SimulaciónAnálisis y modelación de sistemas discretos; un enfoque práctico i ii Simulación Análisis y modelación de sistemas discretos; un enfoque práctico José Cárdenas Zavala Instituto Tecnológico de Colima iii iv Contenido Introducción Capítulo 1: Introducción a la Simulación de Eventos Discretos 1.1 Introducción a la simulación de eventos discretos 1.2 Definiciones y conceptos 1.3 Ventajas y desventajas de la simulación 1.4 Etapas de un proyecto de simulación 1.4.1 Preparación inicial del proyecto 1.4.2 Definición del sistema 1.4.3 Desarrollo del modelo conceptual o esquemático 1.4.4 Recolección y análisis de datos 1.4.5 Desarrollo del modelo en un lenguaje especifico de simulación 1.4.6 Conducción de experimentos y evaluación de alternativas 1.4.7 Análisis de resultados 1.4.8 Recomendaciones finales 1.5 Algunos peligros en la simulación 1.6 Modelos típicos de líneas de espera 1.7 Ejemplos básicos de simulación 1.8 Problemas propuestos Capitulo 2: Números Pseudoaleatorios 2.1 Números pseudoaleatorios 2.2 Características de los números pseudoaleatorios 2.3 Generación de los números pseudoaleatorios 2.3.1 Algoritmo de cuadrados medios 2.3.2 Algoritmo de productos medios 2.3.3 Algoritmo congruencial mixto 2.3.4 Algoritmo congruencial multiplicativo 2.4 Pruebas estadísticas de aleatoriedad 2.4.1 Prueba de los promedios 2.4.2 Prueba de las frecuencias 2.4.3 Prueba del póker 2.4.4 Prueba de Kolmogorov-Smirnov 2.5 Ejercicios propuestos v 3 4 10 11 12 14 16 18 22 24 24 24 25 25 28 38 45 45 47 47 48 49 50 51 53 56 61 64 67 v Capítulo 3: Variables Aleatorias 3.1 Introducción 3.2 Tipos de variables aleatorias 3.2.1 Variables aleatorias discretas 3.2.2 Variables aleatorias continuas 3.3 Identificación del tipo de distribución las variables aleatorias 3.3.1 Ejemplos utilizando la prueba de chi-cuadrada y Kolmogorov-Smirnov 3.3.2 Identificación del tipo de distribución de probabilidad utilizando un lenguaje específico de simulación 3.3.3 Ajuste de curvas a tendencia lineal para distribuciones empíricas continuas 3.4 Generación de variables aleatorias. 3.4.1 Ejemplos de obtención de generador de variables aleatorias a través de métodos manuales 3.5 Ejercicios propuestos 117 Capítulo 4: Lenguajes de simulación y simuladores de eventos discretos. 4.1 Lenguajes de simulación y simuladores 4.2 Introducción al uso de ProModel 4.3 Elementos básicos 4.4 Estructura de programación en ProModel 4.5 Construcción de modelos en ProModel 4.5.1 Construcción de un modelo paso a paso 4.5.2 Refinamiento progresivo del modelo 4.5.2.1 Uso de atributos, variables y comandos de decisión 4.5.2.2 Uso del comando ROUTE 4.5.3 Modelado de un proceso que incluye más de un proceso 4.5.3.1 Modelo con bandas de transporte y filas de espera 4.5.3.2 Modelo con estatutos JOIN y LOAD/UNLOAD 4.5.3.3 Modelo con recursos 4.5.3.4 Modelo de manufactura con varios procesos e inspección 4.6 Comentarios adicionales 4.7 Ejercicios propuestos 123 123 124 125 127 128 152 153 169 174 174 186 196 210 218 219 Unidad 5: Proyecto de Aplicación 5.1 Objetivo del capítulo 5.2 Contenido sugerido del proyecto a desarrollar. 5.3 Ejemplo de desarrollo de un proyecto de aplicación 231 231 233 vi 71 72 72 73 75 76 91 97 101 103 Anexos Tablas de distribuciones de probabilidad Generadores para distribuciones de probabilidad en ProModel 294 298 Bibliografía 299 vii . viii . la búsqueda para ganar nuevos espacios y otras variables. aunque si se tiene la habilidad para programar en software de uso general también es viable hacerlo. Sin embargo las políticas del comercio nacional e internacional. Sin embargo. las empresas buscan constantemente posicionarse y generar utilidades. generada mayormente por la globalización. La simulación es una técnica de experimentación en que se usan modelos lógico-matemáticos utilizando (principalmente) recursos informáticos como un software de propósito específico diseñado para tal fin. dichas técnicas generalmente son útiles en un determinado punto del tiempo.” Séneca Introducción Una de las características principales de los t iempos actuales. cuando se de se desea tomar una decisión dinámica sin arriesgar la sanidad financiera generada por la experimentación a prueba y error o por actuar basados en la “intuición” sin considerar la solidez o solvencia estadística. se pueden “experimentar” los diversos escenarios para tratar de tomar la mejor decisión utilizando la simulación. pronósticos o modelos de inventarios. es la incertidumbre.“Largo es el camino de la enseñanza por medio de teorías. ix . obligan a las organizaciones a dar una respuesta rápida a los retos que surgen día a día para que estas progresen y sean exitosas financieramente. La búsqueda de alternativas y toma de decisiones es de suma importancia sobre todo en los niveles medio o altos de las empresas que es dónde los ingenieros industriales tienen principalmente su ámbito de aplicación. Existen muchas técnicas emanadas de la estadística y las matemáticas para la toma de decisiones tal como la programación lineal. breve y eficaz por medio de ejemplos. la creciente competencia. José Cárdenas Zavala x .Este texto académico sobre simulación de sistemas discretos tiene un enfoque eminentemente práctico y está basado principalmente en el programa de la materia de Simulación de la carrera de Ingeniería Industrial del Sistema Nacional de Institutos Tecnológicos. La obra está compuesta por cinco capítulos ordenados en secuencia lógica para que se asimilen los conceptos y se finaliza con el desarrollo de un proyecto práctico donde se puede ver la utilidad de la simulación como una herramienta muy poderosa del ingeniero industrial para la toma de decisiones. Análisis y modelación de sistemas discretos. un enfoque práctico Capitulo 1: Introducción a la simulación de eventos discretos 1 .Simulación. Introducción a la simulación de eventos discretos 2 . 3 . conociendo la relación causa-efecto que determina el sistema que se pretende representar (observe la figura 1.1 Introducción a la simulación de eventos discretos La simulación es una herramienta de análisis muy importante para los ingenieros industriales ya que se puede aplicar a una gran cantidad de procesos productivos de bienes y/o servicios. Análisis y modelación de sistemas discretos. comunicación. organización y habilidad de ingeniería. etc. conocimientos estadísticos. Aunque en este capítulo se abordaran temas. entonces la orientación será a lo que se conoce como simulación de eventos discretos. esencialmente se apoya en la probabilidad y estadística lo que proporciona un sustento teórico-práctico para la creación de los modelos de los sistemas que se desean simular. Dicha persona debe entender el sistema ha modelar.Simulación. etc. Visual Basic. se puede hablar de simuladores de vuelo. Delphi. un enfoque práctico 1. también pueden ser una opción para desarrollar los modelos. o puede considerarse la simulación de reacciones de ciertos metales a diferentes temperaturas. la intención es que desde el principio quede claro cómo se pueden simular los sistemas básicos de producción y de qué manera ayudan en la toma de decisiones. Resumiendo las características o habilidades de la persona que realiza los modelos podrían considerarse las siguientes: primeramente desarrollar una mente analítica. aunque si se posee la habilidad de programar en un software de propósito general como el C++. Como se podrá inferir la simulación de eventos discretos consiste en relacionar los diferentes eventos que pueden cambiar el estado de un sistema bajo estudio por medio de distribuciones de probabilidad y condiciones lógicas del problema que se esté analizando. pero como en este texto se está considerando un enfoque a la simulación de sistemas productivos de bienes y/o servicios. también es necesario el manejo de un software específico de simulación como ProModel o el ARENA. modelos de aviones o autos a escala para medir la resistencia al aire. conceptos y definiciones que son básicos para el aprendizaje de lo que será el sustento teórico de la simulación.1). El concepto de simulación es muy amplio. pero requiere de ciertos conocimientos previos. precisan que simulación es “el proceso de diseñar y desarrollar un modelo computarizado de un sistema o proceso y conducir experimentos con este modelo con el propósito de entender el comportamiento del sistema o evaluar. Varias estrategias con las cuales se puede operar el sistema”.2 Definiciones y conceptos En lo referente a este punto es útil iniciar por citar algunas de las definiciones en orden cronológico de diferentes autores sobre la simulación: Shannon. (1976). James D. la simulación es “el modelaje de un proceso o sistema de manera semejante que el modelo responda al sistema real tomando su lugar a través del tiempo”. Johannes.Introducción a la simulación de eventos discretos Figura 1. De acuerdo a Harrel (2003). De acuerdo a Schriber (1987). “Simulación es la representación de un sistema dinámico usando un modelo computacional con la finalidad de evaluar y mejorar el desempeño del sistema. Robert.” 4 .1 1. (2006).2). et al.” Una pregunta que puede considerarse clave durante el estudio de la simulación es: ¿Por qué simular?. matemáticas y probabilísticas que integran el comportamiento de un sistema bajo estudio cuando se presenta un evento determinado”. algunas razones podrán ser las siguientes: Porque… La observación detallada del sistema que se está simulando. La simulación proporciona una manera de validar si sé está tomando o no la decisión adecuada al problema que se ha presentado. los costos de experimentación del sistema actual son mayores que los costos de simular el sistema (ver figura 1. conduce a un mejor entendimiento del mismo y proporciona sugerencias para mejorarlo. apoyados en algún lenguaje informático que ayude en la toma de decisiones para hacerlo más eficiente y productivo. La simulación evita el costo y tiempo que implica hacer decisiones basadas en prueba y error.Simulación. y podrían generarse diversas definiciones de acuerdo a lo que se ha mencionado y a los elementos básicos que deben considerarse dentro del proceso de simulación. “Simulación de eventos discretos es el conjunto de relaciones lógicas. Cuando las actividades o eventos son interdependientes y manifiestan variabilidad. se pueden desarrollar de manera individual mas definiciones por ejemplo: “Simulación es la representación de un sistema de producción a través de un modelo. Análisis y modelación de sistemas discretos. Como se puede observar existen elementos básicos que no han cambiado a lo largo del tiempo. 5 . un enfoque práctico De acuerdo a García Dunna. es decir. 6 .Introducción a la simulación de eventos discretos “Los intentos a prueba y error son costosos. entonces se pueden considerar tres objetivos esenciales de lo que puede obtenerse de un modelo que ha sido corrido y evaluado. Cuando las actividades o eventos son interdependientes y manifiestan variabilidad. es muy importante la habilidad y capacidad de análisis de la persona que está analizando el sistema y que es lo que se espera obtener con el modelo que se pretende realizar. pueden considerarse algunas razones como las siguientes: Cuando se desea tomar alguna decisión en una operación o servicio. para contestarla. consumen tiempo y pueden ser fallidos” Figura 1. 2 Si se pretende clasificar de alguna manera los usos de la simulación. Cálculo: Cuantificar qué está sucediendo en el sistema. La simulación puede utilizarse en cualquier tipo de sistema productor de bienes y/o servicios. Balanceo de líneas (equilibrar la producción de cada línea considerando maquinaria y mano de obra). Cuando es más barato simular que experimentar con el sistema real. pero específicamente en el área de ingeniería industrial pueden considerarse los siguientes usos: Análisis de cuellos de botella (para determinar la capacidad y el número de maquinas). Comunicación: Mostrar qué está sucediendo en el sistema Otra pregunta frecuente es: ¿Cuándo la simulación es apropiada?. Cuando el proceso está definido y es repetitivo. dichos objetivos serian: Visualización: Observar qué está sucediendo en el sistema. Por ejemplo: montacargas. dónde. 7 . piezas. Reloj de Simulación: Es el contador de tiempo de la simulación. tipo de producto o servicio. ventas por día. Planeación de la capacidad. etc. si el cliente acude directamente a la empresa o llama por teléfono. etc. Análisis y modelación de sistemas discretos. es una manera de clasificar las entidades.). finalización de un proceso en un equipo. quién. Locaciones: Lugares en los que se realiza una actividad a una entidad o puede esperar para que se le realice (máquinas.Simulación. estaciones de inspección. Atributos: Es una característica de una entidad. tipo de pieza. por qué y cómo. Para la realización de un modelo es necesario familiarizarse con los términos más utilizados para construir los modelos: Sistema: se entiende como el conjunto de elementos que se interrelacionan para lograr un objetivo en común. Siempre hay un inicio y un fin cronológico. personas. Por ejemplo si los clientes se clasifican en hombres o mujeres. un enfoque práctico Líneas de espera (número de servidores en un proceso de atención al cliente). Recursos: Son aquellos dispositivos (diferentes a las locaciones) necesarios para llevar a cabo una operación. etc.). etc. cuándo. Programación del mantenimiento. Eventos (actividades): Cambio en el estado actual del sistema (entrada o salida de una entidad. Programación de la producción. etc. Programación de los recursos.). se puede decir que un sistema contiene diversos elementos. bandas transportadoras. camiones. Entidades: Representación de los flujos de entrada a un sistema (clientes. Para la simulación. etc. los cuales definen el qué. Estas pueden ser continuas como el tiempo de operación de una máquina o el tiempo entre llegadas de los clientes o pedidos. la cual depende de un determinado valor de una variable independiente. En un experimento la variable de respuesta es la variable dependiente. etc. Una variable de respuesta puede ser el número de piezas o entidades procesadas en un determinado tiempo. el tiempo de espera de un cliente en la fila.Introducción a la simulación de eventos discretos Las variables que constituyen un sistema son condiciones cuyos valores se crean y modifican por medio de ecuaciones matemáticas y relaciones lógicas. por ejemplo si son físicos. dinámicos o estáticos. tiempo de servicio de un servidor. Las variables de estado son variables que indican el estado del sistema en cualquier punto del tiempo. y por lo tanto su desempeño. por ejemplo: tiempo entre llegadas. o el porcentaje de utilización de un recurso. Las variables de respuesta son variables que miden el desempeño del sistema en respuesta al establecimiento de una variable de decisión particular. Cuando se conduce un experimento las variables de decisión son referidas como variables independientes en el experimento. Variables de estado (cuando se utiliza un software de uso específico). se afecta a todo el ambiente del sistema. se pueden considerar modelos tabulares 8 . Para entender como los elementos del sistema se afectan unos a otros e influyen en el desempeño de las metas globales es necesario definir tres tipos de variables: Variables de decisión (de entrada o independientes). tiempo de proceso de una máquina. pero de manera práctica se puede decir que si el modelo es meramente didáctico. etc. etc. continuos o discretos. hay muchas clasificaciones o formas de clasificarlos. etc. número de unidades producidas en un turno de operación. determinísticos o probabilísticos. también pueden ser discretas como el número de productos a empacar en un lote. ocupado. Variables de respuesta.) Por su parte en lo referente a la definición de los modelos. Si se cambia un valor de las variables independientes. etc. Por ejemplo el número actual de entidades que esperan ser procesadas o el estado actual de un recurso (ocioso. 3 Por su parte.3214 0.7892 0.Simulación. primeramente se desarrolla un modelo conceptual que incluya la información lógica secuencial y las variables que influyen en el proceso.4 y 1.9863 0.0047 0.4236 Cliente 1 2 3 4 5 Tiempo entre llegadas (min) 2 3 5 1 4 Tiempo medido de llegadas 2 5 10 11 55 Aleatorio tiempo de servicio 0.5874 0. Ejemplo de modelo matricial o tabular: Aleatorio tiempo entre llegadas 0.5).2569 0. posteriormente se realiza este utilizando generalmente una interfaz gráfica del simulador que lo hacen muy fácil de utilizar (ver figuras 1.7543 Tiempo de servicio (min) 4 7 8 1 4 Hora de Inicio de servicio Hora de fin de servicio 2 6 13 21 22 6 13 21 22 26 Tabla 1.4 9 Salida y embarque . Recepción de materia prima Torno Mover con operador Fresadora enviar a salida en banda transportadora Figura 1. ARENA o cualquiera que exista en el mercado. si el modelo a realizar se hace utilizando un software específico como el ProModel. un enfoque práctico o matriciales que incluyen relaciones matemáticas y probabilísticas (ver tabla 1.9874 0. Análisis y modelación de sistemas discretos.3).4565 0. la simulación es una herramienta muy valiosa para tomar decisiones y mejorar procesos. Permite experimentar sin el riesgo consecuente de un fracaso del sistema. 10 .3 VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA SIMULACIÓN Como se ha comentado. Se puede observar como se comportará el sistema al momento de su ejecución. Dentro de las ventajas más comunes que ofrece la simulación. como todas las demás herramientas de que dispone el ingeniero industrial.Introducción a la simulación de eventos discretos Ejemplo de un modelo gráfico utilizando ProModel: Figura 1. Permite explorar muchas alternativas o presentar diversos escenarios. Permite control total sobre el tiempo de ejecución.5 1. Sin embargo. se pueden mencionar las siguientes: Se pueden simular sistemas complejos. la simulación de eventos discretos presenta ciertas ventajas y desventajas que es necesario considerar para ver si esta es apta para resolver un problema específico. Se puede requerir mucho tiempo para hacer un buen estudio de simulación. un enfoque práctico Existen softwares específicos cada vez mas sencillos lo que facilita su aplicación. 1.4 Etapas para realizar un proyecto de simulación Una vez que se ha elegido un proyecto para ser simulado.6 se pueden observar las siguientes etapas de carácter general: 11 . pero en general todas tienen la misma esencia. en este caso en la figura 1. Entre las desventajas más comunes de la simulación pueden considerarse las siguientes: La simulación no deja de ser una estimación del sistema real.Simulación. Se requiere dominar algún software específico de simulación. solo muestra lo que puede suceder y queda bajo la responsabilidad del analista elegir la mejor alternativa para la mejora de algún proceso. por lo que el muestreo de las variables de entrada del modelo debe ser justificado estadísticamente. Análisis y modelación de sistemas discretos. se debe tener una metodología para conducir el estudio con éxito. La simulación no proporciona una solución óptima como otras herramientas de análisis. Mejora el entendimiento del proceso actual al permitir que el analista vea cómo se comporta el modelo generados bajo diferentes escenarios. Existen muchas metodologías que varían un poco de acuerdo a cada autor de los textos existentes sobre el tema de simulación. 1 Preparación inicial del proyecto En lo concerniente a este punto.6 1. 12 . Conocimiento y habilidad para realizar el estudio por parte del analista. se recomienda seguir los puntos que a continuación se mencionan: a) Identificar las restricciones del sistema. Es importante identificar las restricciones bajo las cuales el estudio debe ser conducido.Introducción a la simulación de eventos discretos PROCEDIMIENTO GENERAL PARA DESARROLLAR UN ESTUDIO Preparación del proyecto Experimentación y evaluación de alternativas Análisis de resultados Definición del sistema Desarrollo del modelo en lenguaje específico de simulación DE SIMULACIÓN Desarrollo del modelo conceptual o esquemático Recolección y análisis de datos Recomendaciones finales Figura 1. por ejemplo: Presupuesto para realizar el proyecto. La accesibilidad de la información.4. El tiempo con el que se dispone para realizarlo. Limitaciones de hardware o software que pudieran presentarse. puede ser: “Desarrollar un modelo de simulación de la empresa… específicamente en el sistema de… para detectar las mejoras posibles a realizar. puede analizarse de manera modular o integral. Por ejemplo en un auto baños puede simularse solamente el área de lavado 13 .Simulación. c) Preparación de las especificaciones de la simulación. claro que entre más amplio sea el sistema mayor será la complejidad del modelo. Debe analizarse previamente a la realización del modelo lo siguiente: El alcance del modelo. algunos ejemplos podrían ser: Si se está considerando un sistema de servicio tal como el de un cajero en un banco. En el caso de los objetivos específicos. esto significa que debe considerarse la manera de subsanar o compensar dicha restricción. en el caso del objetivo general. ya que cada sistema está integrado a la vez por subsistemas. La simulación es necesaria porque se estaría buscando solución a algún problema que podría presentarse en el proceso de producción. Es decir que parte del sistema se desea simular. b) Determinar el objetivo general y específico del modelo. Considerando el caso de una empresa que vende gasolina: “Determinar el número de bombas de gasolina adecuado para que no estén más del 30% del tiempo ociosas durante el turno vespertino”. y plantear acciones que mejoren su desempeño”. puede ser un problema determinar cuántos cajeros se van a necesitar durante un día pico (como el de pago de quincena) aquí el objetivo específico sería: “Determinar el número de cajeros óptimo para que el cliente no pase más de 10 minutos en fila durante un día pico”. Análisis y modelación de sistemas discretos. En el caso de un proceso de manufactura podría ser un objetivo: “Determinar el porcentaje de tiempo ocioso en la operación del torno así como el número de piezas producidas”. un enfoque práctico El hecho de que haya restricciones no quiere decir que no se pueda realizar el proyecto. Introducción a la simulación de eventos discretos y secado sin considerar a las demás etapas del proceso. b) Determinar los diferentes tipos de servicios y/o productos que se realizan en el sistema. 1. depende del objetivo del modelo. Enumerar todos los productos y/o servicios que proporciona la empresa. En este caso. Nivel de detalle. o si es necesario desde que llegan los clientes hasta que se les proporciona el servicio y abandonan el sistema. entre mas detalles se deseen incorporar. Este se refiere a que tipo de información se puede necesitar para realizar el estudio. Generalmente se comete el error de querer incorporar ciertas actividades que no agregan valor al modelo como por ejemplo simular considerando fallos en la energía eléctrica o ciertos vicios metodológicos que desarrollan los operadores o paros imprevistos por falta de materia prima. si no es necesario no deben incorporarse este tipo de variables al modelo. c) Establecer diagramas de análisis de procesos general y particular para cada uno de los bienes/servicios producidos. mayor será la cantidad de variables de entrada al modelo que posteriormente tendrán que muestrearse. etc. Este punto es muy importante ya que le proporciona al modelo el “parecido con el sistema real”. d) Determinar los horarios y días de trabajo regulares así como los horarios y días de que serán sujetos de estudio.2 Definición del sistema Para esta etapa se debe realizar lo que a continuación se menciona: a) Determinar los principales subsistemas y áreas físicas que integran el sistema analizado. es una buena opción describir brevemente cual es la razón de ser de cada departamento o área (incluir croquis de distribución de planta). e) Determine los datos requeridos. Algunas preguntas que ayudan a determinar estos pueden ser: ¿Qué tipo de entidades son procesadas en el sistema y que atributos tienen? ¿Cuál es la secuencia de ruteo para cada tipo de entidad en el sistema? 14 .4. se pretende determinar las principales áreas productivas que integran el sistema considerado. Es necesario realizar supuestos cuando se está experimentando en el modelo que representa la realidad del sistema. 15 . primero que sale. más se aleja este de la realidad. Experiencia del personal de piso. Registros de producción. Ejemplos más comunes de supuestos pueden ser: Los clientes que lleguen al sistema se van a ir atendiendo conforme llegan (primeras entradas primeras salidas). etc. Comparaciones con operaciones similares. etc. un enfoque práctico ¿Qué actividad se realiza para cada entidad en cada locación? ¿Dónde. Buenas fuentes de obtención de datos del sistema pueden ser las siguientes: Diagramas de flujo. pero debe haber congruencia entre los supuestos y lo que se espera obtener del modelo.Simulación. Es importante recordar que los supuestos hacen más sencillo un modelo. primero que sale. Registros internos. cuándo y en qué cantidad las entidades entran al sistema (definir el tiempo entre arribos o condiciones del arribo)? ¿En qué orden las entidades parten de cada locación (primero que entra. Estudio de tiempos. por que entre más supuestos se agreguen. Reportes de mantenimiento. g) Haga supuestos donde sea necesario. hasta obtener los resultados deseados o alcanzar el objetivo planteado. Tickets de compra. Tiempos estándar predeterminados. Observación directa.)? f) Determine la fuente apropiada de los datos. Análisis y modelación de sistemas discretos. Pronósticos del mercado. último que entra. No se interrumpirá el servicio por falta de insumos o materia prima. Tipo de entidades que se van obteniendo durante el proceso (para el caso de procesos de manufactura). etc. Flujo de las operaciones. etc. El objetivo de la construcción de un modelo es.Introducción a la simulación de eventos discretos No se interrumpirá la producción por apagones o falta de energía eléctrica. 1. montacargas. etc. vehículos. Recursos utilizados para realizar las operaciones (operadores. el modelo conceptual generalmente consta de bloques conceptuales secuenciales que incluyan la información general de las actividades principales del proceso de producción.4. En la siguiente figura 1. proveer una representación valida que describa el comportamiento del sistema analizado.) Número de operadores por máquina o estación de trabajo.2. El modelo debe ser capaz de proveer información necesaria para cumplir con los objetivos de la simulación. Se puede desarrollar el modelo con la ayuda del diagrama de flujo de operaciones destacando: Tipo de entidades que entran al sistema. se procederá a la construcción del modelo inicial. El tiempo ocioso por negligencia del operador de la máquina se considerará dentro del muestreo de campo realizado a la variable de entrada “tiempo de operación”. tiempo entre llegadas. Tiempos de operación o de servicio.3 Desarrollo del modelo conceptual o esquemático Una vez que la información es suficiente. Como se mencionó anteriormente en el punto 1. Tamaño del lote en las llegadas. Se tomara en cuenta lo siguiente: a) Realizar el Modelo conceptual o esquemático. analizada y validada para describir el comportamiento del sistema.7 se puede apreciar un ejemplo de modelo conceptual considerando un taller de manufactura donde se realiza un proceso que involucra diferentes operaciones a lotes de 20 piezas de 16 . Análisis y modelación de sistemas discretos. un enfoque práctico metal que llegan a un almacén para obtener finalmente un producto terminado. pueden considerarse como ejemplos para el caso de sistemas de servicios : 17 .7 b) Determinar las variables de entrada del modelo. Modelo por bloques Llegadas (tasa de llegadas) Lotes de 20 piezas Materia prima Almacén de Materia Prima Tiempo de traslado entre operaciones = 1´ Materia prima Cortadora (Tiempo de operación) Pieza en proceso Torno (Tiempo de operación) Pieza en proceso Fresadora (Tiempo de operación) Producto terminado Almacén de producto terminado (Tiempo de inspección) Exit Figura 1.Simulación. Estas se deben determinar de acuerdo a la información que se espera obtener del sistema que se desea modelar. el operador. etc. Se debe realizar el muestreo de cada variable de entrada considerando el turno. el día de trabajo. las variables de entrada serían las siguientes: Tiempo entre llegadas de las piezas al almacén de materia prima.7 el cual es un proceso de producción o manufactura. 1.Introducción a la simulación de eventos discretos Tiempo entre llegadas de los clientes al sistema. En la siguiente tabla se puede apreciar el ejemplo de un formato para toma de datos de una gasolinera: 18 . Número de productos a comprar. Tiempo de operación en la cortadora. Tipo de producto a comprar. Tiempo de operación en la fresadora. es también muy importante diseñar formatos u hojas de chequeo que se consideren adecuados para la toma de datos. Tiempo de operación en el torno. máquina utilizada.4 Recolección y análisis de datos Para este paso se debe realizar lo siguiente: a) Realizar el muestreo de las variables de entrada del modelo. Considerando el ejemplo del modelo por bloques de la figura 1. Tiempo de inspección en el almacén de producto terminado. Tiempo de operación o de servicio.4. etc. Generalmente se tiene que hacer un análisis estadístico en ellos para determinar sus parámetros y así poder usarlos correctamente.A.V. estos deben ser agrupados para simplificar su análisis y de esta manera determinar su comportamiento en el sistema. un enfoque práctico HOJA DE VERIFICACION PARA EL TIEMPO ENTRE LLEGADAS ENERGETICOS DE COLIMA S. Para proporcionar un ejemplo de lo mencionado anteriormente.Simulación. suponga que en la siguiente tabla 1.8 b) Convierta los datos de entrada en una forma conveniente para su uso.9 se tomaron los siguientes datos: 19 . Análisis y modelación de sistemas discretos. Los datos raramente están listos para ser usados tal y como se encuentran. en este caso se hace uso de la estadística descriptiva específicamente en la construcción de distribuciones de frecuencia e histogramas para poder apreciar la tendencia gráfica de las variables. AREA A MUESTREAR FECHA: HORA DE INICIO: HORA TERMINO: VEHICULO HORA LLEGADA TIPO DE COMBUSTIBLE GASOLINA DIESEL BOMBA 1 2 REALIZO: TIPO DE VEHICULO CH MED GDE FACTURACION 1 2 3 n Tabla 1. DE C. semanas. 7. según se considere en el impacto que debe tener el periodo en el modelo a representar. 7. Es importante señalar que el periodo de muestreo y el tamaño de la muestra debe ser representativo. 5. 5. 5. 2. DE C. 20 . AREA A MUESTREAR: Bombas FECHA: HORA DE INICIO: 08:00 HORA TERMINO: TIPO DE COMBUSTIBLE VEHICULO HORA LLEGADA 1 08:03 √ 2 08:05 √ 3 08:12 √ 4 08:17 √ 5 08:22 √ 6 08:30 7 08:33 √ 8 08:40 √ 9 08:45 √ 10 08:48 GASOLINA BOMBA DIESEL 1 REALIZO: TIPO DE VEHICULO 2 √ √ CH √ Si √ Si √ Si √ Si √ √ √ √ √ √ FACTURACION √ √ √ GDE Si √ √ MED √ Si √ Si √ No √ Si √ No Tabla 1. etc. 3.A.Introducción a la simulación de eventos discretos HOJA DE VERIFICACION PARA EL TIEMPO ENTRE LLEGADAS ENERGETICOS DE COLIMA S. por lo que se deben “convertir” para poder utilizarlos.V. días. Si la hora de inicio de toma de datos empezó a las 8:00 y el primer auto llegó a las 8:03 pasaron tres minutos. 8. el segundo auto llegó a las 8:05 pasaron dos minutos desde la llegada del auto anterior y así sucesivamente. si se está considerando la variable: “Tiempo entre llegadas” entonces los datos muestreados fueron: 3.9 Los datos muestreados como se muestran en la tabla anterior no se pueden aplicar directamente en la elaboración del modelo. pueden muestrearse turnos. y 3 minutos entre la llegada de un auto al otro al sistema. Los datos recolectados deberán ajustarse a una distribución de probabilidad (teórica o empírica) de tal manera que pueda describir el comportamiento de la variable que se analiza. se utiliza generalmente el proceso de pruebas de hipótesis de estadística inferencial. un enfoque práctico Posteriormente debe realizarse el proceso de construcción de una distribución de frecuencias para observar cual puede ser la distribución teórica a la cual pueden ajustarse los datos (ver tabla 1. Análisis y modelación de sistemas discretos.Simulación.11): Intervalo Frecuencia Observada 1 ≤X≤ 5 5 < X ≤ 10 10 < X ≤ 15 15 < X ≤ 20 20 < X ≤ 25 5 12 20 10 3 Tabla 1.10 Histograma 20 Frecuencia 20 12 15 10 10 5 3 5 0 1 2 3 4 5 Clases Gráfico 1.11 Enseguida se procede a realizar un ajuste de los datos a distribuciones de probabilidad teóricas. 21 .10 y gráfico 1. 5 Desarrollo del modelo en lenguaje específico de simulación Se debe manejar algún lenguaje específico de simulación o si se domina algún lenguaje informático de propósito general para realizar el modelo. En general hoy en día los lenguajes de simulación son amigables y con entornos gráficos como el que se muestra en la figura 1.12 22 .Introducción a la simulación de eventos discretos Por lo general todo software de uso específico de simulación como ProModel. 1.12: Figura 1.4. traen incluidos una herramienta estadística muy útil para determinar el tipo de distribución de las variables de entrada del modelo. d) Validación del modelo. Para agregar complejidad a un modelo en cada uno de sus estados. es que no siempre todos los modelos tienen toda la información al nivel de detalle deseado en su primer construcción. Por lo general el nivel de detalle está relacionado con la cantidad de variables de entrada que se incorporan al modelo. el modelo debe tener un alcance bien definido el cual permita su construcción en secciones que son agregadas incrementalmente a éste. entre más variables tenga más detallado se considera el modelo. un enfoque práctico Una vez que se realiza el modelo se recomienda lo siguiente: a) Refinamiento progresivo. la persona que lo construye debe 23 . Para este inciso se sugiere lo siguiente: • Revise el proceso del modelo con respecto a la realidad. esto permite utilizar una estrategia de refinamiento progresivo la cual nos permitirá ir agregando complejidad en el modelo en cada uno de sus estados. Una vez que el modelo ha sido construido.Simulación. b) Expansión incremental. • Darle seguimiento al modelo a través de ver lo que está sucediendo paso a paso. Durante el proceso de construcción del modelo. c) Verificación del modelo. depurado y probado antes de ser agregado a nuevas secciones del modelo que lo hagan más largo. éste debe ser sometido a un proceso de verificación para demostrar que “trabaje correctamente”. A esto se le conoce como “partición de modelo”. mejor manejable y comprensible. Una forma práctica dentro de la simulación. Este método de permite que una porción del modelo sea construido. • Vea la animación. Se recomienda comenzar con los elementos básicos del modelo y posteriormente agregar mayor complejidad para un mejor entendimiento del sistema a analizar. La validación es el proceso de comprobación de que el modelo dentro de este dominio de aplicabilidad es “suficientemente preciso” para la aplicación proyectada. es decir verificar que el modelo “corra” como se diseñó. Análisis y modelación de sistemas discretos. Las simulaciones son frecuentemente desarrolladas para comparar dos o más alternativas diseñadas. sino que se acerca a ésta. Siempre es mejor considerar los promedios de todas las corridas como un dato confiable para tomar una decisión.6 Conducción de experimentos y evaluación de alternativas Los resultados de una simple corrida de simulación representan solo uno de varios posibles resultados.8 Recomendaciones finales El último paso en el procedimiento de la simulación es el hacer recomendaciones para mejorar el actual sistema. determinación de tiempo estándar de operación.4. Esto requiere que múltiples réplicas sean corridas para comprobar la reproducibilidad de los resultados.4. etc. la capacidad de un contenedor. 1.4. el programa de trabajo.7 Análisis de resultados Considerando que en la experimentación en una simulación.Introducción a la simulación de eventos discretos asegurase que se está elaborando de tal manera que refleje la realidad del sistema a simular. Estas recomendaciones pueden ser soportadas y claramente presentadas en un informe de resultados de la simulación. los resultados son aleatorios (de acuerdo a la naturaleza probabilística de las entradas). se debe tener cuidado cuando se interpretan éstos ya que debido a que la simulación no es una representación igual a la realidad. basado en los resultados del modelo simulado. 1. 24 . la decisión tomada debe estar bajo una mayor certidumbre del sistema analizado. la disponibilidad de recursos. 1. Esta comparación puede estar basada en una o más variables de decisión tales como. es muy práctico empezar por las aplicaciones básicas de líneas de espera. Análisis y modelación de sistemas discretos. Interpretación errónea del reporte de resultados que generen las corridas del modelo. mala organización de los datos. pueden ser las siguientes: Tamaño insuficiente de la corrida.) Falla en el involucramiento de los individuos directamente relacionados con el sistema a representar. Toma de decisiones en una simple corrida. un enfoque práctico 1. Algunas de las razones de por qué falla el proyecto de simulación. Falla en la verificación y validación del modelo. errores en cálculos.Simulación. la probabilidad de desarrollar con éxito el proyecto de simulación de un sistema. Falta de clarificación en los objetivos de la simulación. Agregar más detalles de los necesarios. Errores en el muestreo de las variables (tamaño insuficiente de las muestras.5 Algunos peligros en la simulación Si los pasos descritos anteriormente son llevados a cabo. etc. pero deben considerarse algunos elementos clave para garantizar el éxito del modelo. 