Métodos Quantitativos – 2011 – Lista de ExercíciosConsidere as informações a seguir para responder as questões 1, 2, 3, 4 e 5: Para se estudar o desempenho de duas corretoras de ações, selecionou-se de cada uma delas amostras aleatórias das ações negociadas. Para cada ação selecionada, computou-se a porcentagem de lucro apresentada durante um período fixado de tempo. Os dados estão a seguir. Corretora A (% lucro) Corretora B (%lucro) 45 60 54 57 55 58 62 55 70 50 52 59 38 48 64 59 55 56 55 56 55 61 52 53 54 59 48 57 57 50 65 55 60 55 58 54 59 51 56 Para cada conjunto de dados: 1 – (a) Calcule a média aritmética; (b) Calcule a mediana; (c) Calcule a moda 2 – (a) Calcule a amplitude; (b) Calcule a variância; (c) Calcule o coeficiente de variação. 3 – (a) Calcule o coeficiente de assimetria de Pearson. 4 – Para verificar a homogeneidade das duas populações, um pesquisador sugeriu que se usasse o quociente 2 B 2 A S S F = , mas não disse qual decisão tomar baseado nesse valor. Que regra de decisão você adotaria para dizer se são homogêneas ou não? 5 – Para decidir se os desempenhos das duas corretoras são semelhantes ou não, adotou-se a seguinte regra: sejam: ( ) ( ) 2 n n S 1 n S 1 n S n 1 n 1 S x x t B A 2 B B 2 A A 2 c B A c B A ÷ + · ÷ + · ÷ = + · ÷ = , Onde: A x : média aritmética da amostra da corretora A. B x : média aritmética da amostra da corretora B. n A : número de observações da amostra da corretora A. n B : número de observações da amostra da corretora B. S A : desvio padrão da amostra da corretora A. S B : desvio padrão da amostra da corretora B. Caso 2 t < , os desempenhos são semelhantes, caso contrário, são diferentes. (a) Qual seria a sua conclusão? Considere as informações a seguir para responder as questões 6 e 7: Um serviço de aluguel de limusines que opera em determinada cidade deseja determinar o montante de tempo necessário para transportar passageiros vindos de várias localidades para um grande aeroporto metropolitano nas horas de menor movimento. Uma amostra de 12 corridas, em determinado dia, nas horas de menor movimento indica o seguinte: Corrida até o aeroporto Distância (km) (X) Tempo (minutos) (Y) 10,3 19,71 11,6 18,15 12,1 21,88 14,3 24,21 15,7 27,08 16,1 22,96 18,4 29,38 20,2 37,24 21,8 36,84 24,3 40,59 25,4 41,21 26,7 38,19 6 – Calcule o coeficiente de correlação de Pearson entre as variáveis distância e tempo. 7 – Faça a previsão do tempo (em minutos) gasto para uma corrida de 17,0km. Considere as informações a seguir para responder as questões 8 e 9: Os dados abaixo correspondem a uma pesquisa realizada na Cia MB. Foram selecionados 36 funcionários e observadas as seguintes variáveis: estado civil, grau de instrução, número de filhos, salário(em nº de salários mínimos), idade (em anos) e região de procedência. No Estado Instrução Número de Salário Idade Procedência Civil Filhos 1 Solteiro ensino fundamental 4,00 26 Interior 2 Casado ensino fundamental 1 4,56 32 Capital 3 Casado ensino fundamental 2 5,25 36 Capital 4 Solteiro ensino médio 5,73 21 Outro 5 Solteiro ensino fundamental 6,26 41 Outro 6 Casado ensino fundamental 0 6,66 28 Interior 7 Solteiro ensino fundamental 6,86 41 Interior 8 Solteiro ensino fundamental 7,39 43 Capital 9 Casado ensino médio 1 7,59 34 Capital 10 Solteiro ensino médio 7,44 24 Outro 11 Casado ensino médio 2 8,12 34 Interior 12 Solteiro ensino fundamental 8,46 28 Capital 13 Solteiro ensino médio 8,74 37 Outro 14 Casado ensino fundamental 3 8,95 44 Outro 15 Casado ensino médio 0 9,13 30 Interior 16 Solteiro ensino médio 9,35 39 Outro 17 Casado ensino médio 1 9,77 32 Capital 18 Casado ensino fundamental 2 9,80 40 Outro 19 Solteiro superior 10,53 26 Interior 20 Solteiro ensino médio 10,76 37 Interior 21 Casado ensino médio 1 11,06 31 Outro 22 Solteiro ensino médio 11,59 34 Capital 23 Solteiro ensino fundamental 12,00 41 Outro 24 Casado superior 0 12,79 26 Outro 25 Casado ensino médio 2 13,23 32 Interior 26 Casado ensino fundamental 2 13,60 35 Outro 27 Solteiro ensino médio 13,85 47 Outro 28 Casado ensino médio 0 14,69 30 Interior 29 Casado ensino médio 5 14,71 41 Interior 30 Casado ensino médio 2 15,99 36 Capital 31 Solteiro superior 16,22 31 Outro 32 Casado ensino médio 1 16,61 36 Interior 33 Casado superior 3 17,26 44 Capital 34 Solteiro superior 18,75 34 Capital 35 Casado 2º grau 2 19,40 49 Capital 36 Casado superior 3 23,30 42 Interior 8 – Calcule o r 2 entre as variáveis região de procedência e salário. 9 – Calcule o r 2 entre as variáveis grau de instrução e salário. Considere as informações a seguir para responder as questões 10, 11 e 12: Estatísticas dos últimos anos do departamento estadual de estradas são apresentadas na tabela a seguir, contendo o número de acidentes incluindo vítimas fatais e as condições do principal envolvido, sóbrio ou alcoolizado. 10 – Calcule a percentagem de acidentes fatais entre os motoristas alcoolizados; 11 – Calcule a percentagem de acidentes fatais entre os motoristas sóbrios; 12 – Calcule o qui-quadrado de Pearson (χ 2 ) e avalie baseado no valor encontrado se pode concluir que o fato do motorista estar ou não alcoolizado interfere na ocorrência de vítimas fatais. Considere a seguinte regra de decisão: se χ 2 < 3,84 não interfere; caso contrário interfere. Considere as informações a seguir para responder as questões 13 e 14: Foram feitas medidas em operários da construção civil a respeito da taxa de hemoglobina no sangue (em gramas/cm 3 ): 11,2 11,3 11,7 11,7 12,2 12,3 12,3 12,3 12,5 12,6 12,6 12,7 12,7 13 13,2 13,4 13,5 13,5 13,6 13,7 13,9 14,1 14,4 14,7 15,2 15,2 15,4 15,8 16,3 16,9 13 – Calcule a média e a mediana (organize os dados em faixas de tamanho 1 a partir do 11). 14 – calcule o desvio padrão, o coeficiente de variação e o coeficiente de assimetria de Pearson. 15 – Um investigador deseja estudar a relação entre os salários e o tempo de experiência no cargo de gerente de agências bancárias de um grande banco. Além disso, gostaria de saber se existem diferenças quando são levados em conta os salários de homens e mulheres, separadamente. Salário (Y) Experiência (X) Sexo 1,93 0 f 1,91 1 f 2,36 4 m 2,28 5 f 2,22 5 f 2,54 6 m 2,57 7 m 2,65 8 f Condição do motorista Vítimas fatais Não Sim Sóbrio 1228 275 Alcoolizado 2393 762 2,78 9 f 2,91 9 m 2,99 10 m 2,82 11 f 3,15 11 m 2,85 13 f 3,13 15 f 3,09 15 f 3,18 17 f 3,60 18 m 3,23 20 f 4,09 20 m 4,09 22 m 4,22 23 m 4,12 23 m 4,51 25 m 4,48 25 m 4,71 27 m 4,75 29 m Quanto da variação total dos salários pode ser explicada pelo sexo? 16 – Um estudo a respeito da eficácia da aspirina na redução de ataques cardíacos foi iniciado em 1982 e concluído em 1987 (veja “Findings from the Aspirin Component of Ongoing Physician’s Health Study”, C. Hennekens et al., The New England Journal of Medicine, 28 de janeiro de 1988, vol. 318, p. 262-264). De 11.037 médicos do sexo masculino, nos Estados Unidos, que tomaram um comprimido de aspirina de 325mg em dias alternados, 104 sofreram ataque cardíaco durante o período de 5 anos do estudo. De 11.034 médicos do sexo masculino, dos Estados Unidos, que tomaram um placebo (isto é, uma pílula que, sem que os participantes do estudo saibam, não contém qualquer ingrediente ativo), 189 sofreram ataque cardíaco durante o período de 5 anos do estudo. Calcule o Qui-quadrado de Pearson (χ 2 ) e avalie, baseado no valor encontrado, se pode concluir que o tipo de tratamento (aspirina ou placebo) interfere na ocorrência de ataque cardíaco. Considere a seguinte regra de decisão: se χ 2 < 3,84 não interfere; caso contrário interfere. 17 – Os dados a seguir representam o montante de doações a Fundos (em milhares de dólares) fornecido pela Alcohol, Drug abuse, and Mental Health Administration, dos EUA, através de doações originadas por uma amostra de 21 instituições durante um ano recente. Instituição Quantia doada 1 14,9 2 14,1 3 6,8 4 13,1 5 7,6 6 13,2 7 5,1 8 11,9 9 8,5 10 7,1 11 5,1 12 5 13 6,2 14 5,5 15 3,8 16 3,4 17 3,5 18 2,8 19 4,1 20 15,9 21 5,7 Calcule a amplitude, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação. Considere as informações a seguir para responder as questões 18 e 19: Numa pesquisa realizada com 100 famílias, levantaram-se as seguintes informações: Número de filhos 0 1 2 3 4 5 mais que 5 Freqüência de famílias 17 20 28 19 7 4 5 18 – Qual a mediana do número de filhos? 19 – E a moda? Considere as informações a seguir para responder as questões 20, 21, 22 e 23: Sendo P(A)=0,30, P(B)=0,50 e P(A·B)=0,10. Calcule as seguintes probabilidades: 24 – Sejam A e B dois eventos independentes associados a um experimento aleatório. Se P(A·B)=0,01 e P(A·B c )=1/600. Determine P(B). Considere as informações a seguir para responder as questões 25 e 26: Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Suponha P(A) = 0,4 , enquanto P(A B) = 0,7. Seja P(B) = p. 25 – Para que valor de p, A e B serão mutuamente excludentes? 