MAT2455 - C´alculo Diferencial e Integral para Engenharia III 1a. Lista de Exerc´ıcios - 1o. semestre de 2016 1. Calcule as seguintes integrais duplas: ZZ . (2y 2 − 3xy 3 )dxdy, onde R = {(x, y) : 1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3}. Resp. (a) − 585 (a) 8 R ZZ √ (b) x sin y dxdy, onde R = {(x, y) : 1 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ π6 }. Resp. (b) 15 (2 − 3). 4 R RR 1 Resp. (c) ln 27 . (c) R x+y dxdy, onde R = [1, 2] × [0, 1]. 16 p 2. Determine o volume do s´olido limitado pela superf´ıcie z = x x2 + y e os planos x = 0, √ x = 1, 4 (2 2 − 1). y = 0, y = 1 e z = 0. Resp. 15 3. (a) Determine o volume do s´olido contido no primeiro octante limitado por z = 9 − y 2 e pelo plano x = 2. Resp. 36. (b) Uma piscina tem formato circular de raio 3m e profundidade variando linearmente de sul a norte, sendo que no extremo sul ´e de 1m e no extremo norte ´e de 2m. Calcule o volume da piscina. Resp. 27π 2 4. Calcule as integrais iteradas Z 1Z 1 Z 1Z 1 x−y x−y dydx e dxdy. 3 3 0 0 (x + y) 0 0 (x + y) As respostas contradizem o Teorema de Fubini? Explique. Resp. 21 e − 12 . 5. Calcule as seguintes integrais duplas: ZZ √ 1 xy dxdy, onde D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ x}. (a) Resp. (a) 12 . D ZZ √ Resp. (b) − 19 (b) (x2 − 2xy) dxdy, onde D = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 2 − x}. . 42 D ZZ ex/y dxdy, onde D = {(x, y) : 1 ≤ y ≤ 2, y ≤ x ≤ y 3 }. Resp. (c) 21 e4 − 2e. (c) D ZZ x cos y dxdy, onde D ´e a regi˜ao limitada por y = 0, y = x2 , x = 1. Resp. (d) (1 − cos 1)/2. (d) D ZZ (e) 4y 3 dxdy, onde D ´e a regi˜ao limitada por y = x − 6 e y 2 = x. Resp. (e) 500 . 3 D ZZ (f) xy dxdy, onde D ´e a regi˜ao do primeiro quadrante limitada pela circunferˆencia de centro D (0, 0) e raio 1. Resp. (f) 81 . ZZ (g) (x2 tg x + y 3 + 4) dxdy, onde D = {(x, y) : x2 + y 2 ≤ 2}. Resp. (g) 8π. D ZZ (h) Calcule ey−x dxdy sendo D a regi˜ao plana limitada por: y − x = 1; y − x = 2; y = 2x e D y = 3x. Resp. (h) e2 . 2 6. Determine o volume do s´olido S em cada um dos seguintes casos: (a) S ´e limitado superiormente pelo parabol´oide z = x2 + y 2 e sua proje¸c˜ao no plano xy ´e a regi˜ao 6 . limitada por y = x2 e x = y 2 . Resp. (a) 35 1 (a) (e9 − 1)/6. 12 Resp. Esboce a curva e calcule a a´rea da regi˜ao indicada: (a) a regio limitada por um la¸co da ros´acea r = cos 3θ (b) a regi˜ao limitada pela lemniscata r2 = 4 cos 2θ Resp. Determine o volume da regi˜ao interior `a esfera x2 + y 2 + z 2 = 4a2 e exterior ao cilindro x2 + y 2 = 3 π + 43 2ax. ZZ 1 p (c) dxdy. Resp. y) : x2 + y 2 ≤ 1. Resp. (b) 1 4 √ sin 81. Z ZD p (f) (x − 1)2 + y 2 dxdy sendo D = {(x. onde D ´e a regi˜ao limitada pelo semic´ırculo x = 4 − y 2 e o eixo y. (a) R ZZ (b) xy dxdy. com a > 0. D ZZ p 2 2 (e) (e−x −y ) dxdy. Resp. (4. nos seguintes casos: (a) D = {(x. π . (c) (2 2 − 1)/3. 