le cambiará la vidaSiga los pasos... Lea el contenido de la semana Escuche la clase radial con los cinco sentidos Después de la clase radial… estudio y autocontrol Consulte sus dudas Participe en un círculo de estudio Matemática - 4.º Bachillerato - Grupo Polochic - Primer semestre - IGER Estudiar Matemática Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, Grupo Radial ¡uy, uy, uy! y Radio Sónica 106.9 Tel: 2412 6666 www.iger.edu.gt
[email protected] 10 10 4.º Bachillerato - Grupo Polochic Primer semestre - IGER =r 2 2 y x + 2 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 Matemática 10 4.º Bachillerato – Grupo Polochic Primer semestre – IGER Matemática 10 Primer semestre © Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, iger. Es una obra producida por el Departamento de Redacción y Diseño, para el Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, IGER. 11 avenida 18-45, Ciudad Nueva, zona 2 Ciudad de Guatemala. PBX: 2412 6666 Fax: 2412 6704 Correo electrónico:
[email protected] Página web: www.iger.edu.gt Edición 2016 Impreso en IGER talleres gráficos Código: 1111004201 ISBN 9789929614512 Reservados todos los derechos. Queda rigurosamente prohibida la reproducción total o parcial de este material educativo, por cualquier medio o procedimiento, sin la autorización del Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, IGER. Según artículo 42 de la Constitución Política de Guatemala que se refiere a la autoría. Índice Índice ................................................................................................................................................................ I ¡Bienvenida y bienvenido! ..................................................................................................................... 1 Semana 1 Lógica I..................................................................................................................................................................... 13 ¡Para comenzar! El cumpleaños de Alejandra.................................................................................................... 14 El mundo de la matemática 1. Lógica proposicional........................................................................................................................................ 15 2. Proposiciones simples..................................................................................................................................... 15 2.1 Negación lógica (~)............................................................................................................................... 17 3. Lógica de predicados...................................................................................................................................... 18 3.1 Cuantificador universal (∀)................................................................................................................. 18 3.2 Cuantificador existencial (∃)............................................................................................................... 18 Resumen............................................................................................................................................................................ 19 Autocontrol..................................................................................................................................................................... 20 Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................... 22 Razonamiento lógico ................................................................................................................................................ 23 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................................................... 24 Semana 2 Lógica II................................................................................................................................................................... 25 ¡Para comenzar! Los conectivos............................................................................................................................... 26 El mundo de la matemática 1. Proposiciones compuestas............................................................................................................................ 27 2. Conectivos lógicos............................................................................................................................................ 27 2.1 Conjunción (∧)......................................................................................................................................... 27 2.2 Disyunción (∨).......................................................................................................................................... 28 2.3 Condicional (→)...................................................................................................................................... 28 2.4 Bicondicional (↔)................................................................................................................................... 28 3. Reglas de los conectivos lógicos................................................................................................................. 29 3.1 Regla de la conjunción......................................................................................................................... 29 3.2 Regla de la disyunción.......................................................................................................................... 30 3.3 Regla del condicional............................................................................................................................ 31 3.4 Regla del bicondicional........................................................................................................................ 32 Resumen............................................................................................................................................................................ 35 Investigue en la red..................................................................................................................................................... 35 Matemática − Índice I Autocontrol..................................................................................................................................................................... 36 Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................... 38 Razonamiento lógico ................................................................................................................................................ 39 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................................................... 40 Semana 3 Números reales.................................................................................................................................... 41 ¡Para comenzar! Los pitagóricos y los números irracionales......................................................................... 42 El mundo de la matemática 1. Números reales (ℝ)........................................................................................................................................... 43 1.1 Características de los números reales ........................................................................................... 43 1.2 Valor absoluto de un número real................................................................................................... 44 2. Operaciones combinadas.............................................................................................................................. 45 3. Propiedades de los números reales .......................................................................................................... 46 4. Potenciación de números reales................................................................................................................. 48 4.1 Propiedades de los exponentes para números reales............................................................. 48 5. Radicación de números reales..................................................................................................................... 50 5.1 Propiedades de los radicales para números reales................................................................... 50 Resumen............................................................................................................................................................................ 51 Autocontrol..................................................................................................................................................................... 52 Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................... 54 Razonamiento lógico ................................................................................................................................................ 55 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................................................... 56 Semana 4 Números complejos.................................................................................................................... 57 ¡Para comenzar! Raíces pares e impares.............................................................................................................. 58 El mundo de la matemática 1. Números complejos (ℂ).................................................................................................................................. 59 1.1 Potenciación de i.................................................................................................................................... 61 1.2 Forma binomial de un número complejo..................................................................................... 61 2. Suma y resta de números complejos........................................................................................................ 62 3. Multiplicación de números complejos...................................................................................................... 63 4. División de números complejos.................................................................................................................. 65 4.1 Racionalización del denominador mediante el conjugado................................................... 65 Resumen............................................................................................................................................................................ 67 Investigue en la red..................................................................................................................................................... 67 Autocontrol..................................................................................................................................................................... 68 Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................... 70 Razonamiento lógico ................................................................................................................................................ 71 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................................................... 72 II IGER − Polochic Semana 5 Suma y resta de matrices............................................................................................. 73 ¡Para comenzar! Sudoku: un juego de ingenio................................................................................................... 74 El mundo de la matemática 1. Matrices................................................................................................................................................................ 75 2. Tipos de matrices.............................................................................................................................................. 76 2.1 Matriz transpuesta................................................................................................................................. 76 2.2 Matriz simétrica....................................................................................................................................... 76 2.3 Matriz identidad...................................................................................................................................... 76 2.4 Matriz invertible o no singular.......................................................................................................... 76 2.5 Matriz singular......................................................................................................................................... 76 3. Operaciones entre matrices.......................................................................................................................... 77 3.1 Suma y resta............................................................................................................................................. 77 3.2 Propiedades de la suma de matrices.............................................................................................. 79 Resumen............................................................................................................................................................................ 81 Investigue en la red..................................................................................................................................................... 81 Autocontrol..................................................................................................................................................................... 82 Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................... 84 Razonamiento lógico ................................................................................................................................................ 85 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................................................... 86 Semana 6 Multiplicación de matrices........................................................................................... 87 ¡Para comenzar! El ajedrez y la leyenda de Sisa................................................................................................ 88 El mundo de la matemática 1. Multiplicación de matrices............................................................................................................................ 89 1.1 Producto de un número real por una matriz............................................................................... 89 1.2 Producto de matrices............................................................................................................................ 91 Resumen............................................................................................................................................................................ 95 Investigue en la red..................................................................................................................................................... 95 Autocontrol..................................................................................................................................................................... 96 Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................... 98 Razonamiento lógico ................................................................................................................................................ 99 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................................................... 100 Matemática − Índice III Semana 7 Sucesiones matemáticas................................................................................................ 101 ¡Para comenzar! La sucesión de Fibonacci........................................................................................................... 102 El mundo de la matemática 1. Sucesiones matemáticas................................................................................................................................ 103 1.1 Sucesiones aritméticas......................................................................................................................... 103 1.2 Sucesiones geométricas...................................................................................................................... 107 Resumen............................................................................................................................................................................ 111 Investigue en la red..................................................................................................................................................... 111 Autocontrol..................................................................................................................................................................... 112 Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................... 114 Razonamiento lógico ................................................................................................................................................ 115 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................................................... 116 Semana 8 Repaso: semanas 1 a 7..................................................................................................... 117 El mundo de la matemática Lógica I......................................................................................................................................................................... 119 Lógica II........................................................................................................................................................................ 121 Números reales......................................................................................................................................................... 123 Números complejos................................................................................................................................................ 125 Suma y resta de matrices...................................................................................................................................... 127 Multiplicación de matrices.................................................................................................................................... 129 Sucesiones matemáticas........................................................................................................................................ 131 Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................... 133 Orientaciones sobre la prueba parcial............................................................................................................... 134 Semana 9 Potenciación de expresiones algebraicas................................... 135 ¡Para comenzar! Repaso de la potenciación de números reales.................................................................. 136 El mundo de la matemática 1. Reglas de la potenciación.............................................................................................................................. 137 1.1 Regla del exponente cero................................................................................................................... 137 1.2 Regla del producto de potencias con igual base....................................................................... 137 1.3 Regla del cociente de potencias de igual base........................................................................... 138 1.4 Regla de una potencia elevada a otra potencia ........................................................................ 138 1.5 Regla de la potencia de una fracción algebraica ...................................................................... 138 1.6 Regla del exponente negativo........................................................................................................... 140 2. Simplificación de expresiones algebraicas.............................................................................................. 141 IV IGER − Polochic Resumen............................................................................................................................................................................ 143 Investigue en la red..................................................................................................................................................... 143 Autocontrol..................................................................................................................................................................... 144 Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................... 148 Razonamiento lógico.................................................................................................................................................. 149 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................................................... 150 Semana 10 Radicación de expresiones algebraicas.......................................... 151 ¡Para comenzar! Igual número de filas y columnas......................................................................................... 152 El mundo de la matemática 1. Reglas de los radicales.................................................................................................................................... 153 2. Conversión de una raíz a una potencia fraccionaria .......................................................................... 154 3. Radicales semejantes....................................................................................................................................... 155 3.1 Suma y resta de radicales semejantes............................................................................................ 155 3.2 Multiplicación de radicales................................................................................................................. 156 3.3 División de radicales.............................................................................................................................. 158 3.4 Eliminación de factores en los radicales........................................................................................ 159 4. Racionalización de denominadores .......................................................................................................... 160 Resumen............................................................................................................................................................................ 162 Investigue en la red..................................................................................................................................................... 162 Autocontrol..................................................................................................................................................................... 163 Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................... 166 Razonamiento lógico.................................................................................................................................................. 167 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................................................... 168 Semana 11 Operaciones polinomiales............................................................................................. 169 ¡Para comenzar! La importancia del álgebra...................................................................................................... 170 El mundo de la matemática 1. Polinomios........................................................................................................................................................... 171 1.1 Clasificación de los polinomios......................................................................................................... 171 2. Suma y resta de polinomios......................................................................................................................... 172 3. Multiplicación de polinomios....................................................................................................................... 174 3.1 Multiplicación de un número por un polinomio........................................................................ 174 3.2 Multiplicación de un monomio por un polinomio.................................................................... 174 3.3 Multiplicación entre polinomios....................................................................................................... 175 4. División de un polinomio entre un monomio....................................................................................... 176 Matemática − Índice V Resumen............................................................................................................................................................................ 177 Investigue en la red..................................................................................................................................................... 177 Autocontrol..................................................................................................................................................................... 178 Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................... 180 Razonamiento lógico.................................................................................................................................................. 181 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................................................... 182 Semana 12 Productos notables..................................................................................................................... 183 ¡Para comenzar! Al-Jwarizmi, el creador del álgebra...................................................................................... 184 El mundo de la matemática 1. Productos notables........................................................................................................................................... 185 1.1 Cuadrado de la suma de un binomio (a + b)2.............................................................................. 185 1.2 Cuadrado de la diferencia de un binomio (a – b)2..................................................................... 186 1.3 Producto de la suma por la diferencia (a + b)(a – b)................................................................. 186 1.4 Producto de dos binomios con un término común y signos iguales................................ 187 1.5 Cubo de la suma de un binomio (a + b)3....................................................................................... 189 1.6 Cubo de la diferencia de un binomio (a – b)3.............................................................................. 190 Resumen............................................................................................................................................................................ 191 Investigue en la red..................................................................................................................................................... 191 Autocontrol..................................................................................................................................................................... 192 Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................... 194 Razonamiento lógico.................................................................................................................................................. 195 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................................................... 196 Semana 13 Factorización I........................................................................................................................................ 197 ¡Para comenzar! Factores primos............................................................................................................................ 198 El mundo de la matemática 1. Factorización de polinomios......................................................................................................................... 199 1.1 Factor común monomio...................................................................................................................... 199 1.2 Factor común por agrupación de términos................................................................................. 201 1.3 Trinomio cuadrado perfecto.............................................................................................................. 203 1.4 Diferencia de cuadrados...................................................................................................................... 205 Resumen............................................................................................................................................................................ 207 Investigue en la red..................................................................................................................................................... 207 Autocontrol..................................................................................................................................................................... 208 Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................... 210 Razonamiento lógico.................................................................................................................................................. 211 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................................................... 212 VI IGER − Polochic Semana 14 Factorización II..................................................................................................................................... 213 ¡Para comenzar! Karl Friedrich Gauss, el príncipe de los matemáticos..................................................... 214 El mundo de la matemática 1. Trinomio de la forma x2 + bx + c................................................................................................................... 215 2. Trinomio de la forma ax2 + bx + c................................................................................................................ 217 3. Suma de cubos a3 + b3..................................................................................................................................... 219 4. Diferencia de cubos a3 – b3............................................................................................................................ 220 Resumen............................................................................................................................................................................ 221 Investigue en la red..................................................................................................................................................... 221 Autocontrol..................................................................................................................................................................... 222 Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................... 224 Razonamiento lógico.................................................................................................................................................. 225 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................................................... 226 Semana 15 Fracciones algebraicas I................................................................................................... 227 ¡Para comenzar! Recordemos las operaciones con fracciones...................................................................... 228 El mundo de la matemática 1. Fracciones algebraicas.................................................................................................................................... 229 1.1 Simplificación de fracciones algebraicas....................................................................................... 229 1.2 Multiplicación de expresiones algebraicas................................................................................... 231 1.3 División de fracciones algebraicas................................................................................................... 233 Resumen............................................................................................................................................................................ 235 Investigue en la red..................................................................................................................................................... 235 Autocontrol..................................................................................................................................................................... 236 Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................... 238 Razonamiento lógico.................................................................................................................................................. 239 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................................................... 240 Semana 16 Fracciones algebraicas II................................................................................................. 241 ¡Para comenzar! Recordemos la suma y resta de fracciones......................................................................... 242 El mundo de la matemática 1. Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador................................................... 243 2. Suma y resta de fracciones algebraicas con diferente denominador........................................... 245 3. Fracciones complejas....................................................................................................................................... 247 Resumen............................................................................................................................................................................ 250 Matemática − Índice VII Investigue en la red..................................................................................................................................................... 250 Autocontrol..................................................................................................................................................................... 251 Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................... 254 Razonamiento lógico.................................................................................................................................................. 255 Desarrolle nuevas habilidades............................................................................................................................... 256 Semana 17 Repaso: semanas 9 a 16................................................................................................ 257 El mundo de la matemática Potenciación de expresiones algebraicas........................................................................................................ 259 Radicación de expresiones algebraicas........................................................................................................... 261 Operaciones polinomiales.................................................................................................................................... 263 Productos notables.................................................................................................................................................. 265 Factorización I............................................................................................................................................................ 267 Factorización II........................................................................................................................................................... 269 Fracciones algebraicas I......................................................................................................................................... 271 Fracciones algebraicas II........................................................................................................................................ 273 Agilidad de cálculo mental...................................................................................................................................... 275 Orientaciones sobre la prueba final.................................................................................................................... 276 Claves ................................................................................................................................................................ 277 Taller matemático Prueba A..................................................................................................................................................................... 299 Prueba B...................................................................................................................................................................... 307 Bibliografía .................................................................................................................................................... 313 VIII IGER − Polochic ¡Bienvenida y bienvenido! Iniciamos con entusiasmo el curso de matemática de 4.° bachillerato. Este libro corresponde al primer semestre del grupo Polochic y consta de diecisiete semanas, en las que se desarrollarán cinco competencias marcadas por el Currículo Nacional Base (Cnb). El curso está estructurado de tal forma que los contenidos son graduales y dosificados para fortalecer y enriquecer las ramas siguientes: • Aritmética: permite realizar operaciones aritméticas con los números reales. • Álgebra: ayuda a leer, operar y representar información en el lenguaje simbólico de la matemática. • Geometría: refiere las propiedades de las figuras geométricas como áreas y volúmenes de polígonos. También relaciona las propiedades entre rectas. • Trigonometría: esta rama de la matemática se encarga del estudio de los lados y ángulos de triángulos rectángulos, a través de las razones trigonométricas. • Cálculo diferencial e integral: permite relacionar las funciones y sus diferentes aplicaciones como razón de cambio. Antes de entrar al detalle de las competencias para este curso, observemos la portada. El mundo de la portada nos recuerda que somos parte del planeta Tierra y que en él, la matemática es una herramienta que nos ayuda a descubrir, aprender y disfrutar las artes y la cultura. Los números mayas nos recuerdan que pertenecemos a un pueblo multiétnico e intercultural, con un conocimiento matemático que debemos valorar y conservar. La mano dando un clic nos invita a explorar, descubrir y compartir conocimientos con el resto del mundo a través de internet. La imagen de un grupo de manos alrededor de un corazón nos habla de establecer relaciones con las personas que nos rodean. –1 = i 5 y 4 3 2 1 0 1 2 3 4 x Matemática − ¡Bienvenida y bienvenido! 1 ¿Cómo alcanzará las competencias matemáticas? Nos enfocaremos en cinco competencias específicas. Para saber si las ha alcanzado, el Currículo Nacional Base propone indicadores de logro, estos criterios son como un termómetro que mide su desempeño en cada competencia. Iremos avanzando paso a paso. Vaya fijándose qué secciones del libro hacen posible que usted desarrolle cada competencia que presentamos a continuación. Sección del libro Produce patrones aritméticos, algebraicos y geométricos aplicando propiedades, relaciones, figuras geométricas, símbolos y señales de fenómenos naturales, sociales y culturales. ¡Para comenzar! X El mundo de la matemática X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 X X X Investigue en la red X X X X X X X X X Resumen X X X X X X X Autocontrol X Agilidad de cálculo mental X X X X X X X Razonamiento lógico Desarrolle nuevas habilidades 2 Semana Competencia 1 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Semana Competencia 2 Sección del libro Resuelve situaciones, problemas de carácter formal que demandan el dominio del pensamiento lógico matemático y las operaciones matemáticas de aritmética y álgebra en los conjuntos numéricos reales y complejos. ¡Para comenzar! X X X X X El mundo de la matemática X X X X X X X X X X X X X X X X X IGER − Polochic 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 X X Resumen Investigue en la red X X X Autocontrol X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Agilidad de cálculo mental X X X X X X X X X Razonamiento lógico X X X X X Desarrolle nuevas habilidades X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Competencia 3 Sección del libro Aplica conocimientos sobre funciones, matrices, geometría y vectores, en situaciones que promueven el mejoramiento y transformación del medio natural, social y cultural de su contexto. Semana 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ¡Para comenzar! El mundo de la matemática X X X Resumen Investigue en la red X X Autocontrol Agilidad de cálculo mental Razonamiento lógico Desarrolle nuevas habilidades Semana Competencia 4 Sección del libro Utiliza técnicas de sucesiones y series para interpretar hechos sociales, económicos y geográficos. ¡Para comenzar! X El mundo de la matemática X X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 X Resumen Investigue en la red X X Autocontrol Agilidad de cálculo mental Razonamiento lógico X Desarrolle nuevas habilidades X Matemática − ¡Bienvenida y bienvenido! 3 Competencia 5 Sección del libro Emplea las teorías de geometría y trigonometría para interpretar informaciones y elaborar informes sobre situaciones reales. Semana 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ¡Para comenzar! X El mundo de la matemática Resumen Investigue en la red Autocontrol Agilidad de cálculo mental Razonamiento lógico Desarrolle nuevas habilidades X X X X X X X X X Con su esfuerzo, podrá conquistar estas competencias a través de tres tipos de contenidos: Declarativos: Los contenidos declarativos le aportarán el conocimiento de los distintos aspectos teóricos, conceptuales y científicos del área. Procedimentales: Como indica su nombre, los contenidos procedimentales se desarrollarán a base de ejercicios, procedimientos o análisis de problemas en los cuales pueda demostrar el dominio y la puesta en práctica de los conocimientos declarativos. Actitudinales: Los contenidos actitudinales son todo aquello que tiene que ver con su actitud ante el estudio y ante la vida, en general. En el libro encontrará actividades y reflexiones sobre situaciones cotidianas donde interviene la matemática. 4 IGER − Polochic ¡Conozcamos nuestro libro! ÌQGLFH ÌQGLFH Este libro comienza con un índice de contenidos generales y termina con las claves o soluciones de los ejercicios. ¤%LHQYHQLGD\ELHQYHQLGR 6HPDQD /yJLFD, ¤3DUDFRPHQ]DU(OFXP SOHDxRVGH$OHMDQGUD (OPXQGRGHODPDWHP iWLFD /yJLFDSURSRVLFLRQDO 3URSRVLFLRQHVVLPSOHV 1HJDFLyQOyJLFD a /yJLFDGHSUHGLFDGRV &XDQWLÀFDGRUX QLYHUVDO &XDQWLÀFDGRUH [LVWHQFLDO 5HVXPHQ $XWRFRQWURO $JLOLGDGGHFiOFXORPHQWDO 5D]RQDPLHQWROyJLFR 'HVDUUROOHQXHYDVKDEL OLGDGHV Usar las claves con responsabilidad le permitirá desarrollar autonomía en su aprendizaje. Cada semana contiene cuatro secciones principales. Hagamos un recorrido: , 6HPDQD /yJLFD,, ¤3DUDFRPHQ]DU/RVFR QHFWLYRV (OPXQGRGHODPDWHP iWLFD 3URSRVLFLRQHVFRPSXHV WDV &RQHFWLYRVOyJLFRV &RQMXQFLyQ 'LV\XQFLyQ &RQGLFLRQDO o %LFRQGLFLRQDO l 5HJODVGHORVFRQHFWLYRV OyJLFRV 5HJODGHODFRQ MXQFLyQ 5HJODGHODGLV\ XQFLyQ 5HJODGHOFRQG LFLRQDO 5HJODGHOELFRQ GLFLRQDO 5HVXPHQ ,QYHVWLJXHHQODUHG 0DWHPiWLFDîÌQGLFH , \ [ [ ± L Portada \ U La portada de cada semana, como la del periódico, indica el número de la semana y anuncia el título del tema que estudiará. \ FD, [ ± L /yJL [ \ U Debajo del título verá este apartado. Le servirá de ruta para saber qué encontrará: lectura, contenidos y actividades. Siempre se presentan cuatro secciones en el mismo orden. DVHPDQD" ¢4XpHQFRQWUDUiHVW HMDQGUD (OFXPSOHDxRVGH$O /yJLFD, iHVWDVHPDQD" ¢4XpHQFRQWUDU /yJLFDSURSRVLFLR QDO UD (OFXPSOHDxRVGH$OHMDQG RQHV O LFDFLRQHV\GLYLVL VLFLRQD SURSR OWLSO PX /yJLFD FRQ FXOR FiO GGH OLGD $JL V\GLYLVLRQHV iOFXORFRQPXOWLSOLFDFLRQH $JLOLGDGGHF 3UREOH 3UREOHPDVGHOyJLFD PDVGHOyJLFD (VWDVHPDQDORJUDUi JLFD FDPSRGHHVWXGLRGHODOy (VWDVHPDQDORJUDUi LUSURSRVLFLRQHVVLPSOHV 9 ,GHQWLILFDU\FRQVWUX GHUHO 9 &RQRFHU\FRPSUHQ OHV JLFD VVLPS DOy VLFLRQH GHO SURSR GLR GDGGH GHYHU HVWX GH PSR OFDYDORU 9 'HWHUP HUHLQDUHO UHQG 9 &RQRFHU\FRPS 9 (MHUFLWDUODQHJDFLyQGHSURSRVLFLRQHVVLPSOHV RUHV SOHV WLILFDG VLP HFXDQ QHV OXVRG WLFDUH VLFLR RSR\SUDF &RPSUHQGHU 9 LUSU DJLOLGDG 9 ,GHQWLILFDU\FRQVWUX HVDULWPpWLFDVEiVLFDVFRQ 9 5HVROYHURSHUDFLRQ QHVVLPSOHV VLFLR RSR GHYHUGDGGHSU 9 'HWHUPLQDUHOYDORU9 SOHV QGHSURSRVLFLRQHVVLP 0DWHPiWLFDî6HPDQD 9 (MHUFLWDUODQHJDFLy GRUHV ILFD HFXDQWL VRG HOX LFDU UDFW \S 9 &RPSUHQGHU QDJLOLGDG VDULWPpWLFDVEiVLFDVFR 9 5HVROYHURSHUDFLRQH Logros de la semana A continuación aparecen los logros o resultados que alcanzará al finalizar el estudio de cada semana. 9 0DWHPiWLFDî6HPDQD La lista termina con una línea para que usted escriba su logro personal. Matemática − ¡Bienvenida y bienvenido! 5 ¡Para comenzar! Para entrar en el tema Un trampolín ayuda a los clavadistas a tomar altura y entrar con suavidad en el agua. ¤3DUDFRPHQ]DU (OFXPSOHDxRVGH$OHMDQGUD 9HDPRV\VROXFLRQHPRVXQSHTXHxRSUREOHPDHPS OHDQGRQXHVWUDOyJLFD VGHPDWHPiWLFDVGH$VLD\ (OVLJXLHQWHHMHUFLFLRIXHSODQWHDGRHQODVROLPSLDGD VXVQHXURQDV\UHVXpOYDOR 6LQJDSXUHQDEULOGH/pDORSRQJDDWUDEDMDU GH $OHMDQGUD \ TXLHUHQ VDEHU DPLJRV KDFHU GH DFDEDQ VH %HUQDUGR \ $OEHUWR FXiQGRHVVXFXPSOHDxRV La sección ¡Para comenzar! nos propone: • recordar conocimientos previos, $OHMDQGUDOHVGDXQDOLVWDFRQSRVLEOHVIHFKDV • conocer datos curiosos relacionados con el tema, • presentar la vida de matemáticos destacados. PD\R PD\R MXQLR MXQLR MXOLR MXOLR DJRVWR DJRVWR PD\R DJRVWR SHUR SRU VHSDUDGR D /XHJR $OHMDQGUD OHV GLFH OD IHFKD GH VX FXPSOHDxRV $OEHUWROHGLFHHOPHV\D%HUQDUGRHOGtD $PERVMyYHQHVVHSODQWHDQODVLJXLHQWHLQIRUPDFLyQ $OEHUWR 1R VpFXiQGRHVHOFXPSOHDxRVGH$OHMD %HUQDUGRWDPSRFRORVDEH QGUDSHURVpTXH OHDxRVGH$OHMDQGUD %HUQDUGR $OSULQFLSLRQRVDEtDFXiQGRHUDHOFXPS SHURDKRUD\DORVp $OEHUWR (QWRQFHV\RWDPELpQVpFXiQGRHVVXFXP SOHDxRV $GDSWDGRGHJRRJO) *M[ ¤$WUDEDMDU XLHQWHV &RQODLQIRUPDFLyQGDGDUHVSRQGDODVSUHJXQWDVVLJ ¢&XiQGRHVHOFXPSOHDxRVGH$OHMDQGUD" DPLHQWR" ([SOLTXHFyPRKDOOyODUHVSXHVWD¢FXiOIXHVXUD]RQ Esta actividad servirá "de acceso" y nos ayudará a entrar con suavidad en el tema. (OPXQGRGHODPDWHPiWLFD ,*(5î3RORFKLF 0DWULFHV 6H QRPEUD PDWUL] D WRGR FRQMXQWR GH Q~PHURV R H[SUHVLRQHV GLVSXHVWRV HQ IRUPDUHFWDQJXODUIRUPDQGRÀODV\FROXPQDV HVWRTXLHUHGHFLUTXHHOVXGRNX FRQTXHQRVHQWUHWHQtDPRVHQODVHFFLyQDQWHULRUHVXQDPDWUL] El mundo de la matemática (O RUGHQ R GLPHQVLyQ GH XQD PDWUL] VH GHWHUPLQD SRU VX Q~PHUR GH ÀODV \ FROXPQDV8QDPDWUL]GHGLPHQVLyQPïQWLHQHPÀODV\QFROXPQDV El propósito de esta sección es aprender, practicar y aplicar los fundamentos de la matemática. Conoceremos especialmente los principios de la lógica, la aritmética y el álgebra. 'HHVWDIRUPDXQDPDWUL]SXHGHVHUGHRUGHQ ï ÀODV\FROXPQDV ï (OPXQGRGHODPDWHPiWLFD ÀODV\FROXPQDV HWF6LODPDWUL]WLHQHHOPLVPRQ~PHURGHÀ ODVTXHGH FROXPQDV GHFLPRV TXH HV XQD PDWUL] FXDGUDGD \ VH GHQRPLQD GH RUGHQ 0DWULFHV 6H QRPEUD PDWUL] D WRGR FRQMXQWR GH Q~PHURV R H[SUHVLRQHV GLVSXHVWRV HQ IRUPDUHFWDQJXODUIRUPDQGRÀODV\FROXPQDV HVWRTXLHUHGHFLUTXHHOVXGRNX &DGDXQRGHORVQ~PHURVTXHFRQIRUPDODPDWUL]VHGHQRPLQDHOHPHQWR8Q FRQTXHQRVHQWUHWHQtDPRVHQODVHFFLyQDQWHULRUHVXQDPDWUL] HOHPHQWR VH GLIHUHQFLD GH RWUR (OSRU OD SRVLFLyQ TXH RFXSD HVSRU GHFLU OD À OD \\ RUGHQ R GLPHQVLyQ GH XQD PDWUL] VH GHWHUPLQD VX Q~PHUR GH ÀODV FROXPQDV8QDPDWUL]GHGLPHQVLyQPïQWLHQHPÀODV\QFROXPQDV OD FROXPQD D OD TXH SHUWHQHFH 'RV PDWULFHV VRQ LJXDOHV VL WLHQHQ OD PLVPD 'HHVWDIRUPDXQDPDWUL]SXHGHVHUGHRUGHQ ï ÀODV\FROXPQDV ï GLPHQVLyQ\ORVHOHPHQWRVTXHRFXSDQHOPLVPROXJDUHQDPEDVVRQLJXDOHV ÀODV\FROXPQDV HWF6LODPDWUL]WLHQHHOPLVPRQ~PHURGHÀODVTXHGH FROXPQDV GHFLPRV TXH HV XQD PDWUL] FXDGUDGD \ VH GHQRPLQD GH RUGHQ 8QHOHPHQWRFXDOTXLHUDGHODPDWUL]TXHVHHQFXHQWUDHQODÀ ODL\HQODFROXPQD &DGDXQRGHORVQ~PHURVTXHFRQIRUPDODPDWUL]VHGHQRPLQDHOHPHQWR8Q FDPHQWHSDUDHQWHQGHUPHMRU MVHGHQRWDSRUDLM9HiPRVORJUiÀ HOHPHQWR VH GLIHUHQFLD GH RWUR SRU OD SRVLFLyQ TXH RFXSD HV GHFLU OD ÀOD \ OD FROXPQD D OD TXH SHUWHQHFH 'RV PDWULFHV VRQ LJXDOHV VL WLHQHQ OD PLVPD $ OHV D DM DQ D GLPHQVLyQ\ORVHOHPHQWRVTXHRFXSDQHOPLVPROXJDUHQDPEDVVRQLJXD D8QHOHPHQWRFXDOTXLHUDGHODPDWUL]TXHVHHQFXHQWUDHQODÀ D DM DQ ODL\HQODFROXPQD MVHGHQRWDSRUD 9HiPRVORJUiÀFDPHQWHSDUDHQWHQGHUPHMRU DL DL DLM D D LQD D D D D D D DD D D D DP DP DPM $ PQ LM M Q M Q L L LM LQ DP DP DPM DPQ 8QDPDWUL]VH QRPEUDFRQXQD OHWUDPD\~VFXOD 8QDPDWUL]VH QRPEUDFRQXQD OHWUDPD\~VFXOD (Q OD PDWUL]GH $ QRWDPRV P ï Q \ VXV HOHPHQWRV HQ ÀODV (Q OD PDWUL] $ QRWDPRV VX GLPHQVLyQ P ïVXQGLPHQVLyQ \ VXVGHHOHPHQWRV HQ ÀODV L L\\ FROXPQDVM FROXPQDVM También encontrará recuadros con recordatorios o explicaciones que enriquecen el contenido y espacios vacíos para hacer anotaciones, escribir ideas importantes, preguntas, etc. (MHUFLFLR (MHUFLFLR (VWDEOH]FDODGLPHQVLyQGHODVPDWULFHVGDGDV\HVFUtEDODHQODOtQHDFRUUHVSRQGLHQWH*XtHVHSRUHO HMHPSOR ± ± ± ± ± ± ± ± ± (VWDEOH]FDODGLPHQVLyQGHODVPDWULFHVGDGDV\HVFUtEDODHQODOtQHDFRUUHVSRQGLHQWH*XtHVHSRUHO ± ± HMHPSOR ï ï ± ± ± ± ± ± 0DWHPiWLFDî6HPDQD ± ± ± ± ± Anote sus dudas y resalte lo que debe recordar o prestar atención. 0DWHPiWLFDî6HPDQD 6 IGER − Polochic Resuelva los ejercicios y repítalos, así fijará en su memoria los conceptos nuevos y le dará seguridad en lo que aprende. (MHUFLFLR FLyQ YRV\KDJDODFRPSDUDFLyQFRQ ODSRWHQFLD HURVSRVLWL $ 5HVXHOYDODVUDtFHVSDUHVGHQ~P 7LHQHXQHMHPSOR ¿Cómo saber que está alcanzando los logros que le llevan a desarrollar las competencias? % 5HVXHOYD ODV UDtFHV LPSDUHV GH Q~PHURV SRWHQFLDFLyQ7LHQHXQHMHPSOR SRVLWLYRV ± ± UDtFHV & $SOLTXH VXV FRQRFLPLHQWRV VREUH *XtHVHSRUHOHMHPSOR ± ± ± ± SDUHV QHJDWLYDV HQ ORV FDVRV VLJXLHQWHV ± L L L ± ± ± ± ± Resolver los ejercicios durante la clase radial con la ayuda de sus maestros locutores le permitirá comprobar si comprende los contenidos propuestos y por lo tanto si va alcanzando los logros. OD \ QHJDWLYRV +DJD OD FRPSDUDFLyQ FRQ Tenga presente que la matemática "entra por el lápiz". Resolver todos los ejercicios y hacerlo cuantas veces sea necesario le ayudará a ir ganando seguridad y agilidad. ± ± ± ,*(5î3RORFKLF 5HVXPHQ 8QDVXFHVLyQ PDWHPiWLFDH VXQFRQMXQWRRUG VHGHQRPLQDW HQDGR GH Q~P pUPLQRHOHP HURV&DGDXQRG HQWRRPLHP ODVXFHVLyQVHOHOO HHVWRVQ~PHURV EUR\DO Q~PHUR DPD´ORQJLWXGµHV WRWDOGHHOHPHQW WDSXHGHVHUILQ RVTXH FRPSRQ 8QDVXFHVLyQ LWDRLQILQLWD H R SURJUHVLyQDUL WPpWLFDHV XQD H[FHSWXDQGR HO VHULHGHQ~PHUR SULP5H VXP HU WpUP VWDOHV TXHFDG LQRHQ VH REWLHQH VXP DQWHULRUDHVWDFDQ DX QR DQG GH R HOOR R UHVWDQGR XQD WLGDGFRQVWDQWH V FDQWLGDG ILMD DO VHOHFRQRFHFRP 8QD VXFHVLyQ WpUPLQR PDWHPiWLFD HVX RGLIHUHQFLD\VH QFRQMXQWRRUGHQ VHGHQRPLQD UHSUHVHQWDFRQODO DGR GHQ~PHURV WpUP LQRHOH DOHWUDG PHQWRR &DGDXQRGHH PLH ODVXFHVLyQVHOHOOD PEUR\D VWRV Q~PHURV OQ~PHURW PD´ORQJLWXGµHVWD RWDO GHHOHPHQWRVTXH SXHGHVHUILQLWDR 8QDVXFHVLyQ FRPSRQH LQILQLWD R SURJUHVLy QDULWPp /DIyUPXOD H[FHSWXDQGR HO SULP WLFD HVX QDVHULH GHQ~PHURVWDOHV GHO HU WpUPLQR VH WpUPLQRJHQH TXH FDGDXQRGH DQWHULRU QH VXPDQGR R DHVWDFDQWLGDGUDO HOORV TXLHUWpUPLQR DXREWLH UHVWDQGR XQD FDQWL QD FRQSDU VXF VWDQWHVH HVLy QD GHXQDVXFHV GDG ILMD DO WpUP ULWPpWLFDQRVS QRFHFRPRGLIHUHQ LQR LyQVLFRQROHFR FLD\VHUHSUHVH HUPLWH FHPRVHOSU DYH QWDFRQODODOH DUFXDO LPHURGHHOORV WUDGULJX \VXGLIHUHQF LD D D Q Q± G 3DUDIDFLOLWDUH /DIyUPXODGH OWpUPLQRJHQ OSURFHVRG HUDO HVX SDUD PD TXLH XQD UOR VXFHVLyQDULWPp IyUPXODVLJXLHQW UWpUPLQRGHXQDVXFHV VHOHPHQW WLFD QRV SHUPLWHD LyQVLFRQRFHPRVGHXQD H VXF HVLyQDULWPYHULJ RVHOSULPHURGH pWLFXDUF DHXDO HOORV\VXGLI PSOHDPRVOD HUHQFLD DQ D Q± G 3DUDIDFLOLWDU HOSURFHVRGHVXP D D DUOR PHQ IyUPXODVLJXLHQWH Q Q V VHOH WRVGHXQDVXFHVLy QDULWPpWLFDHPS OHDPRVOD 8QDVXFHVLy QJHRPpWULFDH V D DQ Q VXQDVXFHVLyQ DODQWHULRUSRUXQ HQODT XH FDG DFD 8QDVX DWp QWLG UPL DG QR FHVLyQJHRPp ILMD VHREWLHQHPXOWL WULFDGHQ LQDG HVXRP QDVX SOLFDQGR FHVLyDUD DODQWHULRUSRUXQD U DGD QHQ]yQ WpUP ODTXHF LQRVHREWLHQHPXO FDQ WLGDGILMD PLQDGDUD]yQ GHQR WLSOLFDQGR U î î /DIyUPXOD î î î î GHO/DIy î îî WpUUPXO PLQ DGH î RJ OWpU HQH PLQR UDO JHQ SDU HUDO DX TXLHUWpUPLQR SDUD QD TXLH XQD VXF VXFH HVLy VLyQ QJ GHUWpU GHX JHR HRP XQPLQR PpWULFD DVX pWULQRV FDQ FHVQDV LyQV SHUP LyQXFHV LFRQRFHPRVH RVS LWHD VLF HUP YHULJ RQR LWH XDUF FHPRVHOSU OSULPHURGHHOOR DYH XDO ULJXDUFXDO LPHURGHHV\O DUD]yQ DQ DU Q± OORV 3DUD \ODUD]yQ Q DU Q± 3DUDIDFLOLWDUHIyUPIDFLOLWDUHOSURFHVRGHVXPD DUORVHOH PHQWRVGHXQDVXF OSUXODV RFHLJXLH QWH VRG HVX HVLyQ PDUORVHOHPHQW JHRPpWULFDHPS IyUPXODVLJXLHQW OHDP RVG RVOD HX H QDVXFHVLyQJHRP pWULFDHPSOHDP V DQ U ²D RVOD U² V DQ U ²D U² Resumen El resumen recoge brevemente todo el contenido de la semana. Esta sección le ayuda a recordar de un golpe de vista, todo lo estudiado. Investigue en la red Internet es un recurso que ya no puede quedar fuera de la vida de un estudiante. Esta sección le sugiere direcciones de internet para ampliar los temas. Para una investigación provechosa: • Refiérase siempre a las instituciones conocidas: universidades, ministerios de educación, organismos mundiales, etc. ,QYHVWLJXHHQO DUHG ,QYHVWLJXHHQ 6L GHVHD VDEHU XQ SRFR PiV VREUH OD VXFHVLyQ VLJXLHQWHV )LERQDFFL OH LQYLW DPRV D TXH YLVLWH ¢4XpHVODVXFH ODV SiJLQDV ZHE VLyQGH)LERQDFFL" /DVHFXHQFLDG JRRJO[OX)'3 H)LERQDFFL JR 6L GHVHD VDEHU3DUD RJOM9R/[W XQFRQ RFHU SRF RPiV VREUHODVSURSLHG PiV VLJXLHQWHV OD VXFDGHV 3URJUHVLRQHVD VREUH GHO HVLy QDVVX )LERFHVLR ULWPpWLFDV JRR QDFQHVD ULWPp FL OH WLFDV LQYL \JH JOE6]1 WDP RPp RV DWULFD VSX TXH HGH YLVL YLVLWD ¢4XpHVODV 3URJUHVLRQHVJHRPpWULFDV JRRJOW* WH U SiJLQDV ODV XFHVLyQGH)LE ZHE ;&R ODUHG RQDFFL"JRRJO[OX /DVHFXHQF )'3 LDGH)LERQDFFL JR RJOM9R/[W 3DUDFRQRFHUP iVVREUHODVSURSL 0DWHPiWLFDî6 HPDQD HGDGHVGHODVVXF 3URJUHVLRQ HVLRQHVDULWPp HVDULWPpWLFDV WLFDV\JHRPpWULF JRRJOE6]1 3URJUHVLRQ DVSXHGHYLVLWDU HVJHRPpWULFDV JRRJOW*;& R • Lea e intente interpretar la información. No se limite a copiar y pegar el texto. 