1 de 17Universidade Federal de Sergipe Núcleo de Engenharia Mecânica Disciplina: Mecânica dos Materiais 2014-2 Prof. André Luiz Costa Lista de Exercícios para Prova 2 Torção 1. Para a barra mostrada na figura, determine o 4. a) Determine o torque que deve ser aplicado torque T que causa uma tensão de cisalhamento em um eixo sólido de 90 mm de diâmetro com máxima de 70 MPa. tensão admissível de 75 MPa. b) Resolva a parte Resposta: 641 N.m (a) assumindo que o eixo agora é um tubo de mesma massa e com 90 mm de diâmetro interno. Resposta: a) 10,74 kN.m, b) 22,8 kN.m 5. As rodas A e B são conectadas pelos eixos sólidos AB e BC, e sofrem os torques de 300 N.m e 400 N.m, respectivamente. Determine a tensão de cisalhamento máxima em cada eixo. Resposta: 56,6 MPa e 36,6 MPa 2. Para a mesma barra da questão 1, determine a tensão de cisalhamento se o torque aplicado for de 800 N.m. Resposta: 87,3 MPa 3. Para o carregamento mostrado na figura, a) determine a máxima tensão de cisalhamento, b) determine o diâmetro de uma barra sólida que sofreria a mesma tensão de cisalhamento do tubo. Resposta: a) 70,5 MPa, b) 55,8 mm 6. A fim de reduzir a massa total do conjunto da questão anterior, determine o menor diâmetro do eixo BC para o qual a atual maior tensão de cisalhamento no conjunto não seja aumentada. Resposta: 39,8 mm 2 de 17 7. Um eixo é feito de uma liga de aço com tensão de cisalhamento admissível adm = 84 MPa. Se o diâmetro do eixo for 37,5 mm, a) determine o torque máximo T que pode ser transmitido. b) Qual seria o torque máximo T’ se fosse feito um furo de 25 mm de diâmetro no eixo? Faça um rascunho da distribuição da tensão de cisalhamento ao longo de uma linha radial em cada caso. Resposta: a) T = 870 N.m, b) T’ = 698 N.m 10. O conjunto é composto por duas seções de 8. O eixo maciço de 30 mm de diâmetro é usado tubo de aço galvanizado interligadas por uma para transmitir os torques aplicados às redução em B. O tubo menor tem diâmetro engrenagens. Determine a tensão de externo de 18,75 mm e diâmetro interno de cisalhamento máxima absoluta no eixo. 17 mm, enquanto o tubo maior tem diâmetro Resposta: 75,45 MPa externo de 25 mm e diâmetro interno de 21,5 mm. Se o tubo estiver firmemente preso à parede em C, determine a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida em cada tubo quando são aplicadas as forças mostradas na figura. Resposta: AB = 62,55 MPa, BC = 18,89 MPa 9. O eixo maciço de 32 mm de diâmetro é usado para transmitir os torques aplicados às engrenagens. Se o eixo estiver apoiado em mancais lisos em A e B, que não existem a torque, determine a tensão de cisalhamento desenvolvida no eixo nos pontos C e D. Indique a tensão de cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses pontos. Resposta: C = 28,75 MPa, D = - 11,66 MPa 3 de 17 11. A barra sólida AB tem diâmetro de 60 mm e é feita de aço com tensão de cisalhamento admissível de 85 MPa. O tubo CD tem diâmetro externo de 90 mm e espessura de 6 mm, e é feito de alumínio com tensão de cisalhamento admissível de 54 MPa. Determine o maior torque T que pode ser aplicado em A. Resposta: 3,37 kN.m 14. Um torque T = 1000 N.m é aplicado como na questão anterior. Sabendo que a tensão admissível em cada eixo é de 60 MPa, determine os diâmetros no eixo AB e no eixo CD. Resposta: dAB = 59,6 mm, dCD = 43,9 mm 