Lista de Exercícios: soluções - Unidade 33.1 Um oscilador harmônico não amortecido possui massa m = 15 kg e rigidez k = 600 kN/m. Determinar a amplitude da resposta a uma força harmônica de amplitude F 0 = 30 N e freqüência: (a) e = 50 rad/s; (b) e =190 rad/s; (c) e = 500 rad/s Dados: m = 15 kg,f k = 600 kN/m, F 0 = 30 N e freqüência: (a) e = 50 rad/s; (b) e =190 rad/s; (c) e = 500 rad/s a) m 10 33 , 53 50 15 600000 30 6 2 2 0 ÷ × = × ÷ = ÷ = e m k F X b) m 10 8 , 512 190 15 600000 30 6 2 2 0 ÷ × = × ÷ = ÷ = e m k F X c) m 10 524 , 9 500 15 600000 30 6 2 2 0 ÷ × ÷ = × ÷ = ÷ = e m k F X 3.2 Um oscilador harmônico não amortecido possui massa m = 0,3 kg e rigidez k = 1 kN/m. Determinar a magnitude da força atuante que produz uma vibração com amplitude 0,5 mm e freqüência 377 rad/s. Dados: m = 0,3 kg, k = 1 kN/m, X = 0,5 mm e e = 377 rad/s. ( ) ( ) N 82 , 20 377 3 , 0 1000 10 5 , 0 2 3 2 0 ÷ = × ÷ × × = ÷ = ÷ e m k X F 3.3 Uma massa m está suspensa por uma mola de rigidez 4 kN/m e é submetida a uma força harmônica com amplitude de 100 N e frequência de 5 Hz. Observa-se que a amplitude do movimento forçado da massa é 20 mm. Determinar o valor da massa m. Dados: k = 4 kN/m, F 0 = 100 N, f = 5 Hz e X = 20 mm. ( ) 2 0 e m k X F ÷ ± = Solução 1 ( ) ( ) kg 013 , 1 5 2 02 , 0 100 4000 2 2 0 2 0 ÷ = × ÷ = ÷ = ÷ + = t e e X F k m m k X F massa negativa solução impossível Solução 2 ( ) ( ) kg 119 , 9 5 2 02 , 0 100 4000 2 2 0 2 0 = × + = + = ÷ ÷ = t e e X F k m m k X F 3.4 Em um sistema massa-mola é aplicada uma força harmônica F(t) = F 0 coset em um ponto da mola localizado a uma distância de 25% de seu comprimento, como mostra a Fig. 3.1, medida a partir da extremidade fixa. Assumindo que não há amortecimento, determinar a resposta de regime permanente da massa m. Figura 3.1 Associação em série k k 4 1 = e k k 3 4 2 = Equação do movimento para força aplicada em 25% do comprimento da mola ( ) ( ) x m x x k x m x x k x k t F = ÷ ÷ = = ÷ ÷ ÷ 0 2 0 0 0 2 0 1 0 0 cose Da primeira 2 1 2 0 0 cos k k x k t F x + + = e Substituindo na segunda t k k k F x k k k k x m e cos 2 1 2 0 2 1 2 1 + = + + Com k k 4 1 = e k k 3 4 2 = ( ) t F k k k x k k k k x m e cos 3 4 4 3 4 3 4 4 3 4 4 0 + = + | . | \ | + t F kx x m e cos 4 0 = + Com m k n = e Solução ( ) ( ) t m k F t x e e cos 4 2 0 ÷ = 3.5 Um oscilador harmônico não amortecido possui massa m = 6 kg e rigidez desconhecida. Executou-se um teste com uma força harmônica de amplitude F 0 = 1 kN e freqüência e = 250 rad/s e a amplitude de vibração medida foi 2,5 mm. Determinar a rigidez da mola. Dados: m = 6 kg, F 0 = 1 kN, e = 250 rad/s e X = 2,5 mm. ( ) 2 0 e m k X F ÷ ± = Solução 1 ( ) kN/m 0 , 775 250 6 10 5 , 2 1000 2 3 2 0 2 0 = × + × = + = ÷ + = ÷ e e m X F k m k X F Solução 2 ( ) kN/m 00 , 25 250 6 10 5 , 2 1000 2 3 2 0 2 0 ÷ = × + × ÷ = + ÷ = ÷ ÷ = ÷ e e m X F k m k X F 3.6 Um oscilador harmônico não amortecido sofre a atuação de uma força de magnitude F 0 = 30 N. Quando a freqüência com que a força é aplicada é e = 350 rad/s, a amplitude de vibração é 0,2 mm e quando a freqüência muda para e = 500 rad/s a amplitude se torna 1,2 mm. Determinar a massa e a rigidez do sistema. Dados: F 0 = 30 N, e 1 = 350 rad/s, X 1 = 0,2 mm e e 2 = 500 rad/s, X 2 = 1,2 mm. ( ) 2 0 e m k F X ÷ ± = Situação 1: rad/s 500 > n e ( ) 2 2 2 0 500 30 0012 , 0 350 30 0002 , 0 × ÷ = × ÷ = ÷ = m k m k m k F X e kN/m 1 , 270 = k kg 9804 , 0 = m rad/s 9 , 524 = n e Solução possível Situação 2: rad/s 500 350 s s n e ( ) 2 2 2 0 500 30 0012 , 0 350 30 0002 , 0 × ÷ ÷ = × ÷ = ÷ ± = m k m k m k F X e kN/m 1 , 318 = k kg 373 , 1 = m rad/s 4 , 481 = n e Solução possível Situação 3: rad/s 350 s n e ( ) 2 2 2 0 500 30 0012 , 0 350 30 0002 , 0 × ÷ ÷ = × ÷ ÷ = ÷ ÷ = m k m k m k F X e kN/m 1 , 270 ÷ = k kg 9804 , 0 ÷ = m Rigidez e massa negativas, solução impossível. 