1.6 Modelos típicos de líneas de espera Para iniciar gradualmente en el desarrollo de los modelos de simulación. Falta de presupuesto y restricciones de tiempo. en las siguientes figuras se muestran los modelos típicos de colas y algunos indicadores básicos: 25 . es muy alta. Introducción a la simulación de eventos discretos Una línea un servidor Llegadas Hora de Llegada Hora de Inicio de servicio Hora de Salida Wq W Wq = Tiempo en la fila Wq = Hora de inicio de servicio – Hora de Llegada W = Tiempo en el sistema W = Hora de salida – hora de Llegada Figura 1.13 26 . Análisis y modelación de sistemas discretos. un enfoque práctico Una línea múltiples servidores en paralelo Figura 1.14 Múltiples líneas y múltiples servidores en paralelo Figura 1.Simulación.15 27 . Introducción a la simulación de eventos discretos Múltiples Líneas y Múltiples servidores en secuencia Figura 1. realice el ejercicio anterior y comente. Suponga un sistema tal como el de una estación de trabajo en una fábrica donde se realiza un proceso de ensamble para conformar una pieza. simule 10 llegadas a este sistema y calcule lo siguiente: a) ¿Cuál es el tiempo promedio en el sistema que permanece cada pieza desde que llegan los componentes de esta hasta que sale ensamblada? b) ¿Cuál es el tiempo promedio en la fila que permanecen las piezas antes de ser ensambladas? c) ¿Cuál es el porcentaje de tiempo ocioso del servidor? d) Suponga que se tienen 2 operadores en esa línea. 1. 28 . las piezas llegan cada 5 minutos y el tiempo que tarda el operador en ensamblar es de 7 minutos.7 Ejemplos básicos de simulación 1.16 Es muy común que dentro de un sistema productivo existan combinaciones de los modelos típicos de líneas de espera dependiendo del tipo de actividad o proceso realizado. No existe una forma única de realizar los modelos. tiene mucho que ver la experiencia y habilidad del analista. el tiempo en la fila (Wq) y porcentaje de tiempo ocioso del servidor.Simulación. el modelo debe contener toda la información para responder a la problemática que se desea resolver. el modelo quedaría de la siguiente manera (ver tabla 1. hora de inicio y la hora de terminación. un enfoque práctico Solución: En este caso los únicos datos que se tienen son el tiempo entre llegadas y el tiempo de operación. Análisis y modelación de sistemas discretos. además deben incluirse columnas para las variables de salida: hora de llegada. tienen la particularidad de que son constantes pero por tratarse de un modelo inicial es válido para entender el concepto de la simulación.17): Piezas Operador Grupo de piezas Tiempo entre Llegadas Hora de Llegada Tiempo de Operación Hora de inicio Hora de Terminación 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 12 19 26 33 40 47 54 61 68 12 19 26 33 40 47 54 61 68 75 ∑ Tabla 1. pero como una manera metodológica de desarrollo. Se pide información sobre algunos indicadores básicos como el tiempo en el sistema (W).17 29 Tiempo Ocioso del operador 5 5 Tiempo en el Sistema Tiempo en Fila 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 160 2 4 6 8 10 12 14 16 18 90 . Para el inciso d.6% Es lógico que se está generando un cuello de botella.18 30 . en esta corrida de tamaño diez se puede apreciar cómo se va incrementando tanto el tiempo en el sistema como el tiempo en la fila. la matriz quedaría de la siguiente manera (ver tabla 1. Respuesta a los incisos: = a) Tiempo promedio en el sistema: = b) Tiempo promedio en la fila: = 16 = 90 c) Porcentaje de tiempo ocioso del servidor: = = 0. ya que las piezas llegan cada 5 minutos y el tiempo de operación es de 7 minutos.06 = 6.Introducción a la simulación de eventos discretos Recuérdese que: el tiempo en el sistema (W) = la hora de terminación – la hora de llegada el tiempo en la fila (Wq) = hora de inicio – hora de terminación.18): Operador 2 Operador 1 Grupo de Piezas Tiempo Entre llegadas Hora De Llegada Tiempo De operación Hora De inicio Hora De Termino Tiempo ocioso 1 2 Hora De inicio 5 5 7 5 12 5 - 5 10 7 - - - 10 3 5 15 7 15 22 3 - 4 5 20 7 - - - 5 5 25 7 25 32 Hora De Termino Piezas Tiempo ocioso W Wq - - 7 - 17 10 7 - - - 7 - 20 27 3 7 - 3 - - - 7 - 6 5 30 7 - - - 30 37 3 7 - 7 5 35 7 35 42 3 - - - 7 - 8 5 40 7 - - - 40 47 3 7 - 9 5 45 7 45 52 3 - - - 7 - 10 5 50 7 - - 5 50 57 ∑ 22 3 7 - 22 70 - Tabla 1. 59% Tabla 1. 2.59% = 0.3859 = 38. solo reducir costos de mano de obra.59% Evaluando las dos alternativas tenemos el resumen que se muestra en la tabla 1. si lo que se desea es optimizar el tiempo de operación del operador sin importar los niveles de producción. entonces se recomienda un solo servidor.19: % Ocioso promedio Alternativa 1 operador 2 operadores 16 minutos 7 minutos 9 minutos 0 minutos 6. estos tiempos son distribuidos de manera uniforme.Simulación. y se quiere simular la hora pico de llegadas en el área de cajas. suponga por simplicidad que el tiempo entre llegadas de los clientes varía entre 1 a 5 minutos y que el tiempo de servicio del cajero es de 3 a 7 minutos por cada cliente. Por otra parte si se tuvieran compromisos de producción y lo que se desea es producir volúmenes más elevados entonces se recomendarían dos operadores.3859 = 38. un enfoque práctico De la tabla anterior se obtiene lo siguiente: a) Tiempo promedio en el sistema: = = 7 b) Tiempo promedio en la fila: = = 0 c) Porcentaje de tiempo ocioso del operador 1: = Porcentaje de tiempo ocioso del operador 2: = = 0.6% 38. depende el objetivo que se tenga planteado. Considere un sistema de formación de colas de un solo canal (línea de espera) tal como el de un servidor de comida rápida (McDonald’s).19 ¿Qué se puede concluir de la tabla anterior?. Análisis y modelación de sistemas discretos. 31 . se puede entonces emular el experimento de asignar aleatoriamente un tiempo entre llegadas o tiempo de servicio para cada cliente que entra al sistema. Solución: La diferencia fundamental entre el ejemplo 1 y el 2 es que en este último las llegadas no son constantes.20 y 1.Introducción a la simulación de eventos discretos Suponga que el gerente no desea que los clientes duren más de 5 minutos haciendo fila en la caja.21 que se muestran a continuación: 32 . ¿Cuántos servidores son necesarios? Con base en una corrida de tamaño 10 clientes primeramente conteste lo siguiente: a) ¿Cuál es el tiempo promedio en el sistema que permanece cada cliente? b) ¿Cuál es el tiempo promedio en la fila que permanece cada cliente? ¿Es suficiente con un servidor? c) ¿Cuál es el porcentaje de tiempo ocioso del servidor? d) Realice el ejercicio anterior con dos servidores y comente. Las variables de entrada del modelo se pueden generar utilizando números aleatorios y buscando el correspondiente valor en las tablas 1. Una forma aleatoria de representar las llegadas por ejemplo es utilizando el método del sombrero. lo que le proporciona un efecto aleatorio al modelo el cual se entiende como el parecido con la realidad del sistema real con el que se desea representar. el cual consiste en escribir los minutos uno en cada pedazo de papel. doblarlos y sacarlos aleatoriamente de un recipiente con reposición para asignarlos a cada cliente que entra al sistema. Pero como no siempre es factible este método se puede entonces “imitar” utilizando los números aleatorios que sabemos están ubicados en el rango 0 – 1 y utilizando el concepto probabilístico de que la suma de las probabilidades de cada posible resultado para un experimento dado siempre es 1(probabilidad acumulada). Simulación.857 0.40 < Rnd ≤ 0.721 0.20 0.237 Tiempo de Servicio Hora de inicio Hora de Salida Tiempo Ocioso Tiempo en el Sistema Tiempo en Fila 6 5 6 4 5 3 5 6 3 4 3 9 14 20 24 29 32 37 43 46 9 14 20 24 29 32 37 43 46 50 ∑ 3 3 6 6 10 12 16 16 19 20 19 20 144 1 4 8 11 13 14 14 16 16 97 Tabla 1.00 Clases 0.00 Tabla 1.80 < Rnd ≤ 1.598 0.40 < Rnd ≤ 0.40 0.20 Generador para el tiempo de servicios Valor 3 4 5 6 7 Probabilidad 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 Probabilidad acumulada 0. un enfoque práctico Generador para el tiempo entre llegadas Valor 1 2 3 4 5 Probabilidad 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 Probabilidad acumulada 0.20 0.20 0.80 < Rnd ≤ 1.441 0.354 0.755 0.80 1.00 Clases 0.60 0.563 0.232 0.385 0.40 0.097 0.966 0.80 0.20 0.60 < Rnd ≤ 0.00 Tabla 1.60 < Rnd ≤ 0.21 Corrida tamaño 10 llegadas (ver tabla): Servidor Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Rnd Tiempo entre Llegadas 0.151 0.60 0.22 33 Cliente .509 Tiempo entre Llegadas Hora de Llegada 3 5 2 2 1 3 2 5 4 3 3 8 10 12 13 16 18 23 27 30 Rnd Tiempo De Servicio 0.20 < Rnd ≤ 0.717 0.00 ≤ Rnd ≤ 0.154 0.40 0.555 0.60 0.60 0.367 0.00 ≤ Rnd ≤ 0.80 1.20 < Rnd ≤ 0. Análisis y modelación de sistemas discretos.495 0.80 0.40 0.786 0. 06 = 6% d) Realizar el ejercicio con 2 servidores (ver tabla 1. 7 5 5 3 7 5 4 7 6 6 Hora de inicio 3 10 15 23 32 Hora de Salida 10 15 22 30 38 ∑ Servidor 2 Tiempo ocioso 3 1 2 6 Hora de inicio 7 12 15 20 27 - Hora de Salida 12 15 20 24 33 - Cliente Tiempo ocioso W Wq 7 3 5 15 7 5 7 4 10 6 5 7 6 6 63 2 1 3 1 1 8 Tabla 1.256 0.773 0.442 0.953 Tiempo entre Lleg.019 0.084 0. 3 7 8 11 12 14 19 23 27 32 Rnd 0.497 0.47% 34 .23).78% Porcentaje de tiempo ocioso del servidor 2: = = 0. 3 4 1 3 1 2 5 4 4 5 Hora De Lleg.3947 = 39.934 0.693 0.903 0.23 a) Tiempo promedio en el sistema: = = 6. c) Porcentaje de tiempo ocioso del servidor 1: = = 0.185 0.466 0.449 0. c) Porcentaje de tiempo ocioso del servidor: = = 0.794 Tiempo de Serv.899 0.3 b) Tiempo promedio en la fila: = = 0.1578 = 15.438 0.Introducción a la simulación de eventos discretos a) Tiempo promedio en el sistema: = b) Tiempo promedio en la fila: = = 14.343 0.8 ≈ 1 si se cumple el objetivo establecido por el gerente. Servidor 1 Cliente 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Rnd 0.7 por lo tanto no se cumple el objetivo establecido por el gerente en el cual se especifica que no se desea más de 5 minutos en promedio de espera en la fila.739 0.682 0.4 = 9.932 0. 000. La empresa quiere por lo menos alcanzar el punto de equilibrio en el primer trimestre de ventas.000 y 12. pero el objetivo principal era que los clientes no permanecieran más de 5 minutos en fila y con dos servidores se cumple ampliamente. Existe incertidumbre en cuanto a los costos variables y a la demanda del producto se refiere. un enfoque práctico El porcentaje promedio de tiempo ocioso es: 27.9 pesos por unidad con incrementos de 0.000 unidades.4 minutos 6 minutos 9. Suponga que una empresa está considerando el lanzamiento de un nuevo producto para niños.63% Tabla 1. La administración desea seguir adelante con el producto. 9. 3.63%.000 y 10.000 unidades. La empresa percibe que existe un 50% de posibilidades que sus competidores reaccionen rápidamente. 11. es por eso que se desea evaluar que puede suceder.8 ≈ 1 minuto 6% 27. Las mejores estimaciones son que los costos variables estarán entre $2.Simulación.10 pesos. se sabe que los costos fijos serán de $20.000 durante el primer trimestre del año y que el precio de venta debe ser de $5 pesos por unidad (esto por razones competitivas). Si no hay reacción rápida las ventas pueden llegar hasta 10.24 Lógicamente el tiempo ocioso promedio se incrementó. ¿Qué posibilidad existe de llegar por lo menos al punto de equilibrio durante el primer trimestre de ventas del producto? Solución: 35 . En la siguiente tabla 1.24 se puede ver una comparativa de las dos alternativas: % Ocioso promedio Alternativa 1 Servidor 2 Servidores 14.7 minutos 0. Se piensa que la demanda depende de la reacción de los competidores.000.0 y $2. Análisis y modelación de sistemas discretos. si reaccionan rápidamente el primer trimestre se espera que las ventas sean de 8. 000 1/3 1/3 1/3 Probabilidad Acumulada 0.26 36 .0000 ≤ Rnd ≤ 0.6666 1. costos fijos.Introducción a la simulación de eventos discretos Este tipo de problema es totalmente diferente a las aplicaciones básicas de líneas de espera.50 0.000 10.0000 Tabla 1. el objetivo es obtener ganancias o utilidades.000 9.) Considerar los siguiente.50 0. Como la finalidad que persigue cualquier empresa. por lo que el objetivo principal es verificar si se espera obtener alguna utilidad con los elementos que se conocen (costos variables.3333 < Rnd ≤ 0. etc.50 1.00 Tabla 1. precio de venta.25 Generador para la Demanda con Reacción Rápida Demanda Probabilidad 8.3333 0.6666 0.3333 0.50 < Rnd ≤ 1.6666 < Rnd ≤ 1.50 Probabilidad Acumulada 0.00 ≤ Rnd ≤ 0. Utilidad = ingresos – egresos Utilidad= (Volumen de ventas)(Precio de venta) – ((costo variable) (volumen de ventas)+ costo fijo)) Las variables de entrada del modelo son: El costo variable de producción La reacción de la competencia La demanda del producto En las siguientes tablas se pueden ver los generadores de estas variables: Generador de la Reacción de la Competencia Reacción de la Competencia Rápida Lenta Probabilidad 0.0000 Clases 0. por lo que se tendrán que buscar los indicadores para realizar el modelo tabular.00 Clases 0. 40 2.00 Tabla 1.20 2.70 0.50 0.60 0.90 < Rnd ≤ 1.000 11.40 0.10 0.10 0.10 2.80 2.27 Generador para el Costo Variable Costo Variable 2.10 0.0000 Tabla 1.10 0.60 0.30 ≤ Rnd ≤ 0.40 0.10 0.0000 Clases 0.6666 1.28 37 Clases 0.60 ≤ Rnd ≤ 0.50 2.10 0.80 < Rnd ≤ 0.20 0.20 < Rnd ≤ 0.3333 0.000 1/3 1/3 1/3 Probabilidad Acumulada 0. un enfoque práctico Generador para la Demanda con Reacción Lenta Demanda Probabilidad 10.80 0.10 0.90 Probabilidad 0. Análisis y modelación de sistemas discretos.40 < Rnd ≤ 0.6666 0.20 0.3333 0.000 12.0000 ≤ Rnd ≤ 0.10 0.90 0.50 < Rnd ≤ 0.70 0.60 2.00 .70 2.50 0.00 2.30 0.70 < Rnd ≤ 0.10 0.10 0.Simulación.10 Probabilidad Acumulada 0.10 0.80 0.3333 < Rnd ≤ 0.30 0.90 1.10 < Rnd ≤ 0.00 ≤ Rnd ≤ 0.30 2.6666 < Rnd ≤ 1. 60 Ingresos Por Ventas ($5.499 0.000 21.000 12.80 2.267 0.90 2.000 20.800 26.400 23.998 0.000 20.000 55.400 24.000 20.106 0. Se puede considerar otro indicador como la utilidad promedio.000 20.000 20.757 0.000 9.400 -3.000 31.000 55.40 2.982 0.379 0.961 0.486 0. incluso hacer un análisis de sensibilidad evaluando con diferentes precios de venta para verificar hasta que tanto se puede reducir este y seguir obteniendo utilidades. pero eso depende de la profundidad del análisis y del tiempo con que se disponga para tomar la decisión más adecuada.000 11.416 9.282 0.200 8.400 Tabla 1.000 50.113 0.000 8.000 20.600 22.586 0.181 0.000 55.000 10.800 6.000 0.636 0.620 2. 1.163 0.500 3.867 0.442 0.200 25.895 0.524 0.000 11.588 Rápida Rápida Rápida Lenta Lenta Lenta Rápida Rápida Lenta Lenta 0.200 28.100 -2.400 2.200 14.10 2.000 3.Introducción a la simulación de eventos discretos Si se dan 10 corridas de tamaño 1 semestre el modelo quedaría de la siguiente manera: Egresos Semestre Rnd Reacción Reacción Rnd demanda Demanda Rnd Costo variable Costo variable ($) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.10 2.271 0.000 40.000 40.90 2.000 45.40 2.8 Problemas propuestos 1.50 2.000 8. las piezas llegan 4 cada minutos y el tiempo que tarda el operador en ensamblar es de 7 minutos.664 0.600 6.000 11.454 0.29 De acuerdo a la simulación anterior existe un 80% de posibilidades de lograr por lo menos el punto de equilibrio.072 0.000 20.500 16.000 20.000 40.000 60.900 22.490 0.000 Costo Fijo Costo Variable Utilidad 20.569 0.000 8.000 20.494 0. lo que es alentador para la empresa siempre y cuando los datos de entrada sean confiables. Simule un sistema en el cual se realiza un operación de ensamble para conformar una producto.40 2.0 u) 45.734 0. simule 10 llegadas a este sistema y calcule lo siguiente: 38 .600 3. suponga por simplicidad que el tiempo entre llegadas de los clientes varía entre 2 a 5 minutos y que el tiempo de servicio del cajero varia de de 3 a 7 minutos por cada cliente. Análisis y modelación de sistemas discretos. 2. Suponga que el gerente del banco no desea que los clientes duren más de 4 minutos haciendo fila en la caja. El costo de no tener un auto disponible cuando se solicita es de $300 y el de tener un auto ocioso durante el día es de $200. El costo promedio anual es de $200. realice el ejercicio anterior y comente. ¿Cuántos cajeros son necesarios? Con base en una corrida de tamaño 10 clientes primeramente conteste lo siguiente: a) ¿Cuál es el tiempo promedio en el sistema que permanece cada cliente? b) ¿Cuál es el tiempo promedio en la fila que permanece cada cliente? ¿Es suficiente con un cajero automático? c) Realice el ejercicio anterior con dos cajeros y comente. Una compañía desea establecer un negocio de renta de autos. un enfoque práctico a) ¿Cuál es el tiempo promedio en el sistema que permanece cada pieza desde que llegan los componentes de esta hasta que sale ensamblada? b) ¿Cuál es el tiempo promedio en la fila que permanecen las piezas antes de ser ensambladas? c) ¿Cuál es el porcentaje de tiempo ocioso del servidor? d) Suponga que se tienen 2 operadores en esa línea. el gerente quiere saber el número de autos óptimo a comprar. estos tiempos son distribuidos de manera uniforme. la renta diaria por auto se fijará en $700. Considere un sistema de líneas de espera tal como el de un cajero automático.000 por auto. 3. se encontró que el número de autos rentados por día así como el número de días rentados es como se muestra a continuación: 39 .Simulación. De acuerdo a una investigación realizada. media y baja. Si la demanda es mayor que la oferta. Los datos muestran que la demanda varía de 36 a 96 panes diarios. La empresa quisiera saber el número óptimo de panes que se deben producir cada día para maximizar las ganancias. suponemos un costo por ganancia pérdida. Los registros de la panadería muestran que la demanda diaria se puede clasificar en tres tipos: alta. cada pan tiene un costo de producción de $2 Suponga que la demanda diaria total de pan también se presenta en múltiplos de 12. 4. 0. 40 . La panadería la Trinidad satisface la demanda del día con pan recién horneado. estas se presentan con probabilidades de 0.45 y 0.25 respectivamente.30. Días Rentados 1 2 3 4 Frecuencia Observada 40 35 15 10 a) ¿Cuáles son las variables de entrada de este modelo? b) ¿Cuál es el principal indicador para determinar el número óptimo de autos a comprar? c) ¿Cuáles son las alternativas que se pueden considerar para este modelo? d) Realice una corrida de tamaño 10 autos para cada una de las alternativas y recomiende cuantos comprar. este se vende a una cocina de beneficencia a un precio de recuperación $1 cada pan. El pan se produce en lotes de docenas de panes. Un pan se vende a $4 y si sobra pan al final del día.Introducción a la simulación de eventos discretos No. de Autos Rentados 0 1 2 3 4 Frecuencia Observada 15 25 45 10 5 No. 10 0.300. Digamos que existe el 50% de posibilidades para $50y 25% tanto para $48 como para $52. 5. Esperamos niveles de ventas de 5.25 0. 6. Gerente: ¿Qué sucede con el costo variable? Contabilidad: Después de consultar a nuestros departamentos de ingeniería y producción.05 0. Producción: Para producirlo necesitamos alguna maquinaria nueva.30 0. Lea y desarrolle el siguiente caso: Gerente: Señores.10 0.30 0. He costeado cuidadosamente estas necesidades y ascienden a un total de $200.05 a) ¿Cuáles son las variables de entrada de este modelo? b) ¿Cuál es el principal indicador para determinar el número óptimo de panes a producir? c) ¿Cuáles son las alternativas que se pueden considerar para este modelo? d) Realice una corrida de tamaño 10 días para cada una de las alternativas y haga las recomendaciones que considere pertinentes.Simulación. la cuestión clave es: ¿se obtendrá una ganancia? Ventas: Pienso que la demanda puede estimarse bastante bien basándonos en nuestros estudios.20 0. hemos llegado a un costo esperado entre $48 y $52. 41 . Análisis y modelación de sistemas discretos. Estadísticamente estimamos que el primer y tercer nivel de ventas tengan un peso probabilístico de un 35%.35 0.000 de costos fijos.10 0.25 0. Diría que hay 50% de posibilidades para los $200.000 y 25% para $198.700 unidades. Por supuesto.10 0.000 y 6.000.10 0. un enfoque práctico Demanda 36 48 60 72 84 96 Distribución de la Demanda Alta Media Baja 0.15 0.05 0.25 0. el desarrollo de nuestro nuevo producto ha alcanzado el punto en que debemos tomar una decisión sobre la producción.000 o para $202.15 0. una persona más en mantenimiento y relocalización de algunas estaciones de trabajo existentes.15 0. tendremos una ganancia con el lanzamiento del nuevo producto durante el primer semestre del año.Introducción a la simulación de eventos discretos Ventas: Eso parece bien por qué podremos cobrar alrededor de $100 por unidad. podríamos perder dinero si quedamos en el lado bajo de sus estimaciones. 42 . Para ser más preciso. Gerente: Veo que todos ustedes han tomado recientemente cursos de estadística. un pronóstico de $100 con un 50% de posibilidades y una probabilidad del 25% para $95 o $105. Si uso sus datos promedio. permítanme elaborar una simulación para ustedes. Pero. Ingeniero industrial Señores. Les ayudará a tomar una decisión. aunque con lograr el punto de equilibrio estaría bien. Análisis y modelación de sistemas discretos. un enfoque práctico Capitulo 2: Números pseudoaleatorios 43 .Simulación. Números pseudoaleatorios 44 . en las aplicaciones básicas de la simulación. que se ajusten a la función de densidad de probabilidad uniforme continua: 1 ( )= 0≤ ≤1 0 b) El concepto de estadísticamente independientes se refiere a que la probabilidad de generar un número siempre será la misma. los números aleatorios (o pseudoaleatorios como se les denomina ya que provienen de alguna fórmula matemática) juegan un papel muy importante al momento de simular algún sistema ya que con la ayuda de estos se pueden generar las variables de entrada del modelo.Simulación. un enfoque práctico 2.5 Con 2= 1/12 a) Deben estar uniformemente distribuidos en el intervalo [0. uniformes o simplemente aleatorios y como se mencionó anteriormente son de suma importancia por su uso en la generación de variables aleatorias. También son los que le dan esa característica de “parecido con la realidad” ya que las variables de entrada generalmente son probabilísticas.2 Características de los números pseudoaleatorios Los números pseudoaleatorios. Con µ = 0. Análisis y modelación de sistemas discretos. Estadísticamente independientes. Es decir.1 Números pseudoaleatorios Como pudo observarse en el capítulo anterior. 2. A los números pseudoaleatorios también se les llama: números rectangulares. De período largo o completo. es decir. 45 . pueden considerarse como aleatorios si cumplen con las siguientes características: a) b) c) d) e) Que sean uniformemente distribuidos.1]. La explicación matemática de esto es como sigue en la figura 2. c) Se le llama periodo a la cantidad de números que pueden generarse con una fórmula o algoritmo determinado. d) Si los números se distribuyen uniformemente (todos con la misma probabilidad de ocurrencia) luego entonces se espera que la media de todos los números posibles que se puedan generar cuando n tiende a infinito es de µ = ½ ya que estos se encuentran en el rango 0 – 1.1 46 1 − ℎ = = ≤ = ≤ . son deseables periodos de vida mínimos de n=231 o n=264 aunque en la actualidad se cuenta con generadores y procesadores capaces de construir una secuencia de números con periodo de vida de n=2200.Números pseudoaleatorios la ocurrencia de un número aleatorio no determina la ocurrencia del siguiente y así sucesivamente.1: = ( )( ℎ) 1 = ( − ) (ℎ) ℎ 1 − ( )= ( ) = μ = = Figura 2. A continuación se presentan diferentes algoritmos determinísticos para generar los números pseudoaleatorios. Lo que se debe tener en cuenta es que los números generados cumplan las características señaladas en el punto 2. un enfoque práctico e) De la misma manera que se obtuvo la media. 2. mismo que servirá como la nueva semilla y así sucesivamente. partiendo de la misma distribución uniforme continua la varianza se obtiene por medio de: = ( − ) = − = 1 1 1 1 − + = 3 2 4 12 + = = − − 1 2 + = 2.3.3 Generación de los números pseudoaleatorios Generar un conjunto de ri números pseudoaleatorios es relativamente sencillo.1 Algoritmo de cuadrados medios Este es un algoritmo no congruencial y se fundamenta en la elevación al cuadrado de una “semilla” de n dígitos tomando los d dígitos centrales para conformar el nuevo número. 47 . Existen muchos algoritmos pero en general se pueden clasificar en algoritmos no congruenciales y algoritmos congruenciales. 2. Análisis y modelación de sistemas discretos. solo se tiene que aplicar algún algoritmo de generación (sucesiones de dígitos por medio de una relación de recurrencia. Sea entonces ri=0.2. Los pasos para este algoritmo son: 1.d dígitos del centro.Simulación. Seleccionar una semilla (X0) con d dígitos (d > 3).) o incluso diseñar un propio algoritmo de generación. Elevar al cuadrado X0 y sea X1 = d dígitos del centro. 2. Nota: Si no es posible obtener los d dígitos del centro del número Yi se pueden tomar los d dígitos cargados un dígito hacia la derecha o hacia la izquierda.d dígitos del centro para toda i = 1. 4. 48 .. Sea Xi+2= los d dígitos del centro.3. Sea Yi=(Xi) (Xi+1).…. Seleccionar una semilla (X0) con d dígitos (d > 3). Los pasos son como se enumeran a continuación: 1. Seleccionar una semilla (X1) con d dígitos (d > 3). y sea Xi+1= los d dígitos del centro y ri=0. 4.2890 Tabla 2. y sea ri=0.6546 r3 = 0.3.Números pseudoaleatorios 3.2 Algoritmo de productos medios Este es otro algoritmo no congruencial y la mecánica es similar al anterior.n. 3.. Repetir el paso 3 hasta obtener los n números ri deseados..5353 Y1 = 5353 = 28654609 Y2 = 6546 = 42850116 Y3 = 8501 = 72267001 Y4 = 2670 = 7128900 X2 = 6546 X3 = 8501 X4 = 2670 X5 = 2890 r2 = 0. Sea X2= los d dígitos del centro.3.8501 r4 = 0. ambas con d dígitos y en lugar de elevarlas al cuadrado.2. Repetir el paso 4 hasta obtener los n números ri deseados. La diferencia radica en que el algoritmo de productos medios requiere dos semillas. 2.d dígitos del centro. se multiplican y del producto se seleccionan los d dígitos del centro. Sea Yi = resultado de elevar Xi al cuadrado.2670 r5 = 0.2 2. Ejemplo 2.d del centro para toda i = 1. y sea ri+1=0. ver tabla 2.1 Generar los primeros 5 números ri de 4 dígitos (d) a partir de la semilla X0=9876.n 5. Sea Y0=(X0) (X1).2: Y0 = 9876 = 97535376 X1 = 5353 r1 = 0. 6214 Y2= (1832)(6214)=11384048 X4=3840 r3=0. a.6863 Tabla 2. c. Ejemplo 2.3. Este método tiene la siguiente relación de recurrencia: Xn+1 = (aXn + c) mod m Donde: X0 = Semilla a = Factor multiplicador c = Constante aditiva m = magnitud del módulo Los requisitos mínimos que estos parámetros deben satisfacer son: X0. Es muy importante aclarar que en la selección de los parámetros de los generadores congruenciales deben seguirse reglas y teoremas muy 49 . enteros y m >a.3: Y0= (9638)(8527)= 82183226 X2=1832 r1=0.2 Generar los primeros 7 números ri de 4 dígitos (d) a partir de las semillas X0=9638 y X1=8527. m >c. m >X0.Simulación. m ≥ 0. ver tabla 2.3840 Y3= (6214)(3840)=23861760 X5=8617 r4=0.1832 Y1= (8527)(1832)=15621464 X3=6214 r2=0. un enfoque práctico Nota: Si no es posible obtener los d dígitos del centro del número Yi se pueden tomar los d dígitos cargados un dígito hacia la derecha o hacia la izquierda. Análisis y modelación de sistemas discretos.0892 Y5= (8617)(0892)=7686364 X7=6863 r6=0.8617 Y4= (3840)(8617)=33089280 X6=0892 r5=0. Aquí mod representa a la operación aritmética módulo entre enteros a y b tal que el resultado de a mod b es el residuo entero de la división a entre b.3 2.3 Algoritmo congruencial mixto Los métodos congruenciales están basados en el álgebra de congruencias. 4 Algoritmo congruencial multiplicativo Este método es muy similar al anterior salvo por la constante aditiva que en este caso no se considera. c=7 y mod=8.4 2.875 r6= 2/8 = 0. m ≥ 0. Los resultados son como se muestran en la tabla 2. a. La relación de recurrencia es: Xn+1 = (aXn) mod m Donde: X0 = Semilla a = Factor multiplicador m = magnitud del módulo Los requisitos mínimos que estos parámetros deben satisfacer son: X0. enteros y m >a y m >X0.500 Tabla 2. a=5.Números pseudoaleatorios estrictos pero como todos los lenguajes de uso específico de simulación ya incluyen sus propios generadores de números pseudoaleatorios solo se expondrán ejemplos meramente didácticos para ver cómo funcionan los generadores congruenciales.375 r2= 6/8 = 0.3.125 r8= 4/8 = 0.000 r5= 7/8 = 0.250 r7= 1/8 = 0. Ejemplo 2.3 Genere 8 números a partir del generador congruencial mixto: considere X0 = 4.625 r4= 0/8 = 0.4: Generador X1 = ((5)(4) + 7) mod 8 X2 =( (5)(3) + 7) mod 8 X3 = ((5)(6)+ 7) mod 8 X4 = ((5)(5) + 7) mod 8 X5 =((5)(0) + 7) mod 8 X6 =((5)(7) + 7) mod 8 X7 =((5)(2) + 7) mod 8 X8 =((5)(1) + 7) mod 8 División 27/8 = 3 + 3/8 22/8 = 2 + 6/8 37/8 = 4 + 5/8 32/8 = 4 + 0/8 7/8 = 0 + 7/8 42/8 = 5 + 2/8 17/8 = 2 + 1/8 12/8 = 1 + 4/8 Xi X1= 3 X2= 6 X3= 5 X4= 0 X5= 7 X6= 2 X7= 1 X6= 4 Número Aleatorio r1= 3/8 = 0.750 r3= 5/8 = 0. 50 . Establecer las hipótesis nula y alternativa: H0 y H1 2.4 Pruebas estadísticas de aleatoriedad Como el valor de las variables aleatorias de un modelo dado. El proceso general de las pruebas de hipótesis es como sigue: 1. rechazar algo cuando es verdadero) y 1-.1]. es importante verificar que los números aleatorios generados cumplan con la característica de uniformidad [0. a=3 y mod=100.5 Tabla 2. X2. 3. F.10%. etc. Usualmente = 1%. Dichas pruebas están basadas en el proceso estadístico de pruebas de hipótesis variando únicamente los estadísticos de prueba. Determinar el nivel de confianza (error tipo I. Para ello se aplicarán algunas de las muchas pruebas estadísticas que han sido desarrolladas para probar la uniformidad y aleatoriedad o independencia de los números aleatorios.5 2. un enfoque práctico Ejemplo 2. Dependiendo de la prueba utilizar el estadístico de prueba correspondiente: Zc.4 Genere 8 números a partir del generador congruencial multiplicativo: considere X0 = 51. 51 .5%. Análisis y modelación de sistemas discretos.Simulación. dependen de los números aleatorios. Los resultados son como se muestran en la tabla 2. Números pseudoaleatorios 4. Finalmente formular una conclusión agregando el tamaño de la muestra y el nivel de significación . Región de rechazo y no rechazo para una distribución que utiliza el estadístico de prueba de una distribución normal Área de rechazo /2 1- Área de no rechazo Área de rechazo /2 Figura 2. Ejemplo: “Existe suficiente evidencia para decir que los números se distribuyen uniformemente ya que Zc < Z/2 considerando n = 100 y = 0. Tomar una decisión comparando el estadístico de prueba contra el valor de tablas. Determinar la región de rechazo y no rechazo (ver figura 2.6 5.05” 52 .6). ℎ 6. | |≤ < ℎ . H0: = 0.5 2.5 H1: 0.4.Simulación. Determinar las regiones de rechazo y no rechazo para los valores de considerados. Concluir. Los pasos son los siguientes: 1.1 Prueba de los promedios Esta prueba está basada en la media de los números aleatorios y esencialmente consiste en comparar la media de una muestra de tamaño n contra la media de toda la población de números que puedan generarse (cuando n tiende a ): . Análisis y modelación de sistemas discretos.5 Realice la prueba de los promedios a los 40 números aleatorios de la tabla 2. un enfoque práctico 2.5) / 1 12 4. Tomar la decisión para cada valor de . 6. Estadístico de prueba: = ( − 0. Calcular la de los n números generados: = ∑ 3. 5. 53 .7 de abajo considerando: a) = 1%. Ejemplo 2. b) = 5% y c) = 10% y concluya. 9324 0.1374 0.5 2.2186 0.2415 0. Calcular la de los n números generados: = ∑ / = − 1.3697 0.9052 0.7344 0.1126 0.8155 0.42913 3.3207 0.7143 0.0449 0.7 Solución: 1.4826 0.3395 0.5) 1 12 (40) 4.1528 0.2530 0.0643 0. H0: = 0.55 = 0.2971 0.1394 0.4579 0.5657 0.7542 0.9720 0.9851 0.0721 0.5062 0.5 H1: 0.6208 0.0773 0.2974 0.42913 − 0. Estadístico de prueba: = (0.3276 Tabla 2.0361 0.0541 0.5155 0.Números pseudoaleatorios 0.2052 0. Calculo de la región de rechazo y no rechazo: 54 .5658 0.2244 0.6370 0.5824 0.7062 0.7263 0. 575 ZC = .025 .Simulación.96 Área de rechazo 0.2.55 5.55 55 .005 .99 Área de rechazo Área de no rechazo 0.005 + 2.025 + 1.575 Área de rechazo 0. Decisión: Como ZC < Zα/2 entonces no rechazar H0 6. Análisis y modelación de sistemas discretos.01” b) = 0.1.1.95 Área de rechazo Área de no rechazo 0.1.96 ZC = .05 0. Conclusión: “Existe suficiente evidencia para decir que los números aleatorios se distribuyen uniformemente considerando n=40 y α=0. un enfoque práctico a) = 0.01 0. Números pseudoaleatorios 5. Conclusión: “Existe suficiente evidencia para decir que los números aleatorios se distribuyen uniformemente considerando n=40 y α=0.1] en k subintervalos y verificar la cantidad de números aleatorios que “caen” en cada partición contra los que deberían ser suponiendo que estos se distribuyen uniformemente. Es en realidad una prueba de bondad y ajuste (utiliza el 56 .90 Área de no rechazo 0. Conclusión.05” c) = 0.1. Decisión: Como ZC < Zα/2 entonces no rechazar H0 6.05 .1.96 ZC = .55 5.4. “Existe suficiente evidencia para decir que los números aleatorios se distribuyen uniformemente considerando n=40 y α=0.96 Área de rechazo 0. Decisión: Como ZC < Zα/2 entonces no rechazar H0 6.05 + 1.10” Conclusión general: “Como la hipótesis nula no se rechaza con ninguno de los tres valores de .10 Área de rechazo 0.2 Prueba de las frecuencias Esta prueba consiste en dividir el espacio [0. entonces se trata de una prueba altamente significativa para decir que los números se distribuyen uniformemente considerando n=40”. 2. H0: Los números se distribuyen uniformemente. 6. El ancho del intervalo es: = 1/ 5.05) 8. Tomar la decisión. 9. Concluir. Análisis y modelación de sistemas discretos.Simulación. 57 . Asignar un número de subintervalos k 3. H1: Los números no se distribuyen uniformemente 2. Los pasos son los siguientes: 1. La frecuencia observada (FO) es la cantidad de números aleatorios que se ubican en cada partición del espacio 0 -1. Determinar las regiones de rechazo y no rechazo para los valores de considerados (por omisión =0. un enfoque práctico estadístico de prueba de la ) donde la mide la dispersión que existe entre los valores esperados y los observados. Estadístico de prueba: = ( − ) 7. La frecuencia esperada es: = / 4. 2406 0. Calculo de : Clases FO FE FO-FE (FO-FE)2 0 ≤ r ≤ 0.1455 0.2 ) .9925 0.5873 0.7273 0.2572 0.7999 0.2851 0.9508 0.4 2.9 58 ( − 1.1561 0.2044 0.2 5.1 3.4182 0.1057 0.7890 0.6 Aplicar la prueba de las frecuencias a los 50 números que se muestran en la tabla 2.8825 0.3982 0.6 0.8 de abajo considerando a) k=5 y b) k=10: 0.8564 0.2 0.8 < r ≤ 1 ∑ 6 12 5 11 16 50 10 10 10 10 10 50 -4 2 -5 1 6 16 4 25 1 36 = Tabla 2.6 0.5 0.9246 0.3879 0.1331 0.9552 0.7302 0.6809 0.9071 0.7263 0. AC= 1/5 = 0.2793 0.9306 0.3778 0.2126 0.7271 0.6973 0.Números pseudoaleatorios Ejemplo 2. H0: Los números se distribuyen uniformemente.0011 0.3359 0.8879 0.2233 0. FE= 50/5 = 10 4.4 < r ≤ 0.4 0.9357 0.6 < r ≤ 0.7262 0.9680 0.6 8.8493 0. H1: Los números no se distribuyen uniformemente 2.5290 0.8442 0. K=5 3.6818 Tabla 2.8 0.9921 0.1970 0.4665 0.8247 0.8 Solución: a) k = 5 1.2388 0.2 < r ≤ 0.9250 0.4825 0.7545 0. Simulación.95 0 = 0. un enfoque práctico 6.05 V = 5 – 1 = 4 grados de libertad. H0: Los números se distribuyen uniformemente. = 9. FE= 50/10 = 5 4. entonces no rechazar H0. La región de rechazo y no rechazo está dada por: 1- 0. K=5 y = 0. Para obtener el valor de tablas. AC= 1/10 = 0.49 7. K=10 3.49 < 8. Calculo de : ver tabla 2. H1: Los números no se distribuyen uniformemente 2. es necesario primero calcular los grados de libertad: V = k-1. Conclusión: “Existe suficiente evidencia para decir que los números se distribuyen uniformemente. considerando n = 50. Análisis y modelación de sistemas discretos.2 9. . y el valor de = 0. .05 =8.1 5. 9. = . Decisión: Como .05” Solución: b) k = 10 1.10 59 . 8 < r ≤ 0. 60 .8 0.2 < r ≤ 0.9 0.05.3 0. .9 < r ≤ 1 ∑ 1 5 8 4 3 2 3 8 6 10 50 6 12 5 11 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 50 ( − FO-FE (FO-FE)2 10 -4 16 1.8 FE = ) Tabla 2. En este caso quedan 6 clases una vez que se agruparon los valores de las celdas menores a 5.1 < r ≤ 0. 6.4 10 -5 25 2.7 < r ≤ 0.0 ≤ r ≤ 0.4 0.0 9.2 5.Números pseudoaleatorios Clases FO 0.6 10 2 4 0.2 0. Para obtener el valor de tablas. = = 11.1 0.7 0.1 1 5 1 25 0. es necesario primero calcular los grados de libertad: V = k-1.5 < r ≤ 0. . También se pueden agrupar varias celdas menores de 5 para sumar entre todas 5 o un valor mayor.07 .5 0.6 0.6 < r ≤ 0. V = 6 – 1 = 5 grados de libertad. y el valor de = 0. Por supuesto que esto modifica también el cálculo de los grados de libertad.5 10 1 1 0.3 < r ≤ 0.10 Nota: una condición de la prueba de bondad y ajuste es que debe existir un número mínimo de observaciones por celda (5) es por esto que se tienen que agrupar los valores de celda que sean menores de 5 con el valor de celda inmediato superior o inferior según sea el caso.4 < r ≤ 0. 8 11. 9. H0: Los números se distribuyen uniformemente.05 =9.07 < 8. También se utiliza la prueba de bondad y ajuste en este caso comparando el número de jugadas observadas en cada celda contra las jugadas esperadas. K=10 y = 0. Análisis y modelación de sistemas discretos. Decisión: Como .05” Conclusión general: “Como con los dos valores de k no se rechaza H0 entonces se considera una prueba altamente significativa. para decir que los números siguen una distribución uniforme” 2.95 0 = 0. un enfoque práctico 7.4. Pasos: 1. considerando n = 50. La región de rechazo y no rechazo está dada por: 1- 0.3 Prueba del póker. Conclusión: “Existe suficiente evidencia para decir que los números se distribuyen uniformemente.Simulación. H1: Los números no se distribuyen uniformemente 61 . entonces no se rechaza H0. Cada número aleatorio debe tener 5 dígitos y las jugadas están basadas en los valores numéricos de cada dígito sin considerar las jugadas con figuras de la baraja original. Esta prueba considera los dígitos del número aleatorio de manera individual y los clasifica en “jugadas” emulando el juego de cartas de poker. 62 .3024 0.05) 7. Concluir.0045 0. La frecuencia observada (FO) es la cantidad de “jugadas” que se ubican en cada celda.Números pseudoaleatorios 2.0090 0. 5. Tomar la decisión. Estadístico de prueba: ( − ) = 6.0720 0.5040 0. 