26 – Para que valor de p, A e B serão independentes? 27 – Em uma população, o numero de homens é igual ao numero de mulheres. Sabe-se que 6 % dos homens são daltônicos e 0,25 % das mulheres são daltônicas. Se uma pessoa é selecionada ao acaso e verifica-se que é daltônica, determine a probabilidade de que ela seja do sexo feminino. Considere as informações a seguir para responder as questões 28 e 29: São dadas duas urnas A e B. A urna A contém uma bola preta e uma vermelha. A urna B contém duas bolas pretas e três vermelhas. Uma bola é escolhida ao acaso na urna A e colocada na urna B. Uma bola é então extraída ao acaso da urna B. Pergunta-se: 28 – Qual a probabilidade de que ambas as bolas sejam da mesma cor? ) ( 20 B A P ÷ ) ( 21 B A P · ÷ ) ( 22 B A P · ÷ ) ( 23 B A P ÷ 29 – Qual a probabilidade de que a primeira bola seja vermelha, sabendo-se que a Segunda foi preta? 30 – Três alarmes estão dispostos de tal maneira que qualquer um deles funcionará independentemente quando qualquer coisa indesejável ocorrer. Se cada alarme tem probabilidade 0,9 de trabalhar eficientemente, qual é a probabilidade de se ouvir o alarme quando necessário? Considere as informações a seguir para responder as questões 31 e 32: Uma companhia produz circuitos em 3 fábricas (I, II e III). A fábrica I produz 40% dos circuitos enquanto a II e III produzem 30% cada uma. As probabilidades de um circuito produzido por essas fábricas não funcionarem são 0,01, 0,04 e 0,03, respectivamente. 33 – Escolhido um circuito da produção conjunta das três fábricas, qual a probabilidade do mesmo não funcionar? 34 – Dado que o circuito não funciona, qual a probabilidade de que ele venha da fábrica I? 35 – Suponha que a probabilidade de que um item produzido por uma máquina seja defeituoso é de 0,2. Se dez itens produzidos por essa máquina são selecionados ao acaso, qual é a probabilidade de que não mais do que um defeito seja encontrado. Use a distribuição binomial e a distribuição de Poisson e compare os resultados. Considere as informações a seguir para responder as questões 36 e 37: Verificou-se que o número de falhas de um transistor em um computador eletrônico, em qualquer período de uma hora, pode ser considerado como uma v.a. que tenha uma distribuição de Poisson com parâmetro 0,1 (Isto é, em média, haverá uma falha de transistor a cada 10 horas). Determinado cálculo, que requer 20 horas de tempo de cálculo, é iniciado. 36 – Determinar a probabilidade de que o cálculo acima seja completado com êxito, sem falhas (admita que a máquina se torne inoperante somente se 3 ou mais transistores falharem). 37 – O mesmo que em (a), exceto que a máquina se torna inoperante se 2 ou mais transistores falharem. Considere as informações a seguir para responder as questões 38, 39 e 40: O número de navios petroleiros (N) que chegam a uma determinada refinaria a cada dia tem distribuição de Poisson com λ = 2. As atuais instalações podem atender a três petroleiros por dia. Se mais de três petroleiros aportarem por dia, os excedentes a três deverão seguir para outro porto. 38 – Em um dia, qual é a probabilidade de se ter de mandar petroleiros para outro porto? 39 – Quantos navios deverão atender por dia, para que em pelo menos 95% dos dias a demanda seja atendida? 40 – Qual o número esperado de petroleiros a chegarem por dia? 41 – O número de partículas emitidas por uma fonte radioativa durante um período especificado é uma v.a. com distribuição de Poisson. Se a probabilidade de não haver emissões for igual a 1/3, qual é a probabilidade de que 2 ou mais emissões ocorram? Considere as informações a seguir para responder as questões 42, 43 e 44: Uma pequena cirurgia dentária pode ser realizada por três métodos diferentes cujos tempos de recuperação (em dias) são modelados pelas variáveis X1, X2, X3. Admita que suas funções de probabilidades sejam dadas por: X1 0 4 5 6 10 P(X1=x i ) 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 X2 1 5 9 P(X2=x i ) 1/3 1/3 1/3 X3 4 5 6 P(X3=x i ) 0,3 0,4 0,3 42 – Calcule a E(X1), E(X2), E(X3); 43 – Calcule a Var(X1), Var(X2), Var(X3); 44 – Qual método você considera o mais eficiente? Justifique. 45 – A urna I contém 2 bolas pretas e três brancas, ao passo que a urna II contém três bolas pretas e três bolas brancas. Escolhemos uma urna ao acaso e dela extraímos uma bola que tem cor branca. Se a bola é recolocada na urna, qual é a probabilidade de se retirar novamente uma bola branca da mesma urna? 46 – Uma urna contém duas bolas brancas (B) e três bolas vermelhas (V). Retira-se uma bola ao acaso da urna. Se for branca, lança-se uma moeda; se for vermelha, ela é devolvida à urna e retira- se outra. Dê um espaço amostral para o experimento. 47 – Dentre seis números positivos e oito negativos, dois números são escolhidos ao acaso (sem reposição) e multiplicados. Qual a probabilidade de que o produto seja positivo? 48 – A probabilidade de que A resolva um problema é de 2/3, e a probabilidade de que B o resolva é de ¾. Se ambos tentarem independentemente, qual a probabilidade do problema ser resolvido? Considere as informações a seguir para responder as questões 49 e 50: Um dado é viciado, de tal forma que a probabilidade de sair um certo ponto é proporcional ao seu valor (por exemplo, o ponto 6 é três vezes mais provável de sair do que o ponto 2). Calcular: 49 – a probabilidade de sair 5, sabendo-se que o ponto que saiu é ímpar; 50 – a probabilidade de tirar um número par, sabendo-se que saiu um número maior que 3. 51 – Suponha que existam três cofres, cada um com duas gavetas. O primeiro tem uma moeda de ouro em cada gaveta, o segundo tem uma moeda de ouro em uma gaveta e uma moeda de prata em outra, e o terceiro cofre tem uma moeda de prata em cada gaveta. Escolhe-se um cofre ao acaso e abre-se uma gaveta. Se a gaveta contém uma moeda de ouro, qual a probabilidade de que a outra gaveta contenha também uma moeda de ouro? Justifique. Considere as informações a seguir para responder as questões 52, 53 e 54: Um vendedor de equipamento pesado pode visitar, num dia, um ou dois clientes, com probabilidade de 1/3 ou 2/3, respectivamente. De cada contato, pode resultar a venda de um equipamento por R$ 50.000,00 (com probabilidade 1/10) ou nenhuma venda (com probabilidade 9/10). Indicando por Y o valor total de vendas diárias desse vendedor, 52 – escreva a função de probabilidade de Y; 53 – calcule o valor total esperado de vendas diárias; 54 – calcule a variância da v.a. Y. Considere as informações a seguir para responder as questões 55 e 56: O tempo T, em minutos, necessário para um operário processar certa peça é uma v.a. com a seguinte distribuição de probabilidade. t 2 3 4 5 6 7 p(t) 0,1 0,1 0,3 0,2 0,2 0,1 55 – Calcule o tempo médio de processamento; 56 – Para cada peça processada, o operário ganha um fixo de R$ 2,00, mas, se ele processa a peça em menos de seis minutos, ganha R$ 0,50 em cada minuto poupado. Por exemplo, se ele processa a peça em quatro minutos, recebe a quantia adicional de R$ 1,00. Encontre a distribuição, a média e a variância da v.a. Y: quantia em R$ ganha por peça. 57 – Determinado tipo de parafuso é vendido em caixas de 1.000 peças. É uma característica da fabricação produzir 10% com defeito. Normalmente, cada caixa é vendida por R$ 13,50. Um comprador faz a seguinte proposta: de cada caixa, ele escolhe uma amostra de 20 peças; se a caixa não tiver parafusos defeituosos, ele paga R$ 20,00; um ou dois defeituosos, ele paga R$ 10,00; três ou mais defeituosos, ele para R$ 8,00. Qual alternativa é a mais vantajosa para o fabricante? Considere as informações a seguir para responder as questões 58, 59, 60, 61, 62 e63: Uma Companhia de Transportes determinou que, em termos anuais, a distância percorrida por caminhão se distribui de modo normal com uma média aritmética de 50,0 mil milhas e um desvio padrão de 12,0 mil milhas. 58 – Que proporção desses caminhões espera-se que percorra entre 34,0 e 50,0 mil milhas por ano? 59 – Qual é a probabilidade de que um caminhão, escolhido aleatoriamente, percorra entre 34,0 e 38,0 mil milhas por ano? 60 – Que percentagem de caminhões pode-se esperar que percorra ou abaixo de 30,0 ou acima de 60,0 mil milhas por ano? 61 – Quanto dos 1000 caminhões da frota espera-se que percorram entre 30,0 e 60,0 mil milhas por ano? 62 – Quantas milhas podem ser percorridas por pelo menos 80% dos caminhões? Considere as informações a seguir para responder as questões 63, 64 e 65: Estudos meteorológicos indicam que a precipitação pluviométrica mensal, em períodos de seca numa certa região, pode ser considerada como seguindo a distribuição Normal de média 30mm e variância 16mm 2 . 