Estudo Dirigido 1) - O problema do planejamento financeiro.Um banco fornece quatro tipos de empréstimos para seus clientes e estes empréstimos seguem a seguinte taxas de juros cobradas pelo banco ao ano: Primeira hipoteca: 14 % Segunda hipoteca: 20 % Melhoria de residência: 20 % Empréstimo pessoal: 10 % O banco dispõe de 250 milhões de U.M. para emprestar obedecendo às seguintes regras: As primeiras hipotecas deverão representar pelo menos 55 % de todas as hipotecas e pelo menos 25 % de todos os empréstimos feitos; As segundas hipotecas não podem passar de 25 % do total de empréstimos concedidos; Para evitar a insatisfação do público e da receita federal a media da taxa de juros cobrada pelo banco não pode ultrapassar 15%. Formule o problema de empréstimo do banco como um problema de programação linear de forma a maximizar os ganhos do banco mas obedecendo as regras impostas. Verifique qual das regras, poderá potencialmente limitar mais o lucro que o banco pode fazer. 2) - O problema da mistura Considere o exemplo do fabricante de ração animal que está produzindo uma mistura para alimentar gado. A mistura vai conter dois ingredientes principais e um terceiro para dar volume. Cada kg da mistura deve conter um quantidade mínima de cada um dos seguintes nutrientes. Nutriente Kg A 0.090 B 0.050 C 0.020 D 0.002 Cada ingrediente possui a seguinte tabela nutricional por kg: Ingrediente 1 Ingrediente 2 A 0.100 0.200 B 0.080 0.150 C 0.040 0.020 D 0.010 Custo / kg 40 60 Quais deveriam ser as quantidades de cada um dos ingredientes ativos e do para dar volume para satisfazer as necessidades nutricionais pelo mínimo custo? 3) - Uma fábrica produz três tipos de chapas metálicas, A, B e C, que são prensadas e esmaltadas. A prensa dispõe de 2.000 minutos mensais e cada chapa A ou B leva 1 minuto para ser prensada, enquanto a chapa C leva 2 minutos. A esmaltagem nesta última leva apenas 1 minuto, enquanto as chapas A e B exigem 3 e 5 minutos, respectivamente. A disponibilidade na esmaltagem é de 8.000 minutos mensais. O lucro por chapa é de $5, $7 e $8 unidades, respectivamente. Formule um modelo para a produção de chapas. 4) - Um indivíduo é forçado a fazer uma dieta alimentar que forneça diariamente as seguintes quantidades de vitaminas A, B, C e D: Vitamina Quantidade mínima (mg) A B C 80 70 100 D 60 A dieta deverá incluir leite, arroz, feijão e carne, cuja composição vitamínica por kg de alimento é dada a seguir: Vitamina leite arroz Feijão carne A B C D Preço ($/kg) Formular o problema linear correspondente. 10 8 15 20 1,2 5 7 3 2 1 9 6 4 3 2,5 10 6 7 9 8 A empresa calcula que serão necessários 1. 6) Um vendedor de frutas transporta no máximo 800 caixas de frutas para a Região Norte. 1. para fazer a mesma viagem. $100 e $120.000 litros de água para a irrigação. O fazendeiro também deseja plantar no máximo 4 alqueires de milho e no mínimo 3 alqueires de trigo.000 chips. Viracopos. As quantidades disponíveis para fornecimento no próximo mês são: As necessidades da Varig nos diferentes aeroportos são: Fornecedor Galões Aeroporto Consumo 1 2 3 250.000 litros e de trigo 7.000 Congonhas Viracopos Galeão Pampulha 100. Seus jatos são regularmente abastecidos nos aeroportos de Congonhas.5) Um fazendeiro deseja plantar milho.000 litros. 