8. Determinar las regiones de rechazo y no rechazo para los valores de considerados (por omisión =0. ver la tabla 2.11: Jugadas (x) Todos diferentes Un par Dos pares Tercia Full Póker Quintilla Probabilidad de Ocurrencia f(x) 0.0001 Tabla 2. La frecuencia esperada es: =( ) ( ) 4.11 3. Jugadas.1080 0. 29121 0.06359 0.37665 0.27950 0.04543 0.651 ) .05462 0.13 4.80 7.57563 0.56090 0.81727 0.56938 0.7 Aplicar la prueba del póker a los 100 números que se muestran a continuación en la tabla 2.31334 0.32024 0.24422 0.66905 0.26439 0.67429 0.37347 0. Como se mencionó anteriormente.24 2.24 50.5040 0.70207 0. Calculo de ver la tabla 2.53029 0.40 10. y el valor 63 0.60 1.3024 0.81618 0.09683 0.12: 0.14836 0.65589 0.21871 0.10144 0.0045 0.30992 0.76514 0.24623 0.78364 0.64306 0.60460 0.17791 0.22031 0.94045 0.03764 0.30297 0.36869 0.23036 0.86353 0.52118 0.44946 0.74264 0.13522 0.133 0.36737 0.314 ( − 0.38562 0.31590 0. H1: Los números no se distribuyen uniformemente 2. Tamaño de la muestra: n = 100 3. Análisis y modelación de sistemas discretos.84387 0.99206 0.46671 0.20 (FOFE)2 10.80772 0.33886 0.55963 0.94338 0. para obtener el valor de tablas.63935 0.04372 0.56 0.0001 1 FO FE 27 53 12 5 2 1 0 100 30.45 0.21890 0.96107 0.99704 0.48597 0.48642 0.40785 0.56 FOFE -3.01430 0.26924 0.Simulación.39582 0.76 1.134 0.01 100 8 8.72269 0.1080 0.93187 0.38088 0.81903 0.33942 0.75091 0.32886 0.91186 0.28123 0.28189 0.51952 0.81286 0. es necesario primero calcular los grados de libertad: V = k-1.347 0.75224 0.21707 0.31128 0.90 0.13548 0.85366 0.42163 0.20 0.24923 0.82446 0.07030 0.98381 0.33388 0.0090 0.0720 0. H0: Los números se distribuyen uniformemente.44 -0.33174 0.80680 0. un enfoque práctico Ejemplo 2.56367 0.22901 Tabla 2.50 6.12 Solución: 1.59700 0.90993 0.037 = Tabla 2.88695 0.58583 0.13: Jugadas (x) Todos diferentes Un par Dos pares Tercia Full Póker Quintilla ∑ Probabilidad f(x) 0.54555 0.66228 0.10688 0.36740 0.10515 0. En este caso quedan 4 clases una vez que se agruparon los valores de las celdas menores a 5. V = 4 – 1 = 3 grados de libertad. ( )= ∑ ( ) 5. Calcular la probabilidad relativa de los números generados con la donde i es la posición que ocupa el siguiente expresión: ( ) = número aleatorio Xi.95 0 =0.05” 2. considerando n = 100 y = 0. Ordenar dichos números en forma ascendente ri. 6. 4.81 . Establecer: H0: Los números se distribuyen uniformemente. . Generar una muestra de números aleatorios de tamaño n. entonces no se rechaza H0. = = 7. H1: Los números no se distribuyen uniformemente 3.4 Prueba de Kolmogorov-Smirnov Esta prueba consta de los siguientes pasos: 1. Decisión: Como . Región de rechazo y no rechazo para el ejercicio: 1- 0. Conclusión: “Existe suficiente evidencia para decir que los números si se distribuyen uniformemente. . Calcular la distribución acumulada: 64 .Números pseudoaleatorios de =0.05. 2.05 7.651 = 0.81 < 5.4. 2560 0.5324 0. Ordenar los números aleatorios y aplicar las correspondientes.1528 0.9898 0.14 Solución: 1.15 operaciones 65 .2522 0.0648 0. 0. Calcular las diferencias absolutas entre cada valor ordenado ri y la respectiva distribución acumulada Fn (xi) 7.0430 0.9579 0.05. H0: Los números se distribuyen uniformemente.3611 0.6218 0.4683 0.6807 0.3219 0.2965 0.5691 0.14 considerando =0.3337 0.9840 0.3072 0.8760 0.6632 0.0740 0. Tomar la diferencia absoluta mayor de acuerdo a: = á | ( )− | 8.4595 Tabla 2.3454 0.5009 0. Ejemplo 2.1602 0. Ver tabla 2.1757 0.5820 0.n entonces no se puede rechazar la hipótesis de que los números tienen una distribución uniforme.9240 0.6107 0.8 Aplique la prueba de Kolmogorov-Smirnov a los números que se muestran a continuación en la tabla 2.2110 0.7706 0.Simulación.7512 0.0889 0.4502 0. Análisis y modelación de sistemas discretos.7292 0. H1: Los números no se distribuyen uniformemente 2. un enfoque práctico 6.4732 0.8715 0.9058 0.9652 0.1623 0. Si Dn < d. 0243 0.9840 0.0148 0.5009 0.0180 0.5324 0.4250 0.0443 0.6218 0.0238 0.2522 0.7500 0.3072 0.1000 0.0250 0.1528 0.8715 0.7750 0.6500 0.9240 0.4732 0.2110 0.2965 0.3337 0.0155 0.0639 0.3454 0.0393 0.9579 0.5820 0.0889 0.1602 0.4595 0.8250 0.9500 0.7000 0.0240 0.4750 0.9750 1.3750 0.3611 0.0426 0.0500 0.3250 0.0368 0.0281 0.5250 0.8750 0.0102 .4000 0.0546 0.0000 Tabla 2.1757 0.8500 0.0208 0.0317 0.0740 0.0309 0.7292 0.0413 0.8000 0.0190 0.9058 0.6250 0.0491 0.6107 0.5750 0.0518 0.2250 0.2500 0.9898 ( )= 0.0465 0.7512 0.0278 0.0648 0.4500 0.0329 0.0430 0.2750 0.3500 0.8760 0.Números pseudoaleatorios i ri Ordenado 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 0.5000 0.0178 0.0152 0.4502 0.0750 0.1623 0.7706 0.6807 0.4683 0.1250 0.0140 0.0532 0.1750 0.9250 0.9000 0.0022 0.7250 0.3000 0.0430 0.0260 0.0308 0.6000 0.0002 0.0001 0.0035 0.5500 0.6632 0.6750 0.3219 0.0111 0.0090 0.2560 0.1500 0.15 66 Valor absoluto(ri)-(fi) 0.9652 0.0127 0.2000 0.0294 0.5691 0.0102 0. X0 =583 a = 711. entonces no se puede rechazar H0. c =315. Genere los primeros 5 números aleatorios ri de 4 dígitos con el algoritmo de productos medios a partir de las semillas X0=8543 y X1=7433. c =281. mod =1321. c =377. X0 =931 a = 111.05” 2. 67 . mod =4294. mod =65536. Genere y anote con su calculadora 50 números aleatorios y aplique la prueba de los promedios con: a) =1% b) =5% c) =10%. 2. X0 =123 a = 233.Simulación. Análisis y modelación de sistemas discretos. Genere los primeros 7 números aleatorios ri de 4 dígitos con el algoritmo de cuadrados medios a partir de la semilla X0=9576. X0 =37 a = 45. un enfoque práctico De la tabla anterior obtenemos que la diferencia mayor absoluta es de Dn =0. Conclusión: “Existe suficiente evidencia para decir que los números se distribuyen uniformemente considerando n=40 y =0.05=0. Concluir.210. mod =4294.0.5 Ejercicios propuestos. mod =313.05 es: d40.210 y puesto que 0. 3. Desarrolle los siguientes generadores congruenciales para números aleatorios uniformes y determine el periodo de estos: a) b) c) d) e) a = 71. X0 =17 4.0639 y el valor de tablas de la distribución Kolmogorov-Smirnov con n=40 y un nivel de significación =0. 1.0639<0. Genere y anote 100 números aleatorios y aplique la prueba de las frecuencias con k=5. Genere y anote 50 números aleatorios con su calculadora y aplique la prueba de Kolmogorov-Smirnov. 68 . 7. k=10 y concluir. 6. Realice la prueba del póker a los 100 números del ejercicio 5 y concluir.Números pseudoaleatorios 5. Simulación. un enfoque práctico Capitulo 3: Variables aleatorias 69 . Análisis y modelación de sistemas discretos. Variables aleatorias 70 . Análisis y modelación de sistemas discretos. también se les llama variables independientes y dependientes respectivamente. son las que muestran los indicadores de comportamiento del modelo actual y la base para tomar decisiones que ayuden a mejorar el sistema analizado.1 71 . un enfoque práctico 3. Es pues de vital importancia para el desarrollo del modelo determinar o identificar las variables de entrada.1 se muestran algunos ejemplos de variables de entrada y de respuesta más comunes: Variable de Entrada Variable de Respuesta Tiempo entre llegadas de las entidades al sistema Tiempo de servicio del servidor Tiempo en fila de las piezas o clientes Tiempo de operación de la máquina Tipo de cliente tipo que entra al sistema Tipo de servicio solicitado por los clientes Tipo de producto a desarrollar en el sistema Tiempo en el sistema Porcentaje de tiempo ocioso del servidor Porcentaje de utilización de las máquinas Porcentaje de tiempo en operación/entidad Porcentaje de tiempo bloqueado de la entidad Tabla 3.Simulación. Esta otra clasificación es de acuerdo a como se alimenta al modelo que se pretende desarrollar: variables de entrada y variables de respuesta. En la siguiente tabla 3. además de la clasificación estadística de las variables como continuas y discretas existe otra clasificación de acuerdo a la metodología para realizar un modelo de simulación. posteriormente identificar el tipo de distribución teórica al que se ajustan (si es que la tienen) para finalmente introducirlas en el modelo y poder generarlas en el lenguaje informático en el que se esté realizando el modelo. estas también son muy importantes porque aunque no alimentan al modelo.1 Introducción del capítulo Como se mencionó en el capítulo1. Las variables de salida (o de respuesta) se ven reflejadas en el reporte de salida una vez que se ha corrido adecuadamente el modelo. 2 Tipos de variables aleatorias En este punto si se hará referencia a la clasificación probabilística de las variables aleatorias.092 horas. se obtendrían valores como: 3. si lo que interesa es el tiempo que tarda el servidor en atender a cada cliente que entra al restaurant.Variables aleatorias 3.n. en este caso son valores medibles y obviamente similares a las distribuciones de probabilidad continuas. 3. Por otra parte. valores que se pueden contar como el de las distribuciones de probabilidad discretas.1.1 Variables aleatorias discretas Este tipo de variables se distinguen por que generalmente involucran experimentos estadísticos donde se pueden “contar” las características de la población a muestrear. 4. 72 . es decir. 2.2.3 se pueden ver los gráficos de dos distribuciones discretas comunes. Se pueden diferenciar de acuerdo con el tipo de valores aleatorios que representan. Si por ejemplo se habla del número de clientes que entran a un restaurant de comida rápida en el turno matutino.….2 y 3. 3.47 minutos o 0. Tienen las siguientes condiciones: 1) ( ) ≥ 0 2) ∑∞ =1 +…+ 3) ( ≤ ≤ ) = ∑ Ejemplos de distribuciones teóricas discretas son: Distribución de Bernoulli Distribución Binomial Distribución Uniforme Discreta Distribución de Poisson Distribución Hipergeométrica En las siguientes figuras 3. se pueden encontrar valores tales como: 0. este tipo de variables involucran experimentos estadísticos donde se pueden “medir” las características de la población a muestrear.2.3 3.Simulación. un enfoque práctico Figura 3.2 Figura 3. Análisis y modelación de sistemas discretos. Estas variables se representan por ecuaciones conocidas como funciones de densidad de probabilidad y en lugar de 73 .2 Variables aleatorias continuas Por otro lado. 20 0. ( ≤ 1.4 y 3.Variables aleatorias sumarse los pesos probabilísticos se integran. ≤ )= ( < < ) = ( ) Ejemplos de distribuciones teóricas continuas son: Distribución Normal Distribución uniforme continua Distribución de Exponencial Distribución Log Normal Distribución Erlang En las siguientes figuras 3. Tienen las siguientes condiciones: 3.5 se pueden ver los gráficos de dos distribuciones continuas: Distribución Normal P(X) 0.4 74 5 6 7 .00 1 2 3 4 X Figura 3.30 0. ( )≥0 ( = )=0 ∞ ( )=1 ∞ 4.10 0. 2. 6 0. también se puede utilizar la prueba de Kolmogorov-Smirnov o la de Anderson-Darling. tiene una aplicación llamada Stat:Fit la cual es muy útil para este fin. El procedimiento para la identificación de la distribución que sigue una variable de entrada es aplicando el proceso de pruebas de hipótesis utilizando la prueba de bondad y ajuste que utiliza como estadístico de prueba a la chi-cuadrada (x2). de hecho la mayoría de estos lenguajes traen su propia aplicación para determinar el tipo de distribución de las variables. un enfoque práctico Distribución Exponencial P(x) 1 0. Análisis y modelación de sistemas discretos.Simulación.5 3.8 0.2 0 1 2 3 4 5 X Figura 3.3 Identificación del tipo de distribución probabilidad de las variables aleatorias de El objetivo de identificar el tipo de distribución de alguna variable aleatoria es poder generarla cuando se está realizando el modelo en algún lenguaje específico informático. en el caso del ProModel.4 0. En este capítulo se revisarán los dos primeros procedimientos mencionados anteriormente. El procedimiento general es como se menciona a continuación: 75 . Concluir. Realizar el histograma y trazar polígono de frecuencias para proponer la posible distribución a la que se ajusta.322 (log ) 5. Se recomienda la fórmula siguiente: ℎ = 1 + 3. Deben muestrearse por lo menos 30 datos (n ≥ 30). Aplicar la Prueba de Bondad y Ajuste o Kolmogorov-Smirnov.3. 8. entonces no se rechaza H0. 10. 4. Construir la distribución de frecuencias. Las . Determinar el Rango de los datos muestreados (R = Vmax – Vmin) Determinar el ancho del intervalo aproximado. 6. dicha dispersión se mide con el valor y este a su vez se compara contra el valor de tablas < . 9. Organizar los datos en una forma conveniente para su uso. 7. Establecer Hipótesis Nula y Alternativa.1 Ejemplos utilizando la prueba de bondad y ajuste y Kolmogorov-Smirnov La prueba de bondad y ajuste utiliza el estadístico de prueba de la chi-cuadrada (x2) y el fundamento de esta prueba es comparar la frecuencia observada de cada clase (ki) de la distribución de frecuencias contra la frecuencia esperada y medir la dispersión entre ambas. si fórmulas son las siguientes: FEi = n Pi = 76 ( − ) . . 3. Determinar la probabilidad teórica de cada clase con la función de probabilidad de la distribución seleccionada. 2. 3.Variables aleatorias 1. Determinar Variables de entrada del modelo y muestrear en horarios y días de interés. 634 4.223 − 0.6) representan el tiempo en horas que se requieren para realizar las reparaciones y/o mantenimientos en un taller automotriz.490 1.426 2.517 2.725 1.064 0. Ejemplo 3.406 0.294 3. d) Aplicar la prueba de bondad y ajuste con =0.246 5.774 0.023 0.538 0. c) Mencione que tipo de distribución teórica pueden seguir los datos (establecer H0 y H1).1 Los siguientes datos (ver tabla 3.267 1.023 = 8.330 2.921 0.782 3.343 1.323 3.685 1.511 6. El procedimiento se verá un poco más adelante.334 1.458 0.968 0.587 0.624 1.Simulación.702 1.491 2.920 0.025 0.563 0.234 3.514 1.064 5.810 1.186 2.761 4. b) Construya una distribución de frecuencias y realice el histograma correspondiente.836 2.333 4.223 0. Solución: a) = 8.507 2.334 2.230 3. e) Aplicar la prueba de Kolmogorov-Smirnov con =0.05 y concluya.214 2.849 Tabla 3.225 3.325 7.2 77 . Análisis y modelación de sistemas discretos.514 0.6 Realice lo siguiente: a) Obtenga el Rango.088 1. Se tomó una muestra de los últimos 50 autos que ingresaron al taller: 8.05 y concluya. La prueba de Kolmogorov-Smirnov compara directamente las probabilidades teóricas contra las relativas y utiliza sus propias tablas para diferentes valores de .401 0. un enfoque práctico Para la obtención del valor de tablas de . el valor de V=K – m – 1 donde m es el número de parámetros estimados en la distribución considerada.778 0. 2.7 c) De la figura anterior.Variables aleatorias b) Distribución de frecuencias e histograma ℎ = 8. 78 .7 se puede ver la distribución de frecuencias y el histograma correspondientes: Figura 3. por lo que puede considerarse un ancho adecuado de clase para 50 datos 1.072 1 + 3.2 = 1. los datos parece que siguen una distribución exponencial negativa. H1 = Las horas de reparación y/o mantenimiento no siguen una distribución Exponencial negativa d) Prueba de bondad y ajuste. En la siguiente figura 3.322 (log 50) Este valor es solamente una referencia. por lo tanto las hipótesis nula y alternativa son: H0 = Las horas de reparación y/o mantenimiento siguen una distribución Exponencial negativa. 15 < (2.95) = − ( . El resumen del cálculo de es como se muestra en la siguiente tabla 3. (5.15) = − ( .397 1 = 2. .27 50 La integración de la función de densidad para obtener las probabilidades de cada clase es de la siguiente manera: ( < ) = < = − = − + Por lo tanto: )( . ( ) = 1 = ≥ 0 En este caso como se obtuvo una muestra de tamaño n= 50 se utilizará como un estimador de . ( 0.1234 = . )( . un enfoque práctico La distribución a la cual se pretende verificar si los datos se ajustan es la Exponencial negativa.2093 = . = ∑ = 113.6026 = .9571 = . )( . ) = −0. = 1 − 0. es una distribución continua por lo que la función de densidad se tendrá que integrar para obtener las probabilidades correspondientes. Análisis y modelación de sistemas discretos.0429 + 0. )( .3552 + 0. )( . . )( .0727 + 0. ) = −0.6026 + 1 = .55) = − ( . ) . )( . ) = −0.35) = − ( ( > 7. )( .27 = = 0. ) = −0.35 < < 1.55 < < 4. + ( .15) = 1 − . ) = −0. )( .15) = − ( < 2.2093 + 0. ) (3. ) < 3. ) + ( . ) + ( .1234 + 0.00 < (1. ) (4.95 < < 7.3552 = .75) = − ( . )( .4405 2. )( .8: 79 .Simulación. + ( .0727 = . + ( )( ) + ( = −0.75 < < 5. 2 7.1459 0.2857 -2 4 0.4 < X ≤ 3.0429 1 20 12 7 4 3 1 3 50 -2 1 -3 4 1 9 0.2474 0.0833 1. = .0298 0. V=4-1-1=2 grados de libertad .0507 0.05 5.9326 Figura 3.3974 0. = 5.0 < X ≤ 7.6 3.6 < X ≤ 4.0 6.9 80 = 0.Variables aleatorias ( − Clases FO Pi FE=nPi FO-FE (FO-FE)2 0.9326 Tabla 3.4 ∑ 18 13 10 4 2 1 2 50 0. .2 1.99 En la figura 3.2 < X ≤ 2.0859 0.8 4.8 < X ≤ 6.2000 0.2 < X ≤ 8. considerar los grados de libertad v de acuerdo a: v = k-m-1 donde k es el número de clases resultantes y m es el número de parámetros estimados en la distribución considerada.9 se puede ver la región de rechazo y no rechazo para la prueba de bondad y ajuste: 1- 0.99 ) .0 ≤ X ≤ 1.4 2.95 0 =1.3636 9 11 = 1.8 Para determinar el valor de tablas de . 4. considerando n = 50. H1: Las horas de reparación y/o mantenimiento no siguen una distribución Exponencial negativa El resumen del cálculo para la prueba de Kolmogorov-Smirnov es como se ve en la tabla 3.05. En este caso los pasos son los siguientes: 1. 2. Calcular la probabilidad relativa de cada clase = .05” e) Prueba de Kolmogorov-Smirnov con =0. un enfoque práctico Decisión: Como < . Acumular la probabilidad relativa y la probabilidad teórica en sus columnas respectivas. 3. Calcular la probabilidad teórica de cada clase (de la distribución que se eligió en la H0). Comparar contra el valor de tablas. Conclusión: “Existe suficiente evidencia para decir que las horas de reparación y/o mantenimiento siguen una distribución exponencial negativa. Calcular la diferencia absoluta entre ambas 5. y = 0. Análisis y modelación de sistemas discretos. Recordemos las hipótesis nulas y la alternativa: H0: Las horas de reparación y/o mantenimiento siguen una distribución Exponencial negativa.Simulación. entonces no rechazar H0.10: 81 . 0298 0.10 El valor de tablas para =0. 82 Sábado 4 5 2 1 Domingo 3 3 2 3 .0029 0 Tabla 3.0 < X ≤ 7.04 1 Teórica Acum. y = 0.226. 0.02 0.36 0.0507 0.0 ≤ X ≤ 1.2 1.0374| < |0.05 (tabla de Kolmogorov-Smirnov) es: 0.0 6.1459 0.11 representan el número de pacientes que ingresan a un consultorio médico.2 Los siguientes datos de la tabla 3.2 < X ≤ 8.6448 0.62 0.8 < X ≤ 6.4 ∑ 18 13 10 4 2 1 2 50 Pi Teórica 0.3974 0.2474 0. 0.226| entonces no se rechaza H0.9571 1.11 Realice lo siguiente: a) Obtenga el Rango. Como |0.0248 0.0374 0.9273 0.6 < X ≤ 4.Variables aleatorias Clases FO 0.0000 Relativa Acum.3974 0.96 1.05” Ejemplo 3. Conclusión: “Existe suficiente evidencia para decir que las horas de reparación y/o mantenimiento siguen una distribución exponencial negativa.0234 0.2 7.08 0.0859 0.00 Diferencia absoluta 0.6 3.4 < X ≤ 3.4 2.0127 0. considerando n = 50.82 0.94 0.0293 0.20 0.0429 1 Pi Relativa 0.26 0.36 0.7907 0.04 0.8 4.8766 0.2 < X ≤ 2. se tomó una muestra de 30 días a partir de un martes y terminando el miércoles tal como se muestra a continuación: Lunes 5 4 3 2 Martes 2 4 5 1 7 Miércoles 3 2 3 3 1 Jueves 4 1 5 6 Viernes 6 4 8 2 Tabla 3.90 0. Análisis y modelación de sistemas discretos.12 83 . d) Aplicar la prueba de bondad y ajuste con =0.18 1 + 3. etc.Simulación.12: Figura 3. y como los datos son discretos nunca se darán valores intermedios solo enteros por lo que en este caso en particular es más conveniente tomar los valores puntuales y ajustar a alguna distribución teórica discreta.05 y concluya.322 (log 30) En este caso los datos son discretos y el rango es pequeño (Rango=7) así que el ancho de clase no es una referencia adecuada ya que quedarían clases de 1–2. un enfoque práctico b) Construya una distribución de frecuencias y realice el histograma correspondiente.05 y concluya. Solución: a) Calculo del rango: = 8 − 1 = 7 b) Calculo del ancho de clase: ℎ = 7 = 1. c) Mencione que tipo de distribución teórica pueden seguir los datos (establecer H0 y H1). 2–3. La distribución de frecuencias e Histograma son como se muestran en la figura 3. e) Aplicar la prueba de Kolmogorov-Smirnov con =0. H0 = El número de pacientes que ingresan al consultorio por día siguen una distribución Poisson H1 = El número de pacientes que ingresan al consultorio por día no siguen una distribución Poisson d) Prueba de bondad y ajuste.Variables aleatorias c) Los datos parece que siguen una distribución de Poisson. ( = 3) = (3.4667) 2! .1876 = 0. (3. ! Como se obtuvo una muestra de tamaño n= 30 se utilizará un estimador de . ( = 4) = (3.4667) ( = 1) = 1! .4667) 6! . ( = 5) = (3.4667) 3! .4667) 4! . En este caso la distribución considerada es discreta por lo que simplemente basta utilizar la ecuación de la distribución de Poisson directamente para obtener las probabilidades correspondientes.4667 = 3.4667) 5! .1879 = 0.3.1303 = 0. ( = 6) = 84 = 0.4. ( ) = = = 0.0753 como .4667 30 (3. … . ( = 2) = (3.2.2168 = 0.1. = ∑ = 104 = 3.1082 = 0. 4667) 7! ( = 8) = 1 − = 0.2168 0. un enfoque práctico ( = 7) = .0000 0.14 se muestra la región de rechazo y no rechazo para la prueba de bondad y ajuste de este ejercicio: 85 . .1303 0.1879 0. Análisis y modelación de sistemas discretos.1666 8 0 0 0 = 0.13 Para determinar el valor de tablas de V=4-1-1=2 grados de libertad = 5.1876 0.2777 Tabla 3. : En la siguiente figura 3.9434 = 0. .1082 0.0753 0. = .0566 El resumen de los cálculos de la prueba de bondad y ajusta se muestra en la tabla 3.1111 0 0 -1 0 1 0.Simulación. (3.13: Clases FO 1 2 3 4 5 6 7 8 ∑ 4 6 7 5 4 2 1 1 30 10 8 Pi FE=nPi 0.0373 = 1 − 0.99 .0373 0.0566 1 3 6 7 6 4 2 1 1 30 ( − ) FO-FE (FO-FE)2 9 1 1 0. 95 0 = 0.1333 0.5126 0.9061 0.05” e) Prueba de Kolmogorov-Smirnov con = 0.0566 1 Pi Relativa 0. considerando n=30. y =0.8308 0.7005 0.Variables aleatorias 1- 0.15: Clases FO 1 2 3 4 5 6 7 8 ∑ 4 6 7 5 4 2 1 1 30 Pi Teórica 0. 0.14 Conclusión: “Existe suficiente evidencia para decir que el número de pacientes que ingresan al consultorio por día sigue una distribución discreta de Poisson.5666 0.1876 0.3333 0.1082 0.0540 0.99 =0.2000 0.0270 0.0373 0.9331 0.8665 0.1303 0.0753 0.0230 0 .1333 0.2333 0.15 86 Relativa Acum.7332 0.0666 0.0336 1 Teórica Acum.1082 0.2777 Figura 3.0375 0.0357 0.05 H0 = El número de pacientes que ingresan al consultorio por día siguen una distribución Poisson H1 = El número de pacientes que ingresan al consultorio por día no siguen una distribución Poisson El resumen de los cálculos de la prueba de Kolmogorov-Smirnov se muestra en la tabla 3.1666 0.9664 1 Diferencia absoluta 0.0333 0.1879 0.05 5.0327 0.1333 0.2168 0.9434 1 Tabla 3.0251 0.2958 0. 0. 17 se muestra la distribución de frecuencias y el histograma correspondientes: 87 . Conclusión: “Existe suficiente evidencia para decir que el número de pacientes que ingresan al consultorio por día sigue una distribución discreta de Poisson.16 Solución: a) Calculo del rango: = 176 − 119 = 57 b) Calculo del ancho de clase de referencia: 57 ℎ = = 9. mencione que tipo de distribución pueden seguir estos mediante la prueba de Kolmogorov-Smirnov.02 ≈ 10 1 + 3. 138 164 150 132 144 125 149 157 146 158 140 147 136 148 152 144 168 126 138 176 163 119 154 165 146 173 142 147 135 153 140 135 161 145 135 142 150 156 145 128 Tabla 3.322 (log 40) c) Distribución de frecuencias e histograma. y = 0.29. Como |0.05” Ejercicio 3.29| entonces no se rechaza H0. considerando n=30. En la siguiente figura 3. Análisis y modelación de sistemas discretos.3 Los siguientes datos de la tabla 3.054| < |0.16 representan el tiempo en segundos que tarda un operador en realizar una operación de ensamble. un enfoque práctico El valor de tablas para =0.Simulación.05 (tabla de Kolmogorov-Smirnov) es: 0. 2=1) para el cálculo de las probabilidades.Variables aleatorias Figura 3. La distribución seleccionada en este caso es Normal. se trata de una distribución continua y tendría que integrarse su función de densidad pero es más sencillo utilizar la transformación de la distribución Normal Estándar N(=0.17 d) Establecer las hipótesis nula y alternativa. Los datos parece que siguen una distribución Normal por lo tanto las hipótesis son: H0 = El tiempo para realizar la operación de ensamble sigue una distribución Normal H1 = El tiempo para realizar la operación de ensamble no sigue una distribución Normal e) Aplicar la prueba de Kolmogorov-Smirnov. − = 88 . 5 − 146. un enfoque práctico Para estimar se utiliza y para estimar se utiliza S.4192 − 0.5 − (1.05 El valor negativo indica que 128.40 13.05 De aquí que la probabilidad sea: (128. Para el cálculo de las probabilidades se consideran los límites reales de clase.64 13. La segunda probabilidad es: P2 (128.8 y = 13.64) = 0.5) por lo tanto se tiene que transformar a unidades estándar el valor 128.4192 = .5) = (1.5<x<138. Aquí se tienen que considerar dos valores de Z. por su parte cuando los valores obtenidos de Z sean de signo diferente.8 = −0.8 = −1.8) y haciendo uso de las tablas de la distribución normal estándar (ver el anexo de este texto) finalmente se obtiene la probabilidad de la primera clase: ( < 128.5 − 0.5 − 146. Es importante recordar que cuando los valores de Z sean del mismo signo. La probabilidad de la primera clase es: P1(x<128. Siguiendo con este proceso.5) = 0.05.5 esta -1.4) = 0. se debe restar la probabilidad del valor menor al valor mayor de Z. las probabilidades del área bajo la curva se suman.Simulación. Utilizando la hoja de cálculo se puede estimar la media y la desviación estándar de la muestra con la cual se obtiene la siguiente información: = 146.5 con la fórmula: = 128.40 que se calculo anteriormente y el nuevo valor Z2: = 138. Análisis y modelación de sistemas discretos.2389 = .5). el primero: Z1 = -1. en resumen las probabilidades serían: 89 .5 < < 138.4 desviaciones estándar por debajo de la media (146.4) − (0. 2750 0.2906 0.9515 = .2642 0.0808 0.0517 = .2389 − 0.5) = 1 − = 1 − 0.0139 0.225 0.950 1 Diferencia absoluta 0.4515 − 0.5 < < 168.0015 0 Tabla 3.2611 0.4) − (0. 0.2389 = .252| entonces no se rechaza H0.05 (tabla de Kolmogorov-Smirnov) es: 0. considerando n=40.90) = 0.5) = (1.4192 = . (138. Como |0. Conclusión: “Existe suficiente evidencia para decir que el tiempo para realizar la operación de ensamble sigue una distribución Normal.4) = 0. (148.5) = (0.5) = (1.050 1 Teórica Acum.5 − 0.13) = 0.3159 = .252.5 − (1.0517 = .0091 0.100 0.825 0.64) = 0.5 < < 138.5517 0.90) − (0.5) = (0. (158.0192 0.0485 1 Pi Relativa 0.1803 0.3159 − 0.0483| < |0.0808 0.325 0.18 El valor de tablas para =0.13) = 0.05” Otra consideración importante que se debe tener en cuenta es que las variables muestreadas pueden seguir varias distribuciones pero 90 .18 se muestra el resumen del cálculo de la prueba de Kolmogorov-Smirnov: Clases FO 119 – 128 129 – 138 139 – 148 149 – 158 159 – 168 169 – 178 ∑ 4 7 13 9 5 2 40 Pi Teórica 0.66) − (0.1000 0.5 < < 148.5 < < 158. ( > 168. y = 0.4192 − 0.0483 0. (128. En la siguiente tabla 3.9515 1 Relativa Acum.1356 0.Variables aleatorias ( < 128. 0.125 0.64) + (0.8159 0.600 0.175 0.5) = 0. este incluye una herramienta llamada Stat:Fit.2 Identificación del tipo de distribución de probabilidad utilizando un lenguaje específico de simulación.Simulación. Análisis y modelación de sistemas discretos. la cual es de suma utilidad para analizar y determinar el tipo de distribución de las variables consideradas. Kolmogorov-Smirnov y AndersonDarling.3. 3. (2006) titulado Simulación y análisis de sistemas con ProModel primera edición. pero en este caso. se hará referencia a la versión estudiantil que ya se incluye en el libro: García Dunna et. al. También incluye información de estadística descriptiva de los datos que pueden alimentarse manualmente o incluso pegarlos de otras aplicaciones como hojas de cálculo ya que es totalmente compatible con las aplicaciones de Microsoft para PC. un enfoque práctico siempre se van a ajustar mejor a una en particular. de editorial PEARSON (ver figura 3. si se emplea la prueba de bondad y ajuste por ejemplo para verificar si un grupo de datos sigue una o varias distribuciones.19): 91 . se recomienda utilizar la que tenga el valor de mas pequeño ya que este presenta una menor dispersión entre los valores observados y esperados. estos generalmente incluyen alguna aplicación para la identificación del tipo de distribución probabilística de las variables de entrada del modelo que se desea simular. Incluye las pruebas de bondad y ajuste (chi-cuadrada). Existen varias versiones del ProModel profesionales. el texto que se desarrolla es meramente para uso académico. En el caso del software ProModel. existen diversos lenguajes informáticos de uso específico para simulación. Como se ha mencionado anteriormente. atributos.20): Figura 3.19 Esta versión tiene ciertas limitantes en cuanto número de locaciones.Variables aleatorias Figura 3.20 92 . pero funciona perfectamente para su uso académico (ver figura 3. etc. recursos. 22): 93 .21 Dentro de la ejecución del Stat:Fit se debe iniciar un nuevo documento (hoja en blanco de la barra de herramientas) e introducir los datos de la variable a analizar. Análisis y modelación de sistemas discretos. se puede ejecutar desde la pantalla inicial de ProModel o desde los comandos del menú Tools (ver figura 3. el uso de esta herramienta es muy amigable e intuitivo (ver figura 3. un enfoque práctico Para utilizar el Stat:Fit.Simulación.21): Figura 3. Para el caso de los datos del ejemplo 3 los datos ya introducidos y su correspondiente información de estadística descriptiva serian como se ve en las figura 3.22 Una vez que se introdujo la información se inicia el proceso mediante el botón Auto::Fit o utilizando la barra de herramientas en el comando Fit.24: 94 .23 y 3.Variables aleatorias Figura 3. un enfoque práctico Figura 3.Simulación.23 Figura 3. Análisis y modelación de sistemas discretos.24 95 . 26): Figura 3.25 y 3.Variables aleatorias Una vez que se dio clic en el botón Auto: FIT se despliegan las distribuciones a las cuales se ajustan los datos.25 96 . incluso se puede ver el histograma y los polígonos de frecuencia de las distribuciones a las cuales se hizo el ajuste (ver figuras 3. un enfoque práctico Figura 3. logarítmica.Simulación.3 Ajuste de curvas manual a tendencias lineales para distribuciones empíricas continuas Para el caso en que se considere una variable aleatoria continua empírica (que no sigue ninguna distribución teórica conocida).3. existen diversos tipos de tendencias: lineal. 97 . pero en este caso se verá el ajuste a la tendencia lineal para verificar si esta puede utilizarse en la obtención del generador de la variable (posteriormente) en lugar de la distribución original. etc. parabólica.26 3. se puede utilizar el enfoque de ajuste a una tendencia lineal con el método de mínimos cuadrados. Como es conocido. Análisis y modelación de sistemas discretos. el histograma y el diagrama de dispersión son como se muestran a continuación en la figura 3. la variable considerada es el tiempo de atención en minutos de un servidor. Los datos ordenados en una distribución de frecuencias.Variables aleatorias Ejemplo 3.4 Se toma una muestra de 100 llamadas a un centro de atención telefónico.27 La ecuación de la recta es: = + y las respectivas ecuaciones necesarias para aplicar el método de mínimos cuadrados son: ∑ = + ∑ ∑ = ∑ + ∑ 98 .27: Figura 3. 28 100 = 6 + 33 580 = 33 + 199 Resolviendo el sistema de ecuaciones por el método que se desee (sustitución. un enfoque práctico Para obtener la ecuación de la recta es necesario conocer los valores de las constantes a y b obteniendo las sumatorias necesarias (ver tabla 3.667 + 1.7143(5) = 19.7143 = 10.667 + 1.667 + 1.38 99 .28): X FO (Y) XY X2 Y2 3 4 5 6 7 8 33 12 14 17 16 21 20 100 36 56 85 96 147 160 580 9 16 25 36 49 64 199 144 196 289 256 441 400 1726 Tabla 3.7143(6) = 20.7143(8) = 24. b = 1.667 + 1.52 = 10. reducción.667.7143(3) = 15.7143(7) = 22.667 + 1.667 + 1.81 = 10. Análisis y modelación de sistemas discretos.7143(4) = 17.24 = 10.95 = 10.Simulación. Gauss-Jordan.7143 Sustituyendo los valores de X se obtienen los valores ajustados de Y = 10.667 + 1. etc.67 = 10.) se obtiene: a = 10. Un valor de R2=1 hace un ajuste perfecto por lo que entre más se acerque a 1 mejor será el ajuste que la recta haga de los datos. La manera de obtenerlo es calculando primero el coeficiente de correlación y luego elevarlo al cuadrado. Un valor mayor de 0.Variables aleatorias Estos valores se grafican sobre el polígono de frecuencias y originando la recta de ajuste tal como se ve en la siguiente figura 3.29: Poligono de frecuencias 25 y = 1. = = − ( ) − ( ) 6(580) − (33)(100) 6(199) − (33) = 0.85 es considerado como bueno y podría considerarse la ecuación de la recta como la nueva f(x) de los datos.29 El valor de R2 es el coeficiente de determinación y este mide la dispersión de los datos originales respecto de la recta de ajuste.667 20 15 10 5 0 3 4 5 6 7 8 Figura 3.7143x + 10.8668 .9310 100 − 6(100) − (1726) = 0. 9310 y por lo tanto R2=0. Existen varios métodos para generar las variables aleatorias. Método de Montecarlo En los siguientes puntos se describirán el método de la transformada inversa.8668. El objetivo real de conocer el tipo de distribución de las variables aleatorias.4 Generación de variables aleatorias. el lector puede consultar los demás métodos en la bibliografía de este texto. Método de aceptación y rechazo. por ejemplo: a) b) c) d) e) f) Método de la transformada inversa. Análisis y modelación de sistemas discretos.Simulación. En la siguiente figura 3. el método de Montecarlo y el de composición (que es una aplicación especial del de la transformada inversa). es poder generarlas en el modelo de simulación que se esté desarrollando para darle el parecido con la realidad que se requiera y obtener información fidedigna que permita tomar la mejor decisión en un momento dado. Método de la transformación directa. un enfoque práctico De aquí el valor de R= 0. con este valor se puede decir que la tendencia lineal hace un buen ajuste de los datos muestreados para posteriormente obtener un generador de esta variable. Método de convolución Método de composición. 3.30 se puede observar un cuadro sinóptico con un resumen de este punto adecuado al tipo de variable considerado para un mejor entendimiento del tema: 101 . 4.Variables aleatorias Distribución Discreta Teórica Distribución Continua Teórica Si los datos analizados tienen una…. Aplicar el Método de Montecarlo Figura 3.30 Figura 3. Generar números aleatorios y verificar que valor corresponde de X para introducir al modelo. 3. 1. Acumular las probabilidades hasta que la suma sea 1. 2. Método de Composición: Si el área f(x) se puede dividir en dos o más áreas.85 entonces ordenar los valores de Xi en forma ascendente y encontrar la frecuencia observada de cada uno. 2 Si R ≥0. Acumular las probabilidades hasta que la suma sea 1. 4. 4. Aplicar directamente la fórmula directamente y obtener las probabilidades de cada valor posible de X. Discreta Distribución Empírica. se aplica la transformada inversa a cada fi(x).85 aplicar Transformada inversa. Establecer clases o rangos con la probabilidad acumulada. 2 Ajustar a una tendencia lineal para checar si R hace un buen ajuste de los datos. Dado f(x) calcular Hacer F(x) = R Despejar = Generar valores ( ) Método de Montecarlo: 1. Método de la Transformada inversa: 1. Establecer clases o rangos con la probabilidad acumulada. 2. 2. 3.30 102 ( )= . 2. Generar números aleatorios y verificar que valor corresponde de X para introducir al modelo. siempre y cuando ∑Ai=1 Si R2<0. Continua 1. Obtener las probabilidades relativas de cada valor de X. 3. Ejemplo 3. Solución: a) Se sabe que. la mayoría de los lenguajes específicos simulación traen su propio generador y solo se tiene que introducir el tipo de distribución deseado y los parámetros que incluya dicha distribución. ! Por lo que se aplicará a cada valor posible de X hasta que la suma de las probabilidades (considerándola en este caso de 4 dígitos) sea 1. Análisis y modelación de sistemas discretos.Simulación. El generador es como se muestra en la tabla 3.3. b) El método de Montecarlo (considerando los datos como distribución empírica).2 Utilizando: a) La fórmula de Poisson (distribución teórica a la cual se ajustaron los datos).31: 103 .4.4. un enfoque práctico Nota: Es muy importante mencionar que lo expuesto en este punto corresponde a la obtención manual de los generadores. la fórmula es: ( ) = = 3. 3.1 Ejemplos de obtención de generador de variables aleatorias a través de métodos manuales. … .2.1.5 Obtenga un generador de forma manual para la variable aleatoria discreta del ejercicio 3.4667 = 0. 1879 0.9999 1.9999 Clases ≤R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ 0.9745 0.3271 0.1082 0.Variables aleatorias X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 P(X) 0.9997 0.0312 0.31 Nótese que en la obtención de este generador se utilizaron valores de X que incluso no aparecen en el muestreo original (0.1394 0.0001 Acumulada 0.9991 0.0007 0.3271 0.9997 0.32): 104 .9907 0.7317 0.9745 0.1287 entonces el valor que le corresponde es: X1= 1 Si R= 0. 10.0753 0.8620 0.1394 0.0022 0. b) El método de Montecarlo se basa únicamente en el muestreo y solo aplica para valores puntuales.5438 0.9969 0.7317 0.0002 0. además nunca va a generar un valor que no se haya muestreado (ver tabla 3.9999 1.5438 0.9372 0.9372 0.6103 entonces el valor que le corresponde es: X2 = 4 y así sucesivamente. 9.0312 0.0000 Tabla 3.8620 0.0373 0.0312 0.9991 0.9745 0.0312 0.9372 0. es por esta razón que se buscan las distribuciones teóricas en primera instancia. 11.0062 0.9997 0.0000 0 0.1876 0.9907 0.7317 0.9969 0.1303 0.1394 0.9907 0.2168 0.9969 0.8620 0.3271 0. La manera de generar los valores es como sigue: Si R = 0.9991 0.0162 0.5438 0. 