UFABC - fevereiro/maio de 2011 Fenômenos Térmicos: segunda lista de exercíciosEsses problemas constituem um conjunto mínimo de exercícios que devem ser resolvidos pelos estudantes para o acompanhamento adequado da segunda parte dessa disciplina. Também estão sendo propostos alguns problemas adicionais, marcados com ***, que representam desa os para os estudantes! Equipartição da energia; livre caminho médio graus de liberdade ativos a uma dada temperatura T . Mostre que: a) a energia interna total do sistema é Eint = f nRT /2; b) o calor especí co molar a volume constante é cV = f R/2; c) o calor especí co molar a pressão constante é cP = (f + 2) R/2. d) qual a razão γ = cP /cV ? 1. Considere n moles de um gás ideal constituído por moléculas com f 2. Um mol de oxigênio (O2 ) é aquecido a pressão constante a partir da temperatura T = 0 ◦ C . Qual a quantidade de calor que deve ser adicionada a esse gás para duplicar o seu volume? Suponha que as moléculas do gás tenham rotações, mas que a temperatura não seja su cientemente alta para que elas também possam ter vibrações. 3. Suponha que 6 moles de um gás ideal diatômico, com rotação molecular mas sem oscilações, experimentem um aumento de temperatura de 120 K em condições de pressão constante. a) Qual a quantidade de calor adicionada ao gás? b) Qual o aumento da energia interna do gás? c) Quanto trabalho realizado feito pelo gás? d) Calcule o aumento da energia cinética translacional desse gás. numa pressão de 2 × 10−6 mmHg e temperatura de 290 K . a) Calcule o número de moléculas por centímetro cúbico dentro da câmara supondo que o gás seja ideal. b) Qual é o livre caminho médio das moléculas do gás sob essas condições quando o diâmetro molecular for de aproximadamente 10−8 cm (raio de Bohr). 1 4. Em um dado experimento um certo gás é mantido em uma câmara 2 −∞ 2 . Moléculas de hidrogênio. d d I(a) = da da ˆ +∞ ˆ e −ax2 +∞ dx = −∞ −x2 e−ax dx. digamos (x. 5v0 e 2v0 ? c) Expresse a velocidade média das moléculas em termos de v0 . para coordenadas polares. com r2 = x2 + y 2 . v0 ≤ v ≤ 2v0 . o valor médio do módulo das velocidades ao quadrado. b) Quantas moléculas têm velocidades entre 1. escapam de um Distribuição de velocidades. Um certo gás com N partículas tem uma distribuição de módulo da velocidades p (v) dada por para c. v0 0 ≤ v ≤ v0 . para c v. Sugestão: é mais fácil calcular o quadrado da integral. 2v0 ≤ v ≤ 3v0 . Note que você pode considerar a como uma nova variável e tomar a derivada de I (a). para p (v) = vc0 (3v0 − v). onde c e v0 são constantes. e fazer uma transformação nas duas variáveis de integração. ´ (a) Qual a velocidade típica das moléculas de hidrogênio que saem do forno? (b) Qual a distância mínima de aproximação dos átomos de hidrogênio e de argônio (que podem ser considerados como esferas rígidas)? (c) Qual o número inicial de colisões por unidade de tempo sofridas pelas moléculas de hidrogênio? 5. d) Encontre a velocidade média quadrática. de 10−8 cm de diâmetro. (r. [I(a)]2 . a) Expresse a constante c em termos de N e v0 . vmq . isto é. θ). integrais gaussianas 6. com diâmetro de 3×10−8 cm e densidade de 4×1019 atomos/cm3 . v ≥ 3v0 . *** Mostre que I(a) = ˆ +∞ e−ax dx = −∞ 2 π a 1/2 .forno a uma temperatura de 4000 K e entram numa câmara contendo átomos de argônio. 7. y). para 0. m Observe que a velocidade mais provável corresponde ao ponto em que a inclinação da curva da distribuição de velocidades é nula. viajando com uma velocidade vmq = v 2 . portamento bastante exótico. Calcule o tempo que um átomo levaria. para cair uma distância de 10 cm. 47 g/mol) a uma temperatura de 120 nK . Um dos métodos que são usados para medir a temperatura do gás armadilhado consiste em desligar a armadilha e medir o tempo que as moléculas levam para cair uma dada distância! Considere um gás de átomos de rubídio (de massa molar M = 85.onde trocamos a ordem das operações de derivação e de integração. e outros átomos. derivamos sob o sinal de integração). Mostre que a velocidade mais provável de uma molécula de um gás obedecendo a distribuição de velocidades de Maxwell-Boltzman é dada por vmp = 2kB T . Esses átomos são aprisionados e congelados em uma armadilha