LISTA DE EXERCíCIOS DE ESTATÍSTICA.pdf

1anpec associação nacional de centros de pós-graduação em economia EXERCÍCIOS DE ESTATÍSTICA 2 ÍNDICE NÚMEROS ÍNDICES...................................................................................3 PROBABILIDADE E DISTRIBUIÇÕES....................................................9 Probabilidade................................................................................................................ 9 Distribuições de Probabilidade................................................................................... 37 Teoremas de Probabilidade ........................................................................................ 49 INFERÊNCIA ESTATÍSTICA..................................................................52 ANÁLISE DE REGRESSÃO.....................................................................73 Regressão Simples....................................................................................................... 73 Regressão Múltipla ..................................................................................................... 84 Outras.......................................................................................................................... 95 SÉRIES DE TEMPO................................................................................102 TABELAS..................................................................................................105 GABARITOS.............................................................................................107 3 NÚMEROS ÍNDICES QUESTÃO 06 (ANPEC-1991): Considerando os diferentes índices existentes, pode-se afirmar que: (0) Dentre os índices de Laspeyres, Paasche, Fisher e Marshall-Edgeworth, o único que satisfaz a condição de reversão no tempo é o de Fisher. (1) O índice de Laspeyres superestima o índice de custo de vida verdadeiro. (2) O índice de Paasche subestima o índice do custo de vida verdadeiro. (3) Ao multiplicar um índice de preços de Fisher por um índice de quantidade de Marshall-Edgeworth obtém-se um índice simples de valor de vendas. QUESTÃO 12 (ANPEC-1992): Podem-se fazer as seguintes afirmações a respeito dos índices de Laspeyres (IL) e de Paasche (IP): (0) O IP é sempre inferior ao IL porque ele resulta de uma média harmônica e o IL de uma média aritmética. (1) No IL os pesos são fixos. (2) O custo de levantamento do índice de Paasche é maior que o do índice de Laspayres. (3) A multiplicação do IL de quantidade pelo IP de preço resulta no índice de valor. (4) O índice do Custo de Vida é sempre superestimado pelo IL e subestimado pelo IP. QUESTÃO 02 (ANPEC-1994): Com relação à construção de números-índices podemos afirmar que: (0) O índice de preços de Laspeyres é uma média aritmética ponderada de índices relativos, sendo os fatores de ponderação os valores dos bens considerados no período base. (1) O índice real de Fisher é a média harmônica dos números-índices de Laspeyres e de Paasche. (2) Deflator é qualquer índice de preços utilizados para equiparar, por redução, valores monetários de diversas épocas ao valor monetário de uma determinada época tomada como base. (3) Se a produção de certo produto em 1991 foi de 520.000 toneladas e em 1992 foi de 503.000 toneladas, podemos afirmar que ocorreu um decréscimo de 5% na produção entre esses dois anos. 4 QUESTÃO 08 (ANPEC-1995): O índice Nacional de Preços ao Consumidor (INPC) tem as seguintes características: (0) É calculado mensalmente pela Fundação Getúlio Vargas. (1) Resulta da média aritmética ponderada dos índices de preços ao consumidor, preços por atacado e preços da construção civil. (2) Abrange todas as capitais de estado brasileiras. (3) Mede perfeitamente a inflação do país. (4) É uma versão modificada do índice de preços de Laspeyres. QUESTÃO 11 (ANPEC-1996): Considere as informações sobre preços e quantidades consumidas por um conjunto de famílias em dois períodos sucessivos dadas na tabela a seguir: BEM PERÍODO 0 PERÍODO 1 Preço (em Reais) Quantidade (Kg) Preço (em Reais) Quantidade (Kg) Feijão 1,00 4 1,50 2 Açúcar 1,00 2 2,00 1 Carne 1,00 2 0,50 2 Podemos afirmar que: (0) A variação percentual do nível de preços pelo índice de Paasche foi de 20% e pelo índice de Laspeyres foi de 30%. (1) A variação percentual do nível de preços pelo índice de Laspeyres foi maior que a variação pelo índice de Paasche. (2) Ambas as variações percentuais foram inferiores a, no mínimo, 30%. (3) A variação percentual do nível de preços pelo índice de Laspeyres foi superior a 35%. (4) A variação percentual do nível de preços pelo índice de Laspeyres foi exatamente de 37,5% e pelo índice de Paasche foi superior a 25%. (5) A variação percentual do nível de preços pelo índice de Laspeyres foi exatamente de 37,5% e pelo índice de Paasche foi inferior a 25%. QUESTÃO 13 (ANPEC-1997): Supondo que os dados a seguir referem-se ao consumo básico de uma família de baixa renda, determine a inflação (ou a variação dos preços) ocorrida no período especificado para 5 o conjunto de itens do consumo básico, utilizando, para tanto, o método de Laspeyres. Coloque a resposta expressa em percentagem. Preço por unidade Itens Participação relativa no gasto em Jan/95 (%) Janeiro/95 Janeiro/96 feijão 11 0,75 0,90 arroz 8 0,50 0,80 farinha 10 0,45 0,63 óleo 6 0,75 1,05 pão 18 1,00 2,00 leite 6 0,45 0,63 café 7 4,50 6,75 açúcar 9 0,60 0,78 margarina 10 1,70 2,55 carne 15 1,80 2,16 Total 100 - - QUESTÃ0 12 (ANPEC-1998): Com base na equação da Renda Nacional (Y =C +I +X - M) e nos dados a seguir, calcule a Renda Nacional em 1996, a preços constantes de 1990. RENDA NACIONAL A PREÇOS CORRENTES (em milhões de unidades monetárias) COMPONENTES 1990 1996 Consumo ( C ) 15,0 20,0 Investimento ( I ) 5,0 8,4 Exportação ( X ) 2,0 3,0 Importação ( M ) 1,0 1,8 Renda Nacional ( Y ) 21,0 29,6 DEFLATORES (Base: 1990 = 100) ÍNDICES 1996 Custo de Vida 125 Investimento 105 Exportações 150 Importações 180 6 QUESTÃO 03 (ANPEC-1999): Com base na teoria dos Números Índices, pode-se afirmar que: (0) Os índices de Laspeyres de preços e de quantidades podem ser obtidos ponderando- se, respectivamente, os índices simples relativos de preços e de quantidades aos diferentes bens pelos valores no período base. (1) Em relação ao índice de Laspeyres e de Paasche, os de Fisher possuem duas vantagens: observam a propriedade de reversão no tempo, e o índice de preços vezes o de quantidade é igual ao índice de valor. (2) O índice de preços de Laspeyres é, em geral, maior do que o índice de preços de Paasche, pois para o primeiro, a ponderação é fixa na época base e para o segundo é variável na época atual. (3) Os índices de Fisher, definidos como a média geométrica dos índices de Laspeyres e de Paasche, são sempre maiores do que estes dois últimos. QUESTÃO 02 (ANPEC-2000): A tabela abaixo apresenta, para os anos de 1994 e 1999, dados hipotéticos sobre preços e quantidades vendidas de 6 diferentes produtos comercializados por certa companhia. Calcule a variação percentual dos preços dos produtos da companhia neste período, utilizando o índice de Paasche. 1994 1999 Tipo de produto Preço Quantidade Vendida Preço Quantidade Vendida A 5 80 20 100 B 7 100 6 1000 C 2 200 5 200 D 3 600 4 500 E 1 300 2 200 F 2 100 3 200 QUESTÃO 02 (ANPEC-2001): Em relação a índices de preços, é correto afirmar: (0) Os índices de Laspeyres e Paasche permitem comparar o custo de aquisição de uma cesta de mercadorias no período t, com o custo de aquisição dessa mesma cesta de mercadorias no período base. (1) O índice de Laspeyres subestima a variação do preço entre dois momentos enquanto o índice de Paasche superestima. 7 (2) O índice de Fischer é dado pela média harmônica dos índices de Laspeyres e Paasche e obedece ao critério da decomposição das causas. (3) Se o preço de determinado produto teve acréscimo de 16% e provocou crescimento do índice de custo de vida de 0,4%, então esse produto representa 2,5% das despesas da família típica objeto da pesquisa de orçamentos familiares. (4) Tomando o ano zero como base, foram observados os seguintes valores para o ano 1: índice do PIB nominal =120; índice de quantidade de Laspeyres =80. Pode-se então concluir que a taxa de inflação no período, medida pelo deflator implícito do PIB, foi de 50%. QUESTÃO 02 (ANPEC-2002): Em relação a índices e deflacionamento de preços é correto afirmar: (0) Os índices de preços de Laspeyres e de Paasche geram, em geral, resultados diferentes quando utilizados para avaliar a variação do nível dos preços de um conjunto de produtos, mas ambos atendem à condição de reversão no tempo. (1) Se um determinado índice de preços com ano base em 1992 assume os valores I95 = 300 e I96 =400 em 1995 e 1996, respectivamente, então um produto com preço corrente de R$ 10,00 em 1996, tem preço de R$ 7,50, em moeda de 1995. (2) Multiplicando-se um índice de preços de Laspeyres por um índice de quantidades de Laspeyres, obtém-se um índice relativo de valor das vendas (I(Vt|V0)). (3) Se os preços dos automóveis aumentam em 20% e isso se reflete em um aumento de 0,1% no ICV0-3SM (Índice de Custo de Vida de 0 a 3 salários mínimos) e em um aumento de 1,2% no ICV10-20SM, então o peso dos automóveis nas despesas dos famílias típicas com renda entre 10-20 SM é 12 vezes maior do que nas famílias típicas com renda entre 0 a 3 SM. (4) Para calcular o índice de preços de Paasche para uma série de anos requer-se menos informação do que para calcular o índice de Laspeyres. QUESTÃO 01 (ANPEC-2003): Com relação aos números índice, é correto afirmar que: (0) O índice de Fisher é uma média harmônica dos índices de Paasche e Laspeyres; (1) O índice de preços de Laspeyres é uma média harmônica de relativos de preços ponderados pelo valor dos bens no período base; (2) O índice de preços de Paasche é uma média aritmética de relativos de preços ponderados pelo valor dos bens no período atual; (3) Embora os índices de Laspeyres e de Paasche não satisfaçam ao critério da decomposição das causas, o produto cruzado de um Laspeyres de preço por um Paasche de quantidade satisfaz; 8 (4) O índice de Paasche de preços pode ser calculado pela divisão de um índice de valor por um índice Laspeyres de quantidade. QUESTÃO 01 (ANPEC-2004): Dadas as seguintes informações: Ep 1 q 0 =32 Ep 1 q 1 =48 Ep 0 q 0 =25 Ep 0 q 1 =41 É correto afirmar que o valor dos índices especificados abaixo, para o período t =1 (use duas decimais) é: (0) Laspeyres de preço: 1,64. (1) Paasche de preço: 1,17. (2) Laspeyres de quantidade: 1,28. (3) Paasche de quantidade: 1,20. (4) Um índice de valor que satisfaça ao critério de decomposição de causas: 1,50. QUESTÃO 01 (ANPEC-2005): A respeito de números-índice, é correto afirmar: (0) O índice de quantidade de Fisher é a raiz quadrada do produto dos índices de quantidade de Laspeyres e de Paasche. (1) O índice de preço de Laspeyres é a média aritmética de relativos de preços ponderados pela participação do dispêndio com cada bem na época atual. (2) O índice de preço de Paasche é a média aritmética de relativos de preços ponderados pelo valor de cada bem na época base. (3) Os índices de Laspeyres e Paasche atendem ao critério de reversão do tempo. (4) A diferença entre os índices de Laspeyres e Paasche está na forma como os relativos são ponderados. QUESTÃO 01 (ANPEC-2006): Com relação a números índices, são corretas as afirmativas: (0) O cálculo do índice de preços de Laspeyres requer que preços e quantidades para todos os períodos sejam apurados conjuntamente. (1) O cálculo do índice de quantidades de Paasche requer que somente os preços ou as quantidades sejam apurados em todos os períodos. 9 (2) O índice de preços de Paasche compara o custo de uma cesta de produtos do período atual, avaliada a preços correntes, com o custo da mesma cesta avaliada a preços do período base. (3) O índice de preços de Fischer atende o critério de reversão no tempo. (4) Sendo negativa a correlação entre preços relativos e quantidades relativas, o índice de preços de Laspeyres é maior que o índice de preços de Paasche. PROBABILIDADE E DISTRIBUIÇÕES Probabilidade QUESTÃO 01 (ANPEC-1991): Sejam X e Y variáveis aleatórias contínuas com função densidade de probabilidade (f.d.p.) conjunta ](x,y). Então podemos afirmar que: (0) g(x) = } +· · ÷ ](x,y)dy é sempre uma f.d.p. marginal de X. (1) Se h(y) = } +· · ÷ ](x,y)dx é a f.d.p. marginal de Y, então através de g(x) e h(y) é sempre possível obter a f.d.p. conjunta ](x,y). (2) Se a distribuição é normal pode-se caracterizar a f.d.p. ](x,y) pelos parâmetros: (I) média µx e µy; (II) variâncias: 2 x o e 2 y o ; (III) correlação de X com Y: µ. (3) Se X e Y forem independentes então cov(X,Y) =0. (4) Se cov(X,Y) =0 e a distribuição conjunta é normal, então X e Y são independentes. QUESTÃO 02 (ANPEC-1991): Com respeito às distribuições de freqüência pode-se afirmar que: (0) É sempre verdade que a média está localizada entre a mediana e a moda. (1) O coeficiente de variação, o/µ é sempre maior do que um. (2) A mediana é menos sensível que a média a valores extremos (ou discrepantes). (3) O coeficiente de correlação é uma medida independente de escala. (4) A diferença entre o terceiro e o primeiro quartil, chamada de intervalo interquartil, é uma medida de dispersão. QUESTÃO 03 (ANPEC-1991): 10 Em uma universidade, 30% dos homens e 20% das mulheres estudam matemática. Além disso, 45% dos estudantes são mulheres. Se um estudante é escolhido aleatoriamente: (0) A probabilidade de ele estudar matemática é 0,255. (1) Se o estudante escolhido estuda matemática, então a probabilidade de que seja uma mulher é 0,09. (2) Se o estudante escolhido estuda matemática, então a probabilidade de que seja um homem é de 0,647. (3) A probabilidade dele não estudar matemática é de 0,65. (4) Não é possível obter as probabilidades acima. QUESTÃO 05 (ANPEC-1991): Seja uma amostra aleatória n x x x ,..., , 2 1 de uma população com média µ e variância 2 o . Considere os estimadores para a média: 1 µ = 1 x , 2 µ = ¿ = n i xi n 1 1 , 3 µ = ) 2 / (n x . onde ) 2 / (n x corresponde ao (n/2)-ésimo elemento da amostra após a ordenação da mesma em forma crescente. (0) Os três estimadores da média são não tendenciosos. (1) Para n > 2 tem-se que a relação entre as variâncias é dada por: var( 1 µ ) <var( 3 µ ) s var( 2 µ ). (2) Se o tamanho da amostra cresce o único estimador consistente é 2 µ . (3) Se o tamanho da amostra cresce todos os estimadores têm distribuição normal. (4) Se a distribuição da população é normal, para n fixo, as distribuições dos estimadores 1 µ , 2 µ , 3 µ também são normais. QUESTÃO 10 (ANPEC-1991): A demanda mensal de produtos de uma empresa é normalmente distribuída com média de 10 unidades e variância de 64. Se as demandas dos meses se comportam independentemente pode-se afirmar que: (0) A probabilidade de a demanda em abril ser superior a 16 unidades é maior do que 20%. (1) A probabilidade de a demanda no 2º trimestre ser inferior a 50 unidades é maior do que 70%. 11 (2) A probabilidade de a demanda no 1º semestre ficar entre 80 e 100 unidades é menor do que 10%. (3) A probabilidade de a demanda anual ser maior ou igual a 200 unidades é aproximadamente 15%. (4) Não se pode calcular nenhuma das probabilidades acima. QUESTÃO 11 (ANPEC-1991): Considere uma amostra aleatória n y y ,..., 1 de uma variável normal Y de média µ e variância 2 o . Definem-se os seguintes estimadores: n yi y ¿ = , · n y yi s ¿ ÷ = 2 2 ) ( Pode-se então afirmar que: (0) E( 2 s ) = 2 o . (1) Var(y) =2 2 s /n. (2) y é um estimador não tendencioso de µ e de variância mínima. (3) n 2 s / 2 o tem distribuição qui-quadrado com n-1 graus de liberdade. (4) y tem distribuição normal. QUESTÃO 12 (ANPEC-1991): Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes tais que: E(X) =3, E(Y) =2, E( 2 X ) =10 e E( 2 Y ) =7. Pode-se afirmar que: (0) E(X,Y) =6. (1) Var(X +Y) =4 (2) Var(Y - 3X) =6. (3) O coeficiente de correlação entre X e Y é igual a 1/9. (4) E{[X - E(X)][Y - E(Y)]} não pode ser calculado. QUESTÃO 13 (ANPEC-1991): O preço X de um produto é considerado uma variável aleatória com função densidade de probabilidade dada por: 12 ](x) = ¹ ´ ¦ s s x de valor outro qualquer para x se kx 0 ; 3 1 3 onde k é uma constante positiva. Pode-se afirmar que: (0) O preço médio deste produto é aproximadamente 2,42. (1) A probabilidade de o preço ser menor que 1,5 e menor do que 70%. (2) A probabilidade de o preço ser menor que 1,2 é maior do que 0,5%. (3) O valor de k é 1/80. (4) A variância do preço deste produto é 9,1. QUESTÃO 01 (ANPEC-1992): Para um conjunto qualquer de dados pode-se afirmar que: (0) A média geométrica é maior do que a média aritmética que é maior do que a média harmônica. (1) Se a média e a mediana desse conjunto de dados forem respectivamente 10 e 12 pode-se dizer que essa distribuição apresenta cauda à esquerda. (2) O coeficiente de variação pode ser perfeitamente substituído pelo desvio padrão. (3) A variância é uma estatística que independe da unidade de medida. (4) A média é quem melhor representa um conjunto de dados pois ela é a única medida de tendência central que leva em consideração todas as observações existentes. QUESTÃO 02 (ANPEC-1992): Com relação à Teoria da Probabilidade pode-se afirmar que: (0) O espaço amostral de um experimento é o conjunto de resultados possíveis deste experimento. (1) O evento é um resultado possível do experimento. (2) Se A e B são eventos independentes, então P(A/B) =P(A). (3) Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então eles são independentes. (4) A definição clássica de Probabilidade pressupõe que todos os resultados de um experimento são igualmente prováveis. QUESTÃO 03 (ANPEC-1992): Em uma universidade, 30% dos homens e 20% das mulheres estudam matemática. Além disso, 45% dos estudantes são mulheres. Se um estudante é escolhido aleatoriamente está 13 estudando matemática, qual é a probabilidade de que esse estudante seja mulher? (use duas casas decimais e multiplique o resultado por 100). QUESTÃO 04 (ANPEC-1992): Sejam X e Y duas variáveis aleatórias contínuas, então: (0) Se elas forem independentes, E(XY) =E(X)E(Y). (1) Se elas forem independentes, Cov(XY) =0. (2) Se elas forem independentes, V(X/Y) =V(X)/V(Y). (3) O coeficiente de correlação linear entre as variáveis X e Y é dado por ) ( ) ( / ) , ( Y V X V Y X Cov . (4) Se o coeficiente de correlação for nulo, isto indica que X e Y são independentes. QUESTÃO 06 (ANPEC-1992): Seja ](x,y) = ¹ ´ ¦ < < < < contrario caso y x quando 0 1 0 , 1 0 1 Calcule a probabilidade de x <0,5 e y <0,5. (Multiplique o resultado por 100). QUESTÃO 08 (ANPEC-1992): Sejam duas variáveis aleatórias X e Y quaisquer provenientes de distribuições com médias y x e µ µ e variâncias 2 2 y x e o o respectivamente. Pode-se afirmar então que: (0) Se a correlação entre X e Y for zero, então elas são independentes. (1) Para verificar se o coeficiente de correlação é significativo a estatística do teste a ser utilizado tem distribuição t de Student. (2) Se as variáveis X e Y forem independentes, então a soma aleatória das distribuições das duas variáveis terá uma população de média y x y x µ µ µ + = + e variância 2 2 2 y x y x o o o + = + . (3) Se as variáveis X e Y forem independentes, então a população resultante da diferença entre as duas variáveis terá média y x y x µ µ µ ÷ = ÷ e variância 2 2 2 y x y x o o o ÷ = ÷ . (4) Se admitirmos que µ, coeficiente de correlação populacional é igual a zero (µ =0), a distribuição amostral de r, coeficiente de correlação amostral, é simétrica em relação à zero. 14 QUESTÃO 04 (ANPEC-1993): Sejam X, Y e Z variáveis aleatórias quaisquer. Então: (0) Var(X +Y +Z) =Var(X) +Var(Y) +Var(Z). (1) Var(2X +4) =4Var(X) +16. (2) E(X +Y) =E(X) +E(Y). (3) Cov(X,Y) =E(XY) - E(X).E(Y). (4) 2 2 )] ( [ ) ( X E X E = . QUESTÃO 05 (ANPEC-1993): Seja a função ¹ ´ ¦ < < < < = ] contrário caso y e x se c y x 0 9 4 10 5 ) , ( onde c é uma constante. Pode-se afirmar que: (0) O valor de c é 1 (um). (1) X e Y são variáveis aleatórias independentes. (2) A probabilidade de X >6 e Y <5 é 0,4. (3) A função de densidade de probabilidade marginal de X é ](x) =0,20. QUESTÃO 06 (ANPEC-1993): Suponha duas caixas de bombons. Na caixa A temos dois bombons com recheio e quatro sem recheio. Na caixa B temos três bombons com recheio e três sem recheio. Um bombom retirado de uma das caixas não tem recheio. Qual a probabilidade que tenha vindo da caixa B? (Multiplique o resultado por 7). QUESTÃO 08 (ANPEC-1993): Se a função de distribuição de uma variável aleatória X é dada por: ¦ ¦ ¦ ¹ ¦ ¦ ¦ ´ ¦ > e e < = 2 1 ] 2 , 1 [ 2 ) 1 , 0 [ 2 1 0 0 ) ( x se x se x x se x se x F 15 pode-se dizer que: (0) X é uma variável aleatória contínua. (1) A probabilidade de X assumir um valor no intervalo [1/2,1] e 1/4. (2) X assume valores uniformemente no intervalo [1,2]. (3) A esperança de X é 3/2. QUESTÃO 11 (ANPEC-1993): O vetor aleatório (X,Y) toma valores com probabilidade 1 no quadrado [0,1]x[0,1] do 2 R , segundo a seguinte densidade: ¹ ´ ¦ > > s s = ] quadrado do pontos outros nos x y e x ou x y e x se y x 0 ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( 4 ) , ( pode-se afirmar que: (0) E(X) =E(Y) e Var(X) =Var(Y). (1) A função de densidade de Y é ¹ ´ ¦ s s ÷ s s = 1 2 / 1 2 2 2 / 1 0 2 ) ( y se y y se y y h . (2) P[X >3/4] é igual a 1/8. (3) P[1/4 <Y <3/4] =P[X <1/2]. (4) Para cada y, a densidade condicional de x dado y é sempre a distribuição uniforme no intervalo [0,1]. QUESTÃO 12 (ANPEC-1993): Com relação à esperança, o segundo momento (não centrado) e a variância de uma variável aleatória, pode-se dizer que: (0) O segundo momento é sempre menor que a esperança ao quadrado. (1) A variância pode ser menor ou maior do que o segundo momento. (2) Se a esperança é zero, o segundo momento é maior do que a variância. (3) Se a variância é zero, o segundo momento é igual à esperança. (4) O quadrado da esperança nunca pode ser igual à variância. QUESTÃO 15 (ANPEC-1993): A variável aleatória Z guarda com a variável aleatória X a relação Z =5 +5X +U onde U é uma variável aleatória, independente de X. Pode-se afirmar que: 16 (0) Z tem correlação 1 com X. (1) Qualquer que seja o valor do termo constante na relação acima, a correlação de Z com X não se altera. (2) A covariância de Z com X é de 25 vezes a variância de X. (3) Se os desvios padrão de X e de U forem idênticos e iguais a 2, a variância de Z valerá 104. (4) A correlação de U com Z é independente dos coeficientes da relação acima. QUESTÃO 01 (ANPEC-1994): Um comerciante atacadista vende determinado produto em sacas que deveriam conter 16 kg. A pesagem de uma amostra aleatória com 100 sacas revelou os resultados descriminados na tabela a seguir: PESOS (EM KG) NÚMERO DE SACAS 14,75 ├── 15,25 5 15,25 ├── 15,75 10 15,75 ├── 16,25 45 16,25 ├── 16,75 30 16,75 ├── 16,75 10 TOTAL 100 (0) A média da pesagem das sacas é exatamente 16 kg. (1) Sendo o desvio-padrão da amostra de sacas igual a 0,477 kg, o valor do coeficiente de variação é 2,95%. (2) A percentagem de sacas com peso inferior a 15,75 kg é de 15%. (3) Se o comerciante aumentar em 2,00 kg o conteúdo de cada saca, a média das 100 sacas pesadas não se alterará. (4) Se o comerciante aumentar em 2,00 kg o conteúdo de cada saca, o desvio-padrão dessa amostra aumentará em 2,00 kg. QUESTÃO 03 (ANPEC-1994): Uma grande empresa tem dois departamentos de produção: Produtos Marítimos e Produtos para Oficinas. A probabilidade de que a divisão de Produtos Marítimos tenha, no corrente ano fiscal, uma margem de lucros de no mínimo 10% é estimada em 0.30; a probabilidade de que a divisão de Equipamentos para Oficinas tenha uma margem de lucros de pelo menos 10% é 0.20; e a probabilidade de que ambas as divisões tenham uma margem de lucro de no mínimo 10% é 0.06. Determine a probabilidade de que a divisão de Equipamentos para Oficinas tenha uma margem de lucro de no mínimo 10% dado que a divisão de Produtos Marítimos tenha alcançado tal nível de lucro. (Multiplique o resultado por 100). 