Adelino Antônio da Silva Ribeiro Eliane da Silva Soares Ferreira Simara Moraes VasconcelosFísica Fundamental 4.º Manaus 2007 Período FICHA TÉCNICA Governador Eduardo Braga Vice–Governador Omar Aziz Reitora Marilene Corrêa da Silva Freitas Vice–Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró–Reitor de Planejamento Osail de Souza Medeiros Pró–Reitor de Administração Fares Franc Abinader Rodrigues Pró–Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Rogélio Casado Marinho Pró–Reitora de Ensino de Graduação Edinea Mascarenhas Dias Pró–Reitor de Pós–Graduação e Pesquisa José Luiz de Souza Pio Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings Coordenador Pedagógico Luciano Balbino dos Santos NUPROM Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral João Batista Gomes Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior Revisão Técnico–gramatical João Batista Gomes SUMÁRIO Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . UNIDADE I – Os fundamentos da Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 01 – O que é Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 02 – Fundamentos da teoria eletromagnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 03 – Os alicerces da mecânica dos fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . UNIDADE II – As forças fundamentais da natureza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA 01 02 03 04 05 06 – – – – – – O conceito de força . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eletrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A força na hidrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forças . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hidrostática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 07 09 11 26 28 33 35 40 44 49 53 57 61 63 76 81 84 87 93 99 UNIDADE III – O estudo dos movimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA 01 02 03 04 05 06 – – – – – – Análise do movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fluidos em movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Alguns tipos de movimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Óptica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . UNIDADE IV – Universo Mecânico: o Universo como uma máquina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . TEMA 01 – O momento linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 TEMA 02 – A Lei da Gravitação Universal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 TEMA 03 – A Lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 UNIDADE V – As Leis do Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 TEMA 01 – As Leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 TEMA 02 – Forças em sistemas de referenciais inerciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 TEMA 03 – Indução magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 UNIDADE VI – Lei da Conservação da Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA TEMA 01 02 03 04 05 06 07 08 09 – – – – – – – – – Trabalho – Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Energia Mecânica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Temperatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Energia Potencial Gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potencial Elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lei de ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lei da Conservação da Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Primeira Lei da Termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 148 152 156 157 165 168 170 177 UNIDADE VII – Lei da Conservação do Momento Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 TEMA 01 – Segunda Lei da Termodinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 TEMA 02 – Definição de Momento Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 PERFIL DOS AUTORES Adelino Antônio da Silva Ribeiro Licenciado em Física – UFAM Especialista em Ensino de Ciências – UFAM Mestre em Educação – UFAM Eliane da Silva Soares Ferreira Bacharel em Física – UFAM Licenciada em Física – UFAM Simara Moraes Vasconcelos Mestra em Física – UFAM APRESENTAÇÃO Professor Adelino Ribeiro A intenção ao escrever estas Notas de Aulas é o de apresentar, em nível introdutório, os conceitos fundamentais da Física Clássica como parte da preparação dos alunos para prosseguirem e se aprofundarem posteriormente nas demais disciplinas de Física que compõem a matriz curricular do Curso de Licenciatura em Matemática. Estas Notas de Aulas, portanto, constituem-se num material preparatório para o desenvolvimento de idéias e habilidades, que serão aplicadas durante o estudo de tópicos específicos, desenvolvidos em outros cursos mais especializados. Acreditamos que os conceitos e as ideias que constituem o conjunto de paradigmas da Física Clássica, ao tornarem-se parte da sua vida profissional, irão, com toda a certeza, auxiliar na suas maneiras de compreender o Universo em que vivemos. Quanto mais profundamente se dedicar a aprender, tanto mais fácil será o restante de seu curso de graduação e de pós-graduação. Assim sendo, ao longo deste curso, abordaremos alguns problemas específicos e de fundamental importância em Física, como, por exemplo, as Leis do Movimento, as Leis de Conservação, as Leis da Óptica, as Leis da Termodinamica, as interações fundamentais, os conceitos de campo e de entropia, tendo em vista não só o interesse e a importância em relação à Física e ao seu valor instrutivo, como também por se constituírem a base conveniente para se resolver a maioria dos problemas de Física Clássica. Tendo esses objetivos em vista, ao abordarmos um determinado fenômeno, procuraremos, tanto quanto possível, integrar a interpretação física com o tratamento matemático (cálculo e álgebra), de modo que o aluno possa averiguar se a sua intuição corresponde ou se precisa ser corrigida apropriadamente. Outra peculiaridade destas Notas de Aulas é a forma pela qual os temas a serem estudados estão estruturados. Diferentemente da seqüência encontrada tradicionalmente nos livros-textos de Física, estas Notas de Aulas operam o conhecimento por outro caminho, sem causar, no entanto, qualquer prejuízo aos conteúdos selecionados. Segue, abaixo, um breve comentário sobre cada unidade. A primeira unidade foi projetada com a modesta intenção de fornecer uma visão preliminar da relação da Física com as outras Ciências, os limites da Física Classica que vai ser estudada. Procuraremos enfatizar, nesta unidade, a base fundamental sobre a qual se ergue todo o Edifício da Física, de modo que o aluno possa compreender a relação entre a Física e a Matemátca, a importância das atividades experimentais e a função dos modelos teóricos em Física. Na segunda unidade, faremos uma bordagem relativamente simples das interações fundamentais existentes na Natureza, suas aplicações e combinações, de modo que o aluno se familiarize com o conceito de vetor. Na terceira unidade, faremos um análise fenomenológica dos movimentos, identificando seus elementos e suas características principais. Chamando atenção principalmente para aplicação de modelos de partícula e de onda no estudo da Física. Na quarta unidade, centralizaremos nossos estudos naquela que se constituiu a mais duradoura compreensao do universo: a visao mecanicista da natureza. A ênfase recairá na Lei da Conservação do Momento Linear e na Lei da Gravitação Universal e suas aplicações. Aqui, merecem ser destacadas formas para a determinação de campos devido à distribuição de massas e cargas. A quinta unidade focalizará as Leis de Newton e a sua extrema importância para o estudo de alguns Tópicos Especiais, tais como: o lançamento de projétil, Movimento Circular e Uniforme, Sistemas de Referências Inercial (dado seu papel primordial no desenvolvimento dos conceitos básicos e os princípios físicos envolvidos na Teoria da Relatividade Restrita de Einstein) e Sistemas de Referencias Não-Inerciais (em razão do movimento da Terra). Na sexta unidade, estudaremos o conceito de Trabalho com ênfase na Lei da Conservação da Energia, enfatizando sua estreita ligação com as Leis da Termodinâmica e aplicação tecnológica no caso das máquinas térmicas. Na sétima unidade, faremos o estudo da Lei da Conservação do Momento Angular, aplicando-a, particularmente, nos problemas que tratam de rotação de corpos rígidos (enquanto sistemas de partículas) em torno de um eixo fixo. UNIDADE I Os Fundamentos da Física Física Fundamental – Os Fundamentos da Física TEMA 01 O QUE É FÍSICA? “Não afirmamos que o quadro que estamos pintando represente toda a verdade, mas apenas uma viagem.” Victor Hugo cientista amador que é capaz de blindar o campo gravitacional, ou seja, quando uma pessoa entra no equipamento, ele imediatamente se desprende perdendo seu peso. Com base em seus conhecimentos de Física, como você avalia essa descoberta? Esse equipamento poderia ser usado para transportar um Homem até a Lua? Quais suas limitações? Entender o universo – este tem sido o supremo desejo que tem perseguido, incansavelmente, o ser humano. A intricada e complexa rede de fenômenos que o cercam é apenas uma ponta do Iceberg Cósmico, cuja maior parte, ainda hoje, se oculta no mar da nossa ignorância. Evidentemente que o conhecimento científico cresceu exponencialmente até os nossos dias, mas não conhecemos tudo. Aliás, se soubéssemos que na Física tudo já foi descoberto, todas as questões já foram respondidas e não há nada mais para explorar, ainda assim, nada impossibilitaria o ser humano de examinar tais verdades, as suas limitações, os seus paradoxos e as possíveis falhas. A Física é um campo de investigação sem fim; um processo construtivo interminável, decorrente das próprias limitações da mente humana. Ainda não conhecemos todas as leis fundamentais do Universo e nem sabemos se essa busca algum dia será alcançada, pois somente a ponta do Iceberg revela-se de forma direta diante do homem. A suprema função da Física é tentar captar uma imagem completa deste mundo físico (Iceberg Cósmico). É penetrá-lo mais além do imediato, do visível, mergulhar nas profundezas do Oceano Cósmico para ser capaz de estabelecer relações (as regras do jogo) que governam as propriedades e os processos observados no Universo, colocando a explicação num novo e mais amplo nível e contexto. Essas regras (leis) são inerentes ao Universo; são independentes da existência ou da vontade humana. Essa busca e esperança são reforçadas pela convicção humana de que, por baixo do Iceberg Cósmico, existe uma ordem, uma regularidade, apesar da diversidade e da aparente complexidade de fenômenos observados. A crença nessa regularidade é tão imprescindível para a sobrevivência do ser humano que, desde a antiguidade, os filósofos gregos consideravam a mente como o princípio que produz a ordem que se crê existir no Universo. Apesar de alto grau de desordem existente num gás, a aposta na existência de regularidades leva-nos a fazer previsões, por exemplo, das suas propriedades termodinâmicas. Foi assim também que, a partir da visão da dança de alguns pontos luminosos no céu noturno, chegamos a estabelecer a imagem de um sistema planetário. Igualmente, a partir da constatação de alguns riscos coloridos (raias espectrais), captadas por observações espec11 1. Atualmente, tem sido bastante divulgada pela mídia a possibilidade de existência de água no planeta Marte. Comente a respeito da veracidade do fato. Com base em que(ais) teoria(s) cientifica(s) é possível justificar essa descoberta? Elas são suficientes? Quais as limitações do conhecimento científico nesse campo? 2. Algumas pessoas afirmam que são capazes de localizar água utilizando uma simples forquilha de madeira. Embora este procedimento seja algo controvertido, existem muitas histórias de êxitos. Com base em seus conhecimentos científicos, como você poderia explicar, em termos físicos, este procedimento para furar poço? 3. Recentemente, foi bastante comentada a invenção de um equipamento construído por um UEA – Licenciatura em Matemática troscópicas, é que se conseguiu entender o processo de emissão da luz pela matéria, a composição química de uma substancia e até mesmo o afastamento das galáxias. Nesse sentido, determinar uma lei é revelar a ordem pré-existente na arquitetura do Universo, é acreditar que todos os eventos e processos que ocorrem no Universo estão interconectados. No século XVIII, Newton unificou a mecânica terrestre e celeste ao descobrir a Lei da Gravitação Universal. No século XIX, Joule unificou a Mecânica com a Termodinâmica, e Maxwell unificou os fenômenos elétricos e magnéticos, incorporando a Óptica nesse quadro. No século XX, Einstein passou parte da sua vida tentando formular uma teoria que unificasse a gravitação com a eletrodinâmica. Sua antevisão foi recompensada em 1968, quando os físicos Steven Weinberg e Abdus Salam ganharam o premio Nobel, por demostrarem a conexão entre a força eletromagnética e a força nuclear fraca, dando origem à força eletrofraca. Como se vê, em meio a mudanças existem características imutáveis, padrões fixos no Universo. O que gera a ordem ao universo é o fato de podermos assegurar, com absoluta precisão, que determinadas coisas nunca acontecem. Você, por exemplo, pode viver 10 bilhões de anos, contudo nunca verá, na superfície da Terra, uma pedra “cair para cima”. É isso que os físicos denominam de ordem. Parece-nos estranho declarar que não é verdade; o que realmente orienta a Física não é a descoberta do que acontece, mas a descoberta do que não acontece. A simples possibilidade de que o Universo possa comportar-se de modo diferente de um dia para o outro tornaria insegura a vida e, possivelmente, seria impossível a sobrevivência da espécie humana. No entanto o que se constata é que existem determinadas constantes no Universo que se repetem e que conduzem ao mesmo resultado. Uma vez determinado qual é a propriedade física invariante, o ser humano passa a dispor de uma poderosa ferramenta em suas mãos que o ajudará entender melhor a dinâmica do Universo. Daí as Leis de Conservação serem extremamente importantes quando se passa de um 12 campo a outro dentro da própria Física, continuando dando bons frutos ao transitarmos para outros ramos da Árvore da Ciência. Apesar da robustez da Física e dos frutos nela colhidos, é inútil tentar cutucar o solo e especular sobre onde nascem as raízes da Árvore da Ciência, pois não somos capazes de descobrir a origem de certos conceitos. Certamente, o que não deixa menor margem para dúvidas, como escreveu o poeta, é que: “Nil posse creari de nihilo”. Igualmente, as idéias físicas não nasceram e operaram no vácuo social, como se tivessem nascidas prontas e acabadas da mente do cientista, ou cuja finalidade tenha sido essencialmente utilitaristas, enquanto produto pronto para ser usado. 1. Faça uma análise comparativa dos dois casos relacionados abaixo a respeito de como ocorrem a construção do conhecimento científico dos fenômenos ocorridos na Natureza. I. Segundo contam, Arquimedes descobriu a Lei do Empuxo porque estava a serviço do rei, que lhe solicitou que investigasse se a coroa era mesmo de ouro maciço. II. Sir Isaac Newton descobriu a Lei da Gravitação Universal devido à queda de uma maçã na sua cabeça, enquanto descansava no jardim de sua mansão; isso despertou suas idéias para o referido tema. Sendo a atividade cientifica realizada por seres humanos num ambiente impregnado de polaridades e antagonismos culturais, nenhum indivíduo, por maior que seja sua genialidade ou por mais importante e fundamental que seja seu descobrimento, pode ser considerado isento das influências sociais, culturais, políticas e econômicas que a sociedade vivencia num determinado momento histórico. Muito do que atualmente se sabe dos estudos dos fluidos desenvolveu-se da grande necessidade de abastecimento de água para irrigação dos campos, do controle de inundações e da seca. A construção de diques, represas e canais Física Fundamental – Os Fundamentos da Física é fruto dessa necessidade, que antecede a Arquimedes. Uma das primeiras aplicações dos fenômenos térmicos inventada pelo ser humano foi a eolípila, desenvolvida por Heron de Alexandria. Eis aí o principio de funcionamento de uma turbina a vapor muito rudimentar devido à força do vapor que escapa pelos tubos, fazendo girar o aparelho. Essa capacidade de o vapor produzir trabalho foi aplicada no desenvolvimento e no aperfeiçoamento das máquinas para retirar água acumulada nas minas de carvão; disso se originou a Revolução Industrial. A Física, enquanto atividade humana especializada, não tem, portanto, existência independente. Ela emergiu, cresceu e somente se consolidou porque buscou satisfazer as necessidades básicas do Homem, seja explicando e elaborando processos de controle dos fenômenos naturais, seja desenvolvendo técnicas para aumentar a produção de bens e serviços, seja como fonte de idéias para outros campos de pesquisa, seja contribuindo para a segurança nacional por meio da criação de armas de defesa e ataque, etc. Essas multifacetadas “impressões digitais” da Física são passíveis de identificação ao longo da sua História, ainda que estranhamente irregulares, em ziguezague, entrecortadas por descontinuidades. As tentativas de explicar o mundo físico não são algo recente. A própria Bíblia ensina-nos que o primeiro ato divino foi o de criar a Luz. Qual a razão para isso? Talvez tenha sido o temor que os nossos ancestrais (e, ainda hoje, muitos de nós) sentiam quando o sol desaparecia, e a Terra escurecia. Ou seja, tanto para os nossos ancestrais quanto para nós, uma noite de lua cheia constitui-se, ainda hoje, num fenômeno exuberante. Assim, no fim do dia, após uma jornada estafante, eles, como nós, ao admirarem o luar, devem ter-se indagado sobre inúmeros porquês: por que a lua brilha? Será que a lua tem luz própria ou será que a luz nasce dos olhos? O que é a luz? Quanto deve valer a velocidade da luz? Será que é finita ou infinita? Por que a lua não cai? O que faz que ela se mantenha em sua órbita? Como ir da Terra à Lua? Muitos outros fenômenos naturais também 13 devem ter sido observados, registrados e desencadeados. Vêm, então, outra série de perguntas: como se forma o arco-íris? Por que ocorrem os eclipses? O que é o raio? O que é o fogo? O que fazer para mantê-lo aceso? O que causa os terremotos? Por que o tronco de uma árvore bóia e a pedra afunda? Por que os corpos caem e a fumaça sobe? O que faz um magneto atrair um pedaço de ferro e não de madeira? De onde ele retira esse poder ou virtude? Como surgiu o universo e as coisas que nele existem? Não há como não reconhecer, nessa protofísica, as raízes, por exemplo, dos conceitos, das leis, das teorias e dos princípios que se estudam até hoje na estática e na dinâmica. Todo o desenvolvimento do eletromagnetismo devese à estranha propriedade do âmbar (resina fóssil empregada na antiguidade, na fabricação de amuletos, jóias e bijuterias) e de certas pedras magnéticas (óxido de ferro) que, mais tarde, receberam a denominação de ímãs. A capacidade e a habilidade do ser humano de responder a essas e a muitas outras complexas questões geraram a Física – apenas um dos ramos da Árvore da Ciência –, mas fundamental para o entendimento do Universo em que vivemos. Certamente que esse desenvolvimento não ocorreu por acaso, mas do esforço consciente e deliberado do trabalho de homens e mulheres para trazer à tona a parte oculta do Iceberg Cósmico e, assim, conseguir prever e planejar suas ações para serem capazes de sobreviver neste Planeta e, posteriormente, aventurar-se em frágeis jangadas, em expedição pelo Oceano Cósmico desconhecido. O que conhecemos e o que ainda está sendo descoberto, nos dias de hoje, não teria sido possível se os nossos antecessores não tivessem assentado, com firmeza, os alicerces deste grande edifício em constante construção, que é a Física, num terreno bastante sólido. Portanto, quando se retrocede na História da Humanidade, verifica-se que as idéias físicas ressoam desde a aurora dos tempos, quando o ser humano lançou suas primeiras inquietações e curiosidades em relação aos fenômenos naturais, e o quanto estes descobrimentos foram decisivos e essenciais para o conhecimento atual da Natureza. UEA – Licenciatura em Matemática A FÍSICA E AS OUTRAS CIÊNCIAS Em sua luta obstinada para entender a Natureza, o ser humano depara-se com uma variedade e complexidade de fenômenos que geraram o desenvolvimento de um conjunto de conhecimento específico. Nesse desdobramento, a Física ficou com a parte mais simples, restringindo-se aos aspectos mais fundamentais dos fenômenos naturais. Evidentemente que, para atingir essa compreensão e alcançar a profundidade indispensável, os físicos precisaram desenvolver um nível da análise rigorosíssimo. Em vista disso, os demais ramos da Arvore da Ciência, em seus projetos de também avançar no conhecimento, foram buscar na Física as leis fundamentais e os métodos empregados. Nasceu daí a intensa conexão entre a Física e as outras ciências, o que tem proporcionado explorar novos experimentos, gerando novos conhecimentos e produtos industrializados. A Química, por exemplo, emprega Mecânica Quântica nas explicações das propriedades e das reações químicas. Desse modo, novas substâncias podem ser desenvolvidas a partir dos fundamentos da interação entre átomos e moléculas. Tanto que, em 1998, o físico Walter Kohn recebeu o premio Nobel de Química pela sua contribuição aos métodos da química quântica. A Geofísica emprega as teorias do magnetismo no estudo da Física da Terra. O estudo da Física dos Fluidos fornece o entendimento das causa dos abalos sísmicos e dos processos que moldaram o nosso planeta. O conhecimento de Física Nuclear é crucial na Astrofísica para a compreensão da fonte de energia das estrelas e da evolução (geração de supernovas). A Cosmologia utiliza a Teoria da Relatividade Geral para estudar a origem e a evolução do Universo, para explicar a força da gravidade e a misteriosa expansão do Universo; utiliza-a também no desenvolvimento do sistema de localização GPS. O conhecimento de Física é essencial no estudo das Ciências Biomédicas (Biologia, Bioquímica e Medicina). Na área de diagnose e 14 tratamento médicos, são empregadas técnicas de ressonância magnética, ultra-som, tomografia po raios X, radiografia, ecocardiograma, eletrocefalograma, aplicação de partículas (isótopos) radioativas, etc. Em Biofísica, o estudo das propriedades físicas dos sistemas biológicos dentro da célula (tais como a elasticidade do DNA e a interação entre DNA-proteínas) e a aplicação de técnicas na modelagem das redes neurais, etc. Os conhecimentos de Física Clássica (Mecânica, Termodinâmica e Eletromagnetismo) são essenciais no campo das Engenharias (Civil, Mecânica, Elétrica, Robótica, Aeroespacial, etc). 1. Comente, fornecendo exemplos e justificativas, a maneira pela qual a Física e a Filosofia se relacionam. 2. Existe ou já existiu, em alguma época, conexão entre a Física e a Arte? Cite dois casos concretos. FÍSICA E MATEMÁTICA Provavelmente, em algum momento de sua vida, você deve ter realizado, mentalmente, certos “cálculos” ou, intuitivamente, avaliou a situação-problema apelando para as leis do movimento. Com toda a certeza, antes de atravessar uma avenida, para não colocar em risco sua vida, você já deve ter, intuitivamente, avaliado inúmeras vezes a velocidade do carro e feito uma estimativa do tempo necessário para atravessar, com segurança, uma ampla e movimentada avenida de Manaus. Não é mesmo? 1. Um planeta X hipotético dá uma volta inteira em torno do seu eixo em um terço do tempo gasto pela Terra (1 dia), e dá uma volta em torno do Sol no dobro do tempo gasto pela Física Fundamental – Os Fundamentos da Física Terra (365 dias). Na Terra, a relação entre a duração do dia e a do ano é 1/365. No planeta X, quanto corresponderá a mesma relação? Esta convicção de que a razão humana é capaz de oferecer uma interpretação quantitativa coerente dos fenômenos perceptíveis pelos sentidos, com ajuda de engenhosas equações matemáticas, constitui-se numa das mais extraordinárias conquistas humanas de importância para a ciência. O prêmio Nobel de Física Max Planck, ao se referir aos trabalhos de Maxwell, comentou que: “Maxwell, após diversos anos de pesquisa reservada, alcançou um sucesso que deve ser contado entre os maiores milagres do intelecto humano. Ele conseguiu, pela razão pura, vislumbrar segredos da natureza que somente começaram a vir à luz depois de uma geração e, ainda assim, por meio de experiências muito laboriosas. Seria completamente inconcebível que tal conquista fosse conseguida, se não reconhecêssemos que há uma relação muito íntima entre as leis da natureza e as do pensamento.” compreensão do fenômeno ultrapassa a mera descrição qualitativa e subjetiva das percepções sensoriais do ser humano. A partir de agora, as qualidades das sensações fisiológicas, tais como o som, a cor, a luz, o calor, o gosto, etc. constituem-se num conjunto de símbolos moldados por uma equação matemática. O movimento, por exemplo, a questão do tráfego, um dos graves problemas da vida real, é resolvido por meio do cálculo diferencial. Velocidade passa a ser, portanto, dx/dt. As cores do arco-íris são determinadas pela freqüência (µ) ou pelo comprimento de onda (λ) da radiação. A sensação de calor que temos quando estamos fazendo um churrasco é dada por E = hµ. A intensidade do som da “Banda do Mano” durante o carnaval é descrita por . A percepção de que matematização dos fenômenos físicos é a chave para decifrar os mistérios do Universo é atribuída a Pitágoras, para quem, na natureza, “tudo é numero”. O trampolim para esta conexão entre a Física e a Matemática teria sido a descoberta da relação funcional entre o som que uma corda esticada emite e o comprimento da corda. Posteriormente, Arquimedes (séc. III a.C.), seguindo o estilo empregado por Euclides, descobriu a lei da alavanca e a lei do Empuxo, abrindo, de forma convincente, o caminho para a matematização da Natureza. 1. No Laboratório de Física, um pesquisador observa atentamente um próton atravessar uma região na qual existe um campo elétrico e um campo magnético, sendo ambos uniformes. Ao acompanhar o movimento do próton, ele constata que a trajetória da partícula depende de como ela penetra na referida região. Na tentativa de auxiliar esse pesquisador, qual instrumento matemático você lhe aconselharia a aplicar ao problema? 1. A quantidade de energia luminosa incidente por unidade de área, em iluminação normal, varia na razão inversa do quadrado da distância da superfície à fonte. Com base nessa informação, estabeleça uma relação entre a quantidade média de energia solar incidente entre o planeta Plutão e a Terra. Assim, por meio da descrição matemática, a 15 A matematização propicia, assim, uma economia de pensamento, pois, por meio da abstração, não precisamos ficar presos aos detalhes e às características desnecessárias de um fenômeno. Em vez disso, procuramos selecionar e concentrar-nos somente naquelas propriedades que, no conjunto, são essenciais para seu entendimento e que podem ser quantificadas, mensuradas. Quando se analisa, por exemplo, o movimento de queda livre de uma esfera, o que realmente importa é a relação entre a posição (X) e o tempo de queda (t), a velocidade (V), etc. UEA – Licenciatura em Matemática Ignora-se, por exemplo, propriedades como a cor, a textura e os detalhes da composição da esfera. Desse modo, a descoberta da relação faz que a esfera deixe de ser uma entidade individual, pois a expressão matemática serve para qualquer esfera. No fim, a esfera real fica completamente esquecida, e, em seu lugar, fala-se de um de uma partícula, de uma entidade abstrata que se move no vácuo. O eco dessa tradição pitagórica continuou a reverberar intensamente no século XVII, podendo ser encontrado nas obras de Galileu, que declara com toda a ênfase: “A filosofia (atualmente, diríamos a Física) encontra-se escrita neste grande livro que continuamente se abre perante nossos olhos – quero dizer, o Universo – que não se pode compreender antes de entender a língua e conhecer os caracteres com os quais está escrito. Ele está escrito em linguagem matemática, os caracteres são triângulos, circunferências e outras figuras geométricas (teríamos que acrescentar agora outros símbolos matemáticos), sem cujos meios é impossível entender humanamente as palavras; sem eles nós vagamos perdidos dentro de um obscuro labirinto.” Assim sendo, na investigação dos sistemas físicos, é expressamente proibido que a determinação das regras (leis, teorias, etc) das conexões lógicas sejam feitas por um mero jogo de palavras, produto da descrição qualitativa e verbal empregada na linguagem cotidiana, mas de forma precisa e quantitativa. Sendo assim, não há nada que se impeça de descrever o azul do céu ou as cores do arco-íris em termos matemáticos, em vez de expressar o fenômeno em termos de uma linguagem limitada e imprecisa que estamos acostumados a empregar na vida diária. 1. Seja (N) o número de páginas que devem ser lidas por um aluno durante a disciplina de Física Fundamental; (W) o número de semanas de aula; (P) o número de páginas que deverão ser lidas durante uma semana. Com base no exposto, represente, matematicamente, a relação entre N, W e P . Armados com a concepção de que “tudo na natureza são números” ou ainda “Natureza está escrita em caracteres matemáticos” (ou formas geométricas), os físicos, por meio do cálculo, deduzem a trajetória que, muitas vezes, escapa à percepção visual. É bem conhecida, por exemplo, o episódio no qual Halley, o astrônomo real, pergunta a Newton: “qual a curva descrita pelos planetas”, ao que Newton respondeu sem hesitação: “Uma elipse”. Surpreso, Halley replicou: “Como é que você sabe?”, ao qual Newton retrucou: “Ora, eu a calculei”. A resposta de Newton significa dizer que ele ficara extremamente satisfeito em determinar e provar, matematicamente, que a causa do movimento era simplesmente uma equação matemática. Indo mais além, utilizando seus cálculos matemáticos, demonstrou que essa “força” era responsável pelas marés oceânicas, pela periodicidade misteriosa dos cometas, etc. 16 A busca de uma relação funcional correta é o retrato da luta incessante da mente humana para que os fenômenos naturais possam ser representados matematicamente. Levada aos confins mais íntimos e extremos, a convicção de que a Natureza opera misteriosamente segundo princípios matemáticos fez que os físicos, buscassem uma relação funcional entre determinados parâmetros físicos, na tentativa de explicar o funcionamento do Universo. Foi esse ideal que levou Ptolomeu, século II d.C., a elaborar uma explicação para a Máquina do Universo em termos de conceitos geométricos altamente abstratos, tais como: círculos, deferentes epiciclos, equantes. O mesmo aconteceu com Galileu, século XVII, ao descrever a queda de um corpo por meio de relação matemática entre os números ímpares. Newton, também, vai explicar a força de atração gravitacional que mantém a estabilidade das órbitas planetárias por . Física Fundamental – Os Fundamentos da Física Maxwell deduz da equação que a luz é uma onda eletromagnética que se propaga aproximadamente 300.000.000 m/s. Max Planck descreveu o fenômeno da emissão da irradiação do corpo negro pela expressão . Einstein demonstrou que a massa de um corpo em movimento não permanece constante, mas aumenta com a velocidade , por conseguinte deduziu velocidade de 10 cm/s da direita para a esquerda, conforme mostra a figura abaixo. Suponha que no instante t = 0 a caneta encontre-se no ponto X = 0 e Y = 0. Determine a função Y(t) que representa o movimento da caneta conforme a curva mostrada no gráfico. que a inércia (massa) de um corpo está relacionada a seu conteúdo energético por meio da equação E = m.c2. Embora tenhamos apresentado algumas “fórmulas”, não se deve confundir a Física com a Matemática, pois, como enfatizou Einstein, “Nenhum cientista pensa com fórmulas”. O que comumente se faz na Física é começar com a idéia física e depois procurar torná-la mais precisa, expressando-a matematicamente. Foi assim que se deu com Maxwell, que, a partir das idéias de Faraday de linha de força, transformou-a na teoria do campo eletromagnético, expressando-a na forma de equações diferenciais. Portanto, do ponto de vista da Física, um fenômeno da natureza é considerado explicado quando se encontra uma relação funcional que relaciona os parâmetros que admitimos fazer parte explicativa de um determinado fenômeno. É por meio da matematização do fenômeno que o Físico dispõe de um conjunto de regras de correspondência que tornam possível efetuar certas seqüências de operações. O cálculo torna-se, assim, uma espécie de jogo mental com os símbolos matemáticos por meio dos quais se torna possível estabelecer uma relação funcional dos resultados empíricos obtidos por uma dada teoria. Assim, por meio de uma expressão matemática, ou seja, com a mesma formula do cálculo, podemos escrever o conteúdo empírico por um conjunto de sentenças equivalente que representa os efeitos observáveis. Por exemplo, uma regra de correspondência, expressando uma relação diretamente proporcional, pode servir para coordenar o termo de observação, temperatura, com o termo designado de energia cinética. De modo que podemos também expressar que a “temperatura de um gás é diretamente proporcional à energia cinética média das moléculas de um gás.” Portanto o que o cientista busca com freqüência é encontrar uma “relação funcional” do tipo Y = f (x) entre as propriedades que variam, ou seja: a corrente elétrica com a voltagem num condutor, a distância percorrida por um corpo muda com o tempo, o volume de um gás muda com a pressão exercida sobre ele, o comprimento de uma haste de latão varia com a temperatura, etc. Suponha que se queira encontrar uma relação funcional entre a posição de um objeto e o tempo que ele leva durante a queda. Após registrar numa tabela as quantidades correspondentes, ele procura estabelecer uma relação exata entre elas. 1. Por meio de um dispositivo, uma caneta movese em MHS ao longo do eixo Y. Ele registra sobre uma fita de papel que se move com 17 Pode ocorrer, no entanto, que ele nem consiga encontrar nenhuma relação, pois os dados podem variar independentemente uns dos outros. Caso descubra que existe uma relação entre as propriedades investigadas, ele pode representá-las por uma relação simbólica convencional do tipo . Se essa relação for amplamente confirmada pelos experimentos, pode-se dizer que temos agora uma Lei Física. São os casos, por exemplo, da lei da queda livre, das leis de Newton, da lei de Ohm, as Lei de Kepler, etc. Além de resumir o conjunto de dados, a equação pode ser usada como uma definição para velocidade: v = a.t; como uma técnica para a medição da aceleração; para prever todas as futuras observações e ir bem além das aparências, do imediato, estabelecendo relações de forma a colocar os fenômenos observados em um novo e mais amplo contexto. Essa foi a maneira por meio da qual Maxwell, a partir de um conjunto de equações, deduziu que a luz se desloca com a mesma velocidade da luz e que, por conseguinte, a luz deve ser uma forma de radiação eletromagnética. Igualmente assim procedeu o físico inglês Paul Dirac, ao deduzir das suas equações a existência dos pósitrons (elétrons carregados positivamente). A lei declara simplesmente a existência de um padrão estável por trás de um evento e coisas, mas é a teoria que assinala o mecanismo responsável por esse padrão. É a teoria que possibilita ir além das aparências. Todavia o simples fato de que os fenômenos naturais sejam simplesmente formulados e explicados matematicamente não é uma justificativa aceitável capaz de determinar as causas, pois não há como ter certeza de que aquela Lei não é resultado fortuito de muitas causas diferentes atuando independentemente, sem uma verdadeira regularidade. Portanto é indispensável encontrar uma causa única subjacente ao fenômeno. Newton, por exemplo, não conseguiu persuadir muito os seus contemporâneos de que a formulação algébrica da lei da gravitação, descoberta por ele, consistia, por si só, uma explicação aceitável, sem que houvesse a necessidade de quaisquer mecanismos físico. Atualmente, o que prevalece entre os físicos é, basicamente, esse tipo de justificativa. Levando-se em conta tais fatos, pode-se compreender com facilidade porque Einstein se opôs e enfrentou Bohr durante uma conferencia. 18 Para Einstein, o fato da Mecânica Quântica utilizar o conceito de probabilidade deve-se à nossa ignorância em compreender, de maneira exata, como as coisas em nível microscópico acontecem; se soubéssemos exatamente como os eventos acontecem, por exemplo, a maneira como um conjunto de dados foi arremessado e todos os detalhes da superfície onde rolam poderíamos, pelo menos em principio, prever o resultado. Na defesa de seu ponto de vista, dizia Einstein: “Deus é sutil, mas não é malicioso: Ele não joga dados!” OS CONCEITOS Por mais refinada e perfeita que seja a linguagem cotidiana, ela é extremamente limitada e indefinida para esclarecer certas relações conceituais tão delicadas e precisas sobre o mundo físico que nos cerca. Ainda que expressões do tipo: velocidade, espaço, gravidade, tempo, aceleração, repouso, energia, massa, eletricidade, calor e movimento sejam bastante familiares e utilizadas diariamente, elas não são óbvias e nem evidentes. Seus significados soam misteriosamente, pois tais expressões não são da mesma natureza que os conceitos lingüísticos (cerveja, dinheiro, boi, canoa, barranco) empregados diariamente ou da mesma natureza que os conceitos matemáticos (número, grau, reta, epiciclo, diferencial). 1. Durante um teste, quando perguntados sobre o que significava em Física afirmar-se que: “os sistemas conservativos são aqueles em que se verifica a conservação da energia mecânica”, quatro alunos responderam que tal afirmação: Aluno I – é uma constatação experimental. Aluno II – é uma dedução. Aluno III – é uma definição. Aluno IV – é um postulado. Na sua opinião, qual(ais) aluno(s) está(ão) correto(s)? Explique sua resposta. Física Fundamental – Os Fundamentos da Física Como se vê, os conceitos físicos não designam um fato bruto, mas sua representação pelo pensamento, por meio de suas características gerais. Um conceito é uma representação intelectual de um objeto físico. O conceito de linha de corrente, por exemplo, é uma representação das trajetórias seguidas pelas partículas de um fluido que serve para descrever suas propriedades. É desse jogo intelectual que nascem as entidades (conceitos) que inventamos e que irão povoar o Universo. Enquanto símbolos, eles são extremamente úteis para exprimir as relações matemáticas: os quarks, fótons, ondas de probabilidade, saltos quânticos, força, inércia, energia, campo, etc. Outra particularidade relacionada ao conceito é que um mesmo conceito pode reaparecer na explicação de diversas situações. Os conceitos, por exemplo, de força, momento angular e de átomo explicam inúmeras situações a partir das condições de validade de uma determinada teoria física. Embora seja possível medir ou atribuir valores a certos conceitos, nem sempre é fácil defini-lo com palavras. Por exemplo, é muito difícil definir o conceito de energia, carga elétrica, temperatura, etc. Desse modo, um conceito pode ser expresso por um código gráfico ou matemático, ou por uma frase. Em resumo, numa ciência tão matematizada como a Física, o simbolismo matemático para ser aplicado à realidade deve ser interpretado pela mente humana. A EXPERIMENTAÇÃO Na elaboração convincente de uma teoria física, três fatores interconectam-se e influenciam mutuamente: a matemática, a experimentação e a construção de modelos. Entender a matemática como uma construção humana ajuda-nos a melhor compreender, também, outra característica fundamental da Física: a experimentação. Não importa quão bela seja a teoria ou a equação matemática obtida! Em Física, tais idéias precisam necessariamente ser testadas experimentalmente, de modo a assegurar seu domínio de validade. É indispensável que não 19 nos esqueçamos de que o conhecimento matemático não é algo com o qual nascemos ou que exista predeterminado na mente humana. Devemos tomar cuidado para não imaginar que os axiomas e os teoremas matemáticos sejam entendidos ou confundidos como verdades a priori ou enunciados exatos acerca do universo. Dessa maneira, o que denominamos de experimentação são observações que se efetuam em condições controladas, ou seja, fenômenos que podem ser reproduzidos. Essa é uma das vantagens da experimentação, pois através dela, o fenômeno pode ser recriado, as condições diversificadas ou simplificadas, os resultados aperfeiçoados, etc. 1. Com o objetivo de determinar o período de oscilação de um pêndulo simples, um aluno listou 4 grandezas: comprimento do fio, massa do pêndulo, aceleração da gravidade e o ângulo (amplitude) de oscilação. Como ele deve proceder experimentalmente para excluir as grandezas que são irrelevantes na determinação do período do pêndulo simples que executa pequenas oscilações? A importância da experimentação é tamanha que, não há, na Física, campo no qual mais se busque excelência do que no domínio experimental. O que não falta é motivação para obter os melhores resultados possíveis em termos de precisão e significado teórico. A Física tem o compromisso com a verificação e não com a contemplação, de modo que devemos apelar para a experiência em busca de uma resposta. De maneira sintética, pode-se dizer que existem basicamente dois tipos de experimentação: do tipo didático e do tipo de pesquisa. A finalidade dos experimentos didáticos é familiarizar o aluno com o manejos de técnicas, tirar medidas, proceder a tratamento dos dados em função das limitações dos instrumentos, traçar e interpretar gráficos, escrever relatórios, etc. UEA – Licenciatura em Matemática A experimentação que envolve pesquisa são aquelas como as que foram realizados por Michelson e Morley, Yang e Lee, nas quais o Físico se defronta com novos resultados, ou seja, são experimentos que determinaram uma mudança decisiva nos rumos da Física. Nesses casos, a predição teórica e a concordância do resultado experimental obtido não se resumem a uma mera coincidência numérica. Os dados só servem de prova a uma hipótese quando os interpretamos a partir de uma formulação matemática apropriada; do contrario, carecem de valor. Em outras palavras, a compatibilidade entre a teoria e os dados somente se verifica por métodos matemáticos. Em suma, os dados não falam por si sós, pois resultam da interação entre a Natureza e o observador. alunos juntamente com o acompanhamento do professor na execução das atividades programadas. A escolha do desenvolvimento de atividades, por meio de projeto, implica a superação da tradicional “aulas de laboratório”, na qual a prática se submete a uma relação de dependência com a teoria cuja finalidade é o de apenas confirmar ou reforçar a informação apresentada em sala de aula, ou o que “está no livro”. Nesse esforço de redimensionar as atividades experimentais padronizadas, assumindo ações abertas, liberam-se as habilidades e as criatividades (manual e intelectual) dos alunos asfixiados pelos roteiros do tipo “receitas de bolo”. Para concretizar esse processo, são apresentadas as seguintes atividades: MECÂNICA 1. Realização de uma experiência de Galileu com o objetivo de examinar a aplicabilidade e a determinação quantitativa da relação de uma esfera que se move ao 1. O filme “Guerra nas Estrelas” apresenta cenas de explosões com estrondos impressionantes, além de efeitos luminosos espetaculares, tudo isso acontecendo no espaço interplanetário. Tais efeitos estão de acordo com as Leis da Física? Justifique. longo de um plano inclinado. PROJETOS EXPERIMENTAIS As atividades didático-experimentais aqui apresentadas têm como principal objetivo proporcionar o contato do aluno com o fenômeno e, a partir daí, buscar sua compreensão pela ação e pela integração do saber com o fazer, e da teoria com a prática. A grande vantagem desse procedimento reside no aprender a aprender compartilhado coletivamente entre professor-aluno, por meio: 1. do planejamento das atividades; 2. da escolha adequada dos procedimentos a serem executadas; 3. da procura de solução própria para o problema; 4. da análise dos resultados e deduções conclusivas, etc. Nesse estilo de condução, é fundamental o envolvimento e a cooperação entre os 20 2. Desenvolvimento e apresentação de uma impressionante demonstração, procurando descobrir, por meio dos conceitos físicos, o que está por trás do recorde de público durante sua exibição. 3. Estabelecer o alcance máximo de um objeto uniforme maciço quando o fio no qual Física Fundamental – Os Fundamentos da Física ele se encontra amarrado é cortado durante sua trajetória. 4. Determinar qual deve ser a potência que você deve fornecer para a roda traseira de sua bicicleta de modo a ser capaz de manter, numa pista horizontal, uma velocidade de aproximadamente 12m/s. (DICA: para evitar que sua cabeça crie muita turbulência, curve-se sobre o guidão e considere o coeficiente de arrasto da ordem de 1,00 e a área frontal igual a 0,463m².) do surgiu, no meio científico, um artigo de James Prescott Joule (1818-1889), com o título: Sobre a produção de calor pela eletricidade voltaica. Descreva em detalhes esse fenômeno. Em que a estrutura da matéria influencia esse fenômeno? Cite exemplos claros de sua aplicação. 2. As leis da indução eletromagnética proporcionaram um grande avanço para os nossos dias. Após o advento da pilha elétrica, uma imensa expectativa se formou em função das possibilidades de desenvolvimento na geração de energia elétrica. Mostre o funcionamento de um motor elétrico, construindo um modelo simples desse aparato e justifique seus princípios físicos. TERMODINÂMICA 1. Elabore um experimento com um líquido (água, óleo, etc.) para reproduzir a experiência de Torricelli sobre a pressão atmosférica. 2. Faça uma prensa hidráulica (usando seringas, por exemplo) para verificar o princípio de Pascal. 3. Construa um calorímetro para medir o calor específico de um corpo. 4. Elabore um experimento para observar a dilatação térmica de um sólido ou de um líquido. 5. Mostre como ocorre transmissão de calor por convecção num gás sob aquecimento, usando, por exemplo, latas de refrigerantes em forma de cata-vento. ÓPTICA 1. Para evidenciar a propagação retilínea da luz, construa uma câmara escura de orifício. Trata-se de uma caixa de paredes opacas (pode ser uma caixa de sapatos) com um pequeno orifício em uma das paredes. Faça que a luz atravesse o orifício. Varie as dimensões do orifício. Tente prever o que ocorrerá com o feixe de luz ao passar pelo orifício. Como se comporta a luz? Em que situação o “desvio” da luz aumenta ou diminui? Relate o que você observou. ELETROMAGNETISMO 1. Em meados do século XIX, surgiu a hipótese de que a energia poderia entrar ou sair de um sistema por meio do calor e do trabalho realizado. Isso ocorreu em 1843, quan21 APLICAÇÃO DAS LEIS DE MAGNETIZAÇÃO Esta experiência exige material específico, que nem sempre está disponível (ou acessível) e nem sempre pode ser improvisado. No entanto é uma atividade fascinante, pois envolve interações a distância, invisíveis e por isso tem caráter mágico. Vamos precisar de uma bobina de 300 espiras de fio esmaltado de cobre de 1,5mm de diâmetro. O comprimento da bobina é de cerca de 6cm, com núcleo vazado de seção quadrada de 3cm de lado, onde se encaixa um núcleo de ferro de pelo menos 15cm de comprimento (podem-se empilhar 2 ou 3 barras verticalmente para obter esse comprimento). A ligação dos terminais da bobina à rede elétrica deve ser feita com fio flexível, de pelo menos 2mm de diâmetro, com um plugue de boa qualidade para corrente de 15A. É interessante usar um interruptor de campainha para a mesma corrente. Apóie a bobina sobre a mesa, de modo que o núcleo de ferro fique na vertical e encaixado até a base. Agora você precisa de um anel de alumínio ou de cobre, que envolva, com folga, o núcleo de ferro. Você pode conseguir esse anel cortando uma fatia de 1cm de um cano de alumínio ou de cobre com, mais ou menos, 3 ou 4cm de diâmetro. UEA – Licenciatura em Matemática Ligue a bobina e coloque o anel no núcleo. Ele não cai, mas fica levitando em volta do núcleo. Desligue a bobina. O anel cai. Em seguida, ligue novamente a bobina. O anel dá um violento salto, atingindo uma boa altura. Para estudar esse experimento, lembre que a corrente elétrica da rede é alternada. Como você pode “ver” esse fato? Pesquise as leis de Faraday e de Lenz. Se você tiver outro anel, serre-o e repita o experimento. O que ocorre? Por quê? CÁLCULO DA MÉDIA. Será atribuída, para cada uma dessas atividades, uma nota de zero a dez. A nota final será a media aritmética desses dois momentos, que será atribuída a cada integrante da equipe. MODELOS FÍSICOS A compreensão dos mecanismos ocultos e/ou desconhecidos da Natureza, visando tornar os fenômenos previsíveis, ocorre por meio da construção de modelos teóricos: um esquema conceitual ou um conjunto de idéias extremamente abstratos que a mente livremente inventa ou postula com a finalidade de ser capaz de explicar e predizer, quantitativamente, o que o Universo esconde em seu interior. Um modelo é, pois, uma espécie de guia que existe apenas na imaginação do cientista, que emprega tanto para o estabelecimento dos pressupostos fundamentais de uma teoria, quanto para a fonte de sugestões que permitem ampliar ou romper essa teoria. Para descrever, por exemplo, a natureza interior da matéria, admite-se a existência dos quarks e, a partir daí, constrói-se um modelo atômico para a matéria. Esse ideal de tentar explicar a realidade por meio da construção de entidades imaginárias foi obra do filósofo grego Platão (séc.IV a.C.), que propôs a seus discípulos que tentassem “salvar o fenômeno” do movimento retrógrado dos planetas admitindo, racionalmente, que eles se movessem em círculos (ou como combinação de vários movimentos circulares) em torno da Terra com velocidades constantes. Na tentativa de satisfazer essa condição, o matemático Eudóxio de Cnido propôs um modelo geocêntrico para o movimento planetário, constituído de 27 esferas homocêntricas. Posteriormente, Aristóteles e Calipo aperfeiçoaram o modelo de Eudóxio, ampliando para um total de 55 a quantidade de esferas cristalinas. Seguindo adiante, Cláudio Ptolomeu, séc. II d.C., desenvolveu um modelo maravilhosamente edificado por meio das seguintes entidades geométricas: ciclos, epiciclos, deferentes e equantes. Evidentemente que essas “rodas dentro de rodas” não existiam realmente no espaço, não passavam de pura ficção matemática útil. 22 AVALIAÇÃO DO TRABALHO Após a definição das equipes, estabeleça com seu professor um planejamento para a execução da atividade (os prazos, as metas, a construção de um calendário, o que estudar e pesquisar, as formas de medição, etc.). Juntamente com os demais integrantes da equipe, defina as atribuições de cada membro, a seleção dos materiais e os instrumentos de medidas, o local e a hora de trabalho e de estudo, etc. A avaliação constará de dois momentos, em datas a serem especificadas antecipadamente: 1. Entrega do relatório detalhando e comprovando todo o processo de desenvolvimento do trabalho, ao qual devem ser anexados: as etapas do planejamento e o calendário da execução das ações; o cronograma de planejamento, as tabelas, os gráficos, as fotos, os vídeos, etc. 2. Exposição do trabalho na forma de apresentação de seminário. Física Fundamental – Os Fundamentos da Física Como se vê, o modelo não tem a pretensão de retratar a realidade física, mesmo porque nem a imagem necessita ser uma reprodução fiel, nem muito menos direta de um objeto ou de um sistema físico. A principal função de um modelo é tornar visível ao “olho da mente” a estrutura hipotética de um objeto de estudo. Assim, quando falamos no modelo de uma nuvem, não nos estamos referindo a uma nuvem feita em escala com algodão. Estamos descrevendo o que acontece nas nuvens em função de propriedades que podemos medir no laboratório, das idéias e das Leis Físicas testadas, que mostram as relações entre tais medidas. No Universo Mecânico, o comportamento dos fenômenos naturais que nos cercam é atribuído a uma estrutura particulada da matéria. Assim, uma vez admitido o conceito de partícula como abstração útil para tratar a complexidade das situações vividas, emprega-se na descrição do movimento de qualquer móvel, independente de seu tamanho, tal como o movimento de um barco que se move pelo rio Amazonas, a queda de um ouriço de castanha, a órbita de um planeta. Isso equivale a predizer, quantitativamente, a trajetória, a velocidade num dado instante de tempo, a aceleração, etc. Com essa transição de um mundo real ao imaginário, as leis do movimento tornam-se aplicáveis a qualquer corpo. Consideremos, por exemplo, o caso da construção de um modelo para um gás ideal. Caso desejemos determinar, do ponto de vista microscópico, a energia interna U em termos das variáveis macroscópicas P V e T, devemos fa, zer algumas suposições; uma delas é de que a amostra do gás se constitui, numa primeira aproximação, de partículas (pontos materiais). Ainda que, na Natureza, os processos macroscópicos sejam irreversíveis, com auxílio da Máquina de Carnot é possível construir o modelo de um processo reversível capaz de auxiliar a compreensão dos processos irreversíveis. Na época em que Maxwell estava desenvolvendo sua teoria eletromagnética, modelos mecânicos utilizando o conceito de éter luminífero, como meio propagador da luz, eram amplamente utilizados para produzir explanações satisfatórias. 23 1. Analise as duas declarações abaixo: 1.a afirmação: “Na Teoria Cinética dos Gases, tal como se encontrava desenvolvida no século XIX, admitia-se que as Leis de Newton para o movimento se aplicavam ao estudo do movimento e das colisões entre moléculas”. 2.a afirmação: “No século XX, verificou-se que a Mecânica Newtoniana era aplicável não apenas no estudo do movimento molecular, mas também do movimento dos átomos no seio das moléculas”. Com base nos seus conhecimentos, explique, minuciosamente, se essas firmações são verdadeiras ou falsas. Fazendo-se uso do formalismo matemático, o conteúdo empírico (efeitos observáveis) de uma teoria pode ser expresso por conjunto de sentenças, em que os termos não interpretados do cálculo são substituídos por outros termos ou conceitos físicos já conhecidos. Podemos obter, por exemplo, a equação de estado do gás relacionando as variáveis macroscópicas P V e T. , Robert Boyle realizou muitas experiências sobre a pressão dos gases e descobriu uma Lei que leva seu nome. Encontrou que se o volume se reduz pela metade, a pressão aumenta ao dobro. Assim, pela manipulação das equações, podemos fazer similitudes e analogias estruturais e funcionais entre as propriedades do modelo por meio das equações matemáticas que se transferem para uma dada teoria Física. 1. Esquematize um modelo que explique a Lei de Boyle UEA – Licenciatura em Matemática O modelo, nesse sentido, é uma representação do cálculo por meio de regra de correspondência com os termos da observação empírica que descrevem um dado fenômeno, cuja teoria pretende explicar. Por exemplo, uma regra de correspondência, expressando uma relação diretamente proporcional, pode servir para coordenar o conteúdo empírico, por exemplo, temperatura, com o termo designado de energia cinética. De modo que podemos também expressar que a “temperatura de um gás é diretamente proporcional à energia cinética média das moléculas de um gás”. Em vista disso, uma equação do tipo, por exem¨ plo, X+ n2X = 0 pode representar, numa primeira aproximação, o movimento de um sistema massa-mola ou de um pêndulo. Todavia sabe-se que, para esse modelo adequar-se aos resultados empíricos, ele precisa sofrer modificações. OBJETIVOS DA MECÂNICA O tema que analisaremos, durante nossas aulas, é a Mecânica Newtoniana, também denominada de Mecânica Clássica, por ter sido a primeira ciência a se constituir como uma teoria cientifica madura e sobre a qual foi edificada toda uma Filosofia da Natureza e o maravilhoso edifício da Física Moderna. Por conseguinte, essas Notas de Aulas focalizarão o estudo dos conceitos fundamentais, das leis e teorias da Mecânica Newtoniana, visando estabelecer uma conexão entre o mundo dos fenômenos e o mundo das idéias. Os princípios da Mecânica Newtoniana aplicam-se não somente à Estática e à Dinâmica, mas à Acústica, à Óptica, à Termodinâmica e ao Eletromagnetismo. Seus princípios estendem-se também aos fenômenos astronômicos, constituindo-se na chamada Mecânica Celeste. As leis de Conservação desempenham um papel fundamental na Mecânica Quântica. Uma outra razão da importância dos estudos da Mecânica justifica-se pelo o fato de que, foi a maravilhosa estrutura conceitual da Mecânica que fomentou e potencializou a revolução cientifica no início do século passado, com o aparecimento da Teoria da Relatividade e da Mecânica Quântica como novas e importantes áreas de Física. Finalmente, o aspecto mais importante para a Humanidade talvez tenha sido a visão da Mecânica como companheira inestimável e aliada inseparável na busca de soluções que respondam às necessidades práticas do Homem. Não há a menor dúvida de que, na luta pela sobrevivência, o ser humano tenha recorrido aos princípios da Mecânica para ajudá-lo. Nota-se isso na construção de abrigos, casas, templos, represas e embarcações; no desenvolvimento de equipamentos para erguer e deslocar coisas; no estabelecimento de processos de orientação geográfica. Do ponto de vista intelectual, a Mecânica, também foi indispensável para que o ser humano formasse uma compreensão dos fenômenos que o cercam, como, por exemplo, a regularidade dos movimentos dos corpos celestes. O campo de abrangência da Mecânica está intimamente associado ao estudo do fenômeno do movimento. O movimento, por constituirse num dos fenômenos que, indubitavelmente 24 1. Indique algumas vantagens e desvantagens dos modelos teóricos. 2. Faça a distinção entre modelo físico-teórico e modelo matemático 3. Quando você se movimenta numa moto ou quando põe sua mão para fora da janela de um ônibus em movimento, você não sente nenhuma partícula colidindo contra seu corpo? Então, qual são as vantagens e as desvantagens de se aplicar o modelo de partícula no estudo dos fluidos? 4. Perguntado sobre quais fenômenos o modelo corpuscular da luz explica de modo simples e correto, um aluno enumerou os seguintes fenômenos: I. I. Propagação retilínea. Produção de sombra e penumbra. III. Reflexão. IV. Refração. VI. Interferência. VII. Polarização. Você concorda com as indicações do aluno? De qual você discorda? Explique sua resposta. Física Fundamental – Os Fundamentos da Física o que mais presenciamos ao nosso redor, nos coloca frente a frente com algumas das mais profundas questões acerca do Universo. O mais extraordinário nessa busca é, por exemplo, descobrirmos que o movimento de uma pedra pode conter os segredos do movimento planetário. Como acreditar que, por trás desse movimento tão simplório e corriqueiro, estejam envolvidos conceitos acerca da natureza do espaço e do tempo? A aplicação dos conceitos da Mecânica, entretanto, não se reduzem apenas à compreensão de fenômenos do mundo físico cotidiano, eles são essenciais também para o entendimento de fenômenos em escalas atômicas e cósmicas. O conceito de energia, por exemplo, é essencial para o estudo da evolução do universo, das propriedades das partículas elementares, dos mecanismos que regem as reações bioquímicas; é essencial também na análise do crescimento das sociedades industriais, no “design” de construção de motores, etc. Portanto qualquer Curso de Física Fundamental deve fornecer uma visão geral da estrutura e dos métodos da Mecânica Newtoniana que fizeram dela uma ciência tão bem-sucedida. No entanto é um equivoco esperar que este curso apresente adequada e rigorosamente todo o conteúdo abrangido pela Mecânica Newtoniana. Para que tenhamos um bom Curso de Física Fundamental, vamos priorizar e enfatizar os conceitos, as leis e as teorias básicas da Mecânica Newtoniana. Por fim, chamamos a atenção para o fato de que estas Notas de Aulas estão estruturadas e construídas diferentemente da tradição dominante. Optamos pela apresentação de um tratamento unificado e global da estrutura sobre a qual se assenta a Mecânica Newtoniana, dadas as suas similaridades conceituais e matemáticas. Para melhor compreender as idéias presentes nas teorias da Mecânica Newtoniana, tentaremos abordá-las, sempre que possível, sob uma perspectiva histórica: como foram construídas, tomaram forma, rompem os obstáculos epistemológicos e desaparecem. O conhecimento da evolução das idéias ajudanos, por exemplo, a compreender o ponto de vista aceito modernamente de inércia. Outras 25 vezes, análise de casos bem particulares (queda livre) pode também ser um ponto de partida valioso para a discussão geral de uma Lei Física, por exemplo, a Lei da Gravitação Universal. Muitos conceitos físicos podem tornar-se familiares por meio da abordagem unidimensional do problema em vez da análise imediata em três dimensões; exemplo: o conceito de quantidade de movimento. Apesar de toda essa importância e riqueza conceitual da Mecânica Newtoniana, não podemos esquecer que todas as teorias físicas possuem um domínio de validade, isto é, são aplicáveis até um certo limite. Fora desse domínio, não há garantia de sobrevivência, e a análise do fenômeno requer outro tratamento, outra teoria, outros equipamentos experimentais, etc. O esquema abaixo, mostra, de forma quantitativa, os intervalos de validades para as diversas áreas da Física. DOMÍNIO NÃO-FÍSICO!? Na passagem de um domínio de estudo para a outro, embora as teorias físicas utilizem termos comuns, seus significados são diferentes. Por exemplo, na análise dos movimentos com velocidades próximas à da luz (c = 3x108 m/s), os conceitos básicos da Mecânica Newtoniana requerem uma drástica modificação. Na Mecânica Newtoniana, o espaço é absoluto e Euclidiano, enquanto na teoria de Einstein, o espaço é curvo. Um extraordinário contraste, não é mesmo? Atente para este outro exemplo: de acordo com a Teoria da Relatividade Geral, a matéria é um aspecto do espaço – tempo (que é contínuo e determinista) enquanto na Mecânica Quântica, a matéria é descontínua ou particulada dotada de características ondulatória e fundamentalmente não determinante. UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 02 FUNDAMENTOS DA TEORIA ELETROMAGNÉTICA O que é eletricidade ? É quase impossível pensarmos em um mundo sem energia elétrica. Com exceção dos fenômenos governados pela força gravitacional (queda dos corpos e movimento dos planetas), praticamente todos os fenômenos físicos e químicos que observamos em nosso cotidiano são regidos pelas forças elétricas. Os fenômenos elétricos são inumeráveis: a eletricidade produz-se espontaneamente sobre a terra e na atmosfera; circula em forma de corrente, criada por pilhas, dínamos; encontramola nos dispositivos que produzem raios X, ondas de rádio, raios catódicos e nas emissões de radiações por substâncias radioativas. Para compreender a eletricidade, precisamos de uma abordagem gradativa, em etapas, em que cada conceito servirá de alicerce para o outro. Então, muita calma nessa hora! Ao estudar conceitos básicos, se você for rápido em excesso, eles podem tornar-se difíceis, confusos e até mesmo frustrantes. Os conceitos que veremos tiveram origem numa estranha propriedade de uma resina ao ser esfregada em um pedaço de lã: o âmbar, que tinha a capacidade de atrair para si pequenos objetos. Iniciou-se, então, uma nova ciência – a eletricidade. O ÂMBAR vicção de que a eletricidade é uma propriedade da matéria. O que significa que sua interpretação, sua explicação, dependeria da compreensão da estrutura elementar da matéria. E logo se descobriu, por meio de ensaios experimentais, que são as nossas ações sobre a matéria que evidenciam essa propriedade. Daí, as idéias, as hipóteses teóricas, os ensaios experimentais dos fenômenos de natureza elétrica foram os mais variados, no entanto nem sempre se obteve muito sucesso. Alguns filósofos da Grécia antiga, entre eles podemos citar Tales de Mileto, cerca de 630 a.C., já sabiam que o atrito comunica ao âmbar (resina fóssil de pinheiro, de cor amarela translúcida) a propriedade singular de atrair os corpos leves e de produzir faíscas quando dele se aproxima o dedo. Eles já admitiam que a matéria deveria ser formada por minúsculas partículas indivisíveis. Mas foi no fim do século XVIII e início do século XIX, devido aos trabalhos dos cientistas Lavoisier, Proust e Dalton, que se chegou à conclusão de que todo e qualquer tipo de matéria é formado por partículas extremamente pequenas denominadas átomos. Veja que essa idéia volta o olhar da comunidade científica para o mundo microscópico, “o mundo que não se vê”, ou seja, “o mundo invisível” formado por átomos que vão compor o mundo macroscópico, “o mundo que se vê”. Foi desse modo que se originou a teoria atômica, cujas idéias básicas são válidas até hoje. E com ela, a certeza de que a eletricidade é uma propriedade das partículas elementares que compõe o átomo. Segundo o modelo atômico atualmente aceito, o átomo é formado por três tipos de partículas: prótons e nêutrons, que formam um núcleo compacto, em torno do qual circundam os elétrons. E essas constituem a matéria macroscópica. Na figura a seguir, como exemplo, temos o átomo de lítio: à esquerda, neutro, com três prótons no núcleo e três elétrons circundando esse núcleo. Ao centro, um íon positivo é obtido removendo-se um elétron do átomo neutro. À direita, um íon negativo é obtido adicionando-se um elétron ao átomo neutro. 