PRÓ-REITORIA ACADÊMICANÚCLEO BÁSICO DE ENGENHARIA PERÍODO LETIVO 2014.2 AVALIAÇÃO Disciplina: 429800 – Termodinâmica Avançada. Professor: Antenor Jorge Parnaíba da Silva Turma: Aluno: Engenharia Mecânica – 6NA Matricula: Recomendações: - Não é permitido o empréstimo de material de nenhuma espécie. - Cada aluno é responsável por trazer a sua calculadora, sendo proibido o uso de celulares, tablets, notebook, etc. - Não é permitida consulta a nenhum tipo de material, salvo com autorização do docente. - A correção das provas se dará com base no desenvolvimento da questão, onde serão analisados todos os cálculos e não apenas a resposta final. - O aluno cujo nome não estiver na ata de prova deve se dirigir à secretaria para solicitar autorização, que deve ser entregue ao docente. - As provas devem ser respondidas a caneta preta ou azul. Questão 1: Mostre que: a) 𝑇2 𝑉 = ( 1) 𝑇1 𝑇 b) (𝑇2 ) ̅̅̅̅ 𝑅/𝐶 𝑉 𝑉2 3/2 , para uma expansão reversível adiabática de um gás ideal; ̅ −𝑏 𝑉 = 𝑉̅1 −𝑏 , para uma expansão adiabática de um gás monoatômico que obedece a 1 2 equação de estado 𝑝(𝑉̅ − 𝑏) = 𝑅𝑇. Estenda este resultado para o caso de um gás diatômico; c) 𝑇2 𝑇1 𝑃 = (𝑃2 ) ̅̅̅̅ 𝑅/𝐶 𝑝 1 ̅ +𝑅)/𝐶𝑉 ̅ (𝐶𝑉 d) 𝑝1 𝑉1 , para uma expansão adiabática de um gás ideal; ̅ +𝑅)/𝐶𝑉 ̅ (𝐶𝑉 = 𝑝2 𝑉2 , para uma expansão adiabática de um gás ideal. Mostre que 5/3 esta fórmula reduz-se a equação 𝑝1 𝑉1 5/3 = 𝑝2 𝑉2 para um gás ideal monoatômico. Questão 2: Neste problema, derivaremos uma relação geral entre Cp e CV. Inicie com U=U(p,T) e escreva 𝜕𝑈 𝜕𝑈 𝑑𝑈= ( 𝜕𝑝 ) 𝑑𝑝 + ( 𝜕𝑝 ) 𝑑𝑇 𝑇 (equação 1) 𝑝 Podemos também considerar que V e T sejam varáveis independentes de U e escrever 𝜕𝑈 𝜕𝑈 𝑑𝑈= ( 𝜕𝑉 ) 𝑑𝑉 + ( 𝜕𝑇 ) 𝑑𝑇 (equação 2) 𝑇 𝑉 Agora admita V=V(p,T) e substitua suas expressões para dV na segunda equação para obter 𝜕𝑈 𝜕𝑉 𝜕𝑈 𝜕𝑉 𝜕𝑈 𝜕𝑉𝑇 𝜕𝑝𝑇 𝜕𝑉𝑇 𝜕𝑇𝑝 𝜕𝑇𝑉 𝑑𝑈= ( ) ( ) 𝑑𝑝 + [( ) ( ) + ( ) ] 𝑑𝑇 (equação 3) Compare este resultado com a primeira equação para obter 𝜕𝑈 𝜕𝑈 𝜕𝑈 ( 𝜕𝑝 ) = ( 𝜕𝑉 ) (𝜕𝑝 ) (equação 4) 𝑇 𝑇 𝑇 E 𝜕𝑈 𝜕𝑈 𝜕𝑉 𝜕𝑈 ( 𝜕𝑇 ) = ( 𝜕𝑉 ) (𝜕𝑇 ) + ( 𝜕𝑇 ) 𝑝 𝑇 𝑝 𝑉 (equação 5) Finalmente, substitua U=H-PV no lado esquerdo da equação (5) e utilize as definições de Cp e C V para obter: 𝜕𝑈 𝜕𝑉 𝐶𝑝− 𝐶𝑉 = [𝑝 + ( ) ] ( ) 𝜕𝑉 𝑇 𝜕𝑇 𝑝 1/4 prove que ( 𝜕𝑉 ) = 0 para um gás ideal. mostre que: 𝐶𝑝 − 𝐶𝑉 = [𝑉 − ( 𝜕𝐻 𝜕𝑝 ) ]( ) 𝜕𝑝 𝑇 𝜕𝑇 𝑉 Questão 4: Iniciando com H=U+PV. Se 𝛽 for constante. para um gás ideal. (b) A compressibilidade isotérmica 𝑘 é definida como 1 𝜕𝑉̅ 𝑘=−̅( ) 𝑉 𝜕𝑃 𝑇 Mostre que: 𝑘= 1 𝑃 Para um gás ideal. mostre que: ( 𝜕𝑈 𝜕𝑉 ) = 𝐶𝑝 − 𝑃 ( ) 𝜕𝑇 𝑝 𝜕𝑇 𝑝 Interprete fisicamente este resultado. Use este resultado para mostrar que o trabalho isotérmico reversível de compressão de um líquido de volume V0 (na pressão P0) para um volume V (com pressão P) é dado por: 2/4 . Questão 5: 𝜕𝑈 𝜕𝐻 (a) Dado que ( 𝜕𝑇 ) = 0 para um gás ideal. 𝑉 𝑇 𝜕𝐻 (c) Mostre que 𝐶𝑝 − 𝐶𝑉 = 𝑛𝑅 se ( 𝜕𝑝 ) = 0. Questão 7: A compressibilidade isotérmica de uma substância é dada por 1 𝜕𝑉 𝛽=− ( ) 𝑉 𝜕𝑃 𝑇 Para um gás ideal. 𝑉 𝑇 𝜕𝑈 𝜕𝐶𝑉 (b) Dado que ( 𝜕𝑇 ) = 0 para um gás ideal. prove que ( 𝜕𝑉 ) = 0 para um gás ideal. como é o caso para um gás ideal.𝜕𝑈 Mostre que 𝐶𝑝 − 𝐶𝑉 = 𝑛𝑅 se (𝜕𝑉 ) = 0. mostre que: 𝑉 = 𝑒 −𝛽(𝑃−𝑃0 ) 𝑉0 Onde V0 é o volume a pressão P0. 