Lista1

Equações DiferenciaisCálculo IV Lista 1 Prof. Jorge J. Delgado 2007-2 1. Determine se as funções ϕ(x) são soluções das equações diferenciais dadas nos intervalos indicados. (a) ϕ(x) = sen x, y 00 + y = 0 no intervalo I = R. p 1 − 2x no intervalo I = (0, 1). (b) ϕ(x) = x(1 + x), y 0 = 2y (c) ϕ(x) = p 1 − 2x y0 = 2y x(1 − x), (d) ϕ(x) = C1 ex + c2 e−x , no intervalo I = (0, 1). y 00 − y = 0 no intervalo I = R, onde C1 , C2 ∈ R são constantes. x (e) ϕ(x) = e−x + , y (iv) + 4y 000 − 3y = x, no intervalo I = R. 3 Z x 2 2 2 (f) ϕ(x) = ex e−t dt + ex , y 0 − 2xy = 1, no intervalo I = R. 0 (g) ϕ(x) = 2 ln x + 4, y 00 − y 0 tan x − (h) ϕ(x) = x sec x, (i) ϕ(x) = x2 y 00 − xy 0 + y = 2 ln x, 1 2 g x4 , 24m m¨ x = gx2 , no intervalo I = (0, +∞). 1 tan x y = 2 y3 , x x no intervalo I = (−π/2, π/2). no intervalo I = R. 2. Para cada uma das equações abaixo, determine o valor da constante α, para que a função ϕ(x) = eαx seja uma solução. (a) y 0 + 2y = 0 (b) y 00 − y = 0 (c) y 000 − 3y 00 + 2y 0 = 0 3. Determine o valor da constante β, para que a função ϕ(x) = xβ , seja solução da equação x2 y00 − 4xy0 + 4y = 0, no intervalo I = (0, +∞). 4. Quais dos problemas de valores iniciais abaixo têm solução única? (a) y 0 + xy = 3, y(0) = 0. (b) xy 0 + y = 3, y(0) = 1. (c) y 0 = y 2/3 , x−y (d) y = , x+y 0 y(0) = 0. (e) xy 0 + 1 y = ln |x − 2|, 2x + 3 com cada uma das condições iniciais (i) y(−3) = 0. (ii) y(−1) = 5. y(1) = −1. (iii) y(1) = −7. (iv) y(3) = 0. 5. A equação diferencial, abaixo, aparece em modelos matemáticos sobre a acumulação de nebulosa no sistema solar x˙ = ax5/6 , (b − Bt)3/2 a, b, B ∈ R constantes, e x = x(t). (a) Determine a região do plano tx onde esta equação possui soluções únicas. (b) A equação diferencial acima é de variáveis separáveis. Separe as variáveis e determine a solução geral da equação. 1 Uma colônia de bactérias aumenta sua população a uma taxa proporcional à quantidade de indivíduos presentes em cada instante. (a) y 0 = y − x. Que conclusões você pode obter a partir do seu gráfico? 9. (c) y 0 = x2 + y 2 . y(0) = 0. isto é. identifique-as e calcule sua solução geral. Determine as trajetórias ortogonais da família a 1 parâmetro de curvas: y = cx. Usando a regra da cadeia ( dy dt dy = ). (f) y + xy 0 = yy 0 . (a) (x2 + y 2 ) dx − 2xy dy = 0. 10. Uma bolinha de 2 gr é jogada para cima com velocidade inicial v0 = −30 cm/s (convenção: p/cima velocidade negativa. Algumas das seguintes equações diferenciais são lineares de primeira ordem. (f) Use o computador para fazer o diagrama de fase da equação diferencial que descreve o processo. habitando um meio ambiente dado. dx x(a1 + a2 y) e determine a sua solução geral. onde a1 . GMA 2 IMUFF . obtenha a equação de variáveis separáveis: dx dt dx y(b1 + b2 x) dy = .Equações Diferenciais – Cálculo IV Primeira Lista de Exercícios Prof. y(1) = 2. Determine