63 – Qual seria o valor da precipitação pluviométrica de modo que exista apenas 10% de probabilidade de haver uma precipitação inferior a esse valor? 64 – Construa um intervalo central em torno da média que contenha 80% dos possíveis valores de precipitação pluviométrica. 65 – Admitindo esse modelo correto para os próximos 50 meses, em quantos deles esperaríamos uma precipitação pluviométrica superior a 34mm? Considere as informações a seguir para responder as questões 66 e 67: Um determinado produto é empacotado automaticamente por uma máquina. A distribuição do peso dos produtos é normal com média µ e desvio padrão 10g. 66 – Em quanto deve ser regulado o peso médio µ para que apenas 15% dos pacotes tenham menos de 500g? 67 – Com a máquina assim regulada, qual a probabilidade de que o peso total de 5 pacotes escolhidos ao acaso seja inferior a 2,5kg? 68 – A capacidade máxima de um elevador é de 450kg. Se a distribuição dos pesos dos usuários é média igual a 60kg e variância 64kg 2 , Qual a probabilidade de 7 passageiros ultrapassarem esses limites? 69 – A confiabilidade de um mecanismo eletrônico é a probabilidade de que ele funcione sob as condições para as quais foi planejado. Uma amostra de 1000 desses itens é escolhida ao acaso e os itens são testados. Calcule a probabilidade de se obter pelo menos 30 itens defeituosos, sabendo-se que a confiabilidade de cada item é 0,95. 70 – Um componente eletrônico é formado por 100 componentes menores, cada um dos quais tem confiabilidade igual a 0,95. Se esses componentes funcionarem independentemente um do outro, e se o sistema funcionar adequadamente quando ao menos 80 componentes funcionarem, qual será a confiabilidade do sistema ? 71 – Suponha que temos algumas voltagens de ruído independentes, Vi i=1,2,....,n, as quais são recebidas num “somador”. Seja V a soma das voltagens recebidas e suponha que cada variável aleatória Vi seja uniformemente distribuída sobre o intervalo [0,10]. Qual a probabilidade de que a voltagem total exceda 160 volts quando n=30? 72 – Em uma central telefônica, as chamadas chegam com uma taxa de 3 por minuto. Qual probabilidade de que cheguem 100 chamadas ou menos em um período de 30 minutos ? Considere as informações a seguir para responder as questões 73 e 74: Uma amostra de tamanho n é obtida de uma grande coleção de parafusos, 3 por cento dos quais são defeituosos. Qual será a probabilidade de que no máximo, 5 por cento sejam defeituosos, se 73 – n=20? 74 – n=600? 75 – Trinta dispositivos eletrônicos, Di i=1,2,...., 30, são empregados da seguinte maneira. Tão logo D1 falhe, D2 entra em operação; quando D3 falhar, D4entrará em operação etc. Suponha que em média Di dure 10 horas. Seja T o tempo total de 30 dispositivos. Qual a probabilidade de que T ultrapasse 350 horas ? 76 – O gerente de controle de qualidade de uma fábrica de lâmpadas de filamento precisa calcular a vida útil média de uma grande remessa de lâmpadas. Sabe-se que o desvio padrão do processo é de 100 horas. Uma amostra aleatória de 50 lâmpadas indicou uma vida útil média da amostra de 350 horas. Se o gerente quiser calcular a vida útil média, numa margem de erro entre ± 20 horas, com 95% de confiança, que tamanho de amostra é necessário? Considere as informações a seguir para responder as questões 77 e 78: Um grupo de consumidores gostaria de calcular a quantia média, relativa a contas de energia elétrica, para o mês de julho, para domicílios unifamiliares em uma grande cidade. Com base em estudos conduzidos em outras cidades, supõe-se que o desvio padrão seja igual a $25. O grupo gostaria de calcular a conta média para o mês de julho, numa margem de ± $5 da média verdadeira, com 99% de confiança. 77 – Que tamanho de amostra é necessário? 78 – Se se deseja um nível de confiança de 95%, que tamanho de amostra é necessário? 79 – Uma empresa de televisão a cabo gostaria de calcular a proporção de clientes que comprariam um guia de programação de tevê a cabo. A empresa gostaria de ter 95% de confiança de que sua estimativa esteja correta, em uma margem de ±0,05 da população real. Experiências do passado, em outras áreas, indicam que 30% dos clientes comprariam o guia de programação. Que tamanho de amostra é necessário? 80 – Uma amostra de 25 observações de uma Normal ( ) 16 ; u foi coletada e forneceu uma média amostral de 8. Construa intervalos de confiança de 80%, 85%, 90% e 95% para a média populacional. Comente sobre as diferenças encontradas. 81 – Será coletada uma amostra de uma população Normal com desvio padrão igual a 9. Para um coeficiente de confiança de 99%, determine a amplitude do intervalo de confiança para a média populacional nos casos em que o tamanho da amostra é 30, 50 e 100. Comente sobre as diferenças. Considere as informações a seguir para responder as questões 82 e 83: 82 – Determine um I.C. de 80% para a média de uma v.a. normal com variância 4, com base em uma amostra de 8 elementos, cujos valores são dados abaixo: 9, 14, 10, 12, 7, 3, 11 e 12. 83 – Qual deve ser o coeficiente de confiança a utilizar para que a amplitude do intervalo seja 2,77? Considere as informações a seguir para responder as questões 84 e 85: Uma experiência conduzida para medir o tempo de reação de um indivíduo a certo estímulo proporcionou os seguintes tempos de reação (expressos em centésimos de segundo): 28, 30, 28, 33, 32, 29. Admita que o tempo de reação tenha distribuição Normal. 84 – Suponha que a variância 2 o é igual a 6,25; determine um I.C. de 99% para o verdadeiro tempo médio de reação. 85 – No caso da variância do universo 2 o ser desconhecida, quais seriam os limites de confiança? Considere as informações a seguir para responder as questões 86 , 87 e 88: Na atmosfera, o nível de gás nocivo (em volume), segue uma distribuição Normal com média e variância desconhecidas. Efetuam-se n análises, obtendo-se os valores x1, x2,...,xn. 86 – Em uma amostra de tamanho 10, obtiveram-se os valores 50 para a média amostral e 100 para a variância amostral. Determine um I.C. de 95% para o nível médio de gás nocivo na atmosfera. 87 – Qual seria o intervalo acima se a variância da população fosse 100? 88 – suponha agora que temos uma amostra 10 vezes maior do que a anterior, que nos fornece os seguintes resultados: média = 48 e variância = 90. Qual seria o I.C. de 95% para u ? 89 – Passados dez minutos depois do encerramento das urnas, uma empresa de sondagem de opinião faz as primeiras previsões baseada em uma amostra de 1000 eleitores; 480 destes eleitores dizem que votaram no candidato “A”. Determine um I.C. de 99% para a proporção de pessoas que votaram no candidato acima. Considere as informações a seguir para responder as questões 92, 93, 94 e 95: Um fabricante de temperos para saladas utiliza máquinas para despejar ingredientes líquidos em garrafas que se movem ao longo de uma esteira de abastecimento. A máquina que despeja temperos está funcionando adequadamente quando são despejadas 8 onças (1 onça = 28,3495g). O desvio padrão do processo é 0,15 onças. Uma amostra de 50 garrafas é selecionada periodicamente, e a esteira de abastecimento é paralisada se existirem evidências de que a quantidade média despejada é diferente de 8 onças. Suponha que a quantidade média despejada em uma determinada amostra de 50 garrafas seja 7,983 onças. 90 – Há evidências de que a quantidade média da população seja diferente de 8 onças (226,796g)? Utilize um nível de significância de 0,05.) 91 – Calcule o pvalor em a) e interprete o seu significado 92 – Qual seria a sua resposta em (123) se o desvio padrão fosse 0,05 onças? 93 – Qual seria a resposta em (123) se a média aritmética da amostra fosse 7,952 onças? Considere as informações a seguir para responder as questões 96, 97 e 98: Uma empresa produz barras de aço. Se o processo de produção estiver operando adequadamente, são produzidas barras de aço de comprimento médio de pelo menos 2,8 pés (1 pé = 30,479cm), com um desvio padrão de 0,20 pés (conforme determinado por meio de especificações de engenharia no equipamento de produção envolvido). As barras de aço mais longas podem ser utilizadas ou alteradas; as barras mais curtas devem ser descartadas. Uma amostra de 25 barras é selecionada da linha de produção. A amostra indica um comprimento médio de 2,73 pés. A companhia deseja determinar se o equipamento de produção necessita de algum ajuste. 