Lista de Exercícios de Física ILivro Texto: H. MOYSÉS NUSSENZVEIG. Curso de Física Básica, Vol.1 (Mecânica), 4a ed., Edgard Blücher (2002). 5 de abril de 2016 Cap. 2 – Cinemática 1D O conteúdo do curso está baseado nos capítulos 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11 e 12 do livro texto. 1. Explique em palavras: (a) a diferença entre velocidade (ou aceleração) média e velocidade (ou aceleração) instantânea; (b) a interpretação física de uma velocidade negativa; (c) a interpretação física da derivada; (d) a interpretação física da integral. Professor: Fernando J. Antonio. Provas: • P1: Cap. 2, Cap. 3, Cap. 4 e Cap. 5; 2** . (a) Qual a diferença entre MRU e MRUV? (b) Escreva a função horária de x(t) e de v(t) para ambos os casos. (c) Refaça a dedução formal delas. • P2: Cap. 6, Cap. 7 e Cap. 8; • P3: Cap. 9, Cap. 11 e Cap. 12. XXX XXX Turma E11/E12 XXX Prova X P1 12/04 P2 17/05 P3 21/06 P* 05/07 ET21/ET22 3. Um motorista freia seu carro uniformemente, de tal maneira que a velocidade cai de 60 km/h a 30 km/h em 5 s. (a) Qual foi a aceleração aplicada? (b) Se a aceleração for mantida constante, que distância o carro percorre até parar? (c) Quanto tempo levará para percorrer essa distância adicional? 13/04 18/05 22/06 06/07 Outros Livros Sugeridos: 4. Explique em palavras o que é uma queda livre e o que é a aceleração da gravidade. • HUGH D. YOUNG, ROGER A. FREEDMAN - SEARS and ZEMANSKY’S University Physics with Modern Physics, 13a ed., Pearson Education UK (2015); 5. Um carro de corridas pode ser acelerado de 0 a 100 km/h em 4 s. (a) Compare a aceleração média correspondente com a aceleração da gravidade g . (b) Se a aceleração for mantida constante, que distância o carro percorre até atingir 100 km/h? • ALAOR CHAVEZ, J. F. SAMPAIO. Física Básica, Vol.1 (Mecânica), 1a ed., LTC (2011); • D. HALLIDAY, R. RESNICK, J. WALKER. Fundamentos de Física, Vol.1 (Mecânica), 8a ed., LTC (2008); • P. A. TIPLER, G. MOSCA. Física para Cientistas Engenheiros, Vol.1 (Mecânica), 6a ed., LTC (2010). 6* . Um motorista percorre 10 km a 40 km/h, os 10 km seguintes a 80 km/h em mais 10 km a 30 km/h. Qual é a velocidade média de percurso? Compare com a média aritmética das velocidades. OBS1: NÃO É NECESSÁRIO ENTREGAR A RESOLUÇÃO DESTA LISTA! 7. Um avião a jato de grande porte precisa atingir uma velocidade de 500 km/h para decolar, e tem uma aceleração de 4 m/s2 . Quanto tempo ele leva para decolar e qual a distância percorrida sobre a pista de decolagem? OBS2: O número de asteriscos de cada problema está ligado à dificuldade do mesmo: 8**. Uma partícula, inicialmente em repouso na origem, movese durante 10 s em linha reta, com aceleração crescente segundo a lei a(t) = β t, em que a é a aceleração, t é o tempo e β = 0,5 m/s3 . (a) Trace os gráficos da velocidade v e da posição x da partícula em função do tempo. (b) Qual expressão analítica de v(t)? • Nenhum ou 1 asterisco = imprescindível entender e saber resolver; • 2 asteriscos = ser aprovado no curso com nota boa; • 3 asteriscos = desafio somente para os fortes (e que tenham tempo livre!). 1 7 s. Gabarito 3 (a) a ≃ −1. 0.0 s (b) ∆x ≃ 55. (a) Trace os gráficos da aceleração a(t) e da posição x(t) para 0 ≤ t ≤ 16 s.94 m 2 ③ ① 0 ① 16 20 (b) ∆x1→3 = 48 m + 12 m + 12 m = 72 m 0 12 40 0 ② 12 8 t (s) 12* .83 m e (c) ∆t = 5.8 m 10 ∆x ≃ 18. O gráfico da velocidade função do tempo para uma partícula parte da origem se move longo do eixo x está representado na Figura 2. O barulho da queda é ouvido 2 s depois. Calcule a distância mínima que um carro percorre depois que o motorista avista o perigo.1. Um carro com bons freios.71g (≈ 71 % de g ) 6 v¯ ≃ 42. situado 20 m acima do chão. (a) Com que velocidade o vaso atinge o chão? (b) Qual é a altura do edifício? ① 12 16 . calcule a profundidade do poço. Deixa-se cair uma pedra num poço profundo. pode ser freado a 6 m/s2 . Um vaso com plantas cai do alto de um edifício passa pelo 3◦ andar.6 m. quando trafega a 30 km/h.5 s antes de se espatifar no chão. Sabendo que velocidade do som no ar é de 330 m/s.7 m/s2 5 (a) a ¯ ≈ 0.56 m média dos v = 50 km/h e ∆x ≃ 2.72 s 8 (b) v(t) = 9 ∆x30 ≃ 11. (b) Que distância a partícula terá percorrido ao todo (para frente para trás) no fim de 12 s? ④ -4 -8 11* .5 m 11 (a) v2 ≃ 153 km/h e ∆x90 ≃ 69.1: Gráfico da velocidade de uma partícula. a 60 km/h e 90 km/h. 12 (a) a (m/s 2 ) 4 10**. β 2 t 2 (b) ∆x = 20.41 km e x(t) = β 3 t 6 ∆x60 ≃ 34.4 km/h 7 ∆t ≃ 34.9** . numa estrada seca. O tempo médio de reação do motorista (tempo que decorre entre perceber um perigo súbito e aplicar os freios) é da ordem 0. Estime quantos comprimentos do carro corresponde cada uma das distâncias entradas.6 m (b) ∆x0→2 ≃ 91. 0 ② ③ 0 4 60 ② v (m/s) -12 ④ 4 8 x (m) t (s) ③ 0 4 8 12 ④ 16 t (s) Figura 2. 6* . O alcance de um projétil é 4 vezes sua altura máxima. Um canhão lança um projétil por cima de uma montanha de altura h. (a) Com que velocidade o jato sai da mangueira? (b) Que altura ele atinge? 3. a partir do hangar. A que distância horizontal do ponto de projeção e com que velocidade (em km/h) ela atinge o solo? 1. sobre uma plataforma horizontal é arrastada por uma enxurrada com velocidade de 3 m/s. uma partícula se encontra a 20 cm do eixo de rotações. Calcula a relação entre a aceleração centrípeta dessa partícula e a aceleração da gravidade g . Qual a utilidade prática de uma operação de rotação? Você consegue imaginar uma situação em que podemos usar uma rotação associada a uma operação de translação? Justifique sua resposta com um diagrama! 15** . Calcule δ em função de v0 e de A. Calcule: (a) A magnitude do deslocamento total. As latitudes e longitudes de São Paulo. 46◦ 39′ O. (b) O ângulo de elevação em relação ao solo. RJ = 22◦ 53′ S. Um trem viaja para o norte a 120 km/h. Calcule a velocidade angular média de cada um dos três ponteiros de um relógio. com o bico a 1.5 m acima do solo. Quais os três tipos usuais de produto entre vetores? O que é um versor ? 12* . Explique em palavras o que é um vetor. Atrás da montanha há uma depressão de profundidade d (veja a Figura 3. BH = 19◦ 55′ S. Numa ultracentrífuga girando a 50 000 rpm (rotações por minuto). chegando a Manaus. θ = 45◦ + δ e θ = 45◦ − δ . (b) Em relação a um sistema de coordenadas com origem em São Paulo e eixo das abcissas na direção São Paulo-Rio de Janeiro.Cap. contando que A não ultrapasse o alcance máximo Am = v02 /g . O R d P Figura 3. levando 2 h10 min nesse percurso. Rio de Janeiro e Belo Horizonte. Uma partícula com velocidade constante em módulo pode ter aceleração não nula? Cite um exemplo ou um contraexemplo. em função de R. Use a lei dos cossenos para quantificar a subtração de dois vetores. A fumaça da locomotiva forma uma trilha que se estende numa direção 14◦ ao E da direção sul. O jato de água atinge um canteiro a 15 m de distância. Qual é a velocidade do vento? 