12 y 13) esto es porque ya se tiene la certeza que los datos muestreados siguen una distribución de Poisson. Solución. en este caso se aplicará el método de la transformada inversa.0333 0.2000 0.9333 0. un enfoque práctico X FO 1 2 3 4 5 6 7 8 ∑ 4 6 7 5 4 2 1 1 30 Probabilidad Relativa 0.0000 0.1333 0.2333 0.8667 0.1333 0.0000 Tabla 3.0333 1.5667 0.6 Obtenga el generador para la distribución teórica exponencial continua y genere 5 valores con = 5.3333 0.7333 0.1333 0.1333 0.7333 0.5667 0.0000 Acumulada 0.33: f(x) ( ) = 0 >0 X Figura 3.9667 1. La forma de la distribución exponencial negativa y su respectiva f(x) es como se muestra en la figura 3. Análisis y modelación de sistemas discretos.Simulación.32 Ejemplo 3.9333 0.1667 0.9667 ≤R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ 0.3333 0.7333 0.9667 1.0667 0.0000 Clases 0.1333 0.33 105 .9333 0.3333 0.5667 0.8667 0.8667 0. 360) = 5.454 entonces: = −5 (0. recuérdese que la f(x) de la distribución uniforme es como se muestra en la figura 3.99 Si R3=0.56 Si R2=0.50 Ejemplo 3.11 Si R4=0.819 entonces: = −5 (0.269 entonces: = −5 (0.Variables aleatorias Dado f(x) calcular F(X): ( ) = = − = − + 1 Igualar F(x) = R y despejar X: − + 1 = − = ln( −1 =1− ) = ln( 1 − ) − = ln( 1 − ) = − ln( ) nota: 1-R ≈ R = − Los valores generados son: Si R1=0.34: 106 . Solución.7 Obtenga el generador de una distribución uniforme continua y genere 5 valores si a=3 y b=7.606 entonces: = −5 (0.360 entonces: = −5 (0.95 Si R5=0.454) = 3.819) = 0.269) = 6.606) = 2. 95 Si R2 = 0.Simulación. calcular F(x): ( )= 1 − b) Igualar F(x) =R y despejar X: = − − − − − = − − = − =( − ) = +( − ) c) Los 5 valores generados si a=3 y b=7 son: Si R1 = 0.7031 entonces X2= 3 + 4(0.0388 entonces X4= 3 + 4(0.9915 entonces X3= 3 + 4(0.81 Si R3 = 0. a) Dado f(x).34 Puesto que se trata de una distribución uniforme continua teórica.97 Si R4 = 0. un enfoque práctico ( )= 1 − ≤ ≤ ℎ Figura 3.16 107 . Análisis y modelación de sistemas discretos.2375 entonces X1= 3 + 4(0.9915) = 6. se aplicará el método de la transformada inversa.0388) = 3.7031) = 5.2375) = 3. Variables aleatorias Si R5 = 0.4221 entonces X5= 3 + 4(0.4221) = 4.69 Ejemplo 3.8 Los datos que se muestran en la distribución de frecuencias de abajo (tabla 3.35), representan el tiempo en minutos para realizar una operación de ensamble. Obtenga un generador para dicha variable. FO 3 7 11 15 X 1 2 3 4 Tabla 3.35 Solución: Para tener una idea del tipo de distribución primeramente se trazará el histograma correspondiente a los datos muestreados (ver figura 3.36): Figura 3.36 El polígono de frecuencias, los datos ajustados a la tendencia lineal y el valor del coeficiente de determinación se muestra a continuación en la figura 3.37: 108 Simulación, Análisis y modelación de sistemas discretos; un enfoque práctico R2=1 Figura 3.37 Con el coeficiente de determinación se puede concluir que la tendencia lineal hace un ajuste perfecto de los datos (en realidad no importa la ecuación de la recta para este punto lo que interesa es que tanto se ajustan los datos a la tendencia lineal), por lo tanto para obtener el generador de esta variable continua (suponiendo que interesa generar valores cualquiera entre dos valores enteros) se considera la “forma” lineal de la distribución y se traza nuevamente la distribución pero en terminos de distribución de probabilidad (ver figura 3.38): 109 Variables aleatorias La forma básica de la distribución es un trapecio f(x) d B 3 1 = 36 12 A=1 b 1 2 3 X 4 h Figura 3.38 Se tiene que recalcular la base mayor del trapecio ( para cerrar el área a 1): ( + )ℎ = 2 1 3 + 12 1= 2 = Con este valor se puede obtener la nueva f(x) ajustada con la ecuación de la pendiente: − − = − − 1 7 − 12 12 = 4−1 110 1 12 = 1 − 1 6 12 −1 − Simulación, Análisis y modelación de sistemas discretos; un enfoque práctico Entonces la f(x) de la distribución es: 1 1 ( ) = − 6 12 1 ≤ ≤4 Como es una distribución empírica continua se aplicará entonces el método de la transformada inversa: 1 1 − 12 6 ( ) = = 1 12 − 1 1(1 ) 1 1 − − (1) = 12 12 12 12 − 1 12 Como se está calculando la distribución acumulada debe esperarse que al sustituir con el valor de x superior (en este caso 4) se obtenga un valor de 1 que es la probabilidad total acumulada de cualquier tipo de evento: 1 12 42 − 1 12 4 = 1. El siguiente paso es igualar la ecuación a R y despejar x: 1 12 − 1 12 = 1 12 − 1 − 12 =0 Como no se trata de una ecuación lineal se utilizará la fórmula general para conocer el valor de x. Se puede multiplicar por 12 toda la ecuación para eliminar las fracciones: 1 1 − − = 0 12 = − − 12 = 0 12 12 = − ±√ −4 2 = 1 ± 1 − 4(1)(−12 ) 1 ± √48 + 1 = 2(1) 2 Para saber cuál de los dos signos (+ o -) es el adecuado se puede evaluar la fórmula con los extremos de los números R para los que aplica (0≤R≤1) se supone que con R=0 la ecuación debe proporcionar 111 Variables aleatorias un valor de X=1 y con R=1 debe dar X= 4, esto sucede con el signo + de la ecuación y el generador finalmente queda de la siguiente manera: = 1 + √48 + 1 2 0 ≤ ≤1 Si se generan 10 valores con este generador el resultado sería como se muestra a continuación en la tabla 3.39: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 R 0.000 1.000 0.946 0.759 0.476 0.954 0.809 0.607 0.011 0.255 X 1 4 3.90 3.55 2.94 3.92 3.66 3.24 1.11 1.82 Tabla 3.39 Ejemplo 3.9 La siguiente figura 3.40 representa la distribución de una variable aleatoria continua empírica que ya ha sido ajustada a tendencias lineales mismas que hacen un buen ajuste de los datos originales. Determine un generador para esta variable aleatoria. 112 Simulación, Análisis y modelación de sistemas discretos; un enfoque práctico d A1 1/5 1 A2 2 3 Figura 3.40 Solución: a) Primeramente hay que encontrar el valor desconocido d para cerrar las áreas a 1. En este caso la distribución puede dividirse en dos áreas A1 y A2, debe recordarse que A1 + A2=1. Son dos trapecios, por lo tanto: + =1 + 1 1 5 + 2 + 2 1 1 5 =1 Despejando B se obtiene: 1 2 + = 1 1 + 10 2 + 1 1 = 1 = 1 − 10 5 4 5 b) Enseguida se calculan las respectivas f1(x) y f2(x) con la ecuación de la pendiente: 113 ( ) = 2 3 − 5 5 = 3 10 − 2 3(1 ) 2 3 − − (1) = 5 5 10 10 − 2 1 + 5 10 Como la distribución total de esta variable se puede dividir en dos áreas. Cuando se aplica este método a más de un área. Por lo tanto si se evalúa la primer acumulada con X=2 el resultado es: 114 .Variables aleatorias Para f1(x): − − − − = 4 1 − 5 5= 2−1 1 5 = 3 − 2 5 5 −1 − ≤ : ( ) = 2 3 − 5 5 1 ≤ 2 Para f2(x): − − = 1 4 − 5 5= 3−2 − − 4 5 = − 3 + 2 −2 5 3 2 < =− + 2 5 − : ( ) ≤3 c) El siguiente paso es aplicar la transformada inversa a cada f(x). se le llama método de Composición. se puede evaluar esta primer distribución acumulada con el valor de X superior para el cual aplica f1(x) (1≤X≤2) y debe dar el valor en área de la primer “figura”. en este caso es simétrica y el A1=1/2. Para F1(x): 2 1 + = 5 10 2 1 − + − 5 10 3 10 3 ( 10 3 − = 0)10 − 4 + 1 − 10 = 0 = − ±√ −4 2 = 4 ± −4 − 4(3)(1 − 10 ) 4 ± √4 + 120 = 2(3) 6 Debe recordarse que este generador aplicará para valores 0≤R≤0.5. un enfoque práctico ( )= 3 2 1 1 2 − 2+ = 10 5 10 2 Enseguida se calculará la F2(x): 3 + 2 5 ( )= ( = 2) + − ( )=− 3 10 23 10 +2 − = 1 3 − 2 10 +2 — 3(2 ) + 2(2) 10 Si se evalúa con X=3 ya que la f2(x) aplica para 2<X≤3 entonces el valor a obtener debe ser 1 puesto que es la distribución acumulada total: ( )=− 23 27 23 10 3 3 + 2(3) − =− +6− = =1 10 10 10 10 10 d) El paso siguiente del método de la transformada inversa es hacer F(x) = R y despejar la X.Simulación. X=2 por lo tanto evaluando con los dos valores de R el primer generador queda así: 115 . Análisis y modelación de sistemas discretos.5 por lo tanto con R=0 debe dar X=1 y con R=0. 5<R≤1 por lo tanto con R=0.5 X= 20 − √124 − 120 6 116 0.5 debe dar X=2 y con R=1.5 < ≤1 ≤1 .5 0 ≤ Para F2(x): 23 3 +2 − = 10 10 23 3 +2 − − = 0 − 10 − 10 10 −− 3 − 20 + 23 + 10 = 0 = − ±√ −4 2 = = 20 ± −20 − 4(3)(23 + 10 ) 2(3) 20 ± √124 − 120 6 Este generador aplicará para valores 0.Variables aleatorias = 4 + √4 + 120 6 ≤ 0. X=3 por lo tanto evaluando con los dos valores de R el primer generador queda así: = 20 − √124 − 120 6 0.5 < El generador Terminado queda de la siguiente manera: 4 + √4 + 120 6 0≤ ≤ 0. Las probabilidades para venta y no venta son iguales. Los datos obtenidos son los siguientes: No. Considere una empresa que vende seguros para autos. 19 20 11 11 28 11 19 22 30 12 18 23 29 20 12 37 59 42 15 12 33 13 15 15 16 28 20 19 38 31 29 14 14 13 12 14 18 12 12 17 17 17 20 21 22 10 11 10 22 27 3.5 Ejercicios propuestos 1. un enfoque práctico 3. por lo que cada cliente puede elegir si compra o no desde ninguna hasta comprar las 5 opciones que le presentan. Determine qué tipo de distribución siguen estos aplicando la prueba de bondad y ajuste. de opciones vendidas 0 1 2 3 4 5 Frecuencia Observada 38 144 342 287 164 25 117 . El número de toneladas de sulfato de amonio vendidas por una empresa cada mes. Los siguientes datos representan el tiempo de atención en un departamento de quejas de una importante empresa telefónica. se registran en la siguiente tabla. determine qué tipo de distribución siguen aplicando la prueba de KolmogorovSmirnov. Existen 5 opciones diferentes de beneficios. 10 12 13 14 11 11 10 14 11 13 12 13 10 13 12 10 11 12 10 13 11 10 13 12 10 14 11 10 14 13 12 12 11 14 12 14 11 13 11 13 14 14 14 14 11 11 12 13 11 13 2.Simulación. Análisis y modelación de sistemas discretos. 634 1.222 1.752 1.459 1.640 1.249 949 1.319 896 1.219 1.557 1.418 1.648 1.829 5.457 1.329 1.471 1.142 1.783 1.455 1.760 803 1. Obtenga un generador manual para una distribución Uniforme Continua entre 1 y 10.823 1.118 1.677 1.289 1.340 1.288 1.978 1.714 2.510 695 2.221 1.431 1.440 1.207 1.419 1.119 1.567 1.309 1.699 1.138 1.188 1.981 1.500 1.542 1.972 1.407 1.5 7.091 1.962 1.631 1.237 1.325 1.649 1.590 896 1.032 1.051 1.593 1.607 1.Variables aleatorias Verifique si estos datos siguen una distribución Binomial aplicando: a) La prueba de bondad y ajuste b) La prueba de Kolmogorov-Smirnov 4. Verifique si los siguientes datos pueden ajustarse a una tendencia lineal para posteriormente obtener un generador considerándolos como variable continua empírica.162 1.187 1.668 1. Obtenga un generador manual para una distribución Binomial con n=10 y p=0.540 2.170 1.426 1.949 1.744 821 1.332 1.403 1.451 1.400 1.532 1.581 1.472 1.551 1.612 1.592 1.826 1.442 1.736 1.373 1.501 1.671 1.618 2. 118 .637 640 1.591 1.550 1.394 718 1.603 1.399 1. Verifique que tipo de distribución tienen los siguientes datos aplicando: a) La prueba de bondad y ajuste b) La prueba de Kolmogorov-Smirnov 1.662 1.041 1. X FO 1 12 2 16 3 14 4 20 5 18 6.263 1.449 1.790 1.425 1.421 1.537 1.428 1.379 1.539 1.277 1.352 1.739 1.020 1.545 1.470 1.849 1.091 913 1.305 1.077 1.558 1.788 982 1.533 1. obtenga el generador de dicha variable. Análisis y modelación de sistemas discretos. La siguiente figura representa la distribución de una variable continua empírica. Obtenga el generador para una distribución Exponencial Negativa con =3. d 0 1 2 3 119 . obtenga el generador de dicha variable. d 1/3 1 2 3 11. 10. un enfoque práctico 8. Obtenga el generador para una distribución de Poisson con =5. La siguiente figura representa la distribución de una variable continua empírica. 9.Simulación. Variables aleatorias 12. Obtenga un generador para la siguiente distribución: d 1/5 A1 3 120 A2 4 5 . un enfoque práctico Capitulo 4: Lenguajes de simulación 121 .Simulación. Análisis y modelación de sistemas discretos. Lenguajes de simulación 122 . Arena. SIMSCRIPT y SLAM. Cuenta con poderosas herramientas de análisis y diseño que ju nto con las interfaces de animación que posee. GASP. El objetivo de este capítulo es aprender a utilizar algún simulador. permite realizar modelos con facilidad. analiza rlos y tomar decisione s más confiables para solucionar el problema bajo consid eración. algunos de esos primeros lenguaje s específicos fueron: GPSS. Claro está que el uso que se le dará al manejo del software es eminentemente académico (razón de ser de este texto).3. Posteriormente se empezaron a desarrollar lenguajes específicos para simulación que permitieron el desarrollo de modelos de forma más rápida. Algunos de los len guajes de la actualidad son: ProModel. 4. SIMPROCESS. Análisis y modelación de sistemas discretos. 123 . entre otras aplicaciones).0 versión estudian til.2. Con el advenimiento de las interfaces gráficas se revolucionó el campo de las aplicacio nes en esta área y surgieron lenguajes específicos cada vez más fáciles de utilizar y con una capacidad d e entregar información de salid a que facilita enormemente la toma de decisiones. Adicionalmente se puede comentar que ya se incluye en otros textos de simulación como el que se mencionó en el capítulo 3 punto 3. como FORT RAN. SLIM. ServiceModel (software de simulación y optimización para sistemas de servicio. Se eligió este por su facilidad de uso y además por la razón de que no se requiere un permiso especial por parte de la empresa que lo comercializa. BASIC o ASSEMBLER. Se contemplan diferentes versiones según el enfoque que se desee utilizar: ProModel (software de líneas de pr oducción. por lo que en lo sucesivo se verán las caracterí sticas y ele mentos de modelaje que conforman el lengu aje ProModel 7. diseño y planeación de la capa cidad en e mpresas o procesos de servicio). un enfoque práctico 4.2 Introducción al uso de ProModel Este software es uno d e los más difundidos comercialmente y por ende de los más usados. justificación de capital.1 Lenguajes de simulación Inicialmente los modelo s de simula ción se de sarrollaban utilizando algún lenguaje de propósito general.Simulación. d esde las variables entrada. flujo de las actividades. etc.com. Se pueden importar imágenes de otros paquetes compatible como la galería de imágenes de Word. artículos recie ntes. Es importante aclarar que en términos generales todos tienen el mismo fundamento.promodel. el proceso de operación. 124 .Lenguajes de simulación MedModel (software de simulació n y opti mización de hospitales. etc.. además este módulo permite la interacción con programas de hoja de cálculo como Excel. 4. empresas que lo utilizan. uso de recursos. visite la página web http: //www. Para conocer de primera mano las últimas not icias respecto a este producto. modificar las imágenes existentes e in cluso crear las propias de acuerdo a las necesidades del modelo. la cual también contiene información sobre productos adicionales relacionados con la simulación de sistemas. Módulo de reporte de resultados: Al finalizar las cor ridas del modelo de simulación creado. etc. dichos módulos son: ProModel: Es aquí donde se realiza todo el modelo. Corel Draw.3 Elementos Básicos El software ProModel consta de diversos módulos que permiten hacer un estudio más completo sobre el model o que se qu iere simular. clínicas y procedimientos de trabajo en ambiente de hospitales). pero con la versión estudiantil del ProModel se pueden simular prácticamente todos los sistemas de producción solo se requiere de creatividad y un análisis a fondo del sistema bajo estudio como se verá más adelante en los ejemplos diseñados para este texto. varían principalmente los gráficos de la s versiones profesionales. esta interfaz e s de suma importancia por la gran cantidad de información estadística que gener a para su análisis. Editor gráfico: Este cuenta con una serie de bibliotecas qu e ayudan a mejorar los modelos visualmente. El software también cuenta con un sistema de ayuda (en idioma inglés) en t odo momento al presio nar la tecla F1que también resulta muy útil. la versión estudiantil está limitada a 20 locaciones. tiene las op ciones comunes de la barra de herramientas como: 125 . 5 tipos de recursos y 5 atributos (ver figura 4. 5 tipos de entidades. 4. Permite conocer el impacto que tie ne en el modelo la variación de los valore s de las va riables aleatorias seleccionadas. permite crear y asignar turnos de traba jo a los e lementos del modelo qu e así lo requieran. Editor de Turnos: Este como su nombre lo dice. un enfoque práctico Stat::Fit: Esta es una herramienta de análisis estadístico muy útil como ya se comentó en el capítulo3. Simrunner: Esta herramienta es muy útil en el análisis p osterior del modelo.4 Estructura de programación en ProModel ProModel es un softw are visual y completamente compatible con Windows.Simulación.1 Como todas las ap licaciones que se manejan en la base de Windows. Permite también deducir cual es la mejor combinación de factores para obtener el máximo beneficio al mejorar el proceso.1): Figura 4. Análisis y modelación de sistemas discretos. guardar como. etc. TOOLS: Esta considera varias her ramientas como el edit or gráfico. abrir. variables. SIMULATION: Esta ventana considera aspect os relacionados con las corridas de simulación. OUTPUT: Esta se utiliza para ver datos estadísticos de las corridas y rastreo durante los tiempos de ejecución. y algunas opciones específicas como combinar modelos (merge). análisis estadístico para ajuste de curvas. redes. a la que se puede tener acceso a través de la tecla F1. mover elementos. etc. e ntidades. imprimir área d e trabajo (layout). aquí se consideran las locaciones. HELP: Aquí está el ín dice de co ntenido de la ayuda con la que cuenta el software y que como se mencionó ant eriormente. BUILD: Esta opción es una de las más importantes ya qu e a través de esta se construye todo el modelo de simulación . VIEW: Considera las diferentes opciones para cambiar el aspecto del área de trabajo. imprimir texto. el procesamiento. gua rdar. EDIT: Considera aspectos relacion ados con la edición de l modelo como borrar. etc. atributos. cre ar un paqu ete de un modelo. recursos. En la sigu iente figura 4. las llegadas.2 126 s antes .Lenguajes de simulación FILE: Nuevo archivo.2 se puede ver las opcione mencionadas: Figura 4. turnos. insertar. un enfoque práctico Para lograr un mejor entendimiento del u so del soft ware. Algunos de estos comandos que se pueden agregar posteriormente o que requiere el modelo son: Resources (recursos). montacargas.5 Construcción de modelos en ProModel En esta se cción se comenzará el análisis de las in strucciones básicas de programación en Pro Model para realizar un modelo. Existen otros comandos que se pueden ir agregando posteriormente y que proporcionan cierto grado de sofistica ción al modelo. Procesos de manufactura en general. Attributes (atributos). se desarrollarán varios ejemplos que conducirán de lo más simple a lo más complejo. Path Networks (redes). Bandas transportadoras de cinta y de rodillos. Uso de recursos como operadores. Generalmente estos co mandos son los que ayudan a proporcionar el parecido del modelo a los sistemas reales. lo s elementos básicos que se utilizan son: Locations (locaciones). 127 . aunque es necesario aclarar que no se verán a bsolutamente todos los elementos que lo componen. etc. Procesos de producción con maquinaria en secuencia y en paralelo.Simulación. tipo de materia prima. Processing (proceso). Arrivals (llegadas). vehículos. Variables. Atributos como: tipo de cliente. tip o de produ cto/servicio. Entities (entidades). el nivel al que se aspira que lo s estudiantes manejen e l software permitirá analizar los sistemas má s comunes tanto de servicios como productivos por ejemplo: Líneas de espera. 4. Análisis y modelación de sistemas discretos. 4. definir las llega das de los clientes al sistema sin antes haber definido a dónde llegarán. Desarrolle el modelo correspondiente en el software ProModel. no se puede por ejemplo. Definir locaciones Lo primero que se deb e definir son las loca ciones del modelo. Enseguida haga clic en el comand o 128 . En el ProModel. por lo anterior. Entities (entidades). haga 30 corrid as de tamaño 8 horas y conteste lo siguiente: a) ¿Cuál es el tiempo promedio que permanece un cliente en el sistema? b) ¿Cuál es el tiempo pro medio que permanece un cliente e n la fila antes de ser atendido? c) Suponga que el gerente del establecimient o no quiere que lo s clientes permanezcan más de 7 minutos en pr omedio haciendo fila.1 Suponga que se quiere simular un sistema de líneas de espera básico como el de un cajero en un resta urant de co mida rápida al cual los clientes llegan de acuerdo a una distribución uniforme continua entre 4 y 8 minutos y el servidor tarda en promedio 6 minutos e n atenderlos siguiendo una distribución exponencial. existe una secue ncia lógica en el desarrollo del modelo.1 Construcción de un modelo paso a paso Ejemplo 4. de hecho todo el modelo se construye en los comandos que este ofrece: Locations (locaciones). la secuencia sería la siguiente: 1. En est e caso se supone que una vez que son atendidos. esto se hace a través del menú Build.Lenguajes de simulación Backgroun Graphics (gráficos de fondo). es decir. y otr os que se comentarán má s adelante. Arrivals (tasa de llegadas) Processing (proceso). ¿Se logra esto con un servidor? d) Realice el modelo con dos servidores y comente.5. los clien tes se dirigen a una salida y de ahí abandonan el sistema. ).Simulación. Análisis y modelación de sistemas discretos.4: Figura 4. vea las figuras 4. capacidad de la locación ( Cap. nombre (Name).3 Figura 4. o por medio de los boto nes de acceso directo que ofrece la versión estudiantil 7.4 Cada que se utiliza un comando. un enfoque práctico Locations. 129 . se verá que además de la ventan a del área de trabajo ( Layout) se despliega otra ventana en la p arte superior donde se registra la infor mación de cada locació n del modelo: el ícono ( Icon).3 y 4. 130 . reglas de entrada de las entidades (rules) y algun as notas que quieran agregarse a la locación (no tes).5. información estadística (Stats).5 En este caso las locaciones básicas serían: Una fila de entrada. botones con comandos ya definido s y opciones de edición y borrado.Lenguajes de simulación unidades (Units). tiempos muertos ( DTs). véase la figura 4. Área de registro de los campos de cada locación Área de Trabajo Gráficos Figura 4. En la parte izquie rda se abre una ventana de herramientas gráficas vertica l (Graphics) que incluye los gráficos. Salida. Un área de servicio/cajero. etc. un enfoque práctico Supuestos: La fila tendrá una capacidad para máximo 15 entidades que lleguen. Nótese que por cada locación elegida.6: 131 . En el caso de los bot ones de la parte izqu ierda de la ventana Graphics. Una vez q ue se eligen las locaciones ne cesarias. Análisis y modelación de sistemas discretos. vea la figura 4. Los clientes tardan un minuto en trasladarse del área de caja a la salida. se crea u n registro e n la ventana superior conteniendo información pre asignada. El cajero atenderá solamente de una en una persona (capacidad de 1).Simulación. estos tienen funciones específicas. La capacidad de la locación de la salida es infinita. nú mero de unidades. Otra forma de elegir la s locaciones es dar clic sobre e l gráfico y arrastrar hacia el Layout y soltar el b otón. sólo se tiene que dar clic en e l gráfico deseado y posteriormente dar clic en el Layout. Se pueden modificar también las características de los gráficos en el Layout simplemente dando doble clic sobre estos. capacidad. se puede desactivar la casilla New y modificar los campos de cada una de las locaciones individualmente: nombre. Es muy importante mencionar locaciones: lo siguiente cuando se eligen las Se recomienda dejar activada la casilla “ New” en la ventana Graphics y elegir cada una de las locacione s necesarias. por lo tanto hay qu e modificar las características de est a en el Layout. la pr imera locación elegida es la fila (se traza en el Layout con el ratón como si se tratara de un a flecha con la dirección deseada y para terminarla se da doble clic) .6 Para este ejercicio. haciendo doble clic sobre el gráfico se despliega un cuadro de diálogo en el cu al se marca como fila ( Queue) se asigna la longitud de e sta (en este caso 25 ft) y 132 .Lenguajes de simulación Contador Indicador gráfico de barras Filas/Bandas Títulos/etiquetas Luz de estado Indicador de posición Figura 4. 8: 133 . ver la figura 4. Todo lo que contiene una sola lo cación está delimitado por una línea punteada cuando está activa dicha locación. que también se puede editar dando do ble clic sobre esta) y un indicador numérico (que también se puede e ditar) además de la locación misma.7: Figura 4.7 Posteriormente con los botones de comando específico se asignan etiquetas a cada locación.Simulación. E s necesario hacer notar que una locación puede contener varias funciones gráficas. un enfoque práctico hacer otros cambios físicos como el color de relleno. etc. vea la siguiente figura 4. sólido o en barras. Análisis y modelación de sistemas discretos. en e ste caso la fila tiene su nombre (etiqueta. a la fila se puede agregar además un gráfico de barras p ara contabilizar en pant alla como se va llenan do la fila. Definir entidades Se definen las Entities (entidades) que entraran al sistema.9 También aquí se despliegan dos ventanas además del Layout.9: Entities Figura 4.Lenguajes de simulación Figura 4. una para los gráficos y otra para los registros y sus campos. Para hacer esto primero se da clic sobre el comando Entities en el menú de botones o través del menú Build. Se elige en este caso la e ntidad “Clientes” se le asigna un gráf ico (se pue de navegar entre estos con la b arra de desplazamient o ubicada en la parte 134 . en este caso llegan clientes a la fila de entrada de acuerdo a una distribución uniforme entre 4 y 8 minutos.8 2. ver figura 4. Definir las llegadas Asignar las llegadas con el coman do Arrivals que es e l botón que se encuentra a un lado de la flecha diagonal azul.10 Los campos que se pueden modificar son: Name (nombre). Ver figura 4.10: Figura 4.11: 135 . 3. también se puede editar: cambiar tamaño. en este caso no es necesario cambiar los valores pre asignados. color etc. Análisis y modelación de sistemas discretos. un enfoque práctico posterior) que en este caso es un a mujer de lado. Speed (la velocidad de desplazamiento) y Stats (estadísticos) que se desea que aparezcan en el reporte de salida. ver figura 4.Simulación. en que minuto comienzan a llegar las entidades ( First Time). la tasa de llegadas (Frequency) y la lógica a seguir du rante la lle gada de la s entidades (Logic).12: Figura 4. Existen dos maneras de llenar los campos d e las llegadas: una e s dando clic en cada botón superior de la ventana e ir eligiend o cada una de las opciones existentes para ese campo. La otra es simplemente dar clic sobre la locación a la que llegar an las ent idades sobre el Layout y se llenarán los campos con los valores pre asignados y posteriormente cambiar solo lo que se requiera. el tamaño del lote que llega (Qty Each). número de entidades que llegarán (Occurrences).12 Un campo que merece una espe cial atención es el de la tasa d e llegadas (Frequency) ya que como en este caso se trata de un a distribución de probabilidad teórica (uniforme e ntre 4 y 8) se debe esta por medio del Constructor de Estatutos o Constructor Lógico (Logic 136 .11 La ventana Arrivals tiene varios campos como: la entida d (Entity). ver figura 4.Lenguajes de simulación Figura 4. locación (Location) a la que llegan las entidades. Funciona en la lógica de movimiento. se elige: dist ribución de probabilidad (Distribution Functions) y se elige la unifor me. Simplemente se abre el constructor de estatutos al presionar el botón derecho del ratón o presionar el icono de construcción ( representado por un martillo) en la v entana de l ógica.Simulación.13 y 4. un enfoque práctico Builder). aclarando que los par ámetros a llenar son: la media (Mean) = (4+8 )/2 = 6 y el rango medio (half range) = 2 que es la distancia que existe entre el valor mínimo y la medi a y de esta al valor máximo. o en otros muchos campos donde pueden ser válidas múltiples entradas.14se puede ver el Constructor de Estatutos: Figura 4. En este ca so sobre el campo Frequency se da clic d erecho y aparece directamente en las funciones. Se a bre una ventana esti lo plantilla para escribir comandos en formato apropiado. Análisis y modelación de sistemas discretos. En l as siguientes figura 4. el cual es una poderosa herramienta para crear código de simulación sin tener que escribir literalmente.13 137 . 15: Figura 4. Vea la figura 4.Lenguajes de simulación Figura 4.14 Una vez que se introdu cen los valores de la media y el rango medio se da clic en el botón regresar ( Return) y posteriormente en pegar (Paste).15 138 . 2. Cada uno de estos pasos deberá programarse de manera independiente. Definir el proceso Enseguida se completará el mod elo definiendo la lógica de la simulación. 4. ver figura 4. para ello abra el menú Build y elija Processing o por medio del icono de acceso directo correspondiente. y en la segund a indicaremos la ruta secuencial en el proceso.Simulación. los pasos son los siguientes: 1. enseguida se desplegarán todas las localizaciones previamente definidas. es decir. 139 . Los clientes pasan hacia el servidor y son atendidos. Análisis y modelación de sistemas discretos. Para programar la localización donde llega la entidad (en este caso la “fila”). Para ello: Seleccione la entidad correspondiente en la ventana Processing haciendo clic en el botón Entity. en un registro por sepa rado.16: Processing Figura 4. un enfoque práctico 4. 3. Salen las entidades del sistema.16 En esta ocasión se desplegarán dos venta nas en la s que se programará de manera secuen cial el pro ceso que siguen los clien tes una vez qu e llegan al sistema: Process y Routing. En la primera s e definen las operaciones que se harán sobre la entidad. Analizando el ejemplo. Finalmente los cliente s se dirigen h acia la salid a en un tiempo que toma un minuto. Se empezará por definir la llegada de los clientes a la fila. Llegan los clientes a la fila de entrada y esperan para ser atendidos. hacer clic e n el botón Location. La siguiente columna. Esto por la razón de q ue en un momento dado. A con tinuación se definirá la ruta de salida en la ventana Routing: En este caso la entidad de salida sigue siendo el cliente por lo que se hace clic en el botón Output y se selecciona cliente. etc. deberá quedar como se ilustra en la figura 4. es necesario definir el pro ceso que se llevará a cabo con la at ención del cliente. Una vez completada la primera línea de programación. o entrar una entidad de materia prima y salir 3 piezas cortadas. indica la regla de movimiento. en este caso no existe ninguna condició n por lo que se dejará en blanco este campo. puede entrar un tronco y salir 5 tab lones. el valor predeterminado aquí es First 1. si la operación fuera de corte. Se debe posicionar el cursor con el mouse en el lado del Process sobre la línea existente y oprimir la tecla Enter para que se genere un nuevo registro en blanco y una vez 140 . Rule.17 Continuando con el pro ceso. determina el movi miento lógico de salida. lo que significa que la entidad avanzará tan pronto se tenga capacidad disponible en la localización de destino y el 1 significa que entra una entida d y sale una entidad.17 Figura 4. El destino del cliente es el servidor.Lenguajes de simulación Como en esta loca ción los clientes solo esperan para ser atendidos. La última columna. así qu e se se lecciona esa locación en la columna Destination. no se programa nada en la columna Operation. por ejemplo. Move Logic. Es necesario comentar que existe una manera más rápida de realizar toda la secuencia lógica del modelo. sobre el Layout se hace clic sobre la primera locación y se lleva esa línea de secuencia hacia la siguient e locación se da clic otra vez para indicar que se terminó esa primera ruta lógica. Enseguida se desplegará la ventana Operation (ver la figu ra 4.18) en dónde se escribirá la lógica del proceso. Para conocer los comandos necesarios para especificar el tiemp o de servicio. Solamente resta cambiar los campos pre asignados con las entidades y valores correspondientes. Cortar Imprimir Copiar Compilar Pegar Deshacer Buscar Constructor Lógico Figura 4.Simulación. Análisis y modelación de sistemas discretos. es importante qu e en la última ruta se haga clic sobre el botón Route to Exit que se encuentra en la parte posterior de la ventana Tools. hacer cli c en el botó n Operation de la ventana Process. posteriormente de ahí mismo se repite el proce so hacia la siguiente locación y así sucesivamente. un enfoque práctico más se rep ite el proceso de selección de la entidad que ahora se encuentra con el servidor y aquí el tiempo de atención es de acuerdo a una distribución exponencial con media de 6 m inutos.18 141 . Lenguajes de simulación Para programar el tiempo de servicio (o de operación) hacer clic en el ícono del martillo para comenzar la construcci ón lógica. Para construir la expresión de la distribu ción de probabilidad. Paste y Close. se hace clic sobre el botón Time y enseguida aparece la venta de las funciones del constructor lógico.19): Figura 4. A l hacerlo se abrirá otra ventana la cual contiene todos los comandos de programación que incluye el ProModel (ver figura 4. Vea la figura 4.19 El comando que está pr e asignado es el WAIT el cual se utiliza para simular los tiempos de procesa miento (servicio/operación).20: 142 . se selecciona Distributions Functions. luego s e selecciona la exponencial y se llena el campo p ara los parámetros qu e utiliza esta distribución (en este caso solo se tiene que llenar el campo de la media ) se hace clic sobre Return. 21): 143 . se pega y se cierra para finalmente terminar esta instrucció n (ver figura4. se selecciona el cliente de la colu mna Output y la siguiente locación a la cu al se dirige la entidad es hacia la sa lida (seleccionar de columna Destination) el campo Rule queda igual ( FIRST 1) y en este caso como de la locación del servidor hacia la salida le toma a la entidad un tie mpo de 1 minuto. se d a clic sobre el martillo y aparecen otra ventana con los comandos de m ovimiento. un enfoque práctico Figura 4. Para definir la ruta de salida de est e registro. se elige MOVE FOR que es e l que asigna el tie mpo de traslado a la en tidad y se le llena el campo con 1 minuto. Análisis y modelación de sistemas discretos. se debe dar clic en el botón MOVE LOGIC aquí ap arecerán el constructor lógico.20 La sintaxis general del comando es: WAIT<unidades de tiempo> y en este caso la instrucción queda: WAIT E (6).Simulación. Esto significa que la v entana de programación permite ver los procesos de man era secuencial.Lenguajes de simulación Figura 4.22: Figura 4.21 La programación completa de est e registro debe lucir como se aprecia en la figura 4. la ventana de la ruta de salida empieza de cero . aunqu e la ventan a correspondiente a la ruta de salida del pro ceso sólo mostrará la programación correspondiente a la línea seleccionada en la ventana de l procesamiento. 144 .22 Observe que al def inir el segundo registro. en e ste caso se anotará 30 . para espe cificar que se desea realizar 30 corridas de tamaño 8 horas cada una. el sigu iente paso es definir el tiempo de simulación y el número de corridas.Simulación. el modelo completo queda de la siguient e manera (ver figura 4. en cuyo campo Run Time se escribirá 8 (por que la corrida está determin ada como solamente tiempo) y en el campo Number of Replications se puede escribir el número de veces que se desea correr el modelo durante 8 horas. Enseguida se abrirá la ventana correspondiente.24 5. Análisis y modelación de sistemas discretos. para ello: Abra el menú Simulation y haga clic en el comando Options.23): Figura 4. el ú ltimo registro es cuando el cliente de la salida abandona el sistema. También se puede 145 . un enfoque práctico Para finalizar el modelo. en este caso no h ay nada en operación y solamente en la ventana Route en el bo tón Destination debe seleccionarse la instrucción Exit que es la que indica que las entidades abandonan el sistema. Establecer el tiempo de simulación Finalizada la programación. se desplegará un cuadro de mensaje confirmando la finalización del tiempo programado y las opciones para ver los resultados (puede ser individual por cada corrida o e l promedio de todas). o cancelar la animación mediante el comando Animation Off del menú Options para acelerar el tiempo de ejecución. Enseguida se abrirá una ventana con varias fichas que muestran los resultados estadísticos de la simulación.Lenguajes de simulación marcar la c asilla Pause para que p ermita ajustar la velocidad de la animación antes de que inicie la corrida. Al terminar la simulació n de las 30 corridas de tamaño 8 horas. Una vez que este corriendo puede ajustarse la velocidad con la barra q ue aparece en la parte superior de la ventana. p ara ver los resultados se debe hacer clic en el botón Si.25 Figura 4. Ver figura 4.25 El modelo está listo p ara ejecutarlo. 146 . 147 . Las diferentes fich as que se despliegan en el reporte de salida son: Ficha General: Algunos de los datos que despliega muestran la fecha y hora de la cor rida. Análisis y modelación de sistemas discretos. la ruta donde se encuentra ubicado el archivo y el titulo del modelo. el t iempo promedio por entrada.27). la capacid ad (cuando es infinita se representa con 999999). o guardarse en archivos con formato de Exc el para personalizarlos posteriormente.26 Figura 4. las horas simuladas. el co ntenido máximo po r locación.Simulación. un enfoque práctico Los datos pueden leerse y graficarse de inmediato con las herramientas que ofrece ProModel. el número actual de entidades al momento de finalizar la simulación y el porcentaje de utilización de cada locación (vea figura 4. Ver la figura 4.26 Ficha Locations: Aquí se present a la información de cad a una d e las locaciones. el número total de entidades que entraron durante la simulación. el promedio de contenid o por locación. el tiempo ocioso. Figura 4.27 Fichas Location States Multi/Locaction States Single: En la primera de estas fichas se presenta la información de las locaciones que tienen capacidad mayor a 1 a la vez durante la simulación.29).28 148 . del tiempo en preparación. Aquí se presenta además del tiempo programado los porcentajes que estuvo op erando la locación.Lenguajes de simulación Figura 4. el porcentaje qu e estuvo totalmente llena y el p orcentaje que estuvo e n paro o d etenida la locación (ver figura 4. del tiempo que estuvo bloqueada y en paro (ver figura 4. el porcentaje vacio de la loca ción.28). del tiempo en espera. Esta información es la correspondie nte al tie mpo programado. el po rcentaje que estuvo parcialmente ocupada la locación. En la segunda las que tienen capacidad de una entidad a la vez durante la simu lación. cantidad actual en el sistema al mo mento de finalizar la simulación. tiempo promedio en operación.30 Ficha Entity Activity: Esta refleja las estadísticas de cada entidad definida en el modelo. tales como el total de e ntidades que salieron del sistema. Esta ficha lista las entid ades del modelo que no pudieron entrar al sistema. t iempo promedio e n 149 . tiempo promedio de espera (Wq). un enfoque práctico Figura 4. Figura 4. alguna entidad que llegue a l no poder ent rar es destr uida y eliminada del sistema (ver figura 4. Análisis y modelación de sistemas discretos. tiempo promedio en el sistema (W).30).29 Ficha Failed Arrivals. Esto puede ocurrir cuando existe alguna locación con capacidad limitada y esta está completa.Simulación. 