3.7 Um compressor de refrigeração, mostrado na Fig. 3.2, está montado sobre quatro molas de rigidez k = 20 kN/m cada, possuindo uma massa m = 55 kg. As molas possuem um amortecimento desprezível. Devido ao projeto do compressor, existe uma força harmônica vertical de 12 N oscilando na freqüência de operação de 1750 rpm. Determinar a amplitude da vibração vertical do compressor. Figura 3.2 Dados: quatro molas, k = 20 kN/m cada, m = 55 kg, amortecimento desprezível, F 0 = 12 N e f = 1750 rpm. n n eq m k m k F X e e e t e > = = = × ÷ = | . | \ | × × ÷ × = ÷ = ÷ rad/s 14 , 38 55 80000 m 10 791 , 6 60 1750 2 55 20000 4 12 6 2 2 0 3.8 Para medir uma força harmônica causada por um desbalanceamento em um compressor de ar de pistão de massa m = 80 kg, como ilustra a Fig. 3.3, um engenheiro o montou sobre uma plataforma de massa M = 50 kg, que pode oscilar horizontalmente sem atrito, por meio de um suporte elástico com rigidez na direção horizontal k = 3500 N/m. A amplitude de vibração medida na freqüência de operação foi 0,0005 m. Calcular a magnitude da força de desbalanceamento horizontal, desconsiderando o amortecimento. Figura 3.3 Dados: m = 80 kg, M = 50 kg, k = 3,5 kN/m, X = 0,5 mm e f = 1150 rpm rad/s 4 , 120 60 1150 2 2 = × = = t t e f rad/s 189 , 5 50 80 3500 = + = + = m M k n e n e e > ( ) ( ) 2 0 2 0 e e m k X F m k F X ÷ ÷ = ÷ ÷ ÷ = ( ) N 9 , 940 1150 60 2 50 80 3500 0005 , 0 2 0 = ( ( ¸ ( ¸ | . | \ | × × + ÷ ÷ = t F 3.9 Um motor elétrico de massa m = 22 kg, mostrado na Fig. 3.4, está localizado no centro de uma viga de aço de seção transversal retangular, com b = 0,2 m e t = 10 mm, bi-apoiada, de comprimento L = 1 m. A magnitude da força harmônica vertical (causada por desbalanceamento) é 55 N quando a freqüência de rotação do motor é 58 Hz. Determinar a amplitude da vibração resultante, desprezando o amortecimento. (E = 210 GPa) Figura 3.4 Dados: m = 22 kg, b = 0,2 m, t = 10 mm, L = 1 m, F 0 = 55 N, f = 58 Hz e E = 210 GPa. kN/m 0 , 168 1 12 01 , 0 2 , 0 10 210 48 48 3 3 9 3 = × × × × = = L EI k ( ) m 10 97 , 19 58 2 22 168000 55 6 2 2 0 ÷ × ÷ = × × ÷ = ÷ = t e m k F X 3.10 O núcleo móvel do relé eletromagnético mostrado na Fig. 3.5 possui massa m = 12 gr. Ele está apoiado na extremidade inferior na mola de rigidez k = 3000 N/m e na extremidade superior, na posição de contato fechado, lâminas elásticas que proporcionam o contato elétrico possuem rigidez total de 1200 N/m, na direção do movimento do núcleo. Uma força harmônica causada pelo campo elétrico, de magnitude 1,3 N atua ao longo do eixo do núcleo na freqüência síncrona de 60 Hz. Determinar a amplitude de vibração do núcleo, desprezando o amortecimento. Figura 3.5 Dados: m = 12 gr, k 2 = 3000 N/m, k 1 = 1200 N/m, F 0 = 1,3 N e f = 60 Hz. N/m 4200 3000 1200 2 1 = + = + = k k k ( ) mm 5211 , 0 60 2 012 , 0 4200 3 , 1 2 2 0 = × × ÷ = ÷ = t e m k F X 3.11 Um sistema massa-mola é submetido a uma força harmônica cuja frequência está próxima à frequência natural do sistema. Se a frequência com que a força é aplicada é 39,8 Hz e a frequência natural é 40,0 Hz, determinar o período de batimento. Dados: f n = 40,0 Hz e f = 39,8 Hz. ( ) ( ) s 5 , 2 8 , 39 40 2 1 2 1 = ÷ × = ÷ = f f T n b 3.12 Um oscilador harmônico possui massa m = 15 kg, constante de amortecimento c = 1200 N.s/m, e rigidez 600000 N/m. Determinar a amplitude da resposta a uma força harmônica de magnitude F 0 = 30 N e freqüência: (a) e = 50 rad/s; (b) e =190 rad/s; (c) e = 500 rad/s Dados: m = 15 kg, c = 1200 N.s/m e k = 600 kN/m. a) ( ) ( ) ( ) ( ) m 10 03 , 53 50 1200 50 15 600000 30 6 2 2 2 2 2 2 0 ÷ × = × + × ÷ = + ÷ = e e c m k F X rad 1063 , 0 50 15 600000 50 1200 tan tan 2 1 2 1 = | . | \ | × ÷ × = | . | \ | ÷ = ÷ ÷ e e | m k c b) ( ) ( ) ( ) ( ) m 10 5 , 127 190 1200 190 15 600000 30 6 2 2 2 2 2 2 