0DWHPiWLFDî6H PDQD • Indique siempre la fuente de consulta que utilizó. • Trate de visitar internet, al menos, una vez por semana. Matemática − ¡Bienvenida y bienvenido! 7 El autocontrol Practicar, practicar y practicar ¿Sabe manejar bicicleta? Si puede hacerlo, sabe que tuvo que practicar mucho y sufrir algún raspón para aprender la técnica y convertirse en un ciclista experto. PHUROHVLUYHGH DGDHQXQFLDGR(OQ~ OHWDFRUUHFWDPHQWHF ODRSFLyQTXHFRPS ' 5HOOHQHHOFtUFXORGH HMHPSOR 9DORUGHYHUGDG RVLFLRQHV IRUPDGD SRU GRV SURS &RQHFWLYRVOyJLFRV /D SURSRVLFLyQ D 3URSRVLFLyQDWyPLFD OODP OHVVH VLPS D 3URSRVLFLyQFRPSXHVW Lo mismo sucede con la matemática. En el autocontrol encontrará dos secciones: 6LPSOH $WyPLFD 'LV\XQFLyQ &RPSXHVWD LWp\ILUPDURQHODFWD F 6HUHXQLyHO&RP URSRVLFLyQ UHVXQHMHPSORGHS (OHQXQFLDGRDQWHULR $XWRFRQWURO $XWRFRQWURO URO / 0 ´6LWUDEDMR LFLyQHV RSRV 0DUTXHFRQXQD;HOFXDGURGHODRSFLyQTXHSUHVHQWDODUHVSXHVWDFRUUHF ODSU SUHQGLG GRHQ VWUHORD VDOWD 'HPXH ମ WDDFDGDSUHJXQWD YRUH $ 5HSDVHPRV HO FRQWHQLGR GH ORVRDSDUWDGRV DQWHULRUHV &RPSOHWH HO VLJXLHQWH RUJDQL]DGRU JUiILFR LGDG QHFWL $FWLY (OFR UHDO \ OD SDUWH HVFULELHQGR OD SDUWH ¢&XiOHVHOH[SRQHQWHHQODH[SUHVLyQ±D " ର FRPSOHWHOD WDEOD 7LHQHXQHMHPSOR /XHJR V FRPSOHMR Q~PHURV ORV FRQW'HPXHVWUHORDSUHQGLGR $XWR $FWLYLGDG $FWLYLGDG 'HPXHVWUHORDSUHQGLGR HQWRQFHVQRVDOJRµ Demuestre lo aprendido Es una serie de ejercicios en los que practicará contenidos básicos con actividades sencillas. $ 2EVHUYH LPDJLQDULDHQFDGDFDVLOOD 3DUWHLPDJLQDULD 3DUWHUHDO 1~PHURFRPSOHMR / 0 &RQHFWLYR ମ 6tPEROR ର Rµ SDUWLG &RQMXQFLyQ UpHO &RQHFWLYR ±L ´,Up\MXJD ¢4XpUHVXOWDGRVHREWLHQHGHODSRWHQFLD " RSRVLFLyQHV YRUHVDOWDGRHQODSU (OFRQHFWL 6tPEROR / ±L ±L D ± ±±L / ¢&XiOHVHOUHVXOWDGRGH ±\ " ±\ WLOODVµ 0 ±\ ´&RPSUDUpSDQRWRU HV LHQWHV7LHQHXQHMHPSOR URVFRPS /RVFRQHFWLYRVOyJLFRVVRQVtPERORVTXHSHUPLWHQ LFLyQOHMRVVLJX ORVQ~PH GRSDUD ODSURSRV OFRQMXJD GRHQ ±\ ମ % (VFULEDH VDOWD YRUH QHFWL (OFR ±\ L ର L ±L ±±L ¢4XpUHVXOWDGRH[SUHVDXQDFRUUHFWDDSOLFDFLyQGHODVUHJODV GHODSRWHQFLDFLyQGHH[SUHVLRQHVDOJHEUDLFDV" ± L VLHQFXHQWUREROHWRµ VROR VL\ p[LFR ´9LDMDUpD0 ±±L ODSURSRVLFLyQHV ±L (OFRQHFWLYRUHVDOWDGRHQ ± L [ ±L ¢&XiOHVHOUHVXOWDGRVLPSOLILFDGRGH " [ ±±L ±L L L &RQHFWLYR &RQHFWLYR HORDSUHQGLGR WLTX XHORDSUHQGLGR 3UDF 3UDFWLT DG LGDG 6tPEROR $FWLY $FWLYLG Practique lo aprendido Le proporciona la práctica de diferentes ejercicios con distintos niveles de dificultad. $ / 0 ମ ର [± ±[ [·[ [ [[ [ [ [ [ [ [ [± YHUGDG 6tPEROR HUGH TXH HO YDORU GH DGDV 5HFX DDEL ¢4XpH[SUHVLyQHVHTXLYDOHQWHDODVLJXLHQWH DDDDD" QHV LQGLF HODIRUP RVLFLR PSOHMRG ~PHURFR ODV SURS PRXQQ HVLyQFR G SDUD YHUGD (VFULEDF $SOHWH WDEOD GH ODDGDH[SU &RP DGRUa WHSRQHHOVLJQRQHJ ± DQGRVHDQ LDFX FDPE ± D D D D aV V aU ± U % 5HSDVHHOVtPERORGHFDGDFRQHFWLYRHVFULEDFyPRVHOODPD\FyPRVHOHH7LHQHXQHMHPSOR aT T aS ±S± ¢4XpH[SUHVLyQHVFRUUHFWD" [ [ \ ± FRQMXQFLyQ VHOHH [ ± ± ±± ± VHOHH ± ± ¢4XpH[SUHVLyQFXPSOHFRQODUHJODGHOH[SRQHQWHFHUR" ± VHOHH ± ± ± ± VHOHH ± ± ± ± =DFXOHX [ [ [\ [\ [\ [\ [\ ,*(5î & ± ,*(5î3RORFKLF /HDFDGDSURSRVLFLyQ\UHOOHQHHOFtUFXORTXHFRUUHVSRQGHDOFRQHFWLYRUHVDOWDGR7LHQHXQHMHPSOR / 0 ମ ର (VWXGLRVL\VRORVLWUDEDMR / 0 ମ ର (VWXGLRRWUDEDMR / 0 ମ ର / 0 ମ ର (VWXGLR\WUDEDMR RFKLF ,*(5î3RO 6LHVWXGLRHQWRQFHVWUDEDMR $JLOLGDGGHFiOFXORPHQWDO 0DWHPiWLFDî6HPDQD VWDFRUUHFWDVREUHODOtQHD DFLRQHVVLJXLHQWHV(VFULEDODUHVSXH PXOWLSOLF $ 5HVXHOYDPHQWDOPHQWHODV FRUUHVSRQGLHQWH ïï ïï ïï ïï ïï ïï ïï ïï ïï ïï ïï ïï ïï ïï ï ï ïï ïï ïï ï ï ïï PXOWLSOLFDFLRQHV % 5HVXHOYDPHQWDOPHQWHODV VREUHODOtQHDFRUUHVSRQGLHQWH ï¸ ï¸ ï¸ ï¸ ï¸ ï ¸ ï¸ ï¸ ï¸ ï¸ ï¸ ï ¸ ï¸ ï ¸ ï¸ ï¸ 8 ,*(5î3RORFKLF IGER − Polochic ïï ïï Agilidad de cálculo mental Pensar rápido, pensar mejor ïï ïï ïï ïï ïï ïï ïï UHVSXHVWDFRUUHFWD \GLYLVLRQHVVLJXLHQWHV(VFULEDOD ï¸ ï¸ ï ï ï¸ ï ¸ Usted necesita dominar el cálculo mental y hacerlo muy rápido. La agilidad y la velocidad de cálculo son dos habilidades muy apreciadas en matemática. Si usted logra realizar operaciones básicas como la multiplicación, división, suma o resta, con agilidad, su cerebro se estará entrenando en pensar de forma ordenada y en hacer conexiones con más facilidad. ï¸ ï¸ ï¸ ï¸ ï¸ ï¸ ï¸ ï ¸ ï¸ ï¸ 5D]RQDPLHQWROyJLFR Razonamiento lógico Resolver problemas $FRQWLQXDFLyQHQFRQWUDUiRQFHtWHPV(QFDGDXQRDSDUHFHQFXDWURÀJXUDVWUHVGHHOODVJXDUGDQXQD UHODFLyQGHDOJ~QWLSR8VWHGGHEHLGHQWLÀFDUODÀJXUDTXHQRHVWiUHODFLRQDGD\FLUFXODUOD*XtHVHSRU HOHMHPSOR(VWDSUXHEDOHD\XGDUiDGHVDUUROODUVXFDSDFLGDGGHDQiOLVLV\UD]RQDPLHQWR Los expertos en educación indican que la resolución de problemas es el mejor camino para desarrollar competencias matemáticas ya que nos obliga a utilizar capacidades como: • leer comprensivamente, • reflexionar, • establecer un plan de trabajo y 'HVDUUROOHQXHY DVKDELOLGDGHV • verificar 3DUDHO que la respuesta es correcta. GHVDUUROORGHOUD]RQ DPLHQWRDEVWUDFWR\ OyJLFR VHHPS OHDQODVSUXHEDV FRQPDWULFHVSXHVUHTXLHUHQHOFRUUH FWRPDQHMRHLGHQWLÀFDFLyQGHORV HOHPHQ WRVTXHIRUPDQODPDWUL]\HODQiOLVL VSDUD GHVFXEULUHOHOHPHQWRTXHVL JXHHO SDWUyQ La sección Razonamiento lógico le ayudará a entre$FRQWLQXDFLyQXVWHGHQFRQWUDUiFX DWURLQFLVRVFR QPDWULFHVGH ï GHEHUi narse y a aplicarHOHJLU los conocimientos matemáticos a la GH HQWUH ODV RSFLRQHV HO HOHPHQWR TXH KDFH IDOWD HQ OD FDVLOOD YDFtD \ FLUFXODUOR resolución de problemas. D F E G D D D E E F F G G D D E E F F G G D F E G 3UDFWLFRODPXOWLSOLFDFLyQGHXQDPDW E ORJUDGR G UL]SRUXQQ~PHURUHDO &RQR]FR\DSOL5HYLVH FRODVUVXDSUH HJODVSQGL]DMH DUDPXOWLSOLFDUPDWULFHVHQWUHVt 0DUTXHF RQXQFKHTXH ODFDVLOODTXHPHMR ULQGLTXHVXUHQGLPLHQWR 3UDFWLFRODPXOW LSOLFDFLyQHQWUHPDWULFHV &RQR]FR\DSOLFROD 'HVSXpVGHHVWXGLDU 'HVSXpVGHHVWXGLDU 0DUTXHFRQXQFKHTXH ODFDVLO ODTXHPHMRULQGLTXHVXUHQGLPLHQWR &RQR]FR\DSOLFRODVUHJODVS DUDPXOWLSOLFDUXQDPDWUL]SRUXQQ~P HUR D F UHDO ,*(5î3RORFKLF 3UDFWLFRO ORJUDGR VUHJODVSDUDPXOWLSOLFDUXQDPDWUL]SRUX QQ~PHUR UHDO DPXOWLSOLFDFLyQGHXQDPDWUL]SRUXQ Q~PHURUHDO &RQR]FR\DSOLFRODVUHJODVSDUDPXOWLS E F E F E G G G F G F G D E D E F G D E F G D E F G D E F G D E F G E F G Revise su aprendizaje 5HYLVHVXDSUHQGL]DMH F La sección Desarrolle nuevas habilidades que supone un reto porque debe aplicar su ingenio para adquirir nuevas destrezas. Para ello, debe combinar sus conocimientos previos con los que aprendió durante la semana. HUi HOHJLU GH HQWUH ODV RSFLRQHV HO HOHPHQWR TXH KDFH IDOWD HQ OD FDVLOOD YDFtD \ FLUFXODUOR D Desarrolle nuevas habilidades F $FRQWLQXDFLyQXVWHGHQFRQWUDUiFXD WURLQFLVRVFRQPDWULFHVGH ï GHE D E 0DWHPiWLFDî6HPDQD 3DUDHOGHVDUUROORGHOUD]RQDPLHQWRD EVWUDFWR\OyJLFRVHHPSOHDQODVSUXHE DV FRQPDWULFHVSXHVUHTXLHUHQHOFRUUHF EWRPDQHMR HLGHQWLÀFDFLyQG G HORVHOHPHQ WRVTXHIRUPDQODPDWUL]\HODQiOLV LVSDUDGHVFXEULUHOHOHPHQWRTXHVLJX HHO SDWUyQ D D 'HVDUUROOHQXHYDVKDELOLGDGHV D HQ QR SURFHVR ORJUDGR HQ QR SURFHVR ORJUDGR En este apartado le proponemos que haga un alto y reflexione sobre su aprendizaje. Es muy importante que usted mismo evalúe sus logros y determine qué necesita mejorar. Conteste con toda sinceridad y, posteriormente, consulte con su tutor las dudas que tenga. OLFDUPDWULFHVHQWUHVt 3UDFWLFRODPXOWLSOLFDFLyQHQWUHPDWULF HV ,*(5î3RORFKLF 7DOOHUPDWHPiWLFR Por último, al final del libro, está la sección Taller matemático que le prepara poco a poco para la prueba de graduandos que realiza el Ministerio de Educación. URKDVWDLQÀQLWR" VSRVLWLYRVGHFH RQMXQWRGHORVQ~PHURVHQWHUR ¢4XpQRPEUHUHFLEHHOF F 1HJDWLYRV E 5DFLRQDOHV D 1DWXUDOHV ODPXOWLSOLFDFLyQ" ¢&XiOHVHOHOHPHQWRQHXWURHQ E D G ,UUDFLRQDOHV D G F ± ¢TXpSURSLHGDGHMHPSOLÀFD" /DH[SUHVLyQ F DVRFLDWLYD E GLVWULEXWLYD D FRQPXWDWLYD G FODXVXUDWLYD ~PHURSULPR" ¢&XiOGHORVVLJXLHQWHVHVXQQ E D F G ¢4XpYDORUGHEHWHQHUDSDUDT E D F G " ¢&XiOHVHOYDORUDEVROXWRGH± E _±_ D _±_ F _±_ G _±_ ± XHD " YRGH " ¢&XiOHVHOLQYHUVRPXOWLSOLFDWL E F G ² D ± Matemática − ¡Bienvenida y bienvenido! VHVLUUDFLRQDO" ¢&XiOGHORVQ~PHURVVLJXLHQWH D « E « F « G « 9 Libro, clase radial y círculo de estudio ¡Su equipo de trabajo! El libro, con ser una buena herramienta, no lo es todo. Para que usted alcance el nivel de competencia deseado, nuestro sistema pone a su disposición: el libro, la clase radial y la invitación a participar en un círculo de estudio. • El libro cumple cuatro funciones: a. Texto, en el que encuentra la información y el desarrollo de los contenidos a estudiar. Falta cambiar portadita b. Pizarrón, para que durante la clase radial subraye ideas importantes o realice distintas actividades. c. Cuaderno de trabajo, con ejercicios para practicar lo aprendido. d. Herramienta de autoevaluación, cuando resuelve su autocontrol cada semana. • La clase radial tiene como función principal explicar y facilitar la comprensión de los temas tratados en el libro. Puede escuchar la clase radial en una emisora de su localidad, descargarlas en nuestra página www.iger.edu.gt o adquirirlas en cd en la coordinación regional. • El círculo de estudio es el lugar para compartir y aprender juntos. Aproveche estos recursos y apóyese en personas de su comunidad para resolver sus dudas. 10 IGER − Polochic Nuestra metodología paso a paso Para facilitar su aprendizaje y aprovechar más y mejor el estudio cada semana, siga estos pasos. ¡No se salte ninguno! 1 Lea el contenido de la semana 2 Escuche la clase radial Con los 5 sentidos Leer el contenido nos permite tener una idea general del tema: qué sabemos, con qué lo relacionamos, etc. Este primer contacto también nos hará caer en la cuenta del esfuerzo a realizar para aprender lo nuevo y nos pondrá "en onda" para la clase radial. La clase radial es nuestra maestra. De ahí que el programa se llame "El Maestro en Casa". Las maestras y maestros locutores explican el contenido, proponen ejercicios y otros ejemplos para ampliar el tema. 3 Después de la clase radial, su trabajo personal Estudio y autocontrol Finalizada la clase radial es el momento de su trabajo personal. Distribuya su tiempo: es mejor un poco cada día, que todo la víspera. 4 Consulte sus dudas Un estudiante inteligente sabe cuándo pedir ayuda Consulte los temas que no le han quedado claros en otros libros, en internet, con familiares o amigos. Seguro que encontrará personas dispuestas a ayudarle. 5 Participe en un círculo de estudio Aprender juntos Póngase de acuerdo con otros estudiantes y organicen un círculo de estudio. Soliciten la ayuda de alguna persona voluntaria de la comunidad. Eso les ayudará a resolver dudas y reforzar lo aprendido. Además, tendrán la oportunidad de intercambiar aprendizajes, ideas y sentimientos. Recuerde que siempre puede acudir a su tutor asignado. Matemática − ¡Bienvenida y bienvenido! 11 ¿Cómo aprovechar mejor su estudio? • Busque un lugar cómodo y con buena iluminación. Es importante que se aleje del ruido y de las distracciones. • Elija un horario para trabajar y estudiar. La constancia y la disciplina son sus mejores compañeras de estudio. • Lea con atención las instrucciones de los ejercicios antes de resolverlos. • Consulte sus dudas con otras personas de su comunidad que puedan ayudarle. 12 IGER − Polochic 5 y 4 3 2 1 0 1 x2 2 3 + y2 4 x 1 –1 = i = r2 Lógica I ¿Qué encontrará esta semana? El cumpleaños de Alejandra Lógica proposicional Agilidad de cálculo con multiplicaciones y divisiones Problemas de lógica Esta semana logrará: Conocer y comprender el campo de estudio de la lógica. Identificar y construir proposiciones simples. Determinar el valor de verdad de proposiciones simples. Ejercitar la negación de proposiciones simples. Comprender y practicar el uso de cuantificadores. Resolver operaciones aritméticas básicas con agilidad. Matemática − Semana 1 13 ¡Para comenzar! El cumpleaños de Alejandra Veamos y solucionemos un pequeño problema empleando nuestra lógica. El siguiente ejercicio fue planteado en las olimpiadas de matemáticas de Asia y Singapur, en abril de 2015. Léalo, ponga a trabajar sus neuronas y resuélvalo: Alberto y Bernardo se acaban de hacer amigos de Alejandra y quieren saber cuándo es su cumpleaños. Alejandra les da una lista con 10 posibles fechas: mayo 15 mayo 16 junio 17 junio 18 julio 14 julio 16 agosto 14 agosto 15 mayo 19 agosto 17 Luego, Alejandra les dice la fecha de su cumpleaños, pero por separado: a Alberto le dice el mes y a Bernardo, el día. Ambos jóvenes se plantean la siguiente información: • Alberto: "No sé cuándo es el cumpleaños de Alejandra, pero sé que Bernardo tampoco lo sabe". • Bernardo: "Al principio no sabía cuándo era el cumpleaños de Alejandra, pero ahora ya lo sé". • Alberto: "Entonces, yo también sé cuándo es su cumpleaños". Adaptado de goo.gl/2F9Gjx ¡A trabajar! Con la información dada, responda las preguntas siguientes. 1) ¿Cuándo es el cumpleaños de Alejandra? 2) Explique cómo halló la respuesta, ¿cuál fue su razonamiento? 14 IGER − Polochic El mundo de la matemática 1. Lógica proposicional Antes de iniciar, recordemos que con la ayuda de la lógica estudiamos los razonamientos y deducimos conclusiones a partir de supuestos planteados. Una rama de la ciencia anterior es la lógica proposicional, que estudia enunciados y evalúa su nivel de verdad, es decir, determina si lo que se afirma es falso o verdadero. 2. Proposiciones simples Los enunciados que estudia la lógica proposicional se denominan proposiciones, estas pueden tomar dos valores lógicos o de verdad: verdadero o falso. Si no podemos concluir si un enunciado es falso o verdadero, entonces no es una proposición. Las proposiciones simples son aquellas que no se pueden dividir sin afectar su sentido. Se representan utilizando letras minúsculas. Veamos unos ejemplos: q: Yo nací en Huehuetenango. r: Guatemala es parte de Centroamérica. w: Los mamíferos son vivíparos. Como vemos, q, r y w son proposiciones simples porque no se pueden separar. En todas se puede evaluar su valor de verdad, en la primera, puede ser falso o verdadero, dependiendo si la persona nació en Huehuetenango o en algún otro lugar. Mientras tanto, la segunda y la tercera proposición toman el valor lógico de verdadero. No todos los enunciados son proposiciones. Como mencionamos anteriormente, si no podemos determinar el valor lógico de una oración, no es una proposición. Esto sucede comúnmente en enunciados imperativos, de pregunta o aquellos que presentan un juicio de valor. Veamos algunas frases que no son proposiciones: ¡No tire basura en la calle! ¿Qué estoy haciendo? Juicio de valor: enunciado que expresa una opinión subjetiva. Es importante estar en la reunión. Como vemos, a los enunciados anteriores no se les puede determinar un valor lógico. Matemática − Semana 1 15 Ejercicio 1 A. Lea las oraciones siguientes. Luego, marque con una "X" el cuadro, según sea una proposición o no. Le damos un ejemplo. Sí No 0) Guatemala es parte de América. x 1) ¿Qué hora es? 2) Por favor, avísale a él. 3) 2 es un divisor de 14. 4) Miguel Ángel Asturias fue un escritor. 5) ¿Qué música escucha? 6) El té es mejor que el café. 7) El azul es un color secundario. 8) El amarillo es un color primario. 9) La Tierra es plana. 10) Leer es muy importante. B. Ahora es su turno. Piense y escriba en las líneas siguientes ocho proposiciones. Luego, determine su valor lógico colocando una V (verdadero) o una F (falso) en el espacio a la derecha. Guíese por el ejemplo. 0) 16 Las mariposas pueden volar grandes distancias. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) IGER − Polochic V 2.1 Negación lógica (~) La negación lógica es una operación de proposiciones que consiste en invertir el valor de verdad de una proposición utilizando una negación. Se representa antecediendo a una proposición el símbolo ~. Veamos unos ejemplos: p: La Tierra gira alrededor del Sol. V Es correcto porque el Sol es el centro del Sistema Solar y alrededor de él giran los planetas. ~p: No es cierto que la Tierra gira alrededor del Sol. F La negación de la proposición p es falsa. El valor lógico se invierte. g: Petén se encuentra al sur del país. F La proposición g es falsa, porque Petén es el departamento que se encuentra más al norte del país. ~g: Petén no se encuentra al sur del país. V La negación de g es verdadera. De nuevo, el valor lógico se invierte. La lógica es esencial para la programación de computadoras y dispositivos tecnológicos. Ejercicio 2 Lea las proposiciones siguientes. Luego, escriba la negación de cada una en la línea correspondiente. Recuerde escribir la negación en forma simbólica y el valor de verdad que toma la proposición. Le damos un ejemplo. 0) t: La lluvia cae del cielo. V ~t: La lluvia no cae del cielo. F 1) j: El agua del mar es dulce. F 2) p: En el aire hay oxígeno. V 3) v: Una bicicleta tiene dos ruedas. V 4) s: Los rayos de sol dan calor. V 5) r: Las rocas son seres vivos. F Matemática − Semana 1 17 3. Lógica de predicados La lógica de predicados permite hacer afirmaciones con respecto a relaciones entre objetos que satisfacen elementos de un conjunto universo establecido. En esta lógica se emplean los cuantificadores, los cuales son símbolos utilizados para establecer cuántos elementos de un conjunto determinado cumplen con cierta propiedad. Los cuantificadores permiten la construcción de proposiciones a partir de funciones proposicionales, es decir, de juicios que establecen parámetros con los cuales deben cumplir los elementos de un conjunto universo. Los cuantificadores más utilizados son el universal y el existencial. 3.1 Cuantificador universal (∀) Se emplea para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con una condición o parámetro determinado. Se representa con el símbolo ∀ y se lee "para todo…". Veamos un ejemplo para entender mejor: Recuerde que x es una variable y puede representar a cualquier número. ∀ x ∈ R, 2x ∈ R La expresión anterior se lee: "para toda x que pertenece a R (conjunto de los números reales), se cumple que 2x pertenece a R" 3.2 Cuantificador existencial (∃) Se utiliza para indicar que hay al menos un elemento en un conjunto que cumple con una condición determinada. Se representa con el símbolo ∃ y se lee "existe al menos un…". Veamos un ejemplo. Tomando como referencia los conjuntos siguientes: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8} ∃x∈B∧x∈A El símbolo ∧ se lee "y". La expresión anterior se lee: "existe al menos un elemento x que pertenece a B y pertenece también a A". Ejercicio 3 A. Lea las expresiones simbólicas siguientes. Luego, reescríbalas en lenguaje común. Guíese por el ejemplo. 0) ∃ x ∈ B ∧ x ∈ Q 18 Existe al menos una x que pertenece a B y también pertenece a Q. IGER − Polochic 1) ∀ x ∈ U, 5x ∈ U 2) ∃ x ∈ F ∧ x ∈ M B. Lea las expresiones siguientes. Luego, transfórmelas a lenguaje simbólico y reescríbalas. Le damos un ejemplo. 0) Para toda x que pertenece a los números naturales, se cumple que 8x pertenece también a los números naturales. ∀ x ∈ N, 8x ∈ N 1) Existe al menos un elemento x que pertenece a A y pertenece también a B. 2) Para toda x que pertenece a los números reales, se cumple que 6x es un número real. 3) Existe al menos una x que pertenece a O y pertenece también a P. Resumen 1. La lógica proposicional estudia enunciados y evalúa su valor de verdad, es decir, determina si son verdaderos o falsos. 2. Las proposiciones son enunciados que pueden ser analizados y así determinar su valor lógico. Un enunciado no es una proposición si no se puede determinar su valor de verdad. Esto sucede comúnmente con enunciados imperativos, de pregunta o aquellos que presentan un juicio de valor. Las proposiciones simples son aquellas que no pueden ser divididas sin afectar su sentido. Estas son representadas con una letra minúscula. 2.1 La negación es una operación que consiste en invertir el valor lógico de una proposición; se indica anteponiendo el signo "~" a la proposición. 3. Los cuantificadores son símbolos que se utilizan para establecer cuántos elementos de un conjunto determinado cumplen con cierta propiedad. 3.1 El cuantificador universal (∀) se emplea para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con una condición dada. 3.2 El cuantificador existencial (∃) se utiliza para indicar que al menos un elemento de un conjunto cumple con una condición dada. Matemática − Semana 1 19 Autocontrol Actividad 1. Demuestre lo aprendido A. Lea los enunciados siguientes. Luego, escriba a la derecha si es una proposición o no. Le damos un ejemplo. No es proposición. 0) El tiempo corre rápido. 1) 3 es un factor de 9. 2) El diccionario sirve para leer cuentos de niños. 3) ¿Por qué no estás en casa? 4) El océano Pacífico colinda con las costas al sur de Guatemala. 5) El físico más importante del siglo XX fue Albert Einstein. 6) ¡Por favor, haz tu tarea! 7) El azúcar es dulce. 8) Guatemala es el mejor país. B. Lea los enunciados siguientes. Luego, transfórmelos a lenguaje simbólico. Recuerde lo que aprendió sobre los cuantificadores. 1) Para toda x que pertenece a los números reales, se cumple que 10x es un número real. 2) Existe al menos un elemento z que pertenece a C y pertenece también a W. 3) Para toda x que pertenece a A, existe al menos una y que pertenece a B. 4) Para toda d que pertenece a X, existe al menos una b que pertenece a Z. 5) Existe al menos un elemento x que pertenece a R y pertenece también a N. 20 IGER − Polochic Actividad 2. Practique lo aprendido A. Piense y escriba ocho proposiciones simples. Luego, en la línea correspondiente, coloque una V, si es verdadera o una F, si es falsa. Guíese por el ejemplo. 0) El reloj indica la hora. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) V B. Lea las proposiciones de la tabla siguiente, evalúelas y determine su valor lógico. Luego, escriba la negación de cada una en el espacio correspondiente. Recuerde escribir la negación en forma simbólica y el valor de verdad que toma la proposición. Le damos un ejemplo. 0) t: Los perros tienen pelo. ~t: Los perros no tienen pelo. V F 1) d: Los caballos corren muy rápido. 2) g: Los guatemaltecos somos norteamericanos. 3) y: Una palabra tiene letras. 4) p: Los animales son seres vivos. 5) q: El departamento de Jutiapa pertenece a Honduras. 6) z: 7 es un factor de 56. Matemática − Semana 1 21 Agilidad de cálculo mental Para ganar agilidad mental y rapidez, tiene que practicar constantemente. Le proponemos resolver los ejercicios de este apartado. Su esfuerzo y constancia le garantizarán buenos resultados. A. Sumas y restas. 1) 12 + 55 = 6) 52 + 41 = 11) 19 – 17 = 2) 36 – 25 = 7) 36 + 41 = 12) 21 + 37 = 3) 21 + 52 = 8) 75 – 15 = 13) 22 + 33 = 4) 68 – 23 = 9) 50 – 25 = 14) 42 – 32 = 5) 75 + 25 = 10) 14 + 33 = 15) 47 – 33 = 1) 2 × 8 = 9) 8 × 6 = 17) 9 × 10 = 2) 3 × 2 = 10) 9 × 4 = 18) 5 × 9 = 3) 7 × 5 = 11) 7 × 7 = 19) 8 × 2 = 4) 6 × 4 = 12) 5 × 6 = 20) 1 × 7 = 5) 8 × 7 = 13) 0 × 7 = 21) 9 × 3 = 6) 5 × 2 = 14) 4 × 2 = 22) 5 × 4 = 7) 3 × 5 = 15) 3 × 6 = 23) 0 × 2 = 8) 10 × 2 = 16) 8 × 5 = 24) 6 × 5 = 1) 1 ÷ 1 = 9) 36 ÷ 9 = 17) 36 ÷ 4 = 2) 33 ÷ 11 = 10) 35 ÷ 5 = 18) 0 ÷ 6 = 3) 0 ÷ 9 = 11) 63 ÷ 9 = 19) 9 ÷ 3 = 4) 8 ÷ 4 = 12) 10 ÷ 10 = 20) 27 ÷ 9 = 5) 9 ÷ 3 = 13) 100 ÷ 1 = 21) 56 ÷ 8 = 6) 99 ÷ 3 = 14) 72 ÷ 9 = 22) 36 ÷ 3 = 7) 99 ÷ 11 = 15) 42 ÷ 6 = 23) 36 ÷ 6 = 8) 54 ÷ 6 = 16) 45 ÷ 9 = 24) 48 ÷ 8 = B. Multiplicaciones. C. Divisiones. 22 IGER − Polochic Razonamiento lógico Ponga a trabajar sus neuronas. Resuelva los siguientes problemas de lógica. 1) Las dos puertas. Usted está encerrado en una habitación en la que hay dos puertas vigiladas por dos guardias. Una lleva a la libertad y la otra a seguir encerrado. Puede elegir una puerta y antes puede hacer una pregunta a uno de los guardias. Hay un problema: uno de ellos siempre dice la verdad, pero el otro siempre miente. ¿Qué pregunta haría para salir a la libertad? Piense su respuesta y escríbala en las líneas siguientes. 2) ¿De qué color es el sombrero? Imagine que hay cuatro reos en una prisión y que todos ellos están enterrados en el suelo hasta la altura del cuello, con lo que solo les sobresale la cabeza para poder respirar. Hay un muro que separa a tres de los prisioneros con respecto al cuarto, como muestra la ilustración. A B C D El guardia que los está vigilando les dice: — "Cada uno de ustedes lleva puesto un sombrero. De los cuatro sombreros dos son blancos y dos son negros. Sin hablar entre sí, tienen diez minutos para que uno de ustedes me diga de qué color es su sombrero. Si lo acierta, los liberaré; y si no, se quedan enterrados bajo el ardiente sol". Finalmente, al cabo de un minuto, uno de los prisioneros consigue averiguar la respuesta correcta. ¿Qué prisionero es el que dice el color de su sombrero? ¿Cómo lo ha averiguado? Matemática − Semana 1 23 Desarrolle nuevas habilidades Observe atentamente cada numeral y rodee la opción que completa la serie correctamente. 1) a. b. c. 2) a. b. c. d. d. ... a. b. 4) d. ... 3) ... c. a. ... b. c. d. 5) . . . a. b. c. d. Revise su aprendizaje Marque con un cheque la casilla que mejor indique su rendimiento. Después de estudiar... Conozco y comprendo el campo de estudio de la lógica. Identifico y construyo proposiciones simples. Determino el valor de verdad de proposiciones simples. Ejercito la negación de proposiciones simples. Comprendo y practico el uso de cuantificadores. Resuelvo operaciones aritméticas básicas con agilidad. 24 IGER − Polochic en no logrado proceso logrado 5 y 4 3 2 1 0 1 x2 2 3 + y2 4 x 2 –1 = i = r2 Lógica II ¿Qué encontrará esta semana? Los conectivos Proposiciones compuestas y conectivos lógicos Tablas de verdad Multiplicación y división de números reales Secuencias lógicas Esta semana logrará: Comprender e identificar proposiciones compuestas. Categorizar las reglas de los conectivos lógicos más utilizados. Determinar el valor de verdad de proposiciones compuestas. Construir tablas de verdad. Resolver operaciones combinadas con agilidad. Matemática − Semana 2 25 ¡Para comenzar! Los conectivos En el idioma español, los conectivos son palabras utilizadas como nexos que sirven para unir otras palabras, frases o ideas. Aunque no nos demos cuenta, los empleamos cada vez que hablamos o escribimos. Hay gran número de conectivos, algunos de ellos que podemos mencionar son: y, entonces, además, o, u, o sea, también. Veamos algunas oraciones como ejemplo: Hacer actividad física y comer saludable nos ayuda a permanecer sanos. Si estudiamos disciplinadamente, entonces podremos aprobar el grado. Fuimos a la playa, además visitamos a unos amigos. Como podemos identificar, los conectivos aparecen resaltados y unen las ideas que se exponen en cada oración. En el cuadro siguiente mostramos algunos de los conectivos más comunes: Relación Conectivo Adición y, además, también, así mismo, por añadidura, más aun Contraste pero, sin embargo, no obstante, en cierto modo, en cierta medida, aunque, en cambio, al contrario Causa – efecto por tanto, de ahí que, en consecuencia, así pues, por consiguiente, por lo tanto, por eso, por lo que sigue, por esta razón, entonces, entonces resulta que, de manera que, luego, así que Comparativos del mismo modo, igualmente, de modo similar, como, así como ¡A trabajar! Lea las oraciones siguientes y subraye el conectivo que aparece en cada una. Le damos un ejemplo. 0) Si somos tolerantes, entonces conviviremos en armonía. 1) Los jaguares saltan alto y son muy ágiles. 2) Las plantas necesitan agua para vivir, entonces necesitan ser regadas. 3) Si como muchas chucherías, entonces tendré problemas de salud. 4) Ernesto puede jugar y correr muy rápido. 26 IGER − Polochic El mundo de la matemática 1. Proposiciones compuestas Las proposiciones compuestas son aquellas que se forman por dos o más proposiciones simples unidas a través de conectivos lógicos, pero ¿qué son estos últimos? Pongamos atención. Como leímos en la página anterior, en el idioma español hay palabras, llamadas conectivos, que sirven de enlace entre ideas u otras palabras. En la lógica, también existen estos nexos y se llaman conectivos lógicos. Los más comunes son cuatro: y, o, si… entonces y si y solo si. Veamos unos ejemplos: El quetzal tiene plumas y puede volar. En esta proposición compuesta se unen dos simples: El quetzal tiene plumas; el quetzal puede volar. Estas se unen a través del nexo "y". Adriana puede ir al partido de futbol o al cine. La proposición anterior se compone de dos simples: Adriana puede ir al partido de futbol, Adriana puede ir al cine. Estas se unen por medio del nexo "o". Para determinar el valor de verdad de una proposición compuesta es necesario conocer los conectivos lógicos y sus reglas. 2. Conectivos lógicos Los conectivos lógicos son palabras y símbolos que sirven como enlace para unir dos o más proposiciones simples y así formar una proposición compuesta. Estos conectivos, junto a los cuantificadores que vimos la semana pasada, constituyen dos áreas fundamentales en la lógica. Nosotros estudiaremos los más utilizados: conjunción, disyunción, condicional y bicondicional. 2.1 Conjunción (∧) En lógica, la conjunción corresponde a la conjunción copulativa "y". Tiene como función unir dos proposiciones y su símbolo es ∧. Ejemplo Alfredo es arquitecto y Héctor es médico. Se escribe Se lee p∧q pyq Matemática − Semana 2 27 2.2 Disyunción (∨) La disyunción se comporta como la conjunción "o" que se utiliza en el idioma español. Su función es unir proposiciones para darles un sentido de elección entre dos o más elementos y su símbolo es ∨. Ejemplo Se escribe Se lee p∨q poq Gabriela puede ser ingeniera o economista. 2.3 Condicional ( ) También conocido como implicación, está conformada por las palabras "Si... entonces". Se compone de dos proposiciones. La primera es requisito indispensable para que se cumpla la segunda. Su símbolo es una flecha apuntando a la derecha: Ejemplo Si él estudia mucho, entonces podrá resolver el examen sin dificultad. Se escribe p q Se lee Si p entonces q 2.4 Bicondicional ( ) Este conectivo expresa la relación de equivalencia entre dos proposiciones. La primera se cumple solo si se cumple la segunda y viceversa. La forman las palabras "si y solo si" y su símbolo es una doble flecha: Ejemplo Los animales vivirán sanos si y solo si los cuidan bien. Se escribe p q Se lee p si y solo si q Ejercicio 1 Represente simbólicamente las proposiciones siguientes, hágalo con las letras p y q. Utilice el símbolo del conectivo que corresponda. Le damos un ejemplo. 0) Daniel barre y Gilda sacude. 1) Si corre rápido, entonces ganará la competencia. 2) Puede llamarlo o enviarle un mensaje. 3) El fuego encenderá si y solo si la leña está seca. 4) Podremos cultivar maíz y frijol. 5) La casa será firme si y solo si tiene buenos cimientos. 6) Leonel puede estudiar perito o bachillerato. 28 IGER − Polochic p∧q 3. Reglas de los conectivos lógicos Para evaluar y determinar el valor de verdad de una proposición compuesta, debemos basarnos en las reglas de los conectivos lógicos. Para este análisis, utilizamos las tablas de verdad. Veamos. Tabla de verdad: es una representación gráfica de los valores de verdad o falsedad de una proposición. 3.1 Regla de la conjunción El valor de verdad de una conjunción es verdadero solo si ambas proposiciones son verdaderas, y es falso de cualquier otra forma. p q p∧q v v f f v f v f v f f f Comprobemos la regla con un ejemplo: p ∧ q: Para la combustión se necesita combustible y oxígeno. Extraemos dos proposiciones simples: p: Para la combustión se necesita combustible. q: Para la combustión se necesita oxígeno. p: Se necesita combustible. (V) q: Se necesita oxígeno. (V) p: Se necesita combustible. (V) ~q: No se necesita oxígeno. (F) ~p: No se necesita combustible. (F) q: Se necesita oxígeno. (V) ~p: No se necesita combustible. (F) ~q: No se necesita oxígeno. (F) La proposición compuesta es verdadera porque se cumple con ambos criterios. Hay combustible y hay oxígeno. La proposición es falsa, porque sin oxígeno no puede haber combustión. La proposición es falsa, porque sin combustible no puede haber fuego. La proposición es falsa. No se cumple ninguno de los criterios, ni hay combustible ni hay oxígeno. Note cómo una proposición compuesta unida por la conjunción toma valor de verdadero únicamente si las dos proposiciones simples son ciertas. Matemática − Semana 2 29 3.2 Regla de la disyunción En una disyunción, el valor de la verdad resulta falso solo si ambas proposiciones son falsas, y verdadero de cualquier otra forma. p v v f f q v f v f p∨q v v v f Comprobemos la regla con un ejemplo: p ∨ q: Para comunicarse puede llamarle o enviarle un mensaje. Extraemos dos proposiciones simples: p: Para comunicarse puede llamarle. q: Para comunicarse puede enviarle un mensaje. p: Puede llamarle. (V) q: Puede enviarle un mensaje. (V) p: Puede llamarle. (V) ~q: No puede enviarle un mensaje. (F) ~p: No puede llamarle. (F) q: Puede enviarle un mensaje. (V) ~p: No puede llamarle. (F) ~q: No puede enviarle un mensaje. (F) La proposición compuesta es verdadera porque se puede comunicar por ambas vías. La proposición es verdadera, porque aunque no se puede comunicar por mensaje, puede hacerlo llamando. La proposición es verdadera, porque aunque no se puede comunicar por llamada, puede hacerlo enviando un mensaje. La proposición es falsa. No puede hacer una llamada ni enviar un mensaje, entonces no hay comunicación. Note como una proposición compuesta unida por la disyunción toma valor de falso únicamente si las dos proposiciones simples son falsas. 30 IGER − Polochic 3.3 Regla del condicional Con este conectivo, una proposición es falsa si p es verdadera y q es falsa. Para cualquier otro caso resulta verdadera. p v v f f q v f v f p q v f v v Comprobemos la regla con un ejemplo: p q: Si hoy es viernes, entonces mañana será sábado. Extraemos dos proposiciones simples: p: Hoy es viernes. q: Mañana será sábado. p: Hoy es viernes. (V) q: Mañana será sábado. (V) p: Hoy es viernes. (V) ~q: Mañana no será sábado. (F) ~p: Hoy no es viernes. (F) q: Mañana será sábado. (V) ~p: Hoy no es viernes. (F) ~q: Mañana no será sábado. (F) La proposición compuesta es verdadera porque luego de viernes sigue el sábado. La proposición es falsa. Si el día actual es viernes, indudablemente mañana será sábado. El enunciado es verdadero. La primera proposición es falsa, lo que indicaría que sí es viernes, y por tanto, mañana sí será sábado. La proposición es verdadera, puede ser cualquier otro día de la semana. Con el condicional existe un problema denominado como paradojas de la implicación. Estas paradojas se dan cuando una proposición es verdadera de acuerdo a la lógica, pero expresa un planteamiento que no tiene sentido común. Por ejemplo: Si la Luna está hecha de queso, entonces 2 + 2 = 4. La proposición anterior es verdadera, a pesar de que no tiene sentido en el lenguaje común. Como nosotros estamos analizando las proposiciones desde el punto de vista lógico, no se preocupe si algunos enunciados le resultan contrarios a la razón. Matemática − Semana 2 31 3.4 Regla del bicondicional El valor de verdad de un bicondicional es verdadero cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, es decir, ambas son verdaderas o falsas simultáneamente; en caso contrario, es falso. p v v f f q v f v f p q v f f v Observemos mejor la regla con un ejemplo: p q: Amílcar puede ser presidente si y solo si es ciudadano guatemalteco. Extraemos dos proposiciones simples: p: Amílcar puede ser presidente. q: Amílcar es ciudadano guatemalteco. p: Amílcar puede ser presidente. (V) q: Amílcar es ciudadano guatemalteco. (V) p: Amílcar puede ser presidente. (V) ~q: Amílcar no es ciudadano guatemalteco. (F) ~p: Amílcar no puede ser presidente. (F) q: Amílcar es ciudadano guatemalteco. (V) ~p: Amílcar no puede ser presidente. (F) ~q: Amílcar no es ciudadano guatemalteco. (F) La proposición compuesta es verdadera, porque Amílcar es ciudadano guatemalteco y por tanto puede optar a ser presidente. La proposición es falsa. Al no ser ciudadano guatemalteco, Amílcar no puede optar al puesto de presidente. La proposición es falsa. Amílcar sí puede optar al cargo de presidente porque es ciudadano guatemalteco. La proposición es verdadera. Amílcar no es guatemalteco y por tanto no pude postularse para presidente. Debemos tener cuidado de no confundir las relaciones bicondicionales con las únicamente condicionales. 32 IGER − Polochic Ejercicio 2 A. Lea los enunciados siguientes, ponga atención al conectivo lógico que los une. Escriba el valor lógico de p y q en el cuadro correspondiente. Luego, transforme la proposición compuesta a lenguaje simbólico y determine su valor de verdad. Observe y guíese por el ejemplo. 0) Si Álvaro puede votar, entonces es mayor de edad. p: V q: V p q: V 1) Si Carlos nació en Izabal, entonces es hondureño. p: q: 2) El 8 es un número impar y es múltiplo de 2. p: q: 3) El Sol sale por el Este y la Luna es más grande que la Tierra. p: q: 4) La Tierra es esférica si y solo si el Sol es una estrella. p: q: 5) Si el agua marina es salada, entonces es recomendable beber agua salada. p: q: 6) Guatemala tiene 23 departamentos o su capital es Mazatenango. p: q: 7) El 2 no es divisor de 12 o el 12 es múltiplo de 3. p: q: 8) Los canarios no hablan si y solo los loros vuelan. p: q: Matemática − Semana 2 33 B. Piense y escriba ocho proposiciones compuestas. Luego, determine su valor de verdad. Guíese por el ejemplo. 0) El número 3 es un número impar y es múltiplo de 3. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) V C. Realice los procedimientos que se piden en cada columna de las tablas de verdad. Recuerde lo que aprendió la semana anterior sobre las negaciones. Guíese por el ejemplo. 0) 1) 2) 34 q 3) p q v v v v v v f v v v f v v f f f f f ~p q ~q ~p ∨ ~q ~p ∧ q 4) p q v v v v v f v f f v f v f f f f p ~p q v f v v v f f f v f p p ~p q p ∨ q ~p ~p q q ∨ ~p 5) p p ~q p ∨ ~q p ∧ ~q ~q p ∧q ~p q ~q ~q ∧ ~p p v v v v v f v f f v f v f f f f IGER − Polochic ~q ~q Resumen 1. Las proposiciones compuestas son aquellas formadas por dos o más proposiciones simples que se unen a través de conectivos lógicos. 2. Los conectivos lógicos son palabras y símbolos que sirven como nexo para unir dos o más proposiciones simples. Los más comunes son la conjunción, la disyunción, el condicional y el bicondicional. 2.1 La conjunción (∧) corresponde a la "y". 2.2 La disyunción (∨) corresponde a la "o" y se utiliza para dar sentido de elección entre dos o más elementos. 2.3 El condicional ( ) o implicación toma forma en las palabras "Si… entonces". Este conectivo indica que la primera proposición es requisito para que se cumpla la segunda. Las paradojas de la implicación son situaciones en las que una proposición tiene valor lógico verdadero, pero no expresa una idea coherente según el sentido común. 2.4 El bicondicional ( ) se forma con las palabras "si y solo si" e indica una relación de dependencia mutua. Es decir, la primera se cumple solo si se cumple la segunda y viceversa. 3. Para determinar el valor de verdad de una proposición compuesta se emplean las reglas de los conectivos lógicos. Se presentan en las tablas de verdad siguientes: Conjunción p q p∧q v v f f v f v f v f f f p v v f f Disyunción q p∨q v v f v v v f f p v v f f Condicional q p q v v f f v v f v Bicondicional p q p q v v v v f f f v f f f v Investigue en la red... Le invitamos a ver los videos que se muestran en las direcciones siguientes, estos le ayudarán a profundizar en algunos aspectos sobre los conectivos lógicos. • Conectores lógicos y tablas de verdad: goo.gl/lhujYy • ¿Cómo convertir una proposición en lenguaje simbólico? goo.gl/15KhEJ • Tablas de verdad para más de dos conectores lógicos: goo.gl/nszhab También le proponemos practicar un poco más y resolver algunos ejercicios extra, que podrá encontrar en el enlace siguiente. • Ejercicios propuestos de conectivos lógicos y tablas de verdad: goo.gl/WSDBmL Matemática − Semana 2 35 Autocontrol Actividad 1. Demuestre lo aprendido A. Lea cada definición a la izquierda. Luego, relaciónela con el conectivo lógico que le corresponde colocando el número en el paréntesis correcto. 1) Indica relación de dependencia mutua. Es decir, la primera proposición se cumple solo si se cumple la segunda y viceversa. ( ) conjunción 2) Da sentido de elección entre dos o más elementos. Su valor de verdad resulta falso solo si ambas proposiciones son falsas. ( ) bicondicional 3) Equivale a la palabra "y" en el idioma español. Su valor lógico es verdadero solo si ambas proposiciones son ciertas. ( ) condicional 4) También llamada implicación; indica condición del tipo "Si… entonces". Resulta en falso cuando p es verdadera y q es falsa, y es verdadero en cualquier otro caso. ( ) disyunción B. Lea los enunciados siguientes y subraye el conectivo que aparece en cada uno. Luego, transforme las proposiciones a lenguaje simbólico y escríbalas en la línea de la derecha. Guíese por el ejemplo. 0) Si el agua del océano es salada entonces no se puede beber. r s 1) El cactus tiene espinas y necesita poca agua. 2) La lluvia cae del cielo y Marte es un planeta. 3) Si el jaguar tiene manchas, entonces se puede camuflar. 4) Si el agua es incolora, entonces se puede beber. 5) Si hoy es sábado, entonces mañana será domingo. 6) El ratón corre rápido o el gato no puede saltar. 7) Colombia está en Suramérica y Portugal en Europa. 8) En Xela hay frío si y solo si en Zacapa hay calor. C. Ahora es su turno. Escriba cuatro proposiciones compuestas y establezca su valor de verdad. Recuerde lo aprendido sobre las reglas de los conectivos lógicos. 1) 2) 3) 4) 36 IGER − Polochic Actividad 2. Practique lo aprendido A. Realice los procedimientos que se piden en cada columna de las tablas de verdad. Recuerde lo que aprendió sobre las negaciones. 1) 2) r ~r s ~s ~r ~s r ∨s ~r s 3) a ~a b v v v v v f v f f v f v f f f f p ~p q ~q ~p ~q ~q ∧ ~p 4) r v v v v f v f v f f f f s ~s ~a ∨ b r ~s a ∧b r s B. Transforme cada proposición siguiente a lenguaje simbólico y determine su valor de verdad. 1) El león es herbívoro y la oveja es carnívora. p: q: 2) Enero es el primer mes del año y diciembre es el último. p: q: 3) Los caballos son animales si y solo si Venus no es un planeta. p: q: 4) Si el martes va luego del lunes, entonces el viernes va antes del jueves. p: q: 5) El aguacate viene de la mazorca o la Tierra es un planeta. p: q: 6) 19 es múltiplo de 5 si y solo si 2 es divisor de 8. p: q: Matemática − Semana 2 37 Agilidad de cálculo mental A. Resuelva mentalmente las multiplicaciones siguientes. Escriba la respuesta correcta sobre la línea correspondiente. 1) 2 × 3 × 1 = 11) 8 × 5 × 0 = 21) 8 × 9 × 5 = 2) 5 × 4 × 8 = 12) 5 × 6 × 5 = 22) 3 × 2 × 0 = 3) 6 × 3 × 2 = 13) 5 × 4 × 6 = 23) 7 × 8 × 1 = 4) 5 × 3 × 7 = 14) 9 × 8 × 7 = 24) 8 × 5 × 2 = 5) 1 × 5 × 9 = 15) 3 × 5 × 4 = 25) 4 × 1 × 3 = 6) 2 × 3 × 0 = 16) 5 × 3 × 4 = 26) 8 × 4 × 8 = 7) 5 × 6 × 8 = 17) 8 × 7 × 4 = 27) 8 × 8 × 7 = 8) 2 × 3 × 8 = 18) 6 × 9 × 5 = 28) 9 × 6 × 9 = 9) 1 × 2 × 5 = 19) 9 × 5 × 5 = 29) 7 × 4 × 1 = 10) 5 × 4 × 7 = 20) 8 × 9 × 4 = 30) 0 × 1 × 0 = B. Resuelva mentalmente las multiplicaciones y divisiones siguientes. Escriba la respuesta correcta sobre la línea correspondiente. 38 1) 5 × 2 ÷ 2 = 11) 4 × 1 ÷ 4 = 21) 8 × 1 ÷ 4 = 2) 2 × 8 ÷ 4 = 12) 7 × 8 ÷ 8 = 22) 4 × 5 ÷ 10 = 3) 8 × 7 ÷ 4 = 13) 9 × 6 ÷ 2 = 23) 5 × 8 ÷ 20 = 4) 9 × 9 ÷ 3 = 14) 4 × 6 ÷ 3 = 24) 1 × 2 ÷ 1 = 5) 7 × 7 ÷ 1 = 15) 3 × 8 ÷ 2 = 25) 3 × 2 ÷ 1 = 6) 7 × 4 ÷ 2 = 16) 7 × 1 ÷ 1 = 26) 4 × 3 ÷ 6 = 7) 1 × 1 ÷ 1 = 17) 8 × 9 ÷ 6 = 27) 6 × 1 ÷ 3 = 8) 6 × 9 ÷ 3 = 18) 0 × 1 ÷ 3 = 28) 3 × 9 ÷ 1 = 9) 5 × 6 ÷ 10 = 19) 8 × 8 ÷ 4 = 29) 0 × 1 ÷ 1 = 10) 8 × 3 ÷ 2 = 20) 7 × 9 ÷ 7 = 30) 3 × 3 ÷ 9 = IGER − Polochic Razonamiento lógico A. Calcule el valor de cada una de las letras siguientes, basándose en las operaciones indicadas. Tenga en cuenta que las operaciones están relacionadas, pero pueden no tener un orden lineal. Q = L = T = J = A= H = D = F = M = R= 1) 5 + D = 5 6) –2H + R + 7D + 6 = L 2) F – D = 1 7) Q = F + J + F 3) 3J + 2F = 8 8) 10H – (F + Q) + 3L – 3Q = M 4) 2D + F + 10J = R 9) T = 30J + L + (A + F) – H 5) R ÷ 3 = H 10) M – 5Q = T B. Considerando los números que obtuvo anteriormente, calcule el valor que tienen las letras siguientes. G = K = V = I = E= N = B = P = C = S= 1) (Q ÷ 2) × 4 = C 6) E + 5B = I 2) L – 3F + D = V 7) 6I + 11R – (E + 2F) = P 3) H + B = 12 8) I – 2E + (Q × C) = G 4) (3V) ÷ 2 + EB = 6E 9) 6A + (Q × M) – P + (J × S) + I = 0 5) T ÷ 2 – N + C + V = 42 10) 6H + (E × V) + (2B + L) – (3Q + F) = K Matemática − Semana 2 39 Desarrolle nuevas habilidades Ahora pondremos a prueba nuestras neuronas. Con los dominós debemos detectar el orden lógico que siguen las fichas presentadas. Este procedimiento nos ayuda a desarrollar nuestra habilidad de deducción. Para los ejercicios siguientes, marque con una "x" la opción que completa la serie: 1) a. b. c. d. a. b. c. d. a. b. c. d. a. b. c. d. 2) 3) 4) Revise su aprendizaje Después de estudiar... Marque con un cheque 40 la casilla que mejor indique su rendimiento. Comprendo e identifico las proposiciones compuestas. Categorizo las reglas de los conectivos lógicos más utilizados. Determino el valor de verdad de proposiciones compuestas. Construyo tablas de verdad. Resuelvo operaciones combinadas con agilidad. IGER − Polochic en no logrado proceso logrado 5 y 4 3 2 1 0 1 x2 2 3 + y2 4 x 3 –1 = i = r2 Números reales ¿Qué encontrará esta semana? Los pitagóricos y los números irracionales Operaciones combinadas Los números reales, sus propiedades, reglas de la potenciación y de la radicación Problemas de aplicación con números reales Multiplicación con el método Tzeltal Esta semana logrará: Aplicar las propiedades de los números reales. Resolver operaciones combinadas. Repasar las leyes de la potenciación y de la radicación de los números reales. Aplicar los números reales en la resolución de problemas. Practicar la multiplicación por el método Tzeltal. Desarrollar agilidad de cálculo con operaciones combinadas. Matemática − Semana 3 41 ¡Para comenzar! Los pitagóricos y los números irracionales En el siglo V a. C., Pitágoras y sus seguidores formaron en Grecia la Escuela Pitagórica. Ellos descubrieron la existencia de los números irracionales, es decir, los números que no son naturales (1, 2, 3,...), ni enteros (...–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), ni racionales (…5/3, 3/4, –25/7, –6/5,…). Es posible que este descubrimiento se produjera al tratar de resolver el problema siguiente: Si se traza un cuadrado cuyos lados midan la unidad, es decir 1, y se intenta calcular el valor de la diagonal d. Para ello podemos dividir el cuadrado en dos triángulos rectángulos cuya hipotenusa es la diagonal d del cuadrado, en resumen tenemos dos triángulos rectángulos iguales con catetos que miden 1. d 1 1 Si ahora aplicamos el teorema de Pitágoras para despejar d, podemos verificar el siguiente desarrollo en la relación pitagórica. d2 = 12 + 12 d2 = 2 d= 2 Y el número 2 es irracional (infinitas cifras decimales no periódicas). Los pitagóricos se sorprendieron mucho de la existencia de este tipo de números "tan raros" que contradecía su doctrina que exaltaba la adoración del número como ente perfecto que gobernaba el universo y todo lo que en él existía. Al parecer llegaron a decidir mantener en secreto su descubrimiento que mostraba la fragilidad de sus creencias. Tomado y adaptado de http://www.um.es ¡A trabajar! Luego de haber leído la historia de los números irracionales, responda las preguntas. 1) ¿Qué característica debe tener un número para que sea clasificado como irracional? 2) ¿Es posible obtener un número diferente a los irracionales, al calcular la diagonal de una figura cuadrada, sin importar cuanto midan sus lados? Explique su respuesta. 42 IGER − Polochic El mundo de la matemática 1. Números reales (ℝ) I R π 2 Q Z 5 3 1.21212... 0.5 N ...–4, –3, –2, –1 0, 1, 2, 3, 4 ... 3 4 Esta semana con la historia de los pitagóricos iniciamos el estudio del conjunto de los números irracionales. Recordemos que un número irracional es aquel que no puede ser expresado como fracción y su parte decimal no es periódica, es decir, sus decimales no siguen un patrón para repetirse. Los números irracionales (I), junto a los naturales (N), los enteros (Z) y los racionales (ℚ) forman el conjunto de los números reales (ℝ), como se ilustra en la imagen de arriba. Los números reales son los que pueden expresarse por un número entero o por un decimal, sea periódico o no. Este conjunto se representa con la letra ℝ y se define simbólicamente como: ℝ = ℚ ∪ I 1.1 Características de los números reales • Los números reales constituyen un conjunto infinito porque está formado por la unión de los conjuntos de números racionales (ℚ) e irracionales (I). • ℝ es un conjunto denso, esto quiere decir que entre dos números racionales hay infinitos irracionales. • ℝ es un conjunto completo y continuo, debido a que todo punto en la recta numérica se puede representar con un número real. Los puntos libres que hay entre dos números racionales son llenados por los irracionales, como vemos en la recta que está abajo. La continuidad de los números reales permite que haya números cada vez más cercanos unos de otros. Por ejemplo: 2.9, 2.99, 2.999, 2.9999… o 3.0001, 3.001, 3.01, 3.1... 2.99 3.01 2 2.9 3 3.1 4 Matemática − Semana 3 43 1.2 Valor absoluto de un número real En matemática se le llama valor absoluto de un número real, a la distancia que hay entre el cero u origen y este número sin importar su signo, sea positivo (+) o negativo (–). Lo identificamos escribiendo el número entre barras |a| y se lee "valor absoluto de a". Por ejemplo: a. Si el número es positivo o cero, su valor absoluto es el mismo número. |34| = 34 1 1 = 4 4 b. Si el número es negativo, su valor absoluto es el opuesto del número. | | |–3| = –(–3) = 3 |–0.25| = –(–0.25) = 0.25 De estos resultados podemos concluir que el valor absoluto de un número siempre es positivo, pues lo que se toma del número es la distancia entre él y el cero. |–5| = 5 |5| = 5 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 Aquí notamos que –5 y 5 tienen el mismo valor absoluto porque ambos se encuentran a la misma distancia del origen o cero. Ejercicio 1 Escriba el valor absoluto de los números siguientes. Tiene un ejemplo. 0) |– 4 | = 7) |4.3624| = 1) |–8| = 8) |0| = 2) |–25| = 9) |–3.2864| = 3) | 59 | = 3 10) | 8 | = 4) |–16| = 11) |–4.375| = 5) |– 29| = 12) |– 25| | 178 | = 6) – 44 4 IGER − Polochic | | 3 13) – 5 = = 2. Operaciones combinadas Con los números reales se pueden realizar diferentes operaciones y las que reúnen varias operaciones en una sola se les llama operaciones combinadas. En las operaciones combinadas pueden aparecer sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias, raíces y signos de agrupación. Para realizarlas, es necesario respetar la jerarquía de las operaciones. Preste atención a los casos siguientes: a. Si las operaciones no incluyen signos de agrupación, primero se resuelven las multiplicaciones y divisiones en el orden que aparecen, luego se efectúan las adiciones y sustracciones correspondientes. Ejemplo: • Primero, realizamos las multiplicaciones y divisiones. 5•2+3–2•3+7–4÷2= • Luego, las adiciones y sustracciones. 10 + 3 – 6 + 7 – 2 = 12 Otro ejemplo: • Primero, realizamos la multiplicación y división. 1 5 5 1 5 • + ÷ – = 4 3 9 2 6 • Luego, la adición y sustracción. 10 5 5 – = + 9 6 12 Recuerde el procedimiento para sumar o restar fracciones con diferente denominador. 15 + 40 – 30 25 = 36 36 b. Si las operaciones incluyen signos de agrupación, estos se eliminan de adentro hacia afuera y se efectúan las operaciones indicadas dentro de ellos. Ejemplo: • Primero, realizamos la operación que está dentro de los paréntesis. 15 + [8 – (2 • 3)] = • Luego, la sustracción que está en los corchetes. 15 + [8 – 6] = • Y por último la adición. 15 + 2 = 17 Otro ejemplo: • Primero, realizamos la operación que está dentro de los paréntesis. 5 – {10 – [6 – (15 ÷ 3)] + 8} = • Luego, la que está dentro de los corchetes. 5 – {10 – [6 – 5] + 8} = • Después las operaciones que están dentro de las llaves. 5 – {10 – 1 + 8} = • Por último, la sustracción. 5 – 17 = –12 Matemática − Semana 3 45 3. Propiedades de los números reales Los números reales cumplen con ciertas características o reglas en sus diferentes operaciones llamadas propiedades. Para comprender estas propiedades, es necesario considerar que las letras a, b y c pueden representar cualquier número real, es decir, tomar cualquier valor. Veamos las principales propiedades de los números reales. Clausurativa El resultado de la operación entre números reales da como resultado otro número real. a+b=c 25 + 5 = 30 La adición es conmutativa El orden en que se operen los sumandos no altera el resultado. a+b=b+a 12 + 3 = 3 + 12 15 = 15 La adición es asociativa (a + b) + c = a + (b + c) El orden en que se agrupan los sumandos (2.5 + 6) + 10 = 2.5 + (6 + 10) no altera el resultado. 8.5 + 10 = 2.5 + 16 18.5 = 18.5 Elemento neutro aditivo Al sumar un número real con el 0 da como resultado el mismo número. a+b=a 2.66 + 0 = 2.66 Inverso aditivo u opuesto Para todo número a existe otro número –a llamado inverso aditivo u opuesto tal que: a + (–a) = 0 3 3 + – =0 4 4 ( ) La multiplicación es conmutativa El orden en que se operen los factores no afecta el producto. a•b=b•a 9•6=6•9 54 = 54 La multiplicación es asociativa La manera en que se agrupan los factores no altera el producto. 46 IGER − Polochic a(b • c) = (a • b)c 4(2 • 8) = (4 • 2)8 4(16) = (8)8 64 = 64 Elemento neutro de la multiplicación a•1=a Al multiplicar un número real por 1 no altera el resultado. –0.25 • 1 = –0.25 Inverso multiplicativo 1 =1 a 1 5• =1 5 5 =1 5 a• 1 llamado a inverso multiplicativo o simétrico multiplicativo tal que: Para todo número a existe otro número 1=1 Distributiva del producto respecto a la suma El producto de un número por una suma es igual a multiplicar el número por cada uno de los sumandos. a(b + c) = ab + ac 5(4 + 6) = (5 • 4) + (5 • 6) 5(10) = 20 + 30 50 = 50 Distributiva del producto respecto a la resta El producto de un número por una resta es igual a multiplicar el número por el minuendo y por el sustraendo. a(b – c) = ab – ac 3(8 – 2) = (3 • 8) – (3 • 2) 3(6) = 24 – 6 18 = 18 Ejercicio 2 Observe la propiedad que ejemplifica cada ejercicio. Luego, escriba el nombre sobre la línea de la derecha. Tiene un ejemplo. 