26 Desde a antiguidade, dos antigos povos gregos até os nossos dias, sempre houve a con- Física Fundamental – Os Fundamentos da Física No decorrer do tempo, experiências foram feitas, demonstrando-se que prótons e elétrons se atraem; também comprovaram que prótons, ao interagirem, repelem-se, e que os elétrons também se repelem mutuamente. Os nêutrons não sofrem nenhuma força, a não ser a gravitacional, no entanto desempenham importante papel ao aumentar a distância entre os prótons. Podemos usar os corpos celestes como exemplo. Entre esses corpos, não há qualquer resultante da força elétrica. A força gravitacional, muito mais fraca e sempre atrativa, é que fica como a força predominante entre esses corpos. Como foi definido e demonstrado por nosso tutor maior, Isaac Newton, em sua grande obra O Princípia. Mais adiante, entraremos em maiores detalhes e estudaremos a respeito das cargas elétricas e as suas interações. Em 1770, aproximadamente, Benjamim Franklin, o inventor do pára-raios, fazia experiências com a eletricidade das nuvens por meio de um papagaio. Franklin pode ser considerado um dos pioneiros no estudo científico da eletricidade. Foi ele quem primeiro usou os termos positivo e negativo, que prevalecem até os dias de hoje. A escolha por representar as cargas com sinais matemáticos era em função do saldo ou déficit de eletricidade em um corpo, mas indica também a preocupação dos físicos, já naquela época, em descrever matematicamente os fenômenos físicos. A partir daí, Charles Augustin de Coulomb (1736-1806), estabeleceu a lei quantitativa, a partir da qual uma teoria matemática determina a quantidade elétrica, a força, o trabalho, o potencial, etc., isto é, o Campo Elétrico. A MAGNETITA A propriedade fundamental e característica que produz a atração e a repulsão entre essas partículas é chamada Carga Elétrica. AS INTERAÇÕES ENTRE AS CARGAS Inúmeras partículas positivas e negativas estão unidas pela imensa atração da força elétrica. Nessa imensa massa compacta, que mais parece um formigueiro de partículas negativas e positivas, as enormes forças elétricas equilibram-se quase que perfeitamente. Esse, formigueiro são os átomos que constituem a matéria. Quando dois ou mais átomos se juntam para formar uma molécula, ela também é constituída de partículas positivas e negativas equilibradas. Assim como estão equilibradas as forças elétricas quando trilhões de moléculas se juntam para formar um pedacinho de matéria. Preste atenção! Entre dois pedaços de matéria, praticamente não há atração ou repulsão elétrica, pois cada um deles está em equilíbrio eletrostático, ou seja, cada um possui o mesmo número de partículas positivas e negativas. 27 Depois, foi constatado que os ímãs em forma de barras, ao serem suspensos de maneira a girarem livremente, giravam e se orientavam na direção norte-sul da Terra. Essa propriedade possibilitou a construção das bússolas, instrumento de excepcional importância para as grandes navegações. UEA – Licenciatura em Matemática O ELETROMAGNETISMO Como podemos perceber, a eletricidade e o magnetismo eram tidos como questões distintas. Possuíam ‘causas’ diferentes. Do século VI a.C. até o fim do século XVI, nenhuma explicação desses fenômenos havia sido dada. Porém, mesmo assim, várias experiências obtiveram resultados práticos: Alessandro Volta (1745-1827), cientista italiano e pesquisador experimental da eletricidade, descobre a pilha, e a eletricidade, até então estática, passa a ser dinâmica, fluindo através dos condutores e estabelecendo fenômenos magnéticos, caloríficos, químicos, etc. Esse advento marca nova etapa: a Corrente Elétrica. As pesquisas de André Marie Ampère (1775-1836) marcam os estudos sobre o Campo Magnético da corrente elétrica, explicando-os e estabelecendo as leis que definem qualitativa e quantitativamente o campo magnético da corrente. Em 1820, o dinamarquês Hans Christian Oersted (17771851) mostrou uma conexão entre o efeito elétrico e o efeito magnético em um experimento que possibilitou a construção dos motores elétricos e do telefone. A partir de então, os campos elétrico e magnético são inseparáveis e constituem o Eletromagnetismo. TEMA 03 OS ALICERCES DA MECÂNICA DOS FLUIDOS ARISTÓTELES (384 – 322 a.C.) apresentou alguns conceitos referentes ao movimento dos projéteis e à resistência do ar, embora muita coisa que ele pressupôs mostrou ser equivocada. Mas ele argumentou que os fluidos devem ser contínuos, isto é, por pequena que seja uma porção do fluido, mesmo assim ela é ainda divisível. Em geral, todas as suas concepções físicas pressupunham a existência de um meio material em que os corpos se movem. Ele considerava que, em ausência de um meio material, o movimento de um corpo se daria com velocidade infinita (sabemos que isso não está correto). Pelos estudos de Aristóteles, verificamos que ele estava envolvido com os primeiros passos da mecânica dos fluidos. ARQUIMEDES viveu aproximadamente entre 287 a 212 a.C., na cidade de Siracusa, na Grécia. Era matemático e engenheiro, fez seus estudos em Alexandria. Podemos dizer que foi o primeiro a examinar a estrutura interna dos líquidos. Ele chegou a afirmar que os fluidos não podem ter espaços vazios internamente, significando que eles devem ser contínuos. Ele teve também noção da pressão hidrostática de um fluido e de sua transmissão em todos os sentidos. No tratado de Arquimedes, intitulado Sobre os Corpos Flutuantes, ele apresenta o atualmente chamado de Princípio de Arquimedes. Na realidade, o trabalho de Arquimedes é conseqüência de várias proposições que ele faz no tocante ao comportamento dos sólidos em um fluido. Seu estudo mais famoso consta de um problema apresentado pelo rei Hierão II: descobrir se a coroa encomendada pelo soberano a um ourives era de ouro maciço ou se o artesão misturou prata em sua confecção. A solução do problema ter-lhe-ia ocorrido por acaso, em uma casa de banho, ao perceber que o volume da água derramada da banheira cheia era o próprio volume de seu corpo. A euforia pela 28 Física Fundamental – Os Fundamentos da Física descoberta fê-lo sair pelas ruas, sem roupa, gritando: Heureka! Heureka! Arquimedes mergulhou a coroa num recipiente com água e mediu o volume derramado; a seguir mergulhou blocos de ouro maciço e de prata maciça com pesos iguais ao da coroa, medindo os volumes derramados. O volume derramado pela coroa, ficou entre os volumes derramados pelos blocos de ouro e de prata, evidenciando a fraude do ouvires, que teria sido condenado à morte por esse motivo. HERON DE ALEXANDRIA (viveu por volta do século II d.C.) também deu contribuição para o estudo aplicado da mecânica dos fluidos. Descreveu diversos mecanismos, em que se utilizava ar aquecido ou ar comprimido e vapor. A Máquina de Heron é uma antepassada das turbinas modernas. Os romanos, apesar de terem criado algumas formidáveis obras de engenharia, como os famosos aquedutos que abasteciam Roma. LEONARDO DA VINCE (1425 – 1519) foi uma mistura de cientista, engenheiro, inventor, filósofo e artista, interessando-se por muitos assuntos. No que concerne aos rios, Leonardo disse existir uma lei geral: onde a corrente transporta uma grande quantidade de água, a sua velocidade é maior e vice-versa. Em seus manuscritos, ele formula a mesma idéia de modo diferente: onde o rio se torna mais estreito, a água flui mais depressa. Por isso, Leonardo chegou à lei: vA = constante SIMON STEVIN viveu entre 1548 a 1620, era matemático, pode ser considerado o pioneiro no estudo do equilíbrio dos líquidos. No fim do século XVI, a ciência italiana apresentou um período de relativa estagnação; por isso, o centro do movimento científico transferiu-se para a Holanda, onde, em 1581, Simon Stevin estudava na Universidade de Leyden, tornando se um grande professor de Matemática. Além de realizar importantes trabalhos de Matemática, Stevin deu uma grande contribuição ao desenvolvimento da mecânica, principalmente no que se refere à estática dos sólidos e dos líquidos. Na sua obra, destacam-se três impor29 tantes publicações: Princípios de estática, uma espécie de continuação dos trabalhos de Arquimedes (teoria da alavanca, centro de gravidade dos corpos, etc., e o teorema dos planos inclinados), Aplicações de estática e Princípios de hidrostática, uma importante contribuição ao estudo da hidrostática, entre outros assuntos, tratando sobre o deslocamento de corpos mergulhados em água e a explicação do paradoxo da hidrostática – a pressão de um líquido independe da forma do recipiente, depende apenas da altura da coluna líquida. Influenciado pelas teorias de Da Vince, pesquisou o comportamento hidrostático das pressões, divulgando o princípio do paralelogramo das forças. Embora preocupado com temas teóricos, Stevin era um homem de ação, não tendo abandonado nunca as questões de ordem prática. Tanto que se deve a ele a demonstração do fato de que um barco é mais estável quanto mais baixa a posição de seu centro de gravidade. E também a demonstração de que o centro de gravidade do barco deve situar-se mais abaixo que o centro de gravidade da água deslocada pelo casco. A maior invenção desse grande cientista foi um veículo construído para Maurício de Nassau, em 1600, dentro do qual cabiam 28 pessoas e que nenhum cavalo podia alcançar. GALILEU GALILEI (1564 – 1642), tentando entender o princípio de funcionamento do sifão, utiliza o conceito de velocidade virtual: uma pequena massa de líquido (contida num tubo estreito) pode ficar em equilíbrio com uma grande massa de líquido (contida num grande recipiente), pois uma pequena descida do nível do líquido no recipiente corresponde a uma grande subida do líquido no tubo. Essas observações e inferências permitiram a Galileu apresentar uma nova abordagem para os conceitos da hidrostática de Arquimedes, pois o próprio Arquimedes usara outro procedimento, ou seja, ele partiu de considerações estáticas, propriamente ditas, ao passo que Galileu, trabalhando com o conceito de velocidade virtual, utiliza um raciocínio com base na cinemática. UEA – Licenciatura em Matemática BENEDETTO CASTELLI (1577–1644) foi autor de um tratado sobre medições de água corrente (Della misura dell’ácque correnti, 1628). Ele utiliza a lei de Leonardo da Vinci: Av = constante. EVANGELlSTA TORRICELLI viveu entre 1608 –1647, físico italiano, foi discípulo de Galileu, tornando-se seu secretário nos últimos anos de vida do notável cientista e sucedendo-o no cargo de matemático na corte de Florença. Também é conhecido como precursor de Newton e Leibniz no desenvolvimento do cálculo infinitesimal; foi ele o responsável pela comprovação do peso do ar. Torricelli conseguiu resolver um problema que foi proposto a Galileu pelo duque de Toscana. Este mandou abrir poços muito profundos, com cerca de 15m de profundidade, e a água só conseguia subir, através de tubos, até a altura de 10m quando bombas aspiravam o ar dos tubos. A explicação dada por Torricelli foi de que a pressão exercida por uma coluna de água de 10m de altura contrabalançava a pressão exercida pelo ar atmosférico. Estabeleceu a idéia de pressão atmosférica e, para comprovar sua teoria, realizou a famosa experiência com um tubo de mercúrio, em vez de água. Como o mercúrio tem densidade 13,6 vezes maior do que a da água, Torricelli concluiu que a coluna de mercúrio que deveria contrabalançar a pressão atmosférica deveria ter uma altura de 76cm; com essa experiência, comprovou suas hipóteses. Ocorreu-lhe ainda que a pressão atmosférica deveria mudar com a altitude, o que foi comprovado posteriormente por Pascal. BLAISE PASCAL viveu entre 1623 e 1662; matemático, físico e filósofo francês, foi o autor da famosa frase: “O coração tem razões que a própria razão desconhece”. Seus trabalhos em Matemática e Física foram notáveis. Inventor da primeira máquina de calcular, patenteada com o nome de “La Pascaline”, tornou praticamente possível a estrutura das modernas calculadoras. Deu uma contribuição para o estudo do cálculo combinatório e para a teoria das probabilidades. 30 No campo da Física, sua tendência foi de valorizar a experimentação. Pascal preferiu dedicar-se a experiências diretas, principalmente porque havia decidido resolver alguns problemas sobre os quais os cientistas discutiam há bastante tempo, sem conseguir chegar a uma conclusão definitiva. Na hidrostática, ele estabeleceu que a pressão exercida em um ponto de um líquido transmite-se a todos os outros pontos. Prosseguindo os estudos de Torricelli, Pascal usou o dispositivo criado pelo cientista italiano como barômetro, comprovando, experimentalmente, que a coluna de mercúrio diminui à medida que se escala uma montanha. Concluiu, desse modo, que a pressão atmosférica diminui com o aumento da altitude. DANIEL BERNOULLI (1700–1782), em seu livro Hydrodynamica, publicado em 1738, estuda a relação entre a pressão e a velocidade num líquido ideal (viscosidade nula e incompressível), ao longo de um tubo horizontal, que parte do fundo de um reservatório. No entanto a “equação de Bernoulli”, que é conhecida hoje, não foi obtida diretamente por Bernoulli, mas sim por Joseph Louis Lagrange (1736–1813), com base na integração das equações diferenciais de Leonhard Euler (1707 –1783), utilizando uma matemática mais avançada. Euler foi o grande arquiteto da Mecânica dos Fluidos. A equação de Bernoulli pode ser considerada a equação fundamental da hidrodinâmica dos escoamentos laminares de fluidos ideais não compressíveis. O físico italiano GIAMBATTISTA VENTURI (1746–1822) combinou as leis de Leonardo da Vince e de Bernoulli-Lagrange com o manômetro de Torricelli, construindo um dispositivo chamado tubo de Venturi, que serve como um dispositivo para medir a velocidade de escoamento do fluido. Em fins do século XVIII, a hidrodinâmica havia chegado a um ponto a partir do qual qualquer desenvolvimento posterior do assunto exigiria a introdução da viscosidade em suas equações. Com isso, a manipulação matemática do assunto ficou muito mais complicada, mas tornou-se necessário assim proceder. Esta será a contribuição do século XIX e do século XX. Física Fundamental – Os Fundamentos da Física JEAN LE ROND D’ALEMBERT (1717–1783), estudando a resistência experimentada por um corpo sólido que se move com velocidade constante num fluido ideal e incompressível (fluido ao qual se aplica a equação de Bernoulli) ficou surpreso ao constatar, depois de rigorosa análise matemática do problema, que essa resistência seria nula. Esse resultado é um paradoxo, pois, experimentalmente constata-se que, apesar de tudo, essa resistência existe e cresce com a velocidade com o que o corpo se move em relação ao fluido. No século XIX, foi desenvolvida uma célebre equação para os fluidos viscosos: equação de NAVIER- STOKES, mas, por se tratar de uma equação não-linear, ela é de difícil solução. Muitos casos de interesse técnico não poderiam ser resolvidos por meio dessa equação. Sendo assim, os engenheiros, interessados em casos concretos de aplicação da mecânica dos fluidos, mostraram-se decepcionados com a hidrodinâmica clássica. Havia belas equações matemáticas, mas pouco adequadas para seus fins práticos. 31 UNIDADE II As Forças Fundamentais da Natureza Física Fundamental – As Forças Fundamentais da Natureza TEMA 01 O CONCEITO DE FORÇA INTRODUÇÃO O conceito de força é primário e, como tal, carece de definição. Desde a infância, estamos acostumados a associar, de forma intuitiva e subjetiva, o efeito cinestésico proveniente do esforço muscular que exercemos para, por exemplo, empurrar, puxar ou erguer um determinado objeto. Da experiência cotidiana também aprendemos a avaliar qualitativamente o efeito da direção da força, pois, ainda que o esforço muscular exercido seja o mesmo, a direção da força para empurrar um corpo sobre uma superfície não é a mesma para erguer o corpo. Assim, sem saber, você aprende, desde cedo, a associar à Força uma intensidade e uma direção. Uma força, portanto, é uma ação que deforma, movimenta ou muda o estado de movimento e de repouso de um corpo. 1.1 AS FORÇAS FUNDAMENTAIS DA NATUREZA Predizer os movimentos a partir do conhecimento das Forças de modo a determinar a trajetória é uma das mais importantes aplicações da Física. Se cada par de partículas no Universo tivesse sua interação característica, a tarefa tornar-se-ia impossível, pois colocar em ordem todas as observações experimentais para encontrar a força pode transformar-se numa tarefa extremamente tediosa e difícil. Felizmente, a natureza é um sistema muito mais simples do que isso. Até onde sabemos, existem quatro tipos diferentes de interações fundamentais no Universo: a gravitacional, a eletromagnética, a força nuclear forte e a força nuclear fraca. As interações gravitacionais e eletromagnéticas podem atuar a grandes distâncias, pois decrescem com o inverso do quadrado da distancia. Contudo a força gravitacional é sempre atrativa, enquanto que a força eletromagnética pode ser atrativa e repulsiva. 35 Na natureza, a interação que nos é mais familiar é a Interação Gravitacional. Na realidade, não “sentimos” essa interação; o que presenciamos são forças de interação de contatos (compressões, trações ) que costumam equilibrar-se nas nossas atividades diárias; é a força resultante da interação gravitacional (ou peso). A FORÇA OU INTERAÇÃO GRAVITACIONAL deve-se a ação das massas (m) e apresenta as seguintes características: 1. É uma interação atrativa. 2. Varia com o inverso do quadrado da distância (F α 1/r2 ). (Figura 01) 3. É sensível se pelo menos uma das partículas tiverem uma massa muito grande. 4. É a que mantêm os planetas em órbita ao redor do Sol, mantêm-nos ligados à Terra e produz as marés. Fig. 1 FORÇA PESO Quando um objeto cai em queda livre, a força que atua sobre ele é de atração gravitacional com que a Terra puxa o corpo para baixo. Essa Força que atua sobre o corpo verticalmente para baixo na direção do centro da Terra é o que denominamos de “Peso de um corpo”, dado pela seguinte relação: Fg = Peso = m.g. Desse modo, se você conhece a massa do corpo e o valor da aceleração da gravidade (g) de uma determinada localidade, você pode determinar a massa ou peso do corpo. Assim, o peso do corpo muda quando o transportamos da Terra à Lua. Entretanto a massa do corpo permanece constante. O peso é a força da gravidade atuando sobre um objeto (quer ele esteja caindo ou não). A massa de um corpo, entretanto, é uma propriedade intrínseca do corpo. UEA – Licenciatura em Matemática CENTRO DE GRAVIDADE. Ao nos referirmos à Força Gravitacional (Peso), verificamos que a gravidade puxa todas as partículas do corpo para baixo. Como a gravidade age de maneira diferente sobre cada partícula do corpo, o peso de um corpo, ou seja, a resultante de todas essas forças está aplicada num determinado ponto geométrico do corpo. Portanto denominamos de CENTRO DE GRAVIDADE o ponto no qual o peso está aplicado. Nos sistemas macroscópicos, a interação eletromagnética de atração e de repulsão se cancelam permanecendo, no entanto, a força gravitacional. Por esta razão, a força gravitacional domina a Escala Cósmica do nosso Universo. Inversamente, o Universo ao nosso redor é dominado pelas interações eletromagnéticas pois, numa escala atômica, elas mais intensas que as forças gravitacionais. As interações eletromagnéticas são responsáveis pela a estrutura dos átomos, moléculas, formas mais complexas de matéria e, também, pela a existência da luz. FORÇA (OU INTERAÇÃO) ELETROMAGNÉTICA deve-se à existência de cargas elétricas em repouso ou em movimento. Apresenta as seguintes características : 1. Pode ser atrativa se as cargas tiverem sinais contrários, ou repulsivas se as cargas tiverem os mesmos sinais. 2. Varia, também, com o inverso do quadrado da distância. 3. É a responsável pelas chamadas forças de contato, que se manifestam todas as vezes em que dois corpos são comprimidos um sobre o outro. Por exemplo, um livro sobre uma mesa. 4. Leva em conta atrito, tensão superficial, viscosidade. 5. É a responsável pela rigidez e pela força elástica dos materiais, a chamada “força de tração”, que se manifesta nos fios, nas cordas, nos cabos, nas correntes. 1. Suponha que o nosso Universo não tenha a força gravitacional e que somente as forças eletromagnéticas mantenham todas as partículas unidas. Admita que a Terra tenha uma carga elétrica de 1 Coulomb. a) Qual deveria ser a ordem de grandeza da carga elétrica do Sol para que a Terra tivesse exatamente a mesma trajetória do universo real? b) Se, neste estranho Universo, também não existisse a força eletromagnética, certamente não haveria nem o Sol e nem os planetas. Explique por quê. As forças de interação nuclear (forte e fraca) têm um curto alcance, importante somente em nível das distancias nucleares, da ordem de 10–15m. A força nuclear forte é a responsável pela manutenção do núcleo atômico coeso. Fora isso, seus efeitos são pouco perceptíveis em nível dos fenômenos cotidiano. A força nuclear forte apresenta as seguintes características : 1. Tem alcance reduzido da ordem de 10-15m, o que corresponde ao diâmetro do núcleo. 2. Existe unicamente entre certa classe de partículas, conhecidas como HÁDRONS, que se subdividem em: i) MÉSONS – partículas ligeiras: ii) BÁRIONS – partículas pesadas: A força nuclear fraca desempenha uma função fundamental para o entendimento dos fenômenos radioativos, mas somente pode ser detectada por meio de complexos experimentos. Ela é menos conhecida e não muito bem compreendida. Apresenta as seguintes características : 1. Apresenta um alcance muito reduzido, de ordem 10–17m. 36 Física Fundamental – As Forças Fundamentais da Natureza 2. Manifesta-se somente em certos processos de decaimento de partículas (desintegração, radioatividade beta). 3. É responsável pelo início da reação de cadeia que leva à fusão nuclear, por meio da qual o Sol nos alimenta de energia. Somente para que você tenha uma noção de intensidade dessas diferentes interações, comparemos o que ocorre quando se tem como padrão a força entre dois prótons a uma distância de 10–15m. Nosso objetivo com esta síntese é compreender como as forças que nos são familiares e importantes no estudo da Mecânica podem ser entendidas como manifestações macroscópicas dessas quatro interações fundamentais. Assim, podemos entender qualitativamente as força de contato, tais como a força que um livro exerce sobre uma mesa, a força numa mola, num bastão, num barbante, num arame, viscosidade, atrito, etc. Essas forças não são fundamentais, elas surgem das forças elétricas que atuam de maneira complicada entre uma enorme quantidade de átomos. Grosso modo, podemos dizer que, num objeto, os átomos mantém-se juntos devido a forças interatômicas que tendem a mantê-los afastados de uma certa distância finita, denominada de distância de equilíbrio. Assim, quando você puxa um fio por uma de suas extremidades, cada átomo puxa vigorosamente o seu vizinho, de modo que o puxão se transmite à outra extremidade, tal como ocorre com os elos de uma corrente. A resultante de todas essas forças elétricas atuando sobre os átomos aparece sob a forma de uma força macroscópica, a Tensão. Outro exemplo de força de contato é a Compressão. Nesse caso, o processo é o inverso: quando se comprime um dos lado, cada átomo empurra o seu vizinho, tendendo manter a separação de equilíbrio, de modo que o empurrão é transmitido à outra extremidade. A Força Normal é o resultado da força entre os átomos de dois objetos. As regras empíricas para uma força normal são de que a sua intensidade depende de quão firme é o objeto pressionado. A direção da Força normal é sempre perpendicular à superfície Além do seu papel de transmitir forças, a tensão e a compressão também podem alterar a forma do corpo, alongando-o ou encurtando-o. Pode-se obter uma explicação qualitativa do que ocorre, considerando que em um fio, por exemplo, sob tensão, cada átomo sofre um pequeno deslocamento da sua posição de equilíbrio. Apesar de as forças elétricas tentarem restituir os átomos a suas posições de equilíbrio, alguma elongação permanece quando o fio está sob tensão. O atrito é outro exemplo inescapável da força produzida pela eletricidade. Ainda que superfícies extremamente polidas possam parecer lisas, quando examinadas por meio de microscópios elas aparecem rugosas, repletas de saliências e incontáveis irregularidades. Assim, quando dois objetos são colocados em contato, essas saliências microscópicas tendem a entrelaçar-se ou mesmo soldar-se devido às forças elétricas, dificultando o movimento relativo das superfícies em contato. Desse modo, quando um objeto desliza sobre RELAÇÃO ENTRE AS FORÇAS FUNDAMENTAIS DA NATUREZA 37 UEA – Licenciatura em Matemática outro, esses pequenos pontos de solda continuamente estão quebrando-se e recompondose. Além disso, os obstáculos entrelaçados precisam ser superados por deformação ou abrasão. O resultado dessas complexas causas é a o atrito, ou seja, uma força paralela à superfície que se opõe ao movimento do objeto. Desde que a quantidade desses pontos microoscópicos de soldas seja proporcional à pressão do objeto sobre a superfície, a força de atrito é proporcional à força normal sobre o objeto. Observando-se o comportamento da força interatômica entre dois átomos, pode-se observar imediatamente o quanto ele é diferente da Lei de Coulomb. Enquanto a Lei de Coulomb cai com 1/r2, a força interatômica varia com 1/r–7. Estudos sobre a natureza microscópica da matéria indicam que a atração a longo alcance é resultado do cancelamento entre as atrações e as repulsões entre os elétrons e os núcleos de dois átomos; a repulsão, de curto alcance, é governada por efeitos quânticos que tendem a manter os elétrons dos dois átomos afastados. Outros exemplos de forças de contato incluem as forças existentes numa mola, numa corda, numa vara, a viscosidade. Uma das grandes realizações do século XX foi a de os físicos terem explicado as descobertas empíricas dos cientistas do séculos anteriores em termos das propriedades atômicas da matéria. 1.2 APLICAÇÃO DAS FORÇAS DE CONTATO Como examinamos acima, apesar do notável avanço na compreensão das forças fundamentais, ainda hoje a dedução quantitativa das forças de contato, a partir das forças fundamentais, permanece difícil, e as velhas regras empíricas continuam sendo usadas. Elas foram deduzidas pelos cientistas do século XVIII, que não tinham nenhum conhecimentos das forças fundamentais da natureza. Essas regras empíricas não passavam de simples sumários dos seus resultados experimentais. Um exemplo de Força de Contato é aquela que exercemos quando empurramos um objeto com as mãos, ou chutamos uma bola. Tal força é o resultado do contato direto do objeto com a mão ou com o pé. FORÇA ELÁSTICA Outra força de grande utilidade no estudo da Mecânica é a Força Elástica. Ela resulta da deformação facilmente observada, por exemplo, numa mola. Assim, quando se aplica uma força (F) à extremidade de uma mola, ela se estica de um determinado comprimento (x). Cessando a aplicação da força, a mola retorna ao seu comprimento inicial. Dada essa propriedade, dizemos que a Força Elástica é uma força restauradora. Podemos, portanto, medir a intensidade da força a partir da deformação da mola. Experimentalmente, a Força Elástica (F) é diretamente proporcional à deformação (x) que ela produz. Em termos matemáticos, essa relação é conhecida como Lei de Hooke: F = K.x, onde K é uma constante que depende da qualidade da mola. Dada essa propriedade, a Força Elástica pode ser empregada na confecção de dinamômetros (balança de mola), instrumento utilizado para medir forças. 38 Na ausência de perturbações externas na distância de equilíbrio (rO), a força elétrica é nula. As grandes separações, como ocorre quando um fio é puxado por uma de suas extremidades, são resistidas por forças atrativas de longo alcance, o que fornece a tensão. Inversamente, as pequenas separações, como ocorre nas compressões, são resistidas por forças repulsivas de curto alcance, que originam a força normal. O fundamento microscópico para a Lei de Hooke pode ser explicado pelo comportamento linear (reta tangente à curva) entre força e deslocamento em torno do ponto de equilíbrio (rO). Física Fundamental – As Forças Fundamentais da Natureza 1. Depende da natureza das superfícies de contato: 1. Relacione pelo menos uma das limitações da Lei de Hooke 2. Descreva as etapas de uma experiência que permita determinar a massa desconhecida (M) de um objeto com ajuda da Lei de Hooke. 3. Como você poderia usar a lei de Hooke para determinar, experimentalmente, a proporcionalidade entre a massa e a aceleração de um objeto? 2. Depende das condições em que se encontram as superfícies. Isso explica, por exemplo, o fato de que a presença de óleo ou de água no asfalto diminuir o coeficiente de atrito entre os pneus de um veículo e a estrada. 3. Depende daa força de compressão que as superfícies de contato exercem perpendicularmente. 4. É independente da área de contato. A razão para isso é que, numa escala atômica, a área de contato é uma fração diminuta da área total. A análise experimental detida da força de atrito indica que a sua intensidade pode ser determinada pela seguinte expressão: fatr ≤ µ.N, em que (µ) é uma constante de proporcionalidade chamada de coeficiente de atrito. O gráfico ilustra o comportamento das forças de atrito estático e cinético. FORÇA NORMAL E A FORÇA DE ATRITO. As forças de contato são provenientes da ação direta entre os corpos, como ocorre quando um livro está sobre a mesa. Um efeito óbvio das forças de contato é impedir que os corpos se interpenetrem. À nível macroscópico, uma forma particularmente conveniente de descrever a força de contato entre duas superfícies planas de dois sólidos envolve a decomposição (resolução), de uma força de contato em duas forças: uma paralela à superfície de contato, chamada de Força de Atrito, e a outra exercida perpendicularmente pela superfície sobre o corpo, denominada de Força (ou Reação) Normal. A causa das forças de atrito, já mencionadas, são extremamente complexas. Do ponto de vista microscópico, as forças de atrito de deslizamento surgem das Forças Interatômicas que soldam durante o deslizamento as incontáveis rugosidades ou irregularidades que as superfícies de contato apresentam. Todavia, do ponto de vista macroscópico, não se leva em consideração a origem microscópica da força de atrito, operaremos com elas como sendo uma força oposta ao movimento relativo das superfícies de contato. Seu estudo é feito em laboratório, ou seja, as leis que regem o comportamento do atrito são experimentais, isto é, de caráter empírico, e as suas predições são aproximadas. Dessa experiência, constata-se que, dentro de certos limites, a força de atrito de deslizamento: 39 FORÇA DE ATRITO DEVIDO A UM FLUIDO. Quando um objeto sólido, tal como uma pedra, se move em um fluido (água ou gás), ele exerce uma força de atrito sobre o objeto. O comportamento dessa força depende de muitos fatores, inclusive da forma do objeto, da sua velocidade e da própria natureza do fluido. UEA – Licenciatura em Matemática A propriedade de um fluido responsável pela força é a viscosidade; por isso é que a força é denominada de “força viscosa”, “força de arraste” ou “força retardadora”. Quando um objeto se move, por exemplo, a baixa velocidade através de um fluido, tal como um gás ou um líquido, a viscosidade é proporcional à velocidade. Matematicamente, representamos isso como: FVISC = - K. η. V. O sinal menos indica que essa força é sempre oposta à velocidade do objeto. A constante de proporcionalidade K depende do tamanho e da forma do objeto, e η é o coeficiente de viscosidade, depende do atrito interno entre as diferentes camadas do fluido. Em geral, o cálculo de K é bastante trabalhoso, mas George Stokes mostrou que, para uma esfera de raio R, o valor de K valia: K = 6 π.R. Assim, a força de viscosidade que atua sobre uma esfera é: F = - 6 π.R. η. V. Essa relação não é válida para grandes objetos. Nesses casos, a força de atrito viscoso é proporcional à área da seção transversal multiplicada pelo quadrado da velocidade. TEMA 02 ELETROSTÁTICA 2.1 CARGA ELÉTRICA A Eletricidade é a parte da Física que estuda os fenômenos (comportamento e características) ligados às cargas elétricas. A principal característica de uma carga elétrica é a sua capacidade de interagir com outras cargas. Na teoria do eletromagnetismo, em que se estudam as interações elétricas e magnéticas, essa interação é mediada pelo campo elétrico, este está sempre presente em torno de uma carga elétrica. Pode-se entender o campo elétrico como sendo uma “aura” em torno de uma carga elétrica. A força elétrica entre dois prótons ou entre dois elétrons é sempre repulsiva, no entanto um elétron e um próton sempre se atraem. Então, há dois tipos diferentes de carga elétrica, a do elétron, que caracterizamos: negativa, e a do próton que caracterizamos: positiva. Fenômenos como os relâmpagos sugerem a vasta quantidade de cargas elétricas positivas e negativas que está armazenada nos objetos que nos cercam, que, em grande parte, se cancelam mutuamente, mantendo uma condição de neutralidade elétrica nesses objetos. Apenas quando esse equilíbrio elétrico é perturbado é que a natureza nos revela os efeitos do desequilíbrio de cargas positivas e negativas, produzindo efeitos externos. Quando definimos um objeto como “carregado”, estamos assumindo que ele tenha um desequilíbrio de cargas, ou seja, excesso de cargas positivas (prótons) ou excesso de cargas negativas (elétrons). PROCESSO DE ELETRIZAÇÃO Essencialmente, podemos dizer que um material pode ser eletrizado por meio dos processos: • Eletrização por atrito. • Eletrização por contato. • Eletrização por indução. 40 1. Uma gota de chuva de 0,05g cai com velocidade constante de 2m/s. Qual a força retardadora que age sobre a gota? FORÇAS – EMPUXO 2. Quando você esta pescando com um caniço, quais são as forças que atuam sobre o peixe no instante em que você o fisga? 3. Duas esferas A e B estão ligadas por um fio e encontram-se em equilíbrio, imersas na água de um recipiente. Determine a força no fio que liga as esferas. Dados: Esfera A: Volume = 20cm3; Densidade = 5,0g/cm3 Esfera B: massa= 120 g; densidade = 0,6g/cm3 Água: densidade = 1,0g/cm3 Física Fundamental – As Forças Fundamentais da Natureza Eletrização por atrito ocorre quando materiais não condutores são atritados uns contra os outros. Nesse processo, um dos materiais perde elétrons e o outro ganha, de modo que um tipo de material fica positivo e outro fica negativo. Uma experiência simples consiste em carregar um pente passando-o várias vezes no cabelo. A comprovação de que ele ficou carregado é obtida atraindo-se pequenas partículas, por exemplo, de pó de giz. EXEMPLO A figura representa uma experiência que utiliza um bastão carregado positivamente e um eletroscópio (detector de carga elétrica). 1. Quando se aproxima o bastão carregado do eletroscópio, observa-se que a lâmina sofre uma deflexão; quando se afasta o bastão, a lâmina volta à posição inicial. A Figura acima ilustra as etapas essenciais do processo de eletrização por indução. Na ilustração, tem-se inicialmente um corpo carregado e outro descarregado (para que o processo seja factível, este corpo deve ser condutor). A aproximação do corpo positivamente carregado atrai as cargas negativas do corpo eletricamente neutro. A extremidade próxima ao corpo carregado fica negativa, enquanto a extremidade oposta fica positiva. Mantendo-se o corpo carregado próximo, ligase o corpo eletricamente neutro à terra. Elétrons subirão da terra para neutralizar o “excesso” de carga positiva. Cortando-se a ligação à terra, obtém-se um corpo negativamente carregado. A eletrização por contato tem por característica a presença de um condutor neutro e um condutor carregado; assim, parte da carga elétrica do corpo eletrizado passa para o corpo neutro, e ambos adquirem carga elétrica de mesmo tipo. No Sistema Internacional de Unidades (SI), o nome oficial da grandeza carga elétrica é quantidade de eletricidade. No entanto o costume consagrou o termo carga elétrica, usado até em trabalhos científicos. 41 2. Quando o bastão carregado se aproxima da esfera do eletroscópio e toca-a, observase que a lâmina sofre uma deflexão, que permanece mesmo quando se afasta o bastão. Entendendo o que ocorre 1. O bastão carregado próximo ao eletroscópio provoca a separação das cargas do eletroscópio: a parte superior fica predominantemente negativa e a inferior, onde está a lâmina, fica predominantemente positiva. Por isso, a lâmina é repelida pela placa e sofre deflexão. Quando se afasta o bastão, as cargas se redistribuem novamente, e o eletroscópio volta à situação inicial. 2. Quando o bastão toca o eletroscópio, ocorre a eletrização por contato: o eletroscópio perde elétrons para o bastão, tornando-se também eletricamente positivo. Por isso, a lâmina mantém-se defletida. UEA – Licenciatura em Matemática sua forma livre na natureza é um múltiplo inteiro da carga do próton ou da carga do elétron (fora o sinal). Ele não pode ter uma carga igual 1. Os elétrons livres de um metal são atraídos pela força gravitacional da Terra. Então, por que eles não se acumulam na base de um condutor, tal como a sedimentação de partículas no fundo do rio? 2. Como a carga de um elétron difere da de um próton? a5 ou 0,75 elétrons, por exemplo. A carga é 2.2 A CONSERVAÇÃO E A QUANTIZAÇÃO DA CARGA Experimentalmente, sabe-se que as cargas não podem ser criadas, nem destruídas. Elas podem ser combinadas de formas diferentes, no entanto a carga total não varia em um sistema isolado. Ou seja, a carga elétrica total de um sistema permanece constante. Em qualquer processo no qual um corpo é carregado, a carga não pode ser criada nem destruída, ela é meramente transferida de um corpo para outro. A experiência mostra-nos que a carga elétrica obedece ao Princípio da Conservação da Carga Elétrica. De acordo com esse princípio, a carga elétrica total de um sistema isolado permanece constante. A expressão “sistema isolado”, nesse caso, significa que nenhuma carga entra ou sai do sistema. É um sistema livre de qualquer influência externa. Várias grandezas, como energia, momento linear e momento angular, conservam-se em um sistema isolado. Assim, se um dos corpos do sistema perder carga elétrica, certamente ele irá para outro sistema, de modo que o total de cargas não se alterará. Ou seja, a soma algébrica de todas as cargas em um sistema isolado nunca se altera. Qualquer objeto eletricamente carregado possui um excesso ou uma deficiência no número total de elétrons. Os elétrons não podem ser divididos em frações de si mesmos. Então, além da conservação, outra propriedade importante é que a quantidade de carga elétrica dos corpos é uma grandeza física quantizada, pois aparece como um múltiplo da carga elementar, que é sua unidade básica. Isso quer dizer que a carga de todas as partículas observadas em 42 “granulosa”, e cada unidade é denominada quanta, descrita como “carga quantizada”. Essa propriedade é conhecida como Princípio da Quantização da carga. O nosso dinheiro é um exemplo bem inteligível do que é quantização. Não há valor menor do que um centavo, assim como nenhuma carga elétrica pode ser dividida em uma quantidade menor do que a carga de um próton ou de um elétron (seus módulos). A experiência da gota de óleo de Millikan veio comprovar que nenhuma partícula carregada pode ter carga menor do que a do próton ou do elétron, que é igual a 1,60 x 10–19 Coulomb, e é representada por e. Assim, qualquer corpo carregado, até o momento, pode ter somente múltiplos inteiros de e. Isto é, Q = n.e, em que: e é carga elementar (do próton ou do elétron), tem valor experimental de 1,60217733 x 10–19; n é um número inteiro positivo ou negativo; Q é a quantidade de carga . No Sistema Internacional de Unidades (SI), a unidade de carga é o coulomb (C). EXEMPLO Um corpo está eletrizado com uma carga elétrica Q = –1,6 x 10–10C. 1. O corpo apresenta falta ou excesso de elétrons? 2. Qual o numero de elétrons correspondente? Solução: 1. Como a carga elétrica do corpo é negativa, ele apresenta excesso de elétrons. 2. Sendo Q = ne, temos: –1,6 x 10–10C = n(–1,6 x 10–19C) → n = 109 elétrons 1. Que número de elétrons corresponde a uma quantidade de carga de –1,0C ? Física Fundamental – As Forças Fundamentais da Natureza 2. Um corpo eletrizado cedeu 1,0 x 1020 elétrons. a) O corpo possui carga elétrica positiva ou negativa? b) Qual a quantidade de carga elétrica adquirida pelo corpo? 3. Se você esfregar vigorosamente uma moeda entre seus dedos, ela não parecerá carregar-se pelo atrito. Por quê? uma terceira categoria, denominada de semicondutores, ou seja, materiais que podem se comportar como condutores ou como isolantes. Esses materiais estão no meio da faixa de resistividade elétrica. Em resumo, podemos dizer que, nos materiais condutores, os elétrons estão fracamente ligados aos núcleos e podem, em geral, mover-se pelo metal livremente; esses elétrons são chamados “elétrons livres” ou “de condução”. Diferentemente, em um material isolante, os elétrons estão fortemente ligados aos núcleos. Ou seja, nos metais, há muitos elétrons livres; nos semicondutores, poucos; e nos isolantes, quase nenhum. A capacidade de os materiais transportarem eletricidade de um ponto a outro é descrita por uma propriedade chamada “condutividade elétrica”. Sob esse novo olhar, podemos dizer que um material isolante oferece grande resistência ao fluxo de carga elétrica, ao passo que os materiais condutores oferecem pouca resistência. Mas, a temperaturas suficientemente baixas, alguns materiais possuem condutividade infinita, ou seja, resistência nula. A esses materiais chamamos supercondutores. Nos séculos XVIII e XIX, as técnicas em Física experimental alcançaram um alto grau de precisão, possibilitando experiências rigorosas sobre as interações elétricas entre cargas elétricas. Essas experiências foram imprescindíveis para a compreensão das leis básicas do eletromagnetismo, e só foram possíveis dada a enorme diferença na condutividade dos materiais, e continua sendo o fenômeno mais importante para a eletrotécnica e a eletrônica, pois se sabe que a eletricidade flui nos objetos de forma extremamente sensível à composição deles. Por exemplo, um fio de cobre é capaz de conduzir a eletricidade gerada em uma usina por milhares de quilômetros, enquanto que uma fina camada de esmalte recobrindo esses fios é capaz de impedir que ela se transfira para seu exterior. 2.3 CONDUTORES E ISOLANTES Do ponto de vista da eletrostática, os materiais possuem dois comportamentos: condutores de eletricidade e isolantes ou dielétricos. Os condutores são aqueles que apresentam cargas elétricas móveis em sua estrutura. No caso dos metais, que contêm um grande número de portadores de carga livres, os elétrons mais externos dos átomos são influenciados pelos outros átomos próximos, de forma que ficam livres dentro da estrutura do metal, formando uma nuvem eletrônica, ou seja, respondem a campos elétricos quase infinitesimais e continuam a se mover enquanto estão sob a ação de um campo. Tais portadores livres conduzirão a corrente elétrica quando um campo estacionário for mantido no condutor por uma fonte externa de energia. Além dos metais, também as soluções iônicas (eletrolíticas), tais como soluções de sais e ácidos, são condutores. Nesse tipo de condutor, as cargas móveis ou portadores são os íons positivos e negativos. Os gases rarefeitos podem-se tornar também condutores sob certas condições, como no caso dos tubos de iluminação. Nos gases ionizados, os portadores são os elétrons e os íons. Os materiais isolantes são aqueles nos quais não existem cargas móveis, por exemplo: a borracha, o vidro, a madeira, o plástico, etc. Dielétricas (isolantes) são substâncias em que todas as partículas carregadas estão ligadas fortemente às moléculas constituintes. As partículas podem até mudar sua posição em resposta a um campo elétrico, porém não se afastam da vizinhança de suas moléculas. Devemos ressaltar que mesmo os isolantes conduzem eletricidade, porém muito lentamente. Existem alguns materiais, como, por exemplo, o silício, o carbono e o germânio que estão em 43 1. Uma solução de sulfato de cobre é um condutor. Que partículas servem como as portadoras de carga nesse caso? UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 03 A FORÇA NA HIDROSTÁTICA 3.1 INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS FLUIDOS Podemos dizer que a mecânica dos fluidos divide-se em duas partes: a hidrostática, que estuda o equilíbrio dos fluidos, e a hidrodinâmica, que estuda seu movimento. Compreendem-se os fluidos como os líquidos e os gases. • Os líquidos escoam sob a ação da gravidade até preencherem as regiões mais baixas possíveis dos vasos que os contém. • Os gases expandem-se até ocuparem todo o volume do vaso; isso ocorre devido às moléculas dos gases não se restringirem ao movimento dentro do recipiente que os contém. Os fluidos representam um papel importante em nossa vida diária. Nós os respiramos e bebemos, e uma grande quantidade de fluidos vitais circula em nosso sistema cardiovascular. Existe também fluido no oceano, na atmosfera e no interior do núcleo da Terra. Na Mecânica dos Fluidos, estudamos o movimento do conjunto de partículas, e não o de cada partícula, como na Mecânica Newtoniana. Inicialmente, vamos estudar os conceitos de pressão, densidade e profundidade de um fluido em repouso. Em seguida, vamos analisar o fluido em movimento, e devido a complexidade desse fenômeno, limitar-nos-emos ao estudo de fluidos ideais. 3.2 HIDROSTÁTICA A hidrostática é o ramo da física que estuda as propriedades relacionadas aos líquidos em equilíbrio estático; essas propriedades podem ser estendidas aos fluidos de um modo geral. Consideramos sempre que o líquido é incompressível, com volume definido, sem viscosidade e não aderente à superfície do recipiente que o contenha. • Os líquidos têm volume praticamente invariável. Por exemplo, quando se transfere água 44 de um recipiente para outro, seu volume permanece o mesmo. • Os gases têm volume variável. Por exemplo, quando colocamos um gás num recipiente, ele ocupa totalmente o recipiente que o contém. 3.3 CONCEITO DE DENSIDADE Se tivermos um corpo de massa m e volume V, definimos sua densidade ρ através da relação: A unidade de densidade no Sistema Internacional de Unidades é o kg/m3. No entanto, usualmente, são utilizados o g/cm3 e o kg/l, que são unidades equivalentes. Por exemplo, a densidade da água vale: ρ = 1 000 kg/m3 = 1 kg/l = 1 g/cm3. Se o corpo for homogêneo, podemos usar o termo massa específica ou densidade absoluta como sinônimo de densidade. Tabela 1.1: Densidade de alguns materiais Materiais ar (20ºC e 1 atm) Gelo Água Alumínio Ferro Mercúrio Ouro Platina Densidade (kg/m3) 1,2 0,92 x 103 1,0 x 103 2,7 x 103 7,6 x 103 13,6 x 103 19,3 x 103 21,4 x 103 Visto que a densidade absoluta ρ de um corpo de massa m depende do volume V, devemos lembrar que alterações de temperatura provocam variações no volume, modificando, dessa forma, a densidade. O volume dos sólidos e dos líquidos pode ser alterado de forma sensível devido a variações de temperatura, o que ocasiona mudanças em sua densidade. No caso de gases, seu volume fica sujeito às variações de temperatura e de pressão existentes; portanto, sempre que nos referimos à densidade de um gás, deveremos citar quais as condições de pressão e de temperatura que nos levaram ao valor obtido. Física Fundamental – As Forças Fundamentais da Natureza Densidade Relativa Dadas duas substâncias A e B, de densidades absolutas ρA e ρB, respectivamente, definimos densidade da substância A em relação à substância B por meio da relação: pois ela tinha a densidade menor que a água com sal. • Maria, ao transformar a bola em um barquinho, aumentou o volume do corpo, diminuindo-lhe a densidade. 3.4 Conceito de Pressão Observe que o resultado final não pode apresentar unidades, ou seja, a grandeza densidade relativa é adimensional e constitui uma forma de compararmos a densidade de duas substâncias distintas. Considere a ação de polimento de um automóvel; suponha que, nesse caso, esteja sendo aplicada uma força constante F, esfregando-se a palma da mão sobre a superfície do carro. Imagine, agora, que se deseja eliminar uma mancha bastante pequena existente no veículo. Nessa ação, esfregam-se apenas as pontas dos dedos na região da mancha, a fim de aumentar o “poder de remoção”. Nos dois casos, a força aplicada é a mesma, porém os resultados obtidos no trabalho são diferentes. Isso acontece por que o efeito do “polimento” depende não apenas da força que a mão exerce sobre o carro, mas também da área de aplicação. A grandeza dada pela relação entre a intensidade da força F que atua perpendicularmente e a área A em que a mesma se distribui é denominada pressão p (veja a Figura 1). 1. Sabendo que a densidade do ouro é de 19,3 g/cm3, determine: • O volume de uma barra de ouro de massa igual a 100 gramas. Solução: Da definição de densidade, temos o volume: = 193cm3 • A massa de uma esfera de ouro de raio igual a 1cm. m = Vρ= ρ = x 3,14 x 1cm3 x 19,3g/cm3 = 80,8 g 2. Numa experiência de laboratório, os alunos observaram que uma bola (de massa especial e flexível) afundava na água. João colocou sal na água e viu que a bola flutuou. No entanto Maria conseguiu o mesmo efeito modelando a massa sob forma de barquinho. Explique, com argumentos da Física, os efeitos observados por João e Maria. Solução: Sabemos que um corpo flutua sobre um líquido se a densidade do corpo for menor do que densidade do líquido. Nessa experiência, isso pode ter ocorrido de duas formas: • João, ao colocar sal na água, aumentou a densidade do líquido, logo a bola flutuou, 45 Figura 1. Um força de intensidade F aplicada numa área A A unidade de pressão no Sistema Internacional de Unidade (S.I.) é o newton por metro quadrado (N/m2), denominado pascal (Pa). Outras unidades usadas com freqüência são: • centímetro de mercúrio: cmHg • milímetro de mercúrio: mmHg UEA – Licenciatura em Matemática • atmosfera: atm • milibar: mbar Devemos observar que o valor da pressão depende não só do valor da força exercida, mas também da área A na qual essa força está distribuída. Uma vez fixado o valor de A, a pressão será, evidentemente, proporcional ao valor de F. Por outro lado, uma mesma força poderá produzir pressões diferentes, dependendo da área sobre a qual ela atua. Assim, se a área A for muito pequena, poderemos obter grandes pressões, mesmo com pequenas forças. Por esse motivo, os objetos de corte (faca, tesoura, enxada, etc.) devem ser bem afiados, e os objetos de perfuração (prego, broca, etc.) devem ser pontiagudos. Dessa maneira, a área na qual atua a força exercida por esses objetos será muito pequena, acarretando uma grande pressão, o que torna mais fácil obter o efeito desejado. Em outros casos, quando desejamos obter pequenas pressões, devemos fazer que a força se distribua sobre grandes áreas. Para caminhar na neve, uma pessoa usa sapatos especiais, de grande área de apoio, para diminuir a pressão que a impede de afundar. exercida no faquir por cada prego. (Suponha que o peso do faquir distribua-se uniformemente sobre os pregos e que a ponta de cada prego tenha área de 1mm2 e que g = 9,8m/s2 ). Solução: F = P = mg = 50 kg x 9,8 m/s2 = 490N A = 100 10–6 m2 = 10–4m2 = 4,9 x 106 N/m2 3.5 TEOREMA DE STEVIN Simon Stevin era matemático e físico, nasceu na Holanda e realizou importantes trabalhos na área da hidrostática. Deduziu o teorema que leva seu nome até hoje. Consideremos um líquido de densidade ρ, homogêneo e incompressível em equilíbrio. Para calcular a diferença de pressão entre dois pontos no interior do líquido, basta imaginar um volume cilíndrico, cuja altura h seja ao longo da vertical à superfície com as bases contendo os pontos 1 e 2, respectivamente (veja a Figura 2). 1. Encontre a pressão aplicada num fluido em uma seringa quando uma enfermeira aplica uma força de 43N ao êmbolo da seringa, de raio 1,1cm. Solução: F = 43N r = 1,1cm = 0,011m = 113 118,4N/m2 = 1,13 x 105Pa Figura 2. No cilindro líquido do esquema 2. Antigamente, era comum a exibição de faquires, homens que jejuavam cercados de serpentes e deitados numa cama de pregos com as pontas voltadas para cima. Suponha que um faquir tenha massa de 50kg e deita-se sobre uma cama com 100 pregos. Calcule a pressão 46 F1 age na base superior e F2 na base inferior. A área das bases pode ser qualquer, desde que elas estejam dentro do fluido. Como o volume cilíndrico é estático, a força na base de baixo deve ser igual à força na base de cima so- Física Fundamental – As Forças Fundamentais da Natureza mada à forca peso devido ao volume de água dentro do cilindro. Ou seja, como a massa do fluido é dada por ρAh, obtém-se que: F2 – F1 = (ρAh)g Dividindo a equação pelo valor da área das bases, obtém-se que a pressão nos pontos 1 e 2 estão relacionadas pela diferença de altura entre os dois pontos. atmosférica é de 105Pa. Sendo g = 9,8m/s2, calcule a pressão absoluta exercida no mergulhador. Solução: h = 5m ρ = 1g/cm3 = 103kg/m3 patm = 105Pa g = 9,8m/s2 Cálculo da pressão: p = patm + gρh = 105 + 9,8 x 103 x 5 = 1,49 x 105Pa 2. A figura mostra dois líquidos não-miscíveis entre si, sendo um deles a água, em equilíbrio num tubo. Calcule a densidade do líquido desconhecido, sabendo que a densidade da água é 1g/cm3, a altura da água é hB = 0,6cm e a altura do líquido desconhecido é hA = 0,8cm. p2 = p1 + ρgh A pressão em um ponto situado à profundidade h, no interior de um líquido em equilíbrio, é dada pela pressão na superfície, exercida pelo ar, denominada pressão atmosférica, mais a pressão devida à coluna de líquido situada acima do ponto e expressa pelo produto ρAh: p = patm + ρgh, expressão que traduz o teorema de Stevin. Por meio do teorema de Stevin, pode-se concluir que todos os pontos que estão numa mesma profundidade, num fluido homogêneo em equilíbrio, estão submetidos à mesma pressão. Solução: .A .B .C Na linha que separa os dois líquidos, a pressão hidrostática é a mesma, portanto: pA = pB gρA hA = gρB hB ρA hA = ρBhB 1 x 0,6 = ρB 0,8 A densidade do líquido desconhecido é, .A .B .C Figura 3. Como conseqüência do teorema de Stevin, pa = pb = pc ρB= 0,75 x 103 g/cm3 Atenção – A pressão efetiva depende somente da densidade do fluido, da sua altura acima do ponto e da aceleração gravitacional, e independe do formato e do tamanho do recipiente. 1. Uma bailarina de 49kg apóia-se sobre a ponta de uma de suas sapatilhas, cuja área de contato com o piso é de 6cm2. Calcule a pressão em pascal que a bailarina exerce sobre o piso. 2. Um recipiente contém um líquido homogêneo, de densidade 0,8g/cm3. Adotando g = 9,8m/s2, calcule: a) a pressão efetiva a 0,6m de profundidade; 1. Um mergulhador está a 5m de profundidade, num lago de densidade 1g/cm3. A pressão 47 b) a diferença de pressão entre dois pontos que estão a profundidades de 0,7 e 0,5m. UEA – Licenciatura em Matemática 1. Verificação de níveis O objetivo desta atividade é determinar se dois pontos do espaço estão no mesmo nível. A água, preenchendo, sem bolhas de ar, uma mangueira, apresenta-se no mesmo nível nas suas duas extremidades (veja a figura). Coloque os líquidos em um tubo em U, começando pelo que você estima ser o mais denso. Ao colocar o segundo líquido, faça-o lentamente pelas paredes do tubo. Meça as alturas das colunas acima do ponto de separação dos líquidos e, com os números obtidos, calcule a densidade procurada. O procedimento acima não pode ser usado para líquidos miscíveis. Para esses, usa-se um tubo em Y invertido (veja ilustração abaixo). Tome um pedaço de mangueira transparente e encha-o com água. Cuide para que não haja bolhas de ar no líquido. Agora, saia por aí verificando o nível. 2. Determinar a densidade de líquidos O objetivo desta atividade é determinar a densidade de alguns líquidos. Consideremos dois líquidos não-miscíveis em um tubo em U (veja a ilustração seguinte). Do mesmo modo que antes: ρ1h1 = ρ2h2 Tomando dois líquidos diferentes, coloque-os em recipientes diferentes. Mergulhe o tubo em Y invertido com cada ramo em um dos recipientes e, usando uma seringa conectada ao terceiro ramo do tubo por uma mangueira de borracha, aspire o ar deste ramo. Adicione o correspondente líquido no recipiente cujo nível ficar mais baixo para nivelá-lo com o líquido do outro recipiente. Meça as alturas das colunas acima do nível comum e calcule a densidade procurada. Como PA(h1) = PB(h2), temos, pela equação fundamental da hidrostática: ρ1h1 = ρ2h2 Assim, conhecendo-se a densidade de um dos líquidos e medindo-se as alturas das colunas no tubo em U, pode-se determinar a densidade do outro líquido. 48 Física Fundamental – As Forças Fundamentais da Natureza TEMA 04 ESTÁTICA A Estática trata do equilíbrio de corpos. Implica ausência de qualquer movimento e é tipicamente aplicada a objeto em repouso nas proximidades da superfície da Terra. Como não existe repouso absoluto, uma definição mais geral de equilíbrio é ausência de aceleração, de modo que a soma de todas as forças (resultante) que atuam sobre o corpo é →→ → nula: ΣF =0 . Isso nos leva a outra interpretação → para ΣF = 0: a de que existem forças, mas elas se cancelam gerando um somatório nulo. → → → → → → Σ(F 1 + F 2 + F 3 + F 4 +... + F n) = 0 A fim de aplicar a relação Σ F = 0, é necessário que se conheçam as propriedades dos diversos tipos de forças. Alem da força da gravidade, existem as forças que agem por meio de fios, cabos, correntes, hastes, etc. Elementos não-rígidos, como um fio, podem somente puxar e nunca empurrar. Essas forças, chamadas de tração (T), são de grande utilidade quando desejamos transmitir forças. Assim, quando puxamos um fio, as forças se transmitem ao longo de seu comprimento até a outra extremidade e termina sendo aplicada ao corpo. ro fica “no prego de gasolina ou de bateria”. Cada pessoa aplica, individualmente, suas forças mas, no geral, o que vale é a combinação, ou seja, a resultante, para que o carro consiga mover-se. Em outras palavras, somente Forças externas atuando num objeto podem modificar seu movimento. Portanto, tratando-se de um conjunto de forças, um conceito extremamente útil é o de resultante das forças empregada para significar a soma vetorial de todas as forças individuais que atuam no sistema. → → → → Σ(F 1 + F 2 + F 3 +... + F n Essa propriedade de as forças somarem-se como vetores é as vezes chamada de Principio da Superposição. O que significa dizer que cada força exerce individualmente uma ação sobre o corpo independente daquela exercida pelas demais forças. Do ponto de vista Físico, a Força Resultante é aquela que substitui todas as forças aplicadas no sistema, isto é, ela faz o mesmo papel de cada uma das forças aplicada no sistema. → → F = ΣF EXTERNA Assim, uma propriedade básica dos vetores é a indiferença na ordem pelo qual são combinados (somados). Dessa maneira, quando uma certa quantidade de forças atua no sistema, podemos combinar (somar) as forças de muitas maneiras. O que é essencial para que exista equilíbrio é que as forças formem um polígono fechado. Consideremos o caso no qual se encontram aplicadas duas forças sobre o corpo (figura1). Para encontrar a resultante das forças, podemos combiná-las de duas maneiras: por meio do método da triangulação das for→ → → → ças [figura 2 (F 1 + F 2); ou figura 3 (F 1 + F 2)], ou pelo método do paralelogramo (figura 4). Qualquer que seja o caso, a resultante é a mesma, o que demonstra que a soma de dois vetores obedece à propriedade comutativa da → → → → adição, isto é: F 1 + F 2 = F 2 + F 1. 