94 – Indique as hipóteses nula e alternativa 95 – Se a companhia deseja testar a hipótese, em um nível de significância de 0,05, que decisões ela irá tomar? 96 – Calcule o pvalor e interprete o seu significado. Considere as informações a seguir para responder as questões 99, 100, 101 e 102: Um grupo de defesa do consumidor gostaria de avaliar a potência média de aparelhos de ar- condicionado de alta capacidade, instalados em janelas (isto é, acima de 7000 Btu). Uma amostra aleatória de 36 desses aparelhos é selecionada e testada por um espaço de tempo fixo e suas potências são registradas da seguinte maneira (arquivo anexo): 8,9 9,1 9,2 9,1 8,4 9,5 9,0 9,6 9,3 9,3 8,9 9,7 8,7 9,4 8,5 8,9 8,4 9,5 9,3 9,3 8,8 9,4 8,9 9,3 9,0 9,2 9,1 9,8 9,6 9,3 9,2 9,1 9,6 9,8 9,5 10,0 97 – Utilizando um nível de significância de 0,05, há evidências de que a potência média seja diferente de 9,0? 98 – Que pressupostos estão sendo considerados no sentido de realizar o teste? 99 – Encontre o pvalor e interprete o seu significado 100 – Quais seriam suas respostas em (130) e (132) se o último valor dos dados fosse 8,0 em vez de 10,0? Considere as informações a seguir para responder as questões 103, 104, 105 e 106: O gerente de um departamento de crédito de uma companhia de petróleo gostaria de determinar se a dívida mensal média de possuidores de cartões de crédito é igual a $75. Um auditor seleciona uma amostra aleatória de 100 contas e descobre que a média devida é de $83,40, com um desvio padrão da amostra de $23,65. 101 – Utilizando o nível de significância de 0,05, o auditor deveria concluir que há evidências de que a dívida média seja diferente de $75? 102 – Encontre o p-valor e interprete o seu significado. 103 – Qual seria sua resposta para (a) se o desvio padrão fosse $37,26. 104 – Qual seria sua resposta para (a) se a média aritmética da amostra fosse $78,81? Considere as informações a seguir para responder as questões 107, 108 e 109: O diretor de pessoal de uma grande companhia de seguros está interessado em reduzir a taxa de rotatividade de funcionários no setor de processamento de dados no primeiro ano de emprego. Registros do passado indicam que 25% dos novos contratados nesta área não estão mais empregados ao final de 1 ano. Novos e extensos métodos de treinamento são implementados para uma amostra de 150 novos funcionários do processamento de dados. Ao final do período de 1 ano, 29 desses 150 indivíduos não estão mais empregados. 105 – No nível de significância de 0,01, há evidências de que a proporção de funcionários de processamento de dados que tenham passado pelo novo treinamento e não estejam mais empregados seja menor do que 0,25? 106 – Calcule o p-valor e interprete o seu significado. 107 – Qual seria a sua resposta para (a) se 22 dos indivíduos não estivessem mais empregados? Considere as informações a seguir para responder as questões 119, 120, 121 e 122: Um estudo a respeito da eficácia da aspirina na redução de ataques cardíacos foi iniciado em 1982 e concluído em 1987 (veja “Findings from the Aspirin Component of Ongoing Physician’s Health Study”, C. Hennekens et al., The New England Journal of Medicine, 28 de janeiro de 1988, vol. 318, p. 262-264). De 11.037 médicos do sexo masculino, nos Estados Unidos, que tomaram um comprimido de aspirina de 325mg em dias alternados, 104 sofreram ataque cardíaco durante o período de 5 anos do estudo. De 11.034 médicos do sexo masculino, dos Estados Unidos, que tomaram um placebo (isto é, uma pílula que, sem que os participantes do estudo saibam, não contém qualquer ingrediente ativo), 189 sofreram ataque cardíaco durante o período de 5 anos do estudo. 108 – No nível de significância de 0,01, há evidências de que a proporção que sofre ataque cardíaco seja inferior entre os médicos do sexo masculino que tomaram um comprimido de aspirina de 325mg em dias alternados do que entre aqueles que tomaram o placebo? 109 – Calcule o pvalor em a). Isso leva você a crer que tomar um comprimido de aspirina de 325 mg em dias alternados tenha sido uma medida eficaz na redução da incidência de ataques cardíacos? Explique. Métodos Quantitativos – 2011 – Respostas da Lista de exercícios 1 – R: Corretora A: a) 55,72222222; b) 55; c) 55 Corretora B: a) 55,4285714; b) 56; c) 55 2 –R: a) 32; b) 58,91830065; c) 13,78% a) 11; b) 10,0571429; c) 5,72% 3 – R: Corretora A: 0,282271477 Corretora B: -0,54056248 4 – R: Um valor de F próximo a 1. 5 – R: t = 0,16. Os desempenhos são semelhantes. 6 – R: 0,957938 7 – R: 28,21585 8 – R: 1,27% 9 – R: 42% 10 – R: 24,15% 11 – R: 18,30% 12 – R: 20,16803683. Interfere. 13 – R: media: 13,46667 mediana: 13,14286 14 – R: DP: 1,473521; CV: 10,94%; As : 0,659257 15 – R: 34,75% 16 – R: 25,013884. Interfere. 17 – R: amplitude: 13,1; variância: 17,94990476; DP: 4,236732793; CV: 54,48% 18 – R: 2 19 – R: 2 20 - R: 0,90 21 - R: 0,30 22 - R: 0,40 23 - R: 0,80 24 –R: 6/7 25 – R: 0,3 26 – R: 0,5 27 – R: 0,04 28 – R: 7/12 29 – R: 6/7 30 – R: 0,999 33 –R: 0,025 34 –R: 0,16 35 –R: Binomial: 0,38 Poisson: 0,406 36 – R: 0,6766 37 – R: 0,406 38 – R: 0,143 39 – R: 5 40 – R: 2 41 –R: 0,3 42 –R: E(X1)=E(X2)=E(X3)=5 43 –R: V(X1)=10,4; V(X2)=10,7; V(X3)=0,6 44 –R: O método 3, pois possui a menor variância. 45 –R: 0,305 46 – R: } , , , { VV VB BR BC = O 47 – R: 0,47 48 – R: 0,92 49 – R: 0,56 50 – R: 0,67 51 – R: 2/3 52 – Y 0 50000 100000 P(Y=y) 150 126 150 23 150 1 53 – R: 8333,33 54 – R: 380555611 55 – R: 4,6 56 – 75 , 2 ) ( = G E 4125 , 0 ) ( = G Var 57 – R: Vender suas caixas por R$13,50 58 – R: 0,40878878 59 –R: 0,067444034 60 –R: 0,250118733 61 – R: 750 62 – R: 39,9 mil milhas 63 – R: 24,87379 64 – R: (24,87379 ; 35,12621) 65 –R: 8 66 – R: 510,36 67 – R: 0,01 68 –R: 0,078 69 – R: 0,9986 70 –R: ≈ 1 71 –R: 0,264 72 –R: 0,8056 73 – n=20? R: 0,8802 74 – n=600? R: 0,9982 75 –R: 0,181 76 –R: 97 77 –R: 167 78 –R: 97 79 –R: 323 80 – R: Quanto maior o nível de confiança, maior a amplitude do ] [ )% 1 ( 100 u o ÷ IC , quando mantemos fixo o tamanho da amostra. | | 024 , 9 ; 976 , 6 ] [ % 80 = u IC | | 125 , 9 ; 848 , 6 ] [ % 85 = u IC | | 312 , 9 ; 688 , 6 ] [ % 90 = u IC G 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 P(G=g) 0,3 0,2 0,3 0,1 0,1 | | 568 , 9 ; 432 , 6 ] [ % 95 = u IC 81 – R: Quanto maior o tamanho da amostra, menor é a amplitude do ] [ % 99 u IC , ou seja, há um aumento na precisão da estimativa, para α fixo. Para n = 30 4788 , 8 = A Para n = 50 6 , 6 = A Para n = 100 64 , 4 = A 82 – R: | | 6551 , 10 ; 84 , 8 ] [ % 80 = u IC 83 –R: 96 , 1 77 , 2 8 2 2 77 , 2 2 2 2 2 = ÷ = ÷ = o o o o Z Z x n Z x 84 – R: | | 632 , 32 ; 37 , 27 ] [ % 99 = u IC 85 – R: | | 4529 , 33 ; 5470 , 26 ] [ % 99 = u IC 86 – R: | | 153 , 57 ; 846 , 42 ] [ % 95 = u IC 87 – R: | | 198 , 56 ; 801 , 43 ] [ % 95 = u IC 88 – R: | | 8594 , 49 ; 1406 , 46 ] [ % 95 = u IC 89 – R: [0,44 ; 0,52] 90 – R: 91 – R: p-valor = 0,422907242 92 – p-valor = 0,01621 < 0,05 93 – p-valor = 0,023652 < 0,05 94 – onças. 8 de diferente seja despejada quantidade da média a que de evidências existem Não . H rejeitar Não z 1,96 0,8015 - z 1,96 - 0 obs obs ÷ e + < = < RA onças. 8 de diferente seja despejada quantidade da média a que de as estatístic evidências Há . H Rejeitar z 1,96 2,4045 - z : R 0 obs obs ÷ e ÷ < = RC onças. 8 de diferente seja despejada quantidade da média a que de as estatístic evidências Há . H Rejeitar z 1,96 2,2631 - z : R 0 obs obs ÷ e ÷ < = RC H 0 : μ ≥ 2,8 H 1 : μ < 2,8 95 – 96 – R: p-valor = Φ(-1,75) = 0,040059157 < 0,05. Rejeitar H 0 . 97 –R: t = 3,30 > t 35 = 2,0301. Rejeitar H 0 . Existem evidências de que a potência média seja diferente de 9,0. 98 – R: Os dados estão distribuídos de maneira aproximadamente normal. 99 – R: o p-valor é igual a 0,0022. 100 –R: t = 2,275 > t 35 = 2,0301 p-valor = 0,029. Rejeitar H 0 . 101 – Utilizando o nível de significância de 0,05, o auditor deveria concluir que há evidências de que a dívida média seja diferente de $75? 102 – R: p-valor = 2*[1- T( 3,55179704)] = 0,000587668 < 0,05. Rejeitar H 0 . 103 – p-valor = 0,026372601< 0,05. Rejeitar H 0 . 104 – p-valor = 0,110364958 > 0,05. Não rejeitar H 0 . 105 – No nível de significância de 0,01, há evidências de que a proporção de funcionários de processamento de dados que tenham passado pelo novo treinamento e não estejam mais empregados seja menor do que 0,25? 