Lista5_Conica

Universidade Federal da Bahia - Campus Professor Edgard Santos Instituto de Ciências Ambientais e Desenvolvimento Sustentável Disciplina: IAD235 GeometriaAnalítica Período: 2010.1 Prof.: Lauriclécio F. Lopes Quinta Lista de Exercícios Complementar Assunto: Cônicas 1. Determine os focos, os vértices e esboce as elipses cujas equações são: x2 y2 x2 y2 a) + =1 b) + =1 c) 4x2 + 9y 2 = 36 d) x2 + 2y 2 = 1 25 9 9 25 √ 2. Deduza uma equação da elipse de focos F1 (1, 1) e F2 (−1, −1) e eixo maior 4 2. 3. Dada a elipse de equação x2 y2 + 2 = 1, a reta tangente a esta elipse que contém o ponto (x0 , y0 ) é dada por a2 b 2x ky x2 y2 x0 x y0 y + 2 = 1. Determine o valor de k para que a reta + = 1 seja tangente à elipse + = 1. 2 a b 9 4 9 4 d) x2 − y 2 = 1 4. Esboce e determine os focos, os vértices das hipérboles abaixo: x2 y2 x2 y2 a) − =1 b) − =1 c) 4x2 − 9y 2 − 36 = 0 25 9 9 25 5. Deduza uma equação da hipérbole de focos F1 (2, 2) e F2 (−2, −2) e vértices A1 (1, 1) e A2 (−1, −1). 6. A reta tangente à hiperbole de equação x2 y 2 x0 x y0 y − 2 = 1 e que contém o ponto P (x0 , y0 ) é dada por 2 − 2 = 1. 2 a b a b Determine a equação da reta tangente à hipérbole x2 − 2y 2 = 1 no ponto P (2, 3). 7. Mostre que nenhuma tangente à x2 − y 2 = 1 passa pela origem. 8. Determine o foco, o vértice, a equação da diretriz e esboce as parábolas cujas equação são: 1 1 a) y = x2 b) x = − y 2 c) y = x2 d) x = 2y 2 4 4 9. Deduza uma equação da parábola: (a) de foco F (0, −1) e diretriz y = 1. (b) de foco F (1, 1) e vértice V (0, 0). (c) com vértive V (6, −3) e diretriz 3x − 5y + 1 = 0. 10. Prove que a reta x − 2ay0 y + x0 = 0 é tangente à parábola x = ay 2 no ponto P (x0 , y0 ). 11. Esboce e determine o centro, os focos e os vértices das seguintes elipses: a) 4x2 + 9y 2 − 8x = 36 b) 9x2 + 16y 2 + 18x − 64y − 71 = 0 c) x2 + 4y 2 = 4y d) 25x2 + 4y 2 − 100x − 4y + 101 = 0 12. Um quadrilátero possui como vértices os dois extremos do eixo menor e os focos da elipse x2 + 5y 2 = 20. Calcule sua área. 13. Dada a elipse x2 y2 + 2 = 1, constrói-se a perpendicular ao eixo maior passsando pelo foco. Ache o comprimento 2 a b do segmento, da perpendicular compreendido entre o foco e o ponto de intercessão com a elipse. 14. Determine a equação da elipse: (a) Com foco F (1, 2), vértice A(1, −4) e a = 4. (b) Com focos F1 (0, 1), F2 (0, 5) e vértice B(1, 3). (b) A equação x2 + 3y 2 + 6 = 0 representa uma elipse com eixo maior sobre o eixo y. 2). 1) e b = 3. a equação ||F1 P || + ||F2 P || = k. (i) A equação x2 − 5y + 6x − 1 = 0 representa uma parábola de foco F (1. Identifique e esboce as cônicas das pelas equações abaixo. d)} define uma hipérbole de diretriz d e foco F . 2). Identifique a cônica dada e esboce o gráfico a) x2 + y 2 + 6x − 8y + 1 = 0 b) x + 2y 2 + 2x + y = −1/8 c) 2x2 + 2y 2 − 4x + 12y − 1 = 0 d) y − x2 − 2x = 0 21. 17.(c) Com vértices A(−1. b sen t) pertence a elipse de equação representa um elipse. −2). F2 (5. translação xOy onde O1 = (−1. (a) A equação 2x2 + y 2 − 2x = 0 representa uma elipse. os vértice e a diretriz da parábola de equação: a) x2 − 1 = y + 6x b) 2y + x2 = 4x + 6 c) 2x − y = y 2 − 4 d) 3x + y 2 = 2y + 6 x2 y2 − = 1. 