Revisão para o Vestibular do Instituto Militar de Engenharia www.rumoaoita.com & Sistema Elite de Ensino IME EXERCÍCIOS DE GEOMETRIA PLANA REVISÃO 01. (IME-64) Uma corda corta o diâmetro de um círculo segundo um ângulo de 45º. Demonstrar que a soma do quadrado dos segmentos aditivos m e n , com que a corda fica dividida, é igual ao dobro do quadrado do raio do círculo. 02. (IME-64) Prolonga-se o raio AO de um círculo, de um comprimento AB OA ; traça-se uma tangente ao círculo, sobre a qual se levantam as perpendiculares AN e BC . Supondo que o ângulo OÂC Resp.: 42º. 03. (IME-64) Provar que, em qualquer trapézio, a soma do quadrado das diagonais é igual à soma do quadrado do lado não paralelo mais o dobro do produto das bases. 04. (IME-65) AB aditivos da base. AC BC . Expressar a diferença AB 2 126 º , qual o valor do ângulo AÔB ? AM 2 em função dos segmentos A B Resp.: AB 2 M AM 2 C BM . MC . 05. (IME-65) Dividida a área de um círculo de raio R, em n partes equivalentes, por meio de circunferências concêntricas de raios r1, r2, r3, ..., ri, ..., rn 1, estabelecer o valor de ri em função de R, n e i. Resp.: R i; n . 06. (IME-65) Sobre uma circunferência tomou-se um ponto qualquer A. A partir desse ponto, traçam-se retas secantes, tendo como comprimento o dobro das respectivas cordas. Definir, provando, o lugar geométrico das extremidades das retas assim construídas. Resp.: Circunferência. 07. (IME-65) Dado o trapézio de bases b 20 , B 30 e lados a 12 , c 10 , dividir a área desse trapézio por uma reta paralela às bases, de modo que as áreas resultantes sejam proporcionais a 3 e 7, sendo B a base da área maior. Calcular a distância y da reta divisora à base menor b. Resp.: 24 ( 22 5 4) . & 08. (IME-66) Por um ponto distante 7 cm do centro de uma circunferência de 5 cm de raio traçase uma secante de modo que sua parte externa é 2/3 da secante total. Calcular o comprimento da secante. Resp.: 6 cm . 09. (IME-66) Em um círculo de 10 2 cm de diâmetro temos duas cordas de 2 cm e 10 cm . Achar a corda do arco soma dos arcos das cordas anteriores. Resp.: 8 2 cm . 10. (IME-66) Determinar a bissetriz do ângulo maior de um triângulo cujo perímetro é 38 m e cujos lados são proporcionais a 4,6 e 9. Resp.: 2 114 / 5 . 11. (IME-67) Na figura abaixo, AB e AC são tangentes ao círculo menor. Determinar, em função de r, a área da parte hachurada. M A r B C Resp.: r2 . 12. (IME-67) Determinar, justificando sucintamente, o número de polígonos convexos ou estrelados, regulares, não semelhantes, que se pode construir com 15 lados. Resp.: 4. 13. (IME-67) Um trapézio de vértices ABCD está inscrito em um círculo, de raio R, sendo AB R e CD 2R e sendo BC e AD lados não paralelos. Traçam-se as bissetrizes dos ângulos internos do trapézio, de modo que a bissetriz de  intercepta a de D no ponto Q, a da B intercepta a de C no ponto N e a de C intercepta a de D no ponto M. Sabendo que os pontos M, N e Q são interiores ao trapézio ABCD e que o ponto P é a interseção das bissetrizes de A e B , determine a relação entre as áreas dos polígonos MNPQ e ABCD. Resp.: 1/9. 14. (IME-67) A figura mostra o octógono regular MNPQRSTU, e um quadrado construído tendo por base o lado MN. & A M U N T O P S R Q Sabendo-se que a distância entre o centro do círculo inscrito no octógono e o ponto de interseção das diagonais do quadrado é a, determinar a área do quadrado em função de a. Resp.: 2a 2 (3 2 2) . 15. (IME-67) Dois círculos exteriores possuem diâmetros de 10 m e 2 m e seu eixo radical dista 5 m do centro de um deles. Pede-se: a) O comprimento da tangente comum externa dos 2 círculos; b) Sendo P o ponto em que o eixo radical corta a tangente comum externa e O e O os centros dos círculos, determinar a área do triângulo POO . Resp.: a) 8 2 m ; b) 12 2 m 2 . 16. (IME-67) No triângulo abaixo, as distâncias do ponto P aos lados AC e BC são respectivamente m e n. Verificar, justificando, se: CP 2 (m 2 n2 2mn cos C) cos ec 2 C A E m P n B F C BC e BD BE , expressar f( ) . 17. (IME-68) Na figura abaixo, sendo AC & A B E D Resp.: 3 . 18. (IME-68) No quadrilátero qualquer ABCD, P é meio de AD e M é meio de BC. Unindo-se P a C e M a A, obtém-se o quadrilátero APCM. Sendo a área de ABCD APCM. Resp.: 9 m 2 . 19. (IME-68) Os lados dos ângulos MAN e QPR interceptam-se como na figura abaixo. 18 m 2 , calcular a área de P M D A B C Q a N R a E Sendo AD 3 , AB 2 , BC 4 , pede-se: a) o valor de DE. b) dizer, justificadamente, se o quadrilátero BDEC é inscritível. Resp.: a) 1; b) sim. 20. (IME-68) Dado um triângulo isósceles, cujos lados são números inteiros de metros, sabe-se que os raios dos círculos ex-inscritos têm um produto 16 vezes o raio do círculo inscrito. Determinar os lados do triângulo. Resp.: 3, 3, 2. 21. (IME-76/77) De um ponto exterior E a um círculo (O) qualquer traçam-se duas tangentes T e t a esse círculo, sendo os pontos de tangência P e P . O ângulo PÊP' mede 140º. De P traça-se a corda PA cujo arco mede 10º no sentido do maior arco PP sobre o círculo. De A traça-se a corda AB cujo arco mede 70º, no mesmo sentido do arco PA. Pede-se: a) o ângulo EPP' ; b) o ângulo BP' E ; & (IME-86/87) Seja ABCD um quadrilátero circunscritível. (IME-85/86) Seja uma parábola de foco F e diretriz d. 2) As retas AB. 2º) Determine o lugar geométrico dos centros de gravidade dos triângulos ABF. (C2) e (C3) se encontram em um ponto W. Q TA TD . com foco em A e eixo maior de comprimento 2a. considere as elipses passando por B. (IME-76/77) Traçam-se dois círculos de raio r e centros em O e O (OO' r ) que se cortam em I e J. no outro semiplano traça-se a semicircunferência de diâmetros BC. Mostre que o segmento determinado por O e por um ponto M qualquer da hipérbole é média proporcional entre os segmentos MF e MF . C e D .c) o número de lados do polígono inscrito no círculo (O) cujo lado é a corda BP. Em (O) o diâmetro do tem a outra extremidade em C. Os arcos AA .: r 2 ( 4 3) / 2. TC e TDC que determinam os pontos M TA TB . (IME-85/86) 1º) Demonstre que a diferença entre os quadrados de dois lados de um triângulo é igual ao dobro do produto do terceiro lado pela projeção. B. B. Mostre que esta razão independe dos pontos A. Y e Z tais que X BC . tal que 2a d. 26. Resp. Resp. de centros O1 e O2 e raios respectivamente iguais a R1 e R2. CD e NQ são concorrentes em um ponto U. os pontos A. 28. b) 40º. nesta ordem. sobre ela. Prova que: 1) O quadrilátero MNPQ é inscritível. 29. (IME-85/86) Dados dois pontos fixos A e B ( AB d) . M2 e F estão em linha reta. (IME-86/87) Seja uma hipérbole equilátera de centro O e focos F e F . traça-se um arco de círculo que tangencia (O) em B . Considere os círculos (C1). Resp. (C2) e (C3) que passam respectivamente pelos pontos CXY. em (O ) o diâmetro OO tem a outra extremidade em C . (IME-85/86) Considere um triângulo ABC qualquer e três pontos X. Y AC e Z AB . Em um dos semiplanos determinados por r. com pontos diametralmente opostos. que se denominam respectivamente TA. traçam-se ao semi-circunferências de diâmetros AB. BC e NP em um outro ponto V. c) 9. 27. (IME-86/87) Sobre uma reta r marcam-se. Com centro em I e raio 2r traça-se um arco de círculo que tangencia (O) em A e (O ) em A . 23. C e D. CD e AD. 24. & . Demonstre que os círculos inscritos nos triângulos ABC e ACD têm. Por um ponto P d traçam-se tangentes à parábola que a interceptam em M1 e M2. 25. Pede-se a área desta oval em função de r. Demonstre que (C1). B B e BCA formam uma oval com quatro centros. C e D. Traçam-se as bissetrizes internas dos ângulos A. um mesmo ponto em comum. 2º) Determine o lugar geométrico dos centros dos círculos que cortam dois círculos exteriores. bem como as retas AD. Demonstre que M3. (IME-76/77) Seja ABCD um quadrilátero convexo. 2 30.: a) 20º. AYZ e BXZ. N TB TC . A C B . Calcule a razão entre a área delimitada por estas semicircunferências e a área do quadrilátero cujos vértices são os pontos médios das semicircunferências. com a diagonal AC. B. P TC TD . TB. Com centro com 3 e raio 2r. da mediana correspondente. 