0 ≤ y ≤ 1} e δ(x. 16a 3 12. com 0 ≤ θ ≤ 2π. onde R ´e a regi˜ao interior a` cardioide r = 1+sin θ e exterior a` circunferˆencia x2 + y 2 R r = 1. (d) 13 (e − 1). (f) S ´e limitado pelos cilindros x2 + y 2 = a2 e y 2 + z 2 = a2 . y) dx dy. 8 (c) S ´e a regi˜ao do primeiro octante limitada pelo cilindro x2 + z 2 = 9 e pelo √ plano x + 2y = 2. ZZ (d) (x2 + y 2 ) dxdy. invertendo a ordem de integra¸ca˜o: Z 1Z 3 Z 3Z 9 Z 1 Z π/2 √ x2 2 (a) e dxdy (b) y cos(x ) dxdy (c) cos x 1 + cos2 x dxdy 2 0 arcsin y Z0 1 Z3y1 Z0 1 Zy √ 3y 3 (d) ey dydx (e) sen(x2 ) dxdy. x = 0 e z = 0. (e) S ´e a regi˜ao do primeiro octante limitada pelo cilindro x2 + y 2 = 1 e pelos planos y = z. 8 (c) 2. Calcule as integrais: ZZ x dxdy.(b) S ´e limitado superiormente por z = xy e sua proje¸c˜ao no plano xy ´e o triˆangulo de v´ertices (1. 1). (f) 16 . y) = x2 . Determine a massa e o centro de massa da lˆamina que ocupa a regi˜ao D e tem densidade δ. Escreva as duas integrais iteradas correspondentes a` integral dupla regi˜ao do plano limitada pelas curvas y = −x2 + x + 2 e x − 2y + 1 = 0. D Resp. 2 . D 8. (b) 31 . onde D ´e a regi˜ao limitada pelas espirais r = θ e r = 2θ. Resp. y ≥ 0}. (a) zero. z = 0 e x + y + z = 1. y) : −1 ≤ x ≤ 1. onde R ´e a regi˜ao do primeiro quadrante limitada pelas circunferˆencias x2 + y 2 = 4 R e x2 + y 2 = 25. Resp. 1) e (1. y = 0. onde a > 0. onde R ´e o disco de centro na origem e raio 5. onde D ´e a 7. (f) 16 a3 . 2). Calcule as seguintes integrais. 11. (d) S ´e limitado pelos planos x = 0. 9 10. (d) 24π 5 (e) π2 (1 − e−4 ). 3 ZZ f (x. Resp. (e) 13 . (c) 61 (11 5 − 27) + 92 arcsen( 23 ). 9. (b) 609 . 4. (e) 21 (sin(1) − 1). √ 0 x 0 y Resp. (d) 61 . 48 16 . (b) 6. Determine os momentos de in´ercia de um cubo de densidade constante k e aresta L se um dos seus v´ertices ´e a origem e trˆes de suas arestas est˜ao sˆobre os eixos coordenados. y. a] cuja densidade ´e dada pela fun¸c˜ao δ(x. (e) D = {(x. D Resp. ( π4 . Ix = Iy = Iz = 32 kL5 . Calcule as integrais triplas: ZZZ (a) yz dxdydz. 0 ≤ y ≤ 2z. 43 ). (a) Calcule a massa de D = {(x. 14 (e − 35 ). 32 ). y = 0. 80 . 0). Determine os momentos de in´ercia Ix . onde D ´e a regi˜ao abaixo do plano z = x + 2y e acima da regi˜ao no plano xy (b) D limitada pelas curvas y = x2 . y) = x − 2y + 18. ( 47 . (c) D ´e a regi˜ao do primeiro quadrante limitada pela par´abola y = x2 e a reta y = 1 e δ(x. 0. ZCalcule usando mudan¸ca de coordenadas: Z 2 (a) (x − y 2 ) sen((x + y)2 ) dxdy . 9π ). 3 . 2. Calcule as integrais iteradas: Z 1Z zZ y Z (a) xyz dxdydz (b) 0 0 0 0 π Z 2 √ Z √ 3 2 . 3 x ≤ y ≤ 1} com fun¸ca˜o densidade δ(x. y) = 3. (c) 16 . 3). 1917 . − π4 ) . 3) e δ(x. D ZZZ y dxdydz. a] × [0. xa2 + yb2 ≤ 1}. D ZZZ (e) x dxdydz. 19. 