0) 8 • 5 = 5 • 8 conmutativa 1) 10 + 45 = 55 2) ( ) 3 3 + – = 0 4 4 3) 12 • 6 = 6 • 12 4) 16 • 1 = 1 16 5) –3.1416 • 1 = –3.1416 6) ( 7) 1 1 + 2) + 5 = + (2 + 5) 4 4 4 (3 + 1) = ( 4 • 3) + ( 4 • 1) Matemática − Semana 3 47 4. Potenciación de números reales La potenciación de los números reales sirve para escribir de forma rápida un número que se multiplica varias veces por sí mismo. Una potencia, como se le conoce, está formada por los elementos siguientes: base an exponente • La base es el número que se multiplica por sí mismo. • El exponente indica el número de veces que la base se multiplica por sí misma. De forma simbólica se representa así: an = a • a • a . . . • a 4.1 Reglas de los exponentes para números reales Para aplicar la potenciación a los números reales, es necesario conocer las propiedades que los rigen. Estas son: El exponente cero Todo número elevado al exponente cero da como resultado 1. a0 = 1 50 = 1 (–4)0 = 1 El exponente negativo Para elevar un número entero a una potencia negativa, aplicamos su inverso, pero con exponente positivo. a–n = 1 an 9 –3 = 1 93 (–2) –5 = () () ( 24 ) = ( 42 ) ( 83 ) = ( 38 ) a b Para elevar una fracción a una potencia negativa, invertimos la fracción y el exponente se convierte en positivo. 48 IGER − Polochic 1 (–2)5 –n = b a n –3 3 –2 2 La multiplicación de potencias con igual base Para multiplicar potencias de igual base, se copia la base y se suman los exponentes. an • am = an + m 42 • 43 = 42 + 3 = 45 (–2)5 • (–2)3 = (–2)5 + 3 = (–2)8 Potencia de una potencia Para elevar una potencia a otra potencia, copiamos la base y multiplicamos los exponentes. (an)m = (a)n • m (52)4 = (5)2 • 4 = (5)8 (103)5 = (10)3 • 5 = (10)15 Potencia de un producto Para elevar un producto a una potencia, elevamos cada factor al exponente dado. (a • b)n = an • bn (2 • 8)6 = 26 • 86 (6 • 4)3 = 63 • 43 Potencia de una fracción Para elevar un cociente a una potencia, se eleva el numerador y el denominador al exponente indicado. () ( 52 ) = 25 ( 97 ) = 97 a b n = an bn 8 8 8 4 4 4 Potencia de un cociente con bases iguales an = an – m am Para reducir una fracción con igual base, se copia la base y se restan los exponentes. 65 = 65 – 3 = 62 63 97 = 97 – 6 = 9 96 Ejercicio 3 Aplique las reglas de la potenciación para resolver los ejercicios siguientes. Tiene un ejemplo. 0) 83 • 86 = 1) 60 = ( 12 ) ( 12 ) = 3 3) ( ) = 7 2) 2 2 4 4) 58 53 = 83 + 6 = 89 5) (–3)0 = 6) 7) 97 96 = ( 25 ) = 8) 8–2 3 = 9) (–2) –4 = Matemática − Semana 3 49 5. Radicación de números reales La radicación es la operación inversa a la potenciación, consiste en hallar la raíz de un número dado, tal que, al elevarlo a la potencia indicada se obtenga nuevamente la misma cantidad. Los elementos de la radicación son: signo radical índice n a=b raíz radicando • El índice indica el grado de la raíz que se debe extraer. • El signo radical indica la cantidad a la que se le extrae la raíz. • El radicando es el número al que se le extrae la raíz. • La raíz es el resultado de la radicación. 5.1 Propiedades de los radicales para números reales La radicación también cumple con ciertas propiedades que son bastante parecidas a las propiedades de la potenciación, ya que una raíz es una potencia con exponente racional. Raíz de un producto La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los radicandos con el mismo índice. a•b= a • b 4 • 25 = 4 • 25 3 3 3 8 • 8 = 8 • 8 Raíz de un cociente n n La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador. a a = n b b 64 64 = 4 4 3 3 8 8 = 27 3 27 Raíz de otra raíz Cuando una raíz está afectada por otro radical, se multiplican los índices de las raíces, se conserva el radicando y se deja como un solo radical. 50 IGER − Polochic nm a = 3 4 5 7 = 10 = 2 • 3 4•5 n • m a 6 7 = 7 10 = 20 10 Raíz de una potencia Cuando el radicando contiene una potencia con números reales se pueden presentar dos casos. n n n 3 3 a = an = a 62 = 62 = 6 a. Si el índice del radical es igual que el exponente del radicando, ambos se eliminan. 53 = 53 = 5 an = an/m m b. Si el índice es diferente al exponente del radicando, se puede transformar en una fracción y si es posible se puede simplificar. 34 = 34/2 = 32 4 912 = 912/4 = 93 Ejercicio 4 Aplique las propiedades de la radicación para resolver los ejercicios siguientes. Donde sea posible exprese la respuesta como un número entero. Tiene un ejemplo. 3 = 64 4 = 5) 2) 102 = 6) 45 = 1) 66/3 = 6 2 = 36 4 3) 16 • 16 = 4) 3 66 0) 3 = 16 = 4 5 7) 86 = Resumen 1. El conjunto de los números reales se representa con la letra ℝ y se define simbólicamente como ℝ = ℚ ∪ I. Estos números se pueden expresar por un entero o un decimal, sea periódico o no. 1.1 Los números reales se caracterizan por ser un conjunto finito, denso, completo y continuo. 1.2 El valor absoluto de un número real es la distancia que hay entre el cero u origen y este número. Su resultado siempre es positivo. 2. Las operaciones combinadas son varias operaciones que se reúnen en una sola. Para resolverlas, es necesario respetar la jerarquía de las operaciones. 3. El conjunto de los números reales cumple con diferentes propiedades. 4. La potenciación de números reales es la forma rápida de escribir un número que se multiplica varias veces por sí mismo. 5. La radicación es la operación inversa a la potenciación, consiste en hallar la raíz de un número dado. Matemática − Semana 3 51 Autocontrol Actividad 1. Demuestre lo aprendido Escriba una "X" en el cuadro de la opción que responde correctamente a cada enunciado. 1) El conjunto de los números reales se define simbólicamente como… ℝ=ℚ∪N ℝ=N∪Z ℝ=ℚ∪I ℝ=I∪N 2) En la operación combinada 5{8 – (5 + 7) ÷ 2}, primero se debe realizar la... resta suma división multiplicación 3) La propiedad distributiva del producto es aplicable a… la resta la suma la división la potenciación 4) En la expresión 53 = 125, el exponente es… 1 3 5 125 5) La opción que expresa la respuesta correcta de |–8| es… 8 –8 8–1 1 8 6) La propiedad asociativa está representada en la operación… 7) El inverso aditivo u opuesto del número racional 4 es… 3 52 • 53 = 55 10 • 1 = 10 5•3=3•5 (3 + 9) + 2 = 3 + (9 + 2) 3 4 3 4 4 – 3 –4 –3 – 52 IGER − Polochic Actividad 2. Practique lo aprendido A. Aplique las propiedades de la potenciación en los ejercicios siguientes y exprese su respuesta como un número real, en algunos casos es necesario aplicar más de una regla. Tiene un ejemplo. 0) () 5 2 –3 = () 2 5 3 = 23 8 = 3 5 125 –76 11) 8 –7 = 1) 30 = 812 12) 810 = 2) 9 –2 = 13) 106 104 = 48 46 = 14) 4) 100 = 5) 20 –2 = 16) –123 –122 = 6) (52)2 = 17) 32 • 32 = 18) (3 • 5)2 = 8) (–3) –3 = 19) (0.25)3 = 9) (–15)0 = 20) (–5 • 4)3 = 10) (–33)2 = 21) 3) 7) ( 32 ) = 4 ( 24 ) 1 15) (– ) 5 –2 = 3 = ( 32 ) ( 32 ) = 2 3 B. Aplique las propiedades de la radicación en los ejercicios siguientes. Simplifique la respuesta donde sea posible. Tiene un ejemplo. 3 3 3 5 15 9) 0) 8 • 64 = 8 • 64 = 2 • 4 = 8 = 1) 33 6 = 25 10) 16 8 = 10 11) = = 216 3 12) 8 = 4) 124 = 3 0 13) = 4 5) 81 9 = 49 14) 100 6) 9 16 = 15) 7) (12.5)2 = 16) 3 8) 100 • 4 = 17) 3 2) 38 3) 4 3 6 4 = () 3 4 10 86 = = = 27 • 125 = Matemática − Semana 3 53 Agilidad de cálculo mental Resuelva las operaciones respetando la jerarquía de las operaciones. Tiene un ejemplo para cada caso. A. 10 6) 3 × 4 ÷ 6 = 12) 15 ÷ 3 × 8 = 1) 9 × 2 ÷ 6 = 7) 2 × 8 ÷ 2 = 13) 24 ÷ 6 × 0 = 2) 3 × 4 ÷ 3 = 8) 7 × 4 ÷ 4 = 14) 48 ÷ 2 × 2 = 3) 6 × 3 ÷ 9 = 9) 12 ÷ 6 × 3 = 15) 18 ÷ 6 × 9 = 4) 9 × 6 ÷ 3 = 10) 24 ÷ 8 × 5 = 16) 15 ÷ 5 × 7 = 5) 4 × 6 ÷ 8 = 11) 60 ÷ 6 × 4 = 17) 25 ÷ 5 × 0 = 7) 7 + 8 × 5 = 14) 15 × 1 + 6 = 1) 8 + 5 × 2 = 8) 9 + 3 × 0 = 15) 25 × 4 + 2 = 2) 6 + 4 × 4 = 9) 8 + 5 × 4 = 16) 50 × 1 + 9 = 3) 5 + 7 × 3 = 10) 6 × 5 + 9 = 17) 20 × 3 + 5 = 4) 1 + 8 × 7 = 11) 4 × 7 + 1 = 18) 80 × 2 + 8 = 5) 6 + 7 × 2 = 12) 7 × 3 + 7 = 19) 30 × 3 + 4 = 6) 3 + 2 × 3 = 13) 10 × 2 + 8 = 20) 60 × 5 + 9 = 7) 7 + 20 ÷ 4 = 14) 20 – 6 ÷ 2 = 1) 8 + 9 ÷ 3 = 8) 9 + 18 ÷ 9 = 15) 18 – 12 ÷ 4 = 2) 9 + 5 ÷ 5 = 9) 1 + 30 ÷ 3 = 16) 30 – 18 ÷ 9 = 3) 4 + 8 ÷ 4 = 10) 10 – 4 ÷ 2 = 17) 10 – 25 ÷ 5 = 4) 1 + 6 ÷ 3 = 11) 12 – 6 ÷ 3 = 18) 80 – 15 ÷ 3 = 5) 5 + 3 ÷ 3 = 12) 15 – 9 ÷ 3 = 19) 50 – 25 ÷ 5 = 6) 4 + 12 ÷ 6 = 13) 16 – 8 ÷ 8 = 20) 46 – 18 ÷ 6 = 0) 5 × 8 ÷ 4 = B. 0) 4 + 2 × 3 = 10 C. 0) 4 + 4 ÷ 2 = 54 IGER − Polochic 6 Razonamiento lógico Resuelva en su cuaderno los problemas siguientes. Realice las operaciones aritméticas que necesite. 1) Un autobús viaja a una velocidad de 79 km por hora. Al cabo de 4 horas, ¿cuántos kilómetros le faltarán para finalizar un viaje de 416 km? 2) Averigüe cuántos minutos han transcurrido desde las 10 horas y 15 minutos hasta las 16 horas y 20 minutos del mismo día. 3) Luis vendió el lunes 27 libras de manzanas, el martes el doble que el lunes, y el miércoles la tercera parte que el lunes y el martes juntos. ¿Cuántas libras de manzanas vendió? 4) Una persona que trabaja en un supermercado entra en el cuarto de las verduras que está a 4 °C, luego pasa al cuarto de los helados que se encuentra a –20 °C. ¿Cuál es la variación en la temperatura? 5) En el tanque de agua de la comunidad hay 1800 litros de agua. Si por un tubo ingresan 50 litros por minuto y al mismo tiempo por otro tubo salen 30 litros por minuto, ¿cuántos litros de agua habrá en el depósito después de 30 minutos? 6) Un premio de Q2,600.00 fue repartido entre tres personas de la manera siguiente: a la primera le correspondió 4/9 de esa cantidad, a la siguiente 1/3 y a la última el resto. ¿Qué cantidad recibió cada una y qué fracción del dinero recibió la tercera? 7) Para la instalación eléctrica de una casa se compró un rollo de alambre de 50 metros de longitud. Si se cortaron 10, 5.6, 2.5 y 8.75 metros, ¿qué cantidad de alambre quedó? 8) Un número de lotería está formado por 10 cachitos. Si el premio mayor de la lotería es Q50,000.00 y fue ganado por Ruth que tiene 4, Jacinto 5 y Tomasa 1 cachito, ¿cuánto dinero le corresponde a cada uno, según el número de cachitos que tienen? 9) Una bomba extrae agua de un pozo a 50 m de profundidad y la eleva hasta un depósito que se encuentra a 20 m de alto. ¿Cuántos metros es elevada el agua? 10) La familia Pérez realiza un análisis de su economía con los ingresos siguientes: doña Carmelina trabaja tres horas diarias lunes, miércoles y viernes; los martes y jueves solo trabaja dos horas. Por cada hora trabajada le pagan Q20.00. El esposo de doña Carmelina tiene un sueldo de Q3,600.00 al mes y su hijo José, que solo trabaja tres días a la semana, gana la mitad que su padre. Los tres aportan la totalidad de sus salarios. Con la información proporcionada responda las preguntas siguientes: a. ¿Cuánto dinero ingresa a la familia en dos semanas? b. La familia destina 1/4 de los ingresos de 15 días para pagar el alquiler de la casa; y para el gasto de la comida destinan Q250.00 semanales. ¿Cuánto habrán ahorrado cada dos semanas? Matemática − Semana 3 55 Desarrolle nuevas habilidades Método Tzeltal de la multiplicación Este método que se basa en las cifras del multiplicando y multiplicador para trazar líneas verticales y horizontales, para luego contar los puntos de intersección y obtener el resultado. Es una manera fácil y divertida de multiplicar. Preste, atención a los pasos y a la ilustración que se presentan en el ejemplo: Multipliquemos 24 × 12 • Observe que el multiplicando (24) está formado por los números 2 y 4. Para ello, trazamos 2 líneas horizontales y luego de un espacio mayor otras 4 líneas. 2 8 • Luego el multiplicador (12) formado por los números (1 y 2). Ahora trazamos 1 línea vertical y luego de un espacio mayor otras 2. 8 • Luego encerramos las intersecciones, como se muestra en la ilustración y contamos los puntos donde se intersecan para obtener el resultado. 24 × 12 = 288 Ahora aplique el mismo método para multiplicar 14 × 41 Revise su aprendizaje Después de estudiar... Marque con un cheque 56 la casilla que mejor indique su rendimiento. Aplico las propiedades de los números reales. Resuelvo operaciones combinadas. Repaso las leyes de la potenciación y de la radicación de números reales. Aplico los números reales en la resolución de problemas. Practico la multiplicación por medio del método Tzeltal. Desarrollo la agilidad de cálculo con operaciones combinadas. IGER − Polochic en no logrado proceso logrado 5 y 4 3 2 1 0 1 x2 2 3 + y2 4 x 4 –1 = i = r2 Números complejos ¿Qué encontrará esta semana? Raíces pares e impares Números complejos y operaciones aritméticas Cálculo mental de operaciones combinadas Problemas de secuencias lógicas Esta semana logrará: Identificar el conjunto de los números complejos. Obtener raíces pares e impares de números positivos y negativos. Escribir números complejos puros y en forma binomial. Determinar el conjugado de números complejos. Realizar operaciones aritméticas con números complejos. Resolver operaciones combinadas con agilidad. Matemática − Semana 4 57 ¡Para comenzar! Raíces pares e impares n a La semana anterior aprendimos sobre los números reales y la radicación. Estudiamos las raíces cuadradas y cúbicas, pero lo cierto es que las expresiones radicales pueden tener como índice cualquier número entero positivo. Las expresiones radicales que tienen como índice 2, 4, 6,… o cualquier número entero par positivo reciben el nombre de raíces pares. Ejemplos de raíces pares 25 = 5 4 6 porque 52 = 5 • 5 = 25 256 = 4 porque 44 = 4 • 4 • 4 • 4 = 256 1 1 = 64 2 porque ( 12 ) = ( 12 )( 12 )( 12 )( 12 )( 12 )( 12 ) = 641 6 Esto nos demuestra que las raíces pares de cualquier número real positivo da como resultado un número real no negativo. Por otra parte, las expresiones radicales que tienen como índice 3, 5, 7,… o cualquier número entero impar positivo, se le llaman raíces impares. Ejemplos de raíces impares 3 8 = 2 porque 23 = 2 • 2 • 2 = 8 3 –8 = –2 porque (–2)3 = (–2)(–2)(–2) = –8 5 243 = 3 porque (3)5 = 3 • 3 • 3 • 3 • 3 = 243 5 –243 = –3 porque (–3)5 = (–3)(–3)(–3)(–3)(–3) = –243 Podemos notar que la raíz impar de un número positivo es un número positivo y la raíz impar de un número negativo da como resultado un número negativo. ¡A trabajar! Responda: ¿Qué pasaría si a un número negativo se intentara extraerle una raíz par? Pruebe con cualquier cantidad y escriba su resultado. 58 IGER − Polochic El mundo de la matemática 1. Números complejos (ℂ) Hace mucho tiempo los matemáticos tuvieron un problema con los números reales, al tratar de resolver –4 , o una ecuación de la forma x2 = –25. Al hacer la comprobación entre las raíces pares con números negativos y la potenciación no llegaban al mismo radicando; esto porque cualquier número real elevado al cuadrado o a una potencia par no da como resultado un número negativo. Por ejemplo: –4 ≠ –2 ya que (–2)2 = (–2)(–2) = 4 –25 ≠ –5 ya que (–5)2 = (–5)(–5) = 25 A partir de la necesidad de dar solución a las raíces pares con radicandos negativos se creó un nuevo conjunto numérico: el conjunto de los números complejos, que es una extensión de los números reales y se representa con la letra ℂ. Para ello, los matemáticos introdujeron un nuevo símbolo denotado por i, llamado unidad imaginaria y que cumple con la condición siguiente: Los números complejos son de gran utilidad en ingeniería, física, electrónica y las telecomunicaciones. –1 = i es decir i 2 = –1 Ya con esta denotación pudieron dar solución a las raíces pares de números negativos, a los que llamaron números complejos puros; lo hicieron mediante el producto de un número real por la unidad imaginaria. Preste atención a los pasos que se emplean en los ejercicios siguientes: Obtengamos –9 = • Multiplicamos el radicando por (–1). 9(–1) = • Sustituimos (–1) por i2 . 9i2 = • Aplicamos la propiedad del producto de una raíz. 9 • i2 = • Extraemos raíz cuadrada a cada uno de los factores. 3i Obtengamos –100 = 100(–1) = • Multiplicamos el radicando por (–1). • Sustituimos (–1) por i2 . 100i2 = • Aplicamos la propiedad del producto de una raíz. 100 • i2 = • Extraemos raíz cuadrada a cada uno de los factores. 10i Matemática − Semana 4 59 Ejercicio 1 A. Resuelva las raíces pares de números positivos y haga la comparación con la potenciación. Tiene un ejemplo. 0) 256 = 1) 16 ; 16 2 = 256 6) 225 = ; = 9 = ; = 7) 400 = ; = 2) 16 = ; = 8) 900 = ; = 3) 81 = ; = 9) 121 = ; = 4) 144 = ; = 10) 3600 = ; = 5) 324 = ; = 11) 2500 = ; = B. Resuelva las raíces impares de números positivos y negativos. Haga la comparación con la potenciación. Tiene un ejemplo. 0) 3 27 = 3 ; 33 = 6) 3 ; = 1) 3 64 = ; = 7) 3 ; = 2) 5 32 = ; = 8) 5 = ; = 3) 125 = 3 ; = 9) 3 –125 = ; = 3 ; = 10) 3 ; = 7 ; = 11) 7 ; = 4) 1000 = 5) 2187 = 27 –27 = –64 = –32 –1000 = –2187 = C. Aplique sus conocimientos sobre raíces pares negativas en los casos siguientes. Guíese por el ejemplo. 0) –400 = 400(–1) = 400i2 = 400 • i2 = 20i 1) –16 = 2) –25 = 3) –36 = 4) –64 = 5) –169 = 6) –100 = 7) –196 = 60 IGER − Polochic 1.1 Potenciación de i La potenciación de i únicamente sigue un patrón que es útil reconocer. i1 = i i2 = –1 i3 = i2 • i = –1 • i = –i i4 = i3 • i = –i • i = –i2 = –(–1) = 1 i5 = i4 • i = 1 • i = i i6 = i5 • i = i • i = i2 = –1 Las anteriores se denominan potencias básicas de i, ya que a partir de i5 se repiten los resultados según el orden visto. 1.2 Forma binomial de un número complejo Aparte de los números complejos puros, los números complejos también se pueden combinar con los números reales para constituir los números complejos de forma binomial, representados así: a + bi Donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria. En este caso se dice que a es la parte real y bi la parte imaginaria. Veamos los siguientes ejemplos, en los que escribiremos los números complejos de forma binomial. 5 + –16 = 5 + 4i –9 + –81 = –9 + 9i 5 5 – –4 = – 2i 4 4 Atención: En la forma binomial no se puede sumar la parte real con la parte imaginaria. Ejercicio 2 Escriba los siguientes números complejos en forma binomial. 1) 3 + –9 = 5) 2 + –100 = 2) 8 + –36 = 6) – 1 + –1 = 2 3) –5 + –4 = 7) –8 – –16 = 4) 10 – –36 = 8) –15 + –8 = Matemática − Semana 4 61 2. Suma y resta de números complejos Con los números complejos, al igual que con los números reales, también se pueden realizar las operaciones aritméticas básicas. Aprendamos la suma y la resta. Preste atención a los pasos y a los ejemplos. 1. Escriba todos los números imaginarios en la forma bi. 2. Sume o reste las partes reales de los números complejos. 3. Sume o reste las partes imaginarias de los números complejos. 4. Escriba el resultado de la forma a + bi. Sumemos (3 + 2i) + (8 + 4i) = • Eliminamos los paréntesis. 3 + 2i + 8 + 4i = • Ordenamos los términos. 3 + 8 + 2i + 4i = • Reducimos términos semejantes. 11 + 6i Sumemos • Eliminamos los paréntesis. 8 – 2 + 5i – 10i = • Reducimos términos semejantes. 6 – 5i (–9 + 3i) – (6 – 8i) = • Eliminamos los paréntesis. –9 + 3i – 6 + 8i = • Ordenamos los términos. –9 – 6 + 3i + 8i = • Reducimos términos semejantes. Restemos –15 + 11i ( 14 – 3i1 ) – ( 16 – 2i1 ) = • Eliminamos los paréntesis. 1 1 1 1 – – + = 4 3i 6 2i • Ordenamos los términos. 1 1 1 1 – – + = 4 6 3i 2i • Reducimos términos semejantes. IGER − Polochic 8 + 5i – 2 – 10i = • Ordenamos los términos. Restemos 62 (8 + 5i) + (–2 – 10i) = 1 1 + 12 6i 3. Multiplicación de números complejos Ahora aprendamos a multiplicar números complejos. Al igual que en la suma y en la resta, debe seguir algunos pasos: 1. Escriba todos los números imaginarios en la forma bi. 2. Aplique la propiedad distributiva de la multiplicación. 3. Sustituya i2 por –1 donde aparezca. 4. Reduzca los términos semejantes y el resultado escríbalo de la forma a + bi. Veamos los ejemplos: Multipliquemos 7i(4 + 2i) = • Aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación. 7i(4) + 7i(2i) = 28i + 14i2 = • Sustituimos i2 por –1. 28i + 14(–1) = • Realizamos la operación. 28i – 14 = • Escribimos el resultado de la forma a + bi. –14 + 28i Multipliquemos –9 (5 – 3i) = • Primero, obtenemos la raíz de –9 . 3i(5 – 3i) = • Aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación. • Sustituimos i2 por –1. • Realizamos la operación. • Escribimos el resultado de la forma a + bi. –9 • –4 ≠ –9 • –4 15i – 9i2 = 15i – 9(–1) = 15i + 9 = 9 + 15i Multipliquemos (2 + 5i) (4 – 8i) = • Aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación. 8 – 16i + 20i – 40i2 = • Reducimos términos semejantes. 8 + 4i – 40i2 = • Sustituimos i2 por –1. 8 + 4i – 40(–1) = 8 + 4i + 40 = • Escribimos el resultado de la forma a + bi. Atención: en las raíces pares de números negativos no se cumple la propiedad del producto. 48 + 4i Matemática − Semana 4 63 ( 54 + 2i)( 12 – 3i) = Multipliquemos • Aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación. 5 15i 2i – + – 6i 2 = 8 4 2 5 11i – – 6i 2 = 8 4 • Reducimos términos semejantes. 5 11i – – 6(–1) = 8 4 • Sustituimos i 2 por –1. • Escribimos el resultado de la forma a + bi. 5 11i – +6= 8 4 53 11i – 4 8 Ejercicio 3 Realice las operaciones indicadas con números complejos y exprese su respuesta en forma binomial. 1) (8 + 3i) + (2 + 7i) = 2) (3 + 5i) – (9 – 2i) = 3) (–4 + 7i) – (1 – 3i) = 4) 5i(3 – 8i) = ( )( ) 1 4 5) (4 – 6i)(8 + 10i) = 6) + 2i – 5i = 2 3 64 IGER − Polochic 4. División de números complejos Los números complejos también se pueden dividir, pero antes de empezar a desarrollar esta operación es necesario que conozcamos un paso importante: aprender a racionalizar el denominador mediante el conjugado. Fijémonos en qué consiste este procedimiento. 4.1 Racionalización del denominador mediante el conjugado Racionalizar una expresión fraccionaria es una técnica matemática que toma el denominador de la fracción, se encuentra su conjugado y se multiplica por el numerador y denominador de la expresión inicial. En el caso de los números complejos, el conjugado se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria. Veamos algunos ejemplos: Número complejo Conjugado 7i –7i 3 + 2i 3 – 2i –4 – 5i –4 + 5i Ya sabidos de cómo se obtiene el conjugado de números complejos, veamos los pasos para realizar la división. 1. Cambie los números imaginarios a la forma bi. 2. Racionalice el denominador, multiplicando el numerador y denominador por el conjugado. 3. Sustituya i 2 por –1 donde aparezca. 4. Realice las operaciones necesarias y escriba la respuesta de la forma a + bi. Dividamos 1 3 + 2i ( ) • Multiplicamos el numerador y denominador por el conjugado. 1 3 – 2i 3 – 2i = 3 + 2i 3 – 2i 9 – 4i2 • Sustituimos i 2 por –1. 3 – 2i 3 – 2i = = 9 – 4(–1) 9 + 4 • Escribimos el resultado de la forma a + bi. 3 – 2i 3 2i = – 13 13 13 Recuerde que: (3 + 2i)(3 – 2i) = 9 – 4i 2 Matemática − Semana 4 65 Dividamos 5–i i ( ) • Multiplicamos el numerador y denominador por el conjugado. –5i + i 2 5 – i –i = –i 2 –i i • Sustituimos i 2 por –1. –5i + (–1) –5i – 1 = = –(–1) 1 • Escribimos el resultado de la forma a + bi. –5i 1 – = –1 – 5i 1 1 7–i Dividamos 1 – 5i ( 7 – i 1 + 5i = 1 – 5i 1 + 5i • Reducimos términos semejantes. 7 + 35i – i – 5i 2 7 + 34i – 5i 2 = = 1 – 25i 2 1 – 25i 2 • Sustituimos i 2 por –1 y operamos. 7 + 34i – 5(–1) 7 + 34i + 5 = = 1 – 25(–1) 1 + 25 • Reducimos términos semejantes. 12 + 34i 12 34i = + 26 26 26 • Escribimos el resultado de la forma a + bi. 6 17i + 13 13 Ejercicio 4 Divida los números complejos y exprese su respuesta en forma binomial. 1) 66 9+i 10 – 5i = 2) = i i IGER − Polochic ) • Multiplicamos el numerador y denominador por el conjugado. Resumen 1. El conjunto de los números complejos es una extensión de los números reales y sirve para darle solución a las raíces pares de números negativos. Para ello, los matemáticos introdujeron un nuevo símbolo denotado por i, llamado unidad imaginaria y que cumple con la condición siguiente: –1 = i y que i 2 = –1. 1.1 La potenciación de i sigue un patrón que se repite a partir de i 5. Sus potencias básicas son: i1 = i, i 2 = –1, i 3 = –i, i 4 = 1, i 5 = i. 1.2 Los resultados de las raíces pares de números negativos reciben el nombre de números complejos puros (bi) y a los que se combinan con los números reales se les llama forma binomial de un número complejo (a + bi). 2. Para sumar y restar números complejos es necesario operar las partes reales, luego sumar o restar las partes imaginarias y el resultado debe escribirse en forma binomial. 3. Para multiplicar números complejos se debe aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación, sustituir i 2 por –1, reducir términos semejantes y escribir el resultado en forma binomial. 4. Para dividir números complejos es necesario racionalizar el denominador mediante el conjugado, realizar las operaciones correspondientes, sustituir i 2 por –1 y escribir el resultado de la forma binomial. Investigue en la red... Para ampliar sus conocimientos y practicar las operaciones aritméticas con los números complejos, visite la siguiente dirección en internet: http://goo.gl/ihcT7R Matemática − Semana 4 67 Autocontrol Actividad 1. Demuestre lo aprendido A. Observe los números complejos. Luego, complete la tabla escribiendo la parte real y la parte imaginaria en cada casilla. Número complejo Parte imaginaria Parte real –14 + 8i 1.5 – 12i –5 + 18i –0.25 – 7i B. Escriba el conjugado para los números complejos siguientes. Tiene un ejemplo. 0) 5 – 8i = 5 + 8i 6) 3 + 6i = 1) 4i = 7) –5 – 4i = 2) 6i = 8) 16 – 9i = 3) –4i = 9) –15 – 6i = 4) –10i = 10) –19 + 14i = 5) –23i = 11) –24 – 12i = Actividad 2. Practique lo aprendido A. Escriba cada expresión como un número complejo de la forma a + bi. 1) 2 + –4 = 8) 49 + –49 = 2) –8 + –9 = 9) 5 + –9 = 7 1 + –81 = 4 10) – 49 + –49 = 4) 0.25 – –4 = 11) –15 – –169 = 5) –15 + –100 = 12) 8 + –121 = 3) 6) 5 – –256 = 2 7) 9 + –64 = 68 IGER − Polochic 3 3 13) –27 + –25 = 5 14) 32 – –16 = B. Sume o reste las expresiones siguientes. Luego, escriba el resultado sobre la línea. 1) 2i + 6i = 8) (6 + 9i) + (–1 – 7i) = 2) 2i + 9i = 9) (–3 + 6i) + (–5 + 4i) = 3) –8i – 3i = 10) (10 – 12i) + (0 + 2i) = 4) 15i – 6i = 11) (–12 – 7i) – (8 – i) = 5) –12i – 10i = 12) (9 – 3i) – (–9 + 3i) = 6) (3 + 2i) + (4 + 2i) = 13) (14 + 2i) – (1 – 6i) = 7) (–9 – 7i) + (3 + 8i) = 14) (18 – 4i) – (–6 – 21i) = C. Multiplique las expresiones siguientes en hojas aparte. Luego, escriba el resultado sobre la línea. 1) 5(2 + 3i) = 7) (–5 – 4i)(1 + 3i) = 2) –2(7 – 6i) = 8) (4 – 5i)(7 – 9i) = 3) 15(1 – 4i) = 9) (3 – 6i)(8 + 10i) = 4) –16(4 + 5i) = 5) –64 (–8 – 3i) = 6) (9 + 2i)(1 + 5i) = ( 13 – 2i)( 12 + 4i) = 7 6 2 7 11) ( + )(– – ) = 6i 5 3i 9 6 4 12) (– – 6i)(– + 10i) = 5 3 10) D. Divida los números complejos en su cuaderno. Luego, escriba el resultado sobre la línea. 1) 10 = 5i –3 7) = 1 + 6i 2) 3 4i = 2–i 8) = 3 + 4i 3) 8 = 3 + 2i 6+i = 9) 2 – 3i 4) 10 = 1 + 2i 10) 2 – 3i = 6 + 5i 5) 2 = 8+i 11) 1 – 7i = 4 + 2i 6) –5 = 4 + 3i 12) 3 + 5i = 5 – 3i Matemática − Semana 4 69 Agilidad de cálculo mental Resuelva las operaciones lo más rápido que pueda. Recuerde que para llegar a la respuesta correcta es necesario que respete la jerarquía de las operaciones. Hay un ejemplo para cada caso. A. 14 11) –4(8 – 2) = 1) 6(5 + 5) = 12) –2(15 – 4) = 2) 8(2 + 7) = 13) –5(10 – 3) = 3) 3(7 + 8) = 14) –9(20 – 0) = 4) 7(4 + 1) = 15) –6(18 – 3) = 5) 4(8 + 4) = 16) –8(14 – 7) = 6) 6(9 + 0) = 17) –2(25 – 5) = 7) 7(2 + 3) = 18) –4(16 – 4) = 8) 9(4 + 2) = 19) –20(8 – 3) = 9) 5(7 + 5) = 20) –25(18 – 16) = 10) 10(6 + 4) = 21) –40(22 – 18) = 0) 2(4 + 3) = B. 0) 24 ÷ (3 + 5) = 70 3 13) 12 – (36 ÷ 6) = 1) 50 ÷ (2 + 3) = 14) 10 – (24 ÷ 8) = 2) 49 ÷ (4 + 3) = 15) 19 – (54 ÷ 6) = 3) 30 ÷ (2 + 1) = 16) 18 – (30 ÷ 5) = 4) 64 ÷ (4 + 4) = 17) 20 – (48 ÷ 6) = 5) 66 ÷ (1 + 2) = 18) 50 – (50 ÷ 5) = 6) 81 ÷ (5 + 4) = 19) 25 – (49 ÷ 7) = 7) 63 ÷ (4 + 3) = 20) 15 – (81 ÷ 9) = 8) 40 ÷ (3 + 5) = 21) 29 – (63 ÷ 7) = 9) 18 ÷ (6 + 3) = 22) 80 – (90 ÷ 9) = 10) 56 ÷ (4 + 3) = 23) 65 – (45 ÷ 5) = 11) 36 ÷ (3 + 1) = 24) 95 – (40 ÷ 8) = 12) 88 ÷ (6 + 2) = 25) 15 – (21 ÷ 3) = IGER − Polochic Razonamiento lógico Este ejercicio de relojes pretende que seleccione y marque, de entre las cuatro opciones, el que indica la hora correcta y que completa la serie. Tome en cuenta que la lógica de la serie puede ser sumar o restar horas y minutos. Guíese por el ejemplo. 0) a b c d La respuesta correcta es c, ya que cada reloj tiene una secuencia de media hora. 1) a b c d a b c d a b c d a b c d a b c d 2) 3) 4) 5) Matemática − Semana 4 71 Desarrolle nuevas habilidades Cuadro mágico Para seguir ejercitando su habilidad de cálculo, le proponemos completar el siguiente cuadro mágico. Debe rellenar las casillas con los números del 1 al 9, sin repetirse y de tal manera que las operaciones combinadas cumplan con la igualdad. Le ayudamos con la primera fila. 8 × 2 + + 4 = 20 × × × – + = 20 + + = 20 × + = 20 = 20 = 20 Revise su aprendizaje Marque con un cheque la casilla que mejor indique su rendimiento. Después de estudiar... Identifico el conjunto de los números complejos. Obtengo raíces pares e impares de números positivos y negativos. Escribo números complejos puros y de la forma binomial. Determino el conjugado de números complejos. Realizo operaciones de suma, resta, multiplicación y división de números complejos. Resuelvo operaciones combinadas con agilidad. 72 IGER − Polochic en no logrado proceso logrado 5 y 4 3 2 1 0 1 x2 2 3 + y2 4 x 5 –1 = i = r2 Suma y resta de matrices ¿Qué encontrará esta semana? Sudoku: un juego de ingenio Matrices y su adición Multiplicaciones y simplificación de fracciones Juegos de sudoku Esta semana logrará: Conceptualizar qué es una matriz. Conocer e identificar las dimensiones de una matriz. Operar sumas y restas de matrices. Conocer las propiedades de la suma de matrices. Resolver multiplicaciones y simplificar fracciones con agilidad. Matemática − Semana 5 73 ¡Para comenzar! Sudoku: un juego de ingenio Quizás lo haya visto al estar hojeando un periódico, quizás ya lo haya resuelto alguna vez, nos referimos al sudoku, el popular juego que hace fundir nuestras neuronas. El sudoku es un enigma matemático publicado por primera vez a finales de los años setenta, se volvió popular en Japón hacia 1986 y se dio a conocer internacionalmente cerca de 2005. El objetivo del sudoku es rellenar una cuadrícula de 9 × 9 celdas, dividida en subcuadrículas de 3 × 3, llamadas "cajas" o "regiones", con los números del 1 al 9, partiendo de números que ya están colocados en algunas celdas. El truco está en que un mismo número no se debe repetir en una misma fila, columna o caja. Veamos un ejemplo y su solución: Inicio Solución 3 4 6 7 5 5 8 5 7 4 6 2 5 3 2 4 6 9 7 4 8 8 3 4 1 7 8 3 9 5 2 4 6 3 2 4 1 8 6 7 9 5 9 5 6 2 7 4 3 8 1 8 9 5 6 3 7 1 2 4 7 4 1 5 2 8 9 6 3 6 3 2 4 1 9 8 5 7 2 6 9 7 5 3 4 1 8 4 2 3 5 1 7 8 4 2 6 3 9 6 1 7 4 8 3 9 6 1 5 7 2 ¡A trabajar! Ahora le toca a usted. Resuelva el sudoku siguiente. Le recomendamos escribir con lápiz por si necesita corregir algún dato. 3 6 2 3 4 8 5 6 2 4 5 6 7 8 4 6 74 IGER − Polochic 7 9 2 3 3 7 5 9 3 7 4 8 9 7 1 3 9 8 8 4 9 8 9 5 3 7 6 2 6 El mundo de la matemática 1. Matrices Se nombra matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas; esto quiere decir que el sudoku con que nos entreteníamos en la sección anterior es una matriz. El orden o dimensión de una matriz se determina por su número de filas y columnas. Una matriz de dimensión m × n tiene m filas y n columnas. De esta forma, una matriz puede ser de orden: 2 × 3 (2 filas y 3 columnas), 4 × 6 (4 filas y 6 columnas), etc. Si la matriz tiene el mismo número de filas que de columnas, decimos que es una matriz cuadrada y se denomina de orden: 2, 3, 4... Cada uno de los números que conforma la matriz se denomina elemento. Un elemento se diferencia de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece. Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales. Un elemento cualquiera de la matriz, que se encuentra en la fila i y en la columna j, se denota por aij. Veámoslo gráficamente para entender mejor: a11 a21 ... A= a i1 ... am1 a12 ... a22 ... ... ... ai2 ... ... ... am2 ... a1j a2j ... aij ... amj ... ... ... ... ... ... a1n a2n ... ain ... amn Una matriz se nombra con una letra mayúscula. En la matriz A notamos su dimensión de m × n y sus elementos en filas i y columnas j. Ejercicio 1 Establezca la dimensión de las matrices dadas y escríbala en la línea correspondiente. Guíese por el ejemplo. 0) –1 0 2 7 –1 9 –6 4 2 1) 3×3 5 7 4 1 –1 4) 7 2 2) 8 0 1 –5 2 –3 2 8 7 –7 1 4 5 3) 9 7 5 4 5) 3 6 2 –5 8 –3 2 –2 4 3 –1 0 Matemática − Semana 5 75 2. Tipos de matrices 2.1 Matriz transpuesta Una matriz transpuesta (Et ) es la que se forma al cambiar ordenadamente las filas por las columnas de la matriz dada. 6 5 8 E = 9 1 0 3 1 4 6 9 3 E = 5 1 1 8 0 4 t 2.2 Matriz simétrica Una matriz es simétrica si es cuadrada y tiene la característica de ser igual a su transpuesta. –8 –1 3 A = –1 7 4 3 4 9 –8 –1 3 A = –1 7 4 3 4 9 t A = At 2.3 Matriz identidad Una matriz identidad es una matriz en cuya diagonal principal todos sus elementos son iguales a 1 y los demás elementos son 0 (cero). Se nombra con la letra I. 1 0 0 I= 0 1 0 0 0 1 2.4 Matriz invertible o no singular Una matriz invertible o no singular es aquella que tiene matriz inversa. La inversa de una matriz es otra matriz que multiplicada por la primera da como resultado la identidad. A • A–1 = A–1 • A = I Matriz inversa de A 2.5 Matriz singular Una matriz singular, no invertible o degenerada, es aquella que no tiene matriz inversa. 76 IGER − Polochic 3. Operaciones entre matrices Las operaciones que se pueden realizar entre matrices son la suma, la resta y la multiplicación. Esta semana aprenderemos el procedimiento para sumar y restar dos o más matrices. 3.1 Suma y resta Solamente las matrices que tienen la misma dimensión se pueden sumar o restar. La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las matrices que ocupan la misma posición; para restar se sigue el mismo proceso. Veamos con detenimiento: Si A = (aij)m×n y B = (bij)m×n entonces su suma es A + B = (aij + bij)m×n 2 0 1 A = 3 0 0 5 1 1 2+1 A+B= 3+1 5+1 0+0 0+2 1+1 1 0 1 B= 1 2 1 1 1 0 3 0 2 1+1 0+1 = 4 2 1 6 2 1 1+0 El procedimiento para restar es muy similar, observemos: 2–1 A–B= 3–1 5–1 0–0 0–2 1–1 1 0 0 1–1 0 – 1 = 2 –2 –1 4 0 1 1–0 No es necesario que las matrices sean cuadradas para poder sumarlas o restarlas, la única condición es que tengan las mismas dimensiones. También podemos operar más de dos matrices, veamos otro ejemplo: 3 2 5 5 –1 –2 X= X+Y+Z= X–Y–Z= Y= 0 –7 1 3 0 1 Z= –1 3 8 6 3 + 0 + (–1) 2 + (–7) + 3 5+1+1 5+3+8 (–1) + 0 + 6 (–2) + 1 + 0 3 – 0 – (–1) 2 – (–7) – 3 5–1–1 5–3–8 (–1) – 0 – 6 (–2) – 1 – 0 = = 1 0 2 –2 7 16 5 –1 4 6 3 –6 –7 –3 Matemática − Semana 5 77 Ejercicio 2 Siendo las matrices: 2 5 3 –4 A= –5 6 2 E = 1 –1 0 3 0 4 B= –3 –9 6 2 6 0 0 F = –9 –2 4 1 4 2 C= 5 –7 –1 0 5 1 1 G = 7 –1 4 3 –2 2 D= 6 4 0 –9 7 –7 9 H= 6 3 0 2 1 0 Resuelva las siguientes sumas y restas de matrices. Puede usar hojas aparte si lo necesita. Recuerde trabajar en orden. 1) A + B 6) F+G 2) A + D 7) E + H + G 3) A + C – D 8) G + H 4) C + D + A 9) E + F + G – H 5) E + F 78 IGER − Polochic 10) E + G – H 3.2 Propiedades de la suma de matrices La suma entre matrices tiene propiedades que son muy similares a las que poseen los números reales. Pongamos atención. Interna La suma o resta de dos o más matrices de orden m × n es otra matriz de orden m × n. Es decir, la matriz resultado será de las mismas dimensiones que las matrices que se operaron. (m × n) ± (m × n)= m × n 3 filas 0 –2 7 –4 7 –2 0 1 + 3 –1 = 3 0 2 2 4 –2 2 –4 2 columnas 3 filas 2 columnas 3×2=3×2 Asociativa La asociatividad nos dice que el resultado de la operación será el mismo sin importar el agrupamiento de los términos. A + (B + C) = (A + B) + C 2 8 6 –3 7 1 1 + –4 –2 + 0 1 1 –7 1 0 8 6 –3 7 1 1 + –4 –2 1 –7 1 0 2 + 0 1 4 1 1 7 17 = –3 0 3 –6 4 7 17 1 = –3 0 1 3 –6 Elemento neutro La matriz cero, denotada con la letra O, es una matriz en la que cada uno de sus elementos es cero. Esta matriz es el elemento neutro. A±O=A 0 1 2 –3 1 + 0 0 4 –2 0 1 2 0 = –3 1 0 4 –2 Matemática − Semana 5 79 Elemento opuesto La matriz opuesta es aquella en la que todos los elementos tienen el signo contrario respecto a una matriz original. Se representa antecediendo un signo menos al nombre de la matriz (–B, –A, –Z, etc). A + (–A) = O 0 –7 4 7 –4 –4 1 + 4 –1 = 0 0 –6 2 6 –2 0 0 0 Conmutativa Esta propiedad establece que al cambiar el orden de los sumandos, el resultado permanece invariable, es decir, no se modifica. A+B=B+A 7 –2 5 –8 5 –8 2 6 2 6 1 –3 + 9 7 = 10 4 = 9 7 + 1 –3 3 –8 2 –9 2 –9 1 1 1 1 Ejercicio 3 Resuelva las operaciones siguientes. Luego, escriba en el espacio correspondiente qué propiedad se evidencia. Guíese por el ejemplo. Propiedad 0) 80 0 3 5 2 –4 8 1 0 5 –6 + 0 4 –3 –3 1 –6 8 –7 1) 2 –4 8 –2 4 –8 0 4 –3 + 0 –4 3 = –3 1 –6 3 –1 6 2) 7 1 3 0 0 0 8 –4 0 5 + 0 0 0 = 0 0 0 6 7 IGER − Polochic 9 0 –9 11 –3 –1 + 7 –2 8 = 10 7 –1 1 1 1 3 10 –12 asociativa Resumen 1. Una matriz es un conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. El orden o dimensión de una matriz se determina por el número de filas y columnas que la componen. Una matriz m × n tiene m filas y n columnas. Si tiene el mismo número de filas que de columnas, decimos que es una matriz cuadrada. A cada número o expresión que forma la matriz le denominamos elemento. 2. Hay algunos tipos de matrices con características particulares: 2.1 Una matriz transpuesta (At ) es la que se forma al cambiar ordenadamente las filas por las columnas de la matriz dada. 2.2 Una matriz es simétrica si es cuadrada y es igual a su transpuesta. 2.3 Una matriz identidad es una matriz en cuya diagonal principal todos sus elementos son iguales a 1 y los demás elementos son 0 (cero). Se nombra con la letra I. 2.4 Una matriz no singular o invertible es aquella que tiene matriz inversa. 2.5 Una matriz singular no tiene inversa. 3. Las operaciones que se pueden hacer con matrices son la adición, la resta y la multiplicación: 3.1 Para sumar o restar matrices es necesario que tengan la misma dimensión. Para operar, se deben sumar los elementos de las matrices que ocupan la misma posición. Se pueden operar dos o más matrices. 3.2 La suma de matrices tiene las propiedades siguientes: • Es interna porque la matriz resultado será de las mismas dimensiones que las matrices que se operaron. • Es asociativa porque el resultado es el mismo sin importar cómo agrupemos los términos. • Tiene elemento neutro, conocida como matriz cero (O). • Tiene elemento opuesto, el cual es la matriz con los mismos elementos que la matriz original, pero con los signos contrarios. • Es conmutativa porque el resultado permanece invariable sin importar el orden en que operamos los términos. Investigue en la red... Le invitamos a que visite los siguientes sitios de internet. En el primero, podrá desarrollar su pensamiento analítico al mismo tiempo que se entretiene jugando sudoku. En la segunda y tercera dirección, encontrará ejercicios interactivos de la suma de matrices. • Sudoku en línea: goo.gl/kZ2YFx • Ejercicios. Adición y sustracción de matrices: goo.gl/w05hXH • Suma y resta de matrices: goo.gl/C3rxhX Matemática − Semana 5 81 Autocontrol Actividad 1. Demuestre lo aprendido A. Identifique la dimensión de las matrices siguientes. Escriba su respuesta en la línea correspondiente. 1) 3 2 3) 3 4 0 –9 –5 7 3 –8 1 0 6 –7 2 0 0 –3 2) 1 –7 4) 3 4 1 5 –7 0 8 1 B. Formule y escriba una matriz con el orden indicado. 1) 3 × 3 4) 1×3 2) 2 × 4 5) 3 × 1 3) 3 × 2 6) 2×1 C. Formule, escriba e identifique las matrices que se piden en cada inciso. Guíese por el ejemplo. Matriz transpuesta –1 3 –8 B = 0 –1 8 9 3 0 t 82 IGER − Polochic Matriz cuadrada Matriz identidad Actividad 2. Practique lo aprendido Resuelva las siguientes sumas y restas de matrices. Puede usar hojas aparte si las necesita. Recuerde trabajar ordenadamente. Su orientador puede solicitarle constancia de su procedimiento. Dadas las matrices siguientes: W = –4 2 0 1 1 8 1 –4 Y= 5 –8 7 1 –1 0 2 8 Z= –4 8 –8 1 9 7 –2 –1 Opere: 1) W + Y 2) (W + Z) – Y 3) Y + Z 4) W – Y + Z Dadas las matrices: –5 8 D= 0 1 –1 2 6 4 1 –2 4 –1 S = 7 –1 8 2 3 0 5) D + E 7 –5 0 E= 5 2 0 –7 8 9 6) D + S + E 7) S – E 8) E–D Matemática − Semana 5 83 Agilidad de cálculo mental A. En el espacio correspondiente, escriba el término faltante para que las multiplicaciones sean correctas. 1) 2 × =8 11) × 7 = 42 21) 4 × = 16 2) 3 × =9 12) × 9 = 45 22) 3 × =9 3) 8 × = 40 13) ×2=6 23) 8 × = 64 4) 3 × = 27 14) ×7=7 24) 1 × =0 5) 5 × = 15 15) × 6 = 42 25) 7 × = 14 6) 9 × = 18 16) ×2=4 26) 3 × = 21 7) 4 × = 12 17) × 8 = 72 27) 0 × =0 8) 6 × = 54 18) ×4=0 28) 5 × = 25 9) 9 × = 36 19) × 7 = 63 29) 2 × = 10 10) 3 × = 12 20) ×1=1 30) 6 × = 18 B. Simplifique las fracciones siguientes hasta su mínima expresión. Use fracciones impropias y enteros de ser necesario. 84 1) 6 = 8 9) 10 = 100 17) 36 = 6 2) 10 = 20 10) 2 = 6 18) 6 = 82 3) 22 = 33 11) 6 = 9 19) 15 = 72 4) 20 = 80 12) 9 = 15 20) 2 = 8 5) 14 = 7 13) 15 = 12 21) 4 = 18 6) 14 = 20 14) 7 = 49 22) 90 = 120 7) 5 = 25 15) 4 = 10 23) 11 = 99 8) 12 = 36 16) 8 = 72 24) 10 = 85 IGER − Polochic Razonamiento lógico Al inicio de esta semana aprendimos las reglas para jugar sudoku, juego que se ha convertido en un entretenimiento muy popular en los últimos años. Este juego no solo estimula la lógica, la memoria y la capacidad de concentración; recientemente, un estudio de la Universidad de Edimburgo, en Inglaterra, ha demostrado que el sudoku también ejercita nuestras neuronas, prolonga su tiempo de vida celular y las hace más resistentes a enfermedades como el Alzheimer. Con todas estas ventajas, ¿qué le parece si resolvemos unos juegos más? ¡Ánimo!, que están fáciles. 5 7 6 4 2 4 5 3 8 5 8 2 6 7 3 4 3 4 2 5 9 6 8 7 6 4 9 3 6 3 2 5 2 4 4 8 1 7 8 9 1 7 3 5 8 7 5 2 6 9 7 4 2 1 8 6 4 9 8 6 6 2 1 1 9 8 3 6 8 5 4 1 6 4 5 7 1 2 7 9 2 6 8 5 Matemática − Semana 5 85 Desarrolle nuevas habilidades El desarrollo de la inteligencia espacial es esencial para poder manejar y manipular con destreza lo relacionado al color, forma, línea, figura, espacio, y la relación que existe entre todos los anteriores. Ahora pondremos a trabajar nuestras habilidades espaciales. Observe la ilustración siguiente, luego, complétela dibujando la mitad que falta de una forma simétrica. Revise su aprendizaje Después de estudiar... Marque con un cheque 86 la casilla que mejor indique su rendimiento. Conceptualizo qué es una matriz. Conozco e identifico las dimensiones de una matriz. Opero sumas y restas de matrices. Conozco las propiedades de la suma de matrices. Resuelvo multiplicaciones y divisiones con agilidad. IGER − Polochic en no logrado proceso logrado 5 y 4 3 2 1 0 1 x2 2 3 + y2 4 x 6 –1 = i = r2 Multiplicación de matrices ¿Qué encontrará esta semana? El ajedrez y la leyenda de Sisa Multiplicación de matrices Ecuaciones de primer grado Series de figuras relacionadas Esta semana logrará: Conocer y aplicar las reglas para multiplicar una matriz por un número real. Practicar la multiplicación de una matriz por un número real. Conocer y aplicar las reglas para multiplicar matrices entre sí. Practicar la multiplicación entre matrices. Matemática − Semana 6 87 ¡Para comenzar! El ajedrez y la leyenda de Sisa El ajedrez es un juego entre dos personas, cada una cuenta con 16 piezas que se mueven sobre un tablero en forma matricial o de matriz de 8×8, con 64 cuadros. Se trata de un juego de estrategia en el que el objetivo es vencer o "derrocar" al "rey" del oponente. Sobre el origen del ajedrez han surgido muchas leyendas, una de ellas es la del sabio Sisa, leamos: En tiempos remotos, al noroeste de la antigua India, en lo que hoy sería Pakistán o Afganistán, vivía un poderoso y rico rey llamado Rai Bhalit. A pesar de su condición, el rey había perdido toda felicidad debido a la muerte de su hijo en la guerra. Devastado por esta tragedia, el rey se abandonó a sí mismo y descuidó su reino. Sus más cercanos consejeros y sirvientes se esforzaban por animarlo, invitaban bufones, bailarines y cantantes, pero nada funcionaba. Un viejo sabio llamado Sisa decidió crear un juego para devolver la felicidad a su rey y poder entretenerle. Luego de mucho trabajo y reflexión, Sisa se presentó frente al soberano para mostrarle el nuevo juego. Abrió una caja y apareció un tablero de madera con 64 casillas y 32 figuras del mismo material. Tras explicar las reglas al rey, se pusieron a jugar. Al gobernante le encantó el pasatiempo y jugó durante horas y días contra todo aquel que lo retara. Agradecido con Sisa, el rey le ofreció la recompensa que el sabio quisiese. En un principio, el sabio se negaba a aceptar regalos, pero luego de mucha insistencia, dijo: —"Señor, me conformaría con que me paguéis un grano de trigo por el primer cuadrado, dos por el segundo, cuatro en el tercero, etc." El rey accedió de inmediato, y mando a sus ayudantes a calcular el total de trigo y a entregárselo a Sisa. Sin embargo, luego de varios cálculos, la cifra total era de ¡18.4 trillones de granos de trigo! El rey quedó sorprendido porque ni con todas las cosechas del reino podría reunir tal cantidad. El sabio, satisfecho porque el rey era feliz de nuevo, con una sonrisa renunció al regalo. ¡A trabajar! Responda: ¿Qué le habría pedido usted al rey Rai Bhalit como recompensa? ¿Por qué? 88 IGER − Polochic El mundo de la matemática 1. Multiplicación de matrices En "La leyenda de Sisa" se hace evidente que la forma matricial tiene variedad de aplicaciones y usos, uno de estos es el tablero de ajedrez. La semana pasada aprendimos sobre las matrices, cómo sumarlas y restarlas; ahora veremos el procedimiento para multiplicar una matriz por un número real y por otra matriz. Vamos, que es fácil, pongamos atención. 1.1 Producto de un número real por una matriz Si tenemos una matriz A = (aij) y la multiplicamos por un número real k, la matriz resultante será una matriz de la misma dimensión que A y en la que cada elemento está multiplicado por k. Es decir, simplemente debemos multiplicar el número k por cada uno de los elementos de la matriz. Para esta operación, se pueden multiplicar matrices de cualquier orden. a b kA = k d e g h c ak f = dk i gk bk ek hk ck fk ik ¿Ya notó lo sencillo que es? Veamos unos ejemplos: 2 2H = 2 3 5 0 0 1 1 2•2 0 = 2•3 1 2•5 2•0 2•0 2•1 4 0 2 2•1 2•0 = 6 0 0 10 2 2 2•1 16 –24 0 –2 3 0 (–8) • (–2) (–8) • 3 (–8) • 0 8 (–8) • 9 (–8) • (–1) = –64 –72 –8W = –8 8 9 –1 = (–8) • 8 –8 0 –56 1 0 7 (–8) • 1 (–8) • 0 (–8) • 7 30 –25 5 6 –5 1 5 • 6 5 • (–5) 5 • 1 20 –10 5 • (–2) = 0 5B = 5 0 4 –2 = 5 • 0 5 • 4 5 5 5 1 1 1 5•1 5•1 5•1 Un último ejemplo antes de pasar a la práctica: –12 –15 4 5 (–3) • 4 (–3) • 5 (–3) • 4 = –9 –12 –3T = –3 3 4 = (–3) • 3 9 3 –3 –1 (–3) • (–3) (–3) • (–1) Matemática − Semana 6 89 Ejercicio 1 Es su turno, resuelva las multiplicaciones siguientes. 1) 5 –2 9 .–1 0 2) –2 9 4 1 4 3) 4) 5) 7) 90 1 5 –4 –7 0 4 3 2 4 1 –2 3 –1 –6 1 7 0 1 5 0 4 IGER − Polochic 2 1 –2 6 9 6) 19 10 –1 0 –1 –14 2 6 6 1 8 –10 3 7 0 1 8) 9 –4 6 9 0 1 –8 1 –10 7 1.2 Producto de matrices Primero, debemos tener claro que para que dos matrices (A y B) puedan multiplicarse, el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Si se cumple esta restricción, estamos listos para comenzar. A•B=C Am × n • Bn × p = El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos. No se preocupe, no es complicado, veamos: a b c r s t ar + bu + cx C = A • B = d e f • u v w = dr + eu + fx g h i x y z gr + hu + ix as + bv + cy ds + ev + fy gs + hv +iy at + bw + cz dt + ew + fz gt + hw + iz Como vemos en las matrices anteriores, se multiplica cada elemento de la primera fila de A por cada elemento de la primera columna de B. Al terminar esto, se suman los productos y así se obtiene el elemento c11 de la matriz C. Luego, volvemos a tomar la primera fila de A, pero ahora la multiplicamos por la segunda columna de B de la misma forma que lo hicimos anteriormente. Con esto obtenemos el elemento c12. Continuamos así hasta la última columna de B. Cuando hayamos acabado con la primera fila de A, pasamos a la siguiente fila y repetimos el mismo proceso. Así hasta terminar con todas las filas, obtendremos entonces nuestra matriz resultado. Observemos un ejemplo: G•D= 2 1 3 1 5 3 • 5 4 2 2 Comprobamos que el número de columnas de la matriz G (2 columnas) coincide con el número de filas de la matriz D (2 filas), por tanto, son multiplicables. 1. Multiplicamos la primera fila de G por la primera columna de D (elemento por elemento) y sumamos los resultados, con esto obtendremos el elemento c11 de la nueva matriz. G•D= 2 1 (2 • 1) + (3 • 4) 3 1 5 3 • = 5 4 2 2 2. Seguimos el procedimiento multiplicando la primera fila de G con la segunda columna de D. Con esto obtenemos el elemento c12 de la matriz resultado. 2 1 (2 • 1) + (3 • 4) 3 1 5 3 • = 5 4 2 2 (2 • 5) + (3 • 2) 3. Multiplicamos, de nuevo, la primera fila de G ahora con la tercera columna de D, la última. Al obtener c13 completamos la primera fila de la nueva matriz. 2 1 (2 • 1) + (3 • 4) 3 1 5 3 • = 5 4 2 2 (2 • 5) + (3 • 2) (2 • 3) + (3 • 2) Matemática − Semana 6 91 4. Ahora pasamos a la segunda fila de G, que la multiplicamos por la primera columna de D, obteniendo el elemento c21. 2 1 (2 • 1) + (3 • 4) 3 1 5 3 • = (1 • 1) + (5 • 4) 5 4 2 2 (2 • 5) + (3 • 2) (2 • 3) + (3 • 2) 5. Multiplicamos la segunda fila de G por la segunda columna de D. Obtenemos el elemento c22. 2 1 (2 • 1) + (3 • 4) 3 1 5 3 • = (1 • 1) + (5 • 4) 5 4 2 2 (2 • 5) + (3 • 2) (1 • 5) + (5 • 2) (2 • 3) + (3 • 2) 6. ¡Ya casi terminamos! Multiplicamos la segunda fila de G por la tercera columna de D, la última. Obtenemos el elemento c23. 2 1 (2 • 1) + (3 • 4) 3 1 5 3 • = (1 • 1) + (5 • 4) 5 4 2 2 (2 • 5) + (3 • 2) (1 • 5) + (5 • 2) (2 • 3) + (3 • 2) (1 • 3) + (5 • 2) 7. Para finalizar, operamos las multiplicaciones y las sumas. Con esto llegamos a nuestra matriz resultado. (2 • 1) + (3 • 4) (1 • 1) + (5 • 4) (2 • 5) + (3 • 2) (1 • 5) + (5 • 2) G•D= 2 1 (2 • 3) + (3 • 2) 14 16 12 = (1 • 3) + (5 • 2) 21 15 13 3 14 16 12 1 5 3 • = 5 21 15 13 4 2 2 Veamos otro ejemplo, ahora con dos matrices mismo procedimiento: 0 –2 1 4 F • R = 3 4 –1 • 5 2 0 2 3 de orden 3. Es exactamente el 3 –5 4 5 0 1 1. Multiplicamos la primera fila de F por cada una de las columnas de R y sumamos sus productos. Con esto obtendremos la primera fila de la nueva matriz. (0 • 4) + (–2 • 5) + (1 • 3) (0 • 3) + (–2 • –5) + (1 • 4) (0 • 5) + (–2 • 0) + (1 • 1) 0 –2 1 4 3 5 F • R = 3 4 –1 • 5 –5 0 = 2 0 2 3 4 1 2. Multiplicamos la segunda fila de F por cada una de las columnas de R y sumamos sus productos. Realizando lo anterior, obtendremos la segunda fila de la nueva matriz. (0 • 4) + (–2 • 5) + (1 • 3) (0 • 3) + (–2 • –5) + (1 • 4) (0 • 5) + (–2 • 0) + (1 • 1) 0 –2 1 4 3 5 F • R = 3 4 –1 • 5 –5 0 = (3 • 4) + (4 • 5) + (–1 • 3) (3 • 3) + (4 • –5) + (–1 • 4) (3 • 5) + (4 • 0) + (–1 • 1) 2 0 2 3 4 1 92 IGER − Polochic 3. Operamos la multiplicación de la tercera y última fila de F por cada una de las columnas de R y sumamos sus productos. Con esto obtendríamos la última fila de la matriz resultado. (0 • 4) + (–2 • 5) + (1 • 3) (0 • 3) + (–2 • –5) + (1 • 4) (0 • 5) + (–2 • 0) + (1 • 1) 0 –2 1 4 3 5 F • R = 3 4 –1 • 5 –5 0 = (3 • 4) + (4 • 5) + (–1 • 3) (3 • 3) + (4 • –5) + (–1 • 4) (3 • 5) + (4 • 0) + (–1 • 1) 2 0 2 3 4 1 (2 • 4) + (0 • 5) + (2 • 3) (2 • 3) + (0 • –5) + (2 • 4) (2 • 5) + (0 • 0) + (2 • 1) 4. Para finalizar, resolvemos las operaciones que quedan y llegamos a nuestro resultado final. (0 • 4) + (–2 • 5) + (1 • 3) (0 • 3) + (–2 • –5) + (1 • 4) (0 • 5) + (–2 • 0) + (1 • 1) –7 14 1 29 –15 14 = (3 • 4) + (4 • 5) + (–1 • 3) (3 • 3) + (4 • –5) + (–1 • 4) (3 • 5) + (4 • 0) + (–1 • 1) 14 14 12 (2 • 4) + (0 • 5) + (2 • 3) (2 • 3) + (0 • –5) + (2 • 4) (2 • 5) + (0 • 0) + (2 • 1) –7 14 1 0 –2 1 4 3 5 F • R = 3 4 –1 • 5 –5 0 = 29 –15 14 14 14 12 2 0 2 3 4 1 ¡Un consejo! Si al inicio se le dificulta ubicarse en las filas y columnas que debe operar para calcular algún elemento de la matriz resultado, puede utilizar la técnica que le mostraremos a continuación. Observe el ejemplo. 5 6 5 6 9 A•B= 2 3 • 1 2 –2 6 2 Lo que hacemos es formar 3 tablas, una para la matriz A, otra para la matriz B y una para la matriz resultado (C). Las formamos con las filas y columnas alineadas, tal como se muestra en la figura de la derecha. Por ejemplo, si queremos hallar el elemento C11, debemos operar la fila y columna que se alinean con esta casilla. En este caso sería la primera fila de A y la primera columna de B. B 5 6 9 1 2 –2 5 A 2 6 6 3 2 C B 5 6 9 1 2 –2 5 A 2 6 6 3 2 31 42 33 13 18 12 32 40 50 C Esta figura nos ayuda a guiarnos sobre qué columnas y qué filas debemos operar para obtener un determinado elemento de C. Con la práctica, se volverá más ágil y ya no necesitará guiarse de esta forma. Matemática − Semana 6 93 Ejercicio 2 Ahora le toca practicar a usted. Resuelva las multiplicaciones siguientes. Utilice hojas aparte y escriba su respuesta en el espacio correspondiente. Trabaje en orden y limpieza, su orientador podría pedirle constancia de sus procedimientos. 2) –4 0 –3 4 • 1 2 –2 1 1) 3 2 3 5 • –1 0 1 5 3) 0 1 5 –1 4) • –2 1 1 1 5) 6) 3 4 2 –1 2 3 –2 –4 –2 • –1 1 6 –2 • –5 0 –1 0 3 –3 0 –4 3 2 0 1 4 –1 2 4 • –3 3 3 –2 –1 2 7 8) 3 –5 1 3 –5 7) 0 1 5 2 6 1 • 1 4 1 5 0 –1 • 4 0 0 3 –1 2 –2 9 3 –2 1 1 –4 –2 3 –4 9) 1 1 1 2 0 1 • 0 4 –5 3 4 –1 7 0 –4 94 IGER − Polochic 1 6 –3 10) 2 –2 8 1 0 7 • –2 –1 0 0 2 0 7 2 1 1 6 2 Resumen 1. La multiplicación o producto de matrices es una operación que puede efectuarse entre dos matrices o bien entre una matriz y un número real o escalar. Para resolver este procedimiento debemos guiarnos por determinadas reglas. 1.1 Para multiplicar una matriz por un número real se debe multiplicar ese número por cada uno de los elementos de la matriz. Se puede multiplicar una matriz de cualquier orden. a b kA = k d e g h c ak f = dk i gk bk ek hk ck fk ik 1.2 Para multiplicar dos matrices entre sí, nos apoyamos en el procedimiento siguiente: • Se comprueba que el número de columnas de la primera matriz (A) coincida con el número de filas de la segunda (B). De lo contrario, no se pueden operar. • Se multiplica la primera fila de A por la primera columna de B. Primer elemento por primero, segundo por segundo, etc. y sumamos los productos. Con esto conseguimos el primer elemento de la matriz resultado. • Seguimos multiplicando la primera fila de A por las siguientes columnas de B. • Repetimos el procedimiento con las siguientes filas de A y cada columna de B. • Luego de terminar con todas las filas de A, llegamos al resultado final. a b c r s t ar + bu + cx C = A • B = d e f • u v w = dr + eu + fx g h i x y z gr + hu + ix as + bv + cy ds + ev + fy gs + hv +iy at + bw + cz dt + ew + fz gt + hw + iz Investigue en la red... Le animamos a que observe los videos siguientes sobre la multiplicación de matrices, estos le pueden servir para aclarar alguna duda. Recuerde que si le queda alguna inquietud, siempre puede consultarla con su orientador en el círculo de estudio. • Multiplicación de una matriz por un número real: goo.gl/vXxV9R • Multiplicación de matrices: goo.gl/5rp0vc goo.gl/C2Jd5Z También le presentamos algunos ejercicios extra para que practique lo que ha aprendido esta semana: • Producto de matrices de orden 3: goo.gl/hxky0S Matemática − Semana 6 95 Autocontrol Actividad 1. Demuestre lo aprendido Escriba "falso" o "verdadero" según corresponda en cada enunciado. 