1º) Determine o lugar geométrico do segundo foco F dos elipses.: . 22. que o dividem interna e externamente numa mesma razão. (IME-88/89) São dados um segmento AB e os pontos C e D. Resp. tangentes dois a dois. a) Demonstre que o produto PB . G e tangentes interiores ao círculo dado. tal que BM R . quando P desloca-se sobre a tangente.31. (IME-86/87) Sejam duas circunferências. onde K a b c . Determine. (IME-86/87) Dado um triângulo ABC de lados a. 2 36. b. (IME-86/87) Sejam A. B. (IME-88/89) Numa circunferência de centro O e diâmetro AB 2R . onde N e S são os pontos de interseção da secante com a circunferência. F. mostre que os segmentos MB MD MA MC ME .: r R(2 3 3). não ortogonais. 38. b) Determine o lugar geométrico do ponto médio de AC. (IME-87/88) Sobre os catetos AB e AC de um triângulo ABC. c opostos dos ângulos A. B C p sen  2 respectivamente e de perímetro 2p. 39. as circunferências de centro O e O . GF e FE. BF e a altura AH são concorrentes. em função de R. BC é constante. c) Seja AP PB / 2 . (IME-87/88) Seja o semi-círculo de diâmetro AB 2R e r sua tangente em A. interceptando o semi-círculo no ponto C. Determine a área do triângulo MOS. em função de sua área S. Mostre que as circunferências de diâmetro AB e CD são ortogonais. nos pontos E. (IME-87/88) Dado um círculo de raio R e centro O. B C cos cos 2 2 32. do ângulo C e de K. Mostre que os segmentos CD.: c) S R 2 (5 3 2 ) / 12 . 37. constrói-se 3 círculos iguais de raios r. demonstre que o pentágono BOFF O é inscritível. E os vértices de um pentágono regular inscrito num círculo e M um ponto qualquer sobre o arco AE. C. Traça-se uma secante MNS tal que MN NS . calcule a área da porção do triângulo PAB. Sendo D e D os pontos onde as retas O A e AO interceptam. situada no exterior do semicírculo. D.: c 2S K tg c 2 K . Unindo-se M a cada um dos vértices do pentágono. Resp.: R 2 15 / 4 . 34. & . prolonga-se o diâmetro AB até um ponto M. (IME-87/88) Calcule o lado c de um triângulo ABC. Resp. compreendida entre os três círculos e limitada pelos arcos EG. S 3(7 4 3 )(2 3 )R 2 / 2 35. o raio destes círculos e a área da superfície EPG. de centros O e O que se interceptam em A e B. 33. Liga-se um ponto P da reta r ao ponto B. respectivamente. constroem-se dois quadrados ABDE e ACFG. Resp. mostre que a . b) Determine eixos e distância focal. Determine o lugar geométrico dos pontos P. b) d 3 3R 2 d R 3 0. situados em semiplanos distintos em relação ao lado AC. g . (IME-89/90) Os lados de um triângulo estão em progressão aritmética e o lado intermediário mede . Resp. b) Seja E o ponto de interseção de AC com BD. e os vértices B e D. Calcule BE e ED. 45. Sabendo-se que o maior ângulo excede o menor em 90º. Sobre o prolongamento de AB escolhemos um ponto P (PB círculo nos pontos M e N (PM PA ) . que contenha o quadrado. Chame de ângulo sob o qual o quadrado é visto do ponto P o menor ângulo com vértice em P. c) a 10 / 10 e a 10 / 15 . Os prolongamentos dos lados são paralelos se cortam em I. de onde o quadrado é visto sob um ângulo de 45º. a) Demonstre que o . (IME-89/90) Seja P um ponto no interior de um triângulo ABC. a) Mostre que a corda MB é um lado de um polígono regular inscrito de dezoito lados. & . é uma cônica. b) Eixo maior = a / a b . 43. calcule a razão entre os lados. b) a 10 / 3 . Resp. Partindo de P tomamos uma secante que corta o AN R. quando a base CD se desloca. 41. A 84 P B 40 30 35 C Calcule a área do triângulo ABC. c) Seja F a interseção da circunferência de diâmetro BC com a diagonal BD. igual a b. A soma dos lados não paralelos é constante e igual a . 44. a) Calcule a diagonal BD.: a) a 10 / 2 . (IME-89/90) Seja AB um diâmetro de um círculo de centro O e raio R. Calcule DF e EF. PN) .: 311. Resp. 35 e 84. (IME-88/89) Seja um quadrado de lado a e um ponto P.40. do quadrilátero ABCD. (IME-88/89) Sejam ABC e ACD dois triângulos retângulos isósceles com o lado AC comum. eixo menor = a distância focal = a. Resp. exterior ao quadrado. b) Encontre uma equação (do 3º grau) que determina a distância de P ao centro do círculo em função de R.: a) Elipse de focos A e B. descrito pelo ponto I. 42. como mostra a figura. (IME-88/89) Seja ABCD um trapézio cuja base maior AB a é fixa e cuja base menor CD tem comprimento constante. quatro dos quais têm áreas 40. dividindo-o em seis triângulos.: a) MB 20º 360º / 18 . nestes triângulos AB AC a e AD CD . de modo que PM 2 (a b ) 2 / a b . b) Calcule. retire de A1 a coroa circular de raios R1 e 3 2 R1. Divida um raio 1 2 de A0 em três segmentos congruentes e retire de A0 a coroa circular de raios R e R. a) Determine um diâmetro MN de modo que o triângulo PMN seja retângulo com ângulo reto em M. passando nos seus vértices.: b) PM e 2 2 R . Continue esse processo indefinidamente e seja A o conjunto 3 resultante. S diâmetro OP (exceto o ponto P). e um ponto P tal que OP = 3R. de modo análogo Q e R sobre os lados CA. c) PK 4 3 R / 3 . interceptam os lados opostos em três pontos colineares. A D E B H C P 51. PN 2 3 R . com centro O e raio R. AB.Resp. MN 2R . mais uma vez. (IME-90/91) Num triângulo ABC traçamos a altura AH e do pé H dessa altura construímos as perpendiculares HD . Q. em função de R. Demonstre que os pontos P. chame 3 3 1 este conjunto de A1. ambos contidos num plano. 46. 50. (IME-89/90) Seja um triângulo ABC cujos lados são tangentes a uma parábola. & . 2 2R 2 . d) O diâmetro MN gira em torno de O. Resp. chame este conjunto de A2. (IME-90/91) No plano. Calcule PK . (IME-89/90) Prove que as tangentes ao círculo circunscrito a um triângulo. seja P o ponto de interseção de DE com BC. (IME-90/91) Sejam um círculo. c) PN intercepta a circunferência em um segundo ponto K. (IME-90/91) Considere um círculo e uma reta que não se interceptam.: 7 /7. considere um disco de raio R chame este conjunto de A0. divida um raio deste disco 3 1 em três segmentos congruentes e. HE sobre os lados AB e AC. Qual o lugar geométrico dos pés das perpendiculares traçadas de P sobre MN? e) Determine a posição do diâmetro MN para que a área do triângulo PMN seja máxima. 48. e) MN OP . O conjunto A1 contém um disco de raio R1 = R. os lados e a área do triângulo PMN. Construindo as alturas relativas aos vértices B e C determina-se também. Prove que o círculo circunscrito ao triângulo passa pelo foco. Determine o lugar geométrico dos centros que são tangentes ao círculo dado (exteriormente) e à reta dada. 47. R são colineares. d) círculo de 49. Calcule o lado do quadrado inscrito no triângulo equilátero de perímetro igual ao do hexáGONO OBTIDO. de um octaedro que tem vértices em A e C e os outros sobre a circunferência gerada pela revolução de B em torno do mesmo eixo.: 72 cm 3 . está circunscrito a uma 2 1 1 esfera de raio r . e que a sua altura é de 4 cm . & . o segmento de reta AB e o arco de circunferência BC concordam em B. Resp.: (9 5 3) / 2 . 8 PROGRAMA IME ESPECIAL 1991 GEOMETRIA ESPACIAL 01. tem a sua geratriz igual à soma dos raios das suas bases. 05. Qual a menor distância do vértice do cone a que deve passar este plano? Resp. 5 . Em função de AC . determinar a área total do sólido gerado pela revolução da linha ABC em torno do eixo OO' eo volume. de tal forma que a diferença entre as áreas das seções obtidas seja igual a 2 .56 cm 2 . 04. de raio da base igual a R e altura h .: a) S n R2. de área total igual a 24 m 2 . Sabendo-se que a sua área lateral é igual a 66. calcular o seu volume. de bases paralelas.3 2n 3 . máximo. (IME-64) Um cubo. (IME-65) Na linha plana ABC da figura. b) S 5 R2.: 4 3 /(2 2 6 ) cm 2(2 6 3 3 ) cm. 3 2n 8. é cortado por um plano de modo a se obter uma seção hexagonal regular. Resp. rh r 2 R 2 02. Deseja-se cortar os dois sólidos por um plano paralelo à base do cone. Resp. (IME-64) Um cone circular reto. (IME-64) Um tronco de cone de resolução. b) Calcule a área do conjunto resultante A. Considerar 3. 