0). y. Resp. (b) 5 . Resp. D ZZZ (d) z dxdydz. y) = √ 3 y4 Resp. π 1 . Resp. onde D ´e limitada pelo parabol´oide x = 4y 2 + 4z 2 e pelo plano x = 4. y) = 1. Resp. 3 18. onde D = {(x. b > 1 e fun¸c˜ao densidade δ(x. (1. ( π2 . ( 34 . 0 Resp. π4 1 − cos( π4 ) . ab(a2 + b2 ) π4 − π2 . ( π2 . (7a/12. y) = x + y. ZZ π(y − x) (b) cos dy dx. onde D ´e o tetraedro s´olido com v´ertices (0. e + x2 . y) = y. y) : 0 ≤ y ≤ sin x. 2 2 (c) Calcule o momento de in´ercia I0 com rela¸c˜ao a origem de D = {(x. 21 ). onde R a regi˜ao do 1o quadrante limitada pelas retas x + y = 1 e 4(y + x) R x + y = 2. Determine a massa e o centro de massa do cubo Q = [0. 16 . (0. z = 0. 0. 21 ) (e) π4 . 2 16 ( 85 . ZZZ (c) xy dxdydz. y + z = 1 e x + z = 1. (a) 32 . 13. Resp. y = 0 e x = 1. 0) e (0. (c) 10 . √ (b) Calcule a massa de D = {(x. (a) 0 (b) 17. Resp. 1). 0. (2. 20 28 35 14. 0) e D 2 2 π π ( 4 . 12 (e) 16π . a5 . (a) 57 . com fun¸ca˜o densidade δ(x. 4 ). Iy e I0 das lˆaminas descritas nos itens (c) e (d) do exerc´ıcio 1 1 13 anterior. (d) 189 . (d) D ´e a regi˜ao limitada pela parabola y 2 = x e a reta y = x − 2 e δ(x. onde a > 1. 0) . 7a/12). onde D ´e o paralelogramo de v´ertice (0. 28 (c) 1 . y) : x2 + y 2 ≥ 1. a] × [0. 3 4−z 2 z sin y dxdzdy. Resp. onde D ´e limitada pelos planos x = 0. y) | 0 ≤ x ≤ 1. 0 ≤ x ≤ z + 2}. y) = xy. 15. Resp. 16. 1269 . (d) 27 . y) : (x − 2y + 3)2 + (3x + 4y − 1)2 ≤ 100}. 150π.(b) D ´e o triˆangulo de v´ertices (0. 10 (d) 1 . 7a/12. z) : 0 ≤ z ≤ 1. (0. (0. 0 ≤ x ≤ π} e δ(x. z) = x2 + y 2 + z 2 . 0). onde E ´e o s´olido limitado pelo cilindro x2 + y 2 = 1. (c) 4π(2 − √ 3). (a) 4π/5. 3π. √ 3 Resp. z) = 1 (b) z 2 = x2 + y 2 . z) = |z|. y. ZZZ p (c) Calcule x2 + y 2 + z 2 dx dy dz. Resp. 2 2 2 25. 0. com a < b e δ(x. Calcule as integrais: ZZZ (a) (x2 + y 2 + z 2 ) dxdydz. x2 + y 2 − 2y = 0. Resp. Resp. z ≥ a > 0}. 9 . Calcule as seguintes integrais: ZZZ (a) (x2 +y 2 ) dxdydz. (0. 30 πa5 . p 28. dentro da esfera x2 +y 2 +z 2 = 2az. para x ≥ 0 com δ(x. x2 + y 2 = 1.20. y. (c) 2π/5. onde B ´e a bola unit´aria x2 + y 2 + z 2 ≤ 1. 2 Resp. z) = z. Determine a massa e o centro de massa do s´olido S limitado pelo parabol´oide z = 4x2 + 4y 2 o pelo plano z = a (a > 0). se S tem densidade constante K. Resp. 4 π ln 2 . Calcule a integral Resp. (b) 0. onde E ´e a regi˜ao limitada pelo cilindro x2 +y 2 = 4 e pelos planos z = −1 E e z = 2. z) : x4 + y9 + z 2 ≤ 1. 2a/3). B ZZZ y 2 dxdydz. 22. Kπa4 /2. x2 + y 2 = 2. a3π (2 − 2) p (b) Calcule a massa da regi˜ao acima do cone z = x2 + y 2 . Determine o volume da regi˜ao R limitada pelos parabol´oides z = x2 + y 2 e z = 36 − 3x2 − 3y 2 . onde E ´e a parte da bola unit´aria x2 + y 2 + z 2 ≤ 1 contida no primeiro octante. 