1.CALCULO EN TUBERIA El cálculo del caudal de agua que recorre un conjunto de tuberías, que forman una red o un circuito, es importante para determinar las necesidades de energía que harán que el agua circule. Uno de los aspectos de la dinámica de fluidos es el comportamiento de los flujos de fluidos, es decir, el movimiento de estos últimos. 1.1. La Ecuación de Continuidad La ecuación de continuidad se puede expresar como: Cuando , que es el caso general tratándose de agua, y flujo en régimen permanente, se tiene: o de otra forma: (el caudal que entra es igual al que sale) Donde: Q = caudal (metro cúbico por segundo; ) V = velocidad A = area transversal del tubo de corriente o conducto Que se cumple cuando entre dos secciones de la conducción no se acumula masa, es decir, siempre que el fluido sea incompresible y por lo tanto su densidad sea constante. Esta condición la satisfacen todos los líquidos y, particularmente, el agua. En general la geometría del conducto es conocida, por lo que el problema se reduce a estimar la velocidad media del fluido en una sección dada. 1.2. El Principio de Bernoulli A estos efectos es de aplicación el Principio de Bernoulli, que no es sino la formulación, a lo largo de una línea de flujo, de la Ley de conservación de la energía. Para un fluido ideal, sin rozamiento, se expresa Donde: g =aceleración de la gravedad =densidad del fluido P =presión Se aprecia que los tres sumandos son, dimensionalmente, una longitud (o altura), por lo que el Principio normalmente se expresa enunciando que, a lo largo de una línea de corriente la suma de la altura geométrica, la altura de velocidad y la altura de presión se mantiene constante. Cuando el fluido es real, para circular entre dos secciones de la conducción deberá vencer las resistencias debidas al rozamiento con las paredes interiores de la tubería, así como las que puedan producirse al atravesar zonas especiales como válvulas, ensanchamientos, codos, etc. Para vencer estas resistencias deberá emplear o perder una cierta cantidad de energía o, con la terminología derivada del Principio de Bernoulli de altura, que ahora se puede formular, entre las secciones 1 y 2: O lo que es igual , Donde pérdidas (1,2) representa el sumando de las pérdidas continuas (por rozamiento contra las paredes) y las localizadas (al atravesar secciones especiales). 1.3. Pérdidas Continuas Las pérdidas por rozamientos son función de la rugosidad del conducto, de la viscosidad del fluido, del régimen de funcionamiento (flujo laminar o flujo turbulento) y del caudal circulante, es decir de la velocidad (a más velocidad, más pérdidas). Si es L la distancia entre los puntos 1 y 2 (medidos a lo largo de la conducción), entonces el coeficiente (pérdidas (1,2)) / L representa la pérdida de altura por unidad de longitud de la conducción se le llama pendiente de la línea de energía.000. Denominémosla J. como experimentales (ecuación de Hazen-Williams. tanto teóricas (Ecuación de Darcy-Weisbach). Kutter. Re<2000 flujo laminar). Cuando el flujo es turbulento (número de Reynolds superior a 4.). Quizás la más sencilla y más utilizada sea la fórmula de Manning: V = velocidad del agua (m/s) K = coeficiente de rugosidad. Rh = radio hidráulico de la sección = Área mojada / Perímetro mojado (un cuarto del diámetro para conductos circulares a sección llena) (m) J = gradiente de energía (m) . etc. entre otros. existen varias fórmulas. ecuación de Manning. depende del material de la tubería y del estado de esta. 2000<Re< 4000 es el flujo de transición. Bazin. Strickler. Existen varias expresiones para este coeficiente calculados en forma experimental por varios investigadores como: Manning. que relacionan la pendiente de la línea de energía con la velocidad de circulación del fluido. lo que ocurre en la práctica totalidad de los casos. 1. se puede obtener el valor del diámetro D: . Ejemplos: 1) Se tienen dos depósitos de grandes dimensiones. separados por una altura de 25 m. se tiene: Siendo la expresión para la perdida de carga en tuberías.1.