03. (IME-65) Um cone equilátero está inscrito em uma esfera de raio R 6 .A1 A2 a) Calcule a área do conjunto An obtido após a n-ésima etapa do processo descrito acima. Provar que .14 . Calcular os volumes dos sólidos em que 3 /2. 5 2 . 10. Um sólido de revolução é gerado pela rotação do trapézio em torno de um eixo perpendicular às suas bases. (IME-66) Um cone de 27 cm de raio e 36 cm de altura tem o vértice no centro de uma esfera de 35 cm de raio. Resp. a.: 4 3 / 3 rad . Resp. 07. Sabendo que a altura do cilindro é 4 m e que a relação entre o raio da base e o raio da esfera é Resp. 08. 2 . Calcular o ângulo da cunha. V 60 u .v.o A 30º B C O 2 3 Resp. (IME-65) Em um trapézio isósceles de área A 1 5 está inscrito um círculo de área A 2 . & .: A 120 u . e afastado do vértice mas próximo de uma distância igual ao comprimento da base maior. Calcular o raio da esfera. Calcular o volume da porção de espaço comum aos dois sólidos. (IME-66) O volume de uma cunha esférica é igual ao volume do cubo inscrito na mesma esfera. (IME-66) Inscreve-se um cilindro circular reto numa esfera.: 2 .: 5. Calcular a área total e o volume deste sólido de revolução.: a) 2 u .a . 7 3 / 3 cm 3 .: 36 m 3 e 180 m 3 . v. Resp. 06. Um cone é circunscrito a esse cilindro de modo que sua altura seja 4R. Resp. 09. Resp. 11. b) 18 u. (IME-66) Um cilindro é circunscrito a uma esfera de raio R. Calcular a relação entre a área lateral do cone e aq área da esfera. contido no plano da figura. (IME-66) Pela diagonal de uma das faces de um cubo de aresta igual a 6 m faz-se passar um plano que forma com esta face um diedro de arc tg fica decomposto o cubo.: 4 m. : 480 m 2 . para que esses dois planos dividam o paralelepípedo em três partes do mesmo volume. (IME-66) Quatro esferas de raio R são tangentes entre si e três delas estão apoiadas num plano horizontal. 1º) Determine as distâncias AM x e CN y .: 5. (IME-85/86) Seja um paralelepípedo retângulo de bases ABCD e A B C D .12. b.: 10 cm . (IME-67) Um prisma A. B. e tangentes duas a duas. pelo meio das arestas que chegam a cada vértice. dizer o número de lados da base de cada sólido. Resp. y. CC e DD tenham por comprimento h e os lados da base sejam. BB . C. & . 14. 2º) Determine a razão entre os volumes dos sólidos MBNM B N e MBNM D N . Resp. um prisma B. (IME-68) Dado um prisma reto cuja base é um quadrado de lado 10 m e altura 18 m . c dos três pontos A. Calcular. Resp. Resp. B : 3. z 2b ab . b) A área da base menor do tronco de pirâmide. C : 4 .: (2 h 2 a2 ) / 4 h . 2a y ac . Sabendo-se que A tem mais arestas que B. (IME-68) Consideram-se três esferas tangentes a um plano P em três pontos A. A : 5. 13. inscreve-se um octaedro P que tem por vértices os centros das faces do cubo original. a área lateral do prisma truncado assim formado. 16.: x bc . 18. AB a e AD b . (IME-68) Corta-se um cubo de aresta a por 8 planos que passam. respectivamente. 19.: a) 1350 cm 3 . Por DD considere dois planos DD MM e DD NN . 3 15. Resp. C. Calcular os raios x. e uma pirâmide C têm ao todo 32 arestas. cujas arestas AA . r ah /(a 4h 2 a2 ) . z das esferas em função das distâncias mútuas a. Considera-se o sólido S que resta. Calcular: a) O volume da pirâmide da qual se derivou o tronco. 12 m e 14 m . No mesmo sólido S. Calcular a relação entre os volumes dos sólidos S e P. A altura do centro da esfera mais alta referida a esse plano é 26. b) 200 cm 2 . se retirados os 8 tetraedros obtidos. em metros quadrados. B. Calcular o raio das esferas. A base maior é um triângulo retângulo cuja altura é 12 cm e cujo perímetro é 60 cm .32 cm . (IME-68) Calcular o raio das esferas circunscrita e inscrita a uma pirâmide regular que tem por altura h e por base um quadrado de lado a. (IME-67) O volume de um tronco de pirâmide vale 950 cm 3 e sua altura é de 9 cm . cada um. Resp. Resp. passase um plano que corta o prisma de modo a que três arestas consecutivas ficam medindo 10 m. 2c 17. não coplanares. 2º) . supondo satisfeitas as condições do item anterior. (IME-86/87) Sejam duas retas ortogonais r e r .: 1º) x 2a . (IME-85/86) Dado um tronco de pirâmide triangular de bases paralelas. c) Calcule o volume do tronco de prisma ABCDB C D . retângulo em A. Sobre esta. Por B. onde B e D são pontos das arestas que passem respectivamente por B e D. a) Mostre que é possível obter-se para seção plana um losango AB C D . sobre a aresta traçada por C. D e um ponto C . 3º) 3 5 3b 2a . 26. Determine o lugar geométrico dos centros das esferas circunscritas ao tetraedro ABMM . B. 23. (IME-86/87) Num plano tem-se um retângulo ABCD de dimensões AB 2a e AD a. e um cone circunscrito a elas. & .: b) r 3 . Consideram-se a superfície prismática. b) Calcule os raios dessas esferas. 22. 25. de lado da base igual a e altura h. 24. 21. Seccionando-se esta superfície por um plano passando por AC .: 4 Rr . c) a2 b .3º) Encontre a relação entre a e b. seja reto. O plano corta SA em A . tal que CC' b. cujas arestas são as retas perpendiculares a . r ' 3 2 / 4 . ( 4h2 4 h 3 2 3 ).y 3 2b 1 . passa-se um plano que intercepta SC em C e é perpendicular a SC. Considere o sólido formado ao retirar-se as oito pirâmides obtidas. Por B. C. Resp. 5a3 / 6. (3 3 ) a2. ( 4h2 4 h 3 2 3 ). que estabeleça a condição necessária e suficiente para que o diedro de arestas MM . Considere sobre r dois pontos fixos A e B e sobre r dois pontos variáveis M e M . . cujas faces passam por DD e NN . r ' 3 . Resp. C. tais que a projeção de M sobre o plano que contém o triângulo MAB é o ortocentro H deste triângulo. demonstre que as retas que ligam os vértices da base inferior aos pontos médios dos lados opostos da base superior são concorrentes. traça-se uma reta perpendicular ao plano do triângulo. tangentes exteriores. (IME-86/87) Dada uma pirâmide hexagonal regular de vértice V e base ABCDEF. a área e o volume deste sólido. b) Determine. fixa-se no ponto S. (IME-85/86) Seja um triângulo ABC. c) Mostre que o produto desses raios independe de h. passando por A. Calcule a soma das arestas. Demonstre que os cinco pontos A. B. (IME-85/86) Dadas duas esferas de raios respectivamente iguais a R e r. a) Mostre que existem duas esferas tangentes aos planos das faces dessa pirâmide. 20.: b) b 3 a . Resp. uma condição necessária e suficiente para que o losango esteja situado em um mesmo semi-espaço em relação ao plano . . Resp. em função de a e b.: 12 2 a. (IME-87/88) Secciona-se um cubo de aresta a por planos passando pelos pontos médios das arestas concorrentes em cada vértice. Resp. calcule a área da superfície lateral do tronco de cone que tenha por bases os círculos de contato das esferas com o cone. A e C pertencem a uma mesma esfera. c) r . b) Determine o volume da esfera circunscrita a este sólido. Calcule a razão entre as áreas destas duas seções. Determine o lugar geométrico dos pontos de contato dos planos tangentes a tais esferas e que contêm a reta r. Resp. Seja O o baricentro da face ABC. d) O centro da esfera é o centro do retângulo B B C C. Sejam BB e CC dois segmentos de comprimento a. b) calcule o volume desta pirâmide. C e B pertencem a uma esfera. 28. B. (IME-88/89) Seja ABCD um tetraedro regular de aresta a. ortogonais e sua perpendicular comum t. respectivamente sobre r e s. 2 2 2 3 ) a2 / 2 . em função da distância AB. a) Demonstre que a soma dos quadrados das arestas deste tetraedro é constante.: a) (3 o raio é a 3 . (IME-88/89) Seja ABC um triângulo retângulo isósceles. forma-se um tetraedro variável ABIK. Seja r uma reta do plano . que corta r em I e S em K. R b) Seja M um ponto sobre AB tal que AM . b) a3 . em relação a este plano. e 3 32.: b) AB . 