composta de um campo magnético e de lasers em câmaras de ultra-vácuo. Então ˆ +∞ x2 e−ax dx = −∞ 2 1 π 2a a 1/2 . A baixíssimas temperaturas certos átomos podem apresentar um com- . que atuam sobre variáveis distintas (como se diz. nas seguintes condições: 3 9. m Nv /N = 4π 2πkB T 3 2 v2e mv − 2k T B 2 para mostrar que (a) v = ¯ ˆ 0 ∞ v ˆ ∞ Nv dv = N 8kB T πm e ¯ (b) v 2 = v2 0 3kB T Nv dv = . Utilize esses resultados. a temperaturas da ordem de nanokelvins (1 nK = 10−9 K). N m 8. o que leva a uma nova forma de matéria conhecida como condensado de Bose-Einstein. e a distribuição de Maxwell-Boltzman. Experimentos de aprisionamento e congelamento de átomos podem criar gases de rubídio. com baixa densidade. A pressão constante de 1 atm. sua pressão triplica e o volume 12. Um container armazena uma mistura de três gases não interagentes: e assim por diante. Um gás diatômico expande-se adiabaticamente até um volume 1. Um mol desse gás tem pressão duplica. diatômico ou poliatômico? 13. um deles a pressão constante e o outro a volume constante. determine a quantidade de calor transferido para o gás. 9 J de energia na forma de calor. Num gás diatômico ideal CV = 5R/2. 002 mol de certo gás 11. Um gás ideal inicialmente à pressão p0 realiza uma expansão livre 14. a) Qual é a pressão do gás depois da expansão livre? b) Suponha que o gás seja então comprimindo de forma lenta e√ adiabática de volta ao seu volume inicial. Calor especí co. (adiabática. Quando o gás é aquecido. expansão adiabática e livre ideal varia de 50 cm3 a 100 cm3 quando se adicionam 20. Mostre que as seguintes relações valem para uma expansão reversível adiabática de um gás ideal: T V γ−1 = constante 4 . sem trabalho externo) até um volume nal que é três vezes o valor do volume inicial. b) com o átomo se movendo diretamente para cima. (a) Qual a variação da energia interna desse gás? (b) Qual o valor do calor especício a volume constante? E do calor especí co a pressão constante? n1 moles do primeiro gás com calor especí co molar a volume constante CV 1 . Encontre a temperatura nal. P e volume V .a) com o átomo se movendo diretamente para baixo. A temperatura inicial é de 18 o C . Esse gás é monoatômico. Suponha que não haja colisões ao longo da trajetória.35 vezes maior que seu volume inicial. Se esse processo de aquecimento incluir dois passos. 15. Encontre o calor especí co molar a volume constante da mistura em termos dos calores especí cos molares e das quantidades dos três gases separados. o volume de 0. A pressão depois da compressão é 3p0 . 10. cuja pressão é P0 .e T P γ −1 = outra constante. estime o seu raio quando a temperatura for de 3000 K (suponha que γ = 1. Essa nuvem colapsa isotermicamente. Ela então se torna opaca. Quantos anos levará para a temperatura subir 1000 K medidos a partir do tempo em que a nuvem alcança um raio de 1013 m? uma alta pressão P1 e a temperatura T1 . A absorção da luz solar na superfície da Terra aquece a troposfera a partir da parte inferior. Uma câmara termicamente isolada contém n1 moles de gás hélio a com n2 = n1 P0 P1 1 γ . imediatamente após a detonação. Note que t = 0 para R = 0 de modo que t é sempre negativo. e o colapso a partir desse ponto se realiza adiabática (γ = 5/3) e reversivelmente. de massa molar M e razão de calores especí cos Cp /Cv = γ . Quais as hipóteses adicionais que estão sendo feitas para obter esse resultado? 18. Supondo que a expansão seja adiabática e que a bola de fogo permaneça esférica. *** Uma nuvem interestelar. colapsa com seu raio R decrescendo de acordo com a expressão R = 10 13 −t 218 2 3 . À medida que uma parcela de ar sobe. até seu raio atingir 1013 m. Qual o valor do raio da bola de fogo quando a temperatura for 300 K? 16. Essa parcela de ar realiza trabalho 5 . Mostre que a temperatura nal dos n2 moles restantes na câmara é dada por T2 = T1 P0 P1 1 1− γ 17. produzindo correntes verticais de convecção que estão continuamente misturando o ar. aciona-se uma pequena válvula e o gás começa a escapar muito lentamente para o ambiente da atmosfera. considere a bola de fogo da bomba de ssão de urânio que consiste de uma esfera de gás de 12 m de raio e temperatura de 310000 K. onde o tempo t é medido em anos. 4). constituída de um gás ideal. a sua pressão cai esse gás se expande. a uma temperatura de 12 K . A partir de determinado instante. *** Imagine que a troposfera do planeta Terra possa ser representada pelo modelo de um gás ideal. 