1) Un número real puede ser multiplicado por una matriz de cualquier orden. 2) Si una matriz A tiene 2 columnas y una matriz B tiene 2 filas, se pueden multiplicar. 3) Si una matriz R tiene 3 columnas y una matriz M tiene 4 filas, se pueden multiplicar. 4) Si una matriz T tiene 2 columnas y una matriz H tiene 2 filas, no se pueden multiplicar. Actividad 2. Practique lo aprendido A. Resuelva las multiplicaciones siguientes. Trabaje en orden. 1) –2 3 2 2) 5 1 2 –5 4 –4 1 3) –7 3 0 2 4) 0 1 7 1 4 –2 3 –3 2 4 3 –2 5) –1 0 2 6) 5 0 1 4 4 –5 6 –8 –8 2 0 1 0 3 1 1 9 96 IGER − Polochic B. Resuelva las multiplicaciones siguientes. Trabaje en orden, puede utilizar hojas aparte si lo necesita. Recuerde que su orientador puede solicitarle constancia de sus procedimientos. 1) 3 2 3 5 2) –2 8 1 2 • • –1 0 1 5 3 0 0 –2 3) 1 –6 0 2 4) 0 –1 • 4 8 5 5 –4 0 2 • 1 –3 3 –1 3 7 5) 3 –2 6) 3 5 –1 3 1 –2 0 –1 • • –1 1 2 1 1 0 1 2 0 –3 4 3 4 7) 2 3 –2 2 1 8) –8 0 9 0 1 0 • 0 –4 1 5 –7 • 1 7 –4 0 3 3 2 1 0 2 9) 2 –1 3 7 1 –2 1 0 4 • –1 1 2 7 2 1 2 3 –5 2 –2 1 1 3 0 0 0 1 10) 9 –1 1 –4 8 2 • 9 –7 8 0 0 3 –2 3 –1 Matemática − Semana 6 97 Agilidad de cálculo mental A. Resuelva las ecuaciones lineales siguientes. Escriba el valor de la incógnita en la línea correspondiente. 1) x + 3 = 9 x= 12) 15 – x = 9 x= 2) x – 8 = 5 x= 13) 10 + x = 12 x= 3) x + 7 = 15 x= 14) –2 + x = 2 x= 4) x + 10 = –2 x= 15) 1 + x = 5 x= 5) x – 8 = 11 x= 16) –6 – x = –3 x= 6) x – 7 = 0 x= 17) 0 – x = 1 x= 7) x – 0 = 1 x= 18) 10 + x = 10 x= 8) x + 9 = 9 x= 19) 2 – x = 0 x= 9) x + 4 = 11 x= 20) –8 – x = 4 x= 10) x + 8 = 16 x= 21) 4 + x = 1 x= 11) 8 – x = 2 x= 22) 9 – x = –7 x= B. Resuelva las ecuaciones lineales siguientes. Escriba el valor de la incógnita en la línea correspondiente. 98 1) 8y = 16 y= 12) –7y = 49 y= 2) 4y = 20 y= 13) 8y = 64 y= 3) –9y = 54 y= 14) –2y = –8 y= 4) 3y = 12 y= 15) –y = –1 y= 5) 5y = –25 y= 16) 10y = 0 y= 6) –2y = 2 y= 17) 2y = –12 y= 7) 7y = 35 y= 18) –3y = –9 y= 8) –4 = 20 y= 19) 3y = –9 y= 9) 11y = –99 y= 20) 7y = –56 y= 10) –8y = –40 y= 21) –6y = 48 y= 11) 6y = 18 y= 22) 5y = 35 y= IGER − Polochic Razonamiento lógico A continuación encontrará once ítems. En cada uno aparecen cuatro figuras, tres de ellas guardan una relación de algún tipo. Usted debe identificar la figura que no está relacionada y circularla. Guíese por el ejemplo. Esta prueba le ayudará a desarrollar su capacidad de análisis y razonamiento. 0) a. 1) a. 2) a. b. c. d. b. c. d. b. c. d. 3) a. b. c. d. 4) a. b. c. d. 5) a. b. c. d. 6) a. b. c. d. 7) a. b. c. d. 8) a. b. c. d. 9) a. b. c. d. 10) a. b. c. d. Matemática − Semana 6 99 Desarrolle nuevas habilidades Para el desarrollo del razonamiento abstracto y lógico se emplean las pruebas con matrices, pues requieren el correcto manejo e identificación de los elementos que forman la matriz y el análisis para descubrir el elemento que sigue el patrón. A continuación, usted encontrará cuatro incisos con matrices de 3 × 3; deberá elegir de entre las opciones el elemento que hace falta en la casilla vacía y circularlo. 1) 1 4 1 3 1 3 4 1 a. 1 c. 5 b. 4 d. 2 2) a. c. b. d. 3) 4) 7 16 8 5 13 4 4 8 a. c. b. d. a. 6 c. 3 b. 21 d. 9 Revise su aprendizaje Después de estudiar... Marque con un cheque 100 la casilla que mejor indique su rendimiento. Conozco y aplico las reglas para multiplicar una matriz por un número real. Practico la multiplicación de una matriz por un número real. Conozco y aplico las reglas para multiplicar matrices entre sí. Practico la multiplicación entre matrices. IGER − Polochic en no logrado proceso logrado 5 y 4 3 2 1 0 1 x2 2 3 + y2 4 x 7 –1 = i = r2 Sucesiones matemáticas ¿Qué encontrará esta semana? La sucesión de Fibonacci Sucesiones aritméticas y geométricas Ecuaciones de primer grado Series numéricas Esta semana logrará: Comprender las características de una sucesión aritmética. Calcular el término faltante en una sucesión aritmética. Comprender las características de una sucesión geométrica. Calcular el término faltante en una sucesión geométrica. Resolver problemas empleando las sucesiones matemáticas. Resolver ecuaciones de primer grado con agilidad. Matemática − Semana 7 101 ¡Para comenzar! La sucesión de Fibonacci Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci, fue un destacado matemático italiano que vivió en el siglo XIII. Entre sus contribuciones al campo de los números se encuentra la sucesión de Fibonacci, una secuencia de números que inicia en 1 y se extiende hasta el infinito. Veamos algunos de sus primeros elementos: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... Como mencionamos, la sucesión comienza con los números 1 y 1, y a partir de estos, cada término es la suma de los dos anteriores. 1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21, 13 + 21 = 34... Lo sorprendente de esta construcción matemática es que se presenta recurrentemente en la naturaleza. Aparece en la distribución de las ramas de los árboles, en la formación de las hojas de un tallo, en la reproducción de los conejos, en los frutos de la piña tropical, en la disposición de las semillas en numerosas flores, entre muchos otros casos. Por ejemplo, las hojas de una planta nunca crecen directamente una abajo de otra, brotan en forma de espiral con una configuración que sigue la secuencia Fibonacci. Otro ejemplo es el patrón en que se reproducen los conejos, una pareja de estos animales tarda un mes en llegar a su edad fértil, a partir de ese momento cada mes engendrará a otra pareja de conejos, que a su vez, luego de llegar a la edad de fertilidad, tendrá otra pareja más, y así sucesivamente. ¡A trabajar! Empleando el internet o algún otro recurso, investigue otro logro del matemático Leonardo de Pisa. Escriba sus hallazgos en las líneas siguientes: 102 IGER − Polochic El mundo de la matemática 1. Sucesiones matemáticas Así como pudimos notar en la sección anterior, una sucesión matemática es un conjunto ordenado de números. Cada uno de estos números se denomina "término", "elemento" o "miembro", y al número total de elementos que compone la sucesión se le llama "longitud", esta puede ser finita o infinita. 10 20 30 40 50 1.º término 2.º término 3.º término 4.º término 5.º término Hay varios tipos de sucesiones matemáticas, que siguen diferentes patrones, nosotros estudiaremos dos: las sucesiones aritméticas y las sucesiones geométricas. 1.1 Sucesiones aritméticas Una sucesión o progresión aritmética es una serie de números tales que cada uno de ellos, exceptuando el primer término, se obtiene sumando o restando una cantidad fija al término anterior, a esta cantidad constante se le conoce como diferencia y se representa con la la letra d. a1 a2 a3 a4 a5 ... an ±d ±d ±d ±d... En donde la letra "a" representa cada término y su subíndice indica la posición que ocupa en la progresión. Observemos el ejemplo siguiente: 4 8 12 16 20 24 +4 +4 +4 +4 +4 Para calcular la diferencia debemos restar dos términos consecutivos. Dependiendo si la diferencia (d ) de una progresión aritmética sea positiva, nula o negativa, decimos: • d > 0: progresión creciente. Cada elemento es mayor que el anterior. Ejemplo: 10, 20, 30, 40... (d = 10) • d = 0: progresión constante. Todos los términos son iguales. Ejemplo: 9, 9, 9, 9, 9... (d = 0) • d < 0: progresión decreciente. Cada elemento es menor que el anterior. Ejemplo: 10, 8, 6, 4, 2, 0, –2, –4, –6... (d = –2) Matemática − Semana 7 103 Término general de una sucesión aritmética Para calcular el valor de un elemento desconocido en una sucesión aritmética, utilizamos la fórmula del término general, la cual nos permite averiguar cualquier término de una sucesión si conocemos el primero de ellos y su diferencia. La fórmula del término general de una progresión aritmética es: an = a1 + (n – 1)d En la cual an representa el término que queremos averiguar de acuerdo a su posición; n es la posición que ocupa an y a1 es el primer término de la sucesión. Veamos un ejemplo. Encontremos qué número ocupa la posición 49 en la sucesión siguiente: 19, 30, 41, 52, 63... a49 • Para hallar el término general, sustituimos la diferencia (d = 11) y el primer término (a1 = 19) en la fórmula que vimos arriba. Luego, operamos. an = a1 + (n – 1)d an = 19 + (n – 1)11 • Encontramos así el término general para esta serie; con esta expresión podemos averiguar cualquier término con tan solo remplazar n por el número de posición que ocupa. an = 19 + 11n – 11 • Como queremos encontrar el elemento a49 , hacemos las sustituciones necesarias y operamos. a49 = 8 + 11(49) an = 8 + 11n a4 9 = 547 El elemento que ocupa la posición 49 es 547. Con la fórmula del término general también podemos calcular la diferencia y el primer término de una progresión, solamente debemos despejar la variable que nos interesa. Veamos un último ejemplo. Encontremos el primer término de una sucesión cuyo término a8 9 es 1078 y su diferencia es 12. • Despejamos la fórmula del término general en función de a1. a1 = an – (n – 1)d • Sustituimos los datos y operamos. a1 = a89 – (89 – 1)12 a1 = 1078 – 1056 104 IGER − Polochic Encontramos que el primer término es 22. a1 = 22 Suma de los términos en una progresión aritmética Para facilitar el proceso de sumar los elementos de una sucesión aritmética, empleamos la fórmula siguiente: s= (a1 + an )n 2 En donde a1 es el primer término de la serie, n es la posición hasta la cual queremos sumar y an es el valor del término que ocupa esa posición. Pongamos atención al ejemplo. Sumemos hasta el término a50 0 de una sucesión cuyo primer elemento es 150 y su diferencia es 25. • Primero, encontramos el valor del término a50 0 a50 0 = a1 + (n – 1)d a50 0 = 150 + (500 – 1)(25) a5 0 0 = 12 625 • Luego, aplicamos y operamos la fórmula para sumar todos los términos hasta a50 0 (150 + 12 625)(500) 2 s = 3 193 750 s= La suma total hasta el elemento 500 de la sucesión es 3 193 750. Ejercicio 1 A. Calcule la diferencia de las sucesiones siguientes. Luego, escriba si son crecientes, constantes o decrecientes. Guíese por el ejemplo. 0) 17, 11, 5, –1, –7, –13, –19... d = –6, es decreciente 1) 33, 46, 59, 72, 85, 98... 2) 2.5, 2, 1.5, 1, 0.5, 0, –0.5, –1... 3) 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8... 4) 135, 119, 103, 87, 71... 5) 100, 107, 114, 121, 128... 6) 43, 43, 43, 43, 43... 7) 36, 30.5, 25, 19.5, 14... 8) 18, 24, 30, 36, 42, 48... Matemática − Semana 7 105 B. Calcule el término que se le pide en cada una de las sucesiones siguientes. 1) a43 de la sucesión: 24, 28, 32, 36, 40... a43 = 2) a99 de la sucesión: 57, 47, 37, 27, 17... a99 = 3) a101 de la sucesión: 15, 10.5, 6, 1.5, –3... a101 = 4) a1 de una sucesión con d = 23 y a35 = 104 a1 = 5) d de una sucesión con a1 = 3 y a56 = 690.5 d = 6) a67 de una sucesión con a1 = 34 y d = 7 a67 = 7) d de una sucesión con a1 = 56 y a196 = –1504 d = 8) a1 de una sucesión con d = –9.5 y a150 = 295 a1 = C. Calcule la suma de los elementos en las progresiones siguientes. Puede trabajar en hojas aparte si es necesario. Recuerde trabajar en orden y dejar constancia de su procedimiento. 1) Sumatoria hasta el elemento a200, a1 = 25 y d = 12 a200 = s= 2) Sumatoria hasta el elemento a150, a1 = 5 y d = 10 a150 = s= 3) Sumatoria hasta el elemento a75, a1 = 13 y d = 15 a75 = s= 4) Sumatoria hasta el elemento a300, a1 = 24 y d = 8 a300 = s= 5) Sumatoria hasta el elemento a125, a1 = 32 y d = 2 a125 = s= s= s= 6) Sumatoria hasta el elemento a50, a1 = 5 y d = 19 a50 = 7) Sumatoria hasta el elemento a225, a1 = 3 y d = 3 a225 = 8) Sumatoria hasta el elemento a100, a1 = 10 y d = 7 106 IGER − Polochic a100 = s= 1.2 Sucesiones geométricas Una sucesión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad fija denominada razón (r). 2 6 ×3 18 ×3 54 ×3 162 ×3 486 ... ×3 La razón se obtiene dividiendo dos elementos consecutivos de la serie. En este tipo de sucesión, ya no es posible calificar una sucesión geométrica como creciente, decreciente o constante de acuerdo al signo de su razón. Ahora, si la razón es una fracción propia, la progresión es decreciente; si su razón toma el valor de la unidad, es constante. Si r es un número entero positivo, la sucesión será creciente y si es un número entero negativo, la progresión irá variando de signo con cada elemento. Término general de una sucesión geométrica De forma similar que con las progresiones aritméticas, se puede obtener el valor de un elemento determinado de la secuencia mediante la fórmula del término general: an = a1 • r (n – 1) En donde an es el elemento que se desea conocer, n es la posición que ocupa este término; a1 es el primer elemento y r, la razón. Los pasos para calcular un término desconocido son muy parecidos a los que seguimos con las progresiones aritméticas. Pongamos atención a un ejemplo. an r = n–1 a 1 Encontremos qué número ocupa la posición 13 en la sucesión siguiente: 2, 6, 18, 54, 162, 486... • Calculamos la razón (r) para esta serie dividiendo dos términos consecutivos. • Ahora, remplazamos el primer término (a1) y la razón en la fórmula. Con esto obtenemos el término general. • Por último, sustituimos n, es decir, el número de posición que ocupa el término que queremos hallar y operamos. Recuerde que con la fórmula del término general también podemos calcular la razón y el primer término de una progresión, solo basta con despejar la variable que nos interesa. Por ejemplo: 6 =3 2 r=3 an = a1 • r (n – 1) an = 2 • 3(n – 1) an = 2 • 3(n – 1) a13 = 2 • 3(13 – 1) a13 = 1 062 882 El término que ocupa la posición 13 es 1 062 882. Matemática − Semana 7 107 Suma de los términos en una progresión geométrica Al igual que como aprendimos con las sucesiones aritméticas, si deseamos sumar los términos de una progresión geométrica, podemos facilitar nuestro trabajo empleando la fórmula siguiente: s= (an • r) – a1 r–1 En donde an es el valor del término que ocupa la posición hasta donde queremos sumar; r es la razón geométrica y a1 es el primer término. Comprenderemos mejor con un ejemplo. Sumemos hasta el término a15 de una sucesión cuyo primer elemento es 3 y su razón es 2. • Primero debemos encontrar el valor del elemento a15 a15 = a1 • r (n – 1) a15 = 3 • 2(15 – 1) a15 = 49 152 • Ahora, aplicamos y operamos la fórmula para sumar todos los elementos hasta a15 La sumatoria de los elementos hasta a15 es 98 301. ¿Ya ve que es muy fácil? s= (a15 • r) – a1 r–1 s= (49 152 • 2) – 3 2–1 s = 98 301 Ejercicio 2 A. Calcule las razones para las sucesiones siguientes. Luego, escriba si son crecientes, decrecientes o constantes. Guíese por el ejemplo. r = 1 , decreciente 0) 500, 100, 20, 4, 0.8... 5 1) 2, 8, 32, 128, 512, 2048... 2) 3, 9, 27, 81, 243, 729... 3) 1000, 500, 250, 125... 4) 1, 5, 25, 125, 625, 3125... 5) 13, 13, 13, 13, 13, 13... 6) 1000, 200, 40, 8... 7) 8, 48, 288, 1728... 8) 50, 5, 0.5, 0.05, 0.005... 108 IGER − Polochic B. Calcule el término que se le pide en cada una de las sucesiones siguientes. Puede aproximar sus respuestas según crea conveniente. 1) a10 de la sucesión: 2, 4, 8, 16, 32... a10 = 2) a15 de la sucesión: 1, 3, 9, 27, 81... a15 = 3) a7 de la sucesión: 500, 1000, 2000... a7 = 4) a5 de la sucesión: 90, 30, 10... a5 = 5) a13 de la sucesión: 3, –9, 27, –81, 243... a13 = 6) a1 de una sucesión con r = 5 y a7 = 109 375 a1 = 7) La razón de una sucesión con a1 = 4 y a5 = 324 r = 8) La razón de una sucesión con a1 = 8 y a5 = 10 368 r = 9) a7 de la sucesión: 7, –56, 448, –3584... a7 = 10) a1 de una sucesión con r = 6 y a8 = 1 399 680 a1 = C. Calcule la suma de los elementos en las progresiones siguientes. Puede trabajar en hojas aparte si es necesario. Recuerde trabajar en orden y dejar constancia de su procedimiento. 1) Sumatoria hasta el elemento a9, a1 = 7 y r = 3 a9 = s= 1 2 s= 2) Sumatoria hasta el elemento a8 , a1 = 100 000 y r = a 8 = 3) Sumatoria hasta el elemento a15, a1 = 9 y r = 2 a15 = s= 4) Sumatoria hasta el elemento a5, a1 = 25 y r = 7 a 5 = s= 5) Sumatoria hasta el elemento a6 , a1 = 7 y r = 8 a6 = s= 6) Sumatoria hasta el elemento a12 , a1 = 4 y r = 3 a12 = s= Matemática − Semana 7 109 Aplicaciones de las sucesiones aritméticas y geométricas Las áreas en las que podemos aplicar nuestros conocimientos sobre sucesiones matemática son muy variadas. Por ejemplo: En la banca, los inversionistas y las personas que tienen cuentas bancarias, pueden calcular las ganancias potenciales sobre un negocio empleando las progresiones aritméticas. En los deportes, en diversas disciplinas, como el tenis, se emplean las sucesiones geométricas y aritméticas para analizar las posibles estrategias que un jugador puede tomar en un partido. En la ingeniería, los núcleos de un material radiactivo se desintegran en forma uniforme en un determinado período de tiempo, este cálculo puede ser descrito por una progresión geométrica. Por tanto, podemos resolver muchos problemas con tan solo poder identificar correctamente los datos de la progresión y aplicar las fórmulas que practicamos. Ejercicio 3 Resuelva los problemas siguientes empleando lo aprendido sobre progresiones aritméticas y geométricas. Le aconsejamos primero identificar y clasificar los datos del problema. 1) La dosis de un medicamento es de 500 mg el primer día y 15 mg menos cada uno de los días siguientes. a. Si el tratamiento dura 25 días, ¿cuántos miligramos tomará el enfermo en el último día? b. ¿Cuántos miligramos habrá tomado el enfermo a lo largo de todo el tratamiento? 2) Un tipo de bacteria se reproduce duplicándose cada media hora. Si en la primera media hora se observan 1000 bacterias, ¿cuántas habrán luego de 5 horas? 3) Los vecinos de una comunidad deciden ahorrar para construir un salón de usos múltiples. El primer día depositan Q150.00 en una alcancía y cada día duplican la cantidad depositada el día anterior. ¿Cuánto dinero tendrán que depositar el séptimo día? 4) Si colocáramos Q4,000.00 en una cuenta de ahorro en la que ganaríamos Q4.50 por cada día que pase el dinero depositado, ¿cuánto dinero habría luego de 180 días? 5) La población de pollos de una granja se triplica cada año. Si después de 5 años hay 4536 animales, ¿cuántos había en el primer año? 6) Si el lunes usted ganó Q55.00 y en los días siguientes ganó el doble del anterior. a. ¿Cuánto ganó el sábado? b. ¿Cuánto ganó en total de lunes a sábado? 110 IGER − Polochic Resumen 1. Una sucesión matemática es un conjunto ordenado de números. Cada uno de estos números se denomina "término", "elemento" o "miembro", y al número total de elementos que compone la sucesión se le llama “longitud”, esta puede ser finita o infinita. 1.1 Una sucesión o progresión aritmética es una serie de números tales que cada uno de ellos, exceptuando el primer término, se obtiene sumando o restando una cantidad fija al término anterior, a esta cantidad constante se le conoce como diferencia y se representa con la la letra d. 13 24 +11 35 +11 46 +11 57 +11 68 ... +11 La fórmula del término general para una sucesión aritmética nos permite averiguar cualquier término de una sucesión si conocemos el primero de ellos y su diferencia. an = a1 + (n – 1)d Para facilitar el proceso de sumar los elementos de una sucesión aritmética, empleamos la fórmula siguiente: s= (a1 + an )n 2 1.2 Una sucesión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad fija denominada razón (r). 8 24 ×3 72 ×3 216 ×3 648 ×3 1944 ... ×3 La fórmula del término general para una sucesión geométrica nos permite averiguar cualquier término de una sucesión si conocemos el primero de ellos y la razón. an = a1 • r (n – 1) Para facilitar el proceso de sumar los elementos de una sucesión geométrica, empleamos la fórmula siguiente: s= (an • r) – a1 r–1 Investigue en la red... Si desea saber un poco más sobre la sucesión Fibonacci, le invitamos a que visite las páginas web siguientes: • ¿Qué es la sucesión de Fibonacci? goo.gl/xluFDP • La secuencia de Fibonacci: goo.gl/jVoLxt Para conocer más sobre las propiedades de las sucesiones aritméticas y geométricas, puede visitar: • Progresiones aritméticas: goo.gl/bSz4N0 • Progresiones geométricas: goo.gl/0tGXCo Matemática − Semana 7 111 Autocontrol Actividad 1. Demuestre lo aprendido A. Calcule la diferencia en las sucesiones siguientes. Luego, escriba si son crecientes, constantes o decrecientes. 1) 355, 411, 467, 523, 579... 2) 25, 103, 181, 259, 337... 3) 99, 73, 47, 21, –5, –31... 4) 67, 67, 67, 67, 67... 5) –12, –43, –74, –105, –136... 6) 99, 100, 101, 102, 103... B. Calcule la razón de las sucesiones siguientes. 1) 2, 12, 72, 432, 2592... 2) 11, 22, 44, 88, 176... 3) 2555, 511, 102.2, 20.44... 4) 8, –88, 968, –10648... 5) 1078, 539, 269.5, 134.75... 6) 3, –21, 147, –1029, 7203... Actividad 2. Practique lo aprendido A. Calcule lo que se le solicita a continuación. 1) a67 de la sucesión: 77, 113, 149, 185... a67 = 2) a34 de la sucesión: 19, 6, –7, –20, –33... a34 = 3) a202 de la sucesión: 5, 11, 17, 23, 29... a202 = 4) a196 de una sucesión con d = 14 y a1 = 23 a196 = 5) Sumatoria hasta el elemento a205, a1 = 35 y d = 7 s = 6) Sumatoria hasta el elemento a132 , a1 = 14 y d = 12 s = 112 IGER − Polochic B. Calcule lo que se le solicita a continuación. 1) a12 de la sucesión: 5, 15, 45, 135... a12 = 2) a9 de la sucesión: 3, –12, 48, –192... a9 = 3) a14 de la sucesión: 6, 12, 24, 48... a14 = 4) La razón de una sucesión con a1 = 2 y a5 = 13122 r = 5) La razón de una sucesión con a1 = 999 y a4 = 37 r = 6) Sumatoria hasta el elemento a15, a1 = 1 y r = 3 s = C. Resuelva los problemas siguientes, recuerde lo que practicó sobre las progresiones aritméticas y geométricas. 1) Un equipo de rugby1 planea duplicar su punteo con cada saque. Si en su primer saque tienen 3 puntos, ¿cuántos puntos tendrían luego de 5 saques? 2) Un átomo de plutonio pierde 28 quarks2 cada mes. Si al cabo de 36 meses le quedan 2547 quarks, ¿cuántos quarks tenía en el primer mes? 3) En un edificio, el primer piso se encuentra a 9.40 metros de altura, y la distancia entre cada piso es de 2.90 metros: a. Obtenga la fórmula general que nos indique la altura de un determinado piso. b. ¿A qué altura estará el 12.º piso? 4) En el primer mes, el alquiler de un terreno cuesta Q2,300.00; si por cada mes que pasa le dan un descuento de Q135.00 en el alquiler: a. ¿Cuánto deberá pagar en el 9.º mes? b. ¿Cuánto será el dinero que habrá gastado en total luego de 7 meses? 5) La población de un país aumenta a razón de 1.02 anualmente, si actualmente tiene 6 millones de habitantes: a. ¿Cuántos habitantes tendrá luego de 9 años? b. ¿Cuantos habitantes tendrá luego de 25 años? 6) Si depositamos Q2,300.00 en una cuenta en la que se multiplica a razón de 1.05 mensual, ¿cuánto dinero tendremos luego de 36 meses? 1 7) Una persona ha ganado en cada mes de lo que ganó el mes anterior. 3 a. Si el primer mes ganó Q6,000.00, ¿cuánto ganará en el tercer mes? 1 2 b. ¿Cuánto habrá ganado en total en esos 3 meses? rugby: deporte de contacto originario de Inglaterra. Se juega con un balón ovalado. quarks: partículas físicas formadoras de los átomos. Son los constituyentes fundamentales de la materia. Matemática − Semana 7 113 Agilidad de cálculo mental A. Resuelva las ecuaciones siguientes. Escriba su respuesta en la línea correspondiente. 1) –3 – t = 6 t= 13) t + 12 = 24 t= 2) 9 + t = 13 t= 14) –t – 1 = 0 t= 3) 4 – t = 23 t= 15) t + 27 = 3 t= 4) 7 – t = –22 t= 16) t + 19 = –6 t= 5) –9 + t = 21 t= 17) t – 10 = –12 t= 6) 11 – t = 11 t= 18) –t + 11 = 16 t= 7) 23 + t = –1 t= 19) –t – 13 = 18 t= 8) 10 + t = 19 t= 20) –t + 7 = –29 t= 9) 17 + t = –2 t= 21) t + 25 = –25 t= 10) 21 – t = 2 t= 22) t + 13 = 13 t= 11) 5 + t = –5 t= 23) t + 19 = –3 t= 12) –13 – t = –1 t= 24) –t – 17 = –29 t = B. Resuelva las ecuaciones siguientes. Escriba su respuesta en la línea correspondiente. 1) –13k = 65 k= 13) –8k + 2 = 66 k = 2) –8k = –72 k= 14) 2k – 7 = 37 3) 9k = 81 k= 15) 11k + 19 = 96 k = 4) –k = 60 k= 16) 12k + 5 = 89 k = 5) –2k = –60 k= 17) 3k + 8 = 26 6) 12k = –60 k= 18) –10k – 2 = 48 k = 7) 11k = –99 k= 19) 10k – 1 = 99 k = 8) 5k = 45 k= 20) 22k + 13 = 79 k = 9) 3k = –12 k= 21) –17k + 14 = 99 k = 10) 4k = 20 k= 22) 7k – 16 = 33 k = 11) 10k = –50 k= 23) –13k – 17 = 35 k = 12) –k = –1 k= 24) –2k – 11 = 41 k = 114 IGER − Polochic k= k= Razonamiento lógico Para trabajar con secuencias numéricas o para muchas otras áreas de las matemáticas, necesitamos una gran capacidad de análisis; con el ejercicio siguiente, pondremos a prueba esta habilidad. En las series siguientes, elija y rodee, de entre las opciones, el número que sigue la secuencia. 1) 0 2 a. 13 2) 6 9 9 19 8 37 17 18 34 19 20 69 21 39 ... 11 a. 99 31 21 21 89 44 49 28 44 b. 122 5 11 25 23 24 4 99 54 ... 9 3 7 22 19 26 27 c. 23 d. 26 119 129 c. 99 d. 88 ... 69 ... c. 154 ... ... ... d. 25 25 59 ... d. 16 25 109 ... d. 10 c. 54 88 24 d. 0 c. 28 23 ... d. 27 c. 21 b. 79 22 21 c. 6 b. 79 a. 65 10) 13 b. 22 a. 69 9) 15 18 12 d. 10 c. 4 b. 29 a. 24 8) 6 b. 17 a. 30 7) 7 10 c. 26 b. 5 a. 15 6) 15 b. 2 a. 8 5) 12 8 c. 14 b. 28 a. 1 4) 6 b. 2 a. 25 3) 4 27 139 74 d. 64 352 704 1408 d. 176 Matemática − Semana 7 115 Desarrolle nuevas habilidades Practiquemos nuestro cálculo mental. Realice lo que se pide en cada una de las figuras siguientes. 1) Un triángulo simple: Escriba en cada círculo un número del 4 al 9 de modo que la suma de cada lado sea igual a 21. 2) Hexágono mágico: Complete el siguiente hexágono usando los números del 1 al 19. Debe hacerlo de modo que la suma de todos los números en todas las direcciones sea igual a 38. 3 16 18 5 9 10 15 Revise su aprendizaje Marque con un cheque la casilla que mejor indique su rendimiento. Después de estudiar... Comprendo las características de una sucesión aritmética. Calculo el término faltante en una sucesión aritmética. Comprendo las características de una sucesión geométrica. Calculo el término faltante en una sucesión geométrica. Resuelvo problemas empleando las sucesiones matemáticas. Resuelvo ecuaciones de primer grado con agilidad. 116 IGER − Polochic en no logrado proceso logrado 5 y 4 3 2 1 0 1 x2 2 3 + y2 4 x 8 –1 = i = r2 Repaso: semanas 1 a 7 Esta semana logrará: Repasar los contenidos de la semana 1 a la 7. Resolver los ejercicios de repaso para evaluarse en la prueba parcial. Prepararse bien para la prueba parcial. Matemática − Semana 8 117 Querida y querido estudiante: Se aproxima la primera prueba parcial y debe prepararse adecuadamente, repasando los contenidos de las semanas 1 a la 7. Para aprovechar este repaso, le recomendamos: • Haga un plan de lo que estudiará cada día y trate de cumplirlo. Dedique más tiempo a los temas que le resulten difíciles. • Busque un lugar tranquilo, iluminado y silencioso para estudiar. • Lea los resúmenes de cada semana y escriba las ideas más importantes en su cuaderno. • Escuche la clase radial. Sus maestros locutores le acompañarán en este repaso y le ayudarán a resolver algunos ejercicios. • Compruebe que haya realizado bien los autocontroles. Si tiene dudas, vuelva a leer las semanas, ahí encontrará explicaciones y ejemplos. ¿Cómo será la prueba de evaluación? La prueba parcial evalúa los mismos contenidos y de la misma forma en que los ha trabajado semana a semana. En la prueba encontrará: • Una serie de agilidad mental para medir su destreza y rapidez de cálculo en un tiempo límite de tres minutos. • Diferentes ejercicios que evalúan lo aprendido en las siete semanas. Estos ejercicios serán semejantes a los que usted resolvió en las actividades del autocontrol. Se le pedirá: responder preguntas, marcar con una equis "X" el cuadro de la opción correcta, resolver operaciones y resolver problemas. • Cuando resuelva ejercicios y problemas, debe dejar constancia de su procedimiento. • Muy importante: cada serie contiene instrucciones exactas de lo que debe realizar en cada apartado, así como la valoración asignada. Si usted se prepara con tiempo y dedicación, el resultado será satisfactorio. Le recordamos que debe prepararse para la prueba parcial y para la prueba del Mineduc practicando con los ejercicios que se encuentran al final de su libro en el Taller matemático. 118 IGER − Polochic El mundo de la matemática Lógica I 1. La lógica proposicional estudia enunciados y evalúa su valor de verdad, es decir, determina si son verdaderos o falsos. 2. Las proposiciones son enunciados que pueden ser analizados y así determinar su valor lógico. Las proposiciones simples son aquellas que no pueden ser divididas sin afectar su sentido. Estas son representadas con una letra minúscula. r: La cafeína tiene un efecto estimulante. t: El agua es necesaria para la vida del ser humano. Un enunciado no es una proposición si no se puede determinar su valor de verdad. Esto sucede comúnmente con enunciados imperativos, de pregunta o aquellos que presentan un juicio de valor. El futbol es mejor que el baloncesto. ¿Qué haremos hoy? 2.1 La negación es una operación que consiste en invertir el valor lógico de una proposición; se indica anteponiendo el signo "~" a la proposición. d: Ricardo Arjona es guatemalteco. V Es verdadero. El cantante nació en Jocotenango, Sacatepéquez. ~d: Ricardo Arjona no es guatemalteco. F La negación de la proposición d cambia de valor de verdad, ahora es falsa, porque Arjona sí es guatemalteco. 3. Los cuantificadores son símbolos que se utilizan para establecer cuántos elementos de un conjunto determinado cumplen con cierta propiedad. 3.1 El cuantificador universal (∀) se emplea para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con una condición dada. Se lee "para todo…". ∀ x ∈ A, 2x ∈ B: Para toda x que pertenece al conjunto A, se cumple que 2x pertenece al conjunto B. 3.2 El cuantificador existencial (∃) se utiliza para indicar que al menos un elemento de un conjunto cumple con una condición dada. Se lee "existe al menos un…". ∃ x ∈ C ∧ x ∈ B: Existe al menos una x que pertenece a C y pertenece también a B. Matemática − Semana 8 119 Ejercicio 1 A. Lea las proposiciones siguientes y determine su valor lógico. Luego, piense y reescriba su negación, recuerde el signo "~". Guíese por el ejemplo. 0) r: Quiché es un departamento de Guatemala. ~r: Quiché no es un departamento de Guatemala. 1) w: Cuba es un país que pertenece a Europa. V F 2) h: El agua del mar es dulce. 3) g: El idioma oficial de Guatemala es el alemán. 4) s: 3 es divisor de 9. 5) p: El verde es un color secundario. 6) q: México se encuentra al sur de Guatemala. B. Lea las expresiones siguientes. Luego, transfórmelas a lenguaje común. Le damos un ejemplo. 0) ∃ x ∈ T ∧ x ∈ G Existe al menos una x que pertenece a T y pertenece también a G. 1) ∀ x ∈ E, 8x ∈ H 2) ∃ x ∈ C ∧ x ∈ B 3) ∀ x ∈ A, x + 3 ∈ B 4) ∃ x ∈ R ∧ x ∈ W 5) ∃ x ∈ K ∧ x ∈ C 120 IGER − Polochic Lógica II 1. Las proposiciones compuestas son aquellas formadas por dos o más proposiciones simples que se unen a través de conectivos lógicos. El jaguar es un mamífero americano y está en peligro de extinción. En el ejemplo anterior se unen dos proposiciones simples a través del nexo "y": El jaguar es un mamífero americano; el jaguar está en peligro de extinción. 2. Los conectivos lógicos son palabras y símbolos que sirven como nexo para unir dos o más proposiciones simples. Los más comunes son la conjunción, la disyunción, el condicional y el bicondicional. 2.1 La conjunción (∧) corresponde a la "y". Ejemplo Se escribe Se lee Gabriela está estudiando y Lorenzo está trabajando. p∧q pyq 2.2 La disyunción (∨) corresponde a la "o" y se utiliza para dar sentido de elección entre dos o más elementos. Ejemplo Se escribe Se lee p∨q poq Ana puede estudiar matemática o estudiar física. 2.3 El condicional ( ) o implicación toma forma en las palabras "Si… entonces". Este conectivo indica que la primera proposición es requisito para que se cumpla la segunda. Ejemplo Se escribe Si respetamos las leyes, entonces seremos buenos ciudadanos. p q Se lee Si p entonces q 2.4 El bicondicional ( ) se forma con las palabras "si y solo si" e indica una relación de dependencia mutua. Es decir, la primera se cumple solo si se cumple la segunda y viceversa. Ejemplo Se escribe Mañana será lunes si y solo si hoy es domingo. p q Se lee p si y solo si q 3. Para determinar el valor de verdad de una proposición compuesta se emplean las reglas de los conectivos lógicos. Se presentan en las tablas de verdad siguientes: Conjunción Disyunción p q p∧q p q p∨q v v f f v f v f v f f f v v f f v f v f v v v f p v v f f Condicional q p q v v f f v v f v Bicondicional p q p q v v v v f f f v f f f v Matemática − Semana 8 121 Ejercicio 2 A. Represente simbólicamente las proposiciones siguientes. 1) Con el dinero puedo comprar algo o ahorrar. 2) Si leo mucho, entonces aprenderé sobre muchos temas. 3) Las plantas necesitan luz y agua para vivir. 4) Llegaré temprano si y solo si salgo en este momento. 5) Si compro un número, entonces tendré posibilidad de ganar la lotería. B. Lea los enunciados siguientes y escriba el valor lógico de p y q en el cuadro correspondiente. Luego, determine el valor de verdad de la proposición compuesta. Guíese por el ejemplo. 0) Si Fabiola tiene licencia entonces tiene permitido manejar un carro. p: V q: V 1) Si Guatemala está en Centroamérica, entonces tiene 21 departamentos. p: q: 2) 3 es divisor de 12 y 6 no es múltiplo de 2. p: q: 3) Un pingüino puede nadar o puede volar. p: q: 4) El Sol se oculta por el oeste y el español es un idioma. p: q: 5) El pulpo es un animal marino y el tiburón puede volar. p: q: 6) La Luna es el satélite de la Tierra si y solo si gira alrededor de la misma. p: q: 122 IGER − Polochic p q: V Números reales 1. El conjunto de los números reales se representa con la letra ℝ y se define simbólicamente como ℝ = ℚ ∪ I. Estos números se pueden expresar por un entero o un decimal, sea periódico o no. I R π 2 Q Z 5 3 1.21212... 0.5 N ...–4, –3, –2, –1 0, 1, 2, 3, 4 ... 3 4 Los números reales (ℝ) engloban a los irracionales (I), naturales (N), enteros (Z) y racionales (Q). 1.1 Los números reales se caracterizan por ser un conjunto finito, denso, completo y continuo. 1.2 El valor absoluto de un número real es la distancia que hay entre el cero u origen y este número. Su resultado siempre es positivo. Este valor se identifica escribiéndolo entre barras |a|. 2. Las operaciones combinadas son varias operaciones que se reúnen en una sola. • Si las operaciones no incluyen signos de agrupación, se resuelven respetando la jerarquía de las operaciones, primero las multiplicaciones y divisiones y luego las sumas y restas. • Si las operaciones tienen signos de agrupación, estos se eliminan de adentro hacia afuera. Primero paréntesis, luego corchetes y por último llaves. 3. El conjunto de los números reales cumple con diferentes propiedades. 4. La potenciación de números reales es la forma rápida de escribir un número que se multiplica varias veces por sí mismo. 5. La radicación es la operación inversa a la potenciación, consiste en hallar la raíz de un número dado. Ejercicio 3 A. Resuelva las operaciones combinadas siguientes. 1) 15 + 41 × 2 – 96 + 100 = 5) 85 + [(3 × 14) ÷ (3 × 7)] 2) 5 × 23 + (–28) – 17 = 6) {[(3 + 8) – 36 × 2] – 8} – 2 × 8 = 3) 101 – 25 + 36 ÷ 6 + 2 = 7) (8 + 6) ÷ 7 + 9 × 2 = 4) 17 + 25 – [3 × (2 + 51)] = 8) [125 ÷ (5 × 5)] – 25 + 1 = = Matemática − Semana 8 123 B. Identifique y escriba la propiedad del conjunto de números reales que se ejemplifica en cada inciso. 1) 0.75 • 1 = 0.75 2) ( 36 ) • ( 63 ) = 1 3) 8 + 0 = 8 4) 18 • 5 = 5 • 18 5) 5(3 • 3) = (5 • 3)3 6) 4(5 + 4) = (4 • 5) + (4 • 4) 7) 35 + 7 = 42 7 7 8) + – = 0 6 6 ( ) ( ) C. Aplique las reglas de la potenciación para resolver los ejercicios siguientes. ( ) 1) 1990 = 2) 52 • 53 1 5 8) – = 2 = ( 32 ) = 5 9) 66 6 3) –3 4) (–3)3 • (–3)2 = 5) 5–3 = 6) (32)3 = 7) (2 • 3)3 = = 10) (–4) –2 = 11) (–7)0 = ( 63 ) = 5 13) ( ) = 2 3 12) –2 14) (23)3 = D. Aplique las reglas de la radicación para resolver los ejercicios siguientes. 1) 18 • 2 = 64 4 = 9) 27 8 = 10) = 11) 123 = 4 = 12) 125 5 = 9 = 13) 68 2) 3) 3 3 4) 729 3 5) 92 6) 1253 7) 124 8) 32 • 2 = 3 4096 = IGER − Polochic 4 16 256 = 625 = 4 3 4 = 14) 2 • 49 = Números complejos 1. El conjunto de los números complejos es una extensión de los números reales y sirve para darle solución a las raíces pares de números negativos. Para ello, los matemáticos introdujeron un nuevo símbolo denotado por i, llamado unidad imaginaria y que cumple con la condición siguiente: –1 = i y que i 2 = –1. Veamos un ejemplo rápido, resolvamos: –16 • Multiplicamos el radicando por –1. 16 (–1) • Por definición, sustituimos (–1) por i 2 . 16i 2 • Aplicamos la propiedad del producto de una raíz y resolvemos. 16 • i 2 = 4i 1.1 La potenciación de i sigue un patrón que se repite a partir de i 5. Sus potencias básicas son: i1 = i, i 2 = –1, i 3 = –i, i 4 = 1, i 5 = i. 1.2 Los resultados de las raíces pares de números negativos reciben el nombre de números complejos puros (bi) y a los que se combinan con los números reales se les llama forma binomial de un número complejo (a + bi). 2. Para sumar y restar números complejos es necesario operar las partes reales, luego sumar o restar las partes imaginarias y el resultado debe escribirse en forma binomial. 3. Para multiplicar números complejos se debe aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación, sustituir i 2 por –1, reducir términos semejantes y escribir el resultado en forma binomial. 4. Para dividir números complejos es necesario racionalizar el denominador mediante el conjugado, realizar las operaciones correspondientes, sustituir i 2 por –1 y escribir el resultado de la forma binomial. Ejercicio 4 A. Aplique sus conocimientos sobre raíces pares de números negativos y resuelva los casos siguientes. 1) –9 = 7) –1 = 2) –64 = 8) –2 = 3) –100 = 9) –36 = 4) –400 = 10) –25 = 5) –81 = 11) –144 = 6) –49 = 12) –121 = Matemática − Semana 8 125 B. Realice las operaciones indicadas con números complejos y exprese su respuesta en forma binomial. 1) (7 – 12i) + (3 + i) 2) (10 + 11i) + (17 – 5i) 3) (10i) – (8 + 7i) 4) 6i(11 + 10i) 5) –12i(7 + 4i) 6) (22 + 5i)(18 – 4i) ( )( ) ( )( ) 1 3 1 2 + 2i 8) + 3i – – i 7) – – 9i 11 4 3 5 9) 126 2 –3 10) (5 + 3i) (2 – i) IGER − Polochic Suma y resta de matrices 1. Una matriz es un conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. El orden o dimensión de una matriz se determina por el número de filas y columnas que la componen. a11 a21 ... A= a i1 ... am1 a12 ... a22 ... ... ... ai2 ... ... ... am2 ... a1j a2j ... aij ... amj ... ... ... ... ... ... a1n a2n ... ain ... amn Una matriz m × n tiene m filas y n columnas. Si tiene el mismo número de filas que de columnas, decimos que es una matriz cuadrada. A cada número o expresión que forma la matriz le denominamos elemento. 3 –2 B= 0 1 5 8 3 filas 2 columnas Matriz B: 3 × 2 2. Hay algunos tipos de matrices con características particulares: 2.1 Una matriz transpuesta (At ) es la que se forma al cambiar ordenadamente las filas por las columnas de la matriz dada. 2.2 Una matriz es simétrica si es cuadrada y es igual a su transpuesta. 2.3 Una matriz identidad es una matriz en cuya diagonal principal todos sus elementos son iguales a 1 y los demás elementos son 0 (cero). Se nombra con la letra I. 2.4 Una matriz no singular o invertible es aquella que tiene matriz inversa. 2.5 Una matriz singular no tiene inversa. 3. Las operaciones que se pueden hacer con matrices son la adición, la resta y la multiplicación: 3.1 Para sumar o restar matrices es necesario que tengan la misma dimensión. Para operar, se deben sumar los elementos de las matrices que ocupan la misma posición. Se pueden operar dos o más matrices. 3.2 La suma de matrices tiene las propiedades siguientes: • Es interna porque la matriz resultado será de las mismas dimensiones que las matrices que se operaron. • Es asociativa porque el resultado es el mismo sin importar cómo agrupemos los términos. • Tiene elemento neutro, conocida como matriz cero (O). • Tiene elemento opuesto, el cual es la matriz con los mismos elementos que la matriz original, pero con los signos contrarios respecto a la matriz original. • Es conmutativa porque el resultado permanece invariable sin importar el orden en que operamos los sumandos. Matemática − Semana 8 127 Ejercicio 5 A. Piense y forme los tipos de matrices que se le piden. 1) Una matriz de 4 × 3 2) La matriz identidad 3) Una matriz simétrica 4) Una matriz con su transpuesta B. Siendo las matrices: A = 9 –5 6 9 4 7 0 –7 B = –3 6 5 –4 C = 6 5 4 0 4 8 –9 –5 0 5 –9 7 0 –1 8 X = –5 4 6 1 9 –7 Y= –8 1 0 6 –4 7 4 0 8 4 5 9 Z = 1 0 –1 8 9 1 Resuelva las siguientes sumas y restas de matrices. Puede trabajar en hojas aparte si es necesario. 1) A + B 2) X – Z 3) B – C + A 4) Y – X 5) C – B 6) X + Y + Z 128 IGER − Polochic Multiplicación de matrices 1. La multiplicación o producto de matrices es una operación que puede efectuarse entre dos matrices o bien entre una matriz y un número real o escalar. Para resolver este procedimiento debemos guiarnos por determinadas reglas. 1.1 Para multiplicar una matriz por un número real se debe multiplicar ese número por cada uno de los elementos de la matriz. Se puede multiplicar una matriz de cualquier orden. a b kA=k d e g h c ak f = dk i gk bk ek hk ck fk ik 1.2 Para multiplicar dos matrices entre sí, nos apoyamos en el procedimiento siguiente: • Se comprueba que el número de columnas de la primera matriz (A) coincida con el número de filas de la segunda (B). De lo contrario, no se pueden operar. • Se multiplica la primera fila de A por la primera columna de B. Primer elemento por primero, segundo por segundo, etc. y sumamos los productos. Con esto conseguimos el primer elemento de la matriz resultado. • Seguimos multiplicando la primera fila de A por las siguientes columnas de B. • Repetimos el procedimiento con las siguientes filas de A y cada columna de B. • Luego de terminar con todas las filas de A, llegamos al resultado final. a b c r s t ar + bu + cx C = A • B = d e f • u v w = dr + eu + fx g h i x y z gr + hu + ix as + bv + cy ds + ev + fy gs + hv +iy at + bw + cz dt + ew + fz gt + hw + iz Ejercicio 6 A. Resuelva las multiplicaciones siguientes. Puede utilizar su cuaderno para realizar el procedimiento. 8 10 –11 0 –9 –4 1) 8 –9 0 1 2) –3 –9 5 12 7 4 –3 2 0 –1 Matemática − Semana 8 129 B. Resuelva las multiplicaciones siguientes. Puede utilizar su cuaderno para realizar el procedimiento. 1) 2 –9 • –5 7 2) 5 6 3) 0 –8 9 6 4) • 0 1 1 –1 5) 8 6 –1 5 4 • 5 –5 10 –1 7 0 8 • –3 5 2 9 –5 6 3 –7 0 –7 2 3 8 –1 6) 2 4 –2 • 9 5 –3 • 1 0 –2 5 0 0 –1 1 1 –1 8 2 7 –9 0 –9 8 3 2 8) –8 6 5 6 8 7 7) 1 3 –8 0 9 –1 • 5 4 –6 4 1 –3 • –9 0 2 9 10 11 1 1 2 4 –6 0 11 10 1 9) 130 –1 –3 6 –9 3 2 3 8 1 • 8 4 6 0 8 9 3 –11 2 IGER − Polochic 11 8 3 10) 12 –8 9 7 7 8 • 1 1 1 1 3 13 3 0 –8 Sucesiones matemáticas 1. Una sucesión matemática es un conjunto ordenado de números. Cada uno de estos números se denomina "término", "elemento" o "miembro", y al número total de elementos que compone la sucesión se le llama "longitud", esta puede ser finita o infinita. 2. Una sucesión o progresión aritmética es una serie de números tales que cada uno de ellos, exceptuando el primer término, se obtiene sumando o restando una cantidad fija al término anterior, a esta cantidad constante se le conoce como diferencia y se representa con la la letra d. 13 24 +11 35 +11 46 +11 57 +11 68 ... +11 a. La fórmula del término general para una sucesión aritmética nos permite averiguar cualquier término de una sucesión si conocemos el primero de ellos y su diferencia. an = a1 + (n – 1)d Para facilitar el proceso de sumar los elementos de una sucesión aritmética empleamos la fórmula siguiente: s= (a1 + an )n 2 3. Una sucesión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad fija denominada razón (r). 8 24 ×3 72 ×3 216 ×3 648 ×3 1944 ... ×3 a. La fórmula del término general para una sucesión geométrica nos permite averiguar cualquier término de una sucesión si conocemos el primero de ellos y la razón. an = a1 • r (n – 1) Para facilitar el proceso de sumar los elementos de una sucesión geométrica empleamos la fórmula siguiente: s= (an • r) – a1 r–1 Las áreas en las que podemos aplicar nuestros conocimientos sobre sucesiones matemática son muy variadas. Por ejemplo: En la banca, los inversionistas y las personas que tienen cuentas bancarias, pueden calcular las ganancias potenciales sobre un negocio empleando las progresiones aritméticas. En la ingeniería, los núcleos de un material radiactivo se desintegran en forma uniforme en un determinado período de tiempo, este cálculo puede ser descrito por una progresión geométrica. Por tanto, podemos resolver muchos problemas con tan solo poder identificar correctamente los datos de la progresión y aplicar las fórmulas que usted ya domina. Matemática − Semana 8 131 Ejercicio 7 A. Calcule lo que se solicita en cada uno de los incisos siguientes. Puede utilizar hojas aparte. Recuerde trabajar en orden. 1) a43 de la sucesión: 8, 1, –6, –13, –20… a43 = 2) a56 de la sucesión: 1, 2.5, 4, 5.5, 7… a56 = 3) a34 de la sucesión: 81, 86, 91, 96, 101… a34 = 4) d de una sucesión con a1 = 13 y a42 = 300 d = 5) d de una sucesión con a1 = 457 y a61 = –263 d = 6) a1 de una sucesión con d = –8 y a88 = –638 a1 = 7) a1 de una sucesión con d = 2.5 y a61 = 234.5 a1 = 8) Sumatoria hasta el elemento a66 , a1 = 47 y d = 9 a66 = s= B. Calcule lo que se solicita en cada uno de los incisos siguientes. Puede utilizar hojas aparte. Recuerde trabajar en orden. 1) a12 de la sucesión: 6, 12, 24, 48… a12 = 2) a11 de la sucesión: 4, –16, 64, –256… a11 = 3) a15 de la sucesión: 8, 12, 18, 27, 40.5… a15 = 4) r de una sucesión con a1 = –3 y a7 = –46875 r = 5) r de una sucesión con a1 = 7 y a11 = 413343 r = 6) a1 de una sucesión con r = 5.5 y a4 = 1996.5 a1 = 7) a1 de una sucesión con r = 2.5 y a5 = 390.625 a1 = 8) Sumatoria hasta el elemento a10, a1 = 2 y r = 4 a10 = s= C. Resuelva los problemas siguientes. Puede hacerlo en hojas aparte. 1) El alquiler de una motocicleta cuesta Q30.00 la primera hora y Q8.00 más cada nueva hora. a. ¿Cuál es el precio total de alquiler de 6 horas? b. Encuentre una fórmula que nos indique el precio de alquiler para alguna hora en específico. 2) Una máquina costó inicialmente Q48,000.00. Luego de unos años se vendió a la mitad de su precio. Pasados unos años, volvió a venderse por la mitad, y así sucesivamente. a. ¿Cuánto le costó la máquina al sexto propietario? b. Si el total de propietarios ha sido ocho, ¿cuál es la suma total pagada por esa máquina? 132 IGER − Polochic Agilidad de cálculo mental A. Resuelva las operaciones combinadas siguientes. Recuerde siempre la jerarquía de las operaciones. 1) –9 + 5 × 1 + 3 = 9) 7 × 8 – 4 – 1 = 2) 5 × 6 ÷ (–2) + 6 = 10) –2 + 10 ÷ 5 = 3) 6 × 5 – 20 ÷ 5 = 11) 2 – 3 + 8 ÷ (–8) = 4) 4 × 6 ÷ 2 + 1 = 12) 4 – 1 × 0 – 3 5) 3 ÷ 3 + 4 – 6 = 13) –8 – 4 + 6 ÷ 2 = 6) –3 – 6 ÷ 2 – 7 = 14) –1 × 6 + 2 – 3 = 7) 9 × 8 – 7 × 6 = 15) 9 × 7 + 9 ÷ 3 = 8) 3 + 0 – 5 – 1 = 16) 0 ÷ 1 + 8 × 9 = = B. Resuelva las operaciones combinadas siguientes. Recuerde la jerarquía de los signos de agrupación. 1) [(9 + 8) – 4] × 3 = 9) (2 × 3) – (2 + 3) = 2) (20 ÷ 4) – 6 × 2 = 10) [(9 – 6) + 7] × 4 = 3) 1 + 3 × (1 + 4) = 11) (5 – 6) + 4 – 2 4) 10 ÷ 5 – (5 – 4) = 12) [5 + (8 ÷ 4)] – 4 = 5) [(6 – 7) × 5] + 4 = 13) 7 – [9 ÷ (6 – 3)] = 6) (3 × 1) + 2 – 1 = 14) 2 × 2 – (1 + 8) = 7) 0 – [(4 + 4) – 6] = 15) 5 × 4 – (0 + 1) = 8) 2 × 1 + (3 – 2) = 16) (7 + 3) × (10 ÷ 5) = = C. Resuelva las ecuaciones siguientes. Escriba su respuesta en la línea correspondiente. 1) –3 + m = 10 m= 9) –m + 18 = 14 m= 2) 8 – m = –18 m= 10) m – 7 = –23 m= 3) 9 + m = 0 m= 11) m + 11 = 22 m= 4) 1 – m = 16 m= 12) –m – 6 = 27 m= 5) 8 + m = 8 m= 13) m + 8 = 12 m= 6) –9 – m = 21 m= 14) m + 0 = –9 m= 7) 9 + m = 19 m= 15) –m + 8 = –2 m= 16) m – 8 = 13 m= 8) –7 – m = –17 m = Matemática − Semana 8 133 Revise su aprendizaje Después de estudiar... Marque con un cheque en no logrado proceso logrado la casilla que mejor indique su rendimiento. Repaso los contenidos de la semana 1 a la 7. Resuelvo los ejercicios de repaso para evaluarme en la prueba parcial. Me siento bien preparado para la prueba parcial. Orientaciones sobre la prueba parcial ¡Llegó el momento de la prueba! Ya está listo para su primera prueba de Matemática. Le presentamos las últimas recomendaciones que pueden ayudarle a la hora del examen. Al recibir la prueba, y antes de empezar a resolverla, escriba su nombre, número de carné, número de círculo de estudio y fecha. Lea atentamente las instrucciones antes de contestar. Si tiene duda, consulte a su orientador(a). Grupo: Polochic Materia: Matemática Prueba: parcial A – 2016 Primer semestre Punteo: Nombre: Carné: Círculo de estudio Nº: Fecha: 1 punto cada respuesta correcta. Total 5 puntos. INSTRUCCIONES: Marque con una "X" el cuadro de la opción correcta. i serie 1) ¿Cuál de las expresiones siguientes es una proposición? Hermosa noche ¿Qué tal te ha ido? 7 es un número primo El jaguar es un animal bello. No se "atasque" en ningún ejercicio. Empiece por las preguntas que sepa mejor y le quedará más tiempo para pensar en las que tenga dudas. Al finalizar su examen, relea todas sus respuestas y vea si algo se le pasó por alto. Presente su prueba limpia y ordenada. ¡ánimo! El resultado de su examen será el producto de su esfuerzo. 134 IGER − Polochic 5 y 4 3 2 1 0 1 x2 2 3 + y2 4 x 9 –1 = i = r2 Potenciación de expresiones algebraicas ¿Qué encontrará esta semana? Repaso de la potenciación de números reales Reglas de la potenciación y simplificación de expresiones algebraicas Potenciación de números reales y de expresiones algebraicas Áreas de figuras geométricas Esta semana logrará: Aplicar las reglas de potenciación a expresiones algebraicas. Simplificar expresiones algebraicas. Practicar la agilidad de cálculo con potencias de números reales y expresiones algebraicas. Utilizar las expresiones algebraicas para calcular áreas de figuras geométricas. Matemática − Semana 9 135 ¡Para comenzar! Repaso de la potenciación de números reales Aprendimos en la semana 3 sobre el conjunto de los números reales y las reglas de la potenciación, recordemos algunas de ellas. Una potencia se representa de forma simbólica por: an = a • a • a . . . • a Donde: • a representa la base y es el número que se multiplica por sí mismo. • n es el exponente e indica el número de veces que la base se multiplica por sí misma. Por ejemplo: base an exponente 34 = 3 • 3 • 3 • 3 = 81 (–5)3 = (–5)(–5)(–5) = –125 Producto de potencias de igual base Cuando se multiplican potencias de igual base, se copia la base y se suman los exponentes. Por ejemplo: 62 • 64 = 62 + 4 = 66 (–0.5)4(–0.5)3 = (–0.5)4 + 3 = (–0.5)7 Cociente de potencias de igual base Para dividir potencias que tienen igual base, se copia la base y se restan los exponentes. Por ejemplo: 106 = 106 – 4 = 102 104 (–0.5)5 = (–0.5)5 – 2 = (–0.5)3 (–0.5)2 ¡A trabajar! Aplique las reglas de la potenciación que hemos repasado y exprese cada operación como una sola potencia. Tiene un ejemplo. (9)6 57 2) (–8)6(–8)4 = = 4) 0) 53 • 54 = (9)3 1) 35 • 35 = 3) (–2)3(–2)5 = 136 IGER − Polochic El mundo de la matemática 1. Reglas de la potenciación Las reglas de la potenciación para expresiones algebraicas son las mismas que vimos en el conjunto de los números reales, la diferencia es que ahora en lugar de números se utilizan letras y en algunos casos la combinación de letras y números. Antes de avanzar con las reglas de la potenciación, hagamos una comparación entre las potencias con números reales y expresiones algebraicas. Potenciación de números reales Potenciación de expresiones algebraicas 43 = 4 • 4 • 4 x3 = x • x • x (–6)4 = (–6)(–6)(–6)(–6) (–m)4 = (–m)(–m)(–m)(–m) ( 15 ) = ( 15 )( 15 )( 15 ) 3 ( ) ( )( )( ) y 3 y y y = x x x x 1.1 Regla del exponente cero La regla del exponente cero indica que cualquier base elevada al exponente cero es igual a la unidad (1), excepto en el caso que la base sea cero. x0 = 1 Ejemplo: k0 = 1 (xy)0 = 1 (–4wz)0 = 1 1.2 Regla del producto de potencias con igual base Para multiplicar expresiones algebraicas que tienen la misma base, se copia la base y se suman los exponentes. xm • xn = xm + n Ejemplo: a 5 • a3 = a 5 + 3 = a 8 x7 • x8 = x7 + 8 = x15 (3y)2(3y)2 = (3y)2 + 2 = (3y)4 Matemática − Semana 9 137 1.3 Regla del cociente de potencias de igual base Para dividir expresiones algebraicas que tienen la misma base y diferente exponente, se mantiene la base y se restan los exponentes. xm m–n xn = x Ejemplo: b8 = b8 –5 = b3 b5 (–5z)6 = (–5z)6 – 4 = (–5z)2 = 25z2 (–5z)4 1 1 (2a)5 1 = = = 2 2 7 7–5 (2a) 4a (2a) (2a) 1.4 Regla de una potencia elevada a otra potencia Si la expresión algebraica se encuentra dentro de signos de agrupación, se copia la base y se multiplican los exponentes. (x m)n = xm • n Ejemplo: (a4)2 = a4 • 2 = a8 (w3y4z2)4 = (w3)4(y4)4(z2)4 = w12y16z8 (–5a3b8c2)3 = (–5)3(a3)3(b8)3(c2)3 = –125a9b24 c6 1.5 Regla de la potencia de una fracción algebraica Si la expresión algebraica es una fracción, se copia la base y se multiplica el exponente del numerador y del denominador por el exponente externo. ( xy ) = xy m Ejemplo: ( ) ax by 6 = m m a 6 x6 b 6 y6 9m n (–3) (m ) (n ) n = = ( –3m 4w z 2w z ) (2) (w ) (z ) xy ( 5w3p tx uy ) = (5)(3) (w(p )) (x(t )) (u(y )) = 125w 27p t u 2 4 2 2 3 2 138 IGER − Polochic 2 2 2 3 2 4 2 2 2 8 2 5 3 3 8 3 2 3 5 3 6 3 7 3 6 3 3 3 7 3 4 8 6 4 24 6 15 18 9 21 Ejercicio 1 Lea la regla indicada en cada apartado y aplíquela a las expresiones algebraicas de forma directa. Hay un ejemplo para cada caso. A. Exponente cero 0) 5(2y)0 = 5(1) = 5 3) –5(2x)0 = ( ) = –3x5 0 4) 4 = y 2) (–5p2q2r)0 = 5) 8h(5x10y3)0 = 1) (2z)0 B. Producto de potencias de igual base 0) a7 • a2 • a3 = a12 3) (mn)3(mn)4 = 1) x5 • x3 • x = 4) (2wy)3(2wy) = 2) m5 • m5 • m5 = 5) (rs)2(rs)5(rs) = C. Cociente de potencias de igual base 0) m10 = m4 m6 (–4z)4 4) 4 (–4z) = 1) b9 = b3 (pqr)6 5) 4 (pqr) = 2) w15 = w8 (5mn)6 6) 4 (5mn) = 3) y24 = y12 (–3xyz)5 7) 15 = (–3xyz) D. Potencia de otra potencia 0) (a2b5c6)2 = a4b10 c12 4) (p5r7)2 = 1) (x8)2 = 5) (–5ab8c2)0 = 2) (mn4)4 = 6) –4(m2h3k4)2 = 3) (w2y6)3 = 7) –5a3(b5cd 2)3 = E. Potencia de una fracción ( ) x 1) ( ) = y ab 2) ( ) = cd 0) 3a 4 = 2b 6 6 81a4 16b 4 ( ) 4) ( 5p3h qk ) = 5) ( wa bx cy ) = 5m3n2 2 3) 4 3 = 2w z 4 4 2 4 6 4 7 3 4 2 3 2 Matemática − Semana 9 139 1.6 Regla del exponente negativo a. Una literal con exponente negativo se convierte en una potencia positiva escribiendo el inverso de la base con el mismo exponente. x –m = 1 xm g–5 = 1 g5 Ejemplo: 1 1 = (4ab)2 16a2b2 8 1 8p–6 = 8 • 6 = 6 p p (4ab) –2 = b. Una fracción algebraica con exponente negativo se convierte en una potencia positiva escribiendo el inverso de la base con el mismo exponente. ( ab ) = ( ba ) m –m Ejemplo: () () ( 2b3a ) = ( 2b3a ) = 4b9a 64y z ( 5w4y zx ) = ( 5w4y zx ) = 125w x x y –5 y x = 5 –2 = y5 x5 2 2 2 3 2 –3 2 2 2 2 3 2 3 6 6 9 6 Ejercicio 2 Aplique la regla del exponente negativo para resolver los ejercicios siguientes. ( )= 1) ( ) 3) ( ) a2 b3 = 4) c4 d 5 5) ( ) 140 a b 5b2 3c3 –5 3x = 2) 4y –2 4m3n2 2p4 q3 –3 ( )= –3 ( –3 –5w 4x5 = 6) 3 7 yz IGER − Polochic )= –3 2. Simplificación de expresiones algebraicas Simplificar una expresión algebraica formada con potencias de números reales es transformarla a una expresión, en la que cada número real aparezca solo una vez y todos los exponentes sean positivos. Simplifiquemos (3a2c4 d 5)(2a2cd 3)4 = • Aplicamos la regla de una potencia elevada a otra potencia en el factor derecho. (3a2c4 d 5)(16a8c4 d 12) = • Aplicamos la regla del producto. 