ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIAGP 234 CAPITULO 1 1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES: El objetivo de este capítulo es suministrar la terminología básica de la ingeniería económica y los conceptos fundamentales que forman la base del análisis económico. 1.1 Interés ( I ) Es la manifestación del valor en el tiempo, el cual es una medida del aumento entre la suma original solicitada en préstamo o invertida y la cantidad final acumulada o que se adeuda. Si se ha invertido en el pasado se tiene que: I Cantidad Total Acumulada Inversion Original Inversion Original 1.2 Tasa de Interés ( i ) Es el interés de una unidad monetaria en la unidad del tiempo considerada y cuya representación es porcentual. i Interes Acumulado por Unidad de Tiempo Inversion Original x 100 % Ejemplo: Si se invierte S/. 100,000 al inicio de un año y se obtiene S/. 190,000 al final de ese año. Calcular el Interés y la tasa del Interés. Solución: a) Calculo del Interés ( I ): I 190 ,000 100 ,000 S / .90 ,000 b) Calculo de la tasa de Interés ( i ): i 90 ,000 100 ,000 ( 100 % ) 90 % 1.3 Tasa Mínima Atractiva de Retorno (TMAR) Es la tasa de interés que esperan obtener los inversionistas por una inversión. Para que una inversión propuesta parezca "rentable" a los ojos de los inversionista, estos deben esperar recibir mas dinero que el invertido. En otras palabras, los inversionistas esperan recibir una tasa justa por la inversión. Cuando el período de interés es igual o menor que un año, la tasa de retorno en porcentaje para el período de interés es : TMAR Cantidad Total de Dinero Re cibido Inversion Original Inversion Original TMAR Utilidad Inversion Original 1 ( 100 %) ( 100 %) ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 1.4 Equivalencia El valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés utilizados simultáneamente, generan el concepto de equivalencia, lo que significa que sumas diferentes de dinero a términos diferentes de tiempo pueden ser iguales en valor económico. Por ejemplo: Si la tasa de interés es de 6% anual, $100 de hoy (es decir actualmente) equivaldrán a $106 en un año. Por que como sabemos: Cantidad Acumulada = 100 + 100(1 + 0.06) = 100(1.06) = $106. 1.5 Costo de Capital Representa el costo del dinero obtenido acciones, bonos préstamo directo, etc. de diversas fuentes tales como venta de 1.6 Interés Simple Es la ganancia del capital principal o stock de efectivo ignorando cualquier interés que se halla acumulado en los períodos anteriores: I P. i . n Interés Simple Dónde: I: P: I: n: interés, ganancia, crédito o devengado principal, capital o stock inicial de capital tasa de interés por periodos considerados numero de periodos El tamaño del período puede ser: un día, una semana, un mes. Si el interés (I) se agrega al principal ( P ) el resultado se denomina monto ( F ) o stock final. F P I Monto o Stock Final Del Efectivo Ejemplo: Determinar el interés sobre S/. 1,000 al 12% de interés simple anual durante: a.- 2 años b.- 8 meses c.- 150 días. Determinar además el stock final para (c). Solución: a.- Para 2 años: P = S/. 1,000 i = 12% anual n=2 I=Pin I = (1,000) (0.12) (2) I = S/. 240 b.- Para 8 meses: P = S/. 1,000 im = (12%)/12 = 1% (tasa proporcional mensual) 2 ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 n = 8 meses I = (1,000) (0.01) (8) I = S/. 80 c. - Para 150 días: P = S/. 1,000 id = 12%/360 (tasa proporcional diaria) n = 150 dias I = 1,000 x 12%/360 x 150 I = S/ 50 F=P+I F = 1,000 + 50 F = S/. 1,050 1.7 Interés Compuesto Es la suma de la ganancia del capital y de los intereses acumulados en períodos anteriores. En el interés compuesto, el interés del períodos se incrementa al capital (capitalización de intereses). Ejemplo: Calcular el monto total adeudado al cabo de 3 años si se solicita un préstamo de S/. 1,000 al 70% de interés compuesto anual. Solución: Para el año 1: Interés año 1 = (1,000) (0.70) = S/. 700 Monto total adeudado al final del año 1 = 1,000 + 700 = S/. 1,700. Para el año 2: Interés año 2 = (1,700) (0.70)= S/. 1,190 Monto total adeudado al final del año 2 = 1,700 + 1,190 = S/. 2,890 Para el año 3: Interés año 3 = (2,890)( 0.70) = S/. 2,023 Monto total adeudado al cabo del año 3 = 2,890 + 2,023 = S/. 4,913 3 y luego se vendió por S/. b. Diagrama de flujo de caja Es la representación gráfica del flujo de caja en una escala de tiempo. i = Tasa de Interés. F = Valor o suma de dinero en algún tiempo futuro. c. 40 durante 3 años. el tiempo tres representa el final del período de tiempo tres. En la escala de tiempo. Símbolos y su Significado P = valor o suma de dinero en un tiempo señalado como el presente. de la siguiente figura. FACTORES Y SU EMPLEO 2. N = Numero de períodos de pagos de interés.992 por S/. 500. ¿Cuál es el flujo de caja? Solución: Año Entrada Desembolso Flujo de Caja 1992 0 900 -900 1993 0 40 -40 1994 0 40 -40 1995 500 40 460 Es importante tener presente que todas las entradas y desembolsos. 900 y los costos de mantenimiento anuales fueron de S/. en donde el tiempo cero representa el presente así por ejemplo.1 Símbolos y Definiciones a. Flujo de Caja Entradas Desembolsos Ejemplo: Si se compró un televisor en 1. y hacia abajo un flujo de caja negativo.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 CAPITULO 2 2. 10 30 100 4 . Flujo de Caja Al resultado de ingresos y desembolsos se le denomina flujo de caja. se consideran cantidades de fin de período. A = Un pago simple en una serie de "n" pagos iguales hechos al final de este período. las flechas hacia arriba indican un flujo de caja positivo. y por lo tanto los valores de flujo de caja. 2 Deducción de Fórmulas y Factores: a. 50.000 durante los dos años siguientes. ¿Cómo resultará su flujo de caja? Solución: Colocando las cifras en miles de soles se tiene: 0 P =? 20 20 20 50 50 1 2 3 4 5 i = 70% o también : 20 20 20 50 50 1 2 3 4 5 0 2. 20.i F2 = F1 (1 + i) = P (1 + i) (1 + i) F2 = P (1 + i) 2 5 n-1 n . una cantidad anual de S/.i F1 = P (1 + i) Al final del segundo período se tiene: F2 = F1 + F1.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 0 1 2 3 4 5 6 5 Otra manera de representar lo anterior es como sigue: 10 30 -5 100 1 2 3 4 0 5 6 Ejemplo: Supongamos que usted desea depositar en su cuenta de ahorro. a partir del siguiente año. Factor de capitalización de un solo pago o imposición Cálculo de un valor futuro (F) dado un valor presente (P) a una tasa de interés "i" en "n" períodos. una cantidad anual de S/.000 durante los primeros 3 años y luego. Gráfico: F= P 0 1 2 3 Deducción: Al final del primer período se tiene: F1 = P + P. i.262 (P / F.000 c. 4) = 1.1. Factor del valor actual de una imposición Calculo de P dado F. Ejemplo: Si se invierte S/. i.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Al final del tercer período se tiene: F3 = F2 + F2 i F3 = F2 (1 + i ) = P ( 1 + i ) 2 ( 1 + i ) F3 = P (1 + i ) 3 Al final de n períodos por inducción matemática se tiene: F 1 i n n A la expresión 1 i se le denomina factor de capitalización de un sola imposición o pago y se le designa como (F/P. Gráfico: 6 .06) 4 F = S/. i. el valor futuro de una imposición se expresa como: F = P (F / P. 1.262 . i. ¿Cuál es el monto al final del cuarto año? F = 1.7921 = S/.262 entonces su valor actual al 6% anual capitalizable anualmente es: P 1. i y n Despejando P en la relación que calcula el monto de una imposición o pago único. P F 1 1 i n 1 n El factor: 1 i es el llamado: Factor del Valor de una Imposición y se le designa así : (P/F.262 b.000 ahora al 6% de interés anual capitalizable anualmente. 6%. n) entonces: P = F (P / F.000 O bien. 1. Factor de capitalización de una serie de imposiciones iguales: Cálculo de un valor futuro o stock final (F) dada una serie de imposiciones iguales (A) depositados al final de cada uno de los "n" períodos a una tasa de interés "i". n) En las tablas de interés se dan los valores de los factores para cada período. n) entonces. 1 1 0. 1.262 x 0. utilizando la notación del factor y las tablas de intereses: P = 1. n) Ejemplo: Si dentro de cuatro años se va a recibir S/.06 4 S / .000 (1 + 0. 1. .06 5 1 F 100 . determinada en (a).06 S / . + A ( 1 + i ) 2 + A ( 1 + i ) Restando la primera igualdad a esta última... 0. se denomina “Factor de Amortización de una serie de pagos o imposiciones iguales”. i. + A (1 + i) + A Multiplicando esta igualdad por (1+i) se tiene: F ( 1 + i ) = A ( 1 + i ) n + A ( 1 + i ) n-1 + . n) para cada valor A. pero es más fácil aplicando la fórmula encontrada en (c) así se tiene: 1 0. El valor futuro se puede calcular por partes aplicando la fórmula F= P (F/P. n)..7 d. 100 100 100 100 1 2 3 4 F =? 100 5 El punto marcado con 0 (cero) es el presente o inicio del año 1 y el marcado con 1 es el final del año 1 y comienzo del año 2... para cada pago (A) se tiene: F = A (1 + i) n-1 + A (1 + i) n-2 +. 563.. 563 .. resulta: F 1 i n 1 i n 1 A i 1 i El factor. 100 hechos al final de cada año al 6% de interés compuesto anual: 0 i = 6% anual. 6%. F = 100 (F / A.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 0 A A A A 1 2 n-1 F=? n Aplicando la formula F = P (1 + i) n. i. n) Ejemplo: Calcular el monto de una serie de 5 pagos de S/... i. 5) = 100 (5. entonces: F = A (F / A. Factor de amortización constante o factor de capitalización en serie de pagos iguales: Despejando A en la fórmula hallada en (c) se tiene: 7 .7 Aún más sencillo resulta con la notación del factor.637) = S/. y se le denota como (F/A. i. n) Ejemplo: S/. De las relaciones anteriormente encontradas tenemos: A F i n 1 i 1 F 1 i n Reemplazando el valor de F se obtiene A P n i. entonces: A = F (A / F.06 5 1 563 . 1 i 1 i n 1 El factor (A/P. 1 A A -------------------------2 7 8 A 8 . i y n. 1 i 1 i n 1 se denomina: Factor de recuperación de capital.100 e.100000 0 A. Se le designa: A = P (A / P. n) Ejemplo: Si se desea acumular S/. factor de amortización en serie de pagos iguales". i.000 invertidos al 50% de interés compuesto capitalizable anualmente. i.06 1 0.7 mediante cinco entregas anuales al 6% de interés compuesto capitalizable anualmente el valor de cada pago ha de ser: A 0. suministrarán 8 pagos de fin de año de: Solución: Gráfico: . S / .7 . 563. 100.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 A F i 1 i n 1 i n 1 i 1 se denomina “factor de amortización constante o El factor que resulta. n) entonces: n i. Factor de recuperación de capital: Cálculo de A dado un valor presente P. 5 8 1 S / .030 x 1.000 (A / P. 50%. 002 Se observa error no significativo de 2 unidades.5.5. i. 52. n). 1 0. Factor del valor actual de una serie de pagos iguales En la fórmula anterior se puede despejar P: P A 1 i n 1 i.5 8 1 P 52 . 1 0. 52.000 x 0. n) Ejemplo: El valor actual de una serie de 8 pagos anuales iguales de S/. 1 i n 1 i n n i. 52 .5 8 100 .000 . 1 0 .03 al 50% de interés compuesto anual será: 1 0 . motivado por el uso de las tablas. 8) = 52. entonces: P = A (P / A. i. 52 . 9220 = S/.52030 A = S/. 8) = 100.032 Usando la fórmula encontrada: (P / A.5 8 S / . 9 . Gradiente uniforme: Cuando un flujo de caja varía en la misma cantidad cada período la cantidad del aumento o disminución se denomina gradiente (G).37 . La deducción de las fórmulas se hallan en el Anexo A. 50%. se denomina: factor del valor actual de una serie de pagos iguales: se le simboliza con (P/A. 1 i 1 El factor que resulta. g. 0.032 Usando la notación del factor y las tablas: A = 100.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 A 0.030 f.100. . n) FCCSU A = F (A/F. n) FCCPU P = F (P/F. i. i. n) FVPSU A = P (A/P. n) FRC 2 3 4 5 6 1 n (1 i ) (1 i ) n F A i P F i n (1 i ) (1 i ) n 1 P A n i (1 i ) i (1 i ) n A P n (1 i ) 1 A F CUADRO DE RESUMEN PROBLEMAS: 1. S/. i. n) FFA P = A (P/A. i. 300 dos años mas tarde y S/.Si una persona deposita S/. i. ¿Cuánto tendrá en su cuenta dentro de diez años si la tasa de interés es del 5% ?. 600 hoy.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 N° EXPRESION MATEMATICA NOTACION USANDO EL FACTOR SIGLAS EN INGLES 1 F P (1 i ) n F = P (F/P. n) FVPPU F = A (F/A. i. Solución: El valor futuro es igual a la suma de los pagos únicos individuales en el año 10 de esta manera: 10 . 400 de aquí a cinco años. ¿Cuánto dinero estará dispuesto a pagar ahora por un pagaré que producirá S/. 10 )+ 300 ( F / P. 9) P = 600 (6.. 200 al final del año 6. 10%. 5%.. 5%. 3.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 F= 600 ( F / P.931. Solución: P = 600 (P / A.¿Cuál es el flujo uniforme equivalente del problema anterior? Solución: A 0 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 6 A = 609.2 (A / P.87 5.1 2. y S/. 10%.2763). 7%. 5%.5152) P = S/. 609. b) Se calcula el valor futuro de las tres últimas cantidades y se traslada al año cero. 6) A = S/. c) Se suman los resultados. 6) P = 300 x 0. 10%. 10%. = S/. 139. 2) + 400 (P / F.. 5) + 200 (P / F. 5 ) = 600 (1.. Solución: P=? 0 300 1 400 2 3 4 200 5 6 P = 300 (P / F. 1.6289) + 300 (1.2 4. 8 )+ 400 ( F / P.8264 + 400 x 0. si la tasa de interés es del 7%?. 300 a comienzo del año 3.6209 + 200 x 0. S/.1 3. de las siguientes cantidades S/.5645 P = S/.Determinar el valor presente a la tasa del 10% anual.600 anuales durante nueve años a partir del año entrante. 11 . 400 al final del año 5.909.Calcule el valor presente al 10% de las cantidades colocadas en la siguiente escala de tiempo: (P) 100 100 100 0 1 2 3 100 100 4 5 100 6 (año) Solución: A continuación se presenta dos métodos de solución: Primer Método: a) Se calcula el valor presente de las cantidades consideradas hasta el año 2.4774) + 400 (1. n) 3.4 Segundo Método: a) Se adiciona S/..000 dentro de 5 años.6 b) P2 = 100 (F / A.000 1 (1+i)5 5 (1+i) = 5/3 i = 10. 460. 6) = 186.000 P = F (P/F. 10%.000 0 1 2 3 4 5 3. 460.Una reparación efectuada en la actualidad evitará otras reparaciones. 100 en el año 3 para completar la serie. Gráficamente se tiene: 100 100 100 0 1 2 100 100 100 4 5 6 3 100 P = 100 (P/A.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Solución: a) P1 = 100 (P / A.76% 7. 3. 3) P = S/. 10%.000 = 5. se traslada al presente y se disminuye la cantidad equivalente sumada anteriormente. 10%. 6) + 100 .000 dólares y el valor cronológico del dinero es 20%. 2) + 100 = 273. para justificar que se efectúe dicha reparación en el momento actual?. 5. 1) 12 . 20%. i.4 6. 10%.000 para recibir S/.100(P/F. ¿ A cuánto debería elevarse el costo de las reparaciones al año siguiente..400) (P/F.Si una persona puede hacer hoy una inversión que requiere un gasto de S/.8 c) P = P1 + P2 =S/. ¿Cuál será la tasa de retorno sobre la inversión? Solución: 5. 3) (P / F. 10%. si la reparación actual cuesta 5. Tómese en cuenta también una pérdida por producción de 400 dólares hasta el final del año siguiente: Solución: F=? -400 -5000 0 1 (Año) 5000 = (F . 400 dólares para que se justifique el costo de reparación actual. CAPITULO 3 3. Reparación de fin de año deberá ser mayor que 6. TIPOS DE TASAS DE INTERES: 3. m 12meses 3meses ip in m ip = 15% 13 . La tasa de interés proporcional se calcula dividiendo la tasa nominal entre el número de períodos (m) considerados.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 F = $ 6 400. Se pide calcular la tasa de interés proporcional del periodo (i p).1 Tasa de Interés Nominal ( in) La tasa de interés nominal viene a ser una tasa anual de interés donde también se especifica la frecuencia de conversión (o número de periodo de conversión) y a partir de esta información se determina la tasa de interés del periodo . 3.2 Tasa de Interés Proporcional o del Periodo ( ip) Es el interés que gana la unidad monetaria en un periodo por lo general menor de un año. Ejemplo: La tasa de interés nominal (in) es 60% capitalizable trimestralmente. 3 Tasa de Interés Efectiva ( ie) Es el interés que gana la unidad monetaria en un año. dependiendo de una tasa de interés nominal y el número de periodos de capitalización. Deducción de la fórmula: P = Una cantidad presente F = Una cantidad futura ( al cabo de un año) in = Tasa de interés nominal m = Número de períodos en el año. Solución: P = 100 in = 12% 12 m 4 3 14 . reemplazando el valor F en la expresión anterior se obtiene: P ( 1+i e )=P (1+ i p )m ie (1 in m ) 1 m ie (1 ip) m 1 Ejemplo: Si un banco pagó 12% de interés anual capitalizando trimestralmente ¿Cuál es el valor futuro en un año de S/.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Ejemplos de tasa de interés nominal con su respectivo periodo de conversión así como su correspondiente tasa de interés del periodo: Tasa nominal de interés 12% convertible anual 12% convertible semestral 12% convertible trimestral 12% convertible mensual Periodo de conversión Por año ( m) 1 2 4 12 Tasa de interés del periodo (ip) 12% 6% 3% 1% 3. ie = Tasa de interés efectiva ie (1 i p ) m 1 F P (1 i p ) ip = Tasa de interés del período. 100. m En un año se tiene que F = P (1+i e). 55 De la expresión F = P (1+i n)n . denominado descuento o interés adelantado.0000 % 5. en el Anexo B. La tabla siguiente nos muestra el efecto de la frecuencia de capitalización: Tasa de Interés Nominal con capitalización 5% anual 5% semestral 5% trimestral 5% mensual Tasa de Interés Efectiva 5. En consecuencia la cantidad presente se calcula mediante: 15 . Si se desea conocer el interés ganado en la unidad de tiempo se hace uso de la fórmula siguiente: I=Pi La cantidad acumulada al final del período se obtiene de: F=P+I Las deducciones de las fórmulas efectuadas en (2.