106 – R: p-valor = 0,054492128 > 0,01. Não rejeitar H 0 . . apropriado modo de operando esteja não processo o que de as estatístic evidências existem que concluir portanto, podemos, e 2,8 que menor ivamente significat é média A . H Rejeitar z 1,64485 - 1,75 - z R 0 obs obs ÷ e < = RC 75. de diferente seja média dívida a que de as estatístic evidências Existem . H Rejeitar 1,98421731 3,55179704 : 0 obs 99 obs ÷ e + = > = RC t t t R 75. de diferente seja média dívida a que de as estatístic evidências Existem . H Rejeitar 1,98421731 1 2,25442834 : 0 obs obs ÷ e + > = RC t t R 75. de diferente seja média dívida a que de as estatístic evidências existem Não . H rejeitar Não 1,98421731 8 1,61099365 1,98421731 - : R 0 obs obs ÷ e + < = < RA t t 0,25. que do menor seja proporção a que de as estatístic evidências existem Não . H rejeitar Não 1,60277537 - 2,32634787 - : R 0 obs obs ÷ e = < RA z z 107 – 108 – R: Z = -5,00 < -2,33. Rejeitar H0. Existem evidências de que a proporção de médicos homens que tiveram ataque do coração é menor para aqueles que tomaram aspirina do que para aqueles que não tomaram aspirina. 109 – R: pvalor = 0,00000029. Existe muito pouca possibilidade de que esses resultados poderiam ter ocorrido caso a aspirina não reduzisse a incidência de ataques do coração. 0,25. que do menor seja proporção a que de as estatístic evidências Existem . H Rejeitar 2,92270803 - 2,32634787 - : R 0 obs obs ÷ e = > RC z z Considere as informações a seguir para responder as questões 8 e 9: Os dados abaixo correspondem a uma pesquisa realizada na Cia MB.79 13.39 7.59 7.1 22.60 13.76 11. salário(em nº de salários mínimos).44 8.0km.23 13.1 21.4 29.4 41.84 24. 7 – Faça a previsão do tempo (em minutos) gasto para uma corrida de 17.74 8.6 18.77 9.38 20.7 38.71 Idade Procedência 26 32 36 21 41 28 41 43 34 24 34 28 37 44 30 39 32 40 26 37 31 34 41 26 32 35 47 30 41 Interior Capital Capital Outro Outro Interior Interior Capital Capital Outro Interior Capital Outro Outro Interior Outro Capital Outro Interior Interior Outro Capital Outro Outro Interior Outro Outro Interior Interior 0 1 2 3 0 1 2 1 0 2 2 0 5 .73 6.80 10.06 11.3 19.00 4. grau de instrução.3 24. Foram selecionados 36 funcionários e observadas as seguintes variáveis: estado civil.56 5.26 6.95 9.66 6.96 18.25 5. No Estado Civil 1 Solteiro 2 Casado 3 Casado 4 Solteiro 5 Solteiro 6 Casado 7 Solteiro 8 Solteiro 9 Casado 10 Solteiro 11 Casado 12 Solteiro 13 Solteiro 14 Casado 15 Casado 16 Solteiro 17 Casado 18 Casado 19 Solteiro 20 Solteiro 21 Casado 22 Solteiro 23 Solteiro 24 Casado 25 Casado 26 Casado 27 Solteiro 28 Casado 29 Casado Instrução ensino fundamental ensino fundamental ensino fundamental ensino médio ensino fundamental ensino fundamental ensino fundamental ensino fundamental ensino médio ensino médio ensino médio ensino fundamental ensino médio ensino fundamental ensino médio ensino médio ensino médio ensino fundamental superior ensino médio ensino médio ensino médio ensino fundamental superior ensino médio ensino fundamental ensino médio ensino médio ensino médio Número de Filhos 1 2 Salário 4.00 12.69 14.3 40.2 37.85 14.59 25.8 36.59 12.71 11.86 7.21 26.21 15.13 9.53 10.19 6 – Calcule o coeficiente de correlação de Pearson entre as variáveis distância e tempo.88 14.12 8. idade (em anos) e região de procedência. número de filhos.08 16.15 12.35 9.7 27.Corrida até o aeroporto Distância (km) (X) Tempo (minutos) (Y) 10.46 8.24 21. Condição do motorista Sóbrio Alcoolizado Vítimas fatais Não Sim 1228 2393 275 762 10 – Calcule a percentagem de acidentes fatais entre os motoristas alcoolizados. 9 – Calcule o r2 entre as variáveis grau de instrução e salário.99 16.57 2. Considere as informações a seguir para responder as questões 13 e 14: Foram feitas medidas em operários da construção civil a respeito da taxa de hemoglobina no sangue (em gramas/cm3): 11.8 12. Além disso.28 2. contendo o número de acidentes incluindo vítimas fatais e as condições do principal envolvido.7 12.65 Experiência (X) 0 1 4 5 5 6 7 8 Sexo f f m f f m m f .30 31 32 33 34 35 36 Casado Solteiro Casado Casado Solteiro Casado Casado ensino médio superior ensino médio superior superior 2º grau superior 2 1 3 2 3 15.7 14.36 2.93 1.3 12. Considere as informações a seguir para responder as questões 10.84 não interfere. Considere a seguinte regra de decisão: se χ2 < 3.61 17. 11 e 12: Estatísticas dos últimos anos do departamento estadual de estradas são apresentadas na tabela a seguir. Salário (Y) 1. o coeficiente de variação e o coeficiente de assimetria de Pearson. sóbrio ou alcoolizado.7 14.4 11.4 15.3 12.91 2.5 13. caso contrário interfere.9 13 – Calcule a média e a mediana (organize os dados em faixas de tamanho 1 a partir do 11).40 23.7 13 14.22 16.5 15. gostaria de saber se existem diferenças quando são levados em conta os salários de homens e mulheres. separadamente.54 2.2 13.26 18.7 16.3 13.2 12.2 12.5 15.22 2.30 36 31 36 44 34 49 42 Capital Outro Interior Capital Capital Capital Interior 8 – Calcule o r2 entre as variáveis região de procedência e salário. 11 – Calcule a percentagem de acidentes fatais entre os motoristas sóbrios.9 11.3 13.2 15. 12 – Calcule o qui-quadrado de Pearson (χ2) e avalie baseado no valor encontrado se pode concluir que o fato do motorista estar ou não alcoolizado interfere na ocorrência de vítimas fatais. 14 – calcule o desvio padrão.75 19.4 12.2 12. 15 – Um investigador deseja estudar a relação entre os salários e o tempo de experiência no cargo de gerente de agências bancárias de um grande banco.6 13.7 12.3 13.1 11.6 13.6 16. 15 2.1 7. Considere a seguinte regra de decisão: se χ2 < 3. sem que os participantes do estudo saibam.5 7. uma pílula que. Instituição 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Quantia doada 14. 17 – Os dados a seguir representam o montante de doações a Fundos (em milhares de dólares) fornecido pela Alcohol. caso contrário interfere.84 não interfere.2. Hennekens et al.09 3. se pode concluir que o tipo de tratamento (aspirina ou placebo) interfere na ocorrência de ataque cardíaco. nos Estados Unidos.09 4.99 2. De 11. and Mental Health Administration. dos EUA.8 13. De 11. 262-264). não contém qualquer ingrediente ativo).12 4. que tomaram um placebo (isto é.78 2. 104 sofreram ataque cardíaco durante o período de 5 anos do estudo.09 4. Calcule o Qui-quadrado de Pearson (χ2) e avalie.82 3. 189 sofreram ataque cardíaco durante o período de 5 anos do estudo.22 4.18 3.51 4. vol. dos Estados Unidos..037 médicos do sexo masculino.1 11.6 13.9 8.91 2.75 9 9 10 11 11 13 15 15 17 18 20 20 22 23 23 25 25 27 29 f m m f m f f f f m f m m m m m m m m Quanto da variação total dos salários pode ser explicada pelo sexo? 16 – Um estudo a respeito da eficácia da aspirina na redução de ataques cardíacos foi iniciado em 1982 e concluído em 1987 (veja “Findings from the Aspirin Component of Ongoing Physician’s Health Study”. 318.23 4.1 5 6.60 3.85 3.1 5. p. Drug abuse.2 5.71 4.13 3. baseado no valor encontrado. 28 de janeiro de 1988. que tomaram um comprimido de aspirina de 325mg em dias alternados.2 .9 14. através de doações originadas por uma amostra de 21 instituições durante um ano recente.48 4.034 médicos do sexo masculino. The New England Journal of Medicine. C.1 6. 7 Calcule a amplitude.1 20 15.5 15 3. A e B serão independentes? 27 – Em uma população.25 % das mulheres são daltônicas.4 17 3. Se uma pessoa é selecionada ao acaso e verifica-se que é daltônica.8 19 4. Uma bola é escolhida ao acaso na urna A e colocada na urna B. A urna A contém uma bola preta e uma vermelha.14 5. Pergunta-se: 28 – Qual a probabilidade de que ambas as bolas sejam da mesma cor? . levantaram-se as seguintes informações: Número de filhos 0 1 2 3 4 5 mais que 5 Freqüência de famílias 17 20 28 19 7 4 5 18 – Qual a mediana do número de filhos? 19 – E a moda? Considere as informações a seguir para responder as questões 20. enquanto P(A B) = 0. o desvio padrão e o coeficiente de variação. 22 e 23: Sendo P(A)=0. A urna B contém duas bolas pretas e três vermelhas. a variância. Determine P(B). determine a probabilidade de que ela seja do sexo feminino.10.30. Seja P(B) = p. A e B serão mutuamente excludentes? 26 – Para que valor de p. Sabe-se que 6 % dos homens são daltônicos e 0.7.50 e P(AB)=0. 25 – Para que valor de p. Considere as informações a seguir para responder as questões 28 e 29: São dadas duas urnas A e B. Considere as informações a seguir para responder as questões 18 e 19: Numa pesquisa realizada com 100 famílias. P(B)=0. c Considere as informações a seguir para responder as questões 25 e 26: Sejam A e B dois eventos associados a um experimento.5 18 2. Calcule as seguintes probabilidades: 20 P( A B ) 21 P( A B ) 22 P( A B) 23 P( A B) 24 – Sejam A e B dois eventos independentes associados a um experimento aleatório.8 16 3. Se P(AB)=0. Uma bola é então extraída ao acaso da urna B. o numero de homens é igual ao numero de mulheres.9 21 5. Suponha PA = 0.4 . 