3 • 16a2 + 8c 4 + 4 d 5 + 12 = • Obtenemos el resultado. 48a10 c8 d 17 Simplifiquemos 25x6y9z8 = 5x8y6z2 • Aplicamos la regla del cociente de potencias de igual base. 5y9 – 6z8 – 2 = x8 – 6 • Como x8 tiene el exponente mayor, se queda en el denominador y se le resta el exponente de x6 y obtenemos el resultado. 5y3z6 x2 Simplifiquemos ( 4w2w xx yy ) = 8 4 5 4 5 2 3 • Aplicamos la regla del cociente de potencias de igual base en la fracción. (2w8 – 5x4 – 2y5 – 3)4 = • Aplicamos la regla de la potencia de una potencia. (2w3x2y2)4 = • Obtenemos el resultado. 16w 12 x 8y 8 Simplifiquemos ( 12 x y z )( 34 x y z ) • Aplicamos la regla del producto de potencias de igual base. 3 4 +2 6+3 8+5 x y z = 8 • Obtenemos el resultado. 4 6 8 2 3 5 3 6 9 13 xyz 8 En algunos casos, para simplificar una expresión algebraica es posible aplicar más de una regla sin jerarquía alguna, es decir, no existe un orden definido para operar. Matemática − Semana 9 141 Ejercicio 3 Simplifique las expresiones algebraicas de forma directa. Tiene un ejemplo. ( ) 16w5x6y9 3 = 4w2 x4y3 (4w3x2y6)3 = 64w9x6y18 0) 1) (3a2b4 c3)(2a4b5c2) = 2) (2a4b3c2)(3a3bc5)3 = 3) (–2x3y4)(6x2y6) = 4) (5w3x2y4)(3x2y3)3 = 18p8 q6r5 5) 5 2 = 6p q r ( ) ( )( 3x2y z ) = 6) 64a10 b8c12 = 8a4b3c7 15x6y9z3 4 7) 4 5 3 = 5x y z 8) ( ww xx yy ) = 5 9) 6 4 6 4x y z 142 6 7 4 5 4 3 2 IGER − Polochic 8 2 Resumen 1. Las reglas de la potenciación de expresiones algebraicas son las mismas que se emplean en el conjunto de los números reales. Para aplicarlas, debemos prestar atención a los exponentes que las acompañan. 1.1 Regla del exponente cero Indica que cualquier base elevada al exponente cero es igual a la unidad (1), excepto en el caso de que la base sea cero. x0 = 1 1.2 Regla del producto de potencias con igual base Para multiplicar expresiones algebraicas que tienen la misma base, copiamos la base y sumamos los exponentes. xm • xn = xm + n 1.3 Regla del cociente de potencias de igual base Para dividir expresiones algebraicas que tienen la misma base y diferente exponente, se mantiene la base y se restan los exponentes. xm m–n xn = x 1.4 Regla de una potencia elevada a otra potencia Si la expresión algebraica se encuentra dentro de signos de agrupación, se copia la base y se multiplican los exponentes. (x m)n = x m • n 1.5 Regla de la potencia de una fracción algebraica Si la expresión algebraica es una fracción, se copia la base y se multiplica el exponente del numerador y del denominador por el exponente externo. ( ) = a. Una literal con exponente negativo, se convierte en una potencia positiva escribiendo el inverso de la base con el mismo exponente. x –m = 1 xm b. Una fracción algebraica con exponente negativo, se convierte en una potencia positiva escribiendo el inverso de la base con el mismo exponente. ( ab ) = ( ba ) x y m xm ym 1.6 Regla del exponente negativo –m m 2. Simplificación de expresiones algebraicas Simplificar una expresión algebraica formada con potencias de números reales es transformarla a una expresión, en la que cada número real aparezca solo una vez y todos los exponentes sean positivos. Investigue en la red... Anímese a visitar la página web que le sugerimos para reforzar y ampliar sus conocimientos sobre potenciación: http://goo.gl/Xk4Izrl Matemática − Semana 9 143 Autocontrol Actividad 1. Demuestre lo aprendido Marque con una "X" el cuadro de la opción que presenta la respuesta correcta a cada pregunta. 1) ¿Cuál es el exponente en la expresión –4a2? 2 a 4 –4 2) ¿Qué resultado se obtiene de la potencia 1000? 0 1 10 100 3) ¿Cuál es el resultado de (–2y)3? –8y –2y3 –6y6 –8y3 4) ¿Qué resultado expresa una correcta aplicación de las reglas de la potenciación de expresiones algebraicas? x–1 = –x x3 ÷ x2 = x5 x3 • x3 = x 6 (2x3)3 = 6x6 5) ¿Cuál es el resultado simplificado de ( ) x6 2 ? x5 x2 x12 x10 x–2 6) ¿Qué expresión es equivalente a la siguiente: a • a • a • a • a? a a5 5a 5a5 7) ¿Qué expresión es correcta? 5x0 = x 5x0 = 0 5x0 = 1 5x0 = 5 8) ¿Qué expresión cumple con la regla del exponente cero? (3xy)0 = 1 (3xy)0 = 0 (3xy)0 = 3 (3xy)0 = xy 144 IGER − Polochic Actividad 2. Practique lo aprendido A. Aplique la regla del exponente cero para simplificar las expresiones algebraicas. Hay un ejemplo. 0) (ab)0 = 1) (5m)0 = 1 7) 5 0 8) 3x(7x5y4)0 = 2) –5(2x)0 = 9) 10(4a8b3)0 = 3) (16x4y4)0 = ( ) 8m 5) ( = 9n ) 15b 6) ( = 10b ) 4) –ab ( 12ab ) = 3h4 0 = 5k 10) xy(5x10y3)0 = 11) –25(p2q3)0 = 5 0 2 12) 5mn(100)0 = 8 0 13) 18h2(cd 12)0 = 6 B. Aplique la regla del producto de potencias de igual base para simplificar las expresiones algebraicas. Hay un ejemplo. 0) a4 • a5 • a2 = a11 7) d 8 • d 5 • d 6 = 1) x6 • x4 = 8) c10 • c12 • c–4 = 2) z8 • z2 = 9) (xy)5(xy)8 = 3) w8 • w7 = 10) (ab)4(ab) = 4) b5 • b3 • b6 = 11) (pq)8(pq)9 = 5) h6 • h4 • h2 = 12) (4w)4(4w)2 = 6) b5 • b3 • b6 = 13) (st)3(st)7(st)4 = C. Aplique la regla del cociente de potencias de igual base para simplificar las expresiones algebraicas. Hay un ejemplo. 0) (10p)6 = (10p)4 (10p)2 5) k9 k8 = 10) (wxy)9 = (wxy)9 1) a12 = a10 6) z16 = z6 11) (4wx)15 = (4wx)5 2) c6 c3 = 7) y15 y8 = 12) (25rs)6 = (25rs)14 3) b8 b8 = 8) x10 x12 = 13) (–5ab)12 = (–5ab)10 4) t9 t10 = 9) (mn)5 = (mn)3 14) (–15w)14 = (–15w)12 Matemática − Semana 9 145 D. Aplique la regla de una potencia elevada a otra potencia para simplificar las expresiones algebraicas. Hay un ejemplo. 0) (–5a2b4 c3)3 = –125a6b12c9 6) (3a4b3c2)2 = 1) (m3)3 = 7) (25x6y8z6)0 = 2) (w8)2 = 8) ( ) wx 9) ( = yz ) –3m 10) ( = 5n ) 3wx 11) ( = 2y ) a 4 b5 3 = c2 d 3 4 8 7 3) (a4b3)4 = 2 4 4 2 4) (2w3x2)3 = 3 4 3 5) (–5m4n8)2 = 2 E. Aplique la regla de la potencia de una fracción y la potencia de otra potencia para simplificar las expresiones algebraicas. Hay un ejemplo. ( ) a 1) ( ) = b a 2) ( ) = b p 3) ( ) = q h 4) ( ) = k ab 5) ( = cd ) 0) 3m 3 = 2n ( ) 2a 7) ( = 3b ) 4x 8) ( = 5y ) –2w 9) ( = –3z ) 5x y 10) ( = 3w z ) 10m n 11) ( = 10p q ) 27m3 8n3 6) 5 2 3 3 3 4 3 3 3 5 4 2 2 3 5 2 6 2 2 2 3 3 3 2 4 3 5 w5x6 2 = y4z8 4 5 3 3 4 4 F. Aplique la regla del exponente negativo para simplificar las expresiones. Hay un ejemplo. 0) ( ) 3x 2y –4 = ( 3x2y ) = 16y 81x 1) x–8 = 2) a–3 = 3) b–2 = 4 4 4 6) 4x(3y2) –2 = 7) 5ab(2c4) –3 = 8) 4x(2y2z3) –2 = ( 4a3b ) = 5y 10) ( = 3x ) 2b 11) ( = 3c ) –2 9) 2 –2 4) (5x) –2 = 5) (–3y) –3 = 146 IGER − Polochic 3 3 –3 4 G. Simplifique las expresiones algebraicas, recuerde que no deben quedar exponentes negativos ni literales iguales. Hay un ejemplo. ( 8a4a bb ) = ( 2ab ) = 1) (3x y )(4x y ) = ( 2ab ) = 16ab 4 5 4 0) 4–2 4 2 8 5 3 3 4 8–5 8 2 4 12 3 20a6b8 2) (5m2n3)2(2m3n3) = 3) 3 6 = 4a b 4) ( ) ( 12a8b6 3 x12y9z6 = 5) 3a5b3 x5y6z8 )= 3 H. Simplifique las expresiones algebraicas en las que sea necesario. Realice las operaciones en su cuaderno. Luego, escriba el resultado sobre la línea. 1) (5a3b4)(2a5b3)2 = 2) (8w2 x3y4)2 = 3) (–3a3b4 c4)3 = 4) (3x3y4)(4x5y3) = 5) (15x3y4)(x3y4)3 = 6) (3a8b2)(3a2b3)2 = 7) (10m4n4)(m3n2)3 = 9) 16x6y8 = 4x3y6 10) 15a9b6 = 3a5b3 11) 20a6b8 = 4a6b6 12) 4x2y9 = 4x5y3 13) 81c14 d 9 = 9c4 d5 y = ( 64x 32x y ) 24m n 15) ( = 12m n ) 25x y z 16) ( = 5x y z ) 14) 9 6 3 4 5 8 4 4 5 3 8) (a3b4 c3)(a3b4 c3)4 = 8 9 10 3 9 3 6 Matemática − Semana 9 147 Agilidad de cálculo mental A. Eleve cada número a la potencia indicada. Tiene un ejemplo. 0) –54 = –625 7) –42 = 14) (–3)3 = 1) 43 = 8) –90 = 15) (–7)2 = 2) 92 = 9) –72 = 16) (–9)2 = 3) 33 = 10) –33 = 17) (–2)5 = 4) 20 = 11) –6 2 = 18) (–5)3 = 5) 82 = 12) –18 = 19) (–1)0 = 6) 19 = 13) –40 = 20) (–4)3 = B. Divida las expresiones algebraicas. Tiene un ejemplo. 0) a8 = a6 7) y5 = y0 14) a5 = a3 1) b5 = b2 8) x4 = x2 15) c8 = c6 2) c8 = c3 9) t9 = t5 16) k9 = k4 3) x9 = x2 10) c14 = c9 17) q11 = q8 4) y8 = y4 11) z10 = z5 18) x8 = x–2 5) z12 = z12 12) p10 = p3 19) h6 = h–6 6) w6 = w3 13) b12 = b4 20) y10 = y–6 a2 C. Eleve cada expresión algebraica a la potencia indicada. Tiene un ejemplo. 12 0) (–3x3)4 = 81x 6) (7d 5)2 = 12) (8y3)2 = 1) (8b3)2 = 7) (4z6)3 = 13) (6b4)2 = 2) (2z5)4 = 8) (3a6)4 = 14) (–9d 8)0 = 3) (5y2)3 = 9) (8y10)0 = 15) (–2x3)4 = 4) (–6a4)2 = 10) (–9x4)2 = 16) (–9z3)2 = 5) (10c2)3 = 11) (–5c6)2 = 17) (–5w7)3 = 148 IGER − Polochic Razonamiento lógico Encuentre una expresión algebraica para calcular el área total de cada figura. El ejemplo que está a continuación presenta los pasos a seguir. Usted puede resolver los demás ejercicios de forma directa. 0) x x El área de uno de los cuadrados es: A = x • x = x2 Para encontrar el área total, debemos multiplicar el área del cuadrado por 6. En forma algebraica es: Atotal = 6x2 1) y y 2) x x x x x x 3) y y y x x Matemática − Semana 9 149 Desarrolle nuevas habilidades ¿Cuántos cubos forman cada figura? La potenciación facilita las operaciones en las que se requiere el uso de áreas y volúmenes. Esta vez practicaremos con los cubos. Observe, en los ejemplos, cómo se obtiene la cantidad de cubos que forman cada figura. Luego, le toca a usted completar los otros ejercicios. 1) 13 = 1 R/ El cubo está formado por una pieza. 2) 23 = 8 R/ El cubo está formado por ocho piezas. 3) 4) Revise su aprendizaje Después de estudiar... Marque con un cheque 150 la casilla que mejor indique su rendimiento. Aplico las reglas de la potenciación a expresiones algebraicas. Simplifico expresiones algebraicas. Practico la agilidad de cálculo con potencias de números reales y expresiones algebraicas. Utilizo las expresiones algebraicas para calcular áreas de figuras geométricas. IGER − Polochic en no logrado proceso logrado 5 y 4 3 2 1 0 1 x2 2 3 + y2 4 x 10 –1 = i = r2 Radicación de expresiones algebraicas ¿Qué encontrará esta semana? Igual número de filas y columnas Reglas de los radicales para expresiones algebraicas Suma, resta, multiplicación y división de radicales con expresiones algebraicas Eliminación de factores en los radicales Racionalización de expresiones algebraicas Problemas de área, perímetro y volumen, aplicando la radicación Esta semana logrará: Aplicar las reglas de los radicales a expresiones algebraicas. Realizar operaciones aritméticas con expresiones que contienen radicales. Simplificar radicales que contienen expresiones algebraicas. Racionalizar expresiones algebraicas. Aplicar la radicación a la solución de problemas. Matemática − Semana 10 151 ¡Para comenzar! Igual número de filas y columnas Imagine que usted tiene un negocio de alquiler de sillas y mesas para fiestas y un cliente le pide que, en un salón de forma cuadrada, coloque sillas a la misma distancia, de tal manera que, haya la misma cantidad de filas y columnas. Estos son los datos que sabe: El alquiler de cada silla cuesta Q3.00. La cantidad máxima que el cliente quiere pagar por el alquiler de las sillas es Q432.00. Con la información presentada comencemos a resolver el problema. Primero, debemos conocer el número de sillas que se puede utilizar, para ello dividimos la cantidad de dinero disponible Q432.00 dentro de Q3.00, que es el precio del alquiler de cada silla. Q432.00 ÷ Q3.00 = 144 Ahora que ya conocemos el número de sillas a utilizar, podemos averiguar el número de filas y columnas, como el espacio es cuadrado cabe la misma cantidad de filas y columnas. Utilizaremos la letra x para representar las filas y las columnas que es el dato desconocido. Como sabemos que el área que ocuparán las 144 sillas es cuadrada, esta se obtiene al multiplicar x • x = x2 x2 = 144 Para obtener el valor de x, eliminamos la potencia que acompaña a la variable, aplicando raíz cuadrada en ambos miembros de la ecuación. x2 = 144 x = 12 El valor de x es 12, por lo tanto se deben colocar 12 filas y 12 columnas con 12 sillas en cada una. Para resolver este planteamiento fue necesario hacer uso de los radicales, tema que trataremos esta semana. ¡A trabajar! Suponga que usted tiene un terreno de forma cuadrada con un área de 625 m2 , destinado para sembrar café. ¿Cuántas plantas puede sembrar, distribuidas en la misma cantidad de filas y columnas, si todas estarán a 1 metro de distancia? 152 IGER − Polochic El mundo de la matemática 1. Reglas de los radicales Como vimos en la semana 3, la radicación es la operación inversa a la potenciación y consiste en hallar la raíz de un número, tal que, al elevarlo a la potencia indicada se obtenga nuevamente el mismo número. Esto se representa mediante la expresión. n a = r si y solo si r2 = a En general, las partes y las reglas de la radicación para expresiones algebraicas son las mismas que utilizamos con los números reales. Se las presentamos en el cuadro siguiente. Ponga atención a cada una y a los ejemplos. Regla Ejemplo raíz de una potencia n 3 n an = an = a (18xy)2 = (18xy)2 = 18xy del producto n n 3 (2a)3 = (2a)3 = 2a a2 • 4b2 = a2 • 4b2 = a • 2b = 2ab n a • b = a • b 16x2 • 25y2 = 16x2 • 25y2 = 4x • 5y = 20xy del cociente 4a2 4a2 2a = = 2 9b 9b2 3b n n a a =n b b 16x2 16x2 4x = = 2 3y 9y 9y2 raíz de una raíz 3 a = n•m a nm 3 6 64a6 = 2 • 364a6 = 664 • a6 = 2a 729x6 = 3 • 2 729x6 = 6 729 • x6 = 3x Atención: La primera propiedad no aplica cuando los radicandos están formados por sumas o diferencias, como en el caso siguiente: 3 3 3 x ± y 3 ≠ x3 ± y 3 Ejercicio 1 Aplique las reglas de la radicación para resolver los ejercicios. Tiene un ejemplo. r 3 a • b 3) (20x)3 = 0) a • b = 6) 3 = s 3 3 1) c • d = 4) m2n2 = 7) 2) (mn)2 = 5) p q 8) = 4 a8 = 3 6 a = Matemática − Semana 10 153 2. Conversión de una raíz a una potencia fraccionaria Esta conversión se realiza en algunos casos para facilitar las operaciones con radicales, ya que resulta más fácil trabajar con exponentes. Un radical es equivalente a una potencia fraccionaria cuando el denominador de la fracción es el índice del radical y el numerador es el exponente del radicando. Preste atención al recuadro y a los ejemplos. m n a = an/m Para evitar los valores absolutos, todas las literales de los radicandos representan números reales positivos. a3 = a3/2 4 b5 = b5/4 4 w7 = w7/4 3 x9 = x9/3 = x3 5 10 z = z10/5 = z2 ( xy ) = ( xy ) = ( xy ) 4 4/2 2 Para convertir un exponente fraccionario a radical, solo hacemos la operación inversa a los casos anteriores. Veamos algunos ejemplos. 5 8 x2/5 = x2 m7/8 = m7 4 y3/4 = y3 9 x6/9 = x6 ( ) ( ) ( wz ) = ( wz ) p q 3/4 =4 p q 3 2 2/5 5 Ejercicio 2 A. Convierta los radicales en potencias fraccionarias y simplifique el resultado donde sea posible. Tiene un ejemplo. 3 0) a6 = a6/3 = a2 5 3 3) (20x)4 = 4 1) a8 = 4) (8n)2 = 5) 2) d 8 = 6 ( pq ) = B. Convierta los exponentes fraccionarios en radicales. Tiene un ejemplo. 0) (ab)2/5 = 1) x3/4 5 (ab)2 3) z2/3 = = 4) (mn)2/9 = 2) w5/7 = 5) (pq)3/4 = 154 IGER − Polochic ( hk ) = 2 6) 8 7) (yz)4 = 5 8) (x2y3) = ( hk ) = 7) ( r ) = s 6) 5/9 3/5 8) (xyz)1/3 = 3. Radicales semejantes Dos o más radicales son semejantes si en su forma más simple el radicando y el índice son iguales. Algunos pueden tener coeficientes, pero esos términos no los hace diferentes. Observe el índice y el radicando en los ejemplos. 8x3 8y 8x3 5 8x3 –3wx 8x3 –4x 8x3 9 8x3 4 3.1 Suma y resta de radicales semejantes La suma y resta de radicales solo se puede realizar si estos son semejantes. Para realizar estas operaciones, se suman o se restan los coeficientes y se copia el radical. n n n n a x + b x – c x = (a + b – c) x 8 a + 7 a = (8 + 7) a = 15 a 4 4 4 4 12 3x + 14 3x = (12 + 14) 3x = 26 3x 3 3 3 3 5x a2b4 – 3x a2b4 = (5x – 3x) a2b4 = 2x a2b4 24 5x5y3 + 6 5x5y3 – 8 5x5y3 = (24 + 6 – 8) 5x5y3 = 22 5x5y3 Ejercicio 3 Resuelva de forma directa las sumas y restas de radicales semejantes. Tiene un ejemplo. 0) –9 7a + 5 7a = –4 7a 7) 8 pq3 – 5 pq3 = 1) 5 4b + 5 4b = 8) 15 a4 – 8 a4 = 2) 6a 7b + 3a 7b = 9) 16p r7s3 – 10p r7s3 = 3 3 3 3 10) –5 w2 x5 – 3 w2 x5 = 4) –16 x5 + 8 x5 = 4 11) 6a2b 7 – 6a2b 7 = 5) 12 m9n9 + 8 m9n9 = 12) 5x2 a5b9 – 3x2 a5b9 = 6) 16 3c4 d 5 + 4 3c4 d 5 = 13) 8m6 r 4 s7 – 3m6 r 4 s7 = 3) 7 x2y 2 + 3 x2y 2 = 4 3 3 5 5 Matemática − Semana 10 155 3.2 Multiplicación de radicales Para multiplicar radicales, consideremos los casos siguientes: a. Radicales que tienen el mismo índice En este caso debemos aplicar la regla del producto de raíces. Preste atención al recuadro y a los pasos de los ejemplos. n n n a • b = a • b Multipliquemos 4 • Escribimos los radicandos en un solo radical. 4 4 • Multiplicamos los radicandos y convertimos el radical en un exponente fraccionario. 4 3a5 • 27a3 = 3a5 • 27a3 = 81a8 = 3a8/4 = • Simplificamos el resultado. 3a2 8 Multipliquemos • Escribimos los radicandos en un solo radical. 8 15x2y3 • 5xy4 = 8 15x2y3 • 5xy 4 = 8 • Multiplicamos los radicandos. En este caso, el resultado no se puede simplificar. 75x3y7 b. Radicales que tienen diferente índice e igual radicando Cuando los índices son diferentes, cada radical se convierte en exponente fraccionario y se aplica la multiplicación de exponentes con bases iguales. Si la nueva potencia es una fracción, se convierte nuevamente en radical, como se muestra en los ejemplos. m n a • a = a1/m • a1/n 3 Multipliquemos • Convertimos cada radical en exponente fraccionario. • Copiamos la base y sumamos los exponentes. (ab)1/3 • (ab)1/2 = (ab)1/3 + 1/2 = (ab)5/6 = 6 • Convertimos el nuevo exponente fraccionario en radical. 5 • Convertimos cada radical en exponente fraccionario. (xy)3/5 • (xy)5/2 = • Convertimos el nuevo exponente fraccionario en radical. IGER − Polochic (ab)5 Multipliquemos • Copiamos la base y sumamos los exponentes. 156 ab • ab = (xy)3 • (xy)5 = (xy)3/5 + 5/2 = (xy)31/10 = 10 (xy)31 4 Multipliquemos (pqr)5 • (pqr)3 = • Convertimos cada radical en exponente fraccionario. • Copiamos la base y sumamos los exponentes. (pqr)5/2 • (pqr)3/4 = (pqr)5/2 + 3/4 = (pqr)13/4 = 4 • Convertimos el nuevo exponente fraccionario en radical. (pqr)13 Ejercicio 4 Multiplique los radicales siguientes y simplifique su resultado. Recuerde que se operan de diferente forma los que tienen índice igual y los que tienen índice diferente. 1) 3x2y5 • 2x2y = 2) 4 4 3) 12a3b • 5a5b3 = 4) 5 5) (3ab)2 • (3ab)3 = 6) 5 4y4z3 • y2z4 = 5 3 mn • mn = 3 (5wxy) • (5wxy)3 = 5 Matemática − Semana 10 157 3.3 División de radicales Para dividir radicales que tienen el mismo índice y diferente radicando, hacemos uso de la regla del cociente de los radicales; se dividen los radicados y de ser posible se simplifica el resultado. La división de radicales sigue esta regla: n n a a =n b b 5 Dividamos 4 a3 = 5 2 a2 • Expresamos el cociente como un solo radical. 4 a3 5 = 2 a2 • Simplificamos el radicando. 5 2 a3 – 2 = • Escribimos el resultado. 5 2 a 6 Dividamos • Expresamos el cociente como un solo radical. • Simplificamos el radicando. Practique la división de radicales con el mismo índice y diferente radicando. 6 x5y4 18 a6 1) 9 2 = 2) 6 3 2 = xy 6 a 158 7 8 26m6n5 16p5q6r 4 = 4) = 7 8 3 4 13m n 4p2q3r 4 IGER − Polochic 20x5y4 = 4x2y3 5x5 – 2y4 – 3 = 6 Ejercicio 5 3) 6 6 • Escribimos el resultado. 9 20x5y4 = 4x2y3 6 5x3y 3.4 Eliminación de factores en los radicales En algunos casos podemos simplificar un radical eliminado los factores del radicando hasta que las potencias de la parte numérica y de las literales sean menores que el índice del radical. Los ejemplos siguientes demuestran esta operación. Simplifiquemos 18a3 = • Convertimos el radicando en factores. 9 • 2 • a2 • a = • Aplicamos la regla del producto y de la raíz de una potencia. (3a)2(2a) = (3a)2 • (2a) = • Escribimos el resultado. 3a 2a Simplifiquemos 3 64x3y5z8 = • Convertimos el radicando en factores. 3 (4xyz2)3 • (y2z2) = • Aplicamos la regla del producto y de la raíz de una potencia. 3 • Escribimos el resultado. 4xyz2 y2z2 3 (4xyz2)3 • (y2z2) = 3 Simplifiquemos 2x5y3 • 8x2y = • Escribimos los factores como un solo radical. 16x7y4 = • Convertimos el radicando en factores. (4x3y2)2(x) = • Aplicamos la regla del producto y de la raíz de una potencia. (4x3y2)2 • (x) = 4x3y2 x • Escribimos el resultado. Ejercicio 6 Simplifique los radicales con los ejercicios siguientes. 3 16x5y4z6 = 2) 1) 48a5 = 3) 7x4y2 • 7x2y3 = 27m3n5p7 = 4) Matemática − Semana 10 159 4. Racionalización de denominadores Una expresión algebraica expresada en su forma más simple o simplificada no debe tener radicales en el denominador. Para ello, trabajaremos en la racionalización, tema que ya vimos en los números complejos y que hoy ampliamos a la radicación. Preste atención a cada caso. a. Cuando se multiplica el numerador y el denominador por el radical del denominador. Racionalicemos 4 = 2x • Multiplicamos el numerador y el denominador por 2x 4 2x • Simplificamos las expresiones y obtenemos el resultado. ( 2x2x ) = (4 2x2x) = 2 4 2x 4 2x 2 2x = = 2 ( 2x ) 2x x Racionalicemos 5y = 3w • Multiplicamos el numerador y el denominador por 3w 5y 3w • Simplificamos las expresiones y obtenemos el resultado. ( 3w3w ) = 5y( 3w)3w = 2 5y 3w 5y 3w = 3w ( 3w)2 b. Cuando el denominador tiene un coeficiente, se multiplica el numerador y el denominador por el radical, sin tomar en cuenta el coeficiente. 160 IGER − Polochic Racionalicemos 7 = 3 5x • Multiplicamos el numerador y el denominador por 5x 7 3 5x • Simplificamos las expresiones y obtenemos el resultado. 35x 35x 35x = = 2 15x 3( 5x) 3(5x) Racionalicemos 8m = 4 2n • Multiplicamos el numerador y el denominador por 2n 8m 4 2n • Simplificamos las expresiones y obtenemos el resultado. 4 mn mn 16mn = = 2n 4( 2n)2 4(2n) ( 5x5x ) = 3(7 •5x)5x = 2 ( 2n2n ) = 4(8m2n)• 2n = 2 c. Cuando el denominador es un binomio se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. Racionalicemos 5 3x + 2x • Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado. 5 3x + 2x • Simplificamos las expresiones. ( 3x3x –– 2x2x ) = 5( 3x – 2x ) = ( 3x )2 – ( 2x )2 5( 3x – 2x ) 5( 3x – 2x ) = = 3x – 2x ( 3x )2 – ( 2x )2 • Escribimos el resultado. 5( 3x – 2x) x Racionalicemos 3x x – 6 • Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado. 3x x – 6 • Simplificamos las expresiones. 3x( x + 6 ) 3x( x + 6 ) = = 2 2 ( x )2 – ( 6 )2 ( x) –( 6) • Escribimos el resultado. 3x( x + 6 ) x–6 ( xx ++ 66 ) = Ejercicio 7 Racionalice las expresiones algebraicas y simplifique el resultado donde sea posible. 1) 9y 5 = 2) = 2 3x y + 3 Matemática − Semana 10 161 Resumen 1. Las reglas de la radicación son las mismas que utilizamos con los números reales. De forma simbólica se representan así: n n an = an = a n n a • b = a • n b n n a a =n b b a = n•m a nm 2. Para convertir un radical en exponente fraccionario, copiamos el radicando y dividimos su potencia entre el índice del radical. m n a = an/m 3. Dos o más radicales son semejantes si el radicando y el índice son iguales. 3.1 La suma y resta de radicales se puede realizar si y solo si son radicales semejantes. Para realizar estas operaciones, se suman o restan los coeficientes y se copia el radical. 22y y 18x 22y n n n n a x + b x – c x = (a + b – c) x 3.2 En la multiplicación de radicales se pueden presentar dos casos: los que tienen el mismo índice y los que tienen diferente índice. a. Con el mismo índice b. Con diferente índice e igual radicando 3.3 Para dividir radicales que tienen el mismo índice, se dividen los radicados y de ser posible se simplifica el resultado. n n n a • b = a • b m n a • a = a1/m • a1/n n a a =n b b n 4. Para eliminar factores en los radicales, se extraen los factores de la parte numérica y de las literales hasta que las potencias sean menores que el índice del radical. 5. La racionalización permite expresar los radicales en una forma simplificada, al no tener radicales en el denominador. Se deben tomar en cuenta los casos siguientes: a. El denominador consta de un solo término radical y no tiene coeficientes. b. El denominador es un radical y tiene un coeficiente. c. El denominador está formado por dos radicales que forman una suma o diferencia, es un binomio. Investigue en la red... Para practicar la radicación en la red, ingrese a esta dirección electrónica: http://goo.gl/JDNWaz 162 IGER − Polochic Autocontrol Actividad 1. Demuestre lo aprendido Marque una "X" en el cuadro de la opción que completa cada enunciado. x5 1) La expresión equivalente a x5 es… x5/2 x2/5 5 x2 nm 2) El resultado que muestra la forma correcta de operar x es… 3 3) La opción que representa el resultado simplificado de x6 es… n+m x n–m x n•m x n÷m x x x2 x3/6 x2 4) Un radical semejante a –5x 2x5 es… 2x5 5 x5 x 2x3 3 –5x 2x5 5) La opción que representa el conjugado de 5x – 2x es… 2x – 5x 5x + 2x – 5x – 2x – 5x + 2x 6) La opción que representa el resultado correcto de la operación ( x – 6 )( x + 6 ) es… x–6 x+6 x – 6 x + 6 Matemática − Semana 10 163 Actividad 2. Practique lo aprendido A. Aplique las reglas de la radicación que correspondan para simplificar cada expresión. Le presentamos un ejemplo. 0) (6ab)2 = 3 1) (x)3 (6ab)2 = 6ab 3 6) 8w6 = = 7) 2) (abc)2 = 8) 4 3) (2pq)4 = 9) 4) 9y2 • y2 = 10) 5) 4m2 • 4m2 = 11) 9x2 = 4y2 3 8x3 = 27y3 25w2 = 16z2 3 4 729t 6 = x16y8 = B. Convierta cada raíz en un exponente racional y los exponentes racionales en raíz. Tiene un ejemplo para cada caso. 5 0) (5x)2/5 = x6/2 = x3 0) x6 = 1) y3 = 1) (m)3/4 = 2) z5 = 2) (p)6/7 = 4 3) 5 w8 = 3) (10x)2/3 = 4) 7 (3x)6 = 4) (2xy)3/8 = 5) 3 (8xy)5 = 5) (6ab)3/5 = 6) (16ab)2 = 6) (7pqr)7/9 = (5x)2 C. Sume o reste los radicales semejantes. Simplifique el resultado donde sea posible. Tiene un ejemplo. 0) –2 5ab + 6 5ab = 4 5ab 7) 6 a5 – 2 a5 3 3 = 1) 3 3c + 3 3c = 8) 6 y6z4 – 4 y6z4 2) 6 8b + 6 8b = 9) 15p r3s4 – 10p r3s4 = 3) –6 b7c7 + 8 b7c7 = 10) 8 c4 + 3 c4 – 3 c4 = 3 3 4) 3 x2y2 + x2y2 = 5 5 3 3 3 6 6 6 = 11) 3 a6 – 8 a6 + 9 a6 = 5) 9 2x4 + 10 2x4 = 12) 6a2 7 + 6a2 7 – 6a2 7 = 6) 4m pq3 + 5m pq3 = 13) 5 y7z4 + 3 y7z4 – y7z4 = 164 IGER − Polochic 3 3 3 D. Multiplique los radicales en su cuaderno, simplifique el resultado y escríbalo sobre la línea. Recuerde que se operan de distinta forma los que tienen igual y diferente índice. Tiene un ejemplo para cada caso. = 10a2 a 3 0) 5ab • 5ab = 1) x • x = 2) 9y5 • 4y3 = 5 2) y • y = 3) 8a3 • 27a3 = 3 3) (xy)3 • (xy)5 = 4) 15x3y4 • 6xy2 = 4 4) (ab) • (ab)3 = 5) 3m6y2 • 3my3 = 5) (x6z2)4 • (x6z2)5 = 6) 15wz2 • 6w3z2 = 3 6) (6h3k2)2 • (6h3k2)3 = 0) 5a3 • 20a2 3 3 1) 8x2 • x2 3 4 3 3 = 6 (5ab)5 3 E. Divida los radicales en su cuaderno y escriba el resultado sobre la línea. Tiene un ejemplo. 3 6 p15 = 5 4 p12 d 6 = d 4 6) 10x4y4 = 5x2y3 2) 6 x8 = 2 x5 7) 3) 9 y3 = 4 3 y2 1) 8 c4 = 3 4 c3 5 5) 0) 3 2 c 5 5 4 4 4 100x5y8 = 25x2y6 8) 6 10 w12 4) = 6 w8 9) 9a6b9 = 3a4b2 18b12c4 = 9b6 c4 6 F. Racionalice las expresiones algebraicas en su cuaderno y escriba el resultado en la línea. Tiene un ejemplo. 0) 8x ( 3x + 2x ) 3x – 2x = 8 6) 6 = 9 6x 1) 2 8x = 7) 8x 4 8x 2) 1 10x = 8) 3) 6 3x = 3x 3 3x 7 9) 3 5x 4) 5x 2 = 10) 6 = 2x + 3x 5) 3 = 2 5x 11) 9 = 7x + 3x = = = Matemática − Semana 10 165 Agilidad de cálculo mental A. Resuelva las raíces cuadradas exactas y escriba el resultado sobre la línea de la derecha. Tiene un ejemplo. 0) 324 = 18 5) 0 = 10) 9 = 1) 81 = 6) 64 = 11) 900 = 2) 16 = 7) 100 = 12) 144 = 3) 4 = 8) 25 = 13) 121 = 4) 49 = 9) 1 = 14) 400 = B. Realice la operación indicada con los radicales. Primero, debe encontrar cada raíz y luego sumar o restar los resultados. Guíese por el ejercicio 0. 4+5=9 9) 4 – 1 = 1) 4 + 81 = 10) 25 – 4 = 2) 64 + 9 = 11) 16 – 0 = 3) 9 + 400 = 12) 64 – 16 = 4) 49 + 25 = 13) 64 – 49 = 5) 121 + 0 = 14) 100 – 81 = 6) 81 + 81 = 15) 121 – 81 = 7) 900 + 16 = 16) 144 – 36 = 8) 100 + 64 = 17) 400 – 100 = 0) 16 + 25 = C. Realice las operaciones indicadas en cada radical. Primero, convierta cada operación como un solo radical y exprese su respuesta como un número entero. Guíese por los ejemplos. 0) 32 • 8 = 32 • 8 = 256 = 16 6) 45 = 5 1) 8 • 2 = 7) 16 = 4 2) 3 • 27 = 8) 100 = 25 3) 20 • 20 = 9) 100 = 4 4) 9 • 100 = 10) 5) 8 • 50 = 166 IGER − Polochic 64 = 4 3 64 11) 3 = 8 45 = 9 =3 5 Razonamiento lógico En este apartado practicará la radicación de números reales. Para resolver los ejercicios, es necesario que recuerde las fórmulas para el área de cuadrados, rectángulos y el círculo, así también la del volumen para el cubo. 1) El área de un terreno de forma cuadrada es 169 m2. ¿Cuánto mide el perímetro del terreno? 2) El volumen de un cubo es 1000 cm3. ¿Cuál es el área de una de sus caras? 3) El área de un terreno cuadrado es 625 m2. ¿Cuál es el área de otro terreno de la misma forma cuyo lado mide el triple del que tiene el área de 625 m2? 4) Se quiere distribuir a 529 estudiantes en un salón de forma cuadrada. ¿Cuántos estudiantes habrá en cada fila? 5) La mitad del cuadrado de la distancia que recorre un ciclista en 30 minutos es 162 km. ¿Cuánto recorrerá en 2 horas? 6) Se quiere construir un tablero cuadrado que tenga una superficie de 225 cm2 y que a su vez contenga 144 casillas iguales, sin espacio entre una y otra. ¿Cuánto medirá el lado de cada casilla? 7) El área de un cuadrado es 4096 cm2. ¿Cuánto medirá el perímetro de otro cuadrado cuyo lado es la raíz cúbica de lo que mide un lado del primer cuadrado? 8) En una habitación se quieren colocar 3 mesas cuadradas de 2 m2 cada una y 2 mesas, también cuadradas, de 8 m2 cada una. Puestas una a continuación de la otra, ¿qué longitud ocuparán todas las mesas? 9) Un terreno cuadrado tiene una superficie de 900 m2. ¿Cuánto costará cercarlo si el metro de malla tiene un valor de Q75.00? 10) El dueño de un terreno, cuyas dimensiones son 32 m de largo por 8 m de ancho, quiere permutarlo por un terreno cuadrado de la misma superficie. ¿Cuánto debe medir cada lado del terreno cuadrado? 11) Un comerciante compró cierto número de playeras por Q256.00. Si el número y el precio de las playeras son iguales, ¿cuántas playeras compró? 12) Una caja en forma cúbica tiene un volumen de 125 000 cm3. Si se corta por la mitad, ¿cuáles serán las dimensiones de la caja resultante? 13) Halle el área de la corona circular comprendida entre las circunferencias inscrita y circunscrita en un cuadrado de 6.25 cm2 de área. 54 3. Matemática − Semana 10 167 Desarrolle nuevas habilidades El misterioso número 6 Para comenzar conozcamos el símbolo ! En matemática se le llama factorial y se define como el producto de todos los números enteros positivos desde el número indicado hasta 1. Veamos el factorial de 4 y 5. 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 Este símbolo es el que nos servirá para completar la primera fila del cuadro de abajo, donde, con cualquier operación matemática y utilizando los símbolos , +, 3 , –, ÷, × debe dar como resultado 6. Preste atención cómo se obtiene 6 en la primera fila. (1 + 1 + 1 )! = (3)! = 3 × 2 × 1 = 6 Ahora le toca a usted completar las demás. (1 2 3 4 5 6 7 8 9 + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 + 1)! 2 3 4 5 6 7 8 9 = = = = = = = = = 6 6 6 6 6 6 6 6 6 Revise su aprendizaje Después de estudiar... Marque con un cheque 168 la casilla que mejor indique su rendimiento. Aplico las reglas de los radicales a expresiones algebraicas. Realizo operaciones aritméticas con expresiones que contienen radicales. Simplifico radicales que contienen expresiones algebraicas. Racionalizo expresiones algebraicas. Aplico la radicación a la solución de problemas. IGER − Polochic en no logrado proceso logrado 5 y 4 3 2 1 0 1 x2 2 3 + y2 4 x 11 –1 = i = r2 Operaciones polinomiales ¿Qué encontrará esta semana? La importancia del álgebra Polinomios Operaciones con polinomios Operaciones con monomios Calcular el área sombreada en figuras planas. Esta semana logrará: Conceptualizar e identificar un polinomio. Clasificar polinomios de acuerdo a su número de términos. Identificar y resolver operaciones entre polinomios. Resolver operaciones de monomios con agilidad. Matemática − Semana 11 169 ¡Para comenzar! La importancia del álgebra En algún punto de nuestros estudios, se nos puede cruzar por el pensamiento la pregunta: ¿por qué es importante aprender álgebra? Pues bien, esta rama de la matemática es una poderosa herramienta de análisis y tiene gran variedad de aplicaciones; es utilizada por profesionales que van desde los electricistas, los arquitectos y los informáticos. A continuación, veremos algunos casos específicos en los que se emplea el álgebra: • Para calcular la alineación de antenas electromagnéticas. El diseño de una antena para redes de internet inalámbrica se hace empleando la fórmula de Chevyshev, un matemático ruso. Con base en los datos calculados, se establecen las dimensiones idóneas para mantener una señal uniforme y con la máxima cobertura posible. • En las ciencias biológicas, se utiliza para proyectar el ritmo de crecimiento de una población de bacterias o la posibilidad de propagación de una enfermedad. • En la meteorología, el álgebra ayuda para las predicciones del clima; el Insivumeh utiliza modelos matemáticos para calcular la cantidad de lluvia, vientos, etc. que se esperan en alguna región. • En economía, la matemática tiene un rol fundamental; herramientas y conceptos del álgebra se utilizan para pronosticar los comportamientos que tendrá la economía en el futuro. Por ejemplo, el Banco de Guatemala, la institución encargada de la economía nacional, utiliza las proyecciones para tomar las medidas necesarias y mantener así la estabilidad en los precios de los productos en el país. Como pudimos notar, el álgebra puede ser abstracta, pero tiene gran cantidad de aplicaciones en la vida real, por lo que resulta muy importante su dominio. ¡A trabajar! Piense y escriba alguna otra aplicación para la que es necesaria el álgebra. Puede apoyarse en internet u otro recurso de investigación. 170 IGER − Polochic El mundo de la matemática 1. Polinomios Un polinomio es una expresión matemática formada a partir de la unión de dos o más variables y constantes, que se vinculan a través de las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación. En otras palabras, un polinomio es la unión de dos o más monomios. 7x2 + 4xy − 3 1.º término Recordemos que un monomio es una expresión algebraica, formada por un coeficiente y una parte literal (variable) que se multiplican. 2.º término 3.º término 1.1 Clasificación de los polinomios Según su número de términos, un polinomio puede recibir distintos nombres: • Binomio: es el polinomio más reducido, con dos términos. • Trinomio: polinomio con tres términos. • Tetranomio: polinomio con cuatro términos. Nos referimos a las expresiones con cinco términos en adelante simplemente como polinomios. Según los términos que comprende: Polinomio completo: es aquel que tiene todos los términos, desde el término de mayor grado hasta el término independiente. 4y 3 − 2y 2 + 5y + 10 Como notamos, el polinomio anterior va desde el término con exponente 3 hasta el término independiente, es decir, el que ya no tiene variable. Polinomio incompleto: es aquel que no tiene todos los términos desde el término de mayor grado hasta el término independiente. 6y 3 − 5y + 3 = Podemos ver que en la expresión anterior hace falta el término de segundo grado ( y 2) para que sea completo. Según su grado: Al igual que con los monomios, los polinomios tienen "grado". El grado de un polinomio lo determina el monomio o término con el mayor exponente. Veamos: 5w3 + 6w2 – 10w + 6 Mayor exponente En el ejemplo anterior, el mayor exponente es 3, por lo que decimos que es un polinomio de "tercer grado" o "cúbico"; si su exponente mayor fuera 2, sería de "segundo grado" y así continúa con todos los números. Matemática − Semana 11 171 2. Suma y resta de polinomios Para la adición y la sustracción entre dos o más polinomios, se suman o restan los coeficientes de los términos semejantes, es decir, de los términos que tengan la misma variable con el mismo grado. Vamos, no se preocupe, que es muy sencillo. Resolvamos la siguiente suma polinomial: (8x4 + 5x3 – 6) + (4x − 7x3 + 2x4) • Ordenamos los polinomios si no lo están. (8x4 + 5x3 – 6) + (2x4 − 7x3 + 4x) = • Eliminamos los paréntesis teniendo cuidado con la ley de signos. 8x4 + 5x3 – 6 + 2x4 − 7x3 + 4x = • Agrupamos los monomios o términos semejantes. 8x4 + 2x4 + 5x3 − 7x3 + 4x – 6 = • Operamos los coeficientes de los términos semejantes. Aquellos monomios que no tienen ningún término semejante al cual sumarse solamente se copian. 10x4 − 2x 3 + 4x – 6 La resta sigue un proceso muy similar, pongamos atención. Realicemos la resta siguiente: (–19x3 + 21x5 + 9) – (14x5 – 9x3 + 8x2 + 1) • Ordenamos los polinomios si no lo están. (21x5 – 19x3 + 9) – (14x5 − 9x3 + 8x2 + 1) = • Eliminamos los paréntesis teniendo cuidado con la ley de signos. 21x5 – 19x3 + 9 – 14x5 + 9x3 – 8x2 – 1 = • Agrupamos los monomios o términos que tienen la misma variable y el mismo grado. 21x5 – 14x5 – 19x3 + 9x3 – 8x2 + 9 – 1 = • Operamos los coeficientes de los términos semejantes. Aquellos monomios que no tienen ningún término semejante al cual operarse solamente se copian. 7x5 – 10x3 – 8x2 + 8 Ejercicio 1 A. Escriba en la línea correspondiente si se trata de un binomio, trinomio o de un tetranomio. 1) –10t + 5t4 + t – 10 4) w3 + 2v 2) 4x3 + 5xy2 5) – f + f 2 3) 5a – 4ab4 + 4b3 6) 3d 2 + d 3 – 5 172 IGER − Polochic B. Escriba en la línea correspondiente el grado de cada uno de los polinomios siguientes. 1) 3x3 + 2x2 + x – 9 6) 12 + y + x 2) y4 – 10y3 + y2 + y 7) –22 + 9r3 + 4r2 + r 4 3) –10d 3 + d 4 – 3d 2 8) 33x3 – x2 – 10 + 3x 4) h2 + h5 + 4 9) –21 – a2 – a 5) 6t3 – t2 + 19 10) r2 + r C. Resuelva las siguientes sumas y restas de polinomios. Si necesita más espacio, puede trabajar en hojas aparte. 6) –(r + 18r2 + 13) + (–8r2 + 5r + 5) 1) (x3 + x2) + (11x2 – x) 2) (10 – 12x2) – (5x – 2x2 + 5) 7) (43x2y + 13xy) – (–6xy + 13x2y + 13) 3) (6y + 3y3 – 4) – (y + 17 – 3y3) 8) (32w3 – 3w2 – w + 2) + (12w – 3 + 4w3) 4) (at3 + t) + (19t – 11at3 + 1) 9) –(23g + 16g2 + 2) + (–8g2 + 1) 5) (46a4 + 21a3) + (a2 – 14a4 + a3) 10) –(8wy3 – 4y2 + wy) + (2wy + 4w + 3wy3) Matemática − Semana 11 173 3. Multiplicación de polinomios Para multiplicar polinomios se utiliza la propiedad distributiva; el producto puede ser de un número por un polinomio, de un monomio por un polinomio y entre dos polinomios. 3.1 Multiplicación de un número por un polinomio Se multiplica el número por cada uno de los términos de la expresión polinomial. El resultado es otro polinomio que posee el mismo grado del polinomio que se operó y como coeficientes se tienen los productos de los coeficientes del polinomio por el número. Multipliquemos: • Aplicamos la propiedad distributiva al multiplicar (–4) por cada uno de los términos del polinomio. • Operamos y obtenemos el resultado final. Tengamos siempre en mente la ley de signos. (–4)(–7x4 + 16x3y – x2 + 13) (–4)(–7x4 + 16x3y – x2 + 13) = (–4)(–7x4) + (–4)(16x3y) + (–4)(–x2) + (–4)(13) = 28x4 – 64x3y + 4x2 – 52 3.2 Multiplicación de un monomio por un polinomio Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los términos que forman el polinomio, es decir, coeficiente por coeficiente y variable por variable. En este procedimiento se emplea la propiedad distributiva. Para esta operación debemos recordar las leyes de los exponentes, si le surge alguna duda, puede regresar y consultar la semana 9 de su libro. Operemos: • Aplicamos la propiedad distributiva al multiplicar (5wx3) por cada uno de los términos del polinomio. IGER − Polochic (5wx3)(4x4 + 8x3 − 2x − 11) = Como decíamos arriba, al trabajar con las variables (5wx3)(4x4) + (5wx3)(8x3) + (5wx3)(–2x) + (5wx3)(−11) = debemos aplicar las leyes de los exponentes. • Resolvemos y obtenemos el resultado final. 174 (5wx3)(4x4 + 8x3 − 2x − 11) 20wx7 + 40wx6 – 10wx4 – 55wx3 3.3 Multiplicación entre polinomios Para multiplicar dos polinomios entre sí, se multiplica cada término del primer polinomio por todos y cada uno de los términos del segundo polinomio. (3x3 + 4x)(3x4 − 4x2 − 9) Resolvamos: • De nuevo, como en los casos anteriores, aplicamos la propiedad distributiva. (3x3 + 4x)(3x4 − 4x2 − 9) = • Multiplicamos el primer término del primer polinomio (3x3) por cada uno de los términos del segundo polinomio. (3x3 + 4x)(3x4 − 4x2 − 9) = (3x3)(3x4) + (3x3)(−4x2) + (3x3)(−9) = 9x7 – 12x5 – 27x3 • Multiplicamos el segundo término del primer polinomio (4x) por cada uno de los términos del segundo polinomio. (3x3 + 4x)(3x4 − 4x2 − 9) = (4x)(3x4) + (4x)(−4x2) + (4x)(−9) = 12x5 – 16x3 – 36x • Ordenamos los monomios y sumamos los que tengan el mismo grado. 9x7 – 12x5 + 12x5 – 16x3 – 27x3 – 36x = 9x7 – 43x3 – 36x • Se obtiene el resultado final, otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican. 9x7 – 43x3 – 36x Ejercicio 2 En su cuaderno, resuelva las multiplicaciones polinomiales siguientes. Luego, escriba su respuesta en la línea correspondiente. 1) 10(5x3 + 13x – 3) = 2) (3ab2 + 5a2)(3a3b2 – 4b) = 3) (5w3x)(7w2 + 3x2 – 5) = 4) (–8)(9xy2 + y3 + x3) = 5) (9g2h3 + 7gh2 – 8h – 3)(4g2h2 + 12gh – 15) = 6) (14b2c3)(7ab3 + 11ac2 – 8) = 7) 17(3n3m – 8n2m2 + 6nm3 + 8) = 8) (12w2 xy – 4w2 x2y2 + 9wx3y3)(5w2 x + 8xy3 – 7wxy) = 9) (9x3y)(3xy2 – 5x2y + 7x) = 10) (–4w2z + 6wz)(8wy2 – 5x3z2) = Matemática − Semana 11 175 4. División de un polinomio entre un monomio Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio, teniendo en cuenta la ley de los signos. Resolvamos: (20x3 − 15x2 + 40x + 5) ÷ (5x2) = • Dividimos cada uno de los términos del polinomio entre el monomio. 5 20x3 15x2 40x 5x2 − 5x2 + 5x2 + 5x2 = • Operamos, dividiendo coeficientes entre coeficientes y variables entre variables. 5 20x3 15x2 40x 5x2 − 5x2 + 5x2 + 5x2 = • Obtenemos el resultado final. 1 8 4x – 3 + x + x2 Veamos un último ejemplo, operemos: (3x3y2 + 5x2y – 6xy2 + 4xy) ÷ (−4x2y) = • Dividimos cada uno de los términos del polinomio entre el monomio. Tenemos cuidado con la ley de signos. 5x2y 6xy2 4xy 3x3y2 – + + = −4x2y −4x2y −4x2y −4x2y • Operamos, dividiendo coeficientes entre coeficientes y variables entre variables. − 3xy 5 3y 1 − + − = 4 2x x 4 • Ordenamos los términos y obtenemos el resultado final. − 3xy 3y 1 5 – – + 2x x 4 4 Ejercicio 3 En su cuaderno, resuelva las divisiones polinomiales siguientes. Luego, escriba su respuesta en la línea correspondiente. 1) (6x4y – 9x3y2 + 12x2y3 – 6xy 4 ) ÷ (3xy) = 2) (4x3 + 6x2 – 8x – 2) ÷ (2x) = 3) (12a3b2 – 20a2b + 16ab – 4) ÷ (− 4a2b) = 4) (20wx2 + 15w2 x – 25w) ÷ (5wx) = 5) (81a3b2 – 27a2b3 + 54ab4 + b) ÷ (9a2b3) = 6) (9x2y2 + 3xy3 – 12) ÷ (3xy2) = 7) (40b4 c3 – 22b2c2 + 18bc) ÷ (− 2b2c3) = 8) (12xy3 + 18x2y2 – 42x3y + 6x4 – 12) ÷ (6x2y3) = 9) (48a4b4 – 32a3b2 + 8a2b) ÷ (8a3b3) = 176 IGER − Polochic Resumen 1. Un polinomio es una expresión matemática formada a partir de la unión de dos o más variables y constantes, que se vinculan a través de las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación. En otras palabras, un polinomio es la unión de dos o más monomios. 1.1 Los polinomios se pueden clasificar según su número de términos, según los términos que comprende y según el grado de sus variables. 2. Para la adición y la sustracción entre dos o más polinomios, se suman o restan los coeficientes de los términos semejantes, es decir, de los términos que tengan la misma variable con el mismo grado. 3. Para multiplicar polinomios se utiliza la propiedad distributiva; el producto de polinomios puede presentar diferentes casos: 3.1 Multiplicación de un número por un polinomio: se multiplica el número por cada uno de los términos de la expresión polinomial. 3.2 Multiplicación de un monomio por un polinomio: se multiplica el monomio por todos y cada uno de los términos que forman el polinomio, es decir, coeficiente por coeficiente y variable por variable. 3.3 Multiplicación entre polinomios: se multiplica cada término del primer polinomio por todos y cada uno de los términos del segundo polinomio. 4. Para dividir un polinomio por un monomio, se divide cada uno de los términos del polinomio entre el monomio. Investigue en la red... Le animamos a observar los videos siguientes sobre las operaciones con polinomios: • Multiplicación de polinomios: goo.gl/tI2YkZ • División de polinomios: goo.gl/ivfKMk Puede encontrar más ejercicios para practicar en los sitios web siguientes: • Sumas y restas: goo.gl/ZAwF15 • Multiplicación: goo.gl/t47WKT Matemática − Semana 11 177 Autocontrol Actividad 1. Demuestre lo aprendido A. Observe e indique si los polinomios son completos o incompletos. Guíese por el ejemplo. 0) –a4 + 12a3 + 18a2 – 7a + 17 completo 1) 2x3 – x2 + 4x – 19 2) b3 + 6b2 – 4 3) –11r5 + 19r4 + 27r2 – 28 4) 10y5 – 4y4 – 8y3 + 19y2 + y – 21 B. Observe e indique el grado de los polinomios siguientes. Guíese por el ejemplo. 0) 3x3 + 21x4 – 9x + 17 cuarto grado 1) –17a5 + 7a3 – 18a2 + 28 2) 25m2 – 15m3 + 12m2 + 45 3) –14x2 + 18x + 14x – 22 4) 5y + 3x – 6y + 25 Actividad 2. Practique lo aprendido A. Resuelva las sumas y las restas de polinomios siguientes. Puede hacerlo en su cuaderno o en hojas aparte. 1 1) (–6bx2 + 8x4 – 12 – 2x3 + bx) + (–10x4 – 5 + 6bx + 9x3 + bx2) 2 2) (8a4 – 14a6 – 16a3 – 2a + 15) − (−3a6 – 21a2 + 14a − 23) 3) (−22x3 + 23x2 − 15x5 + 21x4 + 25x − 17) − (7x3 − 21x4 + 17x2 − 18x5) 4) (28x2z − 41x4 + 14xz − 9) − (−17x4 − 3x2z – 8 − 27xz) 5) (45x7 + 17x5 − 25x + 61x3 − 12) + (29x3 − 38x5 + 5x7 − 18x3) 6) (−28mn2 + 25n – m2n + 28) − (36n − 41m2n + 2 − 8mn2 + 7m) 7) (58mn3 + 7m2n – 41mn – 3m) − (3mn3 + 25mn + 4 – 6m2n) 8) (32y3 − 12y4 + 34y – 22 + 3y2) + (24y4 − 4y2 – 34 − 17y3 + 4y) 9) (−82w2z2 + 37w3 + 6w3z – 5wz2) + (6z + 23w3z − 76 – 3w2z2 – 2w3) 10) (−13r2 s + 24s2 – 5rs3 + 4) − (−63r2 s + 42r + 81s2 – 8rs3) 178 IGER − Polochic B. Resuelva las multiplicaciones polinomiales siguientes. Puede hacerlo en su cuaderno o en hojas aparte. 1) (−12)(5xy2 + 8x2y – 12x + 8y + 12) 2) (6ab3)(5a2b + 6ab3 – 9 + 4a2) 3) (2k2v + 3kv2 − k)(11 + 2kv – v3) 4) (−8y2z2)(7yz3 + 8y3z2 – 10y) 5) (8)(–4ab3 – 6a + 9a2b) 6) (3x − 3y2)( –5y3 + 6x2y – 8) 7) (−9xy2 + 6x2y3 – 5x3y)(9 + 4x2y – x3y2) 8) (10m3n2)(5mn2 + 10m2n3 – 9) 9) (−9)(–u3 + 6u2 – u) 10) (10a2b4 – 5a3b + 6b)(a2 + 2ab2) 11) (−8b2c4)(12 + 4c3 – b4) 12) (−19m2 + 9m − 7)( 9m3 – 11m2 + 8m − 11) C. Resuelva las siguientes divisiones de polinomios entre monomios. Puede hacerlo en su cuaderno o en hojas aparte. 1) (x2 – xz2) ÷ (x) 2) (6a3b3 – 9a2 x4) ÷ (−3a2) 3) (−5x3 + 10xy2 + 4a2b3) ÷ (−2x) 4) (16x5 – 8x4 + 7x3 − 12) ÷ (4x4) 5) (−49a2 + 3a2b – 21ab2) ÷ (7ab2) 6) (10m3n4 + m4n3 – 6m2n2) ÷ (−2mn) 7) (ab3 – 11a4 + 4a3 − 5) ÷ (a3) 8) (−64 + 16x4 – 2 + 4x3) ÷ (−8x) 9) (36wz3 + 2w2z2 − 9w) ÷ (3w2z4) 10) (18k3m4 + 3m3 – 9k4) ÷ (9k4m3) 11) (−8s + 6r2 s2) ÷ (−8rs2) 12) (100b2c + 50bc2 – 5c4) ÷ (10b3c3) Matemática − Semana 11 179 Agilidad de cálculo mental A. Resuelva las siguientes sumas y restas de monomios. Escriba su respuesta en la línea correspondiente. 1) 4x2 + 7x2 = 11) –22w6 – 17w6 = 2) 10y4 + 10y4 = 12) 11m3 + 2m3 = 3) 2x3 – 9x3 = 13) 3f 4 + 5f 4 = 4) –10x2 – 11x2 = 14) – 4h5 + 3h5 = 5) 19x + 3x = 15) g + 5g = 6) 12t4 – 12t4 = 16) –j + 2j 7) –11y3 + 15y3 = 17) 3y3 + 4y3 = 8) 5y2 + 3y2 = 18) 12x4 + 7x4 = 9) 9w3 – 3w3 = 19) –3t 3 – 9t 3 = 10) –4r + 4r = 20) w – 2w = = B. Resuelva las siguientes multiplicaciones de monomios. Escriba su respuesta en la línea correspondiente. 1) 3x4 • 3x5 = 11) 5y • 6y = 2) 5xy • (–3x3) = 12) 12xy • 4x3 = 3) (–2y4) • 3y5 = 13) 11r2 • (–7rt) = 4) (–3y3) • (–4xy2) = 14) 9w2 • 9w5 = 5) 4xy • –7x4 = 15) (–11f 3) • 5f 2j = 6) 5w3 • 6y3 = 16) 4u4 • 4u2 = 7) 4a3 • (–5a4b) = 17) (–12xy3z) • 10x3y2 = 8) (–10b2) • 10b2 = 18) t 2 • 2t 3 = 9) (–3u3) • 9u2 = 19) 7r4 • 7r2p3 = 10) (–4t 4) • 7t3y = 20) 2xyz3 • (–3x3y2) = 180 IGER − Polochic Razonamiento lógico La inteligencia espacial nos permite percibir la realidad, apreciando tamaños, direcciones y relaciones entre objetos. Gracias a esta inteligencia, podemos reconocer un objeto o forma en ocasiones y circunstancias distintas. Estas capacidades las utilizamos constantemente en nuestra vida diaria, por lo que es importante realizar ejercicios para desarrollarlas. ¡Manos a la obra entonces! A continuación, le damos algunas fórmulas para encontrar el área de distintas figuras planas, estas le serán de utilidad en los ejercicios siguientes. Círculo A=π•r 2 1) En la figura se tiene un cuadrado de con lado 2 Cuadrado A= 2 = 16 m. En cada esquina se tiene un cuadrado más pequeño = 4 m. Calcule el área de la región sombreada. = 16 m 2 = 4 m 2) Si = 5 m, calcule el área sombreada. Pista: cada segmento circular es exactamente la mitad de un círculo. =5m Matemática − Semana 11 181 Desarrolle nuevas habilidades Ahora nos entretendremos al mismo tiempo que aprendemos. Trabajaremos con algunos acertijos de aritmética con palillos. Para esta actividad necesitamos 13 palillos de dientes, o algún material similar que tenga la misma longitud. Este tipo de acertijos tiene unos 200 años de historia y son importantes porque motivan al estudiante a hacer uso de sus aprendizajes de aritmética básica para llegar a una solución satisfactoria del ejercicio planteado, al mismo tiempo que desarrolla la lógica y practica sus conocimientos de la numeración romana. Resuelva lo que se le pide: 1) Forme con palillos la figura del recuadro. Luego, cambie de lugar 1 de los 12 palillos y haga que quede formada una igualdad verdadera, porque 6 – 4 no es igual a 9. En el espacio en blanco dibuje cómo quedaría la figura correcta. Vl – l V = l X 2) Forme con palillos la figura del recuadro. Luego, cambie de lugar 1 de los 13 palillos y haga que quede una igualdad verdadera, porque 2 + 8 no es igual a 5. En el espacio en blanco dibuje cómo quedaría la figura correcta. V = ll + Vlll Revise su aprendizaje Marque con un cheque la casilla que mejor indique su rendimiento. Después de estudiar... Conceptualizo e identifico un polinomio. Clasifico polinomios de acuerdo a su número de términos. Identifico y resuelvo operaciones entre polinomios. Resuelvo operaciones de monomios con agilidad. 182 IGER − Polochic en no logrado proceso logrado 5 y 4 3 2 1 0 1 x2 2 3 + y2 4 x 12 –1 = i = r2 Productos notables ¿Qué encontrará esta semana? Al-Jwarizmi, el creador del álgebra El cuadrado y el cubo de la suma y de la diferencia de un binomio Términos del cuadrado y del cubo de un binomio Área algebraica de cuadrados Esta semana logrará: Conocer la historia de al-Jwarizmi y su aporte a la matemática. Resolver el cuadrado y el cubo de la suma o diferencia de un binomio. Practicar el cálculo mental al completar productos notables. Calcular en forma algebraica el área de figuras geométricas. Matemática − Semana 12 183 ¡Para comenzar! Al-Jwarizmi, el creador del álgebra (780 – 850) Es muy probable que usted reconozca o haya visto el retrato de este matemático, es la representación imaginaria de al-Jwarizmi, a quien se le considera el fundador del álgebra. Poco se sabe de la vida de este astrónomo, geógrafo y matemático musulmán, aficionado a las ciencias exactas; que vivió aproximadamente entre los años 780 – 850 y se cree que residió en Irak. En su Libro de la reducción, al-Jwarizmi escribió las primeras reglas del cálculo algebraico, la transposición de términos en una ecuación, previo cambio de signo, la anulación de términos idénticos en ambos miembros, las ecuaciones de segundo grado y otros temas relacionados con el álgebra. Con su Kitab al-yabrwa-l-muqabala o Libro del álgebra, al-Jwarizmi inició la literatura matemática en la que demuestra la solución de ecuaciones de primer y segundo grado, que no difiere de los procedimientos empleados hoy día. En la universidad Oxford, Inglaterra, hay una copia que reproduce el original del álgebra de al-Jwarizmi que proporciona la información más antigua acerca del uso que hacían los árabes del sistema de numeración de base diez, hoy usado en todo el mundo. ¡A trabajar! ¿Sabe el nombre de otras personas que hicieron aportes importantes a la matemática? Escríbalos en las líneas. 184 IGER − Polochic El mundo de la matemática 1. Productos notables Los productos notables son casos especiales de la potenciación y de la multiplicación de polinomios que cumplen con reglas fijas, y se pueden resolver por simple inspección, es decir, resolver mentalmente las operaciones, sin necesidad de escribir todo el procedimiento. Esta semana presentamos ejemplos en los que realizamos las operaciones que indica cada fórmula. Luego, usted, con la práctica, deberá escribir solo el resultado. 1.1 Cuadrado de la suma de un binomio (a + b)2 Con los números reales aprendimos que elevar una cantidad al cuadrado es lo mismo que multiplicar la base por sí misma dos veces. La misma regla aplica si desarrollamos el cuadrado de un binomio. (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a(a + b) + b(a + b) = a2 + ab + ab + b2 2 = a + 2ab + b2 En lugar de realizar todas las operaciones que mostramos, un camino más corto para obtener el mismo resultado es a través de la fórmula general del cuadrado de un binomio que indica: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Se lee: El cuadrado de la suma de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. Ejemplo: (x + 5)2 = (x)2 + 2(x • 5) + (5)2 = x2 + 10x + 25 (y + 8)2 = (y)2 + 2(y • 8) + (8)2 = y2 + 16y + 64 (2a3 + 4b2)2 = (2a3)2 + 2(2a3 • 4b2) + (4b2)2 = 4a6 + 16a3b2 + 16b4 Ejercicio 1 Desarrolle el cuadrado de la suma de un binomio. Guíese por el ejemplo. 