a meia vida do Ra226 . Volterra fez um modelo matemático para descrever a competição entre duas espécies. Além do seu peso. p/baixo velocidade positiva). Descreva o movimento da bolinha. (b) Determine a constante de desintegração do Ra226 . x = x(t). Use o computador para visualizar aproximações gráficas das soluções dos seguintes problemas de valores iniciais. (d) y 0 + y − y 2 = 0. b1 . o atrito com o ar impede a subida da bolinha. y = y(t) e t é a variável de tempo. Jorge J. (a) Escreva a equação diferencial que descreve o processo de desintegração. (b) y 0 = xy. Suponha que tal atrito é numericamente igual ao triplo de sua velocidade em cada instante. em que tempo ela será 27 vezes a quantidade inicial? 11. sen x (e) ex dx + x3 dy + 4x2 y dx = 0. (d) Em quantos anos haverá apenas 1/50 da quantidade original da amostra? (e) A meia vida de uma substância radioativa é o tempo em que a metade de uma amostra da substância se desintegra. a2 . (c) y 2 dy + y tan x dx = sen3 x dx. Numa amostra de Ra226 há uma perda de 50% de substância em 1600 anos. b2 ∈ R são constantes. 8. (c) Determine a quantidade da amostra que desaparece em 800 anos. obtendo equações da forma: x˙ = y˙ = x(a1 + a2 y) y(b1 + b2 x). (c ∈ R é o parámetro). (b) (1 + x)y dx + x dy = 0. Delgado 6. 7. dt 12. Se em 4 horas a população triplica. Em quanto tempo a bolinha começará a cair? Indicação : A segunda lei de Newton diz: F = d (mv). Suponha que a taxa de desintegração de uma sustância radioativa é proporcional à quantidade de sustância existente em cada instante de tempo. o gráfico de algumas soluções no plano xt. y(0) = 1. y 0 − xy = (1 − x2 )e 2 x . Resolva os seguintes problemas de valores iniciais (a) (x − y) dx + (−x + y + 2) dy = 0. (b) y 0 = GMA y−x+1 . com E0 e ω constantes. Determine a curva no plano que passa pelo ponto (1. obtenha a seguinte equação linear de primeira ordem w(x) w0 (x) + [g(x) + 2y1 (x)h(x)]w(x) = −h(x). Após fazer os cálculos na mão. xy 0 − y = y2 . ii. Suponha que se conhece uma solução particular y1 (x) de (1). 1 (f) y 0 = y 2 . (1) onde f . (a) Discuta e determine a solução da equação de Bernoulli quando n = 0 e quando n = 1. a mudança de variável z = y 1−n transforma a equação de Bernoulli em uma equação linear de primeira ordem. 0 y(0) = 1. verificam uma equação diferencial exata. (x − 1)y − 3y = (x − 1) . (c) Resolva as seguintes equações de Bernoulli: i. e h são funções contínuas num intervalo I. y(0) = 0. Determine a corrente I(t) em cada instante sabendo que I(0) = I0 . (C ∈ R é o parámetro). As equações da forma y0 + p(t)y = q(t)yn são chamadas equações de Bernoulli em homenagem a Jacob Bernoulli (1654-1705). y(1) = 2. (e) (3x2 y + y 2 ) dx + (x3 + 2xy) dy = 0. (d) (y + cos x) dx + (x + sen y) dy = 0. Verifique que as trajetórias ortogonais da família a 1 ∂x2 ∂y 2 parâmetro de curvas u(x. 19. −x + y + 3 (c) (x2 + y 2 ) dx + (xexy + 1) dy = 0. Delgado x 13. Num circuito RL. a força elétrica E é dada por E(t) = E0 sen(ωt). Resolva as equações exatas que encontrar na seguinte lista. g. y−x+3 y(1) = 1. y(−1) = 16. y) = C. use o computador para desenhar o gráfico da solução obtida (para diferentes valores de I0 ) junto com o campo de direções. 