LISTA 1 – FUNÇÕES VETORIAIS – CONCEITOS BÁSICOSCÁLCULO III 1. Faça a representação gráfica dos campos vetoriais gerados por: 1 a) V [ , y] b) V y i x j c) V [ x , y ] x 2. Determine o lugar no espaço onde os vetores, do exercício anterior, tem intensidade constante igual a 2 e faça a representação gráfica. 3. Determine o domínio e o valor da função vetorial em t o . a. r (t ) 3t 1 , t 2 ; to 1 b. r (t ) cos( t ) i ln( 3 t ) j t 1 k ; to 2 4 4. Faça o gráfico para os raios vetores t t a. r (t ) 2 cos( ) i sen ( ) j 2 2 b. r (t ) 3 i 2 cos t j 2 sen t k c. r (t ) 2 , t , 4 t 2 5. a. Determine a inclinação da reta no espaço R2 que está representada por r (t ) (1 2t ) i (2 3t ) j . b. Determine as coordenadas do ponto onde a reta r (t ) 2 t , 1 2t , 3t intercepta o plano xz. 6. a. Determine o intercepto y da reta no espaço 2-D que está representada por r (t ) (3 2t ) i 5t j b. Determine o ponto onde a reta r (t ) t i (1 2t ) j 3t k intersecta o plano 3x y z 2 . 7. Considere duas partículas P1 e P2 viajando segundo as trajetórias: r1 t 1, 3 2 t , 4t t 2 e r2 t 1 , t 2 , 6 t . As partículas colidem? Onde? Qual instante? 8. Determine a equação da curva de interseção entre as superfícies. x cos y y 2 ln z 0 2 x cosy 0 Desenvolva a equação vetorial para viabilizar o corte no tubo. z 4 10. A equação vetorial para o segmento “QM”. Para adaptação de um tubo de diâmetro 60cm a uma superfície curva. Considere o segmento de cone invertido de raio 5cm e altura 8cm com eixo apoiado em “z”. Determine as funções vetoriais para descrever as trajetórias AB e BO. 0 . Q( 4 . 5 . 11. b.6 RPM e no trajeto reto. determine: a.9. Considere a estrutura metálica projetada tendo como base um cubo de lado 1m. Este corte. há necessidade de um corte especial. 25 RPM (freqüência). 2 ) e R( 1 . 5) . no tubo. Dados os pontos P( 1 . 3 . A equação vetorial para o segmento “PR”. 12. será feito por um equipamento que permite a programação dos seus movimentos. 1) . Sabendo (y 10)2 que a equação da superfície é: z 80 (cm) e o eixo do tubo 45 coincide com o eixo Z. BC . Construa a função vetorial para a linha gerada pelo encontro das y4 superfícies y 2 x . Dê os domínios. Defina o domínio para cada caminho. a velocidade é de 25 cm/min. Determine a função vetorial para cada caminho do cordão de solda definido por: AB . sendo M o ponto médio entre P e R. . sabendo que a rotação em torno do eixo z se dá a 0. considerando que o equipamento apresenta giro de 0. 13. CD sabendo que a velocidade fixada é de 30cm/min. t 1 b. r (t ) t 2 . Considere uma partícula envolvida na trajetória r (t ) [ t . r (t ) 2 sen t i j 2 cos tk . r (t ) t 3 . r (t ) 4 i cos 2t j b. 19. t . 2 Determine para o instante t 1 s . t e t2 20. d 14. b. . t 3 c. 3 t 3 ] e w(t ) [ t . Aceleração tangencial ( Dica: aT ( a uT ) uT ). r (t ) 5cos t . Aceleração centrípeta ( Dica: aN ( a uN ) uN ). 2 t . t 0 2 no R3 c. c. Determine os comprimentos das trajetórias abaixo para o intervalo especificado: a. Aceleração. ( v (t ) w (t ) ) dt d b. r (t ) cos t . Dadas as funções v(t ) [ 1 . Dadas as funções. t 4 . t 2 . determine o vetor r '( t0 ) . a. e. Posição . 2 t . t 0 4 no R3 16. r (t ) t 3 i t 2 j k . 1 t e 17. r (t ) t 2 1 i t j . Faça um esboço que mostre a elipse r (t ) 3 cos t i 2 sen t j para 0 t 2 e os vetores tangente e normal unitários nos pontos t 0 . 