1. Uma rede de massa m está presa entre dois armadores, formando um ângulo com a mesma inclinação sobre ambos os lados. Determine a intensidade da tensão nos punhos da rede, quando uma pessoa de peso P deita-se nela. Discuta as condições para que a rede não rasque. 4.1 REGRA DO PARALELOGRAMO Apesar de o cálculo vetorial ter sido inventado apenas no século XIX, há muito se sabia que forças externas, de intensidades e direções diferentes, atuando sobre um determinado corpo podiam ser compostas (adiciondas) para fornecer uma resultante. A experiência diária, também ensina que varias forças podem se combinar para produzir um efeito resultante. É o que ocorre quando um car49 UEA – Licenciatura em Matemática No caso de três ou mais forças, aplica-se, reiteradamente, a regra do paralelogramo, ou então se constrói o polígono das forças, e o vetor resultante pode ser ainda encontrado da mesma maneira que foi feito acima, ou seja, adicionando a resultante F’ das forças F1 e F2 à terceira força F3 que, por sua vez, fornece outro vetor resultante F’’ que é somado à força F4, que produz outro vetor resultante F’’’, e assim sucessivamente. Suponhamos que sobre um corpo atuem duas forças F1 e F2, que formam entre si um ângulo è. Podemos determinar vetorialmente a força resultante utilizando a Lei dos Co-senos. Podemos determinar a intensidade de , enquanto a direção de F vale: Outra maneira bastante simples de se encontrar a força resultante F, para qualquer quantidade de forças atuando sobre a partícula, é decompor cada uma das forças em suas componentes retangulares ao longo dos eixos, cartesianos. Para ilustrar esse método, vamos supor que queiramos determinar a força resultante de um sistema submetido à ação de três forças F1, F2 e F3, que todas estejam no mesmo plano e que formem com os eixos cartesianos os ângulos α, β e θ respectivamente. Sabendo-se que a força resultante F é dada pela soma de suas componentes FX e FY, isto é, , basta que determinemos os valores de FX e FY. Assim, para determinar a intensidade da componente FX e FY, decompõe-se cada força ao longo dos eixos cartesianos X e Y e, em seguida, somam-se os valores encontrados em cada um dos eixos, de tal modo que: A direção da força resultante F pode ser obtida pela seguinte relação: 4.2 O TORQUE O estado de equilíbrio de um corpo não significa necessariamente repouso. Freqüentemente, encontram-se casos nos quais mesmo que a resultante das forças externas seja nula, o corpo tende a girar. É o que acontece, por exemplo, numa gangorra, onde duas crianças A e B, de mesmo peso, estão sentadas em diferentes pontos da barra. Como se pode facilmente constatar, ainda que as forças aplicadas (os pesos das crianças) em suas extremidades sejam iguais e opostas, a gangorra gira em torno do ponto de apoio (eixo de rotação). Nessas situações, para que um o corpo fique em completo equilíbrio, tem-se de evitar as rotações, mas para isso é necessário especificar algumas condições. No caso da gangorra, a tendência para que ela gire depende não apenas do peso da criança, mas também da distancia que se encontra a criança ao ponto de apoio. Para expressar essa tendência de uma força produzir uma rotação, definimos uma grandeza denominada de Torque (τ), determinada pelo produto da força pela distância ao eixo de rotação. Matematicamente, o torque é o produto vetorial de r e F: τ = r x F, isto é, o Torque é um vetor perpendicular ao plano de → r e F, ou, em outras palavras, ao longo do eixo de rotação. Para impedir que o objeto entre em rotação, é necessário que a soma dos momentos ou torque de todas as forças aplicada ao corpo seja nula: Σ τ = 0. ΣFX = F1 coss α + F2 coss β + F3 coss θ ΣFY = F1 sen α + F2 sen β + F3 sen θ Reescrevendo as relações acima de forma abreviada, temos: ΣFX = ΣFi.coss θ’; onde θ’ é o ângulo que a força faz com o eixo do X ΣFY = ΣFi.sen θ’; onde θ’ é o ângulo que a força faz com o eixo do Y 50 → → Física Fundamental – As Forças Fundamentais da Natureza TORQUE produzido pela força: τ = F . d, onde d é a distância perpendicular entre a linha de ação da força e o eixo de rotação. Por mera conveniência, define-se o torque no sentido horário como positivo. De modo que a Força F1 faz que a gangorra gire no sentido horário, enquanto que F2 tende a produzir uma rotação no sentido anti-horário. Essas duas tendências se equilibram ou se cancelam, de modo que podemos escrever, matematicamente, esse resultado como: F1.D – F2d = 0 braço da alavanca, ou seja, ele serve para situar o ponto de aplicação da força em relação ao eixo de rotação. Do ponto de vista matemático, expressa um produto vetorial entre r e F. Isso implica uma definição mais geral para o Torque, como: τ=r.F Por essa definição, o vetor Torque é perpendicular ao plano formado pelos vetores r e F. Para situações mais gerais, em que a força (F) aplicada tem uma direção qualquer θ com o eixo de rotação, a distância D deve ser tal que: D = r. sen θ, onde r é o vetor posição. Por definição, a direção do vetor torque (τ ) é perpendicular ao plano formado por r e F, ou seja, na direção do eixo de rotação. Quanto à intensidade ou ao módulo do torque, este é dado por τ = r. F.senθ ou τ = F. r.senθ, em que o ângulo θ é o ângulo entre os vetores r e F. Ocorre que r . senθ é a distância perpendicular entre a linha de ação da força e o eixo de rotação, distância comumente denominada, de “braço da alavanca”. Portanto, para que o torque se torna mais efetivo, a força deve ser perpendicular ao “braço da alavanca”. Eis a razão por que um borracheiro, quando se depara com um parafuso da roda de um carro emperrado, acrescenta um cano à chave de roda para aumentar o efeito de rotação sobre o parafuso. Retornando ao caso da gangorra, podemos verificar agora que a condição de equilíbrio 51 → τ=F.D τ = F . r. sen θ Essa expressão pode ser reescrita como: τ = r. F. sem θ, onde o vetor r é denominado de UEA – Licenciatura em Matemática requer que os Torques produzido sejam nulos (τ = 0), ou seja, o torque produzido no sentido horário pela criança A, seja contrabalançado pelo Torque produzido no sentido anti-horário pela criança B Finalmente, após termos reconhecido o papel das Forças Externas e dos Torques que atuam sobre um dado corpo, podemos dizer que as condições necessárias e suficientes para que um corpo rígido esteja em equilíbrio são as seguintes: Σ F = 0 e Στ = 0 4. Uma escada de peso P está em equilíbrio, apoiada contra uma parede. Faça um esquema das forças que atuam sobre a escada. 1. Determine a intensidade e a posição da resultante do sistema de forças ilustrado na figura abaixo, observando-se a escala dada no problema. 5. Indique, num esquema, as forças que atuam sobre a prancha de madeira na figura abaixo. 2. Numa obra, um bloco de concreto de 100N é mantido parado sobre uma rampa de 3m de altura por 5m de comprimento por meio de uma parede. Determine a força exercida pelo loco sobre o plano e sobre a parede. R = 80N e 60N. 6. Três esferas X, Y, e Z, cujos pesos são 1ON, 15N e 8N respectivamente, estão suspensas por um arame extremamente fino. a) Identifique, num esquema, as forças que atuam sobre cada esfera. b) A intensidade da força que o fio suporta entre X e Y. 3. Uma esfera pesando P = 50 3 N está apoiada numa parede sem atrito, e mantida nessa posição por uma rampa sem atrito que forma um ângulo de 60o com o plano horizontal. Quanto vale a intensidade das forças N e F? 52 Física Fundamental – As Forças Fundamentais da Natureza 7. Um bloco de peso P está suspenso por dois fios presos a paredes nos pontos A e B. Quanto vale o módulo das forças exercidas pelos fios nos pontos A e B (despreze as massas dos fios)? TEMA 05 FORÇAS 5.1 LEI DE COULOMB As interações eletrostáticas são baseadas no comportamento dual da carga elétrica, ou seja, cada carga elétrica pode exercer força sobre outra e sentir a força exercida pela outra. Cada carga cria um campo elétrico, e a força associada à interação é percebida quando uma outra carga está imersa no campo da primeira. Então, o campo elétrico de uma carga está associado à sua capacidade de exercer força elétrica sobre outras cargas elétricas. Charles Augustin de Coulomb (1736–1806) estudou a força de interação entre partículas carregadas em 1784. A balança de torção foi o instrumento utilizado, que permitiu a verificação experimental da lei quantitativa das interações entre cargas elétricas. O uso da balança de torção por Coulomb marca o início das pesquisas quantitativas na eletricidade e no magnetismo. Trata-se de um instrumento para verificação experimental das forças elétricas para cargas puntiformes, ou seja, para corpos carregados separados por uma distância r muito maior do que os respectivos tamanhos. 8. Um peso de 20N está suspenso por duas cordas A e B, conforme mostra a figura abaixo. Admitindo o sistema em equilíbrio, determinar as trações nos fios. 9. Uma barra homogênea de 2,0kg está apoiada nos seus extremos, distanciados de 1,0m. A 2,0m da extremidade B foi colocada uma massa de 2,0kg. Quais os módulos das forças que os apoios A e B exercem sobre a barra? 10. Suponha que você tenha 80kg e queira erguer um objeto usando uma alavanca cujos braços valem 1,0m e 3,0m. a) Qual a maior peso que você poderá erguer usando o seu próprio peso? 53 UEA – Licenciatura em Matemática A balança de torção é constituída por uma caixa de vidro cilíndrica fechada por uma tampa, também de vidro, aonde se acopla um tubo com um disco metálico na extremidade oposta. Um fio suspenso no centro do disco metálico atravessa o interior do tubo, sustentando uma agulha horizontal. Essa agulha tem, numa das extremidades, um pequeno disco vertical de latão e, na outra, uma esfera de medula de sabugueiro. A altura da agulha é regulada por meio de uma manivela, que faz girar um eixo horizontal, onde o fio está enrolado. Esse eixo está montado sobre um disco giratório, em que há uma escala dividida em graus. Essa escala avança em relação a uma marca de referência, fixa na coluna do vidro, de modo que se possam medir os deslocamentos angulares. A marca zero do aparelho é obtida pelo alinhamento visual do fio com o zero da escala. Balança semelhante foi usada treze anos mais tarde por Cavendish para estudar a força de interação gravitacional, que é muito mais fraca do que a elétrica. Cavendish substituiu as esferas carregadas por massas. Coulomb verificou que, eletrizando as esferas com cargas iguais, a esfera móvel afasta-se da fixa de um determinado ângulo, dando uma torção no fio, que aplica uma força restauradora tentando fazer que a agulha volte à posição inicial. Pode-se concluir que a força restauradora é proporcional ao ângulo no qual a agulha da balança de torção gira. Coulomb fez assim a comparação entre a força de torção e o ângulo de desvio. Repetiu a experiência com cargas diferentes e ainda, variando as distâncias entre elas, o que permitiu estabelecer as regularidades que determinaram a lei quantitativa da força elétrica. Para cargas puntiformes, Coulomb verificou que a força elétrica entre eles é proporcional a 1/r² . Ou seja, quando a distância r dobra, a força se reduz a 1/4 do seu valor inicial; quando a distância se reduz à metade, a força se torna quatro vezes maior que seu valor inicial. A força elétrica entre dois corpos depende da carga existente em cada corpo, que chamaremos q ou Q. Coulomb dividiu uma carga em duas partes iguais, colocando um pequeno condutor esférico carregado de outro idêntico descarregado; por simetria, as cargas são divi54 didas igualmente entre as esferas (lei da conservação das cargas). Assim, ele obtinha uma carga igual à metade da carga inicial, um quarto da carga inicial, e assim por diante. Então, ele verificou que a força elétrica entre as duas cargas q1e q2 é proporcional a cada uma das cargas e, portanto proporcional ao produto (q1. q2) das duas cargas. Dessa maneira, Coulomb estabeleceu, em 1785, a denominada lei de Coulomb, enunciada a seguir: O módulo da força elétrica (as forças de atração e repulsão elétricas) entre duas cargas puntiformes é diretamente proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcionais ao quadrado da distância entre elas. A relação matemática que descreve a interação elétrica ou força eletrostática, entre duas cargas pontuais q1 e q2, separadas por uma distância r, o módulo da força que qualquer uma das cargas exerce sobre a outra é dada pela relação: Onde k é uma constante de proporcionalidade denominada constante eletrostática, cujo valor no SI é 8,98 x 109N.m²/C². As barras verticais que indicam valor absoluto são justificadas porque as cargas q1 e q2 podem ser positivas ou negativas, enquanto o módulo da força F é sempre positivo. A direção das forças que qualquer uma das cargas exerce sobre a outra é sempre ao longo da reta que passa pelas cargas. As duas forças obedecem à terceira lei de Newton: possuem sempre o mesmo módulo e sentidos contrários, mesmo quando as cargas não são iguais. Escrevendo a lei de Coulomb em termos da unidade de corrente elétrica (carga por unidade de tempo), ou seja, o ampère, que é igual a um coulomb por segundo, escreve-se: As constantes: epsilon zero (ε0) = 8,854 x 10(–12)C²/N.m² e = k = 8,988 x 109 N.m²/C². Física Fundamental – As Forças Fundamentais da Natureza Como já dissemos, a unidade mais fundamental de carga elétrica é o módulo da carga de um próton ou de um elétron, que será designado por e, cujo valor é: e = 1,60217733 x 10–19C, 1 (um) coulomb é o módulo da carga elétrica equivalente à carga total existente aproximadamente em 6 x 1018 elétrons. Por exemplo, cerca de 1019 elétrons passam através do filamento luminoso de uma lâmpada incandescente a cada segundo. EXEMPLO 1. Uma partícula á (alfa) o núcleo do átomo de hélio. Ela possui massa m = 6,64 x 10–27kg e carga q = +2e = 3,2 x 10–19C. Compare a força de repulsão elétrica entre duas partículas α com a força de atração gravitacional entre elas. Solução: O módulo F da força de repulsão elétrica é dado pela equação: Fe = , a) da força elétrica que q1 exerce sobre q2; b) da força elétrica que q2 exerce sobre q1. 2. Se os elétrons, em um metal como o cobre, são livres para vagar, devem, com freqüência, encontrar-se a caminho da superfície do metal. Por que eles não continuam e deixam o metal? 3. Explique o significado da afirmação de que as forças eletrostáticas obedecem ao principio da superposição. 4. Que semelhanças existem entre a força elétrica e a força gravitacional? Quais são as diferenças mais relevantes entre essas forças? 5.2 FORÇA MAGNÉTICA Para calcularmos a intensidade do campo magnético, vamos retomar alguns conceitos básicos estudados em campo elétrico: • Cargas elétricas em repouso criam um cam→ po elétrico E no espaço à sua volta. • O campo elétrico provoca uma força F = q. E sobre qualquer carga q imersa no campo. → → e o módulo F da força gravitacional é dado pela equação: . Para comparar os módulos, dividimos membro a membro as duas relações anteriores: Fazendo uma analogia, podemos conceituar as interações magnéticas: • Cargas elétricas móveis ou uma corrente elétrica criam, além do campo elétrico, um campo magnético em suas vizinhanças. • O campo magnético provoca uma força F sobre qualquer outra corrente ou carga que se mova no interior do campo. Então, a força magnética atua específica e somente sobre uma partícula carregada e em movimento, com uma velocidade v. Como campo magnético é uma grandeza vetorial, associada a cada ponto do espaço, a relação entre → a intensidade do campo magnético B , com a → intensidade da força magnética F mag, que atua sobre a partícula de carga elétrica q, movimentando-se com velocidade v, é dada por: → Esse número mostra o quanto a força gravitacional é ínfima em relação à força elétrica quando se trata de interações entre partículas atômicas e subatômicas. 1. Duas cargas puntiformes, q1= +25 nC e q2= –75nC estão separadas por uma distância de 3,0cm. Determine o módulo, a direção e o sentido: 55 Ou seja, a força magnética: • Depende da velocidade da partícula (lembre que para a força elétrica a carga pode estar em repouso ou em movimento). UEA – Licenciatura em Matemática • É ortogonal à direção do campo magnético. • É ortogonal à velocidade v da partícula. • É proporcional a v e a sen è. No SI, a unidade de campo magnético é chamada de tesla, definida como: 1 tesla (T) = 1 Podendo ser escrito assim: 1 tesla (T) = 1 Ou seja, 1T = 1N/A.m Outra unidade usada para medida de campo magnético é o gauss (G). A relação entre tesla e gauss é: 1gauss = 10–4tesla Matematicamente falando, o produto vetorial → → (V x B) é definido como o produto das duas grandezas multiplicado pelo ângulo formado entre elas (velocidade e campo magnético), ou seja: (V x B)= v. B. senθ Então, a intensidade de força magnética pode ser escrita da seguinte forma: Fmag = q.v.B.senθ Portanto podemos concluir que a força mag→ nética (F mag) que atua sobre uma partícula eletricamente carregada e que se movimenta com → uma velocidade (v ), em um campo magnético → (B ), é sempre perpendicular a essas gran→ → dezas, v e B . → → → Se uma partícula carregada está submetida, simultaneamente, a um campo elétrico e magnético, essa partícula sofre a ação dos dois campos. A força resultante será a soma vetorial da força elétrica e da força magnética, ou seja: F = Fe + Fmag ⇔ F + q. [ E + ( v x B)] EXEMPLO Considere um elétron em movimento num tubo de um aparelho de televisão, deslocando-se a uma velocidade de 8,0 x 106m/s ao longo do eixo x. O tubo de imagem gera um campo magnético no plano xy de 0,025 T, fazendo um ângulo de 60° com o eixo x. Determine a força magnética sobre o elétron e a sua aceleração. Solução: A força magnética pode ser calculada a partir da relação: Fmag = q.v.B.senθ, sabendo que a carga do elétron vale 1,6 x 10–19C, apenas substituiremos os valores: → → → → → → → → → Fmag = (1,6 x 10–19C).(8,0 x 106).(0,025).(sen60o) = = 2,8 x 10–14N Para o cálculo da aceleração do elétron, podese usar a 2.a lei de Newton, sabendo que a massa do elétron é de 9,1x 10–31 kg e de posse do valor da força magnética: Fmag = m.a a = 3,1 x 1016m/s2 → ⇔ A regra prática, conhecida como “regra da mão direita”, funciona como o sistema de coordenadas x,y,z, que formam ângulos retos entre si; a rotação do eixo x para o eixo y é equivalente ao giro de um parafuso na direção de z. Procuramos dispor o polegar, o indicador e o dedo médio como mostra a figura acima. 56 1. Em um campo magnético de intensidade 10² T, uma partícula com carga 2,0 x10–14C é lançada com velocidade de 2,0x105m/s, em uma direção que forma um ângulo de 30° com a direção do campo magnético. A intensidade da força que atua sobre a partícula é: Física Fundamental – As Forças Fundamentais da Natureza TEMA 06 HIDROSTÁTICA 6.1 PRESSÃO ATMOSFÉRICA Em torno da Terra, há uma camada de ar denominada atmosfera. Ela é constituída por uma mistura gasosa cujos principais componentes são o oxigênio e o nitrogênio. Aproximadamente 90% de todo o ar existente encontra-se abaixo de 18 000 metros. Essa massa de ar exerce pressões sobre todos os corpos no seu interior, pressão esta denominada atmosférica. Observe os exemplos que comprovam a existência dessa pressão. 6.1.1 Experiência de Torricelli No início do século XVII, um problema foi apresentado a Galileu Galilei: por que as bombas aspirantes não conseguem elevar água acima de 18 braças (10,3 metros)? Galileu não chegou à solução do problema, porém supôs que essa altura máxima dependia do líquido: quanto mais denso fosse, menor seria a altura alcançada. Um discípulo de Galileu, Evangelista Torricelli, resolveu fazer a experiência com um líquido muito denso: o mercúrio. Tomou um tubo de vidro de 1,30m de comprimento, fechado em uma extremidade, encheu-o completamente com mercúrio e, tampando a extremidade aberta, emborcou-o num recipiente contendo mercúrio também. Ao destampar o tubo, Torricelli verificou que a coluna de mercúrio no tubo descia até o nível de aproximadamente 76cm acima do nível do mercúrio do recipiente, formando-se vácuo na parte superior do tubo (na verdade, esse espaço fica preenchido com vapor de mercúrio, mas esse fato não é relevante para a experiência). Torricelli concluiu que a coluna de mercúrio era equilibrada pela atmosfera através de sua pressão. Ao nível do mar, num local onde g = 9,8m/s2, a 0ºC, a coluna de mercúrio tem a altura de 76cm ou 760mm. Então, a pressão atmosférica, ao nível do mar, é: Patm = ρ. g . h = 13,6 . 103(kg/m3) . 9,8(m/s2) . 0,76 (m) logo Patm = 1,013 . 105N/m2 Então, por convenção, dizemos que: 1atm = 1,013 . 105Pa = 760 mmHg Contribuição da experiência de Torricelli • Primeira vez que o vácuo foi obtido em laboratório; • Construiu-se o primeiro barômetro (instrumento usado para medir a pressão atmosférica); • A pressão atmosférica, ao nível do mar, numa latitude de 45o é patm = 760 mmHg. 6.1.2 Os hemisférios de Magdeburgo A primeira bomba de vácuo foi construída por Von Guericke, em Magdeburgo, na Alemanha, permitindo que ele realizasse a famosa experiência dos “hemisférios de Magdeburgo”. Tomando dois hemisférios, bem adaptados um ao outro, formando, assim, uma esfera oca de cerca de 50cm de diâmetro, Von Guericke extraiu o ar do interior dessa esfera. Como a pressão interna foi muito reduzida, a pressão externa (pressão atmosférica) forçou um hemisfério tão fortemente contra o outro que foram necessários 16 fortes cavalos para separá-los. 57 Figura 7. Experiência de Torricelli UEA – Licenciatura em Matemática 6.2 Princípio de Pascal Quando é exercida uma pressão num ponto de um líquido, essa se transmite a todos os pontos do líquido. É o que ocorre, por exemplo, no freio hidráulico de um automóvel, cuja pressão exercida pelo motorista no pedal se transmite até as rodas através de um líquido (fluido de freio). Este fato é conhecido como “princípio de Pascal”: Os acréscimos de pressão sofridos por um ponto de um líquido em equilíbrio são transmitidos integralmente a todos os pontos do líquido e nas paredes do recipiente onde está contido. Figura 5. Experiência da Bomba de Magdeburg. 6.1.3 Exemplos I. Com uma bomba de vácuo, podemos extrair grande parte do ar do interior de uma lata vazia. Se fizermos isto, a lata será esmagada pela pressão atmosférica. Antes da retirada do ar, isso não acontecia porque a pressão atmosférica estava atuando tanto no interior quanto no exterior da lata (Figura a). Ao ser ligada a bomba de vácuo, a pressão interna torna-se bem menor do que a externa, e a lata é esmagada (Figura b). Figura 8. Princípio de Pascal aplicado num elevador hidráulico. Figura 4. Aplicação da pressão atmosférica II. É também graças à força exercida pela atmosfera que você consegue tomar refresco com um canudinho. Quando você chupa na extremidade do canudo, você provoca uma redução na pressão do ar no interior do canudo. A pressão atmosférica, atuando na superfície do líquido, faz que ele suba no canudinho. Algumas bombas, para elevação de água, têm seu funcionamento baseado nesse mesmo princípio. A Figura 3 mostra o Princípio de Pascal como a base de funcionamento de um elevador hidráulico. Seja uma força externa de módulo F1 exercida sobre o lado esquerdo (ou entrada) do pistão, cuja área é A1. Para manter o sistema em equilíbrio, um peso externo exerce uma força de módulo F2 sobre o lado direito (ou saída) do pistão, cuja área é A2. Pode-se escrever para a variação da pressão associada a essas forças: ∆p1 = ∆p2 Logo, Em que a força na saída é maior que na entrada, pois A2 > A1. 58 Figura 6. Aplicação da pressão atmosférica Física Fundamental – As Forças Fundamentais da Natureza Observação – A prensa hidráulica é um dispositivo que multiplica a intensidade de forças, e, apesar da verificação do aumento ou da diminuição na intensidade de forças, a prensa hidráulica não pode modificar a quantidade de energia envolvida, pois deve obedecer ao princípio da conservação de energia. 6.3.1 Princípio de Arquimedes: “Todo corpo imerso, total ou parcialmente, num fluido em equilíbrio, dentro de um campo gravitacional, fica sob a ação de uma força vertical, com sentido ascendente, aplicada pelo → fluido. Essa força é denominada empuxo (E ), cuja intensidade é igual ao peso do líquido deslocado pelo corpo.” E = Pfluido = mfluido . g E = ρfluido . Vdes . g E=ρ.V.g 1. Num elevador hidráulico, um automóvel de 1200kg de massa está apoiado num pistão cuja área é de 800cm2. Qual é a força que deve ser aplicada no pistão de 20cm2 de área para erguer o automóvel? Solução: onde ρ é a densidade do fluido, e V é o volume do fluido deslocado. observação – O valor do empuxo não depende da densidade do corpo imerso no fluido; a densidade do corpo (ρc) é importante para se saber se o corpo afunda ou não no fluido. • ρc < ρf ⇒ O corpo pode flutuar na superfície do fluido (no caso de líquido). F2 = mg F2 = 294N = 1200 kg x 9,8 m/s2 x • ρc = ρf ⇒ O corpo fica em equilíbrio no interior do fluido (com o corpo totalmente imerso). • ρc > ρf ⇒ O corpo afunda no fluido. Não houve necessidade de transformar as unidades das áreas, pois elas, estando na mesma unidade, cancelam-se. Portanto deve ser aplicada uma força maior que 294N para erguer o carro. 6.3 EMPUXO Quando mergulhamos um corpo num líquido, seu peso aparentemente diminui, chegando às vezes a parecer totalmente anulado (quando o corpo flutua). Esse fato se deve à existência de uma força vertical de baixo para cima, exercida no corpo pelo líquido, a qual recebe o nome de empuxo. O empuxo se deve à diferença das pressões exercidas pelo fluido nas superfícies inferior e superior do corpo. Sendo as forças aplicadas pelo fluido à parte inferior maiores que as exercidas na parte superior, a resultante dessas forças fornece uma força vertical de baixo para cima, que é o empuxo. 59 1. Se a experiência de Torricelli fosse feita ao nível do mar, com água (ρ = 103kg/m3) e (g = 9,8 m/s2), qual seria a altura da coluna líquida de água? 2. No freio hidráulico da figura temos, A1 = 1 cm2 e A2 = 10 cm2, que são as áreas dos êmbolos. Se o motorista aplica uma força de 20N ao pedal, determine a força que as lonas exercem nas rodas. 3. Um corpo de peso igual a 5N aparenta ter somente 2N de peso quando completamente UEA – Licenciatura em Matemática mergulhado na água, cuja densidade é de 1g/cm3. Determine: a) o empuxo recebido pelo corpo; b) o volume do corpo; c) a densidade do corpo. O peso do corpo é PC = ρCVg = k(y1 – y0) e o peso da água deslocada, PA = ρAVg = k(y1 – y0), de modo que a densidade do corpo pode ser escrita: Com os valores numéricos obtidos e considerando a densidade da água como sendo 1kg m–3, calcule c. 1. PRESSÃO ATMOSFÉRICA a) COM MERCÚRIO O objetivo desta atividade é medir a pressão atmosférica com o procedimento de Torricelli, usando mercúrio e água. Anote a temperatura ambiente. Encha um tubo de vidro com cerca de 1m de comprimento com mercúrio. Atenção: o mercúrio é muito nocivo à saúde. Proteja suas mãos com luvas de borracha, use máscara e, se possível, trabalhe perto de um exaustor. Tampando a saída do tubo, emborque-o numa proveta contendo também mercúrio. Liberte a saída do tubo e deixe o sistema atingir o equilíbrio. Meça a altura da coluna de mercúrio dentro do tubo. b) COM ÁGUA Encha uma mangueira com 13m de comprimento com água. Feche uma das extremidades e eleve-a verticalmente, colocando a outra extremidade em um copo com água. Meça a altura da coluna de água após o equilíbrio ter sido alcançado. 2. DETERMINAÇÃO DA DENSIDADE DE UM CORPO O objetivo desta atividade é determinar a densidade de um corpo sólido. Suspenda uma mola de constante elástica conhecida em um suporte (Fig.16). Meça o comprimento de equilíbrio da mola (y0). Suspenda o corpo cuja densidade deseja determinar na outra extremidade da mola e meça o comprimento de equilíbrio (y1). Encha uma proveta com água e mergulhe o corpo em questão no líquido. Quando o equilíbrio for atingido, meça o comprimento da mola (y2). 60 UNIDADE III O Estudo dos Movimentos Física Fundamental – O Estudo dos Movimentos TEMA 01 ANÁLISE DO MOVIMENTO INTRODUÇÃO Uma das características mais notável do nosso Universo, o fenômeno que primeiro chama a atenção, é o movimento. Neste instante, por exemplo, muito embora não se ouça o vento assobiar, você encontra-se se movendo com uma velocidade de cerca de 108.000km/h ao redor do sol e girando por volta de 160Km/h . As moléculas de ar que estão caoticamente se movimentando ao seu redor, colidem contra seu corpo com uma velocidade maior do que uma bala de revolver. Os raios luminosos refletem contra a parede num tempo “bilhonesimamente” curto. Cada átomo desta folha de papel está executando milhões de vibrações. Alguns movimentos podem ser simples outros extremamente complexos; alguns bastante familiar, quase evidentes, outros até impossível de acreditar. O estudo do movimento foi, sem dúvida, de todas as lutas intelectuais que a mente humana já se defrontou, aquela que exigiu durante séculos maior esforço de compreensão. Tal discussão que trata da descrição do movimento, sem levar em consideração o que causa do movimento é denominada de Cinemática. A Cinemática. apenas descreve e classifica geometricamente os movimentos. Neste campo da Física, qualquer descrição precisa do movimento, depende, essencialmente, dos conceitos de posição e tempo. De maneira que, um objeto em movimento experimenta uma mudança contínua de sua posição com o tempo. Nosso objetivo, portanto, neste capitulo é estabelecermos os conceitos de velocidade e aceleração de modo a interpretar e explicar grande parte dos movimentos que nos rodeia. Para descrição minuciosa do movimento, capaz de determinar onde objetos macroscópicos se encontra (móvel) ou predizer onde estará e quão rápido está se movendo em qualquer instante de tempo, emprega-se o conceito de ponto material, de referencial e de trajetória. Assim, sempre que as distâncias envolvidas forem muito grande podemos desprezar o tamanho do móvel, quer seja um planeta, uma carreta ou uma bicicleta e passamos a tratar o móvel como se fosse uma partícula ou ponto material. O Referencial ou Sistema de Referência é, por sua vez, algo em relação ao qual o movimento esta sendo descrito ou estudado. Caso você diga, por exemplo, que “aquele carro está se movendo”, o que você está descrevendo, muito certamente, é o movimento do carro em relação a superfície da Terra, a um edifício, ou a você mesmo. A escolha do referencial é uma questão inteiramente de gosto e conveniência. Entretanto, torna-se mais vantajoso empregar um Sistema de Referencia por meio do qual a descrição seja o mais simples possível. Para um passageiro, por exemplo, que se movimenta dentro de um barco que navega a noite pelo rio Amazonas, pouco importa se o referencial é a “beirada do rio” ou o cruzeiro do sul. Todavia, para o prático o movimento do barco em relação a “beirada” é extremamente importante para tornar a navegação segura. Na Física, movimento e repouso são conceitos relativos, que estes conceitos dependem do referencial adotado. Você, por exemplo, está em repouso em relação à Terra mas, em movimento em relação ao Sol. Não existe, portanto, movimento ou repouso absoluto. Estes conceitos são relativos, pois dependem do referencial escolhido. Dentro de um ônibus você está, por exemplo, em repouso ao cobrador, mas em movimento, em relação a uma pessoa parada na esquina esperando o momento certo de atravessar a rua. 1.1 OS ELEMENTOS PRELIMINARES PARA A DESCRIÇÃO DOS MOVIMENTOS Semelhante a um grupo perdido de turista numa floresta que precisam abrir picadas para avançar rumo a sobrevivência, o ser humano para alcançar a compreensão dos movimentos precisou desenvolver alguns conceitos e princípios básicos para analise e compreensão dos movimentos. 63 1. Considere a seguinte afirmação: “Todo movimento é relativo. Então, podemos dizer que em relação a um mesmo referencial que: UEA – Licenciatura em Matemática I. Se A está em movimento em relação a B e B está em movimento em relação a C, então A está em movimento em relação a C; II. Se A está parado em relação a B e B está parado em relação a C, então A está parado em relação a C; III. Se A se move com velocidade V em relação a B, então B se move com a mesma veloci→ dade vetorial V em relação a A” Examine atentamente as afirmações e indique qual (ais) dela (s) é (são) verdadeira (s) ou falsa(s). Explique sua resposta. → Outro importante conceito da Cinemática, e que depende também do Referencial, é a de Trajetória. Quando uma partícula se movimenta a sua posição varia de instante para instante. O conjunto dessas posições, no decorrer do tempo é o que chamamos de trajetória. Podemos, assim dizer, que a trajetória representa o caminho descrito pelo móvel em relação ao referencial adotado. Deste modo a descrição do movimento de um ponto da periferia de uma roda de uma bicicleta depende do referencial escolhido. A figura abaixo ilustra as trajetórias de vários pontos de uma roda que rola sobre uma superfície plana e horizontal. Um outro exemplo muito interessante á a de uma bola de ferro que é deixada cair do toldo de um barco de linha enquanto navega suavemente pelas tranqüilas e paradisíacas águas do lago do Puraquequara. Para um passageiro, dentro do barco, a trajetória da bola é uma linha reta vertical, enquanto que para um turista, parado na margem do lago, a bola descreve uma trajetória parabólica. Uma vez que todo movimento esta associado a noção de tempo, não podemos nos esquecer que na interpretação de um evento, o conceito de tempo depende, também, do referencial escolhido. Observe que em relação à superfície, o ponto central da roda (eixo) descreve uma trajetória retilínea, enquanto que um ponto da periferia descreve uma trajetória curvilínea (no caso, uma Ciclóide). Por outro lado, em relação ao eixo, a trajetória de um ponto da periferia é circular. Em relação ao solo, a trajetória do ponto será uma ciclóide, enquanto que para uma pessoa na bicicleta, a trajetória do ponto será circular. Como se vê, nem sempre um referencial situado na Terra fornece uma descrição mais simples. Foi o que Copérnico procurou ressaltar em relação ao movimento planetário quando se admite o sol como o centro do sistema solar. 64 No caso das Leis da Mecânica, o tempo é absoluto. O tempo, não se dilata e nem se contrai, transcorre sempre da mesma maneira independente do referencial escolhido. Caso você disponha de relógios idênticos (sincronizados), o intervalo de tempo que um corpo demora a cair será o mesmo, quer você esteja em repouso ou em movimento uniforme. É independente do referencial. A grande sacada genial de Einstein ao elaborar a sua Teoria da Relatividade Restrita foi a de que o conceito de tempo também não tem nada de absoluto, isto é não tem existência própria, mas depende do referencial em que é medido. Física Fundamental – O Estudo dos Movimentos 1.2 ANÁLISE DO MOVIMENTO Um dos problemas fundamentais da Física é a analise do movimento. Para simplificar e facilitar a compreensão dos conceitos de velocidade e aceleração, vamos considerar o movimento de uma partícula numa só dimensão. Por exemplo, o movimento de um automóvel em linha reta. Para descrever o movimento precisamos definir um referencial, que no nosso caso, será a origem (ponto O). Desse modo, a posição da partícula, num determinado instante (t), será descrito pela abscissa correspondente [X(t)]. A partir dessa base teórica podemos filmar ou tirar fotografias estroboscópicas do movimento da partícula como uma estratégia para “congelar” sua posição em determinados instante. Em seguida constrói-se uma tabela da posição em função do tempo ou o gráfico do movimento. A situação mais simples é aquela na qual, durante um mesmo intervalo de tempo (∆t), a posição da partícula (∆X) varia sempre da mesma maneira. Neste caso dizemos que o Movimento é Uniforme. Assim sendo, podemos definir a velocidade da partícula por . A partir do gráfico [X=f(t)] interpretação geométrica da velocidade é bastante simples, é representada pelo coeficiente angular da reta, ou seja: V = tgθ. Uma vez que, em intervalos de tempos iguais, as variações das posições também variam em intervalos de tempos iguais, a razão dará sempre o mesmo valor, ou seja a velocidade será sempre a mesma, isto é, será constante. Na pratica, quando se esta dirigindo, manter sempre a mesma velocidade é algo impossível de se obter, pois em determinados trechos da estrada aumentamos a velocidade, ora precisamos frear, em algumas situações dar marcha-ré, em outras, ficar parados. De tal modo que, na prática, a velocidade do carro esta sempre variando. Nestas circunstâncias, para avaliar o movimento global desenvolvido pelo carro costuma-se empregar o conceito de velocidade média . Assim, se o carro, por exemplo, per- 1. A Galáxia mais próxima da Terra é a Galáxia de Andrômeda, que dista cerca 1,8 x 109km. Suponha que um observatório em Andrômeda tenha tirado uma fotografia desta Galáxia e tenha remetido a Terra com a velocidade da luz. Há quantos anos corresponderia o aspecto da Galáxia de Andrômeda nesta foto? (Considere que um ano tenha 3 x 107s.) 2. Um velocista consegue fazer 100m finais de uma corrida em 10s. se durante esse tempo ele deu passadas constantes de 2,0m, qual foi a freqüência de suas passadas? 65 corre uma distancia de 100km em 2 horas, a velocidade média desenvolvida foi de 50km/h. Resultado, evidentemente, extremamente impreciso, pois informa muito pouco sobre o que aconteceu durante aquele percurso. O carro pode ter parado durante o trajeto, em alguns intervalo de tempo, a velocidade ter sido bastante superior, etc. Uma maneira concisa, bastante eficiente de visualizar o movimento é através do gráfico da posição (X) em função do tempo (t). O gráfico retrata resultado do movimento descrito acima. UEA – Licenciatura em Matemática Analisando o gráfico podemos tirar algumas conclusões: 1 – o móvel percorreu distâncias iguais (∆X) em tempos iguais (∆t) ou seja: sempre 50 Km em 1,0 hora. 2 – a razão pode ser medida pela tangente do ângulo θ. 3 – a velocidade média permaneceu constante. Deste modo que a expressão pode ser rescrita como: ∆X = V.∆t ou X = X0 + V.t 4 – a partir do gráfico da posição (X) podemos encontrar o gráfico da velocidade (V) em função do tempo (t). Entretanto, o modo como vai percorrer distancia de 100km será, com certeza, completamente diferente do caso anterior. O motorista pode, por exemplo, após ter percorrido 40km em 15 minutos, tirar uma soneca de 20 minutos. Depois, de voltar a dirigir 30km em 30min, resolver parar 45 minutos para almoçar. Voltar a dirigir, ininterruptamente, e, ainda, chegar ao seu destino no tempo previsto. Certamente, que as velocidades médias desenvolvidas nas duas situações foram idênticas, mas o que aconteceu durante o mesmo intervalo de tempo difere completamente nos dois casos. Como se pode verificar, o simples cálculo da velocidade escalar média não nos fornece todos os detalhes do movimento como conseqüência, a qualidade da informação obtida fica extremamente comprometida. A velocidade escalar média é, pois um cálculo estimativo para o movimento admitindo-se que, durante todo o trajeto, o móvel mantenha a velocidade constante. Caso queiramos obter uma precisão do que acontece realmente durante todo o movimento, isto é, a maneira pela qual a posição do móvel mudou com o tempo é indispensável definir o conceito de velocidade instantânea. Uma maneira de representar o complexo movimento do carro sem cometer erro em demasia, é fragmentando o trajeto percorrido em pequenos trechos e, em seguida, determinar a velocidade média em cada um deles. Analisando-se a tabela 1 abaixo constata-se que no limite, quando o intervalo de tempo torna-se extremamente pequeno, tendendo a zero, a velocidade média se estabiliza em torno de um determinado valor. Fica claro pela tabela que, a medida que a rela- 5 – a partir do gráfico da velocidade pode-se obter a distância percorrida pelo móvel. Para isso utiliza-se a área da figura entre o eixo do tempo e a curva obtida. Observe que a figura obtida é um retângulo, de modo que: ção tende para um valor limite de 7,1 cm/s. ∆X = área do retângulo ∆X = base X altura. Substituindo os valores da base e da altura, temos que: Esta técnica de tornar razão extremamente ∆X = 2,0 h X 50 km/h. Portanto: ∆X = 100 km. Evidentemente que outro veículo pode fazer o mesmo percurso no mesmo tempo de 2,0 horas. 66 pequeno corresponde ao processo matemático denominado de “passagem ao limite”, que implica em calcular a taxa de variação da posição com relação ao tempo. Matematicamente, representa-se esta “passagem ao limite” por: Física Fundamental – O Estudo dos Movimentos . Em termos geométrico a velocidade instantânea em cada instante do movimento é representada geometricamente no gráfico [X = f(t)] uma tangente, cuja inclinação representa um valor particular da velocidade instantânea do móvel, ou seja V = tgθ. a) Qual a velocidade media do móvel entre os instantes t=0 e t=2s? b) Qual a velocidade instantânea do móvel no instante t=2 s? 1.3 VELOCIDADE RELATIVA E MOVIMENTO RELATIVO. Na discussão acima enfatizamos o quanto a escolha do referencial é de suma importância na analise do movimento. Analisemos, agora, uma situação prática. Suponhamos que você esteja parado numa calçada da sua casa observando o movimento de uma moto (Vm) tentando ultrapassar um automóvel (Va) que se encontra a sua frente, enquanto um caminhão (Vc) se desloca no sentido oposto ao do motoqueiro. Admitindo que as velocidades (Vm, Va e Vc) dos três móveis são constante, a velocidade relativa entre os móveis vai depender do referencial escolhido. Assim, se o referencial for o carro a velocidade do motoqueiro em relação ao carro será: Vmoto/carro = Vmoto – Vcarro. Entretanto, caso o referencial seja o caminhão, a velocidade do motoqueiro em relação ao caminhão será Vmoto/caminhão = Vmoto + Vcaminhão Essa descrição do movimento relativo não é válida quando se estuda sistemas que se . 1. Um móvel se movimenta sobre o eixo X, com aceleração constante, de acordo com a seguinte equação horária: X = 2 + 2t – 2t2, onde t é dado em segundos e X em metros. TABELA 1 67 UEA – Licenciatura em Matemática movem com a velocidade da luz. A Teoria da Relatividade Restrita corrige a descrição do movimento relativo, empregando a seguinte expressão: no instante em que o diâmetro AB do pneu está paralelo a pista. (Considere o raio do pneu sendo 20 cm) 1. Suponha que você esteja dirigindo numa estrada reta seu carro como uma velocidades constantes de 100Km/h e, na sua frente, no mesmo sentido encontra-se um ônibus movem-se também, com velocidade constante de 80 Km/h. a) Qual a velocidade do ônibus em relação a você? b) Se num determinado momento, o ônibus estiver a 600m à sua frente. Quanto tempo decorrerá ate que você encontre o ônibus? 2. Um avião desloca-se de uma cidade A para outra cidade B com uma velocidade e 300Km/h em relação ao ar, é atingido por um tufão que sopra a 60Km/h numa direção de 60° em relação ao curso do avião. Determine a velocidade do avião em relação ao solo. 3. Um avião voa em relação ao solo com velocidade constante de 1000 Km/h, tendo direção e sentido de Leste para Oeste. O vento sopra dirigido e com sentido Norte para o Sul com velocidade constante de 200Km/h. Qual a direção e o sentido da velocidade do avião em relação vento. 4. Um ônibus com MRU, com direção e sentido Leste para Oeste, em relação ao solo. No interior do ônibus, um assaltante dispara seu revólver e a bala segue a direção e sentido Norte para Sul, em relação ao ônibus. Em que direção, um passageiro, sentado dentro do ônibus, verá a bala caminhar? 5. O centro de um pneu que rola sem escorregar desloca-se com velocidade constante de 5,0 m/s. Qual o módulo da velocidade no ponto B 68 1.4 MOVIMENTOS ACELERADOS Evidentemente, o que observa-se com muita freqüência no cotidiano, é que a velocidade instantânea de um móvel não se mantém constante, ora ela aumenta quando a pista está livre; ora diminui quando se percebe um obstáculo. Às vezes, se é obrigado a parar. Existe, portanto, um conjunto de fatores que obrigam a velocidade instantânea variar no decorrer de um determinado percurso. Em razão da velocidade instantânea variar com o tempo durante o movimento, podemos agora definir para qualquer movimento não-uniforme o conceito de aceleração como a grandeza física que mede a “rapidez” com que a velocidade instantânea de um móvel varia com o tempo é a aceleração. Definimos a Aceleração Escalar Média de um móvel a razão entre a variação de velocidade (∆V) pelo correspondente intervalo de tempo (∆t). Matematicamente: . Do mes- mo modo que foi possível determinar pelo “processo do limite” a velocidade Instantânea, podemos definir, por analogia, a Aceleração Instantânea como sendo: a = lim∆t→ 0am, ou ainda . Para o caso do movimento uniformemente variado, a variação de velocidade com o tempo é constante, temos que a aceleração instantânea do . movimento é constante Física Fundamental – O Estudo dos Movimentos Caso a velocidade do móvel varie uniformemente, por exemplo, de 10 m/s, de 1,0 em 1,0 segundo, a aceleração é constante. Neste caso, o movimento é denominado de Uniformemente Variado. Para que você possa entender estes conceitos, considere a tabela abaixo, no qual a velocidade varia da seguinte maneira. 5. a partir do gráfico da velocidade pode-se obter a variação de velocidade por meio da área da figura. 1. Perguntado sobre alguns movimentos com aceleração constante, um aluno forneceu os seguintes exemplos: I. queda de uma folha seca de uma árvore II. queda de uma manga do seu quintal III. viagem de um avião entre Manaus - São Paulo de Olivença. IV. movimento inicial de um atleta durante uma corrida de 100 m Você concorda com as sugestões? Quais você discorda? Explique por que. Observe que a partir da análise do gráfico podemos tirar algumas conclusões: 1. o móvel variou sua velocidade (∆V) sempre de 10,0 m/s em cada 2,0 segundos (∆t). 2. a razão pode ser medida pela tangente do ângulo θ. 3. a aceleração escalar média permaneceu constante. Deste modo que a expressão am = pode ser rescrita como: Uma situação que frequentemente ocorre na Cinemática é a determinação da variação da posição (∆X) a partir da velocidade instantânea. A partir do gráfico da velocidade podese obter a distância percorrida pelo móvel. Para isso utiliza-se a área da figura entre o eixo do tempo e a curva obtida. ∆V = a.∆t. Deste modo a relação fica: Vf = Vi + a.t 4. a partir do gráfico da velocidade (V) podemos encontrar o gráfico da aceleração (a) em função do tempo (t). 69 UEA – Licenciatura em Matemática Observe que a figura obtida é um trapézio, de modo que: 1 - V = V0 + a.t 23Diariamente presenciamos situações em que um corpo varia rapidamente sua velocidade em intervalos de tempo extremamente curtos. Podem ocorrer, por exemplo, elevadas acelerações quando: i) ii) iii) iv) um projétil é disparado por uma arma uma bola é chutada no lançamento de um foguete na arrancada de um beija-flor. ∆X = Área do Trapézio. ∆X = 120m Generalizando o cálculo feito acima pode-se demonstrar que a função horária da posição em função do tempo do MUV é dada por: , Como a função horária obtida é do 2º grau, o gráfico será uma parábola (vide a figura abaixo). 1. Um corredor de curta distancia, partindo do repouso, consegue imprimir a si próprio uma aceleração constante de 5,0m/s2 durante 2,0 s e, depois, percorre o resto do percurso, com a mesma velocidade adquirida no final do período de aceleração. a) esboce o gráfico da V = f(t) desse atleta. b) qual a distancia total que ele percorre nessa corrida? 2. Dois motoboys partem simultaneamente de dois postes, afastados em linha reta de uma distancia D, com velocidades constantes de 72Km/h e 54Km/h, respectivamente em direção ao ginásio que fica na mesma avenida. Os motoboys chegam, no mesmo instante ao ginásio 10 minutos depois. Com base nestas informações, quanto vale a distancia D entre os dois postos. 3. Um carro viaja em MRU com velocidade de 10 m/s até o instante (t). A partir desse instante o carro adquire uma aceleração constante de 2,0m/s2. Que distancia o carro percorre durante 20 segundos após o instante (t)? 4. avenida movimentada, para se dirigir com segurança recomenda-se manter o veículo da frente a uma distancia mínima de um carro (≈ 4,0 m) para cada 16Km/h. a) Seguindo esta recomendação, qual deveria 70 Caso deseje exprimir a velocidade em função da posição, isole o termo (t) na equação (1) e (2) do Movimento Uniformemente Variado, para obter a denominada de Equação de Torricelli (3). Física Fundamental – O Estudo dos Movimentos ser a distancia mínima que você dirigindo seu carro a 108 Km/h deve manter-se afastado de um caminhão que vai a sua frente? b) Mesmo que seu reflexo seja extremamente ágil (≈0,50s) demonstre que, caso você esteja afastado 10 m do caminhão, você não conseguirá evitar a colisão. 5. Um automóvel parte do repouso com uma aceleração constante de 9m/s2 em um percurso de 72m. Depois, seu movimento passa a ser uniforme durante 20s, após o que é freado em 3s. Qual a aceleração media de freamento e a distancia percorrida ate o inicio da freada? 6. Uma partícula parte do repouso e percorre uma trajetória retilínea, de tal forma que, em cada intervalo de tempo de 1 s, a distancia por ela percorrida é igual ao dobro da percorrida no segundo anterior. Sabe-se que, a contar do inicio do movimento, a partícula leva 4 s para percorrer 30 m. a) Qual a velocidade media da partícula entre os instantes t=2s e t=3s b) pode-se afirmar que a partícula está em MRUV? Por que? 7. Admita que você inicia uma corrida de bicicleta a partir do repouso, acelerando 0.50m/s2. Nesse instante passa por você, no mesmo sentido, outro ciclista com velocidade constante de 5,0 m/s. a) Quanto tempo, após a largada você alcançara o outro competidor. b) No momento da ultrapassagem, quanto valerá sua velocidade? Compreender e explicar a queda de um corpo com a percepção armada por outro ponto de vista, exige uma profunda alteração nas explicações e nas imagens mentais retratada costumeiramente segundo o quadro prevalecente do Universo. Este desafio e a luta intelectual necessitava do desenvolvimento radical da abstração humana, sem a qual, a nova visão de mundo não se impunha. Nesta caminhada, que se inicia na Grécia antiga com Aristóteles e nos leva até Einstein, não foram poucos aqueles e, nem pequenos, seus trabalhos na tentativa de tentar encontrar uma explicação para o problema da queda de um corpo nas proximidades da superfície da Terra em movimento. 1. Por volta de 150 dC, Cláudio Ptolomeu de Alexandria, seguindo os ensinamentos de Aristóteles, reforçou a crença de que a Terra encontra-se imóvel no centro do Universo. Segundo Ptolomeu. se a Terra girasse, as nuvens, as aves e todos os objetos no ar seriam deixados para trás. Comente este argumento de Ptolomeu. Justifique sua posição. Para Aristóteles, a variável fundamental na queda de um corpo era o peso. A observação cotidiana demonstra que quanto maior o peso de um corpo mais rápido atinge o solo. Evidentemente que, ainda no Mundo Antigo, alguns discordavam desta explicação, entre os quais, podemos citar João Filoponos, no século VI. Com o passar dos anos outras explicações foram aparecendo fazendo com que a proposta original de Aristóteles perdesse um pouco da sua força. Por volta do século XIV, surgiram as primeiras tentativas de geometrizar o problema e a empregar, a partir do século XV, antigas e bem conhecidas regras numéricas para explicar a variação da posição durante a queda de um corpo. 71 1.5 O ESTUDO DA QUEDA LIVRE Dentre os movimentos que a humanidade levou séculos para resolver, o problema da queda de um corpo, se constitui num dos mais importante. Ele está ligado concepção cosmológica do Universo. O Modelo Copernicano (heliocêntrico), gera sérias e marcantes questionamentos na explicação do movimento da queda de um corpo numa Terra imóvel. UEA – Licenciatura em Matemática Apesar destes avanços, importantes mestres das universidades francesas e italianas, durante o século XVI, continuavam apegados as explicações físicas aristotélicas-escolásticas para o movimento dos corpos. Os ensinamentos aí ministrados estavam profundamente impregnados pelos comentários escolásticos, fundamentados na Física de Aristóteles. Dada esta realidade Galileo estava convicto de que, disputar contra uma doutrina tão firmemente estabelecida, exigia muito mais do que atirar pesos da Torre Inclinada de Pisa. Era preciso construir uma nova Física. Determinado a sustentar a Teoria de Copérnico, pôs-se Galileo a idealizar argumentos favoráveis ao movimento de rotação da Terra. Dentre estes, aquele cuja solução vinha se arrastando há séculos: o de que, se uma pedra caísse do alto de uma torre, ela não atingiria o solo junto a base da torre, pois não poderia acompanhar o movimento da Terra. Em síntese, se a Terra girasse, a pedra seria deixada para trás. Entretanto, não é isto o que se observa ao nosso redor: a pedra cai ao pé da torre. Nicolau Copérnico Neste processo de liberação das amarras do sistema cosmológico tradicional defendido pelos escolásticos, um jovem cônego polonês, Nicolau Copérnico (1473-1543), talentoso astrônomo e matemático, elaborou um modelo planetário centrado no Sol, o que colidia frontalmente contra a tradição e a percepção humana. Evidentemente que a idéia de Copérnico, era difícil de ser aceita, pois carregava em seu interior ilações perigosas e ameaçadoras que colocavam em cheque a fé religiosa, tão abalada na Europa daqueles anos. Tanto que em1616, a Inquisição coloca no Índex dos Livros proibidos, a obra de Copérnico, como “falso e de todo contrário às Santas Escrituras” 1. Admita que a velocidade tangencial de um ponto do equador da Terra seja aproximadamente de 450 m/s e que uma pedra seja deixada cair do alto de uma torre de 45 m. Segundo a teoria de Aristotélica-Escolástica a quantos metros do “pé” da torre a pedra atingiria o solo? a) Sua solução apóia, a qual das teorias? b) Apoiado em seus conhecimentos de Física, como você explica esta contradição? 1. Na sua opinião qual dos sistemas de referência, o de Ptolomeu ou o de Copérnico, é mais valido de um ponto de vista moderno? Justifique suas respostas. 2. Você seria capaz de justificar experimentalmente que a Terra gira? Explique. É imerso nesta atmosfera cultural, treinado e bebendo cientificamente desta tradição que Galileu (1564-1642) vai iniciar seus estudos como estudante de medicina na Universidade de Pisa. 72 Física Fundamental – O Estudo dos Movimentos Armado com suas descobertas astronômicas, Galileo passou a se dedicar em estabelecer novos princípios gerais para o movimento a partir do estudo do comportamento dos corpos caindo sobre uma Terra em movimento. Isto o levou a meditar sobre os seguintes problemas profundamente interligadas: elaboração das leis da queda livre, sistemas de referencias e inércia para a explicação dos movimentos em uma Terra em movimento. Com relação ao problema da queda livre Galileo havia apreendido que o núcleo da explicação da queda dos corpos residia na velocidade. Isso vai deslocar o foco da explicação para o papel da aceleração do movimento. ção repetida de uma mesma parcela” em iguais intervalos de tempo, ocorrerá o mesmo efeito. A partir dessa premissa Galileu parte para o estudo quantitativo do movimento uniformemente acelerado, definindo que: “um objeto é dito ser uniformemente acelerado quando, partindo do repouso, sua velocidade recebe iguais incrementos em intervalos de tempos iguais”. Em outras palavras: ∆V ∞ ∆t; ou ∆V = a. ∆t. Prosseguindo, Galileu aplica uma conhecidíssima a regra geométrica que trata o movimento uniformemente acelerado como se fosse um movimento uniforme. Galileu, chega a conclusão que as distancias percorridas durante o mesmo intervalo de tempo é proporcional a seqüência dos números primos (1,3, 5, 7, 9, ...). O golpe de mestre de Galileu foi ter compreendido que a queda dos corpos era a chave para a consolidação da nova cosmologia copernicana. Embora todos parecessem concordar que a queda de uma pedra sobre uma Terra em movimento, comportava-se exatamente da mesma maneira quando ela caia do mastro de um navio em movimento. O que se viu, entretanto, com o desenrolar da história de vida de Galileu, foi algo completamente diferente. Ele foi condenado, morto e sepultado por tentar ajudar a suportar tamanha “heresia”. 1. O desenho abaixo representa as posições sucessivas de uma partícula, a partir do repouso, livre de forças dissipativas. Apoiado na análise dessa figura, você pode afirmar com segurança que o movimento da partícula é de Queda Livre? Justifique sua resposta. Inicialmente, Galileu assume que a velocidade é proporcional a distância. Todavia, à medida que suas idéias vão amadurecendo, ao revisar seus argumentos, Galileu descobre a incorreção daquela proposição e passa a buscar uma explicação adequada em termos físicos. Somente em 1638, na sua obra, “Discorsi dimostrazioni matematiche intorno à due nuove Scienze”, é que ele apresenta publicamente, em sua versão final, a formulação correta para a queda de um corpo. Galileu começa a construção racional para o “movimento naturalmente acelerado, tal como é o efetuado pelos corpos pesados em queda” postulando que “a velocidade é proporcional ao tempo”, pois esta é a maneira mais simples para o comportamento da natureza já que, “pela adi73 1. Um corpo é deixado cair, a partir do repouso, de uma certa altura H. Se no último minuto da queda ele percorre 25m, qual o valor da altura. 2. Uma pedra é lançada verticalmente para cima, com velocidade de 3,0 m/s de uma posição 2,0 m acima do solo. Quanto tempo decorrerá desde o instante de lançamento ate o instante da pedra chegar ao solo? 3. Uma torneira mal fechada pinga em intervalos de tempos iguais. No instante em que o 3º pingo está se soltando, o 1º pingo caiu uma distancia X e o 2º pingo uma distancia Y. Quanto vale a relação X/Y? (considere g ≅ 10m/s2 e despreze a resistência do ar). UEA – Licenciatura em Matemática 4. Uma partícula é lançada verticalmente para cima, com velocidade de 10 m/s. Dois décimos de segundo depois, do mesmo ponto, outra partícula é lançada, em idênticas condições. Nestas condições, ocorrerá a colisão entre as partículas? Caso ocorra, determine o instante e localize a posição onde ocorrerá a colisão. (Despreze a resistência do ar e considere g ≅ 10m/s2) 5. Uma bolinha de gude é lançada verticalmente para cima com velocidade de 2,0 m/s, vindo atingir novamente o solo. (a) Qual foi a velocidade média da bolinha? R = zero. (b) qual o espaço total percorrido pela bolinha? 6. Um chuveiro defeituoso pinga água com freqüência constante. Uma fotografia instantânea mostra que as distancias entre três pingos consecutivos são respectivamente 30 cm e 50 cm. Desprezando a resistência do ar, a que distancia encontra-se a o pingo que caiu antes do primeiro. 1.6 – ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE É uma constatação que, desde que nos entendemos no mundo, todos os corpos abandonados de uma certa altura caem. No entanto, durante a queda, devido a existência do ar, o corpo pode cair mais devagar. Fazendo-se certas idealizações, tais como o corpo ser extremamente pesado, altura de queda não muito grande, o movimento pode ser considerada aproximadamente uma queda livre. Na época de Galileu admitir a existência do vácuo ou vazio era um contra-senso. Entretanto, com o desenvolvimento da tecnologia de construção de bombas de vácuo, constatou-se que todos os corpos caem, no vácuo, com a mesma aceleração, denominada de aceleração da gravidade(g). Durante uma viagem, em 1973, da missão Apolo XV a Lua, o astronauta David Scott deixou cair contra o solo lunar uma pena de falcão e um martelo, constatando que apesar da diferença de peso, ambos os corpos chegavam ao solo no mesmo tempo. O valor de (g) pode ser obtido experimentalmente com grande precisão. Todavia, para efeito de simplificação de cálculo, vamos empregar um valor aproximado para (g) como sendo de: g ≅ 10m/s2. A aceleração da gravidade para pontos próximo da superfície de um planeta depende essencialmente de sua massa e do raio, segundo a expressão , onde G é uma cons- 7. Três bolinhas de gude, A, B e C, são largadas com velocidade inicial nula e percorrem a mesma distancia D até atingirem o solo. Coloque na ordem de chegada ao solo as bolinhas. R = tA > tC > tB. tante obtida experimentalmente. No entanto, dada a heterogeneidade do material que constitui a Terra, medidas das variações da gravidade pelos geofísicos podem indicar a presença de campos petrolíferos, depósitos subterrâneos de gás, jazidas, etc. 74 Física Fundamental – O Estudo dos Movimentos 1.7 VELOCIDADE E ACELERAÇÃO VETORIAL Até agora, temos considerado apenas o papel da direção da velocidade, o que fica bastante evidenciado na analise dos movimentos curvilíneos. Um caso típico, por exemplo, é o caso do movimento circular uniforme, onde a partícula, embora se move sempre com a mesmo valor para a velocidade, a direção muda constantemente. Como a velocidade instantânea é representada geometricamente por uma tangente, a analise do MCU revela que no ponto A direção da tangente é horizontal, no ponto B é vertical e no C é inclinada, o que demonstra que a direção da velocidade esta mudando. No caso do MCU, a velocidade (V) pode ser expressa em função da velocidade de rotação (ω), denominada de velocidade angular, dada por V = ωr. A velocidade angular, também esta associada a um vetor na mesma direção do eixo de rotação cujo sentido é dado pela regra da mão direita. 