-Aplicando la ecuación de Bernoulli entre las superficies libres de los dos depósitos.2 m³/s de agua del depósito inferior al superior.000 Pa.4. Tomando un valor inicial para f de 0. el diámetro D. En Función de la longitud L. el caudal Q y el coeficiente de fricción f. y La altura de elevación de la bomba en función de la potencia (W) y el Caudal. mientras que en el depósito superior se tiene presión atmosférica. La presión relativa en el depósito inferior es de 200. Se desea conectar ambos depósitos mediante un conducto de PVC de 400 m de longitud y con la ayuda de una bomba de 25 kW de potencia se pretende trasvasar un caudal de 0.02 (valor estándar para tuberías). 289m . Con el nuevo valor de f se determina de nuevo la pérdida de carga en función del diámetro: Utilizando la ecuación de Bernoulli. se halla un valor del coeficiente de fricción correspondiente a este número de Reynolds de f = 0.012. según Moody. f=0.318 m El valor del número de Reynolds para este diámetro es: A través del gráfico de Moody.Aislando la D de la ecuación.289m El valor del número de Reynolds será: Y.0125. se obtiene el nuevo valor: D=0. se halla nuevamente el valor de D para la nueva ∆h: Aislando D de la ecuación. se obtiene: D=0. se concluye que el diámetro será: D=0. considerando que el valor del factor de fricción es prácticamente el mismo que el obtenido con anterioridad. 000 m Punto bajo en esta conducción. situado a 1. longitud entre los depósitos 2. mismas condiciones.00. PVC.2) Sea el sistema hidráulico de la figura compuesto por los siguientes elementos: Depósito de cabecera (1).500 m del depósito de cabecera. y admitiendo que para el PVC el factor (1/n) en la fórmula de Manning vale 100.00 Depósito de cola (3). En estas condiciones.00 Conducción de unión. cuya lámina de agua se supone constante. determinar. diámetro 300. ¿cual es el valor de la presión en (2)? Determinar el máximo caudal que puede evacuarse por la toma (2) PRIMER CASO: . y a cota +70. Determinar el máximo valor del caudal que puede evacuarse por el punto bajo (2) con la condición de que del depósito (3) no entre ni salga agua. Con la válvula de toma en el punto bajo cerrada. cota +20. a cota 0. el caudal que fluye del depósito de cabecera al de cola. despreciando las pérdidas localizadas. En esta hipótesis. Existe una toma con válvula por donde se puede derivar caudal. En la superficie de los depósitos P1=P3=0 (atmosférica).3. Puesto que la energía total en (3) es 50 m. Entonces.0. la aplicación del Principio de Bernoulli al tramo 1-3 expresa: (h1-h3) = pérdidas (1. quedaría: Sustituyendo en 1: De donde deducimos que las pérdidas en el tramo son de 50 m La pérdida por rozamiento J. luego Y la presión será: Aplicando Manning al .201 m³/s = 201 l/s SEGUNDO CASO: La condición de que no haya flujo entre los puntos 2 y 3 implica que la energía total en ambos es la misma.025 Aplicando Manning al conducto: Q = V. este será también el valor en (2) La aplicación de Bernoulli al tramo 1-2 nos da: 1) Por otra parte: En tramo 2-3 no hay perdidas ya que no hay trasferencia de agua. resultará: J = 50 /2000 = 0.14/4 = 0. En esos puntos V1=V3=0 (se supone lámina de agua constante).S = 2.3)= 50 m La pérdida por rozamiento J.85. valdrá: Conducto: .3^2. La despreciamos en una primera iteración.3^2. Pérdidas = 50 m. 9.8418+5. El caudal total será la suma del que se obtiene por cada rama. 0.566 m.6239) .4. 0. 0. Pérdidas = 70 m. y (50 .316 = 5. J = 70 /1500 = 0.8418 m/s Por el ramal 3-2. sino (3.075^0. 3.4657^2 /2 .566) = 65.075^0. 0. igual exclusivamente a la altura de velocidad.14/4 = 0. J = 50 / 500 = 0. y V = 100.6239 m/s y Q = (3.666. La energía total en (2) en este caso será.81 = 4.566) = 45. tanto desde (1) como desde (3). Puesto que la velocidad del agua en la salida no es nula.4.TERCER CASO Ahora podrá existir flujo hacia (2). Por el ramal 1-2. y V = 100. y h2=0.8418 + 5.670 m³/s = 670 l/s. Obteniéndose un caudal total ligeramente inferior al obtenido en la primera iteración 2. 