2 t 2 . Determine r para as funções vetoriais abaixo: dt a. t0 1 no R2 b. t 2 e t . r (t ) arctan t i t cos t j 2 t k 15. r (t ) ln t i t j . Determine uT (t ) e uN (t ) ( unitários: tangente e normal) para as funções no ponto dado . d. os vetores: a. 5sen t . sent ] determine: d a. ] ( m ). sent . a. ln t . Velocidade. cos t . 0 t 1 2 b. ( v (t ) w (t ) ) dt 18. x0 e2 x ln (t 2 1) 1 a) r [ . identifique qual a alternativa que representa a função relacionada com o gráfico abaixo a) v [ x2 y 2 . y 1 . 004 y2 0. 60 ] ( m ) e “t” em segundos. t . Um dos conceitos mais importantes e de grande utilidade na cinemática e dinâmica dos corpos é o estudo de trajetórias do ponto de vista vetorial. t] 2 t 1 1 b) r [ t .21. 2 z 200 300 e0. . y 2 x2 ] b) v [ x y .t] 2 t 1 . 2 2 Assinale a alternativa que melhor representa o instante de colisão do corpo com a montanha. b) 10 s c) 4. Numa simulação na engenharia. et 1 ] t 1 1 c) r [ 2ln(t ) .0001 x 0. x y ] 22. 2 . Olhando o mapa de velocidades e com base no entendimento de funções vetoriais. x y ] d) v [ x y . 5 y 9t 8 7t 2 Considere a trajetória de um corpo dada por r [ t 2 36 . y x ] e) v [ x2 y 2 . ] t 1 2 1 d) r [ .t.5 s e) 8 s 23. é comum o uso do mapa de velocidades (campo vetorial) para o entendimento qualitativo do escoamento em questão.6 s d) 12. 2 . A função escalar abaixo representa o relevo de uma montanha. 1 ] ln (t ) t ln( t 2 1) 1 e) r [ . z 0 e y0. onde a altura é definida por “z” . x2 y 2 ] c) v [ y 2 x2 . 2 . Com base no conhecimento de funções vetoriais parametrizadas. indique qual a função que melhor descreve o encontro entre as superfícies: 1 ( z 2 1). As funções vetoriais representam um excelente recurso para determinação de trajetórias obtidas por interseção de superfícies. a) Não haverá colisão. Sim P( 2 . 0. ) 6b. t . P ( 0 . ) 2 2 2 2 2 15 3 5 9 6a. c. 1] 3b. 3 1 3 5 3 5a. 0 . c. b. 1 y 4 x2 y2 4 x2 y2 4 x k2 k2 k2 1 3a. 9 . 1] 3 4a. 3 [ r (t ) [ 0 . 2 t . a. 4b. ) 2 4 2 4 7. b. D [ . 8t 3 . 2 2 45 2 11a. t . 4t 5 ] 11b. 30 s en( t ) . r (t ) [ 30 cos( t ) . [ r (t ) [ 2 . P ( . et 2 ] cos t 9. 4t 2 ] 1 10. 5t 2 ] . PR [ 2t 1 . D [ 1 . 2. r (t ) [ . 4c. ( 30 s en( t ) 10 )2 80 ] cm 0 t 4 min. r (t ) [ t .3) 5b.Respostas: 1. QM [ 4t 4 . P ( . y x arctg( ) 0.98rad (56. a. . 3 ) t 3s 2 2 8. r (1) [ 1 . 1 ( 3t 3 4t )cos t 11 t 2 sen t 17b. [ 3t2 . 17 min . uT [ . ] uN [ . ] m b. uT [ . [ 2 . 3 8t . 37 37 3 5 2 r CD [ 15 2 t 50 . . 2 ] dt dt dt dt t 1 t 2 dr dr 2 2 15c. [ 0 . 6 t 2 sen t ] 18. a. ] m / s2 6 6 6 6 3 6 . [ sent . 50 . ] .sen t . ] 2 2 2 2 1 e e 1 19c. a(1) [ 0 . ] 5 5 5 5 3 1 1 3 19b. 90 ] cm 0t min. 15 2 t . [ 2 cos t . L t dt e 2 0 1 17a. 2 12. r AB [ 5. 1] m / s c. v(1) [ 1 . ] 2 2 2 2 e 1 e 1 e 1 e 1 1 1 20. L t 9t 2 4 dt 216 16b. 5 5 r BO [ 4 10. aN (1) [ . 0 . 25t ] cm 0 t 0. .1] dt dt t 2 2 4 1/2 e 61 1 2t 2 16a. 2 ] 15b. 38 min. ] dt dt 1t t dr dr dr dr 15a. 8 ] cm 0 t 0. 2 t ] [ 3 . 2 sen t ] [ 0 . r AB [ 50 . uN [ . 1] m / s2 2 2 1 1 1 1 2 5 d. ] uN [ . 5. cos t . uT [ . 3 6 6 13. 1 . dr dr 1 1 14a. 1] [ . 30t ] cm 0t min . 3 75 74 105 74 74 r BC [ 50 . 2 . . [ ( 3t 3 4t ) sen t 11 t 2 cos t . aT (1) [ . 2 5 5 5 2 5 19a. 0. 50 t . 2 sen(2t ) ] 14b. 8 21. cos t . ] m / s2 d. 12 t 3 cos t . 20 t ] cm 0t min. cos t t sent . . 5t .