Libro Sistemas de Medicion

FUNDAMENTOS DE INSTRUMENTACIÓNLuis Enrique Avendaño M. Sc. UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA ii Contenido I Sensórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 3 5 5 6 6 7 8 10 10 11 13 15 17 19 19 19 27 28 28 34 36 37 38 1 Medidas en sistemas físicos 1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Naturaleza de los Datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Datos Estáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Datos transitorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Datos dinámicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Datos aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Información analógica e información digital . . . . . . . . 1.4 Sensores primarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Aspectos Generales de los Sensores . . . . . . . . . 1.5 Estructura de un transductor . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Transductores en lazo abierto . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Transductores de lazo cerrado o servotransductores 1.6 Clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Características estáticas de un sistema de medida 2.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Características Sistemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Modelo generalizado de un elemento . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Identificación de características estáticas. Calibración . . . . . 2.4.1 Patrones de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Medidas experimentales y evaluación de resultados . . . . . . . 2.6 Precisión de los sistemas de medida en estado estacionario . . . 2.6.1 Error en la medida de un sistema con elementos ideales 2.6.2 Técnicas de reducción de error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Características dinámicas de los sistemas de medida 47 3.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2 Función de transferencia para elementos típicos del sistema . . . . . . . . . . . . 47 iii iv CONTENIDO 3.2.1 Elementos de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Elementos de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Identificación de la dinámica de un elemento . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Respuesta a un escalón de los elementos de primero y de segundo 3.3.2 Respuesta sinusoidal de elementos de primero y segundo orden . Errores dinámicos en sistemas de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . Técnicas de compensación dinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Determinación experimental de los parámetros de un sistema de medida Efectos de la carga en sistemas de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Carga eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2 Circuito equivalente Thévenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.3 Ejemplo del cálculo de un circuito equivalente Thévenin . . . . . 3.7.4 Circuito equivalente Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.5 Carga Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.6 Efectos de la carga bajo condiciones dinámicas . . . . . . . . . . Señales y ruido en los sistemas de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.1 Efectos del ruido y la interferencia en los circuitos de medida . . 3.8.2 Fuentes de ruido y mecanismos de acople . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 50 53 54 58 61 67 70 76 77 77 80 81 83 85 88 89 91 93 93 93 94 94 96 98 99 100 102 103 103 108 110 110 114 114 115 117 118 121 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 4 Análisis Estadístico de Datos Experimentales 4.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Conceptos Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Medidas de Tendencia Central . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Medidas de Dispersión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Función Densidad de Probabilidad . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Función de Distribución Acumulativa . . . . . . . . . . 4.3.3 Función de Distribución Binomial . . . . . . . . . . . . . 4.3.4 Función de distribución de Poisson . . . . . . . . . . . . 4.3.5 Función de Distribución Gaussiana . . . . . . . . . . . . 4.3.6 Propiedades de la distribución normal . . . . . . . . . . 4.3.7 La función de distribución Gamma . . . . . . . . . . . . 4.3.8 Propiedades de la función gamma . . . . . . . . . . . . . 4.3.9 Función de distribución t . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Estimación de Parámetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Estimación del Intervalo de la Media de la Población . . 4.4.2 Estimación del Intervalo de la Varianza de la Población 4.4.3 Criterio para el rechazo de datos dudosos . . . . . . . . 4.5 Correlación de los Datos Experimentales . . . . . . . . . . . . . 4.6 Ajuste de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . CONTENIDO 4.6.1 4.6.2 4.6.3 4.6.4 4.6.5 Regresión lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ajuste a una función potencia y = AxM . . . . . . . . . . . Ajuste aproximado a una curva . . . . . . . . . . . . . . . . Ajuste polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Software para Análisis Estadístico de Datos Experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v 121 126 127 128 131 133 133 133 138 143 143 143 145 145 146 147 148 156 160 161 163 168 172 173 176 177 180 180 184 185 194 194 194 194 194 194 200 201 5 Incertidumbre Experimental 5.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Propagación de las Incertidumbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Consideraciones de sesgo y precisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Sensores de parámetro variable 6.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Transductores potenciométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Potenciómetro de función lineal . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Potenciómetros logarítmicos y antilogarítmicos . . . . . . . . . 6.2.3 Potenciómetros trigonométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4 Potenciómetros Funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.5 El potenciómetro como elemento del circuito . . . . . . . . . . 6.2.6 Potenciómetros Digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Transductores termorresistivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Circuitos de medida con sondas de resistencia metálica . . . . . 6.3.2 Detectores de temperatura resistivos (RTD) . . . . . . . . . . . 6.3.3 Termistores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.4 Curvas características de las resistencias NTC . . . . . . . . . . 6.3.5 Aplicaciones de las resistencias NTC a la termometría . . . . . 6.3.6 Otras aplicaciones de las resistencias NTC . . . . . . . . . . . . 6.3.7 Resistencias de coeficiente PTC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Transductores fotorresistivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 La célula fotorresistiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.2 El fotodiodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Transductores extensométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Elementos Capacitivos e Inductivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.1 Elementos Capacitivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.2 Elementos Inductivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Elementos con transformador, Electrodinámicos, Servos y Resonantes 6.7.1 Elementos con transformador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8 Transformador diferencial de variación lineal (LVDT ) . . . . . . . . . 6.8.1 Transformadores variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9 Transductores electroquímicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. . . . . . . . .8 Aplicaciones . . 7. . . . . . . .7 Problemas específicos relacionados con las medidas 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . . 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Medida del Vacío . 239 A Cálculo de funciones polinómicas para termocuplas 243 B Definiciones de las Unidades Básicas del SI y del Radian y del Steradian1 249 B. . . . .1 Introduction . . 8. . . . . . . . . . . . 8. . . .vi 7 Sensores generadores de señal 7. . . . . . . . . .3. . . . . . .3.5 Respuesta estática . . . . . 7.1. . . CONTENIDO 203 203 203 203 207 209 211 211 212 214 216 217 218 219 221 221 221 222 222 226 226 228 231 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Manómetros . . . . . . . . . . . .3. . . . . . 7. . .2 Tubo Bourdon . . . . . . .3. . . . . . . . 8 Medida de presión y humedad 8. . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . .4 Medida de Temperatura . .3.3. .4 Circuito Equivalente de un cristal piezoeléctrico . . . . . . . . . . . . .2. . . 7. . . . . 239 10. . . . . . . . . . . . .6 Respuesta dinámica . .1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. . . . . .3 Probador de peso muerto . . . . . . . .1 Introducción . . . . . . 249 1 Los nombres consignados a continuación se especifican en la lengua original . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. . . . .3. . . . . 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 Confiabilidad de sitemas de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. . . . . . . . .3 Dispositivos de medida de presión 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. . . 237 10 Confiabilidad 239 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 Termopares . . . . . . . . . .2 Medida de presión . . . . . . . .3. . . . .1 Principios fundamentales de sistemas de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Base Teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. . . . . . . . . .1 Efectos termoeléctricos . . . . . . .2. . . . 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Adecuación de la Señal 235 9 El amplificador operacional 237 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Sensores piezoeléctricos . . . . . . . . . . . . . .1 Captadores Piezoeléctricos . . 8. . . . .2 Materiales piezoeléctricos . . . . . . . . . . . . . .1 Introducción . . . . . . . . .2 Compensación de la unión de referencia . . . . . . . . . . . . .3. . . . .4 Transductores de presión . . . . . .3 B. . . . . . . . . . . . . . Radian . . . . .8 B. . . . . . . . . . . . . . . 1979) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kelvin (13th CGPM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1901) . . . . . . . . . . . . 1971) . . . . . .2 B. . . . . . .CONTENIDO B. . . . . . . . Ampere (9th CGPM. . . . . . . . . . Candela (16th CGPM. . . . .10 Meter (17th CGPM. . . . . . . . . . . . . 1948) . .4 B. . . . . . . . .1 La Escala de Temperatura Internacional de 1990 (ITS-90) . . . . . . . . 1967) . . . . vii 249 249 249 250 250 250 250 250 250 253 C Prefijos del Sistema Internacional D Enlace de unidades básicas del SI a constantes atómicas y fundamentales 255 D. . . . Kilogram (3d CGPM. . . . . . . . . .6 B. . . . . . . . . . . . Mole (14th CGPM. . . . . . . . . . . . . . . . . .5 B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Second (13th CGPM. . . . . . . 255 . . . . . . . . . . . . . 1967) . . . . . .9 B. . . . . 1983) . . . . . . . . . Steradian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 B. . . . . . . . . . . . . . . . viii CONTENIDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modelo general de un elemento. . . . . . . . . . . . . . . . . .10 2. . 4 6 7 8 8 9 13 14 15 21 22 23 23 24 25 25 26 27 27 28 35 37 37 38 39 40 41 Definición de no linealidad. . . . . . . . . . . . . . Compensación para entradas interferentes. . . . . . . . . . . . . . .6 1. . . Transductor en lazo abierto. . . . . . . . . . . . . . Función densidad de probabilidad. . . . . . . . . . . . . . Error en la medida. . . .7 1. .2 1. . .11 2. . .6 2. Histéresis. . . . . . .13 2. . . . . . . . . . Respuesta transitoria de un sistema. Respuesta de un ECG. . . . . . . . . . .4 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1. . . .2 2. . . . . . . . . . .(a) Usando entradas ambientales opuestas (b) Usando un sistema diferencial. . . . . . . . . . . . Ejemplo de resolución y de potenciómetro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. .9 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenciómetro. . . . . . . . . . . . . . .1 2. . . . . . . . . . . . . . . . . .12 2. . . Respuesta senoidal en un sistema eléctrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 2. . . . . . . . . . .Lista de Figuras 1. . . . . . . . . . .15 2. . . .1 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 Transductor de fuerza en lazo cerrado. . . Comparación del histograma con una función densidad de probabilidad gaussiana. . . . .8 1. . . . . . . . . Bandas de error y función de probabilidad. . . . Respuesta en mV de una termocupla tipo T (Cu/CuN i). . . . . . . . . . . . . .8 2. . . . . . . . . . Sistema simple de medida de la temperatura. . . . . . . Calibración de un elemento. . . . . . . . . . . . .7 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 2. . . . . . . Señal con evolución muy lenta. .5 1. .5 2. .3 2. . .4 2. . . . . . . . . . . . . . . Juego en engranajes. . . . Compensación de un elemento no lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (a) Histéresis significativa (b) Histéresis no significativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix . . . Proceso con datos seudoaleatorios. . . . . . . . . . .16 2. . . . . . Efectos de las entradas modificadora e interferente (a)Modificadora (b) Interferente. . . . . . . . . Transductor en lazo cerrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 Control automático de un proceso. . . . . . . . . Circuito equivalente para un transductor incluyendo señal de interferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplo de histéresis. . . . . . . . . 14 3. . . . . . . . . . . negro. . . . . . 3. . . . 106 Gráfico de la función gamma para diferentes valores de los parámetros r y α. . . . . . . .26 3. . . . . . . . . . . . . . . azul. . . . . . . ζ = 1. Modelo de un elemento para cálculo de la dinámica. . . . .1. . . ζ = 0. . . . . . . . . . . Respuesta a un escalón de un sistema de segundo orden: rojo. . .15 3. .7 3. . . . . . . ζ < 1. . Determinación de τ para un sistema de primer orden. ζ = 0. 46 48 50 51 53 55 56 57 59 60 61 62 63 66 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 88 Función distribución de probabilidad. . . . . . . . . . . . .8 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . 0. . Pruebas de escalón e impulso para sistemas de segundo orden.0. . 109 Función densidad de probabilidad usando la distribuci ón t Student. . . . . . . . . Prueba de respuesta frecuencial de un sistema de primer orden.2 3. . . . . .17 3. .21 3. . . . . . . .19 3. . . .1 3. . . . .6. . . 100 Función de distribución normal para el caso donde μ = 2. . . . Respuesta de un sistema con dinámica lineal. . . . . Pueba de la función escalón para un sistema de primer orden. . . . . . . . . . . . . Equivalente Thévenin para un sistema de medición de temperatura. . . . . .19 Estimación computacional del valor medido utilizando la ecuación del modelo inverso. . . . . . . . . . . . . . negro. . . . . . . . . . . . . . . . 99 Función de distribución acumulativa. . . .24 3. . . . . . . . . . Respuesta a un escalón de un sistema de primer orden: Rojo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prueba de respuesta en frecuencia de un sistema de segundo orden. . . . . . . Respuesta ante una excitación senoidal de un sistema de primer orden. . . . . . . Esquema y diagrama de bloques de un acelerómetro en lazo cerrado. . . . . . .4 3. . . . . . . .18 3. . . . . . Circuito equivalente de Thévenin. . . . . . . τ = 2. . . . . .10 3. . .1 4.9 3. . . . . Prueba de la función escalón para sistemas de segundo orden. . Compensación dinámica en lazo abierto. . . . . . . 111 . . . . . . .6 Sensor de temperatura en un fluido. Circuito equivalente de un amplificador. .4 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modelo masa—resorte—amortiguador para un sensor elástico de fuerza. de un tacogenerador. . . . . . . . . . . . . . . . . .5 3. . . . . . . . . . . . . . . azul. . . . . . .12 3. . . . . . . . 1. . . azul. . . púrpura ζ = 2. τ = 0. . . . . . . . . . . .13 3. . . . . . . . . . . . . Sistema de medida de temperatura con dinámica. . Carga a. . . . . . . . .6 3.8.20 3. . . . . . . . . . .23 3. . . . . ζ = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 3. . . . . τ = 1. . . . . . . . . . .22 3. σ = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16 3. . . Respuesta en frecuencia de la magnitud de un elemento de segundo orden.3 4. . . . . . .104 Función de distribución normal estándar. . . . . . . Cálculo de errores dinámicos con una señal de entrada periódica. . . . .5 4.0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .x LISTA DE FIGURAS 2. . . . Circuito serie RLC. . . . . . . . . . 2. .27 4. .3. . Respuesta en frecuencia de la magnitud de un elemento de segundo orden: rojo. . . .5. . . negro. . . . .3 3. . . ζ = 1. . .7.c. . . . . . . . . . .0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ζ > 1. . . . . . . . . . Sistema de medida con dinámica. . . . . . . . . . 0. . . . . .verde. . . . . . .2 4. . . . . . . . Respuesta normalizada a un escalón. . . . . . .5. . . . ν = 5 (puntos y trazos)]. . . . Curvas de carga de potenciómetros usados para formar funciones no lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ν = 3 (puntos). .15 6. Circuitos para RTD. . . . . . . .16 6. . . . . . . . . . . . . . Potenciómetro angular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 4. . .13 4. . . . . . . . . . . Línea y = Ax + B . . . . . . . . . . .10 6. . Circuito con termistor. Ajuste a una parábola usando mínimos cuadrados. . .18 6. . . . . 143 144 146 147 148 149 150 151 152 153 153 156 157 159 162 163 164 165 166 167 170 174 . . . . . . . . . . Circuito de amplificación para una termorresistencia. . . . . . . . . . . . . . . . Red con potenciómetros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valores gráficos de los pares temperatura—tiempo. . Gráfico adimensional del error por unidad del potenciómetro en función de la rotación del eje. .9 4. . . .1 6. . . .7 6. . . . . . . . .7 4. . . . . . Yk )}. . . . . . . . . . 6. . . . .391202x obtenido por el método de linealización de los datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 Distribución f (χ2 ) ≡ f (z) para algunos valores de ν. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 6. . . . . . . . . . . . . . línea punteada A = 100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .e0. . . Circuitos en puente Wheatstone para RTD: (a)Dos hilos (b) tres hilos . . . . . . . . . . . . . . . . Respuesta para T < 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 6. . . . . . ν = 2 (trazos). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenciómetro cargado. . . . . . . . . . . . . . . . .1 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Puntos de datos transformados {(Xk . . . . . . . . .5 6. . . . .LISTA DE FIGURAS 4. Las distancias verticales entre los puntos {(xk . . . . .15 5. . . . . . . Variación de la temperatura de un termistor con respecto a su resistencia. . . . . . . . . . . . . . Respuesta de una función exponencia˙ línea continua A = 1. . . . . línea de trazos l: A = 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 6.14 6. . . . . . . . . .13 6. . . . . . . . . . . .10 4. Respuesta de una función logarítmica: línea continua A = 1. . . . . . . . . . . . [ν = 1 (línea continua). . .4 6. . . . . Digrama de bloques funcionales del AD5262. . . . .14 4. yk )} y la línea definida con mínimos cuadrados y = Ax + B. . . . . . . . . . . .21 6. . . . . . . . . . . . . . Aproximación de un conjunto de datos a una línea recta. . . . Circuito RDAC equivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intervalo de confianza para la distribución chi—cuadrado. . . . . .8 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenciómetro cargado con kR. . . . . .20 6. .12 4. . . . . . . Potenciómetro trigonométrico. . . . . . . . . . Detectores de temperatura resistivos: (a) alambre de platino (b) película delgada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . línea punteada A = 100. . . . . . . . . . . . Red con potenciómetro.12 6. Diagrama de bloques de la estructura interna de un potenciómetro digital . . . . . . . . . . . . . . . .2 6. . . . . . . . . . .6 6. . . . . . . .19 6. . . . . . . . . . . . .9 6. . . . . . . . . . . xi 116 117 121 123 125 126 129 130 131 Error por radiación. . . . . . . . . . . línea de trazos A = 10. . . . . . . . . 141 Transductor potenciométrico. . . . . . . . Respuesta para T > 0. . . . . . . . . . . . . . . . Ajuste exponencial a y = 1. . . . . . . . . . . . . . . .37 Relación resistencia—deformación para galgas tipo p (línea continua) y tipo n (línea de trazos). . . . . . . . . . . . . . . 175 175 176 177 178 178 179 180 180 182 183 183 185 185 188 189 192 193 195 204 208 209 212 214 220 222 224 225 226 227 227 228 229 229 . . . . . . . . . .35 Respuesta de un fotodiodo a la excitación. . . . . . 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 Medida de caudal usando NTC. . . . . . . . . . .4 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 Histéresis en la respuesta de una PTC. . . Tubo Bourdon. . . Probador de peso muerto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38 Algunas configuraciones de galgas extensiométricas de semiconductor (fabricadas por BLH electronics). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Manómetro de tubo en U. . . . . .33 Circuito simple con fotorresistencia. . . . . . . . . . . . . . .39 Orientación de galgas extensiométricas en rosetas comunes: (a) rectangular (b) equiangular. . . . . . . . . .6 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 Respuesta de una fotorresistencia en una red. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 Familia de curvas para diferentes valores de temperatura ambiente. . . . . . . . 6. . . . . . . . . . . . . .1 (Línea de trazos). Barómetro de mercurio. .23 Respuesta de un termistor con B = 4000 y Ro = 1 (Línea continua). . . . . . 7. 6. . . . . . . . . . . . . Transductor de presión con galga extensiométrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Circuito eléctrico equivalente a un sensor piezoeléctrico. . . . 6. . . . . Respuesta tensión vs temperatura para algunas termocuplas. . . .3 8. . . . . .6 8. . . . . . . . .5 8. . . . . . . . . . . . . . . . 6.9 Termopar. . . . . . . . . . . . . . . . 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36 Circuito con fotodiodo.41 Esquema básico del LVDT. . . . . . . . . . Termopar con unión de referencia. .4 7. . . . . .7 8. . . . . .8 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 7. . . . . Transductor de presión capacitivo. . . . . . . . . . . . . Manómetro inclinado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 (Línea R1 punteada) y 0. . . . . . . Efecto piezoeléctrico . . . . . . . . . . . . . 6. . . . . . . Manómetro de tipo recipiente. . . . .3 7. . . . . . . . .xii LISTA DE FIGURAS 6. . . . . . . . . . . . 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 7. . . 6. . . . . . . . . .24 Circuito con NTC en puente. . . . Transductor de presión con LVDT. . . . . . . . .30 Circuito con un dispositivo PTC. . . . . . . .27 Respuesta normalizada de una PTC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 Respuesta noramlizada de una fotorresistencia para algunos valores de α. . . . . 6. . . .2 7. . . respectivamente. 6. . . . . . . . . . . . . . .2 8. . .40 Roseta de galgas extesiométricas. . . . . . . . . . .28 Respuesta corriente—tensión de un PTC. . . . . . . . . . . . . . . 6. . . . . . . . . . 6. 6. 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 Circuito con NTC como regulador de tensión. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 8. . . . . . . .11 8. . . . . . 256 . . . . . . . . . . Sensor de vacío McLeod. . . . . . . Transductor de presión piezoeléctrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii 230 231 232 233 . . . . . . .13 D. . . . . . . . . . . . . . . . . .12 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .LISTA DE FIGURAS 8. . . xiv LISTA DE FIGURAS . . . . . . . . . . . . .2 2. . . . . . . . . . . . .5 4. . . . . . .6 6.1 2. . . . . Escala simplificada de rastreabilidad . . .1 1. . . .4 4. . . . . . . .3 2. . . . . . . Valores mínimos del coeficiente de correlación para un nivel de significancia a. .2 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Principios de Transducción Física y Química . . . . . . .3 4. . Valores característicos en el potenciómetro digital en modo inverso . . . B. . .4 4. . . Escala de rastreabilidad (Adaptada de Scarr) . . Puntos fijos definidos en el ITS—90. . . . . . . . .2 1. . . . . . . . . . . . . . 252 xv . . . . . . .1 6. . . . . . . . . Obtención de los coeficientes para un parábola de mínimos cuadrados . . Valores característicos en el potenciómetro digital . . . . . . . . . Sensores indirectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Características de las galgas extensiométricas metálicas y semiconductoras . . . . . . . . . . . . . Valores de los coeficientes de Thompson. . . . . . . . . . .1 Unidades SI derivadas con nombres especiales y símbolos . . . . Efecto de la presión sobre algunos puntos definidos fijos. . . . . . . . . . . . . .4 6. . . Valores críticos de la distribución t Student . . . . . . . . . . . .Lista de Tablas 1. . . .3 2. . . . . Tabla de verdad del control de la lógica de entrada. . . . . . . . . . . . . . Medidas de la temperatura arregladas en intervalos.2 6. . . 12 16 18 29 30 31 33 95 96 112 118 132 132 158 158 160 172 193 Resultados de 60 mediciones de la temperatura en un ducto . . . . . . . Comparación de las resistencias NTC y otros sensores .3 6. . . Según: ANSI/ASME—86 . . . Sensores analógicos directos . . . . . . . . . xvi LISTA DE TABLAS . mecánicos.). Una parte esencial en el texto es la parte experimental. donde se pueden realizar dichas prácticas. También se ha pensado en el aspecto de la simulación de experimentos utilizando herramientas de software en tiempo real. el sistema de control e instrumentación de una planta procesadora. 2 LabView R ° y Matlab R ° son marcas registradas de National Instruments y Mathworks. involucra los conocimientos de ingenieros civiles. Como un siguiente paso en la teoría del conocimiento de los sistemas. en el área de medición e instrumentación de la medida. la experimentación ha llegado a ser el medio más adecuado para el estudio de su comportamiento. Basados en estos hechos. puentes. se han desarrollado diferentes prácticas de laboratorio las cuales utilizan los dispositivos estudiados en clase para ser montados en el laboratorio y observar y analizar su comportamiento.Prólogo La aplicación del computador a la ciencia y la tecnología ha permitido desarrollar herramientas de software y hardware las cuales han permitido conocer directamente el comportamiento de sistemas físicos. xvii . la especificación de la instrumentación para medir los terremotos y la respuesta dinámica de las estructuras (edificios. Para ello se ha dispuesto el Laboratorio de Instrumentación de la LabView UTP. respectivamente. desarrollar nuevos métodos y productos. ingenieros electrónicos. requiere el concurso de ingenieros químicos. mayor complejidad y evaluar el comportamiento y optimización de los sistemas existentes. El diseño de un sistema experimental o de medición es una actividad inherentemente interdisciplinaria. eléctricos y de sistemas. se requieren experimentos diseñados cuidadosamente para concebir y verificar los conceptos teóricos. La primera parte del libro tiene que ver con los elementos captadores de señal (elementos primarios o sensores). como R R ° ° y Matlab 2 . etc. En ingeniería. geólogos. Similarmente. de sistemas. mientras que la segunda parte se dedicará al estudio y aplicación de los sistemas de adecuación de la señal para ser transferida a un sistema de cómputo donde será procesada o simplemente visualizada. construir nuevos sistemas con. Por ejemplo. carreteras. los tópicos presentados en este texto se han seleccionado para que sean de utilidad en el diseño de proyectos experimentales interdisciplinarios. cada vez. xviii PRÓLOGO . Parte I Sensórica 1 . . C2 . C´ .1 se representa un diagrama esquemático de un posible sistema de control automático de un proceso. y métodos relacionados con la concepción de dispositivos para mejorar o aumentar la eficacia de los mecanismos de percepción y comunicación del hombre [23]. En general. . S´ para cuyo tratamiento se requieren equipos muy costosos o espe1 2 m ciales. Señales S´ .Capítulo 1 Medidas en sistemas físicos 1. en el diseño de los sistemas de medida la atención se centra en el tratamiento de las señales o magnitudes de entrada. o cuyo número es muy elevado (como por ejemplo. Cn y C´ . · · · . La instrumentación comprende dos campos principales: instrumentación de medida e instrumentación de control. 2. En la Figura 1. la medida del tiempo con un reloj atómico en las centrales eléctricas para conocer el instante de salida y duración de un fallo en una subestación o planta remota) 3 . la medida de temperatura en muchos puntos mediante un termómetro digital de alta precisión. C´ · · · . . Las señales en este esquema propuesto se agrupan en dos bloques: 1. En el primer caso son de interés los captadores o sensores y los transductores. S´ . . . Un análisis de dicho diagrama muestra que las magnitudes físicas captadas se convierten en señales eléctricas por los grupos captadores C1 . .1 Introducción La instrumentación trata de las técnicas. . . mientras que en los sistemas de control se da especial importancia al tratamiento de las señales de salida. conectados a los 1 2 m amplificadores correspondientes que proporcionan señales de salida de un nivel adecuado para su tratamiento por diversos equipos adicionales. Señales S1 . . S2 . mientras que en el segundo los dispositivos más relevantes son los accionadores o actuadores. Sn que se transmiten individualmente (número pequeño o instrumentación asociada es de bajo costo). los recursos. SEPARACIÓN Registro Indirecto . en una unidad de cálculo. número de canales. la unidad de cálculo generará un flujo de información de retorno hacia el sistema. 1. el costo de la instalación. etc. siempre de acuerdo con el ejemplo de la Fig.1. En general. Dichos elementos pueden incluir filtros. MEDIDAS EN SISTEMAS FÍSICOS Directo Acondicionamiento S1 SISTEMA FÍSICO S2 Sn ´ S1 ´ S2 ´ Sm C1 C2 Cn C´ 1 C´ 2 C´ m Amplificadores Aparato de Medida AGRUPAMIENTO Y TRANSMISIÓN MEM UNIDAD DE CÁLCULO Controlador Doble Figura 1. los bloques “Acondicionamiento” y “Amplificadores” se refieren a los elementos o dispositivos destinados a normalizar las señales de modo que todas ellas puedan presentarse en un determinado formato compatible con el sistema de transmisión. entre los cuales están la distancia. Los datos transmitidos ingresarían. Es frecuente que en un mismo sistema se tengan señales norma-lizadas en forma analógica (mismo campo de variación) y señales normalizadas en forma digital (mismo número de bits). un equipo de transmisión—recepción de RF. etc.1 se indica también la posibilidad de “Registro directo” de diversas magnitudes antes de su transmisión conjunta a una unidad de cálculo.1: Control automático de un proceso. que puede constituir una línea o grupo de líneas. Se accede así al medio de transmisión propiamente dicho. a un grupo de canales en un número general inferior al de señales (caso de transmisión digital en paralelo). En el esquema de la Fig. El bloque “Agrupamiento y Transmisión” tiene asignada la función de reunir los canales asociados con las diferentes señales para obtener un único canal de salida (caso de transmisión secuencial o en serie). o simplemente un conjunto de circuitos para tratar los datos según criterios preestablecidos. que podría ser un computador analógico o digital. el nivel de interferencias. La naturaleza del medio dependerá de diversos factores. una guía de ondas. un enlace por fibra óptica.4 CAPÍTULO 1. atenuadores. donde podrían incluirse: • Datos para registro o evaluación. ancho de banda necesario. En el diagrama. convertidores A/C. etc. 1. Es frecuente. Puede establecerse una primera base de clasificación atendiendo al modo de variación en función del tiempo.1. por ejemplo. es decir. Es por ello que tiene importancia hacer un análisis riguroso de la información a tratar. Debido a la naturaleza de los datos estáticos no suele ser necesario tratar individualmente cada uno de los puntos que originan señales de un mismo tipo. siendo posible utilizar técnicas de muestreo con un solo equipo de medida compartido. 1. etc.2.2. NATURALEZA DE LOS DATOS • Datos o señales de accionamiento y control. se individualizan estas señales en el flujo de datos de retorno. cálculos y análisis relacionados directamente con la evaluación del funcionamiento del sistema y su rendimiento. a controlar y en muchos casos constituyen verdaderos servosistemas (electromecánicos.2 Naturaleza de los Datos El conocimiento de la naturaleza de los datos que se esperan de un sistema es de la mayor importancia para la selección del equipo de captación y medida y para definir los métodos de ensayo y control a aplicar. realizándose a partir de ellos con frecuencia. lo cual simplifica y hace más económica la instrumentación requerida. Los datos de esta naturaleza están asociados normalmente con magnitudes de especial importancia. Un ejemplo típico podría ser la temperatura de un determinado punto en un sistema de gran inercia térmica. Los accionadores son dispositivos que realizan la función inversa de los captadores. obteniéndose un grupo de canales de salida para registro o medida y otro grupo de canales de accionamiento. hasta el punto de que pueden producirse grandes errores si las especificaciones de los instrumentos o equipos de medida no se adaptan correctamente a las peculiaridades de los datos que se van a tratar. un sólo termómetro central para la medida de todas las temperaturas. etc.) que. siendo así posible establecer diferentes categorías de datos que implican procedimientos parti-culares de tratamiento y muchas veces también criterios específicos de precisión. 1. máquina. toda vez que de su correcta identificación puede depender el procedimiento a seguir en su tratamiento. según su naturaleza.. 5 En el bloque “Separación”. aparato.1 Datos Estáticos Se caracterizan por una evolución lenta sin fluctuaciones bruscas ni discontinuidades. transforman señales eléctricas en magnitudes físicas de acción directa sobre la instalación. aparte de su función meramente conversora han de satisfacer adicionalemente ciertos reque-rimientos relacionados con la estabilización automática de la magniud de salida o bien con la estabilidad de su propio funcionamiento. un único voltímetro de precisión . en este aspecto encontrar. En los párrafos siguientes se considerarán agunos tipos de datos. e incluso el costo de un deteminado sistema. electrohidráulicos. 2. etc. El muestreo suele hacerse conmutando electrónicamente las señales representativas de las variables en un único sistema de medida y registro. representan la respuesta de un sistema a un cambio brusco en las variables de entrada. para lo cual se dispone de componentes y subsistemas adecuados. 1. MEDIDAS EN SISTEMAS FÍSICOS 2 1.2. la mayoría de los casos digital. En general. etc.5 0 0 12. toda vez que las señales transitorias se producen simultáneamente en diferentes puntos del sistema como resultado de una perturbación determinada (frecuentemente provocada para analizar la respuesta).5 x 50 Figura 1.2 Datos transitorios Por lo general. a excepción de las magnitudes eléctricas para las cuales no puede fijarse ningún límite concreto.5 1 0. . los datos estáticos son exigidos con gran precisión ya que suelen ser utilizados para la evaluación del sistema o proceso. para la medida de todas las tensiones. El registro de datos dinámicos es de especial interés en el análisis de la respuesta en régimen permanente a excitación senoidal.6 y 2. siendo más importante su análisis para determinar el comportamiento dinámico del mismo. Más que la precisión de las medidas. La mayoría de las medidas efectuadas sobre datos periódicos en sistemas reales están relacionadas con fenómenos oscilatorios en régimen estacionario con un contenido en armónicos que incluye frecuencias comprendidas entre varios Hz y algunas decenas de kHz. en el estudio de vibraciones.3 Datos dinámicos Son de naturaleza periódica y se presentan en el funcionamiento estable y continuo de los sistemas.5 CAPÍTULO 1.2: Señal con evolución muy lenta.5 25 37. interesa la exactitud de la correlación temporal de las diversas magnitudes. Frecuentemente. el límite de esta precisión está impuesto más por el dispositivo captador primario que por el equipo de medida. 1. 2 1 A m plitud 0 .6 0 .8 Y (1) 0 . En muchos casos. • Datos aleatorios de salida de un sistema ante una entrada asimismo aleatoria.4 0 . 1.4 7 1 .2 0 0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0 T ie m p o (s ) Figura 1. Se pueden distinguir tres categorías de datos aleatorios: • Datos que interesa registrar y analizar relacionados con magnitudes aparentemente aleatorias (por ejemplo. interesa más el análisis espectral que el registro instantáneo de las señales. dispositivos giratorios en máquinas.2.6). NATURALEZA DE LOS DATOS R e s p u e s t a a l e s c a ló n U (1 ) 1 . de acuerdo con criterios estadísticos y de probabilidad. • Datos aleatorios indeseables que aparecen mezclados con las señales de interés (ruidos. interferencias. o bien se originan en diversos puntos del mismo. Estos datos pueden presentarse como reacción del sistema a excitaciones senoidales aplicadas para estudiar su respuesta en amplitud y fase.3: Respuesta transitoria de un sistema.2. 1. aplicada para fines de caracterización de su respuesta (técnica de gran interés para el estudio de sistemas complejos o no lineales) (ver Fig. etc.1. ciertos datos meteorológicos.). como ma-nifestación de su propio funcionamiento periódico (por ejemplo. elementos mecánicos con movimiento alternativo.). etc.4 Datos aleatorios La característica más distintiva de este tipo de datos es que sus parámetros fundamentales están sujetos a fluctaciones imprevisibles y su análisis ha de efectuarse. .). un electroencefalograma (EEG). en general. un electrocardiograma (ECG). etc. la información digital se presenta ligada a señales que solo presentan ciertos niveles discretos a los que se asignan valores numéricos de acuerdo con convenios preestablecidos.5: Respuesta de un ECG. Como es sabido la información analógica está asociada a funciones de variación continua y por lo general uniforme que pueden tomar.5 0 0 12. En contraste. puede decirse que en general siguen fiel e instantáneamente a la magnitudes que representan. 1. a la salida de los captadores. Lo expuesto anteriormente justifica que el primer tratamiento de las señales sea casi siempre analógico si se tiene en cuenta que frecuentemente su nivel.4: Respuesta senoidal en un sistema eléctrico. En lo que respecta a las funciones analógicas. es .5 CAPÍTULO 1.3 Información analógica e información digital Ha sido siempre un tema controvertido la conveniencia de utilizar instrumentación analógica o digital para el tratamiento de las señales derivadas de los sistemas físicos. cualquier valor instantáneo.5 25 37. MEDIDAS EN SISTEMAS FÍSICOS 2 1. en principo.5 x 50 Figura 1.5 1 0. siendo así evidente que prácticamente todas las variables de interés para el ingeniero o el científico tienen una forma original analógica.8 y 2. 4 5 0 0 4 0 0 0 3 5 0 0 3 0 0 0 2 5 0 0 2 0 0 0 1 5 0 0 1 0 0 0 5 0 0 0 -5 0 0 0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0 Figura 1. podría afirmarse que un sistema de captación y tratamiento de datos concebido con criterios modernos incluirá en general. regenerarse mediante técnicas de conformado. INFORMACIÓN ANALÓGICA E INFORMACIÓN DIGITAL 9 Figura 1. por el contrario. filtrada. la exactitud depende únicamente del grado de cuantificación establecido para la codificación de la información.6: Proceso con datos seudoaleatorios.3. etc. Las señales digitales pueden. depende esencialmente de la propia precisión o calidad de los equipos o componentes. justificándose este hecho por una serie de razones muy claras. en las que puede destacarse las siguientes: • Las señales analógicas transmitidas a través de cualquier medio son interferidas en mayor o menor grado por señales extrañas. lo que desplaza las tendencias de diseño hacia el tratamiento digital. aunque no exclusivamente: . • Se dispone actualmente de una gran variedad de circuitos digitales tanto convencionales como programables. en cuyo caso es muy difícil. si no imposible. No obstante cuando el nivel de las señales es alto y están suficientemente depuradas y acondicionadas. • La precisión de las medidas o registros. incluso aunque en muchos casos dicho tratamiento sea únicamente un proceso intermedio para una presentación final analógica. se prefiere el tratamiento digital. detección y corrección de error. recuperar la información original. de bajo costo. en el caso del tratamiento analógico. del número de bits.1. muy bajo y puede incluir información no deseada (necesidad de amplificación. eliminación de ruidos e interferencias.). etc. Por el contrario. De acuerdo con estas consideraciones. además de distorsionarse. es decir. si se hace uso de técnicas digitales. 4 Sensores primarios Las magnitudes físicas tratadas con sistemas electrónicos se deben convertir en señales eléctricas. 1. MEDIDAS EN SISTEMAS FÍSICOS • Un conjunto de sensores. Los transductores incluyen siempre un componente o componentes sensibles que reaccionan frente a la magnitud a medir o detectar proporcionando una primera señal eléctrica representativa de aquella. Una magnitud medible (measurand ) se define como una cantidad física. Los sensores aprovechan frecuentemente las propiedades de ciertos materiales que se convierten en generadores de señal en presencia de determinadas excitaciones (termopares. los circuitos que forman parte generan señales eléctricas equivalentes a dicha magnitud. dispositivos indicadores de barras. en su mayor parte analógicos.1 Aspectos Generales de los Sensores El término transductor a menudo se utiliza en forma intercambiable con el término sensor. Esta norma. propiedad .). 1. • Uno o varios convertidores de analógico a digital (A/D). procesadores de señales digitales (DSP)).) o numérica. • Un sistema de tratamiento digital convencional o programable (microprocesadores. cristales piezoeléctricos. como primer paso en el proceso de captación.) cuyos valores varían en función de la magnitud a convertir y. instrumentación virtual. microcontroladores. En otros casos. • Un sistema de presentación de datos en forma analógica (lo que requiere una segunda conversión). Estas células sensibles son los denominados sensores o captadores. seguidos por las correspondientes unidades de amplificación (analógicas) y dispositivos de acondicionamiento necesarios en cada caso. que usualmente precisa de algún tipo de tratamiento analógico (amplificación.1 en 1969 (ISA. Los transductores son los dispositivos encargados de llevar a cabo esta tranformación. La Sociedad de Instrumentación Americana (Instrument Society of America (ISA)). se recurre a utilizar elementos de circuito pasivos (resistencias. etc. Esta definición aparece publicada como Standard S37. etc. en definitiva. adaptación de impedancias. Electrical Transducer Nomenclature and Terminology.). (“a device which provides a usable output in response to a specified measurand ”). define un sensor como sinónimo de transductor.10 CAPÍTULO 1.1969). • Posiblemente varios canales de tratamiento totalmente analógico con presentación de datos en tiempo real. etc. pseudoanalógica (gráficos mediante impresora. condensadores.4. define un transductor (sensor) como un dispositivo que proporciona una salida útil en respuesta a una excitación específica. etc. usualmente asociado con subsistemas de archivo de datos. • Térmica. intensidad. intensidad acústica. Esta definición es específica a un transductor eléctrico. permeabilidad. polarización. tensión. volumen.5 Estructura de un transductor Los transductores se presentan en general en dos configuraciones fundamentales: • Transductores en lazo abierto • Transductores en lazo cerrado . posición. tasa de reacción. Se puede dar la siguiente Definición 1 Un transductor es un dispositivo o sistema que produce una señal eléctrica la cual es función de una magnitud de entrada utilizando componentes sensibles que se comportan como elementos variables o como generadores de señal.1. en un sentido amplio. inductancia. ace-leración.5. índice de refracción.1 muestra ejemplos de los principios de transducción físicos y químicos que se pueden utilizar en los sensores. polarización.. el rango de respuestas útiles no tienen que estar restringidas a cantidades eléctricas. longitud de onda acústica.—v. momento dipolar.. Similarmente. Un sensor puede emplear uno o más de los principios indicados arriba para producir una señal de salida práctica. entropía. gr. longitud de onda. oxidación/reducción. intensidad de campo. Los sensores. La Tabla 1. temperatura. • Radiante —v. Una respuesta (output) se define como una cantidad eléctrica (“electrical quantity”). composición. gr. fase. corriente. fuerza. torque. calor... Un sensor utiliza un principio de transducción físico o químico para convertir un tipo de señal de entrada a un tipo de señal de salida. campo eléctrico. gr. Sin embargo. flujo de masa.. resistencia. • Química —v. longitud. constante dieléctrica. densidad de flujo. por supuesto. concentración. velocidad. Se han clasificado los sensores en grupos donde la excitación (señal de entrada) y la respuesta del sensor (salida) puede ser una de las siguientes: • Mecánica —v. transmitancia. gr. capacitancia. presión. • Magnética —v. área. pH. frecuencia. un transductor puede tener una respuesta que puede definirse como una cantidad física. Las aplicaciones en electrónica industrial generalmente requieren la salida eléctrica de un sensor. carga. • Eléctrica —v. property or condition which is measured ”). momento magnético. propiedad o condición. ESTRUCTURA DE UN TRANSDUCTOR 11 o condición medible (“a physical quantity.. gr. reflectancia. también son utilizados para medir propiedades químicas y biológicas. gr. 1. no están limitados a la medición de cantidades físicas. flujo de calor. Efecto Seebeck. termómetros de gas y de líquido en capilar de vidrio) Efecto radiométrico Efectos electrocinéticos.Efecto Barnett Efecto Einsteinde Haas Efecto de Haasvan Alphen Efecto Curie Metro de radiación Foto— síntesis diso— ciación Resonancia nuclear magnética . magnetoelástico.12 CAPÍTULO 1. superconductividad).1: Principios de Transducción Física y Química Sal Ent Mecánica (Fluido) Efectos mecánicos y acústicos (diafragma. Efectos galvanomagnéticos (efecto Hall. Piezoresistividad Efectos R. MEDIDAS EN SISTEMAS FÍSICOS Tabla 1. emisión termoiónica. anillo de Rowland) Temperatura de Curie Radiante Sistemas fotoelásticos (birefringencia inducida de esfuerzo). Efectos Joule y Guillemin Presión de radiación. magnetómetro). Molino de luz de Crooke Higrómetro Celda de electrodeposición Efecto fotoacústico Térmica Efectos de fricción (calorímetro de fricción). balanza de gravedad. electrostrictivos y electromecánicos (piezoelectricidad. fotogalvánico y fotodieléctrico) Potenciometría Conductimetría Amperometría Polarografía Ionización de fla ma. Piroelectricidad Ruido térmico (Johnson) Colectores de Carga Probeta de Langmuir Electrets Magnética Efectos magnetomecánicos (efectos piezomagnético. Fluómetros térmicos Eléctrica Piezoelectricidad. electrómetros. C Efectos acústicos dieléctricos Efectos termoeléctricos (termorresistencia. ecosonda) Expansión térmica (cinta bimetálica. L. magnetoresistencia) Efectos fotoeléctricos (fotovoltaico. fotoconductivo. Efectos de enfriamiento. Efecto Volta Efecto de campo sensible a gases Almacenamiento magnético. ley de Ampère) Efectos magnetomecánicos (magnetostric— ción. Interferómetros Efecto Sagnac Efecto Doppler Efecto termoóptico (en cristales líquidos) Emisión radiante Química Mecánica Térmica Activación de reacción disocia— ción térmica Eléctrica Calentamiento Joule (Resistivo) Efecto Peltier Ley de Biot— Savart Medidores y registradores electromagnéticos Efectos electroópticos (Efecto Kerr) Efecto Pockels Electroluminiscencia Efectos magnetoópticos (efecto Faraday) Efectos Cotton— Mouton y Kerr Efecto foto— refractivo Biestabi— lidad óptica Espectroscopía (emisión y absorción) Quimiluminiscencia Electró— lisis Electro— migración Magnética Radiante Efecto termomagnético (efecto Righi-Leduc) Efecto galvanomagnético (Ettingshausen) Termopila de bolómetro Química Calorímetro Celda de conductividad térmica Efectos termomagnéticos (Ettingshausen— Nernst). 1. Por ejemplo. 1. Las ventajas de la preamplificación se comprenden analizando la Fig. Figura 1.1 Transductores en lazo abierto En la Fig. los sistemas de palancas empleados en ciertos transductores de desplazamiento para amplificar mecánicamente el movimiento de un palpador (sonda). deduciéndose . que transforma la velocidad en diferencia de presiones. La señal de entrada se aplica a una sonda o diipositivo que está directamente en contacto con el fenómeno a cuantificar. la verdadera señal de entrada al sistema de tratamiento de señal resulta falseada.7: Transductor en lazo abierto. puede ser amplificada en un preamplificador incorporado al transductor. para medir la velocidad de un fluido puede utilizarse como sonda un tubo de Pitot.7. como se indica en la Fig. La inclusión de un preamplificador en el transductor es una práctica muy recomendable. En muchos casos la sonda efectúa una primera conversión de magnitud para su mejor adaptación al sistema de medida. al que llega una tensión vs . ν Sonda Elementos Intermedios ν Sensor Preamp. el dispositivo que realmete efectúa la conversión a señal eléctrica.1. pueden estar dispuestos determinados elementos intermedios cuya misión es adaptar la salida de la sonda al sensor o captador primario.5. que se utilizan en ciertos transductores de presión para acoplar un conducto de entrada de precisión (sonda) a un sensor pasivo. etc. Se supone que existe una fuente de interferencia de tensión vn acoplada a las líneas de conexión a través de una impedancia Zn (generalmente capacitiva).8. ESTRUCTURA DE UN TRANSDUCTOR 13 1.7 se representa un esquema general de un transductor en configuración de lazo abierto.5. que representa esquemáticamente un sistema formado por un transductor de impedancia de salida ZL y tensión de salida v0 conectado a un equipo de tratamiento de señal de impedancia de entrada Zs . 1. En este modelo. A continuación de la sonda. La señal de salida del sensor (directa en el caso de los sensores generadores. para medir una aceleración se utiliza como sonda una masa de inercia que transforma la aceleración en fuerza. Son ejemplos de elementos intermedios los pistones y resortes antagonistas. por cuanto permite transmitir la señal de salida hasta los equipos de tratamiento con mejores prestaciones globales en lo que se refiere a captación de interferencias. De lo anterior se deduce que depende exclusivamente de la sonda y de los elementos intermedios el que un mismo sensor primario se utilice para medir magnitudes diferentes. especialmente si dicha transmisión se realiza a larga distancia. o proporcionada por un circuito en el caso de los sensores de parámetro variable). siendo nulo cuando lo es dicha impedancia.3) De esta ecuación se extraen dos conclusiones importantes • El error relativo de interferencia disminuye en la misma proporción en que aumenta la señal de salida del transductor. El error relativo debido a interferencia será: εi = vno Zs ZL vn = · v0 Zs ZL + Zn ZL + Zs Zn v0 (1.5. por el contrario.8: Circuito equivalente para un transductor incluyendo señal de interferencia.1).5.5.5. MEDIDAS EN SISTEMAS FÍSICOS Zn Transductor + Vn + Vs Zs Equipo de tratamiento + vo ZL - Figura 1. se puede mejorar el sistema utilizando en el transductor preamplificadores con la mayor preamplificación posible y con la impedancia de salida más baja posible. 1. La segunda. De acuerdo a esta última conclusión.1) que demuestra que en la señal v0 de entrada al equipo de tratamiento existe una componente debida a la señal vs de salida del transductor y otra debida a la interferencia. cuyo valor es: vno = Zs ZL · vn Zs ZL + Zn ZL + Zs Zn (1. La primera de las condiciones tiene limitaciones prácticas (la saturación de las etapas amplificadoras).2) que corresponde al segundo sumando de la ecuación (1. • El error relativo de interferencia disminuye al bajar la impedancia de salida del transductor.8 la siguiente expresión: v0 = ZL Zn · vs + ZL Zs · vn Zs ZL + Zn ZL + Zs Zn (1. se consigue fácilmente utilizando amplificadores operacionales. del circuito de la Fig. los cuales tienen impedancias de salida en lazo cerrado prácticamente nulas en .14 CAPÍTULO 1. ESTRUCTURA DE UN TRANSDUCTOR 15 los circuitos usuales. corresponde a la configuración en lazo cerrado de los denominados servotransductores. de función de transferencia β.5.5) Por lo tanto.5. 1. frecuentemente de naturaleza mecánica. y de un sistema de acoplamiento diferencial. la señal de salida del sensor de lectura es proporcional a la magnitud de entrada. cuyo esquema básico se representa en la Fig.4) (1. cuya magnitud de salida es Ks vi (donde Ks es la función de transferencia de la sonda). que aparecen con las denominaciones de sensor de captación y sensor de lectura. para grandes valores de la amplificación A.5. el sistema incluye dos sensores primarios. en el caso de alta amplificación. del acoplamiento capacitivo responsable de muchas de las interferencias captadas por los sistemas de amplificación de señales débiles). por ejemplo. el lazo de realimentación tiende a anular la diferencia entre la salida de la sonda y el elemento intermedio. .2 Transductores de lazo cerrado o servotransductores Una disposición que se utiliza en ciertos transductores de alta precisión.1.9: Transductor en lazo cerrado. ν Sonda Σ + _ β Sensor de captación Amplificador Elemento Intermedio Sensor de lectura ν Figura 1. La magnitud de salida del elemento intermedio se resta de la salida de la sonda en el mencionado sistema de acoplamiento diferencial y aparece además como señal de salida del servotransductor después de ser convertida en señal eléctrica en el sensor de lectura. 1. La salida del sensor de captación es amplificada y aplicada a un elemento intermedio. Como puede observarse.9. La magnitud vi de entrada se aplica al sensor de captación a través de la sonda. La señal de salida del sistema luego de hacer los cálculos correspondientes será: βAKs Kc Kl vi 1 + βAKc que. Esta última condición es muy importante puesto que permite anular virtualmente el error de interferencia cuando la fuente de interferencia está acoplada de acuerdo con el modelo propuesto (caso. Dentro de cada bloque se indica su función de transferencia. toma la forma aproximada v0 = v0 ∼ Ks Kl vi = (1. Como puede verse en dicha figura.5. 