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 100 0 F =? (un año o 4 trimestres) 4 F = P (1 + ip )m F = 100(1+0.0625 % 5. para obtener un interés ( I ) en la unidad de tiempo.1160 % 3. para obtener un interés (D).4 Tasa de Interés Vencida ( i ) Es la tasa de interés que se aplica como factor al capital inicial (P). donde (in) es el interés nominal anual y n el número de años que se deduce.03)4 = 100 (F/P.2) se hicieron aplicando el concepto de tasa de interés vencida.5 Tasa de Interés Adelantado o Tasa de Descuento (d) Es la tasa de interés que se aplica como factor al valor final (F). Si se desea conocer el descuento en la unidad de tiempo se hace uso de la siguiente fórmula: D=dF Como se observa la tasa de descuento es referida a una cantidad futura y la tasa de interés a una cantidad presente. 3. 4) F = 112.0940 % 5. las fórmulas de interés compuesto continuamente. 3%. . (b) Para D = I.500 con un interés nominal de 20% capitalizable trimestralmente y con un tiempo de retención de 1 año . Por ejemplo Si tenemos una deuda de S/. 75. 75. la deuda pendiente es S/.000. por tanto se iguale (a) con (b) Fd=Pi d Para un período se tiene: P i F .. Pi i d 1 i P(1 i) En esta fórmula se observa que la tasa de descuento es menor que la tasa de interés. 60% (S/.000 al 60% pagadera en cuatro cuotas semestrales....500.d 3... 30.000) y así sucesivamente. (c) (d’) Reemplazando el valor F de (d’) en (c). 100. usando la tasa de descuento o la tasa de interés.. 60% (S/..ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 P=F-D Relación entre la Tasa de Interés (i) y Descuento (d) Se puede calcular el descuento (o interés) en una unidad de tiempo.6 Tasa de Interés al Rebatir Es una tasa de interés que se cobra sobre los saldos de la deuda pendiente. En el primer caso En el segundo casa D = F d . ? Solución: -2500 F 16 .100. 3. (a) I = P i . los intereses son S/. siendo el valor nominal de S/. La fórmula también se puede presentar de la siguiente manera: d i 1.000) 2 En el segundo.. F = P(1 + i) .000 el cual tiene una antigüedad de 8 meses. En el primer semestre el pago por concepto de interés asciende a S/. 22.. 2 Problemas: 1.2.000 (se amortizó la cuarta parte de la deuda).¿Cuál es el interés eficaz de un inversionista que paga por un bono la cantidad de S/. Calcular el interés.000 a pagarse en 3 meses.77 F = 3. 130. 3.Una empresa constructora recibió en calidad de préstamo. 4) De la formula F=P (1+i)n Hallando in : in = 0.038.038.1) = 143000 Hallando el interés: I = 130000x10% = 13.1= 3.500 (F/P.77 3000 0 1 8 12 F = 3. in.000 D = I = 13. 4) F = S/. La tasa de interés trimestral es de 10%.01 = (F/P. 5%.03% 2. 4 ) 3.00249 hallando ie : ( 1 + ie) = ( 1 + in )12 ie = ( 1 + in )12 .77= 3000 (F/ P.000 Hallando tasa de descuento: D=d F 17 . in. 4) 1.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 0 ip 1 (año) 20% 5% it 4 Hallando el F: F = 2.000(1 + 0. el monto total y la tasa de descuento si en lugar de préstamo se realiza una operación de descuento. Solución: Como I = D I=F-P Monto F = P (1+ i) F = 130.. in .038.000 (F/P. la cantidad de S/. .99 % 18 3 (mes) .000. F = 8.1 0. Para no afectar dicho saldo se deposita mensualmente una pequeña suma de S/.¿Cuánto dinero habrá que retirar de una cuenta de ahorros si estos retiros se realizan semestralmente . 0. debido a inversiones que se realizan en la compra de bonos. 8000 para comprar unas computadoras en los próximos 3 años. 150.53 4.00975 En los 3 años se tendrá: A = F (A/F. ? Al cabo de 2 años se posee en la cuenta de ahorros S/.1 = im im = 0..1 1 9. 36) A = 8.000 0.09% 3.000 (A/F. 36) A = 186. Solución: m=4 im 12 % it 3% 4 m P F 0 it = 3 % 0 1 1 (trimestre) 2 (1 + in )3 = ( 1 + it ) in = ( 1 + it )1/3 – 1 in = 0.97%.000 m in =12% (1 + is ) = (1 + im )6 36 (mes) is 6% ( 1 + is )1/6 . se desea saber cuánto se debe deflactar mensualmente a un interés nominal anual de 12% capitalizable semestralmente.Se necesita S/.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 d d D F 13.000 x100 143. 100 a la tasa de interés de 12 % capitalizable trimestralmente. im. Solución: A 0 A 1 2 in m=2 . 0 1 2 13 20 20 1.4) A = -33.000 ( F / A. i. is ..36 19 . in.000 ( F / A. 1. i n. 24 ) 150 .000 = 100 (F/A. n) F1 = 100 (F/A.99 %. Cuánto estaría dispuesto a pagar por el bono este inversionista si han transcurrido 13 meses desde la vigencia. n) F2 = .. in.09 %. 4 ) De F = 150. 24 ) 150 .09 % Del Gráfico: 0 100 100 1 2 A A -A 100 -A 100 -A 100 6 12 24 (mes) 100 ( F / A. El interés eficaz es del 36 %.A (F/A.627. 4) 100 ( F / A. is. Solución: P inv =? …………….000)(0. is.000 20 ……………….ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Analizando los depósitos: F = A (F/A. 24) = A (F/A. 24) Analizando los retiros: F = A (F/A. 24) . in.96 5. 14 15 24 Interés Mensual (I): I = Vn ip = (1.02) = 20 ie= 0.1 is = 6.0.000.000 150.A (F/A .6. in. 4) Hallando is: (1 + is ) = (1 + it )2 is = ( 1 + it )2 .Se tiene un bono con un valor nominal de S/. con una vida de 2 años y con un interés mensual del 2 %.. 93 Segundo Método: Como la capitalización es semestral a un interés del 3% por período se calculará el valor futuro considerado los períodos semestrales.semestral) Primer Método: Consiste en calcular el interés efectivo anual y luego utilizarse para encontrar F en el año 10.000 (F/P.06/2)2 -1 = 6. ie = ( 1 + 0.000 en 5 años a un 6% nominal anual capitalizado diariamente. 11) Pinv =189. F = 1.14 6.09%. iinv.09%.841.5.8) F = S/.6) + 1500(F/P.10) + 3000(F/P. 2 59 20 5.000 A=? 60 ( mes) .Calcular el depósito mensual necesario para acumular S/.3%.3%..82 = 944. Solución: A 0 A 1 A A …………………….36)1/12 .1.4) F = S/.93 7.32 + 754.anual) (P.09% Entonces: F = 1..ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 1+ ie = (1 + in)12 Inversionista: iinv = (1.1 Pinv = 20 (P/A.12) + 1500 (F/P. 3.Si una persona deposita S/.841. 3. iinv.000 (P/F.000(F/P. 6.500 de 6 años. 6.20) + 3000(F/P. 11) + 1.000 dentro de cuatro años y 1. 6. 3. a una tasa de interés del 6% anual capitalizada semestralmente ¿Cuánto dinero tendrá en su cuenta dentro de 10 años? Solución: 1000 0 0 3000 1 2 2 4 3 6 4 8 1500 5 10 6 12 F=? 7 8 14 16 9 10 18 20 (P.09%.3%.000 hoy. ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 El interés efectivo mensual se calcula de la manera siguiente: Interés. 0.57 9. 285. 56/4%. 8) F = S/.Diario id 0.Una persona tiene bonos de S/. F = 100. en otros tipos de bonos el interés se capitaliza y al vencimiento de éste el tenedor del bono recibe el valor nominal más los intereses acumulados..501%.06 30 ) 1 360 En los cinco años hará un total de 60% depósitos.000 al 56% capitalizable trimestralmente y con periodo de vigencia de 2 años . 8.000(F/P.1.501%.000 0 0 1 F =? 2 3 1 4 5 6 7 2 8 (año) (trimestre) El poseedor del bono recibiría al cabo de dos años la siguiente cantidad. El interés se pagará trimestralmente siendo el tiempo de vigencia de 5 años.501% A = F(A/F.Una persona tiene un bono de Reconstrucción con un valor nominal de S/. 71.259 (P/F. por consiguiente existen 30 períodos de capitalización en el mes. Caso de Bonos. im = 0. estaría dispuesto a pagar en el presente: P = 285. Si un inversionista desea ganar el 90% capitalizable mensualmente.000 (A/F. Interés efectivo del período: im (1 0.000 c/u al 60%.El bono es un documento valorado emitido por una institución con el propósito de financiar proyectos.06 360 Se considera como 30 el número de días por mes.. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por cada bono ?.60) A = S/. 56253.529 El inversionista de acuerdo a lo que el desea ganar. 8) P = S/.60) A = 5. 0.64 mensual. en este documento consta el tiempo de vigencia y el interés que se ha de pagar periódicamente al tenedor del bono. 21 . 90/4%. 100.Cuánto estaría dispuesto a pagar por el bono un inversionista que desea ganar el 90% capitalizable trimestralmente? Solución: 100. El favorecido en el sorteo del monto.. las cantidades que se muestran en el gráfico pero como él desea obtener el 90% capitalizable mensualmente deberá hacer los siguientes cálculos para determinar la cantidad equivalente a pagar por el bono. 20) + 1000 (P/F.Cantidad dispuesta a pagar por cada bono (V P = Valor presente) VP = 150 (P/A. 100.075)3 . SOLUCION: a).Diez compañeros de trabajo de una empresa deciden conformar una junta en las siguientes condiciones: El Aporte acordado de cada participante que no ha obtenido la Junta deberá ser de S/. (1+r) = (1+im)3 r = (1. 624 10.23%.2423 b).1 r = 0.000 ………. con la tasa determinada en (a)..000 = S/. adquiere el compromiso de devolver en los 22 .000 Duración (n) = 5 años o 20 (trimestres) Tasa nominal Anual = 60% Tasa trimestral = i = 15% Interés Trimestral = 15% x 1. 24. b) Calcular el valor presente de las cantidades del gráfico.5% El inversionista al adquirir el bono en el presente (t=0) recibirá en el transcurso de los 5 años.000 mensuales.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Solución: 150 150 150 150 1 1 2 3 4 0 0 1. La cantidad total recaudada al final de cada mes se ha de sortear entre los participantes que aún no han obtenido el monto. 150 Datos del Inversionista: Tasa Nominal Anual = 90% Tasa Mensual im = 7. 20) VP = S/. 1. Procedimiento: a) Calcular la tasa efectiva trimestral ya que el inversionista desea una capitalización mensual.23%. 24. 5 (año) 20 (Trimestre) Datos del Bono: Valor Nominal = S/. Solución: Primer Mes: La cantidad total recaudada en el primer mes en miles de soles. 5%.3 (100) (100) 1 2 A A ………………… 3 9 A 10 En general se puede aplicar la siguiente fórmula para encontrar la cuota mensual de cada participante que ha obtenido la Junta. 8) A = S/.3 .026.100 = S/.3 (A/P. .3 = 1.10 Aplicando esta fórmula se obtiene la siguiente tabla: 23 . 5%n) (A/P.n)) n: 1. 1 2 Segundo Mes: Cantidad Recaudada: P = (100) x 9 + 126..2.000 .026..ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 meses restantes. es: P = 100 x 10 = S/.. 127.1 1. Se pide construir una tabla donde se señale los aportes mensuales de cada participante.3 Si el segundo participante obtiene la Junta se deuda es: D = 1. (10 .026. 5%. 2) D = S/.62 1000 (100) A A A 9 10 ………………………………. entonces su deuda es: D = 1.3 La cuota mensual es: A = 821.1000 Si el primer participante obtiene la Junta.100 (F/A. la cantidad adeudada en cuotas mensuales iguales considerando para dicho cálculo una tasa del 5% de interés mensual a fin de compensar el efecto de la inflación.100 (F/A. 126.. 900 Por consiguiente el pago mensual (cuota) durante los 9 meses siguientes es: A = 900 (A/P.. 5%. 821.. 9) A = S/. A = P . 5%. ...... 100. n = 360/90 ie = (1+i)n ie = 459.........1 - 100......7% Cálculo de la tasa de descuento (d) 24 ..... 12....0 129.. 1000 a 90 días si el descuento es de S/.6 - 100..Calcular la tasa de interés vencida y efectiva de S/. ....... . ..6 - ........ .... .0 129.... .94% y 174.. ...............0 126.94% .....0 127............ ........ .... 130 Solución: D=dF d = (130/1.Si la tasa efectiva anual (ie) es 40% ¿Cuál es el descuento (D) de un letra por S/.55% respectivamente....100 que vence dentro de 90 días...3 - 100.0 130............ Solución: F = S/.....000) = 0......3 - 100...1 - 11..76% En consecuencia las tasas de interés vencida y efectiva son 14.100 ie = 40% Período (p) = 90 días Número de períodos en el año (n) = 360/90 = 4 Cálculo del interés del período (ip) ip = (1+ie)1/n – 1 = 8..........ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Participante por mes Mes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 .0 127...13 i d 1 d i = 14. 6 7 8 100........ 5) (A/P.. 8. 68939..087% 13.00 Adicionalmente con la información anterior. se presentan sumas de S/. P ip = F d = D ip D p ip d F D ip = 0.000 al principio del tercero y el sexto año.300 a partir del quinto año.. 15%.Con una tasa del 15% transfórmese la siguiente serie no uniforme en una serie uniforme: una suma de S/.000 al final de cada año durante los 6 años restantes. 15%.. 2) + 6(P/F. 15%.000 se presenta al comienzo del primer año... Solución: (En miles de nuevos soles) El diagrama de flujo será el siguiente: 20 8 8 6 8 8 10 6 10 10 10 10 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Cálculo de la serie anual: A = 20 + 8(P/A. 25 . Estos depósitos han de cubrir 6 pagos trimestrales de s/..000 al final de cada año durante los primeros 4 años y 10. 15%. 4) + 6 (P/F.680 14. 10) A = S/.. 4) + 10 (P/A. sabiendo que se efectúa los siguientes depósitos: X : X + S/. 6) (P/F.. 15%. se calcula el interés del período.. en los diez años siguientes.. 15%. 6. 8. 20.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 d ip 1 ip .(2) d= 8% Cálculo del descuento (D) D=d F D = S/. Se presentan sumas complementarias de S/.100 : al inicio del año 1 al final del año 3 A un interés del 12% capitalizado mensualmente.Determinar el valor de una cantidad X de Soles. 000(P/F.. 24..000 al 70%..56 15... 26%.. 1.. 48). ip.-175)+VA (26%. 26%...24) + 1.000x0. 569.Una persona tiene un bono de Reconstrucción con las siguientes características: Valor nominal de S/....ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Solución: X A 0 A A 1 X+100 A A A A = 300 3 4 5 6 2 Valor Presente de los Depósitos: P = X + (X+100) (P/F..-1000) P = S/. 1.4 i p (100 / 6)% Inversionista 1... 674...03 3 3 1 3.. 36). 5)] (P/F. El interés se pagará trimestralmente siendo el tiempo de vigencia de 6 años.175 n = 24 períodos P = 175(P/A.. 1%.5 1 1 26 % iT 1 Tasas de interés trimestra l (i T ) 6 16. (2) ip 1 0. (1) Valor Presente de los Pagos Trimestrales: P = [300 + 300(P/A.. 100 Tasa de interés : 56% capitalizable trimestralmente 26 .24) P =VA (26%. 24. 1%.. Si un inversionista desea ganar el 100% capitalizable cada dos meses ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por el bono? Solución: Bono: i p (70 / 4)% I = S/.0301 % Igualando (1) y (2) se tiene: X = S/...Una persona tiene un bono de S/. hace tres años. 14%.. 8) F = S/. cuenta para ello con la siguiente información: TASA DE INTERES % 60 70 90 AÑO 1 2 3 CAPITALIZACI ON mensual quincenal diario a) ¿Cuánto dinero posee al cabo de 3 años? b) ¿Cuál es la tasa efectiva y la tasa nominal equivalente de una capitalización trimestral? Solución: A 27 .………………………………… 0 i 56 4 11 F 24 mes % 14 % Valor del bono al cabo de dos años (F) F = 100 (F/P.99% Monto que puede pagar el inversionista (P1) p.259 Tasa de interés del periodo (ip) para el inversionista ip =8. 285. F 1 i n 285.Una persona que depósito en una entidad financiera una suma A.156 17.259 1. desea determinar la cantidad de dinero que tiene en el presente.0899 n Para n =13 P = S/.. 93.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Vigencia del bono : dos años Meses que faltan para su redención : 13 ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por el bono un inversionista que desea un rendimiento efectivo de 181% ? Solución: 100 Pi =? …………………. .800¿Cuál fue el costo anual uniforme equivalente de la maquina a una tasa de interés de 9% ? Solución: 13.797 A ie = 106...93091 28 . la compañía decidió comprar una unidad adicional para que la maquina fuera totalmente automática.46% 18..0643 1) x 4 4 in = 79.... El costo de operación de la maquina en condiciones totalmente automáticas fue de S/.. 5) . 9%....700 900 900 …………………………………………. (P2) P2 = 1. 9%..100. (P 1) P1 = 13. 9%.. 5) P2 = 2631. 9%.100 1..... 9%.000 +7..Una importante compañía manufacturera compró una maquina semiautomática por un valor de S/..700 1 7... La unidad adicional tuvo un costo original de S/..000....43% Tasa nominal equivalente (in) 4 i ie 1 1 i n ( 4 2..1.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 0 1 2 3 a) Valor en el año 3 (A3) A3 = A(1 + 0..13..6 12 12 ) (1 + 0..700 (P/A.700.800 (P/F... 16) P1= 17161. Cinco años después de la adquisición inicial.1....7..14727 Valor presente del costo de operación..000 0 1. Si la compañía uso la maquina durante 16 años y después vendió la unidad automática adicional en S/. 11)(P/F.. 1..797 A b) Tasa efectiva equivalente (ie) A (1 + ie)3 = 8. 5 6 16 Valor presente de las adquisiciones y la venta....900 (P/A.100 (P/F...7 24 0..790911 Costo anual uniforme (A) P1 + P2 = 19792.900 anuales... 5) .800 (venta) 1......... Su mantenimiento anual y el costo de operación ascendieron a S/..9 24 ) (1 + 360 ) 360 A3 = 8.. 09 19.Un señor tiene s/ 20000 quiere depositar el dinero suficiente con el fin de obtener s/ 50000 para educar a su hijo. al término del primer semestre del primer año.63 años.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 A = (P1 + P2) (A/P. 100 en otra entidad financiera a una tasa del 90% de capitalización continúa. Solución: P =? 5 6 F = 50000 18 7 29 . la persona A hace un depósito de S/. 20%. La tasa de interés es del 80% capitalizable trimestralmente.5 F n= 2. Solución: A: 100 ………………………………… 0 1 2 año 80% cap. trimestral B: 100 ………………………………… 0 1 2 año 90% cap. ¿ Cuánto tiempo ha de transcurrir para que la persona B tenga 50% más que A ?. 9 x 0 .7628 (1 + 1. otra persona B hace un depósito de S/.9 iB e 1 155 ..0736)n p B 100 100 m 0 .100 en una entidad financiera. 2.381. si el hijo tiene 5 años y comienza sus estudios a los 18 años ¿Cuánto deberá depositar el señor con el fin de poder ganar un 8% de interés con capitalización trimestral. n) = 100 [(1 + 0. continuo Cálculo del valor futuro de A (FA) FA = P (F/P. 16) = S/.Al inicio del primer año.20)4]n = 100 x (2.96 % 146 % Cálculo del valor futuro de B (FB) FB = 63.46)n FB = 1. 