2 29. Resp. 2 a) Determine o volume da esfera inscrita no sólido comum aos tetraedros ABCD e A B C D . b) Calcule o raio da esfera circunscrita ao tetraedro. (IME-87/88) Considere as esferas cuja interseção com um plano é um círculo fixo C. a) calcule a área total da pirâmide de vértice A e base BCC B . AO obtendo-se um novo tetraedro A B C D . de comprimento constante. C. o semicírculo gera uma esfera E o triângulo ACD gera um sólido S. que se move apoiando suas extremidades A e B.: a) 6 a3 / 729 . traça-se uma reta que forma um ângulo de 30º com o diâmetro AB e que corta o semicírculo em C. traça-se a tangente ao semicírculo. Efetua-se uma translação do tetraedro igual a Resp. d) determine o centro e o raio desta esfera. 30. Por A. c) mostre que os pontos A. & . com AB AC a . (IME-87/88) Considere um semicírculo de diâmetro AB 2R . Por C. (IME-87/88) Dadas duas retas reversas r e s. Resp. (IME-88/89) Mostre que a área total do cilindro equilátero inscrito em uma esfera é média geométrica entre a área da esfera e a área total do cone equilátero inscrito nessa esfera. em função do raio R. Unindo-se A a K e I a B.27. seccionando a esfera E e o sólido S. que intercepta a reta que contém AB no ponto D. considere um segmento AB. 31. perpendiculares ao plano ABC e situados no mesmo semiespaço. Fazendo-se uma rotação em torno da reta que contém AB. b) 6 a3 / 27 . a) Calcule o volume deste sólido S.: 15. Considere um plano passando por M e 3 perpendicular à reta AB. exterior ao círculo. e) a3 3 / 36 . Os planos definidos pelo ponto A e a reta x e o definido pelo ponto A e a reta y cortam a esfera segundo dois círculos. Resp. Mostre que quando MN varia. paralela a AB. Seja a perpendicular ao plano em A e seja B pertencente a esta perpendicular tal que AB a . o volume limitado pela superfície do cone. 36. BC s retângulos. Seja K a razão entre o volume do R tronco e a soma dos volumes dos dois cones opostos e seja m a razão . a soma dos quadrados de seus raios é constante. com vértices VABC. Traçam- se: uma corda MN do círculo (C). altura h e raio da base r e seja ABC um triângulo equilátero circunscrito à base do cone. 34.: m . (IME-90/91) Seja. (IME-90/91) Sejam dois quadrados ABCD e ABEF. vértice V. ao mesmo tempo. às diagonais AC e BF AM BN 1 tais que . b) OA a. OC a cos . (IME-89/90) Considere uma esfera de raio R. d) 30º ou 60º. e duas retas x e y perpendiculares ao plano do círculo de diâmetro AB e passando. em função de r. Sejam M e N pertencentes. c) (a3 sen 2 ) / 12 . Determine m em r função de K. pertencentes a um plano fixo . & . Determine a figura geométrica à qual pertence o lugar geométrico dos vértices dos triedos nos quais as três arestas estão tangentes a essa esfera e formam. tendo um lado comum AB. mantendo-se paralela a AB. tal que AOx . mas não situados num mesmo plano. calcule. (IME-89/90) Seja um segmento fixo OA de comprimento a e uma semi-reta variável Ox. duas a duas. Seja C o pé da perpendicular traçada de B sobre Ox. respectivamente. AC BF 3 37.: a) h 2 2 r . a 1 sen2 . (IME-90/91) Seja um cone reto de base circular. AB a. bases de um tronco de cone e bases de dois cones opostos de mesmo vértice e mesmo eixo. um círculo máximo (C) com diâmetro AB 2R .33. seja regular.: a) Todas as faces são AC a sen .: Superfície esférica concêntrica com a esfera dada e de raio R 3 . d) Determine o volume comum aos dois sólidos concentradas no item anterior. ângulo agudo. Pedidos: a) Qual a propriedade comum a todas as faces do tetraedro OABC? b) Calcule o comprimento das seis arestas de OABC em função de a e . Pede-se: a) Determinar a relação entre h e r para que o tetraedro. sobre uma esfera. K 1 3K 2 10K 2(K 1) 3 Resp. OB a 2. b) Satisfeitas essas condições. ângulos de 60º. c) Calcule o volume v do tetraedro em função de a e . Resp. respectivamente. Mostre que MN é paralelo a DE. Resp. b) 23 (3 3 2 )/9. 35. por M e N. pelo plano de sua base e pelos dois planos tangentes que passam pela aresta VA. (IME-89/90) Dois círculos de raio R e r são. 38. exterior ao triângulo são x. B e C. de um triângulo ABC. A5. y e z. Provar que a equação 08.4 cm. Mostre que um triângulo qualquer. Na figura abaixo. a uma reta r. mostre que: g x y 3 z & . x é paralelo às bases. A2. Ache as medidas de seus lados. são vértices dos triângulos equiláteros A1. b e c e semiperímetro p. 02. CDEF é um trapézio de bases B e b. 06. . Se MN uma relação entre A.. A3.QUESTÕES DISCURSIVAS DE GEOMETRIA PLANA 01. A5. Uma das alturas de um triângulo medem 6 cm e 8 cm. 05.. A6. B e b. A3. estabeleça C M b D N O F E 03. 4 cm e 2. Na figura. A4. Se A1A 2 A 3 A 4 3 cm . ache o limite da soma dos perímetros desses triângulos. 07. Se a distância do baricentro desse triângulo a outra reta é q. Calcule o raio do círculo circunscrito a um triângulo de lados a. As distâncias dos vértices A. A7. A2. Em um triângulo. tira-se por um dos vértices de um ângulo agudo uma reta que faz 30º com a hipotenusa e que divide o cateto oposto em segmentos de 2 cm e 5 cm. os pontos A1. etc. quando o número de triângulos cresce infinitamente. estando o maior lado da hipotenusa. Calcular o segundo cateto e a área do triângulo. o produto de dois lados é igual ao produto da altura relativa ao 3º lado pelo diâmetro do círculo circunscrito. As alturas de um triângulo medem 3 cm. Entre que valores pode estar a medida da terceira altura: 09. 04. A4. 2 2 2 1 x x 0 admite sempre raízes se b e c são catetos de um b h 6 triângulo retângulo e h a altura relativa à hipotenusa. Dar também a solução gráfica. Ache a área assinalada. Qual a razão entre as áreas dos quadriláteros BMPN e NPDC da figura do problema 13? 16. em função do lado do quadrado. tais que AB 2 cm e BC 4 cm . . Dados três pontos colineares A.A x q E y 10. A B C D 13. do quadrado ABCD. 14. PA e PB são tangentes ao círculo de centro O e raio R. Ache a área do trapézio ABCD. Qual o raio do círculo tangente interiormente ao maior destes semi-círculos e tangentes exteriormente aos dois menores? 11. ache a & . Na figura abaixo. Num triângulo ABC isósceles de base BC 6 cm e altura AH igual a 4 cm. Na figura abaixo. Os círculos da figura. M e N são pontos médios de AB e BC . Qual o raio do círculo que passa por A. e C. Se APB área assinalada em função de R e . Qual a área do triângulo APD da figura anterior. B. têm raio0s de 4 cm e 9 cm. D. traçam-se as alturas BD e CE que se cortam em I. AB e CD são tangentes comuns extermos. I e E? 12. BC e AC situados do mesmo lado de AC. considere os três semi-círculos de diâmetros AB. B M A P N C D . em função do lado 15. A O P B 17. M. Seja MN // BC . A M N B Q P C 15 . Na figura abaixo. 6 cm e x dos lados AB a medida x. Ache 19. relativa a BC mede 8 cm . e sua altura. AB 15 cm . N. e sejam MQ BC e NP BC tal que o retângulo MNPQ tem área máxima. Na figura abaixo. Ache o raio desse semicírculo. A X Q W O H Y B N Z P C 18. CD e DA . P e Q são pontos médios dos lados AB. BC. Na figura abaixo. BC 14 e CA 13 . & . Ache MN e a medida da área do retângulo MNPQ. o ponto P dista 4 cm. AC 13 e BC 14 . A P C B 20. Ache área do quadrilátero XYZW em função da área S do quadrilátero ABCD. O triângulo ABC tem base BC 12 cm . O semicírculo tem centro sobre BC e é tangente aos lados AB e AC . A B C 21. Mostre que o raio do círculo exinscrito ao lado a de um triângulo ABC. onde S é a área do triângulo e p é seu semiperímetro. mostre que: & . BC b . Na figura abaixo. ABCD é um quadrilátero de lados a. pode ser calculado pela S expressão: ra . ou seja. A bissetriz relativa ao lado a mede y. p 23. AB a . S . Se AC x e BD y . Os lados b e c de um triângulo formam 120º. na figura: B a b A d D x y ac bd y x c C 26. b. Se P e Q são os pontos médios das diagonais. b y a c 22. mostre que: a2 b2 c2 d2 4 PQ2 x2 y2 25. Ache y em função de b e c. o produto das diagonais é igual à soma dos produtos de dois lados opostos. c e d cujas diagonais medem x e y. CD c e DA d . Prove que o raio do círculo inscrito em um triângulo pode ser calculado pela expressão: r onde S é sua área e onde p é seu semiperímetro. Mostre que em todo quadrilátero convexo inscritível. p a 24. tem diâmetros AB . A H N P B O C 90º então a 29. Na figura.B a y A d D x y ad ab bc . BC e AC . Se o triângulo ABC tem área S. M é médio de AB e N é tal que AN quadrilátero MNCB e a área do triângulo ABC? 2 AC . Os três semi-círculos da figura. AM MN NB . Na figura. cd b x c C 27. Mostre que. P é médio de AC e Q é médio de BC . ache a área hachurada. se A área hachurada é igual a área do triângulo ABC. Qual a razão entre as áreas do 3 A M N B C 28. & . Ache a medida do lado do pentágono 31. B A G H C F J E 32. Na figura. Na figura. Calcule sen 18º . CN hachurada. ache a área 4 e BP A M N B P C .A B 30. I D & . Se o triângulo ABC tem área S. AM MB . ABCDE é um pentágono regular de lado FGHIJ. CA 3 C BP . cada um dos três círculos passa pelos centros dos outros dois. A rosácea de seis folhas da figura está inscrita em um círculo de raio R. 34. Ache sua área. Na figura. ache a medida de sua diagonal.18º 33. Ache PQ e TU se QS 2 . Na figura abaixo PQ e TU são perpendiculares a r. Ache a área hachurada se os três círculos têm raios R. 36. 