2: Sensores analógicos directos Potenciométricos Termorresistivos Fotorresistivos De resistencia variable Piezorresistivos Extensométricos Electroquímicos De adsorción Geometría variable De parámetro variable De capacidad variable Dieléctrico variable De inductancia variable De transformador variable Fotoemisivos Fotoeléctricos Fotocontrolados Piezoeléctricos Fotovoltaicos Termoeléctricos Generadores de señal Magnetoeléctricos Electrocinéticos Electroquímicos De geometría variable Mixtos De efecto Hall Bioeléctricos . MEDIDAS EN SISTEMAS FÍSICOS Tabla 1.16 CAPÍTULO 1. por cuanto: • La medida no resulta afectada por las imperfecciones del sensor de captación. sin ningún tipo de proceso de interpretación adicional. el cual funciona en condiciones muy favorables al recibir como entrada una magnitud ya amplificada. .6 Clasificación Considerando la naturaleza de la señal eléctrica generada y el modo de obtenerla y atendiendo a los principios físicos en los cuales de basan. están las siguientes: • Costo elevado • Poca robustez • Dificultades en la respuesta dinámica.2 y 1.3. Dentro de la categaría de sensores analógicos directos se distinguen los siguientes tipos: • Sensores de parámetro variable: Son componentes de circuito pasivo cuyo valor varía en función de la magnitud de entrada. del amplificador y del elemento intermedio. CLASIFICACIÓN 17 La gran precisión de los servotransductores queda justificada teniendo en cuenta el desarrollo anterior. con especial atención a los sensores más utilizados. • La precisión de la señal de salida sólo depende de la sonda (dispositivo también presente en los transductores de lazo abierto) y del sensor de lectura. la magnitud de entrada. se propone la clasificación [23] que se muestra en la Tablas 1. 1. Para su funcionamiento es imprescindible que formen parte de circuitos concretos los cuales requieren alimentación externa.6. Las ventajas más importantes de estos dispositivos son las siguientes: • Salida de alto nivel • Gran precisión • Corrección continua de las medidas • Alta resolución Entre sus desventajas. Se denominan sensores análogos directos a los captadores primarios cuya señal de salida analógica representan directamente.1. En el desarrollo del texto se seguirá este esquema. Se exponen los sensores de este grupo que proporcionan señales periódicas.18 CAPÍTULO 1. variando únicamente su modo de funcionamiento y los circuitos de los cuales forman parte. de algún modo. tienen la doble naturaleza de generadores (comportamiento activo) y de componentes pasivos (forman parte necesariamente de circuitos con fuentes de alimentación asociadas) Los sensores indirectos son captadores en donde el valor instantáneo de la señal de salida no representa directamente la magnitud de entrada. sin requerir de ninguna fuente de alimentación. cuya frecuencia fundamental contiene la información sobre la magnitud de entrada. Es de observar que muchos de los sensores indirectos utilizan realmente células sensibles las cuales pertenecen al grupo de los sensores analógicos directos. . MEDIDAS EN SISTEMAS FÍSICOS Tabla 1. • Sensores Mixtos: Son dispositivos que. También se exponen algunos tipos de sensores digitales. siendo necesaria una interpretación o decodificación posterior para obtener la información relativa a la magnitud a medir.3: Sensores indirectos Gravimétricos De elemento vibrante Moduladores de frecuencia De reactancia variable De inductancia Generadores de frecuencia Electromagnéticos Fotoeléctricos De efecto Hall Codificadores angulares Codificadores lineales Fotoelásticos Tensométricos De condensador Digitales • Sensores generadores de señal: Son dispositivos que generan señales representativas de las magnitudes a medir en forma autónoma. La exactitud está relacionada con las características fundamentales de la estructura de la materia y está acotada por el principio de incertidumbre. Toda medida lleva asociado inevitablemente un error. De acuerdo con la instrumentación utilizada. Se plantean dos conceptos básicos relativos al concepto de la medida: exactitud y precisión. Estas son distintas de las características estáticas las cuales no pueden ser cuantificadas exactamente. La precisión tiene que ver esencialmente con el sistema empleado para realizar la medición. éstas son las relaciones que pueden ocurrir entre la salida θ y la entrada u de un elemento cuando u es o bien un valor constante. puede estimarse la magnitud del error.2 Características Sistemáticas Las caraterísticas sistemáticas son aquellas que pueden ser cuantificadas exactamente por medios gráficos o matemáticos.Capítulo 2 Características estáticas de un sistema de medida 2. considerándose en la práctica como valores exactos los derivados de los patrones de medida disponibles. se toman como “patrones” las curvas de calibración suministradas por los fabricantes de los equipos de medida cuando no es necesaria una precisión extrema. 2. El comportamiento del sistema de medida está condicionado por el sensor empleado. La determinación del error supone el conocimiento del valor exacto. o valor que cambia muy lentamente.1 Introducción Este capítulo tiene que ver con características estáticas o de estado estacionario. sin embargo. En muchos casos. El error del sistema es una medida de la diferencia entre el valor del punto de consigna (set point) de la variable controlada y el valor real de la variable que entrega la dinámica del sistema. adoptándose las precauciones necesarias para reducir su valor a límites aceptables de acuerdo con la precisión requerida. 19 . y el alcance de salida es θmax − θmin . la termocupla tiene un alcance de entrada de 150◦ C y un alcance de salida de 6mV .2. 2. en los ejemplos del párrafo anterior.2. es decir. La no linealidad puede ser definida (Fig. una termocupla puede tener un rango de entrada de 100 a 250◦ C y un rango de salida de 4 a 10 mV .2) y (2. Alcance Es la máxima variación de entrada o salida. N (u) = θ(u) − (ku + a) o θ(u) = ku + a + N (u) (2. Línea recta ideal. un transductor de presión puede tener un rango de entrada de 0 a 104 P a y un rango de salida de 4 a 20 mA. umin a umax .2.5) .Es decir.2. θmin a θmax . Rango El rango de entrada de un elemento está especificado por los valores máximos y mínimos de u. el transductor de presión tiene un alcance en la entrada de 104 P a y un alcance de salida de 16mA.2.6 × 10−3 u + 4.4) 4. 2. θideal = ku + a donde k = pendiente de la recta ideal = y Ecuación de una línea recta ideal θmax − θmin umax − umin (2. el alcance de entrada es umax − umin .2) (2. 3. θmax ) y por lo tanto tiene la ecuación: ¸ ∙ θmax − θmin (u − umin ) (2. No linealidad En muchos casos la relación de la línea recta definida en las ecuaciones (2. Así. θmin ) al punto máximo B(umax .2. La línea recta ideal conecta el punto mínimo A(umin .0 (2. la línea recta para el transductor de presión anterior es θ = 1. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA 1.3) no se cumple y se dice que el elemento es no lineal.20 CAPÍTULO 2.1) en términos de una función N (u) la cual es la diferencia entre el comportamiento real y el ideal de la línea recta. por ejemplo. es decir. Así. Se dice que un elemento es ideal si los valores respectivos de u y de θ corresponden a una línea recta.2. El rango de salida de un elemento está especificado por los valores máximos y mínimos de θ.1) θ − θmin = umax − umin o sea.3) a = intercepto de la recta = θmin − kumin Así. Para el rango desde 0 hasta 400◦ C.869 mV a T = 400◦ C (ver Fig.s.2. es decir. Para una termocupla tipo T (cobre-constantan).2. 2.195×10−6 T 4 +O(T ) (2.2.195×10−6 T 4 +O(T ) hasta T 8 (2.071×10−4 T 3 −2.1: Definición de no linealidad. como un porcentaje del alcance.43T +3. Así Máxima no linealidad como porcentaje de la f.2).2. m X ai ui (2.071×10−4 T 3 −2. es decir.2.8) donde O(T ) significa términos de orden superior.74T +3.10) .2.9) y la función de corrección no lineal es: N (T ) = E(T )−Eideal = −13.s.319×10−2 T 2 +2. La no linealidad es frecuentemente cuantificada en términos de la máxima no linealidad ˆ N expresada como un porcentaje de la deflexión a plena escala (f.6) En muchos casos θ(u) y por lo tanto N (u) se pueden expresar como polinomios de u. = ˆ N × 100% θmax − θmin (2.319×10−2 T 2 +2.d.17T (2. CARACTERÍSTICAS SISTEMÁTICAS 21 θ θ θ + θ _ θ N u θ u Figura 2. los primeros cuatro términos en el polinomio que relacionan la tensión E(T )μV y la temperatura T de la unión en ◦ C son: E(T ) = 38.7) θ(u) = a0 + a1 u + a2 u2 + · · · + am um = i=0 Un ejemplo es la variación de temperatura como consecuencia de la variación de la tensión termoeléctrica en la unión de dos metales distintos.d en inglés).2. puesto que E = 0 mV a T = 0◦ C y E = 20. la ecuación de la línea recta ideal es: Eideal = 52. por ejemplo.04 exp µ 3300 T + 273 ¶ 5. Esta es la rata de cambio de θ con respecto a u. Para la termocupla cobre-constantan la sensibilidad dE/dT a T ◦ C está dada por: dE = 38.6 × 10−3 mA/P a.11) es decir.13) .213 × 10−4 T 2 − 8.2.780 × 10−6 T 3 + O(T ) dT la cual tiene un valor aproximado de 50μV ◦ C −1 a 200◦ C.2.22 CAPÍTULO 2. dθ dN =K+ du du Así. la resistencia R(T ) Ω de un termistor a T ◦ C está dada por: R(T ) = 0.638 × 10−2 T + 6.2: Respuesta en mV de una termocupla tipo T (Cu/CuN i).2. para un elemento ideal dθ =K du (2. Sensibilidad.74 + 6.12) (2. En algunos casos expresiones diferentes de las polinomiales son más apropiadas. para el transductor de presión anterior. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA Figura 2. (2. es decir. dθ/du = 1. (b) Una entrada interferente la cual hace que cambie la intercepción o sesgo de cero del elemento.3(a)).4: Potenciómetro. la salida θ depende no solamente de la señal de entrada u sino de entradas ambientales tales como la temperatura ambiente. Así. si uM es la desviación en una entrada ambiental modificadora del valor ‘estándar’ (uM es cero en condiciones estándar). Δ Figura 2. si uI es la desviación en una entrada ambiental interferente para . es decir. 25◦ C temperatura ambiente. presión atmosférica 1000 milibars. etc. 80% de humedad relativa. fuente de alimentación de 10V . Así. CARACTERÍSTICAS SISTEMÁTICAS 23 6. Así. Hay dos tipos principales de entradas ambientales: θ θ Sesgo de Cero = Pendiente = Pendiente = Sesgo de Cero = u u Figura 2. Efectos ambientales En general.5) representa adecuadamente el comportamiento del elemento bajo condiciones ambientales ‘estándar’. entonces la ecuación debe ser modificada para tomar en cuenta las desviaciones en las condiciones ambientales ‘estándar’. la fuente de alimentación. (a) Una entrada modificadora la cual hace que la sensibilidad lineal del elemento cambie. la humedad relativa.2. entonces esta produce un cambio en la sensibilidad lineal desde k hasta k + kM uM (Fig.2. 2. si la ecuación (2.2.3: Efectos de las entradas modificadora e interferente (a)Modificadora (b) Interferente. la presión atmosférica. reemplazando ku con (k+kM uM )u y reemplazando a con a + kI uI para obtener: θ = ku + a + N (u) + kM uM u + kI uI (2. como un porcentaje de la f. Debido al ‘juego’ en los dientes de los engranajes. 2.16) Un simple sistema de engranajes (Fig. Para un valor dado de u. 7.s. la rotación θ. 2.5). CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA el valor ‘estándar’ (uI es cero en condiciones estándar).5). se debe ahora corregir la ecuación (2. Un ejemplo de una entrada interferente está dado por las variaciones en la temperatura de unión de referencia T2 de una termocupla.4.3(b)). . Hmax fsd % = ˆ H × 100% θmax − θmin (2. Histéresis. es decir. Los coeficientes kM . es diferente dependiendo de la dirección del movimiento lineal. Por lo tanto.2.6 ) para convertir movimiento lineal en rotatorio proporciona un buen ejemplo de histéresis.24 CAPÍTULO 2. entonces esto produce un cambio en la intercepción por cero de a a a + kI uI (Fig.2. expresada θ θ H θ u u Figura 2.15) H(u) = θ(u)u↓ − θ(u)u↑ ˆ La histéresis se cuantifica usualmente en términos de la histéresis máxima H. kI son referidos como constantes de acoplamiento ambiental o sensibilidades. para un valor dado de x.2. 2.14) Un ejemplo de una entrada modificadora es la variación ∆Vs en el voltaje de alimentación Vs del sensor de desplazamiento potenciométrico mostrado en la Fig.2. es decir. el alcance. (2.5: Histéresis. Así.. La histéresis es la diferencia entre estos dos valores de θ (Fig. 2.d. la salida θ es diferente dependiendo de si u está aumentando o está disminuyendo. 2.6: Juego en engranajes. es por lo tanto Res % = ∆uR × 100% umax − umin (2.7: Ejemplo de resolución y de potenciómetro. Así.d.2. La resolución se define como el cambio más grande en u que puede ocurrir sin el cambio correspondiente en θ. incremento en x la resistencia R se incrementa en una serie de pasos.s. la resolución expresada como un porcentaje del f. 8.7 la resolución se define en términos del valor ∆uR del paso más ancho.2. Ejemplo de histéresis. en respuesta a un continuo θ θ R x θ Δ u Figura 2. en la Fig. la resolución de un potenciómetro de 100 vueltas es de 1%. el tamaño de cada paso será igual a la resistencia de una vuelta. CARACTERÍSTICAS SISTEMÁTICAS 25 θ θ x x Figura 2.17) Un ejemplo común es un potenciómetro de alambre devanado. aquí la señal digital de salida responde en pasos discretos a una tensión de entrada que se incrementa . Resolución. Así. Otro ejemplo es un convertidor análogo a digital. Algunos elementos se caracterizan por el incremento de la salida en una serie de pasos discretos o saltos en respuesta a un incremento continuo en la entrada.2. es decir. 2.19) 0 θ > θideal + h p(θ) = ⎩ 0 θideal − h > θ .9). la resolución es el cambio en el voltaje requerido para causar que el código de salida cambie con el bit menos significativo. 2. a2 . Otro ejemplo corresponde a las constantes a1 . k y a de modo que cambien lenta pero sistemáticamente a través de su vida.8: Bandas de error y función de probabilidad. En estos casos el fabricante define el comportamiento del elemento en términos de bandas de error (ver Fig. p (θ) θ θ 1 2h h h 2h θ θ l θ θ Figura 2.8).2. ⎧ 1 θideal − h ≤ θ ≤ θideal + h ⎨ 2h (2. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA continuamente. Los efectos de las no linealidades.2.26 CAPÍTULO 2. Uso y envejecimiento. es decir. etc. Aquí un enunciado exacto o sistemático del comportamiento se reemplaza por un enunciado estadístico en términos de una función densidad de probabilidad p(θ). la histéresis y la resolución en muchos sensores modernos son tan pequeños que es difícil y no vale la pena cuantificar exactamente cada efecto individual. las cuales cambian sistemáticamente con el tiempo debido a cambios químicos en los metales de la termocupla.18) k(t) = k0 − bt donde k0 es la rigidez inicial y b es una constante. es decir.Estas causas pueden afectar las características de un elemento. En este caso la función densidad de probabilidad es rectangular (Fig. 9. Aquí el fabricante establece que para cualquier valor de u. de una termocupla que mide la temperatura de los gases generados en un horno de fragmentación. 10. En general. (2.x2 de que x caiga entre x1 y x2 . una Rx función densidad de probabilidad p(x) se define de modo que la integral x12 p(x)dx es la probabilidad Px1 . la salida θ estará entre ±h del valor θideal de la línea recta ideal. Bandas de error. Un ejemplo es la rigidez de un resorte k(t) la cual decrementa lentamente con el tiempo debido al uso. 1) θ = ku + a + N (u) + kM uM u + kI uI La Fig.9: Función densidad de probabilidad.2. entonces la salida θ de estado estacionario del elemento estará dada por (2. características estáticas de un elemento.3 Modelo generalizado de un elemento Si los efectos de histéresis y resolución no están presentes en un elemento pero los efectos ambientales y no lineales sí.3. 2.3.10 muestra esta ecuación en forma de diagrama de bloques para representar las Modificador Interferente θ Entrada θ 0 Salida Estático Dinámico Figura 2. 2. Se puede observar que el área del rectángulo es igual a la unidad: esta es la probabilidad de que θ caiga entre θideal − h y θideal + h. Para efectos de completar el diagrama también se . MODELO GENERALIZADO DE UN ELEMENTO p (x) Densidad de probabilidad 27 1 2 x Figura 2.10: Modelo general de un elemento. 28 CAPÍTULO 2. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA Instrumento Patrón Instrumento Patrón Elemento o sistema a ser calibrado θ Instrumento Patrón Instrumento Patrón Figura 2.11: Calibración de un elemento. muestra la función de transferencia G(s) la cual representa las características dinámicas del mismo. 2.4 2.4.1 Identificación de características estáticas. Calibración Patrones de medida Las características estáticas de un elemento se pueden encontrar experimentalmente midiendo los valores correpondientes de la entrada u, la salida θ y las entradas ambientales uM , uI , cuando u es, o bien un valor constante, o una variable que evoluciona lentamente. Este tipo de experimento se denomina calibración. Las medidas de las variables u, θ, uM uI deben ser precisas si se desea tener resultados significativos. Los instrumentos y técnicas utilizadas para cuantificar estas variables se conocen como patrones de calibración (Fig. 2.11 ). La precisión en la medida de una variable es el acercamiento al valor verdadero de la misma. Se cuantifica en términos del error de la medida, es decir, la diferencia entre el valor medido y el valor verdadero. Así, la precisión de una galga de presión relativa a un patrón de laboratorio es la lectura más cercana al valor verdadero de la presión. Esto conduce al problema básico de cómo establecer el verdadero valor de una variable, lo cual conduce a la siguiente Definición 2 Se define el valor verdadero de una variable como el valor medido obtenido con un patrón primario. Así, la precisión de la galga de presión anterior se cuantifica por la diferencia entre la lectura de la galga, para una presión dada, y la lectura dada por el patrón de presión definido como tal. Sin embargo, el fabricante de la galga de presión puede no tener acceso al patrón primario para medir la precisión de sus productos. Él puede medir la precisión de sus galgas relativas a un patrón intermedio portátil o patrón de transferencia, es decir, un probador de presión de 2.4. IDENTIFICACIÓN DE CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS. CALIBRACIÓN Tabla 2.1: Escala simplificada de rastreabilidad 29 ↑ Incremento de precisión Patrón Primario ↑ Patrón de transferencia ↑ Patrón de laboratorio ↑ Elemento a ser calibrado v.,gr., patrón de presión del NPL v.,gr., probador de peso muerto v.,gr., galga de presión normalizada v.,gr., transductor de presión peso muerto. La precisión del patrón de transferencia debe encontrarse por calibración respecto del patrón de presión primario. Esto conduce al concepto de escala de rastreabilidad la cual se muestra en forma simplificada en la gráfica siguiente. El elemento se calibra usando los patrones del laboratorio, los cuales deben ser calibrados a sí mismos por los patrones de transferencia, y estos a su vez deben ser calibrados usando el patrón primario. Cada elemento de la escala debe ser más preciso que el anterior en forma significativa. Luego de haber introducido los conceptos de patrón y rastreabilidad se puede ahora discutir con más detalle, distintos tipos de patrones. El sistema internacional de medida (SI) incluye siete unidades básicas y dos suplementarias que son compiladas y definidas en el Apéndice B. Las unidades de todas las cantidades físicas pueden ser derivadas de estas unidades básicas y suplementarias. En el Reino Unido el Laboratorio Nacional de Física (National Physical Laboratory N.P.L.) es el responsable de la realización física de todas las unidades básicas y muchas de las unidades derivadas correspondientes. El N.P.L. es por lo tanto el guardián de los patrones primarios en ese país. Hay patrones secundarios guardados en el Servicio de Calibración Británico (B.C.S.). Éstos han sido calibrados con los patrones del N.P.L. y están disponibles para calibrar los patrones de transferencia. En el N.P.L., el metro se definió usando la longitud de onda de la radiación de un láser de helio-neón estabilizado con yodo. La reproducibilidad de este patrón es de 3 partes en 1011 y la longitud de onda de la radiación ha sido relacionada precisamente con la definición del metro en términos de la velocidad de la luz. El patrón primario se usa para calibrar interferómetros de láser secundarios los cuales a su vez se usan para calibrar cintas, galgas y barras de precisión. Una escala simplificada de rastreabilidad para longitud se muestra en la Tabla 2.2. El prototipo internacinal del kilogramo está hecho en platinio-iridio y está guardado en la Agencia Internacional de Pesos y Medidas (B.I.P.M.) en París. El peso de una masa m es la 30 CAPÍTULO 2. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA Tabla 2.2: Escala de rastreabilidad (Adaptada de Scarr) Responsabilidad Longitud Radiación laser He—Ne de longitud de onda de 633 nm ↓ Longitud de onda de fuentes laser secundarias ↓ Calibración interferométrica laser de calidad de referencia para patrón de longitud ↓ Calibración comparativa de calidad operativa para patrón de longitud ↓ Calibración de galgas y de equipos de medida ↓ Medida de la pieza de trabajo International Bureau of Weights and Measures National Physical Laboratory British Calibration Service Precisión BIMP y NPL 3 en 1011 NPL 1 en 107 NPL o BCS o Industria 1 en 106 BCS o Industria 1 en 105 BCS o Industria 1 en 104 BIPM: NPL: BCS: 2.4. IDENTIFICACIÓN DE CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS. CALIBRACIÓN Tabla 2.3: Puntos fijos T empe ratura T90 /K t90 /◦ C —270.15 a 3a5 —268.15 13.8033 —259.3467 ~17 ~20.3 24.5561 54.6584 83.8058 234.3156 273.16 302.9146 429.7485 505.078 629.677 933.473 1234.93 1337.33 1357.77 ~—256.15 ~—252.85 —248.5939 —218.7916 —189.3442 —38.8344 0.01 29.7646 156.5985 231.928 419.527 660.323 961.78 1064.18 1084.62 definidos en el ITS—90. Sustancia He e—H2 e—H2 (ó He) e—H2 (ó He) Ne O2 Ar Hg H2 O Ga In Sn Zn Al Ag Au Cu Estado V T V óG V óG T T T T T M F F F F F F F 0.00119007 Wr (T90 ) 31 Número 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 0.00844974 0.09171804 0.21585975 0.84414211 1.00000000 1.11813889 1.60980185 1.89279768 2.56891730 3.37600860 4.28642053 fuerza mg que experimenta bajo la aceleración de la gravedad g. Así, si el valor local de la gravedad se conoce de manera precisa, entonces un patrón de fuerza se puede derivar de los patrones de masa. En el N.P.L., v. gr, las máquinas de peso muerto que cubren un rango de fuerza de 450N hasta 30M N se usan para calibrar celdas de carga con galgas extensométricas y otros transductores de peso. El amperio ha sido tradicionalmente la unidad básica eléctrica y ha sido efectuado en el N.P.L. usando la balanza de corriente Ayrton—Jones; aquí, la fuerza entre dos espiras que llevan corriente se equilibra con un peso conocido. La precisión de este método está limitada por los grandes pesos muertos de las bobinas y los moldes y de las muchas medidas necesarias. Por esta razón se han escogido como unidades básicas eléctricas el faradio y el voltio (o vatio); las otras unidades tales como el amperio, el ohmio, el henrio y el julio se derivan de estas dos unidades basicas con unidades de tiempo o de frecuencia, usando la ley de Ohm donde sea necesario. El faradio fue realizado usando un capacitor calculable basado en el teorema de Thompson— 32 CAPÍTULO 2. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA Lampard. Usando puentes a.c., los patrones de capacitancia y frecuencia se pueden usar para calibrar resistores estándar. El patrón primario del voltio se basa sobre el efecto Josephson en la superconductividad; éste se usa para calibrar patrones secundarios de voltaje, usualmente las baterías saturadas de cadmio de Weston. El amperio también puede ser llevado a cabo usando una balanza de corriente modificada. Como antes, la fuerza debida a una corriente I se equilibra con un peso conocido mg, pero también se hace una medición separada para el voltaje e inducido en la espira cuando ésta se mueve a una velocidad u. Igualando las fuerzas mecánica y eléctrica se obtiene la ecuación eI = mgu (2.4.1) Se pueden hacer medidas precisas de m, u y e usando patrones secundarios que puedan ser rastreados de nuevo con los patrones primarios del kilogramo, el metro, el segundo y el voltio. Idealmente se debe definir la temperatura usando la escala termodinámica, es decir la relación P V = Rθ (2.4.2) entre la presión P y la temperatura θ de un volumen fijo V de un gas ideal. Debido a la limitada reproducibilidad de los termómetros reales de gas, se proyectó la Escala Práctica Internacional de Temperatura (I.T.P.S.). Esta se muestra en la Tabla 2.3 y consiste de a Puntos fijos altamente reproducibles correspondientes a los puntos de fusión y ebullición o puntos triples de sustancias puras bajo condiciones específicas; b Instrumentos patrones con una salida conocida versus una relación de temperatura obtenida por calibración de los puntos fijos. Los instrumentos se interpolan entre los puntos fijos. En la Tabla 2.4 se muestran los efectos de la variación de presión sobre los valores definidos de la temperatura. Los números asignados a los puntos fijos son tales que hay exactamente 100K entre el punto de congelamiento (273.15K) y el punto de ebullición (373.15K) del agua. Esto significa que un cambio de 1K es igual al cambio de 1◦ C en la antigua escala Celsius. La relación exacta entre las dos escalas es θK = T ◦ C + 273.15 Los instrumentos de interpolación mencionados en la tabla se usan para calibrar los intrumentos patrones secundarios; v. gr., un termómetro por interpolación de resistencia de platino puede ser usado para calibrar un segundo termómetro de resistencia de platino. Los patrones disponibles para las cantidades basicas, es decir, longitud, masa, tiempo, corriente y temperatura, permiten que se realizen patrones para cantidades derivadas. Esto se ilustra en los métodos para calibrar medidores de flujo de líquidos. El promedio de flujo real a través del metro se encuentra pesando la cantidad de agua recolectada en un tiempo dado, así que la precisión con que se mide el flujo depende de la precisión de los patrones de peso y tiempo. De manera similar los patrones de presión se pueden derivar de los de fuerza y área (longitud). 9 3.5561 54.078 692.2.77 34 16 12 25 5. de temperatura con presión.0 6.93 1337.4.8033 24.4 —7.3156 273.6 5.3584 83.473 1234.0 2.7 1.3 7.16 302.5 3.3 0. p lambda Substancia en equilibrio dT /dp dT /dλ −1 10−3 K·m−1 10−8 K·Pa T90 /K e-Hidrógeno (T) Neón (T) Oxígeno (T) Argón (T) Mercurio (T) Agua (T) Galio Indio Estaño Zinc Aluminio Plata Oro Cobre 13. CALIBRACIÓN 33 Tabla 2.1 3.3 4.0 4.4: Efecto de la presión sobre algunos puntos definidos fijos.9 1.25 1. Variación con Valor de asignación Temperatura profundidad.8058 234.677 933.2 2.5 —2.33 1357.2 3.9146 429.4 10.3 7.73 —1.1 —0.6 .0 6.3 2.7485 505. IDENTIFICACIÓN DE CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS. θmin ) y (umax . θ vs u con uM = uI = 0. Idealmente esta prueba podrá ser tomada bajo condiciones ambientales ‘estándar’ tal que uM = uI = 0.5 Medidas experimentales y evaluación de resultados El experimento de calibración se divide en tres partes principales. a1 .5. es decir. 2.5): N (u) = θ(u) − (ku + a) (2. 1. si esto no es posible todas las entradas ambientales deberán medirse. . θj )I↓ . θi )I↑ y un conjunto abajo (uj . 2. Si di es la desviación del valor polinomial θ(ui ) para los valores θi .15). los cuales la m q ajustan a un polinomio. Hay paquetes de regresión disponibles paraP mayoría de las computadoras. a2 . Esos paquetes usan un criterio de ‘mínimos cuadrados’. entonces la separación de las dos curvas será mayor que la dispersión de los puntos de datos alrededor de cada curva individual (Fig. (uj . . El programa encuentra un conjunto de coeficientes a0 .3). θmax ) y pueden hallarse de la ecuación (2. entonces di = θ(ui ) − θi . j = 1. El proceso completo deberá repetirse dos veces más (arriba y abajo) hasta obtener dos conjuntos de datos: un conjunto arriba (ui . θj )I↓ . se deberán realizar regresiones separadas sobre los dos conjuntos de datos (ui . . etc. u debe incrementarse lentamente desde umin hasta umax y los valores correspondientes de u y θ deberán ser registrados a intervalos del 10% del alcance (es decir.2) Si. dejando tiempo suficiente para que la salida se estabilice antes de tomar una nueva lectura.2.3) . CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA 2. 11 lecturas). La pendiente k y el cruce por cero a de la línea recta ideal unen los puntos mínimo y máximo (umin . y obtener dos polinomios θ(u)I↑ = m X q=0 a↑ uq q y θ(u)I↓ = m X q=0 a↓ uq q (2. tales que la suma de los cuadrados P de las desviaciones es decir n d2 es mínima.34 CAPÍTULO 2. θ(u) = q=0 aq u para un conjunto de n datos de puntos. n (n = 33).12(b)). es decir. i. Esto involucra la solución de un conjunto i=1 i de ecuaciones lineales [15].5..2. 2. H(u) = θ(u)u↓ − θ(u)u↑ (2.5.2.12(a)) La histéresis H(u) está entonces dada por la ecuación (2. . θi )I↑ .1) Si la histéresis es significativa. Se tomarán otros 11 pares de lecturas cuando se decremente lentamente u desde umax hasta umin . por otra parte. La función no lineal N (u) puede entonces encontrarse usando (2. Para detectar cualquier forma de histéresis. la dispersión de los puntos alrededor de cada curva es más grande que la separación de las curvas (Fig. entonces H no es significativo y los dos conjuntos de datos se pueden entonces combinar y así obtener un solo polinomio θ(u). Si hay un cambio resultante ∆θ en θ. uI con u = cte. el resto se mantiene en valores estándar. Si un cambio en la entrada produce un cambio ∆θ en θ y no es una entrada interferente. se pueden encontrar resolviendo tres ecuaciones simultaneas. MEDIDAS EXPERIMENTALES Y EVALUACIÓN DE RESULTADOS 35 θ θ Abajo Arriba (a) (b) Figura 2. θ vs uM . a2 .5. Si no hay cambio en θ. Primero se necesita encontrar cuales entradas ambientales son interferentes. es decir. Por ejemplo. a3 . entonces los coeficientes a1 . 2. Los sensores de temperatura son frecuentemente calibrados usando puntos fijos apropiados en lugar de un instrumento patrón.12: (a) Histéresis significativa (b) Histéresis no significativa. el vapor y el punto zinc. es decir. afectan el cruce por cero a. entonces esta debe ser una entrada modificadora uM y el valor del coeficiente correspondiente kM . entonces la entrada uI está interfiriendo y el valor de los coeficientes correspondientes kI estarán dados por kI = ∆θ/∆uI . El proceso se repite hasta que todas las entradas interferentes sean identificadas y los valores correspondientes de kI sean encontrados. La entrada u se mantiene constante en u = umin y una entrada ambiental se cambia por una cantidad conocida. entonces la entrada no es interferente. Se necesita ahora identificar las entradas modificadoras. las que afectan la sensibilidad del elemento. La entrada u se mantiene constante en el valor medio del rango 1 2 (umin +umax ) y cada entrada ambiental se varía a su vez por una cantidad conocida.2. una termocupla puede ser calibrada entre 0 y 500◦ C midiendo la fem en el hielo. Si la relación fem— temperatura se representa por la ecuación cúbica E = a1 T + a2 T 2 + a3 T 3 . La señal de entrada u deberá mantenerse constante en un valor medio del rango y la salida θ medida sobre un período extendido.6. es decir: ε = valor medido − valor verdadero (2. . .6. El valor medio del conjunto se puede encontrar usando X ¯= 1 θk θ N k=1 N (2. o en un cuarto de control.6 Precisión de los sistemas de medida en estado estacionario La precisión es una propiedad del sistema de medida completo. en la planta. Esta prueba podrá ser llevada a cabo en el ambiente de trabajo normal del elemento.1) (2. con el fin de estimar la función densidad de probabilidad p(θ) y compararla con la forma de la función gaussiana (Capítulo 4).5.M + kM ∆uI. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA estará dado por: ∆θ 1 ∆θ 2 = (2. Entonces se debe calcular un valor no cero de kM antes de que se pueda asegurar que la entrada es también modificadora. N . Prueba de repetibilidad. para calcular la salida y además el error de medida para un sistema completo de varios elementos. k = 1.7) 2.5. uI están sujetas a variaciones aleatorias experimentadas usualmente. es decir. .4) u ∆uM (umin + umax ) ∆uM Supóngase que un cambio en la entrada produce un cambio ∆θ en θ y ésta ya ha sido identificada como una entrada interferente con un valor conocido kI .5) kM = (umin + umax ) ∆uI.36 CAPÍTULO 2. 2. . Puesto que (umin +umax ) ∆θ = kI ∆uI.5.2) ε = salida del sistema − entrada del sistema En esta sección se utilizará el modelo estático de un elemento simple. donde las entradas ambientales uM . y la desviación estándar se encuentra usando (ver Capítulo 4) v u N u1X θ) σ0 = t (θk − ¯ 2 N k=1 (2.5. .M kM = 3. idealmente varios dias.6) Se deberá realizar un histograma de los valores de θk .M 2 entonces ∙ ¸ ∆θ 2 − kI (2. Se concluye examinando métodos de reducción del error del sistema. obteniéndose un conjunto de valores θk . más que de un simple elemento. La precisión se cuantifica utilizando el error de medición ε. 2.6. PRECISIÓN DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA EN ESTADO ESTACIONARIO 37 40 20 0 0.97 0.98 0.99 1.00 1.01 1.02 1.03 θ Voltios Figura 2.13: Comparación del histograma con una función densidad de probabilidad gaussiana. 2.6.1 Error en la medida de un sistema con elementos ideales Considérese el sistema mostrado en la Fig. 2.14 consistente de n elementos en serie. Supóngase que cada elemento es ideal, es decir, perfectamente lineal y no sujeto a entradas ambientales. Si también se asume que el sesgo o cruce por cero es cero, es decir, a = 0, entonces θi = ki ui (2.6.3) ecuación entrada—salida para un elemento ideal con sesgo cero, para i = 1, . . . , n, donde ki es la sensibilidad lineal o pendiente (ecuación (2.2.3)). De allí se observa que θ2 = k2 u2 = k2 k1 u, θ3 = 1 1 θ1 = 1 2 2 θ2 = 2 3 3 θ3 3 θ θ =θ Valor medido Valor verdadero Figura 2.14: Error en la medida. k3 u3 = k3 k2 k1 u, y para el sistema completo θ = θn = k1 k2 k3 · · · ki · · · kn u Si el sistema de medida es completo, entonces ε = θ − u, dando ε = (k1 k2 k3 · · · kn − 1)u (2.6.5) (2.6.4) 38 Así, si CAPÍTULO 2. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA k1 k2 k3 · · · kn = 1 (2.6.6) se tiene ε = 0 y el sistema es perfectamente preciso. El sistema de medida de temperatura mostrado en la Fig. 2.15 parece satisfacer la condición anterior. El indicador puede ser un voltímetro de bobina móvil con una escala marcada en grados Celsius, de modo que un cambio en la entrada de 1V produzca un cambio en la deflexión de 25◦ C. Este sistema tiene k1 k2 k3 = 40 × 10−6 × 103 × 25 = 1 y así parece perfectamente preciso. Este sistema; sin embargo, no es perfectamente preciso pues ninguno de los tres elementos presentes es ideal. La termocupla es no lineal, de manera que la temperatura cambia la sensibilidad, la cual ya no es de 40μV ◦ C −1 . También los cambios en la temperatura de la union de referencia hace que también cambie la fem en la termocupla. La tensión de salida del amplificador también está afectada por los Amplificador μV 2 Termocupla 1 Indicador 40 μ V/ºC 1000 V/ V V voltios 3 25 ºC / V Temperatura medida Temperatura verdadera f. e. m. Figura 2.15: Sistema simple de medida de la temperatura. cambios en la temperatura ambiente. La sensibilidad k3 del indicador depende de la rigidez del resorte restaurador en el ensamble del indicador (caso bobina móvil). Éste es afectado por la temperatura ambiente y por el uso, haciendo que k3 se desvíe del valor nominal de 25 ◦ CV −1 . Por lo tanto, la condición k1 k2 k3 = 1 no puede ser siempre satisfecha y el sistema tendrá error. En general el error de cualquier sistema de medida depende de las características no ideales de cada elemento del sistema, es decir, la no linealidad, los efectos ambientales y estadísticos, etc. Así, con el fin de cuantificar este error de forma tan precisa como sea posible se necesita usar el modelo general para un elemento simple como se desarrolló previamente. 2.6.2 Técnicas de reducción de error El error de un sistema de medida depende de las características no ideales de cada elemento del sistema. Usando las técnicas de calibración, se puede identificar cuales elementos en el sistema tienen el comportamiento no ideal más dominante. Se puede entonces, proyectar estrategias de compensación para estos elementos, las cuales producirán reducciones significativas en el error total del sistema. Esta sección bosqueja métodos de compensación para efectos no lineales y ambientales. Uno de los métodos más comunes de corregir un elemento no lineal es introducir un elemento de compensación no lineal en el sistema. Este método se ilustra en la Fig. 2.16. Dado un elemento no lineal, descrito por U (u), se necesita un elemento de compensación C(U ), tal que 2.6. PRECISIÓN DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA EN ESTADO ESTACIONARIO 39 Elemento no lineal no compensado Compensación del elemento no lineal Temperatura θ Resistencia θ Voltaje V Ω Termistor V 1.0 Puente de deflexión V 1.0 θ Ω 12 Total 2 298 348 θ 0 12 2 0 θ 298 348 θ Figura 2.16: Compensación de un elemento no lineal. las características totales C[U (u)] de los elementos, estén tan cerca de la recta ideal como sea posible. El método se ilustra en la Fig. 2.16 con el uso de un puente de deflexión para compensar las características no lineales del termistor. El método más evidente para reducir los efectos de las entradas ambientales es el aislamiento, es decir, aislar el transductor de los cambios ambientales tal que efectivamente uM = uI = 0. Ejemplos de esto son la localización de la unión de referencia de una termocupla en un recinto de temperatura controlada y el uso de un resorte de elevación para aislar un transductor de las vibraciones de la estructura a la cual esta está conectado. Otro método es el de la sensibilidad ambiental cero, donde el elemento es completamente insensible a entradas ambientales, es decir, kM = ku = 0. Un ejemplo de esto es el uso de una aleación metálica con coeficientes de expansión por temperatura cero y la resistencia como un elemento de galga extensométrica. Tal material ideal es difícil de encontrar y en la práctica, la resistencia de una galga extensométrica metálica es afectada ligeramente por cambios en la temperatura ambiente. Un método más exitoso de corrección para entradas ambientales es el de entradas ambientales opuestas. Supóngase que un elemento es afectado por una entrada ambiental; entonces un segundo elemento, sujeto a la misma entrada ambiental, se introduce deliberadamente en 40 CAPÍTULO 2. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA + E le m e n to s in c o m p e n s a r + + _ si E le m e n to d e c o m p e n s a c ió n + + + _ + + Figura 2.17: Compensación para entradas interferentes.(a) Usando entradas ambientales opuestas (b) Usando un sistema diferencial. 2.6. PRECISIÓN DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA EN ESTADO ESTACIONARIO 41 + Fuerza de entrada Fuerza de balanceo + _ Elemento sensor Fb + Amplificador de ganancia alta Tensión de salida Elemento de retroalimentación Figura 2.18: Transductor de fuerza en lazo cerrado. el sistema tal que los dos efectos tiendan a cancelarse. Este método se ilustra para entradas interferentes en la Fig. 2.17 y puede ser fácilmente extendido para entradas modificadoras. Un ejemplo es la compensación para variaciones en la temperatura T2 de la unión de referencia de una termocupla. Para una termocupla de cobre-constantan, se tiene kI uI igual a −38.74T2 μV de modo que se requiere un elemento de compensación con una salida igual a +38.74T2 μV . Un ejemplo de un sistema diferencial (Fig. 2.17(b)) es el uso de dos galgas extensométricas pareadas en las ramas adyacentes de un puente, para proporcionar compensación por cambios en la temperatura ambiente. Un galga mide una fuerza de tensión +f y la otra, una fuerza de compresión igual −f . El puente sustrae efectivamente las dos resistencias de modo que el efecto tensor sea el doble y los efectos ambientales se cancelen totalmente. Un método importante de compensación es el uso de realimentación negativa de alta ganancia para entradas modificadoras y no linealidades. La Fig. 2.18 ilustra la técnica par un transductor de fuerza. El voltaje de salida de un elemento sensor de fuerza, sujeto a una entrada modificadora, se amplifica con un amplificador de alta ganancia. La salida del amplificador se realimenta a un elemento (v. gr., una bobina y un iman permanente) el cual proporciona una fuerza de balanceo opuesta a la fuerza de entrada. 11) VO = 1 + kF (k + kM uM )kA la cual otra vez se reduce a VOUT ≈ FIN kF si kF (k + kM uM )kA À 1 (2. Esto puede confirmarse repitiendo el análisis anterior reemplazado k con k + kM uM . dando mayor linealidad y menor suceptibilidad a entradas ambientales. el elemento de realimentación puede diseñarse para baja capacidad de manejo de potencia.12) Ahora. los cuales emplean este principio se discutirán más adelante .42 CAPÍTULO 2. suponiendo que se cumple la condición anterior.6. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA Ignorando los efectos de la entrada modificadora por el momento.9) (2.6. tienen efectos despreciables sobre VO .8) de lo cual se obtiene Ecuación para la fuerza del transductor con realimentación negativa. tal que sea satisfecha la condición kF kkA À 1 entonces VO ≈ 1 Fi kF (2.10) Esto quiere decir que la salida del sistema depende solamente de la ganancia kF del elemento de realimentación y es independiente de las ganancias k y kA de la trayectoria directa. Dos dispositivos comunmente utilizados (transmisores de corriente). Esto significa que ahora se pueda utilizar la técnica .6. de lo cual se obtiene (k + kM uM )kA FIN (2.6. se tiene: ∆F = F i − Fb VO = kkA ∆F Fb = kF VO es decir (2. se debe asegurar que la ganacia kF del elemento de realimentación no tenga cambios debidos a efectos no lineales o ambientales. Si la ganacia del amplificador kA se hace grande. por supuesto. los cambios en k y kA debidos a entradas modificadoras y/o efectos no lineales. Puesto que el amplificador entrega más de la potencia requerida. Esto significa que.6.6. La rápida disminución de costo en los circuitos digitales integrados en los años recientes ha significado que los microcomputadores estén siendo ahora muy usados como elementos procesadores de señal en sistemas de medida.7) VO = Fi − kF VO kkA VO = kkA 1 + kF kkA (2. . N 0 ().19.6.5973E 2 + 2. uI . en el modelo de ecuación inversa 0 0 u = k 0 u + N 0 (u) + a0 + kM uM u + kI uI se pueden encontrar. Por ejemplo. mientras que la ecuación inversa es la más útil para reducción del error.845 × 10−2 T + 4. a0 . uM son las variables independientes. La forma general de esta ecuación es 0 u = k + N´(θ) + a kM uM θ + kI u ´θ ´+ 0 (2. para la ecuación directa..m de la termocupla y T la temperatura de la unión medida entre 0 y 400◦ C. Usando el procedimiento de calibración explicado antes (o cualquier otro método de generación de datos) los parámetros k0 .682 × 10−5 T 2 − 3. Esta es la denominada ecuación inversa. E es la variable dependiente y T la variable independiente. aquí la señal de entrada u es la variable dependiente y la salida θ y las entradas ambientales uI . Anteriormente se vió que la salida de estado estacionario θ de un elemento está dada en general por una ecuación de la forma: θ = ku + a + N (U ) + kM uM u + ku uI (efecamb) Esta es la ecuación directa. con unión de referencia a 0◦ C son: Directa E = 3. La ecuación directa es la más útil para estimación del error. éstas son: 1.e.. Para este método se requiere un buen modelo de los elementos del sistema. son completamente diferentes de los de la ecuación directa. PRECISIÓN DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA EN ESTADO ESTACIONARIO 43 de estimación por computador del valor medido. uM .55E − 0. Las características de estado estacionario de un elemento también se pueden representar por una ecuación alternativa. Tratar el sistema no compensado como un solo elemento. (puede ser más de una de cada tipo). mientras que para la ecuación inversa T es la variable dependiente y E la variable independiente.2. etc. Ambas ecuaciones fueron derivadas usando un polinomio de mínimos cuadrados ajustado a los datos de la norma BS 4937 [4].789 × 10−8 T 3 + 1.205 × 10−4 E 4 ◦ C donde E es la f. 2.064 × 10−2 E 3 − 3. las ecuaciones directa e inversa para una termocupla cobre—constantan (tipo T ). uI .652 × 10−11 T 4 mV Inversa T = 22. representando el comportamiento total del sistema sin compensación Este procedimiento facilitará la identificación de las entradas ambientales uM . aquí θ es la variable dependiente la cual está expresada en términos de las variables independientes u. Con referencia a la Fig. a0 etc. El uso de la ecuación inversa en estimación por computador del valor medido.6.13) donde los valores de k0 . se implementa mejor en varias etapas. Anteriormente se vió cómo la ecuación directa puede derivarse de un conjunto de datos obtenidos en un experimento de calibración. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA 2. entonces puede ser posible. 7. . 2. en primer lugar. entonces también son necesarios los sensores ambientales para proporcionar al computador los valores estimados u0 . εi ). El computador entonces calcula un valor estimado inicial u0 de u.6. 5.16) está presente y se puede proceder al paso ocho para corregirlo. El coeficiente de correlación Pn θi εi qP i=1 P r= n n 2 2 i=1 θ i × i=1 εi (2. Este consiste. i = 1.14) donde b es cualquier error residual cero y k epecifica cualquier escala de error residual. u0 de estas entradas. N 0 (·) etc. n. La salida U de un sistema sin compensación también se M I almacena en el computador. Si los errores debidos a las entradas ambientales se consideran significativos. . Los valores de la salida del sistema θ se miden para un rango de entradas estándar conocido. entonces hay una correlación razonable entre los datos de ε y θ. esto significa que el error sistemático de la ecuación ¯=¯−u ε θ ¯ (2. . para perfeccionar el estimador calibrar el sistema completo. La presentación de los datos del elemento muestra entonces el valor medido θ el cual podrá estar cerca de u0 .6. En aplicaciones que no requieran alta precisión se puede terminar el proceso en esta etapa.15) entre ε y θ ahora podrá ser evaluado. .5 entonces no hay correlación entre los datos de ε y θ. El sistema de compensación se puede conectar al estimador. a0 .5.44 CAPÍTULO 2. Ahora se puede hacer un intento para ajustar el conjunto de datos (θi . . a una línea recta por mínimos cuadrados de la forma ε = kθ + b (2. u y los correspondientes valores del error del sistema ε = θ − u calculado. Estos valores de error pueden ser debidos principalmente a efectos aleatorios pero pueden también contener una pequeña componente sistemática la cual puede ser corregida. usando la ecuación inversa 0 0 u0 = k0 U + N 0 (U ) + a0 + kM uM U + ku uI 4. Si se requiere alta precisión. 6. de un computador el cual almacena los parámetros modelados k 0 .6. 3. Si la magnitud de r es menor de 0. esto significa que los errores ε son aleatorios y no se puede hacer corrección. Si la magnitud de r es mayor que 0. Esto significa que la ecuación inversa del modelo. El estimador consiste de un contador de pulsos de 16 bits y un computador. . El sensor tiene una relación no lineal entre la inductancia L y el desplazamiento x. Si es necesario. relaciona el desplazamiemto x y la frecuencia f de la señal de salida del disparador Schmitt. y tiene la forma no lineal mostrada. un oscilador y un disparador Schmitt. 2. se puede usar la ecuación (2. El computador lee el estado del contador al principio y al final de un intervalo de tiempo fijo y así mide la frecuencia f de la señal de pulsos. El sistema sin compensación consiste de un sensor de desplazamiento inductivo. PRECISIÓN DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA EN ESTADO ESTACIONARIO 45 8.19 muestra este método.6. el oscilador tiene una relación no lineal entre la frecuencia f y la inductancia L.14) para calcular un valor medido mejorado θ0 = θ − ε = θ − (kθ + b) El sistema de medida de desplazamiento de la Fig. El computador entonces calcula x de la ecuación inversa del modelo usando los coeficientes del modelo almacenados en la memoria.6.2. 535 Computador Ecuación inversa del modelo -264. CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DE UN SISTEMA DE MEDIDA Medidas de entrada del medio ambiente θ Valor real Sistema sin compensación Computador Estimador Presentación de datos Valor medido Estimado Sistema sin compensación Desplazamiento verdadero mm No lineal Sensor inductivo No lineal Oscilador Disparador Schmitt pulso/s Contador de pulsos 16 .113 x 10 .4.272 x 10 .bit Estimador Desplazamiento medido 0 a 65.8 .3882 .928 x 10 -4 2 Figura 2.46 CAPÍTULO 2.2.12 4 +5. .1 + 0.19: Estimación computacional del valor medido utilizando la ecuación del modelo inverso. 1 Introducción Si la señal de entrada u de un elemento cambia de un valor a otro en forma súbita.2.1 Función de transferencia para elementos típicos del sistema Elementos de primer orden Un buen ejemplo para un elemento de primer orden puede ser un sensor de temperaura con una señal eléctrica de salida.2 3. El elemento desnudo (sin funda) se pone en un fluido (Fig. es decir. si la temperatura de entrada de una termocupla cambia súbitamente de 25◦ C a 100◦ C. gr. 3. v. Si la señal de entrada para un sistema de medida de varios elementos cambia rápidamente. Inicialmente en t = 0− (justo antes de t = 0). una termocupla o un termistor. algún tiempo tardará en cambiar el voltaje de salida de 1mV a 4mV . T (0− ) = TF (0− ). que es mejor comprendida usando una función de transferencia G(s). Si la temperatura 47 . El modo en el cual un elemento responde a un cambio repentino se llama su característica dinámica. la temperatura del sensor es igual a la temperatura del fluido. La siguiente sección examina cómo las señales estándar de prueba pueden ser usadas para identificar G(s) para un elemento. entonces la forma de onda de la señal de salida del sistema es generalmente diferente de la de la señal de entrada.1).. entonces la señal de salida θ no cambiará instantáneamente a su nuevo valor. Por ejemplo. 3. Se explicará más adelante cómo este error dinámico puede ser encontrado y finalmente se analizarán algunos métodos de compensación dinámica que pueden ser usados para minimizar errores.Capítulo 3 Características dinámicas de los sistemas de medida 3. La primera sección de este capítulo examina la dinámica de elementos típicos y deriva su respectiva función de transferencia. la ecuación diferencial que describe los cambios de temperatura del sensor es d∆T UA(∆TF − ∆T ) = mC dt es decir. del fluido es repentinamente subida en t = 0. y A [m2 ] es el área efectiva de transferencia de calor.3) UA dt Esta es una ecuación diferencial lineal en la cual d∆T /dt y ∆T se multiplican por coeficientes constantes. Así.2. el sensor no está más en estado estacionario y su comportamiento dinámico se describe por la ecuación de balance de calor: Tasa de calor entrante−tasa de calor saliente = tasa de cambio del contenido de calor del sensor Asumiendo que TF > T .1) donde U [W m−2 ◦ C −1 ] es el coeficiente de transferencia de calor global entre el fluido y el sensor.2) Definiendo ∆T = T − T (0− ) y ∆TF = TF − TF (0− ) como las desviaciones de las temperaturas de las condiciones iniciales en reposo. asumiendo que m y C son constantes: tasa de incremento del contenido de calor en el sensor = mC d [T − T (0− )] dt (3.2.2. De conceptos de transferencia de calor se tiene: W = U A(TF − T ) vatios (3. mC d∆T + ∆T = ∆TF (3.48 CAPÍTULO 3. entonces la tasa de calor saliente será cero. donde m [kg] es la masa del sensor y C [Jkg −1 ◦ C −1 ] es el calor específico del material del sensor. El incremento del contenido de calor del sensor es mC[T − T (0− )] [J]. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA Salida θ Figura 3. la ecuación es de primer orden porque d∆T /dt es el mayor derivador . y la tasa del calor de entrada W será proporcional a la diferencia de temperatura (TF − T ).1: Sensor de temperatura en un fluido. . FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA PARA ELEMENTOS TÍPICOS DEL SISTEMA 49 presente.2.3. gr. En los textos de matemáticas (v. dando τ s∆T (s) + ∆T (s) = ∆T F (s) es decir.8) La función de transferencia anterior sólo relaciona cambios en la temperatura del sensor respecto de los cambios en la temperatura del fluido. Con el fin de encontrar la función de transferencia para el sensor se debe encontrar la transformada de Laplace de la ecuación (3.2.4) Aunque la ecuación diferencial anterior es una descripción adecuada de la dinámica del sensor.6) donde ∆T (0− ) es la desviación de la temperatura en condiciones iniciales previas a t = 0. La relación global entre los cambios en la señal de salida del sensor θ y la temperatura del fluido es ∆θ(s) ∆θ ∆T (s) = ∆T ∆T F (s) ∆T F (s) (3.2.2.2. Por definición ∆T (0− ) = 0. La función de transferencia basada en la transformada de Laplace de la ecuación diferencial da un marco de trabajo más conveniente para estudiar la ¯ dinámica de un sistema de varios elementos.2. La cantidad mC/U A tiene dimensiones de tiempo: ¸ ∙ kg × J × kg −1 × ◦ C −1 J =s = W × m−2 × ◦ C −1 × m2 W y se le refiere como la constante de tiempo τ para el sistema. (τ s + 1)∆T (s) = ∆T F (s) (3.5) f (s) = 0 √ donde s es una variable compleja de la forma s = σ+jω y j = −1.2. Kreyszig [16]) se encuentran tablas de transformada de Laplace para funciones estándar comunes f (t). La transformada de Laplace f (s) de una función que varía en el tiempo esta definida por Z ∞ ¯ e−st f (t)dt (3.4).9) . La ecuación diferencial es ahora τ d∆T + ∆T = ∆TF dt (3.7) De aquí se obtiene la función de transferencia para un elemento de primer orden como G(s) = 1 ∆T (s) = 1 + τs ∆T F (s) (3.2. no es la representación más útil. obteniéndose τ [s∆T − ∆T (0− )] + ∆T (s) = ∆T F (s) (3. 3. Para elementos no ∆θ dθ lineales. Para un ∆θ elemento ideal ∆T sería igual a la pendiente k de la línea recta ideal. es un buen ejemplo de un elemento de segundo orden.2.50 CAPÍTULO 3.2.13).2. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA ∆θ donde ∆T es la sensibilidad en estado estacionario del sensor de temperatura. uando dE a 100 ◦ C. con lo cual se obtiene dT ∆E = 46 μV ◦ C −1 ∆T Así.14).2. Sol. con una constante de tiempo de 10 s.2: Modelo de un elemento para cálculo de la dinámica. 