1. Dois atletas percorrem uma pista de corrida circular, de raio R, no mesmo sentido, com velocidades tangenciais constantes iguais a V e 3V. Quanto tempo decorre entre dois encontros sucessivos entre eles? Dada estas circunstancias, e conveniente representar geometricamente a mudança do vetor velocidade pelo vetor aceleração média, que representa as variações do vetor velocidade instantânea: ou ainda, A partir disso, pode-se calcular facilmente que vetor aceleração, que representa as variações do vetor velocidade instantânea aponta para o centro da curva de raio R. Esta aceleração se denomina de Aceleração Centrípeta, que é dado por: , o que implica que . ou 75 UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 02 CAMPOS 2.1 LINHAS DE FORÇA DO CAMPO ELÉTRICO Linha de força do campo elétrico é uma linha reta ou curva imaginária de maneira que sua tangente, em cada um de seus pontos, forneça a direção e o sentido do vetor representativo do campo. Quando as linhas de força são retas e paralelas o campo é dito uniforme. Por convenção as linhas de força saem dos corpos positivamente eletrizados e em caso contrário, convergem para ele. direção e o sentido de E no ponto considerado. O valor do campo é maior onde houver maior concentração das linhas de campo e, consequentemente menor, nos locais onde estiverem mais espaçadas. 2.2 CAMPO ELÉTRICO Na Mecânica, ao falarmos sobre campo gravitacional dizemos que a região do espaço que envolve cada planeta sofre uma alteração, pois nele surge um campo de força gravitacional e que qualquer corpo que possui massa, colocado nessa região, fica sujeito a uma força de atração exercida pelo planeta. Essa é a propriedade fundamental dos campos gravitacionais. Por exemplo, a evidência mais comum do campo gravitacional é a força peso. Se tomarmos um objeto qualquer, seu peso próximo ao chão, no alto de um edifício ou dentro de um avião será o mesmo, o que sugere que o campo é uniforme em todos os pontos e ele existe independentemente de haver ou não corpos ocupando um determinado espaço. Por analogia, em Eletrostática, podemos afirmar que o espaço que envolve uma carga elétrica também está modificado, pois surge nele um campo de forças elétrico, o que compreende que qualquer partícula eletrizada que for inserida nessa região, fica sujeita a uma força elétrica de atração ou de repulsão, dependendo dos sinais das cargas em questão. Estas, não são forças de contato, mas forças que atuam a distância. O mecanismo dessas forças foi explicado por Michael Faraday, no início do século XIX, introduzindo o conceito de campo. No caso dos corpos celestes, é a idéia de campo de gravidade onde esses corpos interagem e, no caso da eletrostática, surgiu a idéia de um campo elétrico envolvendo a partícula eletrizada. → As imagens mostram as formas das linhas de força elétrica (a) de uma placa carregada - linhas de força paralelas e (b) dos fios com cargas iguais e opostas. O conjunto das linhas de força que atravessam uma determinada área, constitui o fluxo de força. Podemos concluir que as linhas de campo elétrico fornecem uma representação gráfica do campo elétrico. A tangente à linha, fornece em qualquer ponto de uma linha de campo, a 76 Compare estas figuras para uma melhor compreensão das representações de linhas de Física Fundamental – O Estudo dos Movimentos força de um campo elétrico. Temos linhas de força do campo elétrico entre duas cargas elétricas de sinais contrários e ação de um ímã sobre limalha de ferro (campo magnético). É importante observarmos que comparação entre os campos gravitacional e elétrico nos foi conveniente ante a necessidade de compreensão do que é campo. No entanto, além da natureza diferente, a interação gravitacional é apenas atrativa enquanto que a interação elétrica vem a ser atrativa e repulsiva. Em comum, podemos dizer que os dois campos são regiões em que se produzem interações que variam com o quadrado da distância entre os corpos sob influência mútua. Ou seja, em torno de uma carga elétrica sempre haverá um campo elétrico e para detectar a existência de um campo elétrico em uma região do espaço, basta colocarmos nela uma carga de prova, que significa uma carga com um valor minúsculo o suficiente para que sua presença não desloque as cargas cujo campo está sendo medido. É importante esclarecer que, o campo gravitacional atua sobre a massa do corpo de prova, ao passo que o campo elétrico atua sobre a carga elétrica do corpo de prova. No campo gravitacional assim como no campo elétrico, quer o corpo de prova esteja em repouso ou em movimento, surgirá nele uma → força de campo E. A força é uma grandeza vetorial, assim sendo o campo também é. Logo, ela deve ser caracterizada por uma intensidade, uma direção e um sentido e todas as operações com o vetor campo devem seguir as regras vetoriais. A direção é a mesma da força elétrica que age sobre a carga de prova. A intensidade é inversamente proporcional à distância, ou seja, aumenta nas proximidades da carga e diminui à medida que dela se afasta. definimos o campo elétrico E em um ponto → como a força elétrica F que atua sobre uma carga q nesse ponto, dividida pela carga q. Então o campo elétrico em um dado ponto é igual à força elétrica por unidade de carga que atua sobre uma carga situada nesse ponto: → Usando unidades SI, para as quais a unidade de força é 1N e a unidade de carga é 1C, então a unidade de campo é: O sinal da carga Q, geradora do campo elétrico, é quem defini o sentido do campo, por definição: • Se Q < 0 (negativa), o sentido converge, de fora para dentro. • Se Q > 0 (positiva), o sentido diverge, de dentro para fora da carga. Falando em termos da força F : • quando Q > 0 (positiva), a força F que atua → sobre a carga terá o mesmo sentido de E; • quando Q < 0 (negativa), F e E terão sentidos contrários. Para cálculos práticos da força elétrica e do campo elétrico, se colocar uma carga teste pequena q no ponto do campo P a uma distância r do ponto da fonte, o módulo F será dado pela lei de Coulomb: → → → → e da equação do campo elétrico, o módulo E no ponto P é dado por: Outra situação fácil de se encontrar o campo elétrico é o caso do interior de um condutor. Caso existisse campo elétrico no interior de um condutor, o campo exerceria uma força sobre cada carga existente em seu interior, o que produziria um movimento das cargas livres. Por definição não há movimento efetivo em uma 77 UEA – Licenciatura em Matemática situação eletrostática. De onde se conclui que na eletrostática o campo elétrico deve ser igual a zero em todos os pontos do interior de um condutor. EXEMPLO Calcule o módulo do campo elétrico de uma carga puntiforme q = 4,0nC em um ponto do campo situado a uma distância de 2,0m da carga (a carga puntiforme pode ser qualquer objeto pequeno carregado com a carga q, desde que as dimensões do objeto sejam muito pequenas em comparação com a distância entre o objeto e ao ponto do campo.). Solução: Usando a equação para o módulo do campo elétrico de uma carga puntiforme: = belecido a partir das medições precisas das forças magnéticas feitas por André Marie Ampère que descobriu o magnetismo criado por uma corrente elétrica e a influência que esta sofre por essa magnetização. Essa influência foi descrita por Michael Faraday como “linhas de forças”, estas saiam do pólo norte de um ímã em direção ao seu pólo sul. E assim, surgiu a idéia de campo. Com essa “novidade”, as explicações da maneira como as forças eletromagnéticas podem atuar a longas distâncias ganharam consistência. Até aqui estudamos alguns tópicos básicos sobre eletricidade e forças elétricas, agora estudaremos as forças magnéticas e para isso veremos alguns conceitos básicos sobre o magnetismo, que estuda os fenômenos associados aos ímãs, e sobre o eletromagnetismo, que estuda os fenômenos causados pelas correntes elétricas. A propriedade de alguns corpos atraírem o ferro foi observada, há muito tempo, com um minério da região de Magnésia, na Ásia, conhecido como óxido magnético de ferro (Fe3O4); daí o nome magnetita dado ao minério e de magnetismo a propriedade nele observada. 1. Um próton é colocado num campo elétrico E. Quais devem ser a magnitude, a direção e o sentido desse campo, sabendo-se que a força eletrostática que atua sobre o próton equilibra seu peso? 2. A figura mostra uma carga de q1 = +1,5µC e uma carga q2 = 2,3L = 13 cm. Em que ponto P ao longo de x o campo é igual a zero? Podemos enumerar algumas ações magnéticas, tais como: • São capazes de atrair algumas substâncias (níquel, aço e outras). • Dependendo de como aproximá-los a força de interação entre os ímãs pode ser de atração ou repulsão. • Os ímãs não agem sobre cargas elétricas em repouso, que por sua vez, não exercem força sobre os ímãs. • Um ímã em forma de barra suspenso pelo seu centro de gravidade de modo que possa girar livremente, orienta-se sempre da mesma 78 2.3 MAGNETISMO O estudo da eletricidade e do magnetismo foi através de um conjunto de descobertas experimentais e generalizações de teorias que sempre se renovavam com as “mais recentes descobertas”. Passaram-se séculos até que se pudesse “unificar” o magnetismo e a eletricidade, até então estudados separadamente. Esse vínculo foi esta- Física Fundamental – O Estudo dos Movimentos maneira num determinado local, em relação à direção Norte-Sul geográficos: Região polar Norte magnética do ímã(N) – voltada para o Norte geográfico e Região polar Sul magnética do ímã(S) – voltada para o Sul geográfico. • Os pólos magnéticos são inseparáveis, isto é, se cortarmos um ímã ao meio, obteremos dois novos ímãs, cada qual com N e S magnéticos. A magnetita é um ímã natural, mas para uso prático, se utilizam materiais com características magnéticas mais acentuadas e favoráveis (ligas de alumínio, níquel e cobalto) para fazer ímãs artificiais de formas as mais variadas, de acordo com a conveniência da aplicação. Os ímãs podem conservar as propriedades magnéticas por muito tempo, ímãs permanentes, ou perdê-la, assim que cesse a imantação, ímãs temporários ou transitórios. 2.4 CAMPO MAGNÉTICO O campo magnético, da mesma forma que o campo elétrico, pode ser representado através de linhas de força ou linhas de campo. Podemos facilmente ver essas linhas de campo ao espalhar em torno de um ímã, limalha de ferro. Os pequenos fragmentos orientam-se como se fossem bússolas. Ou seja, em resposta ao campo magnético produzido pelo ímã, os pequenos fragmentos de ferro se alinham com a direção do campo magnético. As linhas de campo são de tal maneira que, em → cada ponto, o vetor campo magnético B é tangente à linha de campo. O espaçamento entre as linhas de campo representa a sua intensidade, verificando-se que esta será mais intensa nos pontos em que as linhas de campo estão mais próximas e menos intensa no caso contrário. 2.4.1 DIREÇÃO E SENTIDO DO CAMPO MAGNÉTICO Quando queremos representar a direção de B, em um ponto, colocamos nesse ponto uma bússola (onde seu eixo de giro será colocado → sobre o ponto). A direção de B é por definição, a direção em que a agulha da bússola fica em equilíbrio, esta mostra o campo magnético tangente a linha de campo naquele ponto. → 1. O pólo A de um ímã atrai o pólo B de outro ímã, que repele o pólo C de um terceiro ímã, cujo pólo oposto atrai A. Esta afirmativa é correta? Justifique. 2. como sabemos uma agulha magnética (bússola) se orienta numa direção preferencial sobre a Terra. Na tentativa de explicar tal fenômeno, o cientista inglês W. Gilbert apresentou a seguinte idéia: “[...] a orientação da agulha magnética se deve ao fato de a Terra se comportar como um grande ímã. Segundo Gilbert, o pólo geográfico da Terra seria também um pólo magnético que atrai a extremidade norte da agulha magnética. De modo semelhante, o pólo sul geográfico da Terra se comporta como um pólo magnético que atrai o pólo sul da agulha magnética.” Em vista da explicação apresentada, é correto afirmar que as linhas de indução do campo magnético da Terra se orientam externamente no sentido: a) b) c) d) e) leste – oeste sul – norte oeste – leste norte – sul para o centro da Terra 79 Assim, em cada ponto em torno do ímã, o sen→ tido de B é tal que se afasta do pólo norte e se aproxima do pólo sul. Observando as figuras vemos a região entre os UEA – Licenciatura em Matemática braços do U em que as linhas de campo são quase paralelas. Isso significa que, em toda essa → região, o vetor B tem, aproximadamente, a mesma direção e o mesmo sentido. Se as linhas estiverem exatamente paralelas, definimos o campo como uniforme e neste caso, todos os → ponto do campo B possui a mesma intensidade. Quando submetemos um ímã em forma de barra a uma região com campo uniforme, o ímã fica → sujeito a duas forças de mesma intensidade F e → – F. A resultante das forças é nula. Isso significa que o ímã não será acelerado para nenhum dos lados, podendo apenas girar (posição de equilíbrio), enquanto que se submetido a um campo não uniforme, as forças em cada pólo são diferentes, logo a resultante será diferente de zero, podendo provocar uma aceleração do ímã. vetor área A forma com B um ângulo de 60° e que o fluxo magnético através da área é igual a 0,90 mWb, calcule o módulo do campo magnético e determine a direção e o sentido do vetor área. 3. Raios cósmicos são partículas de grande velocidade que, provenientes do espaço, atingem a Terra de todas as direções. Sua origem é, atualmente, objeto de estudos. A Terá possui um campo magnético semelhante ao criado por um ímã em forma de uma barra cilíndrica, cujo eixo coincide com o eixo magnético da Terra. Uma partícula cósmica P com carga elétrica positiva, quando ainda longe da Terra, aproxima-se percorrendo uma reta que coincide com o eixo magnético da Terra. Desprezando a atração gravitacional, podemos afirmar que a partícula, ao se aproximar da Terra: a) Aumenta sua velocidade e não se desvia de sua trajetória retilínea. b) Diminui sua velocidade e não se desvia de sua trajetória retilínea. c) Tem sua trajetória desviada para o leste. d) Tem sua trajetória desviada para o oeste. e) Não altera sua velocidade nem se desvia de sua trajetória. → → 1. A figura indica quatro bússolas que se encontram próximas a um fio condutor, percorrido por uma intensa corrente elétrica. a) Represente, na figura, a posição do condutor e o sentido da corrente. b) Caso a corrente cesse de fluir, qual será a configuração das bússolas? Faça a figura correspondente. 2. Imagine um plano com área de 3,0cm² em um campo magnético uniforme. Sabendo que o 80 Física Fundamental – O Estudo dos Movimentos b) Escoamento incompressível: TEMA 03 FLUIDOS EM MOVIMENTO Tal como foi admitido no estudo do equilíbrio de fluidos, é suposto que o escoamento de um fluido ideal seja incompressível, ou seja, sua densidade permanece sempre constante. c) Escoamento ideal: A viscosidade num fluido é semelhante ao atrito de um sólido. Em ambos os casos, a energia cinética do corpo que se move pode transformar-se em energia térmica. Na ausência de atrito, um objeto movendo-se no seio de um fluido ideal (sem viscosidade) não deve sofrer a ação de nenhuma força de arraste devido ao atrito viscoso. d) Escoamento irrotacional: Neste tipo de escoamento, um corpo de teste colocado dentro do fluido não gira em torno de nenhum eixo passando pelo seu centro de massa. 3.2 LINHAS DE CORRENTE E A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE 3.1 INTRODUÇÃO AO MOVIMENTO DE UM FLUIDO A hidrodinâmica trata dos problemas relacionados a fluidos (líquidos e gases) em movimento, tais como o escoamento da água ao longo de um tubo ou de um rio, o sangue que circula nas veias de uma, a fumaça de uma chaminé ou de um cigarro. O movimento de um fluido real é complicado e ainda não é bem compreendido, e um dos modos de descrever o movimento de um fluido é dividi-lo em elementos de volume infinitesimais, que podem ser chamados de partículas do fluido, e acompanhar o movimento de cada partícula. Conhecendo-se as forças que atuam sobre cada uma das partículas pode-se, em princípio, obter as velocidades e as coordenadas em função do tempo. Este método, que é uma generalização direta da mecânica da partícula, foi desenvolvido por Joseph Louis Lagrange (1736-1813). Como o número de partículas do fluido é em geral grande, o uso deste método implica a resolução de um problema matemático de enorme complexidade. Existe um tratamento diferente desenvolvido por Leonhard Euler (1707-1783), que é mais conveniente para muitas aplicações. Ao utilizar este método, não é necessário especificar a trajetória de cada partícula do fluido e sim, especificar a densidade e a velocidade do fluido em cada ponto do espaço e em cada instante. Este é o método que será utilizado aqui. Além disso, será discutido o movimento de um fluido ideal que é mais simples de tratar matematicamente. Apesar dos resultados não concordarem totalmente com o comportamento dos fluidos reais, a diferença é desprezível em algumas situações práticas. a) Escoamento estacionário: Num escoamento estacionário (ou escoamento permanente) a velocidade do fluido em movimento, num dado ponto, não varia no decorrer do tempo, nem em módulo, nem em sentido. 81 Figura 9. Um tubo de escoamento é definido pelas linhas de corrente que delimitam suas fronteiras. A vazão do fluido deve ser a mesma em todas as seções retas do tubo de escoamento. A Figura 9 mostra duas seções transversais de áreas A1 e A2 ao longo de um tubo de escoamento fino. Observando num intervalo de tempo t o movimento do fluido em P tem-se que uma partícula do fluido percorrerá uma distância v1t varrendo um volume de fluido V dado por: V = A1 v1t . Sendo o fluido incompressível e não havendo fontes ou sorvedouros na região considerada na Figura 9, tem-se que o mesmo volume de fluido deve passar em Q ou seja, UEA – Licenciatura em Matemática V = A1 v1t = V = A2 v2t . Portanto, podemos escrever para qualquer ponto ao longo do tubo de escoamento: R = A v = constante, ou R= onde R é chamada vazão volumétrica, e sua unidade no SI é dada em m3/s. Multiplicando a vazão volumétrica pela densidade (constante) do fluido, obtemos a quantidade: Av ρ = const, denominada vazão mássica. Também é conhecida como equação da continuidade, e expressa a conservação da massa em mecânica dos fluidos. adaptada para problemas que envolvem fluidos. Ela é dada por: onde o último termo da soma no primeiro membro representa a pressão devida à velocidade do escoamento. Se a altura y for constante, de modo que o fluido não mude de nível enquanto escoa, então obtemos a qual nos diz que se a velocidade de uma partícula do fluido aumenta enquanto ela se escoa ao longo de uma linha de corrente1, a pressão do fluido deve deminuir e vice-versa. 1. Um líquido escoando pelo tubo indicado na figura, atravessa a seção 1, com velocidade de 3 m/s2. Encontre a velocidade que passa na seção 2, sabendo-se a área da seção 1 corresponde a 3 x 10–2 m e da seção 2 é 1,5 x 10–2 m. 1. Um tanque de grande área é cheio de água a uma profundidade de 0,30m. Um buraco de área A = 6,5cm2 no fundo do tanque permite que a água escoe. Determine a que taxa a água flui pelo buraco. Solução: Aplicando a equação da continuidade, temos A1 . v1 = A2 . v2 3 x 10–2 x 3 = 1,4 x 10–2 v2 A velocidade na seção 2 é 6,4 m/s2. Solução: D = 0,30 m A = 6,5 cm2 = 6,5 x 10–4 m2 Vamos usar a Equação de Bernoulli, para encontrar a velocidade com que á água sai no buraco do fundo do tanque: 3.3 EQUAÇÃO DE BERNOULLI A equação de Bernoulli, inicialmente desenvolvida por Daniel Bernoulli em 1738, não é um princípio básico, mas sim uma proposição decorrente da lei de conservação da energia nos pontos 1 na superfície da água dentro do tanque e o ponto 2 no buraco no fundo do tanque: 82 Física Fundamental – O Estudo dos Movimentos Considerando o buraco no fundo do tanque pequeno, a velocidade na superfície 1 é aproximadamente zero (v1 ≅ 0), e também D = y2 – y1, temos: . Os pontos 1 e 2 estão em contato com a atmosfera, logo p1 = p2 = patm, então obtemos a velocidade, v2 = = 2,4 m/s. 3. FLUXO DE AR ENTRE DUAS BOLINHAS DE PING-PONG Suspenda duas bolinhas de pingue-pongue, separadas por cerca de 3 cm, por fios de mesmo comprimento e sopre entre elas. • Sopre suavemente entre elas. • Observe e tente explicar o que acontece. O fluxo de água, ou seja a vazão é dada por, R = Av = 1,58 m3/s. 1. Em duas regiões distintas do leito de um rio: uma larga A com área de seção transversal de 200 m3, e outra estreita B, com 40m2 de área seção transversal. A velocidade do rio na região A tem módulo igual 1 m/s. De acordo com a equação da continuidade aplicada ao fluxo de água, calcule a a velocidade do rio na região B. 2. O sangue circula a 30 cm/s numa aorta com 9 mm de raio. Calcule a vazão do sangue em litros por minuto. 1. DETERMINAR A VAZÃO O objetivo desta atividade é determinar a vazão de um líquido. Deixe escorrer na proveta um certo volume de líquido, anotando o tempo correspondente. A razão entre o volume acumulado e o intervalo de tempo é a vazão. Usando a equação da continuidade, calcule a velocidade da água na mangueira. 2. SOPRO SOBRE UMA FOLHA DE PAPEL Segure uma folha de papel na posição horizontal, na altura da boca, e sopre fortemente sobre a folha. Observe e tente explicar o ocorrido. 83 UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 04 ALGUNS TIPOS DE MOVIMENTOS 4.1 MOVIMENTO AO LONGO DE UM PLANO INCLINADO Um corpo em queda livre, a partir do repouso, percorre em 1,0 segundo cerca de 5,0 metros, o que serve para dar uma medida do grau da dificuldade de se determinar experimentalmente, por exemplo, o tempo de queda para pequenas alturas. Em vista disso, Galileu utilizou um plano inclinado para controlar a distancia a ser percorrida e o tempo do movimento durante a queda de um objeto. 1. O telhado da casa da dona Dorva tem a forma da figura abaixo e que, Afrânio, seu neto, faça com que um tijolo deslize pelo telhado, atinja o solo no ponto C. Determine: a) O módulo da aceleração adquirida pelo tijolo ao longo do telhado. b) As componentes da velocidade do tijolo no instante em queixa o beiral (ponto C) c) A velocidade com que o tijolo atinge o solo A mesma situação ocorre no caso de um Pêndulo Simples, onde cada elemento infinitesimal da curva traçada durante seu movimento, pode ser considerado um micro-plano inclinado. O pendulo simples é um sistema idealizado, constituído de um ponto de massa (m) localizado na extremidade de um fio inextensível e sem massa de comprimento (L) (vide a figura abaixo). O problema do pendulo é essencialmente bidimensional embora seu movimento real seja especificado completamente somente por um angulo θ. 4.2 VELOCIDADE TERMINAL Como já foi dito, a presença do ar é um fator que reduz a velocidade de queda dos corpos. Se assim não fosse, uma gota de chuva esmagaria a sua cabeça. Na realidade, o que ocorre é que a gota durante a queda alcança uma velocidade limitadora que impede que velocidade cresça indefinidamente. Chamamos esta velocidade de Velocidade Terminal. Este efeito de retardamento pode ser observado no caso de uma bolinha de gude que cai, por exemplo, dentro de um recipiente com glicerina, a força de atrito viscoso se opõe ao peso, aumentado linearmente sua intensidade fazendo com que a força resultante diminua. Quando a força de atrito viscoso equilibra a força da gravidade, a velocidade tende para um valor limite chamada de Velocidade Terminal, como se vê no gráfico abaixo. 84 Física Fundamental – O Estudo dos Movimentos Deste modo podemos determinar a Velocidade Limite ou Velocidade Terminal (VL) quando fvis = Peso, donde se obtém a seguinte expressão para velocidade terminal: VL = P/FViscoso. Apesar destas idéias serem consideradas, atualmente, muito estranhas para quem estuda Física, elas não as foram para Kepler. Sua adoração, por exemplo, pelo o Sol forneceu-lhe, em grande medida, a motivação de sua vida, do seu trabalho e, as razões pelas quais adotou a teoria de Copérnico quando raros eram aqueles que tinham suficiente coragem para defender esta teoria, vindo a se tornar, em seu coração, partidário da nova astronomia O seu entusiasmo pelo copernicismo, também esta arraigada ao apego de Kepler a tradição platônica-pitagórica, o levaram em 1602, a descoberta da Lei correta, conhecida como a Segunda Lei de Kepler, embora tivesse sido a primeira!! Além de verificar que a órbita de Marte não é circular, Kepler também percebeu também que o movimento do planeta ao longo da órbita não é uniforme ou seja: a velocidade é maior quando ele está mais próximo do Sol. A Segunda Lei de Kepler, conhecida como Lei das Áreas, demonstra que um planeta quando está mais próximo do sol a área é mais curta e larga, e quando se encontra longe, a área é mais comprida e estreita. Entretanto, as duas áreas, para um mesmo intervalo de tempo, são surpreendentemente iguais. Lei Áreas: “O raio vetor que liga um planeta ao Sol descreve áreas iguais em tempos iguais”. 1. Uma conseqüência superinteressante da velocidade terminal ser proporcional ao peso do objeto, se relaciona com a explicação de Aristóteles de que os corpos mais pesados caem mais rápido que os mais leve. Sendo assim, o nosso mundo é, então, Aristotélico?! Por sua vez, se em nosso mundo a resistência do ar está sempre presente, porque Galileu preferiu ignorar no seu estudo da queda livre. 2. Uma gota de chuva de 0,05 g cai com velocidade constante de 2 m/s. qual a força retardadora que age sobre a gota? 4.3 AS LEIS DE KEPLER As Leis de Kepler, no sentido moderno, são consideradas pelos físicos como uma das primeiras “Leis Naturais”: afirmações precisas, verificáveis, sobre relações universais governando fenômenos particulares, expressas em termos matemáticos. Entretanto, a maneira como Kepler chegou a elas é fascinante. Para adentrar no mundo de Kepler não podemos nos esquecer as fortes influências que ele recebeu. Kepler foi astrólogo, místico, matemático, pastor luterano, etc. 85 Tendo descoberto esta relação entre a velocidade e a posição de um planeta, Kepler retoma a questão da órbita planetária. Após três anos lutando incansavelmente com este problema, em que varias vezes esteve com a solução às mãos, mas deixava escapar, por não reconhecer a elipse como uma figura perfeita. Tendo que recomeçar tudo de movo e, novamente, ..., e novamente,... Kepler descobre, em 1605, sua segunda Lei do Movimento Planetário, mas que denominamos de Primeira Lei de Kepler, ou Lei das Órbitas. UEA – Licenciatura em Matemática Lei das Órbitas : As órbitas descritas pelos planetas em redor do Sol são elipses com o Sol num dos focos. Se a é o semi-eixo maior de uma elipse e c a semi-distância focal (vide a figura abaixo), a razão e = c/a chama-se excentricidade da elipse. Para e = 0, a elipse degenera num círculo; quanto maior for e, mais “achatada” a elipse. los de tempos iguais. Vamos explorar esse tipo de movimento, para o caso de uma partícula que descreve um movimento circular uniforme no plano vertical. Um boa aproximação deste movimento é dada pelo movimento de vai-e-vem da sombra da partícula que se repete periodicamente ao longo do eixo X. Um objeto que se move numa mesma trajetória num movimento harmônico, dizemos que ele está oscilando. Muitos efeitos na Natureza são periódicos; por exemplo: as batidas cardíacas, as estações do ano, as oscilações de um pendulo simples, as vibrações dos átomos num sólido, a corrente elétrica numa lâmpada; as oscilações das moléculas do ar numa onda sonora, etc. Existe uma relação básica entre o MHS e o MCU, que pode ser visualizado de maneira bem simples pelo movimento de uma partícula se move numa trajetória circular de raio (A), ao redor de um eixo vertical que passa pelo centro do circulo, com uma velocidade angular (w) em rad/seg. Se nos concentrarmos na sombra da partícula ao longo de um plano horizontal verificaremos que ela se move para frente e para trás. Podemos, portanto, considerar a projeção do movimento de uma partícula em M.C.U. executando um M.H.S. F e F’= focos; P = planeta Entretanto, essas duas Leis não o acalmaram e nem o satisfaziam plenamente, faltava-lhe descobrir a ordem pelo qual Deus organizou o Mundo. Kepler, acreditava e perseguia obsessivamente desde a juventude, a Harmonia que deveria existir no universo. Finalmente, em 1619, Kepler, descobre a Lei Harmônica. Esta lei relaciona o período de movimento de cada planeta em relação a sua distancia médias ao sol. Lei dos Períodos, estabelece que: “Os quadrados dos períodos de revolução de dois planetas quaisquer estão entre si como os cubos de suas distâncias médias ao Sol”. Se T1 e T2 são períodos de revolução de dois planetas cujas órbitas têm raios médios R1 e R2 respectivamente, a 3ª lei afirma que (T1/ T2)2 = (R1/R2)3 4.4 O MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES Este é sem duvida alguma é um dos mais importante movimento no estudo da Física. Ainda que tão diversos em aparências, o universo esta repleto de osciladores harmônicos simples, tais como: molas oscilando, átomos vibrando, circuitos elétricos, pêndulos. Todos tem em comum a presença de uma força restauradora linear. Movimento periódico ou movimento harmônico, é um movimento que se repete em interva86 Física Fundamental – O Estudo dos Movimentos Outra característica bem marcante de todo movimento harmônico é o Período (T), ao final do qual o movimento se repete, reproduzindo exatamente, seu deslocamento e velocidade. O valor do Período (T), se obtém facilmente, observando que o movimento ao executar um ciclo completo, . Tal propriedade é o que TEMA 05 ONDAS 5.1 MOVIMENTO ONDULATÓRIO: O QUE É UMA ONDA? O conceito de onda permeia todo o universo: escutamos onda, vemos onda, sentimos onda e, quando descrevemos átomos e moléculas, imaginamos ondas. A característica mais extraordinária de um movimento ondulatório: seja qual for as circunstâncias uma onda transporta energia, quantidade de movimento e informação a uma hiper-longínqua região sem transportar o meio e com poucas perdas. Um terremoto ou um tsunami (ondas de grande amplitude, uma pororoca gigantesca) pode se propagar por quilômetros destruindo tudo que encontra pela frente. O sol emite radiação (ondas) eletromagnética responsável pelo clima da Terra. Conceitos relativos á Ondulatória. Na experiência cotidiana, é possível percebermos alguns fenômenos que, inicialmente, poderemos chamar de simples perturbações, como por exemplo, uma pedra caindo em um lago. Após a pedra cair, na superfície aparece pequenas ondulações contínuas, que demonstra que o meio material sofreu uma perturbação que se propagou. possibilidade que um oscilador possa ser usado como um cronômetro. Nestes casos, pode-se empregar o período do movimento de um pêndulo simples pode ser facilmente determinado por: . Por- tanto, num dado planeta, a freqüência de um pendulo simples não depende da massa mas somente de seu comprimento. , que quando comparada com a = (–ω2).X, obtém-se . Assim, podemos dizer que uma onda se forma a partir de uma série de pulsos, distúrbios que se propagam através de um meio, sem que haja transporte de matéria. 87 UEA – Licenciatura em Matemática versal. No primeiro caso, as partículas do meio movem-se na mesma direção da propagação da onda, enquanto que no segundo, as partículas se movem perpendicularmente a direção de propagação. Vamos exemplificar cada um destes tipos de propagação analisando dois fenômenos naturais bastante conhecidos: o som e a luz. Quanto á natureza, as ondas podem ser: MECÂNICAS, quando necessitam de um meio material para sua propagação; exemplos: as ondas que se formam na superfície da água, em cordas balançando etc. ELETROMAGNÉTICAS, originadas por vibrações eletromagnéticas que não necessitam de meio material para sua propagação. É o caso das ondas luminosas. Na primeira e na segunda foto, de cima para baixo, exemplo de ondas transversais e, na última, exemplo de onda longitudinal. Num movimento periódico, além do período, zuma observação importante é verificar quantas vezes o movimento se repete. A grandeza física responsável por isso é freqüência, que se define como o número de vezes que um fenômeno se repete. A medida da distância entre duas cristas ou dois vales consecutivos determina o comprimento de onda (λ). Uma onda é qualquer sinal que se transmite de um ponto a outro de um meio com velocidade definida sem transportar matéria. É por isso que quando deixamos a cortiça num certo lugar, ela sobe e desce, mas não sai do lugar. Para cada tipo de distúrbio (onda), existe uma maneira especial de analisar o que causa a alteração na sua vizinhança. Neste sentido, devemos diferenciar a onda longitudinal da onda trans88 Outro importante conceito é o da Frente de Onda, que se define como o conjunto de todos os pontos do meio que, em determinado instante, são atingidos pela onda que se propaga. Vale frisar que a frente de onda separa a região perturbada da região ainda não perturbada. Cada ponto de uma frente de onda no instante inicial zero pode ser considerado como uma fonte de ondas secundárias. A nova frente de onda é a superfície que tangencia essas ondas secundárias. As ondas possuem ainda capacidade de reflexão, refração e difração. Física Fundamental – O Estudo dos Movimentos No primeiro caso, as ondas podem, ao incidir numa superfície sofrer uma reflexão, de tal maneira que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. O fenômeno da refração consiste no fato de que, uma onda ao se propagar de um meio material para outro altera sua velocidade de propagação. Difração é o fenômeno o qual as ondas conseguem contornar obstáculos e seus raios sofrem encurvamento. É tanto mais acentuado quanto maior o comprimento de onda. Por isso, a difração sonora é mais acentuada e mais facilmente perceptível que a difração luminosa. A polarização é outro fenômeno ondulatório característico das ondas transversais, como as ondas luminosas. Por esse fenômeno, a luz natural, cujas ondas vibram em todas as direções, pode ser filtrada num único plano de vibração. 5.2 VELOCIDADE DO SOM Um dos fenômenos naturais que tem impressionado desde os primórdios o Homem, dado ao misto de espetáculo e de medo que o acompanha, são as tempestades. Ao relâmpago segue uma intensa trovoada, cujo som parece indicar que o “céu esta desabando”. A observação de um terremoto, também, deve ter sido algo apavorante. O que não dizer dos maremotos e os Tsunami cujo som é ensurdecedor. O som, entretanto, depende das condições do meio no qual se propaga ou seja, da densidade, pressão e temperatura do meio. Nos sólidos é bem maior do que nos líquidos que, por sua vez, é maior do que nos gases. O som, entretanto, nada mais é do que uma perturbação ou distúrbio que se propaga longitudinalmente num movimento vibratório através da matéria. Assim, quando você fala, grita, canta e ouve um barulho, uma série de ondas de compressão se propagam continuamente através do meio. Apenas por conveniência, vamos admitir que uma onda longitudinal esteja se propagando num meio homogêneo, isotrópico e elástico. Considerando a densidade do meio por (ñ), vamos imaginar uma porção deste meio como um tubo rígido de comprimento infinito, tendo numa das extremidades um pistão. Caso o pistão seja subitamente impulsionado para frente ele aplica uma compressão no meio originando-se um pulso (uma perturbação ou distúrbio) que se propaga com velocidade (V) através do meio. 89 Laplace, demonstrou matematicamente, que a expressão geral de uma onda sonora, através de um processo adiabático (por causa de que as vibrações do ar são tão rápidas que a temperatura produzida não tempo para se equalizarem), é dada pela seguinte expressão . Todavia levando-se em conta a equação de estado de um gás ideal e a definição de densidade, a equação pode ser re-escrita como: , onde M é o peso molecular de um gás. A partir desta equação podemos concluir que a velocidade do som num gás ideal depende somente do tipo de gás e da temperatura; ou seja, é completamente independente da pressão. Contrariamente, velocidade do som num sólido é dada por: . UEA – Licenciatura em Matemática No ar a velocidade do som é de aproximadamente 341m/s ou seja: 1227Km/h. A tabela abaixo fornece alguns valores da velocidade de propagação do som em diferentes materiais: A propagação retilínea da luz permite explicar a formação de regiões de sombra, de penumbra e os eclipses. Quando uma fonte luminosa de grandes dimensões (fonte extensa) projeta um feixe de luz sobre uma tela e se interpor um corpo opaco entre a fonte se observam três regiões: luz, sombra e penumbra. Aviões supersônicos podem voar com velocidade maior que a do som. Entretanto, para conseguir tal proeza, o bico do avião deve ser capaz de furar as ondas de pressão que se acumulam a sua frente. Essa espécie de “muralha de ar” é denominada de barreira do som. De modo que quando o avião consegue derrubar esta barreira, ouve-se um estrondo. 5.3 VELOCIDADE DA LUZ As origens da Óptica remonta a Antiguidade. É muito difícil imaginar nosso mundo envolto em eterna obscuridade. Por isso não é difícil de surpreender que a óptica tenha surgido como uma dos primeiros ramos da ciência natural. Não apenas o homem tem sido atraído pelos fenômenos luminosos, que despertavam grande curiosidade, mas também lhe proporcionava uma grande variedade de benefícios práticos: espelhos, lentes e prismas. Os matemáticos gregos, também se preocuparam com os aspectos geométricos envolvidos nos fenômenos luminosos, tais como a propagação retilínea da luz, e a igualdade dos ângulos de incidência e de reflexão. Evidentemente, que desde a antiguidade o homem observara formação de sombras, eclipses, miragem e que o tempo de propagação da luz entre dois pontos é mínimo. A “câmara escura”, conhecida desde a Antiguidade serve para demonstrar a propagação retilínea da luz na formação de imagens é a chamada "Câmara Escura". A imagem que se observa é invertida. O ECLÍPSE, pode ser definido como una ocultação total ou parcial de um corpo celeste por outro. Existem vários tipos de eclipses: Lunar, Solar e Anular. Um eclipse Lunar é aquele devido a interposição da Terra entre o Sol e a Lua, a qual impede que os raios solares possam chegar até a superfície desta. O eclipse Solar, se deve a interposição da Lua entre o Sol e a Terra, impedindo a visão total ou parcial do disco solar. No eclipse anular a situação é a mesma na qual a Lua se interpõe entre o Sol e a Terra. A diferença é que ela somente cobre sua parte central e não de maneira total, ficando assim descoberto uma coroa circular. Os eclipses mais conhecidos popularmente são o Lunar e o Solar. ECLÍPSE TOTAL O SOL ECLÍPSE LUNAR 90 Física Fundamental – O Estudo dos Movimentos Quanto a velocidade da luz os antigos também acreditavam que a luz se propagava instantáneamente. Entretanto, está parece não ter sido a opinião do sábio árabe Ibn al Haytam, conhecido pelo nome latinizado de Alhazen (965 - 1039), o primeiro a sustentar que a luz se movia com uma enorme velocidade, mas finita. Todavia, o que prevalecia até o século XVII, entre a grande maioria dos cientistas, era uma disputa quanto à velocidade da luz: se era finita ou infinita. Cada grupo buscando encontrar um experimento que confirmasse suas idéias. Galileu tentou elucidar essa questão, utilizando dois homens posicionados no alto de duas colinas, cada qual com uma lanterna e um anteparo para servia para cobrir e descobri-la, assim que cada um deles visse a luz emitida pelo outro. Infelizmente Galileu não conseguiu determinar, por meio desta experiência, qualquer valor para a velocidade da luz. Seu contemporâneo, Descartes, sugeriu que através de observações astronômicas do eclipses da Lua, o experimento poderia se tornar exeqüível. A criação do Observatório de Paris proporcionou ao físico dinamarquês Ole Römer ou Roemer (1644-1710) estruturar uma maneira de determinar a velocidade da luz através do eclipse dos satélites de Júpiter, que haviam sido descobertos por Galileu. O eclipse ocorre quando um dos satélites de Júpiter cruza o plano da órbita do planeta, se ocultando. Neste caso, é possível determinar com precisão o momento em que começa e termina o eclipse, devido ao intenso brilho do satélite. se eclipsou. Enquanto isso, o observador situado em T3, acompanha o transito do satélite (S3) na frente do planeta. Para Roemer, o que interessava era observar o eclipse, daí ter se interessado em acompanhar durante o eclipse o movimento de Io (o satélite de Júpiter mais interno). Roemer descobriu que o período entre dois eclipses sucessivos era cerca de 42,5 h. entretanto, quando fazia as medições um semestre depois o período apresentava uma diferença de 15 segundos em relação ao tempo esperado. Roemer atribuiu esta discrepância como prova de que a velocidade da luz não era infinita, pois necessitava de mais tempo (exatamente os 15 segundos) para percorrer uma distância igual ao diâmetro da órbita da Terra. Apesar de não ter conseguido determinar o valor, Roemer chega a conclusão de que a velocidade da luz é finita ou seja, ela não se propaga instantaneamente como muitos acreditavam. 1. Posição da Terra um semestre depois. Observe que a distancia L’ aumentou um diâmetro da órbita terrestre. De modo que o tempo decorrido para que o observador veja o eclipse vai, também, aumentar de . . Como conseqüência 2. Tempo transcorrido para que um observador na Terra veja o eclipse . 3. Eclípse - região de sombra. 4. Satélite de Júpiter. A tabela abaixo resume alguns dados importantes sobre os satélites de Júpiter. Para um observador situado em T1 o satélite (S1) de Júpiter está oculto, pois Júpiter se interpõe na sua linha de visão. O eclipse para o observador situado em T2, pois ele não vê o satélite (S2) já que ele se encontra dentro da sombra projetada por Júpiter, isto é, o satélite 91 UEA – Licenciatura em Matemática 1. Ao observar os satélites de Júpiter pela primeira vez, Galileu fez diversas anotações e tirou importantes conclusões sobre a estrutura de nosso universo. A figura abaixo reproduz uma anotação de Galileu referente a Júpiter e seus satélites. A figura abaixo ilustra a geração de uma onda eletromagnética devido à oscilação mutuamente perpendiculares do campo elétrico e do campo magnético. De acordo com essa representação e com os dados da tabela acima, os pontos indicados por 1, 2, 3 e 4 correspondem, respectivamente, a: a) b) c) d) e) Io, Europa,Ganimedes e Calisto. Ganimedes, Io, Europa e Calisto Europa, Calisto, Ganimedes e Io Calisto, Ganimedes, Io e Europa Calisto, Io, Europa e Ganimedes A confirmação experimental da teoria de Maxwell foi obtida, em 1888, pelo Físico alemão Heinrich Hertz, resultado que consolidou e tornou aceito a existência do éter pela comunidade científica. Atualmente, o que chamamos de espectro eletromagnético, inclui uma enorme variedade de radiações que diferem somente em comprimento de onda ou freqüência. Apesar dos diversos nomes dados ás diversas regiões do espectro as ondas são descritas por relações funcionais idênticas, que obedecem ao mesmo conjunto de equações. A partir da confirmação experimental de Hertz os físicos começaram a empreender um esforço na tentativa de determinarem a natureza física do éter. Em face deste desafio Michelson e Morley se propuseram a realizar uma experimento extremamente preciso para medir o efeito do movimento da Terra através do éter. Todavia, seu resultado foi inconclusivo: não conseguiram medir absolutamente nada! Na tentativa de “salvar o fenômeno, Fitz Gerald, Lorentz, Poincaré e outros começaram a fazer remendos na teoria do éter. Foi, por esta época que Einstein também, tornou-se interessado no éter, sem que houvesse qualquer filiação com o trabalho experimental de Michelson. Em 1905, Einstein, publica o trabalho sobre: "A Eletrodinâmica dos Corpos em Movimento", que veio se tornar conhecido, posteriormente, como a Teoria da Relatividade Restrita. Nele, Einstein descarta o éter luminífero apenas por não ser essencial para o resultados que almeja alcançar com aquele trabalho. Posteriormente, no entanto, Einstein voltou a acreditar na existência do éter. 92 Em 1725, o astrônomo James Bradley ao tentar medir a distância de uma estrela, em duas diferentes épocas do ano, confirmou que a teoria de Romer era correta: a velocidade da luz é finita. A primeira determinação terrestre com sucesso da velocidade da luz foi realizada, em 1849, pelo fisico francês Fizeau onde obteve a medida de 315.300km/s. Seu colega Leon Foucault, em 1850, num comunicado a Academia de Ciências de Paris, defendeu a tese de que a velocidade da luz na água é menor do que no ar, abrindo outra fonte de pesquisa. Para a velocidade da luz no ar, Foucault, encontrou 296.796Km/s. Outras medidas, empregando outros métodos foram realizadas para a velocidade da luz. O valor, atualmente aceito, para a velocidade da luz é de aproximadamente 300.000 Km/s. Enquanto as novidades aconteciam no campo da óptica, Maxwell em seus os estudos de eletricidade e magnetismo ia gestando a conclusão de que o campo eletromagnético poderia se propagar como uma onda transversal no éter luminífero. Resolvendo suas equações, Maxwell, chegou teoricamente à conclusão de que a luz era uma onda eletromagnética. Com esta descoberta a Óptica se incorporava ao eletromagnetismo, ramos da Árvore da Física, que haviam se desenvolvido independentemente. Física Fundamental – O Estudo dos Movimentos TEMA 06 ÓPTICA A natureza da luz é algo que instiga a curiosidade do homem desde as mais remotas épocas. O que é luz? Como se propaga? Como é gerada? Buscando essas respostas, ao longo dos séculos, algumas explicações se mostraram corretas , outras infelizmente são erradas. Mas esse jogo de “tentativas e erros” nas explicações perduram até hoje: após a observação do fenômeno, se dá início às experiências buscando uma conclusão que é chamada lei experimental, onde se lança as hipóteses que explica e relaciona as causas e efeitos de um fenômeno. Daí surge as teorias e modelos para que possamos entender melhor os fenômenos. Esse caminho vale para a construção da ciência de modo geral e contribuiu muito para o desenvolvimento da óptica. Óptica – do grego optiké e do latim optice – é a parte da física que estuda a propagação e o comportamento da luz, bem como os fenômenos da visão. A historia da óptica começou na Índia, em torno de 2000 a.C., com uma teoria que procurava explicar a natureza corpuscular da luz, ou seja, que a luz era formada por minúsculas partículas, denominada corpúsculos, emitidas por corpos luminosos (que emitem luz própria) lembrando a atual teoria quântica. No século III a.C. o geômetra grego Euclides afirmava que “o olho emite raios visuais que se propagam em linha reta e com grande velocidade” e que “um objeto só se pode ser visto depois de varrido pelos olhos”. Para Platão, a imagem era formada pela superposição de dois raios, um emitido pelo olho e outro emitido pelo objeto em observação. Hoje se sabe que o olho é um receptor e não um emissor de raios de luz, ao contrário do que pensava Euclides. Na Escola Pitagórica, discípulos de Pitágoras (581 – 497 a.C.), acreditava-se na existência de um fluxo visual, resultado da incidência de um raio de luz, que provinha do próprio olho. O matemático e astrônomo egípcio Cláudio Ptolomeu, que viveu no século II d.C., ampliou 93 a teoria de Euclides, admitindo que os raios visuais atingiam os objetos próximos mais rapidamente. Foi ele quem iniciou os estudos da reflexão e da refração da luz. O cientista italiano Leonardo da Vinci (1452 – 1519), realizou estudos a respeito do funcionamento do corpo humano e construiu uma câmara escura, comparando seu princípio de funcionamento com o do olho. No mesmo século (XIII) surgiram as lentes usadas na correção de defeitos da visão. Na seqüência foram inventados aparelhos ópticos com o objetivo de ampliar a capacidade da visão do ser humano: o microscópio, para observação de objetos minúsculos, e luneta e telescópio para a visualização de objetos muito distantes, como os planetas e as estrelas. Esses aparelhos foram aperfeiçoados ao longo do tempo, buscando obter imagens cada vez mais nítidas. No início do século XVI foi construído um microscópio com o espelho côncavo (sistema convergente de imagem). Em 1590 surgiu a primeira luneta com uma lente ocular convergente, e foi aperfeiçoada na Holanda a partir de 1604. No início do século XVII a construção de lentes, microscópios e lunetas astronômicas contribuíram para um grande progresso no estudo da óptica. Em1610, o italiano Galileu Galilei construiu uma luneta astronômica, com a qual observou as luas de júpiter. As imagens obtidas com os primeiros microscópios com lentes (1615) eram menos nítidas do que as obtidas com microscópios com espelhos côncavos. Isto, porque os raios luminosos de cores diferentes eram desviados em direções diferentes, além da má qualidade do vidro utilizado em sua fabricação. As novas técnicas de polimento permitiram melhorar o desempenho dos microscópios com lentes. Em 1665, o cientista inglês Robert Hooke, observou pela primeira vez as células de cortiça usando microscópio composto, com uma lente ocular e uma objetiva (a objetiva fornece uma imagem real ampliada e a ocular, usando essa imagem como objeto, dela conjuga uma imagem final virtual). No final do século XVII o microscópio ganhou UEA – Licenciatura em Matemática novos acessórios como o suporte e a platina. Em 1666 o cientista inglês Isaac Newton usou um prisma para fazer a decomposição da luz branca nas sete cores do espectro que compõe o arco-íris. A partir dessa decomposição formulou uma teoria que dizia ser a luz formada por partículas que se propagavam a grandes velocidades. As idéias de Newton sobre a natureza da luz foram contestadas pelo holandês Christian Huygens e por Hooke, que afirmava ser a luz composta por ondas. Na atualidade compreende-se que tanto Newton quanto Huygens tinham razão. Em 1877 o físico alemão Ernest Karl Abbe escreveu o princípio da óptica, o que possibilitou o aperfeiçoamento rápido do microscópio. Por isso é considerado seu verdadeiro inventor. Max Planck (1900), físico alemão, formulou a teoria quântica, segundo a qual a energia só pode ser emitida ou absorvida pela matéria em pequenos pacotes de energia, denominados quanta. Em 1905 o físico norte americano, nascido alemão, Albert Einstein propôs que, em certas circunstâncias, a luz poderia ser considerada como composta por pequenas partículas de energia luminosa que chamamos de fótons. Segundo a teoria proposta por Einstein, a luz, por ser uma forma de energia, não é emitida continuamente, mas em pacotes separados de energia ou quanta. Inicialmente essa teoria não foi aceita pela comunidade científica. Uma década depois, o físico norte americano Robert Andrews Millikan demonstrou, por meio de experiências que Einstein estava correto. Atualmente, dependendo do fenômeno que se estuda, a ciência considera que a luz tem duas naturezas: ondulatória e corpuscular em outras palavras, a luz se comporta como onda ou como propagação de partículas. A Teoria corpuscular diz que a luz era considerada como um feixe de partículas emitidas por uma fonte de luz que atinge o olho, estimulando a visão. A Teoria ondulatória diz que a luz é uma modalidade de energia radiante que se propagam por meio de ondas eletromagnéticas, assim como o calor radiado, os raios x e as ondas de rádio. As ondas eletromagnéticas são ondas de energia 94 produzidas pela oscilação ou aceleração de elétrons. As que podem ser percebidas por nossos olhos são denominadas ondas luminosas ou luz. Essa teoria permite compreender fenômenos como a propagação, a reflexão e a refração da luz, sendo utilizada no estudo das cores. O estudo da óptica é dividido em duas grandes partes: óptica geométrica – estuda a propagação retilínea da luz; os espelhos, lentes e prismas; a reflexão e a refração da luz; os instrumentos ópticos; o fenômeno da visão e etc., enquanto que a óptica física – estuda a natureza da luz, ou seja, a luz como resultado de um movimento vibratório, a sua velocidade de propagação nos diversos meios transparentes, a sua polarização, a decomposição da luz branca, as cores, a intensidade luminosa, os fenômenos de interferência, a difração, etc. 6.1 OS PRINCÍPIOS DA ÓTICA GEOMÉTRICA 1. Princípio da propagação retilínea da luz: quando a luz se propaga em meios transparentes e homogêneos, seu caminho é uma linha reta. 2. Princípio da independência dos raios de luz: os raios de luz ao se interceptarem, cada um seguem seu caminho, sem sofrer interferência um do outro. 3. Princípio da reversibilidade do raio de luz: a trajetória de um raio de luz não depende do sentido de propagação, ou seja, se permutamos a posição da fonte com a do observador, a trajetória não se modifica. 1. Represente cada um dos princípios da ótica geométrica por meio de desenhos ou por recortes de jornais ou revistas. Agora será apresentada uma síntese dos fenômenos luminosos. É importante você perceber que em todos considera-se uma superfície de separação entre os meios e um feixe de raios paralelos que se propaga de um meio para outro. Física Fundamental – O Estudo dos Movimentos 6.2 A REFRAÇÃO DA LUZ A refração costuma ser definida como sendo a mudança da velocidade da luz quando esta passa de um meio transparente homogêneo para um outro meio diferente, também transparente e homogêneo, quase sempre seguida de desvio na sua direção de propagação. Por exemplo, quando a luz passa do ar para a água. Quando um feixe luz proveniente de um meio incide numa superfície de separação com o outro meio e se propaga através deste, os seguintes fenômenos acontecem: parte da luz se reflete no primeiro meio; parte penetra no segundo meio e muda sua velocidade, além de sofrer, quase sempre, um desvio na sua direção de propagação. Observe que o valor de n equivale a quantas vezes a velocidade da luz no vácuo é maior que a velocidade da luz no meio considerado. Por exemplo, o índice de refração da água é n=1,33. Isso significa que a luz se propaga no vácuo a uma velocidade 1,33 maior do que na água. É devido à refração que um lápis parece estar quebrado quando parte dele é mergulhado na água ou quando em uma piscina parece que nossa perna encolheu. 6.4 REFLEXÃO DA LUZ Nos meios mais densos como a água, a velocidade de propagação da luz é menor do que nos meios menos densos, como o ar. Dizemos então que a água é mais refringente do que o ar. O par de meios transparentes à luz constitui um dioptro. Assim, o dioptro pode ser formado por ar + água, ar + vidro, água + vidro, óleo + água, etc. Se a incidência do raio de luz for perpendicular à superfície de separação dos meios haverá mudança da velocidade de propagação da luz no segundo meio, mas não se observará desvio em sua direção de propagação, embora a refração aconteça. 6.3 ÍNDICE DE REFRAÇÃO ABSOLUTO A relação entre a velocidade de propagação da luz no vácuo e a velocidade de propagação da luz no meio considerado é conhecida como Índice de refração absoluto (n), e pode ser definido: sendo: c é a velocidade da luz no vácuo. v é a velocidade da luz propagada no meio considerado. 95 Quando um feixe luz proveniente de um meio incide numa superfície de separação com o outro meio e muda de direção sem atravessar a superfície é chamado reflexão da luz. A reflexão obedece a seguinte lei: o ângulo de ^ i reflexão é igual ao ângulo de incidência ( r =^). A reflexão, caso ocorra numa superfície lisa (polida) denomina-se regular ou especular. Neste tipo de reflexão, os raios são refletidos com uniformidade. Por exemplo, se os raios incidentes forem paralelos, os refletidos também serão paralelos. Porém, se a superfície for irregular ou rugosa, os raios refletidos espalham-se desordenadamente em todas as direções. No entanto, em cada ponto desta superfície, as leis da reflexão são verificadas. Considere o dioptro constituído pelos meios 1 e 2, sendo n1 < n2. Por exemplo, ar e água. Uma fonte de luz é colocada no meio 2 e emite raios luminosos. À medida que os ângulos de UEA – Licenciatura em Matemática incidência desses raios aumentam, os respectivos ângulos de refração aumentam proporcionalmente até atingirem seu valor máximo de 90°. Ou seja, quando i = 90°, o valor de r é o maior possível para o ângulo de refração, denominado ângulo limite de refração (L). Para um ângulo de incidência maior que o ângulo limite, o raio luminoso sofrerá reflexão total , quando o raio volta para o mesmo meio. Um exemplo de aplicação da reflexão total é o caso das fibras ópticas, usadas na tecnologia moderna. As fibras ópticas são tubos finíssimos de materiais transparentes e dielétricos, capazes de conduzir luz por sucessivas reflexões em seu interior por centenas de quilômetros sem que haja necessidade de se regenerar o sinal. Considerações importantes: • O raio incidente, o raio refletido, o raio refratado e a normal à superfície estão sobre o mesmo plano. • O ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência para todos os comprimentos de onda e para qualquer par de materiais. ^=^ ou θ = θ (lei da reflexão) r i r a mente, apesar de um deles sempre ser mais evidente. Por exemplo, em uma piscina, num dia de sol, temos os raios paralelos; vemos a água da piscina, reflexão difusa; vemos nossa imagem na água, reflexa;, também podemos ver objetos ou pessoas dentro (imersas) da água, refração; e ao mergulhar na água, senti-la aquecida, absorção. 6.6 DIFRAÇÃO Quando a luz emitida por uma fonte luminosa puntiforme passa pelo orifício de um anteparo, observamos a propagação em linha reta da luz, de maneira que passado o anteparo vemos um feixe de luz (cônico) com vértice na fonte. • Para luz monocromática e para um dado par de materiais, a e b, separados pela interface, a razão entre o seno do ângulo θa e o seno do ângulo θb, onde esses ângulos são medidos a partir da normal à superfície, é igual ao inverso da razão entre os dois índices de refração: , (lei da refração ou lei de Snell). Contudo, se esse orifício é muito pequeno, os raios de luz sofrem um desvio ao passarem pelo orifício, e então, a luz “invade” a região fora do cone. A esse fenômeno chamamos Difração. 6.5 ABSORÇÃO O feixe de raios paralelos se propaga no meio 1 até atingir a superfície e ser por ela absorvido. Nessa situação, a superfície é escura e altamente absorvedora de energia. Nesse fenômeno ocorre um aquecimento da superfície. O fenômeno da difração depende da relação entre o diâmetro do orifício e o comprimento de onda da luz. Só conseguimos observar o efeito da difração quando o orifício é muito pequeno, menor que o comprimento de onda da luz emitida. 1. Um raio de luz incide verticalmente sobre um espelho plano inclinado de 10° em relação a um plano horizontal. Pode-se afirmar, que: Podemos observar esses fenômenos simultanea96 a) o raio refletido também é vertical. Física Fundamental – O Estudo dos Movimentos b) o raio refletido forma um ângulo de 5° com o raio incidente. c) o raio refletido forma um ângulo de 10° com o raio incidente. d) o raio refletido forma um ângulo de 20° com o raio incidente. 2. Na figura, S e S’ são superfícies de separação de meios transparentes. A trajetória do raio de luz apresentado representa que a luz: a) se reflete em S e em S’, b) se refrata em S e em S’, c) sofre apenas uma refração em S’, d) se reflete em S e se refrata em S’, e) se refrata em S e se reflete em S’. . S 97 UNIDADE IV Universo Mecânico: o Universo como uma máquina Física Fundamental – Universo Mecânico: o Universo como uma máquina TEMA 01 O MOMENTO LINEAR Deus era obrigado a lhe dar corda de vez em quando, o que significava admitir que a obra de Deus era imperfeita. Para evitar problemas, Descartes vai se refugiar na crença Metafísica, da indestrutibilidade do movimento. Com esta tese, Descartes, passa a defender abertamente, a concepção de que Deus, no momento da criação, dotou o Universo de movimento, e que se mantém constantemente. Consequentemente, se uma das partículas deste Universo Mecânico diminui a sua velocidade, outra partícula deve aumentar de velocidade para que a quantidade de movimen→ → to (p = m.v ) do Universo permaneça constante. Assim, num Universo Mecânico, ainda que a quantidade de movimento individual de cada partícula possa mudar, a quantidade de movimento total do sistema de partículas permanece constante. Diz ele: René Descartes O século XVII foi a época no qual a ciência assumiu a sua forma moderna e o espírito científico contagiou a Europa. Um dos expoentes mais significante e influente da Filosofia Natural desta época foi René Descartes (1596-1650), que desde jovem se rebelou contra a tradição na qual havia sido educado. No entanto, a atmosfera carregada de medo e de insegurança advinda da condenação de Galileo por defender o sistema copernicano, fez com que Descartes, para fugir de possível perseguição religiosa, fosse levado a desenvolver outro modelo para o Universo semelhante a um gigantesco relógio. Nesta construção, segundo Descartes, bastava apenas matéria e movimento, que, por ação de contato, geravam inumeráveis vórtices no espaço celeste que impeliam ao seu redor os planetas do sistema solar. “É perfeitamente razoável admitir que Deus, ao criar a matéria deu diferentes movimentos às suas partes, preserve toda a matéria nas mesmas condições em que a criou, portanto preserve nela a mesma quantidade de movimento” Definindo a quantidade de movimento (ou momento linear) total de um sistema de partículas por meio da soma dos momentos individuais de cada partículas do sistema, temos que: m1. v1 + m2.v2 + m3. v3 + m4.v4 + m5. v5 + m6.v6 +...+ mi. vi , o que é o mesmo que escrever p1 + p2 + p3 + p4 + p5 + p6 +...+ pi.. Em síntese, a quantidade de movimento total do Universo é PTOTAL = Σpi = constante. Guiado por sua convicção na Conservação da Quantidade de Movimento, as Leis da Colisão se converteu no principal tema da investigação científica. No entanto, para que as Leis da Colisão fossem consideradas em pormenor e de maneira razoavelmente precisa, Descartes, discordava da compreensão de movimento inercial formulado por Galileu. Para Descartes, o movimento inercial devia retilíneo em qualquer direção. 1. Dê algumas razões porque a teoria do movimento planetário de Descartes poderia ter sido “uma boa idéia útil”. Sua concepção de Universo apresentava, contudo, um sério e profundo problema religioso pois para que seu imenso Relógio Mecânico pudesse seguir seu curso inexoravelmente, 101 1. Demonstre que, para um sistema de duas UEA – Licenciatura em Matemática partículas de massa m1 e m2, que colidem ao longo de uma reta com velocidades V1i e V2i a conservação do momentum é dado por: m1 V1i + m2 V2i = m1 V1f + m2 V2f . A partir da definição de Descartes para a quantidade de movimento de um objeto Newton definiu matematicamente o conceito de Força como sendo “A quantidade de movimento se mede pela velocidade e quantidade de matéria tomadas conjuntamente (isto é, fazendo-se o produto)”. O que implica dizer que a Força é diretamente proporcional a variação da quantidade de movimento durante certo intervalo de tempo, isto é: . a) Em qual dos corpos atuou a força media cujo o módulo aumentou nos intervalos sucessivos de tempo? b) Qual dos corpos apresentou a maior variação, em módulo, da quantidade de movimento linear, entre 0 e 4 segundos? 