32).32 Finalmente para dar respuesta a los incisos d e ejercicio 1 se tiene que: a) ¿Cuál es el tiempo promedio que permanece un sistema? 150 cliente en el .31 Ficha Entity States: En esta ficha se puede encontrar un resumen de los datos de la ficha Entity Activity pero en términos porcentuales (ver figura 4. Figura 4.Lenguajes de simulación movimiento y el tiempo promedio que permaneció bloqueada la entidad (ver figura 4.31) Figura 4. un enfoque práctico Respuesta: de la ficha Entity Activity se pue de ver que el tiemp o promedio en el sistem a que permanecen los clientes es de 32. Análisis y modelación de sistemas discretos.30 minutos. Para realizar este cambio lo único que debe hacerse es regresar a la programación del modelo y en el co mando Locations en la columna Units de la ventana Locations se cambia el valor de 1 por 2. es decir prácticamente los clientes tienen que esperar solo 5. ya que el tiempo promedio de espera es muy largo como se mencionó en el inciso anterior.33). ¿Se logra esto con un servidor? Respuesta: No. c) Suponga que el gerente del establecimient o no quiere que lo s clientes permanezcan más de 7 minutos en pr omedio haciendo fila.4 segundos para ser atendidos (ve figura 4. 151 .34).19 minutos. se puede distribuir manualmente con el mouse y se vuel ve a correr el modelo (ver figura 4. En el reporte de salida de la ficha Entity Activity se puede apreciar que el tiempo en siste ma bajó a W= 7. b) ¿Cuál es el tiempo pro medio que permanece un cliente e n la fila antes de ser atendido? Respuesta: de la ficha Entity Activity se pue de ver que el tiemp o promedio en espera (fila) que per manecen los clientes e s de 20.09 minutos. d) Realice el modelo con dos servidores y comente.50 minutos en promedio y el tiempo promedio de espera en la fila bajó a W q= 0. automáticamente aparecerá otra locación (se rvidor) en lo s registros de la mis ma ventana y en e l Layout.Simulación. 33 Figura 4.34 4. en los pasos para desarrollar un modelo de simulación. En los 152 .Lenguajes de simulación Figura 4.2 Refinamiento progresivo del modelo Como se mencionó en el capítulo 1.5. el modelo creado pue de refinarse progresivamente para a gregar detalles que lo harán describir de una manera más “real” el sistema que se quie re representar. Simulación.5.36 c) Poner variables visib les en el Layout para che car cuantos clientes entran de cada tipo y etiquetarlas.36 Menú 1 2 3 4 5 Probabilidad 0.1 Uso de atributos.5.2. b) Existen 5 tipos de menú diferentes a ordenar con una distribución de probabilidad empírica tal como muestra en la tabla 4.20 0. Análisis y modelación de sistemas discretos.35 0. d) Poner variables visibles en el Layout para l os tipos de alimentos seleccionados y etiquetarlas. Para agregar lo anterior al modelo se realizarán lo siguiente: 1. 4. un enfoque práctico siguientes puntos se verá como se puede mejorar el model o básico de servicio que se presentó en el punto 4. 153 .2 Suponga que al modelo inicial se le agregarán las siguientes variables: a) El 40% de los clie ntes ordenan para llevar y el resto para consumir ahí mismo. se p ueden definir dichas variables por medio del menú Build y dar clic e n el comando Variables Global o dando clic en el botón de acceso directo que se encuentra debajo de los menús (ver figura 4.10 Tabla 4. Definir Variables Para realizar esto.25 0. variables y comandos de decisión Ejemplo 4.1.10 0.37). Figura 4. se anota el nombre de cada vari able en el campo ID y posteriormente se da clic en el Layout para verlas gráficamente (son de tipo enteras pre asignadas) mismas que se ilustran en la figura 4.38 154 .37 Enseguida se desplegará en pant alla la ventana de definición de variables.38.Lenguajes de simulación Figura 4. un enfoque práctico Para editar las variable s se abre e l menú Build y se da clic en el comando Background Graphics en el submenú Front of Grid.39 Enseguida se da clic so bre el botón para texto (el que tiene la “A”) y posteriormente dar clic en el Layout. etc.39. modificar el color de relleno. aparecerán 2 ventanas.Simulación. Observe la figura 4. 155 . Análisis y modelación de sistemas discretos. Figura 4.40. aparece un cuadro en el cual se puede anotar el nombr e. la forma de la etiqueta. una de he rramientas gráficas y o tra superior con los gráf icos que contiene la b iblioteca del editor gráf ico (Graphic Editor) que incluye el ProModel. tal como se ve en la figura 4. Lenguajes de simulación Figura 4.40 Finalmente las etiquetas para la variable que dan de la siguiente manera (ver figura 4.41): 156 . el tipo (en este caso discretas).42. Definir distribuciones empíricas El siguiente paso es d efinir las distribucione s empíricas para las variables que se han de finido. Para esto dar clic en el botón U que se encuentra debajo del menú de opciones.43 y 4.41 2.42 Se despliega una ventana con opciones para modificar el nombre de las distribuciones.Simulación. un enfoque práctico Figura 4.44. Figura 4. vea la figura 4. Análisis y modelación de sistemas discretos. si son acumulativas o no y para definir las tablas con los valores probabilísticos ( dar clic en el botón Table) tal como se ilustra en la figuras 4. 157 . Enseguida aparecerán nuevos lugares para definir más íconos (gráficos) que id entifican la misma entidad. D e preferencia se recomienda seleccionar el mismo icono par a los clientes tipo 2 solo cambiando el color de este a través del botó n Edit de la misma ventana (vea la figura 4. Se podrá observar que uno de los e spacios es o cupado por la e ntidad que se seleccionó anteriormente.44 3. Modificar gráficos de la entidad Para esto se da clic en e l botón en tidades mencionados anteriormente y se desactiva la casilla New de la ventana Entity Graphics. ahora se da clic en el lugar inmediato a la derecha para indicar que se seleccionará otro icono d e la misma entidad.45) 158 .43 Figura 4.Lenguajes de simulación Figura 4. ese será el icono para los clientes tipo 1(que son los que piden para llevar). en este caso se co nsideran los dos tipos de atributos mencionados anteriormente.46. el atribu to nos ayu da a que las entidades se puedan clasificar o a resaltar alguna característica que se considere importante para el modelo. un enfoque práctico Figura 4.45 4. 159 . Para hacer esto.Simulación. Definición de atributos Los atributos en este caso son: tipo de cliente y tipo de menú que un cliente puede ser o seleccionar. dar clic en el botón A que se encuentra debajo del menú o ir a Build y luego Attributes. Análisis y modelación de sistemas discretos. vea la figura 4. Figura 4. Se hace clic en e l botón Logic y en seguida se despliega una ventana de dialogo que permite programar ciertas condiciones lógicas en el ProModel. 160 .47 5. se da clic en el botón Build Expression.46 Enseguida se despliega la ventana Attributes y se definan los nombres de cada atributo en el campo ID. Como lo que s e va a crear no es un estatuto propiamente sino que es una expresión que utilizará atributos y tab las de u suario. ver figura 4. Para esto se da clic en el comand o Arrivals del menú Build (o en e l botón destinado para e stas abajo del menú).48. dar clic en el martillo para que aparezca el constr uctor de estatutos. ver figura 4. Modificar las llegadas Enseguida se modificará el campo Logic en la s llegadas (Arrivals) para indicar que cuand o se gener en las lle gadas de los clientes se clasifiquen como tipo 1 y 2 (atributos previamente establecidos) y de acuerdo a la distribució n de usuario que se e stableció anteriormente.47.Lenguajes de simulación Figura 4. 49.48 Enseguida se selecciona Attributes y se selecciona “Tipo de cliente” de los atrib utos que aparecen en el campo central. Análisis y modelación de sistemas discretos. 161 . un enfoque práctico Figura 4. Se ve rá que en el campo superior se empieza a definir la expresión de tipo d e cliente. ver figura 4.Simulación. se debe escribir el signo igual después de esta para igualar a la distribución de usuario previamente establecida. 49 Enseguida en el camp o Logic Elements se desliza la barra de desplazamiento hasta que aparezca la opció n User Distributions. se selecciona: “Distribución de tipo de cliente” y enseguida se verá que la expresión completa se ha formado en el campo superior.Lenguajes de simulación Figura 4. ver figuras 4. Se da clic e n Paste y se repite todo el proceso para el atributo de tipo de menú a seleccionar.51. se selecciona esta aparecen en el ca mpo central dos opciones que no son otra cosa que las distribucio nes previamente establecidas.50 y 4. 162 . Simulación. Análisis y modelación de sistemas discretos.51 163 .50 Figura 4. un enfoque práctico Figura 4. Para esto. aparece la ventana de elementos lógicos y seleccionar Attributes. se enlistan a continuación la secuencia de las instrucciones: a) Seleccionar el comando IF-THEN-ELSE y da r clic en Condition. aparece la ventana Operation y haga clic en el martillo para comenzar las instruccion es lógicas. Si el tipo de cliente es para consumo ahí mismo (2) entonces incrementar la variable “Clientes p ara consumo local” y utilizar el gráfico 2 para esta entidad. en la Fila de entrada se indicará lo siguiente: Si el tipo de cliente es para llevar (1) entonces incrementar la variable “Clientes para llevar” y utilizar el gráfico1 para esta entidad. Al hacerlo se abrirá el constructor de estatutos. Como los clien tes cuando entran al sistema se supone que ya saben si su pedido es para llevar o comer ahí mismo. seleccionar el atributo Tipo de Cliente y hacerlo igual a “1”.Lenguajes de simulación Una vez cerrado el co nstructor de estatutos las expresiones en el campo Logic quedan de la siguiente manera (ver figura 4. 164 . Para esto primero dar clic en e l comando Processing del menú Build o en el botón destinado para ello debajo de l menú.52): Figura 4. Modificar el proceso Finalmente solo queda modificar el proceso de l modelo. hacer clic e n el botón Operation de la ventana Process en el registro de la fila de entrada. que contiene todos los comandos de programación existentes.52 6. Como son varias instrucciones. un enfoque práctico b) Enseguida dar clic en el b otón Statement. Se pueden quitar las “llaves” que aparecen sin n ingún problema si a sí se desea. c) Se repite todo el ciclo para los clientes que comen en el local (tipo 2). Ver figuras el siguiente grupo de figuras 4. enseguida dar clic en el botón Return y posteriormente Paste. como son do s instrucciones en esta parte se hace clic en el estatuto BEGIN (inicia un ciclo de instrucciones) Return y Paste. se hace clic e n Paste y finalmente se cierra el ciclo seleccionando el comando END.53. Análisis y modelación de sistemas discretos.Simulación. dar clic en Identifier (manda directo a la s variables) y seleccion ar “Clientes para consu mo local”. el siguiente paso es sele ccionar el e statuto GRAPHIC y se anota el número 1 e n el campo Graphic Number. Enseguida seleccionar el estatuto INC. 165 . . Si el tipo d e menú qu e pide el cliente es ig incrementa la variable: Menú tipo 4. Análisis y modelación de sistemas discretos.54 A continuación. Si el tipo d e menú qu e pide el cliente es ig incrementa la variable: Menú tipo 5. aquí es cuando este hace su pedido y es atendido por el servidor. 167 . un enfoque práctico Figura 4. así que aquí también se realizarán las siguientes actividades: Si el tipo d e menú qu e pide el cliente es ig incrementa la variable: Menú tipo 1. deberá situarse en el segundo registro de la ventana Process que es cuando el “cliente” está en la locación: “servidor”. ual a 1 ent onces se ual a 2 ent onces se ual a 3 ent onces se ual a 4 ent onces se ual a 5 ent onces se Para modificar este campo se hará lo siguiente: a) Dar clic en el botón Operation de la ventana Process para que se despliegue la ventana Operation.Simulación. Si el tipo d e menú qu e pide el cliente es ig incrementa la variable: Menú tipo 3. Si el tipo d e menú qu e pide el cliente es ig incrementa la variable: Menú tipo 2. Enseguida hacer clic en el martillo para que aparezca el Constructor de Estatutos o Constructor Lógico (Logic Builder).55 El modelo está listo para correrlo nuevamente. d) Enseguida dar clic en el botón Statement..56 se ilustra el Layout con las variables agregadas durante la corrida.55 se pueden ver el listado de instrucciones: Figura 4. aparece la ventana de elementos lógicos y seleccionar Attributes. En la siguiente figura 4. c) Seleccionar el comando IF-THEN-ELSE y da r clic en Condition. En la siguiente figura 4.Lenguajes de simulación b) En el campo Operation se tiene la instrucción del tiempo de servicio la cual es una distribución exponencial con media de 6 minutos: WAIT E(6). dar clic en Identifier (manda directo a las variables) y seleccionar “Menú tipo 1” (quitar la s llaves si se desea). Debajo de esta instrucción se sit úa el cursor dando Enter. e) Repetir todo el proceso para las demás variables. e nseguida dar clic en el botón Return y posteriormente Paste. Corresponde al estudiante analizar la información obtenida en el reporte 168 . seleccionar el atributo Tipo de Menú y hacerlo igual a “1”. Enseguida seleccionar el estatuto INC. 2 Uso de comando ROUTE Ejemplo 4.56 4.2. en la ventana Graphics (con la casi lla New activada). Modificar las locaciones En el comando Locations.Simulación. un enfoque práctico de salida para hacer las recomendaciones pe rtinentes acerca de est e modelo.3 Tomando como base el ejercicio an terior (guardar como ejercicio 3). Análisis y modelación de sistemas discretos. Edite las 169 . seleccionar un icono apropiado para simular las mesas. la capacidad y el nú mero de unidades.5. Posteriormente se dirigen a la salida (suponga que duran un minuto en trasladarse del área de comedores a la salida). se debe seleccionar solo uno y en la venta na superior Locations modificar el nombre. Figura 4. se le agregará que los clientes que permanezcan en el local para su consumo pasan a un área de comedores (se tienen 5 mesas con capacidad para 2 personas cada una) y permanecen un tiempo q ue sigue una distribución normal con media de 25 minutos y una desviación estándar de 5. Se tendrá que agregar al modelo lo siguiente: 1. 57: Figura 4. en este caso T ipo de client e como se ha mencionado anterior mente.Lenguajes de simulación unidades agregando un gráfico de barras para ver como se ocupan las mesas y una etiqueta con el nombre de la locación. Si el tipo de cliente es igual a 2 entonces dirigirse a los comedores Si los clientes terminan su tiempo de consumo dirigirse a la salida. vea la figura 4. hacer clic en el botón Operation y debaj o de las instruccion es existentes agregar otra decisión lógica que haga lo siguiente: Si el tipo de cliente es igual a 1 entonces dirigirse a la salida. solo que en la condición Statement se utiliza el estatuto ROUTE y anotar el 170 . Para hacer esto en el campo Operation dar clic en el martillo y utilizar el e statuto IF-THEN-ELSE con el atributo correspondiente. Modificar el Proceso En el segundo registro cuando lo s clientes están con el servidor.57 2. 171 . en el destino será a la locació n “comedores”.59 Figura 4. Vea figura 4.Simulación. ver la figura 4. Análisis y modelación de sistemas discretos. Figura 4. ver la figura 4. se debe dar Enter para crear otro registro en blanco y posteriormente seleccionar la entidad de salida. un enfoque práctico número de bloque para el Routing for correspondiente . aquí es a donde se dirigirán los clientes tipo 1. en lo referente a el botón Rule.60. hacer clic para que se despliegue la ventana de opcione s y en la casilla Start New Block marcarla para indicar que será el nuevo bloque.59 Para crear la locación a donde se dirigirán los clientes tipo 2.58 En el Routing for correspondiente en la primer salida se tiene marcado el bloque por defecto como 1 y la locación es “Salida” con un MOVE FOR 1.58. En el registro en blanco seleccionar la entidad (dando clic en los botones correspondientes superiores). Para esto se puede insertar un registro en blanco entre la locación “Servidor” y “Salida”. simplemente situar el cur so en la locación “Salid a” y en el menú Edit hacer clic e n Insert.61 Falta agregar en el p roceso cuando los clientes están en lo s comedores y luego se dirigen a la salida.60 Finalmente los dos reg istros quedan como se muestra en la figura 4.Lenguajes de simulación Figura 4. la locación que en este caso es “Comedores” y en el campo Operation dar clic para que se despliegue 172 .61. Figura 4. 5. Figura 4. Por su parte en Routing For. lo anterior se describió a detalle en paso 4 del p unto 4. la locación que será la “Salida” y e n el campo Move Logic también se agrega u n tiempo de traslado de un minuto (Move For 1) como se describió e n el mismo punto y paso antes mencionado.63 173 .63 se puede ver el Layout durante la corrida de l modelo.1. En la siguiente figura 4. un enfoque práctico la ventana Operation.62 se pue de apreciar completa la inserción de este registro. E n la figura 4.Simulación. Figura 4.62 El modelo quedó terminado y se pu ede correr para su análisis. posteriormente dar clic en el marti llo para que aparezca el constructor de estatutos y con e l estatuto WAIT y el botó n Time indicar el tiempo que tarda en dicha loca ción (es una distribució n normal con media de 25 y des viación estándar de 5). Análisis y modelación de sistemas discretos. también se elige la entidad de salida. monitores y empaque) de longitud 20 metros. Ya que se ha realiza do la operación anterior. De est a estación.5. El producto que se manejará en todo e l sistema será una caja que tiene una dimensión de un metro por un metro (para el caso de bandas transportadoras).5. se iniciará con un modelo básico y po steriormente se in crementará el grado de sofisticación para agregarle más elementos de programación que harán finalmente un modelo muy parecido a algún sistema de producción real. la caja se dirige a una banda de embarque que a su vez ésta la llevará a una zona de embarque. La caja que sale de ambas filas pa sa a una estación de trabajo en donde se realiza una op eración que consume un tiempo de un minuto con distribu ción exponencial. A la zona de carga. la caja abandona el sistema.4 En este mo delo se cre ará una red de filas y bandas sobre las cuale s viajará una caja.3. 4. una banda de tarimas con una longitud de 20 metros con una velocidad de 20 metros por minuto y otra banda d e embarque con una longitud de 60 metros y una velocidad de 20 metros por minuto.5 minutos con distribució n uniforme. Existen tres filas ( de cajas. Todas las demás loca ciones se conside ran con un a capacidad de solo una pieza.5 a 1. pasan a una fila de empaque que conducirá a la caja hasta una zona de carga en donde el tiempo de c arga será de0. Proceso: Llega al sist ema tanto a la fila de cajas como a la fila de monitores una caja. también llega una caja procedente de una banda de tarimas. 174 . Una vez que se realiza la operación en zona de carga.3 Modelos que incluyen más de un proceso En esta sección se realizarán los modelos de un sistema de manufactura que in corpora más d e un proce so.1 Modelo con bandas de transporte (CONVEYORS) y filas de espera (QUEUE) Ejemplo 4.Lenguajes de simulación 4. La capacidad para cada fila se considerará de cinco piezas y la de bandas infinita. Para realizar la o peración de embarque se lleva un tiempo de 2 minutos con distribución de poison. Realización del modelo conceptual o esquemático del sistema Antes de realizar el modelo en ProModel. Análisis y modelación de sistemas discretos. A la fila cajas llega una caja y esta llega rá al sistema un minuto después de haber iniciado la corrida de produ cción y después llegar á cada tres minutos. Utilizar también el estatuto INC para contabilizar lo s productos embarcados. A la banda de tarimas llegará una caja cuando haya corrido la producción cinco minutos y después llegará cada cinco. A la fila monitor llega la caja en un tiempo cero y después llegará cada tres minutos. un enfoque práctico Llegadas: Al sistema llega una caja a la fila de monitor. Utilizar el estatuto GRAPHIC en fila de cajas y en banda de tarimas para cambiar la apariencia de la enti dad en estas dos locaciones.Simulación. a la fila de caja y a la banda de tarimas. con una ocurrencia infinita en todas. es muy út il hacer u n análisis del sistema utilizando un modelo conceptual o un esquema con la toda la información existente del sistema qu e se de sea modelar. El modelo conceptual o esquemático es como se muestra en la figura 4.64. 175 . Ejecutar el modelo por 8 horas. capacidad de 5) Zona de empaque (capacidad 1). capacidad de 5). capacidad de 5). 5. Fila de empaque (longitud 20 metros. 3. Definir locaciones Recuérdese que el primer paso en ProModel es definir las locaciones físicas del modelo. Estación de trabajo (capacidad 1). Fila de cajas (longitud 20 metros. Fila de monitores (longitud 20 metros. 176 . 4. 2. en este caso: 1.64 1.5 Fila Cajas Banda de Embarque Exit Zona de Embarque Wait = 2 Figura 4.Lenguajes de simulación Arrivals: 1 caja a fila Monitores 1 caja a fila cajas 1 caja banda tarimas Ocurrencia: Infinita Banda Tarimas Fila Monitores Estación de Trabajo Wait = 1 Fila Empaque Zona de empaque Wait = 0. Es importante para evitar errores de duplicidad elegir todas las locaciones primeramente con la ca silla New activada (de la ventana Graphics) y luego editar adecuadamente cada una de las locaciones elegidas. deslizar el ra tón en la dirección que se de sea (incluso se pueden realizar cambio s de dirección dando clic en el bot ón izquierdo del ratón) y terminar la f ila dando doble clic. las filas se determinarán con un color sólido al editarlas y las bandas transportadoras con barras. Banda tarimas (longit ud 20 metros. Si se mu eve el cursor del ratón a l realizar este procedimiento. Banda de embarque (Longitud 60 metros. velocid ad de 20 metros por minuto y capacidad infinita). 7. Zona de embarque (capacidad 1). Análisis y modelación de sistemas discretos. y h acer clic e n la po sición de la ventana Layout donde se desea que aparezca la fila.65 está definida una fila con la ventana de edición abierta para cambiar s us características: 177 . Como se mencionó anteriormente. en la siguiente figura 4. En el caso particular de las filas y bandas: Seleccionar el icono que parece una escalera horizon tal en la ventana Graphics. 8. velocidad de 20 metros por minuto y capacidad infinita).Simulación. una flecha indicará que se e stá definiendo una fila. un enfoque práctico 6. Para definir las loca ciones abrir el menú Build y elegir Locations o directamente en el botón destinado para ello mencionado anteriormente (el cubo a zul que se encuentra ubicado d ebajo del menú). Debe recordarse que se tiene que dar clic en ca da gráfico de la venta na Graphics y luego clic en el Layout para crear cada registro. se tien e además otro botón de opciones especiales para las bandas ( Conveyor options) donde se puede especificar si la banda e s de rodillos (marcando la casilla Accumulating) o de cinta (si no se marca la casilla Accumulating) y la velocidad de desplazamiento. 178 .Lenguajes de simulación Figura 4. en la figura 4.66 e stá la edición de la s características de una banda transportadora (con la casilla Conveyor activada).65 De la misma manera . En este caso se considerará a las bandas como de rodillos (marcar casilla Accumulating). Cuando se e dita una ba nda. 66 En las siguientes figura s 4. un enfoque práctico Figura 4.67 179 . Análisis y modelación de sistemas discretos. Figura 4.Simulación.67 y 4.68 se ilustr an los registros de las locaciones del modelo y el Layout con los gráficos respectivamente. Se definirán además tres gráficos para la mis ma entidad como se mencio nó anteriormente en el paso 3 de l ejercicio 4.69.68 2. La definición de la entida d y los tres gráfico s seleccionados se muestran en la figura 4. 180 . Definición de entidades El siguiente paso en la construcció n del modelo será la definición de las entidades. En este caso la entidad es una caja que se moverá en tod o el sistema con dime nsiones de 1 metro por 1metro. Para ello es necesar io desplegar la ventana apropiada mediante el comando Entities del menú Build. Recuerde que en el botón Edit se puede cambiar el color del gráfico seleccionado.2.Lenguajes de simulación Figura 4. 70 se ilustran las llegadas del modelo. Definición de las llegadas El siguiente paso en la construcció n del modelo es la definición de las llegadas de la e ntidad al siste ma. 3 y 5 minutos respectivamente. llega u na caja vacía a la fila de m onitores en el momento que iniciará la corrida. abrir el menú Build y comando Arrivals (o el botón de acceso directo ya mencionado a nteriormente). En el caso de las llegadas d e este modelo. siempre y cua ndo dicho botón esté resaltado.Simulación. Debe recordarse que en las ventanas que se despliegan en cada comando aparecen botones de acceso para elegir las opciones de cada campo. otra caja a la fila de cajas un min uto después y otra a la banda de tarimas 5 minutos después con frecuencias de 3. si no aparece el botón resaltado entonces en el campo hay que escribir directamente la opción deseada. Para generar más de un regist ro solo se tiene que dar Enter sobre este para generar los demás. Análisis y modelación de sistemas discretos. un enfoque práctico Figura 4. En la siguiente figura 4.69 3. 181 . Figura 4. En el campo name se nombrará a la variable co mo “Embarcados”.70 4.Lenguajes de simulación Figura 4.71 182 .71). Definir Variable Dar clic en el botón de acceso directo o por m edio del menú Build y Variables (global). si se desea que la variable aparezca físicamente solo se tiene que dar clic en el lugar deseado en el Layout (ver figura 4. En el último registro del campo Operation además del tie mpo de proceso (Poisson con media de 2) se utilizará el estatuto INC para incrementar la variable “Embarcados” que se pide. bajo que regla de salida se ajustará y en este caso no hay nada que cambiar en Move Logic ya q ue es sola mente una caja que se desplaza por todo el sistema. dar clic e n el martillo y aparec e el constructor de estatutos. se procederá como en los ejemplos anteriores. Definir el proceso Este es el paso más importante p orque es donde se establece la lógica de pr ocesamiento del modelo. seleccionando del botón superior de la ventana Process. En la sigu iente figura 4. Ejecutar el comando Processing del menú Build. Para programar las opera ciones y r utas que se aplicarán a las entid ades. Análisis y modelación de sistemas discretos. Recuérdese que para programar los tiempos de procesamiento se realiza en el campo OPeration. las entidades. 72 se pued e ver el pro cesamiento completo del modelo y en la figur a 4. que operación se realiza en estas y en la ventana de Routing for cual es la ent idad de salida.73 se v e la última instrucción que incluye el incremento de la variable. la instrucción para el tiempo de proceso es WAIT y el tiempo es de acuerdo a alguna distribución de p robabilidad por lo que en el botón Time del mencionado constructor de estatutos manda directamente a los elementos lógicos d ónde se encuentran las distribuciones de prob abilidad (Distribution Functions). en el campo Operation. la locación de destino. 183 .Simulación. Cuan do llega la entidad a cada locació n asignada se utilizará e l estatuto GRAPHIC para asignar el número de gráfico correspondiente. a que locación llegan. un enfoque práctico 5. o enviarla como un archivo de texto (con el comando Print Text) a algún directorio y posteriormente abrirlo con la aplicación Word. se pue de ver toda la programación en texto. Es importante señalar que en el menú File en el comando View Text. 184 .73 Finalmente el modelo está listo para correrlo. En el siguiente cuadro 4.74 se puede ver la s instrucciones de procesamiento del modelo.72 Figura 4.Lenguajes de simulación Figura 4. . .Simulación. Oldest. Oldest. . Cuadro 4. . . un enfoque práctico Name Fila_de_Monitores Fila_de_Cajas Estacion_de_Trabajo Fila_de_Empaque Zona_de_Empaque Banda_de_tarimas Banda_de_Embarque Zona_Embarque Cap 5 5 1 5 1 INFINITE INFINITE 1 Name Speed (mpm) Caja_Vacia 20 Entity Caja_Vacia Caja_Vacia Caja_Vacia Caja_Vacia Caja_Vacia Caja_Vacia Caja_Vacia Caja_Vacia Units 1 1 1 1 1 1 1 1 Locations Stats Time Series Time Series Time Series Time Series Time Series Time Series Time Series Time Series Location Fila_de_Monitores Fila_de_Cajas Banda_de_tarimas ID Type Embarcados Integer . . Cost FIFO. . FIFO. Oldest. Entities Stats Cost Time Series Processing Process Location Operation Blk Fila_de_Monitores GRAPHIC 1 1 Fila_de_Cajas GRAPHIC 2 1 Estacion_de_Trabajo WAIT E(1) 1 Fila_de_Empaque 1 Banda_de_tarimas GRAPHIC 3 1 Zona_de_Empaque WAIT U(1. FIFO. Análisis y modelación de sistemas discretos. Oldest. Oldest. Output Caja_Vacia Caja_Vacia Caja_Vacia Caja_Vacia Caja_Vacia Caja_Vacia Caja_Vacia Caja_Vacia Routing Destination Estacion_de_Trabajo Estacion_de_Trabajo Fila_de_Empaque Zona_de_Empaque Zona_de_Empaque Banda_de_Embarque Zona_Embarque EXIT Arrivals Qty Each First Time Occurrences 1 0 INF 1 1 INF 1 5 INF Variables (global) Initial value Stats 0 Time Series Frequency 3 3 5 Logic Rule FIRST FIRST FIRST FIRST FIRST FIRST FIRST FIRST .5) 1 Banda_de_Embarque 1 Zona_Embarque WAIT P(2) 1 INC Embarcados Entity Caja_Vacia Caja_Vacia Caja_Vacia Rules Oldest. . 1 1 1 1 1 1 1 1 . Oldest. FIFO.0.74 En la siguiente figura 4. Oldest. FIFO. . .75 se puede ver el modelo durante la corrida 185 . 75 4. LOAD/UNLOAD y cambio de entidades Como se habrá observado. 186 .4 lo único que se mueve por el sistema de filas y bandas es una caja vacía.2 Modelo con estatutos JOIN.Lenguajes de simulación Figura 4. pero lógicamente la intención es complementar gradualmente un modelo en el que u n monitor se meta a una caja vacía en la estación de trabajo y de ah í salga una caja llena qu e posteriormente se cargará en una tarima. e sa tarima se transporta ha sta una zona de embarque y posteriormente se descargará la caja para finalmente embarcarse.3.5. en el eje rcicio 4. 1. se a bre una ve ntana como la que se muestra en la figura 4. además de la caja vacía que ya se tenía son. etc. T arima y Tarima Llena. Para realizar esto. En el primer caso. 1. b) Importar el gráfico de otra aplicación como la galería de imágenes de Word. para crear el gráfico. Las entidades que se incorporarán al modelo. Existen dos opciones para incorporar estos gráficos: a) Crear el gráfico en el e ditor gráfico (Graphic Editor) que incluye el ProModel.5 para iniciar la modificación. un enfoque práctico Ejemplo 4. Agregar Entidades. Monitor. la dimensión que se considerará para las entid ades que entran a la s bandas es de 1 por 1 metros. se h abrá observado que en el menú de gráficos no existe el monitor ni la caja ce rrada. Corell Draw. Guarde el ejercicio 4.Simulación. Ca ja Llena. Paintbrush.5 Se modificará el sistema de filas y bandas del ejercicio a nterior para desarrollar operaciones de ensamble y carga de piezas en otra pieza. Análisis y modelación de sistemas discretos. dar clic en el menú Tools en la opción Graphic Editor.4 como ejercicio 4. 187 .76. finalmente se d a clic en el 188 . se modificará la caja va cía para insertar el gráf ico caja llena.78.Lenguajes de simulación Figura 4. se hace clic en el último cuadro que está a la derecha del último gráfico en la parte superior. h asta que la caja parezca que está cerrada. ver figura 4. Figura 4. Primero se hace doble clic e n la caja vacía para ap arezca en e l área de trabajo y en el menú Options se incrementa el zoom al 400% para verlo más grande y se modifica este marcando las h ojas de la caja con el mou se y dando en la tecla suprimir. posterior mente en la parte inferior en el re cuadro de la izquierda se pone el no mbre de la figura.78 Para incorporar esta nueva figura a la biblioteca de gráficos.76 Enseguida. cambiar colores de relleno. se elige la opción Paste BMP y aparece el g rafico en el área de trabajo. pegar una figura a otra . un enfoque práctico botón Save de los bot ones que se encuentra n la parte superior a l a derecha. ver figura Figura 4. Ver figura 4.79 En el segundo caso. Continuando con el ejercicio.Simulación. Análisis y modelación de sistemas discretos. etc. En la figura 4. Para salir del editor gráfico se cierra la ventana principal y se guarda la biblioteca.80 Figura 4. para incorporarlo a la biblioteca se hace como se mencionó anteriormente en el inciso anterior. se seleccionarán las nuevas entidades. si se crea completamente la figura. el p rocedimiento para esto ya se ha mencionado anteriormente por lo q ue se hará 189 .80 2. Para importar un grafico de otra ap licación como Word. se pu ede insertar una figura en otra.81 se muestran las entidades pedidas. se pueden elegir las f iguras que se encuentra n a la izquierda. sólo se tie ne copiar la imagen y en e l editor gráfico de ProModel en el menú Edit. Al sistema llega un mon itor. A la fila cajas llega una caja vacía un minuto despu és de habe r iniciado la corrida d e producción y después llegará cada tres minutos. Arribos. Recuérdese que las entidades que se moverán por las bandas deben tener dimensiones de 1x1 metro.82 2. Figura 4.Lenguajes de simulación referencia solo a las entidades se leccionadas. Como ya se tienen la s llegadas del ejercicio anterior. solo hay que cambiar la entidad en la “Fila de Monitores” y en la “Ba nda de tarimas” por el monitor y la tarima vacía respectivamente. y después llegará cada tres minutos. una caja vacía y un a tarima vacía. Llega un monitor a la fila de monitor en un tiempo de cero. A la banda de tarimas llegará una tarima cu ando haya corrido la producción 5 minutos y después llegará cada 5 minutos. con una ocurrencia infinita en todos. Las llegadas modificadas ( Arrivals) quedan de la siguiente manera (ver figura 4.83): 190 . Ver figura 4.83 191 . e l tiempo de carga será de 1 minuto. en donde se descargará la caja llena de la tarima en un tiempo de 1. Ambas piezas ( caja vacía y monitor) se dirigen a la siguiente estación de trabajo en donde se realiza una operación que consume un tiempo de cuatro minutos para empacar el monitor en la caja. ya que ahora se tiene un gráfico para cada entidad. En el primer registro d ebe entrar u na caja vacía a la fila de cajas y salir una caja vacía con destino a la estación de trabajo. un monitor que será ensamblado en la caja vacía. y la caja llena sale del sistema. Es importante señalar que en el campo Rule debe marcarse la opción If Join Request para indicar que esta entidad se unirá a otra.5 minutos. La tarima vacía regresará para ser reciclada a la banda de tarimas en un tiempo de 3 minutos. Para modificar el Processing. 2.83 3. pasa la caja llena a una fila de empaque que conducirá a esta hasta una zona de carga e n donde se cargará so bre una tarima vacía. Llega a la fila de cajas una caja vacía y a la fila de monitores. se revisará registro por registro para i r haciendo los cambios gradualmente. Proceso. un enfoque práctico Figura 4. 1. De aquí. En el segundo registro entra un monitor a la fila de monito res y sale un monitor con destino a la estación de trabajo. solo se debe eliminar el estatuto GRAPHIC que se tenía a nteriormente. Posteriormente.Simulación. sale la tarima llena con destino a la banda de embarqu e y de aquí a zona de embarque. Análisis y modelación de sistemas discretos. de esta estación sale una caja llena. Lenguajes de simulación Figura 4.83 3. En el tercer registro entra una caja vacía a la e stación del trabajo y en el campo Operation se da clic sobre el martillo para que aparezca el constructor de est atutos, antes del estatuto WAIT, debe seleccionarse el estatuto JOIN, en el campo Quantity se asigna 1 y enseguida aparece otra ventana do nde aparecen tres botones en la parte superior, en la que dice Entity se selecciona el monitor y lueg o se pega con el botó n Paste. El tiempo de operación puede modificarse ahí directamente, por simplicidad los tiempos ahora son constantes, la entidad de salida es la “Caja Llena”, así es, cuando se utiliza el estatuto JOIN entra una entidad y debe salir otra. 4. En el cuarto registro, entra una caja llena a la fila de empaque y sale una caja lle na con dest ino a la zon a de empaq ue, también aquí se debe modificar el campo Rule, como esta caja llena se cargará sobre la tarima vacía, debe indicarse marcando la opción If Load Request. Ver figura 4.84. 192 Simulación, Análisis y modelación de sistemas discretos; un enfoque práctico Figura 4.84 5. En el quinto registro entra una tarima vacía a la banda de t arimas y sale una tarima vacía con destino a la zona de empaque. 6. En el sexto registro entra una tarima vacía a la zona de empaque, se carga esta con una caja llena y s ale una tarima llena. Para hacer esto, en el campo Operation se da clic sobre el martillo para que aparezca el constructor de estatutos, antes del estatuto WAIT, debe seleccionarse el estatuto LOAD, en el campo Quantity se asigna 1 y luego se pega con el b otón Paste aquí no es necesario especificar de cual e ntidad se trata, con el If Load Request asignado previamente es suficiente para indicar que esa entidad es la que se cargará en la entidad que se encuentra a la locación actual. Es importante comentar que también existe un estatuto UNLOAD que se aplica para descargar, a diferencia del JOIN que lo que se unió como otra entidad no se puede desunir después. El tiempo de operación se 193 Lenguajes de simulación modifica ahí directamente en este caso el tiempo carga será de u n minuto (WAIT 1). 