17 QUESTÃO 05 (ANPEC-1994): Suponha que um estudante sai de casa para a Universidade entre 07:00 e 07:30 da manhã, e que leva entre 40 e 50 minutos para chegar ao seu destino. Seja X a hora de saída do estudante e Y o tempo de viagem. Assuma que estas variáveis aleatórias sejam uniformemente distribuídas. Tipicamente, a que horas o estudante chega à Universidade? QUESTÃO 09 (ANPEC-1994): Um empresário pergunta se valerá à pena fazer um seguro contra chuva, por ocasião de um determinado acontecimento esportivo que ele está empresariando. Se não chover ele espera obter $10.000 de renda, por ocasião do evento, mas só $2.000 se chover. Uma apólice de seguro de $7.000 lhe custará $3.000. Determine a probabilidade p de chover, de tal modo que sua expectativa seja a mesma, faça ele o seguro ou não. (Multiplique o resultado por 7). QUESTÃO 11 (ANPEC-1994): As variáveis aleatórias X e Y têm função densidade conjunta ] ¹ ´ ¦ s > + = pontos outros y x se y x y x 0 1 , 0 ) ( 2 / 3 ) , ( 2 2 Calcule o valor esperado de Y quando X =2/3. (Multiplicar o resultado por 28). QUESTÃO 12 (ANPEC-1994): Suponha que X seja uma variável aleatória com valor esperado 10 e variância 25. Quanto deve ser a +b, a e b positivos, de forma que Y =a - bx tenha o valor esperado 0 e variância 625? QUESTÃO 14 (ANPEC-1994): Com relação à teoria da Probabilidade pode-se afirmar que: (0) Se A e B são eventos independentes, então: ) ( ) ( ) ( B P A P B A P + = . (1) Se A, B e C são eventos quaisquer com P(C) = 0, então: ) | ( ) | ( ) | ( C B P C A P C B A P + = . 18 (2) Se A e B são eventos quaisquer então: ) ( ) ( B A P B A P = · (3) 0 ) ( ) ( = + A P A P . (4) A, B e C são eventos independentes se, e somente se, ) ( ). ( ). ( ) ( C P B P A P C B A P = · · (5) A definição freqüentista de Probabilidade é fundamentada na idéia de repetição do experimento. QUESTÃO 01 (ANPEC-1995): A probabilidade de que o preço dos combustíveis aumente no mês vindouro é estimada em 0,4. Se isto ocorrer, a probabilidade de que os preços dos transportes coletivos também aumentem é de 0,5; caso contrário, esta probabilidade é de 0,1. Se naquele mês o preço das passagens, de fato, subirem, qual a probabilidade de os preços dos combustíveis não terem sofrido majoração? (Multiplique o resultado por 100 e considere apenas a parte inteira do resultado). QUESTÃO 03 (ANPEC-1995): Se X e Y são duas variáveis aleatórias quaisquer, pode-se afirmar que: (0) Se W =3X +4Y, então Var(W) =3Var(X) +4Var(Y) +2Cov(X,Y). (1) Se Cov(X,Y) =0, então X e Y são variáveis aleatórias independentes. (2) Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então o coeficiente de correlação entre elas é zero. (3) Se T =2X +Y +5, então E(T) =2E(X) +E(Y) +5. (4) Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então E(X,Y) =E(X).E(Y). QUESTÃO 04 (ANPEC-1995): Seja X uma variável aleatória contínua cuja função densidade de probabilidade é dada por ](x). Então: (0) A probabilidade de X assumir um valor no intervalo [a,b] é dada por } b a dx x f . ) ( (1) E(X) = } +· · ÷ . ) ( dx x xf (2) Sendo k uma constante qualquer, } +· · ÷ ÷ = . ) ( ) ( ) var( 2 dx x f x k kX µ (3) A probabilidade de X assumir um determinado valor i x é dada por ). ( i i x f x 19 (4) } +· · ÷ = C dx x f ) ( em que C pode assumir qualquer valor entre 0 e 1. QUESTÃO 06 (ANPEC-1995): Seja { } n s s s S , , , 2 1  = o espaço amostral de um experimento aleatório e 2 1 E e E dois eventos de S. Então: (0) P( 1 s ) +... +P( n s ) =1 se n s s , , 1  forem independentes. (1) P( 2 1 E E · ) =P( 1 E ). P( 2 E ) se 1 E e 2 E forem mutuamente exclusivos. (2) P( 2 1 E E ) =P( 1 E ) +P( 2 E ) se 1 E e 2 E forem independentes. (3) P( 1 E / 2 E ) =P( 2 E / 1 E ) se e somente se P( 1 E ) =P( 2 E ) = 0. QUESTÃO 07 (ANPEC-1995): Pode-se afirmar que: (0) O histograma relaciona graficamente duas variáveis. (1) A média aritmética é a medida de tendência central mais utilizada na prática por ser insensível à dispersão dos valores observados. (2) O desvio-padrão tem a mesma unidade de medida da variável original. (3) O coeficiente de assimetria é adimensional. (4) O coeficiente de variação é a razão entre a média aritmética e o desvio padrão. QUESTÃO 10 (ANPEC-1995): Certa liga é formada da fundição do chumbo com outro metal. A porcentagem do chumbo nesta liga - X - é uma variável aleatória com a seguinte função de densidade de probabilidade: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ < < ÷ = ÷ X de valores outros quaisquer para x se x x x f , 0 100 0 ), 100 ( 10 5 3 ) ( 5 Supondo que o lucro obtido na venda dessa liga, por unidade de peso, (L) seja dado pela função: L =10 +0,4X. Calcule o lucro esperado por unidade. QUESTÃO 12 (ANPEC-1995): 20 Suponha que 40% dos empregados de uma grande empresa estejam a favor de sua representação sindical, e que se peça resposta anônima a uma amostra aleatória de 10 empregados. Pode-se afirmar que: (0) É de 0,8 a probabilidade de 8 empregados, no máximo, responderem favoravelmente à representação sindical. (1) O número médio esperado de empregados favoráveis à representação, entre os 10 pesquisados, é de 4. (2) Se a pesquisa fosse realizada entre 1.000 empregados, o desvio padrão dessa amostra seria de 15,5 empregados, aproximadamente. (3) A probabilidade das respostas segue a distribuição binomial há que o atributo é contínuo. (4) A distribuição utilizada apresenta as seguintes características: o espaço amostral do experimento descreve apenas dois resultados possíveis e o experimento é repetido n vezes. QUESTÃO 01 (ANPEC-1996): Considere um espaço amostral com a terna ) , , ( P · O , onde C = O é o conjunto universo, · é o conjunto dos possíveis eventos e P é uma medida de probabilidade. Podemos afirmar que: (0) Se A, B e · são dois eventos, então A B é um evento, isto é, A B e ·. (1) Se A, B e · são dois eventos disjuntos, isto é, A · B =C, então P(A · B) =0. (2) Se A e · é um evento tal que P(A) =0, então A =C. (3) Se A e · é um evento tal que P(A) =1, então A =O. (4) Dois eventos independentes A, B e · são necessariamente disjuntos. (5) Se A, B e · são dois eventos quaisquer, então P(A B) =P(A) +P(B). (6) Se dois eventos A, B e · são independentes, então P(A · B) =P(A) P(B). (7) Dados dois eventos A, B e ·, se P(A · B) =0, então A e B são necessariamente disjuntos. QUESTÃO 03 (ANPEC-1996): Seja X uma variável aleatória contínua com função de densidade f e com média e variância finitas. Podemos afirmar que: (0) Se X Normal ~ ( , ) µ o 2 , então a média de X é igual a sua mediana e a sua moda. (1) Se Y =aX +b, onde a, b >0 são constantes, então Y é uma variável aleatória e sua função de densidade é g y a f y b a ( ) ( ) = ÷ 1 . 21 (2) Se Y =aX +b, onde a, b >0 são constantes, então E(Y) =a E(X) +b e Var(Y) =a Var(X), onde Var denota a variância e E denota a expectância. (3) Se X Normal ~ ( , ) µ o 2 e Y X = ÷ µ o , então Y ~Normal (0,1) e Y é dita uma padronização de X. (4) Seja Y =aX +b e sejam X* e Y* as padronizações de X e Y, respectivamente. Então X* =Y*. (5) A padronização da variável aleatória X elimina efeitos de origem, mas não necessariamente elimina efeitos de escala. QUESTÃO 04 (ANPEC-1996): Sejam X X eX 1 2 3 , variáveis aleatórias independentes com variâncias o o o 1 2 2 2 3 2 1 2 4 = = = , e , respectivamente. Seja Y X X X = + + 2 2 1 2 3 . Calcule a variância de Y. QUESTÃO 05 (ANPEC-1996): Seja X uma variável aleatória com função de densidade f(x). (0) Se ) ` ¹ ¹ ´ ¦ s s ÷ = contrário caso x se x x f , 0 1 1 , ) ( 2 2 3 , então E(X) =0. (1) Se f x x se x caso contrá rio ( ) ( ) , , = + > ¦ ´ ¦ ¹ ¦ ¹ ` ¦ ) ¦ 1 1 0 0 2 então E X ( ) = ·. (2) Se X ~U[a,b] é uniforme em [a,b], onde a <b, então: f x x se a x b caso contrá rio ( ) , ; , . = s s ¦ ´ ¹ 0 . (3) Se f x f x ( ) ( ) µ µ + = ÷ , para todo xe9 (9 é o conjunto dos números reais), onde µ e9 é fixo, então ) ( ) ( x X P x X P ÷ s = + > µ µ , para todo xe9. QUESTÃO 06 (ANPEC-1996): Pode-se afirmar que: (0) O coeficiente de variação é uma medida de tendência central. (1) Se uma distribuição é bimodal, então seu coeficiente de assimetria é zero. (2) A média aritmética é uma medida de tendência central mais sensível à presença de observações aberrantes do que a mediana. (3) O coeficiente de assimetria tem a mesma unidade que o desvio padrão (amostral). 22 QUESTÃO 07 (ANPEC-1996): Três lâmpadas defeituosas foram misturadas com seis lâmpadas boas. Se duas lâmpadas são escolhidas aleatoriamente, calcule a probabilidade de ambas serem boas. Multiplique o resultado por 100 e considere apenas a parte inteira do resultado. QUESTÃO 10 (ANPEC-1996): Se (X,Y) é um vetor aleatório, então: (0) X é uma variável aleatória. (1) Se Var(Y)=0, então Y é constante. (2) Se E(XY)>0, então Cov(X,Y)>0. (3) Não é possível ter-se µ(X,Y)=1, onde µ designa probabilidade conjunta. QUESTÃO 12 (ANPEC-1996): De uma população de indivíduos adultos, extraiu-se uma amostra de tamanho 100. A cada um dos indivíduos selecionados perguntaram-se seu estado civil e sexo, obtendo-se a tabela de contingência abaixo. Admita que, na população, só existam indivíduos casados ou solteiros: Homens Mulheres Total Casados 30 10 40 Solteiros 15 45 60 Total 45 55 100 Podemos afirmar: (0) 40% da população é composta por homens. (1) Uma estimativa da proporção de mulheres solteiras é dada por 45%. (2) Defina X como sendo zero ou um, conforme o sexo de um indivíduo selecionado ao acaso da população acima seja masculino ou feminino, respectivamente. Defina Y como sendo zero ou um, conforme o estado civil de um segundo indivíduo (selecionado ao acaso e com reposição) seja casado ou solteiro, respectivamente. Neste caso, X e Y são dependentes. (3) Se Z é zero ou um conforme o estado civil (zero÷casado e um ÷ solteiro) do primeiro indivíduo selecionado como em (2) acima, então uma estimativa de P(Z=0|X=0) é dada por 2/3. (4) Uma estimativa de P(Y=0|X=0) é dada por 2/3. 23 QUESTÃO 14 (ANPEC-1996): Considere a distribuição seguinte: Valores de Y 0 1 F(x) Valores de X 1 2 3 0 1/3 0 1/3 0 1/3 1/3 1/3 1/3 F(y) 1/3 2/3 1 Calcule Cov(X,Y). QUESTÃO 01 (ANPEC-1997): Com relação à Estatística Descritiva, podemos afirmar que: (0) A média aritmética, a mediana e o decil de ordem 2 são as principais medidas de tendência central. (1) Sob condições de regularidade usuais, se quisermos minimizar a soma do quadrado dos desvios em relação a um determinado parâmetro, esse parâmetro é a média da distribuição. (2) Se a distribuição de um conjunto grande de dados é simétrica, o intervalo ) ; ( o o + ÷ x x inclui aproximadamente 95% das observações do conjunto, onde x = média aritmética e o =desvio padrão. (3) O conjunto {3, 3, 3, 4, 4, 9, 9, 18, 18, 18} é um exemplo de distribuição bimodal. (4) Se uma distribuição é simétrica, então a média, a mediana e a moda coincidem. QUESTÃO 02 (ANPEC-1997): Seja S={s1,..., sN} o espaço amostral de um experimento aleatório e E1, E2, E3 eventos de S. Então: (0) ( ) ( ) ( ) ) P(E E E P E E E P = E E E P 1 1 2 2 1 3 3 2 1 · ·    . (1) P(E1) >P(E2) implica ( ) ( ) 1 2 2 1 E E P E E P > , caso 0 ) ( 2 = E P . (2) ( ) ( ) ) ( ) ( E E P E E P 2 1 2 1 2 1 E P E P + s s   . (3) Se E1, E2, E3 forem eventos independentes, então ( ) ) P(E ) P(E ) P(E = E E E P 3 2 1 3 2 1 · ·   . 24 QUESTÃO 03 (ANPEC-1997): Qual deve ser o valor de k, de modo que: ¦ ¹ ¦ ´ ¦ < | . | \ | ÷ = contrario. caso em , 0 6 < 2 se , 1 2 . ) ( x x k x f seja uma função de densidade de probabilidade? Multiplique o resultado encontrado por 100. QUESTÃO 06 (ANPEC-1997): Seja X uma variável aleatória com função de densidade de probabilidade Uniforme no intervalo | | b a, : (0) Se a =-1 e b =2 então E(X) =0,5. (1) Se a =-1 e b =2 então VAR(X) =2. (2) Se a =1 e b =2 então a distribuição é assimétrica. (3) X tem distribuição unimodal. QUESTÃO 07 (ANPEC-1997): A função de densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias X e Y é dada por: ¹ ´ ¦ < < = contrario. caso em , 0 1 y < 0 , 1 < 0 se , 6 ) , ( 2 x y x y x f XY Pode-se afirmar que: (0) A função densidade de probabilidade marginal de X é 2 X 3x = (x) f . (1) A função densidade de probabilidade marginal de Y é y = (y) f Y . (2) A função densidade de probabilidade condicional de X dado Y é 2 Y X 3x = y) (x, f . (3) A função densidade de probabilidade condicional de Y dado X é y = y) (x, f X Y . (4) X e Y são independentes. QUESTÃO 01 (ANPEC-1998): 25 Pode - se afirmar que: (0) Multiplicando (ou dividindo) por um valor constante e arbitrário, c, cada elemento de um conjunto de números, o desvio padrão deste conjunto fica multiplicado (ou dividido) pela constante c. (1) No caso de dois conjuntos de 1 n e 2 n valores, onde 2 1 s e 2 2 s são, respectivamente, suas variâncias e 1 x e 2 x suas médias, a variância combinada, 2 s , destes dois conjuntos quando, 2 1 x x x = = , é igual a 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 1 2 2 2 2 1 1 2 ÷ + ÷ + ÷ = n n s n s n s . (2) Quando dois conjuntos de valores são expressos em unidades de medidas diferentes, é mais justificável o uso do desvio padrão (dispersão absoluta) do que o coeficiente de variação de Pearson, para efeito de comparação. (3) Quando uma distribuição de frequência apresenta M 0 (Moda) >M e (Mediana) > x (Média aritmética), ela diz-se assimétrica à direita e, assimétrica à esquerda, em caso contrário. QUESTÃO 02 (ANPEC-1998): Considere um espaço amostral com a terna (O,I,P), onde O = C é o conjunto Universo, I é o conjunto dos possíveis eventos e, P, é uma medida de probabilidade. Assim, pode-se afirmar que: (0) Se A, B e C são eventos de I, então o evento “exatamente um dos eventos ocorre” é expresso na notação de conjunto como ) ( ) ( ) ( C B A C B A C B A         . (1 Se A e B são dois eventos quaisquer de I, então P(AUB) > P(A) +P(B). (2 Se A e B são dois eventos quaisquer de I, onde P(A)=1/2 , P(B)=1/3 e P(AB) =3/4, então P( A ·B)=1/4 e P( B A  ) =1/4. (3 Se A e B são dois eventos quaisquer de I·, então se P(A|B) >P(A) tem-se que P(B|A) >P(B). QUESTÃO 03 (ANPEC-1998): A tabela de contingência a seguir apresenta os dados de uma amostra de 150 empresas, classificados segundo quatro grupos industriais e se o retorno sobre o capital próprio é maior ou menor que o retorno médio na amostra. Retorno sobre o capital próprio Grupo Industrial Acima da média (A) Abaixo da média (B) Total I 20 40 60 II 10 10 20 III 20 10 30 26 IV 25 15 40 Total 75 75 150 Com base nestas informações, verifique as seguintes afirmações: (0) Se selecionarmos uma empresa ao acaso, a probabilidade da empresa ser do grupo III ou ter o retorno sobre o capital próprio abaixo da média é 40%. (1 Se selecionarmos uma empresa ao acaso, a probabilidade da empresa ser do grupo I é de 40%. (2 Se a empresa escolhida ao acaso for do grupo II, a probabilidade do retorno sobre o capital próprio estar acima da média é 50%. (3 Se duas empresas diferentes são escolhidas ao acaso, a probabilidade de sair primeiro uma empresa do grupo I e depois uma empresa do grupo III é aproximadamente igual a 8%. (4 O evento “grupo I” independe estatisticamente do evento “retorno sobre o capital próprio acima da média”. QUESTÃO 04 (ANPEC-1998): Com relação às distribuições de probabilidade conjunta e marginais, pode-se afirmar que: (0) Se a função densidade conjunta de (X,Y), f(x,y), pode ser fatorada na forma f(x,y) = f(x).g(y) , onde f(x) e g(y) são ,respectivamente, as funções densidade de X e Y, então as variáveis aleatórias X e Y são independentes. (1) Se a variável aleatória bidimensional (X,Y) é uniformemente distribuída, de acordo com a função densidade conjunta 2 ) , ( = y x f , para 1 0 < < < y x e, 0 fora deste intervalo, então E(X)=1/2. (2) Se as variáveis aleatórias X e Y são independentes, então E(X|Y) =E(X) e E(Y|X) = E(Y). (3) Seja f(x) a função de densidade de probabilidade da variável aleatória contínua X, então } · · ÷ = = · < < ÷· 1 ) ( ) ( dx x f X P . (4) Seja f(x) a função de densidade de probabilidade da variável aleatória contínua X, então podemos definir o valor esperado de X como } · · ÷ = dx x f x X E ). ( . ) ( . QUESTÃO 08 (ANPEC-1998): Seja X uma variável aleatória com função densidade f(x). (0) Se X ~U[-o,o] é uniforme em [-o,o] , onde o >0, então é possível determinar o de modo que P(x <1)=1/2. 27 (1) Se | é uma constante entre 0 e 1 e f(x), g(x) funções densidades de probabilidades definidas no mesmo intervalo, então |f(x) +(1-|)g(x) também é uma função de densidade de probabilidade da variável x. (2) Se a variável aleatória X assumir os possíveis valores 1, 2, 3, 4,... , de forma que sua função de probabilidade seja P(x=k )=c(1-|) 1 ÷ k , 0< | < 1, então o valor da constante c é igual a |. (3) Se a variável aleatória X segue uma distribuição exponencial, então P(x >(s+t) | x >s) =P(x >t), para quaisquer s, t >0. QUESTÃO 10 (ANPEC-1998): Considere a distribuição de probabilidade conjunta de (X,Y), de acordo com a tabela abaixo: X -1 0 1 -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 Y 1 1/8 1/8 1/8 Pode-se afirmar que: (0) O coeficiente de correlação, xy µ , entre X e Y é igual a zero. (1) As variáveis aleatórias X e Y são independentes. (2) Se b aX Z + = e d cY W + = onde c b a , , e d são constantes com 0 = a e 0 = c , então o coeficiente de correlação, ZW µ , entre Z e W é diferente de zero. (3) As variáveis aleatórias X e Y apresentam uma relação linear. QUESTÃO 13 (ANPEC-1999): Seja a seguinte distribuição conjunta de probabilidade entre as variáveis aleatórias X e Y. Y X 1 3 5 2 0,1 0,2 0,3 4 0,2 0,1 0,1 Podemos afirmar que: (0) A distribuição marginal de X é X 1 3 5 28 P(X) 0,3 0,3 0,4 (1) A variância de Y é 2,76. (2) A covariância entre X e Y é -0,56. (3) O coeficiente de correlação entre X e Y é 0,344. (4) O coeficiente de correlação exprime a medida de dependência linear entre duas variáveis e pode assumir um valor qualquer no intervalo [0; 1]. QUESTÃO 14 (ANPEC-1999): Com relação às definições de Coeficiente de Correlação e de Esperança Matemática, pode- se afirmar que: (0) Se X e Y são duas variáveis aleatórias de forma que Y=aX+b, onde a e b são constantes, então o coeficiente de correlação entre X e Y é igual a 1 se a <0 e igual a -1 se a >0. (1) Se XY µ é o coeficiente de correlação entre as variáveis X e Y onde W=aX+b e Z=cY+d com a,b,c e d constantes, então XY WZ ac ac µ µ = onde a e c são diferentes de zero. (2) Se o coeficiente de correlação entre as variáveis X e Y é igual a zero, então E(XY)=E(X)E(Y). Assim, pode-se concluir que X e Y são variáveis aleatórias independentes. (3) Se a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória X é simétrica em relação a um ponto X=a, então E(X)=a. (4) Dados os seguintes eventos: X=1 se o evento A ocorre, e 0 em caso contrário. Y=1 se o evento B ocorre, e 0 em caso contrário. Se as probabilidades dos eventos A e B são, respectivamente, maiores do que zero, então o coeficiente de correlação entre X e Y igual a zero implica em que X e Y são independentes. QUESTÃO 15 (ANPEC-1999): Com relação à Teoria das Probabilidades podemos afirmar que: (0) Sendo A e B dois eventos independentes e se P(A) =0,5 e P(B) =0,4, então P(AB) =0,5. (1) Sendo A e B dois eventos mutuamente exclusivos e se P(A) =0,5 e P(B) =0,4, então P(AB) =0,5. 29 (2) Seja S um espaço amostral e A e B dois eventos quaisquer associados a S. Então 1 ) | ( ) | ( = + B A P B A P , onde ) | ( B A P =probabilidade de ocorrência do evento A dado de ocorreu o evento B. (3) Um projeto para ser transformado em lei deve ser aprovado pela Câmara dos Deputados e pelo Senado. A probabilidade de ser aprovado pela Câmara dos Deputados é de 40%. Caso seja aprovado pela Câmara, a probabilidade de ser aprovado no Senado é 80%. Logo, a probabilidade desse projeto ser transformado em lei é de 32%. (4) Num processo eletivo 55% dos votantes são homens. Sabe-se que dentre os homens 40% preferem o candidato A, 50% o candidato B e os 10% restantes votam nos demais candidatos. Dentre as mulheres 60% preferem A, 25% preferem B e o restante os demais candidatos. Se um voto escolhido ao acaso for para o candidato A, a probabilidade de este voto ser de uma mulher é de 55,1%. QUESTÃO 01 (ANPEC-2000): Considere a terna (S,E,P), em que S = C é o conjunto Universo, E é o conjunto dos possíveis eventos e, P é uma medida de probabilidade. Verifique quais das afirmativas abaixo são verdadeiras (V) e quais são falsas (F): (0) Se dois eventos são disjuntos, eles serão também independentes. (1) Para dois eventos quaisquer A e B, Prob(A) =Prob(A·B c ) +Prob(A·B), em que B c é o complemento de B. (2) Sejam dois eventos A e B, em que Prob (A) =1/2 e Prob (B) =1/3. Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então Prob (B·A c ) é igual a 1/6. (3) Sejam os eventos A, B e C, tais que Prob(A·B·C) =Prob(A).Prob(B).Prob(C). Pode-se então afirmar que estes eventos são independentes. QUESTÃO 13 (ANPEC-2000): Dados os seguintes enunciados envolvendo variáveis aleatórias, é correto afirmar que: (0) Se X é uma variável aleatória com média µ finita e variância o 2 =1, então Pr ( |X - µ | s 2) > 0.75. (1) E( e X ) s e µ , em que E(X) =µ. (2) {E[(X-E(X))(Y-E(Y))]} 2 > E[X-E(X)] 2 E[Y-E(Y)] 2 , desde que todos os momentos necessários ao cálculo de cada uma destas expressões existam. (3) E(Var(Y|X)) s Var(Y). (4) Se Y e X são variáveis aleatórias independentes, ambas com média e variância finitas, então a variância da variável Z=Y/X será dada por Var(Z) =Var(Y)/Var(X). 