2ª Série: ______ No _____Nome Professora: ________________ Disciplina: Matemática ____________ Data LISTA DE EXERCÍCIOS 1. (Unifesp 2002) Considere a matriz mostrada na figura adiante, onde x varia no conjunto dos números reais. Calcule: a) o determinante da matriz A; b) o valor máximo e o valor mínimo deste determinante. 2. (Ufrrj 2001) Dada a matriz A = (aij)2x2, tal que aij = 2, se i < j aij = 3i + j, se i ≥ j, encontre o DETERMINANTE da matriz At. 3. (Uerj 2001) Os números 204, 782 e 255 são divisíveis por 17. Considere o determinante de ordem 3 a seguir: Demonstre que esse determinante é divisível por 17. 4. (Ufsc 2003) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01) O número de elementos de uma matriz quadrada de ordem 12 é 48. 02) Somente podemos multiplicar matrizes de mesma ordem. 04) A soma das raízes da equação x x x 4 x x 0é 4 4 x 8. 08) Uma matriz quadrada pode ter diversas matrizes inversas. 3x 2y 0 16) O sistema x y 0 é indeterminado. Material produzido em papel ecológico feito a partir do bagaço da cana-de-açúcar. b) Encontre os valores de a para os quais a equação p(x) = 0 tenha uma única raiz real.5. Para esse grupo. 7. encontre todas as raízes da equação p(x) = 0. (Ufrrj 2004) Resolvendo a equação encontramos 3 raízes reais. em função da idade x da criança. num bairro de determinada cidade. b) a matriz inversa da matriz (B .A). sabendo que a soma de duas dessas raízes é igual a 4. 8.A). concluiu-se que o peso médio p(x). onde 2 . Determine-as. (Unicamp 2003) Seja a um número real e seja: a) Para a = 1. (Ufscar 2003) Sejam as matrizes Calcule: a) o determinante da matriz (B . 6. (Unesp 2005) Foi realizada uma pesquisa. com um grupo de 500 crianças de 3 a 12 anos de idade. em quilogramas. era dado pelo determinante da matriz A. 2 e 3. analise as afirmações seguintes. (Ufpe 2005) Um grupo de alunos dos cursos 1. 2 10. b) a idade mais provável de uma criança cujo peso é 30 kg.para i = j. A matriz abaixo representa o resultado obtido após as transferências: 8 132 7 12 115 13 14 15 119 .para i ≠ j. 2 e 3 solicita transferência para outro curso. (Ufpr 2010) Considere a função f definida pela expressão cos(2x) senx 0 1 f(x) det cos x 0 2 1 0 2 a) Calcule f(0) e f = . (Ufal 2006) A matriz A-1 é a inversa da matriz Se o determinante de A-1 é igual a - 1 . 3 . encontra-se o número de estudantes do curso i que permaneceram no curso i. calcule o determinante da matriz A + A-1. na interseção da linha i com a coluna j. .Com base na fórmula p(x) = det A. escolhido entre os mesmos 1. 9. determine: a) o peso médio de uma criança de 5 anos. Admitindo que cada aluno pode se matricular em apenas um curso. na interseção da linha i com a coluna j. encontra-se o número de estudantes do curso i que se transferiram para o curso j. 4 b) Para quais valores de x se tem f(x) = 0? 11. ( ) Antes das transferências. existiam 147 alunos no curso 1. Suas vendas são controladas por meio de uma matriz.de acordo com as informações acima. ao final de um determinado dia de feira. ( ) O total de alunos transferidos é 69. são propriedade de uma mesma empresa. na qual cada elemento b ij representa a soma dos valores arrecadados pelas barracas Bi e Bj. ( ) O total de alunos nos cursos 1. B1. existem 137 alunos no curso 2. (Uerj 2006) Três barracas de frutas. ( ) Após as transferências. ( ) Foram transferidos 26 alunos para o curso 3. 14. (Ita 2006) Sejam as matrizes Determine o elemento c34 da matriz C = (A + B)-1. em milhares de reais. (Ufc 2006) As matrizes A e B são quadradas de ordem 4 e tais que Determine a matriz BA. 12. 13. 2 e 3 é de 363 alunos. B2 e B3. 4 . I.Calcule. b) Sabendo-se que A cumpre a propriedade A3 . . 2.3 . é possível formar a matriz quadrada A cujos elementos a ij representam o número de medalhas do tipo j que o país i ganhou. (Ufc 2008) A matriz quadrada A de ordem 3 é tal que 2 1 1 A 2 1 2 1 1 1 2 a) Calcule A2 . o número de pontos totais obtidos pelos três países separadamente. são atribuídos às medalhas os seguintes valores: . determine a matriz inversa de A. sendo i e j pertencentes ao conjunto {1. 