0) (x2 + b3)2 = (x2)2 + 2(x2 • b3) + (b3)2 = x4 + 2x2b3 + b6 1) (a + 3)2 = 2) (2c2 + 4d 2)2 = Matemática − Semana 12 185 1.2 Cuadrado de la diferencia de un binomio (a – b)2 Atención: al desarrollar la diferencia de un binomio a cualquier potencia, los signos siempre van alternos +, –, +, –, etc. El caso de la resta de un binomio al cuadrado es muy parecido al anterior, con la diferencia que los signos se alternan entre positivo y negativo. Veamos la multiplicación y luego su fórmula. (a – b)2 = (a – b)(a – b) = a(a – b) – b(a – b) = a2 – ab – ab + b2 2 = a – 2ab + b2 La fórmula general del cuadrado de la diferencia de un binomio es: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Se lee: El cuadrado de la diferencia de un binomio es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. Ejemplo: (a – 3)2 = (a)2 – 2(a • 3) + (3)2 = a2 – 6a + 9 (4x – 5)2 = (4x)2 – 2(4x • 5) + (5)2 = 16x2 – 40x + 25 (5y4 – 2z3)2 = (5y4)2 – 2(5y4 • 2z3) + (2z3)2 = 25y8 – 20y4z3 + 4z6 1.3 Producto de la suma por la diferencia (a + b)(a – b) En este producto debe observar que los términos de los binomios tienen las mismas literales, pero están unidas por signos diferentes. (a + b)(a – b) = a(a – b) + b(a – b) = a2 – ab + ab – b2 2 = a – 0 – b2 La fórmula general del producto de la suma por la diferencia de dos binomios es: (a + b)(a – b) = a2 – b2 Se lee: El producto de la suma por la diferencia de dos binomios es igual a la diferencia de sus cuadrados. Ejemplo: (a + 5)(a – 5) = (a)2 – (5)2 = a2 – 25 (6x + 8)(6x – 8) = (6x)2 – (8)2 = 36x2 – 64 (3x + 4y)(3x – 4y) = (3x)2 – (4y)2 = 9x2 – 16y2 186 IGER − Polochic 1.4 Producto de dos binomios con un término común y signos iguales En este producto se pueden presentar dos casos: que los signos sean positivos o negativos. Preste atención a cada uno. a. (a + b)(a + c) Para desarrollar el producto de dos binomios con un término común y signo positivo, se procede así: (a + b)(a + c) = a(a + c) + b(a + c) = a2 + ac + ab + bc = a2 + a(b + c) + bc La fórmula general del producto de dos binomios con un término común y signos positivos es: (a + b)(a + c) = a2 + a(b + c) + bc Se lee: El producto de dos binomios con un término común y signos iguales es igual al cuadrado del término común, más el término común por la suma de los términos no comunes, más el producto de los términos no comunes. Ejemplo: (a + 4)(a + 2) = (a)2 + a(4 + 2) + (4 • 2) = a2 + 6a + 8 (4y2 + 6)(4y2 + 3) = (4y2)2 + 4y2(6 + 3) + (6 • 3) = 16y4 + 36y2 + 18 b. (a – b)(a – c) Para desarrollar el producto de dos binomios con un término común y signo negativo, se procede así: (a – b)(a – c) = a(a – c) – b(a – c) = a2 – ac – ab + bc = a2 + a(–b – c) + bc La fórmula general del producto de dos binomios con un término común y signos negativos es: (a – b)(a – c) = a2 + a(–b – c) + bc Se lee: El producto de dos binomios con un término común y signos iguales es igual al cuadrado del término común, más el término común por la suma de los términos no comunes, más el producto de los términos no comunes. Ejemplo: (a – 9)(a – 3) = (a)2 + a(–9 – 3) + (–9)(–3) = a2 – 12a + 27 (3b – 4)(3b – 6) = (3b)2 + 3b(–4 – 6) + (–4)(–6) = 9b2 – 30b + 24 Matemática − Semana 12 187 Ejercicio 2 Desarrolle los productos notables indicados en cada apartado. Hay un ejemplo para cada caso. A. Cuadrado de la diferencia de un binomio. 0) (x3 – 6)2 = x6 – 12x3 + 36 7) (3x4 – 4y3)2 = 1) (x – y)2 = 8) (2x2 – 3y2)2 = 2) (w – z)2 = 9) (8x5 – 4y3)2 = 3) (3x – 4)2 = 10) (4x4 – 5y9)2 = 4) (6y – 5)2 = 11) (3m2n3 – 8pq2)2 = ( ) 5 4 13) ( x – y ) = 2 3 ( ) 1 6) (x – z) = 5 5) 2 1 w – 2z = 2 12) 2 2 1 w – 9z = 3 2 3 2 B. Producto de la suma por la diferencia. 4x2 – 9y2 7) (5z + 8)(5z – 8) = 1) (p + q)(p – q) = 8) (4y2 + z)(4y2 – z) = 2) (y + 4)(y – 4) = 9) (2x2 + 3)(2x2 – 3) = 3) (w + 6)(w – 6) = 10) (3x + 4y)(3x – 4y) = 4) (3x + y)(3x – y) = 11) (5x + 10y)(5x – 10y) = 5) 12) 0) (2x + 3y)(2x – 3y) = ( 23 a + b)( 23 a – b) = 8 8 6) ( m + 3)( m – 3) = 5 5 2 ( 12 x + 5y)( 12 x – 5y) = 5 5 13) ( m + 3n)( m – 3n) = 4 4 2 2 2 C. Producto de dos binomios con un término común. a2 + 8a + 15 8) (a – 6)(a – 4) = = 9) (2c – 3)(2c – 2) = 2) (y + 3)(y + 4) = 10) (5x – 8)(5x – 4) = 3) (z + 7)(z + 2) = 11) (3y – 8)(3y – 7) = 4) (a + 4)(a + 4) = 12) (2x – 5)(2x – 3) = 5) (b + 6)(b + 6) = 13) (10x – 3)(10x – 3) = 6) (k 2 + 8)(k 2 + 2) = 14) (9z2 – 6)(9z2 – 10) = 7) (3w3 + 6)(3w3 + 5) = 15) (3x2y – 2)(3x2y – 4) = 0) (a + 5)(a + 3) = 1) (x + 8)(x + 9) 188 IGER − Polochic 1.5 Cubo de la suma de un binomio (a + b)3 Para elevar un binomio al cubo, lo descomponemos en dos factores y desarrollamos las operaciones correspondientes. (a + b)3 = (a + b)2(a + b) = (a2 + 2ab + b2)(a + b) = a2(a + b) + 2ab(a + b) + b2(a + b) = a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Un camino más corto para obtener el mismo resultado es a través de la fórmula general del cubo de un binomio. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Se lee: El cubo de la suma de un binomio es igual al cubo del primer término, más el triple del primero al cuadrado por el segundo, más el triple del primero por el segundo al cuadrado, más el cubo del segundo. Ejemplo: (m + n)3 = (m)3 + 3(m)2(n) + 3(m)(n)2 + (n)3 = m3 + 3(m2)n + 3m(n2) + n3 = m3 + 3m2n + 3mn2 + n3 (4x + y)3 = (4x)3 + 3(4x)2(y) + 3(4x)(y)2 + (y)3 = 64x3 + 3(16x2)(y) + 3(4x)(y2) + y3 = 64x3 + 48x2y + 12xy2 + y3 (3p2 + 2t3)3 = (3p2)3 + 3(3p2)2(2t3) + 3(3p2)(2t3)2 + (2t3)3 = 27p6 + 3(9p4)(2t3) + 3(3p2)(4t6) + 8t9 = 27p6 + 54p4 t 3 + 36p2t 6 + 8t 9 Ejercicio 3 Escriba los términos que completan el desarrollo del binomio al cubo. 1) (4w + z)3 = ( )3 + 3(4w)2( ) + 3( = = 64w3 + 48w2z + 12wz2 + z3 + 3( 2) (3x2 + 2y2)3 = ( )3 + 3( = 27x6 + 3(9x4)( = )(z)2 + ( )(z) + 3(4w)( )2(2y2) + 3(3x2)( ) + 3( + 54x4y2 + )3 )+ )2 + ( )3 )(4y4) + 8y6 + 8y6 Matemática − Semana 12 189 1.6 Cubo de la diferencia de un binomio (a – b)3 En este caso, la diferencia con la suma es que los signos del resultado se alternan +, –, +, – en cada uno de los términos. (a – b)3 = (a – b)2(a – b) = (a2 – 2ab + b2)(a – b) = a2(a – b) – 2ab(a – b) + b2(a – b) = a3 – a2b – 2a2b + 2ab2 + ab2 – b3 3 = a – 3a2b + 3ab2 – b3 La fórmula general de la diferencia de un binomio al cubo es: (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 Se lee: El cubo de la diferencia de un binomio es igual al cubo del primer término, menos el triple del primero al cuadrado por el segundo, más el triple del primero por el segundo al cuadrado, menos el cubo del segundo. Ejemplo: (c – d)3 = (c)3 – 3(c)2(d) + 3(c)(d)2 – (d)3 = c3 – 3(c2)d + 3c(d 2) – d 3 = c3 – 3c2 d + 3cd 2 – d 3 (x – 2y)3 = (x)3 – 3(x)2(2y) + 3(x)(2y)2 – (2y)3 = x3 – 3(x2)(2y) + 3(x)(4y2) – 8y3 = x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3 (4w – 5)3 = (4w)3 – 3(4w)2(5) + 3(4w)(5)2 + (5)3 = 64w3 – 3(16w2)(5) + 3(4w)(25) – 125 = 64w3 – 240w2 + 300w – 125 Ejercicio 4 Escriba los términos que completan el desarrollo del binomio al cubo. 1) (2c – d)3 = (2c)3 – 3( )2( ) + 3(2c)( = = 8c3 – 12c2 d + 6cd 2 – d 3 – 3(4c2)( 2) (4y3 – 2z)3 = ( )3 – 3( = 64y9 – 3( = 64y9 – 96 190 IGER − Polochic )2 – (d)3 ) + 3( )(d 2) – )2(2z) + 3( )( ) + 3( + 48 )(2z)2 – ( )(4z2) – – 8z3 )3 Resumen Los productos notables son casos especiales de la potenciación y multiplicación de polinomios que cumplen con reglas fijas y que se pueden resolver por simple inspección, es decir, resolver mentalmente las operaciones, sin necesidad de escribir todo el procedimiento. Los productos notables que estudiamos esta semana se resumen en la tabla siguiente: Nombre Producto notable Fórmula general Cuadrado de la suma de un binomio (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Cuadrado de la diferencia de un binomio (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Producto de la suma por la diferencia (a + b)(a – b) = a2 – b 2 Producto de dos binomios con un término común y signos iguales (a + b)(a + c) = a2 + a(b + c) + bc (a – b)(a – c) = a2 + a(–b – c) + bc Cubo de la suma de un binomio (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Cubo de la diferencia de un binomio (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 Investigue en la red... Para reforzar sus conocimientos sobre productos notables, visite esta dirección: http://goo.gl/GiJCa7 Matemática − Semana 12 191 Autocontrol Actividad 1. Demuestre lo aprendido Marque una "X" en el cuadro de la opción que responde correctamente cada pregunta. 1) ¿Qué expresión es equivalente a (a + b)2? (a + b)(a – b) (a + b)(a + b) (a – b)(a – b) (a – b)(a + b) 2) ¿Cuál es el primer término del resultado de (3x + 2)(3x – 2)? 6x 9x 3x2 9x2 3) ¿Cuál es el primer término del resultado de (4x + 2)2? 4 8x 16x 16x2 4) ¿Cuál es un ejemplo del producto de la suma por la diferencia? (a + 3)(a + 4) (a + 5)(a – 5) (a – 6)(a – 2) (a – 3)(a – 3) 5) ¿Cuál es el segundo término al operar (2y + 3)(2y + 5)? 8y 15 4y2 16y 6) ¿Cuál es el resultado de (x + y)(x – y)? x+y x–y x2 + y 2 x2 – y 2 7) ¿Cuántos términos resultan de elevar (x + y)3? 2 3 4 6 8) ¿Cuál es el último término al elevar (2x2 + 3y3)3? 8x6 8x5 27y9 27y6 192 IGER − Polochic Actividad 2. Practique lo aprendido A. Opere el producto de la suma por la diferencia por simple inspección y escriba el resultado en la línea. Tiene un ejemplo. 0) (5a + 4)(5a – 4) = 25a2 – 16 1) (4b + 6)(4b – 6) = 2) (2c + 9)(2c – 9) = 3) (6x + 4)(6x – 4) = ( 12 x – 4)( 12 x + 4) = 5 5 9) ( y + 9)( y – 9) = 3 3 3 3 10) ( a + 5)( a – 5) = 5 5 6 8 6 8 11) ( d + )( d – ) = 7 3 7 3 8) = 12) (3b + 2a)(3b – 2a) = 5) (5y – 8)(5y + 8) = 13) (2a2 + 6b)(2a2 – 6b) = 6) (7w – 9)(7w + 9) = 14) (5h3 – 3k)(5h3 + 3k) = 7) (10x + 2)(10x – 2) = 15) (6m – 3n)(6m + 3n) = 4) (z + 10)(z – 10) B. Opere el producto de dos binomios con un término común y signos iguales por simple inspección. 0) (a + 5)(a + 8) = a2 + 13a + 40 7) (y + 10)(y + 5) = 1) (x – 6)(x – 7) = 8) (z – 4)(z – 6) = 2) (c – 8)(c – 2) = 9) (y – 3)(y – 5) = 3) (z – 6)(z – 8) = 10) (x + 2)(x + 7) = 4) (d – 4)(d – 5) = 11) (w + 8)(w + 7) = 5) (b – 6)(b – 8) = 12) (3y – 5)(3y – 3) = 6) (w + 8)(w + 9) = 13) (5p + 5)(5p + 5) = C. Desarrolle por simple inspección el cubo de los binomios siguientes. 0) (a + 4)3 = a3 + 12a2 + 48a + 64 7) (2z – 3)3 = 1) (b + 2)3 = 8) (4w – 1)3 = 2) (c + 4)3 = 9) (4x – 2)3 = 3) (d + 1)3 = 10) (5y2 – 1)3 = 4) (2x + 3)3 = 11) (2z2 – 4)3 = 5) (3b + 3)3 = 6) (5m + 2)3 = ( 23 b – 5) = 5 13) ( k – 3) = 6 3 12) 2 3 Matemática − Semana 12 193 Agilidad de cálculo mental Calcule mentalmente el término que falta para que el resultado de cada producto notable sea correcto. Escriba la respuesta sobre la línea. A. Complete el primer término. + 40a + 16 8) (a – 10)2 = – 20a + 100 1) (b + 7)2 = + 14b + 49 9) (b – 5)2 = – 10b + 25 2) (c + 6)2 = + 12c + 36 10) (2c – d)2 = – 4cd + d 2 3) (2x + 4)2 = + 16x + 16 11) (9p – 6q)2 = – 108pq + 36q2 4) (8y + 5)2 = + 80y + 25 12) (2w – 2z)2 = – 8wz + 4z2 5) (6z3 + 3)2 = (6x2 – 4y3)2 = + 36z3 + 9 13) – 48x2y3 + 16y6 6) (9r 2 + 3t 2)2 = (4w3 – 5z4)2 = + 54r 2t 2 + 9t 4 14) – 40w3z4 + 25z8 7) (3h3 + 6k 4)2 = (8y8 – 6z6)2 = + 36h3k 4 + 36k 8 15) – 96y8z6 + 36z12 0) (5a + 4)2 = 25a2 B. Complete el tercer término. 9 0) (4w + 3)2 = 16w2 + 24w + 6) (4a – 5b)2 = 16a2 – 40ab + 1) (2x + 4)2 = 4x2 + 16x + 7) (5c – 5d)2 = 25c2 – 50cd + 2) (y + 2z)2 = y2 + 4yz + 8) (6w2 – 4x)2 = 36w4 – 48w2 x + 3) (3a + 5b)2 = 9a2 + 30ab + 9) (5y3 – 7z)2 = 25y6 – 70y3z + 4) (8c3 + 6d)2 = 64c6 + 96c3d + 10) (3a4 – 9b3)2 = 9a8 – 54a4b3 + 5) (5p2 + 9q2)2 = 25p4 + 90p2q2 + 11) (6h2 – 4k5)2 = 36h4 – 48h2k5 + C. Complete el segundo término. 6b + 9 6) (6x – 2)2 = 36x2 – +4 1) (x + 11)2 = x2 + + 121 7) (4y – 6)2 = 16y2 – + 36 2) (x + 10)2 = x2 + + 100 8) (5w – y)2 = 25w2 – + y2 3) (m + n)2 = m2 + + n2 9) (4a2 – 9b2)2 = 16a4 – + 81b4 4) (4a + b)2 = 16a2 + (8w3 – 2z5)2 = 64w6 – + b2 10) + 4z10 5) (6b + c)2 = 36b2 + (3x6 – 7y4)2 = 9x12 – + c2 11) + 49y8 0) (b + 3)2 = b2 + 194 IGER − Polochic Razonamiento lógico Practique los productos notables con las áreas de cada figura. Guíese por el ejemplo. 0) x–3 A = (x + 3)(x – 3) A = x2 – 9 x+3 1) x–4 x+4 2) 4x + 3 4x + 5 3) x+5 x + 10 4) x +6 2 x –4 2 5) 2x + 8 2x – 8 Matemática − Semana 12 195 Desarrolle nuevas habilidades Los productos notables y las figuras geométricas Podemos relacionar los productos notables con el cálculo de áreas de figuras geométricas. Por ejemplo, el cuadrado de la derecha se formó con las figuras siguientes: b • Un cuadrado de lado a a a • Un cuadrado de lado b • Dos rectángulos de largo a y ancho b b b a b a a b b a a b a b Si queremos encontrar el área total, sumamos el área de cada figura. a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 Pero si hacemos uso de los productos notables, podemos calcularla de forma directa, así: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 y llegamos al mismo resultado. x Ahora le corresponde a usted encontrar el área del rectángulo. Realice lo que se pide en cada inciso. a x x b b x a a. Obtenga el área de cada sección y súmelas para obtener el área total. + + + = b. Ahora utilice un producto notable para encontrar el área total. c. ¿Qué producto notable utilizó? Revise su aprendizaje Marque con un cheque la casilla que mejor indique su rendimiento. Después de estudiar... Conozco la historia de al-Jwarizmi y su aporte a la matemática. Resuelvo el cuadrado y el cubo de la suma o diferencia de un binomio. Practico el cálculo mental al completar productos notables. Calculo en forma algebraica el área de figuras geométricas. 196 IGER − Polochic en no logrado proceso logrado 5 y 4 3 2 1 0 1 x2 2 3 + y2 4 13 x –1 = i = r2 Factorización I ¿Qué encontrará esta semana? Factores primos Factorización de polinomios Multiplicación de monomios Problema de lógica Esta semana logrará: Reconocer las características de un polinomio factorizable. Practicar la factorización de un polinomio por factor común. Practicar la factorización de un polinomio por agrupación de términos. Practicar la factorización de un trinomio cuadrado perfecto. Practicar la factorización de una diferencia de cuadrados. Practicar la multiplicación de monomios. Matemática − Semana 13 197 ¡Para comenzar! Factores primos A lo largo de las semanas anteriores hemos trabajado descomponiendo los números en sus factores primos. Esto lo hacemos cuando se desea simplificar alguna expresión o para manipular alguna operación a nuestra conveniencia. Ahora, nos tomaremos un tiempo para conocer en profundidad este tema, porque será esencial para trabajar con lo que aprenderemos esta semana. Veamos qué son los factores primos. Primero, debemos tener claro la definición de un número primo: este es un número natural que puede descomponerse solamente en dos factores distintos: él mismo y el 1. Estos números son contrarios a los compuestos, es decir, aquellos que tienen al menos un divisor natural distinto del uno y de sí mismos. Los números primos menores a 30 son: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23... Un número compuesto se puede "desglosar" o "descomponer" en sus factores primos, es decir, en aquellos números primos divisores exactos de ese número entero; el proceso para encontrar estos divisores se denomina factorización de enteros. Este procedimiento le resultará familiar, veamos un ejemplo: 150 75 25 5 1 2 3 5 5 De manera similar que en la aritmética, en el álgebra se utiliza la factorización para manipular y descomponer algún polinomio en monomios o en otro polinomio más simplificado, con el objetivo de hacer más fácil nuestro trabajo. ¡A trabajar! Calcule los factores primos de los números siguientes. 90 198 IGER − Polochic 378 286 El mundo de la matemática 1. Factorización de polinomios Específicamente en álgebra, cuando hablamos de factorizar una expresión nos referimos al proceso de simplificarla hallando dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta. Generalmente se emplea este procedimiento para trabajar con polinomios. Hay diferentes métodos o "casos" para factorizar, dependiendo de la expresión que deseemos simplificar; esta semana, nosotros estudiaremos los primeros cuatro casos de un total de siete que veremos. Bueno, ¡manos a la obra! 1.1 Factor común monomio Este método consiste en extraer de un polinomio, un monomio como factor común a cada uno de los términos del polinomio en cuestión. Luego, se deja indicada la multiplicación entre el factor común extraído y los términos que quedan de la expresión original. Pongamos atención al ejemplo que sigue. Factoricemos el polinomio: • Primero, calculamos el Máximo Común Divisor (Mcd) de los coeficientes del polinomio. En este caso, obtenemos que el Mcd de 14, 28 y 56 es 14. Con esto encontramos el coeficiente del factor común. Si los coeficientes no tuvieran Mcd, no se preocupe, sencillamente continúa con el procedimiento. • Dividimos cada uno de los términos del polinomio entre su Mcd, con esto lo "extraemos", por lo que dejamos la multiplicación indicada. • Ahora, identificamos qué variables o literales poseen en común todos los monomios. En este caso, la variable x es la que se repite o es "común" en todos los términos. Elegimos la x que tenga el menor exponente, en este caso sería x2 , y la "extraemos", dividiendo cada término entre la misma. • Al extraer la x, completamos el factor común, que sería 14x2 . Ordenamos el polinomio y con esto quedaría la expresión factorizada: 14x2y2 – 28x3 + 56x4 14 28 56 2 7 14 28 7 1 2 4 2 • 7 = 14 14(1x2y2 – 2x3 + 4x4) 14(x2y2 – 2x3 + 4x4) = 4x4 x2y2 2x3 – + = x2 x2 x2 14x2( y 2 – 2x + 4x2) = 14x2( y 2 + 4x2 – 2x) Podemos comprobar que una factorización es correcta si al operar la multiplicación indicada, obtenemos el polinomio original. Comprobemos el ejemplo que acabamos de ver: 14x2( y 2 + 4x2 – 2x) = 14x2y2 – 28x3 + 56x4 Matemática − Semana 13 199 Veamos otro ejemplo, factoricemos: 50a2b3c2 – 150ab2c2 + 75ab3c3 – 125abc2 • Calculamos el Mcd de los coeficientes para obtener el coeficiente del factor común. En este caso será 25. 50 150 10 30 2 6 75 125 15 25 3 5 5 5 5 • 5 = 25 • Dividimos cada término entre el Mcd, con 2 3 2 2 2 3 3 2 esto lo "extraemos" y dejamos la multipli- 25(2a b c – 6ab c + 3ab c − 5abc ) = cación indicada. • Identificamos qué variables o literales 2 3 2 2 2 3 3 2 poseen en común todos los monomios. 25(2a b c – 6ab c + 3ab c − 5abc ) = En este caso, todas las variables (abc) son las que se repiten en todos los términos. • Elegimos las variables con el menor exponente, en este caso serían abc2, y las "extraemos", dividiendo cada término entre las mismas. 2a2b3c2 – 6ab2c2 + 3ab3c3 – 5abc2 = abc2 abc2 abc2 abc2 • Al extraer abc2 , completamos el factor común, que sería 25abc2 . 25abc2(2ab2 – 6b + 3b2c – 5) = • Ordenamos el polinomio resultante y con esto quedaría la expresión factorizada: 25abc2(2ab2 + 3b2c – 6b – 5) Ejercicio 1 Factorice los polinomios siguientes. Puede operar en hojas aparte. 2) 12x3 – 6x2 + 12x5 – 18x7 1) a2b2 + ab2 – a3b4x2c – a4b2z2 3) 10x2y2 + 52xy3z3 – 5w2y3 4) 36x6 + 48x3 – 72x2 – 60x5 5) 12aby2 – 9a2b3y + 6azy2 6) 22m3n – 16am2n + 18bm2n2 – 20m3nz2 7) 12ab3c + 24bc – 6a3b2z + 12a2z3 8) 50a2m3n4 – 5b2m3n – 25m2n3r + 15m3z 200 IGER − Polochic 1.2 Factor común por agrupación de términos Empleamos el caso de factor común por agrupación de términos, si los monomios que componen el polinomio pueden reunirse en grupos con un factor común diferente en cada grupo. Luego, empleamos la misma técnica que en el factor común. Entenderemos con un ejemplo: Factoricemos la expresión siguiente: • Notamos que podemos agrupar –6xy y 4my, porque tienen en común y. De igual forma, podemos agrupar 2mp2 y –3xp2 porque tienen en común p2 . • Ahora, utilizando el procedimiento que aprendimos en la sección 1.1, procedemos a extraer el factor común de cada uno de los "grupos" de términos. • Al ordenar las expresiones dentro de los paréntesis, nos damos cuenta que son iguales, lo que quiere decir, que estos son otro factor común. • Podemos extraer el nuevo factor común que nos quedó y reunir los monomios que obtuvimos fuera de los paréntesis. Con esto obtendríamos nuestra expresión factorizada. –6xy + 2mp2 + 4my – 3xp2 = (–6xy + 4my) + (2mp2 – 3xp2) = 2y(–3x + 2m) + p2(2m – 3x) = 2y(2m – 3x) + p2(2m – 3x) = (2y + p2)(2m – 3x) ¿Ve que es fácil? Solo tenemos que ir poco a poco, siguiendo el procedimiento. Veamos otro ejemplo, factoricemos: 35a3z – 21wz – 12wy + 20a3y = • Agrupamos 35a3z y 20a3y, porque tienen en común a3. Agrupamos –12wy y –21wz porque tienen en común w. Debemos tener cuidado con los signos. (35a3z + 20a3y) + (–21wz – 12wy) = • Ahora, extraemos el factor común de cada uno de los grupos de términos. 5a3(7z + 4y) + (–3w)(7z + 4y) = En este caso, extraemos (–3w) del segundo grupo para que la expresión sea igual a la del primer grupo • Reunimos los monomios que quedaron fuera del paréntesis. Obtenemos así nuestra expresión factorizada. 5a3(7z + 4y) – 3w(7z + 4y) = (5a3 – 3w)(7z + 4y) Matemática − Semana 13 201 Ejercicio 2 Factorice los polinomios siguientes. Puede trabajar en hojas aparte si es necesario. 1) 6a3 – 10ax – 5bx2 + 3a2bx 2) 12by – 6b + 6x2y – 3x2 3) 7a2by + 8bx2y2 + 4b2 x2 + 14a2y3 4) –12az + 16axy2 + 3b2z – 4b2 xy2 5) –9bx2 + 9a2 x2 – 3by2 + 3a2y2 6) 5bn – 10bm + 18m3x – 9m2nx – 2n4y + 4mn3y 8) –18y 3z + 11a3x2 – 9xy2z + 22a3xy 7) 2m3yz – 6m2n3y – 15bn3 + 5bmz –9bxy + 18x + 10b3r – 5b4ry 9) 9m2n3 + 8a2mz – 3an3z – 24am3 10) 8xy3 – 3wz2 – 10yz + 5z3 + 6wy – 4xy2z2 11) 15rx3 + 24sz + 20x2z + 18rsx – 30s4y – 25s3x2y 12) 202 IGER − Polochic 1.3 Trinomio cuadrado perfecto Un trinomio cuadrado perfecto se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíz cuadrada exacta, y el restante equivale al doble del producto de las raíces de los otros monomios. Este trinomio es el desarrollo de un binomio al cuadrado. Veamos su estructura: binomio al cuadrado trinomio cuadrado perfecto (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 Cuadrado perfecto Cuadrado perfecto Doble de las raíces de los otros dos términos La factorización de este trinomio es muy sencilla, debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término; al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado. Veamos un ejemplo: Factoricemos: • Identificamos que el polinomio es un trinomio cuadrado perfecto, porque dos de sus términos tienen raíz cuadrada exacta (49m6, 25a2n4) y el tercero es el doble del producto de las raíces de los otros dos (70am3n2). • Las raíces del primer y tercer término las escribimos entre un paréntesis. Este binomio lo elevamos al cuadrado. • En el medio, escribimos el signo que acompaña al segundo término del trinomio original, en este caso es un signo menos (–70am3n2). • Obtenemos así, nuestro trinomio factorizado. Veamos otro ejemplo, factoricemos: • Identificamos que el polinomio es un trinomio cuadrado perfecto porque dos de sus términos tienen raíz cuadrada (36w4, 4y6) y el tercero es el doble del producto de las raíces de los otros dos (24w2y3). • Las raíces del primer y tercer término las escribimos entre un paréntesis. Este lo elevamos al cuadrado y escribimos el signo que acompaña al segundo término del trinomio original. Llegamos a nuestro resultado final. 49m6 – 70am3n2 + 25a2n4 49m6 = 7m3 25a2n4 = 5an2 2(7m3 • 5an2) = 70am3n2 (7m3 5an2)2 (7m3 – 5an2)2 = (7m3 – 5an2)2 36w4 + 24w2y3 + 4y6 36w4 = 6w2 4y6 = 2y3 2(6w2 • 2y3) = 24w2y3 (6w2 + 2y3)2 = (6w2 + 2y3)2 Matemática − Semana 13 203 Ejercicio 3 Factorice los polinomios siguientes. Algunas expresiones pueden estar desordenadas, así que tendrá que ordenarlas antes de operar. Puede trabajar en hojas aparte si es necesario. 2) x2 + 14x + 49 1) a2 – 2ab + b2 4) 9 – 6x + x2 3) a2 –10a + 25 5) 9b2 – 30a2b + 25a4 6) 4x2 + 4xa3 + a6 7) 16 + 40x2 + 25x4 8) x2 − 20x + 100 9) x6 + 10x3 + 25 11) 100x10 – 60a4x5y6 + 9a8y12 204 IGER − Polochic 10) 81z2 – 180z + 100 12) a2 – 24am2 x2 + 144m4x4 1.4 Diferencia de cuadrados Se le conoce como diferencia de cuadrados a un binomio en el que sus términos tienen una resta de por medio y se les puede calcular raíz cuadrada. Recordamos que la semana anterior aprendimos sobre productos notables y teníamos que: (a + b)(a – b) = a2 – b2 Para la diferencia de cuadrados, el procedimiento es exactamente el contrario: diferencia de cuadrados a2 – b2 = (a + b)(a – b) Como notamos, para la factorización de este caso debemos extraer la raíz cuadrada de los términos. Luego, dejar indicada la multiplicación entre la suma y la diferencia de estas raíces. Entenderemos claramente con un ejemplo: Factoricemos el binomio: • Extraemos las raíces cuadradas de ambos términos. • Ahora, dejamos indicada la multiplicación de la suma por la diferencia de las raíces que encontramos. Primero la raíz del primer término y luego la raíz del segundo término. ¡Listo!, ya tenemos la expresión factorizada. 81m4 – 25n2 81m4 = 9m2 25n2 = 5n (9m2 + 5n)(9m2 – 5n) = (9m2 + 5n)(9m2 – 5n) En ocasiones se nos pueden presentar expresiones que no son una diferencia de cuadrados en sí, pero que las podemos factorizar como tal. No se asuste, solo debemos seguir el mismo método, veamos. Factoricemos el polinomio siguiente: • Notamos que la expresión la podemos trabajar como una diferencia de cuadrados, por lo que seguimos exactamente el mismo procedimiento. y2 – 9(x – 1)2 y2 = y 9(x – 1)2 = 3(x – 1) Extraemos la raíz cuadrada de ambos términos. • Indicamos la multiplicación de la suma por la diferencia de ambos términos. ( y + 3(x – 1))( y – 3(x – 1)) • Simplificamos la expresión y ¡listo!, obtenemos la expresión factorizada. ( y + 3x – 3)( y – 3x + 3) = ( y + 3x – 3)( y – 3x + 3) ¿Lo notó?, seguimos la misma técnica que el ejemplo anterior. Matemática − Semana 13 205 Ejercicio 4 Factorice los polinomios siguientes. En algunas expresiones deberá aplicar sus conocimientos sobre números racionales. Puede trabajar en hojas aparte si es necesario. 2) b2 – 1 1) x6 – 4 4) 4 – x2 3) 16 – m4 5) 25a10y4 – 49b12 x6 7) 36x2 – a6b4 6) 16x4y8 – 100 8) 81b4x2 – 36a2c2 2 6 9) 49x4y2 – 4a4b2 10) a – x 36 25 2 11) 1 – 9a2 12) 1– a 4 25 206 IGER − Polochic Resumen 1. Factorizar una expresión se refiere al proceso de simplificarla hallando dos o más factores, cuyo producto es igual a la expresión propuesta. Generalmente se emplea este procedimiento para trabajar con polinomios. Hay diferentes métodos o "casos" para factorizar, dependiendo de la expresión que deseemos simplificar. Esta semana estudiamos cuatro: 1.1 Factor común monomio: este método consiste en extraer de un polinomio, un monomio como factor común a cada uno de los términos del polinomio en cuestión. Luego, se deja indicada la multiplicación entre el factor común extraído y los términos que quedan de la expresión original. 1.2 Factor común por agrupación de términos: empleamos este caso si los monomios que componen el polinomio pueden reunirse en grupos con un factor común diferente en cada grupo. Luego, empleamos la misma técnica que en el factor común. 1.3 Trinomio cuadrado perfecto: se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíz cuadrada exacta, y el restante equivale al doble del producto de las raíces de los otros monomios. (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 Para factorizar, debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término; al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado. 1.4 Diferencia de cuadrados: binomio en el que sus términos tienen una resta de por medio y se les puede calcular raíz cuadrada. Para la factorización de este caso debemos extraer la raíz cuadrada de los términos. Luego, dejar indicada la multiplicación de la suma por la diferencia de estas raíces. a2 – b2 = (a + b)(a – b) Investigue en la red... Puede visitar los siguientes sitios web para encontrar más ejemplos sobre los casos de factorización: • Casos de factorización: goo.gl/TGvDgH • Factorización: goo.gl/uLIHWY Matemática − Semana 13 207 Autocontrol Actividad 1. Compruebe lo aprendido Con sus palabras, responda las preguntas siguientes. 1. ¿Qué es un número primo? 2. ¿Qué significa "factorizar"? Actividad 2. Practique lo aprendido A. Factorice los polinomios siguientes. Emplee el procedimiento de un factor común monomio. Puede utilizar hojas aparte si es necesario. 2) 35a2b4z2 – 55a2b3x 1) 12c3d 2 + 60c2d 3 3) 24a2 xy2 – 36x2y4 4) 15y3 + 20y2 – 5y 5) 14x3y2 – 28x2 + 56x4y3 6) 42a6 xz3 – 20a4z2 + 18a3x2z – 4a2z3 B. Factorice los polinomios siguientes. Emplee el procedimiento de un factor común por agrupación de términos. Puede utilizar hojas aparte si es necesario. 2) 2a2 x – 5a2y + 15by – 6bx 1) 3x3 – 9ax2 – x + 3a 3) 2x2y + 2xz2 + y2z2 + xy3 4) n2 x – 5a2y2 – n2y2 + 5a2 x 5) 12x 2y3 + 4x3 – 3x – 9y3 208 IGER − Polochic 6) 4a3x – 4a2b + 3bm – 3amx C. Factorice los polinomios siguientes. Emplee el procedimiento de un trinomio cuadrado perfecto. Puede utilizar hojas aparte si es necesario. 2) 1 + 49a2 – 14a 1) 36 + 12m2 + m4 3) a12 + 18a6 + 81 4) 121 + 198x6 + 81x12 5) 9a4z6 + 18a2 x2y2z3 + 9x4y4 6) 1 + 14x2y2 + 49x4y4 7) a4b8 + 4a2b4 c + 4c2 8) 4a6z6 – 24a3b2 x2z3 + 36b4x4 9) 16a6b4 – 8a3b2d 3f 4 + d 6f 8 10) m8 – 20m4 s2 x3 + 100s4x6 D. Factorice los polinomios siguientes. Emplee el procedimiento de una diferencia de cuadrados. Puede utilizar hojas aparte si es necesario. 2) 256a12 x6 – 289b4n10 1) 100m4n4 – 25r 6 s8 3) 9a2b4 c6 d 8 – 1 4) 9a4b6 – 4v8 5) 16m2n4 – 64d 4v6 6) 25c4m2n6 – 9x2y4 2 4 2 7) a4f 6g 4h12 – j12k10 m6r2 8) x – y z 81 100 9 10 1 – 4x2 10) 9) x – 4a 49 121 16 49 Matemática − Semana 13 209 Agilidad de cálculo mental A. Resuelva las multiplicaciones de monomios siguientes. Recuerde las reglas de los exponentes. Si su resultado incluye exponentes negativos, déjelos de esa forma, no transforme la expresión a número racional. 1) –3a(6a –2 ) = 12) (–4a9)(–5a) = 2) 6a2 • 4a3 = 13) a3(–4a2) = 3) 8a3(–3a4) = 14) 6a – 4 • 8a2 = 4) –4a4(9a4) = 15) –7a3(4a7) = 5) a2 • 6a3 = 16) –5a7(6a6) = 6) 9a –5 • 5a2 = 17) 2a6 • 9a2 = 7) –3a4(9a6) = 18) 8a3(–7a3) = 8) 2a –2 • 4a2 = 19) 7a –3(–6a –3) = 9) 6a3(–7a) = 20) 6a7 • 6a4 = 10) 4a –6 • 3a2 = 21) 5a3 • 6a3 = 11) –7a5(2a4) = 22) 7a –6 • 7a4 = B. Resuelva las multiplicaciones de monomios siguientes. Recuerde las reglas de los exponentes. 1) 3x2y3 • 4a2y3 = 11) 7mn(–2mw3) = 2) –5a3r2(5r2t3) = 12) 3a2b • 5ac2 = 3) 8w2x4(–5x4z4) = 13) 8w4v(–9wz4) = 4) 7x3y3 • 6a3x4 = 14) 6x5y5 • 4xz5 = 5) –2a2b4(3b5c2) = 15) (–7a6z3)(–3w3z2) = 6) 8b6d 7 • 7a2d 2 = 16) 9a2z(–8av3) = 7) –2c4t3(3c4z4) = 17) 3f 2b • 4a2b4 = 8) 6q2w2 • 9w5z3 = 18) –8q2r(9r2s) = 9) 8gh5(–4ag2) = 19) 6t3u • 5ty3 = 10) 8u3v2 • 9u2x3 = 20) (–4w2z)(–5s2z) = 210 IGER − Polochic Razonamiento lógico ¡Despierte sus neuronas! Lea y resuelva el siguiente problema de lógica. La cadena de oro Un joven está estudiando en una ciudad, alejado de su familia. Cada mes, sus padres le envían dinero para que pueda cubrir sus gastos. En cierta ocasión, por una dificultad económica, sus padres le avisan que el dinero se va a retrasar unas semanas. El estudiante necesita encontrar la manera de pagar el alquiler de su habitación, entonces recuerda que tiene una cadena de oro con 23 eslabones. Se le ocurre una idea y habla con la dueña de la pensión; ambos concluyen que un eslabón cubre el costo de un día de alquiler. Y de esa forma puede solventar su estadía durante veintitrés días. Como el joven sabe que el dinero llegará en algún momento en ese lapso de tiempo, tiene la intención de arruinar su cadena lo menos posible haciendo la menor cantidad de cortes, de manera tal que cada día la señora tenga en su poder tantos eslabones como días él le adeuda. Perfecciona un poco la idea y se la explica a la dueña, el acuerdo al que llega con la dueña es el siguiente: él puede darle un eslabón por día, o puede darle un eslabón el día uno, el día dos puede pedirle ese eslabón y entregarle a cambio una pequeña cadena compuesta por dos eslabones. El día tres puede darle un eslabón solo (que junto con los dos que ella tiene le servirían para pagar el tercer día) o puede pedirle que le devuelva los dos que ella ya tiene y entregarle un pequeño segmento con tres eslabones, y así siguiendo, día por día. Lo único que debería importarle a la dueña es tener en su poder cada día la cantidad de eslabones equivalente a la cantidad de días que el estudiante le debe por estar en su hotel. Adaptado de goo.gl/MnVgmB Ahora, responda las preguntas siguientes: 1) ¿Cuál es el mínimo número de segmentos en que tiene que partir la cadena el estudiante para arruinarla lo menos posible y cumplir con su acuerdo los veintitrés días? 2) ¿Cómo podría ser el procedimiento que el joven debe seguir para cumplir con su acuerdo y que la dueña siempre tenga la cantidad de eslabones equivalente a los días que él le adeuda? Matemática − Semana 13 211 Desarrolle nuevas habilidades Cuando trabajamos con álgebra, debemos saber cómo representar las medidas de figuras planas. Esta habilidad resulta fundamental cuando se nos presentan problemas que requieren calcular áreas y perímetros de alguna superficie. Entonces, practiquemos con un ejercicio para desarrollar esta destreza: Debemos calcular y dejar indicada la fórmula para encontrar el área de los rectángulos siguientes. Los únicos datos conocidos sobre las medidas de sus lados se muestran en el diagrama. x 4 x 4 x2 4x x Para calcular lo que nos piden, nos damos cuenta que el área sin sombrear es un cuadrado, porque sus lados miden lo mismo (x), por lo que su área sería de x • x = x2 . Para el rectángulo sombreado sería de 4 • x = 4x. x Ahora le toca a usted, en su cuaderno, calcule y deje indicada la fórmula para encontrar el área y perímetro de las figuras siguiente. Los datos conocidos se muestran en la ilustración. Cada polígono se representa con una letra mayúscula, para hacer más fácil su identificación. x A B 5 C D 5 y Revise su aprendizaje Marque con un cheque la casilla que mejor indique su rendimiento. Después de estudiar... Reconozco las características de un polinomio factorizable. Practico la factorización de un polinomio por factor común. Practico la factorización de un polinomio por agrupación de términos. Practico la factorización de un trinomio cuadrado perfecto. Practico la factorización de una diferencia de cuadrados. Practico la multiplicación de monomios. 212 IGER − Polochic en no logrado proceso logrado 5 y 4 3 2 1 0 1 x2 2 3 + y2 4 14 x –1 = i = r2 Factorización II ¿Qué encontrará esta semana? Karl Friedrich Gauss, el príncipe de los matemáticos Factorización de trinomios y de cubos El lenguaje algebraico Área de figuras geométricas Esta semana logrará: Factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c y ax2 + bx + c. Factorizar la suma y diferencia de cubos. Practicar el cálculo mental con la completación de signos y factores. Convertir expresiones del lenguaje común al lenguaje algebraico. Determinar los factores que completan el área de figuras geométricas. Matemática − Semana 14 213 ¡Para comenzar! Karl Friedrich Gauss, el príncipe de los matemáticos (1777 – 1855) Karl Friedrich Gauss, matemático, físico y astrónomo alemán, nació en el seno de una familia humilde. Desde muy temprana edad, dio muestras de una prodigiosa capacidad para las matemáticas. Cuenta una leyenda que a los tres años interrumpió a su padre cuando estaba ocupado en la contabilidad de su negocio para indicarle un error de cálculo. A los 10 años, el maestro de la escuela propuso el problema de sumar los números consecutivos 1 + 2 +...+ 100. Se dice que el maestro apenas había terminado de enunciar el problema cuando Gauss ya tenía la solución. Al cabo de una hora, sus compañeros terminaron el cálculo de grandes sumas, mientras que Gauss solo había escrito un número y era la única respuesta correcta. Sus contribuciones a la matemática, física matemática, astronomía, estadística y otras ramas aplicadas de la ciencia, le dieron en vida el nombre de príncipe de los matemáticos. Le gustaba publicar un trabajo hasta estar seguro de que estaba perfectamente elaborado; llegó a decir: "cuando se finaliza un noble edificio no deben quedar visibles los andamios". Pero Gauss no solamente retiró los andamios, sino que destruyó los planos, por lo cual hoy día no hay forma de saber cómo obtenía sus resultados. Texto adaptado de: http://goo.gl/6KIVeh ¡A trabajar! En la semana 7 estudió las progresiones aritméticas y la fórmula para la suma de todos los términos. Utilícela para conocer el resultado que obtuvo Gauss al resolver el problema de los números (a + an )n consecutivos: s = 1 2 214 IGER − Polochic El mundo de la matemática 1. Trinomio de la forma x2 + bx + c Esta semana continuamos con la factorización, operación contraria a los productos notables, ya que la factorización permite expresar los polinomios dados en términos de sus factores. Para factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c, recordemos el producto de dos binomios con un término común. Por ejemplo: (x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8. Este tipo de trinomios debemos llevarlos a un producto de dos binomios, como estaba inicialmente. Para factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c, debemos seguir estos pasos: a. Descomponer el trinomio en dos factores con dos términos cada uno. El primer término de cada factor es x, que corresponde a la raíz cuadrada de x2 . b. Copiar el signo del segundo término del trinomio y escribirlo en el primer factor. Luego, multiplicar el signo del segundo término por el signo del tercer término. El resultado se escribe en el segundo factor. c. Para hallar los segundos términos, se buscan dos números que sumados o restados den el coeficiente b y multiplicados den c. Sigamos los pasos y factoricemos • Descomponemos el trinomio en dos factores (binomios), extrayendo la raíz cuadrada del primer término y el resultado lo escribimos en cada uno de los factores. x2 – 7x + 12 x2 = x (x )(x ) • Copiamos el signo del segundo término y lo escribimos en el primer factor. Luego, multiplicamos los signos del segundo término por el tercero y lo escribimos en el segundo factor. x2 – 7x + 12 • Buscamos dos números que sumados den –7 y que multiplicados, 12. x2 – 7x + 12 = • El trinomio factorizado es el producto de los binomios. (x – 4)(x – 3) × (x – )(x – ) Atención: si no hay una pareja de números enteros que cumpla con las condiciones de la suma o resta y la multiplicación, el trinomio no es factorizable. Matemática − Semana 14 215 Factoricemos x2 + 8x + 15 • Descomponemos el trinomio en dos factores (binomios), extrayendo la raíz cuadrada del primer término y el resultado lo escribimos en cada uno de los factores. x2 = x (x )(x ) • Copiamos el signo del segundo término y lo escribimos en el primer factor. Luego, multiplicamos los signos del segundo término por el tercero y lo escribimos en el segundo factor. x2 + 8x + 15 • Buscamos dos números que sumados den 8 y que multiplicados, 15. x2 + 8x + 15 = • El trinomio factorizado es el producto de los binomios. (x + 5)(x + 3) Factoricemos x2 – xy – 6y2 • Descomponemos el trinomio en dos factores (binomios) extrayendo la raíz cuadrada del primer término y el resultado lo escribimos en cada uno de los factores. • Copiamos el signo del segundo término y lo escribimos en el primer factor. Luego, multiplicamos los signos del segundo término por el tercero y lo escribimos en el segundo factor. × (x + )(x + ) x2 = x (x )(x ) x2 – xy – 6y2 × (x – )(x + ) • Buscamos dos números que restados den –1 y que multiplicados den 6y2 . x2 – xy – 6y2 = • El trinomio factorizado es el producto de los binomios. (x – 3y)(x + 2y) Ejercicio 1 Factorice directamente los trinomios de la forma x2 + bx + c. Hay un ejemplo. 0) x2 – 5x + 4 = 1) x2 + 3x + 2 = 2) x2 – 11x + 30 = 3) x2 – 2x – 3 = 4) x2 + 4x + 4 = 5) x2 – 25x + 84 = 6) x2 – 8xy + 15y2 = 7) x2 + 4xy – 12y2 = 8) x2 – 4xy – 5y2 = (x – 4)(x – 1) 216 IGER − Polochic 2. Trinomio de la forma ax2 + bx + c En este caso, el coeficiente a del primer término es diferente de 1. Para factorizar un trinomio de este tipo, debemos convertirlo a la forma x2 + bx + c, que vimos en el apartado anterior. Veamos los pasos para factorizar un trinomio de la forma ax2 + bx + c. a. Multiplicar el trinomio por el coeficiente (a) del primer término. a(ax2 + bx + c) = a2 x2 + abx + ac b. Expresar el primer término resultante, como (ax)2 y en el segundo término conmutar el orden de abx por bax. (ax)2 + b(ax) + ac c. Factorizar el polinomio que se obtuvo en los pasos anteriores como se hizo con la forma x2 + bx + c d. Dividir los productos resultantes entre los factores de a, que es el número por el cual se multiplicó el trinomio. Factoricemos 3x2 – 17x + 10 = • Multiplicamos el trinomio por 3. 3(3x2 – 17x + 10) = • Expresamos 9x2 como una sola potencia y conmutamos 17 y 3 en el segundo término. 9x2 – 3(17x) + 30 = • Factorizamos el trinomio resultante, como lo hicimos con la forma x2 + bx + c. (3x)2 – 17(3x) + 30 = (3x – 15)(3x – 2) = • El resultado parcial lo dividimos entre los factores de 3 = 3 × 1. (3x – 15) (3x – 2) = 3 1 • El trinomio factorizado es el producto de los binomios. (x – 5)(3x – 2) Factoricemos 6x2 – 7x – 3 = • Multiplicamos el trinomio por 6. • Expresamos 36x2 como una sola potencia y conmutamos 7 y 6 en el segundo término. • Factorizamos el trinomio resultante, como lo hicimos con la forma x2 + bx + c. 6(6x2 – 7x – 3) = 36x2 – 6(7x) – 18 = (6x)2 – 7(6x) – 18 = (6x – 9)(6x + 2) = • El resultado parcial lo dividimos entre los factores de 6 = 3 × 2. (6x – 9) (6x + 2) = 3 2 • El trinomio factorizado es el producto de los binomios. (2x – 3)(3x + 1) Matemática − Semana 14 217 Factoricemos • Multiplicamos el trinomio por 4. • Expresamos 16x2 como una sola potencia y conmutamos 11 y 4 en el segundo término. • Factorizamos el trinomio resultante como lo hicimos con la forma x2 + bx + c. (4x – 8)(4x – 3) = (x – 2)(4x – 3) 4x2 + 2(7x) + 6 = (2x)2 + 7(2x) + 6 = (2x + 6)(2x + 1) = (2x + 6) (2x + 1) = 1 2 (x + 3)(2x + 1) 12x2 – 13x + 3 = 2) 6x2 + 17x + 5 = 3) IGER − Polochic (4x)2 – 11(4x) + 24 = • El trinomio factorizado es el producto de los binomios. 0) 2x2 + 7x + 3 = 1) 6x2 + 11x + 3 = 218 16x2 – 4(11x) + 24 = (4x – 8) (4x – 3) = 4 1 Factorice directamente los trinomios de la forma ax2 + bx + c. Hay un ejemplo. 4(4x2 – 11x + 6) = • El resultado parcial lo dividimos entre los factores de 4 = 4 × 1. Ejercicio 2 4x2 – 11x + 6 = 3. Suma de cubos a3 + b3 Iniciamos el estudio de la suma de cubos, haciendo referencia a la multiplicación de los polinomios. Veamos. a2 – ab + b2 × a+b a2b – ab2 + b3 a3 – a2b + ab2 a3 + b3 Así que (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3 y como indicamos anteriormente, factorizar es la operación opuesta a los productos notables; entonces la suma de cubos es posible expresarla con la fórmula: a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) Y se factoriza con los pasos siguientes: a. En el primer factor se escribe la suma del resultado de la raíz cúbica del primer y segundo término (a + b). b. En el segundo factor debe ir el primer término al cuadrado menos el primero por el segundo, más el segundo al cuadrado (a2 – ab + b2). Ejemplo: x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) 8z3 + 64 = (2z + 4)[(2z)2 – (2z • 4) + (4)2] = (2z + 4)(4z2 – 8z + 16) 8m3 + 27n3 = (2m + 3n)[(2m)2 – (2m • 3n) + (3n)2] = (2m + 3n)(4m2 – 6mn + 9n2) Ejercicio 3 Factorice la suma de cubos siguientes. Guíese por el ejemplo. 0) w3 + x3 = (w + x)[(w)2 – (w • x) + (x)2] = (w + x)(w2 – wx + x2) 1) y3 + z3 = 2) x3 + 8 = 3) 27 + h3 = 4) 8 + 8w3 = 5) x3 + 64 = Matemática − Semana 14 219 4. Diferencia de cubos a3 – b3 El procedimiento para factorizar una diferencia de cubos es parecido al que empleamos en la suma de cubos, lo que cambian son los signos. Realicemos la multiplicación de los polinomios. a2 + ab + b2 × a–b –a2b – ab2 – b3 a3 + a2b + ab2 a3 – b3 Así que (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3 y su fórmula es: a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) Y se factoriza con los pasos siguientes: a. En el primer factor se escribe la resta del resultado de la raíz cúbica del primer y segundo término (a – b). b. En el segundo factor debe ir el primer término al cuadrado más el primero por el segundo, más el segundo al cuadrado (a2 + ab + b2). Ejemplo: x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2) b3 – 8 = (b – 2)[(b)2 + (b • 2) + (2)2] = (b – 2)(b2 + 2b + 4) 125w3 – z3 = (5w – z)[(5w)2 + (5w • z) + (z)2] = (5w – z)(25w2 + 5wz + z2) Ejercicio 4 Factorice la diferencia de cubos siguientes. Guíese por el ejemplo. 0) x3 – 1 = 1) w3 – x3 = 2) y3 – 8z3 = 3) 8x3 – 64 = 4) 27 – y3 = 5) 125 – 8w3 = 220 IGER − Polochic (x – 1)[(x)2 + (x • 1) + (1)2] = (x – 1)(x2 + x + 1) Resumen 1. Factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c significa expresarlo como el producto de dos factores de la forma (x + a)(x + b). Para factorizar trinomios de esta forma debemos: • Descomponer el trinomio en dos factores (binomios). Para ello obtenemos la raíz cuadrada del primer término. • Copiar el signo del segundo término en el primer factor. Luego, multiplicar el signo del segundo término por el signo del tercer término y escribirlo en el segundo factor. • Elegir dos números que sumados o restados den como resultado el término b y al multiplicarlos den como resultado el término c. 2. Los trinomios de la forma ax2 + bx + c se factorizan con los pasos siguientes: • Multiplicar el trinomio por el coeficiente (a). • Expresar el primer término resultante, como (ax)2 y en el segundo término conmutar el orden abx por bax. • Factorizar el polinomio que se obtuvo en los pasos anteriores, como se hizo con el trinomio de la forma x2 + bx + c. • Dividir los productos entre los factores de a, que es el número por el cual se multiplicó el trinomio. 3. La suma de cubos a3 + b3 se factoriza de acuerdo con la fórmula siguiente: a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) 4. La diferencia de cubos a3 – b3 se factoriza de acuerdo con la fórmula siguiente: a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) Investigue en la red... Para reforzar sus conocimientos sobre la factorización, visite: http://goo.gl/NyW7bU Matemática − Semana 14 221 Autocontrol Actividad 1. Demuestre lo aprendido Marque una "X" en el cuadro de la opción que responde correctamente cada pregunta. 1) ¿Qué expresión representa la factorización correcta de x2 + 5x + 6? (x – 6)(x – 1) (x – 3)(x – 2) (x + 6)(x + 1) (x + 3)(x + 2) 2) ¿Qué signos quedan en los factores al expresa x2 + 2x – 8, como una multiplicación de dos binomios? ( – )( – ) ( + )( – ) ( – )( + ) ( + )( + ) 3) ¿Qué expresión representa la factorización correcta de x2 – x – 12? (x – 6)(x – 2) (x – 3)(x – 4) (x – 4)(x + 3) (x – 12)(x – 1) 4) ¿Cuál es la respuesta correcta al factorizar 5x2 – 6x – 8? (x – 2)(5x – 4) (x + 2)(5x – 4) (x – 2)(5x + 4) (x + 2)(5x + 4) 5) Al factorizar (8 + a3), ¿cuál es el segundo término del primer factor? a a2 2 2a 6) ¿Qué expresión representa una diferencia de cubos? a3 – b 3 a3 + b 3 (a – b)3 (a + b)3 7) ¿Cuál es el último término que resulta al factorizar (x3 – 64)? 4 16 x2 4x 8) ¿Cuál es el orden de los signos al factorizar (x3 + y3)? ( + )(+, +, +) ( + )(–, +, –) ( – )(+, –, +) ( + )(+, –, +) 222 IGER − Polochic Actividad 2. Practique lo aprendido Observe los casos de factorización que se presentan en cada apartado. Realice los ejercicios de forma directa y escriba el resultado sobre la línea. Cuando sea necesario, realícelos en su cuaderno. A. Trinomio de la forma x2 + bx + c (x + 4)(x + 3) 0) x2 + 7x + 12 = 6) x2 – 3x + 2 = 1) x2 – x – 20 = 7) x2 – 7x – 8 2) x2 – 6x – 7 = 8) x2 – 4x – 12 = 3) x2 + 6x + 8 = 9) x2 + 4x – 45 = 4) x2 + 5x + 4 = 10) x2 – 12x + 27 = 5) x2 – 5x – 14 = 11) x2 + 17x – 38 = = B. Trinomio de la forma ax2 + bx + c 0) 6x2 + 11x + 3 = (2x + 3)(3x + 1) 6) 3x2 – 2x – 1 = 1) 2x2 + x – 3 = 7) 12x2 – x – 6 = 2) 6x2 + x – 12 = 8) 2x2 – 5x + 3 = 3) 5x2 + 3x – 2 = 9) 3x2 – 11x + 6 = 4) 6x2 + 11x + 4 = 10) 6x2 + 11x + 3 = 5) 3x2 + 16x – 12 = 11) 3x2 – 17x + 10 = C. Suma de cubos x3 + b 0) x3 + 27 = (x + 3)(x2 – 3x + 9) 5) x3 + y3 1) x3 + 8 = 6) 125 + x3 = 2) x3 + 1 = 7) 27y3 + 8 = 3) x3 + 64 = 8) 27x3 + 64 = 4) 8x3 + 27y3 = 9) 125x3 + 27y3 = = D. Diferencia de cubos a3 – b3 0) x3 – 27 (x – 3)(x2 + 3x + 9) 5) x3 – y3 = 1) 64 – x3 = 6) x3 – 1 = 2) 1 – 27y3 = 7) 64y3 – 27x3 = 3) x3y3 – 1 = 8) 27x3 – 125 = 4) 27 – x3 = 9) 64x3 – 125y3 = = Matemática − Semana 14 223 Agilidad de cálculo mental Escriba sobre la línea los términos que se le piden en cada apartado para que la factorización sea correcta. Fíjese en los ejemplos. A. Complete los signos del primer y segundo término. 0) x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2) 8) x2 – 8x – 20 = (x 10)(x 2) 1) x2 + 5x – 24 = (x 8)(x 3) 9) x2 + 3x – 54 = (x 9)(x 6) 2) x2 – 2x – 24 = (x 6)(x 4) 10) x2 – 8x + 12 = (x 6)(x 2) 3) x2 + 7x + 10 = (x 5)(x 2) 11) x2 – 12x – 45 = (x 15)(x 4) x2 – 13x + 36 = (x 9)(x 4) 12) x2 – 16x + 64 = (x 8)(x 8) 5) x2 + 10x + 21 = (x 7)(x 3) 13) x2 + 13x + 42 = (x 7)(x 6) 6) x2 + 3x – 4 = (x 4)(x 1) 14) x2 + 11x + 24 = (x 8)(x 3) 7) x2 – 6x – 27 = (x 9)(x 3) 15) x2 – 16x + 48 = (x 12)(x 3) 4) B. Complete los términos que faltan en cada binomio. 0) x2 – 4x – 32 = (x – 8)(x + 4) 8) x2 + 3x – 28 = (x + 7)( ) 1) x2 – 7x + 6 = ( )(x – 1) 9) x2 + 8x + 15 = (x + 5)( ) 2) x2 + x – 72 = ( )(x – 8) 10) x2 – 18x + 81 = (x – 9)( ) 3) x2 – 3x – 28 = ( )(x + 4) 11) x2 – 12x – 28 = (x – 14)( ) 4) x2 + 11x + 30 = ( )(x + 5) 12) x2 – 13x – 48 = (x – 16)( ) 5) x2 + 13x + 40 = ( )(x + 5) 13) x2 + 10x + 25 = (x + 5)( ) 6) x2 – 13x + 36 = ( )(x – 4) 14) x2 – 15x + 44 = (x – 11)( ) 7) x2 – 6x – 40 = ( )(x + 4) 15) x2 – 15x – 100 = (x – 20)( ) C. Escriba el binomio o trinomio que completa cada factorización. 0) a3 + 8 = (a + 2)(a2 – 2a + 4) 5) c3 – 27 = (c – 3)( ) 1) 27 + b3 = ( )(9 – 3b + b2) 6) 8x3 – 1 = (2x – 1)( ) 2) x3 + 64 = ( )(x2 – 4x + 16) 7) 125 – 8y3 = (5 – 2y)( ) 3) y3 + 27 = ( )(y2 – 3y + 9) 8) 64w3 – z3 = (4w – z)( ) 4) 64 + 8x3 = ( )(16 – 8x + 4x2) 9) x3y3 – 8 = (xy – 2)( ) 224 IGER − Polochic Razonamiento lógico El lenguaje algebraico se utiliza para representar valores desconocidos y plantear ecuaciones que expresen la información proporcionada. El reto que le proponemos es que convierta expresiones del lenguaje común, que están en la tabla de abajo, en lenguaje algebraico. Lenguaje común Lenguaje algebraico La suma de dos números diferentes. El cubo de un número. La suma de los cuadrados de dos números. La suma de dos números dividida entre su diferencia. Las dos quintas partes de un número aumentado en un tercio. Un número disminuido en 6. Un número par cualquiera. Un número cualquiera aumentado en diez. La diferencia de dos números cualesquiera. La semisuma de dos números. Tres números naturales consecutivos. El doble de un número excedido en ocho. El cuadrado de un número más la mitad de ese número. El cubo de un número más el triple del cuadrado de dicho número. El denominador de una fracción es tres unidades mayor que su numerador. Un terreno de forma rectangular, su ancho mide la mitad de su largo. El ancho de un rectángulo es igual a las tres cuartas partes de su longitud. El numerador de una fracción excede al denominador en tres unidades. Número que al agregarlo al 9 suma 24. La diferencia entre un número y su anterior. Matemática − Semana 14 225 Desarrolle nuevas habilidades Para factorizar encuentre el lado que falta en cada figura y demuestre que área se obtiene al multiplicar los binomios. Preste atención al ejercicio 0. 0) A = x + 10x – 24 2 x–2 Área = x2 + 10x – 24 = (x + 12)(x – 2) R/ El otro lado del rectángulo mide x + 12. ? 1) A = x2 – 16x + 48 ? x–4 2) A = 24x2 A = 48x2 ? 8x 3) A = 5x2 + 13xy + 6y2 x + 2y ? Revise su aprendizaje Después de estudiar... Marque con un cheque 226 la casilla que mejor indique su rendimiento. Factorizo trinomios de la forma x2 + bx + c y ax2 + bx + c. Factorizo la suma y diferencia de cubos. Practico el cálculo mental con la completación de signos y factores. Convierto expresiones del lenguaje común al lenguaje algebraico. Determino los factores que completan el área de figuras geométricas. IGER − Polochic en no logrado proceso logrado 5 y 4 3 2 1 0 1 x2 2 3 + y2 4 x 15 –1 = i = r2 Fracciones algebraicas I ¿Qué encontrará esta semana? Recordemos las operaciones con fracciones Fracciones algebraicas Valuar expresiones algebraicas Matemáticas aplicadas a la investigación de casos Esta semana logrará: Describir e identificar qué es una fracción algebraica. Resolver simplificaciones, multiplicaciones y divisiones con fracciones algebraicas. Calcular con agilidad el valor de una expresión algebraica dado el valor de su incógnita. Matemática − Semana 15 227 ¡Para comenzar! Recordemos las operaciones con fracciones Antes de comenzar, debemos recordar y tener claro el procedimiento que seguimos para realizar algunas operaciones con fracciones. Esto es necesario porque las fracciones algebraicas siguen un comportamiento muy similar. Simplificación de fracciones: simplificar una fracción es transformarla en una fracción equivalente más reducida. Para simplificar empezamos dividiendo entre los primeros números primos: 2, 3, 5, 7... Es decir, probamos a dividir numerador y denominador entre 2 mientras se pueda, después pasamos al 3 y así sucesivamente. Un ejemplo: 18 9 3 36 = = = 30 15 5 60 Multiplicación de fracciones: para encontrar el producto de dos fracciones, multiplicamos "en línea", es decir, numerador por numerador y denominador por denominador. Luego, simplificamos. 6 15 • 6 90 15 • = = 9 25 • 9 225 25 90 2 = 225 5 División de fracciones: para dividir dos fracciones, hacemos una multiplicación cruzada, el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, después, el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda. 5 2 • 10 20 2 ÷ = = 10 4•5 20 4 20 =1 20 ¡A trabajar! Resuelva las siguientes multiplicaciones y divisiones de fracciones numéricas. 1) 4 5 • = 6 8 2) 4 8 ÷ = 5 9 3) 8 3 ÷ = 10 6 4) 6 5 • = 12 9 228 IGER − Polochic El mundo de la matemática 1. Fracciones algebraicas Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que el numerador y el denominador son expresiones algebraicas, generalmente polinomios. x2 + x 4y3 – 8y2 + y – 3 ; 5y2 + y – 4 4x2 – 3 Fracciones algebraicas equivalentes Decimos que dos fracciones algebraicas son equivalentes si el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda es igual al producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda. R(x) P(x) y ; son equivalentes si P(x) • S(x) = Q(x) • R(x) S(x) Q(x) Veamos un ejemplo: x+2 y 1 x2 – 4 x – 2 • Las fracciones anteriores son equivalentes porque el producto cruzado entre ellas es igual. (x + 2)(x – 2) = (x2 – 4)(1) x2 – 4 = x2 – 4 Ahora que ya sabemos qué son las fracciones algebraicas podemos estudiar las operaciones que se pueden realizar con ellas. 1.1 Simplificación de fracciones algebraicas Las fracciones algebraicas se simplifican de forma muy parecida a las fracciones aritméticas. Para simplificar una expresión racional, factorizamos numerador y denominador y luego cancelamos factores comunes. Para esto aplicaremos los casos de factorización que hemos aprendido en las semanas anteriores. Ponga atención al ejemplo. Simplifiquemos la fracción: • Notamos que en el numerador hay un trinomio cuadrado perfecto y en el denominador hay una diferencia de cuadrados. Aplicando los procedimientos que aprendimos en la semana 13, factorizamos los dos polinomios. • Ahora, cancelamos los factores comunes, es decir, los que son "iguales". En este caso, sería (x – 2) que se repite en numerador y denominador. • Llegamos a la expresión simplificada. x2 – 4x + 4 = x2 – 4 (x – 2)2 = (x – 2)(x + 2) (x – 2)2 = (x – 2)(x + 2) (x – 2) (x + 2) Matemática − Semana 15 229 Otro ejemplo, simplifiquemos: 3x2 – 5x – 2 = x2 – 4 • Notamos que en el numerador hay un trinomio de la forma ax2 + bx + c y en el denominador hay una diferencia de cuadrados. Procedemos entonces a factorizar ambos polinomios. (3x + 1)(x – 2) = (x – 2)(x + 2) • Ahora, cancelamos los factores comunes, es decir, los que son "iguales". En este caso, sería (x – 2) que se repite en el numerador y el denominador. (3x + 1)(x – 2) = (x – 2)(x + 2) • Llegamos a la expresión simplificada. (3x + 1) (x + 2) Como vemos, simplificar o reducir una fracción algebraica consiste en transformarla a otra expresión equivalente que sea irreducible. Ejercicio 1 Reduzca las fracciones algebraicas siguientes a su mínima expresión. Le recomendamos consultar las semanas anteriores si le surge alguna duda sobre los procedimientos para factorizar. 