30 QUESTÃO 14 (ANPEC-2000): Seja uma função de densidade de probabilidade: Calcule a probabilidade de (0 s x s 1). Arredonde o resultado e multiplique por 100. QUESTÃO 01 (ANPEC-2001): Os formandos de determinada faculdade de economia tomaram as seguintes decisões para o ano seguinte: Decisão Homens Mulheres Totais Fazer mestrado em economia 7 9 16 Fazer outros cursos 5 6 11 Procurar emprego 16 9 25 Totais 28 24 52 Com base nessas informações, é correto afirmar: (0) A probabilidade de que as mulheres continuem estudando é aproximadamente 46% superior à dos homens. (1) Sabendo-se que alguém optou por procurar emprego, a probabilidade de ser homem é 64%. (2) Se a probabilidade de ser aprovado no exame de seleção para mestrado em economia é de 30%, espera-se que 1/4 dos homens iniciem o curso no ano seguinte. (3) Se a probabilidade de encontrar emprego é de 40% e a de ser aprovado nos exames de seleção é de 30% e 45%, respectivamente, para o mestrado em economia e para os outros cursos, espera-se que 9 mulheres atingirão seus objetivos. (4) Entre os formandos que pretendem continuar estudando, 1/3 é mulher que pretende fazer mestrado em economia. QUESTÃO 04 (ANPEC-2001): Seja X uma variável aleatória, com função densidade de probabilidade f(x) contínua, definida sobre o espaço amostral A, do universo U: (0) Tanto A como U devem ser contínuos. (1) A probabilidade P(Xs x 0 ) é dada por } · ÷ o x dX X f ) ( . ) ` ¹ ¹ ´ ¦ s < = x de valores outros para x para cx x f 0 2 0 ) ( 2 31 (2) A probabilidade P(X =x 0 ) é dada por f(x 0 ). (3) A função cumulativa de probabilidade pode ser discreta. (4) A função densidade de probabilidade de X é calculada por f(x) = ) (x F dx d em que, F(x) é a função de distribuição acumulada. QUESTÃO 14 (ANPEC-2001): Seja X uma variável aleatória contínua, com função densidade de probabilidade dada por 3 1 , 2 1 ) ( s s = X x f . Determine o valor da mediana dessa distribuição. QUESTÃO 15 (ANPEC-2001): Seja uma variável aleatória X com média E(X) =0 e variância 2 x o =25. Qual o limite de probabilidade para que [X – E(X)] >10? Resposta em percentagem. QUESTÃO 01 (ANPEC-2002): Considere o espaço amostral S, os eventos A e B referentes a S e a medida de probabilidade P. (0) Se P(A) = 2 1 , P(B) = 4 1 , e A e B são mutuamente exclusivos, então P(A·B) = 8 1 . (1) Se Ac B, então P(A|B) s P(A). (2) Se P(A) = 2 1 , P(B) = 3 1 e P(A·B) = 4 1 , então P(A C · B C ) = 12 5 , em que A C e B C indicam os eventos complementares. (3) Se k B B B , ,......... , 2 1 representam uma partição de um espaço amostral S, então para A c S tem-se que ¿ = = k j j j i i i B A P B P B A P B P A B P 1 ) | ( ) ( ) | ( ) ( ) | ( , k i ,... 2, , 1 = (4) Se P(A|B) =0 então A e B são independentes. QUESTÃO 03 (ANPEC-2002): Considere um investidor cuja composição da carteira é formada por dois ativos A e B. 32 (0) Se os retornos esperados de A e B são iguais a 10% e 5%, e as participações de A e B na carteira são de 40% e 60%, respectivamente, então o retorno esperado da carteira é de 7,5%. (1) Supondo-se que os retornos dos dois ativos referidos no quesito anterior sejam independentes e que suas variâncias sejam iguais a 10 e 20, respectivamente, então a variância da carteira será igual a 8,8. (2) Supondo-se que os retornos de A e B tenham a mesma variância, a diversificação dessa carteira nestes dois ativos somente reduzirá o risco total se o coeficiente de correlação entre os respectivos retornos for negativo. (3) No caso de correlação negativa perfeita, se a variância de A é duas vezes a variância de B, então é preciso investir duas vezes mais em A para eliminar o risco da carteira. (4) Se existir uma correlação negativa perfeita entre os retornos dos ativos A e B, haverá uma particular composição desses ativos que eliminará completamente o risco da carteira. QUESTÃO 13 (ANPEC-2002): Suponha que a função densidade de probabilidade conjunta da variável aleatória bidimensional (X,Y) seja uniformemente distribuída na região de domínio, 2 0 , 2 0 ) ( ) , ( s s s s ÷ = y x y x x k y x f Encontre E(X). Multiplique a resposta por 10 e transcreva somente a parte inteira do número encontrado. QUESTÃO 14 (ANPEC-2002): Uma companhia de seguros tem 400 segurados de certo tipo. O prêmio do seguro é R$ 1.000,00 por ano. Caso ocorra um sinistro a seguradora indenizará R$ 8.000,00 a cada acidentado. Sabe-se que a probabilidade de ocorrência de sinistro, é 0,1 por ano. Os custos fixos da seguradora são de R$ 8.000,00 por ano. Qual a probabilidade da seguradora ter prejuízo em certo ano? (Ignore o fator de correção para continuidade, multiplique sua resposta por 100 e transcreva a parte inteira do número encontrado). QUESTÃO 02 (ANPEC-2003): Sejam: X 1 , X 2 ,..., X n variáveis aleatórias independentes e normalmente distribuídas com média µ e variância σ 2 ; ¿ = ÷ = n i i X n X 1 1 ; e ¿ = = n i i Y Z 1 2 , em que ( ) µ o ÷ = ÷ X Y i 1 . É correto afirmar que: 33 (0) X é um estimador tendencioso da média µ; (1) Z é uma variável aleatória com distribuição 2 _ com n graus de liberdade; (2) ( ) ¿ = ÷ ÷ = n i i X X n s 1 2 1 2 é um estimador tendencioso da variância σ 2 ; (3) X n é uma variável aleatória normalmente distribuída com média nµ e variância σ 2 ; (4) A variável aleatória n Z Y W i i = possui distribuição F com n 1 e n 2 graus de liberdade, em que n 1 =1 e n 2 =2n. QUESTÃO 03 (ANPEC-2003): O custo X de produção de certo bem é uma variável aleatória com função densidade de probabilidade ¹ ´ ¦ s s = contrário caso 0 4 1 ) ( 2 x kx x f É correto afirmar que: (0) O valor de k é 63; (1) O custo médio do produto é aproximadamente 1,04; (2) O custo é menor do que 2 com probabilidade 1/9; (3) A variância do custo do produto é aproximadamente 3,04; (4) O custo é maior do que 3 com probabilidade 8/9. QUESTÃO 09 (ANPEC-2003): Sendo Y e X duas variáveis aleatórias, é correto afirmar que: (0) Var(Y +X) =Var(Y) +Var(X) - 2Cov(Y, X); (1) Var(Y - X) =Var(Y) - Var(X) - 2Cov(Y,X); (2) Var (Y +X) =Var(Y) +Var(X), se Y e X forem independentes; (3) Se Cov(Y, X) =0, então Y e X são independentes; (4) Se Cov(Y, X) =0 e se Y e X têm distribuição conjunta normal, então Y e X são independentes. QUESTÃO 15 (ANPEC-2004): 34 Suponha que a função de densidade de probabilidade conjunta da variável aleatória bidimensional (X,Y) seja dada por: contrário caso 0 2 0 e 1 0 3 ) , ( 2 ¦ ¹ ¦ ´ ¦ < < < < + = y x xy x y x f Calcule a P(Y<X). Multiplique o resultado por 48 e transcreva este produto para a folha de resposta. QUESTÃO 02 (ANPEC-2005): O retorno C R de uma carteira de investimentos com duas ações A e B e um papel de renda fixa F é dado por F B A C R a R a R a R 3 2 1 + + = , em que a 1 , a 2 ea 3 são constantes. R A e R B são variáveis aleatórias normalmente distribuídas com média zero, variância 1 e covariância 0,5 e R F é uma constante igual a 0,1. Julgue as afirmativas: (0) A média do retorno da carteira será igual a zero se, e somente se, a correlação entre os retornos das ações A e B for nula. (1) A média do retorno da carteira é: 3 2 1 ) ( a a a R E C + + = . (2) Se a covariância entre o retorno das ações A e B for 0,5, a variância do retorno da carteira será 2 1 2 2 2 1 ) ( a a a a R Var C + + = . (3) O retorno C R é uma variável aleatória normalmente distribuída com média 3 1 , 0 a . (4) O coeficiente de correlação entre R A e R B é 0,25. QUESTÃO 13 (ANPEC-2005): Seja 64 3 2 1 ........, , , , X X X X uma amostra aleatória independente da variável X, que segue distribuição de probabilidade exponencial, com função densidade 0 , 2 ) ( 2 > = ÷ x para e x f x e, zero fora desse intervalo. Usando o teorema central do limite e a tabela da distribuição normal, anexa, calcule a probabilidade de que a média amostral X seja maior que ou igual a 0,5. (Multiplique o resultado por 100). QUESTÃO 15 (ANPEC-2005): 35 As lâmpadas coloridas produzidas por uma fábrica são 50% vermelhas, 30% azuis e 20% verdes. Em uma amostra de 5 lâmpadas, extraídas ao acaso, encontre a probabilidade de duas serem vermelhas, duas serem verdes e uma ser azul. Multiplique o resultado por 100. QUESTÃO 03 (ANPEC-2006): Julgue as afirmativas. Em uma função densidade de probabilidade conjunta f(x,y), para as variáveis aleatórias contínuas X e Y: (0) A função densidade de probabilidade marginal de X é: y y x f x f c c = ) , ( ) ( . (1) Se F(y) é a função distribuição de probabilidade marginal de Y, então f(y) = dF(y)/dy, para F(y) derivável em todo o y. (2) X e Y serão independentes se f(x) = f(x | y). (3) E X [E(Y | x ) ] =E[Y] (4) Se X e Y são independentes, V Y [E(X | y ) ] =V[X], QUESTÃO 12 (ANPEC-2006): Em uma região, 25% da população são pobres. As mulheres são sobre-representadas neste grupo, pois constituem 75% dos pobres, mas 50% da população. Calcule a proporção de pobres entre as mulheres. Multiplique o resultado por 100 e omita os valores após a vírgula. QUESTÃO 13 (ANPEC-2006): Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade ¦ ¹ ¦ ´ ¦ s s + = contrário. caso 0 , 3 0 se 6 1 ) ( x k x x f X Calcule Prob(1s X s 2). Multiplique o resultado por 100 e desconsidere os valores após a vírgula. QUESTÃO 03 (ANPEC-2011): Julgue as afirmativas: (0) Três eventos A, B e C são independentes se e somente se P(A∩B∩C)=P(A)P(B)P(C). 36 (1) Se P(A) =(1/3) e P(B c ) =1/5, A e B não são disjuntos. (2) Se P(A) =0,4, P(B) =0,8 e P(A|B) =0,2, então P(B|A) =0,4. (3) Se P(B) =0,6 e P(A|B) =0,2, então P(A c ∪B c ) =0,88. (4) Se P(A) =0, então A =| . QUESTÃO 07 (ANPEC-2011): Considere a seguinte função de densidade conjunta de duas variáveis aleatórias contínuas X e Y dada por ( ) ¹ ´ ¦ s s s s = contrário caso y x y kx y x f XY 0 1 0 , 1 0 , , 2 (0) Para que ( ) y x f XY , satisfaça as propriedades de uma função de densidade conjunta, k=6. (1) A densidade marginal de Y é dada por ( ) 2 3y y f Y = . (2) A densidade de Y, condicional em X=2, é igual a ( ) y X y f X Y 2 2 | | = = . (3) X e Y são variáveis aleatórias não correlacionadas. (4) A variância de Y, condicional em X=2, é igual a 1/9. QUESTÃO 09 (ANPEC-2011): A variável aleatória discreta X assume apenas os valores 0, 1, 2, 3, 4 e 5. A função densidade de probabilidade de X é dada por ( ) ( ) ( ) ( ) a X P X P X P X P = = = = = = = = 3 2 1 0 ( ) ( ) b X P X P = = = = 5 4 ( ) ( ) 2 3 2 < = > X P X P E[.] e V[.] denotam, respectivamente, esperança e variância. Julgue as seguintes afirmativas: (0) Para que a função densidade de probabilidade seja válida, a =1/4 e b =1/8. (1) E[X] =3. (2) V[X] =12. (3) Defina Z =3 +4X. Então a covariância entre Z e X é igual a 12. (4) A probabilidade de que a soma de duas variáveis independentes provenientes desta distribuição exceda 7 é 1/8. QUESTÃO 15 (ANPEC-2011): 37 Num torneio de squash entre três jogadores, A, B e C, cada um dos competidores enfrenta todos os demais uma única vez (isto é, A joga contra B, A joga contra C e B joga contra C). Assuma as seguintes probabilidades: P(A vença B) =0,6, P(A vença C) =0,7, P(B vença C) =0,6 Assumindo independência entre os resultados das partidas, compute a probabilidade de que A vença um número de partidas pelo menos tão grande quanto qualquer outro jogador. Multiplique o resultado por 100. Distribuições de Probabilidade QUESTÃO 04 (ANPEC-1991): Com respeito às distribuições teóricas de probabilidade pode-se afirmar que: (0) A distribuição de Bernoulli corresponde ao experimento com dois valores possíveis sendo que um deles está associado à ocorrência de sucesso e o outro à de fracasso. (1) A distribuição binomial corresponde ao número de sucessos em n repetições independentes de experimentos de Bernoulli. (2) A distribuição hipergeométrica corresponde ao experimento de extração aleatória de uma população dividida segundo dois atributos. (3) A distribuição geométrica corresponde ao número de vezes que se deve replicar experimentos de Bernoulli, supostos independentes, até que ocorra pela primeira vez um sucesso. (4) É correto utilizar a distribuição de Poisson para aproximar a binomial qualquer que seja o tamanho de n (tamanho da amostra) e p (probabilidade de sucesso). QUESTÃO 09 (ANPEC-1991): Em relação às distribuições de probabilidade pode-se afirmar que: (0) As medidas de localização, média, moda e mediana coincidem na distribuição normal. (1) A soma de qui-quadrados independentes tem distribuição qui-quadrado. (2) Uma variável aleatória com distribuição F de Snedecor é proporcional ao quociente de qui-quadrados independentes. (3) A distribuição t de Student é caracterizada por um único parâmetro que representa os seus graus de liberdade. (4) A distribuição qui-quadrado é simétrica. 38 QUESTÃO 07 (ANPEC-1992): As distribuições Normal, t, F e 2 x são muito utilizadas em Econometria. Sobre elas pode-se afirmar que: (0) Somente a Normal é simétrica. (1) Todas têm como parâmetro o número de graus de liberdade. (2) Todas são limitadas na reta real. (3) A variável 2 x resulta da soma de variáveis aleatórias independentes que têm distribuição Normal padronizada. (4) A F é, por definição, a razão de duas variáveis qui-quadrado. QUESTÃO 01 (ANPEC-1993): Em relação às distribuições de probabilidade pode-se afirmar que: (0) A distribuição F é uma razão entre dois t de Student independentes. (1) A distribuição binomial é uma distribuição definida por dois parâmetros. (2) A distribuição de Poisson descreve o comportamento de variáveis aleatórias discretas. (3) A variável t de Student quando elevada ao quadrado é sempre igual a uma variável F. (4) A distribuição qui-quadrado tende para a distribuição normal quando o tamanho da amostra tende para o infinito. QUESTÃO 09 (ANPEC-1993): O Teorema Central do Limite (TCL), resultado maior dentre os teoremas da teoria da probabilidade, nas versões estudadas na graduação, estabelece condições que asseguram a convergência de somas de variáveis aleatórias, convenientemente padronizadas, à distribuição normal. (0) Esta convergência se dá em probabilidade, ou seja, é a mesma da Lei Fraca dos Grandes Números. (1) As variáveis aleatórias utilizadas na composição da soma não precisam ser independentes. (2) Se as variáveis aleatórias, atendendo às hipóteses do TCL, têm a mesma média µ e variância 2 o , o teorema garante que a soma das n primeiras, subtraídas de nµ, e dividida por no, converge para uma distribuição normal com média 0 e variância 1 (N(0,1)). (3) A convergência de uma distribuição binomial (n,p), onde n é o número de ensaios de Bernoulli e p é a probabilidade de sucesso em cada um, quando n aumenta, pode ser provada como um simples caso particular do TCL. 39 QUESTÃO 10 (ANPEC-1993): Quanto à desigualdade de Tchebycheff, supondo-se que uma variável aleatória tenha média e variância finita, ela assegura que a probabilidade: (0) de a variável assumir um valor maior ou igual a n é menor ou igual à variância mais a média divididos por 2 n . (1) de a variável ultrapassar a média de um valor maior ou igual n vezes o desvio padrão é menor ou igual ao inverso de 2 n . (2) de a variável ultrapassar a média de um valor maior ou igual a n é menor ou igual ao inverso de 2 n . (3) de a variável ultrapassar a média de um valor maior ou igual a n é menor ou igual ao segundo momento dividido por 2 n . QUESTÃO 13 (ANPEC-1993): Com relação às distribuições t, Qui-quadrado e F pode-se afirmar que: (0) A soma de normais com média 0 e variância 1 dá sempre uma Qui-quadrado. (1) Uma F com m e n graus de liberdade resulta da divisão de uma Qui-quadrado com m graus de liberdade por uma Qui-quadrado com n graus de liberdade, sendo ambas independentes. (2) A Qui-quadrado com m graus de liberdade resulta da soma de m normais independentes, de média zero, ao quadrado. (3) A distribuição t de n graus de liberdade coincide com a de F com 1 e n graus de liberdade. (4) A raiz quadrada de uma Qui-quadrado com 2 graus de liberdade dividida por dois distribui-se com uma distribuição normal com média 0 e variância 1. QUESTÃO 06 (ANPEC-1994): Seja X uma variável aleatória que representa o valor das vendas de um determinado produto em um mês. X é normalmente distribuída com média $500 e desvio padrão $50. Podemos afirmar que: (0) A probabilidade do valor das vendas ser superior a $600 é 5,3%. (1) No intervalo (450 ── 550) então contidas 68,3% de todos os possíveis valores das vendas mensais do produto. (2) Em 20% dos casos as vendas são inferiores a $458. (3) A distribuição normal é plenamente especificada pelo seu parâmetro média. 40 (4) A distribuição é contínua e simétrica em relação ao valor de vendas $500 e a moda divide a área sob a curva em duas metades iguais. QUESTÃO 11 (ANPEC-1995): A respeito das distribuições de probabilidade, pode-se afirmar que: (0) A distribuição qui-quadrado - 2 X - com n graus de liberdade é definida como a soma dos quadrados de n variáveis aleatórias com distribuição normal padrão. (1) A distribuição de Poisson tem média igual à variância, que por sua vez é igual ao parâmetro da distribuição. (2) A distribuição F de Snedecor é definida pelo quociente de duas variáveis aleatórias independentes e normalmente distribuídas. (3) A distribuição normal é perfeitamente definida caso se conheçam seus dois primeiros momentos. (4) A distribuição hipergeométrica é aplicada a variáveis aleatórias discretas, quando se consideram extrações aleatórias, sem reposição, de uma população dividida segundo dois atributos. QUESTÃO 02 (ANPEC-1996): Uma companhia de teatro planeja a estréia de uma nova peça para breve. Estima-se que o público pagante no n-ésimo dia da temporada seja uma variável de Poisson com parâmetro dado por ìn=400(1-n/200). Admita que o montante relativo aos custos fixos seja da ordem de R$ 2050 por dia, enquanto que o preço do ingresso seja de R$10. Determine a duração ótima (isto é, a que maximiza o lucro total esperado) da temporada. QUESTÃO 13 (ANPEC-1996): Suponha que X1, X2,... , Xn sejam identicamente distribuídas, tendo valor esperado e variâncias comuns dados por µ e o 2 , respectivamente. Defina a variância amostral como 2 1 1 1 2 S n k X k n X       ( ) ( ) , e considere as seguintes assertivas: (I) A média amostral é um estimador consistente de µ. (II) A variável (n-1)S 2 /o 2 tem distribuição de qui-quadrado com n-1 graus de liberdade. (III) S 2 é estimador não-tendencioso de o 2 . (IV) A média amostral tem distribuição normal. 41 Podemos afirmar que: (0) Se X 1 , X 2 , ... , X n são normalmente distribuídas, somente (II) está errada. (1) A assertiva (III) é correta mesmo sem a hipótese de normalidade de X 1 , X 2 ,... , X n . (2) A assertiva (I) é conseqüência da Lei Fraca dos Grandes Números. (3) Se X 1 , X 2 ,... , X n são normalmente distribuídas, então a variável nX S _ / 2 tem distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade, mesmo quando µ é diferente de zero. QUESTÃO 04 (ANPEC-1997): As ações das companhias X e Y são negociadas na bolsa de valores por R$ 1,00 cada em um determinado dia. Os retornos de cada ação de X e Y, para 30 dias à frente, denotados respectivamente por ( ) ' y x r r , , têm distribuição bi-variada Normal com média: | | . | \ | y x µ µ , e matriz de covariância: ( ¸ ( ¸ yy yx xy xx o o o o . O retorno total da carteira de um investidor ( T r ) é dado pela combinação convexa entre os retornos dos diferentes ativos nesta. Se apenas considerarmos X e Y, o retorno total é dado por: ( ) y x T r r r · ÷ + · = o o 1 , onde o é a proporção do valor da carteira investida na companhia X. Caso o investidor compre uma ação de cada companhia, e as venda 30 dias depois, pode-se afirmar que: (0) a variância do retorno total do investidor é xy yy xx o o o 2 1 + 4 1 + 4 1 . (1) caso os retornos das ações tenham coeficiente de correlação unitário, o desvio padrão do retorno total é dado por 2 / 1 2 / 1 2 1 + 2 1 yy xx o o . (2) caso os retornos das ações tenham coeficiente de correlação menor que a unidade, o retorno total esperado do investidor é dado por xy y x o µ µ + + 2 1 2 1 . (3) caso os retornos das ações tenham coeficiente de correlação menor que a unidade, o desvio padrão do retorno total é necessariamente menor do que 2 / 1 2 / 1 2 1 + 2 1 yy xx o o . (4) caso o retorno das ações tenham coeficiente de correlação zero, o retorno esperado do investidor é dado por y x µ µ 2 1 2 1 + . QUESTÃO 05 (ANPEC-1997): A nota média de um exame de seleção para um emprego foi de 50, com desvio padrão de 10. Se os resultados estão normalmente distribuídos e se a nota mínima para ser contratado 42 no emprego corresponde ao percentil de ordem 80, qual a nota mínima que o candidato deve obter para conseguir o emprego? (Considere apenas a parte inteira da resposta) QUESTÃO 05 (ANPEC-1998): Verifique quais das afirmações abaixo são verdadeiras e quais são falsas. (0) A variável aleatória “t” é definida como ) 1 ( 2 1 ÷ ÷ n Z n _ , onde Z tem distribuição normal-padrão e _ 2 é uma distribuição qui-quadrado com (n - 1) graus de liberdade. (1) A distribuição “t” de Student tem média igual a (n - 1) e variância igual a (n - 1)/(n - 3). (2) A distribuição de uma razão de duas variáveis aleatórias qui-quadrado independentes, divididas cada uma pelo seu respectivo número de graus de liberdade, é chamada de distribuição “F”. (3) A estatística “F” pode ser utilizada para verificar a igualdade de duas variâncias provenientes de duas populações quaisquer. QUESTÃO 11 (ANPEC-1999): Podemos afirmar que: (0) A distribuição qui-quadrado muda de forma de acordo com o tamanho da amostra. Para amostras pequenas, a distribuição se inclina para a direita assimetricamente e torna-se cada vez mais simétrica à medida que o tamanho da amostra cresce. (1) A distribuição “t” é sempre simétrica com média zero e à medida que o tamanho da amostra aumenta, a distribuição “t” aproxima-se da distribuição normal padrão. (2) A distribuição “F” é uma razão entre duas variáveis aleatórias “t” independentes, cada uma delas dividida pelo respectivo número de graus de liberdade. (3) A distribuição normal apresenta dois pontos de inflexão na sua função de densidade de probabilidade f(x) nos pontos x =µ - 2o e x =µ +2o, onde µ é a média e o o desvio padrão. (4) Se X é uma variável aleatória uniforme com a seguinte função de densidade de probabilidade. ¹ ´ ¦ < < = valores. outros quaisquer 0 se ) ( b x a k x f Então k =b - a. QUESTÃO 12 (ANPEC-1999): 43 Sobre as distribuições de probabilidade podemos afirmar que: (0) Na distribuição Binomial não é possível contar as não-ocorrências do evento e a média e a variância são iguais ao parâmetro da distribuição. (1) As características da distribuição de Poisson são: (i) n repetições de um experimento de Bernoulli; (ii) as repetições são independentes; (iii) cada experimento tem dois resultados possíveis que são mutuamente exclusivos; (iv) a distribuição de probabilidade é definida como x n x q p x n x X P ÷ | | . | \ | = = . . ) ( , x = 1, 2,…, n, onde n =número de repetições do experimento, p =probabilidade de ocorrência de sucesso e q =1 - p. (2) A média de uma distribuição Geométrica é 1/p, onde p =probabilidade de ocorrência de sucesso. (3) Um levantamento junto ao Setor de Contabilidade de uma loja de departamentos mostrou que 30% dos clientes pagam suas mensalidades com atraso. Se em certo dia selecionarmos ao acaso 10 pessoas que pagaram suas dívidas mensais, a probabilidade de no máximo um cliente ter pago com atraso é aproximadamente 15%. QUESTÃO 03 (ANPEC-2000): Dados os seguintes enunciados envolvendo variáveis aleatórias, é correto afirmar que: (0) Se Y* =a +bY 2 e X* =c +dX 2 , em que a, b, c, d são constantes reais, (b,d)>0, E(X) =E(Y)=0, então correlação (Y*, X*) =correlação (Y,X). (1) Se (Y,X) possuem uma distribuição Normal bivariada, então, segue-se que E(Y|X) = a +b Y, em que a e b dependem dos momentos de Y e X. (2) Se X~Normal(0,1) então Y=e X tem distribuição lognormal com E(Y)=e 1/2 . (3) Se (X,Y) possuem densidade conjunta f(x,y) =| 2 e -| y , | >0, e 0 s x s y, então E(X)=1/|. QUESTÃO 12 (ANPEC-2000): Dados os seguintes enunciados, é correto afirmar que: (0) A Lei Fraca dos Grandes Números diz que: dada uma variável aleatória com distribuição arbitrária e média e variância finita, a média amostral obtida a partir de uma amostra aleatória de tamanho n terá distribuição Normal. 