8) Uma empresa de transporte tem 2 tipos de caminhões: Espaço refrigerado não-refrigerado caminhão A Caminhão B 2 m3 3 m3 2 m3 2 m3 Um cliente quer transportar uma carga que necessita de 16 m 3 de capacidade refrigerada e 12 m 3 de capacidade não-refrigerada. Formule o problema.000 200. Formule o PL objetivando minimizar os custos de transporte. Galão e Pampulha. O custo de operação de cada avião para voar para cada uma das cidades é dado na tabela abaixo: Destino B-727 Electra Bandeirantes Rio Janeiro de 23 5 10 7 ton. 2. Ele necessita transportar no mínimo 200 caixas de laranja. com um lucro de $5/caixa. pelo menos 100 caixas de pêssego.000 400.100 l de combustível para o caminhão tipo A e 750 l para o tipo B. 10)A Varig precisa decidir a quantidade de querosene para combustível de seus jatos a ser adquirida de três fornecedores. Cada alqueire de milho requer 10. utilizando os seguintes componentes: Componente chassis grande chip integrados Lucro unitário Vídeo mono 0 1 1 $50 Vídeo Hi-Fi 0 1 2 3 $70 chassis pequeno 1 Sabendo-se que a fábrica tem disponível 2. com um lucro de $10/caixa e no máximo 200 caixas de tangerina.400 integrados. respectivamente. formule o problema objetivando o maior lucro.000 600. 7) Uma empresa fabrica dois tipos de vídeo cassete. formule o problema matematicamente. Ele possui 8 alqueires de terra disponível para a plantação e uma previsão de 80. alfafa e trigo é de $200.000 litros de água. 1500 chassis pequenos e 6000 chassis grandes.000 500. para Porto Alegre. com lucro de $15/caixa. Há um volume programado de cargas para amanhã correspondendo a 150 ton.4 3. 9) O setor de transporte de cargas da VASP operando em São Paulo dispõe de 8 aviões B-727. Note que a demanda deve ser satisfeita e as variáveis de decisão devem especificar as quantidades de cada avião destinado às cidades.8 4 ton. Porto Alegre 58 Capacidades 45 ton.000 300. Formule o problema objetivando o menor consumo de combustível. Sabendo que o lucro de cada alqueire cultivado de milho.000 . alfafa e trigo. 15 aviões Electra e 12 aviões Bandeirantes para vôos amanhã. cada alqueire de alfafa requer 20. para o Rio de Janeiro e outras 100 ton. z>=0 Com o seguinte sistema associado à solução ótima: x 0 -1 16 Y 0 1 00 z 2 3 -2 F1 3 1 4 F2 0 0 1 Z y F2 100 20 10 a) O que acontecerá se o coeficiente na função objetivo da variável x aumentar de –5 para A. X2>=0. b) O que acontecerá se o coeficiente do do termo independente da primeira restrição mudar de 20 para A. X3>=0 a) Resolva este problema usando o método Simplex. A é o último dígito de seu número de matrícula. Formule o dual. incluído no preço de transporte de cada fornecedor para cada aeroporto é Congonhas Fornecedor 1 12 Fornecedor 2 9 Viracopos 10 11 Galeão 8 11 Pampulha 11 13 9 Fornecedor 3 10 14 13 Formule este problema como um modelo de programação linear. A é o último dígito de seu número de matrícula.O custo por galão. O que podemos afirmar à respeito da solução ótima do seu problema Dual? 12) Dado o seguinte problema: Max : Z = AX1 + 7X2 + 5X3 Sujeito a X1 + X2 + 2X3 <= 2000 3X1 + 5X2 + X3 <= 8000 X1>=0. 13) Dado o seguinte problema: Max Z = -5x +5y + 13z Sujeito a: -x + y + 3z <= 20 12x + 4y + 10z <=90 x>=0. 14) Para o problema abaixo: Maximizar Z = 12x+8y+24z sujeito a: 6x +3y +4y <= 180 1x +1y +6y <= 160 x>=0. y>=0. y>=0. z>=0 . 11) Dado o seguinte problema: Maximizar Z =20 B1 25 B 2 0B30B 4 0B 50B6 Sujeito às seguintes restrições : B1 ≤80 eB 1≥0 B 2 ≤60 eB2 ≥0 2B 1 3B 2 ≤200 4B 1 3B 2 ≤240 Conhecemos sua solução ótima primal: B1 = 20 B2 = 160/3. a variável dual correspondente é diferente de zero.1. ( ) O número de variáveis de folga de um problema correspondem ao número de variáveis reais do outro. o outro também terá. o outro será indeterminado. Escreva o problema dual. ) Sempre que uma variável de folga é diferente de zero. Escreva o problema dual e determine graficamente sua solução.2 . ( ) Se um dos sistemas tiver infinitas soluções. ) Se um dos sistemas for inviável. ) Se um dos sistemas tiver infinitas soluções. 