Lista de exercícios de vibrações mecânicas 1) Um refrigerador pesando l00 kg é suportado por 3 molas, cada mola com coeficiente de rigidezk. O refrigerador opera na freqüência de 600 rpm. Qual deve ser o valor de k se somente 1/12 da força de excitação é para ser transmitida para a base. resposta: k = 10122.18 N/m 2) Um corpo com massa de 300 kg é montado sobre um sistema suspensivo com uma mola de rigidez de 40 kN/m e um amortecedor com coeficiente de amortecimento desconhecido. Observa-se que o corpo vibra com 10 mm de amplitude enquanto o suporte tem uma amplitude máxima de vibração de 2,5 mm (na ressonância). Calcule a constante de amortecimento e a amplitude da força no suporte. resposta: ξ= 0.129 e FT = 400N. 3) Considere o mecanismo pivotado com k = 4kN/m, L1 = 1,5 m , L2 = 0,5m, L = 1 m e a massa m = 40 kg. A barra rígida é pivotada no ponto O. Encontre o valor da constante de amortecimento c tal que o fator de amortecimento seja 0,2. Determine a resposta forçada do sistema para uma externa F( t ) = 100 cos 10 t como mostrada na figura. resposta: c = 981 Ns/m, 4) Um automóvel de 1570 kg é suportado por 4 molas, cada mola com constante de rigidez de 25 N/mm. Quando o carro move-se em uma via com irregularidades o movimento vertical é excitado. A via é modelada como tendo uma forma senoidal de amplitude de 15 mm e comprimento de onda de 500 mm. Determine a máxima amplitude do movimento vertical do veículo com velocidade de 100 km/h. Encontre o deslocamento x(t) vertical do veículo considerando as condições iniciais nulas. Despreze o amortecimento. resposta: X = 18,54 mm, x(t) = -0.00811 sen 7,98t + 0,01855 sen 3,49 t. 5) Um motor operando com velocidade de 950 rpm é suportado por quatro bases de borracha e vibra com amplitude de 3,8 mm. Na partida ele passa por um freqüência de ressonância em 500 rpm. Determine a amplitude de vibração se o motor for montado sobre 4 pares de base, cada par consistindo de duas bases originais em série. Lista de exercícios de vibração mecânicas 1 resposta: X = 0.00318m 6) A figura mostra o movimento vertical da base de uma turbina hidráulica. a) estime o fator de amortecimento do sistema. 12 10 8 6 4 2 0 0 500 1000 1500 ro tação (rp m ) resposta: ξ = 0,0685 7) Considere o caso do sistema excitado pela base como mostrado na figura. Fazendo y( t ) = Y sen( w b t ) ; a- encontre uma expressão para a força transmitida para o suporte no estado estacionário (resposta permanente) b- para m=1kg, k=9N/m, c=0,6Ns/m, Y=0,01m e wb=10 rad/s, encontre o valor da transmissibilidade de deslocamento (Y/X). resposta: FT=0,0006579cos(10t+3,0758), X/Y=0,0658 8) Uma estrutura de aço suporta um bloco de concreto, que por sua vez suporta uma turbina, dando assim uma massa total de 907 kg. Para uma velocidade de 400 rpm a amplitude do movimento é de 0,5cm e para 500 rpm amplitude é de 1,45cm. Determinar a mudança de rigidez k do sistema de modo que com uma velocidade de 520 rpm a amplitude do movimento seja 0,25cm. resposta: kf = 2,6186k. amplitude (mm) Lista de exercícios de vibração mecânicas 2 9) Um sistema massa-mola-amortecedor possui os seguintes parâmetros: m = 1kg, ξ = 0,01. wn= 2rad/s. O sistema é submetido a uma força harmônica externa Fo = 30 cos 10 t . Assumindo-se as condições iniciais: xo = 1cm e vo = 0,1 m/s, encontre a resposta do sistema x(t). resposta: x(t)= 1,095e-0,02tsen(2t+1,086)+0,03125cos(10t+0,0041) 10) Um ventilador de 45 kg tem um desbalanceamento que gera uma força harmônica. Um sistema mola-amortecedor é projetado para minimizar a força transmitida para a base do ventilador. Um amortecedor é usado tendo fator de amortecimento de ξ = 0,2. Calcule a constante de rigidez k da mola para que somente 10% da força seja transmitida para o solo quando a velocidade do ventilador é 