1 Com isso. ρ a densidade do ar e g a aceleração da gravidade. recipiente isolado termicamente. A partir da equação P = P0 − ρgy . a −12 o C . dy c) Uma camada inferior de ar deve sustentar o peso das camadas superiores. Um iceberg de 100000 kg a −5 o C separa-se da calota polar e utua 21. é transformado a pressão constante em vapor d'água a temperatura de 115 o C . de modo que você pode considerar que a aceleração de queda livre seja uniforme. Mostre que a taxa de declínio atmosférico é dado por 1 dT =− 1− dy γ Mg . Um mol de hidrogênio gasoso é mantido no lado esquerdo de um . mostre que a taxa de declínio atmosférico é dada por T dT = dy P 1− 1 γ dP . com diminuição de sua energia interna e decréscimo de temperatura. Considere que esse processo de mistura do ar seja tão rápido que posso ser considerado adiabático. constituído por dois compartimentos iguais 6 19. R Entropia. observe que o equilíbrio mecânico da atmosfera requer que a pressão diminua com a altitude de acordo com a expressão diferencial dP = −ρg. Determine a variação total de entropia quando um cubo de gelo 20. a 5 o C . Qual será a variação na entropia desse sistema depois que o iceberg estiver completamente derretido? O calor especí co do gelo é 2010 J/kg ◦ C . onde P0 é a pressão na altura zero.sobre suas vizinhanças. segunda lei e máquinas térmicas de 27 g . para longe no oceano. a) Mostre que a grandeza T P (1−γ)/γ tem um valor uniforme nas camadas da troposfera. dy A profundidade da troposfera é pequena comparada ao raio da Terra. b) Diferenciando em relação à altitude y . Tf 24. Considerando um refrigerador ideal de Carnot. de c até a. de um ponto a até o ponto b. qual é a quantia máxima de calor que pode ser extraída do congelador 7 . é aquecido até um estado nal com pressão de 2 atm e volume de 0. Um mol de um gás monoatômico ideal. com volume Vb = 10−3 m3 . da seguinte forma |W | = |Qf | Tq − Tf . 04 m3 . respectivamente. e o gás comprimido no condesador tenha a temperatura de 26 o C ? b) Se o motor do refrigerador estiver trabalhando com potência de 200 W . expansão adiabática do ponto b até o ponto c. realizado pelo motor. Um mol de um gás ideal monoatômico é submetido ao seguinte ciclo: 23.ligados por uma válvula. Qf . 025 m3 . fechando o ciclo. mostre que o trabalho a) Qual o coe ciente de rendimento para um refrigerador cujas bobinas de refrigeração estejam na temperatura de −13 o C . onde a pressão é pb = 10 atm. b) o calor que o gás libera para o meio ambiente processo. onde o volume é Vc = 8Vb . Inicialmente o compartimento do lado direito está totalmente vazio. Determine a variação da entropia do 22. c) o trabalho líquido realizado pelo gás e a e ciência do ciclo. Qual a variação total da entropia quando o sistema atinge o estado de equilíbrio? Há alguma variação de temperatura? transformação isocórica (volume constante). relaciona-se com o calor absorvido do reservatório frio. e as temperaturas dos reservatórios frio e quente. W . transfomação isobárica. Tf e Tq . Calcule: a) o calor adicionado ao gás no processo. 1 atm e com um volume de 0. Liga-se então a válvula permitindo que o gás possa uir para o lado direito. inicialmente à pressão de gás neste processo. volumes e temperaturas desconhecidos na tabela abaixo A B C D P (kP a) 1400 V (l) T (K ) 10 720 24 15 P1 V 1 − P2 V 2 . o trabalho realizado pela máquina e a mudança na energia interna para cada uma das etapas. No ponto A de um ciclo de Carnot. isto é. Durante uma expansão adiabática reversível de um gás ideal. e b) Encontre a energia adicionado pelo calor. 