1.2 DUAS ESPÉCIES DE MASSAS. Sabemos pela nossa experiência cotidiana que existe certa dificuldade para se colocar um determinado corpo em movimento. Empurrar um caderno não é a mesma coisa que empurrar um armário. O caderno requer menos esforço. Tal dificuldade provém, na realidade, da quantidade de matéria que eles contém. Essa quantidade de matéria é o que denominamos de massa inercial ou seja, a medida da dificuldade de se acelerar um determinado corpo. A relação F1 = - F2, permite que definamos operacionalmente o conceito de massa inercial. Assim, a partir da relação ∆p1 = –∆p2 chega-se a seguinte igualdade: m1/m2 = a2/a1. A experiência não pode fornecer o valor da massa inercial de um dos discos, ela fornece apenas a razão entre suas massas m1/m2 = a2/a1. No entanto, a partir do momento que podemos comparar, podemos medir. Para isso, basta escolher um corpo padrão e convencionar que sua massa inercial (m0) será a unidade. Por conseguinte, a massa inercial (m) desconhecida pode ser obtida pela relação: . 1.1 AÇÃO E REAÇÃO E MOMENTO LINEAR Durante a interação entre um par isolado de partículas, a quantidade de movimento de duas partículas varia em virtude das respectivas forças exercidas entre elas. De acordo com a conservação da quantidade de movimento (ou momento linear) temos que: p1 + p2= Constante. Entretanto, pela definição de força, temos que F1 + F2 = 0; ou seja: F1 = – F2 O que significa dizer que dois corpos ao interagirem as ações mutuas entre eles sejam iguais e opostas. Este par de forças (F1 e F2), denominado de par ação e reação, foi assinalada por Newton da seguinte maneira: “A qualquer ação se opõe uma reação igual: ou ainda, as ações mútuas de dois corpos são sempre iguais e se exercem em sentidos opostos” 1. A tabela abaixo apresenta os módulos das velocidades V, em diversos instantes de tempo t, dos corpos I, II, III, e IV, todos de massas constantes e iguais. Os corpos se movem sobre linhas retas, todos na mesma direção e sentido. 102 Entretanto, devemos nos acautelar quanto essa definição de massa, pois será que ela serve também para descrever o movimento de objetos nas proximidades da superfície da Terra? De acordo com a experiência realizada por Galileu, quando deixamos cair dois corpos de massas Física Fundamental – Universo Mecânico: o Universo como uma máquina inerciais diferentes próximo a superfície da terra, a experiência mostra que, desprezando-se os efeitos da resistência do ar, eles caem com a mesma aceleração. Neste caso, o que a massa inercial tem a ver com a massa gravitacional? Certamente que estes dois diferentes aspectos da massa, a coincidência entre a massa inercial e gravitacional, se constitui, talvez, num dos maiores mistério da Mecânica Clássica. Curiosamente, no entanto, Newton parece ter compreendido essa coincidência entre as massas pois ele fornece uma definição de massa, na qual: “A quantidade de matéria se mede pela densidade e volume conjuntamente”, que não passa de um circulo vicioso. 1.3 IMPULSO Quando duas partículas colidem, cada uma delas experimenta uma força dada por . Mesmo que o intervalo de tempo no qual a força age seja extremamente pequeno, a força atuando sobre um objeto durante a colisão transfere momento à partícula. Vamos agora relacionar estas forças de interação com as variações das quantidades de movimento dos corpos que colidem. Para qualquer força que aja durante um interva→ → lo de tempo bastante curto temos: F .∆t = ∆p . → O produto F .∆t se denomina de Impulso (I) de uma força, que se define pela variação da quantidade de movimento. Dessa maneira, podemos focalizar nossa atenção no que está ocorrendo com apenas uma partícula e, dizer que sobre a partícula atua uma Força Impulsiva. Com base nesta definição, gera-se um impulso → I = F .∆t quando uma força atua durante um curto intervalo de tempo numa colisão entre dois corpos. De modo que a intensidade da força varia desde zero, no exato momento do contato, alcança um valor máximo durante o tempo em que os corpos ficam em contato, e depois cai novamente a zero no exato momento em que ocorre a separação (vide a figura abaixo). No caso da força variar com o tempo, cabe I definir uma Força Média (FMÉD) dada por: = <F>. ∆t. Desse modo, a aplicação de uma força média, desde que permaneça constante, produz o mesmo impulso. 103 1. Um móvel de 4 kg tem uma velocidade de 30 m/s no instante t = 0 em que se lhe aplica uma força na mesma direção da velocidade, de intensidade representada no gráfico. Nestas condições, qual a velocidade do corpo no instante t = 6,0s? 2. Um objeto de 20Kg está inicialmente em repouso sujeito a ação de duas forças ortogonais de 6,0N e 8,0N respectivamente. Se estas forças atuarem durante 4,0s (a) qual a velocidade final do objeto R = 2,0 m/s. (b) qual o trabalho realizado pela resultante das forças? 3. Uma nave espacial de 103kg se movimenta, livre de quais quer forças, com velocidade con- UEA – Licenciatura em Matemática stante de 1,0m/s em relação a um referencial inercial. Necessitando parar, o centro de controle decide acionar um dos motores auxiliares, que fornece uma força constante de 200N na mesma direção, mas em sentido contrario ao do movimento. Este motor deverá ser programado para funcionar durante quanto tempo? 4. Uma metralhadora dispara (n) balas por segundo. Cada bala tem uma massa (m) e uma velocidade escalar (V). As balas atingem um alvo fixo, onde ficam encravadas. Qual a força média exercida sobre o alvo? plo, o do jogador de tênis que para transmitir o máximo de quantidade de movimento a bola, ele a impulsiona com um movimento do corpo. Pode acontecer, também de o intervalo de tempo da colisão ser extremamente curto e a força ser bastante intensa. Este é o caso, por exemplo, do que ocorre quando uma pessoa chuta uma bola, causando um considerável impulso a bola. O mesmo acontece quando um lutador de caratê quebra uma pilha de tijolos com a mão. Ele procura atingir os tijolos com uma grande velocidade, de modo que a sua mão não pare na superfície, mas em algum dentro da telha. Sendo o tempo de contato extremamente curto, a força torna-se extremamente intensa. Portanto, durante uma colisão para que a força exercida sobre um objeto torne-se máxima, de modo a criar uma variação de momento linear máximo, é necessário tornar o intervalo de tempo o mais curto possível. Estas são as razões pelas quais, os modernos automóveis são construídos com materiais que possam ser facilmente deformáveis, aumentando o intervalo de tempo de colisão, de modo a reduzir ao máximo a força de impacto e a desaceleração. Algumas vezes, no entanto, ocorre de querermos variar o momento linear de um objeto com uma força pequena. Por exemplo, quando você pula de um muro/janela. Instintivamente, dobramos o joelho ao tocarmos o chão. Este simples ato aumenta o tempo de colisão entre o corpo e o solo, reduzindo a força exercida sobre você pelo solo. Porque os lutadores de boxe procuram movimentar a cabeça ao longo do soco. Sendo o impulso igual a variação da quantidade de movimento de cada bala, que vale exatamente m.V, ou seja, cada bala exerce um impulso m.V sobre o alvo. Como o numero de balas que atinge o alvo igual a n.∆t, o impulso total exercido é I = Numerototaldebalas . ∆p = n∆tmV. Sendo I = F.∆t, temos que a força média será: F = nmV, que pelo principio da ação e reação, corresponde a intensidade da força media exercido pelas balas sobre a arma durante o disparo. A figura abaixo ilustra a diferença entre a força instantânea e a força média exercidas pelas balas. 1. Num intervalo de 1,0 segundo, 300 partículas, cada uma de 10 g e com velocidade de 10m/s, colidem elasticamente e perpendicularmente contra uma parede de área igual a 1m2. Qual a pressão media exercida na parede durante esse intervalo de tempo. Este movimento estende o tempo de contato com a luva do adversário, reduzindo a força de impacto necessário para parar o soco, evitando que o maxilar quebre. 1.4 LEI DA CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR Na analise da colisão entre duas partículas cada um dos corpos exerce uma força externa sobre o outro, num intervalo de tempo tão pequeno. 104 Este resultado simples, pode ser ilustrado por números exemplos cotidianos como, por exem- Física Fundamental – Universo Mecânico: o Universo como uma máquina Assim, se durante uma colisão unidimensional, → a partícula 1 exerce uma força (F 12) sobre a partícula 2 esta, por sua vez, exerce uma força → (F21) sobre a partícula 1 (vide figura abaixo). da colisão entre duas esferas de massa de vidraceiro. Quando (0<e<1) a colisão era considerada parcialmente elástica. Ainda que tenhamos considerado a Lei da Conservação da Quantidade de Movimento para duas partículas, ela é validada, também, para um numero qualquer de partículas que constituem um sistema isolado, isto é vale para partículas sujeitas apenas as interações mutuas, sem interações com outras partes do Universo. Portanto em sua forma geral, a Lei da Conservação da Quantidade de Movimento tem o seguinte enunciado: “num sistema físico isolado a quantidade de movimento é → → constante”, isto é: se F = 0 então ∆p = con→ → stante, o que significa dizer que: ∆p 1 – ∆p f. EXEMPLOS I – Quando uma granada ou uma bomba, por exemplo, explode em vôo, a quantidade total de todos fragmentos, imediatamente após a explosão, deve ser igual ao valor da quantidade de movimento da granada ou da bomba, imediatamente antes da explosão. II – De modo semelhante quando um núcleo se desintegra, emitindo um elétron e um neutrino, a quantidade de movimento total do elétron, do neutrino e do núcleo resultante deve ser nula, desde que, inicialmente, o sistema estava em repouso em relação ao laboratório. III – Outro exemplo, é o recuo de um canhão. Inicialmente, o sistema (arma + projétil) esta em repouso, e a quantidade de movimento total é nulo. Quando a arma é disparada, o canhão recua para compensar a quantidade de movimento adquirido pelo projétil em seu movimento. Sendo F 12 = –F21 e, como estas forças tem a → → mesma duração, obtemos que: ∆p 1 = –∆p 2 ou → → seja: ∆p 1 + ∆p 2 = 0 que expressa a Lei da Conservação da Quantidade de Movimento. Generalizando a expressão ∆p 1 + ∆p 2 = 0 → → → → temos que: p 1i + p 2i = p 1f + p 2f, onde os índices i e f é empregado para denotar os valores da quantidade de movimentos das esferas 1 e 2, antes e depois da colisão. O resultado acima pode ser representado vetorialmente por meio da figura abaixo. → → → → Esta é uma generalização muito poderosa, pois se aplica a uma variedade de colisões, independente do grau de dureza e elasticidade do material que constitui as esferas. Aliás, foi utilizando a relação entre as velocidades relativas depois e antes da colisão, que se definia o grau de elasticidade dos materiais, que era denominado de Coeficiente de Restituição, cujo o símbolo é a letra minúscula (e), que se determina pela seguinte relação: . Assim, com base neste critério era possível classificar o tipo de colisão. Quando (e = 0) a colisão era considerada elástica ou perfeitamente elástica, isto é: quando o rebote é quase perfeito como no caso da colisão entre duas esferas de aço, de marfim, vidro, etc,. Se (e = 1) a colisão se chamava completamente inelástica, pois não há rebote, como ocorre no caso 105 1. Um tronco de 50kg desde o rio madeira levado por ma correnteza com velocidade constante de 2,0m/s. Um marreco de 10Kg, voando a 2,0m/s rio acima, procura pousar no tronco. O marreco escorrega de uma extremidade a outra sem conseguir permanecer obre o tronco, saindo com velocidade de 0,5 m/s. UEA – Licenciatura em Matemática Desprezando-se o atrito com a água, qual a velocidade final do tronco, assim que o marreco o abandona? (Considere todas as velocidades em relação às margens do rio madeira) 2. Um garoto de 20 Kg corre por cima de uma tora da madeira de 80 Kg tora de madeira que se encontra boiando n’água. Despreze o atrito entre a tora de madeira e a superfície d’água. Se o garoto corre com uma velocidade constante de 1 m/s em relação tora. a) qual o sentido do movimento da tora em relação a superfície d’ água? b) Qual a velocidade do garoto em relação a superfície d’água? 3. Adryelle e suas amigas Ariane e Ágata, alunas de Física querendo determinar a massa de um carrinho, montaram o seguinte experimento. Prenderam uma mola de massa desprezível entre o seu carrinho e um outro cuja a massa M era conhecida. Em seguida comprimiram uma mola entre os carros e, para que os carrinhos ficassem em repouso sobre uma superfície plana e extremamente lisa, amarraram os carrinhos com um barbante. Ao cortar o barbante, elas constaram que a velocidade do seu carrinho era 3 vezes menor que a do outro. Qual a massa do carrinho da Adryelle? 4. Durante as compras num supermercado, Ângelo empurra um carrinho de 10Kg, contendo 15Kg de mercadorias, com velocidade constante de 0,1 m/s, num piso horizontal, com atrito desprezível. Em dado momento, Ângelo esquece o carro que continua seu MRU. Sua mãe, preocupada com a situação retira, verticalmente, do carrinho um pacote de açúcar de 5Kg. Qual a velocidade do carrinho após a mãe ter retirado o pacote de açúcar? 5. Uma espaçonave de massa M, desloca-se com velocidade V. Em determinado instante, os tripulantes desprendem o compartimento de “lixo espacial” (M/2) do módulo de comando um compartimento (M/2) que passam a viajar na mesma e no mesmo sentido. Admitindo-se que o módulo de comando adquiriu uma velocidade que é o dobro do compartimento da lixeira, qual o modulo das suas velocidades finais? 106 1.5 COLISÃO INELÁSTICA Ocorre quando duas partículas, após a colisão, permaneçam juntas. Mesmo neste caso, a lei da conservação da quantidade de movimento continua válida. Desse modo, caso uma das partículas esteja em repouso, a velocidade com que o sistema se move após a colisão é 1. tentar medir a velocidade da uma bala, um bloco de madeira foi colocada na beira de uma mesa plana e lisa de 0,80 m de altura. Quando a bala foi disparada horizontalmente contra o bloco, ela alojou-se nele, vindo o conjunto atingir o solo a 1,20 da beira da mesa. Determine a velocidade V da bala. 1.6 COLISÃO OBLÍQUA Resulta do fato dos centros de duas esferas que estão se movendo não estarem na mesma direção. Assim, o vetor quantidade de movimento após o impacto pode ser decomposto em duas componentes: um na direção da linha que atravessa o centro do impacto e a outra na direção perpendicular a esta linha. Considere, por exemplo, a seguinte situação: uma esfera se move horizontalmente e, após colidir contra outra esfera em repouso, se observa que suas trajetórias se desviam de um ângulo α e β. A determinação do comportamento final das duas esferas, pode ser esclarecida utilizando→ → → → se a equação vetorial p 1i + p 2i = p 1f + p 2f conforme mostra a figura abaixo. Física Fundamental – Universo Mecânico: o Universo como uma máquina A figura abaixo é uma fotografia na qual uma partícula alfa (núcleo de hélio) incidindo contra um átomo de hidrogênio, inicialmente em repouso. A fotografia mostra que a partícula alfa é desviada da sua direção original e o átomo de hidrogênio é posto em movimento. Por meio do diagrama das quantidades de movimento é possível determinar, por exemplo, o ângulo de espalhamento entre as partículas. 1.7 COLISÃO: CASO GERAL No capitulo anterior apresentamos a aplicação da Lei da Conservação da Quantidade de Movimento para vários tipos de colisões, o que implica em se conhecer as massas e as velocidades envolvidas, antes e após a colisão. Dada a diversidade de variáveis envolvidas, a aplicação sozinha da relação acima não consegue oferecer uma resposta completa ao problema. Neste caso, é indispensável que se estabeleça outra relação entre as velocidade através da Energia Cinética. 1º CASO: Partículas de mesmas massas (m1 = m2) com velocidades iniciais. Após a colisão as partículas trocam de velocidades. A velocidade final de uma e a velocidade inicial da outra. 2º CASO: A partícula-alvo (m2) está em repouso e é muito maior que a partícula-projétil (m1), ou seja: m2>>m1. Após a colisão a velocidade da partícula leve se inverte e a partícula-alvo se mantém praticamente em repouso. 3º CASO: A partícula-projétil (m1) é muito mais maciça que a partícula-alvo (m2), isto é: m1<<m2. Após a colisão, a partícula-alvo passa a ter o dobro da velocidade da partícula-projétil. Quanto a partícula-projétil, mantém praticamente sua velocidade inicial. 1. Num jogo de bilhar uma bola preta, de massa M e velocidade V colide frontalmente contra uma bola vermelha, idêntica, parada. Após a colisão, qual a velocidade da bola preta? 2. Uma esfera A, de 6,0Kg, desloca-se com uma velocidade de 8,0m/s quando colide contra outra esfera B, de 4,0Kg, que se encontra parada. Após a colisão, quais as velocidades da esfera A e da esfera B? 3. Uma esfera de massa M, com velocidade V, colide frontalmente contra outra esfera de massa 2M inicialmente em repouso. Após o choque quais as velocidades, respectivas, de cada esfera? A partir do estabelecimento das Leis de Conservação da Quantidade de Movimento e da Conservação de Energia podemos obter, de uma maneira geral, as velocidades finais das duas esferas durante uma colisão elástica unidimensional. 1.8 A EXTRAPOLAÇÃO DO CONCEITO DE IMPULSO DISCRETO AO CONTINUO A extrapolação do principio da ação e reação a partir da colisão entre duas partículas para corpos afastados gera alguns embaraços conceituais quanto a aplicação das forças. No caso das partículas estarem em contato, é muito fácil 107 A partir destas relações vejamos alguns casos especiais de colisões elásticas unidimensionais que merecem destaque: UEA – Licenciatura em Matemática imaginar que a transmissão da força é instantânea. Entretanto, se as partículas estiverem separadas, surge a seguinte questão: como uma partícula pode transmitir instantaneamente através do espaço a ação para a outra partícula? Uma vez que na definição da quantidade de → → movimento p = m. V existe a dependência do valor da velocidade, torna-se difícil de aceitar que a transmissão do momento linear de uma partícula a outra ocorra instantaneamente. A luz, por exemplo, demora cerca de 8 minutos para percorrer a distância do Sol a Terra. Michael Faraday, século XIX, tentou superar esta dificuldade admitindo que a quantidade de movimento é transportado mediante a existência de um campo que se estabelece no espaço. Newton percebeu que esta questão da “ação à distância” constituía-se numa falha de sua Teoria da Gravitação, contornou o problema postulando a existência de um meio material, extremamente sutil, imponderável, chamado de éter. Ele acreditava que a atração entre os corpos devia-se uma sucessão de pequenos impulsos sobre a Terra dirigido sempre para o mesmo ponto (centro de forças). Em vista disso, ele imaginou que um objeto deslocando-se ao longo de AB, recebia um pequeno impulso sempre dirigido para o ponto S (centro das forças). Como resultado, o objeto passava a se mover ao longo da reta Bc, ao invés de Bc. Impulsos similares levam o objeto as posições D, E e F. No limite, quando os intervalos de tempo entre cada uma das colisões se tornarem extremamente pequenos, tanto a linha poligonal quanto a série de forças impulsivas discreta e simultâneas, se tornam continuas. Tal como ocorre durante uma rajada intermitente da balas disparadas por uma metralhadora. 1. Quando um meteorito passa próximo a Terra, devido a interação gravitacional desvia sua trajetória e, as vezes escapa, sem colidir com a Terra. Considerando que o módulo das velocidades inicia e final do meteorito sejam as mesmas, determine a direção e o sentido da quantidade de movimento adquirido pelo meteorito e pela Terra. 108 Física Fundamental – Universo Mecânico: o Universo como uma máquina TEMA 02 A LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL O interesse de Newton pelo desenvolvimento de uma dinâmica para o movimento planetário, na segunda metade do século XVIII, é uma pequena amostra das discussões que se realizavam durante os encontros da Royal Society. Por exemplo, um grupo de respeitáveis cavalheiros, entre os quais se destacam Edmond Halley (famoso astrônomo), Christopher Wren (expresidente da Royal Society, astrônomo, geômetra, físico e arquiteto) e Robert Hooke (exímio físico experimental e conceituado astrônomo), debatiam, entre outras coisas, qual deveria ser a Lei de Força necessária para que um planeta se movesse numa órbita elíptica, conforme havia sido estabelecido por Kepler. Nestas discussões, as idéias eram impregnada pela teoria do filósofo francês René Descartes (1596-1650), segunda a qual o espaço estava cheio de um fluido sutil e invisível (Éter), que transportava os planetas através de gigantescos redemoinhos em torno do Sol. Aliás, mesmo depois de Newton ter publicado sua teoria, físicos e astrônomos continuaram empregando ta explicação. Sol deveria diminuir com o quadrado da distância ao Sol. O próprio Hooke gabou-se a Halley de tê-la determinado. 1. Explique que implicações essa relação encontrada por Halley pode ter no cálculo da aceleração da gravidade? e para o peso de um objeto? Entretanto, a despeito dos insistentes pedidos de Halley e Wrem para que Hooke apresentasse publicamente a solução, ele não o fez. Cansados de esperar, Halley, em agosto de 1684, decidiu ir à luta, foi até Cambridge consultar Newton. Qual não foi sua surpresa, ao saber que Newton, a partir de que a gravidade diminua com o quadrado da distância, já havia até calculado que a curva descrita por um planeta era uma elípse. Após insistentes apelos, Halley, conseguiu convencer a Newton que publicasse, em 1687, sua obra “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica”, vindo se revelar no maior fenômeno de público e de vendas, como também de críticas desde aquela época. 1. Em que difere a concepção de força conjecturada por Kepler com a de Newton? 2. tem alguma idéia do porque a Teoria de Descartes era considerada útil pelos cientistas da época? 3. Qual é atualmente a importância da obra de Newton? Somente histórica? ou ela ainda é realmente útil para a Ciência? Explique seu ponto de vista. 1. Qual a idéia central da Teoria de Newton ? Em que ela difere da de Descartes? No Principia, Newton aplica sua teoria dinâmica para a explicação da Máquina do Mundo, ou seja, como as mesmas leis gerais do movimento terrestre podiam ser aplicadas tanto aos planetas e seus satélites, quanto aos fenômenos terrestres. Apesar de tudo, aquele grupo de estudiosos não descartaram completamente as explicações de Kepler, de que a Força emanada do 109 1. Sugira uma maneira bem simples pela qual Newton podia demonstrar as Leis de Kepler. UEA – Licenciatura em Matemática O golpe de mestre de Newton consistiu em ter se conscientizado de que a gravidade estendese até órbita da lua. De modo que guiado por esta idéia comparou a distancias percorridas pela maçã e pela “queda” da lua ao afastar-se de seu movimento inercial em 1,0 segundo, Newton constatou que a relação era de . Centrípeta para qualquer força que esteja dirigida para o centro da curva descrita pelo objeto. Fundamentado na 3ª Lei de Kepler, Newton deduziu que a Lei da Atração Gravitacional, além de variar na razão inversa do quadrado da distancia deveria ser proporcional à massa do planeta. Newton, foi assim levado à conclusão que não somente a Terra atrai uma maçã e também a Lua, mas que qualquer corpo do universo atrai todos os outros. Esta descoberta era apenas o começo, pois os problemas teóricos que ele precisava vencer eram enormes. Se comparar-mos o período da descoberta, por volta de 1665 e a publicação da sua obra cientifica, o Principia, publicado em 1687, verificaremos que mais de 20 anos se passaram. O que teria levado Newton a aguardar tantos anos antes de publicar os seus resultados? A dificuldade principal residia em encontrar resposta matematicamente correta e convincente a suposição de que o cálculo da força de atração que a Terra exerce sobre um corpúsculo situado fora dela, podia ser feito admitindo que toda a massa da Terra estava concentrada no seu centro. Esta conjectura audaciosa foi o que levou Newton a criar um instrumento matemático que ele não dispunha na época: o cálculo integral. A construção e o desenvolvimento destas idéias serve como parâmetro para avaliar a capacidade intelectual de Newton. Foi, portanto, a elaboração das demonstrações matemáticas que justificassem aquela suposição que levaram mais de vinte anos. Somente por volta de 1685 é que Newton conseguiu demonstrar que, para uma força central inversamente proporcional ao quadrado da distância (aliás, isto só vale para uma tal força!), a atração exercida por uma esfera por uma partícula externa é como se toda a massa da esfera estivesse concentrada em seu centro, o que está muito longe de ser óbvio. Sabedor de que a Lua está 60 vezes mais longe do centro da Terra que uma maçã, seus cálculos revelavam maravilhosamente que a força era proporcional o inverso do quadrado da distancia. Newton demonstra, portanto, que a força que mantém a lua em órbita é a mesma que atua sobre uma maça puxando para a Terra. Força da Gravidade. Foi esta arrojada e brilhante conjectura que lhe permitiu unificar os movimentos dos corpos próximos à superfície terrestre e os movimentos celestes. Em resumo, foi em termos da força centrípeta, em conjunto, com as Leis de Kepler que Newton constituiu o núcleo central de sua Teoria da Gravitação Universal. Conforme ele mesmo fez questão de contar, esta descoberta foi realizada, em 1665, aos 23 anos, durante os anos da Peste Negra que assolou Londres. Como a Universidade foi fechada, Newton refugio-se em sua casa, levando em sua bagagem um caderno onde constavam 22 questões que havia proposto a si mesmo que ia desde as descobertas de Galileu da queda dos corpos e das leis do movimento planetário estabelecido por Kepler. Newton sabia que para a Lua se manter em órbita, alguma coisa tinha que atrair a Lua, pois de acordo com o Principio da Inércia ela tenderia a se mover em MRU. Dispondo dos valores da excentricidade da órbita elíptica para diversos planetas, como se pode constatar pela tabela 1, considerou como uma aproximação muito boa que o movimento orbital da lua fosse um MCU e, se perguntou, então, como age a força que atua sobre a lua? Sabendo que num MCU a aceleração é centrípeta e, uma vez entendido que a força que mantém a Lua na sua órbita é a mesma que faz uma maçã cair, Newton cunhou a expressão Força 110 1. Demonstre a seguinte proposição de Newton: “... que um corpúsculo situado fora de uma esfera Física Fundamental – Universo Mecânico: o Universo como uma máquina é atraído com uma força inversamente proporcional ao quadrado de sua distancia ao centro.” 1. graficamente o comportamento da força gravitacional para (a) uma esfera oca e para (b) uma esfera maciça exercem sobre um corpúsculo. Entretanto, Newton resolveu o problema por meio de uma explicação surpreendente bastante simples. Considerou que uma reta qualquer que passa pelo ponto P interno à camada, cortando a esfera nos pontos A e B (figura abaixo). Newton, em seguida, estende seus resultados e aos demais planetas do sistema solar e, finalmente, estabelece sua extraordinária síntese: a Lei da Gravitação Universal. “Que existe uma potencia de gravidade que pertence a todos os corpos e é proporcional a diferente quantidade de matéria que cada um deles contém. [Porque] já demonstramos que todos os planetas gravitam um para o outro, e que a força da gravidade para cada um deles, considerada separadamente, é inversamente proporcional ao quadrado da distância ao centro do planeta. E portanto segue que a gravidade que tende para todos os planetas é proporcional a matéria que contem.” Se traduzirmos “potencia de gravidade” como a força pelos quais os corpos se atraem, e “quantidades de matéria” pela massa, podemos estabelecer formalmente a Lei da Gravitação Universal da maneira como é atualmente entendida: É a força com que cada objeto no Universo atrai conjuntamente outro objeto, sendo diretamente proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distancia entre eles. Matematicamente, podemos expressar a Força de Atração Gravitacional por: , Um cone infinitésimo de vértice P e eixo AB intercepta a esfera em duas áreas infinitésimas ∆A e ∆B, cujas projeções no plano da figura são A’A” e B’B”. Os triângulos infinitésimos PA’A” e PB’B” são semelhantes, pela igualdade dos ângulos correspondentes, de modo que A’A” = PA”. Portanto, uma casca esférica, uniforme, de matéria atrai uma partícula que está fora dela, como se toda a sua massa estivesse concentrada no seu centro. Assim sendo, podemos imaginar a Terra como uma superposição de cascas esféricas, cada uma atraindo uma partícula exterior ao planeta, como se a sua massa estivesse no centro dela. A partir desse resultado Newton generaliza para o caso de uma esfera maciça. Na solução, Newton aplicou o Principio da Superposição, o que lhe permitiu que pudesse dividir mentalmente a esfera numa coleção de finas camadas concêntricas, de modo que atuando individualmente pudessem ser tratadas como se fossem partículas. 111 onde M1 e M2 são as massas dos dois corpos, r é a distancia entre eles e G é uma universal constante da natureza, denominada de constante gravitacional. Como as forças de atração, F e –F entre as duas partículas dependem apenas da separação entre elas, diz-se que elas estão sujeitas a força central numa dada região do espaço. r Uma força central [F = f(r)^] tem, portanto, tem as seguintes propriedades: → UEA – Licenciatura em Matemática i) Está dirigida segundo a linha que liga a partícula a um ponto fixo, chamado centro de forças. ii) O valor da força só depende da distância r ao centro de forças. Logo, o valor de F tem o mesmo valor em todos os pontos de uma esfera de raio r. 2.1 O VALOR DE G e a MASSA DA TERRA Deve-se evitar confundir a constante G, que não é uma constante universal, com a aceleração da gravidade (g), cujo valor depende do local onde deve ser determinadas. Newton, tentou obtê-la no “Principia”, através da densidade media (ρT) da Terra. O problema técnico da determinação do valor de G foi resolvido por Henry Cavendish, após 71 anos após a morte de Newton, que utilizando uma balança de torção, obteve um valor para Gque é bastante próximo do valor atualmente aceito: G = 6,67x10–11N.m2/kg2. Esta experiencia Cavendish denominou de “pesagem da Terra”. puxe a maçã para baixo com uma força de 0,80 N. Então, a maçã deve atrair a Terra para cima com uma força de mesmo módulo, que vamos considerar no centro do planeta. Embora sejam iguais em módulo, essas forças produzem acelerações diferentes, quando deixamos a maçã cair. Para a maça, a aceleração é cerca de 9,8 m/s2, a conhecida aceleração da gravidade perto da superfície da Terra. Este resultado nos leva a três implicações cruciais: I. a de que, desprezando-se a resistência do ar, a aceleração adquirida por todos os objetos, independente de suas massas (m) ou de seus pesos (P) caem livremente, próximo a superfície da Terra, é constante. Tal como postulada por Galileu. Como se pode verificar, o valor desta aceleração (g) depende essencialmente das características do planeta: sua massa, raio, constante gravitacional G, volume, constituição física, etc. Em particular, na superfície da Terra, próximo ao nível do mar a uma latitude de 45º e, desprezando-se a resistência do ar, o valor calculada para aceleração da gravidade (g) vale: g = 9,8665 m/s2 II. A segunda conseqüência é a de que, dentro da mecânica newtoniana a equivalência entre a massa inercial e a massa gravitacional é uma pura coincidência experimental, conforme ele mesmo expressou. III. Finalmente, como dissemos acima, a 2ª lei de Kepler, desvela a existência do conceito, até então insuspeito, associado ao movimento rotacional, de Momento Angular e sua conservação. 1. Empregando a Força de Atração Gravitacional dada acima, determine o valor da aceleração da gravidade (g) de uma massa (m) na superfície da Terra. Sendo M massa da Terra. Do ponto de vista, por exemplo, de uma maçã, a Terra se comporta como uma partícula, tendo a sua massa localizada no centro. A maçã puxa a Terra para cima com a mesma intensidade que é puxada pela Terra para baixo. Suponha, de acordo com a figura, que a Terra 112 1. As observações astronômicas realizadas com a luneta, por Galileo, em 1610, o levou a descoberta das “luas” de Júpiter (pequenos satélites) girando em torno dele, em uma órbita circular de raio r e período T. Diz ele: “... percebi que ao lado do planeta Física Fundamental – Universo Mecânico: o Universo como uma máquina havia três pequenas estrelinhas, pequenas, mas muito brilhantes ...” Tendo por base unicamente estas informações, qual(ais) da(s) medida(s) abaixo pode ser determinada? Justifique sua resposta. a) b) c) d) a massa de Júpiter o valor g para numa das “luas” o valor de na superfície de Júpiter a força gravitacional sobre uma das “luas”. 6. Pretende-se colocar, a uma altitude de 800km acima da superfície, um satélite artificial de 1,0 tonelada em órbita circular ao redor da Terra. Determine: (a) A velocidade tangencial para se obter a órbita desejada. (b) O numero de voltas que o satélite dará por dia em volta da Terra. (c) O peso do satélite naquela altura. (d) A Energia total do satélite em função da sua distancia ao centro da Terra. Considere: G = 6,67 x 10–11N.m2.kg–2 2. Analise e comente a seguinte afirmação: “a força com que o Sol atrai a Terra e a força que faz um pedaço de pão cair no chão são de mesma natureza” 3. A massa do Sol é cerca de 27.000.000 vezes maior que a da Lua; o Sol está cerca de 400 vezes mais distante da Terra que da Lua. Compare as forças gravitacionais exercida pelo sol e pela Lua sobre a Terra. 4. Júpiter, o maior planeta do sistema solar, tem diâmetro 11 vezes maior do que a Terra e massa 320 vezes maior que a terrestre. Sabendo-se que na Terra o peso de um astronauta com todo o seu equipamento é de 120 N, quanto ele corresponderá na superfície de Júpiter? 5. Devido a rotação da Terra em torno de seu eixo, o peso de um corpo é diferente nos diversos pontos da Terra. Considere a Terra como uma esfera de raio R e, como se a sua massa M fosse homogênea. Indique a direção das forças que atuam sobre o seu corpo no Equador e no Pólo Norte da Terra. Estabeleça para esses casos uma relação para a intensidade da aceleração da gravidade local 6. Quando você está assistindo um programa de TV isto só é possível, porque os satélites artificiais usados em telecomunicação, capta o sinal eletromagnético da estação transmissora, amplifica e emite para o local que deve receber a transmissão. Este satélites geralmente são colocados em órbita circulares no plano equatorial da Terra. a) porque estes satélites são denominados de Estacionários ? b) porque eles não caem sobre a Terra? c) Qual a relação entre a velocidade angular e a velocidade tangencial do satélite? 113 M = 6,67 x 1024kg R = 6,67 x 103km 7. Suponha que exista um planeta que tem o triplo da massa da Terra e o seu raio é o dobro do raio da Terra. Quanto valerá, na superfície deste planeta, o peso de uma massa de 20Kg? 8. Suponha que a velocidade de rotação da Terra aumentasse até que o peso de um objeto sobre o equador ficasse nulo. De quanto deveria ser o período de rotação da Terra em torno de seu próprio eixo? (Considere o raio da Terra de 6 400Km e g = 10m/s2) 9. Antes do astronauta entrar na nave espacial que o conduzirá até Júpiter, seu peso é de 1000N. Sabendo-se que o raio de Júpiter é 11 vezes maior que o da Terra e que sua massa 320 vezes maior que a da Terra (a) quanto valerá a massa e o peso do astronauta em Júpiter? 10. Duas estrelas duplas, de massas M e 2M, separadas por uma distancia D executam movimentos circulares em torno do centro de massa comum. Nessas condições, qual a mínima quantidade de energia necessária para separar completamente as duas estrelas? 11. Na sua opinião, porque a Lua não de encontro a Terra? 12. Afrânio cresceu tomando banho no cacimbão pulando do galho de uma mangueira de 6,0 m de altura. Após concluir seu curso de matemática, virou astronauta e foi pular no Mar da Tranqüilidade na Lua. De que altura Afrânio deve cair na Lua para adquirir a mesma velocidade com que atingia a água do cacimbão? UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 03 A LEI DE GAUSS Um dos maiores matemáticos de todos os tempos, Sr. Carl Friedrich Gauss (1777-1855), para expressar a relação entre carga elétrica e campo elétrico, formulou a denominada lei de Gauss. Essa lei foi formulada em termos do conceito de fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada. Então podemos determinar o fluxo do campo elétrico de uma carga puntiforme Q através de uma superfície fechada que envolve essa carga. Observando a figura (a) temos a normal saindo da superfície irregular forma um ângulo φ com o vetor campo elétrico. Na figura (b) temos a projeção do elemento de área dA sobre a superfície esférica. Por questão de ser mais fácil escolheremos uma superfície esférica de raio r e com a carga exatamente em seu centro. Friedrich Gauss Conversando com um guarda de trânsito acerca da quantidade de carros que passam numa determinada via de um bairro em Manaus num dado intervalo de tempo, estaremos exatamente considerando o fluxo de veículos que passam naquele lugar. Pronto, já temos a idéia de fluxo. Agora vamos pensar em como calculá-lo. Observe que a escolha da superfície gaussiana deve sempre satisfazer a condição de simetria, sendo assim, poderíamos usar também uma superfície cilíndrica ou até mesmo cúbica. O importante é saber que no uso da Lei de Gauss, a questão não é usar a simetria apenas para facilitar a solução, a aplicação dessa lei depende fundamentalmente da simetria e se não pudermos usar a simetria não podemos usar a lei de Gauss para obter a solução. omo podemos observar, o vetor campo elétrico → → Ei e a normal Ni são paralelos de modo que cosθi= 1 e Φtotal = Para determinar o fluxo do campo elétrico através de uma superfície precisamos dividi-la em pedacinhos de área ∆Si, calcular o fluxo através de cada pedacinho e por fim, somar as contribuições de todos os pedacinhos. O fluxo do campo elétrico através de um elemento de área ∆Si é em geral dado por: Ei∆Si , Usando a lei de Coulomb, onde podemos escrever: ∆Si Onde ri corresponde à distância entre as cargas e ponto em que se quer medir o campo. A lei de Coulomb e a lei de Gauss elétrica estabelecem uma relação entre o campo elétrico e as cargas elétricas que são fontes desse campo. 114 Φ∆Si= Ei∆Sicosθi Onde θi é o ângulo entre os vetores que repre→ sentam o campo elétrico e a normal N à superfície ∆Si. Física Fundamental – Universo Mecânico: o Universo como uma máquina Neste caso em que a carga se encontra posicionada no centro de esfera, a distância para qualquer elemento de área é igual ao raio r da esfera, então nossa equação fica assim: EXEMPLO A figura abaixo indica o campo elétrico produzido por duas cargas puntiformes de mesmo módulo e sinais diferentes q e –q (um dipolo elétrico). Determine o fluxo elétrico através das superfícies fechadas A, B, C e D. Φtotal = ∆Si O valor da somatória dos elementos de área ∆Si para uma esfera de raio r é igual à área da superfície esférica, é dado matematicamente por: ∆Si = Stotal = 4πr², o que corresponde a área da superfície esférica escolhida. Daí, Φtotal = 4πr² = , ou seja, o fluxo elétrico é independente do raio da esfera. Ele depende apenas da carga Q existente no interior da esfera. Logo, podemos concluir que a expressão: Solução: Pela definição de fluxo elétrico teríamos que usar a seguinte integral para esse cálculo: Φtotal = representa a lei de Gauss e podemos No entanto, a lei de Gauss nos diz que o fluxo total através de qualquer superfície fechada é igual ao valor da carga elétrica total no interior da superfície, dividido por ε0. Sendo assim: • a superfície A engloba a carga positiva; então, Q = +q; • a superfície B engloba a carga negativa; então, Q = –q; • a superfície C engloba ambas as carga; então, Q = +q +(–q)=0; • a superfície D não possui nenhuma carga em seu interior; então, Q = 0. Com esse artifício fica claro a conveniência em aplicar a lei de Gauss. E podemos concluir que • o fluxo elétrico total para a superfície A é dado por ΦE = + • o fluxo elétrico total para a superfície B é dado por ΦE = – • o fluxo elétrico total para as superfícies C e D é dado por ΦE = 0. 115 descrevê-la assim: “o fluxo total do campo elétrico através de uma superfície fechada é proporcional às cargas elétricas situadas no interior dessa superfície dividida por ε0”. A lei de Gauss nos dá uma nova visão para os campos e para as cargas elétricas. Uma conseqüência dessa lei é a constatação de que as cargas de um condutor se distribuem sobre sua superfície e não em seu interior. Bem, se pararmos para pensar em algumas aplicações tecnológicas que derivam das forças elétricas, podemos nos lembrar do tubo de raios catódicos de uma televisão; monitores de computador; osciloscópio, que mostra a variação de um sinal elétrico em um dado intervalo de tempo através de visualização gráfica (também usado no diagnóstico de peças defeituosas em equipamentos eletrônicos, regulagem de equipamentos de som, etc.). E se tomarmos como exemplo a luz que vem de uma estrela distante, veremos que o conceito de campo elétrico não é meramente ilustrativo. O campo elétrico é uma entidade física real, o que fica bem evidente ao analisarmos as ondas eletromagnéticas (será estudado mais adiante, aguardem!). O campo elétrico transportado pela onda é capaz de carregar energia, momento linear e momento angular. UEA – Licenciatura em Matemática Observe que esses resultados só dependem das cargas existentes no interior da superfície gaussiana. 3.2 CAMPO ELÉTRICO NUMA ESFERA OCA E MACIÇA A lei de Gauss e a lei de Coulomb são formas diferentes de abordar o mesmo problema. Portanto, o cálculo do campo elétrico para determinada distribuição de carga fornece o mesmo resultado, quer seja realizado através de uma ou outra lei. Então, quando e por que usar uma ou outra lei? Como regra, o uso de uma ou outra lei é determinado pelas seguintes circunstâncias: • Distribuição de cargas com alta simetria Lei de Gauss • Distribuição de cargas com baixa simetria Lei de Coulomb CAMPO DE UMA CARGA PUNTIFORME 1. Pode-se afirmar que, numa placa condutora plana infinita e eletricamente carregada, as cargas elétricas se distribuem uniformemente por simetria. Como conseqüência a densidade superficial de carga é uniforme, as linhas de força são perpendiculares à superfície e o vetor campo elétrico gerado por essa carga é constante em qualquer ponto. Podemos considerar a placa infinita ao relacionar a distancia do ponto à placa como muito menor que a área da placa que esta a sua volta. Supondo que a placa esteja carregada positivamente. Calcule o fluxo do campo elétrico que atravessa o cilindro da figura. 2. Está representada na figura uma partícula de massa m = 5,0 x 10–4kg, com carga elétrica positiva q = 2,0 x 10–9C, flutuando acima de uma placa condutora positivamente carregada, no vácuo, na superfície da terra. Utilizando os valores de ε0 = 8,9 x 10–12C2/N.m2 e g = 10N/kg. Determine: a) o modulo do vetor campo elétrico gerado por essa placa; b) a densidade superficial de cargas da placa. Por argumentos de simetria, é fácil chegar à conclusão de que o campo de uma carga puntiforme deve ter simetria esférica. Isto é, o valor do campo é o mesmo para qualquer ponto sobre uma esfera. Mais do que isso, o campo deve ser normal a esta esfera. Portanto, a melhor Gaussiana para calcular o campo a uma distância r de uma carga puntiforme é uma esfera de raio r. Em qualquer ponto sobre a Gaussiana, o produto escalar será simplesmente EdS. Então, tendo em conta que E é constante, teremos A integral fechada sobre a superfície corresponde à área da esfera, 4πr2. Portanto, o campo de uma carga puntiforme, q, a uma distância r, é dado por Como era de se esperar, essa expressão é igual à expressão, obtida com o uso da lei de Coulomb. 116 Física Fundamental – Universo Mecânico: o Universo como uma máquina DISTRIBUIÇÃO ESFERICAMENTE SIMÉTRICA Um condutor em equilíbrio eletrostático sempre apresentará campo nulo em seu interior. Grosso modo, num material não-condutor a carga fica onde a colocamos. No caso de uma distribuição de cargas com simetria esférica, convém distinguir algumas situações. Em primeiro lugar, dependendo do material o tratamento será bem diferente: Material condutor - Já sabemos que quando certa quantidade de carga elétrica é colocada num material condutor, ela se distribuirá de modo a manter o campo nulo no interior do material. Numa esfera a carga ficará uniformemente distribuída na sua superfície. Portanto, para um material condutor não há diferença entre uma esfera e uma casca esférica. Em ambos os casos, a carga elétrica se distribuirá uniformemente na superfície externa. Material dielétrico - Quando o material é nãocondutor, a situação é bem diferente. A carga não se distribui como no caso do condutor; grosso modo, ela fica onde a colocamos. Para esse tipo de material não é suficiente conhecermos a quantidade de carga, há que se saber a forma como ela está sendo distribuída. Isto é, necessitamos conhecer a densidade de carga no interior do material. Portanto, em termos de cálculo de campo elétrico e uso da lei de Gauss, uma esfera dielétrica pode ser bastante diferente de uma casca esférica. ESFERA CONDUTORA De modo análogo ao caso da carga puntiforme, argumentos de simetria nos levam à conclusão de que o campo de uma esfera condutora tem simetria esférica, de modo que a melhor Gaussiana será uma esfera concêntrica com a distribuição de cargas. O campo é igual ao de uma carga puntiforme, dado na equação acima descrita. Portanto, uma esfera condutora de raio R comporta-se, para pontos externos, r > R, como se toda sua carga estivesse concentrada no seu centro. ESFERA DIELÉTRICA Vamos considerar o caso em que a distribuição de cargas é uniforme. Isto é, a densidade ρ, dada em C/m3, é constante. Poderíamos ter uma distribuição mais complexa, na qual a densidade variasse com a distância ao centro. • Região I , onde r > R (Raio da distribuição). O cálculo é análogo ao do campo de uma carga puntiforme. O resultado tem a mesma forma apresentada na equação: Se a carga total, Q, for conhecida, basta colocá-la no lugar de q. Se ao invés disso, conhecermos a densidade, ρ, então a carga será dada pelo produto da densidade pelo volume da esfera, Q = 4πR3ρ/3, resultando Já vimos acima que no caso de material condutor, pouco importa se temos uma esfera maciça, oca ou se temos uma simples casca esférica; qualquer que seja o objeto, o campo interno sempre será nulo. 117 UEA – Licenciatura em Matemática • Região II, onde r < R A carga que aparece na lei de Gauss é aquela envolvida pela superfície Gaussiana, isto é, a carga no interior do volume 4πr3/3. Se conhecermos a densidade de carga, teremos Q= 4πρr3/3. O campo no interior da esfera será dado por r A variação do campo, em função do raio, é representada na figura abaixo. O material condutor que constitui a gaiola de Faraday pode assumir as mais variadas formas geométricas. Se essa forma for esférica, a distribuição de carga em sua superfície é uniforme. Se não for esférica, a distribuição de carga elétrica não é uniforme e se acumula nos vértices (ou nas protuberâncias) do condutor por se repelirem mutuamente para essa posição. Neste ultimo caso, o campo elétrico junto às pontas do condutor e distribuição de carga, é muito maior do que no restante do condutor, dando origem a um fenômeno conhecido como poder das pontas. Esse fenômeno foi utilizado na construção dos pára-raios. Veja que a variação para r > R é válida para qualquer distribuição de cargas de simetria esférica, enquanto que a variação para r < R é válida apenas para uma distribuição uniforme. 3.3 BLINDAGEM ELETROSTÁTICA Quando eletrizamos um condutor as cargas se distribuem pela sua superfície devido à repulsão, ou seja, as cargas podem movimentar-se facilmente através deles. Portanto, todo corpo metálico comporta-se como um condutor elétrico. Quando esse movimento cessa, dizemos que o corpo atingiu o equilíbrio eletrostático. Então, se nenhuma corrente elétrica se move através de um metal, o campo elétrico em seu interior é nulo, mesmo que fora o campo elétrico seja diferente de zero. Podemos definir: no interior de um condutor eletrizado e em equilíbrio eletrostático, quer seja oco ou maciço, o campo elétrico é sempre nulo. Ocorre que os elétrons se distribuem sobre sua superfície externa, mas em seu interior o campo elétrico é nulo. Esse fenômeno é conhecido como gaiola de Faraday. 118 A gaiola de Faraday, nos laboratórios de testes de aparelhos elétricos, é de extrema importância caso você queira proteger um instrumento eletrônico muito sensível da ação de possíveis campos elétricos que interfeririam na leitura do instrumento. O mesmo princípio físico se aplica à proteção durante uma tempestade na qual há relâmpagos, o ideal seria estarmos dentro de nossas casas ou prédios, ou no interior de um veículo, pois todos esses lugares constituem uma gaiola de Faraday. Com o princípio da gaiola de Faraday podemos blindar o campo elétrico e com isso diferencia-lo mais uma vez do campo gravitacional, pois não há maneira conhecida de se blindar a gravidade. Física Fundamental – Universo Mecânico: o Universo como uma máquina 1. Analise cada afirmativa como verdadeira (V) ou falsa (F): a) Uma ponta sempre se eletriza mais facilmente do que uma região não pontiaguda. ( ) b) A intensidade de um campo elétrico dentro da esfera é zero. ( ) c) Em qualquer ponto P fora da esfera, o , campo elétrico é inversamente proporcional ao quadrado da distância entre esse ponto e o centro da esfera. ( ) d) As cargas elétricas em um condutor eletrostático distribuem-se em sua superfície exterior. ( ) e) Se um corpo já está eletrizado, uma ponta perde mais carga elétrica do que as regiões não pontiagudas; por isso é difícil manter eletrizado um corpo que possua pontas. ( ) 2. Marque aplicação tecnológica do conceito apresentado por Faraday, no século XIX, na experiência conhecida como gaiola de Faraday. a) Isolamento térmico nas garrafas térmicas. b) Atração dos raios nas tempestades por pára-raios. c) Isolamento elétrico promovido pelas borrachas dos pneus de veículos. d) Recobrimento com material isolante em cabos utilizados para transporte de energia elétrica. e) Bloqueio para chamadas de telefones celulares em penitenciárias. 3. A ausência de cargas eletrostáticas no interior de um condutor elétrico, quaisquer que sejam suas formas, está relacionada ao fato de que: a) O potencial elétrico é nulo no interior de condutores. b) A densidade superficial de cargas é constante. c) O campo elétrico é nulo no interior de condutores. d) As cargas elétricas não se deslocam facilmente em condutores. e) Não é possível isolar completamente um condutor. 4. Por que é possível blindar uma sala contra forças elétricas, mas não é possível contra forças gravitacionais? 119 UNIDADE V As Leis do Movimento Física Fundamental – As Leis do Movimento TEMA 01 AS LEIS DE NEWTON INTRODUÇÃO Como foi exposto, Newton, menciona insistentemente no “Principia”, que sua teorização matemática se devia a familiaridade com o conhecimento cientifico da época e com as técnicas experimentas empregadas, frutos dos resultados das pesquisas desenvolvidas pelos membros da Royal Society. Diz Newton: “Ate aqui tenho exposto os princípios tal como tem sido aceitos na época pelos matemáticos, e que são amplamente confirmados pelos experimentos.” dade sobre certas descobertas que defendia ferozmente, com unhas e dentes, como sendo de sua autoria. Nesta constelação de predecessores, Newton, no entanto, esquece deliberadamente de acrescentar explicitamente as contribuições de Descartes, enfatizando principalmente os nomes de Galileo por ter "descoberto que a queda dos corpos varia com o quadrado do tempo, e que o movimento dos projéteis seguem uma trajetória parabólica, e os experimentos assim o confirmam ... Sir Cristopher Wren, o Dr Wallis, o Sr Huygens que são os maiores astrônomos de nossos dias, determinaram as regrasdo impacto e da reflexão dos corpos rígidos, e comunicaram aproximadamente ao mesmo tempo seus descobrimentos a Royal Society..." 1.1 AS LEIS ENUNCIADAS POR NEWTON PARA O MOVIMENTO DE UM CORPO Fica, pois, perfeitamente evidente a partir destas manifestações laudatórias o quanto Newton estava a par da tradição da pesquisa em Física levada a efeito na Royal Society as quais possibilitaram a Newton obter suas Leis do Movimento. Newton Numa carta a Hooke, Newton volta a declarar textualmente, seu débito para com seus predecessores, ao mencionar que: “Se vi mais longe foi porque vi desde os ombros de gigantes” A essência do estudo do movimento por Newton consiste, portanto, em analisar o movimento de um dado objeto em função das interações a qual está submetidas devidas sua vizinhança. Hooke É surpreendente observar tais reconhecimentos por parte de Newton pois, como é sabido, ele se envolveu em batalhas ferrenhas contra Leibniz, Robert Hooke, Flamsteed pela priori123 Assim é que, logo no prefácio de sua obra prima, o “Principia”, Newton expõe com clareza o papel preponderante do conceito de força na construção de sua teoria. Escreve ele: “A tarefa da filosofia parece consistir nisso: UEA – Licenciatura em Matemática investigar as forças da natureza a partir dos fenômenos dos movimentos, e logo, a partir destas forças, demonstrar os restantes fenômenos. As proposições gerais contidas no primeiro e no segundo livro estão dirigidos a este propósito. No terceiro livro dou um exemplo disto na explicação de Sistema de Mundo ...” Embora a idéia de força seja um conceito fundamental para Newton, sua forma de atacar o problema será empregando essencialmente a mudança da quantidade de movimento das partículas em interação. Desde que os conceitos, os princípios, leis que expostos no “Principia” constituem, essencialmente a base que fundamenta a Mecânica Clássica é inadmissível que não façamos, pelo menos, uma menção as ricas e prolíferas explicações físicas e aos resultados obtidos por Newton. Para tanto, vamos examinar brevemente sua estrutura lógica e as evidencias de sua relação com a Visão Mecanicista do Mundo prevalecente na época. O “Principia” está estruturado em 3 Livros. No Livro I, Newton examina abstratamente a dinâmica isto é, a noção de ponto de massa sob condições especificas; no Livro II, ele considera o movimento dos objetos em meios resistivos enquanto que o Livro III, denominado por ele de “Sistema do Mundo” é uma aplicação dos dois primeiros livros ao movimento dos planetas, lua, cometas e marés. Apesar de Newton ter inventado o cálculo diferencial e integral ele não os emprega no “Principia”, mas tem como modelo os “Elementos” de Euclides. Dessa maneira Newton estrutura sua teoria através de um conjunto de definições e axiomas, corolários, etc . Newton começa, assim, definindo e explicando oito termos tal como ele quer que sejam entendidos ao longo de sua obra. Na linguagem da Física atual, estas definições correspondem aos conceitos de massa, momentum ou quantidade de movimento, inércia e força. Newton, inicia pela noção de massa definindoa da seguinte maneira: A quantidade de matéria é a medida da mesma, que se obtém conjuntamente de sua densidade e seu volume”. 124 Apesar de atualmente denominarmos de massa a esta “quantidade de matéria”, Newton prefere definir a massa a partir da densidade de um corpo. Entretanto, como ele não define o que seja a densidade sua definição de massa se perde nesta circularidade. Além disso, Newton empregar indistintamente os conceitos de massa inercial e massa gravitacional. Sinteticamente, apesar de, aos nossos olhos, Newton ter cometido certas incoerências na sua definição de massa, o importante disso tudo é que ele tem consciência e assinala com clareza que todos os corpos tem uma propriedade fundamental característica, que difere de seu peso e que determina seu movimento. É esta propriedade que ele chama de massa. Conforme verificamos podemos definir operacionalmente a massa (m) de um corpo qualquer a partir da eleição arbitrária de um corpo padrão (mo) escolhido como unidade de medida. Feito estes esclarecimentos a respeito da massa Newton define um conceito que é central para sua Física: a quantidade de movimento ou momento linear. “A quantidade de movimento é a medida do mesmo que se obtém conjuntamente da velocidade e da quantidade de matéria” Empregando a linguagem da Física atual dize→ mos que a quantidade de movimento (p ) é igual a ao produto escalar da massa pela → → velocidade: p = m.v . Trata-se de uma grandeza vetorial sujeita as regras da operação vetorial. Portanto, o momento linear varia quando aceleramos, freamos ou quando variamos a direção do movimento. Desde que para Descartes, o estado de movi- Física Fundamental – As Leis do Movimento mento de um objeto, na ausência de influencias externas era, hipoteticamente, de continuar seu movimento, a análise de Newton se volta para a definição de Inércia. “A força inata da matéria, é um poder de resistir, mediante a qual cada corpo, no que depende dele, continua em seu estado presente, quer seja este de repouso ou de movimento uniforme para frente em linha reta”. Por esta definição, a inércia de um corpo é a sua tendência de continuar em seu estado de repouso ou de movimento retilíneo uniforme e é proporcional a sua massa. Dando mais um passo na determinação das Leis do Movimento, Newton define outro conceito fundamental: o de força “Uma força aplicada é uma ação exercida sobre um corpo a fim de modificar seu estado, quer seja de repouso ou de movimento uniforme em linha reta.”. No entanto, segundo Newton, uma força “Consiste somente na ação, e não permanece no corpo quando termina a ação. Porque um corpo mantém cada novo estado que adquire, devido somente a sua inércia” axiomas, etc. Estes axiomas são os seguintes: I. “Cada corpo continua em seu estado de repouso, ou de movimento uniforme numa linha reta, a menos que seja compelido a modificar tais estados por forças impressas nele” II. “A mudança de movimento é proporcional a força motriz impressa; e é feita na direção da linha reta na qual a força é imprimida. III. “A cada ação existe sempre oposta uma reação igual; ou, a ação mutua de dois corpos, um sobre o outro, é sempre igual e dirigido para as partes contrarias.” Vamos examinar cada um destas “Leis” separadamente. 1.2 A LEI DA INÉRCIA O conceito de movimento persistente, chamado de Inércia, não foi inventado por Newton. Como temos ressaltado, tal idéia vinha sendo amadurecida e retrabalhada por muitos pensadores antes dele. Contrariamente a concepção de que o repouso é o estado natural dos corpos e o movimento algo passageiro, Newton inverte este raciocínio, justificando que tanto o repouso, quanto o movimento, são estados dinâmicos. Este 1ª axioma pode ser considerado como um critério para se verificar se existe ou não uma força resultante externa atuando sobre um corpo. Portanto, contrário a concepção de Galileo, para quem o movimento orbital de um planeta era considerado natural, para Newton, qualquer corpo que se mova num círculo, exige a presença constante de uma força externa atuando sobre o mesmo. Quanto aos tipos de forças que podem ser aplicadas ao corpo Newton assinala as seguintes: “O choque, pressão, força centrípeta”. Entretanto, ele define somente a ultima, uma vez que as duas primeiras são bem conhecidas. Percebe-se pois, por essas definições, como Newton, antes de semear foi preparando o terreno para o desenvolvimento e fortalecimento de suas idéias, de maneira que suas Leis para o movimento se encadeassem e se encaixassem perfeitamente bem numa estrutura lógica, consistente com este conjunto de definições, 125 Observa-se também, que o enunciado da Lei da Inércia, pressupõe obviamente a existência de um sistema de referencia em relação ao qual a mesma se mantenha válida. Tais referenciais, são denominados de Referenciais Inerciais ou seja, sistemas de referencia que estão em repouso ou que se movem em MRU, um em relação a outro. O LANÇAMENTO DE PROJÉTIL O interesse despertado por este problema nasceu, também, da necessidade de Galileo UEA – Licenciatura em Matemática rebater os argumentos lançados contra ele pelos opositores da teoria copernicana. Em defesa da Teoria de Copérnico, Galileo, estrategicamente, contra-atacava seus adversários com as mesmas armas argumentos que lançavam. projeteis atingiam o solo. Sabendo que Ângelo fez três disparos: O primeiro horizontalmente, com velocidade inicial V. O segundo horizontalmente, com velocidade inicial 3V. O terceiro obliquamente para cima com velocidade V formando um ângulo de 30° com a horizontal Desprezando a resistência do ar, você concorda que o tempo encontrado pelo Aroldo foi o mesmo nos três lançamentos? Se você discordar, indique o que está errado e explique porque? 3. Suponha que você esteja dentro de um táxi, quando o motorista por frear bruscamente, você acaba batendo sua cabeça contra o parabrisa. Dentro do carro trava-se o seguinte “bate-boca”. Taxista: “Perdão! não tive culpa. A culpa foi toda sua, por não está usando o cinto de segurança”. Você (passando a mão na testa): “Vaiii...(impublicável)!! Eu só continuei em movimento porque você não apenas vinha correndo muito como freou bruscamente o carro”. Taxista: “Isso não é verdade! A culpa foi toda sua!, pois o carro foi freado, mas você continuou seu movimento”. Você: “Vai te .... (impublicável)!! Eu podia está amarrado no banco dessa carroça e, ainda assim, o banco continuaria me empurrando para frente no momento da freada”. Taxista (rindo): “Há! Essa é boa! Vou mandar pro Faustão. Quer dizer, então, que o meu carro é um referencial onde não vale as Leis de Newton”. Para Galileo, a argumentação dos escolásticos não se constituía numa prova irrefutável de que a Terra estivesse parada. Segundo Galileo, se a Terra estivesse se movendo com movimento uniforme, obter-seia o mesmo resultado, ou seja: a pedra continuaria alcançando a base da torre. Como justificativa, Galileo empregou o Principio da Independência do Movimento, segundo o qual os movimento horizontal e vertical, apesar de ocorrerem simultaneamente são independentes uma da outra, ou seja: atuam separadamente e não interferem um no movimento do outro. Em resumo, o movimento da pedra caindo sobre uma Terra em movimento se comporta exatamente da mesma maneira do que numa Terra imóvel. 