7. Enseguida entra una tarima llena a la banda de embarque y sale una tarima llena a la zona de embarque. 8. En el siguiente registro, entra una tarima llena a la zona de embarque y en el campo Operation se descarga la caja con el estatuto UNLOAD (dar clic en el martillo, seleccionar el estatuto y en cantidad poner 1), el tiempo de operación (WAIT) es de 1.5 minutos y sale una tarima vacía con destin o a la banda de tarima s (en un tiempo de 3 minutos), esta operación es con el estatuto MOVE FOR en el campo Move Logic. El incremento de la variable que se tiene ahí se borra por que va en otro registro. 9. En el siguiente registro, del lado izquierdo en el Process se oprime la tecla Enter para crear un registro en blanco. Se elige la caja llena que también está en la zon a de embarque, aquí en el campo Operation se incrementará la variable embarcados co n el estatu to INC y finalmente la caja llena abandona el sistema ( EXIT) para así dar por terminado el modelo. En el siguie nte cuadro 4.85 se muestra el Processing del modelo como debe quedar finalmente, recuérdese que esta opción es po sible en el menú File en la opción View Text o Print Text. 194 Simulación, Análisis y modelación de sistemas discretos; un enfoque práctico Process Processing . Routing Entity Caja_vacia Monitor Caja_vacia Location Operation Blk Output Destination Rule Move Logic Fila_de_cajas 1 Caja_vacia Estacion_de_trabajo FIRST 1 Fila_de_Monitores 1 Monitor Estacion_de_trabajo JOIN 1 Estacion_de_trabajo JOIN 1 Monitor wait 4 1 Caja_Llena Fila_de_empaque FIRST 1 Caja_Llena Fila_de_empaque 1 Caja_Llena Zona_de_empaque LOAD 1 Tarima_Vacia Banda_tarimas 1 Tarima_Vacia Zona_de_empaque FIRST 1 Tarima_Vacia Zona_de_empaque LOAD 1 wait 1 1 Tarima_Llena Banda_de_embarque FIRST 1 Tarima_Llena Banda_de_embarque 1 Tarima_Llena Zona_de_embarque FIRST 1 Tarima_Llena Zona_de_embarque UNLOAD 1 wait 1.5 1 Tarima_vacia Banda_tarimas FIRST 1 MOVE FOR 3 Caja_Llena Zona_de_embarque INC Embarcados 1 Caja_Llena EXIT FIRST 1 Cuadro 4.85 En la figura 4.86 se muestra el Layout ejecutando la corrida del modelo: Figura 4.86 195 Lenguajes de simulación 4.5.3.3 Modelo con Recursos y Redes Físicas Ejemplo 4.6 En este modelo se aña dirán recursos al ejer cicio anterior. En ProModel cuando se desea u tilizar recursos, primeramente se tiene qu e desarrollar la ruta por donde se moverá est e (Path network) y con cuales locaciones va a interactuar (Interfaces). Posteriormente se crea el recurso y se especifica por donde se va a mover (Path network). Se harán los siguientes cambios al modelo: Crear dos redes físicas de caminos las cuales se llamarán Red 1 que será para el Operario1 y Red 2 que será para el operario 2. La Red 1 p ermite que un operario viaje de la estación de trabajo a zona de carga. Distancia 15 metros. La Red 2 permite que un operario viaje de zona de embarque a zona de carga, y hasta la parte superio r de la banda tarimas. La distancia entre zona de carga y embarque: 30 metros; la distancia de la banda de tarimas a la zona de carga es de 20 metros. Crear las siguientes interfaces: Red 1: Estación de trabajo y zona de carga. Red 2: Zona de embarque, zona de carga y banda tarimas. Se deben crear dos operarios: operario 1 y operario 2. En las e specificaciones, poner oper ario 1 en Red 1 y oper ario 2 en red 2. Ambos operario s con las siguientes características: velocidades 50 metros/min sin carg a y 45 metros/min carg ando material. Tiempo de recolección: 3 segundos y tiempo para depositar: 6 segundos. Poner los e statutos GET, FREE y MOVE WITH/THEN FREE en las locaciones apropiadas, de manera que se lleven a cabo las siguientes actividades: El operario 1 realiza el JOIN y el WAIT en la estación de trabajo. 196 Simulación, Análisis y modelación de sistemas discretos; un enfoque práctico El operario 1 y el operario 2 realizan el LOAD y el WAIT en la zona de carga. El operario 2 consigue las tarimas de embarque y las regresa a la banda de tarimas. Recuerde primeramente guardar este archivo como ejercicio 4.6. 1. Definición de Redes Para definir las redes, se puede tener acceso por el menú Build en el comando Path Networks o utilizando el botón de acceso d irecto que se encuentra a un lado del de las entidades. Ver Figura 4.87. Figura 4.87 Igual que en los com andos utilizados anteriormente, existe una ventana para los registr os de las r edes en la parte superior donde se especifica el nombre de la red, el tipo de red, la ruta ( Path), las interfaces, etc., y otra ventana e n la parte izquierda donde se va estableciendo de dond e a dónde va la red, si es bid ireccional y la distancia de esta. Para trazar la red se tiene que utilizar el mouse, se hace clic cerca de la locación inicial dond e hará interf ace y aparecerá un pun to pequeño (llamado nodo) y se arrastra el mouse hasta la otra locación dond e también interactuará el r ecurso, para finalizar se hace doble clic, en la parte izquierda se puede ver de donde a dónde va la red (del nodo1 al nodo 2), se rá bidireccional (BI) y la distan cia se puede corregir ah í mismo, en este caso es de 15 metros. Si es necesario que la red presente cambios de d irección, esto se h ace dando otr a vez clic y moviendo el mouse en la dire cción deseada. Ver figura 4.88 para 197 88 En el botón Interfaces de la ventana superior inicialmente aparece el valor 0. Observe que en el campo Paths de la ventana superior aparece el valor 1 y en el campo Interfaces aparece el valor 2. s e verá que sa le una línea punteada del nodo y s e debe dirigir esta a la locación con la que hará interface finalmente hacer clic sobre la locación y listo. en la ventana de la izquierda ap arecen los nodos y las locaciones.Lenguajes de simulación observar como que da la primera red. no es necesario qu e toque las locacione s con las qu e hará interface. 198 . Enseguida se sitúa el puntero del mouse en el primer nodo (cambia la punta del mouse por una pequeña cruz) y se da clic. La red 1 está situada de la estación de trabajo a la zona de empaque y como se mencionó anteriormente.89. para especifica r las interfa ces se hace clic sobre este y la ventana de la izquierd a cambia p or otra que solo tiene dos campos: nodo y locación. vea figura 4. eso se mostrará enseguida (ver figura 4.88): Figura 4. se pone el cursor en el registro que dice Red 1 y se da Enter para generar otro registro en blanco. posteriormente se definen las interfaces como se hizo en la red anterior y listo. luego del mismo nodo 2 (se sitúa el puntero del mouse en ese nodo) se traza otra ruta ha cia la banda de embarq ue para hacer el nodo tres cerca de la locación mencionada.91.Simulación. Ver las siguientes figuras 4. un enfoque práctico Figura 4.90 y 4. uno va de la zona de emb arque a la zona de car ga dejando nodos 1 y 2 respectivamente.89 Para definir la segunda red se procede de manera similar. 199 . Análisis y modelación de sistemas discretos. E nseguida como se va a interact uar con tre s locaciones se harán dos segmentos ( Paths) para construir la red 2. 90 200 .Lenguajes de simulación Figura 4. etc.92. Definición de Recursos En el menú Build en el comando Resources se puede acceder a la definición de los recursos o través del botón de acceso dir ecto que está a un lado del de las redes. en la ventana d e 201 . el nombre. un enfoque práctico Figura 4. si tiene tie mpos muertos. el número de unidades.91 3. también tiene una ventana superior donde se especifica el gráfico del recurso. Análisis y modelación de sistemas discretos. Figura 4.92 Una vez qu e se entra al comando Resources.Simulación. vea la figura 4. la orientación.93 Enseguida se le asignará la ruta por la que se moverá el recurso. ahí vienen varias opciones para cambiar como en la parte de los nodos se marca el nodo base (Home) y si se desea que regrese a este si el recurso está ocioso. Vea figura 4. etc. eso es a través del campo Specs. en la parte del movimiento (Motion) se asignan la velocidad del recurso cargando. 202 . el t iempo para depositar y recoger. se puede cambiar el tamaño. el color de este.93 Figura 4.. etc. aparecerá un cuadro de dialogo en el cual primero se elige la Red 1 del recuadro d onde dice Path Network. vacio. vea la figura 4.Lenguajes de simulación la izquierda se elige a un operador que es uno de los gráficos que se incluyen en la bibliote ca de gráfico s.94. y se repite todo el proceso anterior para elegir 203 . Análisis y modelación de sistemas discretos. un enfoque práctico Figura 4.95 Para definir el siguiente recurso se sitúa el curso r en el registro de la ventana superior dond e dice Operador 1 y se da Enter para generar otro registro en blanco. aparecerá en el Layout el recurso que se a caba de asignar con su respectiva ruta. Ver figura 4.94 Al dar OK.95. Figura 4.Simulación. 97.96 204 . Figura 4.96 y 4. Ver figuras 4.Lenguajes de simulación otro recurso y asignarle la red 2 por donde se moverá. Análisis y modelación de sistemas discretos.97 4. y se pega co n el botón Paste.Simulación. en el campo Operation se da clic en el martillo para que aparezca el const ructor de estatutos y antes del estatuto JOIN (basta con dar en la tecla Enter para que se recorran las instrucciones hacia abajo) se insertará el estatuto GET. de igual ma nera se elige este y posteriormente aparece un cuadro de dialogo con dos botones en la parte superior. se utiliza el estat uto FREE. El estatuto GET sirve para capturar uno o más recursos qu e se tenga n disponibles y luego eje cuta las instrucciones posteriores a este. se elige al Operador 1. sele ccione el q ue dice Resource y se selecciona 205 . al dar clic sobre este aparece un cuadro de diálogo. Modificación del proceso La primera modificación se hará cuando entra la caja vacía en la estación de trabajo. par a liberar al recurso. Se supone que el recurso ejecutará los estatutos que ya esta ban (JOIN y WAIT). un enfoque práctico Figura 4. en el botó n central d onde dice Resource. se supone que entre los d os operadores subirán la caja a la tarima vacía. El grupo de instruccio nes en la e stación de trabajo queda de la siguiente manera: GET Operador_1 JOIN 1 Monitor WAIT 4 FREE Operador_1 El grupo d e instrucciones que se acaban de establecer significan “captura el operador 1 y este realiza la operación de unir el monitor en la caja vacía en un tiempo de 4 minutos y luego soltarlo”. solo falta modificar cuando se d escarga la caja de la tarima llena y el operad or 2 se lleva las tarima s vacías hasta la banda de tarimas. De la estación de trabajo sale una caja llena con destino a la fila de empaque. se da clic en Paste y esta in strucción aparece en el área de estatutos encima de las otras instruccion es. se selecciona el operador 1 y en los b otones pequeños centrales aparece la palabra AND. se selecciona esta y luego se elige al operador 2. para terminar esta parte. ir al registro donde llegan las tarimas llenas a la zona de embarque y en el campo Operación hacer clic para que se despliegue el cuadro d e dialogo d onde se est ablecen los estatutos a 206 .Lenguajes de simulación Operador 1. en la parte inferio r después de la instrucción WAIT. enseguida se hace cli c en el martillo de la ventana para definir estatutos y se selecciona nuevamente GET. así que de igual man era en este registro se da clic en el camp o Operation y se da Enter para re correr hacia abajo las instruccion es existentes. Para hacer esto. en el botón Resource se hace clic y aparecen los re cursos disponibles. se selecc iona el estatut o FREE ALL para liberar todos los recursos que se tenían seleccionados. El siguiente registro a modificar es en la zona de empaque. el grupo de instrucciones queda así: GET Operador_1 AND Operador_2 LOAD 1 WAIT 1 FREE ALL Finalmente. pero no se utilizará el estatuto FREE al final de este grupo de instrucciones sino que cuando sale la tarima vacía hacia la banda de tarimas. el grupo de instrucciones en el campo Operation queda de la siguiente manera: GET Operador 2 UNLOAD 1 WAIT 1. 207 . Se utiliza el MOVE WITH y se selec ciona el mismo operador 2 y luego se da clic en e l botón THEN FREE y es hasta ese momento que se liber a el recurso.Simulación.98 Finalmente el modelo queda listo para correrlo y evalu arlo.98 se pued e ver el grupo de instru cciones para el campo Operation y para el campo Move Logic.99 se puede ver el modelo durante la corrida. En la siguiente figura 4. Figura 4. se hace clic para que aparezca e l constructor de estatutos que manda directa mente a los tipos de movimientos. Se supone que el operador 2 descargará la tarima llena y el mismo se llevará las tarimas vacía s hacia la b anda de tarimas. en el campo Move Logic. un enfoque práctico utilizar. así que se recorren hacia abajo un espacio los estatutos existentes y se utiliza nuevamente el estatuto GET como se mencionado para capturar el operador 2. Análisis y modelación de sistemas discretos.5 En el cam po Move Logic la instrucción queda de la manera: MOVE WITH Operador 2 THEN FREE siguiente En la sigu iente figura 4 . 100. se pueden ver las instrucciones agregadas para el modelo en texto.99 En el siguiente cuadr o 4.Lenguajes de simulación Figura 4. 208 . FIFO. Estacion_de_trabajo Zona_de_empaque Zona_de_embarque Zona_de_empaque Banda_tarimas Resources Name Operario_1 Operator_2 Units Stats 1 By Unit 1 . Search Search By Unit Closest Oldest Closest Oldest Path Motion . Time Series Oldest. .5 1 Tarima_vacia Banda_tarimas FIRST 1 MOVE WITH Operator_2 THEN FREE Caja_Llena Zona_de_embarque INC Embarcados 1 Caja_Llena EXIT FIRST 1 Cuadro 4. BI Dist/Time Speed Factor Bi 30 1 Bi 60 1 Bi 30 1 Interfaces Location N1 N2 N1 N2 N3 . FIFO. Stats Rules Time Series Oldest. Time Series Oldest. FIFO. Fila_de_cajas 1 Caja_vacia Estacion_de_trabajo FIRST 1 Fila_de_Monitores 1 Monitor Estacion_de_trabajo JOIN 1 Estacion_de_trabajo GET Operario_1 JOIN 1 Monitor WAIT 4 FREE Operario_1 1 Caja_Llena Fila_de_empaque FIRST 1 Caja_Llena Fila_de_empaque 1 Caja_Llena Zona_de_empaque LOAD 1 Tarima_vacia Banda_tarimas 1 Tarima Zona_de_empaque FIRST 1 Tarima_vacia Zona_de_empaque GET Operario_1 AND Operator_2 LOAD 1 WAIT 1 FREE ALL 1 Tarima_Llena Banda_de_embarque FIRST 1 Tarima_Llena Banda_de_embarque 1 Tarima_Llena Zona_de_embarque FIRST 1 Tarima_Llena Zona_de_embarque UNLOAD 1 WAIT 1. .100 209 . Routing Entity Caja_vacia Monitor Caja_vacia Location Operation Blk Output Destination Rule Move Logic . Entities Name Speed (mpm) Stats Caja_vacia 20 Time Series Monitor 20 Time Series Caja_Llena 20 Time Series Tarima_vacia 20 Time Series Tarima_Llena 20 Time Series Name Red_1 Red_2 Type Passing Passing Net Node Red_1 Red_2 Path Networks T/S From Speed & Distance N1 Speed & Distance N1 N2 . . . . To N2 N2 N3 . Time Series Oldest. Time Series Oldest. un enfoque práctico Locations Name Cap Units Fila_de_cajas 5 1 Fila_de_Monitores 5 1 Estacion_de_trabajo 1 1 Fila_de_empaque 5 1 Zona_de_empaque 1 1 Banda_tarimas INF 1 Banda_de_embarque INF 1 Zona_de_embarque 1 1 . Time Series Oldest. Time Series Oldest. Red_1 Home: N1 Empty: 50 mpm Full: 45 mpm Pickup: 3 Seconds Deposit: 6 Seconds Red_2 Empty: 50 mpm Home: N1 Full: 45 mpm Pickup: 3 Seconds Deposit: 6 Seconds Processing Process .Simulación. Análisis y modelación de sistemas discretos. FIFO. Time Series Oldest. 6.3. Llega la materia prima a un almacén inicial de acuer do a una distribución normal co n media d e 10 minut os y una desviación estándar de 2. Posteriormente las piezas en proceso pasan a un molino dónde se trabajan en un tiempo que sigue una distribución uniforme entre 1 y 3 minutos. 5. 2.4 Modelo de manufactura con varios procesos e inspección Suponga un sistema de producción el cual consta de las siguiente s etapas: 1. Enseguida la materia prima pasa a una cortadora de dónde salen 5 piezas en proceso por cada unid ad de materia prima que entra. 3. pasan a un horno dónde se combinan 10 de estas piezas y salen como un lote. 7. Después las piezas p asan por u n proceso de inspección que consume un tiempo constante de u n minuto. De aquí el 75 % pasa a la siguiente locación y el resto sale fuera del sist ema como producto rechazado. Finalmente los lote s pasan a un almacén de producto terminado dónde se combinan 5 de estos para conformar un producto terminado. 4. Cambiar el gráfico también cuando salen de esta locación.Lenguajes de simulación 4. La siguiente locación es un torno donde son trabajadas las piezas en un tiempo que consume 3 minutos con distribu ción Poisson. La capacidad del almacén es para 50 piezas.5. El tie mpo de operación es de acuerdo a una distribución log no rmal con media de 7 minutos y d esviación estándar de 2. 210 . Enseguida las pieza s en proceso acepta das después de la inspección. e l tiempo de o peración es de 4 minut os con distribución exponencial. Crear una variable para contabilizar las piezas que son rechazadas fuera del sistema. Decrementar la variable piezas e n proceso y crear e incrementar la variable “piezas terminadas”. Cambiar también el gráfico de la entidad pieza en proceso cuando sale de esta locación. Crear una variable “piezas en pr oceso” par a contabilizar estas e incrementarla cuando son enviadas a la siguiente locación. Simulación.101 211 .102: Figura 4. seleccionar las locaciones pedidas. Solución: 1. Recuerde que e s recomendable seleccionar todos los gráficos de las locaciones pedidas con la casill a New activada de la ventana Graphics y po steriormente desmarcar la casilla pa ra editarlas (agregue etiquetas y gráficos de barras para las locaciones de capacidad múltiple).5 mi nutos. Las locaciones quedan como se muestra en las siguientes figuras 4. Análisis y modelación de sistemas discretos. un enfoque práctico Existe un tiempo de traslado entre cada operación de 0. Corra el mod elo durante 40 horas y analice el reporte de salida. Definir locaciones En el men ú Build comando Locations o a través del botón de acceso directo. Edite y agregue indicadores numéricos en las locaciones co n capacidad múltiple. Cambie l a capacidad de las locaciones que tienen capacidad múltiple.101 y 4. Selección de las entidades En el menú Build comando Entities o por medio del botón de acceso directo seleccionar las entidades correspondientes a e ste sistema de producción: Materia prima Pieza en proceso (con tres gráficos) Pieza rechazada Producto terminado Lote En las siguientes figuras 4.Lenguajes de simulación Figura 4.104 se pueden ver la s entidades seleccionadas para est e modelo y los gráficos diferentes de la entidad “Pieza en Proceso” respectivamente.103 y 4 . 212 .102 2. Definición de las llegadas En el menú Build comando Arrivals o a través del botón de acceso directo que ya se ha m encionado. llega a un almacén de materia prima de una en una desde el minuto cero y con un nú mero de ocurrencias infinito. Análisis y modelación de sistemas discretos.104 3. se selecciona la materia prima. La tasa de lleg adas es de acuerdo a una distribución normal con media de 10 min utos y una desviación estándar de 2.Simulación. un enfoque práctico Figura 4.103 Figura 4. En el campo Frequency se hace clic derecho para que aparezca el co nstructor de estatutos y se procede como ya s e 213 . Lenguajes de simulación ha mencionado anteriormente. definir las variables: inventario en proceso. piezas rechazadas y producto terminado.105 4. en Distribution Functions se elige la distribución pedida. En la siguient e figura 4.105 se ilustra este comando: Figura 4. En la siguie nte figura 4. solo se tien e que dar clic en e l espacio de e ste que se desea q ue aparezca el icono. Además de elegir las opciones de cada campo (haciendo clic en el botón superior) la ent idad. para que se vean gráfi camente en el Layout. automáticamente se llenan lo s campos por defecto y s olo se procede a camb iar la información que no corresponda con la infor mación del sistema a modelar. Definición de variables Para definir las variables. 106 se pre senta como quedaron definidas las variables: 214 . ir al m enú Build comando Variables (global) o por medio del botón de acceso dire cto. locación. Recuerde que además de definir las variables y asignarles un nombre en el campo ID. etc. la cual consiste en elegir primeramente la entidad que llega (de la ventana Tools) y h aciendo clic en el Layout. existe otra for ma. Definir el Proceso Para este p aso ir al m enú Build comando Processing.5 minutos.Simulación. o por el botón de acceso directo.106 5. el tiempo de operación es de 4 minutos con distribución exponencial (en el campo Operation).5 minutos (utilizar el campo 215 . Entra la materia prima al almacén de materia prima. Es recomendable ir paso a paso en el proceso de entrada-operación-salida de cada registro. no exist e operación alguna y sale la materia prima (una unidad) con destino a la cortadora. existe u n tiempo d e traslado (MOVE FOR) de 0. Análisis y modelación de sistemas discretos. Entra la materia prima a la cortadora. un enfoque práctico Figura 4. 2. aquí mismo utilizar el gráf ico 1 y sale n 5 pie zas en proce so cortadas (campo Rule en Quantity) con destino al torno. en este caso: 1. existe el movimiento de traslado entre cada locación d e 0. el tiempo de operación es entre 1 y 3 minutos con d istribución uniforme. Entra la pieza en proceso al torno.25 restante en la opción Probability. Entra la pieza en proceso a la inspección. Al horno entran las piezas en proceso y se hornean en un tiempo que sigue una distribución LogNormal con media de 7 minutos y desviación estándar de 2 minutos. Pieza en pr oceso con destino al horno con un a probabilidad del 0. Move Logic) también en este campo incrementar la variable “Inventario en proceso”. 7. el tiempo de operación es de acuerdo a una distribución de Poison con media de 3. utilizar el estatuto COMBINE para consolidar 10 piezas en proceso y conformar un Lote que sale con destino al almacén de producto terminado. 5. Todas las instrucciones quedan como se muestra en cuadro 4. el tiempo de op eración es de 1 minuto constante y de aquí hay dos posibles salidas: a. 4. en el campo Move Logic asignar el tiempo de traslado de 0.75. Entra la pieza en proceso al molino.Lenguajes de simulación 3.107 que se muestra a continuación: 216 el siguiente . utilizar el gráfico 2 y sale la pieza en proceso con destino al molino de uno en uno y el tiempo de traslado de 0. Decrementar la variable “Inventario en proceso” en 50 unidades e incrementar la variable “Producto terminado” de uno en uno al salir esta entidad hacia Exit.5 minutos. b.5 minutos. Al almacén de producto terminado entran lotes y ahí se realiza una última operación que consume un tiempo de 3 minutos co nstantes para combinar 5 de estos como un producto terminado (estatuto COMBINE). Utilizar en el campo Rule la opción Probability y asignar el porcentaje mencionado. en el campo Move Logic incrementar la variable “Piezas rechazadas” y decreme ntar la variable “Inventario en proceso”. 6. utilizar gráfico 3 y sale la pieza en proceso con destino a la inspección. Ahí mismo del lado derecho ( Routing for) se da Enter para generar un nuevo regi stro y se elige la pieza rechazada del campo Output con destino a Exit y en el campo Rule asignar el 0. 5 INC Piezas_Rechazadas DEC Inventario_en_Proceso WAIT L(7. un enfoque práctico Locations Name Cap Units Stats Almacen_de_Materia_Prima 1 1 Time Series Cortadora 1 1 Time Series Torno 1 1 Time Series Molino 1 1 Time Series Inspeccion 1 1 Time Series Horno 10 1 Time Series Almacen_de_Producto_Terminado 5 1 Time Series Entities . . Oldest. Oldest. Análisis y modelación de sistemas discretos. .50 INC Piezas_Terminadas 1 Producto_Terminado EXIT FIRST 1 Arrivals . 217 . Rules Oldest. Rule FIRST 1 Move Logic MOVE FOR 0.5 MOVE FOR 0. .108 se ve este modelo durante la corrida. Entity Location Qty Each First Time Occurrences Frequency Logic Materia_Prima Almacen_de_Materia_Prima 1 0 INF N(10. ID Type Initial value Stats . . Name Speed (fpm) Stats . 2) MOVE FOR 0. 2) COMBINE 10 1 Lote Almacen_de_Producto_Terminado FIRST 1 Lote Almacen_de_Producto_Terminado WAIT 3 COMBINE 5 DEC Inventario_en_Proceso. Materia_Prima 150 Time Series Pieza_en_Proceso 150 Time Series Producto_Terminado 150 Time Series Lote 150 Time Series Pieza_rechazada 150 Time Series Entity Materia_Prima Materia_Prima Process Location Almacen_de_Materia_Prima Cortadora Pieza_en_Proceso Torno Pieza_en_Proceso Molino Pieza_en_Proceso Inspeccion . Oldest. 1 Pieza_en_Proceso Torno FIRST 5 MOVE FOR 0.5 .5 1 Pieza_en_Proceso 1 Pieza_en_Proceso Pieza_rechazada Inspeccion Horno EXIT FIRST 1 0.107 En la siguiente figura 4.Simulación. Oldest. Oldest.5 Variables (global) .5 INC Inventario_en_Proceso 1 Pieza_en_Proceso Molino FIRST 1 MOVE FOR 0. Inventario_en_Proceso Integer 0 Time Series Piezas_Rechazadas Integer 0 Time Series Piezas_Terminadas Integer 0 Time Series Cuadro 4. . . Operation WAIT E(4) GRAPHIC 1 WAIT P(3) GRAPHIC 2 WAIT U(2.75 0. 1) GRAPHIC 3 WAIT 1 Pieza_en_Proceso Horno Processing Blk Output 1 Materia_Prima Routing Destination Cortadora . . First Oldest.25 MOVE FOR 0. se pueden simular una gran cantidad de sistemas productivos reales tanto de servicios como de manufactura. algunos ejemplos de sistemas que se pueden simular son: Bancos Cajeros automáticos Restaurantes de comida rápida Servicios administrativos Cajeros de tienda de autoservicio Auto lavados Talleres de manufactura 218 .Lenguajes de simulación Figura 4.6 Comentarios adicionales Con la realización de los 7 ejercicios anteriores.108 4. proceso y salida. Si se d esea que el cajero no tenga más de 5 client es esperando en la fila. Ahí son torneada s por 3 minutos con distribución exponencial. 4. A un cajero automático llegan clientes cada 10 minutos de acuerdo a una distribución exponencial. dicha ayuda se desplieg a con la información d el comando que se esté usando en ese moment o además incluye un índex para buscar algo de manera específica. El tiempo de transportación del almacén al torno tiene una distribución normal con media de 4 minutos y desviación estándar de 1 minuto. solo se tiene qu e analizar y adaptar el modelo del sistema que se desea simular. Análisis y modelación de sistemas discretos. El tiempo de 219 . basándose en una simulación de 40 horas de trabajo? 2. Las pie zas entran a un almacén con capacidad para 50 unidades. ProModel cuenta con muchos más estatutos pero corresponde al estudiante e xperimentar y manejar otros estatutos que pueden enriquecer los modelos a realizar. donde esperan a ser procesadas en un torno. Es importante puntualizar que el ProModel incluye siempre ayuda en línea oprimiendo solamente la tecla F1 (la cual viene en idioma inglés).7 Ejercicios propuestos 1. un enfoque práctico Centros de servicios para autos Consultorios médicos/urgencias Etc. las piezas son transportada s a una estación de inspección donde se e ncuentran 2 operarios. En general todos los sistemas tien en el proce so básico d e entrada. A un taller de manufactura llegan piezas con media de 8 minutos y distribución exponencial. cada uno trabajando de manera independiente. claro que esa habilidad se va adquiriendo con la experiencia y el uso del so ftware.Simulación. ¿qué recomendación haría al banco. La inspe cción de ca da pieza tarda de 4 a 8 minut os con d istribución uniforme. Posteriormente. El tiempo que t arda cada cliente en hacer sus movimientos bancarios se distribu ye exponencialmente con una media de 4 minutos. Lenguajes de simulación transporte entre el torno y los ope rarios es de 3 a 5 distribución uniforme. que incluya atributos. el tiempo de esta tr ansacción es de acuerd o a una distribución uniforme entre 1 y 3 minutos. la tasa de llegadas de los clien tes es de acuerdo a una distribución normal con media de 7 minutos y desviación estándar de 2 minutos. c) Observe el porcentaje de utilización de cad a operador en la inspección ¿Cuál trabaja más? 3. Los clientes que compran consumibles o imprimen después se dirigen hacia la salida en un tiempo de 1 minuto. Suponga un sistema de líneas de espera tal como el de un cibercafé. Existen 3 tipos de servicios : a) Renta de PC b) Venta de consumibles c) Impresiones Las probabilidades respectivas de que un cliente seleccione cualquiera de los tres servicios anteriores so n 60%. El local cu enta con 10 computadoras y des pués de usarlas los clientes pasan con el servidor a pagar y posteriormente se dirigen hacia la salida. 10% y 30 % respectivamente. variables para cada servicio. el tiempo que duran los clientes en trasladarse del área de pago a la salida es de 1 minuto. Desarrolle un modelo para este sistema. distribuciones de usuario. El tiempo de permanencia en PC es de 50 minutos con distribución exponencial. etiquete las 220 . b) Incluya un contador y u na gráfica d e barra para las piezas en el almacén. el tiempo que tarda el servidor en atender a un cliente par a cualquiera de los otros dos servicios es de acuerdo a una distribución uniforme entre 2 y 8 minutos (incluyendo el pago). minutos con a) Simule el sistema por 30 días de 8 horas de tr abajo cada uno y analice el reporte de salida. c) ¿Son suficientes las 1 0 computadoras con la s que se cuenta? Comente. el operario la lleva al almacén de cajas. El tiempo de transporte en la banda es de 20 mpm.Simulación. Una vez que la caja se llena. la velocidad de transporte cargando es de 45 mpm. A una operación de empacado de bolsas de detergente entran bolsas a una velocidad de 20 por minuto. ca e por gravedad hacia una mesa donde se va acumulando con otras. Un operario toma 30 bolsas d e la mesa y las introdu ce en una caja vacía. Una vez que la bolsa llega al final de la banda. el t iempo que le lleva al operar io tomar un a bolsa y colocarla dentro de la caja es de 1 segundo/bolsa. Colocar una variable que cuente de manera cíclica las bolsas que se van a empacar cuando pasan de la banda a la mesa de empaque y colocar otra variable que cuente la cantidad de cajas lle nas que llegan al almacén. b) Número total de clientes para cada servicio. vacio 50 mpm. Corra el modelo durante 40 horas y determine: ntidad de a) La utilización de las PC´s. Análisis y modelación de sistemas discretos. 4. la distancia de la mes a al almacén es de 30 metros. el tiempo d e recoger una caja es de 3 segundos y de depositarla es de 6 segundos. Cuando las bolsas entran al sistema son colocadas en una banda (capacid ad infinita longitud 20 metros) que las transporta hasta la mesa de un operario de empaque. Realiza lo siguiente: a) ¿Cuál es el porcentaje de utilización del operador? b) ¿Cuál es el porcentaje de tiempo ocioso del operador? c) ¿Cuántas bolsas llenas pasaron al almacén? 221 . un enfoque práctico locaciones adecuadamente y cambie el gráfico de la e acuerdo al servicio que solicitan. Existe otra banda (capacidad infinita longitud 20 metros) en la que llegan cajas vacías a razón de 1 0 cajas por minuto. la llegada de estas inicia 6 segundos después de iniciar la simulación y la velocidad de transporte es de 20 mpm. Área de empacado 2 minutos. Pulidora 2 minutos. cambiar nuevamente la gráfica de la pieza cuando sale de la pulidora. las piezas q ue no est én bien se mandan nuevamente a la banda transportadora para retrabajarlas. Torno 2 minutos. Las piezas buenas se van a una área de empacado donde se comb inan 4 de estas para que salga un lote con destino a una banda de salida (longitud de 15 metros y una velocidad de 20 mpm). de e sta banda las piezas en proceso van a un tor no que tiene una capacidad de pro cesar una sola pieza a la vez (cambiar la gráfica de la pieza en proceso cuando sale de est a máquina). De la banda de salida se cargan los lotes con un segundo montacargas a un camión y de ahí salen fuera del sistema. Inspección Normal con media de 3 min. y desviación estándar de 0. Llegan troncos de madera (a una tasa de llegadas normal con media de 20 minutos y desviación estándar de 2 minutos) a una fila d e materia prima la cual tiene una lon gitud de 15 metros y una capacidad de 10.Lenguajes de simulación d) ¿Existe cuello de botella? Justifiqu e su respuesta con base en el reporte de salida.5 minutos. de ahí se llevan por medio de un montacargas a una sierra donde de c ada tronco se obtienen 5 piezas en proceso las cuales pasan a una banda transportadora (que tiene una longitud de 20 metros y una velocidad de 20 mpm). De las máquinas mencionadas. En un taller se están p roduciendo piezas de madera para proveer una fábrica. de ahí pasan las pieza s a una pulidora que tiene también una cap acidad de proceso de una pieza. Agregar las siguientes variables: Piezas en proceso 222 . 5. Los tiempos de procesamiento son: Sierra 10 minutos. pasan las piezas en proceso por una inspección donde se tiene un 90% de posibilidades de que las piezas estén correctas. La velocidad de ambos montacargas cuando están vacíos es de 20 mpm y cuando están llenos es de 15 mpm. La capacidad de las bandas transportadoras es infinita. un enfoque práctico Piezas a re trabajar Embarcados Incrementar las piezas en proceso cuando salgan de la sierra y decrementarla cuando salga un lote hacia el camión. agregar indicador numérico en el área de empacado y las variables debe n estar visibles en el Layout. Editar las locaciones adecuadamente. incrementar la variable embarcados cuando se suban los lotes al camión. d) ¿Cuál e s el tiempo promedio en el siste ma de las piezas en proceso? e) ¿Cuál es el tiempo promedio en espera de las piezas en proceso? f) ¿Cuántas piezas tuvieron que ser re trabajadas? 223 . Incrementar las pie zas a ser re trabajadas cuando de la inspección se dirijan nuevamente a la banda transportadora. Corra el modelo por 40 horas y realice lo siguiente: a) ¿Cuál es el porcen taje de utilización de la locación que mas trabaja y cual es esta? b) ¿Cual es el porcentaje de operación de la operación de inspección? c) ¿Existe cuello de botella? Justif ique la respuesta con b ase en el reporte de salida. La red 1 será de la fila de materia prima a la sierra la cual tendrá una longitud de 20 met ros con interfaces en estas dos locaciones. Los tiempos para recoger las entidades son de 10 segundos y para d epositarlas es de 20 segundos. Análisis y modelación de sistemas discretos. Crear dos redes para los montacargas 1 y 2. La red 2 será de la band a de salida al camión con una lon gitud de 20 metros igualmente con interfaces en esta s dos locaciones.Simulación. Las dimension es de las piezas e n bandas transportadoras son de 2 x 2 metros. Finalmente cambiar los gráficos de las entidades cuando sale de cada proceso de ensamble. la pintura puede realizarse en 4 a la vez. la distancia del empaque al almacén final es de 20 metros. pintura e inspección son las operaciones principales. Existe un tiempo de 1 minuto de traslado entre cada operación. finalmente del área de empaque el producto es trasladado a un almacén final por medio de un operador.Lenguajes de simulación 6. Una compañía que manufactura pequeños componentes electrónicos tiene varias estaciones de trabajo a través de las cuales las partes son procesadas: ensa mble. La materia prima llega a un área de recepción de materia prima de acuerdo a una d istribución exponencial con media de 20 minutos.10) minutos Exponencial (8) minutos La operación de soldadura puede realizarse en tres trabajos a la vez. El resto sa le como producto recha zado fuera del sistema Agregar variables para controlar el número de piezas que se van trabajando en cada una de las operaciones. Las distr ibuciones del tiempo de proceso son como se muestran a continuación: Actividad Distribución Ensamble Soldadura Pintura Inspección Poison (12) minutos Normal (36. el tiempo de recoger el producto es de 3 segundos y el de depositarlo es de 5 segundos. De la in spección se acepta aproximadamente el 80% y pasa a una área de empaque donde se combinan 5 piezas par a hacer un producto terminado en un tiempo que sigue una distribución Normal con media de 10 minutos y desviación estándar de 2 minutos. soldadura.10) minutos Log normal (40. la velocidad vacío de este es de 15 mpm y cargado es de 12 mpm. El ensamble y la in spección se realizan de uno a la vez. Corra el modelo 40 horas y conteste lo siguiente: 224 . otra variable para los productos re chazados así como el total de producto terminado. soldadura y pintura. Alimentos preparados . los clientes llegan a la fila de entrad a de una cafetería escolar de a cuerdo a un a tasa que sigue una d istribución normal con media de 3 minutos y d esviación estándar de ½ minuto. De la caja se van a la fila de entrega de bebidas. van incluidos en el tiempo de atención y posteriormente se van al área de de comedores en un tiempo de un minuto. En el párrafo siguiente se enlistan los diversos tipos de productos que pueden elegir y la secuencia que siguen para la obtención de estos: Dulces y golosinas. y luego los clientes van al área de comedores en un tiempo de un minuto. Estos se entregan ahí mismo en la caja. De la caja se van a la fila de preparación de alimentos para ser atendidos por otro servidor que se encarga de preparar los alimentos en un tiempo que 225 . Análisis y modelación de sistemas discretos. c) ¿Cuántos productos terminados se produjeron? d) ¿Cuál es la locación que tiene el porcentaje de utilización más bajo? 7. un enfoque práctico a) ¿Cuál es el porcentaje de utilizaci ón de la locación que más trabaja y cual es esta? b) ¿Existe cuello de botella? Justifiqu e su respuesta con base en el reporte de salida. luego son atendidos po r un servid or en el área de entrega de bebidas y el tiempo de operación en esta parte del proceso es de acuerdo a u na distribución uniforme entre 4 y 6 minutos. Durante las horas pico. Posteriormente son ate ndidos por un cajero y el tiempo en que se realiza esta operación es de acuerdo a una d istribución Normal con media de 4 minutos y d esviación estándar de 1 minuto. Estas se entregan ahí mismo en la caja. Refrescos. Jugos o café. el tiempo de proceso va inclu ido en el tiemp o de atención y posteriormente se van al área de comedores en un tiempo de un minuto.Simulación. Golosinas y refresco. Estos se entregan ahí mismo en la caja. el tiempo de proceso va incluido en el tiempo de atención y posteriormente se van al área de de comedores en un tiempo de un minuto. De la caja se van a la fila de alimentos preparados. Las probabilidades de elección de cualquiera de los productos son como se muestra en la siguiente tabla: Producto Dulces y golosinas Refrescos Golosinas y refresco Jugos o café Alimentos preparados Jugos o café y alimentos preparados Refrescos y alimentos preparados Probabilidad 10% 10% 20% 5% 25% 10% 20% Establecer variables para contabilizar cada tipo de prod ucto y mostrarlas en pantalla. cambiar ta mbién el gráfico de los clientes que no consumen. las demás filas tienen una longitud de 1 metro y una capacidad de 3. La fila de entrada tiene una longitud de 5 metros y una capacidad de 10. los clientes salen del sistema. Del área de comedores. 