21.01 e P(AB )=1/600. é iniciado. com distribuição de Poisson.2 0.a. para que em pelo menos 95% dos dias a demanda seja atendida? 40 – Qual o número esperado de petroleiros a chegarem por dia? 41 – O número de partículas emitidas por uma fonte radioativa durante um período especificado é uma v. Determinado cálculo. X2. sem falhas (admita que a máquina se torne inoperante somente se 3 ou mais transistores falharem). qual é a probabilidade de se ter de mandar petroleiros para outro porto? 39 – Quantos navios deverão atender por dia.2.2 . 43 e 44: Uma pequena cirurgia dentária pode ser realizada por três métodos diferentes cujos tempos de recuperação (em dias) são modelados pelas variáveis X1. em qualquer período de uma hora. que tenha uma distribuição de Poisson com parâmetro 0. X3.29 – Qual a probabilidade de que a primeira bola seja vermelha. As probabilidades de um circuito produzido por essas fábricas não funcionarem são 0. qual a probabilidade do mesmo não funcionar? 34 – Dado que o circuito não funciona. Se dez itens produzidos por essa máquina são selecionados ao acaso. pode ser considerado como uma v. Admita que suas funções de probabilidades sejam dadas por: X1 P(X1=xi) 0 0.1 (Isto é. em média. 38 – Em um dia. 39 e 40: O número de navios petroleiros (N) que chegam a uma determinada refinaria a cada dia tem distribuição de Poisson com λ = 2.03. II e III). As atuais instalações podem atender a três petroleiros por dia. qual é a probabilidade de que 2 ou mais emissões ocorram? Considere as informações a seguir para responder as questões 42.2 10 0.2 4 0. exceto que a máquina se torna inoperante se 2 ou mais transistores falharem. 0. Se mais de três petroleiros aportarem por dia. sabendo-se que a Segunda foi preta? 30 – Três alarmes estão dispostos de tal maneira que qualquer um deles funcionará independentemente quando qualquer coisa indesejável ocorrer. A fábrica I produz 40% dos circuitos enquanto a II e III produzem 30% cada uma. 36 – Determinar a probabilidade de que o cálculo acima seja completado com êxito. haverá uma falha de transistor a cada 10 horas). Se a probabilidade de não haver emissões for igual a 1/3. que requer 20 horas de tempo de cálculo. 33 – Escolhido um circuito da produção conjunta das três fábricas. Se cada alarme tem probabilidade 0. Use a distribuição binomial e a distribuição de Poisson e compare os resultados. Considere as informações a seguir para responder as questões 38. Considere as informações a seguir para responder as questões 36 e 37: Verificou-se que o número de falhas de um transistor em um computador eletrônico.2 5 6 0.9 de trabalhar eficientemente. respectivamente. qual a probabilidade de que ele venha da fábrica I? 35 – Suponha que a probabilidade de que um item produzido por uma máquina seja defeituoso é de 0. os excedentes a três deverão seguir para outro porto.04 e 0.01. qual é a probabilidade de que não mais do que um defeito seja encontrado. qual é a probabilidade de se ouvir o alarme quando necessário? Considere as informações a seguir para responder as questões 31 e 32: Uma companhia produz circuitos em 3 fábricas (I.a. 37 – O mesmo que em (a). 4 9 1/3 6 0. com probabilidade de 1/3 ou 2/3.3 42 – Calcule a E(X1). um ou dois clientes. qual a probabilidade do problema ser resolvido? Considere as informações a seguir para responder as questões 49 e 50: Um dado é viciado. e a probabilidade de que B o resolva é de ¾. 54 – calcule a variância da v. sabendo-se que saiu um número maior que 3. necessário para um operário processar certa peça é uma v. Se a bola é recolocada na urna. Indicando por Y o valor total de vendas diárias desse vendedor. 43 – Calcule a Var(X1). Dê um espaço amostral para o experimento. Se a gaveta contém uma moeda de ouro. num dia. Y. Var(X3). o ponto 6 é três vezes mais provável de sair do que o ponto 2). Retira-se uma bola ao acaso da urna. E(X2). O primeiro tem uma moeda de ouro em cada gaveta. ao passo que a urna II contém três bolas pretas e três bolas brancas. ela é devolvida à urna e retirase outra. Se for branca. lança-se uma moeda.a.000. 52 – escreva a função de probabilidade de Y.X2 P(X2=xi) X3 P(X3=xi) 1 1/3 4 0.00 (com probabilidade 1/10) ou nenhuma venda (com probabilidade 9/10). cada um com duas gavetas. 45 – A urna I contém 2 bolas pretas e três brancas. sabendo-se que o ponto que saiu é ímpar. E(X3). pode resultar a venda de um equipamento por R$ 50. Calcular: 49 – a probabilidade de sair 5. Considere as informações a seguir para responder as questões 55 e 56: O tempo T. Escolhe-se um cofre ao acaso e abre-se uma gaveta. . qual a probabilidade de que a outra gaveta contenha também uma moeda de ouro? Justifique. o segundo tem uma moeda de ouro em uma gaveta e uma moeda de prata em outra. Var(X2). Se ambos tentarem independentemente.3 5 1/3 5 0. respectivamente. De cada contato. 53 e 54: Um vendedor de equipamento pesado pode visitar. qual é a probabilidade de se retirar novamente uma bola branca da mesma urna? 46 – Uma urna contém duas bolas brancas (B) e três bolas vermelhas (V).a. e o terceiro cofre tem uma moeda de prata em cada gaveta. se for vermelha. 50 – a probabilidade de tirar um número par. 51 – Suponha que existam três cofres. 44 – Qual método você considera o mais eficiente? Justifique. Escolhemos uma urna ao acaso e dela extraímos uma bola que tem cor branca. 53 – calcule o valor total esperado de vendas diárias. Considere as informações a seguir para responder as questões 52. em minutos. 47 – Dentre seis números positivos e oito negativos. dois números são escolhidos ao acaso (sem reposição) e multiplicados. de tal forma que a probabilidade de sair um certo ponto é proporcional ao seu valor (por exemplo. Qual a probabilidade de que o produto seja positivo? 48 – A probabilidade de que A resolva um problema é de 2/3. com a seguinte distribuição de probabilidade. 0 mil milhas por ano? 61 – Quanto dos 1000 caminhões da frota espera-se que percorram entre 30. em períodos de seca numa certa região.2 6 0.0 mil milhas e um desvio padrão de 12. 56 – Para cada peça processada. Por exemplo. um ou dois defeituosos. percorra entre 34. 58 – Que proporção desses caminhões espera-se que percorra entre 34. 63 – Qual seria o valor da precipitação pluviométrica de modo que exista apenas 10% de probabilidade de haver uma precipitação inferior a esse valor? 64 – Construa um intervalo central em torno da média que contenha 80% dos possíveis valores de precipitação pluviométrica. Normalmente. 57 – Determinado tipo de parafuso é vendido em caixas de 1. Encontre a distribuição. Qual alternativa é a mais vantajosa para o fabricante? Considere as informações a seguir para responder as questões 58. ele paga R$ 20. a distância percorrida por caminhão se distribui de modo normal com uma média aritmética de 50. a média e a variância da v. três ou mais defeituosos. Y: quantia em R$ ganha por peça. 64 e 65: Estudos meteorológicos indicam que a precipitação pluviométrica mensal.00.1 4 0. 65 – Admitindo esse modelo correto para os próximos 50 meses. em termos anuais. A distribuição do peso dos produtos é normal com média µ e desvio padrão 10g.a. 59. 62 e63: Uma Companhia de Transportes determinou que. o operário ganha um fixo de R$ 2.1 55 – Calcule o tempo médio de processamento. 60.0 mil milhas.1 3 0. ele paga R$ 10. mas.0 mil milhas por ano? 59 – Qual é a probabilidade de que um caminhão. É uma característica da fabricação produzir 10% com defeito. se ele processa a peça em menos de seis minutos.0 ou acima de 60.0 mil milhas por ano? 60 – Que percentagem de caminhões pode-se esperar que percorra ou abaixo de 30.0 mil milhas por ano? 62 – Quantas milhas podem ser percorridas por pelo menos 80% dos caminhões? Considere as informações a seguir para responder as questões 63.0 e 38. se a caixa não tiver parafusos defeituosos. qual a probabilidade de que o peso total de 5 pacotes escolhidos ao acaso seja inferior a 2.00. pode ser considerada como seguindo a distribuição Normal de média 30mm e variância 16mm2.2 7 0. em quantos deles esperaríamos uma precipitação pluviométrica superior a 34mm? Considere as informações a seguir para responder as questões 66 e 67: Um determinado produto é empacotado automaticamente por uma máquina. cada caixa é vendida por R$ 13.t p(t) 2 0.3 5 0.00.0 e 50. 