.1. S S N A N Doc. Le champ magnétique créé par l’aimant est caractérisé par un vecteur champ magnétique B dont les caractéristiques diffèrent d’une position à l’autre. S S N S A N Doc.3-b 2.4-b 41 .2 . nous constatons que cette dernière subit une nouvelle orientation différente de la première ( Doc.3-a ). pouvant s’orienter librement dans toutes les directions. on l’y immobilise en la tenant à la main puis on place un aimant droit à proximité du point A ( Doc.2. Le changement de direction imposée à l’aiguille aimantée prouve que l’aimant droit a exercé sur cette dernière une action mécanique. on attend qu’elle se stabilise dans une direction privilégée.3-a S N S A N Doc. Vecteur champ magnétique Si nous changeons la position A où est immobilisée l’aiguille aimantée. On dit que l’aimant droit a créé dans l’espace environnant un champ magnétique. Libérée. Mise en évidence ACTIVITÉ EXPÉRIMENTALE Ch. l’aiguille aimantée s’oriente suivant une nouvelle direction imposée par l’aimant et correspondant approximativement à une ligne droite contenant l’aimant et passant par A ( Doc. est placée en un point A de l’espace . Champ magnétique créé par un aimant 2.3-b ).4-a et 4-b ).interaction magnétique Une aiguille aimantée.interaction magnétique 2. interaction magnétique interaction magnétique B pôle sud pôle nord B Doc.6 ). chacune mobile autour d’un axe vertical. En tapotant sur la plaque.2 . la valeur s’exprime en tesla ( T ) et elle est mesurée à l’aide d’un teslamètre ( Photo.5 ). sont placées sur la plaque au voisinage de l’aimant ( Doc. chacune d’elles se stabilise en s’orientant suivant une direction tangentielle à la ligne de champ. les grains de limaille de fer s’orientent et dessinent des lignes appelées lignes de champ.6 Doc. Valeur : dans le système international. L’ensemble de ces lignes forme le spectre magnétique de l’aimant droit ( Photo.5 2.5 CARACTÉRISTIQUES DU VECTEUR CHAMP MAGNÉTIQUE Direction : est approximativement celle de l’axe d’une aiguille aimantée placée en A et pouvant s’orienter librement ( Doc.5 ). Lignes de champ et spectre magnétique ACTIVITÉ EXPÉRIMENTALE Posons une plaque en plexiglas ( ou en verre ) sur un aimant droit et saupoudrons la limaille de fer.Ch.3. sonde Photo.6 ). Sens : est dirigé du pôle sud vers le pôle nord de cette même aiguille aimantée ( Doc. n s N S s n Photo.6 42 .5 ). Des aiguilles aimantées. Cette action subie par les aiguilles aimantées décèle l'existence d'un champ magnétique à la surface de la Terre : le champ magnétique terrestre.10 6 T . Champ magnétique terrestre 3.7 DÉFINITIONS Une ligne de champ est une courbe qui est tangente aux vecteurs champ magnétique en chacun de ses points. Cet alignement de grains de fer matérialise ainsi les lignes de champ magnétique.7 et Doc.10 . en tout point de ce domaine .7 ) et ( Doc. plaçons quelques aiguilles aimantées libres de s’orienter dans toutes les directions. elles y pénètrent par le pôle sud et en sortent par le pôle nord. le même sens et la même valeur.interaction magnétique La même expérience est reproduite mais en remplaçant l’aimant droit par un aimant en U .valeur du champ magnétique 43 . COMMENT OBTENIR EXPÉRIMENTALEMENT UN SPECTRE MAGNÉTIQUE ? Saupoudrer la région. ORDRES DE GRANDEUR - valeur du champ magnétique créé par un aimant : 0. où règne un champ magnétique. Elle est orientée dans le sens des vecteurs champ magnétique. avec de la limaille de fer d’une manière assez intense pour permettre à chaque grain de fer de s’aimanter. de tout circuit parcouru par un courant électrique et de toute masse importante de matériau qui interagit avec les aimants.7 ). Après quelques oscillations.2 . 3. Les effets de ce champ sont assimilables à ceux créés par un aimant droit ( Doc. le vecteur champ magnétique B conserve la même direction. Mise en évidence Dans une région de l’espace peu étendue.interaction magnétique n s Ch.7) . loin de tout aimant.1 T valeur du champ magnétique terrestre : 6. Dans cette région précédemment définie. Chaque grain se comporte alors comme une petite aiguille aimantée dont les pôles attirent les pôles opposées des grains voisins.5 T valeur du champ magnétique créé par une bobine parcourue par un courant continu : quelques mT solaire : 6. elles s’immobilisent toutes dans une même direction.2. le champ magnétique terrestre est uniforme.8 ). Les lignes de champ se referment sur elles-même à l’intérieur de l’aimant .1. Le sens de ces lignes de champ est obtenu en plaçant. des aiguilles aimantées de pôles connus. 2.01 à 0.7 Photo. Le champ magnétique est uniforme entre les deux branches d’un aimant en U ( Photo. sur le spectre magnétique. Champ magnétique uniforme Un champ magnétique est uniforme dans un domaine de l’espace si. le spectre magnétique se présente autrement ( Photo. N S Doc. interaction magnétique interaction magnétique Pôle nord géographique Pôle sud magnétique Doc.9-a 44 Doc.2 .Ch.2. Méridien magnétique DÉFINITIONS On appelle méridien magnétique en un point M du globe terrestre. la direction et le sens sont indiqués par une aiguille aimantée mobile autour d’un axe vertical ( Doc. Le champ magnétique terrestre en un point M du globe terrestre est caractérisé par un vecteur champ magnétique B ( M ) contenu dans le plan méridien magnétique.9-b ).9-b . B ( M ) = B h( M ) + B v( M ) B h( M ) : composante horizontale du vecteur champ magnétique.9-a ). B v( M ) : composante verticale du vecteur champ magnétique. dirigée vers le nord magnétique .8 Pôle sud géographique Pôle nord magnétique 3. le plan vertical passant par ce point et contenant la direction du vecteur champ magnétique terrestre en ce point. verticale fil sans torsion s Bh n M n Bv verticale Bh B nord géographiq ue D n mag ord nét iqu s hor izon tale e Doc. La direction et le sens de ce vecteur sont indiqués par une aiguille aimantée placée en ce point et libre de s’orienter ( Doc. Ch. Inclinaison et déclinaison magnétiques ^ L'angle D que fait le méridien magnétique avec le méridien géographique en un lieu est appelé déclinaison magnétique de ce lieu. La déclinaison est dite occidentale ou orientale suivant que le méridien magnétique est à l'ouest ou à l'est du méridien géographique ( Photo 8-a et 8-b ).8-b 45 .interaction magnétique 3. L'inclinaison magnétique d'un lieu est l’angle I que fait le vecteur champ magnétique terrestre B avec sa composante horizontale. Elle est comptée positive quand le pôle nord de l'aiguille aimantée pointe vers le sol.2 .interaction magnétique MÉRIDIEN GÉOGRAPHIQUE ^ plan défini par la verticale du lieu et l’axe de rotation de la Terre Photo.3.8-a Photo. c’est le cas dans l’hémisphère Nord. elle est comptée négative dans le cas contraire. dépend du sens du courant électrique dans le fil. Interrupteur fermé : le fil parcouru par un courant électrique continu crée dans son voisinage un champ magnétique qui se manifeste par des actions mécaniques supplémentaires qui contribuent à la nouvelle orientation imposée à l’aiguille aimantée . L’ensemble est disposé de sorte que lorsque le fil n’est parcouru par aucun courant.+ I (K) s n A B Doc.10-c Photo.10-a ). Champ magnétique créé par un fil conducteur parcouru par un courant électrique continu 4. l’aiguille aimantée est soumise uniquement à l’action de la composante horizontale du champ magnétique terrestre. Cas d’un fil conducteur rectiligne EXPÉRIENCE D’OERSTED DISPOSITIF Une aiguille aimantée. B n s Doc. Si on inverse le sens du courant dans le fil. Les lignes de champ sont des cercles centrés sur le fil. le sens du vecteur champ magnétique.1.9 I . le courant le traversant des pieds vers la tête. mobile autour d’un axe vertical.10-b ). on obtient le spectre magnétique correspondant au document ( Photo.11 ). parcouru par un courant électrique continu d’intensité I. l’aiguille aimantée dévie dans un sens ( Doc. On saupoudre la plaque de plexiglas avec de la limaille de fer puis on la tapote .10-a + - (K) I n s A B Doc. .interaction magnétique interaction magnétique + (K) 4. SPECTRE MAGNÉTIQUE ACTIVITÉ EXPÉRIMENTALE Un fil de cuivre vertical. ORIENTATION DES LIGNES DE CHAMP Le sens du vecteur champ en un point M est celui de l’axe sn d’une aiguille aimantée placée en ce point ( Doc.2 . est placée à quelques centimètres au dessous d’un fil rectiligne et horizontal. Il correspond au sens indiqué par la main gauche de l’observateur d’Ampère placé sur le fil. OBSERVATIONS Quand on fait passer un courant dans le fil. regardant le point M. 46 fil n A s B Doc.9 ) . associé à ce nouveau champ à l’endroit où se trouve l’aiguille aimantée. le fil est parallèle à l’axe de l’aiguille ( Doc. traverse une plaque de plexiglas horizontale..10-c ).Ch. INTERPRÉTATION Interrupteur ouvert : en l’absence de courant électrique. son axe sn s’aligne suivant la composante Bh du champ magnétique terrestre. la même aiguille dévie dans l’autre sens ( Doc.11 .10-b . l’orientation de chacune d’entre elles est inversée. . 3. dépend du sens du courant électrique dans le fil. Le centre d’un solénoïde est le point de son axe situé à égale distance de ses extrêmités. L’axe d’un solénoïde est la droite confondue avec l’axe commun aux spires .sa longueur L qui représente la distance entre ses deux extrêmités.interaction magnétique SPIRE ET SOLÉNOïDE Une spire circulaire désigne l’enroulement d’un fil conducteur sur un cercle. on obtient le spectre magnétique correspondant au document 12-b et à la Photo. Ch. Si la longueur d’un solénoïde est supérieure à deux fois son diamètre. réalisé avec un fil de cuivre enroulé et enfilé dans une plaque de plexiglas comme l’indique le document 12-a . sinon. est parcouru par un courant électrique continu d’intensité I. s’orientent différemment d’un point à l’autre. Si on inverse le sens du courant électrique.interaction magnétique Les lignes de champ restent des lignes circulaires concentriques quel que soit le sens du courant électrique dans le fil conducteur. . Par contre l’orientation de ces lignes associée au sens du vecteur champ magnétique en un point d’une ligne de champ. Un solénoïde est une bobine constituée de l’enroulement cylindrique d’un fil conducteur. Ces spires peuvent être jointes ou non. s n n s I Photo.2 .10 Des aiguilles aimantées disposées sur la plaque de plexiglas en différents endroits.12-a grains de limailles de fer On saupoudre la plaque de plexiglas avec de la limaille de fer puis on la tapote.12-b 47 .son nombre de spires N. Un solénoïde est caractérisé par : . support transparent horizontal (G) Doc. Cas d’un solénoïde SPECTRE MAGNÉTIQUE EXPÉRIENCE Un solénoïde.son diamètre D qui est égal au diamètre de ses spires. il est dit court. il est dit long . Il est donc formé de plusieurs spires circulaires de même diamètre et de même axe. passant par le centre de la spire.2. L’axe d’une spire est la droite perpendiculaire au plan contenant la spire.10 Doc. les autres doigts indiquent le sens du courant ( Doc. la paume de la main étant dirigée vers l’intérieur du solénoïde. et par face sud celle par laquelle elles entrent. Le sens du vecteur champ magnétique. il possède une face nord et une face sud.13 48 . le spectre magnétique est analogue à celui créé par un aimant droit de mêmes dimensions. Le spectre magnétique n’a plus le même aspect que celui obtenu avec le fil rectiligne. Le changement de géométrie du fil a entraîné une modification du champ magnétique qu’il génère.interaction magnétique interaction magnétique OBSERVATIONS À l’intérieur du solénoïde. associé à ce champ à l’endroit où se trouve une aiguille aimantée. À l’extérieur du solénoïde. Par analogie avec les pôles de l’aimant. On désigne par face nord la face par laquelle sortent les lignes de champ. Le sens du vecteur champ magnétique créé par un solénoïde est donné aussi par le bras gauche tendu d’un observateur d’Ampère. Les deux faces sud et nord du solénoïde changent de nom lorsque le courant électrique change de sens. dépend du sens du courant électrique dans le fil.Ch. couché sur une des spires de sorte que le courant électrique lui pénètre par les pieds et lui sort par la tête tout en regardant l’intérieur du solénoïde. INTERPRÉTATION Comme le fil parcouru par un courant électrique continu.13 ). un solénoïde crée un champ magnétique qui se manifeste par des actions mécaniques qui imposent aux différentes aiguilles aimantées disposées en différentes endroits de son voisinage une orientation spécifique à chacune d’entr’elles. DÉTERMINATION DES DEUX FACES D’UN SOLÉNOïDE PARCOURU RÈGLE DE L’OBSERVATEUR D’AMPÈRE PAR UN COURANT ÉLECTRIQUE CONTINU RÈGLE DE LA MAIN DROITE Le pouce de la main droite sort par la face nord du solénoïde lorsque.2 . les lignes de champ sont des droites parallèles à l’axe du solénoïde et sont toutes orientées dans le même sens. Un solénoïde parcouru par un courant électrique continu se comporte comme un aimant droit de mêmes dimensions. B face nord I face sud I B main droite Doc. Dans le vide.interaction magnétique VALEUR DU VECTEUR CHAMP NAGNÉTIQUE Ch. la valeur du vecteur champ magnétique est donnée par la relation : B = µ0 N I = µ0 n I L µ 0 : perméabilité du vide et de l’air ( 4π.10 . le champ magnétique est uniforme. Remarque : la perméabilité de l’air est très proche de celle du vide 49 .7 S.interaction magnétique ( voir fiche TP ) À l'intérieur d’un solénoïde parcouru par un courant électrique continu d’intensité I.2 .I) N : nombre total de spires L : longueur du solénoïde ( en m ) n : nombre de spires par unité de longueur. Ch.On désire maintenant annuler le champ horizontal total à l'intérieur du solénoïde.14-a Doc.2 . SOLUTION 1. et le vecteur somme B t = B s + B h . Plan du méridien magnétique Nord magnétique O axe ( ∆ ) Face (A) nord magnétique Face ( A ) (∆) La spire est contenue dans le plan méridien magnétique Face (A) (∆) Face (D) (K) G Générateur de tension continue Coupe de la figure du document 14-a suivant le plan d’une spire Coupe de la figure du document 14-b suivant un plan horizontal contenant ( ∆ ) Doc. Déterminer l’intensité I 0 de ce courant.( K ) est fermé: un courant d'intensité I = 5 m A circule dans le fil conducteur du solénoïde et de sens tel que la face ( A ) est une face sud . Représenter. -a.14-c 1. dans les mêmes documents. l'aiguille dévie d'un angle α.Recopier les documents 14-b et 14-c et indiquer sur le vecteur B h.5 T.Représenter dans le document 14-c les vecteurs B s et B h . L’ axe horizontal ( ∆ ) du solénoïde est placé perpendiculairement au plan du méridien magnétique terrestre. On donne la valeur de la composante horizontale du champ magnétique terrestre Nord magnétique Face (D) Bh = 2. 3. Préciser pourquoi. Préciser la position d’équilibre de l’aiguille aimantée.Calculer la valeur du champ magnétique B s créé par la bobine en son centre. on prendra comme échelle 1 cm pour 10 . Faire un schéma indiquant la position à donner au solénoïde et le sens du courant qui le parcourt. 2. 50 . la position initiale de l'aiguille aimantée lorsque ( K ) est ouvert.interaction magnétique interaction magnétique EXERCICE RÉSOLU ENONCÉ : Un solénoïde comporte 2000 spires par mètre et renferme dans sa région centrale une aiguille aimantée. 4. -b. placée sur pivot vertical.10 – 5 T.14-b Doc.On double la valeur du courant I = 2 I 0 tout en gardant le dispositif de la question 3. La position de l’aiguille aimantée est alors indifférente. Calculer la valeur de l'angle α .Représentation de la position initiale de l’aiguille aimantée lorsqu’aucun courant ne traverse le solénoïde Le méridien magnétique d’un lieu est le plan vertical formé par le centre de la Terre et la direction de l’aiguille aimantée en ce lieu. interaction magnétique Bh Nord magnétique n .10 . l’aiguille aimantée sur pivot vertical. En l’absence de courant dans le solénoïde.interaction magnétique La composante horizontale B h du champ magnétique terrestre est dirigée vers le Nord magnétique.Représentation des vecteurs B s .7 I L Application numérique: Bs Bs = 4π.10 .5 T Face (A ) Face (D) Face sud Face Nord I Bs -b. Les vecteurs B s .2000.14-d Nord magnétique Bh Face (D) Face (A) (∆) n s Doc. Ch.7.10 .3 = 1. B h et B t = B s + B h sont représentés sur ( Doc 14-g ).26.14-e 2 -a. s’oriente suivant B h ( Doc 14-d ) et ( Doc 14-e ). B h et B t = B s + B h Le sens de B s est déterminé grâce à la règle de la main droite ( Doc 14-f ).14-g 51 .2° 1.10 – 5 Doc. L’aiguille aimantée a tourné d’un angle α tel que : tan α = Bs Bh Application numérique: tan α = α = 32.14-f Nord magnétique Bh α n Bt I Face (D) Bs = 0. s Face ( A ) Doc.63 Face Nord 2.26.5.10 .2 .Champ magnétique B s Le champ magnétique B S créé par la bobine parcourue par un courant d’intensité I = 5 mA a pour valeur : N Bs = 4π.10 –5 Face (A) (∆) s Face Sud Doc. Bs Application numérique: I0= 2. Le champ magnétique horizontal total est dirigé vers le Sud magnétique terrestre. 96 .10 . N Bs = Bh 4π.10 .interaction magnétique interaction magnétique Nord magnétique Face (A) Bh 3.Nouvelle disposition du solénoïde Pour que le champ magnétique horizontal total dans le solénoïde soit nul. il faut que B s et B h soient directement opposés ( même direction.10 -7 Face ( B ) I 0 = 7. On procéde à une rotation du solénoïde d’un angle de 90° dans le plan horizontal de sorte que la face (A) soit du coté de B h tout en gardant le même sens pour le courant électrique. Bh Nord magnétique Face (A) I0 . même valeur et de sens opposés )( Doc 14-h ). L’aiguille voit donc son pôle Nord se diriger. non pas vers le Nord. Doc.10 – 3 A Doc.14-h .7 ( N ) L -5 I0 .14-i s n Face (B) Bs Sud magnétique 52 . mais vers le Sud magnétique terrestre ( Doc 14-i ).2000 La direction de l’aiguille est indifférente car le champ magnétique total est nul : Bt = Bs + Bh = 0 4.7 L I 0 = B h I0 = Bh 4π.Ch. le vecteur champ magnétique B S voit sa valeur doubler et reste opposé à la composante horizontale B h.Nouvelle position d’équilibre de l’aiguille Si on double l’intensité du courant. 10 4π.2 . interaction magnétique La lévitation est une technique permettant de soustraire un objet à l'action de la pesanteur par l'intermédiaire de différents procédés (électrostatique. Photo.interaction magnétique 5..2 .) et également par magnétisme. Le train est équipé d’électroaimants supraconducteurs n'offrant aucune résistance au passage du courant. électrodynamique. La lévitation magnétique DÉFINITION Ch. PRINCIPE: La technologie du train à lévitation magnétique repose sur le principe que deux électroaimants s'attirent ou se repoussent suivant le sens du courant. APPLICATION DE LA TECHNOLOGIE MAGNETIQUE Le Maglev (Magnetic Levitation Train) actuellement en service d'essais depuis environ 30 ans au japon peut atteindre 550 km/h (record de vitesse) en se déplaçant à quelques centimètres au dessus de rails spéciaux.11 53 . SPECTRE MAGNÉTIQUE Un spectre magnétique matérialise les lignes de champ. et par face sud celle par laquelle elles entrent. Par analogie avec les pôles d’un aimant. CHAMP MAGNÉTIQUE CRÉÉ PAR UN SOLÉNOïDE Un solénoïde parcouru par un courant électrique continu se comporte comme un aimant droit.L’axe orienté sn d’une aiguille aimantée sur pivot vertical.L’angle que fait B h avec B ( M ) s’appelle inclinaison magnétique . champ magnétique qui régne entre les deux branches d’un aimant en U . CHAMP MAGNÉTIQUE UNIFORME Un champ magnétique est uniforme s’il a les mêmes caractéristiques en chaque point de l’espace champ. CHAMP MAGNÉTIQUE TERRESTRE Le vecteur champ magnétique terrestre B ( M ) en un point M admet une composante horizontale B h dirigée vers le nord magnétique et une composante verticale B v dirigée vers le centre de la Terre.Le plan vertical contenant B ( M ) s’appelle le méridien magnétique. Dans le vide. .Ch. Une ligne de champ sort du pôle nord et entre par le pôle sud de l’aimant qui la génére . Sa valeur s’exprime en Tesla ( T ). À l'intérieur d’un solénoïde parcouru par un courant électrique continu d’intensité I. la valeur du vecteur champ magnétique est donnnée par la relation : B 54 = µ0 N I = µ0 n I L . les lignes de champ sortent de la face nord et rentrent par la face sud. Pour un courant circulaire. indique la direction et le sens de B h loin de toutes autres sources de champs magnétiques. un solénoïde possède une face nord et une face sud déterminées à l’aide de la règle de la main droite.pôle nord que prend une aiguille aimantée libre de s’orienter et placée au point M. On désigne par face nord la face par laquelle sortent les lignes de champ. le champ magnétique est uniforme. champ magnétique terrestre dans un domaine restreint à proximité de la surface . . EXEMPLES DE CHAMPS MAGNÉTIQUES UNIFORMES . . terrestre.L’angle que fait la direction du nord magétique ( celle de B h ) avec la direction du nord géographique s’appelle la déclinaison magnétique . Les deux faces sud et nord du solénoïde changent de nom lorsque le courant électrique change de sens.interaction magnétique interaction magnétique L’ESSENTIEL DU COURS VECTEUR CHAMP MAGNÉTIQUE La direction et le sens du vecteur champ magnétique B ( M ) sont indiqués par la direction orientée pôle sud . champ magnétique à l’intérieur d’un solénoïde parcouru par un courant continu.2 . . 0 4.2 .405 m. EXPÉRIENCE NO1 PROTOCOLE EXPÉRIMENTAL Le nombre de spires est N = 200 spires. des fils de connexion.405 m. On fixe I = 1 A.0 1.6 1481. un rhéostat de 23 Ω . TABLEAU DE MESURES N 200 400 600 800 L (m) 0. B = f (I) 55 . La longueur du solénoïde est L = 0.2 B ( mT ) Compléter le tableau de mesures Tracer la courbe B = f ( n ).0 2. MATÉRIEL un solénoïde à quatre enroulements comportant chacun 200 spires bobinées sur un support cylindrique de longueur L = 0.405 0. un teslamètre .30 V. On varie I et on mesure B . En déduire la proportionnalité entre B et I O EXPÉRIENCE N 2 PROTOCOLE EXPÉRIMENTAL On fait varier le nombre N de spires sur le support de longueur L = 0.0 5.0 3. un ampèremètre.0 EXPLOITATION DES RÉSULTATS DE MESURES Compléter le tableau de mesures Tracer la courbe B = f ( I ).8 987.interaction magnétique TRAVAUX BUT PRATIQUES Ch. TABLEAU DE MESURES I (A) B (mT) 0.405 0. On maintient la tête de la sonde au centre O du solénoïde. On maintient la tête de la sonde au centre O du solénoïde.7 A.interaction magnétique Dégager la relation B = µnI Détermination de la perméabilité µ de l’air. En déduire la proportionnalité entre B et n DÉTERMINATION DE LA PERMÉABILITÉ DE L’AIR La valeur de la perméabilité du vide µ 0 peut être déduite a partir du tracé ou B = f ( n ). un générateur de tension continue 0 V .405 n ( spires / m ) 493.405 0.14 1975.405 m. ne subit pas d'effet du champ magnétique terrestre. dense et lourd. quatre fois le rayon terrestre. Le chauffage de l'ionosphère ( jusqu'à 10 000 degrés ) et la création du plasma sont principalement dus à l'absorption des rayonnements ultra-violets en provenance du Soleil. on définit dans l'espace plusieurs zones où le champ magnétique terrestre agit différemment. plasma particules électriquement chargées qui ont à la fois les caractéristiques d'un fluide et d'un conducteur d'électricité.la magnétopause : là où le champ magnétique terrestre s'annule.la magnétosphère : milieu très dilué. on a principalement : . la magnétosphère est remplie de plasma qui interagit fortement avec le champ magnétique. En partant du sol.l'ionosphère : mélange de gaz neutre et de plasma.15 Pôle nord magnétique 56 . Structure du champ magnétique .2 . . La magnétosphère est séparée du vent solaire par une frontière de quelques centaines de kilomètres d'épaisseur.Ch. .15) Pôle sud magnétique Pôle nord géographique Pôle sud géographique Doc. le champ magnétique terrestre est assimilable à celui que créerait un aimant droit placé à l’intérieur du globe incliné d’environ 11° par rapport à l’axe de rotation de la Terre. la nature des particules et leur nombre.Jusqu’à une distance du centre de la Terre. . (Doc.l'atmosphère : neutre.interaction magnétique interaction magnétique CHAMP MAGNÉTIQUE TERRESTRE POUR EN SAVOIR PLUS LE Suivant l'altitude. Ch. guidées par les lignes de champ du champ magnétique terrestre.interaction magnétique Photo. Ces particules électrisées sont guidées par les lignes de champ magnétique . soit au-dessus de 800 à 1000 km d'altitude. Ces dernières se désexcitent en émettant de la lumière. protons.12-b ). alors que la lumière violette provient des molécules excitées de diazote. produisant le magnifique spectacle des aurores boréales ( Photo. ions ) qui forment le vent solaire.interaction magnétique .12-b La magnétosphère constitue une sorte de bouclier magnétique qui protège la Terre contre les particules ( électrons.Au-delà de l'ionosphère . Certaines particules ( environ 10% ) s'engouffrent dans les " cornets " polaires nord ou sud.12-c ) .2 . La lumière verte ou rouge de l'aurore boréale provient des atomes excités de dioxygène. elles tourbillonnent autour de ces lignes. le vent solaire et le champ magnétique qu'il transporte modifient la forme de la magnétosphère en la comprimant du côté jour et en créant une longue traînée du côté nuit lui donnant une forme de comète comme le montre les documents ( Photo. entrent dans l'atmosphère et excitent les molécules qui la composent.20-b Photo. 57 . le plus grand nombre est dévié et la Terre est ainsi protégée.12-a ) et ( Photo.12-a Doc. 2 . TESLAMÈTRE Pour mesurer la valeur du vecteur champ magnétique dans une petite région de l'espace assimilable à un point. on utilise un teslamètre muni d'une sonde à effet Hall. au cours d'un voyage à Kulusuk ( côte est du Groenland ). à l'extrémité de laquelle est fixée une pastille de semi-conducteur : le capteur de Hall. Cette tension de Hall est ici traitée électroniquement par un teslamètre qui l'amplifie et la convertit en unité de champ magnétique.12-c : cette aurore boréale a été prise en photo février 2003. la sonde est dite axiale. Si l'axe de la pastille est confondu avec l'axe de la tige.interaction magnétique interaction magnétique Photo. DESCRIPTION Lorsqu'un matériau appelé semi-conducteur est parcouru par un courant électrique tout en étant soumis à un champ magnétique. Certaines sondes comportent deux pastilles : une axiale et l’autre tangentielle. Si l'axe de la pastille est perpendiculaire à l'axe de la tige. Pastille tangentielle axe de la sonde Pastille axiale 58 . une tension électrique apparaît entre ses deux faces : c'est l'effet Hall. la sonde est dite tangentielle. Une sonde à effet Hall est généralement formée d'une tige graduée en unité de longueur.Ch. de s'assurer que le teslamètre indique une valeur nulle lorsque la sonde est éloignée de toute source de champ magnétique. Une sonde tangentielle est sensible à la valeur de la composante du vecteur champ magnétique suivant un axe perpendiculaire à l'axe de la tige. Dans le cas contraire. il faut chercher l'orientation de la sonde pour laquelle la valeur indiquée est maximale. la valeur indiquée par le tesla-mètre est affectée d'un signe moins.Une sonde axiale est ainsi sensible à la valeur de la composante du vecteur champ magnétique suivant son axe.interaction magnétique RÉGLAGE DU ZÉRO Ch. pour placer la sonde dans la direction et le sens du champ magnétique dont on veut mesurer la valeur. par contre l’axe de la pastille axiale est confondu avec celui de la sonde.interaction magnétique L’axe de la pastille tangentielle est perpendiculaire à l’axe de la sonde . en se référant au protocole indiqué dans la notice d'utilisation. avant toute série de mesures. . à l'endroit où elle est placée.Si l'axe de la pastille de mesure est orienté d'un angle a par rapport à la direction du champ magnétique au point considéré. .2 . Pour ne pas prendre en compte le champ magnétique terrestre. il est nécessaire. MESURE DU CHAMP MAGNÉTIQUE . On a alors: α = 0°. la valeur mesurée est : B m = B cos α .La mesure indiquée par le teslamètre correspond à la valeur de la composante du champ magnétique suivant l'axe de la pastille à effet Hall. il faut régler le zéro de l'appareil.En pratique. cos α = 1 et Bm = B B α Bm Pastille à effet Hall La sonde à effet Hall mesure la valeur de la composante B m 59 . .Si l'angle α est supérieur à 90°. c et d. b .On place une aiguille aimantée.le solénoïde est maintenant parcouru par un courant d’intensité I = 32 mA. On observe une répulsion car : a . pour les différents cas 60 2 .Un solénoïde. Préciser les pôles magnétiques de l’aiguille. Lorsque le solénoïde n’est parcouru par aucun courant électrique. le vecteur champ magnétique au point M 2 . Je sais appliquer mes connaissances.on augmente L en gardant N inchangée. Quelle est la direction prise par cette aiguille aimantée ? Faire un schéma de ce dispositif. 2B Face ( 1 ) I Face ( 2 ) Les deux solénoïdes s’attirent car : a .la face ( 1 ) est une face sud. vu de dessus. 4A face ( 1 ) pôle ( A ) Chaque question peut avoir une ou plusieurs réponses correctes 1. Il arrive ainsi à 1 km à l’est de l’oasis lorsqu’il en aperçoit les palmiers ”Ouf “” dit-il.on change le sens du courant électrique en gardant son intensité inchangée. comporte 800 spires . La valeur du vecteur champ magnétique créé à l’intérieur du solénoïde augmente si : a . rentre par la face ( 2 ).la face ( 1 ) est une face nord. et il calcule sans retard la déclinaison magnétique.se dirige du pôle sud vers le pôle nord d’une aiguille aimantée placée en M. et décide d’employer une boussole pour y parvenir. .10 .Un solénoïde de longueur L.le pôle ( A ) est un pôle nord. indiquer l’orientation d‘une aiguille aimantée centrée au point M.De quel angle la petite aiguille aimantée va-t-elle tourner ? Données : perméabilité du vide µ 0 = 4π .Dans chaque cas. b .sort du pôle nord de cet aimant.il ? envisagés. 3 . je sais raisonner Ex-1.a une direction perpendiculaire à l’axe de l’aimant. mobile autour d’un axe vertical. c . en indiquant le nom des pôles de l’aiguille aimantée.b.t . est parcouru par un courant électrique. Ex-2.Un voyageur qui traverse un désert a perdu sa piste à la suite d’une tempête de sable.2 . c . long de 80 cm.on augmente le rapport L d .Ch.le vecteur champ magnétique créé par un aimant droit en un point M a .le vecteur champ magnétique créé par le courant à l’intérieur du solénoïde entre par la face ( 1 ). cette aiguille est perpendiculaire à l’axe du solénoïde.Recopier les différents schémas et représenter. b .10 -5 T déclinaison. comportant N spires. au centre du solénoïde. 1 . 1 .la face ( 2 ) est une face sud.on augmente N en gardant L inchangée. c . N c . Ne connaissant pas la valeur de la Ex-3.I Bh = 2. d .interaction magnétique interaction magnétique Je vérifie mes connaissances 3. Quelle valeur trouve .le courant électrique d’intensité I’ circule de A vers B . il se fie à l’aiguille aimantée. Donner les caractéristiques du vecteur champ magnétique apparaissant à l’intérieur du solénoïde ( on fera apparaître sur le schéma précédent le sens du courant et le sens du vecteur champ magnétique. selon les schémas des documents 16-a. b . située au sud géographique. Il sait qu’il est à 20 km d’une oasis.7 S.On approche l’un de l’autre deux barreaux aimantés identiques. en prévision de sa prochaine étape.le vecteur champ magnétique créé par I’ à l’intérieur du solénoïde à travers lequel il circule. En un point M à l'intérieur du solénoïde.Un solénoïde parcouru par un courant continu d'intensité I .Déterminer la valeur du vecteur champ magnétique créé par le solénoïde. Faire un schéma clair en y figurant le sens du vecteur champ magnétique et le sens du courant électrique.comportant N = 400 spires réparties sur une longueur L = 50 cm. Perméabilité du vide : µ 0 = 4π . est disposé horizontalement de sorte que son axe fait un angle α = 60° avec le méridien magnétique terrestre.10 -5 T 61 2. Données : perméabilité du vide µ 0 = 4π .On place une petite aiguille aimantée à l’intérieur de ( S 1 ).17 Nord magnétique Ex-5. on place une aiguille aimantée mobile autour d'un axe vertical.10 -5 S T Sud magnétique s M α n Doc.16-a S N N S Ch.10 .5 T 2.Soit un premier solénoïde ( S 1 ) de longueur L = 50cm et comprenant 200 spires.16-d Doc.interaction magnétique N S M Doc.16-b N EX-4.interaction magnétique M Doc.Donner les caractéristiques du vecteur champ magnétique créé au centre de ce solénoïde lorsqu’il est parcouru par un courant électrique continu d’intensité I.7 S.I composante horizontale du vecteur champ magnétique terrestre : Bh = 2.10.7 S.Représenter la composante horizontale du vecteur champ magnétique terrestre au point M. Elle s'oriente perpendiculairement à l'axe du solénoïde comme l'indique le schéma du Doc-17 1. 1. Calculer l’intensité I du courant qu’il faut faire passer dans ( S 1 ) pour que l’aiguille aimantée dévie de 30°. Composante horizontale du champ magnétique terrestre : B h = 2. Son axe est disposé horizontalement et perpendiculairement au plan du méridien magnétique terrestre.2 .a .I b . 3 . Echelle : 1cm 0. au voisinage de son centre.16-c N S S N M S N M N S Doc.10 .Soit un second solénoïde comportant .Indiquer sur la figure le sens du courant électrique et calculer la valeur de son intensité.5. Déterminer la valeur de l’intensité I’ du courant électrique qui les parcourt. B égale Quelle valeur attend-on de la mesure donnée par la pastille axiale? 3 .Ch.2 . Le champ magnétique mesuré par la pastille tangentielle a une valeur à 65 mT. on trouvera deux solutions qui devront être interprétées.On fait tourner la sonde d'un angle α = 30° Quelle est la nouvelle valeur mesurée par chacune des deux pastilles? Pastille tangentielle ∆ Pastille axiale Doc. S2 axe 80 spires par mètre de longueur.On mesure la valeur du champ magnétique en un point de l'entrefer à l'aide d'une sonde à effet Hall comportant une pastille tangentielle et une pastille axiale. 1 . On constate que l’aiguille aimantée dévie de 45°.On s'intéresse uniquement au champ magnétique créé entre les deux branches d'un aimant en U. La sonde est placée selon le schéma du document 19. Les deux solénoïdes ( S 1 ) et ( S 2 ) sont disposés de manière à avoir le même axe.Quels sont la direction et le sens du vecteur champ magnétique en un point de cette région ? Comment qualifie-t-on le champ magnétique dans cette région ? 2 . S1 Doc.19 62 .18 Ex-6. cet axe commun étant perpendiculaire au méridien magnétique terrestre ( Doc-18 ).interaction magnétique interaction magnétique Les deux solénoïdes sont branchés en série dans un circuit électrique. Force de Laplace 3 FORCE DE LAPLACE Le moteur à courant continu est une application directe de la force de Laplace. Il transforme de l’é énergie électrique en énergie mécanique pour mettre en mouvement un corps. crée un champ magnétique capable d’attirer certains méteaux à la manière d’un aimant 63 . Photo.Force de Laplace Ch. Expliquer le principe de fonctionnement d’un moteur à courant continu.1-a : la roue de Barlow est l’ancêtre des moteurs électriques.3 . OBJECTIFS Mettre en évidence expérimentalement la force de Laplace. Photo. Déterminer les caractéristiques de la force de Laplace.1-b : Grue munie d’un conducteur parcouru par un courant électrique. 2 Le circuit du document 1-a comporte : . le champ magnétique uniforme qui règne entre les deux branches de l’aimant est vertical. un ampèremètre ( A ) permettant de contrôler le passage du courant électrique. Inversons le sens de circulation du courant électrique en agissant sur les connexions établies aux bornes de ( G ) . parallèles. Mise en évidence expérimentale de la force de Laplace 1.1-b : le barreau ( AB ) placé dans un champ magnétique et parcouru par un courant électrique se déplace vers la position ( A’B’ ).1-b ).1-c : le barreau ( AB ) placé dans un champ magnétique et parcouru par un courant électrique se déplace vers la position ( A’’B’’ ).deux rails horizontaux en cuivre.3 . dans le sens indiqué dans le document 1-b. ( K ) ouvert : le barreau est immobile. Doc. reposant perpendiculairement sur les rails.1 - Photo.un barreau cylindrique ( AB ) en cuivre. Un aimant en U est disposé tel que le barreau ( AB ) est placée dans l’entrefer .1. le déplacement du barreau a lieu dans le sens contraire ( Doc.1-a : le barreau ( AB ) placé dans un champ magnétique et non parcouru par un courant électrique ne se déplace pas.Ch.Force de Laplace Force de Laplace 1. reliés à un générateur de courant continu ( G ) par l’intermédiaire d’un rhéostat et un interrupteur ( K ). (K) A’ A N S B’ B I A (G) (Rh) A A ’’ (K) (Rh) N S B B ’’ I A (G) Doc. dirigé vers le bas et perpendiculaire au plan formé par les rails et le barreau. rectiligne et homogène. ( K ) fermé : le barreau se met en mouvement perpendiculairement aux rails. Activité expérimentale . B A (K) A N S (G) (Rh) Doc. . 64 . le barreau ( AB ) reste immobile même si ( K ) est fermé. 65 NOTATION Un vecteur perpendiculaire au plan de la page et sortant sera représenté par un point dans un cercle.2-b : le barreau ( AB ) placé dans un champ magnétique et parcouru par un courant électrique se déplace vers la position ( A’B’ ).Force de Laplace (K) A S N B A (G) (Rh) Doc. Par contre si le vecteur est rentrant il sera représenté par une croix dans un cercle X .2-a : le barreau ( AB ) placé dans un champ magnétique et non parcouru par un courant électrique ne se déplace pas. Doc. (K) A A’ S N B B’ I A (G) B’’ (Rh) A’’ A (K) (Rh) S N B I A (G) Doc. Inversons le sens de circulation du courant électrique en agissant sur les connexions établies aux bornes de ( G ) . Enfin si nous retirons l’aimant en U aussi bien dans le circuit du document 1-a que celui du document 2-a. . l’ensemble des actions réparties est équivalent à une force unique représentée par un vecteur F dont l’origine est le milieu de la portion de conducteur de longueur l qui baigne dans le champ magnétique B. Ch. le déplacement du barreau a lieu dans le sens contraire ( Doc.2-a ) ( K ) fermé : le barreau se met en mouvement perpendiculairement aux rails.2-b ). Dans un champ magnétique uniforme.2-c : le barreau ( AB ) placé dans un champ magnétique et parcouru par un courant électrique se déplace vers la position ( A’’B’’ ). POINT D’APPLICATION La force de Laplace est une action répartie : elle agit en chaque point du conducteur. dans le sens indiqué dans le document ( Doc.Force de Laplace Dans le circuit du document 1-a on change la disposition de l’aimant en U de sorte que le champ magnétique uniforme qui règne entre ses deux branches soit vertical et dirigé vers le haut ( Doc.3 . Un conducteur parcouru par un courant électrique et placé dans un champ magnétique est soumis à une force magnétique appelée force de Laplace.2-c ). 3 66 . du vecteur champ magnétique et du vecteur force de Laplace ( Doc. 2-b’ et 2-c’. le majeur et l’index sont disposés selon trois axes orthogonaux . B x F I B x I Doc. 1-c’. 2-b et 2-c. SENS Les documents 1-b. correspondent respectivement aux schémas des documents 1-b’. Le sens de la force de Laplace est donné par une règle d’orientation.1-b’ Doc.Ch. F I Doc. comme la règle des trois doigts de la main droite. I B F Doc. on leur associe respectivement les sens du courant électrique dans le fil conducteur.3 .3 ). placé dans un champ magnétique uniforme et parcouru par un courant électrique. I Doc. 1-c. change selon le sens du vecteur champ magnétique et celui du courant électrique dans le fil conducteur.1-c’ F B . Le pouce.2-b’ F B .Force de Laplace Force de Laplace DIRECTION La direction de la force de Laplace est perpendiculaire au plan formé par la portion de conducteur de longueur l parcouru par le courant électrique d’intensité I et la direction du vecteur champ magnétique B.2-c’ A partir de ces quatres documents. le sens du déplacement du fil conducteur. parallèle à ( ∆ ) et rentrant.Force de Laplace 1. un autre fil de connexion plonge dans la solution conductrice. ( K ) fermé : le fil ( f ) s’écarte de la verticale dans le sens indiqué dans le document 4-b. un interrupteur ( K ) et un ampèremètre ( A ). Inversons le sens de circulation du courant électrique en agissant sur les connexions établies aux bornes de ( G ).Force de Laplace Photo. A I ( ∆) A I ( ∆) (Rh) (K) S (G) N (f ’) (Rh) ( f ’’ ) S D . L’un des fils de connexion est mis en contact avec l’extrêmité supérieure du fil ( f ). Ch.2.2 Le circuit du document 4-a comporte : .4-b : le fil conducteur placé dans un champ magnétique et parcouru par un courant électrique subit une déviation et occupe la position ( f’ ). F (K) (G) F N . suspendu par son extrêmité supérieure à un axe horizontal ( ∆ ) qui lui est perpendiculaire et autour duquel il peut tourner librement . Activité expérimentale .un fil ( f ) en cuivre rectiligne et homogène. .D Solution électrolytique concentrée Doc. un rhéostat ( Rh ).3 A ( ∆) (f) (Rh) (K) S (G) N . le vecteur champ magnétique uniforme qui règne entre les deux branches de l’aimant est horizontal. le déplacement du fil ( f ) a lieu dans le sens contraire ( Doc. l’autre extrêmité plonge dans une cuve contenant une solution électrolytique concentrée qui permet le passage du courant électrique tout en minimisant les frottements lors du mouvement de la tige. Doc.3 . 67 .4-c ).4-a : le fil conducteur ( f ) placé dans un champ magnétique et non parcouru par un courant électrique ne se déplace pas.4-c : le fil conducteur placé dans un champ magnétique et parcouru par un courant électrique subit une déviation et occupe la position ( f’’ ). L’aimant en U est disposé tel que le fil ( f ) est placé dans l’entrefer .un générateur de courant continu ( G ). ( K ) ouvert : le fil ( f ) est immobile selon la verticale.D Solution électrolytique concentrée Solution électrolytique concentrée Doc. Les lignes de champ sont parallèles à ( AB ). La portion ( AB ) est disposée de sorte qu'elle baigne totalement dans le champ magnétique uniforme qui règne entre les deux branches de l'aimant en U. La valeur de la force de Laplace agissant sur le fil ( f ). Expérience 4 : Donnons au fil conducteur la forme indiquée dans le document 5-b. dans lequel il baigne. et vérifions que l’inclinaison du fil ( f ) augmente. Vérifions que l’inclinaison du fil ( f ) augmente. La valeur de la force de Laplace agissant sur le fil ( f ) augmente lorsque l’intensité I du courant électrique qui le parcourt augmente. augmente lorsque l’intensité du vecteur champ magnétique. ( K ) ouvert : aucune déviation du fil conducteur par rapport à sa position d'équilibre verticale. F Solution électrolytique concentrée A I ( ∆) S (Rh) (K) (G) N A B Solution électrolytique concentrée Doc.5. 68 Doc. augmente.5-a A I ( f ’’ ) (Rh) (K) (G) N S ( ∆) D . au-dessus du premier aimant. un autre aimant identique afin de doubler la longueur l de la portion de fil conducteur qui baigne dans le champ magnétique uniforme. Expérience 3 : Gardons l’intensité I du courant électrique constante et remplaçons le premier aimant par un autre aimant générant un champ magnétique plus important. Expérience 2 : Gardons l’intensité I du courant électrique constante et plaçons.b .Ch. augmente lorsque la longueur l de la portion de fil conducteur placée dans le champ magnétique augmente. Vérifions que l’inclinaison du fil ( f ) augmente. ( K ) fermé : le fil conducteur ne quitte pas cette position d'équilibre.Force de Laplace Force de Laplace LAPLACE Les expériences associées aux documents 4-b et 4-c confirment le sens donné à la force de Laplace en utilisant la règle des trois doigts de la main droite.3 . Les deux aimants seront disposés de telle sorte que le point d’application D de la force de Laplace garde la même position par rapport à l’axe de rotation ( ∆ ) ( Doc.5-a ). INTENSITÉ DE LA FORCE DE Considérons le circuit du document 4-b et réalisons les expériences suivantes : Expérience 1 : Augmentons l’intensité I du courant électrique en agissant sur le rhéostat. La valeur de la force de Laplace agissant sur le fil ( f ). *0<α < π 2 F = I . *α= B x I F π 2 F = 0 Doc. α x F I .l.3 . B B Doc.5-d rad : le vecteur champ magnétique est perpendiculaire au conducteur rectiligne parcouru par le courant électrique ( Doc.5-e 69 rad : seule la composante du vecteur champ magnétique normale à l’élément de fil conducteur qui baigne dans le champ magnétique uniforme se manifeste par une force de Laplace ( Doc.5-e ).Force de Laplace ‘ Faisons tourner lentement l'aimant en U autour de son axe de symétrie ( ∆’ ). I en A .Force de Laplace Ch. On observe une déviation du fil conducteur par rapport à la verticale qui augmente lorsque l'angle aigu α formé par le vecteur champ magnétique B et la portion de fil conducteur ( AB ) augmente de 0 à 90°. l en m et B en T Cas particuliers : * α = 0 : le vecteur champ magnétique est parallèle au conducteur rectiligne parcouru par le courant électrique ( Doc.l.5-d ). B . On vérifie que la valeur de la force de Laplace F est proportionnelle à sin α.5-c Le champ magnétique dans lequel baigne la portion de fil conducteur parcouru par le courant électrique continu.5.c Solution électrolytique concentrée L’íntensité de la force de Laplace est donnée par la relation F = I . ( ∆) I S (Rh) (K) (G) N A ( ∆’ ) A Doc.sinα B I Doc. F en N . est uniforme.5-c ). 4-a : roue de Barlow (G) (K) S I (G) (K) (Rh) sens du Mouvement (Rh) S N N x B F Solution électrolytique concentrée axe Solution électrolytique concentrée Doc. ( K ) ouvert : le disque est immobile.Une partie du disque est placée dans l’entrefer d’un aimant en U de telle sorte que le vecteur champ magnétique uniforme B qui y règne soit perpendiculaire au disque ( Doc.Force de Laplace Force de Laplace 2. Application de la force de Laplace 2.6-b ) et ( Doc. ( K ) fermé : le disque se met en mouvement de rotation.4-a et 4-b ). un ampèremètre ( A ) permet de contrôler le passage du courant électrique.L’axe de rotation et la solution conductrice sont mis au contact des deux bornes d’un générateur de courant continu ( G ) par l’intermédiaire d’un rhéostat ( Rh ) permettant de faire varier l’intensité du courant électrique qui circule dans le circuit électrique ainsi formé et d’un interrupteur ( K ) . . .un disque en cuivre qui est mobile autour d’un axe matérialisé par une tige en cuivre disposée horizontalement . La roue de Barlow Cet “ancêtre” des moteurs électriques comporte : .3 .6-c ). la partie inférieure du disque plonge légèrement dans une cuve contenant une solution électrolytique concentrée ( Photo. Il en est de même si l’on ne touche pas aux connexions de ( G ) mais si on inverse le sens de B en agissant sur la disposition de l‘aimant en U.4-b : roue de Barlow Photo.Ch. Photo. le mouvement du disque est inversé. Si on inverse le sens du courant électrique en agissant sur les connexions établies aux bornes de ( G ).6-b : roue de Barlow Doc.1.6-c : roue de Barlow 70 . Force de Laplace La zone de conducteur parcourue par un courant d’intensité I. appelé axe de rotation de la spire ou du rotor dans son ensemble. qui suit approximativement un rayon de la roue.2. le sens est déterminé à l’aide de la règle des trois doigts de la main droite.7-a ) Le contact entre la lame ( C 1 ) et le balai relié à la borne ( + ) de ( G ) est tel que le courant électrique d’intensité I circule de A vers B dans la boucle de fil conducteur. L’ensemble des deux forces constituent un couple de force provoquant la rotation de la boucle de fil conducteur dans le sens de rotation des aiguilles d’une montre. un interrupteur ( K ).5 : moteur à courant continu Considérons la partie mobile ( le rotor ) dans trois positions. Ch. PARTIE FIXE ( LE STATOR ) Cette partie fixe du moteur. Un circuit électrique comporte un générateur électrique de tension continu ( G ). 71 . constituée d’un aimant ou d’un électroaimant.( Doc. le contact électrique entre cette boucle et ( G ) est assuré par l’intermédiaire des deux lames et des deux balais. PRINCIPE DE FONCTIONNEMENT Photo. L’action du vecteur champ magnétique B sur la portion de fil conducteur ( AB ) est une force de Laplace F AB alors que celle exercée sur la portion de fil conducteur ( DE ) est une force de Laplace F DE.1 .3 . Le moteur à courant continu COMPOSITION Un moteur à courant continu est constitué essentiellement d’une partie mobile et d’une partie fixe : PARTIE MOBILE ( LE ROTOR ) Elle comporte une boucle de fil conducteur rigide dont les deux extrêmités sont reliées à deux demi-cylindres conducteurs ( C 1 ) et ( C 2 ) séparés par un isolant et appelés lames du collecteur . Pour chacune des deux forces. l’ensemble tourne librement autour d’un axe fixe. Lorsque la boucle de fil conducteur tourne. permet de faire régner un champ magnétique uniforme dans l’espace occupé par la boucle de fil conducteur. POSITION . et deux balais conducteurs fixes. est soumise au vecteur champ magnétique B qui lui est perpendiculaire. Il y a transformation de l’énergie électrique en énergie cinétique de rotation.Force de Laplace 2. La force de Laplace a un moment moteur par rapport à l’axe de la roue et celle-ci se met à tourner. ( Doc. il ya changement du sens de circulation du courant électrique à chaque demi-tour .7-b ) La lame ( C 1 ) est encore en contact avec le balai relié à la borne ( + ) de ( G ) et le couple de forces de Laplace provoque le même phénomène de rotation.Ch. on utilise de l’énergie électrique pour faire tourner le rotor.3 . le couple de forces de Laplace conduit à un mouvement de rotation du rotor dans le même sens car le moment de ce couple ne change pas ainsi de signe. POSITION .) de ( G ) .7-c ) La lame ( C 1 ) se trouve en contact avec le balai relié à la borne ( . Le moteur électrique est donc un convertisseur d’énergie électrique en énergie cinétique de rotation.7-b POSITION . Dans un moteur à courant continu.7-c 72 . F DE B E I A D I B F AB (C2) (C1) axe fixe + (G) Doc.( Doc.7-a Doc.Force de Laplace F AB B A B I D Force de Laplace F AB A D B I B I E F DE (C1) Bala i I (C1) Bala i Bala i (C2) F DE (C2) Bala i E axe fixe + (G) axe fixe + (G) Doc.3 . CONCLUSION Grâce au collecteur.2 . le sens est inversé et le couple de forces de Laplace est tel que le mouvement de rotation continue dans le même sens. pour chacune des deux forces. On donne : I = 5 A . autour duquel il peut touner librement . .Représenter les forces qui s’exercent sur le fil conducteur dans sa position d’équilibre.3 . SOLUTION B = 0. 2. de longueur l. ( K ) fermé : le fil conducteur est parcouru par un courant continu d’intensité I. est suspendu par son extrêmité supérieure en O à un axe fixe (d ). Les polarités de ( G ) sont indiquées dans le document 8-c.Calculer l’angle θ que fait la verticale avec le fil conducteur lorsqu’il est à l’équilibre.Détermination du sens du courant électrique En appliquant la règle des trois doigts de la main droite.Force de Laplace Un fil conducteur en cuivre rigide et homogène. sa partie inférieure plonge dans une cuve contenant une solution électrolytique concentrée lui permettant de faire partie d’un circuit électrique comprenant un rhéostat ( R h ) et un générateur de tension continue ( G ) ( Doc 8-a ).a . de masse m. et indiquer le sens du courant électrique qui circule dans le fil conducteur ainsi que les polarités de ( G ). Sur une longueur de 2 cm. 73 .Reproduire le schéma du document ( 8-b ). règne un champ magnétique uniforme horizontal tel que le vecteur champ magnétique est normal à la figure et sortant ( Doc 8-b ).8-b 1. 1-a.8-a Doc. le courant électrique circule de G vers O. l = 25 cm . m = 8 g . ( K ) ouvert : le fil conducteur occupe sa position d’équilibre stable suivant la verticale. (K) (G) (K) (G) O (d) O (d) + (Rh) (Rh) θ G B G Solution électrolytique concentrée Solution électrolytique concentrée Doc. entre deux points situés à 19 cm et 21 cm de O.b .Force de Laplace EXERCICE ENONCÉ : RÉSOLU Ch.05 Tesla. Ch.3 - Force de Laplace Force de Laplace R (d) O + I (K) - -b- Les forces qui s’exercent sur le fil conducteur à l’équilibre Les forces qui s’exercent sur le fil conducteur à l’équilibre sont : - Le poids P - La force de Laplace F : s’applique au point A milieu de la portion de fil conducteur baignant dans le champ magnétique - la réaction R de l’axe fixe ( d ) ( Doc 8-c ). θ G F B P A (G) + (Rh) Solution électrolytique concentrée Doc.8-c 2- Etude de l’équilibre du fil conducteur Système : { fil conducteur }. Forces extérieures : P, F et R. Appliquons le théorème des moments au système Σ[ M( Fextérieures )/( d ) ] = 0 ( Doc 8-d ). M ( R )/( d ) = 0 car cette force coupe l’axe de rotation. M ( F )/( d ) = M ( P )/( d ) = OA OH F . = 0,2 m = OG . sinθ OA - m F m or F = = g g . OA OG B sin( élément de conducteur,B ) OG sinθ = 0 Solution électrolytique concentrée R (K) (d) O (G) + H (Rh) + I F P . . OA OH θ G A1 B A P A2 F d’où sinθ = Doc.8-d I . A 1A 2. I . A 1A 2 . B I . A 1A 2 . B m. g . . OA sinθ = OG o Application numérique : sinθ = 0,102 d’où α = 5,8 74 Force de Laplace L’ESSENTIEL DU COURS Ch.3 - Force de Laplace Un élément de circuit rectiligne, de longueur l, parcouru par un courant d’intensité I et placé dans un champ magnétique B , est soumis à une force magnétique F appelée force de Laplace. Caractéristiques de la force magnétique F : DIRECTION Elle est perpendiculaire au plan formé par l’élément de conducteur de longueur l parcouru par le courant électrique d’intensité I et la direction du vecteur champ magnétique B. SENS Il est donné par la règle des trois doigts de la main droite : - le pouce indique le sens du courant électrique - l’index indique le sens du vecteur champ magnétique - le majeur indique le sens du vecteur force de Laplace. INTENSITÉ Lorsque le champ magnétique est uniforme, elle est donnée par la relation I B F F F I en A en N = I .l. B .sinα avec α = ( élément de conducteur, B ) l en m B ORIGINE en T DU VECTEUR FORCE F C’est le milieu du segment de longueur magnétique uniforme. l placé dans la région où règne le champ 75 Ch.3 - Force de Laplace Force de Laplace POUR EN SAVOIR PLUS LA BALANCE DE COTTON C’est une application à la mesure de la valeur du vecteur champ magnétique en un point de l’espace où règne un champ magnétique. DESCRIPTION Une balance de Cotton est constituée par un fléau rigide coudé (TOA’) qui porte une plaquette isolante A’ACC’ et susceptible de tourner en O autour d’un axe fixe ( ∆ ). L’un des bras du fléau porte un fil conducteur appliqué le long de OA’ACC’O tel que AA’ et CC’ sont des arcs de cercle de centre O, alors que AC, OA’ et OC’ sont des parties rectilignes. L’autre bras du fléau supporte un plateau susceptible de recevoir des masses marquées. Le brin de fil conducteur rectiligne AC de longueur l baigne dans un champ magnétique uniforme pouvant être l’espace intérieur d’un aimant en U et tel que le vecteur champ magnétique B soit horizontal, sortant et normal à AC ( Doc.20 ). A’ + C’ C O m ( ∆) T I zone d’action de B A F AC Doc.20: balance de Cotton d d’ P ETUDE THÉORIQUE - En l’absence de tout courant électrique dans le conducteur OA’ACC’O et de toute surcharge sur le plateau, il y a équilibre. - Faisons circuler un courant continu d’intensité I dirigé de A vers C. Le vecteur champ magnétique exerce des forces magnétiques sur les différentes portions du cadre conducteur baignant dans l’espace où règne le champ magnétique : Le brin rectiligne AC est soumise à une force FAC de valeur I. l . B , dirigé vers le bas. L’effet de cette force est déterminé par son moment par rapport à ( ∆ ) de valeur M ( FAC / ( ∆ ) ) = I. l. B .d Sur les brins AA’ et CC’ s’exercent aussi des forces magnétiques ; décomposons ces brins circulaires en éléments de longueurs très petits, assimilables à de petits segments de droites ; sur un tel élément, de longueur dl, s’applique une force de valeur I. dl. B dirigée vers O et donc de moment par rapport à ( ∆ ) nul donc sans effet sur la rotation du fléau. Il en est de même de toutes les forces élémentaires qui s’exercent le long de AA’ et CC’. 76 Force de Laplace M (P /( ∆)) = - m . g . d’ Ch.3 - Force de Laplace Les actions magnétiques sont donc caractérisées uniquement par M ( FAC / ( ∆ ) ); le bras du fléau gauche bascule vers le bas. Pour équilibrer la balance, il faut ajouter dans le plateau une masse marquée de valeur m ; le moment de son poids par rapport à ( ∆ ) est Condition d’équilibre du fléau : M (P /(∆)) + M (FAC /(∆)) = 0 I. l. B . d - m. g . d’ = 0 m. I. g .d’ d’où B = l.d Photo.6 : balance de Cotton 77 Ch.3 - Force de Laplace Force de Laplace Je vérifie mes connaissances Chaque question peut avoir une ou plusieurs réponses correctes 1- Un conducteur ( AMNC ) est composé de trois parties rectilignes de même section formant trois côtés d’un rectangle, parcouru par un courant continu et pouvant tourner sans frottement autour d’un axe fixe horizontal passant par A et C ; un dispositif approprié permet de faire circuler un courant I de N vers M ( Doc.21 ). A B M I N C 3- Dans l’expérience de la barre conductrice placée sur deux rails parallèles et baignant dans un champ magnétique uniforme, le déplacement de la barre a lieu : a - si le vecteur champ magnétique est parallèle à la barre parcourue par un courant électriqe. b - si la barre n’est pas traversée par un courant électrique. c - si la barre est parcourue par un courant électrique, et le vecteur champ magnétique est perpendiculaire au plan formé par la barre conductrice et les rails. axe fixe Doc.21 4- Placé dans un champ magnétique uniforme, le cadre quitte sa position d’équilibre stable si le vecteur champ magnétique B : a - est parallèle à (MN). b - a une direction perpendiculaire au plan vertical contenant l’axe fixe de rotation et dirigé de l’arrière vers l’avant. c - est vertical. 2On considère la force de Laplace subie par un conducteur rectiligne parcouru par un courant électrique continu d’intensité I et placé dans un champ magnétique uniforme. La force de Laplace : a - a une valeur proportionnelle à celle du vecteur champ magnétique. b - a une valeur maximale quand le conducteur est parallèle au vecteur champ magnétique. c - est parallèle au vecteur champ magnétique. d - a un sens qui dépend de celui du courant électrique. e - a une valeur qui dépend de celle de I. f - a une valeur proportionnelle à celle de I. O (f) . O B + Doc.22 Solution électrolytique concentrée ( f ) est un fil de cuivre rigide et homogène susceptible de se mouvoir dans un plan vertical autour d’un axe horizontal, perpendiculaire au plan de la figure et passant par son extrêmité O ( Doc.22 ). Il peut s’écarter de sa position d’équilibre si : a - I = 0 et b - I = 0 et c - I = 0 et 5B B B = 0. = 0. = 0. La force de Laplace : a - n’est pas toujours perpendiculaire au plan formé par B et l’élément de conducteur parcouru par le courant d’intensité I. b - a un sens qui peut être donné par la règle des trois doigts de la main droite. c - peut être nulle. 