Lista de Exercícios da Disciplina Cálculo Diferencial e IntegralProfa: Lília M. Guerrini Curso: Bacharelado em Ciência e Tecnologia - Turma B Limites 1) Explique o que significa para você dizer que: lim ���→1− ���(���) = 3 Nessa situação é possível que 2) Para a função cujo o gráfico é dado, determine o valor da quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, explique por quê. 4 x y 2 3 - 3 - 3 - 2 - 1 2 lim ���→1+ ���(���) = 3 e lim ���→1 ���(���) exista? Por que? ���)lim ���→1 ���(���) ���) lim ���→3− ���(���) ���) lim ���→3+ ���(���) ���)lim ���→3 ���(���) ���) ���(3) ���) lim ���→2− ���(���) ���) lim ���→−2+ ���(���) ℎ) lim ���→−2 ���(���) ���)lim ���→1 ���(���) 1 1 -1 - 2 3 3) Com auxílio gráfico e construção de uma tabela de valores, calcule os limites indicados: a) 2 ) 1 lim( → − x x b) 2 2 ) 3 2 lim( − → + − x x x c) d) e) f) 4) Seja a função f dada por ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ > + ≤ < + − = < + − = 6 , 2 6 1 , 10 7 1 , 10 1 , 5 ) ( 2 x se x x se x x x se x se x x f . Determine: a) Esboço gráfico de f b) 0 ) ( lim → x x f c) 1 ) ( lim → x x f d) 2 ) ( lim → x x f e) 6 ) ( lim → x x f 5) Construa o gráfico de ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ´ ¦ − = − − ≠ + − = 1 , 3 1 , 1 1 ) ( 2 x se x se x x x f e calcule: a) 1 ) ( lim − → x x f b) ) 1 (− f 6) Construa o gráfico de ¹ ´ ¦ > + ≤ = 1 , 2 1 , ) ( 2 x se x x se x x f e calcule: a) 1 ) ( lim → x x f b) ) 1 ( f 7) Construa o gráfico de ¹ ´ ¦ > − ≤ + = 0 , 1 0 , 1 ) ( 2 x se x x se x x f e calcule: a) 0 ) ( lim → x x f b) ) 0 ( f 8) Construa o gráfico de ¦ ¹ ¦ ´ ¦ = ≠ = 0 , 2 0 , ) ( x se x se x x f e calcule: a) 0 ) ( lim → x x f b) ) 0 ( f lim ���⟶0 ���� + 1 2 � lim ���⟶1 � ��� 3 −��� 1 − ��� � lim ���⟶1 � ��� 2 −��� 1 − ��� � lim ���⟶1 � ��� 2 +5��� +6 ��� + 2 � 9) Construa o gráfico de ¹ ´ ¦ > + ≤ − = 1 , 2 1 , 4 ) ( 2 x se x x se x x f e calcule: a) 1 ) ( lim → x x f b) ) 1 ( f 10) Construa o gráfico de ¹ ´ ¦ > − ≤ + = 2 , 2 4 2 , 5 3 ) ( x se x x se x x f e calcule: a) 2 ) ( lim → x x f b) ) 2 ( f 11) Calcule os limites justificando cada passagem pelas Leis do Limite que forem usadas: a)lim ���→4 (5��� 2 −2��� +3) 12 12) Um gás é mantido a temperatura constante. À medida que o gás é comprimido, o volume V decresce até que atinja uma certa pressão crítica. Além dessa pressão, o gás assume forma líquida,. Use o gráfico da Figura 1 para achar: V 100 P 100 P 100 P lim c) V lim b) V lim a) → → → + − Figura 1 - Gráfico b)lim ���→4 � ��� −2 ��� 2 +4��� −3 � c) lim ���→4 (��� 3 +2) (��� 2 −5���) d) lim ���→2 (��� +1) 9 (��� 2 −1) e) lim ���→4− � 16 −��� 2 f) lim ���→2 ���� 4 +3��� +6 P LÍQUIDO 0.8 100 0.3 V GÁS 13) Prove os limites: a) ( ) 10 7 3x lim 1 x = + − − → ε = 0,5 b) 2 1 x 1 x lim 2 1 x = − − → ε = 0,75 c) 3 1 x - 2 1 lim 5 x − = → ε = 0,25 14) Aplicando as propriedades vistas, calcule os seguintes limites: a) 3 2 3 ) 1 lim( → − + − x x x x b) 1 2 4 5 ) 5 11 6 4 2 lim( − → − − + − x x x x x 15) Determine as assíntotas vertical e horizontal das seguintes funções: a)f(���) = 5 ��� −3 16) Calcule os limites: a) lim ���→3+ � ��� ��� −3 � b) lim ���→2+ � √��� 2 −4 ��� −2 � c) lim ���→2− � √4 −��� 2 ��� −2 � b)f(���) = 3 − 4 (��� −3) 2 c)f(���) = 2��� +1 ��� −2 c)lim ���→2 � 2��� +1 5��� +2 � d) lim ���→2 � ��� 3 +1 2��� −1 � e) lim ���→3 ��� −2 √2��� 2 −3��� f) lim ���→2 � ��� 3 +2��� +3 ��� 2 +5 17) Determine os seguintes limites: x 2 7 x x 3 lim ) e 8 x 1 x lim ) d 3 x 5 x 2 3 x 2 x lim ) c 2 x 4 5 x 3 x 2 lim ) b 8 x 5 x 2 lim ) a 2 2 5 x 2 x 2 2 x 5 3 x x − + − + + − + + − − + − + − −∞ → −∞ → +∞ → −∞ → +∞ → 18) Calcule os seguintes limites: b) x 0 tgx lim x → c) x 0 1 cosx lim x → − d) x 1 ln x lim x 1 → − e) ( ) x 1 ln 2 x lim x+1 →− + f) x x 0 2 1 lim x → − g) x x 2 lim 1+ x →+∞ | | | \ . 19) Determine se as funções dos exercícios 3, 5 até 10 são contínuas ou não de acordo com os teoremas e definições. 20) Verifique se as funções são contínuas a) Contínua em x = 3, sendo 2 x 1 se x<3 f (x) 2 se x=3 3-x se x>3 ¦ − ¦ ¦ = ´ ¦ ¦ ¹ b) Contínua em x = 2, sendo 2 2x se x 2 f (x) x 3x se x > 2 ≤ ¦ ¦ = ´ − ¦ ¹ a) lim x→0 sen5x sen2x c) Contínua em x = 1, sendo 2 x 1 f (x) x 1 − = − d) Contínua em x = 1, sendo 2 x 1 se x = 1 g(x) x 1 1 se x 1 ¦ − ¦ = ´ − ¦ ≠ ¹ se x ≤ 1 e calcule: 6) Construa o gráfico de f ( x) = x + 2. se x > 0 a) lim f ( x) b) f (0) x →0 x . se x = 1 4) Seja a função f dada por f ( x) = 2 . se x > 6 a) Esboço gráfico de f b) lim f ( x) x→0 c) lim f ( x) x→1 d) lim f ( x) x →2 e) lim f ( x) x→6 x2 −1 x + 1 . se x < 1 10. Determine: x − 7 x + 10. se x = −1 a) lim1f ( x) b) f (−1) x→− x 2 . se x ≤ 0 f ( x) = e calcule: 7) Construa o gráfico de 1− x. se x ≠ −1 5) Construa o gráfico de f ( x) = e calcule: − 3. se x ≠ 0 8) Construa o gráfico de f ( x) = e calcule: 2. se x = 0 a) lim f ( x) b) f (0) x →0 . se x > 1 a) lim f ( x) b) f (1) x →1 x 2 + 1. se 1 < x ≤ 6 x + 2.3) Com auxílio gráfico e construção de uma tabela