3. se puede tomar ∆T = dT . y u0 es el valor en reposo de u alrededor del cual toman lugar las fluctuaciones. Ejemplo 1 Para una termocupla de cobre—constantan.2. el efecto de cambios pequeños y rápidos en ∆u se evalúan usando la Fig. Para pequeñas fluctuaciones de temperatura alrededor 100 ◦ C.2 Elementos de segundo orden El sensor elástico mostrado en la Fig.3 que convierte una fuerza de entrada F en un desplazamiento de salida x. en la cual la sensibilidad en reposo (∂θ/∂u)u0 = k + kM uM + (dN/du)u0 .10) ∆E ∆T se encuentra eval- Δ Δθ Figura 3. En el caso general de un elemento con características estáticas dadas por la ecuación (2. El diagrama es un . 3. y las características dinámicas definidas por G(s). como el elemento derivativo que será evaluado en la temperatura de reposo T (0− ) alrededor de la cual las fluctuaciones se presentan. encontrar la función de transferencia que relacione la fem inducida por cambios de temperatura alrededor de 100 ◦ C. si la constante de tiempo de la termocupla es τ = 10 s. usando la ecuación (2. sujetos a pequeñas fluctuaciones de temperatura. la relación dinámica global entre los cambios en la fem y la temperatura del fluido es ∆E(s) 1 = 46 1 + 10s ∆T (s) (3. 13) ∆x = x.2.11) F 0− = kx(0− ) Si la fuerza de entrada es repentinamente incrementada a t = 0. FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA PARA ELEMENTOS TÍPICOS DEL SISTEMA 51 kx Masa Resorte k vx Amortiguador ν Figura 3. entonces el elemento no se encuentra en estado de reposo y su comportamiento dinámico se describe por la segunda ley de Newton. y un regulador de constante ν [N sm−1 ]. ˙ El sistema está inicialmente en reposo en t = 0− así que la velocidad inicial x(0− ) = 0 y la − ) = 0. ∆F = F − F (0− ). ˙ ˙ (3. modelo conceptual de el elemento que incorpora una masa [m kg] una constante del resorte k [N m−1 ].3: Modelo masa—resorte—amortiguador para un sensor elástico de fuerza. es decir ¡ ¢ (3. es decir fuerza resultante = masa×aceleración (3.14) La ecuación diferencial ahora se convierte en ¡ ¢ m∆¨ + ν∆x + kx 0− + k∆x = F (0− ) + ∆F x ˙ .2. ∆x = x − x(0− ) ∆¨ = x x ¨ (3.2.2.3. La fuerza inicial de entrada F (0− ) es balanceada por la fuerza aceleración inicial x(0 ¨ elástica en el desplazamiento inicial x (0− ).2.12) es decir F − kx − ν x = m¨ ˙ x y m¨ + kx + ν x = F x ˙ Definiendo a ∆F y a ∆x como las desviaciones en F y en x de las condiciones de reposo del estado inicial. un circuito de la serie L-C-R.20) La Fig 3.2. m d2 ∆x ν d∆x 1 + ∆x = ∆F (3.17) + 2 dt2 ωn ω n dt k Con el fin de encontrar la función de transferencia para el elemento.2.17). se requiere de la transformada de Laplace de la ecuación (3.4 muestra un elemento eléctrico análogo. Si se define r k rad/s Frecuencia natural ω n = m y ν (3. ν/k = 2ζ/ω n y la ecuación (3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA la cual. Usando una tabla de transformadas se tiene que 2ζ 1 ¯ 1 2 [s ∆¯(s) − s∆x(0− ) − ∆x(0− )] + x ˙ [s∆¯(s) − ∆x(0− )] + ∆¯(s) = ∆F (s) x x 2 ωn ωn k (3. y G(s) = ω2 n s2 + 2ζω n s + ω2 n (3.15) + k dt2 k dt k Esta es una ecuación diferencial lineal de segundo orden en la cual ∆x y sus derivadas se multiplican por coeficientes constantes y la máxima derivada presente es d2 ∆x/dt2 .2.11).2. usando la ecuación (3.2. la ecuación (3. se reduce a m∆¨ + ν∆x + k∆x = ∆F x ˙ es decir.52 CAPÍTULO 3.2. Las ecuacioens correspondientes a esta red están dadas a continuación: V = iR + di q +L C dt .2.19) x s + 2ζω n s + ω 2 ∆¯(s) = n ∆F (s) n k Así ∆¯(s) x 1 ¯ (s) = k G(s) ∆F donde 1/k = sensibilidad en estado estacionario K.2.18) se ˙ ˙ reduce a ¤ £ 2 ω2 ¯ (3.2.16) coeficiente de amortiguación ζ = √ 2 k·m entonces m/k = 1/ω 2 .18) Debido a que ∆x(0− ) = x(0− ) = 0 y ∆x(0− ) = 0 por definición.15) se puede expresar en su forma n estándar: 1 d2 ∆x 1 2ζ d∆x + ∆x = ∆F (3.2. 22) se ve que q es análogo a x. El circuito eléctrico también está descrito por la función de transferencia de segundo orden anterior.2. se deberán usar señales de excitación normalizadas. y.2.2.2.3.3 Identificación de la dinámica de un elemento Con el fin de identificar la función de transferencia G(s) de un elemento.21) dq dt Comparando la ecuación (3.4: Circuito serie RLC. L. con 1 ωn = √ LC y R ζ= 2 r (3.22) 1 dq d2 q +R + q =V 2 dt dt C (3.13) con la ecuación (3.2. Las dos señales de excitación más comunes son el escalón y la onda seno. IDENTIFICACIÓN DE LA DINÁMICA DE UN ELEMENTO 53 > i + V C L R Figura 3. V es análogo a F .2.23) C L (3. . R y 1/C son análogos a m. λ y k respectivamente. En esta sección se examina la respuesta de los elementos de primer y segundo orden ante dichas señales.24) 3.3. donde i= así L o d2 q R dq 1 1 + q= V + 2 dt L dt LC L (3. T (0− ) = TF (0− ) = 25◦ C . Así " # ¸ ∙ 1 τ 1 ¯ (s) = K 1 − fo =K − (3. Sol. Estudiar la respuesta temporal del sistema ante un escalón unitario. asumiendo estados inicial de 25 ◦ C y final de 100 ◦ C.54 CAPÍTULO 3. es decir.3.3) se llega a ∙ µ ¶¸ −t fo (t) = K u(t) − exp τ y puesto que u(t) = 1 para t > 0 ∙ µ ¶¸ −t fo (t) = K 1 − exp τ (3. la transformada de Laplace de la señal de salida del elemento será ¯ ¯ fo (s) = G(s)fi (s) = K s(1 + τ s) (3. A = −τ .2) en fracciones parciales.3.3.3.3. es decir. si un elemento de primer orden con G(s) = K/(1 + τ s) está sujeto a una señal de entrada en escalón.1) Así. para K = 1. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA 3. e igualando los coeficientes de s se llega a 0 = A + Bτ .3. Ejemplo 2 Considérese el sensor de temperatura de la primera sección de este capítulo.4) La cual es la respuesta de un elemento de primer orden a un escalón unitario. La forma de la respuesta se muestra en la Fig 3. Inicialmente la temperatura del sensor es igual a la del fluido.3. se tiene ∙ ¸ A 1 B ¯ fo (s) = K =K + (1 + τ s)s (1 + τ s) s Igualando los coeficientes de las constantes se obtiene B = 1.5.1 Respuesta a un escalón de los elementos de primero y de segundo orden La transformada de Laplace para un escalón de altura unitaria u(t) es L{u(t)} = 1 s (3.2) Expresando la ecuación (3.3) 1 s (1 + τ s) s (s + τ ) Realizando la transformada inversa de Laplace de la ecuación (3. 5) Así. entonces esto representa un cambio de un escalón ∆TF de altura 75◦ C. El cambio correspondiente en el sensor de temperatura está dado por ∆T = 75(1 − e−t/τ ) y la temperatura real T del sensor en el tiempo t estará dada por T (t) = 25 + 75(1 − e−t/τ ) (3.3.6.3◦ C se puede encontrar la constante τ del elemento como se observa en la Fig. azul.6) + ´+ C s .6) en fracciones parciales se tiene ¯ fo (s) = ³ As + B 1 2 s ω2 n 2ζ ωn s + 1 (3.3. T = 25◦ + 75◦ × 0. τ = 0.5 Figura 3.5: Respuesta a un escalón de un sistema de primer orden: Rojo. Midiendo el tiempo tomado por T para subir a 72. τ = 1.3. Si TF es repentinamente elevada a 100◦ C. Si un segundo elemento con una función de transferencia G(s) = ω2 n s2 + 2ζω n s + ω2 n está sujeto a una señal de entrada de un escalón. en el tiempo t = τ .63 = 72. 3. τ = 2.3◦ C.5. IDENTIFICACIÓN DE LA DINÁMICA DE UN ELEMENTO fo(t) 55 0 2.3.5 5 7.3. entonces la transformada de Laplace de la señal de salida del elemento es ω2 1 n ¯ fo (s) = 2 + 2ζω s + ω 2 ss n n Expresando la ecuación (3. negro. 3. o menor que 1. entonces 1 1 ωn ¯ − fo (s) = − s s + ωn (s + ωn )2 Realizando la transformada inversa de Laplace.7) Hay tres casos a considerar dependiendo si ζ es mayor que 1.3.5 3. donde. Aplicando los valores n anteriores.6: Determinación de τ para un sistema de primer orden. se tiene fo (t) = 1 − e−ωn t (1 + ω n t) (3. B = −2ζ/ωn y C = 1.25 2.8) La cual representa la respuesta de un elemento de segundo orden a un escalón unitario con amortiguación crítica ζ = 1.56 CAPÍTULO 3. después de hacer cálculos. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA y 100 75 50 25 0 0 1. . la ecuación queda ¯ fo (s) = = = (s + 2ζωn ) 1 − 2 s s + 2ζωn s + ω2 n (s + 2ζωn ) 1 − s (s + ζωn )2 + ω 2 (1 − ζ 2 ) n (s + ζω n ) 1 ζω n − − 2 + ω 2 (1 − ζ 2 ) 2 + ω 2 (1 − ζ 2 ) s (s + ζωn ) (s + ζω n ) n n (3.9) (3. Caso 1 Si ζ = 1 —Sistema con amortiguación crítica.3. igual a 1.75 5 x Figura 3. A = −1/ω2 . La forma de las respuestas normalizadas se muestran en la Fig.25 1 0. azul. 3.5 5 7.25 0 0 2. negro.11) La cual representa la respuesta a un escalón por un elemento de segundo orden con sobreamortiguación.7: Respuesta a un escalón de un sistema de segundo orden: rojo.5 1.7.10) La cual representa la respuesta de un elemento de segundo orden a un escalón con subamortiguación.3.5 x 15 Figura 3.5 0. entonces ⎡ ⎤ q q ζ fo (t) = 1 − e−ζωn t ⎣cos ωn (1 − ζ 2 )t + q sin ω n (1 − ζ 2 )t⎦ 2 (1 − ζ ) 57 (3. ζ < 1. Caso 3 Si ζ > 1 —Sistema sobreamortiguado. IDENTIFICACIÓN DE LA DINÁMICA DE UN ELEMENTO Caso 2 Si ζ < 1 —Sistema subamortiguado.3. .5 10 12. entonces ⎡ ⎤ q q ζ fo (t) = 1 − e−ζωn t ⎣cosh ωn (ζ 2 − 1)t + q sinh ω n (ζ 2 − 1)t⎦ 2 (ζ − 1) (3.75 0. ζ = 1. y 1. ζ > 1.3.3. masa m = 0. 3.13) Eventualmente.5 2 Inicialmente en t = 0− .14) en fracciones parciales se obtiene ˆ 1 −ωτ s + ω u ˆ ωτ 2 u + 1 + τ 2 ω 2 1 + τ s 1 + τ 2 ω 2 s2 + ω 2 u ˆ ˆ 1 ω cos φ + s sin φ ωτ 2 u +√ 2ω2 1 + τ s 2ω2 1+τ s2 + ω 2 1+τ ¯ fo (s) = = . La sensibilidad en estado de reposo es S = 1/k = 10−3 mN −1 la frecuencia natural ωn = y la constante de amortiguación p k/m = 102 rads−1 ν√ k · m = 0. hay un cambio en escalón ∆F de 2 N .58 sin 86.3. Sol.12) (3.3.58 CAPÍTULO 3.2 Respuesta sinusoidal de elementos de primero y segundo orden ¯ La transformada de Laplace de una onda senoidal está dada por f (s) = ω/(s2 + ω 2 ). 10mm.3. una fuerza en reposo F (0− ) = 10N causa un desplazamiento en reposo de (1/103 ) × 10 metros. entonces la transformada ˆ de Laplace de la señal de salida es ¯ fo (s) = uω ˆ 1 1 + τ s s2 + ω 2 (3.3. El cambio ∆x(t) en el desplazamiento se encuentra usando ζ= ∆x(t) = S∆F u(t)fo (t) es decir.6t + 0.6t + 0. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA Ejemplo 3 Considérese la respuesta a un escalón de un sensor de fuerza con una rigidez de k = 103 N m−1 .3. es decir. es decir. x se establece a un nuevo valor en estado estacionario de 12 mm.58 sin 86.6t)] [m] 103 = 2 × [1 − e−50t (cos 86.1kg y constante de amortiguación ν = 10N sm−1 . Supóngase que en t = 0 la fuerza se incrementa repentinamente de 10 a 12 N.6t)] [mm] (3. Así si una onda seno de amplitud u es la entrada a un elemento de primer orden. ∆x(t) = 1 × 2 × [1 − e−50t (cos 86. cuando t es grande ∆x tiende a 2 mm. es decir.14) Expresando la ecuación (3. 2 0. se tiene fo (t) = ˆ ωτ 2 u −t/τ u ˆ e +√ sin(ωt + φ) 1 + ω2τ 2 1 + ω2τ 2 (3. θ es también una onda seno.05 0 0 -0. Los resultados de arriba pueden ser generalizados para un elemento con una sensibi-lidad de estado estacionario K (o ∂θ/∂u) y función de transferencia G(s).3. la razón de √ amplitud = 1/ 2 y la diferencia de fase φ = −45◦ . se espera hasta que el término transitorio haya decaído a cero y entonces se toma la medida de la señal senoidal de estado estacionario: u ˆ fo (t) = √ sin(ωt + φ) 1 + τ 2ω2 (3.17) De las ecuaciones anteriores se puede ver que cuando ωτ = 1. 3.3.1 Figura 3.3. 2. cos φ = √ 1 + τ 2ω2 −ωτ sin φ = √ 1 + τ 2ω2 (3.05 5 10 15 20 x 25 -0. IDENTIFICACIÓN DE LA DINÁMICA DE UN ELEMENTO donde 59 1 .8).3. sujeta a una señal de entrada sinusoidal u = u sin ωt. θ ˆ .8: Respuesta ante una excitación senoidal de un sistema de primer orden. En el estado estacionario se pueden hacer cuatro suposiciones acerca de ˆ la señal de salida: 1.15) Realizando la transformada inversa. la amplitud de θ es ˆ = K |G(jω)| u.15 0.16) y 0. Estos resultados permiten que el valor de τ sea encontrado mediante frecuencias experimentales (ver Fig.3. es decir ω = 1/τ . En un experimento de prueba con onda seno.1 0. la frecuencia de θ es también ω 3. púrpura ζ = 2.9. ζ = 0. 3. ζ = 0.718 y 1.3.649 1 0. la razón de amplitud y la fase son críticamente dependientes del valor de ζ. ζ = 1. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA 4.718 Figura 3. la diferencia de fase entre θ y u es φ = arg G(jω).9: Respuesta en frecuencia de la magnitud de un elemento de segundo orden: rojo. azul. Estas características son mostradas gráficamente en la Fig. ζ = 0.1.1353 0.2231 0. Usando las anteriores reglas.6065 1 x 1.3679 0.6065 0. rápidamente se pueden encontrar las relaciones de magnitud y de fase para un elemento de segundo orden con G(s) = De aquí se tiene G(jω) = tal que Magnitud : |G(jω)| = s∙ ³ 1− − tan−1 ∙ 1 ´2 ¸ (3.3. .7. negro.0.1353 0.649 2.verde.482 2.3679 0.18) ω2 n (jω)2 + 2ζω n (jω) + ω2 n ω2 n s2 + 2ζω n s + ω2 n ω2 ω2 n ω + 4ζ 2 ω2 2 n Diferencia de fase : 2ζω/ω n 1 − ω2 /ω 2 n ¸ 4.60 CAPÍTULO 3.2231 0. es decir ∆¯ θ(s) = G(s) = G1 (s)G2 (s) · · · Gi (s) · · · Gn (s) ∆¯(s) u (3. Δ Entrada: señal real Δ 1 1 1 Δ θ1 Δ θ1 2 2 Δθ2 Δθ 2 i i Δθ Δ Δθ Salida . 3. Cada elemento i tiene un estado estable ideal y características dinámicas lineales y puede por lo tanto.7. |G(jω)| tiene un valor máximo el cual es más grande que la unidad.10 muestra un sistema de medida completo el cual consiste de n elementos.3. y si |G(jω)| = 0. Se comienza por asumir que la sensibilidad de estado estacionario k1 . es decir. La función de transferencia G(s) es el producto de las funciones de transferencia de los elementos individuales. N = −20 dB. k2 .4.1.10: Sistema de medida con dinámica. .4.4 Errores dinámicos en sistemas de medida La Fig. .1) . si |G(jω)| = 10. señal medida 1 2 Figura 3. . N = 0 dB.19) Así. ERRORES DINÁMICOS EN SISTEMAS DE MEDIDA 61 Nótese que para ζ < 0. 3. . es decir. . . kn para el sistema completo es igual a 1. ki . Una alternativa para graficar |G(jω)| versus ω es un gráfico del número de decibeles N dB vs ω. Este valor máximo está dado por |G(jω)|MAX = y ocurre en la frecuencia de resonancia q ω R = ω n 1 − 2ζ 2 1 p 2ζ 1 − ζ 2 ³ √ ´ ζ < 1/ 2 Se pueden encontrar ωR . el sistema no tiene error de estado estacionario. ζ y ω n midiendo |G(jω)|MAX . ser representado por una constante de sensibilidad de estado estable Ki y una función de transferencia Gi (s). donde N = 20 log10 |G(jω)| (3. N = +20 dB. si |G(jω)| = 1. .3. 4. provee un buen ejemplo para Temperatura real Temperatura medida -6 Δ Δ f. Expresando esto matemáticamente: u (3. Así.4 s Amplificador 3 Δ 25 voltios Δ 10 -2 s +1 2.11: Sistema de medida de temperatura con dinámica. la u señal de salida será ∆¯ θ(s) = G(s)∆¯(s) u (3.5x 10 -5s 2 + Termocupla Registrador Figura 3. ∆TT (t) = 20u(t) y ∆TT (s) = 20 × 1/s. es decir. ¯ es decir.4.0. La sensibilidad completa de estado estacionario del sistema es la unidad.62 CAPÍTULO 3. m. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA En principio se puede usar la ecuación (3.3) ∆θ(t) = L−1 [G(s)∆¯(s)] donde L−1 denota la transformada inversa de Laplace. Se puede ahora calcular el error dinámico del sistema para una entrada escalón de +20◦ C.2) Expresando ∆¯ θ(s) en fracciones parciales. la transformada de Laplace de la señal de salida es ¯ ∆TM (s) = 20 1 1 1 1 ¢2 −4 s ¡ 1 s 1 + 10s 1 + 10 1 + 200 s ∙ ¸ 1 A B Cs + D − − = 20 − s s + 0. e. entonces.4. identificar los errores dinámicos. 3. Primero se encuentra la transformada de Laplace ∆¯(s) de ∆u(t).4.6) . aplicando la transformada de Laplace.1 s + 10−4 (s + 200)2 (3.11.3) se tiene u ε(t) = L−1 [G(s)∆¯(s)] − ∆u(t) (3. se puede encontrar la señal correspondiente en el tiempo ∆θ(t).5) El sistema simple de medida de temperatura de la Fig. La termocupla tiene una constante de tiempo de 10 s.1) para encontrar la señal de salida del sistema ∆θ(t) co-rrespondiente a variaciones en el tiempo de la señal de entrada ∆u(t). 40 x 10 1 + 10 10 1 + 10 .4) Usando (3. y usando tablas estándar de las transformadas de Laplace. el amplificador una constante de tiempo de 10−4 s y el contador es un elemento de segundo orden con ω n = 200rad/s y ζ = 1.4.4. El error dinámico ε(t) del sistema de medida es la diferencia entre la señal medida y la señal verdadera.4. la diferencia entre ∆θ(t) y ∆u(t) ε(t) = ∆θ(t) − ∆u(t) (3. Supóngase que el anterior sistema de medida de temperatura está miˆ diendo una variación sinusoidal de temperatura de amplitud TT = 20◦ C y período T = 6s.10) 1 (1 + 10jω)(1 + 10−4 jω)(1 + 10−2 jω + 2. La respuesta frecuencial G(jω) es G(jω) = tal que en ω = 1 1 |G(jω)|ω=1 = p ≈ 0.7) donde el signo negativo indica una lectura muy baja.1t + Be−10 t + Ee−200t (1 + 200t) 4 63 y el error dinámico (3. toma cerca de 50s para decaer a cero y tiene el máximo efecto sobre el error dinámico.5 × 10−5 )2 + 10−4 ] (3.4.1t .4.12 se tiene ∆θ(t) = |G(jω)| u sen(ωt + φ) ˆ dando ε(t) = u [|G(jω)| sen(ωt + φ) − senωt] ˆ (3. y el término Ee−200t (1 + 200t) decae a cero después de unos 25ms.4. ERRORES DINÁMICOS EN SISTEMAS DE MEDIDA De aquí se obtiene h i 4 ∆TM (t) = 20 u(t) − Ae−0. ω Entrada θ θ Salida ω ϕ Figura 3.9) .5 × 10−5 (jω)2 ) (3.0 rad s−1 . el cual corresponde a la constante de tiempo 10s de la termocupla.8) donde φ = arg G(jω).4. es decir de frecuencia angular ω = 2π/T ≈ 1.3. 3. De la ˆ Fig. Se pueden usar las reglas desarrolladas antes para encontrar el error dinámico de un sistema con una función de transferencia G(s) sujeta a una entrada sinusoidal ∆u(t) = u sin ωt.4. El término Be−10 t decae a cero después de 5 × 10−4 s.1t + Be−10 t − Ee−200t (1 + 200t) ε(t) = ∆TM (t) − ∆TT (t) i h 4 = −20 Ae−0.10 (1 + 100)(1 + 10−8 )[(1 − 2.12: Respuesta de un sistema con dinámica lineal. El término Ae−0. puede ser representada como una serie de ondas seno o coseno. hay solamente términos seno presentes en la serie. donde T es el período. Cualquier señal periódica f (t) con período T .1sen(t − 85 ) − sen t) Nótese que en el caso de una entrada sinusoidal.1 × 20sen(t − 85 ). donde ∆u(t) es la variación de la señal de entrada medida u(t). para el estado estacionario o valor d. es decir. es decir.4. Una señal periódica es aquella que se repite en intervalos iguales de tiempo T .12) −T /2 Z +T /2 −T /2 Z +T /2 −T /2 Si f (t) = ∆u(t). para las anteriores ecuaciones. éstas tienen frecuencias las cuales son armónicas de la frecuencia fundamental ω 1 = 2π/T rad s−1 . Además.c. es decir f (t) = −f (−t). la salida también registrará una onda seno. la forma de onda de la señal es invariante aun cuando haya una reducción en amplitud y un cambio de fase. En la práctica la señal de entrada para un sistema de medida es más probable que sea periódica en lugar de una simple onda seno. La señal de entrada del sistema está dada por ∆u(t) = ∞ X un sen nω1 t ˆ (3. f (T ) = f (t + T ) = f (t + 2T ). Si también se asume que f (t) es impar.4.4. otro es la vibración de la cubierta de un compresor centrífugo [4]. etc. f (t) = a0 + donde an = bn = ao = 2 T 2 T 1 T Z +T /2 ∞ X ◦ an cos nω1 t + n=1 n=1 ∞ X bn sennω 1 t (3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA arg |G(jω)|ω=1 ≈ 0 − tan−1 (10) − tan−1 (10−4 ) − tan−1 (10−2 ) ≈ −85 ◦ Se puede observar. para el cálculo de los errores dinámicos para señales periódicas. que los valores de |G(jω)| y arg |G(jω)| en ω = 1 están determinados principalmente por la constante de tiempo de 10s. entonces a0 = 0. Un ejemplo de una señal periódica medida es la variación de la temperatura interna de una máquina diesel.11) f (t) cos nω 1 tdt f (t)sen nω1 tdt f (t)dt (3. el error es ε(t) = 20(0. se necesita usar análisis de Fourier. entonces an = 0 para todo n..64 y CAPÍTULO 3.13) n=1 . es decir. Ya que TT (t) = 20 sen t y TM (t) = 0. de u0 . Las características dinámicas de los otros elementos solamente estarán afectando el funcionamiento del sistema a ◦ frecuencias altas. es decir. ERRORES DINÁMICOS EN SISTEMAS DE MEDIDA 65 donde un = bn es la amplitud del n—ésimo armónico a la frecuencia nω 1 .16) La Fig. en este caso se escogió n = 7. La serie de Fourier para la señal de entrada es ∆TT (t) = 1 1 1 80 [sen t + sen 3t + sen 5t + sen 7t + · · · ] π 3 5 7 (3. De la Fig. 3. De nuevo el valor anterior está determinado principalmente por la constante de tiempo del orden de 10s.18) Nótese que en la señal de salida.4.4. se necesita evaluar la magnitud y el argumento de G(jω) en ω = 1. es decir. la correspondiente señal de salida es un |G(jnω 1 )| sen(nω 1 t + φn ) ˆ donde φn = arg G(jnω 1 ).. la forma de onda registrada. etc. primero supóngase que solamente el n—ésimo armónico un sen nω1 t es la entrada para ˆ el sistema.4.100sen(t − 85 ) + 0.17) (3. 7 rads−1 . 5ω 1 .4. entonces la señal total de salida es la suma de las respuestas a cada onda seno. ω 1 = 2π/T ≈ 1rads−1 ). las amplitudes del 3 . la frecuencia alta de la señal ω = 7 aún está bajo la frecuencia natural del contador ω n = 200. de longitud decreciente para representar las pequeñas amplitudes de los armónicos superiores. entonces una entrada u1 (t) + u2 (t) producirá una salida θ1 (t)+ θ2 (t). éstas definen el espectro de frecuencia de la señal.13 muestra las relaciones amplitud—frecuencia y fase—frecuencia para una temperatura de entrada.14) ∆θ(t) = n=1 El error dinámico del sistema con señal de entrada periódica es ∆ε(t) = ∞ X n=1 un [|G(jnω 1 )| sen (nω1 t + φn ) − sen nω 1 t] ˆ (3. 3. En casos prácticos se puede terminar o truncar la serie en un armónico donde la amplitud es despreciable. sistemas descritos por ecuaciones diferenciales lineales). Además para encontrar la señal de salida. es decir ∞ X un |G(jnω1 )| sen (nω 1 t + φn ) ˆ (3.13). Ahora se requiere usar el principio de superposición. el cual es una propiedad básica de los sistemas lineales (es decir. 5. siempre que el sistema sea lineal. 3. Esto puede establecerse como sigue: Si una entrada u1 (t) produce una salida θ1 (t) y una entrada u2 (t) produce una salida θ2 (t). Con el fin de encontrar ˆ ∆θ(t). 5 y 7 armónico han sido relativamente reducidas a la amplitud de la frecuencia fundamental. El contador de forma de onda tiene por lo . La señal de salida del sistema es ∆TM (t) = 80 ◦ ◦ [0.002sen(7t − 93 )] ◦ ◦ ◦ (3. El espectro consiste de un número de líneas a frecuencias ω 1 .12.3.4.4.15) Ejemplo 4 Supóngase que la entrada al sistema de medida de temperatura es una onda cuadrada ◦ de amplitud 20 C y período T = 6s (es decir.011sen(3t − 90 ) π ◦ ◦ +0.004sen(5t − 92 ) + 0. 3ω1 .4. Esto significa que la señal total de entrada es la suma de muchas formas de onda (ecuación 3. 13: Cálculo de errores dinámicos con una señal de entrada periódica. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA Amplitud Δ +20 0 0 -20 Forma de la onda de tiempo de la temperatura de entrada 0. Las ideas anteriores pueden ser extendidas para calcular el error dinámico para señales de entrada aleatorias.5 Espectro de frecuencia de la temperatura de entrada 1 3 5 7 Δ +2 0 -2 Forma de la onda de tiempo de la temperatura de salida (registrada) 3 6 2.1 ω Relación de amplitud Características de la respuesta de la frecuencia en los sistemas de medida arg ω Diferencia de fase 0.6 0 -80º -90º -100º Espectro de frecuencia de la temperatura de salida (registrada) ω Figura 3.01 -80º -90º -100º ω 3 6 ϕº Fase 0 1 3 5 7 ω ω -1 80 π 25. Las señales aleatorias puede ser representadas por espectros continuos de frecuencia.66 CAPÍTULO 3. . tanto una forma diferente de la señal de entrada así como también ha sido reducida en amplitud y cambiada en fase. una reducción en |G(jω)| desde 1 hasta 1/ 2 es equivalente a un cambio √ en decibeles de N = 20 log(1/ 2) = −3. frecuencias mayores a 2π Otro criterio comunmente usado es el del ancho de banda.2) Las condiciones anteriores representan un ideal teórico el cual será díficil de realizar en la práctica. τ puede hacerse mínimo. Sin embargo. τ Si en un sistema no se pueden encontrar los límites especificados del error dinámico ε(t).5 Técnicas de compensación dinámica De la ecuación (3. ω n puede hacerse máxima maximizando k/m. TÉCNICAS DE COMPENSACIÓN DINÁMICA 67 3.5. Teniendo identificados los elementos dominantes del sistema. se requiere: |G(jω1 )| = 1 y arg G(jω 1 ) = 0 para 0 < ω 6 ω MAX (3. En un criterio más práctico se limita la variación en |G(jω)| a un pequeño porcentaje de las frecuencias presentes de la señal.3) asegura que el error dinámico está limitado a ≈ ±2 por ciento para una señal que contenga ωMAX Hz.1) arg G(jω 1 ) = arg G(j2ω1 ) = · · · = arg G(jnω 1 ) = · · · arg G(jmω 1 ) = 0 donde m es el orden del armónico superior más significativo. se deben obedecer las siguientes condiciones: |G(jω1 )| = |G(j2ω 1 )| = · · · = |G(jnω1 )| = · · · = |G(jmω1 )| = 1 (3. Un elemento de primer orden tiene un ancho de 1 banda entre 0 y rad s−1 . El ancho de banda de un √ elemento o sistema es el rango de frecuencias para las cuales |G(jω)| es mayor que 1/ 2. En el caso del sensor de temperatura de primer orden con τ = mC/UA.5. En el sistema de medida de temperatura de la sección anterior.el ancho de banda no es un criterio particularmente usado para sistemas completos de medida. la condición: 0. p En el caso de de un sensor de fuerza de segundo orden con ωn = k/m.02 para 0 < ω 6 ωMAX (3. es decir.5. usando alta rigidez k y baja masa m.15) se nota que además para tener E(t) = 0 para una señal periódica. Puesto que. el error dinámico se debe casi totalmente a la constante de tiempo 10s de la termocupla. usando un termistor en la forma de lámina delgada. minimizando la razón masa/área m/A —por ejemplo.98 < |G(jω)| < 1. hay un 30 % de reducción en |G(jω)| en ωB . Para una señal aleatoria con un espectro de frecuencia continuo que contiene frecuencias entre 0 y ω MAX . la función de transferencia del sistema G(s) no satisface una condición tal como (3.3). sin embargo.5.5.0dB. es decir. al . el método más obvio de mejoramiento de la respuesta dinámica es el de diseño intrínseco.4.3. entonces el primer paso es identificar cuales elementos en el sistema dominan el comportamiento dinámico. Por ejemplo. El ancho de banda se usa comunmente en la determinación de la respuesta en frecuencia de √ los amplificadores. La aceleración aplicada a produce una fuerza de inercia ma en la masa sísmica m.14: Respuesta en frecuencia de la magnitud de un elemento de segundo orden. reduciendo así la efectividad de la compensación. Así. 3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA Figura 3. De la respuesta al escalón en los sistemas de segundo orden y la gráfica de la respuesta en frecuencia se ve que el valor óptimo de la razón de amortiguación ζ está alrededor de 0.3)).68 CAPÍTULO 3. Dado un elemento sin compensación o sistema Gu (s).5.15).7. tal que la función de transferencia total G(s) = Gu (s)Gc (s) satisfaga la condición requerida (por ejemplo la ecuación (3. 3. Cualquier desbalance de fuerzas se detecta por el elemento elástico de fuerza con lo cual se produce un desplazamiento el cual se detecta con el sensor de desplazamiento potenciométrico. Otro método posible es el de compensación dinámica de lazo abierto (Fig. incrementar k. La tensión de salida del potenciómetro se amplifica produciendo una corriente de salida la cual .16. Un ejemplo es el acelerómetro de lazo cerrado mostrado en forma de esquemática y diagrama de bloques en la Fig. si se emplea un circuito de adelanto—atrazo con una termocupla 3. se introduce un elemento de compensación Gc (s) en el sistema. Ésta se equilibra con la fuerza que el imán permanente ejerce sobre la corriente de realimentación de la bobina. Este valor asegura un tiempo de establecimiento mínimo para la respuesta al escalón y |G(jω)| se acerca a la unidad para la respuesta en frecuencia (respuesta plana en la banda pasante) [20]. la constante de tiempo total se reduce a τ 2 de modo que |G(jω)| se acerque a la unidad sobre un rango más ancho de frecuencias. se reduce la sensibilidad de estado estacionario K = 1/k. El principal problema con este método es que τ puede cambiar con el coeficiente de transferencia de calor U .15. Otro método consiste en incorporar el elemento a ser compensado en un sistema de lazo cerrado con retroalimentación negativa de alta ganancia. La razón de amortiguamiento del sistema ζ s es mucho menor que ζ. Además la sensibilidad de estado estacionario del sistema depende solamente de m.15: Compensación dinámica en lazo abierto. entonces la función de transferencia del sistema puede ser expresada en la forma ¯ Ks ω2 ∆V (s) ns = 2 ∆¯(s) a s + 2ζ s ω ns s + ω2 ns donde la sensibilidad de estado estacionario del sistema es Ks = la frecuencia natural del sistema ω ns = ωn y la razón de amortiguamiento del sistema ζs = ζ r k KA KD KF r KA KD KF k mR KF Se ve que la frecuencia natural del sistema ω ns es ahora mucho mayor que la del elemento elástico de fuerza. . TÉCNICAS DE COMPENSACIÓN DINÁMICA 69 Elemento no compensado 1 1+ τ Termocupla Elemento de compensación 1 + τ1 1 + τ2 Circuito de adelanto y atraso 1 1 + τ2 Figura 3. Analizando el diagrama de bloques se encuentra que la función de transferencia total del sistema es ¯ mR ∆V (s) 1 ³ ´ = .7. KF y R la cual puede ser constante en un alto grado. se transfiere a la bobina de realimentación a través de un resistor normalizado para generar la tensión de salida.4) 2ζ k 1 2 k k ∆¯(s) a KF s+ 1+ as + KA KD KF ω n ω n KA KD KF KA KD KF Si KA se hace suficientemente grande para que KA KD KF /k À 1.3.5.un valor de ζ s ≈ 0. (3. pero haciendo ζ grande puede obtenerse.5. Este método está influido por imprecisiones en la determinación del punto t = 0 y tampoco da una prueba de si realmente el instrumento es de primer orden. 3.70 CAPÍTULO 3. Para instrumentos de orden cero. Un método común es aplicar una entrada escalón y medir τ como el tiempo requerido para llegar al 63. Hay solamente un parámetro correspondiente a la respuesta dinámica.16: Esquema y diagrama de bloques de un acelerómetro en lazo cerrado. constante de tiempo. Ya se ha discutido la calibración estática. etc. frecuencia natural. Para instrumentos de primer orden. Existe un método mejorado el . la respuesta es instantánea de modo que no existen características dinámicas. El único parámetro a ser determinado es la sensibilidad estática K. aquí se tratarán los métodos para determinar experimentalmente las características dinámicas [11]. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA Imán Bobina ν Cápsula Fuerza de Fuerza no Inercia balanceada Masa Sísmica Fuerza Electro magnética Sensor de fuerza elástica Sensor de desplazamiento potenciométrico Resistor normalizado Bobina e imán Figura 3.6 Determinación experimental de los parámetros de un sistema de medida Aunque el análisis teórico de los instrumentos es vital para revelar las relaciones básicas involucradas en la operación de un dispositivo. rara vez es suficientemente preciso para proporcionar valores numéricos útiles a parámetros críticos tales como sensibilidad.2% del valor final. la sensibilidad estática K también se encuentra por calibración estática. la cual se encuentra por calibración estática. la constante de tiempo τ y ésta puede encontrarse por varios métodos. 6. Una verificación (o refutación) aún más fuerte de las características dinámicas de primer orden es disponible de la prueba de respuesta frecuencial.3. Este método se plantea como sigue.6.4) dt τ Así. aunque a considerable costo de tiempo . De aquí se obtiene 1− Ahora se define t θ = e− τ K (3. Si los datos se desvían considerablemente de la línea recta se entendería que el instrumento no es de primer orden y un valor de τ obtenido por el método del 63.6. ln 1 − =− K τ (3.2) y entonces µ ¶ θ t ξ . esto asegura que el instrumento se comporta como del tipo de primer orden. 3.18) ilustra el procedimiento. La Fig.17: Respuesta normalizada a un escalón.2% sería muy engañoso. Más aún.5 0.6.2%.3) dξ 1 =− (3.25 0 0 2.6. si los puntos de datos caen cerca de la línea recta. se obtiene una linea recta cuya pendiente numéricamente es −1/τ . cual usa los datos de prueba de una función escalón redibujados en forma semilogarítmica a fin de obtener un mejor estimativo de τ y chequear en conformidad una respuesta verdadera de primer orden.5 x 10 Figura 3. Este da un valor más preciso de τ puesto se que usa la mejor línea a través de todos los puntos de datos en lugar de sólo dos puntos.5 5 7.1) la cual se encuentra graficada en la Fig.4) se puede escribir t θ = 1 − e− τ K (3. si se grafica ξ vs t.3.17.75 0.(3. De la ecuación (3. DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DE LOS PARÁMETROS DE UN SISTEMA DE MEDIDA71 y 1 0. como en el método del 63. 18: Pueba de la función escalón para un sistema de primer orden. Si estas características están presentes. 3.72 CAPÍTULO 3.5) ζ = u∙ ¸2 u t π +1 ln(a/A) 2π p ωn = (3. el valor numérico de τ se encuentra determinando ω en el punto de quiebre y usando τ = 1/ω b (ver Fig. La Fig. la razón de amplitud siguen las típicas asíntotas para bajas y altas frecuencias (pendiente cero y −20 dB/d´cada) y el ángulo de fase tiende e asintóticamente a −90◦ .5 5 7. características de amplitud y fase indican un comportamiento diferente al de un primer orden.19).7) . el sistema es sujeto a entradas sinusoidales sobre un amplio rango de frecuencias y tanto la entrada como la salida son registradas.5 -5 -7. Para sistemas de segundo orden. y dinero si el sistema no es completamente eléctrico. Si el sistema es verdaderamente de primer orden.6.20(b). puesto que los generadores sinusoidales no eléctricos no son ni comunes ni baratos. 3. La razón de amplitud y ángulo de fase se grafican sobre escalas logarítmicas.6.6. K se encuentra por calibración estática y ζ y ωn se pueden obtener de diferentes maneras a través de pruebas sobre funciones en escalón o respuesta frecuencial. Entonces ζ se puede aproximar a ζ≈ ln(x1 /xn ) 2πn (3. 3. cualquier entrada transitoria rápida producirá una respuesta similar a la de la Fig. Si se dispone del equipo. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA 0 0 2. Las desviaciones de las anteriores.5 x 10 -2.20(a) muestra un respuesta típica a un escalón para un sistema subamortiguado de segundo orden Los valores de ζ y ω n se pueden encontrar de las relaciones v u 1 (3.6) T 1 − ζ2 Cuando un sistema está ligeramente amortiguado.5 y -10 Figura 3. De la ecuación (3. Usualmente es más fácil expresar la respuesta del sistema en términos de dos constantes de tiempo τ 1 y τ 2 . si ζ se calcula para n = 1. 4 y 6 y se obtienen diferentes valores numéricos de ζ.6).6.0. es más preciso determinar el período T como el promedio de tantos ciclos distintos como sean posibles.6. 2.6.6.0) no existen oscilaciones y la determinación de ζ y ω n se torna más difícil. p Esta aproximación supone que 1 − ζ 2 ≈ 1.8) . Así. se presentan muchos ciclos de oscilación en el registro.3. DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DE LOS PARÁMETROS DE UN SISTEMA DE MEDIDA73 0 φ 1 ωb = τ log ω -20 dB / década 0º -45º -90º Figura 3.7) carece de importancia: el mismo valor de ζ se encontrará para cualquier número de ciclos. Para sistemas sobreamortiguados (ζ > 1.19: Prueba de respuesta frecuencial de un sistema de primer orden.6). Si al aplicar la ecuación (3.9) (3.3. el valor de n en la ecuación (3.puede encontrarse de la ecuación (3. 1 ³ ´ p ζ − ζ 2 − 1 ωn 1 ´ ³ p ζ + ζ 2 − 1 ωn (3.6.6. Si un sistema es estrictamente lineal y de segundo orden.1.6. en lugar de uno solo. y de nuevo ω n . τ2 . se entiende que el sistema no está siguiendo el modelo matemático postulado. la cual es muy precisa cuando ζ < 0. en vez de ζ y ω n .10) τ2 τ1 e−t/τ 2 + e−t/τ 1 τ2 − τ1 τ2 − τ1 (3.11) se puede escribir f0 (t) = 1 − donde τ1 . 74 CAPÍTULO 3. Dibujar Rpi en escala logarítmica contra una escala lineal del tiempo t.368P1 . Si esta nueva curva no es una línea recta.368(P1 − 100) es numéricamente igual a τ 2 . Para encontrar τ 1 y τ 2 de la curva de respuesta a una función escalón se puede proceder como sigue [2]: 1. Definir el porcentaje de respuesta incompleta Rpi como ¶ µ θ 100 Rpi .8 1. Si es una línea recta. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA θ Tiempo Tiempo 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0. Ahora. τ 1 es el tiempo en el cual la asíntota de la línea recta tiene el valor de 0. . y anotar el valor P1 donde la línea intercepta la escala Rpi . Prolongar esta línea hasta cero.20: Pruebas de escalón e impulso para sistemas de segundo orden. el tiempo en el cual esta línea tiene el valor 0.4 0.6 0. 1 − K 2.0 θ ciclos 1 0 (b) (a) Figura 3. 3. el sistema no es de segundo orden. Ahora se dibuja sobre la misma gráfica una nueva curva. la cual es la diferencia entre la asíntota en línea recta y Rpi . Si el sistema es de segundo orden.2 0. esta curva se aproximará a una línea recta para valores grandes de t. 3. Si se dispone de las curvas fase—ángulo. usualmente se desea la descripción del comportamiento dinámico en términos de la respuesta en frecuencia.21: Prueba de la función escalón para sistemas de segundo orden.368 2 3 0. DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DE LOS PARÁMETROS DE UN SISTEMA DE MEDIDA75 θ 150 100 80 70 60 50 40 P1 0.21 ilustra este procedimiento. Para encontrar ζ y ω n o τ 1 y τ 2 también se pueden usar los métodos de respuesta en frecuencia. o aleatorias.6. siguiendo los métodos generales usados experimentalmente .6.9) y (3. éstas constituyen una valiosa forma de chequeo del modelo propuesto. Los métodos mostrados usan solamente la curva de relación de amplitud.6.100] 10 5 0 0 1 2 3 4 5 6 7 τ2 τ1 Figura 3. 3.368 [ 20 1 .11) donde Ap es el valor máximo de la magnitud para la respuesta frecuencial (valor de la respuesta del sistema subamortiguado) y A0 es el valor de la magnitud para frecuencia cero (o frecuencia mínima si es en escala logarítmica).22 muestra la aplicación de estas técnicas. En este caso se aplica la siguiente relación para encontrar ζ Ap 1 = p A0 2ζ 1 − ζ 2 (3.10). de pulsos. La Fig.3. los valores de ζ y ωn se pueden determinar de las ecuaciones (3. Esta información puede ser obtenida haciendo pruebas con señales sinusoidales.6. Para sistemas de medida de forma arbitraria (en contraposición a los tipos de primer y segundo orden). Una vez que τ 1 y τ 2 se han encontrado. La Fig. 76 CAPÍTULO 3. Un importante efecto es la carga interna del elemento por medio de la cual un elemento dado en un sistema puede modificar las características de los elementos anteriores (por ejemplo. Cuando el sistema físico a ser estudiado es un sistema de medida.7 Efectos de la carga en sistemas de medida En la discusión de sistemas de medida. Así. gr.. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA Figura 3. ◦ v. primero examinando los . la señal de salida θo es en si misma generalmente útil y no se requiere la señal de salida de un sensor separado. es el del proceso de carga. y es alrededor de 10 veces mejor que la del sistema a ser calibrado.2 C. no se ha considerado hasta ahora los efectos producidos por la “carga”. el cual sirve como el patrón de calibración y cuya precisón se conoce. ésta define el rango de frecuencias bajo las cuales no se requieren correcciones y se proveen los datos necesarios para hacer correcciones dinámicas (usando los métodos de transformación) si se desea usar el instrumento en su rango de respuesta en frecuencia no plana. usualmente se requiere medir la señal de entrada ui con un sensor separado. para determinar los modelos matemáticos de sistemas físicos. por drenaje de corriente). la introducción de un sensor de temperatura dentro de un recipiente para líquido puede ocasionar que la temperatura descienda. Si se puede obtener de esta manera la relación (θo /ui )(iω) para el sistema de medida. Un segundo efecto más fundamental.22: Prueba de respuesta en frecuencia de un sistema de segundo orden. donde la introducción del elemento sensible en el proceso o sistema a ser medido hace que cambie el valor de la variable medida. En esta sección se discuten las dos formas de carga. 3. 0. Sin embargo. A su vez las características de este elemento pueden ser modificadas por el siguiente elemento en el sistema. Así. 3.2 Circuito equivalente Thévenin El teorema Thévenin establece que cualquier red que consista de impedancias lineales y fuentes de tensión puede reemplazarse por un circuito equivalente que consiste de una fuente de tensión VT h y una impedancia en serie ZT h (Fig.1 Carga eléctrica Se ha representado hasta ahora los sistemas de medida como bloques conectados por líneas simples donde la transferencia de información y energía está en términos de una sola variable.3. abierto de la red a través de los términales de salida.7. con todas las fuentes de tensión reducidas a cero y reemplazadas por sus impedancias internas.15 la transferencia de información entre los elementos está en términos únicamente del voltaje. Con el fin de describir el comportamiento tanto del voltaje como de la corriente en la conexión de dos elementos se necesita representar cada elemento por un circuito equivalente caracterizado por dos terminales. La conexión está representada entonces por dos líneas.7.7. y ZT h es la impedancia mirando hacia atras en estos terminales. EFECTOS DE LA CARGA EN SISTEMAS DE MEDIDA 77 principios de la carga eléctrica y luego extendiendo estos principios a los efectos de la carga en general. 3. no se puede identificar la corriente drenada en el amplificador generada por la termocupla.23). en el sistema de medida de temperatura Fig. Por lo tanto. ni la corriente drenada en el indicador generada por el amplificador. 2. Así. 3. conectar una carga ZL a través de los términales de salida de la red es equivalente a conectar ZL a través del circuito Thévenin.1) i= ZT h + ZL . La fuente VT h es igual a la tensión de circuito > i Red lineal ZL + V Th Z Th ° + VL _ ZL ° Figura 3. La corriente i en ZL está dada por VT h (3.7.23: Circuito equivalente de Thévenin. 2) se tiene 104 2 × 106 y Vn = 1000VI (3. 3. El error por carga εL = −0. la impedancia de carga debe ser mucho mayor que la impedancia Thévenin de la red. entonces la temperatura medida seráTM = 25VL . y usando la ecuación (3. 2.0075T .7. es decir. entonces VL → VT h .7. Ahora se puede discutir el circuito equivalente Thévenin para el sistema de medida de temperatura de la Fig. . La Fig. ZL = ZT h .7.24: Circuito equivalente de un amplificador. es decir.2) se ve que si ZL À ZT h . El amplificador actúa como una carga para la termocupla y como una fuente de voltaje para el indicador. El circuito equivalente completo para el sistema se muestra en la Fig.24 muestra un circuito equivalente general para un amplificador con dos pares de terminales.15. Usando los datos i N Zo > + vi Zi + A vi - - Figura 3. Ésto da ¶µ ¶ µ 104 2 × 106 TM = T = 0. que con el fin de obtener la máxima transferencia de tensión desde la red hasta la carga. la impedancia de carga deberá ser igual a la impedancia de la red. La termocupla puede estar representada por ZT h = 20Ω (resistiva) y ET h = 40T μV . la ganancia de voltaje de circuito abierto A = 103 .7.4) 2 × 106 + 20 104 + 75 VI = 40 × 106 T es decir. típicos de un amplificador.2) De la ecuación (3. la impedancia de salida ZO = RO = 75Ω. se ha introducido un factor ZL /ZT h + ZL en cada interconexión de dos elementos para admitir la carga.7. se tiene una impedancia de entrada ZI = RI = 2 × 106 Ω. donde T es la medida de la temperatura en la unión. Con el fin de obtener la máxima transferencia de potencia desde la red hacia la carga. si se ignoran los efectos de la no linealidad y temperatura de la unión de referencia. 3.25.9925T (3.78 CAPÍTULO 3. es además el error de estado estacionario debido a las imperfecciones de los elementos. El indicador es una carga resistiva de 104 Ω.3) 2 × 106 + 20 75 + 104 Si la escala del indicador muestra que un cambio de 1V en VL produce un cambio en la deflexión ◦ de 25 C. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA y la tensión VL en la carga es VL = iZL = 1 VT h 1 + ZTLh Z (3. Así. Este error puede eliminarse bien sea incrementando la .0)2 ] (3. La medida de pH es µ ¶ 104 1 pHM = 59pH ≈ 10−5 pH (3.7.5)2 + (6. El indicador del valor pH para el sistema modificado (Fig:(zz)) es 1012 104 pH pHM = 12 × 4 10 + 109 10 + 10 y el error por carga es ahora −0. tal que la amplitud del voltaje registrado es ˆ VL = Vp 10 RL = 5p = 3. Así el probelma es resuelto conectando el eléctrodo a un indicador por medio de amplificador buffer.85V |ZT h + RL | [(11. EFECTOS DE LA CARGA EN SISTEMAS DE MEDIDA 75 79 20 > T Temperatura verdadera + + vi 2M + 1000 vi 10k TM =25V L Temperatura medida Indicador > - 40T μV Amplificador Termocupla Figura 3. es decir. es decir. se muestra en la Fig. con sensibilidad 59 mV por pH.002pH. Esté está caracterizado por ZIN grande. Supóngase ahora.5 + j6. Vp = (5. aquí estará efectivamente un indicador cero para cualquier valor no cero.26. es cual es negativo. ZT h = RT h + jωLT h . pero si no se toma cuidado. ZOU T = 10Ω. El error por carga en el ejemplo anterior es pequeño.7.0kΩ.25: Equivalente Thévenin para un sistema de medición de temperatura. la velocidad angular registrada es 770rad s−1 . Por ejemplo. la cual representa el circuito equivalente de un tacogenerador con reluctancia variable conectado a un registrador. Un ejemplo del efecto de la carga ac. ω = 6 × 103 rad s−1 y ZT h = 1. si ω r = 103 rad s−1 . ZOUT pequeño y una ganancia unitaria A = 1. La impedancia Thévenin ZT h para el tacogenerador es una inductancia y una resistencia en serie (un imán rodeado por una bobina).7. Vp = 5V.6) Si la escala de sensibilidad del registrador alcanza el valor de 1/(5 × 10−3 )rad s−1 . 3. En este ejemplo. tendrá una ZIN = 1012 Ω. está conectado directamente a un indicador 1 con ZL = RL = 104 Ω y una escala de sensibilidad 59 pH/mV.5) 104 + 109 59 es decir.3. un amplificador operacional con una etapa de entrada con FET conectado con un seguidor de voltaje. éste puede ser muy grande. El voltaje Thévenin VT h para el tacogenerador es tipo ac con una amplitud Vp y una frecuencia angular ω.0×10−3 )ω r V y ω = 6ω r rad s−1 . ET h = 59pHmV y ZT h = RT h = 109 Ω. que un electrodo de vidrio para medir pH. ambos proporcionales a la velocidad mecánica angular ω r . 3 Ejemplo del cálculo de un circuito equivalente Thévenin La Fig. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA L th 1H R th 1. impedancia del registrador o cambiando su sensibilidad para evitar los efectos de la carga. que es Rp x ET h = . y calculando la impedancia vista desde los terminales AB como se muestra en la Fig.c.7) La impedancia Thévenin ZT h se encuentra escogiendo una fuente de voltaje Vs = 0.8) Así el efecto de conectar una carga resistiva RL (el registrador o el indicador) a través de los terminales AB es equivalente a conectar RL a través del circuito Thévenin. Una mejor alternativa es reemplazar el registrador por un contador que mida la frecuencia en lugar de la amplitud de la señal del tacogenerador. de un tacogenerador.7. La resistencia del potenciómetro varia linealmente con el desplazamiento.7. la resistencia correspondiente es Rp x.5k + Vp sen ω t RL 10k V L V th Tacogenerador de reluctancia variable Registrador Figura 3.(zz). Asi 1 1 1 + = RT h Rp x Rp (1 − x) dando RT h = Rp x(1 − x) (3. 3. La relación entre ET h y la fuente de voltaje Vs es igual a la relación de la resistencia fraccional Rp x.(zz) muestra un digrama esquemático de un sensor potenciométrico para medida de desplazamientos d. donde Rp Ω es la resistencia total del potenciómetro. El voltaje Thévenin ET h es el voltaje de circuito abierto a través de los terminales de salida AB. reemplazando la fuente por sus impedancia interna (se asume cero).26: Carga a. Vs Rp dando ET h = Vs x (3.7. Así si x = d/dT es el desplazamiento fraccional.El voltaje de carga .80 CAPÍTULO 3. 12) VL = iN ZN + ZL . Supóngase que un potenciómetro de rango 10cm está conectado a un registrador de 10Ω. Así el efecto de la carga en un sensor potenciométrico lineal es introducir un error no lineal en el sistema dando ¾ ½ 1 N (x) = ET h − VL = Vs x 1 − (Rp /RL )x(1 − x) + 1 es decir N (x) = Vs ½ x2 (1 − x)(Rp /RL ) 1 + (Rp /RL )x(1 − x) ¾ (3. dando ZN · ZL (3. EFECTOS DE LA CARGA EN SISTEMAS DE MEDIDA es VL = ET h es decir VL = Vs x 81 RL RL = Vs x RT h + RL Rp x(1 − x) + RL 1 (Rp /RL )x(1 − x) + 1 (3. así un potenciómetro de 15 1KΩ podrá ser adecuado. donde 1/Z = 1/ZN + 1/ZL .11) N= 27 RL RL Los requerimiento de no linelidad de la sensibilidad y la máxima potencia son usados para especificar los valores de Rp y Vs para una aplicación dada. y iN es la corriente que fluye cuando los terminales están corto circuitados.7. Conectando una carga ZL a través de los terminales de la red es equivalente a conectar ZL a través del circuito Norton. corresponde a dN/dx = 0 y un valor 3 ˆ negativo d2 N/dx2 . El voltaje VL a través de la carga está dado por VL = IN Z. entonces se requiere 15Rp /RL 6 2.zz).7.7.7.10) el cual se reduce a N (x) ≈ Vs (Rp /RL )(x2 − x3 ) si Rp /RL ¿ 1 (situación normal). ZN es la impedancia vista desde los terminales de salida con todas las fuentes de voltaje reducidas a cero y reemplazadas por su impedancia interna. el valor de la linealidad depende de la relación Rp /RL (Fig. Si la máxima no linealidad no debe exceder el 2%.7. Como la sensibilidad es dVL /dx ≈ Vs . Expresando N como un porcentaje de la escala full de deflexión o giro Vs voltios da: Rp 400 Rp ˆ % ≈ 15 % (3.zz).3.7. N (x) tiene 4 ˆ un valor máximo de N = 27 Vs (Rp /RL ) cuando x = 2 .4 Circuito equivalente Norton EL teorema Norton establece que cualquier red que contenga impedancias lineales y fuentes de voltaje puede ser reemplazado por un circuito equivalente consistente de una fuente de corriente iN en paralelo con una impedancia ZN (Fig.9) La relación entre VL y x es no lineal. es decir Rp 6 20 × 103 Ω. la sensibilidad mas grande que Vs 3. .14) Usando los datos dados. Puesto que 1 Z = CN s + CC s + 1 RL Z = RL 1 + RL (CN + CC )s donde s denota el operador de Laplace.12). donde se ve que el cristal actúa como capacitor CN en paralelo con la fuente de corriente iN . La (Fig.82 CAPÍTULO 3. La figura 5. que además para desarrollar la máxima corriente a través de la carga. de rangos típicos de 0 a 2 × 104 P a. entonces los átomos del cristal experimentan un pequeño desplazamiento x proporcional F . q = Kx. Un segundo ejemplo de un generador de corriente está dado por un cristal piezoeléctrico actuando como un sensor de fuerza.7. La función de transferencia que relaciona los cambios dinámicos de la corriente de la fuente y el voltaje de la grabadora es así ¯ RL ∆VL (s) = ∆¯N (s) ı 1 + RL (CN + CC )s (3. Un ejemplo común de una fuente de corriente es un transmisor de presión diferencial electrónico que entrega una señal de corriente a la salida. Si una fuerza F es aplicada a cualquier cristal.7. a través de la carga total RC + RR del registrador y el cable es VL = iN RN (Rc + RR ) RN + RC + RR (3.05 por ciento.13) y la relación VR /VL = RR /(Rc + RR ) dondo el voltaje del registrador VR = iN RR RN RN + RC + RR (3. donde dx/dt es la velocidad de las deformaciones atómicas.zz) muestra un circuito equivalente típico para el transmisor conectado a un registrador por medio de un cable. Este efecto se discute mejor en la sección 8.15) Así. se tiene que VR = 0.7. CN y RL en paralelo. entonces VL → iN ZL . Usando (3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA De (3.7.11 muestra el circuito equivalente y los valores típicos de los componentes para un cristal conectado por medio de un cable capacitivo CC a un grabador que actúa como una carga resistiva RL . es decir. el efecto de la carga eléctrica en este ejemplo es para introducir una función de transferencia en un sistema de medición de fuerza.7.12) se nota que si ZL ¿ ZN . en un rango de 4 a 20mA. proporcional a la presión diferencial de entrada. donde Z es la impedancia de CC .7. El voltaje VL através de la carga está dado por iN Z. Para un material piezoeléctrico el cristal adquiere una carga q proporcional a x es decir. la impedacnia de carga deberá ser más pequeña que la impedancia Norton para la red. esto afectará la exactitud dinámica.9995iN RR tal que el voltage del registrador diverja del rango deseado de 1 a 5V solamente el 0. El cristal puede por lo tanto ser visto como una fuente de corriente Norton de magnitud iN = dq/dt = K(dx/dt). 7.(zz) muestra un sistema mecánico o ‘proceso’ representado por una masa.16) Fs = ks x mostrando que la relación entre la fuerza medida Fs y la fuerza verdadera F es Fs = Ks 1 F = F ks + kp 1 + kp /ks (3.7.3.7. corriente es un ejemplo de variable de traspaso o flujo x. Para un sistema térmico la resistencia térmica es análoga a la resistencia eléctrica. El voltaje es un ejemplo de una variable a través de o esfuerzo y. Cada par y − x tiene la propiedad de ˙ que el producto y x representa potencia en vatios (excepto por las variables de temperatura.5 Carga Generalizada Se ha visto en la sección previa como los efectos de la carga eléctrica pueden ser descritos usando un par de variables. (adaptada de [2] ) enlista los pares de esfuerzo-flujo de diferentes formas de energía y cada par define las cantidades relacionadas de impendancia. diferencia de temperatura-flujo de calor. Bajo condiciones de estado estacionario cuando la velocidad sea x = 0 y la ˙ acaleración sea x = 0. La Fig.18) .7.1. el voltaje y la corriente. torque-velocidad angular. La fuerza F aplicada a el proceso está siendo medida por un sensor de fuerza. que pueden generalizarse los circuitos eléctricos equivalentes de Thévenin y de Norton a sistemas no eléctricos.17) Además se ve que para minimizar el error de carga en el estado estacionario el sensor de rigidez ks podrá ser mucho más grande que la rigidez procesada kp . diferencia de presión-flujo de volumen. Así se ve que los conceptos de impedancia están aplicados a mecánica. Para un sistema mecánico la masa es análoga a la inductancia eléctrica. Una ˙ variable de esfuerzo conduce a una de flujo a través de una impedancia. la segunda ley de Newton da las ˙ siguientes ecuaciones diferenciales: proceso sensor ˙ ¨ F − kp x − λp x − Fs = mp x rFs − ks x − λs x = ms x ˙ ¨ (3. fluídica y sistemas térmicos también como electricos. Otros ejemplos de pares esfuerzo-flujo son fuerza-velocidad. y 1/rigidez es análogo a la capacitancia eléctrica. Bajo condiciones de inestabilidad cuando x no sea cero. que ˙ tienen dimensiones de vatios×temperatura). un resorte y un amortigüador. Esto significa.7. que consiste de un elemento elástico en unión con un sensor de desplazamiento potenciómetrico. la capacitancia térmica es análoga a la capacitancia eléctrica. EFECTOS DE LA CARGA EN SISTEMAS DE MEDIDA 83 3. flexibilidad e inertancia. se tienen las siguientes ecuaciones de balance de fuerzas: ¨ proceso sensor F = kp x + Fs (3. la constante de amortigüamiento es análoga a la resitencia eléctrica. Se pueden entonces estudiar ejemplos de como un elemento sensor primario puede ‘cargar’ el proceso o el sistema a ser medido. El sensor elástico de fuerza puede también representarse por una masa. rigidez. un resorte y un amortiguador. La tabla 5. Si ∆x.7. tal que ˙ impedancia del proceso impedancia del sensor ZMP (s) = mp s + λp + kp s ks (s) = ms s + λs + s (3. Bajo condiciones de inestabilidad.(zz) muestra un cuerpo caliente.21) (3. 1/kp .22) la relación entre los cambios dinámicos entre la fuerza medida y la real es ¯ ∆ Fs (s) = ZMS ¯ ∆F (s) ZMS + ZMP (3. La Fig.7. R .22) De (3. entonces la transformada de Laplace de las ecuaciones (3. la impedancia del sensor ZMS puede ser mucho más grande que la impedacnia del proceso ZMP .7. C. Se ve que el circuito equivalente completo para el sensor de fuerza es una red de cuatro terminales o de dos puertos.19) ˙ Utilizando las analogias dadas al principio.7. R . = Ws .19) son: ¶ µ kp ___ ¯ ¯ ∆x = ∆F − ∆Fs ˙ (3. Wp = Up Ap (TF − Tp ) Ws = Us As (Tp − Ts ) (3. Esto es similar al circuito equivalente para un amplificador electronico (Fig. ∆F y ∆Fs se derivan ˙ de las condiciones estacionarias iniciales.zz) excepto que aquí el puerto de entrada involucra transferencia de energía mecánica.7. λs .7.84 CAPÍTULO 3. 