226 .Lenguajes de simulación sigue una distribución exponencial con media de 10 minu tos. pasan al área de alimentos preparados y luego al área de comedores en un tiempo de 1 minuto. Considerar que de cad a 100 client es que entr an a la ca fetería. solamente el 70 % co mpran algún producto y el resto sólo va como acompañante y se van directo al área de comedores en un tiempo de un minuto (mostrar variables en pantalla de los clientes que consumen y de los que no consumen). son atendidos y lueg o van al área de comedores en un tiempo de 1 minuto Refresco y alimentos preparados. y luego los clientes se t rasladan al área de comedores en un tiempo de un minuto. son atendidos y luego van a la fila de alimentos preparados. Jugos o café y alimentos preparados. De la caja pasan a la fila de entrega de bebidas. Simulación. un enfoque práctico La capacidad del área de comed ores es de 50 personas y el tiempo que permanecen en esta es de acuerdo a una distrib ución Normal con media de 15 minutos y desviación estándar de 3. Correr el modelo durante 40 horas y conteste lo siguiente: a) ¿Cuántos clientes consumieron Refrescos y alimentos preparados? b) ¿Cuántos clientes consumieron sólo refrescos? c) ¿Cuál es el tiempo pro medio que permanece un cliente en el sistema? d) ¿Cuál es el porcentaje de la operación que más se utiliza? 227 . Análisis y modelación de sistemas discretos. Lenguajes de simulación 228 . un enfoque práctico Capitulo 5: Desarrollo de un proyecto de simulación 229 . Análisis y modelación de sistemas discretos.Simulación. Desarrollo de un proyecto de simulación 230 . un enfoque práctico 5. esto significa que algún capitulo puede contener dos o más etapas según se considere necesario para el desarrollo del proyecto. ubicación de la empresa. modelado y simulación de sistemas de servicios o productivos de una empresa. 5. y plantear acciones que mejoren el desempeño de sistemas y que en caso de poder implementarse se lleve hasta ese nivel. 231 . Introducción sobre el proyecto (hablar en términos generales sobre lo que se pretende realizar con el proyecto y cuál es la intención de llevarlo a cabo). para detectar las mejoras posibles a realizar. estatal.1 se mostrará el contenido sugerido y la numeración general del proyecto: Portada con datos generales e integrantes del equipo. Análisis y modelación de sistemas discretos. las etapas para desarrollar un proyecto así como el uso de un lenguaje específico. 1. el cual consiste en el análisis. Es importante aclarar que los capítulos que se mencionarán a continuación no necesariamente corresponden exactamente en número con las etapas para realizar un proyecto de simulación.2 Contenido sugerido del proyecto Como este texto está orientado principalmente a estudiantes de ingeniería industrial del sistema tecnológico. se sugiere desarrollar el proyecto en equipos de trabajo para aplicar las etapas descritas en el capítulo 1 además de otra información complementaria y relevante para conformar el documento final. Capítulo 1: Antecedentes del Proyecto 1. local y cuál es su clasificación de acuerdo al tamaño de esta).Simulación. lógicamente se espera poner en práctica todo lo anterior desarrollando un proyecto final.1 Objetivo del capítulo Una vez que se ha visto el marco teórico que concierne a la simulación. Índice de contenido de cada capítulo.2 Marco de referencia (nombre.1 Antecedentes generales (recabar datos estadísticos sobre el giro de la empresa a nivel. En el siguiente cuadro 5. 1 3.3 1.1.1. Objetivos específicos.4.5 Determine los datos requeridos.3.3. Diseño de la hoja de verificación para toma de datos.1. Desarrollo de la metodología Etapa 1: Preparación del proyecto Identificar las restricciones del sistema.2 Etapa 2: definición del sistema.2 3. Determinar las variables de entrada del modelo.1.2 1.2 Etapa 3: Construcción del modelo conceptual o esquemático.3 Determinar los diferentes tipos de servicios y/o productos que se realizan en el sistema.1 1. 3.1 Desarrollar diagramas de análisis de procesos general y particular (si es necesario) para cada uno de los bienes/servicios producidos.2.5 organigrama).6 Determine la fuente apropiada de los datos.4 Determinar los horarios y días de trabajo regulares así como los horarios y días que serán sujetos de estudio. Capítulo 3: Desarrollo del modelo y análisis de datos 3. Objetivo general. 2. Metodología propuesta de trabajo (mencionar brevemente cada una de las etapas en el desarrollo de un proyecto de simulación).2 1.Desarrollo de un proyecto de simulación 1.4 Determinación de las distribuciones de probabilidad teóricas de las 232 .1.2.2. Preparación de las especificaciones de la simulación.3 1.1. 2.1. Etapa 4: Recolección y análisis de datos.4.1 1.4 1.1. Hipótesis de partida. 2. Diseño del Modelo conceptual o esquemático del sistema.2. Determinar el objetivo general y específico del modelo.3.1 3. Determinar los principales subsistemas y áreas físicas que integran el sistema analizado (incluir croquis de distribución de planta).1.1.4. Alcance del modelo.4.1 1. Capítulo 2: Definición del Sistema 2. 2.2. 3. 2.4.1 2.1.1.1.2 1.1.3 Organización y análisis de los datos muestreados (convierta los datos de entrada en una forma conveniente para su uso).4.1.1 3.2.1.4.2 3.1 2.1 1. Nivel de detalle.1. Descripción detallada del sistema a analizar. Realizar el muestreo de las variables de entrada del modelo en los horarios y días considerados para su estudio. 2.4.7 Haga supuestos donde sea necesario. 1 Determinación de los generadores para cada variable de entrada (empíricas con el método de Montecarlo.5. 3.3.Simulación. Etapa 8: Recomendaciones finales.3. Capítulo 4: Simulación y análisis del Sistema. Cuadro 5.3 4. Impresión del Lay-out del modelo.5 4.4. Impresión del Lay-out de las alternativas.1 4. 233 . 4. Impresión del código fuente de las alternativas. 3.3 4.4 Generadores de Variables Aleatorias. Impresión del reporte de salida de las corridas Etapa 6: Conducción de experimentos y evaluación de alternativas. Etapa 7: Análisis de resultados.3 Ejemplo de desarrollo de un proyecto de simulación A continuación se ilustrará todo el contenido para desarrollar el proyecto de simulación mencionado en el punto anterior a través de un ejemplo práctico. Especificar las alternativas a considerar.2 4.1 4.2.5. Realizar un resumen de las alternativas evaluadas basadas en los reportes de salida.2 Redacción de las características del sistema a simular. teóricas con el método que corresponda).4.3. Realizar las recomendaciones pertinentes Conclusión de los objetivos planteados.2 4.3 4.2. un enfoque práctico variables de entrada (si es que la tienen) con el Stat::Fit del ProModel.1 4. Impresión del código fuente del modelo.1 4.1 4.3 Resumen final de cada variable y la distribución a la cual se ajustaron. 3.2 4.2. Análisis y modelación de sistemas discretos. Etapa 5: Desarrollar el modelo en lenguaje específico de simulación (ProModel).1 5.4 4. En lo sucesivo se mostrará el proyecto redactado como ejemplo para su entrega omitiendo el índice y la separación de hojas nuevas entre capítulos. Se respetará la numeración original del contenido sugerido. 234 . Col.Desarrollo de un proyecto de simulación Ejemplo de portada del proyecto: INSTITUTO TECNOLÓGICO DE COLIMA Carrera: INGENIERÍA INDUSTRIAL Materia: SIMULACIÓN Proyecto: SIMULACION DE UN SISTEMA MEDICO GUBERNAMENTAL Presentan: Adriana Alejandra Insunza Morado Samuel Jatzaquiel Grajeda Mendoza Linda Rebeca Guerrero Cárdenas Grupo: K2 Profesor: MC José Cárdenas Zavala Villa de Álvarez. junio del 2010.. con respeto y con amabilidad.Simulación.1. Por esta razón es importante saber si el personal con que se cuenta actualmente es el suficiente para brindar los servicios adecuadamente. El proyecto se compone de 4 capítulos que gradualmente conllevarán al conocimiento. eficientes. con la cual se quiere referir que la Secretaria de Salud es una identidad federal a nivel nacional. análisis y representación del sistema sujeto de estudio finalizando con las sugerencias adecuadas para hacerlo más eficiente. que los servicios sean oportunos. Se aplicará la metodología vista en clase y se desarrollarán cada una de las etapas para desarrollar un proyecto de simulación de un sistema real de la comunidad.1 Antecedentes generales La siguiente figura 1. El objetivo es analizar dicho sistema a través de un modelo desarrollado en un lenguaje específico de simulación (ProModel) para poder hacer las recomendaciones pertinentes para que se incremente la calidad en la entrega de los servicios de salud.1 Antecedentes 1. 235 . eficaces. un enfoque práctico Introducción Con este proyecto se pretende realizar un modelo de simulación para analizar el funcionamiento de un sistema médico gubernamental conocido como Centro de Salud. Análisis y modelación de sistemas discretos.1 muestra el mapa de la Republica Mexicana. Capítulo 1: Antecedentes del Proyecto 1. es decir. y por lo cual se encuentra en cualquier Estado de la misma. para acercarse un poco más al objetivo de estudio.2 se presenta el mapa del Estado de Colima.Desarrollo de un proyecto de simulación Figura 1.1 Mapa de la Republica Mexicana. 236 . la primera se encuentra en Colima. la segunda en Tecomán y la tercera en Manzanillo. En la siguiente figura 1. ya que existen Tres Jurisdicciones. un enfoque práctico Figura 1.Simulación. En la siguiente figura 1.3 se encuentra el municipio dónde se ubica el sistema objeto de estudio: Centro de Salud Rural Cuauhtémoc Colima. 237 .2 Mapa del Estado de Colima. Análisis y modelación de sistemas discretos. El Ejecutivo Federal expidió el 8 de marzo de 1984. El 30 de agosto de 1983.Desarrollo de un proyecto de simulación Figura 1.2 Antecedentes de la institución médica La Secretaría de Salud ha pasado por diversas etapas evolucionando históricamente hasta que en 1943 se constituye como tal con la facultad para organizar. en el marco del Convenio Único de Desarrollo. 1. posteriormente. se expidió el Decreto mediante el cual el Ejecutivo Federal estableció las bases a las que se sujetó el programa de descentralización de los servicios de salud de la Secretaría de Salubridad y Asistencia. del IMSS-COPLAMAR y de la propia entidad. la integración orgánica de los servicios de salud a población abierta a cargo de la SSA. dirigir y controlar la prestación de servicios de salud. con el cual se dio inicio la descentralización. administrar. así como realizar conjuntamente las acciones necesarias para llevar a cabo la integración programática de los servicios de salud en los estados y.3 Mapa del municipio de Cuauhtémoc. el Decreto por el que se descentralizan a las 238 . en febrero de 1984 los gobiernos federal y estatal. acordaron promover la descentralización de la vida nacional y fortalecer las bases del régimen federal.1. Con base en este Decreto. Simulación.4 la estructura organizacional del Centro de Salud Rural Cuauhtémoc Colima: 239 . (312)-328-04-99 A continuación se presenta en la siguiente figura 1. Cuauhtémoc. pero de las 69 obras. dentro del Programa de Solidaridad Social por Cooperación Comunitaria. un enfoque práctico entidades federativas los servicios que prestaban la Secretaría en los estados y los que. Sanitaria Número 1 Colima (312 )-328-00-48. 1. denominado IMSS-COPLAMAR. Análisis y modelación de sistemas discretos. De acuerdo al Plan maestro de Infraestructura Física en Salud (PMI) de la Dirección General de Planeación y Desarrollo en Salud del Estado de Colima actualizado a diciembre de 2010. con lo cual la Secretaría de Salubridad y Asistencia cambió su nombre por Secretaría de Salud.2. 4 en sustitución. El 21 de enero de 1985. se reformó la Ley Orgánica de la Administración Pública Federal. Kilómetro 15 carretera Colima – Tonila Cuauhtémoc. El 25 de septiembre de 1996 se publicó en el Diario Oficial de la Federación el Acuerdo Nacional para la descentralización de los servicios de salud en las 31 entidades federativas. concretándose en 1997 con la firma de los convenios correspondientes para su creación como organismos públicos descentralizados y derivar entre muchos otros los Centros Rurales de Salud. Colima. 42 en fortalecimiento y una ampliación. Marco de referencia Los datos generales de esta institución médica son: Nombre de la Institución: Ubicación de la Institución: Domicilio: Delegación o municipio: Jurisdicción: Entidad Federativa: Teléfonos: Centro de Salud Rural Cuauhtémoc. 56 son obras proyectadas y el resto están terminadas. proporcionaba el IMSS. existen 22 nuevos centros de salud en el Estado de Colima. 8. 6. Preparación del proyecto. Desarrollo del modelo en lenguaje específico de simulación. para conocer este a fondo. 5.Desarrollo de un proyecto de simulación Figura 1. Experimentación y evaluación de alternativas. Definición del sistema. determinando el objetivo general y específico así como el alcance y el nivel de detalle que se espera incluir en el modelo a desarrollar. El objetivo de la preparación del proyecto es hacer un ejercicio de planeación del proyecto identificando las restricciones del sistema. Desarrollo del modelo conceptual o esquemático. Recomendaciones finales. Análisis de resultados. 7. 4. 3. La intención de la definición del sistema es estudiarlo dividiéndolo en los diversos sistemas y subsistemas que lo conforman utilizando diversas herramientas emanadas de la ingeniería industrial como diagramas de flujo de procesos. También se determina el proceso productivo para cada tipo de producto o 240 . 2.3 Metodología propuesta de trabajo Enseguida se enumeran los pasos o etapas de la metodología que se aplicará a lo largo de este proyecto: 1. croquis de distribución de planta.4 1. Recolección y análisis de datos. Simulación, Análisis y modelación de sistemas discretos; un enfoque práctico servicio ofrecido, determinar las fuentes posibles de obtención de la información, establecer supuestos que no afecten el modelo y que lo hagan más fácil de desarrollar sin perder efectividad para lograr los objetivos planteados. El objetivo de la construcción del modelo es, proveer una representación valida que describa el comportamiento del sistema analizado, se deben obtener las variables de entrada que proveen la información necesaria para cumplir con los objetivos de la simulación. La recolección y análisis de los datos es sumamente importante ya que estos constituyen el soporte estadístico que le proporciona el “parecido con la realidad” al modelo a través de las variables de entrada. Aquí convergen tanto la estadística descriptiva como la inferencial, ya que se toman muestra. Las variables, se organizan en distribuciones de frecuencia, se hacen histogramas y polígonos para “observar” la forma básica de la distribución y posteriormente con la teoría de prueba de hipótesis se verifican si siguen alguna distribución de probabilidad teórica o no. El siguiente paso es desarrollar el modelo en algún lenguaje específico de simulación, correrlo y validarlo adecuadamente para verificar que la información con que se alimentó este sea congruente con el sistema real. Como con la ayuda del modelo se busca resolver alguna problemática detectada en el sistema, se deben establecer diferentes alternativas, experimentar con estas y analizarlas a fondo. El último paso en el procedimiento de la simulación es el hacer recomendaciones para mejorar el actual sistema, basado en los resultados del modelo simulado. Estas recomendaciones deben ser estadísticamente soportadas y claramente presentadas en un informe de resultados de la simulación. 1.4 Desarrollo de la metodología. 1.4.1 Etapa 1: Preparación del proyecto. 1.4.1.1 Identificar las restricciones del sistema En este rubro las principales restricciones que pueden considerarse después de haber hecho un análisis inicial del sistema son: El tiempo para realizar el proyecto. Conocimiento y habilidad para realizar el estudio. La posible resistencia de las personas que integran el sistema para proporcionar la información. 241 Desarrollo de un proyecto de simulación 1.4.1.2 Determinar el objetivo general y específico del modelo. 1.4.1.2.1 Objetivo general Desarrollar un modelo de simulación para el Centro de Salud Rural de Cuauhtémoc, Colima, específicamente en las áreas de enfermería, medicina y farmacia, para que con el análisis del mismo apoye en la toma de decisiones que optimicen los distintos recursos que lo integran. 1.4.1.2.2 Objetivos específicos Determinar el tiempo promedio de espera en la fila de los pacientes. Determinar el tiempo promedio que permanecen los pacientes en el sistema de atención. Determinar el porcentaje del tiempo ocioso de los servidores. Determinar la cantidad de personal adecuado en las distintas áreas para hacer más eficiente la consulta para brindar atención médica oportuna y de calidad. 1.4.1.3 Preparación de las especificaciones de la simulación 1.4.1.3.1 Alcance del modelo Se pretende realizar un modelo que incluya desde la llegada de las personas a la recepción, pasando por las áreas de enfermería, medicina y farmacia según sean los requerimientos de los pacientes hasta la salida de estos del sistema. 1.4.1.3.2 Nivel de detalle En este punto se puede mencionar que las variables de entrada que se elegirán son las adecuadas para dar respuesta a los objetivos planteados sin considerar detalles del sistema que no le agreguen valor al modelo. 1.5 Hipótesis de partida Partiendo de hecho de que la simulación ha sido aplicada con éxito en diversos sistemas productores de bienes y /ó servicios, luego entonces es factible aplicarla en una unidad médica para optimizar sobre todo los tiempos de espera de los pacientes, mejorando los servicios brindados. 242 Simulación, Análisis y modelación de sistemas discretos; un enfoque práctico Capítulo 2: Definición del Sistema 2.1 Etapa 2: definición del sistema 2.1.1 Descripción detallada del sistema a analizar Con base a los procedimientos de operatividad de los servicios de consulta externa a continuación se mencionan de manera general las actividades de los responsables de la unidad de primer nivel, con la finalidad de basarse en ello para hacer el análisis correspondiente. El médico del centro de salud rural responsable diagnostica y decide la conveniencia de referir al paciente a una unidad médica del paciente, llena la hoja de referencia e integra el expediente clínico, registra en el expediente la justificación del envío, supervisa el registro en bitácoras de referencia, entrega a trabajo social el trabajo de referencia en la jurisdicción para gestionar la cita a segundo nivel, mientras tanto la jefa de enfermería recibe el expediente clínico y lo archiva registra los datos de referencia en la bitácora entre otras funciones; sin embargo en lo concerniente a la atención del paciente no se cuenta con la cantidad necesaria de médicos y enfermeras para brindarles los servicios de atención oportunos a todos los pacientes, puesto que en los tres turnos de servicios existentes se otorga únicamente un total de 60 fichas por día, desglosadas en: 20 a las 15 horas, 20 a las 13 horas, y 20 más a las 20 horas; las cuales sugieren un tiempo de atención de 20 minutos por paciente. Sin embargo cuando llegan a urgencias evidentemente ese tiempo se alarga desde 10 a 40 min. adicionales a los que normalmente espera cada uno de los pacientes, por lo cual aun cuando hay una buena organización entre los responsables y demás trabajadores la cantidad de personal es insuficiente no solo por el tiempo que espera el paciente sino también porque llegan más de 20 pacientes por turno. 2.1.2 Determinar los principales subsistemas que integran el sistema analizado En lo correspondiente a los subsistemas que integran el sistema principal, este se dividirá en tres aspectos principales: a) Proceso administrativo interno El Centro de Salud de Cuauhtémoc se rige de acuerdo a la normativa vigente emanada de la Secretaría de Salud y cuenta con las siguientes áreas de organización: 243 Desarrollo de un proyecto de simulación Dirección Asesor y promotor del seguro medico popular Médicos generales Personal de farmacia Jefa de enfermería Enfermeras de base Enfermeras pasantes MPSS. b) Proceso de otorgación del servicio Existe un proceso estandarizado para todos los centros de salud rurales de las entidades del país. En términos generales los pasos para la otorgación de los servicios son: Llegada de las personas Tomar turno en recepción Pasar a uno de los servidores Pasar por medicamentos Salida c) Producto o servicio final En el Centro de Salud se atiende a los usuarios de manera gratuita, donde se otorgan los distintos servicios médicos además de proveer de los medicamentos necesarios. En la figura 2.1 se muestra la distribución de planta del Centro de Salud. En la entrada está la oficina de la jefa de médicos y a la izquierda está la oficina de promotoría, en seguida esta la sala de espera; al lado de la promotoria está a oficina de la jefa de enfermeras, a un lado se encuentra los baños. A un lado de la sala de espera se encuentra el área dental, seguido esta las farmacias, después el área de curaciones, seguida de servicios, en seguida el área de camas y por último los dos consultorios. Frente al último consultorio se encuentra la cocina, y a un lado el cuarto de lavado. 244 Simulación, Análisis y modelación de sistemas discretos; un enfoque práctico Figura. 2.1 Croquis de distribución de planta 2.1. 3 Tipos de bienes o servicios que se ofrecen En el Centro de Salud Rural tratado, las áreas de medicina, enfermería, dental, promotoría y farmacia, brindan principalmente los servicios siguientes: 1. Se da atención a la consulta general y/ó consulta externa, 2. Urgencias. 3. Se manejan diferentes programas con los pacientes y con la población, como son: a) Salud reproductiva: Planificación familiar, control prenatal, atención de parto (si llegara a necesitarse de urgencia) y puerperio. b) Salud del niño y del adolescente: Enfermedades diarreicas, Infección respiratoria aguda y estado de nutrición. c) Aplicación de biológicos. d) Detecciones: Diabetes Mellitus, Hipertensión Arterial, Sífilis, Obesidad, Osteoporosis, Hiperplasia Prostática. e) Salud del adulto y el anciano: Control de pacientes con diabetes mellitus, hipertensión arterial y obesidad. f) Microbacteriosis: Detecciones y tratamiento de Tuberculosis y Lepra. 245 Desarrollo de un proyecto de simulación g) h) i) j) k) Infecciones de Transmisión Sexual. Enfermedades Transmitidas por Vector: Dengue, Paludismo. Picaduras de alacrán. Zoonosis: Rabia, Brucelosis, Teniosis y Cisticercosis. Salud Bucal. 2.1.3.1 Desarrollar diagramas de análisis de procesos para los servicios producidos. Como ya se mencionó, en conjunto, los cinco servicios mencionados, colaboran para la realización de las siguientes actividades: Se da consulta, asesoría, promoción de todos los servicios y programas de salud (vacunación, control prenatal, estimulación temprana, control del niño sano, control de enfermedades crónico degenerativas, como son: diabetes, hipertensión, obesidad, etcétera; entre otros). En la siguiente figura 2.2 se puede ver el flujo de las entradas de los pacientes a los diversos servicios ofertados. 246 se les recomienda trasladar al paciente a un hospital de segundo nivel. ambos ubicados en la ciudad de Colima. posteriormente esperar que llegue su turno en la sala de espera. Dependiendo de la enfermedad o del tipo de atención del paciente. 247 . Primeramente debe de llegar con la jefa de médicos por su ficha. farmacia. Cabe aclarar que en casos de enfermedad que la atención esta fuera del alcance del centro de salud.2 se muestra la ruta que debe de hacer un paciente al visitar el centro de salud. curaciones o servicios donde será atendido por el personal respectivo.Simulación. Análisis y modelación de sistemas discretos. el paciente pasará al área dental. en cuanto este llega pasa al consultorio correspondiente.2 En la figura 2. si no se le da salida. es trasladado al área de camas. Dependiendo del diagnostico del médico. un enfoque práctico Figura 2. como son el Hospital Regional o el Hospital del IMSS. Inicio Llegada del paciente Si Urgencias? No Entrega de Ficha Recibe Enfermera Espera turno en sala de espera Pasa el paciente a consulta Servicio Dental Servicio General Paciente pasa a farmacia Salida Fin Figura 2.3 se muestra un diagrama de flujo del proceso que hace el paciente al visitar el Centro de Salud.Desarrollo de un proyecto de simulación En la siguiente figura 2.3 248 Atiende Medico . 4 Determinar los horarios y días de trabajo regulares así como los horarios y días de que serán sujetos de estudio. un enfoque práctico 2. promotoras y encargados de farmacia.7 Haga supuestos donde sea necesario. excepto urgencias. Otros servicios (toma de signos vitales. Se aplicará la observación directa y el estudio de tiempos con cronómetro a los servicios de salud otorgados a los pacientes.1.1. Los siguientes supuestos ayudarán a realizar un modelo más fácil de manejar y que de respuesta a los objetivos planteados: Atender a los pacientes conforme van llegando a las instalaciones. Determinar el tiempo de duración de cada servicio.5 Determine los datos requeridos: La información que puede ser útil conocer es la siguiente: Determinar el tiempo entre llegadas de los pacientes que asisten por día a la unidad médica. 2.1.6 Determine la fuente apropiada de los datos. 2.Simulación. Se espera tomar muestras del turno vespertino durante una semana completa de labores con la ayuda del personal que labora en el centro y con hojas de verificación diseñadas para tal efecto. enfermeras. Determinar el número de trabajadores: Médicos. Determinar los servicios de consulta. urgencias y curaciones. 249 . entre otros). 2. se sugieren éstas alternativas como las adecuadas. dentistas. síntomas. aplicación de inyecciones. por lo cual fueron las tomadas para la realización del presente proyecto. Análisis y modelación de sistemas discretos. así como al acceso permitido a registros internos y bitácoras con los que cuentan en los departamentos de medicina y enfermería.1. Evidentemente. el paciente es pasado a farmacia a que le surtan su receta. ya sea en urgencias o en consultas.1 Diseño del Modelo conceptual o esquemático del sistema. una vez atendido pasa a consulta.Desarrollo de un proyecto de simulación No interrumpir la atención a cada paciente por causas ajenas al sistema como fallas en el suministro de energía eléctrica. 3. Capítulo 3: Desarrollo del modelo y análisis de datos En ésta capítulo se pretende construir el modelo de simulación gracias a que se da por entendido que la información obtenida es suficiente. en lo referente a la enfermera responsable se registra el tiempo de servicio de la misma. ya sea con uno de los dos médicos generales o con el dentista. ahora bien.1. 3. se muestrea el tiempo de atención al paciente. la variable en común con los 3 profesionales mencionados es el tiempo de atención. La siguiente figura 3. en el se representan cada uno de los servidores disponibles: una enfermera en recepción. en el área de urgencias.1. sino únicamente si se presenta un paciente en una condición urgente. muestra el modelo conceptual del sistema en estudio. 2 enfermeras para consulta general y/o urgencias. se registra el tiempo de servicio de la misma y. por ejemplo. 1 dentista.1 Etapa 3: Construcción del modelo conceptual o esquemático. en la llegada de pacientes en el área de recepción se toman en cuenta dos variables: el tiempo entre llegadas de los pacientes y el tipo de paciente (si éste va a consulta o debe ser atendido en urgencias). negligencia etc. ya ha sido previamente analizada y validada para describir claramente el comportamiento del sistema. en lo que respecta a la enfermera encargada de consultas. ahora bien. mientras ella toma signos vitales al paciente. así como las variables de entrada requeridas. 2 médicos ya sea para consulta general o para urgencias. una trabajadora social en farmacia). falta de personal. una vez que los pacientes fueron atendidos. excepto si se trata de una urgencia. mientras que los médicos que normalmente están en consulta también atienden urgencias cuando éstas se presentan y en ése caso. 250 . no se deja de atender a un paciente por negligencia. Las variables a muestrear son las siguientes en las diferentes áreas y turnos: Tiempo entre llegadas de los pacientes Tiempo de servicio en recepción Tipo de Servicio o Urgencia o Consulta general (existen 2 médicos generales) o Dentista (1 médico cirujano dentista) Tiempo de servicio (Enfermería) Tiempo de atención (Médico urgencias) Tiempo de atención (Dentista) 251 .2 Determinar las variables de entrada del modelo.1 Modelo Conceptual del Sistema 3. Análisis y modelación de sistemas discretos.Simulación.1. un enfoque práctico Médico 1 Enfermeras Fila de Entrada Recepción Fila de Atención a Pacientes Fila de Farmacia Farmacia Médico 2 Fin Tiempo entre llegadas Tipo de paciente Tiempo de servicio Tiempo de servicio Tiempo de Atención Dentista Tiempo de Atención Figura 3. En éste punto solo se muestran las hojas de verificación diseñadas para el registro de cada variable en las distintas áreas.3 Para la variable tiempo de atención de médicos en consulta general se diseñó la siguiente hoja de verificación. sin embargo.2. 3.2 Hoja de toma de datos en recepción Para la variable del tiempo de servicio en enfermería ya sea para consulta general o urgencias. se utilizará la siguiente hoja de verificación: Hoja de Toma de Datos para el área de Enfermería Hora de inicio: ENFERMERIA Llegadas Hora de Hora de Hora de Tiempo de Paciente Llegada inicio salida Servicio Tabla 3.Desarrollo de un proyecto de simulación Tiempo de atención (Médicos Generales) Tiempo de Servicio (Área de farmacia).1 Diseño de las hojas de verificación para toma de datos. tiempo de servicio en recepción y el tipo de servicio solicitado se utilizará la siguiente hoja de verificación: Hoja de Toma de Datos para el área de Recepción Hora de inicio: Recepción Llegadas Tiempo de Hora de Hora de Hora de Paciente servicio llegada inicio salida Tipo de Servicio Tabla 3. más adelante se muestran dichas hojas de verificación pero ya con los datos registrados del muestreo. 3. 252 . Para las variables de tiempo entre llegadas de los pacientes.2 Etapa 4: Recolección y análisis de datos. 5 Para la variable tiempo de servicio en el área de farmacia se diseño la siguiente hoja de verificación: Hoja de Verificación en el área de Farmacia Hora de inicio: Trabajadora Social Tiempo de Paciente Hora de Hora de Servicio Inicio Salida Tabla 3.Simulación.4 Para la variable tiempo de atención en el área Dental se diseñó la siguiente hoja de verificación: Hoja de Toma de datos en el área Dental Hora de inicio Dentista Paciente Hora de Hora de Tiempo de inicio salida Servicio Tabla 3. Análisis y modelación de sistemas discretos. un enfoque práctico Hoja de Toma de datos en el área de Consultas Hora de inicio: Paciente Médico 1 Hora de Horas de Inicio Salida Tiempo de Servicio Médico 2 Hora de Horas de Inicio Salida Tiempo de Servicio Tabla 3.6 Para la variable tiempo de atención en el área de urgencias se diseño la siguiente hoja de verificación: 253 . en la primera tabla 3. 4 de mayo) a registrar las variables área por área. Se realizó un muestreo aleatorio de las diversas variables consideradas en cada una de las áreas en estudio. 29. 28.8 se ilustra el muestreo hecho en el área de recepción. se muestran las hojas de verificación realizadas a las distintas áreas del Centro de Salud en estudio. como se mencionó anteriormente se consideró el turno vespertino y tuvo que asistirse varios días: 26. A continuación.Desarrollo de un proyecto de simulación Hoja de Verificación en el Área de Urgencias Hora de Inicio: Médico Tiempo Paciente Hora de Hora de de Servicio inicio Inicio Tabla 3. 30 de abril y 2. 3.2 Realizar el muestreo de las variables de entrada del modelo en los horarios y días considerados para su estudio. 254 .7 3.2. 8 255 . un enfoque práctico Área a muestrear: Recepción Hora de inicio: Llegadas Paciente Hora de llegada 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 1:05 pm 1:07 pm 1:10 pm 1:18 pm 1:23 pm 1:25 pm 1:30 pm 1:32 pm 1:33 pm 1:37 pm 1:41 pm 1:46 pm 1:48 pm 1:53 pm 1:55 pm 2:05 pm 2:12 pm 2:16 pm 2:20 pm 2:25 pm 2:29 pm 2:35 pm 2:39 pm 2:45 pm 2:50 pm 2:55 pm 3:00 pm 3:12 pm 3:15 pm 3:22 pm 3:30 pm 3:43 pm 3:50 pm 3:57 pm 13:05 Horas Recepción Hora de inicio 1:12 pm 1:20 pm 1:21 pm 1:25 pm 1:30 pm 1:33 pm 1:35 pm 1:37 pm 1:39 pm 1:41 pm 1:44 pm 1:46 pm 1:49 pm 1:51 pm 1:59 pm 2:08 pm 2:12 pm 2:17 pm 2:21 pm 2:26 pm 2:31 pm 2:39 pm 2:45 pm 2:49 pm 2:53 pm 2:57 pm 3:02 pm 3:19 pm 3:22 pm 3:28 pm 3:34 pm 3:45 pm 3:50 pm 3:57 pm Hora de salida Tiempo de Servicio (min) 1:20 pm 1:21 pm 1:25 pm 1:30 pm 1:33 pm 1:35 pm 1:37 pm 1:39 pm 1:41 pm 1:44 pm 1:46 pm 1:49 pm 01:51 pm 1:55 pm 2:05 pm 2:12 pm 2:17 pm 2:20 pm 2:26 pm 2:31 pm 2:39 pm 2:45 pm 2:49 pm 2:53 pm 2:57 pm 3:02 pm 3:07 pm 3:22 pm 3:28 pm 3:34 pm 3:38 pm 3:49 pm 3:55 pm 4:02 pm 8 1 4 5 3 2 2 2 2 3 2 3 2 4 6 4 5 3 5 5 8 6 4 4 4 5 5 3 6 6 4 4 5 5 Tipo de servicio Consulta Dental Consulta Urgencias Consulta Consulta Dental Urgencias Consulta Dental Consulta Urgencias Consulta Consulta Dental Urgencias Dental Consulta Consulta Consulta Dental Consulta Consulta Consulta Consulta Consulta Consulta Consulta Consulta Consulta Consulta Urgencias Consulta Consulta Tabla 3.Simulación. Análisis y modelación de sistemas discretos. Desarrollo de un proyecto de simulación La siguiente tabla 3.9 muestra el tiempo de servicio en enfermería. recuérdese que este tiempo corresponde a la enfermera que atendió a los pacientes tanto de consulta general como de urgencias. Llegadas Enfermería Paciente Hora de Inicio Hora de salida 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 1:07 PM 1:30 PM 1:58 PM 2:05 PM 2:12 PM 2:19 PM 2:27 PM 2:43 PM 2:55 PM 3:04 PM 3:13 PM 3:25 PM 3:34 PM 3:48 PM 3:56 PM 4:04 PM 4:13 PM 4:22 PM 4:34 PM 4:59 PM 5:10 PM 5:27 PM 5:45 PM 6:13 PM 6:31 PM 6:59 PM 7:07 PM 7:20 PM 7:30 PM 7:41 PM 7:52 PM 8:01 PM 8:07 PM 8:15 PM 1:13 PM 1:34 PM 2:03 PM 2:10 PM 2:16 PM 2:22 PM 2:34 PM 2:48 PM 2:59 PM 3:09 PM 3:18 PM 3:32 PM 3:41 PM 3:53 PM 3:59 PM 4:07 PM 4:18 PM 4:27 PM 4:50 PM 5:03 PM 5:20 PM 5:34 PM 5:54 PM 6:22 PM 6:38 PM 7:01 PM 7:13 PM 7:27 PM 7:34 PM 7:48 PM 7:56 PM 8:04 PM 8:13 PM 8:29 PM Tabla 3.9 256 Tiempo de servicio (min) 6 4 5 5 4 3 7 5 4 5 5 7 7 5 3 3 5 5 16 4 10 7 9 9 7 2 6 7 4 7 4 3 6 14 . un enfoque práctico En la siguiente tabla 3.10 se consideró el tiempo de servicio o atención de los 2 médicos generales con que cuenta el Centro de Salud. Análisis y modelación de sistemas discretos.Simulación. Hora de inicio Paciente Inicio 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 1:13PM 1:28PM 1:45PM 2:00PM 2:17PM 2:22PM 2:37PM 2:52PM 3:07PM 3:24PM 3:34PM 3:49PM 3:59PM 4:10PM 4:20PM 4:37PM 4:53PM 5:00PM 5:14PM 5:25PM 5:38PM 5:51PM 6:02PM 6:18PM 6:33PM 6:51PM 7:04PM 7:22PM 7:39PM 7:59PM 8:14PM 8:25PM 8:31PM 8:38PM Hoja de Verificación para el Área de Consultas 13:13 Horas Médico 1 Médico 2 Tiempo de Salida Inicio Salida Servicio 1:28PM 15 1:00PM 1:14PM 1:45PM 17 1:14PM 1:28PM 2:00PM 15 1:28PM 1:35pm 2:17PM 17 1:35pm 1:45pm 2:22PM 5 1:45pm 1:55pm 2:37PM 15 1:55pm 2:12PM 2:52PM 15 2:12PM 2:27PM 3:07PM 15 2:27PM 2:42PM 3:24PM 17 2:42PM 3:00PM 3:34PM 10 3:00PM 3:13PM 3:49PM 15 3:13PM 3:22PM 3:59PM 10 3:22PM 3:37PM 4:10PM 11 3:37PM 3:45PM 4:20PM 10 3:45PM 3:59PM 4:37PM 17 3:59PM 4:10PM 4:53PM 16 4:10PM 4:29PM 5:00PM 7 4:29PM 4:39PM 5:14PM 14 4:39PM 4:55PM 5:25PM 11 4:55PM 5:10PM 5:38PM 13 5:10PM 5:25PM 5:51PM 13 5:25PM 5:42PM 6:02PM 11 5:42PM 5:55PM 6:18PM 16 5:55PM 6:19PM 6:33PM 15 6:19PM 6:35PM 6:51PM 18 6:35PM 6:49PM 7:04PM 13 6:49PM 6:59PM 7:22PM 18 6:59PM 7:15PM 7:39PM 17 7:15PM 7:29PM 7:59PM 20 7:29PM 7:45PM 8:14PM 15 7:45PM 7:58PM 8:25PM 11 7:58PM 8:10PM 8:31PM 6 8:10PM 8:20PM 8:38PM 7 8:20PM 8:27PM 8:45PM 7 8:27PM 8:39PM Tiempo de Servicio 14 14 7 10 10 17 15 15 18 13 9 15 8 14 11 19 10 16 15 15 17 13 14 16 14 10 16 14 16 13 12 10 7 12 Tabla 3.10 257 . 