Lista_1_POI_1_2011 (2)

Lista 1 - POI1ª Questão Há uma e só uma alternativa certa para cada item: 1.1) Uma condição indispensável para um problema de decisão é: a) existir mais de uma alternativa de decisão b) existirem vários objetivos definidos pelo agente de decisão c) o agente de decisão ser analista de PO d) existirem exatamente duas alternativas de decisão 1.2) Sobre a metodologia da PO a) Cada problema exige uma adequação da metodologia adotada b) As fases de construção do modelo e de obtenção de uma solução são, em certos casos, prescindíveis. c) todas as fases têm de ser aplicadas seguindo uma ordem pré-estabelecida, começando uma fase, quando a anterior acabou. d) Há problemas de decisão estratégicos em que o agente de decisão é irrelevante 1.3) A PO lida essencialmente com... a) b) c) d) problemas de decisão a análise de operações militares programação (linear) de computadores problemas estratégicos 2ª Questão : Formular os seguintes problemas de PL. a) Um nutricionista precisa estabelecer uma dieta contendo, pelo menos, 10 unidades de vitamina A, 30 unidades de vitamina B e 18 unidades de vitamina C. Essas vitaminas estão contidas em quantidades variadas em 5 alimentos que vamos chamar de s1, s2, s3, s4 e s5. O quadro abaixo fornece o número de unidades das vitaminas A, B e C contida em cada unidade de cada um dos 5 alimentos, bem como o custo unitário de dada alimento. alimento vitamina A B C custo (R$) s1 0 2 3 4 s2 1 1 1 2 s3 5 0 0 1 s4 4 3 9 10 s5 3 2 0 5 Determine o cardápio saudável de custo mínimo. b) Uma determinada empresa está interessada em maximizar o lucro mensal proveniente de quatro de seus produtos, designados por I, II, III e IV. Para fabricar essas produtos, ela utiliza dois tipos de máquinas (M1 e M2) e dois tipos de mão-de-obra (MO1 e MO2) que têm as seguintes disponibilidades: Máquinas M1 M2 Disponibilidades (maq-hora/mês) 80 20 Mãos-de-Obra MO1 M02 Disponibilidades (homem-hora/mês) 60 40 O setor técnico da empresa fornece os seguintes coeficientes, que especificam o total de horas de máquina e horas de mão-de-obra necessários para a produção de uma unidade de cada produto. Produtos Produtos mas que difere na sua duração.00 e o do cinto é de $2. iv) O veneno A custa 100 peças de ouro e o veneno B 400 peças de ouro por quilo. são dados no quadro seguinte: Artigo Recurso M.00 Deseja-se planejar a produção mensal da empresa que maximize o lucro. iii) O veneno A mata 75 pessoas por quilo e o veneno B. Estes recursos são limitados. Os biscoitos são processados em três operações básicas: MISTURA. máquinas e matérias primas. ela considerava algumas limitações impostas às suas pretensões: i) se ela usasse mais de 0.5 horas respectivamente. Naqueles dias cruéis. havia dois tipos de veneno que ela costumava usar: A e B. num certo período. cada um exigindo um tratamento industrial semelhante. respectivamente.00 por caixa e o doce. mais poderoso. e 5 cintos por hora. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade de couro para fabricar uma unidade de cinto. O prato principal era temperado com veneno. c) Uma fábrica produz dois artigos utilizando os mesmos recursos de pessoal. Quantas caixas de cada tipo deve fabricar para obter lucro máximo? f) Um sapateiro faz 6 sapatos por hora. Ajude Lucrécia a programar o jantar de custo mínimo. mas dispunha de quantia reduzida. e) Uma padaria confecciona biscoitos salgados e doces.00. Antes de preparar o jantar. 