1/ks .() muestra el circuito equivalente para el sistema: proceso .20) y (3. sensor de fuerza y el registrador.7. es decir.20) mp s + λp + s ¶ µ ks ___ ¯ ∆x = ∆Fs ˙ ms s + λs + s Usando la tabla () se puede definir la función de transferencia de la impedancia mecánica por ___ ¯ ZM (s) = ∆F / ∆x (s). el sensor puede representarse por Fs conduciendo x a través del circuito mecánico L. y el proceso puede representarse por F − Fs conduciendo x a través del circuito mecánico L. un ‘proceso’ térmico cuya temperatura Tp está siendo medida por un sensor termocupla.mp . las consideraciones de razón de flujo de calor son dadas por las siguientes ecuaciones diferenciales: proceso sensor Mp Cp dTp dt dTs Ms Cs dt = Wp − Ws . La Fig. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA es decir mp Z dx ˙ + λp x + kp xdt = F − Fs ˙ ˙ dt Z dx ˙ + λs x + ks xdt = Fs ˙ ms ˙ dt (3. λp .7.24) .7. C.23) Además para minimizar los efectos de la carga dinámica.ms . 26) (3. se ha discutido en las sección () para condiciones estáticas. Y. Y (s). EFECTOS DE LA CARGA EN SISTEMAS DE MEDIDA 85 donde M masa C calor específico U coeficiente de transferencia de calor A área de transferencia de calor Las cantidades Mp Cp . Si esas cantidades deben ser encontradas experimentalmente usualmente la forma de respuesta en frecuencia es en su mayor parte usada.7.7.27) (3. etc. Y (iω). El circuito equivalente para el proceso y la termocupla está mostrado en la Fig. Ms Cs .Mp Cp y la relación entre Tp y Ts dependen del divisor de potencia 1/(Us As ).. En conclusión se nota que la representación de los elementos de un sistema de medida por redes de dos puertos permite que los efectos de la carga del proceso y entre los elementos sea cuantificados. ahora se definen las cantidades Z. 3. Ms Cs tiene las dimensiones de calor/temperatura y son análogas a la capacitancia eléctrica.6 Efectos de la carga bajo condiciones dinámicas El tratamiento de los efectos de la carga por medio de la impedancia. y C como funciones de transferencia relacionando las mismas dos variables bajo las mismas condiciones excepto que ahora se considera la operación dinámica. se debe obtener (teóricamente o experimentalmente) Z(s). De nuevo la termocupla puede representarse por una red de dos puertos con un puerto de entrada térmico y un puerto de salida eléctrico. S(iω). S(s). Las cantidades Up Ap .7. S. Se ve que la relación entre TF y Tp depende de un divisor de potencia 1/Up Ap . y C(iω) si se desea usar el método de respuesta en frecuencia. Esto significa. Us As tiene las dimensiones de razón de flujo de calor/temperatura y son análogas a 1/(resistencia eléctrica). . (zz). Es decir. Para generalizar esos conceptos. Y. entonces que en la búsqueda. S y C fueron previamente consideradas por ser la razón de pequeños cambios en dos variables sistemas de afines bajo condiciones establecidas.7. Todos esos resultados pueden ser inmediatamente transferidos para el caso de la operación dinámica generalizando las definiciones en términos de las funciones de transferencia Las ecuaciones básicas que se refieren a valor sin alteración qi1u y al valor real medido qi1m en la entrada del dispositivo es ui1m = ui1m = ui1m = ui1m = 1 ui1u Zgo /Zgi + 1 1 ui1u Ygo /Ygi + 1 1 ui1u Sgo /Sgi + 1 1 qi1u Cgo /Cgi + 1 (3.28) Las cantidades Z.25) (3.7. y C(s) si se desea usar el método operacional de función de transferencia y Z(iω).7. la admitancia.3. 7. (Si el sistema es un poco no lineal. valor de la variable medida que puede existir si el dispositivo de medida no produce cargabilidad sobre el medio medido.34) .7. Z(iω). y se puede calcular qo si la función de transferencia (qo /qi )(iω) se conocen. salida real del dispositivo de medida que no tiene carga en sus salidas ui . y asi se puede hablar de una razón de amplitud y ángulo de fase entre esas dos cantidades.25) por ejemplo.().7.33) (3.7.7. La función de transferencia sin carga que relaciona el desplazamiento de salida x0 y la velocidad (medida) de entrada vi es obtenida como sigue: ˙ ˙ ¨ Bi (xi − x0 ) − Kis xo = Mi xo xo Ki (s) = 2 2 vi s /ω ni + 2ζ i s/ωni + 1 (3. (3.28) pueden ser modificadas en forma similar. fase. Las ecuaciones (3.30) (3.7. y frecuencia de una sinusoidal qi1m son dadas.7. como se muestra en la Fig.32) Un ejemplo de los métodos anteriores puede ser útil. se puede escribir (θo ) θo 1 (s) = (s) ui1u Zgo s)/Zgi (s) + 1 ui (3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA se supone. si esas son conocidas. la aproximación efectiva Z llega a ser una función también de amplitud de entrada). También. En la ecuación (3. La cantidad qi1m entonces podrá ser la entrada actual (qi ) pára el dispositivo de medida. Esto causa un cambiosinusoidal en la otra variable (salida).26).27) y (3.31) y entonces se obtine la ecuación diferencial en la forma usual por medio del “producto cruz” [Zgo (s) + Zgi (s)] n X i=0 ai si θo = [Zgi (s)] m X j=0 bj sj ui1u (3. Considérese un dispositivo para medir la velocidad translacional. Zgo y Zgi podrán ahora ser números complejos.7.7. se puede calcular la amplitud y fase de qi1m si la amplitud.una de las dos variables involucradas en la definición de Z juega el papel de una entrada cantidad la cual se varia sinusoidalmente en diferentes frecuencias. haciendo ahora Z(iω) un número complejo que varia con la frecuencia. si las ecuaciones diferenciales que relacionan θo (t) se necesitan.86 CAPÍTULO 3.29) donde θo . Es decir ∙ ¸ θo 1 (iω) Qi1u (iω) Qo (iω) = Zgo (iω)/Zgi (iω) + 1 ui Así se puede definir una función de transferencia cargada (θo /ui1u )(iω) como (θo ) θo 1 (iω) . (iω) ui1u Zgo (iω)/Zgi (iω) + 1 ui (3.7. 40) (3.43) . relación de amortiguación del instrumento .41) (3.7. El caracter de esta distorsión puede ser calculado aplicando la ecuación (3.38) La Fig.7.39) (3. Se ve que el instrumento es de segundo orden y asi se medirá vi exactamente para frecuencias suficientemente bajas realtivas a ω in . sensibilidad estática del instrumento .37) Bi ζ i . Supóngase ahora conectar el instrumento a un sistema de vibración cuya velocidad deseamos medir.() también muestra las frecuencias características de esta admitancia de entrada. Se determina la admitancia de entrada Ygi (s) = (v/f )(s) de la Fig.7.().7. La presencia del instrumento de medida distorcionará la velocidad que se trata de medir. La admitancia de salida Ygo (s) = (v/f )(s) del sistema de medida es obtenida de la Fig. √ 2 Kis Mi ω ni . y asi la admitancia es la cantidad apropiada para usar. se obtiene ¡ ¢ (1/Bi ) s2 /ω 2 + 2ζ i s/ω ni + 1 v ni Ygi (D) = (s) = f s2 /ω 2 + 1 ni (3. puesto que la cantidad medida es velocidad (un flujo variable).7.7.7.3.7. frecuencia natural del instrumento sin amotiguación . eliminado xo .7.42) La frecuencia característica de esta admitancia de salida se muestra en la Fig. EFECTOS DE LA CARGA EN SISTEMAS DE MEDIDA donde Ki .35) (3.() como sigue: f − kis x0 = Mi xo ¨ También f = Bi (v − xo ) ˙ y.26). Se puede ahora escribir xo (s) = vi1u xo (s) = vi1u xo 1 (s) Ygo (s)/Ygi (s) + 1 vi Ki ω 2 1 ni ¡ 2 ¢ s2 + 2ζ i ω ni s + ω2 Bi s + ω 2 ω 2 (1/Ks ) s ni ni n +1 s2 + 2ζω n s + ω 2 s2 + 2ζ i ω ni s + ω 2 n ni | {z } efecto de la carga (3.36) r Kis Mi rad/s (3. Bi Kis m/(m/s) 87 (3. como en la Fig.7.7.().(): f − B x − Ks x = M x ˙ ¨ (1/Ks ) s v (s) = 2 2 Ygo (s) = f s /ω n + 2ζs/ω n + 1 (3. . la segunda y2 es tomada en t = 2∆T . La Fig. escribir por medio de los valores y1 a yN de N muestras tomadas en intervalos iguales ∆T durante To . . N . Puesto que los efectos de la carga pueden ser expresados en términos de frecuencia. o densidsad espectral de la media cuadrada. Figura 3. sin embargo. Se puede. la i—ésima yi es tomada en t = i∆T . . ellos pueden ser manejados para toda clase de entradas usando apropiadamente series de Fourier. transformada. pero cercano a cero para frecuencias muy bajas o muy altas.() muestra que en este ejemplo el efecto de la carga es más severo para frecuencias cercanas a la frecuencia natural del sistema de medida. donde i = 1.Los intervalos de muestreo∆T = To /N deben satisfacer el teorema de muestreo de Nyquist. salida real del dispositivo de medida vi1u .8 Señales y ruido en los sistemas de medida Representación estática de las señales aleatorias a.27: 3. velocidad que puede existir si el dispositivo de medida no produce cargabilidad. Ahora se puede usar ese muestreo para para calcular las cantidades estáticas de la sección observada .88 CAPÍTULO 3. La primera muestra y1 es tomada en t = ∆T . La Fig. . CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA donde xo . Puesto que la señal es aleatoria no se puede escribir por medio de una ecuación algebraica continua y(t) para la señal de voltaje y en el tiempo t.(zz) muestra un registro de una señal aleatoria obtenido durante una observación periódica To . la fuente y la carga por lo general se encuentran a 100m de distancia y los ruidos o voltajes de interferencia pueden presentarse.8. es decir N es suficientemente grande. S/N = +20 dB. es decir. Se define la relación de señal a ruido o señal a interferencia S/N decibeles por µ ¶ µ ¶ ET h Ws S = 20 log10 = 10 log!0 dB (3. con tal que: a.8. Así si ET h = 1 V. La Fig.3. una vez la observación periódica es completada. una . la señal sea estacionaria.1 V . La fuente de corriente Norton iN se divide en dos partes. La corriente i a través de la carga es i= ET h + VSM ZT h + Rc + ZL y el voltaje correspondiente a través de la carga VL = ZL (ET h + VSM ) ZT h + Rc + ZL (3.1) llega a ser VL = ET h + VSM (3. pueden ser representados por un circuito equivalente.1 Efectos del ruido y la interferencia en los circuitos de medida En la sección ?? se vió que la interconexión de dos elementos de medida. Ws y WN son las correspondientes potencias de la señal total y del ruido. las cantidades estáticas de los términos grandes no cambian con el tiempo.8.() muestra un sistema de transmisión de corriente sujeto a las mismas series de modo de interferecnia de voltaje VSM . tales como una termocupla y un amplificador o transmisor de presión diferencial y una grabadora. La figura ??? muestra un sistema de transmisión de voltaje sujeto a una serie de modos de interferencias.8.8. En una instalación industrial. Esas cantidades estáticas observadas proporcionan una estimación buena del comportamiento futuro de la señal.8. To sea suficientemente extenso. bajo estas condiciones la ecuación (3. aquí un ruido o interferencia de voltaje VSM es una serie con medida de señal de voltaje ET h . SEÑALES Y RUIDO EN LOS SISTEMAS DE MEDIDA 89 de la señal.3) N VSM WN donde ET h y VSM los valores rms de los voltajes.2) Esto significa que en un sistema de transmisión de voltaje todo el VSM está a través de la carga.1) Normalmente se hace ZL À Rc + ZT h para obtener la máxima transferencia de voltaje para la carga. en el cual. ambos. VSM = 0. esto afecta el siguiente elemento en el sistema y posiblemente resulte un error en el sistema de medida. b. una fuente de voltaje Thévenin o una fuente de corriente Norton se conecta a una carga. 3. 90 CAPÍTULO 3. La Fig. puede ser despreciado. Usando la regla del divisor de corriente.6) Puesto que ZL /ZN ≈ 1. por esta razón. .(c) muestra un sistema de transmisión de voltaje sujeto a modo común de interferencia en el cual los potenciales de ambos lados de la señal del circuito son creados por VCM relativo al plano común a tierra.8. En una termocupla el sistema de medida de temperatura. Si como. puede ser mejor convertir los milivoltios de la fem de la temocupla en una señal de corriente precedente a la transmisión.8. Así un sistema de transmisión de corriente tiene una mayor inmunidad inherente a las series de modos de interferencia que un sistema de transmisión de voltaje.5) llega a ser VL ≈ iN ZL + ZL VSM ZN (3.5) Normalmente se hace Rc + ZL ¿ ZN para obtenr la máxima transferencia de corriente para la carga.8.4) (3. esto significa que con un sistema de transmisión de corriente solamente una pequeña fracción de VSM está a través de la carga. la corriente i → 0 para que el potencial caíga a iRc /2 etc. Allí hay. sin embargo. bajo estas condiciones la ecuación (3.8. Esto significa que el voltaje a través de la carga no está afectado por VCM . Bajo estas condiciones: Potencial en B = VCM Potencial en A = VCM + ET h y VL = VB − VA = ET h . la posibilidad de conversión de un voltaje en modo común a modo serie. ZL À Rc + ZT h . El voltaje total a través de la carga es por lo tanto VL = iZL + iSM ZL ZN ZL = iN ZL · + VSM · ZN + Rc + ZL ZN + Rc + ZL (3. la corriente a través de la carga debido a la fuente es i= ZN ZN + Rc + ZL Además aqui hay una interferencia de corriente iSM = VSM ZN + Rc + ZL a través de la carga debido a la interferencia de voltaje. más bien que transmitir la fem directamente. la otra parte a través de ZL . CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA parte a través de la impedancia de la fuente ZN . SEÑALES Y RUIDO EN LOS SISTEMAS DE MEDIDA 91 3. este ocurre en transistores y se debe a las fluctuaciones aleatorias de la media en los cuales los transportadores difunden a través de una unión.8.4 × 10−23 JK −1 .8. De la ecuación ???? el ruido de potencia termal total entre las frecuencias f1 y f2 Hz es Z f2 W = f1 4Rkθ df = 4Rkθ(f2 − f1 ) vatios (3.8.8.3. es decir: φ = 4Rkθ watts/Hz (3.7) donde R ohmios es la resistencia de el conductor y k es la constante de Boltzmann= 1. VRMS = 130μV y es por lo tanto comparable con las señales de bajo nivel como la salida de puente de galga de esfuerzo. si R = 106 Ω.9) Así. Un tipo similar de ruido es llamado ruido de disparo. Este tiene una densidad de potencia espectral que es uniforme a lo largo de un rango infinito de frecuencias (ruido blanco) pero proporcional a la temperatura absoluta θK de el conductor. f2 −f1 = 106 Hz y θ = 300K.8. .2 Fuentes de ruido y mecanismos de acople Fuentes de ruido interno El movimiento aleatorio inducido por la temperatura de los electrones y otros transportadores de carga en resistores y semiconductores da un aumento a un correspondiente voltaje aleatorio llamado termal o ruido de Johnson. Este es de nuevo caracterizado por una densidad de potencia espectral a través de un amplio rango de frecuencias.8) y de eq??? el voltaje rms correspondiente es p √ VRMS = W = 4Rkθ(f2 − f1 ) (3. CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LOS SISTEMAS DE MEDIDA .92 CAPÍTULO 3. 2 Conceptos Generales En ingeniería. particularmente aquellos con un gran número de variables independientes o parámetros.Capítulo 4 Análisis Estadístico de Datos Experimentales 4. Aún si el mismo sistema de medición se utiliza para medir repetidamente un parámetro fijo. Esto es común en experimentos en las ciencias sociales y a veces en ingeniería. la estadística puede ofrecer herramientas que permiten separar valores indeseables de los datos recogidos 4. Los tipos de errores en las mediciones se discutieron antes y generalmente se dividen en dos categorías: de sesgo y de precisión (o sistemáticos y aleatorios. En algunos casos la aleatoriedad de los datos es tan dominante que es difícil distinguir los datos de los valores indeseables. Los errores de sesgo son consistentes. Los conceptos estadísticos son útiles no solo para la interpretación de los datos experimentales sino también para planeamiento de los experimentos. Esta aleatoriedad puede ser causada por variables no controladas (o no controlables) que afectan la medida. o en la carencia de precisión en el proceso de medición. respectivamente). los resultados no tendrán el mismo valor. a menudo se requieren las herramientas estadísticas para identificar y generalizar las características de los datos de prueba o determinar los límites en la incertidumbre de los mismos. En tales casos. Para aplicar análisis estadístico a datos experimentales se pueden plantear varios pasos: 93 . sin embargo. los errores por repetición pueden a menudo minimizarse por calibración del sistema de medición. la tendencia general de datos es usualmente evidente. Son los errores de precisón los que mejor se pueden tratar utilizando métodos de análisis estadístico.1 Introducción Prácticamente en todos los procesos de medición se observan características aleatorias. Para una que tenga más de una moda.2. gr. Si las mediciones se ordenan en orden creciente o decreciente la mediana es el valor del centro del conjunto. distribución uniforme). Si el conjunto tiene un número par de elementos. la mediana y la moda tener valores muy cercanos. • En el siguiente paso se selecciona la función de distribución teórica que sea más adecuada para explicar el comportamiento de los datos. La moda es el valor de la variable que corresponde al valor pico de la probabilidad de ocurrencia del evento.94 CAPÍTULO 4.2) Los otros dos parámetros que describen la tendencia central son la mediana y la moda. las frecuencias de ocurrencia de cada moda no requieren ser las mismas. la moda puede identificarse fácilmente como el valor de más frecuente ocurrencia.1) donde los xi son los valores de los datos de la muestra y n es el número de mediciones.1 Medidas de Tendencia Central El parámetro más común usado para describir la tendencia central es la media. 4. Para una población con un número finito de elementos. Aunque es común para la media. Para algunas distribuciones (v. en algunas hojas de datos pueden aparecer valores significativamente diferentes.2 Medidas de Dispersión Dispersión es la separación o variabilidad de los datos. con valores xi . x1 + x2 + · · · + xn X xi μ= = N N i=1 N (4. gr. la media se denota con el símbolo μ y está dada por: .2. la mediana es el promedio de los dos valores centrales. 4.. distribución bimodal) puede haber más de una frecuencia pico y más de una moda. x1 + x2 + · · · + xn X xi = x= ¯ n n i=1 n (4. la moda se toma como el punto medio del intervalo de datos con la frecuencia más alta.2. En un espacio muestral discreto. En un espacio muestral continuo. la cual se define por: . • Se puede entonces utilizar la función teórica elegida para predecir algunas propiedades de los datos. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES • Los datos se caracterizan por la determinación de los parámetros que especifican la tendencia central y la dispersión de los mismos.2.. N. puede no existir la moda. mientras que para otras distribuciones (v. Las siguientes cantidades son las más utilizadas para representar la magnitud de la dispersión de variables aleatorias alrededor de su valor medio: . 2.1: Resultados de 60 mediciones de la temperatura en un ducto Número de Temperarura lecturas [◦ C] 1 1089 1 1092 2 1094 4 1095 8 1098 9 1100 12 1104 4 1105 5 1107 5 1108 4 1110 3 1112 2 1113 • La desviación de cada medida se define como .2.4) • La desviación estándar de la población.2. se define como v u n ¯ .5) N i=1 La desviación estándar muestral se usa cuando los datos de una muestra se utilizan para estimar la desviación estándar de la población.4.3) (4. para una población con un número finito de elementos. La desviación estándar muestral.2. d= n i=1 n 95 (4. CONCEPTOS GENERALES Tabla 4.6) .2. uX (xi − x)2 σ=t (4. uX (xi − x)2 S=t n−1 i=1 (4. se define como v uN ¯ . di = xi − x ¯ • La desviación media se define como X |di | ¯. 2. en cuyo caso la probabilidad será representada por P (x). Sol. Encontrar los valores correspondientes a los parámetros media.96 CAPÍTULO 4. En la Tabla 4.2: Medidas de la temperatura arregladas en intervalos.2 se muestran los datos arreglados para intervalos de temperatura. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES Tabla 4.1) n El evento puede ser representado por una variable aleatoria continua x. varianza y moda. Para una variable aleatoria discreta xi .3 Probabilidad La probabilidad es un valor numérico que expresa la posibilidad de ocurrencia de un evento relativo a todas las posibilidades en un espacio muestral. Entonces m (4. Las siguientes son algunas propiedades asociadas con la probabilidad: Probabilidad de un evento A = . mediana.79◦ C Varianza S 2 = 33.1 se dan los resultados de las mediciones de la temperatura tomadas en un ducto de gas recalentado.7) Ejemplo 5 En la Tabla 4. evaluada para n À 1. desviación estándar. Para las mediciones de temperatura de la Tabla 4.49◦ C 2 Moda m = 1104◦ C 4.1 los resultados son Media x = 1103◦ C ¯ Mediana xm = 1104◦ C Desviación estándar S = 5.3. La probabilidad de ocurrencia de un evento A se define como el número de ocurrencias exitosas (m) dividido por el número total de resultados (n) en un espacio muestral. Intervalo Número de [◦ C] medidas 1085 ≤ T < 1090 1 1090 ≤ T < 1095 3 1095 ≤ T < 1100 12 1100 ≤ T < 1105 21 1105 ≤ T < 1110 14 1110 ≤ T < 1115 7 1115 ≤ T < 1120 2 La varianza se define como varianza = ½ σ2 S2 para la población para una muestra (4. la probabilidad se representa por P (xi ). P (A) = 1.2) 5. P (A) = 0. La suma de las probabilidades de todos los valores posibles de x es 1 n X i=1 P (xi ) = 1 (4.6) 10. Si un evento A tiene certeza de no ocurrir. está dada por: μ= n X i=1 xi P (xi ) = E(x) (4.3. E(x). =⇒ 0 ≤ P (x) ó P (xi ) ≤ 1.4) 7.3.3) 6.3. La probabilidad siempre es un número positivo con un valor máximo de 1.7) . Si un evento A tiene certeza de ocurrir. 2. ¯ 4.4.3. Si los eventos A y B son independientes entre sí. La media de la población para una variable aleatoria discreta. PROBABILIDAD 97 1. la probabilidad de que ocurran simultáneamente es P (A ∩ B) = P (A) · P (B) (4.5) 9.3.3.3. la probabilidad de la ocurrencia de A o B es P (A Y B) = P (A) + P (B) (4. llamada también el valor esperado (esperanza) de x. Si los eventoa A y B son mutuamente excluyentes. La varianza de la población está dada por σ2 = n X (xi − μ)2 P (xi ) i=1 (4. 3. Si el evento A es el complemento del evento A. entonces ¯ P (A) = 1 − P (A) (4. La probabilidad de la ocurrencia de A o B o ambos es P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (AB) 8. mayor que 20h y. una función f (x). ¿cuál es la probabilidad que su vida ( x) sea menor que 20h. llamada función densidad de probabilidad.3. la probabilidad de que x tenga un valor simple único.98 CAPÍTULO 4.8) Para evaluar la probabilidad de que x ocurrirá en un intervalo finito desde x = a hasta x = b. se puede asegurar que la medición está en el rango y la probabilidad será P (−∞ ≤ x ≤ ∞) = 1. el cual a veces se denomina primer momento.11) La cual también se conoce como segundo momento. E(x) de la variable aleatoria.3.1.8) para obtener P (a ≤ x ≤ b) = Z b f (x)dx (4.3.3.3.9) a Para una variable aleatoria continua. (b) Si se toma un rodamiento de la línea de producción. se define tal que la probabilidad de la ocurrencia de la variable aleatoria en un intervalo entre xi y xi + dx está dado por f (xi )dx = P (xi ≤ x ≤ xi + dx) (4. Ejemplo 6 La vida de un cierto tipo de rodamiento puede caracterizarse por una función de distribución de probabilidad de ½ 0 x < 10h f (x) = 200 x > 10h x3 f (x) se muestra en la Fig.10) E(x) = μ = −∞ Este también es el valor esperado (esperanza). La varianza de la población está dada por σ2 = Z ∞ −∞ (x − μ)2 f (x)dx (4.3. La definición de f (x) permite ahora establecer la media de una población con función densidad de probabilidad f (x): Z ∞ xf (x)dx (4. se puede integrar la ecuación (4. (a) Calcular la esperanza de vida de los rodamientos.1 Función Densidad de Probabilidad Para una variable aleatoria continua. es cero. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES 4. 4. finalmente. Si los límites de intregración se extienden desde −∞ hasta +∞. 20h? . 10).13) .3.3.5 h Figura 4.4.2 Función de Distribución Acumulativa La función de distribución acumulativa es otro método para presentar datos para la distribución de una variable aleatoria. Esta se utiliza para determinar la probabilidad que una variable aleatoria tenga un valor menor que o igual que un valor específico. Sol.1: Función distribución de probabilidad.25 P (x = 20) = 0 −∞ Z 0dx + −∞ Z 20 10 200 dx = 0.3. La función distribución acumulativa para una variable aleatoria continua (rv) se define como Z ∞ f (x)dx = P (rv ≤ x) (4.12) F (rv ≤ x) = F (x) = −∞ Para una variable aleatoria discreta. E(x) = μ = Z ∞ xf (x)dx = 10 Z ∞ 10 Las probabilidades requeridas están dadas por P (x < 20) = Z 20 ¯ 200 200 ¯∞ ¯ = 20h x 3 dx = − x x ¯10 10 f (x)dx = P (x > 20) = 1 − P (x ≤ 20) = 0. PROBABILIDAD 0.2 99 0.75 x3 4.3. (a) Usando la ecuación (4. ésta se define como F (rv ≤ xi ) = i X j=1 P (xi ) (4.1 0 0 12.5 25 37.3. 5 x 50 Figura 4. Sol. 4.5 25 37.100 CAPÍTULO 4. Esta distribución tiene aplicación en control de calidad de la producción.3.3.14) P (x > a) = 1 − F (a) El uso de la función acumulativa se demuestra en el siguiente Ejemplo 7 Encontrar la probabilidad que el tiempo de vida de uno de los rodamientos del ejemplo anterior sea menor que (a) 15 horas y (b) 20 horas. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES Las siguientes relaciones resultan de la definición de la función distribución acumulativa: P (a < x ≤ b) = F (b) − F (a) (4.3 Función de Distribución Binomial La distribución binomial está definida para variables aleatorias discretas que pueden tener solamente dos resultados posibles éxito o falla.25 0 0 12.12) se obtiene para la función de distribución acumulativa (la respuesta gráfica se puede ver en la Fig.75 0.3.2) Z x Z x f (x)dx = 0dx = 0 para x ≤ 10 F (x) = −∞ −∞ Z x 200 100 = 0+ dx = 1 − 2 para x > 10 x3 x 10 y 1 0. usando la función de distribución acumulativa.2: Función de distribución acumulativa. (a) Usando la ecuación (4. 4. cuando la calidad de un producto es o aceptable o inaceptable.5 0. Las siguientes condiciones deberán ser satisfechas para que la distribución binomial pueda ser aplicable a un cierto experimento: . 16) (4. La distribución binomial proporciona la probabilidad P de encontrar exactamente r éxitos en un total de n ensayos y se expresa como µ ¶ n! n r n−r p (1 − p) = pr (1 − p)n−r (4.17) Ejemplo 8 Un fabricante de una cierta marca de computadores afirma que sus computadores son con-fiables y que solamente el 10% de las máquinas requiere reparación durante el período de garantía.15) P (r) = r r!(n − r)! El número éxitos esperado en n pruebas para una distribución binomial es μ = np La desviación estándar de una distribución binomial es p σ = np(1 − p) (4.3. Otras suposiciones para la aplicación de esta distribución son que todos los ensayos son independientes y que las probabilidades de éxito y fallo son las mismas para todos los computadores. 3. dos. Cada ensayo en el experimento puede tener solamente dos posibles resultados. µ ¶ 20 P = 0. el 10% de las bombillas es defectuoso.2%) de que haya exactamente 5 computadores para reparación de los 20 dados. Esta probabilidad se denota por p y usualmente se conoce o se estima para una población dada. Si se compran 4 de estas bombillas. tres. PROBABILIDAD 101 1. una y ninguna de las bombillas sea defectuosa? . Determinar la probabilidad de que en una producción de 20 computadores. p = 0. en este caso. éxito o falla.4.3. Ejemplo 9 Un fabricante de bombillas ha descubierto que para una producción dada. 5 requieren reparación en el período de garantía.9)5 = 0.3. 2.3. de acuerdo a las pruebas del fabricante. El experimento consiste de n ensayos independientes. ¿cuál es la probabilidad de encontrar que las cuatro.9.032 15 La conclusión aquí es que hay una pequeña posibilidad (3. Sol: Se puede aplicar distribución binomial debido al resultado de aprobado/fallado del proceso.915 (1 − 0. La probabilidad de éxito permanece constante a través del experimento. se definirá éxito como no requiere reparación en el tiempo de garantía. El problema consiste en determinar la probabilidad P de tener 15 éxitos r de todas las 20 máquinas n. 102 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES Sol. De nuevo se puede usar la distribución binomial. El número de ensayos es 4 y si se define éxito como falla de bombilla p = 0.1. La probabilidad de tener cuatro, tres, dos, uno y cero bombillas defectuosas se puede calcular usando la ecuación (4.3.15). Entonces µ ¶ 4 P (r = 4) = 0.14 (1 − 0.1)4−4 = 0.0001 = 0.01% 4 µ ¶ 4 P (r = 3) = 0.13 (1 − 0.1)4−3 = 0.0036 = 0.36% 3 µ ¶ 4 P (r = 2) = 0.12 (1 − 0.1)4−2 = 0.0486 = 4.86% 2 µ ¶ 4 P (r = 1) = 0.11 (1 − 0.1)4−1 = 0.2916 = 29.16% 1 µ ¶ 4 P (r = 0) = 0.10 (1 − 0.1)4−0 = 0.6561 = 65.61% 0 La probabilidad total de todos los cinco resultados posibles es P = P (r = 4) + P (r = 3) + P (r = 2) + P (r = 1) + P (r = 0) ∼ 1 = 4.3.4 Función de distribución de Poisson e−α αk , k! Definición 3 Sea x una variable aleatoria que toma los valores posibles 0, 1, . . . , n. Si P (x = k) = k = 0, 1, . . . , n (4.3.18) se dice que x tiene una distribución de Poisson con parámetro α > 0. Teorema 1 Si x tiene una distribución de Poisson con parámetro α, entonces E(x) = α y S(x) = α Prueba. E(x) = haciendo λ = k − 1, se encuentra E(x) = De igual manera, E(x ) = 2 λ=0 ∞ X e−α αk k=0 ∞ X e−α αk = (k − 1)! k=1 ∞ X e−α αλ k=1 k! ∞ X e−α αλ+1 λ! =α λ! =α ∞ X k2 e−α αk k=0 k! = ∞ X ke−α αk k=1 (k − 1)! 4.3. PROBABILIDAD Procediendo como antes ∞ ∞ ∞ X X e−α αλ X e−α αλ e−α αλ+1 =α +α = α2 + α E(x ) = (λ + 1) λ λ! λ! λ! 2 λ=0 λ=0 λ=0 103 Puesto que la primera suma representa E(x) mientras que la segunda suma es igual a uno. Luego S(x) = E(x2 ) − (E(x))2 = α2 + α − α2 = α Nótese esta propiedad de la variable aleatoria de Poisson: su esperanza es igual a su varianza. Existen tablas disponibles para la distribución de Poisson [19]. 4.3.5 Función de Distribución Gaussiana La función de distribución normal (Gaussiana) es una función simple de distribución, la cual es útil para un número grande de problemas comunes que involucran variables aleatorias continuas. La distribución normal se ha utilizado para describir la dispersión de los datos en las mediciones en las cuales la variación en el valor medido se deben totalmente a factores aleatorios, y la ocurrencia de desviaciones tanto positivas como negativas son igualmente probables. La función densidad de probabilidad normal está dada por µ ¶ (x − μ)2 1 (4.3.19) f (x) = √ exp − 2σ 2 σ 2π En esta ecuación x es la variable aleatoria. La función tiene dos parámetros, la dsviación estándar de la población, σ, y la media de la población, μ. Un gráfico de f (x) vs x para valores diferentes de σ (0.5, 0.6, 0.8, 1.0, 2.0) y un valor fijo de μ (2) se muestra en la Fig. 4.3. Como se ve en la figura, la distribución es simétrica alrededor del valor medio, y la menor de las desviaciones estándar es el valor de pico más alto de en la función. 4.3.6 Propiedades de la distribución normal 1. Sea f (x) una función densidad de probabilidad. Evidentemente, f (x) ≥ 0. Se debe R +∞ verificar que −∞ f (x)dx = 1. Demostración. Haciendo u= se puede escribir 1 I=√ 2π Z x−μ σ µ 2¶ u exp − du 2 (4.3.20) +∞ −∞ 104 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES 1 0.75 0.5 0.25 0 0 1.25 2.5 x 3.75 5 Figura 4.3: Función de distribución normal para el caso donde μ = 2, σ = 0.5, 0.6, 0.8, 1.0, 2.0. Para calcular esta integral, primero se toma el cuadrado de I, es decir, µ 2¶ µ 2¶ Z +∞ Z +∞ 1 1 u v 2 du √ dv I = √ exp − exp − 2 2 2π −∞ 2π −∞ ¶ µ 2 Z +∞ Z +∞ 1 u + v2 = dudv exp − 2π −∞ −∞ 2 Introduciendo coordenadas polares: u = r cos θ, se tendrá como elemento de área: dudv = rdrdθ (4.3.23) Cuando u y v varían entre −∞ y +∞, r variará entre 0 y +∞ y θ lo hará entre 0 y 2π. Luego µ 2¶ Z 2π Z +∞ 1 r 2 rdrdθ r exp − I = 2π 0 2 0 ¯ Z 2π 2 ¯∞ 1 − r2 ¯ −e = ¯ dθ 2π 0 0 Z 2π 1 = dθ = 1 2π 0 Por lo tanto I = 1, lo cual se quería demostrar. 2. Considérese la forma del gráfico de f (x). Éste tiene la forma de campana indicada en la Fig. 4.3. Puesto que f˙(x) depende sólo de x mediante la expresión (x − μ)2 , es evidente v = r sen θ (4.3.22) (4.3.21) 4.3. PROBABILIDAD 105 que el gráfico de f (x) será simétrico respecto a μ. El parámetro σ puede interpretarse geométricamente. Obsérvese que para x = μ, el gráfico de f (x) es cóncavo hacia abajo. Cuando x −→ ±∞, f (x) −→ 0, asintóticamente. Puesto que f (x) ≥ 0 para todo x, esto significa que para grandes valores de x (positivos o negativos), el gráfico de f (x) será cóncavo hacia arriba, teniendo los puntos de inflexión en x = μ ± σ. Esto es, σ unidades a la derecha y a la izquierda de μ el gráfico de f (x) cambia de concavidad. Así, si σ es relativamente grande, el gráfico de f (x), tiende a ser ‹‹achatado››, mientras que si σ es pequeño el gráfico de f (x) tiende a ser ‹‹aguzado›› (ver Fig. 4.3). 3. De acuerdo a la definición de función densidad de probabilidad en la ecuación (4.3.9), para una población dada, la probabilidad de tener un valor simple de x entre un límite inferior x1 y un límite superior x2 es µ ¶ Z x2 Z x2 1 (x − μ)2 P (x1 ≤ x ≤ x2 ) = f (x)dx = √ exp − dx (4.3.24) 2σ 2 σ 2π x1 x1 Puesto que f (x) está en la forma de una función de error, la integral anterior no puede ser evaluada analíticamente, por lo que la integración debe hacerse numéricamente. Para simplificar el proceso de integración numérica, se modifica el integrando con un cambio de variable de modo que la integral evaluada numéricamente es general y útil para todos los problemas. Una variable adimensional z se define como z= Ahora es posible definir la función z2 1 f (z) = √ e− 2 2π x−μ σ (4.3.25) (4.3.26) la cual se denomina función de densidad normal estándar. Ella representa la función de densidad de probabilidad normal para una variable aleatoria z con media μ = 0 y σ = 1. Esta función normalizada se muestra en la Fig. 4.4. Tomando la diferencial de la ecuación (4.3.25), dx = σdz. la ecuación (4.3.24) entonces se transformará a µ 2¶ Z z2 Z z2 1 z dz (4.3.27) f (z)dz = √ exp − P (x1 ≤ x ≤ x2 ) = 2 2π z1 z1 La probabilidad de que x esté entre x1 y x2 es la misma de que la variable transformada z esté entre z1 y z2 P (x1 ≤ x ≤ x2 ) = P (z1 ≤ z ≤ z2 ) = P ( x−μ x2 − μ x1 − μ ≤ ≤ ) σ σ σ (4.3.28) La probabilidad P (z1 ≤ z ≤ z2 ) tiene un valor igual al área demarcada como (z1 y z2) en la Fig. 4.4. La curva mostrada en la figura es simétrica con respecto al eje vertical en 106 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES z = 0, lo cual indica que con esta distribución, las probabilidades de desviaciones positivas y negativas desde z = 0 son iguales. Matemáticamente se tiene P (−z1 ≤ z ≤ 0) = P (0 ≤ z ≤ z1 ) = P (−z1 ≤ z ≤ z2 ) 2 (4.3.29) Como se mencionó, la integral en la ecuación (4.3.24) tiene dos parámetros (μ y σ) y 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -2.5 -1.25 0 1.25 z1 z z2 2.5 Figura 4.4: Función de distribución normal estándar. deberá ser integrado numéricamente para cada aplicación. El término α es igual a la suma de las áreas de las colas de la derecha y de la izquierda en la Fig. 4.4. Estos conceptos pueden ser reestablecidos como P [−zα/2 ≤ z ≤ zα/2 ] = 1 − α Sustituyendo para z, se obtiene ¸ ∙ ¸ ∙ σ σ x−μ ¯ ¯ ¯ =1−α P −zα/2 ≤ √ ≤ zα/2 = P x − zα/2 √ ≤ μ ≤ x + zα/2 √ σ/ n n n puede también plantearse que σ μ = x ± zα/2 √ ¯ n (4.3.30) (4.3.31) (4.3.32) con un nivel de confianza de 1 − α. 4. Considérese 1 E(x) = √ 2πσ Z +∞ −∞ µ ¶ (x − μ)2 x exp − dx 2 PROBABILIDAD Haciendo.3.34) tiene la propiedad de que g1 (z) = −g1 (−z).36) Haciendo nuevamente z = se obtiene µ 2¶ Z +∞ 1 z 2 2 dz (σz + μ) exp − E(x ) = √ 2 2π −∞ Z +∞ Z −z 2 1 2μσ +∞ −z2 = √ σ 2 z 2 e 2 dz + √ ze 2 dz + 2π −∞ 2π −∞ Z +∞ −z 2 μ2 e 2 dz +√ 2π −∞ x−μ σ . g1 (z) es una función impar. µ 2¶ Z +∞ 1 z g1 (z) = √ σ dz z exp − 2 2π −∞ 107 (4.3. z = x−μ .4.37) -La segunda integral nuevamente es igual a cero por el argumento usado anteriormente. obteniéndose σ2 go (z) = √ 2π Z +∞ z 2 e−z 2 /2 −∞ Luego Z +∞ ¯+∞ σ2 σ2 2 2 ¯ dz = − √ ze−z /2 ¯ +√ e−z /2 dz = 0 + σ 2 −∞ 2π 2π −∞ E(x2 ) = σ 2 + μ2 . Considérese 1 E(x ) = √ 2πσ 2 (4. Z +∞ −∞ ¶ µ (x − μ)2 dx x exp − 2 2 (4.3. y. La segunda integral µ 2¶ Z +∞ 1 z dz (4. Luego E(x) = μ 5. se obtiene σ µ 2¶ Z +∞ 1 z E(x) = √ dz (σz + μ) exp − 2 2π −∞ µ 2¶ µ 2¶ Z +∞ Z +∞ 1 1 z z dz + √ μ dz = √ σ z exp − exp − 2 2 2π −∞ 2π −∞ La primera de las integrales anteriores es igual a cero puesto que el integrando.3. por lo tanto. se integra por partes.33) (4. es (ver el primer ítem) igual a la unidad.3. Para calcular la primera integral R +∞ 2 σ2 go (z) = √2π −∞ z 2 e−z /2 dz.35) exp − g2 (z) = √ 2 2π −∞ representa el área total bajo la función densidad de probabilidad total y. como antes. La última integral (sin el factor μ2 ) es igual a la unidad.3. por lo tanto. En otros términos.3. Ejercicio 1 Verificar que Γ( 1 ) = 2 Z ∞ x−1/2 e−x dx = √ π (4. se debe realizar antes la siguiente Definición 4 La función gamma denotada por Γ se define como Z ∞ Γ(p) = xp−1 e−x dx. si se sabe que x está distribuido normalmente. se obtiene: Z ∞ ¯ −x p−1 ¯∞ Γ(p) = −e x + (p − 1)xp−2 e−x dx 0 Z ∞ 0 = 0 + (p − 1) xp−2 e−x dx 0 = (p − 1)Γ(p − 1) (4.38) Si se integra por partes (haciendo u = xp−1 y dv = e−x dx). por lo tanto se obtiene Γ(n) = (n − 1)! = (n − 1)(n − 2)Γ(n − 2) (4. para p > 0 0 (4.40) Si n es un entero positivo. sólo se sabe que su distribución de probabilidades es de cierto tipo. haciendo p = n y aplicando la ec (4.3.3.39) repetidamente se obtiene: Γ(n) = (n − 1)Γ(n − 1) Sin embargo.3.7 La función de distribución Gamma Antes de definir la función de distribución gamma. se conoce E(x) y S(x). 4.39) Se ve que la función gamma sigue una relación recursiva. Si además. Γ(1) = R∞ 0 = (n − 1)(n − 2) · · · Γ(1) e−x dx = 1.108 CAPÍTULO 4.3.3. respectivamente. la distribución de x está completamente especificada. Suponiendo que p es un entero positivo.41) 0 . ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES y por lo tanto S(x) = E(x2 ) − (E(x))2 = σ 2 Así se encuentra que los dos parámetros μ y σ 2 que caracterizan la distribución normal son la esperanza y la varianza de x. 3.5 5 7.3. 2 y 1 0.4.75 0.42) se llega al resultado de la ecuación (4.25 0 0 2.3.43) Sustituyendo (4.3.44) para diversos valores de r con α = 1 (color negro) y α = 1 (color azul).44) (4.3.3.3.45) Esta distribución depende de dos parámetros.5: Gráfico de la función gamma para diferentes valores de los parámetros r y α. Con la ayuda de la función gamma se puede presentar ahora la distribución gamma de probabilidades.43) en (4.3.5 x 10 Figura 4.5 muestra el gráfico de la ecuación (4.3. para x > 0 Γ(r) = 0. Haciendo cambio de variable x = x Γ( 1 ) = 2 Z ∞ −1 2 u2 2 109 y sustituyendo en (4. 4.3.42) 0 (4.5 0. .41).41) se obtiene dx = udu u2 2 = µ u2 2 ¶− 1 2 Z 0 = √ −1 2u 2u−1 e− udu = x−1/2 e−x dx = ∞√ 0 De las propiedades de la distribución normal se puede ver que r r Z ∞ 2 π π −u I= e 2 du = 2 2 0 √ Z 2 ∞ e− u2 2 du (4. r > 0 y α > 0. La Fig. PROBABILIDAD Sol. Definición 5 Sea x una variable aleatoria continua que toma siempre valores no negativos. Se dice que x tiene una distribución de probabilidades gamma si su función densidad de probabilidad está dada por f (x) = α (αx)r−1 e−αx . para otro valor (4. 110 CAPÍTULO 4.46) t2 ν donde Γ(x) es la función matemática conocida como función gamma.8 Propiedades de la función gamma • Si r = 1. Como en la distribución normal. La Fig.16 muestra la distribución t Student para diferentes valores de los grados de libertad ν.3. el parámetro r será un entero positivo. r!I = a y r e−y dy. al continuar integrando por partes.44) se transforma en f (x) = αe−αx . la cual se expondrá en seguida. la ecuación (4. la cual se denomina distribución exponencial la cual aparece como un caso especial de la distribución gamma. Integrando por partes haciendo u = y r y dv = e−y dy.9 Función de distribución t La forma funcional de la distribución t está dada por [18] f (t.3. Luego. 4. En este caso. la distribución .3.2. se obtiene Z ∞ r!I = e−a ar + r yr−1 e−y dy a a y r e−y dy r! Por tanto La integral en esta expresión es exactamente de la misma forma que la integral original con la sustitución de r por r − 1. ν) = Γ( ν+1 ) 2 ³ √ νπΓ( ν ) 1 + 2 ´ ν+1 2 (4. • En la mayoría de las aplicaciones a probabilidades.3. 5. se obtiene £ ¤ r!I = e−a ar + rar−1 + r(r − 1)ar−2 + · · · + r! I = e−a I = e−a ∙ ¸ ar ar−1 a2 + + ··· + +a+1 r! (r − 1)! 21 r r X ak X = P (y = k) k! i=0 ki=0 en donde y tiene una distribución de Poisson con parámetro α. Considerando la integral I= Z ∞ R∞ en donde r es un entero positivo y a > 0. Cuando el número de muestras se incrementa. Así. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES 4. éstas son curvas simétricas. existe una relación entre la función de distribución acumulativa de la función gamma y la distribución conocida como de Poisson. PROBABILIDAD y 0.3. .25 2.48) (4. Estimar la media y el 95% de intervalo de confianza sobre la media. 1542. 1383.49) (4. puesto que tablas completas de la distribución t podrían resultar voluminosas. Estos son los valores que se requieren para las ecuaciones (4. 1275. se obtiene ∙ ¸ ∙ ¸ S S x−μ ¯ P −tα/2 ≤ √ ≤ tα/2 = P x − tα/2 √ ≤ μ ≤ x + tα/2 √ ¯ ¯ =1−α S/ n n n puede también plantearse que S μ = x ± tα/2 √ ¯ n (4. 1464. es práctica común especificar solamente los valores críticos de t que son funciones de ν y α. Esto puede establecerse como P [−tα/2 ≤ t ≤ tα/2 ] = 1 − α Sustituyendo para t. La probabilidad de que t caiga entre −tα/2 y tα/2 es entonces 1 − α.3.48) y (4.47) con un nivel de confianza de 1 − α.49).2 0. 1320.5 -1.3.4 111 0.1 0 -2. La distribución t puede ser utilizada para estimar el intervalo de confianza del valor medio de una muestra con cierto nivel de confianza para tamaños pequeños de la muestra (menores que 30).6: Función densidad de probabilidad usando la distribuci ón t Student. La Tabla 4.3.5 x Figura 4.3 presenta estos valores críticos de t Ejemplo 10 Un fabricante de circuitos integrados (CI) desea estimar el tiempo de falla media de un CI con un 95% de confianza.25 0 1. Se han probado seis sistemas y se han obtenido los siguientes datos (tiempo de operación en horas): 1250. t tiende a la distribución normal.3 0.3.4.3. 711 2.943 2.797 25 1.896 3.721 2.747 4.325 1.860 2.074 2.819 23 1.054 13 1.500 2.440 1.845 21 1.771 28 1.764 3.112 CAPÍTULO 4.372 1.353 3.319 1.169 11 1.160 2.143 3.201 2.315 1.131.365 4.314 12.717 2.583 2. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES Tabla 4.833 2.779 27 1.032 6 1.479 2.048 2.345 1.316 1.878 19 1.706 31.313 1.283 1.740 2.604 5 1.895 2.602 2.397 1.571 3.998 3.318 1.050 0.533 2.761 2.925 3 1.964 9.729 2.078 6.920 4.485 2.363 1.326 2.457 2.3: Valores críticos de la distribución t Student α/2 ν 0.228 2.462 2.341 1.699 2.120 2.467 2.069 2.323 1.650 3.132 2.447 3.539 2.005 1 3.100 0.080 2.706 2.753 2.093 2.782 2.812 2.645 1.886 2.056 2.756 30 1.771 2.025 0.977 15 1.821 3.064 2.060 2.831 22 1.567 2.638 2.106 12 1.415 1.508 2.250 10 1.101 2.807 24 1.045 2.052 2.947 16 1.383 1.796 2.350 1.356 1.365 2.701 2.012 14 1.787 26 1.010 0.333 1.086 2.476 2. 2.960 2.179 2.921 17 1.697 2.898 18 1.763 29 1.328 1.262 2.734 2.576 .311 1.707 7 1.330 1.750 ∞ 1.528 2.624 2.703 2.015 2.473 2.042 2.110 2.681 3.861 20 1.714 2.823 63.725 2.321 1.841 4 1.541 5.182 4.492 2.314 1.746 2.718 3.310 1.306 2.303 6.337 1.145 2.658 2 1.499 8 1.708 2.552 2.518 2.355 9 1.776 3. puesto que no se conoce el número de muestras no se puede seleccionar la curva de distribución t apropiada. Usando la distribuciónnormal estándar. se puede utilizar la distribución t para estimar el intervalo de confianza.025.4.3.96 × = 20 50 Puesto que n < 30. se puede utilizar la distribución t en lugar de la distribución normal.49) y un intervalo de confianza de 95%.3. reducir el intervalo de confianza de 95% a ±50 h.05.571 × √ = 1372 ± 120 h ¯ n 6 Se debe notar que si se incrementa el nivel de confianza. de la Tabla 4.093.3 h ¯ 6 #1/2 " 5 1 X S= (xi − x) ¯ = 114 h 5 i=1 El 95% de confianza corresponde a α = 0. De la Tabla 4. de modo que se pueda utilizar la distribución normal Entonces se puede aplicar la ecuación (4.025. para ν = n − 1 = 5 y α/2 = 0.32) y el intervalo de confianza será σ ¯ μ = x ± zα/2 √ = μ = x ± 50 ¯ n de modo que ³ σ σ ´2 zα/2 √ = 50 y n = zα/2 50 n Para un nivel de confianza de 95%. Usando S = 114 (del ejemplo anterior) como un estimativo para σ. α/2 = 0. Usando la ecuación (4. Para ν = n − 1 = 19 y α/2 = 0. De aquí que el proceso de solución se debe realizar por ensayo y error.3. se obtiene un primer estimativo de n: µ ¶ 114 2 n = 1. Determinar cuantos CI adicionales deberán ser ensayados en este caso.49) para estimar un nuevo valor de n: S ¯ μ = x ± tα/2 √ = x ± 50 ¯ n . Este valor de t se puede utilizar con la ecuación (4.025. PROBABILIDAD 113 Sol. el intervalo estimado también se incrementará y viceversa. Primero se calcula la media y la desviación estándar de los datos 1 x = × (1250 + 1320 + 1542 + 1464 + 1275 + 1383) = 1372.3. se encuentra que z0.3 se obtiene t = 2. se asume que n > 30.571. Para obtener el primer estimativo del número de muestras n.3.96.025 = 1. Puesto que el número de muestras es n < 30. Sol. tα/2 = 2. Ejemplo 11 En el ejemplo anterior. el tiempo medio de falla será S 114 μ = x ± tα/2 √ = 1372 ± 2. Se puede usar n = 20 para el siguiente ensayo. el intervalo de confianza depende de un concepto llamado el nivel de confianza. Cada una de estas muestras podría tener un valor medio xi . la probabilidad de que la media caerá fuera del intervalo de confianza.2) El nivel de confianza está normalmente expresado en términos de una variable α llamada nivel de significancia: Nivel de confianza = 1 − α (4. los xi tienden a una distribución normal y la desviación estándar de ¯ estas medias estará dada por σ (4. pero resultará siendo el mismo.4.4. De esta población se podría tomar varias muestras diferentes cada una de tamaño n. ¯ los xi son valores de una variable aleatoria. Considérese una población de la variable aleatoria x con un valor medio μ y una desviación estándar σ.4 4.4. también puede ¯ cambiar. el tamaño n de la muestra. Para que se pueda aplicar el teorema del límite central.4. Sin embargo. El intervalo x − δ hasta x + δ se ¯ ¯ ¯ denomina intervalo de confianza de la media. Nótese que con pruebas adicionales. el valor promedio de la muestra.114 CAPÍTULO 4. En efecto. El teorema del límite central establece que si n ¯ es suficientemente grande. algunas veces llamado grado de confianza. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES S tα/2 √ = 50 n µ µ ¶2 ¶ 114 2 S n = tα/2 = 2.093 = 23 50 50 Se puede usar este número como un valor de ensayo y recalcular n.1) donde δ es la incertidumbre y x es la media muestral.3) α es entonces.1 Estimación de Parámetros Estimación del Intervalo de la Media de la Población Se desea hacer un estimativo de la media de la población la cual toma la forma μ=x±δ ¯ ó x−δ ≤μ≤ x+δ ¯ ¯ (4. El teorema del límite central hace posible realizar un estimativo del intervalo de confianza con un adecuado nivel de confianza. pero no se podría esperar que cada una de estas medias tenga el mismo valor.4. x. La desviación estándar de la media también se denomina error estándar de la media. .4) σx = √ ¯ n La población no necesita estar distribuida normalmente para que las medias estén distribuidas normalmente. 4. El nivel de confianza es la probabilidad de que la media de la población caerá entre el intervalo especificado: Nivel de confianza = P (¯ − δ ≤ μ ≤ x + δ) x ¯ (4. 2. es también necesario establecer un intervalo de confianza para la varianza estimada. se usa la función χ2 para el propósito de establecer un intervalo de confianza. ¯ • Si la población original es no normal y n es grande (n > 30). se puede usar directamente el teorema del límite central para hacer un estimado del intervalo de confianza.4. para que sea considerado grande. S 2 . en general. los xi seguirán una distribución normal ¯ sólo en forma aproximada. para un tamaño grande de muestras. Para poblaciones distribuidas normalmente. La mejor estimación de la varianza de la población. se obtiene χ2 = (n − 1) S2 σ2 n 1 X (xi − μ)2 χ = 2 σ 2 i=1 (4.4. la distribución para los xi ¯ será normal • Si la población original es no normal y si n < 30.6) y (4. la ecuacióm ¯ (4.8) . Considérese una variable aleatoria x con valor medio de población μ y desviación estándar σ. Si el tamaño de la muestra es grande. Puesto que x está distribuido normalmente. S. la distribución para los xi será normal. el valor de n debe ser superior a 30. Como para la media de la población.3. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS 115 debe ser grande.6) n−1 i=1 la función χ2 se define como Combinando las ecuaciones (4. la desviación estándar de muestras.4.5) y usar la función de distribución normal estándar para estimar el intervalo de confianza sobre z. σ es la desviación estándar de la población la cual.2 Estimación del Intervalo de la Varianza de la Población En muchas situaciones la variabilidad de la variable aleatoria es tan importante como su valor medio. es la varianza muestral. Sin embargo. Del teorema de límite central se pueden establecer las siguientes conclusiones: • Si la población original es normal. Si se asume que x = μ.4.4. ¯ se puede usar el valor z ecuación (4. 4.4.25): z= x−μ ¯ σx ¯ (4.7). no se conoce. puede usarse como una aproximación de σ.5) se puede escribir como n 1 X 2 S = (xi − μ)2 (4. σ 2 .4.4.4.7) (4. En la mayoría de los casos. α/2 = 1 − α σ Puesto que χ2 es siempre positivo. Sustituyendo para χ2 en la ecuación (4.En forma de ecuación.8).1−α/2 ≤ χ ≤ χν.75 0.α/2 ) = 1 − α (4.9) donde v es el número de grados de libertad y Γ es una función que se puede obtener de tablas normalizadas.10) α es el nivel de significancia como se definió antes y es igual a (1−nivel de confianza). ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES La función densidad de probabilidad par auna población distribuida normalmente está dada por (χ2 )(ν−2)/2 e−χ f (χ ) = 2ν/2 Γ(ν/2) 2 2 /2 para χ2 > 0 (4.12) . En la Fig.7 se muestran algunas gráficas con variación del parámetro ν. esta ecuación puede arreglarse de modo que se pueda dar un intervalo de confianza sobre la varianza de la población (n − 1)S 2 (n − 1)S 2 ≤ σ2 ≤ 2 χ2 χν.8).4. esto es 2 2 P (χ2 ν.1−α/2 ≤ (n − 1) 2 ≤ χν.25 0 0 2. 4.4.116 CAPÍTULO 4. ν = 2 (trazos). Como con otras funciones de densidad de probabilidad.4.5 x 10 Figura 4.11) P χν.4.5 5 7. ν = 5 (puntos y trazos)]. la probabilidad que la variable χ2 caiga entre cualquier par de valores es igual al área bajo la curva entre esos valores (como se ilustra en la Fig.4. 4. [ν = 1 (línea continua).1−α/2 ν. ν = 3 (puntos). se obtiene ¸ ∙ S2 2 2 (4.7: Distribución f (χ2 ) ≡ f (z) para algunos valores de ν.α/2 (4. y 1 0.5 0. Más aún. El siguiente paso es encontrar un valor de τ de la Tabla 4. ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS y 0.2 0. Se ha encontrado que el criterio de rechazo denominado sigma—dos y sigma—tres debe modificarse para tener en cuenta el tamaño de la muestra. Existe un número de métodos estadísticos para el rechazo de estos valores.25 0. Por ejemplo. Si se puede detectar alguna falla clara en la medición de aquellos valores específicos.4. de modo que cada extremo (cola) tiene un área de α/2. 4.8: Intervalo de confianza para la distribución chi—cuadrado. la desviación.4. Los valores extremos (el más alto y el más bajo) son candidatos a rechazo.1 0.4. x2 .3 Criterio para el rechazo de datos dudosos En algunos experimentos sucede que uno o más valores medidos aparecen por fuera de línea con el resto de datos. se pueden arreglar los datos en orden ascendente x1 . Para estos puntos descartables.4. En este método. Las bases de estos métodos es eliminar los valores que tienen baja probabilidad de ocurrencia.4. éstos se pueden descartar. . dependiendo del tipo de criterio de rechazo que se emplee.3 117 0. δ. .8.5 5 7.13) y se selecciona el valor más grande. .5 x 10 Figura 4. 4.05 0 0 2. Pero a veces es difícil detectar estos datos erroneos. 86 [1] es la técnica de Thompson τ modificada.11). se calcula como ¯ δ i = |xi − x| (4. α es el área total de los extremos mostrados en la Fig. si se tienen n medidas con una media x y una desviación estándar ¯ S. podrían eliminarse datos buenos e incluírse datos malos. El método recomendado en el documento de ANSI/ASME.15 0. los valores de los datos que se desvían de la media por más de dos o por más de tres en la desviación estándar deberán ser rechazados. En la ecuación (4. xn .4. . . 00.02.925 1. Se deberá recalcular la media y la desviación estándar de lo datos restantes y repetirse el proceso.03. Según: ANSI/ASME—86 n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 τ 1. 11. Determine si algún dato tomado debe ser rechazado.99. 11.96.09 y ninguno de los datos restantes deberá rechazarse.150 1.885 1.921 1.876 1. 12.849 1.908 1.749.95.14) los valores de los datos se pueden rechazar.711 1.904 1. lo cual da 0.917 1.4. 12.889 1. 4. en algunos casos la dispersión puede ser tan grande que es difícil . τ = 1. Ahora deberá recalcularse S y V .871 1. τ S = 0. Para los nueve valores anteriores. sólo el valor de un dato deberá ser eliminado.4: Valores de los coeficientes de Thompson. S.910 1.902 1.07 = 0.798 1.906 1.13 a ¯ ¯ ¯ δ 2 = ¯Vm´n − V ¯ = |11.656 1.13 > τ S = 0.881 1.923 1.5 Correlación de los Datos Experimentales La dispersión debida a errores aleatorios es una característica común de virtualmente todas las mediciones.07. Sin embargo.Utilizando la prueba deThompson se obtiene: ¯ ¯ ¯ δ 1 = ¯Vm´x − V ¯ = |12.920 1.922 1.05 y 12. 12.02.916 1.572 1. Si δ > τS (4.05.124.10.393 1.899 1.03| = 0.815 1.124.896 1. 11. Se deberá repetir el proceso hasta que ningún dato deba ser eliminado. 12.911 1. V = 12.03| = 0. Puesto que ¯ δ 1 = 0. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES Tabla 4.777.749 1.777 1.03V y S = 0.118 CAPÍTULO 4. ¯ Sol. τ = 1.840 1.924 1. Ejemplo 12 Se tomaron nueve medidas de tensión en un circuito eléctrico obteniéndose los siguientes datos: 12.913 1. deberá ser rechazado.829 n 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 τ 1. De acuerdo a este método.777 × 0. Para n = 8.16 V.865 1. Entonces τ S = 1.914 n 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 τ 1.926 El valor más grande de δ i se debe comparar con el producto de τ y la desviación estádar.4 para n = 9. 12.893 n 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 τ 1.858 1.16 − 12.95 − 12. respectivamente.08 ı Usando la Tabla 4.919 1. 