1000 rpm. resposta: r = 4,72 e k = 22151 N/m 11) Um sistema mecânico de 200kg é colocado sobre bases de borracha que defletem 2mm com o peso do sistema. a- determinar o movimento vertical do sistema x(t) se o mesmo é submetido a um esforço externo F(t) = 200 cos 15t. Considere o sistema sem amortecimento e com a s condições iniciais nulas x(0) = 0 e v(0) = 0,1 m/s. b- encontre a resposta (x(t)) na ressonância considerando uma força externa com a mesma amplitude do caso anterior, e considere as mesmas condições iniciais. resposta: x(t) = -0,000233 cos70t+0,01428sen70t+0,000233cos25t; x(t)= (1/70)sen70t+(200/(2x70))tsent70t 12) Uma máquina tem freqüência de ressonância em 400 rpm quando suportada por 4 molas de aço para as quais o fator de amortecimento pode ser desprezado. Em 1200 rpm a amplitude do movimento é 0,5mm. Qual a amplitude do movimento se as quatro molas são trocadas por 4 isoladores de borracha com fator de amortecimento igual a 0,25. A freqüência de ressonância não é alterada resposta: X = 0,00049m 13) Um veículo modelado como um sistema massa-mola, rodando em uma estrada cujo perfil é modelado como uma função senoidal y(t) = Y sen (wt). O comprimento de onda do perfil da via é L e a velocidade do veículo v. Determinar a equação para a amplitude do movimento do corpo de peso W como função da velocidade e determinar a velocidade crítica. resposta: x p ( t ) = L k 2πv sen t e v = 2π m L 2πv k − m L kY 2 Lista de exercícios de vibração mecânicas 3 14) Um suporte de vibração é usado para apoiar uma máquina de 450 kg, que tem um desbalanceamento rotativo de 37,5 kg-cm e gira com 300 rpm. O suporte tem amortecimento igual a 30% do crítico. Qual deve ser a constante de rigidez do suporte, se 20% da força de excitação é transmitida para a fundação? Qual a amplitude resultante do movimento da máquina.? resposta: K = 35383 N e X = 0,00089m 15) Uma máquina industrial com peso de 500kg é suportada por molas com uma deflexão estática de 0,05m. Se a máquina tem um desbalanço rotativo de 100 kg.m, determinar: (a) a força transmitida para o piso a 1200 rpm, (b) a amplitude do movimento nesta velocidade (c) Se esta máquina for montada sobre um grande bloco de concreto de 1000 kg, e a rigidez das molas ou apoios sob o bloco for aumentada de modo que a deflexão estática ainda seja de 0,05m, qual será a amplitude do movimento? (desconsidere o amortecimento). resposta: Ft = 19887 N, X = 0,2025 m, X = 0.0675m 16) Um compressor pesando 455 kg e operando a 1500 rpm, deve ser montado sobre um isolador apropriado. Uma mola com constante de rigidez de 7880706N/m e outra mola com constante de rigidez de 2626902N/m e um amortecedor com fator de amortecimento de 0.15 podem ser usados. Selecione o melhor sistema de isolação para o compressor. Explicar a resposta. resposta: O melhor sistema é um sistema com as duas molas em série e o amortecedor em paralelo. 17) Uma máquina pesando 4000N é sustentada por duas molas, cada uma possuindo constante de rigidez de 40 kN/m. Uma força periódica de valor máximo de 150 N, é aplicada à máquina com uma freqüência de 2.5 ciclos/segundo. Sabendo-se que o coeficiente de amortecimento é 1600 Ns/m, determine: a) a amplitude de vibração no estado estacionário do elemento b) a resposta homogênea (considere as condições iniciais nulas) resposta: X = 0,0046m, x h ( t ) = −0,0047e −1,9640 t cos(13,876 t − 0,8945) . 18) Um transmissor de rádio de avião, pesando 14 kg, é montado sobre quatro molas que defletem 0,65cm, quando o transmissor é colocado sobre elas. Calcular a porcentagem de vibração do motor recebida pelo transmissor, para rotações do motor de 1000, 2000 e 3000 rpm. Admitir que não haja amortecimento. resposta: 16, 3.5 e 1.5% Lista de exercícios de vibração mecânicas 4 1a Questão (5 pontos) O sistema representado pode rotacionar ao redor do ponto de apoio. Uma extremidade da mola está sujeita a um deslocamento (unidade em metros) . Encontre a equação do deslocamento angular do sistema θ(t) sabendo-se que: m= 1kg; L = 0.75 m; a = 0.5 m; ωn = 5 rad/s; θ o = 0.01 rad (sentido horário) e ωo = 1 rad/s (sentido anti-horário). Desconsidere a massa das barras. 