15. O tubo de cobre tem diâmetro externo de 62,5 mm e diâmetro interno de 57,5 mm. Se estiver preso à parede em C e for subetido a um 12. A barra sólida BC tem diâmetro de 30 mm e é torque uniformemente distribuído de 625 N.m/m como mostra a figura, determine a tensão de feita de alumínio com adm = 25 MPa. A barra AB é vazada com diâmetro externo de 25 mm, e é feita cisalhamento nos pontos A e B na superfície externa do tubo. de latão com adm = 50 MPa. Determine o maior diâmetro interno da barra AB para se ter o mesmo Resposta: A = 13,79 MPa, B = 24,14 MPa coeficiente de segurança em cada barra. Dica: maior diâmetro, menor coef.seg. Resposta: 15,18 mm 16. O eixo de transmissão AB do veículo deve ser um tubo de parede fina com adm = 50 MPa. O 13. Um torque T = 1000 N.m é aplicado como motor transmite 125 kW quando o eixo gira a mostrado. Sabendo que o diâmetro do eixo AB é 1500 rpm. Determine a espessura mínima do tubo 56 mm e o diâmetro do eixo CD é 42 mm, para um diâmetro externo de 62,5 mm. determine a máxima tensão de cisalhamento em Resposta: 3,0 mm. cada eixo. Resposta: AB = 72,5 MPa, CD = 68,7 MPa 4 de 17 17. O motor pode desenvolver 100 W quando gira a 80 rpm. Se a tensão de cisalhamento admissível para o eixo for adm = 28 MPa, determine, com aproximação de múltiplos de 5 mm, o menor diâmetro do eixo que pode ser usado. Resposta: 15 mm 20. Determine o ângulo de torção máximo para o eixo de aço (G = 77 GPa) mostrado na figura. a) se o eixo for sólido, b) se o eixo é um tubo com 20 mm de diâmetro interno. 18. O eixo maciço de aço AC tem diâmetro de 25 Resposta: a) 4,21o, b) 5,25o mm e está apoiado nos mancais lisos em D e E. O eixo está acoplado a um motor em C que transmite 3 kW de potência ao eixo quando está girando a 50 rps. Se as engrenagens A e B consomem 1kW e 2kW, respectivamente, determine a tensão de cisalhamento máxima nas regiões AB e BC do eixo. Resposta: AB = 1,04 MPa, BC = 3,11 MPa 21. A barra sólida de latão AB (G = 39 GPa) está colada a barra sólida de alumínio BC (G = 27 GPa). Detemine o ângulo de torção em B e em A. O torque na extremidade é de 180 N.m Resposta: B = 0,741o, A = 1,573o 19. O motor transmite 40 kW quando está girando a 1350 rpm em A. Esse carregamento é transmitido ao eixo de aço BC do ventilador pelo sistema de correia a polia mostrado na figura. Determine o menor diâmetro desse eixo se a tensão de cisalhamento admissível for 84 MPa. Resposta: 32,5 mm 5 de 17 22. Determine o maior diâmetro de uma barra de 25. As especificações de projeto de um eixo de aço (G = 77 GPa) com 3 m de comprimento, se transmissão circular com 2 m de comprimento esta barra deve ser torcida em 30o sem exceder requer que o ângulo de torção não exceda 3o uma tensão de cisalhamento de 80 MPa. quando um torque de 9 kN.m for aplicado. Resposta: 11,91 mm Determine o diâmetro do eixo sabendo que o eixo é feito de a) aço (G = 77 GPa, adm = 90 MPa), b) bronze (G = 42 GPa, adm = 35 MPa). 