78 Force de Laplace Ex-1- Dans l’expérience des rails de Laplace, la tige de masse m = 50 g, placée dans le champ magnétique uniforme, a une longueur l = 8 cm ( Doc.23 ). Le vecteur champ magnétique a une valeur égale à 0,02 T, et l’intensité du courant électrique continu est I = 10 A Ch.3 - Force de Laplace Je sais appliquer mes connaissances; je sais raisonner 1 - Donner les caractéristiques de la force de Laplace. 2 - Comparer sa valeur à celle du poids de la barre. Donnée : intensité du champ de pesanteur : g = 9,8 N.kg-1 B l Doc.23 Ex-2- Un conducteur rectiligne de longueur l = 20 cm, parcouru par un courant électrique d’intensité I = 1,5 A est plongé dans un champ magnétique uniforme. B Dans chacun des cas représentés par les documents 24-a, 24-b et 24-c, déterminer la direction, le sens et la valeur de la force de Laplace subie par le conducteur, sachant que la valeur du vecteur champ magnétique uniforme est égale à 200 mT. B B α = 60o I Doc.24-a I Doc.24-b I Doc.24-c Ex-3- Un conducteur (AMNC) est composé de trois parties rectilignes de même section, de même masse m et de longueur l, formant trois côtés d’un carré pouvant tourner sans frottement autour d’un axe fixe horizontal passant par A et C. Ces deux extrêmités sont reliées á un dipôle comprenant un générateur de tension continue ( G ), un rhéostat ( Rh ), un ampèremètre ( A ) et un interrupteur ( K ). Le cadre baigne dans un champ magnétique uniforme ( Doc.25-a ). ( K ) ouvert : le cadre occupe une position d’équilibre stable et verticale contenant l’axe fixe horizontal. ( K ) fermé : le cadre occupe la position vue de profil et indiquée dans le document 25-b. 1 - Recopier le schéma du document 25-b sur lequel on annotera le sens du courant électrique d’intensité I sur le côté AM. 2 - Exprimer tgθ en fonction de m, I, l, et g : B Données : m=6g I=1A l = 12 cm B g = 0,2 T. = 9,8 N.kg-1 79 Ch.3 - Force de Laplace A B M N Doc.25-a C axe fixe horizontal Force de Laplace A B θ M F MN Doc.25-b Ex-4- Le montage du document 26 comporte 1 - Recopier le schéma et annoter le sens un dipôle (D) permettant de faire circuler du courant électrique qui circule dans un courant continu d’intensité I dans la la barre ( t ). barre ( t ) reposant sur deux rails 2 - Déterminer la valeur de M pour que la barre conducteurs ; l’ensemble baigne dans un soit en équilibre. champ magnétique uniforme vertical et dirigé vers le haut. Données : Pour empêcher la barre ( t ) de se déplacer g = 9,8 N.kg-1 sous l’effet de la force de Laplace on l’attache à un contrepoids (C) de masse I = 10 A M par l’intermédiaire d’un fil inextensible et de masse négligeable passant sur la B = 1T. gorge d’une poulie. distance entre les deux rails l = 12 cm. L’ensemble des frottements exercés par les rails sur la barre ( t ) est équivalent à une force de valeur f = 0,5 N. B D) (t) rail dip ôle ( rail Doc.26 Ex-5- Le document 27 correspond à une balance de Cotton où les extrêmités du fil conducteur ( OA’ACC’O ) sont reliées á un dipôle comprenant un générateur de tension continue, un rhéostat, un ampèremètre et un interrupteur. Ceci permet de choisir la valeur de l’intensité I du courant électrique continu. On ajoute sur le plateau une masse marquée m pour équilibrer la balance. Ainsi on remplit un tableau de mesures portant sur I et m. I ( en A ) m ( en g ) 0 0 1 0,2 2 0,4 3 0,6 4 0,8 5 1 (C) 1 - Tracer la courbe m = f ( I ) selon l’échelle : abcisse 4 cm 1A ordonnée 3 cm 0,1 g Déterminer le coefficient directeur de la droite obtenue. 2 - A partir de l’étude faite dans la rubrique “Pour en savoir plus”, établir la relation théorique m = f ( I ). 3 - Déduire des résultats obtenus aux questions 1 - et 2 - la valeur champ magnétique. Données : AC = 2 cm B du vecteur g = 9;81 N.kg-1 d’ = d 80 Force de Laplace A’ Ch.28 B (f2) Solution électrolytique concentrée Ex-7. pour que cette dernière soit déplacée vers la droite. de poids P.Force de Laplace zone d’action de B A C’ C I O Doc. très souples. Représenter le vecteur champ magnétique et les forces extérieures qui s'exercent sur la tige ( MJ ) à l'équilibre.Le document 29-b correspond à une coupe du dispositif du document 29-a suivant un plan vertical perpendiculaire à la tige ( MJ ) en son milieu. Seule la partie magnétique uniforme ( Doc. sont reliées á un dipôle comprenant.Indiquer le sens du mouvement de la roue en série. sachant que la valeur du vecteur champ Ceci assure la circulation d’un magnétique est égale à 200 mT.27 m F AC d d’ P Ex-6. les fils ( M’M ) et ( J’J ) formant un écart angulaire θ avec la verticale. ( G ). est suspendue à deux fils conducteurs ( M’M ) et ( J’J ) identiques. (f1) I Doc. un rhéostat ( Rh ). s’exerçant sur le rayon dont l’extrêmité Les deux fils de connexions ( f 1 ) et ( f 2 ) inférieure plonge dans la solution conductrice.Une roue de Barlow est formée de huit rayons conducteurs identiques de longueur courant électrique continu d’intensité I = 10 A dans le rayon immergé dans la solution conductrice. un générateur de tension continue de Barlow.Une tige en cuivre ( MJ ). 2 .( K ) fermé : -a. Une partie de la tige ( MJ ) de longueur égale à la largeur D de l’aimant en U. 81 .3 . un ampèremètre 3 . l = 4 cm et également répartis autour L’ensemble est placé dans un champ de son axe horizontal. de masse négligeable et de longueur L.28 ).Préciser le sens du courant électrique le long de la tige ( MJ ). ( A ) et un interrupteur ( K ). baigne dans le champ magnétique uniforme créé entre les deux branches de cet aimant disposé comme l'indique le document 29-a et de telle sorte que les lignes de champ soient verticales 1. -b.Calculer la valeur de cette force de Laplace. inférieure de la roue plonge dans une 1 Représenter le vecteur force de Laplace solution électrolytique concentrée. 3 . .30 ). on veut construire un solénoïde ( S ) comportant n = 180 spires . 2 . calculer la valeur du vecteur champ magnétique 82 B 1 au centre du solénoïde.Ch. -c. À l'autre extrémité M . -b.6 mm.Avec un fil dont la section droite a un diamètre d = 0.30 N β direction des lignes de champ entre les deux branches de l’aimant en U Ex-81 .Déterminer la valeur de l'inclinaison θ sachant que β = 10°.Déterminer la valeur de θ sachant que : D = 5 mm . dans le cas où β < θ. 2 .29-a tige ( MJ ) A G J’ S M’ Rh θ M verticale J Doc.29-b M direction des lignes de champ entre les deux branches de l’aimant en U N Doc. l'espace laissé libre entre deux spires consécutives est e = 1 mm. de masse négligeable et dont le plan est perpendiculaire à ( T ). indéformable.Recopier le schéma du document 29-b et y représenter B et les forces extérieures qui s'exercent sur la tige ( MJ ) en équilibre.Le fil est parcouru par un courant électrique d'intensité I = 9 A .Force de Laplace Force de Laplace orthogonal à la tige ( MJ ).15 T . g = 9. I = 5 A P = 5. B = 0.Une tige ( T ) perpendiculaire en O à son axe de rotation horizontal ( ∆ ) porte à son extrémité N un plateau .8 N. un cadre rectangulaire ( DEGF ). b .10 -2 N . a . est fixé par le milieu de son côté horizontal ( FG ). occupe le même plan vertical tout en restant K G M’ Rh A J’ J S D θ Doc.On fait tourner l'aimant en U autour d'un axe horizontal matérialisé par la tige ( MJ ) de telle sorte que le vecteur champ magnétique uniforme B au milieu de ( MJ ).Calculer la longueur L de ce solénoïde.kg -1 . L'angle formé par B et la verticale est désigné par β ( doc. -a. 1 B2 .Pour ramener la tige ( T ) à l’horizontale. On donne : DE = l = 2 cm MO = d = 25cm NO = d' = 10cm g 3 .Force de Laplace Ce cadre est parcouru par un courant électrique continu d'intensité I '. axe du I solénoïde M F G E O (T) N Doc.5 A trouver à l'aide de cette expérience une expression de la valeur du vecteur champ magnétique B 2 créé par le solénoïde en son centre en fonction de m.31) -a. la tige ( T ) et les côtés ( DE ) et ( FG ) sont horizontaux.Force de Laplace α . Si I ' = 0. l. d'.pour I = 9 A et I ' = 6.3 .I ' = 0. β . l'axe du solénoïde ( S ) est parallèle à ( T ). dans le même plan vertical et le milieu K du côté ( DE ) est au centre du solénoïde et le côté ( FG ) est à l’extérieur ( doc.Comparer B1 à = 9. Ch. recopier le document 31 et y indiquer en le justifiant le sens du courant I ' pour que la force de Laplace qui s'exerce sur ( DE ) soit dirigée vers le bas.kg .montrer que les forces qui s'exercent sur ( FD ) et ( GE ) n'interviennent pas dans l'étude de l'équilibre.8 N. d. -b. I ' et g . on ajoute sur le plateau une masselotte de valeur m = 0.31 m D K 83 .226 g. .................................................4 4 INTERACTION GRAVITATIONNELLE et INTERACTION FORTE A-INTERACTION GRAVITATIONNELLE ................ 106 84 ..............................Ch... 85 B-INTERACTION FORTE ............................................... 4 .. le flux et le reflux de la mer. Quelle plus belle contribution apporter au développement ion du système du monde ! de la Science que l'explicati OBJECTIFS Appliquer la loi de gravitation universelle.interaction gravitationnelle A INTERACTION GRAVITATIONNELLE A l'illustre savant anglais Isaac NEWTON revient la gloire de la découverte de la gravitation universelle : la chute des corps à la surface de la Terre. ont dû lui livrer leurs secrets . 85 .interaction gravitationnelle Ch. Expliquer certains phénomènes observables dus à l'interaction gravitationnelle. Définir le champ de gravitation en un point de l'espace. Faire la différence entre le champ de gravitation terrestre et le champ de pesanteur.1 : les satellites de Jupiter. Photo.. le mouvement des planètes. 1 . est inversement proportionnelle au carré de la distance qui sépare leurs centres d’inertie. m ( B ) r2 ^ u . L’expérience de Cavendish ( 1798 ) a permis de vérifier que l’intensité commune à ces deux forces. Ces deux forces sont appelées " forces d'interaction gravitationnelle " ( Doc. s'attirent : La force d'attraction exercée par ( A ) sur ( B ) est F ( A )/( B ).Ch.4 . Loi de gravitation universelle En 2ème année nous avons vu que tous les corps pourvus de masse sont susceptibles d’exercer entre eux des actions mécaniques : il s’agit des forces gravitationnelles régies par une loi énoncée par Isaac NEWTON en 1687.interaction gravitationnelle interaction gravitationnelle 1. La force d'attraction exercée par ( B ) sur ( A ) est F ( B )/( A ) .G 86 ^ F ( A )/( B ) = _ F ( B )/( A ) ( 3ème loi de Newton ) F ( A )/( B ) ^ ^ et F ( B )/( A ) ^ ^ ^ G = 6. m ( B ) r2 G est une constante appelée constante de gravitation universelle . ENONCÉ DE LA LOI DE GRAVITATION UNIVERSELLE (A ) (B ) ^ ^ F ( B )/( A ) r Doc.10 N . de masses respectives m ( A ) et m ( B ) et distants de r.11 -2 2 Lorsque m ( A ) et m ( B ) sont exprimées en kg et r en m.1 F ( A )/( B ) Deux corps ( A ) et ( B ) supposés ponctuels.1 ) ^ ^ ^ L’intensité commune à ces deux forces attractives est : proportionnelle aux masses des deux corps. F ( A )/( B ) = F ( B )/( A ) = G m ( A ). REMARQUE : L’écriture vectorielle est : F ( A )/( B ) = . Forces de gravitation universelle 1. kg est en Newton ( N ) m ( A ).67. inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare. outre qu’elle soit proportionnelle aux masses des deux corps. m . puisque chacune d’elles est de direction. alors que les forces électriques sont tantôt attractives si les deux charges sont de signes contraires. q’ r2 présentent au moins deux similitudes. * c’est pour celà que les forces de gravitation sont toujours attractives. ^ ^ 87 . M r2 ^ Doc. la droite passant par les deux corps ponctuels en interaction pour la première et par les deux charges ponctuelles pour la deuxième. Ce sont deux forces : Un objet ponctuel de masse m et portant une charge q peut être en interaction gravitationnelle et électrique avec un autre objet de masse m’ et de charge q’.interaction gravitationnelle Ch. * d’intensités inversement proportionnelles au carré de la distance r séparant les deux corps ponctuels ( ou charges ponctuelles ). par contre.interaction gravitationnelle Le choix du sens du vecteur u a pour but de mettre en évidence le signe ( _ ) qui exprime le fait que la force de gravitation est attractive.2 ^ u r F ( A )/( B ) COULOMB : * centrales. tantôt répulsives si elles sont de mêmes signes. Ils présentent aussi des différences : * la source d’interaction est une masse positive dans le cas de l’interaction gravitationnelle.4 .2 ) (A ) (B ) ^ ENTRE LA LOI DE GRAVITATION ET LA LOI DE La force de gravitation universelle de Newton. il s’agit d’une charge pouvant être positive ou négative. ^ u : vecteur unitaire porté par la droite joignant les deux corps et dirigé de ( A ) vers ( B ) ( Doc. dans le cas de l’interaction électrique. ANALOGIE et la force d’interaction électrique de Coulomb. de valeur F = K q . de valeur F = G m. 88 Photo. d’autant plus qu’il est illusoire de vouloir procéder à ce genre de calcul en étudiant le mouvement de tel ou tel corps autour du Soleil par exemple. B 0. une force attractive sur un système bien choisi. on a connu de grosses difficultés pour la détermination de la constante de gravitation G . L’ensemble peut alors tourner autour de l’axe ( ∆ ) formé par le fil ( Doc. il exerce un couple de torsion dont le moment. EXPÉRIENCE DE axe ( ∆ ) A0 (t) B0 Doc.4 ).2 : dispositif de Cavendish.interaction gravitationnelle interaction gravitationnelle : DÉTERMINATON EXPÉRIMENTALE DE LA CONSTANTE DE GRAVITATION Du temps de Newton. . La gravitation avec des corps de masses humainement réalisables est très faible . Q1 B1 A0 A1 d α B0 .3 ). homogène et de masse m.m -1 CAVENDISH ( 1798 ) Le dispositif de Cavendish est formé d’une tige ( t ) de longueur 2l et de masse négligeable.4 La tige étant en équilibre dans la position A 0B 0. P1 Doc. homogène et de masse M ( les deux sphères sont centrées en P 1 et Q 1 ). c’est pour cette raison qu’il fait appel à un pendule de torsion de grande sensibilité. portant à chacune de ses deux extrémités A et B une petite sphère S( Pt ) en platine. Le physicien Cavendish s’y prend en faisant exercer par un corps autre que la Terre.4 . Quand il est tordu d’un angle α. par rapport à l’axe de rotation matérialisé par le fil lui-même. La tige est fixée en son milieu à un fil de torsion très souple et de constante de torsion C . est donné par M( couple de torsion ) / ( ∆ ) = α en radians C en N. P 1 et Q 1 se trouvent dans un même plan horizontal ( Doc.3 Fil de torsion Un fil de torsion est caractérisé par une constante de torsion C . on place au voisinage de chaque extrêmité une sphère S( Pb ) en plomb. pour créer un déplacement mesurable et déduire de cette mesure la valeur de G.Ch. Les points A 0. Cα + . placée dans le champ gravitation de la sphère en plomb. la sphère de platine. Appliquons la condition d’équilibre au système en équilibre autour de l'axe de rotation ( ∆ ) : M1 + M2 = 0 -C. on mesure la torsion α du fil et la distance d qui sépare P 1 et la tige dans sa nouvelle position d’équilibre ( A 1B 1).C α .le couple de torsion exercée par le fil matérialisant l'axe de rotation ( ∆ ).α + G m. et sont sans effet sur la rotation du fléau. est attirée par celle-ci. Lorsque le système formé par la tige et les deux shères S( Pt ) atteint sa position d’équilibre ( A 1B 1). α .interaction gravitationnelle Ch.Les forces représentant l'interaction gravitationnelle entre la Terre et les différentes sphères sont parallèles à l'axe de rotation ( ∆ ). ETUDE STATIQUE Considérons le système constitué par les deux sphères de platine et la tige à laquelle elles sont fixées. Les forces extérieures qui s'exercent sur ce système lorsqu'il occupe la position d'équilibre ( A 1B 1 ) sont : . On négligera l'action de chacune des sphères en plomb sur la sphère en platine qui se trouve à l'extrémité opposée de la tige.le couple de forces constitué par chacune des deux forces représentant l'interaction gravitationnelle entre sphère en platine et sphère en plomb à chacune des deux extrêmités de la tige.M d 2 . M 89 .4 .M d2 . 2l . 2l = 0 D’où G = C . d2 2l . et dont le moment par rapport à cet axe est donné par M 1 = .interaction gravitationnelle A chaque extrêmité. Le moment de ce couple de forces par rapport à l'axe ( ∆ ) est donné par : M2= G m. m . 90 ^ Félectrique ^ = 8.11 m.39 .3.Ch.10 x 0.19 C.10 .3.46 N F électrique = K (1.10 .30 kg et de charge q e = 1.10 -19 ) ( 5.Déterminer la valeur de l’intensité commune aux deux forces de gravitation s’exerçant entre l’électron et le proton.3. Solution 1 .q e.10 .4 .10 . mp r2 .6. conclure.67. qe r2 2 2 ^ ^ ^ ^ sa valeur est F électrique = 9.91.Comparer ces deux valeurs .67.4. 1.Comparaison des deux forces : 9 ( 5. La trajectoire est un cercle de rayon r = 5.27 kg et de charge q p = .L’expression de l’intensité commune aux deux forces de gravitation s’exerçant entre l’électron et le proton est F gravitationnelle = G . me .10 .2.8 N = 4.10 .10 .67.Déterminer la valeur de l’intensité commune aux deux forces électriques s’exerçant entre l’électron et le proton.10 3 .10 .10 ) Fgravitationnelle = 3.6.interaction gravitationnelle interaction gravitationnelle EXERCICE D’APPLICATION Considérons un électron.11 ) Fgravitationnelle ^ Félectrique La force de gravitation est négligeable devant la force électrique.11 2 2 .10 . 2 . 3 .11 .30 ^ sa valeur est F gravitationnelle = 6.91. en mouvement autour d’un proton de masse m p = 1. 1 .10 .27 .6.L’expression de l’intensité commune aux deux forces électriques s’exerçant entre l’électron et le proton est : qp . de masse m e = 0. toutes les planètes du système solaire et leurs satellites sont des objets à répartition de masse à symétrie sphérique.4 . r2 Lune ^ FT/L Doc. peut s’appliquer aux corps à répartition de masse à symétrie sphérique. Cas des corps à répartition de masse à symétrie sphérique Un corps à répartition de masse à symétrie sphérique de masse M et de centre O peut être remplacé par un corps ponctuel de même masse et coïncidant avec le point O. Le Soleil. Ainsi la loi de gravitation universelle.2 .5 ^ FL/T ^ u Terre . mL FT/L = _ FL/T = _ G ^ ^ u Si OP 1 = OP 2.interaction gravitationnelle Les forces de gravitation s’exerçant entre des particules élémentaires chargées sont négligeables devant les forces électriques d’interaction mutuelle. ^ F T / L force exercée par la Terre sur la Lune ^ F L / T force exercée par la Lune sur la Terre P1 O P2 r est la distance entre les centres de la Terre et la Lune. 91 ^ mT .5 ) : l’interaction gravitationnelle entre la Terre de masse m T et la Lune de masse m L se traduit par : Objet à répartition de masse à symétrie sphérique Un objet est à répartition de masse à symétrie sphérique si la masse volumique en un point quelconque de l’objet n’est fonction que de la distance qui sépare ce point du centre O de la sphère. Les comètes. énoncée dans le cas des corps ponctuels. 1. EXEMPLE ( Doc. Le cas le pus simple est celui d’un corps sphérique homogène. Ainsi la matière est répartie en couches sphériques et l'objet est nécessairement sphérique. les astéroïdes et certains satellites naturels ne sont pas des corps à répartition de masse à symétrie sphérique.interaction gravitationnelle Ch. les masses volumiques aux points P 1 et P 2 sont identiques . étant soumise à une force attractive exercée par la Terre.3 : la Lune en rotation autour de la Terre. qui tire des boulets en ligne droite parallèlement au sol. Comme prévu. Mais il nous faut considérer le phénomène suivant : étant donné qu’il parcourt une très grande distance avant d’atteindre le sol. Le boulet tiré. car la Lune tourne autour de la Terre sur une orbite circulaire. Ce mouvement rectiligne uniforme est à tout instant modifié par la force attractive. il va voir ce dernier s’éloigner de lui ! Parce que la Terre est ronde et si vous vous déplacez dans l’air suivant une exacte ligne droite.7 Ainsi la Lune décrit une trajectoire circulaire autour de la Terre. 92 ^ ^ La satellisation de la Lune autour de la Terre est la conséquence de la tendance du corps à conserver un mouvement rectiligne uniforme tel que l'exige le principe d'inertie. inévitablement vous vous éloignez du sol qui est courbe. soumise à une force de gravitation attractive exercée par la Terre. il commence par suivre la ligne de tir puis progressivement s’en éloigne pour chuter. Jusqu'à présent. ou des satellites autour de leur planète.interaction gravitationnelle interaction gravitationnelle : FORCE DE GRAVITATION ET SATELLISATION La Lune. pourrait chuter et finir sa course en percutant cette dernière ! Cela ne cadre pas avec la réalité. se maintienne en mouvement sur une orbite autour de la Terre ? FT/L sens du mouvement Voici le texte décrivant l’expérience imaginée plus tard par Newton pour expliquer pourquoi certains corps chutent et d’autres tournent autour de la Terre. Terre Doc. En effet. Comment expliquer le fait que la Lune. il est possible que le point de chute du boulet s’éloigne jusqu’à disparaître ( du fait de la courbure de la Terre ) et de ce fait il ne chutera pas vers le sol. sinon. il est satellisé autour de la Terre. Suivant ce raisonnement. Lune ^ ^ > v1 . sa vitesse assez importante lui permet d’être satellisée autour de la Terre. si le boulet est tiré avec une vitesse plus grande. Dans ce cas. Imaginons un canon à la surface de la Terre au sommet d’une montagne.Ch. commence par parcourir une ligne dans l’alignement du fût du canon. plus il retombe loin ( vitesses v 1 et v 2 ). soumise à un effet attractif exercé essentiellement par la Terre. cette explication du mouvement des planètes autour du Soleil.4 . Photo.6 ). est encore valable. le boulet n’atteindra jamais le sol et partira dans l’espace Sous certaines conditions. Plus la vitesse initiale du boulet est grande. C’est le cas de toutes les planètes autour du Soleil et des satellites autour de leurs planètes. puis progressivement s’en éloigne car il chute vers le sol ( tout cela pour dire qu’il décrit une trajectoire parabolique ) ( Doc. et le bilan de ces deux effets est un mouvement circulaire ( Doc.7 ) Maintenant considérons le cas d’un boulet tiré avec une très grande vitesse initiale ( vitesses v 3 ).6 Canon v3 > v2 ^ Terre Doc. il est éjecté dans l’espace et se sépare complètement de la Terre. 11 N . est une planète appartenant au système solaire et qui peut être considérée comme étant à répartition de masse à symétrie sphérique.0. m 2 . m R2 ^ FT/p u ^ Fp/T ^ u Expression de la force exercée par la Terre sur la pomme MT .8 ) Doc.11 6. On donne : la constante de gravitation universelle G = 6. l'expression de la Terre vers la pomme.interaction gravitationnelle EXERCICE ENONCÉ : La Terre.8 Terre 2.10 .0 .10 .10 24 kg m = 1.Donner l'expression de la force F T/ P exercée par la Terre sur la pomme.1 ( 6390 . 0. m R2 F = F T/ p = Fp/T = G Application numérique : .Calculer la valeur commune aux forces gravitationnelles entre la Terre et la pomme. elle constitue un corps ponctuel en interaction gravitationnelle avec la Terre.Expression de la force exercée par la Terre sur la pomme On choisira le vecteur unitaire u dirigé du centre La Terre étant à répartition de masse à symétrie sphérique.67.4 . 10 3 ) 2 F = 6.G MT . kg . de masse M T et de rayon R.0.98 N 93 . 10 F = 0. 1 . 10 24 . 2 . En déduire celle exercée par la pomme sur la Terre.67 .1 kg R = 6390 km RÉSOLU N O 1 SOLUTION 1.2 M T = 6. Une pomme de masse m se détache d'un arbre .interaction gravitationnelle Ch. m R2 Fp/T = G u ( Doc. de la force de gravitation qu'elle exerce sur la pomme est : pomme F T/ p = .Valeur commune aux forces gravitationnelles s’exercant entre la Terre et la pomme MT . Champ de gravitation Considérons un corps ponctuel de masse m 1 placé en un point D de l'espace et soumis à la seule force gravitationnelle F 1 exercée par laTerre. l'astronaute Neil Armstrong se sentant léger sur le sol lunaire sautille alors que. Neil Armstrong marche sur la Lune.9 G = F m m en kg G en N.1 EXEMPLE : Au cours du voyage effectué par la fusée Apollo XI vers la Lune en 1969. .4 : le 20 Juillet.Ch.. de ce fait. Définition Le vecteur champ gravitationnel G en un point de l’espace est égal au quotient de la force gravitationnelle F subie par un corps ponctuel placé en ce point.1 . G = F m sa valeur est donnée par : F en N F G D (m) Doc.. 94 Photo..4 . La valeur du champ gravitationnel sur le sol lunaire est le sixième de celle régnant à la surface de la Terre . par la masse m de ce corps ( Doc. . = Constante F est indépendant de la valeur de m . il définit m le vecteur champ gravitationnel G qui règne en D. Des corps ponctuels de masses m 2. . l'astronaute se sent nettement plus léger à la surface de la Lune puisque l’intensité de la force gravitationnelle à laquelle il y est soumis est six fois moins importante qu’à la surface de la Terre. 2.9 ). il se déplace difficilement sur Terre . portant la même charge. m 3. F 3 . . : On montre que F1 m1 le rapport = F2 m2 = F3 m3 = ..kg .interaction gravitationnelle interaction gravitationnelle 2. . placés successivement au même point D seront soumis aux forces gravitationnelles F 2 . 1 ) une force gravitationnelle F telle que F = m. Lignes de champ DÉFINITION G2 G1 Une ligne de champ gravitationnel est une courbe telle que le champ de gravitation G lui est tangent en chacun de ses points.M AB 2 u soit G = _ G M AB 2 u ( Doc. on dit qu’il est “ centripète ” La valeur du champ de gravitation est: G = G M AB 2 Elle est indépendante de la masse m du corps ponctuel placé en B.interaction gravitationnelle Ch. Il est dirigé vers le corps qui l’a créé.2 . Elle dépend uniquement de M et de AB .3 . 2.11 B Doc. subit d’après le paragraphe ( 2. créé en B un champ gravitationnel G .M _ u F = G 2 AB L'égalité entre les deux expressions de la force de gravitation donne : m .4 .10 A( M ) F B( m ) G D’après la loi de gravitation universelle cette force peut s’écrire : m. le champ de gravitation créé par un corps ponctuel est constamment dirigé vers le corps qui le Doc.interaction gravitationnelle 2. les lignes de champ gravitationnel sont nécessairement le cas d’un corps ponctuel.11 ).10 ) A(M) u Doc. Un deuxième corps ponctuel de masse m. G3 Dans le document 12. placé en B. Champ de gravitation créé par un corps ponctuel Un corps ponctuel de masse M. 95 .G = G _ G m. des lignes droites passant par ce corps. placé en A. G ( Doc.12 : lignes de champ dans crée . Le champ de gravitation G est créé par le corps de masse M. le champ de gravitation créé par la Terre. M Au sol ( h = 0 ) : G ( 0 ) = G 2 R d'où à une altitude h quelconque : G2 G1 G (h) = G (0) .14 : lignes de champ dans Dans le document 14. Elle dépend uniquement de M. Le vecteur champ de gravitation créé par ce corps en un point B d'altitude h a pour expression : M G (h) = _ G u 2 (R + h) le rayon R et l'altitude h en mètre. Exemple : champ de gravitation créé par la Terre ( Doc. 96 . R et h.13 ).Ch. G (R + h) u Le vecteur champ de gravitation G est dirigé vers le centre du corps qui l'a créé.13 Terre G (h) = G M (R + h) 2 Elle est indépendante de la masse du corps pouvant être ponctuel ou à répartition de masse à symétrie sphérique et placé en B.interaction gravitationnelle interaction gravitationnelle 2.4 . elles sont centripètes. R 2 2 (R + h) Doc. corps supposé être à répartition de masse à symétrie sphérique. est constamment dirigé vers l'objet qui le crée . il est " centripète ". La valeur du vecteur champ de gravitation est Doc.4 . le cas d’un corps à répartition de masse à symétrie sphérique. Champ de gravitation créé par un corps à répartition de masse à symétrie sphérique Considérons un corps à répartition de masse à symétrie sphérique de masse M et de rayon R. les lignes de champ gravitationnel sont des lignes passant par le centre de la Terre . 0.11 6.b .Calculer la valeur de la Terre.kg 2 -2 SOLUTION 1 .10 kg N.expression vectorielle : G o = .10 24 R = 6390 km et M T = 6. Calculer sa valeur pour z = 32 km. ∆G Déterminer la variation relative de la valeur du champ de gravitation .4 .10 .11 On donne : la constante de gravitation universelle G = 6.1kg.Une pomme. .11 6.b .G 2 R sa valeur est Go = G MT R Application numérique : Go 2 A G0 o u = 6.kg -1 Gz = G Application numérique : Gz = 6.sens : il est dirigé de A vers O .10 .67.0. 1 .a .b . 2 .m .Donner l’expression de la valeur G z du champ de gravitation créé par la Terre en un point d’altitude z.704 N. RÉSOLU N O 2 Go 2 .67.La Terre de rayon R et de masse M T peut être considérée comme étant à répartition de masse à symétrie sphérique de centre O.10 3 24 2 + 32000 ) GZ = 9. 1 .kg -1 97 .67. est un corps ponctuel en interaction gravitationnelle avec la Terre .a .b .direction : la droite ( OA ) .interaction gravitationnelle Ch. de masse m = 0.Préciser les caractéristiques du champ de gravitation G o créé par la Terre en un point A de sa surface.8 N.Caractéristiques du vecteur champ de gravitation G o .10 24 3 2 Terre ( 6390.10 ( 6390.0.10 ) Go 1 .origine : le point A MT u .Expression de Gz MT (R + z) 2 = 9.Comparer Gp Gp et du champ de gravitation créé par la pomme au centre Go . 2 .interaction gravitationnelle EXERCICE ENONCÉ : 1 . 11 0.25 Go GP = 6.L’expression de la valeur du champ gravitationnel Gp = G m R2 GP Application numérique : G p = 6.10 25 Le champ de gravitation créé par la pomme au centre de la Terre est négligeable devant celui créé par la Terre à l’endroit où se trouve la pomme.25 N.4 .interaction gravitationnelle ∆ G = Go ∆ G Go Go - interaction gravitationnelle Gz Go = 1 0/0 2 .Ch.10 . 10 .kg -1 Go Gp = 9. 98 . 10 3 ) 2 GP 2-b- = 1.a .63.63.1 ( 6390 .10 .8 1.67 . La chute de la pomme est une réalité qui se déroule à nos yeux due à l'effet du champ de gravitation terrestre de valeur 9. Maintenant on comprend parfaitement bien pourquoi c’est la Terre de masse 6.interaction gravitationnelle QUI EST RESPONSABLE DU MOUVEMENT D’UN CORPS ? Considérons une pomme de masse m lâchée sans vitesse initiale à quelques mètres du sol .4 .1 ( exercice résolu n°2 ) Par contre le champ de gravitation dû à la pomme est totalement négligeable et reste incapable de provoquer la moindre perturbation sur le mouvement de la Terre. la valeur de la force exercée par la pomme sur la Terre est : Fp/T = G M.m R 2 Les intensités des deux forces qui constituent l'interaction gravitationnelle sont égales. 99 . Puisque les intensités des deux forces qui constituent l'interaction gravitationnelle sont égales. pourquoi la Terre ne ressent-t-elle pas l'attraction de la pomme de la même manière que nous le constatons pour cette dernière puisque nous la voyons chuter ? Raisonnons par rapport à un référentiel lié à la Terre.kg . revient à une comparaison de masses. la valeur de la force qu’elle subit de la part de la Terre de masse M est : FT/p = G M. il est clair que c'est le champ de gravitation qui exprime la nature du mouvement d'un corps et non pas la force gravitationnelle ! La comparaison des deux champs gravitationnels créé par la pomme au centre de la Terre et celui créé par la Terre au niveau de la pomme.8 N.interaction gravitationnelle Ch. Mais alors.m R 2 De même.10 30 kg et non pas l’inverse.10 24 kg qui tourne autour du Soleil de masse 2. 2 . le poids P = m g du corps peut être assimilé à la force de gravitation universelle que la Terre exerce sur lui F = m G .15 ) u Terre Doc. 3.Ch. unité : kg. Champ de pesanteur 3.1 . Valeur du champ de pesanteur à l’altitude zéro A l’altitude h = 0. 3. le champ de pesanteur est : MT g0 = _ G u ( Doc. u est un vecteur unitaire ayant pour origine le centre de la Terre et est dirigé vers le point considéré au voisinage de la Terre.16 ) 2 RT L’expression de la valeur du champ de pesanteur à l’altitude zéro qui est située au niveau de la surface MT de la mer est : g0 = G 2 RT 100 g0 u Terre Doc. P est le poids de ce corps. Définition Le vecteur champ de pesanteur g en un point d’altitude h par rapport à la Terre est donné par la relation : g = P m m est la masse du corps ponctuel ( ou à répartition de masse à symétrie sphérique ) dont le centre d’inertie est situé au point d’altitude h .4 . Relation entre le champ de pesanteur et le champ de gravitation Si on néglige l’effet de la rotation de la Terre autour de l’axe des pôles.16 : le champ de pesanteur à la surface de la Terre .3 .interaction gravitationnelle interaction gravitationnelle 3. De l’égalité de ces deux forces on déduit que g = G = _ G MT (RT + h) 2 g ( RT + h ) u ( Doc.15 R T et M T sont respectivement le rayon et la masse de la Terre. En tenant compte du document 17 on peut affirmer que. dans un domaine restreint au voisinage de la Terre.16 : quelques valeurs du champ de pesanteur selon la latitude. 0 0 Doc.18 101 . 2 D’après l’exercice résolu n°2 on a trouvé que : g0 = 9.78 LATITUDE La latitude λ d’un point A Nord 36 49 0 0 de la surface de la Terre est l’angle que fait le rayon de la Terre passant par ce point avec le plan de l’équateur.interaction gravitationnelle Ch. le champ de pesanteur est supposé constant. On dit qu’il est uniforme. pôle nord 22 0 A 9.8 N.79 Sud O 9.18 ). tels que les vecteurs champ de pesanteur g M et g M’ font entre eux un angle de 1°.812 Equateur λ 51 0 D’après le document ( Doc.4 .17 On peut alors supposer que la valeur du champ de gravitation ne change pratiquement pas jusqu’à une altitude de quelques dizaines de kilomètres. c’est à dire de valeur constante et égale à celle au sol.l’arc terrestre MM’ est égal à 111 km. RT (RT + h)2 MATHÉMATIQUES Entre deux points M et M’ du globe terrestre. En tout point de cet arc.interaction gravitationnelle λ 90 0 Paris aux pôles Tunis Paris Equateur Rio de Janeiro Iles des Malouines g 0 ( N.80 9. La variation relative est : g0 Doc.kg -1 et à l’altitude h = 32 km. g0 g0 g0 g0 g0 g0 Doc.704 N.83 9.81 9. on a calculé g ( 32 km ) = 9.16 ) on remarque que augmente quand on passe de l’équateur aux pôles.kg -1 ) 9.kg -1 ∆g = 1 %. g0 pôle sud A une altitude h : g = g0 . de même direction et de même sens ( Doc. le champ de pesanteur est presque le même. Photo. le champ gravitationnel qui y règne est dû au Soleil et à la Lune . Photo. Les océans : un bloc d’eau appartenant aux océans baigne dans un champ gravitationnel résultant des champs gravitationnels solaire.Ch. il s’agit d’un mouvement journalier d’oscillation de la mer. sa valeur est supposée constante.4 . Phénomène des marées dans les océans La Terre baigne dans les champs gravitationnels solaire et lunaire. Le phénomène des marées est une manifestation de ces champs gravitationnels . On considère que les océans et la Terre constituent deux systèmes indépendants : La Terre : en son centre. lunaire et terrestre.5-a : marée basse.1 . dont le niveau monte et descend alternativement en un même lieu. Ce phénomène des marées résulte des attractions exercées sur notre planète par la Lune et le Soleil. et essentiellement sur les eaux des océans. Applications 4.interaction gravitationnelle interaction gravitationnelle 4.5-b : marée haute. 102 . 19 ) et aussi quand la Terre est alignée entre la Lune et le Soleil ( Doc. la Terre et le Soleil forment un triangle rectangle ( Doc. Lune Iles kerkennah Terre Soleil Doc.interaction gravitationnelle Ch.21 : Phénomène de marée de mortes eaux.4 .20 : Phénomène de marée haute aux Iles Kerkennah en pleine Lune. 103 . Iles kerkennah Lune Terre Soleil Doc. Les marées de mortes eaux : elles se produisent quand la Lune.21 ).19 : Phénomène de marée haute aux Iles Kerkennah lors de la nouvelle Lune.interaction gravitationnelle On connaît différents types de marées : Les marées de vives eaux : elles se produisent quand la Lune est alignée entre la Terre et le Soleil ( Doc.20 ). Iles kerkennah Lune Terre Soleil Doc. le ballon se déforme 2 du côté où l’on tire.interaction gravitationnelle interaction gravitationnelle eau 1 Activité expérimentale : fabrication d’une marée Matériel : un ballon de baudruche. Astéroïdes et comètes Le système solaire est l’ensemble formé d’une étoile moyenne ( le Soleil ).496.tirer la ficelle d’un coup sec . de satellites. une ficelle. 1 . Mars. jusqu’à aujourd’hui. Mercure. Grâce à la force gravitationelle exercée par le Soleil.fermer avec la ficelle en faisant un noeud 3 . Ganymède et Callisto autour de Jupiter. Terre. 3 4. ASTÉROIDES : Les astéroïdes ont été formés par les roches qui n’ont pas pu s’agglomérer lors de la formation du système solaire. de 9 planètes ( Vénus.10 8 km . Plus de 200 ont un diamètre de 100 km. Cérès. Restes d’une planète avortée. tels qu’ils étaient à la formation de notre système solaire. Pallas et Vesta contiennent la moitié de la masse totale de la ceinture principale . les collisions sont très rares de nos jours. ces petits corps sont répartis dans tout le système solaire . elle est située entre Mars et Jupiter de 2 à 4 UA du Soleil. Neptune et Pluton ). ils sont les seuls corps célestes qui sont restés. La ceinture principale : appelée encore ceinture d’astétoïdes. Chaque satellite tourne autour d’une planète comme par exemple : . Europe. Elle comporte la plupart des astétoïdes.la Lune autour de la Terre . de l’eau.remplir le ballon d’eau qui symbolise la Terre 2 . ils ont des diamètres respectifs de 933. un millier d’un diamètre supérieur à 30 km et un million de corps avec un diamètre supérieur à 1 km. Saturne. De notre Terre.4 . Ils sont généralement regroupés en grand nombre sur des orbites communes autour du Soleil appelées ceintures. Uranus. 523 et 501 km. d’astéroïdes et de comètes. mais aussi du côté opposé. Jupiter. ils décrivent des orbites elliptiques autour du Soleil.Io.2 . 104 UNITÉ DE DISTANCE 1 UA = distance Terre-Soleil = 1. ils nous apparaissent comme des points lumineux presque sans intérêt. L’espace entre les astétoïdes étant de plusieurs millions de km.Ch. par décrochement gravitationnel. Elle a été découverte en 1992 et depuis. les monoxydes ( CO ). on sait que les molécules les plus abondantes des glaces cométaires sont : l’eau ( H2O ). Elles sont 1 million à tourner autour du Soleil sous l’effet de la force gravitationnelle exercée par ce dernier.Les Troyens : au-delà de Jupiter et à la même distance de cette dernière au Soleil . en Tunguska ( Sibérie ) en 1908. l’une des neuf planètes du système solaire. serait un astétoïde de la Ceinture de Kuiper ! La ceinture de Kuiper constitue la limite du sytème solaire.interaction gravitationnelle La ceinture de Kuiper : il y a 40 ans. 2000 km 2 de forêt sont dévastés suite au choc d’un astéroïde avec notre planète. COMÈTES : Les comètes sont de petits corps glacés. de ces trois formations. D’autres comètes se trouvent dans la ceinture de Kuiper. N’ayons pas peur si l’on dit que. il s’’agit du nuage d’Oort. 105 . Pluton.4 . c’est une région du Système Solaire qui s’étend au-delà de l’orbite de Neptune de 40 à 50 UA du Soleil. Dès 1995. Certains d’entre eux sont très gros. et qui contiendrait des milliers de corps de glace. de l’ordre de 1000 corps ont été catalogués.interaction gravitationnelle Ch.269 OC ) où la lumière est quasiment inexistante .Une population d’astéroïdes résidant entre le Soleil et Mars . dans une très vaste région froide ( . Des millions de kilomètres séparent les Comètes les unes des autres. ou même s’y écraser entraînant l’extinction des dinausores il y a 65 Millions d’années . D’autres ceintures : . dioxyde de carbone ( CO2 ). ils sont regroupés en trois formations : * la formation des Altens : au voisinage du Soleil à une distance inférieure de 1 UA * la formation des Apollons : un peu plus éloigné du Soleil que la Terre * la formation des Armors : entre la Terre et Mars. le méthanol ( CH3OH ). le plus gros ayant un diamètre dépassant 1000 km. un chercheur Kuiper avait postulé l’existence d’une ceinture au-delà de l’orbite de Neptune . Il existe un gigantesque réservoir de Comètes estimés à 6 milliards et situés jusqu’à 20 000 UA du Soleil à mi-chemin des étoiles les plus proches.Les Centaures : se trouvent entre Jupiter et Neptune . des astéroïdes viendraient s’approcher de la Terre à une distance inférieure à la moitié de la distance Terre-Lune. Elles sont restées pratiquement inchangées grâce à leur éloignement du Soleil. Ch. des molécules et à notre échelle . En effet. OBJECTIFS Expliquer la cohésion du noyau atomique.à l’échelle du noyau .à l’échelle des atomes. Interaction forte nucléon nucléon 106 .4 . Interpréter la cohésion de la matière : .interaction forte interaction forte B INTERACTION FORTE L’histoire des interactions fortes commence en 1911 avec la découverte du noyau atomique par Ruther rford . il fallut trouver une nouvelle force pour expliquer que les noyaux atomiques ne se disloquent pas sous l’effet électrique répulsif des protons ente eux .à l’échelle astronomique. 4 . 2-1-1. Il s’agit d’une interaction attractive dont les effets ne sont perceptibles que lorsque des corps très massifs sont en jeu . La valeur commune des deux forces qui constituent l’interaction gravitationnelle entre deux protons supposés jointifs est donnée par : Doc. Le rayon d’un nucléon est de 1. ils subissent une attraction gravitationnelle.1 . Elle assure la cohésion de la matière en liant les électrons au noyau des atomes.interaction forte 1. etc.2.interaction forte 2. chimiques ou biologiques tels que la chute d’une pomme. la lumière etc. Interactions dans un noyau d’Hélium Un noyau d’Hélium 2 He est formé de deux neutrons et deux protons ( Doc. Cohésion de la matière à l’échelle du noyau et interaction forte 2. Ch. Les deux interactions. elle peut -être attractive ou répulsive selon les signes des charges mises en jeu. Interaction gravitationnelle Les nucléons possèdent une masse . Introduction Tous les phénomènes physiques. la lumière émise d’une ampoule électrique.. a compris que la force qui fait tomber la pomme et celle qui maintient la Lune sur son orbite autour de la Terre sont le résultat d’une même interaction : l’interaction gravitationnelle. les transformations nucléaires qui font briller les étoiles et qui alimentent les centrales nucléaires.10-15 m 4 107 . peuvent être expliqués à l’aide de quatre interactions dites interactions fondamentales. sont : Interaction gravitationnelle Issac Newton est le premier qui.. Interaction électromagnétique L’interaction électrique et l’interaction magnétique sont unifiées en 1860 par Maxwell en une seule et même interaction : l’interaction électromagnétique. L’interaction électromagnétique permet d’expliquer l’électricité.. dont les effets sont connus depuis longtemps. en 1687.22 : modélisation du noyau d’Hélium .22 ). Il s’agit d’une interaction qui agit sur les corps ayant une charge électrique . elle explique la pesanteur.. le magnétisme. les marées ainsi que les trajectoires des planètes et des étoiles. 000 km. Or le noyau de la plupart des atomes est stable .8.Ch.Contrairement à l’interaction électromagnétique et à l’interaction gravitationnelle. De plus les protons et les neutrons se déplacent à plus de 30. En réalité.2 . les noyaux se disloqueraient.Elle est de courte portée .24 ). L’interaction forte assure la cohésion des noyaux atomiques LES QUARKS En 1964. l’attraction gravitationnelle entre les nucléons est pratiquement inexistante ( 10 . qp d2 2-1-3 . ^ ^ F’p / p = k = 10 . Interaction forte Au sein de ce minuscule noyau. l’interaction forte s’exerce entre les quarks. soit le tour de la Terre en 1.23 ).10 9 ( 1.3 . . son rayon d’action est de l’ordre de la taille des noyaux atomiques.15 m.11 Fp/p = G mp .27 ) 2 ( 2. C’est le cas des noyaux lourds instables tel que l’uranium. ils subissent une répulsion électrique ( Doc.10 .4. il faut donc admettre l’existence d’un troisième type d’interaction capable de contrer la répulsion électrique et d’assurer la cohésion du noyau : l’interaction forte.67.34 seconde ) ! Si les nucléons étaient soumis seulement à ces deux interactions.10 . mp r 2 ( 1.s . Mode d’action de l’interaction forte .10 . l’interaction forte augmente avec la distance ! Plus les particules sont proches les unes des autres moins elles interagissent. plus le ressort tente de les rapprocher ( Doc.15 ) 2 10 N . . Les limites de l’interaction forte Si le nombre de protons dans le noyau est important. Ce comportement est analogue à celui de deux billes attachées à un ressort : plus les billes s’éloignent l’une de l’autre.35 N ) ^ Fp ’ /p . 108 Doc.23 ^ = 9.15 2 2-1-2 .1 ( plus d'un dixième de la vitesse de la lumière.10 . La valeur commune des deux forces qui constituent l’interaction électrique entre deux protons supposés séparés par un neutron est donnée par : qp .10 . soit 10 .19 2 ) = ( 4. Interaction électrique Les protons portent des charges positives .67.6.L’interaction forte s’exerce sur les nucléons . Murray Gell-Mann et George Zweig émirent l’hypothèse que les protons et les neutrons ne sont pas des particules élémentaires c’est à dire insécables mais constituées de particules plus petites appelées quarks. l'interaction électrique prend le pas sur l'interaction forte et les noyaux deviennent instables.35 N ) alors que les protons se repoussent très fortement ( 10 N ). plus le ressort tend à les rapprocher en exerçant une tension plus forte. ressort non déformé 2. 2.4 .Fp ’ /p Doc.interaction forte interaction forte = 6.24 : plus les billes sont éloignées l’une de l’autre. Le corps ponctuel de masse m B placé en B subit la force : FA/B = mB G ^ ^ A u A F ^ Astéroïdes Les astéroïdes sont de petits corps n’ayant pas pu s’agglomérer en planètes . 109 G . Un corps à répartition de masse à symétrie sphérique. On connaît la ceinture principale et la ceinture de Kuiper.10 . ^ ^ B Interaction forte L’interaction forte s’exerce entre les nucléons et assure la cohésion du noyau. m ( B ) r2 F ( A )/( B ) = .4 . .G u G = 6.interaction forte L’ESSENTIEL DU COURS Loi de gravitation universelle Deux corps ponctuels de masses respectives m A et m B et distants de r. ^ ^ placé en A est : Phénomène des marées m ( A ). ^ G = _ G u B G Comètes Les comètes sont de petits corps glacés réunis essentiellement dans le grand nuage de Oort. Elles sont 1 million à tourner autour du Soleil sous l’effet de la force gravitationnelle exercée par ce dernier. et essentiellement sur les eaux des océans. ils sont généralement regroupés. en grand nombre sur des orbites communes autour du Soleil appelées ceintures.kg . Champ de gravitation Le champ de gravitation créé.m 2. comme la Terre. au sein du système solaire. en un point B.les marées de vives eaux : elles se produisent quand la Lune est alignée entre la Terre et le Soleil et aussi quand la Terre est alignée entre la Lune et le Soleil.les marées de mortes eaux : elles se produisent quand la Lune. On connaît différents types de marées : .11 N. peut être remplacé par un corps ponctuel coïncidant avec son centre et dont la masse est égale à la masse du corps. placés en deux points A et B exercent l’un sur l’autre des forces d’attraction directement opposées : ( A ) F ( B )/( A ) Ch.67.interaction forte Champ de pesanteur On peut confondre champ de gravitation de la Terre et champ de pesanteur terrestre à une altitude h : MT _ g( h ) = G u 2 (RT + h) ^ ^ ^ (B ) u F ( A )/( B ) r Le champ de pesanteur terrestre est uniforme dans un domaine restreint autour de la Terre. par un corps ponctuel de masse m A mA AB 2 Le phénomène des marées résulte des attractions exercées sur notre planète par la Lune et le Soleil. la Terre et le Soleil forment un triangle rectangle.2 : constante de gravitation. Ch.4 - interaction forte interaction forte POUR EN SAVOIR PLUS HISTORIQUE Depuis les temps les plus lointains, l'observation des corps célestes dans le ciel constituait une science mais "intuitive" c'est-à-dire pur produit de l'inspiration de l'être humain et ne faisant pas l'objet de mesures. Du temps des Grecs, dans l’Antiquité, l'univers se sépare en deux mondes différents : la Terre d'une part et le reste constitué par la Lune, le Soleil et les astres. Aristote ( - 350 ans avant Jésus-Christ ) a fixé cette description du monde céleste dans son ouvrage " De la physique " : la Terre au centre, puis viennent la Lune, Mercure, Vénus, le Soleil, Mars, Jupiter et Saturne qui sont en mouvement sur des sphères concentriques centrées sur la Terre; les étoiles occupent la sphère la plus extérieure tout en restant fixes les unes par rapport aux autres. Ptolémée ( 140 ans après Jésus-Christ ) développe dans son œuvre " La grande synthèse " un système qui cadre parfaitement bien avec la vision d'Aristote et qui permet de calculer le mouvement des planètes, de la Lune et du Soleil. Ce système a tenu bon pendant 15 siècles environ sans connaître de modifications. Copernic ( 1473 - 1543 ) et Kepler ( 1571 - 1630 ) ont mis fin aux préceptes de la vision du monde établis par Aristote. La Terre n'occupe plus une place privilégiée dans le système solaire ! Aussi bien la Terre que Mercure, Vénus, Mars, Jupiter et Saturne tournent autour du Soleil sur des trajectoires pouvant être une ellipse ou un cercle. Photo.4 : Galilée ( 1564 - 1642 ) Célèbre savant italien. Il peut être considéré comme le principal fondateur de la physique moderne. Partisan convaincu de la méthode expérimentale, il fit de belles découvertes en mécanique telle que la chute des corps. Dans les dernières années de sa vie, Galilée devint aveugle. Quelle amertume dans cette déclaration faite à un ami, en 1638 : " Ce ciel, ce monde, cet univers, que par mes observations merveilleuses et mes évidentes démonstrations j'avais agrandi cent et mille fois au-delà de tout ce qu'avaient cru les savants de tous les siècles passés, sont maintenant devenus pour moi si restreints et si diminués qu'ils ne s'étendent guère au-delà de l'espace occupé par ma personne ! " Grâce aux observations effectuées à l'aide de sa lunette astronomique, Galilée ( 1564 - 1642 ) offre une justification éclatante au système de Copernic ; on passe ainsi définitivement du système géocentrique d'Aristote dans lequel la Terre est le centre de l'univers, au système héliocentrique ayant pour centre le Soleil. Notons que l'année du décès de Galilée correspond bien à celle de la naissance de Isaac Newton ( 1642 - 1727 ), quelle coïncidence ! En 1679 Newton reçoit du physicien anglais Hooke une lettre dans laquelle il lui soumettait l'idée suivante : au cours de son mouvement circulaire, la planète ( la Terre par exemple ) est soumise 1 à une force attractive exercée par le Soleil proportionnelle à ( r est la distance séparant r2 le centre du Soleil à celui de la Terre ). Jusque là Hooke vient d'apporter une contribution de taille à ce qui sera la loi de gravitation universelle, mais Newton n’a pas donné suite à cette proposition audacieuse. Contre toute attente Newton publie en 1687 son ouvrage" Les principia " dans lequel il reprend, à propos de la force de gravitation universelle, exactement ce qui a été proposé par Hooke mais en y ajoutant qu'elle était proportionnelle aux masses des deux corps en question. C'est ainsi que Newton bâtit l'expression de la valeur de la force gravitationnelle attractive entre deux corps supposés ponctuels de masses m A et m B et distants de r : FA/B 110 = FB/A = G mA . mB r2 interaction forte Je vérifie mes connaissances 1- La valeur commune des deux forces constituant l’interaction gravitationnelle, calculée à l’aide de la formule de Newton a - dépend de la forme des corps en présence. b - ne dépend pas de la forme des corps en présence. c - ne dépend pas de la forme des corps en présence si ces derniers ont la même forme. 2- La Lune ne tombe pas sur la Terre a - parce que, à l’Antiquité, on dit qu’il y a un diable derrière chaque planète ou satellite pour les retenir en suspension dans l’espace. b - parce que la Lune est soumise à une force gravitationnelle exercée par la Terre. c - parce que la Lune est d’une part soumise à une force gravitationnelle exercée par la Terre, et d’autre part elle se meut avec une vitesse constante. Ch.4 - interaction forte Chaque question peut avoir une ou plusieurs réponses correctes 3- Une sphère ponctuelle de mase m = 0,1 kg est lâchée sans vitesse initiale à 2m d’altitude. Le déplacement de l’objet vers la Terre a lieu parce que : aFT/S = FS/T b - le solide est lâché sans vitesse initiale. c - le champ gravitationnel créé par le solide au centre de la Terre est négligeable devant celui créé par la Terre à sa surface. d - la masse du solide est négligeable devant celle de la Terre. 4- Deux objets non chargés électriquement a - peuvent se repousser b - s’attirent. c - s’attirent uniquement s’ils ont des formes identiques. Je sais appliquer mes connaissances; je sais raisonner Ex-1- En un lieu de latitude donnée, à la surface de la Terre, préciser, en le justifiant, si la direction d'un fil Ex-2- Calculer la valeur commune aux forces gravitationnelles s’exerçant entre le Soleil et Jupiter. On donne : Masse du Soleil : mSoleil = 2.10 30 kg Ex-3- On considère deux boules de pétanque identiques, de masse m = 812 g et de rayon r = 4,5 cm. On les pose par terre, en contact l'une avec l'autre. 1 - a - Calculer la valeur commune F aux forces gravitationnelles s’exerçant entre les deux boules. b - Donner l'expression vectorielle de chacune de ces deux forces et les représenter sur un schéma en choisissant une échelle adaptée. à plomb est la même en plaine ou au pied d'une montagne. Masse de Jupiter : mJupiter = 2.10 27 kg Distance Soleil-Jupiter : d = 8.10 8 km. Constante de gravitation universelle : G = 6, 67.10 - 11 N.m 2.kg - 2 2 - a - Calculer la valeur de la boule. à celle de P P du poids F b - Comparer la valeur de ; conclure. On donne : Masse d’une boule : m = 812 g Rayon d’une boule : r = 4,5 cm Rayon de la Terre : R T = 6390 km. Masse de la Terre : M T = 6.10 24 kg Constante de gravitation universelle : G = 6, 67.10 - 11 N.m 2.kg - 2 111 Ch.4 - interaction forte interaction forte 2 - Pour chacune des deux interactions, préciser si elle est attractive ou répulsive. 3 - Donner les expressions vectorielles des forces correspondant à ces deux interactions. 4 - Exprimer le rapport des deux valeurs en fonction de la charge et de la masse du proton, puis calculer numériquement chacune d'elles. 5 - Représenter qualitativement par des segments fléchés les forces correspondant aux deux interactions. 6 - Expliquer pourquoi ces deux interactions ne permettent pas d'expliquer la cohésion du noyau étudié. de pesanteur dans la position où elle se trouve a pour valeur 9,80 N. kg - 1. 3 - Quelle doit être la masse M du rocher pour que la valeur de la force de gravitation soit égale à celle du poids de la personne. Données : m = 80 kg M = 80 kg d=2m La constante de gravitation universelle est G = 6, 67.10 - 11 N.m 2.kg - 2 a - Calculer la distance d du point M au centre de la Terre. b - Indiquer, sur le segment Terre - Lune, le domaine où l’action gravitationnelle de l’un des deux astres est prépondérante. Données : - valeur du champ de gravitation terrestre à sa surface g 0T = 9,80 N. kg - 1 Ex-4- Les interactions gravitationnelle et électrique s'exercent au niveau de l'atome, par exemple entre les deux protons du noyau d'un atome d'hélium, où ils sont séparés d'une distance de l'ordre de d = 1,0.10 - 15 m . On rappelle que la masse du proton vaut mp = 1,67.10 - 27 kg. On considérera que les protons sont des corps ponctuels. 1 - Donner les expressions des valeurs des forces exprimant l'interaction gravitationnelle et l'interaction électrique entre les deux protons. Ex-5- On considère l’interaction gravitationnelle entre une personne de masse m et un rocher de masse M distants de d. Dans la suite, ces deux corps sont tels qu’on peut appliquer la loi de gravitation universelle. 1 - Calculer la valeur commune F aux forces gravitationnelles s’exerçant entre ces deux corps. 2 - Calculer la valeur P du poids de la personne sachant que le champ Ex-6- La Terre de masse m T et de rayon r T et la Lune de masse m L et de rayon r L sont supposées à répartition de masse à symétrie sphérique telles que 11 m T = 81m L et r T = r . 3 L 1 - Déterminer les caractéristiques du champ de gravitation lunaire g 0S à la surface de la Lune. 2 - Il existe sur la ligne joignant les astres un point M où les champs de gravitation lunaire et terrestre se compensent. Ex-7- L'astronome Pierre Bouguer ( 1698-1758 ) proposa des expériences s'appuyant sur la déformation d'un ressort pour mesurer la constante de gravitation universelle G. Voici son raisonnement: " Supposons qu'on dispose d'un dynamomètre pour mesurer la valeur commune aux forces gravitationnelles s’exerçant entre la Terre de masse M T et de rayon R T et une boule d'acier de masse m, et que les mesures données par 112 - distance des centres des deux astres Terre - Lune : 3,8.10 5 km ce dynamomètre soient si précises qu'on puisse lire de très faibles différences. En effectuant la mesure à deux altitudes différentes, il est possible de calculer la valeur de G ". 1 - Dispositif au sommet du Mont Blanc, à une altitude h 1 : exprimer la valeur P 1 du poids de la boule d’acier en fonction de M T, R T, m, h 1 et G. interaction forte 2 - Dispositif au niveau de la mer : exprimer la valeur P 0 du poids de la boule d’acier en fonction de M T, R T, m et G. 3 - En déduire l’expression littérale de G en fonction de P 0 , P 1 , m , M T , h 1 et R T ; calculer sa valeur numérique sachant que : Ex-8- Une expérience destinée à mesurer la constante de gravitation universelle G, et utilisant l'expérience de Cavendish décrite au paragraphe 1-1 de ce chapitre, a conduit aux résultats de mesure suivants : m = 50 kg M T = 6.10 24 kg h 1 = 4932 m R T = 6390 km P0 P1 = 490,06 N = 489,3 N Ch.4 - interaction forte 2l = 20 cm m = 5.10 - 2 kg µ = 30 kg C = 4,65.10 - 7 N.m -1 D = 0,05 m α = 59,2' Calculer la valeur de G. 113 MOUVEMENTS DANS LES CHAMPS Chapitre 5-ETUDE CINEMATIQUE D’UN SOLIDE EN MOUVEMENT DE TRANSLATION .................................. 115 Chapitre 6-ETUDE DYNAMIQUE D’UN SOLIDE EN MOUVEMENT DE TRANSLATION .................................. 146 Chapitre 7-SOLIDE EN MOUVEMENT DE ROTATION .................... 162 Chapitre 8-ÉNERGIE CINÉTIQUE .................................................................................... 182 Chapitre 9-MOUVEMENT DANS UN CHAMP GRAVITATIONNEL ................................................................................................ 207 Chapitre 10-MOUVEMENT DANS UN CHAMP ELECTRIQUE UNIFORME .................................................................. 238 Chapitre 11-MOUVEMENT DANS UN CHAMP MAGNETIQUE UNIFORME .............................................................. 