18. 16. y) é igual a 2 − y + e . 2 ln x (d) Resolva os seguintes problemas de valores iniciais: 1 2 i. Verifique esse fato. ou seja. 20. Fazendo y(x) = y1 (x) + 1 em (1). Calcule as trajetórias ortogonais da família a 1 parâmetro x3 − 3xy 2 + x + 1 = C. Seja u(x. 5 iii. onde C ∈ R é o parâmetro. 15. 0 2 ii. Determine as trajetórias ortogonais à família de círculos x2 + y2 = R2 (R ∈ R+ é o parâmetro da família). (b) Em 1696 Gottfried Leibniz mostrou que se n 6= 0 e n 6= 1. ∂2u ∂2u + = 0. (1 + x )y + 2xy = −2x. 1 + e) e cuja inclinação em cada ponto (x. x x 14. y 0 − 2xy = 4xy 1/2 . As equações de Ricatti são equações da forma y 0 = f (x) + g(x)y + h(x)y 2 . 21. y) uma função harmônica. Jorge J. (a) (x − y) dx + (−x + y + 2) dy = 0. 3 IMUFF .Equações Diferenciais – Cálculo IV Primeira Lista de Exercícios Prof. 17. (b) y 0 = y−x+1 . Sob algumas restrições nas funções M e N é possível achar µ: (c) Verifique que. (2) não é exata (ou seja. pois esta é uma equação diferencial parcial em µ. (µM )y = (µN )x . se F = R P(x) dx . b. (ii) y dx + (2x − y 2 ) dy = 0. My 6= Nx ) é possível. y) dy = 0. 25. e determine a solução geral. (b) (x2 + y 2 ) dx − 2xy dy = 0.Equações Diferenciais – Cálculo IV Primeira Lista de Exercícios Prof. Verifique que toda equação da forma y0 = ax + by + c . A. em alguns casos. 23. Resolva as equações homogêneas que achar na seguinte lista. y) dx + N (x. se e só se. determine a solução geral das seguintes equações. B. (iii) (x4 + y 4 ) dx − xy 3 dy = 0. então também é solução de (2). (4) Em geral não é fácil resolver (4) para achar µ. c. (a) (5x − y) dx + 3x dy = 0. (a) Verifique que se ϕ(x) é solução de (3). Delgado 22. de modo que a equação µM dx + µN dy = 0. y x y (e) e x + y 0 − 24. (a) y 0 = GMA x−y x+y+2 (b) y 0 = 5x − y − 2 x+y+4 (c) y 0 = 4 y . (iv) (x2 − y 2 + x) dx + 2xy dy = 0. (i) y dx − x dy = 0. y = 0. (v) y 0 + a(x)y = b(x). Quando a equação diferencial M (x. e que depende só de x ou só de y ou de ambos x e y. C ∈ R são constantes tais que aB − bA 6= 0. satisfaz N µx − M µy = µ(My − Nx ). Usando o método desenvolvido no exercício anterior. (3) seja exata. x−y−1 IMUFF . y = Y + y0 . A função µ é chamada um fator integrante da equação (2). isto é. se a função P = 1 (My − Nx ) depende apenas de x. y0 ) é a solução do sistema de equações lineares ax + by + c = 0 Ax + By + C = 0. 