1. Um gato de 1,0Kg, dá um pulo, atingindo a altura de 1,25m e caindo a uma distancia de 1,5m do local do pulo. Qual o valor da velocidade com que o gato pulou? 2. Durante um treinamento de morteiro, enquanto o recruta Ângelo lançava do alto de uma colina os torpedos, o recruta Aroldo se responsabilizava palas medições e pelos cálculos.com os 126 Você: “É isso mesmo! Mas vamos deixar para esclarecer tudo isso, agora, na presença da policia” De acordo com o diálogo imaginário acima, qual(ais) explicação(ões) acima você considera correta? Explique porque. 4. Ao terminar de explicar o Principio da Inércia, o professor perguntou para seus alunos o que Física Fundamental – As Leis do Movimento eles tinham compreendido. Três alunos forneceram, então, as seguintes explicações: I – Se nenhuma força externa atuar sobre um ponto material, com certeza ele estará m equilíbrio estático ou dinâmico. II – Só é possível a um ponto material estar em equilíbrio se ele estiver em estado de repouso. III – A inércia é a propriedade da matéria de resistir à variação de seu estado de repouso ou movimento. Com base nestas explicações qual(ais) você considera correta? Justifique sua resposta. 5. Um objeto é observado no espaço movimentando-se com velocidade constante. Se a trajetória do objeto deixa o rastro conforme mostra a figura abaixo, indique a força resultante que atua sobre o objeto. força motriz impressa; e é feita na direção da linha reta na qual a força é imprimida.” Segundo a terminologia atual, o que Newton está indicando é que a “taxa de variação da quantidade de movimento” deve ser proporcional à força motriz impressa, ou seja: ou, melhor dizendo . Assim, uma vez admitida a existência de uma força resultante atuando sobre o objeto, podemos determinar a intensidade desta força a partir dos efeitos observados na variação da quantidade de movimento, isto é: . Euler Galileo, de modo a solidificar definitivamente seu argumento, oferece como exemplo, uma experiência pensada na qual um objeto é deixado cair do mastro de um barco. Para ele, quer o barco esteja ancorado ou navegando em MRU, a pedra tocará o convés, junto ao “pé” do mastro. Uma importante conclusão desta idéia é a impossibilidade de se escolher um sistema de referencia como autêntico; um referencial que esteja, por exemplo, em repouso absoluto. A generalização desta conclusão nos leva ao Principio da Relatividade de Galileo, no qual todas as leis da Mecânica Clássica permanecem validas. 1.3 A SEGUNDA LEI O objetivo de Newton com este axioma é quantificar a intensidade da força resultante a partir de seus efeitos durante o movimento. Para tanto, ele estabelece que: “A mudança de movimento é proporcional a 127 Considerando-se a massa constante, temos que: . Entretanto, como nada mais é do que a definição de aceleração, a 2ª Lei de Newton que pode ser re-escrita na forma estabelecida → → por Euler: ΣF = m.a . Esta re-definição coloquial da 2ª Lei pode ser estabelecida da seguinte forma: “Quando uma força externa é aplicada a um objeto, ele acelera na direção da força e, quanto mais intensa a força, maior a aceleração adquirida pelo objeto.” No caso de um objeto em queda livre, dada a massa (m) do corpo podemos determinar a variação da velocidade do mesmo ( tir da 2ª Lei como . ) a par- UEA – Licenciatura em Matemática alguma espécie de força ou “emanação” devia provir do sol que os guiava em suas órbitas. Posteriormente, altera sua explicação para forças magnéticas originárias do sol. 1. Em que difere a concepção de força de Kepler com a de Newton? Uma vez que a aceleração, como postulada por Galileo, é constante, a razão entre a força e a massa ( os corpos. A FORÇA CENTRÍPETA INTRODUÇÃO A busca de uma identidade entre os movimentos terrestre e celeste constitui-se num dos mais importantes momentos da História do Pensamento Cientifico. Ele nos leva ao núcleo e ao coroamento do trabalho de Newton. Apesar da enorme relevância e dos frutíferos avanços colhidos das descobertas de Galileo para a Física, ele nada diz sobre qual a causa para o processo de incremento da velocidade durante a queda livre. No entanto, o desenvolvimento de uma Dinâmica exigia uma explicação para a causa física. ) deve ser a mesma para todos Embora a concepção de força de Kepler não se revelasse correta, a idéia de que existia uma força única que controla os movimentos de todos os planetas ficou para a posteridade. Outro cientista que muito contribuiu para estabelecer esta relação,destaca-se Christiann Huygens (1629-95), Filósofo Natural,de nacionalidade holandesa e membro consagrado da Academia Francesa de Ciência. Huygens havia demonstrado que, de acordo com o conceito de Inércia, deveria existir, para qualquer corpo em MCU, uma força resultante (arrancando-a de seu curso inercial) dirigida para o centro de um círculo. Tal força produziria uma a aceleração, dada por , onde V é a velocidade do corpo e R é o raio de sua órbita. Newton sabia, entretanto, até onde seu contemporâneo e rival tinha chegado pois, a seus olhos, a questão central permanecia sem resposta, ou seja: como a força centrípeta se relaciona com variação do momentum num certo intervalo de tempo. Para um claro entendimento destas questões, é oportuno relembrar a definição e a discussão estabelecida por Newton a respeito da Força Centrípeta. Desde sua época de estudante universitário, Newton vinha tentando descobrir uma diferente e engenhosa maneira de provar matematicamente a força centrípeta que chegasse aos mesmos resultados obtidos por Huygens. Na época em que escreveu o “Principia” a 128 Kepler Nesta busca Kepler (1571-1630) admite que Física Fundamental – As Leis do Movimento força centrípeta havia se convertido num conceito de extrema importância para suas idéias a respeito do movimento planetário. Tanto que, ao exemplificar, por exemplo, alguns tipos de forças, Newton preferiu se preocupar em definir apenas a força centrípeta, da seguinte maneira: “Uma força centrípeta é aquela devido a qual os corpos são atraídos ou impelidos, ou de alguma maneira tendem para um ponto como para um centro.” ta é fornecida pela força de atrito entre os pneus e a pista. Ainda assim, a força de atrito é incapaz de manter, por exemplo, um carro de corrida presa a curva se a pista estiver molhada. Para evitar que o carro venha a se desgovernar, os engenheiros para aumentar a segurança, inclinam a curva para dentro. A inclinação da estrada é escolhida de tal modo que, obedecendo-se à velocidade escalar para qual foi projetada, não haja necessidade de o carro ter atrito com o piso para efetuar a curva. Demonstre que este ângulo de inclinação é dado por . Newton apresenta como exemplo o movimento de uma pedra presa por um barbante posta a girar pela mão de uma pessoa. A força centrípeta é fornecida pela tensão do barbante. Caso a corda arrebente, a pedra sai pela tangente exatamente no ponto onde o barbante arrebentou. Entretanto, para os seus propósitos, Newton menciona o exemplo da Lua, onde a atração gravitacional da Terra sobre a Lua fornece a força centrípeta necessária para mantê-la em órbita. 2. No caso do movimento em loop, tal como acontece com os movimentos numa montanha russa ou nas exibições no Globo da Morte, para que seus ocupantes se divirtam com segurança ao passar pelo ponto mais alto, demonstre que a velocidade mínima que o motociclista deve ter para passar pelo ponto mais alto da trajetória, de modo que a moto não desgrude do Globo da Morte é dada por . 1. Outro exemplo da presença da força centrípeta para a explicação do movimento curvilíneo, ocorre quando carro realiza uma curva. Newton, entretanto, para deixar bastante clara seu conceito de força centrípeta, apresenta outro exemplo em que, dependendo da direção e da intensidade da velocidade inicial de uma bala de canhão, a órbita exata é uma cônica: um círculo, uma elipse, uma hipérbole ou uma parábola: No caso de uma curva plana, a força centrípe129 “Se uma bola de chumbo, projetada desde o alto UEA – Licenciatura em Matemática de uma montanha pela força da pólvora com uma velocidade dada em direção paralela ao horizonte, se move ao longo de uma curva ate cair no solo a uma distancia de duas milhas, se não existisse a resistência do ar e se a sua velocidade se duplicasse ou se decuplicasse, recorreria uma distancia dupla ou dez vezes maior. E aumentando a velocidade poderíamos aumentar a distancia quanto quiséssemos, e diminuir a curvatura da linha que poderia descrever, de modo que por último poderia cair a distancia de 10, 30 ou 90 graus, ou ainda poderia dar uma volta ao redor da terra antes de cair, ou, finalmente, podia não voltar jamais a cair a terra, mas que se moveria para os espaços celestiais e prosseguiria seu movimento in infinitum.” 2. Consiga duas apostilas e as coloque uma sobre a outra e, em seguida, as apóie sobre a palma da sua mão. Em seguida, movimente-as verticalmente para cima, a partir do repouso. Admita que cada apostila tenha em media 500g e que a aceleração tenha sido de 1,0m/s2. a) Qual a intensidade da força que a palma da mão exerceu sobre a apostila que está em contato com ela. b) Qual a intensidade da força que uma apostila exerce sobre a outra. 3. Uma pessoa está pescando com uma linha que pode suportar no máximo 40N. Ela fisga um peixe de 2Kg que pode exercer uma força de 60N durante alguns segundos. Qual a aceleração mínima com que ela deve soltar a linha, durante esse intervalo de tempo, para que a linha não arrebente? 4. Suponha que você esteja dirigindo tranquilamente seu carro numa pista reta, a uma velocidade de 100km/h, quando inesperadamente vê outro carro cruzar sua frente. Você então pisa com toda força no freio travando as rodas, fazendo o carro deslizar cerca de 10 m na pista até parar. Desprezando os demais fontes de atrito qual o coeficiente de atrito entre o pneus do carro e a pista? 5. A figura representa uma mola presa a um bloco de massa M. Quando a mola é esticada, seu comprimento varia de Xcm, e o bloco adquire uma aceleração a. qual será a aceleração que essa mesma mola produzirá num corpo de massa igual a 2M, quando seu comprimento variar 2 X cm? É impressionante a atualidade desta reflexão especulativa de Newton tendo em vista as viagens espaciais a partir do século XX. Perceba que o único requisito necessário para que um satélite entre em órbita ao redor da Terra é que o satélite tenha uma velocidade inicial mínima de lançamento dada por , onde R é o raio do planeta de onde o satélite esta sendo lançado. Caso contrario, o satélite cairá de volta ao solo ao longo de uma parábola ou escapará da Terra ao longo de uma trajetória hiperbólica, se perdendo na imensidão do universo. A velocidade de escape é dada por . No caso da Terra esta velocidade é de aproximadamente 11Km/s. 1. Deduza a expressão para a força de atração gravitacional para manter a Lua em MCU em torno da Terra. 130 6. No gráfico abaixo está representado a velocidade escalar de uma partícula em função do tempo, que se desloca numa trajetória retilínea. A partir do gráfico V=f(t), construa o gráfico da força resultante em função do tempo que atua sobre a partícula. Física Fundamental – As Leis do Movimento Aroldinho atrelou a sua camionete de massa M um vagão de massa 2M. Considerando o coeficiente de atrito estático igual a µ, qual a máxima aceleração que ele pode imprimir ao sistema para que as rodas não deslizem. (Considere a pista horizontal e todos as demais fontes de atrito desprezíveis) 1.4 A TERCEIRA LEI 7. Um bloco B de 20 Kg esta apoiado sobre uma placa P de 60 Kg, que encontra-se em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito. Os valores dos coeficiente de atrito estático e cinético entre B e P são, respectivamente 0,4 e 0,3. Qual a aceleração do bloco ao ser aplicado uma força horizontal de 120N? Indubitavelmente, esta foi a mais engenhosa contribuição de Newton no seu empenho de axiomatizar Mecânica. Este axioma, freqüentemente referido como a Lei da Ação e Reação, estabelece que durante a interação entre dois corpos, as forças ocorrem sempre aos pares na Natureza. 8. Um professor, comumente, ao apagar a lousa pressiona o apagador de 0,1Kg contra o quadro. Admitindo-se que ele exerça uma força perpendicular de 5N e que o coeficiente de atrito cinético seja de 0,4. Qual a intensidade da força de atrito quando o apagador é movido horizontalmente. 9. Uma caixa vazia, pesando 10N é colocada sobre uma superfície horizontal. Ao ser aplicada uma força horizontal ela começa a se mover quando a intensidade da força atinge 5N. Todavia, quando a caixa está cheia de areia ela só começa a se mover quando a intensidade da força atinge 50N. Qual a quantidade de areia? 10. Suponha que você, ao acabar de comer, empurra seu prato sobre uma mesa horizontal com uma certa velocidade inicial, e que ele desliza aproximadamente 1m sobre a mesa até parar. Se a massa do prato for duplicada e você voltasse a repetir a “falta de educação” com a mesma velocidade inicial, qual a distancia que o prato deslizaria até parar? 11. Ao sair para sua tradicional pescaria, seu 131 Assim, se um corpo A exerce uma força sobre um corpo B, este corpo B exerce uma força de mesma intensidade, mas de sentido oposta, sobre o corpo A. Como exemplo, Newton cita os seguintes casos: “Se você pressiona uma pedra com seu dedo, seu dedo também é pressionado pela pedra. Se um cavalo arrasta uma pedra amarrada com uma corda, o cavalo (se me permite a expressão) será igualmente arrastado para a pedra; porque a corda estendida, por seu próprio esforço para desenrolar-se, atrairá o cavalo, e obstruirá o progresso de um como promove o do outro” No exemplo do cavalo, Newton parece sugerir que o cavalo não arrasta a pedra. A falácia envolvida nesta argumentação ilustra bem a dificuldade usual para se entender a Lei da Ação e da Reação. Comumente, está baseada na desatenção quanto ao isolamento dos corpos envolvido no problema. UEA – Licenciatura em Matemática sistema é conservado” isto é, a quantidade de movimento de qualquer sistema é constante. 1. Há milhões de anos atrás, quando os bichos falavam, um fazendeiro “pediu” para um cavalo puxar sua carroça, mas o cavalo recusou lhe atender. Em sua defesa, se apoiou na 3ª Lei de Newton: “se eu puxar a carroça, a carroça vai me puxar igualmente para trás. Desse modo nunca nos movimentaremos. Além disso, jamais poderei exercer uma força tão intensa sobre a carroça que ela não possa exercer sobre mim. Portanto, sinto muito, mas não posso atender seu pedido. Estou impedido pela lei da Física de iniciar o movimento da carroça”. Baseados nos seus conhecimentos das Leis de Newton, que conselhos você daria ao fazendeiro para que ele se defenda destes argumentos e convença o cavalo a puxar a carroça? 3. Uma das mais interessante aplicação da Lei da Ação e Reação é o sistema de propulsão de um foguete. Um foguete ejeta numa direção uma massa de gás em altíssima velocidade, e é acelerado de pela reação na direção oposta. Considere a velocidade dos gases em relação ao foguete sendo Vr e (v – Vr) em relação a Terra e admita que em vez do foguete emitir continuamente gás sobre um determinado período de tempo, o gás seja emitido que nem as balas de uma arma de fogo. a) Mostre a relação que existe entre massa inicial (m0) e a massa final mf do foguete, para que sua velocidade passe de v0 à vf. b) Determine a velocidade do foguete em função do tempo e da massa. 4. Diz o dito popular que: “toda ação corresponde uma reação”. Se assim fosse, a reação anularia a ação e não existiria movimento. Enuncie corretamente o Principio da ação e Reação e discuta a afirmação anterior. 5. Durante uma aula o professor solicitou ao aluno que identificasse as forças de ação e reação existentes num livro em repouso sobre a mesa. O aluno respondeu que: “o peso e a normal constituem um par ação-reação pois, as intensidades destas são forças são iguais em módulos”. Comente a resposta do aluno. 6. A figura abaixo representa as forças atuantes sobre um corpo suspenso por fio. Identifique as forças que constituem um par ação-reação. Em seus acréscimos, após a 3ª Lei, Newton comenta o caso de mais de uma força atuar sobre o corpo, Ele estabelece, através da Regra do Paralelogramo, os efeitos de diversas forças agindo simultaneamente sobre uma partícula. Como já foi visto, uma característica de grande importância, implícita na Regra do Paralelogramo, é o estabelecimento da independência dos efeitos de cada força ao atuarem conjuntamente. É o que ocorre, por exemplo, no caso de um corpo suspenso por uma corda. Sobre o corpo atuam duas forças, o peso e a força exercida pela corda. Se a corda for cortada, esta força desaparece, mas o peso continua agindo fazendo com que o corpo caia com uma aceleração. 1. Duas forças de 3N e 4N atuam perpendicularmente sobre um corpo de 1 Kg. Determine a aceleração do corpo? 2. Demonstre que: “Num sistema isolado de forças externas, o momento linear de qualquer 132 Física Fundamental – As Leis do Movimento Um objeto, inicialmente em repouso, explode em duas partes, A e B, com massas M e 3M, respectivamente. Num determinado instante t, após a explosão, a parte B está a 6,0 m do local da explosão. Nestas circunstancias, qual a distancia entre A e B no instante t? qualquer problema. Porem, para os físicos, o essencial não reside na aplicação matemática da força, expresso por F = m.a, mas no significado físico da Força, pois na Física o que interessa é interação entre sistemas. Nestes casos, as abordagens Lagrangeana e o Hamiltoniana tornam-se mais eficaz pois, ao invés de empregar o conceito de FORÇA, utiliza-se o conceito de ENERGIA como conceito fundamental. Para que possamos obter um entendimento da relação existente entre força e movimento apresentaremos uma breve visão histórica de como as controvertidas questões mencionadas acima geraram, a partir do século XVII, o refinamento conceitual de Força que resultaram no desenvolvimento do conceito de Energia. 1.6 UMA QUASE HISTÓRIA DA EVOLUÇÃO DO CONCEITO DE ENERGIA A história completa da evolução dos conceitos de trabalho, de energia e do principio da conservação de energia é lenta e sinuosa. Suas raízes encontram-se nas tentativas de se responder a seguinte questão: como medir o efeito de uma força? Como se poderiam comparar os efeitos de duas forças diferentes? que espécies de variações ocorrem durante o movimento de um corpo quando ele colide contra outro? por que razão a variação do momento deve ser tomado como medida de força? Não nos parece, que o movimento está mais ligado ao módulo da velocidade do que da sua direção? Por exemplo, Galileu havia demonstrado que se o corpo desloca-se ao longo de um plano inclinado e sobe por outro (vide figura abaixo), o que determina a altura (h) que o corpo alcançará, depende do valor absoluto da velocidade e não da sua direção. 1.5 QUAL A VERDADEIRA MEDIDA DE UMA FORÇA? Durante séculos, o modelo de explicação para os fenômenos naturais se baseou na idéia de FORÇA, pois parecia intuitivamente correta a concepção de que um corpo é dotado de certa “alma”, “Virtudes”, “Potências” ou “Princípios Ativos”. Ainda hoje é bastante ouvir-se expressões do tipo; “fulano tem força”; “a força do amor”; “casa de força” etc. Assim, a primeira vista, a idéia de que também existe no Universo uma “força”, uma espécie de constituinte imaterial parece ser uma idéia bastante simples, até auto-evidente. Perseguindo historicamente na busca da essência do conceito de energia verifica-se que desde o século XVII, os cientistas procuravam refinar a nossa conhecidíssima noção de força que, comumente, associamos ao esforço muscular de puxar ou de empurrar. Na época de Newton uma questão que, por exemplo, era bastante debatido dizia respeito sobre o que é Força? Procurava-se saber porque é que quando a força é impressa ao corpo ela o impede de continuar seu estado de repouso ou de MRU ? Como medi-la? etc. Para muitos a equação F = m.a parece bastante simples, ou seja: tem-se a impressão de que a equação F = m.a é uma definição de força, de modo que conhecendo a massa de um objeto, e medindo a sua aceleração, a força externa aplicada pode ser encontrada. A principio, conhecendo-se a força que atua sobre a partícula, a abordagem newtoniana é suficiente para descrever seu movimento. Através da Segunda Lei, podemos obter a aceleração e, por integração, encontrar a velocidade e a posição. Tudo parece ser muito simples, não é verdade?! Parece não existir neste tratamento 133 Descartes, como já examinamos, ao procurar UEA – Licenciatura em Matemática responder a velha questão sobre qual a verdadeira medida de uma força, por meio de seus estudos da colisão entre corpo, defendeu a idéia de que a chave do problema é a quantidade de movimento,que se mantém constante. Leibniz contesta esta explicação ao defender que o que se conservava no movimento era a ‘vis viva” (força viva), pois é ela que expressa a capacidade de movimento de um objeto. A partir daí, como não poderia deixar de ser, desencadeia uma briga entre eles e seus partidários por mais de meio século que, no entanto, foi crucial para o desenvolvimento dos conceitos de energia cinética e potencial. Antes de prosseguir, é preciso que se esclareça que, na linguagem do século XVII, o termo vis era comumente empregado no sentido de resistência, força, vigor. Ao analisar as experiências de queda livre realizada por Galileu, nas quais todos os corpos caem com a mesma velocidade, não importando o tamanho ou o peso que possam ter, Leibniz se perguntava sobre qual dos corpos produziria maior estrago ao atingir o solo: um de 100 gramas ou de uma tonelada? Para tanto, Leibniz realiza uma demonstração na qual compara a força necessária para erguer dois corpos, um de 4 varas e outro de 1 varas (aproximadamente 1,10cm), sendo que um dos corpos é quatro vezes maior que o outro. Leibniz mostra que a força necessária é a mesma. Entretanto, a força de depende de dois fatores: o peso e a altura da queda. A conjugação destas duas grandezas, segundo Leibniz, poderia servir perfeitamente bem para medir a força. Pressionado por outros sábios a responder onde entra a altura quando um corpo se movimenta num plano horizontal, Leibniz realiza outra demonstração, na qual um corpo caindo de uma dada altura, adquire “força” suficiente para retornar a mesma altura. Empregando os resultados da 1ª demonstração, mostra que as “forças” são iguais, no entanto, a quantidade de movimentos é diferente. Em face destes novos resultados, Leibniz muda sua explicação e passa argumentar que 134 o importante não era a altura em o quanto rapidamente o objeto se movimenta (cai ou sobe). Por conseguinte, passou a defender que a medida da força era o peso do corpo e a sua velocidade. Em resumo, para Leibniz a “vis viva” (“força viva”), que expressava pela relação m.v2, era uma qualidade intrínseca de um corpo que lhe permitia causar dano a outro objeto. As controvérsias sobre a medida da força em termos de mv (Descartes) ou mv² (Leibniz) permaneceu mesmo após a publicação do tratado sobre a dinâmica de D’Alembert (1743), de maneira que até a metade do século XIX, o termo “kraft” (força) era usado para o conceito de energia. A expressão ENERGIA, foi proposta em 1807, o médico e físico inglês, Thomas Young para a descrição dos fenômenos originalmente atribuído a “vis viva” (mv²). Este termo, que originariamente em grego significa Trabalho, ficou imortalizada no vocabulário técnico–científico devido principalmente os trabalhos de William Thomson (Lord Kelvin) e Rankine. A partir, de então, passou-se a identificar a força como o agente que transporta, através de uma certa distância, energia. Para facilitar a compreensão do conceito de Energia, retornemos a experiência realizada por Galileo mencionada acima. Ele observou que independente da inclinação dos planos, a bola alcançava uma posição momentânea de repouso, sempre na mesma altura que havia sido solta do primeiro plano (vide a figura acima) Em seguida, utilizando um pêndulo simples o procedimento era análogo ao movimento no plano inclinado. Mesmo quando colocava um obstáculo na trajetória do pendulo, a experiência confirmar suas suspeitas de que a massa deixada cai de uma mesma altura adquiria uma velocidade suficiente para levar-lhe de novo para cima, ainda que durante seu movimento encontrasse um obstáculo. Esta descoberta parecia-lhe bastante intrigante, pois lhe parecia que a bola parecia ser dotada de uma certa “memória”, pois ela sempre se lembrava de que altura havia sido largada. Física Fundamental – As Leis do Movimento TEMA 02 FORÇAS EM SISTEMAS DE REFERENCIAS INERCIAIS O estudo do movimento, conforme verificamos ao examinar o 1ª axioma ou Lei da Inércia, pressupõe, obviamente, a existência de um sistema de referencia em relação ao qual as Leis do Movimento se mantenha válida. Tais referenciais, são denominados de Referenciais Inerciais pois estão em repouso ou que se movem em MRU, um em relação a outro. Isto implica que não se tem nenhuma maneira de determinar a partir do próprio referencial inercial se um corpo está em repouso ou se move. Analisando-se o experimento percebe-se que, para a bola alcançar sempre a mesma altura, “algo” deve estar associada a velocidade que ele adquire durante ao longo de sua trajetória. Atualmente, relacionamos ao movimento da esfera, um tipo de energia que denominamos de ENERGIA CINÈTICA (Ec), que se expressa pela seguinte relação . 1. Imagine-se viajando dentro de um avião isolado acusticamente,com as janelas lacradas e sem turbulência. Admita que você observa uma bola rolando pelo no piso do avião. O que você pode dizer do movimento avião? Justifique sua resposta. Vimos, também, que foi empregando estrategicamente este argumento que Galileo consegui contra-atacar os opositores da teoria copernicana a respeito do movimento da Terra. Utilizando um experimento pensado o argumento do barco, Galileo contra argumenta que quando observamos um corpo cair verticalmente, é porque nos encontramos no mesmo referencial do objeto. Caso estivéssemos nos movimentando em MRU, perpendicularmente, em relação à direção da gravidade veríamos uma parábola. Foi exatamente este problema que Galileo precisou enfrentar em defesa do sistema copernicano. Assim, através deste experimento pensado, Galileo comprova a impossibilidade de se escolher um sistema de referencia como autêntico, algo que esteja, por exemplo, em 135 UEA – Licenciatura em Matemática repouso absoluto. Consequentemente, a Terra não precisa estar estacionária no centro do universo para explicar a queda de um corpo. A generalização desta conclusão nos leva ao Principio da Relatividade de Galileo, no qual todas as leis da Mecânica Clássica permanecem validas. Galileu não forneceu, contudo, uma clara estrutura dinâmica a partir da qual pudesse derivar suas idéias. São obscuras suas idéias a respeito de como tratar o movimento num sistema de referencial quer seja inercial ou acelerado em relação aquele. As Leis de Newton, pelo contrário permite tais descrições. O tratamento, por exemplo, do movimento circular, visto por um observador situado num referencial acelerado permite que se explique as incontestáveis sensações sentidas por ele. Ao mesmo tempo que, outro observador localizado num referencial inercial oferece uma distinta observação. Para que possamos compreender estas aparentes contradições, vamos iniciar considerando uma situação bem simples mas, muito importante, no qual um observador esteja se deslocando com velocidade constante em relação ao outro. Em tal caso, utilizando como pressuposto que “qualquer sistema de referencia que se desloque com velocidade constante em relação a um Sistema de Referencia Inercial é também um Sistema de Referencia Inercial”, nos certificaremos como é que se explicam os movimentos comportam as Leis de Newton em dois diferentes sistemas de referencia inerciais que se movimentam em translação pura. namorados, que estejam em movimentos uniformes relativos. Suponhamos que o “curumim” esteja, situado dentro do compartimento de carga de um caminhão-baú que se move em MRU, cujas paredes sejam de vidros extremamente transparentes. Vamos admitir que quando o “curumim” passa pela “cunhantã”, para se exibir, joga uma bola verticalmente para cima. Evidentemente, que o “casal de pombinho” concordarão que a bola deixou e voltou a mão do sujeito. O que eles provavelmente não concordarão é sobre a trajetória realizada pela bola. Estes dois referenciais inerciais, estão mostrados na figura abaixo. X = L + X', de modo que X = (V.t) + X'. PORTANTO. X' = X − V.t Vamos admitir, por simplicidade, que os eixos do X estejam alinhados para direita na mesma direção do movimento relativo dos sistemas de referencias inerciais. Um, pode ser associado ao “curumim” e outro, a “cunhantã”. Admitamos, também, que no instante t = t’ = 0, a origem do sistema de referencia localizado no carro-baú está afastado de uma distancia L = v.t da origem do referencial da “cunhantã”. A relação entre estes dois sistemas de coordenadas, num determinado instante (t), é dado pelo seguinte conjunto de equações: X’= X – V.t Y’ = Y Z’ = Z t’ = t Note, que em relação ao “curumim”, sua namorada está se movendo com velocidade (–V). Quanto a trajetória da bola, enquanto o “curumim” vê a bola se movimentar numa linha reta vertical, a “cunhantã” vê uma parábola, 136 2.1 O PRINCIPIO DA RELATIVIDADE DE GALILEO AS TRANSFORMAÇÕES DE GALILEO A descrição do movimento a partir de dois sistemas de referencias inerciais é o que chamamos de Transformação de Galileo. Fisicamente, as transformações de Galileo representam a relação entre as medidas espaciais e temporais que são feitas por dois observadores que estão em movimentos uniformes relativos. Consideremos por exemplo, um casal de Física Fundamental – As Leis do Movimento cujo a forma exata vai depender da velocidade com que os sistemas de referencia que estão se movendo relativamente um em relação a outro. Uma importante característica das Transformações de Galileo é a de que o tempo é um parâmetro invariante, ou seja: o intervalo de tempo gasto no evento é o mesmo em qualquer sistema de referencia ou seja, o tempo é independente do sistema de referência escolhido. Um dispositivo empregado nos Laboratórios de Física consiste de um carrinho que contem no seu centro uma cavidade na qual uma esfera de aço mantém comprimida uma mola. Quando a mola é liberada, ela impulsiona a esfera verticalmente para cima em relação ao carro. A experiência consiste em colocar o carrinho em movimento com velocidade Vx sobre um trilho horizontal constante quando, depois de alguns segundo, a mola é liberada e a bola é projetada em seu movimento. Utilizando as Transformações de Coordenadas de Galileo, determine matematicamente a forma da trajetória da bolinha para um observador localizado no Laboratório. A adição clássica das velocidades é outra conseqüência direta das transformações de Galileu. Caso desejarmos determinar a velocidade (V’) de um corpo, num determinado instante (t), em relação a ambos sistema de referencia, obteremos: V’ = U – V. Onde (V’) é a medida da velocidade do evento no referencial S’ que se move com velocidade (V), enquanto (U) é a medida da velocidade no referencial S. equação acima é que um corpo, quando observado movendo-se com velocidade em relação a outro Sistema de Referencia Inercial, sua velocidade ainda é constante. Assim, para obtermos as transformações da aceleração, basta lembrarmos que, sendo a velocidade constante, qualquer mudança de velocidade, implicara numa mesma variação para ambos observadores. Consequentemente, as medidas feitas simultaneamente pelos observadores serão idênticas: a=a’. Deste modo que cada um dos “pombinhos” mede a mesma aceleração a’ = a. Portanto, a passagem de um referencial para outro referencial em translação retilínea e uniforme em relação ao primeiro, as posições e as velocidades podem mudar, mas as acelerações não se alteram. 1. Por exemplo, considere um carrinho que contem um dispositivo que atira bolas verticalmente para cima. Quando carro encontra-se parado em relação ao solo, dispara-se a bolinha. O mesmo ocorre quando o carro move-se horizontalmente com velocidade constante para a direita. Determine o movimento da bola quando vista por dois observadores (a) um postado carro e (b) outro localizado no solo. 1. Suponha que o nosso caminhão-baú esteja se movendo a uma velocidade de 108 Km/h em relação ao solo e o “curumin” atire do fundo do caminhão-baú para frente, uma bola com uma velocidade de 2Km/h. Para a “cunhantã”, parada na calçada, quanto corresponde a velocidade da bola? Assim, a aceleração de uma pedra que cai ou a de um projétil é a mesma nos dois sistemas de referencia inercial. Conseqüentemente, as Leis do Movimento são as mesmas em ambos os sistemas de referencia inerciais, em suma: elas permanecem invariantes com respeito as transformações de coordenadas. Esta invariança das Leis do Movimento é chamada de Principio da Relatividade de Galileu. Este principio é conseqüência da experiência imaginária de Galileo, na qual examina o movimento de queda em relação ao barco e em relação ao Sol. Daí Galileu ter descoberto que, considerando-se insignificante a resistência do 137 Outra importante conseqüência especial da UEA – Licenciatura em Matemática ar durante a experiência, tanto faz deixar cair um corpo em relação a Terra, quanto a um barco em MRU, eles caem com a mesma aceleração. Na Mecânica Clássica, a massa também, não é afetada pelo movimento do sistema de referencia, por conseguinte, o produto (m.a) será o mesmo para todos os observadores inerciais. Todavia, sendo a relação (m.a) é tomado como a definição de força, cada observador obtém a mesma medida para cada força, ou seja: F’ = F em todos os sistemas inerciais. Deste modo, um observador em qualquer sistema de referencia inercial deduz sempre as mesmas Leis do movimento. Uma importante conseqüência da invariança das Leis da Física é a de que nenhum experimento mecânico, realizado inteiramente num sistema inercial, pode dizer ao observador qual o movimento daquele sistema em relação a qualquer outro sistema inercial. Assim, imaginemos que o “curumim” se mude para um caminhão-baú que tem suas paredes perfeitamente isolada visualmente, acusticamente e dos mais contatos com o mundo exterior. Para o “curumim”, que trafega por uma rua ideal, sem saber que está em MRU, vê uma bola, também, mover-se em MRU pelo o assoalho do veículo. Apenas observando o movimento da bola, o “curumim” nada pode dizer sobre o movimento do caminhão-baú com relação ao solo pois nenhum sistema inercial é preferido sobre qualquer outro. Não há como dizer se o “curumim” está se movendo uniformemente ou parado. Vamos imaginar uma outra situação, na qual o caminhão-baú se move milagrosamente com a velocidade da luz. Se o “curumim” olhar para a parede do fundo, ele não verá nada. Neste caso, o “curumim” dispõe agora de um meio seguro para saber se está se movendo ou não! Ocorre que, como vimos, pela Teoria da Relatividade de Galileu isto é impossível!! Desconcertante, não é mesmo!! Esta experiência pensada parece violar a Teoria da Relatividade de Galileu. Foi exatamente uma situação semelhante a esta, que levou Einstein a criar a sua Teoria da Relatividade Restrita. Segundo conta, quando tinha 16 anos, ele se 138 perguntou sobre o que aconteceria se pudesse acompanhar o movimento de um raio luminoso. Einstein Foi por meio desta experiência mental, que Einstein, se deu conta que algo devia estar, de alguma forma, errado com as explicações eletromagnéticas. Entretanto, foram precisos 10 anos para que Einstein conseguisse resolver estes paradoxos. 2.2 FORÇAS EM SISTEMA DE REFERÊNCIA NÃO-INERCIAL. Existem situações nas quais o sistema de referencia move-se com aceleração. Neste caso como ficam as leis de Newton? Nestes casos será que elas ainda continuam valendo? Para que possamos examinar o entendimento da natureza física da força, da aceleração e das Leis da Física, é conveniente, portanto, utilizar Sistemas de Referência Não-Inercial. Vamos admitir que tenhamos um sistema de referência não-inercial que translada em movimento uniformemente acelerado com respeito a um sistema inercial. 1. Considere um corpo suspenso por um fio preso ao retrovisor de um carro acelerado. Explique o comportamento deste corpo para um observador no carro e outro na calçada. Para não confundir os símbolos empregado anteriormente, admitiremos que o sistema de referencia não-inercial seja representado por (S’’). Física Fundamental – As Leis do Movimento Vamos supor também, que o sistema (S’’) tenha uma aceleração (a’) em relação a um sistema inercial (S). Neste caso, teremos: a’’ = a – a’ (1), onde a’ é aceleração de S’’, medida a partir de S De acordo com a 2ª Lei de Newton, a força experimentada pelo corpo em relação a S é F= ma enquanto que no sistema acelerado a força aparente é: F’’=m.a’’. Substituindo o valor de a’’, obtemos: F’’ = ma – ma’. (2) Onde (–ma’) é denominada de força de inércia ou fictícia. Assim: Fficticia = –ma’ (3), cuja origem da força fictícia se deve, pois a aceleração do sistema de referencia e não a interação entre os corpos, como acontece com a força gravitacional. Portanto a equação (2) torna-se F’’ = ma + Fficticia, ou seja: F’’aparente = Freal + Fficticia. De maneira que, quando a”=0, a F’’aparente = Freal Ângelo, pendurou no teto um pendulo. Ele constatou que quando o carro acelera o pendulo sofre uma inclinação de 45º. (a) Indique as forças que atuam no pendulo vista por Ângelo e por sua amiga, Ariane, que se encontra sentada na calçada. (b) A intensidade da aceleração do carro 5. Admita que uma bola seja lançada no piso horizontal de um avião perpendicularmente à direção do movimento do avião. Caso o avião esteja sendo acelerado faça um esboço de como será a trajetória da bola. 6. Enquanto andava de skate, André, querendo testar o Principio da Relatividade de Galileu lançou cerca de 80 cm uma laranja verticalmente para cima e apanhou na volta e examinou o que acontecia em três situações. I – situação: com o skate parado em relação a seu irmão, Adelino Jr, que se encontrava sentado na calçada o tempo de permanência no ar da laranja era de 0,8 s e a forma da trajetória era uma linha reta. 1. Um corpo cai dentro de um carro-baú em MRUV. Descreva como será a trajetória do corpo para um observador localizado dentro do carro-baú e para um observador inercial. 2. Um elevador de massa M sobe com uma aceleração constante (a0). Dentro do elevador, uma pessoa de massa m, se encontra em pé sobre sob uma balança de molas colocada no piso do elevador. Qual a força aparente que registrada pela balança? 3. Admita que sua massa seja de 60Kg e que você esteja em pé sobre uma balança, dentro de um elevador. (a) Se a indicação que você lê na balança for de 420N, o que você pode dizer a respeito do movimento do elevador? (b) Caso você leia 600N o que você pode dizer a respeito do movimento do elevador? 4. Para determinar a aceleração de um carro, 139 II – situação: com o skate em MRU com uma velocidade de 2,5 m/s, André não mais conseguia apanhar a laranja, no entanto a trajetória da laranja para seu irmão continuava uma linha reta. III – situação: André e Adelino Jr, ambos se movendo em MRU com a mesma velocidade de 2,5 m/s. A diferença e´que o skate do Adelino Jr se move no sentido oposto ao de André. Neste caso, eles não observavam mais o movimento da laranja. Para ambos os irmão, a laranja parecia ficar parada no ar, como se flutuasse. Desprezando a resistência do ar, você concorda com os resultados das experiências realizadas por André? Se você discordar, indique o que está errado e explique porque? 7. Uma balança de braços iguais está presa ao teto de um elevador. Quando o elevador está UEA – Licenciatura em Matemática parado, a balança fica equilibrada indicando um valor P para o peso de um objeto. Caso o elevador desça com aceleração constante (a) que peso a balança indicará? 2.3 OS EFEITOS DA ROTAÇÃO NUM SISTEMA DE REFERENCIA EM M.C.U. Um importante caso de forças inercial ocorre quando o Sistema de Referencia gira em MCU em relação a um Sistema de Referencia Inercial. Exemplos desse tipo, incluem a Terra, carrossel, e muitos outros sistemas familiares. Em tais sistemas, o observador tem a sensação de que uma força lhe empurra radialmente para fora do círculo. A esta força denominamos de Força Centrífuga. Uma importante conseqüência devido ao efeito de rotação da Terra e o desvio da trajetória de um móvel que cai verticalmente em razão da presença da Força de Coriolis. Esta força se deve ao fato da partícula está se deslocando com uma velocidade relativamente ao Referencial Não-Inercial. De maneira que, neste referencial, como a Terra, a trajetória de um móvel seguirá uma trajetória curva, no sentido contrario ao da rotação do referencial Do ponto de vista de um Sistema de Referencia Inercial, o desvio devese a presença da Força de Coriolis, de intensidade é dado por FCORIOLIS = 2mwv Denominamos, pois de Peso Aparente, a força de reação normal exercida para cima pela balança. Caso o elevador estivesse em queda livre, ele experimentaria uma aceleração a0 = g relativa ao referencial inercial. Desse modo, a força F’’ que atua sobre o corpo em relação ao elevador será nula ou seja, o corpo não teria peso em relação ao elevador. Esta falta de peso (ou imponderabilidade) não ocorre apenas dentro de um elevador em queda livre, mas também dentro de uma nave espacial em órbita. Num sistema de referencia localizada dentro da nave espacial, os astronautas e tudo mais que estiver dentro dela estão sem peso. Este efeito da ausência de peso aparente, dá-se de forma concreta ao visualizarmos astronautas, canetas, maçãs “flutuado” dentro da nave. Entretanto, em relação a um sistema de referencia localizado na Terra, tanto o astronauta como tudo que vai dentro dela tem peso. Para observadores situados na Terra, o astronauta, canetas, maçãs que parecem “flutuado” dentro da nave porque eles estão caindo na mesma taxa que a nave espacial durante a sua órbita. Caso o astronauta desejasse medir o seu peso aparente, ele não conseguiria; pois ele não exercer nenhuma força de compressão sobre a balança, uma vez que ela também esta caindo em direção a Terra. Desse modo, a balança registraria zero. 140 1. Cite alguns efeitos devidos à rotação da Terra. Física Fundamental – As Leis do Movimento TEMA 03 INDUÇÃO MAGNÉTICA 31 LEI DA INDUÇÃO DE FARADAY Não é necessário justificar a enorme relevância dos motores elétricos. Poderíamos enumerar as discussões ambientais, já que as reservas de combustíveis estão contadas, e as máquinas a vapor, tão importantes na Revolução Industrial, apresentavam sérios problemas, por exemplo, a energia não podia ser transportada e isso sem falar da poluição com a fumaça que chegava a cobrir cidades inteiras. Então logo se viu os benefícios devido ao baixo custo, fácil construção, facilidade no transporte e, ainda, baixíssimo índice de poluição. Daí, as atenções terem se voltado para a produção de energia elétrica em larga escala com a invenção dos geradores eletromagnéticos de corrente elétrica. Esses geradores produzem energia de grande intensidade, podem ser distribuídas a longas distâncias através de fios metálicos que alimentam as indústrias e nossas casas. Mas, qual será a física por trás da produção de quase toda energia que consumimos? Já determinamos o campo elétrico gerado por uma carga elétrica em repouso e o campo magnético produzido por uma determinada corrente elétrica constante. Michael Faraday mostrou que uma corrente elétrica pode ser induzida em um circuito por um campo magnético variável, o que significa que uma corrente elétrica é produzida em um fio enquanto ele atravessa um campo magnético. Fenômeno conhecido como indução eletromagnética. Em outras palavras, quando o fluxo magnético varia através de um circuito, ocorre a indução de uma fem( força eletro motriz) e de uma corrente no circuito. À corrente elétrica assim gerada denominamos corrente induzidas. 3.2 INDUÇÃO MAGNÉTICA Colocado num campo magnético, um circuito fechado é percorrido por uma corrente, cada vez que o fluxo que o atravessa experimenta 141 qualquer variação. A esse fenômeno chamamos indução magnética; o fluxo magnético que varia através de um circuito e provoca a indução de uma força eletromotriz (fem) necessária para produzir a corrente é a fem induzida; a corrente elétrica no circuito é chamada de corrente de indução. O fenômeno comum em todos os efeitos de indução é a variação do fluxo magnético através do circuito. Para um elemento de área → → infinitesimal ∆A em um campo magnético B, o fluxo magnético ΦB através da área é dado por: ΦB = B. Acosθ • Para o caso de B perpendicular a superfície,a expressão fica: → θ = ⇒ cosθ = 1 ⇒ ΦB = B.A • Para o caso de B paralelo a superfície,a expressão fica: → θ = 90º ⇒ cosθ = 0 ⇒ ΦB = B.A.cos90º = 0 No SI, a unidade de fluxo magnético é definida: 1weber (Wb) = 1 tesla(T). metro quadrado (m²) Enunciando a lei de Faraday da indução: A fem induzida em uma espira fechada é dada pela taxa de variação do fluxo magnético, com o sinal negativo, através da área delimitada pela espira: Onde o sinal negativo diz respeito ao sentido da corrente, que foi induzida no sistema. Para o caso particular de n espiras concêntricas e idênticas a fem induzida será a soma da fem induzida em cada espira: A lei de Faraday-Lenz enuncia que a força eletromotriz induzida num circuito elétrico é igual a variação do fluxo magnético concatenado ao circuito. É importante notar que um campo magnético constante não dá origem ao fenômeno da indução. Por esta razão, não é possível colocar um magneto no interior de um solenoide e obter energia elétrica. É necessário que o magneto ou o solenóide movamse, consumindo energia mecânica. Por esse UEA – Licenciatura em Matemática motivo que um transformador só funciona com corrente alternada. A lei é de natureza relativística, portanto o seu efeito é resultado do movimento do circuito em relação ao campo magnético. 1. Um trilho isolante em forma de U suporta uma barra AB metálica e se encontra imerso num campo magnético como na figura. Quando movimentamos a barra, surge nela uma força eletromotriz (fem) induzida. a) Sendo a distância entre as hastes do trilho de 1 m, e que a barra é puxada com velocidade de 5 m/s e que o campo magnético tem intensidade de 8,0 x 10–2T, calcule a fem induzida na barra. b) Se o material isolante do trilho for substituído por um material condutor, qual será o sentido da corrente induzida? 142 UNIDADE VI Lei da Conservação da Energia Física Fundamental – Lei da Conservação da Energia TEMA 01 TRABALHO - ENERGIA INTRODUÇÃO O Físico holandês H.A.Kramers disse uma vez que “Minha idéia favorita é que geralmente o mundo do pensamento humano, e particularmente na ciência física, os conceitos mais importante e mais frutíferos são aqueles aos quais é impossível associar um significado bem definido”. Nada se aplica melhor a este comentário do que os conceitos de trabalho e energia. Quando se tenta compreender seus significados, é que se percebe o quanto é difícil fornecer certas definições em física. 1.1 DEFINIÇÃO DE TRABALHO No nosso cotidiano, trabalho refere-se frequentemente a qualquer esforço exercido durante algum intervalo de tempo, pelo qual, às vezes, você imagina que vai ficar rico. Um carregador “trabalha” quando transporta objetos pesados, cansando-se. Um vigia “trabalha” sentado, observando as pessoas que entram e saem de uma casa. Um segurança “trabalha” quando transporta uma mala de dinheiro. Você “trabalha” quando resolve um problema de física. Na Física, entretanto, a expressão “trabalho” significa algo mais preciso. É empregada para expressar a medida da transferência de energia de um sistema para outro, por meio da aplicação de uma força em certa distancia. Neste caso, uma criança “trabalha” quando puxa um brinquedo. Todavia, o carregador “não trabalha” enquanto carrega um saco de batatas no ombro. O operário “trabalha” quando levanta uma lata de concreto. Entretanto, você “não trabalha” quando apóia a mão no queixo ao tentar resolver o exercício de física. Um elefante “trabalha” quando ergue uma tora de madeira do chão. Mas, seu professor “quase não trabalha” quando vira as páginas destas Notas de Aula. O conceito de trabalho empregado na Física se originou por volta da Revolução Industrial, quando máquinas a vapor começaram a ser empre145 gadas como força motriz para retirar água das minas de carvão que se encontravam alagadas. Matematicamente, define-se o Trabalho (τ) realizado por uma força constante, de intensidade (F), paralela ao deslocamento (d) de um objeto, como sendo o produto escalar entre a força e o deslocamento, isto é: τ = F.d. O trabalho, portanto, é uma grandeza escalar, cujo o resultado é um número, que pode ser positivo, negativo ou nulo. A unidade tanto do trabalho quanto da energia no SI é o Joule (J) Caso você exerça uma força de 20 N para deslocar um carrinho de supermercado de 8 m. O trabalho realizado sobre o carrinho será de: τ = (10 N) x (8 m) = 80 J 1. Uma formiga caminha com velocidade média de 0,20cm/s. Qual o trabalho que ela realiza para transportar uma folha de 0,2g de uma altura de 8,0m? 1.2 O CONCEITO DE ENERGIA Embora seja difícil associar uma definição bastante clara do que seja energia, todos nós temos uma idéia intuitiva do que seja energia e o que ela representa para a Humanidade. Sabemos, por exemplo, que os alimentos contem alguma espécie de energia armazenada, pois o funcionamento e a capacidade da “máquina humana” de realizar trabalho depende da sua ingestão. A tabela abaixo ilustra o consumo de Energia empregado em algumas atividades por parte de uma pessoa saudável, jovem, de constituição e metabolismos médios desenvolvido no decorrer do dia UEA – Licenciatura em Matemática O mesmo processo de funcionamento da “máquina humana” ocorre num automóvel. Para movimentá-lo, precisamos abastece-lo com um determinado combustível (gasolina, óleo Diesel ou álcool). Caso o gás de cozinha acaba e você ainda pode dispor de lenha ou de carvão, para preparar o “peteco” (feijão com arroz”), cozinhar os outros os alimentos ou fazer aquele churrasco. Mais ainda, se todas as luzes de nossas casas se apagam repentinamente, a primeira coisa que imediatamente procuramos saber é porque é que “a luz foi embora”? Rápido descobrimos que para que uma residência “tenha luz” é preciso que as lâmpadas (e as tomadas) disponham de uma quantidade de energia elétrica proveniente ou do combustível, ou do nível d’água da represa de Balbina, ou que a “conta da luz” tenha sido paga. A “Energia é, portanto, uma espécie de moeda Universal” com a qual pagamos as coisas que desejamos realizar. Cada gota de suor, de gasolina ou de álcool; cada m3 de gás, cada Kwh de eletricidade; cada “colherada” de comida representam de uma forma ou de outra aquilo que é necessário para realizar o que chamamos de TRABALHO. O objetivo neste capitulo, é bastante modesto, pois resume-se em entender cuidadosamente, analisar e aplicar o conceito de Energia Mecânica a fenômenos físicos e situações cotidianas. Partiremos da compreensão intuitiva e dos argumentos experimentais apresentado por Galileu, de modo que possamos analisar as grandezas cruciais envolvidas no conceito de ENERGIA. 1.3 O TRABALHO DO PESO Para facilitar a compreensão da relação entre Trabalho-Energia suponha, por exemplo, que você suspenda um corpo de tal maneira que ele não acelere. Neste caso, a força (F) deve se igualar ao peso (P) do corpo. Sabendo, por sua vez, que o peso de um corpo nas proximidades da superfície da Terra é constante, o trabalho executado para mover o peso até uma . certa altura (h) será: τ = P h. De acordo com esta definição, você poderia imaginar que o trabalho executado contra a gravidade dependa, por exemplo, da maneira 146 pela qual se ergue o peso entre dois andar de uma construção: se, por uma polia; por através de uma rampa; por meio de um pêndulo ou através de uma escada. 1. Suponha que sua mochila pese 80N e que você esteja transportando ela presa às suas costas. Ao tentar subir ao 4º andar de um prédio, você dispõe de três alternativas: I - uma escada II –uma rampa III – um elevador Calcule o trabalho realizado por você para cada uma dessas opções. Explique porque as pessoas preferem ir de elevador. CONCLUSÃO: TRABALHO DA FORÇA GRAVITACIONAL NÃO DEPENDE DO CAMINHO É fácil perceber na vida diária que um peso suspenso contém uma certa quantidade de energia devido a sua posição, pois se um ouriço de castanha cair, ele pode realizar um certo Trabalho como, por exemplo, “achatar” a lataria de um carro. Usando a definição de trabalho, τ = F.d , onde (F) é o Peso do corpo e (d) é a altura, dizemos que τ = P h ou τ = m.g.h . Fisicamente, pode-se compreender essa Física Fundamental – Lei da Conservação da Energia relação admitindo-se que a força aplicada (F) realizou um trabalho sobre o objeto ou, alternativamente, que a força realizou um trabalho contra a força da gravidade. Em síntese, o que tem que ficar claro, é que o trabalho, como já foi dito, representa uma transferência da energia armazenada no ouriço que pode vir ser usada em qualquer instante. Esta energia devido a sua posição, em relação ao chão, é o que se denomina de ENERGIA POTENCIAL (Ep). Portanto, W = Ep = m.g.h Como a Energia Potencial depende da altura, o seu valor sempre depende da escolha de um nível de referência escolhido arbitrariamente. Na prática, o nível escolhido é aquele no qual a força resultante é nula. Neste nível a energia potencial é nula. Lembrando que um objeto em movimento possui determinada quantidade de Energia Cinética podendo realizar trabalho, isto se expressa por Ec= τ. Reescrevendo essa relação na forma Ec= F.d, f i obtém-se a seguinte relação: (τb = EC – E C); a resultado que é conhecido pela denominação de Teorema do Trabalho-Energia. Igualmente, podemos obter uma relação entre o trabalho e a Energia Potencial, que se i f expressa por τb = – (E p – Ep) = –∆Ep a 1. Um helicóptero é usado para recolher, por meio de um cabo inextensível e de massa desprezível, um astronauta de 72kg, através de 15m, verticalmente, a partir da superfície do oceano. Suponha que, num determinado instante, a tensão no cabo seja de 1200N. a) Determine, neste instante, o sentido e o modulo do vetor aceleração b) É possível saber se, neste instante, o helicóptero esta subindo ou descendo? Justifique sua resposta. c) Qual o trabalho realizado pelo helicóptero sobre o astronauta? d) Qual o trabalho realizado pela força gravitacional sobre o astronauta? e) Qual a energia cinética e a velocidade do astronauta, imediatamente antes, de chegar ao helicóptero? 1. Um carrinho de mão, cheio de pedras, inicialmente em repouso, tem aproximadamente 120Kg. Para que o carrinho se mova um operário aplica uma força constante horizontal de 240N. Desprezando-se os atritos, qual a energia cinética do carrinho após ter percorrido 5,0 m? Até agora, temos definido o conceito de trabalho a partir de situações cotidianas bem simples onde, por exemplo, a força gravitacional (o Peso) era constante para pequenas variações de altura. Uma expressiva classe de problemas em Física envolve situações onde a força que atua sobre a partícula varia tanto em direção quanto em intensidade. Desse modo para calcular o trabalho devemos conhecer como a força varia em função do tempo, ao longo da trajetória da partícula (vide a figura abaixo). 1.4 RELAÇÃO GERAL ENTRE TRABALHO E ENERGIA Podemos agora generalizar os resultados já obtidos. Para tanto, considere, por exemplo, uma partícula se movendo do ponto A até o B ao longo da seguinte trajetória submetida a ação de uma força constante (F). 147 Nestas situações, o trabalho total realizado por (F) para deslocar a partícula desde o ponto A UEA – Licenciatura em Matemática até o B pode ser expresso como: , TEMA 02 onde dr é um deslocamento infinitesimal ao longo da trajetória. 1.5 TRABALHO DA FORÇA ELÁSTICA Consideremos agora o trabalho realizado para distender uma mola. Experimentalmente, sabese que para se distender uma mola, sem aceleração, de uma pequena distância (X), é necessário aplicar-se uma força igual e oposta aquela produzida pela mola, dada pela Lei de Hooke, ou seja: F = k.X. Uma propriedade muito importante da Força Elástica é que ela é uma Força Restauradora. Assim, toda vez que se tenta distender uma a mola, ela reage opondo-se a este deslocamento, tendendo retornar a sua posição de equilíbrio. O trabalho realizado sobre a mola pode ser facilmente determinado a através do gráfico do comportamento da força aplicada contra a mola. A área do triângulo fornece a medida do trabalho realizado. A ENERGIA MECÂNICA INTRODUÇÃO O resultado encontrado para o trabalho para transportar um peso, próximo a superfície da Terra, demonstra que ele depende apenas da altura que se deseja elevar o corpo ou seja, da posição inicial e final. Deste modo, podemos erguer um corpo por diferentes trajetórias que o resultado será o mesmo, o implica dizer que se requer sempre a mesma quantidade de trabalho para erguer um peso. Portanto, o trabalho da força gravitacional não depende do caminho a ser percorrido pelo objeto. 2.1 FORÇAS CONSERVATIVAS Imaginemos que uma partícula se mova desde o ponto A até o ponto B ao longo da trajetória 1, retornando para A ao longo da trajetória 2. varias forças podem agir na partícula durante seu percurso. Separando-se cada uma dessas forças, se a força for conservativa, o trabalho por ela realizado sobre a partícula, em um percurso fechado, deve ser nulo. 1. Uma mola, presa a uma parede rígida, é comprimida por um bloco de 0,40Kg. Quando o bloco é liberado ele adquire uma velocidade de 2,0m/s. Determine o trabalho da força exercida pela mola sobre o bloco. 2. Uma mola elástica é comprimida 10 cm por uma força de 10N. Se a mola se distender, para empurrar um carrinho de 1Kg, com que velocidade ele iniciará o movimento? 148 Sendo o resultado independente da trajetória, a isto é: τAB(1) = τAB(2), a força que obedece esta propriedade é denominada de Força Conservativa. De modo que, o trabalho realizado pela força conservativa (vide a figura acima) ao longo de uma trajetória fechada é nula, ou seja: τAB(1) + τAB(2) = τAB(1) – τAB(2) = 0 1. Suponha que a força que age sobre uma partícula dependa de velocidade com que o trajeto é percorrido. Pode tal força ser conservativa? Física Fundamental – Lei da Conservação da Energia Nos casos onde a Força é Conservativa é possível sempre associar uma Energia Potencial. Como as interações fundamentais em Física dependem da posição podemos associar a cada força desse tipo uma energia armazenada no sistema que pode vir, ao ser liberada, realizar um determinado trabalho. Por exemplo, pregar um prego, disparar uma flecha, etc . No caso da força gravitacional associa-se uma ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL, enquanto que no caso de uma mola, associa-se a força elástica uma ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA. Existem outras formas de Energia Potencial, que estão associadas a outros tipos de forças. Por exemplo, num átomo, se o elétron for afastado do núcleo por uma força externa, a energia potencial elétrica aumentará. O mesmo acontece no caso de dois imãs. Ainda que a Energia Potencial possa parecer como pertencente somente ao corpo, não podemos nos esquecer que é o sistema como um todo que determina a Energia Potencial. Desse modo, a Energia Potencial Gravitacional, que surge devido, por exemplo, ter sido erguido uma mochila, não esta localizada somente na mochila, mas sim em todos os corpos que constituem o sistema e que estão interagindo. Assim, a Energia Potencial, surge da realização do trabalho, que aumenta a energia total do sistema, no caso, da Terra-mochila. 2.2 TRABALHO REALIZADO PELO ATRITO Um objeto quando desliza sobre uma superfície, normalmente, atua sobre ele uma força de atrito na direção contraria ao do seu movimento. Pela definição de trabalho τ = F . r a força de atrito realiza um trabalho sempre negativo sobre o objeto durante todo o seu movimento. Assim, o trabalho realizado num percurso de ida-e-volta, é diferente de zero. Portanto a força de atrito não é conservativa → → velocidade de 40 m/s. sabendo-se que a aceleração da gravidade e a força de resistência do ar são praticamente constante, qual o trabalho realizado pela força de resistência do ar? 2. De acordo com o depoimento de um certo nadador, numa prova de 100m, se dispende cerca de 280000J em 60 segundos. Admitamos que 3/4 desta energia sejam liberados, diretamente, sob forma de calor, e o restante seja dissipado por suas mãos e pernas em trabalho mecânico. Com base nestas informações qual a força media que se opõe a seu movimento? 3. Um corpo de massa M gira em MCU sobre uma mesa presa num fio de comprimento R. Admita que o coeficiente de atrito entre o corpo e a mesa seja µ e que, num determinado instante, o módulo da velocidade tangencial do corpo seja V. a) Qual deve ser o valor de V para que o corpo pare após duas voltas completas. b) Qual o trabalho realizado pela força de atrito durante a última volta. 4. Normalmente, num frigorífico, o operário dispõe de uma rampa por onde desliza os blocos de gelos (≈80kg), a partir do repouso. Medidas efetuadas numa rampa de 1,8m indica que os blocos de gelo chegam na sua base com uma velocidade de aproximadamente 4,0 m/s. Qual a quantidade de energia dissipada pelo atrito. 2.3 A LEI DE CONSERVAÇÃO DA ENERGIA A Lei de Conservação da Energia é um dos mais profundos, robustos e resistentes pilares do Edifício da Física e de toda atividade cientifica. Contudo, sua formulação explicita como um dos aspectos fundamental da presença de uma ordem no Universo é recente, data da segunda metade do século XIX. Ela constitui-se numa descoberta que custou milhares de anos de trabalho mental para se chegar a formulação correta. Para facilitar a compreensão da Lei da Conservação da Energia, podemos novamente retornar ao experimento de Galileo com o plano inclinado e com pêndulos em termos da transformação da energia cinética em da energia potencial, e vice versa. 