OLIMPÍADAS- MATEMÁTICA – 2018 – PROFº: SAMUEL EMAIL:
[email protected] DESCRIÇÃO: LISTA - OBM – ENSINO MÉDIO – GEOMETRIA 1. (OBM – 2016) Na figura a seguir sabe-se que ABCDEFGH é um octógono regular, ABIJK é um pentágono regular e ABLM é um quadrado. Determine a medida em graus do ângulo representado na figura pela letra . 3. (ITA-2008) Considere o triângulo ABC isósceles em que o ângulo distinto dos demais, BAC, mede 40°. Sobre o lado AB, tome o ponto E tal que ACE = 15°. Sobre o lado AC, tome o ponto D tal que DBC = 35°. Então, o ângulo EDB vale: a) 35° b) 45° c) 55° A) B) C) d) 75° e) 85° D) E) 4. (OBM – 2016) No quadrilátero convexo 2. (OBM) Na figura ao lado A, D e B são , e . pontos colineares. ADE e DBC são triângulos A razão entre a distância de ao circuncentro retângulos com ângulo reto A e B respectivamente. Se ADE = 75°, CDB = 45°, de e a medida do segmento de reta é ED = DC e AE = 8, então x + y é igual a: A) B) C) D) E) 5. (OBM – 2015) No desenho abaixo, o segmento CF é tangente ao semicírculo de diâmetro AB. Se ABCD é um quadrado de lado 4, determine o comprimento de CF. (A) 2/5 (B) 1/4 (C) 1/√2 (D) 1/5 (E) 1/2 9. (OBM-2012) Na figura a seguir, o ângulo é reto; a reta r corta os segmentos AB e BC em D e E, respectivamente; as retas CD e AE se A) 9/2 B) 5 C) 11/2 cortam em F; P e Q são as projeções ortogonais de A e C sobre a reta r, respectivamente. D) 23/4 E) 6 B 6. (OBM-2013) Seja ABC um triângulo retângulo em A. Seja D o ponto médio de AC. P D E Q Sabendo que BD = 3DC e que AC = 2 , a hipotenusa do triângulo é: F A) 7 B) 2 2 C) 3 A D) 10 E) 2 3 7. (OBM-2013) Na figura abaixo o ponto O é o C centro da circunferência que passa pelos Sendo o ângulo entre as retas CD e AE igual a pontos A, B, C, D e E. Sabendo que o diâmetro m( AFˆ D ) = 40 , a medida de , em graus, é: AB e a corda CD são perpendiculares e que o valor em graus do ângulo é: A) 110 B) 120 C) 130 D) 140 E) 160 10. (OLIMPIADA ARGENTINA) Na figura: Dado que ABC é um triângulo retângulo em C. A) 35º B) 10º C) 20º ADE é um triângulo retângulo em A. ED = 2×AB D) 30º E) 55º e o ângulo EBC = 18º, podemos afirmar que a medida, em graus, do ângulo ABE é: 8. (OLIMPÍADA DE MATEMÁTICA DO CANGURU SEM FRONTEIRAS - 2014) Um a) 30º b) 54º c) 36º quadrado, apoiado sobre uma reta, tem os outros dois vértices sobre duas circunferências d) 60º e) 40º de raio 1 tangentes entre si e à reta de apoio, conforme figura ao lado. Quanto mede o lado do 11.(OBM) Um terreno quadrangular foi dividido quadrado? em quatro lotes menores por duas cercas retas unindo os pontos médios dos lados do terreno. As áreas de três dos lotes estão indicadas em metros quadrados no mapa ao lado. Qual é a área do quarto lote, em metros quadrados, representado pela região destacada no mapa? A) 15 B) 22,5 C) 30 D) 37,5 E) 45 15. (OBM – 2009) No triângulo retângulo ABC, A = 90º, AB = 5cm e BC = 9cm. Se I é o incentro de ABC, determine o comprimento do segmento CI. a) 240 b) 220 c) 300 d) 230 e) 260 16. (OBM-2012) O teorema de Morley diz que, ao traçarmos