0) e c = 3. 2 a b −→ − −→ − 2 (d) Para quaisquer F1 e F2 fixos em R . 2) e vértice V (1. 0). B(2. tem equação y = 2x no sistema xOy. −1) e diretriz d : y = 3 tem equação x2 + 8y = 8. translação de xOy onde 01 (1. os focos e os vértices das seguintes hipérboles: a) 4x2 = 16x + 8y 2 b) 4x2 − 16y 2 − 8x + 64y − 76 = 0 c) − 3x2 + y 2 = 6y d) − 25x2 + 4y 2 + 100x − 8y − 146 = 0 16. (g) Os valores de k ∈ R para que as retas da forma x = k não interceptam a hipérbole x2 − y 2 = 1 são tais que |k| ≥ 1. onde P é um ponto de R2 e k ∈ R. 1). 22. (f) O conjunto H = {P ∈ R2 | 2d(P. Esboce e determine o foco. 0). 0) e vértice V (0. −1) e centro C(2. (d) Com focos nos vértices do eixos da elipse 7x2 + 11y 2 = 77 e vértices nos focos da mesma. 0) e diretriz d : x = −2 representa uma parábola com vértice V (0. (l) Se P (1. Determine os valores de m para os quais a reta y = 5 x + m seja tangente à hipérbole 2 18. 2). √ (c) Com centro C(2. 2 . (h) A reta r : y = 2x − 1 é uma assíntota à hipérbole 4x2 − y 2 = 36. 9 36 19. 1). x2 y2 + 2 = 1 para ∀t ∈ R. 1). F ) = d(P. (k) A parábola de foco F (0. 1). 15. (b) Com diretriz y = 2 e foco F (2. 2) no sistema x1 O1 y1 . vértice A(1. Determine a equação da hipérbole: (a) Com focos F1 (1. 20. Esboce e determine o centro. foco F (0. Determine a equação da parábola: (a) Com foco F (0. 2). (b) Com foco F (1. justificando-as. (j) A cônica de foco F (2. (m) A reta r de equação y1 = 2x1 + 1 no sistema x1 O1 y1 . Determine se as afirmações são verdadeiras ou falsas. (e) A equação x2 − y 2 + 4 = 0 representa um hipérbole com focos sobre o eixo x. (c) O ponto P (−a sen t. 0) e b = √ 3. 1) no sitema xOy então P (3. (a) xy − 2y − 4x = 0 (b) x2 + y 2 + xy = 3 (c) 41x2 + 41y 2 − 18xy − 384x − 384y + 1504 = 0 (d) x2 + 4xy + 4y 2 + 12x − 6y = 0 √ √ (e) 5x2 + 6 3xy − y 2 + 8x − 8 3y − 12 = 0 (f) 16x2 − 24xy + 9y 2 − 60x − 80y + 100 = 0 √ √ (g) 40x2 − 36xy + 25y 2 − 8 13x − 12 13y = 0 √ (h) 11x2 + 10 3xy + y 2 = 4 (i) 5x2 − 8xy + 5y 2 = 9 Equações Paramétricas Cônica Elipse Elipse Hipérbole Hipérbole Hipérbole Hipérbole Equação Cartesiana x y + 2 =1 2 a b (x − x1 )2 (y − y1 )2 + =1 a2 b2 x2 y2 − 2 =1 a2 b y2 x2 − 2 =1 2 b a (y − y1 )2 (x − x1 )2 − =1 2 a b2 (x − x1 )2 (y − y1 )2 − =1 2 b a2 2 2 Equações Paramétricas x = a cos θ y = b sen θ x = x1 + a cos θ y = y1 + b sen θ x = a sec θ y = b tg θ x = a tg θ y = b sec θ x = x1 + a sec θ y = y1 + b tg θ x = x1 + a tg θ y = y1 + b sec θ 0 ≤ θ ≤ 2π 0 ≤ θ ≤ 2π 0 ≤ θ ≤ 2π 0 ≤ θ ≤ 2π 0 ≤ θ ≤ 2π 0 ≤ θ ≤ 2π Exercício: Esboce e determine a equação geral da cônica: a) x = cos θ y = 3 sen θ b) x = 2 + 4 cos θ y = 3 + 2 sen θ c) x = 4 sec θ y = 2 tg θ d) x = 2 + 3 tg θ y = 1 + 4 sec θ Figura 1: Obtenção geométrica das retas concorrentes. do ponto e da reta. 3 . Figura 2: Obtenção geométrica da hipérbole. elipse e parábola 4 . 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