23. Os torques mostrados são exercidos nas rodas Dica: tem que calcular o diâmetro para as duas A e B. Sabendo que os eixos são sólidos e feitos de restrições: tensão e ângulo, aço (G = 77 GPa), determine o ângulo de torção Resposta: a) 82,1 mm, b) 109,4 mm entre a) A e B, b) A e C. Respostas: AB = 2,53o, AC = 3,42o 26. Dois eixos sólidos de aço (G = 77 GPa) são conectados por engrenagens como mostrado. Sabendo que o raio da engrenagem B é 20 mm, determine o ângulo de torção na extremidade A quando TA = 75 N.m. Dica: A = ABB Resposta: 7,94o 24. O eixo maciço de aço A36 (G = 75 GPa) de 20 mm de diâmetro é submetido aos torques mostrados. Determine o ângulo de torção da extremidade B. Resposta: 5,739o 6 de 17 27. O parafuso de aço (G = 75 GPa) com 8 mm de 29. O motor transmite 33 kW de potência ao eixo diâmetro está parafusado firmemente em A. de aço inox (G = 75 GPa) quando gira a 20 Hz. O Determine as forças conjugadas F que devem ser eixo é apoiado nos mancais A e B que permitem aplicadas à chave de torque de modo que a livre rotação do eixo. As engrenagens C e D tensão de cisalhamento máxima no parafuso seja absorvem 20 kW e 12 kW, respectivamente. de 18 MPa. Calcule também o deslocamento Determine o diâmetro do eixo se a tensão correspondente de cada força F necessário para admissível for de 56 MPa e o ângulo de torção causar essa tensão. Considere que a chave é admissível na porção CD for de 0,20o. rígida. Dica: calcule o diâmetro para as duas restrições. Resposta: F = 6,03 N, s = 0,72 mm Resposta: 29,4 mm 28. A turbina desenvolve 150 kW de potência, que é transmitida às engrenagens de tal modo que C recebe 70% e D recebe 30%. Se a rotação do eixo 30. O eixo maciço de 60 mm de diâmetro é feito de aço (G = 75 GPa) de 100 mm de diâmetro for de aço A-36 (G = 75 GPa) e está sujeito aos de 800 rpm, determine a tensão de cisalhamento carregamentos de torção distribuídos e máxima no eixo e o ângulo de torção na concentrados mostrados na figura. Determine o extremidade livre E. ângulo de torção na extremidade livre A do eixo Resposta: 9,12 MPa, 0,5852o devido a esses carregamentos. Resposta: A = 0,432o 7 de 17 31. Um torque de 4 kN.m é aplicado na extremidade A do eixo como mostrado. Sabendo- se que Gaço = 77 GPa e Galm = 27 GPa, determine (a) a máxima tensão de cisalhamento na barra de aço, (b) a máxima tensão de cisalhamento na camisa de alumínio, (c) o ângulo de torção em A. Resposta: (a) 73,6 MPa, (b) 34,4 MPa, (c) 5,07o 34. Para a mesma figura do exercício 33, considere agora o tubo com 37,5 mm de diâmetro externo e espessura de 3 mm. Se for a força F for de 100 N, qual a tensão de cisalhamento máxima no tubo? Resposta: max = 3,21 MPa 32. O eixo de aço (G = 75 GPa) tem diâmetro de 50 mm e está preso na extremidades A e B. Se for submetido ao torque indicado, determine a 35. O eixo é feito de aço-ferramenta tem tensão de cisalhamento máxima nas regiões AC e diâmetro de 40 mm e está preso em suas CB do eixo. extremidades A e B. Se for submetido ao Resposta: AC = 8,15 MPa, BC = 4,07 MPa conjugado de forças da figura, determine a tensão de cisalhamento máxima nas regiões AC e CB. Resposta: AC = 9,55 MPa, BC = 6,37 MPa 33. O tubo de bronze (G = 38 GPa) tem diâmetro externo de 37,5 mm e espessura de 0,3 mm. A conexão C está sendo apertada com uma chave de torque. Se o torque desenvolvido em A for 16 N.m, determine o valor F das forças conjugadas. O tubo está engastado na extremidade B. Resposta: 120 N 8 de 17 36. Dois eixos de aço com flanges são conectados 38. Os eixos de aço são fixos na parte inferior e por parafusos de maneira que não há movimento um torque T = 50 N.m é aplicado na extremidade relativo na junção. Determine a máxima tensão