35. Um pentágono regular tem lado . 37. Ache o lado do decágono regular inscrito em um círculo de raio R. SU 6 e se & . R P Q S U 38. b) Determine a equação do lugar geométrico dos vértices das curvas da família C. Qual o raio do círculo de centro O ? O O O Cada um dos círculos seguintes é tangente a quatro círculos. 2 1 2. PROGRAMA IME-90 MILITARES . apresentando um esboço deste lugar geométrico.. b) y x2 x 6 (fazer gráfico). Resp.. calcule o valor da soma: 1 1. Estabeleça os raios desses círculos (até o 4º ou 5º). são tangentes entre si e à reta r.MISCELÂNEA 01.. (IME-74/75) A soma dos 50 primeiros termos de uma Progressão Aritmética é igual a 200 à soma dos 50 seguintes é igual a 2700. & . determine os valores que m pode assumir. a1 41 / 2 . Na figura. a) Sabendo que a curva intercepta o eixo x x em dois pontos. Resp. (IME-74/75) Considere as Progressões Geométricas e Aritméticas abaixo. Calcule a razão da progressão e o seu primeiro termo.5 ... Baseado no valor desses raios. 2 1. as quais se prolongam indefinidamente nos dois sentidos: 2m m 2m .: a) m < 3 ou m > 8.4 1 4. os círculos de centros (O) e (O ) tem raios I. definida pela equação: y x 2(m 5)x m 1. 03.: r 02. : a 4 : a 4 : a0 : a 4 : .. (IME-74/75) Considere a família de curvas C.3 1 3.. : número = 2 .. 1 2 5 R . (IME-76/77) Seja x onde f : x logx ( x 1 2 2 R . a10 .. tal que 1 . n 06. 8 9 é um quadrado perfeito.. justifique a resposta. base 0. 09. (IME-81/82) Determine os dois valores de m para os quais a razão entre as raízes da equação: 1 mx 2 (1 8m)x 4( 4m 1) 0 é igual a . 4 Resp. (IME-80/81) Determine os valores de h. a 1 a (p / m 4) 04. 1 .48888. 3 x2 x 2 hx x 1 1 3 seja 08... 1 4 3m .: a5 b6 a1 .. domínio de definição da função f. 1 4 4 m . b6 Resp. (IME-80/81) Mostre que o número 4444. 4 Verifique se elas podem definir o núcleo de um sistema de logaritmos. 05.: A .. etc...: m 1 ou m 5 1 . Determine o conjunto A onde A 1). 07.: 5 h 1. x 5 Resp. negativo. (IME-78/79) Seja uma progressão aritmética de 1º termo a1 a1 a10 0 . Resp. 20 & . . Seja a progressão aritmética de 1º termo b1 0 e último termo a10.. Em caso afirmativo. determine a base do sistema. Em caso. Resp. 10n 1 / 3 . Calcule a10 1 e último termo b10 a1 a5 em função de a1 e a10. 1 4 3m m . n vezes 2 (n 1) vezes Resp. de modo que a desigualdade válida para qualquer x real. (IME-79/80) Prove que n3 i 1 a1 ..: m a 4 (impondo correspondência entre o termo ). onde a i (n 1) n 2i 1 . ... 1 5m .... Determine o primeiro termo e a razão desta progressão..7 % & . 2 Resp. 0. (IME-81/82) Três progressões geométricas têm mesma razão q e primeiros termos diferentes a. b e c. 14. 11. 1 12. tal que n lim n t 0 logp St 1 4.37037. Calcule em função de e os valores de log N e log3 N onde N 243 4 3645 3 .. 13.: log N 13 2 1 . razões a a Resp. (IME-84/85) Determine o valor de b. (IME-81/82) O quadrado de qualquer número por 2 n pode ser expresso como a soma de n termos. São dados: log 2 e log 3 . A soma dos n primeiros termos da primeira é igual à soma do 2 n primeiros termos da segunda e igual à soma dos 3 n primeiros termos da terceira. 0. b.: c a 1 1 b a 2 1 b a .333.: 3.10. Determine a relação que liga as b c e . (IME85/86) Determine log Resp.. (IME-83/84) Seja log a o logaritmo decimal de a e log3 a o logaritmo de a na base 3. em progressão aritmética. . onde p t b( t 1)2 . c.: a1 4 er 8. 15.. (IME-85/86) Uma padaria trabalha com 4 tipos de farinha cujos teores de impureza são os seguintes: Tipo A B C D Teor 8% 12 % 16. em função somente de a. Resp.7 % 10. Resp. log3 N 3 13 2 1 3 .: b 5. Determine os dois lugares que satisfazem a equação: z 1 z 1 C.G. com z 08. 10.Para fabricar farinha tipo D. (IME-85/86) Mostre que os números 12. Resolva a equação: (1 i)z 3iz 2 i. (IME-74/75) São dados dois números complexos z1 e z2. 02. (IME-73/74) Determine o conjunto dos pontos z do plano complexo tais que um número real. determine e esboce o 0 . 30 09. Sendo w i 3 . 4 3i z 2 representa z( z 1) 06. (IME) Dados dois pontos do plano complexo.: 700 g. por Re(z) e Im(z). k 1 & . 07. Determine a R para que o quociente x x i seja i 3 2ai seja: (a) real. 20 e 35 não podem ser termos de uma mesma progressão geométrica. (IME-83/84) Sejam C uma constante real positiva e z um número complexo. As partes real e imaginária de um complexo z são dentadas. Determine a e b reais sabendo que 1 3i é solução da equação 2x 2 ax b 0. Re( z2 ) 03. Calcule 2 2 1 2 2 i 2 . substitui 200 gramas dessa mistura por 200 gramas de farinha tipo C. Determine a quantidade de farinha tipo A utilizada. dos pontos que satisfazem a relação Re z z z1 z2 2 3i e z2 4 z2 . 05. (b) imaginário puro. o padeiro mistura uma certa quantidade de farinha A com 300 gramas de farinha tipo B. Resp. Ache os valores reais de x de modo que a parte real do número complexo z negativa. Determine z1 e z2. 5i . sabendo que: z1 z2 5 2 4z1 z2 2 15 Re( z1) 4 Re( z1) 0. NÚMEROS COMPLEXOS 01. 16. z1 L. calcule 2 11 wk . 04. em seguida. respectivamente. 10 . (IME-72/73) Determine as raízes primitivas de índice 24 da unidade. b) c) d) z z z 4 . b R. (IME-77/78) Sendo H todos os pares (am.G. x. tal que g( z) (4 3i) . bm i 17. xn 1 18. Determine o L. (IME-82/83) É dado 2 cos 1 x x . Determine a imagem de A pela função g. sabendo-se que 3 4 2 z z z 3 4 4 . demonstre que 2 cos m 1 x m xm . calcule 2 z0 2 z1 z2 2 . Identifique o gráfico das sentenças a seguir: a) z 2 3i 1 . n 2. i 1) . 22. 21. Im 1 A 0 2 Re Esboce o gráfico da imagem de A pela função a) f ( z) iz 1. dos afixos das raízes de z2 2 z 1 0 . 20. z C z12 1 e S G H . z 5 i. Ache as raízes sextas de 8i. (IME) Determine os valores máximos e mínimos de 14. (IME-75/76) Considere três números complexos z0. z 3i 1. 19. determine R2 tais que am . com z R. Considere o subconjunto A do plano de Gauss da figura abaixo. n M. 6. determine sua imagem g(E) pela função g. & . complexo de variável complexa.11. (IME) Seja o conjunto A C z 1 . 23. (IME-78/79) Seja g : C Dada a elipse E x iy C a função definida por: g ( x iy ) i( x iy ) 2 3i .. 12. 16. z1 e z2. b) g ( z ) (1 i) z . (IME-76/77) Seja z a bi(a. bm ) (z C z8 1 e G S. Sabendo que z0 z3 0 3 z1 z1 z2 e que z3 2 1 . y R .. x 4 2 y 9 z 2 1. 13. . 15. Determine a e b tais que z2 3 4i . Resolva a equação 1 x x2 0. y 2 ) . e desistiu da busca. y1) e P2 ( x 2.. Seja F : C C tal que. y R) . x 2 (IME-83/84) 2(a ib)x c Quais id as relações entre os coeficientes a. 27.. 3 26. d da equação 0 de modo que ela seja satisfeita para um valor real x k ? Notação: i 2 1. (IME-74/75) Considere o conjunto dos números reais R e o conjunto dos números complexos C. e) ( 1) f) (1 i) 2 .24. 