9. 17. de onde. elevando-se a 100 m de altitude. respectivamente. é apontada para cima. de Brasília a Belém. Tome ⃗u = 4ˆı + 3ˆ ȷ e ⃗v = 6ˆı − 8ˆ ȷ. Escreva lado a lado as equação para o MRUV e para um movimento em N dimensões com aceleração constante. obtenha o vetor de posição de Belo Horizonte. 14. com o vento soprando do oeste. A partir destes dados. de forma a passar quase tangenciando o cume C no ponto mais alto de sua trajetória.1). Um helicóptero. (c) A direção da projeção sobre o solo do vetor deslocamento total. Reflita sobre a interpretação geométrica de soma e subtração de vetores. segue para oeste. 10* . segundo um ângulo de 30◦ com o chão. Você sabe qual a diferença de uma grandeza escalar e de uma grandeza vetorial? 2. 43◦ 56′ O. (a) Qual é o vetor deslocamento total do avião? (b) Qual é o vetor velocidade média no trajeto Brasília-Belém? 18. Determine a distância horizontal entre o ponto de lançamento O e o ponto P onde o projétil atinge o solo. (a) Calcule as distâncias entre as três cidades. 43◦ 17′ O. (a) Quanto é ⃗u + ⃗v ? E ⃗u − ⃗v ? (b) Quanto é ⃗u · ⃗v ? E ⃗v · ⃗u? (c) Quanto é |⃗u|? E |⃗v |? (d) Quais são os versores uˆ e vˆ? (e) Quanto dá uˆ · vˆ? E vˆ · uˆ? (f) Quanto dá uˆ × vˆ? E vˆ × uˆ? (g) Quanto é ⃗u × ⃗v ? E ⃗v × ⃗u? 13* . C h 7** . são: SP = 23◦ 33′ S. d e h. Demonstre o resultado de Galileo: Para uma dada velocidade inicial v0 . 16* . após 1 h50 min de voo. após percorrer mais 100 m. Qual seria o análogo para a soma? 4. 8*. dobrando depois para entra em noutra pista rumo ao leste. Uma pedra que se encontra numa elevação de 60 m. (a) Qual foi a velocidade inicial? (b) Qual é o alcance? (c) Em que ângulo ele foi lançado? 5. distante 1290 km de Belém. saindo de seu hangar. Uma mangueira. e ele permanece no ar durante 2 s. De lá.1: Ilustração de um canhão que lança um projétil que passa no limiar do ponto C. um projétil pode atingir o mesmo alcance A para dois ângulos de lançamentos diferentes. 3 . 3 – Cinemática 3D (c) Qual é o vetor velocidade média no trajeto Brasília-Manaus? 11*. a 1630 km de distância. percorre 100 m numa pista em direção ao sul. Um avião a jato voa para o norte. levanta voo verticalmente. A distância horizontal entre o canhão e o cume é R. qual é a primeira vez que os três ponteiros voltam a coincidir? 1. (a) Qual é a hora entre 9 h e 10 h em que o ponteiro dos minutos de um relógio coincide com o das horas? (b) Depois de meio dia.05 × rad/s. dSP →BH ≃ 503 km (c) φ ≃ 45◦ (b) θ = arccos (a) r ≃ 2079 km e θ ≃ 38.45 × 10−4 rad/s ar g ≃ 42◦ A 10−1 18 2 2 d2 1 +d3 −d2 2d1 d3 (b) v0 ≃ 13. Qual é a tensão em cada metade da corda? dRJ→BH ( ≃ 336 km ) e φ=45° e Figura 4.9 km/h ω2 r g 19 (a) 49 min = (b) v¯BR→BE ≃ 752 km/h 3*. P1 P2 θ2 θ1 1. Um acrobata de 60 kg se equilibra no centro de uma corda bamba de 20 m de comprimento. 4 – Princípios da Dinâmica 19** .4◦ (c) v¯BR→M A ≃ 520 km/h 10 11 v(A) ≃ 124 km/h 12 (a) v0 = 13 δ= 14 (a) A ≃ 19.34 m ) 1+ d h A B (c) θ = 45◦ θ=30° ω ¯ m ≃ 1.0 kg Figura 4. O sistema representado na Figura 4. ⃗ u − ⃗v = −2ˆı + 11ˆ ȷ (b) 48 (c) |⃗ u| = 5. vˆ = 35 ˆı − 45 ȷˆ (e) 1 (f) −k |⃗v | = 10 ˆ 50k (b) θ ≃ 35.5+x tan θ−y) ( arccos ( g 2 v0 15 x=R 1+ 16 vv ≃ 29.6 m √ 1 2 gx2 2 cos2 θ(1. ≃ 12m/s (b) ymax ≃ 3.6 × 105 (b) meia-noite 4** . (b) O que é a quantidade de movimento (ou momento linear ) de uma partícula? (c) Defina a força peso.5 kg 2.1.2: Esquema de 3 massas em equilíbrio.75 × 10−3 rad/s 100 kg C ) 17 ω ¯ s ≃ 1. (d) O que são forças de contato? (e) O que é a força normal? (f) O que é um dinamômetro? Gabarito 4 (a) ⃗ u + ⃗v = 10ˆı − 5ˆ ȷ. (d) u ˆ = 54 ˆı + 35 ȷˆ.2 está em equilíbrio. Desprezando as massas dos fios e das polias P1 e P2 . 2 e 3. No sistema representado na Figura 4.Cap. viga e massa.3 está em equilíbrio.1: Esquema de corda. presas por polias e cordas. k ˆ (g) −50k ˆ. presas em suportes fixos. ˆ. calcule as tensões nas cordas A e B e a compressão na viga C . 4 . O sistema representado na Figura 4. ω ¯ m ≃ 1. desprezando as massas da viga e das cordas.9 m/s √ 2. ≃ 5. Explique em palavras e cite exemplos: (a) Descreva as três leis de Newton e suas implicações teóricas.5 kg 2. O centro desceu de 30 cm em relação às extremidades.3◦ 6 (a) r ≃ 173 m 7 (a) dSP →RJ ≃ 381 km. calcule os ângulos θ1 e θ2 . Determine o valor do ângulo θ e das tensões nos fios 1. 5* . 4. perde os freios e desliza pela ladeira (despreze o atrito). Um bloco de massa M é puxado ao longo de uma superfície horizontal lisa por uma corda de massa m. ele atinge o pé da ladeira? M mg 2h 2 T3 = m2 g sin θ T1 = m1 g sin φ ≃ 1960 N. 4 5 ( ( m2 Famor = 7 FS(P ) = FS(H) WH = v= h d √ TB = cos θ ( m2 m1 cos φ sin(φ−θ) mg ≃ 2677 N e ) ≃ 36. Uma pulga de massa igual a 2 mg é capaz de saltar verticalmente a uma altura de 50 cm.5: Dispositivo girante envolvendo corda e massa.5 gira em torno do eixo vertical com velocidade angular ω . Compare os resultados. . penetrando nela a uma profundidade de 10 cm. supondo que ele tenha 60 kg e pule a uma altura de 1. 9 √ 10 F ⃗ atuando sobre um bloco de massa Figura 4. de 100 m de comprimento e 25 m de altura.φ=30° 1 θ 3 l 2 ω m 300 kg 100 kg Figura 4. T⃗ = MM F ⃗a = MF +m +m ⃗ ⃗ o que implica em T ≃ F .9◦ e ) 2 −mv0 2∆x mgh d ≃ 53. Note que quando m ≪ M temos ⃗a ≃ . 10**. em km/h. Com que velocidade. Determine a aceleração a do bloco e da corda. Qual o valor de T⃗ se desprezarmos m em comparação com M ? ( l )2 h2 + T = C= 8. 6. conforme indica a Figura 4. Calcule a força média exercida pela pulga sobre o solo ao pular e compare-a com o peso da pulga. 6 ≃ 9804 N ≃ 1000 kgf 2 m1 2 2 m2 2 +m3 −m1 2m2 m3 θ = arctan m1 g tan φ 2 mg ≃ 3279N θ1 = arccos T2 = 8 m cos θ sin(φ−θ) θ2 = arcsin 9* . Um automóvel estacionado no alto de uma ladeira molhada pela chuva. sobre a qual se exerce uma força horizontal F⃗ . Faça o mesmo cálculo para um homem. Gabarito √ 7* .5 m (um jogador de vôlei com ótima impulsão é capaz de subir essa altura em um salto). e a força T⃗ exercida pela corda sobre o bloco. Figura 4.3: Esquema de duas massas fixas por cordas. O dispositivo da Figura 4. ela se eleva de 1 mm antes que suas patas “decolem” do solo.4: Força F M por meio de uma corda de massa nãodesprezível m. Uma bala de fuzil de massa igual a 20 g atinge uma árvore com velocidade de 500 m/s. Calcule a força média (em N e em kgf ) exercida sobre a bala durante a penetração. Durante o intervalo de tempo (muito curto) em que estica as patas para impulsionar o salto.1◦ ) tan φ ≃ 60◦ . ≃ 1697 N. ≃ 3395 N = −2500 N ≃ −2551 kgf e WP = h d ⇒ FS(P ) WP = h d = 500 =3 2g∆x sin θ = √ 2gh ≃ 80 km/h ⃗ ⃗ . Suponha que o homem se eleva 0. (a) Qual deve ser o valor de ω para que o fio de comprimento com a bolinha suspensa de massa m faça um ângulo θ com a vertical? (b) Qual é a tensão T⃗ no fio nessa situação? 