9%. 20.5 e e Cálculo del valor presente B (PB) Calculo de la tasa de interés anual (iB ) 0.. .94 RTA 17861.04)1/2 -1 it = 1.n) A = 40000(P/A. 1.n) P = 50000(P/F..98%. Solución: P = 4000 A 0 1 ip in m 8 2 4 A A …………………………………………… 4 15 i n 8% anual capitaliza ble semestralmente it = (1+0.15 22. 8.15 RTA 1145.60) A = 1145.94 21.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 ………………………. 0 1 2 13 in = 8% capitalizable trimestralmente Tenemos que m = 4 ip in m 8% 2% 4 Entonces: ie = (1+ip)4 .24%.-¿Cuántos depósitos mensuales de $45 debe efectuar una persona con el objeto de acumular $10000 si la tasa de interés es del 10% anual capitalizable semestralmente ? Solución: 0 45 45 45 1 2 3 45 …….13) P = 17861.it.………………………… n 30 .ie.¿Cuánto dinero podemos retirar trimestralmente durante 15 años de un fondo de retiro que produce 8% de interés anual capitalizable semestralmente .24% P = F(P/F.1 ie = 8..98% A = P (P/A. Se tiene actualmente 40000. 822 = n log1. 9) I = 8. Al final del cuarto mes un participante por motivo de viaje se retira de la Junta. La modalidad para obtener la junta es al remate.i. Se pide determinar la cantidad que se le deberá entregar.822= 1.Diez participantes en una Junta (100 $/ cu).0082 0. i.00354 n = 127 RTA =127 23.9) 900=150(P/A. : $ 175.45= (n) 0.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 in = 10% anual capitalizable semestralmente 10 ip = 2 = 2 = 5% in im = (1+0. im.0082 n 1 10000 45 2.0082 10000 = 45 (F/A. El primer mes salió con El segundo mes salió con El tercer mes salió con : $ 150. : $ 160. n) n Log2. Solución: Para el 1er mes: Recibe : $ 1000 Deuda : $ 900 Cuota : $ 150 .. n) 1 0.0082 0.98% Aproximado: i = 9.00% Perio Deud Amortizac Interé 31 Saldo Total . # de Cuotas : 9 Cálculo del interés: P = D(P/A.82% Sabemos: F = A (F/A.05)1/6 . 0.1 im = 0.0082. 61 122.62 160 37.8 1 89.79 150 68.285 265.76 265.61 91. i.52 1.81 150 60.7 9 81. 7) i = 12. 8) .76 255.69 584.38 160 25. 7) 780.92 147.1 4 126.45 150 52.71 160 58.23 255.74 160 48.14 150 23.31 584.38 134.021 673.1 160 76.71 111.85 150 34.51 120.83 589.8 5 115.48 s Pagar 81 831 150 74.7 = 175(P/A.51 150 Para el 2do mes: Recibe = 150 + 9x100 = 1050 Deuda = 1050 .0 9 106.39 487.811 380.0 0 69 831.97 488.13 139.i.60 487.8) 841=160(P/A.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 do 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a ión 900.71 101.7 Cuota: 175 # De Cuotas: 7 Cálculo del interés: P = D (P/A.49 681.08 150 12.(100 + (900+81)/9) = 841.09 150 43.21 755.99 Para el 3er mes: Recibe = 150 + 160 + 8x100= 1110 Deuda: 780.0 0 75.46 120. i.51 681.87 377.02 488.99 673.1 83. Cuota = 160 # de Cuotas = 8 Cálculo del interés: P = D(P/A.9 765.61 160 68.16 589.92 160 12. i.4 % Perio do 3 4 5 6 7 8 9 10 Amortizac Deuda ión 841 75.4 9 97.16 380.98 160 .09 -26.1 765.79 755. i = 10.866 139.0 8 137.12 377.7 % 32 Inter Total és Saldo Pagar 84. 48 619.41 Se le entrega = 1185 – 721.84 85.2126 d = 21. Se debe hallar la Tasa de Descuento equivalente y los cuadros de pago de la deuda a lo largo de 4 meses (a cuotas decrecientes. SALDO AMORTIZACION 33 INTERES CUOTA .1+76.41 Interé s 99.42 52. 1.7+99. constantes y crecientes) Solución: Siendo: i = 0.65 66.44 122.70 75.34 523.Se trata de un préstamo bancario de 40 millones de soles a una tasa de interés efectiva de 27%.-CUOTAS DECRECIENTES 10800 0 50800 8100 12700 5400 12700 2700 12700 12700 1 2 3 4 Importe Inicial = 40 000 000/(1-d) = 50 800.14 89.41 = 463.81 704.54 414.23 175 Para el 4to mes: Recibe = 150 + 160 + 175 + 7x100 = 1185 Deuda = 1185 – ((755.17 155.44 175 292.36 175 523.63 37.51)/7 + (780.59 24.1)/7 + 100) Deuda = 1185 – 463.02 108. Nro.26%.08 137.90 154.02 175 414.84 175 619.17 175 -1. pero el Banco cobra el interés por adelantado.36 96.09 19.58 Total Saldo Pagar 704.51 78.59 = 721.79+68.27 1 d 1 1 i Entonces: d = 0.08 175 154..36 292.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Period o 4 5 6 7 8 9 10 Amortizac Deuda ión 780.02)/7 + (765. A1d = C4 C1 = C2 50800d + A1 (1-d) = 50800d + A2 (1-d) – A1d A1 = A2 (1-d) = A3 (1-d)2 = A4 (1-d)3 A2 = A3 (1-d) = A4 (1-d)2 A3 = A4 (1-d) 34 A4 C4 4 .ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Saldo*0.A2 .CUOTAS CONSTANTES 10800 0 50800 A1 C1 I1 A2 C2 I2 1 2 A3 C3 I3 (50800 – A1) d + A1 50800d + A1(1-d) I4 3 A1 + A2 + A3 + A4 = 50800 = C1 = C1 (50800 – A1– A2) d + A2 = C2 50800d + A2(1-d) – A1d = C2 (50800 – A1.2126 0 50800 - 10800 10800 1 50800 12700 8100 20800 2 38100 12700 5400 18100 3 25400 12700 2700 15400 4 12700 12700 - 12700 50800 27000 2.A2d..A3) d + A3 = C3 50800d + A3(1-d)– A2d– A1d = C3 (50800 – A1– A2– A3– A4) d + A4 = C4 50800xd + A4(1-d).A3d. 20 6666.90 2 42235.00 - 10800.CUOTAS CRECIENTES 10800 50800 10160 0 50800 1 2 Nro.2126 0 50800.70 17543.70 3.70 8979.00 10800. SALDO FACTOR DE 15240 3 AMORTIZACIO 35 20320 4 INTERES CUOTA .00 3564.90 3 31358..00 50800.00 - 17544.00 17544.20 17543.30 10877.2126 A4 = 17543.00 30175.90 4 17544.10 3729.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 A1 + A2 + A3 + A4 = 50800 A4 ((1-d)3 +(1-d)2 +(1-d)1 +1) d = 0.80 17543.10 13814.90 = C Nro SALDO AMORTIZACION INTERES CUOTA Saldo*0.00 1 50800. RTA : 36 5.25% con capitalización diaria.. El interés se paga semestralmente y el bono vence en 2 años.8% .ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 AMORTIZACIO N N Saldo*0.Una compañía maderera requiere incrementar su capital en 2 millones para financiar una pequeña expansión. ¿Qué interés adicional recibirá al año. ¿Qué tasa de retorno anual nominal se consiguió con esta inversión ?. El bono se conservó durante 8 años y se vendió en 800 inmediatamente después del pago N° 16 de interés. Si esta persona transfiere 10000 de su cuenta al banco.Un inversionista compró un bono de 1..Una institución bancaria anuncia que otorga una tasa del 5.598 3.000 dólares al 5% en 825. Un inversionista tiene depositado su dinero en una cuenta que o paga el 5% capitalizable trimestralmente. Suponga que los inversionistas requieran una tasa de retorno del 16% anual capitalizable trimestralmente. RTA : 2’628. ¿Cuál debería ser el valor nominal de sus bonos si los mismos pagarían un interés del 12% anual capitalizable trimestralmente y vencimiento en 20 años ?. que según dicho anuncio es equivalente a una tasa efectiva del 5.39%. RTA : 30% 2.2126 - 10800 10800 0 50800 1 50800 1/10 5080 9720 14800 2 45720 2/10 10160 7560 17720 3 35560 3/10 15240 4320 19560 4 20320 4/10 20320 - 20320 50800 32400 PROBLEMAS PROPUESTOS 1.. 4.1 137.8 1989 45024.99 La pérdida del valor adquisitivo de la moneda puede expresarse utilizando el factor 1/(1+i)n.9 .ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 CAPÍTULO 4 4.8 111.5 128.3 37 DEFLACTOR TASA PBI INFLACIÓN 5.25 . En este capítulo aprenderemos como dar cuenta de los efectos de la inflación y la escalación de costos cuando esté manejándose un análisis económico de alternativas.1 38980. Numéricamente es el cociente entre el PBI nominal y el PBI real expresado en forma de índice.7 1990 50074.0 35911. que es el cambio constante de los precios los cuales les crean un problema a aquellas que tienen ingreso fijo.0 7.1 f m 12 1 1. se obtiene: fm = 12 f + 1 .1 f m=6.2 39903. INFLACIÓN Y DEVALUACION: Trataremos aquí este problema.3 6.1 119. que es muy común para las personas de todo el mundo. Ejemplo: Si la tasa de inflación anual fue de 125% determinar la inflación promedio mensual. Inflación en el año f = 125% Inflación promedio mensual f m =? n =1 año = 12 meses Aplicando la fórmula determinada en el capítulo 3 "Tasa de Interés Efectiva".9 37622. De acuerdo al siguiente cuadro AÑO PBI NOMINAL PBI REAL 1988 40164.1 Definiciones La inflación (f) se describe más comúnmente en términos de un porcentaje anual que representa la tasa a la cual los precios del año en referencia han aumentado en relación con los precios del año anterior.7 7.5 1991 54775. matemáticamente Deflactor El deflactor es un índice de precios con el que se convierte una cantidad ‘nominal’ en otra ‘real’. 3 137 .delPBI . inf lacion.6 x100 145.1 PBI nominal 1992 x100 PBI real 1992 Deflactor.1991 Tasa.6 Deflactor.3 Ejemplo Nº 1 Un empleado recibe actualmente S/.1992 Deflactar.27 39903.2% Usando: ir i n f 1 f i’ n = ir( 1+f ) +f Y reemplazando los datos tenemos 38 3 .PBI .2%.2 x100 137 .9 40378 .1991 x100 Deflactar.1992-Deflactar.1992 145.1992 58911.9−137.1991 Deflactor.9 6.3 137. del.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 1992 58911.nominal-1991 x100 PBI real 1991 54775.9 x100 6 .1 145. considerando una tasa de interés real de 20% anual con una inflación anual estimada de 1.1991 Deflactor. 145 como sueldo.PBI. Solución: 145 0 F =? 1 2 ir = 20% fanual = 1.3 PBI .1 Tasa de inf lacion. Se pide el valor final del sueldo al cabo de 3 años. del. del.PBI.3 Tasade inflacion1992= 145.1992 40378.3 x 100=6. 9% Ejemplo Nº 4 39 . 8) Fn = 4 287. f3 = 14% Solución: F P 0 1 2 3 P (1 + fm )3 = P(1 + f1 )(1 + f2 )(1 + f3 ) (1 + fm )3 = ( 1 +f1 )( 1+ f2 )( 1+ f3 ) ( 1 + fm)3 = (1+ 0. Se pide el valor futuro de la inversión actual de S/. f2 = 13% .4 Ejemplo Nº 3 Cuál es la inflación mensual equivalente (F m) si se tiene los estimadores para los siguientes tres trimestres: f1 = 12% .18/(1+0. con un rendimiento del 10% de interés. 10%.12)( 1 + 0. 2 000 en una cuenta de ahorro.18 El valor futuro en unidades monetarias del mismo poder adquisitivo (Fr) se obtiene deflactando Fn: F r=4 287. Debido a eso: Fn= 2 000 (F/P.2 i´n = 21. Solución: Se calcula el valor futuro de S/ 2 000 sin descontar la inflación (F n).13)( 1 + 0.14 ) fm = 12.2 ) +1. 44% F = P (1 + i´n )3 = 145 ( 1 + i´n )3 = 260 F = 260 Ejemplo Nº 2 Se espera que la inflación aumente a razón de 15% durante 8 años.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 i' n=( 20 )( 1+1.15)8 F r= 1 401. Bajo estas denominaciones se tiene lo siguiente: in = tasa de interés nominal ir = tasa de interés real Se sabe que: F1 P(1 in) ... o sea que ha perdido el 30.44% con respecto al año anterior. que es el que ignora la existencia de la inflación se opone la noción de interés REAL. Los tipos de tasas de interés estudiados en el capítulo 3...25) 333. por eso en el lenguaje de inflación se dice que todas aquellas tasas de interés son NOMINALES.56% Los S/.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Si un trabajador tenía hace un año un haber mensual de S/. f = 125% n = 1 P’ = 480 F1 = 750 -1 0 Deflactando se tiene: F F F1 (1 f) n 750 1 (1 1. 480 P = 750 P1 =? Poder adquisitivo del dinero al cabo de un año.. (1) 40 .. tienen una característica en común: ignoran la existencia de la inflación......333 tienen un poder adquisitivo de 69. 333..333 480 1 i i = . 480 y en la actualidad percibe S/.56% del poder adquisitivo. que es la que precisamente la tiene en cuenta..333 480 0 -1 Pérdida del poder adquisitivo: 333.30... 750.33 Cálculo de la pérdida del poder de adquisición 333. Solución: P' = S/. Determinar el poder adquisitivo del haber actual con respecto al año anterior. considerando que la tasa de inflación anual es de 125%. Al concepto de tasa de interés nominal.. .25 ir ..(3) La fórmula Nº (3) también se acostumbra a ser presentada de la forma siguiente: (1+in) = (1+ir) (1+f) El problema anterior (ejemplo 4) se resuelve de la siguiente manera: De (1): 750 1 * 100 480 in in 56..f 1 f ……….25) * 100 2..1.56% 41 ........ (2) Remplazando (1) en (2) se tiene: FP (1 in) (1 f) Por estar considerada la inflación......30..ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Si se toma en cuenta la inflación se tiene: F F1 1f ........5625 .. entonces: F=P(1+i r ) P(1 ir) P ir (1 in) (1 f) in ..25% f = 125% Aplicando (3) se tiene: ir (0. ¿Cuál opción le convendrá? Solución: Moneda Nacional: P F 0 1 i1 = 11 % F1 = P (1 + 0.06) Convirtiendo los dólares a soles.1)X F2 X F2=1.11) = 1. Ejemplo Nº 5: Si una persona deposita una cantidad P en soles con un interés bancario de 11 % anual y la misma cantidad en dólares con un interés de 6 % anual y una devaluación anual de 10%.06)(1. aplicando la tasa de devaluación del 10%. se tiene: F ' (1.11P Moneda Extranjera: P/ X F 0 1 i2 = 6 % Sea X = cantidad de soles por dólar F' P X (1 0.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 La tasa de interés real es negativa. lo que significa que el haber mensual del trabajador ha perdido poder adquisitivo.1)X P (1. Observando el numerador de la formula i f ir n 1 f Se apreciara de inmediato que se tendrá una tasa de interés real positiva si el interés nominal es mayor que la inflación.166P 42 . 015 ir n 0.014 .626 ir De: in'f 1 f Tenemos: i '0.08 1. asumiendo una inflación mensual del 1.2% f3 = 1.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 La mejor opción es depositar en dólares Ejemplo N 6: Un empleado recibe de sueldo en la actualidad 12 000 soles y al cabo de 5 meses recibe 19 000.f11=1.4% 3 (mes) .013 x 1. si las inflaciones en los tres primeros meses son : f1 = 1.012 x 1.4% ¿Cuál es la inflación anual? Solución: 1 + Ft = (1+f1)(1+f2)(1+f3) 0 0 f2=1.5% se pide la tasa de interés real.2% Ft = 1. Solución: P=12000 0 F=19000 1 5 mes 2 F = P(1+ in’)5 19 000 = 12 000( 1+ in’)5 5 19 1 in' 12 i' n=9.015 ir = 8% Ejemplo Nº 7: Se pide estimar la inflación mensual y anual.3% f2 = 1.3% 1 43 1 (trimestre) 2 f3=1. con la inversión actual de S/. 10 000 000 en una máquina que se necesitará dentro de 3 años.17 Ejemplo Nº 8: Si se espera que la inflación aumente a razón de 125% anual.013 fanual = (1+ft)4 – 1 = 0.0 (índice al 31. compárese la inversión actual de S/. 10 000 000 en una cuenta de ahorro por 3 años con un rendimiento del 80% de interés efectivo anual. 113 906 250 Esta cantidad tendrá igual poder adquisitivo que los 10 000 000 actuales.25)3 = S/. 04 (1+fm)3 = (1+f1)(1+f2)(1+f3) fm 3 1.04 1 0. 408. Para calcular el valor adquisitivo puede utilizarse también el cuadro de "ÍNDICE GENERAL DE PRECIOS AL CONSUMIDOR". Solución: Si la máquina aumenta de precio conforme a la inflación. S/. 10 000 000 dentro de 3 años.6 254. como resultado de ésta. calcular el valor real del dinero al 31/04/83.0 0 1 La tasa de inflación es: 44 . ya que representa sólo el 51.6 (índice al 31. 400 000.04. 250 000 y al 31 de abril de 1983 gana S/.83) Solución: Los índices se pueden tratar como cantidades equivalentes en el tiempo. los S/. mientras que el depósito en el banco acumulará sólo: F = 10 000 000 (1+ 0. Ejemplo Nº 9 Si al 31 de abril de 1 982 una persona ganaba S/. puesto que se tiene a una tasa inflacionaria del 125%.2% del valor de ese monto.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Ft = 0.8)3 = S/.04. 58 320 000 Cantidad que no permite adquirir la máquina. 10 000 000 se convierten en: F = 10 000 000 (1+1.82) I1 = 408. Índice General de Precios al Consumidor Io = 254. no permitirá adquirirla. 6 = 254 (1+f) 408.87 1+60.6087 254 DEFLACTOR: 400 000 S/ 248 650 1.87 % Por consiguiente.46% Luego calculamos el interés real: i r= i 'n−f 1+f i r= 60 −60.el 99.04.82: F 400 000 248 654 (1 f) (1 0.6 1.2 Definición de Evaluación y Aplicaciones El término de evaluación significa simplemente el reconocimiento de que la unidad monetaria ha perdido parte de su valor adquisitivo y que en consecuencia está siendo ajustada a fin de reflejar dicha pérdida.6087) Esta cantidad representa.82 .46% 4.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 F = P (1+f)1 408.87 i r=0. Ejemplo Nº 1 Se puede adquirir bonos de Reconstrucción de los tenedores primarios pagando el 38% del valor nominal.50809 Método Usual del Cálculo: En la práctica se opera de la siguiente manera: 408. el valor adquisitivo de 400 000 (F) es de: Valor con respecto al 31. Estos bonos rinden un interés nominal del 56% capitalizable 45 .6087 f = 60.6087 Valor adquisitivo: que viene a ser el 99. respecto a lo que ganaba al 31.4. La devaluación está referida a que la moneda ha perdido su valor adquisitivo al compararlo con otra moneda de valor más estable.6 1 f 254 1+ f = 1. siendo redimibles a los 2 años. 56/4%.0452) 12 0.38 B el rendimiento o interés anual es: 0. Se puede adquirir también Certificados Bancarios en moneda extranjera al 16% anual a 30 días renovables (capitalización mensual).38B] 12 *100 0. entonces al cabo de dos años recibe F = B (F/P.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 trimestralmente.38B(1 0.16 12 ) (1 0.38 lo que se pagó por éste.8) 1 4 0 2 (Año) 8 (Trimestre) Como sólo se convirtió 0. 56/4%.2) Con las fórmulas se tendría: 1 (1 i) 0.99% b) La inversión en certificado bancario en moneda extranjera es 0.38B.i%.38B = B (F/P.38B .8) (P/F.38 = (1+0. asumiendo una tasa mensual de probable devaluación del 4.38 B 0 2 (Año) 24 (Mes) 1 12 Rendimiento anual Rendimiento anual 46 Interes *100 Inversión [0. entonces el rendimiento anual efectivo de la inversión considerando la devaluación efectiva anual es: Dato moneda extranjera: 0.52% se pide: a) Cuál es el rendimiento anual efectivo para los bonos de reconstrucción? b) Cuál es el rendimiento anual del certificado bancario en moneda extranjera? c) Cuál es la mejor alternativa? Solución: a) Sea B el valor nominal del bono y 0.14)8* 2 i = 173. 0452)12 i = 99.….16/12)12 se aplica para determinar el interés de la moneda extranjera en un año y el factor (1+0.n) F = 3 000(F/A. si la tasa de interés es del 20% anual y la tasa de inflación del 7% anual? 47 .0452)12se utiliza para convertir la moneda extranjera en nacional ya que como se menciona. la devaluación es 4. 