0. La energía en (2) para una segunda iteración valdría 9.6239)= 9. NOMOGRAMA .4657.216 = 3.43 m en el ramal 1-2.1.04666. Repetiríamos el cálculo (70 .43 m en el ramal 3-2. puesto que P1 = P2 = P3 = 0.666. que representa simultáneamente el conjunto de las ecuaciones que definen determinado problema y el rango total de sus soluciones.Un nomograma es un instrumento de cálculo analógico. Nomograma para Aceites Derivados del Petróleo Nomograma de Caudal . . . . .2. . . . Hállese: El caudal en litros por minuto y la velocidad media en la tubería.8 mm de cédula 40 a un caudal de 20 000 kilogramos por hora. Solución: Densidad= 897 . .1. . . Ejemplo Un aceite combustible del No. . pagina A-12 Velocidad de Líquidos en Tuberías . 3 a 15°C fluye en una tubería de 50. . . Para tuberías circulares.3. La viscosidad del fluido es la magnitud física predominante y su acción amortigua cualquier tendencia a la turbulencia. que es un grupo adimensional. Trazado de la línea gradiente hidraúlica 3. viene dado por el cociente de las fuerzas de inercia por las fuerzas debidas a la viscosidad. en la mayoría de los casos prácticos. Número de Reynolds El número de Reynolds. El flujo laminar está gobernado por la ley que relaciona la tensión cortante es igual al producto de la viscosidad de fluido gradiente de las velocidades o bien: . viene fijado por un valor del número Reynolds alrededor de 2000. Velocidad Crítica La velocidad crítica de interés práctico para el ingeniero es aquella velocidad por debajo de toda turbulencia es amortiguada por la acción de la viscosidad del fluido. en flujo a tubería llena. en tuberías. Número de Reynolds: .1. Conocimientos previos: Flujo Laminar: En el flujo laminar las partículas fluidas se mueven según trayectorias paralelas. La experiencia demuestra que un límite superior para el régimen laminar. formando junto de ellas capas o láminas. Los módulos de las velocidades de capas adyacentes no tienen el valor. mayor es el valor de l. El primer término entre paréntesis( ) representa los efectos debidos a las viscosidad y el segundo ( ) tiene en cuenta los efectos debidos a la turbulencia. Ésta fórmula tiene el incoveniente de que la longitud de mezcla l es función de y. Prandtl ha sugerido la forma: ( ) (2 b) Para expresar las tensiones cortante en flujos turbulentos. distancia a la pared de la tubería. La tensión cortante en el flujo turbulento puede expresar así: (2 a) Donde ( ) fluidos que depende de la densidad del fluido y de las características del movimiento. Posteriormente. Mediante los resultados obtenido experimentalmente puede obtenerse la solución de las tensiones cortante en el caso de flujos turbulentos. igual al cociente del área de la sección recta por el perímetro mojado. Von Karman ha sugerido la fórmula: ( ) ( ( ) ) (2 c) . (1) Flujo Turbulento En el flujo turbulento las partículas fluidas se mueven de forma desordenada en todas las direcciones. El número de Reynolds es ahora. Cuando mayor es y. expresado el cociente en m.En el caso de conductos de sección recta no circular se utiliza como longitud característica el número de Reynolds el radio hidráulico R. Es posible conocer la trayectoria de una partícula de una partícula individualmente. hasta RE=100.000) y para tuberías rugosas en la zona de exclusiva fluencia de la rugosidad. para tuberías lisas y RE=100. adimensional que se describe más adelante.000.000 (b) Para tuberías lisas ( ) (7 b) (c) Para tuberías lisas (y 5000 < RE < 3. Tensión cortante en la pared de una tubería La tensión cortante en la pared de una tubería: en Kg/m2 (3) donde f es el coeficiente de fricción. este número adimensional se mantiene aproximadamente igual a 0. . se dan a continuación las ecuaciones de los perfiles de velocidades en función de la velocidad en el eje de la tubería o en función de la velocidad de corte (a) una fórmula experimental es ( ) Donde (7 a) .000 .000 a 400. para tuberías lisas.40. La ecuación que da el perfil de velocidades en el flujo laminar puede expresarse como: (6) En los flujos turbulentos resulta una distribución de velocidades más uniforme. La tensión cortante varía linealmente a lo largo de la sección recta: ( El término √ ( o ) (4) se llama velocidad de corte o de fricción y se representa por el √ símbolo ) √ (5) Distribución de velocidades La distribución de velocidades en una sección recta seguirá una ley de variación parabólica en el flujo laminar: la velocidad