267 Etude cinématique d’un solide en mouvement Ch.5 - Etude cinématique d’un solide en mouvement de translation 5 ETUDE CINEMATIQUE D’UN SOLIDE EN MOUVEMENT DE TRANSLATION La cinématique est l’’étude mathématique des mouvements, indépendamment des causes qui les produisent et de la masse des corps en mouvement ; elle les décrit , mais ne les explique pas. Cependant , nous verrons dans les chapitres suivants que la détermination des causes des mouvements découle, en partie, de leur étude cinématique. OBJECTIFS Reconnaître un solide en mouvement de translation. Représenter les vecteurs position, vitesse et accélération d’un mobile. A l’aide de l’expérience, reconnaître chacun des mouvements suivants et être capable d’en écrire l’équation horaire : - mouvement rectiligne uniforme - mouvement rectiligne uniformément varié ( accéléré ou retardé ) - mouvement rectiligne sinusoïdal. Connaissant l’expression d’une grandeur cinématique ( x,v ou a ) en fonction du temps ainsi que les conditions initiales, retrouver les expressions des deux autres. Etablir, pour un mouvement rectiligne uniformément varié, la relation 2 2 v2 - v1 = 2a ( x 2 - x 1 ). Photo.1 : TGV en mouvement. Caractériser un mouvement rectiligne sinusoïdal par son amplitude X m et sa période T. Etablir la relation entre l’accélération et l’élongation d’un mobile en mouvement rectiligne sinusoïdal. 115 Etude cinématique d’un solide en mouvement Ch.5 - Etude cinématique d’un solide en mouvement de translation 1. Généralités 1.1 . Solide de référence La cinématique s’intéresse à l’étude des mouvements des corps sans se préoccuper des causes de ces mouvements. L’état de mouvement ou l’état de repos d’un corps est une notion relative : par exemple, dans un avion en vol, un passager endormi est à la fois dans un état de repos par rapport à l’avion et dans un état de mouvement par rapport à la Terre ; s’il se lève et se déplace, son mouvement par rapport à l’avion sera différent de celui par rapport à la Terre. CONCLUSION : la description d’un mouvement se fait par rapport à un corps choisi comme référence. INSTANT Un instant est caractérisé par un nombre algébrique t, appelé date, correspondant à l’intervalle de temps qui sépare cet instant d’un autre instant dont la date est prise arbitrairement égale à zéro. L’instant de date t = 0 est appelé origine des temps. La date associée à un instant antérieur à l’origine des temps est négative. 1.2 . Repères d’espace et de temps Pour décrire mathématiquement les caractéristiques d’un mouvement, un observateur utilise un repère d’espace lié au solide de référence et un repère de temps. Le repère d’espace est déterminé par une origine O et trois axes le plus souvent orthonormés ; il est noté R { O, i, j, k }. Le repère temps est constitué par une origine des temps ( t = 0 ) et une horloge ( ou chronomètre ) ; l’unité de temps est la seconde de symbole s dans le système international. 1.3 . Référentiels Un référentiel est un ensemble constitué par un objet de référence, un repère d’espace et un repère temps. Les référentiels les plus connus sont : RÉFÉRENTIEL DE COPERNIC étoile polaire 116 Le référentiel de Copernic est constitué par : - un corps de référence : le système solaire. - un repère d’espace : l’origine est le centre d’inertie du système solaire ( pratiquement confondu avec le centre du Soleil ), les trois vecteurs unitaires sont orientés vers trois corps lointains et pratiquement fixes : l’étoile polaire, la constellation Orion et une troisième étoile ( Doc.1 ). - un repère temps : une origine des temps et une horloge. Ce référentiel est utilisé pour étudier le mouvement des planètes, des étoiles ... k Soleil i Orion Doc.1 Terre j troisième étoile 1 ).un repère temps : une origine des temps et une horloge.un repère d’espace : l’origine est le centre du Soleil. RÉFÉRENTIEL GÉOCENTRIQUE z Il est encore appelé référentiel de Coriolis . Ce référentiel est utilisé pour étudier le mouvement des planètes.5 . j. j k o i x Doc.3 117 .3 ). pratiquement fixes et dont l’une est l’étoile polaire ( Doc. RÉFÉRENTIEL TERRESTRE O y x Doc. . .un repère d’espace : l’origine est un point de la surface de la Terre ou d’un corps au contact de la Terre.Etude cinématique d’un solide en mouvement Ch. et les trois vecteurs unitaires constituent une base généralement orthonormée . . les trois vecteurs unitaires sont orientés vers trois étoiles lointaines.un repère d’espace : l’origine est le centre de la Terre. exemple : le repère d’espace R { O.2 ). Ce référentiel est bien adapté à tout mouvement se produisant à la surface de la Terre.un objet de référence : le Soleil. i.un repère temps : une origine des temps et une horloge.un objet de référence : la Terre . k } lié à la table de billard ( Doc.un repère temps : une origine des temps et une horloge. les trois vecteurs unitaires sont orientés vers trois corps lointains et pratiquement fixes : l’étoile polaire. la constellation Orion et une troisième étoile ( Doc. il est constitué par : .2 z y Il est encore appelé référentiel de laboratoire . il est constitué par : . Ce référentiel est utilisé pour étudier le mouvement de la Lune et des satellites artificiels autour de la Terre.Etude cinématique d’un solide en mouvement de translation RÉFÉRENTIEL HÉLIOCENTRIQUE Le référentiel héliocentrique est constitué par : .un objet de référence : la Terre . . Grandeurs cinématiques 2. t + ∆t ) = 118 MM’ ∆t ( Doc. Repérage du point mobile COORDONNÉES CARTÉSIENNES La position M d’un point mobile à un instant de date t est définie dans l’espace rapporté au repère ( O. . Cas d’un point matériel Désignons par M la position d’un point mobile à un instant t et par M ’ sa position à un instant t + ∆t .4 OM y = y( t ) z = z( t ) ABSCISSE CURVILIGNE M A Si la trajectoire est curviligne. .5 .5 ). La position M du point mobile à un instant t est donnée par la valeur algébrique de l’arc s = A M appelée abscisse curviligne ( Doc.6 ) . Doc. . M’ vm k O i Doc.Etude cinématique d’un solide en mouvement de translation 2. Doc. k ) généralement orthonormé par ses coordonnées cartésiennes x.4 ). Les fonctions x = f ( t ). elles dépendent de la date t. y et z ( Doc.2 . y = h ( t ) et z = g ( t ) sont appelées équations horaires ou équations paramétriques de la trajectoire. est associé un vecteur position OM = x i + y j + z k On peut le noter comme suit : x = x( t ) ( Doc. on peut l’orienter et choisir un point A comme origine.4 ) .M k O i x j y A cette position M du point mobile.1.2.6 j v m ( t. Le vecteur vitesse moyenne du mobile entre les dates t et t + ∆t est défini par la relation vectorielle : M . au cours de son mouvement. ∆t est une grandeur positive correspondant à un intervalle de temps. i.1 . Vecteur vitesse instantanée 2. VECTEUR POSITION z . j.Etude cinématique d’un solide en mouvement Ch.5 2. M v (t) . le vecteur v m ( t. v ( t ) = lim ∆t MM’ 0 ∆t v ( t ) = lim ∆t MM’ 0 ∆t ∆OM 0 ∆t = lim ∆t d OM dt OM’ . le déplacement réel du mobile s’effectue le long d’une courbe et non pas suivant le vecteur MM’.5 .Etude cinématique d’un solide en mouvement de translation Il a même direction et même sens que le vecteur MM’. il faut réduire ∆t. t + ∆t ) = MM’ ∆t correspond pratiquement au vecteur vitesse instantanée v ( t ) à l’instant de date t. i Doc. Si cet intervalle de temps ∆t est très petit devant la durée du mouvement et tend vers zéro. Le sens du vecteur vitesse instantanée est celui du mouvement. La direction du vecteur vitesse instantanée en un point M de la courbe est donnée par la tangente à la courbe en ce point.7 ). le sens de v ( t ) est celui de M M ’ donc celui du mouvement. DÉFINITION Pour que la description du mouvement dans un repère ( O.7 119 k O j . pendant l’intervalle de temps ∆t.OM ∆t 0 = lim ∆t = Le vecteur vitesse instantannée v ( t ) est la dérivée par rapport au temps du vecteur position OM v (t) = DIRECTION ET SENS d OM dt Lorsque ∆t 0.Etude cinématique d’un solide en mouvement Ch. seulement ce vecteur vitesse moyenne ne décrit pas avec précision le mouvement car. ∆t étant positif. i. j. k ) soit plus précise. M ’ M et la direction du vecteur M M’ tend vers la tangente à la trajectoire au point M ( Doc. 2. k ) .s .5 . i ) constitué par un seul axe.s . i + vy.1 . j + vz. k On peut le noter comme suit : dx v x = dt dy v (t) vy = dt dz vz = dx dt dy dz et v z = dt vx = dt .1 2.projectile d’une arme à feu : 400 à 1200 m .s . Lorsque le mouvement est rectiligne.insecte : 8 à 16 m . on s’intéresse à l’étude du mouvement de son centre d’inertie G car il a le même mouvement que tous les autres points du solide. j.s . Le vecteur position de G est : OG = x i Son vecteur vitesse instantanée est : v 120 = d OG dt = dx dt i .h . vy = dt sont les coordonnées du vecteur vitesse instantanée dans le repère orthonormé ( O.1 correspondant à 380 km.i + y.1 environ .Etude cinématique d’un solide en mouvement de translation COORDONNÉES DU VECTEUR VITESSE INSTANTANÉE v (t) = = d OM dt dx dt i d = + dt dy dt j x.Etude cinématique d’un solide en mouvement Ch.piéton : 1.5 m . on associe un repère d’espace ( O.1 .s .électron dans un conducteur métallique : quelques millimètres par seconde .satellite artificiel : quelques milliers de m .1 .s . Cas d’un solide en mouvement de translation Pour un solide en mouvement de translation. i.1 . La valeur du vecteur vitesse instantanée est : v (t) = 2 vx + 2 vy + 2 vz QUELQUES VALEURS DE VITESSES .train T.V : 105 m .2.coureur à pied : 7 à 10 m .k + dt k = vx.j dz + z.G . k ) dt dv y dt d dt dv z dt d + dt = i + j + k dx dt i + dy dt j dz dt k = = d2x dt 2 i + d2y dt 2 + j + d2z dt 2 k = ax. lorsque ∆ t tend vers zéro. j a z. j + v z . k 121 . Vecteur accélération instantanée 2.3. Cas d’un point matériel Le vecteur accélération moyenne a m d’un point mobile entre les instants de dates t et t + ∆t est défini par la relation vectorielle : am = DÉFINITION v ( t + ∆t ) . du vecteur accélération moyenne entre les instants de dates t et t +∆ t.3 .v ( t ) ∆t = ∆v ∆t Le vecteur accélération instantanée a ( t ) est la limite. COORDONNÉES dv dt dv x dt d dt DU VECTEUR ACCÉLÉRATION INSTANTANÉE a (t) = = d( v x . a (t) = ∆v lim ∆t 0 ∆t = dv dt Le vecteur accélération instantanée a ( t ) est la dérivé par rapport au temps du vecteur vitesse instantanée v ( t ) a (t) = dv dt L’accélération d’un point mobile est liée à la variation du vecteur vitesse par unité de temps du point mobile et non pas à l’augmentation de la valeur de sa vitesse comme on peut le penser communément. i + v y .1.Etude cinématique d’un solide en mouvement de translation 2.Etude cinématique d’un solide en mouvement Ch. i + a y.5 . v2 dv a = T + N dt r On peut le noter comme suit : dv dt N an M . est dirigé vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire.le vecteur T tangent à la trajectoire et dirigé dans le sens positif choisi arbitrairement sur la trajectoire.5 . elle traduit la variation par rapport au temps de la valeur de la vitesse v . Ses vecteurs unitaires sont : a = at. perpendiculaire à T .2. la position M du point mobile.8 . T.le vecteur N . a t : est l’accélération tangentielle . à chaque instant au cours du mouvement plan.Etude cinématique d’un solide en mouvement Ch. Son origine est. sa norme est : a (t) = a2 x + 2 ay + 2 az 2. N .8 ) : REPÈRE DE FRENET Le repère de Frenet est un repère d’espace lié au point mobile en mouvement. T + a n. a n : est l’accélération normale . elle est responsable du changement de direction du vecteur vitesse v . . le vecteur accélération instantanée a peut s’écrire dans le repère de Frenet ( M. T at a at = a an = 122 v2 r Doc. Vecteur accélération instantanée dans le repère de Frenet Dans le cas d’une trajectoire plane. N ) ( Doc.3.Etude cinématique d’un solide en mouvement de translation On peut le noter comme suit : dv x dt dv y dt dv z dt ax a (t) = dv dt d OM dt 2 2 = = d x dt 2 2 2 = ay az = d y = dt 2 2 = = d z dt 2 ax = ay = dv x dt dv y dt dv z dt = d x dt 2 2 2 = d y dt 2 2 az = = d z dt 2 sont les coordonnées du vecteur accélération instantanée . i ) constitué par un seul axe le vecteur accélération instantanée. s’écrit : a = dv dt = d x dt 2 2 i 123 .5 . on s’intéresse à l’accélération instantanée de son centre d’inertie G. La composante normale de l’accélération est centripète car sa valeur v2 r est positive .Etude cinématique d’un solide en mouvement Ch.3. Si le point M appartient à une droite ( cas d’une trajectoire rectiligne ). 2. r est infini et a n = 0 . Dans un repère d’espace ( O. et centripète c’est à dire dirigée vers le centre de la trajectoire circulaire. le vecteur accélération est réduit à sa composante tangentielle . donc l’accélération a est toujours tournée vers l’intérieur de la concavité de la trajectoire.Etude cinématique d’un solide en mouvement de translation r est le rayon de courbure au point M . il est porté par la trajectoire rectiligne. Si le point M décrit une trajectoire circulaire avec une vitesse v de valeur absolue constante : dv dt v constante = 0 at = 0 l’accélération a est réduite à sa composante normale : a = an = v2 r N a est un vecteur radial c’est à dire portée par un rayon. Cas d’un solide en mouvement de translation Pour un solide en mouvement de translation. et comme pour la vitesse instantanée. lorsque la trajectoire est rectiligne. il est supposé être le rayon du cercle auquel appartient l’élément d’arc où se trouve le point M.3. Etude cinématique d’un solide en mouvement Ch. Ce qu’on lit sur l’afficheur correspond à la valeur absolue de la vitesse instantanée du solide à son passage par la position d’abcisse x . en effet le chronomètre se charge lui-même d’effectuer le calcul de e ∆t où ∆t pinceaux lumineux e représente la durée que met le centre d’inertie G du solide pour effectuer le trajet e. ∆t en s et UTILISATION D’UN v en m. Le solide étant en mouvement.Etude cinématique d’un solide en mouvement de translation ACTIVITÉS EXPÉRIMENTALES PRINCIPE DE LA DÉTERMINATION EXPÉRIMENTALE DE LA VALEUR ABSOLUE DE LA VITESSE INSTANTANÉE DU CENTRE D’INERTIE D’UN SOLIDE EN MOUVEMENT DE TRANSLATION fente rectiligne UTILISATION D’UN CAPTEUR MESUREUR DE TEMPS On utilise cette approche expérimentale dans les montages utilisant un solide auquel on peut coller un carton de largeur e ( Doc. l’autre bras comporte une fente fine et rectiligne. il s’arrête dès que le côté arrière du carton passe devant la fente. lui permettant d’être de nouveau éclairée.1. deux fentes rectilignes CAPTEUR MESUREUR DE VITESSE Contrairement au précédent. est donnée par la relation : Doc.10 124 . Lorsque le carton accolé au solide cache la première fente le comptage se déclenche .5 . La valeur absolue de la vitesse instantanée du solide. le comptage du temps se déclenche . il s’arrête dès que l’autre fente est à son tour cachée. Doc. L’intervalle de temps ∆t relevé sur l’afficheur du chronomètre correspond à la durée du passage du carton au niveau de la position d’abcisse x.9 ).s . L’un des deux bras du capteur comporte une source de lumière permettant d’émettre un pinceau lumineux très fin .9 pinceau lumineux v = e ∆t à condition que ∆t soit faible devant la durée du trajet e en m. à son passage par cette position.10 ). empêchant le pinceau lumineux de l’atteindre. lorsque le côté avant du carton cache la fente. Le capteur sera disposé de sorte que la fente occupe la position d’abcisse x. le capteur mesureur de vitesse comporte deux fentes fines espacées d’une distance e choisie par le constructeur ( Doc. 2 . i = C te . 4. il est dans ces conditions plus commode de repérer la position M ( t ) du point mobile dans un repère ( O. Mouvement rectiligne uniformément varié En 2ème année. Dans ce repère.11 L’abscisse instantanée x est une fonction affine du temps car sa dérivée v 0 est une constante. on peut écrire : OM = x . Désignons par v 0 la valeur algébrique de cette vitesse . v = v.5 .Etude cinématique d’un solide en mouvement Ch. O i x0 se ns du . a = a. v = dx dt est la vitesse du point mobile à l’instant t. La constante b représente l’abscisse x 0 du point mobile à la date t = 0 .t + x 0 C’est l’équation horaire du mouvement rectiligne uniforme d’un point mobile. Mouvement rectiligne uniforme 3. a = dv dt est l’accélération du point mobile à l’instant t.11 ). x m ou ve m en t v0 Doc. v0 M(t) . i ) porté par la trajectoire. Photo.Etude cinématique d’un solide en mouvement de translation 3.2 : chronophotographie d’un corps en mouvement rectiligne uniforme. nous avons vu qu’un mouvement rectiligne est uniformément accéléré ou retardé si la vitesse instantanée du mobile varie proportionnellement au temps. Un mouvement rectiligne est uniformément varié ( accéléré ou retardé ) si le vecteur accélérération instantanné est constant au cours du temps : a = dv dt i = Constante 125 . Choix du repère d’espace Le mouvement est dit rectiligne si la trajectoire du point mobile est une ligne droite . Equation horaire Un mouvement est rectiligne uniforme si le vecteur vitesse garde la même direction.1 . le même sens et la même valeur au cours du mouvement ( Doc.i. i . M0 v = v 0. 3. v = v 0 = d’où x =v0 t + b dx dt = C te. i. elle est appelée abscisse initiale : x = v 0. x est l’abscisse du point mobile à l’instant t. v > 0 x’ . Puisque v augmente. elle est appelée vitesse initiale. permet d’écrire : v 2 augmente aussi. ce qui Photo. la fonction x ( t ) qui admet pour dérivé dt 1 2 La constante C représente l’abscisse x 0 du point mobile à l’instant t = 0 .Etude cinématique d’un solide en mouvement de translation La valeur de la vitesse instantanée v est une fonction affine du temps car sa dérivée a est une constante . v > 0 . O se ns du i a . ceci permet d’écrire : v = at + b b est une constante qui correspond à la valeur de v à l’instant t = 0 .12 m ou ve m en t M(t) .le vecteur accélération est de même sens que celui du mouvement. MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORMÉMENT ACCÉLÉRÉ Un mouvement rectiligne est uniformément accéléré si : . et on la note v 0. s’écrit x ( t ) = a t 2 + v 0t + C v 0t + x 0 C’est l’équation horaire d’un mouvement rectiligne uniformément varié ( accéléré ou retardé ).Etude cinématique d’un solide en mouvement Ch. x = 1 at2 + 2 v = a t + v 0 . le signe = concerne un point mobile qui est mis en mouvement rectiligne uniformément accéléré à partir du repos ( Doc. v ) >0 dt dv dt >0 a .5 . v = a t + v0 Sachant que v = dx .12 ). 126 Doc. Remarque : le sens du mouvement ne veut pas dire le sens positif choisi arbitrairement pour le repère d’espace ( O.la valeur absolue de la vitesse instantanée augmente au cours du temps. a v x .3 : chronophotographie d’un corps en mouvement rectiligne uniformément accéléré. i ). d( v dt 2v 2 ) > 0 soit d( v . l’accélération étant constante et non nulle. ce qui peut être exprimé par la relation . elle est appelée abscisse initiale. ( v 1 ) en fonction de ( x 2 . v < 0 . v2 = 2a [ ( = 2a [ ( a 2 t2 2 2 + v0 t2 ) .x1) 127 . l’accélération étant constante et non nulle.le vecteur accélération est de sens contraire à celui du mouvement.Etude cinématique d’un solide en mouvement Ch.( + v0 t1 ) ] Doc. ce qui d( v dt 2v 2 ) < 0 soit d( v . ( 2 ). permet d’écrire : v 2 diminue aussi.14 a 2 t2 + v0 t2 + x0 ) . v ) <0 dt Photo.( d’où a 2 t1 2 + v0 t1 + x0) ] = 2 a (x2 .( a t1 + v0 ) 2 2 2 = a t2 + 2 a v0 t2 + v 2 0 2 = a t2 + 2 a v0 t2 2 2 O . v1 M2 m ou ve m en t a 2 t1 . Puisque v diminue.x 1 ) 2 2 ( v 2) .5 . O se ns du i m ou ve m en t .( v 1) = ( a t2 + v0 ) 2 .v < 0 x’ .la valeur absolue de la vitesse instantannée diminue au cours du temps.13 ). ( 3 ) et ( 4 ) : 1 2 v 1 = a t1 + v0 (2) a t 1 + v 0 t 1 + x0 (1) x1 = 2 x2 = 1 2 2 a t2 + v 0 t2 + x0 (3) 2 v 2 = a t2 + v0 2 (4) A l’aide des équations ( 2 ) et ( 4 ) exprimons ( v 2 ) .(v 1)2 = 2a (x2 . se ns du i 2 (a 2 t1 + 2 a v0 t1 + v 2 ) 0 M1 . RELATION ENTRE LES CARRÉS DES VITESSES a M(t) . ce qui peut être exprimé par la relation a .4 : chronophotographie d’un corps en mouvement rectiligne uniformément retardé.13 Considérons deux positions du point mobile à deux instants t 1 et t 2 ( Doc. les abscisses et les vitesses du point mobile à ces deux instants sont exprimées par les relations ( 1 ). dv dt <0 a .Etude cinématique d’un solide en mouvement de translation MOUVEMENT RECTILIGNE UNIFORMÉMENT RETARDÉ Un mouvement rectiligne est uniformément retardé si : .x1) (v 2)2 .2 a v0 t1 a 2 t1 2 a .14 ) . v x Doc. un tel mouvement finit par conduire à v = 0. qui peut être le point de départ d’un mouvement rectiligne uniformément accéléré ( Doc. Coordonnées cartésiennes du vecteur accélération : v x = 5 m.b . On précicera la valeur de l’angle α que fait à l’instant t = 1 s.a .3 t + 5 et v y = y dy dt permettent d’écrire 3 t2 + 5t + C2 2 Détermination de la constante C 2 : 3 y ( t 0 = 1s ) = .Donner les coordonnées cartésiennes du vecteur accélération.Etude cinématique d’un solide en mouvement de translation EXERCICE RÉSOLU ENONCÉ : N 0 1 Dans un repère { O.s .c .Equations horaires : v x = 5 m.0. .5 .a .5 m 2 y = . 1 2 + 5 . v =5i-(3 t-5)j v avec le vecteur unitaire i.3 m.1.s . j }.1 et a x = dv x dt dv y dt permettent d’écrire a x = 0 v y = . 1. le vecteur vitesse d’un point mobile ( v en m.Donner les équations horaires x = f ( t ) et y = h ( t ) du point mobile.s . 2.3 m x = 5t .b .s .Déterminer les composantes normale et tangentielle SOLUTION 1 .a .Ecrire l’équation cartésienne de la trajectoire.3 t + 5 et a y = permettent d’écrire a y = . i.5 t 2 + 5 t .2 .5 (2) = - 128 . 1 + C 1 = 2 d’où C 1 = . .En déduire le rayon de courbure r à cet instant.b . 1 + C 2 = 3 d’où C 2 = .0.1 ) A l’instant t 0 = 1 s. .Etude cinématique d’un solide en mouvement Ch.3 (1) v y = . a T et a N du vecteur accélération .c .1 et v x = dx dt permettent d’écrire x = 5 t + C 1 Détermination de la constante C 1 : x ( t 0 = 1s ) = 5 .Déterminer les caractéristiques du vecteur vitesse du mobile à l’instant t = 1s. il passe par le point M 0 de coordonnées x 0 = 2 m et y 0 = 3 m. 8 0 .c .8 ) = 3 .Rayon de courbure à t = 1 s : aN = v2 r d’où r = v2 aN (5.s .2 ( Doc.b . sin( 21.41 m 129 Application numérique : r = .s .39 m.Etude cinématique d’un solide en mouvement de translation .Equation cartésienne de la trajectoire : x+3 De la relation ( 1 ).1 Détermination de l’angle α = ( v.15 ) .s .0. 5 2 (x + 3) (x + 3) y = .Caractéristiques du vecteur vitesse à t = 1 s : v x = 5 m.79 m.Etude cinématique d’un solide en mouvement Ch.Composantes normale et tangentielle de a àt=1s: aT aT aN = a sin α et aT = a sin α = 1.64 x + 1.96 la trajectoire est un arc de parabole ( Doc.2 Application numérique : = 3 .s .1 et v y = 2 m.06 x 2 + 0.5 . on tire t = que l’on emplace dans ( 2 ) . i )àt=1s: tgα = vy vx Application numérique : tg α = 2 5 α = 21.1 v = ( Doc.c .15 ).8 ) aT aN = 2. Valeur de la vitesse : vx 2 + vy 2 Application numérique : v v = 5 2 + 2 2 = 5.s .5 25 5 d’où y = .5 + 5 .39) 2 2.a . 2.79 r = 10.0. cos( 21.15 ).11 m.1. 5 .1 -1 1T .15 130 .96 2 .Etude cinématique d’un solide en mouvement de translation y ( en m ) vy = 2 j v (t = 1s) 4 3 aT 1.7 x ( en m ) 0 0 i 2 4 6 8 Doc. N aN α vx = 5 i = T a (t = 1s) = 1 j 9N 2.Etude cinématique d’un solide en mouvement Ch. Xm O O i x + Xm x Doc.5 . x’ x’ .Etude cinématique d’un solide en mouvement Ch.X m. La courbe obtenue correspondant à la représentation graphique du centre d’inertie en fonction du temps est une sinusoïde.16-b ). Lorsque le solide est en équilibre. Mouvement rectiligne sinusoïdal Considérons le dispositif expérimental du document 16-a . G est en O.Xm .16-b stylet solide au repos + Xm x Doc. i ). On écarte ( S ) de sa position d’équilibre verticalement de X m et on le lâche sans lui communiquer de vitesse initiale . l’autre extrêmité étant fixe. origine d’un repère ( O. son centre d’inertie G se met à osciller entre les deux positions d’abcisses + X m et .16-a 131 . Il est constitué d’un ressort disposé verticalement . Un stylet solidaire du solide inscrit les différentes positions de G sur le papier qui se déroule à vitesse constante ( Doc. On dit que G effectue un mouvement rectiligne périodique. à son extrêmité inférieure est accroché un solide ( S ) de centre d’inertie G. Le mouvement de G est dit alors rectéligne sinusoïdal.Etude cinématique d’un solide en mouvement de translation 5. dans le repère ( O. T est mesurée à l’aide d’un chronomètre.03 PÉRIODE : T en seconde. .0.sa trajectoire est un segment de droite [ AB ] de milieu O ( Doc.Etude cinématique d’un Ch.5 solide .18 . i x(t) .10 . l’unité est le Hertz ( Hz ). Exemple : le document ( Doc.2 sin ( A . 132 Il se répète identique à lui-même à des intervalles de temps égaux.( t+)X B 2π T m Doc.Etude cinématique d’un solide en mouvement Ch.17 ) . Définition Un point mobile est en mouvement rectiligne sinusoïdal si : .X m O .5 ..17 t) x ( t ) en m 0. son abscisse x ( t ) ( ou élongation instantanée ) est une fonction sinusoïdale de la forme 2π t + ϕx ) x ( t ) = X m sin ( T C’est l’équation horaire d’un mouvement rectiligne sinusoïdal.2π s t en s O Doc. x ( t + T ) = X m sin [ 2π T 2π T 2π T ( t + T ) + ϕx ) ] MOUVEMENT PÉRIODIQUE X m sin ( t + 2π + ϕ x ) X m sin ( t + ϕx ) = x ( t ) Le point mobile se retouve dans la même position d’abscisse x ( t ) après avoir effectué une oscillation.17 ) une oscillation peut être M B M A M A O B O A 1 correspond au nombre d’oscillations FRÉQUENCE : N = O B O A O La valeur commune à ces intervalles de temps est la période T du mouvement. T effectuées en une seconde .1 .Etude en cinématique mouvement de d’un translation solide en mouvement de translation 5.03 T = 0. i ) d’origine O et porté par la trajectoire.M. Au cours du mouvement périodique décrit dans le document ( Doc. Pendant une période le point mobile effectue une oscillation.18 ) correspond à la fonction x ( t ) = 3. elle est déterminée à l’aide des conditions initiales. elle varie entre . Vecteur vitesse instantanée Le vecteur position s’écrit : OM = x ( t ) i avec x ( t ) = X m sin ( 2π T t + ϕx ) Le vecteur vitesse instantannée s’écrit : v = v(t) = d OM dt = Xm 2π T dx = 2π T dt cos ( i = v(t) i 2π T π 2 t + ϕx ) dx ( t ) dt 2π T = Xm sin ( t + ϕx + ) que l’on peut écrire sous la forme : v ( t ) = V m sin ( avec V m = X m 2π T et 2π T t + ϕv ) ϕv = ϕ x + π 2 A .v A =0 v ( t ) et V m en m. x ( 0 ) = X m sin ( ϕ x ) d’où les valeurs possibles de ϕ x.Vm ( Doc.X m et + X m. et s’exprime en m . ELONGATION À L’INSTANT t ou ABSCISSE À L’INSTANT t : Elle est donnée par x ( t ). et s’exprime en m .s . B =0 133 .Etude cinématique d’un solide en mouvement Ch. . 5.s-1 T PHASE À L’INSTANT t: 2π T t +ϕ c’est un angle qui s’exprime en radian ( rad ).19 O =+ - Vm B v .Etude cinématique d’un solide en mouvement de translation AMPLITUDE DU MOUVEMENT ou ÉLONGATION MAXIMALE : Elle est donnée par X m .2 . ϕ est déterminée à l’aide des conditions initiales : à t = 0. PHASE À L’INSTANT t = 0 ou PHASE INITIALE : ϕ en rad.v O i Doc.1 La vitesse est nulle aux points de rebroussement A et B. le signe de v O dépend du sens dans lequel évolue le mouvement du point mobile.5 .19 ) . par contre elle est maximale en valeur absolue au milieu O telle que v O = + . 2π PULSATION DU MOUVEMENT : ω = en rad. Etude cinématique d’un solide en mouvement de translation 5.5 . . L’accélération est nulle en O mais maximale en valeur absolue aux points A et B telle que : Doc.Etude cinématique d’un solide en mouvement Ch.Xm 2π T = + . v ( t ) diminue en valeur absolue . lorsque x ( t ) augmente en valeur absolue.4 . Vecteur accélération instantanée Dans le repère ( O. O i O avec A m = ω 2 X m et ϕa = ϕx + π =0 a(t) = - 4π 2 aB B T2 x( t ) a ( t ) en m.ω 2 Xm ( Doc.19 ). v ( t ) est maximale et égale à + . Relation entre x( t ) et v ( t ) x ( t ) = X m sin ( 2π T 2π T t + ϕx ) que l’on peut écrire 2π T t + ϕx ) x ( t ) = X m sin ( 2π T t + ϕx ) 2π T (1) v(t) v(t) = Xm cos ( ( 2π T = X m cos ( t + ϕx ) ( 2 ) ) ( 1 ) 2 + ( 2 ) 2 donne : v 2(t) ( 2π T + x2(t) = Xm 2 ) 2 X m est constante . i ) porté par la trajectoire.5 .Xm ω 5.ω2 x ( t ) T L’accélération peut s’écrire encore : π = ω 2 X m sin ( 2 t + ϕ x + π) T a ( t ) = A m sin ( 2π T t + ϕa ) A .s .2 . on peut écrire a = a(t) i RELATION ENTRE a(t) ET x( t ) a ( t ) = dv ( t ) = dt 4π 2 2 d dt [X 2π m T cos ( 2π T t + ϕx ) ]= . aA a .19 aA = 134 4π 2 T 2 Xm = ω 2 Xm et a B = - 4π 2 T 2 Xm = . en O.Xm ( 2π T ) 2 sin ( 2π T t + ϕx ) = - x ( t ) = . 5 . 135 .ω 2 x ( t ) d’où d 2x ( t ) dt 2 2π T + ω 2 x( t ) = 0 x ( t ) = X m sin ( t + ϕ x ) = X m sin (ω t + ϕ x ) est une solution de cette équation.Etude cinématique d’un solide en mouvement de translation RELATION ENTRE x( t ) ET d 2 x( t ) dt 2 a(t) = d 2 x( t ) dt 2 = - 4π 2 T2 x( t ) = .Etude cinématique d’un solide en mouvement Ch. Ecrire l’équation horaire de x( t ).Etude cinématique d’un solide en mouvement de translation EXERCICE RÉSOLU ENONCÉ : N 0 2 2π T La courbe du document 20 représente les variations de la vitesse d’un point mobile en mouvement rectiligne sinusoïdal.6 0.20 V m.2π s A l’instant t = 0. T et ϕ v . T et ϕ v : On relève directement sur la courbe du document 20.3 m.9 0.03 m avec une vitesse négative? SOLUTION 1-a. T : période du mouvement. ϕ v : phase à l’origine de la vitesse.3 -0.6 m.Etude cinématique d’un solide en mouvement Ch. -c.1 et décroissante : 136 .Nommer les paramètres T = 0. 2 .A quels instants le mobile passe-t-il par le point d’élongation x = 0.En déduire l’amplitude X m et la phase à l’origine ϕ x de l’abscisse x( t ). v ( t ) = V m sin ( t + ϕv ) v ( t ) en ms . -b.Nomenclature des paramètres V m.s . déterminer leurs valeurs numériques.6 -0.2π s t en s Doc. la fonction v ( t ) est égale à 0. T et ϕ v : V m : amplitude de la vitesse. Valeurs numériques des paramètres V m .1 T = 0.s .3 0 -0.1 0.5 .9 1 -a. V m = 0. Etude cinématique d’un solide en mouvement Ch.6 = v(t = 0) Vm = π rad ou bien 6 ϕv 5π 6 5π 6 = 5π 6 rad D’après ( 2 ).6 Xm = Application numérique : ( Xm ϕv = ϕx + = 0. on tire sin ( ϕ v ) Application numérique : sin ( ϕ v ) = ϕv 0.Valeurs numériques des paramètres Xm = x m et ϕ x : Vm ( 2π T ) 0.5 0.Etude cinématique d’un solide en mouvement de translation v ( t = 0 ) = V m sin ( ϕ v ) dv dt (t = 0) (1) cos ( ϕ v ) < 0 (2) = Vm 2π T De la relation ( 1 ).s-1 π 3 x ( t ) = 0.03 m 137 .Détermination des instants tels que x = 0.06 .06 m ϕx = ϕv 5π 6 - 2π 0.5 .2π ) π 2 d’où - π 2 Application numérique : ϕ x = ϕx = π 2 rad 3 -c.06 sin ( 10 t + π 3 ) = 0.03 m et v<0: x ( t ) = 0. nous retiendrons ϕv car cos (ϕ v ) < 0 rad = -b.3 = 0.sin ( 10 t + ) 2.2π = 10 rad.Equation horaire de l’abscisse x : π 2π T = 2π 0. 5 .cos ( 10 t + π 3 = 5π 6 5π 6 + 2kπ π 3 ) <0 + 1 10 t = ( π π 3 + 2kπ ) 2kπ 10 T = 4 + k.Etude cinématique d’un solide en mouvement Ch.Etude cinématique d’un solide en mouvement de translation sin ( 10 t + 10 t + π 3 = )= π 6 1 2 + 2kπ ou 5π 6 π 3 + 2kπ comme 10 t v ( t ) = 0.T t = 20 + 138 .6 . 196 M2 Il y a deux possibilités : . établir l’expression de x = h ( t 2 ). TABLEAU DE MESURES 0. Conclure sur la nature de son mouvement.ou.049 M0 M1 i 0. 1.784 M4 QUESTIONS : Tracer la courbe x = h ( t 2 ) .21 ).5 .441 M3 points t ( en s ) x ( en m ) M0 M1 M2 M3 M4 M5 0. exploiter la figure du document ( Doc.21 139 . Reconnaître. la nature du mouvement du corps en chute libre. à défaut. à partir de cet enregistrement.à l’aide d’une caméra Cam Web .Etude cinématique d’un solide en mouvement Ch.225 M5 Doc. Déterminer l’accélération du mouvement de la bille. ENREGISTREMENT CHRONOPHOTOGRAPHIQUE PRATIQUES 0 0.à l’aide d’un appareil photographique .Etude cinématique d’un solide en mouvement de translation TRAVAUX BUT Réaliser en classe un enregistrement chronophotographique du mouvement d’une bille lâchée sans vitesse initiale. ω2 x ( t ) a = a(t) i 140 avec a(t) = - 4π 2 T .en mouvement rectiligne uniforme : a = 0 .un vecteur accélération a (t) = = dv x dt i + dv y dt j + dv z dt k Le vecteur accélération peut s’exprimer dans le repère de Frenet ( M. 2π T 2 t + ϕx ) x( t ) = .en mouvement rectiligne uniformément varié : 1 a = Constante . . v = Constante . OM = ( il est accéléré si a . j. vitesse et accélération ) dépendent du référentiel d’observation qui est constitué d’un objet de référence.5 .en mouvement rectiligne sinusoïdal : OM = x ( t ) i avec x ( t ) = X m . .un vecteur position OM = x i + y j + z k d OM dt dv dt dx = dt i + dy dt j + dz dt k . v = (a t + v 0 ) i .Etude cinématique d’un solide en mouvement Ch. Dans le référentiel lié au point O. i.Etude cinématique d’un solide en mouvement de translation L’ESSENTIEL DU COURS Les grandeurs cinématiques ( trajectoire. retardé si a . k ) .v < 0 . d’un repère d’espace et d’un repère temps. OM = (v t + x 0 ) i . coordonnées. T. un point mobile M est défini par : . y et z du point mobile dans le repère ( O. Le repérage de la position d’un point est déterminé par la connaissance des coordonnées cartésiennes x.sin ( 2 a t2 + v 0 t + x0 ) i .v > 0 . N ) : dv dt T + v2 r N a (t) = Un point mobile peut être : .un vecteur vitesse v (t) = . b .le sens du mouvement peut changer.Complétez les phrases suivantes : . . b . Chaque QCM peut avoir une ou plusieurs réponses correctes 2. 8. . 7.Dans un mouvement où la vitesse est constante. d .la vitesse est maximale en valeur absolue.l’accélération du point mobile.l’accélération du point mobile.la position du point mobile. la trajectoire est ou .Dans un mouvement rectiligne uniforme l’accélération est . d .la position du point mobile. est constante.5 .L’équation horaire x = f( t ) du mouvement rectiligne uniforme d’un point mobile permet de connaître à tout instant : a . 6. c . c .sa vitesse est nulle. b .La trajectoire d’un point mobile est une courbe située dans un plan.perpendiculaire au vecteur vitesse. .la vitesse du point mobile.la vitesse et l’accélération sont nulles. le vecteur accélération du point mobile est : a .les coordonnées de l’accélération du point mobile dans le repère de Frenet.de direction tout à fait quelconque.Lorsque le vecteur accélération est constant. e .Dans un mouvement rectiligne uniformément varié. sa vitesse est constante.Un solide. c . 4. Lorsqu’il passe par le milieu de sa trajectoire : a .la vitesse du point mobile. e .le rayon de courbure de la trajectoire. À tout instant au cours du mouvement. lâché sur un plan incliné. 5. c . d . b .Etude cinématique d’un solide en mouvement de translation Je vérifie mes connaissances 1. c . glisse sans frottements selon un mouvement rectiligne uniformément accéléré. b ou c peut-il correspondre à la représentation graphique de v 2 en fonction de l’abscisse x ? 141 . b .la position du point mobile.Un point mobile est animé d’un mouvement tel que le vecteur accélération varie au cours du temps : a .Le vecteur accélération a le sens contraire du vecteur vitesse lorsque diminue.La valeur algébrique de la vitesse instantanée d'un point mobile est la dérivée de son par rapport au temps. 3.l’instant où le mouvement du point mobile change de sens.l’accélération du mouvement du point mobile. c .la vitesse du mouvement du point mobile.la position où le mouvement du point mobile change de sens. l’accélération est nulle.nul.Un point mobile est animé d’un mouvement rectiligne sinusoidal.son accélération est maximale.la trajectoire est nécessairement rectiligne. .sa vitesse est constante.Etude cinématique d’un solide en mouvement Ch.Les équations horaires x = f( t ) et y = h( t ) du mouvement plan d’un point mobile selon une trajectoire curviligne permettent de connaître à tout instant : a . .L’équation horaire x = f( t ) du mouvement rectiligne uniformément retardé d’un point mobile permet de connaître à tout instant : a . . Lequel parmi les ducuments 22-a . b . Un automobiliste A quitte Tunis à 10h 30 min et se dirige vers Sousse par l’autoroute.22-c x x x 9.23-d t t t t Je sais appliquer mes connaissances. Lequel parmi les ducuments 23-a . ( Doc.Etude cinématique d’un solide en mouvement de translation v2 Doc.5 . 142 2 . Il fait osciller régulièrement un Yo-Yo ( boule attachée à un élastique ) dans une direction perpendiculaire au plateau du char. quelle est la durée de parcours d’un globule rouge partant du coeur et arrivant au pied d’un individu. 1 .En supposant cette vitesse d’écoulement indépendante de la grosseur des artères.h -1 La distance Tunis-Sousse. b.s.23-c x Doc. par l’autoroute.25 ).1 et de valeur égale à 1 .2 m.Etude cinématique d’un solide en mouvement Ch.24 char sens du mouvement Ex-2.23-b x Doc.La vitesse d’écoulement du sang dans une artère est supposée constante v s = 0.23-a x Doc.22-b v2 Doc. est égale à D = 120 km ( Doc. après un parcours de 1.Tracer la forme de la trajectoire de la lampe par rapport au référentiel du char.22-a v2 Doc. lâché sans vitesse initiale.Un solide.Un clown est debout et immobile sur un char de carnaval avançant à vitesse constante. sont : vA = 100 km. 2 . glisse sans frottement sur un plan incliné selon un mouvement rectiligne uniformément accéléré. je sais raisonner Ex-1. Les valeurs de leurs vitesses respectives. Un automobiliste B quitte Sousse à 10h 45 min et se dirige vers Tunis par la même autoroute.h -1 v B = 130 km. c ou d correspond-il à à la représentation graphique de x = f ( t ) ? x Doc.Calculer le chemin parcouru par une globule rouge pendant une durée de 4 s.Tracer l’allure de la trajectoire de la lampe par rapport à un référentiel terrestre. Doc. .5 m ? que l’on suppose constantes. Ex-3.24 ) Au centre du Yo-Yo est disposé une petite lampe allumée. déterminer l’équation horaire du mouvement de ( M ) sachant qu’à l’origine des temps. b.A la date t = 2 s. La période du mouvement est T 0 = 2 s. a 1 du mobile. animé d’un mouvement rectiligne sinusoïdal.5 . par l’autoroute.A quel instant le mobile passe-t-il pour la 1 ère fois par la position d’équilibre ? Ex-5. A l’origine des temps le mobile est i x A = .i la vitesse v 1 = 4.Calculer la date t 1 à laquelle le mobile passe au point M 1. A l’instant t 0 = 0. v représentés 143 . 2 .Quelle est la vitesse maximale du mobile ? En quel point le mobile acquiert cette vitesse? 3 . 1 . 2 .s .Détérminer les caractéristiques de l’accéleration Calculer la date t R et l’abscisse x R en lesquelles le mobile ( M ) rattrape le mobile ( N ).1 m Doc.Donner l’équation horaire du mobile. ( Doc.Etude cinématique d’un solide en mouvement Ch. supposé ponctuel.5 cm. rectiligne uniformément accéléré. i ) .1 ).A quelle distance de Tunis et à quelle heure les deux automobilistes se croisent-ils ? Sousse Doc.Ecrire l’équation horaire du mouvment.7 i ( v 1 en m. qui est confondu avec O. On supposera que l’autoroute suit une ligne droite. c ou d. se déplace sur un segment AB de longueur 20 cm. 2 . le mobile part du point M 0 d’abscisse x 0 = . la nature ( rectiligne uniforme.Vérifier ces deux derniers résultats à l’aide des représentations graphiques des équations horaires des deux mobiles.25 Tunis i O Ex-4.5 m. avec une vitesse ( v 0 en m. avec un mouvement rectiligne uniforme dont la vitesse est vN = 4 i ( v N en m. un deuxième mobile ( N ) part de la position d’abscisse x 1 = 5 m.0.1 ) .En choisissant comme origine des élongations le point O.26 ) 1 .1 m O v0 t = 0 x B = + 0. son abscisse x 0 est égale à 2 cm et sa vitesse est nulle. puis il passe au point M 1.26 Ex-6.Identifier dans chacun des documents 27-a .Ecrire les équations horaires des mouvements de A et B sachant que l’automobiliste A quitte Tunis.Quelle est la vitesse du mobile ( M ) quand son élongation vaut 0. à t = 0.Etude cinématique d’un solide en mouvement de translation La distance Tunis-Sousse. est animé d’un mouvement rectiligne π sinusoïdal de période T = s de part 10 et d’autre d’un point O. Ex-7. à la position d’abscisse x = 5 cm et sa vitesse est négative. son vecteur accéleration est constant pendant toute la durée du mouvement qui est fixée à t f = 5 s.0. 4 . v0 = . 5 . 1 .s . 1 .Un point matériel.Un mobile ponctuel ( M ).Un mobile ( M ) décrit une trajectoire rectiligne munie d’un repère espace ( O. avec 2 . 3 . est égale à D = 120 km.s . 4 . d’abscisse x 1 = 5 m.1 ).Quelle est la vitesse du mobile à la date t=1s? Quel est alors le sens du vecteur accélération ? rectiligne uniformément retardé ) du mouvement décrit par les vecteurs a et à un instant t quelconque. Ex-10.Caractériser le mouvement du mobile durant les différentes étapes du trajet à partir du diagramme des vitesses.la période T du mouvement .28 ) 2 .Un mobile décrit une trajectoire rectiligne. 144 .28 t(s) 10 20 30 40 1 . Sa position par rapport à un point O de la trajectoire orientée est repérée à l’instant t par son abscisse x.Etude cinématique d’un solide en mouvement Ch. 2 .28 ).s .Etude cinématique d’un solide en mouvement de translation a v =0 Doc. v ( m. ( Doc.28 ) correspond à la courbe v = f ( t ) 1 .Un mobile est en mouvement rectiligne sinusoïdal. 3 . Le document ( Doc.Le mouvement d’une bille lancée dans le sens Ox dans une gouttière rectiligne est déterminé par les données suivantes : a = 2 m.Déterminer l’intervalle de temps qui sépare les deux passages par l’origine O . v ( cm.27-b v a Doc.27-d Ex-8.s -1 ) 2 1 t(s) 1 2 3 4 5 6 Doc.la phase ϕ v de la vitesse.l’amplitude V m de la vitesse .Déterminer la distance totale parcourue par le mobile pendant les 40 s.1 et x 0 = 5 m ( Doc.27-c a v Doc.29 ).Déduire de cette courbe: .28 Ex-9.Déduire de la courbe v = f ( t ) la courbe x = g ( t ) sans préciser d’échelle pour l’élongation x ( Doc.s . Calculer la valeur de la vitesse de la bille à ces passages.Déterminer l’amplitude X m et la phase ϕ x de l’abscisse x du mobile ( M ).s -1 ) 200 Doc.6 m. 1 .5 .Etablir les équations du mouvement. 2 .27-a v a =0 Doc.2 et à t = 0 ( instant du lancement ) v 0 = . et la voyageuse pour que celle-ci atteigne au niveau de l’origine O d’un repère ( O. court avec une vitesse constante 1 . Déduire du graphique.2 ( Doc. A l'instant t 0 = 0. et on applique au fil une traction qui fait gravir à ( M ) le plan incliné.Etude cinématique d’un solide en mouvement Ch.63 s. la nature du mouvement de ( M ) et le sens du déplacement entre les dates t 0 et t 1 .30-b B t(s) Ex-12.5 . 1 2 C 2 A Doc. a une valeur de 0.s -1 ) x O x’ O Doc. à quelle distance minimale de valeur 8 m.. On en déduit la mesure v de la vitesse du mobile ( M ) à chaque instant et on trace le graphique v = f( t ) qui est le segment de droite OA ( Doc.Quelle devrait être.Déterminer la distance parcourue entre t 0 et t 2 . En représentant maintenant la vitesse v du mobile en fonction du temps t.29 Ex-11. Il est attaché à un fil inextensible tendu parallèle à x'Ox ( Doc.31 145 100 .63 Au temps t 1 = 2 s.s .La voyageuse rejoindra-t-elle son train? Sinon. en retard. à l'instant du démarrage. le fil de traction casse. la distance minimale entre le train encore à 100 mètres du dernier wagon..t 1 et t 2 et t > t 2.. On étudie le mouvement de ( M ). 1 ..Déterminer les caractéristiques du vecteur accélération au cours de chacunes des trois phases.5 m. En t = 0.30-a 2.Etude cinématique d’un solide en mouvement de translation M(x) i x’ v0 x x0 = 5 m O Doc. on obtient la demi-droite ABC qui coupe l'axe des temps au point B d'abscisse t 2 = 2.. 3 . i ) effectivement le dernier wagon? L'accélération constante du train sens du mouvement i O dernier wagon . v ( m...Sur le quai d'une gare.31 ).. sans calcul. la nature du mouvement de M et le sens du déplacement entre les dates t 0 et t 1 .30-b)..Un mobile M peut glisser sans frottement le long de la ligne de plus grande pente x'Ox d'un plan incliné. le train démarre alors qu'elle est 2 . 2 . une voyageuse.. origine de l'axe.s -1 pour essayer de prendre s'en trouvera-t-elle? son train en stationnement à la gare. sans calcul.. le mobile ( M ) est au repos au point O..30-a).Déduire du graphique.t 1 et t 2 et t > t 2. x Doc. de l'Antiquité et des Saintes Ecritures.étude dynamique d’un solide en mouvement de translation 6 Etude dynamique d’un solide en mouvement de translation Photo. Qui explora les différences de rayonnement de la lumière.étude dynamique d’un solide en mouvem Ch. démontra le premier les déplacements et les configurations des planètes les trajectoires des comètes et les mouvements des océans . Reconnaître un solide isolé et un solide pseudo-isolé. OBJECTIFS Distinguer entre la deuxième loi de Newton et le théorème du centre d’inertie.1 L'épitaphe* de Newton traduite du latin par Etienne DANIEL ISAAC NEWTON Chevalier d'Or Qui. Appliquer le théorème du centre d’inertie. Appliquer la deuxième loi de Newton. Interprête appliqué. les fondements de la génèse des couleurs que personne jusqu'alors n'avait imaginés . Reconnaître un référentiel galiléen. * épitaphe : inscription gravée sur un tombeau 146 . rapide et sûr de la Nature. portant haut le flambeau de la connaissance. il a affirmé par sa philosophie la Majesté de Dieu. de là.6 . par la pénétration de sa pensée quasi divine. et. EXEMPLES DE RÉFÉRENTIELS NE POUVANT PAS ÊTRE CONSIDÉRÉS COMME GALILÉENS : . 2. les mouvements des objets sont étudiés par rapport à des référentiels terrestres où l’origine du repère d’espace est relié au laboratoire : ces référentiels sont supposés galiléens. ne peut pas être considéré comme galiléen.le référentiel terrestre peut être considéré comme galiléen pour des expériences à la surface de la Terre ayant lieu pendant des durées petites devant un jour . entre autre. d’une accélération ou dans un virage.au cours d’un freinage. Le référentiel de Copernic peut être considéré comme un référentiel galiléen. Référentiel galiléen DÉFINITION : un référentiel galiléen est un référentiel où la première loi de Newton ( ou principe d’inertie ) peut être vérifiée. EXEMPLES DE RÉFÉRENTIELS CONSIDÉRÉS COMME GALILÉENS : . par exemple le mouvement d’un satellite autour de la Terre . 147 . La deuxième loi de Newton précise la relation qui existe entre les forces s’exerçant sur un corps.6 . Tout référentiel en mouvement de translation rectiligne et uniforme par rapport à un référentiel galiléen est galiléen. dans les expériences de laboratoire. Deuxième loi de Newton Il est facile de constater.étude dynamique d’un solide en mouvement de translation 1.le référentiel lié à un manège en mouvement de rotation.le référentiel géocentrique peut être considéré comme galiléen pour des expériences ayant lieu pendant des durées petites devant une année. . qu'une force peut ralentir ou accélérer le mouvement d'un solide ou modifier la direction de son vecteur vitesse.étude dynamique d’un solide en mouvem Ch. en mouvement de translation et le vecteur accélération . le référentiel lié à une automobile ne peut pas être considéré comme galiléen.le référentiel héliocentrique peut être considéré comme galiléen . 1727 ) Est né le 25 Décembre 1642 ( année de la mort de Galilée ) à Woolsthorpe dans le Lincolnshire ( Angleterre ). Photo. sa mère s’apercevant que son fils était plus doué pour la mécanique que pour le bétail.6 .2 ISAAC NEWTON ( 1642 .8 m. autant que le vecteur vitesse. assimilable à un objet ponctuel. son corps fut alors inhumé à Westminster. On compare cette valeur au produit m a ^ . est une force exercée par la Terre sur la bille. à chaque instant. les deux grandeurs vectorielles poids et accélération sont de même sens. Au cours du déplacement de la bille.étude dynamique d’un solide en mouvement de translation ACTIVITÉ EXPÉRIMENTALE On reprend le tableau de mesures rempli au cours des travaux pratiques réalisés dans le chapitre-5-. par l’envergure des ses travaux et découvertes. On peut le comparer. 148 ^ F = Σ Fi . aux côtés des rois d’Angleterre. a ^ . ce qui permet d’écrire : ^ ^ ^ F = m a DE LA DEUXIÈME LOI DE NEWTON ΣF ^ ^ = m. la valeur de sa vitesse augmente ce qui implique que son mouvement est accéléré . de direction verticale et dirigé vers le bas. d’autre part P = Ce résultat est applicable à tout corps ponctuel soumis à un système de forces { Fi } équivalent à une force unique ^ ^ ^ P =m a ^ ^ ^ m a ^ ENONCÉ Dans un référentiel galiléen.s -2 ) ^ On calcule la valeur du poids de la bille P = m g ^ ^ g avec = 9. ceci permet de conclure que le vecteur accélération a est. il part pour l’école secondaire de Grantham où il est un élève médiocre.2. à deux autres grands noms de la science : Archimède et Albert Einstein. D’une part. Le poids de la bille. donc orientée vers le bas suivant la verticale passant par le centre de la bille. de parents paysans. ^ vérifier que P ceci permet d’écrire = m a . Newton est devenu l’un des plus grands génies et savants de l’histoire humaine. A 12 ans. Il meurt le 30 mars 1927.s. la somme vectorielle des forces s’exerçant sur un corps ponctuel est égale. l’autorisa à retourner à l’école pour peut-être pouvoir entrer un jour à l’université. Pourtant. au produit de la masse m de l’objet par son vecteur accélération a Cette relation est appelée aussi relation fondamentale de la dynamique. L’étendue de ses travaux et son éclectisme sont tels qu’il auraient suffi à faire la réputation d’une bonne douzaine de savants.étude dynamique d’un solide en mouvem Ch. il y reste quatre années jusqu’à ce que sa mère le rappelle à Woolsthorpe pour qu’il devienne fermier et qu’il apprenne à administrer son domaine. points t ( en s ) x ( en m ) M0 M1 M2 M3 M4 M5 a ( en m. . > finalement. M 2. Théorème du centre d’inertie Considérons un système matériel ( S ) = { M i } de masse m.. ceci nous permet d’écrire : Σ Fi( ext ) i=1 n i=1 n > = > i=1 Σ ( m i a>i ) = d2 dt 2 n = Σ mi ( d 2 dt > 2 > OM i ) BARYCENTRE D’UN MATÉRIEL SYSTÈME Σ Fi( ext ) n ( Σ m i OM i ) d2 dt 2 i=1 Σ Fi( ext ) n > = ( m OG ) . la relation fondamentale de la dynamique appliquée à un point matériel M i appartenant au système ( S ) s’écrit : > Σ Fi = Σ (mi a i) i=1 i=1 n Fi = mi a i > > La somme des forces agissantes sur ( S ) est alors : > n soit Σ Fi( int ) i=1 n > + Σ Fi( ext ) i=1 n > = Σ ( m i a> i ) i=1 n Les forces intérieures s’annulent deux à deux. a G REMARQUE : La deuxième loi de Newton et le théorème du centre d’inertie sont valables dans le cadre de la mécanique newtonienne. qui le constituent pondérés chacun de sa mase m i ENONCÉ DU THÉORÈME DU CENTRE D’INERTIE Dans un repère galiléen. c’est-à-dire tant que les vitesses des corps en mouvement étudiés sont petites devant celle de la lumière. ^ Σ m i OM i = OG Σ m i = m OG i=1 > > n > Σ F ext > = m. M i .Ch. le centre d’inertie d’un système matériel de masse m a le même mouvement qu’un point matériel de même masse soumis à l’action de l’ensemble des seules forces extérieures au système. 3.6 . leur somme est alors nulle . constitué d’un ensemble de points matériels M i de masses m i. 149 ^ .a G > Le centre d’inertie G d’un système matériel est le barycentre des points matériels M 1.étude dynamique d’un solide en mouvement de translation Cette écriture vectorielle traduit une relation de cause à effet . Dans un repère galiléen... ceci permet d’affirmer que c’est la somme vectorielle des forces qui s’exercent sur le corps ponctuel qui est responsable de la variation de sa vitesse au cours du mouvement. on obtient : i=1 Σ Fi( ext ) = m.. force exercée par la Terre sur le solide P x = m g sinα P y = .m g cosα * R N : la réaction normale du plan.étude dynamique d’un solide en mouvement de translation 4.Forces extérieures : * P = mg : le poids. . .)i 150 . On se propose de déterminer les caractéristiques du vecteur accélération du centre d’inertie G du solide. ^ ^ Photo.1 ^ P ^ ^ ^ (1) ^ ^ ^ ^ aG = ( g sinα.2 On négligera tout type de frottement. la coordonnée yG de son centre d’inertie G est constante au cours de ce mouvement rectiligne .étude dynamique d’un solide en mouvem Ch.Sytème : solide ( S ).Référentiel : référentiel terrestre supposé galiléen . i ) porté par la ligne de plus grande pente du plan incliné donne Px = m aG soit m g sinα = m a G Le vecteur accélération est donnée par la relation : α ^ Doc. le repère d’espace ( O. ceci permet d’écrire que : 2 d yG a Gy = a G = a Gx i = 0 d’où dt 2 Appliquons le théorème du centre d’inertie au système : ^ ^ P ^ ^ ^ RN sens du mouvement ^ ^ ^ ^ ^ ^ RN = RN j P + RN = m a G La projection de la relation ( 1 ) sur l’axe ( O . j ) est lié au plan incliné comme l’indique le document 1. Applications GLISSEMENT D’UN SOLIDE SUR UN PLAN INCLINÉ On considère un solide ( S ) de masse m qui glisse sans frottement suivant la ligne de plus grande pente d’un plan incliné d’un angle α par rapport à l’horizontale. i. Le solide ( S ) est constamment en contact avec le plan incliné . force exercée par le plan sur le solide j O i G. Démarche à suivre : .6 . Dans les deux cas on a : Σ F ext ^ ^ ^ m. Si les actions extérieures qu’il subit se compensent. SOLIDE PSEUDO-ISOLÉ Un solide isolé est un solide qui ne subit aucune action extérieure. Un tel solide ne peut exister dans le champ de pesanteur.étude dynamique d’un solide en mouvem Ch. 151 . le solide est dit pseudo-isolé. a G = 0 = 0 d’après le théorème du centre d’inertie : ^ ^ ^ aG = 0 ^ aG = d vG dt ^ ^ ^ v G = constante Conclusion : le centre d’inertie du solide reste au repos s’il est initialement au repos sinon il continue à se déplacer selon un mouvement rectiligne uniforme.étude dynamique d’un solide en mouvement de translation SOLIDE ISOLÉ.6 . Ce résultat est déjà connu depuis la Classe de 1ère année sous le nom de ``Première loi de Newton’’ ou `` Principe d’inertie’’. et sa coordonnée y G est constante : d’où ay = d yG dt 2 2 = 0 a = ax i L’accélération a a une direction horizontale.étude dynamique d’un solide en mouvement de translation EXERCICE RÉSOLU ENONCÉ : Cet exercice décrit un modèle trés simplifié du mouvement du centre d’inertie G d’un skieur le long d’un trajet ( AB ) rectiligne et horizontal. Afin d’atteindre.2 ). on peut procéder autrement. Recopier le schéma et y représenter les forces. Le skieur se tient immobile en A sur l’aire de départ d’un téléski.3 ). 2 . G décrit un mouvement rectiligne au cours duquel la valeur de la vitesse augmente .s . l’ensemble des frottements est équivalent à une force f de valeur constante et égale à 50 N.8 m.Déterminer les caractéristiques de l’accélération a du centre d’inertie G du skieur. considéré comme un solide. 2 .2 1 . supposée être appliquée en G. on peut affirmer que le vecteur Doc. En effet. le skieur reste constamment au contact de la piste. soit m = 80 kg sa masse lorsqu’il est muni de son équipement.Accélération a du centre d’inertie du skieur Au cours de son mouvement. 1 . 3 . ^ ^ g On donne la valeur du champ de pesanteur = 9.3 ^ ^ ^ ^ ^ .2.étude dynamique d’un solide en mouvem Ch.Forces s’exerçant sur le skieur le long du trajet ( AB ) ^ j skieur G ^ i A B ^ ^ SOLUTION ^ T α 152 ^ P : poids du skieur ^ R n : réaction normale de la piste sur le skieur G ^ ^ f : force de frottement P RN ^ ^ T : force exercée par la perche ^ ( Doc.En déduire la valeur de T. au bout de 8 s. On supposera que le skieur. reste constamment en contact avec la piste . f A propos de la direction et du sens du vecteur accélération de G. une vitesse de valeur égale à 2 m. câble tracteur ^ ^ T α perche horizontale Doc.6 . Durant tout le déplacement.s -1 en B.Faire l’inventaire de toutes les forces qui s’exercent sur le skieur au cours du mouvement. il s’accroche à une perche faisant un angle α égal à 45° avec l’horizontale et exerçant sur lui une force de traction T constante ( Doc. sont constants .tA ^ a = 2 8 a = + 0. donc la valeur de l’accélération est constante.Valeur de la force T T m = ^ P + ^ ^ ^ ^ ^ ^ a RN + = m (1) ^ ^ v = vB ^ ^ (3) ^ ^ ^ ^ a (2) ^ d’où v B = a .m R Ny = RN cosα sinα ^ fx = fy = 0 f Tx = Ty = ^ T ^ f ^ et T Appliquons le théorème du centre d’inertie au système : ^ T Σ F ext ^ f + ^ ^ a = T m La projection de la relation ( 1 ) sur l’axe ( O. . le repère d’espace : ( O.étude dynamique d’un solide en mouvem Ch.Sytème : { skieur } . Donc A partir de la relation ( 2 ) on peut écrire Application numérique : ^ P ^ RN ^ ^ g Py = . ^ a est orientée de A vers B. la valeur de la vitesse augmente. autres que a . ceci implique que ^ l’accélération a est de même sens que le mouvement.Référentiel : référentiel terrestre supposé galiléen .t + v0 ^ a = Application numérique : 3 . à t = t A. ^ a est constante : L’accélération Montrons que la valeur de l’accélération . tB + v 0 ^ ^ v = vA = 0 ^ ^ ^ ^ d’où 0 = a . Px = 0 .25 + 50 cos45 0 ^ ^ T = 99 N 153 .étude dynamique d’un solide en mouvement de translation l’accélération est de même sens que celui du mouvement. Entre A et B.25 m.2 a = vB ^ ^ ^ T = tB .tA ^ ^ a + cosα f 80 .s . R Nx = 0 f ^ ^ RN T α sens du mouvement ^ ^ ^ P ^ ^ a ^ j O Doc.6 . 0. tA + v 0 (4) vB (3) . = m D’où v = a. et intervenant dans la relation ( 2 ). j ) lié à la piste comme l’indique le document 4 .4 ^ i Tous les paramètres. i.Forces extérieures : les vecteurs forces sont reportés à partir d’un même point pour en faciliter l’exploitation .(4) tB . i ) donne f + T cosα à t = t B. qui glisse sans frottement suivant la ligne de plus grande pente d’un plan incliné faisant l’angle α avec l’horizontale. Deuxième loi de Newton : dans un référentiel galiléen. la somme vectorielle F des forces s’exerçant sur un corps ponctuel est égale au produit de la masse m du corps par son ^ ^ vecteur accélération a . ^ ^ a = g sinα. 154 . soit F = m. Un solide est dit pseudo-isolé.a Cette relation est appelé aussi relation fondamentale de la dynamique.étude dynamique d’un solide en mouvement de translation L’ESSENTIEL DU COURS Un référentiel galiléen est un référentiel où la première loi de Newton ( ou principe d’inertie ) peut être vérifiée.6 . Un référentiel terrestre sera considéré comme galiléen avec une approximation suffisante. et F ext la somme vectorielle des forces extérieures agissant sur le système à l’instant t : alors Un solide. possède un mouvement rectiligne uniformément varié dont l’accélération a pour valeur Un solide isolé est un solide qui ne subit aucune action extérieure. ^ ^ Σ ^ ΣF ^ ext = m. a G( t ) ^ dans un référentiel galiléen.étude dynamique d’un solide en mouvem Ch. s’il subit des actions extérieures qui se compensent. Théorème du centre d’inertie Soit un système de centre d’inertie G. étude dynamique d’un solide en mouvement de translation TRAVAUX PRATIQUES BUT Appliquer le théorème du centre d’inertie à un solide en mouvement de translation. on peut utiliser un seul chronomètre muni d’un capteur pour réaliser les mêmes mesures . il suffit de changer la position du capteur selon les valeurs de x indiquées dans le tableau de mesures. afin de déterminer la valeur de l’intensité de la force de frottement à laquelle il est soumis. et lâcher de nouveau le chariot dans les mêmes conditions initiales.une règle graduée au millimètre permet de repérer la position du chariot au cours de son mouvement . MATÉRIEL .un rapporteur muni d’un fil à plomb . A défaut de matériels.un système électromécanique permettant de lâcher le chariot sans vitesse initiale .un papier millimétré.un chariot de masse m muni d’une bande en carton et pouvant se déplacer sur un rail incliné d’un angle α d’une dizaine de degrés par rapport à l’horizontale .5 155 .