58 007 Ejemplo Nº3 ¿Calcular cuánto dinero se debe ahorrar anualmente durante 12 años una fábrica empacadora de carne a través de la recuperación de residuos para justificar un desembolso de 35 000.243 0 A A ………….10)+0.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 i = 99.8) F = S/.26% c) La mejor solución alternativa es (a).3%. 3 000.00 anualmente durante 8 años comenzando dentro de un año en un nuevo proceso de producción ¿Cuánto dinero deberá recibir al final del año 8 en moneda corriente en ese entonces para que la compañía recupere su inversión a una tasa de interés del 13% anual y a una tasa de inflación del 10%? Solución : Sabemos if = i + if + f if =0.24.……. El rendimiento se puede calcular también de la siguiente manera: (1+i) = (1+0.1 if = 0. if .13)(0. Ejemplo Nº 2 Una compañía invierte S/. en el enunciado.16/12)12(1+0.….. A F=? 1 2 7 8 F= A(F/A..52% mensual.26% El factor (1+0.13+(0. 1 if = 26. 15%. 133 503.if .4 b) P=33 000 0 1 F=? ……………………… 9 2 if = i +f+if if = 0. Solución: P=33 000 a) 0 1 F=? …………………….5% 48 10 . 12) A = S/ 10 461.00 Ejemplo Nº4 Hallar la cantidad de moneda de hoy y moneda corriente en el año 10 que será equivalente a una inversión actual de S/.n) A = 35 000 (A/P.15 +0.07 +0.2x0.2 + 0.07 if = 28. 10 9 2 i= 15% Sabemos F = P (F/P.1 +0..ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Solución: P=35 000 A 0 1 A A 2 11 A 12 i = 20% anual Hallaremos la tasa de interés inflada if = i + f + if if = 0. i. n) F = 33 000 (F/P.4% Sabemos A = P (A/P.. 10) F = S/.15x0.4%. 28. 33 000 a una tasa de interés anual del 15% y una tasa de inflación del 10%. .10) F = S/........... 24 ) P F (1 i' n ) 24 .. en un equipo de refrigeración...... 346 273 Problemas Resueltos 1) El gerente de la tienda de alimentos “Súper rápido” está tratando de determinar cuánto deberá gastar ahora para evitar el gasto de $10 000 dentro de dos años......(1) i’n = (1+f)(1+ir)-1 (1+ in)24 = (1+ f)24(1+ir)24 .. 49 ... Solución: Al igual que el problema anterior.. i’n%.... ¿ Cuánto depositó ? Suponga que la cuenta gana intereses a una tasa de 20% anual y la tasa de inflación fue de 5% durante ese período......(2) (2) en (1) P P F 24 (1 f) (1 ir) 24 10 000 (1 0....... ¿Cuál es la máxima cantidad de dinero de la que puede disponer el gerente para gastar? Solución: P = F(P/F. Si el abuelo abrió la cuenta hace 50 años.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Sabemos F = P(F/P .. 26......01) 24 (1 0... con un depósito único y nunca depositó otro dólar a la cuenta original....5%........... Si la tasa de interés es de 3/2% mensual y la tasa de inflación es de 1% también mensual..if..n) F = 33 000 (F/P...015) 24 P= 5 509 2) A una chica con suerte le acaban de informar que su abuelo murió y le dejó una cuenta de ahorro de $3 000 000. 15) 6 P= 1 220.74 3) ¿ Cuánto dinero podrá gastar la compañía GROQ hoy para evitar gastar $5 000 anuales por seis años a la tasa de interés de 15% y la tasa de inflación del 10% anual ?. 50 .1) 6 (1 0.2) 50 P= 28. Solución: Sabemos que: P F 6 (1 f) (1 i r ) 6 P 5000 (1 0.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 P P F 50 (1 f) (1 i r )50 3 000 000 (1 0.18.05) 50 (1 0. 00 S/.75 S/. Las formas usuales de pago son: Plan de cuotas decrecientes.00 S/. 8.88 51 Saldo S/.250. 1.50 S/.00 93. o En el cuadro N 5.88 .000.000. 1.38 S/. 10. 1. 6. 1. Plan de cuotas crecientes. 6.437.296.343.00 187.625. 1.00 S/.1: Programa de Amortización Plan de Cuotas Decrecientes Monto Plazo Interés Interés trimestral Amortización : : : Periodo Trimestr al 1 2 3 4 5 6 7 8 Deuda S/. S/.00 S/.00 : : S/. comisiones. 1. 1.250.00 S/. S/.10 000 000 2 años = 8 cuotas trimestrales 15% anual 15/4 = 3. La descomposición de los pagos en períodos se llama programa de amortización. 3. PRINCIPALES MODALIDADES DE OPERACIONES FINANCIERAS 5.00 S/. Plan de cuotas constantes.531.75% trimestral 10 000 000 / 8 = 1 250 000 Amortizaci ón Interés y Comisión S/. o Cuadro N 5. 1. 1.00 328.750.00 S/.500.750.250.500. 7.00 46.25 S/.250.50 S/.00 234. 2. S/.250. S/. 1.750.250. Plan de Cuotas Decrecientes También llamado " PLAN DE AMORTIZACIONES CONSTANTES ".250.250.00 S/. 5. 1.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 CAPITULO 5 5.000.00 S/.00 S/.75 S/. bajo esta modalidad quien recibe un préstamo lo tiene que amortizar en partes iguales adicionando además los intereses a rebatir o sobre el saldo pendiente de cada período ya que los intereses disminuyen al disminuir el saldo de la deuda.00 S/.500.390.250.00 375. 1.750. 1. 8.00 281.250. se denomina Costo de Capital del inversionista. Sistema de reajuste de deudas.63 S/.00 S/. 3. La devolución gradual de un préstamo se denomina amortización. S/. 2. 1.500.63 S/.13 S/. S/.250. costos de operar el crédito. la mayoría de las veces se efectúa pagos periódicos que incluyen además los intereses.00 S/.250. 1.00 140. 1. 5. S/. 1.1 Operaciones Activas Prestamos Los préstamos de mayor interés son los que se otorgan a mediano y largo plazo.00 S/.25 S/.00 S/. - Total a Pagar S/.13 S/.38 S/. etc. 1.484.578.1 se muestra un programa de amortización para un préstamo obtenido bajo esta modalidad de pago. 7.00 S/. S/. 983.00 TOTAL S/.469.492.222.10 000 000 2 años = 8 cuotas trimestrales 15% 3.95 S/. S/.57 S/.316.983.9 6 S/.469. 8.50 Plan de Cuotas Constantes Mediante este sistema varía tanto las amortizaciones como los intereses.687. 1.469. Cuadro Nº 5.000.590.098.91 S/. 1.81 S/. 8.983.475.000. n) A P I n : : : : Cuota o armada constante Principal o préstamo Tasa de interés proporcional Número de períodos Calculada la cuota.2 7 S/.094. pero la suma de ambos.782.2 7 S/.268.279.905.75% trimestral A=10000000 ( A /P .098.772.469.0 0 S/.647.000. 8 )=S /1469.0 9 S/.768.91 S/. 6. se determina los intereses del período y por diferencia se obtiene la amortización del préstamo en cada período. .136.475.137. 291.81 S/.2: Monto Plazo Interés Programa de Amortización Plan de cuotas Constantes : : : S/.590.367. o sea la cuota.91 S/. 2. 1.846. 4. 5. 4.91 S/. 1. 6.983.1 0 S/. 1.016.772.91 S/.280. 1.970.4 1 S/. 247.703.178. que se ha de pagar en cada período es constante. 153. En el cuadro Nº 5.983. Interés y Total a Saldo Comisión S/. 1. 1.970.75 . 201. 1.000.322. 10.703.53 S/.016.91 S/. 7. 1. 5.905.2 se muestra un programa de amortización para un préstamo obtenido bajo esta modalidad.336.3 9 S/.983.3 5 S/.7 4 S/.938. 375. 1.469. 333.9 3 S/.045.469.1 0 S/.3 7 S/.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 S/. 3.983.9 3 S/.322. Amortizaci ón S/.0 9 S/. ésta se obtiene aplicando la siguiente fórmula: A = P (A / P. 1.367. 7. 00 S/.7 4 S/.98 Period o Trimes tral 1 2 3 4 5 6 7 Deuda S/. 10.768. 11. i.3 7 S/. 52 Pagar S/.91 S/. S/. Cuadro Nº 5.333.833.1 312.222. 364.9 1.97 7 S/.469. 10.0 833. S/.333. 22 S/.871.000.469. 10.759.222.0 1 0 S/. 343. S/. 1. 9. -0. 1.177. 9. 9.983. S/. 8.222.750.416. 32 Plan de Cuotas Crecientes En este plan las cuotas aumentan en forma sucesiva a través del tiempo.166. 7.583.666.333.78 0 S/.222.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 2.8 270. 22 S/. 8.388.222. 1. 10 000 000 : 2 años = 8 cuotas trimestrales : 12 + 3 = 15 % 3.6 7 S/. 920.2 2 S/. 5.983.782.45 1 S/.333.33 0 S/.416.95 S/.91 7 7 S/.91 S/.75% trimestral Proporci ón Amortiz ación 0. 00 S/.00 8 TOTAL 104.333. En el Cuadro Nº 5. 1.666. Se divide el préstamo entre la suma de los dígitos .722.343.78 S/.000.3: Monto Plazo Interés Period o Trimes tral 1 2 3 4 5 6 Deuda S/. 1. 7. S/. S/.56 3 S/.166667 Amortizaci ón Interés y Comisión S/.166.89 S/.500.423.222. esto se consigue de la manera siguiente: Se suma los dígitos de los períodos.659.777.y La amortización se calcula aplicando la siguiente fórmula: m s Amortización P P m S : : : Monto Inicial Dígito del período Suma de dígitos de los períodos El sistema de cuotas crecientes es utilizado principalmente en el sector vivienda ya que permite un mayor acceso de viviendas a las familias de menores recursos. 53.138.777.722.000. 652.555.333. 11.0 277.4 1.851. 53 Total a Saldo Pagar S/. S/. Programa de Amortización Plan de Cuotas Crecientes : S/.000 .888.083333 0.833.3 555.492.611.111. 33 S/. 9. 375.4 1.3 3 S/.000. S/.3 9 3 S/.416.1 1 S/.722.00 S/.365. 33 S/.851.2 2 S/.111111 0.138889 0.083.131.851. .027778 0. 1. 1.9 1.3 3 S/.2 2 S/. 67 S/.055556 0.3 se muestra un programa de amortización para un préstamo obtenido bajo esta modalidad.640.111. 6 0.833.250.166.0 4 0 S/.100.6 7 S/. S/. 22 1.885.222.333.944.222.333. 4.694.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 5.45% 60 PM D P M (1 d ) P 100 M 1 d 1 0.00 4.000 .0545 M 105.76 A N 3 A 35.6 218. 2.305.25 n Programa de Amortización Plan de Cuotas Decrecientes Monto : S/. 2.125.666. 10. 100 (cantidad recibida) P=M-D 0 60 Período de descuento ie Plazo = = = 120 60 días 40% anual 180 días Solución: d 1 6 1 360 n 6 1 ie d 5.4 156.555. 2. 1.750.5 6 S/.194444 7 S/. 67 S/.222.76 Cálculo del monto total del préstamo (M): Cálculo del monto a amortizar cada 60 días : 180 3 60 M 105.444. 10 000 54 180 . 2.00 Operaciones de descuento con más de una amortización Plan de cuotas Decrecientes Ejemplo: Se tiene la siguiente información: P = S/.416.666.666.222.0 7 0 S/.2 83.166.4 4 S/.3 3 S/.33 2 S/.222222 2 7 8 TOTAL 1.222. 0.222.000 . S/.000.2 0.00 2. 12.666. S/. 0.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Plazo Interés Periodo Trimestral : : Deuda 8 cuotas trimestrales 15.2. 0. 39.09 2 S/. 105. 70.25 S/.76 S/. 82.92 S/.00 S/. 35.76 S/. Para n =1 P= M-D A 0 1 P = M-D M = C1 M = C1 = A Para n =2 0 M Pagar 0 TOTAL M A A C1 Total a = = = = = = A A 1 2 C1 + C2 C2 C1 + C2d A . 5.C2d A . 35. n D = Tasa de descuento M = Monto total del préstamo P = Cantidad neta recibida en el período cero n = Número de período de amortización. 105. 1. 105. 35.51 S/. .51 S/. 70.84 S/. 35. 5.d 55 C3 .25 S/. 70.00 S/.75% trimestral Amortización Interés y Saldo Comisión S/.50 S/.25 S/.25 S/. j : 1. .76 1 S/.25 S/.00 S/. 35.17 3 S/. 37.02 Plan de Cuotas Constantes Sea: A = Cuota constante Cj = Amortización en el período j. 3.25 S/. 35.Ad A[ 1 + (1-d) ] Para n =3 0 A A A 1 2 3 A= A = C2 + C3d A = C1+(C2 + C3). 0.76 S/.76 S/. d)n ] .Ad +A)d C1 + (C2 + C3)d A + A ..84 56 ..Ad +A(A ..Ad C2 + C3d A . 100 000 30 días 40% anual 120 días Cálculo de la tasa de descuento: n 360 30 d 1 12 1 2.02765) 102. se tiene: M = A [1 + (1 – d) + ( 1 – d)2 + .C3d A ....Ad + A)d A + [A .Ad + A](1-d) A + A[1 + (1-d)](1-d) 2 A[1 +(1-d) + (1-d) ] Para el período n..(2) n Efectuar el programa de amortización bajo de cuotas constantes para la siguiente información: P Período de descuento ie Plazo = = = = S/.4 Cálculo del monto del préstamo (en miles de Soles) M M = = 100/ (1. +(1 . (1 – d)n-1 ] .(2) Md A 1 1 d d AM n 1 1 d (1) .(1) Multiplicando (1) por (1-d): M = A[ (1 – d) + (1 – d)2 + .765% 1 0 .(C2 + C3)d A ..0.(A.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 M C3 = = = = = = = = = = = = = A C2 A C1 A M C1 + C2 + C3 A C3 A . : : : : : S/.462 0.8 1.84 26.8 25.8 26.8 Programa de Amortización Plan de cuotas constantes Periodo Mensual 0 1 2 3 4 Deuda Amortiza ción Dscto. Finalmente se aplica los índices que refleja la inflación y se tiene el siguiente sistema: Sistema de reajuste de deudas El sistema de reajuste de deudas o de indexación de capital está definida como el reajuste periódico y automático de determinados valores con índices que reflejan la inflación.8 26.8 Esta tabla se construye partiendo del último período. 100 000 3 años 12% (ir = 3% trimestral) 90 días 40% anual 57 .84 0 24.8 26.162 102. Del capítulo anterior se tiene: (1 + in) = (1 + ir) (1 + f) f ir : representa la tasa de reajuste de la deuda.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Cálculo de la cuota constante: n = 120 / 3 = 4 A=M d 1−(1−d)n A=26.2 52.34 26. : representa la tasa de interés básica Programa de Amortización Sistema de Reajuste de Deudas Monto Total Plazo Interés Descuento Factor de reaj.84 78. puesto que en él la amortización es igual a la cuota.86 26.843 2.06 26.741 0 52.86 26.84 102.2 78. Saldo 102.8 0 Total a Pagar 2.64 2. 2 000 y dio una cuota de S/. Tasa de Interés Flat o Directo Sea una tasa de interés mensual (i). Saldo Total a Pagar 100000 108776 0 21800 3000 3263 100000 86976 3 25603 94608 77131 55945 30397 23700 25700 28000 30397 2838 2314 1678 0 70908 51431 27945 0 26538 28014 29678 30397 Una modalidad de cálculo muy usada en el medio comercial para la adquisición de artefactos eléctricos. Para el saldo se comprometió a pagar 12 cuotas de S/. i .i.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 (f = (1.. es la aplicación de la tasa de interés flat. El cálculo de la cuota mensual le demostró que se obtenía del siguiente modo: = 240 ¿Es 5% la tasa real mensual?. Solución: 1800 0 240 1 240 240 2 1 800 = 240(P/A.n El monto a pagar es: M =C+C.4)0. i. n) /n Esta modalidad de pago genera un mayor pago de intereses que los anteriores ya que el cálculo del total de estos es sobre la base de la deuda contraída inicialmente.n La cuota mensual (A) quedó determinada por: A = M/n = ( C + C .1 = 8. Ejemplo Un comprador adquirió una refrigeradora al precio de S/. 200 como inicial.i. 240 c/u. etc. el interés (I) se calcula de la manera siguiente: C : Cantidad a pagar (deuda total) n : Número de períodos (meses) I:C.5 . el vendedor le dijo que la tasa mensual era de sólo 5%. muebles.77572 % trimestral) Miles de Soles Periodo Trimestr al 0 1 2 3 4 5 Deuda Amortizaci ón Dscto. 12) 58 12 . Determine la tasa efectiva anual. El Banco Central de Reserva con fecha 14/01/ 98 unificó la tasa máxima de interés que las instituciones de crédito.100 para todos aquello que no han obtenido la Junta.6 365 ) 1 365 ie 82.5 DATOS DE TABLA Interés 8% i% 9% : Factor : 7. la cuota mensual será de S/. CUOTA .1% La tasa efectiva anual es: ief = (1+0. i.1 = 154.500 que devolverá en cinco cuotas constantes de S/. 12) = 1 800/240 = 7.63% MES DEUDA INTERES 59 AMORT.63% 5.081)12 . 250 y 350 soles mensuales.5361 : 7. la efectiva máxima anual por todo concepto será de 30% anual para cada año y de 15% para créditos a plazo mayor de un año.100 por consiguiente adquiere una deuda de S/. es decir el monto total se entregará a aquel participante que presentó la mejor oferta o cuota que ha de pagar en cada uno de los meses restantes. que aún no ha obtenido la junta. en moneda nacional. decide retirarse. La forma de obtener la junta es bajo la modalidad de remate. En el cuarto mes uno de los participantes.2 Operaciones Pasivas Depósitos de ahorro y plazo fijo. el interés efectivo fue de: 0. Los ganadores de los tres primeros meses se comprometieron con cuotas de 200. Solución: MES 1 El primer ganador obtiene un monto de S/.5 : 7. En el mercado financiero la capitalización de los intereses quedó libre lo cual convirtió el tope máximo de 60% en una simple referencia para el cálculo de rendimiento efectivo. En cuanto a la tasa de interés activa. Ejemplo Se formó una junta con 6 participantes.12% ie (1 Según la última circular del Banco Central de Reserva al Sistema financiero se tiene por ejemplo que las tasas de interés pasivo para depósito de ahorro es de 10% etc.600 pero le pertenecen S/. 5) i = 28.1607 Interpolando: La tasa de interés mensual es: i = 8.200 1 2 3 4 5 6 200 = 500 (A/P. i . están autorizadas a pagar por cualquier tipo de operación pasiva. Se pide calcular la cantidad de dinero que le corresponde.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 (P/A. Así se tuvo que para una tasa del 60% capitalizable diariamente. 444 350 = 444 ( A/P.18 221.99 155.88 218. i .1)/3 = S/.33 CUOTA 350 350 350 MES 4: La cantidad que le corresponde al participante que se va a retirar es: Cantidad = (370.02 + 105.15 126.3 INTERES 264.12 131.15 370.37 56. 85.82 136. 850 Deuda = [ 850 – (443.37 + 182. 3) I = 59.33)/3 + (444 + 264.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 2 3 4 5 6 500 443.87)/4 + (471.01 44.96 154.87 105.15 + 126.44 60 .06 120.3% MES 4 5 6 DEUDA 444 358.47)/4 +100] = S/. 581.97 143.02 275.18 213.85 73.13 94.63 200 200 200 200 200 MES 2: Monto = 4(100) + 200 + 250 = S/.94 79.84 + 156.94)/3 + (403.67 AMORT. ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 CAPITULO 6 6.10(P/F.5) = S/. Solución: VP A =? 100 0 40 40 40 40 -10 40 1 2 3 4 5 Máquina A VPA = 100 + 40 (P/A. 10 . BASES PARA LA COMPARACION DE ALTERNATIVAS: En el presente capítulo. i =10% (Costos con signo positivo y beneficios con signo negativo) dado en miles soles. 10. COSTO INICIAL CAO VS VU MAQ A MAQ B 100 40 10 5 130 30 13 5 Nota: El valor de salvamento es el valor que aún posee el activo al final de su vida útil. 245 400 VP B =? 61 . 5) . Ejemplo Comparar el valor presente de las máquinas de igual servicio. se mostrará tres métodos básicos para la evaluación de alternativas: 6.1 Valor Presente y Evaluación del Costo Capitalizado a) Valor Presente (VP) El objetivo de este método es comparar el valor presente de cada una de las alternativas. deben compararse sobre la base del mínimo común múltiplo de los años.2)+(100-10)(P/F.10%. 6) =404.10%.10%.10%. i =10% COSTO INICIAL CAO VS VU MAQ A MAQ B 100 40 10 5 130 42 13 3 Solución: Cómo las máquinas tienen distintas vidas útiles. 6) 62 . MÁQUINA A VPA =? 100 40 0 1 100(P) -10(VS) 40 40 2 3 100(P) -10(VS) 40 4 40 -10 40 5 6 Máquina A VPA =100+40(P/A.4)-10(P/F. 235 700 Se debe seleccionar la máquina B puesto que VP B < VP A En el ejemplo precedente la vida útil de las alternativas es la misma.