15) Responda com Certo ou Errado justificando sua escolha: Para um par de problemas primal x dual na solução ótima temos: a( b( c( d( ) Quando a solução de cada problema é finita os valores da soluções ótimas do par é diferente. y>=0. ( ) O número de iterações do algoritmo Simplex necessárias a solução do problema será o mesmo para cada sistema. A partir da solução do dual obtenha a solução do primal. . d) O que acontecerá se o coeficiente do termo independente da segunda restrição mudar de 90 para (90-A-1). o outro também será. 17) Responda com Certo ou Errado justificando sua escolha: 1. ( ) Sempre que uma variável de folga é diferente de zero. a variável dual correspondente é igual a zero. 3.4 1. 2.3 . Solucione o dual graficamente. o outro também terá. 16) Dado o seguinte problema: Max Z = -5x +5y + 13z Sujeito a: -x + y + 3z <= 20 12x + 4y + 10z <=90 x>=0. z>=0 Com o seguinte sistema associado à solução ótima: x 0 -1 16 Y 0 1 0 z 2 3 -2 F1 3 1 4 F2 0 0 1 Z Y F2 100 20 10 c) O que acontecerá se o coeficiente na função objetivo da variável y variar de 5 para (5+A+1). ( ) Se um dos sistemas for inviável. g) ( ) A condição de parada no problema primal corresponde à condição de viabilidade no problema dual. Para um par de problemas primal x dual na solução ótima temos: a) b) c) d) e) f) ( ) Quando a solução de cada problema é finita os valores da soluções ótimas do par é igual. 18) Para o problema abaixo: Minimizar z= 2x 1 3x 2 6x 3 8x 4 sujeito à : x 1 2x 2 3x 3 x ≥3 −2x1 x 2 −x 3 3x 4 ≤−4 x j ≥0 j=1. O que acontecerá com a solução encontrada no primeiro pedido ? 5.-1).00 a tonelada. O que acontecerá com a solução encontrada no primeiro pedido ? 6. Se uma nova variável for incluída no problema com o custo igual a -1. 4. 1). 2) +λ(1. Para o problema abaixo: Maximizar z = x 1 −x 2 2x 3 sujeito à: x 1 x 2 x 3 ≤6 −x 1 2x 2 3x 3≤9 x j ≥0 j=1. Solucione o problema dual graficamente. Supondo que o vetor de custos seja alterado para (2. mas para cada tonelada de Si deverá haver na liga pelo menos 15 toneladas de Fe. Se o vetor custo do problema é alterado para (1. e que tem 2% de Si e 60% de Fe. e que possui praticamente 100% de Fe. o quadro Simplex ótimo para o dual. o que acontecerá com a solução encontrada no primeiro pedido ? 7. -1. que custa R$ 3 000. A firma tem ainda a oportunidade de usar como matéria prima uma sucata de boa qualidade. A firma tem em estoque em quantidades mais que suficientes: Minério do tipo A (min A). Minério do tipo B (min B).19) Para o problema abaixo: Maximizar z = 2x1 3x 2 6x 3 sujeito à: x 1 2x 2 x 3 ≤12 x 1 − x 2 3x 3 ≤7 x j ≥0 j=1.3 1. e que tem 4% de Si e 40% de Fe.1)t. Escreva seu dual. Solucione-o pelo método Simplex. .3 1.2 . 1. Supondo que o vetor de termos independentes seja alterado para (5. que custa R$ 6 000.4. utilizando as condições de dualidade e a solução gráfica. 2. Determine as soluções ótimas para todos os valores de λ. Escreva o problema dual e determine graficamente sua solução. 2. Supondo que b1 (primeiro elemento do termo independente) seja acrescido de uma unidade. Calcule.00 cada centena de toneladas. que custa R$ 2 500.00 cada centena de toneladas. 3.10)t. 3. 20) Solucione-o pelo algoritmo Simplex. 21) Uma pequena siderúrgica recebe encomenda de um lote de lingotes de ferro que deverá totalizar 240 toneladas (ton) de conteúdo do elemento Ferro (Fe). O que acontecerá com o valor da função objetivo ? 4. O cliente admitirá que o lote homogêneo tenha quantidades adicionais do elemento Silício (Si). e com um vetor de restrição igual a (2.2 . i. Formule o problema de programação linear que calcula a mistura de mínimo custo de matérias primas necessárias para a produção dos lingotes encomendados. Coloque os problemas na forma padrão. Suponha que apareça um novo fornecedor de um minério de tipo C (min C). e alguns produtos só podem ser fabricados através de um dos tipos de processos. Prateleiras Lucros /Unidade (R$) Processo Normal (horas) Processo Acelerado (horas) p1 550 12 10 p2 600 20 8 p3 350 16 p4 400 25 p5 200 15 - A montagem final de cada prateleira requer 20 horas de mão-de-obra por unidade.N e o processo acelerado .Resolva ambos os problemas pelo método Simplex.. A fábrica possui 3 máquinas para o processo normal e 2 para o processo acelerado. Haverá mudança na composição da liga ótima ? Se sim. p5 ) utilizando dois processos de produção (processo normal . v. Resolva o problema pelo método Simplex. De quanto varia o custo mínimo por tonelada de Fe a ser acrescida ao lote encomendado ? vi. 3. As máquinas trabalham em dois turnos de 8 horas por dia.Formule o problema de programação linear que calcula o melhor esquema de produção. 