étude dynamique d’un solide en mouvem Ch.une balance électronique .6 .six chronomètres électriques au millième de seconde reliés chacun à un capteur . x=0 x carton Doc. 2. g .déterminer la valeur de l’angle α .régler la position de l’électro-aimant de sorte que. TABLEAU DE MESURES rail x milieu de la bande en carton Doc.pour une position quelconque du chariot. lorsque celui ci retient le chariot. il suffit de les placer aux différentes positions M et de relever directement les différentes valeurs de la vitesse. le milieu de la bande en carton d’abscisse x doit être au centre du capteur .En appliquant le théorème du centre d’inertie au solide en mouvement de translation. ^ ^ ^ en déduire la valeur de 156 f .Compléter le tableau de mesures Position x ( en m ) ∆ t ( en s ) M1 M2 M3 M4 M5 M6 v ( en m.déterminer la valeur de m à l’aide de la balance électronique .6 .2 ) 3.réaliser le montage correspondant au schéma du document 5 .étude dynamique d’un solide en mouvem Ch. sur le tableau de mesures.s. on supposera que la valeur absolue de la vitesse du chariot à son passage par la position d’abcisse x correspond au rapport e ∆t Si l’on dispose de mesureurs de vitesse.6 Position x ( en s ) ∆ t ( en s ) EXPLOITATION M1 M2 M3 M4 M5 M6 DES RÉSULTATS DE MESURES 1.1 ) v 2 ( en m 2s. l’intervalle de temps ∆ t indiqué sur le chronomètre.mesurer la largeur e de la bande en carton fixé au chariot .étude dynamique d’un solide en mouvement de translation EXPÉRIMENTAL PROTOCOLE . . 4. on notera.6 ) .pour chaque position d’abcisse x. α et a . exprimer la valeur de la force de frottement en fonction de m.Tracer le graphique v 2 = f( x ) En déduire la valeur de l’accélération a du chariot.Détermination de la valeur absolue de la vitesse au point M d’abscisse x Parce que ∆ t est faible par rapport à la durée totale du mouvement du chariot. l’abscisse du milieu de la bande en carton est x = 0 ( Doc. bien que constante. et quand on la multiplie par un coefficient appelé masse de l'objet. éminent physicien américain. De sorte que si l'on prend deux objets différents et qu'on les fait tourner au-dessus de sa tête l'un après l'autre. que se passe-t-il alors ? ". Le texte suivant est un extrait de la traduction française ( Le Seuil. la raison en est que la vitesse de la pierre sur son cercle. il y avait des gens pour répondre qu'il y avait derrière chaque planète un ange battant des ailes et la poussant sur son orbite. On peut la mesurer.étude dynamique d’un solide en mouvement de translation POUR EN SAVOIR PLUS LA MÉCANIQUE VUE PAR LE PRIX NOBEL DE NEWTON PHYSIQUE RICHARD FEYNMAN DE Richard Feynman ( 1918 .] Au même moment. Richard Feynman illustre les lois de Newton : " Qu'est-ce qui fait tourner les planètes autour du Soleil ? Au temps de Kepler ( 1571 . l'objet continuera indéfiniment à la même vitesse sur la même ligne droite.1988 ). il faut donc une force qui tire en permanence vers l'intérieur..] Le pas suivant fut franchi par Newton qui discuta la question: " Si elle ne va pas en ligne droite. si vous poussez une boule dans la direction où elle se déplace. on s'aperçoit qu'il faut tirer sur la ficelle . et elle est proportionnelle à la masse.. de quelque façon que ce soit. change de direction ." 157 . il publie cette année-là La nature de la physique.étude dynamique d’un solide en mouvem Ch. 1980 ) de cet ouvrage. La force peut se mesurer comme le produit des deux effets. Par exemple. alors la force doit avoir agi de côté. [. En étudiant ces lois. alors ces forces diffèrent dans la même proportion que les masses. Si vous la voyez modifier sa direction. elle accélèrera. Renommé pour ses talents de pédagogue.[. alors tout ça donne la force.1630 ). le principe d'inertie qui est le suivant : si rien n'agit sur un objet se déplaçant en ligne droite à une certaine vitesse. Galilée découvrit un grand principe.. mais à la même vitesse. et d'autres encore. De combien change la vitesse pendant un petit intervalle de temps ? C'est ce que l'on appelle l'accélération . Galilée ( 1564-1642 ) étudiait les lois de mouvement des objets les plus courants. qu'on trouve sur Terre. faisant un grand nombre d'expériences pour voir comment des boules roulent sur un plan incliné. Et il donna la réponse suivante : il faut une force pour modifier la vitesse.. a recu le prix Nobel en 1965. comment les pendules se balancent. ou son coefficient d'inertie. Par exemple. lorsqu'on fait tourner au-dessus de sa tête une pierre attachée au bout d'une ficelle.6 . et qu'on mesure la force à exercer sur chacun. Je vérifie mes connaissances Chaque question peut avoir une ou plusieurs réponses correctes 1.s .3 m.Lorsqu’un solide est soumis à des forces dont la somme est constante.multipliée par 8 b .2 la valeur de l’accélération d’un objet de masse m = 1 kg c . ^ ^ ^ .la somme des forces extérieures qui s’exercent sur le solide diminue au cours du mouvement .s . Je sais appliquer mes connaissances. Les frottements agissant sur le traîneau sont assimilables à une force f horizontale de valeur constante et égale à 400 N. et de direction verticale : a .le centre d’inertie du solide a une accélération constante c .1 un objet de masse m = 1 kg b .maintenir égale à 10 . a . 3 .Quelles sont les forces exercées sur le traîneau ? 2 . Si on quadruple la valeur de la masse.étude dynamique d’un solide en mouvem Ch.Calculer la valeur de la somme de ces forces.multipliée par 2 c .déplacer à la vitesse de 1 m.le mouvement du centre d’inertie du solide a lieu avec une vitesse de valeur constante. L'attelage des chiens exerce sur le traîneau une force F horizontale de valeur constante.Un solide est animé d’un mouvement rectiligne uniformément retardé : sens du mouvement i O G En La somme F des forces agissant sur un 2corps ponctuel de masse m produit une accélération a .maintenir égale à 1 m. 4. 3.la somme des forces extérieures qui s’exercent sur le solide est constante et positive b .divisée par 2.6 . je sais raisonner Ex-1.tous les points du solide ont une accélération constante b .s .Le newton est la valeur de la force nécessaire pour : a . la valeur de l’accélération est divisée par 2 lorsque la valeur de F est : a . les mouvements des corps ont lieu dans des repères terrestres supposés galiléens. 158 1 .la somme des forces extérieures qui s’exercent sur le solide augmente au cours du mouvement c . d .la somme des forces extérieures est de sens contraire au mouvement.Calculer la valeur de F si le mouvement du traîneau a lieu avec une vitesse de valeur constante.étude dynamique d’un solide en mouvement de translation Dans tous les exercices qui seront traités.2 la valeur de l’accélération d’un objet de masse m = 1000 kg.Un traîneau de masse m = 150 kg est tiré par des chiens sur un plan horizontal. 7 skieur G te pis B β horizontale 159 . reste constamment et s’engage sur la plate-forme avec en contact avec la piste .s -1 qui l’amène jusqu’à sa masse lorsqu’il est muni de son l’arrêt en D. 3 .6 . du mouvement. frottements est équivalent à une force f de valeur constante et égale à 50 N. équipement. et une plateforme ( CD ) d’un angle δ = 30° et de valeur constante.s -1. rectiligne et horizontale. soit m = 60 kg une vitesse de 2 m.8 m.Faire l’inventaire de toutes les forces On donne la valeur du champ de pesanteur qui s’exercent sur le skieur au cours du mouvement.7 ).2 ( Doc.étude dynamique d’un solide en mouvement de translation Ex-2.s .Le skieur quitte B avec une vitesse de valeur du mouvement du centre d’inertie G 2 m. et qui Trajet ( CD ) est supposée être appliquée en G. considéré Arrivé en C.Cet exercice décrit un modèle trés simplifié 2 .étude dynamique d’un solide en mouvem Ch. ^ ^ ^ perche câble tracteur ^ T δ C ) ige e (n D Doc. et qui est maintenue constante d’un skieur le long d’un trajet comportant jusqu’en C grâce à une perche à laquelle il une portion ( BC ) rectiligne et inclinée est accroché et qui exerce sur lui une force d’un angle β = 40° par rapport de traction T inclinée par rapport à la piste à l’horizontale. Trajet ( BC ) 4 .Faire l’inventaire de toutes les forces de l’accélération a du centre d’inertie G qui s’exercent sur le skieur au cours du skieur. l’ensemble des ^ ^ de la tension T . On supposera que le skieur. le skieur lâche la perche comme un solide. g = 9. Recopier le schéma et y représenter les forces. Déterminer les caractéristiques Durant tout le déplacement. Recopier le schéma et y représenter les forces.Déterminer les caractéristiques 1 . 6 .Une voiture de masse M = 1200 kg se déplace sur une route horizontale rectiligne.étude dynamique d’un solide en mouvem Ch. f . la nature du mouvement du centre d'inertie du palet pendant sa phase de lancement. l’avant de la voiture au repos coïncide avec la position origine x = 0 . la nature du mouvement du centre d'inertie du palet au cours de cette phase du mouvement.s .8 ).En déduire la valeur de la force f. parallèle à la route. Quand un joueur tire. et le palet lancé avec la vitesse v L précédente parcourt 40 m et atteint le but avec une vitesse que l'on considère comme nulle. il s'agit d'atteindre un but circulaire avec un palet de pierre. a. muni d'une poignée. Le curling se joue entre équipes de quatre.On peut lire dans une revue sportive la définition suivante : Curling : jeu écossais qui remonte au XVI ème siècle.Préciser. la nature du mouvement du centre d'inertie du palet pour t > 3. 2 Afin de déterminer la valeur de la force f . Un joueur pousse le palet pendant 3 s avec une force F constante. A t = 0.Tracer la courbe représentant les variations de l’abscisse x en fonction de t 2. en le justifiant. .1 m. On photographie les positions successives de la voiture toutes les secondes. que l'on fait glisser sur la glace. en déduire la valeur de d.Préciser. Le palet "pèse" 20 kg. ^ 0 G1 G2 10 G3 20 50 G7 60 80 G9 90 100 x ( en m ) G8 G 10 Doc. modélisées par un vecteur force F . la première position représentée est celle à l’instant t = 1s ( Doc.étude dynamique d’un solide en mouvement de translation Ex-3.les actions motrices.Préciser. suivant une trajectoire rectiligne. ensuite le palet poursuit seul sa trajectoire sur la glace.Calculer la durée mise pour effectuer le trajet de 40 m. Elle est soumise à des actions mécaniques extérieures de deux types : . a. deux de ses partenaires peuvent balayer la glace devant le palet pour en faciliter le glissement.Déterminer les caractéristiques ^ ^ ^ 30 G5 G4 G6 40 70 ^ de l’accélération a de la voiture.En réalité il y a des frottements équivalents à une force f constante. Le départ des photographies est synchronisé avec celui de la voiture.Déterminer les caractéristiques du vecteur ^ ^ ^ ^ ^ accélération a 2 associé à ce mouvement . en le justifiant. . on procède à la mesure de la vitesse de la voiture à différentes instants. On y joue sur une patinoire horizontale .les actions résistantes.0 s ? 2. 160 b. . durant 3 la phase de démarrage. 1. le faisant ainsi passer de l'immobilité à la vitesse de lancement v L de valeur 2. en le justifiant. de valeur constante et égale à 3000 N . .1 . b. en déduire la valeur de c.8 Ex-4. .Dans cette question les forces de frottement sont négligées. modélisées 1 par un vecteur force horizontal f de valeur inconnue mais constante.Déterminer les caractéristiques du vecteur ^ accélération a 1 associé à ce mouvement . F . 1 représente la position au temps t = 2.7 2.7 s ].étude dynamique d’un solide en mouvem Ch. Préciser. solidaires du pont.Tracer la courbe représentant les variation de l’abscisse x en fonction de t 2.4 M M 2. en le justifiant. x O Doc. en explicitant le raisonnement.En utilisant le graphe précédent. 2. On obtient le document ( Doc. 1 .2 M M 2. Il est assimilable à un référentiel galiléen. parallèle à la trajectoire.9 ).1 s Doc. Le freinage de l’avion est uniquement assuré par des câbles. qui s’accrochent sous l’avion et le stoppent progressivement. Pour repérer la position de l’avion sur le pont du porte-avions on mesure la coordonnée d’un de ses points sur un axe ( Ox ).1 s.10 161 .9 68 70 72 x ( en m ) M 2 M M 2. Le mouvement de l’avion sur le pont peut être considéré comme un mouvement de translation rectiligne. pour davantage de clarté.Déduire. seul un point a été représenté.8 M 2 représente la position au temps t = 2 s M 2. Dans tout cet exercice. ^ ( Doc. 3 .10 ) où. Ce pont est supposé plan et horizontal.6 . l’avion n’ a pas été systématiquement figuré sur les clichés .Etude d’un appontage Un avion atterrit ( apponte ) sur le pont d’un porte-avions. sur l’intervalle de temps [ 2.étude dynamique d’un solide en mouvement de translation Ex-5.1 s .10 4 kg. celui où l’avion touche le pont. déterminer.1 2. orienté dans le sens du mouvement et dont l’origine O se trouve à l’extrémité du pont A l’instant t = 2 s ( donc 2 s après que l’avion ait touché le pont ). une série de clichés de l’avion est prise à intervalles de temps réguliers τ = 0. on ne tiendra pas compte des forces de frottement. On choisit comme instant initial ( t = 0 ). les caractéristiques du vecteur accélération du mouvement.5 2. 4 .6 M M 2.2.3 2. quel est le type de mouvement de l’avion. La masse de l’avion est m = 1. les caractéristiques de la force F exercée par les câbles sur l’avion. grandeur cinématique ( θ . par recours à l'expérience. .. .1 : l’effet du vent sur les pales se manifeste par un couple de forces qui fait tourner l’hélice. Photo. Etablir. pour un mouvement de rotation uniformément varié.7 . retrouver les expressions des deux autres.θ 1) Appliquer la relation fondamentale de la dynamique de rotation. 162 . Connaissant l'expression d'une .2 .θ 1 = 2 θ ( θ 2 . la relation : θ 2 . θ ou θ ) en fonction du temps ainsi que les conditions initiales.Solide en mouvement de rotation Ch.Solide en mouvement de rotation 7 SOLIDE EN MOUVEMENT DE ROTATION OBJECTIFS Distinguer un mouvement de rotation uniforme d'un mouvement de rotation uniformément varié.. Reconnaître la nature du mouvement d'un solide en rotation.2 . 1. Mouvement d’un point matétiel sur une trajectoire circulaire INTRODUCTION Dans la vie courante. nous allons étudier les relations entre le mouvement de rotation et la cause qui lui donne naissance. on peut écrire : ds dt = R dθ dt 163 .VECTEUR (1) ( en rad ) Doc. ABSCISSE ANGULAIRE ET ABSCISSE CURVILIGNE Considérons un point mobile décrivant une trajectoire circulaire de centre O et de rayon R.soit par son abscisse curviligne s correspondant à la mesure algébrique de l’arc AM sens positif arbitraire + M s = AM ( en m ) .soit par son abscisse angulaire θ correspondant à la mesure algébrique de l’angle orienté formé par l’axe O x et le vecteur O M θ o s x A θ = ( Ox . etc. roues.. 1.1 ). Dans ce chapitre..1.1 VITESSE ET VITESSE ANGULAIRE Dérivons la relation ( 1 ) par rapport à la variable t d ( R θ) ds = dt dt R étant constant.1 . Choisissons une origine A sur le cercle.Solide en mouvement de rotation Ch.2 . Nous allons nous intéresser d’abord à l’étude cinématique et dynamique d’un corps ponctuel puis on abordera l’étude du mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe fixe. nous observons couramment des corps en rotation : plateau d’un manège. Le repérage de la position M du point mobile sur sa trajectoire peut se faire : .1. pales d’un ventilateur ou d’une éolienne. Etude cinématique 1.Solide en mouvement de rotation 1. un sens positif de rotation et un axe O x ( Doc.7 . OM ) La relation entre s et θ est : s=Rθ 1. T . N ) ( Doc. T . T = R T = R d θ 2 dt 2 T 2 . v = Rθ v ( en m .Solide en mouvement de rotation Ch. elle est telle que : v T N O M θ A + v ( t ) = v . s . on adoptera la notation θ pour dt ..3. le vecteur accélération admet deux composantes a t et a n ( Doc.. . N ) le vecteur accélération s’écrit : ..la composante tangentielle at dθ dt + T M θ A x at = dv dt T = d ( Rθ ) dt . s .3 ) : . N O an Doc.2 .7 . s . T ..T dans le repère de Frenet ( M . 2 N = Rθ N .1 ) ET ACCÉLÉRATION ANGULAIRE 1. RELATION ENTRE LA VITESSE LINÉAIRE ET LA VITESSE ANGULAIRE x Doc. θ ( en rad . N ). Pour simplifier. θ représente l’accélération angulaire du point mobile . dθ . s . d θ .1 ) R ( en m ) .2 sens positif arbitraire . elle s’exprime en rad .2 . . a = RθT + Rθ N 164 .1.1.2 ).la composante normale an = v 2 R N = (R θ) R . at = R θ T Dans le repère de Frenet ( M . Pour simplifier l’écriture.VECTEUR ACCÉLÉRATION Dans le repère de Frenet ( M . on adoptera la notation θ pour 2 dt .2 . θ représente la vitesse angulaire instantanée du point mobile . .Solide en mouvement de rotation ds dt correspond à la mesure algébrique de la vitesse sens positif arbitraire linéaire v .3 elle s’exprime en rad . dont l’unité est le hertz.. correspond à la vitesse angulaire exprimée en tours par seconde.2 dt L’abscisse angulaire..une accélération a = R θ N centripète et constante en valeur. dont la dérivée par rapport au temps est constante. avec une vitesse de valeur constante ( Doc. θ = C te .1..Solide en mouvement de rotation Ch.2 a t = R θ = 0 et a n = R θ = C te M θ A x traduites par un vecteur accélération a qui est réduit à sa composante normale a n. . donc la vitesse . FRÉQUENCE ET PÉRIODE . or le rayon R est constant.7 .4 ) : On dit qu’il est animé d’un mouvement circulaire uniforme .Solide en mouvement de rotation 1. d θ θ= =0 dt Les variations de la direction du vecteur vitesse sont donc d’où . θ = 0 . La période T de ce mouvement correspond à la durée 1 d’un tour .une abscisse angulaire . Mouvement circulaire uniforme Considérons un corps ponctuel décrivant une trajectoire circulaire de centre O. La fréquence N du mouvement du solide en rotation uniforme.4 . D’où : a = a n N LOI HORAIRE = Rθ N . v = R θ = Cte. ..une vitesse angulaire constante . . θ = θ t + θ0 θ 0 étant l’abscisse angulaire à l’instant t = 0. θ = θ t + θ0 qui correspond à l’équation horaire du mouvement . CONCLUSION . La valeur de la vitesse angulaire étant constante : sens positif arbitraire VECTEUR ACCÉLÉRATION + T N O an Doc. s’écrit : .4 . elle est telle que T = N 165 . dθ = Cte θ = Un mouvement circulaire uniforme est caractérisé par : - une accélération angulaire nulle . angulaie θ est constante. sa trajectoire est un cercle . dont la dérivée par rapport au temps est constante..Solide en mouvement de rotation Ch. . . . dont la dérivée par rapport au temps est θ = θ t + θ0. 2 θ t + θ0 t + θ0 θ 0 est une constante correspondant à l’abscisse angulaire 166 . s’écrit : . . dθ θ= dt l’abscisse angulaire θ. ..Solide en mouvement de rotation On peut établir une analogie entre le mouvement rectiligne uniforme et le mouvement circulaire uniforme d’un point matériel .. θ = Cte . s’écrit : .. .7 . Mouvement circulaire uniformément varié Un corps ponctuel a un mouvement circulaire uniformément varié si : . D’autre part .1. θ = à l’instant t = 0. 1 2 . θ 0 étant une constante correspondant à la vitesse angulaire à l’instant t = 0.. θ=0 vitesse : v = Cte vitesse angulaire : abscisse : x= v t + x0 abscisse angulaire : 1. dθ θ = = Cte .2 a centipète de valeur R θ constante .5. elle est récapitulée dans le tableau d’analogie suivant : Mouvement rectiligne uniforme Mouvement circulaire uniforme accélération angulaire accélération accélération : a=0 ..son accélération angulaire θ est constante dt la vitesse angulaire. θ = θ t + θ0 . . θ = θ t + θ0 . Cette propriété est traduite mathématiquement par : d ( θ) dt . CONCLUSION Un mouvement circulaire est uniformément accéléré si. .7 .θ > 0 Mouvement circulaire uniformément retardé Considérons le cas où le point mobile tourne de moins en moins vite. on dit que le mouvement est décéléré. 2 >0 soit REMARQUE .. dθ = 2θθ<0 2 θ dt Un mouvement circulaire est uniformément retardé si. . . . La valeur absolue de sa vitesse angulaire diminue au cours du temps et par suite le carré de sa vitesse angulaire est une fonction décroissante du temps. . sa valeur absolue ne peut que croître et le mouvement est accéléré. La valeur absolue de sa vitesse angulaire augmente au cours du temps et par suite le carré de sa vitesse angulaire est une fonction croissante du temps. . . dθ = θθ >0 2 θ dt : si la vitesse angulaire initiale est nulle.Solide en mouvement de rotation Mouvement circulaire uniformément accéléré Considérons le cas où le point mobile tourne de plus en plus vite. ... θ étant constante.θ < 0 Dans le cas où le mouvement comporte deux phases. le produit θ. . 2 <0 soit CONCLUSION . θ.Solide en mouvement de rotation Ch.. . . θ... 167 .θ est nul à l’instant où le mobile rebrousse chemin. . .. Cette propriété est traduite mathématiquement par : d ( θ) dt . . θ étant constante. on dit que le mouvement est accéléré. 2 .2 .θ 1 ) . .7 . sont exprimées par les relations ( 1 ). .Solide en mouvement de rotation Relation entre les carrés des vitesses angulaires et les abscisses angulaires Considérons deux positions du point mobile à deux instants t 1 et t 2 .( 1 2 . 2 .. θ2 = θ t2 + θ0 .Solide en mouvement de rotation Ch.. θ t1 + θ0 t1 + θ0 (1) . 168 . . à ces deux instants..( θ t1 + θ0t1 + θ0)] 2 d’où : θ 2 . θ1 = θ t1 + θ0 . 2 . 1 . les abscisses angulaires et les vitesses angulaires du point...2 . .. ( 3 ) et ( 4 ) : θ1 = θ2 = 1 2 1 2 .2 (2) (4) A l’aide des équations ( 2 ) et ( 4 ) exprimons θ 2 . 2 . . . 2 .2 . .θ 1 en fonction de ( θ 2 . .. 2 .θ 1 = 2 θ ( θ 2 . θ t2 + θ0 t2 + θ0 (3) . θ2 2 . .. . 2 . . .. ( 2 ).2 . θ t2 + θ0t2 ) . 2 .. θ t2 + θ0t2 + θ0 ) .. 2 ..2 . 2 .... 2 ..2 1 2 1 2 .θ 1 ) . θ t1 + θ0t1)] ..θ1 ) .( θ t1 + θ0) = ( θ t 2 + 2 θ θ0 t 2 + θ0 ) .( θ t 1 + 2 θ θ0 t 1 + θ0 ) = 2 θ [( = 2 θ [( . . = 2 θ ( θ2 .θ1 = ( θ t2 + θ0) .. ils balaient le même angle ∆ θ pendant un même intervalle de temps ∆ t et par suite ils décrivent des mouvements circulaires autour de l’axe ( ∆ ) avec la même vitesse angulaire donc avec la même accélération angulaire..Solide en mouvement de rotation sens positif arbitraire 1.Solide en mouvement de rotation Ch. d’où M F / ( ∆ ) = m R 2 θ Le produit m R 2 traduit l’inertie qu’oppose le point matériel à la variation de sa vitesse angulaire. F Doc.2 . Tous ses points décrivent dans un plan perpendiculaire à ( ∆ ).7 . 2 . l’ensemble est en mouvement de rotation autour d’un axe fixe ( ∆ ) ( Doc. N ).1 .7 ).. sens positif arbitraire v2 R N Ft + T M N Fn Fn Pour établir une relation mathématique entre la cause et l’effet. Appliquons la deuxième loi de Newton dans un repère terrestre supposé galiléen : F= ma ( Doc. T . 169 . des cercles centrés sur cet axe .6 ) Doc. on peut écrire : F = m ( at + an ) F = mRθ T + m F = Ft + ( Doc. Abscisse et vitesse angulaires d’un solide en rotation autour d’un axe fixe Considérons un cheval en bois fixé sur le plateau d’un manège .R = ( m R θ ) R = m R θ . Etude dynamique du mouvement circulaire d’un point matériel Désignons par F la somme des forces s’exerçant sur un point matériel de masse m décrivant une trajectoire circulaire de centre O et de rayon R. F En tenant compte des composantes tangentielle et normale du vecteur accélération a dans le repère ( M . m R 2 est le moment d’inertie du point matériel par rapport à l’axe de rotation ( ∆ ). 2.5 + M a O .5 ).. Rotation d’un solide autour d’un axe fixe 2.. calculons le moment de la force F par rapport à l’axe de rotation ( ∆ ) normal en O au plan de la figure. .6 O M F/(∆) = M F MF n/ ( ∆) n /(∆) + M F /(∆) t = 0 car la droite d’action de F n coupe l’axe ( ∆ ) Ft M F/(∆) = . est telle que : MF i /(∆) = mi ri θ 2 . animé d’un mouvement circulaire d’accélération angulaire .2 .7 : tous les points du solide.. OB ∆θ B 2. OA en mouvement de rotation autour de l’axe fixe ( ∆ ). (1 ) sens positif arbitraire de rotation ( ∆) Oi ri Mi Doc.Solide en mouvement de rotation (∆) A ∆θ Doc.Solide en mouvement de rotation Ch. Relation fondamentale de la dynamique pour un solide en rotation Un solide ( S ) en mouvement de rotation autour d’un axe fixe ( ∆ ) est un système constitué d’un ensemble de points matériels M i de masse m i décrivant chacun un mouvement circulaire de rayon r i autour de ( ∆ ) ( Doc. ont donc la même vitesse angulaire et la même accélération angulaire appelées respectivement vitesse angulaire et accélération angulaire du solide.8 O1 r1 M1 170 .8 ). La somme des forces F i exercées sur un point matériel M i.7 . θ.. comme les forces intérieures forment deux à deux des couples de moment nul. La grandeur du solide par rapport à l’axe ( ∆ ) . θ est l’accélération angulaire du solide . 171 .. M = Jθ Cette expression traduit la relation fondamentale de la dynamique d’un solide en rotation autour d’un axe fixe ( ∆ )...Solide en mouvement de rotation Ch. .. elle s’exprime en N . m J est le moment d’inertie du solide par rapport à ( ∆ ) . elle caractérise l’inertie qu’oppose le solide à la variation de sa vitesse angulaire lorsqu’il est mis en mouvement de rotation autour de l’axe ( ∆ )..Solide en mouvement de rotation Calculons la somme algébrique M des moments de toutes les forces qui s’exercent sur les différents points matériels qui constituent le solide .. M représente la somme algébrique des moments par rapport ( ∆ ).. M correspond donc à la somme des moments par rapport à l’axe de rotation ( ∆ ) des forces extérieures qui s’exercent sur le solide..2. + M F / ( ∆ ) + . m 2 .. M = (m1 r1 ) θ + (m2 r2 ) θ + . M représente la somme des moments par rapport à l’axe de rotation ( ∆ ) des forces extérieures et des forces intérieures qui s’exercent sur les points matériels qui constituent le solide . + ( m i r 2 ) i . ) i M= { Σ m i r2 }θ i . notée J. 2 i .7 . elle s’exprime en rad . . des forces extérieures exercées sur le solide . 2 2 θ M = (m1 r1 + m2 r2 + .. il vient.... s ... + m i r 2 + . Σ mi r2 .... il s’exprime en kg . d’après (1 ) : M=MF 1/(∆) + M F / ( ∆ ) + .. est le moment d’inertie i . 2 2 θ + . le solide effectue quelques tours puis s’immoblise sous l’action des forces de frottement équivalentes à un couple résistant de moment M f que nous supposons constant. 172 .Solide en mouvement de rotation Expressions des moments d’inertie de quelques solides homogènes par rapport à leurs axes de symétrie (∆ ) (∆ ) R À Jante circulaire J = m R2 masses et à rayons égaux.7 . dans un mouvement de rotation uniforme autour d’un axe fixe. le moment d’inertie n’est pas le même. Application DÉTERMINATION DU MOMENT D'UN COUPLE DE FROTTEMENT SUPPOSÉ CONSTANT Considérons un solide de moment d’inertie J entraîné. On débraye le moteur. il dépend en plus de la forme du solide et de la répartition de la masse. ..2 . Disque homogène (∆ ) J= R 1 m R2 2 Barreau homogène (∆ ) l (∆ ) J= 1 12 m l2 Cylindre plein homogène R J= 1 m R2 2 (∆ ) Sphère pleine homogène 2R J= 2 m R2 5 2. On détermine l’acélération angulaire θ du solide et on calcule le moment du couple de frottement M f en utilisant la relation fondamentale de la dynamique de rotation ( exercice résolu ).Solide en mouvement de rotation Ch. à l’aide d’un moteur. 1 ( Doc. 2. il s’arrête à l’instant de date t 1= 3 min.9-a SOLUTION 1 -a. 3 . M f est négatif et constant : . Doc.Calculer le nombre de tours effectués par le disque durant la phase de freinage. Mf = J θ Le moment d’inertie J d’un disque par rapport à ( ∆ ) est il est positif et constant. .Calculer la valeur de son accélération angulaire. donc M f est négatif. la relation fondamentale de la dynamique de rotation au système { disque } Forces extérieures : le poids m g la réaction R exercée par l’axe de rotation ( ∆ ) sur le disque le couple de frottement de moment + R (∆) Sens du mouvement mg M f . de rayon R = 5 cm tourne autour de son axe de révolution ( ∆ ) à raison de N = 3600 tours.Calculer la valeur du moment Mf .min.Solide en mouvement de rotation EXERCICE ENONCÉ : RÉSOLU Un disque homogène de masse m égale à 100 g.En appliquant la relation fondamentale de la dynamique de rotation.7 . Les droites d’action du poids m g et de la réaction R coupent l’axe de rotation ( ∆ ) . on lui applique un couple de freinage de moment constant .Nature du mouvement du disque : Appliquons . le produit θ θ est négatif et le mouvement de rotation du disque est donc uniformément retardé. -b.a. il n’est pas représenté Doc.. A l’instant t 0 = 0. déterminer la nature du mouvement du disque. .9-b sur le schéma du document ( Doc.a. J L’accélération angulaire θ est constante et a le signe contraire du sens réel du mouvement .Solide en mouvement de rotation Ch.Préciser le signe de Sens positif arbitraire Mf + (∆) Sens réel du mouvement Mf .. dans un référentiel terrestre supposé galiléen.9-b ). b.. leurs moments par rapport à cet axe sont nuls. 173 . d’où θ= Mf est négative et constante.Le signe de Mf : Sens positif arbitraire M f est le moment d’un couple de freinage qui agit dans le sens contraire du sens réel du mouvement . 1. . Or ce dernier coïncide avec le sens positif choisi arbitrairement. d’autre part 1 2 m R 2. b. La relation fondamentale de la dynamique de rotation s’écrit alors : .9 -a).. = θ 0 t1 2 .θ0 ) .2 .625 . la vitesse angulaire s’écrit A l’instant t 0 : θ 0 = θ t 0 + θ 0 A l’instant t 1 : θ 1 = θ t 1 + θ 0 D’où .2 -b. θ= θ1 .θ0 = θ1 . 10 .. .4 N .2 .θ0 2θ . θ = θ t + θ0 . m Application numérique : 3.180 4π .2. 60 ) π . = 2 2 πn = .7 . . = .θ0 .. s ..Solide en mouvement de rotation 2 -a.1 . .2.. .π.t0 2 ... .2 θ0 t1 .2 ..2. ( .Calcul de la valeur de l’accélération angulaire : L’accélération angulaire étant constante. d’où n = θ0 t1 4π . 2 .1 ) M = .. = . Application numérique : t 1 = 180 s.. 3600 180 . . θ1 .θ0 t1 .La valeur du moment du couple de frottement M f : Mf = 1 2 m R2 θ .Solide en mouvement de rotation Ch.Le nombre de tours n effectués par le disque durant la phase de freinage : La relation entre les carrés des vitesses angulaires. entre les instants de dates t 0 = 0 et t 1 = 3 min s’écrit : θ1 .05 ) 2 . où θ 0 et θ 1 désignent respectivement les abscisses angulaires aux instants t 0 et t 1. appliquée au disque.5 . M f = 0. 3600 60 = 120 -( 2 π rad . .θ0 2θ .2 . (- ) n = 5400 tours Application numérique : n = 174 120. ( 0.. π .2 .θ0 2θ .. 0.1 . θ= θ = . θ 0 = .1 rad . s . .θ0 t1 . .θ0 = 2 θ ( θ1 . . . J est le moment d’inertie du solide par rapport à l’axe de rotation ( ∆ ) .. la même vitesse angulaire et la même accélération angulaire appelées respectivement vitesse angulaire et accélération angulaire du solide. R θ 2 = Cte ... .. . R θ = Cte . 2 θ a N R = n . Repérage d’un point mobile M O θ A Vitesse d’un point mobile Vitesse d’un point mobile + x v M O θ + x at M O + x an accélération angulaire . θ = Cte . θ = Cte θ = θ t + θ 0 θ = θ t + θ 0t + θ 0 .. . at = Rθ T = 0 ...Solide en mouvement de rotation Ch. d2θ θ = dt 2 accélération normale R accélération tangentielle dv at = dt abscisse curviligne s( t ) = AM abscisse angulaire θ ( t ) = ( Ox. OM ) vitesse curviligne v (t) = ds dt vitesse angulaire dθ θ(t) = dt an = v2 Cas particuliers de mouvements circulaires Nature du mouvement Mouvement circulaire uniforme Mouvement circulaire uniformément varié Accélération angulaire Vitesse angulaire Abscisse angulaire Vecteur accélération . θ = 0 . .Solide en mouvement de rotation L’ESSENTIEL DU COURS Mouvement circulaire La trajectoire est un cercle de centre O et de rayon R.. à un instant donné.7 . 2 . a n = R θ 2 N...tous les points du solide ont des trajectoires circulaires dans des plans perpendiculaires à l’axe de rotation et centrées sur cet axe . θ = θt + θ0 .tous les points du solide ont. . . M = Jθ M étant la somme des moments par rapport à un axe fixe ( ∆ ) des forces extérieures exercées sur le solide. il traduit l’inertie qu’oppose le solide à la variation de sa vitesse angulaire. . 175 .. . .. 1 . Relation fondamentale de la dynamique de rotation . 2 a t = R θ T.. . Un mouvement est circulaire uniformément acccéléré si θθ > 0 avec θ = Cte Un mouvement est circulaire uniformément retardé si θθ < 0 avec θ = Cte Mouvement de rotation d’un solide autour d’un axe ( ∆ ) fixe Dans le cas d’un solide animé d’un mouvement de rotation autour d’un axe ( ∆ ) fixe : . Solide en mouvement de rotation PRATIQUES TRAVAUX BUT Déterminer la nature du mouvement d'un solide en mouvement de rotation autour d’un axe fixe et en déduire son moment d’inertie par rapport à cet axe.10 176 . mobile autour d’un axe de rotation horizontal ( ∆ ) et sur laquelle est fixée.un support maintenant la poulie ( Doc.un chronomètre .10 ). MATÉRIEL .une ficelle inextensible et de masse négligeable . suivant un diamètre. masselotte poulie ( ∆) d masselotte d ficelle masse marquée tige Doc.Solide en mouvement de rotation Ch.7 .poulie de rayon r.des masses marquées . une tige comportant deux masselottes diamétralement opposées et de positions réglables . s 2 . . θ Calculer la valeur de J.n ( rad ) t (s) t2 ( s2 ) DE MESURES n ( tours ) 1 2 3 4 5 EXPLOITATION DES RÉSULTATS DE MESURES 1 ..7 .enrouler la ficelle sur la gorge de la poulie et fixer à son extrémité libre une masse marquée de valeur m.Solide en mouvement de rotation Ch.. on déclenche le chronomètre. . la tige et les deux masselottes est : J= (m g -mrθ)r .à l’instant où on libère le système sans vitesse initiale à partir d’une position horizontale ( ou verticale ) de la tige prise comme origine des abscisses angulaires.Solide en mouvement de rotation PROTOCOLE EXPÉRIMENTAL . . 177 .Montrer que le moment d’inertie J de l’ensemble formé par la poulie.Tracer le graphe correspondant à θ = f ( t 2 ) . TABLEAU θ = 2 π. en déduire la nature du mouvement -1 du solide en rotation et calculer son l’accélération angulaire exprimée en rad.mesurer la durée ∆ t nécessaire pour que la partie tournante effectue n tours. la direction et le sens du vecteur accélération de la bille ( B ) a 2 .Exprimer.Un ressort. mobile autour de son axe de symétrie. 4.l’accélération tangentielle est nulle. Sous l’action d’un couple de forces de moment constant. a en fonction de l..le vecteur vitesse est constant..Solide en mouvement de rotation Je vérifie mes connaissances Chaque question peut avoir une ou plusieurs réponses correctes 1. de masse négligeable et de raideur k.8 N. α (l) Doc. l et θ.θ est divisée par 2 lorsqu’on double et on divise m par 2 . en justifiant la réponse. sont fixés à égales distances l du milieu O d’une tige ( t ) de masse négligeable.θ double lorsqu’on divise l par 2 et on double m . c .Reproduire le schéma du document 11 et représenter les forces qui s’exercent sur le système { ( B ) }.Appliquer la deuxième loi de Newton au système { ( B ) }. b .kg -1. je sais raisonner Ex-1.11 (B) les valeurs de Données : g . = 20 cm . On y suspend une bille ( B ) supposée ponctuelle et de masse m.Deux solides sponctuels. l’ensemble acquiert .de somme F constante b . (A) 1 . k = 10 N.de somme F de valeur constante c . c . et déduire . b . 3..dépend de sa distance par rapport à l’axe de rotation.m -1. b . l O (∆) tige ( t ) l . m = 10 g et α = 60° j moteur i 178 .. l0 = 9.Solide en mouvement de rotation Ch. une accélération θ . . a une longueur à vide l 0 .11 ) L’axe du ressort dont la longueur devient égale à l décrit un cône de demi-angle au sommet égal à α.7 . Effectuer les projections nécessaires dans le repère d’espace ( O. 2. i.Dans un mouvement circulaire uniforme : a . α et θ. est soumis à un ensemble de forces : a . dans le repère ( O.est nulle pour les points du solide situés sur l’axe de rotation. 3 . de même masse m. j ) lié au laboratoire.Préciser. b .θ ne change pas si on quadruple l et on divise m par 4 l Je sais appliquer mes connaissances. j ).Un solide en mouvement de rotation uniforme autour d’un axe ( ∆ ) fixe. et on fixe son extrémité supérieure au point A d’une tige ( t ) verticale . .est la même pour tous les autres points du solide c .La vitesse angulaire d’un point matériel appartenant à un solide mobile autour d’un axe fixe : a . a .dont la somme des moment par rapport à l’axe ( ∆ ) est nulle. i.la valeur de l’accélération angulaire est constante. un moteur entraîne l’ensemble dans un mouvement de rotation avec une vitesse angulaire θ constante ( Doc.a . m 1 = m 2 = 100 g . 2.Solide en mouvement de rotation Ch. et y en fonction de R 2 et θ.12-b ). qui s’exercent sur le corps ( A ) au cours de son mouvement.s . c .a . les solides ( S 1 ) et ( S 2 ) se déplacent respectivement de x et de y.Calculer la longueur l du ressort lorsque la vitesse de rotation de la tige 5 est π tr.12-a Ex-3 Une poulie constituée par deux cylindres ( C 1 ) et ( C 2 ) coaxiaux de rayons respectifs R 1= 20 cm et R 2= 10 cm. son moment d’inertie par rapport à cet axe est J = 4.En supposant les frottements nuls. 179 . 1.5.8 N. On maintient le système au repos de sorte que le centre d’inertie de ( S 1 ) occupe la position O. origine du repère d’espace (O. i ) et le centre d’inertie de ( S2 ) occupe la position O’. 2 .a) et représenter le vecteur accélération et les forces. Donnée : g = 9. π Données : l 0 = 14. autres que la tension T du ressort.2 cm .12. On enroule sur ( C 1 ) un fil ( f 1 ) inextensible et de masse négligeable à l’extrémité duquel est accroché un solide ( S 1 ) de masse m1 = 150 g. horizontale.( A ) est reliée au point O de la tige par l’intermédiair d’un ressort de masse négligeable.kg -1.10 . j ) : on libère l’ensemble sans vitesse initiale à l’instant t = 0 ( Doc.Calculer le temps mis par la poulie pour effectuer 5 tours à partir du repos.a ) .7 .3 kg.Montrer que la poulie tourne dans le sens positif indiqué dans le document. (t) O Doc. Exprimer x en fonction de R 1 et θ.Lorsque la poulie tourne d’un angle θ.54 s.Une mesure expérimentale de cette durée a donné 3. En déduire la nature de son mouvement.Dans le montage précédent.Solide en mouvement de rotation Ex-2.1. a .Sur une tige ( t ). assujettie à tourner selon un mouvement de rotation uniforme autour d’un axe vertical passant par O. L’écart entre la durée calculée et la durée mesurée s’explique par la présence de forces de frottement exercées sur la poulie et équivalentes à un couple de moment Mf constant. 1 . 4. origine du repère d’espace (O’.m 2. montrer que le ressort subit un allongement au cours de ce mouvement. Calculer la valeur de Mf .13 ). k = 100 N. R 2 et g . de raideur k et de longueur à vide l 0 ( Doc. m 2. peut tourner autour d’un axe horizontal ( ∆ ) . peuvent coulisser sans frottement deux corps ( A ) et ( B ) supposés ponctuels et de masses m 1 = m 2 . c . on relie ( B ) à ( A ) par l’intermédiair d’un deuxième ressort identique au précédent ( Doc. 3. établir l’expression de l’accélération angulaire de la poulie en fonction de m 1.s -1.12-b b . Calculer la longueur de chaque ressort lorsque la vitesse de rotation de la tige est maintenue égale à 5 tr.12.En appliquant la deuxième loi de Newton au système { ( A ) }. Sur ( S 2 ) on enroule en sens contraire un fil ( f 2 ) identique à ( f 1 ) attaché à un solide ( S 2 ) de masse m2 = 200 g. (t) O (A) moteur moteur (A) (B) b .m -1 . Doc. R 1.Reproduire le schéma du document ( Doc.En déduire les relations qui existent entre l’accélération angulaire de la poulie et les accélérations des solides ( S 1 ) et ( S 2 ). J. ( C ) } a lieu dans le sens positif du repère d’espace ( Doc. de masses respectives m 1 et m 2 sont reliés par un fil inextensible et de masse négligeable qui passe sur la gorge d'une poulie de rayon r et de moment d’inertie J par rapport à son axe de rotation horizontal ( ∆ ) et pouvant tourner sans frottement autour de cet axe.14 (S) O k h Sol Ex-5 Deux solides ( C 1 ) et ( C 2 ).appliquer la relation fondamentale de la dynamique au système { Poulie } pour déterminer le moment d’inertie J de la poulie par rapport à l’axe ( ∆).A l’instant où (S) arrive au sol.8 N.Déterminer à cet instant la vitesse angulaire de la poulie. b . b . On abandonne le système sans vitesse initiale à l’instant t = 0. le fil se détache de la poulie. c . ( f2 ) ( S1 ) O i x Doc. r = 6 cm . mobile sans frottement autour d’un axe fixe ( ∆ ) horizontal.Solide en mouvement de rotation θ=0 (C2) ∆ (C1) ( f1 ) y j O’ Ex-4.déterminer la valeur de l’accélération de ( S ) et en déduire celle de l’accélération angulaire de la poulie.22 s . 2 . a .Déterminer la valeur de la force f qu’il faut appliquer tangentiellement à la poulie pour qu’elle effectue encore 6 tours avant de s’arrêter. A l’extrémité libre de ce fil est attaché un objet ponctuel ( S ) de masse M. h = 3 m et t 1 =1. Le mouvement du système ( S 2 ) = { ( C2 ) .7 .Sur la gorge d’une poulie de rayon r.13 + ( S2 ) a . l’origine O du repère étant située à la distance h au dessus du sol. et ( S ) atteint le sol à l’instant t 1 ( Doc. M = 300 g .14 ). On maintient le système { poulie. origine du repère d’espace (O. Le moment d’inertie de la poulie par rapport à l’axe de rotation est J. est enroulé un fil inextensible et de masse négligeable. 1 .En admettant que le mouvement de ( S ) est rectiligne uniformément accéléré : ( ∆) Doc. est libéré sans vitesse initiale à partir du point O origine du repère d’espace ( O.kg -1 .15 ). 180 Le solide ( C 2 ).déterminer la valeur de la tension T du fil. k ) . ( S ) } au repos de sorte que le fil soit tendu et ( S ) occupe la position O. Données: g = 9.Solide en mouvement de rotation Ch. portant une surcharge ( C ) de masse m. k ). a . R et g . la surcharge ( C ) est retenue par un anneau.Donner l'expression de a 1 et calculer sa valeur. m 2.15 A anneau (C1) S 181 .10 .A son passage par le point A. a . m 2 = 340 g. ( ∆) (C) (C2) O k Doc.Solide en mouvement de rotation 1. b .En appliquant le théorème du centre d’inertie pour chacun des deux systèmes ( S 1 ) et ( S 2 ).( S 3 ) : { poulie } b .kg . établir l’expression de l'accélération du centre d’inertie du système ( S 2 ) en fonction de m 1. R = 5 cm et g = 9. Données : m 1= 360 g .ms .Déterminer l'abscisse du point A sachant que le solide ( S 2 ) arrive au point S d'abscisse zS = 80 cm avec une vitesse nulle. m = 100 g .2 . et la relation fondamentale de la dynamique de rotation pour le système( S 3 ).Solide en mouvement de rotation Ch. 2. Calculer sa valeur.4 kg.( S 2 ) : { solide ( C 2 ) +( C ) } . J.8 N.1. Le solide ( C 2 ) continue son mouvement avec une nouvelle accélération a 1.7 . J = 5.Reproduire le schéma du document 15 et représenter toutes les forces extérieures qui s’exercent sur chacun des systèmes suivants : .( S 1 ) : { solide ( C 1 ) } . 1 : les méfaits de l’énergie cinétique.Ch. Appliquer le théorème de l'énergie cinétique pour déterminer entre autres la valeur d'une grandeur inaccessible à la mesure ( force de frottement.énergie cinétique énergie cinétique 8 ÉNERGIE CINÉTIQUE Photo. Calculer l'énergie cinétique d'un solide en mouvement de rotation autour d'un axe fixe. réaction d'un support … ). OBJECTIFS Calculer l'énergie cinétique d'un solide en mouvement de translation.8 . 182 . . Energie cinétique 1..énergie cinétique L’homme a pris conscience. depuis très longtemps. LES FACTEURS DONT DÉPEND L’ÉNERGIE CINÉTIQUE Lors d’un accident : .. Photo.1 . AB = A B F AB cos ( F .1 ). d . d en mètre ( m ) . W en joule ( J ).l’énergie du bélier. de l’énergie que possède un corps en mouvement.1. ..2 . 1. L’énergie cinétique d’un solide en translation dépend de sa vitesse : c’est une fonction croissante de la vitesse.l’énergie du vent ou d’un courant d’eau pour entraîner une éolienne ou une turbine. L’énergie cinétique d’un solide en translation dépend de sa masse : c’est une fonction croissante de la masse. .l’énergie d’un marteau lancé pour enfoncer un clou. utilisé au moyen âge pour défoncer les lourdes portes des forteresses assiégées ( Doc.les dégats causés par un camion sont plus importants que ceux occasionnés par une voiture roulant à la même vitesse. AB ) ( Doc. W (F) = F A B d cos α Doc.énergie cinétique 1.1 F en Newton ( N ) .2 : engin utilisé au Moyen Age pour défoncer les lourdes portes des forteresses assiégées. Rappels 1.les dégats causés par une voiture sont d’autant plus importants que sa vitesse est grande. 1.1.8 . ..1 ).. B W ( F ) = F . EXEMPLES . NOTION D’ÉNERGIE CINÉTIQUE Ch.1. 183 .2. Cette énergie que possède des corps en mouvement s’appelle énergie cinétique. Cette énergie liée à un mouvement est utilisée à des fins très diverses. Travail d’une force constante L’expression du travail d’une force F constante dont le point d’application subit un déplacement rectiligne AB est donnée par la relation : F A α . v en m . s . Le travail est moteur. F est une force résistante W (m g) = m g (zB . Le travail est résistant. 2.d > 0 W ( F) = A B F . d’un système de n points matériels de masses respectives m i . animé à un instant t d’une vitesse v est proportionnelle à sa masse et au carré de sa vitesse à cet instant. k ) vertical et orienté vers le bas. 1 Ec = m v2 2 m en kg. REMARQUE : l’énergie cinétique. à un instant donné. Expression de l’énergie cinétique d’un point matériel L’énergie cinétique d’un point matériel.Ch.énergie cinétique énergie cinétique B Exemples de travaux de forces constantes du s n se A nt e em uv o m F d du s n se A nt e em uv o m d k B zA O A 1 in em Ch n3 e Ch h mi F m.8 .zA) = h > 0 W (m g) = m g h Le travail du poids est W( F) = A B F .zA) z est pris sur un axe ( O . Energie cinétique d’un système de points matériels L’énergie cinétique. comme la vitesse. (zB .1 et E c en joule ( J ). est relative au référentiel d’étude. est égale à la somme des énergies cinétiques de chacun des points matériels qui le constituent à cet instant : i=n Ec = 184 i=1 Σ 1 mi v 2 i 2 . dotés chacun d’une vitesse v i par rapport à un repère donné. de masse m. F est une force motrice Le vecteur force F et le vecteur déplacement AB ont la même direction et sont de sens contraires ( α = π ).g 2 in Ch em zB B Le vecteur force F et le vecteur déplacement AB ont la même direction et le même sens ( α = 0 ).d < 0 indépendant du chemin suivi. 3. Energie cinétique de la voiture Application numérique : E c = 7. 2 . Ec = 1 m.Calculer son énergie cinétique.8 .30.2. 1.2 : tous les points du planeur ont le même vecteur vitesse.6 1 m .Energie cinétique du camion Application numérique : v -1 = 80 km.5.énergie cinétique 3.5.v 2 2 1 1 E c = 0. et l’énergie cinétique du solide i=n 1 2 Ec = v 2 G i=1 Σ mi i=n la masse totale du solide est m = d’où : i=1 Σ mi L’énergie cinétique d’un solide en mouvement de translation.4. L’énergie cinétique d’un point matériel de masse m i est 1 mi v2 donnée par E c i = i 2 a pour expression : Ch. Solide en translation Décomposons le solide en n points matériels de masses respectives m i.énergie cinétique G vG vi Doc.Quelle est l’énergie cinétique d’une voiture de masse m 1 = 800 kg roulant à la même vitesse que le camion ? Conclure.10 3. égale à la vitesse v G du centre d’inertie G du solide ( Doc.10 6 J Ec = 1 E c = 0.800( 1 80 2 ) 3. l’énergie cinétique d’un véhicule croît avec sa masse !! 185 .h .1 .10 6 J A vitesse égale.2 ). est la même que celle d’un point matériel ayant la masse m et la même vitesse v que le solide.( 1. Tous ces points matériels ont la même vitesse v i . Ec = 1 m v 2 2 EXERCICE D’APPLICATION Un camion de masse m = 300 tonnes roule à une vitesse de valeur 1 .v2 2 80 2 ) 3.6 E c 1 = 0. de masse m et animé d’une vitesse v . i=n i=1 Σ mi ri 2 i=n i=1 Σ Doc. possède une énergie cinétique égale au demi produit du moment d’inertie J par le carré de sa vitesse . tournant avec une vitesse angulaire θ autour de cet axe.2 . L’énergie cinétique d’un point matériel de masse m i est . . 2 .8 .2 1 1 donnée par E c i = mi v2 m i r2 i = i θ 2 2 et celle du solide a pour expression : i=n . 186 .3 2 mi ri est le moment d’inertie du solide par rapport à l’axe ( ∆ ) d’où: Ec = 1 .2 Jθ 2 Un solide de moment d’inertie J par rapport à un axe de rotation fixe. . .Ch. Solide en rotation autour d’un axe fixe Décomposons le solide en n points matériels de masses respectives m i et décrivant chacun une trajectoire circulaire de rayon r i autour de l’axe fixe ( ∆ ) ( Doc. Ec = 1 J θ2 angulaire θ .3 ). m1 r 2 m2 Ec = J= i=1 Σ i=n 1 2 1 2 2 1 2 θ mi v i = mi ri θ = i=1 2 2 2 Σ .énergie cinétique énergie cinétique (∆) r 1 3. Tous les points matériels du solide ont la même vitesse angulaire θ et des vitesses linéaires v i = r i θ différentes. k ) et où les vitesses sont respectivement égales à v 1 et v ( Doc. Il augmente l’énergie cinétique de la bille. Remarque : au cours de ce mouvement de chute.5 ). Appliquons la relation entre les carrés des vitesses et les abscisses. .Lançons la bille verticalement vers le haut. Evaluons la variation de l’énergie cinétique de la bille en chute libre. cas d’un corps ponctuel en chute libre ETUDE QUALITATIVE Ch.8 .5 2 La chute libre sans vitesse initiale dans le sens descendant est un mouvement rectiligne uniformément accéléré d’accélération a = g k . son travail est moteur. entre deux instants t 1 et t 2 correspondants à son passage par deux positions M 1 et M 2 d’abscisses respectives z 1 et z 2 par rapport à un repère d’espace ( O .v1 =2 g (z2 . Il diminue l’énergie cinétique de la bille.4-a : le poids est une force motrice. abandonnée sans vitesse initiale. pendant la phase ascendante. tombe de plus en plus vite sous l’action de son poids qui est pratiquement la seule force agissante ( Doc.1 . ceci donne 2 2 v2 .énergie cinétique 4.énergie cinétique . Théorème de l’énergie cinétique 4. l’énergie potentielle de pesanteur du système { Terre + bille } diminue et l’énergie cinétique de la bille augmente. son travail est résistant. Doc. v sens du mouvement sens du mouvement v P P Doc.4-a ).E C1 = 1 1 m v2 m v2 2 1 2 2 t1 t2 v M2 1 z2 E C 2 .Une bille ponctuelle. ETUDE QUANTITATIVE Le référentiel d’étude est supposé galiléen.E C 1 est noté par ∆E C v Doc. le mouvement de la bille est ralenti sous l’action de son poids qui est pratiquement la seule force agissante ( Doc. 2: O sens du mouvement k M1 z1 E C2 .z1) 187 .4-b : le poids est une force résistante. Ce mode de transfert de l’énergie de la forme potentielle à la forme cinétique résulte du travail du poids de la bille en mouvement.4-b ). 1 J. Cas d’un solide en mouvement de rotation uniformément varié autour d’un axe fixe ∆E C = t1 t2 1 . en mouvement de chute libre. les moments des forces intérieures s’annulent deux à deux. 2 θ ( θ 2 . d’où : CONCLUSION ∆E C = W ( P ) t1 t2 La variation de l’énergie cinétique de la bille. par rapport à l’axe de rotation ( ∆ ). D’où : ∆E C = M ( θ 2 .2 .2 1 J ( θ 2 .θ 1 ) = W t1 t2 t1 t2 .8 .énergie cinétique énergie cinétique La variation de l’énergie cinétique ∆E C s’écrit alors : ∆E C = m g t1 t2 (z2 .θ 1 ) 2 Le produit J.θ 1 est égal à : M ( θ2 . des forces extérieures qui s’exercent sur le solide.z1) ( z 2 ..2 .z 1 ) représente le travail Le produit m g du poids P = m g au cours du déplacement correspondant au segment de longueur ( z 2 .θ1 ) exercées ( forces sur le solide ) La variation de l’énergie cinétique du solide en mouvement de rotation. 4.θ 1 ) = J θ ( θ 2 .θ est égal à la somme algébrique M des moments.z 1 ) parcouru entre les instants t 1 et t 2... 188 . l’unique force qui s’exerce entre ces deux instants. entre deux instants t 1 et t 2 est égale au travail de son poids.θ1 ) 2 D’après la relation des carrés des vitesses on peut écrire : ∆E C = t1 t2 . .2 Jθ 1 2 = .2 Jθ 2 2 1 . Le travail d’une force de moment M constant au cours d’une variation d’abscisse angulaire θ 2 .Ch. entre deux instants t 1 et t 2 est égale à la somme des travaux des forces qui s’exercent sur le solide entre ces deux instants. peuvent être généralisés et démontrés pour un système matériel quelconque : c’est le théorème de l’énergie cinétique. et la somme de leurs travaux est nulle. ENONCÉ Ch.énergie cinétique Dans un référentiel galiléen. EXEMPLE . le ressort se détend et communique aux deux solides des énergies cinétiques respectives E c et E c ( Doc.8 . 2 1 ressort comprimé et fil tendu on brûle le fil Les seules forces qui travaillent au cours de l’éclatement du système déformable { ressort + deux solides } sont les tensions intérieures au système. Cas d’un système indéformable des forces intérieures T et -T transfèrent de l’énergie cinétique aux deux solides de masses respectives m1 et m2 Doc. est égale à la somme algébrique des travaux de toutes les forces extérieures et intérieures au système entre ces deux instants. Enoncé du théorème de l’énergie cinétique Les résultats des paragraphes 4.2. EXEMPLE .1 Deux solides. entre deux instants t 1 et t 2 quelconques.3 .6 ).énergie cinétique 4. établis dans les cas particuliers d’un corps ponctuel en chute libre et d’un solide en mouvement de rotation uniformément varié autour d’un axe fixe. reliés par un fil. On brûle le fil.2 v1 m1 v2 m2 le ressort se détend et les travaux Pour un système formé de deux véhicules. la variation de l’énergie cinétique d’un système matériel déformable ou indéformable. 189 . compriment entre eux un ressort.6 Toutes les forces intérieures s’annulent deux à deux. La variation de l’énergie cinétique est causée uniquement par la somme des travaux des forces extérieures exercées sur le solide. au cours d’un accident. ressort non déformé ∆E C = t1 t2 t1 ΣW ( F ext + F int ) -T T m1 m2 t2 Cas d’un système déformable La somme des travaux des forces intérieures n’est pas nécessairement nulle.1 et 4. les seules forces qui travaillent sont les forces d’interaction qui sont des forces intérieures au système. Ch.8 - énergie cinétique énergie cinétique VALIDITÉ DU THÉORÈME DE L’ÉNERGIE CINÉTIQUE Dans ce paragraphe nous allons juste aborder, sans mener à son terme, la démonstration du théorème de l’énergie cinétique pour un solide en translation et ceci dans le but de justifier pourquoi ce théorème n’est valable que dan un repère galiléen. E c = 2 m v 2 = 2 m( v ) dE c dt = mv dv dt 1 1 2 = mv .a D’après le théorème du centre d’inertie qui n’est applicable que dans un repère galiléen, on peut écrire : m a = F ; F étant la somme des forces exercées sur le solide. d’où P(F) v = P F ; dt = F. correspond à la puissance de la somme des forces dE c O2 O1 ( ) exercées sur le solide. On continue la démonstration en écrivant : dE c = dE c et P ( F )dt dW = dW ( il ne s’agit pas d’une multiplication des Doc.7-a (B2) (B1) deux membres de la relation précédente par le facteur dt !!!) représentent respectivement la variation de l’énergie cinétique entre deux instants t et t + dt, et le travail élémentaire de valle de temps dt. F pendant cet inter- O2 O1 5. Application du théorème de l’énergie cinétique 5.1 . Choc élastique et choc inélastique ACTIVITÉ EXPÉRIMENTALE α (B2) Doc.7-b (B1) -1 On considère deux pendules ( P 1 ) et ( P 2 ) identiques. Chacun d’eux consiste en une boule de billard ( ou en acier ) de masse m, accrochée à l’extrémité d’un fil, l’autre extrémité étant fixe. A l’équilibre, les deux boules ( B 1 ) et ( B 2 ) se touchent à peine ( Doc.7-a ). On soulève la boule ( B 1 ) et on l’immobilise dans une position pour laquelle le fil tendu fait un angle α avec la verticale, puis on la libère sans vitesse initiale ( Doc.7-b ). Au passage par la verticale, la boule ( B 1 ) heurte la bille ( B 2 ) et s’immobilise. Sous l’effet du choc, la boule ( B 2 ) s’écarte avec le fil tendu faisant un angle β = α avec la verticale ( Doc.7-c ). 