1989 NÚMEROS COMPLEXOS x2 9 y2 4 01. o complexo t z1z2 é um imaginário puro. e somente se. e B é uma jaboticabeira. c. b) L( e) . Z1 C . esboçando as soluções no plano complexo. A e B. Calcule: & . diz que seria capaz de localizar o tesouro. Sejam 1. . Volte ao canteiro. Sabendo que a R . identificou as árvores mas. a2 para que os pontos z1. não conseguiu localizá-lo. Calcule: a) Li .. meça a distância em linha reta até a mangueira. como o canteiro desapareceu com o passar do tempo. . 0) no plano complexo formem um b triângulo equilátero. b.. 03.(1 as raízes de xn ). . z2 e z0 (0. 2) . Z2 2 aZ2 2 b 0. d) L(1 i) . b R . Meça a distância em linha reta até a jaboticabeira. e um canteiro de tomates. Z2 determine a relação r 2 C e que Z1 2 aZ1 b 0 . A partir do centro K do canteiro. nas mesmas condições. do IME. em um terreno plano. Mostre que os segmentos OP1 e OP2 são perpendiculares se. O aluno Sá Bido. (IME-80/81) Calcule ii. 1 . Vire 90º à esquerda e percorra a mesma distância até o ponto C. (IME-79/80) Um velho manuscrito descrevia a localização de um tesouro enterrado: Há somente duas árvores. A é uma mangueira. . Determine o conjunto B imagem de A pela função f. Determine o conjunto dos complexos z cujas imagens por F estão na reta de equação 3 x 2y 5 . (IME-76/77) Seja . dê as coordenadas de T em função das coordenadas de A (5.. (1 )(1 )(1 ). c) L( 1) . 25. O tesouro está no ponto médio T do segmento CD . Um aventureiro achou o manuscrito. Calcule o ângulo formado pelos complexos i PROGRAMA IME f:C Z C CZ 2 3i 2 e 3 i. Vire 90º à direita e percorra a mesma distância até o ponto D. 02. Seja o conjunto A x iy C 1 . 04. para todo z x yi( x. isto é. Mostre como você resolveria o problema. 05. (IME-79/80) Sejam os números complexos z1 e z2 de imagens P1 ( x1. F( z ) iz 2 3i . 28. 3) e B (8. . Seja 0 a origem do plano complexo. . xn as raízes de xn 1 1 1 1 . 4 estão sobre uma reta paralela ao eixo imaginário. (IME) Resolva a equação: 24 2z 2 4 0.. (IME-81/82) Determine o número complexo z de menor argumento tal que: onde i 1. Seja z C tal que z 1 2 1. o de menor argumento. x2. (ITA) Seja zk um número complexo. . (IME) Calcule e 2 i na forma trigonométrica e na forma algébrica. 21 i20 . n 18. 09... Calcule a2 b2 c2 bc ca ab . 1 e cujo resto da divisão por x 2 3x 2 é & . Mostre que z se z é um número real ou z 1. sendo f(x) um polinômio do terceiro grau que passa por um mínimo igual a 2 para x x 3. . Ache o valor máximo de z . Qual o lugar geométrico definido xn 1 . 1. . x4... Sejam a e k constantes reais. x 1 0 . 1 . 17.. 1 é um número real se e somente z z i 30 15 . sendo a 0 e 0 k 1 . 10. c têm como imagem os vértices de um triângulo equilátero. 15. k 0. 11.06.. onde A Z C (Z i)( Z i 4? 08. dentre todos os números complexos z que satisfazem a relação z ai ak . Provar que todos os zk.. (IME) Os complexos a.. 12. Determine o valor 16. 14. b. 3. 1 1 i 2 2n . 2.. Calcule: 1 2i 3i2 4i3 . sabendo que é a ordenada do ponto onde a curva y f ( x ) corta o eixo dos y. 2 e a parte imaginária x 2 .... Calcule: 1 1 i 2 1 1 i 2 2 1 1 i 2 22 . 13. 19. 4 . Calcule lim A n . x1 1 x 2 1 x3 1 xn 1 07. (IME) A parte real de um complexo é x 2 mínimo do módulo desse complexo. (IME) Seja An a área da superfície do polígono plano Pn cujos vértices são as raízes da equação 7 3i x 2n 0 . Sejam x1. k = 0. x3. Calcule: no plano complexo pelo conjunto A. (IME-87/88) Seja z um número complexo. solução da equação ( z 1) 5 z 5 0 . Determine. onde k é um real diferente de zero e 1 i4n . 1 dá resto 1. A equação 4x3 5x2 9x2 8x 4 23 x 15 0 sabendo que estão em P. (ITA) Resolva: 5x3 grau que satisfaz as condições 15 x 2 15 x 20 0. 06. 02. 2. 0 sabendo que uma das raízes é o dobro da outra. & . ache P(0) . do 3º grau. Achar as raízes da equação x3 13. 11. por x 2)( x 2 1 dá resto 1 e por x 1) ? inteiro em x. 7 e 200. Determine m e n para que mx 6 3nx 5 05. Construa uma equação polinomial do 4º grau com coeficientes reais sabendo que duas de suas raízes são 1 i e i. n e p para os quais o resto da divisão de 6 x 4 por 3x 3 5x 2 2 seja 2x 2 x 3. (ITA) Se P(r ) é um polinômio do 5º 1 P(1) P(2) P(3) P( 4) P(5) e P(6) 0 . Determine p e q para que x 3 2x 2 12 em potências de x 1. (IME) Sejam: i) A. O polinômio P( x ) . Resolver a equação x3 14. Determine os polinômios P( x ) px q seja divisível por x 2 1. 21. PROGRAMA IME 1989 POLINÔMIOS / EQUAÇÕES ALGÉBRICAS x3 mx 2 nx p 01. seja rn raiz principal (menor determinação) de índice n do número: i4n mínimo. B 0 . (IME) Determine n natural para que ( x k )n xn kn 0 . 07. Resolva-a. 10. Divida 4 x3 12x 2 7x 7 por 2x 3. Admitamos que A e 4 i B rn 3 i e 4 k . 2 dá resto 1.A. 3x2 4x 3 0 admite uma raiz igual a i. ii) n. P( x Determinar um polinômio 2) 2 P( x 1) P( x ) x . Para cada n. Desenvolver P( x ) x3 4 x 2 5 x do 4º grau tais que P( x ) P(1 x ) . Determinar os valores de m. O polinômio P(r ) dividido por x Qual o resto da divisão de P( x ) por ( x 08. 12. Calcule P( 1) .20. 04. Determine n de modo que A seja B x k 2 i e 3 . k inteiros positivos. é tal que P(n) 03. P( x ) . B reais. verificando a identidade: 09. x3 1 seja divisível por ( x 1)2 . n3 para n 1. (IME) Sabendo que a equação x3 mx 2 módulo . n 0 (m. b c. Ache as raízes comuns dos polinômios P1( x ) 24. n reais) admite raízes complexas de 18. d racionais). Calcule a soma dos cubos das raízes da equação mx 4 8 x3 139 x 2 18 x 9 0. a c . b) a b c . r 0 . forme uma equação cujas raízes 1 1 1 . . px 2 qx r 5 x2 2 3x 8 0. . . c. bx 0 e mx 2 0 (an b 0) possuem uma raiz comum. b. (IME) ax 2 a. exprima m em função de n e . Ache a e b para os quais as equações x3 comuns. q e r. 17. 0. c) 22. & . c 1. Ache a soma dos quadrados das raízes da equação x3 16. Se a. 27. b. 0 . Resolver as equações recíprocas: a) 3 x 4 b) x 4 4 x3 4x 3 14 x 2 5x 2 4x 4x 3 1 0. kb. ac. Considere a equação x3 Ache a relação entre p. c) 4x 6 11x 4 11x 2 4 0. c são as raízes da equação x3 sejam: a) ab. de coeficientes reais. 19. (IME) Seja m um inteiro maior que zero. c. forme uma equação cujas raízes sejam: 21. 4x3 4cx 4d 0 (a. x 4 (IME) 16 x 3 Determine 91x 2 as 180 raízes 0. 2 2 2 px 2 qx x2 1 0 . b. Se a. . a b c d) ka. d b 3. Calcule as raízes múltiplas da equação x3 28. nx p comuns a x4 16 x3 89 x 2 206 x 168 0 e 216 x c 25. c são as raízes da equação x3 a) a 1 . Calcule as raízes múltiplas da equação x 4 ax 2 18 0 e x3 bx 12 0 têm duas raízes 6x 2 12x 8 0. b. 4x3 6x 2 4x 1 0. determine a. x3 4x 2 2x 3 e P2 ( x ) x3 3x 2 5x 4. 23. b) a b. bc. (IME) Dada a equação x 4 sabendo que a mesma possui uma raiz dupla da forma a 20.b 1 .15. Determine- 26. cujas raízes estão em PG. kc. sabendo que P" ( x ) P( x ) é divisível por P" ( x ) . 03. (IME-77/78 2º concurso) Determine o valor de m. (IME) Determine k para que a equação x 4 31. (IME) Determine m para que a equação x 4 resolva-a. 24 x 2 64 x m 0 possua uma raiz dupla. 07. 0 ax 2 bx c e que & . (IME) Resolva 2x3 7 x 2 10 x 6 n e d inteiros positivos primos entre si. Determine s . c. onde a. (IME-77/78) Determine as soluções da equação 36 x 3 12 x 2 5 x 1 0 dado que uma de suas raízes é a soma das outras duas. b . 32. (IME-78/79) Seja a equação x 3 px 2 qx r 0 cujas raízes são: a . e 14 x 2 24 x k 0 tenha quatro raízes desiguais. (IME-79/80) Resolva as equações x 3 7 x 2 204 x 1260 0 e x 3 15 x 2 394 x 840 sabendo-se que a primeira tem uma raiz cujo valor é o triplo do valor de uma raiz da segunda. 30. para o qual as quatro raízes (3m da equação: necessariamente real. ca t e u . (IME-76/77) Sejam x1 e x2 raízes da equação x 2 (a d)x ad bc Determine y 2 (a 3 d3 0 . 09. q e r . 04. b. 08. (IME-77/78 2º concurso) Achar a condição entre a. sx 2 tx u 0 tenha raízes bc . onde m R*. c R.29. de modo que 0. para que a equação x 3 e ab . cuja razão não é 05. c . x4 ax 3 bx 2 cx 1 0 0. em função de p . onde x C. b. a duas raízes da equação abaixo seja igual à soma das outras duas. (IME-76/77) Seja P3 ( x ) ( x 1)( x 3)( x 5) k( x 2)( x 4) . 