1Universidade Federal do Ceará Centro de Tecnologia – Curso de Engenharia de Energias e Meio Ambiente Disciplina: Física Fundamental – Professora: Talita – Data: ____/____/____ Nome: __________________________________________ – Matrícula: _____________ 10 a lista de exercícios Momento Angular "Tenho a impressão de ter sido uma criança brincando à beira-mar, divertindo-me em descobrir uma pedrinha mais lisa ou uma concha mais bonita que as outras, enquanto o imenso oceano da verdade continua misterioso diante de meus olhos. Se eu vi mais longe, foi por estar de pé sobre ombros de gigantes.” Isaac Newton. 1. Mostre que o momento anular, em relação a um ponto qualquer, de uma partícula que se move com velocidade uniforme, permanece constante durante o movimento. 2. A figura mostra duas rodas, A e B, ligadas por uma correia. O raio de B é três vezes maior do que o de A. Qual seria a razão dos momentos de inércia I A /I B , se (a) ambas tivessem o mesmo momento angular e (b) ambas tivessem a mesma energia cinética de rotação? Suponha que a correia não escorregue. Resposta: (a) I A /I B = 1/3 (b) I A /I B = 1/9 3. Ache o momento angular da Terra em sua rotação em torno do seu próprio eixo, utilizando os dados abaixo. Suponha que a Terra seja uma esfera uniforme. Dados: Massa da Terra: m T = 5,98×10 24 kg Raio da Terra: r T = 6,37×10 6 m. Resposta: L ~ 7,06·10 33 kg·m 2 /s 4. Os bons jogadores de bilhar sabem que, para fazer uma bola de bilhar rolar sem escorregar, deve-se bater com o taco exatamente a uma altura de 2R/5 do centro, e não no centro da bola. Prove isto. 2 5. Um disco uniforme de massa 10m e raio 3,0r pode girar livremente como um carrossel em torno do centro fixo. Um disco uniforme menor, de massa m e raio r está sobre o disco maior, concêntrico com ele. Inicialmente, os dois discos giram juntos com velocidade angular de 20 rad/s. Em seguida, uma pequena perturbação faz com que o disco menor deslize para fora em relação ao disco maior, até que sua borda fique presa na borda do disco maior. Depois disso, os dois discos passam novamente a girar juntos (sem que haja novos deslizamentos). (a) Qual é a velocidade angular final do sistema em relação ao centro do disco maior? (b) Qual é a razão K/K 0 entre a nova energia cinética do sistema e a energia cinética inicial? Resposta: (a) 18 rad/s (b) 0,92 6. Na figura seguinte, um cilindro maciço de raio 10 cm e massa 12 kg parte do repouso e rola para baixo de uma distância L = 6,0 m, sem deslizar, em um teto inclinado de um ângulo u = 30°. (a) Qual é a velocidade angular do cilindro em relação ao seu centro ao deixar o teto? (b) A borda do teto está a uma altura H = 5,0 m. A que distância horizontal da borda do teto o cilindro atinge o chão? Resposta: (a) 63 rad/s (b) 4,0 m 7. Em uma demonstração de aula, um trem elétrico de brinquedo, de massa m, é montado em seu trilho em uma roda que pode girar em torno de seu eixo vertical com atrito desprezível. O sistema está em repouso quando a energia é ligada. O trem atinge a velocidade v em relação ao trilho. Qual é a velocidade angular e da roda, se a sua massa for M e seu raio R? Resposta: R M m mv R ) ( + = e 8. Suponha que o combustível nuclear do sol se esgote e ele sofra um colapso brusco, transformando-se numa estrela anã branca com diâmetro igual ao da Terra. Supondo que não haja perda de massa, qual seria o seu novo período de rotação, sabendo-se que o atual é de 25 dias? Suponha que o sol e a anã branca sejam esferas uniformes. Dado: Raio do sol r S = 6,96×10 8 m. Resposta: T ~ 180 dias. 9. Na figura ao lado, uma bola de massa M e raio R rola suavemente, a partir do repouso, descendo uma rampa e passando por uma pista circular com 0,48 m de raio. A altura inicial da bola é h = 0,36 m. Na parte mais baixa da curva, o 3 módulo da força normal que a pista exerce sobre a bola é 2,00Mg. A bola é formada por uma casca esférica externa (com uma certa densidade uniforme) e uma esfera central (com uma densidade uniforme diferente). O momento de inércia da bola é dado pela expressão geral 2 MR I | = , mas | não é igual a 0,4, como no caso de uma bola com densidade uniforme. Determine o valor de |. Resposta: 0,50 10. A barra uniforme (de 0,60 m de comprimento e 1,0 kg de massa) da figura seguinte gira no plano do papel em torno de um eixo que passa por uma das extremidades, com um momento de inércia de 0,12 kg· m 2 . Quando a barra passa