0 ÷ × = × + × ÷ = + ÷ = e e c m k F X rad 320 , 1 190 15 600000 190 1200 tan tan 2 1 2 1 = | . | \ | × ÷ × = | . | \ | ÷ = ÷ ÷ e e | m k c c) ( ) ( ) ( ) ( ) m 10 356 , 9 500 1200 500 15 600000 30 6 2 2 2 2 2 2 0 ÷ × = × + × ÷ = + ÷ = e e c m k F X rad 1882 , 0 500 15 600000 500 1200 tan tan 2 1 2 1 ÷ = | . | \ | × ÷ × = | . | \ | ÷ = ÷ ÷ e e | m k c 3.13 Um oscilador harmônico possui massa m = 0,3 kg, coeficiente de amortecimento c = 21 N.s/m e rigidez k = 1000 N/m. Determinar a magnitude da força harmônica atuante com uma freqüência e = 377 rad/s que resulta em uma amplitude de vibração de 0,5 mm. Dados: m = 0,3 kg, c = 21 N.s/m e k = 1000 N/m, e = 377 rad/s e X = 0,5 mm. ( ) ( ) ( ) ( ) N 19 , 21 377 21 377 3 , 0 1000 10 5 , 0 2 2 2 3 2 2 0 2 = × + × ÷ × = + ÷ = ÷ e e c m k X F 3.14 Um oscilador harmônico amortecido com fator de amortecimento , = 0,2 sofre a ação de uma força harmônica de amplitude F 0 = 30 N. Quando a freqüência com que a força atua é e = 350 rad/s a amplitude de vibração é 0,2 mm e quando a freqüência é e = 500 rad/s a amplitude torna-se 0,12 mm. Determinar a massa e a rigidez do oscilador. Dados: , = 0,2, F 0 = 30 N, e = 350 rad/s X = 0,2 mm e e = 500 rad/s X = 0,12 mm. 2 2 2 0 2 1 | | . | \ | + ( ( ¸ ( ¸ | | . | \ | ÷ = n n k F X e e , e e de onde 2 2 2 0 2 1 | | . | \ | + ( ( ¸ ( ¸ | | . | \ | ÷ = n n X F k e e , e e e para os dois valores de freqüência e amplitudes 2 2 2 3 350 2 , 0 2 350 1 10 2 , 0 30 | | . | \ | × × + ( ( ¸ ( ¸ | | . | \ | ÷ × = ÷ n n k e e 2 2 2 3 500 2 , 0 2 300 1 10 12 , 0 30 | | . | \ | × × + ( ( ¸ ( ¸ | | . | \ | ÷ × = ÷ n n k e e Resolvendo, chega-se a rad/s 7 , 405 = n e , kN/m 2 , 349 = k e m = 2,122 kg 3.15 Um sistema massa-mola-amortecedor está submetido a uma força harmônica. Achou-se uma amplitude na ressonância de 20 mm e de 10 mm em uma frequência 0,75 vezes a frequência de ressonância. Determinar o fator de amortecimento do sistema. Dados: X res = 20 mm e X = 10 mm com e = 0,75 w n ( ) ( ) 2 2 2 0 2 1 r r k F X , + ÷ = r = 1 X = 0,02 m , 2 0 k F X = r = 0,75 X = 0,01 m ( ) ( ) 2 2 2 0 75 , 0 2 75 , 0 1 × + ÷ = , k F X Resolvendo, chega-se a , = 0,1180 3.16 Resolver o Problema 3.7 assumindo que o sistema possui amortecimento e que foi medido um decremento logarítmico de 0,05. Dados: k = 20 kN/m, m = 55 kg, o = 0,05, F 0 = 12 N, f = 1750 rpm. ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 10 957 , 7 05 , 0 2 05 , 0 2 ÷ × = + = + = t o t o , rad/s 14 , 38 55 20000 4 = × = = m k n e N.s/m 38 , 33 1 , 38 55 10 96 , 7 2 2 3 = × × × × = = ÷ n m c e , rad/s 3 , 183 60 2 1750 = | . | \ | × = t e ( ) ( ) ( ) ( ) m 10 791 , 6 183 4 , 33 183 55 80000 12 6 2 2 2 2 2 2 0 ÷ × = × + × ÷ = + ÷ = e e c m k F X 3.17 Resolver o Problema 3.10 assumindo que o sistema está criticamente amortecido. Dados: m = 12 gr, k 2 = 3000 N/m, k 1 = 1200 N/m, F 0 = 1,3 N, f = 60 Hz e , = 1. rad/s 6 , 591 012 , 0 1200 3000 = + = = m k n e rad/s 0 , 377 60 2 2 = × = = t t e f 6372 , 0 6 , 591 0 , 377 = = = n r e e ( ) ( ) ( ) ( ) mm 2201 , 0 6372 , 0 1 2 6372 , 0 1 4200 3 , 1 2 1 2 2 2 2 2 2 0 = × × + ÷ = + ÷ = r r k F X , 3.18 Em um sistema vibratório, m = 10 kg, k = 2,5 kN/m, e c = 45 N.s/m. Sobre a massa, atua uma força harmônica de amplitude 180 N e frequência 3,5 Hz. Se o deslocamento inicial e a velocidade inicial da massa são 15 mm e 5 m/seg, determinar a expressão que representa o movimento da massa. Dados: m = 10 kg, k = 2500 N/m, c = 45 N.s/m, F 0 = 180 N, f = 3,5 Hz. x 0 = 15 mm e v 0 = 5 m/seg, rad/s 99 , 21 5 , 3 2 2 = × = = t t e f rad/s 81 , 15 10 2500 = = = m k n e 391 , 1 8 , 15 0 , 22 = = = n r e e 1423 , 0 8 , 15 10 2 45 2 = × × = = n m c e , rad/s 65 , 15 1423 , 0 1 81 , 15 1 2 = ÷ × = ÷ = , e e n d ( ) ( ) ( ) | e | e e , ÷ + ÷ = ÷ t X t e X t x d t n cos cos 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mm 