2. γ−1 27. onde o seu volume é de 24 litros. |Q3 |/|Q1 |. expansão isobárica à pressão p0 . em termos das quatro temperaturas dadas. Esse sistema expande-se isotermicamente até o ponto B. B → C. Mostre que o trabalho feito por um gás que se expande do estado (P1 . A → B. Finalmente o gás volta ao ponto A através de um processo adiabático. Uma compressão isotérmica leva o sistema ao ponto D. c) Calcule o rendimento Wmaq /|Qabs |. V1 ) até o estado (P2 . C → D. 34 moles de um gás ideal monoatômico têm uma pressão de 1400 kP a. V2 ) é dado por W = 25. Um mol de um gás ideal monoatômico é submetido ao seguinte ciclo: . a depois continua se expandindo adiabaticamente até o ponto C. de um ponto a onde o volume é V0 até o 8 28. Encontre a razão entre o calor liberado pelo refrigerador para o reservatório na temperatura T3 e o calor absorvido do reservatório à temperatura T1 pela máquina. pressão e o volume obedecem a relação P V γ = constante. Demonstre que ele é igual ao rendimento da máquina de Carnot.em dez minutos quando a sua temperatura for de 270 K e a temperatura do exterior for de 300 K ? (T1 > T2 ) fornece trabalho a um refrigerador de Carnot que trabalha entre as temperaturas T3 e T4 (T3 > T4 ). Uma máquina de Carnot funcionando entre as temperaturas T1 e T2 26. onde o volume passa a ser de 15 litros. volume de 10 litros e temperatura de 720 K . e D→ A. a) Determine todas as pressões. o calor líquido transferido ao gás e a e ciência da máquina. de Stirling. a) Quanto trabalho é realizado pelo gás partindo de a até c na trajetória abc? b) Quais são as mudanças na energia interna e na entropia indo de b até c? c) Quais são as mudanças na energia interna e na entropia quando se realiza o ciclo completo? Expresse todas as respostas em termos da pressão p0 . liberdade é submetido a um processo de aquecimento. transformação isocórica. Mostre que a variação da entropia do gás é dada por ∆S = nR ln Pf Pi f /2 29. do volume V0 e da temperatura inicial T0 no ponto a. Determine.ponto b onde volume é 4V0 . Vf ). Uma quantidade xa de gás inerte move-se ciclicamente entre os cilindros. Robert Stirling. A gura abaixo representa um modelo para seu ciclo termodinâmico. expandindo-se no cilindro quente e se contraindo no frio. para a qual desde então se encontraram muitas aplicações. do ponto b até o ponto c onde a pressão é 2p0 . um clérigo escocês. O combustível é queimado externamente para aquecer um dos dois cilindros da máquina. em termos de n. passando de um estado inicial (Pi . Considere n moles de um gás monoatômico ideal que está atravessando uma vez o ciclo. inventou a máquina 9 . R e Ti . Em 1827. compressão do ponto c de volta ao ponto a. Vi ) para um estado nal (Pf . Um sistema uido com n moles de uma molécula com f graus de Vf Vi f +1 2 . 30. consistindo de dois processos isotérmicos às temperaturas 3Ti e Ti e de dois processos a volume constante. Em B a gasolina é in amada pela vela. quando os gases de exaustão são eliminados do cilindro. Prove que o rendimento do motor é dado por η = 1 − r1−γ . a pressão eleva-se rapidamente enquanto a gasolina se queima no processo B → C .de combustão interna de um automóvel. 31. O pistão sobe para a extremidade fechada do cilindro para comprimir adiabaticamente a mistura no processo A → B . No curso de potência C → D. *** O ciclo de Otto na gura abaixo modela a operação do motor 10 . Uma mistura de vapor de gasolina e ar é injetada em um cilindro enquanto o pistão abaixa durante o curso O → A da entrada. Os produtos da combustão esfriam mais ainda em um processo isocórico D → A e no curso A → O da exaustão. Suponha que um único valor da razão de capacidades calorí cas γ caracteriza tanto a mistura ar-combustível quanto os gases de exaustão após a combustão. O parâmetro r = V1 /V2 é a razão de compressão do motor. os produtos da combustão se expandem adiabaticamente enquanto forçam o pistão para baixo. a pressão constante. de mesma massa m mas a tem- onde CP é o calor especí co da água a pressão constante. 33. > 0. 32. Considere o lançamento de três dados. são misturadas adiabaticamente. Duas quantidades iguais de água. Mostre também que ∆Suniv. = 2mCP ln T1 + T2 √ 2 T1 T2 . Mostre que a mudança de entropia no universo é dada por ∆Suniv. Construa uma tabela com o número de microestados correspondentes a cada macroestado possível.Interpretação estatística da entropia. Quais são os macroestados mais prováveis? Em termos de entropia qual o macroestado mais desordenado? E o mais ordenado? peraturas diferentes. T1 e T2 . 11 . entropia do universo.