13 horas e 4.00 8. se fizer somente cintos. 20 min. O tempo disponível para cada operação é de 7..OBRAI MOBRAII EQPI EQPII MATPRIMAI MATPRIMAII LUCRO UNIT. A(uso/unidade) 10 20 30 12 15 5 B(uso/unidade) 10 20 10 10 9 10 8 Disponibilidade 30 Hh 70Hh 80h 130h 120ton 100ton Quais as quantidades que devem ser produzidas de cada artigo para obtenção do lucro máximo? d) De vez em quando Lucrécia Bórgia convidava 50 inimigos para jantar. pede-se: o modelo do sistema de produção do sapateiro. respectivamente. 20 min.5 kg de veneno. g) Uma indústria produz três tipos de enlatados. e 3 min.00 9. os tempos necessários em cada operação são: SALGADO: 10 min. DOCE: 15 min. se o objetivo é maximizar seu lucro por hora..00 por caixa. mata 200 pessoas por quilo. Assim.4 horas. bem como os lucros unitários relativos a cada artigo. Lucrécia preparou um jantar maravilhoso. Os recursos necessários à fabricação de cada unidade dos artigos e as disponibilidades. independente do tipo. Para cada caixa de biscoito. se fizer somente sapatos. os convidados iriam perceber pelo paladar e se recusariam a comer.Máquinas M1 M2 I 5 2 II 4 6 III 8 - IV 9 8 Mãos-de-obra MO1 MO2 I 2 7 II 4 3 III 2 - IV 8 7 O setor comercial da empresa fornece as seguintes informações: Produtos I II III IV Potencial de vendas (unid/mês) 70 60 40 20 Lucro unitário (R$/unid) 10.00 7. e 5 min. se menos que ½ então será você que morrerá”. cada 1000 caixas de sopa de tomate exigem 200 horas de mão-de-obra e 6 horas de . Sabendo-se que o total disponível de couro é de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de $5. A padaria pode fabricar no máximo 200 caixas de biscoitos. que pretendia gastar de maneira que lhe sobrasse para promover outros jantares. o biscoito salgado dá um lucro de R$4. COZIMENTO e EMBALAGEM. um lucro de R$ 3.. ii) Lucrécia acreditava muito em sua feiticeira particular que lhe havia recomendado:”Um de A e dois de B. suco e molho é de R$ 3.4 respectivamente. R$ 2. Determinar o esquema de produção que atenda a estes compromissos e que gaste a menor quantidade possível de chapas. Horário 1 às 5 horas 5 às 9 horas 9 às 13 horas 13 às 17 horas 17 às 21 horas 21 às 1 hora Quantidade de Motoristas 15 30 26 32 30 19 Considerando que cada motorista trabalha 8 horas seguidas e que o serviço pode ser iniciado às 1. por semana.00 m e 0.000 horas de mão-de-obra e de 168 horas de equipamento.800 peças sejam inspecionadas em 8 horas por dia. pede-se a formulação do modelo que atenda às restrições e alcance o objetivo pretendido. Supondo que a empresa deseja maximizar seu lucro.50 e R$ 1. responsáveis pelo controle de qualidade. é de 5. de modo que o número destes seja mínimo. 5. A tabela a seguir especifica a quantidade de motoristas necessários. elaborar um plano de trabalho para os motoristas . os inspetores tipo I podem inspecionar peças numa taxa de 25 por hora. . com uma confiabilidade de 98%. 13.40 m.00.000 caixas de suco de tomate que sua disponibilidade. i) Uma fábrica produz tampas de dois tamanhos utilizando uma chapa de dimensões 1. Na estamparia existem 3 tipos de matrizes que podem ser utilizadas para o corte. 9. 