4.5. CORRELACIÓN DE LOS DATOS EXPERIMENTALES 119 detectar una tendencia. Considérese un experimento en el cual una variable independiente x varía sistemáticamente y entonces se mide la variable dependiente y. Se desea determinar si el valor de y depende del valor de x. Para determinar si hay dependencia entre los datos y una cierta variable, se define un parámetro estadístico llamado coeficiente de correlación el cual se puede utilizar para determinar si una tendencia aparente es verdadera o es puramente una consecuencia del azar. El coeficiente de correlación, rxy , es un número cuya magnitud puede usarse para determinar si en efecto existe una relación funcional entre dos variables medidas x y y. Si se tienen dos variables x y y y el experimento conduce a n pares de datos [(xi , yi ), i = 1, n], se define el coeficiente de correlación lineal como n P rxy = ∙ i=1 n P (xi − x)(yi − y ) ¯ ¯ i=1 n P i=1 (xi − x)2 ¯ (yi − y)2 ¯ ¸1/2 (4.5.1) donde x y y son los valores medios de x y de y obtenidos experimentalmente y están dados por ¯ ¯ 1X x= ¯ xi n i=1 n 1X y= ¯ yi n i=1 n (4.5.2) El valor resultante de rxy caerá en el rango de −1 a +1 Un valor de +1 podría indicar una relación lineal perfecta entre las variables con una pendiente positiva (es decir, un incremento en x resulta en un incremento en y). Un valor de −1 indica una relación lineal perfecta con pendiente negativa (un incremento en x produce un decremento en y). Un valor de cero indica que no hay correlación lineal entre las variables. Aún si no hay correlación, es poco probable que rxy sea exactamente cero. Para un tamaño dado de muestras, se puede utilizar la teoría estadística para determinar si un rxy calculado tiene significado o es consecuencia del azar. Para problemas prácticos, se puede simplificar este proceso en la forma de una tabla simple. Los valores críticos de r, definidos como rt se han calculado [34] y se muestran en la Tabla 4.5. rt es función del número de muestras y del nivel de significancia, α. Los valores de r en esta tabla son los valores límites que podrían esperarse por puro azar. Por cada valor rt en la tabla hay solamente una probabilidad α de que un valor experimental de rxy sea mayor por puro azar. Inversamente, si el vaor experimental excede el valor en la tabla, se puede esperar que ese valor experimental muestre una correlación real con el nivel de confianza 1 − α. Para propósitos prácticos, se toma a menudo el nivel de confianza como 95%, el cual corresponde a un valor de α de 0.05. Para un conjunto de datos dado, se obtiene rt de la tabla y se compara con el valor calculado de los datos rxy . Si |rxy | > rt , se puede suponer que y depende de x en una manera no aleatoria y puede esperarse que una relación lineal ofrecerá alguna aproximación a la verdadera relación funcional. Un valor de |rxy | < rt implica que no se tendrá confianza en que exista una relación funcional lineal No es necesario que la relación funcional 120 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES sea realmente lineal para que se pueda calcular un coeficiente de correlación significativo. Por ejemplo, una relación funcional parabólica que muestre una pequeña dispersión en los datos puede mostrar un alto valor en el coeficiente de correlación. Por otra parte, algunas relaciones funcionales, mientras sean más fuertes (v.gr., funciones circulares multivaloradas) resultaraán en un valor muy bajo de rxy . Se deben tener otras precauciones cuando se usan coeficientes de correlación: • Un simple valor de los datos mal tomado, puede ocasionar un efecto fuerte en los valores de rxy . • También es un error concluir que un valor significativo del coeficiente de correlación implica que un cambio en una variable causa un cambio en la otra. La casualidad deberá determinarse desde otro ángulo del problema Ejemplo 13 Se sabe que los tiempos por vuelta en una carrera de automóviles dependen de la temperatura ambiente. Se tomaron en la misma pista, en diferentes carreras, para el mismo carro y con el mismo piloto, los siguientes datos: Temperatura ambiente (◦ C) Tiempo por vuelta (s) 4.4 65.3 8.3 66.5 12.8 67.3 16.7 67.8 18.9 67 31.1 66.6 ¿Existe una relación lineal entre estas dos variables? Sol. Primero, se grafican los datos como en la Fig. 4.9. Mirando la gráfica, podría pensarse que hay una ligera correlación entre la temperatura ambiente y el tiempo de giro. Se calculará el coeficiente de correlación para determinar si esta correlación es real o es debida al azar. Se puede determinar este coeficiente utilizando la ecuación (4.5.1). Para ello se hacen los cálculos como se muestra en la tabla siguiente: x 65.3 66.5 67.3 67.8 67.0 P 66.6 = 400.5 x = 66.75 ¯ y 4.4 8.3 12.8 16.7 18.9 P 31.1 = 92.2 y = 15.367 ¯ x−x ¯ −1.45 −0.25 0.55 1.05 0.25 −0.15 (x − x)2 ¯ 2.10 0.06 0.30 1.10 0.06 P 0.02 = 3.66 y−y ¯ −10.967 −7.067 −2.567 1.333 3.533 15.733 (y − y )2 ¯ 120.28 49.94 6.59 1.78 12.48 P247.53 = 438.6 (x − x)(y − y) ¯ ¯ 15. 90 1. 77 −1. 41 1. 40 0.88 P -2. 36 = 16. 18 Ahora se puede calcular el coeficiente de correlación utilizando la ecuación (4.5.1): 4.6. AJUSTE DE CURVAS 121 Figura 4.9: Valores gráficos de los pares temperatura—tiempo. rxy = ∙ i=1 n P i=1 (xi − x)2 ¯ n P (xi − x)(yi − y) ¯ ¯ i=1 n P (yi − y )2 ¯ ¸1/2 = 16. 18 [3.66 ∗ 438.6]1/2 = 0.403 83 Para un nivel de confianza de 95%, α = 1 − 0.95 = 0.05. Para los seis pares de datos, de la Tabla 4.5, se obtieneun valor de rt = 0.811. Puesto que rxy < rt , se puede concluir que la aparente tendencia en los datos es probablemente causada por pura casualidad. 4.6 Ajuste de Curvas La aplicación de técnicas numéricas en la ciencia y la ingeniería involucra con mucha frecuencia el ajuste a curvas de los datos experimentales. A continuación se estudiarán algunos métodos para ajustar datos experimentales a una curva dada siguiendo un proceso sistemático. 4.6.1 Regresión lineal A menudo se presenta el caso en el cual un experimento produce un conjunto de puntos a partir de datos tomados a pares (x1 , y1 ), . . . , (xn , yn ), donde las abscisas {xk } son distintas. El problema es determinar una fórmula y = f (x) que relacione estas variables. Usualmente, 122 CAPÍTULO 4. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES se escoge una clase de fórmulas posibles y entonces se deben determinar los coeficientes. Hay muchas posibilidades diferentes que pueden utilizarse para un cierto tipo de función. Hay a menudo, un modelo matemático subyacente, basado en la situación física, que determinará la forma de la función. En esta sección se enfatizará la clase de funciones lineales de la forma: y = f (x) = Ax + B (4.6.1) Si se conocen todos los valores numéricos {xk }, {yk } con varios digitos significativos de precisión, entonces la interpolación polinomial se puede usar exitosamente; de otra forma no. ¿Cómo encontrar la mejor aproximación lineal de la forma de la ecuación (4.6.1) que se ajuste cercanamente a estos puntos? Para responder a esta pregunta, se requiere discutir los errores (también llamados desviaciones o residuos), es decir: ek = f (xk ) − yk para 1 ≤ k ≤ n (4.6.2) Hay varias normas que pueden ser usadas con los residuos en la ecuación (4.6.2) para medir cuan cerca de la curva y = f (x) están los datos. Máximo error E∞ (f ) = max {|f (xk ) − yk |} 1≤k≤n (4.6.3) Error promedio E1 (f ) = 1X |f (xk ) − yk | n k=1 n (4.6.4) Error RMS E2 (f ) = à 1X |f (xk ) − yk |2 n k=1 n !1 2 (4.6.5) Error estádar de la estimación Criterio para un mejor ajuste Eyx v uP n n P P u n 2 yk − B yk − A xk yk u t k=1 k=1 = k=1 n−2 (4.6.6) Sea {(xk , yk )}n un conjunto de n puntos, donde las abscisas {xk } son distintas. La línea de k=1 mínimos cuadrados y = f (x) = Ax + B es la línea que minimiza el error de la raíz cuadrática media E2 (f ). P La cantidad E2 (f ) será un mínimo si y solamente si la cantidad n(E2 (f ))2 = n (Ax + k=1 B − yk )2 es mínima. El siguiente resultado explica este proceso 4.6. AJUSTE DE CURVAS 123 Teorema 2 (Ajuste de una línea recta utilizando mínimos cuadrados) Supóngase que {(xk , yk )}n son n puntos, donde las abscisa {xk , }n son distintos. Los coeficientes de la línea k=1 k=1 de mínimos cuadrados y = Ax + B son las solución del siguiente sistema lineal conocido como la ecuación normal. y 4 3 2 1 0 0 1.25 2.5 3.75 x 5 Figura 4.10: Las distancias verticales entre los puntos {(xk , yk )} y la línea definida con mínimos cuadrados y = Ax + B. ⎡ Prueba. Geométricamente, se comienza con la línea y = Ax + B La distancia vertical dk desde el punto (xk , yk ) hasta el punto (xk , Axk + B) sobre la línea es dk = |Axk + B − yk | (ver Fig. 4.10) Se debe minimizar la suma de los cuadrados de las distancias verticales dk : n n X X 2 (Axk + B − yk ) = d2 E(A, B) = k k=1 k=1 ⎢ k=1 ⎢ n ⎣ P k=1 n P x2 k xk k=1 n P ¸ xk ⎥ ∙ ⎢ ⎥ A =⎢ ⎣ ⎦ B n ⎤ ⎡ k=1 n P n P k=1 xk yk ⎥ ⎥ ⎦ yk ⎤ (4.6.7) (4.6.8) El valor mínimo de E(A, B) se determina haciendo las derivadas parciales ∂E/∂A y ∂E/∂B iguales a cero y resolviendo estas ecuaciones para A y B. Nótese que {xk } y {yk } son constantes en la ecuación (4.6.8) y que A y B son las variables. Fijando B, y derivando E(A, B) con respecto a A, se obtiene X ∂E(A, B) X = 2(Axk + B − yk )(xk ) = 2 (Ax2 + Bxk − xk yk ) k ∂A k=1 k=1 n n (4.6.9) B) x=-2:0.6.-1]’. Problema 1 (Ajuste de una línea recta usando mínimos cuadrados) Construir la mejor línea recta que se ajuste a los datos dados por los n puntos (x1 .y) hold on plot(X. fijando A y derivando E(A.124 CAPÍTULO 4.6. plot(x. X=[-1. Nótese que también aparecen los valores de los puntos dados.3.7.9.3.Y.6. y usando la propiedad de distribución de la suma se llega a: 0= n n n n X X X X (Ax2 + Bxk − xk yk ) = A x2 + B xk − xk yk k k k=1 k=1 k=1 k=1 (4. A=1/D*(length(X)*sum(X’*Y)-sum(X)*sum(Y)).6.2.4.12) y = −1. B) con respecto a B.’r*’) hold off grid on xlabel(’x’). El siguiente programa en Matlab resuelve el problema. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES Ahora.5.607x + 8.0. . En la gráfica de la Fig. 4. D=length(X)*sum(X’*X)-sum(X)*sum(X).ylabel(’y’) title(’Ajuste de una recta usando mínimos cuadrados’ ) La mejor recta resultante será n n n X X X (Axk + B − yk ) = A xk + nB − yk k=1 k=1 k=1 (4. B) X = 2(Axk + B − yk ) = 2 (Axk + B − yk ) ∂B k=1 k=1 n n (4.A) fprintf(’B= %12.643 . .4.01:10. B=1/D*(sum(X’*X)*sum(Y)-sum(X)*sum(X’*Y)).1.11 se muestra la mejor recta factible para este problema.6. fprintf(’A= %12.9) y (4. y1 ).6]’.7).11) 0= Estas ecuaciones escritas en forma de matriz conducen al resultado (4.10).10) Haciendo las derivadas parciales iguales a cero en (4.3f\n’. yn ).6. y=A*x+B.5. R ° Sol. se obtiene X ∂E(A. Y=[10. .0. (xn . .3f\n’. 50 2. La mejor línea de ajuste.0295 . AJUSTE DE CURVAS A j u s t e d e u n a r e c t a u s a n d o m ín i m o s c u a d r a d o s 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -2 125 y 0 2 4 x 6 8 10 Figura 4. La regresión lineal de dos variables es una característica estándar en la mayoría de los programas de hoja de cálculo en los computadores.00 0.52 1.607 ∗ 25 1 uX 2 t = 0.11.03 1.00 2. obetiéndose: A = 0. junto con los datos se encuentra graficada en la Fig.4.05 0.9977 B = 0.480 28 Eyx = √ yk − B yk − A xk yk = 8−2 n − 2 k=1 k=1 k=1 Esto representa la desviación de los datos y alrededor de los datos predichos por la mejor línea de ajuste.643 ∗ 37 + 1.11: Línea y = Ax + B el error estándar de la función estimada es v r u n n n X X 281 − 8. L [cm] v[v] 0.50 1.50 2.00 1.50 0.6.56 Sol. Determinar la mejor recta que se ajuste a estos datos y hacer la gráfica correspondiente. Para resolver el problema.00 2. 4. aplicamos los datos en el programa del Problema 1. Ejemplo 14 La siguiente tabla representa la salida (V ) de un transformador diferencial variable lineal (LVDT) para cinco datos de entrada. requiriendo solamente la entrada de dos columnas de números. 4.0295 ∗ 7. Teorema 3 Ajuste a una función potencia. En este caso hay solamente un parámetro A es determinado.2 Ajuste a una función potencia y = AxM Algunas situaciones involucran f (x) = AxM .66 − 0. donde M es una constante conocida. El error estándar de la estimación para estos datos se obtiene como antes. junto con los datos se grafica en la Fig.0278 6−2 n − 2 k=1 k k=1 k=1 Esto representa la desviación de los datos de y alrededor de los datos predichos por la mejor línea recta. Supóngase que {(xk . Figura 4.137 − 0. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES La mejor línea recta resultante será y = 0.12: Aproximación de un conjunto de datos a una línea recta. El coeficiente A de la curva de potencia con aproximación por mínimos cuadrados y = AxM está dada por . yk )}n son n puntos.94 1/2 1 uX 2 t Eyx = √ y −B yk − A xk yk = = 0.12.6.0295 donde y es la tensión y x el desplazamiento. k=1 donde las abscisas son distintas.6): v u n ¶ µ n n X X 14. aplicando la ecuación (4.126 CAPÍTULO 4.9977 ∗ 13.6.9977x + 0. 4. Esta recta. 18) (4. .4. se obtiene un mínimo de la función E(A) así: n X E(A) = (AxM − yk )2 k k=1 k=1 n P n P xM yk k (4.6.6. (x1 .6.6.3 Ajuste aproximado a una curva Método de linealización de datos para y = CeAx Supóngase que se tienen los puntos (x1 .15) Entonces. AJUSTE DE CURVAS 127 A= Usando la técnica de mínimos cuadrados. .13).6. X (x) y B = ln(C) (4. La derivada es n n X X M M E´ (A) = 2 (Axk − yk )(xk ) = 2 (Ax2M − xM yk ) k k k=1 k=1 (4.13) x2M k k=1 (4.6.6.16) la cual se reduce a la fórmula en la ecuación (4.6.19) (4.17) Esto resulta en una relación entre la nueva variable X y Y : Y = AX + B (4. .6. . el coeficiente A es la solución de la ecuación 0=A n X k=1 x2M k − n X k=1 xM yk k (4.6.14) En este caso es suficiente resolver E´ (A) = 0. 4.6. y1 ) y se desea ajustar a una curva exponencial de la forma y = CeAx El primer paso es tomar el logaritmo en ambos lados: ln(y) = Ax + ln(C) Entonces se introduce el cambio de variables: Y = ln(y). y1 ).20) . . (2. Sol.457367 (4. (1. una vez hallados los valores de A y B: C = eB (4. (3.23) La ecuación de la recta Y = AX + B ajustada por mínimos cuadrados para los puntos (4. ln(yk )) en el plano XY.21) n ⎣ P ⎦ B ⎦ ⎣ P Xk n Yk k=1 k=1 El parámetro C se calcula de la ecuación (4.6. la función f (x) será un polinomio de grado m: (4.13. 6. es decir.60944).22) Ejemplo 15 Use el método de linealización de datos y encuentre el ajuste exponencial y = CeAx para los puntos dados por (0. Las ecuaciones normalizadas para encontrar A y B son: ⎡ n ⎤ ⎤ ⎡ n n P 2 P P ∙ ¸ Xk Yk ⎥ ⎢ ⎢ k=1 Xk k=1 Xk ⎥ A ⎥ ⎥ ⎢ n = ⎢ k=1 (4. y la extensión a un polinomio de grado más alto.6.5) y (4. ln(1. 0.1.Entonces el método de mínimos cuadrados de la ecuación (4. C = e0.17).6. ln(2. (1.6.40547). 4. ln(5.391202x cuya gráfica se muestra en la Fig.23) está dada después de cálculos (ver Problema 1) por Y = 0.5).6. Yk )} = {(0.2.5)).6.6.26) f (x) = c1 + c2 x + c3 x2 + · · · + cm+1 xm Ahora se mostrará como encontrar. ln(3. (3. De aquí se obtiene el ajuste exponencial dado por: y = 1.24) y la gráfica correspondiente se muestra en la Fig. gr.5)). Yk )}. Aplicando la transformación (4. Este proceso es llamado linealización de datos.6.5)).7.3. 1. Yk ) = (xk . 6e0.20) ajusta la línea a los puntos {(Xk .6. 4.6. (2.457367 = 1. yk ) en el plano xy se transforman en los puntos (Xk . ln(7.5)..5).22). El valor de C se determina de la ecuación (4. (4.6. v. (2. 0.01490)}(4.128 CAPÍTULO 4. (4.0)).14.391202X + 0. (1.4 Ajuste polinomial Cuando el métodoprecedente se adapta para usar las funciones {fj (x) = xj−1 }y el índice de los rangos de sumación desde j = 1 hasta j = m + 1.5))} = {(0. (3.25) 4. 2.91629). ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES Los puntos originales (xk .6.5).19) se obtiene: {(Xk . (4. la parábola con mínimos cuadrados. 1.25276). Los coeficientes de la parábola por mínimos cuadrados y = f (x) = Ax2 + Bx + C (4. B y C del sistema lineal à n X k=1 k=1 x4 k x3 k à n X ! ! A+ A+ à n X à n X k=1 k=1 x3 k x2 k ! ! B+ B+ à n X à n X k=1 k=1 x2 k xk ! ! C = C = n X k=1 n X k=1 n X k=1 yk x2 k yk xk yk (4.6.25 2. Yk )}.28) à n X k=1 x2 k ! A+ à n X k=1 xk ! B + nC = Prueba.13: Puntos de datos transformados {(Xk .5 0 0 1.75 x 5 Figura 4.6.5 1 0.29) . Los coeficientes A.5 2 1.27) son los valores solución de A. yk )}n son n puntos. Teorema 4 (Parábola con mínimos cuadrados) Supóngase que {(xk . B y C minimizarán la cantidad n X¡ k=1 0 = E(A.5 3.4. AJUSTE DE CURVAS y 3 129 2.6. k=1 donde las abscisas son distintas. C) = Ax2 + Bxk + C − yk k ¢2 (4. B.6. 3).14: Ajuste exponencial a y = 1. Los datos y operaciones de suma El sistema lineal quedará: ⎡ 353 45 ⎣ 45 29 29 3 requeridas. 3).25 2.6 ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 29 A 79 3 ⎦⎣ B ⎦ = ⎣ 5 ⎦ 4 C 8 ¡ 2 ¢ Axk + Bxk + C − yk ¢ Ax2 + Bxk + C − yk (xk ) k (4. 1) y (4. se muestran en la Tabla 4.75 x 5 Figura 4.6. B y C deben ser cero. 1).391202x obtenido por el método de linealización de los datos Las derivadas parciales relativas a A.31) k=1 xk k=1 Pk=1 k Pk=1 xk Pn n n 2 n C k=1 xk k=1 xk k=1 yk que es la misma expresión dada por la ecuación (4. Esto resulta en 0 = 0 = 0 = X¡ ¢ ∂E =2 Ax2 + Bxk + C − yk (x2 ) k k ∂A k=1 k=1 n X k=1 n X¡ n ∂E =2 ∂B ∂E =2 ∂C Usando la propiedad distributiva de la adición y llevándola a forma de matriz se obtiene: ⎡ Pn ⎤ ⎤⎡ ⎤ ⎡ Pn Pn Pn 4 3 2 2 A Pk=1 xk Pk=1 xk Pk=1 xk Pk=1 yk xk n n 2 ⎣ n x3 ⎦ ⎣ B ⎦ = ⎣ n yk xk ⎦ (4. (0.e0.5 5 2.5 0 0 1.6.130 CAPÍTULO 4.30) . Sol. 6. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES y 10 7.5 3.30) Ejemplo 16 Encontrar la parábola con mínimos cuadrados para los cuatro puntos (−3. (2.6. 5 1 0.5 2 1.6. Stella . χ2 . Los mejores programas contienen no solamente cálculos par determinar la media y la dispersión estándar.15. SWP .5 -1. La mayoría de las hojas de cálculo electrónico contienen funciones estadísticas y algunos programas contienen altas capacidades esR R R R ° ° ° ° tadísticas (v.6. . C = 1394/1639 y la parábola deseada es y = 0. 4. 4.85052 3 2. coeficientes R ° de correlación y tablas de funciones de distribución (t. Excel .15: Ajuste a una parábola usando mínimos cuadrados..25 0 1. etc. sino también cálculos de coeficientes de regresión lineal y no lineal.4. ordenamiento de datos e histogramas. Matlab .5 0 -2. AJUSTE DE CURVAS 131 La solución de este sistema lineal es A = 585/3278.75 x Figura 4. B = −631/3278.).5 3.1925x + 0.25 2.17846x2 − 0. etc) (Simscript ).5 Software para Análisis Estadístico de Datos Experimentales El análisis estadístico y la presentación de los datos ha llegado a ser una característica necesaria de muchos proyectos de ingeniería y administración. La respuesta gráfica se puede ver en la Fig. gr. 590 19 0.396 0.917 7 0.02 0.592 0.129 0.163 0.834 9 0.882 0.389 0.380 0.05 0.661 15 0.412 0.634 0.608 0.426 0.6: Obtención de los coeficientes para un parábola de mínimos cuadrados xk yk x2 x3 x4 xk yk x2 yk k k k k −3 3 9 −27 81 −9 27 0 1 0 0 0 0 0 2 1 4 8 16 2 4 4 3 16 64 256 12 48 P P P P P P P =3 =8 = 29 = 45 = 353 =5 = 79 .875 8 0.497 0.505 30 0.351 0.361 0.988 0.789 0.338 0.805 0.950 0.685 0.000 1.233 0.327 0.222 0.430 40 0.463 35 0.934 0.365 0.951 0.980 0.398 0.462 0.180 Tabla 4.959 6 0.878 0.257 200 0.346 0.997 1.811 0.091 0.458 0.328 0.798 10 0.380 50 0.392 0.687 0.729 0.444 0.299 0.612 0.529 0.750 0.207 0.468 0.543 0.754 0.2 0.606 18 0.532 0.166 0.184 0.132 CAPÍTULO 4.279 0.472 0.294 0.1 0.707 0.01 3 0.602 0.265 0.632 0.708 13 0.641 16 0.361 100 0.482 0.623 17 0.283 0.000 4 0.419 0.312 0.241 0.514 0.248 0.497 0.990 5 0.138 0.684 14 0.833 0.900 0.308 0.403 45 0.306 0.666 0.317 0.235 0.575 20 0.476 0.116 0.574 0.443 0.735 12 0.456 0.378 0.516 0.576 0.337 0.549 0. α n 0.400 0.5: Valores mínimos del coeficiente de correlación para un nivel de significancia a.658 0.195 0.558 0.521 0.334 0.197 0.553 0.715 0.765 11 0.264 0.441 0.367 0.551 0.561 25 0.800 0.507 0.582 0. ANÁLISIS ESTADÍSTICO DE DATOS EXPERIMENTALES Tabla 4.669 0.423 0.621 0. Para demostrar o verificar la validez de los resultados. . . xn ) 133 (5. . x2 . Para detalles adicionales se puede consultar la Norma ANSI/ASME(1986) [1].Capítulo 5 Incertidumbre Experimental 5. 5. se proporcionarán métodos para combinar las incertidumbres de las fuentes de manera que se pueda estimar la incertidumbre de los resultados finales de un experimento. . Cualquier resultado experimental involucrará algún nivel de incertidumbre que puede ser originada por diferentes causas tales como la carencia de precisión del equipo de medida. El análisis de incertidumbre se efectúa en varias etapas del proceso: • Etapa de diseño.2. . Para seleccionar las técnicas de medición y los dispositivos requeridos. x2 . variación aleatoria de los elementos de medición (parámetros físicos) y aproximaciones en los datos recolectados. xn dada por R = f (x1 . • Después de completar la toma de datos. . En este capítulo. • Mientras se realizan o se validan los experimentos.2 Propagación de las Incertidumbres Sea R. . Para identificar las acciones correctivas Los aspectos básicos se presentan en este capítulo. A este resultado se le denomina propagación de la incertidumbre y es un aspecto importante de cualquier experimento en ingeniería. .1) . Todas estas incertidumbres pueden eventualmente afectar el resultado final de la medición.1 Introducción El análisis de la incertidumbre es parte vital de cualquier programa experimental o diseño de sistemas de medida. llevando al sistema a una incertidumbre global. una función resultante de n variables independientes medidas x1 . quedará: ¯ n X ¯ ∂R ¯ ¯ ¯ wxi ¯ wR = ¯ ∂xi ¯ i=1 (5.2. es una aproximación.2) sean simultáneamente positivos o que los errores en los x individuales estén en el extremo del intervalo de incertidumbre.4). puesto que se designarán los w como un rango más/menos para la mayoría de los errores probables.2. Hay una restricción significativa para el uso de la ecuación (5. Como conclusión. puede emplearse un método aproximativo. la formulación es ligeramente diferente y se discute en [1] y en [9]. se utiliza estimar el valor de la incertidumbre de R haciendo positivos todos los términos del miembro de la derecha de la ecuación (5. Cada uno de los términos de la ecuación (5.4). δ con pequeños cambios en los xi . Para .2). denotadas por wxi y δR se puede reemplazar por la incertidumbre en el resultado denotada por wR .gr. la ecuación (5. será la misma que los niveles de confianza de las incertidumbres en los x.3) No es muy probable que todos los términos en la ecuación (5. la ecuación (5.2) puede ser positivo o negativo y. Si las variables no son independientes. como se dijo al principio. en principio.2.4) wR = ∂xi i i=1 Las bases conceptuales para la ecuación (5. que los términos positivos y negativos llegaran a cancelarse obteniéndose eventualmente un valor de cero para wR. INCERTIDUMBRE EXPERIMENTAL Las xi son las cantidades medidas (salidas de instrumento o componentes). deben ser independientes entre si. Por lo tanto. se pueden reemplazar los valores de los δxi por las incertidumbres en las variables. el nivel de confianza en la incertidumbre del resultado R. v. es conveniente que todas las incertidumbres utilizadas en la ecuación (5. en Coleman y Steel [9]. Si R es un resultado calculado basado en los xi medidos. Esto es. Se puede relacionar un pequeño cambio en R.2.2.2) no producirá un valor verdadero para wR ..2.2. Consecuentemente.2.2. Podría ser posible.2. Cuando en el problema se conoce una cierta precisión total necesaria y se desea saber qué precisiones se requieren en los componentes.2) Esta ecuación es exacta si los δ son infinitesimales: de otra forma. un error en una variable no deberá estar correlacionado con el error en otra. A veces se conoce como raiz cuadrada de la suma de los cuadrados (rcs). δxi a través de la expresión diferencial δR = X ∂R ∂R ∂R ∂R δx1 + δx2 + · · · + δxn = δxi ∂x1 ∂x2 ∂xn ∂xi i=1 n (5. En forma matemática.2. Un mejor estimativo para la incertidumbre está dado por v u n µ ¶2 uX ∂R t wx (5.4) sean evaluadas al mismo nivel de confianza.134 CAPÍTULO 5. Cada una de las variables.4) se discuten.3) producirá un estimativo muy alto para wR . Cuando se usa la ecuación (5.2. Los medios para eliminar esta dificultad se encuentran en el método de efectos iguales. Sol.24W es 2. . si cada término contribuye con el mismo error se tendrá: sµ ¶2 ∂R wx n wR = ∂x y de aquí se obtiene despejando wx : wR wx = √ ¡ ∂R ¢ n ∂x (5.2. wx para cada medida que deba realizarse.5. PROPAGACIÓN DE LAS INCERTIDUMBRES 135 ello es posible apreciar que este problema es matemáticamente indeterminado.2.24W ∂V ∂I ∂R = V = 120V ∂I El máximo error en 44W es del 3. Escribiendo la ecuación de potencia P = V I y calculando las derivadas parciales respecto a V e I se obtiene ∂P = I = 10A ∂V Entonces wP m´x a wP ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∂P ¯ ¯ ∂P ¯+¯ ¯ wV ¯ ¯ wI ¯ = 10 × 2 + 120 × 0.Calcular el errormáximo posible y el mejor estimativo de la incertidumbre en el cálculo de la potencia. se puede obtener el error admisible. es decir. En esta teoría se supone simplemente que cada fuente de error contribuirá con una cantidad de error igual.67% de la potencia (P = V I = 120×10 = 1200W ) mientras que valor estimativo de la incertidumbre es a 31.6) De esta expresión.2. Matemáticamente.2 A. si v u n µ ¶2 uX ∂R t wx wR = ∂xi i i=1 entonces. Ejemplo 17 Para calcular el consumo de potencia en un circuito resistivo. ya que existe un número infinito de combinación de estimativos para las incertidumbres individuales que puedan dar por resultado la misma incertidumbre total.5) (5. Suponer el mismo nivel de confianza para V e I.60%. se han medido la tensión y la corriente en el mismo encontrándose para la tensión V = 120 ± 2 V y para la corriente I = 10 ± 0.2 = 44W = ¯ ∂V ∂I ¯ sµ ¶2 µ ¶2 p ∂P ∂P wV wI = + = (10 × 2)2 + (120 × 0. Si la resultante R es dependiente solo del producto de las variables medidas.2)2 = 31. 9) en función de unidades de pulgada.520 0 × 10 ∂Php LF 15. [lbf].136 CAPÍTULO 5. el promedio de potencia transmitida por un eje giratorio. INCERTIDUMBRE EXPERIMENTAL Esta fórmula es más fácil de usar puesto que el error fraccional en el resultado R.52 × 10−4 × = 5.63 × 10. [s]. Cada uno de los exponentes λ1 . F $ fuerza en el extremo del brazo del par. se obtiene: donde κ = 9.8) es que. L $ longitud del brazo del par motor.10) Sol.50 s (5.2.52 × 10−4 × = 0.19301 ∂L t 60 ∂Php νL 1202 × 15.4) y (5.00 ± 0. Calculando las diferentes derivadas parciales.63 ± 0.2.7) (5. se tiene νLF νLF 2π =κ 12 × 550 t t −4 .05 ´ t = 60.52 × 10−4 × = 2. t $ tiempo que dura el experimento.52 × 10−4 × = 0. Transformando la ecuación (5. está relacionado directamente con los errores fraccionales en las medidas individuales.29809 ∂F t 60 ∂Php νLF 1202 × 15.4) también se puede utilizar en la fase de diseño de un esperimento para determinar la precisión requerida de los instrumentos y otros componentes.0 rev = 10.9) Php = 550t donde ν $ revoluciones del eje durante el tiempo t.12 ± 0. Ejemplo 18 Considérese un experimento para medir.2.2.04 lbf Se puede demostrar que la ecuación (5.2.2.Si para una observación específica los datos son: F ν = 1202 ± 1.63 = κ = 9.12 = −κ 2 = 9. La fórmula para la potencia en caballos de fuerza puede escribirse como: 2πνLF (5.4) toma una forma más simple: v u n µ ¶2 wR uX wi =t λi R xi i=1 R = Cxλ1 xλ2 · · · xλn n 1 2 (5. La ecuación (5. por medio de un dinamómetro. · · · .0278 × 10−2 ∂t t 602 Php = .8) L = 15.12 = κ = 9. los términos de valor mayor tienden a ser dominantes.12 = κ = 9.63 × 10.2. λn puede ser positivo o negativo. λ2 .2. puesto que los términos individuales son elevados al cuadrado antes de sumarse.509 7 × 10−3 ∂ν t 60 ∂Php νF 1202 × 10.2. [pies]. Una característica importante de las ecuaciones (5. 005rev =√ 4 × 2.19301 × 0.9074 × 10−2 pulg 4 × 0.13).2..29809 × 0.0 + 0.2.5)2 ∂Php wν ∂ν + ∂Php wL ∂L + ∂Php wF ∂F + ∂Php wt ∂t Se puede observar que whp < whpm´x Se puede afirmar que el error es quizá tan grande como a 0.2.5097 × 10−3 × 1.05 + 0.63 × 10.2.5 a El resultado puede.19301 × 0.049 hpó Php = 3.5097 × 10−3 3.0278 × 10−2 (5. PROPAGACIÓN DE LAS INCERTIDUMBRES El error absoluto máximo será: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∂Php ¯ ¯ ∂Php ¯ ¯ ∂Php ¯ ¯ ∂Php ¯ ¯+¯ ¯+¯ ¯+¯ ¯ whpm´x = ¯ wν ¯ ¯ wL ¯ ¯ wF ¯ ¯ wt ¯ a ¯ ∂ν ∂L ∂F ∂t whpm´x = 4.29809 × 0.52 × 10−4 × = 3. Supóngase que en el ejemplo anterior se desea medir la potencia con una precisión del 0.19301 3.04 lbf en lugar de 0.0278 × 10−2 × 0.0167 × 0.12 = 9.6% hp La ecuación (5. F.049hp.5%.0167 × 0.4) puede usarse para estimar el límite de la incertidumbre en la medida sµ ¶2 µ ¶2 µ ¶2 µ ¶2 whp = whp = whp = 2. son buenos sólo hasta 0.0167 × 0.0167 × 0.005 = 0.9223 × 10−2 hp a La potencia total está dada por: Php = κ νLF 1202 × 15.15s =√ 4 × 5.0167 hp t 60 137 whpm´x = 2. se obtiene para cada parámetro: wν = wL = wF = wR √ ¡ ∂R ¢ n ∂ν wR √ ¡ ∂R ¢ n ∂L wR √ ¡ ∂R ¢ n ∂F wR √ ¡ ∂R ¢ n ∂t 3.2.12) (5.2.005 = √ = 3.¿Qué precisiones se requieren en las medidas individuales? Sol.9556 × 10−2 p (2.005 = 3.04 + 5.017 ± 0.11) (5.13) (5.14) wt = Si se encuentra que el mejor instrumento y técnica disponibles para medir.5097 × 10−3 × 1. gr.0)2 + (0. v. entonces.005 = 0.0278 × 10−2 × 0. pero probablemente no mayor que 0.6). Utilizando la ecuación (5.0253lbf = √ 4 × 0.025 lbf que pide la ecuación (5.029 hp.05)2 + (0.2. la fuerza. expresarse como Php = 3.2.017 ± 1.5.04)2 + (5. esto significa .29809 3. se sigue la formulación dada antes.2.2. En ANSI/ASME 86 [1]. la cual se denomina índice de precisión. ¯ de las medidas (xi ). respectivamente.5%.1 Consideraciones de sesgo y precisión En las primeras fases del diseño de un experimento. INCERTIDUMBRE EXPERIMENTAL necesariamente que Php no medirse al 0. Estas incertidumbres conocidas como límite de sesgo y límite de precisión.14). En un análisis más detallado.2.2.4) con estas incertidumbres de las variables medidas para estimar la incertidumbre resultante. no es práctico separar los efectos del sesgo y los errores de precisión.. respectivamente. En ese caso la distribución t se aplica solamente al intervalo de confianza sobre la media de un conjunto de medidas.16) es diferente de la discusión de la distribución t dada en la desigualdad (4. " #1 n 2 1 X 2 Sx = (xi − x) ¯ (5. se denotan por los símbolos B y P. El error de precisión es aleatorio en medidas individuales y su estimación depende del tamaño de la muestra.4.16) donde t es la función de nivel de confianza (v. Los datos medidos se usan para calcular la desviación estándar muestral de las mediciones. es deseable mantener separado el análisis de la incertidumbre en el sesgo (sistemática) con la incertidumbre en la precisión (aleatoria). Sx en análisis de incertidumbre.17) . la distribución t se aplica al cálculo del intervalo de confianza de una medida individual cuando la desviación estándar se basa en una muestra pequeña. El error de sesgo no varía durante lecturas repetidas y es independiente del tamaño de la muestra. El uso de la distribución t en la ec (5. Haciendo una o más de estas medidas con mayor precisión. Sin embargo. sin embargo.2. Pxi . 95%) y los grados de libertad. para una medida simple xi puede entonces estimarse utilizando el método t Student : Pxi = tSx (5. (5.gr. puede contrarrestarse el error excesivo en la medida de F.18) (5. Se puede usar la ecuación (5. El error de precisión usualmente se determina por mediciones repetidas de la variable de interés (o mediciones repetidas en pruebas de calibración).11). Si se desea predecir la incertidumbre de la media.2. 5. Puesto que la desvición estándar de la media se relaciona con la desviación estándar de las mediciones por Sx Sx = √ ¯ n la incertidumbre de la media estará dada por Px = tSx ¯ ¯ (5.138 CAPÍTULO 5. ello no quiere decir que una o más de las otras cantidades (ν.2.2.2.15) n−1 i=1 Entonces se puede determinar el límite de precisión. deban medirse con mayor precisión que la requerida en las ecuaciones (5. x.14). L o t).12) y (5.2. 5. Usar un nivel de confianza del 95%. Para combinar las incertidumbres de precisión y sesgo. En muchos casos es posible reducir el error de sesgo corrigiendo analíticamente los datos.20) La desviación estándar de las muestras es: ∙P ¸1 (xi − x)2 2 ¯ = 566. la media será x= ¯ 1X xi = 49180 kJ/kg n El límite de sesgo. Este proceso de corrección puede reducir significativamente este tipo de error. Los errores de sesgo incluyen aquellos errores que son conocidos pero no se han eliminado por medio de calibración y otros errores fijos que pueden ser estimados pero no eliminados del proceso de medida.3 kJ/kg Sz = n−1 .2. 49270. 48850. La transferencia de calor por radiación entre las paredes del contenedor y el dispositivo de medida resultará en valor medido inferior a la verdadera temperatura del gas. Tomando xi como el valor calórico. permanece constante si se repite la prueba bajo las mismas condiciones. calcular el límte de precisión (a) de cada medida (b) el límite de precisión de la media de las medidas. PROPAGACIÓN DE LAS INCERTIDUMBRES El intervalo de incertidumbre en la precisión está dado por tSx ∆Px = ± √ ¯ n 139 (5.En ANSI/ASME 86 se recomienda que para análisis de incertidumbre se use un nivel de confianza del 95%. Los valores medidos en kJ/kg son 48530. Ejemplo 19 Para estimar el valor calórico de un campo de gas natural se tomaron diez muestras y valor calórico de cada muestra se midió con un calorímetro. w. Existen muchas situaciones en las cuales resulta un error grande de sesgo debido a la instalación de los dispositivos de medida.2. 48680 Asumiendo que el calorímetro no introduce error de precisión. se usa la expresión p w = P 2 + B2 (5.2. 49860. 50210. que el nivel de confianza en P.19) El nivel de confianza en la incertidumbre. 48560. Un ejemplo es la medición de la temperatura de un gas caliente cuando se retiene el gas en un contenedor frío. B. Errores dinámicos y espaciales también pueden introducir grandes errores de sesgo. 48980. el proceso no puede reducir el error de sesgo a cero. Sol. pero como el proceso de corrección es en sí mismo incierto. 49320. 49540. Ejemplo 20 Como se muestra en la Fig. Los datos disponibles son: Valor medio x = 49180 kJ/kg ¯ Límite de precisión de la media Px = 404. Tw .20). un sensor para medir temperatura se usa para medir la temperatura.3 = 1280 kJ/kg √ (b) Puesto que Sx = Sx / n. la incertidumbre total de la medida con un nivel de confianza de 95% será p p w = P 2 + B 2 = 404. el límite de precisión del valor medio será ¯ tSx 2. el cual fue medido posteriormente a las medidas dadas en el ejemplo. 9 kJ/kg el cual es el 4% del valor medido. el valor de t se encuentra como t = 2. (b) El límite de precisión de una medida individual es 1280kJ/kg. Calcular el estimativo de la incertidumbre total (a) del valor medio de las medidas del ejemplo.1% del valor medio.26 (a) El límite de precisión de cada muestra será Pi = tSx = 2. 6 kJ/kg el cual es 3.140 CAPÍTULO 5.2.015 × 105 = 1500 kJ/kg Se ha supuesto que la ‹‹exactitud› › está definida sólo con el error de sesgo (a) El límite de precisión de la media es 404.72 + 15002 = 1553. es de 723K.3 √ = 404.5% del rango total de 0 a 100000 kJ/kg. Tg .7 kJ/kg. ??. Se espera que el sensor tenga una lectura más baja que la verdadera temperatura del gas debido a que el sensor se enfría por radiación hacia .7kJ/kg Px = √ = ¯ n 10 Ejercicio 2 La especificación dada por el fabricante para el calorímetro en el ejemplo anterior.26 × 566. establece que el calorímetro tiene una precisión de 1. de un gas caliente en un ducto. (b) una medida del valor calórico dado como 49500 kJ/kg. Sol. es de 773 K y la temperatura de la pared. la incertidumbre de una medida de este estilo con 95% de nivel de confianza será wi = (Pi2 + B 2 )1/2 = (12802 + 15002 )1/2 = 1971.26 × 566. La lectura del sensor Ts. De acuerdo a la ec (5. INCERTIDUMBRE EXPERIMENTAL Usando distribución t de Student para un nivel de confianza de 95% y grados de libertad de 10 − 1 = 9. Consecuentemente.7 kJ/kg ¯ Límite de precisión del valor individual Pi = 1280 kJ/kg Error de sesgo B = 0. 2.21) se obtiene ∆Tc = Tg − Ts = ∈ 5. El valor de ∈ es +0. Se puede utilizar la siguiente fórmula para corregir el error de la medida debido a la radiación: ∈ 4 4 (5.8) para estimar las incertidumbres.5.228 79 w∆T = ∈ h 0. 676 K .2. (a) Sustituyendo en la ecuación (5. debido a que la emisividad tiene incertidumbre asimétrica. La temperatura debe estar en K. la cual tiene un valor de 5. la pared más fría del ducto. Sol. h es el coeficiente de transferencia de calor entre el gas y el sensor de temperatura y ∈ es la emisividad de la ½ superficie del sensor de temperatura.1: Error por radiación. Se puede despreciar la incertidumbre en la −0.9 4 4 σ(Ts − Tw ) = (7734 − 7234 ) = 85.2.9 + y el valor de h es 50 ± 10 W/m2 —K.2 medida de la temperatura.669 × 10−8 × 0.21) ∆Tc = Tg − Ts = σ(Ts − Tw ) h σ es la constante de Stefan—Boltzmann.1 2 10 h + + = + = 0.228 79 × 86 = 19. PROPAGACIÓN DE LAS INCERTIDUMBRES 141 Figura 5. Determinar (a) La corrección de la temperatura y (b) la incertidumbre en la corrección.2. 506 K h 50 (b) Se puede utilizar la ecuación (5.9 50 + w∆T = 0.1 0.669×10−8 W/m2 —K. Se debe notar que el intervalo de la incertidumbre positiva es diferente al de la negativa. "µ "µ ¶ # µ ¶2 #1/2 ³ w ´2 1/2 + ¶2 w∈ 0. 7 deberá aplicarse en un análisis completo de la incertidumbre. Es este intervalo el que Así se ha reducido el error de sesgo de −25.142 "µ ¶2 CAPÍTULO 5.7 a un intervalo de .2 0.298 97 − w∆T = 0.7 −25. INCERTIDUMBRE EXPERIMENTAL #1/2 "µ ¶2 µ ¶2 #1/2 − w∆T = − w∈ ∈ + ³ w ´2 h h = 0. .298 97 × 86 = 25. El error de sesgo máximo se ha reducido a menos de un tercio de su valor original.9 + 10 50 = 0.711 K El mejor estimativo de la temperatura será Tg = 773 + 86 = 859 + 86◦ ½ +19.7 ½ +19. pu-diendo afirmarse que cubren la mayor parte de las aplicaciones industriales.Capítulo 6 Sensores de parámetro variable 6.2 Transductores potenciométricos Un potenciómetro consiste esencialmente en un resistencia fija sobre la cual desliza un cursor accionado por rotación. 143 . o por ambos efectos combinados.) originada por una variación proporcional de la magnitud física que se quiere medir. etc. Se trata pues. de elementos de tres terminales (ver Fig. inductancia. Se caracterizan por su robustez y simplicidad constructiva porque producen una salida que está relacionada con la variación de un determinado parámetro eléctrico pasivo (resistencia. acoplamiento magnético.1 Introducción Los transductores de parámetro variable constituyen un importante grupo de captadores de señal.1: Transductor potenciométrico. por deslizamiento lineal. A + vi R | x Rf(x) | B v + o - Figura 6. 6. capacitancia.1) de los cuales dos corresponden a los extremos de la resistencia y el tercero está conectado al cursor. 6. En este caso. Atendiendo a la naturaleza del desplazamiento x. la tensión v0 de salida entre el cursor y el extremo de referencia B será: vi = vi f (x) R expresión que indica que la tensión de salida está relacionada con la tensión de entrada mediante una función que depende únicamente de las características constructivas del potenciómetro y del desplazamiento del cursor. 6. • Potenciómetros multivuelta o helicoidales: En este caso el elemento de resistencia tiene forma de hélice de varios pasos (normalmente 10 ó 20) y el cursor desliza sobre el mismo.2: Potenciómetro angular.144 CAPÍTULO 6. se tienen los siguientes tipos de transductores potenciométricos: • Potenciómetros de desplazamiento lineal: El cursor desliza longitudinalmente sobre un elemento resistivo rectilíneo (ver Fig. 6. v0 = Rf (x) Cursor vS vO Figura 6. • Potenciómetros angulares: El cursor desliza sobre un elemento resistivo en forma de sector circular. girando alrededor de un punto central (la variable x corresponde al ángulo girado) (ver Fig. x: Desplazamiento del cursor a partir de un extremo de referencia. siendo 0 ≤ f (x) ≤ 1 Supóngase que se aplica una tensión vi entre los terminales A y B con la polaridad indicada. 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE En la Fig.2).1). Rf (x): Resistencia comprendida entre el extremo de referencia y el cursor. .1 están indicados los siguientes parámetros R: Resistencia total. 3) ³ ´ x log A xmax + 1 log(A + 1) (6. f (xmax ) = 1.2. el elemento resistivo es rectilíneo y el cursor está accionado por un tornillo sin fin cuyo eje es paralelo a dicho elemento.6. 6.2.2.2. TRANSDUCTORES POTENCIOMÉTRICOS 145 girando alrededor de un eje central y desplazándose al simultáneamente paralelo al mismo (la variable x corresponde al ángulo θ de giro que puede ser.2.4) (6. Atendiendo.1 Potenciómetro de función lineal f (x) = Kx (6.2. por otra parte.2. A continuación se muestran algunos prototipos funcionales. • En otro tipo de disposición constructiva. se pueden obtener diferentes tipos de potenciómetros. se deduce 0 = M log B =⇒ B = 1 1 = M log(A + 1) =⇒ M = o sea f (x) = y la tensión de salida será µ ¶ x 1 v0 = f (x)vi = log A + 1 vi log(A + 1) xmax 1 log(A + 1) (6.5) .2) 6. por supuesto.2. superior a 360◦ ). a la naturaleza de la función f (x).2 Potenciómetros logarítmicos y antilogarítmicos Para los potenciómetros logarítmicos la función f (x) es del tipo µ ¶ x f (x) = M log A +B xmax y con las condiciones de contorno f (0) = 0.1) La función f (x) es del tipo y como para x = xm´x (cursor lo más alejado posible del extremo de referencia) se cumple que a f (xmax ) = 1 = Kxmax se tiene f (x) = x xmax x xmax =⇒ v0 = vi (6. 25 0.146 y 1 CAPÍTULO 6.75 x 1 Figura 6.25 0 0 0.3: Respuesta de una función logarítmica: línea continua A = 1. 6. En la Fig. Para A = 0 se tiene el caso particular del potenciómetro lineal. 6. es necesaria una fuente de alimentación de doble polaridad.3 Potenciómetros trigonométricos Normalmente son giratorios (x = θ =ángulo de giro) y la tensión de salida es proporcional al seno o al coseno del desplazamiento angular del cursor (únicas funciones trigonométricas acotadas). línea de trazos A = 10. 6. aparecen graficados en la Fig.2. Por otra parte. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE 0.5 0. para A = 0 se obtiene f (x) = xmax . dada la naturaleza de las funciones seno y coseno (que toman valores positivos y negativos). es de observar que el carácter de la función logarítmica es absolutamente general ya que no se ha hecho referencia a la base de la misma.4.5 0.7) x Al igual que en el caso anterior.6) (A + 1) xmax − 1 v0 = vi A x (6.1 ya que. línea punteada A = 100. 6.2.5 se ilustran las conexiones asociadas a un potenciómetro senoidal—cosenoidal con dos cursores a 90◦ . . se llega a la forma analítica: f (x) = o sea x 1 (A + 1) xmax − 1 A (6. es decir.75 0. La respuesta normalizada para algunos valores de A. En la Fig. 6. mediante razonamiento similar.3 se observa la respuesta normalizada para algunos valores de A.2. Los potenciómetros antilogarítmicos corresponden a una función f (x) inversa de la correspondiente a los logarítmicos y. La disposición constructiva difiere sustancialmente de la representada en la Fig. De lo anterior se deduce que existen infinitas funciones posibles haciendo variar el parámetro A. el potenciómetro lineal. puede escribirse: v0 = o sea R(θ) vi = vi senθ R( π ) 2 π R(θ) = R( )senθ 2 en el primer cuadrante. Realmente. la resistencia estará diseñada de modo que su variación con el ángulo θ responda a la función trigonométrica. TRANSDUCTORES POTENCIOMÉTRICOS y 1 147 0. adaptada al caso particular en estudio.6. . Considerando. y en muchos casos empírica.75 0.5 0. por ejemplo. son de particular interés los llamados potenciómetros programables o potenciómetros gene-radores de funciones. 6. El potenciómetro completo estará constituido por resistencias simétricas con la misma ley de variación. Entre ello. línea de trazos A = 10.25 0 0 0. l: línea punteada A = 100. por ejemplo. Por supuesto. se trata de cuatro potenciómetros ya que se tiene un elemento resistivo por cada cuadrante. la tensión v de salida en el cursor móvil tomará los mencionados valores preajustados al pasar dicho cursor por cada una de las tomas intermedias. dispuestas en los cuatro cuadrantes. De acuerdo con este principio.4: Respuesta de una función exponencia˙ línea continua A = 1.25 0.2.75 x 1 Figura 6.2. que permiten la síntesis de cualquier función F (x) mediante aproximación por tramos rectilíneos. Se caracterizan por tener una serie de tomas intermedias accesibles en terminales exteriores a los que se aplican tensiones continuas preajustadas según los valores de la función y que pueden obtenerse. el cursor que forma un ángulo θ con la horizontal. variando linealmente entre cada dos tomas adyacentes.5 0. mediante potenciómetros convencionales.4 Potenciómetros Funcionales En estos potenciómetros la función F (x) es general. 8) ZL Rf (x) ZL + Rf (x) .2.2. y con referencia a la Fig.5 El potenciómetro como elemento del circuito Hasta ahora se ha considerado el transductor potenciométrico como elemento aislado generador de una señal representativa de la magnitud a medir. se tendrá como impedancia de entrada: Zi = R [1 − f (x)] + y operando la expresión anterior: Zi = ZL + Rf (x) [1 − f (x)] R ZL + Rf (x) (6. con lo cual quedará totalmente definido como componente. Para ello. se considera necesario hacer algunas reflexiones relacionadas con el comportamiento eléctrico del potenciómetro y. puesto que ya se determinado la amplitud de la señal producida en su salida (en ausencia de carga exterior). 6. ??. se procederá a deducir sus impedancias de entra y salida. Tomando como variable independiente x el desplazamiento del cursor.5: Potenciómetro trigonométrico. suponiendo conectada una impedancia ZL de carga entre los bornes de salida. puede así construirse la función F (x) que pasa por una serie de puntos discretos cuyas coordenadas corresponden a los valores de x asociados a las tomas y a los valores de tensión preajustados en dichas tomas. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE Figura 6. Antes de seguir adelante.148 CAPÍTULO 6. sin tener en cuenta los efectos que produce su inclusión en el circuito de medida. se obtiene dZi df (x) = R [1 − 2f (x)] = 0 1 (6.2. equivaldrá a la combinación en paralelo de Rf (x) y R [1 − f (x)]. Solución: La salida se mide a través de la resistencia αR en paralelo con kR. y según el teorema de Thévenin. f (x) = Ejemplo 21 Un potenciómetro lineal de resistencia R está cargado por una resistencia de valor kR. Tratando la Fig. o sea: Zo = (6.7). TRANSDUCTORES POTENCIOMÉTRICOS 149 Figura 6.6. Se computa la razón k de la salida respecto a la entrada. Se verifica esta expresión para una carga muy liviana. E0 H= = Ei Simplificando esta expresión.6: Red con potenciómetro. potenciómetro sin carga es k = α.2. k = ∞.2.9) R2 f (x) [1 − f (x)] = Rf (x) [1 − f (x)] R Derivando esta última expresión e igualando a cero.10) 2 de donde se deduce que la impedancia de salida es máxima cuando las resistencias entre el cursor y los extremos son iguales. En cuanto a la impedancia de salida. Sea α la proporción del recorrido total del contacto deslizante (6. La expresión correcta para el . como un divisor de voltaje. αkR2 αk = 2 + (1 − α)R2 (α + k) αkR αk + α + k − α2 − αk αk = 2+α+k −α . H = αR(kR) αR+kR αR(kR) αR+kR + (1 − α)R . Encontrar la la expresión de la salida del potenciómetro versus α. 2.025 0 0 0. k > 10.75 x 1 Gráfico adimensional del error por unidad del potenciómetro en función de la rotación del eje. o sea.05 0. Ejemplo 22 Determinar el error de no linealidad que se produce en un potenciómetro lineal por causa de la carga.5 0. En aplicaciones de gran precisión. el potenciómetro se carga muy ligeramente.7: Potenciómetro cargado con kR.25 0. Solución: Restando la salida real con carga de la salida teórica sin carga: Error(ε) = α − Simplificando la expresión del error: ε= y 0.125 −α2 αk +α+k α2 (1 − α) −α3 + α2 + αk − αk = −α2 + α + k α − α2 + k 0. Para esta condición 2 ∼ α (1 − α) (6.150 CAPÍTULO 6.11) ε= k .1 0. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE + vi - αR kR vo Figura 6.075 0. 5% 270 o α(2 − 3α) = 0 α2 −α3 k . los potenciómetros pueden ser cargados de varias maneras. Ejercicio 3 Usando (6.6.2.11). .75 x 1 Figura 6.2. α1 = 0.1 0.11). Para desarrollar no linealidades sustanciales se requiere una gran carga a la salida.25 0. Para desarrollar características no lineales.025 0 0. aproximadamente. encontrar el punto donde el error de no linealidad es máximo.8 se ha dibujado la curva del error. El resultado es universal si se grafica kε en vez de ε.15 151 0.05 0. α2 = Ejercicio 4 Usando (6.075 0. encontrar el valor del máximo error debido a la carga. Solución: Se encuentra εmax por diferenciación respecto de α. εmax = ( 2 )2 (1 − 2 ) 1 4 1 4 α2 (1 − α) 3 = 3 = × × = k k k 9 3 27k 4 ∼ = 1. Solución: Se sustituye α = 2/3 en (6. TRANSDUCTORES POTENCIOMÉTRICOS 0.5 0. Dibujar ε versus α.2.6.125 y 0. 2 3 Evidentemente.2.8: Gráfico adimensional del error por unidad del potenciómetro en función de la rotación del eje. la curva de error tiene pendiente cero en el origen y un valor máximo en α = 2/3. dα k Resolviendo para α.11): ε= Si k = 10 ε= Una buena regla para recordar es 15 % k En la Fig. Como ε = dε 1 = (2α − 3α2 ) = 0. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE Ejercicio 5 Analizar las no linealidades que pueden desarrollarse cargando ya sea la parte superior o la parte inferior del potenciómetro de la Fig.152 CAPÍTULO 6.9). H= Simplificando la expresión de H: H= o H= k1 α(k2 + 1 − α) k1 α(k2 + 1 − α) + k2 (1 − α)(k1 + α) k1 α(k2 + 1 − α) −α2 (k1 + k2 ) + α(k1 + k2 ) + k1 k2 k1 k2 α k1 α = 2+α+k + αk2 + k1 k2 −α 1 k1 R(αR) k1 R+αR k1 R(αR) (k2 R)(1−α)R k1 R+αR + k2 R+(1−α)R Para encontrar las funciones de varga separadas.9: Potenciómetro cargado. se hace k2 = ∞: H1 = A continuación se hace k1 = ∞: H2 = −α2 k2 k1 α(k2 + 1 − α) α(k2 + 1 − α) = 2 k + αk + k k −α 1 −α2 + α + k2 1 1 2 . (1-α)R k2R + vi - αR k1R vo Figura 6.(hacer Fig. (6. Solución: la ecuación de salida básica para las cargas de la Fig. Se tiene.) se desarrolla fácilmente tratando la red como un divisor de voltaje. Solución: Si los potenciómetros de entrada se han dispuesto en V1 . . demostrar que el voltaje del punto nulo corresponde a la suma de los voltajes de entrada.3 0.10 muestra el gráfico de k1 y k2 versus el ángulo del eje para varios valores de k1 y k2 .11: Red con potenciómetros.6.5 0. + V + v1 v2 vn V I1 I2 R2 R1 RL In Rn 0 Figura 6. los voltajes .1 0 0 0. V3 . 6. . Vn .11).1 0.9 1 153 Figura 6.4 0. las curvas universales del diagrama permiten una investigación simple de las posibilidades de modelación no lineal de curvas.6 0. V2 . Ejemplo 23 Tomando como referencia la Fig.5 0.2.2 0. TRANSDUCTORES POTENCIOMÉTRICOS 1 0.4 0.3 0.7 x 0.6 0.9 0. . La Fig.2 0.10: Curvas de carga de potenciómetros usados para formar funciones no lineales.7 0.8 0. (6.8 y 0. . R1 R2 R3 Rn Como la suma de las corrientes que entran al nodo deben ser igual a la corriente que circula desde el punto 0 a tierra. G3 . . .2.154 en el punto cero son: CAPÍTULO 6. . . Gn = V1 − V0 R1 V2 − V0 R2 V3 − V0 R3 Vn − V0 Rn = (V1 − V0 )G1 = (V2 − V0 )G2 = (V3 − V0 )G3 = (Vn − V0 )Gn 1 1 1 1 . . Ejemplo 24 Dos potenciómetros de 1000 ohms se excitan en la forma que se muestra en la Fig. (V1 − V0 )G1 + (V2 − V0 )G2 + (V3 − V0 )G3 + · · · + (Vn − V0 )Gn = V0 G0 Reordando. V1 G1 + V2 G2 + V3 G3 + · · · + Vn Gn = V0 (G1 + G2 + G3 + · · · + Gn ) Disponiendo G1 + G2 + G3 + · · · + Gn = GT la conductancia total a tierra desde el punto 0. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE V0 = V1 − I1 R1 = V2 − I2 R2 = V3 − I3 R3 ) = Vn − In Rn Las corrientes individuales pueden calcularse fácilmente: I1 = I2 = I3 = In = donde G1 . cada uno multiplicado por un factor de escalmiento apropiado tal como se requiere. G2 . entonces V0 = V1 G1 G2 G3 Gn + V2 + V3 + · · · + Vn GT GT GT GT (6.··· . . Calcular la corriente por el contacto deslizante del potenciómetro cuando P1 se dispone en +7 V y el otro se dispone para producir un mínimo valor de 0 en el punto cero. (). ¿Provoca esta corriente una imprecisión en la posición? ¿Qué efecto tiene la impedancia de entrada R0 del amplificador en los resultados? .12) El voltaje V0 del nodo es la suma de los voltajes individuales aplicados. Por lo tanto. en el caso actual. . que a su vez pueden ser evaluados. En el caso general. al ser efectadas en forma igual por la carga. G0 = = 10−5 Ω R1 R2 R0 = (2 × 10−4 ) + 10−5 = 21 × 10−5 Ω 10−4 10−4 10 = V1 + V2 = (V1 + V2 ) V 21 × 10−5 21 × 10−5 21 G1 G2 + V2 . Ejercicio 6 Los potenciómetros del problema anterior desarrollan su salida total para un ángulo de rotación de 320◦ . Si se gira el potenciómetro P2 en un grado de su posición de equilibrio nulo. las salidas de voltaje de ambos potenciómetros. Sin embargo. Por lo tanto.6. G1 = GT V0 1 1 1 = 10−4 Ω. el drenaje de corriente puede introducir errores en la carga.2. GT GT GT = G1 + G2 + G0 155 Para anular el voltaje de error con V1 = +7. V2 debe disponerse en −7 v. no conducen a imprecisiones en la posición del eje. TRANSDUCTORES POTENCIOMÉTRICOS Solución: Usando (6. Hay 20 V a través de los 320◦ del potenciómetro. G2 = = 10−4 Ω. La impedancia de entrada del amplificador afecta el factor de escalamiento de la salida más no la posición del punto nulo.2.12) V0 = V1 Sustituyendo valores numéricos. las cargas en ambos potenciómetros son idénticas. un grado es equivalente a 1 20 = V = ∆V 320 116 El incremento de voltaje en el punto de suma P0 es µ ¶ µ ¶ 1 10 1 ∼ 10 +7 − 7 + = V0 = = 30mV 21 16 21 16 El gradiente del sistema es de 30 mV /grado. ¿qué voltaje de error aparece en el punto cero? Solución: Tal como antes V1 = +7. V2 = −7 + ∆V donde ∆V es el voltaje de salida de P2 para un desplazamiento de un grado de la posición nula. para condiciones de equilibrio. Las tres entradas son el reloj (CLK ). En la Fig. cada uno de los cuales está constituido por varias etapas: • Un resistor fijo con toma central (cursor). El selector de circuito (CS) y la entrada de datos serie (SDI ).12: Digrama de bloques funcionales del AD5262.6 Potenciómetros Digitales Un tipo de potenciómetros programables son los potenciómetros digitales (PD) los cuales constan de un dispositivo resistivo variable (VR) de 2n posiciones (si n = 8. 6. donde se programa el valor de la resistencia entre el cursor y cada uno de los terminales fijos del resistor. Figura 6. • Un latch (cerrojo) del VR. Estos dispositivos realizan la misma función de ajuste electrónico que los de tipo mecánico. el cual se carga desde una interface serie y actualiza el latch del VR. entonces se tendrán 256 posiciones). SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE 6. el cual consta de dos canales con un registro serie de 9 bits cada uno. la cual varía linealmente de acuerdo al código digital transferido. Cada bit es transferido al registro en el flanco positivo del CLK.12 se muestra el diagrama en bloques de un potenciómetro digital comercial. Los PD se fabrican de uno o más canales. Interface digital El AD5260/AD5262 contiene una interface de control de entrada serial de tres hilos.156 CAPÍTULO 6. El valor del resistor se determina por un código digital cargado en un registro de desplazamiento.2. La . • Un registro de desplazamiento serie—paralelo. para este caso particular. Esta salida requiere un resistor de pull—up (v. La lógica trabaja bien. Supóngase que se va a utilizar un arreglo de 20 kΩ.1). RAB + RW = 78Ω + 60Ω = 138Ω RW B = 256 . accesibles por el cursor. hay una resistencia de contacto de 60 Ω con el cursor. La resistencia nominal (RAB ) del VR.6. tiene 256 puntos de contacto. el reloj carga el dato en el registro serie en cada flanco positivo del reloj (ver Tabla 6. El primer valor de la conexión del cursor con respecto al terminal B será de 00H . para el potenciómetro de la Fig. Programación del resistor variable La resistencia nominal del registro RDAC entre los terminales A y B está disponible. El terminal de salida de datos serie (SDO) contiene un FET de canal n de drenador abierto.12 con valores de 20 kΩ. gr. TRANSDUCTORES POTENCIOMÉTRICOS 157 Figura 6. La segunda conexión es el primer punto intermedio (tap) que corresponde a 138 Ω. es decir.: Rp = 2kΩ) con el fin de transferir los datos al pin SDI del siguiente circuito. La Fig. 6. Cuando CS está bajo.13: Diagrama de bloques de la estructura interna de un potenciómetro digital entrada de CLK sensible al flanco positivo. Los datos de ocho bits en el latch RDAC se decodifican para seleccionar una de las 256 posiciones. requiere transiciones limpias para evitar transferencia incorrecta de datos al registro de entrada serie. de acuerdo al fabricante. Puesto que. más el terminal de contacto B.2. 