5 (a) ω = g tan θ d+l sin θ (b) T = mg cos θ ⃗ F M . 3 TA = mg ≃ 980N .5 m para impulsionar o salto. 3. e calcule k nos casos (a) e (b). Despreze o fato de que a plataforma tende a ficar inclinada devido ao peso do pintor. 5 – Aplicações das leis de Newton cinético entre o bloco e a rampa é de 0.2 está em equilíbrio. Nestas condições.5 cm. Se µe é o coeficiente de atrito estático e P o peso do bloco. Figura 5.Cap.1). Duas bolinhas de isopor. a partir de uma certa altura. de massa desprezível. estão suspensas por fios de 30 cm. 6**. O coeficiente de atrito 6 . Um bloco é lançado para cima. com uma força F⃗ . Calcule as tensões nas cordas 1. m Figura 5.1: Bloco sobre um plano com atrito. No sistema da Figura 5. com velocidade de 5 m/s. 2. amarrados no mesmo ponto. Na Figura 5. inclinada de um ângulo θ em relação ao plano. Um pintor está sobre uma plataforma suspensa de uma polia (Figura 5. ele faz a plataforma subir com aceleração g/4.4. 5**. Fale em palavras e cite exemplos: (a) Quais são as 4 interações fundamentais? (b) O que são forças derivadas? (c) O que é força de atrito? (d) Qual a diferença entre atrito cinético e atrito estático? 7* .5). Comunicase a mesma carga elétrica a cada bolinha. Leve em conta a resistência do ar. m d M h Figura 5. respectivamente.4: Máquina de Atwood. (a) Qual é a distância máxima atingida pelo bloco ao longo da rampa? (b) Quanto tempo leva o bloco para subir esse trecho da rampa? (c) Quanto tempo leva o bloco para descer dessa posição? (d) Com que velocidade final chega ao pé da rampa? 1. demora mais. P 9** . 4*.5 g cada uma. as molas M1 e M2 têm massa desprezível. supondo-a proporcional à magnitude da velocidade.3. Consideremos um bloco colocado sobre um plano com atrito e puxado por uma corda. 2 e 3 e a força exercida pelo pintor sobre a plataforma. de 0. o mesmo comprimento relaxado l0 e constantes de mola k1 e k2 .3: Associação em série e paralelo de molas. A massa m de 1 kg faz descer o ponto P de uma distância h = 15 cm. (a) Qual é o valor dessa carga? (b) Essa carga corresponde a um conjunto de quantos elétrons? (Dica: 1 e ≃ 1. menos ou o mesmo tempo para subir até a altura máxima do que para voltar até a altura do lançamento? Explique. 3*. mostre que a aceleração a da massa M e a tensão T da corda (desprezando ( )as massas −m da corda e da polia) são dadas por a = M M +m g e T = ( ) 2mM M +m g . em consequência. A distância d é 1 m e o comprimento relaxado de cada uma das duas molas iguais é de 0. A massa das molas é desprezível.2: Sistema em equilíbrio: duas molas e uma massa. os fios se afastam até formar um ângulo de 60◦ um com o outro. um pedregulho que é lançado verticalmente para cima. A massa do pintor é de 80 kg e a da plataforma é de 40kg. suposto horizontal (Figura 5. Mostre que se pode substituir o par de molas por uma mola única equivalente de constante de mola k . Puxando a corda em 3. para que valor de F = |F⃗ | ele começará a escorregar? M1 M2 (a) F F M1 θ M F (b) M2 Figura 5. sobre uma rampa de 45◦ de inclinação. O sistema da Figura 5. Calcule a constante k das molas.60 × 10−19 C) 8. 5.76 s T1 = 2 T2 . m2 = 40 kg e m3 = 60 kg. o bloco 1 tem massa de 10 kg e seu coeficiente de atrito estático com o plano inclinado é 0.9 rpm √ 13* . Uma curva semicircular horizontal numa estrada tem 30 m de raio. 10* .50 ≃ 29. + (a)(N1 ≃ 170 N.05 × 1012 (b) ∆t ≃ 0.5 kg ≲ m2 ≲ 10. Desprezando as massas das polias e dos fios e o atrito. que permaneceu no chão. qual é a velocidade máxima (em km/h) com que um carro pode fazer a curva sem derrapar? Figura 5. Entre que valores mínimo e máximo pode variar a massa m2 do bloco 2 para que o sistema permaneça em equilíbrio? v0 g − mp )g ≃ 245 N (c) T1 ≃ 134 N.39 m mg 2h ( √ (d) vq = v0 φ=60° Figura 5. Qual é a velocidade angular mínima (em rotações por minuto) da centrífuga para que a pessoa permaneça colada à parede. 14. O coeficiente de atrito estático entre as roupas de uma pessoa e a parede cilíndrica de uma centrífuga de parque de diversões de 2 m de raio é 0.7: Arranjo de dois blocos. Gabarito 2 1 3 m2 m3 m1 θ=30° P sin θe cos θ cos θe +sin θ sin θe 2 F = 3 (a) q ≃ 1.03 m.1 2 θ=45° Figura 5.6: Arranjo de três blocos.67 m/s 10 14 ≃ 1.2 s para deslizar até a outra extremidade. No sistema da Figura 5. 3m3 −m1 −m2 m1 +m2 +m3 7 √ 2 1−µ2 c ≃ 0.8 m/s2 T2 = T3 ≃ 402 N 11 (a) µe = √ 2h 12 ω= l +h2 √ g 2 g µe r ≃ 0. suspensa acima do chão? (c) tq = ≃ 3.8 km/h ⇒ 3.6 N/m F = (b) a = 11** .7.5: Pintor sobre uma plataforma suspensa.6. (a) Qual é o coeficiente de atrito estático entre o bloco e a prancha? (b) Qual é o coeficiente de atrito cinético? ) (b) = 2 m1 (1−µe ) 2 √ < m2 < 2 m1 (1+µe ) 2 √ v < µe rg ⇒ vmax ≃ 47. o bloco começa a escorregar quando ela está a uma altura h = 1. m1 = 20 kg.60 (b) µc = µe − 2 2l√ g(∆t)2 l2 +h2 ≃ 0. 2 e 3. 1 k l l−x0 1−µc 1+µc 1 k1 7 (a) 9 T3 = T2 = = 1 k2 (b) k = k1 + k2 5 (mh 8 + mp )g ≃ 735 N. No sistema da Figura 5.56 s 5 (mh 8 13 q e P sin θe cos (θ−θe ) ≃ 774. (b) a aceleração do sistema. 12* .6 kg .5. Erguendo-se lentamente essa extremidade. Se o coeficiente de atrito estático entre os pneus e o asfalto é 0. N3 ≃ 294 N ≃ 1. Um bloco está numa extremidade de uma prancha de comprimento l = 2 m.6. √ N) 2 ≃ 339 N. calcule: (a) as forças normais a cada bloco.68 × 10−7 C 5 k= 6 (a) ∆x ≃ 1. e então leva ∆t = 2. (c) as tensões nos fios 1. O suporte S é retirado num dado instante. em que h é a altura de queda livre do martelo que o faria chegar ao solo com velocidade v . ache com que velocidade M chega ao chão. Uma balança de mola é calibrada de tal forma que o prato desce de 1 cm quando uma massa de 0. Um sistema formado por duas lâminas delgadas de mesma massa m. supondo que a lâmina inferior permaneça em contato com a mesa? (c) Qual é o valor mínimo de no item (b) para que a lâmina inferior salte da mesa? M S d m Figura 6. Uma partícula de massa igual 2 kg desloca-se ao longo de uma reta. encontra-se sobre uma mesa horizontal 8 . fazendo-o enterrar-se de uma profundidade l numa prancha de madeira. 3. abaixando-a de uma distância adicional x a partir da posição de equilíbrio. 