17 ou 21 horas. respectivamente. A fábrica deve produzir pelo menos 400 tampas pequenas e 300 tampas grandes. com confiabilidade de 95%. cada 1000 caixas de suco de tomate exigem 80 horas de mão-de-obra e 4 horas de equipamento e cada 1. sabe-se que a empresa não consegue vender mais do que 4. para atender compromissos já contratados.ocupação de equipamentos. os tipos II inspecionam 15 peças por hora. sabe-se que as estampas têm diâmetros de 0. I e II. Há necessidade que pelo menos 1. h) Devido ao número inconstante de passageiros uma companhia de ônibus necessita um número variado de motoristas dependendo do horário considerado.00. O lucro por cada caixa produzida de sopa.000 caixas de molho de tomate exigem 300 horas de mão-de-obra e 7 horas de equipamento. MATRIZ I MATRIZ II MATRIZ III j) Uma fábrica tem dois tipos de inspetores.2 e 0. algebricamente. geometricamente.00/hora para o tipo II. juntos. Um PPl tem sempre . pelo menos. Para ajudar a si próprio no processo de seleção. Um PPL pode não ter solução ótima d. 4ª Questão Uma das seguintes afirmações é falsa: Se um PPL tiver uma e apenas uma solução ótima a. Um PPL pode ter um número infinito de soluções ótimas c. Há 5 itens que o excursionista deseja levar consigo. mas não ter nenhuma solução ótima com valor finito. esta é necessariamente uma solução básica sem variáveis com valor negativo. Um PPL pode ter soluções viáveis. ele atribuiu valores. k) Um excursionista planeja fazer uma viagem acampando. cada erro de qualquer dos inspetores custa à fábrica R$ 2. Há disponíveis 8 inspetores tipo I e 10 do tipo II. geometricamente. esta corresponde a uma base viável d. . mas estes.00. esta corresponde a um ponto extremo c. uma solução viável: a solução em que todas as variáveis de decisão têm valor nulo b. algebricamente.Os salários são de R$ 4.00/hora para o tipo I e de R$ 3. esta pode não corresponder a um ponto extremo b. Determine o número ótimo de inspetores que minimizam o custo total de inspeção. a cada um dos itens segundo a tabela a seguir: item peso (kg) valor 1 52 100 2 23 60 3 35 70 4 15 15 5 7 15 Que itens devem ser conduzidos de forma a maximizar o valor total sem exceder as restrições de peso? 3ª Questão Uma das seguintes afirmações é falsa: a. excedem o limite de 60 quilos que ele supõe ser capaz de carregar. por ordem crescente de importância. EQ z 1 2 3 a) Identifique as VB’s.0) é necessariamente uma solução ótima. y ≥ 0 8ª Questão Considere o problema de programação linear (PPL) a seguir: minimizar z = 2x1 + x2 sujeito a -x1 + 2x2 ≤ 4 x1 + x2 ≤ 6 x1 + 3x2 ≤ 9 x1.3y ≤· 6 sa .3x + 2y ≤· 6 x + y ≤· 4 5x + 4y ≥ 20 x.y sa 2x . 6ª Questão Encontre o conjunto de pontos que maximiza z = 8x + 10y sujeito aos vínculos 2x + 3y ≤ 6 x + 2y ≥ 6 x≥0 y≥ 0 .x2 ≥ 0 Resolva-o pelo simplex 9ª Questão O quadro abaixo representa uma das iterações do método simplex para o problema padrão. existe pelo menos uma FO para o qual o problema é impossível c. Analise cada um deles quanto às soluções.5ª Questão Considere a representação gráfica da região viável de um PPL. y ≥ 0 8x + 3y ≥ 24 x ≥ 0.7ª Questão Resolva graficamente os problemas de programação linear dados abaixo: (a) Max z = 3x + 2y (b) Min z = 3x . se o problema for de minimização. a. Qualquer que seja a FO o problema não tem solução ótima finita b. a) EQ z 1 2 VB x1 x2 x1 0 1 0 x2 0 0 1 x3 2 1 0 x4 0 2 1 B 10 2 -1 b) EQ z 1 2 VB x1 x2 x1 0 1 0 x2 0 0 1 x3 4 1 2 x4 2 2 0 B 10 4 0 VB x1 0 1 0 0 x2 0 0 1 0 x3 -4 1 0 2 x4 5 0 ½ -1 x5 0 0 0 0 x6 0 0 0 1 B 1280 80 40 20 . podendo ou não haver soluções ótimas alternativas. b) Escreva as equações correspondentes c) Identifique a solução correspondente c) A solução é ótima? Por