44 (1) Se X 1 , X 2 ,..., X n são variáveis aleatórias independentes, com distribuição Poisson(u), u >0, então, para n "grande", é válida a seguinte aproximação: \n ( ___ X - u) / u ~ N(0,1), em que __ X é a média amostral. (2) Se X 1 , X 2 ,..., X n são variáveis aleatórias independentes, com distribuição Normal (µ,o 2 ), o 2 >0, então, para qualquer tamanho de n, \n ( ___ X - µ) / o ~Normal (0,1), em que __ X é a média amostral. QUESTÃO 07 (ANPEC-2002): Em relação às distribuições de probabilidade discretas: (0) Uma variável aleatória X com distribuição binomial de parâmetro p, baseada em n repetições, aproxima-se de uma Poisson quando · ÷ n e p permanece constante. (1) Uma variável aleatória Y, definida como o número de repetições necessárias para a primeira ocorrência de A, tem distribuição Geométrica, desde que as repetições sejam independentes e que P(A) =p e P(A C ) =1-p. (2) Pode-se utilizar a distribuição Binomial para, por exemplo, calcular a probabilidade de se encontrar k peças defeituosas em um lote de n peças selecionadas ao acaso, sem reposição. (3) Se uma variável aleatória segue uma distribuição Hipergeométrica, sua distribuição será próxima da Binomial se o tamanho da população for grande em relação ao tamanho da amostra extraida . (4) Se Z tiver distribuição de Poisson com parâmetro o , então, E(Z) =V(Z) =o . QUESTÃO 08 (ANPEC-2002): Em relação às distribuições de probabilidade contínuas: (0) Se X tem distribuição Normal( 2 ,o µ ), então a função densidade de probabilidade de X, f(x), atinge o seu valor máximo quando x =µ e nesse ponto t o 2 1 ) ( = x f . (1) Se X tem distribuição Uniforme no intervalo [0,o ], o >0, então, o tem que ser igual a 4/3 para que P(X >1) =1/3. (2) A distribuição t de Student assemelha-se à Normal padrão, N(0,1), mas possui caudas mais pesadas, quando n, o tamanho da amostra, é maior do que 30. (3) Se uma variável aleatória contínua tem função de distribuição 0 se 0 0 se 1 ) ( < = > ÷ = ÷ x x e x F x 45 então a função densidade de probabilidade de X será . 0 se 0 0 se ) ( < = > = ÷ x x e x f x (4) A variável aleatória Z tem distribuição Lognormal se e somente se exp (Z) tiver distribuição Normal. QUESTÃO 04 (ANPEC-2003): Com relação às variáveis aleatórias discretas é correto afirmar que: (0) Se X 1 ,..., X n são variáveis aleatórias identicamente distribuídas com distribuição Bernoulli com parâmetro p, então ¿ = = n i i X Z 1 terá uma distribuição Poisson quando n for grande; (1) Uma variável aleatória com distribuição binomial representa o número de sucessos em n experimentos de Bernoulli; (2) A distribuição hipergeométrica é um caso especial da distribuição Normal; (3) A distribuição Qui-quadrado possui média igual a n e variância igual a 4n, em que n é o número de graus de liberdade; (4) A distribuição binomial pode ser aproximada pela distribuição de Poisson para valores grandes de n (tamanho da amostra) e pequenos de p (probabilidade de sucesso). QUESTÃO 12 (ANPEC-2003): Três máquinas, A, B e C, produzem respectivamente 50%, 30% e 20% do número total de peças de uma fábrica. As porcentagens de peças defeituosas na produção dessas máquinas são respectivamente 3%, 4% e 5%. Uma peça é selecionada ao acaso e constata-se ser ela defeituosa. Encontre a probabilidade de a peça ter sido produzida pela máquina A. (Use apenas duas casas decimais. Multiplique o resultado final por 100). QUESTÃO 13 (ANPEC-2003): A probabilidade de um homem acertar um alvo é ¼. Quantas vezes ele deve atirar para que a probabilidade de acertar pelo menos uma vez no alvo seja maior que 2/3? QUESTÃO 14 (ANPEC-2003): 46 Considere o vetor aleatório X =(X 1 , X 2 , X 3 ) com distribuição de probabilidade ¹ ´ ¦ s s s s s s = contrário caso 0 2 0 , 1 0 , 1 0 6 ) , , ( 3 2 1 3 2 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x f X Encontre a probabilidade de 5 , 0 0 1 s s x . (Multiplique o resultado por 100). QUESTÃO 03 (ANPEC-2004): Sobre coeficiente de correlação, covariância e independência de variáveis aleatórias, são corretas as afirmativas: (0) Seja ) , ( y x µ o coeficiente de correlação entre as variáveis x e y. Se ab>0, então ) , ( ) , ( y x by ax µ µ = ; e se ab<0, ) , ( ) , ( y x by ax µ µ ÷ = . (1) Se a função densidade conjunta de x e y for y x e y x f ÷ ÷ = ) , ( , x>0, y>0 e 0 ) , ( = y x f para outros valores de x e y, então ) , ( y x µ =0. (2) Sejam A e B dois eventos independentes, com probabilidades positivas, associados a um experimento aleatório ε. Se as variáveis aleatórias x e y são definidas como: x = 1, se ocorrer A e x =0, em caso contrário; e y =1, se ocorrer B e y =0, em caso contrário, então ) , ( y x µ = 0. (3) Em relação ao quesito anterior, pode-se afirmar ainda que a covariância entre x e y é diferente de zero. (4) Se o coeficiente de correlação ) , ( y x µ =0, a covariância entre x e y também é zero. Assim sendo, pode-se afirmar que x e y são variáveis aleatórias independentes. QUESTÃO 04 (ANPEC-2004): Um importador adquiriu vários artigos ao preço médio de US$ 15.00 com um desvio- padrão de US$ 1.00. Sabendo-se que a taxa de câmbio é de R$ 3,00 por dólar, é correto afirmar: (0) Convertendo-se o valor das compras para reais, o preço médio dos produtos adquiridos será de R$ 45,00. (1) Em reais, o desvio-padrão será de R$ 3,00. (2) Se ao preço original de cada artigo, um intermediário adicionar uma margem de lucro fixa de R$ 10,00, o novo preço médio será R$ 55,00 com um desvio-padrão de R$ 6,00. (3) Se a margem de lucro for de 20% sobre o preço em reais, o novo preço médio será R$ 54,00 e o novo desvio-padrão será R$ 3,60. (4) O coeficiente de variação calculado em reais, devido à taxa de câmbio, será 3 vezes maior do que aquele calculado utilizando-se os valores em dólar. 47 QUESTÃO 05 (ANPEC-2004): Uma variável aleatória continua x tem a sua função densidade de probabilidade dada pelo gráfico: São corretas as afirmativas: (0) O valor da constante K 1 não poderá ser maior do que 1. (1) O valor da constante K 2 será igual a (K 1 +2)/2K 1 . (2) A função densidade de probabilidade de x será ¦ ¹ ¦ ´ ¦ s s < s = . intervalos desses fora , 0 1 , 1 0 , ) ( 2 1 1 K x K x x K x f (3) A função de distribuição acumulada de x será ¦ ¹ ¦ ´ ¦ > < s < s = 2 2 1 2 1 , 1 1 , 1 0 , 2 / ) ( K x K x x K x x K x F (4) Supondo que K 2 =1, a esperança matemática de x, E(x), será 1/3. QUESTÃO 03 (ANPEC-2005): São corretas as afirmativas: (0) Se X é uma variável aleatória com distribuição normal de média µ e variância 2 o , então ( ) 2 2 o µ ÷ = X Z segue uma distribuição 2 _ com 1 grau de liberdade. (1) Se X 1 ,..., X n são variáveis aleatórias identicamente distribuídas com distribuição Bernoulli com parâmetro p, então ¿ = = n i i X Z 1 segue uma distribuição Poisson. (2) Se X é uma variável aleatória com distribuição t com n graus de liberdade, então 2 X Z = segue uma distribuição F com 1 e n graus de liberdade. (3) Se X é uma variável aleatória Poisson com média ì , então a variância de X é 2 ì . (4) Se a variável X =lnY segue uma distribuição normal, então Y segue uma distribuição lognormal. K 1 K 2 1 48 QUESTÃO 02 (ANPEC-2006): São corretas as afirmativas: (0) Seja Y uma variável aleatória com distribuição Binomial com parâmetros n e p, em que 1 0 s s p . Então, sendo n grande e p pequeno, a distribuição de Y aproxima-se de uma Poisson cuja média é np. (1) Se Y é uma variável aleatória Normal com média 0 e variância 1; se X segue uma Qui-quadrado com r graus de liberdade; e se Y são X independentes, então r X Y Z = segue uma distribuição t com r graus de liberdade. (2) Sejam X e Y variáveis aleatórias distribuídas segundo uma Normal bivariada. Suponha que E(X) =µ X , E(Y) =µ Y , 2 ) ( X X Var o = , 2 ) ( Y Y Var o = e que a correlação entre X e Y seja ρ XY . Então, Z =aX +bY, em que a e b são constantes diferentes de 0, segue uma distribuição Normal com média aµ X + bµ Y + abµ X µ Y e variância a 2 σ X 2 + b 2 σ Y 2 + 2abρ XY . (3) Sejam Y e X variáveis aleatórias com distribuições Qui-quadrado com p e q graus de liberdade, respectivamente. Portanto, | . | \ | | . | \ | = q X p Y Z segue uma distribuição F com p e q graus de liberdade. (4) Sejam X e Y variáveis aleatórias conjuntamente distribuídas segundo uma Normal bivariada. Suponha que E(X) =µ X , E(Y) =µ Y , 2 ) ( X X Var o = , 2 ) ( Y Y Var o = e que a correlação entre X e Y seja ρ XY . Então, E(Y|X) =µ Y + ρ XY (x – µ X ). QUESTÃO 10 (ANPEC-2006): Julgue as afirmativas: (0) Se a variável aleatória Y segue uma distribuição Bernoulli com parâmetro p, então E(Y) = p. (1) Uma soma de variáveis aleatórias Binomiais segue uma distribuição Bernoulli. (2) A distribuição Geométrica é um caso especial da distribuição Binomial. (3) Uma distribuição Lognormal é assimétrica à direita. (4) A variância de uma distribuição uniforme entre 0 e 2 é igual a 0,5. QUESTÃO 06 (ANPEC-2011): Sejam X 1 , X 2 ,..., X n variáveis aleatórias independentes e normalmente distribuídas, com média 0 e variância σ². 49 (0) Se σ = 1, a variável Y =( 2 1 X + 2 2 X )/(2 2 3 X ) possui uma distribuição F com n 1 e n 2 graus de liberdade, para n 1 =1 e n 2 =2. (1) A variável ( ) 2 / 2 3 2 1 1 X X X W + = possui uma distribuição t com 2 graus de liberdade. (2) Defina Z =( 2 1 X + 2 2 X ) /σ². Então E(Z - 2)³ =0. (3) Suponha que σ = 1 e que H seja uma variável aleatória independente de X 1 e que P(H =1) =P(H =-1) =0,5. Então Y =HX 1 ~N(0,1). (4) Sabemos que Pr(Z>5165,615)=0,05, onde Z é uma variável aleatória com distribuição 2 5000 _ . Suponha que n = 5001. Defina ¿ = ÷ = n i i X n X 1 1 e ( ) ( ) 1 / 2 1 2 ÷ ÷ = ¿ = n X X S n i i . Se S² =5,3, pode-se rejeitar a hipótese nula de que σ² =5 ao nível de significância de 5%. Teoremas de Probabilidade QUESTÃO 05 (ANPEC-1992): Qual o menor valor que k pode assumir, de acordo com o Teorema de Tchebycheff, para que ] 06 , 0 ) ( [ > + s s ÷ o µ o µ k x k P , isto é, a probabilidade de x estar entre o µ k ÷ e o µ k + seja maior ou igual a 0,06? QUESTÃO 11 (ANPEC-1998): Com relação à desigualdade de Tchebycheff e ao Teorema Central do Limite, pode-se afirmar que: (0) Se uma variável aleatória X tem média µ·, E(X)=µ·, e variância igual a zero, Var(X) =0, então 1 } { = s ÷ c µ X P para todo 0 > c , ou seja, toda a probabilidade estará concentrada na média E(X) =µ·. (1) Seja X uma variável aleatória com média µ e variância o 2 . Quando se considera o evento complementar, uma das formas da desigualdade de Tchebycheff é igual a 2 1 1 } { k k X P ÷ > > ÷ o µ , onde k é um número real. (2) Se a população tem distribuição Normal, então a distribuição das médias amostrais também será Normal, independente do tamanho da amostra. (3) Se X tem distribuição desconhecida com média 500 e variância 2.500, para uma amostra aleatória de tamanho 100 podemos afirmar que a média da amostra tem distribuição aproximadamente normal com média 500 e variância 25. 50 QUESTÃO 09 (ANPEC-1999): Podemos afirmar que: (0) Pelo Teorema do Limite Central podemos afirmar que se a variável aleatória X tem uma distribuição qualquer com média µ e variância o 2 , então a distribuição de X (média da amostra) aproxima-se da distribuição normal com os mesmos parâmetros média µ e variância o 2 , quando o tamanho da amostra aumenta. (1) Sejam as variáveis aleatórias i X (i=1, 2,…, 10) independentes e normalmente distribuídas com média µ =10 e desvio padrão o =2. Então, se ¿ = = 10 1 i i X Y podemos afirmar que, à medida que n cresce, Y tende para uma distribuição normal com média E(Y) =1 e V(Y) =0,2. (2) Uma distribuição binomial tende a uma distribuição normal quando o número n de provas independentes de Bernoulli cresce. (3) Se a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória X é conhecida, podemos calcular sua esperança e sua variância, se existirem. Embora a recíproca não seja verdadeira, poderemos estabelecer um limite superior (ou inferior) muito útil para as probabilidades da distribuição através do uso da desigualdade de Tchebycheff. (4) Para qualquer tamanho de amostra, a distribuição amostral de proporções de uma amostra de sucessos é mais dispersa quando a proporção populacional é igual ½ e é menos dispersa quando a proporção populacional é igual a zero ou a um. QUESTÃO 06 (ANPEC-2002): Indique se as seguintes considerações sobre a Lei dos Grandes Números, Desigualdade de Tchebycheff e teorema do Limite Central são verdadeiras (V) ou falsas (F). (0) De acordo com a desigualdade de Tchebycheff, se a variância de uma variável aleatória X for muito próxima de zero, a maior parte da distribuição de X estará concentrada próxima de sua média. (1) O teorema do Limite Central afirma que,para uma amostra grande o suficiente, a distribuição de uma amostra aleatória de uma população Qui-quadrado se aproxima da Normal. (2) As condições suficientes para identificar a consistência de um estimador são baseadas na Lei dos Grandes Números. (3) Em n repetições independentes de um experimento, se A f é a freqüência relativa da ocorrência de A, então 2 ) 1 ( 1 } { c c n P P P f P A ÷ ÷ s < ÷ , em que P é a probabilidade constante do evento A e c é qualquer número positivo. 51 (4) Se uma variável aleatória X tem distribuição Binomial com parâmetros n =20 e P = 0,5, então ( ) 5 10 } { ÷ u ~ s a a X P em que ) (- u é a função de distribuição Normal padrão. QUESTÃO 15 (ANPEC-2002): Quantas vezes ter-se-á de jogar uma moeda equilibrada de forma a se ter pelo menos 95% de certeza de que a freqüência relativa do resultado “cara” fique a menos de 0,01 da probabilidade teórica ½, ou seja, de maneira que a amplitude do intervalo de confiança da probabilidade teórica seja 0,02? (Utilize o teorema de Tchebycheff. Divida a resposta por 1.000 e transcreva a parte inteira do número encontrado). QUESTÃO 11 (ANPEC-2003): O número de clientes – Y – que passa diariamente pelo caixa de um supermercado foi observado durante certo período. Constatou-se que o valor médio de Y é de 20 clientes, com desvio padrão igual a 2. Encontre o limite mínimo para a probabilidade de que o número de clientes amanhã se situe entre 16 e 24. (Pista: Utilize o teorema de Tchebycheff). Multiplique o resultado por 100. QUESTÃO 05 (ANPEC-2005): São corretas as afirmativas: (0) Uma variável aleatória X tem média zero e variância 36. Então, pela desigualdade de Tchebychev, 36 , 0 ) 10 | (| s > X P . (1) Pela Lei dos Grandes Números a distribuição da média amostral de n variáveis aleatórias independentes, para n suficientemente grande, é aproximadamente Normal. (2) O estimador de um determinado parâmetro é dito consistente se convergir, em probabilidade, para o valor do parâmetro verdadeiro. (3) A Lei dos Grandes Números está relacionada com o conceito de convergência em probabilidade, enquanto que o Teorema Central do Limite está relacionado com convergência em distribuição. (4) Um estimador é dito não-tendencioso se a sua variância for igual à variância do parâmetro estimado. QUESTÃO 05 (ANPEC-2006): São corretas as afirmativas: 52 (0) O teorema de Tchebychev é útil para se calcular o limite inferior para a probabilidade de uma variável aleatória com distribuição desconhecida quando se tem apenas a variância da população. (1) Um estimador não-tendencioso pode não ser consistente. (2) Um estimador consistente pode não ser eficiente. (3) Sejam Y 1 ,..., Y n variáveis aleatórias independentes com média µ e variância finita. Pela Lei dos Grandes Números, E(m) =µ, em que m = ¿ = n i i Y n 1 1 . (4) Sejam Y 1 ,..., Y n variáveis aleatórias independentes com média µ e variância finita. Pelo Teorema do Limite Central, a distribuição da média amostral m converge para uma distribuição Normal. INFERÊNCIA ESTATÍSTICA QUESTÃO 07 (ANPEC-1991): Com respeito aos testes de hipóteses pode-se afirmar que: (0) O nível de significância de um teste é a probabilidade de cometer erro do tipo I, isto é, a probabilidade de aceitar a hipótese nula, quando ela é falsa. (1) O valor 1 - | é o poder do teste, onde | é a probabilidade do erro do tipo II, isto é, a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. (2) Se n x x ,..., 1 é uma amostra aleatória de uma população normal com média µ e variância conhecida 2 o , para testar 0 H : 0 µ µ = contra 1 H : 0 µ µ = usa-se a distribuição t de Student. (3) Dada uma população de indivíduos de tamanho n, deseja-se verificar se a população de empregados é de 0,5. Esta verificação pode ser feita através do teste de hipóteses: 0 H : 2 / 1 = p contra 1 H : 2 / 1 = p usando-se, para tanto, a distribuição normal como aproximação da binomial. (4) Uma empresa afirma que 60% dos seus empregados são ligados à produção. Para verificar esta afirmativa, o sindicato decide usar uma amostra de 200 trabalhadores e observa que 105 deles estão ligados à produção. Ao nível de significância de 5% pode-se afirmar que o número de empregados ligados à produção é inferior a 60%. QUESTÃO 09 (ANPEC-1992): Considere n x x x , , , 2 1  uma amostra aleatória extraída de uma população que tem distribuição Normal com média µ e variância 2 o . Pode-se dizer que: 53 (0) n xi x ¿ = _ é um estimador não-viesado em µ. (1) 1 ) ( 2 _ 2 ÷ ÷ = ¿ n x xi S é um estimador não-viesado de 2 o . (2) _ x tem distribuição Normal com média µ e variância unitária. (3) 2 S tem distribuição qui-quadrado com n - 1 graus de liberdade. (4) P[- _ x <µ < _ x ] =68%. QUESTÃO 10 (ANPEC-1992): O intervalo de confiança permite avaliar a precisão de um estimador. Sobre ele é possível afirmar que: (0) O nível de confiança indica a probabilidade de o parâmetro populacional estar dentro do intervalo estabelecido. (1) O tamanho do intervalo varia inversamente com o tamanho da amostra. (2) Dado um tamanho de amostra, quanto maior o nível de confiança, menor o erro amostral permitido. (3) O intervalo com 100% de confiança para a variância 2 o estende-se de -· a +·. QUESTÃO 11 (ANPEC-1992): Economistas afirmam que o salário médio anual de advogado é maior do que o salário médio anual de economista. (0) Para testar a afirmação dos economistas é necessário apenas a hipótese de que as populações originais sejam normais. (1) A estatística do teste tem distribuição normal. (2) A hipótese alternativa deverá ser E A a H µ µ = : . (3) Rejeitar a hipótese nula implica em aceitar a veracidade da afirmativa. (4) A hipótese nula deverá ser E A H µ µ = : 0 . QUESTÃO 02 (ANPEC-1993): Dada uma população de 10 elementos, se dela se tirar, com reposição, todas as amostras aleatórias de tamanho três possíveis, pode-se afirmar que: (0) Ter-se-á 720 amostras. 54 (1) O primeiro elemento de qualquer uma das amostras é um estimador não viesado da média da população. (2) O primeiro elemento de qualquer uma das amostras é um estimador consistente da média da população. (3) A média das médias amostrais é igual à média da população dividida por n (tamanho da amostra). (4) A média amostral é um estimador eficiente da média da população. QUESTÃO 03 (ANPEC-1993): Suponha que se tenha usado dados de 12 plantações para estimar a função de produção: Y =2,10 +0,32 X (0,3) (0,08) em que Y é medido em toneladas de café por hectare de X em centenas de quilo de fertilizante por hectare. O erro-padrão das estimativas 0 b s e 1 b s são dados entre parênteses. Pode-se afirmar que: (0) Ao nível de 5% ambas estimativas são significantes. (1) Se o desvio-padrão da variável X ( X s ) é 1 e o desvio-padrão da variável Y ( Y s ) é 1 então o coeficiente de correlação entre X e Y, r, é 0,32. (2) Para fazer a análise de variância dessa regressão precisa-se conhecer apenas a variação explicada pela regressão uma vez que os graus de liberdade já são conhecidos. (3) Se o café custar $15 por tonelada e o fertilizante $3 por 100 quilos, não vale a pena ao fazendeiro usar mais fertilizante para aumentar a produção, pois o custo marginal excede a receita marginal. (4) Um aumento de 100 quilos de fertilizante provoca um aumento de 2,42 toneladas na produção de café. QUESTÃO 14 (ANPEC-1993): Dada uma população finita, de tamanho N, e uma amostra aleatória de tamanho n, (0) a média amostral é um estimador não viesado da média da população somente se a amostragem for feita com reposição. (1) a variância da média amostral será igual à variância da população sobre n somente se a amostragem for feita com reposição. (2) 2 o multiplicado por 1 ÷ N N é sempre um estimador não viesado da variância da população. 55 (3) intervalos de confiança para a média da população podem ser obtidos, na maioria dos casos, i.e. n maior que 40, com o auxílio da distribuição normal. QUESTÃO 07 (ANPEC-1994): De 50.000 válvulas fabricadas por uma companhia, retirou-se uma amostra aleatória de 400 válvulas e verificou-se que a vida média era de 800 horas, com um desvio-padrão de 100 horas. (0) A estimativa da média populacional pertence ao intervalo (787,1 ── 812,9) com uma confiança de 99%. (1) Com uma confiança de 95% poderíamos afirmar que a vida média está no intervalo [(800 - 12) ── (800 +12)]. (2) Para que seja de 95% a confiança na estimativa [(800 - 7,84) ── (800 +7,84)] a amostra deve ser composta por 625 válvulas. (3) O nível de confiança na estimação por intervalo (por exemplo 95%) significa que, construídos todos os intervalos possíveis, 95% dos casos conterão o parâmetro populacional. (4) Quanto mais alto o grau de confiança, mais estreito é o intervalo de confiança correspondente. QUESTÃO 08 (ANPEC-1994): Com relação aos testes de hipóteses, podermos afirmar que: (0) O erro tipo I ou de primeira espécie consiste em se aceitar a hipótese nula ) ( 0 H quando ela é falsa. (1) Os testes de hipóteses dizem respeito a regras de decisão para aceitar ou rejeitar uma hipótese estatística com base nos elementos amostrais. (2) A probabilidade | de cometer o erro tipo II aumenta à medida que o valor do parâmetro se afasta do valor testado. (3) Num teste de hipóteses para a média, quando a variância populacional é desconhecida, devemos utilizar a estatística Z que tem distribuição N(0,1). (4) Sejam duas amostras provenientes de duas populações normais independentes. Se as variâncias populacionais são iguais, porém desconhecidas, a estatística a ser utilizada no teste de igualdade de médias é a “t” de Student com (n+m-2) graus de liberdade, onde n e m são os tamanhos das amostras e (n +m) <30. QUESTÃO 10 (ANPEC-1994): 56 Deseja-se investigar a afirmação de que o salário médio anual dos economistas em São Paulo é maior do que o salário médio anual dos economistas no Rio de Janeiro. Pode-se afirmar que: (0) É necessário apenas que a amostra em cada população inclua os economistas com mais de 10 anos de profissão. (1) É necessário assumir que os salários em ambas as populações seguem uma distribuição normal. (2) A hipótese nula deverá ser SP RJ H µ µ < : 0 em que RJ µ é a média populacional dos salários no Rio de Janeiro e µ SP é a média populacional dos salários em São Paulo. (3) Se o teste for estatisticamente significante podemos concluir que os economistas paulistas, na média, recebem um salário significante superior aos seus colegas cariocas. (4) Quanto maior o tamanho da amostra, para um mesmo nível de significância, maior a possibilidade de se rejeitar a hipótese nula. QUESTÃO 13 (ANPEC-1994): Suponha que certa distribuição com média desconhecida tenha variância igual a um. Quanto deve ser o tamanho da amostra de forma que a probabilidade que a média amostral X difira da média populacional em 1/2, seja pelo menos 0.95? QUESTÃO 02 (ANPEC-1995): Sejam ) , , , ( 2 1 n X X X  uma amostra aleatória com n elementos de certa população e u um parâmetro dessa população. Pode-se afirmar que: (0) Um estimador T do parâmetro u é função de ) , , , ( 2 1 n X X X  . (1) T será um estimador não-viesado de u se E(T) =u. (2) A variância amostral, definida por n X X n i i ¿ = ÷ 1 2 ) ( , é um estimador não-viesado da variância populacional. (3) { n T } será uma seqüência consistente de estimadores de u se: 0 ) ( lim = · ÷ n n T E e . 