149 1. Um corpo de 10 Kg cai, a partir do repouso, de uma altura de 100 m e chega ao solo com uma UEA – Licenciatura em Matemática Assim, a partir do instante que a bola parte de sua posição inicial, começa existir uma troca ou uma transformação de energia potencial para a energia cinética, uma vez que a bola perde altura mas, em compensação, ganha/adquire velocidade. Este processo de transformação de energia se inverte quando a bola sobe pelo segundo plano inclinado. Pelo fato de na subida a velocidade da bola ir diminuindo, sua energia cinética diminui, enquanto sua energia potencial vai crescendo, devido a altura da bola em relação a mesa, ir aumentando. Desse modo quando a bola alcança novamente sua posição de repouso momentâneo, toda a energia cinética da bola foi transformada em energia potencial e, a altura alcançada pela bola é precisamente a mesma que ela tinha no começo da experiência. Assim, podemos descrever o movimento da bola entre dois pontos A e B ao longo do plano inclinado da seguinte forma: EA + EA = EB + EB , isto implica que a ENERGIA P C P C é conservada. Em resumo, a Lei da Conservação da Energia estabelece que: EP = EC = Cte 1. No rótulo de uma lata de leite em pó, você pode ler “valor energético: 1509KJ por 100g (361Kcal)”. Caso toda a energia armazenada numa lata contendo 400g de leite fosse utilizado para levantar um objeto de 10Kg, que altura ele atingiria? 2. Um bate-estaca consta de um corpo pesado (P) que, depois de levantado a certa altura H, é abandonado, vindo colidir inelasticamente contra a cabeça de uma estaca de massa (m). Se a estaca penetra no solo uma profundidade (h) determine a força média de resistência exercida pelo solo. 3. Um menino de 50Kg desce, a partir do repouso, por um tubo-água de 4,0m de altura. Ao escorregar ele cai dentro de uma piscina a uma distancia de 1,5m, medido a partir da extremidade mais baixa do tubo-água. Sabendo-se que a extremidade mais baixa do tubo-água encontra-se a 1,25m do nível da água da piscina, encontre: a) a velocidade com que o menino deixa o tuboágua. b) a perda de energia mecânica da criança durante a descida no tubo-água. 4. Um bloco de 5,0Kg desliza a partir do repouso por uma rampa, colidindo inelasticamente com outro bloco idêntico que estava parado no plano horizontal. Até que altura o conjunto poderá subir na rampa seguinte. 5. Um peso P cai de uma altura H sobre uma mola de comprimento Y e constante elástica K. Demonstre matematicamente que a velocidade do bloco ao sofrer uma deformação X é dada pela seguinte relação: 150 Física Fundamental – Lei da Conservação da Energia 6. Um pendulo, inicialmente, em repouso é posto para oscilar entre os pontos A e B. Indique as forças que atuam sobre ele, no instante em que passa pelo pontos X, Y, e Z. Demonstre que a a intensidade da força aplicada no fio quando o pendulo passa pela posição Y é o triplo do que quando ele está em repouso. 10. Um objeto de 8,0 kg e volume 1,0 litro imerso num grande recipiente contendo água desloca-se para baixo com velocidade constante de 0,2 m/s. a) identifique as forças que atuam sobre o objeto b) qual a quantidade de energia transformada em calor no sistema objeto + água? 11. Um “bole-bole” é constituído por uma pedra de massa M amarrada por um fio inextensível de comprimento L que gira num plano vertical. a) qual a velocidade inicial mínima para que a pedra realize uma volta completa? 7. Uma bolinha de aço cai de uma altura de 1,0 m sobre uma placa de mármore. A bola repica sobre a placa varias vezes. Em cada colisão, a bolinha perde 20% de sua energia. a) que altura máxima a bola atinge após duas colisões contra a placa? b) com que velocidade a bolinha atinge a placa na terceira colisão? 8. Acredita-se que a cratera do Arizona foi formado pelo impacto de um meteoro contra a terra há cerca de 20.000 anos. Estima-se em 1,0 x 1012kg a massa do meteoro e que ele tenha colidido a frontalmente contra a Terra (m≈1,0 x 1024kg a 36000km/h. A colisão é perfeitamente inelástica e libera enorme quantidade de calor. a) que fração de energia cinética do meteorito se transforma em calor? b) que fração se transforma em energia cinética do conjunto Terra + meteorito? 9. Os nativos australianos desenvolveram um esporte radical, o qual denominamos de “bungee jumping”, em que o nativo cai de um galho de uma árvore para a água amarrado por um “cipó”. Sua queda é interrompida, a poucos metros da superfície da água. Suponha que o peso de um desses “atletas” seja de 750N, que o comprimento do “cipó” não distendido seja de 30 m e que a distenção máxima seja de 10m. Nestas condições, qual o valor da constante elástica do cipó utilizado? 151 b) qual a velocidade mínima no ponto mais alto da trajetória. c) qual a força no fio no ponto mais alto e mais baixo da trajetória? UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 03 TEMPERATURA 3.2 Temperatura A temperatura é uma medida da agitação das partículas que compõe certo material. Se considerarmos as moléculas um gás, quanto maior a sua temperatura mais energia cinética terão essas moléculas. O tato constitui uma das maneiras mais simples de fazer uma distinção entre corpos quentes e frios. Mas essa maneira de avaliação é bastante imprecisa, e além do mais poderá causar dificuldades se as temperaturas dos corpos estiverem muito próximas. Se construirmos uma experiência com três recipientes contendo água, onde um deles está a temperatura ambiente, o segundo a uma temperatura acima da ambiente e o terceiro a uma temperatura abaixo da ambiente. Vamos mergulhar uma das mãos no recipiente com água a uma temperatura acima da ambiente e a outra mão no recipiente com água a uma temperatura abaixo da ambiente, e permanecer pouco mais de um minuto nessa situação. Ao mergulhar as duas mãos no recipiente a temperatura ambiente iremos ter a sensação estranha onde uma mão manda a informação que a água está numa certa temperatura enquanto a outra mão manda uma informação de uma temperatura diferente. A mão que estava no recipiente com água mais fria sente a água mais quente, e a mão que estava no recipiente com água mais quente sente a água mais fria. Felizmente existem substâncias que nos dão uma medida da temperatura de outros corpos e a relação entre elas. São chamadas de substâncias termométricas. 3.2.1 Equilíbrio térmico Dois corpos em contato físico, estão em equilíbrio térmico quando param de trocar energia, quando o fluxo líquido de energia entre eles é nulo. Quando isso acontece, a temperatura dos dois corpos é a mesma. Lei Zero da Termodinâmica Se dois corpos A e B estão em equilíbrio térmi152 co com um terceiro corpo C, então, eles estarão em equilíbrio térmico entre si. 3.2.2 Medindo a Temperatura Existem várias grandezas que variam as suas características quando varia a nossa percepção fisiológica de temperatura. Entre essas grandezas estão: • O volume de um líquido; • O comprimento de uma barra; • A resistência elétrica de um material; • O volume de um gás mantido a pressão constante. Qualquer dessas pode ser usada para construir um termômetro, isto é: estabelecer uma determinada escala termométrica. Essa escala termométrica é estabelecida pela escolha de uma determinada substância termométrica e também uma propriedade termométrica desta substância. Termômetros e Escalas Termométricas O desenvolvimento da termometria, ou seja, a técnica de medir a temperatura começou com o termoscópio inventado por Galileu Galilei, no século XVI. As escalas de medição definidas pela escola científica florentina ao longo do século XVII tomavam como base a temperatura anual mínima da região, e os instrumentos eram calibrados em relação a ela. Com o tempo, adotaram-se pontos de origem mais racionais e genéricos. No princípio do século XVIII, havia na Europa mais de 35 escalas diferentes de temperatura. As escalas mais usadas atualmente são: Celsius (°C), Fahrenheit (°F), Kelvin (K) e Rankine (°R). Em algumas situações, ainda se utiliza a escala Réaumur (°Re). A primeira escala centígrada, hoje conhecida como escala Celsius, foi desenvolvida pelo astrônomo sueco Anders Celsius em 1742. A diferença entre seus valores de referência: 0oC para o ponto de fusão e 100oC para o ponto de ebulição da água facilitou sua adoção nos países que adotam o sistema métrico decimal. Física Fundamental – Lei da Conservação da Energia É utilizada em quase todos os países do mundo, inclusive no Brasil. A escala Fahrenheit foi criada pelo físico alemão Daniel Gabriel Fahrenheit, entre 1700 e 1730. Tem três referências básicas: a temperatura de um cubo de gelo, que recebeu o valor 32, a temperatura do corpo humano, definida em 98,6, e o ponto de ebulição da água, fixado em 212. Divide-se em 180 partes (diferença entre os pontos de fusão e ebulição), cada uma equivalente a 1°F. É utilizada nos Estados Unidos e alguns outros países de língua inglesa. Em 1848 o físico britânico William Thomson (lorde Kelvin) propôs um novo sistema de medição de temperatura, mais adequado às crescentes necessidades da termodinâmica. Conhecida como escala absoluta ou Kelvin e baseada no sistema centígrado, tem sua origem no chamado zero absoluto, definido pelo valor -273,15 da escala Celsius. O kelvin, sua unidade de temperatura, é reconhecido como padrão universal para as medições científicas de temperatura. A equivalência entre as escalas Celsius e Kelvin se obtém pelo simples deslocamento do valor de origem. A escala absoluta Rankine também é muito usada em engenharia. Origina-se no zero absoluto da escala Fahrenheit, definido em 459,67°F. Mais raramente utilizada é a escala Réaumur, que se baseia num intervalo de 0 a 80 entre os pontos de fusão e ebulição da água. dividido em 100 partes iguais e cada uma das divisões corresponde a 1°C e 1K, respectivamente. Na escala Fahrenheit o intervalo de 32°F a 212°F é dividido em 180 partes. Supondo que a grandeza termométrica seja a mesma, podemos relacionar as temperaturas assinaladas pelas escalas termométricas da seguinte forma: 1. Um médico americano é convidado a fazer um estágio num município amazonense. Na consulta de um paciente com suspeita de infecção, mede sua temperatura e obtêm 102,8ºF. Responda: a. Qual a temperatura medida pelo médico em graus Celsius? b. O médico tem motivo para se preocupar com o paciente? c. Explique por que uma pessoa com febre sente frio. Resolução 3.2.3 Tipos de termômetro Nas figuras abaixo, mostramos dois tipos de termômetros, no entanto, há outros tipos, por exemplo: o digital e o bimetálico. Figura 1: Termômetro de vidro (comum) a) Figura 2: Termômetro Clínico (Máxima) Tc = 39,3ºC 3.2.4 Relações entre as escalas: Celsius, Fahrenheit e Kelvin O intervalo de 0°C a 100°C e de 273K a 373K é 153 b) Sim, pois a temperatura do paciente é maior que a temperatura normal do corpo humano. UEA – Licenciatura em Matemática c) Como a febre é devido a uma temperatura maior que a normal, ele perde energia térmica mais depressa para o ambiente, por isso, ele sente frio. dilatação linear, a superficial e a volumétrica. 3.3.1 Dilatação dos sólidos Dilatação Linear: é aquela em que predomina a variação em uma única dimensão, ou seja, o comprimento. Para estudarmos a dilatação linear, consideremos uma barra de comprimento inicial L0, à temperatura inicial T0. Aumentando a temperatura da barra para T, seu comprimento passa a ser L. 1. A temperatura em uma sala de aula é 25ºC. Qual será a leitura na escala Fahrenheit? Resposta: 77ºF 2. Uma escala, criada pelo francês René Réaumur, adotava os valores zero para a temperatura da água em fusão e 80 para a da água em ebulição. a) Estabeleça uma fórmula de conversão entre a escala de Réaumur e a celsius. b) Determine a temperatura em ºR correspondente a 50ºC. Figura 3: Ao variarmos a temperatura ∆T = T – T0, há também uma variação do comprimento ∆L = L – L0. Experimentalmente, verificou-se que: • ∆L é diretamente proporcional ao comprimento inicial L0. • ∆L é diretamente proporcional à variação de temperatura T. 3.3 DILATAÇÃO TÉRMICA DOS SÓLIDOS E LÍQUIDOS O estudo da dilatação possui importantes aplicações em nosso cotidiano, tais como: • A dilatação dos trilhos e das pontes: calcula-se da separação entre os segmentos; • A dilatação dos pêndulos: verifica-se a compensação; • Os canos das refinarias: possuem laços de expansão de modo a não se deformarem com o aumento da temperatura; • O material que o dentista usa para preencher as cavidades nos dentes, devem ter as mesmas propriedades de expansão térmica do dente. Dilação térmica é o fenômeno onde o corpo sofre uma variação nas suas dimensões, quando varia a sua temperatura. O fenômeno acontece devido a variação das distâncias relativas entre as moléculas, associada ao aumento de temperatura. Para efeitos didáticos vamos estudar em parte separadas: a dilatação dos sólidos e dos líquidos, distinguindo-se, no caso dos sólidos, a 154 • ∆L depende do material que constitui a barra. A partir dessas relações, podemos escrever: ∆L = L0 α ∆T, Em que é uma constante característica do material que constitui a barra, denominada coeficiente da dilatação linear. Dilatação Superficial: é aquela em que predomina a variação em duas dimensões, ou seja, a área. Consideremos uma placa de área inicial A0, à temperatura inicial T0. Aumentando a temperatura da placa para T, sua área passa para A. Figura 4: Ao variarmos a temperatura ∆T = T – T0, há também uma variação superficial ∆A = A – A0. A experiência mostra que ∆A é proporcional a ∆A0 e ∆T, logo: ∆A = A0β∆T Física Fundamental – Lei da Conservação da Energia Em que β é o coeficiente de dilatação superficial do material que constitui a placa, e é igual ao dobro do coeficiente de dilatação linear, isto é: β = 2α Dilatação Volumétrica: é aquela em que ocorre quando existe variação das três dimensões de um corpo: comprimento, largura e espessura. Com o aumento da temperatura, o volume da figura sofre um aumento, tal que: A dilatação real do líquido é dada pela soma da dilatação aparente do líquido e da dilatação volumétrica sofrida pelo recipiente. Figura 6: Dilatação de líquidos ∆Vreal = ∆Vap + ∆Vrecip ∆V0γreal ∆T = V0γap∆T + V0γrecip. ∆T Figura 5: Ao variarmos a temperatura ∆T = T – T0, há também uma variação volumétrica ∆V = V – V0. γreal = γap + γrecip. Analogamente ao que descrevemos nos casos anteriores, temos: ∆V = V0γ∆T O coeficiente de dilatação volumétrica é aproximadamente igual ao triplo do coeficiente de dilatação linear , isto é: γ = 3α 3.3.2 Dilatação dos Líquidos Como os líquidos não apresentam forma própria, ao estudar a dilatação dos líquidos tem de se levar em conta a dilatação do recipiente sólido que o contém. De maneira geral, os líquidos dilatam-se sempre mais que os sólidos ao serem igualmente aquecidos. No aquecimento de um líquido contido num recipiente, o líquido irá, ao dilatar-se juntamente com o recipiente, ocupar parte da dilatação sofrida pelo recipiente, além de mostrar uma dilatação própria, chamada dilatação aparente. A dilatação aparente é aquela diretamente observada e a dilatação real é aquela que o líquido sofre realmente. Consideremos um recipiente totalmente cheio de um líquido à temperatura inicial T0. Aumentando a temperatura do conjunto (recipiente + líquido) até uma temperatura T, nota-se um extravasamento do líquido, pois este se dilata mais que o recipiente. A dilatação aparente do líquido é igual ao volume que foi extravasado. 155 1. Ao colocar um fio de cobre entre dois postes, num dia de verão, um eletricista não deve deixá-lo muito esticado. Por que? 2. Um homem usa uma aliança de ouro, de 1,5 cm de diâmetro. Ao tirar sua aliança, ela escorrega e cai dentro de uma panela de água fervendo. Admitindo que a aliança estava em equilíbrio térmico com o corpo do homem, calcule a variação no seu diâmetro em virtude do aquecimento. Dado: αouro = 1,4.10–5oC–1. 3. Num posto de gasolina comprou 20000 litros desse combustível. O caminhão que transportava a gasolina sofreu um aquecimento devido à incidência de raios solares sobre seu tanque. Assim, a temperatura do combustível, ao ser colocado no depósito do posto, era de 25oC. No depósito, ele sofreu novo aquecimento e, quando foi vendido, estava a 27oC. Sabendo que a gasolina foi vendida nesta temperatura e que seu coeficiente de dilatação volumétrica é de 11.10–4oC–1, determine o lucro, em litros, que o dono do posto obteve. 4. Um recipiente de vidro contém 400cm3 de mercúrio a 20oC. Determinar a dilatação real e a aparente do mercúrio quando a temperatura for 35oC. UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 04 A ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL Como vimos a Energia Potencial Gravitacional para um objeto próximo à superfície da Terra é Ep = PESO.Altura = m.g.h. Entretanto, para um veículo espacial ou qualquer objeto bastante longe da Terra, deve-se se buscar uma definição mais geral. Nestas circunstancias para se encontrar a Energia Potencial Gravitacional, precisamos calcular o trabalho realizado pela Força de Gravitação Universal sobre o objeto. 4.1 VELOCIDADE DE ESCAPE Suponhamos que temos um objeto na superfície de um planeta e que desejamos lançar uma espaçonave para que consiga escapar do campo gravitacional do planeta e que nunca mais retorne. Esta velocidade denominamos de Velocidade de Escape. Para determinar seu valor, vamos admitir que o planeta seja uma esfera de raio R. Ao aplicar a Lei da Conservação da Energia obtemos que zendo as simplificações, temos , faque . No caso da Terra a velocidade Sendo esta força conservativa, deve se associar ela uma Energia Potencial Gravitacional. . O sinal menos indica que um aumento na Energia Potencial corresponde uma diminuição da energia cinética. Ao resolver o lado direito da equação obtém-se que: Escolhendo-se, adequadamente, o nível de referencia conveniente, no qual a Força Resultante seja nula, podemos obter uma expressão geral para a Energia Potencial dada pela seguinte relação: O gráfico abaixo exibe o comportamento da Energia Potencial Gravitacional, tendendo a zero para uma separação infinita. 156 de escape é da ordem de 11,2km/s 4.2 ATRAÇÃO DE UMA PARTÍCULA POR UMA ESFERA SÓLIDA. Utilizando o conceito de Energia Potencial Gravitacional, podemos determinar a força exercida por uma esfera sólida sobre uma partícula afastada a uma distancia (r) do centro da esfera. Este problema corresponde exatamente aquele enfrentado por Newton quando tentou estende a Lei da Gravitação até a órbita da Lua. Uma forma de analisar o problema é tratar a esfera como se fosse formada de um grande numero de finas fatias esféricas, tal como as capas de uma cebola. De modo que somando-se a contribuição de cada uma dessas fatias, pode-se calcular o efeito total da esfera sobre a partícula. Portanto o problema resume-se em calcular a força Física Fundamental – Lei da Conservação da Energia exercida por uma fatia esférica considerando que a força varia com o inverso o quadrado da distancia. Se, ainda hoje, este problema lhe parece difícil, o que não pensar na época de Newton. Ele precisou inventar o cálculo para que obtivesse a solução de forma correta. Aplicando geometria ele demonstrou que a força é . Independente da forma TEMA 05 POTENCIAL ELÉTRICO 5.1 DIFERENÇA DE POTENCIAL (ddp) Toda carga abandonada no interior de um campo elétrico sofre ação da força elétrica, que irá deslocá-la, realizando trabalho. Imaginemos uma carga de prova q deslocando-se de A para B no interior de um campo elétrico. Definimos diferença de potencial (ddp), entre A e B, como sendo: como a densidade varia entre o centro e a superfície da Terra, Newton considerou toda a massa da esfera estivesse concentrada no centro. No caso da partícula estar situada no interior da esfera, deve-se conhecer a massa envolvida por uma esfera imaginaria de raio r, que passe pela partícula. Considerando a densidade da esfera no seu interior como constante, obtém-se que a força vale: . Os gráficos abaixo representam o comportamento da Força e da Energia Potencial Gravitacional para uma esfera maciça. UA – UB= A diferença de potencial entre os pontos A e B é definido pelo trabalho realizado pelo campo elétrico por unidade de carga elétrica. A energia potencial e a carga são escalares, de modo que o potencial elétrico é uma grandeza escalar. Suas unidades são obtidas pela razão entre as unidades de energia potencial e as unidades de carga. No SI, a ddp será medida em joules por coulomb, sendo denominada volt (V): V= ⇔ Da definição de ddp, podemos determinar o trabalho realizado por um campo uniforme sobre uma carga de prova. No campo elétrico uniforme, a força elétrica se mantém constante, em módulo, direção e sentido, de modo que seu trabalho pode ser calculado usandose os conceitos da mecânica. 157 UEA – Licenciatura em Matemática Se abandonarmos uma carga pontual q > 0 num ponto A de um campo elétrico uniforme por → ação exclusiva da força elétrica F , ela será deslocada ao longo da linha de força. O trabalho da força elétrica é dado pelo produto da intensidade da força pela distância considerada. Ou seja, no deslocamento de A até B, o trabalho é: 5.2 POTENCIAL ELÉTRICO Qualquer massa elétrica gera um campo de forças e é capaz de produzir trabalho; ora, este trabalho depende não só da massa elétrica mas ainda do seu nível elétrico ou potencial. Então este trabalho pode ser expresso em termos da energia potencial elétrica. E fazendo uma analogia com a energia potencial gravitacional que depende da altura em que se encontra a massa sobre a superfície terrestre, a energia potencial elétrica depende da posição da partícula carregada no campo elétrico. Dessa forma, podemos pensar no potencial ou potencial elétrico (nível elétrico) como análogo ao nível hidráulico, por exemplo, 1kg de água que cai de 5m de altura produz 5 vezes mais trabalho do que a massa que cai de 1m de altura. O potencial elétrico é ainda semelhante à temperatura dos corpos quentes, por exemplo, 1kg de água que passa de 80°C a 10°C desprende 70 vezes mais energia (calorífica) do que a mesma água que baixa de 11°C a 10°C. A energia potencial elétrica será descrita por um novo conceito chamado potencial elétrico ou apenas potencial. Então, por definição: τ = F.d , e sendo F = q.E , temos que: τAB = q.E.d Logo a ddp: UA – UB= = E.d Na mecânica vimos que quando a força é conservativa, o trabalho não depende da trajetória, mas apenas das posições inicial e final da partícula sobre a qual ela atua. Nos circuitos, a diferença de potencial (ddp) entre dois pontos é comumente chamada de tensão. Os conceitos de potencial e de tensão são fundamentais para se entender o funcionamento de um circuito elétrico, que veremos mais adiante. 1. Uma carga puntiforme +2q é deslocada do ponto A para o ponto B, em uma região com campo elétrico uniforme E, com velocidade constante, por um agente externo, seguindo a trajetória indicada pela figura: “o potencial elétrico de um condutor isolado é medido pelo trabalho que a unidade de carga elétrica deste condutor pode produzir”. Então, Observe a figura abaixo, onde uma carga elétrica puntiforme é deslocada de A para B, sob ação de um campo elétrico: Desprezando-se a ação da força gravitacional e sabendo-se que a distância entre A e B é d , determine: a) A diferença de potencial (ddp) entre os pontos A e B. b) O trabalho realizado pelo agente externo ao deslocar a carga + 2q segundo a trajetória descrita. 158 τAB = EpotA – EpotB Ora, por definição: VA = ⇒ EpotA = q. VA E, analogamente: EpotB = q. VB Física Fundamental – Lei da Conservação da Energia Portanto: Solução: Usaremos a equação q1 = q2 = 1,6 x 10–19C, e τAB = q. VA – q. VB ⇒ τAB = q.( VA – VB), esse será o trabalho efetuado pela carga Considerações importantes: • O potencial elétrico é uma grandeza escalar, portanto seus valores podem ser positivos e negativos. • O potencial elétrico em um dado ponto P , não depende da carga de prova. usando a expressão, V = sabendo que ∆Epot = q.E.d e ainda que então, fazendo as devidas substituições na definição do potencial, temos: V = 3,8 x 10–14J = 2,4 x 105 e V = 240 keV Os dois prótons não são separados infinitamente pela ação de uma força conhecida como força forte atrativa que mantém o núcleo estável. ⇔ ; • Potencial elétrico é uma grandeza associada a cada ponto de uma região onde haja campo elétrico. • Energia potencial elétrica é associada a um sistema quando uma força elétrica conservativa realiza trabalho atuando entre as partículas carregadas situadas num campo elétrico. • Energia potencial elétrica depende da posição em que a carga se encontra no campo elétrico. • Podemos relacionar a energia potencial elétrica (Epot) com a carga elétrica puntiforme (q) e o seu potencial elétrico (V): Epot = q.V • A energia potencial elétrica assim como o potencial, depende de um ponto de referência (P), normalmente usamos um ponto no infinito: P → ∞ ⇒ Epot∞ = 0 e Vpot = 0 • No SI, o potencial é medido em volts, enquanto que a energia potencial e o trabalho são medidos em joules. EXEMPLO 1. Dois prótons no núcleo de um átomo de U238 estão à distância de 6,0 fm um do outro. Qual a energia potencial associada à força elétrica que age entre essas duas partículas? 159 1. Imagine um triângulo eqüilátero de aresta igual a 12 cm, e que as cargas q1 = +q, q2 = –4q e q3 = +2q estejam dispostas em seus vértices. Sendo q = 150 nC. Qual a energia potencial do sistema? 2. Uma partícula alfa (q= +2e) em um acelerador nuclear se move de um terminal cujo potencial é Va = 6,5 x 106V para outro de potencial Vb = 0. a) Qual a variação correspondente na energia potencial do sistema? b) Supondo que os terminais e as suas cargas não se movam e que nenhuma força externa atua no sistema, qual a variação da energia cinética da partícula? 3. Qualquer que seja a situação envolvendo campo elétrico e potencial elétrico, podemos afirmar: a) se, num ponto, o campo elétrico for nulo, o potencial elétrico necessariamente também o será; b) quando o campo elétrico for diferente de zero num ponto, o potencial necessariamente também o será; c) quando o campo elétrico for constante numa região, o potencial necessariamente também o será; d) quando o campo elétrico for nulo numa região, o potencial necessariamente também o será nessa região, podendo ou não ser nulo. UEA – Licenciatura em Matemática 5.3 CORRENTE ELÉTRICA Nas aulas anteriores, estudamos as interações das cargas em repouso. A partir de agora estudaremos as cargas elétricas em movimento, isto é, o fluxo de partículas carregadas (elétrons ou íons). as partículas carregadas (elétrons e íons) no interior do fio, gerando forças sobre elas. Em particular, sobre os elétrons livres, o que acarretará um fluxo direcionado o qual chamamos corrente elétricas. Por volta do século XVII, eram conhecidos apenas os fenômenos de atração e repulsão elétricas, faíscas das máquinas eletrostáticas e da garrafa de Leyde, descargas instantâneas como de um raio que são descargas elétricas entre nuvens ou entre uma nuvem e o solo (o clarão observado é chamado relâmpago e o barulho que é ouvido é conhecido como trovão e é produzido pela expansão do ar dado o movimento das cargas). Esses equipamentos eram vistos, pelas pessoas, comuns como máquinas de mágicas. E hoje entendemos que através desses experimentos se estruturou princípios básicos para os mais modernos equipamentos e com as mais diversas aplicações que conhecemos na atualidade. Como foi abordado anteriormente, toda e qualquer matéria é formada por átomos e estes por prótons, elétrons e nêutrons. Pois imagine um fio metálico, os elétrons livres movem-se desordenadamente no interior da rede cristalina que compõe esse material. Quando esse fio é conectado a uma fonte de energia aparece uma força de origem elétrica que age sobre cada um dos elétrons livres e sobre os íons da rede. Como os íons possuem grande massa e interagem entre si, quase não se movem, enquanto que os elétrons livres são acelerados por essa mesma força originando a corrente elétrica nos metais. Essa força de natureza elétrica é devida à existência de um campo elétrico que se estabelece no interior do fio quando conectado a uma fonte de energia. Do mesmo modo que o campo gravitacional pode agir sobre uma massa , esse campo elétrico agirá sobre todas 160 Então, podemos definir qualquer movimento de cargas de uma região para outra como corrente elétrica. Se abrirmos uma torneira de uma canalização de água, obteremos uma corrente que pode durar indefinidamente porque o gerador (caixa de água) produz novas quantidades igual as que escoaram. Da mesma forma se fecharmos a torneira, haverá um nivelamento dos vasos comunicantes, após o qual permanecerá em equilíbrio. O controle das correntes elétricas, primeiro na escala macroscópica e atualmente em escalas cada vez menores (estamos na era da nanotecnologia), tem modificado o ambiente tecnológico em que vivemos. No nosso caso, vamos focar nosso interesse na corrente elétrica que flui em um metal. Os metais são excelentes condutores de corrente elétrica. Por isso, invariavelmente se usa fios metálicos nas redes de transmissão de corrente elétrica. Os metais, do ponto de vista microscópico, são formados por íons e a corrente elétrica é associada a um tipo de movimento dos elétrons nos espaços entre os íons. Desse modo, o nosso modelo fala da interação entre os elétrons e os íons. O átomo isolado de um metal é eletricamente neutro. No interior do metal, cada átomo perde, em geral, um ou dois elétrons, tornando-se íons positivos. Tais íons se estruturam espaçadamente em uma espécie de rede cristalina tridimensional. A distância entre os íons é de três vezes o raio de um íon. Isso implica que apenas cerca de 15% do volume do fio é ocupado pelos íons, o restante é o espaço disponível para locomoção dos elétrons livres. Física Fundamental – Lei da Conservação da Energia À temperatura ambiente os elétrons e os íons movimentam-se: os íons vibram em sua posição de equilíbrio e tem velocidade desprezível, se comparados suas massas e considerando as interações elétricas entre eles, enquanto que os elétrons livres possuem movimento aleatório e velocidade de 100 000 m/s. Este movimento não constitui a corrente elétrica, pois não existe nenhum fluxo efetivo de cargas em nenhuma direção fixa e portanto, não há corrente. Esta só é estabelecida ao ligarmos o fio a uma fonte de energia, onde a força de origem elétrica que age em cada um dos elétrons livres e sobre os íons aparece. Os elétrons são acelerados por essa força ocasionada pelo campo elétrico e assim produzem a corrente elétrica nos metais. 5.4 VELOCIDADE DE ARRASTE Como já estudamos, corrente é qualquer movimento de carga de uma região para outra na presença de um campo elétrico. Mas, no interior do fio condutor, o movimento das partículas carregadas é caótico e elas colidem com os íons grandes do material que permanecem praticamente estáticos. Além do movimento das partículas carregadas, há um movimento muito lento, chamado movimento de arraste, de um grupo de partículas carregadas na → → direção da força elétrica F = qE . Esse movi→ mento é definido por velocidade de arraste v d das partículas. Daí, surge a corrente efetiva no condutor: a velocidade de arraste é muito lenta, da ordem de 10–4m/s ; em conta partida a velocidade do movimento das partículas carregadas é muito elevada. O conceito de trabalho e energia pode ser usado para entender o movimento de arraste das cargas através de um condutor. O deslocamento das cargas é em função do trabalho que o campo elétrico realiza. As freqüentes colisões com os íons acarretam uma energia cinética que é transferida para o material condutor, com isso há um aumento na energia de vibração média dos íons em suas posições na rede cristalina do condutor, conseqüentemente há um aumento na temperatura do material. 161 As setas, na figura, representam o campo elétrico de uma carga negativa que se comporta exatamente como o campo gravitacional, que não varia com o tempo. Ao conectarmos um fio elétrico a uma bateria, o campo elétrico que aparece em seu interior é desse tipo. Então dizemos que as correntes obtidas são contínuas. Mas, muitos eletrodomésticos por exemplo, são ligados à tomada para funcionarem. Estes são submetidos à corrente alternada, já que o movimento de avanço dos elétrons alterna constantemente seu sentido. Neste caso temos um campo que varia com o tempo. A freqüência de alternância da corrente em nossas casas é de sessenta vezes por segundo (60Hz). Isso significa 1/60 segundos, o que numa escala atômica é bem grande. Neste caso, o suficiente para um elétron livre percorrer 20 000 espaçamentos da rede cristalina em cada sentido de alternância. UEA – Licenciatura em Matemática Portanto, grande parte do trabalho realizado pelo campo elétrico é usada no aquecimento do condutor e não para acelerar os elétrons. 5.5 EFEITOS DA CORRENTE ELÉTRICA A passagem da corrente elétrica causa vários efeitos e possui várias aplicações: • Efeito joule ou térmico - aquecimento produzido pela passagem da corrente elétrica no condutor (torradeira). • Efeito magnético – uma corrente elétrica origina um campo magnético no espaço em torno de si (desvia a agulha da bússola). • Efeito químico – eletrólise, utilizado na química (cromação das maçanetas dos automóveis). • Efeito fisiológico – passagem da corrente elétrica por organismos vivos (choque elétrico). 5.6 INTENSIDADE DA CORRENTE ELÉTRICA Definimos a intensidade da corrente elétrica através da área A como igual ao fluxo total das cargas através da área por unidade de tempo. Logo, se uma carga total dq flui através de uma área em um intervalo de tempo dt , a corrente I através da área é dada por: lâmpada incandescente é igual a 0,15 A. Determine o número de elétrons que passam pelo bulbo por segundo. Solução: Usaremos a relação: I=n 2. A instalação elétrica de um chuveiro, cuja inscrição na chapinha é 220 V - 2800/4400W, feita com fio de cobre de bitola 12, estabelece uma corrente elétrica de aproximadamente 12 A, quando a chave está ligada na posição “verão”. Na posição ‘inverno’ a corrente é de aproximadamente 20A. calcule o número de elétrons que atravessa, em média, uma seção transversal do fio em um segundo , para as duas posições da chave, sabendo-se que a carga de um elétron é, em módulo, 1,6 x 10–19C. Solução A quantidade de carga que atravessa um fio em, em média, num intervalo de tempo dt é dq. Se, , então dq = i.dt O número de elétrons correspondente à carga é: No SI, a intensidade de corrente é medida em ampère (A). E um ampère é definido como um coulomb por segundo (1A = 1C/s). Na posição “inverno”, e Na posição “verão”, 5.7 ALGUNS EXEMPLOS DE MEDIDAS DE INTENSIDADE DE CORRENTE • Lanterna comum ligada – 0,5 até 1A. • Motor de arranque de um carro – 200A. • Circuitos de rádio e televisão – 1mA = 10–3A ou 1µA = 10–6A • Circuitos de computadores – 1 pA = 10–12A . OBSERVANDO SEU AMBIENTE EXEMPLOS 1. A corrente elétrica através de um bulbo de uma 162 Podemos relacionar esses valores pela razão entre eles: Mexer com eletricidade ou com equipamentos formados por componentes eletrônicos requer Física Fundamental – Lei da Conservação da Energia muito cuidado. Os manuais de instalação e funcionamento dos eletrodomésticos, por exemplo, precisam ser lidos. As placas de sinalização devem ser respeitadas. Aproveite esse espaço para uma séria pesquisa e a seguir responda: a) Descreva os efeitos que ocorrem quando uma corrente elétrica atravessa um organismo vivo? b) Que fatores influenciam no perigo do choque elétrico? c) Qual a função do desfibrilador? d) Símbolos que representem materiais elétricos, radioativos, avisos de cuidados necessários, etc. 5.8 SENTIDO CONVENCIONAL DA CORRENTE O segmento de um condutor no qual uma corrente está fluindo, está representado a seguir: 5.9 DENSIDADE DE CORRENTE Vamos considerar novamente a figura acima. A densidade de corrente J é definida como a corrente que flui por unidade de área: As unidades de densidade de corrente são ampère por metro quadrado (A/m²). EXEMPLO 1. A corrente elétrica (I) através de um bulbo de uma lâmpada incandescente é igual a 0,15 A. Determine o número de elétrons que passam pelo bulbo por segundo. Solução: Usaremos a relação: I=n Vimos exemplos de campo magnético de ímãs. Agora vejamos campos magnéticos de corrente elétrica: Campo de um fio retilíneo: Todo o estudo dos circuitos elétricos foi desenvolvido com base na teoria do fluido elétrico de Franklin, segundo a qual o fluido escoava do pólo positivo para o pólo negativo da pilha. No século XX, com a teoria atômica da matéria, ficou estabelecido que, num fio metálico, as cargas que se movem são negativas (elétrons), portanto em sentido oposto ao que sempre fora adotado. Para evitar confusões, convencionou-se que: O sentido de uma corrente sempre será representado como se as cargas móveis fossem as positivas, ou seja, consideramos as cargas positivas, de modo que elas se movem no mesmo sentido da corrente. 163 Experimentalmente verificou-se que a intensidade do campo magnético criado por um fio longo e retilíneo é proporcional à intensidade da corrente que o atravessa e inversamente proporcional a distância do ponto até o fio: É muito comum, termos que representar vetores perpendiculares ao plano do papel. Para isso, adotamos a seguinte notação: ⊗ vetor “entrando” no papel. • vetor “saindo “ do papel. UEA – Licenciatura em Matemática Campo de uma espira circular (fio em forma de circunferência): 2. Observando a figura a seguir, o que você pode dizer a respeito do sentido de movimento da corrente elétrica através das quatro regiões do fio de cobre? Por simetria é possível determinar a expressão do módulo do vetor campo magnético no centro de uma espira circular de raio r , percorrida por uma corrente elétrica contínua: , onde n é o número de espiras. GALVANÔMETRO DE TANGENTE Para fazer a bobina, você pode utilizar como base o anel de papelão de um rolo de fita crepe, enrolando cerca de 10 espiras de fio esmaltado de cobre de número 24 a 30. Ligue às extremidades da bobina dois terminais com pedaços de 30cm mais ou menos de fio fino flexível. Faça uma base de madeira fina para montar seu experimento. Coloque a bobina apoiada verticalmente. Fixe um transferidor horizontalmente e, sobre ele uma bússola dentro da bobina (construa uma bússola). Procure fazer com que o eixo da agulha da bússola, o centro do transferidor e o centro da espira coincidam. Gire a montagem até que a agulha da bússola esteja contida no plano da bobina (essa é a direção do campo magnético da Terra no local). Campo de um solenóide (espiras circulares em planos paralelos ou fio enrolado em forma de espiral): Se o comprimento do solenóide predomina em relação ao diâmetro do cilindro, o campo magnético em seu interior é praticamente uniforme e no seu exterior, nulo. Aplicando a regra da mão direita temos: , onde l é o comprimento do solenóide. Use uma pilha alcalina grande para ligar os terminais para formar um circuito. Em seguida feche o circuito e observe a deflexão da agulha. 1. o que você pode medir qualitativamente com esse aparelho? 2. Para obter um resultado quantitativo, use um amperímetro para efetuar as medidas, meça a intensidade da corrente, com esse valor você pode calcular a intensidade do vetor campo magnético terrestre. Para isso use µ0 = 4π.10–7m/A para permeabilidade magnética do ar. 1. Considere os condutores cilíndricos de cobre da figura. Indique, em ordem decrescente, o valor da intensidade da corrente elétrica que percorre esses condutores quando submetidos a uma mesma diferença de potencial. 164 Física Fundamental – Lei da Conservação da Energia TEMA 06 1. Qual o valor da corrente que fluirá por uma lâmpada de resistência igual a 60Ω, quando aplicado 12V através dela? 2. O que causa o choque elétrico, a corrente ou a voltagem? 6.1 LEI DE OHM ( RESISTIVIDADE) Correntes elétricas geradas pelo mesmo campo e consequentemente pelo mesmo potencial possuem diferentes intensidades em condutores diferentes. Um fato experimental importante é que, exceto para altas voltagens, a corrente será proporcional a voltagem V (ddp nas extremidades do fio). Esse fenômeno é denominado lei de Ohm: , onde R é definida como resistência elétrica do fio. No SI, a unidade de medida utilizada para a resistência é o ohm (Ω) definido por: LEIS DO CAMPO MAGNÉTICO 6.2 A LEI DE BIOT-SAVART O campo magnético devido a uma corrente elétrica que passa em um fio de forma arbitrária pode ser calculado diretamente pela lei de Biot-Savart. Imagine um fio conduzindo uma corrente elétrica de intensidade (i) dividido em n pedacinhos de comprimento infinitesimal (∆l), pequeno o bastante para que o campo seja considerado constante. → Quando um condutor obedece à lei de Ohm, ou seja, quando a sua resistência elétrica é constante, ele é chamado de condutor ôhmico. Um elemento qualquer inserido em um circuito destinado a limitar a intensidade de corrente elétrica (oferecer resistência elétrica) este é denominado resistor. E especificamente os dispositivos capazes de transformar a energia elétrica em energia térmica são chamados aparelhos resistivos. Considere agora, um circuito formado por condutores diferentes pela natureza, ou pelas dimensões, cada um se aquece de maneira diferente. Por exemplo, o filamento de uma lâmpada é aquecido até a incandescência, enquanto os fios de uma casa pouco se aquecem. Então podemos concluir que a resistência de um condutor é diretamente proporcional ao comprimento, inversamente proporcional à seção e diretamente proporcional também a um coeficiente próprio da substância de que é constituído chamado de resistividade. Expressando a resistência do material pela definição de resistividade: O campo magnético produzido no ponto P pelo elemento de corrente i∆l é dado por: Como para todos os elementos de área θ = 90°. E sendo, sen 90° = 1. Então temos: Onde r é o vetor que vai do elemento de corrente até o ponto P . 165 UEA – Licenciatura em Matemática Essa expressão constitui a lei de Biot-Savart. A direção do vetor B é perpendicular ao plano de i∆l e r e o sentido é dado pela regra da mão direita. Assim como o módulo do campo elétrico, o módulo do campo magnético depende do inverso do quadrado da distância: 1/r² . O campo magnético produzido por um condutor finito, será a soma de todas as contribuições devidas aos elementos de corrente que compõe o condutor. Como exemplo de aplicação da lei de BiotSavart, vamos calcular o campo magnético no centro de uma espira circular. , sendo sen 90° = 1, temos Pode-se calcular o campo magnético resultante em um ponto devido a qualquer distribuição de corrente através da lei de Biot-Savart. Mas se houver nessa distribuição, uma certa simetria, é possível aplicar a lei de Ampère. Considere qualquer que seja a distribuição de corrente elétrica (I = i1 + i2 +...+in). No campo magnético dessas correntes, imaginemos uma linha de força que envolva todas elas (uma linha fechada), dividida em um grande número de segmentos (elementos de comprimento) ?l, pequeno o bastante para que , sobre cada um deles o campo magnético B seja constante. A lei de Ampère permite determinar o módulo → do vetor B num ponto P à distancia r de um condutor retilíneo de comprimento infinito, percorrido por uma corrente contínua de intensidade i. A expressão de B, nessas condições é Mas, para obtermos o campo total, somaremos todas as parcelas de B. todos os vetores de B têm mesma direção, perpendicular ao eixo da espira, portanto somaremos seus módulos: Vamos colocar em evidência a constante : A direção e o sentido do vetor campo magnético são dados pela regra da mão direita e o → vetor B é tangente à superfície descrita em volta do condutor. A lei de Ampère afirma que, assim como na lei de Biot-Savart, a soma dos produtos B. ∆l ao longo da linha inteira é proporcional a corrente total Como a corrente é a mesma em todos os elementos de área e estão a mesma distância r = R em relação ao centro da espira. Logo, é constante e pode ser posto em evidência: ΣB.∆l = µ0I a constante µ0 é chamada permeabilidade magnética do vácuo. No SI, vale: A soma de todos os ∆l é igual ao comprimento da circunferência : A lei de Ampère permite determinar a intensidade do campo magnético, para qualquer caminho fechado, mesmo que ele não coincida com uma linha de força. Nesse caso, deve→ se projetar o vetor B sobre o segmento ∆l: Então , concluímos que ΣB.cosθ.∆l = µ0I A lei de Ampère é valida apenas quando as correntes são estacionárias e não existam materiais magnéticos bem como campo elétrico em sua vizinhança. 6.4 LEI DE LENZ O sentido das correntes induzidas é dado pela lei de Lenz que estabelece que: a corrente induzida 166 6.3 LEI DE AMPÈRE A lei de Ampère é o equivalente magnético da lei de Gauss. Foi enunciada por André-Marie Ampère e complementada por James Clerk Maxwell. Física Fundamental – Lei da Conservação da Energia tem um sentido que contraria a causa que a provocou; em outros termos, a corrente induzida opõe-se à variação do fluxo indutor (fem). Portanto, se o fluxo indutor nasce ou cresce, o fluxo induzido (fem induzida) tem sentido contrário ao aparecimento ou aumento do fluxo indutor (fem) e vice-verso. O fenômeno se assemelha a inércia, de maneira que para gerar uma corrente induzida é preciso gastar uma determinada quantidade de energia. Considere, por exemplo, um circuito fechado na forma de uma espira retangular imerso num campo magnético uniforme. Se deslocarmos a espira para a direita, o fluxo magnético que ela intercepta aumentará, gerando uma corrente induzida nessa espira. O sentido da corrente induzida na espira é anti-horária de modo que o campo magnético criado por ela tende a deter a aproximação da espira. numa resistência que demandará a realização de trabalho. É exatamente por isso que um gerador consome tanto mais energia mecânica quanto mais energia elétrica ele produz e, nem estamos levando em conta a energia dissipda pelo atrito e pelo efeito Joule. 1. A direção do campo elétrico, E, é definida como a direção da força elétrica aplicada sobre uma carga positiva. Por que não podemos definir a direção do campo magnético, B, da mesma forma? a) porque sobre uma carga em repouso a força magnética é diferente de zero. b) porque sobre uma carga em repouso a força magnética é sempre zero. c) porque em uma carga positiva a direção da força magnética depende do vetor velocidade, v, da carga. No caso da espira se afastar o número de linhas de campo que atravessam a espira diminiu. O sentido da corrente induzida é horário, criando um campo magnético que procura impedir o afastamento da espira. Como se pode verificar para se obter, segundo a lei de Lenz, uma corrente elétrica induzida na espira, tem que realizar trabalho. O que implica dizer que na espira temos a transformação de energia mecânica em energia elétrica. Esta última análise é compatível com o princípio da conservação de energia, pois se o circuito é aberto e não há fluxo de corrente, não há dissipação de energia pelo efeito Joule. Por este motivo não há uma força de reação à variação do campo magnético e o movimento do magneto ou do circuito não realiza trabalho (força nula x movimento = zero). Todavia, caso exista corrente circulando no circuito (com dissipação de energia), a variação do campo magnético resultará 167 d) Porque o sentido da força magnética sobre uma carga positiva ou negativa é o mesmo. 2. O biomagnetismo trata de medir os campos magnéticos gerados por seres vivos, com o objetivo de obter informações a cerca dos sistemas biofísicos, a realizar diagnósticos clínicos e a criar novas terapias com grandes possibilidades de aplicações em medicina. Os campos magnéticos gerados pelo organismo humano são tênues e para medi-los, sem sofrer interferência de outros campos magnéticos, inclusive o da Terra, milhares de vezes mais intensos são necessários equipamentos seletivos. A figura é um modelo do gradiômetro magnético, constituído de duas espiras paralelas e de mesmo raio, capaz de detectar seletivamente campos magnéticos, e um ímã em forma de barra que se move perpendicularmente aos planos das espiras, afastando-se delas, numa direção que passa pelo centro das espiras. UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 07 LEI DA CONSERVAÇÃO DA ENERGIA 7.1 CONSERVAÇÃO DE ENERGIA MECÂNICA Como temos dito, a Energia Potencial Gravitacional pertence ao sistema, de modo que quando o objeto cai isto não passa de uma resposta a ação de uma força exercida por uma parte do sistema sobre a outra. Em termos de energia, o que ocorre é uma conversão de uma modalidade de energia para outra. Por exemplo, no caso de um corpo que cai, a partir do repouso, de uma altura H, a energia potencial se transforma em energia cinética. Mas, em cada instante, a soma das mesmas permanece a mesma. Portanto, num sistema composto de forças conservativas a quantidade de energia do sistema como um todo não se altera. Em síntese: a energia total do sistema deve permanecer constante, ou seja: E = constante , de modo que E = ∆Ecinética + ∆Pgravitacional. De maneira geral podemos dizer que: Segundo a Lei de Lenz, as correntes elétricas induzidas em cada espira, no instante representado na figura, a) somam-se, resultando em corrente elétrica de 1 para 2. b) somam-se, resultando em corrente elétrica de 2 para 1. c) subtraem-se, resultando em corrente elétrica de 1 para 2. d) subtraem-se, resultando em corrente elétrica de 2 para 1. e) Anulam-se, não interferindo na medição de outros campos. ATIVIDADE COMPLEMENTAR 1. Esta atividade tem como objetivo a correlação entre o desenvolvimento da ciência e a evolução da sociedade na cultura, na economia, na política e no comportamento. A perspectiva é ter cidadãos informados, inseridos no mundo contemporâneo. Articulando os conhecimentos da Física que você adquiriu, construa com seus companheiros de classe um Jornal Científico onde se registrará fatos atuais, curiosidades, desafios, fotografias, poesias, etc. ∆Ecinética + ∆Pgravitacional = Cconstante, ou ainda: para que ∆(Ecinética + ∆Pgravitacional) = Cconstante, implica que ∆(Ecinética + ∆Pgravitacional) = 0. Portanto: ∆Ecinética = –∆Pgravitacional. Estas expressões exprimem de modos diferentes a Lei da Conservação da Energia Mecânica. A presença de forças dissipativas no sistema mecânico faz com que a energia cinética do sistema diminua, impedindo que o trabalho seja inteiramente recuperado. Ilustremos a situação considerando um sistema bloco + mesa. Quando o bloco deslizando sobre uma mesa a superfície da mesa interage com a do bloco por meio da força de atrito, produzindo um trabalho negativo (sobre o bloco) alterando a energia (cinética) do bloco. Em conseqüência dessa alteração do trabalho torna-se impossível aumentar a Energia Potencial e/ou a Energia Cinética do sistema. A medida que o bloco se desloca, como não há uma variação de altura equivalente a diminuição da velocidade do bloco, as superfícies de conta168 Física Fundamental – Lei da Conservação da Energia to se tornarem mais quentes. O atrito passou a se constituir num indicativo de que a energia cinética estava se transformando em calor. Daí o nome de Energia Interna, pois o calor está associada a mudança de estado de um sistema. Consequentemente, a Energia Térmica é algo que se processa internamente dentro aos corpos, resultado do movimento desordenado das moléculas que constituem o bloco. Dada a existência de outras forças, além da gravitacional e do atrito, estarem presentes nos sistemas físicos surgiu a necessidade de se buscar alguma Lei mais geral na qual pudessem ser incluídas estes efeitos. Uma idéia ainda que vaga e formulada imprecisamente por alguns físicos, a de que os vários fenômenos da natureza não estavam separados uns dos outros, mas eram manifestações de uma mesma força básica foi a que frutificou e tornou-se útil para que o calor (energia interna) fosse incluído na definição da Lei de Conservação da Energia Mecânica. Experiências cuidadosas confirmaram, posteriormente, que a variação da energia interna é exatamente igual ao modulo do trabalho realizado pela força de atrito. Em outras palavras cas de calor. Mais concretamente . Não esquecendo que a variação de ∆Ecinética + ∆Epotencial = ∆E(MECÂNICA), podemos reescrever a Lei de Conservação da Energia Mecânica da seguinte forma: , que é chamada, por vezes, de Primeira Lei da Termodinâmica. Se não houver qualquer transferência de energia sob forma de calor então, ∆E(interna) = 0 e, portanto, ∆E(MECÂNICA) = τEXTERNA. Neste caso, a variação de energia de um sistema é igual a trabalho resultante efetuado sobre ele. 1. Faça uma estimativa de quantos metros você cai caso seu carro sofra uma colisão frontal a 100km/h. 2. Faça uma estimativa do calcule as seguintes Energias Cinéticas: (a) de um jogador de futebol; (b) de um ciclista; (c) de uma bala 3. Um homem correndo tem energia cinética igual à de um garoto de massa igual a metade da sua. Se o homem aumentar a sua velocidade inicial de 1,0 m/s ele consegue ficar com a mesma energia cinética do garoto. Quais eram as velocidades iniciais do homem e do garoto? 4. Os cientistas atualmente tem fortes indícios que a causa da extinção em massa dos dinossauros deveu-se ao impacto de um cometa contra a Terra. Admita que um cometa tenha uma massa igual a 8,0 x 1011kg e que ele colida contra a Terra a uma velocidade de 30 km/s. Determine: a) qual a energia do cometa em megatons de TNT (Dica: a explosão de 1 milhão de toneladas de TNT libera uma quantidade de energia igual a 4,0 x 1015J) b) o diâmetro da cratera produzida pelo impacto desse cometa (Dica: o diâmetro da cratera é igual raiz cúbica da energia libera169 ∆EINTERNA = –τATRITO. Com este entendimento, pode-se re-arrumar os termos da equação ECi + EPi + τATRITO = ECf + EPf e obter-se que τATRITO = ECf – ECi + EPf – EPi . Lembrando que ∆EINTERNA = –τATRITO, chega-se a expressão ∆Ecinética + ∆Epotencial + ∆EINTERNA = 0. Este resultado é a formulação geral da Lei da Conservação da Energia. Ela significa que num dado processo, podem ocorrer variações de energia cinética, de energia potencial e da energia interna do sistema. Contudo a soma dessas energias é sempre igual a zero. Havendo a diminuição de uma dessas formas de energia, ocorrerá aumento de outra. O que implica dizer que: “a energia nunca pode ser criada ou destruída; ela pode apenas mudar de uma forma para a outra” Em virtude dessa Lei ter sido jamais violada, ela pode ser aplicada a sistemas termodinâmicos, em que variações de energia interna,variações de temperatura, trabalho realizado e tro- UEA – Licenciatura em Matemática da. A explosão de 1megatons de TNT produz, por exemplo, uma cratera de 1km de diâmetro) 5. Um gato, devido a sua habilidade ao cair, consegue sair ileso de muitas quedas. Suponha que a maior velocidade com a qual ele possa atingir o solo sem se machucar seja de 8,0 m/s. Qual altura máxima de queda para que este gato nada sofra? 6. Um zagueiro, para tentar evitar um gol, dá um chute numa bola com uma velocidade de 108km/h. Imediatamente outro jogador adversário cabeceia a bola quando ela atinge uma velocidade de 72km/h. Qual o trabalho realizado pela força de resistência do ar sobre a bola? 7. Um carro cuja massa é de 103 kg, movendo-se inicialmente com velocidade de 72km/h, é freado e pára após percorrer 50m. Determine: (a) a força resultante; (b) o tempo que ele demora para parar. 8. A tabela abaixo relaciona as forças resultantes e as energias cinéticas que três amigos desenvolvem em trajetória retilínea, ao realizarem o mesmo percurso, durante um passeio ciclístico. Indique qual deles desenvolveu a maior, a menor, ou se foram iguais a forças resultantes aplicadas. Justifique sua resposta. TEMA 08 CALOR Um pouco de história: Da idéia do calórico à teoria mecânica do calor Desde os primórdios, o homem vem querendo entender o que é o “calor”, mas vamos começar o nosso estudo com a idéia do calórico até chegarmos no conceito atual do calor. Antoine Laurent Lavoisier (1743-1794), químico francês foi partidário da Teoria do Calórico. Ele considerava o calor como um fluido elástico, indestrutível e imponderável, designado por calórico. Um corpo mais quente tinha mais calórico do que um frio e os fenômenos térmicos explicavam-se por trocas de calórico entre os corpos. Esta teoria denominada Teoria do Calórico foi sendo posta em causa desde a sua apresentação. Joseph Black, (1728-1799) era um médico Escocês, e tinha o mesmo pensamento de Lavoisier sobre o calórico, e foi dele o mérito de entender o calor como uma quantidade, definiu a unidade para medir o calor a “caloria”, introduziu o conceito de capacidade térmica e calor específico, que são usados até hoje. Só nos finais do século XVIII se pôs de parte esta falsa teoria, através de um jovem americano chamado, Benjamin Thomson (17531814), conde de Rumford. Ele observou que ao brocar os metais para fabricar peças de artilharia, estes aqueciam consideravelmente. O aquecimento era assim produzido pela broca, o que significava que o calor poderia ser produzido pelo trabalho, o que desmentia eficazmente a Teoria do Calórico. Os trabalhos de Rumford levaram à substituição da Teoria do Calórico pelo conceito de calor como energia em movimento. Damos um destaque a Julius Robert Von Mayer que conseguiu, a partir dos fenômenos relacionados à fisiologia da respiração e da análise do corpo humano como uma máquina, generalizar o princípio de conservação da energia para diferentes fenômenos. Mayer, porém, obteve menos reconhecimento do que Joule, embora tenha enunciado o princípio da equiv170 Física Fundamental – Lei da Conservação da Energia alência entre trabalho e calor, em maio de 1842, um ano e meio antes da publicação de Joule. Em 1843, o físico inglês James Prescott Joule convenceu os céticos de que o calor não era uma substância, finalizando com a Teoria do Calórico e conduzindo à Teoria Mecânica do Calor. A partir de um grande número de experiências, Joule chegou à mesma conclusão que Mayer, de que o mesmo efeito podia ser conseguido quer fornecendo calor quer fornecendo trabalho. Com todo o seu trabalho Joule verificou que o equivalente mecânico do calor é 4,154 J. Ao comparar o valor do equivalente mecânico do calor conhecido atualmente e o obtido por Joule, verificamos que o erro experimental de Joule é de aproximadamente 1%. Em sua homenagem a unidade do sistema internacional (SI) de energia, sob todas as formas, é o joule, embora se utilize ainda, por tradição, a caloria. Apesar de a determinação de J vista acima represente um aspecto do Princípio da Conservação de Energia, este princípio só foi matematicamente formalizado pelo fisiologista e físico alemão Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz (1821-1894) num artigo em 1947. 8.1 CONCEITO DE CALOR Quando dois corpos em temperaturas diferentes são colocados em contato, produz-se uma transferência de energia do corpo que apresenta temperatura mais elevada ao de temperatura mais baixa, o que faz com que ambas se iguale. Pode-se definir calor como a energia transferida entre dois sistemas, que é proporcional à diferença de temperatura existente entre eles. Uma superfície através da qual pode haver transferências de calor chama-se diatérmica. Em caso contrário, denomina-se adiabática. 8.2 EXPERIÊNCIA DE JOULE Por meio de experiências bem planeadas, idealizando e construindo calorímetros apropriados, Joule pôde determinar a quantidade de calor que se gerava por agitação, fornecendo uma quantidade conhecida de trabalho. Num recipiente bem isolado colocou uma certa quantidade de água a 14,5 ºC. Um conjunto de pás no interior desse recipiente, ligadas a um 171 sistema de pesos, permitia realizar trabalho sobre a água. A água aquecia à medida que as pás iam rodando e, portanto, o trabalho mecânico era equivalente ao calor. Ao medir o trabalho fornecido à água e a temperatura final, calculou o equivalente mecânico do calor . Joule Uma das máquinas de Joule 8.3 ABSORÇÃO DE CALOR POR SÓLIDOS E LÍQUIDOS A definição de calor deixa claro que não estamos tratando de uma nova grandeza, calor é energia. Essa relação entre calor e energia não foi uma conclusão óbvia, e sim um resultado de um processo histórico, como descrevemos anteriormente. Usaremos a letra Q como símbolo do calor (ou quantidade de calor). Sendo o calor uma modalidade de energia, poder ser medido em joule (J), que é a unidade no SI. No entanto, é comum a utilização da caloria (cal). 1cal = 4,186J e 1kcal = 1000cal. 8.3.1 Capacidade calorífica de um corpo: A capacidade calorífica C de um objeto (por exemplo, uma xícara de café de porcelana, uma frigideira de metal ou uma pedra de mármore) é a constante de proporcionalidade UEA – Licenciatura em Matemática entre o calor adicionado ao objeto e a mudança de temperatura que resulta. Assim, Q = C(T – T0), em que T0 e T são as temperaturas inicial e final do objeto. A capacidade calorífica C de uma pedra de mármore usada para aquecimento pode, por exemplo, ser de 179 cal/oC. A palavra "capacidade", neste contexto, está mal empregada, pois sugere uma analogia com a capacidade de um balde para conter água. A analogia é falsa. Apesar de o calor poder ser transferido para um objeto, não é possível falar do objeto como "contendo" calor. Aliás, a transferência de calor pode ocorrer sem limites enquanto a diferença necessária de temperatura for mantida. O objeto pode, é claro, derreterse ou vaporizar-se durante o processo. A seguir o calor específico de algumas substâncias à temperatura ambiente: 1. Calcular a quantidade de calor necessária para elevar uma massa de 500 gramas de ferro de 15ºC para 85ºC. O calor específico do ferro é igual a 0,114 cal/gºC. Resolução: 1. Um bloco de zinco de capacidade térmica igual a 20 cal/ºC receba 100 cal. Calcule a variação de temperatura do bloco. Se a massa de ferro aumenta de temperatura o calor é sensível, logo, Q = mc (T – T0) Q = 500 . 0,114 (85 – 15) Q = 3990 cal. 8.3.2 Calor específico de uma substância: Dois objetos feitos do mesmo material (por exemplo, mármore ou ferro) terão uma capacidade calorífica proporcional às suas massas. É, então, conveniente definir o calor específico que se refere não ao objeto, mas ao material de que o objeto é feito. Assim, Q = mc(T – T0), no qual a constante c é o calor específico do material. Pode-se dizer que, apesar da capacidade calorífica da pedra de mármore mencionada anteriormente ser de 179cal/oC, o calor específico do mármore é 0,21cal/goC. Por razões históricas, ainda se usa como unidade de calor a caloria ou cal, que se define como a quantidade de calor necessária para aquecer 1g de água de 14,50C até 15,5oC. Desse modo, a unidade do calor específico será cal/goC. O calor específico da água é c = 1 cal/g C 172 o A quantidade de calor recebida pelo ferro é de 3990 cal. 2. Como se explica o fenômeno das brisas marítimas? Resposta: A brisa marítima e a brisa terrestre é devido ao calor específico da água e da terra. Por a água ter um dos maiores calores específicos ela não só custa a aumentar a temperatura como também custa a ceder. O ar ficando mais denso nas proximidades da água devido a temperatura mais baixa durante o dia (do que a areia da terra) fará com que surja a brisa marítima. A noite o processo se inverte. Ela também é que regula a temperatura terrestre. 