66 – Em quanto deve ser regulado o peso médio µ para que apenas 15% dos pacotes tenham menos de 500g? 67 – Com a máquina assim regulada.50. ele escolhe uma amostra de 20 peças.5kg? . ganha R$ 0.50 em cada minuto poupado.00. Um comprador faz a seguinte proposta: de cada caixa. escolhido aleatoriamente. ele para R$ 8.0 e 60. 61.00. recebe a quantia adicional de R$ 1.000 peças. se ele processa a peça em quatro minutos. 95. Qual a probabilidade de que T ultrapasse 350 horas ? 76 – O gerente de controle de qualidade de uma fábrica de lâmpadas de filamento precisa calcular a vida útil média de uma grande remessa de lâmpadas. são empregados da seguinte maneira. relativa a contas de energia elétrica. Suponha que em média Di dure 10 horas. Experiências do passado. 30. Se o gerente quiser calcular a vida útil média. Vi i=1. indicam que 30% dos clientes comprariam o guia de programação..95. Qual a probabilidade de 7 passageiros ultrapassarem esses limites? 69 – A confiabilidade de um mecanismo eletrônico é a probabilidade de que ele funcione sob as condições para as quais foi planejado. . Seja T o tempo total de 30 dispositivos.2. Qual a probabilidade de que a voltagem total exceda 160 volts quando n=30? 72 – Em uma central telefônica. Di i=1. Qual será a probabilidade de que no máximo.2. Sabe-se que o desvio padrão do processo é de 100 horas. com 99% de confiança. em uma margem de ±0.... Uma amostra de 1000 desses itens é escolhida ao acaso e os itens são testados. qual será a confiabilidade do sistema ? 71 – Suponha que temos algumas voltagens de ruído independentes. para domicílios unifamiliares em uma grande cidade.10].. para o mês de julho. quando D3 falhar. que tamanho de amostra é necessário? Considere as informações a seguir para responder as questões 77 e 78: Um grupo de consumidores gostaria de calcular a quantia média. 5 por cento sejam defeituosos... as quais são recebidas num “somador”. com 95% de confiança. e se o sistema funcionar adequadamente quando ao menos 80 componentes funcionarem. Seja V a soma das voltagens recebidas e suponha que cada variável aleatória Vi seja uniformemente distribuída sobre o intervalo [0. as chamadas chegam com uma taxa de 3 por minuto.05 da população real.68 – A capacidade máxima de um elevador é de 450kg.. cada um dos quais tem confiabilidade igual a 0. 77 – Que tamanho de amostra é necessário? 78 – Se se deseja um nível de confiança de 95%. Se a distribuição dos pesos dos usuários é média igual a 60kg e variância 64kg2. D2 entra em operação. D4entrará em operação etc.. sabendo-se que a confiabilidade de cada item é 0. em outras áreas. Com base em estudos conduzidos em outras cidades. se 73 – n=20? 74 – n=600? 75 – Trinta dispositivos eletrônicos. 70 – Um componente eletrônico é formado por 100 componentes menores. Qual probabilidade de que cheguem 100 chamadas ou menos em um período de 30 minutos ? Considere as informações a seguir para responder as questões 73 e 74: Uma amostra de tamanho n é obtida de uma grande coleção de parafusos. A empresa gostaria de ter 95% de confiança de que sua estimativa esteja correta. que tamanho de amostra é necessário? 79 – Uma empresa de televisão a cabo gostaria de calcular a proporção de clientes que comprariam um guia de programação de tevê a cabo. O grupo gostaria de calcular a conta média para o mês de julho. 3 por cento dos quais são defeituosos. Tão logo D1 falhe. Uma amostra aleatória de 50 lâmpadas indicou uma vida útil média da amostra de 350 horas. supõe-se que o desvio padrão seja igual a $25.n. numa margem de erro entre ± 20 horas.. Calcule a probabilidade de se obter pelo menos 30 itens defeituosos. Se esses componentes funcionarem independentemente um do outro. numa margem de ± $5 da média verdadeira. e a esteira de abastecimento é paralisada se existirem evidências de que a . 86 – Em uma amostra de tamanho 10. obtiveram-se os valores 50 para a média amostral e 100 para a variância amostral. Para um coeficiente de confiança de 99%. de 80% para a média de uma v. o nível de gás nocivo (em volume). 87 – Qual seria o intervalo acima se a variância da população fosse 100? 88 – suponha agora que temos uma amostra 10 vezes maior do que a anterior. 29. 30.. Admita que o tempo de reação tenha distribuição Normal...16 foi coletada e forneceu uma média amostral de 8. 12. quais seriam os limites de confiança? Considere as informações a seguir para responder as questões 86 . 3. de 95% para ? 89 – Passados dez minutos depois do encerramento das urnas. determine um I. A máquina que despeja temperos está funcionando adequadamente quando são despejadas 8 onças (1 onça = 28. 81 – Será coletada uma amostra de uma população Normal com desvio padrão igual a 9.a. 7. 84 – Suponha que a variância 2 é igual a 6. que nos fornece os seguintes resultados: média = 48 e variância = 90. 14. com base em uma amostra de 8 elementos.Que tamanho de amostra é necessário? 80 – Uma amostra de 25 observações de uma Normal .. obtendo-se os valores x1. 28. 32. Determine um I. 93. cujos valores são dados abaixo: 9. 83 – Qual deve ser o coeficiente de confiança a utilizar para que a amplitude do intervalo seja 2.C.25. 480 destes eleitores dizem que votaram no candidato “A”. 87 e 88: Na atmosfera. de 95% para o nível médio de gás nocivo na atmosfera. determine a amplitude do intervalo de confiança para a média populacional nos casos em que o tamanho da amostra é 30. normal com variância 4. x2. uma empresa de sondagem de opinião faz as primeiras previsões baseada em uma amostra de 1000 eleitores.77? Considere as informações a seguir para responder as questões 84 e 85: Uma experiência conduzida para medir o tempo de reação de um indivíduo a certo estímulo proporcionou os seguintes tempos de reação (expressos em centésimos de segundo): 28. Construa intervalos de confiança de 80%.C. Comente sobre as diferenças encontradas. segue uma distribuição Normal com média e variância desconhecidas. Efetuam-se n análises.xn. Determine um I.15 onças. Qual seria o I. 10.3495g). 11 e 12. O desvio padrão do processo é 0. Considere as informações a seguir para responder as questões 82 e 83: 82 – Determine um I.C. 50 e 100. 94 e 95: Um fabricante de temperos para saladas utiliza máquinas para despejar ingredientes líquidos em garrafas que se movem ao longo de uma esteira de abastecimento. Comente sobre as diferenças. 85%. 90% e 95% para a média populacional.C. 33. Uma amostra de 50 garrafas é selecionada periodicamente. de 99% para o verdadeiro tempo médio de reação.C. de 99% para a proporção de pessoas que votaram no candidato acima. 85 – No caso da variância do universo 2 ser desconhecida. Considere as informações a seguir para responder as questões 92. 6 9.20 pés (conforme determinado por meio de especificações de engenharia no equipamento de produção envolvido). Uma amostra de 25 barras é selecionada da linha de produção.5 8.1 9.05.6 9.9 9. As barras de aço mais longas podem ser utilizadas ou alteradas. as barras mais curtas devem ser descartadas.3 9.40.2 9.0 em vez de 10. Suponha que a quantidade média despejada em uma determinada amostra de 50 garrafas seja 7.4 8.9 8.05.0 9.3 9.8 9. Uma amostra aleatória de 36 desses aparelhos é selecionada e testada por um espaço de tempo fixo e suas potências são registradas da seguinte maneira (arquivo anexo): 8.65.4 8. que decisões ela irá tomar? 96 – Calcule o pvalor e interprete o seu significado. Considere as informações a seguir para responder as questões 99. Um auditor seleciona uma amostra aleatória de 100 contas e descobre que a média devida é de $83.0 97 – Utilizando um nível de significância de 0. 100. há evidências de que a potência média seja diferente de 9.3 8.0 9.05 onças? 93 – Qual seria a resposta em (123) se a média aritmética da amostra fosse 7.2 9. 94 – Indique as hipóteses nula e alternativa 95 – Se a companhia deseja testar a hipótese.1 9.0? Considere as informações a seguir para responder as questões 103.1 9.0? 98 – Que pressupostos estão sendo considerados no sentido de realizar o teste? 99 – Encontre o pvalor e interprete o seu significado 100 – Quais seriam suas respostas em (130) e (132) se o último valor dos dados fosse 8.983 onças.9 9.8 9. 97 e 98: Uma empresa produz barras de aço.9 9.4 9. com um desvio padrão de 0. em um nível de significância de 0. são produzidas barras de aço de comprimento médio de pelo menos 2.5 9. acima de 7000 Btu).5 10.) 91 – Calcule o pvalor em a) e interprete o seu significado 92 – Qual seria a sua resposta em (123) se o desvio padrão fosse 0. 101 e 102: Um grupo de defesa do consumidor gostaria de avaliar a potência média de aparelhos de arcondicionado de alta capacidade. 