as retas que dividem cada ângulo 12. (OLÍMPIADA COLOMBIANA) Na figura interno de um triângulo ABC em três ângulos abaixo ABC é um triângulo retângulo. Inscrito iguais, obtemos um triângulo equilátero neste triângulo temos o retângulo HIJE de chamado triângulo de Morley de ABC, como o altura h. que está destacado na figura a seguir: A B C Se DEFG e JKLM são quadrados de lados a e b Qual é a medida do lado do triângulo de Morley respectivamente, podemos afirmar que: de um triângulo retângulo isósceles cujos catetos medem 2 ? a) h = (a + b)/2 d) h = 2(a + b) b) h = (a + b)/3 e) h = 3(a + b) A) 2 2 6 B) 3 2 c) h = a + b C) 6 2 D) 2 3 13. (OLIMPÍADA AUSTRALIANA) Determine, em graus, o valor de S: E) 2 3 6 17. (OBM) Na figura, a reta PQ toca em N o círculo que passa por L, M e N. A reta LM corta a reta PQ em R. Se LM = LN e a medida do ângulo PNL, em graus, é α , com α > 60°, quanto mede o ângulo LRP? S=u+v+w a) 90 b) 100 c) 120 d) 150 e) 180 14. (OBM) Seja ABC um triângulo retângulo em A. O ponto D pertence ao lado AC e é tal que BD = CD. Sejam M o ponto médio de BC e N a interseção de AM e BD. Sendo N o ponto médio de AM, qual a medida, em graus, do ângulo a) 3α – 180° d) 90 – α/2 ˆA ? b) 180° – 2α e) α BC c) 180° – α 18. (OLIMPÍADA ITALIANA) Dado os ângulos A, B ,C e D , quanto vale a soma E + F? 23. (OMU) Seja P um ponto no interior de um triângulo equilátero. Mostre que a soma das medidas dos três segmentos com origem em P e o ponto de intersecção da perpendicular a cada um dos lados do triângulo é igual a medida de uma das alturas do triângulo, como ilustra a figura abaixo (Teorema de Vincenzo Viviani) a) A + B + C + D b) (A + B + C + D)/2 c) 360° – A - B - C - D d) 360° + A + B - C - D e) nenhuma das alternativas. 19. (OMU) Considere um ponto P no interior de um retângulo ABCD e tal que PA = 3, PB = 4 e PC = 5. Determine o comprimento do segmento PD. 24. (TRIÂNGULO RUSSO) Este problema clássico de geometria já sofreu várias alterações de seu original proposto no livro russo normalmente dito "Livro do Lidsky" (Lidsky V., Ovsyannikov L., Tulaikov A., Shabunin M.) O triângulo ABC é isósceles, AB = BC. O ângulo ABC mede 20°, DAC mede 60° e ECA mede 50°. Determine a medida do ângulo θ 20. (OBM) No triângulo ABC, M é o ponto médio do lado AC, BP é bissetriz do ângulo ABC, BP ┴ AP e α = ABC. Se os lados AB e BC medem 6 e 10 respectivamente, PM mede: a) 1 b) 2 c) 2 – senα d) 2 – (1/2)senα e) 2 – (1/2)sen(α/2) 21. (OBM – 2012) No triângulo ABC, seja AD a altura relativa a BC. Quantos triângulos não 1 1 1 congruentes satisfazem = AB 2 AC 2 AD 2 GABARITO com AD = 2012 e BD e CD ambos inteiros? Note que AB e AC não precisam ser inteiros. Questão Resposta 22.(OBM) Considere um triangulo ABC com ângulos BAC = 50°, ABC = 60°, seja M o ponto D médio de AB, seja um ponto P pertencente ao 1 lado BC tal que AC + PC = PB, determine a medida do ângulo MPC. D 2 D 3 E 4 B 5 6 E 7 C 8 A 9 C D 10 11 A 12 C 13 E 14 C 15 14 2 16 A 17 A A 18 19 3 2 20 B 21 15 triângulos 145° 22 DEMONSTRAÇÃO 23 30º 24