190 O2 O1 β (B2) Doc.7-c (B1) énergie cinétique Au cours du choc, il y a transfert d’énergie cinétique de la boule ( B 1 ) à la boule ( B 2 ) ayant permis à cette dernière de vaincre le travail résistant de son poids au cours de son mouvement après le choc. Déterminons l’énergie cinétique E c de ( B 1 ) à son passage par la verticale tout juste avant le choc et l’énergie cinétique ’ de ( B 2 ) tout juste après le choc. Ec DÉTERMINATION DE Ch.8 - énergie cinétique Ec Appliquons le théorème de l’énergie cinétique au système ( B 1 ) entre l’instant t 1 de sa libération sans vitesse initiale ( le fil faisant un angle α avec la verticale ) et l’instant t 2 de son passage par la verticale tout juste avant le choc et où son énergie cinétique est E c ( Doc.8-a ). Les forces exercées sur ( B 1 ) entre ces deux instants sont : - la tension T du fil - le poids m g de la boule ( B 1 ). O2 O1 l α (B2) t1 t2 T (B1) mg ∆ Ec = W ( m g ) + W ( T ) t1 t2 t1 t2 t2 Doc.8-a t1 W ( T ) = 0 car la force T est constamment normale au t1 t2 t1 t2 déplacement; ∆ E c = E c . E c = m g l ( 1 - cosα ) DÉTERMINATION DE ’ Ec Appliquons le théorème de l’énergie cinétique au système ( B 2 ) entre l’instant t 3 tout juste après le choc ( le fil tendu ’, et occupant la verticale ) où son énergie cinétique est E c et l’instant t 4 ( le fil tendu et faisant un angle β avec la verticale ) où son énergie cinétique est nulle ( Doc.8-b ). Les forces exercées sur ( B 2 ) entre ces deux instants sont : - la tension T ’ du fil - le poids m g de la boule ( B 2 ). ’ = W (m g) + W ( T’) ∆ Ec t3 t4 t3 t4 t3 t4 O2 O1 l β (B2) T’ mg (B1) W ( T ’ ) = 0 car la force T ’ est constamment normale t3 t4 t3 t4 ’. ’ = - Ec au déplacement; ∆ E c t4 Doc.8-b t3 191 Ch.8 - énergie cinétique énergie cinétique l ( 1 - cosβ ) ’ =-m g - Ec ’ = m g l ( 1 - cosβ ) Ec ’. Comme α = β, on en déduit que E c = E c Au cours du choc, le transfert de l’énergie cinétique d’une boule à l’autre s’est effectué sans perte d’énergie; le choc est dit élastique. Un choc élastique entre deux corps ( S1 ) et ( S2 ) conserve l’énergie cinétique du système { ( S1 ) + ( S2 ) } L’énergie cinétique du système { ( S1 ) + ( S2 ) } tout juste avant le choc est égale à son énergie cinétique tout juste après le choc. ACTIVITÉ EXPÉRIMENTALE -2 Sur une table à coussin d’air, on réalise un choc entre deux planeurs ( 1 ) et ( 2 ) de masses respectives m 1 = 17 g et m 2 = 25 g ( Doc.9- a ). Le planeur ( 1 ), animé d’une vitesse v 1, heurte le planeur ( 2 ) initialement au repos ( Doc.9- b ), lui communique une vitesse v ’2 et rebondit avec une vitesse v ’ 1 ( Doc.9- c ). planeur ( 1 ) planeur ( 2 ) ban cà cou Doc.9-a ssin d’a ir planeur ( 1 ) v1 ’ planeur ( 2 ) au repos d’a ir planeur ( 1 ) planeur ( 2 ) ban cà cou v1 ban cà cou ssin ssin v2 ’ d’a ir Doc.9-b Doc.9-c 192 énergie cinétique planeur Vitesse avant Vitesse après le choc le choc en m.s - 1 en m.s - 1 1 0,19 E C avant le choc en J 8,5.10 - 3 0 Ch.8 - énergie cinétique Les mesures des valeurs des vitesses ainsi que les valeurs calculées des énergies cinétiques avant et après le choc sont consignées dans le tableau suivant : E C après le choc en J 0,3.10 - 3 8,2.10 - 3 (1 ) (2) 0 0,81 Nous constatons que les énergies cinétiques du système formé par les deux planeurs avant et après le choc sont égales. Le choc conserve l’énergie cinétique, il est dit élastique ACTIVITÉ EXPÉRIMENTALE -3 Munissons maintenant chacun des deux planeurs d’un ruban adhésif. Le planeur ( 1 ) animé de la vitesse v 1 heurte le planeur ( 2 ) initialement au repos. Après le choc, les deux planeurs s’accrochent et continuent leur mouvement avec une vitesse v ’ 1 ( Doc.9- d ). ban cà v ’1 cou ssin Doc.9-d d’a ir Les mesures des valeurs des vitesses ainsi que les valeurs calculées des énergies cinétiques des deux planeurs avant et après le choc sont consignées dans le tableau suivant : Vitesse avant Vitesse après le choc le choc en m.s - 1 en m.s - 1 1 0,4 E C avant le choc en J 8,5.10 - 3 3,84.10 - 3 0 E C après le choc en J planeur (1 ) (2) 0 On constate que l’énergie cinétique du système formé par les deux planeurs avant le choc est plus grande que son énergie cinétique après le choc. La diminution de l’énergie cinétique du système des deux planeurs par le travail résistant des forces intérieures. Le choc ne conserve pas l’énergie cinétique, il est dit inélastique 193 Ch.8 - énergie cinétique énergie cinétique EXERCICE D’APPLICATION 5.2 . Détermination d’une force de liaison Dans certaines situations, la détermination de la valeur d’une force de liaison, nécessite l’utilisation du théorème de l’énergie cinétique. L’exercice suivant permettra cette application. Un solide ( S ) de masse m , assimilable à un point matériel, peut glisser sans frottement sur une gouttière ayant la forme d’un quart de cercle de centre O et de rayon r. On le déplace légèrement de sorte qu’il quitte le sommet A avec une vitesse nulle. Une position P de ( S ) à un instant t est repérée par l’angle θ que fait le rayon OP avec le rayon OA (Doc.10-a ). A P Doc.10-a θ r O 1 - a - Reproduire le schéma du document 10-a et représenter les forces exercées sur ( S ) au point P. 1 - b - Appliquer, au point P, la deuxième loi de Newton au système ( S ), et en déduire les expressions de : - la composante tangentielle a t du vecteur accélérationen en fonction de g et θ. - le module R de la réaction de la gouttière en fonction de m, de la vitesse v au point P. g , θ et 2 - a - En appliquant le théorème de l’énergie cinétique au système ( S ) entre l’instant où il quitte A et celui où il se trouve au point P, exprimer le module du vecteur vitesse de ( S ), en fonction de g , θ et r. 2 - b - En déduire l’expression de R en fonction de g , θ et m. 2 - c - Déterminer, en degré, la valeur de l’angle θ lorsque le solide ( S ) quitte la gouttière. Solution 1 - a - Représentation des forces exercées sur ( S ) A P R an θ r mg at Doc.10-b O 194 énergie cinétique supposé galiléen s’écrit : m g + R = ma Projection sur P,T : Projection sur P,N : or a n = m g sinθ = ma t ( 1 ) d’où m g cosθ R = R = Ch.8 - énergie cinétique 1 - b - Composantes tangentielle et normale du vecteur accélération La deuxième loi de Newton appliquée au système ( S ) dans le référentiel terrestre at = g sinθ ( 1’ ) ma n ( 2 ) - m v2 r d’où m g cosθ v2 r ( 2’ ) 2 - a - Module du vecteur vitesse de ( S ) Appliquons le théorème de l’énergie cinétique au solide ( S ) : t 1 : instant où ( S ) quitte le point A sans vitesse initiale t 2 : instant où ( S ) est au point P (Doc.10-c ). ∆E c = t1 t2 L’accélération tangentielle = g sin θ n’est at = dt pas constante car θ dépend du temps. L’établissement des équations d’un tel mouvement dépasse le cadre du secondaire et le théorème de l’énergie cinétique s’impose pour déterminer l’expression de la vitesse au point P. dv w (mg) t1 t2 + w(R) t1 t2 1 2 mv 2 - 0 = m g r ( 1 - cosθ ) + 0 v = 2 g r ( 1 - cosθ ) 2 - b - Expression du module de la réaction de la gouttière Dans l’expression ( 2’ ) on remplace v2 r par 2 g ( 1 - cosθ ) A R On obtient R = m g ( 3cosθ - 2 ) P an 2 - c - Valeur de θ lorsque le solide ( S ) quitte la gouttière Lorsque ( S ) perd tout contact avec la gouttière, la réaction R s’annule : R = 0 ( 3cosθ - 2 ) = = 48,2 ϒ 0 cosθ = 2 3 Doc.10-c at θ r mg O θ 195 Ch.8 - énergie cinétique énergie cinétique t en em v u C mo B du s n se α A EXERCICE RÉSOLU ENONCÉ : On considère un véhicule de masse m = 100kg en mouvement sur une piste inclinée d'un angle α = 30° par rapport à l'horizontale. Au cours de son mouvement, le véhicule est constamment soumis à des forces de frottements dont la résultante f a une valeur constante f = 100 N . Lorsque le véhicule se déplace, son centre d'inertie G décrit la ligne de plus grande pente. (Doc.11-a ) Doc.11-a 1- Sous l'effet d'une force motrice F, développée par le moteur et de même direction que la ligne de plus grande pente, le véhicule quitte la position A avec une vitesse nulle et atteint la position B avec une vitesse de valeur v B = 20 m.s - 1. En appliquant le théorème de l’énergie cinétique au système constitué par le véhicule, calculer la valeur de F. On donne AB = 100 m . 2- Arrivé au point B, la force motrice est supprimée et le véhicule continue son mouvement jusqu'au point C où sa vitesse s'annule. Calculer la distance BC. On donne g = 9,8 m.s - 2 SOLUTION 1- Détermination de la valeur de - Système : { véhicule }. - Référentiel : Référentiel terrestre supposé galiléen. 1-Choisir un système 2- Définir le référentiel d’étude 3- Définir clairement les deux - Les deux états : instants ( s'aider d'un schéma état initial : G en A ; E C ( A ) = 0 pour préciser les deux états ) 4- Dresser le bilan des forces 1 2 appliquées au système état final : G en B ; E C = m v B ( Doc.11-b ) (B) 2 et calculer leurs travaux entre les deux instants considérés Travaux effectués par les forces 5- Formuler et appliquer le Forces appliquées entre A et B théorème F Comment appliquer le théorème de l’énergie cinétique ? w(m g) = m Le poids m g A B g g (zB - zA) AB sin α Rn F f . AB α =-m O k La réaction normale R n du plan La force motrice F A w ( Rn ) = 0 A B B zB w(F) = B F A zA mg La force de frottement f A w( f B )=- f . AB Doc.11-b 196 .5 2.Système : { véhicule }.énergie cinétique Appliquons le théorème de l’énergie cinétique : ∆E c = A B (B) Ch.( 20 ) 2 F = 100 F = 790 N + 100 + 100.Les deux états : état initial : G en B .0.9. BC Ec - - Ec = . . AB Appliquons le théorème de l’énergie cinétique : ∆E c = B C (C) Σ w ( F ext B C (B) + F int g ) BC sin α + f f ) BC 197 .m g 1 m 2 2 vB = -(m sinα . AB ) AB f .8.100.5.zB) BC sin α =-m La réaction normale R n du plan La force de frottement f B w ( Rn ) = 0 B C w( f C )=- f . AB Ec - Ec = .Référentiel : Référentiel terrestre supposé galiléen.énergie cinétique Σ w(F A B (A) ext + F int g ) AB sin α + F f F .Détermination de la distance BC .m g 1 m 2 2 vB = (-m sinα + F = 1 m 2 vB + f + m g sin α 2 AB Application numérique : 0.8 . état final : G en C . E C( B ) = (C) 1 m 2 vB 2 EC =0 Travaux effectués par les forces entre A et B Forces appliquées w(m g) = m Le poids m g B C g g (zC . 9.5 BC = 33.0.9 m + m énergie cinétique vB g sin α 2 BC = BC = 198 .Ch.8.8 .100.énergie cinétique 1 m 2 f Application numérique : 0.5.( 20 ) 2 100 + 100. en rad. comme la vitesse.8 . est relative au référentiel d’étude. . entre deux instants t 1 et t 2 quelconques est égale à la somme algébrique des travaux de toutes les forces extérieures et intérieures au système entre ces deux instants.Ec (t1) = t2 ΣW(F t1 t2 ext + F int ) 199 .L’énergie cinétique d’un solide en rotation autour d’un axe fixe est donnée par : .s .1 .énergie cinétique L’ESSENTIEL DU COURS Ch.L’énergie cinétique d’un solide de masse m dont le centre d’inertie G est animé d’une vitesse v G s’écrit : 1 2 m vG 2 Ec = . θ : vitesse angulaire. animé d’une vitesse v est donnée par : Ec = 1 m v 2 2 m en kg . s . E c en joule. . t1 ∆ Ec = Ec(t2) .2 Ec = 1 J θ 2 J : moment d’inertie par rapport à un axe de rotation fixe.1 REMARQUE : l’énergie cinétique.énergie cinétique . la variation de l’énergie cinétique d’un système matériel déformable ou indéformable. v en m .L’énergie cinétique d’un objet ponctuel de masse m ou d’un solide en mouvement de translation de même masse. ENONCÉ DU THÉORÈME DE L’ÉNERGIE CINÉTIQUE Dans un référentiel galiléen. un pendule formé d’une bille de rayon r d’environ 1cm. .un support.un électro-aimant .un mesureur de vitesse . attaché à un fil inextensible.Ecarter le pendule d’un angle α à partir de la verticale et positionner l’électro-aimant de manière à retenir la bille dans une position telle que le plan formé par la direction du fil et la verticale passe par le milieu des bras du mesureur de vitesse. En déduire la valeur de g On admettra que la bille est libérée par l’aimant sans vitesse initiale.8 .12 EXPLOITATION DES RÉSULTATS DE MESURES 1 .Conclure. .énergie cinétique énergie cinétique TRAVAUX BUT PRATIQUES Vérifier le théorème de l’énergie cinétique. L. PROTOCOLE EXPÉRIMENTAL . 3 .Etude théorique : Etablir l’expression de Ec en fonction de m . g .Ch. de masse m. 200 .Libérer le pendule en agissant sur l’électro-aimant et noter la valeur de la vitesse. d et α. MATÉRIEL . .Tracer le graphe correspondant à Ec = f ( cosα ) 2 .un rapporteur . TABLEAU DE MESURES α fil α ( en degré ) cosα électro aimant 5 10 15 20 25 bille -1 v Ec = ( m.s ) 1 2 mv 2 ( J ) mesureur de vitesse Doc.Réaliser le montage représenté sur la figure ci -contre. de masse négligeable et de longueur l telle que l + r = 1 m. sens de rotation v double. A l’instant initial t 1.E c ( A ) = W AB ( R n) + W AB ( P ) 2. Il est soumis à une force de frottement f d .E c ( A ) = W AB ( f d ) + W AB ( P ) c .E c double si constante. il est animé d’une vitesse v 2 et son centre d’inertie se trouve en B.∆θ double si change pas c .E c ( A ) = W AB ( P a .Un solide en mouvement de translation de masse m est animé d’une vitesse v et possède une énergie cinétique E c . A l’instant t 2. M f double et θ 0 ne M f double . l’arrêt a lieu au bout de n tours.Un disque est en mouvement de rotation .Un solide de masse m en mouvement de translation suivant une trajectoire rectiligne inclinée par rapport à l’horizontale . F étant F b .énergie cinétique Je vérifie mes connaissances 1.E c ( B ) . sens de rotation R F v 1 et son centre d’inertie se trouve en A.Un disque décrit. sous l’action d’une force F tangentielle au disque et de valeur constante au cours du mouvement. il est animé d’une vitesse Ch. l’étude du mouvement se fait par rapport à un référentiel terrestre supposé galiléen. et θ 0 est divisée par 4.E c ne change pas si R double et ∆θ est divisée par 2 ) d . un angle ∆θ au cours de son mouvement de rotation autour d’un axe fixe horizontal. b . constante. a .8 . a .E c double si divisée par 2 v + .E c ne change pas si ∆θ double et est divisée par 2 c .∆θ est divisée par 2 si . uniforme de vitesse angulaire θ 0.E c ( A ) = W AB ( f d ) b . 4. a .∆θ ne change pas si θ 0 est divisée par 2 et v double et m est M f double. 201 . A l’instant t = 0 le disque est soumis à un couple de frottement.E c ( B ) . de moment M f .E c reste inchangée si m double et est divisée par 2 c .E c double si ∆θ double. m étant b .énergie cinétique Chaque question peut avoir une ou plusieurs réponses correctes 3. à partir du repos.E c ( B ) .E c ( B ) . On négligera les forces de frottements.2 kg et m B = 0.m supposé constant.13 Je sais appliquer mes connaissances. mA A O Ex-2. ( B ) } lorsque le pendule passe par sa position d’équilibre.14 α B 2m 202 . OA = l. Calculer la vitesse angulaire du systéme { ( A ).min -1 . ∆ + B mB Doc. 1 .s .Ch.6 N.8 m.4 kg fixées aux extrémités A et B ( Doc-13 ). OB = 2 l ( Doc.Une barre AB horizontale de masse m = 6 kg.2 l = 60 cm.8 . on applique un couple moteur de moment constant M m . m B }. La barre initialement immobile est lancée par le moteur à la vitesse de rotation de 360 tours. est mobile autour d'un axe ( ∆ ) vertical passant par O milieu de AB. cette vitesse est atteinte au bout de 250 tours. m A. cette tige peut osciller dans un plan vertical. La barre est munie de deux surcharges quasi ponctuelles de masses m A = 0. je sais raisonner Ex-1. autour d'un axe horizontal ( O. Données : g = 9. il s'exerce aussi des forces de frottement équivalentes à un couple de moment M f = 0.énergie cinétique énergie cinétique 2 .Déterminer la position du centre d’inertie de l’ensemble des deux masses. 1 .Aux extrémités A et B d'une tige de masse négligeable sont fixées des masses ponctuelles : m en A et 2 m en B. ∆ ).Sur l'axe de rotation.14 ). Doc.Calculer le moment d'inertie du systéme { barre. de longueur AB = 2 l = 2 m. le pendule est abandonné sans vitesse initiale. m A O ∆ 2 .Pour α = 90°. Calculer le moment du couple moteur en justifiant le signe de M m. 15 A Ex-4.2 O (∆ ) G θ Doc.En exploitant le diagramme du document 16. La boule est supposée ponctuelle et la distance qui sépare le point de suspension O du fil au centre d’inertie G de la boule est l.5 1 203 . fixée à l'extrémité A d'un fil OA.Etablir.s -1 θ .2 kg.8 N. on lui communique une vitesse angulaire θ 0.la valeur de la longueur l . Données : g = 9. Sa masse est m = 1. La barre tourne alors autour de l'axe ( ∆ ). déterminer : . 0 = 3. Ch. .kg -1 O 0.la valeur de α 0 . α.8 .8 m. 3 .16-a E c (J) α0 α A cos α Doc. l'expression de l'énergie cinétique de la boule en fonction de m. de masse négligeable et dont l'extrémité O est attachée à un point fixe. 2 .Quelle doit être la valeur minimale de θ 0 pour que la barre fasse un tour complet ? Données : g = 9. de masse m = 100 g. de θ 0 et des autres paramètres caractérisant le système.énergie cinétique 1 . l.sa longueur l = 80 cm et son moment d'inertie 1 m l2 par rapport à l'axe ( ∆ ) est J ∆ = 3 La barre étant initialement dans sa position d'équilibre stable.s .Une barre homogène OA est mobile sans frottement autour d’un axe horizontal ( ∆ ) passant par son extrémité O.Déterminer la vitesse angulaire θ de la barre en fonction de θ.Calculer l'écart maximal θ m pour .5 Doc. dans un plan vertical.3 rd. 2 . Sa position est repérée par l'angle θ qu'elle fait avec la verticale ( Doc-15 ).16-b 0. pour une position quelconque du pendule.énergie cinétique Ex-3. . Une position quelconque du pendule au cours de son mouvement est repérée par l'angle α que fait la direction du fil tendu avec la verticale ( Doc-16-a ). α0 et g . Le diagramme de l'énergie cinétique de la boule ( B ) en fonction de cos α est porté sur le document 16-b. On écarte le pendule d'un angle α 0 de sa position d'équilibre et on le libère sans vitesse initiale. .la valeur de la vitesse de la boule à son passage par la position d'équilibre. 1 .Un pendule simple est formé d'une boule ( S ). Ch.8 - énergie cinétique énergie cinétique L’action de F cesse quand le volant a effectué n tours à partir du repos. a - Exprimer,le travail de la force F au cours de la phase de lancement en fonction de F ,r et de n. b - En appliquant le théorème de l’énergie cinétique au système { volant }, déterminer la vitesse angulaire du volant à la fin de la phase de lancement. c - Calculer à cet instant, la valeur de la vitesse acquise par un point A situé à la périphérie du cylindre ( C 3 ) ( Doc-16-b ). Données : F = 10 N, M = 1 kg, R = 5 cm, r = 1,5 cm, m = 0,1 kg, n = 5 tours. Ex-5- Un volant homogène est constitué de trois cylindres pleins ( C 1 ), ( C 2 ), ( C 3 ), de même axe ( ∆ ), solidaires les uns des autres, disposés comme l'indique le schéma du document 17-a. Les cylindres ( C 1 ) et ( C 3 ) sont identiques, de même masse M et de rayon R ; le cylindre ( C 2 ) a pour rayon r et pour masse m . 1 - Calculer le moment d'inertie J du volant par rapport à l'axe ( ∆ ) . 2 - On enroule autour de ( C 2 ) un fil inextensible et de masse négligeable telle qu’une extrêmité du fil est fixée à un point de la surface de ( C 2 ). Le volant, initialement au repos, est lancé en tirant sur l’autre extrêmité du fil avec une force F constante,orthogonale à l'axe ( ∆ ). ( C1 ) ( ∆) Doc.17-a ( C2 ) ( C3 ) A ( ∆) ( C3 ) v Doc.17-b + F F Ex 6- Un chariot ( S ) de masse M = 10 kg est placé sur des rails disposés suivant une trajectoire ( ABCD ) contenue dans un plan vertical et composée : - d'une portion rectiligne horizontale ( ABC ) telle que AB = 0,5 m - d'une portion circulaire ( CD ) de rayon r et de centre O pris comme origine de l'axe vertical Oz passant par C ( Doc.18-a ). Dans tout l'exercice, on supposera tout type de frottement négligeable. Des sportifs entrent en compétition en se prêtant au jeu suivant : un sportif exerce sur ( S ), initialement au repos en A, une force F horizontale et constante tout le long du trajet ( AB ) afin de lui imprimer une vitesse v B en B. Arrivé en C avec une vitesse v C = v B, le chariot suit le trajet circulaire qu’il quitte en une position H telle que l’angle ( OC , OH ) = θ . z (S) A B C H θ Doc.18-a O D sol 204 énergie cinétique 1- Mouvement suivant le trajet ( AB ) . a - Representer les forces que nous supposons être appliquées au centre d’inertie G du chariot b - En appliquant le théorème de l’énergie cinétique au système constitué par le chariot, montrer que la valeur de la vitesse Ch.8 - énergie cinétique Ceci permet de tracer la courbe cos θ = f ( F ) ( Doc.18-b ). a - Représenter le(s) force(s) s’exerçant sur ( S ) au point H b - En appliquant au point H le théoreme du centre d’inertie au système ( S ) montrer que 2 vH = v B s’écrit : 2 F . AB M g . r . cos θ vB = c - Montrer que cos θ = 2 3M AB g r . F + 2 3 2- Mouvement suivant le trajet circulaire (CD) Pour chaque sportif participant à la compétition, on note la valeur de F et l’angle θ correspondant à la position H où le chariot quitte les rails entre C et D. cos θ 1 2 3 d - déduire la valeur de r sachant que g = 9,8 N.kg -1 Doc.18-b F 0 196 ( en N ) Ex 7- On étudie le mouvement du centre d'inertie G d'un solide de masse m = 0,5 kg glissant sur une piste ( ABCD ) ( Doc.19-a ). - la partie AB est un arc de cercle de rayon r et telle que ( O1A, O1B ) = θ = 60°. - la partie BC est rectiligne et horizontale de longueur l = 1 m . - la partie CD est un demi-cercle de rayon r. - seule la partie BC présente des frottements équivalents à une force constante . 1 - a - Donner les expressions littérales exprimant les travaux des forces extérieures s'exerçant sur le solide au cours du trajet ( ABCD ) b - En appliquant le théorème de l'énergie 2 2 = vA +b; b cinétique, établir que v D sera exprimée en fonction des paramètres de l'exercice . vD Doc.19-a A θ O1 O2 D α G3 C 205 vA B Ch.8 - énergie cinétique 2 - Deux mesureurs de vitesse sont placés en A et D et permettent de mesurer les valeurs des vitesses trace la courbe énergie cinétique de piste CD sur le solide en un point entre C et D défini par α = ( O 2C , O 2M ) en fonction de m, g , r, α et sa vitesse v A et v D . Ainsi on 2 = f( 2 ) vD v A ( Doc.19-b ). En déduire la valeur de f . 3 - Etablir l'expression de la valeur de la réaction R 1 exercée par la portion v en ce point. 4 - Quelle est la valeur minimale de la vitesse v A pour que le solide atteigne le point D. 2 vD en m 2.s - 2 8 Doc.19-b 3 20 25 2 vA en m 2.s - 2 206 mouvement dans un champ gravitationn Ch.9 - mouvement dans un champ gravitationnel 9 Mouvement dans un champ gravitationnel Photo.1 : l’eau de ces jets dessine des paraboles. OBJECTIFS Appliquer la relation fondamentale de la dynamique - au mouvement d’un projectile - au mouvement d’un satellite. Retrouver la troisième loi de Kepler. 207 mouvement dans un champ gravitationn Ch.9 - mouvement dans un champ gravitationnel 1. Mouvement d’un projectile 1.1 . Introduction Un caillou projeté par le pneu d’un camion vers l’arrière ; une fléchette sortant de l’extrémité du canon d’un pistolet, une balle frappée avec une raquette, une boule métallique lancée par un athlète ... Tous ces objets, dont les centres de gravité décrivent, au cours de leur évolution dans l’air, des trajectoires paraboliques, portent le nom de projectiles. Au cours de leur mouvement, ces objets sont soumis pratiquement à la seule action de leurs poids ; ils sont en chute libre. 1.2 . La chute libre avec vitesse initiale non verticale Un solide ( S ), de masse m et de centre d’inertie G, est lancé à l’instant t = 0 d’un point O, origine du repère d’espace ( O, i , j , k ) avec une vitesse initiale v 0 contenue dans le plan vertical ( i , k ) et faisant un angle α avec l’horizontale ( Doc.1 ). Etudions le mouvement du centre d’inertie G de ce projectile dans le champ de pesanteur supposé uniforme, par rapport au référentiel terrestre. z v0 k j O α i x Doc.1 a = g ( d’après la 2 ème loi Newton ) 1. 2.1 . Equations horaires du mouvement Les conditions initiales ( à t = 0 ) : ax = 0 a ay = 0 az = COORDONNÉES g v 0x = v0 v 0y = 0 v 0z = v 0 cos α OG 0 x0 = 0 y0 = 0 z0 = 0 v 0 sin α DU VECTEUR VITESSE ax = a = dv dt dv x dt dv y dt dv z dt ay = az = 208 mouvement dans un champ gravitationn Ch.9 - mouvement dans un champ gravitationnel ax = dv x dt = 0 ; donc v x est constante. Etant constante, v x garde sa valeur initiale à l’instant t = 0 vx = ay = dv y dt v 0 cos α = 0 ; donc v y est constante. Etant constante, v y garde sa valeur initiale à l’instant t = 0 vy = 0 az = dv z dt = g , d’où vz = - g t + cte La constante correspond à v z à l’instant t = 0. vz = - g t + v0 sin α vx = v 0 cos α D’où v vy= 0 vz = - g t + v0 sin α COORDONNÉES DU VECTEUR POSITION vx = v = d OG dt dx dt dy dt dz dt 209 vy = vz = mouvement dans un champ gravitationn Ch.9 - mouvement dans un champ gravitationnel vx = dx dt = v 0 cos α ; d’où x = ( v0 cos α ) t + cte La constante correspond à l’abscisse x à l’instant t = 0 : x 0 = 0 x = ( v0 cos α ) t vy = dy dt = 0 ; y est alors constante, sa valeur correspond à celle de y à l’instant t = 0 : y 0 = 0 y=0 vz = dz dt = - g t + v0 sin α La fonction z dont la dérivée est une fonction affine du temps s’écrit : z = 1 2 g t2 + ( v0 sin α ) t + cte La valeur de la constante correspond à la coordonnée z à l’instant t = 0 : z 0 = 0. D’où: z = 1 2 g t2 + ( v0 sin α ) t x = ( v0 cos α ) t OG y=0 1 2 z = - g t2 + ( v0 sin α ) t La coordonnée y étant constamment nulle, le mouvement s’effectue dans le plan vertical OXZ, c’est à dire dans le plan qui contient le vecteur vitesse v 0. Les cordonnées x et z correspondent aux équations paramétriques de la trajectoire. 210 3 ). le vecteur vitesse est horizontal et sa composante selon l’axe Oz s’annule à l’instant t S telle que : z zS k O Doc.mouvement dans un champ gravitationn Ch. En balistique ( science du mouvement des projectiles d’armes à feu ). De l’expression de x. Equation cartésienne de la trajectoire L’équation cartésienne de la trajectoire est la relation qui lie les coordonnées x et z .3 S vS Flèche v0 α i xS sol x v zS = - g tS + v 0 sin α = 0 tS = v 0 sin α g zS = - 1 2 g tS + ( 2 v 0 sin α ) t S 211 .2 ). z S ).9 . Elle correspond à la coordonnée z S du sommet S de la trajectoire du centre d’inertie G quand l’origine O du repère d’étude est au niveau du sol ( Doc.2 z = - 1 2 g ( g x v 0 cos α ) 2 + v 0 sin α x v 0 cos α z = - ( 2 2 v0 cos α 2 ) x2 + ( tg α ) x La trajectoire du centre d’inertie d’un corps en chute libre avec vitesse initale non verticale est parabolique ( Doc. atteinte par le projectile. on l’obtient en éliminant le pararmètre t entre ces deux coordonnées. Cherchons l’expression de z S : En S. la trajectoire du centre d’inertie G 2 du projectile possède un sommet S de coordonnées( x S . rad. on tire celle de t et on la remplace dans l’équation de z.2 . x = ( v 0 cos α ) t t = x d’où α i x v 0 cos α Doc.mouvement dans un champ gravitationnel z v0 k O 1. on utilise les termes flèche et portée que nous allons définir dans les paragraphes suivants : LA FLÈCHE Pour 0 < α < π La flèche est la hauteur maximale. par rapport au sol.2. en remplaçant x P dans l’expression de la coordonnée x( t ) établie dans la page-4 .9 . l’ordonnée de P est nulle. on trouve 2 2 tP = 212 sinα cosα g v 0 sin α g xP = v0 sin2α g .4 = 0 La solution x = 0 correspond à l’abscisse du point de lancement. v0 cosα ) t S = ( v0 cosα ) v0 g sinα . l’autre solution correspond à l’abscisse du point P. on peut écrire : xP = 2 xS . L’expression de x S se déduit de celle de x en remplaçant t par t S . xP = 2 2v 0 cos 2α. soit α = 45°. z = z 2 v0 k O S α i xS Portée ( - g 2 2 v0 cos 2 α )x 2 + ( tg α ) x = 0 x = ( g 2 2 v0 cos 2 α x + ( tg α ) )x Doc.sinα g cosα = g xP = v2 0 sin2α g Remarquons que : .α2 2 v0 2 xP = 2 xS = 2 . par raison de symétrie de la trajectoire parabolique par rapport à la verticale passant par le sommet S.sinα 2v 0 On peut retrouver l’expression de x S en remarquant que. ce qui correspond 2 à un tir vertical. la portée est maximale pour sin 2α = 1.pour une vitesse initiale de valeur constante. LA PORTÉE La portée est l’abscisse x P du point d’impact P du corps lancé avec le sol.tgα 2 cos 2α.mouvement dans un champ gravitationn Ch.pour une même vitesse initale v 0 donnée. ce qui permet d’écrire : xS = ( = g 2 2v 0 cosα. Dans l’exemple correspondant au document 4.mouvement dans un champ gravitationnel zS = - 2 v2 0 sin α 2 v2 0 sin α + g 2 v2 0 sin α 2 g zS = g π La flèhe est maximale pour α = rad. on a 2 une même portée pour deux angles de tir α 1 et α 2 v0 sinα cosα = solutions de l’équation x P = d : les deux solutions α 1 et α 2 g π sont telles que : 2α 1 = π .2α 2 soit α 1 = . LIBRE AVES VITESSE INITIALE VERTICALE ET DIRIGÉE VERS LE BAS La trajectoire est rectiligne . zS 1 = 2 z=0 O g v0 g 2 tS + v 0 tS = - 1 2 1 2 g ( v2 0 g v0 g ) 2 + v0 v0 g Trajectoire rectiligne verticale = - + v2 0 g 1 2 Doc. à l’instant t S lorsque sa vitesse s’annule. Le mouvement est rectiligne .5 ). avec une vitesse v 0. Le mouvement comporte deux phases : mouvement ascendant uniformément retardé avec arrêt instantané au point S mouvement descendant uniformément accéléré. la trajectoire est portée par la verticale (α = 2 passant par O ( Doc.6 ). OG = ( - Doc.mouvement dans un champ gravitationn Ch. d’où : CHUTE zS = v2 0 g Le mouvement est rectiligne uniformément accéléré. vS = - g tS + v0 = 0 tS = v0 g La coordonnée z S du point S est obtenu en remplaçant t par t S dans l’expression de z.mouvement dans un champ gravitationnel CHUTE LIBRE AVES VITESSE INITIALE VERTICALE ET DIRIGÉE VERS LE HAUT Lorsque le projectile est lancé à partir du point O. verticale et dirigée vers le haut π rad ). Le mouvement est décrit par les équations : a = v = (- g g 1 2 k t g - v0 ) k t2 - OG = ( - v0 t ) k 213 .5 : Chute libre avec vitesse initiale verticale et dirigée vers le haut.9 . il est décrit par les équations suivantes : zS S g v0 z=0 O Trajectoire rectiligne verticale a = v = (- g g k t + v0 ) k 1 g t2 + v 0 t ) k 2 Le projectile rebrousse chemin au point S. elle est portée par la verticale passant par le point de lancement O ( Doc.6 : Chute libre avec vitesse initiale verticale et dirigée vers le bas. en outre. Il réalise des séries de simulations rassemblées dans les réseaux de courbes correspondants aux documents 10 et 11. en plus de la valeur 21.45 m. on ne travaillera que sur le centre d’inertie G du boulet métallique dont le mouvement a lieu dans un plan vertical .mouvement dans un champ gravitationnel RÉSOLU N01 EXERCICE ENONCÉ : Lors des championnats du monde d’athlétisme qui eurent lieu à Paris. j ) associé à un référentiel terrestre supposé galiléen.8 ( Doc-7 ). au cours de son mouvement. sa taille est telle que l’altitude initiale de ses lancers n’est au maximum que de h’ = 2. b.Déterminer l'instant t s où le boulet atteint le sommet S de la trajectoire. i. c.8 t ( en s ) t ( en s ) O Doc.69 m de record.L’entraineur veut ensuite savoir sur quel( s ) paramètre( s ) il peut travailler pour améliorer la performance de l’athlète. 4. s .mouvement dans un champ gravitationn Ch. trouver les coordonnées du vecteur accélération a de G.69 m x i de pesanteur est g = 9. Doc. Pour simplifier les raisonnements.Déterminer les caractéristiques de la vitesse initiale v 0.s-2 y v0 A j α S vS O B 21.7 L'entraîneur de l'un de ses concurrents souhaite étudier ce lancer. l’angle de tir est maintenu constant soit α = 41°.1. Le boulet a quitté la main de l'athlète à la position indiquée dans le document 7. la vitesse est maintenue constante soit 214 v 0 = 13.1 ) 10 9. s . 3. Celui-ci est plus petit que le recordman du monde.En appliquant le théorème du centre d'inertie au système { boulet } dans le repère d'espace ( O.8 m .En déduire la valeur de y A. des deux documents 8 et 9 tracés à l'aide d'un dispositif approprié et correspondant à v x ( t ) et v y ( t ). 2. il dispose pour G. Sur le document 11. L’entraineur décide donc d’étudier l’influence de la valeur v 0 de la vitesse initiale du lancer et de l’angle de tir α . le boulet est soumis uniquement à son poids P et que dans cette région la valeur du champ m.9 . s .Etablir l’équation de la trajectoire de G en fonction des données littérales.1 ) O Doc.9 1 1. en août 2003. le vainqueur de l’épreuve du lancer du poids ( Andrey Mikhnevich ) a réussi un jet à une distance D = 21. v x ( en m . Sur le document 11. Pour cela.4 v y ( en m .69 m.Etude dynamique : a. . parmi les combinaisons proposées. s . 215 .diminue. passe par un maximum puis diminue .1 Doc. Justifier la réponse.augmente. quand α augmente.augmente .Confronter les documents 10 et 11 pour en déduire si. s .69 -a.11 0 5 10 15 20 x en m 21.diminue. choisir parmi les propositions suivantes celle( s ) qui est ( sont ) correcte( s ).est la même .diminue .A partir des documents 10 et 11.8 m .9 . quand v 0 augmente. la distance horizontale D du jet : .mouvement dans un champ gravitationnel y en m 8 6 4 v 0 = 14. 1) Pour un angle α fixé. passe par un minimum puis augmente -b.1 v 0 = 13. passe par un minimum puis augmente 2) Pour une vitesse initiale de valeur v 0 fixée. passe par un maximum puis diminue .diminue .2 m . la distance horizontale D du jet : .augmente.augmente .10 2 0 5 10 15 20 x en m y en m 8 6 4 2 α = 37° α = 48° α = 41° Doc.mouvement dans un champ gravitationn Ch.1 v 0 = 13.est la même . il en existe une satisfaisante pour battre le record du monde.0 m . s . d’après le document 9.mouvement dans un champ gravitationn Ch. et tg α = v 0x v 0y Application numérique : v0 = ( 10 ) 2 + ( 9.Coordonnées de système : { boulet } . D'après le document 7. Forces extérieures : poids P = m g . s -b.1 v 0y = 9. Appliquons le théoréme du centre d’inertie au système.4 m .Caractéristiques de v0 : v 0x = 10 m .Instant t S : En S. ceci a lieu à l’instant t S = 1 s. d’après le document 7 la vitesse est horizontale.1 v0 = 2 v2 0x + v 0y D'après le document 8.4 10 v0 donc -1 = 13. Référentiel terrestre supposé galiléen. 3 -a. s α = 43° 2. a : Σ F ext = m a donc mg = m a d’où a = g a ax = 0 ay = g -2 = .Equation de la trajectoire de G : Conditions initiales : t = 0 v0 v 0x = v 0x = v 0 cosα OG 0 x0 = 0 y0 = yA v 0 sinα v x = cte 1 vy = et cte 2 = g d’après les conditions initiales a = cte 1 = dv dt v v 0 cosα t + cte 2 v 0 sinα 216 .4 ) 2 tg α = 9.7 m . D'après le document 9.8 m . s . donc v Sy = 0 .9.9 . s .mouvement dans un champ gravitationnel SOLUTION 1. 1 2 g x + v 0 sinα x + yA ( v 0 cosα ) g x2 2 ( v 0 cosα ) + ( tg α ) x + yA d’où : y = 2 2v0 cos α -c.tg ( 43° ) .1 2 d’après les conditions initiales : cte 3 = 0 et cte 4 = y A x = ( OG y = .69 ) 2 .54 m 217 .9 .69 ) y A= 2.8 2 ( 13.mouvement dans un champ gravitationn Ch. ( 21.mouvement dans un champ gravitationnel v vx = vy = - v 0 cosα g t + x = OG v 0 sinα v 0 cosα t + cte 3 g t2 + ( v = d OG dt y = .7 ) cos 2 ( 43° ) 2 ( 21.1 2 v 0 sin α ) t + cte 4 d’où : v 0 cosα ) t g t2 + ( v 0 sin α ) t + y A éliminons t entre x et y : x = ( v 0 cosα ) t t = x ( v 0 cosα ) remplaçons t dans y : 2 y = .Valeur de y A : remplaçons x et y par leurs valeurs en B g 0 = 2 cos2α 2v0 2 xB + ( tg α ) x B + yA g d’où : yA = 2 2v0 cos α 2 2 xB - ( tg α ) x B Application numérique : yA = 9. 2a Soleil KÉPLER Doc.43.10 -19 2.10 11 Jupiter 11.78. Il constitue la troisième loi de Kepler.25 J 1. Les aires SBC et SDE balayées par le rayon qui joint le centre du soleil et la planète ( P ) pendant des intervalles de temps égaux. On constate que le quotient 218 .99. Isaac Newton montra que ces lois pouvaient se déduire de la loi d’attraction universelle et à partir des lois de la mécanique classique.10 11 Terre 365.28. Dans un référentiel héliocentrique.mouvement dans un champ gravitationnel 2. T2 r3 ( s . Mouvement des satellites 2.10 11 Saturne 29.88 an 2.10 -19 2.14 :une planète ( P ) décrit une ellipse dont l’un des foyers est le centre du Soleil. . Ce résultat est valable pour les orbites elliptiques en prenant pour r la longueur a du demi grand axe de l’ellipse. les aires balayées pendant un même intervalle de temps sont différentes. sont égales.99. Les deux premières lois de Kepler furent publiées en 1609 et la troisième loi en 1618. .99.9 . les mouvements des planètes autour du Soleil.70 J 1.10 11 2.99. pendant des intervalles de temps égaux.Pour deux planètes en mouvement sur deux otbites différentes.10 -19 Doc. pour la première fois. Peu après. l’astronome et physicien allemand Johannes Kepler formula trois lois qui décrivaient.86 an 7. TROISIÈME LOI DE C (P ) B Soleil D E KÉPLER Le tableau ci dessous donne la période T et le rayon r de l’orbite partiquement circulaire de quelques planètes du système solaire.10 11 Mars 1.13 : la distance 2 a correspond au grand axe.10 -19 2.mouvement dans un champ gravitationn Ch.La planète tourne plus vite lorsqu’elle est plus proche du Soleil. les planètes décrivent des ellipses dont l’un des foyer coïncide avec le centre du Soleil ( Doc 13 ).08.46 an 1.1 Mouvement des planètes autour du soleil Au début du XVIIe siècle. DEUXIÈME LOI DE KÉPLER : LOI DES AIRES Les aires balayées par le rayon qui joint le centre du Soleil au centre d’une planète.5.10 -19 -3 ) T2 est constant et r3 indépendant de la planète en orbite. sont égales ( Doc 14 ).m 2 2. PREMIÈRE LOI DE Planète .99. Planète T r (m) Vénus 224. porté à l’aide d’une fusée en un point M de l’espace d’altitude h. (RT + h)2 M T : masse de la Terre R T : rayon de la Terre.14 Lune 2. puis libéré avec une vitesse v 0 .10 3 7278.14 6.616. 2.10 4 42178. il peut être considéré comme un corps ponctuel.10 -14 s 2 .G u ( Doc 15 ).10 3 9.9. Les lois du mouvement Les trois lois de Kepler s’appliquent également aux satellites d’une planète : T2 = Kp .15 Système : les dimensions du système { satellite } sont très petites devant la distance le séparant de la Terre .14 Météosat Fen-Youn1 8. de masse m.1 .la troisième loi s’écrit : Satellite de la Terre T (s) a (m) Spot 2 6120 s 7210.2 .10 . K p est égal à 3. En admettant que la Terre a une répartition de masse à symétrie sphérique.10 3 9.10 .86.10 8 9. par rapport au référentiel géocentrique. K p a une valeur proche de 9. le vecteur champ gravitationnel au point M est donné par l’expression : MT G (h) = .84.m 2 -3 ) 2.9 .14 T2 r3 ( s . Référentiel d’étude : référentiel géocentrique.10 .10 .10 3 9.36.mouvement dans un champ gravitationnel 2. Mouvement des satellites autour des planètes 2.11.10 6 3.10 -19 s 2 . Mouvement d’un satellite terrestre Etudions le mouvement d’un satellite. Satellite G (h) M u Terre ACCÉLÉRATION DU SATELLITE Doc. r3 la valeur de K p ne dépend que de la planète considérée et est indépendante des satellites en orbites . .2 . 2.86.9.pour tous les satellites de la Terre.8. m .3 ( voir le tableau ci dessous ).pour tous les satellites de la planète Jupiter. m .mouvement dans un champ gravitationn Ch. 219 .3 .168. . Application de la deuxième loi de Newton : u Terre Doc.L’accélération étant centripète.G MT (RT + h) 2 u Au niveau du sol ( h = 0 ). Satellite Les forces de gravitation exercées par le Soleil et par la Lune sont négligeables devant celle exercée par la Terre. Les forces de frottement sont aussi négligeables car le satellite est en dehors de l’atmosphère.Dans la suite du cours. M T (RT + h)2 F T/ S u ( Doc 16 ).mouvement dans un champ gravitationnel Forces appliquées : le système est soumis pratiquement à la seule force gravitationnelle F T/ S = . REMARQUES . le vecteur champ gravitationnel a pour expression: MT G (0) = . on se limitera à l’étude des trajectoires circulaires.9 .mouvement dans un champ gravitationn Ch.G u 2 RT Le produit G M T est égal à Ceci nous permet d’écrire : G (0) RT 2 a = G (h) = - G (0) RT (RT + h) 2 2 u L’accélération du satellite est dirigée vers le centre de la Terre . 220 .16 F T/ S = m G ( h ) = m a d’où a = G (h) = . la trajectoire du satellite est située dans un plan passant par le centre de la Terre. elle est dite centripète.La trajectoire peut être elliptique ou circulaire selon les conditions initiales de libération du satellite.G m. . de périmètre 2π ( RT + h ).mouvement dans un champ gravitationnel VITESSE DU SATELLITE Dans le repère de Frenet ( M . est parcourue avec une vitesse de valeur constante. on peut écrire : dv dt = 0 .mouvement dans un champ gravitationn Ch.9 . comme l’orbite circulaire. on peut écrire : 2π ( R T + h ) 2π ( R T + h ) RT T = = v G (0) (RT + h) 221 . le vecteur accélération a pour expression : a = dv dt T + v2 (RT + h) RT (RT + h) 2 N Or a = G (h) = - G (0) u = 2 G (0) RT (RT + h) 2 2 N car u = .N ).N En identifiant les deux expressions précédentes de l’accélération. τ . ce qui signifie que la valeur de la vitesse est constante Le mouvement du satellite est circulaire uniforme 2 v = G (0) RT (RT + h)2 2 (RT + h) v = RT G (0) (RT + h) = G MT (RT + h) PÉRIODE DU MOUVEMENT DU SATELLITE La période du satellite est égale à la durée d’un tour . ce qui vérifie la 3ème loi de Kepler. ceci nous permet T2 4π 2 G. pôle nord Sens de rotation O A plan équatorial Satellite géostationnaire Doc.17 222 .M T (RT + h)3 T2 = est constant et ne dépend que (RT + h)3 de la masse de la Terre. il évolue à plus de 10. une orbite circulaire située à 35. En réalité.000 km.786 km d’altitude et contenue dans le plan de l’équateur. Satellite géostationnaire Un satellite géostationnaire est un satellite qui apparaît immobile pour un observateur lié à la Terre.M T .h .3 . Les satellites géostationnaires sont un relais idéal pour les télécommunications et forment un réseau de surveillance pour les prévisions météorologiques ( Doc 17 ).9 .1 en décrivant dans le même sens que celui de de la rotation de la Terre. Sa période est de 1 jour sidéral correspondant à la durée que met la Terre pour effectuer un tour sur elle même . Le quotient 2. responsable de l’attraction gravitationnelle .mouvement dans un champ gravitationn Ch. sa durée est de 86164 s soit 23 h 56 min.mouvement dans un champ gravitationnel T = 2π ( R T + h ) RT 2π RT + h G (0) (RT + h)3 T = RT G (0) Elevons au carré les deux membres de la relation précédente : T 2 = 4π 2 ( R T + h ) 3 RT 2 T2 (RT + h)3 = RT 2 4π 2 G (0) 2 G (0) Le produit R T d’écrire : G ( 0 ) est égal à G. figurant dans les énoncés.9 .Quelle phrase. 4.I Le transit d'une planète correspond à son passage entre la Terre et le Soleil. 1.67 . en déduire la valeur de la période T de révolution de Vénus autour du Soleil.mouvement dans un champ gravitationn Ch. 10 u.Etablir la troisième loi de Kepler . est une approximation d'une loi des lois de Kepler que l'on précisera. 3. exprimer la valeur de sa vitesse et en calculer la valeur numérique. montrer que le mouvement circulaire de Vénus est uniforme . nommer.10 30 kg 8 -11 Vénus : Distance moyenne au Soleil d 2 = 10 km Constante de gravitation universelle G = 6. exprimer vectoriellement et y représenter la force exercée par le Soleil sur la planète Vénus.Recopier le schéma du document 18. 5. On assimilera la Terre et Vénus à des objets ponctuels.Dans le référentiel d'étude choisi à la question 1.S. alors que le Soleil est à répartition de masse à symètrie sphérique. Vénus u S Soleil Doc-18 223 . On supposera que la planète Vénus tourne autour du Soleil sur une trajectoire circulaire dont le centre est celui du Soleil.mouvement dans un champ gravitationnel EXERCICE RÉSOLU ENONCÉ : N 02 Le transit de Vénus Quelques données astronomiques : Soleil : Masse M s = 2. On négligera l’effet de toutes autres planètes sur Vénus.Comment nomme t-on le référentiel d'étude du mouvement de Vénus ? 2. 2 .11 . MV (d2) 2 Vénus FS/V u ( Doc-19 ) S u M V : masse de Vénus. 3 . Doc-20 MS d2 T Comme F S / V est centripète.mouvement dans un champ gravitationnel SOLUTION 1 .1 .Approximation d’une des lois de Kepler “ Vénus tourne autour du Soleil sur une trajectoire circulaire dont le centre correspond à celui du Soleil “ est une approximation de la 1 ère loi de Képler qui stipule que la trajectoire est elliptique. dt Le mouvement est circulaire uniforme. v2 d2 = G MS (d2)2 MS d2 v2 = G v = G Application numérique : 6.G MS .Mouvement circulaire uniforme de Vénus Système : { Vénus } Référentiel héliocentrique Forces extérieures : F S / V Appliquons la 2 ème loi de Newton FS/V = MV .mouvement dans un champ gravitationn Ch. 4 .9 . a Dans le repère de Frenet : ( Doc-20 ) dv dt Soleil Doc-19 a = T + v2 d2 N N a a est centripète.67 .Force de gravitation exercée par le Soleil sur Vénus FS/V = . 10 30 10 11 v = v 224 = 3. alors dv = 0 et v = constante.10 4 m.Référentiel d’étude du mouvement de Venus Référentiel héliocentrique 2 . s .65. 10 . 11 .9 . 10 30 7 v d’où : T2 (d2) 3 = 3 éme loi de Képler T= Application numérique : T= T = 1. 2 . 10 .72 .mouvement dans un champ gravitationn Ch.mouvement dans un champ gravitationnel 5 .MS 4 π2 (d2)3 G . 10 s 225 . MS 4 π 2 ( 10 11 ) 3 6.La période T de révolution de Vénus autour du Soleil périmétre de l’orbite de Vénus T= v T= 2 π d2 = 2 π d2 G MS d2 4 π2 G.67 . les comètes et les astéroïdes tournent autour du Soleil Tous ces corps célestes évoluent selon les mêmes lois et sont soumis à la gravitation. Les conditions initiales ( à t = 0 ) : z v 0x = v0 v 0y = 0 v 0z = v 0 cosα OG 0 v 0 sinα x0 = 0 y0 = 0 z0 = 0 v0 k α O i Vecteur accélération : x a ax = 0 ay = 0 az = g Vecteur vitesse : v v 0 cosα vx = vy = 0 vz =.mouvement dans un champ gravitationn Ch.mouvement dans un champ gravitationnel L’ESSENTIEL DU COURS PROJECTILE En chute libre avec vitesse initiale v 0 . le centre d’inertie G décrit une trajectoire parabolique située dans le plan vertical contenant le vecteur v 0. 226 .9 .g t + v 0 sinα Vecteur espace : OG x = ( y = 0 z = - v 0 cosα ) t 1 2 g t2 + ( v 0 sinα ) t Equation cartésienne de la trajectoire : g 2 2 v0 z = - cos α 2 x 2 + ( tgα ) x SATELLITES Les satellites naturels et artificiels tournent autour des planètes Les planètes. faisant un angle α avec l’horizontale. Lorsque la trajectoire est circulaire : . Sa période est de 1 jour sidéral soit 23 h 56 mn.mouvement dans un champ gravitationn Ch. Le satellite apparaît immobile pour un observateur lié à la Terre.mouvement dans un champ gravitationnel Les trois lois de Kepler : 1ère loi : dans un référentiel héliocentrique.9 . une orbite circulaire située à 35786 km d’altitude et contenue dans le plan de l’équateur. T2 = k a3 Pour une trajectoire circulaire. les planètes décrivent des ellipses dont l’un des foyer coïncide avec le centre du Soleil. Satellite terrestre La trajectoire du centre d’inertie du satellite est situé dans un plan passant par le centre de la Terre. sont égales.la valeur de sa vitesse est donnée par l’expression : v = RT G (0) (RT + h) 4π 2 G. Elle peut être elliptique ou circulaire selon les conditions initiales de satellisation. 3ème loi : le carré de la période de révolution d’une planète est proportionnel au cube de la demi-longueur du grand axe de son orbite.la valeur de la période T du mouvement est telle que : T2 (RT + h)3 = Un satellite géostationnaire décrit. 227 . a correspond au rayon du cercle. dans le même sens que celui de la rotation de la Terre sur elle même. 2ème loi : les aires balayées par le rayon qui joint le centre du Soleil au centre d’une planète.le mouvement du centre d’inertie du satellite est uniforme . pendant des intervalles de temps égaux.M T . k ).Coller sur la planche un papier blanc que l’on recouvre avec du papier carbone.Tracer point par point la trajectoire d’un projectile . un papier carbone . . Le fil à plomb permettra de disposer le bord de la planche et celui de la paillasse dans le même plan vertical.Etablir l’équation théorique z = f ( x 2 ) et en déduire la valeur de 228 v0 .Support à crémaillère ( à défaut .La planche est disposée horizontalement sur un support à crémaillère.9 . utiliser des pieds munis de noix de serrage ) .On fait varier l’ordonnée z du plan de la planche en agissant sur le support à crémaillère et on mesure à chaque fois l’abscisse x C du point d’impact C grâce à la trace laissée par la bille sur le papier blanc.12 A Go utt ièr e B k O i v0 Paillasse z z (m) x (m) x 2 ( m2 ) 0.Libérée sans vitesse initiale du point A.Une gouttière .2 0. la bille aborde un mouvement de chute libre avec une vitesse initiale v 0 horizontale. Arrivée en O.Papier millimètré.6 0.Tracer la trajectoire du centre d’inertie de la bille en reportant z = f ( x ) 2.9 Fil à plomb Planche C xC 0. .mouvement dans un champ gravitationnel TRAVAUX BUT PRATIQUES . .Remplir le tableau de mesures suivant : Doc.Déterminer la valeur du vecteur vitesse initiale du projectile MATÉRIEL .Tracer la courbe z = f ( x 2 ) 3.Une planche . .Placer la gouttière A B inclinée de quelques degrés par rapport à la paillasse comme l’indique la figure ( Doc. origine du repère (O .Bille en acier . la bille effectue le chemin ABO .8 EXPLOITATION DES RÉSULTATS DE MESURES 1.1 0.12 ).Mètre PROTOCOLE EXPÉRIMENTAL .5 0.Fil à plomb . i .4 0. .mouvement dans un champ gravitationn Ch. .3 0. mouvement dans un champ gravitationnel Je vérifie mes connaissances Chaque question peut avoir une ou plusieurs réponses correctes 1. avec une vitesse v 0 pointée vers le haut et faisant un angle α = 30° avec l’horizontale. lorsque l’angle α augmente : a . On appelle S le sommet de la trajectoire. Pour des vitesses de valeurs identiques.est colinéaire à que v et de même sens v lors du mouvement de S vers P c .la durée d’une année.la flèche z S augmente c . Le vecteur accélération de la bille : a . On appelle v le vecteur vitesse instantanée de la bille. Il retombe en P.T’ = 2 2 T.entre le centre et l’un des foyers .la durée d’un jour b . 2. Le centre S du soleil est situé : a .T’ = 4 T b .prend une valeur supérieure à 30° en certains points de la trajectoire. S O P v0 sol v 0 .est multipliée par 2 b . 5 .La période orbitale d’un satellite terrestre sur une trajectoire circulaire de rayon r est T.T’ = 2 c .nulle b .L’orbite de Mercure dans le référentiel héliocentrique est elliptique.Un satellite terrestre décrit une orbite circulaire de rayon r dans le référentiel géocentrique.toujours inférieur à 30° b .9 .au centre de l’ellipse b .est colinéaire à v et de sens opposé à lors du mouvement de O vers S v0 k O i h=6m sol L’angle que fait l’horizontale avec le vecteur vitesse v de la bille au cours de son mouvement de chute libre est : a . 7 . la valeur de sa vitesse : a . faisant un angle α = 45° avec l’horizontale .mouvement dans un champ gravitationn Ch. 229 v0 k O i α S sol P 3. 8 .horizontale d .de valeur minimale.La période de révolution de la Terre autour du soleil est : a . Si le rayon passe à la valeur 4r. 6 . La période d’un deuxième satellite terrestre en orbite circulaire de rayon r’ = 2r est : a . 4 .verticale c .est divisée par 16.est divisée par 4 c .une bille est lancée verticalement vers le haut à partir d’un point O situé au dessus du sol.Un projectile est lancé en O depuis le sol horizontal avec une vitesse α v b .Au sommet de la trajectoire d’un mouvement de chute libre.la vitesse est : a .Une bille est lancée à partir d’un point O situé à 6 m au dessus du sol.la durée de parcours de l’orbite c . La valeur de sa vitesse s’annule en un point S où elle rebrousse chemin et retombe en P.la portée x S augmente. .à l’un des foyers de l’ellipse c .la durée du mouvement du projectile augmente b .est toujours perpendiculaire à v .toujours supérieur à 30° c . s . ( A ) est lâché sans vitesse initiale.Déterminer : .mouvement dans un champ gravitationnel Je sais appliquer mes connaissances. A t I = 0.On considère que le mouvement a lieu dans le plan vertical xOz. situé à la distance h du sol. k ).14 1 . origine d’un repère d’espace ( O .1 α = 8° et h = 1. au même instant.9 .À l'aide de ce résultat.s . et. i .40 m. montrer que l’on a tort. k ). faisant un angle α avec la verticale et orientée vers le bas . ( B ) est lancé avec une vitesse initiale horizontale v 0 parallèle à i.s . 1 . avec une vitesse v 0.la valeur de t I . i.13 . La résistance de l'air est négligeable. 2 . le corps touche le sol en un point I situé à une distance H de A ( Doc-13).A t = 0. O k h I H z Ex-2. un corps ponctuel. v0 Doc. 2 .8 m.Deux corps ( A ) et ( B ) supposés ponctuels. Etablir sous forme littérale les équations horaires x ( t ) et z ( t ) du mouvement du corps ( B ). x v0 sol corps ( B ) à la date t B z 230 .2 α i x Données : Intensité du champ de pesanteur : g = 9. en déduire l’équation de la trajectoire.En déduire l'expression littérale de la durée de chute t B . 3 . est lancée d'un point O origine du repère d’espace ( O . Données : g = 10 m.la valeur de H .la valeur de la vitesse au point I. et préciser si ( B ) arrive au sol plus tôt ou en même temps que ( A ).A sol h = 5 m.mouvement dans un champ gravitationn Ch.Déterminer les équations horaires du mouvement . “ On pense que ( B ) touchera le sol plus tard que ( A ) ”. je sais raisonner Ex-1. Calculer sa valeur. i balcon O k h Doc.2 v0 = 10 m. sont lâchés du même point O d’un balcon. et situé à une altitude h par rapport au sol. On considérera que le référentiel terrestre est galiléen et que tous les frottements sont supposés nuls ( doc-14 ). Le référentiel d’étude est terrestre supposé galiléléen. mouvement dans un champ gravitationnel II . Il tire vers le haut et constate que la flèche touche le sol 2. h 1 = 10 m x C = 10 m . k ). Calculer la valeur de v 0 en utilisant les équations établies dans la première partie.Dans le repère d’espace ( O . L'instant initial est celui où la flèche se trouve au point M 1.mouvement dans un champ gravitationn Ch. avec une vitesse initiale v0 v 0 faisant l'angle α avec l’horizontale ( Doc-15-a ). Il tire et constate que la flèche touche le sol en un point B qui se trouve sur la même horizontale que O.8 m. établir sous forme littérale les équations horaires x ( t ) et z ( t ) du mouvement de la flèche après son lancement.Tir vertical Le canon du pistolet est vertical .La cible est un disque de centre C.C x h2 k O x i 231 . O étant le point du sol se trouvant à la verticale de M 1.s -1 α = 45 0.9 m.2 m v0 = 10 m. son extrémité est située au point M 3 tel que h 3 = 1.15-a M2 v0 Doc. Le point C. Données : g = 9.7 m ( doc-15-b ).15-b h1 k O i .9 . 1 .Détermination de la valeur de la vitesse initiale Ex-3. 2 . son extrémité est située au point M 2 tel que h 2 = 1. 2 .s -2 A cet effet Akrem effectue deux essais. I .2 s après son départ de M 2. à une distance égale à 4. Akrem abaisse le pistolet. 1 . z z v0 M1 α Doc.2 m ( doc-15-c ). En déduire l'équation de la trajectoire et sa nature. la flèche est tirée du point M 1 situé à la hauteur h 1 du sol. Le canon de celui-ci est maintenant horizontal . z C = 1.Akrem décide d’utiliser ses connaissances en mécanique pour étudier le mouvement de la flèche tirée par son pistolet. i. Il considère la flèche comme un objet ponctuel. sera-il atteint ? justifier la réponse.Tir horizontal Pour tirer horizontalement. Calculer la valeur de v 0 en utilisant les équations établies dans la première partie.Étude du mouvement de la flèche A t = 0. dans le repère d’espace ( O. z P’ P k O i v0 .9 m z M = 1.9 .2 m h’ = 1. Lorsque la balle est en P'. La balle atteint. La hauteur du filet est l. au-dessus du filet vertical ( f ) distant du joueur de d. i .16 d 232 . Il lance d'abord la balle avec une vitesse v 1 verticale et dirigée vers le haut. b . k ).Etablir. l'équation de la trajectoire de la balle après l'impulsion communiquée par la raquette. sans vitesse. Vitesse et position de la balle désignent la vitesse et la position de son centre d'inertie. La balle passe par le point M. le point P' situé sur la même verticale et telle que OP' = h’.Déterminer la valeur de l’angle β que v M avec l’horizontale. le joueur la frappe avec sa raquette . x i Ex-4.Un joueur de tennis effectue un service ( doc-16 ).Dans cet exercice. a .mouvement dans un champ gravitationn Ch.5 m v 0 horizontale l = 0. elle quitte alors ce point avec une vitesse dans le plan de la figure. .Déterminer la valeur de v 1 .Quelle est la valeur minimale de fait la vitesse pour que la balle touche le filet ? Données : h = 2. depuis le point P tel que OP = h.M (f) x Doc.15-c h3 k O B .mouvement dans un champ gravitationnel z M3 v0 Doc. on ne tient pas compte de l'action de l'air sur la balle de tennis de masse m. 1 .5 m. v0 .Déterminer la valeur de v 0 . .2 m d = 12. Établir l'équation horaire x M ( t ) du mouvement du point M dans le repère ( O . Il quitte le pneu à l’instant t = 0. 2 .Un gravillon assimilé à son centre d'inertie G est projeté vers l'arrière par le pneu d'un camion. b . chargée de prendre des photos de la surface de Mercure. À la date t = 0.mouvement dans un champ gravitationnel 2 .10 -11S.67.9 . a . 2 .17 M x Rayon de la Terre : R T = 6.Un satellite artificiel. v0 k O i α = 37° Doc. G. k ). 233 Ex-6.m u CS F = r2 a . égale ou plus grande que celle de la force exercée par Mercure sur l'orbiteur ? Justifier. est placée sur une trajectoire circulaire autour de Mercure de rayon r = 3. k ) b .Quand dit-on qu'un référentiel est galiléen ? Préciser le référentiel d’étude approprié.s . La planète Mercure est à répartition de masse à symétrie sphérique. avec une vitesse v 0 de valeur v 0 = 12 m.67. La vitesse est définie dans le référentiel terrestre lié à la route et supposé galiléen ( doc-17 ) 1 . Données : Constante de gravitation universelle : G = 6.L'orbiteur exerce-t-il une force sur la planète Mercure ? Si oui.s . À la date t = 0.10 -11 S. 3 . le point M de la voiture est à une distance d = 44 m du point O.2 Ex-5.Calculer sa période de révolution. Masse de Mercure : M = 3. i.Rappeler la signification de chacune des lettres.4 . Données : Masse de la Terre : M T = 6. calculer sa valeur.5.8 m.Une voiture suit le camion à la vitesse constante de 90 km.La force gravitationnelle exercée par Mercure sur la sonde a pour expression vectorielle.I 1 . 3 . En déduire la hauteur h du point d'impact M par rapport au sol.10 23 kg. g z = 9.Calculer la valeur de t M. .1 et faisant un angle α = 37° avec l'horizontale. La sonde est assimilée à son centre d'inertie et n'est soumise qu'à l'attraction de Mercure.La sonde “ orbiteur planétaire “ de masse m.Donner l'allure de la trajectoire. i.5 tonnes gravite autour de la Terre sur une orbite circulaire à une attitude constante h = 270 km. Constante de gravitation : G = 6. Le gravillon heurte le pare-brise de la voiture au point M à l’instant t M.10 24 kg Ex-7. 1 . le gravillon se trouve au point O.10 3 km.mouvement dans un champ gravitationn Ch.h .Préciser le référentiel d’étude approprié.M.Établir les équations horaires x ( t ) et z ( t ) du mouvement du gravillon dans le repère ( O .Montrer que le mouvement du satellite se fait avec une vitesse constante .3. de masse m = 2.I.10 3 km ( Doc-18 ). sa valeur est-elle plus petite.1. La Terre est considérée comme ayant une répartition de masse à symétrie sphérique. dans le référentiel d’étude. Intensité du champ de pesanteur à la surface de la Lune : gL = 1.Écrire l'expression de la valeur de la force subie par le vaisseau de masse m au voisinage de la Lune à l'altitude h .En appliquant. c . b . L'étude sera faite par rapport à un référentiel défini par le centre de la Lune et trois étoiles " fixes ".a . On ne s'intéresse qu'au mouvement des centres d'inertie du vaisseau et du LEM. Le 20 juillet.67.74 .62 m.Montrer que le mouvement de la sonde est nécessairement uniforme.mouvement dans un champ gravitationnel c . Apollo XI se satellise autour de la Lune le 19 juillet sur une orbite circulaire à 100 km d'altitude. préciser les unités des grandeurs utilisées ( sauf celle de G ).Établir l'expression littérale de sa vitesse. Ce référentiel sera considéré comme galiléen. Masse de la Lune : M L = 7. Elle est supposée à répartition de masse à symétrie sphérique . On se propose d'étudier l'orbite lunaire d'Apollo XI et la descente du LEM.Sur un schéma clair où apparaîtra la Lune.18 C u CS Sonde Sud Données : Absence d’atmosphère sur la Lune. la calculer.I . .h -1 par rapport au sol lunaire . à 20 m du sol. Parti de la Terre le 16 juillet avec trois astronautes à bord. Constante de gravitation universelle : G = 6.Le 21 juillet 1969 à 3 h 56 min ( heure française ).a .10 3 km .35.9 . sa vitesse n'est plus que de 1. b . 3 .s -2 Ex-8. Apollo XI comprend trois parties ( voir document 19 ) : un module de service ( masse 24 tonnes ). un module de commande ( 6 tonnes ) et le module lunaire ou LEM ( 15 tonnes ). 1 . Armstrong est le premier homme à poser le pied sur la Lune : c'est la mission Apollo XI. Rayon lunaire : R L = 1.mouvement dans un champ gravitationn Ch. Calculer sa valeur. représenter la force subie par le vaisseau en orbite ainsi que la direction du vecteur vitesse de ce vaisseau. Armstrong sortira après quelques heures de travail préparatoire et de vérifications. Armstrong et Aldrin quittent Collins ( qui reste en orbite dans le module de commande ) et se glissent dans le module lunaire Le LEM se sépare du module de commande et commence à descendre vers la Lune : juste avant le contact.10 22 kg . le théorème du centre d'inertie à la sonde choisie comme système.Etablir la troisième loi de Képler.10 -11 S. 234 On négligera l'influence de la Terre et du Soleil sur les objets étudiés au voisinage de la Lune. sens du mouvement Nord r Doc. il se pose à 21 h 17 min. donner l'expression vectorielle de l'accélération de son centre d'inertie.5 km. Calculer la valeur de la période de révolution de la sonde autour de Mercure. donner les caractéristiques du référentiel " jupitocentrique ".9. Période de révolution du satellite Europe autour de Jupiter : T E = 3 j 13 h 14 min .Représenter le vecteur accélération sur le schéma précédent.On rappelle que l'orbite d'Apollo XI est circulaire.Établir l'expression du vecteur accélération du vaisseau en fonction des données. On supposera que chaque satellite n'est soumis qu'à l'influence de Jupiter.mouvement dans un champ gravitationn Ch.mouvement dans un champ gravitationnel dépend-elle de la masse m ? c .La valeur de l'accélération dépend-elle de la masse de l'objet en orbite ? c . d . ce sont quatre satellites de Jupiter : Io. b .67. b .a . Il découvrit qu'autour de Jupiter tournaient " quatre lunes ". Ganymède et Callisto.Démontrer que le mouvement de son centre d'inertie C est uniforme.a . Reproduire le document 20 et y tracer ces vecteurs ( avec les mêmes échelles en E 1 et E 2 ). Données : Constante de gravitation universelle : G = 6. Masse de Jupiter : M J = 1.Galilée commença à observer la planète Jupiter en janvier 1610 avec une lunette de sa fabrication. Période de rotation de Jupiter sur elle-même (ou rotation propre) : T J = 9 h 55 min . 