quê? 10ª Questão Cada um dos quadros abaixo representa o final de uma iteração de um problema de maximização. existem várias funções objetivo para as quais o problema tem uma e somente uma solução ótima d. o ponto (0. . x2 ≥ 0 b) Max z = 3x1 + 5x2 +2x3 -2x1 +2x2 + x3 ≤ 5 3x1 + 2x2 . indicada do alimento i. o agente de decisão ser analista de PO d. x2 ≥ 0 d) max z = x1 + 3x2 sa x1 ≤ 5 x1 +2 x2 ≤ 10 x2 ≤ 4 x1. mas o problema ilimitado. existirem exatamente duas alternativas de decisão 1. começando uma fase. . a) problemas de decisão b) a análise de operações militares c) programação (linear) de computadores d) problemas estratégicos 2ª Questão: (a) xi -> Quant.. x2. prescindíveis. mas não é ótima.1) Uma condição indispensável para um problema de decisão é: a. existirem vários objetivos definidos pelo agente de decisão c. a solução pode ser melhorada substituindo-se a variável x5 da base por x2 EQ VB Z 1 x1 2 x5 3 x3 12ª Questão: Resolva os seguintes PPls: a) Max z = -2 x1 + 5 x2 2x1 + 3x2 ≤ 9 -3x1 + 2x2 ≤ 8 x1. E são desconhecidos.11ª Questão O quadro seguinte representa a solução de um problema standard de maximização.x3 ≤ 10 x1. d) Há problemas de decisão estratégicos em que o agente de decisão é irrelevante 1. D..2) Sobre a metodologia da PO a) Cada problema exige uma adequação da metodologia adotada b) As fases de construção do modelo e de obtenção de uma solução são. quando a anterior acabou. 5 Min z = 4 x1 + 2x2 + x3 + 10 x4 + 5x5 . 2. B. x2 ≥ 0 x1 0 1 0 0 x2 A 0 D 2 x3 0 0 0 1 x4 3 2 -2 1 x5 0 0 1 0 x6 B 0 C -1 B 2 E 8 Gabarito: 1ª Questão Há uma e só uma alternativa certa para cada item: 1..3) A PO lida essencialmente com. x3 ≥ 0 c) max z = x1 + 5 x2 2x1 + x2 ≤ 10 sa x1 + 2 x2 ≤ 10 x1. Estabeleça condições para estas constantes para que: a) a solução seja ótima e única b) a solução seja ótima e múltipla c) a solução não seja compatível d) a solução seja degenerada e) a solução seja compatível. existir mais de uma alternativa de decisão b. f) a solução compatível. Os valores das constantes A.. C. em certos casos. c) todas as fases têm de ser aplicadas seguindo uma ordem pré-estabelecida. i = 1. 10 8 POTENCIAL (UN/MÊS) I: 70 II: 60 III: 40 IV: 20 Max z = 10 x1 + 8x2 + 9x3 + 7 x4 S.5 75 x1 + 200 x2 >= 50 x1 >= 0 x2 >= 0 (e) xi . a x1 + x2 <= 0.S.. fabricada. 2. 2 Max z = 5 x1 + 8 x2 S.a 10 x2 <= 30 10 x1 + 20 x2 <= 70 20 x1 + 10 x2 <= 80 30 x1 + 10 x2 <= 130 12 x1 + 9 x2 <= 120 15 x1 + 10 x2 <= 100 x1 >= 0 x2 >= 0 (d) xi . (i=1. a 10 x1 + 15 x2 <= 444 20 x1 + 20 x2 <= 780 5 x1 + 3 x2 <= 270 x1 + x2 <= 200 x1 >= 0 x2 >= 0 (f) X1 = nº de sapatos/h X2 = nº de cintos/h Max z = 5 x1 + 2x2 III 8 2 9 IV 9 8 8 7 7 DISPONIB. a x2 + 5x3 + 4x4 + 3x5 ≥ 10 2x1 + x2 + 3x4 + 2x5 ≥ 30 3x1 + x2 + 9x4 ≥ 18 xi ≥ 0. i= 1.5 x1 + 2 x2 >= 0. a 5x1 + 4 x2 + 8x3 + 9x4 ≤ 80 2x1 + 6 x2 + 8x4 ≤ 20 2x1 + 4 x2 + 2x3 + 8x4 ≤ 60 7x1 + 3 x2 + 7x4 ≤ 40 0 ≤ x1 ≤ 70 0 ≤ x2 ≤ 60 0 ≤ x3 ≤ 40 0 ≤ x4 ≤ 20 (c) xi . produzida do artigo i.Quant. . 2) a ser adquirido Min z = 100 x1 + 400 x2 S. em kg do veneno i.Quant. de caixas a ser fabricada do biscoito i Max z = 4 x1 + 3 x2 S. por mês.Quant. 80 20 60 80 . do produto i i = 1.. 4 I II M1 5 4 M2 2 6 MO1 2 4 MO2 7 3 LUCRO/UN. ∀ i (b) xi -> Quant. x3. i= 1. x5 e x6>= 0.. uma solução viável: a solução em que todas as variáveis de decisão têm valor nulo 4ª Questão Uma das seguintes afirmações é falsa: Se um PPL tiver uma e apenas uma solução ótima a) geometricamente. 