1 (My − Nx ) depende apenas de y. Jorge J. x x y (f) y 0 = + . onde a. Ax + By + C pode-se reduzir a uma equação homogênea fazendo a mudança x = X + x0 . então µ pode-se escolher dependendo apenas de y M mediante a relação µ(y) = e− R F (y) dy . (e) Determine o fator integrante para cada uma das equações seguintes. achar uma função µ que toma valores diferentes de zero em todo ponto. (c) (xy + 1) dx + y 2 dy = 0. (b) Verifique que µ é fator integrante de (2). então µ pode ser escolhida dependendo apenas N de de x mediante a relação µ(x) = e (d) Verifique que. (d) xy 0 + y = 3. onde (x0 . (f) y 00 + 3y 0 − 2y = 0. Determine a trajetória da equação y00 + k2 y = 0 (k ∈ R constante). Para 0 < k < 2. b > 0 e c = 0. verifique que 1 − k cos t sen t > 0 e que k sen2 t ≥ 0. (a) Verifique que uma solução não trivial (não identicamente nula) ϕ(x) de uma EDO linear de segunda ordem y 00 + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = 0 . b . que é tangente à reta y = ax no ponto (x0 . se a > 0 . (a) Resolva o problema de valores iniciais ( GMA y 00 − y = 0 y(0) = 5/4 . 30. mas que todas as soluções são limitadas quando t −→ +∞. (e) y 00 − 4y 0 + 4y = 0. Este é um fenômeno muito freqüente na teoria das equações diferenciais: duas equações muito semelhantes possuem propriedades dinâmicas completamente diferentes. verifique que todas as soluções da equação ay00 + by0 + cy = 0 tendem a zero quando t −→ +∞. (g) y 00 + y 0 + y = 0. x−y+1 (b) y 0 = x+y . ao contrário ao que acontece no ítem (a). (5) pode ter apenas zeros simples. c e use o computador para desenhar algumas soluções particulares das equações dadas nos itens (a) . (c) y 00 + 2y 0 + 10y = 0 . verifique que duas soluções distintas de (5) não podem ter pontos de tangência. (a) Se a. (e) Escolha valores apropriados para a . 31. (b) Similarmente. 32. Descreva as propriedades observadas em cada caso (por exemplo. x−y−1 y(2) = 2. se as soluções convergem quando a variável independente tende a ∞) e as propriedades comuns que tais equações possuem.(c). IMUFF . y0 ).Equações Diferenciais – Cálculo IV Primeira Lista de Exercícios Prof. f (x0 ) = 0 e f 0 (x0 ) 6= 0. 28. y(0) = 1. se a > 0 . Delgado 26. (c) Verifique que. (a) y 0 = 2x + y − 4 . y 0 (0) = y00 quando t −→ +∞. 29. (b) y 00 + 12y = 7y 0 . (b) Verifique que. Ache a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes: (a) y 00 = 9y . Logo. Jorge J. a conclusão do ítem (a) é falsa. a conclusão do ítem acima é falsa. (d) Verifique que a função y(t) = sen t é uma solução da equação y 00 + (k sen2 t)y 0 + (1 − k cos t sen t)y = 0 . c > 0 e b = 0. y 0 (0) = −3/4 5 . (d) 4y 00 − 12y 0 + 9y = 0 . Indicação: Use o teorema de Existência e unicidade enunciado para equações diferenciais lineares de ordem n. 27. c ∈ R são constantes positivas. embora os coeficientes dessa equação sejam variáveis e não-negativos. Resolva os seguintes problemas de valores iniciais e desenhe no computador o campo de direções e a solução de cada um deles. Dizemos que x0 ∈ I (I ⊂ R intervalo) é um zero simples de uma