de A do eixo AB. Determine (a) a tensão máxima de cisalhamento em cada eixo quando um torque cisalhamento no eixo CD, (b) o ângulo de torção T = 500 N.m é aplicado em B. (use Gaço = 77 GPa). na extremidade A. Use Gaço = 77 GPa. Resposta: AB = 39,6 MPa, BC = 31,7 MPa Resposta: (a) 47,1 MPa, (b) 0,779o Dica: 37. Um tubo de aço com 60 mm de diâmetro externo deve ser usado para transmitir um torque de 350 N.m sem exceder a tensão de cisalhamento admissível de 12 MPa. Uma série de tubos no estoque tem espessuras de 2, 4, 6, 8 e 10 mm. Qual o tubo que deve ser usado? Resposta: aquele com espessura de 8 mm. 9 de 17 39. Três eixos e quatro engrenagens formam um 42. Um eixo tubular de 1,6 m de comprimento e trem de engrenagens para transmitir 7,5 kW de diâmetro externo de 42 mm é feito de aço com um motor no ponto A para uma máquina no Tadm = 75 MPa e G = 77 GPa. Sabendo que o maior ponto F. Sabendo que o motor gira a 30 Hz e que ângulo de torção admissível é de 4o para um a tensão de cisalhamento admissível em cada eixo torque de 900 N.m, determine o diâmetro interno é 60 MPa, determine o diâmetro de cada eixo. do eixo. Resposta: dAB = 15,0 mm, dCD = 20,4 mm, Resposta: dint = 24,9 mm dEF = 27,6 mm. Para os problemas seguintes use o gráfico: 40. Considere o mesmo sistema do exercício anterior. Se dAB = 16,0 mm, dCD = 20 mm, dEF = 28 mm, fmotor = 24Hz e adm = 75 MPa, determine a máxima potência transmitida. Resposta: 7,11 kW. 43. A tensão de cisalhamento admissível para o 41. Um eixo de aço deve transmitir 150 kW a 360 aço do eixo mostrado é adm = 8 MPa. Se os rpm. Dimensione um eixo sólido de 2,5 m de elementos forem interligados por um filete de comprimento de maneira que a tensão máxima solda de raio r = 4 mm, determine o torque seja 50 MPa e o ângulo máximo de torção máximo T que pode ser aplicado. seja de 3o. Use G = 77 GPa. Resposta: T = 20,11 N.m Dica: calcule o diâmetro para cada caso e use o maior. Resposta: d = 74 mm. 10 de 17 44. O eixo está preso na parede em A e é 45. O eixo escalonado gira a 450 rpm. Sabendo submetido aos torques mostrados na figura. que r = 4 mm, determine a máxima potência Determine a tensão de cisalhamento máxima em transmitida para tmax = 45 MPa. cada seção do eixo. Na mudança de diâmetro o Resposta: 268 kW raio de concordância é r = 4,5 mm. Resposta: CD = 47,16 MPa, DB = 12,3 MPa, BE = 1,18 MPa, EA = 17,68 MPa 46. Um torque de 25 N.m é aplicado ao eixo escalonado da figura. O raio do filete foi feito de acordo com a equação: r = ½ (D-d). Se D = 24 mm, determine a tensão máxima de cisalhamento no eixo quando (a) d = 20 mm e (b) r = 1,2 mm Resposta: (a) 21,6 MPa, (b) 17,9 MPa. **************************************************************************************** Flexão Pura 47. Um elemento com as dimensões mostradas na 48. A haste de aço com diâmetro de 20 mm está figura deverá ser usado para resistir a um sujeita a um momento interno M = 300 N.m como momento fletor interno M = 2 kN.m. Determine a mostrado. Determine a tensão criada nos pontos tensão máxima no elemento se o momento for A e B. aplicado (a) em torno do eixo z e (b) em torno do Resposta: A = 382 MPa, B = 270 MPa eixo y. Resposta: a) 13,89 MPa, b) 27,78 MPa 11 de 17 49. A viga tem a seção transversal mostrada na 51. O momento indicado na figura atua no plano figura. Se for feita