1. Uma barra de ferro com 500g de massa deve ser aquecida de 20ºC até 220ºC. Sendo 0,114 Física Fundamental – Lei da Conservação da Energia cal/gºC o calor específico do ferro, calcule: a) a quantidade de calor que a barra deve receber; b) a sua capacidade calorífica. 3. Quanta caloria perderá um quilograma de água, quando sua temperatura variar de 80ºC para 10ºC? si até atingirem o equilíbrio térmico. A equação que representa esse princípio é: Q1 + Q2 + Q3 + ... + Qn = 0 Ainda podemos dizer que, a quantidade de calor recebida por uns é igual à quantidade de calor cedida pelos outros. Por exemplo, quando colocamos água quente em um recipiente, a água perde calor e o recipiente ganha até que a água e o recipiente fiquem com a mesma temperatura, isto é, até que atinjam o equilíbrio térmico. Se não houvesse troca de calor com a ambiente, a quantidade de calor cedida pela água deveria ser igual à quantidade de calor recebida pelo recipiente. Havendo troca de calor com o ambiente, a quantidade de calor cedida pela água é igual à soma das quantidades de calor absorvidas pelo recipiente e pelo ambiente. Os recipientes utilizados para estudar a troca de calor entre dois ou mais corpos são denominados calorímetros. Os calorímetros não permitem perdas de calor para o meio externo, isto é, são recipientes termicamente isolados. 8.3.3 Mudanças de fase - Calor de transformação Vimos que quando cedemos calor a um corpo, este aumentará sua tem temperatura. Porém esse calor pode ser utilizado para não aumentar a temperatura e sim para modificar o estado físico do corpo. A mudança de estado pode ser: A quantidade de calor por unidade de massa transferida durante uma mudança de fase é chamada de calor latente (símbolo L) para o processo. O calor total transferido é, então, Q = mL, onde m é a massa da amostra. A quantidade de calor latente pode ser positiva ou negativa conforme o corpo receba ou ceda calor. Em nosso curso adotaremos: Calor latente de fusão do gelo (a 0ºC) Lf = 79,5 cal/g Calor latente de solidificação da água (a 0ºC) Ls = -79,5 cal/g Calor latente de vaporização da água (a 100ºC) Lv = 539 cal/g Calor latente de condensação do vapor (a 100ºC) Lc = -539 cal/g 26.3.5 Princípio da igualdade das trocas de calor: Quando dois ou mais corpos com temperaturas diferentes são colocados num recipiente isolado termicamente, eles trocam calor entre 173 1. Colocam-se 800g de ferro a 90ºC em um recipiente contendo 600 gramas de água a 18ºC. Sabendo-se que o calor absorvido pelo recipiente é desprezível, calcular a temperatura do equilíbrio térmico. Formando uma tabela com os dados: Qferro + Qágua = 0 m c (T – T0,Ferro) + m c (T – T0,água) = 0 800 . 0,114 (T – 90) + 600 . 1(T – 18) = 0 91,2T – 820,8 + 600T – 10800 = 0 691,2T = 11620,8 T = 16,8ºC 2. Calcular a massa de ferro a 180ºC que se deve colocar em um recipiente contendo 200 g de gelo a –15ºC para que o equilíbrio térmico seja estabelecido a 30ºC. Dados: 0,5 cal/gºC, Lf = 79,5 cal/g, cágua = 1cal/gºC e cferro = 0,114cal/gºc. UEA – Licenciatura em Matemática Resolução: Condução: Quando há contato entre dois materiais, existe uma tendência para a troca de energias. Esta troca, quando ocorre via contato direto dos materiais, chama-se condução. A troca de energia, ou calor, ocorre através de uma transmissão de vibração de uma partícula para a seguinte, e assim sucessivamente. Uma situação que ocorre um processo de transmissão de calor por condução, é através de uma barra metálica. Neste processo, os átomos do metal que estão em contato coma fonte térmica recebem calor desta fonte e aumentam sua agitação térmica. Devido a isto, colidem com os átomos vizinhos, transmitindolhes agitação térmica. Assim, de partícula para partícula, a energia térmica flui ao longo da barra,aquecendo-a por inteiro. Qfe + Qgelo + Qgelo(fusão) + Qágua = 0 x . 0,114 (30º – 180º) + 200 . 0,55(0º + 15º) + 200 . 79,5 + 200 . 1 (30º – 0º) = 0 –17,1x + 1650 + 15900 + 6000 = 0 17,1x = 23550 x = 1377,19 g A massa de ferro é de 1374,27 g. 1. Determine a temperatura de equilíbrio quando se colocam 200 g de alumínio a 100ºC em 100 g de água a 30ºC. 2. Um bloco de gelo de massa 600 gramas encontra-se a 0ºC. Determinar a quantidade de calor que se deve fornecer a essa massa para que se transforme totalmente em água a 0ºC. 3. Colocam-se 80g de gelo a 0ºC em 100g de água a 20ºC. Admitindo o sistema isolado termicamente, determine: a) a temperatura final da mistura; b) a massa de água líquida após ser atingido o equilíbrio térmico. 4. Determine a quantidade de calor necessária para transformar 20g de gelo, a –20ºC, em vapor de água a 120ºC. R: 14.686 cal As partículas vibram, transmitem o calor, mas não se deslocam Transmissão de calor por condução Portanto condução é o processo de transmissão de calor de partícula por partícula. Note que as partículas apenas aumentam a vibração, elas não se deslocam. Exemplo de condução: • Ao mexer uma panela com uma colher de 8.4 TRANSMISSÃO DO CALOR Nos processos de transmissão de calor, existe a troca de energia térmica entre dois ou mais corpos. A transmissão pode ser direta (condução), ou indireta (irradiação e convecção), onde se depende de um meio condutor (como o ar, por exemplo). 174 metal, depois de um tempo você percebe que a colher esquenta, isso acontece devido a condução de calor; • Algumas panelas de aço inox vêm com o cabo do mesmo material, isso não auxilia a dona de casa, porque ao esquentar a panela, cabo também esquenta por condução. Física Fundamental – Lei da Conservação da Energia • Irradiação A irradiação é a transmissão de energia através de ondas eletromagnéticas. A energia é emitida por um corpo e se propaga até o outro, através do espaço que os separa. Este espaço não precisa de matéria, ou seja, a irradiação ocorre no vácuo, além dos meios materiais. Dois corpos em temperatura diferentes tendem ao equilíbrio térmico, mesmo que entre eles não haja nenhum meio material. Ex.: Sol esquentando a Terra (existe vácuo entre eles). Estufa: Numa estufa, a radiação luminosa do sol atravessa o vidro e é absorvida pelos objetos que estão no interior, aquecendoos. Em seguida, os objetos emitem radiação do infravermelho, mas este é barrado pelo vidro. Assim, é pelo fato de o vidro ser transparente à radiação luminosa e opaco ao infravermelho que as estufas conservam uma temperatura superior à do meio externo. (O mesmo fenômeno ocorre quando um automóvel, com os vidros fechados, fica exposto ao sol.) 1. Caso não tenha meio material, há transmissão de energia por condução? Na ausência de um meio material, como no vácuo, por exemplo, não ocorre troca de calor por condução. Entretanto, é possível transmitir energia através do vácuo, através do processo de irradiação. • Convecção: O fenômeno de convecção ocorre em fluidos (líquidos e gases), e independe do meio ser bom ou mal condutor de calor. Está associado ao movimento de massas, devido à diferença de densidades. Quando existe um corpo quente, este troca calor com o meio fluido, que tende a subir. O calor sobe, forçando o ar que estava em cima a descer. É interessante mencionar que este é um dos fenômenos que causa os ventos na atmosfera. A convecção não ocorre na ausência de meio material (vácuo), pois depende do movimento de matéria. Há dois tipos de convecção: Natural: quando ocorre devido à diferença de densidade da matéria, ocasionada pela diferença de temperatura do meio. Forçada: quando é provocada por ventiladores e bombas. Exemplo: No Congelador na parte de cima da geladeira faz com que haja uma transmissão de energia por convecção, o ar quente é menos denso que o ar frio, portanto ele tende a subir devido a pressão. Exemplo de transmissão de energia por irradiação Efeito Estufa: De dia a radiação solar aquece a Terra, que, à noite, é resfriada pela emissão da radiação do infravermelho. Esse resfriamento é prejudicado quando há excesso de gás; carbônico (CO2) na atmosfera, pois o CO2 é transparente à luz, mas opaco ao infravermelho. Nos últimos anos, a quantidade de gás carbônico na atmosfera tem aumentado; consideravelmente em razão da queima de combustíveis fósseis (petróleo e carvão). Se essa demanda continuar crescendo no ritmo atual, em meados do século XXI a quantidade de CO2 na atmosfera, além de 175 Exemplo de transmissão por convecção Os recipientes adiabáticos são aqueles que não deixam o calor se propagar, por exemplo: garrafa térmica, isopor, etc. UEA – Licenciatura em Matemática trazer outras conseqüência drásticas, provocará um aumento da temperatura média da Terra, que hoje está em torno de 18ºC. Tal aquecimento poderá provocar o derretimento de parte do gelo acumulado nos pólos e elevar o nível do mar em algumas dezenas de metros. Resolução: A garrafa térmica conserva por algum tempo bebidas quentes ou frias. Isto só é possível evitando que a energia se transfira do líquido, quando quente, para o ambiente. Ou do ambiente para o líquido, quando este está frio. A função das paredes espelhadas é refletir a radiação infravermelha, isolando termicamente o líquido no interior da garrafa. O vácuo entre as paredes evita a transmissão de energia por condução e convecção, uma vez que estes processos só ocorrem na presença da matéria. Efeito estufa 1. Ao observar o interior de uma garrafa térmica, você pode verificar que suas paredes são de vidro espelhado. Tais paredes são duplas e há vácuo entre elas. Por que elas são construídas desta maneira? A garrafa térmica 176 Física Fundamental – Lei da Conservação da Energia TEMA 09 A PRIMEIRA LEI DA TERMODINÂMICA No cotidiano, as pessoas usufruem dos benefícios práticos da termodinâmica, sem muitas vezes conhecer seus conceitos e princípios, por exemplo, ao dirigir um carro, ao ligar o ar-condicionado, ao usar uma panela de pressão, etc. A termodinâmica é o ramo da física que estuda as relações entre calor, temperatura, trabalho e energia. Abrange o comportamento geral dos sistemas físicos em condições de equilíbrio ou próximas dele. Qualquer sistema físico, seja ele capaz ou não de trocar energia e matéria com o ambiente, tenderá a atingir um estado de equilíbrio, que pode ser descrito pela especificação de suas propriedades, como pressão, temperatura ou composição química. Se as limitações externas são alteradas (por exemplo, se o sistema passa a poder se expandir), então essas propriedades se modificam. A termodinâmica tenta descrever matematicamente essas mudanças e prever as condições de equilíbrio do sistema. Podemos utilizar um ponto de vista microscópico para estudar a termodinâmica, baseandonos na energia cinética e na energia potencial de cada molécula individual de um sistema. Contudo, é importante enfatizar que os princípios básicos da termodinâmica podem ser estudados de modo inteiramente macroscópico, sem fazer nenhuma referência a nenhum modelo microscópico. Na realidade, a generalização e o grande poder da termodinâmica decorrem em parte do fato de que ela não depende dos detalhes da estrutura da matéria. calor energia tanto por transferência de calor quanto por realização de trabalho e introduz o conceito de energia interna de um sistema. A conservação de energia desempenha um papel vital em todas as partes das ciências físicas e a primeira lei da termodinâmica possui uma utilidade muito grande. Para formular relações envolvendo energia com precisão é necessário introduzir o conceito de sistema termodinâmico e definir o calor e o trabalho como dois modos de transferir energia para o interior ou para o exterior deste sistema. 9.2 SISTEMA TERMODINÂMICO Sistema é uma porção do universo sob análise. Todo sistema tem um contorno, paredes, fronteiras ou limites do sistema. Todos estes termos tratam de um conceito único, a superfície de contorno. O meio externo, ou entorno do sistema é a parte do universo próxima ao sistema que é afetada, em alguma medida, por ele. Um sistema pode ser fechado, isto é, é uma porção constante de massa. Alguns autores, definem sistema como sendo, necessariamente, o sistema fechado. O sistema pode também ser aberto, quando a transferência de massa e energia ocorre através de seus limites. Nesse caso é mais usual que os autores o definam como volume de controle, e a superfície de controle, que em parte é permeável. O sistema pode ser também um sistema isolado, quando ele não transfere massa ou energia para o meio externo. Um sistema pode ser um dispositivo mecânico, um sistema biológico ou uma dada quantidade de material tal como um refrigerante em um condicionador de ar ou o vapor que se expande em uma turbina. Um sistema termodinâmico é caracterizado por ser capaz de realizar trocas de energia com sua vizinhança, ou seja, ele interage com o meio ambiente em sua volta. Isso pode ocorrer através de transferência de calor ou realização de trabalho. Exemplos: Um exemplo bem familiar é a quantidade de 177 9.1 INTRODUÇÃO A primeira lei da termodinâmica é considerada uma das maiores descobertas da física dos meados do século XIX. É baseada num princípio fundamental em física: a conservação da energia. O estudo desta lei é fundamental para entendermos os processos de expansão dos gases, ela amplia este princípio de modo a incluir trocas de UEA – Licenciatura em Matemática pipoca preparada em uma panela com tampa. Quando a panela é colocada sobre a chama de um fogão, ocorre transferência de calor por condução para o milho de pipoca e a medida que o milho começa a estalar e se expandir, realiza um trabalho sobre a tampa da panela, que sofre um deslocamento. O estado do milho mudou neste processo variaram, uma vez que o volume, a temperatura e a pressão do milho variaram quando ele começou a estalar. Um processo como este, em que ocorrem variações no estado do sistema termodinâmico, denomina-se processo termodinâmico. Além do exemplo da pipoca, a termodinâmica possui raízes em muitos problemas práticos, tais como o motor de um automóvel e o motor a jato de um avião usam o calor de combustão dos respectivos combustíveis para impulsionar o veículo. O tecido muscular de um organismo vivo metaboliza a energia química provenientes de alimentos para realizar um trabalho mecânico sobre suas vizinhanças. Um motor de vapor ou uma turbina a vapor usa o calor de combustão do carvão ou de outro combustível para realizar um trabalho mecânico tal como mover um gerador elétrico ou impulsionar um trem. Neste tema, iremos abordar a primeira lei da termodinâmica, discutir alguns processos termodinâmicos a partir da primeira lei e aplicar isso em situações práticas. Este estudo é importantíssimo para o entendimento de máquinas térmicas, como será visto mais adiante. 9.3 ENERGIA INTERNA A energia interna é um dos conceitos mais importante da termodinâmica. Porém, deixamos uma pergunta: o que energia interna? Podemos olhar de diversos ângulos esse conceito. Vamos começar usando a idéia de mecânica, a matéria é constituída de átomos e moléculas e estas são partículas que possuem energia cinética e potencial. Uma tentativa de definir a energia interna é dizer que: A energia interna é a soma da energia cinética de todas as partículas que constituem o sistema somada com a sua energia potencial total, devido à interação entre elas. Note que a energia interna não inclui a energia 178 potencial devido as interações entre o sistema e a vizinhança. Por exemplo, se colocarmos um copo com água em uma prateleira, sua energia potencial devido a interação com a terra aumentará, no entanto, a não acarretará mudanças na energia potencial decorrente a interação das moléculas de modo que a energia interna não variará. Usaremos a letra U para representar a energia interna. Durante uma mudança de estado de um sistema a energia cinética pode variar de um estado inicial para um estado final, ∆U = Uf – Ui. A primeira lei da termodinâmica nos dá uma relação para encontrar ∆U a partir do calor transferido e do trabalho realizado, com isso, é possível definir um valor específico de U para um estado de referência e dessa forma encontrar a energia em qualquer outro estado. 9.4 TRABALHO EM UM SISTEMA Um gás no interior de um cilindro com um pistão móvel é um exemplo simples de um sistema termodinâmico. Tais como, o motor de combustão interna, um motor a vapor, os compressores dos condicionadores de ar e refrigeradores. Por esse motivo, usaremos o sistema do gás no interior de um cilindro para estudar diversos processos envolvendo transformação de energia. Consideremos um gás contido num cilindro provido de êmbolo. Ao se expandir, o gás exerce uma força no êmbolo que se desloca no sentido da força. Veja a figura abaixo: Figura 13: Expansão de um gás em um cilindro. O trabalho dessa força é dado por: W=F.h Utilizando a definição de pressão, obtemos W=P.A.h o produto da área pela altura é a variação do volume, logo W=P.V ou W = P (V2 – V1) Física Fundamental – Lei da Conservação da Energia Numa expansão o gás realiza um trabalho positivo sobre o meio exterior. Já numa compressão o deslocamento do êmbolo tem sentido oposto ao da força que o gás exerce sobre o êmbolo. O trabalho é resistente. Resolução: Dados: P = 2 . 105N/m2 V2 = 13 . 10–6m3 V1 = 8 . 10–6m3 Solução W = P (V1 – V2) W = 2 . 105 (13 . 10–6 – 8 . 10–6) W = 2 . 105 . 5 . 10–6 W = 1J Figura 14: Compressão de um gás em um cilindro Na compressão o meio externo realiza um trabalho negativo sobre o gás. Assim, temos: V > 0 ⇒ W > 0: gás realiza trabalho sobre o meio. V < 0 ⇒ W < 0: meio realiza trabalho sobre o gás. V = 0 ⇒W = 0. Num diagrama pressão x volume, o trabalho realizado pela força que o gás exerce sobre o êmbolo é numericamente igual à área sob a curva. 1. Num processo à pressão constante de 4,0 . 105N/m2, um gás aumenta seu volume, de 2m3 para 5 m3. Determine o trabalho realizado pelo gás. 2. Uma massa gasosa realiza a transformação de A para B indicada pela figura abaixo. Calcule o trabalho realizado pelo gás. A=W 9.5 PRIMEIRO PRINCÍPIO DA TERMODINÂMICA (1A LEI DA TERMODINÂMICA) De acordo com o princípio da Conservação da Energia, a energia não pode ser criada nem destruída, mas somente transformada de uma espécie em outra. O primeiro princípio da termodinâmica estabelece uma equivalência entre o trabalho e o calor trocados entre um sistema e seu meio exterior. 1. Em um processo à pressão constante de 2,0 . 105N/m2 um gás aumenta seu volume de 8 .10–6m3 para 13 . 10–6 m3. Calcular o trabalho realizado pelo gás. 179 Figura 15: Usando o primeiro princípio da Termodinâmica UEA – Licenciatura em Matemática Consideremos um sistema recebendo uma certa quantidade de calor Q. Parte desse calor foi utilizado para realizar um trabalho W e o restante provocou um aumento na sua energia interna ∆U. A expressão que representa analiticamente o primeiro princípio da termodinâmica é dada por: 9.6 TRANSFORMAÇÕES TERMODINÂMICAS PARTICULARES Neste item, vamos descrever alguns tipos específicos de transformações termodinâmicas que ocorrem muito em situações práticas. a) Transformação isotérmica: Uma transformação isotérmica é um processo que ocorre quando a temperatura do sistema se mantém constante, consequentemente a variação da energia interna é nula. Usando a primeira lei da termodinâmica Como ∆U = 0, temos: ∆U = Q – W Cujo enunciado pode ser: A variação da energia interna de um sistema é igual a diferença entre o calor e o trabalho trocados pelo sistema com o meio exterior. Para a aplicação do primeiro princípio de Termodinâmica deve-se respeitar as seguintes convenções: Q > 0: calor recebido pelo sistema. Q < 0: calor cedido pelo sistema. W > 0: volume do sistema aumenta. W < 0: volume do sistema diminui. U > 0: temperatura do sistema aumenta. ∆U = Q – W Q=W Exemplo: Considere um gás sofrendo uma expansão isotérmica conforme mostra as figuras. ∆U < 0: temperatura do sistema diminui. 1. Sobre um sistema realiza-se um trabalho de 3000 J e, em conseqüência, ele fornece 500 cal ao meio exterior durante o mesmo intervalo de tempo. Determine a variação da energia do sistema. Adote 1 cal = 4,186 J. Resolução: W = – 3000 J (trabalho realizado sobre o sistema compressão) Q = 500 cal (calor cedido pelo sistema) Q = –500 x 4,186 = –2093 J A variação da energia interna é dada por: U = Q – W ⇒ U = –2093 J + 3000 J U = 907 J Resposta: A variação da energia vale 907J. 180 A quantidade de calor que o gás recebe é exatamente igual ao trabalho por ele realizado. A área sombreada sob a curva é numericamente igual ao trabalho realizado. b) Transformação isométrica: Quando o volume do sistema se mantém constante, não há realização de trabalho. como W = 0, ∆U = Q – W, ∆U = Q. Física Fundamental – Lei da Conservação da Energia Todo o calor trocado com o meio externo é transformado em variação da energia interna. Assim, se o calor é adicionado ao sistema (isto é, se Q > 0), a energia interna do sistema aumenta (U > 0). Reciprocamente, se calor é removido durante o processo (isto é, se Q < 0), a energia interna do sistema deve diminuir (U < 0). c) Transformação isobárica: Numa transformação onde a pressão permanece constante, a temperatura e o volume são diretamente proporcionais, ou seja, quando a temperatura aumenta o volume também aumenta. U > 0 ⇒ temperatura aumenta. W > 0 ⇒ volume aumenta. Parte do calor que o sistema troca com o meio externo está relacionado com o trabalho realizado e o restante com a variação da energia interna do sistema. d) Transformação adiabática: Nessa transformação, o sistema não troca calor com o meio externo, o trabalho realizado é graças à variação de energia interna. Da primeira lei da termodinâmica, com Q = 0, temos W = –U Exemplo: Numa expansão adiabática, o sistema realiza trabalho sobre o meio e a energia interna diminui. 200 cal em forma de calor. Determinar em joules: a) o trabalho trocado com o meio, numa transformação isotérmica. b) a variação da energia interna numa transformação isométrica. Resolução: a) Numa expansão isotérmica, a temperatura permanece constante (U = 0), o gás ao receber calor aumenta de volume e realiza trabalho Q = 200 cal transformando: Q = 200 . 4,186 = 837,2 J. Como U = 0 Q = W W = 837,2 J b) Numa transformação isométrica, o volume permanece constante (V = 0), o calor recebido é transformado em variação da energia interna. Q = 200 cal = 200 . 4,186 = 837,2 J. Como V = 0 Q = U U = 837,2 J Transformação Cíclica: Denomina-se transformação cíclica ou ciclo de um sistema o conjunto de transformações sofridas pelo sistema de tal forma que seus estados final e inicial são iguais. Como a temperatura final é igual à temperatura inicial, a energia interna do sistema não varia (U), havendo uma igualdade entre o calor e o trabalho trocados em cada ciclo. Q=W Num diagrama P x V uma transformação cíclica é representada por uma curva fechada. A área interna do ciclo é numericamente igual ao trabalho total trocado com o meio exterior. Figura 16: Expansão adiabática ocorre um abaixamento de temperatura. Durante a compressão adiabática, o meio realiza trabalho sobre o sistema e a energia interna aumenta. Figura 17: Ocorre uma elevação de temperatura. 1. Um sistema gasoso recebe do meio externo 181 UEA – Licenciatura em Matemática um líquido, maior será a, temperatura de ebulição. Sabemos que numa panela aberta, ao nível do mar, onde a pressão exterior é 1,0 atm, a água ferve a 100°C. No mesmo local, se for utilizada uma panela de pressão, a água deverá ser aquecida acima de 100°C antes que sua pressão de vapor se iguale à pressão externa, isto é, antes que inicie a ebulição. Nestas panelas, geralmente consegue-se uma pressão sobre a água de cerca de 2,0 atm, com a água continuando líquida até por volta de 120°C, por isso, os alimentos cozinham mais rápido nelas. Quando o ciclo é percorrido no sentido horário, o sistema recebe calor e realiza trabalho; e no sentido anti-horário o sistema cede calor e recebe trabalho. Exemplo: Em uma transformação cíclica existe equivalência entre o calor Q trocado pelo gás e o trabalho realizado W. Quando fechamos uma panela de pressão com o alimento e a água em seu interior e a colocamos no fogo, todo o vapor de água que vai sendo formado fica retido dentro dela. Após um certo tempo, o vapor de água acumulado sobre a água líquida tem pressão suficiente para levantar um pino, abrindo a válvula principal que impedia sua saída. Apesar desta fuga de vapor, a pressão no interior da panela ainda é maior do que a atmosférica. Se o vapor for impedido de sair pela válvula principal e a pressão na panela tornar-se muito grande, ela poderá explodir. Por isso, há também uma válvula de segurança na tampa, que deixa o vapor escapar caso a válvula principal esteja entupida. A panela de pressão foi inventada pelo físico francês Denis Papin, que publicou em 1861 uma descrição do equipamento, denominando-o digestor. Atualmente, esse recipiente é empregado não só nas tarefas domésticas, mas também nos hospitais (usado sob a forma de autoclaves para esterilizar material cirúrgico), na industria de papel (como digestor para transformar lascas de madeira em fibras que servem para fabricar papel) e nas fábricas de conservas alimentícias (para eliminar bactérias). Por que o alimento cozinha mais rápido na panela de pressão? A transformação do calor em energia mecânica pode ser observada na cozinha de sua casa, usando a panela de pressão. Qualquer sistema, em que seja possível realizar a transformação de calor em energia mecânica (fogão + panela com água, por exemplo) é chamado máquina térmica. O princípio de funcionamento de uma panela de pressão baseia-se no fato de que o ponto de ebulição de uma substância varia com a pressão: quanto maior a pressão sobre 182 UNIDADE VII Lei da Conservação do Momento Angular Física Fundamental – Lei da Conservação do Momento Angular TEMA 01 SEGUNDA LEI DA TERMODINÂMICA mistura com água não pode jamais se separada espontaneamente e qual é a razão pela qual um: grande quantidade de processos aparentemente possível nunca ocorre na natureza. 1.2 SENTIDO DE UM PROCESSO TERMODINÂMICO 1.2.1 Processos expontâneos e não-expontâneos Pode-se confinar um gás a um pequeno volume, pode-se esfriar um objeto com um refrigerador, e pode-se forçar algumas reações para ocorrer em sentido inverso. Entretanto, nenhum desses processos ocorre espontaneamente, todos eles só podem ser realizados com aplicação de algum tipo de trabalho. O mundo está cheio de eventos que acontecem de uma maneira, mas nunca de outra. Estamos tão habituados a isso que não reparamos se esses fatos acontecem na seqüência “certa”, mas ficaríamos perplexos se acontecessem de outro modo. O reconhecimento de duas classes de processos, os espontâneos e os não-espontâneos, é motivo de estudo da segunda lei da termodinâmica. 1.2.2 Os processo irreversíveis Os processos termodinâmicos que ocorrem na natureza são todos processos irreversíveis. Estes processos são aqueles que ocorrem em um determinado sentido, no entanto não ocorrem no sentido contrário. 1.1 INTRODUÇÃO Algumas coisas ocorrem naturalmente, outras não. Por exemplo: • Um gás expande para preencher todo o volume disponível de um recipiente; • Um corpo quente esfria à mesma temperatura das vizinhanças; • Uma reação química ocorre em uma direção ao invés de outra, dependendo das condições. • Alguns aspectos determinam a direção espontânea da transformação, a direção que não requer realização de trabalho para ocorrer. O fluxo de calor de um corpo frio para um corpo quente não viola a primeira lei da termodinâmica, a energia seria conservada. Porém, isso não ocorre na natureza. Por que não? É fácil converter completamente a energia mecânica em calor; isto ocorre por exemplo, sempre que usamos o freio para parar um carro. Indo no sentido inverso, existem muitos dispositivos que convertem parcialmente o calor em energia mecânica, o motor de um automóvel é um exemplo. Porém nem o mais inteligente inventor jamais conseguiu construir uma máquina capaz de converter completamente uma quantidade de calor em energia mecânica. Novamente, por que não? A resposta para estas duas perguntas diz respeito aos sentidos dos processos termodinâmicos e é dada pela segunda lei da termodinâmica. Esta lei determina limites fundamentais para o rendimento de uma máquina ou de uma usina elétrica. Ela também estipula limites para a energia mínima que deve ser fornecida a um refrigerador. Portanto, a segunda lei é diretamente relevante para muitos problemas práticos importantes. Podemos também enunciar a segunda lei em termos de conceito de entropia, uma grandeza que mede o grau de desordem de um sistema. A idéia de entropia ajuda a entende por que a tinta que se 185 • O fluxo de calor de um corpo quente para um corpo frio ocorre irreversivelmente, como no caso da expansão livre de um gás; • Quando um livro desliza sobre uma mesa, sua energia mecânica é convertida em calor pelo atrito; este processo é irreversível, visto que ninguém jamais observou o processo inverso (no qual um livro em repouso sobre a mesa começa: a se mover espontaneamente e a temperatura do livro e da mesa começasse a diminuir). Assim, o principal tópico deste tema é a segunda lei da termodinâmica, que determina qual é o sentido preferido destes processos. UEA – Licenciatura em Matemática 1.2.2 Os processos reversíveis Apesar do sentido preferido de todo processo natural, podemos imaginar uma classe de processos idealizados que poderiam ser reversíveis. Um sistema que realiza este processo reversível ideal está sempre próximo do equilíbrio termodinâmico com as vizinhanças e no interior do próprio sistema. Qualquer mudança de estado que ocorra pode ser invertida (realizada do outro modo) produzindo-se pequenas variação nas condições do sistema. Um processo reversível é, portanto, um processo de equilíbrio, no qual o sistema está sempre em equilíbrio termodinâmico. Obviamente, se um sistema está realmente em equilíbrio termodinâmico, não pode ocorrer nenhuma mudança no estado do sistema. O calor não poderia fluir nem para dentro nem para fora de um sistema que tivesse uma temperatura rigorosamente constante em todos os seus pontos e um sistema que estivesse realmente em equilíbrio mecânico não poderia realizar nenhum trabalho sobre suas vizinhanças. Uma transformação reversível é uma idealização que não pode ser realizada com precisão no mundo real. Processo termodinâmico ocorrendo de modo natural ordem alfabética; Quando eles atingirem o solo estarão em ordem alfabética? Não, a tendência normal é que eles cheguem ao solo em um estado aleatório ou desordenado. • Na expansão livre de um gás, o ar está mais desordenado depois que ele se expande para o recipiente inteiro do que quando ele estava contido somente em um dos lados do recipiente, do mesmo modo que suas roupas ficam mais desordenadas quando estão espalhadas no chão de seu quarto do que quando elas estavam arrumadas no interior do seu armário. Analogamente, a energia cinética macroscópica é a energia associada com a organização, o movimento coordenado de muitas moléculas, porém a transferência de calor envolve variações de energia do estado aleatório, ou o movimento molecular desordenado. Logo, a conversão de energia mecânica em calor envolve um aumento de desordem do sistema. Nas próximas seções vamos introduzir a segunda lei da termodinâmica considerando duas grandes classes de dispositivos: as máquinas térmicas, que convertem trabalho em calor com êxito parcial; e os refrigeradores, que transportam o calor de um corpo frio para um corpo quente com êxito parcial. Enunciados da segunda lei da termodinâmica A segunda lei da termodinâmica estabelece um sentido preferencial de ocorrência dos processos naturais. De maneira simples podemos enunciar da seguinte maneira: O calor ocorre sempre no sentido do corpo mais quente para o corpo mais frio. Existem vários enunciados para a segunda lei da termodinâmica, todos equivalentes, dos quais citarei mais dois, por terem importância fundamental na análise das máquinas térmicas que faremos logo a seguir. Devido a transferência preferencial de calor do corpo quente para o corpo frio, Rudolf Julius Emanuel Clausius, enunciou a segunda lei da seguinte forma: O calor não flui espontaneamente de um corpo frio para um corpo quente. 186 O processo anterior só é passível de reversibilidade por um caminho não natural: O estado aleatório ou o grau de desordem do estado final de um sistema pode ser relacionado com o sentido da realização de um processo natural. Por exemplo: • Imagine uma tarefa de organização monótona, tal como colocar em ordem alfabética milhares de títulos de livros impressos em cartões de arquivos. Jogue para o ar o conjunto todo dos cartões que estavam em Física Fundamental – Lei da Conservação do Momento Angular Segundo Lord Kelvin e Max Planck: É impossível construir uma máquina térmica, que opere num ciclo termodinâmico, cujo único efeito seja a retirada de calor de uma fonte quente e sua integral conversão em trabalho mecânico. Assim, o rendimento de Carnot, η, depende somente da razão Q1/Q2. Por outro lado, esta razão é uma função das temperaturas do reservatório quente e do reservatório frio, 1.3 MÁQUINAS TÉRMICAS 28.3.1 Máquinas térmicas e rendimento Máquina térmica é todo dispositivo que converte continuamente calor em trabalho útil utilizando um fluido, dito fluido de trabalho, que realiza ciclos de sentido horário entre duas temperaturas que permanecem constantes. Reforçando o enunciado de Planck, Carnot demonstrou que as quantidades de calor Q1 e Q2 seriam proporcionais às temperaturas T1 e T2: ou Esta fórmula permite que se estabeleça uma importante conclusão: O rendimento no ciclo de carnot é função exclusiva das temperaturas das fontes quentes e fria, não dependendo da substância utilizada. A máquina térmica operando em ciclos retira uma determinada quantidade de calor da fonte quente, transformando parte desse calor em trabalho. A parte restante é rejeitada à fonte fria. O trabalho realizado pela máquina térmica é igual à diferença entre o calor recebido (retirado) e o calor rejeitado. W = Q1 – Q2 Se o processo é reversível, seu estado final é igual ao inicial e a variação da energia interna é nula. O rendimento de máquina térmica reversível que opere segundo o ciclo carnot e é definido como a razão entre o trabalho que dela pode ser aproveitado e a quantidade de calor recebido da fonte quente. Como as temperaturas devem ser dadas em Kelvin, para que a eficiência fosse de 100% deveríamos ter a temperatura da fonte fria igual ao zero absoluto, o que não pode ser atingida na prática. A utilização das máquinas térmicas O modo de vida adotado por nossa sociedade exige cada vez mais a utilização de máquinas, no trabalho, no transporte, nas diferentes formas de lazer, nas atividades domésticas, no acesso às informações e, principalmente, nas condições ambientais do planeta. A utilização de máquinas em larga escala teve início com o aperfeiçoamento da máquina a vapor, no inicio do século XVIII. Com as florestas praticamente extintas, a Inglaterra precisava de carvão pára substituir a lenha utilizada no aquecimento das residências e nas recéminstaladas indústrias. A máquina a vapor foi inventada com o fim específico de retirar água Como W = Q1 – Q2, temos Logo a eficiência pode ser dado por: onde Q1 e Q2 estão em módulo. 187 UEA – Licenciatura em Matemática das minas de carvão inglesas, que se tornavam cada vez mais profundas, a máquina a vapor impulsionou uma grande transformação social, econômica e tecnológica, historicamente chamada de primeira revolução industrial. Das vários pessoas que deram contribuição para o desenvolvimento da máquina térmica, vamos citar os seguintes: Thomas Newcomen (1663-1729), em 1712, desenvolveu juntamente com seus colaboradores, um novo conceito: o uso de um conjunto cilindro-pistão para o bombeamento de água e constitui o que hoje entendemos ser a primeira máquina térmica, pois seu funcionamento era cíclico. A máquina era conhecida como a "máquina atmosférica" pois combinava um vácuo e a pressão atmosférica para fornecer o curso de potência. A máquina de Newcomen foi um sucesso instantâneo. James Watt (1736-1819), engenheiro escocês, interessou-se por melhorar a performance dos motores a vapor após ter sido chamado, em 1763, revolucionou a aplicação das máquinas térmicas. Watt surpreendeu-se com a quantidade de vapor que o pequeno motor consumia. ele conseguiu descobrir que, para melhorar seu funcionamento, era necessário elevar a temperatura do vapor, resfriando-o depois bruscamente durante a expansão. Acrescentou então o condensador de vapor e outros artifícios destinados a melhorar o rendimento do engenho. Foi ajudado por Joseph Black, o descobridor do calor latente do vapor e quem mais conhecia vapor que estava na mesma Universidade que ele. A primeira patente de Watt envolveu não só o uso de um condensador separado mas também de uma bomba de ar para o condensador, do isolamento do cilindro, e outros. Primeiramente operada em 1775 para se bombear água, sua máquina representou a primeira de uma grande seqüência de máquinas, cada uma com novas melhorias, maiores potências e em pouco tempo, a máquina a vapor foi utilizada na indústria de tecelagem e de aço, nos barcos e embarcações e até mesmo na impressão dos jornais. Em 1820, a máquina térmica, foi utilizada pela 188 primeira vez em locomotivas e, em 1841, empregada nas máquinas agrícolas, acionando as debulhadoras. Alguns anos mais tarde, foi usada como motor de tração em automóveis. Seu papel é importante até mesmo nos dias de hoje, pois são aproveitadas nas usinas termoelétricas para gerar eletricidade. No caso específico da máquina a vapor que utiliza carvão mineral como combustível, parte da energia química do carvão é transformada em energia interna do vapor de água, outra parte, em energia de movimento. 1.3.2 Máquinas frigoríficas: Numa máquina frigorífica, ou bomba de calor, o fluido de trabalho realiza um ciclo de sentido contrário, retirando calor Q2 de uma fonte fria e cedendo calor Q1 a uma fonte quente. Obviamente essa passagem de calor de uma fonte fria para uma fonte quente não é espontânea, visto que se realiza à custa de um trabalho externo; portanto não viola a segunda lei da termodinâmica. O diagrama abaixo representa esquematicamente uma máquina frigorífica, na qual ocorre conversão de trabalho em calor. A geladeira doméstica, por exemplo, é uma máquina frigorífica na qual a fonte fria é o congelador, a fonte quente é o meio ambiente e o trabalho é realizado pelo compressor. 1. Assinale a alternativa que explica, com base na termodinâmica, um ciclo do funcionamento de um refrigerador: a) Remove uma quantidade de calor Q1 de uma fonte térmica quente à temperatura T1, realiza um trabalho externo W e rejeita uma Física Fundamental – Lei da Conservação do Momento Angular quantidade de calor Q2 para uma fonte térmica fria à temperatura T2, com T1 > T2; b) Remove uma quantidade de calor Q1 de uma fonte térmica quente à temperatura T1 e rejeita a quantidade de calor Q1 para uma fonte térmica fria à temperatura T2, com T1 >T2; c) Remove uma quantidade de calor Q1 de uma fonte térmica fria à temperatura T1, recebe o trabalho externo W e rejeita uma quantidade de calor Q2 para uma fonte térmica quente à temperatura T2, com T1 < T2; d) Remove uma quantidade de calor Q1 de uma fonte térmica fria à temperatura T1 e rejeita a quantidade de calor Q1 para uma fonte térmica quente à temperatura T2, com T1 < T2. 1. Um motor a vapor absorve, em cada ciclo, 1 000 kcal da fonte quente e devolve 900 kcal para a fonte fria. a. Qual o trabalho realizado em cada ciclo em joules? b. Qual o rendimento do motor? 2. Uma máquina de Carnot opera entre duas fontes cujas temperaturas são 27ºC e 177ºC. Qual o rendimento dessa máquina? 3. Uma máquina térmica recebe, por ciclo, 1.000 J de calor de uma fonte quente enquanto rejeita 700 J para uma fonte fria. Sabe-se que a máquina realiza 10 ciclos/s. Determine: a. o trabalho realizado por ciclo pela máquina térmica; b. a potência útil obtida da máquina; 1. Uma máquina térmica de Carnot recebe de uma fonte quente 1000 cal por ciclo. Sendo as temperaturas das fontes quente e fria, respectivamente, 127ºC e 427ºC, determinar: a) O rendimento da máquina; b) O trabalho, em joules, realizado pela máquina em cada ciclo; c) A quantidade de calor, em joules, rejeitada para a fonte fria. Usar 1 cal = 4,2 J Solução: a) T1 = 427 + 273 = 700 K T2 = 127 + 273 = 400 K Q1 = 1 000 cal = 1000 . 4,2 = 4 200J O rendimento da máquina é dado por: c. o rendimento dessa máquina. 1.3 ENTROPIA A primeira lei da termodinâmica levou a introduzir a energia interna. A energia interna é uma função de estado que nos permite perceber quando uma mudança é permitida: somente quando a energia interna em um sistema isolado for constante. A lei que é usada para identificar o sentido da mudança espontânea, a segunda lei da termodinâmica, também pode ser expressa em termos de outra função de estado, a entropia. A entropia (que é uma medição da desordem de um sistema) permite prever quando um estado é acessível vindo de outro por uma mudança espontânea. A primeira lei utiliza a energia interna para identificar as mudanças permitidas; a segunda lei utiliza a entropia para identificar as mudanças espontâneas entre aquelas permitidas. A segunda lei da termodinâmica pode ser expressa em temos de entropia: A entropia de um sistema isolado cresce no 189 ⇒ ⇒ η = 0,43 ou 43% b) O trabalho realizado em cada ciclo é: ⇒ W = 1806 J c) A quantidade de calor rejeitada para a fonte fria é dada por: W = Q1 – Q2 ⇒ Q2 = 2394 J UEA – Licenciatura em Matemática sentido da mudança espontânea, termodinamicamente, os processos irreversíveis (como o resfriamento à mesma temperatura das vizinhanças e a expansão livre dos gases) são processos espontâneos, e assim devem ser acompanhados de um aumento na entropia. 1.3.1 Definição Termodinâmica da Entropia A definição termodinâmica da entropia concentra-se na variação de entropia, que ocorre como resultado de uma mudança física o química (normalmente, um "processo"). A definição é motivada pela idéia de que uma mudança no contexto onde a energia é dispersada em uma maneira desordenada depende da quantidade de energia transferida como calor. Como já explanado, o calor estimula o movimento desordenada das vizinhanças. O trabalho, que estimula o movimento uniforme dos átomos das vizinhanças, não muda o grau de desordem, e portanto não afeta a entropia. “Qualquer processo implicará ou em nenhuma mudança da entropia do universo ou no aumento da entropia do universo”. ciclo teórico que traz seu nome hoje. Seu ciclo propõe o contato térmico das fontes quente e fria com corpos sempre a mesma temperatura. Publicou em 1824 seu único livro: “ Reflexões sobre a potência motriz do fogo”, no qual procurou as bases da conversão de calor em trabalho, indicando que o agente térmico era o calórico e não o vapor (devido a falta de outra teoria para o calor precisou empregar a teoria calórica nas suas deduções, suas conclusões estão corretas pois a segunda Lei da Termodinâmica independe da primeira Lei ou de qualquer outra teoria de calor). Estabeleceu que a eficiência térmica do ciclo proposto é proporcional à diferença das temperaturas entre as fontes e que ele é menor quando a temperatura da fonte é mais elevada. Quando seu trabalho foi publicado, muitas pessoas pensaram que suas conclusões eram dependentes da teoria calórica, por inúmeras razões, inclusive a falta de rigor em seu texto, sua obra passa despercebida até 1834, quando Clayperon, lhe acrescenta uma formalização algébrica e dá uma representação gráfica dos ciclos de funcionamento. É a partir deste trabalho que Rudolf Clausius e Lord Kelvin mostraram a total independência da segunda Lei com a teoria calórica. Em 1850, o físico alemão Rudolf Julius Emmanuel Clausius (1822-1888) afirmou que a produção de trabalho nas máquinas térmicas não resultava meramente do deslocamento do calor da fonte quente para a fonte fria e sim, também, por consumo de calor. Afirmou mais ainda que o calor poderia ser produzido à custa do trabalho mecânico e que, portanto, era impossível realizar um processo cíclico cujo único efeito seja o de transferir calor de um corpo mais frio para um corpo mais quente. Essas afirmações se constituem na primeira idéia do que hoje se conhece como Segunda Lei da Termodinâmica. Em 1854, Clausius começou a pensar que a transformação de calor em trabalho e a transformação de calor em alta temperatura para calor em baixa temperatura poderia ser equivalentes. Em vista disso, propôs que o fluxo de calor de um corpo quente para um corpo frio (com a conseqüente transformação de calor 190 Como todos os processos naturais são irreversíveis, o que sempre resulta é o aumento da desordem do universo. Processos idealizados, reversíveis, mantêm a entropia do universo constante. A 1a e a 2a Leis da Termodinâmica podem ser resumidas da seguinte maneira: A energia do Universo permanece constante; a entropia do Universo sempre aumenta. A segunda lei da termodinâmica Com o aprimoramento da máquina a vapor nos séculos XVIII e XIX fez seu rendimento melhorar muito. Nicolas Leonard Sadi Carnot (1796-1832), fez importantes observações sobre a máquina a vapor que conduziram ao Física Fundamental – Lei da Conservação do Momento Angular em trabalho) deveria ser compensado pela conservação de trabalho em calor, de modo que o calor deveria fluir do corpo frio para o corpo quente. Desse modo, Clausius introduziu o conceito de valor de equivalência de uma transformação térmica e que era medido pela relação entre a quantidade de calor (∆Q) e a temperatura (T) na qual ocorre a transformação. Por intermédio desse novo conceito físico, Clausius pôde fazer a distinção entre processos reversíveis e irreversíveis. Assim, assumindo arbitrariamente que a transformação de calor de um corpo quente para um frio tivesse um "valor de equivalência" positivo, ele apresentou uma nova versão para a Segunda Lei da Termodinâmica: A soma algébrica de todas as transformações ocorrendo em um processo circular somente pode ser positiva. Foi somente em 1865 que Clausius propôs o termo entropia (do grego, que significa transformação), denotando-o por S, em lugar do termo valor de equivalência. Nesse trabalho, ao retomar suas idéias sobre esse novo conceito físico, Clausius considerou um ciclo qualquer como constituído de uma sucessão de ciclos infinitesimais de Carnot. Ainda nesse trabalho, Clausius resumiu as Leis da Termodinâmica nas expressões: Primeira Lei da Termodinâmica - A energia do Universo é constante; Segunda Lei da Termodinâmica - A entropia do Universo tende para um máximo. Apesar da origem termodinâmica da entropia, ser introduzida por Clausius, atualmente utilizase muito a interpretação estatística. Os primeiros passos na direção da interpretação estatística da Termodinâmica foram dados pelo físico e matemático escocês James Clerk Maxwell, em 1860, através do estudo da distribuição das velocidades das moléculas de um gás. Em 1867, Maxwell escreveu uma carta na qual apresentou o caráter probabilístico da segunda Lei da Termodinâmica, através do seguinte exemplo: “Um recipiente que possui uma parede no meio com uma janela que poderá ser manipulada por um porteiro (denominado Demónio de 191 Maxwell por William Thomson), contém um gás a uma determinada temperatura. Através dessa janela, o porteiro deixaria passar partículas que tivessem velocidade alta e impediria a passagem das partículas que tivessem velocidade baixa, já que, segundo a sua distribuição de velocidades, num gás em equilíbrio, as partículas distribuem-se com as mais variadas velocidades.” Assim, depois de um certo tempo, um lado do recipiente estaria mais quente que o outro, mostrando, assim, que o fluxo de calor poderia ocorrer em dois sentidos, e não em apenas um, conforme indicava a segunda Lei da Termodinâmica. O físico austríaco Ludwig Edward Boltzmann introduziu, em 1872, a interpretação estatística da entropia. A entropia do sistema ( S ) é relacionada com a constante de Boltzmann ( k ) e com o número de diferentes meios de distribuição de átomos e moléculas da amostra e que podem dar origem à mesma energia ( W ). S = k . ln W De acordo com essa concepção, um litro de gasolina representa um estado organizado de moléculas na forma de energia química e os gases resultantes de sua queima no interior do cilindro indicam a transformação para um estado muito mais desorganizado de tais moléculas. A esse estado de maior desorganização correspondia um aumento da entropia. Ainda segundo esta concepção, a desordem máxima corresponderia a uma regularidade uniforme e indiferenciada de todas as partes que formam um determinado sistema. É oportuno observar que, embora essa expressão esteja gravada no túmulo de Boltzmann, no Cemitério Central de Viena, ela só foi escrita dessa maneira pelo físico alemão Max Karl Ernst Planck (1858-1947) que, por sua vez, introduziu k, denominada por ele de constante de Boltzmann, pela primeira vez em sua célebre fórmula de 1900, sobre a distribuição de equilíbrio térmico da radiação do corpo negro, que considera a energia quantizada. UEA – Licenciatura em Matemática TEMA 02 DEFINIÇÃO DE MOMENTO ANGULAR Os movimentos de rotações constitui-se num dos mais comuns e intrigantes características do nosso Universo. Numa escala cósmica, Planetas, luas e estrelas giram sobre seus eixos. O sistema solar tem luas e o sol tem planetas revolvendo ao redor dele. Uma grande parcela de estrelas parecem ser binárias, estrelas duplas giram em conjunto com seu par. Estrelas e seus satélites revolvem ao redor do centro de suas galáxias e, muitas galáxias são partes de aglomerados que rodopiam em volta de outras galáxias. Na escala humana, você provavelmente já deve ter visto tromba d’água, furacões, tornados e ciclones em movimento pela superfície da Terra. Ao observar o rio você deve ter notado pequenos redemoinhos (rebojos). Bailarianas dão um show de exibição ao rodopiarem na ponta de um dos pés. Gatos, jogadores de futebol e nadadores, durante suas apresentações, realizam rotações em seus corpos durante a execução de saltos mortais. Muitas destas rotações começam com movimento de matéria ao longo de uma linha reta. Mas, o que faz tudo girar? Desde os tempo primitivos, em todas as civilizações a regularidade dos dias e as noites, as fases da lua, levou o homem a acreditar que tudo girava em torno da Terra. O grande desafio foi, no entanto, explicar o movimento dos planetas. Kepler em 1609, após analisar os precisos e detalhados registros astronômicos encontrado pelo astrônomo dinamarquês Tycho Brahe, descobriu que o segmento de reta traçado do sol a qualquer planeta (raio vetor) descreve áreas iguais em tempos iguais. Isso obriga que o planeta, quando esta mais próximo do sol, tenha uma velocidade maior e, mais lento quando esta afastado. Essa lei, denominada de lei das áreas, é uma das três importantes leis descoberta por Kepler sobre o movimento dos planetas. Dado a grandeza de sua importância para a Física no estabelecimento da forma da nossa 192 galáxia e na determinação do momento angular do nosso sistema solar, faremos uma breve referencia seu estudo. Atualmente sabemos que a lei das áreas (a 2ª lei de Kepler) é a manifestação da existência de um conceito, até então insuspeito, associado ao movimento rotacional, de Momento Angular e de um importantíssimo principio da física que rege o funcionamento de todo o Universo: A LEI DA CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR. Esta é uma lei muito geral que se aplica não apenas para o movimento dos planetas mas que pode ser comprovada em inúmeras outras situações, independente do tipo de força ou do tipo de trajetória que o corpo descreve. As interações gravitacional e elétrica, por exemplo, constituem-se numa importante manifestação da existência em nosso Universo das chamadas forças centrais que ocorre quando um corpo gira ao redor de um centro e sua intensidade depende exclusivamente da distancia (r) da partícula ao centro de rotação. Como exemplo, vamos aplicar esta propriedade para entender a 2ª Lei de Kepler. Desde a Antiguidade, já se conhecia que o período orbital dos cincos planetas visíveis a olho nu eram diferentes de um para o outro. Conhecia-se, portanto, que os planetas não se moviam em suas órbitas com velocidade constante. Próximos do sol eles se movem mais rápidos do que quando estão afastados. Isto implica que os ângulos medidos não são iguais em duas diferentes posições da órbita de um planeta, em intervalos de tempos iguais. Já ressaltamos nos capítulos anteriores que foi a busca obstinada de que existe uma regularidade no Universo que impulsionou Kepler ao estudo do movimento planetário vindo descobrir que “o raio vetor que liga os planetas ao sol, descreve áreas iguais em tempos iguais”. Considere, pois, um raio vetor ligando a posição de um planeta de massa (m) em algum intervalo de tempo, conforme mostra a figura abaixo. Consideremos que o planeta descreva uma órbita elíptica com o Sol em um → dos focos. Seja (∆r ) uma porção da trajetória descrita pelo planeta em um intervalo de tempo (∆t) Física Fundamental – Lei da Conservação do Momento Angular Definimos o produto vetorial entre o vetor → posição (r ) e o vetor quantidade de movimen→ to (p ) como sendo o MOMENTO ANGULAR → (L ). Portanto : L = r X p cujo o módulo vale: L = m.r.Vsenθ. Este resultado demonstra que o Momento Angular é conservado: o vetor L tem a mesma intensidade e a mesma direção no plano formado por r e p. Em resumo, a conservação do momento angular implica que a órbita dos planetas é plana. → → → Tal como mostra a figura abaixo, a linha que une o sol ao planeta em movimento descreve, num intervalo de tempo infinitesimal (∆t), uma área (∆A). Devido o intervalo de tempo ser muito pequeno, a porção da trajetória descrita pelo planeta é “quase” retilínea. A área varrida, portanto, pode ser considerada como a área do triangulo isto é: ; onde a altura do triangulo é dada por h = ∆r .senθ. Substituindo este valor na expressão acima tem-se: . → Comparando este resultado com a definição do produto vetorial de dois vetores, verifica-se que o resultado obtido, pode ser escrito como: . Calculando a taxa de variação da área temos que: . Apesar de usualmente, associarmos o momento angular ao movimento de rotação, uma partícula de massa (m) em movimento retilíneo com velocidade constante (V) tem um momento angular em relação a um ponto situado fora da linha. Considere, por exemplo, a seguinte situação, descrita abaixo: Multiplicando e dividindo a expressão do lado direito por m, obtemos: No limite, quando o intervalo de tempo tende a zero, a taxa de variação desta área é: ou seja: que é o mesmo que escrever → → L = r Xp = r.m(V.senθ) = m.V(r.senθ)= mV.r⊥ Assim, segundo equação L = mv.r⊥, a partícula continua a se mover em linha reta enquanto que a componente de r perpendicular a velocidade, permanece igual a r⊥. 193 → → → onde m. = V = p . Assim a taxa de variação desta área é: UEA – Licenciatura em Matemática Também pode ser verificado que: L = r xp = rmVsenθ = rm, V// = rmVTANGENCIAL onde V.senθ = VTANGENCIAL o módulo de vetor Momento Angular também pode ser escrito como: L = m.r.VTANGENCIAL. Para o caso de uma partícula se movendo em Movimento Circular Uniforme a VTANGENCIAL = W.R que substituindo em L = m.r.VTANGENCIAL torna o módulo do Momento Angular igual: L = m.r2W. Podemos, agora definir o termo m.r2 como sendo o MOMENTO DE INÉRCIA que representamos simbolicamente pela seguinte relação: I = mr2. O Momento de Inércia (I), serve para indicar a maneira pela qual a massa do corpo esta distribuída em torno do eixo de rotação. Assim, o Momento Angular pode, também ser → → expresso por L = Iω Pela definição do Momento de Inércia (I = m.r2), quanto mais afastado a partícula estiver do eixo de rotação maior será seu momento de inércia e, por conseguinte, mais difícil se torna fazer a partícula girar, a partir do repouso e parar, após estiver girando. O momento de inércia, de forma similar a massa, denota uma resistência a mudança, devido ao torque, ou seja: , onde ( aceleração angular. No caso de um conjunto de partículas situadas a diferentes distâncias do eixo de rotação, o momento de inércia é dado por: I = Σmir2. i A tabela a seguir fornece o Momento de Inércia para alguns corpos de densidades uniformes com o eixo de rotação passando pelo centro. Da mesma maneira pelo qual a 2ª Lei de Newton esta relacionada ao momento linear ( ), o Momento Angular se relaciona . ) é a 1. Para clarificar esta dependência entre L = I.w, considere vários corpos rígidos esféricos rolando do alto de um plano inclinado sem atrito. Nestas condições, qual a ordem de chegada dos mesmos na base do plano? → → → → → com o torque pela relação Neste sentido, no movimento de rotação o torque ( ) é um resultado extremamente importante, pois nas situações nos quais o torque externo aplicado ao corpo é nulo ou se cancela o Momento Angular se conserva. Neste caso = 0 ou seja: L é constante. 194 Física Fundamental – Lei da Conservação do Momento Angular Mesmo que um torque externo seja aplicado ao sistema, o sistema reage exercendo um torque no sentido contrario. Um exemplo clássico bastante comum é a demonstração de um aluno que gira sentado sobre um banco segurando numa das mãos dois pesos no plano horizontal. Quando o estudante aplica um torque sobre o aro, este aplica um torque no sentido contrario sobre o estudante. Neste caso, nem o momento angular do banco e do estudante se conservam individualmente, mas sim, o momento angular do sistema (banco, aluno e aro). se retira a tampa. Como cada pequena quantidade de água move-se em direção ao ralo, suas distancias ao eixo de rotação diminui, fazendo com que a velocidade aumente para que haja a conservação do momento angular. Consequentemente, quando a água se aproxima do fim, inicia-se um redemoinho. A água move-se numa espiral em torno do eixo que passa pelo ralo. SALTO ORNAMENTAL O centro de massa percorre uma parábola no ar. Ao tomar impulso para cima com o corpo inclinado, o atleta imprime um momento angular ao seu corpo, o qual gira em torno do centro de massa. Quando esta no ar, a mergulhadora se constitui num sistema isolado e seu momento angular não pode ser mais alterado. Observe que aproximação do tronco com as pernas. Logo que inicia o salto o momento de inércia diminui fazendo com que a velocidade angular aumentar. No final do salto, já se aproximando do mergulho, as pernas e os braços se esticam, aumentando o momento de inércia e portanto a velocidade angular ao entrar na água. De modo que o momento angular se conserva durante o salto. Outro exemplo interessante é o da bailarina e da patindora. Se, inicialmente ele rodopia numa trajetória circular com os braços estendidos//abertos, para aumentar o efeito visual do seu movimento junto a platéia, a bailarina, normalmente, cruza repentinamente os braços, aumentando, assim, sua velocidade. A força da gravidade e a força normal não exercem torque sobre o corpo e o atrito é muito pequeno. No inicio seu Momento Angular vale: Li = R.m.V. Na situação final, tem-se: Lf = r.m.v. A Conservação do Momento Angular implica que Lf = Li, deste modo r. m. v = R.m.V . Por conseguinte obtém-se: . Lembrando que v = ω.r, QUEDA DE UM GATO Quando se segura um gato de cabeça para baixo e larga-o nesta posição sem dar nenhum impulso, o momento angular total é nulo. O gato pode manobrar o próprio corpo para fazer uma rotação de 180° e cair corretamente em pé. 195 . Este resultado, também, explica o redemoinho que se forma numa pia cheia de água quando UEA – Licenciatura em Matemática Ocorre que, quando a esfera move-se, dois movimentos simultâneos estão ocorrendo: o de rotação e o de translação. 1. Uma das manifestações mais espetaculares da Lei da Conservação do Momento Angular é a forma da nossa galáxia se parece com a de um “ovo frito”. Explique fisicamente o porque? Determine a velocidade e aceleração de uma esfera maciça que parte do repouso de uma altura H acima do plano inclinado e rola sem deslizar até a base do plano. Compare sua resposta com a de Galileo. 4. Uma das grandes preocupações do movimento dos ambientalistas é com a possível destruição da camada de ozônio e suas conseqüências para o clima da Terra devido a poluição industrial. 2. Admita que a Terra seja uma esfera maciçamente homogênea cujo os dados são seguinte: Massa: 6 x 1024 kg Distancia media ao Sol: 1,5 x 1011m Raio: 6,4 x 106m Momento de Inércia: Com base nestes valores faça uma estimativa do momento angular da Terra, levando em conta: a) Seu movimento de rotação em torno do seu eixo. b) Seu movimento de rotação em torno do sol. 3. Segundo Galileo, a velocidade alcançada por um objeto se deslocando por um plano inclinado era , enquanto que a aceleração era: a = g sem Este resultado foi muito importante para ele, pois lhe permitiu fazer deduções sobre a queda livre observando o movimento de um objeto rolando por um plano inclinado com uma ligeira inclinação. 196 Considere que as calotas polares tem cerca de 2,3 x 1019kg de gelo. Se elas entrarem num processo de derretimento, de modo que o nível de água se distribua uniformemente pela superfície do planeta, faça uma estimativa de quanto vai variar a duração do dia. 5. Explique a razão de um helicóptero ter dois rotores: o principal e um outro menor, localizado na cauda cujo eixo é horizontal. O que acontece com o helicóptero se o rotor menor falhar? REFERÊNCIAS NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica. Vol.: I, II, III e IV. S.P Edgard Blücher, 1998. .: YOUNG, HUGH D., Sears e Zemansky. Física. Vol.: I, II, III e IV. Hugh D. Young, Roger A. Freedman. S.P .: Pearson Addilson Wesley, 2004. HALLIDAY, D.; RESNICK, R. e WALKER, J. F, Física I, II, III e IV. 4ª edição. R.J.: Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1996. McKELVEY, J.P GROTCH, H., Física. S.P ., .:Harper & Row do Brasil Ltda., 1979. HART JR., William H., Eletomagnetismo. 4ª edição. R.J.: Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1994. GRUPO DE REELABORAÇÃO DO ENSINO DA FÍSICA. 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