função f : I −→ R se. a equação tem uma solução que não tende a zero quando t −→ +∞. para qualquer valor de k ∈ R. Desenhe no computador algumas soluções particulares de cada uma das equações acima. mas que todas as soluções tendem a uma constante que depende das condições iniciais y(0) = y0 . b. são L. Isto é. (iii) y 000 − y 0 = 0 . . y2 . ϕ2 (x) = (1 + x)ex . . (b) Resolva o problema de valores iniciais ( y 00 − y 0 − 2y = 0 y(0) = α . γ ∈ R são distintos e c1 xα + c2 xβ + c3 xγ = 0. β . x0 = 0 . caso existam. xβ . 35. (ii) x3 y 000 + 2x2 y 00 − xy 0 + y = 0 . Para cada uma das equações abaixo. ϕ1 (x) = 2x2 − 1/x . α . Em cada um dos itens do exercício use o computador para desenhar a solução. e somente se. 34. . y 0 (0) = β . ϕ4 (x) = ex (x + sen x) . depois determine o valor de α para que tal solução y(t) tenda a 0 quando t −→ +∞. ϕ2 (x) = x + x ln x . (b) y 00 + (3 − α)y 0 − 2(α − 1)y = 0. .I. e2 . ϕ3 (x) = ex (1 − sen x) . +∞) se. xγ ∈ C 0 (0. (a) y 00 − (2α − 1)y 0 + α(α − 1)y = 0. Considere as equações diferenciais lineares de segunda ordem dadas a seguir e faça o seguinte (a) Verifique que as funções ϕi (x) dadas formam um conjunto de geradores do espaço de soluções da equação num certo intervalo da reta. a1 . se α. yn } do espaço de soluções que verifique as condições iniciais: (n) (yi (x0 ) . Delgado depois determine o valor mínimo da solução e o ponto onde esta se anula.Equações Diferenciais – Cálculo IV Primeira Lista de Exercícios Prof. GMA 6 IMUFF . e somente se. (iv) y (iv) − 4y 000 + 7y 00 − 6y 0 + 2y = 0 . xγ são LI em C 0 (0. ϕ1 (x) = x + 1/x . (c) Se a equação tem ordem n. de modo que todas as soluções não identicamente nulas tendam a ∞ quando t −→ +∞. determine os valores de α. escolha uma base. se. depois determine o valor de β para que tal solução y(t) tenda a 0 quando t −→ +∞. xβ . a2 constantes. (b) Dentre o conjunto de geradores do espaço de soluções dado. ϕ1 (x) = xex . +∞): (i) Verifique que xα . ϕ1 (x) = cosh x . em C 0 (I) para todo intervalo I ⊂ (0. xγ são soluções de uma EDO linear da forma x3 y 000 + a2 x2 y 00 + a1 xy 0 + a0 y = 0 . ϕ2 (x) = e−x + senh x . ϕ4 (x) = cosh x − 1 .I. yi0 (x0 ) . (a) Verifique que as funções xα . . de modo que todas as soluções tendam a 0 quando t −→ +∞. x0 = e . . Escreva a solução geral da equação em termos dessa base. . xβ . Determine também todos os valores de α. ϕ4 (x) = x(1 − ln(x)) . yi (x0 )) = ei . ϕ3 (x) = ex + senh x . 33. y 0 (0) = 2 . . +∞) são L. γ são números reais distintos. β. ϕ5 (x) = ex cos x . ϕ3 (x) = 1/x + x ln x . caso existam. (b) Nesta parte verificaremos que as funções xα . ϕ3 (x) = 3x2 . (i) x2 y 00 − 2y = 0 . en } é a base canônica de Rn . ϕ2 (x) = (x3 + 1)/x . . Jorge J. então c1 = c2 = c3 = 0. ache uma base {y1 . . x0 = 1 . . x0 = 0 . onde {e1 . verifique que. Indicação: analise o que acontece quando x −→ +∞. . (c) Resolva o problema de valores iniciais ( 4y 00 − y = 0 y(0) = 2 . com a0 . Equações Diferenciais – Cálculo IV Primeira Lista de Exercícios Prof. Delgado (ii) Verifique que . Jorge J. . . . 