4 .19 module lunaire Ex-9.10 27 kg.Quel est le mouvement du LEM par rapport à Apollo XI. .I . Europe.9 .Représenter sur un schéma la force de gravitation F J E exercée par Jupiter J sur Europe. 235 .a . 2 .Le mouvement du satellite Europe ( noté E ) est étudié dans le référentiel " jupitocentrique ".10 4 km.En déduire l'expression de la période de révolution T d'Apollo XI sur son orbite lunaire. et celle F E par Europe sur Jupiter. . entre l'instant où on enlève ses attaches avec le reste du vaisseau et l'instant où on allume les moteurs pour amorcer la descente ? module de commande 2 .Par analogie avec le référentiel géocentrique. Masse du satellite Europe ( noté E ) : M E Rayon de l'orbite du satellite Europe : r E = 6. Doc.Calculer numériquement la vitesse de C et la période T . module de service 1 .7.Donner l'expression vectorielle de F J E. on rappelle que h = 100 km .10 5 km .Établir l'expression de la vitesse de C . exercée b .Comparer les vecteurs vitesse v 1 et v 2 et accélération a 1 et a 2 du satellite aux points E 1 et E 2 . Tous les corps seront supposés à répartition de masse à symétrie sphérique.15. les centres des deux astres étant séparés d'une distance d. auxquelles il donna le nom d'astres médicéens . 3 . b . a .Montrer que le mouvement du satellite Europe en orbite circulaire est uniforme dans le référentiel " jupitocentrique ". Rayon de Jupiter : R J = 7.10 -11 S. 20 J Sens de rotation du satellite sur son orbite Ex-10.) sont retirés à tout moment de la ligne droite et qu'ils sont retenus dans des orbites curvilignes. (. Déterminer la période de révolution T Th de Thébé autour de Jupiter. sur la même planète. On considère que tous les satellites et les planètes sont des corps dont la répartition de la masse est à symétrie sphérique. ceux de Saturne vers Saturne. Faire un schéma explicatif. . b . uniquement à l’aide des données fournies . Les mouvements sont étudiés dans le référentiel " jupitérocentrique " ( d'origine le centre de Jupiter et d'axes dirigés vers trois étoiles fixes ).) 236 leurs forces de gravité. Proposition V Les satellites de Jupiter gravitent vers Jupiter. On note M la masse de Jupiter et G la constante de gravitation universelle. les citations en accord avec cette expression vectorielle.Donner l'expression vectorielle de la force d'interaction gravitationnelle exercée par Jupiter sur un de ses satellites de masse m et situé à la distance r du centre O de Jupiter. à quelle loi de Képler correspond-il ?. un autre satellite de Jupiter...mouvement dans un champ gravitationnel 3a . E2 E1 Doc.M J où r désigne le rayon v2 = r de l'orbite du satellite. cT2 α .. et c'est par la force de leur gravité que ces corps (. possède une orbite de rayon moitié de celui de l'orbite de Io. A .En déduire l'expression de la période T de révolution du satellite en fonction de G.Donner.Extraits de l'ouvrage de Newton “ Les Principes mathématiques de la philosophie naturelle “ Proposition I Les forces par lesquelles les satellites de Jupiter sont retirés perpétuellement du mouvement rectiligne (.9 .. M J et r. 2 .La période de révolution de Io autour de Jupiter est T Io = 1 j 18 h 18 min. Europe est-il " jupitostationnaire " ? Justifier. et les planètes principales vers le Soleil.1 . d . β .Établir que la valeur de la vitesse d'un satellite de Jupiter est telle que : G.. dans les propositions ci-dessus. Thébé.Montrer que le rapport r3 est constant pour les différents satellites de Jupiter . à égale distance du centre. sans calculs.. sont proportionnelles à la masse que chacun d'eux contient.mouvement dans un champ gravitationn Ch. Proposition VI Tous les corps gravitent vers chaque planète et.Par analogie avec la définition d'un satellite géostationnaire. un satellite " jupitostationnaire " est un satellite fixe par rapport à Jupiter.) sont dirigées vers le centre de Jupiter et sont inversement proportionnelles aux carrés de leur distance à ce centre. mouvement dans un champ gravitationn Ch. 237 .Parmi les plus gros satellites de Jupiter.2 : Le système solaire. un satellite de Jupiter. v 2 . Les échelles de distance ne sont pas respectées.Montrer que le mouvement du satellite est uniforme. M et r .On considère que Ganymède.Pourquoi est-il important de préciser que la répartition de la masse des corps est à symétrie sphérique ? B . en déduire l'expression de la période T de révolution. 3 . Photo. Quel est le satellite le plus éloigné de Jupiter ? Justifier.9 . Europe gravite à raison de 14 kms .1 alors que Ganymède met 1 minute pour parcourir 660 km. 1 .Établir l'expression de la vitesse de Ganymède en fonction de G. Les rayons des planètes sont indiqués. satellite de masse m. est soumis à la seule force de gravitation due à Jupiter et que son mouvement est circulaire de centre O (centre de Jupiter) et de rayon r .mouvement dans un champ gravitationnel 3 . 10 . Dans un oscilloscope. c’est l’impact d’un faisceau d’électrons sur l’écran qui permet de visualiser le tracé d’une tension variable u ( t ) .Mouvement dans un champ électrique uniforme 10 MOUVEMENT DANS UN CHAMP ELECTRIQUE UNIFORME OBJECTIFS Calculer le travail d’une force électrique. Appliquer l’expression du travail d’une force électrique : W A B = q (VA .Mouvement dans un champ électrique unifor Ch.1 238 .VB) Appliquer la relation fondamentale de la dynamique au mouvement d’une particule chargée dans un champ électrique uniforme. mais comment accélère-t-on des électrons pour obtenir un faisceau et comment le dévie-t-on ? Photo. .Mouvement dans un champ électrique unifor Ch. A 1A 2 . un déplacement élémentaire est noté δ l ( Doc. Considérons la charge q en mouvement suivant une trajectoire ( C ) quelconque dans le champ électrique uniforme E.. δl A1 Fe Fe = F e ..2 . + A nB ) c’est-à-dire : A Doc. Travail d’une force électrique dans un champ électrique uniforme Le travail de la force électrique F e le long du trajet ( C ) est égal à la somme des travaux élémentaires de cette force le long des déplacements élémentaires supposés rectilignes AA 1 .. Travail élémentaire d’une force électrique dans un champ électrique uniforme Considérons une charge ponctuelle q positive se trouvant dans une région où règne un champ électrique uniforme E. Calculons la somme des travaux élémentaires de la force électrique F e : A3 A2 B An Fe Fe Fe Fe E W ( Fe ) = A B Σ A B δ W ( Fe ) = Σ A B Fe . est défini par : (C ) δl q>0 Fe E Doc. AB A B 239 . A 2A 3 + .1 δW (Fe) = Fe . appelé travail élémentaire et noté δ W ( F e ). AA 1 + F e .Mouvement dans un champ électrique uniforme 1. A 2A 3 . + F e . Travail d’une force électrique 1.2 W ( F e ) = F e . A nB = F e . La force électrique F e = q E est constante. Le travail de la force électrique F e le long de δ l.2 ).. . Décomposons la trajectoire ( C ) en une succession de petits tronçons qui peuvent être assimilés à des segments rectilignes qu’on appellera déplacements élémentaires .. δl 1. AB = q E .1 . ( AA 1 + A 1A 2 + A 2A 3 +. A nB ( Doc.10 .1 ). A 1A 2 + F e . OA Par conséquent : E .E .OA ) = E .E . LA DIFFÉRENCE DE POTENTIEL ÉLECTRIQUE Doc. i .3 ) : (C ) E A j AB B E W ( F e ) = F e . AB A B ( C’ ) E 1. Notion de différence de potentiel O i Considérons un repère ( O . le produit scalaire ( . 240 .VB ) est appelée différence de potentiel électrique entre les points A et B. OA ) .VB ) entre les points A et B : E . OB ) est appelé potentiel électrique du point B se trouvant dans l’espace où règne le champ électrique uniforme. OA ) est appelé potentiel électrique du point A se trouvant dans l’espace où règne le champ électrique uniforme. OB .E . le produit scalaire E .E . OB. AB = q E . UNITÉ : L’unité du potentiel électrique est le volt ( V ).10 . OB ) DÉFINITION : Le produit scalaire ( . AB = ( VA .VB ) avec VA = .E . ( OB . OA = ( .Mouvement dans un champ électrique unifor Ch.E .3 .E . il ne dépend que des positions du point de départ A et du point d’arrivée B dans le champ électrique ( Doc.3 : W ( F e ) = W ( F e ) = F e . Ainsi. on le note VA . j ) dans la région de l’espace où règne le champ électrique uniforme E ( Doc.3 ).( . AB (C ) ( C’ ) : La différence ( VA . OA et VB = . AB est égal à la différence de potentiel électrique ( VA . AB = E . dans ce repère le vecteur AB s’écrit : AB = AO + OB = OB . on le note VB.Mouvement dans un champ électrique uniforme CONCLUSION Le travail de la force électrique s’exerçant sur une charge ponctuelle q qui se déplace dans un champ électrique uniforme E est indépendant du chemin suivi . V B ) entre ces deux points : U AB = ( V A . L’ÉLECTRON-VOLT : Lorsqu’on exprime en joule le travail de la force électrique s’exerçant sur une charge ponctuelle. on utilise alors une autre unité plus appropriée : l’électron-volt ( eV ) L’électron-volt est égal au travail d’une force électrique appliquée à une particule qui porte la charge élémentaire e = 1.VB) A B REMARQUES : La différence de potentiel électrique ( V A .6 . électrique. AB = q ( V A .6 .p.d.19 C et qui se déplace entre deux points entre lesquels existe une d.V B ) est égale à la différence entre le potentiel électrique du point de départ A et le potentiel électrique du point d’arrivée B.p. le résultat présente une valeur numérique trop faible . La tension électrique U AB entre deux points A et B est la différence de potentiel électrique ( V A .19 J 241 .Mouvement dans un champ électrique uniforme EXPRESSION DU TRAVAIL DE LA FORCE ÉLECTRIQUE : L’expression du travail d’une force électrique s’exerçant sur une charge électrique ponctuelle q se déplaçant dans un champ électrique uniforme E d’un point A porté à un potentiel électrique V A vers un point B porté à un potentiel électrique V B peut s’écrire : W ( F e ) = q E .d. 10 . de 1 Volt : 1 eV = 1.Mouvement dans un champ électrique unifor Ch.V B ).10 .V B ) A B W (Fe) = q (VA . La différence de potentiel électrique peut être abrégée par d. 10 . i .4 ).x A . AB = E ( x B . la différence de potentiel entre ces deux points devient ( V ( P 1 ) . AB = V A . on a alors d = x B . 242 .xA Cette relation permet de calculer la différence de potentiel électrique entre deux points quelconques situés entre les plaques qui délimitent le champ électrique uniforme.x A ). sa valeur E est constante et vérifie : E = U P1 P2 d = U AB xB . j ) on a : AB = ( x B .4 yA d y (+) yB AB A E j O i xA xB x B (P1) (P2) (-) Lorsque les points A et B sont respectivement sur les plaques ( P 1 ) et ( P 2 ). Considérons deux points A et B de la région où règne le champ électrique ( Doc.V B d’où l’expression E= (VA .x A ) i + ( y B .y A ) j et E = E i .xA Doc. D’où. AB : Dans le repère orthonormé ( O . Relation entre la valeur du champ électrique uniforme et la différence de potentiel électrique Un champ électrique uniforme est établi dans la région de l’espace entre deux plaques ( P 1 ) et ( P 2 ) parallèles et portées respectivement aux potentiels électriques V ( P 1 ) et V ( P 2 ) tels que V ( P 2 ) soit inférieur à V ( P 1 ) .Mouvement dans un champ électrique uniforme 1.V B .x A ) = V A .10 . En désignant par d l’écartement des plaques ( P 1 ) et ( P 2 ).Mouvement dans un champ électrique unifor Ch. Or E . par conséquent : E ( x B . Le champ électrique étant uniforme. E .V ( P 2 ) ) = U P 1 P 2.VB) xB .4 . et établissons l’expression du produit scalaire E .xA = U AB xB . ce qui implique que E a le même sens que AB ( Doc.Mouvement dans un champ électrique uniforme 1.VB) A B CAS D’UNE CHARGE POSITIVE A E1 Fe E2 1 Fe E3 2 Fe (C ) 3 B Lignes du champ électrique Doc.5-b 1. ( V A .10 .5-b ).5-a ) .V B ) > 0. ce qui équivaut à dire que E . le travail de la force électrique F e s’exerçant sur une charge ponctuelle q est indépendant du chemin suivi. valeur) changent d’un point à l’autre dans la région de l’espace où il règne. ce qui implique que E a le sens contraire de AB ( Doc. E est dirigé du point A porté au potentiel électrique V A le plus élevé vers le point B porté au potentiel électrique V B le moins élevé. E est dirigé du point B porté au potentiel électrique V B le plus élevé vers le point A porté au potentiel électrique V A le moins élevé. il ne dépend que des potentiels électriques des points de départ et d’arrivée. Si V A > V B . Généralisation : Champ électrique quelconque On montre que dans un champ électrique quelconque ( Doc.V B ) < 0 ce qui équivaut à dire que E . Le champ électrique est dirigé dans le sens des potentiels décroissants A Doc.6 ). AB < 0.6 . Si V B > V A alors ( V A . ses caractéristiques (direction.5-a AB A E B AB E B Doc. par conséquent.Mouvement dans un champ électrique unifor Ch. W (Fe) = q (VA . par conséquent. Sens du champ électrique Supposons pour simplifier que E et AB ont la même direction. CHAMP ÉLECTRIQUE QUELCONQUE Un champ électrique est quelconque lorsqu’il n’est pas uniforme.5 . sens.6 243 . AB > 0. d.c . D’après le sens de la déviation. elle a même direction que E donc perpendiculaire aux plaques.Caractéristiques de E . AB . Une charge ponctuelle q de valeur absolue ( P1) B v0 1 . 0.En déduire le signe de la charge q.b .x A ) i + ( y B . m . A j . 2 .b . on négligera l’effet du poids de la particule chargée.7 ). .Valeur : E = d Application numérique : .Déterminer les caractéristiques de E. dans le repère ( O .p. [ (xB .a .Etablir l’expression de la d. alors : U AB = U AB = E E i .01 = 5 V. on a E = E i = + E et AB = ( x B .1 (+) ( P2) Doc.c .Direction : perpendiculaire aux plaques ( P 1 ) et ( P 2 ). U AB U AB = E . Entre deux plaques ( P 1 ) et ( P 2 ). 3 . U AB = 5 V 244 .7 COMMENTAIRE ( P1) B Fe (-) v0 j O A i E ( P2) Doc. U AB et la calculer sachant i que ( x B . i . U AB .d.Quelle est la nature du champ électrique E qui règne entre les deux plaques ? . Application numérique : U AB = 500 .x A ) = 1 cm. 10 .8 ).a .y A ) j .Signe de la charge q La force électrique qui s’exerce sur la charge est F e = q .2 .xA) i E = 500 V . est appliquée une tension U P 1 P 2 = 10 V. donc q > 0 ( Doc.xA) i + (yB . Au cours de son mouvement.Expression de la d. pénètre par le point A et décrit une trajectoire curviligne ( AB ) ( Doc. U P1P2 .p.10 .Sens : suivant les potentiels décroissants. SOLUTION 1 .d.p. distantes de d = 2 cm.8 On remarque que seules les abscisses selon l’axe perpendiculaire aux plaques figurent dans la formule de la d.Nature du champ électrique E Champ électrique uniforme. .yA) j ] (xB . on peut conclure que F e et E ont même sens.Mouvement dans un champ électrique unifor Ch. O 2 .Calculer le travail de la force électrique qui s’exerce sur la charge ponctuelle au cours de son déplacement le long de ( AB ) en joule puis en électron-volt.19 C. E.Mouvement dans un champ électrique uniforme RÉSOLU N ° EXERCICE ENONCÉ : 1 3. c’est-à-dire de ( P 1 ) vers ( P 2 ). j ). F e = m a .6 .18 1.9 2.VB) A B Application numérique : W ( F e ) = 1.2 .9 ). Dans l’espace délimité par les deux plaques règne un champ électrique uniforme . Dans un référentiel terrestre supposé galiléen.Calcul du travail de la force électrique W (Fe) = q (VA . donc a est constant et de même sens que F e.Mouvement dans un champ électrique unifor Ch.V ( P 2 ) ).1 .6 .18 J A B Calcul du travail en électron-volt : W (Fe) = A B 1.10 (P1) q>0 (P2) i Fe M x E d x (O2) (O1) (+) (-) . comme la vitesse initiale v 0 est nulle alors le mouvement de la particule est rectiligne uniformément accéléré.10 ).6 . on applique la deuxième loi de Newton au système constitué par la particule conformément à la description du document 10. Etude dynamique On supposera que la valeur du poids P de la particule est négligeable devant celle de la force électrique F e. la masse m et F e sont constants. W ( F e ) = 10 eV A B 2 . Dispositif expérimental Deux plaques ( P 1 ) et ( P 2 ) distantes de d. (P1) (P2) Orifice Orifice d’entrée ( O 1 ) de sortie ( O 2 ) Doc. 10 . 10 . entre lesquelles on applique une tension continue positive U P 1 P 2 = ( V ( P 1 ) .10 . Les plaques ( P 1 ) et ( P 2 ) comportent respectivement les orifices ( O 1 ) et ( O 2 ) qui sont disposés tels que la droite ( O 1O 2 ) soit parallèle au vecteur champ électrique uniforme E ( Doc.Mouvement dans un champ électrique uniforme 3 . sont placées dans une ampoule où règne un vide poussé ( Doc. de ce fait. Un dispositif approprié permet d’injecter des particules assimilables à des corps ponctuels ayant chacune une charge q positive et une vitesse pratiquement nulle au voisinage de l’orifice ( O 1 ). Accélération d’une particule chargée dans un champ électrique uniforme 2. 10 . 245 Doc.19 = 10 eV. chaque particule est soumise à une force électrique constante F e = q E. i ) : On a F e = m a qui est équivalent à q E = m a Or. a = a i et E = E i. x 1 et x 2 étant respectivement les abscisses de ( O 1 ) et ( O 2 ) . c’est-à-dire q E = m a .x 1 ).10 . or v 1 = 0 et x 2 .v 1 = 2 a ( x 2 .Mouvement dans un champ électrique uniforme Etablissons l’expression de la valeur algébrique de l’accélération a dans le repère ( O .x1 .x1) x 2 . q > 0 et U P 1 P 2 > 0. d’où : q U P 1P 2 x2 .x1 =ma par conséquent : a = q U P1P2 m (x2 .Mouvement dans un champ électrique unifor Ch. DÉTERMINATION PREMIÈRE DE LA VITESSE DE SORTIE DE LA PARTICULE EN (O2) MÉTHODE : Puisque le mouvement est rectiligne uniformément accéléré. alors : 2 v2 = 2 q U P1P2 md 2q d= m U P1P2 2q m d’où : v ( O2 ) = U P1P2 q > 0 et U P 1 P 2 > 0. On sait que E = U P 1P 2 x2 .x 1 > 0. donc : q E i = m a i. par conséquent : 2 q v ( O2 ) = 246 U P1P2 m . donc la valeur algébrique de l’accélération est positive. on peut appliquer la relation entre les carrées des vitesses v 1 et v 2 aux points O 1 et O 2 et leurs abscisses x 1 et x 2.x 1 = d. on peut alors écrire que : q U P1P2 = q U P1P2 . 2 v2 2 . Doc. a une charge q négative et une vitesse pratiquement nulle au voisinage de l’orifice ( O 1 ) .10 . assimilable à un corps ponctuel.0 = q U P1P2 .Mouvement dans un champ électrique uniforme La charge q et la masse m de la particule sont constantes .11 (P1) q<0 (P2) Fe E (O2) (O1) (-) (+) U P1P2 < 0 Donc : v ( O2 ) = 2 q m U P1P2 247 .11 ). 1 2 m v2 2 = q U P1P2 2 q = U P1P2 par conséquent : v ( O2 ) m REMARQUES : Considérons le cas où la particule. ce qui nous permet d’écrire que : q U P1P2 = q U P1P2 . DEUXIÈME MÉTHODE : On va retrouver le résultat précédent en appliquant le théorème de l’énergie cinétique au système constitué par la particule entre l’instant d’entrée. par l’orifice ( O 1 ) et l’instant de sortie par l’orifice ( O 2 ) animé d’une vitesse v ( O 2 ). pour que cette particule ait un mouvement rectiligne uniformément accéléré il faut appliquer aux bornes des plaques ( P 1 ) et ( P 2 ) une tension U P 1 P 2 négative ( Doc.Mouvement dans un champ électrique unifor Ch. alors. sans vitesse. on conclut que : A sa sortie d’un champ électrique uniforme. On constate de nouveau que la charge q et la tension U P 1 P 2 sont de même signe. la particule a une vitesse de valeur proportionnelle à la racine carrée de la valeur absolue de la tension accélératrice.E C = W (Fe) ( O2 ) 2 1 ( O1 ) ( O2 ) 1 2 d’où : m v2 2 . ∆E C ( O1 ) = E C . ( F ) et ( A ) sont respectivement portées aux potentiels électriques V ( C ) . ( G ). on obtient à la sortie de l’électrode ( F ) un faisceau fin. V ( G ) . V ( G ) étant supérieur à V ( C ) . éloigne les électrons de la cathode et contrôle leur débit pour modifier à volonté la luminosité du spot.12 : CANON À ÉLECTRONS Dans un oscilloscope. le travail de la force électrique F e s’appliquant de l’orifice ( O 1 ) vers l’orifice ( O 2 ) est moteur : W ( F e ) > 0. l’électrode ( A ) achève l’accélération des électrons qui sont alors animés d’une vitesse de valeur : Système de chauffage (C) (G) (F) (A) Doc. Ce dispositif permet d’obtenir un faisceau rectiligne d’électrons ayant tous la même vitesse . la grille ( G ).3 . 2. v = 2e m U AC 248 . V ( A ) étant supérieur à V ( F ) . D’autre part. La vitesse acquise à la sortie du canon à électrons est environ égale à 26600 km .Mouvement dans un champ électrique uniforme Lorsque la charge q et la tension U P 1 P 2 sont de même signe. focalise les électrons et leur donne davantage d’énergie cinétique. l’énergie cinétique de la particule augmente . ce faisceau d’électrons est alors dit homocinétique.1. V ( F ) étant supérieur à V ( G ) .Mouvement dans un champ électrique unifor Ch. Application : le canon à électrons Le canon à électrons est un dispositif se trouvant dans un tube où règne un vide poussé. V ( F ) et V ( A ) .10 . Le document 12 correspond au schéma du canon à électrons d’un oscilloscope. U FG = 1000 V et U AF = 900 V. Les tensions intermédiaires sont : U GC = 100 V . s . le champ électrique uniforme qui règne entre les plaques ( P 1 ) et ( P 2 ) est un champ électrique accélérateur. par conséquent. ( O1 ) ( O2 ) Donc. la tension accélératrice U AC est égale à 2000 V. Enfin. l’électrode ( F ). Les électrodes ( C ). Le filament de chauffage permet d’extraire les électrons de la cathode ( C ) avec une vitesse pratiquement nulle. 2. distantes de d = 5 cm on établit une tension de valeur absolue U = 1 kV. (A) (B) (O1) d (O2) Doc. 10 . SOLUTION 1 . on sait que le sens du vecteur champ électrique est dirigé vers les potentiels décroissants.Montrer que la valeur du poids P de l’électron est négligeable devant celle de la force électrique qui s’exerce sur l’électron. la particule est soumise à la force électrique F e = q . 10 U AB (B) Fe (O2) E d Doc. F e = m (A) q<0 .1. 1 .10 .14 ). F e et a sont de même sens. déterminer la valeur de la vitesse de l’électron à sa sortie en ( O 2 ).13 2 . c’est-à-dire de ( B ) vers ( A ) .13 ). 10 .p. d’où V ( A ) . en le justifiant.19 C est mis en mouvement rectiligne uniformément accéléré à partir de l’orifice ( O 1 ) où sa vitesse est supposée nulle ( Doc. U AB Le mouvement de la particule chargée est rectiligne uniformément accéléré. Un électron de masse m = 9. (-) (+) . donc le vecteur accélération a est de même sens que le mouvement.d. 2 .Mouvement dans un champ électrique uniforme EXERCICE ENONCÉ : RÉSOLU N °2 Entre deux plaques ( A ) et ( B ).1 . g . La plaque ( A ) comporte un orifice ( O 1 ) et la plaque ( B ) un orifice ( O 2 ) tels que la droite ( O 1O 2 ) soit parallèle au champ électrique E.Montrons que le poids est négligeable Entre les plaques accélératrices.Mouvement dans un champ électrique unifor Ch.V ( B ) = U AB < 0. donc.6 .31 kg et de charge q = . D’après la deuxième loi de Newton.15 << 1 = 3 .Préciser. On donne g = 9. donc V ( A ) < V ( B ) . donc le sens du vecteur champ électrique est contraire au sens de la force électrique. 3 .8 m . Calculons le rapport des valeurs de ces forces : P Fe = m e g E = m g eU d COMMENTAIRE Application numérique : P Fe Cela signifie que la valeur du poids est négligeable devant celle de la force électrique qui s’exerce sur l’électron. E et au poids P = m . appliquée au système { électron }. s .14 249 a . le signe de U AB.Signe de la d. D’autre part F e = q E et q < 0 . (O1) alors la force F e est orientée de ( A ) vers ( B ) ( Doc.En appliquant le théorème de l’énergie cinétique. c’est-à-dire de ( A ) vers ( B ). 2 montre une ampoule en verre transparent.19 . d’où leur qualification de plaques déflectrices.E C 1 = W ( F e ) = q ( V ( A ) .e U AB. la vitesse est nulle. Ce faisceau d’électrons pénètre entre deux plaques horizontales qui se trouvent dans la partie sphérique de l’ampoule avec une vitesse initiale v 0 parallèle aux plaques.1 . Partie cylindrique Partie sphérique Photo.Mouvement dans un champ électrique uniforme 3. Au point A. par conséquent : v = 2e m U Application numérique : 2 . 10 3 9.1 3 .1 .875 . vide d’air.2 250 . 10 7 m . Dans la partie cylindrique de l’ampoule.U ) = e U .Mouvement dans un champ électrique unifor Ch. ( O1 ) ( O2 ) La vitesse au point B est v .6 .10 . 1. s .31 = 1.Calcul de la vitesse de sortie du champ accélérateur Appliquons le théorème de l’énergie cinétique au système {électron} dans un repère terrestre supposé galiéen : ∆E C ( O1 ) = ( O2 ) E C 2 .V ( B ) ) = . Expérience qualitative La photo. D’autre part : .1 v = v = 1. s . Déviation d’une particule chargée dans un champ électrique uniforme 3.e ( . Le faisceau d’électrons subit alors une déviation ( ou déflexion ) d’allure parabolique entre les deux plaques horizontales.e U AB = . 10 . 10 . Une substance fluorescente rend visible la courbure de la trajectoire des électrons. se trouve un canon à électrons qui produit un faisceau d’électrons homocinétique. 10 7 m .875 . notées ( P 1 ) et ( P 2 ). Un écran plan fluorescent. k ) lié au laboratoire et considéré comme galiléen. Etude du mouvement des électrons entre les plaques déflectrices Le document 15 schématise un dispositif comprenant un canon à électrons. j .2 . Canon à électrons Plaques métalliques Faisceau d’électrons Tube vide de gaz Ecran fluorescent Doc.19 C est étudié dans le repère d’espace ( O .16 Le mouvement de l’électron de masse m et de charge q = .Mouvement dans un champ électrique uniforme 3. 251 .V ( P 2 ).6 .10 . sont horizontales et symétriques par rapport à l’axe du canon à électrons . deux plaques déflectrices horizontales et un écran fluorescent. est placé à une distance D du centre C des plaques.15 Les deux plaques métalliques. y ( P1 ) + j i + + + + + + + D I α vA A α > Fe > v Ay Y d v0 M C α E v Ax O’ x O q<0 - - - - - - - - écran fluorescent ( P2 ) l Doc. elles sont écartées d’une distance d l’une de l’autre et leur longueur est l ( Doc. l’électron pénètre par le point O avec la vitesse v 0 = v 0 i entre deux plaques ( P 1 ) et ( P 2 ) aux bornes desquelles on applique une tension continue positive U = V ( P 1 ) .e = . i . À l’instant t = 0. 10 .16 ).1. perpendiculaire à l’axe du canon à électrons.Mouvement dans un champ électrique unifor Ch. Mouvement dans un champ électrique unifor Ch. d LES CONDITIONS INITIALES : Dans le repère d’espace ( O .16 ).10 . les vecteurs i et j étant dans le plan de la figure ( Doc. k ). U sa valeur est E = ( Doc.Mouvement dans un champ électrique uniforme Le champ électrique E qui en résulte agit sur les électrons dans l’espace de longueur l mesurée à partir du point O . les coordonnées du vecteur position initiale OM 0 et du vecteur vitesse initiale v 0 d’un électron sont : x0 = 0 OM 0 y0 = 0 z0 = 0 v 0x = v0 v 0y = 0 v 0z = 0 v0 Les coordonnées du vecteur champ électrique E sont : Ex = 0 E Ey = Ez = 0 Le poids P de l’électron étant négligeable par rapport à la force électrique F e . j . appliquons la deuxième loi de Newton au système constitué par l’électron assimilable à un corps ponctuel : équivalent à q E = m a q -e E= E d’où l’accélération : a = m m dont les coordonnées sont : Fe = m a E ax=0 a ay= az=0 e E m = e U m d 252 .16 ). i . i . on a : z = 0 . le mouvement de l’électron s’effectue dans le plan ( O . 253 .Mouvement dans un champ électrique uniforme a = dv .10 . dt d’où la vitesse v s’écrit : v x = C te v vy = e U m d t + C te v z = C te D’après les conditions initiales : vx = v vy = v0 e U m d t (1) (2) vz = 0 v = d OM dt d’où le vecteur position OM s’écrit : x= OM y= v0 t + C te e U t 2 + C te 2 m d z = C te D’après les conditions initiales : x= OM y= v0 t (3) (4) e U t2 2 m d z=0 Quel que soit l’instant t.Mouvement dans un champ électrique unifor Ch. j ). la trajectoire d’un électron du faisceau a la forme d’un arc de parabole. v0 les coordonnées de la vitesse v A sont alors : v Ax = v v Ay = v Az = 0 v0 eUl md v0 L’expression de la valeur de la vitesse au point A est : vA = v2 Ax + v2 Ay = 2 v0 + ( eUl md v0 ) 2 254 . il est animé d’une vitesse v A et son abscisse est x A = l . v0 x en remplaçant t par dans ( 4 ). données par les relations ( 3 ) et ( 4 ) : x ( 3 ) donne : t = . VITESSE DE L’ÉLECTRON AU POINT DE SORTIE A L’électron quitte l’espace délimité par les deux plaques ( P 1 ) et ( P 2 ) au point A à l’instant t A .Mouvement dans un champ électrique uniforme CARTÉSIENNE DE LA TRAJECTOIRE EQUATION On obtient l’équation de la trajectoire en éliminant le temps t entre les coordonnées x et y. v0 on obtient l’équation de la trajectoire y= eU 2md 2 v0 x2 ( 5 ).Mouvement dans un champ électrique unifor Ch. d’après la relation ( 3 ) on peut écrire x A = tA = xA = v0 t A d’où l v0 .10 . Donc. puisque v A x = v0 eUl m d v2 0 et v A y = eUl md alors tg α = .première méthode : tg α = v Ay v Ax .Mouvement dans un champ électrique uniforme LA DÉVIATION DU FAISCEAU D’ÉLECTRONS L’électron du faisceau homocinétique pénètre dans le champ électrique avec la vitesse v 0. On peut déterminer la déviation α de deux manières : .deuxième méthode : tg α est la pente de la droite tangente à la trajectoire au point A . v2 0 quand x = l alors : tg α = eUl 2 m d v0 La déviation α augmente lorsque la tension U augmente et inversement. elle est égale à la valeur de la dérivée de y par rapport à x pour x = l .Mouvement dans un champ électrique unifor Ch. y(x) = eU 2md 2 v0 x 2 alors dy dx = eU md x. sa trajectoire ( A I ) est un segment de droite qui porte le vecteur v A . on peut alors considérer que le mouvement de l’électron est rectiligne uniforme ( principe de l’inertie ). La déviation de l’électron est l’angle α entre les directions de v 0 et v A.10 . 255 . v0 . En négligeant l’effet du poids à la sortie de l’espace où règne le champ électrique uniforme E. donc Y = D tg α. de la forme Y = K U avec K = Del m d v2 0 = constante. on va utiliser une propriété de la parabole : la droite tangente à la parabole en un point A d’abscisse x A = l.10 . La déflexion électrique est proportionnelle à la tension appliquée aux bornes des plaques de déviation. coupe l’axe ( O i ) en un point C d’abscisse x C = ainsi tg α = Y CO’ Y D l 2 . = . Y = U. 256 . c’est le point où viendrait l’électron en l’absence de champ électrique. on a déjà établi que tg α = eUl 2 m d v0 .17 Le point d’impact de l’électron sur l’écran est le point I. Pour calculer la déflexion électrique Y. Donc. le point O’ est le centre de l’écran.17 ). La déflexion électrique de l’électron est la distance Y = O’I ( Doc.Mouvement dans un champ électrique uniforme ÉLECTRIQUE DE L’ÉLECTRON DÉFLEXION y D ( P1 ) + + + + + + + + I A j i Y d v0 C α O’ x O - - - - - - - - écran fluorescent ( P2 ) l Doc. eUl 2 m d v0 cependant.Mouvement dans un champ électrique unifor Ch. Par conséquent : Y est proportionnel à U. 20 ) et une tension u entre les deux plaques ( Y’ ) et ( Y ) de déviation verticale.18 > u t > ( X’ ) ( Y’ ) Plaques de déviation horizontale Doc.3 . déviant le faisceau d’électrons qui trace. des champs électriques E x et E y variables dans le temps apparaissent entre ces deux paires de plaques.10 .19 ux > Quand on applique entre les deux plaques ( X’ ) et ( X ) de déviation horizontale une tension u x en dents de scie ( Doc. > > > t τ << θ > 257 .le système de déviation constitué de deux paires de plaques ( les unes verticales et les autres horizontales ) entre lesquelles on établit des tensions permettant de dévier le faisceau respectivement suivant les directions horizontale et verticale .le canon à électrons qui produit. θ O > Doc. À ces trois parties s’ajoutent des dispositifs électroniques permettant un réglage commode de l’appareil.Mouvement dans un champ électrique unifor Ch. Application : l’oscilloscope L’oscilloscope comprend un tube cathodique où on distingue trois parties essentielles : .18 ). la courbe représentant u ( t ).20 : TENSION EN DENTS DE SCIE Elle permet au spot de balayer l’écran de gauche à droite à vitesse constante. puis de revenir très rapidement à gauche. sur l’écran.l’écran fluorescent sur lequel l’impact des électrons fait apparaître une petite tâche lumineuse qu’on appelle spot et dont la couleur dépend de la substance enduite sur la paroi interne de l’écran ( Doc. SUBSTANCE Oxyde de zinc + Silicate de manganèse Sulfate de zinc + Cuivre COULEUR vert bleu-vert Tungstate de calcium bleu-violet Phosophate de zinc + Cuivre rouge Plaques de déviation verticale Canon à électrons (X) (Y) Doc. Le tube cathodique est schématisé dans le document 19. focalise et accélère les électrons de façon à obtenir un faisceau d’électrons homocinétique .Mouvement dans un champ électrique uniforme 3. son expression est : W ( F e ) = q ( V A . A B Le champ électrique E est dirigé dans le sens des potentiels électriques décroissants. Un champ électrique uniforme permet d’accélérer des particules chargées : (P1) (q > 0) ( (P2) Fe (P1) (P2) Fe ( v E (-) v > 0 > (q < 0) (-) v E (+) =0) v0 =0) > > (+) U P1P2 > 0 Le vecteur accélération vaut U P1P2 < 0 qE = C te . l > vA A α Y > électron d U O v0 (-) x a = Fe m qE = m = C te .Mouvement dans un champ électrique uniforme L’ESSENTIEL DU COURS Une charge ponctuelle q.Mouvement dans un champ électrique unifor Ch. alors m m le mouvement de la particule est rectiligne uniformément accéléré. La déflexion électrique Y est proportionnelle à la tension U appliquée aux bornes des plaques de déviation . qui se déplace dans un champ électrique uniforme E d’un point de départ A vers un point d’arrivée B portés respectivement aux potentiels électriques V A et V B . est soumise à une force électrique F e dont le travail est indépendant du chemin suivi . son équation est : y = v2 0 x 2. dans le cas d’un faisceau d’électrons on a : y (+) Fe α E D =0. a z = 0) eU 2md La trajectroire est parabolique dans le plan ( Oxy ). puisque la vitesse initiale v 0 = 0. son expression est : Y = 258 Del md v2 0 U . ses coordonnées sont ( a x ay= e E m . À la sortie du champ accélérateur.10 .V B ). la valeur de la vitesse est proportionnelle à la racine carrée de la tension accélératrice : 2 q U P1P2 v = m a = Fe = Un champ électrique uniforme E permet de dévier un faisceau de particules chargées. une cuve à fond transparent. et distantes de 10 cm.un générateur de tension continue règlable et permettant d’obtenir 6 V.un voltmètre muni d’une sonde ( S ) ( à défaut on utilise un fil droit en cuivre ). l’une en face de l’autre.Mouvement dans un champ électrique uniforme TRAVAUX BUT PRATIQUES Visualiser les lignes du champ relatives à un champ électrique uniforme. .1 ).de la semoule.1 moL . .EXPÉRIENCE MATÉRIEL .une solution de sulfate de cuivre ( 0. et distantes de 3 cm.) du générateur entre lesquelles on maintient une tension de quelques kilovolts. .huile de paraffine.deux plaques rectangulaires en cuivre fixées dans la cuve. . . . .deux plaques rectangulaires en cuivre à fixé dans la cuve. . Elles matérialisent les lignes de champ électrique créées entre les deux plaques en regard. . préalablement placées dans la cuve contenant de l’huile de paraffine.un générateur de tension continue règlable et permettant d’obtenir quelques kilovolts. CONCLUSION Les grains de semoule s’orientent en se disposant suivant des lignes perpendiculaires aux plaques.Mouvement dans un champ électrique unifor Ch.trois pinces crocodile. On saupoudre la surface de l’huile de paraffine avec les grains de semoule. . . . . aux pôles ( + ) et ( .10 . L .Détermination des caractéristiques du champ électrique uniforme.quatre fils électriques de connexion. l’une en face de l’autre.deux papiers millimétrés numérotés ( 1 ) et ( 2 ).EXPÉRIENCE QUANTITATIVE : . Chercher la forme des surfaces équipotentielles entre deux électrodes planes en regards.Recherche de la forme des surfaces équipotentielles entre deux électrodes planes en regards. .deux pinces crocodile. B . . PROTOCOLE On relie les plaques de cuivre.une cuve à fond transparent. MATÉRIEL . 259 E = : U PN d QUALITATIVE Visualisation des lignes de champ relatives à un champ électrique uniforme. Etablir la relation A .quatre fils électriques de connexion. On pose sous la cuve le papier millimétré ( 1 ). en regard l’une de l’autre.m ) U MN =( V M . elle correspond à la valeur du vecteur champ électrique qui règne Montrer que le rapport entre les plaques ( P ) et ( N ).Sur le papier millimétré ( 2 ). .On relie les plaques de cuivre ( P ) et ( N ) respectivement aux pôles ( + ) et ( . dirigées du potentiel le plus élevé vers le potentiel le moins élevé. MESURES Plaçons la sonde ( S ) à une distance d par rapport à la plaque ( N ) et mesurons à chaque fois la d.Mouvement dans un champ électrique unifor Ch. on dessine deux traits parallèles représentant en vrai grandeur les deux électrodes ( Positive ) et ( Négative ).) d’un générateur de tension continu. séparées d’une distance d et reliées aux pôles ( + ) et ( . .m-1 ) DES RESULTATS DES MESURES EXPLOITATION U MN a la même valeur quelque soit la position du point entre d les deux plaques .Mouvement dans un champ électrique uniforme PROTOCOLE . CONCLUSION : Deux plaques métalliques identiques.p U MN. il permet de repérer la position de la sonde par rapport à l’une des deux plaques. TABLEAU DES MESURES 2 d ( 10 . La valeur du vecteur champ électrique E est donnée par : U PN d E = 260 .On relie la plaque ( N ) et la sonde ( S ) aux bornes du voltmètre.V N ) ( Volt ) U MN d ( V. . créent dans l’espace qui les sépare un champ électrique uniforme dont les lignes de champ sont orthogonales aux plaques.) du générateur entre lesquelles on maintient une tension continue de 6 V.10 .d. Mouvement dans un champ électrique unifor Ch.10 .Mouvement dans un champ électrique uniforme elec com 261 . la particule aura un mouvement rectiligne uniformément accéléré si : ab- v 0 = 0 et V ( P 1 ) > V ( P 2 ). v 0 et la force électrique F e ont le même sens. c .∆E c = A B 3.Mouvement dans un champ électrique uniforme Je vérifie mes connaissances Chaque question peut avoir une ou plusieurs réponses correctes 1.Le travail d’une force électrique s’exerçant sur une particule électrisée qui se déplace dans un champ électrique uniforme peut être : a .positive c . En négligeant le poids. Laquelle des trois propositions précédentes est correcte ? 262 .E c A = q ( V A . E c B . On affirme alors que : quelque soit le signe de la charge q. laquelle des propositions suivantes est correcte : a- 4.négative le champ E par un trou de la plaque ( P 1 ).Un champ électrique uniforme E règne entre deux plaque ( P 1 ) et ( P 2 ) portées respectivement aux potentiels électriques V ( P 1 ) et V ( P 2 ).Laquelle des propositions suivantes est correcte : En négligeant le poids devant la force électrique.10 . la variation de l’énergie cinétique d’une particule chargée est : a . Cette affirmation est-elle vrai ou fausse ? 5. Une particule électrisée portant une charge négative q pénètre avec une vitesse initiale W ( F e ) = q UAB . v 0 dans b .V B ).E c A = q ( V B . 2. le mouvement de la particule est parabolique dans le plan formé par les vecteurs v 0 et E.Mouvement dans un champ électrique unifor Ch. A B b- W ( F e ) = q UBA .∆E c = A B E c B .Une particule chargée q pénètre avec une vitesse initiale v 0 de direction parallèle aux deux plaques ( A ) et ( B ) entre lesquelles règne un champ électrique uniforme E et où le poids est d’effet négligeable. A B c- W (Fe) = q A B UAB .nulle b .La direction de v 0 n’est pas perpendiculaire aux plaques.Concernant le travail d’une force électrique.V A ). 22 ).Calculer la valeur algébrique de son accélération a . 7 .Représenter le champ électrique E. b . de masse m = 0.Calculer le travail de la force électrique s’excerçant sur la boule quand elle s’est déplacée verticalement vers le haut du point O vers le point D ( 0 mm .22 Ex-3.Déterminer la nature du mouvement d’un ion Kr 8+.Représenter le poids P et la force électrique F qui s’exercent sur la boule en équilibre en O.Comparer les potentiels électriques V ( A 1 ) et V ( A 2 ) des deux plaques.Représenter la force électrique F s’exerçant sur un ion Kr 8+.Une boule électrisée supposée ponctuelle. 12 mm ) sachant que la tension appliquée est U 3 = 5 kV. e = 1. 2 .8 m . On donne : UBA = 100 V .1.La valeur v C de la vitesse de passage de l’électron par l’orifice de la plaque ( C ). s -1 la valeur v A ( Doc.À t 0 = 0 s.31 kg.Montrer qu’on peut négliger l’effet du poids devant celui de la force électrique.1 . de masse kg. 10 .21 ).On étudie les accélérations successives d’un électron par les plaques ( A ). 10 .5 kV. ( P1 ) O i ( P2 ) A > de la vitesse de sortie par le point A. 1 . kg .6 . je sais raisonner Ex-1.2. L’électron se présente au trou de la plaque ( A ) avec une vitesse considérée comme nulle ( Doc. 3 . m = 9.Calculer la valeur de l’instant t A de sortie par le point A. 10 en O avec une vitesse presque nulle entre deux plaques ( P 1 ) et ( P 2 ) écartées d’une distance d = 1 cm et soumises à la tension U = 98000 V.26 Doc. de charge q. ( B ) et ( C ). 4 . Doc. vA vA ? = 9.5 kV.a . s . des ions Kr 8+.la tension U 2 = 3. 5 . le champ électrique E et comparer les potentiels électriques V ( P 1 ) et V ( P 2 ) .05 g.la tension U 1 = 4. 263 . 0 mm ) entre deux plaques ( Doc. b . est en équilibre en un point O ( 0 mm . (A) (B) _ Appliquer le théorème de l’énergie cinétique pour déterminer : a .Mouvement dans un champ électrique unifor Ch. UCB = 900 V.Mouvement dans un champ électrique uniforme Je sais appliquer mes connaissances .10 .23 ) horizontales ( A 1 ) et ( A 2 ) distantes de d = 4 cm et aux bornes desquelles on a appliqué une tension U 0 = 4 kV.8 N .21 3 . 1 . de charge q < 0.6 . y ( A1 ) > x ( A2 ) > g O Doc.19 C .La valeur v B de la vitesse avec laquelle l’électron passe par l’orifice de la plaque ( B ).Comment peut-on augmenter Peut-on l’augmenter indéfiniment ? On donne : e = 1.Décrire ce que l’on observerait lorsqu’on maintient aux bornes des plaques : a . Ils sortent par le point A avec une vitesse . pénètrent m = 14 . (C) e vB > vC > (v A = 0) Ex-2. 6 .23 c . 2 . On donne g = 9. b .19 C. 10 .Calculer en km . 10 . v 0 = 18.24-b Ex-5. ces plaques servent à dévier la trajectoire du mouvement d’un faisceau d’électrons qui entrent dans la région du champ électrique E par le point O avec une vitesse ( P1 ) M N ( P2 ) et sortent par le point S avec une vitesse v S en suivant une trajectoire parabolique ( Doc.750 .10 .Quel est le signe de la différence de potentiel électrique ( V S . 2 .64 . 264 2 . a .Des noyaux d’hélium He 2+ ( particule α ). ( II ). v0 . c .24-a ). Le champ électrique E dans la région ( III ) est crée par une tension U AB. de charge q = 3. s .) d’un générateur de haute tension qui délivre une tension U = V ( P 1 ) . c .24-b ). a . On donne U 0 = 2000 V.Après avoir franchi la région ( II ). a . 10 .En appliquant le théorème de l’énergie cinétique au système constitué par un électron.Calculer en joule et en électron-volt le travail W ( F ).Quelle est la nature du mouvement des particules dans cette région ? b .a . calculer la valeur de la vitesse de sortie v S. en passant par ( O 2 ).2 . b .V O ) ? Calculer sa valeur numérique sachant que les coordonnées du point de sortie sont S ( x S = 10 cm . b .91 .Montrer que le mouvement des particules α dans la région ( III ) est curviligne dans le plan (OXY). ( III ) d’une enceinte dans laquelle on a fait le vide ( Doc.24-a Doc. O S 4 .Deux plaques ( P 1 ) et ( P 2 ) parallèles et horizontales sont fixées à l’intérieur d’une ampoule vide de gaz. les particules α pénètrent en O dans la région ( III ) de longueur l = 20 cm entre les deux plaques ( A ) et ( B ) distantes de d = 5 cm. 3 .La région ( I ) est limitée par les plaques ( P 1 ) et ( P 2 ).Quelle est la durée du trajet d’une particule dans cette région ? 3 . ( P1 ) S O e ( P2 ) x > Doc.Quel est le signe de U 0 ? b .Déterminer l’expression de et calculer sa valeur. de longueur L = 50 cm.V ( P 2 ) = 2700 V ( Doc. Ils traversent successivement trois régions ( I ).Mouvement dans un champ électrique unifor Ch. b .1 . de masse m = 6.Calculer la valeur E du champ électrique sachant que l’écartement des plaques est d = 6 cm.19 C.En déduire le signe de U AB. a . 10 6 m . c .27 kg. 1 .Déterminer le sens de E pour que les particules α sortent par le point S se trouvant au dessus du point O’.) aux plaques correspondantes. On négligera l’action gravitationnelle sur leur mouvement. Elles sont reliées aux pôles ( + ) et ( . auxquelles on applique une tension U 0 = U P 1 P 2.Les particules α pénètrent avec la vitesse v 0 dans la région ( II ).En réalité.Ecrire l’expression du travail de la force électrique F qui s’exerce sur un électron du point O vers le point S. y S = 2 cm ). 10 . où n’existe aucun champ électrique.30 kg. y > On donne : v0 m = 0.Tracer une ligne orientée du champ électrique E et qui passe par le point N.25 ). On veut que les particules α .Associer les pôles ( + ) et ( . sont émis avec une vitesse négligeable à travers l’ouverture ( O 1 ) d’une plaque ( P 1 ). aient une vitesse v 0 ayant la direction de la droite ( O 1O 2 ).Représenter le vecteur E au point M.Mouvement dans un champ électrique uniforme Ex-4. 1 . La tension continue qui est maintenue aux bornes de ( A ) et ( B ) est U’.On se propose de déterminer la vitesse d’éjection des particule α de charge q = 3.25 Ex-6.Calculer la valeur de U’ qui permet de réaliser la sortie en O’.27 kg .19 C et de masse m = 6.2 .Etablir l’équation de la trajectoire . 2 . (O 1) (O 2) (I) (P1) L y > > l > (A) S O ( II ) (P2) ( III ) (B) O’ o > Doc. α et d.la durée du trajet O 2 S. 3 . Le faisceau homocinétique obtenu pénètre en O dans la région délimitée par les plaques ( A ) et ( B ) avec une vitesse On donne : masse d’un proton m = 1. a . 10 . ils sont ensuite accélérés entre C et D par une tension U = 1000 V. > d > x > v 0 de la vitesse A’ A x > > Doc. k ) a une origine O équidistante des deux plaques. 10 . on observe une tache A sur une plaque photographique disposée perpendiculairement à X’X et se trouvant à une distance D = 50 cm du centre des plaques.la valeur de U AB pour que O’S = 5 mm. 0 . La distance entre les plaques est d = 10 cm et leur longueur est L = 15 cm ( Doc.26 265 . i .5 mm. U’. en déduire : . i .67 .V ( B ) ) pour que le faisceau de protons passe par le point O’ ( L . Le repère d’étude ( O .27 kg. 10 4 V aux bornes de ( P 1 ) et ( P 2 ).Mouvement dans un champ électrique unifor Ch. déterminer à quelle distance minimale de la plaque supérieure ( A ) passe le faisceau de protons.Mouvement dans un champ électrique uniforme d .Les plaques déviatrices ( A ) et ( B ) ont une longueur L = 20 cm et sont séparées d’une distance d = 7 cm. on constate une tache se forme en un point A’.Etablir l’équation de la trajectoire du mouvement d’uneparticule α dans le repère ( O . j . 10 . k ) en fonction de U. j ).6 . 2 .Indiquer le signe que doit avoir ( V ( A ) . j . . y > > ( P1 ) d > O v0 ( P2 ) L > > > D Ex-7. charge électrique d’un proton e = 1. 0 ).26 ). Des protons sont émis au point C sans vitesse.27 ). Ces particules pénètrent par le point O avec une vitesse horizontale v 0 dans l’espace vide entre deux plaques horizontales ( P 1 ) et ( P 2 ). 4 . Lorsqu’on applique une tension continue U = 6 .Dans le cas où la tension U’ a la valeur précédemment calculée. i . 1 .64 .19 C.Déterminer la valeur v 0 de la vitesse avec laquelle les protons entre par le point O entre les plaques ( A ) et ( B ). b . 10 . 1 . En absence de champ électrique entre ( P 1 ) et ( P 2 ).10 . v 0 incliné d’un angle α = 30° par rapport au vecteur i ( Doc.Déterminer la valeur d’éjection des particules α sachant que AA’ = 8.Etablir l’équation de la trajectoire des protons dans le repère ( O . 30 kg.80 V à + 80 V ( Doc.Mouvement dans un champ électrique unifor Ch.29 ). 3 .e U P 1P 2 md ( O . le filament de chauffage émet des électrons avec une vitesse initiale négligeable.Mouvement dans un champ électrique uniforme > y j O D C k (A) α i O’ x (B) L > d > > > Doc.04 0. un segment de droite dont on calculera la longueur avec une vitesse constante dont on calculera la valeur. quelle doit être la distance D pour que U P1P2 la sensibilité Y soit égale à 20 V .6 .Vers quel sens ( vers le haut ou vers le bas ) est dévié le faisceau d’électrons lorsque U P 1P 2 > 0 ? U P 1P 2 < 0 ? > > y > ( C ) (A) O Filament de chauffage d ( P2 ) D ( P1 ) L Ecran 80 V > > 0 x > Doc.80 V Doc. La valeur de la vitesse des électrons avec laquelle ils traversent l’anode ( A ) est v 0 = 16000 km .1. a .91 . sur l’écran. Montrer que. j ) sont (a x = 0 .Calculer U 0. on applique à présent une tension en dents de scie de période T = 0. masse de l’électron m = 0. 10 . e . On donne : charge électrique de l’électron . Les électrons sont accélérés entre les électrodes ( C ) et ( A ) où existe un champ électrique uniforme créé par la tension positive U 0.e = . cm .06 temps en s > > > > .Montrer que la déviation Y du spot sur l’écran est proportionnelle à U P 1 P 2 .1.02 0.Le faisceau d’électrons subit une déviation entre les plaques ( P 1 ) et ( P 2 ) qui sont soumises à une tension U P 1 P 2 pouvant être positive ou négative ( Doc. d . 10 . ay = ).28 ). le spot décrit périodiquement de part et d’autre de sa position centrale.La distance D ayant la valeur trouvée ci-dessus. i . c .02 s et dont la valeur varie de .19 C . s -1.Etablir l’équation de la trajectoire et vérifier que la déviation parabolique est en accord avec le signe de U P 1P 2.27 Ex-8. 1 .Dans le vide d’un tube cathodique.Montrer que les coordonnées du vecteur accélération a dans le repère cartésien . 2 .28 266 > b .29 .10 . u 0.Sachant que d = 2 cm et L = 4 cm. Mouvement dans un champ magnétique u Ch.11 . Calculer la force de Lorentz.1 : Déviation d’un faisceau d’électrons par un champ magnétique dans un tube de Crookes OBJECTIFS Appliquer la relation fondamentale de la dynamique au mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme.Mouvement dans un champ magnétique uniforme 11 MOUVEMENT DANS UN CHAMP MAGNETIQUE UNIFORME Photo. 267 . Elles sont situées à une distance R l’une de l’autre. le vecteur champ magnétique constant B qui en résulte est de valeur proportionnelle à l’intensité I du courant électrique continu parcourant les spires qui les constituent ( Photo. 268 Photo.Mouvement dans un champ magnétique uniforme 1.Mouvement dans un champ magnétique u Ch. L’appareillage se compose de deux parties : Deux bobines de Helmholtz qui créent dans le volume qu’elles délimitent un champ magnétique uniforme .11 . La matérialisation de la trajectoire des électrons est due aux chocs avec les atomes du gaz raréfié provoquant une luminescence bleue caractéristique du mercure. La force de Lorentz 1. Activité expérimentale EXPÉRIENCE : Bobines de Helmholtz Canon à électrons Photo.1 .2 ). En faisant tourner l’ampoule autour de l’axe de son support.2 . on modifie ainsi à volonté la direction de la vitesse initiale v 0 des électrons par rapport à la direction du champ magnétique B ( Photo.3 LES BOBINES DE HELMHOLTZ Les bobines de Helmholtz sont deux bobines circulaires de rayon R et de même axe. Un canon à électrons produisant un faisceau d’électrons homocinétique à l’intérieur d’une ampoule de verre contenant de la vapeur de mercure sous pression réduite. On peut faire varier la valeur de la vitesse des électrons en agissant sur la tension accélératrice aux bornes du canon à électrons.3 ). Leurs spires sont parcourues par des courants électriques continus de même sens et de même intensité ce qui fait apparaître un champ magnétique uniforme résultant des deux champs magnétiques créés par les bobines. 2 Doc.5 269 . Doc.2 ). la trajectoire des électrons est une hélice circulaire ( Photo.5 ).4 ).1 B Bobine v0 Pivot Bobine Bobines Bobines v0 B B v0 Pivot Faisceau circulaire d’électrons Doc. la trajectroire devient circulaire ( Doc. Lorsque v 0 est perpendiculaire au vecteur champ magnétique B. Faisceau hélicoïdal d’électrons Photo.3 ) et ( Photo. Lorsqu’on augmente l’intensité du courant électrique qui parcourt les spires des deux bobines. jusqu’à rendre la valeur de B assez importante. la trajectoire s’incurve tout en demeurant dans un plan perpendiculaire à B ( Doc.3 Photo.Mouvement dans un champ magnétique uniforme OBSERVATIONS : Lorsque le vecteur vitesse initiale v 0 est parallèle au champ magnétique B. la trajectoire des électrons n’est pas déviée ( Doc.Mouvement dans un champ magnétique u Ch.11 .1 ).4 Lorsque la direction de la vitesse initiale v 0 est inclinée d’un angle aigu θ par rapport à la direction de B. On peut s’en apercevoir en approchant un aimant droit d’un faisceau d’électrons ( Photo. 1.a q<0 q v B F Doc.4 . CONCLUSION : Un champ magnétique uniforme permet de dévier un faisceau d’électrons lorsque ses particules chargées sont animées d’une vitesse non parallèle au champ magnétique uniforme.4 . . .le vecteur champ magnétique uniforme B est donné par l’index .b 270 v . Dans la suite du cours. on se limitera au cas où le champ magnétique est uniforme.a ).6 La déviation de la trajectoire des électrons animés d’une vitesse v dans un champ magnétique uniforme B est causée par une force magnétique F m appelée force de Lorentz. le pouce.6 ). l’index et le majeur sont disposés selon trois axes orthogonaux. le pouce est de sens contraire à v si q < 0 ( Doc. F Doc.2 .4 . Sens : il est donné par la règle des trois doigts de la main droite . CARACTÉRISTIQUES DE LA FORCE DE LORENTZ q>0 q v : B Direction : la force de Lorentz F m est perpendiculaire au plan formé par les vecteurs v et B.4 . .Mouvement dans un champ magnétique uniforme REMARQUE : La déviation de la trajectoire des électrons est possible même si le champ magnétique n’est pas uniforme.Mouvement dans un champ magnétique u Ch.b ). La force de Lorentz Photo.le vecteur q v est donné par le pouce : le pouce est de même sens que v si q > 0 ( Doc.le vecteur force de Lorentz F m est donné par le majeur.11 . LORENTZ ( Hendrick Anton ).a Doc. en T . REMARQUES : Si les vecteurs v et B sont parallèles : θ = 0° donc sin θ = 0 . Le faisceau d’électrons subit une déviation dans le plan formé par les vecteurs v et F m .6 .Haarlem 1928 ).5 ) .b ) : θ = 90° donc sin θ = 1. Le champ magnétique n’a pas d’effet sur la particule chargée en mouvement. En 1896. Si les vecteurs v et B sont perpendiculaires ( Doc. il donne un premier modèle microscopique de la plupart des phénomènes électriques connus à cette époque.Mouvement dans un champ magnétique u Ch. q>0 v B en m . s . B ) : angle non orienté ( Doc.a ).6 . par conséquent la force de Lorentz est nulle : F m = 0 ( Doc. La vitesse initiale n’est donc pas modifiée. Si v = 0 alors F m = 0 : Le champ magnétique n’a pas d’action sur une particule chargée au repos dans le repère considéré. En 1902. il a obtenu le Prix Nobel de physique. physicien hollandais ( Arnhem 1853 .Mouvement dans un champ magnétique uniforme Valeur de la force de Lorentz : sin θ B Fm = q v B θ v Fm θ = ( v .11 .6 . la trajectoire est rectiligne. d’où Fm = q v B .1 . il a donné une première évaluation de la masse de l’électron.b 271 90 ° v .5 F m en N. B q>0 θ= B v q Fm = 0 Fm Doc. q en C .6 . De 1895 à 1900. Doc. alors F m = 0 . 10 . 10 . s .15 = 3 . 10 5 m .Mouvement dans un champ magnétique uniforme EXERCICE ENONCÉ : RÉSOLU N ° 1 1 1.11 .Calculer la valeur de la force de Lorentz s’exerçant sur des particules électrisées animées d’une vitesse v 0 perpendiculaire au vecteur champ magnétique B dans les deux cas suivants : 4 2+ 2 He la particule est un électron .1 = 3. 10 . la particule est un noyau d’hélium appelée particule α .8 m . On donne : e = 1.Déterminer la direction et le sens de la force magnétique F m dans les cas suivants : B v0 q>0 B q<0 v0 v0 q<0 v0 B q>0 B 2. 0. 10 .27 . 10 . s .Montrer que le poids des particules est une force négligeable devant la force de Lorentz.15 N : v0 B = 2 .4 .Mouvement dans un champ magnétique u Ch. 9. v 0 = 2 .14 << 1 LA PARTICULE EST L’ION 4 2+ 2 He : P Fm 6. 10 .8 3.COMPARAISON LA PARTICULE DE LA VALEUR DE LA FORCE DE À CELLE DU POIDS DE LA PARTICULE EST UN ÉLECTRON : P Fm = 9.6 .1 .1 T. 9.1 = 6.65 .15 = 1 . 10 -19 C .8 = 6. 10 . 10 -19 .4 . 272 . 1.UTILISATION q>0 B DE LA RÈGLE DES TROIS DOIGTS DE LA MAIN DROITE : v0 Fm Fm v0 B Fm B q>0 v0 B q<0 LORENTZ : Fm 2. 2 . g = 9.6 . m e = 9.6 . 2 . 10 5 .4 . 10 .15 N v0 B = 1.1 .2 .2 . 10 . 3. 10 -19 .27 kg .2 . LORENTZ 3.2 . 10 . 10 .1 . 4 2+ 2 He LA PARTICULE Fm =q EST L’ION : F m = 6. B = 0.11 << 1 Les valeurs des poids de ces particules sont négligeables devant celles des forces de Lorentz. m α = 6. 0.CALCUL DE v0 q<0 LA VALEUR DE LA FORCE DE EST UN ÉLECTRON LA PARTICULE Fm =e : F m = 3.31 kg .31 . 10 . SOLUTION 1.15 N.15 N.65 . 10 5 . Mouvement dans un champ magnétique uniforme 2. Or v z = dz dt Doc. Appliquons la deuxième loi de Newton au système { électron } : F m = m a . Le poids P de la particule est négligeable par rapport à la force de Lorentz F m. 2.Mouvement dans un champ magnétique u Ch.7 ). alors sa projection sur l’axe ( O . Un électron. alors : v z = v 0z = 0. Le mouvement est étudié dans le référentiel du laboratoire considéré comme galiléen. corps ponctuel de masse m et de charge q = . La force de Lorentz F m est à chaque instant perpendiculaire au plan formé par le vecteur B et le vecteur vitesse v .11 .e. 273 . puisque à t = 0 on a z 0 = 0. Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme Nous nous limitons au seul cas où le vecteur vitesse initiale v 0 de la particule est perpendiculaire au vecteur champ magnétique B supposé uniforme. dt C Or le vecteur vitesse initiale v 0 a une coordonnée nulle selon l’axe ( O . Ainsi. le mouvement de l’électron dans la région où règne le champ magnétique uniforme s’effectue dans le plan formé par le vecteur vitesse et le vecteur force de Lorentz. pénètre en O dans le champ magnétique uniforme à un instant de date t = 0. k ) perpendiculaire au plan de la figure et de même direction que le vecteur B ( Doc. alors z = 0 quel que soit l’instant de date t. Elle est donc contenue dans le plan de la figure. donc a z = = 0 ce qui implique que v z = C te.1 . k ) : v 0z = 0. k ) est nulle : B k O e v0 M T v A Fm0 N Fm dv z a z = 0. Etude dynamique Considérons l’axe ( O .7 = 0 donc z = C te . Le vecteur accélération a est de même sens que le vecteur force F m . le mouvement de l’électron est uniforme. elle est donc réduite à sa composante normale : a = aN N Or d’où a B =a N = v2 R Fm . 