Lista 1 - Funcoes Vetoriais

May 11, 2018 | Author: Gesiel Fortes | Category: Euclidean Vector, Kinematics, Mechanics, Geometry, Mathematical Concepts


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LISTA 1 – FUNÇÕES VETORIAIS – CONCEITOS BÁSICOSCÁLCULO III 1. Faça a representação gráfica dos campos vetoriais gerados por: 1 a) V  [  , y] b) V   y i  x j c) V  [  x ,  y ] x 2. Determine o lugar no espaço onde os vetores, do exercício anterior, tem intensidade constante igual a 2 e faça a representação gráfica. 3. Determine o domínio e o valor da função vetorial em t o . a. r (t )   3t  1 , t 2  ; to  1  b. r (t )  cos( t ) i  ln( 3  t ) j  t  1 k ; to  2 4 4. Faça o gráfico para os raios vetores t t a. r (t )  2 cos( ) i  sen ( ) j 2 2 b. r (t )  3 i  2 cos t j  2 sen t k c. r (t )   2 , t , 4  t 2  5. a. Determine a inclinação da reta no espaço R2 que está representada por r (t )  (1  2t ) i  (2  3t ) j . b. Determine as coordenadas do ponto onde a reta r (t )   2  t , 1  2t , 3t  intercepta o plano xz. 6. a. Determine o intercepto y da reta no espaço 2-D que está representada por r (t )  (3  2t ) i  5t j b. Determine o ponto onde a reta r (t )  t i  (1  2t ) j  3t k intersecta o plano 3x  y  z  2 . 7. Considere duas partículas P1 e P2 viajando segundo as trajetórias: r1   t  1, 3  2 t , 4t  t 2  e r2   t  1 , t 2 , 6  t  . As partículas colidem? Onde? Qual instante?   8. Determine a equação da curva de interseção entre as superfícies. x cos y  y 2  ln z  0 2  x cosy  0 Desenvolva a equação vetorial para viabilizar o corte no tubo. z  4 10. A equação vetorial para o segmento “QM”. Para adaptação de um tubo de diâmetro 60cm a uma superfície curva. Considere o segmento de cone invertido de raio 5cm e altura 8cm com eixo apoiado em “z”. Determine as funções vetoriais para descrever as trajetórias AB e BO. 0 . Q( 4 .  5 . 11. b.6 RPM e no trajeto reto. determine: a.9. Considere a estrutura metálica projetada tendo como base um cubo de lado 1m. Este corte. há necessidade de um corte especial. 25 RPM (freqüência).  2 ) e R( 1 . 5) . no tubo. Dados os pontos P(  1 . 3 . A equação vetorial para o segmento “PR”. 12. será feito por um equipamento que permite a programação dos seus movimentos. 1) . Sabendo (y  10)2 que a equação da superfície é: z    80 (cm) e o eixo do tubo 45 coincide com o eixo Z. BC . Construa a função vetorial para a linha gerada pelo encontro das y4 superfícies y  2 x . Dê os domínios. Defina o domínio para cada caminho. a velocidade é de 25 cm/min. Determine a função vetorial para cada caminho do cordão de solda definido por: AB . sendo M o ponto médio entre P e R. . sabendo que a rotação em torno do eixo z se dá a 0. considerando que o equipamento apresenta giro de 0. 13. CD sabendo que a velocidade fixada é de 30cm/min. t  1 b. r (t )   t 2 . Considere uma partícula envolvida na trajetória r (t )  [ t . r (t )  2 sen t i  j  2 cos tk . r (t )   t 3 . r (t )  4 i  cos 2t j b. 19. t  . 2 Determine para o instante t  1 s . t  e t2 20. d 14. b. . t   3 c. 3 t 3 ] e w(t )  [ t . Aceleração tangencial ( Dica: aT  ( a uT ) uT ). r (t )   5cos t . Aceleração centrípeta ( Dica: aN  ( a uN ) uN ). 2 t . t 0   2 no R3 c. c. Determine os comprimentos das trajetórias abaixo para o intervalo especificado: a. Aceleração. ( v (t ) w (t ) ) dt d b. r (t )   cos t . Dadas as funções v(t )  [ 1 . Dadas as funções. t   4 . t 2  . determine o vetor r '( t0 ) .   a. e. Posição . 2 t . t 0   4 no R3 16. r (t )  t 3 i  t 2 j  k . 