𝑇 Questão 6: (a) O coeficiente de expansão térmica 𝛼 é definido como 1 𝜕𝑉̅ 𝛼= ̅( ) 𝑉 𝜕𝑇 𝑃 Mostre que: 𝛼= 1 𝑇 Para um gás ideal. 𝑇 Questão 3: A partir dos resultados da questão 2. 𝛽 = 1/𝑃. 𝑇 (d) Diferencie H=U+PV com respeito a V com temperatura constante para mostrar que 𝜕𝐻 ( 𝜕𝑉 ) = 0 para um gás ideal. mas para um líquido. 𝛽 é praticamente constante sobre moderado intervalo de pressão. e M e vp são a massa e a velocidade do pistão. V1. mas não do volume.𝑉 𝑉 𝑉 𝑙𝑛 − + 1) 𝑉0 𝑉0 𝑉0 ) −𝛽(𝑃−𝑃 −1 0 − 1] + 𝛽 = −𝑃0 𝑉0 [𝑒 𝑉0 {1 − [𝛽(𝑃 − 𝑃0 )]𝑒 −𝛽(𝑃−𝑃0) } Considere o fato que ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛𝑥 − 𝑥 𝑤 = −𝑃0 (𝑉 − 𝑉0 ) + 𝛽 −1 𝑉0 ( Questão 8: Utilizando as equações de estado para gases de van der Waals e de Redlich-Kwong. Questão 9: Imagine que um gás perfeito está contido num cilindro fechado por um pistão sem atrito com as paredes do cilindro. obtenha as expressões de calor e trabalho para um gás isolado admitindo: (a) Expansão ou compressão isotérmica (𝑑𝑈 = 0). Então a velocidade molecular 𝑣⃗ tem somente dois componentes. Como um resultado de colisões entre as moléculas do gás e o pistão. T2). Se m é a massa de uma molécula do gás. suponha que a energia cinética pode ser transferida a partir do pistão para as moléculas. 𝑑𝑡 Onde Zc é o número de colisões por segundo de todas as moléculas com o pistão. Questão 11: Mostre a partir do resultado da questão (10) que o ganho de energia cinética pelo gás em algum intervalo infinitesimal de tempo é simplesmente o trabalho: 𝛿𝑤 = −𝑝𝑑𝑉 Questão 12: Calcule as variações de energia interna e entalpia por dois caminhos diferentes para os seguintes sistemas e variações de estado: (a) Um gás em que a equação de estado é: 𝑝= 𝑅𝑇 𝑉 𝐵 𝐶 (1 + 𝑉 + 𝑉 2 ). Mostre que se M>>m e v>>vp. que implica na consequência que o pistão move-se a velocidade constante vp. mostre que a variação de energia cinética (K) de uma molécula de gás como um resultado de colisão com o pistão é: 4𝑚𝑀 𝑀 2 𝑚 2 1 ∆𝐾 = [ 𝑣 − 𝑣 − (𝑀 − 𝑚)𝑣𝑝 ] (𝑚 + 𝑀 ) 2 2 𝑝 2 2 Questão 10: Suponha que a ausência de atrito do pistão com as paredes do cilindro na questão anterior dê lugar ao surgimento do atrito definido pela força 𝐹⃗. Além disso. mas não para qualquer parte do sistema ou para sua vizinhança (compressão ou expansão adiabática). T1) para (p2. Suponha que todas as moléculas têm a mesma velocidade v e podem se moverem somente na direção perpendicular da face do pistão (nos dois sentidos). (c) Transformação isobárica. a taxa de ganho de energia cinética do gás é 𝑑 (𝐾 ) = −2𝑍𝑐 𝑚𝑣𝑝 𝑣. (d) Transformação isocórica. A variação de estado é a partir (p1. Assuma que CV é independente da temperatura. energia e momento são trocados entre si (pistão e moléculas). (b) Expansão ou compressão adiabática. Interprete este resultado. ±𝑣. nominalmente. Dica: utilize o diagrama de transformações de energia utilizado em sala. Onde B e C dependem da temperatura. V2. 3/4 . V2. Como no item (a). A. V1.(b) Um sólido em que a equação de estado é: 𝑉 = 𝑉0 − 𝐴𝑝 E em que o calor específico a volume constante tem a forma CV = C Na expressão acima. C e V0 são considerados constantes independentes da temperatura e volume. 4/4 . a variação de estado é a partir de (p1. T1) para (p2. T2).