1 ) ( lim = · ÷ n n T Var (4) Se 1 T e 2 T são dois estimadores não-viesados de um mesmo parâmetro u, e se Var( 1 T ) <Var( 2 T ), então 1 T é menos eficiente que 2 T . 57 QUESTÃO 09 (ANPEC-1995): Com relação aos testes de hipóteses, pode-se afirmar que: (0) A probabilidade do erro tipo I, ou de primeira espécie, é denominada de nível de significância do teste. (1) O erro tipo II, ou de segunda espécie, consiste em aceitar a hipótese nula ( 0 H ) quando esta é falsa. (2) Quanto menor for o nível de significância de um teste, mais extremo deve ser o valor calculado da estatística do teste para que se rejeite ( 0 H ). (3) Em um teste de hipóteses para comparação de duas médias provenientes de populações normalmente distribuídas com variâncias iguais e desconhecidas, a estatística utilizada é a “t” de Student. QUESTÃO 13 (ANPEC-1995): Quando se realiza um teste de hipótese, convém saber que: (0) A conclusão do teste é sensível à forma como se define a hipótese nula. (1) A região de rejeição da hipótese nula deve abranger todos os valores que a estatística de teste não pode assumir. (2) Sempre que possível, deve-se adotar nível de significância de zero por cento. (3) O poder do teste é dado pela probabilidade de se rejeitar a hipótese nula quando esta é falsa. (4) A estatística do teste a ser utilizada depende da distribuição do estimador. QUESTÃO 14 (ANPEC-1995): O representante de um grupo comunitário informa a uma pessoa interessada em estabelecer um centro comercial que a renda média familiar na área é de R$ 15.000. Suponha que, para a área em questão, seja possível admitir que a renda média familiar tem distribuição aproximadamente normal, e que se possa aceitar o desvio-padrão como sendo R$ 2.000 (com base em um estudo anterior). Para uma amostra aleatória de 16 famílias, a renda média familiar foi de R$ 15.500. O centro comercial só será construído se o nível médio de renda familiar (µ) for maior que o informado. (0) A hipótese nula deve ser 000 . 15 $ : 0 R H = µ . (1) A hipótese alternativa deve ser . 000 . 15 $ : 1 R H < µ (2) Não pode ser realizado qualquer teste, pois o número de elementos da amostra é pequeno. (3) A estatística que deve ser utilizada para a elaboração do teste é a Z, que tem distribuição N(0,1). 58 (4) Um teste feito ao nível de significância de 5% permite concluir que a condição para a construção do centro será satisfeita. QUESTÃO 08 (ANPEC-1996): Sejam X1, X2,... , Xm e Y1, Y2,... , Yn variáveis aleatórias independentes tais que Xi~N(µ, o 2 ) e Yj~N(v,t 2 ). Podemos afirmar que: (0) Se, num teste de hipótese com H0: µ=0 e H1: µ=0 e nível de significância de 5%, rejeitamos H0, então o intervalo de confiança para a média, com nível de confiança igual a 95%, não irá conter o número zero. (1) Se dispomos de dois testes (T1 e T2, digamos) apropriados para testar a hipótese H0: µ v e precisamos escolher um deles, então se a potência (ou poder) de T1 é sempre superior à do teste T2 e ambos têm o mesmo nível de significância, é preferível usar o teste T2. (2) Só podemos testar a hipótese H0: µ=v quando m=n. (3) Só podemos usar o teste F para a hipótese H0: o 2 =t 2 quando sabemos de antemão que µ=v QUESTÃO 09 (ANPEC-1996): Seja X Normal ~ ( , ) µ o 2 . Considere o problema de estimação de µ a partir de uma amostra aleatória X X n 1 , ,  e considere os três estimadores abaixo: M n X k k n 1 1 1 = = ¿ M n X k k n 2 1 1 1 = + = ¿ M X n X k k n 3 1 2 1 2 1 2 = + = ¿ Podemos afirmar que: (0) M 1 é tendencioso. (1) M 2 é tendencioso e M 3 é não-tendencioso. (2) Somente M 1 é não-tendencioso. (3) M 2 é o melhor estimador linear não-tendencioso. (4) M 2 e M 3 são não-eficientes. (5) M 1 é consistente. 59 QUESTÃO 08 (ANPEC-1997): Com relação a um estimador u ˆ do parâmetro populacional u , pode-se afirmar que: (0) u ˆ é dito consistente quando seu valor esperado é igual a u , mesmo para amostras de tamanho pequeno. (1) O melhor estimador de u sob o critério de erro quadrático médio mínimo não é necessàriamente não-tendencioso. (2) Um estimador de u é chamado linear se é uma função linear das observações amostrais. (3) Um estimador de u é considerado relativamente eficiente se: a) é consistente; b) sua variância é menor do que a variância de qualquer outro estimador consistente de u . QUESTÃO 09 (ANPEC-1997): Com base na Teoria da Estimação, temos: (0) Se u é o parâmetro populacional e u ˆ seu estimador, dizemos que u ˆ é um estimador não-tendencioso ou não-viesado de u se, e somente se, em média, u ˆ tem o mesmo valor de u . (1) Com base numa amostra aleatória de duas observações ( 1 X e 2 X ) de uma distribuição populacional com média µ , se 2 1 X 2/3 + X 1/3 = W · · , então W é um estimador tendencioso de µ. (2) Dada uma amostra aleatória de n observações, dizemos que u ˆ é um estimador consistente do parâmetro populacional u se | | c c u u qualquer para 1 | ˆ | lim = < ÷ · ÷ P n >0. (3) Seja X uma variável aleatória com média µ e variância o 2 . Pela desigualdade de Tchebycheff temos que | | . 0 se | | 2 2 > s > ÷ k k k X P o µ QUESTÃO 10 (ANPEC-1997): Seja X1,..., XN uma amostra aleatória de uma população com média µ e variância 2 o . Sejam W e Z estimadores de µ dados por: ¿ ¿ = = · = N i N i i i X i W 1 1 ; N X Z N i i ¿ = = 1 . 60 Pode-se afirmar que: (0) W é não-tendencioso. (1) W é tendencioso, e Z é não-tendencioso. (2) Z é consistente. (3) W é consistente. (4) Se 2 > N , Z é relativamente mais eficiente que W. QUESTÃO 11 (ANPEC-1997): A vida útil de um tubo de televisão tem distribuição Normal com desvio padrão (conhecido) de 500 horas. O fabricante afirma que a vida útil média dos tubos é de, no mínimo, 9.000 horas. Sabendo-se que a vida útil média encontrada para uma amostra aleatória de 16 tubos foi de 8.800 horas, podemos afirmar que: (0) Para verificar a veracidade da informação do fabricante através de um teste estatístico de hipóteses, as hipóteses são: Hipótese nula : H 0 : µ =9.000 horas Hipótese alternativa : H 1 : µ >9.000 horas (1) Ao nível de significância de 5%, não podemos contestar a afirmação do fabricante. (2) Se a informação amostral fosse obtida de uma amostra de 36 tubos, ao nível de significância de 2,5% também não podemos contestar a afirmação do fabricante. (3) O tamanho mínimo da amostra para uma estimativa por intervalo da vida média dos tubos deveria ser de 50 tubos, de modo que o erro da estimativa não excedesse a 100 horas, com uma probabilidade de 95%. (4) Caso desconheçamos o desvio padrão populacional é impossível testar a validade da afirmação do fabricante. QUESTÃO 12 (ANPEC-1997): Com base na Inferência Estatística, podemos fazer as seguintes afirmações: (0) A redução da probabilidade de erro do tipo I não tem qualquer efeito sobre a probabilidade de erro do tipo II. (1) Sob condições bastante gerais, na medida em que o tamanho da amostra aumenta, a distribuição de probabilidade da média da amostra torna-se mais concentrada em torno da média populacional e o intervalo de confiança torna-se menos amplo e mais preciso. (2) Quando desejamos estimar a média populacional µ, se estamos trabalhando com amostras pequenas, com a variância populacional desconhecida, devemos utilizar a estatística “t” de Student, qualquer que seja a distribuição de probabilidade da 61 população, sendo n S X t µ ÷ = , onde X = média amostral; S = desvio padrão amostral; e n =tamanho da amostra. (3) Sejam: H 0 a hipótese nula e H 1 a hipótese alternativa de um teste estatístico. Testar H 0 consiste essencialmente em determinar uma região crítica para a estatística em estudo, de forma que a probabilidade da estatística cair na região crítica, sendo H 0 verdadeira, é um valor fixo o, concordando em rejeitar esta hipótese se, e somente se, o valor da estatística cair na região crítica. (4) É possível reduzir as probabilidades dos erros do tipo I e II com o aumento da amostra. QUESTÃO 06 (ANPEC-1998): Seja u ˆ o estimador do parâmetro u : (0) O erro quadrático médio é igual a variância do estimador u ˆ se u ˆ for um estimador não-tendencioso de u . (1) Um estimador 1 ˆ u é dito eficiente se 1 ˆ u for não-tendencioso e Var( 1 ˆ u ) s Var ( 2 ˆ u ), onde 2 ˆ u é outro qualquer estimador não-tendencioso de u . (2) Seja X uma variável aleatória normalmente distribuída com média µ e variância o 2 . (3) Sejam x 1 e x 2 duas observações de uma amostra aleatória de tamanho 2. Podemos afirmar que 5 2 3 ~ 2 1 x x + = µ é um estimador tendencioso de µ. (4) Se u ˆ é consistente, então é não tendencioso. QUESTÃO 07 (ANPEC-1998): Com base na teoria da estimação, pode-se fazer as seguintes afirmações: (0) Se u é um parâmetro populacional e u ˆ seu estimador, a afirmação de que u ˆ é um estimador consistente de u se lim {  } P u u c ÷ s = 1 para todo c > 0 quando n ÷ ·, é equivalente a afirmação de que se u u = ) ˆ ( limE e lim (  ) Var u = 0 quando n ÷ ·, então u ˆ será um estimador consistente de u . (1) Se x é uma variável aleatória com E(X) =µ e variância o 2 , então a média amostral, X , será um estimador consistente da média populacional µ. 62 (2) A estatística, S x x n i i n 2 2 1 = ÷ = ¿ ( ) , baseada em uma amostra aleatória x 1 , x 2 , x 3 ,..., x n é um estimador não tendencioso da variância populacional. (3) A estatística, S x x n i i n 2 2 1 = ÷ = ¿ ( ) , baseada em uma amostra aleatória x 1 , x 2 , x 3 ,..., x n é um estimador inconsistente da variância populacional. QUESTÃO 09 (ANPEC-1998): Uma máquina está sendo examinada com o objetivo de substituir a máquina antiga de certa indústria. Segundo o fabricante da nova máquina, a proporção (P) de peças defeituosas produzida é de 3% ou menos. Uma amostra de 2.000 peças foi examinada e foram encontradas 74 peças defeituosas. (0) As hipóteses para um teste estatístico de hipóteses devem ser H 0 : P =0,03 e H A : P <0,03. (1) Ao realizarmos o teste de hipóteses para o problema, ao nível de significância de 5%, a hipótese nula deve ser rejeitada. (2) Utilizando a proporção de peças defeituosas encontradas na amostra, a estimativa por intervalo para a verdadeira proporção de peças defeituosas produzida pela nova máquina, utilizando uma confiança de 95%, é ( 2,87%; 4,53%). (3) Admitindo que a verdadeira proporção de peças defeituosas seja 3%, seria necessário uma amostra de 3.000 peças para que o erro máximo admissível entre a proporção estimada e a verdadeira não excedesse a 1%, com probabilidade de 95%. (4) Se a probabilidade de que um intervalo de confiança contenha o verdadeiro parâmetro populacional u é igual a (1 - o), isto significa que se retirássemos um número infinito de amostras da população em estudo e se para cada uma das amostras calculássemos o intervalo de confiança do parâmetro u, então em (1 - o)% destes intervalos conteriam o verdadeiro parâmetro u. QUESTÃO 06 (ANPEC-1999): Com base na teoria da estimação, pode-se fazer as seguintes afirmações: (0) De acordo com o critério de eficiência, medido pela comparação entre as variâncias dos estimadores, a média amostral X é preferível a primeira observação 1 X como estimador da média populacional, supondo-se que 2 o seja a variância da população. 63 (1) Seja u ˆ um estimador não-viciado de u . Se g(u ˆ ) é uma função do parâmetro u , então E[g(u ˆ )]= g[E(u ˆ )] com a igualdade ocorrendo somente quando g(u ) for uma função linear. (2) A função densidade de probabilidade da variável aleatória x é dada por o 1 ) ( = x f para o s s x 0 e 0 para outros valores. Assim sendo, considerando-se uma amostra aleatória de tamanho n , n x x x x , , , 3 2 1 · · · · , o estimador de Máxima Verossimilhança de o será igual ao Mínimo de n x x x x , , , 3 2 1 · · · · . (3) Dado que as variâncias das estatísticas 1 ) ( 1 2 2 1 ÷ ÷ = ¿ = n x x S n i i e n x x S n i i ¿ = ÷ = 1 2 2 2 ) ( são, respectivamente, iguais a 1 2 4 ÷ n o e 2 4 ) 1 ( 1 2 n n n ÷ ÷ o , então 2 2 S é mais preciso do que 2 1 S embora seja uma estatística viciada. QUESTÃO 07 (ANPEC-1999): O candidato X a governador de certo estado afirma que detém mais de 45% das intenções de voto do eleitorado na próxima eleição. Para verificar a veracidade da informação, o candidato Y mandou realizar um levantamento estatístico utilizando, para tanto, uma amostra aleatória de 625 eleitores. O resultado do levantamento foi o seguinte: Candidato X Y Outros Total Número de votos 255 265 105 625 Com as informações dadas, podemos concluir que: (0) A afirmação do candidato X é verdadeira com base num teste de hipóteses, para um nível de significância de 5%. (1) Com uma confiança de 90%, o intervalo de confiança para a verdadeira proporção de intenções de voto para o candidato Y é (39%; 46%), arredondando para números inteiros as percentagens encontradas. (2) Com a mesma confiança de 90%, o intervalo estimado para a verdadeira proporção de intenções de voto para o candidato X é (38%; 44%), arredondando para números inteiros as percentagens encontradas. (3) A afirmação de que o candidato Y detém mais de 42% das intenções de voto é verdadeira, com base num teste de hipóteses com nível de significância de 1%. QUESTÃO 08 (ANPEC-1999): 64 Deseja-se estimar o faturamento médio, µ, de uma empresa. A informação que se tem é de que o desvio padrão dos valores das faturas desta empresa é de R$25,00. Se existem 500 faturas desta empresa, encontre o tamanho da amostra necessário para estimar, µ, com um limite sobre o erro de estimação de R$5,00. Considere somente a parte inteira da resposta. QUESTÃO 10 (ANPEC-1999): Com relação à teoria de Teste de Hipóteses, pode-se afirmar que: (0) Se o objetivo é testar a hipótese Nula, 0 0 : u u = H , contra a hipótese Alternativa de que, 0 : u u = a H , então deve-se rejeitar 0 H quando 2 1 0 0 ( ˆ o u u u ÷ > ÷ C dp onde, o valor crítico, 2 1 o ÷ C , é determinado da distribuição t-Student ou da distribuição Normal em função do nível de significância o . (1) Um teste de hipótese é dito o mais poderoso se tem o maior poder do que qualquer outro teste, ainda que os níveis de significâncias sejam diferentes. (2) Um teste de hipótese é não-viciado se seu poder é maior ou igual do que a probabilidade do erro do tipo I para todos os valores dos parâmetros. (3) A estatística t-Student é utilizada nos testes de hipóteses para a média populacional quando a variância dos elementos da população, 2 o , não é conhecida. QUESTÃO 04 (ANPEC-2000): Seja X 1 , X 2 ,..., X n uma amostra aleatória da densidade Normal(0,u) e seja T=1/n ¿ = n i i X 1 2 . É correto afirmar que: (0) T é o estimador de máxima verossimilhança (EMV) de u. (1) T é um estimador tendencioso de u. (2) A variável aleatória Z = u / 1 2 ¿ = n i i X tem distribuição qui-quadrado com n graus de liberdade. (3) E ( 3 2 2 1 X X ) =u 2 . (4) T é um estimador eficiente de u. QUESTÃO 05 (ANPEC-2000): Dadas as seguintes afirmativas sobre testes de hipóteses, é correto dizer que: 65 (0) A probabilidade do erro tipo I é calculada utilizando-se a estatística de teste, para cujo cálculo presume-se que a hipótese nula é falsa. (1) Uma vez definida a região de confiança para um determinado parâmetro da população, várias hipóteses nulas podem ser testadas utilizando-se este intervalo de confiança. (2) Quanto maior o p-valor, maior a credibilidade da hipótese alternativa. (3) A aceitação de determinada hipótese nula implica que esta hipótese seja verdadeira. (4) O poder de um teste é a probabilidade de se rejeitar a hipótese nula quando esta for falsa. QUESTÃO 07 (ANPEC-2000): Seja Y uma variável aleatória contínua com distribuição de probabilidade f(y;u), em que u = (u 1 ,u 2, ...,u p ). Considere uma amostra aleatória de Y, com tamanho n. Com relação à função de verossimilhança L(u), é correto afirmar que: (0) l(u)=ln L(u) = ¿ = n i i y f 1 ) ; ( log u , em que ln é o logaritmo natural. (1) A função de verossimilhança é também uma função de densidade de probabilidade, que possui, assim, todas as propriedades matemáticas associadas a uma função de densidade de probabilidade. (2) Uma condição necessária a que os estimadores de máxima verossimilhança devem satisfazer é que a matriz { j i l u u u c c c / ) ( 2 } i,j =1, 2, ..., p, avaliada no ponto de máximo, seja negativa definida. (3) Sendo T n o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro escalar u 1, segue-se que T n apresenta a seguinte propriedade: 0 ) | Pr(| 1 lim = > ÷ · ÷ c u n T n , ¬ c >0. (4) Sendo |=g(u 1 ), em que g(.) é uma função um a um de u 1 , e T n é o estimador de máxima verossimilhança de u 1, segue-se que o estimador de máxima verossimilhança de | será G n =g(T n )[d|/du 1 ] , em que a derivada é avaliada em u 1 =T n . QUESTÃO 08 (ANPEC-2000): Sejam pˆe p ~ dois estimadores do parâmetro p da distribuição Binomial, em que Y é a variável desta distribuição e n o tamanho da amostra: . 1 1 ~ ˆ + + = = n Y p n Y p , ondepˆé o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro p. Sob o critério do erro quadrado médio, para pequenas amostras, não há supremacia de um estimador sobre o outro. O viés do estimador p ~ é dado por )] 1 ( ) 1 [( n p + ÷ . 66 QUESTÃO 09 (ANPEC-2000): Uma urna contém bolas azuis e bolas verdes. Para testar a hipótese de que a proporção de bolas azuis é igual à proporção de bolas verdes, obteve-se uma amostra de 64 bolas, com reposição, anotando-se as cores das bolas retiradas e adotando-se a seguinte regra: aceitar a hipótese de que a urna possui iguais proporções de bolas azuis e verdes se forem retiradas entre 28 e 36 (inclusive os extremos) bolas de uma mesma cor; rejeitá-la caso contrário. Calcule a probabilidade de se cometer um erro do tipo I. (Multiplique o resultado por 100 e arredonde). QUESTÃO 03 (ANPEC-2001): Uma amostra de tamanho n foi selecionada de uma população de m elementos. Pode-se afirmar que: (0) A média amostral X é um estimador não tendencioso e eficiente da média populacional μ se todos elementos de m tiverem a mesma probabilidade de serem selecionados . (1) A variância da distribuição amostral de X é 2 n o se a população for infinita ou se a amostragem for com reposição. (2) Se a população for finita, a variância da distribuição amostral de X é 2 1 (1 ) n n o ÷ porque as observações da amostra são independentes. (3) Se X for uma variável aleatória qualquer a distribuição de X será normal com média μ e variância 2 1 n o ÷ . (4) Se lim ( ) 0 n E X ÷· = , então X é um estimador assintoticamente não tendencioso. QUESTÃO 06 (ANPEC-2001): Em relação ao intervalo de confiança estatístico pode-se afirmar: (0) Utiliza-se a distribuição normal z padronizada para estimar-se o intervalo de confiança da média populacional somente quando a população for normalmente distribuída. (1) Emprega-se um fator de correção para a estimativa do desvio-padrão quando a população é finita, ou a amostra é extraída sem reposição. 67 (2) Para aumentar a precisão de uma estimativa por intervalo, o pesquisador deve aumentar o intervalo de confiança de 95% para 99%, por exemplo. (3) Aumentando-se o tamanho da amostra, aumenta-se a precisão de uma estimativa por intervalo. (4) Sendo x =14 a média de uma amostra aleatória de 36 elementos extraída de uma população normal cujo desvio padrão é o =2, o intervalo de confiança da média populacional, a 95%, será 14 ± 0,55. Use a tabela da distribuição Normal em anexo. QUESTÃO 07 (ANPEC-2001): Sobre testes de hipóteses, pode-se afirmar que: (0) O erro do tipo I consiste em rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. (1) Nível de significância é a probabilidade de se cometer erro do tipo II. (2) Por potência do teste entende-se a probabilidade de se rejeitar a hipótese nula quando esta for falsa. (3) A opção pelo teste unilateral ou bilateral decorre da expectativa teórica sobre o parâmetro que estiver sendo testado. (4) Um intervalo de confiança de 100(1-o)% também pode ser utilizado para o teste de significância de um parâmetro populacional, caso o teste seja bilateral. QUESTÃO 13 (ANPEC-2001): Sabe-se que certa característica de uma população tem distribuição Qui-quadrado com 18 graus de liberdade. Tendo sido extraída uma amostra de 25 elementos desta população, estime a probabilidade de que a média amostral X esteja no intervalo 15 s s X 21. Use a tabela da distribuição Normal em anexo. Resposta em percentagem, aproximando para o inteiro superior mais próximo. QUESTÃO 04 (ANPEC-2002): Seja X uma variável aleatória com distribuição de probabilidade que dependa do parâmetro desconhecido u, tal que E(X) =u. Seja também x 1 , x 2 ,..., x n uma amostra aleatória de X. (0) Para amostras suficientemente grandes, o estimador de máxima verossimilhança de u, caso exista, segue uma distribuição Normal. (1) Se ¿ = = n i i i x c 1 ˆ u é um estimador de u, este não será viciado desde que 1 1 = ¿ = n i i c . Além do mais, u ˆ terá variância mínima se c i =1/n para todo i. 68 (2) Se ¿ = = n i i x n 1 1 ˆ u é um estimador não viciado de u, então 2 ˆ u também será um estimador não viciado de 2 u . (3) Se a variável aleatória X é uniformemente distribuída no intervalo [0,u], com u >0, então n n 1 ˆ + = u máximo[x 1 , x 2 , ..., x n ] não é um estimador consistente de u. (4) Se 1 ˆ u e 2 ˆ u são dois estimadores do parâmetro u em que E ( 1 ˆ u ) =θ 1 e E ( 2 ˆ u ) = θ 2 mas Var ( 2 ˆ u ) <Var ( 1 ˆ u ), então o estimador 2 ˆ u deve ser preferível a 1 ˆ u . QUESTÃO 05 (ANPEC-2002): Indique se as seguintes considerações sobre a teoria dos testes de hipótese são verdadeiras (V) ou falsas (F). (0) O erro do tipo II é definido como a probabilidade de não se rejeitar uma hipótese nula quando esta for falsa e o erro do tipo I é definido como a probabilidade de se rejeitar a hipótese nula quando esta for verdadeira. (1) No teste de hipótese para proporções, se a variância da proporção populacional for desconhecida, a estatística t de Student com n-1 graus de liberdade (n é o tamanho da amostra) é a indicada para o teste. (2) Num teste de hipótese bi-caudal, o valor-p (ou valor de probabilidade) é igual a duas vezes a probabilidade da região extrema delimitada pelo valor calculado da estatística do teste. (3) Não se pode realizar um teste de hipótese para a variância populacional pois a estatística do teste, que segue uma distribuição Qui-quadrado com n -1 graus de liberdade (n é tamanho da amostra), não é simétrica. (4) No teste de hipótese para a média (H 0 : µ =0 contra H a : µ = 0), ao nível de significância o, se o intervalo de confiança com 1-o de probabilidade não contiver = 0, não se poderá rejeitar H 0 . QUESTÃO 05 (ANPEC-2003): Com relação a testes de hipótese, é correto afirmar que: (0) O p-valor de um teste representa a probabilidade de aceitação da hipótese nula; (1) O nível de significância de um teste é a probabilidade de se cometer o erro tipo I; (2) A potência do teste é a probabilidade de se cometer o erro tipo II; (3) Em um modelo de regressão linear utiliza-se um teste bilateral para verificar se determinado coeficiente é estatisticamente diferente de zero; (4) O nível de significância de um teste de hipótese cresce com o tamanho da amostra. 