3.Cap. M = 3 kg.4: Carrinho deslizando em uma montanha russa. Mostre que a razão entre a força média exercida sobre o prego e o peso do martelo é igual a h/l. Um martelo atinge um prego com velocidade v . O manifestante aponta numa direção a 30◦ acima da horizontal.3: Arranjo de duas molas e uma mola. sabendo que sua velocidade para x = 0 é de 3 m/s. Um carrinho desliza do alto de uma montanha russa de 5 m de altura.6. Entre x = 0 e x = 7 m. Figura 6. O bloco atinge a mola com velocidade de 1 m/s. a cabeça do político está 2 m acima do nível de seu braço. guardada numa prateleira 1 m acima do prato da balança. Um manifestante exaltado pretende atirar um pedregulho de massa igual a 50 g num político mentiroso discursando sobre um palanque 5 m a sua frente.25 s. Para isso. Um bloco de massa m = 5 kg. De que distância ele deve puxar os elásticos para acertar no alvo? h=5m 7** . Não levando em conta as massas do prato e da mola. inicialmente na posição relaxada (veja a Figura 6.4).5 e 0. Qual é o coeficiente de atrito cinético entre o carrinho e a areia? 4**. 8** . respectivamente.1: Máquina de Atwood.5 kg está em equilíbrio sobre ele. de constante de mola k = 250 N/m. (b) Verifique o resultado. m = 1 kg e d = 2 m. No sistema da Figura 6. com atrito desprezível. calculando a aceleração do sistema pelas leis de Newton. ele é freado pelo terreno AB coberto de areia (veja a Figura 6. (a) Usando conservação de energia. de quanto desce o prato da balança? 5*.5). 4. Calcule a velocidade da partícula depois de percorrer 2. 6 e 7 m.2. Uma bola de 0. ela está sujeita à força F (x) representada na Figura 6. 0 2. presas por uma mola de constante elástica k e massa desprezível. A B Figura 6. De que distância ela subirá acima da posição de equilíbrio. colide com uma mola de massa desprezível. 6 – Trabalho e Energia Mecânica 2 F (N) 1**. utiliza um estilingue em que cada elástico se estica de 1 cm para uma força aplicada de 1 N.1. com coeficientes de atrito cinético e estático 0. -2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x (m) Figura 6. deslizando sobre uma mesa horizontal. (veja a Figura 6. (a) De que distância a mola está comprimida na posição de equilíbrio? (b) Comprime-se a lâmina superior. 6** .3). escorrega da prateleira e cai sobre ele.2: Força retilínea variável. parando em 1. Chegando ao ponto A. no sopé da montanha.5 kg de massa fresca de pão. 5 cm z ≃ 15. Qual é o ângulo entre ⃗a e ⃗b? Figura 6. desliza sem atrito da posição A. xe ≃ 21.5: Sistema massa-mola. 3* .4 cm (c) fração = 2gxB 2 vA µc θB = arccos( 58 ) ≃ 51. Veja a Figura 7.81 [√ 1+ k m ( vA )2 µc g (b) O bloco para porque Fmola < fe 9 θ M ] −1 . Reflita e responda em palavras (mesmo quando usar equações…): (a) O que é o Teorema do Trabalho-Energia Cinética? (b) O que são Forças Conservativas? O que elas têm a ver com a conservação da energia mecânica? (c) Por que o trabalho é definido por meio de uma integral de linha? O que vem a ser uma integral de linha? (d) Forças de atrito também realizam trabalho? Se sim.1 e considere a situação em que |F⃗ | tem o valor mínimo necessário para manter o bloco deslizando sobre o plano horizontal com velocidade constante. xB ≃ 7. xi √ √ √ v2 = 5 m/s. Um pêndulo é afastado da vertical de um ângulo de 60◦ e solto em repouso.2). utilizando o produto escalar de vetores. 2mg k 5*.1: Bloco de peso P força inclinada em uma superfície com atrito. v4 = 5 m/s. no topo do aro. gt2 (c) x ≥ µc mg k ⃗ sendo arrastado por uma Figura 7.2 cm √ ∫x f vf = vi2 + Wi→f com Wi→f = f (x) dx = área. o que é esse trabalho (em termos da energia mecânica do sistema)? m 2. enfiada num aro circular de raio R que está num plano vertical. v6 = 3 m/s. para a posição B . de θ.3◦ A B R O Figura 7.Cap. de l e do coeficiente de atrito cinético µc . v7 = 10 m/s 5 mg k 6 (a) x = 7 µc = 8 (a) xB = √ (b) h = x 2h . v3 = 2 m/s. descrevendo um ângulo θ (veja a Figura 7. 9* . exprima o trabalho W realizado pela força F⃗ em função do peso P⃗ do bloco. Dois vetores ⃗a e ⃗b são tais que |⃗a + ⃗b| = |⃗a − ⃗b|. Calcule o ângulo entre duas diagonais internas (que passam por dentro) de um cubo. 9 .2: Conta confinada num esquema circular. 7 – Trabalho e Energia no Movimento Geral (a) Qual é a deformação máxima da mola? (b) Que acontece depois que a mola atinge sua deformação máxima? (c) Que fração da energia inicial é dissipada pelo atrito nesse processo? 1*. Para um deslocamento l do bloco. Que acontece com esse trabalho? Gabarito 1 W |FP (M ) | 2 v= 3 xe = ( M M +m √ ( ) M −m 2 √ 4 = z=x M +m ) l h ≃ l h F gd gx2 . (a) Qual é o trabalho realizado pela força de reação do aro sobre a conta? (b) Qual é a velocidade da conta em B ? µc ≃ 0. Uma conta de massa m. 2 cos2 θ(x tan θ−y) (√ 1+ 2h x ) −1 . Para que ângulo com a vertical sua velocidade será a metade da velocidade máxima atingida pelo pêndulo? 4. 3.4(b)). enfiado num aro circular de raio R = 1 m situado num plano vertical. um carrinho desce de uma altura h para dar a volta no “loop” de raio R indicado na Figura 7. no ponto mais baixo do aro. (a) m1 10** . l1 k 7*** . o carrinho cai do trilho num ponto B . Se soltarmos o corpo em repouso a partir do ponto A indicado na Figura 7. é dado às massas. 45° l2 Figura 7. Um bloco de massa m = 10 kg é solto em repouso do alto de um plano inclinado de 45◦ em relação ao plano horizontal. um domo hemisférico de gelo de 3 m de altura. Um garotinho esquimó desastrado escorrega do alto do seu iglu. (c) Que acontece com o carrinho para h < R? m2 2 Figura 7. Utilize o Princípio dos Trabalhos Virtuais para obter as condições de equilíbrio da alavanca (veja a Figura 7. Depois de percorrer uma distância d = 2 m ao longo do plano.5: Amortecimento da queda por uma mola.4: Esquemas em equilíbrio.5). que acontece com o bloco logo após colidir com a mola? C R k O 60° m A B d Figura 7. quando ainda falta percorrer mais um ângulo θ para chegar até o topo A. Num parque de diversões. imagine que um pequeno deslocamento. Calcule a velocidade do automóvel ao fim desse intervalo. que se encontrava relaxada. Um corpo de massa m = 300 g.6**.3: Sistema massa-mola confinado num aro circular. está preso por uma mola de constante k = 200 N/m ao ponto C . no topo do aro. 10 . qual é o menor valor h1 de h para permitir ao carrinho dar a volta toda? (b) Se R < h < h1 .5 (veja a Figura 7. e imponha a condição de que o trabalho realizado nesse deslocamento (trabalho virtual) deve ser nulo.6. o bloco colide com uma mola de constante k = 800 N/m. com coeficiente de atrito cinético µc = 0. Na posição relaxada da mola. (a) De que altura acima do solo ele cai? (b) A que distância da parede do iglu ele cai? m2 m1 1 (b) 11*** . Um automóvel de massa m e velocidade inicial v0 é acelerado utilizando a potência máxima PM do motor durante um intervalo de tempo T . de massa desprezível. com que velocidade ele chegará a B ? 