1  t  e 17. r (t )  t 2  1 i  t j . Faça um esboço que mostre a elipse r (t )  3 cos t i  2 sen t j para 0  t  2 e os vetores tangente e normal unitários nos pontos t  0 .  2 t 2 . Determine r  para as funções vetoriais abaixo: dt a. t0  1 no R2 b. t   2 e t   . r (t )  arctan t i  t cos t j  2 t k 15. r (t )  ln t i  t j . Determine uT (t ) e uN (t ) ( unitários: tangente e normal) para as funções no ponto dado . d. os vetores: a. 5sen t  . sent ] determine: d a. ] ( m ). sent . a. ln t  . Velocidade. cos t . 0  t  1 2 b. ( v (t )  w (t ) ) dt 18. x0 e2 x ln (t 2  1) 1 a) r  [ . identifique qual a alternativa que representa a função relacionada com o gráfico abaixo a) v  [ x2  y 2 . y  1 . 004 y2  0.  60 ] ( m ) e “t” em segundos. t . Um dos conceitos mais importantes e de grande utilidade na cinemática e dinâmica dos corpos é o estudo de trajetórias do ponto de vista vetorial. t] 2 t 1 1 b) r  [ t .21. 2 z  200  300 e0. . y 2  x2 ] b) v  [ x  y .t] 2 t 1 . 2 2 Assinale a alternativa que melhor representa o instante de colisão do corpo com a montanha. b) 10 s c) 4. Numa simulação na engenharia. et  1 ] t 1 1 c) r  [  2ln(t ) .0001 x  0. x  y ] 22. 2 . Olhando o mapa de velocidades e com base no entendimento de funções vetoriais. x  y ] d) v  [ x  y . 5 y 9t  8 7t 2 Considere a trajetória de um corpo dada por r  [ t 2  36 . y  x ] e) v  [ x2  y 2 . ] t 1 2 1 d) r  [ .t.5 s e) 8 s 23. é comum o uso do mapa de velocidades (campo vetorial) para o entendimento qualitativo do escoamento em questão.6 s d) 12. 2 . A função escalar abaixo representa o relevo de uma montanha. 1 ] ln (t ) t ln( t 2  1) 1 e) r  [  . z  0 e y0. onde a altura é definida por “z” . x2  y 2 ] c) v  [ y 2  x2 . 2 . Com base no conhecimento de funções vetoriais parametrizadas. indique qual a função que melhor descreve o encontro entre as superfícies: 1 ( z 2  1). As funções vetoriais representam um excelente recurso para determinação de trajetórias obtidas por interseção de superfícies. a) Não haverá colisão. Sim P( 2 . 0.  ) 6b.  t . P ( 0 . ) 2 2 2 2 2 15 3 5 9 6a. c. 1] 3b. 3 1 3 5 3 5a. 0 . c. b. 1 y 4 x2  y2  4 x2  y2  4 x k2 k2 k2 1 3a. 9 . 1] 3 4a. 3 [ r (t )  [ 0 . 2 t . a. 4b. ) 2 4 2 4 7. b. D  [  .  8t  3 . 2 2 45 2 11a. t .  4t  5 ] 11b. 30 s en( t ) . r (t )  [ 30 cos( t ) . [ r (t )  [ 2 . P ( . et  2 ] cos t 9. 4t 2 ]   1  10. 5t  2 ] . PR  [ 2t  1 . D  [ 1 . 2. r (t )  [  . 4c.  ( 30 s en( t )  10 )2  80 ] cm 0  t  4 min. r (t )  [ t .3) 5b.Respostas: 1. QM  [  4t  4 . P ( . y   x     arctg( )  0.98rad (56. a. . 3 ) t  3s 2 2 8. r (1)  [ 1 . 1  ( 3t 3  4t )cos t  11 t 2 sen t 17b.  [ 3t2 . 17 min . uT  [ . ] uN  [ . ] m b. uT  [  . [ 2 . 3  8t . 37 37 3 5 2 r CD  [  15 2 t  50 . .  2 ] dt dt dt dt  t 1 t 2 dr dr 2 2 15c.  [ 0 . 6 t 2  sen t ] 18. a. ] m / s2 6 6 6 6 3 6 .  [  sent . 50 . ] .sen  t  .  ] 2 2 2 2  1 e  e 1 19c. a(1)  [ 0 . ] 5 5 5 5 3 1 1 3 19b. 90 ] cm 0t  min. 15 2 t .  [ 2 cos t . L   t dt  e 2 0 1 17a. 2 12. r AB  [ 5. 1] m / s c. v(1)  [ 1 . ] 2 2 2 2 e 1 e 1 e 1 e 1 1 1 20. L   t 9t 2  4 dt  216 16b.  5   5  r BO  [ 4  10. aN (1)  [  . 0 . 25t ] cm 0  t  0.  .1] dt dt t   2 2 4 1/2 e 61 1  2t 2 16a. 2 ] 15b. 38 min. ] dt dt 1t t dr dr dr dr 15a. 8 ] cm 0  t  0. 2 t ] [ 3 .  2 sen t ]  [ 0 . r AB  [ 50 . uN  [  . 1] m / s2 2 2 1 1 1 1 2 5 d. ] uN  [ . 5. cos t . uT  [ . 3 6  6  13. 1 . dr dr 1 1 14a. 1]  [ . 30t ] cm 0t min . 3 75 74 105 74 74 r BC  [ 50 . 2 . . [ ( 3t 3  4t ) sen t  11 t 2 cos t . aT (1)  [ . 2 5 5 5 2 5 19a. 0. 50  t . 2 sen(2t ) ] 14b. 8  21. cos   t  . ] m / s2 d. 12 t 3  cos t . 20  t ] cm 0t  min.  cos t  t sent .  . 5t .
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