69 QUESTÃO 02 (ANPEC-2004): Sejam X 1 , X 2 ,..., X n variáveis aleatórias independentes e normalmente distribuídas com média µ e variância σ 2 . Em relação ao teste de hipótese da média 0 0 : µ µ = H contra 0 : µ µ < a H , são corretas as afirmativas: (0) Se o p-valor do teste for menor que o nível de significância, α, a hipótese 0 H deve ser rejeitada. (1) Se a variância 2 o for conhecida, a estatística do teste segue a distribuição t-Student. Caso contrário, a distribuição do teste será a Normal Padrão. (2) Dados os parâmetros da população: 50 0 = µ e 2 o =900, suponha que a média de uma amostra aleatória de tamanho 36 retirada desta população seja 47 = X . Neste caso, o nível de significância do teste, α, será igual a 0,2743. (3) A função-potência para este teste de hipótese será uma função decrescente da médiaµ . (4) Se a hipótese alternativa fosse 0 : µ µ > a H , ainda assim a função-potência seria decrescente com a média µ . QUESTÃO 06 (ANPEC-2004): Seja X uma variável aleatória normalmente distribuída com média µ e variância conhecida σ 2 =1, da qual se obtém a amostra aleatória X 1 , X 2 ,..., X n (com n observações). É correto afirmar que: (0) A média amostral é uma variável aleatória normalmente distribuída com média µ e variância 1/n. (1) A probabilidade de o intervalo de confiança ] / 96 , 1 , / 96 , 1 [ n X n X + ÷ conter a média da população, µ, é de 95%. (2) A probabilidade de o intervalo de confiança ] / 96 , 1 , / 96 , 1 [ n X n X + ÷ conter a média amostral é de 95%. (3) O intervalo de 95% para a média populacional independe do tamanho da amostra. (4) Em um intervalo de confiança de 95% para a média populacional, μ, espera-se que, extraindo-se todas as amostras de mesmo tamanho dessa população, esse intervalo conterá μ 95% das vezes. QUESTÃO 08 (ANPEC-2004): Com respeito a inferência e estimação de parâmetros populacionais, é correto afirmar: 70 (0) Suponha que a variável X tenha distribuição exponencial com densidade 0 , ) ( > = ÷ x e x f x | | . As estatísticas X e mínimo[ n X X X ,........, , 2 1 ] são estimadores não-viciados de 1/|, mas a segunda é preferível à primeira por apresentar menor variância. (1) O valor esperado da estatística ¿ = ÷ n i i x x n 1 2 ) ( 1 é igual a 2 ) 1 ( o n n ÷ , em que 2 o é a variância da população. Então, um estimador não-tendencioso de 2 o será ¿ = ÷ ÷ n i i x x n 1 2 ) ( 1 1 . (2) Suponha que a variável aleatória x seja uniformemente distribuída no intervalo [0, |], em que | é um parâmetro desconhecido. O estimador de máxima verossimilhança de | será | ˆ =mínimo[ n x x x ,........, , 2 1 ]. (3) Se dois intervalos de confiança que estão sendo comparados apresentam o mesmo coeficiente de confiança, então se deve preferir aquele que apresenta a maior amplitude. (4) Suponha que x tenha distribuição N( 2 ;o µ ) em que 2 o seja desconhecido. O intervalo de confiança para a média da população, µ , será 1 ) ( 2 } { ÷ u = + s s ÷ z n z x n z x P o µ o em que | (z) é a função de distribuição Normal Padrão. QUESTÃO 12 (ANPEC-2004): Suponha que 32 2 1 ,........, , x x x sejam 32 variáveis aleatórias independentes, cada uma delas tendo distribuição de Poisson com λ = 8. Empregando o teorema do limite central, estime a probabilidade de que a média amostral seja 9 s x . Use a tabela da distribuição Normal Padrão anexa. Multiplique o resultado por 100 e transcreva a parte inteira. QUESTÃO 13 (ANPEC-2004): Suponha que n x x x ,........, , 2 1 sejam variáveis aleatórias independentes, identicamente distribuídas, com média E(x i ) = μ (i = 1,2,3,...n) e variância σ 2 =10. Utilizando a lei dos grandes números responda à questão. Qual deverá ser o valor de n de modo que possamos estar 95% seguros de que a média amostral x difira da média μ por menos de 0,1? Divida o resultado final por 1000. QUESTÃO 04 (ANPEC-2005): 71 Duas fábricas, A e B, produzem determinado tipo de lâmpada. Um comprador dessas lâmpadas decide verificar a origem de seu estoque. Para isso, seleciona uma amostra aleatória de 100 unidades (de seu estoque) e verifica a duração de cada uma delas. Se a duração média for maior do que 170 horas, conclui que a lâmpada foi fabricada pela empresa B; caso contrário, que a lâmpada veio da empresa A. Os dois fabricantes asseguram que a duração de suas lâmpadas segue distribuição normal: a de A com média µ A =169 horas e a da B com média µ B =171 horas. As duas distribuições têm o mesmo desvio padrão o =10 horas. Usando a tabela da normal padrão, anexa, julgue as afirmativas: (0) A probabilidade do erro Tipo I é 0,1587. (1) A probabilidade do erro Tipo II é diferente de 0,1587. (2) A regra de decisão, ao nível de significância de 5%, será: se a duração média for maior que 170,64 horas, as lâmpadas foram fabricadas pela empresa B; do contrário, pela empresa A. (3) A probabilidade do erro do Tipo II, para o nível de significância de 5%, é 0,70. (4) Para este teste de hipótese, a função poder do teste é crescente com a média µ, da distribuição sob a hipótese nula. QUESTÃO 06 (ANPEC-2005): Seja n X X X X ........, , , , 3 2 1 uma amostra aleatória de tamanho n de uma população normal com média µ e variância 2 o . Julgue as afirmativas: (0) A probabilidade de a média populacional, µ , estar contida no intervalo de confiança ] 96 , 1 , 96 , 1 [ n X n X o o + ÷ é igual a 95%. (1) Se a variância 2 o é desconhecida, o intervalo de confiança de 95% para a média µ será ] , [ n s t X n s t X c c + ÷ , em que s é o desvio padrão da amostra, c t é calculado de forma que 95 , 0 ) | (| = < c t t P , e t segue uma distribuição de Student com n -1 graus de liberdade. (2) Se construirmos vários intervalos de confiança para a média µ com amostras de idêntico tamanho, mesma variância 2 o e mesma margem de confiança, estes terão extremos aleatórios, mas todos terão a mesma amplitude. (3) Num teste de hipótese: 0 0 : µ µ = H contra 0 : µ µ = a H , se o intervalo de confiança estimado para a média µ não contiver o valor de 0 µ , então deve-se aceitar a hipótese de que 0 µ µ = . (4) Se a amostra aleatória n X X X X ........, , , , 3 2 1 não provém de uma distribuição normal, não se pode construir um intervalo de confiança para a média µ , ainda que a amostra seja muito grande. 72 QUESTÃO 04 (ANPEC-2006): Com relação a testes de hipóteses, julgue as afirmativas: (0) Em um teste de hipóteses, comete-se um erro do tipo I quando se rejeita uma hipótese nula verdadeira. (1) O poder de um teste de hipóteses é medido pela probabilidade de se cometer o erro tipo II. (2) A soma das probabilidades dos erros tipo I e tipo II é igual a 1. (3) Quanto maior for o nível de significância de um teste de hipóteses maior será o valor-p a ele associado. (4) Se o valor-p de um teste de hipóteses for igual 0,015, a hipótese nula será rejeitada a 5%, mas não a 1%. QUESTÃO 14 (ANPEC-2006): O tempo de utilização de um telefone celular durante um dia qualquer é uma variável aleatória normal com média desconhecida e desvio padrão de 10 minutos. Por quantos dias se deve anotar os tempos de utilização do celular para que o intervalo de confiança de 95% para a média tenha amplitude de 2 minutos? Transcreva para a folha de respostas apenas a parte inteira do resultado. QUESTÃO 01 (ANPEC-2011): Considere as seguintes afirmativas acerca de um teste de hipótese: (0) O erro tipo I é definido como a probabilidade de não rejeitar a hipótese nula quando a hipótese nula é falsa. (1) O poder do teste é definido como a probabilidade de não rejeitar a hipótese nula quando a hipótese nula é verdadeira. (2) O erro tipo II é definido como a probabilidade de não rejeitar a hipótese nula quando a hipótese alternativa é verdadeira. (3) O p-valor de um teste é a probabilidade, sob a hipótese nula, de obter um valor da estatística pelo menos tão extremo quanto o valor observado. (4) Se um intervalo de confiança de 95% para a média amostral, calculado a partir de uma amostra aleatória, excluir o valor 0, pode-se rejeitar a hipótese de que a média populacional seja igual a 0 ao nível de significância de 5%. QUESTÃO 04 (ANPEC-2011): São corretas as afirmativas: 73 (0) Suponha que X 1 , X 2 ,..., X n sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas e que X i ~ ( ) 2 ,o µ N . Então ¿ = = n i i n X X 1 é um estimador eficiente de µ . (1) Suponha que X 1 , X 2 ,..., X n sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas e que X i ~ ( ) 2 ,o µ N . Então, se definirmos ¿ = = n i i n X X 1 , ( ) 2 2 c o c µ s > ÷ X P para 0 > ¬c . (2) Se um estimador ^ u de um parâmetro u é não viesado e a variância de ^ u converge para 0 à medida que o tamanho da amostra tende a infinito, então ^ u é consistente. (3) Suponha que X 1 , X 2 ,..., X n sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas e que X i ~ Poisson(λ), i ¬ . Seja ¿ = = n i i n X X 1 . Pela lei dos grandes números, à medida que n → ∞, X converge para λ. (4) Suponha que X 1 , X 2 ,..., X n sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas e que 2 ~ v i X _ , i ¬ . Seja ¿ = = n i i n X X 1 . À medida que n → ∞, ( ) ( ) n v v X / 2 / ÷ aproxima-se de uma distribuição normal padrão. ANÁLISE DE REGRESSÃO Regressão Simples QUESTÃO 08 (ANPEC-1991): A capacidade de produção instalada (Y), em toneladas, de uma firma, pode ser função da potência instalada (X), em 1000KW, ou da área construída (Z) em 100 2 m . Dados: ¿X =38, ¿Y =80, ¿Z =100, ¿ 2 X =182 ¿ 2 Y =736, ¿ 2 Z =1048 ¿XY =361, ¿YZ =848 Sendo n =10, pode-se afirmar que: (0) Ao fazer uma regressão da capacidade de produção instalada em função da potência instalada (Y = o + |X) obtém-se como estimativas de o e |, 2,24 e 1,52, respectivamente. (1) O 2 R da regressão em (0) é de 0,90. 74 (2) Ao fazer uma regressão da capacidade de produção instalada em função da área construída (X =o +|Z) obtém-se como estimativas de o e |, -2,00 e 1,00, respectivamente. (3) O 2 R da regressão em (2) é de 0,92. (4) Pode-se dizer que o melhor (porque tem maior correlação) usar a potência instalada (X), do que a área construída (Z) para estimar a capacidade de produção. QUESTÃO 14 (ANPEC-1991): O lucro Y de uma empresa em função do tempo, X, tem distribuição normal com média seguindo a estrutura linear de regressão o +|X e variância, por pressuposição, constante. Ajustando-se esse modelo por mínimos quadrados a uma série de 5 anos obtiveram-se os somatórios abaixo: ¿X =15, ¿Y =38, ¿ 2 X =55, ¿ 2 Y =362, ¿XY =141. Pode-se afirmar que, exceto por erro de arredondamento, (0) A estimativa do termo constante é -0,5. (1) O quadrado do coeficiente de correlação múltipla 2 R é 80%. (2) A estimativa do coeficiente de X é 1,4. (3) A estimativa da variância do erro estocástico é 0,10. (4) A soma dos quadrados explicada pelo modelo é 85,6. QUESTÃO 15 (ANPEC-1991): Ainda em relação à questão anterior (14/1991) pode-se concluir que, exceto por erro de arredondamento: (0) O erro padrão da estimativa de o é igual a 0,77. (1) O erro padrão da estimativa de | é igual a 0,10. (2) A previsão do lucro para X =10 é 26,5 milhões de cruzeiros. (3) O coeficiente do tempo é altamente significativo produzindo um valor observado da estatística t de Student de 27. (4) A estatística F de adequação do modelo é 729. QUESTÃO 13 (ANPEC-1992): O custo total, C, de uma indústria e sua produção, X, têm uma relação linear do tipo X C 1 0 | | + = . Para se ajustar esse modelo por mínimos quadrados ordinários é preciso assumir certas hipóteses como: 75 (0) A variável independente X seja aleatória. (1) Os erros tenham média zero. (2) A variância dos erros não seja constante. (3) Os erros sigam uma distribuição normal. (4) A variável independente X seja independente do temo erro. QUESTÃO 14 (ANPEC-1992): Considere o modelo i i i u X Y + + = | o , estimado pelo método dos Mínimos Quadrados Ordinários. Pode-se dizer que: (0) Se o coeficiente | estimado for igual a um ( 1 ˆ = | ), a correlação linear entre X e Y será perfeita. (1) A significância de | será testada tanto por meio de teste t quanto do teste F. (2) Se o 2 R estimado for menor que 10%, o modelo deverá ser abandonado. (3) Se for introduzida mais uma variável explicativa no modelo, o 2 R certamente não diminuirá. (4) Se o coeficiente o estimado for inferior à unidade ( 1 ˆ < o ), a reta passará pela origem. QUESTÃO 15 (ANPEC-1992): Dada a função de produção u e L K P 2 1 0 | | | = , tem-se que: (0) Se houver correlação linear perfeita entre K e L, necessariamente o modelo não poderá ser estimado. (1) 2 1 | | e são as elasticidades produto-capital e produto-trabalho respectivamente. (2) Para verificar se a função é homogênea de grau 1 deve-se testar a hipótese de que 1 2 1 = + | | . (3) Se o teste t indicar que 1 | é não significante, a variável K deverá ser retirada do modelo. (4) Se o 2 R ajustado for menor que 2 R , uma das variáveis é supérflua. QUESTÃO 04 (ANPEC-1994): Quanto ao modelo de regressão linear simples da forma i i i u bX a Y + + = , em que Y representa a produção de parafusos; X a quantidade de trabalho, medida em homens/hora de trabalho; e u a perturbação aleatória; podemos afirmar que: 76 (0) O valor da variável Y nunca pode ser previsto exatamente devido à presença da perturbação ocasionada pela variável independente X. (1) Para cada valor de i X , temos como pressuposto básicos que o correspondente i u tem distribuição normal com média zero. (2) O pressuposto de homocesticidade significa que cada perturbação tem a mesma variância cujo valor é desconhecido. (3) Pelos seus pressupostos básicos, as perturbações i u são não correlacionadas e estatisticamente dependentes. QUESTÃO 05 (ANPEC-1995): Seja i i i x y c | o + + = uma equação de regressão e sejam a e b estimadores de mínimos quadrados ordinários (MQO) de o e |, respectivamente. Pode-se afirmar que: (0) A hipótese de média zero do termo aleatório é imprescindível para que b seja um estimador não-viesado de |. (1) A hipótese de não-autocorrelação dos resíduos dignifica que x e c são independentes. (2) A hipótese de que x é não-estocástica é necessária para que a e b sejam estimadores não-viesados. (3) Se a hipótese de homoelasticidade for válida, então a e b serão estimadores eficientes dentro da classe dos estimadores lineares não-viesados. (4) A hipótese de normalidade do termo aleatório é necessária para garantir a eficiência dos estimadores de MQO dentro da classe dos estimadores lineares não viesados. QUESTÃO 15 (ANPEC-1996): Suponha que, num modelo de regressão linear simples, o regressor (variável independente) seja correlacionado com o termo erro. Sobre o estimador de MQO, podemos afirmar: (0) É, em geral, viesado. (1) Não é possível de ser obtido. (2) É não viesado, porém não é eficiente. (3) É consistente. QUESTÃO 14 (ANPEC-1997): Considere o seguinte modelo de regressão, em forma matricial, com T observações amostrais e k regressores (X): 77 c | 1 1 1 × × × × + = T k k T T X y , (0) Com regressores não-estocásticos, o estimador de mínimos quadrados ordinários de | é uma função linear das observações amostrais. (1) O estimador de máxima verossimilhança de | requer o pressuposto de média zero e de variância finita na estrutura de erros, dispensando a especificação de uma distribuição paramétrica da mesma. (2) O estimador de máxima verossimilhança de | é enviesado, mas consistente. (3) Os estimadores de mínimos quadrados ordinários de | e de máxima verossimilhança de | coincidem quando os erros são independentes e identicamente distribuídos com distribuição Normal. (4) Caso c tenha distribuição multivariada Normal, com média zero, e matriz de covariância dada por T I · 2 o , o estimador de máxima verossimilhança de 2 o é viesado para amostras finitas. QUESTÃO 06 (ANPEC-2000): Seja o modelo de regressão linear clássico com duas variáveis explicativas X 2 e X 3: Y i =| 1 + | 2 X 2i +| 3 X 3i +u i . É correto afirmar que: (0) Se a correlação entre X 2 e X 3 é zero, então o estimador de mínimos quadrados ordinários (MQO) de 2 | é ¿ ¿ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ i i i i i X X Y Y X X 2 2 _ 2 2 2 ) ( ) )( ( . (1) Mesmo que a correlação entre X 2 e X 3 seja igual à unidade, pode-se estimar | 2 +c| 3, em que c é uma constante conhecida. (2) A eficiência relativa dos estimadores de MQO, dentro da classe dos estimadores lineares não viesados, garantida pelo Teorema de Gauss Markov, necessita da hipótese de normalidade do erro (u i ). (3) Se o erro (u i ) é heterocedástico, os estimadores de MQO serão viesados. (4) Se as variáveis explicativas são estocásticas, porém não correlacionadas com o erro (u i ), então, os estimadores dos parâmetros do modelo são não-viesados. QUESTÃO 10 (ANPEC-2000): O seguinte modelo de regressão foi estimado utilizando-se dados trimestrais entre 1979 e 1998, inclusive: ^ i Y =2.20+0.104X 2i 78 A soma total explicada foi 100,5. Quando esta equação foi re-estimada, adicionando-se três “dummies” sazonais, a soma total explicada aumentou para 114,5 e a soma do quadrado dos resíduos foi igual a 20,00. Suponha que deseja-se testar se a sazonalidade é significativa. Calcule a estatística de teste adequada. QUESTÃO 11 (ANPEC-2000): Considere o seguinte modelo de regressão linear clássico, relacionando as variáveis quantidade demandada (Q) e preço do produto (P). Admita que as duas variáveis sejam medidas em Reais, e que a estimação será efetuada por MQO (ln é logaritmo natural) lnQ i = | 1 +| 2 lnP i +u i i =1,2,..., 100. É correto afirmar que: (0) Variando-se o preço em 1%, a quantidade demandada variará 10| 2 %, ceteris paribus. (1) Ignorando-se o termo aleatório, se o preço ultrapassar determinado limite, será possível obter quantidades demandadas negativas. (2) Se mudarmos as unidades de Q e P para dólares americanos, então a estimativa de | 2 na nova equação será igual a sua estimativa obtida na equação em Reais. (3) Se a variável ln Y (Y =renda) for acrescentada ao modelo o coeficiente R 2 desta nova regressão será maior ou igual ao coeficiente R 2 da regressão original. (4) Se o coeficiente R 2 ajustado da regressão com a variável ln Y for maior do que o coeficiente R 2 ajustado da regressão original, então necessariamente, o coeficiente de ln Y é estatisticamente significante, ao nível de significância de 5%, em um teste bi- lateral. QUESTÃO 05 (ANPEC-2001): Ao testar a significância do coeficiente angular ß de um modelo de regressão linear simples encontrou-se valor-p =3x10 3 ÷ . Pode-se afirmar que: (0) O erro tipo II será igual a 3x10 3 ÷ . (1) A probabilidade de o verdadeiro valor do parâmetro encontrar-se no intervalo | | ˆ 2 ˆ S ± é 99,7%. (2) O mais baixo nível de significância ao qual a hipótese nula pode ser rejeitada é 3x10 3 ÷ . (3) O coeficiente é significante a 99% de confiança. (4) A potência do teste é definida por (1 – 0,003). 79 QUESTÃO 09 (ANPEC-2001): A partir de uma amostra de n elementos, foi estimada uma regressão linear simples, pelo método de mínimos quadrados, obtendo-se os resultados: t t X Y 1 ˆ ˆ ˆ | o + = 0 ˆ = o 1 2 1 K R = A seguir, a mesma regressão foi estimada sabendo-se que a reta de regressão da população passa pela origem das coordenadas (termo constante =0), obtendo-se os resultados: t t X Y 2 ˆ ˆ | = 2 2 2 K R = Pode-se afirmar que: (0) | ˆ 1 = | ˆ 2 (1) ) de padrão (desvio ) de padrão (desvio 1 2 1 2 | | | | s s < (2) A reta X 2 ˆ | passa pelo ponto médio da amostra ( Y X, ) (3) (K 2 / K 1 ) >1 (4) A soma dos resíduos de mínimos quadrados de ambas equações estimadas é zero. QUESTÃO 11 (ANPEC-2001): Um econometrista estimou uma função consumo usando 25 observações anuais da renda pessoal disponível e consumo, a partir do modelo: 1 2 t t t C Y u | | = + + , em que: t C =consumo em t; t Y =renda pessoal disponível em t; i u =erro aleatório Os resultados indicaram parâmetros significativos a 5%, coeficiente de determinação de 0,94 e d de Durbin-Watson 0,5421. Com base nesses números, o econometrista fez o teste de Dickey-Fuller aumentado (ADF) para as séries de renda e de consumo, obtendo estimativas de t menores que os valores críticos de t tabelados, a 1%, 5% e 10%. Conseqüentemente, o econometrista: (0) Aceitou a hipótese nula do teste ADF, concluindo que as séries de renda e consumo são não-estacionárias; 80 (1) Concluiu que os testes t e F não são válidos. (2) Concluiu que o teste t não é válido. (3) Concluiu que a regressão estimada é espúria. (4) Necessita fazer mais outros testes para verificar se a regressão estimada é espúria. QUESTÃO 12 (ANPEC-2001): No modelo clássico de regressão linear: 1 2 i i i Y X u | | = + + (0) A hipótese de que o erro é normalmente distribuído é necessária para que os estimadores de mínimos quadrados ordinários também sejam normalmente distribuídos. (1) Se a hipótese 0 ) , | , cov( = j i j i X X u u , i = j for violada, os estimadores de mínimos quadrados ordinários serão viesados e não eficientes. (2) As hipóteses de que o erro é normalmente distribuído e de que 0 ) , | , cov( = j i j i X X u u , i=j asseguram que i u e j u se distribuem independentemente. (3) A hipótese 2 ) | ( o µ = i i X Var é necessária para que os estimadores de mínimos quadrados ordinários sejam não tendenciosos. (4) Os estimadores de mínimos quadrados de 1 | e 2 | podem ser escritos como combinações lineares das observações i Y . QUESTÃO 09 (ANPEC-2002): Pode-se afirmar sobre o modelo de regressão linear clássico y t = 1 | + 2 | x t +u t (0) A reta de regressão passa pelas médias amostrais de y e x, mesmo que o modelo não tenha intercepto. (1) Na presença de heterocedasticidade, o estimador de MQO é viesado e não se pode confiar nos procedimentos de testes usuais (F e t), já que o estimador além de viesado, é ineficiente. (2) Na presença de autocorrelação dos resíduos, os estimadores de MQO são não viesados e consistentes. (3) Quanto maior for a variação da variável explicativa, maior será a precisão com que o coeficiente angular pode ser estimado. (4) Se R 2 (coeficiente de determinação) for zero, então a melhor previsão para um valor de y é sua média amostral. QUESTÃO 07 (ANPEC-2003): 81 O método dos mínimos quadrados ordinários foi empregado para estimar o modelo de regressão abaixo, cujo objetivo é explicar as variações de renda entre 526 indivíduos: , 526 , 441 , 0 , 00058 , 0 029 , 0 080 , 0 297 , 0 417 , 0 ) log( 2 2 ) 00010 , 0 ( ) 005 , 0 ( ) 007 , 0 ( ) 036 , 0 ( ) 099 , 0 ( = = + ÷ + + ÷ = n R u exper exper educ sexo renda em que sexo é uma variável dicotômica (valor 1, se for homem e 0, caso contrário), educ é o número de anos de escolaridade, exper é experiência profissional, também medida em anos. Os números entre parênteses são os erros-padrão das estimativas ) 4 ., ,.,.. 