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 130 30 0 1 30 30 30 -13 30 2 3 4 5 Máquina B VPB = 130 + 30 (P/A.10%.13(P/F. es decir en este caso 6 años. 5) .6)+(130-13)(P/F. cuando esto no ocurre.6)+(100-10)(P/F.10% .4 MÁQUINA B: -13(VS) 130 42 42 130(P) 42 42 42 -13(VS) 42 0 1 2 3 4 5 6 VPB = 130+42(P/A.5) = S/.10% .10%. 10%.2 Comparar el valor presente de las máquinas de igual servicio. se procede como en el siguiente ejemplo: Ejemplo 6.3) -13(P/F. 10%. Luego. 100 000 y un costo de inversión adicional de S/. n) Entonces si A = P (A/P.10 = 30 4.9 6.10] (P/F. i.12 000 cada 12 años. 100 3 3 3 30 12 3 5 5 5 …………………………….30 000 después de 5 años.5 Se debe seleccionar la máquina B. Hallamos el valor presente del costo inicial y de la inversión adicional: P1 = 100 + 30 (P/F. Calculamos el valor presente de la serie de 5-3 = 2 del año 5 en adelante P4 = [ 2/0. n). cuando n tiende a infinito se tiene que: A=Pi Ejemplo 6. Calculamos el costo capitalizado para la serie de 3 hasta el infinito P3 = 3/0. Límite del factor de recuperación de capital (A/P.10 = 5.4) = 13. 0 1 5 6 12 24 1. i. Hallamos el valor presente del costo recurrente de mantenimiento: P2 = [ 12(A/F. suponer que i = 10%.12) ] / 0.6 2.7 = 167.7 5. 10%. el costo total capitalizado se obtiene de la suma: PT = P1 + P2 + P3 + P4 = 118. Solución: Por conveniencia se supone a los costos con signo positivo y en miles de soles.. Además se espera un costo recurrente de mantenimiento general de S/.5 000 de ahí en adelante.. puesto que VP B < VPA b) Costo Capitalizado: Está referido al valor presente de un proyecto que se supone tendrá una vida útil perpetua.6 3. el costo anual de operación es S/.3 000 para los primeros 4 años y S/. 10.5) = 118.6 + 30 + 13. 2 3 4 12 5 5 ……….2 Valor Anual Equivalente 63 25 .ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 = 393.3 Calcular el costo capitalizado de un proyecto que tiene un costo inicial de S/.6 + 5. 10%. y a diferencia del método de valor presente no interesa uniformar el número de años para evaluar alternativas. ganado sobre el saldo no recuperado de una inversión.. Está definido como la tasa de interés que reduce a cero el valor presente de una serie de ingresos y egresos..4 Comparar el costo anual y uniforme equivalente (CAUE) de las máquinas de igual servicio.Tasa de retorno o tasa de rendimiento. Se puede considerar el saldo no recuperado de una inversión como aquella parte de la inversión inicial que queda por recuperar después de haber sumado y deducido los pagos de interés y los ingresos respectivamente causados hasta que se haga el análisis.9 CAUE B = 130 (A/P.3 Tasa De Retorno Definición. 2) + 40 – 10 (A/F. 3) + 42 – 13 (A/F. 10% . En términos económicos la tasa de rendimiento representa el porcentaje o tasa de interés. Ejemplo 6. en miles de soles. Cálculo de la Tasa de Retorno.5 Calcular la tasa de retorno para el flujo de efectivo presentado a continuación: fin de año t 0 1 2 3 4 5 flujo de efectivo Ft -1000 -800 500 500 500 1200 Es decir encuéntrese el valor de i que satisfaga la ecuación n 64 . i=10%.3 Se debe seleccionar la Máquina A puesto que CAUEA < CAUEB 6. 10% .ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Es otra base de comparación la cual consiste en encontrar una cantidad anual equivalente. es un índice de rentabilidad ampliamente aceptado. 3)= 90. 2) = 52. Ejemplo 6.El cálculo de la tasa de retorno requiere por lo general una solución de ensayo y error. 10%. COSTO INICIAL CAO VS VU MAQ A MAQ B 100 40 10 2 130 42 13 3 Solución: CAUE A = 100 (A/P. 5) Se puede resolver el problema aplicando el Métodos de tanteos: Para i = 0%. la tasa es mayor que 0. i .15. Graficando las dos últimas se tienen: C (12. 1) (P/F.-116) Por semejanza de triángulos se calcula la tasa que hace VP(i) =0 AC=BC AE BD 65 .1) + 500(P/A.1) +500(P/A. Solución: Aplicando la fórmula se tiene: 0 = -1 000 .12%. t ) = 0 t t =0 Donde n es el último año del flujo de efectivo.15%. i . i. Si se toma otro valor por ejemplo i=12%.800(P/F.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 F ( P / F .32) B D i A E(15.15%.12%. Con i=15% se tiene que: VP( i=15%) = -1000-800(P/F.1) = -116 En esta forma se sabe entonces que la tasa de rendimiento está entre el 12% y el 15%. se tiene: VP( i=12%) = -1 000 .12%.5) = 32 Puesto que VP ( i =12%) sigue siendo mayor que cero se debe ensayar una tasa superior de interés.800 + 500 x 4 + 700 = 900 Puesto que el valor presente para i=0% es positivo. el valor presente VP es: VP ( i =0%) = -1 000 .4) +(P/F.1) + 700 (P/F.4)(P/F. i .15. 1) + 500(P/A.1) +700 (P/F.800 (P/F.12%. 1) + 700 (P/F. i . 10%.10%.6% Ejemplo: Comparar mediante el método de la tasa de retorno de maquinas de igual servicio si se tiene que la TMAR. para una inversión adicional es del 10%.6 = 12.6) + 90(P/F.649 La tasa de retorno = 12+ 0.40 -40 +10 -40 -40 +10 -40 2 3 4 5 6 Flujo de A: 0 1 -30 10 90 10 -117 10 90 10 10 3 10 0 1 2 3 4 5 6 Flujo de (B-A): Valor presente a la tasa del 10% de (B-A): VP(B-A) = -30+10(P/A.3) + 90(P/F. -130 +13 -130 -30 +13 -30 -30 -30 -30 -30 2 3 4 5 6 Flujo de B: 0 1 -100 -100 -40 -100 +10 .4) + .2) 66 .ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 BD = 0. (Miles de soles) MAQ A MAQ B -100 -40 10 2 -130 -30 13 3 COSTO INICIAL CAO VS VU Solución: Aquí interesa averiguar si las 30 unidades adicionales que cuesta la máquina B con respecto a la máquina A tiene un retorno mayor al 10%.117(P/F.10%.10%. + FnXn Donde X = 1/(1+i) Para este polinomio pueden existir raíces o valores de X diferentes que satisfagan la ecuación en un número de n.4. Tasa Interna De Retorno(Tasa De Retorno) En Inflación. con coeficientes reales. pero cuando esta existe y se considera que la inflación anual es constante a través del tiempo la expresión anterior se convierte : 67 . + Fn/(1+ ir)n .. Una regla útil para identificar la posibilidad de tasas múltiples de rendimiento es la regla de signos de Descartes para un polinomio de grado n.. (a) (ir) es la tasa interna de retorno cuando no existe inflación. Ejemplo: Encontrar el posible número máximo de raíces reales positivas de los siguientes flujos: FIN DE AÑO FLUJO A FLUJO B FLUJO C FLUJO D 0 1 2 3 4 5 -1000 500 400 300 300 100 -1200 -300 -200 -300 2500 4000 -1500 0 15000 0 0 3000 -1700 4700 -6700 3600 0 0 Posible # máx de Raíces reales positivas (En miles de soles) 1 1 1 2 Es de notar cuando existen ceros en los flujos de efectivo C y D.2 Ya que el valor presente resultó positivo a la tasa del 10% se concluye que la tasa de retorno para (B-A) es mayor que el 10% y se elige la maquina B... 6... Flujo De Efectivo Con Multiples Tasas De Rendimiento La ecuación del valor presente (VP(i) = 0) es un polinomio de grado n de la forma : VP(i) = 0 = F0 +F1X + F2X2 + . la diferencia será un número par.10%.Cuando existe inflación es necesario expresar los flujos de efectivo a precios constantes o del mismo poder adquisitivo. pueden ser considerados carentes de signo al aplicar la regla de los signos..ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 3(P/F... no es nunca mayor que el número de cambios de signo en la sucesión de sus coeficientes. Esta regla dice que el número de raíces reales positivas de un polinomio de grado n.6) VP(B-A) = 63.. En caso que el número de tales raíces sea menor. De la expresión: VP (ir) = 0 = Fo + F1/(1+ir) + F2/(1+ir)2 + .. 25%.30%. f = Tasa de inflación.3) =5568 Como el VP es positivo se prueba con una tasa mayor i= 30% VP(30) = -60000 + 25000(P/F. i’ = Tasa de interés nominal (1 + i’) =(1+ir)(1+f) ir = Tasa de interés real. es decir incluyendo la inflación.31%.25%..30%.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 VP (ir) = 0 = Fo + F1/((1+ir) (1+f)) + F2/((1+ir)(1+f)) 2 ……… (b) + .1) + 32000(P/F.25%.82 68 . . cuando se a determinado la TIR de un flujo con inflación.31%. para i = 31% VP(31) = -60000 + 25000(P/F.2) + 49000(P/F. se observa que es lo mismo evaluar un flujo a precios corrientes. y luego obtener el TIRreal mediante (d) o evaluar el flujo a precios constantes (deflacionados) obteniendo así la TIR real del proyecto directamente. PROBLEMAS 1) Calcular la tasa de retorno del siguiente flujo de efectivo : -60000 0 25000 32000 49000 1 2 3 Solución: Probando con i = 25% VP(25) = -60000 + 25000(P/F. + Fn/((1+ ir)(1+f)) n Si no se decuenta la inflación de cada flujo la tasa resultante es una tasa nominal.3) = -472.82 x 1 468.1) + 32000(P/F..3) =468.1) + 32000(P/F. (c) Según la expresión (c) se tiene que: 1+i’ = (1+ir)(1+f) i r= i ' −f 1+f Fórmula útil para calcular la tasa de retorno real (a precios constantes) .82 Como aún se sigue teniendo un valor positivo se continua incrementando i.30%. Analizando las expresiones anteriores.2) + 49000(P/F..31%.82+ 472..82 Como se tiene un valor negativo y el anterior positivo por interpolación resulta que : i=30+ 468.2) + 49000(P/F. 4 ) ( 1+i r ) (1+0.50 1). Calcular la tasa de retorno real del siguiente flujo de efectivo.7) Si se deflaciona esta expresión se tiene: VP ( i r )=−80000+ 46150 49451 48481 + + ( 1+i r ) ( 1+i r )2 (1+ir )3 Primera prueba i = 30% VP(30) = 6830 Segunda prueba i = 40% VP(40) = -4135 TASA DE RETORNO ( TR ) =30+ 10 x 6830 6830+ 4135 69 .3)(1+0.3) ( 1+i r ) (1+0. Solución i’ = 30. ¿Cual es la tasa de retorno real?.4)(1+0.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 i=30.3)(1+0. AÑO S 0 1 2 3 FLUJO(miles de soles -80000 60000 90000 150000 tasa de inflación % 30 40 70 Solución : -80000 0 VP ( i r )=−80000+ 60000 90000 150000 1 2 3 60000 90000 150000 + + 2 3 ( 1+i r ) (1+0. Si en el anterior problema se nos dice que es un flujo con inflación donde f=13%.5% f = 13% ir =i ' −f 1+ f i r=15.48 2). 7) (P/F.10%.15%. Se espera también que la vida útil del equipo sea de 10 años sin valor de salvamento. que propuesta se debe aceptar con base en el análisis del valor presente?.3) VP = 28248 Propuesta B : 70 .12) VP = 217928 Por consiguiente se debe elegir la máquina G dado que su valor presente es mayor.10) + 100(P/G.12) VP = 190344 Maquina H VP = 77000 + (77000-10000)(P/F. Si la tasa mínima atractiva de retorno es del 10%. 4)Se han presentado al administrador de una planta de producción dos propuestas para automatizar un proceso de ensamble. Se espera que el equipo tenga una vida útil de 20 años y un valor de salvamento de $ 2000.12) + 15000)(P/A.15%. Solución: Maquina G VP = 62000 + (62000-8000)(P/F.2 1).15%.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 TASA DE RETORNO ( TR ) =36.15%.6) – 10000(P/F.10%.4) + (62000-8000) )(P/F. Solución: Propuesta A: VP = 15000 + 2000(P/A.10%. Posteriormente se prevé que el costo de operación aumente en $ 120 al año.8) – 8000(P/F.15%. La propuesta A incluye un costo inicial de $ 15000 y un costo anual de operación de $ 2000 al año para los cuatro años siguientes. De ahí en adelante se supone que el costo de operación aumenta en $ 100 al año.15%. .15%. La propuesta B incluye una inversión inicial de $ 28000 y un costo anual de operación de $ 1200 para los tres primeros años. Se está considerando dos máquinas que tienen los siguientes costos para un proceso de producción continua : Costo inicial Costo anual de operación Valor de salvamento Vida útil.12) + 210 00(P/A. años MAQUINA G 62000 15000 8000 4 MAQUINA H 77000 21000 10000 6 Utilizando una tasa de interés del 15% determine que alternativa debe seleccionarse con base a un análisis de valor presente. NUEVA 44000 7000 210 2500 4000 15 Costo inicial Costo anual de operación Costo anual de reparación Reparación cada dos años Reparación cada cinco años Valor de salvamento Vida útil.6 .8%.4 Maquina usada CAUE = 23000(A/P.10%.USADA 23000 9000 350 1900 3000 8 Solución Maquina nueva CAUE = 44000(A/P.6 P=29 965 La donación en el presente es de $ 29965.15) + 7210 + 2500(A/F. Utilice i = 8%.8) CAUE = 13983 Se elige la maquina nueva por tener menor CAUE. 5 ) + 200 x 1( P /F . Con este método se requieren aproximadamente 20 71 . 5)Un alumno adinerado de una pequeña Universidad quiere establecer u fondo permanente de becas. Suponiendo que los derechos de matrícula tiene un valor de $ 400 al año.10%.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 VP = 28000 + 1200(P/A.10%.20) VP = 42842 El VPA < VPB por consiguiente se elige la propuesta A.8%. Desea ayudar a tres estudiantes. 6 . durante los cinco primeros años.10%.15) CAUE = 12629.18) (P/F.8) + 9350 + 1900(A/F.4000(A/F.8%.20) + 120(P/G.2) 2000(P/F.2) . 5) 0.8%. después de que se haya establecido el fondo y a cinco estudiantes de ahí en adelante.8%. años MAQ.5) . MAQ. cuanto dinero debe donar el estudiante hoy si la universidad puede obtener un 6% sobre el fondo? Solución : P=1200 ( P/ A . El método de rociado atomiza agua sobre los jamones hasta que la temperatura se reduce a 950F.3000(A/F. 6)Compare las siguientes máquinas en base a su costo anual uniforme equivalente. 7)El administrador de una planta de conservación de carne quiere decidir entre dos cuartos fríos.8%. 09) CAUE = 68000 Inmersión CAUE = 10000 x 4(0. Que método de enfriamiento debe utilizar? Solución Rociado CAUE = 10000 x 20(0.09 por cada 1000 galones para la eliminación de aguas negras. Si la tasa mínima atractiva de retorno de la compañía es del 15%. La compañía cocina 10 millones de jamones al año y paga $ 0.10) CAUE = $ 7247911 x 0. fue vendida por sólo $ 12 la unidad.10) + 100 CAUE = 14299 Conviene el método de inmersión 8) Una ciudad va a construir un estadio a un costo de $ 12 millones con el fin de traer un equipo de fútbol profesional. Si la ciudad espera mantener el servicio indefinidamente.6%. así como la tasa de retorno total sobre la inversión en acciones? Solución: Acción A 2600 = 100(P/A. La acción C dio dividendos de $ 2.3) i = 8.i. este método requeriría una inversión inicial adicional de $ 2000 con gatos de reparación adicionales de $ 100 al año y el equipo tiene una vida útil de 10 años.25 por 1000 galones de agua.5) + 9)Un inversionista compró tres clases de acciones (identificadas aquí como A.i. La pintura del estadio cada 5 años costaría $ 65000.09)+2000(A/P.50.i.15%. a $ 4 cada una y 100 de C a $ 18 cada una. que el césped artificial tendría que reemplazarse cada 10 años a un costo de $ 150000.025 + 0. Sin embargo. 400 de B. Los dividendos fueron de $ 0.56% Acción B 1600 = 2200(P/F. ¿Calcule la tasa de retorno sobre cada grupo de acciones. 3) + 3000(P/F. B y C). El inversionista compró 200 acciones de A. dos años después de su compra.27% 72 .50 por acción de A durante tres años y luego la acción se vendió en $ 15. La compañía también debe pagar $ 0.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 galones de agua por jamón.10 durante 10 años.25+0.06 +25000 + 65000(A/F. La acción B no produjo dividendos pero se vendió en $ 5. pero debido a una depresión del mercado de valores en el momento que se vendió. Por otra parte podría ser útil un método de inmersión y sólo se necesitarían cuatro galones de agua por jamón.2) i = 17.6%. a $ 13 cada una. Se espera que el mantenimiento sea de $ 25000 anuales y además. ¿Cual sería el costo anual uniforme equivalente si i = 6% ? Solución CAUE = 12000000 150000(A/F. 3) + 3000(P/F.3) + 2200(P/F.i. dado que algunos proyectos se evalúan al 8% y otro al 10%.6% Tasa de inversión total 6000 = 100(P/A.6) Maquina M CAUE = 9000(A/P.1000(A/F.i.i.i.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Acción C 1800 = 210(P/A. el ingeniero no sabe que valor de TMAR utilizar. Puesto que el 38% > 10% > 8% se elige la máquina A 12) Se desea decidir entre dos propuestas de inversión recíprocamente excluyentes.i.10) i = 9.i.i.i.6) + 5500 . MAQUINA A 10000 5000 500 1000 6 Costo inicial Costo de mano de obra anual Costo anual de mantenimiento Valor de salvamento Vida útil.2) + 210(P/A. años MAQUINA M 9000 5000 300 1000 4 Solución: Maquina A CAUE = 1000(A/P.4) Cálculo de la tasa de retorno CAUEA .10) i = 10.4% 10) El ingeniero de una compañía de cigarrillos quiere efectuar un análisis de tasa de retorno utilizando los costos anuales de dos máquinas empacadoras. Utilice el método de tasa de retorno sobre la inversión incremental.10) + 1200(P/F.CAUEM = 0 Esta igualdad se cumple para la tasa del 38%.i.i. Los detalles se presentan a continuación.1000(A/F. la TMAR es de 10% y los flujos de caja son: Flujo de caja (millones de soles) 73 . sin embargo.4) + 5300 .10) + 1200(P/F.i. Determine si esta diferencia en la TMAR cambiaría la decisión sobre la compra de la máquina. 3) VPB = 36.8’ Como se observa en el gráfico.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 AÑO 0 1 2 3 PROYECTO A -160 20 0 250 PROYECTO B -160 200 0 20 Solución El camino correcto para decidir entre los dos proyectos es calculando el valor presente de los dos proyectos: VPA = -160 + 20(P/F.1) + 250(P/F. la decisión de la elección está en función de la TMAR.8% se elige el proyecto B 74 .8% 36.10%.10%.3) VPA = 46 millones VPB = -160 + 200(P/F. Si la TMAR está entre 0 y 13% se elige el proyecto A Si la TMAR es13% es indiferente la elección Si la TMAR es mayor que 13% hasta 33.10%.8 millones Por consiguiente el proyecto A es mejor que B.4 33. El sustento del método de cálculo se puede extraer del siguiente gráfico VP 46 A 13 B 20.8 TIR TIR VP(10%) PROY A 20.1) + 20(P/F.10%.4% 46’ PROY B 33. ya que esto implica que los fondos liberados ganen al ser reinvertidos la misma tasa que rinde el proyecto. Por ejemplo para el proyecto B se parte del supuesto de que pueden reinvertirse los 200 millones de soles obtenidos al final del primer año. es un error.