95 , 70 391 , 1 1423 , 0 2 391 , 1 1 2500 180 2 1 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 = × × + ÷ = + ÷ = + ÷ = r r k F c m k F X , e e rad 4007 , 0 391 , 1 1 391 , 1 1423 , 0 2 tan 1 2 tan tan 2 1 2 1 2 1 ÷ = | | . | \ | ÷ × × = | . | \ | ÷ = | . | \ | ÷ = ÷ ÷ ÷ r r m k c , e e | ( ) | | ( ) ( ) ( ) ( ) | | ( ) ( ) m 3547 , 0 65 , 15 4007 , 0 cos 07095 , 0 015 , 0 4007 , 0 sin 07095 , 0 99 , 21 4007 , 0 cos 07095 , 0 015 , 0 81 , 15 1423 , 0 5 65 , 15 1 cos sin cos 1 2 2 2 2 2 0 2 0 0 0 = × ÷ × ÷ + ÷ × × ÷ ÷ × ÷ × × + = ÷ + ÷ ÷ + = d n d X x X X x v X e | | e | e , e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) rad 428 , 1 391 , 1 1 391 , 1 1423 , 0 2 tan 4007 , 0 cos 07095 , 0 015 , 0 65 , 15 4007 , 0 sin 07095 , 0 99 , 21 4007 , 0 cos 07095 , 0 015 , 0 81 , 15 1423 , 0 5 tan cos sin cos tan 2 1 1 0 0 0 1 ÷ = | | . | \ | ÷ × × = | | . | \ | ÷ × ÷ × ÷ × × ÷ ÷ × ÷ × × + = | | . | \ | ÷ ÷ ÷ + = ÷ ÷ ÷ | e | e | e , | X x X X x v d n 3.19 Observou-se que a amplitude de pico de um sistema de um grau de liberdade, sob excitação harmônica é 0,5 cm. Se a frequência natural do sistema é 5 Hz, e a deflexão estática da massa sob a ação da força máxima é 0,25 cm, (a) estimar o fator de amortecimento do sistema, e (b) determinar as frequências correspondentes à amplitude de meia potência. Dados: X pico = 0,5 cm, f n = 5 Hz, o st = 0,25 cm (a) Fator de amortecimento 0 16 1 2 0025 , 0 005 , 0 1 2 1 2 4 2 = + ÷ ÷ = = ÷ = | | . | \ | , , , , o máx st X ( ) ( ) 06699 , 0 9330 , 0 2 16 1 1 4 1 1 2 2 = × × ÷ ÷ ± ÷ ÷ = , Como 0,933 > 0,5 2588 , 0 06699 , 0 = = , (b) Frequências de meia potência ¹ ´ ¦ = ÷ = ÷ = + × × ± × ÷ = + ± ÷ = Hz 657 , 1 3313 , 0 Hz 004 , 7 401 , 1 2588 , 0 1 2588 , 0 2 2588 , 0 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 , 1 f f r , , , 3.20 No sistema mostrado na Fig. 3.6, x é o deslocamento da massa m e y é o deslocamento do ponto Q (extremidade da mola de rigidez k 1 ). Quando o ponto Q está submetido a um movimento harmônico y(t) = Y coset, determinar: (a) a equação do movimento da massa m, (b) o deslocamento de regime permanente da mesma e, (c) a magnitude da força transmitida ao suporte em P, Figura 3.6 (a) equação do movimento da massa m ( ) x m y x k x c x k = ÷ ÷ ÷ ÷ 1 2 2 ( ) t Y k x k k x c x m e cos 1 2 1 2 = + + + (b) deslocamento de regime permanente ( ) ( ) ( ) | | ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 cos e e | e c m k k t Y k t x p + ÷ + ÷ = ( ¸ ( ¸ ÷ + = ÷ 2 2 1 2 1 1 tan e e | m k k c (c) magnitude da força transmitida ao suporte em P ( ) | | ( ) ( ) ( ) | | 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 sin cos | e e | e e e ÷ ÷ ÷ + ÷ + = + = t c t k c m k k Y k x c x k F T ( ) ( ) | | ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 e e e c m k k c k Y k F T + ÷ + + = 3.21 No sistema mostrado na Fig. 3.7, x é o deslocamento da massa m e y é o deslocamento do ponto Q (extremidade do amortecedor de constante c 1 ). Quando o ponto Q está submetido a um movimento harmônico y(t) = Y coset, determinar: (a) a equação do movimento da massa m, (b) o deslocamento de regime permanente da mesma e, (c) a magnitude da força transmitida ao suporte em P, Figura 3.7 (a) equação do movimento da massa m ( ) x m y x c x c x k = ÷ ÷ ÷ ÷ 1 2 2 ( ) t Y c y c x k x c c x m e e sin 1 1 2 2 1 ÷ = = + + + (b) deslocamento de regime permanente ( ) ( ) ( ) ( ) | | 2 2 1 2 2 1 1 1 sin e e | e e c c m k t Y c t x p + + ÷ ÷ ÷ = ( ) ( ¸ ( ¸ ÷ + = ÷ 2 2 2 1 1 1 tan e e | m k c c (c) magnitude da força transmitida ao suporte em P ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 sin cos | e e | e e e e ÷ + ÷ + + ÷ ÷ = + = t k t c c c m k Y c x c x k F T ( ) ( ) ( ) | | 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 e e e c c m k c k Y c F T + + ÷ ÷ + = 