1 , 0 ( = i s i b . Com base nos resultados acima, é correto afirmar: (0) A regressão não é estatisticamente significante pois o coeficiente de determinação é menor do que 0,5; (1) A diferença de renda entre homens e mulheres não é estatisticamente significante; (2) Um ano a mais de escolaridade, mantidos constantes todos os demais fatores, aumenta em 0,08% a renda de um indivíduo do sexo feminino; (3) A significância conjunta das variáveis educ e exper não pode ser medida por meio da estatística t. Para isto, o teste F deve ser utilizado; (4) O modelo é incapaz de captar diferenças nos retornos da educação entre homens e mulheres. QUESTÃO 10 (ANPEC-2003): Considere o modelo de regressão linear: T t u Y C t t t , , 1 , 1 0  = + + = o o , em que C t é o consumo pessoal em t, Y t é a renda pessoal em t e u t é o termo aleatório. É correto afirmar que: (0) Se C t e Y t são I(1), então u t será obrigatoriamente estacionário; (1) Se o C t e Y t são integradas, mas com ordens de integração diferentes, então a regressão será inválida; (2) Se C t e Y t são I(1), então o teste ADF aplicado aos resíduos da regressão poderá identificar a presença de co-integração entre as variáveis; (3) Se C t e Y t são I(1), mas os resíduos são I(0), então há co-integração entre as variáveis; (4) Se C t e Y t são I(1) e os resíduos também são I(1), então a regressão de ΔC t em ΔY t é inválida. QUESTÃO 09 (ANPEC-2004): 82 Considere a seguinte regressão entre y t e z t : t t t u z y + = o , em que u t é o erro. São corretas as afirmativas: (0) Se y t for I(1) e z t for I(0), então y t e z t são co-integradas. (1) Se y t for I(0) e z t for I(1), então y t e z t são co-integradas. (2) Se y t for I(1) e z t for I(1), então y t e z t são co-integradas. (3) Se y t for I(1), z t for I(1) e u t for I(0), então y t e z t são co-integradas. (4) Se u t for I(0) as séries y t e z t são necessariamente co-integradas. QUESTÃO 12 (ANPEC-2005): Um pesquisador estima o seguinte modelo de regressão simples: i i i e X Y + + = 1 0 | | . Outro pesquisador estima o mesmo modelo, mas com escalas diferentes para i Y e i X . O segundo modelo é: * * * 1 * 0 * i i i e X Y + + = | | , em que: i i Y w Y 1 * = , i i X w X 2 * = e 1 w e 2 w são constantes maiores que zero. (0) Os estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários de 0 | e 1 | são iguais aos de * 0 | e * 1 | . (1) Se 2 * ˆ o é a variância estimada de * i e e 2 ˆ o é a variância estimada de i e , então 2 2 1 2 * ˆ ˆ o o w = . (2) As variâncias dos estimadores dos parâmetros do primeiro modelo são maiores do que as variâncias dos estimadores do segundo modelo. (3) Os coeficientes de determinação são iguais nos dois modelos. (4) A transformação de escala de ( i Y , i X ) para ( * i Y , * i X ) não afeta as propriedades dos estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários dos parâmetros. QUESTÃO 11 (ANPEC-2006): Dois economistas usam os modelos abaixo para analisar a relação entre demanda de moeda (m) e renda nacional (y). As variáveis estão todas em logaritmos e a periodicidade é mensal. Economista A: t t t u y m ˆ 099 . 1 ) 0086 . 0 ( + = (Equação 1) Economista B: t t t e y m ˆ 14 . 1 ) 145 . 0 ( + A = A (Equação 2) Os valores entre parênteses são os erros-padrão. 83 Testes Dickey-Fuller Aumentado (ADF), com número apropriado de defasagens maior que zero em todos os casos, para as variáveis e para os resíduos dos dois modelos geram os seguintes resultados: Variável m t y t û t Am t Ay t ê t Estatística-ADF -2.191 -1,952 -2.993 -5.578 -6.312 -8.456 O valor crítico da tabela Dickey-Fuller a 5% é igual a –2,886. São corretas as afirmativas: (0) Tanto a série de demanda de moeda quanto a de renda nacional são integradas de primeira ordem. (1) As séries de demanda de moeda e de renda nacional não são cointegradas ao nível de significância de 5%. (2) Se a série de demanda de moeda for estacionária na diferença (difference stationarity) ela não pode ser estacionária na tendência (trend stationary). (3) Se as séries de demanda de moeda e de renda nacional forem cointegradas, o Economista B deve incluir o erro defasado û t-1 em seu modelo. (4) A série de renda nacional é um passeio aleatório puro. QUESTÃO 05 (ANPEC-2011): Considere o seguinte modelo de regressão: y i = β 1 + β 2 x i +u i, i =1,...,n Suponha que x i é não estocástico e que E[u i ] =0, E[u i ²] = σ², E(u i , u j ) =0 para todo i ≠ j Considere os dois estimadores alternativos de β 2 : ¿ ¿ = = = n i i n i i i x y x b 1 2 1 2 e ( )( ) ( ) ¿ ¿ = = ÷ ÷ ÷ = n i i n i i i x x y y x x 1 2 1 2 ˆ | , onde ¿ = ÷ = n i i x n x 1 1 e ¿ = ÷ = n i i y n y 1 1 são as médias amostrais de x e y respectivamente. É correto afirmar que: (0) b 2 em geral é um estimador não viesado de β 2 . (1) 2 ˆ | é um estimador não viesado de β 2 se e somente se β 1 =0. (2) 2 ˆ | é mais eficiente do que b 2 se β 1 =0. (3) b 2 é um estimador não viesado de β 2 se, para qualquer amostra de tamanho n, 0 = x . (4) b 2 é um estimador não viesado de β 2 se, para qualquer amostra de tamanho n, 0 = y . 84 QUESTÃO 13 (ANPEC-2011): Considere o seguinte modelo de regressão linear clássico em que as variáveis são expressas como desvios em relação às respectivas médias: y i = αx i +u i, i =1,...,n e E[u i ] =0, E[u i ²] = σ², E(u i , u j ) =0 para todo i ≠ j Suponha, por simplicidade, que x i é um regressor escalar não estocástico. Propõe-se estimar α através da razão entre as médias amostrais de y i e x i : x y = o Calcule a variância de o . Multiplique o resultado por 100. (Sabe-se que σ² = 100, n = 100 e 5 / 1 = = ¿ = n x x n i i ). QUESTÃO 14 (ANPEC-2011): Considere a seguinte regressão y =Xβ +c em que y, X e c são vetores de dimensão nx1 e β é um escalar. Adicionalmente, suponha que E(c |X) =0 e que | | ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ = ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ = ( ( ( ( ( ( ¸ ( ¸ = = O 0 0 5 7 0 1 1 1 1 1 , 8 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 1 | ' y e X X E cc Compute a variância condicional em X do estimador de mínimos quadrados ordinários de β. Multiplique o resultado por 100. Regressão Múltipla QUESTÃO 07 (ANPEC-1993): 85 Considerando o modelo de regressão múltipla j kj k j j j X X X Y c | | | | + + + + + =  2 2 1 1 0 , pode-se afirmar que: (0) A análise de variância da regressão testa se todos os coeficientes estimados da regressão ( j | ˆ ) são significantes simultaneamente. (1) O vetor de soluções para os parâmetros j | é expresso por Y X X X ' ) ' ( ˆ 1 ÷ = | . (2) Para estimar os parâmetros j | da regressão é necessário que as variáveis explicativas sejam independentes entre si. (3) O coeficiente de determinação múltipla corrigido para graus de liberdade ( 2 R ) pode ser negativo. QUESTÃO 15 (ANPEC-1994): Em relação ao modelo de regressão múltipla , 2 , 1 , 2 2 1 1 0 = + = + + + = i e X X X Y i ki k i i i | | | |  Pode-se afirmar que: (0) O método, dos mínimos quadrados ordinários (MQO), usado para estimar os coeficientes k j j , , 1 , 0 ,  = | exige que o erro tenha distribuição normal. (1) Se adicionarmos um novo regressor 1 + k X à equação acima então o coeficiente de determinação, 2 R pode ou não aumentar. (2) Os estimadores de MQO dos coeficientes k j j , , 1 , 0 ,  = | são não viciados (ou não viesados). (3) Os coeficientes k j j , , 1 , 0 ,  = | podem ser interpretados como as elasticidades entre os regressores j X e a variável Y. QUESTÃO 15 (ANPEC-1995): Em um modelo clássico de regressão linear múltipla: (0) Uma das hipóteses estabelece que as variáveis explicativas são linearmente independentes. (1) Os testes t e F não são equivalentes. (2) A comparação do poder explicativo de modelos envolvendo número diferente de variáveis explicativas deve ser feita com base no 2 R ajustado. (3) Cada uma das variáveis explicativas tem distribuição normal. (4) A variância da variável dependente é igual à variância do termo aleatório. 86 QUESTÃO 15 (ANPEC-1997): Uma implementação empírica do modelo de capital humano é feita com a seguinte especificação: ( ) i i i i S XPR XPR c | | | | + · + · + · + 3 2 2 1 0 i = lnY , onde i Y representa a renda do trabalho do i-ésimo indivíduo, S i o número total de anos de sua escolaridade, i A sua idade medida em anos, e, i S ÷ i i A = XPR , sua experiência de trabalho, medida pela diferença entre sua idade e o total de anos de escolaridade. Finalmente, i c é um distúrbio aleatório do modelo de regressão associado ao i-ésimo indivíduo de uma amostra de N indivíduos. Pode-se afirmar que: (0) Se os erros são independentes e identicamente distribuídos, a razão entre os estimadores de mínimos quadrados ordinários dos i | ’s e seus respectivos desvios- padrão têm distribuição assintótica Normal. (1) O sinal do coeficiente 2 | indica a presença de retornos decrescentes ou crescentes à experiência de trabalho. (2) Mesmo em presença de heterocedasticidade na estrutura de erros, o estimador de mínimos quadrados ordinários é consistente. (3) Mesmo em presença de heterocedasticidade na estrutura de erros, o estimador de mínimos quadrados ordinários é relativamente eficiente. QUESTÃO 13 (ANPEC-1998): Considere o seguinte modelo de Regressão Linear Múltiplo: n t X X Y t t t t ,.... 3 , 2 , 1 , 2 2 1 1 = + + + = µ | | o onde E( t µ ) =0, Var( t µ ) = 2 µ o e t X 1 , t X 2 são séries de valores fixos. (0) Se, t X 1 = t X 2 , ainda assim é possível obter os estimadores de Mínimos Quadrados de o·, 1 | e 2 | . (1) Se µ s e µ t são independentes para todo s t = , então dentro da classe dos estimadores lineares não tendenciosos, os estimadores de Mínimos Quadrados de o, 1 | e 2 | são os melhores. 87 (2) Caso t X 2 =Y t-1 na equação acima, e os erros µ t sejam autocorrelacionados, o estimador de Mínimos Quadrados de o·, 1 | e 2 | mantém a propriedade de não- tendenciosidade. (3) Quando a variância dos resíduos, Var( t µ ), varia para cada t , então os estimadores de Mínimos Quadrados de o, 1 | e 2 | ainda são não tendenciosos, mas ineficientes. (4) No caso da existência de autocorrelação e heterocedasticidade dos resíduos, as variâncias amostrais dos estimadores de Mínimos Quadrados de o, 1 | e 2 | são tendenciosas, fazendo com que os testes de hipóteses destes parâmetros fiquem comprometidos. QUESTÃO 04 (ANPEC-1999): Seja o seguinte modelo de regressão linear múltipla na forma matricial: c | + = . X Y , onde as dimensões das matrizes e dos vetores envolvidos são: Y =>(n × 1); X =>(n × k); | =>(k × 1); e c =>(n × 1). Então, podemos fazer as seguintes afirmações: (0) Um dos pressupostos básicos do modelo é: Os elementos da matriz X são estocásticos com valores fixados em amostras repetidas. (1) Outro pressuposto básico é: nenhuma das variáveis independentes deve estar perfeitamente correlacionada com qualquer outra variável independente ou com qualquer combinação linear de outras variáveis independentes. (2) As equações normais de mínimos quadrados para o modelo dado podem ser apresentadas em notação matricial como | ˆ ) ' ( ) ' ( X X Y X = e a solução para | ˆ será ) ' ( ) ' ( ˆ 1 Y X X X ÷ = | . (3) Quando testamos a existência do modelo de regressão, fazemos as seguintes hipóteses sobre os coeficientes | da regressão (admitindo que 0 1 = | , ou seja, a regressão não passa pela origem): Hipótese nula => H 0 : 0 ... 3 2 = = = = k | | | Hipótese alternativa => H 1 : Todos os 0 = i | , para i =2, 3,…, k. (4) Os intervalos de confiança dos coeficientes da regressão podem ser calculados da seguinte maneira: ) . ˆ ; . ˆ ( ˆ ˆ i i s t s t k n i k n i | | | | ÷ ÷ + ÷ 88 onde i | ˆ =estimativa do coeficiente i | ; k n t ÷ =abcissa de uma distribuição “t” com (n - k) graus de liberdade, fixado o grau de confiança de intervalo; e i s | ˆ =erro padrão estimado de i | ˆ . QUESTÃO 05 (ANPEC-1999): Foram encontrados os seguintes resultados para estimar uma regressão linear com duas variáveis explicativas para uma amostra de tamanho 10. Variáveis preditoras Coeficiente Desvio padrão Estatística “t’ P-valor Constante 223,3 254,8 0,88 0,410 X 1 -1,26 0,8263 -1,52 0,172 X 2 -1,03 3,213 -0,32 0,752 R 2 =81,2%; R 2 ajustado =76,1%; Valor calculado da estatística F=15,1 Podemos afirmar que: (0) A equação de regressão estimada é 2 1 . 03 , 1 . 26 , 1 3 , 223 ˆ X X Y ÷ ÷ = . (1) A um nível de significância de 5% podemos afirmar que a regressão existe. Porém, após elaborarmos os testes de hipóteses para os coeficientes individuais, aceitamos a hipótese (a um nível de significância de 1%) de que o coeficiente para a variável X 2 é zero. (2) O coeficiente de determinação indica que 81,2b% da variação amostral de Y podem ser atribuídos as variações de X 1 e X 2 . (3) O valor estimado para Y quando X 1 =15 e X 2 =80 é 220. (4) Os valores teóricos das estatísticas “t” utilizadas para testar os coeficientes das variáveis explicativas devem ser calculados para 7 graus de liberdade. QUESTÃO 10 (ANPEC-2002): É correto afirmar a respeito do modelo de regressão linear clássico multivariado: c ¸ + = X Y , com n observações e k >2 variáveis explicativas, incluindo-se o intercepto. (0) Os coeficientes de inclinação não se alteram quando se modificam as unidades de medida de Y e X multiplicando-os por uma constante, por exemplo, transformando- se seus valores de reais para dólares. (1) Se o modelo for estimado com apenas k-1 variáveis explicativas (mas mantendo o intercepto), os coeficientes estimados poderão ser viesados e inconsistentes. 89 (2) Quando os coeficientes ¸ ’s estimados forem altamente significativos, individualmente, mas a estatística F e o R 2 indicarem que o modelo como um todo tem um baixo poder explicativo, pode-se desconfiar da presença de multicolinearidade. (3) Para testar a hipótese conjunta de que 0 ... 3 2 = = = = k ¸ ¸ ¸ , pode-se utilizar o teste )] )( 1 [( ) 1 ( 2 2 ) ( ), 1 ( ; k n R k R F k n k ÷ ÷ ÷ = ÷ ÷ o , em que R 2 é o coeficiente de determinação do modelo. (4) Sempre que o modelo tiver pelo menos duas variáveis explicativas além do intercepto, o R 2 será maior ou igual ao R 2 ajustado. QUESTÃO 06 (ANPEC-2003): Considere o modelo de regressão linear múltipla para dados seccionais . , , 1 , 2 2 1 1 0 n i u x x x y i ki k i i i   = + + + + + = | | | | É correto afirmar que: (0) Para que os estimadores de mínimos quadrados sejam os melhores estimadores lineares não-tendeciosos é necessário que os erros sejam normalmente distribuídos; (1) A hipótese que n i x x x u Var ki i i i , , 1 , ) , , , | ( 2 2 1   = = o , não é necessária para que os estimadores de mínimos quadrados sejam consistentes; (2) A inclusão de uma nova variável explicativa no modelo reduzirá o coeficiente de determinação R 2 ; (3) Para que as estatísticas t e F sejam válidas assintoticamente é necessário que os erros sejam normalmente distribuídos; (4) Se n i x x Cov i i , , 1 , 0 ) , ( 3 1  = = os estimadores de mínimos quadrados ordinários da regressão n i u x x x y i ki k i i i , , 1 , 2 2 1 1 0   = + + + + + = | | | | , serão tendenciosos. QUESTÃO 11 (ANPEC-2004): Considere o modelo de regressão linear múltipla para dados seccionais: . , , 1 , 2 2 1 1 0 n i u x x x y i ki k i i i   = + + + + + = | | | | É correto afirmar que: (0) Para que os estimadores de mínimos quadrados sejam lineares não-tendeciosos de menor variância (BLUE) é necessário que os erros sejam homocedásticos. 90 (1) A hipótese que n i x x x u Var ki i i i , , 1 , ) , , , | ( 2 2 1   = = o , é necessária para que os estimadores de mínimos quadrados sejam não-tendenciosos. (2) As estatísticas t e F continuam válidas assintoticamente mesmo que os erros da regressão sejam heterocedásticos. (3) Se n i x x Cov i i , , 1 , 0 ) , ( 3 1  = = , os estimadores de mínimos quadrados ordinários da regressão n i u x x x x y i ki k i i i i , , 1 , 4 4 2 2 1 1 0   = + + + + + + = | | | | | , serão consistentes. (4) Se n i x x Cov i i , , 1 , 0 ) , ( 3 1  = = os estimadores de mínimos quadrados ordinários da regressão n i u x x x x y i ki k i i i i , , 1 , 4 4 2 2 1 1 0   = + + + + + + = | | | | | , serão consistentes. QUESTÃO 14 (ANPEC-2004): Um pesquisador estimou uma regressão múltipla com 5 variáveis independentes e n =56, mas na pressa, não imprimiu os resultados e anotou apenas o valor do R 2 =0,90, o coeficiente de determinação. Este pesquisador precisa verificar se a regressão é significante. Ajude-o, calculando o valor da estatística do teste a ser empregado. QUESTÃO 10 (ANPEC-2005): A respeito do modelo de regressão múltipla: i i i i e X X Y + + + = 2 2 1 1 0 | | | em que i e tem média zero e variância 2 o , são corretas as afirmativas: (0) No caso de uma forte colinearidade entre i X 1 e i X 2 , tende-se a aceitar a hipótese nula de que 0 2 = | , pois a estatística t é subestimada. (1) Se os erros são autocorrelacionados, ainda assim os estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários de 1 | e 2 | são lineares e não tendenciosos. (2) Se os erros são heterocedásticos, ainda assim os testes usuais t e F podem, sem prejuízo algum, ser empregados para se testar a significância dos parâmetros do modelo, caso estes sejam estimados por Mínimos Quadrados Ordinários. (3) Erros de medida da variável dependente reduzem as variâncias dos estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários de 1 ˆ | e 2 ˆ | . (4) A omissão da variável explicativa relevante, X 2 , para explicar a variável dependente, Y i , torna a estimativa dos coeficientes | 0 e | 1 tendenciosa e inconsistente, se somente se, a variável omitida X 2 , for correlacionada com a variável incluída, X 1 . 91 QUESTÃO 11 (ANPEC-2005): É dada a seguinte função de produção para determinada indústria: i i i i u K L Y + + + = ) ln( ) ln( ) ln( 2 1 0 | | | , em que Y é o valor adicionado por firma (em reais), L é o trabalho empregado, K é o valor do capital (em reais) e u é o termo aleatório. Uma amostra aleatória de 27 observações leva às seguintes estimativas: 76 , 0 R 84 , 0 ˆ ) ln( 3856 , 0 ) ln( 6022 , 0 1755 , 1 ) ln( 2 27 1 2 = = = + + = ¿ = i i i i i u SQR K L Y São corretas as afirmativas: (0) Se Y passasse a ser medido em mil reais, somente o valor estimado do intercepto da regressão seria alterado. (1) Ao nível de 5%, os coeficientes associados ao trabalho e ao capital são conjuntamente iguais a zero. (2) Se o desvio padrão do estimador de 2 | for 0,0854, o intervalo de confiança a 95% para o efeito sobre Y de um aumento de 1% no estoque de capital será 0854 , 0 3856 , 0 95 , 0 × . (3) Os valores estimados permitem concluir que, para aquela indústria, a produtividade marginal do trabalho é menor que a produtividade média do mesmo fator. (4) Qualquer outra forma funcional que leve a um R 2 maior que 0,76 será preferível à utilizada. QUESTÃO 14 (ANPEC-2005): Considere o seguinte modelo para a população: Y =2 +4X – 5Z +u, em que u é o termo aleatório e 0 ) ( ) , | ( = = u E Z X u E . A partir de uma amostra de n indivíduos, estimaram-se os parâmetros deste modelo, tendo, todavia, sido omitida a variável Z. Ou seja, o modelo estimado foi: i i X Y 1 0 ˆ ˆ ˆ u u + = . Suponha ainda que, para amostra em questão, tenham sido obtidos os seguintes resultados: 7 , 0 ) ( ) )( ( 1 2 1 = ÷ ÷ ÷ ¿ ¿ = = n i i n i i i X X X X Z Z , em que ¿ = = n i i X n X 1 1 e ¿ = = n i i Z n Z 1 1 . 92 Calcule ( ) X E | ˆ 1 u . Multiplique o resultado por 10. QUESTÃO 06 (ANPEC-2006): Julgue as afirmativas. A respeito dos estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), em um modelo de regressão linear múltipla: (0) Se a variância do erro não for constante, as estimativas dos parâmetros serão não- viesadas. (1) Se E(c) = 0, os estimadores de todos os parâmetros, com exceção do intercepto, serão viesados. (2) Se o erro não seguir a distribuição Normal as estimativas por MQO são consistentes. (3) Sob as hipóteses do modelo de regressão clássica, com erros na forma de ruído branco com distribuição Normal, os estimadores de MQO serão os mais eficientes possíveis. (4) A presença de colinearidade imperfeita entre as variáveis explicativas gera estimadores viesados. QUESTÃO 08 (ANPEC-2006): Em um modelo de regressão múltipla, com erros que seguem uma distribuição Normal, identifique se os itens são corretos: (0) Os testes de heterocedasticidade de Breush-Pagan e de White podem ser calculados mediante regressões auxiliares com os quadrados dos resíduos. (1) Caso a forma funcional da heterocedasticidade seja conhecida, mínimos quadrados ponderados, estimados de modo interativo, serão menos eficientes que o estimador de Máxima Verossimilhança. (2) Empiricamente não há como distinguir um modelo de expectativas adaptativas de primeira ordem de um modelo de ajustamento parcial de primeira ordem. (3) Se houver uma variável dependente defasada entre as variáveis explicativas, o teste apropriado para a autocorrelação de primeira ordem dos resíduos é o h de Durbin, e não o teste de Breush-Godfrey. (4) Os métodos de estimação do coeficiente de autocorrelação Cochrane-Orcutt e Durbin são diferentes em pequenas amostras. QUESTÃO 09 (ANPEC-2006): O método dos mínimos quadrados ordinários foi empregado para estimar o modelo de regressão abaixo, cujo objetivo é explicar as variações de renda entre 526 indivíduos de uma amostra aleatória: 93 ln(renda) = 0,362+ 0,094 educ + 0,014 exper – 0,178 sexo – 0,010 exper x sexo + u (0,128) (0,008) (0,002) (0,058) (0,002) R 2 =0,368 n =526 em que sexo é uma variável dicotômica (valor 1, se for mulher e 0, caso contrário), educ é o número de anos de escolaridade (0 s educ s 17), exper são anos de experiência profissional (0 s exper s 40) e u é a estimativa do erro. Os números entre parênteses são os erros- padrão das estimativas, robustos à heterocedasticidade. Com base nos resultados acima, é correto afirmar: (0) Ao nível de significância de 5%, o efeito de um ano a mais de experiência profissional para indivíduos do sexo masculino é estatisticamente maior do que o efeito para mulheres. (1) Para um indivíduo com 10 anos de escolaridade, 1 ano adicional de estudo acarreta um aumento da renda de aproximadamente 9%. (2) O efeito na renda de um aumento de 1 ano na experiência profissional para as mulheres é 1% menor do que para os homens. (3) Pela inspeção dos resultados da estimação fica claro que os erros do modelo são heterocedásticos. (4) Se a um nível de significância de 5%, o valor crítico do teste F para a regressão for 2,37, os coeficientes angulares serão conjuntamente diferentes de zero. QUESTÃO 10 (ANPEC-2011): [Para a resolução desta questão talvez lhe seja útil saber que se Z tem distribuição normal padrão, então Pr(|Z|>1,645)=0,10 e Pr(|Z|>1,96)=0,05.] Considere as seguintes estimativas obtidas pelo método de mínimos quadrados ordinários para o modelo de regressão abaixo (desvios-padrões entre parênteses): ln(salário) = 0,600+0,175sindicato+0,090sexo+0,080educ+0,030 exper–0,003 exper 2 + uˆ (0,201) (0,100) (0,050) (0,032) (0,009) (0,001) R 2 =0,36 em que educ e exper denotam, respectivamente, o número de anos de estudo e o número de anos de experiência profissional, sindicato é uma variável dummy que assume o valor 1 se o trabalhador for sindicalizado e 0 caso contrário e sexo é uma variável dummy igual a 1 se o trabalhador for do sexo masculino e igual a 0 se for do sexo feminino. O resíduo da regressão é o termo uˆ . Todas as suposições usuais acerca do modelo de regressão linear clássico são satisfeitas. É correto afirmar que: 94 (0) Supondo que o tamanho da amostra seja grande o suficiente para que aproximações assintóticas sejam válidas, é possível rejeitar, ao nível de significância de 5%, a hipótese nula de que os salários de trabalhadores sindicalizados e não sindicalizados são iguais. A hipótese alternativa é que os trabalhadores sindicalizados ganham mais do que os não sindicalizados. (1) Supondo que o tamanho da amostra seja grande o suficiente para que aproximações assintóticas sejam válidas, é possível rejeitar, ao nível de significância de 5%, a hipótese nula de que os salários de homens e mulheres são iguais. A hipótese alternativa é que os salários de homens e mulheres são diferentes. (2) Um ano adicional de experiência eleva o salário em 3,00%. (3) Se incluirmos um regressor adicional entre as variáveis explicativas, o R² não diminuirá. (4) Supondo que os erros tenham distribuição normal e que o tamanho da amostra seja 206, é possível rejeitar, ao nível de significância de 5%, a hipótese de que os coeficientes da regressão, com exceção do intercepto, são simultaneamente iguais a zero (F 0,95; 5, 200 =2.2592). QUESTÃO 12 (ANPEC-2011): Considere o modelo de regressão linear múltipla y t = β 1 x 1t + β 2 x 2t + t c no qual ( ) T t t N x x d i i t t t ,..., 1 , , , 0 ~ , | ' 2 . . ' 2 ' 1 = ¬ o c Por simplicidade, assuma que as variáveis são expressas como desvios em relação às respectivas médias. É correto afirmar que: (0) Se β 2 = 0 e excluirmos x 2t da regressão, o estimador de mínimos quadrados ordinários de β 1 será, em geral, inconsistente. (1) Suponha que x 2t seja medido com erro, isto é, que * 2t x =x 2t +u 2t , e que E[u 2t |x 1t , x 2t ]=0, E[u 2t t c |x 1t , x 2t ] =0 e E[ 2 2t u |x 1t , x 2t ] = 2 u o . Se substituirmos x 2t por * 2t x , o estimador de mínimos quadrados ordinários de β 1 será inconsistente. (2) Os estimadores de mínimos quadrados ordinários de β 1 e β 2 serão não viesados, porém não serão eficientes, se y t for uma variável binária, assumindo apenas dois valores, 0 ou 1, e σ² = 1. (3) Seja c uma constante diferente de zero. Defina t y ~ =cy t, t x 1 ~ =cx 1t e t x 2 ~ =cx 2t . Os estimadores de mínimos quadrados ordinários (MQO) em uma regressão de t y ~ contra t x 1 ~ e t x 2 ~ coincidem com os estimadores de MQO em uma regressão de y t contra x 1t ex 2t . 