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Elegir el proyecto que tenga la mayor TIR cuando se trata de proyectos excluyentes.8% anual cuando solamente la empresa está en capacidad de reinvertir ganando el 10%. Finalmente cabe indicar que se puede obtener también un resultado correcto aplicando el todo de la inversión incremental. 75 . ganando en esa reinversión el 33. 76 .000 = 14.800 = 2.1 Relación Beneficio Costo El cálculo de la razón beneficio-costo es un método para decidir la justificación económica de un proyecto que pertenece generalmente – al sector público. Si el estudio que analiza pertenece al gobierno es conveniente asumir que el público es el propietario y el que incurre en costos es el gobierno.desbenefic ios Costos Un proyecto será aceptado su B/C>1 Los beneficios son ventajas expresadas en términos monetarios que recibe al propietario como por ejemplo: los beneficios que se obtienen por la construcción de una carretera o una hidroeléctrica.000/1800 =1. Se presentan des beneficios cuando el proyecto involucra desventajas como por ejemplo inundaciones de terrenos de cultivo o pagos por derecho de vía de una carretera.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 CAPITULO 7 7. los costos son los gastos anticipados de construcción. operación mantenimiento. Ejemplos: El Ministerio de Transporte y Comunicaciones. determine – si es aceptable o no este proyecto si i=10%.000 x 0. RELACION BENEFICIO COSTO Y PERIODO DE RECUPERACION DE CAPITAL 7. al proyecto es aceptable.11 B/C> 1 por tanto. La información que se posee es: en millones de soles costo de construcción beneficio anual costo anual de mantenimiento vida útil 14000 2000 400 indefinida Mediante la aplicación del método de beneficio y costo. etc. Finalmente. Esta razón se puede expresar como: Razón B/C Beneficios . está considerando un proyecto para la localización de una nueva carretera. Solución: Beneficio Costos B/C = 2.1 + 400 =1. es mayor que la obtenida en A y C.25 12. por ello es conveniente utilizar el principio del rendimiento incremental.12 1. dada en la información inicial.01 2.000 (miles de soles) de A. se obtiene un mayor beneficio en congruencia alternativa A es mejor que la C.000 23. Comparando la alternativa A con B se tiene: BENEFICIO ANUAL COSTO ANUAL B/C ALTERNATIVA A ALTERNATIVA B DIFERENCI A 185000 92000 17000 80000 15000 12000 11. la información es la siguiente: (Miles de soles) alternativa A B C BENEFICIO ANUAL COSTO ANUAL 185000 170000 115000 92000 80000 89000 B/C 2.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Si se tiene dos o más alternativas mutuamente excluyentes el mayor valor del B/C no es un indicador correcto para elegir la mejor alternativa. 77 .000 El resultado indica que la alternativa A es mejor que B. pese a que la razón B/C de la alternativa B.33 9.29 ¿Cuál de las alternativas se debe elegir? Solución: Comparando la alternativa A con C se tiene: BENEFICIO ANUAL COSTO ANUAL ALTERNATIVA A ALTERNATIVA B DIFERENCI A 185000 92000 115000 89000 70000 3000 La razón B/C de las diferencias es: B/C 70.000 1.000 Lo que indica que por un costo incrementa de 3. mutuamente excluyentes. Ejemplo: Se tiene identificadas tres alternativas. 30%.2 Periodo de Recuperación de Capital (PRO) Llamado también periodo de repago. mide al tiempo necesario para que al inversionista recupere su inversión y como es de suponer.7 89. 1). calcular el B/C. Es el lapso en el que la sumatoria de los valores actualizados de los beneficios iguala a la de los costos del proyecto. por la inversión requerida. los ingresos anuales se muestran en el siguiente flujo de caja.7 B/C = 100 = 0. 30%. 30%. su efecto a la vida estimada del proyecto. es mayor el atractivo para invertir. Beneficio Costo Empresarial El coeficiente de Beneficio Costo de una empresa resulta de dividir el valor actual de los futuros ingresos netos descontados a la TMAR.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Respuesta: Se elige la alternativa A.= 89. Ejemplo: Sea el siguiente flujo: (Millones de soles) AÑO 0 1 2 3 4 COSTOS DE CONSTRUCCION INGRESO NETO 1000 3000 800 15000 78 . mientras más corto sea el periodo de recuperación. Dicho de otro modo. 1) + 40´(P/A. Ejemplo: La inversión necesaria para un proyecto es de 100 millones de soles. Solución: Costo = 100 Beneficio = 30´(P/F. (100´) 0 30´ 40´ 40´ 40´ 40´ 1 2 3 4 5 Si la TMAR es 30%. 7. 4) (P/F.897 El “Proyecto” no es aceptable por que la relación B/C es menor que la unidad. Carretera larga (A) CAUEA =21000000(A/P.3.5 años.830.06 79 .000 (P/F.000 Incremento anual en costo de la carretera que cruza las montañas con respecto a la carretera larga. 6%.3) + 1500 (P/F. 10%. 3. Solución: VP = 0 0 = -1.3. 10%. La ruta a través de la montaña tendría una longitud de 9 kilómetros y un costo inicial de US$ 45 millones.70 Carretera que cruza las montañas (B) CAUEA =45000000 (A/P.923.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 5 6 7 8 9 10 2000 2000 2000 2500 2500 2500 Si i=10%. Si los gastos de operación por vehículo son de US$ 0.20) = S/. determine qué ruta se debe seleccionar por (a) análisis B/C y (b) análisis B-C.2) + 800 (P/F. Problemas 1) Están bajo consideración dos rutas para una carretera interdepartamental.000 (P/F. Supongamos una vida útil de 20 años para cada carretera y una tasa de interés del 6% anual.12 x 400.7 Por consiguiente se obtiene que el periodo de recuperación es 5. La carretera larga tendría una longitud de 14 kilómetros y un costo inicial de 21 millones.000 = 240.875. 10%. determine el periodo de recuperación de capital. 10%. SOLUCION: Ahorro (benéfico) por utilizar carretera que cruza las montañas: B = (14-9) x 0. Para el año 6 VP6 = 607.305.4) El valor presente incluyendo el costo del año 5 es VO 5 = -521.20) = S/.000 vehículos al año.1) . 6%. Se calculan 400.12 por kilómetro. 1. 2) La Agencia de Restauración está considerando el revestimiento de los canales principales de sus sistemas de Irrigación.429.73 C 163001 B/C<1. 6%.11 240000 2. se tendrá que llevar a cabo una operación de control de malezas y sedimentos que tendría un costo inicial de US$ 700. Si los canales no se recubren. Un camión se puede vender en promedio por US$ 80 .000 a) . Supongamos que la vida útil del proyecto es de 25 años y la tasa de interés del 6% anual. Se espera que el ingreso agrícola obtenido con la tierra adicional sea de US$ 120.163001=-43001 B-C<0.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Incremento anual en costo CAUEB . Como alternativa.37 Relación B/C B/C = = 0.000 + 52000 + 2. 25) + 25.000 (A/P.000 (A/G.000 al año durante 25 años.906 Canal sin revestimiento (SR) CAUESR = 700. e perderá menos agua por infiltración dando como resultado tierras adicionales que se podrían utilizar para la agricultura.CAUEA = S/. el precio de compra por camión es de US$ 700 al mes con un pago mensual de US$ 300 durante cuatro años. 25) + 50. 3) El costo del alquiler de camiones es de US$ 275 por camión al mes.000 (A/P. US$ 52.000 anuales.092.000 = 337. más de US$ 25. B 120000 = =0. SOLUCION: Canal con revestimiento (R) CAUER = 4´000.6%. 2.6%. b) .000 el segundo y cantidades que aumentan en US$ 2. Si los canales no se recubren. entonces no se recubre.000 de mantenimiento anual. Utilice a) el método B/C y b) el B-C para determinar si los canales se deben revestir.905 Costo = CAUER – CAUESR = 163001 Beneficio = 120.092. entonces no se recubre B-C=120000.37 Como B/C<1.429.000 y un costo de US$ 50. Se espera que el costo inicial del revestimiento sea de US$ 4 millones. 25) = 174.000 el primer año. conviene la construcción de la carretera larga. 6 meses Si la vida útil es seis años ¿conviene comprar?: CAUEA = 275 CAUEC = 700 (A/P. alquilar (A): CAUEA = 275 CAUEC = 700 (A/P. sean comprados o alquilados. Una droguería debe pagar el mantenimiento. n) CAUEA = CAUEC n=14. n) + 300 . por consiguiente conviene comprar. 1%. 48) (A/P. 1%. no se tiene en cuenta (a) ¿Durante cuantos años se deberá llevar a cabo el plan para que la compra o el alquiler sean iguales? (b) Si un camión comprado tiene una vida útil esperada de 6 años. 72) + 300 (P/A. 1%. 72) = 225 CAUEC < CAUEA . este costo es igual. 81 . 1%.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 1. ¿se deben comprar o alquilar los camiones? SOLUCION: Tiempo para que sea indiferente comprar (C).1.200 (A/F. 1%. la operación y el seguro de los camiones. y por lo tanto.200 independientemente del tiempo de propiedad. 300 .300 9. 10) CAUE (Retador) = 190365. REEMPLAZO. Valor de salvamento y vida útil restante: Son estimados a partir de las condiciones actuales del activo. valor de salvamento S/.000 5.000 (A/P.000. Si I = 10%. 100. Para efecto de evaluación se parte del supuesto de que el activo que posee no es propio y por consiguiente se tiene: - Precio del defensor: Precio actual del mercado o valor comercial del activo usado. 10%.000 y costos anuales de operación de 2. para reemplazar a la anterior por S/. ANÁLISIS Y EQUILIBRIO 8. El activo propio se le denomina Defensor y el que puede reemplazarlo se denomina Retador. Ejemplo: Hace cuatro años.0865 CAUE (Retador) = 50.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 CAPITULO 8 8. el valor de salvamento de S/. 10%.000. la vida útil estimada fue de 10 años. la vida útil estimada es de 10 años. 50. Se hace nuevos cálculos por la máquina usada: valor comercial S/.000(A/F. 4. 5)+4.000 y un costo anual de operación de S/. 82 .000 4. ¿Cuál de los activos conviene? SOLUCION: DEFENSOR 70. 5) CAUE (Defensor) = 268536.000 Ahora se ofrece una máquina.000 2. 10%.000 5 Precio del activo Costo anual de operación Valor de salvamento Vida útil (años) RETADOR 50.000.9.000(A/F.300.1 Objetivo El objetivo de este capítulo es comparar económicamente dos activos. RETIRO.000 10 CAUE (Defensor) = 70. se compró una máquina por S/.000-5. 10%. 70.000.000 (A/P. 5.1611 Conviene la máquina nueva (Retador) por tener CAUE menor que la máquina no antigua. valor de salvamento de 9. vida útil restante 5 años y los mismos costos de operación. el propio y otro que puede reemplazarlo. 10. En el análisis de reemplazo se debe dar un adecuado tratamiento al costo amortizado para el caso de que éste se presente. 10)+ 2. Si el costo amortizado es positivo algunos analistas tratan de recuperarlo sumándolo al costo inicial del retador con lo cual se pretende cubrir el posible error de la decisión de compra anterior.000 + 18.000 al año. 10) –15.000 (A/P.000 10 años Retador Costo de alquiler = S/. 180. 25. En el análisis de reemplazo el costo amortizado no debe incluirse en la comparación económica.000 (A/F.000 de costo anual de operación (CAO). Periodo de estudio en el análisis de reemplazo Para el periodo de estudio se presenta uno de estos costos: -Vida útil restante del defensor igual a la vida útil del retador. La vida útil y el valor residual estimados para el vehículo usado son de 10 años y S/.000 CAUER = S/. 10. Desde el punto de vista tributario. Ejemplo: El valor comercial de un vehículo con dos años de uso es de S/. 43000 83 . El valor actual de salvamento lograble es el valor comercial del activo. 1%.000. Si se requiere una tasa de retorno del 10% ¿Conviene alquilar el vehículo? SOLUCION: P = CAO = V/S = n = Defensor S/.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Costo amortizado = valor actual en libros – valor actual de salvamento lograble. 1%. Se tiene la opción de alquilar un vehículo a un costo de S/. 25. etc.. combustible. 180.0000 CAUED = S/. 10. 18. 20.000 20. n) + CAO CAUED = 180. 8.2. 15.000 n = 10 años El costo anual uniforme equivalente del defensor (CUE D) es: CAUED = P(A/P. 48352.000 por año y S/. n) – VS (A/F. El costo amortizado debería ser cargado a una cuenta de tal forma que se refleja en el estado de ganancias y pérdidas. -Vida útil restante del defensor menor que la del retador.10)+20. son de S/.99016 El costo anual uniforme equivalente del retador (CAUE R) es: CAUER = 25. Para el primer caso se utiliza cualquier método de evaluación. el valor de este costo es importante por cuanto involucra una ganancia o pérdida de capital. impuestos.000 15.000 los costos de mantenimiento.000 CAO = 18. ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Conviene alquilar el vehículo. Par el caso en que la vida útil del defensor sea menor que la del retador el método adecuado de análisis es el CAUE. Ejemplo: Una máquina adquirida hace tres años tiene un CAUE de S/. 50,000 al año y una vida útil anticipada restante de cinco años. El posible reemplazo del activo tiene un costo inicial de S/. 250,000 un valor de salvamento de S/. 40,000 una vida útil de 10 años y un costo anual de operación de S/. 10,000. Si la compañía utiliza una tasa de retorno mínima de 10% ¿Debe reemplazar el activo? SOLUCION: CAUED = S/. 50,000 CAUED = 250,000 (A/P, 10%, 10) – 40,000 (A/F, 10%, 10) + 10,000 CAUED = 48176.53 Se debe reemplazar el activo. Ocurre a veces que la administración es escéptica en lo que se refiere al futuro lo que la induce a tomar periodos cortos de tiempo para el horizonte de planificación, es decir, que los valores de n en los cálculos reflejarán el horizonte acortado. Ejemplo: Con la información del problema anterior, excepto que se utiliza un horizonte de planificación de cinco años, ya que la administración tiene recelo ante el progreso tecnológico en este campo. ¿Se debe reemplazar el activo? El periodo de recuperación del activo es de cinco años. CAUED = S/. 50,000 CAUER = 250,000 (A/P, 10%, 5) - 40,000 (A/F, 10%, 5) + 10,000 CAUER = S/. 69397.47 Ahora la retención del defensor es menos costosa, cambiando de esta manera la decisión adoptada con un horizonte de diez años. En el ejemplo anterior se observa que se ha mantenido el mismo valor residual que para el caso de que este activo dure 10 años, esto se debe a que a veces no es posible predecir el valor residual del activo. 8.3 Cálculo del valor de reemplazo para un defensor Cuando se tiene definido un retador, el valor de reemplazo del defensor se puede calcular a partir de: C CAUED CAUER 84 ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Si con este cálculo se tiene que el valor de reemplazo del defensor es mayor que el valor comercial el activo no se reemplaza. Ejemplo: Un activo comprado hace cuatro años tiene un CAO de S/. 4,000 y una vida útil de 6 años más, el retador seleccionado cuesta S/. 30,000, tiene una vida útil de 12 años, un valor de salvamento de S/. 6,000 y costos anuales de operación de S/. 7,000. Si la tasa de interés es i=15% ¿qué valor comercial justifica el reemplazo? SOLUCION: VA: El valor de reemplazo VP CAUED = VR (A/P, 15,6) -4,000 (A/F, 15, 6) + 10,000 CAUED = VR. 0.26424 + 9,543 CAUER = 30,000 (A/P, 15, 12)- 6,000(A/F, 15, 12) + 7,000 CAUER = 12,327.5 CAUED = CAUER VR = S/. 10,537.8 Si el valor comercial del activo es mayor que S/. 10,537.8 entonces se reemplaza. 8.4 Determinación del tiempo de retención de un activo Se presentan situaciones donde se hace necesario calcular el tiempo que ha de permanecer un activo, antes de ser reemplazado, la característica fundamental es que en ese tiempo el costo anual uniforme equivalente es mínimo. Ejemplo Establecer el tiempo de cambio de un camión que cuesta S/. 160,000. Se ha efectuado un estimado de costos anuales de operación y precios de venta para cada uno de los años siguientes: Año 1 2 3 4 5 6 7 8 Costos de Operación 26,8 35 46 65 90 120 162 210 85 Precio de Venta 120 90 69 65 63 60 50 40 ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Si la tasa de rendimiento esperaba es 10% determine en qué año se debe efectuar el reemplazo. SOLUCION: Para el primer año se tiene: CAUE1 = [160,000-120,000(P/F, 10%, 1)] (A/P, 10%, 1) + 26,800 CAUE1 = S/. 82,799 Para el segundo año se tiene: CAUE2 = [160,000-90,000(P/F,10,2)]+(A/P,10,2)+[26,800(P/F,10,1) + 35,000 (P/F,10,2)] (A/P, 10, 2) CAUE2 = S/. 82,799 Los costos anuales se pueden presentar en una tabla de la siguiente manera: COSTO DE OPERACION Año Valor Actual Valor actual acumulado Costo Anual 1 2 3 4 5 6 7 8 24,364 28,924 34,56 44,395 55,381 67,74 83,138 97,965 24,364 53,288 87,848 132,243 188,124 255,864 339,002 436,967 26,8 30,704 35,325 41,719 49,627 58,749 69,634 81,905 COSTO DE CAPITAL Año Valor Actual de reventa Capital Insumido Costo Anual Costo Total Anual 1 2 3 4 5 6 7 24,364 28,924 34,56 44,395 55,381 67,74 83,138 24,364 53,288 87,848 132,243 188,124 255,864 339,002 26,8 30,704 35,325 41,719 49,627 58,749 69,634 82,799 80,04 78,818 78,189 81,516 87,71 97,229 86 entonces finalizado este conviene cambiar el camión. 2000 toneladas anuales acabadas ¿qué máquina se debe adquirir? SOLUCION: a. un valor de salvamento de S/.189 que corresponde al cuarto año de operación.000.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 8 97. Existen casos en que la decisión para la compra de un activo está también en función de la capacidad de producción y la cantidad de unidades requeridas por la empresa. 10) + 30... 90. 10%. 20 por hora. La máquina tiene un costo inicial de S/.000 (A/P. 10%.000. El costo de operación y mantenimiento anual está estimado en S/. 30.Sea X el número de unidades anuales en el punto de equilibrio. Si se compra la máquina requerirá un operador a un costo de S/.000. 78. 