1 1 1 . . α β γ α+β+γ−3 . . α β γ W [x . x ] = x . x . . . α(α − 1) β(β − 1) γ(γ − 1). x2 } . que ϕ(x) e xϕ(x) são L. . 37. existem x1 . xβ . xαn são L. Escreva os coeficientes a0 (x) e a1 (x) em termos das funções y1 (x) e y2 (x) e das suas derivadas de primeira e segunda ordem. mas como não é identicamente nula e o intervalo não se reduz a um ponto.I. xα2 ..I. Observação: No ítem (b) não pode ser usado um argumento com o Wronskiano porque a função não necessariamente é derivável. sen x} . . em C 0 (I) para todo subintervalo I ⊂ (0. . +∞) ou é identicamente zero em (0. (iv) {x. xex } . usando a definição. 38. xγ ] nunca é zero em (0. α2 . xα3 . (c) Generalize o resultado do ítem (a) acima para ordem n ≥ 3. os números reais α1 . Se ϕ ∈ C 1 (I) não é identicamente zero. . eα2 x . (a) Verifique que W [eα1 x . W [xα . ln x} . (ii) {x. (iii) {x. . (a) Seja I ⊂ R um intervalo de extremos a < b. e. (b) Se ϕ ∈ C(I) não é identicamente zero. αn são distintos.. +∞) se. então c1 = c2 = 0.αn )x . +∞) (c) Inspirando-se nos itens acima mostre que as funções xα1 . (b) Use o ítem acima para determinar uma EDO linear homogênea de segunda ordem cujo espaço de soluções tenha por bases as seguintes: (i) {x. verifique. . calculando o Wronskiano. (a) Sejam y1 e y2 soluções LI da EDO linear de segunda ordem y 00 + a1 (x)y 0 + a0 (x)y = 0.I. 36. portanto. x2 ∈ I distintos e tais que ϕ(x1 ) 6= 0 e ϕ(x2 ) 6= 0. . verifique. se c1 ϕ(x) + c2 ϕ(x) = 0 para todo x ∈ I. . eαn x ] = e(α1 +α2 +. Use este fato para verificar que. . . e somente se. em C 1 (I). em C(I). que ϕ(x) e xϕ(x) são L. . . . . 1 . . .1 1 . . . . αn . . α1 α2 . . . 2 . . α1 α22 · · · αn2 . . . . . . . . . .. . . . . . . . . n . . α1 α2n · · · αnn . (i) y 00 − 2ay 0 + a2 y = 0 . GMA 7 IMUFF . y1 (x) = 1 . e somente se. 39. Pode-se assumir então que i = 1 e j = 2. (iv) (1 − x2 )y 00 − 2xy 0 + 2y = 0 . algum αi é igual a algum outro αj com i 6= j Sugestão: O valor do determinante. y1 (x) = eax . Verifique que o determinante de Vandermonde acima é nulo se. Usando a fórmula de Abel determine outra solução de modo a formar uma base para o espaço de soluções e escreva a forma da solução geral. y1 (x) = x . continua igual ao permutar colunas. (ii) 3xy 00 − y 0 = 0 . Desenvolva por co-fatores pela primeira coluna para obter um polinômio em α1 e investigue se α2 é raiz desse polinômio. y1 (x) = 1 . (iii) (1 − x2 )y 00 − 2xy 0 = 0 . (b) O determinante que aparece no lado direito da igualdade do ítem anterior é chamado um determinante de Vandermonde. onde a ∈ R é uma constante. Para cada uma das equações diferenciais lineares de segunda ordem abaixo é dada uma solução. “salvo sinal”. 