máxima tiene lugar en el eje de la tubería y es igual al doble de la velocidad media. A partir de los datos experimentales de Nikuradse y otros investigadores.Aunque k no es una constante. su expresión es: ( ) ( )( )( )( ( ) ) (10 a) En función de la viscosidad cinética. en una sección recta. se obtiene dividiendo el cuadrado de la velocidad de la velocidad media ( ) por 2g y multiplicando el resultado por un coeficiente . como . Vennard ha sugerido que puede escribirse en la forma: (8) √ (d) Para tuberías rugosas: ( Donde ) (9 a) es la rugosidad absoluta de la pared de la tubería. puede considerarse .5 √ (7 c) En función de la velocidad media V. (9 b) √ √ También: (9 c) Pérdida de carga en flujo laminar En el flujo laminar la pérdida de carga viene dada por la fórmula de Hagen-Poiseuilli.( ) =-2. (e) Para contornos rugosos o lisos. La ecuación es la siguiente: ( ) ( ) ( ) ( ) (11) La altura de velocidad exacta. se obtiene: (10 b) Fórmula de Darcy-Weisbach Es la fórmula básica para el cálculo de las pérdidas de carga e la tuberías y conductos. En régimen turbulento en tuberías y conductos igual a la unidad sin apreciable error en el resultado. √ ) (16) Para todas las tuberías.000 (14) Para valores hasta 3000000. es: ( √ III. con el número de Reynolds comprendido entre 3000 y 100.Coeficiente de fricción El factor o coeficiente de fricción f puede deducirse matemáticamente en el caso de régimen laminar. Para flujo turbulento en tuberías rugosas o lisas las leyes de resistencia universales pueden deducirse a partir de: (13) II. aproximadamente. la ecuación de Von Karman. el valor f viene dado por: (12 b) RE tiene un valor práctico máximo de 2000 para que el flujo sea laminar. Nikuradse y otros investigadores han encontrado que sobre el valor f también influye la rugosidad relativa de la tubería (igual a la relación de la altura de las imperfecciones superficiales al diámetro interior de la tubería). modificado por Prandtl. puede ordenarse como sigue: (12 a) Por tanto. Todavía más. a) Para flujo laminar la ecuación (10 b). mas en el caso de flujo turbulento no se dispone de relaciones matemáticas sencillas para obtener la variación de f con el número de Reynolds. tanto a partir de sus propios resultados como de los resultados obtenidos por otros investigadores. para régimen laminar en todas las tuberías y para fluido. dada anteriormente. La ecuación es: . (15) Para tubos rugosos: √ IV. Para tuberías lisas. Blasius ha sugerido. el Hydraulic Institute de los Estados unidos de Norteamérica y la mayoría de los ingenieros consideran la ecuación de Colebrook como la más aceptable para calcular f. muchos ingenieros hidráulicos e investigadores se ha forzado en el cálculo de f. I. b) Para flujo turbulento. Del mismo modos. para números de Reynolds muy elevados. Se observa que para tuberías lisas. el lugar geométrico de los puntos localizados a una distancia vertical encima de la línea central de la tubería se conoce como línea de altura piezométrica.2. Antes de utilizar los diagramas. Gradiente Hidraúlica: Llamada también línea de alturas piezométrica. Luego. se dan generalmente en la forma: ( ) 3.[ √ ] (17) Aunque la ecuación (17) es de resolución muy engorrosa. se dispone de diagrama que dan las relaciones existentes entre el coeficiente de fricción f . está situada por debajo de la línea de altura totales en cantidad igual a la altura de velocidad de sección correspondiente. el ingeniero ha de poder estimar la rugosidad relativa de la tubería a partir de su propia experiencia y/o de la de los demás. el segundo término entre corchetes de la (17) es despreciable. por . Otras pérdidas de carga Tales como las que tienen lugar en los accesorios de tuberías. en tales casos la viscosidad no influye prácticamente y f depende tan solo de la rugosidad relativa de la tuberías. Las dos líneas son paralelas para todos los tramos en que las secciones rectas tienen la misma área. puede despreciarse el primer término entre corchetes de (17). el número de Reynolds y la rugosidad relativa . (Giles) Los ingenieros civiles encuentran muy útil representar gráficamente diferentes partes de los términos de