274 . L’accélération a étant perpendiculaire à v . a = aT T + aN N = dv dt T + v2 R N . T .11 . le mouvement de l’électron est circulaire. Par conséquent : a T = dv dt = 0 donc v = C te = v 0 : Dans la région où règne le champ magnétique uniforme. alors elle est perpendiculaire à T . on sait que v = v 0 d’où : R= = C te : le rayon R de courbure est constant Dans la région où règne le champ magnétique uniforme.Mouvement dans un champ magnétique u Ch. par conséquent l’accélération a est perpendiculaire au vecteur vitesse v . alors : v = v T . Orientons la trajectoire dans le sens du mouvement et exprimons le vecteur a dans le repère de Frenet ( M .Mouvement dans un champ magnétique uniforme La trajectoire de l’électron est incurvée dans le sens de la force de Lorentz F m qui reste perpendiculaire aux vecteurs vitesse et champ magnétique . R étant le rayon de courbure de la trajectoire. La vitesse v est portée par la tangente à la trajectoire au point M. Fm = e v0 B et =m a d’où e m e v0 v0 B =m v2 R . N ) d’origine M qui est la position de l’électron à l’instant t. L’accélération de l’électron a une composante tangentielle nulle : a T = 0. D’après le principe d’inertie. Au point A.Mouvement dans un champ magnétique uniforme GÉNÉRALISATION : Dans un champ magnétique uniforme B. en supposant l’effet du poids non appréciable. La vitesse initiale v 0 est perpendiculaire à B.Mouvement dans un champ magnétique u Ch.11 .8 275 .2 . les électrons décrivent une trajectoire circulaire de rayon R = vitesse de valeur constante m e v0 B avec une v0 . l O (q < 0) A v0 D J O’ α vA Y R α I C B Ecran Doc. le mouvement des électrons devient rectiligne uniforme de vitesse ayant la valeur vA = v0 ( Doc. une particule de masse m et de charge q arrivant avec une vitesse initiale v 0 perpendiculaire à B prend un mouvement circulaire uniforme dans le plan perpendiculaire à B. Déviation et déflexion magnétique Un faisceau d’électrons pénètre dans une région d’étendue l où règne un champ magnétique uniforme B. Étant soumis à la force de Lorentz. les électrons quittent la région où règne le champ magnétique.8 ). de rayon : m q R= v0 B 2. donc : OCA = α.8 ).Mouvement dans un champ magnétique uniforme En dehors de la région où règne le champ magnétique uniforme. Les angles OCA et O’JI ont des côtés perpendiculaires deux à deux. ils sont égaux. L’écran se trouve à une distance D du point J. m v0 v0 Le champ magnétique uniforme s’obtient grâce à un courant passant dans des bobines. Cherchons l’expression de l’angle α : on sait que OA = R α .Mouvement dans un champ magnétique u Ch. Lorsque la déviation α est faible ( α < 10 deg ) alors : tg α = α ( rad ). v0 La déflexion magnétique Y est égale à la distance O’I : Y = O’I . 276 . La déviation du faisceau d’électrons est égale à l’angle α formé par les directions des vecteurs vitesses v A et v 0. le faisceau d’électrons n’est pas dévié et arrive au point O’ de l’écran. Les électrons finissent leur course au point d’impact I d’un écran ( Doc. Lorsque le champ magnétique B est nul.11 . la partie rectiligne de la trajectoire est tangente au point A à sa partie circulaire OA. lorsque l’étendue l du champ est faible devant le rayon R. tg α = α = Y D = e l B donc Y = e lD m B . la valeur du vecteur champ magnétique est proportionnelle à l’intensité i du courant qui parcourt les spires. par exemple les bobines de déflexion d’un téléviseur . On désigne par J le point d’intersection de la droite ( AI ) avec la droite ( OO’ ). On peut donc énoncer le résultat suivant : La déflexion magnétique est proportionnelle à l’intensité du courant qui parcourt les spires des bobines de déflexion. alors α = l R = el m B . on peut faire l’approximation OA = l . Cherchons son expression : tg α = O’I JO’ = Y D . elle est donc perpendiculaire au rayon CA. . Déflexion magnétique dans le tube cathodique de télévision Photo.a : Tube cathodique de télévision du tube cathodique d’un téléviseur Canon à électrons Faisceau d’électrons b1 b2 b’ 1 Doc.7 . etc. Un balayage complet de l’écran est réalisé en 40 ms. Chaque ligne est parallèle à la précédente mais située très légèrement en dessous.9 ). les bobines b 2 et b’2 permettent de passer d’une ligne à une autre L2 L1 b’ 2 Dans le tube cathodique de télévision.9 : Les bobines b 1 et b’1 permettent de balayer en ligne . le spot décrit une deuxième ligne.Mouvement dans un champ magnétique uniforme 3.b ) Les bobines de déviation horizontale sont parcorues par un courant en dent de scie de fréquence égale à 15 625 Hz.11 .7 .Mouvement dans un champ magnétique u Ch..b : Bobines de déflexions magnétiques Photo. le spot balaye l’écran grâce à deux champs magnétiques perpendiculaires B h et B v ( Photo. 277 . puis une troisième ligne. Après un retour presque instantané à gauche de l’écran.7 .1 . il en résulte que 25 images se succèdent en une seconde.a ) et ( Photo. On réalise ainsi 625 lignes grâce aux bobines de déviation verticale qui sont alimentées par un courant en dents de scie de fréquence égale à 25 Hz. Le spot balaye l’écran de gauche à droite suivant une ligne sensiblement horizontale pendant 64 µ s. Applications 3. ( Doc.7 . B (D1) O B (D2) In ét ter ro va it lle Doc.( Photo. Il parvient au point A 1 avec une vitesse de valeur v 0 . appelées “dees” en raison de leurs formes. Un champ électrique variable E règne dans l’intervalle étroit délimité par les deux faces parallèles des dees. Ces deux dees sont séparés par un intervalle étroit. d’un proton de masse m et de charge q = e.2 . Le proton pénètre à l’instant t = 0 dans ( D 1 ) par le point O animé d’une vitesse v 0 ( Doc. etc . Il est obtenu en établissant une tension u D D = V D . u D D = U m .. Il décrit un mouvement circulaire uniforme et sa trajectoire est un demi-cercle m de rayon R 0 = e v0 B . Entre les points A 1 et C 1. Pendant la demi-période 1 2 suivante correspondant au passage de ( D 2 ) vers ( D 1 ). 1 2 Au point C 1.V D qui est alternative de fréquence N : pendant la demi-période 1 2 1 2 correspondant au passage de ( D 1 ) vers ( D 2 ). le proton est accéléré par le champ électrique E créé par la tension u D D = U m constante durant le passage. u D D = . des noyaux d’helium.Mouvement dans un champ magnétique u Ch.U m . 1 2 Cet appareillage sert à accélérer des particules chargées : des protons.8 ) et ( Doc.11 .10 ).. Un champ magnétique uniforme B règne à l’intérieur des dees. Le cyclotron Le cyclotron est formé de deux demi-cylindres creux ( D 1 ) et ( D 2 ).Mouvement dans un champ magnétique uniforme 3. sa vitesse est v 1 de valeur le calcul suivant : 278 v1 plus grande que v0 comme le montre .11 ).10 Photo. sa direction est parallèle à l’axe de ces demi-cylindres.8 Suivons la progression dans le cyclotron. la tension est inversée et a une valeur u D D = .E C = q u D D équivalent à A1 C1 C1 A1 1 2 1 2 2 m v1 1 2 m v2 0 = e U m d’où : 2 2 v1 = v0 + 2 e Um m Du point C 1 vers le point C 2.Um ) = Um 279 . Or u D 2D1 = .11 .Mouvement dans un champ magnétique u Ch. Une nouvelle accélération se produit du point C 2 vers le point A 2 où la vitesse devient v 2 de valeur encore plus grande comme le montre le calcul suivant : ∆E C C2 = EC A2 A2 .uD 1D2 = . ∆ E C = E C .EC C2 = e uD 2D1 . Lorsque le proton arrive en C 2.Mouvement dans un champ magnétique uniforme A5 C5 v5 v3 B A3 E C3 v1 (D1) A1 C1 v0 v2 (D2) O A2 C2 K B -E vK C4 v4 A4 Vers une cible Doc.U m.(. le proton décrit de nouveau un mouvement circulaire uniforme sur une trajectoire de rayon R 1 = m e v1 B . 1 2 Le champ électrique devient égal à ( .E ).11 Appliquons le théorème de l’énergie cinétique au système constitué par le proton entre le point A 1 et le point C 1 . jusqu’à atteindre le point K où le proton quitte le cyclotron animé d’une vitesse de valeur très importante permettant de l’utiliser dans des expériences appropriées. e B m 2 e . le champ électrique redevient E et une autre accélération se produit. D’après l’expression du rayon R de la trajectoire circulaire on a : v R = e B m .. Déterminons la durée θ de parcours de chaque demi-cercle : le mouvement étant circulaire uniforme..Mouvement dans un champ magnétique u Ch.11 . sa période T est liée à sa vitesse angulaire θ par : T = . ainsi de suite . La valeur v K de la vitesse de sortie du cyclotron au 2 2 = v0 + n point K est donnée par : v K ( 2 e Um m ) où n est le nombre de traversées effectuées par le proton à travers l’intervalle étroit entre les deux dees.. 280 . v θ = R . d’où θ = . 2 La vitesse angulaire ω est lié à la vitesse linéaire v par : . θ π . . e B Quand le proton arrive au point A 3.Mouvement dans un champ magnétique uniforme 1 2 2 m v2 1 2 2 = e U m d’où m v1 2 v2 2 = v1 + 2 e Um m 2 e Um m m v2 par conséquent : 2 v2 = v2 0 + 2 ( ) Le proton décrit ensuite un nouveau demi-cercle de rayon plus grand : R 2 = . L’expression de la période est alors T = πm B : la période T du mouvement circulaire uniforme du proton dans le cyclotron est indépendente de la valeur de sa vitesse. v v3v2v1v0O ( D1 ) t T/2 T Action de E 3T/2 2T ( D2 ) ( D1 ) ( D2 ) Action de ( .VD .E ) Doc.VD 1 1 Proton en A 1 Champ E Proton en A 3 Champ E Um T/2 O T 3T/2 - 2T - t .E ) Proton en C 4 Champ ( . alors la période de variation du champ électrique est T = 2 θ = 2 e πm B .Um θ Proton en O θ Proton en C 2 Champ ( .Mouvement dans un champ magnétique uniforme Le temps mis par le proton pour effectuer chaque demi-cercle est θ = T . le champ magnétique uniforme ne fait qu’imposer à la particule une trajectoire circulaire.11 . La fréquence du cyclotron est N = πm Le document 12 donne la variation alternative de la tension uD D = VD . 1 2 1 2 uD D 1 2 = VD . 2 Pour accélérer le proton entre les faces des dees.E ) Action de E Doc.Mouvement dans un champ magnétique u Ch. 1 e = T 2 B .13 281 . Sachant que le proton met un temps négligeable pour traverser l’intervalle étroit entre les faces des deux dees.12 Le document 13 résume les actions de B et de E : seul le champ électrique augmente la valeur de la vitesse . le champ électrique doit changer de sens au terme de chaque demi-tour de durée θ. compteur . des ions de masses différentes mais de même charge .9 : SPECTROGRAPHE DE MASSE du CRMT de Marseille : à gauche les chambre d’ionisation et d’accélération. Dempster (1918) mirent au point divers appareils appelés spectromètres ou spectrographes de masse. une chambre de déviation semi-circulaire où règne un champ magnétique uniforme .14 : SCHÉMA D’UN SPECTROGRAPHE DE MASSE 282 . de déterminer la composition isotopique d’un élément ( pourcentage de chaque isotope ) . chaque ion est animé d’un mouvement circulaire uniforme de rayon qui dépend de sa masse . Dispositif de détection m1 Doc. d’analyser un mélange gazeux ou solide . avec une vitesse sensiblement nulle.Mouvement dans un champ magnétique uniforme 3. Thomson (1913). dans cette zone. à droite le dispositif de détection.9 ) et ( Doc. collecteurs.. de mesurer la masse des isotopes . Un spectrographe comprend : une chambre d’ionisation où sont produits. Le spectrographe de masse J. donc la nature. ) ( Photo. une chambre d’accélération où les ions sont accélérés par un champ électrique uniforme . Aston (1917)..3 . au centre l’aimant. permettant de trier des particules q de charge massique différentes. ( P1 ) Chambre d’ionisation ( P2 ) v1 Chambre de déviation v2 R1 O1 O2 R2 Chambre d’accélération B m2 Photo.14 ). Le spectrographe de masse permet : d’identifier les isotopes d’un élément .11 .J. un dispositif de détection où sont recueillis séparément les ions ( plaques photographique sensible. m Tous ces appareils reposent sur le même principe que nous allons développer.Mouvement dans un champ magnétique u Ch. de déterminer la formule de composés organiques : lors de l’ionisation les molécules sont brisées en fragments ionisés dont on peut déterminer la masse. Ces ions pénètrent dans la chambre d’accélération par le trou de la plaque ( P 1 ) avec des vitesses négligeables. R2 = m2 . Ils ont alors des mouvements circulaires uniformes de rayons R 1 et R 2 donnés par les relations : R1 = m1 v 1 q B et R2 = m2 v 2 q B . l’ion qui a la masse la plus grande aura le rayon le plus grand . Puisque q. U P 1 P 2 et sont constants. sont produits dans la chambre d’ionisation d’un spectrographe de masse ( Doc. Ils ont alors des mouvements rectilignes uniformément accélérés qui leur communiquent à la sortie par le trou de la plaque ( P 2 ) des vitesses v 1 et v 2 de valeurs données par les relations : v1 = 2 q U P1P2 m1 et v2 = 2 q U P1P2 m2 . Ces ions entrent alors dans la chambre où règne un champ magnétique uniforme B perpendiculaire aux vecteurs vitesses v 1 et v 2. 283 . Ces relations montrent que la valeur de la vitesse est inversement proportionnelle à la racine carré de la masse. En tenant compte des expressions de on peut écrire : R1 = 1 B 1 B 2 U P1P2 q 2 U P1P2 q B m1 et v1 et de v2 . le rayon de courbure est proportionnel à la racine carrée de la masse de l’ion.11 .20 . Un champ électrique uniforme règne entre les plaques ( P 1 ) et ( P 2 ) maintenues sous une tension continue positive U P 1 P 2. c’est ainsi qu’on arrive à séparer les ions de même charge électrique mais de masses différentes. à la sortie de la chambre d’accélération. l’ion le plus léger a le mouvement le plus rapide.Mouvement dans un champ magnétique uniforme Deux ions de même charge positive q et de masses différentes m 1 et m 2 .b ).Mouvement dans un champ magnétique u Ch. Donc. Donc. b . 284 COMMENTAIRE ( P1 ) ( P2 ) Fe O1 O2 E .Chacune des particules décrit dans la région où règne le champ magnétique uniforme un demi-cercle avec une vitesse de valeur constante.6 . on néglige l’effet du poids devant ceux des forces électrique et magnétique.12 T. Chambre 1 . a .Préciser le signe de U = U P P .La force électrique est F e est dirigée de O 1 vers O 2.3 cm et l’autre à 10. B = 0.Calculer les masses m 1 et m 2.Mouvement dans un champ magnétique u Ch. alors E a le même sens que F e. appliquons au système { particule de masse m 1 } . Dans tout l’exercice. 2 . a .Représenter sur un schéma le champ électrique E règnant entre les plaques ( P 1 ) et ( P 2 ).Considérons la particule de masse m 1 . a .27 kg. la masse d’un proton est sensiblement égale à la masse d’un neutron m p = m n = 1. 10 .Dans la chambre d’accélération. 1 2 Chambre de déviation Plaque photographique sensible T1 T2 c .0 cm de la fenêtre d’admission O 2.Quel doit être le sens de B pour que les ions soient déviés vers la plaque photographique sensible ? b . 1 2 1 2 c .Les ions pénètrent ensuite dans une chambre de déviation où règne un champ magnétique uniforme B perpendiculaire au plan de la figure.a .Mouvement dans un champ magnétique uniforme EXERCICE ENONCÉ : RÉSOLU N ° 2 On introduit dans un spectrographe de masse des ions A1 + 3 Li et A2 + 3 Li ( A 1 et A 2 désignent les nombres de masse ) O1 O2 v1 ( ou v2 ) de même charge e = 1. ils sont accélérés par une tension continu U P P = U établie 1 2 entre les plaques ( P 1 ) et ( P 2 ). puisque F e = e E. e. le théorème de l’énergie cinétique dans l’intervalle de temps correspondant aux positions de départ O 1 et d’arrivée O 2. b . b .19 C et de masses ( P2 ) ( P1 ) respectives m 1 et m 2.En déduire les valeurs des nombres de masse A 1 et A 2 des deux particules. donc U = U P P > 0. On donne : U = 1000 V. SOLUTION 1 .11 .Le champ électrique est dirigé vers les potentiels décroissants donc V ( P ) > V ( P ) . l’une à 9. 10 .Etablir les expressions des valeurs v1 et v2 des vitesses acquises par les deux ions au point O 2 en fonction de U.Les ions arrivent sur la plaque photographique sensible et forment deux tâches. e et des masses respectives m 1 et m 2. 3 . Déterminer les expressions des rayons de ces trajectoires en fonction de U.67 . B et de leurs masses respectives. les ions se présentent d’accélération au point O 1 avec des vitesses pratiquement nulles . b e. le sens de B donné par l’index est sortant.898 alors A2 = 7 285 .96 alors A1 = 6 A2 = = 6.27 1.a . 10 .R1 = m1 e 1 B 3-a2 R1 = O2 Fm 1 v1 q v1 B v1 B or v1 = 2eU m1 alors 2. m 2 = e B2 R2 2U .Mouvement dans un champ magnétique uniforme SOLUTION (SUITE) ∆E C O1 COMMENTAIRE = O2 EC O2 . 10 .27 1.96 .On applique la règle des trois doigts : le pouce a le sens de v 1 (ou v 2 ) car la charge des ions est positive.52 .11 .27 kg Applications numériques : b .0 = e U d’où v1 = 2eU m1 2.EC O1 = W ( Fe ) O1 O2 1 m1 2 2 v1 . 10 .Mouvement dans un champ magnétique u Ch.27 kg m 2 = 11. 10 .a - de même : v2 = 2eU m2 2. U et B étant constants le rayon de courbure est proportionnel à la racine carrée de la masse de l’ion : celui qui a la masse la plus grande aura le rayon le plus grand. De même.Calculs des nombres de masse des deux isotopes : 9.52 . m 1 = 9.67 . la force de Lorentz indiqué par le majeur est orientée vers la plaque sensible.96 .67 .27 11. 10 . Donc. R1 = 2 m1 U e de même : R 2 = 1 B 2 m2 U e 1 B2 2 m1 U e d’où 2 m1 = e B2 R1 2U 2 .27 A1 = = 5. 10 . b . Mouvement dans un champ magnétique uniforme L’ESSENTIEL DU COURS Une particule chargée.Mouvement dans un champ magnétique u Ch. Caractéristiques de la force de Lorentz : La direction de F m est à chaque instant perpendiculaire au plan formé par les vecteurs vitesse v et champ magnétique B . le sens de F m est donné par le majeur ). le sens de B est montré par l’index . Le sens de F m est donné par la règle des trois doigts de la main droite ( le pouce a le sens de q v . B ). le rayon de sa trajectoire circulaire est : m R= q v0 B 286 . Fm = q La valeur de la force de Lorentz est : v B sin ( v . en mouvement dans une région de l’espace où règne un champ magnétique B. est soumise à une force magnétique appelée force de Lorentz F m.11 . Une particule de charge q pénétrant avec une vitesse initiale où règne un champ magnétique uniforme B perpendiculaire à v 0 dans une région de l’espace v 0 est animée d’un mouvement circulaire uniforme dans le plan perpendiculaire à B . Dans un champ magnétique B.En déduire le sens du vecteur champ magnétique. classer ces particules par masse croissante.La trajectoire est toujours un cercle.Mouvement dans un champ magnétique u Ch. b .Le mouvement est toujours uniforme. b. v et de charge q dans un champ magnétique B parallèle à v. 1 3 2 a. g. On a observé la trajectoire circulaire d’une particule chargée négativement. On désigne par v la vitesse de la particule. Comparer les rayons R α et R p des trajectoires des noyaux d’hélium et des protons : a. Confirmer ou rejeter les affirmations suivantes en justifiant les choix exprimés : a . f . le mouvement de la particule est-il modifié ? 3. la charge de ces trois particules est la même.L’accélération de la particule peut être le vecteur nul.Mouvement dans un champ magnétique uniforme Je vérifie mes connaissances 1. b.Un électron ayant une vitesse v 0 est soumis à l’action d’un champ magnétique uniforme B. Si on inverse le sens de B. donner les signes des charges des particules (2) et (3).Une particule électrisée de masse m et de charge q négative.Dans une chambre à bulles. Il décrit alors une trajectoire circulaire.La particule (1) étant chargée positivement.La trajectoire peut être une droite.Une particule de charge q peut-elle avoir un mouvement rectiligne uniforme dans un champ magnétique B ? 4. d .lorsqu’ils ont même vitesse . les trajectoires de trois particules électrisées.Quelle est l’action d’un champ magnétique sur un neutron en mouvement ? 5.lorsqu’ils ont même énergie cinétique. en M le vecteur force agissant sur cette particule. 9. la trajectoire des particules est matérialisée grâce à l’apparition de petites bulles gazeuses.La trajectoire est soit plane. soit rectiligne. 8. e . 6.Tracer. dans une chambre à bulles.L’accélération de la particule est un vecteur normal à v .On étudie l’action d’un champ magnétique uniforme B sur des noyaux d’hélium 4 He 2 + 2 et sur des protons 1 H + de vitesses orthogonales à B.Soit une particule de vitesse a. c . On admettra que les noyaux d’hélium sont quatre fois plus lourds que les protons.En supposant que les trois particules ont la même vitesse.11 . Le champ magnétique est perpendiculaire au plan de la trajectectoire. En valeur absolue.La trajectoire peut être une parabole. une particule est-elle toujours soumise à une force ? Quelles sont les conditions nécessaires pour qu’elle le soit ? 2. est en mouvement champ magnétique uniforme B. b. Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses : 1 M 287 . 7. On néglige l’action de la pesanteur.On a obtenu. B y = 0 . i . charge de l’électron : .Tracer le vecteur manquant ( F . On donne : masse de l’électron : m = 9.Calculer la valeur de l’accélération des électrons. v v 0 sont 1.e = .6 . Ex-3.4 T. v 0 et F sur un schéma.6 .1 .Une particule chargée. v B B F v v F B F q>0 v q<0 q>0 q<0 q<0 Ex-2. 10 6 m . 2. B et et de charge e = 1.1 .Montrer que la trajectoire de l’électron est circulaire.67 .3 T. Un électron pénètre dans cet espace avec une vitesse initiale coordonnées : 1. constant. 4. j . s . d.Calculer le rayon de la trajectoire. 10 .19 C. Calculer la période de révolution de ce proton sachant que B = 4 . j . b. 3. 10 6 m . 3.5 T. 10 . v y = 0 . lancée dans un champ magnétique uniforme B. Calculer le rayon du cercle décrit par cette particule.Montrer que la période T de révolution de cette particule est indépendante de sa vitesse. c.Représenter B.11 .Le rayon du cercle augmente si l’on fait croître la valeur de B. i . .Un faisceau homocinétique d’électrons de vitesse v 0 = 3 . v 0 étant Je sais appliquer mes connaissances . 3. 1. B ou v) dans chaque cas ci-dessous. 2. 10 . s .Le mouvement de l’électron est circulaire uniforme.1.Tracer ce cercle dans le repère ( O .1 pénètre dans un champ magnétique uniforme de valeur B orthogonaux.19 C.On considère un proton de masse m p = 1.La vitesse du proton considéré est : = 15000 m .Soit un espace E muni d’un repère ( O . v z = 0.31 kg .Calculer le rayon de la trajectoire. 288 = 10 . v ayant pour v x = 4 . 10 . k ) dans lequel règne un champ magnétique B ayant pour coordonnées : B x = 0 .27 kg Ex-4. 10 .Mouvement dans un champ magnétique uniforme a.Mouvement dans un champ magnétique u Ch.La vitesse initiale v 0 de l’électron est colinéaire à B. B z = 6 . k ) 4. 10 .Calculer la valeur de la force F de Lorentz.1. je sais raisonner Ex-1. avec une vitesse v perpendiculaire à B. 2. s .L’électron “ n’a pas d’accélération”.Calculer la période de ce mouvement. R. des ions de strontium Sr 2 + de charge q = 3.19 C.Pour identifier des ions désignés par X 1. 19 v0 ( P2 ) ( P1 ) O S M1 X2 X1 v0 ( P2 ) O X3 M1 Doc.90 . 68 Zn 2 + de masse m1 = 113. 10 .27 kg.15 ). La portion ES de la trajectoire est un arc de cercle de centre O et de rayon R = 0. on les introduit successivement en O avec la même vitesse v 0 que les ions 68 Zn 2 +. c. q et B et exprimer ce rayon en fonction de q.70 m.Donner l’expression de v 0 en fonction de q. 10 . 10 . Au delà de ( P 2 ) le champ électrique est nul et il règne un champ magétique uniforme B perpendiculaire au plan de la figure ( Doc. m X 2 et m X 3 de ces ions. chaque particule est animée d’une vitesse v 0.Dans le spectrographe de masse schématisé ci-après ( Doc. tous les atomes de strontium s’ionisent sous forme Sr 2 +. des particules de charge q. m et U.Mouvement dans un champ magnétique uniforme Ex-5.76 cm ( Doc. on introduit au point S. Ils sont accélérés entre I et F par une tension U continue et réglable. B et U.On utilise ce spectrographe de masse pour identifier les isotopes du strontium .Les particules étudiées étant les ions des isotopes du zinc. 10 ..Dans la chambre d’accélération d’un spectrographe de masse. portant chacun une charge de valeur absolue q = e = 1. a.Identifier les ions X 1.M 2 étant le point d’impact sur ( P 2 ) des ions 70 Zn 2 +.67 . R 3 = 6.59 cm . 289 .16 T. R 2 = 10. 35 Cl . sortent en I d’une chambre d’ionisation avec une vitesse négligeable. 2.Rappeler l’expression du rayon R 0 en fonction de v 0 .2 . Ils sont ensuite déviés entre E et S par un champ magnétique uniforme B perpendiculaire au plan de la figure et de valeur B = 0.11 .16 Ex-6.6 .56 .27 kg et Zn de masse m2 = 116. 1. F -.Déterminer les masses m X 1. 3. 4. m. Ils sont enfin recueillis à l’entrée C d’un collecteur. Dans cet appareil tous les ions que l’on veut recueillir en C doivent suivre la même trajectoire IFESC. m. On rappelle que la masse d’un nucléon est égale à 1. m et B pour que l’ion Sr 2 + suive la trajectoire imposée.Déterminer le sens de B. b. 10 . Les trajectoires obtenues ont respectivement les rayons R 1 = 5. de masse m.Etablir l’expression de la tension U en fonction de q. de masse m et ayant une vitesse négligeable. calculer la distance OM 2. X 2 et X 3 dans la liste suivante : 39 K + .19 C. X 2 et X 3.27 kg. 1. Elles sont accélérées par la tension U entre les plaques ( P 1 ) et ( P 2 ).Quel est le signe de la charge portée par chacun de ces ions ? b.16 ).Mouvement dans un champ magnétique u Ch.30 cm . Au point O. 23 Na + .15 70 2+ Le point d’impact des ions 68 Zn 2 + se trouve au point M 1 tel que OM 1 = 20 cm. a. Doc.17 ). 2. Mouvement dans un champ magnétique uniforme a. 10 . 10 . 10 .27 kg. pénètrent dans une troisième ( C 3 ) chambre où règne un champ magnétique uniforme B de direction perpendiculaire au plan de la figure. sans vitesse initiale.17 2. on produit simultanément des ions et 24 12 12 6 et C+ 24 2+ 12 Mg .19 C. Calculer la valeur à donner à U pour que les ions 88 Sr 2 + soient collectés en C. par le point I dans une deuxième chambre ( C 2 ) où règne un champ électrique uniforme E produit par deux plaques parallèles ( P 1 ) et ( P 2 ) entre lesquelles est maintenue une tension U P 1 P 2 = 40000 V ( Doc.Montrer que dans ( C 3 ).27 kg.6 . Pour les recueillir successivement en C.Les ions 12 + 6C Ex-7.Préciser sur le schéma le sens de B pour que les ions parviennent dans le domaine ( D ). il faut donner à U différentes valeurs comprises entre 13930 V et 14440 V. I F E O S Champ magnétique uniforme b.18 ). animés des Mg 2+ de masses respectives m1 = 20. Entre quelles valeurs se situent les nombre de masse de ces isotopes ? C B Doc.27 kg et m2 = 40.11 . a.Calculer les valeurs v 1 et v 2 des vitesses acquises par les deux ions au point O .On place d’abord dans la chambre d’ionisation du strontium 88 de masse m = 145.Mouvement dans un champ magnétique u Ch.42 . On donne : e = 1.04 . b. séparer ces ions ? (P2) O (C1) B (C1) (C2) (D) Doc. 10 .25 T.08 . on donne B = 0. le résultat trouvé est-il prévisible ? (P1) I vitesses v 1 et v 2 de valeurs calculées ci-dessus.On place maintenant dans la chambre d’ionisation un mélange d’isotopes du strontium. Peut-on. de charges respectives q 1 et q 2. 1. Ces ions pénètrent. les ions ont un mouvement circulaire uniforme dans le plan de la figure. dans ces conditions.Calculer et comparer les rayons R 1 et R 2 correspendant aux ions carbone et magnésium .Dans une chambre d’ionisation ( C 1 ). c.18 { 290 . 74 . B A Zone II C B Doc.1 . B et et les valeurs v1 v 2 des vitesses de la particule.Calculer la charge massique et identifier m la particule. les ions pénètrent dans une région où ils sont soumis à l’action simultanée de deux champs : un champ magnétique uniforme B perpendiculaire au plan de la figure donc à x’x et orienté vers l’avant et de valeur B = 0.11 . traverse une chambre de Wilson dans laquelle règne un champ magnétique uniforme B. 10 . On donne : m1 = 33. 3 1. valeur du champ magnétique : B valeur de la vitesse d’entrée dans le dispositif : v 0 = 2 . s .Déterminer la valeur E 1 du champ électrique à appliquer pour que seuls les ions 10 Ne + passent par le trou ( T 3 ) situé sur l’axe x’x.A la sortie de ( T 2 ). masse d’un nucléon : m 0 = 1.67 .19 ).Calculer la valeur E 2 du champ électrique permettant uniquement le passage par ( T 3 ) des ions 22 10 20 Ne +. les mesures ont donné R2 R1 = = 14 cm ( Doc. 10 . 1. 10 . m. Données : charge élémentaire : e = 1. Ces ions arrivent au trou ( T 2 ) avec des vitesses respectives v 1 et v 2 de direction horizontale ( Doc.5 T . Zone I = 0.1 T .19 C .Etablir l’expression de R 1 et R 2 en fonction de q. 10 . 3. 10 V. Le cliché matérialisant la trajectoire permet de dire que la particule a décrit des arcs de cercles de rayons R 1 et R 2 respectivement dans les zones I et II . charge commune q = 1. 2.Mouvement dans un champ magnétique u Ch. orienté vers le haut et de valeur réglable.19 Ex-9.6 . 10 7 m .A la sortie d’une chambre d’ionisation.Mouvement dans un champ magnétique uniforme Ex-8.Une particule de charge q.27 kg .20 ).6 .Quelle est l’intérêt d’un tel dispositif ? 291 .27 kg et m2 = 36. perpendiculaire au plan de la figure et orienté vers l’avant de ce plan. b. de masse m.Dans quel sens se déplace la particule ( de I vers II ou de II vers I ) ? Quel est le signe de la charge de la particule ? q 3.19 4 2. La particule ralentit en franchissant la surface ( AC ). a.27 kg. 10 . des ions néon 20 10 Ne + et 22 10 Ne + pénètrent avec une vitesse presque nulle par un trou ( T 1 ) dans l’espace compris entre deux plaques métalliques verticales ( P 1 ) et ( P 2 ) entre lesquelles on a établi une tension accélératrice U = 2 .Calculer les valeurs v 1 et v 2 des vitesses respectivement des ions du néon 20 et du néon 22 quand ils passent par ( T 2 ).40 . C. on néglige la masse des électrons. un champ électrique uniforme E perpendiculaire à x’x. Ces protons sont initialement émis en O et se déplacent dans le vide ( Doc. de masse m = 1.19 C. 10 . sachant que le rayon des dees est R’ = 0. à vitesse de valeur constante v des demi-cercles à l’intérieur des dees.27 kg et de charge q = 1. 10 .66 T. v .Un cyclotron est formé de deux “dees” demi-cylindriques ( D 1 ) et ( D 2 ) placées horizontalement dans un champ magnétique uniforme B perpendiculaire au plan de la figure et de valeur B = 0. Dans l’espace compris entre ( D 1 ) et ( D 2 ).Quelle orientation doit-on donner à B pour obtenir le sens de rotation indiqué sur la figure 21 ? 5. . 1.Quelle énergie cinétique maximale peuvent prendre les protons.21 ). sont soumis à un champ électrique alternatif de façon à être accélérés à chaque passage.21 292 . 3.11 .Montrer que ces protons décrivent.Quelle est la fréquence de la tension accélératrice créant le champ électrique alternatif ? 6. la durée τ dépend-elle de v ? 4.Évaluer la durée τ mis par un proton pour décrire un demi-cercle .20 Ex-10.6 . dee ( D 1 ) O Cible Tension alternative dee ( D 2 ) Doc.Établir l’expression du rayon R d’un demi-cercle en fonction de m.Mouvement dans un champ magnétique u Ch.42 m.Mouvement dans un champ magnétique uniforme ( Q1 ) U x’ Chambre d’ionisation (T1) (T2) E (T3) x ( P1 ) ( P2 ) B ( Q2 ) Doc.67 . des protons. 2. B et q. ............................................................................. 294 Chapitre 13-INTERACTION MAGNETIQUE .....l’optique Chapitre 12-LENTILLES MINCES ....................................... 326 .............. OBJECTIFS Classer les lentilles en lentilles convergentes et lentilles divergentes. donnée par une lentille convergente.lentilles minces lentilles minces 12 Photo.2 :Un papier placé au point de convergence de la lentille s’enflamme. Déterminer graphiquement la position de l'image d'un point objet.1-b : Lentilles à bords minces CONVERGENTES LENTILLES LENTILLES Photo. Réaliser des montages permettant de mesurer la distance focale d'une lentille.Ch. 294 .12 .1-a : LENTILLES MINCES Lentilles à bords épais DIVERGENTES Photo. Appliquer la relation deconjugaison des lentilles minces convergentes. 2-b ).. Ch. Exemples : loupe. et si on inverse le sens de la marche de la lumière. prisme . L’application du principe du retour inverse de la lumière montre que si A’ est le point objet.lentilles minces système optique A A’ Doc.1-a ). IMAGE D’UN POINT LUMINEUX Soit un point lumineux A appelé point objet qui envoie des rayons lumineux sur un système optique ( S ). A’ est appelé point image de A ( Doc. système optique A système optique Doc.. jumelles. oculaire. Système optique Un système optique est un ensemble de milieux transparents séparés par des surfaces polies.2-a ).1-b point objet point objet LES DEUX TYPES D’OBJETS ET D’IMAGES Un point objet réel correspond au point de départ des rayons arrivant sur le système optique ( Doc. etc.12 .2-b point objet réel 295 .2-a A point objet virtuel Doc.1.1-a point image A point image système optique A’ Doc. Généralités 1. Un point objet virtuel correspond au point de concours des prolongements des rayons arrivant sur le système optique ( Doc. Si les rayons sortants passent tous par un même point A’. A sera le point image ( Doc. A’ et A sont dits deux points conjugés par rapport à ( S ).1-b ).lentilles minces 1. CLASSIFICATION DES LENTILLES SHÉRIQUES MINCES D e C 1 et C 2 : centres de courbure R 1 et R 2 : rayons de courbure D : diamètre de la lentille O : centre de la lentille e : épaisseur de la lentille Les lentilles minces à bords minces : l’épaisseur au centre est plus grande que sur le bord .2-c point image réelle A’ système optique Doc.lentilles minces lentilles minces Un point image réelle correspond au point de concours des rayons sortant du système optique ( Doc. Un point image virtuelle correspond au point de concours des prolongements des rayons sortant du système optique ( Doc. Une lentille sphérique est dite mince si son épaisseur e au centre est faible devant son diamètre D ( ou bien e petite devant les rayons de courbure R 1 et R 2 de ses faces ).3-b biconvexe plan convexe ménisque convergent symbole Photo.3-b ). Une image virtuelle est visible à l'œil nu mais ne peut pas être recueillie sur un écran. Lentilles sphériques minces Une lentille sphérique est un milieu transparent limité par deux surfaces dont l'une au moins n’est pas sphérique ( Doc.2-c ).2.3-a Doc.Ch. système optique A’ Doc.3-a ). Doc.12 .3-a : Les lentilles minces à bords minces 296 .2-d ). C2 R1 O R2 C1 1. ce sont des lentilles convergentes ( Doc.2-d point image virtuelle REMARQUE Une image réelle peut être recueillie sur un écran placé à l’endroit où elle se trouve. Lentille convergente ax ax Photo.4-b ).lentilles minces Doc.3-c ). ce sont des lentilles divergentes ( Doc.12 .4-b 2.3-c plan concave ménisque divergent symbole biconcave 2.Eclairons une lentille ( L 1 ) convergente et une lentille ( L 2 ) divergente avec un faisceau lumineux parallèle à leur axe optique principal.4-a ) et ( Doc. Ch.1.2. Centre optique et axes optiques d’une lentille Tout rayon passant par le centre O de la lentille n’est pas dévié : O est le centre optique de la lentille.lentilles minces Les lentilles minces à bords épais : l’épaisseur au centre est plus petite que sur le bord . L’axe optique principal est la droite joignant les centres de courbures des faces de la lentille. Foyers et plans focaux d’une lentille FOYER IMAGE ET PLAN FOCAL IMAGE ACTIVITÉ EXPÉRIMENTALE : . Un axe optique secondaire est toute autre droite passant par le centre optique de la lentille ( Doc. 297 > e op tiq ue se co nd ai re > op tiq ue se co nd ai re O O axe optique principal . Caractéristiques d’une lentille 2.3-b : Les lentilles minces à bords épais Lentille divergente e axe optique principal Doc.4-a Doc. 5-a ). F’ est un foyer principal image. située dans un plan ( P’ ) pendiculaire à l’axe principal et passant par le foyer image principal F’ ( Doc. F’1 est un foyer image secondaire ( P’ ) est le plan focal image. située sur l’axe optique principal de la lentille et appelée foyer principal image ( Doc.6-b > . F’1 est un foyer image secondaire ( P’ ) est le plan focal image. Doc. Doc. . F’ est un foyer principal image.4-a : Foyer image F’ d’une lentille convergente Photo. située sur l’axe optique principal de la lentille ( Doc. située dans un plan ( P’ ) perpendiculaire à l’axe principal et passant par le foyer image principal F’ ( Doc.6-b ).6-a ).4-a : Foyer image F’ d’une lentille divergente LENTILLE CONVERGENTE (L1) LENTILLE DIVERGENTE (L2) (L1) (L2) > F’ O + F’ O + Doc.Eclairons maintenant les deux lentilles ( L 1 ) et ( L 2 ) avec un faisceau lumineux parallèle à l’un de leurs axes optiques secondaires.5-b ).Ch.lentilles minces F’ lentilles minces F’ Photo.5-a Le faisceau lumineux émergent converge vers une région pratiquement ponctuelle F’. (L1) > ( P’ ) ( P’ ) (L2) > F’ O + F’ O + F’ 1 F’ 1 Le faisceau lumineux émergent converge vers une région pratiquement ponctuelle F’1 .6-a 298 Le faisceau lumineux émergent diverge à partir d’une région pratiquement ponctuelle F’1 .5-b Le faisceau lumineux émergent diverge à partir d’une région pratiquement ponctuelle F’.12 . Doc. ( L1 ) (L2) F1 F O + > > F1 O + F > (P) (P) Doc.7-b ).8-b Un faisceau de rayons incidents dont les prolongements convergent vers un point F 1 du plan ( P ) perpendiculaire à l’axe principal et contenant le foyer principal objet. Le faisceau émerge parallèlement à l’axe principal ( Doc. émerge parallèlement à l’axe secondaire ( OF 1 ) ( Doc.7-a ). Le faisceau émerge parallèlement à l’axe principal ( Doc. symétrique de F’ par rapport à la lentille. Doc.8-a ).7-b Envoyons sur une lentille divergente un faisceau de lumière dont les prolongements des rayons convergent en un point F de l’axe principal.lentilles minces (L1) (L2) > + F O F’ + F’ O F Doc. F est le foyer objet principal. le faisceau émerge parallèlement à l’axe secondaire ( OF 1 ) ( Doc. symértique de F’ par rapport à la lentille. F 1 est un foyer objet secondaire ( P ) est le plan focal objet. F est le foyer objet principal.8-a La source est maintenant placée en un point F 1 du plan ( P ) perpendiculaire à l’axe principal et contenant le foyer objet principal.7-a Plaçons une source ponctuelle en un point F de l’axe principal. Doc. 299 . F 1 est un foyer objet secondaire ( P ) est le plan focal objet.8-b ).12 .lentilles minces FOYER OBJET ET PLAN FOCAL OBJET Ch. axe principal Doc. Conditions de Gauss ACTIVITÉ EXPÉRIMENTALE D’un objet en forme de F éclairé par une lanterne et placé incliné par rapport à son axe principal. la grandeur scalaire correspondant à la distance qui sépare le centre optique de la lentille et l’un de ses foyers principaux. 300 F . Vergence Dans le repère direct ( O . La vergence d’une lentille convergente est positive car OF’ est comptée positive . REMARQUE : la vergence s’appelle aussi la convergence.Ch. la vergence C d'une lentille est définie par la relation : C= 1 OF’ C s’exprime en dioptries de symbole δ . Distance focale et vergence d’une lentille Distance focale On appelle distance focale f d’une lentille. La photo 3-b correspond à l’image d’un objet placé sur un axe secondaire de cette même lentille . une image très déformée ( Doc.12 .lentilles minces lentilles minces 2.4. celle d’une lentille divergente est négative car OF’ est comptée négative. l’image est moins nette que celle obtenue dans le cas de la photo 3-a.12-a La photo 3-a correspond à l’image d’un objet placé sur l’axe principal d’une lentille convergente qui n’est pas diaphragmée.9 i 2. j ) dont les caractéristiques sont indiquées sur le document 9.3. i . sens de propagation de la lumière (L) j O Doc. une lentille convergente donne sur un écran.12-a ). lentilles minces Photo. diaphragme Doc.4-b : image plus lisible En résumé.4-a ).12-b Photo.3-b : image très déformée Photo. une lentille donne des images nettes si elle satisfait aux conditions de Gauss : . l’image très déformée devient plus lisible ( Photo.le faisceau traverse la lentille près de son centre optique .12 .3-a : image plus nette bordée de lumière parasite Diaphragmons la lentille.4-b ) alors que l’autre image devient encore plus nette avec disparition de la lumière parasite ( Photo. c’est-à-dire interposons une surface opaque munie d’un orifice circulaire au centre de la lentille ( Doc.12-b ).4-a : image nette sans lumière parasite Photo.les rayons sont peu inclinés par rapport à l’axe optique principal. 301 .lentilles minces Ch. parallèle à l’axe secondaire ( OF’1 ). point de concours des prolongements des rayons émergents est un point image virtuelle. Le point image A’ est au point de concours des rayons émergents ( Doc. Objet ponctuel situé sur l’axe OBJET RÉEL Le point objet réel A est au point de départ de deux rayons incidents : . qui émerge selon la direction ( JF’1 ) ( Doc. OBJET VIRTUEL Le point objet virtuel A est au point de concours des prolongements de deux rayons incidents : . Doc.le rayon AO. point de concours des prolongements des rayons émergents ( JF’1 ) et ( OF’ ).le rayon AJ. ne subissant pas de déviation . est un point image réelle. Doc.le rayon incident en J et parallèle à l’axe secondaire ( OF’1 ).13-b Le rayon incident ( AJ ). J A’ F O A + A’ > > F’ O F A + F’ F’ 1 F’ 1 J Doc.lentilles minces lentilles minces 3.13-d A’.13-c ) et ( Doc. 302 > . Image d’un objet lumineux donnée par une lentille 3.le rayon porté par l’axe principal et ne subissant pas de déviation .13-b ).13-a Le rayon incident ( AJ ). A’.13-a ) et ( Doc.13-c A’. point de concours des rayons émergents ( JF’1 ) et ( OF’ ). > J F’ 1 A F O A’ + A A’ J + O F’ F’ F’ 1 Doc. A’.Ch.12 . point de concours des deux rayons émergents est un point image réelle.13-d ). émerge de sorte que le rayon sortant passe par le foyer secondaire image F’1 . émerge de sorte que le rayon sortant passe par le foyer secondaire image F’1 . parallèle à l’axe secondaire ( OF’1 ).1. est un point image virtuelle. 5 ) Photo. 303 .2. Pour une lentille convergente.lentilles minces 3. on trace la marche de deux rayons issus de B parmi les trois rayons représentés sur le document ( Doc.14 Un objet lumineux en forme de F est placé à une distance d d’une lentille ( L ) de distance focale f connue ( Photo.14 ). Objet étendu CONSTRUCTION GRAPHIQUE DE L’IMAGE Pour construire l’image A’B’ d’un objet AB plan perpendiculaire à l’axe optique principal. En particulier. Pour une lentille divergente.5 L’objet est très éloigné de la lentille ( objet considéré à l’infini ).lentilles minces B O A F’ A’ + F B’ Doc. OBJET RÉEL Ch. il suffit de construire B’ : A’ est la projection orthogonale de B’ sur l’axe optique principal. si A se trouve sur l’axe. on utilise le fait que son image est plane et lui est parallèle.12 . on trace la marche du rayon parallèle à l’axe principal et de celui qui passe par le centre optique. 304 > . B F’ A F O B’ A’ + Photo. elle peut être observée par l'œil en regardant à travers la lentille ( Doc.16-b ).15-b D’un objet réel. D’un objet réel.a : écriture observée à travers une lentille divergente Doc.16-d ). une lentille convergente donne une image réelle et renversée : . droite et plus petite que l’objet ( Doc. on l’observe en regardant à travers la lentille si d = f ( Doc.16-e ) : c’est l’effet de loupe ( Photo.( Doc. une lentille divergente donne une image virtuelle.de même taille et symétrique de l’objet par rapport à la lentille si d = 2 f ( Doc. .16-c ).17-d ) et ( Doc. .17-c ).15-a ).15-a Une lentille divergente donne du même objet une image virtuelle qui se forme dans le plan focal image de la lentille .17-e ). l’image est virtuelle. elle est observée par l'œil en regardant à travers la lentille ( Doc.( Doc. ( Doc.Ch.lentilles minces lentilles minces Une lentille convergente donne de cet objet une image réelle.12 .6.16-a ). B B’ > O F + A F’ A’ Photo.17-a ). .à l’infini .6. recueillie sur un écran placé dans le plan focal image de la lentille ( Doc.plus petite que l’objet si d > 2 f ( Doc. Si L’objet réel et placé entre le plan focal objet et le centre de la lentille.6 ).15-b ).17-b ).plus grande que l’objet si 2 f > d > f ( Doc. placé avant son plan focal objet. droite et plus grande que l’objet .a : écriture observée à travers une lentille convergente Doc. 16-c Doc.16-e Doc.16-b Doc.16-d B’ Doc.lentilles minces B’ F’ A’ O F + Doc.17-a B F’ A F O B’ A’ + B B’ A F’ A’ O F + Doc.17-e 305 .12 .17-c B A F O F’ + B B’ A F’ A’ O F + Doc.16-a Doc.17-b B F’ A F O A’ + B B’ O A F’ A’ F + B’ Doc.lentilles minces B F’ A’ A F O B’ + A B Ch.17-d B B A’ F A O B’ F’ + F’ A A’ O F + Doc. virtuelle. B B’ O F B’ A’ A F’ + O A B + F’ F A’ Doc. une lentille convergente donne une image réelle.19-b ) .18-c ) et ( Doc.18-d B’ Doc.12 .19-b B’ B B F O A’ F’ A + A’ F’ O F A + Doc. (L1) B0 O2 A0 O1 A + (L2) Doc.rejetée à l’infini si d = f ( Doc. une lentille divergente donne une image : .19-c D’un objet virtuel. droite et plus petite que l’objet ( Doc.19-a ) .18-d ).lentilles minces lentilles minces OBJET VIRTUEL Comment obtenir un objet virtuel ? Une lentille ( L 1 ) donne d’un objet lumineux ( A 0 B 0 ) une image réelle ( AB ).18-b Doc. ( Doc.réelle.18-a B D’un objet virtuel. ( AB ) est un objet virtuel pour une lentille ( L 2 ) placée entre ( L 1 ) et ( AB ) ( Doc.18-a ).18-b ). droite et plus grande que l’objet si d < f ( Doc.19-a B B’ F O A’ F’ A B + A + F’ O F Doc.18-c Doc. renversée et plus grande que l’objet si d > f ( Doc.Ch. 306 .19-c ). Une deuxième lentille ( L2 ) de centre optique O 2 est accolée derrière ( L1 ) ( les deux axes principaux coïncident et les deux centres optiques O1 et O2 sont pratiquement confondus en un même point O ). le système formé par les deux lentilles accolées.12 . une image A 1 B 1 représentée sur le document 20.lentilles minces EXERCICE ENONCÉ : RÉSOLU N°1 Ch. la nature ( convergente ou divergente ) et la vergence C 1 de la lentille ( L1 ).20 Déterminer graphiquement la position du centre optique O 1 . De l’objet AB. 5 cm 50 cm B A’ B’ B1 A1 Axe principal A Doc. donne l’image A’B’ représentée sur le document 21.Une lentille ( L 1 ) donne d’un objet virtuel AB. 307 . B 5 cm 50 cm B1 Axe principal A1 A Doc.lentilles minces I.21 Déterminer graphiquement la nature ( convergente ou divergente ) et la vergence C 2 de la lentille ( L2 ). II . Le centre optique O 1 de la lentille est alors à l’intersection de la droite BB 1 et de l’axe principal.Caractéristiques de la lentille ( L 1 ) Le rayon incident O 1B. converge vers le foyer principal image F’1.22 II.image conjugués pour le système ( L 2 ).Caractéristiques de la lentille ( L 2 ) ( AB . La lentille (L 1) est donc convergente sa distance focale : f 1 = 40 cm sa vergence : C 1 = 2.image conjugués pour le système { (L 1) .5 δ B A’ F’2 B1 Doc. diverge à partir de F’. Le rayon émergent I 1 B 1 .12 . La lentille ( L 2 ) est divergente sa distance focale : f 2 = 20 cm sa vergence C 2 = . A’B’ ) est un couple objet . correspondant au rayon incident S 1 I 1 parallèle à l’axe principal et dont le prolongement passe par le point objet B. A’B’ ) est un couple objet . (L 2) } ( A 1 B 1 .23 A O B’ A1 308 .Ch.lentilles minces lentilles minces SOLUTION I .5 δ S1 I1 B B1 O1 A1 F’1 A Doc. passant par le centre optique O 1 de la lentille et le rayon émergent O 1B 1 correspondant sont portés par la même droite. Pour ce système : le prolongement du rayon émergent correspondant au rayon incident S’ I’ parallèle à l’axe principal. Ce résultat. on a : OF ’ est égale à + f pour lentille convergente et à . Relation de conjugaison.24 ). B J j i Les deux triangles F’A’B’ et F’OJ sont rectangles et ont un angle aigu commun . OA est négative pour un objet = OA’ OA .24 d’où : = . Grandissement RELATION DE CONJUGAISON Ch.OF’ +1 réel ( avant la lentille ) et positive pour un objet virtuel ( après la lentille ) OA’ permet de prévoir la position Ce qui donne : OA’ OA = OA’ . A F’ A’ O Ce qui nous permet d’écrire : A’B’ AB F’A’ F’O A’B’ OJ = F’A’ F’O .12 . j ) où le vecteur i est orienté dans le sens de propagation de la lumière.f pour une lentille divergente.OF’ = OA’ . D’autre part : F’A’ F’O = OA’ . De même. i . en considérant les triangles semblables OA’B’ et OAB A’B’ OA’ on peut écrire : = OA AB En identifiant les deux expressions de A’B’ AB F’A’ F’O on peut écrire : Dans le repère ( O . OJ = AB B’ Doc.OF’ 1 OA’ et la nature de l’image : elle est positive pour une image réelle ( après la lentille ) et négative pour une image virtuelle ( avant la lentille ). ils sont donc semblables.lentilles minces 4.lentilles minces Soit une lentille de centre optique O.OF’ . nous l’écrivons sous la forme : 1 OA’ - 1 OA = 1 OF’ : Relation de conjugaison 309 . obtient : = + . Or. Les points A et A’ sont situés sur l’axe principal ( Doc. AB un objet plan perpendiculaire à l’axe principal et A’B’ son image donnée par la lentille.OF’ + 1 En divisant les membres de cette égalité par OA’ . on 1 OA 1 . l’image est droite ( même sens que l’objet ). . l’image est plus petite que l’objet 310 .Ch. l’image est plus grande que l’objet Si γ < 1. Ce qui permet d’écrire : γ = A’B’ = OA’ AB OA . Si γ > 1. l’image est renversée ( objet et image de même sens ).12 .Si γ < 0. ils sont donc semblables. on introduit le grandissement γ = A’B’ AB Les deux triangles OAB et OA’B’ sont rectangles et ont un angle aigu commun .lentilles minces lentilles minces GRANDISSEMENT D’UNE LENTILLE Pour caractériser la taille d’une image A’B’ donnée par une lentille d’un objet AB.Si γ > 0. 5 δ et d’un objet AB.On dispose de deux lentilles ( L1 ) et ( L2 ) accolées. D’autre part. placée au point O. ( ( L1 ) et ( L2 ) ont le même axe optique et leurs centres optiques O 1 et O 2 sont confondus en un point O ). Conclure. 1. D’un objet AB. ( L 2 ) } : 1 OA’ - 1 OA = C1 + C2 (3) 311 . II 1.Déterminer graphiquement la vergence C de la lentille ( L ) qui.1 . de vergence respectives C 1 = 2. les positions des centres optiques O 1 et O 2 étant confondus avec O.En déduire la position et la nature ( réelle ou virtuelle ) de l’image A’B’ ainsi que le grandissement du système formé par les deux lentilles. 2. - Pour la lentille ( L2 ). situé à 1.lentilles minces EXERCICE ENONCÉ : RÉSOLU N°2 Ch. on obtient la relation de conjugaison dans le système { ( L 1 ) .lentilles minces I .Pour la lentille ( L1 ). virtuel.2 m de O. le système formé par les deux lentilles accolées.Etablir l’expression de la différence 1 OA’ - 1 OA en fonction de C 1 et C 2. 2.Comparer C à C1 + C2. donne de l’objet AB la même image A’B’.12 . SOLUTION I. donne une image A’B’ ( On supposera que A est sur l’axe optique ).5 δ et C2= . A 1 B 1 est l’image de AB. A 1 B 1 est un objet dont l’image est A’B’. les relations de conjugaison dans ( L 1 ) et dans ( L 2 ) s’écrivent alors : dans ( L 1 ) : 1 OA 1 1 OA’ - 1 OA 1 OA 1 = 1 OF’1 1 = C1 (1) dans ( L 2 ) : - = = C2 (2) OF’2 En additionnant les relations (1) et (2). 5 δ II . Conclusion : L’ensemble de deux lentilles minces accolées est équivalent à une lentille mince dont la vergence est égale à la somme des vergences des lentilles. l’objet AB et son image A’B’ puis on suit la même démarche que celle de la réponse à la question II de l’exercice résolu de la page 15 : on trouve: C = .5 + ( .1.0.5 ) = .Grandissement γ 2 de ( L2 ) : γ 2 = Le grandissement γ = A’B’ A’B’ A 1B 1 = = OA 1 OA OA’ OA 1 (4) (3) du système formé par les deux lentilles.2. l’image A’B’ est alors virtuelle. Ce qui signifie que l’image 1.67 m .2 OA AB A’B’ est renversée et sa taille est la moitié de celle de l’objet AB.59 ) = S B A’ O F’ A 5 cm 50 cm B’ II -1.2Position de l’image A’B’ : 1 1 + C1 + C2 = OA’ OA 1 = 1 + 2.12 .0. 5.Ch. γ 1 : = .0 .2 OA’ Nature de l’image A’B’ : OA’ = .Comparaison de C avec C 1+ C 2 et Conclusion : Nous remarquons que C = C 1+ C 2. 312 . Grandissement du système formé par les deux lentilles : . = γ= A’B’ OA’ ( .Grandissement γ 1 de ( L1 ) : γ 1 = A 1B 1 AB .2.1 lentilles minces d’où : 1.Détermination graphique de la vergence C de la lentille ( L ) On commence par représenter la lentille.59 m OA’ étant négatif. AB est obtenu en effectuant le produit γ 2 .lentilles minces I. 12 . on détermine sa distance focale puis sa vergence C’ = C 0 + C C = C’ . CAS D’UNE LENTILLE CONVERGENTE Ch. L’ensemble est convergent. Méthode utilisant un objet à l’infini.lentilles minces 5. ATTENTION : Ne jamais regarder le Soleil à travers une lentille. on réalise la mise au point pour avoir une image nette sur l'écran et on mesure la distance séparant la lentille de l'écran. pratiquée dans un plan opaque et éclairée par une lanterne ) est disposée à une distance de l’ordre de 1.lentilles minces Principe de la méthode : L’image d’un objet situé à l’infini se forme dans le plan focal image. une lentille convergente de vergence C 0 connue telle que C 0 > C .C 0 et f = 1 ICI 313 .5 m à 2 m de la lentille. on peut devenir aveugle ! CAS D’UNE LENTILLE DIVERGENTE On accole à la lentille divergente de vergence C inconnue. Détermination de la distance focale d’une lentille : focométrie 5. On place un écran derrière la lentille. Protocole expérimental : Lentille diaphragmée Objet Lanterne f Ecran L’objet lumineux ( une fente en forme d’une lettre.1. 1.4 D f 2 D2 . 314 . Méthode de Bessel ETUDE THÉORIQUE Sur un banc d’optique.Ch.4 D f f = D2 . on obtient : D x (D . on déplace une lentille convergente de distance focale f. Calculer f.x 1 = D2 .4 D f > 0 ( D > 4 f ). Entre l’objet et l’écran. = f x D-x En réduisant au même dénominateur les deux termes du premier membre.4 D f 2 . Mesurer la distance d = O 1 O 2 . on observe sur l’écran une image nette A’B’ pour deux positions distinctes O 1 et O 2 de la lentille distantes de d ( Doc-11 ). Dx1 = d = O 1O 2 = x 2 . D2 .d2 4D .x + D La relation de conjugaison 1 OA’ 1 OA = 1 OF’ s’écrit : .d2 Montrons que la distance focale f de la lentille est donnée par : f = .x) = 1 f .lentilles minces lentilles minces 5.12 . On élève au carré et on en déduit f : PROTOCOLE EXPÉRIMENTAL Maintenir fixes l’écran et l’objet à la distance D l’un de l’autre. 1 1 1 + . l’équation (1) admet deux racines distinctes x 1 et x 2 correspondant aux abscisses des deux positions O 1 et O 2 de la lentille qui donnent sur l’écran une image nette de l’objet AB. x2 = D+ D2 .x D + D f = 0 (1) Si le discriminant ∆ = D 2 . étant une position de la lentille qui permet d’obtenir une image nette sur l’écran ) OA’ = OA + AA’ = . 4D D Lentille diaphragmée Objet Lanterne Ecran i O1 O2 A d A’ Posons AO = x ( O. Ceci donne l’équation du second degré suivante : x 2 . Chercher les deux positions O 1 et O 2 qui donnent chacune une image nette sur l’écran. Si D > 4 f. on fixe un objet AB et un écran distants de D. lentilles minces Ce qui se produit lorsque le discriminant ∆ = D 2 . Si on trouve deux positions distinctes de la lentille pour lesquelles on observe des images nettes. x1 = x2 = D 2 Ch. on rapproche l’écran de l’image puis et on recommence la recherche jusqu’à ce qu’on ne trouve qu’une seule position de la lentille qui donne une image nette sur l’écran. ce qui signifie : D f = 4 PROTOCOLE EXPÉRIMENTAL On procède comme pour la méthode de Bessel. Elle correspond au cas où les deux positions O 1 et O 2 de la lentille qui donnent sur l’écran une image nette de l’objet AB sont confondues ( l’équation (1) admet une racine double ). Méthode de Silbermann La méthode de Silbermann est un cas limite de celle de Bessel. On mesure dans ces conditions la distance D séparant l’objet et l’écran : f = D 4 .4 D f = 0. 315 .12 .2.lentilles minces 5. d’objets plus rapprochés de ( L ). c’est-à-dire de faire varier la distance lentille-écran ( Doc-21 ).la pellicule par un écran ( E ) où se forme l’image réelle de l’objet photographié ( Doc-20 ).Pour obtenir des images. à quelle distance OA’ de l’écran ( E ) se trouve la lentille ( L ) ? II.Ch. respectivement objet et image de cette lentille dont la distance focale est f’ = 50 mm.20 (E) I.l’objectif par une lentille mince convergente ( L ) de centre optique O .12 . il est nécessaire d’effectuer une mise au point. et pour avoir une image nette.lentilles minces lentilles minces EXERCICE RÉSOLU N°3 ENONCÉ : Un appareil photographique comporte deux éléments essentiels : l’objectif et la pellicule. sur l’écran ( E ).On photographie un objet AB situé à une trés grande distance de ( L ). on appelle F et F’ les foyers principaux. .21 déplacement maximal de la lentille ( L ) de 5 mm 316 . On modélise : . En le considérant “ à l’infini “. Sens de propagation de la lumière B A O (L) Doc. boitier de l’appareil (L) (E) 50 mm Doc. laquelle ou lesquelles choisir . III.comment procéder pour que l’image de la carte postale soit nette sur la pellicule avec 1 pour grandissement : γ = 4 317 .On ne peut pas obtenir la distance OA’ nécessaire trouvée au III 2-a avec le seul objectif de l’apppareil photographique. 10 mm et 20 mm.Calculer le grandissement γ dans ces conditions.lentilles minces 1. Il est toutefois possible d’adapter. b. entre l’objectif et le boitier de l’appareil photographique. Quelles seraient les dimensions de son image sur la pellicule de format 24 mm x 36 mm ? La couvre-t-elle totalement ? 2. le grandissement vaut 0. . a.1 en valeur absolue. c.On veut que les dimensions de l’image de la carte postale soient 24 mm x 36 mm. un ou plusieurs tubes creux appelés “ bagues allonges “ de longueur d ( Doc-22 ). 4 Calculer alors la distance OA à laquelle on doit placer la carte postale.Calculer la valeur absolue du grandissement γ souhaité. indiquer : .Photographie d’une carte postale de format 10 cm x 15 cm 1. on prendra : γ = - Bague allonge (L) (E) d déplacement de la lentille ( L ) Doc. a.Si l’objet AB à photographier se rapproche de ( L ). ainsi que la distance OA’ entre la lentille et l’écran.L’objectif permet d’augmenter de 5 mm au maximum la distance entre la lentille et la pellicule par rapport à sa position quand l’objet est “ à l’infini “ ( Doc-21 ). 2.A quelle distance doit se trouver un objet pour que son image soit nette sur la pellicule quand la distance lentille-écran est maximale ? b.12 . 1 .22 Disposant de bagues allonges de longueurs 5 mm. la distance entre la lentille et l’écran doit-elle augmenter ou diminuer ? Justifier la réponse.En la plaçant à 55 cm de ( L ) dans un plan perpendiculaire à l’axe principal de la lentille ( L ).lentilles minces Ch.Pour simplifier les calculs numériques. qui émerge de la lentille en passant par F' ( en bleu ). la distance lentille-écran doit augmenter. Du 1 er cas au 2 ème cas. lorsque l'objet se rapproche de ( L ). et voyons comment évolue la position de l'image A'B' de AB.lentilles minces lentilles minces SOLUTION I . Ainsi. au maximum. 318 . 2. et celui parallèle à l'axe principal.Distance minimale pour photographier un objet La distance maximale lentille-écran est égale à : OA’ = OF’ + 5 mm . l'objet AB s'est approché de la lentille et l'image A'B' s'en est éloignée.Distance lentille-écran pouvant varier de 5 mm par rapport à sa position pour un objet à l'infini a. on a utilisé 2 rayons particuliers : celui passant par le centre optique O de la lentille ( en rose ). Application numérique : OA’ = 50 mm + 5 mm OA’ = 55 mm . qui n'est pas dévié. donc à la distance OA' = OF' = f' de la lentille convergente.12 . L'écran ( E ) doit donc se trouver à la distance OF' = 50 mm de la lentille ( L ). d’après l’énoncé et la question1. sens de propagation de la lumière B A 1 er cas sens de propagation de la lumière F’ F O A’ B’ B F’ A 2 éme cas F O A’ B’ Pour construire A'B'.Photographie d’un objet à l’infini L’image d'un objet situé à l'infini se forme dans le plan focal image de la lentille.Quand l’objet AB se rapproche Faisons deux schémas pour 2 positions différentes de l'objet AB par rapport à la lentille. II . pour avoir une image nette sur l'écran.Images d'objets plus rapprochés 1.Ch. Grandissement pour un objet à distance minimale de la lentille OA’ A’B’ Par définition.12 . Ces dimensions logent sur la pellicule 24 mm x 36 mm.1 III. et pour un objet de 15 cm.Cas d'un grandissement de 0. les dimensions de la carte postale sont divisées par 10 sur la pellicule.1 en valeur absolue Le grandissement valant 0.5 cm soit encore 10 mm x 15 mm. γ = = OA AB Application numérique : OA’ = 55 mm et OA = . son image doit être de 3. on utilise la formule de conjugaison : 1 OA’ 1 OA = 1 OF’ d’où 1 OA = 1 OA’ 1 OF’ donc : Ch.lentilles minces Pour trouver la distance objet-lentille correspondante ( distance minimale pour pouvoir photographier nettement un objet ).OA’ Application numérique : OA = . D'où : γ = A’B’ AB = A’B’ AB . mais ne la couvrent pas entièrement. OF’ OF’ .550 mm γ = .6 cm.0. b. pour dimensions 1 cm x 1. L'image a donc. 2. son image sur la pellicule soit de 2.1 en valeur absolue.Photographie d'une carte postale de format 10 cm x 15cm 1. Application numérique : γ = 0.4 cm.Grandissement souhaité On veut que pour un objet de 10 cm.550 cm L'objet doit donc se trouver à la distance ( minimale ) OA = 550 cm de la lentille. quand la distance lentille-écran est maximale. dans ce cas.Cas où l'image de la carte postale couvre toute la pellicule 24 mm x 36 mm a.24 319 .lentilles minces OA = OA’ . 