Universidad ContinentalEstadística Inferencial/Estadística Aplicada Distribución Muestral de la Media y Proporción Docente: Dr. Jhon F. Bernedo Gonzales 1. Distribución muestral de la media Ejercicio 1. Suponga que la desviación estándar poblacional es σ=25. Calcule el error estándar de la media muestral, X, con muestras de tamaño 50, 100, 150 y 200. ¿Qué puede decir acerca del error estándar de la media conforme el tamaño de la muestra aumenta? Ejercicio 2. Suponga que de una población en la que σ=10 se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 50. Halle el valor del error estándar de la media en cada uno de los casos siguientes (si es necesario use el factor de corrección para una población finita). a) El tamaño de la población es infinito. b) El tamaño de la población es N=50000. c) El tamaño de la población es N=5000. d) El tamaño de la población es N=500 Ejercicio 3. BusinessWeek realizó una encuesta entre los estudiantes que terminaban sus estudios en los 30 programas de una maestría (BusinessWeek, 22 de septiembre de 2003). De acuerdo con esta encuesta el salario medio anual de una mujer y de un hombre 10 años después de terminar sus estudios es $117 000 y $168 000, respectivamente. Suponga que la desviación estándar entre los salarios de las mujeres es $25 000 y entre los salarios de los hombres es $40 000. a) ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria simple de 40 hombres la media muestral no difiera más de $10 000 de la media poblacional de $168 000? b) ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria simple de 40 mujeres la media muestral no difiera más de $10 000 de la media poblacional de $117 000? c) ¿En cuál de los dos casos, inciso a o inciso b, hay más probabilidad de obtener una media muestral que no difiera en más de $10 000 de la media poblacional? d) ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria simple de 100 hombres, la media muestral no difiera en más de $4000 de la media poblacional? Ejercicio 4. La agencia de colocaciones Robertson Employment aplica, habitualmente, una prueba estándar de inteligencia y aptitud a todas las personas que buscan trabajo por medio de la compañía. La agencia ha recolectado datos durante varios años y ha encontrado que la distribución de resultados no es normal, con una media de 86 y una desviación estándar de 16. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 75 solicitantes que realizan la prueba, el resultado medio sea menor de 84 o mayor de 90? 1 Ejercicio 5. La vida media de una máquina para elaborar pan es de 7 años, con una desviación es- tándar de 1 año. Suponga que la vida de estas máquinas sigue aproximadamente una distribución normal y calcule a) la probabilidad de que la vida media de una muestra aleatoria de 9 de estas máquinas caiga entre 6.4 y 7.2 años; b) el valor de c a la derecha del cual caería 15 % de las medias calculadas de muestras aleatorias de tamaño 9. Ejercicio 6. Si cierta máquina fabrica resistencias eléctricas que tienen una resistencia media de 40 ohms y una desviación estándar de 2 ohms, ¿cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 36 de estas resistencias tenga una resistencia combinada de más de 1458 ohms? Ejercicio 7. Según el artículo “Only in America” (Sólo en Estados Unidos) de junio de 2004 de Reader’s Digest, la cantidad promedio que gasta una persona de 17 años en un baile de gala de su escuela es $638. Suponga que las cantidades gastadas están normalmente distribuidas con una desviación estándar de $175. a) Encuentre la probabilidad de que el costo medio de asistir a un baile de gala de secundaria, para 36 estudiantes de 17 años seleccionados al azar, está entre $550 y $700. b) Encuentre la probabilidad de que el costo medio de asistir a un baile de gala de secundaria, para 36 estudiantes de 17 años seleccionados al azar, es mayor de $750. Ejercicio 8. La resistencia a la rotura X de cierto remache que se utiliza en el motor de una máquina tiene una media de 5000 psi y una desviación estándar de 400 psi. Se toma una muestra aleatoria de 36 remaches. Considere la distribución de X , la media muestral de la resistencia a la rotura. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra caiga entre 4800 psi y 5200 psi? b) ¿Qué muestra n sería necesaria para tener P(4900 < X < 5100) = 0.99? 2. Distribución muestral de la proporción Ejercicio 9. Reportajes en periódicos nos dicen que el estadounidense promedio tiene sobrepeso. Muchos de nosotros hemos tratado de bajar de peso cuando terminamos la preparatoria o la universidad. Y, en efecto, sólo 19 % de adultos dicen que no sufren de problemas de pérdida de peso. 10 Suponga que la cifra de 19 % es correcta y que se selecciona una muestra aleatoria de n=100 adultos. a) La distribución de p̂, es decir, la proporción muestral de adultos que no sufren de excesos de peso, ¿tiene una distribución normal aproximada? Si es así, ¿cuál es su media y su varianza? b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral exceda de 0.25? 2 Ejercicio 10. La proporción de personas aseguradas con una compañía de seguros para automó- viles que tienen una multa de tráfico en el periodo de un año es 0.15 a) Indique la distribución muestral de si se emplea una muestra aleatoria de 150 asegurados para determinar la proporción de quienes han tenido por lo menos una multa en un año. b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral esté a no más de ±0.03 de la proporción poblacional? Ejercicio 11. El Food Marketing Institute informa que 17 % de los hogares gastan más de $100 en productos de abarrotes. Suponga que la proporción poblacional es p̂=0.17 y que de la población se toma una muestra aleatoria simple de 800 hogares. a) Exprese la distribución muestral de la proporción muestral de hogares que gastan más de $100 semanales en abarrotes. b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral no difiera en más de 0.02 de la proporción poblacional? Ejercicio 12. Lori Jeffrey es un exitoso representante de ventas de libros universitarios, tiene éxito en sus recomendaciones de libros en 25 % de sus llamadas. Considere sus llamadas de ventas de un mes como muestra de todas sus posibles llamadas, suponga que en el análisis estadístico de los datos se encuentra que el error estándar de la proporción es 0.0625. a) ¿De qué tamaño fue la muestra que se usó en el análisis? Es decir, ¿cuántas llamadas hizo Lori Jeffrey en ese mes? b) Cual es la distribución muestral de la proporción muestral de éxitos en sus recomendaciones de libros en ese mes. c) Calcule la probabilidad de que el vendedor tenga éxito en 30 % o más de las llamadas de ventas en el lapso de un mes. Ejercicio 13. La proporción de personas aseguradas con una compañía de seguros para automó- viles que tienen una multa de tráfico en el periodo de un año es 0.15 a) Indique la distribución muestral de la proporción de personas que hayan tenido una multa en un año, p̂, si se emplea una muestra aleatoria de 150 asegurados. b) ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral esté a no más de ±0.03 de la proporción poblacional? Ejercicio 14. La información sobre un paquete de semillas afirma que la tasa de germinación es del 92 %. ¿Cuál es la probabilidad de que más del 95 % de las 160 semillas del paquete germinen?. Ejercicio 15. Supongamos que el 30 % de los estudiantes de una universidad usan lentes de contacto. a) Seleccionamos al azar a 100 estudiantes. Sea p̂ la proporción de estudiantes en esta muestra que usan contactos. ¿Cuál es el modelo apropiado para la distribución de p̂?. Especifique, la media y la varianza. b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de un tercio de los estudiantes de la muestra usen lentes de contacto? 3