pela posição mais baixa colide com um pedaço de massa de modelar de 0,20 kg, que fica grudado na sua extremidade. Se a velocidade angular da barra imediatamente antes da colisão é 2,4 rad/s, qual é a velocidade angular do sistema haste-massa de modelar imediatamente após a colisão? Resposta: 1,5 rad/s 11. Uma barra fina uniforme com 0,5 m de comprimento e massa de 4,0 kg pode girar em um plano horizontal em torno de um eixo vertical passando pelo centro. A barra está em repouso quando uma bala de 30 g é disparada, no plano de rotação, em direção a uma das extremidades. Vista de cima, a trajetória da bala faz um ângulo u = 60° com a haste. Se a bala se aloja na barra e a velocidade angular da barra é 10 rad/s imediatamente após a colisão, qual é a velocidade angular da bala imediatamente antes do impacto? Resposta: 1,3· 10 3 m/s 12. Uma bola maciça uniforme rola suavemente em um piso horizontal e depois começa a subir em uma rampa com uma inclinação de 15°. A bola pára momentaneamente após ter rolado 1,50 m ao longo da rampa. Qual era sua velocidade inicial? Resposta: 2,33 m/s 13. Um disco uniforme de massa M e raio R gira com velocidade angular e 0 em torno de um eixo horizontal que passa por seu centro. (a) Determine a energia cinética e o momento angular do disco. (b) Um pedaço de massa m quebra na beirada do disco e sobe 4 verticalmente acima do ponto do qual se desprendeu. Até que altura ele sobe, antes de começar a cair? Resposta: (a) 4 2 0 2 e MR K = e 2 0 2 e MR L = (b) g R h 2 2 2 0 e = 14. A figura a seguir é uma vista superior de uma barra fina uniforme de comprimento 0,600 m e massa M girando horizontalmente a 80,0 rad/s no sentido anti-horário em torno de um eixo que passa pelo centro. Uma partícula de massa M/3,00, que se move horizontalmente com uma velocidade de 40 m/s, choca-se com a barra e fica presa. A trajetória da partícula é perpendicular à barra no momento do choque, que ocorre a uma distância d do centro da barra. (a) Para que valor de d a barra e a partícula permanecem em repouso após o choque? (b) Em que sentido a barra e a partícula começam a girar se d é maior que o valor calculado no item (a)? Resposta: (a) 0,180 m (b) Horário. 15. Uma bola de bronze, sólida, de massa 0,280 g rolará suavemente ao longo do trilho em loop quando solta do repouso ao longo do trecho retilíneo inclinado. O loop circular tem raio R = 14 cm e a bola tem raio r << R. (a) Quanto vale h se a bola deve estar na iminência de perder o contato com o trilho quando ela alcança o topo do loop? (b) Se a bola for solta da altura h = 6R, qual é a intensidade da força atuante sobre ela no ponto Q? Resposta: (a) h = 37,8 cm (b) F = 1,96·10 -2 N 16. Na figura seguinte, uma bola sólida rola suavemente a partir do repouso (começando na altura H = 6 m) até deixar a parte horizontal do fim da pista, a uma altura h = 2 m. A que distância horizontal do ponto A a bola toca o piso? Resposta: 4,8m. 5 17. Uma plataforma horizontal com a forma de um disco circular gira sem atrito em torno de um eixo vertical que passa pelo centro do disco. A plataforma tem uma massa de 150 kg, um raio de 2,0 m e um momento de inércia de 300 kg· m 2 em relação ao eixo de rotação. Uma estudante de 60 kg caminha lentamente da borda da plataforma em direção ao centro. Se a velocidade angular do sistema é 1,5 rad/s quando a estudante está na borda, qual é a velocidade angular quando ela está a 0,50 m de distância do centro? Resposta: 2,6 rad/s. 18. Na figura seguinte, um pequeno bloco de 50 g desliza para baixo em uma superfície curva sem atrito a partir de uma altura h = 20 cm e depois adere a uma barra uniforme de massa 100 g e comprimento 40 cm. A barra gira de um ângulo u em torno do ponto O antes de parar momentaneamente. Determine u. Resposta: 32° 19. Duas bolas de 2,0 kg estão presas às extremidades de uma barra fina de 50 cm de comprimento e massa desprezível. A barra está livre para girar sem atrito em um plano vertical em torno de um eixo horizontal que passa pelo centro. Com a haste inicialmente na horizontal, um pedaço de massa de modelar de 50 g cai em uma das bolas, atingindo-a com uma velocidade de 3,0 m/s e aderindo a ela. (a) Qual é a velocidade angular do sistema imediatamente após a colisão com a massa de modelar? (b) Qual é a razão entre a energia cinética do sistema após a colisão e a energia cinética do pedaço de massa de modelar imediatamente antes