15. A = 2 . b) arrecadado em conjunto pelas três barracas. Com base na tabela. (Uerj 2008) Observe parte da tabela do quadro de medalhas dos Jogos Pan-americanos do Rio de Janeiro em 2007(tabela I). . 16. Para fazer outra classificação desses países. para esse dia. em que I é a matriz identidade de ordem 3. Esses valores compõem a matriz 3 V 2 1 .bronze: 1 ponto. I. em reais: a) arrecadado a mais pela barraca B3 em relação à barraca B2. 5 .3 . Tabela I – Quadro de medalhas Jogos Pan-americanos RJ 2007 Determine a partir do cálculo do produto A.prata: 2 pontos. o valor. 3}.ouro: 3 pontos.V. ( ) Podem existir dois tipos de moedas distintas em quantidades iguais. num total de 32 unidades e totalizando a quantia de R$ 3. A matriz A (fig. com ajuda dos fertilizantes X. 10 e 25 centavos. soja e feijão foram plantados nas regiões P e Q. o elemento da segunda linha e terceira coluna da matriz C. A matriz B (fig. por hectare. se i j 19. ( ) Uma equação matricial que permite determinar x. em hectares. o número de moedas de 5 centavos excede o de 10 centavos em 10 unidades.9 32 ( ) Há exatamente 7 possibilidades de obter-se o total de R$ 3. por região. Nesse caso. em kg. 6 . y moedas de 10 centavos e z moedas de 25 centavos. 1) indica a área plantada de cada cultura. 18. Use essas informações para afirmar se as sentenças seguintes são falsas ou verdadeiras.40. (Ufmg 2007) Milho. (Ufal 2006) Uma pessoa tem apenas x moedas de 5 centavos. b) Explique o significado de c23. o problema não admitiria solução.17. ( ) Considere que os números de moedas de 5 e de 10 centavos somam 22 unidades e totalizam a quantia de R$1. ( ) Se o número de moedas de 10 centavos fosse 4. Y e Z. em que os elementos de A são definidos por sen i j π.90. em cada cultura.90 dispondo-se apenas de moedas de 5. se i j aij = cos j i π. 2) indica a massa usada de cada fertilizante. a) Calcule a matriz C = AB. (Ufrrj 2006) Determine a inversa da matriz A = (aij)2x2. y e z é 1 2 5 1 1 1 x g y z 3. 7 Resposta da questão 8: a) 18 kg b) 11 anos Resposta da questão 9: det (A + A1) = 1 Resposta da questão 10: Calculando o determinante. cos x + 8 b) valor máximo = 8.B) = cos2x 16) det B 0. Gabarito: Resposta da questão 1: a) det A = sen x . 1 .B é transposta de B. 2 + 7 e 2 .cosx f(x) = cos2x – sen2x a) f(0) = cos(2. 8 é divisível por 17 Resposta da questão 4: 04 Resposta da questão 5: a) 3.5 Resposta da questão 2: det (At) = 18 Resposta da questão 3: det = 80 + 140 . 04) B – A = – B 08) det ( A.64 .0) = 1 7 sen x 1 . 02) A matriz A.5 valor mínimo = 7. 1 + 2i b) {a IR | 3 a 5} Resposta da questão 6: a) 50 b) Resposta da questão 7: 2. para todo x R.20 det = 136 det = 17 .2i. .senx. assinale o que for correto. (Uepg 2010) Dadas as matrizes A 0 1 e B sen x π 01) Se x = então det B = 0. temos: f(x) = cos2x – 2. 1 0 1 20.0) – sen(2. B = I 9 AB = 9 . I. temos: 1 . BA = B . b) f cos 4 4 2. Resposta da questão 15: 1 1 1 2 1 1 1 0 0 1 2 1 3. B 1 = 9 .I a) 1 1 2 0 0 1 1 1 1 1 b) A 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 Resposta da questão 16: Estados Unidos: 519 Cuba: 288 Brasil: 309 Resposta da questão 17: FVVVV Resposta da questão 18: A matriz inversa é 8 . (B . portanto. B 1) = 9 . B . 0 1 0 1 1 1 2 A 3. A .A⇔ A= 9 . – sen 4 cos 2 sen 2 0 – 1 1 Resposta da questão 11: VVFVF Resposta da questão 12: Sendo I a matriz identidade de ordem 4. I ⇔ 1 . 9 Logo 1 1 . A e B são matrizes inversíveis.400 reais.200 reais. B1 = E. 9 Desse modo. b) 3. 9 . Resposta da questão 13: - 2 11 Resposta da questão 14: a) 1. 2. B = det( B ) 1 0 1 1.1 0. B – A = e –B = 0 1 senx senx (08) Verdadeiro. soja e feijão na região Q.B = e At = senx 0 .( 1 ) 1 1 senx senx 1 senx 0 1 senx (04) Falso.( senx) (02) Falso. det(A. 1 ( 1 ).Resposta da questão 19: a) b) c23 = 1700 significa que serão necessários 1700 kg do fertilizante Z para as culturas de milho. logo -1 + sen 2x é menor ou igual a zero para todo x) 9 .(1) 1 senx 1. A. senx ( 1 ).B) = 1 – sen2x = cos2x (16) Verdadeiro.( senx ) 0 . detB = . Resposta da questão 20: 08 + 16 = 2 1 0 (01) Falso.1 + sen2x ( o maior valor que o quadrado de um seno é um.senx 0.