3 x1 e x3 2 sejam raízes equação: 3 abc 3 bcd) y 02. sabendo-se que f ( x ) 1 é divisível por ( x 1)4 e que f ( x ) 1 é divisível por ( x 1)4 . desenhando este lugar geométrico no plano complexo. d da R. 0 sabendo que uma das raízes é real da forma n/d sendo 2x3 12x 2 40 x 32 0 sabendo que ela possui raízes PROGRAMA IME-1989 POLINÔMIOS/EQUAÇÃO ALGÉBRICA 01. (IME-79/80) Determine o polinômio f(x) de coeficientes racionais e do 7º grau. (IME) Resolva a equação x 4 múltiplas. Determine o lugar geométrico das raízes de P3 ( x ) quando k assume os valores em R*. x4 2) x 2 m2 0 estejam em progressão aritmética. de modo que a soma de 06. (IME-82/83) Determine o polinômio P(x) do 4º grau. com algarismos distintos. (IME-74/75) Dada a equação x 4 ax 3 bx 2 6 x d 0 determine a relação entre os seus coeficientes para que a soma de duas raízes seja igual à soma das outras duas. PROGRAMA IME ESPECIAL 12 x 5 0 . não sendo diferentes os livros da mesma matéria? & . De quantas maneiras distintas será possível pintá-la de modo que duas listras adjacentes nunca estejam pintadas da mesma cor? Resp.: 3628800 x 210 06. e Haroldo não quer dançar com Célia nem com Ana? Resp. determine p e q de modo que ele seja 12. sabendo-se que a soma de ANÁLISE COMBINATÓRIA 01. 4. Quantos pares podem ser formados para a dança: a) sem restrição. Em um baile há seis rapazes e dez moças. De quantos modos podemos distribuir dez cartas de um baralho a dois parceiros.: 90360 03. Quantos números inteiros maiores que 53000. Uma bandeira é formada de sete listras que devem ser pintadas de três cores diferentes. 4 e 5? Resp. 6 e 7? Resp. (IME-74/75) Dado o polinômio 2x 4 divisível por ( x 1)2 . (IME-83/84) Determine o polinômio P( x ) P(0) 0 e P( 1) 6 . podendo eles receber quantidades desiguais de cartas. De quantos modos dez casai se podem sentar nesse carro? Resp.10. 14. 1. 11. 13. 1. três de Física e dois de Química. sendo que cada um deve receber ao menos uma carta? Resp.: 192 04. b) se Lúcia e Célia se recusam a dançar tanto com Manoel como com Cláudio. 5. (IME) Quantos números de quatro algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 0. 3. b) 54 02. 2.: 1022 07. x4 6x3 bx 2 cx d tal que P( x ) P(1 x ) . (IME-83/84) Determine os valores de m para os quais as quatro raízes da equação biquadrada x 4 (3m 5)x 2 (m 1)2 0 sejam reais e estejam em progressão aritmética. Um carro de montanha russa é formado por dez bancos de dois lugares cada um. podem ser formados com os algarismos 0. (IME-74/75) Resolva a equação x 4 6 x 3 13 x 2 duas das suas raízes é igual à soma das outras duas. Quantos embrulhos é possível formar com cinco livros de Matemática. 3.: a) 60. 2. x3 px 2 qx 2 .: 300 05. Prove que 1 !1 2!2 3!3 . B e C juntas? e) ficando A. De quantos modos se pode iluminar uma sala com n lâmpadas? Resp. b) (2n k )! . b) havendo pelo menos três professores de Física e três de Matemática? 3 5 Resp. Determine o número de anagramas da palavra CAPÍTULO que não possuem vogais e nem consoantes juntas. c) (n 2) . (n 3)! 11. quantos são os polígonos que podemos formar. Calcular o número de divisores positivos do número N Resp. Dados n pontos distintos de uma circunferência. cujos vértices são escolhidos entre esses pontos? & . C30 .: 597º 10. 52 . C30 4 C30 2 23 . 17. De quantos modos se pode dispor doze objetos distintos em três grupos de quatro objetos? Resp. e) 6 . todas as bolas da urna. b) 2 . (n 4) . Quantos comissões de oito professores podem ser formadas: a) sem restrições. B e C juntas.. 74 .: a) C8 60 . c) (n!)2 12. Em uma urna há 2n bolas.: 1152 13. sem os repetir. k! . com os algarismos do número 786. n! n (n 1)! 1 09. Resp. (n 1)! d) 6 . qual a posição do número dado? Resp. uma a uma. Sacam-se. De quantos modos n pessoas podem sentar-se em n cadeiras enfileiradas: a) sem restrições. Colocando-se em ordem crescente.: 5775 15. b) ficando A e B sempre juntas? c) sem que A e B fiquem juntas? d) ficando A. a) de quantos modos se pode esvaziar a urna? b) quantos são os casos em que os k últimos números (k 2n) aparecem nas k últimas sacadas? c) quantos são os casos em que as bolas de números ímpar aparecem nas sacadas de ordem par? Resp.: a) n!. (n 1)!.: 71 08. numeradas de 1 a 2n. convexos. 3 . (n 2)!. Formam-se todos os números de seis algarismos.415.: 120 16. e D e E separadas uma da outra? Resp. Em um congresso de professores há 30 professores de Física e 30 de Matemática..: 2n 1 14.Resp. b) 2 .: a) (2n)!. e) 3 Cn 2 20. 3 Resp.Resp.: a) (n 2 k ) Ck 2 k Cn k 3 3 Cn k ( Ck 3 Ck para k 4 3) . Um total de 28 apertos de mão foram trocados no fim de uma festa. excluindo-se desse número os n pontos dados? 2 3 4 Resp. São dados n 4 pontos coplanares. os pontos de interseção das retas formadas por esses pontos. e k 1 pontos distintos sobre a reta s paralela a r. b) Cn . São dados m 1 pontos distintos sobre uma reta r. Pede-se: a) o total de triângulos que podem ser formados com vértices nesses pontos. pergunta-se o número de pessoas presentes à festa. não havendo 3 colineares. Cm 23. Dados 7 pontos distintos de uma circunferência.: 2024 5 25. dos quais k 1 estão sobre uma reta r ( 4 os demais não há 3 alinhados entre si. Dados n pontos de um plano. calcule n.: a) mCk 2 2 2 k Cm . De quantos modos se pode preencher um cartão da loteria esportiva (13 jogos) com: & . a) quantos triângulos podem ser formados com vértices nestes pontos? b) quantos quadriláteros convexos podem ser formados com vértices nestes pontos? 2 Resp. b) 3 Cn k 3 kCn k k n) . (IME) Se Cn 2 28 n . quantos subconjuntos de três letras existem. Sabendo que cada pessoa cumprimentou todas as outras. c) 3 Cn .: a) Cn .: 2n 0 Cn C1 n 2 Cn 18.: 1172 21.: 8 24. quantos são: a) os segmentos de reta cujas extremidades são escolhidas entre esses pontos? b) os triângulos cujos vértices são escolhidos entre esses pontos? c) os quadriláteros cujos vértices são escolhidos entre esses pontos? d) os polígonos de n lados cujos vértices são esses pontos? e) no máximo.: 100 19. b) Ck .: 6 26. Resp. d) (n 1)! 4 . Resp. e entre 2 2 Ck Cn k 22. b) o total de quadriláteros com vértices nos pontos dados. quantos são os polígonos que podemos formar cujos vértices são escolhidos entre esses pontos? Resp. Quantas diagonais possui o dodecaedro regular? Resp. de modo que duas letras quaisquer de cada subconjunto não sejam consecutivos no alfabeto? Resp. Das letras do alfabeto. 313 . Quantas distribuições diferentes podem ocorrer? Resp.: 1050 31. C10 . Considere a palavra MARACUJÁ. distribuindo-se cinco cartas a cada um dos quatro parceiros. 2 triplos e 8 simples? 2 3 3 2 Resp. de modo que as pessoas do mesmo sexo fiquem em ordem crescente de altura? Resp. Quantos são os anagramas da palavra MISSISSIPI que não possuem duas letras iguais a I juntas? Resp. quantos não possuem vogais e nem consoantes juntas? c) Quantas não possuem vogais juntas? Resp. De quantos modos diferentes podem ser colocados em fila m h pessoas. 310 .: 210 30. De quantos modos se pode extrair as dez bolas da urna.: a) 6720.: a) 313 . 3 palpites duplos. b) C13 . Num jogo de pôquer. 2 palpites duplos e 11 simples. sendo oito verticais. b) 192. 3 palpites triplos e 10 simples. c) 480 29. sendo uma de cada vez? Resp. d) C13 . c) C13 . A figura abaixo representa 17 ruas que se cortam perpendicularmente. a) Quantos anagramas tem esta palavra? b) Destes. Em uma urna há seis bolas brancas e quatro bolas verdes. usa-se um baralho de 32 cartas.: 32! 12! (5! )4 28. B D C A Quantos caminhos mínimos uma pessoa pode percorrer para ir do ponto A ao ponto B: a) sem restrições? b) sem passar por C? c) sem passar por C ou D? d) sem passar por C nem D? & .a) b) c) d) 13 palpites simples.: (m h)! m! h! 32. 311 27. sendo m mulheres de alturas diferentes e h homens também de alturas diferentes. c) dodecaedro regular. De quantos modos seis casais podem sentar-se em torno de uma mesa circular: a) não sentando juntos dois homens?. 5! 