15 por hora. a.20 hora Costo Variable Anual 1hora Xton 2X 10ton. Se espera que los costos anuales de mantenimiento y operación sean de I/. La producción de este equipo sería de 10 toneladas por hora.967 81. año El costo anual uniforme equivalente de la máquina automática (CAUE A) es: CAUEA = 250. Para efectuar el análisis de las alternativas.000 (A/F.000 con valor de salvamento de S/. con vida útil de cinco años. 25. Otra alternativa es que la compañía compre una máquina simple por S/. es conveniente encontrar el punto de equilibrio de éstas.-¿Cuántas toneladas anuales debe producir la máquina automática para justificar su compra? b. 10. 13. Con esta alternativa se requerirá tres operadores a un costo de S/.905 108. Ejemplo: Una compañía está considerando la compra de una máquina automática.Si la administración exige. El costo variable anual para la máquina automática es: S / .965 436. Se espera que la tasa de retorno del capital sea de 100%.000.000 + 2X 87 . se espera obtener una producción de 7 toneladas por hora. 250. 10) – 25.398 El menor costo anual obtenido es S/.000 y una vida útil de diez años. 10%.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 CAUEA = 69. Si la administración exige 2. 10%. Igualando los dos costos y despejando X se tiene: CAUEA = CAUEB 69.119 + 2x = 35.119 + 2X El CAUE de la máquina simple es: 315 CAUEB = 90.000 (A/F.104 + 6. 88 .104 + 6.42 X X = 7680 Entonces la producción de la máquina automática deberá ser < 7680 toneladas. 5) + 13.42 X.000 + 2 X CAUEB = 35.000 toneladas deberá adquirir la máquina simple.000 (A/P. 5) – 10. si se utiliza 89 . 8%. un costo anual de operación de $3.2) + 3000 = 6925 CAUEC = 38000(A/P.12)+4000 – 1000(A/F. 8%.00.000 Como la alternativa se puede comprar la máquina C para reemplazar la máquina A la cual se podría vender por $ 7.000 Para la máquina A. incluye relleno. De manera alterna. 8%.20) = 6348 Se elige la máquina C.000.500 y VS = $1. Si la tasa mínima atractiva de retorno es 12% al año. Tiene una vida útil restante de dos años. Con esta cortadora se pueden cortar aproximadamente 1. Para continuar la función de este activo se puede comprar la máquina B y se permitirá un valor de negociación de $9. utilice un período de 20 años y una TMAR = 8% para determinar el plan más económico.000.000.000 al año. 8%. 8%. nivelaci6n y una superficie bituminosa por un costo inicial de $5. CAO = $4. n = 20 años.809 para pavimentar el parqueadero 3) Una compañía de confecciones considera la compra de una cortadora automática la cual tendría un costo inicial de $22.2) + 3000 = 8047 CAUEB = 25000(A/P.000 y VS = $l. Si la retención de A se denomina plan A..12%.12) = 7265 Máquina A con máquina C CAUEA= 7000(A/P.4) + 1000 = 2646 Propuesta B CAUEB = X(A/P.12%. De manera alterna.000. n=12 años.20) + 25000 – 1000(A/F. el plan B es la adquisición de la máquina B y el plan C es la compra del activo C. Solución: Propuesta A CAUEA = 5000(A/P. 12%. Se espera que el costo anual de mantenimiento sea de $2. ¿de cuánto dinero podría disponer la compañía para pavimentar el parqueadero para que las dos propuestas estén a la par?. 8%.500 yardas por hora. CAO = $2. La cortadora requiere un operador de costo de $24 al día. Este nuevo activo tendría P = $38. Solución: Comparación de costos: Máquina A con Máquina B CAUEA =9000(A/P.16) + 500(A/P. La máquina B tiene P= $25.2) Costo de la Propuesta B CAUEA = CAUEB X=16809 Deberá disponer de $16.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Problemas 1) La máquina A comprada hace dos años se está agotando más rápidamente de lo esperado.000. El costo anual de mantenimiento sería insignificante para el parqueadero pavimentado. en cuyo caso la vida útil se extendería a 16 años.000 . Se espera que la vida útil del parqueadero sea de cuatro años con costos anuales de mantenimiento de $1.000 y no tiene valor de salvamento. pero las marcas tendrían que pintarse de nuevo cada dos años a un costo de $500. una vida útil de diez años y un valor de salvamento de $500. La propuesta A. 2) La compañía Soto está considerando dos propuestas para mejorar el parqueadero de los trabajadores. el parqueadero se pavimentaría bajo la propuesta B. 01 Finalmente si la compañía espera analizar 175 muestras deberá continuar con el sistema actual. Sí la compañía prefiere continuar con el sistema actual de análisis. el costo inicial sería de $25. 4) Una curtiembre está considerando el aspecto económico de montar un laboratorio en su planta para evitar tener que mandar muestras para análisis independientes.000 anual.08 Sistema Actual (A) CAUEA 55 X Número de Muestras para Justificar la Instalación del Laboratorio Completo CAUEA CAUEC X 303.1 Laboratorio Parcial (P) CAUEP 10. a) el laboratorio completo y b) parte del laboratorio? c) si la compañía espera analizar 175 muestras al año. Si el equipo de laboratorio tiene una vida útil de 12 años y la TMAR de la compañía es 10% anual ¿cuantas muestras se deben analizar cada año para justificar. etc.000 al año.490. cinco trabajadores a $18 diarios cada uno pueden cortar 1.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 la mano de obra. productos químicos. 6.000 y se requerirá un técnico de medio tiempo con un salario de $ 5. Se requerirá un técnico a costo de S 13.000 5 CAUC = S/.8%. Si la tasa mínima atractiva de retorno de la compañía es del 8% anual.12) 5.000 A / P.935. el costo inicial será de S 10.000( A / P. ¿cuál de las tres alternativas se deberá seleccionar? Solución: Laboratorio Completo (C): CAUEC 25. ¿cuantas yardas de material se deben cortar cada año para justificar la compra de la cortadora automática? Solución: 22000(A/P.10) +2000 – 500(A/F.8%. Si el laboratorio se monta sólo parcialmente.10%.011 El número de yardas a cortar para justificar la compra de la cortadora automática deberá ser de x = 566.10%. Si el laboratorio se monta de tal manera que todos los análisis puedan llevarse a cabo en él. son de $5 por muestra.674.000 yardas por hora . El costo de la muestra analizada en este laboratorio sería de $3.000 3 20 CAUEP = S/.10) +24/12000 = 0.63 Número de muestras para justificar la instalación del laboratorio parcial: CAUE A CAUEP X 118. se necesitarían los servicios de un laboratorio exterior a un costo de $20 la muestra. pero como no todos los análisis se pueden realizar dentro del laboratorio. cada muestra le costará $ 55. 16. El costo de energía.000. 90 .12 13. a mayor depreciación. Saldo decreciente doble. c) Vida despreciable esperada o vida útil del activo (n).Es la cantidad de dinero que puede obtener por el activo si fuese vendido en el mercado. lleva como efecto un menor pago de impuestos. D = (P-VS) (A/F. e) Valor comercial. DEPRECIACION Y AGOTAMIENTO 9. P : Capital inicial Vida despreciable N: esperada VS : Valor de salvamento. Saldo decreciente.Es el número de años que se estima la operatividad del activo.La diferencia entre el costo original del activo con la depreciación cargada hasta la fecha se denomina valor en libros del activo..Definiciones a) Depreciación (D).Se puede definir como la disminución del valor de un Activo Físico producido por el uso...000 91 . Para el efecto de evaluación de alternativas el valor que se le debe tener en cuenta es el valor comercial.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 CAPITULO 9 9.Es el valor que se le asigna al activo al final de su vida útil. 9. b) Valor en libros de un activo (VL). i. n) D : Depreciación i : Tasa de interés del fondo. d) Valor de salvamento (VS). Suma de dígitos de los años.1 Depreciación. deterioro y la caída en desuso.. 1.2 Métodos de Depreciación Los métodos de depreciación más conocidos son: Fondo de amortización. Ejemplo: P i n VS = S/.. 10. Depreciación con interés en la inversión. La depreciación es necesaria en el estudio de alternativas por el efecto que tiene sobre el cálculo de impuestos a la renta.Mediante la aplicación de este método solo es posible cubrir el capital inicial de allí se deriva su nombre.. esto es. Línea recta.000 = 35 % = 6 años = S/. Depreciación por Fondo de Amortización. 533.34 512.51 1. 92 .34 2171.865.En este método el valor en libros disminuye linealmente con el tiempo.34 623.34 623.000 Depreciación suma de dígitos de los años.464.66 8.000 Depreciación en Línea Recta.04 2.mD Ejemplo: P VS n P = S/.000 5 D = S/.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 A = (10.34 TABLA DE DEPRECIACION Depósit Interés Incremento Importe o al sobre el Anual al Acumula Fondo Fondo Fondo do de Dep.000-1. la mayor parte del valor del activo disminuye en el primer tercio de la vida útil del activo.000 D N = 5 años D 100. 68.136. 16.7 841.000 Este método está en desuso.000 .31 1.43 6.34 218.89 4 623.000 9.2D = 100.74 2.65 4.000 VL2 = S/.45 3.97 6 623.7 1.399.070.795. 100.15 7. Costo de depreciación en el año m n m 1 Dm x ( P VS ) SD 1 n SD ( ) n 2 SD = Suma de los dígitos de los años.03 1.35 3 623. D P VS n El valor en libros después de m años (VLm) es: VLm = P .54 5 623. Añ o Valor en libros 10.000 VS = S/. 20.000 20.134.535.376.09 2.34 1447.34 910.32.Mediante la aplicación de este método.08 9.06926 = S/.204.11 5. 0 1 623.000 VL2 = ? VL2 = P .000) x 0. 623.24 2 623.795.600. se tiene: D1 D 2 .ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Ejemplo: P VS n = S/. 500.500 .000 = 8 años m = 3 años Dm = ? n m 1 Dm ( P VS ) SD 8 3 1 D3 (500. n (m 1) ( P VS ) SD 1 (m 1) ( m 1) 2 ( P VS ) SD m mn m(m 1) / 2 Dk ( P VS ) SD k 1 mn VLm P m n (m 1) / 2 ( P VS ) SD Del ejemplo anterior. el valor en libros para el tercer año es: VL3 500... 237..000) 1 8 .8 2 D3 75.000 = S/.000 Valor en libros en el año m m Dk VLm P Deducción de la fórmula: k 1 Depreciación en el primer año: D1 n 11 n ( P VS ) ( P VS ) SD SD Depreciación en el segundo año: D1 n 1 2 n 1 ( P VS ) ( P VS ) SD SD Depreciación en el año m: Dm n m1 n (m 1) ( P VS ) ( P VS ) SD SD Sumando las depreciaciones. D m n (n 1) .000 3(8 1) x 450000 36 = 93 S/.000 50.. 50. Pd = P(1-d) En el segundo año: D2 = VL1 D2 = Pd (1-d) VL2 = P(1-d)-Pd(1-d)=P(1-d)2 En el tercer año: D3 = VL2 d D3 = Pd (1-d)2 Vl3 = P(1-d)2.75 Si se tiene: P Vs Tasa anual = i 94 . la depreciación para el año m se calcula así: Dm = d x VLm-1 d = Tasa de depreciación Valor en libros en el año m: m P Dk VLm k 1 Deducción de la fórmula: En el primer año: D1 = Pd VL1 = P .. La diferencia con el método anterior es que se asigna un valor a d. este es: d 2 n n : número de años de vida del activo Ejemplo: P n m Dm VLm = S/.Con este método los cargos de depreciación se comportan en sentido decreciente.70.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Depreciación saldo decreciente o porcentaje fijo.312 8 8 Vl3 50.093.- 2 2 Dm Px (1 ) m 1 n n 2 2 D3 500.000(1 2 / 8) 3 21.500.000 x (1 ) 2 S / .Pd(1-d)2 = P(1-d) En el año m: Dm = Pd(1-d)m-1 VLm = P(1-d)m Depreciación saldo decreciente doble.000 = 8 = 3 años = ? = ? Depreciación con interés en la inversión. i.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 La depreciación se calcula de la siguiente manera: Dm = [P(F/P.000 CA=1. n) + i] . CA : Costo anual CE : Cantidad extraída en el año Ejemplo: Inversión Inicial Capacidad del recurso Cant.000 CA=$ 294. El factor de agotamiento para el año m es: Dm : Inversión Inicial / Capacidad del recurso y el costo anual por agotamiento es: C. n) + i = (F/P. i.VS)(A/F.VS (A/F.3 Agotamiento Mediante la depreciación se recupera.A.000 TM = 170. el valor inicial del activo.4 Métodos de Agotamiento Entre los más conocidos se tiene: a) Factor o costo de agotamiento. b) Descuento por agotamiento. i.733 750.VS(A/F. n) Con la relación: (A/F. i.: dm x CE. los que al ser extraídos no es posible reponer.7333 x 170. año Costo anual (CA) = D m= = $ 1.000 =1. i. i. i.300’000 = 750. i. i. n) : Reembolso de la inversión pi : Provee un rendimiento 9. n) + Pi Dónde: (P . i. n) Se tiene que: Dm = P(F/P. i.VS ] (A/F. n) .000 TM ? 1 ' 300. extraída en el 1er. n) (A/F. El agotamiento es análogo a la depreciación pero se aplica a los recursos naturales no renovables. 9. n) = P[(A/F. n) = (P-VS)(A/F. n) . n)(A/F. al final de la vida útil. c) Interés y reembolso por inversión a) Factor o costo de agotamiento (dm). i.610 95 . 000 después del segundo año.000 = $ 135.000 c) Interés y reembolso de la inversión. un porcentaje neto de los ingresos brutos de los recursos puede agotarse anualmente siempre que no exceda el 50% del ingreso gravable. n) A: P: r : i : Producto anual del recurso Valor Presente (precio de compra) Tasa de rendimiento de la inversión.000 n = 25 i = 35 r = 70 VS = 0 1’000.25) P = $ 1’428. Solución: Si los costos de agotamiento no exceden el 50% del ingreso gravable se tiene: Descuento por agotamiento x c/u de los 2 años es: 0. Tasa de interés del fondo de reembolso Generalmente r >i Ejemplo : Se estima que una mina ofrecerá un producto anual de $ 1’000. i. Ejemplo La compra de una mina de oro por $ 1’000.Con este método se calcula el rendimiento y el reembolso de la inversión. Si el fondo de reembolso de la inversión gana 35%.000 anuales durante los dos primeros años y $900.000 = $ 210.15 x 900.7 + (P-O)(A/F.177 96 . Si el porcentaje por agotamiento es 15% del ingreso.VS)(A/F. b) Descuento por agotamiento.15 x 1’400. mediante la aplicación de la fórmula: A = Pr + (P . calcular los costos de agotamiento de la mina.Por este método. 35. El factor de agotamiento se modifica para el caso de un incremento en la inversión o capacidad del recurso.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Estos descuentos se efectúan hasta recuperar la inversión inicial.000 Descuento por agotamiento x c/u de los años siguientes: 0.000 tiene un ingreso anticipado de $1’400.000 = P x 0.000 durante 25 años quedando sin valor al cabo de ese tiempo. Existen porcentajes a aplicarse al ingreso bruto por la explotación de determinados recursos. Calcular el precio de compra que proporcione un rendimiento del 70% Solución: P= Precio de compra A = 1’000. El costo inicial del proyecto se calcula en $. 20) = $ 155.. 30 40 AB/C 1. puesto que B/C > 1. > 0 B-C > 0 la inversión es justificada B-C para W B-C 725.5 millones y los costos de mantenimiento anuales serían de $ 25. hay un análisis B/C para determinar si se debe adelantar el proyecto utilizando un periodo de estudio de 20 años y una tasa de interés de 6% anual.76 B-C para E B-C = 500.770 anuales Utilizando el análisis.000 anuales.6%.U = Infinita TMAR = 12% anual COSTO INICIAL (MILES) BENEFICIO ANUAL (495) BENEFICIO ANUAL (225) comparación E con nadie W con nadie A costo 410 905 A beneficio 500 725 A desb. -905 = -220<0 B-C<0 la inversión no es económicamente justificable PROBLEMA De las siguientes alternativas mutuamente excluyentes seleccione la mejor utilizando la relación B/C. 1. -410.30. mediante la relación B/C El proyecto se debe adelantar.0 (Falta enunciar problema 9.6) Solución a) costo de E = 3000 (12%) + 50 = 410 costo de W = 7000(12%) + 65 = 905 Beneficio = 500 Beneficio=25+700=725 V. 10 A B/C sitio selecc.000+1.500000 (A/P. Si la renta proveniente de la agricultura se estima en $ 175. -40.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 PROBLEMA El Ministerio de Agricultura este analizando un proyecto para extender canales de irrigación a sus áreas desérticas.15 sitio seleccionado E Ninguno b) E W 410 905 500 725 30 40 a des b.000.43 0.= 60. si TMAR es de 10% anual y los proyectos tiene útil de 15 años suponiendo que el costo de la tierra se recuperará cuando el proyecto haya finalizado trate los costos de mantenimiento como del beneficios 97 . E 0. Solución Beneficio = $ 175.000 anuales Costo = $ (25. 7 5 32000 3.1767 92 se prefiere 2 Enfrentamos COSTO INCREMENTAL BENEFICIO INCREMENTAL B/C se prefiere 5 5 con 2 10545.4355 16 13000 2.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 PROPUESTA costo de tierra costo de construcción mantenimiento anual ingreso anual 1 5000 0 2000 00 1500 0 5200 0 2 4000 0 1500 00 1600 0 4900 0 3 7000 0 1700 00 1400 0 6800 0 4 8000 0 1850 00 1700 0 5000 0 5 9000 0 1650 00 1800 0 8100 0 6 6500 0 1750 00 1300 0 7700 0 7 7500 0 9000 0 1200 0 4500 0 Solución: CAUE: (Costo tierra + Construc.10%.0863 1.0 9 3000 0.7282 0.15) + más mantenimiento anual. 51525.03439 77 se prefiere 5 Enfrentamos COSTO INCREMENTAL BENEFICIO INCREMENTAL B/C 5 con 6 4000 6972. 44553.)(A/P.4927 1. 46840.74302 25 se prefiere 6 98 .9607 15 09 5 0. PROPUESTA ingreso anual costo anual B/C 52000 49000 68000 50000 81000 77000 45000 47868.3 8 5972. 25 87 52 34 61 52 34 1.1957 1.09 1.9645 34 59 1 Descartamos 4 y 7 por tener B/C<1 Enfrentamos COSTO INCREMENTAL BENEFICIO INCREMENTAL B/C 1 con 2 5 con 3 6888. 51840.5720 1. 40979. 45553. ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 RPTA: Se aprueba 6 99 . Es el total de todos los ingresos provenientes de fuente productoras de ingresos. Flujo de caja después impuestos -100 1 2 3 4 5 70 20 20 30 12 19 20 70 20 20 30 12 19 20 70 20 20 30 12 19 20 70 20 20 30 12 19 20 70 20 20 30 12 19 20 38 38 38 38 38 - de 10.1.. entonces: Impuestos = (ingreso bruto – gastos – depreciación) T Ejemplo: Encontrar el flujo de caja después de impuestos.000 en una máquina que tiene una vida útil de 5 años y valor residual cero. Ingreso Gravable (IG).Definiciones Ingreso Bruto (IB)... Calculo de impuestos.El principio del Escudo Fiscal Cuando una empresa recibe unos préstamos. los intereses o costo de la deuda es deducible para fines impositivos lo cual conlleva un beneficio a la empresa. 0 Inversión 100 Ingreso Gastos Depreciación Ingreso Gravable Impuestos (40% IGV) Utilidad Neta Depreciación y Amortiz. a este remanente se le denomina también utilidad antes de impuestos y se calcula como sigue: Ingreso gravable = ingreso – gastos – depreciación. por lo tanto el pago de intereses es cero. si se invierte I/. Para hacer evidente este beneficio se presenta los siguientes casos: Caso 1: La empresa no tiene deuda.