95 (4) A hipótese de que o erro t c tem média 0 pode ser testada utilizando a estatística ( ) ¿ = T i t T 1 ˆ / 1 c , onde t cˆ é o resíduo da regressão por mínimos quadrados ordinários. Outras QUESTÃO 14 (ANPEC-1998): Considere o seguinte conjunto de equações simultâneas: 1 1 1 1 µ ¸ | o + + + = Y P Q : função de demanda 2 2 2 µ | o + + = P Q : função de oferta onde Q (quantidade) e P (preços) são as variáveis endógenas, Y (renda) é a variável exógena e 1 µ , 2 µ , representam os resíduos. Os valores 1 o , 2 o , 1 | , 1 ¸ e 2 | são os parâmetros do modelo. Então, pode-se afirmar que: (0) As equações na forma reduzida são definidas como: 1 2 1 v t t + + = Y Q 2 4 3 v t t + + = Y P onde, 2 1 1 2 2 1 1 | | o | o | t ÷ ÷ = , t ¸ | | | 2 1 2 1 2 = ÷ ÷ , t o o | | 3 2 1 1 2 = ÷ ÷ , 2 1 1 4 | | ¸ t ÷ ÷ = , v 1 1 2 2 1 1 2 = ÷ ÷ | µ | µ | | e 2 1 2 1 2 | | µ µ v ÷ ÷ ÷ = . (1) As funções de demanda e oferta são identificadas. (2) A estimação dos parâmetros das equações na forma reduzida por Mínimos Quadrados Ordinários, produz estimadores consistentes. (3) Os resíduos v 1 e v 2 são independentes. QUESTÃO 15 (ANPEC-1998): Com relação aos modelos Auto-Regressivo, Média-Móvel e Misto, pode - se afirmar que: (0) No modelo 0 1 1 u u | + + + = ÷ ÷ t t t t a a Z Z , onde o u é uma constante e t a um ruído branco, a média do processo será igual a zero se o u =0. (1) No modelo Auto-Regressivo de ordem p, t p t p t t t a Z Z Z Z + + + + = ÷ ÷ ÷ | | | .... 2 2 1 1 , se 0 ...... 1 2 1 = ÷ ÷ ÷ ÷ p | | | , o modelo não será estacionário. 96 (2) O processo ARMA(p,q) (Auto-Regressivo Média-Móvel) será estacionário e invertível, se todas as raízes dos operadores Auto - Regressivo e de Média Móvel caírem dentro do círculo unitário. (3) Se no modelo Auto-Regressivo de ordem 1, t t t a Z Z + = ÷1 µ , onde t a é um ruído branco, o verdadeiro valor de µ é igual a um, então 1 2 1 ..... a a a a Z t t t t + + + + = ÷ ÷ , desde que 0 0 = Z . QUESTÃO 01 (ANPEC-1999): Com relação aos modelos Auto-Regressivo, Média-Móvel e Misto, pode-se afirmar que: (0) No modelo AR(1), Zt =| Zt-1 +at , onde E(at)=0 , E( 2 t a )= 2 a o e bCov( s t a a , ) =0 se s t = , a variância de t Z é finita qualquer que seja o valor de | . (1) No modelo MA(1) , Zt =µ + at - u at-1, onde E(at) =0 para todo t e E( 2 t a ) = 2 a o , então E( t Z ) =µ e Var( t Z ) = 2 2 ) 1 ( a o u + . (2) O processo ARMA(p,q) (Auto-Regressivo Média-Móvel) pode ser escrito na forma t t a L Z L ) ( ) ( O = u , onde p p L L L L | | | ÷ · · · · ÷ ÷ ÷ = u 2 2 1 1 ) ( e q q L L L L u u u ÷ · · · · ÷ ÷ ÷ = O 2 2 1 1 ) ( são, respectivamente, os operadores auto- regressivo e de média-móvel de ordem p e q onde, n t t n Z Z L ÷ = . (3) Se o processo gerador de dados pode ser escrito como t t a Z L + = ÷ µ ) 1 ( , então a raiz de sua equação característica será diferente de um. QUESTÃO 15 (ANPEC-2000): Considere um processo AR(1): Y t = | Y t -1 + c t , c t ~NID(0, o 2 ), t =1,2...T, em que, por hipótese, ||| <1, a não ser que seja dito o contrário. Considere Y o fixo e que t seja muito distante da origem. (0) A condição ||| <1 é necessária para que o processo apresente média e variância incondicionais independentes do tempo. (1) A média incondicional do processo é zero. (2) A função de autocorrelação deste processo é diferente de zero para o "lag" 1, e é igual a zero para todos os outros "lags". (3) A previsão dois-passos à frente é dada por: E(Y t+2 | Y t ) =(| +1) +| 2 Y t , em que Y t ={ Y 1 , Y 2 ,..., Y t }. (4) Se | =1, o processo será não estacionário. 97 QUESTÃO 08 (ANPEC-2001): No modelo de equações simultâneas: 1 1 1 1 u Y P Q D + + + = ¸ | o (demanda) 2 2 2 u P Q S + + = | o (oferta) S D Q Q = em que: Q D é a quantidade demandada; Q S , a quantidade ofertada; P, o preço; Y, a renda; 1 u e 2 u são os componentes aleatórios. Neste modelo: (0) A aplicação do método de mínimos quadrados ordinários (MQO) a cada uma das equações do sistema, desconsiderando-se a outra, fornecerá estimativas não tendenciosas. (1) A equação de demanda é subidentificada. (2) A equação de oferta é exatamente identificada. (3) Na equação de oferta, o estimador de MQO é consistente. (4) Caso seja subidentificada, a equação de demanda não pode ser estimada. QUESTÃO 10 (ANPEC-2001): Seja o processo auto-regressivo: t t t y y c | + = ÷1 1 . Pode-se afirmar que: (0) O processo é estacionário para 1 | <1. (1) Se 1 | =1, o processo é dito um caminho aleatório (random walk). (2) O estimador de mínimos quadrados ordinários do parâmetro 1 | é não tendencioso. (3) A estatística t-Student pode ser usada para testar a presença de raiz unitária. (4) O processo pode ser escrito em uma forma alternativa como A t t t y y c o + = ÷1 em que 1 1 ÷ = | o e A t y = 1 ÷ ÷ t t y y . QUESTÃO 11 (ANPEC-2002): Considere as seguintes equações do modelo estrutural: Equação de Demanda: Q t = α 0 + α 1 P t + α 2 R t +u 1t Equação de oferta: Q t = β 0 + β 1 P t + β 2 P t-1 +u 1t em que no período t, Q t é aquantidade de produto; P t , o preço (endógeno) do produto; R t , arenda do consumidor; u it , o distúrbio aleatório da equação de demanda e u 2t , o distúrbio 98 aleatório da equação de oferta. A partir destas equações são obtidas as equações na forma reduzida: P t = π 0 + π 1 R t + π 2 P t-1 +v 1t e Q t = π 3 + π 4 R t + π 5 P t-1 +w t . (0) Assim sendo, 1 1 0 0 0 | o o | t ÷ ÷ = , 1 1 2 1 | o o t ÷ = e 1 1 2 2 | o | t ÷ = . (1) A condição de posto indica que a primeira e a segunda equações são identificadas. (2) Se multiplicarmos a equação de demanda por ì (0 <ì <1) e a equação de oferta por (1- ì) e somá-las, desde que o resultado dessa soma seja diferente da equação de oferta e da equação de demanda, as duas serão identificadas. (3) O método de mínimos quadrados ordinários produz estimadores consistentes e eficientes dos parâmetros da forma estrutural. (4) Para verificar se qualquer equação do sistema é identificável, basta aplicar a condição de ordem. QUESTÃO 08 (ANPEC-2003): Considere o modelo de equações simultâneas: S i D i i i S i i i D i Q Q u P Q u P Q = + + = + + = (oferta) (demanda) 2 2 2 1 ' 1 | o | o em que: D i Q é a quantidade demandada, S i Q é a quantidade ofertada, P i é o preço, e u 1i e u 2i são termos aleatórios. É correto afirmar que: (0) O estimador de mínimos quadrados ordinários aplicado a cada uma das equações é consistente e não-tendencioso; (1) No modelo acima a equação de demanda é identificada mas a equação de oferta não é; (2) Se a equação de demanda for definida por i i i D i u Y P Q 1 1 ' 1 + + + = ¸ | o , em que Y i é a renda, a equação de oferta será identificada; (3) A equação de demanda será identificada se for definida por i i i D i u Y P Q 1 1 ' 1 + + + = ¸ | o ; (4) A variável renda, empregada nos dois itens anteriores, é uma “variável instrumental”. QUESTÃO 15 (ANPEC-2003): Considere o modelo ARMA(1,1) definido por: 99 , , , 1 , 2 , 0 5 , 0 1 1 T t y y t t t t  = + ÷ = ÷ ÷ c c em que a variância de ε t é igual a 1. Encontre a variância de y t . (Multiplique o resultado final por 10. Marque somente a parte inteira na folha de resposta). QUESTÃO 07 (ANPEC-2004): São corretas as afirmativas. Em modelos de equações simultâneas: (0) O problema da identificação precede o da estimação. (1) Se a condição de ordem for satisfeita, a condição de posto também será satisfeita. (2) Os estimadores de mínimos quadrados indiretos e os de mínimos quadrados de dois estágios são não-tendenciosas e consistentes. (3) Se uma equação é exatamente identificada, os métodos de mínimos quadrados indiretos e de dois estágios produzem resultados idênticos. (4) O método de mínimos quadrados indiretos pode ser aplicado tanto a equações exatamente identificadas quanto a equações superidentificadas. QUESTÃO 08 (ANPEC-2005): Considere o modelo de equações simultâneas: t t t d t e X P Q 1 2 1 0 + + + = o o o (demanda) t t s t e P Q 2 1 0 + + = | | (oferta) s t d t Q Q = (condição de equilíbrio) s t d t Q e Q são, respectivamente, as quantidades demandadas e ofertadas do bem, t X é uma variável exógena e t e 1 e t e 2 são os termos aleatórios, com médias zero e variâncias constantes. São corretas as afirmativas: (0) As equações de demanda e oferta são exatamente identificadas. (1) Os parâmetros estruturais do modelo são consistentemente estimados por Mínimos Quadrados Ordinários. (2) As equações na forma reduzida são: t t t v X P + H + H = 1 0 e t t t w X Q + H + H = 3 2 , em que 1 1 0 0 0 | o o | ÷ ÷ = H ; 1 1 2 1 | o o ÷ ÷ = H ; 1 1 2 1 | o ÷ ÷ = t t t e e v ; 1 1 1 0 0 1 2 | o | o | o ÷ ÷ = H ; 1 1 1 2 3 | o | o ÷ ÷ = H e 1 1 1 1 2 1 | o | o ÷ ÷ = t t t e e w . (3) As estimativas dos parâmetros da forma reduzida descritos no quesito anterior, por Mínimos Quadrados Ordinários, são consistentes. 100 (4) Os parâmetros das equações estruturais, obtidos dos parâmetros da forma reduzida, são estimados por Mínimos Quadrados Ordinários. QUESTÃO 09 (ANPEC-2005): São corretas as afirmativas: (0) No processo AR(1): t t t e y y + + = ÷1 1 0 | | , em que 1 < | e t e é um ruído branco de média zero e variância 2 o , a variância de t y será 2 2 1 | o ÷ . (1) Seja a função de autocovariância do processo AR(1) definido no quesito anterior ] ) )( E[( µ µ ¸ ÷ ÷ = ÷ ÷ j t j t j y y , em que ] E[ t y = µ é a média do processo t y . É correto afirmar que ( ) 2 1 1 0 1 | | | ¸ ÷ + = j j . (2) O processo AR(2), t t t t e y y y + + + = ÷ ÷ 2 2 1 1 0 | | | , em que t e é um ruído branco de média nula e variância 2 o , será estacionário de segunda ordem se, e somente se, 1 1 < | e 1 2 < | . (3) A média do processo MA(1), 1 ÷ + = t t t e e y u , em que t e é um ruído branco, é igual a zero. (4) No modelo ARMA(1,1), 1 1 1 0 ÷ ÷ + + + = t t t t e e y y u | | , em que t e é um ruído branco de média nula e variância constante, a média de t y é dada por 1 0 1 | | ÷ . QUESTÃO 07 (ANPEC-2006): Considere o modelo: Y t =αZ t +βY t-1 +e 1t (equação I) Z t =λZ t-1 +e 2t (equação II) em que α, β e λ são parâmetros e . para todo , 0 0 ) ( , 0 0 Normal ~ 2 22 12 12 2 11 2 1 t k E e e k t t t t = | | . | \ | = ( ( ¸ ( ¸ | | . | \ | | | . | \ | | | . | \ | = e e e o o o o 101 Suponha também que |λ|<1 e |β|<1. São corretas as afirmativas: (0) A condição | λ|<1 garante a estacionariedade de segunda ordem de Z t . (1) O estimador de mínimos quadrados ordinários de λ na equação II, não é consistente. (2) Os estimadores de mínimos quadrados ordinários de α e β na equação I, só serão consistentes se σ 12 =1. (3) Sem nenhuma restrição adicional sobre os parâmetros do modelo, a equação I não satisfaz a condição de ordem para identificação. (4) Para testar se há endogeneidade na equação I, pode-se usar o teste de Hausman. QUESTÃO 02 (ANPEC-2011): Considere o seguinte modelo de equações simultâneas: y 1 = θ 1 z +u 1 (1) y 2 = β 1 y 1 + β 2 z +u 2 (2) em que E[u 1 ] =E[u 2 ] =0 E[u 1 ²] = 2 1 o , E[u 2 ²] = 2 2 o , E[u 1 u 2 ] = 2 , 1 o ≠ 0 E[u 1 z] =E[u 2 z] =0 É correto afirmar que: (0) O estimador de mínimos quadrados ordinários de θ 1 na equação (1) é consistente. (1) Os estimadores de mínimos quadrados ordinários de β 1 e β 2 na equação (2) são não viesados. (2) A equação (1) é exatamente identificada e a equação (2) é sobreidentificada. (3) Se 2 , 1 o =0, tanto a equação (1) quanto a equação (2) são exatamente identificadas. (4) Se 2 , 1 o =0, os estimadores de mínimos quadrados ordinários de β 1 e β 2 na equação (2) são consistentes. QUESTÃO 08 (ANPEC-2011): Suponha que y 1t =¸ y 2t + t u 1 , t u 1 ~N(0, 11 o ), t=1,...,T. (1) y 2t =| y 2t-1 + t u 2 , t u 2 ~N(0, 22 o ), t=1,...,T. (2) E[ t u 1 t u 2 ] =0, ∀t 102 Considere as seguintes afirmativas: (0) O estimador de mínimos quadrados ordinários | ˆ de | na equação (2) é não viesado se 1 < | . (1) O estimador de mínimos quadrados ordinários ¸  de ¸ na equação (1) é consistente se 1 < | e ¸ =0. (2) y 2t é um processo estacionário de segunda ordem se | =1. (3) y 1t é um processo integrado de ordem um, I(1), se | =1 e 0 = ¸ . (4) O estimador de mínimos quadrados ordinários ¸  de ¸ na equação (1) é consistente se | =1 e 0 = ¸ . QUESTÃO 11 (ANPEC-2011): Julgue as seguintes afirmativas: (0) O processo AR(2), y t = ρ 1 y t-1 + ρ 2 y t-2 + t c , em que t c é um ruído branco com média zero e variância σ², é estacionário de segunda ordem se e somente se as raízes do polinômio x 2 - ρ 1 x + ρ 2 estão fora do círculo unitário. (1) No processo MA(2), y t = t c +θ 1 1 ÷ t c + θ 2 2 ÷ t c , em que t c é um ruído branco com média zero e variância σ², a covariância entre y t e y t-3 é igual a zero. (2) No passeio aleatório com drift, y t =c +y t-1 + t c , y 0 =0, em que t c é um ruído branco com média zero e variância σ², a média de y t varia com t. (3) No processo MA(1), y t = t c +θ 1 1 ÷ t c , em que t c é um ruído branco com média zero e variância σ², a correlação entre y t e y t-1 é menor ou igual a 0,5 em valor absoluto. (4) O processo ARMA(1,1), y t = ρ y t-1 + t c +θ 1 ÷ t c , em que t c é um ruído branco com média zero e variância σ², é estacionário de segunda ordem se e somente se |ρ| < 1 e |θ| < 1. SÉRIES DE TEMPO QUESTÃO 02 (ANPEC-1999): Uma série temporal mensal de três anos, de janeiro de 1995 a dezembro de 1997, para o preço do produto agrícola Y, apresentou a seguinte tendência linear Y =3 +0,25.X. Estime o preço do produto Y para o mês de janeiro de 1998, sabendo que as variações sazonais calculadas com base num modelo aditivo para os três anos considerados foram: Mês Jan Fev Mar Abr Maio Jun 103 Variação sazonal -1,25 -0,52 0,84 1,50 3,00 3,85 QUESTÃO 12 (ANPEC-2002): Em relação aos modelos de Séries de Tempo pode-se afirmar: (0) No modelo Autoregressivo de ordem 1, 0 1 u | + + = ÷ t t t u Z Z , 1 < | , em que u t é um ruído branco, o parâmetro 0 u é a média do processo. (1) O modelo misto Autoregressivo-Médias Móveis, ARMA(1,1), pode ser representado pela expressão Z t =| Z t +u t –θu t-1 em que | e θ são parâmetros e u t é um ruído branco. (2) Se um processo estocástico possui uma tendência determinística, y t =β 1 +β 2 t +u t , então este é dito não-estacionário e sua não-estacionariedade pode ser detectada por um teste para raiz unitária. (3) Em uma regressão com duas séries temporais, se estas são I(1), ou seja, não estacionárias, mas são cointegradas, pode-se empregar a estatística t de Student para testar a significância dos coeficientes da regressão. (4) O teste de Engle-Granger para co-integração entre três variáveis consiste em utilizar a estatística e a tabela de valores críticos Dickey-Fuller nos resíduos de uma regressão entre estas variáveis. QUESTÃO 10 (ANPEC-2004): Em relação aos modelos de séries temporais, são corretas as afirmativas: (0) No processo AR(1), 0 1 u | + + = ÷ t t t a Z Z , 1 < | , e t a é um ruído branco, a média de t Z será | u ÷ 1 0 . (1) O processo MA(1), 1 ÷ ÷ = t t t a a Z , em que t a é um ruído branco, não é estacionário. (2) O processo AR(1), t t t a Z Z + = ÷1 8 , 0 , em que t a é um ruído branco, é estacionário. (3) No processo AR(1), t t t a Z Z + = ÷1 | , em que t a é um ruído branco com Var( t a ) = 2 a o , a variância de t Z é 2 2 1 | o ÷ a . (4) No modelo ARMA(1,1), 1 1 ÷ ÷ + + = t t t t a a Z Z u | , em que t a é um ruído branco, a média de t Z é diferente de zero. QUESTÃO 07 (ANPEC-2005): 104 Com respeito à teoria das séries temporais, são corretas as afirmativas: (0) Considere uma série temporal t Y auto-regressiva de ordem 1 com parâmetro µ . No modelo: t t t t u Y Y Y + = ÷ ÷ ÷ 1 1 o , em que t u é um ruído branco e 1 ÷ = µ o , se o for de fato igual a zero, a série t Y será não estacionária. (1) Numa regressão linear simples de duas séries temporais não estacionárias de ordem 1, o teste usual t de Student ainda é válido. (2) Numa regressão linear múltipla de séries temporais de ordem 1, mas cointegráveis, não se corre o risco de os resultados serem espúrios. (3) Numa regressão linear múltipla de séries temporais de ordem 1, mas cointegráveis, os resíduos da regressão são estacionários. (4) Se uma série temporal tiver que ser diferenciada n vezes antes de se tornar estacionária, a série original é integrada de ordem n -1. QUESTÃO 15 (ANPEC-2006): Uma série temporal Y t , t =1,... T, foi gerada por um processo da classe ARIMA(p,d,q) e apresenta os seguintes formatos para a Função de Autocorrelação (FAC) e Função de Autocorrelação Parcial (FACP): Supondo que a média da série seja 100 e que Y T-3 =35, Y T-2 =28, Y T-1 =38 e Y T =30, calcule a previsão para Y T+1 feita no instante T , isto é E(Y T+1 |Y T ,Y T-1 ,Y T-2 ,Y T-3 ,...). 105 TABELAS Valores críticos ao nível de significância de 5% Tabela F Tabela t Graus lib. - numerador Graus lib. Valor crítico 1 2 3 4 5 1 12,71 1 161,45 199,50 215,71 224,58 230,16 2 4,30 2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 3 3,18 3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 4 2,78 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 5 2,57 5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 6 2,45 6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 7 2,36 7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 8 2,31 8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 9 2,26 9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 10 2,23 10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 11 2,20 11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 12 2,18 12 4,75 3,89 3,49 3,26 3,11 13 2,16 13 4,67 3,81 3,41 3,18 3,03 14 2,14 14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 15 2,13 15 4,54 3,68 3,29 3,06 2,90 16 2,12 16 4,49 3,63 3,24 3,01 2,85 17 2,11 17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 18 2,10 18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 19 2,09 19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 20 2,09 20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 21 2,08 21 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 22 2,07 22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 23 2,07 23 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 24 2,06 24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 25 2,06 25 4,24 3,39 2,99 2,76 2,60 26 2,06 26 4,23 3,37 2,98 2,74 2,59 27 2,05 27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 28 2,05 28 4,20 3,34 2,95 2,71 2,56 29 2,05 29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,55 30 2,04 30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 40 2,02 40 4,08 3,23 2,84 2,61 2,45 50 2,01 50 4,03 3,18 2,79 2,56 2,40 60 2,00 60 4,00 3,15 2,76 2,53 2,37 70 1,99 70 3,98 3,13 2,74 2,50 2,35 80 1,99 80 3,96 3,11 2,72 2,49 2,33 90 1,99 90 3,95 3,10 2,71 2,47 2,32 100 1,98 G r a u d l i b . - d e n o m i n a d o r 100 3,94 3,09 2,70 2,46 2,31 106 Distribuição Normal Padrão z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 0.0 .5000 .4960 .4920 .4880 .4840 .4801 .4761 .4721 .4681 .4641 0.1 .4602 .4562 .4522 .4483 .4443 .4404 .4364 .4325 .4286 .4247 0.2 .4207 .4168 .4129 .4090 .4052 .4013 .3974 .3936 .3897 .3859 0.3 .3821 .3783 .3745 .3707 .3669 .3632 .3594 .3557 .3520 .3483 0.4 .3446 .3409 .3372 .3336 .3300 .3264 .3228 .3192 .3156 .3121 0.5 .3085 .3050 .3015 .2981 .2946 .2912 .2877 .2843 .2810 .2776 0.6 .2743 .2709 .2676 .2643 .2611 .2578 .2546 .2514 .2483 .2451 0.7 .2420 .2389 .2358 .2327 .2296 .2266 .2236 .2206 .2177 .2l48 0.8 .2119 .2090 .2061 .2033 .2005 .1977 .1949 .1922 .1894 .1867 0.9 .1841 .1814 .1788 .1762 .1736 .1711 .1685 .1660 .1635 .1611 1.0 .1587 .1562 .1539 .1515 .1492 .1469 .1446 .1423 .1401 .1379 1.1 .1357 .1335 .1314 .1292 .1271 .1251 .1230 .1210 .1190 .1170 1.2 .1151 .1131 .1112 .1093 .1075 .1056 .1038 .1020 .1003 .0985 1.3 .0968 .0951 .0934 .0918 .0901 .0885 .0869 .0853 .0838 .0823 1.4 .0808 .0793 .0778 .0764 .0749 .0735 .0722 .0708 .0694 .0681 1.5 .0668 .0655 .0643 .0630 .0618 .0606 .0594 .0582 .0571 .0559 1.6 .0548 .0537 .0526 .0516 .0505 .0495 .0485 .0475 .0465 .0455 1.7 .0446 .0436 .0427 .0418 .0409 .0401 .0392 .0384 .0375 .0367 1.8 .0359 .0352 .0344 .0336 .0329 .0322 .0314 .0307 .0301 .0294 1.9 .0287 .0281 .0274 .0268 .0262 .0256 .0250 .0244 .0239 .0233 2.0 .0228 .0222 .0217 .0212 .0207 .0202 .0197 .0192 .0188 .0183 2.1 .0179 .0174 .0170 .0166 .0162 .0158 .0154 .0150 .0146 .0143 2.2 .0139 .0136 .0132 .0129 .0125 .0122 .0119 .0116 .0113 .0110 2.3 .0107 .0104 .0102 .0099 .0096 .0094 .0091 .0089 .0087 .0084 2.4 .0082 .0080 .0078 .0075 .0073 .0071 .0069 .0068 .0066 .0064 2.5 .0062 .0060 .0059 .0057 .0055 .0054 .0052 .0051 .0049 .0048 2.6 .0047 .0045 .0044 .0043 .0041 .0040 .0039 .0038 .0037 .0036 2.7 .0035 .0034 .0033 .0032 .0031 .0030 .0029 .0028 .0027 .0026 2.8 .0026 .0025 .0024 .0023 .0023 .0022 .0021 .0021 .0020 .0019 2.9 .0019 .0018 .0017 .0017 .0016 .0016 .0015 .0015 .0014 .0014 3.0 .00135 3.5 .000233 4.0 .0000317 4.5 .00000340 5.0 .000000287 107 GABARITOS 108