240 35. fiquem sempre juntas? Resp. sendo cada face com uma cor? 2 Resp. De quantos modos podemos dispor em fila dez letras iguais a A. C18 .: a) 6! 720 .: 6 . usando seis cores diferentes. P3 1680 . P3 30 39. c) não sentando juntos dois homens e nem um homem com sua esposa? Resp. De quantos modos se pode pintar um prisma pentagonal regular.: a) P2 2. De quantos modos sete crianças podem brincar de roda: a) sem restrições? b) de modo que João e Maria. C3 6 . d) 2865 33.: a) C19 171 . usando seis cores diferentes. b) P5 . b) octaedro regular. b) quantas são as soluções inteiras não negativas? 2 Resp. C12 . com 4 cores diferentes. usando sete cores diferentes. P6 . P5 11 ! . b) 2 . b) não sentando juntos dois homens. sem que duas letras iguais a B fiquem juntas? 6 (10. com 12 cores diferentes. c) 5 11 .5 ) Resp.: a) P5 . c) 5035. b) C2 22 231 & .Resp.: 5 . c) 80 . C10 . Resp. sendo cada face de uma cor? Resp. com 20 cores diferentes. P3 19! 3 40. b) 3985. d) icosaedro regular. 5! 36. sendo cada face com uma cor? Resp. P15 34.: C7 . C15 . P2 .: a) 6435. com 8 cores diferentes. 5 d) 3 3 6 19 . que são duas crianças.: C16 . P6 . 2 240 . P4 504 38. P4 144 37. P2 . b) 7 . Idem para um: a) tetraedro regular. P4 . De quantos modos se pode pintar as faces de uma pirâmide pentagonal regular. Dada a equação x y z 20 : a) quantas são as soluções inteiras positivas?. mas cada homem sentando ao lado de sua esposa?. (ITA) De quantos modos se pode pintar um cubo. seis iguais a B e cinco iguais a C. P6 5!6! 86400 . De quantos modos se pode comprar 5 maços de cigarro em um bar que só vende 4 marcas diferentes? Resp. satisfazendo as condições 42. O ponto B(5. De quantos modos uma pessoa pode escolher 6 sorvetes.: C21 5985 47.: 252. b) (CR)y x c) d) Cm m 2 7 3 . Quantas soluções inteiras da equação x x 5. ponto médio do lado AB. Uma reta que contém G. Resp. c) m 5 .: C2 6 2 C5 y z 5. quantos termos existem no desenvolvimento de (a b c d e)17 ? 4 Resp. Reduzidos os termos semelhantes. C2 4 2 C3 C2 2 35 y z w 48 existem. b) x y p m 1 p .: 56 45. 208 48. intercepta o terceiro lado no ponto H(10. Uma sorveteria tem sorvetes de 11 sabores diferentes. 2) . e é paralela ao lado AC. y 6 . Quantos números inteiros entre 1 e 1000 000 têm soma dos algarismos igual a 5? E soma menor do que 5? Resp. z 7 e w 8 ? Resp.: C10 16 8008 46. m 2 15 (CR)8 3x 2 x 2 C16 C16 . 12) é um dos vértices de um triângulo ABC. GEOMETRIA ANALÍTICA 01.: 560 x2 x3 x4 1. Resolver: a) Cx x 2 A2 x Cp m. não necessariamente de sabores diferentes? Resp. ( AR)2 x.41.: 1330 43. Calcule o número de soluções inteiras maiores que 4 da equação x1 Resp.: a) x 3 . 44. Ache o vértice C. & . d) x 2 ou x 4. Calcular o número de soluções inteiras não negativas da inequação x Resp. Ache a equação do círculo inscrito. 7) . Determinar o centro e o raio da circunferência da equação 2x 2 14. B(0. Determinar a equação da área que tem centro sobre a reta r : 2x interseção das circunferências C : x 2 1 e que passa pela 0. 07. 05. Determine seu ortocentro. As equações das retas suportes dos lados de um triângulo são x x 3 y 20 0 . Classifique o triângulo de vértices A(1. 2) . 06. 2 10. 2) . 1) e C(2. A abscissa do vértice C é ________. y 2 4x 2y 0 e C' : x 2 y 2 2y 18. 7) . C(5. 13. 4) e C(5. x . Determinar o L. 04. 12. Ache m. 0) . Determinar o circuncentro e a equação da circunferência circunscrita do triângulo ABC. Ache a área do círculo com centro no ponto (3. 1) . Determine-o. das circunferências de equação x 2 2) e pelos pontos de interseção y 2 y 2 3x 2y 4 0 e x 2 2x y 4y 4 6 0. Calcule a distância entre as retas r : 2x y 3 0 e s : 2x y 7 0. onde A (0. 4) . O vértice B tem abscissa 2. Idem para a reta que passa por Po e é perpendicular a r. Ache o ângulo formado pelas retas r : 4 x y 5 0 e s : 3x 5y 1 0. Entre os pontos da reta de equação x P(1. 3) . 1) . Ache a equação da reta que passa pelo ponto Po ( 2. B( 4. 3y 8 0 existe um ponto Q cuja distância ao ponto 08.02. 4) e E(2.G. Ache a área do pentágono de vértices A(1. 15. B(3. 1) . 4) e que tangencia a reta y 09. 1). 1) e C(14. & . 1) . Achar a equação da circunferência que passa pelo ponto (2. Considere o triângulo de vértices A(1. 1) e C ( 4. m) são colineares. Determine o baricentro do triângulo. 2) é mínima. y ) tais que a soma dos quadrados de suas distâncias às retas 5 x 12y 4 0 e 12x 5 y 10 0 é 5. 3) quanto aos lados e quanto aos ângulos. Os pontos (1 . 3) . D( 4. Determinar as coordenadas do incentro do triângulo cujos vértices são A( 2. O vértice A do ângulo reto é o ponto (1 . B(3. 6) e (2. ( 2. 3) e é paralela à reta é determinada pelos pontos ( 3. A hipotenusa de um triângulo retângulo ABC está sobre a reta 2x 3 y 5 . y x e 11. 17. B(6. 16. dos pontos ( x. 2) e (0. 03. 5) . 2y 2 2x 8y 1 0. 2 0. B( 4. (IME) Considere o conjunto de retas representadas pela equação: (5 2k )x (2 3k )y 12 4k 0 onde k é um real qualquer. y ) de coordenadas (6. 03. 1. 0. (IME-78/79) Qual o número de triângulos ABC que se podem formar (obter) com área 10. Determine a equação das retas tangentes à circunferência x 2 por (6. (IME-78/79) São dados os vértices A (1 . Com R intercepta C em dois pontos A e B. 5. 8) . Achar a equação circunscrita formada pelas retas x y 8 . & . B(0. Determine a equação de uma circunferência. 3) . 08. 1) . 3y 21 0 . 0) do paralelogramo ABCD. cujo raio é o menor possível. 21. Em caso negativo. 1) . C e D. Determine o ponto P ( x. 5) e C (3. Dados os pontos A( 3. C(3. sabendo que a distância de C à origem é OC 15 . 8) e B(2. 04. R : x 2y 3 0 . 4) . explique qual a posição relativa de C e R. Determinar as coordenadas do ponto P do plano xy pelo qual passam todas estas retas. y ) . 8) . 05. 2) . (IME-77/78) Determine a equação do círculo que tem como diâmetro o segmento da reta y x 2 compreendido entre as retas y 3 x 6 e y 5x 4 . B( 4. y ) R2 x 2 (y 6)2 4 . de equação x 2 6 x8 y y 2 0 . 06. (IME-74/75) São dados os pontos A(2. 0) . 0. 20. determine a distância AB . tal que AM mínimo.19. determine M. com centro no ponto C e tangente a K no ponto P( x. 4) . B (2. Determine a equação das retas tangentes à circunferência x 2 (6. a) Calcule o volume do tetraedro com vértices nos pontos A. 23. sendo A (1. passando GEOMETRIA ANALÍTICA . B. b) Calcule o módulo de projeção do vetor DA sobre uma reta cuja direção é normal ao plano que contém os pontos B. Achar a equação da área inscrita no triângulo formado pelas retas r : 2x s : 3 x 2y 6 0 e t : 2x 3 y 9 0 . D(0. (IME-82/83) Estabeleça a equação da esfera que passa pelos pontos A(1 . 0. 22. pé da perpendicular baixada do vértice D à diagonal AC. 1) . com as equações abaixo: C : y 2 4x . y2 20 0 que passam por y2 4x 6y 3 0 . 2x y 14 e 3 x y MB seja 32 . 2. 0) e C(0. 07. 8) . 0) .VETORES 01. 5) e C ( x. (IME-74/75) Considere a curva C e a reta R. C e D. sobre o eixo x. (IME-74/75) Considere uma cônica K. 3. 02. (CPRIME-79) Determine a equação do círculo que tem centro sobre a reta 5 x pelos pontos de interseção dos círculos x 2 3y 4y 7 e passa 20 0. perpendicular às retas x 2z 1. 4 & . 4 x y 28 8 0 . e que intercepta ortogonalmente a reta x 2 y 1 z 2 r: . 3) ao plano que passa pela interseção dos planos: 2x y z 3 0 e 3 x 2y 5z 4 0 e pelo ponto P( 1 . y z 3.09. à esfera 12. 3 4 5 b) Calcule a distância da reta r à origem. (CPRIME-79) Determinar as equações da reta que passa pelo ponto (3. 3) . 2. 5) . (CPRIME-79) Determine a equação do círculo que tem centro sobre a reta 2x pela interseção dos círculos x 2 4y 1 e passa y 2 4x 2y 0 e x 2 y 2 2y 4 0. (CPRIME-79) Achar a equação do plano que passa por (2. (CPRIME-79) Determine a distância do ponto M(1. é perpendicular ao plano 2x y 3z 4 0 e paralelo à reta 5 x 2y 3z 0 . 0. 14. 1 . 2) e é x 2 y 3 z . (CPRIME-85) a) Determine a equação da reta pela origem. 1 . 11. 13. y 2 6x 10 y 15 0 e x 2 y 2 2x 15. 10. x2 (CPRIME-84 y2 z2 2x 4y e 6z 85) 7 dos planos 6 x 3 y 23 0 que interceptam a reta 3z 2 0 Dê a equação tangentes 0 .