da colisão? (c) De que ângulo o sistema irá girar antes de parar momentaneamente? Resposta: (a) 0,148 rad/s (b) 0,0123 (c) 181° 20. Na figura seguinte, duas patinadoras, cada uma com massa de 50 kg, se aproximam uma da outra ao longo de trajetórias paralelas, separadas por 3 m. Elas têm velocidades opostas de 1,4 m/s cada. Uma das patinadoras carrega uma baliza longa de massa desprezível segurando-a em uma extremidade e a outra a agarra à outra extremidade quando a primeira passa por ela. As patinadoras passam então a girar em torno do centro da baliza. Suponha que o atrito entre as patinadoras e o gelo é desprezível. Quais são (a) o raio co círculo, (a) a velocidade angular das patinadoras e (c) a energia cinética do sistema de duas patinadoras? Resposta: (o) r =1.5 m (|) e = 0,93 rad/s (c) K = 98 J Bom trabalho! sabendo-se que o atual é de 25 dias? Suponha que o sol e a anã branca sejam esferas uniformes. O trem atinge a velocidade v em relação ao trilho. 9.Um disco uniforme de massa 10m e raio 3. se a sua massa for M e seu raio R? Resposta: mv R (m M ) R 8. Na figura seguinte. em um teto inclinado de um ângulo = 30°. de massa m e raio r está sobre o disco maior.0 m. Em seguida. Na figura ao lado. Supondo que não haja perda de massa. Dado: Raio do sol rS = 6. Em uma demonstração de aula. Depois disso. sem deslizar. concêntrico com ele. descendo uma rampa e passando por uma pista circular com 0. uma pequena perturbação faz com que o disco menor deslize para fora em relação ao disco maior. os dois discos passam novamente a girar juntos (sem que haja novos deslizamentos). (a) Qual é a velocidade angular final do sistema em relação ao centro do disco maior? (b) Qual é a razão K/K0 entre a nova energia cinética do sistema e a energia cinética inicial? Resposta: (a) 18 rad/s (b) 0. a partir do repouso. um cilindro maciço de raio 10 cm e massa 12 kg parte do repouso e rola para baixo de uma distância L = 6. (a) Qual é a velocidade angular do cilindro em relação ao seu centro ao deixar o teto? (b) A borda do teto está a uma altura H = 5. o 2 . transformando-se numa estrela anã branca com diâmetro igual ao da Terra. uma bola de massa M e raio R rola suavemente.92 5. os dois discos giram juntos com velocidade angular de 20 rad/s.0r pode girar livremente como um carrossel em torno do centro fixo.0 m 6.0 m. de massa m. Qual é a velocidade angular da roda. um trem elétrico de brinquedo. qual seria o seu novo período de rotação. A que distância horizontal da borda do teto o cilindro atinge o chão? Resposta: (a) 63 rad/s (b) 4. Inicialmente. Resposta: T 180 dias. Suponha que o combustível nuclear do sol se esgote e ele sofra um colapso brusco. é montado em seu trilho em uma roda que pode girar em torno de seu eixo vertical com atrito desprezível.36 m. Na parte mais baixa da curva.96108m. A altura inicial da bola é h = 0. O sistema está em repouso quando a energia é ligada. 7.48 m de raio. Um disco uniforme menor. até que sua borda fique presa na borda do disco maior. 0 kg pode girar em um plano horizontal em torno de um eixo vertical passando pelo centro.50 10. (a) Determine a energia cinética e o momento angular do disco. Se a bala se aloja na barra e a velocidade angular da barra é 10 rad/s imediatamente após a colisão. A bola pára momentaneamente após ter rolado 1. em direção a uma das extremidades.12 kg·m2.60 m de comprimento e 1.3·103 m/s 12.5 m de comprimento e massa de 4.00Mg. Quando a barra passa pela posição mais baixa colide com um pedaço de massa de modelar de 0. mas não é igual a 0. Se a velocidade angular da barra imediatamente antes da colisão é 2. Uma bola maciça uniforme rola suavemente em um piso horizontal e depois começa a subir em uma rampa com uma inclinação de 15°.0 kg de massa) da figura seguinte gira no plano do papel em torno de um eixo que passa por uma das extremidades. que fica grudado na sua extremidade. A barra uniforme (de 0.4.5 rad/s 11. Resposta: 0. a trajetória da bala faz um ângulo = 60° com a haste. como no caso de uma bola com densidade uniforme. no plano de rotação. O momento de inércia da bola é dado pela expressão geral I MR 2 .módulo da força normal que a pista exerce sobre a bola é 2.4 rad/s.33 m/s 13. A barra está em repouso quando uma bala de 30 g é disparada. Uma barra fina uniforme com 0. Qual era sua velocidade inicial? Resposta: 2. A bola é formada por uma casca esférica externa (com uma certa