40. d ∈ C 1 (I). b. então a função f (x) definida como . y1 (x) = sen3 x . Jorge J. Delgado (v) y 00 + (tan x)y 0 − 6(ctg2 x)y = 0 . c.Equações Diferenciais – Cálculo IV Primeira Lista de Exercícios Prof. (a) Se I ⊂ R é um intervalo não trivial e a. . . a(x) b(x) . . . f (x) = . . c(x) d(x). é também de classe C 1 e que a sua derivada é dada por . . 0 . . . a (x) b(x) . . a(x) b0 (x) . . . .. . f (x) = . 0 + c (x) d(x). . c(x) d0 (x). j = 1. i. . 2. então a função f : I −→ R dada por . . . 0 (b) A afirmativa do ítem acima continua válida para n > 2: Se I ⊂ R é um intervalo não trivial e aij (x) são funções de classe C 1 no intervalo I. . n. . a11 (x) a12 (x) . . a (x) a22 (x) f (x) = . . 21 . . . . .. . . . . . . . . .an1 (x) an2 (x) ··· ··· . ··· .. a1n (x) . . a2n (x) . . . . . . . . . ann (x). 43. (iii) ty 000 + 2y 00 − y 0 + ty = 0 . (v) y (iv) − y = 0 . (iii) y (iv) − 5y 00 + 4y = 0 . (v) y (viii) + 8y (iv) + 16y = 0 . O i-ésimo dos quais é obtido substituindo no determinante que define f (x) as funções da i-ésima coluna pelas suas respectivas derivadas. é também de classe C 1 e que a sua derivada pode ser expressa como soma de n determinantes. 8 IMUFF . o Wronskiano de uma base do espaço de soluções para cada uma das seguintes equações diferenciais lineares: (i) y 000 + 2y 00 − y 0 − 3y = 0 . y 0 (0) = 0 . y 00 (0) = −1 . Determine a solução geral de cada uma das equações seguintes: (i) y 000 − 3y 00 + 3y 0 − y = 0 . y(0) = 2 . Determine. 42. (ii) y (iv) + y = 0 . (iv) y (v) − 3y (iv) + 3y 000 − 3y 00 + 2y 0 = 0 . y(0) = 0 . (iv) t2 y (iv) + ty 000 + y 00 − 4y = 0 . (vi) y (iv) + 6y 000 + 17y 00 + 22y 0 + 14y = 0 . y 0 (0) = 1 . (ii) y (iv) + y = 0 . ( y 000 + y 0 = 0 (i) . y 000 (0) = 0 GMA . y 00 (0) = −1 ( y (iv) + y = 0 (iii) y(0) = 0 . usando a fórmula de Abel. Determine a solução dos problemas de valores iniciais abaixo e use o computador para desenhar o gráfico da solução em cada caso. y 0 (0) = 1 . 41. y 00 (0) = 2 ( 4y 000 + y 0 + 5y = 0 (ii) . (iii) y 00 + 4y 0 + 2y = xe−2x . y 000 (0) = 2 . Para cada uma das equações abaixo. GMA 9 IMUFF . y 0 (0) = −2 . (iv) L[y] = 3xex . (xi) L[y] = x2 + 2x + 3 − 2ex . (i) L[y] = x(2e2x + x sen x) . Determine a solução dos problemas de valores iniciais abaixo usando o método dos coeficientes indeterminados e use o computador para fazer um gráfico da solução correspondente. onde L = D(D2 − 1)(D − 2) . (iii) L[y] = x senh x + cosh(2x) . y 0 (0) = 0 . y 00 (0) = −3/2 . (v) y 000 + y 0 = sec t . (ii) y 00 + 4y 0 + 4y = te2t . onde L = (D + 3)2 . y 0 (1) = 2 . Use o método da variação das constantes para determinar a solução geral das equações abaixo: (i) y 00 + 1 = 1/ cos t . y 00 (0) = 1 . y 0 (0) = −1/4 . (iv) y 000 − y 00 + y 0 − y = e−t sen t . (x) y (iv) + 5y 00 + 4y = 2 cos x . y 000 − 3y 00 + 2y 0 = t + et y(0) = 1 . y 00 (1) = 0 . (ii) L[y] = x2 − 3xe−2x cos(5x) . ( (i) ( (ii) ( (iii) y 