15.03.2011 CENTRO UNIVERSITÁRIO JORGE AMADO Engenharias Disciplina: Cálculo 3 Professor: ____________________________ Aluno(a): ___________________________________________________ 2a LISTA DE EXERCÍCIOS Questão 1. Mostre que: dy 3t ² y 0 a) y ce é solução da EDO dt . t3 b) y C1e 2 x C2 xe2 x é solução da EDO y''- 4 y' 4 y . Questão 2. Resolvas as EDO’s seguintes. 5tg(x)y' a) sen(x) y4 b) 1 da 1 3 2z d) e dz 4 a y' 6 3y c) dy y 3e 5 x y 3 x e) dx y' - y sen( x ) 0 dy y cos (x) dx 1 2 y2 f) Questão 3. Resolva os seguintes PVI’s: a) b) yy' x, com y(0) 2 . y' y cotg (x), com y( π ) 2 2 . Questão 4. O número de habitantes de uma cidade cresce a uma taxa proporcional ao seu número. Ao final de 10 dias cresceu 3%. a) Quanto tempo levará para a população duplicar? b) E para quadriplicar? Questão 5. A tabela dá a população da Índia, em milhões, para a segunda metade do século XX. Use o modelo de crescimento natural e os censos para 1951 e 1961 para prever a população em 2001. Compare com o valor da tabela. ANO 1951 1961 1971 1981 1981 2001 POPULAÇÃO 361 439 548 683 846 1029 Questão 6. A meia-vida de uma substância radioativa é um ano. Quanto tempo levará para que num corpo puro de 10 gramas desse material, reste apenas uma grama? 1 0 g/l. A solução é mantida bem misturada e escoa do tanque na mesma taxa. 5 minutos após apagar o fogo. Explique a razão pela qual a solução da EDO dt tem as direções tangentes paralelas para y um valor fixo de . 2 x. Questão 9. após 20 minutos. Questão 17. O corpo de uma vítima de assassinato foi descoberto às 23 horas. Inicialmente.0 ºC e) 65. Um grande tanque contém 500 galões de água pura. A solução bem homogeneizada é drenada para fora com a mesma vazão de entrada.3 ºC d) 50. A solução bem misturada é bombeada para fora à mesma taxa.0875 lb/g c) 0. Um tanque contem 1000 l de água salgada com 15 kg de sal dissolvido. é de 15 ºC determine a temperatura inicial desconhecida. Questão 12. Uma hora mais tarde ele tomou a temperatura outra vez e encontrou 34.2011 3 Questão 7. Para preparar uma próxima experiência.0575 lb/g d) 0. a massa decresceu em 3%.1 e tem direção tangente no ponto 2 y 3 igual a x .4 ºC c) 57. Estime a hora em que se deu a morte. o tanque é lavado com água limpa a uma vazão de 2 l/min. A água que fervia numa panela. Após seis horas. Coloca-se um corpo com temperatura desconhecida em uma sala mantida a uma temperatura constante de 30 ºC.1 °C. A temperatura ambiente é de 30º C. Uma salmoura contendo 2 libras por galão é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 5 gal/min. Uma amostra de tório reduz-se a 4 de sua quantidade inicial depois de 33.7 ºC b) 34. O médico da polícia chegou às 23:30 h e imediatamente tomou a temperatura do cadáver que era de 34. Calcule o tempo até que a concentração do corante no tanque atinja 1 % do seu valor original. havia 100 miligramas de uma substância radioativa. Uma massa cai com força de resistência do ar proporcional à sua velocidade.15. Determine a equação da curva que passa pelo ponto 1. tem a temperatura de 65 °C. a) Encontre uma EDO de 1ª ordem que rege o movimento. Determine a quantidade de massa decomposta após 24 horas. Qual é a meiavida do tório? Questão 8. Após uma experiência.5 graus.0675 lb/g Questão 14.8 °C. A temperatura do quarto era mantida constante a 20 °C. Qual a quantidade de sal que haverá no tanque após t minutos? E após 20 minutos? Trace o gráfico da quantidade de sal dentro do tanque em função do tempo.03.y .600 anos. um tanque contém 200 l de uma solução corante com uma concentração de 1. admitindo-se que a temperatura normal de uma pessoa viva é de 36. Se após 10 minutos a temperatura do corpo é de 0 ºC e. dy f( y) Questão 15. Questão 11. A temperatura após 20 minutos de se apagar o fogo é: a) 35. Qual é a concentração da solução no tanque no instante t = 5 min? a) 0.0856 lb/g b) 0.0975 lb/g e) 0.0 ºC Questão 10. Questão 13. Água pura entra no tanque a uma taxa de 10 l/min. Questão 16. a) b) y x2 4 y 2 sen x Questão 4. a) y 5 sen( x ) C b) y Ce3 x 2 c) 1 e5 x 2 2 3 x C 2 2 y 5 3 e) e2 z a C 2 d) 4 Questão 3. y 2x2 x2 1 Questão 17. d) Questão 14. d) Calcule a distância com que o objeto caiu depois de t segundos.2011 mg v( t ) vo e k b) Mostre que a velocidade é lim v( t ) c) Calcule t kt m mg k .5 dias b) 469 dias Questão 6. RESPOSTAS Questão 2.5 min Questão 16. 3 . considerando Questão 18. Questão 13.3 anos Questão 7. 21 : 15 h t 15e 100 kg e 12 . onde v( 0 ) vo . 30º C Questão 11. 460. 80. (velocidade limite do objeto).5 anos Questão 8.5 gramas Questão 9. b) Questão 10. a) 234 .3 kg Questão 12. 11 . Encontre a corrente elétrica i num circuito com EDO 2 s( 0 ) 0 di 10i 40 dt .03. onde i( 0 ) 0 .956 .15. 3 f) y Ce-cos x ln y y 2 sen x c . s( t ) d) mgt vo m m 2 g 2 k k k Questão 18.03.15.2011 mg c) k . 1 e kt m i( t ) 4 4 e 5 t 4 . Faça uma pesquisa sobre esta velocidade.