6.13 muestra el diagrama de bloques con más detalle de la circuitería interna del dispositivo. tal conexión conduce a un mínimo de resistencia de 60 Ω entre los terminales W y B. 50 kΩ y 200 kΩ. 13) RW B (D) = 256 donde D es el equivalente decimal del código binario que se carga en el registro RDAC de 8 bits. Cada incremento en el valor del dato (1LSB) mueve el cursor hacia arriba en una escalera de resistencias hasta que el último punto se alcanza en 19982Ω (RAB − 1LSB + RW ). La ecuación general que determina la resistencia de salida programada digitalmente entre los terminales W y B es: D RAB + RW (6. enables SDO pin Shift One bit in from the SDI pin. El cursor no conecta directamente al terminal B. Open circuits all resistor A—terminals. Latches all RDAC latches to 80H. por lo cual se debe tener cuidado . Los resultados serían los mismos si fuera el terminal A el que se conectara con W .158 CAPÍTULO 6. RDAC #2 No Operation Sets all RDAC latches to midscale. SR = shift register Tabla 6. wiper centered.2: Valores característicos en el potenciómetro digital D [decimal] RW B [Ω] Estado de salida 256 19982 Escala plena 128 10060 Escala media 1 138 1 LSB 0 60 Escala cero para el dato 01H . Por ejemplo. turns off SDO output transistor. y RAB es la resistencia nominal total. Load SR data into RDAC latch based on A0 decode A0 = 0. The eighth previously entered bit is shifted out of the SDO pin.14 se puede observar un diagrama simplificado del circuito RDAC equivalente.2. En la Fig. RDAC #1. La conexión es el siguiente tap que representa 216Ω (78 × 2 + 60) para el dato 02H y así sucesivamente. & SDO latch cleared. para RAB = 20 kΩ. 6. CLK L P X X X X X CS L L P H X H H PR H H H H L P H SHDN H H H H H H L NOTE: Register Activity No SR effect.2. los cuales se muestran en la Tabla 6. A0 = 1. X = don’t care.1: Tabla de verdad del control de la lógica de entrada. P = positive edge. se obtienen los valores de la resistencia de salida RW B para los correspondientes valores de los códigos del latch RDAC. VB = 0 V y el circuito del terminal A está abierto. connects W to B. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE Tabla 6. En la condición de escala cero la resistencia es muy baja. si se conecta el terminal A a +5 V y el terminal B a .14: Circuito RDAC equivalente. la resistencia del RDAC entre el cursor W y el terminal A también produce una resistencia controlada digitalmente RW A .2.2. el terminal B deberá estar abierto o conectado al cursor. La distribución típica de la resistencia nominal RAB de canal a canal está ajustada en ±1%.6.14) En la Tabla 6. con el flujo de corriente entre los terminales W y B manteniéndolo en un límite de 5 mA. Ignorando temporalmente el efecto de la resistencia de contacto.3 se pueden observar algunos valores característicos para este modo de operación. Si no se hace esto podría destruirse el conmutador interno. por ejemplo. La ecuación general para esta operación es RW A (D) = 256 − D RAB + RW 256 (6. De igual modo que el potenciómetro mecánico. TRANSDUCTORES POTENCIOMÉTRICOS 159 Figura 6. Este modo de operación hace que el valor de la resistencia RW A empiece al valor máximo de la resistencia y decremente en la medida que el valor de los datos cargados en el latch se incrementen. Cuando se usan estos terminales. Programación del potenciómetro como divisor de tensión El potenciómetro digital genera fácilmente tensiones de salida de W a B y de W a A de modo que sean proporcionales a la tensión de entrada de A a B. de modo que existirá una relación R = f (T ) (6. 6.15) La operación del potenciómetro digital en el modo de divisor resulta en una operación más precisa con respecto a la temperatura. la resistencia óhmica de un material conductor o semiconductor depende en mayor o menor grado de la temperatura.2) Para los conductores usuales la ley de variación es lineal. la tensión de salida es dependiente de la relación de los resistores internos RW A y RW B y no de sus valores absolutos.6 × 10−3 ◦ C −1 para el Ni y 3 9 × 10−3 ◦ C −1 para el Pt).3: Valores característicos en el potenciómetro digital en modo inverso D [decimal] RW B [Ω] Estado de salida 256 60 Escala plena 128 10060 Escala media 1 19982 1 LSB 0 20060 Escala cero tierra se produce una tensión de salida de W a B empezando en cero voltios hasta 1 LSB menor que +5 V .2 × 10−3 ◦ C −1 para el Cu. el termómetro de resistencia de platino se emplea como patrón internacional entre −190◦ C y . A diferencia del modo de reóstato. del tipo R = R0 (1 + κT ) (6.160 CAPÍTULO 6. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE Tabla 6.1) siendo R la resistencia del elemento sensible y T su temperatura y estando determinada la función f por la naturaleza del material.3 Transductores termorresistivos En general. Se define como coeficiente de temperatura α el cociente entre la variación diferencial relativa de resistencia dR/R y la variación correspondiente de temperatura dT α= dR R dT = 1 dR R dT (6.3) manteniéndose el coefieciente κ sensiblemente constante en una amplia gama de temperaturas (4.3. La ecuación general que define la tensión de salida W a tierra para cualquier tensión de entrada dada entre los terminales AB es VW (D) = D 256 − D VA + VB 256 256 (6.3. 6.2.3. Es de destacar que la precisión de estos parámetros es tan alta que los termómetros de resistencia metálica se utilizan frecuentemente como patrones para medidas térmicas (por ejemplo. 005 mm) a través del cual se hace pasar una corriente eléctrica de caldeo.3. en general. es el llamado anemómetro de hilo caliente. níquel) embebida en una placa de material aislante que se aplica a la superficie cuya temperatura ha de medirse. en primera aproximación. Aunque existen muy diversos tipos de sondas termométricas de resistencia metálica. 6. Rs = Ro (1 + κθ). Por otra parte.5) R1 .3. el amplificador operacional U1 está conectado como fuente de corriente e inyecta en la sonda una corriente i = vi /R1 (siempre que R À Rs ). El captador tiene en uno de sus extremos un hilo conductor muy delgado (diámetro del orden de 0. la tensión que aparece entre extremos de la sonda será proporcional a la resistencia de la misma. Otra aplicación clásica de los transductores de resistencia metálica variable. se citarán dos muy utilizados industrialmente: El captador de bulbo. etc. poca robustez. El amplificador U2 está conectado como sumador y su tensión vo de salida es: vo = Kf (iRs − vp ) = Kf µ Rs vi − vp R1 ¶ (6. consiste en una malla muy fina de hilo metálico (por ejemplo. sirviendo el potenciómetro P1 para ajustar el valor de dicha corriente. de un puente de Wheatstone con el objeto el obtener señales de amplitud relativamente grandes sin amplificación.15. En aplicaciones de termometría el elemento sensible forma parte. En la Fig. defectos de aislamiento. que incluye una vaina metálica protectora que contiene el hilo de resistencia y un material de sellado a través del cual salen los conductores terminales.6. a modo de ejemplo. el captador de superficie. 6. Si dicha corriente se mantiene constante. procedimiento que permite obtener directamente una tensión aproximadamente proporcional a la temperatura (con el error de linealidad inherente a la propia ley de variación de la resistencia). se tiene: ∙ ¸ R0 (1 + κT ) vi − vp vo = Kf (6. TRANSDUCTORES TERMORRESISTIVOS 161 660◦ C). la cual dependerá a su vez de la temperatura.1 Circuitos de medida con sondas de resistencia metálica Aunque son muy diversos los circuitos utilizados con sondas de resistencia metálica.3. pero también es necesario observar que su aplicación industrial presenta algunos inconvenientes relacionados con problemas de contaminación del elemento metálico.4) y sustituyendo. La relación de velocidad—tensión de salida viene dada por la curva de calibración que acompaña al transductor. donde R0 es la resistencia de la sonda para θ = 0. se expone a continuación. que estará determinada por las condiciones de refrigeración impuestas por la corriente del fluido cuya velocidad desea conocerse. un esquema basado en la alimentación a corriente constante de la termorresistencia.3. utilizándose normalmente para medida de temperatura de líquidos y gases. Para T = 0. el potenciómetro P2 deberá ajustarse de modo que se cumpla vo = 0.3. según la ecuación (6. para lo cual. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE Figura 6. R0 vp = vi (6. de acuerdo con la ecuación (6.7) La resistencia variable conectada como realimentación del amplificador U2 servirá.8) mientras que la sensibilidad relativa con respecto a todos los parámetros involucrados estará dada por ∂vo λ v v vo v v v = STo = Sκo = SKf = SRoo = −SRo1 = 1 (6.5).9) Sλo = ∂λ vo . para el ajuste de fondo de escala dado que la tensión de salida es proporcional a Kf . obviamente.15: Circuito de amplificación para una termorresistencia. La sensibilidad absoluta del circuito es: ¯ v ¯ ∂vo Ro ¯S o ¯ = = κ Kf vi θ ∂θ R1 (6.3.3.6) R1 obteniéndose entonces: vo = R0 κKf T vi R1 (6.162 CAPÍTULO 6.3.3.3.7). 2 Detectores de temperatura resistivos (RTD) Una característica de los metales es que su resistencia eléctrica es función de la temperatura del metal. Los RTD se usan para medir directamente la temperatura. Hay un gran número de configuraciones de elementos sensores RTD.3.01T − 1)(0. respectivamente. un alambre de metálico de longitud l.10) donde α. y 300 250 200 150 100 50 0 0 125 250 375 x 500 Figura 6. aunque se pueden utilizar otros metales incluyendo níquel y aleaciones de níquel. 6. resultando en un resolución espacial más pobre y una respuesta transitoria más lenta. Por otra parte. En las Figs. TRANSDUCTORES TERMORRESISTIVOS 163 6. Los sensores de temperatura basados en el efecto de la resistencia de un metal se conocen como detectores de temperatura resistivos (RTD). En el sensor de hilo devanado.16 y 6. tienden a ser muy estables.003851/◦ C para la curva de calibración ‹‹europea››. dependientes de la pureza del platino la cual se determina por calibración.11 para T < 0. Los sensores RTD más comunes se construyen de platino. El encapsulado previene daño o contaminación. 6.18 muestra un sensor de hilo de platino devanado y un sensor de película delgada. Así.01T − 1)(0. La constante dominante es α.3. En el diseño de película . y β = 0. las sondas RTD son en general fisicamente más grandes que las termocuplas. combinado con un dispositivo de medición de resistencia es un sistema de medida de temperatura. δ = 1.16: Respuesta para T > 0. Para el platino la relación resistencia temperatura está dada por la ecuación Callendar—Van Dusen: RT = Ro {1 + α[T − δ(0. Para la curva de calibración americana. β y δ son constantes.Fácilmente se puede adquirir los sensores correspondientes a cada curva.6. el platino se enrolla en un bobina y el ensamble completo se monta en una cubierta de cerámica o de vidrio. o 0.17 se muestra la respuesta de R vs T para valores positivos y negativos de la temperatura.01T ) − β(0.01T )3 ]} (6.3. la cual tiene un valor de 0.003921/◦ C para la denominada curva de calibración ‹‹americana››. La Fig.49 y β = 0 para T > 0. 6. delgada. 6. el platino se monta en un sustrato de cerámica y entonces es encapsulado con cerámica o vidrio. el puente de Wheatstone es un circuito apropiado para medir el cambio de resistencia en los RTD.3. y la posible linealización para las galgas no es factible para los circuitos RTD. Rha (la resistencia del hilo A) . Un circuito alternativo llamada el puente RTD de tres hilos se muestra en la Fig. Como en el caso de las galgas extensométricas. El circuito del la Fig. Si la temperatura cambia. Con este circuito. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE 150 y 125 100 75 50 25 0 -100 x -75 -50 -25 0 Figura 6. Si Vo se mide en la forma como está indicado. Como consecuencia.164 CAPÍTULO 6. la ecuación (6. las resistencias en el hilo estarán en la misma rama del puente donde está el RTD y el cambio en la resistencia del hilo simplemente se sumará al cambio de resistencia del RTD. el análisis del circuito conduce la siguiente expresión para la resistencia del RTD: RRTD = R2 Vcc − 2Vo Vcc + 2Vo (6. Despreciando las resistencias de los alambres terminales y asumiendo que R1 = R4 .11) Se debe notar que el cambio en la resistencia de los RTD es muy grande comparada con las galgas extensométricas (como se verá más adelante). Hay que tener en cuenta la resistencia propia del alambre de conexión puesto que va a estar sometido al cambio de temperatura igual que la sonda.6. también cambiará la resistencia del hilo. se ha agregado. puesto que el esfuerzo también causa cambios en la resistencia. La Fig.19 muestra un puente de Wheatstone que podría utilizarse para medir la resistencia de un RTD.3.11) muestra una relación no lineal entre la tensión medida y la resistencia del RTD.19 (a) será adecuado si la resistencia de los alambres terminales es baja y no se requiere gran precisión.19 (b) donde un hilo adicional C. El diseño de película delgada es una tecnología más nueva y está ganando favor debido a su más bajo costo. Es importante en el diseño de las sondas RTD minimizar el esfuerzo sobre el platino debido a la expasión térmica.17: Respuesta para T < 0. sin embargo. es difícil usar sistemas de adquisición de datos con el modo balanceado.12) donde Rterm corresponde a la resistencia de los terminales. Para este circuito la resistencia es . es una consecuencia de la operación del puente en el modo desbalanceado. Para medidas de alta precisión. En este caso. En la Fig. No hay corriente a través de Rhc .3. tienen el mismo diámetro y longitud y siguen la misma trayectoria. estará en la misma rama del puente como R2 y Rhb (la resistencia del hilo B). la resistencia del RTD estará dada por RRTD = R2 Vcc − 2Vo 4Vo − Rterm Vcc + 2Vo Vcc + 2Vo (6.20 presenta dos circuitos más utilizados para determinar la resistencia de un RTD. TRANSDUCTORES TERMORRESISTIVOS 165 Alambres terminales Película de platino Cápsula de cerámica Alambre de platino 1 cm (a) Sustrato (b) Figura 6. RRTD = R2 y las resistencias de los terminales no afectarán el resultado. El hecho de que Rterm (se supone que todos los terminales tienen la misma resistencia) tenga efecto en la medida.3. Para este circuito. de modo que esta resistencia no afecta al circuito. La Fig. los cambios en la resistencia de los terminales tendrán un efecto muy pequeño sobre Vo . incluyendo las resistencia de los terminales (con R1 = R4 ). estará en la misma rama que el RTD Si los hilos de los terminales son del mismo material. Es posible operar el puente en un modo balanceado en el cual el resistor R2 se ajusta tal que Vo sea cero. se deberá determinar el valor inicial de la resistencia de los terminales. 6. Desafortunadamente.20 (a). El segundo término en esta ecuanción usualmente es pequeño.18: Detectores de temperatura resistivos: (a) alambre de platino (b) película delgada. la caída de tensión a través del RTD es sensada con dos terminales que no conducen corriente y por lo tanto no tienen caída de tensión.6. es preferible el modo balanceado.6. pero para obtener los mejores resultados. 166 CAPÍTULO 6. Puesto que existe un flujo de corriente a través del RTD cuando está situado en un circuito de medición. La Fig. Se puede estimar este efecto de autocalentamiento.13) En este circuito Vo es proporcional a la resistencia del RTD en lugar que al cambio de resistencia como en el caso con los circuitos de puente Wheatstone.19: Circuitos en puente Wheatstone para RTD: (a)Dos hilos (b) tres hilos una función lineal de la tensión medida y está dada por RRTD = Vo I (6.3. los cambios en las resistencias de los terminales compensan y tienen un efecto despreciable sobre Vo .3. Dos de los terminales más el RTD están en la misma rama A—D y los otros dos terminales más R3 estarán el rama D—C.20 (b) utiliza cuatro terminales portadores de corriente siguiendo la misma trayectoria del RTD. La fórmula para evaluar la resistencia del RTD es RRTD = R3 Vcc − 2Vo 8Vo − Rterm Vcc + 2Vo Vcc + 2Vo (6. usando .14) Como el puente de tres hilos. se deberán conocer las resistencias nominales de los terminales cuando se trabaja en el modo desbalanceado. Como con el puente de tres hilos. Este no es normalmente un problema cuando se mide temperaturas en líquidos pero puede producir error cuando se mide temperatura en gases. para mediciones precisas. hay una disipación de potencia y por lo tanto el RTD tiene autocalentamiento. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE Figura 6. 6. Esto dependerá esencialmente del sistema de adecuación y adquisición de los datos.01T )3 ]} = 100(1 + 0. El problema de autocalentamiento se puede minimizar usando fuentes de alimentación de bajo voltaje.001◦ C) pero con las técnicas actuales utilizadas en ingeniería.1◦ C. ¿Cuál será el valor de la resistencia en este caso? Sol.01T ) − β(0. Cualquier diferencia en la resistencia indica un problema potencial de autocalentamiento.3.49(0. se reducirá la salida del circuito sensor. las incertidumbres en los resistores del puente y los dispositivos de medida de voltaje tendrán un precisión limitada. Como se mencionó. (i) Sustituyendo en la ecuación (6.6.01T − 1)(0. no se requiere que el sensor tenga alto grado de precisión. Las constantes de la ecuación Callendar—Van Dusen son α = 0.10Ω (ii) Para este caso T < 0 y se debe utilizar el factor β = 0.00392(300 − 1.01T − 1)(0.01T − 1)(0. dos tensiones de alimentación diferentes mientras se mide una temperatura estática. sin embargo. δ = 1. TRANSDUCTORES TERMORRESISTIVOS 167 Figura 6. las sondas RTD tienen potencialmente muy alta precisión (±0.20: Circuitos para RTD. ¿Cuál será la resistencia a (i) 300◦ C? (ii) Se desea medir la temperatura a −50◦ C. Reemplazando en la misma ecuación se llega a RT = Ro {1 + α[T − δ(0.01 × 300 − 1)(0. Por otra parte.01T )3 ]} = 79.49 y β = 0 para T > 0. Si se desea que el error por autocalentamiento sea inferior a 0. ¿cuánta corriente puede circular por la resistencia según esté al aire o inmersa en agua? .01T − 1)(0.944Ω Ejemplo 26 Se dispone de una RTD de platino de 100Ω que tiene un coeficiente de disipación térmica ϑ = 6mW/K en aire y ϑ = 100mW/K en agua.11. Ejemplo 25 Una sonda RTD tiene una resistencia de 100Ω a 0◦ C.01 × 300))) = 214.10) se obtiene RT = Ro {1 + α[T − δ(0.01T ) − β(0.3.00392. basta medir R a cuatro temperaturas distintas y resolver el sistema de ecuaciones como se indica en la ecuación (6.1) = 10 mA 100 r (0. el calentamiento experimentado será ∆T = Pd I 2R = ϑ ϑ (6. el termistor es un dispositivo que tiene una resistencia dependiente de la temperatura. cobalto.168 CAPÍTULO 6. lo que significa.3. b.17) Para identificar los parámetros a.1) × (0. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE Sol. por lo tanto.18).3. ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ −1 ⎤ T1 1 ln R1 (ln R1 )2 (ln R1 )3 a ⎢ 1 ln R2 (ln R2 )2 (ln R2 )3 ⎥ ⎢ b ⎥ ⎢ T −1 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ (6. Están constituidos por mezclas sinterizadas de polvos de óxidos metálicos (de hierro. un dispositivo semiconductor muestra un mayor cambio en la resistencia con respecto a la temperatura que el RTD. Sin embargo.3.16) Obsérvese que la inmersión en el agua permite mayor flujo de corriente. Es posible construir termistores con una característica de resistencia vs temperatura con pendiente positiva o negativa. en forma de discos. placas y otras configuraciones.3. que un incremento en la temperatura produce un decremento en la resistencia. del orden del 4% por grado centígrado. Sin embargo. los dispositivos termistores más comunes tienen una pendiente negativa NTC .3. cromo. c y d.18) ⎣ 1 ln R3 (ln R3 )2 (ln R3 )3 ⎦ ⎣ c ⎦ = ⎣ T −1 ⎦ 3 −1 1 ln R4 (ln R4 )2 (ln R4 )3 d T4 . mostrando una relación logarítmica entre la resistencia (en kΩ) y la temperatura: 1 = a + b ln R + c(ln R)2 + d(ln R)3 T (6.15) y. Los termistores son altamente no lineales. titanio. barras. I= Con la sonda inmersa en agua I= r (0.1) × (0.4495 mA 100 (6. 6. lo opuesto de los RTD. la corriente máxima permitida será r ∆T ϑ I= R Con la sonda en el aire.3 Termistores Como con el RTD. El cambio en la resistencia con la temperatura en el termistor es muy grande. Si la potencia disipada es Pd . etc) y semiconductores. níquel. el termistor.3.006) = 2. 15 R2 = 12.1:100.1/T3.T) Para el caso dado se obtienen los siguientes valores de los coeficientes: a = 2. x=A^(-1)*y.3. T4=393. los termistores están restringidos a temperaturas relativamente bajas. El parámetro B es la denominada temperatura característica del material.6138 × 10−4 c = 3. b. c y d.91 = 293. TRANSDUCTORES TERMORRESISTIVOS A partir de a.416 × 10−6 d = 1. T=(x(1)+x(2)*log(R)+x(3)*(log(R)).15.^3). T1=253. del orden de ±0.15 plot(R.1/T4].(log(R3))^3.1◦ C.91. pero varía con .0. R1=78.3.990.15.26.(log(R1))^2.99 = 393. R2=12. A=[1.4818 R ° Sol: El siguiente programa realizado en Matlab . pero la mayoría no lo son tanto.4818.15. T3=343.15 R3 = 1.19) donde R es la resistencia a la temperatura absoluta T . para el caso de un termistor con encapsulado de acero de 10 kΩ dados por el fabricante: T1 T2 T3 T4 = 253.(log(R4)).(log(R2))^3.1.0:0.(log(R3))^2. R=1. c y d el valor de T con una resistencia medida R viene dada por T = (a + b ln R + c(ln R)2 + d(ln R)3 )−1 − 273.21.700 × 10−3 b = 2.(log(R1))^3. 6.15. y=[1/T1.1.6.15 R4 = 0.1/T2. b.(log(R1)). permite calcular los coeficientes a.^2+x(4)*(log(R)).(log(R3)).2714 × 10−7 Siendo dispositivos semiconductores. así como realizar la gráfica de T vs R la cual se puede apreciar en la Fig.26 = 343.(log(R2))^2.(log(R4))^2. R3=1.15 0 169 C Ejemplo 27 Los siguientes son datos de resistencia y temperatura.(log(R4))^3]. 1. Los sensores de termistores pueden llegar a ser muy precisos.(log(R2)). T2=293. y tiene valores entre 2000 K y 5000 K.^(-1)-273. en kΩ y Kelvin respectivamente. R4=0. Otra forma de expresar la relación de la resistencia de coeficiente de temperatura negativo con la temperatura absoluta es de la forma: R = R0 e B ³ 1 T 1 −T 0 ´ (6.15 R1 = 78. Muchos están restringidos a temperaturas por debajo de 100◦ C y generalmente no hay disponibles para medir temperaturas por encima de 300◦ C. se tendrá ln R1 (6. la temperatura.3.21: Variación de la temperatura de un termistor con respecto a su resistencia. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE Figura 6. el cual representa la sensibilidad relativa del sistema. (6. Se puede definir un coeficiente de temperatura tomando logaritmos neperianos y diferenciando. El valor de B se puede encontrar midiendo la resistencia del termistor a dos temperaturas conocidas T1 y T2 .5%/K. Para el modelo Thermowid de Siemens. Si la resistencia respectiva es R1 y R2 .3. γ = 2. B dR = − 2 dT R T es decir.5 × 10−4 /K para TC > 100◦ C y γ = 5 × 10−4 /K para TC < 100◦ C. por ejemplo.170 CAPÍTULO 6. que es más de diez veces superior a la de la Pt100.B también varía de una a otra unidad para un mismo material salvo en el caso de modelos intercambiables. B 1 dR =− 2 (6.3.20) B(TC ) = B[1 + γ(TC − 100)] donde TC es la temperatura en grados centígrados.21) α= R dT T coeficiente siempre negativo y muy dependiente de la temperatura. aumentando al aumentar ésta.22) B = 1 R21 T1 − T2 . resulta α = −4. A 25◦ C y con B = 4000K. Se decrementa la temperatura a 25◦ C con lo cual la resistencia se incrementa en un 50%. 6 y el valor de la resistencia Ro se obtiene despejándola de la ecuación (6.3. En régimen estacionario dT /dt = 0 y queda I 2 RT = δ(T − Ta ) V2 VI = = δ(T − Ta ) RT (6.25) La tensión máxima en bornes del termistor en función de la temperatura puede obtenerse a partir de la ecuación (6. Aplicando la ecuación (6.3.15+50 50×10 ln 50×103 ×1.3.3.3. ¿Cuál será el valor de R0 ? Solución.28) ! 1± 4Ta 1− B (6.29) .15+25 = 1562. que lleva a 1 = (T − Ta ) cuyas soluciones son B T = 2 à r B T2 µ B T ¶ (6.3.5 3 − 1 273. R1 = 50kΩ.3. Encontrar el valor de B del termistor. En régimen transitorio se tendrá W = V I = I 2 RT = δ(T − Ta ) + cp dT dt (6.3.27) (6.26) V = RI = IAe T 2 resulta.3.15 ) = 121.17 kΩ 1 1 Para algunas aplicaciones de los termistores. V = δ(T − Ta )A exp 2 para tensión máxima se cumplirá dV 2 /dT = 0.25) y de B (6.19): R0 = R1 e −B ³ 1 T 1 −T 0 ´ = 50 × 103 × e−1562.23) 50×103 = 50 000donde δ (mW/K) es la constante de disipación térmica del termistor.3.6( 273. TRANSDUCTORES TERMORRESISTIVOS 171 Ejercicio 7 Se han tomado medidas con un termistor obteniéndose datos así: T1 = 50◦ C.3.15+50 − 273.6. interesan no tanto sus características resistencia— temperatura como la relación entre la tensión en bornes del termistor y la corriente a su través.24) (6. cp (mJ/K) es su capacidad calorífica y Ta es la temperatura ambiente.22) se obtiene B= ln R1 R2 1 T1 − 1 T2 = 1 273. 1◦ C 0.3. La resitencia puede variar en un factor del orden de 104 y el coeficiente de temperatura (en este caso positivo) puede ser hasta 100 veces superior al de una resistencia NTC. nivel. Por otra parte.003 ◦ C/a˜ o n ◦ C/a˜ o 0. etc. 6. una de sus cualidades más sobresalientes es que presentan grandes variaciones de resistencia al variar la temperatura. la necesidad de un envejecimiento artificial para poder garantizar una estabilidad razonable y el campo de medida limitado. Estas resistencias tienen la propiedad de modificar su estructura cristalina a una cierta temperatura que varía según la naturaleza y concentración de determinadas impurezas incorporadas al material base (por ejemplo.01◦ C ±0.01a 0. En el cuadro siguiente se resumen algunos datos comparativos de las resistencias NTC con otros componentes sensibles a la temperatura. corresponde una variación enorme de la resistividad alrededor de una temperatura crítica de transición comprendida entre −50◦ C y +140◦ C (márgenes usuales). Obsérvese que esta temperatura depende del material (B) [28].4: Comparación de las resistencias NTC y otros sensores Captador Margen Sensibilidad Precisión Estabilidad Termistor (absoluta) Resistencia metálica Termopar −260◦ C a +300◦ C −200◦ C a +1000◦ C −260◦ C a +2800◦ C 10 KΩ/◦ C 0. además de componentes muy robustos. Esto permite aplicarlo a las medidas de caudal. A continuación se analizará las características y aplicaciones de ambos tipos de resistencias sensibles a la temperatura. el termistor es sensible a la potencia eléctrica de entrada y entonces se puede aplicar al control de nivel de tensión o de potencia. estroncio). composición. fiables y económicos.172 CAPÍTULO 6. Los únicos inconvenientes son su lentitud de respuesta.30) . las resistencias NTC o PTC son sensibles a la temperatura absoluta.1 a 0.3. Si la velocidad de extracción de calor es fija. Se trata. el valor de la resistencia de estos componentes viene dado por la expresión R = Ro e 1 1 B( T − T ) 0 (6. Es de destacar que. al contrario de las termocuplas que responden a diferencias de temperatura.4 Curvas características de las resistencias NTC Como se sabe. elementos semiconductores construidos por cristales de titanato de bario. A este cambio de estructura cristalina.).03 n y la temperatura correspondiente al máximo resulta ser la obtenida tomando el signo menos. por lo cual los dispositivos termométricos que utilizan termistores se caracterizan siempre por su alta sensibilidad. que es reversible.2Ω/◦ C 40 − 50μV /◦ C ±0. las grandes tolerancias de fabricación. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE Tabla 6. En la zona de autocalentamiento el termistor es sensible a cualquier efecto que altere el ritmo de disipación del calor. Recientemente han aparecido las resistencias de coeficiente de temperatura positivo o PTC.01◦ C ±0. conductividad calorífica (vacío.03 ◦ C/a˜ o n 0. En la Fig. sino también los efectos de autocalentamiento. 6. en el diseño de circuitos. La tensión de salida del divisor es Vo = VCC R1 R1 + R(T ) Sustituyendo R(T ) por su función se obtiene Vo = 1+ 1 R0 B R1 e ³ 1 T 1 −T o ´ VCC (6. para cuya justificación es necesario tener en cuenta no solo la temperatura ambiente. puede optimizarse el diseño obteniéndose sistemas de medida muy sensibles con errores por falta de linealidad aceptables. ?? se representa esta función para varios termistores comerciales (siendo el parámetro de las curvas el coeficiente B). Como se verá a continuación.6 y 7.01832 200 250 300 350 400 x 450 500 Respuesta de termistores comerciales para algunos valores de B.3. 54. 6.389 1 0. 6. pese a la no linealidad de su resistencia en función de la temperatura.3. interesa la curva característica tensión-corriente. Muchas veces.22 se representa un circuito típico muy simple para medida de temperatura en donde el termistor se hace funcionar en el primer tramo de su característica. En la Fig.5 Aplicaciones de las resistencias NTC a la termometría Las resistencias NTC se aplican ampliamente en circuitos temométricos.31) cuya representación gráfica normalizada se ilustra en la Fig.6. . y el coeficiente B puede ser del orden de 4000K.23. TRANSDUCTORES TERMORRESISTIVOS 173 La temperatura T0 suele ser de 198K (25◦ C).1353 0.3. 22: Circuito con termistor. habrá que llegar a un compromiso entre precisión (valores de VCC pequeños para evitar el autocalentamiento) y sensibilidad (valores de VCC grandes).32) B + 2TL La expresión (6.3. Para ello se admite un incremento ∆T máximo sobre la temperatura ambiente Ta a medir. La curva presenta un punto de inflexión para una determinada temperatura TL que corresponderá a la máxima linealidad. se tiene: R1 = ∆T = T − Ta siendo la potencia máxima disipada en la NTC (correspondiente a R = R1 ): Wmax = de donde VCC = 2 VCC ∆T = 4R1 Rθ obteniéndose R1 ∆T Rθ La sensibilidad absoluta del sistema para T = TL es ¯ µ ¶ VCC B 2 dvs ¯ ¯ = S= 2 −1 dT ¯T =TL B 4TL r (6.34) .3. En cuanto a la elección de VCC .33) (6. De acuerdo con esto. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE + Vcc NTC R(T) + R1 Vo - Figura 6.3. La temperatura TL se calcula haciendo d2 Vo =0 dt2 B − 2TL B( 1 − 1 ) R0 e TL T0 (6.32) permite así calcular la resistencia R1 óptima en función de las características del termistor y de la temperatura TL central del campo de medida.3. incremento que estará asociado con el error por autocalentamiento.174 CAPÍTULO 6. 31). Para evitar esto.25 125 250 375 x 500 Figura 6.24: Circuito con NTC en puente.24). la tensión de salida no es nula.6. en donde la tensión de salida será R2 + Vcc NTC A R1 Vo R(T) + B R1 Figura 6.5 0.23: Respuesta de un termistor con B = 4000 y punteada) y 0.1 (Línea de trazos). para el origen de la escala termométrica que se adopte.3. respectivamente.75 0. . 10 (Línea El único inconveniente de este circuito es que. TRANSDUCTORES TERMORRESISTIVOS y 1 175 0.3. vo = VBA = VCC µ R1 R1 − R(T ) + R1 R1 + R2 ¶ que solo se diferencia en una constante de la tensión dada por (6. se utiliza la configuración en puente (ver 6. Ro R1 = 1 (Línea continua). . En este caso el termistor actúa como un estabilizador de temperatura.26 representa un circuito de aplicación a la medida del caudal de fluidos.6 Otras aplicaciones de las resistencias NTC En la Fig. Nótese que se tiene la respuesta dada por la ecuación (6.3.31). En este caso uno de los termistores (sonda de referencia) está en contacto con el fluido en reposo y el otro (sonda de medida) está situado en el interior del ducto a través del cual circula el fluido cuyo caudal quiere medirse. Figura 6. Respuesta de tensión de un NTC.6. 6. donde el termistor funciona en la zona regenerativa.25: Circuito con NTC como regulador de tensión.3. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE 6. La Fig. El fluido en movimiento afecta a la resistencia térmica de la sonda de medida desequilibrando el puente y obteniéndose una medida indirecta del caudal.4 se ilustra muy esquemáticamente una aplicación de una resistencia NTC.176 CAPÍTULO 6. respectivamente. 6. . es fácil deducir la forma de la característica tensión—corriente. tienen la propiedad de experimentar un cambio drástico en su valor cuando se alcanza una temperatura crítica característica del material. la curva queda idealizada como se ilustra en la Fig. 6.7 Resistencias de coeficiente PTC Las resistencias de coeficiente de temperatura positivo o PTC. En efecto. 6. TRANSDUCTORES TERMORRESISTIVOS 177 Figura 6.3. T será menor que Tc y el valor de la resistencia será R1 por lo cual la curva v − i será una recta tal que v = Rmin i (primer tramo de la característica estática.28). Dado que no existe una ecuación que exprese rigurosamente este comportamiento y puesto que el cambio se produce en el estrecho intervalo de temperaturas.6.35) T − Ta = Rθ vi = Rθ R(T ) Para remperatura ambiente (Ta ) constante y tensiones muy bajas. si v e i son.Tomando como base esta simplificación. Por debajo de dicha temperatura la resistencia es baja (del orden de 100Ω) y por encima. la tensión aplicada y la corriente se tiene.27. al igual que en las resistencias NTC: v2 (6.3.26: Medida de caudal usando NTC.3. donde se representa cualitativamente la curva resistencia—temperatura de estos dispositivos. la resistencia es muy alta (del oreden de 10M Ω). Fig. 3. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE Figura 6. La temperatura crítica se alcanza cuando la tensión toma un valor V1 tal que: V2 Tc − Ta = Rθ 1 Rmin s Rmin (Tc − Ta ) Rθ ∴ V1 = (6. Figura 6.36) Si se sigue aumentando v se produce el tránsito hacia el valor R2 a temperatura constante Tc .3.3. es decir: Tc − Ta = Rθ vi (6.178 CAPÍTULO 6.27: Respuesta normalizada de una PTC.35).28: Respuesta corriente—tensión de un PTC. de acuerdo con (6. luego la potencia disipada será así mismo constante.37) . por lo general. si Rl ≥ Rmin (6. por lo cual. Además.) siendo muy simples. considérese el circuito de la Fig. y como una ventaja adicional. Para que el funcionamiento tenga lugar es preciso que la pendiente de la recta de carga sea menos negativa que la de la zona hiprbólica. una familia de curvas para diferentes valores de Ta tendría el aspecto que se muestra en la Fig.38) Rmax Rθ Para tensiones superiores a V2 la relación v/i se mantiene nuevamente constante e igual a Rmax y la característica vuelve a ser una recta de ecuación v = iRmax (tercer tramo).6.3. 6.3. Las resistencias PTC se aplican fundamentalmente en la detección de umbral de temperatura (protecciones térmicas. los circuitos correspondientes. detectores de incendio. Finalmente cuando R(T ) toma el valor Rmax la tensión aplicada es tal que: s V22 Rmax (Tc − Ta ) Tc − Ta = Rθ ∴ V2 = (6. la expresión v = V − iR define una recta de carga cuya intersección con la curva característica corresponde a una determinada temperatura ambiente y constituye el punto de funcionamiento.3.29. Figura 6.39) . lo cual evita la ambigüedad en el tránsito. 6. Puesto que Rmax À Rmin las resistencias PTC se comportan prácticamente como un interruptor que se abre y se cierra en la proximidades de Tc . ?? que representa el montaje más simple de detector de temperatura. Es de observar que los tramos primero y tercero no dependen de la temperatura ambiente. Del mismo modo que en el caso de las resistencias NTC. TRANSDUCTORES TERMORRESISTIVOS 179 función que corresponde gráficamente a una hipérbola equilatera en el diagrama v − i (segundo tramo).29: Familia de curvas para diferentes valores de temperatura ambiente.31 se representa v en función de T evidenciándose el efecto de histéresis. lo cual se cumple. Con el objeto de poner de manifiesto lo anterior. etc. en dichos circuitos este efecto se produce por histéresis. En la Fig. 31: Histéresis en la respuesta de una PTC. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE Figura 6. sulfuro de cadmio. Figura 6. La capa fotorresistiva suele tener forma ondulada y está protegida por una lámina transparente que constituye una de las caras de la cápsula que contien la célula.30: Circuito con un dispositivo PTC.1 La célula fotorresistiva La célula fotoresistiva o LDR es esencialmente una resistencia cuyo valor varía con la intensidad de la radiación luminosa incidente y consiste en una capa delgada de selenio. la célula fotorresistiva (fotorresistencia) y el fotodiodo. sin duda. indio y algunos otros metales o compuestos metáicos. 6. dispuesta sobre un substrato cerámico o plástico. La resistencia de elemento disminuye a medida que aumenta la intensidad . 6. sulfuro de plomo. antimonio.4.180 CAPÍTULO 6. germanio.4 Transductores fotorresistivos Los más importantes dentro de este grupo son. 2) ya que el producto vτ es la longitud recorrida durante su vida media.1) donde η es un parámetro que depende de λ.4.4) v d (6. la Fig. será: Nef = η L A d vτ d (6. Si τ es la vida media de los electrones libres y v la velocidad media a la que se desplazan por acción del campo eléctrico asociado con el potencial v.6) la vida media τ por otra parte.4.6. está ligada con la intensidad luminosa L mediante uan expresión del tipo (6. y sobre el cual incide radiación luminosa de intensidad L y longitud de onda λ. Por otra parte. luego Nef = η LA μe v τ d v τ q d (6. se cumple: v = μe E = μe donde μe es la movilidad de los electrones. el número efectivo de ellos que contribuirá a la corriente en el circuito exterior.4.4.5) y la resistencia medida entre los electrodos puede obtenerse de la expresión anterior R= v d 1 = i η A μe q τ L (6.4.4. si E = v/d es el campo eléctrico.4. representa un bloque de un material semiconductor fotosensible provisto de dos electrodos exteriores entre los que está aplicada la tensión v. Con el objeto de ilustrar el principio físico en que se basan las resistencias LDR. TRANSDUCTORES FOTORRESISTIVOS 181 de la radiación según la ley de variación que depende del material utilizado. la resistencia R será de la forma ˜ R = K I −α donde K= d A q μ η τ0 .3) La corriente eléctrica se obtendrá multiplicando Nef por la carga q del electrón: i = qNef = η L A μe (6. El número de electrones liberados por unidad de tiempo por efecto fotoeléctrico puede expresarse en la forma N = ηLAd (6.4.7) τ = τ −β L 0 De este modo. A es el ancho de la zona expuesta y d su longitud. por ejemplo. entre 0. El principal inconveniente de las resistencias fotosensibles es su fuerte dependencia de la temperatura para baja iluminación. 6. dado el orden α. pues. Otro inconveniente importante es su lentitud de respuesta ante variación brusca de intensidad luminosa. Para combatir este efecto suelen conectarse resistencias normales en paralelo obteniéndose curvas de resistencia global en función de la intensidad de iluminación más estables a expensas de sacrificar la sensibilidad. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE Figura 6. que se determina haciendo: d2 vo =0 (6. como ocurría con los termistores NTC.8) cuya representación gráfica se ilustra en la Fig.33 se representa un circuito muy simple para medidas fotométricas. será una recta que pasa por el origen.32: Respuesta noramlizada de una fotorresistencia para algunos valores de α. captadores muy sensibles al igual que los termistores. sobre todo para bajos niveles de iluminación. Este hecho limita las aplicaciones de las fotorresistencias a frecuencias muy bajas .7 y 1.4. El exponente α puede variar. En cuanto a la curva característica tensión—corriente no tiene ninguna particularidad dado que. 6. En la Fig. Ls fotorresistencias son. etc. con constantes de tiempo del orden de segundos. la interrupción de un haz luminoso. para L constante. un cambio de transparencia. La tensión de salida es la proporcionada por el divisor de tensión formado por R(L) y R1 .182 CAPÍTULO 6.34 Se observa.4. si bien pueden formar parte de transductores más complejos en donde se detecta. En la Fig. la posible existencia de un punto de inflexión.5.32 se ilustra cualitativamente la función R(L) pudiendo observarse que se producen grandes variaciones de resistencia. 6. según el tipo de célula. Las células LDR se utilizan como captadores primarios para fotometría.9) dL2 . es decir: vo = R1 R1 1 V = V = V K −1 R1 + R(L) R1 + KL−a 1 + R1 L (6. la condición α>1 (6.4.4.33: Circuito simple con fotorresistencia. La ecuación que proporciona R1 demuestra que para que exista punto de inflexión.10) α+1 c donde Lc es la abscisa de dicho punto de inflexión.6. TRANSDUCTORES FOTORRESISTIVOS 183 Figura 6. Es decir. para máxima linealidad.11) siendo Lmin y Lmax las intensidades de iluminación en los extremos de dicho margen. Este valor Lc deberá corresponder al centro del margen de medida. α tiene que ser mayor que 1.4. o sea R1 = K Lc = Lmin + Lmax 2 (6. Figura 6. con lo cual se obtiene α − 1 −a L (6.34: Respuesta de una fotorresistencia en una red.4.12) . 4. además. Dicho aumento se debe a la generación de pares electrón—hueco al incidir los fotones sobre el material semiconductor. es: ¯ V α2 − 1 dvs ¯ ¯ (6. a excepción de que α sea mayor que la unidad.4.35 se representa una familia de curvas características de un fotodiodo. como en el caso de las resistencias NTC.36 se representa un dispositivo fotométrico basado en estos dos modos de funcionamiento.13) KL−a = R(Lc ) c la expresión de R1 puede escribirse también en la forma α−1 R(Lc ) (6. Los tramos del primer y cuarto cuadrante corresponden al funcionamiento como generador fotovoltaico. etc) las curvas toman la forma ilustrada en la figura presentando un desplazamiento descendente.2 El fotodiodo Puede también considerarse dentro del grupo de captadores fotorresistivos al fotodiodo. la tensión de salida será: (6.4. 6.4. al funcionamiento como fotorresistencias pasivas. aplicación más usual. Para L = 0 se tiene la curva típica de un diodo semiconductor. Admitiendo que la corriente inversa del fotodiodo es proporcional a la intensidad luminosa L. Los fabricantes suelen recomendar células de alta resistencia para fuertes iluminaciones y de baja resistencia para iluminaciones débiles.16) vo = iR1 = R1 Kd L . En la Fig. donde Kd es una constante particular para cada fotodiodo.184 CAPÍTULO 6. Los tramos horizontales del tercer cuadrante corresponden. dado que los valores de la corriente inversa son sensiblemente proporcionales a las intensidades luminosas (fotometría). Puesto que. L2 . En cuanto a la tensión de alimentación V . en el centro de la escala de medida. admitiendo un incremento ∆T de temperatura sobre la ambiente. puede elegirse. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE podría ser el criterio de elección de la célula para que fuese válido el procedimiento de diseño que se está proponiendo. por el contrario. creándose así una corriente inversa de fugas dependientes de la intensidad de la radiación. pudiendo aplicarse la misma fórmula r R1 ∆T V ≤2 Rθ La sensibilidad absoluta del circuito que se está estudiando.15) = S= dL ¯L=Lc LC 4α R1 = 6. Para intensidades luminosas crecientes (L1 . En los fotodiodos se aprovecha el aumento de la conductividad inversa de unión PN por absorción de radiación luminosa. (6.4. 6. es decir. i = Kd L. En la Fig.14) α+1 No hay criterios claros para elegir un determinado tipo de célula en fotometría. 4.25 -2. con una sensibilidad absoluta de S= dvs = R1 Kd dL (6. TRANSDUCTORES EXTENSOMÉTRICOS i 1.5. mucho más lineales y de respuesta mucho más rápida.5 1 -1.5 Transductores extensométricos Constituyen un importante grupo de captadores de amplia aplicación en la medida de deformaciones de estructuras sólidas sometidas a esfuerzos. Su único inconveniente es que las corrientes que manejan son muy pequeñas (del orden de microamperios).5 Figura 6. Su principio de funcionamiento se basa en . 6. lectura óptica de cintas perforadas.5 -1 -0. medida de transparencia. por supuesto.5 0 0 0.35: Respuesta de un fotodiodo a la excitación. detección de impulsos luminosos.17) Los fotodiodos son más estables con la temperatura que las células LDR y.6. Se utilizan en fotometría. lectura de caracteres. etc.36: Circuito con fotodiodo.25 185 -2 -1. __ > i D + V R1 + vo - Figura 6. 17 para la fundición maleable. Los dispositivos que miden estos pequeños cambios en las dimensiones se denominan galgas extensométricas. pero para mayor claridad se suele dar en ‹‹microdeformaciones› › (1 microdeformación = 1μ = 10−6 m/m). . dl ∈a = l Si se considera ahora una pieza que además de la longitud l tenga una dimensión transversal t.Su valor está entre 0 y 0. σ= dl F =E =E A l donde E es una constante del material. Las galgas extensiómetricas y los acondicionadores de señal asociados son sencillos.186 CAPÍTULO 6. baratos y muy confiables. por ejemplo. σ es la tensión mecánica y es la deformación unitaria. La galga extensométrica es un dispositivo muy común utilizado en la medición de esfuerzos en las estructuras y también como un elemento sensor en una amplia variedad de transductores. y resistividad ρ. Considérese un hilo metálico de longitud l sección A. incluyendo aquellos usados para medir fuerza. El término dl/l se define como esfuerzo axial. siendo. los componentes de la estructura cambian ligeramente en sus dimensiones y se dice que está sometida a un esfuerzo.5.33 para el aluminio y el cobre.1) R ρ l A El cambio de la longitud que resulta de aplicar una fuerza F a una pieza unidimensional.5. Obsérvese que para que se conservara constante el volumen debería ser ν = 0. siempre y cuando no se entre en la zona de fluencia (Fig). de 0. su resistencia eléctrica R es l R=ρ A Si se le somete a un esfuerzo en dirección longitudinal.2) t = −ν ∈a donde ν es el denominado coeficiente de Poisson. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE la variación de resistencia de un hilo conductor por efecto de un alargamiento. aceleración y presión.5. cada una de las tres magnitudes que intervienen en el valor de R experimenta un cambio y. viene dado por la ley de Hooke. la sección decrece. los cuales están dados por la ley de Poisson: (6. resulta que como consecuencia de aplicar un esfuerzo longitudinal no solo cambia l sino que también lo hace t.5. R también cambia de la forma dρ dl dA dR = + − (6. Cuando se aplica una fuerza a una estructura. El cambio en la dimensión transversal respecto a la longitudinal depende de la relación entre los esfuerzos transversal y longitudinal. ∈a . es adimensional.303 para el acero y de 0. de 0. denominada módulo de Young. por lo tanto. El signo menos indica que cuando la longitud se incrementa. TRANSDUCTORES EXTENSOMÉTRICOS 187 Para el hilo conductor considerado anteriormente. Estos cambios se deben a la variación de la amplitud de las oscilaciones de los nudos de la red cristalina del metal. si se supone una sección cilíndrica de diámetro D. Aplicando (6.5).13 a 1.5.5. .4) y (6. es útil definir el factor de galga axial (Función de sensibilidad relativa). (6. por lo tanto. salvo para el platino en cuyo caso es del orden de 6. Si éste se tensa.4 para el platino. el cambio de volumen se puede expresar como V = πlD2 4 dV dl dD dl = +2 = (1 − 2ν) V l D l y. mientras que si se comprime.15 para las aleaciones empleadas comúnmente en galgas. Para el caso de los metales.5.6.3). la velocidad de los electrones disminuye. si el material es isótropo y no se rebasa su límite elástico.5.3) A D l Debe notarse que esta relación es válida independientemente de la forma geométrica de la sección transversal del hilo conductor. se obtiene Sa = 1 + 2ν + C(1 − 2ν) (6. la amplitud aumenta.1) se transforma finalmente en dR =∈a [1 + 2ν + C(1 − 2ν)] (6. Si dicha amplitud disminuye ρ también disminuye. resulta que los cambios porcentuales de resistividad y de volumen son proporcionales dV dρ =C ρ V donde C es la denominada constante de Bridgman. Si la amplitud de las oscilaciones de los nudos aumenta. La variación que experimenta la resistividad como resultado de un esfuerzo mecánico se conoce como efecto piezorresistivo.5.5. Sa : Sa = dR/R a (6.5) Combinando las ecuaciones (6.5.4) R En este punto.5.5. y de 4. se tendrá D2 A=π 4 dD dl dA =2 = −2ν (6. cuyo valor es de 1.6) El valor de Sa es del orden de 2 para la mayoría de los metales. la amplitud disminuye. y ρ aumenta. En la Fig. en las cuales hay una alta limitación de corriente.5. Las expresiones de la relación resistencia-deformación son para un caso concreto [7]: • para un material tipo p: • para un material tipo n dR = 119. La ecuación básica para un puente sobre un voladizo es: (6. se Figura 6. para pequeñas variaciones la resistencia del hilo metálico deformado puede ponerse de la forma R = R0 (1 + x) donde R0 es la resistencia en reposo y x = Sa . En el caso de un semiconductor. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE Así pues. y se supone una alimentación a corriente constante. Debe notarse que la tensión de salida no depende de la resistencia . es posible obtener el valor de salida de los puentes activos completos que utilizan galgas semiconductoras.5 + 4 R0 2 dR = −110 + 10 2 R0 donde R0 es la resistencia en reposo a 25◦ C. al someterlo a esfuerzo predomina el efecto piezorresistivo. 6. pueden obtener dispositivos de salida muy alta (5 V o más).7) vo = a Sa vi Con esta ecuación.188 CAPÍTULO 6.37 se observa la respuesta resistencia vs deformación para los dos tipos de semiconductores. característica que no se puede dar en las galgas metálicas.Puesto que se pueden fabricar galgas semiconductoras con alta resistencia.37: Relación resistencia—deformación para galgas tipo p (línea continua) y tipo n (línea de trazos). El cambio de resistencia no excede el 2%. p √ vi = 2 P R = 2 250 × 10−3 × 2 × 103 = 44.7) se obtiene . de la galga. Si se conoce la relación entre esta deformación y el esfuerzo que la provoca ??. El factor de galga para galgas de alta resistencia también es considerablemente grande y el factor de alinealidad es algo más bajo. se tendrá un salida de alredeor de 2V (2. 721 ≈ 45 vo = 1500 × 10−6 × 148 × 44. TRANSDUCTORES EXTENSOMÉTRICOS 189 Figura 6. En la Fig.38: Algunas configuraciones de galgas extensiométricas de semiconductor (fabricadas por BLH electronics).5.5.6. se recomienda usar las de tipo encapsulado. a partir de la medida de los cambios de resistencia se podrán Sustituyendo este valor para la tensión de entrada en la ecuación (6. (6. Encontrar la excitación posible y la tensión de salida correspondiente. = Para el caso de un puente alimentado con 10 V. esfuerzo de más y menos 1500μm/m con un factor de galga S de 148. 928 1 ∼ 10V.22V ). Sol. Se ofrecen galgas extensométricas semiconductoras con vidrio fenólico encapsuladas y no encapsuladas. 721 = 9. Se supone potencia máxima disipada de 250 mW. Ejemplo 28 Si un puente activo completo de 2000 Ω se monta sobre un voladizo con un buen disipador térmico. Debido a las altas propiedades de instalación requeridas para voltajes altos.38) se muestran las configuraciones de algunas galgas semiconductoras comerciales. Se puede observar que existe una relación entre el cambio de resistencia de un material y la deformación que experimente éste. Su presencia se reconoce si cambia la salida al variar la polaridad de la alimentación. Deben corregirse bien mediante el método de insensibilidad intrínseca. bien mediante filtrado. En galgas metálicas este cambio puede ser de hasta 50μ /◦ C. En la práctica sus dimensiones son apreciables. a sus dimensiones y a las dimensiones del soporte. y protegida del ambiente. según el soporte. Para que la resistencia eléctrica de ésta sea apreciable se disponen varios tramos longitudinales y en el diseño se procura que los tramos transversales tengan mayor sección. la potencia máxima disipable es de unos 250 mW . Éste no excede del 4% de la longitud de la galga y va desde unas 3000μ para las semiconductoras a unas 40000 μ para las metálicas. Un resistor dispuesto de forma que sea sensible a la deformación constituye una galga extensométrica. por selección de materiales. • Las fuerzas termoelectromotrices presentes en la unión de dos metales distintos.15 W/cm2 . a base de alimentar las galgas con corriente alterna.77 W/cm2 a 0. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE conocer los esfuerzos y. • Se debe estar en un estado plano de deformaciones. En las galgas semiconductoras. Idealmente. una vez la galga está dispuesta en la superficie de medida. pues así se reduce la sensibilidad transversal a un valor de sólo el 1% o el 2% de la logitudinal. ya que pueden dar una tensión de salida superpuesta a la de interés si se alimenta la galga con corriente continua. si hay un cambio de temperatura. acero. Cabe considerar algunas limitaciones en la aplicación de este principio de medida [28]: • El esfuerzo aplicado no debe llevar a la galga fuera del margen elástico de deformaciones. antes de aplicar algún esfuerzo se tendrá ya un cambio de resistencia. • La medida de un esfuerzo sólo será correcta si es transmitido totalmente a la galga. es decir. y se supone que el punto de medida . • La temperatura es una fuente de interferencias por varias razones. madera). La potencia permitida aumenta con el área de la galga y va desde 0. Afecta a la resistividad del material.190 CAPÍTULO 6. Ello se logra pegando ésta cuidadosamente mediante un adhesivo elástico que sea suficientemente estable con el tiempo y la temperatura. la galga debe estar aislada eléctricamente del objeto donde se mide. En las galgas metálicas la corriente máxima es de unos 25 mA si el soporte es buen conductor (cobre. que no haya esfuerzos en la dirección perpendicular a la superficie de la galga. A la vez. Como resultado de todo ello. las magnitudes que provocan dichos esfuerzos en un sensor apropiado. en su caso. al medir su resistencia. se haga circular por ella una corriente eléctrica. • Un factor que puede provocar el calentamiento de la galga es la propia potencia que disipe cuando. las galgas deberían ser puntuales para poder medir los esfuerzos en un punto concreto. aluminio) y de 5 mA si es mal conductor (plástico. como el hormigón. el cambio entre dos líneas originalmente ortogonales cuando un sólido se somete a un esfuerzo. St . donde la velocidad del sonido es de unos 5900 m/s. 45◦ y 90◦ . la cual se suminstra al usuario. ésta es de 5 mm y se mide en acero. En la roseta equiangular.5. están arregladas a 0◦ . γ xy . en cambio. es necesario especificar dos esfuerzos lineales ortogonales x y y y un tercer esfuerzo llamado cizalladura (esfuerzo cortante). las galgas se colocan a ángulos de 0◦ . St se define por dR/R (6. TRANSDUCTORES EXTENSOMÉTRICOS 191 es el centro geométrico de la galga. En muchas situaciones. Si por ejemplo.5. y la roseta equiangular.3%.39 muestra los dos arreglos más comunes de estas tres galgas: La roseta rectangular. llamado la sensibilidad transversal.5. el error en el esfuerzo axial es 2.3 y t / a = 2.01. ν = 0. la longitud de onda de éstas debe ser mucho mayor que la longitud de la galga. Ésta es definida como St Kt = (6. la máxima frecuencia medible es del orden de 100kHz. realizar un promedio de deformaciones para no caer en error debido a una singularidad en la superficie. hay una expansión transversal que resulta del esfuerzo transverso. Este efecto está incluido cuando los fabricantes determinan los factores de galga. 