21. (9 3−4 . onde V o slido limitado por x2 + y 2 + z 2 = 2z. π4 (b2 − a2 )2 . x2 + y 2 = 4 com δ(x. onde E ´e a regi˜ao entre os cilindros x2 + y 2 = 4 e x2 + y 2 = 1. onde K ´e a constante de proporcionalidade. z) : x2 +y 2 +z 2 ≤ b2 . z = 0. Determine a massa de um hemisf´erio s´olido H de raio a se a densidade em qualquer ponto ´e proporcional a sua distˆancia ao centro da base. x ≥ 0}. (c) E Resp. 2 32 Resp. y. Calcule a massa do s´olido E = {(x. Calcule a massa da regi˜ao R limitada por: (a) z(x2 + y 2 ) = 2. y. com x ≥ 0 e y ≤ 0 e δ(x. y. z) = x2 + y 2 Resp. (b) π/30. E 27. Calcule o volume da regi˜ao limitada pelo elips´oide xa2 + yb2 + zc2 = 1 Resp. 24. (a) Calcule o volume da regi˜ao acima do cone z = x2 + y 2 e dentro da esfera x2 + y 2 + z 2 = a2 . (a) 24π. y. a > 0 11 com δ(x. onde E ´e a regi˜ao interior ao cone φ = π/6 e a` esfera ρ = 2. Resp. πKa2 /8. Resp. pelo cone z 2 = 4x2 + 4y 2 E e contido no semiespa¸co z ≥ 0. onde E = {(x. 20 29. 23. ZZZ (c) x2 dxdydz.162π. y. ZZZ 2 2 x dxdydz. . limitada pelo E plano xy e pelo plano z = x + 2. 26. z) = 1 (c) x2 + y 2 = 1 + z 2 . ZZZ (b) y dxdydz. z = Vp √ √ p 2)π x2 + y 2 e z = 3(x2 + y 2 ) Resp. 9π . (b) E ZZZ p x2 + y 2 + z 2 dxdydz. 43 πabc. x2 + y 2 = z 2 . Resp. (b) Calcule a massa do s´olido R = {(x. z) = 1. w) : u2 + v 2 + w2 ≥ 1. √ 36. π. u2 + v 2 + w2 = 2v. 8π. para |z| ≤ a com δ(x. + y2 + z2 Resp. 5 3 (f) x2 + y 2 = 1 + z 2 . y. x2 + y 2 = 2 + 2z 2 . 98 2 2 sendo a densidade δ(u. z = − x2 + y 2 . y.(d) x2 + y 2 = 1 + z 2 . z) | (x + y + z)2 + (x + y − z)2 + (x − y − z)2 ≤ 25 . para |z| ≤ a com δ(x. Resp. 33. v. Use a√transforma¸c√ a˜o x = u2 . x +y ≥ 2 +z . √ 3 o 2 2 2 32. z) = y a sua densidade. 6 R x2 y2 2 2 2 + 4 = 1 + z 2 . y. x9 + y4 = 4 + z2 . 37. y. x + y + z ≥ 0 . x + y − z = 2. Calcule a massa do s´olido dado por S = {(u. πr5 /4. Calcule a massa do s´olido limitado por u2 + v 2 + w2 = 4v. v. Calcule Resp. 30. Resp. z = w2 para calcular o volume da regi˜ao limitada pela √ 1 . x + y + z = 2. z) = (x + y + z)(x + y − z) . superf´ıcie x + y + z = 1 e pelos planos coordenados Resp. y. ZZZ (x + y + z)(x + y − z)dxdydz para R limitada por: x + y + z = 1. Resp. 625 . onde a densidade δ(x. 43 . sendo a densidade δ(u. z) = z 2 . x4 + Resp. e 3 √ contida no semiespa¸co y ≥ 3/3. π (5 2 − arctan(5)). Calcule a massa da regi˜ao limitada por: x +y +z ≤ r . v. Resp. para z ≥ 0. 27π. x + y − z = 0. (a) Calcule R Resp. p p (b) z = (x − 1)2 + y 2 . z) = |z|. Seja R a regi˜ao do 1 octante limitada pela esfera x + y + z = 4 e pelo plano y = x. x + y − z ≥ 0}. ZZZ z dxdydz . onde R ´e limitada por: 31. 89 π. πa2 . com v ≥ u2 +√ w2 . 45 π 2. u2 + v 2 + w2 ≤ 2u} Resp. w) = u + w . w) = u. 9 Resp. 90 2 r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 35. Calcule a integral Z 0 5 √ Z 25−x2 0 Z √25−x2 −y2 0 1+ x2 1 dzdydx . 34. (a) Resp. 2π( a5 + a3 ). z) = x +y . y. (e) x2 4 + y2 9 y2 9 2 = 1 + z 2 . 2π. = 2z 2 com δ(x. x2 + y 2 = 4. com δ(x. x − y − z = 1 e x − y − z = 2. 5 . y. y = v 2 . Calcule a massa de R sendo δ(x.