3.22 No sistema mostrado na Fig. 3.8, x é o deslocamento da massa m e y é o deslocamento do ponto Q (extremidade do da mola de rigidez k 1 e do amortecedor de constante c 1 ). Quando o ponto Q está submetido a um movimento harmônico y(t) = Y coset, determinar: (a) a equação do movimento da massa m, (b) o deslocamento de regime permanente da mesma e, (c) a magnitude da força transmitida ao suporte em P, Figura 3.8 (a) equação do movimento da massa m ( ) ( ) x m y x c y x k x c x k = ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 1 1 2 2 ( ) ( ) t Y c t Y k y c y k x k k x c c x m e e e sin cos 1 1 1 1 2 1 2 1 ÷ = + = + + + + (b) deslocamento de regime permanente ( ) ( ) ( ) ( ) | | ( ) | | 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 sin cos e e | e e | e c c m k k t Y c t Y k t x p + + ÷ + ÷ ÷ ÷ = ( ) ( ¸ ( ¸ ÷ + + = ÷ 2 2 1 2 1 1 1 tan e e | m k k c c (c) magnitude da força transmitida ao suporte em P ( ) | | ( ) | | ( ) ( ) ( ) ( ) | | 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 sin cos | e e | e e e e ÷ + ÷ ÷ ÷ + + ÷ + = + = t c k c k t c c k k c c m k k Y x c x k F T ( ) ( ) ( ) | | ( ) | | 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 e e e c c m k k c k c k c c k k Y F T + + ÷ + + + ÷ = 3.23 Modelou-se um automóvel como um sistema de um grau de liberdade vibrando na direção vertical. Este veículo trafega em uma estrada cuja elevação varia senoidalmente. A distância entre pico e vale é 0,1 m e a distância ao longo da estrada entre dois picos é 35 m. Se a frequência natural do automóvel é 1 Hz e o fator de amortecimento dos absorvedores de choque é 0,15, determinar a amplitude de vibração do automóvel quando está com uma velocidade de 60 km/h. Dados: 2X = 0,1 m, L = 35 m, f n = 1 Hz, , = 0,15 e v = 60 km/h. s 1 , 2 3600 60000 35 0 0 = | . | \ | = = ÷ = v L t t L v rad/s 992 , 2 1 , 2 2 2 0 = = = t t e t rad/s 283 , 6 1 2 2 = × = = t t e n n f 4762 , 0 28 , 6 99 , 2 = = = n r e e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m 06423 , 0 4762 , 0 15 , 0 2 4762 , 0 1 4762 , 0 15 , 0 2 1 2 1 , 0 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 = × × + ÷ × × + = + ÷ + = r r r Y X , , 3.24 Um oscilador harmônico possui massa m = 2 kg e rigidez k = 4500 N/m. O suporte vibra na freqüência de 50 Hz com amplitude 0,5 mm. Determinar a amplitude da vibração resultante não amortecida. Dados: m = 2 kg, k = 4500 N/m, f = 50 Hz e Y = 0,5 mm. rad/s 100 50 2 2 t t t e = × = = f rad/s 43 , 47 2 4500 = = = m k n e 623 , 6 43 , 47 100 = = = t e e n r ( ) ( ) m 10 66 , 11 623 , 6 1 10 5 , 0 1 6 2 2 3 2 2 ÷ ÷ × = ÷ × = ÷ = r Y X 3.25 Um oscilador harmônico possui massa m = 15 kg, rigidez k = 6 x 10 7 N/m e fator de amortecimento , = 0,05. O suporte vibra na freqüência de 200 Hz com amplitude de 1 mm. Determinar (a) a amplitude da vibração resultante; (b) A amplitude da força transmitida. Dados: m = 15 kg, k = 6 x 10 7 N/m, , = 0,05, f = 200 Hz e Y = 1 mm. (a) Amplitude da vibração resultante rad/s 1257 200 2 2 = × = = t t e f rad/s 2000 15 10 6 7 = × = = m k n e 6281 , 0 2000 1257 = = = n r e e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mm 647 , 1 6281 , 0 05 , 0 2 6281 , 0 1 6281 , 0 05 , 0 2 1 001 , 0 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 = × × + ÷ × × + × = + ÷ + = r r r Y X , , (b) Amplitude da força transmitida kN 01 , 39 00165 , 0 1257 15 2 2 = × × = = X m F T e 3.26 Um automóvel de massa m = 1000 kg trafega com uma velocidade de 80 km/h em uma superfície irregular com perfil senoidal de amplitude 60 mm e distância entre picos 0,3 m. Se a freqüência natural do carro é 0,8 Hz, com amortecimento crítico, determinar: (a) a amplitude de vibração vertical; (b) a força transmitida para o veículo. Dados: m = 1000 kg, , = 1, v = 80 km/h, Y = 60 mm, L = 0,3 m e f n = 0,8 Hz, (a) Amplitude