6.5. Para Kt = 0. si una estructura se carga en una dirección existe un esfuerzo transversal (como lo predice la ecuación (6. En el esfuerzo biaxial. La Fíg. puede interesar. sin embargo. .6. siendo posible valores menores que 0. la superficie de una estructura se comprime o tensiona simultanemanete en más de una dirección. llevando a una condición llamada esfuerzo biaxial. Similar a la ecuación (6. Si se van a medir vibraciones. Si se mide en una superficie no uniforme.8) St = t Los fabricantes miden un factor. Para una galga sencilla Budynas [8] proporciona la siguiente fórmula para el error en un esfuerzo axial debido a un esfuerzo transversal aplicado: µ ¶ ˆa − a Kt t = ν+ 1 − νKt a a donde a es el esfuerzo axial verdadero y ˆa es el esfuerzo que la medida podría predecir si se despreciara el esfuerzo transversal. para propósitos prácticos. Kt .9) Sa Los valores de Kt son normalmente muy pequeños. cada una de estas galgas mide el esfuerzo lineal en la dirección del eje de la misma. 60◦ y 120◦ .5.2)). En la roseta rectangular. una simple galga extensométrica puede medir el esfuerzo únicamente en una dirección. Estos esfuerzos se pueden determinar por tres galgas situadas adecuadamente en un arreglo llamado roseta extensométrica.5) la cual define el factor de galga axial. Para definir el estado del esfuerzo sobre una superficie. Esta expansión transversal afectará la salida de galga extensométrica y puede describirse con un factor de galga transversal. Aunque la galga es ligeramente sensible a los esfuerzos transversales.01. el esfuerzo lineal en una dirección θ al eje x se puede representar por 2 2 (6. = = 0◦ 90◦ 45◦ (6. la solución es: x y + 90◦ ) = = 0◦ 2 60◦ −2 60◦ 120◦ 3 − 0◦ ) (6.5.13) γ xy = 2 √ ( 3 − 120◦ ) .5.12) −( 0◦ γ xy = 2 Para la roseta equiangular. de aquí se obtienen valores para Para la roseta rectangular. y (6. si se puede describir el campo del esfuerzo en un plano sobre un sólido por los valores x .192 CAPÍTULO 6. De acuerdo a Popov [29]. resultando en tres ecuaciones simultaneas: θ1 θ2 θ3 = = = 2 x cos θ 1 2 x cos θ 2 2 x cos θ 3 + + + 2 y sen θ 1 2 y sen θ 2 2 y sen θ 3 + γ xy senθ1 cos θ1 + γ xy senθ2 cos θ2 + γ xy senθ3 cos θ3 x.39: Orientación de galgas extensiométricas en rosetas comunes: (a) rectangular (b) equiangular.5. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE y y 120º 45º 60º SG3 SG2 SG3 x SG2 x SG1 SG1 (a) (b) Figura 6. θ2 y θ3 .11) La roseta proporciona medidas de θ1 . la solución es: x y y γ xy .5. y y γ xy .10) θ = x cos θ + y sen θ + γ xy senθ cos θ Esta ecuación puede aplicarse a cada una de las galgas extensométricas en una roseta. Para aplicaciones de sensores táctiles en robots. mm 0. karma.001 a 3000 Factor de sensibilidad 1.6. Hay modelos para diafragma. para medir torsiones. adaptadas a diversos tipos de esfuerzos. Las galgas pueden tener o no soporte propio. Figura 6. Ω 120.6. para determinar esfuerzos máximos y mínimos y sus direcciones (rosetas múltiples). En este caso se dispone de una gran variedad de configuraciones.4 a 150 1a5 193 En muchos libros de mecánica de materiales se proporcionan métodos para evaluar los esfuerzos máximos normal y cortante de estos valores de deformación. Para la medida de grandes deformaciones en estructuras biológicas se emplean galgas elásticas que consisten en un tubo elástico lleno de mercurio u otro líquido conductor [26].35 50 a 200 Resistencia. éstas se pueden obtener de los fabricantes con la forma definida.2 1a2 Tamaño.40. . un ejemplo se muestra en la Fig.1 a 0. No es fácil construir los rosetas extensométricas. . advance. . como las aleaciones constantan. o impresas en fotograbado. μ 0. TRANSDUCTORES EXTENSOMÉTRICOS Tabla 6. 600. se emplean también elastómeros conductores. Las aleaciones metálicas escogidas tienen la ventaja de un bajo coeficiente de temperatura porque en ellas se compensa parcialmente la disminución de la movilidad de los electrones al aumentar la temperatura con el aumento de su concentración [28]. etc.5. .5: Características de las galgas extensiométricas metálicas y semiconductoras Parámetro Metálicas Semiconductoras Margen de medida. eligiéndose en su caso en función de la temperatura a la que se va a medir.1 a 40000 0.40: Roseta de galgas extesiométricas.8 a 2. % 0. 350. y también semiconductores como el silicio y el germanio. Tipos y aplicaciones Los materiales para la fabricación de galgas extensométricas son diversos conductores metálicos. Las galgas metálicas con soporte pueden ser de hilo bobinado o plegado con soporte de papel.5000 1000 a 5000 Tolerancia en la resistencia. Si se somete un hilo de manganina a una presión en todas direcciones. como lo indica la Fig. al apartarse de dicha posición el núcleo. unido a la pieza cuyo movimiento se desea medir.6 6. El factor de sensibilidad se determina por muestreo.5 se presentan algunas de las características habituales de las galgas metálicas y semiconductoras [28].028 μΩ/Ω/kP a.7 6. una de las dos tensiones crece y la otra se reduce en la misma magnitud.8 Transformador diferencial de variación lineal (LVDT ) El transformador diferencial de variación lineal (LVDT ) se basa en la variación de la inductancia mutua entre un primario y cada uno de los dos secundarios al desplazarse a lo largo de su interior un núcleo de material ferromagnético.6. arrastrado por un vástago no ferromagnético. 4% Ni) que tiene un coeficiente de temperatura muy bajo. El modelo matemático correspondiente se deduce del análisis de la Fig(6.021 y 0. 12% Mn. Electrodinámicos. Si la resistencia 0 total en el primario se designa por R1 = Rg + Rb1 y la del secundario por R2 = Rb2 + Rb2 + Rc . Se da entonces el valor probable de S y la tolerancia. 6. Normalmente los dos devanados se conectan en oposición—serie. se presenta un coeficiente de resistencia de entre 0. en la posición central las tensiones inducidas en cada secundario son iguales y. Las galgas extensométricas se pueden aplicar a la medida de cualquier variable que pueda convertirse. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE En la Tabla 6.4GP a a 40GP a) mediante las denominadas galgas de manganina.194 CAPÍTULO 6. de modo que el cambio de resistencia da información sobre la presión a que está sometido.1 6. Al alimentar el primario con una tensión alterna. con el sensor apropiado. pues una vez utilizada la galga es irrecuperable. en una fuerza capaz de provocar deformaciones del orden de 10μm incluso inferiores. .7. La manganina es una aleación (84% Cu.2 Elementos Capacitivos e Inductivos Elementos Capacitivos Elementos Inductivos 6.1 Elementos con transformador.41). Servos y Resonantes Elementos con transformador Transformadores de núcleo sencillo 6. Los métodos de ensayo y la especificación de características para las galgas metálicas está normalizado [27].41.6. 6. Una aplicación singular del efecto piezorresistivo es la medida de presiones muy elevadas (1. se obtiene i2 = M1 −M2 L1 (L2 +L0 −2M3 )−(M2 −M1 )2 2 2 s (6.8.8.8. conviene considerar primero el efecto de la resistencia de carga Rc . L2 .8. y según (6. v0 = −(M2 −M1 )Rc L1 (L2 +L0 −2M3 )−(M2 −M1 )2 2 2 s + (6. M1 Rg + v R b1 L2 R b2 ___> i1 . En las otras posiciones del núcleo. tal como se había anticipado. TRANSFORMADOR DIFERENCIAL DE VARIACIÓN LINEAL (LVDT) 195 . M3 y M2 − M1 varían aproximadamente de la 2 forma siguiente: M3 presenta variaciones lentas alrededor de x0 . L2 + L0 se mantiene prácticamente constante y L1 tiene 2 variaciones lentas alrededor de x0 . pues. se tiene el siguientes sistema de ecuaciones: ¸ ∙ ¸∙ ¸ ∙ −(M1 − M2 )s R1 + sL1 i1 v1 = −(M1 − M2 )s R2 + sL2 + sL0 − sM3 0 i2 2 A partir de esta expresión. M2 − M1 tiene una variación muy rápida y lineal. la expresión final de la tensión de salida se reduce a v0 = s(M1 − M2 )v1 sL1 + R1 (6.2) La tensión de salida es.5) .8.4) sv1 R2 L1 +R1 (L2 +L0 −2M3 ) R1 R2 2 L1 (L2 +L0 −2M3 )−(M2 −M1 )2 s + L1 (L2 +L0 −2M3 )−(M2 −M1 )2 2 2 La corriente en el primario viene dada en estas condiciones por v1 i1 ≈ sL1 + R1 (6. alrededor de x0 .1) + sv1 R2 L1 +R1 (L2 +L0 −2M3 ) R1 2 2 s + L1 (L2 +L0 −2MR)−(M2 −M1 )2 L1 (L2 +L0 −2M3 )−(M2 −M1 )2 3 2 2 (6. v0 = 0. M2 = M1 .8. L1 . Si el secundario está en vacío.41: Esquema básico del LVDT.3). L3 1 M2 Figura 6. L0 .8.6. Para analizar cual es finalmente la relación entre la tensión de salida y la posición del vástago.3) En la posición central. ^ |x ___> i2 R' b2 Rc M3 L1 . 5 y 0. y que 2L2 L1 À (M2 − M1 )2 . por lo tanto. al desplazamiento del vástago.5 5 7.8. Cuando f1 = R1 /L1 . Combinando (6.8. En la Fig () i se h 2 j −1 (1−ω )ω presenta esta evolución para un determinado modelo.4) y (6. pero a partir de una determinada frecuencia decrece.5 x 10 -1 -1. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE de forma que i1 es prácticamente constante. 9ω2 +(1−ω2 )2 . además.25 0. la sensibilidad es del 70% (−3dB) de la que se tiene a partir de frecuencias unas diez veces mayores.5 x -0.6) que indica que v0 es proporcional a M2 −M1 y. De la expresión (6. que v0 /v1 tiene respuesta de paso alto respecto a la frecuencia de la tensión de alimentación. y que está desfasasa 90◦ respecto a la corriente del primario.5 5 7.5) se llega a v0 = (M2 − M1 )si1 (6. pero se acepta que L2 +L0 −2M3 es prácticamente constante 2 con la posición del vástago y se designa por 2L2 . la expresión de la tensión de salida pasa a ser sv1 v0 = (M1 −M22)Rc (6.125 0 0 2.5 2.8.196 CAPÍTULO 6. Si el secundario no está en vacío.5 1 0. independientemente de la posición del vástago.7) 2L1 L 2 + R2 L1 +2R1 L2 s + R1 R2 s 2L1 L2 2L1 L2 Resulta.8.25 . También aumenta inicialmente al hacerlo f1 . tan 3ω2 y 1.4) se deduce. 9ω2 +(1−ω2 )2 .5 0 0 -0.125 10 -0.8. pues que la sensibilidad aumenta al hacerlo la resistencia de carga. debido a saturaciones de los materiales magnéticos. que depende de f1 .9) Así pues. a una frecuencia dada la tensión de salida es proporcional a la diferencia de acoplamiento mutuo entre el primario y cada uno de los secundarios. TRANSFORMADOR DIFERENCIAL DE VARIACIÓN LINEAL (LVDT) 197 y 0. la salida es propiamente una tensión alterna modulada en amplitud.5 5 7. Si éste es proporcional a la posición del vástago. no un cambio de impedancia como sucedía con los sensores diferenciales. Si se excita el primario con f1 = fn .8 0. y viene dada por v0 = (M1 − M2 )Rc v1 R2 L1 + 2L2 R1 (6. Normalmente es inferior al 1% de la tensión a fondo de escala. en la posición central la tensión de salida no pasa por cero.6.5 x 10 De () se deduce también que hay un desfase entre la tensión del primario y la del secundario.8. Al comportamiento ideal descrito en los párrafos anteriores. más visible en el nulo. .8. Ello se debe a la presencia de capacidades parásitas entre primario y secundarios que apenas cambian con la posición del vástago y también a la falta de simetría en los bobinados y circuitos magnéticos. el tercer armónico de la alimentación. Obsérvese que en este caso. La primera es que en los dispositivos reales. aunque el dispositivo responde al desplazamiento con un cambio de impedancia mutua.6 0.8) que es la misma frecuencia a partir de la cual la sensibilidad decrece. cabe señalarle algunas limitaciones. la salida es entonces independiente de f1 . sobre todo. Este desfase es nulo a la frecuencia 1 fn = 2π µ R1 R2 2L1 L2 ¶1 2 (6. sino por un mínimo.8. también lo será la tensión de salida. Otra limitación es la presencia de armónicos en la salida. Aparece.2 0 0 2.4 0. Esta interferencia se puede eliminar bastante bien a base de un filtro de pasa bajas en la salida. Las derivas térmicas pueden expresarse de la forma VT = V25 [1 + α(T − 25) + β(T − 25)2 ] (6. sensibilidad unidireccional. alta sensibilidad. pero las tensiones del otro par. Su tiempo medio antes de fallar puede ser de hasta 2 × 106 h. alta linealidad (hasta el 0.05%). si bien depende de la frecuencia de alimentación. Si la frecuencia de alimentación es alta.8.1%. Ofrecen también aislamiento entre el sensor (vástago) y el circuito eléctrico. El bajo rozamiento les da vida casi ilimitada y alta fiabilidad. La relación (v01 − v02 )/(v01 + v02 ) es entonces proporcional al desplazamiento del núcleo. con lo que pueden tener referencias o puestas a tierra distintas. y respuesta dinámica elevada. Tienen. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE La temperatura es otra posible fuente de interferencias. ya que están acoplados magnéticamente. por lo que imponen poca carga mecánica. α es una constante que depende de la frecuencia. La fuerza magnética que se ejerce sobre el núcleo es proporcional al cuadrado de la corriente en el primario. Todo el conjunto . Para solucionar el problema de que el margen lineal es de solamente el 30% de la longitud total del transformador. Tienen también un rozamiento muy bajo entre núcleo y devanados. El vástago que lo arrastra no debe ser magnético. Esto es una ventaja ante la posible presencia de bucles de masa (). y está laminado longitudinalmente para reducir las corrientes de Foucault. y β es otra constante. entonces predomina la impedancia de L1 frente a la de R1 y el efecto es menor. Las tensiones de un par se restan de la forma habitual (v01 − v02 ). El núcleo es una aleación de hierro y níquel. que son respectivamente iguales a las del primer par. se ha propuesto un LVDT autocompensado que utiliza dos pares de secundarios en vez de un solo par []. pues varía la resistencia eléctrica del primario. Para reducir las interferencias térmicas. y a los cambios de temperatura ambiente y de los devanados. es cero en la posición central y aumenta linealmente con el desplazamiento. además. si se alimenta a tensión constante. sobre todo si se los compara con los potenciómetros. Esto tiene interés al medir en atmósferas peligrosas. por cuanto queda limitada la energía que se puede disipar dentro del recinto de medida. se emplean disposiciones especiales que permiten obtener una relación margen/longitud de 0. pero en cambio es relativamente insensible a las variaciones en la corriente y frecuencia de excitación. Los tres devanados se recubren con una sustancia impermeable para que puedan funcionar con una humedad ambiental elevada. Es mayor que en un sensor capacitivo. alta repetibilidad (del cero sobre todo) por su simetría.10) donde T es la temperatura expresado en grados Celsius. pero la tensión de salida es mayor aquí.8. Si la temperatura aumenta. el primario se devana a lo largo del centro del núcleo y los secundarios se disponen simétricos respecto al centro. En primer lugar. y con ella la tensión de salida. Las ventajas del LVDT son múltiples y justifican por que es un sensor tan frecuente.198 CAPÍTULO 6. lo hace también la resistencia. Otra ventaja es que ofrecen aislamiento eléctrico entre el circuito del primario y el del secundario. su resolución teórica es infinta y en la práctica superior al 0. En la construcción del LVDT. con lo que se reduce la corriente en el primario. se suman (v01 + v02 ). Los alcances de medida pueden ir desde ±100μm a ±25cm.8. es muy frecuente como detector de cero en servosistemas de posición en aviones y submarinos. En [] se propone un nuevo tipo de LVDT que es plano en vez de cilíndrico y carece de núcleo en sus devanados. En la Fig() se muestra como se puede aplicar un LVDT a las medidas de aceleración e inclinómetros mediante un sistema inercial (a) y a la medida de presiones mediente un tubo de Bourdon (b). siempre y cuando los devanados sean herméticos. TRANSFORMADOR DIFERENCIAL DE VARIACIÓN LINEAL (LVDT) 199 puede apantallarse magnéticamente para hacerlo inmune a campos externos. se puede ajustar el desfase mediante alguno de los circuitos de la Fig ().8. El desfase entre la tensión aplicada aplicada al primario y las tensiones en el secundario es. Hay también versiones para desplazamientos angulares (RVDT) con un margen lineal de ±20◦ y sensibilidad del orden de 10 mV/grado pero en general.12) ωL1 R1 (6. con frecuencias de 50 Hz a 20 kHz.11) Si no se puede trabajar a la frecuencia de desfase nulo. amplificador y demodulador. las tensiones de excitación aceptadas. de 1 a 24 Vrms . y dan una tensión continua a la salida. se pueden medir otras magnitudes que pueden provocar finalmente desplazamiento del núcleo. Aquí también. La resolución puede ser de hasta 0. a 5 kΩ. y su movimiento .8. Su aplicación es la detección de posición en motores lineales de continua. Si se pone un muelle entre el chasis y el extremo lejano del vástago. Ellos tienen ya el oscilador.1 μm.8.1 V/cm a 40 mV/ μm por cada voltio de alimentación. En particular. El circuito equivalente para el LVDT es un generador de tensión alterna con frecuencia igual a la de excitación del primario. se puede emplear como palpador en máquinas—herramienta. Hay modelos que incorporan la electrónica de modo que aceptan una alimentación de tensión continua. modulada en amplitud por el desplazamiento del vástago. o es él mismo el núcleo. En el cuadro () se recogen las principales características de un LVDT comercial. con el secundario en vacío [ecuación (6. Las aplicaciones más inmediatas de los LVDT son las medidas de desplazamiento y posición. en general.7] φ = 90◦ − tan−1 ω(R1 L1 + 2R1 L2 ) R1 R2 − 2L1 L2 ω 2 (6. Las sensibilidades disponibles van de unos 0. que fue su primer aplicación. mediante el empleo de los sensores primarios adecuados. fuelle o cápsula.8. es entonces [6. o mediante un diafragma.4)] φ = 90◦ − tan−1 Si el secundario no está en vacío. sus prestaciones son inferiores a las de los modelos lineales. Se pueden aplicar a los instrumentos basados en un flotador. Se habla entonces de transformadores diferenciales de ‹ ‹continua›› (DCLVDT). y con una impedancia de salida constante e inferior. El flotador arrastra el vástago.6. pues entonces el muelle garantiza el contacto continuado con el perfil que se desea seguir. respecto a los demás. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE es detectado en forma de diferencia de tensión en los dos secundarios. .16) dt v2 = jωi1 M12 = ωiM (cos α)(cos ωt) = k cos α cos ωt (6.14) donde S es la sección del secundario.8. Este principio de medida se presta bien a las aplicaciones donde hay que determinar una posición o desplazamiento angular.1 Transformadores variables Si en un transformador uno o varios de los devanados pueden desplazarse. los transformadores variables imponen. N1 el número de vueltas del primario. por lo que son particularmente considerados en las aplicaciones militares y aeroespaciales.8. en el secundario se obtendrá di1 v2 = M12 (6. en general. aguantan mayores temperaturas y más humedad. es decir.8. variando el acoplamiento entre primario y secundarios. lineal o angularmente. μ (6. Por su construcción. choques y vibraciones que los codificadores y ciertos potenciómetros. Los rotámetros y los detectores de nivel se prestan fácilmente a este uso. μ la permeabilidad magnética del núcleo y α la inclinación relativa entre el primario y el secundario. también variará la tensión inducida en los devanados si uno o varios se excitan con una tensión alterna. menos carga mecánica al eje de giro que los codificadores digitales. donde se produce un desplazamiento muy pequeño. Las células de carga y los medidores de par. l su longitud. que requieren discos grandes para tener alta resolución.15) M12 = N2 N1 S cos α = M cos α l Si se considera el secundario en vacío y se aplica al primario una tensión sinusoidal de frecuencia ω. En la Fig() se representa esquemáticamente la situación para el caso de un solo primario y un solo secundario. 6. si bien no de una forma proporcional.13) M12 = N2 2 di1 donde N2 es el número de vueltas del secuindario e i1 es la corriente en el primario. pueden emplear también un LVDT como sensor. Por su pequeño momento de inercia. pero su amplitud depende de la inclinación relativa entre los devanados. Así pues.8.17) Es decir.8. la tensión de salida tiene la misma frecuencia que la de entrada. la inductancia mutua entre ellos.200 CAPÍTULO 6. El flujo abarcado por el secundario φ2 es φ2 = B · S = BS cos α = μHS cos α = μ N1 i1 S cos α l (6.8. la inductancia mutua entre primario y secundario es dφ (6. con cable adecuado. que puede girar respecto al primero. Pueden utilizarse directamente en la medida de nivel de líquidos con propiedades electroquímicas. en particular en aquellas aplicaciones donde hay campos electromagnéticos intensos. Constituidos por una pila de discos de grafito (aproximandamente 10 mm de diámetro y 2 mm de espesor) cuya resistencia global disminuye al crecer la presión aplicada debido a la variación de resistencia entre las superficies superpuestas de las caras. que se uniría mediante un conducto adecuado provisto de diafragma o pistón al punto de medida). en circuito abierto. En cambio.6. las interferencias conducidas. cada uno con su propio núcleo ferromagnético. • Captadores de variación de nivel de mercurio. como puede ser el posicionamiento de antenas (radar).9. Otra ventaja es que hay desplazamiento eléctrico entre la excitación de entrada y la salida. Consiste en dos devanados planos concéntricos. Una de las disposiciones físicas más simple es el denominado potenciómetro de inducción (Fig()). estator. por ejemplo. • Captadores de discos de carbón. Si uno de los dos se alimenta con una tensión sinusoidal. Su aplicación inmediata es la medida de presiones.9 Transductores electroquímicos Estos transductores tienen escasa aplicación industrial y se basan en la detección del nivel de un electrolito por la variación que se produce en la resistencia entre dos electrodos sumergidos. y otro móvil. En el cuadro () se recogen los valores de la excitación máxima aproximada propia de distintos sistemas de medida de posiciones angulares. la tensión inducida en el otro. los transformadores variables pueden transmitir la información analógica hasta 2 km de distancia. Las ventajas de los transforamdores variables han llevado al desarrollo de diversas configuraciones físicas. En los que una columna de mercurio de altura variable cortocircuita diferentes tomas intermedias de una cadena de resistencias.8. Sensores de reactancia variable . rotor. El inconveniente más importate de este transductor es la alteración progresiva que se va produciendo en el electrolito por efecto de los fenómenos de electrólisis que tienen lugar. y en la medida de pequeñas presiones (proporcionales a la altura del electrolito en el receptáculo del transductor. los codificadores digitales sufren mucha interferencia si se transmite directamente su señal de salida. TRANSDUCTORES ELECTROQUÍMICOS 201 Según se verá. y ello reduce. y allí hacer la conversión a digital. obteniéndose relaciones entre resistencias extremas de 10 : 1. uno fijo.17) 6. cuya comercialización con una marca determinada ha tenido en algunos casos tanto éxito que todos los dispositivos similares se conocen con el mismo nombre comercial. Estos dispositivos son poco precisos pero muy robustos. viene dada por (6. d. Se puede utilizar un puente Wheatstone de corriente alterna para este propósito. En general los sensores capacitivos son no lineales. por ejemplo. (b)]. En el primer caso. por lo cual. Funcionan por el principio de que la capacitancia de un condensador es función de la distancia entre las placas y del área de las mismas: donde es el coeficiente dieléctrico de las sustancia entre las placas ( para el aire). También presentan limitaciones a la máxima frecuencia de variación admisible de la variable medida. se requiere acondicionamiento de la señal. Puesto que la salida del sensor capacitvo no es un voltaje. [Fig. con Sensores Inductivos Sensores Electromagnéticos . su linealidad depende del parámetro que varía y de si se mide la impedancia o la admitancia del condensador.una de las placas se puede mover paralela a la otra. líquido o gaseoso). la capacitancia es aproximadamente una función lineal del desplazamiento.85 × 10−12 C 2 /N − m2 . C tendrá unidades de faradios. A es el área de la placa superpuesta y d es la distancia entre las placas. de modo que el área enfrentada varía. Algunos de estos sensores son generadores intrínsecos de señal. . entre las placas varía. Si A tiene unidades de m2 y d está en metros. es la permitividad del vacío 8. En la Fig. En un condensador plano. La respuesta suele ser no lineal. (a) una placa se mueve de modo que la distancia. se requieren circuitos de compensación de tipo diferencial. pues debe ser inferior a la frecuencia de excitación empleada. Como se muestra en la Fig. Sensores capacitivos Un capacitor consiste en dos conductores separados por un dieléctrico (sólido. Alternativamente. hay dos modos de usar un transductor capacitivo para medidas de desplazamiento.202 CAPÍTULO 6. o el vacío. SENSORES DE PARÁMETRO VARIABLE En este tipo de sensores se aprovecha la variación de la reactancia de algún dispositivo inductivo o capacitivo o una combinación de ambos. están relacionados con diversos tipos de accionadores o aplicaciones inversas en general. Ofrecen una alternativa para medir muchas de las magnitudes ordinarias. aparece una corriente eléctrica Fig. 7. A y B. Pero.Capítulo 7 Sensores generadores de señal 7. dado que se basan en efectos reversibles. se trata del efecto Peltier y del efecto Thompson. Históricamente fue primero Thomas J. son reversibles. La descripción de los fenómenos asociados. o bien. de las vibraciones en cables con determinados dieléctricos o de los potenciales galvánicos en soldaduras o contactos. a diferencia del efecto Joule.2. Seebeck quien descubrió. hay una conversión de energía térmica a eléctrica. hay una fuerza termo—electromotriz (f. Es decir. Es decir. Igualmente serán analizados los sensores fotovoltaicos y algunos de magnitudes químicas (relacionadas con la composición) para las que hasta el momento se han visto pocas posibilidades de medida. 7. y ser así fuente de interfencias Es el caso de las fuerzas termoelectromotrices.m) que depende de los 203 .2 7.t.1 Termopares Efectos termoeléctricos Los sensores termoeléctricos se basan en dos efectos que. en 1822. permite también su análisis cuando se trate de reducir interferencias. con vistas a la transducción. se pueden emplear para la generación de acciones no eléctricas a partir de señales eléctricas. sobre todo temperatura.1. Algunos de los efectos que se describen aquí pueden producirse inadvertidamente en los circuitos. que en un circuito de dos metales distintos homogéneos. con dos uniones a diferente temperatura. fuerza y magnitudes afines.e. además.1 Introducción Se denominan sensores generadores aquellos que generan una señal eléctrica a partir de la magnitud que miden sin necesidad de alimentación eléctrica. si se abre el circuito. Depende sólo de su composición y de la temperatura de la unión. Esta dependencia resulta ser además lineal y viene descrita por el coeficiente de Peltier. Se define como el calor generado en la unión AB por unidad de corriente que circula de B hacia A dQp = ±π AB Idt (7. π AB . no depende ni de la resistividad.m. SAB no es constante sino que depende de T . define el coeficiente Seebeck.2) . se invierte también el sentido del flujo de calor.t.e. Es decir.m. en cambio la f. que por tener dimensiones de tensión se llama a veces “tensión de Peltier”. SAB . y suele crecer al aumentar T . VAB . Depende solo de la diferencia de temperatura de las uniones y de la naturaleza de los metales. dVAB = SA − SB (7. respectivamente.204 CAPÍTULO 7. y si primero se enfría ahora se calienta. metales y de la diferencia de temperatura entre las dos uniones. si una unión antes se calentaba (cedía calor).2. consiste en el calentamiento o enfriamiento de una unión entre dos metales distintos al pasar corriente por ella. Este efecto es reversible e independiente del contacto. La relación entre la f. T .. la potencia termoeléctrica absoluta de A y B. Al conjunto de estos dos metales distintos con una unión firme en un punto a una zona se denomina termopar. Al invertir el sentido de la corriente. Esta fuerza electromotriz se debe al efecto Peltier y al efecto Thompson. al cambiar el sentido de la corriente se enfría (absorbe calor). Peltier en 1834.t. Es importante anotar que mientras la corriente que circula por el circuito depende de la resistencia de los conductores. En general. El efecto Peltier descubierto por Jean C. y la diferencia de temperatura entre las uniones. ni de la distribución o gradiente de temperatura.2.A. ni de la sección. de la forma y dimensiones de los conductores. SENSORES GENERADORES DE SEÑAL Alambre de cobre Alambre de metal A Unión sensora DVM Alambre de metal B Terminal DVM Figura 7.1: Termopar.e. es decir.1) SAB = dT donde SA y SB son. Q.2. dx Q = −Jσ dT dx (7. Con referencia al circuito de la Fig. y no cambia al hacerlo su dirección.1. debe coincidir con la energía térmica neta transformada. descubierto por William Thompson (Lord Kelvin) en 1847-54. se observa que si la corriente que circula es suficientemente pequeña para poder despreciar el efecto Joule. se pueden considerar exclusivamente los efectos termoeléctricos reversibles. El balance energético es así dVAB ∆T = π AB (T + ∆T ) − π AB (T ) + (σ B − σ A )∆T dT Dividiendo ambos términos por ∆T y pasando al límite cuando ∆T tiende a 0. se libera en A un calor −σ A (∆T ). 7. TERMOPARES Para una union a temperatura absoluta T . se absorbe calor si la corriente y el calor fluyen en direcciones opuestas. el calentamiento depende del cuadrado de la corriente.2.3) El hecho de que el calor intercambiado por unidad de superficie de la unión sea proporcional a la corriente y no a su cuadrado. pues. Si en un circuito se mantiene una unión a temperatura constante .2. el resultado de los efectos Peltier y Thompson. dVAB dT ·∆T . por ello. marca la diferencia respecto al efecto Joule. mientras que el calor liberado en la unión fría es −π AB T.2. Las expresiones (7. En este caso las uniones alcanzan una temperatura diferente a la ambiental. de hecho. y por ello puede ser una fuente de errores. se demuestra que π AB = T (SB − SA ) = −π BA 205 (7. incluso de origen termoeléctrico.5) esta expresión indica que el efecto Seebeck es. En otras palabras. resulta dπ AB dVAB = + (σ B − σ A )∆T dT dT (7.6) permiten pensar en la aplicación de los termopares a la medida de temperaturas. El calor liberado es proporcional a la corriente —no a su cuadrado— y. será. El flujo neto de calor por unidad de volumen. y se libera calor si fluyen en la misma dirección. el calor absorbido en la unión caliente es π AB (T +∆T ). cambia el signo al hacerlo el sentido de la corriente.4) donde σ es el denominado coeficiente de Thompson. El efecto Thompson. El efecto Peltier es también independiente del origen de la corriente. Por efecto Thompson. con un gradiente longitudinal de temperatura.2. En este caso.7. en un conductor de resistividad r. que puede ser. consiste en la absorción o liberación del calor por parte de un conductor homogéneo con temperatura no homogénea por el que circule una corriente.6) (7. Para el caso de un termopar con una temperatura T + ∆T en un unión y T en la otra.2.1) y (7. mientras que en B se absorbe un calor σ B (∆T ). En éste. dT . por el que circula una densidad de corriente J.2. y expresa el teorema fundamental de la termoelectricidad. la energía termoelectromotriz producida. 206 CAPÍTULO 7.7) donde T1 y T2 son las temperaturas absolutas respectivas de cada unión. Ahora bien. dado el carácter reversible de los efectos Peltier y Thomson. Repercute en ello que la tensión de salida es muy pequeña. por cuanto la sensibilidad típica es de 6 a 75μV /◦ C.t.m. incluso el efecto Joule podría ser apreciable. al instalarlos). hay que elegir un modelo adecuado a los valores de temperatura a medir. en función de la temperatura de esta unión cuando la otra se mantiene a 0◦ C. por lo que conviene extremar las precauciones para que no sufran tensiones mecánicas (por ejemplo. La realización de termopares útiles .2. Los valores correspondientes a la tensión obtenida con determinados termopares. están tabulados. la f. y C1 y C2 son constantes que dependen de los materiales A y B. debido al flujo de calor desde y hacia el circuito. la aplicación de los termopares a la medida está sujeta a una serie de limitaciones que conviene conocer para su uso correcto. pues todo cambio en dicha unión de referencia será una fuente de error. la no linealidad de la relación entre f. debidas al envejecimiento si hay gradientes de temperatura importantes a lo largo de su tendido). por ejemplo. Todo esto llevaría a que la unión de medida alcanzara una temparatura distinta a la que se desea medir y la unión de referencia una temperatura diferente a la supuesta. sería distinta a la del entorno. Por lo tanto.e.t. y en particular la de las uniones. El circuito equivalente es una fuente de tensión con una resistencia de salida distinta en cada rama (la de cada metal). • La corriente que circule por el circuito de temopares debe ser mínima. será función de la temperatura a la que esté sometida la otra unión. la temperatura de los conductores. Para cobre y constantan. • La temperatura máxima que alcance el termopar debe ser inferior a su temperatura de fusión. • Los conductores deben ser homogéneos. con los consiguientes errores. Según la intensidad de la corriente. • Si se desea una precisión elevada.e. resultará que la señal ofrecida tendrá un nivel alto constante en el que los cambios de temperatura de interés puede que provoquen sólo pequeñas variaciones de tensión. ni térmicas (por ejemplo. que se denomina unión de medida. y temperatura puede ser importante. pueden ser 300Ω y 10Ω. SENSORES GENERADORES DE SEÑAL (unión de referencia). Si además la temperatura de referencia no es muy próxima a la de la medida. Una fórmula aproximada y con validez general es 2 2 VAB ≈ C1 (T1 + T2 ) + C2 (T1 − T2 ) (7. De no ser así. • El medio donde se va a medir no debe atacar a ninguno de los metales de la unión. • Se debe mantener una de las dos uniones a una temperatura de referencia fija si se desea medir la de la otra unión.m. 5◦ C. Por otra parte.045(T1 − T2 )μV Esta no linealidad puede que requiera una corrección que se realiza en el circuito de acondicionamiento de señal. y se dispone de modelos de bajo precio que son suficientes en muchas aplicaciones. puede ser de varios grados Celsius. La tensión depende de la composición de los metales usados en los hilos. . Hay. Poseen también robustez. 3. no debe haber flujo de corriente a través de los hilos y la unión. Además. Para el termopar de cobre/constantan.7. por el interés de que C2 sea muy pequeña. dos de las cuales son de ningún interés.2.8) EAB ≈ 62. los termopares tiene muchas ventajas y son. 7.1(T1 + T2 ) + 0.1. TERMOPARES 207 viene limitada. 2. La segunda complicación tiene que ver con el hecho de que realmente hay tres uniones en la Fig. para temperaturas bajas tiene mayor exactitud que las RTD. La solución a este problema se muestra en la Fig. no tienen los problemas de autocalentamiento que presentan las RTD. Esto es porque el flujo de corriente no solo resultará en pérdidas resistivas sino que también afectará las tensiones termoeléctricas. Para que un termopar pueda ser usado como medidor de temperatura. La tolerancia de unas a otras unidades del mismo modelo. en particular al medir la temperatura de gases. hay dos uniones donde el termopar se conecta con el DVM. tienen un alcance de medida grande. Reunir este requisito actualmemte no es un problema puesto que se dispone de voltímetros electrónicos y de sistemas de adquisición de datos con muy alta impedancia de entrada.2(a). La medida de tensión se debe hacer sin flujo de corriente. Dado que no necesitan excitación. con mucha diferencia. y esto restringe mucho las posibilidades de elección. precisamente. sin embargo. 7. se tiene 2 2 (7. del orden de milisegundos. 7. Las conexiones a dispositivos de medida de tensión resultan en uniones adicionales.2 Compensación de la unión de referencia La simplicidad general de los termopares ha conducido a su amplio uso como sensores para medida de la temperatura. A pesar de estas limitaciones. no sólo en su conjunto.2. Considerando todos los factores. que va desde −270◦ C hasta 3000◦ C. y por su pequeño tamaño permiten tener velocidades de respuesta rápidas. Además de la unión sensora. los sensores más frecuentes para la medida de temperaturas. simplicidad y flexibilidad de utilización. es díficil tener un error menor que 0. por ejemplo. un número de complicaciones en su uso: 1.2. Por una parte. La lectura de la tensión así. es función de tres temperaturas (la unión sensora y las uniones a los terminales del DVM). sino en cada modelo particular. su estabilidad a largo plazo es aceptable y su fiabilidad elevada. La Fig. la tensión generada depende fuertemente de la composición de los hilos utilizados para formar el termopar. gráficos o funciones polinomiales para interpretar los datos de la tensión leída.2: Termopar con unión de referencia. Aún hay dos uniones en los terminales del DVM. 7. Cuando se fabrican los alambres para los termopares de acuerdo a las normas establecidas por el National Institute of Standards and Technology (antiguamente conocido como National Bureau of Standards NBS). las tensiones en los terminales se cancelarán. SENSORES GENERADORES DE SEÑAL Alambre de metal A Unión sensora Cobre Alambre de metal A Unión sensora DVM DVM Alambre de metal B Metal A Unión de referencia (a) Alambre de metal B Metal B Uniones de referencia (b) Figura 7. Puesto que la tensión de salida es en general función no lineal de la temperatura.2(b) es eléctricamente equivalente a la Fig. El circuito de la Fig. la tensión medida es función únicamente de los materiales con los cuales está construido el termopar y la unión sensora de temperatura. (0◦ C).208 CAPÍTULO 7. Con la temperatura de la unión de referencia conocida. Se dispone actualmente de dispositivos electrónicos que simulan eléctricamente la unión de referencia fría sin la necesidad de disponer realmente de la mezcla hielo—agua. 7. se requieren tablas. 7. Este problema ha sido resuelto restringiendo los materiales utilizados para construir los termopares.3 muestra las curvas de calibración tomadas de las funciones polinomiales dadas por Creus [10] para varios R ° termopares.2(a) y producirá la misma tensión en el DVM. La unión de referencia se mantiene a una temperatura conocida fija. pero cada una de estas uniones está construida con los mismos materiales y si los dos materiales pueden mantenerse a la misma temperatura. se pueden usar las curvas de calibración normalizadas para determinar la temperatura con base a las tensiones medidas. Finalmente. La temperatura de una mezcla de hielo y agua pura a 1 atm. . Se pueden mantener los dos terminales a la misma temperatura colocándolos en un mismo recinto aislado térmicamente conenctados con un conductor térmico pero en una estructura aislada eléctricamente. Se usan dos termocuplas. la segunda se denomina unión de referencia. El programa desarrollado en Matlab está listado en el Apéndice A. Although high voltages are used to produce the piezoelectric effect. Piezoelectric ceramics respond rapidly to changes in input voltage. ammonium dihydrogen phosphate (ADP) and lithium sulphate (LH). Although piezoelectricity is found in several types of natural materials. . Some naturally occurring crystalline materials possessing these properties are quartz and tourmaline. power consumption is low. and energy consumption is minimal in maintaining a fixed position with a fixed load.3: Respuesta tensión vs temperatura para algunas termocuplas. This is commonly referred to as the “generator effect”. produce a voltage proportional to the applied pressure and that when an electric field is applied across the material. and power supply noise is the only limiting factor in the positional resolution. most modern devices use polycrystalline ceramics such as lead zirconate titanate (PZT). This is commonly referred to as the “motor effect”. The converse also holds true. 7. SENSORES PIEZOELÉCTRICOS 209 Figura 7.3.3 Sensores piezoeléctricos What is Piezoelectricity? An overview & History In the 1880s. Some artificially produced piezoelectric crystals are Rochelle salt. This characteristic is called piezoelectricity or pressure electricity (Piezo is the Greek word for pressure). an applied electric field will produce a mechanical stress in the material.7. there is a corresponding change of shape. when compressed. Pierre and Jacque Curie discovered that some crystalline materials. A material is said to possess piezoelectric properties if an electrical charge is produced when a mechanical stress in applied. The provides the designer a means of tailoring the materials properties to the application. and piezoelectric “g” and “d” constants. Typical electrical parameters are the dielectric constant “K”. Material properties may be altered by modifying the chemical composition and manufacturing processes. Ceramic parts may be formed to many shapes including. The aging process can be attributed to the relaxation of the dipoles in the material. A high electric field is applied across the electrodes resulting in an aligning of the dipoles within the material. The first ceramic process consists of mixing the raw materials. “k”. The powders are then heated which reacts the constituent materials into a compound. rings. barium titanate. electrical drive or mechanical stress or any combination thereof. In contrast to the naturally occurring piezoelectric crystals. . Low dissipations are desirable for they result in low electrical losses. High dielectric constants are desirable for they result in low impedance. Typical mechanical parameters are the density and elastic constants. The calcined powders are then ground into very fine particles. lead titanate and lead metaniobate. and the dissipation.210 CAPÍTULO 7. After a few days the changes in the material properties are very small and decrease logarithmically. Typical electromechanical parameters are the electromechanical coupling. discs. The material is now fully activated. The process of change is referred to as “aging”. They are typically referred to as ferroelectric materials. Activation of the piezoelectric ceramic properties on a macroscope level occurs in the “polling” process. The production of ceramic shapes requires that a binder be added. This process is commonly referred to as “calcining”. or “high firing” completes the chemical bounding of the constituent material dimensions. plates. ferroelectric ceramics are of “polycrystalline” structure. Production of all of the piezoelectric ceramic materials involve detailed processing. mechanical and electromechanical properties resulting from the chemical formulation and the manufacturing processing. Many processes are involved in the production of piezoelectric ceramics. SENSORES GENERADORES DE SEÑAL Another class of materials possessing these properties is polarized piezoelectric ceramic. From the moment the activated ceramic material is removed from the poling apparatus. a final firing bonds the electrode material to the ceramic surfaces. The electroded part is heated in a dielectric oil bath. cylinders and hemispears. the material properties undergo changes. The axis being defined relative to the poled axis. Electrodes are applied to the desired surfaces. the most commonly produced piezoelectric ceramics are: lead zirconate titanate (PZT). bars. The formed parts are then bisque fired at low temperatures in order to drive off the binders and provide some mechanical strength. “S” from which the resonant properties may be determined. The second firing. Aging of the ceramic occurs very rapidly in the first few hours. The binder holds the parts together prior to firing. Many of these properties are dependent upon the axis of measurement. Depolarization of the piezoelectric ceramic can result if it is exposed to excessive heat. Higher electromechanical couplings result in a more efficient transfer of electrical energy to mechanical energy. Piezoelectric ceramic materials possess electrical. The temperature at which piezoelectric ceramic will be totally depoled is known as the “curie point”. El fenómeno es reversible de modo que. y entre los materiales sintéticos que se comportan del mismo modo pueden citarse la sal de Rochelle y el titanato de bario. El titanato de bario.7. 7. concepto que se utiliza en la interpretación teórica de sus propiedades. eléctricas y ópticas. Durante el proceso de fabricación.2 Materiales piezoeléctricos Entre los materiales naturales que manifiestan el fenómeno descrito están los cristales de cuarzo y turmalina. destacan los cristales de cuarzo tallados según determinadas direcciones preferentes en forma de láminas sobre cuyas caras opuestas se depositan electrodos metálicos (generalmente de oro o de plata). como en accionadores mecánicos (por ejemplo. generadores de ultrasonidos. Actualmente se estudia su aplicabilidad a la detección tactil en robots y en prótesis de miembros. se produce una deformación correspondiente en el cristal.3. en especial. Dependiendo de la dirección del corte. Los dispositivos que utilizan materiales ferroeléctricos se caracterizan por su gran robustez y capacidad para soportar grandes esfuerzos. en sistemas de generación de ultrasonidos. En aplicaciones como sensores. The mechanical change produces stress within the ceramic and corresponding electrical charge on the electrode surfaces. si se crea una distribución asimétrica de cargas. en respuesta a una deformación de la red cristalina provocada. por la aplicación de una fuerza. 7. concretamente.1 Captadores Piezoeléctricos La piezoelectricidad consiste en la aparición de desequilibrios de carga eléctrica en determinadas zonas de láminas talladas según ciertos ejes. pertenece al grupo de los denominados materiales ferroeléctricos. Very high potentials can be created.3. se “polarizan” calentándolos por encima del punto Curie y se dejan enfriar lentamente en presencia de un fuerte campo eléctrico (obsérvese la analogía con el proceso de fabricación de los imanes y la dualidad campo magnético—campo eléctrico). caution should be exercised when handling piezoelectric ceramic. material de alta sensibilidad piezoeléctrica y piroeléctrica que sive de base para algunos sensores modernos experimentales de diversas magnitudes mecánicas. A change in ceramic temperature will result in a change in mechanical dimensions. . Recientemente se están utilizando también los polímeros ferroeléctricos entre los cuales destaca el fluoruro de polivinilideno. y los “dominios magnéticos” a los que se hace referencia en la teoría del ferromagnetismo. por ejemplo. Deben su nombre a la analogía entre los dominios eléctricos. SENSORES PIEZOELÉCTRICOS 211 Piezoelectric ceramics also possess “pyroelectric” properties. etc). de los cuales el más representativo podría ser el zirconato de plomo. además de ciertos compuestos de tipo cerámico utilizados actualmente. Se emplean además frecuentemente como actuadores y.3. Es así lógico que estos materiales se utilicen tanto en sensores primarios de deformación. posicionadores de elementos mecánicos. definido como la raíz cuadrada de la relación entre la energía disponible y la almacenada (para frecuencias muy por debajo de la frecuencia de resonancia del elemento).4) 7.7.4: Efecto piezoeléctrico se consiguen láminas sensibles a deformaciones por compresión. esfuerzo cortante o flexión (ver Fig. E) D = D(T.3. SENSORES GENERADORES DE SEÑAL Figura 7. E) → δ =s·T +d·E → D =ε·E +d·T donde δ Deformación unitaria T Esfuerzo E Campo eléctrico D Desplazamiento ε Constante dieléctrica s Inversa del módulo de Young d Constante piezoeléctrica (C/N ) En estos materiales. tanto la deformación mecánica como el vector desplazamiento eléctrico se deben a una cambinación del esfuerzo y campo eléctrico aplicado al material. Puede demostrarse que K= d2 ε·s . Un índice de la conversión viene dado por el coeficiente de acoplamiento electromecánico (K).3 Base Teórica Las relaciones mecanoeléctricas para un material piezoeléctrico vienen dadas por las siguientes ecuaciones (unidimensionales): δ = δ(T.212 CAPÍTULO 7. 3.i εl. para deformaciones muy pequeñas.3. proporciona las siguientes relaciones: [δ i ] = [δ i. Los terminales del cristal aparecen cortocircuitados. 3 (indicando los subíndices 1. En la misma figura se ilustra el equilibrio dinámico del cristal sometido a una fuerza F de compresión.2) donde se ha considerado que el espesor e permanece constante.3.3. . Con el fin de comprender el comportamiento en circuito de los sensores piezoeléctricos. Si.1) donde K es una constante que depende del material y de la dirección de la talla y e es el espesor del cristal antes de la deformación.m ][Em ] + [dl. esfuerzos de cizalladura) Fig. 2. es el usual en muchos de los transductores basados en este tipo de sensores Fig En la Fig. por lo tanto. l. que circularía por el conductor de cortocircuito entre terminales.7.j = dj. de modo que se produce una disminución z en su espesor. o sea: Q=K z e (7. n = 1. la fuerza debida a la reversibilidad del efecto piezoeléctrico. k. 2.n ][Tn ] donde se cumple que di.m = 0 ∀l 6= m j.k ][Ek ] [Di ] = [εl. . La deformación genera una carga Q cuyo valor es aproximadamente proporcional al acortamiento unitario del espesor del cristal. en el caso más gnenral..j ][Tj ] + [di. es decir no existe diferencia de potencial entre ellos y no se tiene en cuenta. 2 y3 esfuerzos de tracción/compresión y los subíndices 4. . Existe pues una corriente de desplazamiento interno de cargas proporcional a la velocidad de deformación. por otra parte.1): i= K dz dQ = dt e dt (7. SENSORES PIEZOELÉCTRICOS 213 La generalización de las ecuaciones anteriores a tres dimensiones. se supone que z está variando con el tiempo a una velocidad dz/dt y una aceleración d2 z/dt2 . m = 1. considerando el sentido positivo de z indicado en la Fig. Se obtien derivando la expresión (7. 6 i. se representa esquemáticamente un cristal piezoeléctrico en forma de lámina con electrodos metálicos depositados sobre las caras opuestas. es interesante abordar teóricamente un modelo simple unidimensional al que responden con bastante aproximación los cristales tallados prismáticamente cuando funcionan en régimen de compresión—tracción que. . 5 y 6. intervienen en el caso más genral. como se indica en la Fig. proporcional a la deformación.3.3) 7. El equilibrio dinámico se expresará indicando balance de fuerzas que actúa sobre el sistema: F =m y teniendo en cuenta (7.214 CAPÍTULO 7.3. proporcional a la velocidad) l Cm z Fuerza de reacción elástica.2) resulta e l me di re + i+ F = K dt K K Cm Z idt (7.4) y (7. (7. R + L C R + L C Co δF - δF Figura 7. inversa de la elastancia mecánica del cristal para el modo de deformación considerado.5) Dado que los términos funcionales de los segundos miembros de las ecuaciones (7.3. SENSORES GENERADORES DE SEÑAL Por otra parte. otras solicitaciones que definen el equilibrio dinámico del sistema y que pueden expresarse del modo siguiente en función de z y sus derivadas 2z Fuerza de inercia a la masa m equivalente del cristal md 2 dt dz r dt Fuerza asociada a las resistencias pasivas (del tipo de rozamiento viscoso.5) que representa un circuito L.3..3.4) l dz d2 z +r + z 2 dt dt Cm (7.3.3. la relación entre v(t) e i(t) estará dada por la ecuación 1 di(t) + Ri(t) + v(t) = L dt C Z i(t)dt (7.4 Circuito Equivalente de un cristal piezoeléctrico Considérece ahora el esquema de la Fig. donde Cm . De acuerdo con la teoría de circuitos.5: Circuito eléctrico equivalente a un sensor piezoeléctrico.5) son idénticos. R. es la llamada capacidad mecánica. puede establecerse una equivalencia entre ambas expresando la proporcionalidad . C en serie alimentado por un generador de tensión v(t). además de la fuerza F aplicada. donde los pintos a y b corresponden a los terminales físicos del sensor A modo de ejemplo. toda vez que el cristal puede ser sustituido por un circuito L.(izquieda). . • La capacidad eléctrica es proporcional a la capacidad mecánica. o sea u(t) LK RK Cm K = = = =δ (7. en definitiva. Estas conclusiones son de gran utilidad para el estudio de circuitos con cristales piezoeléctricos. quedará intercalado en el buque el condensador C0 correspondiente a la disposición de los dos electrodos separados por el propio cristal (dieléctrico) y. • La resistencia es proporcional al coeficiente representativo del efecto del amortiguamiento mecánico del sistema.6) F me re Ce donde δ sería el factor de proporcionalidad. en donde son válidas las siguientes relaciones: • La tensión de alimentación es proporcional a la fuerza. En el lado derecho de dicha figura se muestra una configuración aun más simplificada que resulta de la anterior aplicando el teorema de Thevenin entre los terminales a y b. De la ecuación anterior. • La inductancia es proporcional a la masa equivalente del cristal. con lo cual el circuito equivalente se reduce al ilustrado en el lado izquierdo de la Fig. como se muestra en la Fig. En aplicaciones como sensor. donde el funcionamiento tiene lugar a frecuencias muy inferiores a la de resonancia mecánica del cristal (obviamente coincidente con la resonancia eléctrica de su circuito equivalente). la corriente i(t) no podría ser medida fisicamenteya que estaía formada por el desplazamiento interno de cargas que se almacenarían. en este caso. Si se abre el corto circuito entre los terminales físicos del cristal. tanto las velocidades como las aceleraciones tienen valores tan bajos que es posible despreciar los términos asociados a estas magnitudes. R. en donde el generador corresponde al original afectado del coeficiente δ = C/(C + C0 ) del divisor de tensión capacitivo y la impedancia interna está formada por los dos condensadores en paralelo.(). se indican a continuación los parámetros eléctricos d un cristal de cuarzo de frecuencia de resonancia igual a 10M Hz (corte AT).3.7. en dicho condensador. (). SENSORES PIEZOELÉCTRICOS 215 entre las funciones de los primeros miembros y entre los coeficientes correspondientes del segundo.3. se deducen las expresiones u(t) = δF ∴ L= eδ K eδ m ∴ R = r ∴ C = Cm K K eδ Resulta así que puede establecerse una analogía entre el cristal en su equilibrio dinámico y un circuito resonante serie con amortiguamiento. C equivalente alimentado por un generador de tensión proporcional a la fuerza aplicada. El circuito equivalente completo es el representado en la derecha de la Fig. 5 Respuesta estática Si se supone sometido el cristal a una fuerza constante y el sistema está en reposo. La tensión de salida del sensor piezoeléctrico para excitación estática es. la carga almacenada en las placas será 1F z (7. F la fuerza aplicada y S la superficie sobre la que actúa (la de los electrodos de acuerdo con el modelo de la Fig()). obteniéndose: K e us ∼ = Eε S 2 (7. 7. en condiciones estáticas (la única fuerza que se opone a F es la reacción elástica del cristal) 1 z (7. se tiene.3.