104.7 9.73 pés.8 pés (1 pé = 30. A companhia deseja determinar se o equipamento de produção necessita de algum ajuste.1 8.3 9. .3 9.796g)? Utilize um nível de significância de 0.952 onças? Considere as informações a seguir para responder as questões 96. A amostra indica um comprimento médio de 2.4 9.5 9. 90 – Há evidências de que a quantidade média da população seja diferente de 8 onças (226.05.3 8. Se o processo de produção estiver operando adequadamente.8 9. 105 e 106: O gerente de um departamento de crédito de uma companhia de petróleo gostaria de determinar se a dívida mensal média de possuidores de cartões de crédito é igual a $75. com um desvio padrão da amostra de $23.6 9.quantidade média despejada é diferente de 8 onças.7 8. instalados em janelas (isto é.2 9.479cm). 26. 28 de janeiro de 1988. C. Ao final do período de 1 ano. 120. 103 – Qual seria sua resposta para (a) se o desvio padrão fosse $37. uma pílula que. que tomaram um placebo (isto é. The New England Journal of Medicine. 121 e 122: Um estudo a respeito da eficácia da aspirina na redução de ataques cardíacos foi iniciado em 1982 e concluído em 1987 (veja “Findings from the Aspirin Component of Ongoing Physician’s Health Study”. 107 – Qual seria a sua resposta para (a) se 22 dos indivíduos não estivessem mais empregados? Considere as informações a seguir para responder as questões 119.25? 106 – Calcule o p-valor e interprete o seu significado.101 – Utilizando o nível de significância de 0. 104 sofreram ataque cardíaco durante o período de 5 anos do estudo. não contém qualquer ingrediente ativo).05.034 médicos do sexo masculino. De 11. 318. vol. Hennekens et al.81? Considere as informações a seguir para responder as questões 107. o auditor deveria concluir que há evidências de que a dívida média seja diferente de $75? 102 – Encontre o p-valor e interprete o seu significado. há evidências de que a proporção que sofre ataque cardíaco seja inferior entre os médicos do sexo masculino que tomaram um comprimido de aspirina de 325mg em dias alternados do que entre aqueles que tomaram o placebo? 109 – Calcule o pvalor em a). 29 desses 150 indivíduos não estão mais empregados. 108 e 109: O diretor de pessoal de uma grande companhia de seguros está interessado em reduzir a taxa de rotatividade de funcionários no setor de processamento de dados no primeiro ano de emprego. há evidências de que a proporção de funcionários de processamento de dados que tenham passado pelo novo treinamento e não estejam mais empregados seja menor do que 0. Registros do passado indicam que 25% dos novos contratados nesta área não estão mais empregados ao final de 1 ano. dos Estados Unidos. nos Estados Unidos. 189 sofreram ataque cardíaco durante o período de 5 anos do estudo. p. . 262-264). que tomaram um comprimido de aspirina de 325mg em dias alternados. sem que os participantes do estudo saibam.037 médicos do sexo masculino.01. Novos e extensos métodos de treinamento são implementados para uma amostra de 150 novos funcionários do processamento de dados..01. Isso leva você a crer que tomar um comprimido de aspirina de 325 mg em dias alternados tenha sido uma medida eficaz na redução da incidência de ataques cardíacos? Explique. 105 – No nível de significância de 0. 108 – No nível de significância de 0. De 11. 104 – Qual seria sua resposta para (a) se a média aritmética da amostra fosse $78. . 406 38 – R: 0. c) 13.4285714.013884. pois possui a menor variância. 6 – R: 0.90 21 . b) 58. b) 56.3 42 –R: E(X1)=E(X2)=E(X3)=5 43 –R: V(X1)=10.659257 15 – R: 34.16803683. b) 10.957938 7 – R: 28. c) 55 Corretora B: a) 55.Métodos Quantitativos – 2011 – Respostas da Lista de exercícios 1 – R: Corretora A: a) 55.91830065.40 23 .VB. BR.236732793. 5 – R: t = 0. DP: 4.4.16.025 34 –R: 0.30 22 . 17 – R: amplitude: 13.6766 37 – R: 0.15% 11 – R: 18.94990476.54056248 4 – R: Um valor de F próximo a 1. 45 –R: 0.14286 14 – R: DP: 1.38 Poisson: 0.282271477 Corretora B: -0. V(X3)=0. variância: 17.92 .R: 0.0571429.72% 3 – R: Corretora A: 0.143 39 – R: 5 40 – R: 2 41 –R: 0.R: 0.6 44 –R: O método 3. c) 5.1.406 36 – R: 0.3 26 – R: 0.5 27 – R: 0. 13 – R: media: 13.78% a) 11.305 46 – R: { BC . Interfere.21585 8 – R: 1.47 48 – R: 0.473521. CV: 54. V(X2)=10.46667 mediana: 13.16 35 –R: Binomial: 0. Interfere. As : 0.R: 0.999 33 –R: 0.80 24 –R: 6/7 25 – R: 0.48% 18 – R: 2 19 – R: 2 20 . CV: 10. Os desempenhos são semelhantes.VV } 47 – R: 0.7. b) 55. c) 55 2 –R: a) 32.72222222.94%.R: 0.27% 9 – R: 42% 10 – R: 24.04 28 – R: 7/12 29 – R: 6/7 30 – R: 0.30% 12 – R: 20.75% 16 – R: 25. 067444034 60 –R: 0. 35.33 54 – R: 380555611 55 – R: 4.8056 73 – n=20? R: 0.264 72 –R: 0.2 3.848.87379 64 – R: (24.6 56 – G P(G=g) 2.36 67 – R: 0.75 Var (G) 0.3 3.0 0.250118733 61 – R: 750 62 – R: 39.1 E (G) 2.3 2.976.078 69 – R: 0.0 0.50 58 – R: 0.125 IC90% [ ] 6.56 50 – R: 0.12621) 65 –R: 8 66 – R: 510.9.49 – R: 0.688.0 0.5 0.87379 .40878878 59 –R: 0.181 76 –R: 97 77 –R: 167 78 –R: 97 79 –R: 323 80 – R: Quanto maior o nível de confiança.024 IC85% [ ] 6. IC80% [ ] 6.1 4.9.9 mil milhas 63 – R: 24. maior a amplitude do IC100(1 )% [ ] .4125 57 – R: Vender suas caixas por R$13.5 0.01 68 –R: 0. quando mantemos fixo o tamanho da amostra.67 51 – R: 2/3 52 – Y P(Y=y) 0 50000 100000 126 150 23 150 1 150 53 – R: 8333.9986 70 –R: ≈ 1 71 –R: 0.9.312 .8802 74 – n=600? R: 0.9982 75 –R: 0. 33.4045 1.2631 1.2.96 z obs RA Não rejeitar H 0 .10.1.846.2.84.6551 83 –R: 2 x Z 2 2 2. Há evidências estatísticas de que a média da quantidade despejada seja diferente de 8 onças.96 z obs RC Rejeitar H 0 .023652 < 0.801.432. Para n = 30 A 8.56. Há evidências estatísticas de que a média da quantidade despejada seja diferente de 8 onças.198 89 – R: [0.IC95% [ ] 6.05 94 – .44 .57. para α fixo.77 2 x Z 2.568 81 – R: Quanto maior o tamanho da amostra.64 82 – R: IC80% [ ] 8. 91 – R: p-valor = 0. 0.153 87 – R: IC95% [ ] 43.632 85 – R: IC99% [ ] 26.0. p-valor = 0.96 z obs RC Rejeitar H 0 . menor é a amplitude do IC99% [ ] .9.05 93 – R : z obs .96 z obs .8015 1.4529 86 – R: IC95% [ ] 42.77 Z 1.1406.4788 Para n = 50 A 6. p-valor = 0.52] 88 – R: IC95% [ ] 46.6 Para n = 100 A 4.49.422907242 92 – R : z obs .5470.01621 < 0.32. ou seja.8594 90 – R: .96 n 2 2 8 84 – R: IC99% [ ] 27. Não existem evidências de que a média da quantidade despejada seja diferente de 8 onças. há um aumento na precisão da estimativa.37. 8 H1: μ < 2. 101 – Utilizando o nível de significância de 0. 97 –R: t = 3. o auditor deveria concluir que há evidências de que a dívida média seja diferente de $75? R : t obs 3. Existem evidências estatísticas de que a dívida média seja diferente de 75. p-valor = 0.8 e podemos.T( 3.0022.029.000587668 < 0.32634787 z obs .110364958 > 0. 99 – R: o p-valor é igual a 0. Existem evidências de que a potência média seja diferente de 9. 105 – No nível de significância de 0.01.8 95 – R z obs .0. p-valor = 0. . 106 – R: p-valor = 0.55179704 )] = 0.254428341 1.2. 103 – R : t obs 2. Rejeitar H0.1.75 .0301. 104 – R : .1.25? R : . Existem evidências estatísticas de que a dívida média seja diferente de 75. há evidências de que a proporção de funcionários de processamento de dados que tenham passado pelo novo treinamento e não estejam mais empregados seja menor do que 0. Não rejeitar H0. 100 –R: t = 2. A média é significat ivamente menor que 2.054492128 > 0. Não existem evidências estatísticas de que a dívida média seja diferente de 75.98421731 t obs RC Rejeitar H 0 . 96 – R: p-valor = Φ(-1. Rejeitar H0.98421731 tobs RC Rejeitar H 0 . Rejeitar H0. Não existem evidências estatísticas de que a proporção seja menor do que 0.05. portanto.05.30 > t35 = 2.05.H0: μ ≥ 2.concluir que existem evidências estatísticas de que o processo não esteja operando de modo apropriado.05. Não rejeitar H0.1.98421731 t obs 1.60277537 z obs RA Não rejeitar H 0 .75) = 0. 98 – R: Os dados estão distribuídos de maneira aproximadamente normal.55179704 t99 1.0301 p-valor = 0. 102 – R: p-valor = 2*[1.25.1.040059157 < 0.05.64485 z obs RC Rejeitar H 0 .026372601< 0. Rejeitar H0.610993658 1.01.275 > t35 = 2.98421731 t obs RA Não rejeitar H 0 . Rejeitar H0. Existe muito pouca possibilidade de que esses resultados poderiam ter ocorrido caso a aspirina não reduzisse a incidência de ataques do coração. .107 – R : . Rejeitar H0. 108 – R: Z = -5.33. Existem evidências de que a proporção de médicos homens que tiveram ataque do coração é menor para aqueles que tomaram aspirina do que para aqueles que não tomaram aspirina. Existem evidências estatísticas de que a proporçãoseja menor do que 0.00 < -2.00000029.2. 109 – R: pvalor = 0.2.25.92270803 z obs RC Rejeitar H 0 .32634787 z obs .