5 mm.5 OF’ = . on prend celle de longueur immédiatement supérieure : d = 10 mm Pour obtenir la position souhaitée de la lentille. Comme il n'y a pas de bague allonge de 7.12 .250 mm OA’ = - OA = 62.5 mm .5 mm.lentilles minces lentilles minces 1 4 = et 1 OF’ 1 OA’ 1 OA = 1 OF’ 5 OA = 1 OF’ 1 b.5 mm. nous avons vu que pour le grandissement souhaité.55 mm = 7.Grandissement γ = . soit augmenter la distance de 62. ce qui est possible. on peut augmenter la distance lentille-pellicule.5 mm.Ch. À la question précédente.5 mm 4 c’est la distance maximale lentille-pellicule.Utilisation de " bagues allonges " Grâce aux tubes creux. 320 . Distance lentille-écran 4 nécessaire On a γ = 1 A’B’ AB d’où 1 OA =- équivalent à - - OA 4 Application numérique : OA = . c. il suffira alors de la rapprocher de l'écran de 2. il fallait une distance OA' = 62. lentilles minces L’ESSENTIEL DU COURS Plan focal objet Le rayon incident (1) arrivant parallèlement à l’axe secondaire OF’2 . on trace la marche de deux rayons parmi les trois figurant sur la figure ci-contre. (2) (1) O F1 Le rayon incident (2) passant par le centre optique O. émerge parallèlement à l’axe secondaire OF 1 .Le grandissement s’écrit : γ = OA AB 321 . Le rayon incident (3) dont le prolongement passe par le foyer secondaire objet F 1 . F’2 (1) Le rayon incident (2) passant par le centre optique O. (2) O (3) F1 A TRAVERS UNE LENTILLE DIVERGENTE Plan focal image Plan focal objet Le rayon incident (1) se propage parallèlement à l’axe secondaire OF’2 .lentilles minces MARCHE D’UN A RAYON LUMINEUX TRAVERS UNE LENTILLE CONVERGENTE Plan focal image Ch. il est situé entre le centre optique et le plan focal objet.une image réelle et renversée si l’objet est réel et placé avant le plan focal image . IMAGE D’UN OBJET DONNÉE PAR UNE LENTILLE Une lentille convergente donne d’un objet : . Une lentille divergente donne d’un objet une image réelle.une image réelle et droite si l’objet est virtuel.12 . B A’ + A B’ (3) F’2 CONSTRUCTION DE L’IMAGE DONNÉE PAR UNE LENTILLE Pour construire l’image A’B’ d’un objet AB donnée par une lentille. émerge en passant par le foyer secondaire image F’2 . AB un objet frontal ( perpendiculaire en A à l’axe principal ) et A’B’ son image par la lentille.La relation de conjugaison s’écrit : j B 1 1 1 A’ = O OA OA’ OF’ A i OA’ A’B’ B’ = . si et seulement si. Le rayon incident (3) passant par le foyer secondaire objet F 1 . Le prolongement du rayon émergent passe par le foyer secondaire image F’2 . émerge parallèlement à l’axe secondaire OF 1 . ne subit pas de déviation. RELATION DE CONJUGAISON Soit une lentille de centre optique O. ne subit pas de déviation.une image virtuelle et droite si l’objet est réel et placé entre le centre optique et le plan focal image . . En identifiant la relation précédente avec la relation de conjugaison.Ch.Un diaphragme .Mesurer alors la distance OA entre l'objet et la lentille et la distance OA' entre la lentille et l'écran. .Une lentille convergente de distance focale f connue .Tracer un graphique en plaçant en abscisse et en ordonnée .Faire varier la distance de la lentille à l'objet et chercher à chaque fois la position de l'écran donnant une image nette.Placer la lentille devant l'objet. MATÉRIEL .1 ) 1 f . éclairé par une lanterne Ecran Objet Lanterne Lentille diaphragmée A O A’ PROTOCOLE EXPÉRIMENTAL . .Un objet en forme de L. vérifier que l’ordonnée à l’origine est égale à 322 ( cm .1 ) ( cm .12 . . .Remplir le tableau suivant en changeant à chaque fois la position de la lentille. ( le sens positif est celui de la propagation de la lumière qui est indiqué sur la figure ) 1 1 .Déduire de la courbe la relation mathématique : =f( ) OA OA’ 2 .Un banc d’optique .Un écran . OA OA’ OA ( cm ) 1 OA OA’ ( cm ) 1 OA’ EXPLOITATION DES RÉSULTATS DE MESURES : 1 1 1.lentilles minces lentilles minces Travaux pratiques BUT : Vérifier la relation de conjugaison. Faire un schéma à l’échelle. c .Soit une lentille convergente de distance focale f. 2 .à l’infini dans la direction de l’axe optique objet et que la lentille est convergente. 323 . la taille et la position de AB. une ou plusieurs réponses correctes 3.dans le plan perpendiculaire à l’axe optique principal et passant par F’. Le diamètre de la lentille est égal à 4 cm. Je sais appliquer mes connaissances.Déterminer.Faire un schéma à l’échelle 1/4.à l’infini dans la direction de l’axe optique principal. Un point objet B est situé dans le plan focal objet. je sais raisonner Ex-1. AB est perpendiculaire à l’axe optique principal et A se trouve sur ce dernier.se rapproche de la lentille lorsque l’objet se trouve entre la lentille et le plan focal objet. Un objet réel AB de 1 cm est situé à 18 cm de la lentille .Retrouver ces résultats par le calcul. Ch.à l’infini. Mesurer la distance OA’ ainsi que la longueur A’B’ sur le schéma. 3 .au delà du foyer image F’. la taille et la position de AB.à l’infini.entre le foyer objet F et la lentille. AB est perpendiculaire à l’axe optique 1 . 2.entre la lentille et le foyer image F’. se forme sur un écran situé à 440 mm de la lentille. Un objet AB de 1 cm est situé à 15 cm de la lentille . Placer les foyers et le centre optique de la lentille.Schématiser le dispositif à l’échelle 1/2. obtenue par une lentille convergente de distance focale égale à 120 mm. principal. Ex-4.lentilles minces Je vérifie mes connaissances 1.avant le foyer image F’.dans le plan perpendiculaire à l’axe objet et la lentille qui est convergente.La distance focale d’une lentille convergente est égale à 5 cm.Faire un schéma à l’échelle 1/4. 2 .L’image A’B’ d’un objet AB. 2 . c . c . dans la direction faisant un angle FB θ= avec l’axe optique principal. b .lentilles minces A Chaque question peuvent correspondre aucune. FB θ= avec l’axe optique principal.L’image d’un objet réel donnée par une lentille Un point objet B est situé dans le plan focal peut être observable sur un écran : objet.Construire l’image A’B’ de AB obtenue par cette lentille. 1 . à partir du schéma. Placer les foyers et le centre optique de la lentille. 3 .Retrouver ces résultats par le calcul. Placer les foyers et le centre optique de la lentille. b . f d . Ex-2.La distance focale d’une lentille convergente est égale à 8 cm et son diamètre à 4 cm. L’image de B est : a .L’image A’B’ d’un objet AB obtenue par une lentille divergente de distance focale égale à 120 mm se forme sur un écran situé à 440 mm de la lentille. à partir du schéma.L’image donnée par une lentille divergente d’un objet situé avant le foyer image F’ se trouve : a . 1 . dans la direction faisant un angle le cas d’une lentille divergente. optique principal et passant par F’. 1 . 2 .Soit une lentille divergente de distance focale f. b si l’objet se trouve entre le plan focal b . 3 . c quelque soit la position de l’objet dans c .Retrouver ces résultats par le calcul.12 .L’image donnée par une lentille convergente d’un objet situé avant le foyer objet F se trouve : a .Déterminer. f 4.si l’objet se trouve avant le plan focal a .Tracer le faisceau lumineux partant de B et s’appuyant sur les bords de la lentille. b . L’image de B est : a .entre le foyer objet F et la lentille. principal et A se trouve sur ce dernier.entre la lentille et le foyer image F’. Ex-3. 5. Un faisceau de lumière parallèle éclaire totalement la lentille. la position et la taille de l’image A’B’ de AB par la lentille.Donner l'expression littérale exprimant la distance focale f de la lentille en fonction du grandissement γ et de x. de la lentille et A se trouve sur ce dernier.Ch. Proposer alors une méthode rapide pour mesurer une distance focale.Un objet réel AB de 2 cm est situé à 35 cm d’une lentille convergente de distance focale 20 cm. 3 . Déterminer. Où la nouvelle image de l'objet AB se forme-t-elle ? 2 .Un objet éclairé AB est situé à 40 cm d’une lentille convergente.Tracer la marche du faisceau de lumière incident et émergent.Tracer la marche du faisceau lumineux issu de B et s’appuyant sur les bords de la lentille.En traçant par exemple le rayon lumineux issu de B et parallèle à l’axe optique. 2 . Faire un schéma en plaçant A sur l’axe optique principal.Faire un schéma à l’échelle et construire B’ l’image de B par la lentille.Calculer la distance F’B’.Déterminer par le calcul la position de l’image. Ex-12.On double la vergence de la lentille en maintenant la position de la lentille. 1 . Quel autre rayon peut-on utiliser ? En faire un tracé. Ex-7. 4 . Il est incliné d’un angle de 10° par rapport à l’axe optique. On déplace un écran jusqu’à y observer l’image de AB par la lentille.En utilisant la formule de conjugaison. 4 . Ex-6.La distance focale d’une lentille divergente est égale à 125 mm et son diamètre est de 80 mm. 1. on double le grandissement γ ? 2 .2 m devant le centre optique de la lentille. vérifier graphiquement le résultat de la question précédente.Réaliser le schéma à l’échelle.En déduire la distance AA' séparant l'objet et son image. 2. Faire la représentation graphique à l'échelle 1 / 20 . 3 .On dispose d'un objet lumineux AB situé à 5 m d'un mur sur lequel on veut projeter son image de façon à avoir un grandissement γ = . et en traçant le rayon lumineux passant par B et le centre optique de la lentille.4.2 pour un objet réel placé à une distance I x I = 1. Ex-10. AB est perpendiculaire à l’axe optique Ex-9. On constate alors que l’image est de même dimension que l’objet. par le calcul. de la lentille et A se trouve sur ce dernier. 1 . 5 . 3 . Ex-11.La distance focale d’une lentille convergente est égale à 125 mm et son diamètre est de 80 mm. calculer la distance focale f de la lentille. 1 . lentilles minces Il est incliné d’un angle de 10° par rapport à l’axe optique.lentilles minces Ex-5.Le grandissement d’une lentille de vergence C inconnue est égal à .Déterminer graphiquement la position de la lentille ainsi que sa distance focale.Peut-on affirmer qu'en doublant la distance OA. L’objet B se trouve dans une direction faisant un angle de 12 ° avec l’axe optique de la lentille. 1 . la position et la taille de l’image A’B’ de AB par la lentille. par le calcul.Calculer la distance focale f de la lentille. 1.Un point objet B est situé très loin d’une lentille convergente de distance focale égale à 150 mm.Un objet réel AB de 2 cm est situé à 35 cm d’une lentille divergente de distance focale 20 cm. 324 . Un faisceau de lumière parallèle éclaire totalement la lentille.12 . 2 .Exprimer la distance entre l’objet et l’écran en fonction de f.Tracer la marche du faisceau de lumière incident et émergent. 2. Le diamètre de cette lentille vaut 50 mm.Calculer la mesure algébrique OA' = y à laquelle se forme l'image de l'objet. Déterminer.Réaliser le schéma à l’échelle. AB est perpendiculaire à l’axe optique Ex-8. 325 . donne d’un objet réel AB. a . de centre optique O 2 et de distance focale f 2 = . 2 . 1 .lentilles minces 2 . de centre optique O 1. l’image A 1B 1 de AB.3 cm.Déterminer la position de A’.On place au-dela de L 1.Vérifier ce résultat à l’aide d’une construction géométrique.lentilles minces Ex-13.L 2 ). comment et de combien se déplace A’ ? 3 .Si on avance A de 3 cm sur l’axe optique en direction de la lentille. Ex-14. 3 . Ch. 1 . haut de 2 cm et situé à 12 cm de la lentille. image de A par la lentille.Quel est le rôle joué par A 1B 1 pour la lentille L 2 ? b . AB est perpendiculaire à l’axe optique principal de la lentille et A est situé sur cet axe. la vergence C 1 de L 1 et la grandeur de l’image A 1B 1.Une lentille convergente L 1. sur papier millimétré.Un point lumineux A est placé à 50 cm sur l’axe optique d’une lentille convergente de distance focale f = 20 cm. une image réelle A 1B 1 situé à 6 cm après la lentille.12 . En déduire le grandissement du système et la taille de l’image.Déterminer la distance focale f 1.Déterminer la nature et la position de l’image A 2B 2 donné de l’objet AB par le systéme ( L 1. une lentille divergente L 2 de même axe que L 1. à 4 cm de O 1.Construire. instruments d’optique instruments d’optique 13 INSTRUMENTS D’OPTIQUE OBJECTIFS Utiliser le modèle réduit de l'œil pour expliquer les défauts de vision.13 .Ch. Expliquer le principe de fonctionnement de la lunette astronomique. 326 . paisse de quelques dixièmes de millimètre. Description simplifiée de l’oeil L'oeil est un globe d'un diamètre de l'ordre de 2.l'iris : c’ est un diaphragme qui permet de faire varier la quantité de lumière qui pénètre dans l'oeil .13 .5 cm .337) Iris Cristallin (n = 1. avec l'humeur vitrée. elle maintient la pression et donc la forme du globe oculaire .1 ). il comprend : Ch. la cornée et l’humeur vitrée.la rétine : c’est une membrane nerveuse tapissant le fond de l'oeil . le cristallin et l’humeur vitrée . elle est directement en contact avec l'air ambiant .1. Muscle (Corps ciliaire) Ligament (Zonule) Cornée (n = 1.L'œil 1. traverse l’humeur aqueuse.instruments d’optique .376) pupille Humeur aqueuse (n = 1.la cornée : c’est une membrane transparente.437) Humeur vitrée Nerf Optique Doc. d'une surface voisine de quelques centimètres carrées. 327 . maintenue par des ligaments ( zonules ) qui sont liés à des muscles ( corps ciliaire ) . il maintient la rétine contre les parois de l'oeil .instruments d’optique 1.le corps ciliaire : c’est un muscle qui permet de modifier la courbure du cristallin afin d’obtenir un objectif à distance focale variable . il s'agit d'une lentille convergente souple.l'humeur vitrée ( corps vitré ) : c’est un corps gélatineux et transparent dont l'indice est égal à 1.le cristallin : c’est la lentille de l'oeil .l'humeur aqueuse : c’est un liquide transparent .336 . la convergence de l'oeil est donc assurée à la fois par le cristallin.la pupille : c’est l’orifice central de l’iris ( Doc. elle est constituée de plus de 130 millions de cellules nerveuses et transforme la lumière en signaux électriques qui sont acheminés par le nerf optique vers le cerveau .1 : la lumière pénètre dans l'oeil par la cornée. lorsque l'objet est rapproché. L'image de l'objet se forme sur la rétine ( Doc. le cristallin est soumis à la pression des ligaments qui le rattachent au corps ciliaire. Il change de forme et sa courbure augmente. il n’y a pas de fatigue.2-a Si.2-b ).2-c ). on modélise ( représente ) l'œil par un oeil réduit.2-b l'accommodation Pendant l'accommodation.2-c 1.instruments d’optique 1. L'oeil est dit au repos. et d'un écran sphérique ou plan ( la rétine ) à distance fixe de cette lentille ( Doc.3.2. Dans ce modèle l'ensemble des milieux transparents de l'œil est assimilé à un système optique simple constitué d'une lentille convergente de distance focale variable. Corps ciliaire décontracté Cristallin peu convergent Corps ciliaire contracté Objet proche Cristallin très convergent Doc..3-a ) et ( Doc. Vision des objets et accomodation OBJET TRÈS ÉLOIGNÉ Pour un oeil normal. lorsque l'objet observé est à l’infini ( très éloigné de l’oeil ). Corps ciliaire décontracté Objet éloigné Cristallin peu convergent OBJET RAPPROCHÉ Doc. il devient plus convergent. L’accomodation est suivi de fatigue. Or l'oeil a la faculté de modifier à volonté sa vergence afin que l’image se forme Objet proche sur la rétine. Modélisation de l’oeil ( oeil réduit ) Pour l'étude de la formation des images et pour la compréhension des anomalies visuelles. le cristallin reste tel qu'il est ( la convergence de l’oeil n’est pas modifiée ). le cristallin est peu bombé donc peu convergent. Cette faculté s'appelle Doc. L'image de l'objet se forme exactement sur la rétine ( Doc. le corps cilaire ( qui est un muscle ) est décontracté. l'image se forme alors derrière la lentille et l'objet observé paraît flou ( Doc. 328 .2-a ).3-b ). Ce défaut est dû essentiellement à un allongement du globe oculaire suivant l’axe principal.5-b ).R ) ( Doc.R à l’infini.4 ). Défauts de l’oeil LE POUNCTUM REMOTUM P. . Doc. l’œil présente les défauts de myopie d’hypermétropie ou de prebytie . Corriger la myopie revient à rejeter le P.5-b : oeil myope corrigé.13 .le P.P est situé très près de l'oeil. le punctum remotum P.P ) et le punctum remotum ( P. S’il n’en est pas ainsi.3-b 1. Doc. il faut accommoder davantage en vision de près. est situé à environ 25 cm de l’œil .R P.4.instruments d’optique Ch. Pour cela un verre correcteur divergent est placé en avant de l'œil.P Un œil peut voir nettement des objets situés dans un domaine de vision limité par deux positions extrêmes appelées respectivement le punctum proximum ( P.P domaine de vision distincte P. Un myope voit flou les objets éloignés car son oeil est trop convergent ( l'image d'un objet éloigné se forme avant de la rétine ) ( Doc.5-a : oeil myope non corrigé. le P.le P. ils peuvent être corrigés par des lunettes de vue ou des lentilles de contact. ce qui correspond à une vision de loin nette ( Doc. LA MYOPIE Doc. La position de son punctum remotum n’est plus à l’infini. est rejeté à l’infini.4 : le punctum proximum P. Un myope retire ses lunettes pour lire avec moins de fatigue. L’oeil corrigé devient moins convergent et l’image d’un objet à l’infini se forme sur la rétine. sans accommodation . l'image d'un objet éloigné ( à l’infini ) se forme sur la rétine.P correspond à la position la plus proche de l’objet pour laquelle la vision est nette .instruments d’optique Lentille convergente (cristallin) Ecran (rétine) Diaphragme ( Iris ) Doc.R ET LE PUNCTUM PROXIMUM P.5-a ). Pour un œil normal : .3-a Doc.R.R correspond à la position la plus éloignée de l’objet pour laquelle la vision est nette.R est voisin de 30 cm et le P.P. Pour une myopie moyenne. A cause de la correction. 329 . R ) ce qui signifie que le P.( P.0. 1 1 .R ) OA’ .R et P.8 δ ) C1max (68.P sont déterminées à partir de la relation de conjugaison .8 δ Cmax = 67.13 . 8 δ correspondant respectivement aux positions P.8 δ ) P. On prendra la distance pupille-rétine égale à 17mm.( P. l’oeil myope de vergence C.1 m Oeil corrigé : l’oeil et la lentille de contact ( C2 = -1 δ ) se comportent comme un oeil pouvant.Objet au P. Pour corriger sa vue.8 δ .58.8 δ 1 1 .P ) PP P.1m ). Solution Nous assimilons l’oeil à une lentille convergente de focale variable dont le centre optique O se trouve à 17 mm de la rétine ( Doc.8 = 0 = . Les distances P.11 m d’où : P. modifier sa vergence entre les valeurs extrêmes Cmin = C1min + C2 = 58.P du champ de vision distincte de l’oeil corrigé.8 - 1 OA Les valeurs limites de la vergence correpondant aux positions extrêmes du champ de vision sont : .Cmin = 58.8 δ C1min ( 59.1m ). on place sur l'oeil une lentille de contact de -1 δ.( P.R et P.R ( OA = . par accomodation.P = 0. et son punctum proximum PP situé à 10 cm.P ) Cmin = 58.R OA’ 0.R 1m PP 0. 1 1 1 1 1 = = Cmax OA’ OA OF’ OA’ .P ( OA = . Indiquer. la vergence est maximale et égale à : C1max= 68.Ch. sur l’axe optique principal. les limites du domaine de vision nette de l’oeil corrigé.5-a ).9 m -1 = .instruments d’optique instruments d’optique EXERCICE RÉSOLU ENONCÉ : N 01 Un oeil myope a son punctum remotum PR situé à 1 m.017 OA = 58. Oeil non corrigé : d’un objet placé dans le champ de vision distincte.( P.R est à l’infini. la vergence est minimale et égale à : C1min = 59. 8 δ et Cmax = C1max + C2 = 67.8 = .11m infini de même : d’où : 330 1 OA’ 1 = Cmin . donne une image nette sur la rétine si elle vérifie la relation de conjugaison : C = 1 OA’ 1 OA = 1 1 0.8 .8 .Cmax = 58.67.Objet au P. 6-b : oeil hypermétrope corrigé.2 0. Le P.8 δ ) = 58.instruments d’optique Doc.6-a : oeil hypermétrope non corrigé.017 d’où : Cmin = 53. Après correction : Pour un objet à l’infini ( 1 OA 1 OA’ 1 OA’ Doc. EXERCICE RÉSOLU ENONCÉ : N°2 Le P.R de l'oeil hypermétrope est virtuel signifie : l’image d’un objet virtuel situé au P.8 δ oeil corrigé.instruments d’optique L’HYPERMÉTROPIE L'hypermétropie est une anomalie de l'oeil dans laquelle l'image d'un objet éloigné se forme en arrière de la rétine ( Doc.6-b ). un verre correcteur convergent ( lentille de contact ou lunettes de vue ) est placé devant l'œil ( Doc.13 .P est plus grand que pour un oeil normal. La vergence du système { verre correcteur + œil hypermétrope } doit permettre de voir net un objet situé à l’infini ( l’image se forme sur la rétine ). Quelle est la vergence C 0 de la lentille de contact qui lui permet de voir un objet net à l’infini ( Doc.Cmin = 5 δ ce qui correspond à une lentille convergente 331 .7 cm P. Doc. Ch. l’image est sur la rétine ( = 58.8 δ et la vergence C’ de l’oeil corrigé est minimale et égale à Or C’ = Cmin + C0 d’où C0 = C’ . Pour corriger l'hypermétropie. son P.R est en arrière de l'oeil ( il est virtuel ) et son P. La vergence de l’eil en ce point est déterminée par la relation de conjugaison et correspond à la vergence minimale de l’oeil non corrigé.R se forme sur la rétine.R O A’ 20cm A - 1 OA = Cmin Cmin = 1 1 0.7 = 0 ).7 ) ? Solution oeil non corrigé. L'oeil n'est pas assez convergent ( il est trop court ).6-a ).R virtuel d’un oeil hypermétrope est situé à 20 cm de la pupille. 1 OA’ 1. il suffit de porter des verres correcteurs convergents pour la lecture par exemple. Ce vieillissement du cristallin. le cristallin devient beaucoup moins souple . la vision d'objets très rapprochés n'est plus possible.Ch. à ceci près qu'elle concerne la vision rapprochée et non pas la vision éloignée. il perd progressivement sa capacité à modifier sa courbure. L'accommodation est alors moins efficace. 332 . puisque le cristallin n'est plus assez convergent pour la vision rapprochée. porte le nom de presbytie. La correction de la presbytie est simple. et qui survient généralement entre quarante et cinquante ans. Cette correction est proche de celle utilisée dans le cas d'un oeil hypermétrope.13 .instruments d’optique instruments d’optique LA PRESBYTIE Avec le temps. inévitable. un oculaire n'est rien d'autre qu'une loupe perfectionnée. Doc.8-a : l'oculaire est la partie de l'instrument qui permet d'agrandir l'image produite par l'objectif au niveau du foyer image . Ils permettent d'augmenter leur taille apparente ainsi que leur luminosité en concentrant les rayons lumineux en un point ( foyer ) que l'oeil peut observer avec des loupes ( les oculaires ) ( Doc.13 .8-b ). de par sa puissance.8-c : les rayons lumineux provenant des objets lointains sont réfléchis par le miroir ( M ) puis subissent une deuxième réflexion par le miroir secondaire ( m ) Télescope de 15 cm de diamètre qu'Isaac Newton présenta à la Royal Society en 1672 La lunette convient parfaitement à l’observation des planètes ou de la Lune car elle a une bonne qualité d’image. la lumière est réfléchie vers le foyer par la surface concave d'un miroir principal. (M ) (m) Doc.8 -a ).instruments d’optique 2. puis par la surface plane ou convexe d'un petit miroir ( Doc. s’adresse plutôt à l’observation d’objets plus lointains. les rayons lumineux provenant de l’objet lointain sont concentrés en traversant un assemblage de lentilles en verre appelé objectif ( Doc. l’objectif est un miroir concave .1.Lunette et télescope 2.8-b : les rayons lumineux provenant des objets lointains sont focalisés vers une région pratiquement confondue à un point à l’aide de lentilles . Dans les télescopes. Généralités Les lunettes et les télescopes sont des instruments optiques utilisés pour observer des objets lointains ( à l’infini ). 333 . Ch. Dans les lunettes. Le télescope.instruments d’optique Doc.8-c ). 3 . Lunette astronomique Une lunette astronomique ( Doc.Monture .Ch. disposé de manière que l’image A1B1 se situe entre son foyer objet F2 et son centre optique O 2 . d'un objet AB situé à l'infini. . . 334 . une image réelle et renversée A1B1 située dans son plan focal image. Une mise au point est effectuée en déplaçant l’oculaire par rapport à l’objectif de sorte que l’image A’B’ se situe au punctum remotum PR de l’observateur. L’image définitive A’B’ est virtuelle.2.9-a : 1 . Doc.un objectif modélisé par une lentille ( L 1 ) convergente de grande distance focale f 1 qui donne. elle est observée à travers l’oculaire ( Doc.9 -b ).9-b L’œil observe sans fatigue l’image définitive A’B’ lorsqu’il n’accommode pas.Tube . 2 -Oculaire . 4 Trépied . B1 Oculaire B Objectif B’ Doc.Contrepoids.9 -a ) comporte : .13 .instruments d’optique instruments d’optique 2. B ( L1 ) ( L2 ) A O1 A’ F2 .un oculaire ( L 2 ) modélisé par une lentille convergente de courte distance focale f 2. Si l’observateur a une vue normale. 5 . A’B’ doit être à l’infini : le foyer image F’ de l’objectif et le foyer objet de l’oculaire 1 sont confondus et la lunette est dite afocale. A1 F’1 O2 F’2 . une image A1B1 située dans son plan focal image qui est confondu avec le plan focal objet de ( L2 ) . Remarquons que A 1. O 1F ’ f2 Les angles θ et θ’ étant petits. sous lequel l’objet AB est vu avec l’instrument c’est à dire l’angle sous lequel est vue l’image. sous lequel l’objet AB est vu à l’oeil nu.instruments d’optique Assimilons l’astre à un objet AB situé à l’infini. A la distance minimale d’accomodation θ = AB / Dpp avec Dpp = 0.25 m Le grossissement de la lunette est défini par le rapport : G= θ’ θ .13 . on peut les assimiler à leurs tangentes .10 B1 Oculaire objectif B’infini L’objet AB vu à l’oeil nu sous un angle θ. ceci permet d’écrire : G = tg θ’ θ’ = tg θ θ G = θ’ θ = f1 f2 f1 f2 tg θ ’ = A 1B 1 = Remarque : Le grossissement des lunettes astronomiques est compris entre quelques dizaines ( petites lunettes) et 3000 pour les plus puissantes ). θ’ O2 Doc. exprimé en radian. est l’angle θ.10 ). Lunette astronomique afocale MARCHE DES RAYONS Ch.3. est l’angle θ’. ( L1 ) B infini ( L2 ) A1 F2 B infini O1 θ F’ 1 . F 2 et F’ sont confondus. exprimé en radian.L’image définitive A’B’ est rejetée à l’infini et est obsevée à travers l’oculaire ( L 2 ) sous un angle θ ’.instruments d’optique 2. A est dans la direction de l’axe principal et B dans une direction faisant un angle θ avec cet axe ( Doc. 335 . 1 En considérant les triangles rectangles O 1A 1B 1 et O2A1B1 on peut écrire : tg θ = A 1B 1 O 1F’ 1 = A 1B 1 f1 = A 1B 1 Le diamètre apparent de l’image définitive A’B’ . donne par la lentille ( L 1 ). GROSSISSEMENT DE LA LUNETTE Diamètre apparent Le diamètre apparent de l’objet AB . a’b’ est le diamètre du cercle oculaire Φ Cercle oculaire a’b’ = 1 1 d’où: ΦObjectif Φ Cercle oculaire = f2 f1 f1 f2 Φ Cercle oculaire = ΦObjectif Position du cercle oculaire par rapport à l’oculaire : considérons les deux triangles semblables aO2b et a”O2b” ΦObjectif Φ Cercle oculaire O 1O 2 O 2C = ΦObjectif Φ Cercle oculaire ( f1 + f2 ) = f1 + f2 d d = Φ Cercle oculaire ΦObjectif d = f2 f1 ( f1 + f2 ) 336 . Le cercle oculaire est de centre C est de diamètre a’’ b’’ = Φ Cercle oculaire ( Doc.11 O 2F 2 .Ch. Pour que l'œil reçoive le maximum de lumière.ab est le diamètre de l’objectif ΦObjectif . Binfini Ainfini a F2 O1 F’1 a’ O2 b’ a” C b” d Binfini Ainfini b Oculaire Objectif Diamètre du cercle oculaire : Considérons les deux triangles semblables a’ F2b’ et aF’1b : on a : O F’ ab Doc.11 ). il doit être placé à son voisinage et son diamètre de l’ordre de grandeur de l’ouverture de la pupille de l’oeil.instruments d’optique instruments d’optique CERCLE OCULAIRE Le cercle oculaire est l’image du bord circulaire de l’objectif donnée par l’oculaire.13 . une image réelle et renversée A 1B 1 située dans son plan focal image. d'un objet AB situé à l'infini.instruments d’optique Lunette de Galilée ( L1 ) B’infini Binfini F’ 2 F’ 1 F2 O2 A1 B1 O1 ( L2 ) A infini Oculaire objectif Doc.4. un oeil normal la voit sans accomoder. L’image définitive A’B’ est droite . elle comporte : . La lunette de Galilée est une lunette terrestre . L’image définitive A’ B’ est rejetée à l’infinie . . Ch. Lunette de Galilée L’observation d’objets terrestres avec une lunette astronomique n’est possible que si elle est munie d’un dispositif redresseur de l’image finale . elle est observée à travers l’oculaire ( Doc.instruments d’optique 2.12 ).13 .un objectif modélisé par une lentille ( L 1 ) convergente de grande distance focale f 1 qui donne. disposé de manière que l’image A1B1 se situe entre son foyer objet F2 et son centre optique O 2.12 337 . d’où l’intérêt de la lunette de Galilée. F2 et A1 confondus ). Dans le dispositif du document 12 l’image intermédiaire A 1B 1 est située dans le plan focal objet de l’oculaire ( F ’ .d'un oculaire ( L 2 ) modélisé par une lentille divergente de courte distance focale f 2. instruments d’optique instruments d’optique EXERCICE RÉSOLU ENONCÉ : N 0 3 L'importance des observations réalisées par Galilée à l'aide de sa lunette conduit Kepler à rédiger.13 . de l'astre observé. Justifier les tracés nécessaires à cette construction.L'objectif ( L I ) donne. 1.Ch. Une modélisation de cette lunette est constituée de la manière suivante : . de centre optique O 1 . Tous les rayons issus de B sont parallèles entre eux et font avec l'axe optique un angle qui est le diamètre apparent θ de l'astre. I . le Dioptricae.Images et grossissement L'astre observé est à l'infini. de centre optique O 2 .l'oculaire ( L 2 ) est une lentille de distance focale f2 = 50 mm . θ est l'angle sous lequel on voit l'objet à l'oeil nu. son diamètre AB est perpendiculaires à l'axe optique en A.Schéma de la lunette Reproduire le schéma du document 13-a et y placer la lentille ( L 2 ) de telle façon que le foyer objet F 2 de l'oculaire coïncide avec le foyer image F 1 ' de l'objectif. Pour les angles petits et exprimés en radians. 4.On appelle grossissement G d'un instrument d'optique le rapport : θ’ G = θ θ' est l'angle sous lequel on voit l'image donnée par l'instrument. Sur le schéma du document 13-a construire l'image A 1B 1 en justifiant la méthode choisie. 3. . le premier traité moderne d'optique. en 1610.Où se forme l'image définitive A 2B 2 donnée par l'oculaire ( L 2 ) ? Justifier la réponse. À l'aide de l'optique géométrique. une image A 1B 1.l'objectif ( L I ) est une lentille convergente de distance focale f1 = 250 mm. Pas de souci d’échelle sur l’axe verticale 2 cm (L1) B θ A O1 Doc. on prendra tan θ = θ .Compléter la figure en traçant le rayon émergeant de la lunette correspondant au rayon incident tracé issu de B. d'axe optique commun ( ∆ ). de diamètre D = 25 mm. 2.13-a II . Le point central du Dioptricae est l'étude des phénomènes liés aux lentilles. appelée aussi lunette astronomique est constituée de deux lentilles minces convergentes. Une lunette de Kepler. Un des rayons issu de B est représenté sur les schémas des documents 13-a et 13-b. 338 . Il décrit la lunette galiléenne mais propose un nouveau montage utilisant deux lentilles convergentes. Kepler explique comment on agrandit ou réduit une image grâce à un choix judicieux de lentilles. 13 . par le calcul. la position de l'image définitive A 3B 3. 2. 5. le grossissement a pour expression G = 1 f2 En déduire la valeur du grossissement de cette lunette.Définir le cercle oculaire. soit ici 25 mm. pour la lunette f de Kepler modélisée à la question I. les deux valeurs extrêmes de f2 correspondant à ces grossissements.Reproduire le schéma du document 13-b et y construire le cercle oculaire. Déterminer.13-b IV . pour l'instrument étudié.Schéma de la lunette voir document 13-c COMMENTAIRE 339 .instruments d’optique Après avoir indiqué θ’ sur le schéma du du document 13-a montrer que. Déterminer la valeur du diamètre du cercle oculaire et la position de son centre sur l’axe optique. Quel est son intérêt pratique ? Pas de souci d’échelle sur l’axe verticale 2 cm (L1) B θ A O1 Doc. 7 À partir d'un grossissement égal à N les images paraissent floues à l'oeil humain.Calculer le grandissement γ de l'oculaire dans ce cas.Déterminer.L'expérience montre que les plus belles images du ciel s'obtiennent avec des grossissements dont la valeur est inférieure à un nombre N. 1. exprimé en millimètre. Ce nombre est identique à la valeur du diamètre D de l'objectif. III .Nouvelle image et grandissement On approche l'oculaire de 5 mm vers l'objectif. 2. SOLUTION I . L'idéal pour l'instrument étudié ici est de disposer d'une gamme d'oculaires permettant des grossissements de N à N.Cercle oculaire 1.instruments d’optique Ch. 13-c II .Ch.instruments d’optique (L1) B θ instruments d’optique (L2) 2 cm F’1 O1 F2 O2 F’2 A Doc. est donc confondu avec F'1 ( Doc. son image A 1B 1 par l'objectif ( L I ) est donc située dans le plan focal image de cet objectif. Soit 1 le rayon provenant de l'objet B et incident en O 1 centre optique de l'objectif. Le point image B 1 est donc situé à l'intersection du rayon 2 avec le plan focal image de l'objectif représenté sur le schéma par la droite perpendiculaire à l'axe optique en F' .Construction de l'image A 1B 1 de AB par l'objectif ( L 1 ) L'objet AB étant à l'infini. 2 cm (L1) B θ 1 O1 2 A 1 F’1 A B1 Doc. A 1B 1.13 .13-d 2. situé sur l'axe optique. Il donne un rayon émergent 2 qui est dans le prolongement du rayon 1 ( il n'y a pas de déviation du rayon car on passe par le centre optique de la lentille ).13-d ).Images et grossissement 1. étant par construction dans le plan focal objet de l'oculaire. 340 . 1 Le point image A 1.Image définitive A 2B 2 donnée par l'oculaire ( L 2 ) A 2B 2 est l'image de A 1B 1 par l'oculaire ( L 2 ). son image A 2B 2 sera donc rejetée à l'infini. qui joue le rôle d’objet pour ( L 2 ). en exprimant les angles en radians: tan θ = θ = A 1B 1 f1 et tan θ’ = θ’ = A 1B 1 f2 A 1B 1 f1 A 1B 1 f2 d’où G = θ’ = θ soit G = f1 f2 G = 5 341 Application numérique: .13-e.Tracé du rayon émergeant de l'oculaire et issu de B Tous les rayons provenant de B 2 sont parallèles entre eux car B 2 est à l'infini. θ D’après le schéma de Doc.instruments d’optique 3.instruments d’optique 2 cm (L1) B θ (L2) F’1 F2 A1 3 O2 θ’ θ’ θ’ θ’ 1 O1 2 A B1 H Doc. on a : tan θ = A 1B 1 A 1B 1 ( triangle rectangle O 1A 1B 1 ) = f1 O 1F’ 1 A 1B 1 A 1B 1 ( triangle rectangle O 2A 2B 2 ) = f2 O 2F 2 tan θ’ = En admettant que les angles θ et θ ’ sont petits. on a. G = θ’ .Grossissement de cette lunette Par définition. son point d'émergence H correspond au point d'incidence du rayon 2 sur l'oculaire ( Doc.13-e 4. Le rayon 3 émergeant de l'oculaire et correspondant au rayon initial 1 est donc parallèle au rayon B 1O 2 .13-e ) . Ch.13 . Cercle oculaire 1. 2 cm 4 5 F’1 F2 7 (L2) 7’ K’ O2 F’2 J’ 4’ C 5’ 6’ A O1 6 K Doc. 2.Valeurs extrêmes de f1’ pour avoir une image correcte Par définition. L’image J' de J par l'oculaire est à l'intersection du rayon 5' émergeant. prolongation du rayon incident 5 provenant de J et passant par le centre optique O 2 de l'oculaire (dans ce cas il n'y a pas de déviation) et du rayon 4' .Définition Le cercle oculaire est le périmètre de l'image de l'objectif par l'oculaire. il faut: N <G<N 7 d’où f1 N < <N f2 7 1 N N < < f f f1 7 1 2 f1 7 f1 > f2 > N N 70 mm > f2 > 10 mm III .13-f 342 . J (L ) 1 B θ donc soit Application numérique : J et K étant symétriques par rapport à l'axe optique. La tracé du cercle oculaire dans le plan de la figure est donc représentée par le segment K'J' . correspondant au rayon 4 parallèle à l'axe optique et provenant de J.13 . rayon émergeant passant par le foyer image F' 2 de l'oculaire. J' et K' sont eux aussi symétriques par rapport à l'axe optique.instruments d’optique instruments d’optique 5.Construction du cercle oculaire Soit J et K les 2 points diamétralement opposés de l'objectif situés dans le plan du schéma du document 13-f .Ch. On détermine de la même façon le point image K' provenant de K. 300 + 50 O 2C = 60 mm Les triangles O 2JK et O 2J’K’ étant semblables on a : O 2C J’K’ = JK O 2O 1 soit J’K’ = JK . 343 .instruments d’optique d'où O 2C = O 2O 1 . O 2C O 2O 1 Application numérique : 60 J’K’ = 25 . l'image A 2B 2 observée sera la plus lumineuse. O 2C O 2O 1 = D . = 5 mm 300 J’K’ = 5 mm Le diamètre du cercle oculaire est 5 fois plus petit que le diamètre de l'objectif. par l'oculaire. en plaçant l'oeil en cette position. l'idéal étant que le diamètre du cercle oculaire soit égal au maximum au diamètre de la pupille pour ne perdre aucune information. O 2F’ 2 O 2O 1 + O 2F’2 Application numérique : O 2C = . Ces deux résultats vérifient bien la construction graphique. centre de l'objectif. Intérêt pratique du cercle oculaire : Tous les rayons émergents de l'objet passent à l'intérieur du cercle oculaire. Ainsi.300 x 50 = 60 mm .instruments d’optique Soit C le centre du cercle oculaire : c'est l'image de O 1. En utilisant la formule de conjugaison des lentilles minces.13 . on a : 1 1 1 = O 2C O 2O 1 O 2F’ 2 Soit : 1 O 2C = 1 1 + O 2O 1 O 2F’ 2 Ch. Position de l'image définitive A 3B 3 On a rapproché l'oculaire de 5 mm vers l'objectif .instruments d’optique I instruments d’optique V . γ = A 3B 3 A 1B 1 Les triangles O 2A 3B 3 et O 2A 1B 1 étant semblables on a : γ = A 3B 3 A 1B 1 = O 2A 3 O 2A 1 Application numérique : O 2A 3 = .13 .45 mm γ = 10 A 3B 3 et A 1B 1 ont même sens car γ > 0 et l'image est plus grande que l'objet car l γ I > 1 .450 mm .Nouvelle image et grandissement 1. On a : 1 1 1 = O 2A 3 O 2F’ O 2A 1 2 1 1 1 = + O 2A 3 O 2A 1 O 2F’2 O 2A 3 = O 2A 1 .45 x 50 . dans ce cas le foyer objet F 2 de l'oculaire est situé 5 mm avant le foyer image F' de l'objectif et la distance A 1O 2 passe 2 de 50 mm à 45 mm.450 mm O 2A 3 = . 344 .45 mm O 2A 3 = .Ch.Grandissement de l'oculaire dans ce cas Par définition.45 + 50 = .450 mm B3 L’image définitive A 3B 3 est virtuelle 2. O 2F’ 2 O 2A 1 + O 2F’2 (L1) A3 A1 O1 B1 O2 (L2) Soit : d'où : Application numérique : O 2F’ 2 = 50 mm . O 2A 1 = . A 3 est l'image de A 1 par l'oculaire ainsi déplacé. O 2A 1 = . La lunette n’est plus àfocale Utilisons la relation de conjugaison des lentilles minces pour déterminer la position de A 3 . instruments d’optique L’œil est modélisé par une lentille convergente. l’image définitive d’un objet AB se forme à l’infini. La lentille est dite afocale ( L1 ) B infini ( L2 ) A1 F2 B infini O1 θ F’ 1 . l’image d’un objet situé à l’infini se forme sur la rétine en arrière de la rétine en avant de la rétine Qualité attribué à l’image œil normale œil de profondeur trop courte œil de profondeur trop longue Ch. Lorsque le plan focal image de l’objectif coïncide avec le plan focal objet de l’oculaire.instruments d’optique L’ESSENTIEL DU COURS diaphragme (pupille) papier translucide ( rétine) lentille (cristallin) défauts Sans défaut Hypermétropie Myopie Les défauts de la vision sont corrigé par une lentille convergente une lentille divergente LUNETTE ASTRONOMIQUE Une lunette astronomique est modélisée par deux lentilles minces convergentes appelées objectif et oculaire. La faculté de l’œil de former une image nette sur la rétine dûe à une modification de la courbure des faces de la pupille s’appelle l’accommodation.13 . θ’ O2 B1 Oculaire objectif B’infini Grossissement θ est le diamètre apparent de l’objet AB observé à l’œil nu et θ’ celui de son image A’B’ à l’infini observé avec la lunette. un diaphragme et un papier translucide plaçé au plan focal image de la lentille. f1 θ’ Le grossissement G = = f2 θ 345 . il construit ( ou améliore ) une lunette ( c'est-à-dire un télescope formé uniquement de lentilles ). l'une plan convexe et l'autre plan concave. Lorsque Galilée découvre l'existence de l'instrument. . et mesure même la hauteur des montagnes les plus élevées. chaque nuit. C'est un long tube ( photo. aux extrémités duquel j'appliquai deux lentilles. À partir du 7 janvier 1610. Je préparai d'abord un tube de plomb.2 ) comme on le croyait à l'époque. à observer les astres avec sa lunette. mais les observations du physicien italien et l'analyse qu'il en fait sont d'une très grande valeur astronomique. . qui ne peut plus dès lors être considérée comme un objet d'un genre unique : " La surface de la Lune n'est nullement uniforme ni exactement sphérique. trois fois plus rapprochés et neuf fois plus grands qu'à l'oeil nu. et un jalon crucial dans l'histoire de la pensée scientifique.1 : Lunettes datant de l'époque de Galilée. les lentilles minces sont connues depuis plusieurs siècles en Europe : les lunettes de vue s'achètent ainsi à des colporteurs. Il découvre ainsi que la surface de la Lune n'est pas lisse ( photo. en m'appuyant sur la doctrine de la réfraction. Le télescope ( " qui permet de voir au loin " ) aurait été inventé par des opticiens hollandais vers 1600.instruments d’optique instruments d’optique POUR EN SAVOIR PLUS LA LUNETTE DE GALILÉE Avant Galilée (1564 -1642). qui semblent être plus proches et dont les détails deviennent perceptibles : "J'obtins le résultat désiré. certains savants avaient déjà braqué un télescope vers le ciel.Ch. Le savant est frappé par la ressemblance entre notre satellite et la Terre.1 ) portant à ses extrémités deux systèmes optiques constitués de lentilles : l'objectif et l'oculaire.13 .tant en ce qui concerne la Lune que les autres Photo. Cette lunette grossit les objets éloignés. [ Alors ] je vis les objets assez grands et assez rapprochés. Les découvertes de Galilée Au début du XVII siècle." e Photo. comme grand nombre de penseurs l'ont cru . il commence.2 : Un dessin de la Lune dû à Galilée. 46 et I. 1993. de par sa démarche scientifique qui consistait à confronter la théorie aux observations et à l'expérience. tout comme la surface de la Terre est elle-même surmontée de chaînes de montagnes et entrecoupée de vallées profondes ". pourquoi en serait-il autrement des planètes autour du Soleil ? Le "message" de Galilée est "offert à la considération de tous les hommes. autour de laquelle les astres sont en rotation. Ch. qui conduiront de fait à sa condamnation par l'Inquisition en 1633. qui considère la Terre comme le centre de l'Univers. Pour avoir utilisé un instrument lors de ses observations. Notons que s'il savait construire des lunettes. remplie de nombreuses cavités et éminences. La plupart de ses contemporains adoptaient en effet de manière dogmatique le système de Ptolémée. et spécialement des philosophes et des astronomes" : le savant est conscient de la portée de ses affirmations. p.13 . Galilée ne connaissait pas leur fonctionnement : les lois de Descartes sur la réflexion et la réfraction de la lumière ne seront publiées qu'après sa condamnation. Galilée peut être considéré comme le fondateur de la physique moderne. accidentée. Les origines de la physique moderne. Il y détaille les preuves du bien-fondé de la théorie héliocentrique de Copernic ( 1543 ). Galilée publie en 1610 un ouvrage intitulé Le Messager céleste.instruments d’optique 347 . Copernic proposait une approche toute différente. Il affirme que la Lune est visible car elle " réfléchit " la lumière du Soleil. Le Seuil. Bernard Cohen. et que les planètes tournent autour de lui. si les satellites de Jupiter tournent autour de cette planète. "Les génies de la science" n° 1 ( Galilée ). dans lequel il relate les premières découvertes dues à sa lunette (" des spectacles grandioses. en affirmant que le Soleil est le centre de l'Univers. Extrait de : Pour la Science. mais elle est inégale. Pour Galilée. Il découvre alors l'existence de satellites de Jupiter et déduit de ses observations que ces satellites tournent autour de la planète.instruments d’optique corps célestes -. uniques et remarquables "). ………….A l’aide d’une lunette de grossissement G. La lumière est ensuite déviée et condensée par le………….lorsque l'œil accommode. 6. f1 c. 348 . qui joue ainsi le rôle de …….La distance focale d’un oculaire de lunette astronomique est plutôt voisin de : a. 2.Une personne myope voit très bien : a.. Les rayons émergent de l’oculaire : a. La taille de l’image intermédiaire est égale à : a.. 4.25 5.. La lumière pénètre dans l'œil par la pupille.10 cm c.1 m b.1 cm.La distance focale de l’objectif d’une lunette d’astronome amateur est plutôt voisine de : a. 0. AB b. un observateur étudie un objet de taille AB et de diamètre apparent θ.un objet qui se situe entre 10 et 100 cm environ d.en passant tous dans le cercle oculaire b.. 7.θ .l'image d'un objet à l'infini se forme à 17 mm du cristallin c.un objet qui se situe entre 1 m et l’infini.instruments d’optique instruments d’optique Je vérifie mes connaissances Chaque question peut avoir une ou plusieurs réponses correctes 1.θ . lequel se comporte comme une lentille…………………….Le diamètre apparent d’un objet éloigné est égal à θ.θ .G .en passant par le foyer image de l’oculaire c. Il le voit sous un diamètre apparent θ’ égal à : a.G . f1 f2 b.5 cm. a. On l’observe à l’aide d’une lunette modélisée par deux lentilles minces de distances focales f1 ( objectif ) et f2 ( oculaire ). sa distance focale diminue.parallèlement à l’axe optique principal de la lunette.13 . L'image se forme au fond de l'œil sur la…………………. AB .un objet très proche c.1 m c.…….Trouver les mots manquants.. θ c.Ch. 8.la vergence de l'œil est égale à 59 δ d.G . La quantité de lumière entrante est régulée par l'ouverture ou par la fermeture de l'………………….la vergence de l'œil est égale à 17 δ b. 3. f2 .un objet très éloigné b.Un point situé à l’infini dans une direction quelconque est observé à l’aide d’une lunette astronomique afocale.Un œil normal possède une distance focale f = 17 mm au repos.10 m b. La distance focale de l’objectif est égale Ex-3.Déterminer la dimension de l'image. le diamètre apparent θ ' sous lequel on voit l’image. La distance O 1O 2 est réglable. et vérifier que O 1O 2 = f 1 + f 2 2 . joue le rôle d'oculaire et donne de A 1B 1 une image A 2B 2. dans le cas de la question B-2. à 900 mm.Quelle doit être la position de l'objet pour que son image soit à l'infini? 3 .Sur un banc d’optique.Les distances focales de l’oculaire et de l’objectif d’une lunette astonomique valent Ex-2. qui permet la mesure expérimentale de θ’. je sais raisonner respectivement 15 mm et 800 mm. Pour cela. 349 .Étude du système complet 1 .Sachant que G = f ob / f oc . utilisant éventuellement une lentille auxiliaire. on dispose de deux lentilles convergentes de distances focales égales à 80 mm et 333 mm.. le grossissement doit être inférieur à 2.13 . Préciser la position des lentilles sur le banc d’optique en indiquant le sens de propagation de la lumière. pour que son image soit située du même côté que l'objet par rapport à cette lentille? 2 . 1. 5-a Caculer la position et le diamètre du cercle oculaire. La distance focale de l’oculaire est de 20 mm. 2. A . on simule une lunette astonomique afocale.Où doit-on placer un objet pour L 2. b. 1.Représenter le dispositif. Pour que les images observées restent suffisamment nettes et lumineuses.Construire sur le schéma l’image intermédiaire A 1B 1. Calculer son grossissement.Expliquer comment mettre en évidence expérimentalement l’image intermédiaire A 1 B 1. Quel commentaire suggère cette donnée ? 1 .Comment modifie-t-on la valeur de son grossissement ? 3. Ch.Étude de l’objectif seul L'objet AB est très éloigné : le diamètre apparent de l'objet depuis L 1 est θ = 2°. quelle est la plus petite distance focale f oc possible pour ses divers oculaires ? b.Calculer.Quelle est la valeur du grossissement maximum de cette lunette ? 2. Comment fabriquer pour une lentille un objet AB tel que AB soit à l’infini pour la lunette et vu sous un diamètre apparent θ de 4° ( A est dans la direction de l’axe optique pricipal ) ? 3-a.Tracer la marche d’un rayon incident issu de B et passant par le foyer objet de l’objectif. Leur diamètre est de 80 mm. Elle donne d'un objet éloigné AB une image intermédiaire A 1B 1.On dispose d’une lentille auxiliaire de distance focale égale à 10 cm.Quelle est la valeur théorique attendue pour θ’ ? Proposer une méthode.instruments d’optique Je sais appliquer mes connaissances. c. où O 1 et O 2 sont les centres optiques respectifs de L 1 et L 2 .La lentille L 1 d'une lunette astronomique joue le rôle d'objectif.Une lunette astronomique afocale est modélisée par deux lentilles minces convergentes. La seconde lentille L 2.Où se trouve alors l'image A 1B 1 ? 2 .Exprimer le grossissement G de la lunette en fonction de f 1 et f 2.Le diamètre de la pupille de l’œil de l’observateur est de 4 mm. On donne les distances focales respectives des deux lentilles : f 1 = 20 cm et f 2 = 2 cm. Calculer le diamètre du cercle oculaire et la distance le séparant de l’oculaire.Schématiser le montage à l’échelle 1 / 2.Définir sur le schéma le diamètre apparent θ’ de l’objet observé à travers l’instrument. Ex-4. Ex-5. b.5 fois le diamètre de l’objectif ( exprimé en mm ). son diamètre valant 70 mm.instruments d’optique Ex-1. C .L’objectif d’une lunette astronomique afocale est modélisé par une lentille mince de diamètre égal à 70 mm pour une distance focale f ob = 900 mm.Étude de l'oculaire seul 1 . 4-a. située du même côté que A 1B 1. B . Ch. On note d diamètre du faisceau qui émerge de l'oculaire L 2 . objet de l'observation. On indiquera d sur le schéma.Compléter la marche du faisceau lumineux à travers tout le système optique. L'oculaire ( lentille L 2 de centre optique O 2) est situé devant l'œil de l'observateur. Ce faisceau. Ex-6.Etablir une relation entre D. 6 mm. L'objectif ( lentille L 1 de centre optique O 1 ) pointe dans la direction de l'astre. 2 . d. le point A étant sur l'axe optique principal. 51 . c . 12. f 1 et f 2.Construire A 1B 1.Où se trouve l'image A 1B 1 de AB donnée par la lentille L 1 ? b . Les rayons parallèles issus de B font un angle de 6 degrés par rapport à l’axe optique principal. 2 .Rappeler les conditions de Gauss.Oculaires : trois oculaires interchangeables de focale f 2 : 20 mm . Le foyer principal image F’1 de l'objectif est confondu avec le foyer principal objet F 2 de l'oculaire.Déduire de la question précédente où se trouve A'B'. a . 214.Modèle réduit de la lunette 1 .instruments d’optique instruments d’optique d . 3 . 107. de focale f 1 = 640 mm. B . établir l'expression du grossissement G en fonction de f 1 et f 2 (on rappelle que tan θ = θ si θ est un angle petit exprimé en radian). 1 .13 . les foyers principaux des deux lentilles L 1 et L 2. . On considère que α et α' sont petits.Dans ces conditions. Une lunette astronomique est constituée de deux systèmes optiques convergents assimilés à deux lentilles minces. 102 . conclure. le grossissement correspondant. 1 .On observe à travers L 1 un objet AB situé à l'infini. 4 .À l'aide des valeurs indiquées sur la notice. image de A 1B 1 donnée par l'oculaire L 2. j . e .Grossissements : 32 .Porter sur un schéma. 2 .Comment peut-on expliquer les six valeurs du grossissement indiquées sur la notice ? C . a le même diamètre D que l'objectif L 1. A . On appelle α' l'angle entre l'axe optique et le faisceau lumineux sortant de L 2 venant de B 1.Grossissement du modèle On appelle α l'angle entre l'axe optique et un rayon issu de B ( B situé à l'infini ).Donner deux caractéristiques de cette image. centré sur l'axe optique principal.Retrouver. calculer la plus grande valeur de d .Tracer deux rayons permettant de situer l’image finale A'B'. 3 .5 mm .Gain en luminosité On envisage maintenant un faisceau incident de rayons lumineux parallèles entre eux et parallèles à l'axe optique principal de la lunette. 350 . pour chacun des trois oculaires. .Notice d'une lunette astronomique Le but de cet exercice est d'étudier le fonctionnement d'une lunette astronomique et de vérifier certaines indications portées sur la notice descriptive : Lunette astronomique .Indiquer de manière précise quelle position particulière A 1 occupe par rapport à L 2. Justifier sans calcul.Objectif : de diamètre 80 mm. 64 . ....... électrique. 4....... 116 Grandeurs cinématiques.................. Champ magnétique terrestre..............75 Pour en savoir plus........... Champ électrique créé par une charge ponctuelle. 102 107 107 109 110 111 INTERACTIONS DANS L’UNIVERS Chapitre 1 Interaction B....................... 4.............. 21 4............... Cohésion de la matière à l’échelle du noyau et interaction forte. Interaction magnétique........ 106 1.............................................. 150 L’essentiel du cours..................... 30 Pour en savoir plus................................... 118 Mouvement rectiligne uniforme.............. 125 5.. 64 2......... Deuxième loi de Newton............................................ Forces de gravitation universelle.... 115 1........... 147 3... 31 Exercices..................................................... 63 1...............54 Travaux pratiques... 94 Champ de pesanteur........................................... 149 4.................. A.......... 2.. 4 Chapitre 4 Interaction gravitationelle et interaction forte.............. 46 5...................... 38 1......... La lévitation magnétique................................ Applications..... Théorème du centre d’inertie .................. Champ électrique créé par deux charges ponctuelles............................... 2................ Loi de Coulomb......................60 d’un solide en mouvement de translation........... 27 L’essentiel du cours........................ 53 L’essentiel du cours...................... 43 4.. 2........................78 d’un solide en mouvement de translation.. Interaction gravitationnelle 85 1. Champ électrique uniforme........................ 18 3...................... 86 Champ de gravitation...........35 MOUVEMENTS DANS LES CHAMPS Chapitre 5 Etude cinématique Chapitre 2 Interaction magnétique............ Application de la force de Laplace................................. 16 2..... 70 L’essentiel du cours.... Champ magnétique créé par un aimant............................ Champ magnétique créé par un fil conducteur parcouru par un courant électrique continu................ 131 Travaux pratiques.... 3.. 157 Exercices.. 39 2.................. Référentiel galiléen......... Introduction............158 351 .................................... 146 1.....................................................................55 Pour en savoir plus.......................... 3 Programme officiel............................. 155 Pour en savoir plus .......... Mise en evidence experimentale de la force de Laplace............ 100 Applications.............. 147 2....... 41 3............. 23 5......................................... 76 Exercices.................139 L’essentiel du cours....141 Chapitre 6 Etude dynamique Chapitre 3 Force de Laplace... 15 1......... Interaction forte........ 3..........................Sommaire Avant-propos......... Mouvement rectiligne sinusoïdal......... 125 Mouvement rectiligne uniformément varié.140 Exercices................... L’essentiel du cours.............................154 Travaux pratiques............ Exercices........ Généralités....56 Exercices........................... Notion de champ électrique................................................... Pour en savoir plus............... 268 2........................ 162 1.... 259 Exercices................. 321 Travaux pratiques............ 295 2....................... Généralités. Mouvement des satellites........ 302 4................................ 207 1..... Rappels..........250 L’essentiel du cours........................ 342 Pour en savoir plus.................. 286 Exercices...... 322 Exercices................ 324 2.... 190 L’essentiel du cours....................................................... 163 2............................... Lunette astronomique............................................ 176 Exercices............................... grandissement................................................................. Déviation d’une particule chargée dans un champ électrique uniforme.......... 273 Applications............ 245 3...... 238 1............ 200 Exercices.............. 239 2............. Applications du théorème de l’énergie cinétique...................................................... 187 5... Mouvement d’un projectile..... 277 L’essentiel du cours.......... Expression de l’énergie cinétique d’un point matériel............ 313 L’essentiel du cours..................... Travaux pratiques............... 201 OPTIQUE Chapitre 12 Lentilles minces............. L’essentiel du cours.... Rotation d’un solide autour d’un axe fixe... Energie cinétique d’un système de points matériels...... Travail d’une force électrique... Exercices........................................ Mouvement d’un point matériel sur une trajectoire circulaire.............................................................................. 323 1........................................................................................ 182 1. 184 4.. 183 2... Image d’un objet lumineux donnée par une lentille..... Accélération d’une particule chargée dans un champ électrique uniforme.......... 175 Travaux pratiques............................................... 199 Travaux pratiques.. 178 dans un champ magnétique uniforme...... 169 L’essentiel du cours...... Caractéristiques d’une lentille.......... 2....... 323 Chapitre 9 Mouvement dans un champ gravitationnel. La force de Lorentz............. 330 L’essentiel du cours..... 297 3.......................................................... 343 Exercices........ 208 218 226 228 229 Chapitre 13 Instruments d’optique........................................................................ 345 Chapitre 10 Mouvement dans un champ électrique uniforme.... 184 3................................. Relation de conjugaison......... 262 352 ............. 287 Chapitre 8 Energie cinétique............ 258 Travaux pratiques..... L’oeil.Chapitre 7 Chapitre 11 Mouvement Solide en mouvement de rotation. 267 1............................................................................. Mouvement d’une particule chargée dans un champmagnétique uniforme. Théorème de l’énergie cinétique.............. 294 1............ Détermination de la distance focale d’une lentille : focométrie................... 309 5............