() δ= K CES ∴ R= e e C r ∴ L= m ∴ us = δ F CES CES C + C0 (7.10) en donde.8) F = Cm deduciendose de estas dos ecuaciones la relación λ S =E Cm e (7.7) Q=K =K e ES donde E es el módulo de Young.3.3. dentro de las aproximaciones indicadas.3. se tiene us = 1 K K F ∼ F = ES C + C0 ESC0 (7. según la Fig. se obtienen además estas otras expresiones que proporcionan los valores de ω. El estudio de la respuesta de los cristales piezoeléctricos a solicitaciones estáticas proporciona interesantes relaciones entre los parámetros que se están manejando y otros dependientes de las propiedades elásticas del material y de su geometría. equivale a un generador de tensión proporcional a la fuerza aplicada en serie con un condensador que corresponde aproximadamente al definido físicamente por la geometría del sensor (es decir.R y L en función de los parámetros físicos del cristal entre los que se cuenta la capacidad C.11) expresión en la que puede sustituirse C0 por el valor correspondiente al condensador plano de superficie S. siempre referido al modelo de la Fig().3.3. SENSORES GENERADORES DE SEÑAL Puede decirse que el cristal piezoeléctrico.9) Mediante diferentes operaciones.12) . de acuerdo a la definicón de Cm .3. sustituyendo el valor de δ según (equ). Por otra parte. el condensador C0 ). espesor e y constante dieléctrica ε.216 CAPÍTULO 7. la impedancia entre los puntos a y b del circuito equivalente de la Fig.3. generadores de ultrasonidos. En efecto. con lo que resulta |us | = Cm KFm p 2 eC0 ((1 − LCm ω 2 )2 + r2 Cm ω2 ) (7. Obviamente. siendo fuertemente dependiente de la superficie de lascaras que sirven de soporte a los elctrodos.6 Respuesta dinámica Suponiendo aplicada una fuerza variable senoidalmete.14) En la Fig. K) y de su configuración geométrica (e/S 2 ).15) ω0 = 2πf0 = mCm 2m2 donde ω 0 y f0 son la pulsación y la frecuencia de resonancia.3.3. el cristal se considera como elemento del circuito pasivo y es interesante observar que presenta dos frecuencias de resonancia (que corresponde a las denominadas resonancia serie y resonancia paralelo). obteniéndose: s 1 r2 − (7. es decir la tensiónde salida depende un poco de la frecuencia. En otro tipo de aplicaciones (osciladores.7. que corresponde a la resonancia mecánica del cristal. la sensibilidad referida a presión (F/S) tendría una expresión idéntica a la anterior pero en el denominador aparecería S sin elevar al cuadrado. e. es decir de la forma F (t) = Fm senωt la tensión de salida del sensor en régimen permanente se deduce del circuito equivalente. en que no existe una fuerza exterior aplicada. 7. siendo su módulo: CδFm p (7.16) .3. En las aplicaciones como sensor. existe además un valor de ω para el que la función es máxima. respectivamente. y que puede calcularse igualendo a cero la derivada. un criterio a seguir es que las frecuencias contenidas en la magnitud excitadora sean muy inferiores a la de resonancia del cristal. etc) el cristal se hace funcionar precisamente a su frecuancia de resonancia.3. con objeto de operar en la parte plana de la curva. o bien a la resonancia eléctrica del circuito equivalente. En estos casos.13) |us | = C0 ((1 − LCω 2 )2 + R2 C 2 ω 2 ) Esta misma expresión puede ponerse en función de los parámetros mecánicos del cristal utilizando las equivalencias ya conocidas.() es: z= 1 1 + RCp + LCp2 CC0 CC0 2 (C + C )p 1 + R C+C0 p + L C+C0 p 0 (7.() se representa el módulo de laa tensión de salida en función de ω observándose que para frecuencias bajas la curva es muy horizontal. SENSORES PIEZOELÉCTRICOS 217 Puede observarse que esta sensibilidad es función de las características físicas del cristal (E.3. En ciertos casos. Es de destacar que existen sensores basados en la variación de la frecuencia de oscilación con el incremento de la masa del cristal al fijarse sobre un recubrimiento sensible determinadas substancias (microgavimetría selectiva). viene dada por la siguiente expresión: us = 1 C 1+(p/ωs )2 R (c + C0 )p + 1 C0 1+(p/ωp )2 a δF (7.() se muestra en foram esquemática un sisterma que muestra un integrador analógico conectado a un sensor piezoeléctrico.3. pero se trata en este caso de sensores indirectos.7 Problemas específicos relacionados con las medidas Los circuitos equivalentes de los cristales piezoeléctricos muestran dificultades de las medidas en muy baja frecuencia con este tipo de sensores (impedancia de salida infinita para frecuencia cero). para funcionamiento en alterna (p = ωj). tiene un mínimo y un máximo correspondiente a las dos frecuencias de resonancia mencionadas.19) Los osciladores de cristal oscilan una frecuencia comprendida entre la de resonancia serie y la de resonacia paralelo. es decir: (7.3. En la Fig.18) Dado que. etc. la frecuencia de oscilación es prácticamente igual a ambas y a la de resonancia mecánica del cristal ().3. los cristales se hacen oscilar a múltiplos de la frecuencia fundamental (sobretonos) forzando determinados modos de vibración en los que se producen ondas estacionarias. 7. pueden excitarse modos de vibración a compresión. con un ligero desplazamiento hacia la resonancia paralelo.3. a cortadura. a flexión. En la Fig. Una primera aproximación válida consiste en despreciar el efecto amortiguador de la resistencia R (en efecto.218 CAPÍTULO 7. No obstante. C0 es mucho mayor que C. Dependiendo de las características del cristal. las pulsaciones o frecuencias de resonancia serie y paralelo son casi iguales. No obstante. SENSORES GENERADORES DE SEÑAL cuyo módulo.3. que consisten esencialmente en integradores. como se ha explicado anteiormente.20) . de acuerdo con (eq). en los diseños más usuales. La tensión de salida de este circuito.() se ilustra cualitativamente el módulo de la impedancia dada por () en función de la pulsación ω. los factores Q son usualmente de decenas de millares). que aparece sustituido por su circuito equivalente. con lo cual: z(ω) ∼ = 1 1 − (ω/ωs )2 (C + C0 )ωj 1 − (ω/ω p )2 (7.17) donde ω s (pulsación de resonancia serie) y ω p (pulsación de resonancia paralelo) son: 1 1 ωs ∼ √ ∴ ωp ∼ q = = CC0 LC L (C+C0 ) ωs ∼ ωp = (7. pueden aplicarse vitualmente en cualquier rango de frecuencias utilizando los denominados amplificadores de carga. es que dicho cable puede comportarse como un transductor microfónico. pues. aproximadamente proporcional a la carga Qc alamcenada en el condensador Ca . la capacidad parásita asociada se suma al valor de C0 . 7. La Fig. acelerómetros. dados los problemas que presentan en muy baja frecuencia. Otro problema que se presenta algunas veces cuando el cable de conexión de señal es largo existen perturbaciones mecánicas ambientales (acústicas. etc). robustez y capacidad para trabajar en ambientes hostiles. SENSORES PIEZOELÉCTRICOS 219 que.21) Ca Ca La tensión de salida es. Los amplificadores de carga permiten así medidas incluso en condiciones estáticas (de hecho. realizándose en este caso la conexión masa—pantalla— tierra en el extremo de la carga final de utilización (aparato de registro. apareciendo ruido en la señal. Adicionalmente.3.() ilustra un esquema de apantallamiento recomendado cuando se utiliza un amplificador de carga que tien conectada interiormente la masa al blindaje. La instrumentación asociada a las medidas con transductores piezoeléctricos es usualmente no diferencial con el crislta aislado a tierra. no obstante. en general. la expresión anterior es exacta en tales condiciones). Esta disposición es la más favorable para evitar interferencias producidas por diferencias de potencial entre la tierra de señal (tierra remota) y la de los aparatos de registro o medida fianles (tierra local) ya que las correintes implicadas circulan principalmente por las pantallas y blindaje del amplificador y no por los conductores de señal. puede utilizarse cualquier esquema de integrador además del ilustrado en la Fig.().3. Muchos fabricantes disponen de cable especial para evitar o mitigar este efecto. tensiones de desviación (offset) y corrientes de polarización. Por supuesto. etc) que se caracterizan. reduciéndose la amplitud de la señal disponible por efecto de divisor capacitivo con el condensador C.7. Es recomendable preamplificar la señal muy cerca del sensor.8 Aplicaciones Los sensores piezoeléctricos encuentran aplicación en multitud de transductores analógicos directos (medidores de fuerza y presión. que las realizaciones de mayor difusión se refieren a medidas dinámicas. entregando una salida proporcional a la fuerza aplicada. Adicionalmente. micrófonos. Podría afirmarse. osciloscopio. vibratorias. Se respetan al mismo tiempo las reglas básicas de apantallamiento de la instrumentación no diferencial (continuidad directa entre pantallas y blindaje y conexión a masa de estos elementos). lo que obliga a utilizar amplificadores operacionales de altas prestaciones en lo que se refiere a deriva. existen transductores . por su fiabilidad. puede aproximarse como C Qc us = − δF = − (7. suele ser necesario cortocircuitar periódicamente el condensador de integración para eliminar errores acumulados. Su principal problema práctico es que tienden a saturarse a largo plazo por integración de pequeños errores de deriva de continua. para magnitudes con un contenido armónico de muy baja frecuencia. etc).3. Sin embargo. pudiendo apreciarse que las pantallas de los conduntores de entrada y salida del amplificador “puentean” el blindaje de este último. () se muestra esquemáticamente.6: .220 CAPÍTULO 7.75 0.5 0. la estructura de un acelerómetro típico. un acelerómetro que puede medir aceleración y desaceleración) y este hecho implica una inversión de la solicitación mecánica (por ejemplo. En la Fig.En los transductores en que la magnitud excitadora puede cambiar de signo (por ejemplo.75 x 1 Figura 7. se prefiere “polarizar” mecánicamente el cristal sometiéndolo a una deformación inicial a la que se superpone en un sentido u otro la debida a la magnitud a medir. La fuerza de precompresión puede ajustarse haciendo girar la tapa roscada sobre la que se apoya el resorte.25 0. y 1. se pasa de compresión a tracción).25 1 0.5 1.5 0. por por ejemplo.25 0 0 0. donde puede observarse como el cristal está precomprimido por un resorte dispuesto entre la carcasa del transductor y la masa de inercia que actúa como sonda. SENSORES GENERADORES DE SEÑAL basados en cristales piezoeléctricos de gran precisión que son exitados por magnitudes estáticas o cuasiestáticas. La presión absoluta se usa en termodinámica para determinar el estado de una sustancia. se mide con relación al cero absoluto de presión. es común hacer dos medidas con dos dispositivos —uno para determinar la presión absoluta ambiente y el otro para determinar la presión atmosférica. Aunque algunos dispositivos miden directamente la presión absoluta. 8. A nivel del mar esta presión es cercana a 760mm Hg absolutos o 14. temperatura y otras variables físicas. Existen dispositivos para medir directamente la presión en cada forma.1 Introducción En este capítulo se proporcionan las bases técnicas de los sistemas comunes usados para medir presión y humedad. En este capítulo también se hace una introducción a la tecnología de fibra óptica en los sistemas de medida los cuales incluyen sensores para presión.2.Capítulo 8 Medida de presión y humedad 8. La presión diferencial es la diferencia de presión entre dos puntos de un sistema. El vacío es la diferencia de presiones entre la presión atmosférica existente y la presión absoluta.7 psia (libras por pulgada cuadrada absoluta) y estos valores definen la presión ejercida por la atmósfera estándar. es decir. Se incluyen los dispositivos de medida más corrientes. La presión absoluta es entonces pabs = pamb + patm 221 (8. presión atmosférica y presión diferencial. es la presión medida por debajo de la atmosférica. La presión atmoférica es la presión ejercida por la atmósfera terrestre medida con un barómetro.2 Medida de presión La presión se mide en tres formas diferentes: presión absoluta. aunque deberá notarse que en la práctica de ingeniería también se emplean otros dispositivos.1) . 222 CAPÍTULO 8.1: Manómetro de tubo en U. las presiones absoluta. el sensor de peso muerto. entonces el fluido dentro del manómetro debe ser no miscible y más denso que dicho fluido. psig y psid. Los fluidos deberán también tener diferentes colores de modo que la interface (menisco) sea . MEDIDA DE PRESIÓN Y HUMEDAD En el sistema inglés de unidades. respectivamente.3 Dispositivos de medida de presión Existen tres dispositivos tradicionales para medida de presión los cuales no tienen salida eléctrica pero aún son muy utilizados por lo cual merecen ser mencionados. 8. atmosférica y diferencial se dan normalmente en unidades de libras por pulgada cuadrada en la forma de psia. Si el fluido a ser sensado es un líquido. El manómetro y el tubo Bourdon (desarrollado por E. la presión se expresa en pascal. ρs Tubo transparente en U Densidad ρm Δh (R) Figura 8. Bourdon en 1849) son usados debido a que se puede leer directamente la presión. es valioso para calibración de otros dispositivos de medida de presión. El tercer dispositivo.1 Consiste de un tubo de vidrio o plástico en forma de U parcialmente lleno con un líquido.2. Ninguno es adecuado para medidas dinámicas. El dispositivo se emplea para medir presión diferencial o atmosférica en líquidos o gases. Pa (o kilopascal.2) 8. 1P a = 1N/m2 (8.3. atmosférica o diferencial. 8.1 Manómetros El manómetro más simple es el tubo en U mostrado en la Fig. En el sistema de unidades SI. Un pascal es una presión de un newton por metro cuadrado. kPa) agregando la palabra absoluta. Para aplicaciones a líquidos. pero se pueden hacer correcciones analíticas para eliminar los errores. DISPOSITIVOS DE MEDIDA DE PRESIÓN 223 visible fácilmente. Por ejemplo. También es común especificar la densidad del fluido usando el término gravedad específica. Una variación común. Para líquidos. ya que ρs ≈ 0.2. en el sistema inglés de unidades. Los manómetros de U también tienen el inconveniente de que es necesario leer la localización de las dos interfaces. La expansión térmica afecta tanto a la escala como a la densidad del fluido. Las densidades de los fluidos también son conocidas y pueden ser fácilmente chequeadas. gr. ρm es la densidad del líquido del manómetro.8. Aunque la presión tiene unidades de psi o Pa.3. Los dispositivos tienen un ajuste.3.1 pulgadas de una columna de agua. Para los gases.75% entre 10 y 40◦ C. La presión atmosférica usualmente se expresa de esta manera —30 pulgadas o 760 mm Hg. En esta configuración. es común expresarla como la altura de una columna de un fluido.3). la fórmula aplicable es más complicada puesto que el recipiente y la columna no están a la misma altura. la cual es la razón de la densidad del fluido a la densidad del agua a una temperatura específica (usualmente 4◦ C). en Streeter y Wylie [31]. Cuando se expresa la presión como la altura de una columna de un fluido. v.1) donde ∆h = R es la diferencia de niveles de las dos interfaces.. Si una presión se divide entre ρg. la densidad del agua varía 0. Las escalas se pueden construir de forma precisa y mantener su precisión con el tiempo. la presión puede expresarse como pies de agua o pulgadas de agua. 8. Por ejemplo. Éste se puede utilizar para medir presiones tan bajas como 0. 8. dando ∆P = Rgρm . El tubo inclinado hace que un pequeño cambio en la altura del fluido cause un gran desplazamiento en la dirección del tubo transparente.3. Los manómetros son normalmente precisos aún sin calibración. 1000kg/m3 o 62. Para aplicar los manómetros a medida de gases se puede usar directamente la ecuación (8. si se usa la densidad del agua. también es necesario conocer la temperatura del fluido puesto que ésta afecta la densidad. S. el usuario deberá seguir el análisis sobre manómetros dado. de modo que la lectura es cero cuando no hay presión diferencial aplicada. Cuando se tienen presiones diferenciales muy bajas se puede usar el llamado manómetro inclinado (Fig. ρs es la densidad del fluido sensado y g es la aceleración de la gravedad. Los principales factores que afectan su precisión son la escala y la densidad del fluido del manómetro. el cual tiene mayor resolución con lo cual se incrementa la sensibilidad.43lbm/f t3 . sólo se requiere una lectura. La diferencia de presión en el extremo del manómetro se puede calcular de ∆P = P1 − P2 = ∆hg(ρm − ρs ) = Rg(ρm − ρs ) (8. Es común usar la densidad del agua a 4◦ C. el resultado tiene unidad de altura. se muestra en la Fig. el manómetro de tipo recipiente. ρs es muy pequeña con respecto a ρm y se puede despreciar. Como resultado. el cambio en la elevación de la superficie del recipiente es muy pequeño comparado con el cambio de elevación en el tubo. . por ejemplo.1). el área de la sección transversal es muy grande comparada con el área del tubo transparente y cuando se aplica una presión. Para altas presiones son preferibles dispositivos no manométricos tales como los transductores de presión discutidos más adelante. . Otro instrumento de medida de presión es el barómetro el cual se emplea para medir la presión atmosférica (Fig. Ejemplo 29 Se aplica una diferencia de presión de gas de 125kPa a las piernas de un tubo en U. Se utiliza generalmente aceite con una densidad más baja que el agua. MEDIDA DE PRESIÓN Y HUMEDAD Tubo transparente R P1 Recipiente Figura 8. Una variedad de dispositivos conocidos como micromanómetros se usan para medir bajas presiones. ∆P = ∆hρg = Rsen θρg (8. se usa un sensor manométrico llamado sensor de McLeod.3. Este dispositivo es esencialmente un manómetro tipo recipiente en el cual se evacúa una de las piernas de modo que la presión sobre ella sea el vapor de mercurio. se comprime la escala del manómetro de modo que las lecturas estén en las unidades de presión apropiadas. El manómetro contiene Hg con una gravedad específica de 13.2: Manómetro de tipo recipiente. En la mayoría de los casos. Se debe hacer corrección de la temperatura en la lectura de la presión en el barómetro ya que ésta afecta la presión del vapor del mercurio y la escala de medida. 8.224 CAPÍTULO 8. Determinar la lectura del manómetro. Para el vacío (presiones muy bajas). Para los gases.2) donde R es la lectura y θ es el ángulo entre el tubo del manómetro y la dirección horizontal.4). Hay una cantidad de diferentes variaciones de manómetros diseñados para altas o bajas presiones. el cual se verá más adelante.6. 17 lbf ·pies ∆P lbf ·s2 ∆h = = 133.1).1).3.17 s2 2 2 Ejemplo 31 Se aplica una presión de gas a la cámara de un manómetro tipo recipiente.0 = 9.43 pies3 32. DISPOSITIVOS DE MEDIDA DE PRESIÓN 225 P2 θ P1 Δh R Figura 8.0 × 9. Sol.43 pies3 32. para pies de agua se tiene lbf pul 58 pul2 144 pies2 32. Usando la ecuación (8. La columna está abierta a la atmósfera y el fluido del manómetro tiene una gravedad específica de 2.8.1).8 × 1000 = 9310. Si la lectura es de 47. Sol.5 cm.3: Manómetro inclinado.3.937 88 m ρm g Sρagua g 13. se obtiene P1 − P2 = P1 − 0 = Rρm g = 0. ρs = 0.0. 04. 836 9 pies Hg = 118. pulg Hg ∆h = lbm ρHg g 13.6 × 62. ρs = 0.6 × 1000 × 9. se obtiene lbf pul 58 pul2 144 pies2 32. ¿Cuál es la presión expresada como pulgadas de Hg y pies de agua? Sol. Usando la ecuación (8.17 pies s2 2 Similarmente. se obtiene R= ∆P ∆P 125000 = = = 0.8 Ejemplo 30 Una presión está dada como 58 psi. encontrar la presión aplicada.31kP a .3.3. 78 pies de H2 O = pies lbm ρH O g 62. Usando la ecuación (8.475 × 2.17 lbf ·pies ∆P lbf ·s2 = = 9. en la longitud del tubo. mostrado en la Fig.226 CAPÍTULO 8. sensa la presión del aceite contenido en una cámara. 8. 8. =⇒ L = 15 pulg. La deflexión del tubo es sensada con un LVDT o un potenciómetro los cuales transmiten una señal eléctrica al lugar de adquisión de datos. El principio básico de operación es que un tubo curvo y aplanado tratará de enderezarse cuando sea sometido a una presión interna. Es un dispositivo sencillo para obtener lecturas rápidas de presión en los fluidos.6 es un dispositivo que se utiliza a menudo para calibrar otros dispositivos de medida de presión a presiones moderadas o altas. se muestra en la Fig. . Ejemplo 32 Se desea diseñar un manómetro inclinado para medir una presión de gas entre 0 y 3 pulg. El dispositivo de medida de presión a ser calibrado. aunque no tiene alta precisión —son comunes errores de hasta el 5%. de agua corresponde a 0.2 Tubo Bourdon Un dispositivo de medida de presión muy común. Los tubos Bourdon son utilizados algunas veces como dispositivos de sensado de presión remotos. Se pueden obtener dispositivos de mucha mejor respuesta con errores de hasta del 0.5◦ . ¿Cuál será el ángulo θ. Por lo tanto sen θ = 0. Puede utilizarse para presiones hasta de 20000 psi o más. 0. 8. MEDIDA DE PRESIÓN Y HUMEDAD Vacío Tubo transparente R Figura 8. θ = 11.4: Barómetro de mercurio.01/0. Puesto que la elevación total es de 3.3. el tubo Bourdon. y cómo de largo deberá ser el tubo inclinado? Sol.5% a plena escala. 8. El terminal del tubo se conecta con un engranaje a un indicador rotatorio.3. de una columna de agua con una resolución de 0. El ángulo puede determinarse del requisito de resolución.05 del tubo inclinado.0 pulg.5.01 pulg.3 Probador de peso muerto El probador de peso muerto. sen θ = 3/L.05 pulg.05. El fluido del manómetro es agua y es posible leer la pendiente de la escala con una resolución de 0.01pulg. A Señal de presión Figura 8. DISPOSITIVOS DE MEDIDA DE PRESIÓN 227 Tubo tipo Bourdon Sección A .5: Tubo Bourdon.3. El dispositivo es muy preciso puesto que el área del pistón y el valor de la pesa se pueden determinar con alta precisión.6: Probador de peso muerto. Un tornillo separado de un pistón puede ser utilizado para ajustar el volumen de la cámara de modo que el pistón con la pesa este situado en la mitad de su rango posible de movimiento. Dispositivo a ensayar Pesas W Área de pistón.8. Un arreglo cilindro—pistón se conecta en la cima de la cámara donde se pueden colocar pesas. A Tornillo con rosca de desplazamiento Aceite Manivela Figura 8. . La presión del fluido es entonces el peso del pistón —el peso del arreglo dividido entre el área del pistón. el acondicionador de señal en puente de Wheatstone se construye en el transductor (todas las ramas del puente son galgas activas) y se conectan galgas extensométricas para compensar la temperatura. MEDIDA DE PRESIÓN Y HUMEDAD 8.8 muestra un arreglo con una cámara flexible (cápsula) y un LVDT para sensar el desplazamiento. Más recientemente. puesto que las galgas extensométricas de semiconductor tienen factores de galga más altos.228 CAPÍTULO 8. la presión de referencia es la atmosférica. La presión también se puede sensar con dispositivos LVDT. El sicilio no es resistente a la corrosión producida por algunos fluidos. una presión de referencia al otro lado y la deflexión del difragma se sensa con galgas extensométricas. Galga extensiométrica Señal de presión Presión de referencia Diafragma Figura 8. 8. pero algunos incluyen amplificadores internos que tienen las salidas en el rango de 0 a 5 ó de 0 a 10 V. 8. por lo que se incluye además algún material resistente a la corrosión en el diafragma.4 Transductores de presión Un dispositivo muy común y relativamente barato para medir presión en un fluido es el transductor de presión de diafragma con galga extensométrica. Antiguamente. ha llegado a ser común construir el diafragma de un material semiconductor (silicio) con galgas extensométricas de semiconductor embebidas en el diafragma. La mayoría de los transductores de presión de galga extensométrica producen una salida de corriente continua en el rango de los milivoltios.7. Normalmente.7: Transductor de presión con galga extensiométrica. La Fig. de modo que el transductor mide dicha presión. La presión de prueba se aplica a un lado del diafragma. se mejora la sensibilidad. esquematizado en la Fig. Esta es una técnica de construcción menos costosa y. Este diseño es . Las unidades de salida de mayor tensión son menos susceptibles al ruido eléctrico ambiente. con la región situada entre los dos diafragmas llena de un fluido. Finalmente. En algunos casos el lado de referencia del transductor es evacuado y sellado de modo que el transductor mide presión absoluta. ambos lados del transductor se pueden conectar a diferentes presiones de prueba de modo que la medida es presión diferencial. el diafragma era usualmente hecho de metal y se utilizaban galgas metálicas.3. En los diseños más comunes. Los transductores para cada una de estas aplicaciones tienen detalles de construcción ligeramente diferentes. 8: Transductor de presión con LVDT. Un esquema de un transductor de presión capacitivo se muestra en la Fig.1 Pa).3. la salida de tensión usualmente se convertirá en corriente de 4 a 20 mA para la transmisión de la señal.8.9: Transductor de presión capacitivo. DISPOSITIVOS DE MEDIDA DE PRESIÓN Presión de referencia 229 Cápsula LVDT Señal de presión Núcleo del LVDT Figura 8. Muchos transductores de presión de servicio pesado usados en la industria de control de procesos usan sensores LVDT. El fluido y el diafragma (u otro elemento de desplazamiento) forman un sistema . Placa móvil del capacitor Señal de presión Diafragma Presión de referencia Placa fija del capacitor Figura 8. Los sensores capacitivos a veces se usan como transductores de presión y son particularmente útiles para presiones muy bajas (tanto como 0. más costoso que los sensores que usan galgas extensométricas pero pueden ser más durables en aplicaciones que requieren un tiempo de vida más largo.8. En las industrias de procesos.9. Las medidas de presiones que varían muy rápidamente en el tiempo presentan muchos problemas técnicos. puesto que los sensores capacitivos pueden detectar deflexiones extremadamente pequeñas. 8. La razón para esto es doble. y cuando el transductor es instalado este llega a hacer contacto directo con el fluido en la pipeta o cámara.Los transductores piezoeléctricos de presión pueden tener frecuencias naturales por encima de 150 kHz y son usables por encima de maás o menos 30 kHz. Además la frecuencia natural. La geometría de los transductores piezoeléctricos es diferente de los transductores discutidos anteriormente —el diafragma es del tipo flusf-mounted. Las lineas de sensibilidad afectan la frecuencia natural. tales como los procesos de combustión en una máquina de combustión interna. Otros tipos de transductores de presión son también disponibles con elevación a nivel. en los cuales la cavidad puede llegar a ser tapada o difícil de limpiar . Figura 8.230 CAPÍTULO 8. pero estos son frecuentemente para uso en fluidos sucios. Los transductores usados para medidas de presión a alta frecuencia. Si una cavidad fue incluída como en los otros transductores. MEDIDA DE PRESIÓN Y HUMEDAD dinámico de segundo orden. debido a la presión. haciendo determinante la dependencia de la frecuencia natural en la aplicación. Los materiales piezoeléctricos son muy rígidos y esos transductores en muchas aplicaciones tienen una frecuencia natural alta. puede ser reducida y la habilidad para responder a los transitorios puede ser empeorada.11 Estos transductores generalmente usan elementos de sensibilidad piezoeléctrica de efecto transversal. la frecuencia natural será baja y la salida del transductor será engañosa para variaciones de presión a alta frecuencia. esta puede significativamente alterar lo medido.10: Un esquema de de un transductor piezoeléctrico se muestra en la Fig. Si el diafragma es muy flexible. normalmente usan un elemento de sensibilidad piezoeléctrica. 3. los calibradores bourdon. Esta unidad se define como 1/760 de la atmósfera estándar.8. Norton (1982) dio las siguientes definiciones para rangos de presiones de vacío: Vacío bajo 760 a 25 torr Vacío medio 25 a 10−3 torr Vacío alto 10−3 a 10−6 torr Vacío muy alto 10−6 a 10−9 torr Vacio ultra-alto Inferior a 10−9 torr Los dispositivos de medida de presión descritos previamente pueden ser usados para medición de vacios bajos y medios.12(a).3. DISPOSITIVOS DE MEDIDA DE PRESIÓN 231 Elemento (s) piezoeléctrico (s) Diafragma Conector eléctrico Figura 8.11: Transductor de presión piezoeléctrico. y calibradores similares usan un fuelle instalasdo de un tubo bourdon y los transductores de diafragma capacitivos pueden medir vacios hasta 10−3 torr.. Las presiones de vacío absoluto se miden en unidades de torr. 1 torr es 1mmHg. Puesto que la atmósfera estándar es 760mm de mercurio. El frio—seco de los alimentos se realiza en un ambiente vacio. Ese es un calibrador mecánico usado para graduación.. La cámara grande con volumén V es llenada completamente con . Calibrador McLeod El principio de operación es para comprimir un volumen grande de gas a baja presión en uno más pequeño y después medir esa presión. calibradores de conductividad térmica. se discutiran tres dispositivos especializados de medida de vacio: el calibrador de McLeod.8. 8.5 Medida del Vacío La necesidad de medir presiones absolutas muy bajas (vacío) existe tanto en el laboratorio como en la industria. Los manómetros. Un bosquejo de una variación del calibrador McLeod se muestra en la Fig. Transductores especializados de diafragma capacitivo pueden medir vacios tan bajos como 10−5 torr [Norton (1982)]. y los otros dos proveen salidas electricas.A continuación. y calibradores de ionización. MEDIDA DE PRESIÓN Y HUMEDAD gas a presión baja.5).3. el émbolo es empujado hacia abajo hasta que el mercurio ascienda al nivel h2 en el tubo capilar 2 Fig. La ley de gases ideales relaciona las condiciones antes y después de la compresión: P 0V 0 Pvac V = T T (8. las unidades de h son mmHg. El gas originalmente contenido en el volumén V ha sido comprimido dentro del tubo capilar 1. Combinando las ecuaciones (8.232 CAPÍTULO 8.3.12: Sensor de vacío McLeod.3) y (8. En el rango que el calibrador McLeod es ausado.8.12(b). se obtiene Pvac = (h2 − h1 )a(h2 − h1 ) = k(h2 − h1 )2 V (8..y tiene un volumén y una presión dados por V 0 = a(h2 − h1 ) P 0 = Pvac + (h2 − h1 ) (8. Luego. las temperaturas inicialñ y final pueden ser las mismas.3.3) (8.5) Si el sistema llega al equilibrio térmico después de compresión. Pvac es normalmente negativa comparada con (h2 − h1 ).3.6) .4) donde a es el área de la sección transversal de los tubos capilares.a h2 Tubo capilar 1 É m bolo h1 Punto A M ercurio (a) (b) Figura 8.3. la presión de vacío. En el modelo de operación mostrado aqui. el nivel de h2 es el mismo como el tope del tubo capilar 1 S eñal de vacío P vac Tubo capilar 2 C apilar de sección transversal.3.Puesto que se determina la presión en la torre. el cual debe ser grande comparado con las dimensiones del canal.13: Un filamento calentado está localizado en el centro de un canal conectado a la fuente de vacio. El calibrador McLeod es útil para medir vacios en un rango 103 a 10−6 torr. La presión del vacío debe ser lo suficientemente menor para que el gas fluya libremente. Calibradores de vacío de Conductividad Térmica Estos equipos están basados en el hecho de que la conductividad térmica de los gases a bajas presiones es función de la presión Aunque estos equipos no por lo normal sensan vacios tan bajos coma la galga McLeod. ellos proveen una salida eléctrica y son simples de usar. . La escala puede ser marcada para ser leída directamente en unidades de torr. La transferencia de calor del filamento a la pared está dado por q = C(Tf − Tw )Pvac (8.3. Tw es la temperatura del canal pared.8.3. la presión sensada es igual a la diferencia de las alturas al cuadrado multiplicada por una constante k. Deben se usados con gases secosque no se condensen mientra es comprimido en el tubo capilar El calibrador McLeod tiene algunos inconvenientes para su uso y son usados principalmente para calibrar otros dispositivos de medida de vacío.7) donde Tf es la temperatura del filamento. Un sensor de conductividad térmica llamado galga Pirani está representado en la Fig(). la geometría del canal y el área de la superficie del filamento. Figura 8. DISPOSITIVOS DE MEDIDA DE PRESIÓN 233 Esto es. La salida del puente. Una variación de la galga descrita.234 CAPÍTULO 8. y s es una constante para el circuito dado. la cual es función de la resistencia del sensor es así una medidad de la presión del gas. El sensor físicamente se asemeja al tubo de vacío conocido como triodo aunque el modo de operación es distinto. Una galga de ionización está mostrada esquemáticamente en la Fig(). la diferencia de temperatura entre el filamento y la pared incrementará. Hay muchos diseños de galgas de conductividad térmica que se pueden usar en presiones tan bajas como 10−3 torr. MEDIDA DE PRESIÓN Y HUMEDAD Un método de usar la galga Pirani se muestra en la Fig(). La corriente de iones y la corriente de la placa se miden separadamente. Desde que la transferencia de calor es también función de la temperatura del ambiente un canal sellado de referencia está incluído en el puente para compensación.4 Medida de Temperatura Para la medida de la temperatura se usan tradicionalmente. . ella puede medir presiones tan bajas como 10−7 torr. la galga Bayard—Alpert puede medir presiones tan bajas como 10−12 torr. Los electrones serán atraídos a la malla pero los iones serán atraídos a la placa..aumentando la resistencia del filamento. Las galgas de ionización no pueden ser usadas en presiones mayores a 10−3 torr debido a que el filamento se deterioraria. Los electrones ionizaran algunas de las moléculas del gas creando iones positivos y más electrones. El número de iones generados depende de la densidad del gas y en consecuencia de la presión. en la cual está ubicada en un puente Wheatstone. El cátodo es un filamento calentado y el circuito crea una corriente de electrones entre el cátodo y la malla. 8. Sin embargo. i− es la corriente de la malla (electrones). La presión puede ser obtenida de i+ Pvac = si− donde i+ es la corriente de la placa (iones). A medida que la presión desciende. la cual es mantenida a un voltaje negativo (a diferencia del triodo donde la placa es mantenida en un voltaje positivo). Galgas de Ionización en vacío Este sensor está basado en el principio de que a medida que los eléctrones energizados pasan a través de un gas ellos ionizaran algunas de las moléculas del gas. Parte II Adecuación de la Señal 235 . . para la solución práctica de ecuaciones algebraicas y ecuaciones diferenciales lineales. Esto conduce a un concepto ya planteado [?] concerniente al problema del filtro.1 Introducción Los amplificadores operacionales son dispositivos lineales de alta versatilidad y prestaciones su area de aplicaión es muy amplia: Una de las aplicaiones prácticas más interesantes es en la solución de ecuaciones algebraicas y diferenciales. el circuito puede analizarse escribiendo las ecuaciones del modelo matemático del sistema y simular el proceso con la ayuda de un simulador como Spice. se plantean los conceptos necesarios que conducen al diseño e implementación de filtros universales de segundo orden usando integradores y sumadores. se aplicarán los resultados obtenidos. En la primera parte se analizará la red planteando condiciones de equilibrio dinámico en las corrientes de polarización de los nodos de entrada . De otra parte queda la opción de montar la red y observar su funcionamiento en tiempo real con la ayuda de la instrumentación correspondiente. así como en la emulación de sistemas complejos en ingeniería tales como en el modelado de máquinas electricas y sistemas de control. En la segunda parte. sin embargo ofrecen la gran ventaja de su alta impedancia de entrada y la opción de no requerir inversores adicionales para tomar la señal. 237 .En tales casos. En este artículo se estudiará el comportamiento de las redes con opam en sistemas lineales . Finalmente se plantea la solución de ecuaciones diferenciales lineales a través de ecuaciones de estado. Los resultados son obtenidos de simulación en un sistema simple como es Circuit Maker [?] y de datos tomados en el Laboratorio de Electrónica de la UTP.Capítulo 9 El amplificador operacional 9. Pra este caso se emplearán integradores Miller no inversores. Éstos tienen como característica particular su configuración con realimentación positiva (red pórtico). EL AMPLIFICADOR OPERACIONAL .238 CAPÍTULO 9. En el cso de un sistema de medida ‘nivel determinado de funcionamiento’ puede significar una precisión de ±1. bajo condiciones de estabilidad estable y dinámica.1) en el límite que el número total de pruebas tienda a infinito. entonces se le considera como fallado.1. no es bueno tener un sistema de medida exacto el cual está contantemente fallando y requiriendo reparación. primero explicando los principios fundamentales de confiabilidad. entonces la probabilidad P de que un evento particular ocurra está dada por la relación P = número de ocurrencias del evento número total de pruebas (10.1. y finalmente se examinan formas de confiabilidad. Así la probabilidad de que un lanzamiento de moneda muestre caras tiendo al valor teórico de 1 bajo un núemro grande de 2 pruebas. 10. Si el sistema está dando un error de medida fuera de esos límites. Confiabilidad R(t) La confiabilidad de un elemento de medida o sistema puede ser definada como: ‘la probabilidad que el elemento o sistema pueda operar a un nivel determinado de funcionamiento. aunque normalmente siempre esta sea otra forma de trabajo La importancia de las condiciones ambientales sobre la canfiabilidad de sistemas de 239 . La confiabilidad es otra característica importante de un sistema de medida. entonces se discute la confiablidad de sistemas prácticos.1 Confiabilidad de sitemas de medida Principios fundamentales de sistemas de medida Probabilidad Si un número aleatorio de pruebas independientes son hechas. para un periódo específico.5 por ciento. sujeto a condiciones ambientales especificadas’. La primera sección de este cápitulo tiene que ver con la confiabilidad de sistemas de medida.Capítulo 10 Confiabilidad En anteriores secciones se definió la precisión de un sistema de medida y se explicó cómo un error de medida puede ser calculado.1 10. F = (10. Estas son mostradas en la Fig. el M.5 después de seis meses. varia a través de la vida del equipo. 0. CONFIABILIDAD medida será discutida completamente más adelante. El M.T. un sistema que ha sido justamente chequeado y calibrado podrá tener una no confiabilidad de cero. el equipo es reparado. Puesto que el equipamento tiene ya sea fallo o no fallo la suma de la confiabilidad y no confiabilidad debe ser la unidad. La taza de falla de varios elementos y sistemas de medida es aproximadamente constante durante la mayor parte de la vida útil.B. de un tipo de elemento o sistema dado.F). la confiabilidad puede ser solamente 0. sujeto a condiciones ambientales especificas’.F.T. observado es de 2.T. Una medida más usual de funcionamiento la cual no involucra el período de operación es el tiempo medio entre fallas (M.F es aplicable a cualquier tipo de equipo el cual puede ser reparado por medio del reemplazo de una componente fallada o unidad. y es de esta manera adecuado para describir elementos de medida o sistemas. . cuando inicialmete se coloque en servicio. Cada falla es registrada. Taza de falla λ.3) NF donde el intervalo de prueba T no incluye el tiempo total de reparación.B.F.B.1.Es el promedio del número de fallas. La taza de falla.F observado es NT M. para un período especificado. Tiempo medio entre fallas (M:T:B:F) Las anteriores definiciones. por item de equipo.T.T.B. es decir 1 (10. aumentando.F (t) Esta es la ‘probabilidad que el elemento o sistema falle durante la operación a un nivel determinado de funcionamiento. (zz).T. se coloca fuera de servicio y el número total de fallas NF durante T se encuentra. La confiabilidad varia con el tiempo. Seis meses después. Así si se graban 150 faltas para 200 transductores diferenciales de presión por 1.1. sufren la desventaja de tener que especificar un período particular de operación del equipo. es decir R(t) + F (t) = 1 (10.5 como la probabilidad de que una falla aumentara.T. Supóngase que N elementos idénticos o sistemas están probados para un período total T .0 años.2) La no confiablidid depende también del tiempo.5 años.240 CAPÍTULO 10. durante la falla (vida normal de trabajo) y falla por desgaste. En este caso la taza de falla es el reciproco de M.B. No confiabilidad. Es posible identificar tres fases distintas cada una con diferentes caracteristicas de falla: antes de la falla. es decir.5) λ= NT Variación en la taza de fallo λ durante el tiempo de vida del equipo.B. mientras el uso sea extremo.B.F y la taza de fallo observada es NF (10. por unidad de tiempo.4) λ= M. un sistema de medida que ha sido justamente chequeado y calibrado podrá tener una confiabilidad de 1 cuando inicialmente se coloque en servicio.1.1. M. permanece posiblemente 10 años. F (t) y λ. Relación entre R(t). está caracterizada por una constante baja de taza de fallo.1. La región de fallo temprana. es debido a componentes débiles y falta de conocimiento en la operación del sistema. la región madura. La región de falla por desgaste está caracterizada por un incremento de la taza defalla cuando las componentes tienden al fin de su vida útil. CONFIABILIDAD DE SITEMAS DE MEDIDA 241 la llamada curva de bañera. por la constante λ. . todos los componentes débiles han sido removidos y el sistema está siendo operado correctamente. Supóngase que n0 items idénticos de un equipo son escogidos en un tiempo de operación t = 0. permanece posiblemente seis meses.10. 242 CAPÍTULO 10. CONFIABILIDAD . Apéndice A Cálculo de funciones polinómicas para termocuplas Cálculo de funciones polinómicas FEM . ta=(t-1375)/300.^2 t.74.39111e-2 -2.ylabel(’Tensión V’) title(’Gráfica de las termocuplas tipo R.^7]’.620141e-8 -4. UTP 1. E2=dot(B.849769e-14 -1. B.641801e2 8.046868 2.T2).^3 t. B=[-2.T1).43. T1=1e-6*[1 t t.^4 t. plot(t.537264e17].^6 t.43:1665. S. Sc.temperatura (Norma IEC IPTS-68) de termocuplas Ing Luis Enrique Avendaño M.687606e-7].4693087e2 -5.E1) end hold on for t=630.^2 t.464502e-11 3.989229e-3 -2. T2=1e-6*[1 t t.400524e-5 3. plot(t.2357773e3 1. C=[1. T. A=[0 5. E1=dot(A.^3]’.289139 1. 243 . J.^5 t.74:1064.2213890e1].5540414e4 4. Termocupla tipo R hold on grid on xlabel(’Temperatura T o C’).E2) end hold on for t=1064. E y K’) for t=-50:630. ^2 tas.505417e-15].^2]’.3943439e4 3.T1s).74:1064.244822e-5 2.^3]’. T1s=1e-6*[1 t t.^2 ta.244 APÉNDICE A.645391e-3].982448e2 8. ta1s=(t-1715)/50.399578 1.6795375e2 -1.2301472e1 -2. Cs=[1. E3s=dot(Cs. CÁLCULO DE FUNCIONES POLINÓMICAS PARA TERMOCUPLAS T3=1e-6*[1 ta ta.43:1665. E3=dot(C. As=[0 5.251977e-2 -2.T3s).244058e-11 8.6850914e2 -1. plot(t.8113083e4 5.7861521].E2s) end hold on for t=1064.845216e-8 -2.237553 1. E2s=dot(Bs.43. T3s=1e-6*[1 tas tas.^2 t.2450546e1].6. plot(t. ta1=(t-1715)/50.E4) end 2. D=[2.E3) end hold on for t=1665:1767.74.E3s) end hold on for t=1665:1767.8117589]. plot(t.^5 t.E1s) end hold on for t=630.T4). E4=dot(D.T3).6398687e3 -5. .^3]’.2112492e1 -2. T2s=1e-6*[1 t t.^3]’. T4s=1e-6*[1 ta1s ta1s. T4=1e-6*[1 ta1 ta1. Ds=[1.^2 ta1s.T2s).^6]’.0416695e4 6. E1s=dot(As.^3]’.6.^3 t. plot(t.^2 ta1. tas=(t-1365)/300. Bs=[-2.0281206 -4.^4 t. Termocupla tipo S (Pt 10% Rd-Pt) hold on for t=-50:630. plot(t. 9416091001e-13 -9.E1j) end hold on for t=760:1200. -3.^7 t.0425491284e-2 -8.4010367459e-15 -9. T1b=1e-6*[1 t t.^5 t... Termocupla tipo B (Pt 30% Rd-Pt-6% Rd) hold on for t=0:1820.5669750464e-5 1. E1j=dot(Aj... plot(t.^6 t..^7]’... Bj=[2.^3 t.T1b).^6 t.^4 t. T2j=1e-6*[1 t t. plot(t.9974406568e-5 9..^14]’.0928148159e-19 1.1239801752e-10]. 1.4281383349e-16 .^3 t.9795893150e-28].^3 t.2210174230e-3 1. plot(t.4674601620e-1 5.^11 t. Termocupla tipo T (Cu/Cu Ni) hold on for t=-270:0.^9 t.8740773840e1 4.^7 t.2051064215 -3. Ab=[0 2. 2.245 E4s=dot(Ds.^5]’.3348825735e-7 -1.5059632873e+3 3.8648924201e-12 2. At=[0 3.2766018504e-8 3.T4s).^8 t.1405238498e-4 1. Aj=[0 5.^2 t. E1t=dot(At. plot(t..5949968788e-6 .^5 t.3949291026e-24 7.T1j).0372753027e1 3.^13 t.1509149750e-9 -3.^5 t.4307123430e-6 2.6391844859e-17]. T1t=1e-6*[1 t t.0803474683e-21 1. E1b=dot(Ab. 4.^4 t.E1t) .9102111169e-3 -1.7022405966e-10 . T1j=1e-6*[1 t t.^12 t.^8]’. E2j=dot(Bj.^3 t.^2 t.^10 t. plot(t. Termocupla tipo J (Pt 30% Rd-Pt-6% Rd) hold on for t=-210:760.^2 t.T1t)..^6 t.8298678519e-14 1.3299505137e-22].^2 t.0445401187e-7 .9721751778e+5 -1.6247409380e-10 3.8833254364e-19 1.E2j) end 5. 2.E1b) end 4.T2j).^4 t.4123932482e-2 1.1757800720e12 .E4s) end 3.^4 t. ^7 t.0177980633e-23 -4.^3 t.8740773840e1 3.5653337165e-14 -2.T2e).T1k).^8 t. T1k=1e-6*[1 t t.0930767375e-10 -9.^6 t.. .3110945462e-2 5. E1k=dot(Ak.0169601996e-17 . -3.^5 t..^7 t.4020668085e-7 1.0927581898e-11 4. Ae=[0 5. -2..1031900550e-8 .8896550447e-9 -1.^12 t.^5 t.. -8.^4 t.^2 t.2575158521e-15 -2.4757917816e-10 -1.T2t). plot(t.. plot(t.^7 t.3190198092e-2 2. Termocupla tipo E (Ni Cr/Cu-Ni) hold on for t=-270:0. E2e=dot(Be.^7 t.246 APÉNDICE A.^9 t. T2e=1e-6*[1 t t.E2e) end 5.0714183645e-4 -2.^6 t.E1e) end hold on for t=0:100. -4..7346270905e-5 -4.. Bt=[0 3.3671808488e-26].6565406716e-4 -1. T2t=1e-6*[1 t t..^10]’.5425922111e-9 .^6 t. plot(t.^5 t.8695857799e1 4.^8]’. CÁLCULO DE FUNCIONES POLINÓMICAS PARA TERMOCUPLAS end hold on for t=0:400. T1e=1e-6*[1 t t.3389721459e-15 -1. Termocupla tipo K (NiCr/NiAl) hold on for t=-270:0.5561127497e-22].1667517705e-2 -4. -2..1784535039e-13 -5.9475433139e1 2.^2 t.^4 t.. Ak=[0 3. E1e=dot(Ae.4652683347e-4 -1.1382797374e20].4850089136e-12 2.T1e).^11 t.^3 t.5585276173e-12 -5.^8 t.2688801216e-17 -1.9729921255e-15 -1.^2 t.1945834823e-6 1.^2 t.^9 t.8719368427e-7 .^5 t.8695857799e1 5.^9]’.^4 t.^3 t.9502138782e-20 -7.E2t) end 5.^3 t. E2t=dot(Bt.5190912392e-6 -2.^6 t.7465251138e-2 -1.^13]’.^4 t.^8 t.4581670924e-8 .7220358202e-5 -5.7616878040e-17].1946296815e-18 2. Be=[0 5.^10 t. E2k=dot(Bk.^5-127)/65).^8]’.6645154356e-2 -7.T2k).^2) exp(-0.8918344612e1 1.E1k) end hold on for t=0:1372. -3.^4-127)/65).5*((t.5*((1-127)/65).5*((t-127)/65).^2) .^7-127)/65)..5*((t.5*((t.^7 t.8533063273e1 3. T2k=1e-6*[1 t t.^2) exp(-0. Tk=dot(K.5700231258e-10 2.^3-127)/65).5*((t. Tko=[exp(-0.^8-127)/65). plot(t.2849848798e-16 2.^3 t.^2) exp(-0.Ek) end .^2) .5*((t.^5 t..^6-127)/65).2835785557e-7 .2239974336e-20].5*((t.5*((t...Tko).^2) exp(-0.^6 t.9932909136e-13 -1.^4 t..^2)]. Bk=[-1.^2-127)/65).^2) exp(-0. exp(-0.^2) exp(-0.247 plot(t.^2 t. K=125e-6*[1 1 1 1 1 1 1 1 1].. Ek=E2k+Tk. exp(-0.8702374448e-5 2. 248 APÉNDICE A. CÁLCULO DE FUNCIONES POLINÓMICAS PARA TERMOCUPLAS . 1901) The kilogram is the unit of mass. It should be noted that SI derived units are uniquely defined only in terms of SI base units. it is equal to the mass of the international prototype of the kilogram. B. 1983) The meter is the length of the path travelled by light in vacuum during a time interval of 1/299 792 458 of a second. [5]. are those generally accepted and are the same as those given in Ref. which are now interpreted as SI derived units.1 Introduction The following definitions of the SI base units are taken from Ref. [6].2 Meter (17th CGPM. the radian and steradian. B.3 Kilogram (3d CGPM. for example. 1967) The second is the duration of 9 192 631 770 periods of the radiation corresponding to the transition between the two hyperfine levels of the ground state of the cesium-133 atom. the definitions of the SI supplementary units. B.Apéndice B Definiciones de las Unidades Básicas del SI y del Radian y del Steradian1 B.4 Second (13th CGPM. 1V = 1m2 · kg· s−3 · A−1 . 1 Los nombres consignados a continuación se especifican en la lengua original 249 . 16 of the thermodynamic temperature of the triple point of water. B. or specified groups of such particles.6 Kelvin (13th CGPM.10 Steradian The steradian is the solid angle that.5 Ampere (9th CGPM. having its vertex in the center of a sphere. and placed 1 meter apart in vacuum. if maintained in two straight parallel conductors of infinite length. unit of thermodynamic temperature.7 Mole (14th CGPM. When the mole is used.8 Candela (16th CGPM. other particles. B. The mole is the amount of substance of a system which contains as many elementary entities as there are atoms in 0. 1971) 1. B. . at rest and in their ground state. are referred to. in a given direction. the elementary entities must be specified and may be atoms. 1967) The kelvin.9 Radian The radian is the plane angle between two radii of a circle that cut off on the circumference an arc equal in length to the radius. of a source that emits monochromatic radiation of frequency 540 × 1012 hertz and that has a radiant intensity in that direction of (1/683) watt per steradian. B. In the definition of the mole. would produce between these conductors a force equal to 2 × 10 −7 newton per meter of length. molecules. is the fraction 1/273. ions. 2. Note that this definition specifies at the same time the nature of the quantity whose unit is the mole. cuts off an area of the surface of the sphere equal to that of a square with sides of length equal to the radius of the sphere. 1979) The candela is the luminous intensity. of negligible circular cross section.012 kilogram of carbon 12. it is understood that unbound atoms of carbon 12. electrons. 1948) The ampere is that constant current which. B.250APÉNDICE B. DEFINICIONES DE LAS UNIDADES BÁSICAS DEL SI Y DEL RADIAN Y DEL STER B. but the derived unit "1" is generally omitted. m◦ C. the symbols rad and sr are used where appropriate.B.10. millidegree Celsius. (c) In photometry. the name steradian and the symbol sr are usually retained in expressions for units. . (b) In practice. e. STERADIAN 251 (a) The radian and steradian may be used with advantage in expressions for derived units to distinguish between quantities of different nature but the same dimension.g. (d) This unit may be used in combination with SI prefixes. Expression in terms of SI base units m·m−1 = 1 (b) m2 ·m−2 = 1 (b) s−1 m·kg·s−2 m−1 ·kg·s−2 m2 ·kg·s−2 m2 ·kg·s−3 s·A volt farad ohm siemens weber tesla henry degree Celsius lumen lux becquerel gray V F Ω S Wb T H ◦C lm lx Bq Gy W/A C/V V/A A/V V·s Wb/m2 Wb/A cd·sr (c) lm/m2 m2 ·kg·s−3 ·A−1 m−2 ·kg−1 ·s4 ·A2 m2 ·kg·s−3 ·A−2 m−2 ·kg−1 ·s3 ·A2 m2 · kg·s−2 ·A−1 kg·s−2 ·A−1 m2 · kg·s−2 ·A−2 K m2 ·m−2 ·cd=cd m2 ·m−4 ·cd=m−2 ·cd s−1 (d) J/kg m2 ·s−2 sievert Sv J/kg m2 ·s−2 .. kerma dose equivalent.252APÉNDICE B. work. ambient dose equivalent. electromotive force capacitance electric resistance electric conductance magnetic flux magnetic flux density inductance Celsius temperature luminous flux illuminance activity (referred to a radionuclide) absorbed dose. radiant flux electric charge. quantity of heat power.. directional dose equivalent. organ equivalent dose radian (a) steradian (a) hertz newton pascal joule watt Coulomb rad sr (c) Hz N Pa J W C N/m2 N·m J/s SI derived unit in terms of other SI units.1: Unidades SI derivadas con nombres especiales y símbolos Derived quantity Name plane angle solid angle frequency force pressure. stress energy. personal dose equivalent. specific energy (imparted). DEFINICIONES DE LAS UNIDADES BÁSICAS DEL SI Y DEL RADIAN Y DEL STER Tabla B. quantity of electricity electric potential difference. En los últimos años las unidades se han extendido a las dadas en la tabla siguiente: 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101 10−1 10−2 10−3 10−6 10−9 10−12 10−15 10−18 10−21 10−24 yota zeta exa peta tera giga mega kilo hecto deca deci centi mili micro nano pico femto ato zepto yocto Y Z E P T G M k h da d c m μ n p f a z y 253 .Apéndice C Prefijos del Sistema Internacional El 11o congreso del CGPM (1960) adoptó una primera serie de prefijos y símbolos de los mismos para formar los nombres y símbolos de los múltiplos y submúltiplos de las unidades del SI. PREFIJOS DEL SISTEMA INTERNACIONAL .254 APÉNDICE C. rather than the freezing point of water (273. involves the kilogram. • the grey. It is intended to show that the base units of the SI are linked to the real world through the unchanging and universal constants of physics. The ampere’s definition. The ITS-90 differs from the IPTS-68 in a number of important respects: .Apéndice D Enlace de unidades básicas del SI a constantes atómicas y fundamentales The figure below represents some of the links between the base units of the SI and the fundamental physical and atomic constants.16 K). lines and uncertainties represent the real world. but an alternative link is the Josephson-effect constant (KJ-90) and von Klitzing’s quantum-Hall resistance (RJ-90). those next to the fundamental constants represent the uncertainty of our knowledge of these constants (from the 1998 CODATA adjustment). fuzzy links to the outside reflect the unknown long-term stability of the kilogram artefact and its consequent effects on the practical realization of the definitions of the ampere. mole and candela. as a defining point 255 . D. both of which were given fixed. for example.it uses the triple point of water (273. In the figure. The uncertainties next to the base units are estimates of the standard uncertainties of their best practical realizations. conventional values in 1990.15 K). replacing the IPTS-68 and the EPT-76.1 La Escala de Temperatura Internacional de 1990 (ITS-90) The International Temperature Scale of 1990 (ITS-90) came into effect on 1 Janurary 1990. • the surrounding boxes. 256APÉNDICE D.1: . ENLACE DE UNIDADES BÁSICAS DEL SI A CONSTANTES ATÓMICAS Y FUNDA Figura D. Techniques for approximating the International Temperature Scale of 1990 . Metrologia. 27.it has a number of overlapping ranges and sub-ranges .1.it extends to lower temperatures: 0.it includes the helium vapour pressure scales .8 K .the Pt/10 % Rh-Pt thermocouple is no longer a defining instrument of the scale . Metrologia. 962 ◦ C . 107-127 .it is in closer agreement with thermodynamic temperatures .65 K instead of 13. 27.in certain ranges it has alternative but substantially equivalent definitions .it includes an interpolating gas thermometer as one of the defining instruments .Supplementary information for the International Temperature Scale of 1990 .Preston-Thomas H.the range based upon the Planck radiation law begins at the silver point instead of at the gold point.D. 3-10. For further details please refer to the following BIPM publications: . 1990. but options exist for using any one of the silver. 1990. LA ESCALA DE TEMPERATURA INTERNACIONAL DE 1990 (ITS-90) 257 . The International Temperature Scale of 1990 (ITS-90).the range of the platinum resistance thermometer as defining instrument has been extended from 630 ◦ C up to the silver point.it has improved continuity and precision . gold or copper points as reference points for this part of the scale.. ENLACE DE UNIDADES BÁSICAS DEL SI A CONSTANTES ATÓMICAS Y FUNDA .258APÉNDICE D. N. [7] BLH Electronics. 1986 [2] Anderson. Wiley. USA. W.. ANSI/IEEE Std 268-1992 (Institute of Electrical and Electronics Engineers. [5] The International System of Units (SI).. 1993. August 1991). Natl. [4] Bentley.. [11] Doebelin. Alfaomega. G. DC. Washington. [6] American National Standard for Metric Practice. “Step—Analysis Method of Finding Time Constant”... Steele. [9] Coleman. Technol. A. Instrumentación Industrial. Alfaomega Marcombo Boixareu Ed. Inst. G. Nov. W. Stand. 1997. 1963. McGraw—Hill International Ed. Measurement Systems Application and Design. Y. H. Y. [10] Creus. R.. Government Printing Office. N. Taylor...... [12] Dorf. Bogotá.. N.Bibliografía [1] ANSI/ASME Measurement Uncertainty. Ed. Sistemas Electrónicos Lineales: Un Enfoque Matricial. Circuitos Eléctricos 2a Edición. Longman Scientific &Technical. 1991 Edition (U.. 1989. P. 1990.. L. [3] Avendaño.. NY. October 1992). McGraw—Hill.. 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B. N. E.BIBLIOGRAFÍA [29] Popov. 261 [30] Soderstrand. Mechanics of Materials. A. of Measurement & Control. K. 1971. P.. Documents Similar To Libro Sistemas de MedicionSkip carouselcarousel previouscarousel nextLAB 4 TERMOIntrumentacion y ControlEl ABC de La Instrumentacion en El Control de Procesos IndustrialesInstrumentacion y MedidasTEMPORIZADORES ON-DELAY Y OFF-DELAYPractica TermocuplaCombustible y sistemas de suministroX. 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