000 + 4y 0 = t y(0) = y 0 (0) = 0 . onde L = D2 − 4D + 4 . (iv) y (viii) − 2y (iv) + y = (2x − 1) cosh x + x3 sen x . onde L = D(D2 − 2D + 10) . determine a solução geral usando o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular. (ii) y 00 + y 0 = 3 cos x . Delgado . Jorge J. (vi) y 00 − 4y 0 + 8y = e2x (1 + sen(2x)) . y 000 (0) = 3 Prof. (v) y 00 + y 0 = 2x + 3ex . y 00 (0) = −1 . onde L = (D2 − 2D + 1)(D2 − 4)2 . onde L = D2 + 2D + 2 . (iii) L[y] = (t + 1)et . Não precisa calcular os coeficientes. (viii) y (iv) + y 00 = 1 + 2xex . y (iv) + 2y 000 + y 00 + 8y 0 − 12y = 12 sen t − et y(0) = 3 . (i) y 00 − y 0 = sen x . 47. . y 000 (1) = 0 ( y (iv) + 6y 000 + 17y 00 + 22y 0 + 14y = 0 (v) y(0) = 1 . determine a forma da solução particular a ser proposta no método dos coeficientes indeterminados. 46. 44.Equações Diferenciais – Cálculo IV Primeira Lista de Exercícios ( y (iv) − 4y 000 + 4y 00 = 0 (iv) y(1) = −1 . 45. (vii) y 000 − 3y 00 + 2y = ex (1 − xex ) . y 00 (0) = 0 . (ix) y 000 + y 0 − y = sen x + cos x . Em cada uma das equações seguintes. L = D2 + 2aD + b2 . y (iv) + 2y 00 + y = sen t y(0) = 2 . y 0 (π/2) = 1 . verifique que a solução geral da equação L[y] = ex é y(x) = B A + 3 (x2 − 2x + 2)ex + ex . verifique que y(x) = xeαx é uma solução de (D − α)2 y = 0 .Equações Diferenciais – Cálculo IV Primeira Lista de Exercícios Prof. y 0 (0) = 1 . (iii) (sen(4x))y 00 − 4(cos2 (2x))y 0 = tan x . 2 2 (iv) xy 00 − (1 + 2x2 )y 0 = x5 ex . yc (x) = A + Bex . ( (i) ( (ii) ( (iii) y 000 + y 0 = sec t y(0) = 2 . yc (x) = (C1 + C2 ln |x|)x . y 00 (π/2) = −1 . Jorge J. yc (x) = Ax + Bx2 . (vii) y (iv) − y = x2 + 1 . Em cada uma das equações abaixo é dada a solução geral da equação homogênea associada. 48. Aplicando a técnica do exercício acima. y 000 (0) = 1 L[y] = sen(ωt) y(0) = y 0 (0) = 0 . (v) x3 y 000 + x2 y 00 − 2xy 0 + 2y = 2x4 . (ii) x2 y 00 − xy 0 + y = x(x + 1) . Seja L o operador diferencial linear normal de segunda ordem dado por L = (D − 1)(xD + 3) e considere a equação de segunda ordem L[y] = ex . e resolvendo sucessivamente as equações de primeira ordem: (D − 1)u = ex . yc (x) = Ax + Bx2 + C/x . 49. ( a=0eb=ω Considere separadamente os casos: a 6= 0 ou b 6= ω ( y 000 − y 0 = csc t (iv) . a < b . ω ∈ R constantes. . GMA 10 IMUFF . 3 x x 51. x > 0 . a. x > 0 . Delgado (vi) y (iv) + 2y 00 + y = sen t . y 00 (0) = −2 . 50. Determine a solução geral usando o método da variação das constantes. Esta equação pode ser resolvida fazendo a mudança u = (xD+3)y = xy 0 +3y. (i) x2 y 00 − 2xy 0 + 2y = x3 ln x . b. y(π/2) = 2 . e (xD + 3)y = u . Aplique o método de variação das constantes para resolver os seguintes problemas de valores iniciais e faça o gráfico da solução no computador. yc (x) = A + B cos(2x) . Fazendo isto. y 0 (0) = 0 . y 00 (0) = −1 . 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