1) z2 – 5z + 6 x2 – 5x + 6 2) 2 2ax – 6a z – 7z + 12 3) 8a3 + 27 a2 – 4ab + 4b2 4) a3 – 8b3 4a + 12a + 9 5) y8 – 25y x3 – 4x2 – 12x 6) 3 2 2y + 8y – 10y x – 3x2 – 10x 7) w2 – 3w 6x2 + 5x – 6 8) 2 w + 3w 15x2 – 7x – 2 9) x2 + x – 2 2x2 + 7x + 3 10) 2 x –x –x+1 2x2 – 7x – 4 230 2 3 3 IGER − Polochic 1.2 Multiplicación de expresiones algebraicas El producto de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica en la que el numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores. Es decir, debemos multiplicar "en línea", al igual que lo hacemos con las fracciones numéricas. R(x) P(x) • R(x) P(x) • = S(x) Q(x) • S(x) Q(x) En donde P(x), Q(x), R(x) y S(x) representan alguna expresión polinomial. Para multiplicar dos o más expresiones algebraicas racionales: a. Factorizamos los numeradores y los denominadores hasta donde sea posible. b. Indicamos la multiplicación del numerador por numerador y denominador por denominador. c. Simplificamos el resultado hasta reducirlo a su mínima expresión. El procedimiento es muy sencillo, pongamos atención a un ejemplo. Multipliquemos las fracciones siguientes: • Factorizamos los numeradores y los denominadores de ambas fracciones. Para esto aplicamos los procedimientos que hemos aprendido en las semanas anteriores. • Indicamos la multiplicación del numerador por numerador y denominador por denominador. • Simplificamos el resultado cancelando los factores comunes que hay en el numerador y el denominador. En este caso, estos factores son (x – 1) y (x + 2). 3x – 3 x2 + 4x + 4 • = x2 – x 2x + 4 3(x – 1) (x + 2)2 • = 2(x + 2) x(x – 1) 3(x – 1)(x + 2)2 = 2x(x + 2)(x – 1) 3(x – 1)(x + 2)2 = 2x(x + 2)(x – 1) • Terminamos de resolver si quedara alguna operación pendiente. 3(x + 2) = 2x • Obtenemos el resultado final. 3x + 6 2x Como podemos notar, es esencial el dominio de los diferentes casos de factorización que hemos estudiado a lo largo de las semanas anteriores. Resulta importante también, poder identificar las características de cada expresión algebraica para aplicar el procedimiento correspondiente. Matemática − Semana 15 231 Otro ejemplo, multipliquemos: a2 – a – 6 3a + 4 a2 – 1 • 2 • 2 = 2 a + 2a 3a + 7a + 4 a – 4a + 3 • Factorizamos los numeradores 3a + 4 y los denominadores de las (a + 1)(a – 1) • (a – 3)(a + 2) • = (a + 1)(3a + 4) (a – 1)(a – 3) a(a + 2) tres fracciones. • Indicamos la multiplicación de los factores de las fracciones. • Simplificamos el resultado cancelando los factores comunes. En este caso, los factores son (a + 1), (a – 1), (a – 3), (a + 2) y (3a + 4). (a + 1)(a – 1)(a – 3)(a + 2)(3a + 4) = a(a + 2)(a + 1)(3a + 4)(a – 1)(a – 3) (a + 1)(a – 1)(a – 3)(a + 2)(3a + 4) = a(a + 2)(a + 1)(3a + 4)(a – 1)(a – 3) • Ya no hay ninguna operación sin resolver, por lo que llegamos al resultado final. 1 a Ejercicio 2 Resuelva las multiplicaciones siguientes. Puede utilizar hojas aparte o su cuaderno si es necesario. 1) x + 3 x2 + 2x – 8 x2 – 2x + 1 x2 + x – 6 • 2) • 2 x –9 x2 – 9 x2 – 1 x–2 3) m+n n2 x2 – 2x x2 + 4x + 4 • 2 4) 2 • 2 2 m –n x – 5x + 6 x2 – 4 mn – n 5) xy – 2y2 x2 + 2xy + y2 9 – 6x + x2 x2 – 5x + 6 • 6) • x2 + xy x2 – 2xy x2 – 9 3x2 – 9x 7) x2 – 4xy + 4y2 x2 2a – 2 a2 – 4a – 5 • 8) • x2 – 2xy x2 – 4y2 3a + 3 2a2 – 50 9) x2 – 9 x2 – 7x + 10 2x2 – 3x – 2 3x + 6 • 2 10) • 2 2 x – 4 x – 8x + 15 6x + 3 x –4 232 IGER − Polochic 1.3 División de fracciones algebraicas Para dividir dos fracciones algebraicas, seguimos un proceso bastante similar al que hacemos con las fracciones numéricas. Debemos multiplicar la primera fracción por el inverso de la segunda fracción. Decimos entonces que la división es una multiplicación cruzada y por tanto, utilizamos la misma técnica que aprendimos en el apartado anterior. R(x) P(x) • S(x) P(x) ÷ = S(x) Q(x) • R(x) Q(x) Recuerde: el inverso de una fracción es simplemente la fracción "volteada". a b b a En donde P(x), Q(x), R(x) y S(x) representan alguna expresión polinomial. Por ejemplo. Resolvamos la división: x2 + 2x x2 + 4x + 4 ÷ = x – 5x + 6 x2 – 4 • Invertimos la segunda fracción y cambiamos el signo de división por el de multiplicación. x2 + 2x x2 – 4 • 2 = x – 5x + 6 x + 4x + 4 • Factorizamos los numeradores y los denominadores. (x + 2)(x – 2) x(x + 2) • = (x + 2)2 (x – 2)(x – 3) • Indicamos la multiplicación de los factores. x(x + 2)(x + 2)(x – 2) = (x – 2)(x – 3)(x + 2)2 • Simplificamos el resultado cancelando los factores comunes. En este caso, estos factores son (x + 2) y (x – 2). x(x + 2)(x + 2)(x – 2) = (x – 2)(x – 3)(x + 2)2 • Llegamos al resultado final. ¿Ve lo sencillo que es? x x–3 Otro ejemplo, dividamos las expresiones siguientes: 3a2 5a3 ÷ 2 = 2 a b + 3ab2 a + 6ab + 9b 2 2 2 • Invertimos la segunda fracción y cambiamos el signo de división por el de multiplicación. 3a2 a2b + 3ab2 = 2 • 5a3 a + 6ab + 9b • Factorizamos los numeradores y los denominadores. En este caso 3a2 y 5a3 no se pueden reducir más, por lo que los dejamos así. 3a2 ab(a + 3b) • = (a + 3b)2 5a3 2 • Indicamos la multiplicación de los factores. 3a3b(a + 3b) = 5a3(a + 3b)2 • Simplificamos el resultado. 3b 3a3b(a + 3b) = = 5a3(a + 3b)2 5(a + 3b) • Resolvemos las operaciones que quedan y llegamos al resultado final. 3b 5a + 15b Matemática − Semana 15 233 Ejercicio 3 Resuelva las divisiones siguientes. Puede utilizar hojas aparte o su cuaderno si es necesario. 1) x3 – x 5x2 – 5x 8x2 + 26x + 15 6x2 + 13x – 5 ÷ 2) ÷ 2x2 + 6x 2x + 6 16x2 – 9 9x2 – 1 3) 20x2 – 30x 4x – 6 ÷ 4) 3 2 15x + 15x x+1 ax2 + 5 a3x2 + 5a2 ÷ 2a – 1 4a2 – 1 5) a2 – 6a + 5 a2 + 2a – 35 ÷ 6) a2 – 15a + 56 a2 – 5a – 24 a2 – 6a a2 + 3a – 54 ÷ a3 + 3a2 a2 + 9a 234 IGER − Polochic Resumen 1. Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que el numerador y el denominador son expresiones algebraicas, generalmente polinomios. Por ejemplo: x2 + 10x + 25 x2 – y 2 Dos fracciones son equivalentes si el producto cruzado entre ambas es igual. 1.1 Simplificación de expresiones algebraicas: para simplificar una expresión racional, factorizamos el numerador y el denominador, y luego cancelamos factores comunes. 1.2 Multiplicación de fracciones algebraicas: el producto de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica en la que el numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores. Es decir, debemos multiplicar "en línea". El procedimiento es el siguiente: a. Factorizamos los numeradores y los denominadores hasta donde sea posible. b. Indicamos la multiplicación del numerador por numerador y denominador por denominador. c. Simplificamos el resultado hasta reducirlo a su mínima expresión. 1.3 División de fracciones algebraicas: se multiplica la primera fracción por el inverso de la segunda fracción. Decimos entonces que la división es una multiplicación cruzada y por tanto, utilizamos la misma técnica que aprendimos en la multiplicación. Investigue en la red... Le exhortamos a que vea y ponga atención a los siguientes videos. En ellos encontrará ejemplos y explicaciones sobre cómo trabajar con fracciones algebraicas. • Simplificación de fracciones algebraicas: goo.gl/0WCthc • Multiplicación y división de fracciones algebraicas: goo.gl/1R9nA5 • División de fracciones algebraicas: goo.gl/W2XMYD Matemática − Semana 15 235 Autocontrol Actividad 1. Demuestre lo aprendido Con sus palabras responda las preguntas siguientes. 1) ¿Qué son las fracciones algebraicas? 2) ¿Cómo sabemos si dos fracciones algebraicas son equivalentes? Actividad 2. Practique lo aprendido A. Simplifique las fracciones algebraicas siguientes. Hágalo despacio y con calma, siempre puede apoyarse en los procedimientos de factorización que hemos visto en las semanas anteriores. 1) x2 – 49 12x2 + 9x 2) 2 2 16x – 9 x – 5x – 14 3) mx – 5m + 4x – 20 6x2 + 5x – 6 4) 15x2 – 7x – 2 m2 + 8m + 16 5) 21 + 3b – 7a – ab 2x2 + 7x + 3 6) 2 2 2x – 7x – 4 9–a 7) 9y2 – 25 3z3 + 9z2 8) z2 + 6z + 9 3y2 + 8y + 5 236 IGER − Polochic B. Resuelva las siguientes multiplicaciones con fracciones algebraicas. Puede trabajar en hojas aparte si es necesario. 1) 4x2 – 9 4x4 + 6x3 + 9x2 34ax2y + 51a2y – 68ay2 625x2 – 350x + 49 • 2) • 625x2 – 49 8x7 – 27x4 2x2 – 4y + 3a 2x2 + 7x + 6 3) 9x2 – 4 9x4 – 6x3 + 4x2 4am3 – 12amn – m2 + 3n m2 – m – 42 • 4) • 27x4 + 8x 3x2 + 5x + 2 m2 + 12m + 36 m4 – 9n2 5) w2 – 7w – 18 3w – 7a2 2x2 + 11x + 15 x2 – 9 • 6) • –7a2w – 14a2 + 3w2 + 6w 5w2 – 42w – 27 x2 + 6x + 9 7x2 + 2xy2 – 21x – 6y2 C. Resuelva las siguientes divisiones con fracciones algebraicas. Puede trabajar en hojas aparte si es necesario. 1) y2 + 2y – 35 81a2 – 4 81a2 – 36a + 4 y2 – 6y + 5 ÷ 2) ÷ y2 – 15y + 56 y2 – 5y – 24 56a3 + 35a 63a – 14 3) 24m2 + 16m 3m2 + 20m + 12 ÷ 4m 2m + 2 25w2 – x2 125w 3 + x3 4) 2 ÷ 10w x – 2x2 25w4 – 10w2 x + x2 5) m2n2 – 2mnxy + x2y2 mn + xy ÷ 2 2 2 2 mn – xy mn –xy 6) 3abx2 – 2y2 – 2x2 + 3aby2 15a3b – 10a2 ÷ x4 – y 4 a2 Matemática − Semana 15 237 Agilidad de cálculo mental A. Sustituya el valor de las incógnitas en las expresiones siguientes y opere para encontrar el resultado final. Escriba su respuesta en la línea correspondiente. 1) –8x + 5, donde x = 5 13) –9x – 2, donde x = 4 2) 4x – 9, donde x = –7 14) 3x + 4, donde x = 3 3) 6x + 5, donde x = 3 15) –5x – 8, donde x = –3 4) 8x – 7, donde x = 7 16) 9x + 7, donde x = 0 5) –5x – 4, donde x = 3 17) –3x – 4, donde x = 1 6) 9x + 3, donde x = –12 18) 3x + 2, donde x = 4 7) 2x + 0, donde x = 3 19) –4x + 3, donde x = –7 8) 9x + 6, donde x = –5 20) 4x + 6, donde x = 10 9) 5x – 8, donde x = 6 21) 7x – 6, donde x = 11 10) 7x + 1, donde x = 9 22) –8x + 7, donde x = 0 11) 2x – 3, donde x = –7 23) –7x + 6, donde x = –1 12) 5x + 7, donde x = 0 24) 6x – 3, donde x = 8 B. Sustituya el valor de las incógnitas en las expresiones siguientes y opere para encontrar el resultado final. Escriba su respuesta en la línea correspondiente. 1) –4z2 – 3, donde z = 5 13) 8z2 + 3, donde z = 7 2) 2z2 + 3, donde z = –3 14) –z2 – 8, donde z = –6 3) 7z2 + 5, donde z = 6 15) 3z2 + 9, donde z = –8 4) 8z2 – 4, donde z = –3 16) 9z2 + 8, donde z = 1 5) z2 + 7, donde z = 4 17) 3z2 + 4, donde z = 2 6) 2z2 – 6, donde z = 3 18) –z2 – 3, donde z = 0 7) –4z2 + 7, donde z = 4 19) z2 + 5, donde z = 5 8) 6z2 – 1, donde z = –1 20) 6z2 + 4, donde z = 6 9) –2z2 + 8, donde z = 3 21) –2z2 – 9, donde z = –7 10) 7z2 + 9, donde z = 0 22) –3z2 + 2, donde z = 8 11) z2 – 4, donde z = –4 23) 3z2 + 3, donde z = 1 12) 5z2 – 7, donde z = 7 24) –2z2 – 2, donde z = 2 238 IGER − Polochic Razonamiento lógico ¡Ponga a trabajar sus neuronas! Piense y solucione los problemas de lógica siguientes. La cosecha del granjero Un granjero tenía un terreno en el que cosechaba tomate. El terreno era custodiado por cuatro perros que habían sido colocados estratégicamente. Cada perro vivía en una casita que el granjero había construido, se distribuían de la forma en que muestra la imagen. El granjero tuvo buenas ventas y decidió aumentar las dimensiones de su terreno. Pero se le presentó un problema: quería que los cuatro perros siguieran vigilando la cosecha desde sus casitas, sin cambiar su ubicación. ¿Cómo lograr esto? Dibuje en la imagen la forma en que se puede expandir el terreno cumpliendo con la condición mencionada. Inversión comunitaria Los vecinos A, B, C y D decidieron hacer un acuerdo comunitario y sembraron maíz en una parcela que se encuentra al medio de sus casas. Poco después, cada vecino construyó un gallinero (E, F, G y H), todos ellos más cerca de la plantación. Sin embargo, las gallinas empezaron a comerse y a arruinar las mazorcas. Ante esta situación, los vecinos decidieron levantar una valla que les permita acceder al maizal, pero que impida que las gallinas puedan entrar. Observe la ilustración y dibuje por dónde debe pasar la valla para cumplir con esta condición. B F A E G C H D Matemática − Semana 15 239 Desarrolle nuevas habilidades La capacidad de deducción se define como una forma de razonamiento que consta de extraer un juicio a partir de hechos o proposiciones. Esta habilidad nos resulta de ayudar para resolver problemas y situaciones en las que se nos pide una conclusión a partir de pistas las cuales debemos relacionar. Practiquemos nuestra capacidad de deducción con el problema siguiente: Matemáticas aplicadas a la investigación de casos Al entrar a casa, Don Pablo se dio cuenta de que había olvidado en su oficina un billete de Q200.00 entre las páginas del libro que estaba leyendo. Apresurado llamó a su trabajo y le dijo a su asistente que le enviara, con el mensajero, el libro que contenía el billete. Cuando el mensajero llegó con el encargo a la casa de Don Pablo, este último notó que el billete había desaparecido. Al preguntarles al mensajero y a su asistente, ella le dijo a Don Pablo que comprobó personalmente que el billete estaba dentro del libro cuando se lo dio al mensajero, precisamente entre las páginas 199 y 200. A su vez, el mensajero declaró que al recibir el libro de manos de la asistente, él miró el reloj y vio que eran las 16:30 horas, luego se dirigió a la casa de Don Pablo, situada a 2 km, donde llegó a las 16:55 horas. Luego de escuchar ambas historias, Don Pablo debe descubrir quién está intentando engañarlo. Responda y ayude a resolver el misterio: ¿Quién de los dos está mintiendo? ¿Por qué? Revise su aprendizaje Después de estudiar... Marque con un cheque 240 la casilla que mejor indique su rendimiento. Describo e identifico qué es una fracción algebraica. Resuelvo simplificaciones, multiplicaciones y divisiones con fracciones algebraicas. Calculo con agilidad el valor de una expresión algebraica dado el valor de su incógnita. IGER − Polochic en no logrado proceso logrado 5 y 4 3 2 1 0 1 x2 2 3 + y2 4 x 16 –1 = i = r2 Fracciones algebraicas II ¿Qué encontrará esta semana? Recordemos la suma y resta de fracciones Suma y resta de fracciones algebraicas Fracciones complejas Ecuaciones de primer grado Esta semana logrará: Sumar y restar fracciones algebraicas con precisión. Simplificar fracciones complejas. Resolver mentalmente ecuaciones de primer grado. Resolver problemas cotidianos con ecuaciones de primer grado. Matemática − Semana 16 241 ¡Para comenzar! Recordemos la suma y resta de fracciones Esta semana continuamos con las fracciones algebraicas, ahora con la suma y resta de fracciones algebraicas. Antes de empezar con el tema, refrescaremos nuestros conocimientos sobre la suma y resta de fracciones aritméticas. Recordemos que se pueden presentar dos casos: con igual y con diferente denominador. Practiquemos un ejemplo con cada uno. • Fracciones con igual denominador Cuando sumamos o restamos fracciones con igual denominador, operamos los numeradores y únicamente copiamos el denominador. Ejemplo: 1 6 5 + = =2 3 3 3 6 3 3 – = 8 8 8 • Fracciones con diferente denominador Cuando sumamos o restamos fracciones con diferente denominador, realizamos los pasos siguientes: a. Descomponemos los denominadores en sus factores primos para hallar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) que será el denominador común. b. Dividimos el m.c.m. entre el denominador de cada fracción y el resultado lo multiplicamos por su respectivo numerador. Practiquemos estos pasos con la suma siguiente. 9 3 3 3 1 3 1 1 5 2 3(5) + 1(2) 15 + 2 17 + = = = 9 9 3 9 9 m.c.m. = 3 Í 3 = 32 = 9 ¡A trabajar! Realice las sumas y las restas fraccionarias. Luego, escriba el resultado sobre la línea. 1) 5 1 + = 2 2 4) 1 1 + = 2 3 2) 9 3 – = 7 7 5) 5 1 7 – + = 3 2 6 3) 6 11 3 – + = 9 9 9 6) 2 3 5 – – = 3 8 12 242 IGER − Polochic El mundo de la matemática 1. Suma y resta de fracciones algebraicas con igual denominador Para sumar o restar fracciones algebraicas con igual denominador, se aplica la misma regla de la suma o resta de fracciones aritméticas con denominador común: sumamos o restamos los numeradores y copiamos el denominador. Veamos la representación simbólica en el recuadro de abajo y algunos ejemplos. a b a+b + = c c c Sumemos • Sumamos los numeradores y copiamos el denominador. • Simplificamos el resultado. Restemos 5a2 + 7a2 = 4a 4a 5a2 + 7a2 12a2 = = 4a 4a 3a 8x x+4 – = x+5 x+5 • Restamos los numeradores y copiamos el denominador. 8x – (x + 4) 8x – x – 4 = x+5 = x+5 • Reducimos términos semejantes y escribimos el resultado. 7x – 4 x+5 Sumemos • Sumamos los numeradores y copiamos el denominador. 3x + 8 x2 + 8x + 16 + = (x + 3)(x – 5) (x + 3)(x – 5) x2 + 8x + 3x + 16 + 8 = (x + 3)(x – 5) • Reducimos términos semejantes. x2 + 11x + 24 = (x + 3)(x – 5) • Factorizamos el numerador y reducimos términos. (x + 8)(x + 3) = (x + 3)(x – 5) • Escribimos el resultado. x+8 x–5 Matemática − Semana 16 243 Restemos • Restamos los numeradores y copiamos el denominador. 3x2 – 2x 5x2 + 4x – = (x + 3)(x – 2) (x + 3)(x – 2) 5x2 + 4x – (3x2 – 2x) = (x + 3)(x – 2) 5x2 + 4x – 3x2 + 2x = (x + 3)(x – 2) • Reducimos términos semejantes. 2x2 + 6x = (x + 3)(x – 2) • Factorizamos el numerador y reducimos términos. 2x (x + 3) = (x + 3)(x – 2) • Escribimos el resultado. 2x x–2 Ejercicio 1 Realice las operaciones algebraicas siguientes. Tenga en cuenta que el resultado se reduce a su mínima expresión, es decir, se simplifica. 5x2 – 4 x2 + 4 2) 3 + = 8x 8x3 1) 6x x + = x+2 x+2 3) x2 – 6 x2 + 3x 6x2 7x – = 4) – 2 = 2 x –x–6 x –x–6 6x – 7 6x – 7 244 IGER − Polochic 2. Suma y resta de fracciones algebraicas con diferente denominador Para sumar y restar fracciones algebraicas con diferente denominador, debemos seguir estos pasos: a. Factorizar los denominadores para hallar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) que será el denominador común. b. Dividir el m.c.m. entre el denominador de cada término. Luego, multiplicar el resultado por cada numerador. c. Simplificar el resultado. Practicaremos el m.c.m. de polinomios, con los ejemplos siguientes. 1. En los polinomios: y(y + 2), (y + 3)(y + 2) y (y + 2)2 La mayor potencia de y es 1, de (y + 2) es 2 y la de (y + 3) es 1. Entonces el m.c.m. es: y(y + 2)2(y + 3) 2. En los polinomios: x2 + 4x + 4 y 2x2 + 3x – 2 Factorizamos x2 + 4x + 4 = (x + 2)(x + 2) = (x + 2)2 2x2 + 3x – 2 = (2x – 1)(x + 2) Entonces el m.c.m. es: (x + 2)2 (2x – 1) Ahora que ya sabemos cómo obtener el m.c.m. de polinomios, podemos sumar y restar fracciones algebraicas. Sumemos • Dividimos el m.c.m. (x 2y) entre cada denominador. Luego, multiplicamos el resultado por cada numerador. • Factorizamos el numerador y reducimos términos. • Escribimos el resultado. Sumemos • Dividimos el m.c.m. (6x2) entre cada denominador. Luego, multiplicamos el resultado por cada numerador. • Reducimos términos semejantes. • Factorizamos el numerador y simplificamos el resultado. 2x + 3 = xy x2 2x(y) + 3(x) = 2xy + 3x x2y x2y x (2y + 3) = x 2y 2y + 3 xy 3 x–2 + = 2x 6x2 3(3x) + (x – 2)(1) = 6x2 10x – 2 9x + x – 2 = = 6x2 6x2 5x – 1 2(5x – 1) = 3x2 6x2 Matemática − Semana 16 245 Restemos 3x – 2x = 3x – 1 2x + 1 • Dividimos el m.c.m. (3x – 1)(2x + 1) entre cada 3x(2x + 1) – 2x(3x – 1) = (3x – 1)(2x + 1) denominador. Luego, multiplicamos el resultado por cada numerador. • Realizamos las operaciones indicadas. • Reducimos términos semejantes y escribimos el resultado. Restemos 5 – x = –1(x – 5) 5x (3x – 1)(2x + 1) x 5 – = x2 – 5x 5x – 25 x 5 – = x(x – 5) 5(x – 5) • Dividimos el m.c.m. entre cada denominador. Luego, multiplicamos el resultado por cada numerador. 5(5) – x(x) = 25 – x2 = 5x(x – 5) 5x(x – 5) • Para obtener términos semejantes en el numerador y denominador, multiplicamos el numerador por –1 e invertimos el orden del primer binomio. • Simplificamos el resultado. (5 – x)(5 + x) = 5x(x – 5) –1(5 – x)(x + 5) = 5x(x – 5) –1(x – 5)(x + 5) = 5x(x – 5) – x+5 = 5x Ejercicio 2 Sume o reste, según corresponda, las fracciones algebraicas con diferente denominador. 1) 246 3x + 1 x – 2 + = 5x 10x IGER − Polochic = • Factorizamos los denominadores para obtener el m.c.m. 5x(x – 5) • Factorizamos el numerador. Atención: 6x2 + 3x – 6x2 + 2x (3x – 1)(2x + 1) x+3 5x – 1 2) – = 3x 5x2 3. Fracciones complejas Una fracción compuesta o compleja es cualquier forma fraccionaria que tenga fracciones en el numerador y en el denominador, o en ambos. Simbólicamente se representa así: Numerador de la fracción compleja Denominador de la fracción compleja a+b a a–b a Línea principal de la fracción Lo que se busca en toda fracción compleja es simplificarla, es decir, transformarla a una fracción simple, reducida a sus términos más sencillos y que sea equivalente a la expresión original. Para simplificar fracciones complejas, debemos seguir estos pasos: a. Encontrar el mínimo común múltiplo m.c.m. de todos los denominadores. b. Multiplicar el numerador y el denominador de la fracción compleja por el m.c.m. c. Simplificar el resultado cuando sea posible. Simplifiquemos • Expresamos todos los términos como fracción. • Dividimos el m.c.m. (1)(a) = a entre cada denominador. Luego, multiplicamos el resultado por cada numerador. 1 +1 a = a– 1 a Recuerde: 1 1 a + 1 = a – 1 a 1 a ÷ c =a• d b d b c 1(1) + 1(a) 1+a a a = 2 = a(a) – 1(1) a –1 a a = (12 + a) = (a – 1) • Realizamos la división de fracciones y simplificamos el resultado. a(1 + a) a(a2 – 1) • Factorizamos el resultado parcial y nuevamente simplificamos. 1 (1 + a) = a–1 (a + 1)(a – 1) Matemática − Semana 16 247 Simplifiquemos x – y 7 7 = x2 – y 2 21 • Dividimos el m.c.m. (7)(3) = 21 entre cada denominador. Luego, multiplicamos el resultado por cada numerador. x(3) – y(3) 3x – 3y 21 21 = 2 2 2 x (1) – y (1) x – y2 21 21 • Realizamos las división de fracciones y simplificamos el resultado parcial. 21(3x – 3y) (3x – 3y) 21(x2 – y 2) = (x2 – y 2) = • Factorizamos la nueva fracción y simplificamos otra vez para obtener el resultado. 3 3(x – y) = (x + y)(x – y) x + y Simplifiquemos x + 2x x–2 = 4 1+ 2 x –4 • Dividimos el m.c.m. = (x + 2)(x – 2) entre cada denominador. Luego, multiplicamos el resultado por cada numerador. x(x + 2)(x – 2) + 2x(x + 2) (x + 2)(x – 2) • Realizamos las operaciones correspondientes. (x2 + 2x)(x – 2) + 2x2 + 4x (x + 2)(x – 2) 1(x + 2)(x – 2) + 4 (x + 2)(x – 2) x2 – 4 + 4 (x + 2)(x – 2) = = x3 – 2x2 + 2x2 – 4x + 2x2 + 4x (x + 2)(x – 2) = x2 (x + 2)(x – 2) • Reducimos términos semejantes. • Realizamos la división y simplificamos el resultado. 248 IGER − Polochic x2(x + 2) (x + 2) (x – 2) = 2 x2 x (x + 2) (x – 2) (x + 2) (x – 2) x3 + 2x2 (x + 2) (x – 2) x2 (x + 2)(x + 2)(x – 2) =x+2 x2(x + 2)(x – 2) Ejercicio 3 Simplifique las fracciones complejas y redúzcalas a su mínima expresión. 4 1) x + 1 2) x – x 1 = = 4 x x + 4 + 1+ x 1 3) x + 11 + 62 x x = 4 3+ – 42 x x 2 2 4) a – b a a+b a3 = Matemática − Semana 16 249 Resumen En la suma y resta de fracciones algebraicas al igual que en las fracciones aritméticas podemos operar fracciones con igual y diferente denominador. 1. En la suma o resta de fracciones algebraicas con igual denominador, se suman o restan los numeradores y se copia el denominador común. 2. Para sumar o restar fracciones algebraicas con diferente denominador, primero se debe hallar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores, factorizamos cada polinomio y tomamos todos los factores distintos elevados a la máxima potencia. Luego, dividimos el m.c.m. entre cada denominador y el resultado se multiplica por cada numerador. Después se simplifica la fracción. 3. Las fracciones compuestas o complejas son las que tienen fracciones en el numerador o el denominador, o en ambas partes de la fracción. Para simplificarla o reducirla a sus términos más sencillos y que sea equivalente a la expresión original, debemos seguir estos pasos: a) Encontrar el mínimo común múltiplo de todos los denominadores. b) Multiplicar el numerador y el denominador de la fracción compleja por el m.c.m. c) Simplificar los resultados cuando sea posible. Investigue en la red... Para afianzar sus conocimientos sobre fracciones complejas, visite la dirección siguiente: http://goo.gl/PuQCYD 250 IGER − Polochic Autocontrol Actividad 1. Demuestre lo aprendido Marque una "X" en el cuadro de la opción que completa cada enunciado. 1) Las fracciones formadas por otra fracción en el numerador o en el denominador reciben el nombre de… 2) El denominador común de las fracciones 5 , 82 , 63 es… x x x propia simple impropia compleja 8 x x2 x3 3) El resultado de la operación 8 + 2 – 5 es... 3 3 3 5 3 5 6 5 9 5 12 4) La factorización completa de x3 – x es… (x 2 – x)2 x(x 2 – 1) x(x 2 + x) x(x – 1)(x + 1) 5) Al multiplicar el binomio (10 – y) por –1 se obtiene… y – 10 y + 10 –y + 10 –10 – y 6) La factorización correcta del trinomio x2 – 8x + 16 es… (x – 4)2 (x + 4)2 (x – 4)(x + 4) (x – 2)(x + 8) 7) Por simple inspección, el término que se elimina en la división a+b a = es… a–b a a a2 a+b a–b Matemática − Semana 16 251 Actividad 2. Practique lo aprendido A. Sume las fracciones algebraicas con igual denominador y redúzcalas a su mínima expresión. 1) 2 x + = 2x – 1 2x – 1 2) 5 2x + = 3x – 5 3x – 5 3) 3x + 2 x – 2 + = 2x + 3 2x + 3 4) 3 2x – 1 + 2 = x – 3x – 4 x – 3x – 4 2 B. Reste las fracciones algebraicas con igual denominador y redúzcalas a su mínima expresión. 1) 2 x – = 2x + 7 2x + 7 2) 5 x – = x–5 x–5 3) 3x2 – 1 6x2 – 1 – = 3x3 3x3 4) 7x2 6x – 2x2 – = 9x2 – 4 9x2 – 4 252 IGER − Polochic C. Antes de resolver las operaciones, preste atención a los denominadores. Luego, en hojas aparte sume las fracciones algebraicas, redúzcalas a su mínima expresión y escriba el resultado sobre la línea. Tiene un ejemplo. 0) 7x + 28 2x + 5 x + 6 + = 12x 4x 6x 4) 1) 6 x–2 + = x+4 x+4 5) 3x + 2 4x – 1 + 8x 6x = 2) 2x x–3 + = 2x + 1 2x + 1 6) 5 3 + x–4 x+3 = 3) 4x – 4 x2 + 4x + = x2 – x – 6 x2 – x – 6 7) x 3x + 6 + = x2 + x – 20 x2 – 6x + 8 x+5 x–2 + = 10x 4x D. Reste las fracciones algebraicas con diferente denominador y redúzcalas a su mínima expresión. Trabaje en hojas aparte. Luego, escriba la respuesta en la línea correspondiente. 1) x+1 x – = x–2 x–2 5) 3x + 1 x + 1 – = 4x – 2 4x – 2 2) 2 x – = 2x + 7 2x + 7 6) x+4 x+3 – 16x 12x 3) 9x2 + 7 7 – 3x2 – = 6x3 6x3 7) 2 x+1 – 2 = x + x – 12 x + 5x – 24 4) 7x3 – 3 x3 – 3 – = 2x4 2x4 8) 2x + 2 5x – 1 – 2 = x + 2x – 3 x + 5x + 6 = 2 2 E. Simplifique las fracciones complejas en hojas aparte y escriba el resultado sobre la línea. 1) 9 + 3 a2 = a 3+ 1 x 2) 3 + 1 2y = y y y+ 2 x+ 1 x = 3) 1 x2 1 – 1 2 25 4x 4) – 1 – 1 5 2x 5) 6) 6 – 7 – 24 x x2 – 32 – 5 – 8 x x x+3+ 6 x–4 42 x+9+ x–4 = = = Matemática − Semana 16 253 Agilidad de cálculo mental Observe cada ecuación y resuélvala mentalmente. Luego, escriba su resultado. Hay un ejemplo en cada apartado. A. 10) x – 9 = 6 x = y = 11) x – 3 = 12 x = 2) 9 + y = 16 y = 12) x – 6 = 15 x = 3) 3 + y = 18 y = 13) x – 4 = 21 x = 4) 9 + y = 24 y = 14) x – 8 = 10 x = 5) 1 + y = 49 y = 15) x – 0 = 32 x = 6) 12 + y = 25 y = 16) x – 14 = 6 x = 7) 24 + y = 30 y = 17) x – 10 = 90 x = 8) 39 + y = 54 y = 18) x – 25 = 50 x = 9) 10 + y = 40 y = 19) x – 60 = 20 x = 0) 4x = 36 x = 1) 5x = 10 x = 2) 9x = 81 x = 3) 6x = 18 x = 4) 7x = 0 x = 5) 9x = 54 x = 6) 3x = 30 x = 7) 4x = 28 x = 8) 10x = 10 x = 9) 15x = 45 x = 0) 8 + y = 15 y = 1) 5 + y = 13 B. 254 IGER − Polochic 7 9 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) w 4 w 6 w 15 w 4 w 5 w 1 w 5 48 w 60 w 80 w = 5 w = = 18 w = = 2 w = = 10 w = = 12 w = = 90 w = = 5 w = = 24 w = = 12 w = = 20 w = Razonamiento lógico A. Practique la resolución de ecuaciones de primer grado con los ejercicios siguientes. 1) 2x + 3 = 5 6) 2x + 5x – 3x = 32 14) – 2x = – 7 12 9 16 5x =– 15) 25 –8 3x x 16) + = 10 8 4 x x =5 17) – 3 8 18) 3x – 8x = 5 4 9 18 19) 2(x + 4) = 16 7) 7x = 6 + 4x 20) 4(3x + 7) + 5 = 33 8) 3x = 8 – 3x 21) 8 + 2(3x – 1) = 21 9) 2x + 12 = 7x + 2 22) 3 – 2(3x – 4) = 14 10) 11x – 6x – 6 = 20 – 8x 5x = 60 11) 4 12) 6x = – 42 7 3x = 15 13) 4 28 23) 2 – 5(2 – x) = –5 2) 4x + 3 = 15 3) 2x – 9 = –11 4) 7x + 11 = 4 5) 5x – 2x – x = 20 24) 5(2x – 1) = 25 + 3(x – 3) 25) 6(2x – 3) = 2 – 7(3 – x) 26) 3(5 – 2x) = 8 + 7(1 – 2x) B. Plantee una ecuación que describa lo enunciado en cada problema. Luego, resuélvala y compruebe su resultado. 1) Al triple de un número le restamos 16 y se obtiene 20. ¿Cuál es ese número? 2) A un número le sumamos 18 y se obtiene 91. ¿Cuál es ese el número? 3) Al triple de un número le restamos 24 y se obtiene 29. ¿Cuál es ese número? 4) La suma de dos números consecutivos es 91. ¿Cuáles son esos números? 5) La suma de las edades de Estela y Margarita es 44 años. Si Estela es 2 años mayor que Margarita, ¿qué edad tiene cada una? 6) Hallar la medida de los lados de un rectángulo que tiene 27 cm de perímetro, y la base es 2 de la altura. 7 7) Sebastián gasta Q120.00 en un pantalón y una camisa. No sabe el precio de cada prenda, pero la camisa vale dos cuartas partes que el pantalón. ¿Cuánto vale cada prenda? 8) En el salón de la comunidad hay 500 personas. Si sabemos que hay 68 mujeres más que hombres, ¿cuántos hombres y cuántas mujeres hay? 9) Amalia gastó en la tienda un tercio del dinero que llevaba. Si se quedó con Q24.00, ¿con cuánto dinero llegó a la tienda? Matemática − Semana 16 255 Desarrolle nuevas habilidades Toma de decisiones Practique la agilidad de cálculo y la toma de decisiones con la actividad siguiente. Usted ha sido designado presidente del comité de su comunidad y le preocupa la salud de los niños, por lo que decide realizar una encuesta para determinar las enfermedades más frecuentes. Para realizar la encuesta, solicita la ayuda de 36 personas a las cuales, además de otros útiles, les proporcionará lapiceros. Los precios de los lapiceros se muestran en la tabla de abajo. Haga los cálculos solicitados para determinar la cantidad de lapiceros a comprar y al menor costo posible. Lapiceros Costo por paquete Costo total Paquete de 10 unidades Q11.00 Q44.00 Paquete de 24 unidades Q24.00 Paquete de 40 unidades Q38.00 1) Calcule el costo de cada opción. Le ayudamos con la primera fila. 2) Usted considera que la mitad de encuestadores necesitará un nuevo lapicero. Calcule nuevamente el costo y escríbalos de mayor a menor en la línea. Luego, rodee con un círculo la mejor opción. 3) ¿Qué paquete o paquetes de lapiceros debe comprar y por qué? Revise su aprendizaje Después de estudiar... Marque con un cheque 256 la casilla que mejor indique su rendimiento. Sumo y resto fracciones algebraicas con precisión. Simplifico fracciones complejas. Resuelvo mentalmente ecuaciones de primer grado. Resuelvo problemas cotidianos con ecuaciones de primer grado. IGER − Polochic en no logrado proceso logrado 5 y 4 3 2 1 0 1 x2 2 3 + y2 4 x 17 –1 = i = r2 Repaso: semanas 9 a 16 Esta semana logrará: Repasar los contenidos de la semana 9 a la 16. Resolver los ejercicios de repaso para evaluarse en la prueba final. Prepararse bien para la prueba final. Matemática − Semana 17 257 Querida y querido estudiante: Se aproxima la prueba final y debe prepararse adecuadamente, repasando los contenidos de la semana 9 a la 16. Para aprovechar este repaso siga estas recomendaciones: • Haga un plan de lo que estudiará cada día y trate de cumplirlo. Dedique más tiempo a los temas que le resulten difíciles. • Busque un lugar tranquilo, iluminado y silencioso para estudiar. • Lea los resúmenes de cada semana y escriba las ideas más importantes en su cuaderno. • Escuche la clase radial. Sus maestros locutores le acompañarán en este repaso y le ayudarán a resolver algunos ejercicios. • Compruebe que haya realizado bien los autocontroles. Si tiene dudas, vuelva a leer las semanas, ahí encontrará explicaciones y ejemplos. ¿Cómo será la prueba de evaluación? La prueba final evalúa los mismos contenidos y de la misma forma en que los ha trabajado semana a semana. En la prueba encontrará: • Una serie de agilidad mental para medir su destreza y rapidez de cálculo en un tiempo límite de tres minutos. • Diferentes ejercicios que evalúan lo aprendido en las ocho semanas. Estos ejercicios serán semejantes a los que usted resolvió en las actividades del autocontrol. Se le pedirá: responder preguntas, marcar con una equis "X" el cuadro de la opción correcta, resolver operaciones y resolver problemas. • Cuando resuelva ejercicios y problemas, debe dejar constancia de su procedimiento. • Muy importante: cada serie contiene instrucciones exactas de lo que debe realizar en cada apartado, así como la valoración asignada. Si usted se prepara con tiempo y dedicación, el resultado será satisfactorio. Le recordamos que debe prepararse para la prueba final y para la prueba del Mineduc practicando con los ejercicios que se encuentran al final de su libro en el Taller matemático. 258 IGER − Polochic El mundo de la matemática Potenciación de expresiones algebraicas 1. Las reglas de la potenciación de expresiones algebraicas son las mismas que se emplean en el conjunto de los números reales. Para aplicarlas, debemos prestar atención a los exponentes que las acompañan. 1.1 Regla del exponente cero Indica que cualquier base elevada al exponente cero es igual a la unidad (1), excepto en el caso de que la base sea cero. x0 = 1 1.2 Regla del producto de potencias con igual base Para multiplicar expresiones algebraicas que tienen la misma base, copiamos la base y sumamos los exponentes. xm • xn = xm + n 1.3 Regla del cociente de potencias de igual base Para dividir expresiones algebraicas que tienen la misma base y diferente exponente, se mantiene la base y se restan los exponentes. xm m–n xn = x 1.4 Regla de una potencia elevada a otra potencia Si la expresión algebraica se encuentra dentro de signos de agrupación, se copia la base y se multiplican los exponentes. (x m)n = x m • n 1.5 Regla de la potencia de una fracción algebraica ( ) = a. Una literal con exponente negativo, se convierte en una potencia positiva escribiendo el inverso de la base con el mismo exponente. x –m = 1 xm b. Una fracción algebraica con exponente negativo, se convierte en una potencia positiva escribiendo el inverso de la base con el mismo exponente. ( ab ) = ( ba ) Si la expresión algebraica es una fracción, se copia la base y se multiplica el exponente del numerador y del denominador por el exponente externo. x y m xm ym 1.6 Regla del exponente negativo –m m 2. Simplificación de expresiones algebraicas Simplificar una expresión algebraica formada con potencias de números reales es transformarla a una expresión, en la que cada número real aparezca solo una vez y todos los exponentes sean positivos. Veamos un ejemplo: 36w 2 x 3y 5 3 2 4w 2y 3 = 9x y Matemática − Semana 17 259 Ejercicio 1 A. Aplique las reglas de potenciación, de forma directa. Realice lo que se le pide en cada apartado. Deje todos los exponentes positivos. Tiene un ejemplo. 1 (m3n) 0) (m3n) –3(m3n)2 = 1) (–2b3)3 (–2b3)2 15) (b7c6 d 2)6 ( m4nw5 3r2z = ) = –1 = 16) 2) y –9 = 17) –5(5bc3w4)5 = 3) 9w3z4(6y2z3)0 = 18) (10m4n)9 = 19) 5) 18(b4 c2)0 = 20) 8a3b(x2y2)4 = x3 x2 = 21) 7) b–3 • b5 • b2 = 22) (x3y2z6)2 = (7m2n2)5 (7m2n2)3 = 23) b–1 = 4) 6) 8) ( 7x3y2z2 8x3z2 ) 0 = a7 = a2 ( 6m5r ns u ) 2 3 2 = 3 2 ( –2c9abf ) uw 25) ( 3x y ) mns 26) ( ghr ) 9) (4a3b2)4(4a3b2)3 = 2 2 3 24) = 3 2 4 10) (w2z2)(w2z2)3 = 11) (–12r3s4)0 = 12) (3x5y3)0 = 27) z3 • z6 • z –2 = = 28) = 29) w –2 t5 t7 w2c2 –2 14) 4an3 13) ( ) = 5 3 4 2 3 4 = 2 5 5 ( –2x3yz 4 rs2t 2 ) –5 = = B. Simplifique las expresiones algebraicas de forma directa. = 6) ( 30b6b dd ff ) = 2) (9a4bc4)(12a3b3c2) = 7) (11x2yz5) (6xy8z7) = 8) 2a3m4n2 10a5mn2 = 1) 3) s ( 18ad 3a d s ) 4 3 3 2 2 5b3c2v2 25b2c2v2 = 4) (18m2nr3)(3m5n4r5) = 5) 260 ( ) 81c3g 4 3c2g3 IGER − Polochic = 5 7 6 –2 7 3 9) (7a2m3)(8a5m6) = 10) (8a4b3)(3a2b2) = Radicación de expresiones algebraicas 1. Las reglas de la radicación son las mismas que utilizamos con los números reales. De forma simbólica se representan así: Regla Ejemplo raíz de una potencia n n an = an = a del producto n n n 3 3 (2a)3 = (2a)3 = 2a (18xy)2 = (18xy)2 = 18xy a2 • 4b2 = a2 • 4b2 = a • 2b = 2ab a • b = a • b 16x2 • 25y2 = 16x2 • 25y2 = 4x • 5y = 20xy del cociente 4a2 4a2 2a = = 9b2 9b2 3b n n a a =n b b 16x2 16x2 4x = = 2 3y 9y 9y2 raíz de una raíz a = n•m a nm 3 3 6 64a6 = 2 • 364a6 = 664 • a6 = 2a 729x6 = 3 • 2 729x6 = 6 729 • x6 = 3x 2. Para convertir un radical en exponente fraccionario, copiamos el radicando y dividimos su potencia entre el índice del radical. m n a = an/m 3. Dos o más radicales son semejantes si el radicando y el índice son iguales. 3.1 La suma y resta de radicales se puede realizar si y solo si son radicales semejantes. Para realizar estas operaciones, se suman o restan los coeficientes y se copia el radical. 22y y 18x 22y n n n n a x + b x – c x = (a + b – c) x 3.2 En la multiplicación de radicales se pueden presentar dos casos: los que tienen el mismo índice y los que tienen diferente índice. a. Con el mismo índice b. Con diferente índice e igual radicando 3.3 Para dividir radicales que tienen el mismo índice, se dividen los radicados y de ser posible se simplifica el resultado. n n n a • b = a • b m n n n a • a = a1/m • a1/n a a =n b b 4. Para eliminar factores en los radicales se extraen los factores de la parte numérica y de las literales hasta que las potencias sean menores que el índice del radical. 5. La racionalización permite expresar los radicales en una forma simplificada, al no tener radicales en el denominador. Se deben tomar en cuenta los casos siguientes: a. El denominador consta de un solo término radical y no tiene coeficientes. b. El denominador es un radical y tiene un coeficiente. c. El denominador está formado por dos radicales que forman una suma o diferencia, es un binomio. Matemática − Semana 17 261 Ejercicio 2 A. Aplique las reglas de la radicación para resolver los ejercicios siguientes. 1) (5x2y3)2 = 4) 3 2) 64x6y6 = 625w4 81x8y12 = 5 6) 3 ( 7) 5) (m5n5x5)4 = 4a2b4 = x2y6 3) 4 ) 256a8b4 = 16c12y4 4 8) 16x8 (243m15n5) = = 3 9) 27w12 x9y6z3 = B. Convierta los exponentes fraccionarios en radicales y simplifique la expresión de ser posible. 1) (xy)1/2 4) (b3z6)2/3 = 7) (a9h3k3m6)4/3 = 2) (a4b8c6)2/4 = 5) (a4)1/4 = 8) (rs)1/5 3) m1/3 6) = 9) = = (27mw n ) 6 3 1/3 2 ( y2xz ) 2 6/3 = = 6 3 C. Resuelva de forma directa las sumas y restas de radicales semejantes. 3 3 1) 8 11b – 5 11b = 2) 15a 12xy + 5a 12xy = 3 3 3) 12b4 16m2n2 + 18b4 16m2n2 = 4 4 4) 21b3c 6a3 – 32b3c 6a3 5) –14f 23wx + 25f 23wx = 5 5 6) 27m2 49r3s2 – 18m2 49r3s2 = D. Resuelva las multiplicaciones y divisiones siguientes. Simplifique su respuesta. 3 5 1) a6b9c6 • a6b9c6 = 2) 5 32b5x5z10 5 10 15 r s 4 4) x2y3 • x2y3 = = 5) 3) a2mx3 • a2mx3 = 6) 4 9x4y6 64x12y8 = 64a3m6 512a6n3 = 3 3 E. Racionalice las expresiones siguientes. Simplifique su respuesta. 1) 8x 6ab = 4) 2) 9y 10bmx – 4w = 5) 3) 8a 7bz + 8x 6) 262 IGER − Polochic = = 14mn 17ax = 11x = 12ay – 2c 12xy 6w = Operaciones polinomiales 1. Un polinomio es una expresión matemática formada a partir de la unión de dos o más variables y constantes, que se vinculan a través de las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación. En otras palabras, un polinomio es la unión de dos o más monomios. 9x2 – 30xy + 25y2 1.º término 2.º término 3.º término 1.1 Los polinomios se pueden clasificar según su número de términos, según los términos que comprende y según el grado de sus variables. 2. Para la adición y la sustracción entre dos o más polinomios, se suman o restan los coeficientes de los términos semejantes, es decir, de los términos que tengan la misma variable con el mismo grado. 3. Para multiplicar polinomios se utiliza la propiedad distributiva; el producto de polinomios puede presentar diferentes casos: 3.1 Multiplicación de un número por un polinomio: se multiplica el número por cada uno de los términos de la expresión polinomial. 3.2 Multiplicación de un monomio por un polinomio: se multiplica el monomio por todos y cada uno de los términos que forman el polinomio, es decir, coeficiente por coeficiente y variable por variable. 3.3 Multiplicación entre polinomios: se multiplica cada término del primer polinomio por todos y cada uno de los términos del segundo polinomio. 4. Para dividir un polinomio por un monomio, se divide cada uno de los términos del polinomio entre el monomio. Ejercicio 3 A. Resuelva las siguientes sumas y restas de polinomios. Tenga cuidado con los signos. 1) –(12a4 + 7a2 – 8a) + (8a4 + 9a2 – 13) 2) (8m3 – m2 + 2m) + (18m4 + 17m3 – 25m) 3) (8y3 – 11y2 + 14) – (8y3 + 10y2 – y) 4) (2ax2 + 14a3m) + (ax2 – 11a3m + m3) 5) (7x2y2 + 9x3y2 + 11) – (12x2y2 + 3x3y2 – y2) 6) –(25k5 + 21k3 + 32) – (17k5 – 8k3 + 7k2 + k) Matemática − Semana 17 263 B. Resuelva las multiplicaciones polinomiales siguientes. Simplifique sus respuestas. Puede utilizar hojas aparte para el procedimiento. 1) (–7)(8x3 + 6x2 – x) = 2) (13ab4)(8t 2 x + ty2 + 9t) = 3) (2rt3 + t 3w2)(8k2m – 9n2) = 4) (–4)(11b3x – 13a2y – 2z) = 5) (5a2)(6a3 – 8a2 – 11a + 2) = 6) (8k3 + 6k2 – 4k)(9k2 + k – 3) = 7) 12(8b3 + 7c2 – 12b2c – 12) = 8) 8(12x3y2z + 3x2y2 – 6x + z) = 9) (8wx3)(9w3 + 7x2 + 11wx – 2) = 10) (5x4 – 3x2 + 2x)(14x3 + 12x – 5) = 11) (11b2c2 – 9b + 5c)(2b2 + 5b + 2a) = 12) (7m3n2 + 9mn)(10mx3 – 2m3n2 + mn) = C. Resuelva las divisiones polinomiales siguientes. Simplifique sus respuestas. Puede utilizar hojas aparte para el procedimiento. 1) (49b4 – 21b3 + 7b) ÷ (7b2) = 2) (9ac2 + 24a2 – 6c2) ÷ (3a2c) = 3) (10n7 – 12n3 – 54n2 x) ÷ (2n2) = 4) (–36p6 + 6p4 + 48p3 – p) ÷ (6p3) = 5) (–64d 6 + 8ad 3 – 16d + 4) ÷ (8d 3) = 6) (17m2n2 – 7n3 + 5m2 – 8) ÷ (mn2) = 7) (3r 4 s + 48s3 – 54r 3 – 27r 2 s2) ÷ (3r 2s) = 8) (–125y2z3 – 100yz2 + 20yz) ÷ (5y2z2) = 9) (12m8 – 3m7 – 7m5 + 8m2 + 8) ÷ (m3) = 10) (49r4w4 – 28r3w2 + 14rw2 + 6r 2w) ÷ (7rw) = 11) (15k6m6 – 19k5m3 + 22k2m2 – k2) ÷ (km2) = 12) (50d 4g5 – 64d 3g3 + 12d 2g2 – 144d 2g) ÷ (2d 2g) = 264 IGER − Polochic Productos notables Los productos notables son casos especiales de la potenciación y multiplicación de polinomios que cumplen con reglas fijas y que se pueden resolver por simple inspección, es decir, resolver mentalmente las operaciones, sin necesidad de escribir todo el procedimiento. Los productos notables que estudiamos se resumen en la tabla siguiente: Nombre Producto notable Fórmula general Cuadrado de la suma de un binomio (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Cuadrado de la diferencia de un binomio (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Producto de la suma por la diferencia (a + b)(a – b) = a2 – b 2 Producto de dos binomios con un término común y signos iguales (a + b)(a + c) = a2 + a(b + c) + bc (a – b)(a – c) = a2 + a(–b – c) + (–b)(–c) Cubo de la suma de un binomio (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Cubo de la diferencia de un binomio (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 Ejercicio 4 A. Desarrolle el cuadrado de la suma y de la diferencia de los binomios de forma directa. Le damos un ejemplo. 0) (5a2 + 3b3)2 = 25a4 + 30a2b3 + 9b6 11) (7h – k)2 = 1) (x + 9)2 = 12) (b – c)2 = 2) (y + 6)2 = 13) (5x – y)2 = 3) (5x + 3)2 = 14) (9 – 5z)2 = 4) (2y + 3z)2 = 15) (6w – 6)2 = 5) (8x + 5y)2 = 16) (5p – 2r)2 = 6) (9x + 2y)2 = 17) (9 – 5z)2 = 7) (4x2 + 5y)2 = 18) (2h2 – 3k2)2 = 8) (8x3 + 3y2)2 = 19) (5x2 – y3)2 = ( ) 9 4 10) ( w + x ) = 2 3 9) 3 3 2 32 h + k = 9 5 2 2 2 ( ) 7 3 21) ( w – x ) = 9 5 20) 5 3 3 52 x – y = 4 3 2 2 Matemática − Semana 17 265 B. Desarrolle el producto de la suma por la diferencia de forma directa. Tiene un ejemplo. 0) (5m + 3n)(5m – 3n) = 25m2 – 9n2 10) (8z + 8)(8z – 8) = 1) (5 + t)(5 – t) = 11) (5w + 6)(5w – 6) = 2) (2x + y)(2x – y) = 12) (4q + 5)(4q – 5) = 3) (8y + x)(8y – x) = 13) (3x2 + y)(3x2 – y) = 4) (2x + 4)(2x – 4) = 14) (4x2 + 1)(4x2 – 1) 5) (4z + 4)(4z – 4) = 15) (10 + 4a)(10 – 4a) = 6) (3p + 6)(3p – 6) = 16) (3x4 + 2y2)(3x4 – 2y2) = 7) (8m + 5)(8m – 5) = 17) (5m2 + 8n2)(5m2 – 8n2) = ( 53 m + 4)( 53 m – 4) = 1 1 9) ( w + 3x)( w – 3x) = 2 2 8) = ( 34 m + 3n)( 34 m – 3n) = 1 4 1 4 z = 19) ( y + z)( y – 5 9 5 ) 9 18) C. Desarrolle el producto de dos binomios con un término común. Tiene un ejemplo. 0) (a + 8)(a + 5) = a2 + 13a + 40 8) (m – 5)(m – 2) = 1) (c + 9)(c + 8) = 9) (2x – 4)(2x – 1) = 2) (x + 8)(x + 6) = 10) (8y – 2)(8y – 3) = 3) (b + 6)(b + 4) = 11) (2x – 5)(2x – 7) = 4) (y2 + 3)(y2 + 3) = 12) (4y – 6)(4y – 8) = 5) (d + 4)(d + 10) = 13) (2x2 – 9)(2x2 – 1) = 6) (z3 + 1)(z3 + 10) = 14) (7w2 – 4)(7w2 – 2) = 7) (w2 + 5)(w2 + 4) = 15) (3y2 – 1)(3y2 – 5) = D. Desarrolle la suma y diferencia de cubos. Tiene un ejemplo. 0) (2a + 5)3 = 8a3 – 60a2 + 350a + 125 7) (4m + 1)3 = 1) (x + 3)3 = 8) (2r – 1)3 = 2) (m + n)3 = 9) (5x – 2)3 = 3) (w + 6)3 = 10) (3y – 5)3 = 4) (5y + 2)3 = 11) (4z2 – 4)3 = 5) (3z + 3)3 = 12) (2b – 6)3 = 6) (4n + 5)3 = 13) (5k2 – 4)3 = 266 IGER − Polochic Factorización I 1. Factorizar una expresión se refiere al proceso de simplificarla hallando dos o más factores, cuyo producto es igual a la expresión propuesta. Generalmente se emplea este procedimiento para trabajar con polinomios. Hay diferentes métodos o "casos" para factorizar, dependiendo de la expresión que deseemos simplificar. Estudiamos cuatro: 1.1 Factor común monomio: este método consiste en extraer de un polinomio, un monomio como factor común a cada uno de los términos del polinomio en cuestión. Luego, se deja indicada la multiplicación entre el factor común extraído y los términos que quedan de la expresión original. 1.2 Factor común por agrupación de términos: empleamos este caso si los monomios que componen el polinomio pueden reunirse en grupos con un factor común diferente en cada grupo. Luego, empleamos la misma técnica que en el factor común. 1.3 Trinomio cuadrado perfecto: se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble del producto de las raíces de los otros monomios. (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 Para factorizar, debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término; al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado. 1.4 Diferencia de cuadrados: binomio en el que sus términos tienen una resta de por medio y se les puede calcular raíz cuadrada. Para la factorización de este caso debemos extraer la raíz cuadrada de los términos. Luego, dejar indicada la multiplicación entre la suma y la diferencia de estas raíces. a2 – b2 = (a + b)(a – b) Ejercicio 5 A. Encuentre el factor común de los polinomios siguientes. Escriba el resultado sobre la línea. 1) xy2 – y2w = 6) 2a2 x + 2ax2 – 3ax 2) 5xy2 – 15y = 7) 9x3 – 6x2 + 12x5 – 18x7 = 3) 24a3b2 – 12a3b3 = 8) 9x2ab – 3xa2b3 + 6x2ab = 4) 15y3 + 20y2 – 5y = 9) 16a4b5 – 20a3b2 – 24a2b6 = 5) 4x2y – 8xy2 – 12xy3 = 10) 25x7 – 10x5 + 12x3 – 18x2 = = Matemática − Semana 17 267 B. Factorice los polinomios por agrupación de términos. 1) ax – x – a + 1 = 8) 5y – 10 – xy + 2x = 2) xy + 5x – y – 5 = 9) xy + 3y + zx + 3z = 3) xy + y2 – x – y = 10) 6m2 x + 4m2y + 3nx + 2ny = 4) xy – x + 5y – 5 = 11) px – pq – 2yx + 2yq = 5) 3x + 12 – xy – 4y = 12) 6a – 6b + 3ax – 3xb = 6) 5ax + ay – 5bx – by = 13) 7xm – 21x – 4m + 12 = 7) 2mr + ms + 6nr + 3ns = 14) 2nx + 14x + 3nx2 + 21x2 = C. Factorice los polinomios siguientes. Emplee el procedimiento de un trinomio cuadrado perfecto. 1) y2 + 12y + 36 = 8) 9m2 – 12mn + 4n2 2) 4a2 + 12a + 9 = 9) 49r2 + 112rs + 64s2 = 3) 25x2 – 40x + 16 = 10) 4) 64 + 32x + 4x2 = = 25 9 2 15 x – x + = 16 4 4 1 25 2 5 11) y – y+ = 4 6 36 5) 4x2 – 12xy + 9y 2 = 12) 36x6 + 24x3y2 + 4y4 = 6) 9m2 – 6my + y2 = 13) 25w8 – 100w4 + 100 = 7) 36x2 + 24xy + 4y 2 = 14) 4x4y6 – 8x2y3z2 + 4z4 = D. Factorice los polinomios siguientes. En algunos incisos deberá emplear más de un caso de factorización. 1) w2 – x2 = 8) x2y2 – 25z2 2) x2 – 16 = 9) 9 2 – 1 4x 25 3) y2 – z2 = 10) 16w4x2 – 64 = 4) z2 – 16 = 5) 4x2 – 100 = 6) 25y2 – 4 = 7) 4a2 – 16b2 = 268 IGER − Polochic = = 2 11) y – 16z2 = 4 8 b2 c2 12) a – = 9 25 m2 n 2 13) 1 – = 36 14) 81w 4x 2 – 49y6z2 = Factorización II 1. Factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c significa expresarlo como el producto de dos factores de la forma (x + a)(x + b). Para factorizar trinomios de esta forma debemos: a. Descomponer el trinomio en dos factores (binomios). Para ello obtenemos la raíz cuadrada del primer término. b. Copiar el signo del segundo término en el primer factor. Luego, multiplicar el signo del segundo término por el signo del tercer término y escribirlo en el segundo factor. c. Elegir dos números que sumados o restados den como resultado el término b y al multiplicarlos den como resultado el término c. 2. Los trinomios de la forma ax2 + bx + c se factorizan con los pasos siguientes: a. Multiplicar el trinomio por el coeficiente (a). b. Expresar el primer término resultante, como (ax)2 y en el segundo término conmutar el orden abx por bax. c. Factorizar el polinomio que se obtuvo en los pasos anteriores, como se hizo con el trinomio de la forma x2 + bx + c. d. Dividir los productos entre los factores de a, que es el número por el cual se multiplicó el trinomio. 3. La suma de cubos a3 + b3 se factoriza de acuerdo con la fórmula siguiente: a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) a. En el primer factor se escribe la suma del resultado de la raíz cúbica del primer y segundo término (a + b). b. En el segundo factor debe ir el primer término al cuadrado menos el primero por el segundo, más el segundo al cuadrado (a2 – ab + b2). 4. La diferencia de cubos a3 – b3 se factoriza de acuerdo con la fórmula siguiente: a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) a. En el primer factor se escribe la resta del resultado de la raíz cúbica del primer y segundo término (a – b). b. En el segundo factor debe ir el primer término al cuadrado más el primero por el segundo, más el segundo al cuadrado (a2 + ab + b2). Matemática − Semana 17 269 Ejercicio 6 A. Factorice los trinomios de la forma x2 + bx + c y escriba el resultado sobre la línea. 1) a2 + 11a + 24 = 7) m2 + 3m – 54 = 2) b2 + 12b + 35 = 8) n2 – 3n – 70 = 3) w2 – 10w + 24 = 9) p2 – 9p – 36 = 4) x2 – 11x + 18 = 10) r2 – 7r – 18 5) y2 + 4y – 32 = 11) s2 – 5s – 150 = 6) z2 + 7z – 60 = 12) x2 + 2x – 48 = = B. Factorice los trinomios de la forma ax2 + bx + c y escriba el resultado sobre la línea. 1) 8a2 + 18a + 3 = 10) 8z2 + 5z + 1 = 2) 6m2 + 23m + 7 = 11) 6h2 – 15h + 6 = 3) 5n2 + 17n + 6 = 12) 3k2 + 23k + 30 = 4) 3w2 + 4w – 4 = 13) 12x2 – 7x + 1 = 5) 6p2 + 17p – 28 = 14) 4y2 + 8y + 3 = 6) 6x2 – 13x + 6 = 15) 2c2 – 5c + 3 = 7) 5q2 – 23q – 10 = 16) 6a2 + 7a + 2 = 8) 6y2 + 11y + 3 = 17) 5w2 – 7w + 12 = 9) 8r2 – 37r – 15 = 18) 6x2 + 17x – 3 = C. Factorice la suma y diferencia de cubos y escriba el resultado sobre la línea. 1) a3 + b3 = 9) 8a3b3 + 64c3d 3 = 2) 8 + c3 = 10) h3 – k3 = 3) m3 + 64 = 11) 27 – z3 = 4) 8x3 + 27y3 = 12) 8a3 – b3c3 = 5) z3 + 125 = 13) 125 – a3 = 6) 64k3 + 1 = 14) 8m3 – n3 = 7) 8w3 + x3 = 15) 64x3 – 8y3 = 8) x3y3 + 27z3 = 16) 216 – b3 = 270 IGER − Polochic Fracciones algebraicas I 1. Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son expresiones algebraicas, generalmente polinomios. Por ejemplo: x2 + 10x + 25 x2 – y 2 Dos fracciones son equivalentes si el producto cruzado entre ambas es igual. 1.1 Simplificación de expresiones algebraicas: para simplificar una expresión racional, factorizamos numerador y denominador, y luego cancelamos factores comunes. 1.2 Multiplicación de fracciones algebraicas: el producto de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica en la que el numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores. Es decir, debemos multiplicar "en línea". El procedimiento es el siguiente: • Factorizamos los numeradores y los denominadores hasta donde sea posible. • Indicamos la multiplicación del numerador por numerador y denominador por denominador. • Simplificamos el resultado hasta reducirlo a su mínima expresión. R(x) P(x) • R(x) P(x) • = S(x) Q(x) • S(x) Q(x) 1.3 División de fracciones algebraicas: se multiplica la primera fracción por el inverso de la segunda fracción. Decimos entonces que la división es una multiplicación cruzada y por tanto, utilizamos la misma técnica que aprendimos en la multiplicación. R(x) P(x) • S(x) P(x) ÷ = S(x) Q(x) • R(x) Q(x) Ejercicio 7 A. Simplifique las expresiones racionales en su cuaderno. Luego, escriba la respuesta sobre la línea. y2 – 3y + 4y – 12 = y–3 1) 4a + 4 = 4 2) 3y = 3y + 6y 2 6) m + 3m – 18 = 3m – 9 3) x2 – 9y2 = (x + 3y)2 2 7) 6z – 7z – 5 = 2z + 1 2 4) (a2 – b)2 = a –b 2 2 8) w2 + 2wx – 3x 2 = w + 5wx + 6x 2 5) Matemática − Semana 17 271 B. Multiplique las expresiones racionales y simplifique el resultado en su cuaderno. Luego escriba la respuesta sobre la línea. 1) 3x – 2 4x – 1 • = 3x + 2 1 – 4x 2) x+3 x3 + 8 • 2 = x – x – 6 x – 2x + 9 3) x x+y • 2 = 2 x – y x + xy 4) x3y2 x2 + 3x + 2 • 2 = 4 x + 4x + 3 xy 5) y2 – 36 y–5 • = 2 y + y – 30 3y 6) 2 2 x2 + x – 6 x2 – 2x – 3 • x2 – 5x + 6 x2 – 4x – 5 = C. Divida las expresiones racionales y simplifique el resultado en su cuaderno. Luego, escriba la respuesta sobre la línea. 1) x2 + 2x – 8 x2 – 4x + 4 = ÷ x2 – 3x – 4 x2 + 6x + 8 2) x2 – 4x + 3 x2 + 10x + 24 ÷ 2 = 3x2 – x – 2 x + 3x – 18 3) x2 – 7x + 10 x2 + 5x – 14 = ÷ x2 – 6x + 5 x2 + 8x + 7 4) 1 1 ÷ = x2 + 7x – 18 x2 – 17x + 30 5) y2 + 3y + 2 y2 + 6y – 16 ÷ = y2 – 5y + 4 y2 + y – 20 6) 7x2 – 15x + 2 x2 – 3x – 10 ÷ 2 = x2 + x – 6 x – 2x – 15 272 IGER − Polochic Fracciones algebraicas II En la suma y resta de fracciones algebraicas al igual que en las fracciones aritméticas podemos operar fracciones con igual y diferente denominador. 1. En la suma o resta de fracciones algebraicas con igual denominador, se suman o restan los numeradores y se copia el denominador común. a b a+b + = c c c 2. Para sumar o restar fracciones algebraicas con diferente denominador, seguimos los pasos siguientes: a. Factorizar los denominadores para hallar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) el cual será el denominador común. b. Dividir el m.c.m. entre el denominador de cada término. Luego, multiplicar el resultado por cada numerador. c. Simplificar el resultado. 