de valores. calcule os limites indicados: a) lim( x − 1) x→2 e) 𝑥 2 − 𝑥 lim � � 𝑥⟶1 1 − 𝑥 2 b) lim( x − 2 x + 3) x→−2 f) 𝑥 2 + 5𝑥 + 6 lim � � 𝑥⟶1 𝑥 + 2 1 lim c) 𝑥⟶0 �𝑥 + 2� 𝑥 3 − 𝑥 lim � � d) 𝑥⟶1 1 − 𝑥 − x + 5. o gás assume forma líquida.3 LÍQUIDO P 100 Figura 1 . se x > 1 a) lim f ( x) b) f (1) x →1 3 x + 5. o volume V decresce até que atinja uma certa pressão crítica.8 0. se x ≤ 1 9) Construa o gráfico de f ( x) = e calcule: 2 + x. Além dessa pressão.. Use o gráfico da Figura 1 para achar: a) lim − V P→100 b) lim + V P→100 c) lim V P→100 V GÁS 0. se x ≤ 2 e calcule: 10) Construa o gráfico de f ( x) = 4 − 2 x.Gráfico . À medida que o gás é comprimido. se x > 2 a) lim f ( x) b) f (2) x→2 11) Calcule os limites justificando cada passagem pelas Leis do Limite que forem usadas: a)lim 𝑥→4 d) lim(𝑡 + 1)9 (𝑡 2 − 1) 𝑡→2 (5𝑥 2 − 2𝑥 + 3) b)lim � 𝑥→4 𝑥→4− e) lim �12 − 𝑥 2 16 𝑥 2 𝑥 − 2 � + 4𝑥 − 3 c) lim(𝑥 3 + 2) (𝑥 2 − 5𝑥) 𝑥→4 f) lim �𝑢4 + 3𝑢 + 6 𝑢→2 12) Um gás é mantido a temperatura constante.4 − x 2 . 13) Prove os limites: a) x → −1 x2 − 1 lim (− 3x + 7 ) = 10 =2 ε = 0. calcule os seguintes limites: 3 2 a) lim( x − x + x − 1) x →3 5 4 2 b) lim(2 x − 4 x + 6 x − 11x − 5) x → −1 15) Determine as assíntotas vertical e horizontal das seguintes funções: a)f(𝑥) = b)f(𝑥) = 3 − c)f(𝑥) = 𝑥 3 + 2𝑥 + 3 f) lim � 𝑥 2 + 5 𝑥→2 5 𝑥 − 3 2𝑥 + 1 c)lim � � 𝑥→2 5𝑥 + 2 d) lim � e) lim 𝑥→3 𝑥→2 √2𝑥 2 − 3𝑥 2𝑥 + 1 𝑥 − 2 𝑥 3 + 1 � 2𝑥 − 1 𝑥 − 2 4 (𝑥 − 3)2 16) Calcule os limites: a) lim � 𝑥→3+ 𝑥 � 𝑥 − 3 b) lim � 𝑥→2+ √𝑥 2 − 4 � 𝑥 − 2 c) lim � 𝑥→2− √4 − 𝑥 2 � 𝑥 − 2 .x 14) Aplicando as propriedades vistas.5 ε = 0.75 ε = 0.25 b) lim x→1 x − 1 c) lim 1 1 =− 3 x →5 2 . sendo f (x) = 2 x − 3x se x ≤ 2 se x > 2 . 5 até 10 são contínuas ou não de acordo com os teoremas e definições. sendo f (x) = 2 3-x se se se x<3 x=3 x>3 2x b) Contínua em x = 2.17) Determine os seguintes limites: 2x − 5 a ) lim x →+∞ x + 8 c) lim x 2 − 2x + 3 x →+∞ 2 x 2 + 5x − 3 3x 5 − x 2 + 7 b) lim 2 x 3 − 3x + 5 4x 5 − 2 x +1 x →−∞ d ) lim x →−∞ x 2 + 8 e) lim x →−∞ 2− x2 18) Calcule os seguintes limites: a) lim x→0 d) lim ln x x →1 x − 1 sen5x sen2x b) lim tgx x →0 x c) lim 1 − cosx x x →0 e) x →−1 lim ln ( 2 + x ) x+1 x 2x − 1 f) lim x x →0 g) 2 1+ x →+∞ x lim 19) Determine se as funções dos exercícios 3. 20) Verifique se as funções são contínuas x2 −1 a) Contínua em x = 3. sendo f (x) = x −1 x2 −1 d) Contínua em x = 1. sendo g(x) = x − 1 1 se x = 1 se x ≠ 1 .x2 −1 c) Contínua em x = 1.