de aço com tensão admissível vertical. Determine as tensões nos pontos A e B. adm = 170 MPa, determine o maior momento Resposta: A = - 116,4 MPa, B = -87,3 MPa interno ao qual ela pode resistir se o momento for aplicado (a) em torno do eixo z e (b) em torno do eixo y. Resposta: a) Mz = 14,15 kN, b) My = 4,08 kN.m 52. A área da seção transversal da escora de alumínio tem forma de cruz. Se ela for submetida ao momento M = 8 kN.m, determine a tensão de flexão que age nos pontos A e B e mostre os resultados em elementos de volume localizados nesses pontos. 50. Foram apresentadas duas alternativas para o Resposta: A = 49,4 MPa, B = 4,5 MPa projeto de uma viga. Determine qual delas suportará um momento de M = 150 kN.m com a menor quantidade de tensão de flexão. Resposta: alternativa b com max = 74,72 MPa. 12 de 17 53. Sabendo que para a viga mostrada a maior 55. Sabendo que M = 250 N.m, determine a tensão admissível em tração é 120 MPa e a maior máxima tensão na viga mostrada quando o raio tensão admissível em compressão é 150 MPa, do adoçamento r é (a) 4 mm, (b) 8 mm. determine o maior momento fletor que pode ser Resposta: a) 219 MPa, b) 176 MPa aplicado. Resposta: 7,67 kN.m 54. A viga mostrada é feita de nylon com tensão admissível de 24 MPa em tensão e 30 MPa em compressão. Determine o maior momento M que pode ser aplicado. Resposta: 849 N.m 56. Considere a figura do problema 9. Sabendo que a tensão admissível para a viga é de 90 MPa, determine o momento fletor máximo para o raio do filete igual a (a) 8 mm, (b) 12 mm. Resposta: a) 128 N.m, b) 142 N.m 13 de 17 57. Um componente de aço (adm = 80 MPa) foi projetado da maneira mostrada na figura (a), onde r = 15 mm. Se a barra for reprojetada como na figura (b), qual o aumento (%) no momento fletor que pode ser aplicado? Resposta: 22,4% (Ma = 1,25 kN.m, Mb = 1,53 kN.m) 59. A porção vertical da prensa mostrada consiste de um tubo retangular com espessura t = 10 mm. Sabendo que a prensa trabalha com carga P = 20 kN, determine as tensões nos pontos A e B. Resposta: A = 112,8 MPa, b) B = -96,0 MPa 60. Uma barra de aço (E = 200 GPa) em forma de C é usada como um dinamômetro para 58. A barra entalhada simplesmente apoiada é determinar a força aplicada como mostrado. submetida a duas forças P. Determine o maior A seção transversal da barra é um quadrado com valor de P que pode ser aplicada sem provocar 40 mm de lado. Se a deformação medida no escoamento do material. Cada entalhe tem raio ponto D foi = 450 x 10-6, determine a r = 3 mm. esc = 250 MPa. intensidade da força P. Resposta: P = 468,76 N Resposta: 9 kN Dica: Nesta configuração de viga, o momento máximo ocorre entre as cargas e vale P vezes a distância do ponto de aplicação da carga até a extremidade. 14 de 17 61. Sabendo que P = 8 kN, determine as tensões determine o maior valor do desvio que pode ser nos pontos A e B. usado. Resposta: A = -102,8 MPa, B = -80,6 MPa Resposta: 0,375d 63. Um desvio h deve ser feito num tubo de metal com 18 mm de diâmetro externo e 2 mm de espessura. Sabendo que a tensão máxima após o desvio não pode exceder o valor de 4 vezes a 62. Um desvio h deve ser feito em uma barra tensão máxima no tubo reto, determine o maior circular de diâmetro d. Sabendo que a tensão valor do desvio que pode ser usado. máxima após o desvio não pode exceder o valor