8. o corpo está em B . Calcule θ.8.4(a)) e do plano inclinado (veja a Figura 7. 9***. (a) Desprezando o atrito do carrinho com o trilho. Para isto. compatível com os vínculos a que estão sujeitas. (a) Qual é a compressão sofrida pela mola? (b) Qual é a energia dissipada pelo atrito durante o trajeto do bloco desde o alto do plano até a compressão máxima da mola? Que fração representa da variação total de energia potencial durante o trajeto? (c) Se o coeficiente de atrito estático com o plano é µe = 0. (a) Em que direção se move o patinador depois de apanhar a bola? (b) Com que velocidade? (c) Qual foi o momento transferido da patinadora para o patinador? (d) Com que velocidade e em que direção a bola foi lançada? (Note que a deflexão das trajetórias produzida pela troca da bola é análoga ao efeito de uma força repulsiva entre os dois patinadores. O comprimento da escada é de 12 m e ela se move a 0. . sendo a massa média de 70 kg? (b) Um homem de 70 kg sobe a escada em 10 s. com uma velocidade de 6 m/s em relação ao carrinho que deixa para trás. é perseguido pelo mocinho. dirige-se para 10◦ a oeste da direção norte. Em consequência. 2 (b) + d). dispara uma bala de 15 g. sendo que ela se move a 0. deslizando com atrito desprezível sobre uma pista de gelo. de que distância a carreta recua? 12* . (a) Com que velocidade inicial a arma recua? (b) Que impulso transmite ao ombro do atirador? (Dica: −−−−−→ Impulso = ∆P⃗ ) (c) Se o recuo é absorvido pelo ombro em 0. passam a afastar-se um do outro. Antes de colidirem. de 50 kg. à mesma velocidade. cuja velocidade na boca da arma (extremidade do cano) é de 800 m/s. o vilão. chegando ao meio. (a) Qual deve ser a potência mínima do motor para transportar até 100 pessoas por minuto. Para salvar a mocinha. levando a mocinha como refém. com um rifle de 2 kg apoiado ao ombro. põe-se a descer a escada. Uma patinadora e um patinador estão aproximando-se um do outro. com que potência? 3** . (a) Calcule a velocidade inicial de recuo da carreta.59 m/s 6 vB = 7 (a) m1 l1 = m2 l2 √ (b) m1 sin θ1 = m2 sin θ2 v02 + 2T PM m ( √ 8 v= 9 (a) x = α 1 + √ 1+ 2d α ) √ com α = 2 (1 − µc ) mg . apontado numa direção que forma um ângulo de 30◦ com a horizontal. dentro de um carrinho de minério de 540 kg. de tal forma a permanecer sempre no meio dela.5 m acima.Cap. No fundo de uma mina abandonada. qual é∫a força média exercida sobre ele. numa direção 10◦ a oeste da direção norte. Na física das partículas elementares. 2. Que trabalho o motor realiza sobre ele? (c) Se o homem.2 cm 4** . de 70 kg. Uma escada rolante liga um andar de uma loja com outro situado a 7. que corre com atrito desprezível sobre um trilho horizontal. Ele tem 51 kg. 8 – Momento Linear A B 1. a interação entre duas partículas é interpretada em termos de troca de uma terceira partícula entre elas.5◦ 4 W = 5 WA→B = 0 µc P l cos θ cos θ+µc sin θ √ (b) vB = √ 2gR(1 − cos θ) √ k gR + m R2 (2 − 3) ≃ 7. isto requer que o motor realize trabalho? Em caso afirmativo. carrega uma bola de 1 kg e patina numa direção 10◦ a leste da direção norte. Calcule a velocidade de cada um dos carrinhos depois que o mocinho já atingiu o carrinho da frente. num carrinho idêntico. de 60 kg. ela lança a bola para ele. leva a mocinha.) Gabarito π 2 rad = 90◦ 2 θ= 3 θ = arccos( 13 ) ≃ 70. à velocidade de 10 m/s. Um atirador. o mocinho pula de um carrinho para o outro. em N e em kgf ? (Dica: I⃗ = F⃗ dt) θ h R O Figura 7. Ela tem 50 kg. A massa total do canhão e da carreta é de 5 toneladas.5 m/s. O mocinho. vem logo atrás.60 m/s. O vilão. cuja velocidade na boca do canhão é de 300 m/s. (b) Se o coeficiente de atrito cinético é 0. Um canhão montado sobre uma carreta.6: “Loop” de uma montanha russa. x≃ 2 k √ |∆U | = 22 mg(x 46. atira uma bala de 50 kg. com velocidades de mesma magnitude: 0.05 s. que a apanha.7.51 m/s. WWatrito . = 2 µc mg(x + d) ≃ 85.3 J. . atrito . Uma mina explode em três fragmentos. em que 2/3 ∆x é a solução positiva de (∆x)2 − 11 (a) h1 = 5 R 2 (b) θ = arccos mgh (a) P = 100∆t ≃ 8575 W h (c) Pe = mp g ve l ≃ 257. a mola consegue e mola ∆U empurrar o bloco para cima 10 (a) h = R cos θ = 2 m |{z} (b) d = ∆x − R(1 − sin θ) ≃ 37 cm. que se deslocam num plano horizontal: um deles para oeste e os outros dois em direções 60◦ ao norte e 30◦ ao sul da direção leste. 6. A energia cinética total liberada pela explosão é de 4000 J.5 J 5. = µc = 0. de 100 g cada um. a intervalos de 1 m de 11 . respectivamente. Uma barra cilíndrica homogênea de 3 m de comprimento é dobrada duas vezes em ângulo reto.3 W 12 √ 8 5 9 (∆x) − [2 ( h 3 R )] −1 (b) We = 32 9 =0 ( (c) α = arccos 1 − 1 m 2 e h R ) gh ≃ 2572. Ache as velocidades iniciais dos três fragmentos.5 (c) Visto que |F | > |F | . 1: Barra cilíndrica dobrada. − 12 8 W = 9 (a) r = ) ) (b) d = 2 vcc 2µc g ≃ 49 cm −→ (c) ∆ph ≃ (8. dt t 1m 1m onde v é a velocidade da gota no instante t (desprezando o efeito da resistência do ar). que faz crescer a massa proporcionalmente à superfície da gota.2. é dada por z v dv = −g − 3 . 2 (a) θ (b) vhf ≃ 0. (a) Calcule as coordenadas do CM da placa homogênea indicada na Figura 8. quanto trabalho foi realizado pela serpente? 9*** . 8*. Um encantador de serpentes. que supomos saturada de vapor de água.1).modo a formar três arestas consecutivas de um cubo (veja a Figura 8.6 m/s 3 y (m) O 3mb vb 2mcc (a) vcc = v1 = 2 v2 = 200 m/s.3 m/s √ O’ 0. Ache as coordenadas do centro de massa da barra. 