densidade uniforme) e uma esfera central (com uma densidade uniforme diferente). Vista de cima. qual é a velocidade angular do sistema haste-massa de modelar imediatamente após a colisão? Resposta: 1. (b) Um pedaço de massa m quebra na beirada do disco e sobe 3 . qual é a velocidade angular da bala imediatamente antes do impacto? Resposta: 1.20 kg. com um momento de inércia de 0. Determine o valor de . Um disco uniforme de massa M e raio R gira com velocidade angular 0 em torno de um eixo horizontal que passa por seu centro.50 m ao longo da rampa. A figura a seguir é uma vista superior de uma barra fina uniforme de comprimento 0.00.8 cm (b) F = 1. (a) Para que valor de d a barra e a partícula permanecem em repouso após o choque? (b) Em que sentido a barra e a partícula começam a girar se d é maior que o valor calculado no item (a)? Resposta: (a) 0. 4 . uma bola sólida rola suavemente a partir do repouso (começando na altura H = 6 m) até deixar a parte horizontal do fim da pista. sólida.verticalmente acima do ponto do qual se desprendeu. A que distância horizontal do ponto A a bola toca o piso? Resposta: 4.600 m e massa M girando horizontalmente a 80. antes de começar a cair? Resposta: 2 MR 2 0 MR 2 0 (a) K e L 4 2 2 2 R (b) h 0 2g 14. (a) Quanto vale h se a bola deve estar na iminência de perder o contato com o trilho quando ela alcança o topo do loop? (b) Se a bola for solta da altura h = 6R.0 rad/s no sentido anti-horário em torno de um eixo que passa pelo centro. a uma altura h = 2 m.9610-2 N 16. O loop circular tem raio R = 14 cm e a bola tem raio r << R. Na figura seguinte. 15.280 g rolará suavemente ao longo do trilho em loop quando solta do repouso ao longo do trecho retilíneo inclinado. que ocorre a uma distância d do centro da barra. Até que altura ele sobe. qual é a intensidade da força atuante sobre ela no ponto Q? Resposta: (a) h = 37. choca-se com a barra e fica presa.180 m (b) Horário. Uma partícula de massa M/3. de massa 0. Uma bola de bronze. A trajetória da partícula é perpendicular à barra no momento do choque.8m. que se move horizontalmente com uma velocidade de 40 m/s. separadas por 3 m. Determine . se aproximam uma da outra ao longo de trajetórias paralelas. Uma plataforma horizontal com a forma de um disco circular gira sem atrito em torno de um eixo vertical que passa pelo centro do disco. atingindo-a com uma velocidade de 3. qual é a velocidade angular quando ela está a 0. Uma estudante de 60 kg caminha lentamente da borda da plataforma em direção ao centro.5 rad/s quando a estudante está na borda.17.0 m e um momento de inércia de 300 kg·m2 em relação ao eixo de rotação.93 rad/s (c) K = 98 J Bom trabalho! 5 . As patinadoras passam então a girar em torno do centro da baliza. Com a haste inicialmente na horizontal.148 rad/s (b) 0. um pequeno bloco de 50 g desliza para baixo em uma superfície curva sem atrito a partir de uma altura h = 20 cm e depois adere a uma barra uniforme de massa 100 g e comprimento 40 cm.50 m de distância do centro? Resposta: 2. Duas bolas de 2. duas patinadoras. Elas têm velocidades opostas de 1. Suponha que o atrito entre as patinadoras e o gelo é desprezível. A barra está livre para girar sem atrito em um plano vertical em torno de um eixo horizontal que passa pelo centro. Na figura seguinte. Quais são (a) o raio co círculo. (a) a velocidade angular das patinadoras e (c) a energia cinética do sistema de duas patinadoras? Resposta: rm = 0. um raio de 2.0123 (c) 181° 20. cada uma com massa de 50 kg. Na figura seguinte. 18. (a) Qual é a velocidade angular do sistema imediatamente após a colisão com a massa de modelar? (b) Qual é a razão entre a energia cinética do sistema após a colisão e a energia cinética do pedaço de massa de modelar imediatamente antes da colisão? (c) De que ângulo o sistema irá girar antes de parar momentaneamente? Resposta: (a) 0.4 m/s cada. um pedaço de massa de modelar de 50 g cai em uma das bolas. Uma das patinadoras carrega uma baliza longa de massa desprezível segurando-a em uma extremidade e a outra a agarra à outra extremidade quando a primeira passa por ela.0 m/s e aderindo a ela. A plataforma tem uma massa de 150 kg. Resposta: 32° 19. Se a velocidade angular do sistema é 1.0 kg estão presas às extremidades de uma barra fina de 50 cm de comprimento e massa desprezível.6 rad/s. A barra gira de um ângulo em torno do ponto O antes de parar momentaneamente.