7-Qual deveria ser o preço dos produtos que não foram escolhidos para serem fabricados para eles se tornassem economicamente atrativos ? 8-Qual o valor econômico de uma hora extra de capacidade de produção em cada processo ? 9. que custa R$ 4 000. na montagem das prateleiras junto aos clientes. iv. 2.Formule o problema dual. 4. Qual o máximo preço que a sucata pode ter a fim de que seja economicamente vantajosa para a produção da liga em questão ? ix. Qual a interpretação econômica que você pode dar ao problema dual e suas variáveis ? vii. O quadro 11 resume o consumo (em horas) dentro de cada esquema de fabricação e os lucros obtidos (em R$) após a dedução dos custos de produção.00 por centena de toneladas.Justifique o custo da prateleira 1 através da análise do valor das horas de trabalho agregadas pelos processos de fabricação e montagem. Dentro de que intervalo de custo o mim A será atrativo para permanecer na solução ótima ? 22) Uma fábrica manufatura 5 tipos de prateleiras (p1 .. qual será a nova composição ? viii.ii. iii.Coloque os problemas na forma padrão. em um regime de 6 horas semanais. que .. 1. Cada produto requer um certo número de horas para ser trabalhado dentro de cada processo. Uma equipe de 8 homens trabalha em turno único de 8 horas e durante seis dias.. e que possui 2% de Si e 50% de Fe. Formule o problema dual.A). 5-Existe algum processo que não está sendo foi totalmente utilizado ? Porque isso está acontecendo ? 6-O que aconteceria ao lucro total se um novo trabalhador fosse contratado temporariamente (pagamento por hora trabalhada). Escreva o dual desse problema. 3. Solucione o problema de maximizar a agregação de lucros com a montagem das placas-mãe. para que ele fosse de montagem atrativa ? .23) Abaixo está transcrito o quadro ótimo de determinado problema programação linear. O quadro abaixo representa a distribuição de agregação de valor em US $ com a montagem de uma placa-mãe em função do esquema Tipo de Placa x CPU utilizado. Cada tipo de placa pode ser montada com dois tipos de CPU. z x2 x5 -20 5 10 x1 -2 -2 4 x2 0 1 0 x3 -2 1 -2 x4 -3 1 4 x5 0 0 1 1.2 25) É necessário efetuar a programação diária da montagem de placas-mãe para microcomputadores em uma pequena manufatura. Escreva o problema original. 2. 24) Solucione o problema abaixo: Maximizar z = x 1 8x 2 sujeito à: x 1 x 2 ≥2 x 1 4x 2 ≤4 x j ≥0 j=1. Obtenha a solução ótima do problema dual a partir do quadro acima. O fluxo de montagem dos computadores exige no mínimo 500 placas (consideradas em qualquer esquema de montagem) e as quantidades máximas por esquema. CPU 1 CPU 2 Tipo 1 50 25 Tipo 2 70 60 Cada combinação CPU x Tipo de Placa-Mãe exige um tempo de montagem e testes peculiares que podem ser resumidos em homens x horas por lote de 25 placas no quadro que se segue: CPU 1 CPU 2 Tipo 1 1 0. cuja função objetivo era de maximização e as restrições eram todas de ≤.7 Tipo 2 3 5 São disponíveis 50 homens x hora de mão-de-obra técnica para a montagem. Qual deveria ser o mínimo valor associado ao esquema de Placa Tipo 1 x CPU 2. conforme tabela abaixo: CPU 1 CPU 2 Tipo 1 250 150 Tipo 2 250 250 1. 2. o fluxo de montagem exigisse a preparação de 600 placas ? Nesse caso como se comportaria o valor agregado médio por placa ? (aumenta ? diminui ?) .3. em um certo dia. O que aconteceria se.