12 . Supondo a massa da serpente uniformemente distribuída pelo seu corpo (unidimensional). com uma separação de 0.86 m/s) ˆı 4 (a) vC1 ≃ 9. Uma gotícula de água começa a formar-se e vai-se avolumando na atmosfera em torno de um núcleo de condensação. v2 = 4m √ v3 = 3 v2 ≃ 173 m/s 5 6 1 ≃ 2. (a) Mostre que o raio da gota cresce linearmente com o tempo. (b) Mostre que a aceleração da gota.86 kg m/s) ˆı (b) vC2 ≃ 10. no sistema de coordenadas da figura. inicialmente enrodilhada no chão. A taxa λ de crescimento da massa por unidade de tempo e de superfície da gota é constante.2: Disco com orifício circular fora de seu centro.49 m/s (d) ⃗vb ≃ (8. √ 7** .25 m entre os centros O e O′ dos dois círculos.5 kgf 1 Figura 8. tocando sua flauta. e determine a constante a.0 m de raio do qual foi removido um círculo de 0. Que tipo de movimento resulta para a gota? O y 1m Gabarito x mb (a) vr = m vb = 6 m/s (b) I = mr vr = 12 N s r I (c) F¯ = ∆t = 240 N ≃ 14. decorrido um tempo t desde o instante em que ela começou a se formar. que é uma partícula de poeira. A gota cai através da atmosfera. (b) Sem fazer nenhum cálculo descubra onde estaria o centro de massa se o orifício estivesse exatamente no centro da placa homogênea. e vai aumentando de volume continuamente pela condensação. elevar gradualmente a cabeça até uma altura h < l do chão.5 x (m) Figura 8. m m mgh2 2l λ ρ t (c) MRUV com aceleração a = − g4 . um círculo de 1. faz uma serpente de comprimento l e massa m. (c) Mostre que esta equação pode ser resolvida tomando v = at.5 m de raio. 12 CM = (5 6 . ( 1 6 7 1 CM = 0. de raio desprezível.5 m/s T = 100 m/s. Calcule a magnitude da força impulsiva que atua em cada um dos exemplos seguintes: (a) Num saque de jogo de tênis.5 m.1). a bola. mais que depressa. Uma bala de 5 g incide sobre um pêndulo balístico de massa igual a 2 kg.01 s. que se move com velocidade v . é lançada com uma velocidade de 40 m/s. mostre que se tem. Mostre que a transferência√de energia cinética de m para m′ é máxima quando m′′ = m m′ . o tempo de contato com a raquete é da ordem de 0.5. 1. a presença da partícula intermediária possibilita transferir mais energia cinética de m para m′ do que no caso (a). coloca o recipiente vazio sobre uma balança de mola. e ⃗vr . retira o recipiente de cima da balança. Figura 9. onde o coeficiente de atrito cinético e 0. bate na traseira de um carro de massa total 1200 kg. o efeito da colisão com as demais é transferir a velocidade v com que colidem a um número igual de bolas na outra extremidade. Que quantidade de creme de leite o cliente realmente leva? 8* . (d) Um carro de 1. v ′ = v e n′ = n. uma série de bolinhas metálicas idênticas. Um caminhão carregado de massa total igual a três toneladas. Mostre que. alinhada com m e m′ . com uma velocidade de 400 m/s. 7* . caindo em pé (sem dobrar os joelhos).005 s. 9 – Colisões reita (veja a Figura 9. inicialmente em repouso no referencial do laboratório. de massa total igual a 2400 kg. Num brinquedo bem conhecido. estando a menos de 10 km/h quando o acidente ocorreu. Considere um sistema qualquer de duas partículas.6. e supondo que o efeito da colisão fosse transferir velocidades v1 e v2 às duas bolas situadas mais à di- 9* . necessariamente. 2** . A duração do impacto é de 0. e a 13 . desprezando a elevação durante o tempo que a bala leva para atravessá-lo. que estava parado num sinal vermelho. onde T1′ e T2′ são as energias cinéticas relativas ao CM e vcm é a velocidade do CM. o balconista. com massa igual à massa total. Sejam T1 e T2 as energias cinéticas das duas partículas.Cap. O balconista de uma mercearia. Após a colisão. a 60 km/h. (b) Tomando n = 2. Calcule a que velocidade o carro de luxo vinha realmente. chutando a bola com uma velocidade de 20 m/s.5 m de altura. de massa m′′ . Calcule a altura de elevação do pêndulo. e que ele vinha reduzindo a marcha ao aproximar-se do sinal. numa colisão frontal elástica com uma partícula de massa m′ inicialmente em repouso? Exprima o resultado em função da razão λ = m′ /m. a velocidade relativa da partícula 2 em relação à partícula 1. para atender a um cliente que pediu 200 g de creme de leite fresco. (c) Mostre que a energia cinética relativa ao CM (energia cinética interna) é dada por T1′ + T2′ + 21 µvr2 . (b) Mostre que a energia cinética total é dada por T1 + T2 = 2 T1′ + T2′ + 21 M vcm . (a) Supondo que o efeito da colisão fosse transferir uma velocidade v ′ a n′ bolas adjacentes situadas na outra extremidade.1: Pêndulo de Newton. de massa igual a 60 g. O motorista do carro de luxo alega que o outro estava com as luzes apagadas. trafegando para leste a 90 km/h. suspendendo-as. equivalente à de uma partícula de massa igual a massa reduzida e velocidade igual à velocidade relativa. Em virtude da colisão. 4. e estima o coeficiente de atrito cinético com a estrada no local do acidente em 0. A perícia constata que o carro de luxo arrastou o outro de uma distância igual a 10.5 toneladas. o carro é arrastado pelo caminhão sobre a estrada. (b) a distância que o carro é arrastado. em repouso. atravessao e emerge do outro lado com uma velocidade de 100 m/s. (c) Uma pessoa de 80 kg pula do alto de um muro de 2. e quanto vale? (b) Coloca-se entre as duas partículas uma terceira. Depois de 2 s. Note que µ1 = m11 + m12 . mais a energia cinética do movimento relativo. para m ̸= m′ . vemos que a energia cinética total é a soma da energia cinética associada ao movimento do CM.1). as colisões sendo todas elásticas. Combinando os resultados de (b) e (c). acerta o zero e despeja o creme sobre o recipiente desde uma altura de 75 cm. mostre que. Para que valor de λ a transferência é máxima. bate num muro. de massas m1 e m2 e velocidades v1 e v2 . suspensas por fios idênticos presos a um suporte. 3***. um carro de luxo. Uma partícula de massa m e velocidade inicial ⃗u colide elasticamente com outra de massa M .1 s. necessariamente v1 = v2 = v . A duração do choque é de 0. Durante a madrugada.01 s. (a) Mostre que os momentos das duas partículas em relação ao 1 m2 (com CM são dados por: p⃗1′ = −µ ⃗vr = −⃗p2′ . com a balança marcando 200 g. (a) Que fração f da energia cinética é transferida por uma partícula de massa m. 6* . estão inicialmente todas em contato. (b) Um jogador de futebol cobra um pênalti. a partícula de massa m foi defletida de um ângulo de 90◦ . 5. A massa da bola é de 450 g e a duração do chute da ordem de 0. onde µ = mM M = m1 + m2 ) chama-se a massa reduzida do sistema de duas partículas. Se um determinado número n de bolas é deslocado conjuntamente da posição de equilíbrio e solto (veja a Figura 9. viajando para o norte a 60 km/h colide em um cruzamento com um carro de massa igual a uma tonelada. Calcule: (a) em que direção. √ magnitude da sua velocidade foi reduzida para u/ 3. o angulo θ é igual a 30° (Figura 11. aproximam-se com velocidades iguais e opostas de 5 m/s.5 m do eixo. separadas por uma distância de 1.40 m. Calcule a velocidade angular de rotação. (b) Calcule a razão λ = M/m e o valor de v .40 m um do outro. Cap. (a) Que comprimento do fio foi puxado? (b) De que fator variou a velocidade de rotação? O d m Figura 11. (b) Quando os patinadores chegam a 1. o anel A. (Dica: não tente o próximo exercício se não souber responder isto!) Gabarito 1 (a) 480 N (b) 900 N 3 (a) λ = 1 (ou seja. análogo a um regulador centrífugo (Seção 5. O fio passa sem atrito através de um orificio O numa placa. (ii) use desenhos sempre que possível): (a) O que é um corpo rígido? (b) Um sistema de partículas pode ser considerado um corpo rígido? Quando? (c) O que é uma translação no espaço? (d) O que é uma rotação no espaço? (e) Você sabe como descrever matematicamente o movimento no espaço mais geral possível? (Dica: se não lembra. passando a girar em torno do CM comum. segundo retas paralelas.1: Massa m presa a um fio. (a) Calcule o vetor momento angular do sistema e mostre que é o mesmo em relação a qualquer ponto e se conserva. revise urgentemente as aulas de GA!) (f) O que é momento angular? Quando ele deve ser conservado? (g) Reflita no significado físico de um vetor conservado.3). m = m′ ) 5 h ≃ 2. (a) Determine θ.9 cm 6 v1i ≃ 60 km/h 7 167.4◦ ( 9 (a) θ = arctan √1 3 ) (c) 5600 N = 30◦ (d) 250 000 N (b) ∆x ≃ 20m 2** .1). Dois patinadores de massa 60 kg. provavelmente ela estará errada!.3 g 8 (a) θ = arctan(2) ≃ 63. onde u = |⃗u|.2. 