altura que contribuyen a la energía mecánica del flujo en una tubería. en este caso las (17) y (15) son análogas. Este hecho se pone de manifiesto en el Diagrama de Moody. en las que el valor de es muy pequeño. donde las curvas se vuelven horizontales para números de Reynolds elevados. Esto se muestra en la figura . Cuando se llega a D existe un incremento repentino en la altura hidraúlica. Nótese que la línea de altura piezométrica. es la línea de altura piezométrica para el nivel de referencia mencionado antes. Nótese luego que la línea de altura piezométrico se inclina hacia abajo a medida que se mueve desde A hasta B. Ahora se examina en forma más cuidadosa la contribución de la bomba. donde se han utilizado presiones manométricas. se presenta una pérdida de altura que se muestra como un descenso en Hap debido a que se pierde presión en la entrada. En B hay una caída en el valor desde b hasta b’. A medida que el flujo entra en la tubería. Es claro que la altura ahí proporcionada por la bomba debe ser: . entonces la ordenada ( ) medida por encima de este nivel de referencia es la misma curva descrita antes y. debido a las pérdidas menores causadas por los dos codos más la pérdida de altura en la tubería BC. que se denota como Hap. Esto se debe a la pérdida de altura generada en la tubería AB y que disminuye a lo largo de ésta. debido al suministro dado por la bomba. empieza en una altura que corresponde a la superficie libre del embalse donde dejando solamente la altura de elevación de la misma superficie.Si se mide la altura z del centro de la tubería a partir de algún nivel de referencia horizontal conveniente. por consiguiente. Si la línea de altura piezométrica se localiza por debajo de la línea central de la tubería. puede decirse que: ( )( ( Para la bomba de este caso. es evidente que existan presiones manométricas negativas en aquellas partes del sistema de tubería donde esto ocurra. pueden conectarse los puntos estratégicos mediante líneas apropiadas. Si la altura de velocidad se agrega a la línea de altura piezométrica se obtiene la línea de energía total que aparece en la figura. Cuando se llega al punto e los cálculos pueden verificarse determinando para la cámara E llena de agua. Finalmente. debe determinarse el caudal q para el sistema de tuberías. el término ) es negativo de manera que es positivo como se muestra mediante el aumento en el punto d. Si aún no se conoce q para dibujar las líneas de altura piezométrica y de energía total. deben calcularse y en puntos estratégicos del sistema.( ) donde los cambios de altura mecánica que resultan de la acción de la bomba en el flujo están en el miembro derecho de la ecuación. . La expresión entre paréntesis puede evaluarse como sigue. La altura (Hap)e que se llega debe acercarse al valor calculado por separado para . Se pedirá al lector emplear este procedimiento en algunos de los problemas de tarea. existe una pendiente fuerte en el diagrama a medida que la altura de presión se convierte en altura de velocidad en dicha boquilla. Al pasar a través de la boquilla. utilizando la primera ley de la termodinámica: ( ( )( ) ) ( ( )( ( ) ) ( )( ( ) ) ) Luego. Utilizando la primera ley de la termodinámica y la ecuación de continuidad. La curva superior representa entonces la altura mecánica total HD. Esto es análogo a los diagramas de fuerza cortante y de momento flector en resistencia de materiales.Por último. que dan al ingeniero estructural una visión general del flujo de fuerza en una estructura. Ejercicios: . nótese que las líneas de altura piezométrica y de energía total para un sistema de tuberías dan al ingeniero hidráulico una visión general del flujo de energía. . . Ejemplo 0. b. c.5 m/S.2. Dibujar la línea piezométrica. Si debe considerar o no las perdidas localizadas en loa accesorios. Desde un depósito fluye a 20º C por una cañería de acero (e=0.046 mm). Considerando la viscosidad cinemática determinar: a. La cañería tiene un cambio de diámetro del recorrido según se muestra en la figura. . Calcular la altura en A si la velocidad en el tramo 2 es de 2. . . 4. Caso en que la línea piezométrica corta con la tubería .