de vibração vertical s 0135 , 0 3600 80000 3 , 0 0 0 = | . | \ | = = ÷ = v L t t L v rad/s 4 , 465 0135 , 0 2 2 0 = = = t t e t rad/s 027 , 5 8 , 0 2 2 = × = = t t e n n f 59 , 92 03 , 5 , 465 = = = n r e e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) m 10 296 , 1 59 , 92 2 59 , 92 1 59 , 92 2 1 06 , 0 2 1 2 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 ÷ × = × + ÷ × + = + ÷ + = r r r Y X (b) Força transmitida para o veículo kN 7 , 280 001296 , 0 4 , 465 1000 2 2 = × × = = X m F T e 3.27 Um compressor de ar, pesando 4500 N e operando a 1500 rpm, é montado sobre um isolador. Existem disponíveis para utilização duas molas helicoidais, uma de rigidez igual a 80 kN/cm e a outra de rigidez igual a 25 kN/cm, e um absorvedor de choque com fator de amortecimento igual a 0,15. Selecionar o melhor sistema de isolamento para o compressor. Dados: W = 4500 N, f = 1500 rpm, k 1 = 80 kN/cm, k 2 = 25 kN/cm e , = 0,15. O melhor sistema de isolamento é o que transmite a menor força. rad/s 1 , 157 60 1500 2 2 = × = = t t e f 1ª opção – usando a mola de menor rigidez sem amortecedor rad/s 82 , 73 81 , 9 4500 10 25 5 = × = = m k n e 128 , 2 82 , 73 1 , 157 = = = n r e e kN/m 10 209 , 3 128 , 2 1 1 , 157 81 , 9 4500 1 3 2 2 2 2 × = ÷ × = ÷ = r m Y F T e 2ª opção – usando a mola de maior rigidez sem amortecedor rad/s 1 , 132 81 , 9 4500 10 80 5 = × = = m k n e 189 , 1 1 , 132 1 , 157 = = = n r e e kN/m 10 29 , 27 189 , 1 1 1 , 157 81 , 9 4500 1 3 2 2 2 2 × = ÷ × = ÷ = r m Y F T e 3ª opção – usando as duas molas associadas em série ( ) ( ) kN/m 10 905 , 1 10 80 25 10 80 25 3 5 10 2 1 2 1 × = × + × × = + = k k k k k eq rad/s 44 , 64 81 , 9 4500 10 905 , 1 6 = × = = m k n e 438 , 2 44 , 64 1 , 157 = = = n r e e kN/m 10 290 , 2 438 , 2 1 1 , 157 81 , 9 4500 1 3 2 2 2 2 × = ÷ × = ÷ = r m Y F T e Como em todos os casos 2 > r , o acréscimo de amortecimento aumentará a força transmitida. Desta forma a melhor solução é a 3ª opção. 3.28 Um sistema torsional consiste de um disco com momento de inércia de massa J 0 = 10 kg.m 2 , um amortecedor torsional de constante c = 300 N.m.s/rad, e um eixo de aço de diâmetro igual a 4 cm e comprimento de 1 m (fixo em uma extremidade e contendo o disco na outra extremidade), com G = 85 GPa. Observou-se uma amplitude de regime permanente de 2 o quando um torque de magnitude 1000 N.m foi aplicado no disco. Determinar: (a) a frequência com que o torque foi aplicado; (b) o máximo torque transmitido ao suporte. Dados: J 0 = 10 kg.m 2 , c = 300 N.m.s/rad, d = 4 cm, l = 1 m, G = 85 GPa, O = 2 o e T 0 = 1000 N.m. (a) Frequência com que o torque foi aplicado 4 7 4 4 m 10 513 , 2 32 04 , 0 32 ÷ × = × = = t t d I kN.m/rad 36 , 21 1 10 513 , 2 10 85 7 9 = × × × = = ÷ l GI k t rad/s 22 , 46 10 10 3 , 21 3 0 = × = = J k t n e 3245 , 0 22 , 46 10 2 300 2 0 = × × = = n J c e , ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 2 2 2 0 2 1 2 1 r r k T r r k T t t , , + ÷ = | | . | \ | O ÷ + ÷ = O ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 1 798 , 1 10 36 , 21 180 2 1000 r r , t + ÷ = = | | | | . | \ | × × × Resultando na equação 0 7983 , 0 579 , 1 2 4 = ÷ ÷ r r Cuja solução é dada por ¹ ´ ¦ ÷ = × + ± = 4029 , 0 982 , 1 2 7983 , 0 4 579 , 1 579 , 1 2 2 r Só a primeira solução é possível 408 , 1 = r Conduzindo a rad/s 06 , 65 22 , 46 408 , 1 = × = = n re e (b) Máximo torque transmitido ao suporte ( ) ( ) ( ) kN.m 10 010 , 1 180 2 06 , 65 300 10 36 , 21 3 2 2 3 2 2 × = | . | \ | × × × + × = O + = t e c k T t T 3.29 Um eixo de aço vazado (E = 210 GPa), de comprimento 2,5 m, diâmetro externo 10 cm e diâmetro interno 9 cm, contém um rotor de turbina que pesa 2200 N, no centro de seu comprimento e está apoiado em mancais de rolamento nas suas extremidades. A folga entre o rotor e o estator é 1,25 cm. O rotor tem uma excentricidade