4. (b) λ = 2 3** . A partícula de massa M emerge da colisão com velocidade de magnitude v . estendem os braços e dão-se as mãos. Uma bolinha presa a um fio de massa desprezível gira em torno de um eixo vertical com velocidade escalar constante. e é puxado lentamente para cima até que o angulo θ passa a 60°. pode deslizar ao longo do eixo vertical. mantendo-se a uma distância d = 0. de massa desprezível. Responda em palavras (Dicas: (i) se gastar mais de 5 linhas em cada resposta. No sistema da Figura 11. até que a distância das bolas ao eixo au14 . numa direção que faz um ângulo θ com ⃗u. Inicialmente as duas bolas iguais de massa m = 200 g estão a uma distancia r = 15 cm do eixo e o sistema gira com velocidade angular ω = 6 rad/s. deslizando sobre uma pista de gelo com atrito desprezível. 11 – Rotações e Momento Angular 1. Pressiona-se para baixo o anel A. composto por um único próton (carga e). ficando colado a ele (Figura 11. (a) Calcule o raio de Bohr r1 da orbita com n = 1.4: Colisão de uma partícula com um haltere.4). podemos tratar o próton como um centro de forcas fixo. mas tão somente os valores “quantizados” m ln = nℏ (n = 1. 3. L (c) Qual a condição para que o momento angular não seja conservado? menta para r = 25 cm.⃗ = 6. podendo deslocar-se sobre ela com atrito desprezível.). e exprima En em função de E1 (Dica: 1 eV=1. 2. 15 . P 2 Figura 11. A única força que atua é a atração Coulombiana. 3 5* . a energia E1 da órbita com n = 1.60 × 10−19 J. (a) Qual e a nova velocidade angular de rotação? (b) Qual e o trabalho realizado sobre o sistema? r m r 7**. ). R ⃗ × P⃗ ou a soma deles? (b) Quem é conservado. de carga −e (e = 1. em eV. de carga e e massa 1840 m. Quatro discos iguais de massa m ocupam os vértices de uma armação quadrada.3: Massas presas em uma armação quadrada. Um haltere formado por dois discos 1 e 2 iguais. identificado com o CM do sistema. e colide frontalmente com o disco 2. lembre-se de que o potencial elétrico é dado por 1 e2 Uel = 4πϵ ). No modelo de Bohr do átomo de hidrogênio. 4πϵ0 r2 em que r é o raio da órbita e ϵ0 = 8. Com muito boa aproximação.05 × 10 J s. e exprima o raio rn da órbita associada com ln em função de r1 (Dica: um átomo de hidrogênio é composto de um elétron (carga −e) orbitando em torno do núcleo. Descreva completamente o movimento subsequente do sistema. 8***. Um terceiro disco 3 de mesma massa m desloca-se com atrito desprezível e velocidade v0 = 3 m/s sobre a mesa. A hipótese básica de Bohr foi que a magnitude l do momento angular do elétron não pode assumir valores arbitrários. . −34 m em que ℏ = 1. . (b) Calcule. (a) Explique em palavras e desenhos a expressão L ′ ⃗ ⃗ ⃗ L + R × P (Dica: fixe a origem O no Sol e a localização do CM (O′ ) na Terra). descreve órbitas circulares em torno do próton. . o elétron.85 × 10−12 C2 /N m2 é a constante de permissividade elétrica no vácuo.3). de massa m.60 × 10−19 C) e massa m = 9. unidos por uma barra rígida de massa desprezível e comprimento l = 30 cm.11 × 10−31 kg. Transmite-se um impulso instantâneo P⃗ a uma das massas. m 1 l v0 Figura 11. 0 r (c) Calcule a razão v1 /c da velocidade do elétron na órbita com n = 1 para a velocidade da luz c. Descreva completamente o movimento subsequente do sistema. Além disso. perpendicularmente ao haltere. m Figura 11. ⃗ ′. A força de atração elétrica entre eles é m Fel = −1 e2 . repousa sobre uma mesa de ar horizontal.2: Regulador centrífugo. na direção de uma das diagonais do quadrado (Figura 11. formada por quatro barras rígidas de comprimento l e massa desprezível. O conjunto está sobre uma mesa de ar horizontal. momento angular externo (orbital ) e momento angular total da roda em função de M . (b) E1 = − 32πme 2 ϵ2 ℏ2 ≃ −2. (b) A aceleração depende do raio da polia? E quanto ao torque sobre a polia? Qual a direção desse torque? (c) Usando o resultado do item (a). com seu plano perpendicular ao plano do batente. L=v E1 n2 m2 em que 137 é a constante de estrutura fina. 137 (v) a rˆ. 2** . cuja velocidade angular é ω = v2l0 = 5 rad/s. Ela leva um empurrão na beirada aberta. cuja velocidade angular é ω = √P . Conforme será visto no Cap. Um automóvel de massa M percorre. Considere que a polia gire livre de atrito. Gabarito ( ) 2 ˆ ≃ − 420 kg m2 /s k ˆ ⃗ = −mvd k (a) L 3 (a) d2 = d1 4 (a) ωf = ωi ( tan θ1 ) 13 tan θ2 ( ri rf )2 [( (b) W = m (ri ωi )2 ≃ 0. r1 = 4 4πϵ0 ℏ2 me2 ≃ 5.5 m/s. 7 8 rn = n2 r1 . 12 – Dinâmica de Corpos Rígidos 9*** . ou seja. onde ω é a velocidade angular da roda e I é o seu momento de inércia em relação ao CM .14 rad/s ( d1 ) d2 ≃ 1. tal que m2 > m1 (veja a Figura 12. Considere o rolamento de um corpo de secção circular (anel. o momento angular de uma das rodas do carro em relação ao centro de massa da roda é dado por L′ = I ω . 1*. com velocidade escalar v constante. em sentido antihorário. √ ˆ.19 × 10 (c) 9 v1 c = ℏ mr1 c ⃗ ′ = −I L magnitude En = 0 ≃ 1 . Esse resultado está em acordo M →0 com o que já tínhamos obtido anteriormente? (d) Usando o princípio de conservação de energia mecânica. v .26 × 10−11 m −18 J ≃ −13. os vetores momento angular interno (spin). suspensa por dobradiças bem azeitadas. sobre o .1: Máquina de Atwood real. calcule lim a). em módulo. (a) Calcule a aceleração do sistema usando a 2a lei de Newton (Dicas: as tensões no fio em cada lado da polia são diferentes. obtenha a quando M é desprezível (ou seja. ⃗ ×P ⃗ = mvR k R (M R)2 + ( I )2 a ˆ) é ⃗ ek ângulo de abertura (ângulo entre L m1 e o momento angular total tem e sua direção forma um cone cujo θ = arctan ( I mRa Figura 12.44 v1 ≃ 2. Uma porta de 15 kg e 70 cm de largura. direção e sentido.6 eV. esfera) que rola sem deslizar sobre um plano inclinado de um ângulo θ e altura h (veja a Figura 12. cilindro. tenha massa M e raio r. 12. Icilindro = 21 M R2 e Iesf era = 25 M R2 ).Cap. uma pista circular horizontal de raio R.104 J ⃗ P O CM será transladado com velocidade ⃗vcm = 4m ao mesmo tempo que haverá movimento de rotação em torno do CM . ) . está aberta de 90◦ .2). com impacto equivalente ao de uma massa de 1kg. 16 Calcule o efeito da massa M da polia. Determine. Quanto tempo ela leva para fechar-se? (Dica: Iporta = 13 M R2 em relação ao eixo das dobradiças) 4. Considere uma Máquina de Atwood tal que a massa da polia não possa ser desprezada. de raio R. (b) Qual a velocidade do corpo ao chegar à base do plano? Essa velocidade depende da forma geométrica do corpo? (c) Qual o ângulo máximo de cada forma para o qual o corpo não irá deslizar? (d) A energia mecânica é conservada? Cheque isso! (e) Qual o trabalho realizado pela força de atrito que faz girar o corpo? Explique! 