11 258 .11 se puede ver el tiempo de atención del dentista que labora en el Centro de salud.Desarrollo de un proyecto de simulación En la siguiente tabla 3. Hoja de Verificación en el Área Dental Hora de Inicio 13:00 Paciente Dentista Tiempo de Inicio Salida Servicio 1 1.05 PM 1:32 PM 27 2 1:33 PM 2:07 PM 34 3 2:10 PM 2:41 PM 31 4 3:05 PM 3:39 PM 34 5 3:40 PM 4:16 PM 36 6 4:18 PM 4:52 PM 34 7 4:53 PM 5:28 PM 35 8 5:31 PM 6:03 PM 32 9 6:04 PM 6:34 PM 30 10 6:34 PM 7:12 PM 38 11 1:07 PM 1:41 PM 34 12 1:41 PM 2:22 PM 41 13 2:25 PM 2:49 PM 24 14 3:16 PM 3:44 PM 28 15 3:46 PM 4:12 PM 26 16 4:13 PM 4:49 PM 36 17 4:52 PM 5:18 PM 26 18 5:19 PM 5:47 PM 28 19 5:48 PM 6:13 PM 25 20 6:15 PM 7:00 PM 15 21 1:07 PM 1:46 PM 39 22 1:48 PM 2:24 PM 36 23 2:25 PM 3:01 PM 36 24 3:05 PM 3:47 PM 42 25 3:47 PM 4:05 PM 18 26 4:07 PM 4:32 PM 25 27 4:34 PM 5:02 PM 28 28 5:05 PM 5:39 PM 34 29 5:40 PM 6:12 PM 32 30 6:13 PM 7:05 PM 52 Tabla 3. Paciente Trabajadora Social Tiempo de Servicio Hora de Hora de (min) Inicio Salida 1 1:18 PM 1:21 PM 3 2 1:30 PM 1:31 PM 1 3 1:34 PM 1:36 PM 2 4 1:39 PM 1:40 PM 1 5 1:45 PM 1:47 PM 2 6 2:07 PM 2:08 PM 1 7 2:13 PM 2:16 PM 3 8 2:34 PM 2:35 PM 1 9 2:47 PM 2:49 PM 2 10 2:59 PM 3:00 PM 1 11 3:10 PM 3:12 PM 2 12 3:18 PM 3:19 PM 1 13 3:25 PM 3:27 PM 2 14 3:30 PM 3:31 PM 1 15 3:35 PM 3:37 PM 2 16 3:42 PM 3:43 PM 1 17 3:47 PM 3:48 PM 1 18 3:52 PM 3:54 PM 2 19 4:00 PM 4:01 PM 1 20 4:22 PM 4:24 PM 2 21 4:39 PM 4:40 PM 1 22 5:02 PM 5:05 PM 3 23 5:13 PM 5:15 PM 2 24 5:19 PM 5:21 PM 2 25 5:27 PM 5:28 PM 1 26 5:44 PM 5:45 PM 1 27 6:02 PM 6:04 PM 2 28 6:09 PM 6:11 PM 2 29 6:19 PM 6:20 PM 1 30 6:35 PM 6:37 PM 2 31 6:49 PM 6:51 PM 2 32 7:07 PM 7:09 PM 2 33 7:25 PM 7:27 PM 2 34 7:34 PM 7:35 PM 1 Tabla 3. un enfoque práctico La siguiente tabla 3.12 259 .12 muestra los datos tomados en el área de farmacia.Simulación. Análisis y modelación de sistemas discretos. Hoja de verificación del Área de Farmacia Hora de Inicio 13:18 Hrs. Desarrollo de un proyecto de simulación La tabla 3.13 contiene los tiempos muestreados en el área de urgencias durante el periodo considerado. Hoja de Verificación para el Área de Urgencias Hora de inicio: 13:30 Médico Tiempo Paciente de Atención Hora de Hora de (min) Inicio Salida 1 1:35PM 1:45PM 10 2 1:42PM 2:20PM 38 3 1:58PM 2:30PM 32 4 2:20PM 2:59PM 39 5 7:53PM 8:25PM 32 6 8:38AM 8:59AM 21 7 8:42AM 9:10AM 28 8 9:55AM 10:15AM 20 9 11:10AM 11:29AM 19 10 1:16PM 1:58PM 42 11 3:29PM 3:59PM 30 12 5:10PM 5:29PM 19 13 6:55PM 7:20PM 25 14 8:15PM 8:40PM 25 15 9:05AM 9:55AM 50 16 10:19AM 10:58AM 39 17 11:02AM 11:45AM 43 18 2:59PM 3:20PM 21 19 4:22PM 4:55PM 33 20 5:15PM 5:59pm 44 21 6:09PM 6:45PM 36 22 7:18PM 7:45PM 27 23 7:59PM 8:30PM 31 24 11:35AM 11:59AM 24 25 1:22PM 2:12PM 50 26 2:18PM 2:39PM 21 27 3:15PM 3:28PM 13 28 4:25PM 4:59PM 24 29 5:09PM 5:55PM 46 30 6:15PM 6:57PM 42 Tabla 3.13 260 Simulación, Análisis y modelación de sistemas discretos; un enfoque práctico 3.2.3 Organización y análisis de los datos muestreados (convierta los datos de entrada en una forma conveniente para su uso). Para un mejor manejo de los datos muestreados, se elaboraron las siguientes tablas conteniendo los valores de cada variable en las distintas áreas del Centro de Salud, asimismo se calcularon tanto el rango de los datos como el ancho de clase para cada caso y se elaboraron las tablas de distribución de frecuencias y los histogramas correspondientes. Variable: Tiempo entre llegadas de los pacientes (minutos). En la siguiente tabla 3.14 se muestran los datos recopilados de esta variable: 2 3 8 5 2 5 2 1 5 4 5 2 6 2 4 4 5 4 6 2 5 5 10 4 5 Tabla 3.14 5 12 3 7 8 13 7 7 Rango de los datos: R= Valor máximo – Valor mínimo = 13 – 1 = 12 Ancho de clase = R/1+3.322 log n = 12 / 1+3.322 log 33 = 1.98 Como el tamaño de la muestra es pequeño, se considera el ancho de clase de 3, para que resulten 5 clases que es lo que se considera adecuado para 33 datos. Frecuencia Observada 1- 3 6 4–6 8 7–9 10 10 – 12 6 13– 15 1 Tabla 3.15 Clases 261 Desarrollo de un proyecto de simulación Figura 3.16 Variable: Tiempo de servicio en recepción (minutos). En la siguiente tabla 3.17 se muestran los datos recopilados de esta variable: 8 1 4 5 3 2 2 2 2 3 2 4 8 3 5 6 2 3 4 4 5 4 6 5 4 Tabla 3.17 5 5 3 6 6 4 4 5 5 Rango de los datos: R= Valor máximo – Valor mínimo = 8 – 1 = 7 Ancho de clase = R/1+3.322 log n = 7 / 1+3.322 log 34 = 1.15 Como el rango de la muestra es pequeño, se recomienda tomar los datos puntuales para poder apreciar mejor la distribución de los datos. 262 Simulación, Análisis y modelación de sistemas discretos; un enfoque práctico Tabla de Distribución de frecuencias Frecuencia Observada 1 6 5 8 8 3 0 2 Tabla 3.18 Clases 1 2 3 4 5 6 7 8 Figura 3.19 Variable: Tipo de servicio. Esta variable se puede considerar como empírica, no tiene sentido buscar si se ajusta a una distribución teórica ya que nunca se va a considerar un valor que no sea cualquiera de los tres tipos de servicios que se otorgan, por lo tanto solamente se establecerá la distribución de frecuencias y el generador se obtendrá con el método de Montecarlo posteriormente. En el siguiente cuadro 3.19 se puede ver como se distribuye la demanda de servicios en el centro de salud. 263 Desarrollo de un proyecto de simulación Tipo de Frecuencia Servicio Observada Consulta General 23 Dental 6 Urgencias 5 Tabla 3.20 Variable: Tiempo de servicio en enfermería (minutos). En la siguiente tabla 3.21 se muestran los datos recopilados de esta variable: 6 4 5 5 4 3 7 5 4 5 5 7 7 5 3 3 10 5 7 5 9 16 9 4 7 Tabla 3.21 2 6 7 4 7 4 3 6 14 Rango de los datos: R= Valor máximo – Valor mínimo = 16 – 2 = 14 Ancho de clase = R/1+3.322 log n = 14 / 1+3.322 log 34 = 2.29 Se considerará el ancho de clase de tamaño 3 para obtener 5 clases en la realización de la distribución de frecuencias. Frecuencia Observada 2–4 11 5–7 18 8 – 10 3 11 – 13 0 14 – 16 2 Tabla 3.22 Clases 264 Simulación, Análisis y modelación de sistemas discretos; un enfoque práctico Figura 3.23 Variable: Tiempo de atención de los médicos generales (minutos). En este caso se va a considerar el tiempo de los dos médicos generales, suponiendo que trabajan al mismo ritmo y no hay necesidad de hacer distinción entre ellos, por lo que se sumaran los tiempos muestreados, ver tabla 3.24. 15 17 15 17 5 15 15 15 17 10 15 10 11 10 17 16 7 14 11 13 13 11 16 15 18 13 18 17 20 15 11 12 6 7 7 12 7 10 10 10 Tabla 3.24 10 16 14 16 13 17 13 14 16 14 19 10 16 15 15 9 15 8 14 11 17 15 15 18 13 14 14 7 Rango de los datos: R= Valor máximo – Valor mínimo = 20 – 5 = 15 Ancho de clase = R/1+3.322 log n = 15 / 1+3.322 log 68 = 2.11 Se considerará el ancho de clase de tamaño 3 para obtener 6 clases en la realización de la distribución de frecuencias. 265 27 39 36 36 42 18 25 28 34 32 52 Rango de los datos: R= Valor máximo – Valor mínimo = 52 – 15 = 37 Ancho de clase = R/1+3.27 266 .Desarrollo de un proyecto de simulación Frecuencia Observada 5–7 7 8 – 10 10 11– 13 13 14 – 16 26 17 – 19 11 20 – 22 1 Tabla 3.27): 27 34 31 34 36 34 35 32 30 38 34 36 41 26 24 28 28 25 26 15 Tabla 3.26 Variable: Tiempo de atención del dentista (minutos).25 Clases Histograma del tiempo de atención de los médicos generales 30 20 10 0 5 8 11 14 17 20 Figura 3.322 log 30 = 6.322 log n = 37 / 1+3. Enseguida se muestran los datos del tiempo de atención del dentista (ver tabla 3. 54 1 Tabla 3. se considerará el ancho de clase de tamaño 8 para obtener 5 clases en la realización de la distribución de frecuencias.29 Variable: Tiempo de atención en farmacia (minutos). un enfoque práctico Como el rango es amplio y son pocos datos. Frecuencia Observada 15 – 22 2 23 – 30 10 31 – 38 14 39 – 46 3 47 . Análisis y modelación de sistemas discretos.28 Clases Figura 3. Enseguida se muestran los datos del tiempo de atención en farmacia (ver tabla 3.30 1 2 2 1 2 2 2 2 1 267 .30): 3 1 2 1 2 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 3 2 2 2 1 1 2 2 2 1 Tabla 3.Simulación. 32 Rango de los datos: R= Valor máximo – Valor mínimo = 50 – 10 = 40 Ancho de clase = R/1+3.32): 10 21 30 39 36 21 38 28 19 43 27 13 32 20 25 21 31 24 39 19 25 33 24 46 32 42 50 44 50 42 Tabla 3.322 log n = 40 / 1+3. se considerará el ancho de clase de tamaño 9 para obtener 5 clases en la realización de la distribución de frecuencias (ver tabla 3.Desarrollo de un proyecto de simulación Rango de los datos: R= Valor máximo – Valor mínimo = 3 – 1 = 2 En este caso como se tienen solamente 3 valores distintos se procederá a tomar los valores puntuales y contar cuantos hay de cada uno para ver si se ajustan a una distribución teórica.31 Clases Variable: Tiempo de atención en urgencias (minutos).322 log 30 = 6.33 Clases 268 .33): Frecuencia Observada 10 – 18 2 19 – 27 11 28 – 36 7 37 – 45 7 46 . Frecuencia Observada 1 15 2 16 3 3 Tabla 3.54 3 Tabla 3. Enseguida se muestran los datos del tiempo de atención del médico de urgencias (ver tabla 3.78 Como el rango es amplio y son pocos datos. 34 3. Análisis y modelación de sistemas discretos. un enfoque práctico Figura 3.77 (ver figura 3.Simulación.2. 269 .17. en este caso el ProModel asigna una clasificación de mayor a menor ajuste tal como se puede apreciar en la figura 3.4 Determinación de las distribuciones de probabilidad teóricas de las variables de entrada (si es que la tienen) con el Stat::Fit del ProModel. Variable Tiempo entre Llegadas: Con la ayuda del Stat::Fit de ProModel obtenemos que esta variable se ajusta perfectamente a la distribución Lognormal y a la distribución Normal en menor medida.35). esto es muy frecuente. que una variable se ajuste a mas de una distribución teórica. pero se recomienda la que haga un mejor ajuste de los datos. Los parámetros estimados de los datos son: media 5.09 y desviación estándar 2. 36 Figura 3.37.Desarrollo de un proyecto de simulación Figura 3.35 Variable: Tiempo de servicio en recepción: Con la ayuda del Stat::Fit se obtiene que esta variable se ajusta tanto a distribuciones continuas como discretas.37 270 .36 y 3. Figura 3. tal como se puede apreciar en las siguientes figuras 3. un enfoque práctico De las figuras anteriores se puede ver que esta variable se ajusta perfectamente a una distribución continua Normal con media de 4.38.66. con media de 5.12 y desviación estándar 3.39).38 Variable: Tiempo de atención de los médicos generales De acuerdo al Stat::Fit de ProModel . Variable: Tipo de servicio Esta variable sigue una distribución empírica discreta.esta variable se ajusta a la distribución Normal. pero en este caso se tomará como la distribución para crear el modelo a la Normal. con media 13. Figura 3. tal como se puede ver en la siguiente figura 3. 271 .97. También se ajusta a una distribución discreta teórica Binomial. Variable: Tiempo de servicio en enfermería Esta variable se ajusta a una distribución de Poisson. Análisis y modelación de sistemas discretos.Simulación.12 y desviación estándar de 1.5 (ver figura 3. con n= 3 y p =0. 272 .40: Figura 3.2 tal como se puede apreciar en la siguiente figura 3.Desarrollo de un proyecto de simulación Figura 3.40 Variable: Tiempo de atención en farmacia Esta variable se ajusta una distribución Binomial.41.39 Variable: Tiempo de atención del dentista Esta variable se ajusta también a una distribución Normal con media 31.549 tal como se puede apreciar en la siguiente figura 3.9 y desviación estándar 7. 8. En el siguiente cuadro 3.42.Simulación.43 se muestra el resumen de las variables de entrada del modelo y la distribución a la cual se ajustaron considerando los estimadores de los parámetros para cada distribución. Análisis y modelación de sistemas discretos.3 Resumen final de cada variable y la distribución a la cual se ajustaron. 273 . ver figura 3. un enfoque práctico Figura 3.42 3.41 Variable: Tiempo de atención en urgencias Esta variable se ajusta a una distribución de Poisson con una media de 30. Figura 3. 90. = 0.43 3. S = 2.80 Tiempo de atención en urgencias Poisson Cuadro 4. S = 3.Desarrollo de un proyecto de simulación Variable Distribución Estimadores Tiempo entre llegadas de los pacientes Lognormal = 5.09. Por lo tanto en este punto la intención es mostrar el generador ya determinado previamente para cada variable de acuerdo al método que corresponda 3. En lo referente a este punto. S = 7.4 de cómo se obtienen los generadores de las variables de entrada de acuerdo al tipo de distribución que sigan estas. Enseguida se mostrarán las fórmulas de los generadores de las variables de entrada: Tiempo entre llegadas: Distribución continua Log Normal El generador de la distribución Lognormal es como se muestra a continuación: = −6 ∗ 1+ + + Por lo tanto el generador específico para la variable tiempo entre llegadas sería: 274 .66 Tipo de servicio solicitado Empírica Tiempo de servicio en enfermería Poisson Tiempo de atención de médicos generales Normal Tiempo de atención de dentista Normal Tiempo de atención en farmacia Binomial = 5.4.4 Generadores de Variables Aleatorias. S = 1.97 = 13.12.2 = 3.549 = 30.77 Tiempo de atención en recepción Normal = 4.12.5 = 31. ya se hizo una explicación detallada en el capítulo 3 específicamente en el punto 3.1 Determinación de los generadores para cada variable de entrada. 6765 0.Simulación. Análisis y modelación de sistemas discretos.1765 0.0000 ≤ Ri ≤ 0.09 5.0000 275 .77 5.0000 Total 34 1.09 + 2.1470 1.44: Tipo de Servicio Consulta General Frecuencia Observada Probabilidad Relativa Acumulada 23 0.8530 Urgencias 5 0.8530 0.6765 < Ri ≤ 0.77 Tiempo de atención en recepción: Distribución continua Normal La fórmula original de la distribución Normal es: = 1 √2 Como es una distribución continua.0000 Tabla 4.8530 < Ri ≤ 1.12 + − 6 1.44 Clases 0.6765 Dental 6 0. se puede aplicar el método de la transformada inversa y el generador general sería: = + −6 Por lo tanto el generador específico para esta variable es: = 4. un enfoque práctico = −6 ∗ 1+ 2.6765 0.09 + 5.66 Tipo de servicio solicitado: Distribución empírica El generador para esta variable se obtiene con el método de Montecarlo y se muestra en la tabla 3. 9181 0.Desarrollo de un proyecto de simulación Tiempo de servicio en enfermería: Distribución discreta de Poisson.0178 0.9965 0.1539 0.0000 Acumulada 0.9915 0.9965 0.2891 0.1539 0.0109 0.9995 0.1352 0.9999 ≤R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ 0.1539 0.0026 0.0001 0.4505 0.9987 0.0152 0.9999 1.1370 0.0000 0.9995 0.1614 0. esto por la razón de que ya que se tiene la certeza estadística que los datos siguen una distribución teórica.9586 0.9987 0.45 se muestra el generador de la distribución de Poisson para el tiempo de servicio en enfermería: X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Probabilidad de Poisson (=5.0455 0.9181 0.0026 0.0633 0.0000 Tabla 4.7481 0.0026 0.2891 0.0009 0.7481 0.0405 0.6111 0.9586 0.97) 0.9987 0.9915 0.0678 0.0021 0.6111 0.0026 0.9998 0.0633 0.0000 Nota: Recuérdese que en este generador se consideran valores incluso que no se hayan muestreado.8503 0.9995 0.0220 0.9586 0.97 En la siguiente tabla 4.8503 0.0003 0.0906 0.9965 0.0178 0.4505 0.9806 0. Tiempo de atención de médicos generales: Distribución continua Normal 276 .7481 0.45 Clases 0.9806 0.9998 0.1022 0.9806 0.1606 0.0178 0. = 5.8503 0.9181 0.2891 0.9998 0.6111 0.0633 0.9999 1.9915 0.0050 0.4505 0. Tiempo de atención en urgencias: Distribución discreta Poisson. = 30.90 + − 6 7. Esa puede ser la interpretación del tiempo entre llegadas cero.0917 0.0917 0.47 se muestra el generador para esta variable discreta teórica de Poisson para el tiempo de atención en urgencias: 277 0. Análisis y modelación de sistemas discretos. el cero significa que dos personas llegaron al mismo tiempo.5 Tiempo de atención de dentista: Distribución continua normal El generador específico para esta variable es: = 31.46 se muestra el generador de esta distribución discreta teórica Binomial para el tiempo de atención en farmacia: X 0 1 2 3 Probabilidad Binomial Acumulada (p = 0. el valor cero que se puede ver en la tabla es parte del tipo de experimento. En la siguiente tabla 4.0000 Tabla 4. De cualquier manera. un enfoque práctico El generador específico para esta variable es: = 13.0917 0.4267 0.2 Tiempo de atención en farmacia: Distribución discreta Binomial.4267 0.549) 0. ya que una distribución Binomial es una serie de experimentos de Bernoulli. = .80 En la siguiente tabla 4.8345 ≤R≤ <R≤ <R≤ <R≤ Nota: Este generador se realizó considerando 3 ensayos.Simulación.8345 0.1655 1.0917 0.34078 0.0000 . = .3350 0.4267 0.12 + − 6 3.46 Clases 0 0.8345 1. 9999 1.0023 0.0041 0.9370 0.0001 0.8841 0.47 Nota: Los valores generados dependen del número de dígitos considerados en el cálculo de la probabilidad.0012 0.3485 0.0090 0.0001 0.0443 0.5618 0.7528 0.9997 0.9370 0.9370 0.0002 0.0001 0.0898 0.0898 0.0511 0.9960 0.0001 0.9854 0.9975 0.9904 0.0687 0.6306 0.0001 0.0090 0.0010 0.9684 0.9991 0.0102 0.0156 0.0006 0.9137 0.9549 0.0258 0.2227 0.0007 0.9549 0.1258 0.2826 0.9994 0.6947 0.0364 0.6947 0.0005 0.9999 1.0659 0.9985 0.0360 0.2826 0.0408 0.6947 0.0002 0.9975 0.0026 0.0150 0.9985 0.4904 0.0618 0.1701 0.0001 0.0026 0.0012 0.0090 0.0295 0.9985 0.0066 0.0002 0.9783 0.0071 0.9684 0.0050 0.4185 0.0280 0.1258 0.0156 0.0700 0.0004 0.9991 0.0408 0.5618 0.3485 0.0013 0.0026 0.80) Acumulada 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 0.2227 0.9999 <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ <R≤ 0.0618 0.4904 0.0233 0.3485 0.9137 0.7528 0.0209 0.9137 0.4185 0.2826 0.0898 0.9937 0.8477 0.0049 0.0049 0.9904 0.0599 0.2227 0.4185 0.0719 0.0258 0.0049 0.9960 0.0002 0.6306 0.6306 0.0099 0.9904 0.9783 0.0024 0.9783 0.8040 0.0005 0.0000 Tabla 4.9854 0.0003 0.8841 0.8040 0.9549 0.0525 0.0180 0.0015 0.9997 0.0156 0.4904 0. 278 .9991 0.9994 0.9937 0.8841 0.0012 0.9937 0.0034 0.1701 0.0000 Clases 0.0438 0.0001 0.0642 0.0714 0.9994 0.8477 0.5618 0.7528 0.9997 0.9684 0.0005 0.8477 0.1701 0.0258 0.9960 0.0000 0.0408 0.9975 0.9854 0.0618 0. pero en el software puede existir incluso mayor precisión al generar las variables.1258 0.0135 0. en este caso se consideran 4 dígitos de manera ilustrativa.Desarrollo de un proyecto de simulación X Probabilidad Poisson (=30.8040 0.0581 0. 17.2 Etapa 5: Desarrollar el modelo en lenguaje específico de simulación (ProModel).Simulación. esta la realiza cualquiera de los médicos generales en un tiempo que sigue una distribución discreta de Poisson con = 30. así como realizar la lógica adecuada para que el modelo represente fielmente al sistema real. Si el paciente acude con cualquiera de los dos médicos generales con que cuenta el Centro de Salud. 4. Análisis y modelación de sistemas discretos. Si el paciente requiere una atención considerada de urgencia.12 y una S = 3.1 Redacción de las características del sistema a simular. Se realizarán 279 . Existen 2 enfermeras una para el área de consultas y otra para urgencias. un enfoque práctico Capítulo 4: Simulación y análisis del Sistema. Como se pudo observar en el punto 3.77 (tiempo en minutos). el tiempo de atención sigue una distribución continua Normal con = 13. en el modelo conceptual existe una fila de entrada de los pacientes que llegan a una locación definida como recepción.12 y S = 1.65% 14. primeramente lo hace una enfermera en un tiempo que sigue una distribución discreta de Poisson con =5.65%.90 y una S = 7. Obviamente el objetivo de este punto es desarrollar el modelo en el software incluyendo la edición de las locaciones. De la misma manera el tiempo de atención del dentista es de acuerdo a una distribución Normal con = 31. dental y urgencias.80. estas se presentan con probabilidades de 67. y esta operación consume un tiempo que sigue una distribución discreta Binomial con = 3 = 0.5. Cuando se atiende a un paciente en cualquiera de los tres servicios médicos mencionados anteriormente.09 y una S = 2.70 % respectivamente.549 4. el tiempo de atención en esta etapa es de acuerdo una distribución Normal con = 4. El tiempo entre llegadas de los pacientes del turno vespertino es de acuerdo a una distribución Lognormal con = 5. Se agregará el supuesto de que cada fila tiene una capacidad máxima de 10 personas para ayudar a tomar una decisión que optimice el sistema de acuerdo a la demanda de los servicios y la capacidad instalada.97. estatutos necesarios. Posteriormente se determina si el paciente acude a cualquiera de 3 servicios médicos generales que se han clasificado como: consulta general. Posteriormente el paciente acude a la farmacia para que le otorguen el medicamento que necesite. atributos.2. variables para cada tipo de servicio solicitado.66.1 del capítulo 3. 2.48.48 280 . se muestra la distribución física de las locaciones que componen el modelo en ProModel.Desarrollo de un proyecto de simulación 30 corridas de tamaño 8 horas para el turno considerado (vespertino) del modelo.1 Impresión del Lay-Out del modelo. Figura 4. 4. En la siguiente figura 4. Oldest. Oldest. Análisis y modelación de sistemas discretos.2 Medico_General Medico_General. . Oldest. Oldest.1 Medico_General.----------.Simulación. . FIFO.2. FIFO. . First .----------.----. FIFO. . First . . ************************************************************************ ******** * Entities * ************************************************************************ ******** Name Speed (mpm) Stats Cost ---------. ************************************************************************ ******** * Formatted Listing of Model: * ************************************************************************ ******** Time Units: Minutes Distance Units: Meters ************************************************************************ ******** * Locations * ************************************************************************ ******** Name -----------------------------Fila_de_Entrada Recepción Fila_Atencion_a_Pacientes Enfermeras Enfermeras. Oldest.2 Impresión del código fuente del modelo. Oldest. Oldest. . Oldest. . En la siguiente tabla 4.49 se muestra el código fuente del modelo realizado.-----------Paciente 50 Time Series 281 . Oldest. Oldest.--------------.-----------. un enfoque práctico 4.1 Enfermeras. Oldest. Oldest. .2 Dentista Fila_Farmacia Farmacia Salida Cap Units Stats Rules Cost --.-----10 1 10 1 1 1 1 1 1 1 10 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 Time Time Time Time Time Time Time Time Time Time Time Time Time Series Series Series Series Series Series Series Series Series Series Series Series Series Oldest. Desarrollo de un proyecto de simulación 282 . -----------.-------------Tipo_de_paciente Integer Entity ******************************************************************************** * Variables (global) * ******************************************************************************** ID Type Initial value Stats ----------------.----------Consulta_General Integer 0 Time Series Dental Integer 0 Time Series Urgencia Integer 0 Time Series Pacientes_totales Integer 0 Time Series ******************************************************************************** * User Distributions * ******************************************************************************** ID Type Cumulative Percentage ------------------------.3 Impresión del reporte de resultados de las corridas Enseguida se muestran las tablas con el reporte de salida de las 30 corridas ya promediadas: Locaciones: Reporte general Tabla 4.-----------Distribucion_Tipo_Usuario Discrete No 67.70 Value -----------1 2 3 Cuadro 4.------------.49 4.65 14.-----------. un enfoque práctico ******************************************************************************** * Attributes * ******************************************************************************** ID Type Classification ---------------.65 17.-----------.-----------.50 283 . Análisis y modelación de sistemas discretos.2.Simulación. 52 284 .14%. lo que significa que tanto las enfermeras como los médicos generales están trabajando a un ritmo muy alto. esto significa que el personal con que se cuenta no es suficiente y en un momento dado más de diez personas hacen fila.37% y el 55.58%. Locaciones: Reporte general de locaciones con capacidad individual Tabla 4.37%.51 Aquí se puede observar que tanto la fila de entrada como la fila de atención a pacientes están totalmente llenas el 18.07%.38% y solamente la persona que atiende en farmacia presenta el porcentaje más bajo con un 20.Desarrollo de un proyecto de simulación De la tabla anterior se puede observar que el porcentaje de utilización en recepción es del 91%. el dentista es de 64. los médicos generales es del 82. Locaciones: Reporte general de locaciones con múltiple capacidad Tabla 4. las enfermeras en promedio es del 95. Esto puede entenderse ya que estos atienden tanto consulta general como urgencias. el tiempo promedio en el sistema es de 108. Análisis y modelación de sistemas discretos. se quedaron actualmente en el sistema 25 al momento de terminar la simulación.17 minutos.53 Aquí se observa que en promedio 11.Simulación.04 minutos de demora total. Si se agrega el tiempo que el paciente permanece bloqueado más el tiempo de espera: 55 + 21.50%) y enfermeras (56. Actividad de la entidad en minutos (continuación) Tabla 4.54 Salieron en total 58 (promedio redondeado) pacientes del sistema.02 minutos.81%). Llegadas fallidas Tabla 4. esto significa que los médicos generales no trabajan a un ritmo equilibrado entre las llegadas de los pacientes y el tiempo que requieren atención.55 285 . por esa razón tanto la recepción como las enfermeras no pueden continuar su trabajo hasta que los médicos terminen.04 = 76.6 pacientes no pueden entrar al sistema por la razón mencionada anteriormente. en espera para ser atendidos esperan en promedio 55 minutos y el tiempo que son atendidos es en promedio 31. un enfoque práctico Esta tabla es muy importante ya que muestra que existe un cuello de botella debido a los porcentajes de bloqueo de la recepción (28. Actividad de la entidad en minutos Tabla 4. 4.1 Especificar las alternativas a considerar. 4. bloqueado el 19.57 Aquí se puede observar que a consulta general en promedio llegan aproximadamente 50 pacientes.3. y evaluación de En este caso se puede considerar como una alternativa la contratación de 1 médico general más y ver que tanto mejora la atención a los pacientes.56 En total el paciente está en espera el 49.Desarrollo de un proyecto de simulación Actividad de la entidad en porcentaje Tabla 4.98% del tiempo.2 Impresión del Lay-Out de las alternativas.71% del tiempo. 4.54% y en atención solamente el 29.3 Etapa 6: Conducción de experimentos alternativas. 286 .3. No se considera la contratación de otra enfermera ya que estas están bloqueadas por los médicos generales. Variables Tabla 4. Se considera un médico general adicional. a dental 13 y a urgencias 10 en el turno vespertino del Centro de Salud. Cuadro 4.3 Impresión del código fuente de las alternativas. First Medico_General. ************************************************************************ ******** * Locations * ************************************************************************ ******** Name Cap Units Stats Rules Cost ------------------------.1 1 1 Time Series Oldest.--. FIFO. . Fila_Atencion_a_Pacientes 10 1 Time Series Oldest. . Enfermeras. Medico_General. Recepción 1 1 Time Series Oldest. .3 1 1 Time Series Oldest. . . . Análisis y modelación de sistemas discretos.----------. Dentista 1 1 Time Series Oldest. Fila_Farmacia 10 1 Time Series Oldest. . .2 1 1 Time Series Oldest. Salida 1 1 Time Series Oldest. un enfoque práctico Figura 4. FIFO. . Farmacia 1 1 Time Series Oldest. . Medico_General.--------------. First Enfermeras.----.58 4.2 1 1 Time Series Oldest.3.----------Fila_de_Entrada 10 1 Time Series Oldest.Simulación. . Medico_General 1 3 Time Series Oldest.1 1 1 Time Series Oldest.59 287 . Enfermeras 1 2 Time Series Oldest. FIFO. En este caso lo único que cambia del modelo es la cantidad de médicos generales que se encuentran en las locaciones por lo que se mostrará solamente esa parte del código fuente. tanto el dentista como la persona de farmacia incrementaron su porcentaje de utilización de 64. respectivamente. 288 . En las siguientes tablas se muestra el reporte de salida de la alternativa considerada: Contratar un médico general adicional: Locaciones: Reporte general Tabla 4.56%.58% al 72.93%. El porcentaje tanto del dentista como la persona de farmacia aumentaron ya que el sistema incrementó su productividad.Desarrollo de un proyecto de simulación 4.14% al 26. para los médicos generales bajó del 82.60 De la tabla anterior se puede observar que el porcentaje de utilización en recepción bajó del 91% al 84.37% al 90.95%. las enfermeras bajaron su porcentaje de utilización de 95. lo que significa que tanto las enfermeras como los médicos generales están trabajando a un ritmo más equilibrado (bajó ligeramente su porcentaje de utilización) con la incursión del médico adicional.38% a 73.4. 4.4 Etapa 7: Análisis de resultados.15%.1 Realizar un resumen de las alternativas evaluadas basadas en los reportes de salida.35% y del 20. 62 Esta tabla muestra que todavía existe un cuello de botella. esto es significativamente menor que el sistema actual que es del 18.81%). 289 . Locaciones: Reporte general de locaciones con capacidad individual Tabla 4.Simulación. un enfoque práctico Locaciones: Reporte general de locaciones con múltiple capacidad Tabla 4.39% (anteriormente era de 56.50%) y enfermeras 41.61 Aquí se puede observar que tanto la fila de entrada como la fila de atención a pacientes están totalmente llenas el 2. respectivamente.81% (anteriormente era 28. Análisis y modelación de sistemas discretos.45%.37% y el 55.07%. pero los porcentajes bajaron: en recepción es de 8.42% y el 20. esto significa que los médicos generales trabajan a un ritmo más equilibrado entre las llegadas de los pacientes y el tiempo que requieren atención. 98 minutos. el tiempo en el sistema bajo de 108. 290 .64 En esta tabla se puede apreciar de mejor manera el impacto positivo de la contratación de un médico más para el Centro de salud. Actividad de la entidad en minutos Tabla 4.63 Las llegadas fallidas bajaron de 11. Actividad de la entidad en porcentaje Tabla 4.02 a 69. el tiempo de espera cayó de 55 a 25.65 Esta tabla solo refuerza la anterior en términos porcentuales.60 a 1.17 a 30.Desarrollo de un proyecto de simulación Llegadas fallidas Tabla 4.46 minutos.60 con la alternativa considerada.22 minutos y el tiempo de operación prácticamente no sufrió cambio de 31. Simulación. Colima.5 Etapa 8: Recomendaciones finales. en el cual se planteó desarrollar un modelo de simulación para el Centro de Salud Rural de Cuauhtémoc. específicamente en las áreas de enfermería. 4.66 Aquí se puede ver que se incrementó la atención a los pacientes que van a consulta general de 50 a 61 (que es dónde se tiene el impacto más fuerte) los pacientes que van a consulta con el dentista se incrementó de 13 a 14 y urgencias se incrementó de 10 a 13 en el turno vespertino del Centro de Salud. un enfoque práctico Variables Tabla 4. se concluye que efectivamente se realizó este con éxito el cual se pudo correr y analizar adecuadamente para proponer alguna alternativa de mejora que lo hiciera más eficiente y productivo. Análisis y modelación de sistemas discretos.2 Conclusión de los objetivos planteados. 291 . medicina y farmacia.1 Realizar las recomendaciones pertinentes Se recomienda gestionar la contratación de un médico general adicional para que el Centro de Salud ofrezca un servicio más eficiente con más calidad y a su vez se incremente la productividad del sistema considerado.5. Con base en los objetivos específicos. Por su parte en el objetivo general.5. 4. se puede decir que se cumplieron ampliamente ya que en los reportes de salida se consideraron todos estos y otras medidas estadísticas adicionales que apoyaron fuertemente en la recomendación hecha anteriormente. 4. Desarrollo de un proyecto de simulación 292 . Anexos Tablas de distribuciones de probabilidad Generadores para distribuciones de probabilidad en ProModel . . 3888 0.4996 0.4966 0.4996 0.4997 0.0596 0.4049 0.4941 0.2642 0.4996 0.4032 0.4981 0.2019 0.4920 0.4959 0.4999 0.0714 0.4515 0.2324 0.4988 0.4997 0.4913 0.0636 0.4994 0.4812 0.4838 0.4996 0.4854 0.4999 0.4996 0.4989 0.4979 0.4744 0.1950 0.0160 0.4998 0.4192 0.4993 0.4821 0.0987 0.3665 0.4989 0.3962 0.4999 0.03 0.4980 0.4998 0.4918 0.4608 0.0793 0.4945 0.1406 0.4990 0.3461 0.1217 0.50 1.4773 0.4706 0.1736 0.4986 0.2357 0.2224 0.4977 0.4929 0.0239 0.4991 0.50 0.4357 0.80 2.2794 0.4999 0.0832 0.2967 0.3849 0.2881 0.4969 0.4987 0.80 0.4977 0.3413 0.5000 0.0398 0.2910 0.4982 0.20 0.0120 0.4896 0.2704 0.4957 0.30 0.90 3.5000 0.3686 0.4999 0.1141 0.4901 0.2673 0.4664 0.2190 0.3340 0.2612 0.4678 0.4319 0.4925 0.4999 0.4998 0.4971 0.4934 0.4993 0.4279 0.4875 0.4418 0.4987 0.2157 0.4099 0.3238 0.4999 0.4430 0.4994 0.4951 0.4633 0.4887 0.4963 0.4993 0.4656 0.4999 0.5000 0.0279 0.4952 0.5000 0.60 3.1368 0.0675 0.4997 0.08 0.1554 0.07 0.0910 0.4994 0.3790 0.4485 0.0478 0.4998 0.4750 0.3708 0.4956 0.3212 0.4999 0.4976 0.4943 0.4865 0.3554 0.4999 0.4236 0.4994 0.4726 0.10 3.4999 0.4147 0.2088 0.4842 0.4700 0.1808 0.0359 0.0557 0.4826 0.4998 0.4991 0.2823 0.40 3.4984 0.1772 0.5000 0.01 0.Probabilidades de la Distribución Normal Estándar Zα 0 0.4345 0.4564 0.4265 0.4756 0.4990 0.4641 0.1628 0.0438 0.4993 0.1255 0.3315 0.50 3.5000 Fuente: Valores calculados con Excel.4967 0.4973 0.1026 0.2389 0.4938 0.4996 0.4990 0.4995 0.4996 0.1293 0.4573 0.3729 0.1179 0.5000 0.4719 0.0199 0.70 1.0517 0.4999 0.4834 0.4994 0.2486 0.4732 0.3365 0.4983 0.4999 0.4999 0.4998 0.60 1.5000 0.1844 0.4998 0.4978 0.4306 0.4441 0.3925 0.4893 0.4131 0.4992 0.4207 0.4884 0.4861 0.4625 0.4987 0.3810 0.4949 0.4906 0.40 0.4955 0.4975 0.3051 0.5000 0.4968 0.10 0.4999 0.4997 0.5000 0.5000 0.5000 0.4992 0.2996 0.4649 0.2054 0.4992 0.2258 0.4965 0.4995 0.4713 0.4370 0.4989 0.4992 0.3159 0.1915 0.4936 0.3770 0.30 3.4463 0.1331 0.4382 0.0000 0.4974 0.3438 0.4599 0.4984 0.4953 0.70 0.4394 0.20 3.4995 0.4972 0.4999 0.4066 0.4898 0.3599 0.00 1.4793 0.4970 0.3079 0.4916 0.3485 0.3869 0.30 2.4999 0.0948 0.2123 0.10 2.4999 0.4991 0.4998 0.3289 0.09 0.2291 0.1664 0.4545 0.4788 0.4922 0.4998 0.40 1.4961 0.70 3.4591 0.2764 0.1517 0.3508 0.4909 0.3186 0.4997 0.4999 0.4998 0.90 1.4778 0.4850 0.4988 0.4940 0.3389 0.4981 0.80 3.90 0.4495 0.2518 0.1591 0.0040 0.4948 0.3023 0.4997 0.4871 0.3830 0.3106 0.4960 0.4505 0.1064 0.4525 0.4846 0.4082 0.1103 0.90 2.4582 0.4964 0.0754 0.1480 0.00 0.4115 0.60 0.2734 0.4995 0.3907 0.4980 0.2454 0.1443 0.04 0.00 3.4554 0.4985 0.3621 0.4997 0.4292 0.02 0.1985 0.4911 0.4803 0.4999 0.2422 0.4999 0.80 1.1700 0.4798 0.4999 0.4693 0.3133 0.4999 0.4474 0.4999 0.4452 0.4932 0.05 0.0080 0.50 2.3749 0.4616 0.4986 0.0319 0.4767 0.20 1.4162 0.40 2.3944 0.3643 0.4995 0.4251 0.4671 0.4762 0.4962 0.4783 0.4998 0.4927 0.2549 0.4999 0.4406 0.60 2.10 1.4997 0.4881 0.4985 0.4535 0.70 2.20 2.06 0.4946 0.4999 0.3531 0.2580 0.1879 0.00 2.4904 0.4983 0.4222 0.2939 0.4830 0.4931 0.4808 0.2852 0.4817 0.4332 0.4738 0.4998 0.4998 0.4997 0.4177 0.4868 0.4974 0. 295 .3997 0.3577 0.3980 0.4686 0.0871 0.5000 0.4878 0.4890 0.3264 0.4015 0.30 1.4857 0. 336 53.278 49.123 37.017 14.892 58.587 30.528 36.805 36.797 48.703 .980 44.252 40.290 49.828 13.278 21.267 35.557 45.620 54.188 26.589 25.170 20 29.592 14.812 18.476 56.605 5.023 9 15.563 38.819 31.652 40.736 13 21.319 32.997 41.697 39.210 11.993 52.646 25 35.119 14 22.337 44.597 12.909 34.885 41.296 28. libertad 2.483 10 17.841 5.542 26.675 21.461 28 39.449 6 12.684 16. .588 50.615 32.345 13.409 34.877 29.645 12.196 36.645 50.348 3 7. .362 24.813 33.488 11.722 29 40.415 39.301 59.779 9.315 46.979 30 Fuente: Valores calculados con Excel.Valores críticos para la Distribución X2 ν grados de .535 8 14.725 26.578 32.067 16.090 21.566 38.236 11.362 15. 6.000 33.769 27.024 1 4.548 20.307 20.007 35.209 24.671 35. .638 42.987 18.635 9.256 43.869 31.337 12 19.892 7.801 34.191 37.549 21.773 46.179 52.141 30.916 41.087 42.741 40.410 34.706 3.364 24 34.312 43.266 18.790 42.932 40.052 55.559 46.268 49.515 22.718 37.685 26.275 19.204 30.289 41. .070 12.307 24.781 22 32.458 24.217 27.143 4 9.923 26 36.852 19 28.479 21 30.086 16.277 15.382 37.672 10.401 42.642 46.181 45.796 44.264 32.812 22.816 16.582 39.989 28.488 15 23.026 23.467 20.838 14.750 18.924 36.378 2 6.144 32.815 9.688 29.314 45.412 31.963 48.991 7.919 19.588 31.928 48.526 18 27.757 28.013 7 13.475 20.996 27.820 45.920 11 18. 296 .172 38.666 23.300 29.124 27.879 10.507 17.113 43.064 23.076 23 33.191 17 25.195 27 37.251 7.955 23.728 51.860 16.322 26.845 16 24.156 38.833 5 10. 669 0. 297 .286 0.301 0.618 0.363 0.295 0.975 0.433 0. F.708 0. The Journal of the American Statistical Association.J.565 0.381 0.294 0.328 0.468 0.240 0.510 0.290 0.264 0.Valores críticos de la prueba de Kolmogorov-Smirnov ν grados de libertad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 Para valores mayores a 35 D α=0.01 0.371 0.349 0.375 0.270 0.250 0.950 0.278 0.490 0. .230 0.05 D α=0. pp.272 0.470 0.352 0. .514 0.318 0.929 0.210 0.642 0.361 0.304 0. 46.564 0.432 0.457 0.356 0.828 0.521 0.411 0.450 0.338 0.314 0.220 0.10 D α=0.410 0.776 0. vol.438 0.309 0.338 0.325 0.270 .995 0.577 0.320 0.543 0.486 0.624 0.391 0.404 0.392 0.733 0.388 0.418 0.368 0.70 (1951). √ √ √ Fuente: Massey. The Kolmogorov-Smirnov Test for Goodness of Fit.842 0. b) a=Valor de la forma.d) a=Valor real de forma 1. b= Parámetro Exponencial E(a) a=Media Gamma G(a.c) a=Mínimo. b=probabilidad de éxito Erlang ER(a.b. b=Rango medio. Weibull W(a.b) a=Tamaño del lote. c= Límite inferior.b) a=Media.b) a=Media.b) a=Valor real de forma. b=Moda.b.b) a=Media.b) a=Valor de la forma. c=Máximo Uniforme U(a.0 versión estudiantil 298 .b) a=Media.Generadores para distribuciones de probabilidad en ProModel Las siguientes expresiones se muestran como se codifican distribuciones teóricas de probabilidad en el software ProModel. b=Valor de escala Pearson6 P6(a. b=Valor de la forma 2. b=Valor real de forma 2.b.c. b=Desviación estándar Pearson5 P5(a. d= Límite superior Binomial BI(a. b=Valor de escala Geométrica GEO(a) a=Probabilidad de éxito Inversa Gaussiana IG(a. b=Valor de escala Lognormal L(a. c=Valor de escala Poisson P(a) a= Media Triangular T(a. las Distribución Sintaxis Componentes Individuales Beta B(a.c) a=Valor de la forma 1. b=Valor de escala Fuente: ProModel 7.b) a=Valor de forma. b=Desviación estándar Normal N(a. . Simulation using ProModel w/CD Rom (Hardcover). (2005). GARCA REYES Heriberto. Primera edición. McGraw-Hill. McGraw-Hill. México.. GARCÍA Francisco. GARCÍA DUNNA Eduardo. 299 . Simulación de sistemas para administración e ingeniería. GHOSH Biman K. CECSA. LIMUSA. BOWDEN Royce O. United States of America. Second Edition. Primera edición. Simulación y análisis de sistemas con ProModel.. México. Simulación un Enfoque Práctico. México. Simulación y análisis de modelos estocásticos.Bibliografía GARCÍA DUNNA Eduardo. AZARANG Mohammad R. (1993). HARREL Charles R. (2004). Pearson Prentice Hall.. México. GUZMÁN Virginia. CÁRDENAS BARRÓN Leopoldo E. (1996). (2006).. SIERRA Jorge. COSS BU Raúl.