Resposta: 10,83 mm de 4 vezes a tensão máxima na barra reta, **************************************************************************************** Carregamento Transversal 64. Determine a tensão de cisalhamento nos 65. Determine a tensão de cisalhamento máxima pontos A e B. Indique as componentes de tensão na viga. de cisalhamento num elemento de volume Resposta: A = 19,87 MPa localizado nestes pontos. Dados: V = 15 kN, w = 125 mm. Resposta: A = 1,99 MPa, B = 1,65 MPa 15 de 17 66. A viga é feita de madeira com tensão de cisalhamento admissível adm = 11,2 MPa e tem seção transversal retangular com lados medindo a e 1,5a. Se for submetida a um cisalhamento de V = 20 kN, determine o valor de a. Resposta: a = 42,26 mm 70. Para a viga e o carregamento mostrados, determine: (a) a maior tensão de cisalhamento na seção n-n (b) a tensão de cisalhamento no ponto a. Resposta: a) 0,92 MPa, b) 0,765 MPa 67. Para viga do exercício anterior, se a = 250 mm, determine a tensão de cisalhamento máxima e faça um esboço da distribuição de tensão na viga. Resposta: max = 0,32 MPa 68. Determine a tensão de cisalhamento máxima no tubo se V = 75 kN. Resposta: max = 43,17 MPa 71. Considere o perfil de 3 m de comprimento mostrado abaixo, o qual deve suportar uma carga P = 2,0 Ton na extremidade livre. Sabendo que a tensão de escoamento do material é de 220 MPa, qual o coeficiente de segurança da viga? 69. Determine a tensão de cisalhamento máxima Resposta: 7,5 para a barra mostrada na figura. Resposta: max = 23,58 MPa 16 de 17 72. A barra sólida tem diâmetro d. Para o 74. Uma barra tubular está sujeita ao carregamento mostrado, determine as tensões carregamento mostrado. Qual é o Coef. Seg. do normais e de cisalhamento atuantes nos pontos tubo para a) P = 1 Kg, b) P = 10 Kg, c) P = 100 Kg ? críticos A, B, C e D se P1 = P2 = P; b = 2a. Dados: L = 10 cm, dext = 2 cm, dint = 1,8 cm, Resposta: esc = 180 MPa, A = 30,56 Pa/d3, A = 0 Dica: calcule para flexão e cisalhamento nos B = 0, B = 3,4 P/d2 pontos críticos. C= -30,56 Pa/d3, C = 0 D= 0, D = 3,4 P/d2 75. Uma viga de madeira AB de comprimento L = 2 m suporta uma carga concentrada P = 40 kN localizada exatamente no metade do comprimento como mostrado na figura. (a) Mostre que a razão max/max é igual a h/2L. (b) Determine a largura h e a espessura b da viga, 73. Repita o exercício anterior considerando que para max = 960 kPa e max = 12 MPa. as forças estão defasadas de 90o como na figura. Dica: tem que saber o esforço cortante máximo e Resposta: o momento fletor máximo! A = 10,19 Pa/d3 , A = 1,7 P/d2 Resposta: b) h = 320 mm, b = 195,3 mm. B = 20,38 Pa/d3 , B = 1,7 P/d2 C= -10,19 Pa/d3, C = 1,7 P/d2 D= -20,38 Pa/d3, D = 1,7 P/d2 17 de 17 76. Para a viga mostrada, determine a largura h tubo com diâmetro interno de 100 mm e sabendo que adm = 12 MPa. espessura de 3 mm que estava disponível no Resposta: h = 361 mm. estoque. Qual o coeficiente de segurança desta instalação se o tubo ficar completamente cheio de fluido. Dica: considere carregamento distribuído do fluido e do peso próprio do tubo. Dados: L = 6 m, esc = 207 MPa, aço = 7,8 g/cm3 Resposta: 4,9 77. Considere um tubo de aço inox 304 montado como mostrado na figura. No tubo vai escoar um fluido com densidade fluido = 2,0 g/cm3. Sabendo a vazão, um engenheiro selecionou um ****** FIM ******