3. Las fracciones compuestas o complejas son las que tienen fracciones en el numerador o el denominador, o en ambas partes de la fracción. Numerador de la fracción compleja Denominador de la fracción compleja a+b a a–b a Línea principal de la fracción Para simplificar o reducir una fracción compleja a sus términos más sencillos y que sea equivalente a la expresión original, debemos seguir estos pasos: a. Encontrar el mínimo común múltiplo de todos los denominadores. b. Multiplicar el numerador y el denominador de la fracción compleja por el m.c.m. c. Simplificar los resultados cuando sea posible. Matemática − Semana 17 273 Ejercicio 8 A. Sume las expresiones racionales con igual y diferente denominador en su cuaderno. Luego, escriba la respuesta sobre la línea. 1) 3 x + x+2 x+2 = 7) 3 1 + = 4x – 3 3x + 1 2) 1 x + x+3 x+3 = 8) 3 x + = 2x – 3 x+2 3) 8 2x – 3 + 2x + 5 2x + 5 = 9) 1 x + = x–2 2x + 3 4) 4x2 + 3x x2 – x + = 5x + 2 5x + 2 10) 4 x–2 + 2 = 4x + 9x + 2 4x2 + 5x + 1 5) 3 2x – 1 + 2 2 x – 3x – 4 x – 3x – 4 = 11) –4x + 7 x2 + = 3x2 + 4x – 4 2x2 + 5x + 2 6) 5x – 7 1–x + = 6x2 – 11x + 3 6x2 – 11x + 3 12) 3 x–2 + = x2 – 5x – 24 x2 + 11x + 24 B. Reste las expresiones racionales con igual y diferente denominador en su cuaderno. Luego, escriba la respuesta sobre la línea. 1) 3 4x – 4x – 3 4x – 3 = 7) x + 1 2x + 3 – = 6x 4x 2) 2x + 1 x + 8 – 3x – 7 3x – 7 = 8) x + 3 5x – 1 – = 3x 5x2 3) 2x2 + 1 2x2 – 1 – 4x2 4x2 = 9) 4x – 5 x – 2 = 2x – 5x – 3 2x – 5x – 3 6x2 7x – = 6x – 7 6x – 7 10) 4 x–2 – = 4x2 + 5x + 1 4x2 + 9x + 2 4) 2 5) x2 x – x2 – 4x2 – 1 4x2 – 1 = 11) 3x – 2 x+2 – 2 = x – 3x – 4 x – 5x + 4 6) x2 + 3x x – 12 – 2 = x2 + x – 12 x + x – 12 12) 7x + 14 x+6 – = 3x2 + 10x – 8 3x2 + x – 2 274 IGER − Polochic 2 Agilidad de cálculo mental A. Resuelva las operaciones combinadas siguientes. Recuerde siempre la jerarquía de las operaciones. 1) –9 + 5 × 1 + 3 = 9) 7 × 8 – 4 – 1 = 2) 5 × 6 ÷ (–2) + 6 = 10) –2 + 10 ÷ 5 = 3) 6 × 5 – 20 ÷ 5 = 11) 2 – 3 + 8 ÷ (–8) = 4) 4 × 6 ÷ 2 + 1 = 12) 4 – 1 × 0 – 3 5) 3 ÷ 3 + 4 – 6 = 13) –8 – 4 + 6 ÷ 2 = 6) –3 – 6 ÷ 2 – 7 = 14) –1 × 6 + 2 – 3 = 7) 9 × 8 – 7 × 6 = 15) 9 × 7 + 9 ÷ 3 = 8) 3 + 0 – 5 – 1 = 16) 0 ÷ 1 + 8 × 9 = = B. Resuelva las operaciones combinadas siguientes. Recuerde la jerarquía de los signos de agrupación. 1) [(9 + 8) – 4] × 3 = 9) (2 × 3) – (2 + 3) = 2) (20 ÷ 4) – 6 × 2 = 10) [(9 – 6) + 7] × 4 = 3) 1 + 3 × (1 + 4) = 11) (5 – 6) + 4 – 2 4) 10 ÷ 5 – (5 – 4) = 12) [5 + (8 ÷ 4)] – 4 = 5) [(6 – 7) × 5] + 4 = 13) 7 – [9 ÷ (6 – 3)] = 6) (3 × 1) + 2 – 1 = 14) 2 × 2 – (1 + 8) = 7) 0 – [(4 + 4) – 6] = 15) 5 × 4 – (0 + 1) = 8) 2 × 1 + (3 – 2) = 16) (7 + 3) × (10 ÷ 5) = = C. Resuelva las ecuaciones siguientes. Escriba su respuesta en la línea correspondiente. 1) –3 + m = 10 m= 9) –m + 18 = 14 m= 2) 8 – m = –18 m= 10) m – 7 = –23 m= 3) 9 + m = 0 m= 11) m + 11 = 22 m= 4) 1 – m = 16 m= 12) –m – 6 = 27 m= 5) 8 + m = 8 m= 13) m + 8 = 12 m= 6) –9 – m = 21 m= 14) m + 0 = –9 m= 7) 9 + m = 19 m= 15) –m + 8 = –2 m= 16) m – 8 = 13 m= 8) –7 – m = –17 m = Matemática − Semana 17 275 Revise su aprendizaje Después de estudiar... Marque con un cheque la casilla que mejor indique su rendimiento. en no logrado proceso logrado Repaso los contenidos de la semana 9 a la 16. Resuelvo los ejercicios de repaso para evaluarme en la prueba final. Me siento bien preparado para la prueba final. Orientaciones sobre la prueba final ¡Llegó el momento de la prueba! Ya está listo para la prueba final de matemática. Le presentamos las últimas recomendaciones que pueden ayudarle a la hora del examen. Al recibir la prueba, y antes de empezar a resolverla, escriba su nombre, número de carné, número de círculo de estudio y fecha. Lea atentamente las instrucciones antes de contestar. Si tiene duda, consulte a su orientador(a). Grupo: Polochic Materia: Matemática Prueba: final A – 2016 Primer Semestre Punteo: Nombre: Carné: Círculo de estudio Nº: Fecha: 1 punto cada respuesta correcta. Total 5 puntos. INSTRUCCIONES: Marque con una "X" el cuadro de la opción correcta. i serie 1) La factorización correcta del trinomio x2 – 8x + 16 es… (x – 4)2 (x + 4)2 (x – 4)(x + 4) (x – 2)(x + 8) No se "atasque" en ningún ejercicio. Empiece por las preguntas que sepa mejor y le quedará más tiempo para pensar en las que tenga dudas. Al finalizar su examen, relea todas sus respuestas y vea si algo se le pasó por alto. Presente su prueba limpia y ordenada. ¡ánimo! El resultado de su examen será el producto de su esfuerzo. 276 IGER − Polochic Claves Matemática − Claves 277 Semana 1 ¡A trabajar! 1) 16 de julio 2) Le presentamos la forma más directa de resolver el problema: Alberto sabe el mes y Bernardo el día. En la primera afirmación, Alberto está seguro que Bernardo no sabe cuándo es el cumpleaños. Esto permite descartar mayo y junio, porque si Bernardo sabe el día, los únicos números que no se repiten son el 19 y el 18, si fuera uno de esos días Bernardo sí lo sabría. Con mayo y junio descartados, ahora Bernardo dice que él sí sabe cuándo es el cumpleaños. Esto desecha una fecha que lleve el 14, porque aparece dos veces, el 14 de julio y el 14 de agosto. Entonces las fechas posibles son el 16 de julio, 15 de agosto, y 17 de agosto. Luego, Alberto dice que si Bernardo sabe, él también lo sabe. Entonces si ambos están seguros no puede ser en agosto porque podría ser el 15 o el 17. Por lo tanto, el cumpleaños de Alejandra es el 16 de julio. Ejercicio 1 A. 0) Sí 6) No 1) No 7) Sí 2) No 8) Sí 3) Sí 9) Sí 4) Sí 10) No 5) No B. Respuestas distintas. Compruebe que los enunciados escritos cumplan con los criterios para ser proposiciones. Revise también los valores lógicos. Ejercicio 2 El estudiante pudo haber empleado diversas frases para expresar la negación (es falso que, no es cierto que, etc). Le presentamos unos ejemplos: 0) ~t: La lluvia no cae del cielo. F 1) ~j: El agua del mar no es dulce. V 2) ~p: En el aire no hay oxígeno. F 3) ~v: Es falso que una bicicleta tiene dos ruedas. F 4) ~s: Los rayos de sol no dan calor. F 5) ~r: Las rocas no son seres vivos. V 278 IGER − Polochic Ejercicio 3 A. 0) Existe al menos una x que pertenece a B y también pertenece a Q. 1) Para toda x que pertenece a U, se cumple que 5x pertenece a U. 2) Existe al menos una x que pertenece a F y pertenece también a M. B. 0) ∀ x ∈ N, 8x ∈ N 1) ∃ x ∈ A ∧ x ∈ B 2) ∀ x ∈ R, 6x ∈ R 3) ∃ x ∈ O ∧ x ∈ P Desarrolle nuevas habilidades 1) b 2) d 3) c 4) b 5) c Semana 2 ¡A trabajar! 1) 0) Si somos tolerantes, entonces conviviremos en armonía. 1) Los jaguares saltan alto y son muy ágiles. 2) Las plantas necesitan agua para vivir, entonces necesitan ser regadas. 3) Si como muchas chucherías, entonces tendré 2) problemas de salud. 4) Ernesto puede jugar y correr muy rápido. Ejercicio 1 0) p ∧ q 1) p → q 2) p ∨ q 3) p ↔ q 4) p ∧ q 5) p → q 6) p ∨ q 3) Ejercicio 2 A. 0) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 4) p V V F V V V F F V q V F V F V F F V V p → q: V p → q: F p ∧ q: F p ∧ q: F p ↔ q: V p → q: F p ∨ q: F p ∨ q: V p ↔ q: V 5) p ~p q ~q ~p ∨ ~q ~p ∧ q v v f f f f v v v f v f f v f v p ~p q v v f f f f v v v f v f f v v f v f v v p q ~q p → ~q p∧q v v f f v f v f f v f v f v v v v f f f p q ~q p ∨ ~q p ∧ ~q v v f f v f v f f v f v v v f v f v f f p ~p q ~q v v f f f f v v v f v f f v f v f v v v f f v f ~p ↔ q q ∨ ~p ~q ∧ ~p p ↔ ~q f f f v f v v f B. Respuestas distintas. Compruebe que los enunciados Desarrolle nuevas habilidades escritos cumplan con los criterios para ser proposiciones 3) compuestas. Revise que haya seguido las reglas de 1) los conectivos lógicos para determinar los valores de verdad para cada proposición compuesta. a. d. C. 0) p ~p q p ∨ q ~p → q 2) 4) v f v v v v f f v v f v v v v c. c. f v f f f Matemática − Claves 279 Semana 3 ¡A trabajar! Ejercicio 4 0) 66/3 = 62 = 36 1) Infinitas cifras decimales no periódicas. 2) No es posible, porque no se obtiene una raíz cua- 1) 64 = 8 = 4 2 4 drada exacta. 2 2) 10 = 10 Ejercicio 1 0) 4 7) 4.3624 1) 8 8) 0 2) 25 9) 3.2864 5 3 3) 10) 8 9 4) 16 11) 4.375 5) 29 12) 25 3 6) 8 13) 5 17 Ejercicio 2 0) conmutativa 1) clausurativa 2) inverso aditivo u opuesto 3) conmutativa de la multiplicación 4) inverso multiplicativo 5) elemento neutro de la multiplicación 6) asociativa 7) distributiva del producto respecto a la suma Ejercicio 3 0) 83 + 6 = 89 1) 1 2) () 3) 3 74 1 2 2+2 = () 1 2 4 4 4) 58 – 3 = 55 5) 1 6) 97 – 6 = 9 23 53 1 8) 2 8 9) 1 4 (–2) 7) 280 IGER − Polochic 3) 4 16 • 4 16 = 2 • 2 = 4 4) 3•2 3 = 6 3 16 5) = 4 =2 2 4 5 5 6) 4 = 4 7) 86/2 = 83 = 512 Desarrolle nuevas habilidades 5 7 4 14 Í 41 = 574 Semana 4 ¡A trabajar! Ejercicio 3 Ejercicio 1 1) 8 + 3i + 2 + 7i = 8 + 2 + 3i + 7i = 10 + 10i 2) 3 + 5i – 9 + 2i = 3 – 9 + 5i + 2i = –6 + 7i 3) –4 + 7i – 1 + 3i = –4 – 1 + 7i + 3i = –5 + 10i 4) 15i – 40i2 = 15i – 40(–1) = 15i + 40 = 40 + 15i Las respuestas pueden variar. A. 0) 16; 162 = 256 1) 3; 32 = 9 2) 4; 42 = 16 3) 9; 92 = 81 4) 12; 122 = 144 5) 18; 182 = 324 6) 15; 152 = 225 7) 20; 202 = 400 8) 30; 302 = 900 9) 11; 112 = 121 10) 60; 602 = 3600 11) 50; 502 = 2500 B. 0) 3; 33 = 27 1) 4; 43 = 64 2) 2; 25 = 32 3) 5; 53 = 125 4) 10; 103 = 1000 5) 3; 37 = 2187 6) –3; (–3)3 = –27 7) –4; (–4)3 = –64 8) –2; (–2)5 = –32 9) –5; (–5)3 = –125 10) –10; (–10)3 = –1000 11) –3; (–3)7 = –2187 C. 0) 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 400(–1) = 400i2 = 400 16(–1) = 16i2 = 16 • i2 25(–1) = 25i2 = 25 • i2 36(–1) = 36i2 = 36 • i2 64(–1) = 64i2 = 64 • i2 169(–1) = 169i2 = 169 • 100(–1) = 100i2 = 100 • 196(–1) = 196i2 = 196 • Ejercicio 4 1) 9+i i ) i 9i + i2 = = i i2 • i2 = 20i = 4i = 5i = 6i = 8i i2 = 13i i2 = 10i i2 = 14i 3) –5 + 2i 4) 10 – 6i 8) –15 + 2.83i ( )( ) ( ) 10 – 5i i 10i – 5i2 = = i i i2 10i + 5(–1) 10i 5 = – = –1 –1 –1 –10i + 5 = 5 – 10i 2) 5) 2 + 10i 6) – 1 + i 2 7) –8 – 4i 2) 8 + 6i ( )( ) ( 9i + (–1) 9i 1 = – = –1 –1 –1 –9i + 1 = 1 – 9i Desarrolle nuevas habilidades 8 × + Ejercicio 2 1) 3 + 3i 8i 4 5i – + – 10i2 = 3 6 2 2 i + – 10i2 = 3 6 2 i + – 10(–1) = 3 6 i 2 + + 10 = 6 3 i 2 + 10 + = 6 3 i 32 + 6 3 6) 5) 32 + 40i – 48i – 60i2 = 32 – 8i – 60i2 = 32 – 8i – 60(–1) = 32 – 8i + 60 = 32 + 60 – 8i = 92 – 8i 3 = 20 + × × + 9 2 7 × – + + 6 = 20 4 = 20 1 = 20 × + 5 = 20 = 20 Matemática − Claves 281 Semana 5 ¡A trabajar! Ejercicio 3 7 3 2 4 5 1 6 8 9 1 5 6 7 8 9 2 4 3 8 9 4 6 2 3 7 1 5 6 2 9 1 3 8 5 7 4 3 1 7 2 4 5 8 9 6 4 8 5 9 7 6 1 3 2 5 6 8 3 1 4 9 2 7 2 4 1 5 9 7 3 6 8 9 7 3 8 6 2 4 5 1 0) 3 × 3 1) 3 × 2 2) 2 × 2 3) 1 × 4 4) 3 × 2 5) 4 × 4 Ejercicio 2 –1 –4 9 –2 3) 1 –6 2 5 5) 1 6 –8 –3 4 4 7) 7 0 12 14 1 4 8 –1 6 9) –1 14 –6 –7 –7 8 5 1 8 282 2 4 6 IGER − Polochic 0) 11 –3 –1 10 7 –1 3 10 –12 asociativa 1) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Elemento opuesto 2) 7 8 –4 1 0 5 3 6 7 Elemento neutro Desarrolle nuevas habilidades Revise que haya dibujado todos los detalles de la ilustración. La imagen completa debería verse así: Ejercicio 1 1) Propiedad 2) 8 9 3 –13 4) 13 2 2 –13 6) 11 1 1 –2 –3 8 4 2 4 8) 12 –6 10 13 2 4 5 –1 2 10) –7 14 –6 2 –5 4 4 –3 6 Semana 6 Semana 7 ¡A trabajar! ¡A trabajar! Respuestas distintas. El estudiante pudo haber escrito Respuestas distintas. El estudiante pudo haber escrito cualquier recompensa de su preferencia. sobre el logro de Leonardo de Pisa que más le haya interesado. Ejercicio 1 1) –10 45 –5 0 Ejercicio 1 2) –8 36 4 16 A. 0) d = –6, es decreciente 1) d = 13, es creciente 2) d = – 0.5, es decreciente 3) d = 0, es constante 4) d = –16, es decreciente 3) –4 –20 28 0 –16 –12 5) 8 –4 4 2 6) 36 48 –60 18 6 42 0 6 7) 6 –30 12 –6 0 –36 –42 –24 –54 8) 81 –36 54 0 9 –72 9 –90 63 2 6 0 2 4) –19 –10 0 1 14 –2 11 25 –3 –5 3) 1 –9 1 3 5) –12 6 –24 –18 12 6 7) 11 –6 46 6 26 29 1 14 –6 9) 5 7 –13 3 6 –12 –13 25 –28 2) 19 4) 6) –2 –3 3 –4 10 18 –9 A. 0) r = 9 –5 –6 2 62 30 50 20 –4 –2 d = 12.5 a67 = 496 d = –8 a1 = 1710.5 Ejercicio 2 1 , decreciente 5 1) r = 4, creciente 2) r = 3, creciente 8) –10 –19 –25 14 –21 3 2 –19 –7 10) 5) 6) 7) 8) C. 1) a200 = 2413; s = 243 800 2) a150 = 1495; s = 112 500 3) a75 = 1123; s = 42 600 4) a300 = 2416; s = 366 000 5) a125 = 280; s = 19 500 6) a50 = 936; s = 23 525 7) a225 = 675; s = 76 275 8) a100 = 703; s = 35 650 Ejercicio 2 1) B. 1) a43 = 192 2) a99 = –923 3) a101 = – 435 4) a1 = –678 5) d = 7, es creciente 6) d = 0, es constante 7) d = –5.5, es decreciente 8) d = 6, es creciente 5) r = 1, constante 6) r = 1 , decreciente 5 7) r = 6, creciente 3) r = 1 , decreciente 8) r = 1 , decreciente 2 10 4) r = 5, creciente 2 4 0 Desarrolle nuevas habilidades 1) a 2) c 3) a 4) d B. 1) a10 = 1024 6) a1 = 7 2) a15 = 4 782 969 7) r = 3 3) a7 = 32 000 8) r = 6 4) a5 = 10 ≈ 1.11 9) a7 = 1 835 008 9 5) a13 =1 594 323 10) a1 = 5 Matemática − Claves 283 Semana 8 C. 1) a9 = 45 927; s = 68 887 2) a8 = 781.25; s = 199 218.75 3) a15 = 147 456; s = 294 903 4) a5 = 60 025; s = 70 025 5) a6 = 229 376; s = 262 143 6) a12 = 708 588; s = 1 062 880 Ejercicio 1 6) a1 = Q55.00; r = 2 a. a6 = Q1,760.00 El sábado gané Q1,760.00. A. Para representar las proposiciones se emplearon las letras p y q, sin embargo el estudiante pudo haber utilizado cualquier otra combinación de letras. 1) p ∨ q 2) p → q 3) p ∧ q 4) p ↔ q 5) p → q A. La redacción de las proposiciones negadas puede variar. La idea general debe mantenerse. 0) ~r: Quiché no es un departamento de Guatemala. F 1) ~w: Cuba es un país que no pertenece a Europa. V 2) ~h: El agua del mar no es dulce. V 3) ~g: No es cierto que el idioma oficial de Guatemala es el alemán. V Ejercicio 3 4) ~s: 3 no es divisor de 9. F La redacción de las respuestas podrá variar. La respuesta 5) ~p: El verde no es un color secundario. F debe coincidir. 6) ~q: Es falso que México se encuentra al sur 1) a1 = 500 mg; d = –15 mg de Guatemala. V a. a25 = 140 mg El paciente tomará 140 mg de medicamento B. en el último día del tratamiento. 0) Existe al menos una x que pertenece a T y pertenece b. s = 8000 mg también a G. El paciente habrá ingerido 8000 mg de medi- 1) Para toda x que pertenece a E, se cumple que 8x camento a lo largo de todo el tratamiento. también pertenece a H. 2) Existe al menos una x que pertenece a C y también 2) r = 2; a1 = 1000; a10 = 512 000 pertenece a B. Luego de 5 horas, habrá 512 000 bacterias. 3) Para toda x que pertenece a A, se cumple que x + 3 3) a1 = Q150.00, r = 2, a7 = Q9,600.00 pertenece a B. En el séptimo día deberán depositar Q9,600.00. 4) Existe al menos una x que pertenece a R y también pertenece a W. 4) a1 = Q4,000.00, d = Q4.50; a180 = Q4,805.50 Luego de 180 días, habría depositados Q4,805.50. 5) Existe al menos una x que pertenece a K y también pertenece a C. 5) a5 = 4536, r = 3; a1 = 56 En el primer año había 56 pollos. Ejercicio 2 b. s = Q3,465.00 En total, de lunes a sábado, gané Q3,465.00. Desarrolle nuevas habilidades 1) El ejercicio tiene más de una solución. Lo importante es cumplir con la condición dada. Una de las posibles respuestas para este ejercicio se le presenta como ejemplo. 2) El ejercicio tiene más de una solución. Lo importante es cumplir con la condición dada. Una de las posibles respuestas para este ejercicio se le presenta como ejemplo. 284 IGER − Polochic 8 6 7 16 12 10 B. 4 5 19 2 4 13 3 7 5 8 15 9 17 1 6 14 18 11 9 0) 1) 2) 3) 4) 5) 6) p V V V V V V V q V F F F V F V p → q: V p → q: F p ∧ q: F p ∨ q: F p ∧ q: V p ∧ q: F p ↔ q: V Ejercicio 3 A. 1) 101 2) 70 3) 84 4) –117 B. 1) 10 – 11i 6) 416 + 2i 5) 87 6) –85 7) 20 8) –19 B. 1) elemento neutro multiplicativo 2) inverso multiplicativo 3) elemento neutro aditivo 4) conmutativa 5) asociativa 6) distributiva del producto respecto a la suma 7) clausurativa 8) inverso aditivo 593 49i – 2) 27 + 6i 7) 33 33 39i 27 3) –8 + 3i 8) – 10 20 4) –60 + 66i 9) 5 – 3i 17 17 6 5) 48 – 84i 10) – – 3i 5 5 Ejercicio 5 A. 1) Pudo haber formado cualquier matriz que cumpla con la condición de tener 4 filas y 3 columnas. C. Algunos incisos se muestran con dos respuestas que son equivalentes. Ambas son correctas. 1 1) 1 8) – 32 1 2) 55 o 3125 9) 6–1 o 6 1 2 3 8 3) o 10) 27 16 3 5 4) (–3) o –243 11) 1 1 1 5) 3 o 12) 8 5 125 4 6) 36 o 729 13) 25 7) 63 o 216 14) 26 o 512 2) I = D. 1) 6 8) 8 1 2) 4 9) 2 3 3) 10) 5 2 4) 3 11) 12 5) 3 12) 5 6) 5 13) 36 7) 4 14) 14 ( ) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3) Pudo haber formado cualquier matriz que cumpla con la condición de simetría. Le presentamos un ejemplo: A= 5 6 7 t 6 8 –1 A = 7 –1 9 5 6 7 6 7 8 –1 1 9 4) Pudo haber formado cualquier matriz y su respectiva matriz transpuesta. Le damos un ejemplo: M= –2 4 0 –2 6 8 t 4 –1 0 M = 6 –1 0 8 0 –2 0 0 –2 B. Ejercicio 4 A. 1) 3i 7) i 2) 8i 8) i 2 3) 10i 9) 6i 4) 20i 10) 5i 5) 9i 11) 12i 6) 7i 12) 11i 1) –4 –6 –1 6 1 11 5 2) –6 4 7 8 15 –9 –12 –7 0 –8 3) 0 –4 8 10 5) 7 5 4) –8 7 –12 6 3 –2 0 –19 –1 –9 15 9 –1 –1 4 6) –4 10 13 –3 11 9 –4 –3 0 12 9 18 2 Matemática − Claves 285 Semana 9 Ejercicio 6 ¡A trabajar! A. 1) 0) 57 1) 310 2) (–8)10 64 80 –88 –72 0 8 56 32 –24 0 27 12 27 –15 –36 –6 0 3 2) B. 1) –55 –40 2) 57 –35 3) –8 8 1 –1 4) 7 –35 –11 30 5) 36 16 –5 –9 6) –64 –3 44 8 58 –67 7) 15 7 –32 44 35 –56 133 78 –20 8) –47 –14 –39 –18 2 27 78 32 16 3 –81 –8 40 30 56 91 –67 66 9) 10) 151 88 –44 108 63 –36 53 11 –98 Ejercicio 7 A. 1) a43 = –286 2) a56 = 83.5 3) a34 = 246 4) d = 7 5) d = –12 6) a1 = 58 7) a1 = 84.5 8) a66 = 632; s = 22 407 B. 4) r = 5 1) a12 = 12 288 2) a11 = 4 194 304 5) r = 3 6) a1 = 12 3) a15 = 2335.43 7) a1 = 10 8) a10 = 524 288; s = 699 050 C. 1) a1 = Q30.00; d = Q8.00 a. a6 = Q70.00; s = Q300.00 La sexta hora tendrá un costo de Q70.00 y en total, luego de esas 6 horas de alquiler, deberemos pagar Q300.00 b. Fórmula del término general: an = 22 + 8n 2) a. b. 1 a1 = Q48,000.00; r = 2 a6 = Q1,500.00 Al sexto propietario, la máquina le costó Q1,500.00 a8 = Q375.00; s = Q95,625.00 Si el propietario número ocho se queda con la máquina, la suma total pagada en todas las ventas será de Q95,625.00 286 IGER − Polochic 3) (–2)8 4) (9)3 Ejercicio 1 A. 0) 5 1) 1 2) 1 3) –5(1) = –5 4) 8h(1) = 8h B. 0) a12 1) x9 2) m15 3) (mn)7 4) (2wy)4 5) (rs)8 C. 0) m4 1) b6 2) w7 3) y12 4) 1 5) (pqr)2 6) (5mn)2 1 7) (–3xyz)10 D. 0) a4b10c12 1) x16 2) m4n16 3) w6y18 4) p10r14 5) 1 6) – 4m4h6k8 7) –5a3b15c3d6 E. 81a4 25m 6n4 0) 3) 14 16b 4w 8z 6 x6 9h 8k 8 1) 6 4) y 25p 8 q 12 6 6 ab a 16 b 28 c12 2) 6 6 5) cd w 8 x 12y8 Ejercicio 2 ( ba ) = ab 64y 4y 2) ( ) = 27x 3x 9c 3c 3) ( ) = 5b 25b c d cd 4) ( = ab ) ab 1p q 2p q 5) ( = 8m n 4m n ) yz yz 6) ( = –5w x ) –125w 5 5 1) 5 3 3 3 6 3 2 2 4 12 15 4 5 3 2 3 6 9 4 3 3 3 7 4 5 12 9 9 6 3 2 3 9 21 x 12 15 Semana 10 Ejercicio 3 ¡A trabajar! 0) (4w3x2y6)3 = 64w9x6y18 1) 6a6b9c5 2) (2a4b3c2)(27a9b3c15) = 54a13b6c17 3) –12x5y10 4) (5w3x2y4)(27x6y9) = 135w3x8y10 5) 3p3q4r 4 6) 8a6b5c5 7) (3x2y4)4 = 81x8y16 8) (w2x4y2)5 = w10x20y10 5 10 9) = 14 6 7 6x y z 12x14y6z7 A = 625m2 x2 = 625m2 x2 = 625m2 x = 25m Se pueden sembrar 25 plantas en cada fila y columna a 1 metro de distancia cada una. Ejercicio 1 0) a • b 3 5) 3 1) c • d Desarrolle nuevas habilidades 1) 13 = 1 El cubo está formado por una pieza. 2) 23 = 8 El cubo está formado por ocho piezas. 3) 33 = 27 El cubo está formado por veintisiete piezas. 4) 43 = 64 El cubo está formado por sesenta y cuatro piezas. 6) 2) mn p q 3 r s 3 7) 8 a8 = a 3) 20x 3 8) 6 a6 = a 3 4) m2 • n2 Ejercicio 2 A. 0) a6/3 = a2 1) a8/5 2) d 8/2 = d4 3) (20x)4/3 4) (8n)2/4 = (8n)1/2 5) ( pq ) 1/16 h k 7) (yz)4/8 = (yz)1/2 6) 8) (x2y3)1/5 B. 4 0) 5 (ab)2 5) (pq)3 ( ) 7) ( rs ) h 5 1) 4 x3 6) 9 k 2) 7 w5 3 5 3 3) 3 z2 8) (xyz) 9 4) (mn)2 Matemática − Claves 287 Ejercicio 3 Ejercicio 7 0) –4 7a 7) 3 pq 3 3 1) 10 4b 8) 7 a4 2) 9a 7b 9) 6p r7s3 3 10) –8 w2 x5 4 11) 0 12) 2x2 a5b9 13) 5m6 r 4 s7 3) 10 x2y2 4) –8 x5 5) 20 m9n9 6) 20 3c4 d5 3 Ejercicio 4 1) 6x 4y 6 2) 5 4y 6 z7 3) 4 60a8b4 4) (mn)1/3(mn)1/2 = (mn)5/6 = 6 (mn)5 5) (3ab)2/5(3ab)3/2 = (3ab)19/10 = 10 (3ab)19 6) (5wxy)1/3(5wxy)3/5= (5wxy)14/15 = 15 (5wxy)14 Ejercicio 5 1) 3 9 a6 9 = 3 a4 a2 x y 6 2) 6 x3y2 = x2y2 5 4 3) 7 26m6n5 7 2m3n = 13m3n4 4) 8 16p5q6r 4 8 4p2 q3r 4 = 4p3q3 Ejercicio 6 1) 16 • 3 • a 4 • a = (4a2)2(3a) = (4a2)2 • (3a) = 4a2 3a 2) 3 8 • 2 • x 3 • x 2 • y 3 • y • z 3 • z 3 = 3 3 3 (2xyz2)3(2x2y) = (2xyz2)3 • (2x2y) = 2xyz2 3 2x2y 3) 9 • 3 • m2 • m • n4 • n • p6 • p 3 = 3mn2p3 3mnp 4) (3mn2p3)2(3mnp) = 49x6x5 = (7x3y2)2( y) = 7x3y2 y 288 IGER − Polochic 1) 5 2 3x ( ) ( 3x 3x 15x = 15x = 15x 6x 2( 3x )2 2(3x) ) y – 3 = 9y( y – 3 ) = ( y )2 – ( 3 )2 y – 3 9y y + 3 2) = 9y( y – 3 ) y–3 Desarrolle nuevas habilidades (1 + 1 + 1)! = 6 2 + 2 + 2 = 6 3 Í 3 – 3 = 6 4 = 6 4 + 5 4 + ÷ 5 + 5 = 6 6 + 6 – 6 = 6 72 – 7 ÷ 7 = 6 8 = 6 9 = 6 3 8 (9 + + 3 8 9) + ÷ 3 Semana 11 ¡A trabajar! Ejercicio 3 Respuestas variables. Pudo haber escrito la aplicación 1) 2x3 – 3x2y + 4xy2 – 2y3 que más le haya interesado. Algunas áreas donde se 2) 2x2 + 3x – 1 – 4 x utiliza el álgebra son la ingeniería, la construcción, en la 4 3) – 3ab – + 5 bolsa de valores, entre muchas otras. a 5 4) 3w + 4x – Ejercicio 1 x 9a 6b A. 5) + –3 b 9 1) tetranomio 4) binomio 4 6) – 2 + 3x + y 2) binomio 5) binomio (xy ) 3) trinomio 6) trinomio 9 11 7) –20b2 – 2 + bc c B. 1) tercer grado o cúbico 3 2 7x 2 x2 8) 3 – 2 3 – 2 + + 2) cuarto grado y x y xy y 3) cuarto grado 4 1 9) 2 + 6ab – 4) quinto grado b ab 5) tercer grado o cúbico 6) primer grado o lineal Desarrolle nuevas 7) cuarto grado 1) VI + IV = X 8) tercer grado o cúbico 2) X = II + VII 9) segundo grado o cuadrático 10) segundo grado o cuadrático habilidades C. 1) x3 + 12x2 – x 2) –10x2 – 5x + 5 3) 6y3 + 5y – 21 4) –10at 3 + 20t + 1 5) 32a4 + 22a3 + a2 6) –26r2 + 4r – 8 7) 30x2y + 19xy – 13 8) 36w3 – 3w2 + 11w – 1 9) –24g2 – 23g – 1 10) –5wy3 + wy + 4w + 4y2 Ejercicio 2 1) 50x3 + 130x – 30 2) 15a5b2 + 9a4b4 – 20a2b – 12ab3 3) 35w5x + 15w3x3 – 25w3x 4) –8x3 – 72xy2 – 8y3 5) 36g4h5 + 136g3h4 – 83g2h3 – 12g2h2 – 201gh2 – 36gh + 120h + 45 6) 98ab5c3 + 154ab2c5 – 112b2c3 7) 51n3m – 136n2m2 + 102nm3 + 136 8) –20w4x3y2 + 60w4x2y + 45w3x4y3 + 28w3x3y3 – 84w3x2y2 – 63w2x4y4 – 32w2x3y5 + 96w2x2y4 + 72wx4y6 9) –45x5y2 + 27x4y3 + 63x4y 10) –32w3y2 z + 20w2 x3z3 + 48w2y2 z – 30wx3z3 Matemática − Claves 289 Semana 12 ¡A trabajar! C. 0) a2 + 8a + 15 Las respuestas pueden variar. Algunos ejemplos son: 1) x2 + 17x + 72 Euclides, Pitágoras, Newton, etc. 2) y2 + 7y + 12 3) z2 + 9z + 14 Ejercicio 1 4) a2 + 8a + 16 0) (x 2)2 + 2(x2 • b3) + (b3)2 = x4 + 2x2b3 + b6 5) b2 + 12b + 36 1) (a)2 + 2(a • 3) + (3)2 = a2 + 6a + 9 6) k4 + 10k2 + 16 2) (2c2)2 + 2(2c2 • 4d2) + (4d2)2 = 4c4 + 16c2d2 +16d4 7) 9w6 + 33w3 + 30 8) a2 – 10a + 24 Ejercicio 2 9) 4c2 – 10c + 6 A. 10) 25x2 – 60x + 32 6 3 0) x – 12x + 36 11) 9y2 – 45y + 56 2 2 1) x – 2xy + y 12) 4x2 – 16x + 15 2 2 2) w – 2wz + z 13) 100x2 – 60x + 9 2 3) 9x – 24x + 16 14) 81z4 – 144z2 + 60 2 4) 36y – 60y + 25 15) 9x4y2 – 18x2y + 8 1 5) w 2 – 2wz + 4z 2 4 1 2 Ejercicio 3 6) x 2 – xz + z2 25 5 1) (4w + z)3 = 7) 9x 8 – 24x 4y 3 + 16y6 (4w)3 + 3(4w)2(z) + 3(4w)(z)2 + (z)3 = 8) 4x 4 – 12x 2y 2 + 9y 4 64w3 + 3(16w2)(z) + 3(4w)(z2) + z3 = 9) 64x10 – 64x 5y 3 + 16y 6 64w3 + 48w2z + 12wz2 + z3 10) 16x 8 – 40x 4y 9 + 25y 18 2) (3x2 + 2y 2)3 = 11) 9m4n6 – 48m2n3pq2 + 64p2q4 (3x2)3 + 3(3x2)2(2y2) + 3(3x2)(2y2)2 + (2y2)3 = 1 12) w2 – 6wz + 81z 2 27x 6 + 3(9x 4)(2y 2) + 3(3x 2)(4y 4) + 8y 6 = 9 27x 6 + 54x 4y 2 + 36x 2y 4 + 8y 6 16 4 20 2 3 25 6 13) x – xy + y 9 3 4 B. 0) 4x 2 – 9y 2 1) p2 – q2 2) y 2 – 16 3) w2 – 36 4) 9x2 – y 2 5) 4 a2 – b2 9 64 4 6) 25 m – 9 7) 25z 2 – 64 8) 16y 4 – z 2 9) 4x 4 – 9 10) 9x 2 – 16y 2 11) 25x 2 – 100y 2 1 12) 4 x 2 – 25y 2 25 13) 16 m 4 – 9n 2 290 IGER − Polochic Ejercicio 4 1) (2c – d)3 = (2c)3 – 3(2c)2(d) + 3(2c)(d)2 – (d)3 = 8c3 – 3(4c 2)(d) + 3(2c)(d 2) – d3 = 8c3 – 12c2 d + 6cd2 – d3 2) (4y3 – 2z)3 = (4y 3)3 – 3(4y3)2(2z) + 3(4y3)(2z)2 + (2z)3 = 64y 9 – 3(16y 6)(2z) + 3(4y3)(4z 2) – 8z 3 = 64y 9 – 96y 6z + 48y 3z 2 – 8z 3 Desarrolle nuevas habilidades a. x2 + bx + ax + ab = x2 + x(a + b) + ab b. (x + a)(x + b) c. Producto de dos binomios con un término común y signos iguales. Semana 13 ¡A trabajar! Ejercicio 4 90 2 378 2 286 2 45 3 189 3 143 11 15 3 63 3 13 13 5 5 21 3 7 7 1 1) (x3 + 2)(x3 – 2) 2) (b + 1)(b – 1) 3) (4 + m2)(4 – m2) 4) (2 + x)(2 – x) 5) (5a5y2 + 7b6x3)(5a5y2 – 7b6x3) 6) (4x2y4 + 10)(4x2y4 – 10) 7) (6x + a3b2)(6x – a3b2) 8) (9b2x + 6ac)(9b2x – 6ac) 9) (7x2y + 2a2b)(7x2y – 2a2b) a x3 a x3 10) + – 6 5 6 5 1 1 11) + 3a – 3a 2 2 a a 12) 1 + 1– 5 5 1 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) Ejercicio 1 1) ab2(–a3z2 – a2b2cx2 + a + 1) 2) 6x2(–3x5+ 2x3 + 2x – 1) 3) y2(–5w2y + 10x2 + 52xyz3) 4) 12x2(3x4 – 5x3 + 4x – 6) 5) 3ay(–3ab3 + 4by + 2yz) 6) 2m2n(–8a + 9bn – 10mz2 + 11m) 7) –6(a3b2z – 2a2z3 – 2ab3c – 4bc) 8) 5m2(10a2mn4 – b2mn + 3mz – 5n3r) Desarrolle nuevas habilidades Perímetros: A = x + x + 5 + 5 = 2x + 10 B = x + x + y + y = 2x + 2y C = 5 + 5 + 5 + 5 = 20 D = y + y + 5 + 5 = 2y + 10 Ejercicio 2 1) (3a2 – 5x)(2a + bx) 2) (3x2 + 6b)(2y – 1) 3) (2y2 + b)(7a2y+4bx2) 4) (4xy2 – 3z)(–b2 + 4a) 5) (3a2 – 3b)(3x2 + y2) 6) (2m – n)( 2n3y + 9m2x – 5b) 7) (–3n3 + mz)(2m2y + 5b) 8) (x + 2y)(11a3x – 9y2z) 9) (3m2 – az)(3n3 – 8am) 10) (by – 2)(–5b3r + 9x) 11) (5x2 + 6s)(3rx – 5s3y + 4z) 12) (–z2 + 2y)(4xy2 – 5z + 3w) Áreas: A = 5x B = xy C = 5 • 5 = 25 D = 5y Ejercicio 3 1) (a – b)2 2) (x + 7)2 3) (a – 5)2 4) (x – 3)2 5) (5a2 – 3b)2 6) (a3 + 2x)2 7) (5x2 + 4)2 8) (x – 10)2 9) (x3 + 5)2 10) (9z – 10)2 11) (3a 4y 6 – 10x 5)2 12) (a – 12m2x2)2 Matemática − Claves 291 Semana 14 ¡A trabajar! S= (1 + 100)100 10 000 = = 5050 2 2 Ejercicio 1 0) (x – 4) (x + 1) 1) (x + 2)(x + 1) 2) (x – 6)(x – 5) 3) (x – 3)(x + 1) 4) (x + 2)(x + 2) 5) (x – 21)(x – 4) 6) (x – 5y)(x – 3y) 7) (x + 6y)(x – 2y) 8) (x – 5y)(x + y) Ejercicio 4 0) x3 – 1 = (x – 1)[(x)2 + (x • 1) + (1)2] = (x – 1)(x2 + x + 1) 1) w3 – x3 = (w – x)[(w)2 + (w • x) + (x)2] = (w – x)(w2 + wx + x2) 2) y3 – 8z3 = (x – 2z)[(y)2 + (y • 2z) + (2z)2] = (y – 2z)(y2 + 2yz + 4z2) Ejercicio 2 3) 8x3 – 64 = (2x – 4)[(2x)2 + (2x • 4) + (4)2] = (2x – 4)(4x2 + 8x + 16) 0) 2x 2 + 7x + 3 = 4x 2 + 2(7x) + 6 = (2x)2 + 7(2x) + 6 = (2x + 6)(2x + 1) = 2x + 6 2x + 1 2 1 ( )( ) 4) 27 – y3 = (3 – y)[(3)2 + (3 • y) + (y)2] = (3 – y)(9 + 3y + y2) = (x + 3)(2x + 1) 1) 6x 2 + 11x + 3 = 36x 2 + 6(11x) + 18 = (6x)2 + 11(6x) + 18 = (6x + 9)(6x + 2) = 6x + 9 6x + 2 = (2x + 3)(3x + 1) 2 3 ( )( ) 2) 6x 2 + 17x + 5 = 36x 2 + 6(17x) + 30 = (6x)2 + 17(6x) + 30 = (6x + 15)(6x + 2) = 6x + 15 6x + 2 = (2x + 5)(3x + 1) 2 3 ( )( ) 3) 12x 2 – 13x + 3 = 144x 2 – 12(x) + 36 = (12x)2 – (12x) + 36 = (12x – 9)(12x – 4) = 12x – 9 12x – 4 = (4x – 3)(3x – 1) 3 4 ( )( ) Ejercicio 3 0) w 3 + x 3 = (w + x)[(w) 2 – (w • x) + (x)2] = (w + x)(w 2 – wx + x2 ) 1) y 3 + z 3 = ( y + z)[( y) 2 – ( y • z) + (z)2] = ( y + z)( y 2 – yz + z2) 2) x 3 + 8 = (x + 2)[(x) 2 – (x • 2) + (2)2] = (x + 2)(x 2 – 2x + 4) 292 3) 27 + h 3 = (3 + h)[(3) 2 – (3 • h) + (h)2] = (3 + h)(9 – 3h + h2) 4) 8 + 8w 3 = (2 + 2w)[(2) 2 – (2 • 2w) + (2w)2] = (2 + 2w)(4 – 4w + 4w2) 5) x 3 + 64 = (x + 4)[(x) 2 – (x • 4) + (4)2] = (x + 4)(x 2 – 4x + 16) IGER − Polochic 5) 125 – 8w3 = (5 – 2w)[(5)2 + (5 • 2w) + (2w)2] = (5 – 2w)(25 + 10w + 4w2) Desarrolle nuevas habilidades 1) Área = x2 – 16x + 48 = (x – 4)(x – 12) El otro lado del rectángulo mide x – 12 2) A total = 24x 2 + 48x 2 = 72x 2 A total = 8x(9x) El otro lado del rectángulo mide 9x 3) A = 5x 2 + 15xy + 6y 2 = (x + 2y) (5x + 3y) El otro lado del rómbo mide 5x + 3y Semana 15 ¡A trabajar! Ejercicio 2 2 1) x + 3 • x +2 2x – 8 = (x + 3)(x + 4)(x – 2) = (x – 2)(x – 3)(x + 3) x–2 x –9 (x + 3)(x + 4)(x – 2) x = +4 (x – 2)(x – 3)(x + 3) x–3 8 5 1) 3) 5 12 10 5 2) 4) 9 18 Ejercicio 1 1) x – 5x + 6 = 2ax – 6a 2 (x – 3)(x – 2) (x – 3)(x – 2) x–2 = = 2a(x – 3) 2a(x – 3) 2a 2 z–2 2) z2 – 5z + 6 = (z – 3)(z – 2) = (z – 3)(z – 2) = z–4 (z – 4)(z – 3) z – 7z + 12 (z – 4)(z – 3) 8a3 + 27 = (2a + 3)(4a2 – 6a + 9) = (2a + 3)2 4a2 + 12a + 9 2 2 (2a + 3)(4a – 26a + 9) = 4a – 6a + 9 (2a + 3) 2a + 3 3) (a – 2b)2 a2 – 4ab + 4b2 = = (a – 2b)(a2 + 2ab + 4b2) a3 – 8b3 a – 2b (a – 2b)2 = (a – 2b)(a2 + 2ab + 4b2) a2 + 2ab + 4b2 7 y8 – 25y = y( 2y – 25) = 2 2y( y + 4y – 5) 2y + 8y – 10y 7 7 y( y – 25) y7 – 25 = = 2y – 25 2 2 2y( y + 4y – 5) 2(y + 4y – 5) 2y + 8y – 10 6) 3 x3 – 4x2 – 12x x(x + 2)(x – 6) x(x + 2)(x – 6) x – 6 = = = x3 – 3x2 – 10x x(x + 2)(x – 5) x(x + 2)(x – 5) x – 5 2 w(w – 3) w(w – 3) w – 3 7) w2 – 3w = = = w(w + 3) w(w + 3) w + 3 w + 3w 2 8) 6x 2+ 5x – 6 = (3x – 2)(2x + 3) = (5x + 1)(3x – 2) 15x – 7x – 2 2x + 3 (3x – 2)(2x + 3) = 5x + 1 (5x + 1)(3x – 2) x(x – 2)(x + 2)2 x2 – 2x • x2 + 4x + 4 = = 2 (x – 2)(x – 3)(x – 2)(x + 2) x – 5x + 6 x –4 x(x + 2) x(x – 2)(x + 2)2 = (x – 3)(x – 2) (x – 2)(x – 3)(x – 2)(x + 2) 2 xy – 2y2 • x2 + 2xy + y2 = y(x – 2y)(x + y)2 = 2x(x + y)(x – 2y) x2 + xy x2 – 2xy y(x – 2y)(x + y)2 y(x + y) = 2x(x + y)(x – 2y) 2x 5) + x2 • x2 – 5x + 6 = (x – 3)2(x – 2)(x – 3) = 6) 9 – 6x 2 3x(x – 3)(x + 3)(x – 3) x –9 3x2 – 9x 2 (x – 2)(x – 3) (x – 3) (x – 2)(x – 3) = 3x(x + 3) 3x(x – 3)(x + 3)(x – 3) 2 2 2 x2(x – 2y)2 7) x – 24xy + 4y • 2 x 2 = = x(x – 2y)(x – 2y)(x + 2y) x – 2xy x – 4y x2(x – 2y)2 = x x(x – 2y)2(x + 2y) x + 2y 2a – 2 • a2 – 4a – 5 = 2(a – 1)(a + 1)(a – 5) = 6(a – 5)(a + 5)(a + 1) 2a2 – 50 3a + 3 a–1 2(a – 1)(a + 1)(a – 5) = 3(a + 5) 6(a – 5)(a + 5)(a + 1) 8) x2 + x – 2 = (x + 2) (x – 1) = (x + 2) (x – 1) = x – x2 – x + 1 (x3 – x2) – (x – 1) x2(x – 1)– (x – 1) (x + 2) (x – 1) (x + 2)(x – 1) (x + 2)(x – 1) 2 = = (x – 1)(x – 1) (x – 1)(x + 1)(x – 1) (x + 1)(x – 1)2 x+2 (x + 2) (x – 1)2 = (x + 1)(x – 1) (x + 1)(x – 1) 9) 2 n2(m + n) 3) m + n2 • 2n 2 = n(m – n)(m – n)(m + n) mn – n m –n 2 n (m + n) n = n(m – n)(m – n)(m + n) (m – n)2 4) 4) 5) 2 2 2 2) x –22x + 1 • x +2 x – 6 = (x – 1) (x + 3)(x – 2) = (x + 3)(x – 3)(x + 1)(x – 1) x –9 x –1 (x – 1)(x – 2) (x – 1)2(x + 3)(x – 2) = (x + 3)(x – 3)(x + 1)(x – 1) (x – 3)(x + 1) 3 2 x2 – 9 • x2 – 7x + 10 = (x – 3)(x + 3)(x – 2)(x – 5) = 2 x –4 x – 8x + 15 (x – 2)(x + 2)(x – 3)(x – 5) (x – 3)(x + 3)(x – 2)(x – 5) x + 3 = (x – 2)(x + 2)(x – 3)(x – 5) x + 2 9) 2 10) 2x – 3x – 2 • 3x2 + 6 = 3(2x + 1)(x – 2)(x + 2) = 3(2 x + 1)(x – 2)(x + 2) x –4 6x + 3 2 10) 2x 2 + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3) = (2x + 1)(x – 4) 2x – 7x – 4 x+3 (2x + 1)(x + 3) = x–4 (2x + 1)(x – 4) 3(2x + 1)(x – 2)(x + 2) =1 3(2 x + 1)(x – 2)(x + 2) Matemática − Claves 293 Semana 16 Ejercicio 3 2 3 3 1) x2 – x ÷ 5x – 5x = x2 – x • 2x2 + 6 = 2x + 6 5x – 5x 2x + 6x 2x + 6x 2x(x – 1)(x + 1)(x + 3) 2x(x – 1)(x + 1)(x + 3) = = 10x2(x + 3)(x – 1) 10x 2(x + 3)(x – 1) x + 1 5x 2 6x2 + 13x – 5 = + 15 2) 8x + 26x ÷ 2 16x – 9 9x2 – 1 2 9x2 – 1 + 15 • = 8x + 26x 16x2 – 9 6x2 + 13x – 5 (4x + 3)(2x + 5)(3x – 1)(3x + 1) = (4x – 3)(4x + 3)(3x – 1)(2x + 5) 3x + 1 (4x + 3)(2x + 5)(3x – 1)(3x + 1) = 4x – 3 (4x – 3)(4x + 3)(3x – 1)(2x + 5) 4x – 6 20x2 – 30x x+1 20x2 – 30x 3) 15x3 + 15x2 ÷ x + 1 = • 4x – 6 = 15x3 + 15x2 10x(2x – 3)(x + 1) 10x(2x – 3)(x + 1) 1 = = 30x2(x + 1)(2x – 3) 30x2(x + 1)(2x – 3) 3x 2a – 1 ax2 + 5 a3x2 + 5a2 ax2 + 5 4) ÷ = • a3x2 + 5a2 = 2 4a2 – 1 2a – 1 4a – 1 (ax2 + 5)(2a – 1) (ax2 + 5)(2a – 1) 2 = 2 = 2 a (2a – 1)(2a + 1)(ax + 5) a (2a – 1)(2a + 1)(ax2 + 5) 1 2 a (2a + 1) a2 – 6a + 5 a2 + 2a – 35 ÷ 2 = a2 – 15a + 56 a – 5a – 24 2 (a – 5)(a – 1)(a – 8)(a + 3) a2 – 6a + 5 • a2 – 5a – 24 = = 2 a – 15a + 56 a + 2a – 35 (a – 8)(a – 7)(a + 7)(a – 5) 5) (a – 5)(a – 1)(a – 8)(a + 3) (a – 1)(a + 3) = (a – 8)(a – 7)(a + 7)(a – 5) (a – 7)(a + 7) a2 – 6a a2 + 9a a2 – 6a a2 + 3a – 54 ÷ = • 3 2 2 a + 3a a + 3a – 54 = a3 + 3a2 a2 + 9a a2(a – 6)(a + 9) a2(a – 6)(a + 9) 2 = 2 = a (a + 3)(a + 9)(a – 6) a (a + 3)(a + 9)(a – 6) 1 a+3 6) Desarrolle nuevas habilidades ¡A trabajar! 6 = 3 2 6 2) 7 2 3) – 9 1) Ejercicio 1 7x x + 6x x 6x + = = x+2 x+ 2 x+2 x+2 5x2 – 4 x2 + 4 5x2 – 4 + x2 + 4 6x2 3 2) 3 + = = 3= 8x 8x3 8x3 8x 4x 6x2 – 7x x(6x – 7) 6x2 7x 3) – = = =x 6x –7 6x – 7 6x – 7 6x – 7 x2 – 6 x2 + 3x x2 + 3x – x2 + 6 4) 2 – 2 = = x –x–6 x –x–6 x2 – x – 6 3x + 6 3(x + 2) 3 2 = = x – x – 6 (x – 3)(x + 2) x – 3 1) Ejercicio 2 (3x + 1)(2) + (x – 2)(1) x–2 3x + 1 + = = 5x 10x 10x 7 6x + 2 + x – 2 7x = = 10 10x 10x x+3 5x – 1 (x + 3)(5x) – (5x – 1)(3) 2) – = = 3x 5x2 15x2 5x2 + 15x – 15x + 3 5x2 + 3 = 15x2 15x2 1) Ejercicio 3 x+1 1 1) x 1+ 1 4 x x+1 1 = 1+x 1 IGER − Polochic = 1(x + 1) 1(x + 1) = =1 1(1 + x) 1(x + 1) 4 x x2 – 4 – x 1 2) = = 2 x = 4 4 4 x x + 4x + 4 x+4+ + + x 1 x 1 x 2 x–2 (x + 2)(x – 2) x(x – 4) = = x(x2 + 4x + 4) (x + 2)(x + 2) x + 2 x– 11 6 + 2 x x La redacción puede variar, la idea principal debe mantenerse: 3) = 4 4 La asistente está mintiendo porque las páginas 199 y 200 3+ – 2 x x corresponden a una misma hoja. 2 3 x (x + 11x + 6) 2 2 x (3x + 4x – 4) 294 3+2 5 4) = 6 6 10 – 3 + 7 14 7 5) = = 6 6 3 1 3 16 – 9 – 10 6) =– =– 8 24 24 x+ 11 6 x x3 + 11x + 6 + + 2 x x 1 x2 = = 2 4 4 3 3x + 4x – 4 + – 2 x x 1 x2 3 x + 11x + 6 = 2 3x + 4x – 4 Semana 17 a2(a2) – a2b2 a 4 – a2 b2 a2 – b2 3 a a3 a 4) = = = a+b a+b a+b a3 a3 a3 a3(a4 – a2b2) a2(a2 – b2) a2(a + b)(a – b) = = = a2(a – b) a3(a + b) (a + b) (a + b) Desarrolle 1) nuevas habilidades Ejercicio 1 A. 1 0) 3 (m n) 1) –2b3 1 2) 9 y 3) 9w3z4 4) 1 Lapiceros Costo por paquete Costo total Paquete de 10 unidades Q11.00 Q44.00 6) x Paquete de 24 unidades Q24.00 Q48.00 7) b4 Paquete de 40 unidades Q38.00 Q38.00 8) 49m4n4 5) 18 9) (4a3b2)7 2) Q66.00, Q72.00, Q76.00 8 8 3) Conviene comprar un paquete de 40 unidades y dos 10) w z de 10. 11) 1 12) 1 1 13) 2 t 16a2n6 14) 4 4 wc B. 216d 6 s6 1) a3 2) 108a7b4c6 b 5 4) 54m7n5r8 3) 5) 274 c4 g8 15) b42c36d 12 3r2 z 16) 4 5 m nw 17) –5(55b5c15w20) 18) 109m36n9 19) a5 20) 8a3bx8y8 25r 4 s6 21) 36m6n4u2 22) x6y4z12 1 23) b 8c6f 6 24) – 729a3b9 u4w8 25) 81x20y12 m16n8 s12 26) 8 20 20 gh r 27) z7 r5s10t10 28) – 32x15y5z20 1 29) 2 w b4 25d 8f 10 7) 11x 6y7z2 3 8) m 2 5a 9) 56a7m9 6) 10) 24a6b5 Ejercicio 2 A. 1) 5x2y3 2) 4x2y2 2 3) 2ab x2y6 4) 5w 3x2y3 5) m4n4x4 6 6) m2 243m3n5 2 7) 2a3 b cy 8) 2x2 9) 3w4x3y2z 4) b2z4 5) a 2 n 6) 3m 3 w2 7) a12h4k 4m8 8) 5 rs 4 9) 4x 12 6 y z B. 1) xy 2) a2b4c3 3 3) m Matemática − Claves 295 C. 3 1) 3 11b 2) 20a 12xy 3 3) 30b4 16m2n2 D. 15 1) a3b4c3 a3b12c3 2 2bxz 2) 2 3 rs 4 3) ax2 a2m3x E. 8x 6ab 1) 6ab 2) 9y( 10bmx + 2 w ) 10bmx – 4w 3) 56abz – 8 ax 7bz – 8x 4 4) –11b3c 6a3 5) 11f 23wx 5 6) 9m2 49r3s2 4 4) xy2 x2y 5) 34 8x y 2 6) m 2an 4) 14mn 17ax 17ax 5) 132axy – 22cx 12ay – 2c 6) 12xy 6w 6w Ejercicio 3 A. 1) – 4a4 + 2a2 + 8a – 13 2) 18m4 + 25m3 – m2 – 23m 3) –21y 2 + y + 14 4) 3a3m + 3ax2 + m3 5) 6x3y2 –5x2y2 + y2 + 11 6) – 42k5 – 13k3 – k2 – k – 32 B. 1) –56x3 – 42x2 + 7x 2) 104ab4t2x + 13ab4ty2 + 117ab4t 3) 16k2mrt3 + 8k2mt3w2 – 18n2rt3 – 9n2t3w2 4) – 44b3x + 52a2y + 8z 5) 30a5 – 40a4 – 55a3 + 10a2 6) 72k 5 + 62k 4 – 54k 3 – 22k 2 + 12k 7) 96b3 + 84c2 – 144b2c – 144 8) 96x3y2z + 24x2y2 – 48x + 8z 9) 72w4x3 + 56wx5 + 8w2x4 – 16wx3 10) 70x7 + 18x5 + 3x4 – 36x3 + 39x2 – 10x 11) 22b4c2 + 55b3c2 – 18b3 + 10b2c – 45b2 + 22ab2c2 – 18ab + 10ac + 25bc 12) –14m6n4 – 11m4n3 + 70m4n2x3 + 9m2n2 + 90m2nx3 C. 1) 7b2 – 3b + 1 b 3c 8 2c 2) a + c – a2 3) 5n5 – 6n – 27x 1 4) – 6p3 + p + 8 – 6p2 296 IGER − Polochic 2 1 + d 2 2d 3 8 6) 17m – 7n + 5m2 – mn2 m n 16s2 18r 7) r 2 + r2 – s – 9s 20 4 8) –25z – y + yz 8 8 9) 12m5 – 3m4 – 7m2 + m + m3 6r 10) 7r3w3 – 4r2w + 2w + 7 k 5 4 4 11) 15k m – 19k m + 22k – m2 5) –8d 3 + a – 12) 25d 2g4 – 32dg2 + 6g – 72 Ejercicio 4 A. 0) 25a4 + 30a2b3 + 9b6 1) x2 + 18x + 81 2) y2 + 12y + 36 3) 25x2 + 30x + 9 4) 4y2 + 12yz + 9z2 5) 64x2 + 80xy + 25y2 6) 81x2 + 36xy + 4y2 7) 16x4 + 40x2y + 25y2 8) 64x6 + 48x3y2 + 9y4 9 4 4 9) 25 h6 + 15 h3k3 + 81 k6 16 81 10) 9 w4 + 12w2x2 + 4 x4 11) 49h2 – 14hk + k2 B. 0) 25m2 – 9n2 1) 25 – t2 2) 4x2 – y2 3) 64y2 – x2 4) 4x2 – 16 5) 16z2 – 16 6) 9p2 – 36 7) 64m2 – 25 25 8) 9 m2 – 16 1 9) 4 w2 – 9x2 12) b2 – 2bc + c2 13) 25x2 – 10xy + y2 14) 81 – 90z + 25z2 15) 36w2 – 72w + 36 16) 25p2 – 20pr + 4r2 17) 81 – 90z + 25z2 18) 4h4 – 12h2k2 + 9k4 19) 25x4 – 10x2y3 + y6 25 5 9 20) 9 x6 – 2 x3y5 + 16 y10 9 14 49 21) 25 w4 – 15 w2x2 + 81 x4 10) 64z2 – 64 11) 25w2 – 36 12) 16q2 – 25 13) 9x4 – y2 14) 16x4 – 1 15) 100 – 16a2 16) 9x8 – 4y4 17) 25m4 – 64n4 9 18) 4 m2 – 9n2 16 1 19) 81 y2 – 25 z2 C. 0) a + 13a + 40 1) c2 + 17c + 72 2) x2 + 14x + 48 3) b2 + 10b + 24 4) y4 + 6y2 + 9 5) d 2 + 14d + 40 6) z6 + 11z3 + 10 7) w4 + 9w2 + 20 8) m2 – 7m + 10 9) 4x2 – 10x + 4 10) 64y2 – 40y + 6 11) 4x2 – 24x + 35 12) 16y2 – 56y + 48 13) 4x4 – 20x2 + 9 14) 49w4 – 42w2 + 8 15) 9y4 – 18y2 + 5 D. 0) 8a3 + 60a2 + 150a + 125 1) x3 + 9x2 + 27x + 27 2) m3 + 3m2n + 3mn2 + n3 3) w3 + 18w2 + 108w + 216 4) 125y3 + 150y2 + 60y + 8 5) 27z3 + 81z2 + 81z +27 6) 64n3 + 240n2 + 300n +125 7) 64m + 48m + 12m +1 8) 8r3 – 12r2 + 6r – 1 9) 125x3 – 150x2 + 60x – 8 10) 27y3 – 135y2 + 225y – 125 11) 64z6 – 192z4 + 192z2 – 64 12) 8b3 – 72b2 + 216b – 216 13) 125k6 – 300k4 + 240k2 – 64 3 A. 1) y2(x – w) 2) 5y(xy – 3) 3) 12a3b2(–b + 2) 4) 5y(3y2 + 4y – 1) 5) 4xy(x – 3y2 – 2y) 6) ax(2a + 2x – 3) 7) 3x2(–6x5 + 4x3 + 3x – 2) 8) 3abx(–ab2 + 5x) 9) 4a2b2(4a2b3 – 5a – 6b4) 10) x2(25x5 – 10x3 + 12x – 18) B. 1) (a – 1)(x – 1) 2) (x – 1)( y + 5) 3) ( y – 1)(x + y) 4) (x + 5)( y – 1) 5) (–x – 4)( y – 3) 6) (a – b)(5x + y) 7) (m + 3n)(2r + s) 8) (–x + 5)( y – 2) 9) (x + 3)( y + z) 10) (2m2 + n)(3x + 2y) 11) (q – x)(2y – p) 12) 3(x + 2)(a – b) 13) (m – 3)(7x – 4) 14) x(n + 7)(3x + 2) C. 1) ( y + 6)2 8) (3m – 2n)2 3) (5x – 4)2 4) (2x + 8) 2 5) (2x – 3y)2 6) (3m – y)2 7) (6x + 2y) 2 9) (7r + 8s)2 2 10) 3 x – 5 4 2 2 5 11) y – 1 6 2 12) (6x3 + 2y2)2 ( ( 2) (x + 4)(x – 4) 3) ( y + z)( y – z) 4) (z + 4)(z – 4) 5) 4(x + 5)(x – 5) 6) (5y + 2)(5y – 2) 7) 4(a + 2b)(a – 2b) 2 Ejercicio 5 2) (2a + 3)2 D. 1) (w + x)(w – x) ) ) 8) (xy + 5z)(xy – 5z) 9) 3 + 1 3 – 1 2x 5 2x 5 10) 16(w2x + 2)(w2x – 2) 11) 1 ( y + 8z)( y – 8z) 4 4 4 12) a + bc a – bc 5 3 5 3 13) 1 + mn 1 – mn 6 6 14) (9w2x + 7y3z)(9w2x – 7y3z) ( )( ( ( )( )( ) ) ) Ejercicio 6 A. 1) (a + 8)(a + 3) 2) (b + 7)(b + 5) 3) (w – 4)(w – 6) 4) (x – 2)(x – 9) 5) (y + 8)(y – 4) 6) (z + 12)(z – 5) 7) (m + 9)(m – 6) 8) (n + 7)(n – 10) 9) ( p + 3)( p – 12) 10) (r + 2)(r – 9) 11) (s + 10)(s – 15) 12) (x + 8)(x – 6) B. 1) (4a + 3)(2a + 1) 2) (2m + 7)(3m + 1) 3) (5n + 2)(n + 3) 4) (3w + 2)(w – 2) 5) (6p – 7)( p + 4) 6) (3x – 2)(2x – 3) 7) (q – 5)(5q + 2) 8) (3y + 1)(2y + 3) 9) (8r – 3)(r + 5) 10) (4z + 1)(2z + 1) 11) (6h – 3)(h – 2) 12) (k + 6)(3k + 5) 13) (4x – 1)(3x – 1) 14) (2y + 1)(2y + 3) 15) (2c – 3)(c – 1) 16) (3a + 2)(2a + 1) 17) (5w – 3)(w – 4) 18) (6x – 1)(x + 3) C. 1) (a + b)(a2 – ab + b2) 2) (c + 2)(c2 – 2c + 4) 3) (m + 4)(m2 – 4m + 16) 4) (2x + 3y)(4x2 – 6xy + 9y2) 5) (z + 5)(z2 – 5z + 25) 6) (4k + 1)(16k2 – 4k + 1) 7) (2w + x)(4w2 – 2wx + x2) 8) (xy + 3z)(x2y2 – 3xyz + 9z2) 9) 8(ab + 2cd)(a2b2 – 2abcd + 4c2 d2) 10) (h – k)(h2 + hk + k2) 11) (–z + 3)(z2 + 3z + 9) 12) (2a – bc)(4a2 + 2abc + b2c2) 13) (–a + 5)(a2 + 5a + 25) 14) (2m – n) (4m2 + 2mn + n2) 15) 8(2x – y) (4x2 + 2xy + y2) 16) (6 – b)(b2 + 6b + 36) 13) (5w4 – 10)2 14) (2x2y3 – 2z2)2 Matemática − Claves 297 Ejercicio 7 A. 1) a + 1 5) y + 4 1 m+6 6) y+2 3 x – 3y 3) 7) 3z – 5 x + 3y w–x a–b 8) 4) w + 2x a+b B. 4x – 3 4x + 7 1) = 1 7) – 4x – 3 12x 2) 5x2 + 3 x–7 8) 15x2 3x – 7 3) 1 3x – 5 9) 2x2 (x – 3)(2x + 1) 2) B. 3x – 2 1) – 2) 3x + 2 1 3) 4) (x – y)(x + y) y–6 5) 6) 3y C. 1) 5) (x2 – 2x + 4)(x + 3) (x – 3)(x2 – 2x + 9) y(x + 2) x(x + 3) x+3 x–5 (x + 4)2(x + 2) (x – 3)2 2) (x + 1)(x – 4)(x – 2) (3x + 2)(x + 4) 3) x + 1 4) x – 15 x–1 x+9 5) (y + 2)(y + 1)(y + 5) 6) 7x – 1 (y – 1)(y + 8)(y – 2) x+2 Ejercicio 8 A. x+3 13x 1) 7) x+2 (3x + 1)(4x – 3) 2) 2(x2 + 3) x+1 8) (x + 2)(2x – 3) x+3 3) 2x + 5 x2 + 3 = 1 9) 2x + 5 (x – 2)(2x + 3) 4) x 10) x(x + 4) (x + 1)(x + 2)(4x + 1) 5) 2 x–4 3 2 11) 2x – 11x + 29x – 14) (x + 2)(2x + 1)(3x – 2) 6) 2 3x – 1 12) 298 IGER − Polochic 4) x x2 + 9x – 40 (x – 8)(x + 3)(x + 8) x 2x + 1 10) x2 – 4x – 8 (x + 1)(x + 2)(4x + 1) 11) 2x (x – 1)(x + 1) 2 2x + 5 6) x + 2x + 12 12) (x – 3)(x + 4) (x + 1)(x + 4) Taller matemático Prueba A Taller matemático 299 Taller matemático Repaso para la prueba de graduandos del Mineduc Estimada (o) estudiante del grupo Polochic: Le saludamos con cariño y esperamos que esté estudiando con entusiasmo este primer año de bachillerato. El Ministerio de Educación realiza cada año pruebas de matemática y de comprensión lectora a todos los estudiantes que están cursando el último año del ciclo básico o el último año de diversificado. El propósito de estas pruebas es obtener información que permita mejorar la calidad educativa de nuestro país. Consecuentes con esta mejora educativa, hemos incluido, en este libro, una sección llamada Taller matemático que contiene dos pruebas, para que se vaya preparando poco a poco. ¿Qué contenidos se repasan en este taller? Prueba A Presenta 33 ítems que abarcan los contenidos de las semanas 1 a la 7 y temas de proporcionalidad, secuencias numéricas, operaciones con los números racionales, signos de comparación, m.c.m., M.C.D., porcentaje y medidas de volumen. Prueba B Presenta 32 ítems que abarcan los contenidos de las semanas 9 a la 16 y temas de ecuaciones de primer grado, lenguaje algebraico, regla de tres simple y perímetro de cuadriláteros. ¿Cómo se evaluarán estos contenidos? • En la primera prueba parcial se evaluarán los contenidos de la prueba A. • En la prueba final se incluyen los contenidos de la prueba B. Los temas que no aparecen en este libro los encontrará en el material de matemática de los grupos Quiriguá, Utatlán y Zaculeu o también puede investigar en internet. 300 IGER − Polochic Instrucciones: 1. Use estas páginas solo para leer las preguntas y enunciados. No las subraye, ni haga anotaciones o marcas en ellas. 2. La hoja de respuestas se encuentra al final de cada prueba. Recórtela. 3. Lea cada pregunta o enunciado y las posibles respuestas u opciones que la responden. 4. Seleccione la respuesta correcta y rellene el círculo correspondiente en la hoja de respuestas. Solamente una opción responde correctamente a la pregunta. 5. No arrugue ni haga trazos en otros lugares de la hoja de respuestas. 6. Para responder esta prueba deberá utilizar lapicero negro. 7. Utilice hojas aparte para realizar el procedimiento de las operaciones. 8. Mida el tiempo que tarda en resolver la prueba. Practique hasta que consiga hacerlo en el menor tiempo posible. Guíese con el ejemplo del recuadro. Instrucciones: Marque en la hoja de respuestas el resultado correcto de la operación. 0) ¿Cuál es el resultado de operar –102 + 400? a. 298 b. 420 c. 380 d. 4102 Hoja de respuestas 0. a. b. c. d. 1. a. b. c. d. 2. a. b. c. d. De esta forma se debe rellenar el círculo. En su hoja de respuestas deberá rellenar el círculo de la respuesta correcta. Ahora revise su hoja de respuestas, la opción 0 ya está marcada. Últimas recomendaciones: • Si no sabe una respuesta, no se detenga, siga adelante. • Está prohibido el uso de calculadora. Taller matemático 301 1) ¿Qué nombre recibe el conjunto de los números enteros positivos de cero hasta infinito? a. naturales b. racionales c. negativos d. irracionales 2) ¿Cuál es el elemento neutro en la multiplicación? 1 d. 1 a. 0 b. –1 c. a 3) La expresión (5 • 3) • 2 = 5 • (3 • 2) ¿qué propiedad ejemplifica? a. distributiva b. conmutativa c. asociativa d. clausurativa 4) ¿Cuál de los siguientes es un número primo? 5 a. 7 b. 10 c. 0.25 d. 4 5) ¿Qué valor debe tener a para que 100 + a = 100? a. 100 b. 10 c. 1 d. 0 6) ¿Cuál es el valor absoluto de –15? a. |–15| = 0 b. |–15| = 1 c. |–15| = 15 d. |–15| = –15 7) ¿Cuál es el inverso multiplicativo de 100 ? 100 1 c. a. – 100 b. 1 100 d. – 100 1 8) ¿Cuál de los números siguientes es irracional? a. 2.2323232… b. 3.1415926… c. 5.6666666… d. 8.3333333… 9) ¿Cuál de los enunciados no representa una proporción? 5 2 4 5 15 4 = b. = c. = a. 4 4 8 3 9 5 d. 1 3 = 3 9 10) ¿Cuál es el resultado de 22 • 23? a. 10 b. 16 c. 32 d. 64 11) ¿Cuál es la potencia de (27)2 expresada en base 3? 35 c. 34 d. 33 a. 36 b. 12) ¿Cuál es el número más pequeño de la serie de números reales 3.7, –8.6, –4.7, 9.3, –1.8? a. 3.7 302 IGER − Polochic b. 0.1 c. –4.7 d. –8.6 13) En la serie: 4, 7, 11, 16, ¿cuál es el número siguiente? a. 19 b. 20 c. 21 d. 22 14) En la serie: 10, 18, 34, 66, ¿cuál es el número siguiente? a. 128 b. 129 c. 130 d. 131 15) ¿Cuál es la respuesta correcta de la operación 20 ÷ 4 + 3 • 2 – 1? 20 a. 10 b. 15 c. 20 d. 13 16) ¿Qué número es el m.c.m. de 10, 15, 20? a. 5 b. 30 c. 60 d. 120 17) ¿Cuál es el M.C.D. de 12, 18, 24? a. 1 b. 2 c. 3 d. 6 18) ¿Qué descomposición en factores primos es correcta? a. 24 = 4 • 6 b. 24 = 8 • 3 c. 2 • 3 • 4 d. 24 = 2 • 2 • 2 • 3 19) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? a. 3 • [ 15 – 2 • (6 – 2 • 2) ] = –3 c. 3 • [ 15 – 2 • (6 – 2 • 2) ] = –39 b. 3 • [ 15 – 2 • (6 – 2 • 2) ] = 33 d. 3 • [ 15 – 2 • (6 – 2 • 2) ] = 13 20) ¿Cuál de las expresiones siguientes es correcta? a. 3 > –3 b. 3 < –3 c. –3 > 3 d. –3 > –3 21) ¿Cuál es la respuesta correcta de elevar a. 25 b. 10 ( 1004 ) ? 0 c. 1 d. 0 22) ¿Cuál de las siguientes operaciones es correcta? a. 42 • 43 = 166 b. 42 • 43 = 165 c. 42 • 43 = 45 d. 42 • 43 = 46 23) ¿Qué expresión de las siguientes es equivalente a 92 ÷ 32? (9 ÷ 3)2 ÷ 2 c. (9 ÷ 3)2 a. (9 ÷ 3)2 – 2 b. d (9 ÷ 3)2 • 2 3 1 24) ¿Qué resultado se obtiene al sumar + ? 8 4 5 4 4 4 b. c. d. a. 8 32 12 8 Taller matemático 303 5 4 2 25) ¿Cuál es el resultado del producto • • ? 2 3 5 11 85 4 3 b. c. d. a. 10 30 3 4 26) ¿Qué expresión es correcta? 2 9 6 2 3 3 15 1 < b. > c. > d. > a. 8 4 5 7 8 4 16 4 27) ¿Cuál de las expresiones siguientes es correcta? 8 2 5 2 10 10 5 3 ≡ b. ≡ c. ≡ d. ≡ a. 9 9 12 3 15 9 3 4 1 3 de galón de pintura azul, de galón de pintura blanca y 28) Para pintar un gran rótulo se utilizaron 2 4 2 de galón de pintura roja. ¿Cuántos galones de pintura se utilizaron en total? 3 23 18 de galones d. de galones a. 3 galones a. 5 galones c. 12 5 29) Benjamín tiene tres rollos de alambre con un largo de 15, 20 y 25 metros cada uno. Si desea dividir todo el alambre en piezas iguales, de la mayor longitud posible para no desperdiciar alambre, ¿qué largo debe tener cada pieza? a. 1 m b. 3 m c. 5 m d. 15 m 30) Regina visita a su hermano Pedro cada 6 días y a su hermana Rosario cada 4, si hoy visitó a ambos, ¿cuántos días deben pasar para que visite a los dos el mismo día? a. 4 d. 6 c. 12 d. 18 31) Dos pintores tardan 9 días en pintar una casa. Si contratan un tercer pintor, ¿cuántos días tardarán en pintar la casa los tres juntos? a. 3 días b. 4 días c. 5 días d. 6 días 32) En un círculo de estudio de Iger los estudiantes de básico y bachillerato suman 120, de los cuales el 70 % son mujeres y el resto, hombres. De los hombres, el 25 % estudia bachillerato. ¿Cuántos hombres estudian bachillerato? a. 8 b. 9 c. 10 d. 15 33) En un recipiente hay 5000 cm3 de una solución. Si 1 litro es igual a 1000 cm3, ¿cuántos litros tenemos de la solución? a. 5 litros 304 IGER − Polochic b. 3 litros c. 4 litros d. 6 litros Hoja de respuestas A Nombre: Fecha: INSTRUCCIONES • Rellene con lapicero negro. • Borre bien los errores. Puede utilizar corrector. 0. a. b. c. d. 17. a. b. c. d. 1. a. b. c. d. 18. a. b. c. d. 2. a. b. c. d. 19. a. b. c. d. 3. a. b. c. d. 20. a. b. c. d. 4. a. b. c. d. 21. a. b. c. d. 5. a. b. c. d. 22. a. b. c. d. 6. a. b. c. d. 23. a. b. c. d. 7. a. b. c. d. 24. a. b. c. d. 8. a. b. c. d. 25. a. b. c. d. 9. a. b. c. d. 26. a. b. c. d. 10. a. b. c. d. 27. a. b. c. d. 11. a. b. c. d. 28. a. b. c. d. 12. a. b. c. d. 29. a. b. c. d. 13. a. b. c. d. 30. a. b. c. d. 14. a. b. c. d. 31. a. b. c. d. 15. a. b. c. d. 32. a. b. c. d. 16. a. b. c. d. 33. a. b. c. d. Taller matemático 305 Taller matemático Prueba B Taller matemático 307 1) ¿Qué resultado se obtiene al operar 5(2 + 3 5 )? 7 + 8 5 c. 10 + 15 5 a. 25 5 b. d. 10 + 3 5 2) ¿Cuál es la constante numérica en la expresión 5xy3? a. x b. y c. 5 d. 3 3) ¿Qué propiedad muestra la expresión a(c + d ) = ac + ad? a. cerradura b. distributiva c. conmutativa d. elemento absorbente 4) ¿Qué polinomio representa el perímetro de un rectángulo que mide x + 1 de ancho y 2x de largo? a. 4x b. 3x + 1 c. 6x + 2 d. (x + 1) + (2x) 5) ¿Qué expresión ejemplifica correctamente la multiplicación de potencias de igual base? a. am • an = am + n b. am • an = am – n c. am • an = am • n d. am • an = am ÷ n 6) ¿Cuál de las afirmaciones siguientes es verdadera? a. 4g • 4g • 4g = 12g3 b. 4g • 4g • 4g = 64g3 c. 4g • 4g • 4g = 12g d. 4g • 4g • 4g = 4g3 7) ¿Cómo se expresa 5x2 + 3 en el lenguaje usual? a. b. c. d. El doble de un número x más tres El quíntuplo de un número x al cuadrado más tres Un número x al cuadrado más tres Cinco por x más tres 8) ¿Cuál es el resultado correcto de (8x2y3)(–3x6y2z3)? –24x8y5z3 c. –11x8y5z3 d. 24x12y6z3 a. –24x4yz3 b. 9) ¿Cuántos términos forman el polinomio 2 + 3z5 + 4z2 – 8y + 6y2? 3z a. 5 b. 10 c. 11 d. 14 10) ¿Cómo se expresa en lenguaje matemático "El perímetro (P) de un rectángulo es el doble producto de la suma del ancho (W) y el largo (L)"? a. P = 2W + L 308 IGER − Polochic b. P = W + 2L c. P = 2(W + L) d. P = 2(W • L) 11) ¿Cuál es el factor común en la expresión 2x3 – 4x2 + 8x? 2x a. 2 b. x c. x2 d. 12) ¿Cuál de las expresiones siguientes es un trinomio cuadrado perfecto? x2 – 5z + 14 c. x2 – 8x + 64 a. x2 – 16 b. d. x2 + 10x + 25 13) ¿Cuál es el resultado de simplificar –3x – 2 + 3x2y – 4 + 5x – 6x2? 3x2y – 6x2 + 2x – 6 c. 3x2y – 6x2 + 8x + 6 a. 3x2y – 8x2 – 6 b. d. –7x2y 14) ¿Qué resultado se obtiene de (4x2 + 3x + 1) + (7x2 – 4x + 6)? a. 17x b. 17x2 c. 10x + 7 d. 11x2 – x + 7 15) ¿Cuál es la diferencia de (8ab2 – 6bc + 4) – (2ab2 – 9bc + 10)? 6ab2 + 3bc – 6 c. 6ab2 – 3bc + 6 a. 6ab2 + 3bc + 6 b. d. 6ab2 – 3bc – 6 16) ¿Cuál es el resultado correcto de (3x6y 4)(–4x3y2z 4)? –12x9y6z4 a. 12x3y2z4 b. c. –12x2y2z4 d. –7x9y6z4 17) ¿Cuál es el resultado correcto de multiplicar (x + 9)(x – 2)? 2x + 7 c. x2 + 7x – 18 d. x2 – 7x + 18 a. x2 – 18 b. 18) ¿Qué binomio está expandido correctamente? a. (h – k)2 = h2 – k b. (x + 5)2 = x2 + 25 c. (q – 2)2 = q2 – 4q + 4 d. (b – 4)2 = b2 + 8b – 16 19) ¿Cuál es el resultado de dividir (15x4 + 12x3 – 9x2) ÷ 3x? 5x4 + 4x3 – 3x2 c. 15x5 + 4x4 – 3x3 d. 15x3 + 15x2 – 15x a. 5x3 + 4x2 – 3x b. 20) ¿Cuáles son los factores de x2 – 12x + 27? a. (x + 8)(x – 4) b. (x – 6)(x + 6) c. (x – 9)(x – 3) d. (x + 4)(x + 3) 21) ¿Qué resultado se obtiene al valuar el polinomio 2x2 + 15 si x = 3? a. 33 b. 26 c. 21 d. 17 1 ? 3 a. 4 b. 8 c. 24 22) ¿Qué valor se obtiene de 2ac • 2ab si a = 2, b = 9 y c = d. 10 3 Taller matemático 309 23) ¿Qué resultado se obtiene al simplificar a. 5wz5 10w3z6 ? 5w2z b. 2wz5 c. 2w3/2z6/1 24) ¿Cuál es la respuesta correcta de d. 5w3/2z6/1 x2 + 6x + 8 ? x+2 a. x + 2 b. x + 4 c. x – 2 d. x – 4 25) ¿Cuál de las siguientes operaciones es correcta? a. (y – 4)2 = –16y2 b. (y – 4)2 = y2 – 8y + 16 c. (y – 4)2 = y2 – 16 d. (y – 4)2 = y2 + 16 26) ¿Cuál es el valor de x en la ecuación 2x – 3 = 53? a. 2 b. 6 c. 10 d. 28 27) ¿Cuál es el valor de x en la ecuación 5x + 6 = 10x + 5? 1 1 d. a. 1 b. 2 c. 5 2 28) En determinado día, la temperatura en Quetzaltenango a las 3:00 de la mañana era de –4 °C. Luego la temperatura aumentó 1 °C cada hora, ¿cuál era la temperatura a las 10:00 de la mañana ese día? a. 0 °C b. 3 °C c. 7 °C d. –2 29) Una antena de 12 metros de alto proyecta una sombra de 8 metros. ¿Cuál será la altura de un edificio que a la misma hora proyecta una sombra de 6 metros? a. 9 metros b. 10 metros c. 15 metros d. 20 metros 30) Todos los días, Sandra camina 1 km por la mañana y 3 de km por la tarde. ¿Cuántos kilómetros 4 2 camina cada día? 4 km c. 5 km d. 3 km a. 3 km b. 6 4 8 2 31) En un mapa cada 4 cm representan 210 km de distancia real. Si dos ciudades están separadas por 10 cm en el mapa, ¿qué distancia real hay entre ellas? a. 420 km b. 525 km c. 860 km d. 1050 km 32) Un camino comunal es construido por 60 trabajadores en 50 días. ¿Cuántos trabajadores se hubieran necesitado para construir el mismo camino en 20 días? a. 100 trabajadores 310 IGER − Polochic b. 110 trabajadores c. 120 trabajadores d. 150 trabajadores Hoja de respuestas B Nombre: Fecha: INSTRUCCIONES • Rellene con lapicero negro. • Borre bien los errores. Puede utilizar corrector. 1. a. b. c. d. 17. a. b. c. d. 2. a. b. c. d. 18. a. b. c. d. 3. a. b. c. d. 19. a. b. c. d. 4. a. b. c. d. 20. a. b. c. d. 5. a. b. c. d. 21. a. b. c. d. 6. a. b. c. d. 22. a. b. c. d. 7. a. b. c. d. 23. a. b. c. d. 8. a. b. c. d. 24. a. b. c. d. 9. a. b. c. d. 25. a. b. c. d. 10. a. b. c. d. 26. a. b. c. d. 11. a. b. c. d. 27. a. b. c. d. 12. a. b. c. d. 28. a. b. c. d. 13. a. b. c. d. 29. a. b. c. d. 14. a. b. c. d. 30. a. b. c. d. 15. a. b. c. d. 31. a. b. c. d. 16. a. b. c. d. 32. a. b. c. d. Taller matemático 311 Bibliografía AGUILAR, A. (2009). Aritmética y Álgebra. México: Pearson. Allen R. Angel. (2007). Álgebra elemental. México: Pearson. BALDOR, A. (2008). Álgebra. México: Grupo Editorial Patria. BALDOR, A. (2008). Aritmética. México: Grupo Editorial Patria. Dennis G. Zill/Jacqueline M. Dewar. (2001). Álgebra y trigonometría. México: McGraw Hill. Earl W. Swokowski/Jeffery A. Cole. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica. México: CENGAGE Learning. FORESMAN, S. Y WESLEY, A. Matemáticas, actividades de enriquecimiento, grado 5. Estados Unidos de América: SFAW. GOODMAN, A. Y HIRSCH, L. (2002). Álgebra y geometría con trigonometría analítica. México: Prentice – Hall. INSTITUTO GUATEMALTECO DE EDUCACIÓN RADIOFÓNICA. (2005). Cimientos 2 y 3, Matemática I. Guatemala: IGER. INSTITUTO GUATEMALTECO DE EDUCACIÓN RADIOFÓNICA. (2010). Matemática 7, Quiriguá I y II. Guatemala: IGER. INSTITUTO GUATEMALTECO DE EDUCACIÓN RADIOFÓNICA. (2013). Matemática 8, Utatlán I y II. Guatemala: IGER. INSTITUTO GUATEMALTECO DE EDUCACIÓN RADIOFÓNICA. (2013). Matemática 9, Zaculeu I y II. Guatemala: IGER. Jerome E. Kaufmann/Karen Schwitters. (2003). Álgebra intermedia. México: Thomson. SULLIVAN, M. (2006). Álgebra y trigonometría. México: Pearson. Tomás Caillaux de la Borda. 1.000 pasatiempos de lógica y juegos de inteligencia. Madrid: SERVILIBRO. O'DAFFER, P. (1998). Introducción al álgebra. México: Pearson. Páginas Web consultadas: Diccionario de la Real Academia Española: http://goo.gl/KUUuR Estatusquasar, acertijos lógicos: http://goo.gl/vdsl3 Fundación Wikimedia. Wikipedia en español: http://goo.gl/DVgA4E Juegos de lógica y estrategia: http://goo.gl/B0gYFw Matemáticas recreativas: http://goo.gl/FPYS1B Prismas: http://goo.gl/LicIQK Problemas de progresiones: http://goo.gl/aGJHtO Proyecto Descartes: http://goo.gl/U5K12 Recursos de educación y matemáticas: http://goo.gl/eV1Sh7 Salonhogar, potenciación y radicación: http://goo.gl/5wc7jq Sistemas de numeración: http://goo.gl/UPCTy0 Sucesiones numéricas: http://goo.gl/hfeHi4 Zweigmedia, repaso interactivo de álgebra: http://goo.gl/JDNWaz Matemática − Bibliografía 313 le cambiará la vida Siga los pasos... Lea el contenido de la semana Escuche la clase radial con los cinco sentidos Después de la clase radial… estudio y autocontrol Consulte sus dudas Participe en un círculo de estudio Matemática - 4.º Bachillerato - Grupo Polochic - Primer semestre - IGER Estudiar Matemática Instituto Guatemalteco de Educación Radiofónica, Grupo Radial ¡uy, uy, uy! y Radio Sónica 106.9 Tel: 2412 6666 www.iger.edu.gt
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