3. R. (a) Qual a aceleração do sistema? (Dica: Ianel = M R2 . I e do raio a da roda. Ipolia = 12 M r2 ).1).16 rad/s ri rf )2 ] − 1 ≃ −0. obtenha a velocidade do corpo de m2 após “cair” de uma altura h. com velocidade de 2.347 m 2v d (b) ω = (b) v2 = v1 ≃ 7. Uma extremidade do fio (inextensível e de massa desprezível) está presa à massa m1 e a outra à massa m2 . que identificamos com o centro da roda. 5 M 2 2ml r O CM será transladado com velocidade ⃗vcm = ⃗v30 = (1 m/s) ˆı ao mesmo tempo que haverá movimento de rotação em torno do CM . que pode deslizar com atrito desprezível sobre um plano de inclinação θ em relação à horizontal. (c) Calcule a velocidade linear do estojo depois que um comprimento s da fita se desenrolou. M m R r m’ m m’ Figura 12. Figura 12.2: Rolamento no plano inclinado sistema da Figura 12. Um bloco de massa m. (c) Avalie a e T no limite em que m′ é desprezível. M R 7**. m m r Figura 12. 5. por conservação da energia. quando é levado a cair por uma ligeira trepidação. 17 . Um alçapão quadrado. 8. que rola sem deslizar sobre um plano inclinado áspero de inclinação θ.4). (a) Determine a aceleração a do sistema (Dica: Use Ipolia = 1 2 2 M R ). que velocidade angular terá adquirido 6* . (b) Calcule a tensão da fita. Desprezando o atrito. Calcule. a velocidade v de m′ após cair de uma altura h (Dica: Ipolia = 21 M R2 ). está ligada à massa suspensa m′ pelo fio que passa sobre a polia. comprimento l e massa M . enrolada num estojo circular de massa m e raio r. Verifique se há conservação da energia mecânica (Dica: use ICM = 12 mr2 ). que passa sobre uma polia de raio R e massa M . Prende-se ao teto a ponta de uma fita métrica leve. A fita passa por uma roldana fixa de massa desprezível e está presa a um corpo suspenso de massa m′ (veja a Figura 12.5: Fita métrica circular.3): a massa m. O sistema é solto em repouso. (b) Calcule a tensão T na fita. (a) Calcule a aceleração a da massa m′ (Dica: use as leis de Newton e assuma que Idisco = 21 mr2 ). (b) As tensões T e T ′ nos fios ligados a m e m′ . e solta-se o estojo em repouso (veja a Figura 12.6).N C R (a) Calcule a aceleração linear do estojo.5). a uma massa m′ > m suspensa (veja a Figura 12. que desliza sem atrito. está ligado por um fio. fat P0 h Mg Figura 12. está levantado verticalmente. em equilíbrio sobre as dobradiças. O resultado concorda com o item (a) do Problema 2 para o caso de um cilindro? (Dica: note que um cilindro e um disco têm o mesmo momento de inércia de um disco)? m’ Figura 12.6: Plano inclinado e disco circular.4: Plano inclinado com polia de massa M . Uma fita leve está enrolada em volta de um disco circular de massa m e raio r.3: Polia sob tensão devida à força peso. de altura a. O resultado faz sentido do ponto de vista físico? (d) Avalie a e T no limite em que m′ é desprezível. com coeficiente de atrito cinético µc . a terá o sinal oposto. (b) T = ma. m2 −m1 m1 +m2 + M 2 k= √1 [( (c) θ = arctan 2 2 R k2 +R2 k= ) O v R h 11*** . (c) α = 3 v2 4 g 10 h=R+ 11 (a) t1 = 12 F = Mg 13 θ ≤ arctan (2µe ) 2 v0 . Calcule a magnitude da força F⃗ horizontal que é preciso aplicar.9) (Dica: Itambor = 12 M R2 ).9: Tambor cilíndrico subindo um degrau. na posição horizontal. continuando a rolar sem deslizamento (veja a Figura 12. Até que altura h o centro da roda subirá sobre o plano inclinado? (Dica: Iroda = 21 M R2 ) ( (d) v 2 = 2gh . está encostada a uma parede lisa (atrito desprezível). de raio R e massa M . de comprimento l e massa M . com coeficiente de atrito estático µe . Para que domínio de valores de θ a escada não escorrega? ¾d Gabarito M ¼d 1 (a) a = (m2 −m1 )g m1 +m2 + M 2 2 (a) a = g sin θ . k = R. 7 µc g (b) d = d (2R−d) R−d 2 12 v0 . em direção ao eixo O. Uma roda cilíndrica homogênea. 18 5 4 (a) a = 5 v 2 = 2gh 6 (a) a = 7 (a) se o bloco estiver descendo o plano. bem como a aceleração angular α (Use a conservação da energia mecânica). (a) Calcule o momento de inércia I da haste. deslocando-se com velocidade v .8: Roda cilíndrica escalando um plano inclinado. 48 (b) ω = √ 24 g 7 d sin θ . Uma haste metálica delgada.7). com respeito ao eixo em torno do qual ela gira (Dica: use o teorema dos eixos 1 paralelos para encontrar I sabendo que ICM = 12 M R2 ). (a) Quanto tempo t a bola percorrerá sobre a prancha até que comece a rolar sem deslizar? (Dica: Ibola = 25 M R2 ) (b) Que distância d a bola percorrerá nesse tempo? (c) Qual é a velocidade V de translação da bola nesse instante? 12**. (b) Calcule a velocidade angular ω adquirida pela haste após ter caído de um ângulo θ (veja a Figura 12. pode girar livremente em torno de um eixo horizontal. cos θ 3m+2m′ . Ma 3mv 2 R k2 +R2 com ) . A haste é solta a partir do repouso. k 2 1+( R ) ( (b) v 2 = 2gh Figura 12. (b) T = M ) e R 3 ( 10 . √2 ] se o bloco estiver subindo. sobre uma cancha horizontal. ( 3+2 sin θ ) √ 3g 8 R ∆θ ≃ 2. Senão.ao bater no chão? (Dica: Use Ialapo = 31 M a2 em relação ao eixo das dobradiças) M F 9** . suba um degrau de altura d < R (veja a Figura 12. formando um ângulo θ com a parede. a = 2g µe m′ g m+m′ + M 2 . 3 (b) T = ( T′ = m + M 2 ) a ) 1 mg . Uma escada uniforme. apoiada sobre o chão. de comprimento d e massa M .2 s t= √ Figura 12.7: Haste metálica delgada com eixo de rotação fora do centro. 49 µc g (c) V1 = 5 v 7 0 12 g 7 d ) . e sobe um plano inclinado de inclinação θ. Uma bola de boliche esférica uniforme é lançada. 3 (c) v = √ 2as ( m sin θ−2m′ 3m+4m′ mm′ g ω= 9 (a) I = a 7 M d2 . de massa M e raio R. com velocidade inicial v0 horizontal e sem rotação inicial. para conseguir que um tambor cilíndrico. 13* . O R d Figura 12.8). à distância d/4 de uma extremidade. rola sem deslizar sobre um plano horizontal. m′ −m sin θ m+m′ + M 2 2 g. que a atravessa perpendicularmente.