2a Questão (5 pontos) Um pistão de 45 kg é suportado por uma mola de constante de rigidez k = 35 kN/m e a constante de amortecimento é 900 Ns/m. Uma pressão flutuante p = 10000 sen 40 t (Pa) atua no pistão cuja área da superfície de topo é 0.005m2. Determine : a) solução particular b) a amplitude da força transmitida para a base Lista de exercícios de vibração mecânicas 5 Questão 1 (3 pontos) A massa sísmica é montada no quadro, entre duas molas de compressão, cada uma com constante k e outra com constante 2k. O quadro recebe uma vibração horizontal xe (t) = Xo sen (wt). Se x é o deslocamento da massa em relação ao quadro, deduzir a expressão para o fator de amplificação, definido como a relação entre a amplitude do deslocamento da massa e do quadro. Questão 2 (4 pontos) O sistema é composto por uma barra de massa m = 2k e comprimento L. O sistema pode rotacionar ao redor do ponto o. Sabendo-se que o período amortecido é de 0,1s (segundo) e que o fator de amortecimento ξ = 0.05 encontre: a) o valor de K considere L=0.8 m e a = 0.2m. b) se na extremidade direita for aplicado um deslocamento vertical de x (t) = 0.05 cos 15 t, e considerando que o sistema partiu da posição de repouso encontre a equação do movimento do sistema θ(t). Lista de exercícios de vibração mecânicas 6 Uma placa quadrada uniforme de massa m é mantida num plano horizontal por meio de um pino em B e está presa em A por uma mola de constate k. Se numa das extremidades da placa é aplicada uma força f(t) encontre a equação do movimento da placa θ (t). Dados : θo=0,1 rad; ωo = 1 rad/s, ambas no sentido horário; f(t) = 20 cos 15 t; m = 2 kg; b = 0,5 m; freqüência natural = 12 rad/s e IB =( (1/12)m(b2+b2) )+ m((b/2)2+(b/2)2) Um compressor cuja massa é 250 kg opera em 900 ciclos/minuto é montado sobre uma base de borracha e a amplitude do movimento é 2 cm. Para este caso a deflexão estática é de 1cm. Quando montado sobre uma nova base de borracha, a amplitude do movimento é reduzida para 1/3 do valor encontrado com a base original. (desconsidere o amortecimento). a) Qual é o valor da força transmitida com a nova base de borracha (desconsidere a força peso) b) Se o sistema for montado sobre um bloco de concreto de 350 kg, o que ocorre com a amplitude do movimento em relação à amplitude inicial (valores numéricos) Lista de exercícios de vibração mecânicas 7 Questão um (cinco pontos) O sistema é composto de uma barra horizontal de massa m = 1 kg, e uma barra vertical de massa m = 2 kg (as barras estão soldadas, formando um corpo rígido). Na extremidade esquerda da barra horizontal tem um corpo rígido de massa m = 0.5 kg (soldado). Sabendo-se que k = 5000 N/m ; que o fator de amortecimento do sistema é 0.15 e que a força externa aplicada é f(t) = 200 cos 80 t e considerando as condições iniciais θo = 0,1 rad (sentido horário) e ωo = 0,5 rad/s no sentido anti-horário, encontre : a) a equação do movimento θ (t). b) a força no amortecedor (considere somente a solução particular) Questão dois (cinco pontos) O sistema consiste de duas massa excêntricas rotacionando em sentidos opostos com mesma velocidade angular ω. O fator de amortecimento do sistema é 0.15. Sabendo-se que a massa do sistema é M = 50 kg e que o é m= 0.1 kg , e = 0.1 m. Determine o valor de k para limitar o movimento do sistema em ± 0,25 mm na faixa de velocidade angular entre 20 e 30 Hz. . Lista de exercícios de vibração mecânicas 8