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 CAPITULO 10 10. 400. 100 .2.Si la tasa de impuestos es T.El valor monetario remanente sobre el cual se deben pagar los impuestos.Todos los costos en los que se incurre cuando se hace una transacción comercial (no se considera la depreciación). Gastos.. LOS IMPUETOS SOBRE LA RENTA EN EL ANÁLISIS ECONOMICO 10. por tanto está sujeta a un pago por intereses.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Caso 2: La empresa tiene deuda. 101 . 000 y cinco pagos anuales con amortización constante a una tasa de interés del 20% anual. El principio del Escudo Fiscal es: Cualquier gasto o costo deducible para efectos impositivos da una protección tributaria.0 9. Si la tasa de impuestos es 40% y la tasa mínima atractiva de retorno es de 25% ¿Cuál es la decisión? SOLUCION: Amortización e intereses (en miles de soles) Año 1 2 3 4 5 Deuda 60 43 36 24 12 Amortización 12 12 12 12 12 102 Intereses 12. Antes de impuestos) Utilidad neta Caso I 100 0 100 40 60 Caso II 100 20 80 32 48 Comparando la utilidad neta es observa que existe una diferencia de 12 mil soles. 12 es el costo efectivo.u) lo cual significa un ahorro para la empresa.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 (en miles de soles) Utilidad antes de intereses a impuestos. 100. al proteger esta cantidad adicional al pago de impuestos.2 4. Para la comparación de alternativas deduciendo los impuestos se deberá por consiguiente tener presente el efecto tributario pertinente. 10. el valor de salvamento del activo al cabo del sexto año es S/. Compra: El costo del equipo es S/. los ocho mil restantes de los intereses en el caso dos. Ejemplo: Se quiere decidir entre la compra o alquiler de un equipo.000. lo asume el fisco (20xC.8 2.000.6 7. En la comparación. Alquiler: El alquiler anual del equipo es S/. 20 costos antes de impuestos y 40% es la tasa de impuesto. 40. Costo efectivo = costo antes de impuestos (1-tasa de IMP). Intereses Utilidad antes de impuestos Impuestos (40% de ut. la cuota inicial es S/.4 . 30.00. 4) ( P / A .25 .8 ( P /F .4 Ahorro anual por depreciaciones -6 -6 -6 -6 -6 Cuota inicial 40 Valor de Salvamento Erogación neta -6 -10 40 13. por consiguiente solo se considera el beneficio por un menor pago de impuestos.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Depreciación: 100 10 90 15 6 6 Ahorro anual por depreciaciones = 15(0.8 10.1 ) +11. 103 .6 ) VP=53. VP(compra)=65. El valor presente al 25% es: VP(compra)=40+13. 3 ) +8.1 Por consiguiente conviene alquilar el equipo.2 5. 25 . Calculo de la erogación neta anual 0 1 2 3 4 5 6 Amortización 12 12 12 12 12 - Intereses x(1-0.9 1. 25 .9 7.4 ( P/ F .2 ) +10.4 x 30 = 12 El valor presente al 28% es: VP=30(1−0.3 8.25 .2 11.5 4.4) 7.4)= 6 Esta cantidad es un beneficio.9 ( P/ F . la depreciación no es un desembolso de efectivo.25 .2 ( P /F .4 -16 Como se sabe por contabilidad.3 ( P/ F .3 2.3 Alquiler: El alquiler también es un costo por tanto el ahorro por el alquiler es: 0. 4 ) +7. ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 104 . Utilidad antes de descontar intereses. El efecto de la deuda sobre la empresa se denomina palanqueo financiero o leverage financiero. Si se denomina a: A: P: PAT : UA Int. Int. La rentabilidad del capital se expresas de la siguiente manera: ∫ ¿ xP ¿ ∫ xA− P UA A PAT ¿ UAI r= =¿ PAT Reemplazando en el numerador A = P + PAT UA ∫ ¿ x(P+ PAT )− A ∫ ¿ xP ¿ r =¿ P PAT ∫¿ P UA UA ∫ ¿ −¿ A PAT ∫ ¿ x(PAT )−Px ¿ A ¿ r =¿ 105 .ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 CAPITULO 11 11. Rentabilidad del capital. Pasivo total de la empresa. Utilidad antes de deducir impuestos. EFECTO DE LA DEUDA SOBRE LA EMPRESA La deuda de la empresa tiene un efecto positivo cuando aumenta el beneficio de los accionistas o un efecto negativo cuando los disminuye. : UAI : r: Activo total de la empresa. Patrimonio de la empresa. : Intereses o pagos financieros de la empresa . Para mostrar lo mencionado anteriormente se presenta a continuación el siguiente ejemplo: 106 .ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 ∫¿ P UA UA ∫ ¿ −¿ A ¿ ∫¿ + P x¿ A PAT r=¿ En la medida en que la empresa emplee capitales tomados a préstamo donde las rentabilidad de los activos (UA Int. del pasivo (Int. / A) sea mayor que el costo medio del pasivo o taza de Int. resultara un aumento de beneficios o disposición de los accionistas (Palanqueo positivo).Por otras parte si se une a la anterior un alto ratio de endeudamiento (P / PAT) se logra como consecuencia mayor rentabilidad del capital (r). / P). ALTERNASTIVA I ALTERNASTIVA II (miles de dólares) 100 100 70 30 30 70 40% 40% 12 28 60 60 ∫¿ P UA UA ∫ ¿ −¿ A ¿ ∫¿ + P x¿ A PAT r=¿ ∫ ¿ =Tazade P ∫ .4 ) r=106.4 ) r=68.6 ALTERNATIVA II (Pasivo: 70% del activo total) r= 60 70 60 28 + x( − ) 100 30 100 70 r=0.6+0.33 > 0.43) 107 . del préstamo ¿ ALTERNATIVA I (Pasivo: 30% del activo total) r= 60 30 60 12 + x( − ) 100 70 100 30 r=0. (P x Taza de Int.6−0.6−0.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Calcular la rentabilidad del capital de las siguientes alternativas : A PAT P Tasa de Int.33 ( 0. del Préstamo Int.7 La rentabilidad de la segunda alternativa es mayor.6+2. ya que el ratio de endeudamiento es más alto que el de la primera alternativa: (2.43 ( 0.) UA Int. 108 .ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 En resumen se puede indicar que. si se tiene una deuda con costo bajo (menor que la rentabilidad del activo). la rentabilidad del patrimonio (r) crece a medida que se haga mayor el préstamo para adquirir el archivo. como se ha visto anteriormente los impuestos afectan a los intereses provenientes de las deudas.1 Costos de los Componentes de la Estructura del Capital En general el costo antes delos impuestos de una determinada fuente de financiamiento puede hallarse calculando K de la siguiente ecuación : I= n C2 C3 Cn C1 + + + …+ = ∑ 1 2 3 n (1+ K ) (1+ K ) (1+ K ) ( 1+ K ) t =1 ( 1+ K )t C1 I: Monto neto de los fondos recibidos en el tiempo cero Ct : Egreso en el tiempo t K : Costo de la deuda Las fuentes de financiamiento son: a) b) c) d) e) Pasivo corriente Pasivo no corriente Acciones preferentes Acciones comunes Utilidades retenidas Para el estudio del costo del capital se consideran las fuentes de fondo de largo plazo. esto es a partir del pasivo no corriente (deudas a largo plazo). Solución: Ki = K(1-T) = 30 (1-0.T) Ki: Costo neto de la deuda después de impuestos. COSTO DE CAPITAL El costo de capital (k). Ejemplo: Si una empresa efectúa un préstamo por 20 millones de dólares. pagaderos en 5 años con amortizaciones constantes a una taza de 30% anual. está definido como la tasa de rendimiento que se debe ganarse de tal modo que el valor de la empresa y el precio del mercado de sus acciones comunes no disminuyan . desde el punto de vista de la empresa privada.4) = 18% 109 . El costo de capital se calculara descontando el efecto de los impuestos. T: Taza marginal del impuesto a las ganancias. a Costo del pasivo no corriente (Ki) El costo neto de estas deudas puede hallarse mediante la siguiente ecuación: Ki = K(1 . K: Taza de interés de la deuda o costo de la deuda antes de impuestos. Calcular el costo neto de la deuda si la taza marginal del impuesto es 40%. 12. El costo de capital es entonces menor o generalmente igual a la tasa mínima atractiva de retorno (TMAR) de una empresa.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 CAPITULO 12 12. el pronóstico de las ganancias futuras. Si la empresa asegura un dividendo de 30 dólares anuales ¿Cuál es el costo de la acción preferente? Solución: K p= d I0 K p= 30 100−3 K p=30. sin embargo.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 El costo neto es 18%. los accionistas esperan que los dividendos provenientes de acciones comunes se incrementan. esto es el comprador paga por ejemplo 100 dólares. tienen prioridad sobre las acciones comunes. los dividendos y los precios de las acciones es difícil de obtener. Ejemplo: El costo de venta o de flotación es de 3 dólares por acción preferente. Si las acciones preferidas no tienen fecha de rescate preestablecida su costo neto (Kp) puede ser representado del siguiente modo: K p= d I0 d : Dividendo fijado.9 c Costo de las acciones comunes(Kc) En el caso de las acciones comunes. la empresa recibe 97 dólares y el corredor carga una comisión de venta de 3 dólares. b Costo de las acciones preferidas(Kp) El costo de las acciones preferidas implica. dejar de hacer el pago de los dividendos preferentes no da lugar a la banca rota. Si los inversionistas esperan a mantener la acción durante un año y si espera que el precio de la acción crezca a la taza g la ecuación de la tasación será: P 0= Dividendo+ Precio esperado 1+tasa de rendimientorequerida P1+ d1 P0 0 P 0= i = Kc d1 d +P (1+g) + P1= 1 0 1+ K c 1+K c 110 1 . al igual que las deudas un compromiso fijo por parte de la empresa para ser pagos periódicos. I0 : Producido neto de la colocación. además. considerando que el precio delas acciones y los dividendos han estado elevándose en 5% al año durante los últimos años. calcular la tasa de rendimiento o costo de la acción.06) D1= 380(1.(1): [ [ ] ( 1+ K c ) (1+ g)n −1 P0=d 0 1+ (1+ g) (1+ K c )n ] Bajo el supuesto que Kc > g.(1) ] [ (1+ K c ) (1+ g) (1+ g)2 (1+ g)3 (1+ g)n−1 = d 0 1+ + + + …+ (1+ g) (1+ K c ) (1+ K c )2 (1+ K c )3 (1+ K c )n−1 ] …(2) (2) . [ (1+ g) (1+ g)2 (1+ g)3 (1+ g)n P0=d 0 + + +…+ (1+ K c ) (1+ K c )2 (1+ K c )3 (1+ K c )n P0 [ ] ……………. tiende a cero lo cual ] 1+ K c −1−g P0 =d 0 1+ g ( K c −g)P 0=d 0 (1+ g)=d 1 P 0= d1 K c −g Ejemplo: El precio de mercado de una acción común es de 1000 dólares.. cuando n hace que: [ . Solución: P1= 1000(1. se cumple para un mayor número de periodos tal como se demuestra a continuación. (1 + g)n /(1 + Kc)n .ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Simplificando la ecuación se tiene P 0= d1 K c −g Esta ecuación obtenida para un periodo de un año.06) P0= 1000 1 0 111 . si la empresa acaba de pagar 380 dólares en dividendos. Calcular la taza requerida de rendimiento. Solución: Kr= d1 +g P0 Kr= 35 +5 110 K r =36.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 de la fórmula : P 0= d1 K c −g Se tiene que la tasa de rendimiento (Kc) es : K c= d1 +g P0 K c= 380(1.8 e Costo de nuevas acciones comunes.06) + 0. los dividendos y el precio de las acciones se han elevado aproximadamente 5% al año y se espera que esta tasa de crecimiento continué por tiempo indefinido.3% d Costo de las utilidades retenidas (Kr) Es la tasa de rendimiento que requieren los accionistas sobre el capital común de la empresa ya que si se invierten a una taza menor.06 1000 K c =46. El costo el nuevo capital se calcula aplicando la siguiente formula: K n= d1 +g P0 (1−f ) f: costo de flotación 112 . el precio de mercado de las acciones de las empresas declinara. En equilibrio la taza esperada y la taza requerida de rendimiento (Kr) deben ser iguales. Kr= d1 +g P0 Ejemplo: Una empresa espera ganar $40 por acción y pagar un dividendo de $35 en el año siguiente.3 la tasa de rendimiento es 46. o de capital externo(Kn) El costo de nuevo capital común. es mayor que las utilidades retenidas debido a los costos de flotación que implica la venta de nuevas acciones. Las acciones se venden en la actualidad a $110 cada una. Las ganancias. en resumen.03) K n=37. Solución: Millones de dólares Utilidades antes de intereses e impuestos Intereses Utilidades antes de impuestos Impuestos (40%) Dividendos preferentes Monto disponible para los dividendos comunes 100 10 90 -36 15 39 Para calcular el costo de capital de una empresa. Ejemplo: Calcular el costo de capital de una empresa que tiene la siguiente estructura de financiamiento: Cantidad Fuente de Financiamiento (miles de dólares) 113 Proporción (%) . los impuestos a las utilidades es de 40% y los dividendos preferentes es de 15 millones de dólares.8%.ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Ejemplo : Al enunciado del problema anterior se añade que el costo de flotación es de 3% Solución: K n= d1 +g P0 (1−f ) K n= 35 +5 110(1−0.8%. considerando las diversas fuentes de financiamiento se procede como el siguiente ejemplo. sin embargo. Calcular el monto disponible para los dividendos comunes. los intereses de la deuda 10 millones de dólares. Ejemplo: Las utilidades antes de impuestos de una empresa es de 100 millones de dólares. debido a los costos de flotación el rendimiento esperado del nuevo capital deberá ser del 37. En cuanto al compromiso que la empresa contrae con las diversas fuentes de financiamiento. se puede señalar el siguiente orden de prioridades.8 Los inversionistas requieren un rendimiento de 36. - Pasivos no corriente (deudas a largo plazo) Acciones preferentes Acciones comunes El ejemplo siguiente ilustra lo mencionado líneas arriba. ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 Deudas Acciones preferidas Acciones comunes Ganancias retenidas 45 15 30 60 30 10 20 40 150 100 La empresa ha calculado el siguiente costo, después de impuestos: Fuente de financiamiento Costo anual (%) Deudas Acciones preferidas Acciones comunes Ganancias retenidas 4 8 11 10 El costo de capital o costo medio ponderado de capital se obtiene de la manera siguiente : Fuente de Ponderado Financiamiento Deudas Acciones preferidas Acciones comunes Ganancias retenidas Costo medio ponderado Proporción (A) 30 10 20 40 Costo anual (B) 4 8 11 10 Por consiguiente el costo de capital es igual al 8.2% anual. 114 Costo (A.B)/100 1.2 0.8 2.2 4 8.2 ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 CAPITULO 13 13. EVALUACIÓN EMPRESARIAL La evaluación empresarial es un proceso de medición del valor económico o financiero a base de la comparación de ingresos y egresos del proyecto. 13.1 Evaluación económica Es aquella que identifica el mérito intrínseco del proyecto, por esta razón se supone como propios los recursos que necesita el proyecto para su operación. El indicador se sintetiza el mérito del proyecto es la tasa interna de retorno económica (TIRE). Las herramientas para efectuar la evaluación económica son :programas de inversión , cuadro de ingresos y costos, estados de ganancias y pérdidas, flujo de caja económica, etc. Con las que se elabora el estado de flujos netos económicos. El estado de flujos netos económicos está compuesto por los gastos de inversión, los ingresos, los costos de operación y el valor residual. Ejemplo: Calcular la TIRE de una inversión de 100 millones de dólares, la vida útil es de 5 años con valor residual de 10 millones de dólares la taza de impuestos es 30% FLUJO ECONOMICO (millones de dólares) Años (+) Ingresos ( -) Costo de operación ( -) Depreciación Ingreso Gravable 0 ( -) Impuesto (30% del Ing. G) Utilidad distribuible (+) Depreciación ( -) Inversión (+) Valor residual 2 70 22 18 30 3 70 22 18 30 4 70 22 18 30 5 70 22 18 30 9 9 9 9 9 21 21 21 21 21 18 18 18 18 18 100 10 Flujo Económico DEPRECIACIÓN: 1 70 22 18 30 -100 39 39 39 39 100−10 =18 5 Si se hace TIRF = i, se tiene: 100= 39 39 39 39 49 + + + + 1 2 3 4 5 (1+i) (1+i) (1+i) (1+ i) (1+i) i = 28.9% Si la tasa mínima atractiva de retorno (TMAR) es 25%, entonces el proyecto es económicamente rentable, ya que la TIRE = 28.9%. El valor presente neto económico (VPNE) a la taza de 25% es: VPNE = (100) + 39(P/A, 25,5) + 10(P/F, 25, 5) = 8.2 millones de dólares. 115 49 ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 13.2 Evaluación Financiera Se denomina así a la evaluación que cuantifica la rentabilidad del capital propio, lo cual implica considerar a los préstamos como beneficio y a la amortización y pago de intereses como costos del proyecto. La financiación de la inversión produce el efecto de palanca (capitulo anterior) y se espera que este sea positivo, lo cual se traduce en el hecho de que la tasa de rendimiento debe ser mayor que la TIRE. La tasa de rendimiento financiera se denomina comúnmente, taza interna de retorno financiera (TIRF) y es la que sintetiza el mérito del proyecto desde el punto de vista del aporte propio de la empresa. Ejemplo : Con la información del problema anterior calcular la TIRF considerando que para efectuar la inversión se solicitó un préstamo de 60 millones de dólares a pagar en 4 años con amortizaciones constantes y a una tasa de interés del 40% sobre los saldos. Solución: SERVICIO DE LA DEUDA (millones de dólares) Año 1 2 3 4 Saldo 60 45 30 15 Interes 24 18 12 6 Amortización 15 15 15 15 FLUJO FINANCIERO Años (+) Ingresos ( -) Costo de operación ( -) Depreciación ( -) Intereses Ingreso Gravable 0 1 70 22 18 24 6 ( -) Impuesto (30%) Utilidad distribuible 1.8 4.2 (+) Depreciación ( -) Inversión (+) Valor residual (+) Préstamo ( -) Amortización 18 Flujo Financiera 2 70 22 18 18 12 3.6 8.4 18 3 70 22 18 12 18 5.4 12.6 18 5 70 22 18 30 7.2 16.8 9 21 18 18 100 10 60 -40 15 7.2 15 15 15 15 11.4 15.6 19.8 49 Si se hace TIRF = i, se tiene: 40= 4 70 22 18 6 24 7.2 11.4 15.6 19.8 49 + + + + 1 2 3 4 5 (1+i) (1+ i) (1+i) (1+i) ( 1+i) TIRF = 29.5% El proyecto es financieramente rentable puesto que : TIRF > TIRE >= TMAR 116 2 millones de dólares. 117 .ANALISIS ECONOMICO EN INGENIERIA GP 234 El valor presente neto financiero (VPNF) a la taza de 25% es 5.