equivalente a um peso de 2 N situado em um raio de 5 cm. Foi instalado um sistema que interrompe a rotação do rotor sempre que o mesmo estiver na iminência de tocar o estator. Se o rotor operar na ressonância, quanto tempo levará para que o sistema de proteção seja ativado? Assumir que as condições iniciais são nulas. Dados: E = 210 GPa, l = 2,5 m, d e = 10 cm, d i = 9 cm, W = 2200 N, X = 1,25 cm, mg = 2 N e e = 5 cm. ( ) ( ) 4 6 4 4 4 4 4 m 10 688 , 1 64 09 , 0 1 , 0 64 ÷ × = ÷ × = ÷ = t t i e d d I kN/m 10 089 , 1 5 , 2 10 688 , 1 10 210 48 48 3 3 6 9 3 × = × × × × = = ÷ l EI k rad/s 69 , 69 2200 81 , 9 10 089 , 1 6 = × × = = W g k n e m 10 45 , 45 10 089 , 1 69 , 69 05 , 0 81 , 9 2 6 6 2 2 ÷ × = × × × = = k me n st e o Na ressonância o movimento é ( ) t t t sen x t x t x n n st n n n e e o e e e sin 2 cos 0 0 + + = Com condições iniciais nulas ( ) t t t x n n st e e o sin 2 = Limitando o deslocamento na ressonância em 0,025 m, o mesmo será atingido no tempo t 0 , calculado por 0 0 3 0 0 6 2 , 69 sin 10 584 , 1 69 , 69 sin 2 69 , 69 10 45 , 45 0125 , 0 t t t t ÷ ÷ × = × × = s 09194 , 0 0 = t 3.30 Uma hélice do rotor traseiro de um helicóptero tem uma massa desbalanceada m = 0,5 kg a uma distância e = 0,15 m do eixo de rotação, como mostra a Fig. 3.9. A cauda (tail section) do helicóptero tem um comprimento de 4 m, uma massa de 240 kg, uma rigidez flexional (EI) de 2,5 MN.m 2 , e um fator de amortecimento de 0,15. A massa do rotor traseiro, incluindo as lâminas e o motor, é 20 kg. Determinar a resposta de regime permanente da cauda quando as lâminas giram a 1500 rpm. Figura 3.9 Dados: m = 0,5 kg, e = 0,15 m, l = 4 m, M cauda = 240 kg, EI = 2,5 MN.m 2 , , = 0,15, M rotor = 20 kg e f = 1500 rpm rad/s 50 60 1500 2 2 t t t e = × × = = f kN/m 2 , 117 4 10 5 , 2 3 3 3 6 3 = × × = = l EI k kg 100 3 = + = cauda rotor eq M M M rad/s 23 , 34 100 10 17 , 1 5 = × = = eq n M k e 589 , 4 2 , 34 157 = = = n r e e ( ) ( ) ( ) ( ) mm 7855 , 0 59 , 4 15 , 0 2 59 , 4 1 10 17 , 1 157 15 , 0 5 , 0 2 1 2 2 2 5 2 2 2 2 2 = × × + ÷ × × × = + ÷ = r r k me X , e rad 06853 , 0 59 , 4 1 59 , 4 15 , 0 2 tan 1 2 tan 2 1 2 1 ÷ = | | . | \ | ÷ × × = | . | \ | ÷ = ÷ ÷ r r , | ( ) ( ) ( )mm 06853 , 0 50 cos 7855 , 0 cos + = ÷ = t t X t x t | e 3.31 Um eixo possui uma rigidez no seu centro k = 1,2×10 6 N/m possuindo neste ponto um disco de massa m = 200 kg. O eixo gira a 3600 rpm, possui fator de amortecimento , = 0,05, e uma massa desbalanceada m e = 50 gr com uma excentricidade e = 0,20 m. Determinar a amplitude de vibração. Dados: k = 1,2×10 6 N/m, m = 200 kg, f = 3600 rpm, , = 0,05, m e = 50 gr e e = 0,20 m. rad/s 120 60 3600 2 2 t t t e = × × = = f rad/s 46 , 77 200 10 2 , 1 6 = × = = m k n e 867 , 4 5 , 77 377 = = = n r e e ( ) ( ) ( ) ( ) m 10 19 , 52 867 , 4 05 , 0 2 867 , 4 1 200 867 , 4 2 , 0 05 , 0 2 1 6 2 2 2 2 2 2 2 2 ÷ × = × × + ÷ × × = + ÷ = r r m er m X e , 3.32 Um motor elétrico de velocidade variável, desbalanceado, é montado sobre um isolador. Quando é dada partida ao motor, observou-se que as amplitudes de vibração são de 1,4 cm na ressonância e 0,4 cm bem acima da ressonância. Determinar o fator de amortecimento do isolador. Dados: X res = 1,4 cm e X r>>1 = 0,4 cm. Na ressonância m 014 , 0 2 1 = = = , M me X r Bem acima da ressonância M me me MX r n = ÷ ~ ÷ >> >> 004 , 0 1 1 e e Então o fator de amortecimento é 1429 , 0 014 , 0 2 004 , 0 2 1 = × = = = r X M me , 3.33 Quando um exaustor de massa 380 kg está apoiado em molas com amortecimento desprezível, a deflexão estática resultante é 45 mm. Se o exaustor tem um desbalanceamento rotativo de 0,15 kg.m, determinar: (a) a amplitude de vibração a 1750 rpm e (b) a força transmitida para a base nesta velocidade. Dados: m = 380 kg, o st = 45 mm, me = 0,15 kg.m e f = 1750 rpm. rad/s 2 , 183 60 1750 2 2 = × × = = t t e f rad/s 76 , 14 045 , 0 81 , 9 = = = st n g o e 41 , 12 5 , 77 377 = = = n r e e ( ) ( ) ( ) mm 3973 , 0 41 , 12 1 380 41 , 12 15 , 0 2 1 2 2 2 2 2 2 2 = ÷ × = + ÷ = r r m er m X e , kN/m 82,84 76 , 14 380 2 2 = × = = n m k e N 32,91 0,3973 82,84 = × = = kX F T 3.34 Uma viga de aço (µ = 7800 kg/m 3 , E = 210 GPa) bi-engastada, com comprimento igual a 5 m, largura de 0,5, e espessura de 0,1 m, suporta um motor de massa 750 kg operando com uma velocidade de 1200 rpm em seu centro, como mostra a Fig. 3.10. Uma força rotativa, de magnitude F 0 = mee 2 = 5000 N, se desenvolve devido ao desbalanceamento no rotor do motor. Determinar a amplitude das vibrações de regime permanente, assumindo que o fator de amortecimento do sistema é , = 0,15. (a) desconsiderando a massa da viga e (b) considerando a massa efetiva da viga. et F 0 l/2 l/2 Figura 3.10 Dados: µ = 7800 kg/m 3 , E = 210 GPa, l = 5 m, b = 0,5 m, t = 0,1 m, m = 750 kg, f = 1200 rpm, F 0 = mee 2 = 5000 N e , = 0,15 rad/s 7 , 125 60 1200 2 2 = × × = = t t e f 4 5 3 3 m 10 167 , 4 12 1 , 0 5 , 0 12 ÷ × = × = = bt I kN/m 10 4 , 134 5 10 17 , 4 10 1 , 2 192 192 6 3 5 11 3 × = × × × × = = ÷ l EI k (a) desconsiderando a massa da viga rad/s 9 , 133 750 10 344 , 1 7 = × = = m k n e 9387 , 0 134 126 = = = n r e e ( ) ( ) ( ) ( ) mm 217 , 1 9387 , 0 15 , 0 2 9387 , 0 1 10 344 , 1 5000 2 1 2 2 2 7 2 2 2 0 = × × + ÷ × = + ÷ = r r k F X , (b) considerando a massa efetiva da viga kg 1950 5 1 , 0 5 , 0 7800 = × × × = = = btL V m viga µ µ kg 1400 3 1950 750 3 = + = + = viga ef m m m rad/s 98 , 97 1400 10 34 , 1 7 = × = = ef n m k e 283 , 1 0 , 98 126 = = = n r e e ( ) ( ) ( ) ( ) mm 4954 , 0 283 , 1 15 , 0 2 283 , 1 1 10 344 , 1 5000 2 1 2 2 2 7 2 2 2 0 = × × + ÷ × = + ÷ = r r k F X , 3.35 Se o motor elétrico do Problema 3.34 é montado na extremidade livre da mesma viga de aço, agora engastada em sua outra extremidade engastada (Fig. 3.11), determinar a amplitude das vibrações de regime permanente, assumindo que o fator de amortecimento do sistema é , = 0,15 (a) desconsiderando a massa da viga e (b) considerando a massa efetiva da viga. et F 0 l Figura 3.11 Dados: µ = 7800 kg/m 3 , E = 210 GPa, l = 5 m, b = 0,5 m, t = 0,1 m, m = 750 kg, f = 1200 rpm, F 0 = mee 2 = 5000 N e , = 0,15 rad/s 7 , 125 60 1200 2 2 = × × = = t t e f 4 6 3 3 m 10 67 , 41 12 1 , 0 5 , 0 12 ÷ × = × = = bt I kN/m 210 5 10 167 , 4 10 1 , 2 3 3 3 5 11 3 = × × × × = = ÷ l EI k (a) desconsiderando a massa da viga rad/s 73 , 16 750 10 1 , 2 5 = × = = m k n e 510 , 7 7 , 16 126 = = = n r e e ( ) ( ) ( ) ( ) mm 4294 , 0 510 , 7 15 , 0 2 510 , 7 1 10 1 , 2 5000 2 1 2 2 2 5 2 2 2 0 = × × + ÷ × = + ÷ = r r k F X , (b) considerando a massa efetiva da viga kg 1950 5 1 , 0 5 , 0 7800 = × × × = = = btL V m viga µ µ kg 1400 3 1950 750 3 = + = + = viga ef m m m rad/s 25 , 12 1400 10 1 , 2 5 = × = = ef n m k e 26 , 10 2 , 12 126 = = = n r e e ( ) ( ) ( ) ( ) mm 2282 , 0 26 , 10 15 , 0 2 26 , 10 1 10 1 , 2 5000 2 1 2 2 2 5 2 2 2 0 = × × + ÷ × = + ÷ = r r k F X , 3.36 Uma bomba centrífuga pesando 600 N e operando a 1000 rpm, é montada em seis molas de rigidez 6000 N/m cada, associadas em paralelo, com amortecimento , = 0,2. Determinar a máxima excentricidade permissível para o rotor, de forma que a amplitude de regime permanente se limite a 5 mm pico a pico. Dados: W = 600 N, f = 1000 rpm, k = 6 × 6000 N/m, , = 0,2 e 2 X = 5 mm kg 16 , 61 81 , 9 600 = = = g W m rad/s 7 , 104 60 1000 2 2 = × × = = t t e f rad/s 26 , 24 2 , 61 10 6 , 3 4 = × = = m k n e 316 , 4 3 , 24 105 = = = n r e e ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 r r M mer X , + ÷ = Com M = m ( ) ( ) ( ) ( ) mm 377 , 2 316 , 4 2 , 0 2 316 , 4 1 318 , 4 0025 , 0 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 = × × + ÷ | | . | \ | = + ÷ | . | \ | = r r r X e ,