2. de motoristas no horário i i = 1. a 10 x1 + 6 x2 + 2 x3 >= 400 1 x2 + 2x3 >= 300 x1. Min z = x1 + x2 + x3 S. 2. x2. de chapas utilizadas com a matriz i.. .. a) Qualquer que seja a FO o problema não tem solução ótima finita b) existe pelo menos uma FO para o qual o problema é impossível c) existem várias funções objetivo para as quais o problema tem uma e somente uma solução ótima . esta é necessariamente uma solução básica sem variáveis com valor negativo. a x1 + x6 >= 15 x2 + x1 >= 30 x3 + x2 >= 26 x4 + x3 >= 32 x5 + x4 >= 30 x6 + x5 >= 19 x1. a 200 x1 + 80 x2 + 300 x3 ≤ 5000 6 x1 + 4 x2 + 7 x3 ≤ 168 x2 ≤4 x1. 3. a 10 x1 + 12 x2 ≤ 60 2 x1 + 1 x2 ≤ 6 x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0 (g) xi – Quant.1} 3ª Questão Uma das seguintes afirmações é falsa: a) Um PPl tem sempre .. em 1000 caixas. x2 >= 0 e inteiro (k) xi – item a ser levado pelo excursionista Max z = 100 x1 + 60 x2 + 70 x3 + 15 x4 + 15 x5 S.S. pelo menos. esta corresponde a um ponto extremo c) algebricamente. 5ª Questão Considere a representação gráfica da região viável de um PPL. x3 >= 0 (h) xi – Quant. x2. a 200 x1 + 120 x2 >= 1800 x1 <= 8 x2 <= 10 x1. a 52 x1 + 23 x2 + 35 x3 + 15 x4 + 7 x5 <= 60 xi ∈ {0. x4. de inspetores do tipo i Min z = 40 x1 + 36 x2 s. x2. produzida do enlatado i Max z = 3000 x1 + 2500 x2 + 1000 x3 S. x3 >= 0 e inteiro (j) xi – Quant. inteiras (i) xi – Quant. esta pode não corresponder a um ponto extremo b) geometricamente. esta corresponde a uma base viável d) algebricamente. 6 Min z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 S. Analise cada um deles quanto às soluções. x6 = 20 . z = 12 9ª Questão O quadro abaixo representa uma das iterações do método simplex para o problema padrão. E são desconhecidos.2 . x2 = 3 e z = 15 b. E >= 0. 10ª Questão Cada um dos quadros abaixo representa o final de uma iteração de um problema de maximização. x1 = 15. x3 = 35 e z = 115 c.d) se o problema for de minimização. 6ª Questão Z = 24. ainda há coeficiente negativo na linha de Z. podendo ou não haver soluções ótimas alternativas. Estabeleça condições para estas constantes para que: a) a solução seja ótima e única A. mas o problema ilimitado.6 . mas não é ótima. o ponto (0. x2 = 4 e z = 14 . x1 = 2. Z ótimo = 11. Os valores das constantes A. x2. A <0.6 b) x = 1. B <0. D > 0. Z ótimo = -1. EQ z 1 2 3 a) Identifique as VB’s. B < A. B. x1 = 0. A < B.8 .2 8ª Questão x1 =6 e x2 = 0 . y = 4. x2 = 0. B > 0 b) a solução seja ótima e múltipla A = 0 e B >= 0 ou A >= 0 e B = 0 c) a solução não seja compatível E < 0 d) a solução seja degenerada E = 0 e) a solução seja compatível.4 . x2 = 5 e z = 25 d. a) ótima. x6 b) Escreva as equações correspondentes c) Identifique a solução correspondente x1 = 80 . a solução pode ser melhorada substituindo-se a variável x5 da base por x2 E >= 0. única e degenerada 11ª Questão O quadro seguinte representa a solução de um problema standard de maximização. y = 0 7ª Questão a) x = 3. y = 0. não compatível b) ótima.0) é necessariamente uma solução ótima. x1. x1 = 0. E/D < 8/2 EQ Z 1 2 3 VB x1 x5 x3 x1 0 1 0 0 x2 A 0 D 2 x3 0 0 0 1 x4 3 2 -2 1 x5 0 0 1 0 x6 B 0 C -1 B 2 E 8 VB x1 0 1 0 0 x2 0 0 1 0 x3 -4 1 0 2 x4 5 0 ½ -1 x5 0 0 0 0 x6 0 0 0 1 B 1280 80 40 20 12ª Questão a. x2 = 40 . C. D. z = 1280 c) A solução é ótima? Por quê? Não. x = 3. C <= 0 f) a solução compatível. múltipla. 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